Jaquematica 1

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hgvalqui

JAQUEMTICA

T A I T A +M A N D E

D I N E R O

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D I N E R O

2 0 1 0editoras


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Derechos reservados

JAQUEMTICA

Primer Tomo

Primera edicin digitalMayo, 2010

Editor: Vctor Lpez Guzmn


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A la memoria de Eva Rosa

A la salud de AnnaMara

Estas lneas pretenden ser un

respetuoso saludo; no una acusacin


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Este es el fruto de un trabajo dominical, querefuerza el aforismo que dice: Las personasmuy ocupadas siempre encuentran tiempopara hacer lo que les gusta o lo queconsideran importante.

Aunque siempre es dudoso que los demslleguen a compartir mis gustos, confo en

que, al amparo de las aventurasmatemticas, haya quienes disfruten de lassituaciones presentadas. Propiamente slo serequieren los conocimientos que suelenadquirirse en secundaria. Propiamente.

A pesar de mis repetidos clculos

verificativos, es posible que se me hayanpasado algunos errores. Slo puedoargumentar que puse todo mi empeo paraque ello no sucediese; pero ...

Los dibujos fueron elaborados, con muchapaciencia, por E. Ascanio.

P r e s e n t a c i nPresentacin


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INDICE

NOTA: Los nmeros de las pginas serefieren al TEMA (::),al Primer Comentario(#), al Segundo Comentario ($) y al TercerComentario (&); no todos los temas tienentres comentarios.

P g i n a:: # $ &

01:: SU SUERTE EST DEBAJO DE UNA TAZA 15 113 * *

02:: MEJORANDO LA OERTA DE LA SUERTE 16 113 173 *

03:: EN EL MUNDO HAY TANTOS VARONESCOMO MUJERES 16 114 * *

04:: EL HIJO MAYOR SE LLAMA MIGUELITO 16 115 174 227

05:: PASAR EL RO EN BOTE NO ES TAN CIL 18 115 174 *

06:: UN POSIBLE BANQUETE PARA TRESCANBALES 19 116 174 227

07:: AHORA SON CUATRO MISIONEROS 19 118 175 *

08:: AHORA EL BOTE PUEDE LLEVAR

A TRES PERSONAS 20 120 175 228

09:: UNA PIRMIDE TRUNCADA IMPOSIBLE? 21 120 * *

10:: TRES ALSAS AIRMACIONES QUE SONCUATRO 21 121 176 *

11:: UNA ORACIN CONSTITUIDAPOR OCHO PALABRAS 23 121 177 228

12:: QUIEN LLEGUE PRIMERO AL 35 GANA 24 121 177 *


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13:: AHORA PIERDE QUIEN LLEGUE A 35 24 122 178 *

14:: EST PROHIBIDO UMAR 25 122 178 228

15:: UN PAPELN 27 123 178 *

16:: APRENDER DE MEMORIA LOS VEINTEPRIMEROS NMEROS 30 124 179 229

17:: UN NMERO ESPECIAL DE SEIS CIRAS 31 124 179 *

18:: UN TELEGRAMA PIDIENDO AUXILIO 32 126 180 230

19:: VEO UNA A Y UNA B 34 128 181 230

20:: ASOCIACIN de ARTISTAS AICIONADOS, AAA 35 129 181 *

21:: MI HERMANO MURI HACE 132 AOS 36 129 182 231

22:: UNA CINTA NADA HIPCRITA 37 130 183 *

23:: EL TEOREMA DEL PUNTO IJO 40 130 183 231

24:: LAS MONEDAS S TIENEN DOS CARAS 45 131 184 232

25:: EL CLUB VERIX Y EL CLUB MENTIX 47 133 184 233

26:: UNA DE LAS MONEDAS ES ALSA 49 133 185 234

27:: UN CASO PARA LA REGLA DE TRES 50 134 188 *

28: LOS RODILLOS RUEDAN 51 135 188 234

29: NO LE CREAS; TE EST ENGAANDO 52 135 189 234

30: QUE LA SUERTE DECIDA! 54 136 190 235

31: DNDE ESTN LOS OTROS SEIS SOLES? 55 137 190 *

32: UN COMEJN LIBRESCO 57 137 190 236

33: LA INALIBLE REGLA DE TRES 59 138 191 237

34: ETIQUETAS EN DESORDEN 60 140 192 238


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35: DOS PASOS PARA ADELANTE,UNO PARA ATRS 61 141 193 239

36: TU DIVIDES LA TORTA Y YO ELIJO 62 141 * *37: UNA TORTA PARA LAS TRES 64 142 193 240

38: UN MENSUARIO ETERNO 65 143 194 241

39: UN CUADRADO MGICO 67 143 195 242

40: CUNTO CUESTA LA BOTELLA? 67 144 * *

41: SU CUARTA MENTIRA DE LA SEMANA 68 144 197 *

42: UN PRIMO ENTRE DOS PRIMOS 69 144 198 *

43: ZAS! APARECI UN CM ! 69 145 198 242

44: HAY MS INTRUSOS QUE INTRUSAS? 71 145 199 244

45: BORRADURA INCONCLUSA 73 145 199 *

46: RECONSTRUYENDO UNA MULTIPLICACIN 75 146 200 244

47: CUANDO LA MAREA SUBE 75 147 200 *

48: UN DILOGO TRANSPARENTE 76 147 201 245

49: OTRA MULTIPLICACIN INCOMPLETA 78 148 202 246

50: CUNTO ES CUATRO POR SIETE MS CINCO? 78 149 * *

51: A CADA UNO SEGN LO QUE APORTA 79 151 203 *

52: UN CONDENADO A MUERTE 82 151 204 247

53: SEIS CAJAS DE LIBROS 83 152 206 *

54: PESAR CON PESAS SLO DE UNO YTRES KILOGRAMOS 84 153 206 *

55: DOS LATAS PARA ACARREAR AGUARRS 85 153 208 *


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56: LA CUADRATURA DE LA CRUZ 86 154 208 248

57: UN TABLERO DE AJEDREZ INCOMPLETO 87 155 209 *

58: UN BAILE CON VEINTE PAREJAS 88 155 209 *

59: CONECTAR 9 PUNTOS CON 4 SEGMENTOSDE RECTAS 88 156 210 249

60: UN NMERO PRIMO DE DIEZ CIRAS 90 157 211 250

61: UN TRINGULO DE REA MXIMA 91 158 211 251

62: UN CINTURN PARA LA TIERRA 93 159 212 *

63: CAMPEN POR ELIMINACIN 95 160 213 *

64: TE SOBRE UN TABLERO 95 161 213 251

65: EL LADO DEL ROMBO 96 161 216 *

66: UN PROBLEMA DICIL? 97 162 216 252

67: TANTOS PUNTOS PARA T, TANTOSPUNTOS PARA M 98 162 216 252

68: UNA ESCUADRA TRANSPARENTESOBRE UN CUADRADO 101 164 218 *

69: UN NGULO ESPACIAL 102 165 219 252

70: DESCONIANZA JUSTIICADA? 102 166 220 253

71: CUATRO LITROS DE JUGO DE MARACUY 103 166 220 *

72: UMAR ES DAINO PARA LA SALUD 104 167 221 253

73: UN NUDO EN LA CORBATA 106 167 222 254

74: DEL UNO AL OCHO, ORDENADAMENTE 107 168 222 254

75: ESLABONANDO ESLABONES 109 169 223 255


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B i b l i o g r a f a

l W. ickert: Krbungen zum Denken;

Vandenhoeck & Ruprecht, 1982l H. Hemme: Heureka, Vandenhoeck &

Ruprecht, 1988

l H. Hemme: Mathematik zum rhstk,Vandenhoeck & Ruprecht, 1990

l M. Gardner: Mathematical Puzzles andDiversions, Scientific American.

l Y. Perelman: Algebra Recreativa, Mir,1978

l H. Rademacher-O. Torplitz: TheEnjoyment of Mathematics, PrincetonUniversity Press, 1957

l R. Sumullyan: Schach mit SherlockHolmes. Otto Maier Verlag Ravensburg,1981

l M. Mataix: 100 Problemas sobre Lgica y

Matemtica, Marcombo-Boixaren, 1981

Bibliografa


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I n t r o d u c c i nIntroduccin

En su historia el hombre (luchando por suexistencia y por comprender su propiouniverso) ha cometido innumerables errores.Nuestra herencia cultural, smbolo de nuestrasuperioridad en el reino animal, consisteprecisamente en atesorar los conocimientosque nos ofrecen la posibilidad de evitar larepeticin de los mismos errores quecometieron nuestros antepasados. Bastante seha logrado en el terreno tcnico-cientfico;pero todava no hemos aprendido a evitar la

repeticin de los errores que hoy nos llevan aguerras, a discriminaciones torpes y a unhedonismo enfermizo.

Siguiendo la mencionada lnea de aprenderde nuestros errores, algunas de lassugerencias ofrecidas en el texto sernincorrectas. Entonces el lector debe

mantenerse atento; si descubre algunasugerencia equivocada (Atencin: si ladescubre; que no es lo mismo que ya me ladijeron), debera sentirse como elconquistador de un trocito de conocimiento.

Ms adelante, en los dilogos o en loscomentarios, se ofrecer la respuesta correcta

(?) y las caractersticas del error cometido.


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T

e

m

a

s

Temas


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01 :: Su suerte est debajo deuna taza

Vendedor de ilusiones: Atencin seoras y seores: Debajo de unade estas cuatro tazas se encuentra una moneda de 1 sol. Por 30centavos Uds. pueden indicar la taza de su preferencia: quien aciertese quedar con la moneda.

Aj, qu tal vivo, dirn ustedes, la probabilidad de acertar es

1/4, entonces slo deberamos pagar 25 cntimos; y nos est cobrando30 cntimos. Nos cree sonsos.

Para desmentir tales comentarios injustos, dar una ayuda aquien se anime a participar: Apenas uno de ustedes seale la tazade su preferencia (pero antes de levantarla), yo levantar otra taza[debajo de la cual no se va a encontrar la moneda]; entonces, laprobabilidad de acertar aumentar de 1/4 a 1/3. Y con la probabilidadde 1/3 (para la cual habra que pagar 33 centavos) Uds. salenganando en esta apuesta. Apuesten seores!7

a) Ud seala una tazab) Yo levanto otra taza; de esta manera

su probabilidad de acertar ha pasadode 1/4 a 1/3

.igura 1

(ver pg. 113)


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02 :: Mejorando la oferta de lasuerte

Vendedor de ilusiones: Mire seor, voy a mejorar la oferta:

i) Ud. seala una taza,ii) Yo levantar otra taza [no premiada],iii) Ud., si gusta, podr cambiar su eleccin.

Apueste seor!

[Cambiara Ud. su eleccin inicial?]

(ver pg. 113)

03 :: En el mundo hay tantosvarones como mujeres

En el mundo hay (aproximadamente) tantos varones como mujeres;por ello la probabilidad de que una pareja le nazca un hijo varnes la misma de que le nazca una hija mujer (la probabilidad, encada caso, es 1/2).

El: Hoy he conocido una pareja muy simptica, los Perales; ya

no son tan jvenes.

Ella: Ah, si? Tenan hijos?

El: S, la seora cont que haba estado dos veces en lamaternidad.

Ella: Varoncitos o mujercitas?

