Inferencia estadística - ivanacal inferencia estadística consiste en crear métodos con los cuales...

U N I D A D

1 0 I n f e r e n c i a estadística

O b j e t i v o s

A l f i n a l i z a r l a u n i d a d , e l a l u m n o :

• determinará s i u n e s t i m a d o r e s s e s g a d o o i n s e s g a d o • resolverá p r o b l e m a s d e i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a

l a m e d i a , d i f e r e n c i a d e m e d i a s , v a r i a n z a y p r o p o r c i o n e s • llevará a c a b o p r u e b a s d e hipótesis p a r a l a m e d i a ,

d i f e r e n c i a d e m e d i a s , v a r i a n z a y p r o p o r c i o n e s e n p r o b l e m a s d e aplicación

Introducción

E n l a u n i d a d 9 , s e a n a l i z a r o n l a s b a s e s p a r a d i s t r i b u c i o n e s muéstrales, c o n l a s c u a l e s s e r e a l i z a n e s t i m a c i o n e s d e parámetros e n e s t u d i o ; l a s m u l t i v a r i a b l e s a l e a t o r i a s ; s e definió f o r m a l m e n t e e l muestreo a l e a t o r i o , y s e e s t u d i a r o n a l g u n a s d i s t r i b u c i o n e s muéstrales e m p l e a n d o e l teorema c e n t r a ! d e ! ¡imite. E l o b j e t i v o g e n e r a l d e d i c h o s t e m a s e s l a construcción d e l a s b a s e s teóricas p a r a l a i n f e r e n c i a estadística.

E n e s t a u n i d a d s e analizará e ! p r o c e s o d e inferencia estadística, e l c u a l s e p u e d e h a c e r d e t r e s m a n e r a s : p o r estimación p u n t u a l , i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a o p o r p T u e b a d e Hipótesis.

L o s estimadores p u n t u a l e s , c o m o s e verá, t i e n e n g r a n i m p o r t a n c i a teórica e n l a i n f e r e n c i a estadística, p e r o e n l a cuestión práctica n o e s a p r o p i a d o l l e v a r l o s a c a b o c o n b a s e e n u n s o l o p u n t o ; p o r c o n s i g u i e n t e s e harán e s t i m a c i o n e s basadas en i n t e r v a l o s .

L a o t r a área d e i n f e r e n c i a estadística q u e s e analizará e s l a p r u e b a d e hipótesis. E s d e c i r , se f o r m u l a u n a suposición d e l parámetro y b a j o c o n d i c i o n e s d e t e r m i n a d a s s e comprobará s i es válida o n o .

E n l a u n i d a d 1 s e determinó q u e l a estadística d e s c r i p t i v a t r a b a j a c o n t o d o s l o s i n d i v i d u o s d e l a población o l a m u e s t r a . E n e s t a u n i d a d s e verá q u e l a estadística i n f e r e n c i a l se basa en el e s t u d i o d e m u e s t r a s , a p a r t i r d e l a s cuales se p r e t e n d e inferir aspectos r e l e v a n t e s d e t o d a l a población. E n l a u n i d a d 9 s e determinó q u e e l método d e s e l e c c i o n a r m u e s t r a s t i e n e g r a n i m p o r t a n c i a e n e l d e s a r r o l l o d e l a estadística. Cómo s e r e a l i z a l a i n f e r e n c i a y qué g r a d o d e c o n f i a n z a s e p u e d e t e n e r e n l a m u e s t r a s o n a s p e c t o s f u n d a m e n t a l e s q u e s e analizarán e n e s t a u n i d a d .

1 0 . 1 I n f e r e n c i a estadística

L a i n f e r e n c i a estadística c o n s i s t e e n c r e a r métodos c o n l o s c u a l e s s e p u e d a n r e a l i z a r c o n c l u s i o n e s o i n f e r e n c i a s a c e r c a d e l a población, c o n b a s e e n información m u e s t r a l o a priori. T a l e s métodos s e d i v i d e n e n d o s g r u p o s :

1 . Clásico. 2 . B a y e s i a n o .

E n e l métodc clásico l a i n f e r e n c i a s e r e a l i z a m e d i a n t e l o s r e s u l t a d o s d e u n m u e s t r e o a l e a t o r i o . M i e n t r a s q u e e n e l método b a y e s i a n o l a s i n f e r e n c i a s s e r e a l i z a n ( d e f o r m a análoga a l a asignación d e p r o b a b i l i d a d e s e n l a c o r r i e n t e b a y e s i a n a ) c o n b a s e e n e l c o n o c i m i e n t o p r e v i o s o b r e l a distribución d e l o s parámetros d e s c o n o c i d o s .

E l d e s a r r o l l o d e l a i n f e r e n c i a estadística e n l a p r e s e n t e u n i d a d s e hará sólo c o n e l método clásico. E l análisis c o m i e n z a c o n l a estimación d e parámetros.

2 8 6 E S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

10.1.1 Estimación p u n t u a l

U n e s t i m a d o r e s u n e l e m e n t o d e s c r i p t i v o b a s a d o e n l a s m e d i c i o n e s c o n t e n i d a s e n u n a m u e s t r a . P o r e j e m p l o , l a m e d i a d e l a m u e s t r a

es u n e s t i m a d o r p u n t u a l para la m e d i a de la población ¡JLQ.

Supóngase q u e s e q u i e r e o b t e n e r u n a i n f e r e n c i a r e s p e c t o d e l a calificación m e d i a d e t o d o s l o s a l u m n o s q u e c u r s a n l a m a t e r i a d e cálculo, p a r a e s t o s e a n a l i z a u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e d i e z d e e l l o s , c u y a s c a l i f i c a c i o n e s s o n

8 , 4 , 9 , 9 , 6 , 8 , 2 , 7, 3 y 6

M e d i a n t e e l p r o m e d i o d e l o s d a t o s d e u n a m u e s t r a s e c a l c u l a u n v a l o r p a r a .e l estadístico X

x = — ( 8 + 4 + 9 + 9 + 6 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 ) = 6 . 2 1 0

C o n b a s e e n e l v a l o r c a l c u l a d o d e l estadístico X s e p u e d e l l e v a r a c a b o u n a i n f e r e n c i a r e s p e c t o d e l parámetro yt, e s d e c i r , u n a estimación p u n t u a l d e l parámetro m e d i a r e s p e c t o d e l a s c a l i f i c a c i o n e s d e l a m a t e r i a d e cálculo. E n e s t e c a s o l a calificación p r o m e d i o e s 6 . 2 . E n g e n e r a l

Def i n i c i ón 1 0 . 1

Dada una población en donde 9 es un parámetro, y 0 s u estadística correspondiente, se le llama e s t i m a d o r p u n t u a l de 9 a cualquier valor 9 de 0 .

D e l a definición d e e s t i m a d o r p u n t u a l n o s e p u e d e e s p e r a r q u e d i c h o v a l o r r e a l i c e u n a estimación c e r t e r a d e l parámetro, d e h e c h o , ésta también d e p e n d e d e l estadístico u t i l i z a d o . P o r e j e m p l o , s i l a población e s t u d i a n t i l d e l a m a t e r i a d e cálculo t i e n e calificación p r o m e d i o ¡i • 6 . 5 , y s e c o n s i d e r a u n a m u e s t r a a l a z a r d e t r e s e s t u d i a n t e s c o n c a l i f i c a c i o n e s 3 , 6 y 6 , p a r a r e a l i z a r u n a estimación d e l parámetro, s e t i e n e

x = I ( 3 + 6 + 6 ) = 5

E s d e c i r , e l estadístico m e d i a d i f i e r e d e l parámetro e n 1 . 5 u n i d a d e s , m i e n t r a s q u e e l estadístico m e d i a n a 5 = 6 , d i f i e r e d e l parámetro e n sólo 0 . 5 .

P o r t a n t o , c o n l a m u e s t r a a n t e r i o r , e l estadístico m e d i a n a e s t i m a m e j o r e l parámetro. P e r o , qué pasará s i e n u n a s e g u n d a m u e s t r a a l e a t o r i a d e tamaño t r e s , l a s c a l i f i c a c i o n e s p a r a l a estimación d e l parámetro r e s u l t a n 4 , 4 , y 1 0 , s e t i e n e

Y = I ( 4 + 4 + 1 0 ) = 6

P o r t a n t o , p a r a e s t a m u e s t r a e l estadístico m e d i a d i f i e r e d e l parámetro e n 0 . 5 u n i d a d e s , m i e n t r a s q u e e l estadístico x = 4 , d i f i e r e d e l parámetro e n 2 . 5 .

