Inversa de una matríz
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Reflexiones Matemáticas Nagua, Rep. Dom. Reflexiones Matemáticas Prof. J. Amauris Gelabert S. 829-292-9484 Inversa de una matríz. La matríz inversa de una matríz K de orden PxQ denotada por K -1 es otra matríz A del mismo orden, de forma que el producto (K).(A)=I, donde I es la matríz identidad. Es decir: I= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Cabe destacar que para que una matríz sea invertible su determinante debe ser diferente de cero. Para obtener la inversa de la matríz K, multiplicamos la matríz traspuesta de la matríz adjunta de K por el opuesto multiplicativo del determinante de k. Es decir: K -1 = K T . 1 [K] En el caso de que K sea de orden 3x3, entonces: K -1 = 1 [K] 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ejemplo 1. Halle la inversa de la siguiente matríz. A= 4 1 3 2 2 0 0 0 1 Paso 1. Calculamos el determinante de A. Det. A = 4 1 3 2 2 0 0 0 1 4 2 0 1 2 0 Det. A= 8+0+0 –(0+0+2) Det. A= 8 –2 Det. A= 6 Puesto que el determinante de la matríz A es diferente de cero, se concluye que la matríz inversa de A existe. Paso 2. Se calculan los elementos adjuntos, teniendo en cuenta que si la suma de los sub-índices es negativa el elemento cambia de signo. a11= (−1) 4 (2x1)−(0x0)=2−0=2 a12= (−1) 3 [(2x1)−(0x0)]= −[2−0]= −2 a13= (−1) 4 (2x0) –(0x2)= 0−0= 0 T a21= (−1) 3 [(1x1)−(0x3)]= − [1−0]= −1 a22= (−1) 4 (4x1)−(0x0)]= 4−0 = 4 a23= (−1) 5 [(4x0)–(0x1)]= −[0−0]= 0 Fíjate en el siguiente ejemplo, donde se muestra como hallar la inversa de una matríz de orden 3x3
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829-292-9484
Inversa de una matríz.
La matríz inversa de una matríz K de orden PxQ denotada por K-1 es otra matríz A del mismo orden, de forma que el producto (K).(A)=I, donde I es la matríz identidad. Es decir:
I= 1 0 00 1 00 0 1
Cabe destacar que para que una matríz sea invertible su determinante debe ser diferente de cero. Para obtener la inversa de la matríz K, multiplicamos la matríz traspuesta de la matríz adjunta de K por el opuesto multiplicativo del determinante de k.
Es decir: K-1 = KT. 1
[K]
En el caso de que K sea de orden 3x3, entonces: K-1= 1
[K]
1 0 00 1 00 0 1
Ejemplo 1. Halle la inversa de la siguiente matríz.
A= 4 1 32 2 00 0 1
Paso 1. Calculamos el determinante de A.
Det. A = 4 1 32 2 00 0 1
420
120
Det. A= 8+0+0 –(0+0+2)
Det. A= 8 –2 Det. A= 6
Puesto que el determinante de la matríz A es diferente de cero, se concluye que la matríz inversa de A existe. Paso 2. Se calculan los elementos adjuntos, teniendo en cuenta que si la suma de los sub-índices es negativa el elemento cambia de signo. a11= (−1)4 (2x1)−(0x0)=2−0=2 a12= (−1)3 [(2x1)−(0x0)]= −[2−0]= −2
a13= (−1)4 (2x0) –(0x2)= 0−0= 0
T
a21= (−1)3 [(1x1)−(0x3)]= − [1−0]= −1 a22= (−1)4 (4x1)−(0x0)]= 4−0 = 4
a23= (−1)5 [(4x0)–(0x1)]= −[0−0]= 0
Fíjate en el siguiente ejemplo, donde se muestra como hallar la inversa de una matríz de orden 3x3
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a31= (−1)4 (1x0)−(2x3)=0−6= −6 a32= (−1)5 [(4x0)−(2x3)]= − [0−6]= 6
a33= (−1)6 (4x2)–(2x1)= 8−2= 6 Luego la matríz adjunta es:
A= 2 −2 0 −1 4 0−6 6 6
Por lo que: AT = 2 −1 −6−2 4 6 0 0 6
En conclusión A = 1
6
2 −1 −6−2 4 6 0 0 6
=
1
3
−1
6−1
−1
3 2
3 1
0 0 1
A =
1
3
−1
6−1
−1
3 2
3 1
0 0 1
Ahora se realiza el producto (A).(A ) para verificar si el resultado de dicho producto es la matríz identidad.
