Introduccion a GeoGebra

Mariano Gonzalez Ulloa

Febrero de 2015

1. Introduccion

En el metodo tradicional de ensenanza de la Geometrıa se construyen objetos geometricosestaticos los cuales no permiten hacer modificaciones instantaneas en sus condiciones iniciales,de manera que se pueda obtener soluciones mas generales de un determinado problema. Lainclusion de la tecnologıa y los sistemas computarizados en el proceso de ensenanza apren-dizaje y en particular en la simulacion de construcciones geometricas usando regla y compas,ha obligado a los docentes a replantear su metodologıa de ensenanza de la Geometrıa, ya quecon el uso de programas de Geometrıa Dinamica (GD) los objetos geometricos ya no son masestaticos sino mas bien son dinamicos, ya que permiten hacer modificaciones en las condicionesiniciales del objeto y ver, en tiempo real, los resultados que originan tales cambios, hecho quepermite a los usuarios de estos programas a disponer de mayor informacion de los objetosconstruidos.

Con el uso de programas de GD tanto el profesor como los alumnos tienen mayor libertadpara hacer conjeturas sobre la o las soluciones de un problema, verificar resultados e inclusocrear modelos matematicos a partir de casos particulares. Ademas, teniendo la posibilidad deconstruir un objeto geometrico de varias maneras, permite que el estudiante amplıe su panora-ma de conocimientos respecto al tema en estudio.

Teniendo en cuenta las razones expuestas en los parrafos anteriores, me parece apropiadosugerir el uso de un software de GD en la ensenanza de la Geometrıa; y con la finalidad de noligarse a un software comercial, que exige la adquisicion de una licencia, es conveniente el usode un software de uso libre como es GeoGebra.

2. Objetivos

Al finalizar el taller los participantes estaran en condiciones de:

Conocer el manejo y uso del programa de Geometrıa Dinamica GeoGebra para realizarconstrucciones geometricas tanto en el plano como en el espacio tridimensional.

Plantear problemas y resolverlos usando los programas de GD y justificando analıtica-mente que el valor hallado es el esperado.

Mostrar el transito entre representaciones grafica, algebraica y verbal de algunos objetosmatematicos.

Usar un software de GD como una herramienta didactica que ayude a reforzar losconocimientos de los temas de Geometrıa en el plano.

Simular las construcciones tradicionales usando regla y compas en un ambiente de GD.

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3. Instalando GeoGebra

El programa GeoGebra es un software interactivo de uso libre, creado por Markus Hohen-warter en la Universidad de Salzburgo (Austria) en el ano 2001, sirve para desarrollar GD, estaescrito en Java lo cual hace posible su ejecucion en multiples plataformas y esta disponible enInternet, en la direcccion:

http://www.geogebra.org/download

Si desea tener una copia, descarge el programa e instalelo en su computadora, luego de lo cualtendra en su pantalla un ıcono como el mostrado en la figura 1.

Figura 1: Logo de GeoGebra

Observacion 3.1 Esta separata se ha desarrollado usando GeoGebra version 5.0.56.0-3D

4. Revision de las opciones de GeoGebra

Ejecute el programa, luego tendra una ventana como la que se muestra en la figura 2.

Figura 2: Pantalla inicial de GeoGebra

Aquı, como puede observar, en la segunda fila de la parte superior de dicha ventana, se tieneuna lista de nombres de opciones para el manejo de archivos, en la tercera fila se tiene una listade ıconos que al hacer un clic, con el boton izquierdo del mouse, en cada uno de ellos se de-spliega una lista de opciones que representan objetos geometricos disponibles para el usuario.En la parte central se tiene dos ventanas con tıtulos Vista Algebraica y Vista Grafica,respectivamente. Finalmente, en la parte inferior tiene una ventana alargada con el nombre de

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Entrada:, en ella podra ingresar expresiones matematicas y funciones disponibles en GeoGe-bra y tambien definidas por el usuario.

Para ocultar o mostrar el sistema de coordenadas, con el puntero en un punto de la ventanaVista Grafica, haga un clic en el boton derecho del mouse, despues de lo cual tendra unapequena ventana como la que se muestra en la figura 3, luego haga un clic en la opcion Ejes.

Figura 3: Ocultar los ejes coordenados

En esta sesion se hara una breve descripcion de las multiples opciones de las que disponeGeoGebra con la finalidad de que el participante se familiarice con la ubicacion y con el objetogeometrico que representa cada opcion.