E s d e c i r , c o n l a m u e s t r a a n t e r i o r e l estadístico m e d i a e s t i m a m e j o r e l parámetro. P o r t a n t o , p u e d e s e r d e interés qué e s t i m a d o r p u n t u a l p a r a u n m i s m o parámetro e s m e j o r e l e g i r . L a r e s p u e s t a s e e n c u e n t r a e n l a s s i g u i e n t e s d e f i n i c i o n e s .

U N I D A D 1 0 • I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A 2 8 7


E j e m p l o 1 D a d a s X ^ X 2 , . . ., X ? u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e u n a población c u y a distribución e s n o r m a l , c o n m e d i a \x y v a r i a n z a a z , c o n s i d e r a n d o l o s estadísticos

^ T x 1 + x 2 + - + x 5 x 1 + x 2 + x 3 - x 4 + x 5 , 1 ' 2 1 0 7 3 3

s e c o m p r u e b a cuáles s o n e s t i m a d o r e s i n s e s g a d o s d e <i. P a r a v e r i f i c a r qué e s t i m a d o r e s s o n i n s e s g a d o s , s e e m p l e a l a definición y l a p r o p i e d a d

d e l v a l o r e s p e r a d o e n v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s

E ( f l l X , + a 2 X , + • • • + « n X n ) = fllE(Xi) + a 2 E ( X 2 ) + • • • + a„E(X„)

P a r a e l estadístico T

E ( T , ) = E ( X ) = E X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5

5 = - E [ X , + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ] =

| [ E ( X , ) + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) + E ( X 4 ) + E ( X 5 ) ] =

S e m u e s t r a q u e T¡ e s u n e s t i m a d o r i n s e s g a d o . P a r a e l estadístico T7

E ( T 2 ) = E X ! + X 2 + X 3 + X 4 + X 5

1 0 1 E [ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ] =

¿ [ T O + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) + E ( X 4 ) + E ( X 5 ) ] = ^ ( 5 p ) = * / i

S e m u e s t r a q u e T7 e s u n e s t i m a d o r sesgado. P a r a e l estadístico X

E ( T 3 ) = E X i + X 2 + X 3 - X 4 + X 5

3 = ± E [ X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 ] =

¿ [ E ^ H E ( X 2 ) + E ( X 3 ) - E ( X 4 ) + E ( X 5 ) ] - - ( / i + / i + H - ti + H) = - < 3 / i ) = ¿<

P o r t a n t o , también e s u n e s t i m a d o r insesgado d e l a m e d i a .

E n e l e j e m p l o a n t e r i o r se a p r e c i a q u e a u n m i s m o parámetro l e p u e d e n c o r r e s p o n d e r v a r i o s e s t i m a d o r e s i n s e s g a d o s . P o r c o n s i g u i e n t e , e n e l e s t u d i o d e l a estadística r e s u l t a d e interés c o n o c e r e l e s t i m a d o r i n s e s g a d o q u e t e n g a l a m e n o r v a r i a n z a , y a q u e e n t a l c a s o s u distribución está más c e r c a n a a l parámetro.

Def i n i c i ón 1 0 . 3 " • - * t

Dado un parámetro 9 y un conjunto de estimadores insesgados de él, ©j, 0 2 , • • •, © , s e llama estimador más eficiente de 9 al de menor varianza.

E S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

E j e m p l o 2 D a d a l a m u e s t r a a l e a t o r i a d e l e j e m p l o a n t e r i o r X j , X ^ . . . , X ; y c o n s i d e r a n d o l o s estadísticos q u e r e s u l t a r o n i n s e s g a d o s d e / i ,

T j = X y T 3 = X , + X 2 + X 3 - X 4 + X 5

s e c o m p r u e b a cuál e s más e f i c i e n t e . P a r a e s t o s e u s a l a definición y l a p r o p i e d a d d e l a v a r i a n z a e n v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s

V ( a , X , + a 2 X 2 + • • • + a n X n ) = a\ V ( X , ) + a | V ( X 2 ) + • • • + a\ V(X„)

P a r a e l estadístico T

V ( T , ) = V X t + X 2 + X 3 + X 4 + X 5

= i v [ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ] =

^ [ V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + V ( X 3 ) + V ( X 4 ) + V ( X 5 ) ] = ^ ( a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + o - 2 )

— ( 5 o l ) = - a L

2 5 5

P a r a e l estadístico T ,

V ( T 3 ) = V X ) + X 2 + X 3 - X 4 + X 5

: V [ X i + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 ] =

£[v(X,) + V ( X 2 ) + V ( X 3 ) + ( - 1 ) 2 V ( X 4 ) + V ( X 5 ) ] = | ( c r 2 + o - 2 + a 2 + c r 2 + a 2 ) =

i - ( 5 c r 2 ) = ^ < 7 2

9 9 D e l o s cálculos a n t e r i o r e s , r e s u l t a q u e e l estadístico TJ e s más e f i c i e n t e q u e 7^,

p u e s t o q u e 1 / 5 < 5 / 9 . E n t r e l o s parámetros más c o m u n e s y s u s estadísticos, e x i s t e n l o s i n s e s g a d o s q u e s e

e m p l e a n c o n m a y o r r e g u l a r i d a d :

Parámetro Estadístico i n s e s g a d o

M e d i a X

D i f e r e n c i a d e m e d i a s x 2 - x , V a r i a n z a a 2 s 2

n - 1

E j e r c i c i o 1

1 . D a d a s X j , X ^ X j y X 4 u n a m u e s t r a a l e a t o r i a s e l e c c i o n a d a d e u n a población d i s t r i b u i d a e n f o r m a n o r m a l c o n m e d i a n y desviación estándar CT, c o n s i d e r a l o s s i g u i e n t e s e s t i m a d o r e s d e n

j _ X , + X 2 + X 3 + X 4 j _ X , + X 2 + X 3 + X 4 T _ X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 + 4 X 4

' 6 2 4 3 W

y d e t e r m i n a cuáles s o n i n s e s g a d o s y e n t r e éstos cuál e s más e f i c i e n t e .


2 . L a l e c t u r a e n u n voltímetro c o n e c t a d o a u n c i r c u i t o d e p r u e b a t i e n e u n a distribución u n i f o r m e e n e l i n t e r v a l o d e ( 9 , 6 + 1), d o n d e 0 e s e l parámetro p a r a e l v o l t a j e d e l c i r c u i t o . S u p o n q u e X j , X ^ X j y X ^ e s u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e t a l e s l e c t u r a s y v e r i f i c a q u e 9 = X — 0 . 5 e s u n e s t i m a d o r i n s e s g a d o .

3 . D a d a s X j , X j y X j y Y j , Y 2 y Y ? c o m o m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e d o s p o b l a c i o n e s c o n m e d i a s U j y y v a r i a n z a a \ y o \ , r e s p e c t i v a m e n t e

a ) c o m p r u e b a q u e X - Y e s u n e s t i m a d o r i n s e s g a d o d e ^ y ^ b) c a l c u l a l a v a r i a n z a d e l e s t i m a d o r X - Y

10.1 .2 Estimación p o r i n t e r v a l o

¿Qué e s u n a estimación p o r m e d i o d e u n i n t e r v a l o ?

Después d e i n i c i a d o e l e s t u d i o d e l o s e s t i m a d o r e s p u n t u a l e s e s lógico s u p o n e r q u e l a i n f e r e n c i a r e a l i z a d a m e d i a n t e u n v a l o r p u n t u a l n o e s l a más a d e c u a d a , y a q u e p u e d e v a r i a r c o n s i d e r a b l e m e n t e d e m u e s t r a e n m u e s t r a , p o r t a n t o , e s p r e f e r i b l e i n d i c a r u n i n t e r v a l o e n e l q u e s e p u e d a e s t i m a r , c o n c i e r t o grado de confianza, l a localización d e l parámetro e n e s t u d i o .

