integrale-multiple.pdf

8/9/2019 integrale-multiple.pdf

1/21

MATEMATIC A 1

ALEXANDRU NEGRESCU


2/21


3/21

Cuprins

Cuprins 3

1 Integrale multiple 51.1 Integrale duble pe dreptunghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Integrale duble pe regiuni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Integrale duble n coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Integrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Integrale triple n coordonate sferice . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Integrale triple n coordonate cilindrice . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Miscelaneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


4/21

4 CUPRINS


5/21

Capitolul 1

Integrale multiple

1.1 Integrale duble pe dreptunghiuri

1. Calculat i valoarea integralei

D(x

1)y3 dA , unde D = [0, 3]

[1, 4].

Solut ie. Vom avea grija ca pentru prima integral a sa punem, drept capete,valorile extreme ale lui y iar pentru a doua integral a sa punem, drept capete,

valorile extreme ale lui x : 4

1 3

0(x 1)y3 dxdy . Observ am ca expresia de sub

integral a se poate scrie ca produsul a dou a funct ii: f (x) = x 1 si g(y) = y3(care depind numai de variabila x, respectiv y). Atunci integrala noastr a sescrie ca produsul a doua integrale:

4

1 3

0(x 1)y3 dxdy =

3

0(x 1) dx

4

1y3 dy =

x2

2 x3

0 y4

4

4

1=

= 32

2 3 44

4 14

4 = 7658 .

Pauz a de Forticare Intelectual a. Notiunea de integral a dubl a a fostintrodusa n anul 1769 de c atre matematicianul elvet ian Leonhard Euler(1707-1783) n lucrarea De formulis integralibus duplicat .

2. Calculat i valoarea integralei D (x + 2 y)3 dA , unde D = [0, 2][0, 1].Solut ie. Fiind atenti la capetele de integrare, scriem:

D (x + 2 y)3

dA = 1

0 2

0 (x + 2 y)3

dxdy.

5


6/21

6 CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLE

Neput and face vreun truc de genul celui din problema precedent a, tre-buie sa o calculam n maniera ,,standard, si anume s a evalu am integrala dininterior (dupa x ) si apoi pe cea de-a doua (dup a y). Asadar,

2

0(x + 2 y)3 dx =

(x + 2 y)4

4

2

0=

(2 + 2y)4

4 (2y)4

4 = 4(1 + y)4

4y4 ,

am avut grija ca, integr and dupa x, sa l privesc pe y ca o constanta. Acum,substituind ceea ce am calculat n integrala noastr a, am redus-o la

1

0[4(1 + y)4 4y4]dy = 4

(1 + y)5

5

1

0 4y5

5

1

0= 4

25

5 15 4

15

= 24 .

3. Calculat i valoarea integralei D xy2

x2 + 1 dA , unde D = {(x, y ) R 2 |

0 x 2;

2 y 2

}.

Solut ie. Observ am ca expresia de sub integral a se poate scrie ca produsula dou a funct ii: f (x) =

xx2 + 1

si g(y) = y2 (care depind numai de variabila x,respectiv y). Atunci integrala noastr a se scrie ca produsul a doua integrale,astfel:

D xy2

x2 + 1 dA =

2

0

xx2 + 1

dx 2

2y2 dy,

care pot calculate elementar:

D xy2

x2 + 1 dA =

12

2

0

2xx2 + 1

dx 2

2y2 dy =

= 12

ln(x2 + 1) 20 y3

32

2=

= 1

2 ln 5 83

(2)33

= 8 ln5

3 .

4. Calculat i volumul corpului situat sub paraboloidul eliptic z = 2 x2 y24

si deasupra dreptunghiului D = [1, 1][2, 2].

Solut ie. Corpului situat sub paraboloidul eliptic z = 2 x2 y2

4 si

deasupra dreptunghiului D = [1, 1][2, 2] este reprezentat n gura ...


7/21

1.2. INTEGRALE DUBLE PE REGIUNI OARECARE 7

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 x

21 0 1 2

y

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Reamintim ca volumul corpului situat sub suprafat a z = f (x, y ) 0 sideasupra dreptunghiului D este dat de relatia

V = D f (x, y ) dA.Asadar, volumul corpului nostru este egal cu

V =

2

2 1

1

2 x2 y2

4 dxdy =

2

2

2x x3

3 y2

4 x

1

1

dy =

= 2

24

23

y2

2 dy =

103

y y3

6

2

2=

323

.

