INTEGRAL FRACCIONARIA DE RIEMANN-LIOUVILLE UNA INTRODUCCIÓN A SU ESTUDIO

Cerutti, Ruben Alejandro Ramos, Wilfredo Ariel

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura

Universidad Nacional del Nordeste

RESUMEN

En este trabajo se estudia el operador integral de Riemann-Liouville demostrándose algunas de sus propiedades más importantes. Se presentan las transformadas integrales de Laplace y de Fourier, se estudia su acción sobre los operadores de Riemann-Liouville y se muestran algunas aplicaciones.

PALABRAS CLAVE: Cálculo Fraccionario, Operador Integral de Riemann-Liouville. Transformadas Integrales de Laplace y de Fourier.

1 INTRODUCCIÓN

La integración o la derivación de orden no entero se remonta a la misma época de los orígenes del cálculo diferencial, cuando el propio Leibniz hizo alguna observación acerca del sentido de una media derivada o derivada de orden 1/2 a finales del siglo XVII. No obstante eso, las investigaciones rigurosas que dieron lugar a las primeras definiciones de las integrales de orden no entero se debieron a Liouville alrededor de 1837, que fueron completadas por Riemann culminando con la definición del operador de integración fraccionaria llamado actualmente Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville obtenido en la solución de la ecuación integral de Abel. Actualmente existen muchas diferentes formas de definiciones de operadores integrales fraccionarios, no necesariamente equivalentes, como la de Grünwald-Letnikov, la de Weyl y la de Caputo, por ejemplo. (cf:[12]).

La modificación debida a Riemann de la integral fraccionaria de Liouville es una generalización directa de la fórmula de Cauchy para una integración iterada n-veces (ver [1], pag. 33, [8] pág. 64, [12] pág. 33) de la función :

para continua e integrable en cualquier intervalo finito y con el adecuado comportamiento de en el extremo inferior . Dado que , donde denota la función Gamma de Euler evaluada en el número natural , Riemann consideró que el segundo miembro de (1.1) podría tener sentido aún cuando

tomara valores no naturales.

Razonamientos análogos permitieron, buscando una generalización del concepto clásico de la derivada de una función, la introducción de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, definida para satisfaciendo ciertas condiciones.

Uno de los propósitos de este trabajo, que reúne resultados que forman parte de la Tesis de Licenciatura en Matemática de uno de los autores (W. A. R.), es estudiar las propiedades de la integral fraccionaria. Debido a que en la definición de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville interviene la función Gamma de Euler, en la sección 2.1 se introduce esta función junto con sus propiedades más importantes. Además en la sección 2.2 se estudia la función Beta de Euler, que será utilizada para la prueba de algunas propiedades de las integrales fraccionarias. En la sección 3 se prueba la ley de composición también llamada ley de los exponentes que pone en evidencia la propiedad de semigrupo de las integrales fraccionarias bajo ciertas condiciones impuestas a la original. En la sección 4 se muestra el cálculo de las transformadas de Laplace y de Fourier de éstos operadores fraccionarios. Por último se da un ejemplo del cálculo de integrales fraccionarias.

2 PRELIMINARES

En esta sección se muestran algunas propiedades elementales de funciones especiales que serán utilizadas en el trabajo. Mencionamos alguna información acerca de las funciones Gamma de Euler, Beta y de las transformaciones de Laplace y de Fourier que son de gran utilidad en el tratamiento de los operadores integrales de Riemann-Liouville.

2.1 FUNCIÓN GAMMA

Es una función intrínsecamente relacionada con el cálculo fraccionario desde las mismas definiciones fundamentales. La más simple interpretación de la función Gamma es la generalización de la función factorial al campo complejo. A lo largo de este trabajo haremos uso de su expresión para un número real cualquiera

Definición 2.1 La función Gamma de Euler se define como

La integral converge1 para (cf: [9], pág. 254), y para es siempre integrable debido a la presencia de .

Una de sus propiedades más importantes es la recursividad, expresada por la relación

=

Esta propiedad es muy interesante, pues debido a que podemos ver que

para , en efecto , y así

1 En el sentido de que para .

que es una función continua de la variable para puede ser extendida a la región del plano complejo haciendo uso de la propiedad de recursividad.(ver [8] pag.6)

La exclusión del conjunto se debe a que tiene polos simples en estos puntos del plano complejo. De hecho, esto queda en evidencia al escribirla de la siguiente forma ([8],pág.3)

es decir, la función se puede escribir como una serie que tiene polos simples en los puntos , más una función entera. Usando la función Gamma se introduce la función que puede usarse para una definición alternativa de integrales fraccionarias (cf: [12], también [13] )

donde

la cual se utiliza más adelante.

2.2 FUNCIÓN BETA

También conocida como integral de Euler de primera especie, la función Beta juega un importante rol en el cálculo fraccionario al aparecer en las derivadas o integrales fraccionarias de funciones polinómicas de la forma o de la función de Mittag-Leffler, entre otras.