D a d a 6 c o m o parámetro, supóngase q u e , b a j o c i e r t a s c o n d i c i o n e ' s ( c o m o s e verá e n l a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s ) , s e e n c u e n t r a q u e 0 e(9¡,9s), d o n d e l o s p u n t o s e x t r e m o s 9 { y 9 S l l a m a d o s e x t r e m o i n f e r i o r y e x t r e m o s u p e r i o r , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p e n d e n d e l

v a l o r d e l a estadística 0 p a r a u n a m u e s t r a p a r t i c u l a r . C o m o l o s e x t r e m o s 9 i y 9 S d e l i n t e r v a l o d e p e n d e n d e l a m u e s t r a , r e s u l t a q u e sólo s o n v a l o r e s d e l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s c o r r e s p o n d i e n t e s 0 ¡ y 0 , . C o n b a s e e n l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s a n t e r i o r e s y s u s v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s , s e c a l c u l a l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l parámetro 9 s e e n c u e n t r e e n e l i n t e r v a l o e s t a b l e c i d o . S e s i m b o l i z a p o r 1 - a c o n a e (0, 1) a l a p r o b a b i l i d a d m e n c i o n a d a

P ( 0 , < 0 < 0 5 ) = l - a

Def in i c i ón 1 0 . 4

E s d e c i r , s e t i e n e u n a p r o b a b i l i d a d d e 1 - a d e s e l e c c i o n a r u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a q u e c o n b a s e e n u n a m u e s t r a p r o d u z c a u n i n t e r v a l o q u e c o n t e n g a a 9.

nterior'en el que se localiza el parámetro 9, Q¡ < 9 < 0 , , s e llama I n t e n t a

de c o n f i a n z a de (1 - a ) 1 0 0 % ; mientras que la fracción 1 - a s e le llama c o e f i c i e n t e o

g r a d o d e c o n f i a n z a y los extremos' 9¡ y 9„ son los l i m i t e s de c o n f i a n z a I n f e r i o r y s u p e r i o r ,

e s p o r t i v a m e n t e .

P o r e j e m p l o , s e t i e n e u n a m u e s t r a d e 2 0 f o c o s c u y a duración p r o m e d i o e n h o r a s e s x = 7 5 0 y c o n b a s e e n e s t e v a l o r s e e s t i m a q u e e l parámetro ¡i p u e d e e n c o n t r a r s e c o n u n a

p r o b a b i l i d a d 1 - a , e s t a b l e c i d a d e a n t e m a n o e n e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 740 , 7 6 0 ) , e s d e c i r

P ( 7 4 0 < / i < 7 6 0 ) = l - a

E n l a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s s e analizarán l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a más c o m u n e s p a r a l o s parámetros, m e d i a s , diferencia de medias, varianzas y proporciones.


I n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a m e d i a s d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s

E s t a b l e c i d a s l a s b a s e s g e n e r a l e s d e l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a y u t i l i z a n d o e l t e o r e m a d e l límite c e n t r a l , l o s c o n c e p t o s s o b r e e s t i m a d o r e s p u n t u a l e s y l a s d i s t r i b u c i o n e s d e t e r m i n a d a s e n l a u n i d a d 9 , s e p r e s e n t a n métodos p a r a e l cálculo d e i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a . U n o d e e s t o s métodos s e r e f i e r e a l a media, y s e d i v i d e e n t r e s c a s o s :

1 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a p o b l a c i o n a l fi c o n distribución n o r m a l , c u a n d o s e c o n o c e cr.

D a d a x l a m e d i a d e u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e tamaño n d e u n a población c o n distribución a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l , d e l a c u a l s e c o n o c e o~^, e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a u está d a d o p o r

d o n d e z a ^ 1 e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, a l a d e r e c h a d e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 .

S e d e n o t a eñ e s t e c a s o q u e p a r a p o d e r a p l i c a r l a fórmula, l a distribución t i e n e q u e s e r n o r m a l o a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l y se debe conocer el parámetro a .

E j e m p l o 3 U n a máquina d e r e f r e s c o s está a j u s t a d a d e t a l m a n e r a q u e l a c a n t i d a d d e líquido s u m i n i s t r a d o s e d i s t r i b u y e e n f o r m a n o r m a l c o n desviación estándar d e 0 . 1 5 d i . S e c a l c u l a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a d e r e f r e s c o s s e r v i d o s d e u n a m u e s t r a d e 3 6 v a s o s t o m a d a a l a z a r c o n u n c o n t e n i d o p r o m e d i o d e 2 . 2 5 d i .

S e t o m a n l o s d a t o s : o ~ = 0 . 1 5 d i , e l tamaño d e l a m u e s t r a e s 3 6 c o n m e d i a m t i e s t r a l d e 3c = 2 . 2 5 d i . P a r a c a l c u l a r e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a d e l parámetro m e d i a s e e m p l e a l a fórmula a n t e r i o r .

P r i m e r o s e c a l c u l a e l v a l o r d e z ^ , c o n 1 - a = 0 . 9 5 . D e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s p a r a l a distribución n o r m a l estándar s e t i e n e z ^ = 1 . 9 6 . P o r t a n t o ,

2 . 2 0 1 < / i < 2 . 2 9 9

E s d e c i r , c o n 9 5 % d e p r o b a b i l i d a d s e a f i r m a q u e e l parámetro m e d i a d e l líquido

s u m i n i s t r a d o p o r l a máquina d e r e f r e s c o s s e e n c u e n t r a e n t r e 2 . 2 0 1 y 2 . 2 9 9 d i .

2 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a p o b l a c i o n a l ti c u a n d o s e d e s c o n o c e cr e n m u e s t r a s g r a n d e s .

D a d a x l a m e d i a d e u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e tamaño n ( n > 3 0 ) t o m a d a a l a z a r d e u n a población d e l a c u a l s e c o n o c e s u desviación estándar s y s e d e s c o n o c e <T, e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a p. está d a d o p o r


d o n d e z^-, e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, l a c u a l t i e n e u n área d e a / 2

y s e s l a desviación estándar o b t e n i d a d e l estadístico v a r i a n z a i n s e s g a d a . E n e s t e c a s o e s p o s i b l e n o t a r q u e p a r a p o d e r a p l i c a r l a fórmula, a d i f e r e n c i a d e l

a n t e r i o r , se desconoce la distribución.

E j e m p l o 4 S e t i e n e u n a máquina d e r e f r e s c o s c o m o e n e l e j e m p l o a n t e r i o r , p e r o d e l a c u a l s e d e s c o n o c e s u desviación estándar. P a r a e s t i m a r l a c a n t i d a d p r o m e d i o d e líquido s u m i n i s t r a d o p o r l a máquina s e t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e 5 0 v a s o s , c o n m e d i a d e 2 4 0 m i y desviación estándar d e 2 0 . S e c a l c u l a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a d e r e f r e s c o s s e r v i d o s .

S e román l o s d a t o s : e l tamaño d e l a m u e s t r a e s 5 0 , 3c = 2 4 0 y s = 2 0 m i . E l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a d e l parámetro m e d i a s e o b t i e n e s u s t i t u y e n d o e s t o s v a l o r e s e n l a fórmula a n t e r i o r .

S e c a l c u l a p r i m e r o e l v a l o r d e z ^ - , , c o n 1 - a = 0 . 9 9 . D e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s p a r a l a distribución n o r m a l estándar s e t i e n e z a p = 2 . 5 7 5 . P o r t a n t o ,

2 4 0 - 2 - 5 7 5 ( ^ ) ^ < 2 4 0 + 2 - 5 7 5 ( v l ) 2 3 2 . 7 2 <n< 2 4 . 7 . 2 8

E s d e c i r , c o n 9 9 % d e p r o b a b i l i d a d s e a f i r m a q u e e l parámetro m e d i a d e l líquido s u m i n i s t r a d o p o r l a máquina d e r e f r e s c o s s e e n c u e n t r a e n t r e 2 3 2 . 7 2 y 2 4 7 . 2 8 m i .

3 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a p o b l a c i o n a l ¡i c u a n d o s e d e s c o n o c e cr e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a 3c l a m e d i a d e u n a m u e s t r a d e tamaño n ( n < 3 0 ) t o m a d a a l a z a r d e u n a población c o n distribución n o r m a l d e l a c u a l s e c o n o c e s " , y s e d e s c o n o c e a ", e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a p está d a d o p o r

d o n d e t ^ , e s e l v a l o r d e l a distribución t - S t u d e n t c o n v = n - 1 g r a d o s d e l i b e r t a d , l a c u a l t i e n e u n área d e a / 2 , y s e s l a desviación estándar o b t e n i d a d e l estadístico v a r i a n z a i n s e s g a d a .

