Integrale Si Ecuatii Diferentiale

Cuprins

1 Integrala definita 31.1 Primitive; formule de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Integrala definita; aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Integrala improprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Integrala cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ecuatii diferentiale 252.1 Ecuatia diferentiala de ordinul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Ecuatia diferentiala de ordinul n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Sisteme simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Integrale vectoriale 51

1

2 CUPRINS

Capitolul 1

Integrala definita

1.1 Primitive; formule de calculDefinitia 1.1.1 Fie f : J → R, unde J ⊂ R este un interval. Functia F : J → Rse numeste primitiva sau antiderivata a functiei f pe intervalul J , daca

1. F este derivabila pe J2. F ′(x) = f(x), ∀x ∈ J .

Multimea tuturor primitivelor se mai numeste integrala nedefinita si se noteaza∫

f(x)dx = F (x) + c, c ∈ R.

Teorema 1.1.1 (Integrarea prin parti) Daca f, g : J → R sunt derivabile cuderivate continue, atunci functiile fg, f ′g, fg′ admit primitive si are loc relatia

∫f(x)g′(x)dx = fg −

∫f ′(x)g(x)dx. (1.1)

Teorema 1.1.2 (Schimbarea de variabila) Fie I, J ⊂ R doua intervale sif : J → R o functie continua. Presupunem ca ϕ : I → J este o functie bijectiva,derivabila cu derivata continua si nenula pe I . Daca G este o primitiva a functiei(f ◦ ϕ)ϕ′ atunci G ◦ ϕ−1 este o primitiva a lui f .

3

4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA

TABELUL PRIMITIVELORNotam prin F o primitiva a functiei f si J ⊂ R un interval.

f F

1 xn, x ∈ J ⊂ R, n ∈ N xn+1

n + 1

2 xa, x ∈ J ⊂ (0, +∞), a ∈ R \ {−1} xa+1

a + 1

3 ax, x ∈ J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0, 1} ax

ln a

41

x, x ∈ J, J ⊂ (−∞, 0) sau J ⊂ (0, +∞) ln |x|

51

x2 − a2, x ∈ J ⊂ R \ {−a, a}, a 6= 0

1

2aln

∣∣∣∣x− a

x + a

∣∣∣∣

6 f(x) =1

x2 + a2, x ∈ J ⊂ R, a 6= 0

1

aarctan

x

a

7 sin x, x ∈ J ⊂ R − cos x

8 cos x, x ∈ J ⊂ R sin x

91

cos2 x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)

π

2}, k ∈ Z tan x

101

sin2 x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z − coth

1.1. PRIMITIVE; FORMULE DE CALCUL 5

11 tan x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z − ln | cos x|

12 coth x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z ln | sin x|

131√

x2 + a2, a 6= 0, x ∈ J ⊂ R ln(x +

√x2 + a2)

141√

x2 − a2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞) ln(x +

√x2 − a2)

151√

a2 − x2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−a, a) arcsin

x

a

I. Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval J difera printr-oconstanta.

II. Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval are proprietatea luiDarboux.

III. Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R

1. f(x) =

{0, daca x 6 12x, daca x > 1

2. f(x) = [x], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea ıntreaga a numarului x.

3. f(x) =

{x, daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q

IV. Aratati ca urmatoarele functii au primitiva pe R

1. f(x) =

{sin x

x, daca x ∈ R \ {0}

1, daca x = 0

2. f(x) =

{x sin

1

x, daca x ∈ R \ {0}

0, daca x = 0


V. Determinati o primitiva a functiei f(x) =1

4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si

[0, 2π].

VI. Calculati primitivele urmatoarelor functii, precizand intervalul pe care acesteasunt definite:

1.x

(x− 1)22.

1

3x2 + 53.

1

7x2 − 84.

b√1− y

5.x2

x2 + 26 .

1√7 + 8x2

7.3x + 1

5x2 + 18.

x

x2 − 59.

x2

1 + x610.

x2

√x6 − 1

11.√

arcsin x

1− x212.

arctan x2

4 + x2

13.1√

(1 + x2) ln(x +√

1 + x2)14. 42−3x 15.

(ax − bx)2

axbx16.

a2x − 1√ax

17. xe−(x2+1) 18. x7x2 19.e

1x

x220.

ex

ex − 121. ex

√a− bex 22.

ax

1 + a2x

23.1

2x + 324.

ex

1− e2x25.

cos√

x√x

26.sin(lg x)

x27. sin2 x 28. cos2 x

29.x

cos2(x2)30. tan x 31. coth x 32.

1

sin x cos x33. x

5√

5− x2 34.x3 − 1

x + 1

35.x3 − 1

x4 − 4x + 136.

1

x ln2 x37.

x√1− x4

38.3√

1 + ln x

x39.

1

ex + 1

40. ln x 41. arctan x 42. arcsin x 43. x sin x 44. x cos 3x 45.x

ex

46. x2−x 47. x2e3x 48. eax sin bx 49. x2 ln x 50. ln2 x 51. lnn x

52. cos(ln x) 53.1

sinn x54. xn ln x 55.

√x2 + α 56. xn sin αx

57.1

x2√

1 + x258.

√a− x

a + x59.

1

x√

x2 − 260.

x√x + 1

61.x2

√1− x2

62.√

x2 − a2

x63.

√x2 + 1

x64.

x3

√2− x2

65.x4 arctan x

1 + x266. cos2

√x

1.2. INTEGRALA DEFINITA; APLICATII 7

67.1

x2 + 2x + 568.

1

x2 + 2x69.

1

3x2 − x + 170.

(x− 1)2

x2 + 3x + 471.

1√x− x2

72.1√

2 + 3x− 2x273.

1√x2 + px + q

74.3x− 6√

x2 − 4x + 575.

2x− 8√1− x− x62

76.1

x√

1− x277.

1

(x + a)(x + b)78.

x2 − 5x + 9

x2 − 5x + 679.

1

x(x + 1)280.

x4

x4 − 1

81.x4 − 6x3 + 12x2 + 6

x3 − 6x2 + 12x− 882.

2x− 3

(x2 − 3x + 2)383.

1

x3 + 184.

1

x4 + x2 + 1

85.1

(1 + x2)286.

1

(a2 + x2)287.

3x + 5

(x2 + 2x + 2)2

88.1

3 + 5 cos x89.

1

sin x + cos x90.

cos x

1 + cos x91.

1

8− 4 sin x + 7 cos x

92. cos3 x 93. sin5 x 94. sin2 x cos3 x 95. sin4 x 96. sin2 x cos2 x

97. sin 3x cos 5x 98. sin 10x sin 15x 99. sinx

3cos

2x

3100.

1 + tan x

1− tan x

101.1√

2x− 1− 4√

2x− 1102.

x3

√x− 1

103.1√

x + 3√

x104. 3

√x + 1

x− 1

105.1√

x + 1 +√

(x + 1)3106. x

√x− 1

x + 1107.

3√

1 + 4√

x√x

108.1

4√

1 + x4

109. x3(1 + x2)−32 110.

1

x4√

1 + x2111.

1

x 3√

1 + x5112.

1

x2(2 + x3)53

113.1√

x3 3√

1 +4√

x3

1.2 Integrala definita; aplicatiiConsideram functia marginita

f : [a, b] → R, [a, b] ⊂ Rsi o diviziune ∆


∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b

cu norma diviziunii‖∆‖ = max

16i6n(xi − xi−1)

si pentru orice i ∈ {1, n} punctele intermediare ξi ∈ (xi−1, xi) suma Riemann

σ∆ =n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1).

Definitia 1.2.1 Numim integrala Riemann sau definita numarul I cu proprietateaca ∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare are loc

|σ∆ − I| < ε

Functia f se numeste integrabila Riemann.

Numarul I este unic determinat si se noteaza

I =

∫ b

a

f(x)dx

Prin definitie ∫ a

a

f(x)dx = 0

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

Sume Darboux Fie f : [a, b] → R o functie marginita si ∆ o diviziune oarecare.Notam

mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x), Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x)

Si consideram sumele Darboux

s∆ =n∑

i=1

mi(xi − xi−1), S∆ =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1).

Teorema 1.2.1 Fie f : [a, b] → R o functie marginita. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

1. ∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε

S∆ − s∆ < ε (1.2)

2. functa f este integrabila.


Teorema 1.2.2 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila Riemann peintervalul [a, b] si f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] atunci

∫ b

a

f(x)dx > 0.

Consecinta 1 Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile Riemann astfel ca

f(x) 6 g(x), ∀x ∈ [a, b]

atunci are loc ∫ b

a

f(x)dx 6∫ b

a

g(x)dx.

Consecinta 2 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila si

m 6 f(x) 6 M, ∀x ∈ [a, b]

atunci

m(b− a) 6∫ b

a

f(x)dx 6 M(b− a).

Teorema 1.2.3 (Leibniz Newton) Fie f : [a, b] → R o functie integrabila sicare admite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Vom folosi notatia F (x)|ba.

Teorema 1.2.4 (Integrarea functiilor continue) Orice functie f : [a, b] → Rcontinua este integrabila.

Teorema 1.2.5 (Teorema de medie) Daca este o functie continua, atunci existaξ ∈ [a, b] astfel ca

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx = f(ξ).