Por ejemplo, elija (haga un clic en el boton izquierdo del mouse) el ıcono que contiene el

sımbolo ./. y luego, en la ventana Vista Grafica, haga un clic en dos puntos distintos, con

lo cual tendra la recta que pasa por dichos puntos (figura 4). Observe, tambien, que en laventana Vista Algebraica tiene los puntos seleccionados, con un nombre y sus respectivascoordenadas, por donde pasa la recta y la correspondiente ecuacion de la recta.

Figura 4: Construccion de una recta

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Si requiere de ayuda para el uso de las opciones de GeoGebra ingrese a la direccion

http://wiki.geogebra.org/es/Manual:P %C3 %A1gina Principal

donde encontrara el manual del programa.

4.1. Actividad

Construccion de un segmento de recta conociendo su longitud.

Siga la siguiente secuencia:

Con la opcion Punto construya un punto.

Elija la opcion Segmento de longitud dada , haga un clic en el punto construido,ingrese la longitud del segmento, por ejemplo 4.5 (por omision la unidad de longitud esel centımetro) y luego presione OK. Ver figura 5

Figura 5: Segmento de recta conociendo su longitud

Observacion 4.1 El sistema, de manera automatica, le asigna un nombre a cada nuevo objetoconstruido. Estos nombres se hacen de manera correlativa de acuerdo al alfabeto, los mismosque se pueden cambiar. Para ello, senalando el objeto haga un clic en el boton derecho delmouse y luego active la opcion Renombra. Renombre el objeto y presione OK.

4.2. Actividad

Construccion de una circunferencia conociendo su centro y la longitud de su radio.

Siga la siguiente secuencia:

Construya un punto que sera el centro de la circunferencia.

Con la opcion Circunferencia (Centro, radio) haga un clic en el punto construido,ingrese la longitud del radio (por ejemplo 5 cm) y presione OK (figura 6).

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Figura 6: Circunferencia conociendo la longitud de su radio

Senalando el centro de la circunferencia y manteniendo presionado el boton izquierdo delmouse arraste la circunferencia.

Observacion 4.2 Una de las caracterısticas mas importantes de los sistemas de GD es elarrastre, hecho que permite darle “vida” a los objetos geometricos.

4.3. Actividad

Desplazamiento de un punto en un objeto. Un objeto en GeoGebra es una figura: circun-ferencia, segmento, recta, semirrecta, vector, triangulo, etc.

Para visualizar el desplazamiento de un punto, por ejemplo en una circunferencia, desarrollela siguiente secuencia:

Con la opcion Punto en objeto elija un punto en la circunferencia construida en laactividad 2.

Senalando el punto elegido en la circunferencia, haga un clic en el boton derecho delmouse y elija Animacion .

Observacion 4.3 En la parte inferior izquierda de la ventana vista grafica tiene el sımbolo

con el cual podra detener el movimiento y con el sımbolo B podra reiniciar la animacion.Repita esta actividad considerando, en lugar de una circunferencia, un segmento de recta,

una semi-recta, un triangulo, una poligonal.

4.4. Actividad

Construccion de algunos objetos geometricos.

1. Una semirectaUse la opcion Semirrecta

2. Un trianguloElija la opcion Polıgono, haga un clic en tres puntos distintos y termine con un clic enel punto inicial.

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3. Circunferencia que pasa por tres puntosUse la opcion Circunferencia por Tres Puntos y haga clic en tres puntos distintos.

4. Arco de circunferencia que pasa por tres puntosElija la opcion Arco Tres Puntos y haga clic en tres puntos distintos.

4.5. Actividad

Longitud y area

1. Longitud de un segmentoConstruya un segmento y use la opcion Distancia o Longiutd para hallar la longitudde dicho segmento.

2. Perımetro de un trianguloConstruya un triangulo, elija la opcion Distancia o Longiutd y haga un clic en unpunto interior del triangulo para obtener su perımetro.

3. Area de una region triangularElija la opcion Area y haga un clic en un punto interior del triangulo construido en elejemplo anterior.

4. Construya el triangulo ABC conociendo los siguientes datos: ∠A = 30◦, AB = 5cm,AC + CB = 11cm.

5. Construcciones con regla y compas versus GeoGebra

En las tres siguientes actividades se desarrollara procedimientos para simular construccionescon regla y compas.

5.1. Actividad

Mediatriz de un segmento.

Siga la siguiente secuencia:

Construya un segmento AB.