S e d e n o t a e n e s t e c a s o q u e l a aplicación d e l a fórmula s e p u e d e r e a l i z a r s i l a d i s t r i bución d e l a población e s n o r m a l o a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l , p e r o a d i f e r e n c i a d e l c a s o 1 , n o s e c o n o c e e l parámetro cr, y d e l c a s o 2 , e l tamaño d e l a m u e s t r a d e b e s e r pequeño.

E j e m p l o 5 U n f a b r i c a n t e d e máquinas d e r e f r e s c o s a s e g u r a q u e s u s máquinas s u m i n i s t r a n e n p r o m e d i o 2 4 0 m i d e r e f r e s c o 9 9 . 9 % d e l o s c a s o s . U n c o m p r a d o r d e c i d e v e r i f i c a r e s t o s d a t o s , p o r l o q u e t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e 1 5 v a s o s , o b t e n i e n d o l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s

2 4 3 2 5 0 2 4 0 2 4 8 2 4 5 2 5 0 2 3 8 2 4 6 2 5 2 2 4 7

2 4 6 2 4 0 2 5 0 2 4 9 2 4 8 2 4 0 2 4 5 2 4 7 2 3 8 2 4 8

2 5 0 2 5 2 2 4 7 2 3 9 2 4 5 2 4 9 2 5 0 2 4 8 2 4 7 2 5 1

S e c a l c u l a c o n 9 9 . 9 % d e c o n f i a n z a s i e s válida l a afirmación d e l f a b r i c a n t e . P a r a e n c o n t r a r e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a s e n e c e s i t a c a l c u l a r l a m e d i a y l a v a r i a n z a

i n s e s g a d a d e l a m u e s t r a o b t e n i d a : x = 2 4 6 . 2 7 y s 2 _ , = 1 7 . 5 8 , e s d e c i r , s = 4 . 1 9 .


S i e n d o l a m u e s t r a d e 1 5 v a s o s , s e a p l i c a e l c a s o 3 , p a r a l o c u a l s e c a l c u l a e l v a l o r

d e t ^ . , , c o n v - 1 5 - 1 - 1 4 g r a d o s d e l i b e r t a d y 1 - a - 0 . 9 9 9 , d o n d e a - 0 . 0 0 1 , e s d e c i r

a / 2 = 0 . 0 0 0 5 . P o r t a n t o , a p l i c a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s p a r a l a distribución t - S t u d e n t

se t i e n e t Q Q 0 0 5 - 4 . 1 4 - E n conclusión

2 4 6 . 2 7 - 4 . 1 4 ( ^ = | ] < H < 2 4 6 - 2 7 + 4 - 1 4

2 4 1 , 7 9 < j u < 2 5 0 . 7 5

E s d e c i r , c o n 9 9 . 9 % d e p r o b a b i l i d a d s e d e t e r m i n a q u e e l parámetro m e d i a d e l líquido s u m i n i s t r a d o p o r l a máquina d e r e f r e s c o s s e e n c u e n t r a e n t r e 2 4 1 . 7 9 y 2 5 0 . 7 5 m i . P o r t a n t o , l a afirmación d e l f a b r i c a n t e n o será válida c o n 9 9 % d e c o n f i a n z a , p u e s t o q u e e l v a l o r 2 4 0 m i está f u e r a d e l i n t e r v a l o .

E j e r c i c i o 2

1 . D e l a s i g u i e n t e m u e s t r a a l e a t o r i a , t o m a d a d e u n población n o r m a l

1 3 1 9 1 4 1 2 2 1 1 4 1 7 2 0 1 7

c a l c u l a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a d e l a población

a ) s i s e s a b e q u e l a v a r i a n z a p o b l a c i o n a l e s 4 b) s i n o s e c o n o c e e l v a l o r d e l a v a r i a n z a p o b l a c i o n a l

2 . U n i n g e n i e r o d e c o n t r o l d e c a l i d a d midió l a s p a r e d e s d e 2 5 b o t e l l a s d e v i d r i o d e d o s l i t r o s . L a m e d i a m u e s t r a l f u e 4 . 0 2 m m y l a desviación estándar m u e s t r a l 0 . 0 9 , c a l c u l a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a r e s p e c t o d e l a m e d i a d e l e s p e s o r d e l a s p a r e d e s d e l a s b o t e l l a s .

3 . M i e n t r a s se efectúa u n a t a r e a d e t e r m i n a d a e n c o n d i c i o n e s s i m u l a d a s d e a u s e n c i a d e g r a v e d a d e l r i t m o c a r d i a c o d e 4 0 a s t r o n a u t a s e n a d i e s t r a m i e n t o s e i n c r e m e n t a , 2 6 . 4 p u l s a c i o n e s p o r m i n u t o e n p r o m e d i o c o n desviación estándar d e 4 . 2 8 , c a l c u l a l a v e r d a d e r a m e d i a e n e l i n c r e m e n t o d e l r i t m o c a r d i a c o s i x = 2 6 . 4 s e u t i l i z a c o m o u n a estimación p u n t u a l d e l i n c r e m e n t o m e d i o e n e l r i t m o c a r d i a c o y s e u t i l i z a 9 5 % d e c o n f i a n z a .

4 . S e r e a l i z a n c i n c o m e d i c i o n e s e n u n m e d i d o r d e v o l u m e n e n l a b o m b a d e u n a estación d e g a s o l i n a ( 1 0 . 5 , 1 0 . 0 , 9 . 9 0 , 9 . 9 5 y 1 0 . 1 5 ) , s u p o n n o r m a l i d a d y c a l c u l a u n i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a c o n a = 0 . 0 5

5 . U n a máquina p r o d u c e p i e z a s metálicas d e f o r m a c i l i n d r i c a . S e t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e p i e z a s c u y o s diámerros s o n 1 0 , 1 2 , 1 1 , 1 1 . 5 , 9 , 9 . 8 , 1 0 . 4 , 9 . 8 , 1 0 y 9 . 8 m m . S u p o n q u e l o s diámetros t i e n e n u n a distribución a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l y

a ) c a l c u l a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a e l diámetro p r o m e d i o d e t o d a s l a s p i e z a s

b) c a l c u l a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a e l diámetro p r o m e d i o d e p i e z a s s i cr - 1 .


I n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s e n p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s

Después d e a n a l i z a r l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a m e d i a p o b l a c i o n a l , s e continúa

c o n e l cálculo d e i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s , e l c u a l se d i v i d e

e n c i n c o c a s o s .

1 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a fi - n2 d e p o b l a c i o n e s c o n d i s t r i b u c i o n e s n o r m a l e s ,

c u a n d o s e c o n o c e n a \ y c r | .

D a d a s x j y x 2 l a s m e d i a s d e m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e tamaños n t

y n 7 , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s c o n d i s t r i b u c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s ,

d e l a s c u a l e s s e c o n o c e (J\ y a 2 , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a d e ( 1 - ce) d e 1 0 0 % p a r a

f i j y está d a d o p o r

( * i - * 2 ) - * „ J — + — <fi\-f2 < ( * i - x 2 ) + *„ J — + — y \ ttl n 2 - \ n , n 2

d o n d e z^-, e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 .

E j e m p l o 6 S e c o m p a r a n d o s t i p o s d e r o s c a d e t o r n i l l o s p a r a d e t e r m i n a r s u r e s i s t e n c i a a l a tensión. S e

p r u e b a n d o c e p i e z a s d e c a d a t i p o d e c u e r d a b a j o c o n d i c i o n e s s i m i l a r e s , obteniéndose l o s

s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s ( e n k g )

T i p o d e r o s c a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2

1 6 8 7 0 7 2 6 9 7 1 7 2 7 0 6 9 7 5 6 9 7 0 7 1

2 7 5 7 3 7 3 6 8 6 8 6 7 6 9 7 5 7 4 6 8 7 3 7 4

S i u . y \i7 s o n r e s i s t e n c i a s p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I y t i p o I I ,

r e s p e c t i v a m e n t e , c o n l a s v a r i a c i o n e s a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I y t i p o I I O"| — 3 y

O " 2 = 1 0 , r e s p e c t i v a m e n t e , se c a l c u l a 9 0 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a ^ - ^ .

P r i m e r o se c a l c u l a n l a s m e d i a s muéstrales: x j = 7 0 . 5 y x 2 = 7 1 4 .

L a s m u e s t r a s s o n d e tamaño r i j • n , " 1 2 . S e c a l c u l a e l v a l o r p a r a z a / - , c o n 9 0 % d e

i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a u s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s , z^-, = 1 . 6 4 5 .