El[un poco desconcertado]: Cmo? Caramba! Hemos hablado de


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otras cosas. No s si sern hombrecitos o mujercitas, o unode cada uno. Espera; s, claro, ahora me acuerdo. La seora

cont que uno de sus hijos quera ser presidente cuandofuese grande. Claro, se trataba de un diablillo. S, uno delos hijos era hombrecito. Del otro, o de la otra, no dijeronnada.

Ella: Me pregunto si su segundo hijo no ser tambin unhombrecito. Cul ser la probabilidad de que los dos hijosde los Perales sean varones?

El: Me parece que la probabilidad debe ser igual a un medio,pues de uno de ellos ya se sabe que es un varoncito, y enel caso del otro (o de la otra) slo puede tratarse o de unhombrecito o de una mujercita, No te parece?

Ella: No s. Esas cuestiones de probabilidades hay que tomarlascon cuidado.

(ver pg. 114)

04:: El hijo mayor se llamaMiguelito

El: La explicacin que nos dio Leonor para ver que laprobabilidad de que los dos hijos de los Perales fueranvaroncitos me dej un poco intrigado ...

Ella: Acaso no te convenci? A m s.

El: No, no es eso. Lo que pasa es que quera convencerme por

m mismo que el asunto era cierto. En la maana encontr


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al Sr. Perales delante del ascensor; despus de saludarnos,mientras esperbamos el ascensor, le pregunt por el

nombre del chico que quera ser presidente. Se ri y medijo que su primognito se llamaba Miguelito. Cuando leiba a preguntar por su segundo hijo, o hija, lleg el ascensorcon un montn de gente y nos interrumpieron. El entral ascensor, pero yo no pude entrar; estaba repleto. As quelo perd de vista.

Ella: No parece que hayas averiguado mucho. Si era un

muchachito resulta claro que podra llamarse Miguelito,o Panchito...

El: No estoy tan seguro. De acuerdo con la explicacin que nosendilg Leonor me parece que ahora la probabilidad deque ambos sean varoncitos ya no es igual a 1/3.

Ella: Ests loco !

(ver pg. 115)

05:: Pasar el ro en bote no estan fcil

Un campesino debe atravesar un ro usando un bote en el que leest permitido llevar slo uno de los objetos o animales que tengaconsigo. El campesino tiene una col, una cabra y un puma [losanimales no atacan al campesino, pero pueden hablar].

Campesino[pensativo]: Llevo primero al puma o a la cabra?

Puma: Campesino, primero llvate a la col; yo cuidar a la cabra.


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Cabra: No, por favor; me comer! Primero pasa el ro con estafiera; yo cuidar a esta hermosa col!

[Podr el campesino pasar al otro lado del ro, en varios

viajes, manteniendo intactas sus tres pertenencias?]

(ver pg. 115)

06:: Un posible banquete paratres canbales

A un lado de un ro se encuentran tres misioneros, tres canbalesy un bote que no puede llevar ms de dos personas (todos saben

remar). Los misioneros, por temor a los canbales, nunca debenestar en minora a ningn lado del ro. Los canbales tambin estn

interesados en pasar al otro lado del ro y no pretenden huir.

[Una ayuda para los misioneros!]

(ver pg. 116)

07:: Ahora son cuatromisioneros

Un ao despus, en un campamento.

Teodosio: Bueno, creo que este asunto es como el del ao pasado.Slo que ahora somos 4 misioneros y 4 canbales. Y

debemos cruzar ese bendito ro, habiendo slo un bote


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que permite pasar a dos personas a la vez. Esta veztambin, Dios nos ayudar a cruzar sanos y salvos!

ngelo: Hermano, no metamos a Dios en cosas que debemosresolver nosotros.

[Otra ayuda para los misioneros!]

(ver pg. 118)

08:: Ahora el bote puede llevara tres personas

Al ao siguiente, en el mismo campamento de los misioneros.

Angelo: Esta vez el asunto de pasar el ro ser ms cmodo paranosotros. Han colocado un bote ms grande, quepermite llevar a tres personas (antes slo podan pasardos personas). Ya no tendremos mayor problemacuando 4 de nuestra congregacin acompaen a 4 deestas pobres almas.

Teodosio: Pareces tan seguro de lo que dices!

Angelo: Mira, aqu en esta pizarra har una tabla con los viajesque podramos hacer.

Inocencio[despus de observar lo escrito por Angelo]: El asuntoest claro. Pongmonos en marcha!

[Dispone Ud. tambin de una pizarra?]

(ver pg. 120)


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09:: Una pirmide truncadaimposible?

Maricucha: Pap, mira la pirmide truncada que he dibujado!

El pap: Caramba! Est muy bonita, parece que vas ser unbuena arquitecta. Pero, un momento, espera... Esapirmide no puede ser. Es una pirmide imposible!

.ig 2Una pirmide imposible?

(ver pg. 120)

10:: Tres falsas afirmacionesque son cuatro

Zenn[Un sofista griego]: Aqu les presento cuatro afirmacionesfalsas. Descubran Uds. cules son ellas.

i) Si a > b entonces a > b, siendo a,b nmeros reales.ii) Si x, a >0, reales con x < a entonces -a < x < a.iii) De (x-2)/(x-2) = 0 se deduce que x = 2.iv) Para todo valor real de x se cumple que (x-2)/(x-2) = 1.

v) Si a < b , entonces no es cierto que a < b.


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Gustavo: Yo s que (-5) > 3, pero no es cierto que -5 > 3, esdecir, la primera afirmacin es incorrecta. La segunda

afirmacin s es correcta. Pero la tercera no, pues notiene sentido dividir entre cero.

Eusebio: Yo veo una falla adicional. En la cuarta, justamentepara evitar la divisin entre cero, no es posible que x= 2. Es decir, no es cierto que para todo x ese cocientesea igual a la unidad. La quinta afirmacin tambin escorrecta, pues de -5 < 3 no se puede deducir que

(-5) < 3. Hay tres afirmaciones incorrectas, pareceque don Zenn se equivoc...

Leonor: O podra ser que antiguamente los griegos manejabanlas cosas de otra manera...

Zenn: Claro que manejbamos las cosas de otra manera. Peroen este caso tienen que prestar ms atencin a lo que

les he dicho. Voy a repetir; inclusive escribir en lapizarra:

Aqu les presento, .................... a < b.

Eusebio: No ha dicho nada nuevo. Insisto en que, de acuerdo conlos conocimientos modernos, slo tres de lasafirmaciones que Ud. ha presentado son incorrectas.

Zenn: No se acalore. Ponga ms cuidado en el asunto.Leonor[Dndose una palmada en la frente]: Ja, ja, ja! Claro, don

Zenn te agarr, Eusebio. Parece que es unespecialista en sutilezas. Tiene razn. Ha presentado4 falsedades.

Eusebio: Cmo? Cmo?

(ver pg. 121)


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11 :: Una oracin constituidapor ocho palabras

Profesor: No s si lamento no haber estado cuando se apareciese sofista griego. Por lo menos, me evit la angustiaque afect a Leonor. He estado leyendo sobre el tema,

y parece que no puede evitarse que el lenguaje seacontradictorio. Por ejemplo, cuando uno afirma No voya decir ni po, Subo las escaleras hacia abajo, En

la cola que haba me puse delante de todas las personaspresentes.

Leonor: Pero eso es alarmante!

Profesor: Justamente se era el papel de Zenn, alertarnos sobrela posibilidad de que estemos diciendo cosas sin sentidoo contradictorias. Por ejemplo, lean [escribe en la

pizarra]Esta oracin est constituida por ocho palabras

Carlos: Un momento; eso que Ud. ha escrito no es cierto; taloracin tiene slo siete palabras. Me permitecorregirla?

Profesor: Hgalo, por favor; sin modificarla mucho!

Carlos: Listo! El asunto era simple. astidia ver algoobviamente incorrecto No es cierto? Aad un no:

Esta oracin no est constituida por ocho palabras

Eusebio: Ja, ja. Ahora la oracin tambin es falsa !

[Qu pas?]

(ver pg. 121)


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12:: Quien llegue primero al 35gana

Carmen y Ral juegan a Quin llega primero a 35. El juegoes como sigue: cada jugador puede elegir, alternadamente, unnmero desde 1 hasta 7. Cada nmero se suma a los elegidosanteriormente. Cul es el penltimo nmero que debe elegirCarmen (si es que puede hacerlo) para asegurarse la victoria? Porejemplo:

Eleccin Eleccin SUMA PARCIAL

de Carmen de Ral ALCANZADA

3 ............................................................ 3

5 ............................. 8

7 ............................................................ 15

4 ............................. 19

3 ........................................................... 22? .............................

(ver pg. 121)

13:: Ahora pierde quien llegue

a 35

El juego anterior puede ser planteado de manera que Pierdequien llegue a 35. Cmo debe jugarse para ganar?

(ver pg. 122)


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14:: Est prohibido fumar

El profesor saca una caja de fsforos del bolsillo.Teresa: No quiero fastidiarlo, profe, pero le recuerdo que aqu

est prohibido fumar.

Profesor: No, yo no fumo. Les quiero presentar un problema.Aqu hay seis palitos. Coloco tres frente a tres, dejando

un espacio vaco, miren:

> > >


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Eusebio: Ahora son posibles dos saltos o un deslizamiento.

Leonor: Pero el deslizamiento no sirve, ya que despus de l

tendra que seguir un nuevo deslizamiento: el delltimo palito de la izquierda.... y se atrac el asunto.

Carlos: Ya veo. Entonces se debe elegir un salto; la preguntasera Cul?

Leonor: Cmo? No te das cuenta?

(ver pg. 122)

15:: Un papeln

Profesor[desenrollando una hoja grande de papel]: Aqu tienenuna hoja de 1 m por 2 m. Si la doblo en la mitad mequedar un cuadrado de 1 m. Si la vuelvo a doblar porla mitad [realiza el doblez] obtengo un rectngulo de0.5 m. El asunto es, Cuntas veces creen ustedes quepuedo doblar la hoja?

.ig 3 Hoja rectangular a) Luego de la primera doblada y

b) Luego de la segunda doblada.

a b


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Luca: Siendo Ud. una persona normal pienso que podrdoblarla unas cien, doscientas veces; quizs mil veces,

O es que hay algn truco?Leonor: Mil veces? No creo que se pueda doblar tantas veces.

A ver, profe, dblela para ver cmo es el asunto.

Profesor: Lo que Ud. propone, Leonor, es la propuesta correcta.Pero antes quiero que vean cmo se pueden prejuzgaralgunas cosas.

Mario: As, al ojo, yo tambin dira que no puede pasar de unos100 dobleces...

Teresa: Cul ser el espesor de la hoja?

Profesor: Esa es una buena preocupacin, Cmo podramoscalcular el espesor de una hoja de papel? Aqu, en elsaln.

Eusebio: Bueno, se me ocurre que ...., por ejemplo, en este librovoy a separar las pginas que dan, aproximadamente,un centmetro del espesor [manipula un libro y separaun paquete de hojas y observa la numeracin] Son200 pginas.

Luca: No creo que eso sea til. No estamos seguros que ese

espesor sea de un centmetro; por otra parte, en otrolibro seguramente el nmero de pginas sera diferente...

Profesor: No, no. Slo queremos tener una buena idea delespesor: Es 4 mm, 1 mm, 0.1 mm? A veces no se tratade conocer algo con exactitud, sino sloaproximadamente; eso ayuda mucho para orientar lasrespuestas a muchas preguntas que surgen

cotidianamente. Siga Ud. Eusebio.


