Integrales Variable Compleja

7/30/2019 Integrales Variable Compleja

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Variable compleja para calcular integrales

racionales trigonomtricas

Juan Carlos Ponce Campuzano

[email protected]

Universidad de Colima

4 de mayo de 2013

1. Problematica

Los sistemas de computo algebraico (CAS, por sus siglas en ingles: Computer Algebraic

System) son un tipo de software que nos permiten manipular expresiones algebraicas,

graficar funciones y manipular numeros. Para el calculo de primitivas, se vuelve una

herramienta de gran valor, debido a que estan elaborados con algoritmos eficientes, los

cuales son consecuencias de resultados matematicos.

Uno de los principales problemas con esta herramienta, radica en la interpretacion de

los resultados, en particular cuando parece haber algo erroneo (Elbaz-Vincent, 2005).

1


2/22

Iniciamos mencionando la existencia de una problematica en terminos generales con

relacion al calculo de integrales, primitivas, integrales indefinidas y del Teorema Fun-

damental de Calculo.

Por ejemplo si un estudiante o profesor pretende calcular0

1

5 + 3 cos xdx

con los metodos tradicionales, seguramente procedera a encontrar una primitiva de

f(x) =1

5 + 3cos x

,

con el metodo de cambio de variable u = tan x2

. Si hace esto (seguramente), obtendra la

funcion:

F(x) =1

2arctan

1

2tan

x

2

.

Con la cual se encuentra el valor de cero para la integral.

Analicemos esto con mas detalle, pero ahora con la ayuda de la herramienta tecnologica.

Si deseamos calcular el valor de 0

1

5 + 3 cos xdx,

con ayuda de algun CAS (en este caso usamos Derive 6), nos arroja el resultado de 4 .

Si pedimos a Derive la formula general, con la cual se supone determina este valor, nos

muestra 1

5 + 3 cos xdx =

x

4 arctan

senx

cosx+3

2

.

De esta manera, usando el Teorema Fundamental, con esta funcion podemos corroborarque efectivamente

0

1

5 + 3cos xdx =

x

4 arctan

senx

cosx+3

2

0

=

4.

2


3/22

Sin embargo, en los libros de Calculo la manera expuesta para resolver la integral, es por

medio del cambio de variable u = tan x2 . Si usamos este metodo tradicional encontramos1

5 + 3 cos xdx =

1

2arctan

1

2tan

x

2

.

Al usar este resultado obtenemos0

1

5 + 3 cos xdx =

1

2arctan

1

2tan

x

2

0

= 0.

Aqu se pueden observar dos problemas. En primer lugar, nos encontramos con una

contradiccion al encontrar dos valores distintos para una integral definida; de hecho,

debido a que la funcion f(x) esta definida y es positiva en todos los reales (como se

puede apreciar en la Figura 1), el valor de la integral definida debe ser positivo.

En segundo lugar, entra en conflicto el hecho de que dos primitivas de una funci on

difieren en una constante; es decir, si H(x) y G (x) son funciones diferenciables tales

que, para toda H (x) = G (x) = g(x) en un intervalo (a, b) para una funcion g (x),

entonces H(x) y G (x) difieren en una constante en (a, b).

En este caso, los dos resultados anteriores tienen dominios distintos, si se quiere hacer

la diferencia entre ellas, tendra que considerarse un dominio comun. Este dominio

comun consiste de intervalos abiertos ajenos separados por los puntos de la forma

x = (2n + 1) , donde n es un numero entero. En cada uno de estos intervalos hay una

constante para la diferencia.

Recordemos que una funcion P(x), derivable en un intervalo, se llama funcion primitiva

de g(x), si satisface P (x) = g (x), para todos los puntos del intervalo. En estos terminos

3


4/22

la funcion

F(x) =1

2arctan

1

2tan

x

2

, (1)

(ver Figura 2 en la siguiente pagina) es primitiva de f(x) = 15+3cosx

, solo en los intervalos

de la forma

((2k + 1) , (2k + 3) ) , para k entero.