( 7 0 . 5 - 7 1 . 4 ) - 1 . 6 4 5 ^ + j ^ < / i , - n 2 < ( 7 0 . 5 - 7 1 . 4 ) + 1 . 6 4 5 ^ | +

- 2 . 7 4 < ¿i, - fi2 < °- 9 4

E s d e c i r , l a d i f e r e n c i a d e l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión a l f a b r i c a r l o s t o r n i l l o s t i p o s I y I I s e e n c u e n t r a e n t r e e l i n t e r v a l o ( - 2 . 7 4 , 0 . 9 4 ) , c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a . D a d o q u e e n e l i n t e r v a l o s e e n c u e n t r a e l 0 , n o h a y d i f e r e n c i a s i g n i f i c a t i v a e n t r e l o s d o s t i p o s d e r o s c a .


2 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a ^ - \x2 d e p o b l a c i o n e s c u a n d o s e d e s c o n o c e n a \ y t j \

e n m u e s t r a s g r a n d e s .

D a d a s x j y ~x\ l a s m e d i a s d e m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e tamaños n .

y n 7 ( n . > 3 0 y n , > 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s d e l a s c u a l e s s e d e s c o n o c e n 2 2

c r 1 y o~2» e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a V\ - está d a d o p o r

( * l - * l ) - Z a J — + — <l*l-»l<i\-*l) + Z a J — + * L

d o n d e z , 7 e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, e l c u a l t i e n e u n área d e a/2 2 2

y s i , s 2 s o n l a s v a r i a n z a s i n s e s g a d a s r e s p e c t i v a s d e l a s m u e s t r a s 1 y 2 .

E j e m p l o 7 R e t o m a n d o e l e j e m p l o 6 , s e p r u e b a n 4 0 t o r n i l l o s d e c a d a t i p o d e c u e r d a b a j o c o n d i c i o n e s

s i m i l a r e s y se o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s ( e n k g ) .

d e l t i p o I x , = 7 2 . 5 y s, = 2 . 4 5 , n , = 4 0

d e l t i p o I I x 2 = 6 9 . 8 y s 2 = 1 . 7 5 , n 2 = 4 0

S i ¿ij y iL, s o n r e s i s t e n c i a s p r o m e d i o a l a tensión, d e l o s t o r n i l l o s t i p o I y t i p o I I ,

r e s p e c t i v a m e n t e , s e c a l c u l a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a U j - /x, c o n e l f i n d e

d e t e r m i n a r c o n cuál t i p o d e t o r n i l l o s e s más r e s i s t e n t e .

C o m o y a s e c o n o c e n l o s v a l o r e s muéstrales p a r a l a m e d i a y l a desviación estándar,

y s i e n d o l a s m u e s t r a s g r a n d e s ( n t = n 7 = 4 0 > 3 0 ) , f a l t a únicamente e n c o n t r a r e l v a l o r p a r a

z / 7 c o n 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a . U s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s , ? „ " 1 . 9 6

2 . 4 5 2 1 . 7 5 2 ,„„ „ 2 . 4 5 2 1 . 7 5 2

( 7 2 . 5 - 6 9 . 8 ) - 1 . 9 6 . — — + —— < m - ¿ / 2 < ( 7 2 . 5 - 6 9 . 8 ) + 1 . 9 6 4 0 4 0 V 4 0 4 0

1 . 7 8 < - tiz < 3 . 6 2

P u e s t o q u e e l i n t e r v a l o p a r a l a d i f e r e n c i a d e l a s m e d i a s p o b l a c i o n a l e s s i e m p r e será

p o s i t i v o , s e t i e n e 9 5 % d e c o n f i a n z a d e q u e l a r e s i s t e n c i a a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o

I e s m a y o r a l a d e l o s d e l t i p o I I

U j - /J2 e ( 1 . 7 8 , 3 . 6 2 ) i n d i c a q u e fi - ^ > 0 , es d e c i r > ¿i2

3 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a ^ - n2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s c u a n d o s e d e s c o n o c e n

c r 2 y o r | , p e r o s e s a b e q u e o \ = a \ e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a s x j y x 2 l a s m e d i a s d e m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e tamaños n

y n 7 ( r i j < 3 0 y n 7 < 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s

d e l a s q u e se d e s c o n o c e n c r f y a \ p e r o s e c o n o c e q u e o j = a ] , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a

( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a ^ - u , está d a d o p o r

(X] - x2) -1„ ( s„) í— + — < Mi - V2 < ( - x2) + ta (j ) J - l + —

2 " * l " 2 i V " ! " 2


d o n d e C _ e s e l v a l o r d e l a distribución t - S t u d e n t c o n v " I » J + n , - 2 g r a d o s d e l i b e r t a d ,

e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2

l ( n , - l ) s 2 + ( n 2 - l ) s j

n , + n 2 - 2

e s l a estimación común d e l a desviación estándar p o b l a c i o n a l y s 2 y %\ s o n l a s v a r i a n z a s

i n s e s g a d a s r e s p e c t i v a s d e l a s m u e s t r a s 1 y 2 .

E j e m p l o 8 L a s p r u e b a s d e tracción e n d i e z p u n t o s d e s o l d a d u r a p a r a u n d i s p o s i t i v o s e m i c o n d u c t o r

p r o d u j e r o n l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s e n l i b r a s r e q u e r i d a s p a r a r o m p e r l a s o l d a d u r a

1 5 . 8 1 2 . 7 1 3 . 2 1 6 . 9 1 0 . 6 1 8 . 8 1 1 . 1 1 4 . 3 1 7 . 0 1 2 . 5

U n s e g u n d o c o n j u n t o d e o c h o p u n t o s f u e p r o b a d o p a r a d e t e r m i n a r s i l a r e s i s t e n c i a

a l a tracción s e i n c r e m e n t a c o n u n r e c u b r i m i e n t o , p r o d u c i e n d o l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s

2 4 . 9 2 3 . 6 1 9 . 8 2 2 . 1 2 0 . 4 2 1 . 6 2 1 . 8 2 2 . 5

S e s u p o n e distribución n o r m a l , s e c a l c u l a 9 0 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a / j j — ¿t,,

c o n s i d e r a n d o c r 2 = o~\, a m b a s d e s c o n o c i d a s .

P r i m e r o s e c a l c u l a n l a s m e d i a s y v a r i a n z a s muéstrales

d e l c o n j u n t o 1 x j = 1 4 . 2 9 y s\ = 7 . 5 0 , n , = 1 0

d e l c o n j u n t o 2 x 2 = 2 2 . 0 9 y s 2 = 2 . 6 8 , n 2 = 8

C o n e s t o s v a l o r e s s e c a l c u l a

_ ( n 1 - l ) s 1 - + ( n 2 - l ) 5 2 = 1 ( 1 0 - 1 ) 7 . 5 0 + ( 8 - 1 ) 2 . 6 8 2 ^ n j + n 2 - 2 V 1 0 + 8 - 2

F a l t a d e t e r m i n a r e n l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución t - S t u d e n t e l v a l o r d e

t „ c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a ( a = 0 . 1 0 e s d e c i r , a / 2 = 0 . 0 5 ) y v = n t + n 7 - 2 = 1 6 g r a d o s

d e l i b e r t a d . S e d e t e r m i n a e n l a s t a b l a s c o r r e s p o n d i e n t e s q u e t Q 0 5 = 1 . 7 4 6 .

1 ! / 1 1 ( 1 4 . 2 9 - 2 2 . 0 9 ) - 1 . 7 4 6 x 2 . 3 2 — + - < ¿i, - fi2 < ( 1 4 . 2 9 - 2 2 . 0 9 ) + 1 . 7 4 6 x 2 . 3 2

1 0 8 V I O 8

9 . 7 2 < / i , - ¿i, < - 5 . 8 8

4 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a ^ - n2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s c u a n d o s e d e s c o n o c e n

° j f V ^l' P e r o s e s a b e q u e a 2 # cs\ e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a s x j y x 2 l a s m e d i a s d e m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e tamaños n {

y n , ( n ( < 3 0 y n , < 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s d o n d e s e d e s c o n o c e n a \ y a ] p e r o se s a b e q u e o\ JÉ c r 2 , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a n - u , está d a d o p o r

< * i - * 2 ) - ' c J — + — < , " i - A / 2 < ( x , - x 2 ) + t 0 J i + iL ' l " 2 - V rti n7

2 2


E j e m p l o 9

d o n d e t ^ 7 e s e l v a l o r d e l a distribución t - S t u d e n t c o n r - 2 2 " 2

n , n 2

r 2 V Í L

n , - l

r * 2 N 2

i 2 _

v " 2 g r a d o s d e l i b e r t a d , e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 , y S [ y s 2 s o n l a s v a r i a n z a s i n s e s g a d a s r e s p e c t i v a s d e l a s m u e s t r a s .