Pauz a de Forticare Intelectual a. Paraboloidul eliptic este suprafat a cua-dric a ce este caracterizat a de ecuat ia

zc

= x2

a 2 +

y2

b2,

unde a, b, c sunt numere reale.

1.2 Integrale duble pe regiuni oarecare

1. Calculat i

4

0 sin y

0x cos ydxdy .

Solut ie. Chiar dac a expresia de sub integral a se scrie ca produsul a douafunct ii, care depind numai de variabila x , respectiv y, nu putem aplica aceast astrategie deoarece capetele integralelor nu au valori numerice. Vom calculapornind de la integrala din interiorul expresiei:

4

0 sin y

0x cos y dx dy =

4

0

x2

2 cosy

sin y

0dy =

= 1

2

4

0 sin2

y cos ydy.


8/21


In aceast a ultim a integral a, privindu-l pe cos y ca (sin y) , observ am ca

sin2 y cos y =sin3 y

3.

Atunci

4

0 sin y

0x cos ydxdy =

12

sin3 y3

4

0= 2

24 .

2. Calculat i D (xy + 2) dA , unde D este regiunea plana marginit a dedreapta y = x + 2 si parabola y = x2.

Solut ie. Pentru nceput, s a determinam punctele de intersect ie a drepteicu parabola. Rezolvam ecuat ia x + 2 = x2, adic a x2 x 2 = 0, de undeobtinem c a ele se intersecteaza n punctele ( 1, 1) si (2 , 4). Asadar, regiuneaD este descris a de:

D = {(x, y ) R 2 | 1 x 2, x 2 y x + 2}.

2 1 1 2 3

2

4

6

8

Pentru x [1; 2], arcul parabolei y = x2 este margine inferioara pentruD iar segmentul de pe dreapta y = x + 2 este margine superioar a. Atunci:

D (xy + 2) dA = 2

1 x+2

x 2(xy + 2) dy dx =

2

1

xy 2

2 + 2y

x +2

x 2dx =

= 2

1(4x + 4) dx = 2x2

+ 4 x

2

1 = 18 .


9/21

1.2. INTEGRALE DUBLE PE REGIUNI OARECARE 9

3. Calculat i D x dA , unde D este regiunea din primul cadran m arginitade xy = 1, y = 2x si y = 3x .

Solut ie. Deoarece domeniul D nu este at at de accesibil ca la problemeleanterioare, l vom mp art i n domenii mai mici. Cum le gasim? Sa aam,pentru nceput, punctele de intersect ie a celor trei grace.

Pentru intersect ia dreptelor y = 2x si y = 3x , rezolvam ecuat ia 2x = 3xsi gasim punctul (0 , 0).

Pentru intersect ia dreptei y = 2x cu xy = 1, rezolv am ecuat ia 2x = 1x

si

gasim punctul 22

, 2 .Pentru intersect ia dreptei y = 3x cu xy = 1, rezolv am ecuat ia 3x =

1x

si

gasim punctul 33

, 3 .Acum putem sa spunem cum mp art im domeniul D : alegem D1 ca ind

regiunea cuprinsa ntre dreptele y = 2x , y = 3x si x = 1 3, iar pe D2 ca ind

regiunea cuprinsa ntre x = 1 3, y = 2x si y =

1x

.

Atunci:

D x dA = D 1 x dA + D 2 x dA ==

1

3

0 3x

2xxdydx +

1

2

1

3 1

x

2xxdydx =

= 1

3

0(xy )

3x

2xdx +

1

2

1

3

(xy )1

x

2xdy dx =

= 1

3

0x2 dx +

1

2

1

3

(1 2x2) dx =

= x3

3

1

3

0+ x 2

x3

3

1

2

1

3

= 23

2 39

.

4. Calculat i valoarea integralei

2

0 1

y2

ex2

dxdy .


10/21


Solut ie. Deoarece nu exist a niciun mod elementar de a calcula primitivalui ex

2

, parem a f ar a putere n fat a acestei integrale. Insa o strategie, ceva da roade aici, este schimbarea ordinii de integrare. Domeniul de integrare,care este un triunghi, se scrie:

D = (x, y ) R 2

| 0 y 2, y2 x 1 .

Insa, putem privi acest triunghi si altfel:

D = (x, y ) R 2 | 0 x 1, 0 y 2x .Asadar,

2

0 1

y2

ex2

dxdy = 1

0 2x

0ex

2

dy dx = 1

0ex

2

y2x0 dx =

=

1

02xe x

2

dx =

1

0ex

2

x2 dx == ex

2 10 = e 1.