No obstante, debido a que f(x) es una funcion definida en todos los reales, lo natural

es encontrar una primitiva definida tambien en todos los reales, como es el caso de

G(x) =x

4 arctan

senx

cosx+3

2

. (2)

(ver Figura 3). En este caso, la funcion (1) cumple que F (x) = f(x) excepto en una

cantidad numerable de puntos, as que en el sentido estricto no es una primitiva de

f(x).

Sabemos de los resultados del Calculo que la integral indefinida

F(x) =

xa

f(t)dt,

con a un numero real, es continua para cualquier funcion integrable f(x). Si f(x) es

una funcion continua, entonces F(x) es una primitiva de f(x) en virtud del Teorema

Fundamental del Calculo.

Sea f(x) una funcion continua y G(x) una primitiva cualquiera de f(x). Como

F(x) =

xa

f(t)dt

4


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es tambien una primitiva de f(x), entonces

G(x) F(x) = C,

es decir

G(x) =

xa

f(t)dt + C.

De esta manera, cualquier primitiva de una funcion continua se puede expresar en

terminos de la integral indefinida mas una constante y como consecuencia debe ser

continua.

Cuando calculamos una integral definida de una funcion, en la mayora de los casos

esta funcion es continua en el intervalo de integracion, por lo que esperamos que la

primitiva de la funcion integrada sea tambien continua. Pero no siempre sucede esto.

El calculo de la primitiva es un proceso algebraico y la nocion de integral indefinida se

puede confundir con la nocion de primitiva, cuando no se especfica nada acerca de la

funcion a integrar.

La respuesta sencilla obtenida con el metodo convencional, simplemente no produce una

primitiva porque este metodo reduce el dominio de la variable . Por otra parte tanto a

nivel de textos, como de artculos de investigacion sobre la ensenanza y aprendizaje del

Calculo muestran una serie de confusiones en los terminos, primitiva, integral definida;

no se trata solo de semantica sino de un uso adecuado de la terminologa que en algunos

casos puede conducir a situaciones conflictivas como la anterior.

El fenomeno expuesto antes, puede presentarse en otras integrales como:1

5 + 3 sen xdx,

1

6 + 4 cos x + 4 sen xdx,

1

2 + 3 sen x cos xdx.

5


6/22

En general, para integrales de la forma R(sen x, cos x)dx, donde R es una funcionracional de sen x y cos x, con las siguientes particularidades:

1. Que no sea impar en sen x, ni tampoco en cos x.

2. Y que el denominador nunca se anule.

Para estos casos, algunos sistemas de computo algebraico (como Dervie 6) nos dan

primitivas definidas en todos los reales, pero al aplicar algun metodo de integracion

tradicional, expuesto en los libros de Calculo, obtenemos una funcion que es primitiva

solo en intervalos.

2. Otra manera para resolver

1a+b cos x

dx:

Supongase a2 > b2. Por conveniencia, se buscara primero la siguiente integral a2 b2a + b cos x

dx.

El integrando se puede ver de la siguiente formaa2 b2

a + b cos x=

a + b cos x (a + b cos x) + a2 b2a + b cos x

= 1 b cos x +

a a2 b2a + b cos x

.

As a2 b2a + b cos x

dx =

1 b cos x +

a a2 b2

a + b cos x

dx

=

dx

b cos x +

a a2 b2

a + b cos xdx.

6


7/22

El problema ahora es calcular la integral

b cos x +

a a2 b2

a + b cos xdx.

Haciendo el cambio de variable acostumbrado u = tan x2

, sabemos que cos x = 1u2

1+u2y

como x = 2 arctan u, dx = 21+u2 du. Entonces

b cosx +

aa2 b2

a + b cosxdx =

b1u21+u2

+aa2 b2

a + b 1u21+u22

1 + u2du

= 2

aa2 b2 + b + aa2 b2 + bu2

((a + b) + (a b)u2) (1 + u2) du.

Para facilitar los calculos se hara el siguiente renombre de variables

m = a

a2 b2 + bn = a

a2 b2 b

p = a + b

q = a b

que al sustituir tenemos

2

a a2 b2 + b + a a2 b2 + bu2

((a + b) + (a b) u2) (1 + u2) du = 2

m + nu2

(p + qu2) (1 + u2)du.