D e l a fórmula a n t e r i o r s e p u e d e e s t i m a r q u e e l r e s u l t a d o d e l cálculo d e l o s g r a d o s d e l i b e r t a d g e n e r a l m e n t e será u n a cantidad no e n t e r a , p o r l o q u e s i e m p r e se debe redondear al entero más próximo ( n o a l s i g u i e n t e ) , p o r e j e m p l o , s i v = 1 4 . 3 ~ 1 4 ; v = 1 4 . 7 * 1 5 ; » - 1 4 . 5 * 1 5 .

S e r e t o m a n l o s d a t o s d e l e j e m p l o 8 , c o n s i d e r a n d o q u e o \ * o ~ 2 y s o n a m b a s d e s c o n o c i d a s . S e s u p o n e n o r m a l i d a d ; s e c a l c u l a 9 0 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a U j - ¿t,; s e d e t e r m i n a qué t i p o d e s e m i c o n d u c t o r s i n r e c u b r i m i e n t o ( 1 ) o c o n r e c u b r i m i e n t o ( 2 ) t i e n e más r e s i s t e n c i a a l a tracción.

L a s m e d i a s y v a r i a n z a s muéstrales s e c a l c u l a r o n a n t e r i o r m e n t e

d e l c o n j u n t o 1 x j = 1 4 . 2 9 y s\ = 7 . 5 0 , n , = 1 0 d e l c o n j u n t o 2 x 2 = 2 2 . 0 9 y s 2 = 2 . 6 8 , n 2 = 8

C o n e s t o s v a l o r e s s e c a l c u l a n l o s g r a d o s d e l i b e r t a d

" 2 l' Í L + í ? _

2

" 1 n 2

" 7 . 5 0 2 . 6 8 " 2

1 0 + 8

( T- \

Í L

" I , v n , - 1

( T-\

, n 2 , V n 2 - 1

7 . 5 0 1 0 1 0 - 1

2 . 6 8 = 1 4 . 9 9 = 15

1 5 - 1

F a l t a d e t e r m i n a r , u s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución t - S t u d e n t , e l v a l o r d e t ^ 7 c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a ( a = 0 . 1 0 e s d e c i r , a / 2 = 0 . 0 5 ) y v = 1 5 g r a d o s d e

1 . 7 5 3 . l i b e r t a d . S e d e t e r m i n a e n l a s t a b l a s c o r r e s p o n d i e n t e s q u e t Q 0 5

( 1 4 . 2 9 - 2 2 . 0 9 ) ->0 + 2 J 6 8 < 9 _ 2 2 + 1

1 0 8 1

7 . 5 0 2 . 6 8 ,/ + V 1 0 8

- 9 . 6 3 < p , - / J 2 < - 5 . 9 7

C o m o e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a s i e m p r e r e s u l t a n e g a t i v o ( d e - 9 . 6 3 a - 5 . 9 7 ) , s e t i e n e 9 0 % d e c o n f i a n z a d e q u e l a r e s i s t e n c i a a l a tracción c o n r e c u b r i m i e n t o e s m a y o r q u e s i n r e c u b r i m i e n t o .

5 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a u r f = U j - u 2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s , c u a n d o s e d e s c o

n o c e n CT| y p e r o s e s a b e q u e s o n o b s e r v a c i o n e s p o r p a r e s e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a s x d y s¿ l a m e d i a y l a desviación estándar d e l a s d i f e r e n c i a s n o r m a l m e n t e d i s t r i b u i d a s d e n p a r e s a l e a t o r i o s y d e p e n d i e n t e s d e m e d i c i o n e s d e m u e s t r a s d e tamaño n ( n < 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s


d o n d e s e d e s c o n o c e O"] y o ~ 2 , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a \ i i = ¿íj - u , está d a d o p o r

7 j _ t f f e ) < ; í i < í d + t f ( x ) d o n d e t ^ 7 e s e l v a l o r d e l a distribución t - S t u d e n t c o n v = n - 1 g r a d o s d e l i b e r t a d , e l

c u a l t i e n e u n área d e a / 2 .

E j e m p l o 1 0 E n u n p r o c e s o químico s e c o m p a r a n d o s c a t a l i z a d o r e s p a r a c o m p r o b a r s u e f e c t o e n e l r e s u l t a d o d e l a reacción. S e preparó u n a m u e s t r a d e d o c e p r o c e s o s u t i l i z a n d o e l c a t a l i z a d o r m a r c a L y también d o c e d e l a m a r c a M ; a continuación se m u e s t r a n l o s d a t o s c o n l o s r e n d i m i e n t o s .

L 0 . 9 9 0 . 9 0 0 . 3 2 0 . 7 0 0 . 4 3 0 . 6 7 0 . 6 5 0 . 6 1 0 . 4 4 0 . 9 2

M 0 . 9 5 0 . 4 0 0 . 6 0 0 . 6 2 0 . 4 4 0 . 6 2 0 . 4 2 0 . 7 2 0 . 2 6 0 . 8 6

S e c a l c u l a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e o b s e r v a c i o n e s i g u a l a d a s y s e s u p o n e q u e l o s d a t o s están d i s t r i b u i d o s n o r m a l m e n t e .

P r i m e r o s e d e t e r m i n a n l a s d i f e r e n c i a s d e l o s d a t o s d e l a m u e s t r a

L 0 . 9 9 0 . 9 0 0 . 3 2 0 . 7 0 0 . 4 3 0 . 6 7 0 . 6 5 0 . 6 1 0 . 4 4 0 . 9 2

M 0 . 9 5 0 . 4 0 0 . 6 0 0 . 6 2 0 . 4 4 0 . 6 2 0 . 4 2 0 . 7 2 0 . 2 6 0 . 8 6

L - M 0 . 0 4 0 . 5 0 0 . 2 8 0 . 0 8 0 . 0 1 0 . 0 5 0 . 2 3 0 . 1 1 0 . 1 8 0 . 0 6

C o n e s t a s d i f e r e n c i a s s e c a l c u l a s u v a l o r m e d i o y l a desviación estándar

xd = 0 . 0 7 4 y s d = 0 . 2 0 7

E l tamaño d e l a m u e s t r a e s d i e z , p o r c o n s i g u i e n t e l o s g r a d o s d e l i b e r t a d v = 1 0 - 1 = 9 . D e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a distribución t - S t u d e n t c o n 9 9 % d e c o n f i a n z a ( a = 0 . 0 1 y a/2 = 0 . 0 0 5 ) , s e t i e n e q u e t 0 0 Q 5 = 3 . 2 5 . P o r último e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a r e s u l t a

- 0 . 1 3 9 < n¿ < 0 . 2 8 7

E j e r c i c i o 3

1 . C a l c u l a s i e n u n a c l a s e d e d i e z e s t u d i a n t e s se t i e n e e l m i s m o r e n d i m i e n t o e n d o s p r u e b a s d i f e r e n t e s . S u s p u n t u a c i o n e s s o n

E s t u d i a n t e : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

P r u e b a 1 : 9 0 9 0 9 0 8 0 9 0 9 2 8 8 9 0 6 3 7 0

P r u e b a 2 : 8 4 8 4 8 2 9 4 9 0 8 5 8 9 6 2 6 5 5 2

C o n s i d e r a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e l a s p u n t u a c i o n e s i g u a l a d a s y s u p o n n o r m a l i d a d e n l a s p o b l a c i o n e s .


2 . S e aplicó u n e x a m e n d e matemáticas f i n a n c i e r a s a u n g r u p o d e a l u m n o s ( g r u p o A ) , e l c u a l o b t u v o l a s s i g u i e n t e s c a l i f i c a c i o n e s

3 . 0 3 . 5 4 . 0 8 . 1 7 . 2 8 . 9 8 . 2 1 0 . 0 1 0 . 0 9 . 0

A o t r o g r u p o s e l e aplicó u n e x a m e n d e álgebra l i n e a l c o n l a s s i g u i e n t e s c a l i f i c a c i o n e s

2 . 0 3 . 0 3 . 7 8 . 0 5 . 0 4 . 0 3 . 0 8 . 0 9 . 0 1 0 . 0 7 . 0 7 . 0 6 . 0

C a l c u l a u n i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s c o n 9 0 % d e n i v e l d e c o n f i a n z a .

