Introducción a la Inferencia Estadística · 2016. 6. 2. · Introducción a la Inferencia...
Transcript of Introducción a la Inferencia Estadística · 2016. 6. 2. · Introducción a la Inferencia...
-
Introducción a la Inferencia Estadística
Dept. of Marine Science and Applied BiologyJose Jacobo Zubcoff
-
Modelos de Regresión Simple
• Que tipo de relación existe entre 2 variables• Predicción de valores a partir de una de ellas
• Variable Explicativa, Predictor o Independiente• Variable Dependiente
-
Estudio conjunto de dos variables
• Datos de dos variables de una muestra.– En cada fila tenemos los datos de un individuo– Cada columna representa los valores que toma una
variable sobre los mismos.– Las individuos no se muestran en ningún orden
particular.
• Las observaciones pueden ser representadas enun diagrama de dispersión
• Nuestro objetivo será intentar reconocer a partirdel mismo si hay relación entre las variables, dequé tipo, y si es posible predecir el valor de unade ellas en función de la otra.
...
163
176
166
169
171
158
180
154
162
Alturaen cm.
...
68
84
54
60
66
62
78
60
61
Pesoen Kg.
-
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Diagramas de dispersión o nube de puntos
Mid
e 18
7 cm
.
Mide 161 cm.
Pesa 76 kg.
Pesa 50 kg.
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en undiagrama de dispersión.
-
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Relación entre variablesTenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en undiagrama de dispersión.
Parece q
ue el pe
so aume
nta con
la
altura
-
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Predicción de una variable en función de la otra
Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea,el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.
10 cm.
10 kg.
-
Incorrelación
30
80
130
180
230
280
330
140 150 160 170 180 190 200
Relación directa e inversaFuerte relación
directa.
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Cierta relación
inversa
0
10
20
30
40
50
60
70
80
140 150 160 170 180 190 200
Para valores de X por encima de lamedia tenemos valores de Y porencima y por debajo en proporcionessimilares. Incorrelación.
Para los valores de X mayores que lamedia le corresponden valores de Ymenores. Esto es relación inversa odecreciente.
•Para los valores de X mayores que la mediale corresponden valores de Y mayorestambién.•Para los valores de X menores que la mediale corresponden valores de Y menorestambién. Esto se llama relación directa.
-
¿Cuándo es bueno un modelo de regresión?• Lo adecuado del modelo depende de
la relación entre:– la dispersión marginal de Y– La dispersión de Y condicionada a X
• Es decir, fijando valores de X, vemoscómo se distribuye Y
– La distribución de Y, para valoresfijados de X, se denomina distribucióncondicionada.
– La distribución de Y,independientemente del valor de X, sedenomina distribución marginal.
• Si la dispersión se reducenotablemente, el modelo de regresiónserá adecuado.
150 160 170 180 190
32
03
40
36
03
80
40
04
20
y
32
03
40
36
03
80
40
04
20
32
03
40
36
03
80
40
04
20
32
03
40
36
03
80
40
04
20
32
03
40
36
03
80
40
04
20
r= 0.415 r^2 = 0.172
150 160 170 180 190
35
03
60
37
03
80
39
0
y
35
03
60
37
03
80
39
03
50
36
03
70
38
03
90
35
03
60
37
03
80
39
03
50
36
03
70
38
03
90
r= 0.984 r^2 = 0.969
-
Ejemplos de correlaciones positivas
r=0,1
30
80
130
180
230
280
330
140 150 160 170 180 190 200
r=0,4
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140 150 160 170 180 190 200
r=0,8
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
r=0,99
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
-
Ejemplos de correlaciones negativas
r=-0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,7
0
10
20
30
40
50
60
70
80
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,95
0
10
20
30
40
50
60
70
80
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,999
0
10
20
30
40
50
60
70
80
140 150 160 170 180 190 200
-
Modelo de regresión lineal simple• En el modelo de regresión lineal simple, dado dos
variables– Y (dependiente)– X (independiente, explicativa, predictora)
• buscamos encontrar una función de X muy simple(lineal) que nos permita aproximar Y mediante– Ŷ = b0 + b1X
• b0 (ordenada en el origen, constante)• b1 (pendiente de la recta)
• Y e Ŷ rara vez coincidirán por muy bueno que sea elmodelo de regresión. A la cantidad– e = (Y-Ŷ) se le denomina residuo o error residual.