Con la opcion Compas construya circunferencias con centro en cada uno de los extremosdel segmento y radio igual a la longitud del segmento.

Elija la opcion Interseccion y haga un clic en cada una de las circunferencias paramarcar los puntos de interseccion de dichas circunferencias.

Con la opcion Recta construya la recta que pasa por los puntos de interseccion de lascircunferencias. Dicha recta es la mediatriz del segmento AB. Ver figura 7.

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Figura 7: Mediatriz de un segmento

5.2. Actividad

Bisectriz de un angulo.

Siga la siguinete secuencia:

Construya un angulo A.

Construya una circunferencia con centro en A.

Determine los puntos de interseccion de la circunferencia con los lados del angulo. Nom-brelos con E y F, respectivamente.

Construya las circunferencias con centro en E y F, respectivamente, que pasan por elpunto A.

Senale los puntos de interseccion de estas ultimas circunferencias.

Trace la semi-recta que pase por los dos ultimos puntos marcados partiendo del puntoA. Esta semi-recta es la bisectriz del angulo A. Ver figura 8

5.3. Actividad

Triseccion de un segmento (division de un segmento en tres partes iguales).

Siga la siguiente secuencia:

Construya un segmento AB

Construya una semi-recta con origen el epunto A y llamele L .

Construya una circunferencia con centro en el punto A y radio R.

Marque el punto de interseccion de L con la circunferencia y llamele E.

Construya la circunferencia con centro en el punto E y que pase por el punto A.

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Figura 8: Bisectriz de un angulo

Marque el punto de interseccion de L con la ultima circunferencia construida y llameleG.

Construya la circunferencia con centro en el punto G y que pase por el punto E.

Marque el punto de interseccion de L con la ultima circunferencia constrida y llamele I.

Trace el segmento BI.

Trace las rectas paralelas a BI que pasan por los puntos G y E, respectivamente.

Marque los puntos de interseccion de las rectas con el segmento AB.

Los ultimos puntos marcados, en el segmento AB, son los puntos de triseccion del segmentoAB. Ver figura 9.

Figura 9: Trisecccion de un segmento

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6. Construccion de lugares geometricos

6.1. Actividad

Construccion de un lugar geometrico.

Para mostrar como se usa la opcion Lugar geometrico, construya una circunferencia concentro C y elija un punto A en dicha circunferencia (punto en objeto). Fije un punto B enel exterior de la circunferencia. Llame P al punto medio del segmento AB. Grafique el lugargeometrico que genera el punto P cuando el punto A se desplaza en la circunferencia.

Para realizar la construccion siga la siguiente secuencia:

Construya una circunferencia con centro C y radio 4.

Usando la opcion Punto en objeto elija un punto en la circunferencia.

Con la opcion Renombra nombrar con A al punto recien elegido.

Con la opcion Punto construya un punto en el exterior de la circunferencia C y luegonombrelo con la letra B.

Con la opcion Punto medio o Centro determine el punto medio del segmento AB ynombrelo con la letra P.

Elija la opcion Lugar geometrico, haga un clic en el punto P y luego otro clic sobreel punto A. Automaticamente se tendra el lugar geometrico generado por el punto Pcuando A se mueve en la circunferencia. Ver figura 10.

Figura 10: Construccion de un lugar geometrico

7. Construccion de nuevas herramientas

Una macro en GeoGebra se denomina Herramienta y es la automatizacion de un procesopara la construccion de un determinado objeto.

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Las macros son herramientas muy utiles en la construccion de figuras complejas donde setiene que repetir la construccion de alguna o algunas de las piezas que conforman el objeto final.

La construccion de una macro requiere de cuatro pasos perfectamente definidos:

Hacer la construccion del objeto geometrico.

Senalar los objetos de entrada de la construccion.

Senalar los objetos de salida de la construccion.

Asignar un nombre y un ıcono al objeto construido.

Para definir una macro primero se debe construir el objeto correspondiente, a continuacionelegir la opcion Herramientas, luego de lo cual se tiene una ventana como la que se muestra enla figura 11, aquı se debe indicar los objetos de entrada (objetos iniciales), los objetos de salida(objetos finales), el nombre y el ıcono de la macro. Para finalizar elija la opcion concluido.

Figura 11: Opciones para una macro

A traves de ejemplos se mostrara los pasos a seguir para la construccion y el uso de unanueva herramienta de GeoGebra.

7.1. Actividad

Construccion de macros.