3 . U n c e n t r o d e investigación e n m e d i c i n a d e l d e p o r t e d i o a c o n o c e r l a s d i f e r e n c i a s e n l a s t a s a s d e c o n s u m o d e o x i g e n o p a r a v a r o n e s u n i v e r s i t a r i o s e n t r e n a d o s c o n d o s métodos d i f e r e n t e s . U n o d e e l l o s r e c i b e e n t r e n a m i e n t o c o n t i n u o y e l o t r o i n t e r m i t e n t e , l o s d o s c o n i g u a l duración. E n l a s i g u i e n t e t a b l a s e r e g i s t r a n l o s tamaños d e m u e s t r a , m e d i a s y d e s v i a c i o n e s estándar r e s p e c t i v a s , e x p r e s a d o s e n m i p o r k g / m i n

E n t r e n a m i e n t o c o n t i n u o E n t r e n a m i e n t o i n t e r m i t e n t e

n c = 9 n , = 7

x r = 43.71 X ; = 39.63

5 f = 4 87 S , • 9.68

C a l c u l a l a s m e d i a s d e e s t a s p o b l a c i o n e s c o n 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ; s u p o n q u e l a s v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s s o n d i f e r e n t e s y q u e s u distribución e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l .

4 . L o s d a t o s q u e s e m u e s t r a n a continuación s o n l o s g r a d o s d e d u r e z a B r i n e l l o b t e n i d o s p a r a m u e s t r a s d e d o s a l e a c i o n e s d e m a g n e s i o

Aleación 1 6 6 . 3 6 3 . 5 6 4 . 9 6 1 . 8 6 4 . 3 6 4 . 7 6 5 . 1 6 4 . 5 6 8 . 4 6 3 . 2

Aleación 2 7 1 . 3 6 0 . 4 6 2 . 6 6 3 . 9 6 8 . 8 7 0 . 1 6 4 . 8 6 8 . 9 6 5 . 8 6 6 . 9

S u p o n q u e p r o v i e n e n d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s c o n v a r i a n z a s q u e s o n d i s t i n t a s y c o n s i d e r a 9 8 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a r i j - fu.

5 . S e d i c e q u e u n a n u e v a d i e t a r e d u c e e l p e s o d e u n a p e r s o n a , 4 . 5 k g e n p r o m e d i o , e n u n p e r i o d o d e d o s s e m a n a s . L o s p e s o s d e s i e t e m u j e r e s q u e s i g u i e r o n e s t a d i e t a f u e r o n a n o t a d o s a n t e s y después d e d i c h o p e r i o d o .

M u j e r 1 2 3 4 5 6 7

P e s o a n t e r i o r 5 8 . 5 6 0 . 3 6 1 . 7 6 9 . 0 6 4 . 0 6 2 . 6 5 6 . 7

P e s o p o s t e r i o r 6 0 . 0 5 4 . 9 5 8 . 1 6 2 . 1 5 8 . 5 5 9 . 9 5 4 . 4

D e t e r m i n a l a e f i c a c i a d e l a d i e t a c o n s i d e r a n d o 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a d e l o s p e s o s ; s u p o n q u e s u distribución a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l .

a ) s i o\ = o\

b) s i <J| * o " 2


I n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a v a r i a n z a d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s

C u a n d o s e t r a t a d e i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a v a r i a n z a , s e c o n s i d e r a n d o s c a s o s , u n o p a r a l a s v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s y e l o t r o p a r a u n a razón e n t r e v a r i a n z a s .

1 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a cr 2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a s 2 l a v a r i a n z a d e u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e tamaño n ( n < 3 0 ) d e u n a población a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a e l parámetro o~ está d a d o p o r

( n - l ) s 2 2 ( n - l ) s 2

Xa/2 X}-a/2 2 2 2

d o n d e Xa/2 Y X i - a / 2 s o n v a l o r e s d e l a distribución j i c u a d r a d a X ( v e r t a b l a s estadíst i c a s c o r r e s p o n d i e n t e s ) c o n v = n - 1 g r a d o s d e l i b e r t a d , l o s c u a l e s t i e n e n áreas d e a / 2 y 1 - a / 2 , r e s p e c t i v a m e n t e .

E j e m p l o 1 1 U n antropólogo midió e l a n c h o ( e n centímetros) d e u n a m u e s t r a t o m a d a a l a z a r d e n u e v e cráneos d e m i e m b r o s d e c i e r t a t r i b u , y o b t u v o l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s

1 3 . 3 1 4 . 2 1 3 . 5 1 6 . 7 1 1 . 1 1 3 . 1 1 3 . 0 1 2 . 2 1 3 . 0

S e c a l c u l a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a v a r i a n z a d e d i c h a t r i b u . P r i m e r o s e c a l c u l a l a v a r i a n z a i n s e s g a d a d e l a m u e s t r a s" = 2 . 3 3 . E l g r a d o d e c o n f i a n z a esrá d a d o p o r 1 - a = 0 . 9 5 , d o n d e a = 0 . 0 5 , e s d e c i r

a / 2 = 0 . 0 2 5 y 1 - a / 2 = 0 . 9 7 5 . B u s c a n d o e n l a s t a b l a s d e l a distribución ji c u a d r a d a c o n v = 9 - 1 = 8 g r a d o s d e l i b e r t a d , s e t i e n e

Xl¡i = X o . 0 2 5 = 1 7 - 5 3 4 5 y XL/2 = x l m = 2 - 1 7 9 7

P o r último, r e s u l t a ( 9 - 1 ) 2 . 3 3 7 ( 9 - 1 ) 2 . 3 3 < r j - <

1 7 . 5 3 4 5 2 . 1 7 9 7

1 . 0 6 < c r 2 < 8 . 5 5

2 / 2 2 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a c F j / < T 2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s e n m u e s t r a s pequeñas.

D a d a s s f y 5 2 l a s v a r i a n z a s d e m u e s t r a s a l e a t o r i a s i n d e p e n d i e n t e s d e tamaños

n y n 7 ( n < 3 0 y n 7 < 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s , e l i n t e r v a l o d e 2 / 2

c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a l a razón d e l a s v a r i a n z a s <J\ ¡(Ji está d a d o p o r í 1 \

V s 2 ) < — T <

( 2\ 1

/ a / 2 ( V l , V 2 ) O",2 / a / 2 V v 2 . v l )

d o n d e / « / T Í V J . V T ) e s e l v a l o r d e l a distribución F ( v e r t a b l a s c o r r e s p o n d i e n t e s ) , c o n v l = n i " 1 g r a d o s d e l i b e r t a d d e l n u m e r a d o r y <', = n 7 - 1 g r a d o s d e l i b e r t a d d e l

d e n o m i n a d o r e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 , s i m i l a r m e n t e f a / 2 ( v i > V \ ) -


E j e m p l o 1 2 R e t o m a n d o l o s d a t o s d e l e j e m p l o 8 se h i z o l a suposición d e q u e CT| = CT2 y s e calculó u n . i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a razón d e v a r i a n z a s y s e determinó s i f u e válida l a suposición, c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a .

L o s r e s u l t a d o s d e l c o n j u n t o 1 f u e r o n

1 5 . 8 1 2 . 7 1 3 . 2 1 6 . 9 1 0 . 6 1 8 . 8 1 1 . 1 1 4 . 3 1 7 . 0 1 2 . 5

L o s r e s u l t a d o s d e l c o n j u n t o 2 f u e r o n

2 4 . 9 2 3 . 6 1 9 . 8 2 2 . 1 2 0 . 4 2 1 . 6 2 1 . 8 2 2 . 5

A l c a l c u l a r l a s v a r i a n z a s muéstrales, d e l c o n j u n t o 1 s e o b t u v o Sj = 7 . 5 0 , r i j " 1 0 , y

d e l c o n j u n t o d o s s 2 = 2 . 6 8 , n 7 = 8 . F a l t a d e t e r m i n a r u s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución F l o s v a l o r e s

d e f a / i ( v i ' v 2 ^ y fa/l(v2> v \ ) c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a ( a = 0 . 1 0 e s d e c i r , a / 2 - 0 . 0 5 ) y V j = n 1 - l = 1 0 - 1 = 9 y = n 7 - 1 = 8 - 1 = 7 g r a d o s d e l i b e r t a d . S e b u s c a e n l a s t a b l a s d e l a distribución F y se o b t i e n e

falPh V 2 ) = / o . o 5 ( 9 . 7 ) = 3 . 6 7 7 y / a / 2 ( v 2 , v 1 ) = / 0 0 5 ( 7 , 9 ) = 3 . 2 9 3

E l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a r e s u l t a

^ ) - L < 4 < p l 3 .