Teorema 1.2.6 (Existenta primitivelor unei functii continue) Daca f : [a, b] →R este o functie continua, functia F : [a, b] → R definita prin

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt, ∀x ∈ [a, b] (1.3)

este o primitiva care se anuleaza ın punctul a.

Teorema 1.2.7 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R suntfunctii derivabile, cu derivate continue, atunci

∫ b

a

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b

a

g(x)f ′(x)dx. (1.4)

Teorema 1.2.8 (Schimbarea de variabila) Fie u : [a, b] → [c, d] o functie cuproprietatile: u bijectiva, u si u−1 sunt derivabile, cu derivate continue.Fie f : [c, d] → R o functie continua.

Atunci are loc formula

∫ b

a

f(u(t))dt =

∫ u(b)

u(a)

f(x)(u−1)′(x)dx. (1.5)

Aplicatii ale integralei definite

Teorema 1.2.9 (Aria unei suprafete plane) Daca f : [a, b] → R+ este continuaatunci multimea

D = {(x, y) ∈ R2| a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)}

are arie si

aria(D) =

∫ b

a

f(x)dx. (1.6)

Teorema 1.2.10 (Volumul unui corp de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ estecontinua atunci corpul de rotatie determinat de f , adica multimea

V = {(x, y, z) ∈ R3|√

y2 + z2 6 r, a 6 x 6 b}are volum dat de formula

vol(V ) = π

∫ b

a

f 2(x)dx (1.7)


Teorema 1.2.11 (Lungimea unui arc de curba ) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci

1. graficul lui f are lungime finita2. lungimea este data de

l =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx (1.8)

Teorema 1.2.12 (Aria unei suprafete de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci suprafata de rotatie determinata def , adica multimea

S = {(x, y, z) ∈ R3|√

y2 + z2 = f(x), a 6 x 6 b}are arie data de

aria(S) = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(x))2dx (1.9)

I. Determinati semnul urmatoarelor integrale

1.∫ 10

0

ex2

dx 2.∫ π

π2

sin x

x

II. Determinati cea mai mare dintre integrale (fara a face calculul lor)

1.∫ 1

0

√1 + x2dx si

∫ 1

0

xdx

2.∫ 1

0

x2 sin2 xdx si∫ 1

0

x sin2 xdx

3.∫ 2

0

ex2

dx si∫ 2

1

exdx

4. Aratati ca are loc inegalitatile

a.2

3<

∫ 1

0

dx√2 + x− x2

<1√2

b.1

2<

∫ π2

π4

sin x

x<

√2

2

5. Calculati limitele urmatoarelor siruri

a. an =3

n

(1 +

√n

n + 3+

√n

n + 6. . . +

√n

n + 3(n− 1)

)

b. an =π

n

(sin

π

n+ sin

2π

n+ . . . + sin

(n− 1)π

2n

)


6. Fie f : [−a, a] → R o functie continua. Aratati ca are loc∫ a

−a

f(x)dx =

{2∫ a

0f(x)dx daca f este para

0 daca f este impara

7. Fie f : [a, b] → R o functie continua. Aratati ca are loc∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(a + b− x)dx

8. Stabiliti egalitatea

∫ 1

0

arctan x

xdx =

1

2

∫ π2

0

t

sin tdt

9. Determinati punctul ξ ∈ [1, 3] astfel ca functia f(x) = x2, x ∈ [1, 3] sasatisfaca ∫ 3

1

f(x)dx = 2f(ξ).

10. Rezolvati ecuatia ∫ x

√2

dt

t√

t2 − 1=

π

12

11. Calculati urmatoarele arii:a. aria elipseib. aria delimitata de y = 4x− x2 si de abscisac. aria delimitaa de ln x si x = e.

12. Calculati lungimile urmatoarelor curbe

a.{

x = a(t− sin t)y = a(1− cos t)

, t ∈ [0, 2π] (cicloida)

b. x23 + y

23 = a

23

1.3 Integrala curbilinieFie f : D → R o functie continua unde D ⊂ Rn cu n = 2, 3.Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda de forma

(γ)

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b] ⊂ R (1.10)

1.3. INTEGRALA CURBILINIE 13

unde x, y, z sunt functii derivabile cu derivata continua pe [a, b].

Definitia 1.3.1 Numim integrala curbilinie de prima speta a functiei f∫

γ

f(x, y, z)ds =

∫f(x(t), y(t), z(t))

√(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t)dt

(1.11)

unde ds =√

(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t) este elementul de arc.

Observatii 1. Integrala este independenta de sensul de parcurs pe curba.2. Daca γ este o curba plana atunci ın ecuatiile (1.10) vom lua z = 0.

Aplicatii 1. Masa unei curbe netede γ. Presupunem ca ın fiecare punct alcurbei, masa este o functie continua f(x, y, z), atunci masa curbei este

M =

∫

γ

f(x, y, z)ds. (1.12)

2. Momentele statice ale unei curbe ın raport cu axele de coordonate sunt date deformulele

Mx =∫

γxf(x, y, z)ds

My =∫

γyf(x, y, z)ds

Mz =∫

γzf(x, y, z)ds

(1.13)

Coordonatele centrului de greutate sunt

xC =Mx

MyC =

My

MzC =

Mz

M(1.14)

Integrala curbilinie (IC) de speta a doua

Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda, data ca ın (1.10).Fie functiile reale de variabile reale

P, Q, R : D → R, D ⊂ R3

care sunt continue. Presupunem ca γ ⊂ D.

Definitia 1.3.2 Numim intgrala curbilinie de speta a doua∫

γ

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

=

∫ b

a

(P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)+

+R(x(t), y(t), z(t))z′(t))dt (1.15)


Teorema 1.3.1 Aria unei multimi plane marginite de o curba neteda simpla este

aria(D) =1

2

∫

γ

xdy − ydx (1.16)

Teorema 1.3.2 In ipotezele anterioare urmatoarele afirmatii sunt echivalente1. IC este independenta de drum2. pentru orice curba C ınchisa si simpla are loc

∮

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.17)

Definitia 1.3.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R, D ⊂ R2 cu derivatepartiale de ordinul ıntai continue, astfel ca

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.

Expresia P (x, y)dx + Q(x, y)dy se numeste diferentiala totala exacta. Functia Fse numeste primitiva expresiei Pdx + Qdy.

Teorema 1.3.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R cu derivate partialecontinue astfel ıncat

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.

Atunci are loc∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (x(b), y(b))− F (x(a), y(a)). (1.18)

In particular integrala rezulta independenta de drum.

Teorema 1.3.4 Daca integrala∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de

drum, atunci functia F : D → R, D ⊂ R2 definita prin

F (x, y) =

∫ (x,y)

(x0,y0)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy (1.19)

pe orice curba neteda cu extremitatile (x0, y0), (x, y) ∈ D satisface

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y).

1.3. INTEGRALA CURBILINIE 15

Teorema 1.3.5 Daca domeniul D ⊂ R2 este simplu conex ( fara ” goluri”)umatoarele afirmatii sunt echivalente:

1.∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de drum

2.∂P

∂y=

∂Q

∂x, ∀(x, y) ∈ D.

I. Calculati urmatoarele integrale de speta ıntai

1.∫

γ

(x2 + 1)ds, unde (γ) este conturul triunghiului OAB, cu O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)

2.∫

γ

xyds, (γ) : {(x, y) | |x|+ |y| = a}

3.∫

γ

ds√x2 + y2 + 4

dx, (γ) : este dreapta de extremitati O(0, 0), A(1, 2)

4.∫

γ

xyds, (γ) : conturul elipsei situat ın primul cadran

5.∫

γ

yds, (γ) : {(x, y) | y2 = 2px, x ∈ [0, x0]}

6.∫

γ

(x2 + y2)ds, (γ) : este dreapta de extremitati A(a, a), B(b, b)

7.∫

γ

ye−xds, (γ) :

{x = ln(1 + t2)y = 2 arctan t− t + 3

t ∈ [0, 1]

8.∫

γ

xyzds, (γ) :

x = t

y = 13

√8t3

z = 12t2

t ∈ [0, 1]

II. Calculati urmatoarele integrale de speta a doua pe drumurile indicate

1.∫

AB

2xydx + x2dy, unde AB, A(0, 0), B(1, 1) este

a. segmentul de dreaptab. arcul de pe parabola y2 = xc. arcul de pe parabola y = x2

d. arcul de pe parabola cubica y = x3


2.∫

AB

xydx + (y − x)dy pe aceleasi drumuri ca mai inainte

3.∫

γ

(x− y2)dx + 2xydy, unde γ este curba de extremitati O(0, 0), B(1, 1) in-

dicata

a. segmentul de extremitati OAb. curba OMA unde M este proiectia lui A pe axa Oxc. curba ONA unde N este proiectia lui A pe axa Oy

4. Aceesi problema pentru∫

γ

(2xy + y2)dx + (2xy + x2)dy,

5.∫

γ

(x2 + 2xy)dy pe conturul elipsei, situat ın semiplanul superior, parcurs ın

sens trigonometric.