4 1 32 2 00 0 1
X
1
3
−1
6−1
−1
3 2
3 1
0 0 1
4
3−
1
3+ 0,
−4
6+
2
3− 0, −4 + 1 + 3
2
3−
2
3+ 0,
−2
6+
4
3+ 0, −2 + 2 + 0
0 + 0 + 0, 0 + 0 + 0, 0 + 0 + 1
1 0 00 1 00 0 1
L.Q.Q.D.
−1
−1
−1
Realizamos el producto multiplicando las filas de la matríz A por las columnas de la matríz adjunta.
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Ejemplo 2. Halle la inversa de la siguiente matríz.
Q= 3 5 00 2 61 3 4
Paso I. Calculamos el determinante de Q.
Q= 3 5 0 0 2 6 1 3 4
3 50 21 3
Det. Q= 24+30+0 –(0+54+0) Det. Q= 54−54 Det. Q=0 Puesto que el determinante de Q es igual a cero, se entiende claramente que dicha matríz no tiene inversa. Ejemplo 3. Hallar la inversa de la matríz
B= −1 0 2 3 6 1 5 4 −8
Solución: Paso I. Calculamos el determinante de B.
Det B= −1 0 2 3 6 1 5 4 −8
−1 0 3 6 5 4
Det B= 48+0+24 − (60−4+0) Det B=72−56 Det B= 16
Recuerda: Siempre debes calcular el determinante de la matríz para saber si tiene inversa.
Para calcular este determinante se aplicó la regla de Zarrus, la cual consiste en repetir las dos primeras filas o las dos primeras columnas de una matríz 3x3, luego se multiplicaron los elementos de las diagonales, teniendo en cuenta que a la suma algebraica de los productos de las diagonales principales se le resta la suma algebraica de los productos de las diagonales secundarias.
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Paso II. Calculamos los elementos adjuntos.
a11= (−1)4 (6x−8)−(4x1)= −48 − 4= −52 a12= (−1)3 [(3x−8)−(5x1)]= (−1)(−24−5)= 29
a13= (−1)4 (3x4) –(5x6)= 12−30= −18 a21= (−1)3 [(0x−8)−(4x2)]= (−1) (0−8)= 8 a22= (−1)4 (−1x−8)−(5x2)]= 8−10 = −2
a23= (−1)5 [(−1x4)–(5x0)]= −[−4 − 0]= 4 a31= (−1)4 (0x1)−(6x2)=0−12= −12 a32= (−1)5 [(−1x1)−(3x2)]= − [−1 −6]= 7
a33= (−1)6 (−1x6)–(3x0)= −6 −0= −6
Luego la matríz adjunta es
B= −52 29 −18 8 −2 4
−12 7 −6
Por lo que la traspuesta de la adjunta es:
BT=−52 8 −12
29 −2 7 −18 4 −6
La matríz inversa de B es:
B = 𝟏
𝟏𝟔
−52 8 −12 29 −2 7 −18 4 −6
B =
−𝟏𝟑
𝟒 𝟏
𝟐
−𝟑
𝟒𝟐𝟗
𝟏𝟔
−𝟏
𝟖
𝟕
𝟏𝟔−𝟗
𝟖
𝟏
𝟒
−𝟑
𝟖
−𝟏
−𝟏
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Aplicación de la matríz inversa en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Una de las aplicaciones de la matriz inversa es que se puede utilizar para hallar la solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables. Ahora bien, para resolver un sistema de ecuaciones por matríz inversa, debemos formar una matríz con los coeficientes de las variables que aparecen en el sistema de ecuaciones y calcular su determinante teniendo en cuenta que si el determinante es igual a cero, dicha matríz no tiene inversa y por tanto el sistema de ecuaciones dado no podrá resolverse el por este método. Si tenemos una matríz A formada por los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones y tenemos los vectores K y Q, donde K es el vector que representa las variables del sistema y donde Q es el vector que representa los términos independientes, entonces se cumple que: A.K=Q, entonces:
K=A-1.Q Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por matríz inversa. 3x+5m+2k=37
4x+2m+k=21
2x+3m+4k=31
A este sistema de ecuaciones corresponde la siguiente matríz:
A= 3 5 24 2 1 2 3 4
K= xmk
y Q= 372131
Solución: Formamos una matríz con los coeficientes de las variables y calculamos su determinante.