Definición 2.2: La función Beta de Euler se define como (cf: [8], pág. 6)

Esta función está ligada a la función Gamma por la siguiente relación (cf: [8] pág. 7)

de donde se deduce fácilmente que

2.3 CONVOLUCIÓN

Definición 2.3: Dadas las funciones y definidas para la convolución de éstas se define como la función de variable dada por

Para el caso en que las funciones y sean iguales a cero para la definición anterior se reduce a la expresión

La convolución así expresada se denomina Convolución de Laplace.

2.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace es comúnmente usada en la solución de ecuaciones diferenciales. Con ella es posible tratar ecuaciones diferenciales transformándolas en problemas sobre un dominio en el que se los puede resolver algebraicamente y luego vía la transformación inversa llegar a la solución del problema de origen.

Definición 2.4: Dada una función su transformada de Laplace es una función de variable compleja definida por

La condición de existencia está dada por el siguiente

Teorema 2.1: Si es una función continua a tramos para y además existen constantes positivas y tal que para todo entonces existe para .

La demostración, que se omite, puede verse en [3], pág. 215. Si existen y cumpliendo esas condiciones entonces se dice de órden exponencial.

La Transformada de Laplace de la convolución de las funciones y iguales a cero para , también llamadas causales, es el producto de las transformadas de y

siempre que estas transformadas existan (cf: [3], pág. 229). Otra importante propiedad de la Transformada de Laplace es la de la derivada de orden de la función que viene dada por la expresión (cf. [8], pág. 104, también [3] pág. 228)

2.5 TRANSFORMADA DE FOURIER

Definición 2.5: Dada una función definida en , su transformada integral de Fourier es la función de variable compleja definida por

Una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de es que la función sea absolutamente integrable en . (cf. [10], pág. 113, [4] pág. 198 y [5], pág. 320. )

La transformada de Fourier de la convolución dada en de las funciones y definidas en es el producto de sus transformadas de Fourier (cf: [8] pág.110):

siempre que estas existan.

Una propiedad muy utilizada de la transformada de Fourier es el resultado de la transformada de la derivada -ésima de la función . Si ,

, entonces

3 INTERGRAL FRACCIONARIA DE RIEMANN-LIOUVILLE

De la conocida fórmula de Cauchy que permite evaluar la n-ésima integración sucesiva de la función

y mediante la propiedad de la función Gamma de Euler, puede escribirse como

A partir de ella y sustituyendo el entero positivo por un número real positivo se tiene la siguiente

Definición 3.1: Si y , la Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville de orden se define como

Observemos que mientras que en para que la integral exista debe pedirse que , en sólo se pide .

La integral fraccionaria de Riemann-Liouville puede ser definida de forma más general aún, considerando un orden de integración complejo siempre que

mediante la expresión

donde . La integral

es también llamada integral fraccionaria a izquierda de Riemann-Liouville (cf. [12] pág. 33). Análogamente se define la integral a derecha como

La diferencia de notación entre y obedece a que la primera responde a la idea de una ``antiderivada" y es la adoptada por Podlubny (cf. [8]) y otros (cf.[7], pág. 21 y44), mientras que la segunda indica claramente que se trata de una operación integral y es utilizada por Samko, Rubin y Kilvas (cf: [12], [13],[6]) entre otros.

Con respecto a las condiciones de existencia de e se enuncia el siguiente

Lema 3.1

i) Sea . Si , entonces es finita para casi todo

y pertenece a . Si , entonces es finita para todo .

ii) Sea . Si , entonces es finita para casi todo

y pertenece a . Si , entonces es finita para todo .

La prueba de éste Lema aparece en [11], Lema , pág.24. En el desarrollo de este trabajo utilizaremos la Definición . Veamos dos casos particulares.

Para resulta

El otro caso que queremos considerar es para . Pensando en la consistencia de nuestra notación, es esperable tener que si estuviera definida para el resultado de su aplicación devolviera la función original , de manera que se pueda escribir . Sin embargo debido a la presencia de en el denominador, el segundo miembro de ni siquiera está definido. No obstante se tiene el siguiente

Teorema 3.1

Demostración: la prueba de es fácil si suponemos que tiene derivadas continuas para , pues integrando por partes y usando la propiedad de la función Gamma tenemos en primer lugar que

llamando y , resulta

y con esto último obtenemos

Si ahora suponemos que es solamente continua para , la prueba de es

un poco más complicada. Si este es el caso, sumando y restando ,

escribimos

como es continua, dado . Podemos usar este hecho para escribir

Analicemos la segunda integral en :

Por lo tanto, eligiendo un lo suficientemente chico podemos lograr que . Considerando este analizamos la primer integral. Teniendo en cuenta

que es continua en el intervalo entonces debe existir un , por lo que resulta:

cuando , pues y es continua a derecha. Además considerando que:

resulta, por lo hecho en y que . Debe notarse

que tomamos el límite superior, pues a priori no podemos asegurar la existencia del límite, lo que sí podemos decir es que como puede ser elegido arbitrariamente pequeño entonces

lo que termina la prueba de para el caso en que sea continua para

Un muy usado hecho de los operadores integrales de Riemann-Liouville es que satisfacen la propiedad de semigrupo dada por el siguiente