6.∫

γ

x2dy − y2dx

x53 + y

53

unde γ este conturul astroidei, curba cu o reprezentare para-

metrica de forma{

x = a sin3 ty = a cos3 t

t ∈ [0, 2π]

7. Este integrala∫

γ

(x2 + y2)(xdx + ydy) egala cu 0 pe orice contur ınchis ? Dar∫

γ

xdx + ydy

x2 + y2?

8. Depinde integrala∫

γ

(xdy − ydx) de drumul de integrare ?

9. Stabiliti existenta functiei primitive si gasiti acesta functie ın urmatoarelecazuri:

a. (4x3y3 − 3y2 + 5)dx + (3x4y2 − 6xy − 4)dyb. (10xy − 8y)dx + (5x2 − 8x + 3)dyc. (4x3y3 − 2y2)dx + (3x4y2 − 2xy)dyd. ((x + y + 1)ex − ey)dx + (ex − (x + y + 1)ey)dy

10. Determinati o conditie echivalenta cu faptul ca F (x, y)(xdx + ydy), undeF : D → R, D ⊂ R2, domeniu simplu conex, este o diferentiala totala exacta.

1.4 Integrala improprieIntegrale improprii pe interval nemarginitFie f : [a, +∞) → R, a ∈ R.

1.4. INTEGRALA IMPROPRIE 17

Definitia 1.4.1 f se numeste integrabila pe [a, +∞) daca1. f este integrabila pe intervalul [a, b], ∀b ∈ R2. exista si este finita limita lim

b→+∞

∫ b

a

f(x)dx. Vom nota∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. (1.20)

Vom spune ın acest caz ca integrala este convergenta si vom nota∫ ∞

a

f(x)dx < +∞,

iar ın caz contrar ca este divergenta.

Definitia 1.4.2 Functia f : [a, +∞) → R, a ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, +∞) daca ∫ +∞

a

| f(x) | dx < +∞.

Integrala∫ +∞

a

f(x)dx se numeste absolut convergenta.

Analog se pot defini notiunile de integrabilitate pe intervale de forma (−∞, b],unde b ∈ R sau (−∞, +∞). Mentionam ca ın acest al doilea caz, alegem c ∈ Rsi reducem la situatiile precedente, daca realizam desfacerea

∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ c

−∞f(x)dx +

∫ +∞

c

f(x)dx.

Exista situatii cand integrala∫ ∞

−∞f(x)dx nu este convergenta si totusi exista si

este finita limita urmatoare, numita valoare principala

vp

∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

a→+∞

∫ a

−a

f(x)dx (1.21)

Teorema 1.4.1 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ +∞

a

f(x)dx < +∞ daca

si numai daca ∀ε > 0, ∃bε astfel ıncat ∀ b′, b′′ > bε are loc

|∫ b′′

b′f(x)dx |< ε. (1.22)

Teorema 1.4.2 Daca f : [a, +∞) → R, a ∈ R este absolut integrabila atuncieste si integrabila.


Teorema 1.4.3 (Criteriul de comparatie) Fie integralele∫ +∞

a

f(x)dx si∫ +∞

a

g(x)dx.

1. Presupunem ca sunt ındeplinite conditiile∫ +∞

a

g(x)dx este convergenta (1.23)

| f(x) |6 g(x), x > x1, x1 ∈ R (1.24)

atunci rezulta ca integrala∫ +∞

a

f(x)dx este absolut convergenta.

2. Daca ∫ +∞

a

f(x)dx este divergenta (1.25)

0 6 f(x) 6 g(x), x > x2, x2 ∈ R (1.26)

rezulta ca integrala∫ +∞

a

g(x)dx este divergenta.

Teorema 1.4.4 (Criteriul cu limita) 1. Daca

limx→+∞

| f(x) | xα < +∞ si α > 1 (1.27)

atunci∫ +∞

a


2. Dacalim

x→+∞f(x)xα > 0 si α 6 1 (1.28)

atunci∫ +∞

a

f(x)dx este divergenta.

Integrale improprii de functii nemarginite

Fie f : [a, b) → R, a, b ∈ R o functie nemarginita ın b.

Definitia 1.4.3 Functia f se numeste integrabila pe [a, b), daca1. f este integrabila pe orice interval ([a, b− ε]), ∀ε > 0

2. exista si este finita limita limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx. Vom nota∫ b

a

f(x)dx = limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx. (1.29)

1.4. INTEGRALA IMPROPRIE 19

Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b

af(x)dx < +∞ iar ın caz contrar,

divergenta.

Definitia 1.4.4 Functia f : [a, b) → R, a, b ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, b) daca

∫ b

a

| f(x) | dx < +∞. (1.30)

Analog se poate defini integrabilitatea pentru functii definite pe (a, b], nemarginiteın a. Daca f : [a, b] → R si f nu este marginita ıntr-un punct interior intervaluluic, studiul convergentei se poate reduce la cazurile precedente, desfacand integrala

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx.

Pentru ultima situatie se defineste de asemenea notiunea de valoare principalaprin urmatoarea limita (daca exista si este finita)

vp

∫ b

a

f(x)dx = limε→0

(∫ c−ε

a

f(x)dx +

∫ b

c+ε

f(x)dx

)(1.31)

Teorema 1.4.5 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ b

af(x)dx este conver-

genta daca si numai daca ∀ε > 0 exista δ > 0 astfel ca oricare ar fi t′, t′′ ∈ [a, b),cu 0 < b− t′ < δ, 0 < b− t′′ < δ are loc

|∫ t′′

t′f(x)dx |< ε. (1.32)

Teorema 1.4.6 Daca functia f este absolut integrabila pe [a, b) atunci ea esteintegrabila pe [a, b).

Teorema 1.4.7 (Criteriu de comparatie) Fie integralele∫ b

af(x) si

∫ b

ag(x)dx.

Daca ∫ +∞

a

g(x)dx este convergenta (1.33)

| f(x) |6 g(x), x ∈ [c1, b), c1 > a (1.34)

rezulta ca∫ b

a


Daca ∫ b

a

f(x)dx este divergenta (1.35)


0 6 f(x) 6 g(x), x ∈ [c2, b), c2 > a (1.36)

rezulta∫ b

a

g(x)dx este divergenta.

Teorema 1.4.8 (Criteriul cu limita) 1. Daca

limx→b,x<b

| f(x) | (b− x)α < +∞ si α < 1 (1.37)

atunci∫ b

a


2. Dacalim

x→b,x<bf(x)(b− x)α > 0 si α > 1 (1.38)

atunci∫ b

a

f(x)dx este divergenta.

I. Studiati convergenta urmatoarelor integrale, iar daca este posibil calculatilimita.

1.∫ +∞

a

dx

1 + x22.

∫ +∞

a

dx

1 + x23.

∫ +∞

a

arctan x

1 + x2dx

4.∫ +∞

a

dx

x ln x, a > 1 5.

∫ ∞

−∞

dx

x2 + 4x + 96.

∫ ∞

1

√x

(1 + x)2dx

7.∫ +∞

a

dx

x√

x2 + 18.

∫ +∞

a

dx

(x2 + a2)n9.

∫ +∞

1

dx

x√

x2 − 1

II. Studiati convergenta urmatoarelor integrale

1.∫ +∞

0

cos x

1 + x2dx 2.

∫ +∞

0

e−x2

dx 3.∫ +∞

0

dx

1 + x4

4.∫ +∞

1

dx

x√

1 + x25.

∫ +∞

0

arctan x

x6.

∫ +∞

1

dx

2x + (x2 + 1)13 + 5

7.∫ +∞

0

xdx

(x5 + 1)12

8.∫ +∞

0

dx

x2 + 3√

x4 + 19.

∫ +∞

0

x52

1 + x2dx

10.∫ +∞

c

dx√x(x− a)(x− b)

, b < a < c 11.∫ +∞

0

(e−a2

x2 − e−b2

x2 )dx

12.∫ +∞

0

xµe−axdx, µ > o, a > 0

1.5. INTEGRALA CU PARAMETRU 21

III. Studiati convergenta urmatoarelor integrale

1.∫ 3

0

dx

(x− 1)22.

∫ 1

0

dx√1− x2

3.∫ 1

0

xdx√1− x4

4.∫ 1

0

dx√x

5.∫ 1

2

0

dx

x ln x6.

∫ 2

−1

dx√| x | 7.

∫ 2

1

dx

ln x8.

∫ 1

−1

dx3√

1− x2

9.∫ 1

0

arcsin x√1− x2

10.∫ b

a

xdx√(x− a)(x− b)

11.∫ ∞

0

x ln x

(1− x2)2dx

1.5 Integrala cu parametruDaca f : [a, b] × R → R este o functie cu proprietatea ca pentru orice y ∈ R,exista integrala

F (y) =

∫ b

a

f(x, y)dx (1.39)

Teorema 1.5.1 (Continuitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b]×R→R este uniform continua, atunci functia F este continua.