1. Defina macros para construir cada una de las siguientes figuras:

a) Un cuadrado a partir de su lado.

b) Un cuadrado a partir de su diagonal.

c) Tangente a una circunferencia por un punto dado de la circunferencia.

d) Tangentes a una circunferencia que pasan por un punto que esta fuera de la circun-ferencia.

2. Defina macros para hallar, en un triangulo dado: su baricentro, su incentro, la circunfe-rencia circunscrita, la circunferencia inscrita.

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3. Defina una macro para construir el triangulo equilatero a partir de un segmento comolado.

4. Defina una macro para construir la figura 12 teniendo como objeto inicial el segmentoAB.

Figura 12: Macro

8. Ejercicios

1. Dados una recta L, un punto A sobre L y un punto B fuera de L, construir el lugargeometrico de los centros de las circunferencias que pasan por B y son tangentes a L enel punto A.

2. Sea A un punto fijo y B un punto variable sobre una recta fija L. Halle el lugar geometricode los puntos P tales que el triangulo APB es equilatero.

3. Dados dos puntos fijos F1 y F2 del plano, construya el LG de los puntos P tales quela suma de la distancia de P a F1 mas la distancia de P a F2 es igual al doble de ladistancia de F1 a F2. Identifique la curva.

4. Dada una circunferencia C y un punto F en el exterior de C, construya el LG de lospuntos que equidistan de C y de F .

5. Dados dos puntos fijos P y Q y una recta fija L en el mismo plano. ¿Existe una circun-ferencia que pase por los puntos y sea tangente a la recta? Si su respuesta es afirmativa,construya la circunferencia.

6. Dada una circunferencia C y una recta L, construya el LG de los puntos que equidistande la circunferencia y la recta.

7. Dados un punto P , una circunferencia C y una recta L. Construir una circunferencia quepase por P y sea tangente tanto a C como a L.

8. Dado un punto fijo F y una recta fija L, construya el LG de los puntos que estan a unadistancia de L que es el doble de la distancia a F . Identifique la curva.

9. Dados dos puntos fijos B y M y un angulo constante θ.

a) Construir un triangulo ABC de manera que M sea el punto medio del lado AC y elangulo BAC sea igual a θ.

b) Construir el lugar geometrico que genera el vertice C.

10. En la siguiente figura se muestra un cubo con la circunferencia inscrita en la cara ABCD.Sin rotar el cubo, construir la circunferencia inscrita en la cara BCFG.

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Figura 13: Cubo y circunferencia

11. Encuentre el valor mınimo y el valor maximo de la funcion f(x, y) = 3x+ 2y + 5 sujetaa las restricciones:3x− 2y ≥ −6x+ y ≤ 63 x +8 y ≥ 20x ≥ 0, y ≥ 0

9. Conclusiones

1. Las construcciones realizadas en un ambiente de GD permiten desarrollar en el alumnohabilidades de visualizacion, comunicacion matematica, de representacion y reforzar susconocimientos de geometrıa.

2. El uso de GD permite relacionar varios aspectos de la matematica: geometrico, algebraico,logico, etc.

3. Podemos observar que los problemas que se resuelven recurriendo a este procedimientopermiten al estudiante indagar si el problema tiene mas de una solucion.

10. Referencias

[1] Bulajich R., Gomez J. A., Valdez R. Inequalities. Cuadernos de Olimpiadas Matematicas.Instituto de Matematicas. Universidad Nacional Autonoma de Mexico. 2005.

[2] Duval, R., Graficas y Ecuaciones: la articulacion de dos registros. En E. Sanchez (Ed.),Antologıa en Educacion Matematica, (pp. 125-139). Mexico: Seccion de Matematicas Ed-ucativa del CINVESTAV-IPN. (1992)

[3] Duval R. Registros de representacion semiotica y funcionamiento cognitivo del pensamien-to. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matematica Educativa II (pp. 173-201). Mexico:Grupo Editorial Iberoamerica. (1998).

[4] GeoGebra http://www.geogebra.org

[5] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Vol. III (books X-XIII and ap-pendix). Cambridge: at the University Press. 1908.

[6] Kazarinoff Nicholas D. Geometry Inequalities. The L. W. Singer Company. Yale University.United States of America. 1961.

[7] Lima, Elon L.,Geometrıa Analıtica y Algebra Lineal. Instituto de Matematica y CienciasAfines. Peru, 2004.

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[8] Moise, Edwin E., Elementos de GEOMETRIA superior. Companıa Editora Continental,S.A. Primera edicion, 1968.

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