Det A= 3 5 24 2 12 3 4
3 54 22 3
Det A= 24+10+24 –(8+9+80) Det A=58 −97 Det A= −39
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Buscamos los elementos adjuntos para formar la matríz de cofactores. a11= (-1)2 (8−3)=1(5)= 5 a12= (-1)3 (16−3)= (-1)(14)= −14 a13= (-1)4 (12−44)=1(8)= 8 a21= (-1)3 (20−6)= (−1)(14)= −𝟏4 a22= (-1)4 (12−4)= (1)(8)= 8 a23= (-1)5 (9−4)=( −1)(−1)= 1 a31= (-1)4 (5−4)= (1)(1)= 𝟏 a32= (-1)5 (3−8)= (−1)(−5)= 5 a33= (-1)6 (6−20)=(1)(−14)= −14 Con estos elementos formamos la matríz adjunta de A.
A= 5 −14 8−14 8 1 1 5 −14
Escribimos ahora la matríz traspuesta de la adjunta.
AT= 5 −14 1−14 8 5 8 1 −14
Ahora aplicamos la fórmula A-1 = AT. 1
[A]
A-1 = 𝟏
−𝟑𝟗
5 −14 1−14 8 5 8 1 −14
A-1 =
𝟓
−𝟑𝟗
𝟏𝟒
𝟑𝟗
−𝟏
𝟑𝟗𝟏𝟒
𝟑𝟗
−𝟖
𝟑𝟗
−𝟓
𝟑𝟗−𝟖
𝟑𝟗
−𝟏
𝟑𝟗
𝟏𝟒
𝟑𝟗
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Luego de hallar la matríz inversa, entonces debe cumplirse que:
K=A-1.Q
Por lo que:
xmk
=
5
−39
14
39
−1
3914
39
−8
39
−5
39−8
39
−1
39
14
39
. 372131
=
−185
39+
294
39−
31
39518
39−
168
39−
159
39−296
39+
21
39+
434
39
= 253
La solución del sistema es: 𝑥 = 2𝑚 = 5𝑘 = 3
Ejemplo 2.
Resuelve por matríz inversa el siguiente sistema de ecuaciones. 2x+3y+z=5
x+2y+4z=10
2x+y+5z=11
Se organizan los elementos del sistema en una matríz y dos vectores, uno correspondiente a las variables y el otro correspondiente a los términos independientes.
Q= 2 3 11 2 42 1 5
K= 𝑥 𝑦 𝑧
R= 5
1011
Ahora calculamos el determinante de Q
𝑄 = 2 3 11 2 42 1 5
2 31 22 1
𝑄 =20+24+1−(4+8+15)
𝑄 = 45−27
𝑄 = 18.
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Ahora buscamos los elementos adjuntos.
a11= (-1)2 (10−4)=1(6)= 6 a12= (-1)3 (5−8)= (-1)(−3)= 3 a13= (-1)4 (1−4)=1(−3)= −3 a21= (-1)3 (15−1)= (−1)(14)= −𝟏4 a22= (-1)4 (10−2)= (1)(8)= 8 a23= (-1)5 (2−6)=( −1)(−4)= 4 a31= (-1)4 (12−2)= (1)(10)= 𝟏𝟎 a32= (-1)5 (8−1)= (−1)(7)= −7 a33= (-1)6 (4−3)=(1)(1)= 1 Con estos elementos formamos la matriz adjunta.
Q= 6 3 −3−14 8 4 10 −7 1
Ahora formamos la matríz traspuesta de Q
QT= 6 −14 10 3 8 −7 −3 4 1
Luego la matríz inversa de Q es:
Q-1= 1
𝑄 . QT =
1
18 .
6 −14 10 3 8 −7 −3 4 1
Q-1=
6
18
−14
18
10
183
18
8
18
−7
18
−3
18
4
18
1
18
Luego K= Q-1. R, por lo que:
K=
6
18
−14
18
10
183
18
8
18
−7
18
−3
18
4
18
1
18
. 5
1011
=
30
18−
140
18+
110
1815
18+
80
18−
77
18−15
18+
40
18+
11
18
= 0 1 2
Puesto que K= 𝑥 𝑦 𝑧
entonces: 𝑥 = 0𝑦 = 1𝑧 = 2
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Evaluación.
Evalúe las siguientes matríces y diga cuáles de ellas tiene inversa.
M= 2 1 23 0 38 7 8
N= 2 6 1−1 4 2 5 3 9
R= 9 −8 −24 −3 16 5 10
K= 10 1 3−2 6 0 7 4 5
Halle la inversa de las siguientes matríces.
A= 3 1 45 8 72 9 10
H= 12 1 45 8 −3−2 9 10
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando matríz inversa. 4m+2x+3b=31
5m+6x+2b=37
3m+4x+7b=52
5k−2c+3y=29
4k+3c−5y= −36
8k+2c+4y=28
¡Es hora de poner en práctica lo que aprendiste!!