Teorema 1.5.2 (Derivabilitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b] ×[c, d] → R si au loc:

i. ∀y ∈ [c, d] exista integrala cu parametru F (y) =

∫ b

a

f(x, y)dx;

ii. exista∂f

∂ycontinua pe [a, b]× [c, d]

atunci F este derivabila si

F ′(y) =

∫ b

a

∂f

∂y(x, y)dx. (1.40)

Teorema 1.5.3 (Teorema lui Leibniz) Fie integrala cu parametru

F (y) =

∫ β(y)

α(y)

f(x, y)dx, y ∈ [c, d]

si presupunem ındeplinite urmatoarele ipoteze

i. functiile α, β : [c, d] → [a, b] sunt derivabile,

ii. f : [a, b]× [c, d] → R este o functie continua,


iii. exista∂f

∂y: [a, b]× [c, d] → R, continua

atunci F este derivabila si are loc formula

F ′(y) = f(β(y), y)β′(y)− f(α(y), y)α′(y) +

∫ β(y)

α(y)

∂f

∂y(x, y)dx. (1.41)

Teorema 1.5.4 (Integrarea unei integrale cu parametru) Fie f : [a, b] ×[c, d] → R o functie continua, atunci are loc formula

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx. (1.42)

Consideram integralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0

xp−1e−xdx (1.43)

si

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx. (1.44)

pe care le numim integralele lui Euler.

Teorema 1.5.5 (Convergenta integralelor lui Euler) Integralele improprii cuparametru (1.43) si (1.44) sunt convergente pentru p > 0, respectiv p, q > 0.

Teorema 1.5.6 ( Formule de calcul) Integralele lui Euler satisfac urmatoareleproprietati

Γ(1) = 1 (1.45)

Γ(p + 1) = pΓ(p) (1.46)

B(p, q) = B(q, p) (1.47)

B(1

2,1

2) = π (1.48)

Corolarul 1.5.1 Din (1.46) deducem

Γ(n + 1) = n! (1.49)

Γ(n +1

2) =

(2n− 1) . . . 31

2nΓ(

1

2) (1.50)

1.5. INTEGRALA CU PARAMETRU 23

Teorema 1.5.7 (Legatura dintre Gamma si Beta) Are loc urmatoarea formula

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q). (1.51)

Corolarul 1.5.2 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate

Γ(1

2) =

√π (1.52)

∫ +∞

0

e−x2

dx =

√π

2(1.53)

Teorema 1.5.8 (Formula lui Gauss)

Γ(p) = limn→+∞

n!np

p(p + 1) . . . (p + n)(1.54)

Teorema 1.5.9 (Formula complementelor ) Daca p ∈ (0, 1) atunci are loc

Γ(p)Γ(p + 1) =π

sin πp(1.55)

I. Calculati urmatoarele integrale folosind derivarea integralei cu parametru.

1. F (y) =

∫ π2

0

ln(y2 − sin2 x)dx, y > 1

2. F (y) =

∫ ∞

0

arctan xy

x(1 + x2)dx

3. F (y) =

∫ b

0

x

(1 + xy)2dx, b > 0

4. F (y) =

∫ b

0

dx

(x2 + y2)3

5. F (y) =

∫ π2

0

1

cos xln

1 + y cos x

1− y cos xdx, y ∈ (−1, 1)

6. F (a, b) =

∫ π2

0

dx

(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2

7. F (a, b) =

∫ ∞

0

e−ax2 − e−bx2

xdx, a > 0, b > 0


8. F (a, b) =

∫ ∞

0

e−ax − e−bx

xsin mx dx

II. Calculati schimband ordinea de integrare

1.∫ ∞

0

e−ax

x(cos bx− cos cx)dx, a > 0, b, c ∈ R

2.∫ ∞

0

e−ax

x(sin bx− sin cx)dx, a > 0, b, c ∈ R

III. Aratati ca urmatoarele egalitati au loc

1. B(p, q) =

∫ +∞

0

yp−1

(1 + y)p+qdy

2 B(p, 1− p) =

∫ +∞

0

yp−1

1 + ydy, 0 < p < 1

3. B(p, q) =q − 1

p + q − 1B(p, q − 1) =

p− 1

p + q − 1B(p− 1, q) p > 1, q > 1

IV. Reduceti la integralele lui Euler si stabiliti natura lor:

1.∫ π

2

0

sinm x cosn xdx, m, n ∈ R

2.∫ 1

0

dx

(1− xm)1n

, m > 0, n ∈ N

3.∫ +∞

0

xm−1

(1 + x)ndx m, n ∈ R

4.∫ +∞

0

xpe−axdx, a > 0, p ∈ R

5.∫ +∞

0

x14

(1 + x)2dx

6.∫ +∞

0

xm−1

1 + xndx, m, n ∈ R

7.∫ +∞

0

x2ne−x2

dx, n ∈ N.

Capitolul 2

Ecuatii diferentiale

2.1 Ecuatia diferentiala de ordinul 1

Forma generala e unei ecuatii diferentiale ordinare de ordinul 1 este

y′(x) = f(x, y) (2.1)

unde x este variabila independenta, y = y(x), x ∈ (a, b) este functia necunos-

cuta, y′(x) =dy

dxeste derivata, iar f : D → R, D ⊂ R2 este o functie continua.

Definitia 2.1.1 Numim solutie a ecuatei (2.1) functia y : (a, b) → R, y = y(x)derivabila pe (a, b) care verifica identic ecuatia (2.1), adica

y′(x) = f(x, y(x)), x ∈ (a, b).

Interpretare geometrica Solutia este o curba ın planul x0y, avand ın fiecarepunct tangenta care variaza continuu in raport cu punctul. Curba se numestecurba integrala si poate fi data cartezian explicit, adica y = y(x) sau cartezianimplicit adica F (x, y) = C. Multimea tuturor curbelor solutie se numeste solutiegenerala.Numim problema Cauchy determinarea unei solutii a ecuatiei (2.1) care satisface oconditie de forma (??). Geometric, aceasta revine la determinarea unei curbe inte-grale care sa teaca printr-un punct dat (x0, y0). Vom stabili o teorema de existentasi unicitate , ın anumite ipoteze asupra lui f a solutiei problemei Cauchy, pe ovecinatate ın jurul lui x0.

1. Ecuatii de forma y′(x) = f(x)

25

26 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE

Consideram problema Cauchy de forma{

y′(x) = f(x)y(x0) = y0

(2.2)

unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b). Solutia problemei Cauchyeste de forma

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t)dt. (2.3)

2. Ecuatii cu variabile separabile

Consideram problema Cauchy de forma{

y′(x) = f(x)g(y)y(x0) = y0

(2.4)

unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b) iar g este o functie continuasi nenula pe (c, d).Solutia problemei Cauchy este de forma

y(x) = G−1(

∫ x

x0

f(t)dt). (2.5)

unde G−1 este inversa functiei G(y) =∫ y

y0

dtg(t)

dt.

Exemplu Sa rezolvam ecuatia{

y′(x) = x2y2

1+x2

y(0) = 1

Separam variabilele si gasim

dy

y2=

x2dx

1 + x2.

Prin integrare obtinem

−1

y= x− arctan x + c.

Punand conditia Cauchy y(0) = 1 gasim c = −1 si solutia este

y(x) =1

arctan x− x + 1.

2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 27

3. Ecuatia omogena

Consideram ecuatia

y′(x) = h(y

x) (2.6)

unde h este o functie continua pe un interval (c, d). facem schimbarea de functie

y

x= u(x)

si prin derivare gasim y′ = u(x)+xu′(x), de unde daca ınlocuim ın ecuatie gasim

xu′(x) = h(u)− u

care este o ecuatie cu variabile separabile.

Exemplu Sa rezolvam ecuata

y′ =xy

x2 − y2.

Observam ca poate fi pusa sub forma

y′ =yx

1− ( yx)2

.

Prin substitutia y = xu(x) gasim

u + xxu′ =u

1− u2

si ajungem la ecuatia cu variabile separabile

xu′ =u3

1− u2.

Prin rezolvarea ei gasim curbele

ln | cy |= − x2

2y2.

4. Ecuatii reductibile la cazul omogen

Consideram ecuatia

y′ =ax + by + c

a1x + b1y + c1

(2.7)


unde a, b, c, a1, b1, c1 ∈ R. Daca c = c1 = 0 atunci ecuatia este omogena. Dacacel putin c sau c1 este diferit de 0, atunci facem schimbarea de variabile

{x = x1 + hy = y1 + k

(2.8)

Se obtine imediat

y′ =ax1 + by1 + ah + bk + c

a1x1 + b1y1 + a1h + b1k + c1

.

Cazul I Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1

∣∣∣∣ 6= 0. (2.9)

Atunci sistemul {ah + bk + c = 0

a1h + b1k + c1 = 0

are solutie unica. Alegand h, k solutii ale acestui sistem si facand schimbarea(2.8) obtinem ecuatia omogena

y′1 =ax1 + by1

a1x1 + b1y1

. (2.10)

Cazul II Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1

∣∣∣∣ = 0. (2.11)

Atuncia

a1

=b

b1

=1

λ.

Alegand a1 = λa, b1 = λb obtinem ecuatia

y′ =ax + by + c

λ(ax + by) + c1

(2.12)

si facand substitutia z = ax + by obtinem ecuatia cu variabile separabile

z′ − a

b=

z + c

λz + c1

.