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Eusebio: Entonces cada hoja tiene un espesor de, ms o menos,10/200 = 1/20 de milmetro. Cien hojas daran unos 5

mm. Mil hojas daran 5 centmetros; eso sera mucho!Teresa[riendo]: Ja, ja! Eusebio ha calculado como si las pginas

de un libro tuviesen espesor. Son las hojas las quetienen espesor!

Eusebio: Cmo? Ah, es cierto ! 200 pginas son 100 hojas. Cadauna tendra 0.1 mm de espesor...

Miguel: Creo que estamos procediendo equivocadamente; 100dobleces no dan 100 hojas. Un doblez da 2 hojas, dosdobleces dan 4 hojas, tres dobleces dan 8 hojas...

Leonor: Claro que s! Entonces 100 dobleces dara 2100 hojas!Qu barbaridad !

Teresa [asombrada]: Eso no puede ser! Miren que 210 es 1024,

digamos que es 1000, entonces 2100 = (210)10 =(1000)10 = (103)10 = 1030, Un 1 seguido de 30 cerosNo puede ser!

Profesor: Parece increble, pero los clculos de Teresa soncorrectos. Miren que 1030 hojas, producidas por 100dobleces, daran billones de billones de kilmetros de

espesor!Leonor: Caramba! Qu cosa! Yo dira que uno podra doblar esa

hoja para hasta obtener apenas 1 cm de espesor, o algoas.

Profesor: Lo cual significara unos N dobleces. A ver, calculencunto valdra N!

(ver pg. 123)


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30 H.G. Valqui

16:: Aprender de memoria losveinte primeros nmeros

El profesor escribe en la pizarra:

14, 5, 4, 19, 18, 16, 17, 10, 12, 2, 9, 8, 11, 15, 6, 7, 13, 3, 1, 20.

Profesor: En la pizarra he escrito, ordenadamente, los veinteprimeros nmeros. Vamos a ver quien los memorizams rpidamente.

Carlos: Ordenadamente ha dicho Ud., profe?

Profesor: Eso he dicho, y eso es cierto.

Carlos: Ordenadamente no sera: 1, 2, 3, etc?

Leonor: No necesariamente. Tambin podra ser: 1, 3, 5, 7,...,19, 2, 4,..., 20.}

Eusebio: O tambin, por ejemplo: 5, 10, 15, 20, 1, 6, 11, 16, 2,12, 17, 3, etc.

Carlos: Eso lo entiendo, Pero lo que ha escrito el profesor?

Leonor: Lo que me atrevo a decir es que no reconozco ningnordenamiento..

Profesor: Eso est bien dicho, Leonor: Ud. no reconoce unordenamiento. El criterio de ordenamiento que heusado es bien conocido .... aunque ustedes no lo crean.

(ver pg. 124)


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17:: Un nmero especial deseis cifras

Profesor: A ver, Ud., Luca. Escriba un nmero cualquiera de 3cifras. No ensee el nmero que ha escrito.

Luca: Listo, profesor...

Profesor: Bueno; ahora repita ese nmero para obtener unnmero de 6 cifras, Listo?

Luca: Listo!

Profesor: Ahora divdalo entre 13 y psele el cociente a Miguel..

Luca: Y si no fuese exactamente divisible..

Profesor: No se preocupe. Olvdese del resto. Solamente pseleel cociente a Miguel

Luca[calcula el cociente y se lo entrega a Miguel] Listo!

Profesor[a Miguel]: Divdalo entre 11 y pseme el cociente, sinque los dems se enteren. No se preocupe del resto dela divisin que va a realizar.

Miguel [escribe algunos nmeros y le alcanza el cuaderno alprofesor]: All tiene...

Profesor[escribiendo en la pizarra]: Este es el nmero que Ud.eligi No es verdad, Luca?

Luca: Pero cmo..?

Profesor: Parece que el asunto no ha quedado claro. Repetir elasunto con otros dos de ustedes. [a Teresa] Por favor

escriba un nmero de 3 cifras; luego reptalo para


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obtener uno de 6 cifras, divdalo entre 13 y psele elcociente a Carlos.

Profesor: Carlos, divida el nmero recibido entre 7 y pseme elcociente obtenido. No se preocupe por el resto de ladivisin. [Carlos cumple con lo solicitado y entrega sucuaderno. El profesor piensa unos segundos y luegoescribe un nmero en la pizarra] Este es el nmeroque Ud. escribi sin que yo lo supiese, Teresa.

Teresa: Es cierto. Pero no entiendo..Profesor: Cuando uno es capaz de leer la mente de los que estn

cerca...

(ver pg. 124)

18:: Un telegrama pidiendoauxilio

Profesor: Hoy da veremos que tal estn ustedes en sumas...

Carlos[con aire de ofendido]: Ud. debe estar bromeando, profesor.Las sumas las aprendimos en primaria.

Profesor: Recuerdan que les dije que la resta no es unaoperacin, sino una ecuacin...

Carlos: Tambin eso, aunque en los colegios lo enseenequivocadamente, es algo que se aprende en primaria.

Profesor[un poco fastidiado por la pretensin de Carlos]: Bueno,entonces Ud. no debera tener dificultad con el

problema de suma que voy a proponer.


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33Jaquemtica

Carlos: Si es un problema de sumas, entonces no debera serproblema. Lo escuchamos, profesor.

Profesor: Lo voy a contar como a m me lo contaron: El asuntosucedi en Inglaterra. El hijo de un millonario inglsestudiaba matemticas en EEUU. Si bien al joven leinteresaban las matemticas, ms le interesaban losviajes; y recorriendo el pas se haba quedado sin plata.Temiendo que su padre le pidiese cuentas por susestudios de matemticas, trat de demostrarle que algo

haba aprendido. Con tal fin le envi el siguientetelegrama

S E N D +M O R E

M O N E Y

El millonario se qued intrigado. Su hijo le peda queenviase ms dinero, pero no le deca cunto, Estaratan pobretn que ni siquiera le haba alcanzado paraun telegrama ms explcito; o es que sencillamentehaba escrito el telegrama estando borracho? Por otraparte le intrigaba ese signo de + escrito despus de

SEND. Para no meter la pata llam a un matemticopara que le explicase el intrngulis. Este acept ver elasunto, y al da siguiente volvi con la respuesta: Setrata de una suma; cada letra es un nmero y las letrasiguales tienen el mismo valor; como su hijo lo que lepide es MONEY, entonces est diciendo que le enve.....

(ver pg. 126)


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19:: Veo una A y una B

Profesor: Como pueden ver, en estas 5 tarjetas estn pintadas lasletras A, A, A, B, B. Ahora, por favor, acrquense Mara,Pedro y Remigio. [Los tres nombrados se acercandonde el profesor] Prense aqu, mirando a suscompaeros. As, muy bien!

[Se acerca a cada uno de ellos, sin que puedan verlo, y les prende,a cada uno, una de las tarjetas en la espalda, con la letrahacia afuera. Las dos tarjetas sobrantes han quedadovolteadas sobre el escritorio].

Profesor: Por supuesto, los actores son estos 3 jvenes. Los demsobserven en silencio.

El asunto es que, por ejemplo, Remigio puede ver las letras quellevan Mara y Pedro, pero no puede ver qu letra lleval mismo.

[Dirigindose a los tres actores] Ahora, cada uno de ustedes,basndose en la informacin que di inicialmente, y porlo que pueda ver y observar, tal vez pueda decir queletra lleva prendida en su propia espalda.

Listos![Cada uno de los jvenes se acerca donde el otro, lo rodea; lee la

tarjeta. Se queda quieto, pensando; vuelve a acercarsepara ver la tarjeta de sus compaeros. Pasan unos 4minutos]

Remigio: Si tenemos en cuenta que hay 5 tarjetas en total, y que

tres de ellas son Aes, entonces la probabilidad...


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35Jaquemtica

Profesor: No, Remigio, este no es un problema probabilstico. Setrata de un problema de razonamiento lgico a partir

de la informacin que ustedes poseen...Mara[repentinamente]: Ya s! A m me ha tocado la letra...

(ver pg. 128)

20:: Asociacin de artistas

aficionadosProfesor: Repitamos el juego. A ver, acrquense Leonor, Carlos y

Luca. [Les prende las tarjetas en la espalda]. Listos!

Leonor: [Estoy viendo A, A. Si yo tuviese B entonces uno deellos debera deducir, como antes Mara, que sobre suespalda tiene una A. Pero Luca es un poco lenta.

Carlos no es tan lento, pero es complicado. Qu lo...]

Carlos: [Ellas tienen A, A. Si yo tuviese una B, entonces tantoLeonor como Luca, estaran viendo A, B. Pero amboscallan, parece que no saben qu decir. Bueno, Luca eslenta; pero Leonor....Aunque, Quin sabe? A lo mejorno es tan trome como parece. Esperar un momento;

si dentro de un ratito Leonor no dice nada, entoncessabr que tengo una A. Si me equivoco es porqueLeonor es una tonta]

Luca: [Veo A, A. Si yo tuviese B, entonces Leonor y Carlosveran A, B y razonaran como Mara. Ninguno de losdos es tonto; si se callan es porque...] Profesor, ya sque letra me ha tocado!

(ver pg. 129)


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21 :: Mi hermano muri hace132 aos

Carlos[mientras saborea un helado]: El asunto de las tarjetas fuedivertido...

Teresa: La falla de Leonor fue pensar que t y Luca eran unpoquito lentos..

Extrao[Un seor muy viejo se para junto a la mesa]: Ustedes

deban ser estudiantes. Ah, sa es una hermosa edad,cuando yo...

Carlos: Disculpe, seor, Ud. Qu edad tiene?

Extrao[ponindose como un soldado en atencin]: Yo soy de esoshombres de antes. Tengo 92 aos; nac en 1904.

Carlos [impresionado]: 92 aos? Y a m me pareca que mi

profesor era muy viejo. El debe tener unos 45 aos.Extrao: Bah, ahora la gente no llega ni a los 80 aos; ni siquiera

saben alimentarse...

Teresa: Y a Ud. se le ve casi entero. Tiene Ud. hermanosmenores?

Extrao: No, hermanos menores no he tenido. Slo tuve un

hermano mayor...Eusebio: Me imagino que su hermano debe haber muerto ya

hace algunos aos, No es cierto, seor?

Extrao: Je, je, je. Eso est bien. Hace algunos aos. Mi hermanomuri hace 132 aos.

Carlos[un poco enojado]: Disculpe seor, nosotros sabemos sumar

y restar. No nos venga con cuentos, por favor!


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37Jaquemtica

Leonor: No seas mal educado, Carlos. [Dirigindose al extrao]Disclpelo, no ha querido ofenderlo.

Extrao: No se preocupen; yo tambin he sido muchacho.[El viejo se retira y se sienta en una mesa un poco alejada. El mozo

se acerca a atenderlo]

Leonor[enojada]: T, Carlos, a veces te comportas como un nio..

Carlos: A ustedes s que les gusta que les tomen el pelo. Quinle va a creer que su hermano ha muerto hace 132 aos!

Teresa: Claro, eso no puede ser cierto. Pero con la edad quetiene, ese seor puede confundirse; o quizs sea sa sumanera de bromear..

Miguel[un poco excitado, pero en voz baja]: Caramba! Miren! Alo mejor el viejo ha dicho la verdad..