1.3 Integrale duble n coordonate polare

Sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate de dimensiune2, n care ecare punct P din plan este determinat de distant a r fata de unpunct xat O (numit pol sau origine ) si un unghi t , format cu o direct ie xat a.Punctul P i asociem perechea ordonat a (r, t )1 iar r si t se numesc coordonate polare .

Pentru un punct P din plan, coordonatele sale carteziene x si y se potscrie astfel:

x = r cos t si y = r sin t.

Domeniile maxime pentru coordonatele polare sunt:

r [0, ) si t [0, 2 ).Cand trecem din coordonatele carteziene n coordonatele polare s a nu

uit am sa nmultim cu factorul J = r , numit iacobianul transform arii !Un lucru ce merita evident iat este ca

x2 + y2 = r 2 cos2 t + r 2 sin2 t = r 2(cos2 t + sin 2 t) = r 2.

1 Se poate nota si cu ( , ). E de preferat ca ambele caractere s a apartin a aceluiasi alfabet.


11/21

1.3. INTEGRALE DUBLE IN COORDONATE POLARE 11

1. Calculat i D 1 x2 + y2 dA , unde D este discul unitate.Solut ie. Trec and la coordonate polare, 1 x2 + y2 = 1 r 2 = 1 r ,unde r [0; 1] si t [0, 2 ]. Atunci:

D 1 x2 + y2 dA = 2

0 1

0(1 r ) rdrdt =

= 2

0dt

1

0(1 r ) r dr =

= t 20 r 2

2 r 3

3

1

0=

3

.

2. Calculat i valoarea integralei D sin x2 + y2 dA, undeD =

{(x, y )

R 2

| 4 x2 + y2 9, y 0

}.

Solut ie. Transformand n coordonate polare, sin x2 + y2 = sin r 2 ,unde r 2 = x2 + y2 [4, 9], adica r [2; 3], si t [0, ], deoarece y (indnenegativ) se aa n cadranele I si II. Atunci:

D sin x2 + y2 dA =

0 3

2sin r 2 rdrdt =

=

0dt

3

2sin r 2 r dr = scriem r =

12

r 2

= 12

3

2sin r 2 r 2 dr =

2 cos r

2 32 =

= (cos 4 cos 9)2 .

3. Calculat i valoarea integralei D x2 + y2 dA , undeD = {(x, y ) R 2 | x2 + y2 2y, x 0, y 0}.

Solut ie. Prezent a expresiei x2 + y2 ne sugereaz a sa utiliz am coordona-tele polare. Incerc am! Inegalit at ile din domeniul D se transcriu: r 2 cos2 t +r 2 sin2 t 2r sin t , adica r 2sin t , si cos t 0, sin t 0. Asadar:

t 0; 2 , r [0, 2sin t],


12/21


si integrala devine

D x2 + y2 dA =

2

0 2sin t

0

r 2 rdrdt =

2

0

r 3

3

2 sin t

0dt =

= 8

3

2

0 sin3

tdt.

Cum sin(3 x) = 3 sin x 4sin3 x , obtinem c a

D x2 + y2 dA = 2

3

2

0(3sin t sin(3 t)) dt =

= 2

3 3cos t + cos(3t)

3

2

0=

169

.

4. Calculat i valoarea integralei I =

e x2

dx .

Solut ie. Aparent, aceast a problem a nu are nicio leg atura cu subiectulnostru. Este o integral a grea. ex

2

nu ne las a sa i gasim primitiva. Insacoordonatele polare ne vor surprinde cu o frumoas a aplicat ie aici. Nu vedemnicio integral a dubl a n enunt, dar ce ar daca ne-am crea noi una? S a lobserv am pe I 2:

I 2 =

e x2

dx

e y2

dy.

Acum, s a privim acest produs de integrale de la la ca o integral a dubl ape R 2. E delicat a extinderea integralelor duble pe domenii nem arginite, darsa o privim n aceeasi manier a ca integralele improprii, studiindu-le la limit a.

Atunci:I 2 = R 2 e x 2 e y 2 dA = R 2 e (x 2 + y 2 ) dA.

De acum, transformarea n coordonate polare este evident a: e (x2 + y 2 ) = e r

2

,r [0;), t [0, 2 ], si integrala devine

I 2 = 2

0 +

0e r

2

rdrdt =

= 12

2

0 +

0e r

2

(2r ) dr dt = privim e r 2 (2r ) = e

r 2

= 12

2

0 e r 2

0 dt = 12

2

0 (1) dt = .