5. Ecuatii cu diferentiala totala exacta


Fie ecuatia

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.13)

unde P, Q : D → R, D ⊂ R2 sunt functii continue. Presupunem ca Pdx + Qdyeste diferentiala totala exacta. Atunci exista o functie de clasa C1(D) astfel cadF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Atunci solutia generala este

F (x, y) = C, C ∈ R. (2.14)

Metoda factorului integrant

Daca Pdx + Qdy nu este diferentiala totala exacta si presupunem ca suntem peun domeniu simplu conex, ınmultim ecuatia cu functia µ ; ecuatia devine

µP (x, y)dx + µQ(x, y)dy = 0.

si punem conditia ca

∂(µP )

∂y=

∂(µQ)

∂x.

Deducem ecuatia

∂(Q)

∂x− ∂(P )

∂y= P

∂ ln µ

∂y−Q

∂ ln µ

∂x(2.15)

orice functie µ care satisface ecuatia (2.15) se numeste factor integrant.

Caz particular I µ depinde doar de y; atunci∂ ln µ

∂x= 0 si prin integrarea

ecuatiei∂ ln µ

∂y=

∂Q∂x− ∂P

∂y

P.

se gaseste factorul integrant.

Caz particular II µ depinde doar de x, atunci prin analogie factorul integrant segaseste ca solutie a ecuatiei

∂ ln µ

∂x= −

∂Q∂x− ∂P

∂y

Q.

Exemplu Sa integram ecuatia

(y + xy2)dx− xdy = 0.


Observam ca∂P

∂y= 1 + 2xy 6= −1 =

∂Q

∂x.

Cautam un factor integrant care depinde doar de y,

∂ ln µ

∂y=−2(1 + xy)

y(1 + xy).

Prin integrare gasim µ =1

y2, iar solutia ecuatiei este

x

y+

x2

2= C.

6. Ecuatia diferentiala liniara

Consideram problema Cauchy care reprezinta determinarea solutiei ecuatiei

y′ + P (x)y = Q(x) (2.16)

care satisface conditia initialay(x0) = y0. (2.17)

y(x) =

(y0 +

∫ x

x0

Q(t)eR t

x0P (u)du

)e− R x

x0P (t)dt

. (2.18)

Functia definita de (2.18) satisface y(x0) = y0. Se desprind urmatoarele etape ınrezolvarea unei ecuatii liniare de forma mai generala

a(x)y′ + b(x)y = c(x).

Pas 1. Impartim prin a(x) si gasim ecuatia

y′ + P (x)y = Q(x).

Pas 2. Determinam factorul integrant

µ = eR

P (x)dx

Pas 3. Obtinem ecuatia

d(µy)

dx= µQ(x).


Pas 4. Deducem

µy =

∫µQ(x)dx + C

Pas 5. Solutia generala este de forma

y(x) = µ(x)−1(

∫µQ(x)dx + C).

Pas 6. Determinam C din conditia y(x0) = y0.Exemplu Sa rezolvam problema Cauchy

cos x y′ + y = sin x, y(0) = 2.

Pas 1. Ecuatia devine

y′ +1

cos xy = tan x.

Pas 2. Factorulul integrant este

µ = eR

dxcos x =

1 + sin x

cos x.

Pas 3. Obtinem ecuatia

d(1+sin xcos x

y)

dx=

1 + sin x

cos xtan x.

Pas 4. Deducem

1 + sin x

cos xy =

∫1 + sin x

cos xtan xdx = tan x− x + C.

Pas 5. Solutia generala este

y(x) =cos x

1 + sin x

(1 + sin x

cos x− x + C

).

Pas 6. Deducem constanta C = 1.

7. Ecuatia diferentiala Bernoulli

Forma generala este

y′ + P (x)y = Q(x) yα, α ∈ R (2.19)


Pentru unele cazuri particulare ale lui α se obtin cazuri de ecuatii deja studiate. Ingeneral ımpartim prin yα si obtinem

y′

yα+ P (x)y1−α = Q(x).

Facem substitutia

z(x) = y(x)1−α (2.20)

si obtinem imediat ecuatia liniara

z′ + (1− α)P (x)z = (1− α)Q(x).

Exemplu Sa rezolvam ecuatia

y′ +x

1− x2y = x

√y.

Facem substitutia z =√

y si gasim ecuatia liniara

z′ +x

2(1− x2)=

x

2

cu solutia

z = (1− x2)14 (−1

3(1− x2)

34 + C),

de unde √y = −1

3(1− x2) + C(1− x2)

14 .

I. Aratati ca urmatoarele functii sunt solutii ale ecuatiilor diferentiale indicate1. y(x) = c1 cos x + c2 sin x, y′′(x) + y(x) = 02. y(x) = c1e

x + c2e−x, y′′(x)− y(x).

II. Deduceti ecuatia diferentiala a carei solutie este y(x) = ex(a cos x + b sin x).

III. Rezolvati urmatoarele ecuatii diferentiale

1. y′ =x(2 ln x + 1)

sin y + y cos y, 2. y − xy′ = a(y2 + y′) 3. y′ = e2x+3y

4. xyy′ = 1 + x + y + xy 5. (x + y)(dx− dy) = dx + dy

6.{

3ex

1+ex dx + 2sin 2y

dy = 0

y(0) = π2

7.{

xy′ + coth y = 0

y(√

2)


8. (x + y − 1)dx = (x + y + 1)dy 9.y

x

dy

dx=

√1 + x2 + y2 + x2y2

10. ey(1 + x2)dy

dx− 2x(1 + ey) = 0 11. (x−yx2)y′ + y2 + xy2 = 0

12.{

(1 + x3)dy − x2ydx = 0y(1) = 2

13. a(xdy + ydx) = xydy

14. xdy − ydx =√

x2 + y2dx 15. (x + y)dx + (y − x)dy = 0

16. xdy

dx+

y2

x= y 17. (y2 − 2xy)dx = (x2 − 2xy)dy

18. x(x− y)y′ = y(x + y) 19. (√

xy − x)dy + ydx = 0

20. (y2 + 2xy)dx + (2x2 + 3xy)dy = 0 21. xy′ = y(ln y − ln x)

22. xy′ = y + x cos2 y

x23. (1 + e

xy )dx + e

xy (1− x

y)dy = 0

23. (3y − 7x + 7)dx + (7y − 3x + 3)dy = 0 24. y′ =y + x− 2

y − x− 4

25. (3y + 2x + 4)dx− (4x + 6y + 5)dy = 0 26. y′ =x + 2y − 3

2x + y − 327. (2x− 2y + 5)y′ = x− y + 3 28. (x + y)(dx− dy) = dx + dy

29. x(1− x2)y′ + (2x2 − 1)y = x3 30. (1 + y2)dx = (arctan y − x)dy

31.dy

dx+

y

x= x3 − 3 32. x ln x

dy

dx+ y = 2 ln x 33. cos2 xy′ + y = tan x

34. (1 + x3)y′ + 6x2y = 1 + x2 35. x2y′ = 3x2 − 2xy + 1

36. (x+2y3)y′ = y 37.e−y

cos2 ydy = dx + xdy 38.

{y′ + y coth x = 4x

sin x

y(π2) = 0

39. xy(1+xy2)y′ = 1 40. y′+x sin 2y = x3 cos2 y 41. xy′+ y = x3y6

42. y′ + y tan x = y3 cos x 43. y′ +y ln y

x=

y(ln y)2

x2

44.{

y − y′ cos x = y2(1− sin x) cos xy(0) = 2

45. y′ − x2y = y2e−13x3

46. (5x4 + 3x2y2 − 2xy3)dx + (2x3y − 3x2y2 − 5y4)dy = 047. (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 48. (y cos x + 1)dx + sin xdy = 0

49. (1 + exy )dx + (1− x

y)e

xy = 0 50. yexydx + (xexy + 2y)dy = 0


2.2 Ecuatia diferentiala de ordinul n

2.3 Sisteme simetriceConsideram sistemul diferential de forma

x′(t) = f(x), x = (x1, . . . , xn), (2.21)

unde f : D → Rn, D ⊂ Rn este o multime deschisa, iar f(x1, . . . , xn) =(f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn)) este o functie de clasaC1(D). Reamintim ca acest lucru ınseamna faptul ca functia are derivate partialede ordinul ıntai continue pe domeniul considerat.Pe componente, sistemul (2.21) are forma:

x′1(t) = f1(x1, . . . , xn)x′2(t) = f2(x1, . . . , xn). . .x′n(t) = fn(x1, . . . , xn).

Un sistem de forma (2.21) se numeste autonom.

Definitia 2.3.1 Functia U : D → R, U(x) = U(x1, . . . , xn) de clasa C1(D0)unde D0, D0 ⊂ D este submultime deschisa, se numeste integrala prima a sis-temului (2.21) daca

i. nu este identic constantaii. U(ϕ(t)) ≡ c, c ∈ R, pentru orice traiectorie (solutie) x = ϕ(t) a sistemu-

lui (1.1) care ramane ın D0.

Observatie. Constanta din conditia ii. depinde de traiectorie.

Exemplul 2.3.1 Fie sistemul diferential

x′1(t) = x2 − x3

x′2(t) = x3 − x1

x′3(t) = x1 − x2.

Functiile U1(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 si U2(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 sunt

integrale prime.