Teorema 3.2(ley de los exponentes)

Sea continua en el intervalo y sean y mayores que cero. Entonces para todo se verifica:

Demostración Por definición de integral fraccionaria de Riemann-Liouville se tiene que

Analizando el recinto de integración se ve que es posible cambiar los extremos de integración y obtener finalmente que

Para trabajar con la integral entre corchetes, usamos el cambio de variable , luego

La integral que aparece en es precisamente la función Beta de Euler, luego

Volviendo a tenemos que

lo cual prueba .

Observación 3.1: Como y son arbitrarios; no negativos, podemos intercambiarlos, y resulta

Este resultado muestra que integrar sucesivamente y veces equivale a efectuar una única vez una integración fraccionaria de orden .

4 TRANSFORMADAS INTEGRALES DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA DE RIEMANN-LIOUVILLE

4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

En esta sección se muestra el cálculo de la transformada de Laplace de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden . Se considera el extremo inferior y se tendrán en cuenta las propiedades de la transformada de Laplace mencionadas en la sección 2.4.

Para comenzar se recuerda la Definición 3.1 para el caso en que el extremo inferior

En vista de la ecuación se deduce que

para dada por . Poder escribir a la integral como una convolución

de Laplace es muy útil, pues por podemos calcular la transformada de Laplace de ésta, multiplicando las correspondientes transformadas de las funciones que se convolucionan. Para ello se necesita conocer la transformada de Laplace de la función .

Combinando con y se puede calcular la Transformada de Laplace de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden y extremo inferior de la siguiente manera:

donde es la transformada de Laplace de la función , siempre y cuando ésta transformada exista.

4.2 TRANSFORMADA DE FOURIER

Se muestra esta sección el cálculo de la Transformada de Fourier de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville para el caso en que el extremo inferior sea . Como el cálculo de una integral fraccionaria de orden se puede reducir al de una de orden α con , nos limitamos a considerar órdenes de integración de este tipo. Debido a la Definición 3.1 la integral fraccionaria de Riemman-Liouville de orden con extremo inferior de la función , tiene la siguiente expresión

podemos ver a como una convolución de las funciones y , en efecto

Utilizando este argumento es imprescindible, en esta etapa, calcular la Transformada de Fourier de la función . Por obtenemos que

Utilizando , y obtenemos la expresión de la transformada de Fourier de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden de la función .

EJEMPLO. CÁLCULO DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA DE

Presentamos aquí, el cálculo de la Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville de orden de la función potencial .

Por la Definición 3.1 tenemos que

suponemos para la convergencia de la integral. Haciendo el cambio de variable obtenemos en

pero por la Definición 2.2 y la propiedad obtenemos

Veamos algunos casos particulares. Si y entonces

usando resulta , por lo tanto

Si entonces

como (cf: [2], pág. 16) entonces

5 REFERENCIAS

[1]. Benedek A, Stacco E, Panzone R., Lecciones Complementarias de Análisis Superior. Universidad Nacional del Sur, Bahia Blanca-Argentina. 1987. [2]. Cerutti R., Knopoff D., Noya S., Ramos W., Derivadas e Integrales de Orden

Arbitrario: Una Breve Introducción al Cálculo Fraccionario. Revista del Instituto de Matemática nº4,pág. 11 a 29. UNNE-Facultad de Ingeniería. 2006. [3]. Escobar Jaime, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en Maple.

Universidad de Antioquía-Departamento de Matemática. http:/matemáticas.udea.edu.ar/jescobar.

[4]. Figueiredo, D.Guedes Análise de Fourier e Equaçoes Diferenciais Parcials. Proyeto Euclides-Impa. 1987. [5]. Fisher,S.D. Complex Variables.Dover Publications. 1999. [6]. Kilbas, A., Srivastava, H., Trujillo, J. Theory and Applications of Fractional

Differential Ecuations. Elsevier. 2006. [7]. Miller, K., Ross, B., An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional

Differential Equations. John Wiley & Sons. 1993. [8]. Podlubny, I. Fractional Differential Equations. Math in Science and

Eng.V.198.Academic Press. 1999. [9]. Polya, G., Latta, G. Variable Compleja. Limusa. 1974. [10]. Roddier, F. Distribution et Transformation de Fourier. Ediscience. 1993. [11]. Rubin, B. Fractional Integral and Potentials. Longman. 1996. [12]. Samko, S., Kilvas, A., Marichev, O. Fractional Integral and Derivatives. Gordon

and Breach.S.C. 1993. [13]. Trione,S.E La Integral de Riemann-Liouville. Cursos y Seminarios de Matemática.

Fas.29, Facultad de Ciencias Exactas. UBA. 1981.