(ver pg. 129)

22:: Una cinta nada hipcrita

Profesor: Miren esta tira rectangular de papel, de 1.20 m delargo, cuyos vrtices designar con A,B,C y D.

a) Abierta b) Con los bordes pegados

.ig 4 Una cinta ABCD

A

BA

CD

B

C

D


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Observen que la cinta tiene dos caras y un borde. Unahormiga que pretenda pasar de una cara a la otra, sin

agujerear la tira, deber tocar el borde.Si ahora pego el lado AD con el BC, de manera que Acoincida con B y C coincida con D, entonces se obtengouna tira cilndrica, que poseer dos caras (una interna

y otra externa) y dos bordes (que son curvas cerradas).Aqu tambin, la hormiga, para pasar de la cara externa

a la cara interna, deber tocar uno de los bordes.

Carlos: Eso es obvio.

Profesor [Haciendo aparecer otra cinta de papel]: Esta cinta essimilar a la anterior. Esta vez pegar los bordes, AD conBC, pero doy una vuelta de 180, de manera que Acoincida con C y B coincida con D, Ven?

a) Cinta de Mobius. B) Trazo para el corte.

.ig 5

Teresa: Una cinta chueca.

Profesor: Efectivamente; una cinta chueca, que se conoce comoCinta de Mbius. Ahora marco un punto P en el borde,

luego paso la pista y marco otro punto Q en el otro

D

B

AQ

.

.P

C


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borde. Acrquese Luca. Ponga su dedo tocando alborde en el punto P. Ahora recorra el borde

suavemente, para no perder el contacto..Carlos: Hasta que nuevamente llegue al punto P...

Luca[sorprendida]: Pero he llegado al punto Q!

Profesor: Siga, siga!

Luca: Ahora he llegado nuevamente al punto P. Pero para irde P a Q habra que pasar la pista; y yo no la hepasado!

Leonor: Como si la cinta tuviese slo un nico borde!

Profesor: Gracias, Luca. A ver, acrquese Ud. Carlos. [Carlos seacerca de mala gana] Marque un punto M en el centrode la pista. Eso es. Ahora dle vuelta a la cinta ymarque otro punto N, que estar separado de M slopor el espesor del papel. Muy bien. Ahora apoyando lacinta en el escritorio, parta del punto M, avance por elcentro de la pista, para ver a dnde llega..

Carlos: Me imagino que nuevamente llegar al punto M.

Profesor: Proceda Ud...

Carlos[un poco sorprendido]: No s que ha pasado, pero he llegadoal punto N !

Leonor: A lo mejor resulta que la cinta tiene una sola cara.Sera cmico!

Profesor: Siga Ud. avanzando..

Carlos: Caramba; ahora he regresado al punto M! Esto es

chistoso; he atravesado la cinta sin atravesarla!


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Profesor: Gracias, Carlos. A ver, Leonor, acrquese. Con esta tijeracorte Ud. la cinta a lo largo de la lnea que ha trazado

Carlos por el centro de la pista.Teresa: Ahora tendremos dos cintas de Mobius ms angostas.

Leonor [Ha terminado de cortar y trata de separar las cintasresultantes]: No s que pasa; las cintas se hanenredado.

[Se anima a cortar una tira de papel peridico y pegar una cinta

de Mbius?]

(ver pg. 130)

23:: El teorema del punto fijo

Carlos: El domingo me he metido en un lo. Mi hermano mepresent a un matemtico, de esos tipos que trabajanhaciendo cosas en matemticas. Quise lucirme y le dijeque yo tambin conoca bien las matemticas; le contde nuestras reuniones y discusiones con nuestroprofesor.

Leonor: En qu lo te has metido?Carlos: El tipo se me dijo que en matemtica haba un

importante Teorema del Punto ijo. Yo le dije quetambin lo conoca, pero que ya lo haba olvidado. Porla forma en que me mir, parece que el fulano no mecrey. Me sent retonto por haber mentido as.

Leonor: S; t eres casi un experto en meter la pata....


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Carlos: Djate de bromas. Me dijo: Te voy a proponer unproblema; no es nada difcil, pero tampoco es trivial..

Leonor: A ver, cuenta cmo es el problema..

Carlos: Eso es lo que estoy tratando de hacer. No meinterrumpas:

T y tus compaeros han planeado realizar unaexcursin, desde un punto A hasta un punto B. Entre

esos puntos existe un nico camino, con curvas,subidas, bajadas y algunos restaurantes para losviajeros. Salen a las 6 de la maana del punto A y llegana las 4 de la tarde al punto B, donde se quedan adescansar hasta el da siguiente. Al da siguiente partende B a las 6 de la maana y llegan a las 4 de la tardeal punto A. Demuestra que en el camino existe un

punto por el que ustedes han pasado justo a la mismahora, tanto a la ida como al regreso.

.ig 6 Existe un punto X, por donde los caminantes pasaron a la misma hora del da,tanto a la ida como a la vuelta.

Leonor: Parece que faltase informacin, pues si uno va de paseo

no va a estar cuidando que la velocidad sea constante...

Sbado

Domingo

.

.

X

X

6 a.m. 4 p..m.

4 p..m. 6 a.m.


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Carlos: Yo le dije algo parecido, y me contest que nointeresaba el ritmo al que hubisemos caminado; que

se supona que, a veces, habamos tenido quedescansar; o que alguien haba tenido que regresarparcialmente para recobrar algo que hubiese olvidado..

Leonor: Qu extrao! [sonriendo] En buen lo te has metido!

Carlos: No olvides que el tipo dijo que el problema no eradifcil...

Leonor: Lo de fcil o difcil es muy relativo. Lo que es fcil paraunos puede ser difcil para otros. Pero, tienes razn,pensemos en una posible solucin.

[Se quedan pensando unos minutos]

Carlos: No se me ocurre nada...

Leonor: A mi tampoco. Mira, hagamos una cosa. Achiquemos elproblema: El Colegio es el punto A, la heladera elpunto B. Tenemos que suponer que entre los dos existesolamente un camino; por l iremos y por lregresaremos. Vamos.

Carlos: No veo de qu nos servir el paseo. Pero yo te acompao

con mucho gusto...Leonor: Djate de cosas. Supn ahora que partimos a las 6 de

la maana...

Carlos: Pero tambin podramos achicar el tiempo..

Leonor: Es una buena idea! Ahora son las 4 y 30. Partamos.

[Caminan hacia el colegio]


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Carlos: Bueno, hemos necesitado justo 15 minutos, Y ahora?

Leonor: Ahora regresaremos. Pon tu reloj a las 4 y 30,

deberamos llegar a las 4 y 45. Vamos.

[Regresan y entran nuevamente a la heladera]

Carlos: El paseo estuvo bueno, pero no hemos sacado nada enclaro.

Leonor: Lo que pasa es que tu estabas pensando en otras cosas.

Este problema me intriga... Te animas a realizar otropaseo?

Carlos: Ya sabes que a tu lado...

Leonor: Esta vez no; escucha. Iremos separados; as podremospensar mejor. T te vas al colegio. A las 4 y 30emprendes el regreso, mientras que yo a esa hora

partir de aqu. O sea yo estar de ida, t de regreso.Cada uno observar al camino y lo que hace el otro.Quizs as descubramos el punto fijo que mencionel amigo de tu hermano.

Carlos[resignado]: Si te parece.

Leonor: Vamos a coordinar los relojes, para que los dos

marquen la misma hora. Los pondremos a las 4 y 15.T vas al colegio. A las 4 y 30 yo parto hacia el colegio

y t partes hacia aqu, De acuerdo?

Carlos: Muy bien. Ya me estoy yendo [Se aleja rpidamentehacia el colegio]

Leonorse pone a saborear un barquillo. De vez en cuando mira

su reloj. A la 4 y 30 se levanta y se dirige al colegio,


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como si se estuviese paseando. A 1/3 del camino divisaa Carlos, quien camina un poco apurado. Ella tambin

apura el paso.Leonor: Hola, chico! Vas a tener que caminar ms lentamente

si es que quieres llegar a las 4 y 45 a la heladera..

Carlos: Y t, vas a tener que apurarte si quieres llegar a las4 y 45 al colegio..

[Carlos llega a la heladera justo a las 4 y 45. Se pone

a esperar que regrese Leonor. De vez en cuando mira,tratando de distinguir de lejos. Por fin aparece Leonor]

Carlos: Bueno, saliste con tu gusto. Pero Qu hemos ganado?

Leonor [todava un poco agitada]: No s; se me ocurri quetenamos que hacer algo....

Carlos: Lo nico que te puedo decir es que nos encontramosa las 4 y 39, y t no estabas ni por la mitad del camino.Creo que deberamos habernos encontrado en la mitaddel camino. El experimento nos fall.

Leonor[sonre explosivamente]: Claro! Eso es! Nos encontramosen el camino! Ese es el punto en que pasamos a la

misma hora![Entendi?]

(ver pg. 130)


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24:: Las monedas s tienendos caras

Profesor: Hoy da veremos algo de probabilidades, si lanzo unamoneda, Cul ser la probabilidad de que caiga cara?

Eusebio: Me imagino que eso depender de la forma en quelance la moneda. He odo decir que algunosapostadores saben lanzar una moneda de manera queno d vueltas.

Miguel: Si la moneda es lanzada correctamente la probabilidades 1/2.

Teresa: Yo tambin he odo decir eso; pero no tengo claro quesignifica que la probabilidad sea 1/2.

Carlos: Eso quiere decir, que si lanzas la moneda varias veces,

la mitad de las veces caer cara y la mitad de las vecescaer sello, No es cierto, profesor?

Profesor [sacando una moneda del bolsillo]: Veamos [lanza lamoneda seis veces y va diciendo el resultado]: cara,cara, sello, cara, sello, cara. Parece que no es cierto loque Ud. dice, Carlos.

Leonor: Pero seis veces es muy poco. Hay que seguir lanzandola moneda. Cuando estaba en primaria, a veces

jugbamos a lanzar las monedas. Nunca sala el mismonmero de caras y de sellos; pero casi siempre salancantidades casi iguales. Yo estoy hablando de unos 200lanzamientos..

Carlos: Qu manera de perder el tiempo!


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Profesor: No creo que eso haya sido perder el tiempo. Lasprobabilidades se entienden experimentando con

monedas, dados; y ahora, con computadoras.Eusebio: Si el nmero de caras y de sellos no son iguales Por

qu se dice que la probabilidad es 1/2?

Profesor: Esa es una cuestin muy interesante. Supongamos quelanzamos una moneda N veces, y que nc veces sale cara,mientras que ns veces sale sello. Entonces N = nc +

ns. Pongan atencin: el cociente nc /N NO es laprobabilidad de que la moneda caiga en cara. Esecociente VA A SER la probabilidad de que la monedacaiga en cara CUANDO el nmero de lanzamientos, N,sea terriblemente grande.

Carlos: Terriblemente grande! Eso no lo va a hacer nadie!

Profesor: Es cierto. Aunque ahora las computadoras puedensimular esos lanzamientos, millones de veces. Pero loque quera decirles es que si N es grande, aunque nosea terriblemente grande, el cociente nc /N esaproximadamente igual a 1/2. El resultado es mejorcuanto ms grande sea N.

Eusebio: Pero eso no suena muy matemtico.

Profesor: Lo que pasa es que en matemticas se trabaja con unmodelo que se aproxima al hecho real. Eso siempre es as,en la relacin entre la matemtica con el mundo real.

Leonor: Ah, ahora veo el asunto. Como les cont casi siemprenos resultaba casi el mismo nmero de caras que desellos. Esta noche, en mi casa, voy a lanzar una moneda

mil veces...


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Carlos: A m me interesa mucho el asunto. Si quieres teayudo...