Solutie Prima conditie din definitie este evidenta. Pentru a doua, daca x = ϕ(t)este o solutie, avem

x′1x1 + x′2x2 + x′3x3 = x1(x2 − x3) + x2(x3 − x1) + x3(x1 − x2) = 0,

2.3. SISTEME SIMETRICE 35

care atrage d(x21 + x2

2 + x23) = 0, deci U1(ϕ(t)) = x2

1 + x22 + x2

3 = c1. Analog,deoarece x′1+x′2+x′3 = 0, rezulta x1+x2+x3 = c2, si U2(ϕ(t)) = x1+x2+x3 =c2.

Teorema 2.3.1 (Caracterizarea integralelor prime) Functia U ∈ C1(D0) esteintegrala prima a sistemului (2.21) daca si numai daca

∂U

∂x1

(x)f1(x) +∂U

∂x2

(x)f2(x) + . . . +∂U

∂xn

(x)fn(x) = 0, ∀x ∈ D0. (2.22)

Definitia 2.3.2 Punctul a ∈ Rn se numeste punct critic al sistemului (2.21) dacaf(a) = (f1(a), . . . , fn(a)) = 0.

Definitia 2.3.3 Functiile U1, U2, . . . , Uk de clasa C1 se numesc independenteıntr-o vecinatate a punctului a ∈ Rn, daca matricea iacobiana

(∂Ui

∂xj

(a)

)i = 1, . . . k, j = 1, . . . n, (2.23)

are rangul k.

Exemplul 2.3.2 U1 si U2 din exemplul (2.3.1) sunt independente ın vecinatateaoricarui punct diferit de origine.

Solutie Pe R3 \ {(0, 0, 0)} matricea iacobiana(

∂Ui

∂xj

(a)

)=

(2x1 2x2 2x3

1 1 1

)

are rangul 2.

Teorema 2.3.2 ( Existenta integralelor prime) Intr-o vecinatate a unui puncta ∈ Rn, care nu este critic exista exact n− 1 integrale prime independente.

Consecinta Solutia generala a sistemului (2.21) este de forma

U1(x1, . . . , xn) = c1

. . . . . . . . . . . . . . .Un−1(x1, . . . , xn) = cn−1,

(2.24)

unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente.


Teorema 2.3.3 Fie U1, . . . , Un−1 integrale prime ale sistemului (2.21) indepen-dente ıntr-o vecinatate a lui a ∈ Rn care nu este punct critic si W o integrala primaoarecare. Atunci exista o functie F : Rn−1 → R de clasa C1 ıntr-o vecinatate apunctului (U1(a)), . . . , Un−1(a)) astfel ca

W (x) = F (U1(x), . . . , Un−1(x)), (2.25)

pentru orice x din vecinatate.

Teorema 2.3.4 (Metoda combinatiilor integrabile) Daca exista functiileµ1, . . . , µn : D → R continue care satisfac1. µ1f1 + . . . + µnfn = 02. Exista o functie U de clasa C1 astfel ca dU = µ1dx1 + . . . µndxn

atunci U este o integrala prima pentru (2.21).

Exemplul 2.3.3 Sa rezolvam sistemul{

x′1 = x2

x′2 = x1.

Solutie Exista functiile µ1 = x1, µ2 = −x2 continue, astfel ca1. µ1f1 + µ2f2 = x1x2 + (−x2)x1 = 02 x1dx1 − x2dx2 = 1

2d(x2

1 − x22).

Urmeaza ca U(x1, x2) = x21 − x2

2 este integrala prima, iar solutia sistemului este

x21 − x2

2 = c.

Observatie Daca f 21 + f 2

2 + . . . + f 2n > 0 pe D, atunci sistemul (2.21) poate fi

scris sub forma

dx1

f1(x1, . . . , xn)=

dx2

f2(x1, . . . , xn)= . . . =

dxn

fn(x1, . . . , xn)(2.26)

si se numeste sistem simetric. Deci solutia unui sistem simetric data de (2.24),reprezinta o traiectorie (curba) inclusa ın n−1 suprafete Ui(x1, . . . , xn) = ci, i =1, n− 1.

Observatie Daca sistemul (2.21) nu este autonom, deci are forma generala

x′ = f(t, x), x = (x1, . . . , xn), f = (f1, . . . , fn), (2.27)

atunci i se asociaza sistemul simetric


dx1

f1(t, x1, . . . , xn)=

dx2

f2(t, x1, . . . , xn)= . . . =

dxn

fn(t, x1, . . . , xn)=

dt

1

si solutia este intersectia a n suprafete.

Exemplul 2.3.4 Sa rezolvam sistemul simetric

dx1

x3 − x2

=dx2

x1 − x3

=dx3

x2 − x1

.

Solutie Daca adunam rapoartele obtinem o fractie cu numaratorul dx1+dx2+dx3

si numitorul 0. Deci din d(x1 + x2 + x3) = 0 deducem x1 + x2 + x3 = c1.Daca amplificam fractiile cu x1, x2, x3 respectiv si adunam rapoartele obtinemd(x2

1 + x22 + x2

3) = 0, de unde x21 + x2

2 + x23 = c2. Deci solutia este de forma

{x1 + x2 + x3 = c1

x21 + x2

2 + x23 = c2

deoarece din exemplul precedent am obsercat ca cele doua integrale primeU1(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 si U2(x1, x2, x3) = x2

1 + x22 + x2

3 sunt indepen-dente.

Observatie Cunoasterea a k integrale prime independente k < n, permite redu-cerea numarului de functii necunoscute cu k unitati.

Exemplul 2.3.5 Sa rezolvam urmatorul sistem neautonom{

x′1 = tx2

x′2 = tx1.

Solutie Sistemul se pune sub forma simetrica

dx1

tx2

=dx2

tx1

=dt

1.

Din primele doua relatii deducem o prima suprafata x21 − x2

2 = c1, iar din ultimiledoua relatii ın care folosim suprafata gasita obtinem ln(x1 + x2)− t2

2= c2. Deci

solutia este

x21 − x2

2 = c1

ln(x1 + x2)− t2

2= c2.

Integralele prime gasite sunt independente deoarece pe domeniul de existenta ran-gul matricei

2x1 −2x2 01

x1 + x2

1

x1 + x2

−t

este 2.


2.3.1 Probleme propuse1.1 Studiati daca pentru urmatoarele sisteme si functii U , egalitatile U = c sunt

integrale prime. Ce se poate spune despre independenta lor ?

a{

x′ = yy′ = x

U1(x, y) = x2 − y2, U2(x, y) = ln(x + y)− t, U3 = xy.

b.dx

z + 3y=

dy

3(z − x)=

dz

−x− 3y, U1(x, y) = 3x− y + 3z, U2(x, y) =

x2 + y2 + z2.

Rezolvati urmatoarele sisteme diferentiale:

1.2dx

dt=

x− y

z − t,dy

dt=

x− y

z − t,dz

dt= x− y + 1

1.3dx

2y + z=

dy

z − 2x=

dz

−x− y

1.4dx

x=

dy

y=

dz

x + y

1.5dx

x + y=

dy

y − x=

dz

z

1.6dx

x(y − z)=

dy

y(z − x)=

dz

z(x− y)

1.7dx

a2z − a3y=

dy

a3x− a1z=

dz

a1y − a2x

1.8dx

y(x + y)=

dy

−x(x + y)=

dz

(x− y)(2x + 2y + z)

1.9dx

2xz=

dy

2yz=

dz

z2 − x2 − y2

1.10dx

xy2=

dy

x2y=

dz

z(x2 + y2)

1.11dx

x3 + 3xy2=

dy

2y3=

dz

2y2z

1.12dx

x(y2 − z2)=

dy

−y(x2 + z2)=

dz

z(x2 + y2)


1.13dx

−xy2 + x + y=

dy

x2y − x− y=

dz

z(y2 − x2)

1.14dx

x(y2 − z2)=

dy

y(z2 − x2)=

dz

z(x2 − y2)

1.15dx

z − y=

dy

x− z=

dz

y − x

1.16dx

x2 − y2 − z2=

dy

2xy=

dz

2xz

1.17dx

1 +√

z − x− y=

dy

1=

dz

2

1.18dx

x=

dy

y=

dz

z −√

x2 + y2 + z2

1.19dx

1 + x2=

dy

x(2− y)=

dz

1 + z2

1.20dx

1 +√

3zx− y=

dy

2=

dz

1

1.21dx

x=

dy

yz=

dz

−z2 − 1

Sa se integreze sistemele:

1.22{

(z − y)2dy = zdx(z − y)2dz = ydx

1.23

dy

dx= z

dz

dx= −z2 + 1

y

1.24

dy

dx= 1− 1

zdz

dx=

1

y − x

1.25

x′(t) = − 2tx

x2 + y2 − t2

y′(t) = − 2ty

x2 + y2 − t2


2.3.2 Solutii1.1 a. U1, U2 verifica evident conditia, iar U3 nu; primele doua sunt indepen-

dente.

b. Ambele sunt integrale prime si independente.

1.2 Din primele doua deducem x − y = c1, iar ultima ecuatie devinedz = (1 + c1)dt, de unde z = (1 + x − y)t + c2. Din a doua ecuatiedy

c1

=dt

c2 + (1 + c1)t− tcu solutia y − ln |z − t| = c3.