Descomponiendo en fracciones parciales el integrando obtenemos

m + nu2

(p + qu2) (1 + u2)=

n + mn1p

q

p + qu2

mn(qp)

1 + u2.

7


8/22

As que

2

m + nu2

(p + qu2) (1 + u2)du = 2

n + mn1p

q

p + qu2

mn(qp)

1 + u2

du

= 2

n + mn1 p

q

p + qu2du 2

mn(qp)

1 + u2du

= 2mq np

p

q(qp) arctan

qp

u

2m n

qp arctan u

regresando todo en terminos de a y b tenemos

2 mq nppq(qp) arctan

qpu2m n

qp arctanu = 2 a2

b2

(a b) (a + b) arctan

(a b)(a + b)

u

+2 arctanu

como a2 > b2, entonces se reduce a 2 arctan u 2 arctan

aba2b2 u

, sustituyendo el

valor de u

2 arctan

tanx

2

2 arctan

a ba2 b2 tan

x

2

De esta manera

a2

b2

a + b cosxdx =

dx b cosx + a

a2 b2

a + b cosx dx

= x 2 arctan

tanx

2

+ 2 arctan

a ba2 b2 tan

x

2

= x 2

arctan

tanx

2

arctan

a ba2 b2 tan

x

2

Y por tanto, dado que a2 > b2, tenemos

1

a + b cosxdx =

1a2 b2

x 2

arctan

tan

x

2

arctan

a ba2 b2 tan

x

2

. (3)

Esta primitiva es aparentemente continua, pero esto falso, porque evidentemente, esta

funcion no esta definida en x = (2k + 1) para cada k entero. Sin embargo, el lmite de

(3), cuando x tiende a (2k + 1), existe para cada k entero. Esto se puede justificar de

8


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la siguiente manera. Al usar las identidades

arctan x arctan y = arctan

x y1 + xy

,

sen2 x + cos2 x = 1,

tanx

2=

sen x

cos x + 1

y haciendo algunos calculos, se puede obtener

arctan

tanx

2

arctan

a ba2 b2 tan

x

2

= arctan

2b senx

2b cosx +

a b + a + b2

(4)

Sean

F(x) =1

a2 b2

x 2

arctan

tanx

2

arctan

a ba2 b2 tan

x

2

G(x) =1

a2 b2

x 2 arctan

2b sen x

2b cos x +

a b + a + b2

Usando la identidad (4) tenemos

lmx(2k+1)

F(x) = lmx(2k+1)

G(x)

= G((2k + 1)))

=(2k + 1)

a2 b2

El lmite del lado derecho existe porque la funcion G(x) esta definida en todo R. Con

lo anterior, se puede concluir que1

a + b cosxdx =

1a2 b2

x 2 arctan

2b senx

2b cosx +

a b + a + b

2

.

Aqu se debe hacer la aclaracion de que la anterior solucion, la cual es continua, se ob-

tuvo al encontrar una identidad trigonometrica adecuada. Y tambien se debe observar,

que la identidad (4) no se cumple para x = (2k + 1) con k entero.

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Nota 1: Con la formula anterior se encuentra1

5 + 3 cos xdx =

x

4 1

2arctan

sen x

cos x + 3

.

Otros resultados generales que se pueden obtener como el anterior, son los siguientes1

a + b sinxdx =

1a2 b2

2 arctan

a tan x2 + b

a2 b2

+ 2 arctan

tanx

2

x

=1

a2 b2

x + 2 arctan

2b cosx

2b sinx + a b + a + b

2

Si ba

> 11

a + b cos2 xdx =

1aa + b

x arctan (tanx) + arctan

a

a + btanx

=1

aa + b

x arctan

b sin2x

b cos2x +

a + b +a2

1a + b sen2 xdx =

1

aa + b x arctan (tanx) + arctana + b

a tanx=

1aa + b

x arctan

b sen2x

b cos2x a + b + a2

.