Leonor: Listo! Invito a todos los que quieran venir. Aspodremos hacer muchos ms lanzamientos.

Profesor: Esa es una magnfica idea. Siempre hay que tratar deentender las cosas hacindolas.

Teresa: Pero Cmo es el asunto cuando se lanzan dos o tresmonedas?

Profesor: En esos casos hay que analizar todas las posibilidades.Por ejemplo, con dos monedas los resultados pueden serdos caras, dos sellos y una cara y un sello.

Eusebio: Es entonces la probabilidad (c,c) igual a 1/3?

Profesor: No; la probabilidad de (c,c) resulta ser 1/4.

Carlos: Pero si slo hay tres posibilidades; Ud. mismo lasmencion.

[Es 1/3 o es 1/4?]

(ver pg. 131)

25:: El club verix y el clubmentix

Profesor: Algunos de ustedes ya estn enterados que en elcolegio se han formado dos nuevos clubes, el ClubMentix, de los que siempre mienten cuando responden

a una pregunta, y el Club Verix, de los que siempre


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responden la verdad. Ayer despus de clase me hereunido con algunos de ellos, para preparar la

presentacin de un problema. A ver, Ral, Mara, Pedro,Zoila, Esteban; acrquense, por favor.

[Los nombrados salen y se ponen en fila delante de laclase, en orden alfabtico, comenzando por laizquierda: Esteban, Mara, Pedro, Ral y Zoila]

Esteban Mara Pedro Ral Zoila

.ig 7 Cinco personas van ser interrogadas por un detective

Profesor: Yo voy a plantear tres preguntas; y ustedes por lasrespuestas que oigan deben descubrir a cul clubpertenece cada uno de los cinco. Deben saber que dosde ellos pertenecen al Club Verix y tres al Club Mentix.[a Esteban]: A qu Club pertenece Ud.?

Esteban: Ich spreche kein Spanisch

[a Mara]: Qu ha dicho Esteban? No lo entend.Mara: Dijo que perteneca al Club Mentix.

[a Pedro]: A qu club pertenecen Esteban y Mara?

Pedro: Esteban pertenece al Verix, Mara al Mentix.

[Esteban pertenece al Club .....]

(ver pg. 133)


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26:: Una de las monedas esfalsa

Profesor: Miren estas 16 monedas; todas tienen la mismaapariencia, y no voy a permitir que Eusebio las marque.Pero una de las monedas es falsa, pesa un poco menosque las otras. Por otra parte, aqu tengo una balanzade platillos, sin pesas. El problema es, pesando lasmonedas, descubrir cul es la moneda falsa.

.ig 8 Una balanza de platillos y una moneda falsa.

Carlos: Yo cogera dos monedas; pondra una en cada platillo.Si una de ellas pesa menos se aclar el misterio.

Leonor: Y si no tienes tanta suerte?

Carlos: En ese caso separo una de ellas, y la otra la comparocon una tercera moneda..

Leonor: Qu tontito! Para qu vas a volver a pesar una de lasmonedas anteriores? Si las primeras pesaron lo mismo,entonces ninguna de ellas es al moneda falsa.

Carlos: Ah, es verdad! Entonces cojo dos nuevas monedas y

comparo sus pesos. Si tengo suerte se resolvi elasunto; sino, vuelvo a tomar dos nuevas monedas. Esdecir, puedo resolver el misterio en por lo menos una

pesada y, a lo ms en ocho pesadas, No es as profe?


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Miguel [adelantndose a la respuesta del profesor]: Se meocurre que podramos poner 8 monedas en cada

platillo...Teresa: Ocho en cada platillo, y si pesan lo mismo?

Luca: Qu chistosa; no podran pesar lo mismo !

Teresa: Cmo? Ah, claro. Qu tonta he sido! En el platillo quepesa menos deber estar la moneda falsa. Claro!

Leonor: Entonces bastan cuatro pesadas!

[Slo 4?]

(ver pg. 133)

27:: Un caso para la regla detres

Leonor y Carlos estn paseando. Pasan por un taller donde hay unasierra automtica cortando unos tubos en pedazoschicos. Se detienen a mirar la operacin de la mquina.

Carlos[al chico que est cuidando la sierra]: Cunto se demorala mquina para cortar un pedazo de tubo?

.ig 9Cortando un tubo.


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Chico: Esta sierra corta los tubos en cuatro pedazos del mismotamao, y se demora justo 15 minutos. Es una sierra

muy precisa. Pero ahora se va a demorar ms con esostubos que vienen. Los tiene que cortar en cincopedazos.

Carlos: Entonces, de acuerdo con la Regla de Tres, ahoradeber demorarse 5 15/4, o sea 18 minutos y 45segundos.

Chico: No s que ser la regla de tres; pero cuando corta lostubos en cinco partes, se demora 20 minutos.

[Ese chico debera ir al colegio! O?]

(ver pg. 134)

28:: Los rodillos ruedan

Profesor: Aqu tengo dos lpices cilndricos y una regla delongitud L. Sobre el escritorio coloco los dos lpices,paralelos entre s, a una distancia de L/2 entre ellos,como ustedes pueden ver:

.ig 10 Una regla apoyada en dos lpices que sirven de polines.

A BBA

Posicin inicial Posicin final

a b


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Sobre los lpices apoyo la regla, de manera que elextremo derecho de la misma se apoye apenas sobre el

lpiz de la derecha, Ven?Ahora, usando los lpices como polines, voy a hacer

rodar la regla hacia la derecha, hasta que el extremoA quede justo sobre el lpiz de la izquierda.

Debo aclarar que la regla no debe resbalar sobre loslpices, ni stos deben resbalar, sino rodar, sobre la

mesa. Pregunta: Cunto avanzar la regla, desde suposicin inicial hasta su posicin final?

(ver pg. 135)

29:: No le creas; te est

engaando

Un grupo de estudiantes en una heladera. Se acercan 3estudiantes de otro saln.

Carlos: Esos tres chicos que vienen all pertenecen a los clubesde los Verix y de los Mentix.

Luca: Ah, s; a sos los he visto en el colegio Cules de ellosson verixes?

Carlos: Eso no lo s. Es difcil saber quines de ellos son verixesy quines son mentixes. Nunca contestan claramente.Ahora que se acerquen les preguntaremos.

[Los tres al pasar cerca de la mesa saludan levantando una mano]


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Carlos: Una pregunta [a una chica de camisa roja], dimeCuntos de ustedes son verixes?

Chica de camisa roja: Zwei.

Carlos: Qu? No te entiendo [acercndose al de camisa blanca]Qu ha dicho esta chica?

Chico de camisa blanca: Ha dicho uno.

Tercer chico, de camisa azul: No le creas a ste; te est

engaando![Los otros se ren al notar el desconcierto de Carlos]

Leonor[reaccionando]: Por lo menos puedo decir que el de camisablanca y el de camisa azul pertenecen a clubsdiferentes.

.ig 11 Cules de ellos son verixes?

(ver pg. 135)

Zwei Ha dicho uno No le creas !

Rojo Blanco Azul


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30:: Que la suerte decida!

Profesor: Ahora les voy a contar un problema que tuvo un jovenamigo mo, a quien llamaremos Jorge.

Jorge viva en el centro de la ciudad, por cuya estacin principalpasaban buses que venan del sur, hacia el norte de laciudad, y buses que venan del norte, hacia el sur dela ciudad. Los buses para el norte pasabanpuntualmente cada 10 minutos, y los buses para el sur

tambin pasaban puntualmente cada 10 minutos.Todos los das cumplan el mismo horario.

.ig12 Por la estacin central pasan los buses hacia el sur cada 10 minutos, y hacia elnorte tambin cada 10 minutos.

Teresa: Haba momentos en que al mismo tiempo llegaba unbus hacia el sur y otro hacia el norte?

Profesor: Eso no suceda. Por lo menos, no le haba sucedido a

Jorge. Pero Jorge tena un problema; en una reuninhaba conocido a dos chicas por las que se sentaatrado, y a las que haba ofrecido visitar alguna vez.Una viva en el sur de la ciudad, la otra en el norte.Con el objeto de conocerlas un poco mejor se propusoir a visitarlas cada fin de semana. No sabiendo cundoir al sur ni cundo al norte, decidi dejar la eleccin

en manos del azar: Partira despus de almorzar; ira

SurNorte

Estacin

Central


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caminando, una media hora, de su casa hasta la estacincentral, y all tomara el primer bus que llegase.

Las visitas le resultaban agradables, y sigui con ellas,semanalmente, por varios meses. Pero a los diez meses,un da se dio cuenta que, de la 40 visitas realizadas,30 haban sido al sur, y slo 10 al norte. Y se sintiintrigado Qu clase de azar era se que no reparta susvisitas igualmente para el sur y para el norte?

(ver pg. 136)

31 :: Dnde estn los otrosseis soles?

[En la Av. Benavides se ha inaugurado un nuevo restaurante muymoderno]

Teresa: Espero que este almuerzo no nos resulte muy caro. Lacomida ha estado muy buena..

Luca: No creo; cuando hay inauguraciones tratan bien a losclientes. Despus ya es otra cosa.

Mara: S; ese cebiche estuvo delicioso.

Leonor: Bueno, pidamos la cuenta. Dividiremos la cuenta entrelas cuatro; as habamos acordado.

Mozo: Son 80 soles. Espero que les haya gustado el almuerzo.

[Cada una aporta con un billete de 20 soles].Muchas gracias!

Administrador[revisando la cuenta]: Ustedes deben poner ms

atencin a lo que se les dice. Les dije que hoy da haba


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un descuento especial. Esas cuatro jvenes deben serdel colegio vecino; les haremos un descuento de 10soles. Ve, antes de que se retiren, pdeles disculpas ydales el vuelto. Aprate!

[El mozo va donde la cajera para pedir que le den cambio]

Mozo [preocupado; para s mismo]: Ahora cmo hago paradevolverle a cada una un la cuarta parte de 10 soles?[Luego de dos segundos] Ah, ya s: Le devuelvo 2 solesa cada una y yo me quedar con dos soles. Con los dos

soles de vuelto se van a alegrar. [Las alcanza]Mozo: Les pido mil perdones. Ustedes son clientes especiales

y les hacemos un pequeo descuento. Aqu est elvuelto que les debo; muchas gracias por su visita.

Teresa: Oh, muchas gracias. Es un restaurante muy simptico.

Luca: S pues; as da gusto venir a un restaurante.

[Las cuatro amigas se alejan contentas]Mozo[intrigado; para s mismo]: No entiendo! Cada una de esas

chicas ha pagado slo 18 soles, 20-2 = 18; so da un totalde 72 soles. Yo me he quedado con dos soles: so da untotal de 74 soles Dnde diablos estn los otros 6 soles?

ig.13 La preocupacin del mozo, tratando de encontrar los 80 soles.

(ver pg. 137)

Ellas han pagado 18 x 4 = 72 soles; yo me he

quedado con 2 soles. Eso hace un total de74 soles. Dnde estn los otros 6 soles?


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32:: Un comejn libresco

[De visita en la Biblioteca Nacional]Teresa: En esta seccin debe haber libros muy antiguos.

Luca: Miren; all se ve una coleccin muy bonita. Uno, dos,...son 7 tomos. Siempre los arreglan as, el primer tomoa la izquierda. Pero estn muy arriba.

Carlos: Si quieres le digo al encargado para que nos losmuestre..

Leonor: No es una mala idea.