13/21

1.4. INTEGRALE TRIPLE 13

Atunci I = .

Pauz a de Forticare Intelectual a.

e x2

dx este

cunoscut a sub numele integrala lui Gauss (Gaussian a ).

Este numita dup a matematicianul german Carl FriedrichGauss (1777-1855), foto st anga, considerat unul dintre ceimai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, supranumitPrinceps Mathematicorum (Print ul Matematicii). Aceast aintegral a are o gam a larg a de aplicat ii: teoria probabi-lit atilor, mecanica cuantic a, etc.

Deoarece e x2

este o funct ie par a pe mult imea R , avem ca

e x2

dx =

2

0e x

2

dx si prin schimbarea de variabil a x = t , ea va egala cu

0e t

t 12 dt =

1

2 = .

1.4 Integrale triple

1. Calculat i D xyz 2 dV , undeD = {(x,y,z ) R 3 | 2 x 3, 0 y 2, 0 z 3}.

Solut ie. Este o integrala simpl a, capetele sunt numerice, trebuie doar s am atent i la calcule:

D xyz 2 dV = 3

0 2

0 3

2xyz 2 dx dy dz =

3

0 2

0 3

2xyz 2 dx dy dz =

= 3

0 2

0yz 2

x2

2

x =3

x = 2dy dz =

52

3

0 2

0yz 2 dy dz =

= 5

2 3

0z2

y2

2

y=2

y=0dz = 5

3

0z2 dz = 5

z3

3

z =3

z =0= 45 .

2. Calculat i volumul corpului marginit de paraboloizii z = 4x2 + 4 y2 siz = 5 11x2 y2.


14/21


Solut ie. Ideea este s a proiect am corpul nostru pe cel mai convenabil plan,n cazul nostru pe xOy . Sa vedem cum se intersecteaz a paraboloizii: sistemul

z = 4x2 + 4 y2

z = 5

11x2

y2

implica 4x2 + 4 y2 = 5 11x2 y2, adica 3x2 + y2 = 1. Deci paraboloizii seintersecteaza dup a elipsa

x2

1 3

2 + y2

12 = 1, a c arei proiect ie pe planul xOy

are aceeasi ecuatie. Deci proiect ia corpului K pe planul xOy este mult imeaE := {(x, y ) R 2 | 3x2 + y2 1}, adica interiorul elipsei gasite mai sus.

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

5

0

5

Ne amintim c a volumul corpului K , cautat de noi, este

Vol( K ) = K dV.Diferent a (5 11x2 y2) (4x2 + 4 y2) = 5 15x2 5y2 = 5 5(3x2 + y2) 0este nenegativa, asa c a z variaz a de la cantitatea mai mic a, z = 4x2 + 4 y2, lacea mai mare, z = 5 11x2 y2, putem scrie c a

Vol( K ) = E 5 11x 2 y 2

4x 2 +4 y 2dz dA.

Asadar:

Vol( K ) = E zz=5 11x 2 y2

z=4 x 2 +4 y 2 dA = E 5 5(3x2

+ y2) dA.


15/21

1.5. INTEGRALE TRIPLE IN COORDONATE SFERICE 15

Sa vedem cum l abord am pe E .

Elipsa x2

a2 +

y2

b2 = 1 se scrie n coordonate polare:

x = ar cos t, y = br sin t

iar iacobianul transform arii este J = abr , unde r [0, 1] si t [0, 2 ].Elipsa noastra se scrie: x =

1 3r cos t , y = r sin t iar iacobianul trans-

formarii este J = 1 3r . Valoarea expresiei 5 5(3x

2 + y2) este 5 5r 2. Asadarvolumul nostru a devenit:

Vol( K ) = 2

0 1

0(5 5r 2)

1 3rdrdt =

1 3

2

0 1

0(5r 5r 3) dr dt =

= 5 3

2

0dt

1

0(r r 3) dr =

10 3

r 2

2 r 4

4

r =1

r =0=

5 36

.

1.5 Integrale triple n coordonate sferice

Sistemul de coordonate sferice este un sistem de coordonate cu trei di-mensiuni, n care ecare punct P din spat iu este determinat de: distant a(notata cu ) dintre punctul P si o origine xat a (O ), unghiul zenit (notat cu) format de OP cu axa pozitiv a z si unghiul azimut (notat cu ) format deproiect ia lui OP pe planul xOy cu axa pozitiv a x.

Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu:

x = sin cos , y = sin sin , z = cos.

Domeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt: [0, ), [0, ], [0, 2 ].

Cand trecem din coordonatele carteziene n coordonatele sferice s a nuuit am sa nmultim cu iacobianul transform arii, J = 2 sin !

Un lucru ce merita evident iat este ca

x2 + y2 + z2 = 2 sin2 cos2 + 2 sin2 sin2 + 2 cos2 = 2.

Sectiunea aceasta o vom dedica unor calcule ,,practice:

1. Fotbal trigonometric. Aat i volumul corpului nchis de mingea,,trigonometrica de fotbal.


16/21


Solut ie. Amuzant, nu? Cum am putea descrie corpul nostru? Dreptmult imea K = {(x,y,z R 3) | x2 + y2 + z2 1}. Asa cum am v azut maidevreme, volumul lui este

Vol( K ) =

K

dV.

Si acum intervin coordonatele sferice (doar mingea e o sfer a, nu?): 2 =x2 + y2 + z2 1, deci [0, 1], iarVol( K ) =

2

0

0 1

02 sin ddd =

2

0d

0sin d

1

02 d =

= 2 (cos)= =0

3

3

=1

=0=

43

.

2. Problema cornetului cunghet at a. Aat i volumul corpului situatn interiorul sferei x2 + y2 + z2 = 2 z si n interiorul conului z2 = x2 + y2.

Solut ie.

1.00.5

0.00.5

1.0

1.0 0.5 0.0 0.5 1.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Ecuat ia sferei se poate rescrie ( x

0)2 + ( y

0)2 + ( z

1)2 = 1, ceea

ce ne spune c a ea are centrul n punctul de coordonate (0 , 0, 1) si raza egal acu 1, deci se aa deasupra planului xOy , asa c a ne va interesa doar interiorulconului z = x2 + y2. Transcriem ecuat ia sferei n coordonate sferice:2 = x2 + y2 + z2 = 2 z = 2 cos,de unde putem caracteriza interiorul sferei (( x 0)2 + ( y 0)2 + ( z 1)2 1)prin 2 2 cos, adica 2cos. Conul, n coordonate sferice, se scrie:

2 cos2 = z2 = x2 + y2 = 2 sin2 cos2 + 2 sin2 sin2 = 2 sin2 ,

de unde cos 2 = sin 2 , adica tg 2 = 1 si, cum 0, 2

(deoarece suntem

deasupra planului xOy ), rezult a ca = 4 . Astfel, interiorul conului este


17/21

1.6. INTEGRALE TRIPLE IN COORDONATE CILINDRICE 17

caracterizat de 0, 4

. Grat ie acestor rezultate, putem reveni la volumulcorpului nostru, K ,si scrie:

Vol( K ) = 2

0

4

0 2cos

02 sin ddd =

= 2

0

4

0sin

33

=2 cos

=0 dd =

= 8

3 2

0

4

0sin cos3 dd =

= 23

2

0

4

04cos3 (cos ) dd =

= 23

2

0cos4

= 4

=0d =

23

2

0 34

d = 12

2

0d = .

1.6 Integrale triple n coordonate cilindriceSistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate cu trei

dimensiuni, n care ecare punct P din spat iu este determinat de: lungimeaproiect iei (notata cu ) a segmentului OP pe planul xOy , unghiul azimut (notat cu ) format de proiectia lui OP pe planul xOy cu axa pozitiv a x.

Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu:

x = cos , y = sin , z = z .

Domeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt:

[0, ), [0, 2 ], z R .Cand trecem din coordonatele carteziene n coordonatele cilindrice s a nuuit am sa nmultim cu iacobianul transform arii, J = !Un lucru ce merita evident iat este ca

x2 + y2 = 2 cos2 + 2 sin2 = 2.

1. Calculat i valoarea integralei K (x2 + y2) dV , unde K este regiuneamarginita de paraboloidul x2 + y2 = 4 z si de planul z = 4.

Solut ie. Planul z = 4 ,,taie paraboloidul dup a un cerc de raz a 4. Ob-servam ca regiunea K este un ,,v arf de paraboloid, pe care l proiect am peplanul xOy n:

D = {(x, y ) R 2 | x2 + y2 16}.


18/21


5

0

5

5

0

0

2

4

6

8

Trecem la coordonatele cilinidrice:

x = cos , y = sin , z = z .