El anterior procedimiento se hizo para obtener una solucion definida en todo R y para

encontrar los resultados que da Derive al usar el metodo tradicional de integracion. Sin

embargo, si empezaramos usando la siguiente igualdad

1

a + b cos x=

a + b cos x (a + b cos x) + 1a + b cos x

= 1 (a 1) + b cos xa + b cos x

10


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y siguiendo un procedimiento como el que se siguio anteriormente; es decir, haciendo

el cambio de variable u = tan x2 y usando fracciones parciales, con la condicion a2 > b2,

obtendramos1

a + b cos xdx = x 2 arctan

tan

x

2

+

2a2 b2 arctan

a ba2 b2 tan

x2

.

Otros resultados generales obtenidos como este ultimo, son los siguientes:

1

a + b sin xdx =

2a2

b2

arctana tan x2 + b

a2

b2 + 2 arctantan

x

2 x.Si a

b> 1

1

a + b cos2 xdx = x arctan (tan x) + 1

a

a + barctan

a

a + btan x

y 1

a + b sin2 xdx = x arctan (tan x) + 1

a

a + barctan

a + b

atan x

1.

Como se puede apreciar, las anteriores formulas generales no estan definidas en todo R.

3. Usando variable compleja

La variable compleja es una herramienta muy util que funge como una extension del

Calculo. Muchos problemas que pueden ser complicados de resolver en Calculo resultan

muy sencillos si aplicamos la teora de variable compleja. Los resultados que se mues-tran en la seccion anterior para las primitivas continuas concuerdan si usamos variable

1Se intiva al lector a cerciorarse por s mismo de los resultados generales presentados en esta seccion;

ya sea, haciendo los calculos manualmente o usando alguna herramienta tecnologica.

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compleja para encontrar la integral definida entre 0 y de la funcion f(x) = 1a+b cosx

,

con a2 > b2. Pero para ello, primero mencionemos algunas definiciones y resultados.

Definicion 1 : Seaf continua en A C y : [a, b] C una curva suave por tramostal que ([a, b]) C. La expresion

f =

f(z)dz =n1i=0

ai1ai

f((t)) (t) dt

se llama integral de contorno.

Proposicion 1 : Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces

f =

[u(x, y)dx v(x, y)dy] + i

[u(x, y)dy v(x, y)dx] .

Demostracion:

f((t))

(t) = [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))]

[x(t) + iy(t)]

= [u(x(t), y(t))x(t) v(x(t), y(t))y(t)]+i [v(x(t), y(t))x(t) + u(x(t), y(t))y(t)]

Cuando integramos en ambos lados sobre el intervalo [ai, ai+1] con respecto a t y si

usamos la definicion 1 obtenemos lo que necesitamos.

Un hecho basico en el Calculo de funciones de variable real, es el Teorema Fundamental.

Basicamente dice que la integral de la derivada de una funci on es la diferencia entre los

valores de la funcion en los extremos del intervalo de integracion y la integral indefinida

de una funcion es una antiderivada de la funcion. En la variable compleja existe una

analoga en la integracion de trayectorias complejas.

12


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Teorema 1 : Teorema Fundamental para Integrales de Contorno. Sea F una

funcion definida y analtica en un conjunto abierto G que contiene a . Donde

: [0, 1] C

es una curva suave por tramos. Entonces

F(z)dz = F((1)) F((0)).

En particular, si (0) = (1) entonces

F(z)dz = 0.

Demostracion: Sean g, u y v funciones definidas como

F((t)) = g(t) = u(t) + iv(t).

Entonces

F((t))(t) = g(t) = u(t) + iv(t)

por lo que

F(z)dz =

1

0

F((t))(t)dt =

1

0

g(t)dt

=

10

u(t)dt + i10

v(t)dt

= [u(1) u(0)] + i [v(1) v(0)]= [u(1) + iv(1)] [u(0) + iv(0)]= g(1) g(0)= F((0))

F((0)).

Mencionemos ahora un resultado el cual es una version un tanto informal del teorema

de Cauchy.

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Teorema 2 : Teorema de Cauchy. Sea f analtica en una region G. Sea una

curva cerrada en G. La cual es homotopica a un punto en G. Entonces

f = 0.