[Carlos va a buscar al encargado. Las chicas siguen admirando loslibros antiguos, entre ellos, los 7 tomos].

Teresa: Son libros gruesos, cada uno debe tener 8 9 cm de

espesor. Seguro que tambin tienen tapas gruesotas.

[Regresa Carlos con el encargado, quien est disculpndose]

Carlos: El seor dice que han puesto los libros arriba porquelos han rociado de una sustancia contra los comejenes;que han tenido muchos problemas con esos bichos.

Encargado: Ustedes nos van a disculpar. Pero hemos iniciado unacampaa contra esos animalitos que nos comen loslibros.

Luca[desconfiada]: Se comen los libros? Yo los veo enteros!

Encargado [pacientemente]: No; se los comen. Les hacen unostneles atravesndolos. Aqu le muestro un caso [coge

un libro de la parte alta de estante y lo muestra]. Miren.


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Carlos: Parecen huecos hechos a mquina!

Encargado: Ud. lo ha dicho. Yo he realizado algunos pequeos

experimentos. Los comejenes de esta seccin avanzan,comiendo, dos centmetros por da; como si fuesenmquinas horadadoras. Y no les importa si se trata depginas simples o de los cartones de las tapas...

Leonor: Esos librotes tan bonitos deben tener pastas muygruesas?

Encargado[refirindose a la coleccin de los siete tomos]: Ah s;esos librotes, como dice esta joven, miden justo 8 cmde espesor y cada tapa tiene medio cm de grosor...

Carlos [tratando de mostrar sus conocimientos]: Entonces, siun comejn partiese de la pgina uno del primer tomo,hasta la ltima pgina del sptimo tomo, se demorara

justo veintisiete das y medio..Encargado[al or su nombre]: Oh, el director me llama, adis!

Pero una cosa, jovencito, su clculo no es correcto.

ig.14 Siete tomos en un estante.

(ver pg. 137)

I II III IV V VI VII


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33:: La infalible regla de tres

Profesor: Les voy a mostrar cmo, usando la Regla de Tres, unopuede predecir una serie de cosas. Por ejemplo, elrcord mundial de los 100 metros planos (1991) es de9.86 segundos. Es decir, un corredor de nivel mundialnecesita 10 segundos para correr los 100 metrosCunto necesitar ese mismo corredor (u otro tan buenocomo l) para correr los 200 metros? Muy sencillo; laRegla de Tres lo dice: en 1 segundo recorrer 10metros; luego, para 200 metros necesitar 20 segundos.

Por si acaso, el rcord mundial de los 200 metros planos(1979) es de 19.72 segundos.

Entonces, si luego me preguntan cunto necesitar uncorredor de primer nivel para correr los 10 000 metros,

yo aplico la Regla de Tres, y sin pestaar, respondo: 1

000 segundos, es decir, entre 16 y 17 minutos. Noolviden que no se pueden dar cifras exactas; pero s,buenas aproximaciones

Pedro[en forma incontenible]: Ja, ja, ja....ja, ja, ja!

.ig 15 Si en 1 segundo se corren 10 m, en 10 segundos secorrern 100 m, y en 50 minutos se corrern 30 km.

[Parece que Pedro ha tenido un ataque de risa ?]

(ver pg. 138)

1 seg.

10 m.

10 seg.

100 m.50 min.

30 Km.


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34:: Etiquetas en desorden

Profesor: Aqu tengo tres cajas cerradas, en cuyas etiquetaspuede leerse que ellas contienen libros en castellanoy en ingls. En una etiqueta dice CAST, en otra dice

INGL, en la tercera dice CAST/INGL. Pero hay unproblema; segn he podido verificar, ninguna de lastres etiquetas est colocada correctamente.

ig.16 Tres cajas con etiquetas completamente equivocadas.

Eusebio: Pueden destaparse las cajas para verificar su contenidoy cambiar las etiquetas?

Profesor: S, Ud. puede destapar una caja y extraer de ella un

libro, slo uno. Abriendo el libro puede verificar si setrata de un libro en castellano o de uno en ingls. Laspreguntas son las siguientes: Es necesario destapar lastres cajas? Cuntas cajas es indispensable destaparpara saber cul etiqueta corresponde a cada caja?

(ver pg. 140)

CAST INGLCAST

/I

NGL


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35:: Dos pasos para adelante,uno para atrs

Profesor: Hay un pozo de 10 metros de profundidad, de paredesresbalosas. En el fondo hay un caracol que estdispuesto a salir hacia el Sol y la hierba. El caracolcomienza a subir por la pared, pero cuando se cansa,resbala, perdiendo parte de su avance...

Leonor: Sube el caracol a una velocidad constante?

Profesor: Bueno, el caracol sigue este ritmo: durante una horasube dos metros; descansa una hora y eso le cuestaresbalar un metro. Luego, en la siguiente hora vuelvea trepar dos metros, para luego, en la prxima hora,resbalar otra vez un metro. A se ritmo Cuntas horastardar el caracol en salir del pozo?

.ig 17 El caracol sube 2 metros en una hora y resbala 1metro en la hora siguiente.

(ver pg. 141)

1m

2 m

3 m

2 m

Luego de 1 hora Luego de 2 horas Luego de 3 horas Luego de 4 horas


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36:: T divides la torta y yoelijo

En la heladera. Carlos habla entusiasmado del prximo paseo queharn a Nazca. En la mesa vecina una seora lidia condos pequeos diablillos.

Seora: No; este pastel es para los dos; no sean tan glotones..

Rosita: Pero cuando parten un pastel siempre le toca a Toto

la parte ms grande..Toto: Mentiras! A m me dan el pedazo ms pequeo; y los

vivos dicen que es el ms grande..

Seora: Clmense nios! No estamos en casa. A ver, yo partirel pastel; lo partir justo por la mitad...

RositayToto [a la vez]: T siempre dices eso...!

Carlos [levantndose de la mesa]: Seora...

Leonor: Sintate; no seas loco!

Carlos [en voz baja]: No se preocupen. En mi casa mi mamusa un truco cuando reparte una torta. [Se acerca a lamesa vecina] Seora, si Ud. me permite, yo podra

ayudar.

Seora [aliviada]: Ay, muchas gracias! Estos nios soninsoportables. Lamento estarlos molestando. [A losdiablillos] All tienen, a este joven no pueden decirleque prefiere a uno de los dos...

Rosita: Seguro que va a cortarle la parte ms grande para

Toto...slo porque no es mujer como yo...


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Carlos [a Toto]: T crees que yo puedo cortar justo por lamitad?

Toto [desconfiado]: No s.

Carlos [cogiendo el cuchillo y colocndolo a un tercio delpastel]: Slo es cuestin de cortar correctamente. Estelado ser para ti...

Toto [asustado]: Pero ese pedazo es muy chiquito...

Carlos [extraado]: Muy chiquito? Acaso puedes t cortarms exactamente; justo por la mitad?

Toto [hinchndose]: Claro! Mam...

Carlos [a la mam, que observa entre interesada y alarmada]:Seora, permtale a Toto que el mismo cortecorrectamente dos mitades igualitas. [a Toto] T vas

a cortar justo por la mitad y tu hermanita va a elegirla mitad que ms le guste..

Rosita [desconfiada]: Y si corta una mitad ms grande?

Carlos: No hay problema; t te podras quedar con esa mitad.

Toto [como un chico grande]: Corto, mam?

Seora [recuperando el alma]: Corta, hijito; pero ya sabes queRosita va a elegir su mitad. T te quedars con la otra.

Toto: Claro, si las voy a cortar igualitas.

[Parece que Carlos resolvi un problema]

(ver pg. 141)


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37:: Una torta para las tres

Profesor: S; se es un viejo mtodo para resolver un problemaentre dos interesados en un pastel.

Leonor: Profesor, tenemos un problema. Teresa, Luca y yovamos a comprarnos una torta, pero no quisiramosentrar en los de reparticin Podra Ud.ayudarnos?

Profesor: Puedo intentarlo. Pero ustedes tendrn que colaborar.A m no me gustan mucho las tortas.

Teresa: Aqu est la torta y el cuchillo Cmo comenzamos?

Profesor [despus de meditar unos segundos]: Crtela Ud. entres pedazos iguales. Pero le advierto, que Ud. tendrque contentarse con el pedazo que le dejen sus amigas.

Corte Ud.

Teresa [fingiendo que corta un pastel]: Listo!, aqu estn lostres pedazos, A, B y C.

Profesor [a Luca]: A ver, elija Ud. una porcin!

Luca: Me quedara con la parte A.

Leonor: Ahora, si yo elijo la parte B o la parte C, el problemase habra terminado; la parte que quede sera paraTeresa No es cierto?

Teresa: Es cierto; yo fui la que cort los tres tercios igualitosPero si t pensaras que la parte A es la ms grande,

y tambin la quisieras?


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.ig 18 Luca elige A, Leonor elige B; C es para Teresa.

(ver pg. 142)

38:: Un mensuario eterno

[Saliendo del colegio]

Mara: Leonor Me acompaas? Quiero comprarle un regalopara mi primo. El sbado tiene cumpleaos, y no sque regalarle. Voy a tener que mirar por algo que no

cueste mucho, t sabes....

Leonor: Claro que te acompao. Llamemos a Carlos tambin;como es un regalo para un chico...

Mara [con una sonrisa cmplice]: Ah, claro.

Carlos [acercndose]: Estoy dispuesto a asesorarlas; ustedes

saben que soy un experto. Por ejemplo, por qu nocomprarle uno de esos relojes con computadora...

Mara [riendo]: Eso mismo pensaba comprar yo; pero mi papdice que los regalos entre primos deben ser tiles..

Adems, apenas tengo un par de soles, y los bancos deNueva York estn de huelga.

Carlos: Eso s es un problema!

A B C


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[Entran a una tienda de regalos, sin encontrar nadaque sea til y cueste un par de soles. Van a otra tienda...]

Carlos: Mira all, un bonito cubo! Y cuesta dos soles.Mara: Pero Qu va a hacer mi primo con un cubo?

Leonor [reaccionando]: No s que puede hacer con un cubo,pero s s que podra hacer con dos cubos...

Mara: S; para dos cubos me alcanza lo que tengo. Los comproy Qu?

Leonor: Con ellos podras hacer una especie de mensuarioeterno..

Carlos [intrigado]: Mensuario eterno?

Leonor [riendo]: T s que no sabes nada de geografa! Unmensuario es un calendario para indicar los das del mes.

Mara: Ah, creo que he visto algo as. Son dos cubos connmeros que indican el da del mes; eso s que legustara a mi primo. Los compro, pero Me ayudan aprepararlo, no?

Leonor: La verdad es que nunca he pensado en el asunto. Encada cubo se deben pintar los nmeros correctamente,para que puedan aparecer todos los nmeros del 1 al

31. Pero no creo que sea una cosa muy difcil.

.ig 19 Los dos cubitos indican el da 23.

(ver pg. 143)

2 3


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39:: Un cuadrado mgico

Profesor: Como tarea para la casa les dejo la construccin de uncuadrado mgico de 3 por 3, cuya suma de filas d 15,la suma de columnas d 15, y las sumas en lasdiagonales mayores d tambin 15.

Carlos: Uf, van a resultar un montn de ecuaciones No hayalguna sugerencia?

Profesor: Est bien. En el centro va el 5.

.ig 20 La suma de las filas, la suma de las filas y la suma de las diagonalesdebe ser igual a 15.

(ver pg. 143)

40:: Cunto cuesta labotella?