1.3 Au locdy

z − 2x=

−2dz

2x + 2y=

d(y − 2z)

z + 2y=

dx

2y + z, de unde y−2z−x = c1

si xdx + ydy + zdz = 0.

1.4 Din primele doua rapoarte y = c1x; deducemdx + dy

x + y=

dz

x + y, de unde

x + y − z = c2.

1.5 Sistemul e echivalent cuxdx

x2 + xy=

ydy

y2 − xy=

zdz

z2.

Se obtine x2 + y2 + z2 = c1z2; primele doua relatii constituie o ecuatie

omogena cu solutia√

x2 + y2 = c2e−arctg

y

x .

1.6 Avemdx

x(y − z)=

dy

y(z − x)=

dz

z(x− y)=

dx + dy + dz

0=

dxx

+ dyy

+ dzz

0,

deci x + y + z = c1, xyz = c2.

1.7 Au locdx

a2z − a3y=

dy

a3x− a1z=

dz

a1y − a2x=

a1dx + a2dy + a3dz

0=

=xdx + ydy + zdz

0si a1x + a2y + a3z = c1, x2 + y2 + z2 = c2.

1.8 Din primele doua rapoarte x2 + y2 = c1. Avem apoidx + dy

(x + y)(y − x)=

dz

(x− y)(2x + 2y + z), de unde cu schimbarea x+y = u, obtinem o ecuatie

liniara cu solutia z(x + y) + (x + y)2 = c2.

1.9 Din primele doua y = c1x, apoixdx

2x2z=

ydy

2y2z=

zdz

z3 − zx2 − zy2=

xdx + ydy + zdz

z(x2 + y2 + z2)=

dx

2xz,

de unde x2 + y2 + z2 = c2x.


1.10 Din primele doua avem y2 − x2 = c1. Apoiydx + xdy

xy(x2 + y2)=

dz

z(x2 + y2), de

unde c2z = xy.

1.11 Din ultimele doua z = c1y, iar primele doua constituie ecuatie omogena siy3 + x2y = c2x

2.

1.12 Amplificam fiecare raport cu x, y, z respectiv si prin adunare xdx + ydy +

zdz = 0. Apoidx

x(y2 − z2)=

zdy + ydz

yz(y2 − z2), de unde yz = c2x.

1.13 Amplificam primele doua rapoarte cu x respectiv y adunam si obtinemxdx + ydy

x2 − y2=

dz

z(y2 − x2)de unde x2 + y2 + ln z2 = c1; amplificam prima

cu yz, a doua cu xz a treia cu xy , adunam si egalam cu a treia fractie;deducem xyz − z = c2.

1.14 Amplificam prima cu x, a doua cu y, a treia cu z si avem x2 + y2 + z2 = c1;apoi amplificam prima cu yz, a doua cu xz, a treia cu xy si egalam cuultimul raport avem xyz − z = c2.

1.15 Din dx + dy + dz = 0 rezulta x + y + z = c1 si xdx + ydy + zdz = 0rezulta x2 + y2 + z2 = c2.

1.16 Din ultimele doua deducemdy

y=

dz

z, y = c1z si

xdx + ydy + zdz

x(x2 + y2 + z2)=

=dy

2xy, de unde

x2 + y2 + z2

y= c2.

1.17 Din ultimele doua 2y−z = c1 sidz − dx− dy

−√z − x− y= dy, de unde prin substitutia

z − x− y = t deducem y + 2√

z − x− y = c2.

1.18 Din primele doua x = yc1. Apoixdx + ydy + zdz

x2 + y2 + z2 − z√

x2 + y2 + z2=

=dz

z −√

x2 + y2 + z2de unde prin substitutia x2 + y2 + z2 = t, avem

dt

2(t− z√

t)=

dz

z −√t; rezulta

dt

−2√

t(z −√t)=

dz

z −√tsi z +

√t = c2.

1.19 Din primul si ultimul arctgx−arctgz = c1, iar din primele douaxdx

1 + x2=

dy

2− yde unde (1 + x2)(2− y)2 = c2.


1.20 Din ultimele doua y − 2z = c1 si3dz − dx− dy

−√3z − x− y= dz, de unde rezulta

dt

−√t= dz,

z + 2√

3z − x− y = c2.

1.21 Din ultimele douady

y= − zdz

z2 + 1, de unde y2(z2 + 1) = c1 si daca am-

plificam a doua cu z si a treia cu y, deducem dx + d(yz) = 0, x + yz = c2.

1.22 Poate fi pus sub forma simetricadyz

(z−y)2

=dzy

(z−y)2

= dx, de unde din primele

doua y2 − z2 = c1; avem apoid(z − y)

y−z(z−y)2

= dx, de unde (z − y)d(z − y) =

−dx si (z − y)2 + 2x = c2.

1.23 Avem forma simetricady

z=

dz

− z2+1y

= dx si din primele doua obtinem

dy

y= − zdz

z2 + 1, de unde y2(z2 + 1) = c1, iar daca amplificam prima cu z, a

doua cu y, deducem zdy + ydz + dx = 0, yz + x = c2.

1.24 Atasam sistemul dx =dy

1− 1z

=dz1

y−x

, de undedx− dy

1z

=dz1

y−x

care antre-

neazad(y − x)

y − x= −dz

zsi (y − x)z = c1; ınlocuim z =

c1

y − xın prima

ecuatie si obtinem y′(x) = 1− y − x

c1

, care este o ecuatie liniara cu solutia

ex

z(y−x) (y − x) = c2.

1.25 Avem sistemul simetricdx

−2tx=

dy

−2ty=

dt

x2 + y2 − t2; din primele doua

rezulta x = yc1; apoixdx + ydy + tdt

−t(x2 + y2 + t2)=

dx

−2txde unde x2+y2+t2 = xc2.

2.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I

2.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I

Ecuatia liniara si omogena are forma

2.5. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 43

a1(x1, . . . , xn)∂z

∂x1

+a2(x1, . . . , xn)∂z

∂x2

+ . . .+an(x1, . . . , xn)∂z

∂xn

= 0, (2.28)

unde ai sunt functii de clasa C1(D), D ⊂ Rn,

n∑i=1

a2i > 0, ∀x ∈ D, iar z =

z(x1, . . . , xn) este o functie ce trebuie determinata.Din teorema (2.3.1), solutia ecuatiei este o integrala prima oarecare a sistemuluisimetric

dx1

a1(x1, . . . , xn)=

dx2

a2(x1, . . . , xn)= . . . =

dxn

an(x1, . . . , xn). (2.29)

deci, daca mai tinem cont de teorema (2.3.3) solutia generala a ecuatiei liniare siomogene este:

u(x) = W (U1(x1, . . . , xn), U2(x1, . . . , xn), . . . , Un−1(x1, . . . , xn)), (2.30)

unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente.Sistemul (2.29) se mai numeste caracteristic, iar solutia lui curba caracteristica.

Ecuatia cvasiliniara are forma

a1(x1, . . . , xn, z)∂z

∂x1

+ a2(x1, . . . , xn, z)∂z

∂x2

+ . . . + an(x1, . . . , xn, z)∂z

∂xn

=

= a(x1, . . . , xn, z), (2.31)

unde ai sunt functii de clasa C1(D), D ⊂ Rn+1,

n∑i=1

a2i > 0, ∀(x, z) ∈ D, iar

z = z(x1, . . . , xn) este o functie ce trebuie determinata.Cautam solutia ecuatiei (2.31) sub forma implicita

u(x1, . . . , xn, z(x1, . . . , xn)) = 0. (2.32)

Folosind derivarea functiilor definite implicit, ecuatia (2.31) poate fi pusa subforma

a1(x1, . . . , xn, z)∂u

∂x1

+ . . . + an(x1, . . . , xn, z)∂u

∂xn

+ a(x1, . . . , xn, z)∂u

∂z= 0.

(2.33)


care este liniara si omogena avand drept sistem caracteristic, urmatorul sistemsimetric de ordinul n + 1.

dx1

a1(x1, . . . , xn, z)= . . . =

dxn

an(x1, . . . , xn, z)=

dz

a(x1, . . . , xn, z),

cu solutia generala

u(x1, . . . , xn, z) = F (U1(x1, . . . , xn, z), . . . , Un(x1, . . . , xn, z))

unde U1, . . . , Un sunt n integrale prime independente, iar F este o functie de clasaC1 pe un domeniu D0. Deci solutia ecuatiei cvasiliniare (2.31) este

F (U1(x1, . . . , xn, z), . . . , Un(x1, . . . , xn, z)) = 0, (2.34)

care defineste solutia z = z(x1, . . . , xn) implicit.

Exemplul 2.5.1 Sa determinam suprafata z = z(x, y) care satisface ecuatialiniara

y∂z

∂x+ x

∂z

∂y= 0.

Solutie Asociem ecuatiei liniare omogene sistemul caracteristic de ordin 2 pedomeniul R2 \ {(0, 0)}.

dx

y=

dy

x,

care are integrala prima U1(x, y) = x2 − y2, deci solutia este

z(x, y) = F (U(x, y)),

unde F este o functie de clasa C1 pe un interval real.