Atunci 2 = x2 + y2 16, deci [0, 4], iar ecuat ia paraboloidului devine2 = 4 z , adic a z =

2

4 . Asadar, z

2

4 , 4 si [0, 2 ], iar integrala

noastr a devine:

K (x2 + y2) dV = 4

0 2

0 4

24

2 dz d d =

= 4

0 2

0 4

24

3 dz dd =

= 4

0 2

03 z

z =4

z = 2

4

d d =

= 4

0 2

043

5

4 dd =

= 4

0 43

5

4

=2

=0 d

=

= 2 4

043

5

4 d =

= 2 4 6

24

=4

=0=

5123

.

2. Calculat i momentul de inert ie al unui con circular drept, omogen, nraport cu axa z. (Conul are raza bazei R , n alt imea H , masa m .)

Solut ie. Momentul de inertie al conului K , n raport cu axa z, este datde formula

I z = K (x,y,z ) (x2

+ y2) dV.


19/21

1.6. INTEGRALE TRIPLE IN COORDONATE CILINDRICE 19

Deoarece conul este omogen, atunci densitatea (x,y,z ) = 0 este aceeasin ecare punct si

I z = 0 K (x2 + y2) dV.Trecem la coordonate cilindrice:

x = cos , y = sin , z = z .

Ecuat ia general a a unui con este

x2 + y2 = a2z2 .

Sa vedem cine este a . Deoarece, c and x = R si y = 0, avem c a z = H , obtinem

ca R2 = a2H 2, deci a = RH

si ecuat ia conului se scrie:

x2 + y2 = R2

H 2 z

2 .

In coordonate sferice, 2 = R2

H 2z2, deci z =

H R

. Asadar,

[0, R ], [0, 2 ], z H R

, H .

Momentul de inertie devine:

I z = 0 2

0 R

0 H

H R

2 dz d d = 0 2

0 R

03 z

z = H

z = H R dd =

= 0 2

0 R

03H 4 H R dd = 0H

2

0 R

03

4

R dd =

= 0H 2

0

4

4 5

5R

= R

=0d = 0H

2

0

R 4

4 R4

5 d =

= 10

0HR 4.

Nu cunoastem densitatea 0, dar cunoastem masa m si volumul conului,

V = R 2H

3 . Asa ca densitatea 0 =

mV

= 3mR 2H

si, grat ie acesteia, momentulde inert ie este

I z =

10 3mR 2H HR

4

= 3mR 2

10 .


20/21


1.7 Miscelaneu

1. Calculat i valoarea integralei I =

0

arctg x arctg xx

dx .

Solut ie. Aparent, problema nu are nicio leg atura cu integralele multi-

ple, nsa ideea este s a privim expresia arctg x arctg x

x ca

arctg yxx

y=

y=1, iar

funct ia F (y) = arctg yx

x este o primitiv a a funct iei f (y) =

11 + x2y2

(se arat a

usor folosind schimbarea de variabil a u = xy ). Deci

arctg x arctg xx

= arctg yx

x

y=

y=1=

1

11 + x2y2

dy

si integrala noastr a devine

I =

0

111 + x2y2 dy dx =

1

011 + x2y2 dx dy =

=

1

arctg xyy

x =

x =0dy =

1lim

t

arctg xyy

x = t

x =0dy =

=

1lim

t

arctg tyy

arctg 0y

dy =

=

1lim

t

arctg tyy

dy = limt

arctg ty = 2

, daca y > 0

=

2

1

1y

dy = 2

ln y y= y=1 = 2

ln .

2. Aat i valoarea lui c, pentru care functia

f (x, y ) =c(x + y), daca 0 < x < 5 si x < y < x + 20, n rest

este densitatea comun a de probabilitate a variabilelor aleatoare de tip continuuX si Y .

Solut ie. Una dintre propriet atile esent iale ale densitatii comune de pro-babilitate este

f (x, y ) dxdy = 1 .


21/21

1.7. MISCELANEU 21

In cazul nostru, privind domeniul de denit ie a lui f (x, y ), avem

5

0 x+2

xc(x + y) dy dx = 1 ,

de unde rezulta ca c 5

0 x+2

x(x+ y) dy dx = 1 , adica c

5

0xy + y

2

2

x +2

xdx =

1 si obtinem c a c 5

0(4x + 2) dx = 1. Grat ie acestei ultime relat ii, deducem

ca c 2x2 + 2 x 50 = 1, de unde g asim valoarea lui c = 160

. Cu acest c estevericata si nenegativitatea densit atii iar continuitatea sa este evident a.

integrale-multiple.pdf

Documents

Transcript of integrale-multiple.pdf