[En una ferretera]

Carlos: Dme, por favor, una botella de aguarrs Cuntocuesta la botella?

5


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Vendedor: Eso depende. La botella con el aguarrs cuesta 7.50;el aguarrs cuesta 6.50 soles ms que la botella Ha

trado una botella?Carlos: S; aqu est. Veo que me estoy ahorrando un sol.

Vendedor: Un sol?

[Alguien debe revisar sus matemticas!]

(ver pg. 144)

41 :: Su cuarta mentira de lasemana

[Da viernes. Salen del colegio]

Carlos: Hay gente que miente hasta por gusto!

Pamela: Lo que es yo, en esta semana, slo he mentido 3 veces.

Carlos: Ja, ja, ja. Esta es tu cuarta mentira de la semana!

Leonor: No. Eso no puede ser!

.ig 21 La cuarta mentira de Pamela?

(ver pg. 144)

En esta semana

slo he mentido 3 veces.

Ja, ja, ja, esta es tu

cuarta mentira de la semana


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42:: Un primo entre dosprimos

Profesor: Saben ustedes lo que es un nmero primo?

Mara: Claro, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11,.... es decir un nmeroque slo es divisible entre uno y entre s mismo.

Carlos: Pero 7 s se puede dividir entre 3, por ejemplo.

Mara: Ah, s; el cociente debe ser un entero.

Profesor: Problema: Sean p, q dos nmeros primos consecutivos.Ahora, Bajo qu condiciones el nmero r = (p+q)/2

ser tambin un nmero primo?.pg. 144)

43:: Zas! Apareci un cm !

Profesor: Trajeron sus tijeras y el pedazo de cartulina que lesped la clase pasada? Muy bien. Entonces corten uncuadrado de 10 centmetros de lado.

[El profesor espera revisando un libro. Luego selevanta y dibuja en la pizarra]

.ig 22 Un cuadrado seccionado en 4 partes

10

a

10

a = 15 - 3 14

a


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Profesor Listos? Ahora, con todo cuidado dividan el cuadradoen cuatro partes, como he indicado en la pizarra. Porsi acaso 14 es casi igual a 3.75.

[Contina revisando el libro, mientras los estudiantes dibujan lasmarcas pedidas]

Carlos: Estamos listos profesor. Un cuadrado de 100 cm lohemos dividido en cuatro pedazos, como est indicadoen la pizarra.

Profesor: Muy bien. Ahora, con las tijeras y con mucho cuidado,

corten el cuadrado en esos cuatro pedazos: dostringulos y dos trapecios.

Eusebio [un minuto despus]: Estamos listos, profesor.

Profesor: Bueno. Ahora junten los cuatro pedazos para formar unrectngulo.

.ig 23 Un cuadrado de 10 x 10 transformado en unrectngulo de (20-a) x (10-a).

Leonor: Ya formamos el rectngulo. Resulta ser un rectngulode 20-a centmetros por 10-a centmetros, profe.

Profesor: Ahora calculen el rea de ese rectngulo.

Teresa [despus de unos minutos]: Listo profesor, son 101 cm.

Carlos[alarmado]: Pero eso no puede ser. Tienen que ser 100 cm!

(ver pg. 145)

10

10 - a

20 - a

a

a


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44:: Hay ms intrusos queintrusas?

[Todo el colegio ha ido de campamento por un fin de semana]

Pamela: Eso no es justo. Durante el da nos hemos divertido delo ms lindo, chicas y chicos. Pero, despus de comida,a las 7 ya quieren mantenernos separados. Algunoschicos cuentan cosas interesantes...

Carlos: Se me ocurre una idea. A esa hora ya est casi oscuro.Prstennos sus sombreros y yo voy a convencer aalgunos chicos para que, despus de la comida se haganpasar como chicas. Yo voy a ser uno de ellos. Despus,a las 10 o a las 11 de la noche nos volveremos a nuestrazona, Qu les parece?

Teresa: Y si los descubren?Carlos: No te preocupes. Tendremos mucho cuidado. Pero no

se olviden de conseguir esos sombreritos.

[Cerca de la 7 de la noche. En el comedor]

Profesora: No se olviden de las rdenes de la direccin del colegio.Los chicos y las chicas, cada uno a su zona. Maanatemprano se divertirn juntos nuevamente. Aprense

ya.

[Chicos y chicas se despiden. Las chicas, con sus sombreritos decampamento van a la zona que les han designado. Loschicos salen por otra puerta]

[Cerca de las 8.30 de la noche. En la oficina del campamento]


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Un profesor: No s, me parece que faltan algunos chicos. Voy acontarlos.

Profesora: Algunos son terribles. Con tal que no les hayapasado ningn accidente.

Un profesor: Espera. Ahorita regreso.

[15 minutos despus]

Un profesor: Me dicen que como una docena de chicos se hanmetido donde las chicas, para conversar hasta quesea la hora de dormir. Aunque esos mocosos nuncatienen hora de dormir.

Profesora: Ahorita voy a sacarlos y los mando a su zona. Quchicos tan terribles!

[En la zona de las chicas]

Luca: Atencin chicas y chicos. La profesora de controlest viniendo para ac. Alguien les dijo que ustedesestaban con nosotras.

[Alarma general]

Mara: Tengo una idea. Rpido, escuchen.

[Minutos despus llega la profesora. Entre las sombras ve que un

grupo de chicos escapan corriendo].Profesora [de regreso a la oficina]: Alguien les pas la voz. Pero

salieron volando cundo me vieron llegar. Qu da!

[En la zona de los chicos]

Mara: La cosa sali bien. Ojal que, ms tarde, cuandoregresemos, no nos descubran. Pero as, entre chicos

y chicas es ms divertido.


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Pedro: La profesora vio correr a unas sombras y crey quetodos eran hombres. Ni se dio cuenta unos eran chicos

y otras eran chicas. Pero, eso s, nos cuidamos que elnmero de sombras que regresaron fuese igual alnmero de chicos que antes nos habamos colado dondelas chicas.

Leonor: Ese cuidado era necesario, por si se les hubiera ocurridocontar el nmero de alumnos en cada zona.

.ig 24 Puede haber ms Bees en la zona de la izquierda que Aes en la zona de laderecha? Inicialmente eran puras Aes a la izquierda, y puras Bees a la derecha.

[Haban ms chicos en la zona de chicas, que chicasen la zona de chicos, o al contrario?]

(ver pg. 145)

45:: Borradura inconclusa

Profesor [Recin ha entrado al saln de clase. En la pizarraaparece el nmero 4895]: Alguien sabe qu significaese nmero en la pizarra?

Eusebio: All estaba una multiplicacin que haba quedado del

da anterior; posiblemente de los de la nocturna. El

A A A B A A A A

B A A A A B B A

A A A B A A A A

B B A B B B B B

B B B B B B B B

B B B A B B B B

A B B B B B B B


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conserje estuvo borrando la pizarra, pero lo llamarony no termin de borrar todo.

Profesor [intrigado]: Una multiplicacin? Recuerda Ud. losnmeros?

Miguel: Lo que yo recuerdo es que se trataba de unmultiplicando de 3 cifras y un multiplicador tambinde 3 cifras.

Teresa: El nmero de la pizarra era la segunda suma parcial.

Las otras sumas parciales eran tambin de 3 cifras. Norecuerdo ms.

Profesor: Esto es interesante. Ustedes, con la informacin quehan dado, ya pueden reconstruir la multiplicacin.

Leonor: Verdad que eso es posible? Entonces se tratara de unamultiplicacin de la forma

* * *

* * *

* * *

4 8 9 5

* * *

.ig 25 Hallar los nmeros que han sido reemplazados por *

(ver pg. 145)


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46:: Reconstruyendo unamultiplicacin

Profesor: Acabo de acordarme de un problema similar, donde setrata de determinar los nmeros que han sidoreemplazados por las estrellitas:

* * * *

* *

* * * 2 ** * * 6 *

4

* 0 * 7 * 8

.ig 26 Ciertos nmeros han sido reemplazados por *

(ver pg. 146)

47:: Cuando la marea sube

En el puerto de El Callao; es un da feriado.

Carlos: Esos buques son grandazos. Una vez he viajado en uno

de ellos.Teresa: Cuando en el muelle no hay ms sitio, entonces

algunos barcos deben permanecer anclados. Miren se,al que le cuelga una escalerilla.....es impresionante!

Leonor: Ahora la marea est baja. Cuando sube la marea todoslos buques se elevan un poco, como si los levantara una

mano invisible.


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Carlos [riendo]: Qu imaginacin tienen algunas mujeres!Como si los levantara una mano invisible!

Leonor [un poquito enojada]: T te res de todo. Mira esaescalerilla que antes seal Teresa; la distancia entresus peldaos es de 30 cm. Ahora imagnate que lamarea sube 10 cm cada media hora, y que el ltimopeldao apenas roza el agua Cuntos peldaosquedarn sumergidos en 5 horas? A ver; usa tuimaginacin de varn.

Carlos [apaciguador]: No te enojes. Slo estaba bromeando.

Espero que no creas que no s realizar clculos simples,No?

.ig 27 Una escalerilla cuelga de la borda de un barco.

Cuando sube la marea...

[Cuntos peldaos quedarn sumergidos al cabo de 5 horas?]

(ver pg. 147)

48:: Un dilogo transparente

Jacinto y Carlos son dos matemticos. Se encuentran despus demuchos aos y van a una conocida heladera:

Jacinto: Hola Carlos, Cmo ests, hombre?

Carlos: Bien, hombre, Y t? Seguro que eres todo un padre

de familia, Cuntos hijos tienes?


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Jacinto: Eso es cierto; tengo tres hijos.

Carlos: Caramba, tres hijos! Qu edades tienen?

Jacinto: Bueno; te dir, el producto de sus edades es 36.

Carlos: Epa, Jacinto, soy matemtico; pero no soy adivino.Conociendo slo el producto de las edades no podrdeterminar las edades de tus hijos, Cunto suman esasedades?

Jacinto: Ah est lo interesante. Si te dijese cunto vale la sumade las edades, entonces tampoco podras determinarcules son las edades.

Carlos [despus de vacilar unos instantes]: Ah, caramba! Nopodras darme alguna otra ayuda?

Jacinto: S, por supuesto. El mayor de mis hijos se llama Miguel.

Carlos: No bromees, hombre! De qu me sirve saber cmo sellama el mayor de tus hijos.... un momento.... Claro,tienes razn! Ya tengo toda la informacin para saberlas edades de tus hijos.

.ig 28 Lo que dice Jacinto

[Ese Carlos parece un poco ingenuo o mentirosillo No?]

(ver pg. 147)

Tengo 3 hijos.El producto de sus edades es 36.

Conocer la suma no te servir.

El mayor se llama Miguel.


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49:: Otra multiplicacinincompleta

Carlos: Miren, encontr este problema en una revista. Comoen los otros casos, se trata de hallar los nmeros quedeben reemplazar a las estrellitas en la siguientemultiplicacin:

* * 7 *

* 7 ** * * * *

* * * 2 *

8 * 5 *

* * * * * *

.ig 29 Reemplazar las * por los nmeros adecuadosQu les parece el problema?

(ver pg. 148)

50:: Cunto es cuatro porsiete ms cinco?

Profesor: ...si ahora, para determinar el resultado final,calculamos cuatro por siete ms cinco....

Carlos: ...obtenemos treintaitrs!

Profesor: ...obtenemos cuarentaiocho!

Carlos [un poco irritado por las risas de algunos de sus compaeros]:

Cuatro por siete ms cinco es 33, profesor!