-
0
30
60
90
120
150
180
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Regresion lineal: ejemplo de las alturas (padres e hijos):
Ŷ = b0 + b1X• b0=85 cm• b1=0,5
b0=85 cm
b1=0,5
-
0
30
60
90
120
150
180
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Regresion lineal
• La relación entre las variables no es exacta =>– Cuál es la mejor recta que sirve para predecir los valores de Y
en función de los de X– Qué error cometemos con dicha aproximación (residual).
b0=85 cm
b1=0,5
-
• El modelo lineal de regresión se construye utilizando la técnica deestimación mínimo cuadrática:– Buscar b0, b1 de tal manera que se minimice la cantidad
• Σi ei2• Se comprueba que para lograr dicho resultado basta con elegir:
• Se obtiene además otras ventajas– El error residual medio es nulo– La varianza del error residual es mínima para dicha estimación.– Traducido: En término medio no nos equivocamos. Cualquier otra
estimación que no cometa error en término medio, si es de tipo lineal,será peor por presentar mayor variabilidad con respecto al error medio(que es cero).
Regresión lineal
-
Interpretación de la variabilidad en Y
YEn primer lugar olvidemos que existela variable X. Veamos cuál es lavariabilidad en el eje Y.
La franja sombreada indica la zonadonde varían los valores de Y.
Proyección sobre el eje Y = olvidar X
-
Interpretación del residuoYMiremos ahora los errores de predicción
(líneas verticales). Los proyectamos sobre eleje Y.
Se observa que los errores de predicción,residuos, están menos dispersos que lavariable Y original.
Cuanto menos dispersos sean losresiduos,mejor será la bondad del ajuste.
-
Modelos de Regresión Simple
• Modelo Lineal o Recta de Regresión
XY !" +=
Método de Mínimos Cuadrados
XXYE !" +=)(
2
11
2 ))(( XYn
i
i
n
i
i!"# +$=%%
==
-
Modelos de Regresión Simple
XbYa !=
2
1
2
1
1
22
1
)(
))((
X
XY
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
S
S
XX
YYXX
XnX
YXnYX
b =
!
!!
=
""""
#
$
%%%%
&
'
!
!
=
(
(
(
(
=
=
=
=
Fórmula para la estimación por Mínimos Cuadrados
Varianza Residual de Y para cada valor de X
( )2221
22
..2
1))((
2
1XY
n
i
iiXYSbS
n
nbXaY
nS !
!
!=+!
!= "
=
-
Modelos de Regresión Simple
( )!"#
$%& +!
"#$
%&'=
''
'...,
12
,2
1 .. btbInS
S
nX
XY
((
)
2,2
..
0 1)(!
"#
<##
n
XY
Xt
S
nSb
Intervalo de confianza para el coeficiente
Contraste de Hipótesis
!"#
$
=
01
00
:
:
%%
%%
H
H
-
Modelos de Regresión Simple
( )!"
#$%
&++!
"#
$%& ++'+=
'
'
'
' ...,)1( 0)1()(1
..2
,20
12
20
0bxaStbxaI
XSn
Xx
nXYny ((
2
2
20
,2
)1(
)(1..
00
)(
)(!
µ"
"
"
<+
"+n
Sn
Xx
nXY
t
S
bxa
X
Intervalo de predicción para un nuevo valor de Y dado X0
Contraste de Hipótesis
!"#
$+
=+
01
00
:
:
µ%&
µ%&
XH
XH
-
Modelos de Regresión Simple
!
2
X
XY
S
Sb =
YX
XY
SS
Sr =
Medidas de Bondad de Ajuste
Estiman y !Por tanto
rS
Sb
X
Y= !"
"#
X
Y=
-
Regresion LinealProblema
-
Regresion LinealSe desea saber si existe relación lineal entre el peso del recién nacido y el nivel de estriol en su madre.
7 2500 9 25009 2500 12 270014 2700 16 270016 2400 14 300016 3000 16 310017 3000 19 310021 3000 24 280015 3200 16 320017 3200 25 320027 3400 15 340015 3400 15 350016 3500 19 340018 3500 17 360018 3700 20 380022 4000 25 390024 4300
-
Regresión Simple
XbYa !=
2
1
2
1
1
22
1
)(
))((
X
XY
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
S
S
XX
YYXX
XnX
YXnYX
b =
!
!!
=
""""
#
$
%%%%
&
'
!
!
=
(
(
(
(
=
=
=
=
Varianza Residual de Y (Error tipico de estimacion) para cada valor de X
( )2221
22
..2
1))((
2
1XY
n
i
iiXYSbS
n
nbXaY
nS !
!
!=+!
!= "
=
Con las expresiones de b y a calculamos los coeficientes y cte.
-
Regresion Lineal
Covarianza / Varianza(X)
-
Regresion Lineal
-
Asociación entre variables continuas
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal
-
Regresion Lineal