Demostracion: Usaremos el teorema de Green como herramienta para demostrar este

teorema. El teorema de Green establece que dadas las funciones suaves P(x, y) y Q(x, y),

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = A Q

x(x, y) P

y(x, y) dxdy.

Donde A es en interior de .

Ahora, sea f = u + iv. De esta manera tenemos

f =

f(z)dz =

(u + iv) (dx + idy)

=

(udx vdy) + i

(udy + vdx) .

Aplicando el teorema de Green a cada integral, obtenemos

f =

A

v

x u

y

dxdy + i

A

u

x v

y

dxdy.

Ambos terminos son cero debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemman.

Otros terminos que usaremos son los siguientes:

Definicion 2 : Sean una curva cerrada enC y z0 C un punto que no esta en .Entonces, el ndice de con respecto de z0 (numero de giros de con respecto a z0)

esta definido como

I(, z0) =1

2i

dz

z z0 .

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Definicion 3 : Formula Integral de Cauchy. Seaf analtica en una region A, sea

una curva cerrada en A que es homotopica a un punto, y sea z0 A tal que z0 noesta en . Entonces,

f(z0) I(, z0) = 12i

f(z)

z z0dz.

La formula anterior se aplica a menudo cuando es una curva cerrada simple y z0

esta dentro de . Entonces I(, z0) = 1, por lo que la formula se convierte en

f(z0) =

1

2i

f(z)

z z0 dz,

la cual significa que el valor de f esta determinado por sus valores frontera. Veamos

otro resultado cuya demostracion se omite debido a lo largo de ella.

Teorema 3 : Teorema de Expansion de Laurent. Sea r1 0, r2 > r1 y z0 C yconsidere la region A = {z C | r1 < |z z0| < r2}. Se admite que ri = 0 o r2 = (oambos). Sea f analtica en la region A. Entonces, podemos escribir

f(z) =n=0

an(z z0)n +n=0

bn

(z z0)n

donde ambas series en el lado derecho de la ecuacion, convergen absolutamente en A y

uniformemente en cualquier conjunto de la formaB1,2

= {z|1 < |z z0| < 2} donder1 < 1 < 2 < r2. Si es un crculo alrededor de z0 con radio r, con r1 < r < r2,

entonces los coeficientes estan dados por

an =1

2i

f()( z0)n+1 d n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

2i

f()( z0)n1d n = 1, 2, . . .

15


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Cabe mencionar que cuando r1 = 0, f es analtica en {z C | 0 < |z z0| < r2}, quees la r2-vecindad agujerada de z0 y decimos que z0 es una singularidad aislada de f y

as se puede expandir la serie de Laurent como sigue

f(z) = . . . +bn

(z z0)n + . . . +b1

z z0 + a0 + a1(z z0) + a1(z z0)2 + . . .

valido para 0 < |z z0| < r2.

Algunos terminos derivados del teorema anterior, los cuales estaremos usando, son:

Singularidad aislada: Es un punto z0 en el cual una funcion f es analtica en una

region A que contiene alguna vecindad -vecindad agujerada de z0.

Polo: Es un punto z0, el cual es una singularidad aislada de f donde todos los bn,

excepto un numero finito, son cero. Si k es el mayor entero tal que bk = 0, z0 es unpolo de orden k. Si z0 es un polo de primer orden, tambien decimos que es un polo

simple.

Residuo: A b1 se le llama residuo de f en z0.

Singularidad esencial: Si un numero infinito de bk es distinto de cero, z0 es llamada

una singularidad esencial.

Singularidad removible: Si todos los bk son cero, decimos que z0 es una singularidad

removible.

Todo este camino nos lleva hasta el ultimo teorema que nos ayudara a calcular la

integral 0

1

a + b cos xdx.

16


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Teorema 4 Teorema del Residuo: Sea A una region y sean z1, . . . , z n A puntosdistintos de A. Sea f analtica en A\ {z1, . . . , z n}. Sea una curva cerrada en A,homotopica a un punto a un punto en A. Ningun zi no esta en . Entonces

f = 2ini=1

[Res(f, zi)] I(, z0).