Exemplul 2.5.2 Sa determinam solutia ecuatiei

x1∂z

∂x1

+ (x3 + z)∂z

∂x2

+ (x2 + z)∂z

∂x3

= x2 + x3.

Solutie Ecuatia este cvasiliniara. Atasam sistemul simetric

dx1

x1

=dx2

x3 + z=

dx3

x2 + z=

dz

x2 + x3

.

Deducem prin adunarea ultimelor trei rapoarte ca

dx1

x1

=d(x2 + x3 + z)

2(x2 + x3 + z),


de unde prin integrare deducem

ln |x1| = 1

2ln |x2 + x3 + z|+ 1

2ln |c1|,

deci x2 + x3 + z = c1x21. Apoi din

dx1

x1

=d(x2 − x3)

x3 − x2

,

deducem ln |x1| = − ln |x2 − x3|+ ln |c2|, de unde x1(x2 − x3) = c2. Din

dx1

x1

= −d(z − x3)

z − x3

deducem x1(z − x3) = c3. Solutia este functia z, definita implicit de

F

(x2 + x3 + z

x21

, x1(x2 − x3), x1(z − x3)

)= 0.

Problema Cauchy. Cazul n=2 Se considera ecuatia

P (x, y, z)∂z

∂x+ Q(x, y, z)

∂z

∂y= R(x, y, z). (2.35)

Problema Cauchy revine la determinarea suprafetei z = z(x, y) care contine curbadata parametric

(Γ)

x = f(s)y = g(s)z = h(s)

s ∈ I, (2.36)

unde f, g, h sunt functii de clasa C1(I), I ⊂ R si f ′2 + g′2 + h′2 6= 0.

Teorema 2.5.1 Presupunem ca P 2 + Q2 6= 0 pe un domeniu din R2 si

∆ =

∣∣∣∣P Qf ′ g′

∣∣∣∣ 6= 0, ∀s ∈ I. (2.37)

Atunci problema Cauchy (2.35) , (2.36) are solutie unica definita ıntr-o vecinatatea curbei Γ.

De multe ori curba Γ din problema Cauchy este data sub forma{

g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0


unde g1, g2 sunt functii de clasa C1 pe D ⊂ R3, cu matricea iacobianaD(g1, g2)

D(x, y, z)de rang 2. Pentru determinarea practica a suprafetei atasam un sis-

tem de forma

U1(x, y, z) = c1

U2(x, y, z) = c2

g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0,

care exprima faptul ca prin orice punct de pe curba trece o solutie a sistemuluicaracteristic. Prin eliminarea necunoscutelor x, y, z se obtine o legatura ıntre in-tegralele prime, de forma

ψ(c1, c2) = 0

care reprezinta conditia de comaptibilitate si conduce la o solutie sub forma im-plicita.

Exemplul 2.5.3 Sa determinam suprafata data de ecuatia

2xz∂z

∂x+ 2yz

∂z

∂y+ x2 + y2 − z2 = 0

si care contine curba Γ

{x = 2y2 + z2 = y.

Solutie Sa aflam mai ıntai curbele caracteristice, adica solutiile sistemului simetric

dx

2xz=

dy

2yz=

dz

z2 − x2 − y2.

Deducemd(x2 + y2 + z2)

2z(x2 + y2 + z2)=

dx

2xz, de unde gasim x2 + y2 + z2 = c1x. Din

primele doua rapoarte rezulta imediat y = xc2. Pentru reprezentarea parametrica

a curbei de forma

x = 1y = yz = h(y)

, determinantul definit ın formula (2.37) ∆ =

∣∣∣∣2xz 2yz0 1

∣∣∣∣ rezulta nenul, daca pe domeniul ales z 6= 0. Apoi formam sistemul

y = c2xx2 + y2 + z2 = c1xx = 2y2 + z2 = y.


Eliminand necunoscutele x, y, z se obtine conditia de compatibilitate c2−c1+2 =0, care conduce la x2 + y2 + z2 − y − 2x = 0.

2.5.1 Probleme propuseRezolvati urmatoarele ecuatii cu derivate partiale de ordinul I omogene:

2.1 y∂u

∂x− x

∂u

∂y= 0

2.2 (1 + x2)∂u

∂x+ xy

∂u

∂y= 0

2.3 z∂u

∂x+ (x− z)2∂u

∂y+ x

∂u

∂z= 0

2.4 x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ (x + y)

∂u

∂z= 0

2.5 x(y2 − z2)∂u

∂x− y(x2 + z2)

∂u

∂y+ z(x2 + y2)

∂u

∂z= 0

2.6 x(y − z)∂u

∂x+ y(z − x)

∂u

∂y+ z(x− y)

∂u

∂z= 0

2.7 x∂u

∂x+ y

∂u

∂y− z2∂u

∂z= 0

2.8 x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+

√x2 + y2

z

∂u

∂z= 0

2.9 x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ (x + y + z)

∂u

∂z= 0

2.10 x1∂u

∂x1

− 2x2∂u

∂x2

− x3∂u

∂x3

= 0

2.11 (x3x4 − x1x22)

∂u

∂x1

+ x2x3∂u

∂x2

+ x23

∂u

∂x3

+ x3x4∂u

∂x4

=0

2.12 x1∂u

∂x1

+ x2∂u

∂x2

+ . . . + xn∂u

∂xn

= 0

2.13 a1∂u

∂x1

+ a2∂u

∂x2

+ . . . + an∂u

∂xn

=0, ai ∈ R


2.14 x21

∂u

∂x1

+ x22

∂u

∂x2

+ . . . + x2n

∂u

∂xn

= 0,.

Determinati solutia generala a ecuatiilor cvasiliniare, sau reductibile laecuatiii cvasiliniare:

2.15 2y∂z

∂x+ 3x2 ∂z

∂y+ 6x2y = 0

2.16 y∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= −1− z2

2.17 (y + x)∂z

∂x+ (y − x)

∂z

∂y= z

2.18 2xz∂z

∂x+ 2yz

∂z

∂y= z2 − x2 − y2

2.19 xz∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= x

2.20 u∂u

∂x+ (u2 − x2)

∂u

∂y= −x

2.21 z∂z

∂x− z

∂z

∂y= y − x

2.22 xz∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= x

2.23 x∂z

∂x+ y

∂z

∂y=

√x2 + y2

2.24 xz∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= −xy

2.25 x∂u

∂x− y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= u

2.26 x(y − z)∂u

∂x+ y(z − x)

∂u

∂y+ z(x− y)

∂u

∂z= u(y − z)

2.27 (1 +√

u− x1 − x2)∂u

∂x1

+∂u

∂x2

= 2

2.28 x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= x2 + 2u


2.29 x1∂u

∂x1

+ . . . + xn∂u

∂xn

= ku.

Determinati suprafetele z = z(x, y) care includ curbele indicate:

2.30 x∂z

∂x− y

∂z

∂y= z, (Γ) : x = y, z = x2

2.31 x2 ∂z

∂x− xy

∂z

∂y+ y2 = 0, (Γ) : y = 1, z = x2

2.32 xy2 ∂z

∂x+ x2y

∂z

∂y= z(x2 + y2), (Γ) : y = 1, x2 + z2 = 1

2.33 (x− y)∂z

∂x− y

∂z

∂y= z, (Γ) : x = y, z = x2

2.34 (1 +√

z − x− y)∂z

∂x+

∂z

∂y= 2, (Γ) : x = y, z = 0

2.35 (cy − bz)∂z

∂x+ (az − cx)

∂z

∂y= bx− ay, a, b, c ∈ R (Γ) : x = y = z

2.36 (y − z)∂z

∂x− (y − 1)

∂z

∂y= z − 1, (Γ) : x = 1, z = y2

2.37 (y2 + z2 − x2)∂z

∂x− 2xy

∂z

∂y= −2xz, (Γ) : x = 1, y2 + z2 = 2.

Rezolvati problemele Cauchy:

2.38 x∂z

∂x+ 2y

∂z

∂y= 0, z(1, y) = 1 + y

2.39 (x + y)∂z

∂x+ (x− y)

∂z

∂y= 0, z(x, 0) = −x2

2.40√

x∂u

∂x+√

y∂u

∂y+√

z∂u

∂z= 0, u(x, y, 1) = x− y

2.41 x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z, z|{x2+y2=1} = x

2.42 x∂u

∂x− y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= x2, u(1, y, z) = y2 − z


2.43 x(y2 − z2)∂u

∂x− y(x2 + z2)

∂u

∂y+ z(x2 + y2)

∂u

∂z= u(x2 + y2),

u(x, y, 1) = y2

2.44 2x3∂u

∂x+ (y3 + 3x2y)

∂u

∂y+ 2x2z

∂u

∂z= ux2, u(1, y, z) = y2 + z

2.45 (x−√

x2 + y2 + z2)∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= u, u(x, y, 1) = x2

2.46 2xz ∂z∂x

+ 2yz ∂z∂y

= z2 − x2 − y2, z(x, 1, z) = x

2.47 x∂u

∂x− y

∂u

∂y= u, u|{x=y} = x3

2.48 xz∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= −xy, z(x, 2) = x.

Capitolul 3

Integrale vectoriale

51

Integrale Si Ecuatii Diferentiale

Documents

Transcript of Integrale Si Ecuatii Diferentiale