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Profesor: Cuatro por siete ms cinco es 48, Carlos!

Carlos [pudiendo contenerse apenas]: As no vale. Ud. dice a

propsito algo que es falso!

CUATRO por SIETE ms CINCO es......

.ig 30 Una cuestin de gramtica.

(ver pg. 149)

51 :: A cada uno segn lo queaporta

Es un sbado caluroso. Eusebio, Carlos y Miguel paseanconversando alegremente. Se les acerca un hombre

joven, sudoroso, con una mochila en la espalda.

Samuel: Hola, quizs ustedes puedan indicarme donde hayalgn banco en las cercanas.

Carlos: Uy, amigo; hoy da es feriado, los bancos estn cerrados.Tendrs que esperar hasta el lunes.

Samuel: Qu mala suerte! Tendr que buscar un hotel entonces.

Carlos: T eres extranjero, De cul pas?

Samuel: Soy chileno; estudiante. Estoy recorriendo los pasesdel Pacfico. Bueno, ir a buscar un hotel.

Carlos [consulta rpidamente con los otros]: Nosotros tambinsomos estudiantes. Mira que hace un calor de losdiablos. Te invitamos a tomar unos helados.


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Samuel: No me provoquen, amigos. No tengo ni un centavo enmonedas peruanas...

Carlos [otra consulta rpida]: Bah, no te preocupes; nosotroste invitamos. As podremos charlar un poco.

Samuel: Bueno, muchas gracias. Ser un alivio.

[Ingresan a una conocida heladera]

[Aprovechando que Samuel acomoda su mochila, los tres amigos

celebran un corto concilibulo]Carlos: Caramba, yo tengo slo 5 soles...

Eusebio: Yo puedo poner los 7 soles que tengo...

Miguel: Aqu tengo 10 soles. En total tenemos 22 soles; esodebe alcanzar para los cuatro. [Samuel se acerca y se

sienta junto al tro de colegiales]Samuel: He odo muchas cosas del pas de ustedes. Medicen que tiene una geografa formidable. [Se acerca elmozo]

Carlos: Triganos 4 porciones grandes; bien servidas, por favor!

[Traen los helados. Samuel cuenta sus aventuras. Eusebio, Carlosy Miguel preguntan y preguntan]

Samuel: T dijiste que ustedes eran estudiantes, Qu estudian?

Carlos: Estamos terminando la secundaria. Tenemos unprofesor que nos est aficionando a las matemticas..

Samuel: Ja, ja, ja. Eso est bueno! Yo estudio matemticas en

la universidad de Santiago. Me divierto un montn!


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[Despus de hora y media]

Carlos: Mozo, la cuenta por favor!

Mozo: Es justo 20 soles. Espero que les haya gustado loshelados y las galletas.

Samuel: Los helados estuvieron formidables. Ya me sientorefrescado.

[Carlos paga con 22 soles y le entrega el vuelto a Miguel]

Samuel: Bueno, muchachos, yo no tengo dinero peruano, peroles voy a pagar con monedas de otros pases...

Eusebio, Miguel, Carlos: No, hombre, qu ocurrencia!

Samuel: No se preocupen. Tengo un montn de monedas queme han ido quedando de mis visitas. Esas monedas yano valen. Pero pueden servir como recuerdos.

Carlos: Ah, si es as, no tenemos ms reparos.

Samuel: Hagamos las cuentas como si fusemos grandeshombres de negocios. T, Carlos, has puesto 5 soles,Eusebio ha puesto 7 soles y Miguel 8 soles.

Carlos: Lo cual hace un total de 20 soles.

Samuel: Yo voy a pagarles con 10 monedas - supondremos quetodas valen lo mismo. T, Carlos, eres un peruanohablantn, aficionado a las matemticas: Te presento elproblema de la reparticin de las 10 monedas que yovoy a pagar...

Carlos: Ja, ja, ja. Eso es facilsimo. Matemticamente la

respuesta es: 4 monedas para Miguel, quien aport 8


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soles, 3 y media monedas para Eusebio, quien aport7 soles, y 2 y media monedas para este seor, quien

aport 5 soles...Samuel: Esas son matemticas muy complicadas para m. Pero

si tus compaeros estn de acuerdo...

[Estara Ud. de acuerdo con esa reparticin?]

(ver pg. 151)

52:: Un condenado a muerte

Profesor: Para ilustrar ciertos aspectos de las probabilidades, conayuda de Luca he preparado un juicio. Carlos ha sidocondenado a muerte, pero ha apelado, y la jueza le ha

concedido ciertas posibilidades de mejorar su suerte.[Por favor, Luca, Carlos, pasen adelante]

Jueza: Mire, amigo, aqu tiene cuatro cajas, de igualapariencia, cada una conteniendo 25 bolitas:

Una contiene 25 bolitas negras, otra 25 bolitas marrones, otra 25bolitas amarillas y la cuarta, 25 bolitas blancas. Usted

puede pasar las bolitas de una caja a otra, como mejorle convenga, pero en cada caja debe haber por lo menosuna bolita.

.ig 31 Cuatro cajas, 100 bolitas y un destino.

25 bolitas

blancas

25 bolitas

amarillas

25 bolitas

marrones

25 bolitas

negras


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Reo: Cmo voy a distribuirlas? No entiendo.

Jueza: No sea impaciente y escuche. Luego que Ud. haya

distribuido las bolitas en las 4 cajas, se voltear deespaldas y yo mover las cajas cambindolas de posicin,de manera que Ud., al volverse, no pueda reconocerlas(no hay que olvidar que las cajas tienen la mismaapariencia exterior).

Reo: Pero, Podra yo poner una pequea marquita a algunade las cajas?

Jueza: Eso est completamente prohibido. Si se hace el vivoperder la vida, Ha entendido?. Siga escuchando. Paraevitarle tentaciones, el carcelero le va a vendar los ojos.Con los ojos vendados, al tacto, Ud. va elegir una de lascajas, y de ella va a extraer una bolita. Si la bolita queextrae es negra, entonces quedar libre, si es marrn

se le dar 1 ao de prisin, si es amarilla, cadenaperpetua; si es blanca deber entregar su alma a quiencorresponda.

[Otra vez en problemas!]

(ver pg. 151)

53:: Seis cajas de libros

Profesor: He estado en la biblioteca del colegio. Haban llegadoseis cajas conteniendo libros. Cuando llegu, ya lascajas no estaban completas...

Pedro: Cuntos libros quedaban en las cajas?


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Profesor: Se los dir de esta manera: Las cajas estn numeradas.Entonces:Sin contar la primera caja, haban 38 librosSin contar la segunda caja, haban 43 librosSin contar la tercera caja, haban 40 librosSin contar la cuarta caja, haban 45 librosSin contar la quinta caja, haban 46 librosSin contar la sexta caja, haban 53 libros

Profesor: Ahora calculen cuntos libros haba en cada caja.

[Son 6 ecuaciones con 6 incgnitas!]

(ver pg. 152)

54:: Pesar con pesas solo deuno y tres kilogramos

Luca [entrando en una tienda de abarrotes]: Buenos das,doa Rosa, dme, por favor, 4 kilos de arroz.

Doa Rosa: Hola Luca, Cmo ests; cmo te va en el colegio?

Luca: Bien gracias. Este ao termino mi secundaria.

Doa Rosa: elicitaciones. Es una suerte que hayas pedido slo4 kilos de arroz. Me quedan una pesa de 1 kg y otrade 3 kg, con ellas puedo pesar desde 1 kg hasta 4 kg.Mira:

.ig 32 Para pesar A=1, B=2, C=3 y D=4 kilogramos de

arroz, con pesas de 1 y 3 kilogramos.

1 A 3 B + 1 3 C 3 +1 D


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Luca: Ya veo. Cul es su problema ahora?

Doa Rosa: Es que ahora quisiera poder pesar hasta 100 kg. Me

han dicho que esta balanza puede aguantar sinproblemas. Pero no s cuntas pesas ms necesito.

Luca: Voy a pensar en el asunto. Maana le traera larespuesta.

Doa Rosa: Ay, hijita, muchas gracias.(ver pg. 153)

55:: Dos latas para acarrearaguarrs

Miguel [en una ferretera]: Buenos das, necesito 7 litros de

aguarrs, por favor.Vendedor: Esa lata que has trado Qu capacidad tiene?

Miguel: Ah, no s; me imagino que unos 10 litros.

Vendedor: El asunto es que tenemos el aguarrs en esa barrica,pero tengo slo dos latas; una es de 17 litros, la otraes de 4 litros, No quisieras comprar 17 litros de

aguarrs? As nos libraramos de un problema.

Miguel: No. Me han encargado comprar 7 litros. No importa,ir a otra ferretera. Hasta luego.

Vendedor: Lo siento mucho. Las otras latas estn con pintura.

[Miguel sale pensativo de la ferretera. De repente lanza una

exclamacin y regresa corriendo]


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Miguel: Seor, seor; con esas latas s se pueden medir 7 litros!

.ig 33 Cmo lograr 7 litros en la lata de Miguel.

(ver pg. 153)

56:: La cuadratura de la cruz

Profesor: Por favor, con la cartulina que han trado, recorten unacruz, en la que los 5 cuadraditos tengan 4 cm de lado.

.ig 34 Una cruz que tiene 5a2 unidades de rea.

Carlos: Listos, profesor!

Profesor: Ahora deben cortar la cruz en varios pedazos, para conellos construir un cuadrado.

(ver pg. 154)

Lata de Miguel 17 Litros 4 Litros Barrica

a

a

a

a

a


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57:: Un tablero de ajedrezincompleto

Carlos: Mira, estoy tratando de cubrir este tablero de ajedrezincompleto con fichas de domin. Es un verdaderoejercicio de paciencia. Ensayo una y otra forma y elasunto no me funciona.

Leonor: Tablero de ajedrez incompleto?

Carlos: S; parece que dos esquinas opuestas se rompieron, ylas han cortado del todo. Es un tablero sin dos escaques.

Leonor: Ah, s recuerdo haber ledo que a los cuadraditos sosse los llama escaques, Tienes suficientes fichas?

.ig 35 A este tablero de ajedrez le faltan dos escaques diagonalmente opuestos.

Tiene slo 62 escaques. Tambin se muestra una ficha de domin

Carlos: Por eso no hay problema. ichas me sobran.

(ver pg. 155)


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58:: Un baile con veinte parejas

[Celebrando las bodas de plata de los padres de uno de losestudiantes]

Carlos: He contado que han asistido justo 20 parejas deesposos. Sera chistoso que cada una de las seorasbailase precisamente con su esposo.

Teresa: Esa es una cuestin de probabilidades.

Carlos: Ya lo s. Deca por decir algo.

Leonor: A ti te interesa la probabilidad de que cada seora baile justo con su esposo. Yo te pregunto, Cul es la

probabilidad de que, al bailar las 20 parejas, solamente19 seoras bailen con sus respectivos esposos.

Carlos: Si se pide la probabilidad para que justamente 19seoras bailen con sus esposos, entonces ese nmerova a ser mayor que en el caso de que justo las 20seoras bailen con sus respectivos esposos.

Leonor: Siempre atolondrado!

[Cunto vale esa probabilidad?]

(ver pg. 155)

59:: Conectar nueve puntos concuatro segmentos de recta

Luca: Este profesor es bien puntual, Qu le habr pasado?

Leonor: S, es extrao. Ojal no se haya enfermado.


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Pedro: Qu les parece

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