Una demostracion precisa se puede ver en [].

Con los anteriores resultados se pueden resolver facilmente integrales de la forma20

R(sen x, cos x)dx (5)

donde el integrando es una funcion racional de sen x y cos x, al evaluarse por medio

de residuos. Por supuesto estas integrales se pueden calcular tambien con integracion

explcita, pero esta tecnica es muy laboriosa.

Lo natural es hacer la sustitucion z = eix, lo cual transforma a (5) en la integral

i|z|=1

R

12i

z 1

z

, 1

2

z+ 1

z

dzz

.

Basta ahora determinar los residuos que corresponden a los polos del integrando adentro

del crculo unitario.

Primero calculemos la integral

0

1

a + cos xdx, a > 1.

Esta integral no se extiende sobre (0, 2), pero como cos x toma los mismos valores en

los intervalos (0, ) y (, 2), es claro que la integral de 0 a es la mitad de la integral

17


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de 0 a 2. Tomando esto en consideracion, podemos hacer los siguientes calculos.

0

1a + cos x

dx =12

2

0

1a + cos x

dx

=1

2

i

|z|=1

1

a + 12

z+ 1

z

dzz

=1

2

i

|z|=1

2z

z2 + 2az+ 1

dz

z

= i|z|=1

1

z2 + 2az+ 1dz.

El denominador se puede factorizar como (z )(z ) con

= a +

a2 1, = a

a2 1

donde evidentemente || < 1 y || > 1. As que

i|z|=1

1

z2 + 2az+ 1dz = i

|z|=1

1

(z )(z )dz

= i [2i (Res(f, ) + Res (f, ))]

y como el residuo en es 1, tenemos

0

1

a + cos xdx = i

2i

1

=2

=

2

2

a2 1=

a2

1

.

Calculemos ahora la integral0

1

a + b cos xdx, a2 > b2.

18


19/22

Entonces 0

1

a + b cos xdx =

1

2

20

1

a + b cos xdx

=1

2

i

|z|=1

1

a + b12

z+ 1z

dzz

=1

2

i

|z|=1

2z

bz2 + 2az+ b

dz

z

= i|z|=1

1

bz2 + 2az+ bdz

= i

b|z|=1

1

z2 + 2ab

z+ 1 dz

El denominador se puede factorizar como (z+ )(z ) con

=

a2 b2 + a

b, =

a2 b2 a

b

donde evidentemente || > 1 y || < 1. As que

i

b|z|=1

1

z2 + 2ab

z+ 1dz = i

b|z|=1

1

(z+ )(z )dz

=ib

[2i (Res (f, ) + Res (f, ))]

y como el residuo en es 1+

, tenemos

0

1

a + b cos xdx =

ib

2i

1

+

=2

b

1

( + )

= 2b

b

2

a2 b2=

a2 b2

19


20/22

Lo cual concuerda si usamos formula1

a + b cos xdx =

1a2 b2

x 2 arctan

2b sen x

2b cos x +

a b + a + b2

para calcular la integral de 0 a . Es decir,0

1

a + b cos xdx =

1a2 b2

x 2 arctan

2b sen x

2b cos x +

a b + a + b2

0

=

a2 b2 .

La generalizacion de lo anterior queda de la siguiente manera:

Proposicion 2 : Sea R(x, y) una funcion racional de x, y; cuyo denominador no se

anula en el crculo unitario. Entonces20

R(sen , cos )d = 2i

[residuos de f(z) dentro del crculo unitario]

donde

f(z) = R12i

z 1z , 12 z+ 1ziz

.

Demostracion: Si z = x + iy esta en el crculo unitario, entonces

x =1

2i

z 1

z

y =1

2

z+

1

z

.

Debido a que R no tiene polos en el crculo unitario, tampoco los tiene f, y si es elcrculo unitario, tenemos, por el teorema del residuo,

f = 2 (residuos de f dentro de ) .

20


21/22

Por lo que 2

0

R(sen , cos )d =

2

0

R

ei ei2i

, ei + ei

2

iei

ieid

=

20

f

ei

ieid

=

f.

Referencias

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