2 . 6 8 ) 3 . 6 7 7 a ] 1 2 . 6 8

0 . 7 6 < ^ V < 9 . 2 2

D e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a razón e n t r e v a r i a n z a s se d e t e r m i n a q u e e l v a l o r 1

está c o n t e n i d o e n e l i n t e r v a l o . P o r t a n t o , c o n 9 0 % d e c o n f i a n z a s e j u s t i f i c a l a suposición d e

q u e a \ = a \ , y a q u e ^H<y\ = 1 e ( 0 . 7 6 , 9 . 2 2 ) y s i s e m u l t i p l i c a n p o r a \ a m b o s m i e m b r o s

d e l a i g u a l d a d s e o b t i e n e a l = a \ .

E j e r c i c i o 4

1 . U n geólogo e s t u d i a e l m o v i m i e n t o d e l o s c a m b i o s r e l a t i v o s e n l a c o r t e z a t e r r e s t r e e n u n s i t i o p a r t i c u l a r , e n u n i n t e n t o p o r d e t e r m i n a r e l ángulo m e d i o d e l a s f r a c t u r a s eligió n = 5 0 f r a c t u r a s y d e t e r m i n a q u e l a m e d i a e s d e 39.8° y l a desviación estándar m u e s t r a l e s d e 17.20°. C o n s i d e r a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a e s t i m a r l a v a r i a n z a d e l a población ( s u p o n q u e l a población está n o r m a l m e n t e d i s t r i b u i d a ) .

2 . E n u n p r o c e s o químico s e c o m p a r a n d o s c a t a l i z a d o r e s p a r a v e r i f i c a r s u e f e c t o e n e l r e s u l t a d o d e l a reacción. S e preparó u n a m u e s t r a d e d i e z p r o c e s o s u t i l i z a n d o e l c a t a l i z a d o r m a r c a L y d i e z c o n e l d e l a m a r c a M , a continuación s e m u e s t r a n l o s d a t o s c o n l o s r e n d i m i e n t o s

L 0 . 9 9 0 . 9 0 0 . 3 2 0 . 7 0 0 . 4 3 0 . 6 7 0 . 6 5 0 . 6 1 0 . 4 4 0 . 9 2

M 0 . 9 5 0 . 4 0 0 . 6 0 0 . 6 2 0 . 4 4 0 . 6 2 0 . 4 2 0 . 7 2 0 . 2 6 0 . 8 6


C o n s i d e r a 9 9 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a razón e n t r e v a r i a n z a s d e l o s r e n d i m i e n t o s d e l o s c a t a l i z a d o r e s ; s u p o n q u e l o s d a t o s están d i s t r i b u i d o s n o r m a l m e n t e .

3 . E l e s p e s o r d e l a s p a r e d e s d e 2 5 b o t e l l a s d e v i d r i o d e d o s l i t r o s f u e m e d i d o p o r u n i n g e n i e r o d e c o n t r o l d e c a l i d a d . L a m e d i a m u e s t r a l f u e d e 4 . 0 2 m m y l a desviación estándar m u e s t r a l d e 0 . 0 9 . C o n s i d e r a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a c o n r e s p e c t o d e l a v a r i a n z a d e l e s p e s o r d e l a s p a r e d e s d e l a s b o t e l l a s .

4 . S e r e a l i z a n c i n c o m e d i c i o n e s e n u n m e d i d o r d e v o l u m e n e n l a b o m b a d e u n a estación d e g a s o l i n a ( 1 0 . 5 , 1 0 . 0 , 9 . 9 0 , 9 . 9 5 y 1 0 . 1 5 ) , s u p o n n o r m a l i d a d y c a l c u l a u n i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a v a r i a n z a c o n a = 0 . 0 5 .

I n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a l a s p r o p o r c i o n e s e n m u e s t r a s g r a n d e s

1 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a e l parámetro p e n m u e s t r a s g r a n d e s .

S i p y q = 1 — p s o n l a s p r o p o r c i o n e s r e s p e c t i v a s d e éxitos y f r a c a s o s e n u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e tamaño n ( n > 3 0 ) , e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a e l parámetro b i n o m i a l p está d a d o p o r

¡pli . fi*f P - * - a J — < J > < P + * a J —

^ n y \ n

d o n d e z^-, e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 .

E j e m p l o 1 3 E n u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e c i e n p o s i b l e s c l i e n t e s , 7 0 p r e f i e r e n d e t e r m i n a d o p r o d u c t o . S e c o n s i d e r a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a proporción d e t o d o s l o s p o s i b l e s c l i e n t e s q u e p r e f i e r e n t a l p r o d u c t o .

P a r a e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a d e l a proporción p r i m e r o s e d e t e r m i n a e l v a l o r d e ésta d e p e r s o n a s q u e p r e f i e r e n e l p r o d u c t o

p = — = 0 . 7 0 y q = — = 0 . 3 0 1 0 0 1 0 0

E n e s t e c a s o s e t i e n e 9 5 % d e c o n f i a n z a , p o r t a n t o , 1 - a = 0 . 9 5 , y u s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución n o r m a l s e t i e n e z^-, = 1 . 9 6 . P o r último

J a r o n a V íoo

0 . 7 0 - 1 . 9 6 / — - J - 3 0 < p < 0 . 7 0 + 1 . 9 6 ' ° - 7 0 x a 3 0

1 0 0

0 . 6 1 0 2 < f > < 0 . 7 8 9 8

2 . I n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a px - p2 d e p o b l a c i o n e s e n m u e s t r a s g r a n d e s .

D a d a s p t y p 2 l a s p r o p o r c i o n e s d e éxitos d e l a s m u e s t r a s a l e a t o r i a s d e tamaños n j y n , ( n > 3 0 y n . , > 3 0 ) , r e s p e c t i v a m e n t e y c j , = l - p t y q 2 = 1 — p 2» e l i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a ( 1 - a ) d e 1 0 0 % p a r a l a d i f e r e n c i a e n t r e l o s d o s parámetros b i n o m i a l e s p j - p 7 está d a d o p o r

i h - h ) - z J ^ ^ < P i - P z < ( h - h ) ^ J ^ ^

d o n d e za/l e s e l v a l o r d e l a distribución n o r m a l estándar, e l c u a l t i e n e u n área d e a / 2 .


E j e m p l o 1 4 U n a f i r m a m a n u f a c t u r e r a d e c i g a r r o s d i s t r i b u y e d o s m a r c a s . S i s e e n c u e n t r a q u e 5 6 d e 2 0 0 f u m a d o r e s p r e f i e r e n l a m a r c a A y q u e 2 9 d e 1 5 0 f u m a d o r e s p r e f i e r e n l a m a r c a B , s e c o n s i d e r a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a p A - p B ; s e d e t e r m i n a s i e s válido s u p o n e r q u e l a población d e f u m a d o r e s p r e t i e r e l a m a r c a B , s o b r e l a m a r c a A .

D a d a pA l a p r o b a b i l i d a d d e q u e 5 6 d e 2 0 0 f u m a d o r e s p r e t i e r a n l a m a r c a A , s u estadístico r e s u l t a

p A = — = 0 . 2 8 A 2 0 0

d e t a l f o r m a q u e q A = 0 . 7 2 c o n r i j = 2 0 0 . A s i m i s m o l a p r o b a b i l i d a d d e q u e 2 9 d e 1 5 0 p r e f i e r a n l a m a r c a B r e s u l t a

2 9 p = = 0 . 1 9

B 1 5 0 d e t a l f o r m a q u e cjg = 0 . 8 1 c o n n , • 1 5 0 . P o r último p a r a e l i n t e r v a l o d e 9 5 % d e c o n f i a n z a , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s p a r a l a distribución n o r m a l r e s u l t a q u e z^-, - 1 . 9 6 , e m p l e a n d o l a fórmula c o r r e s p o n d i e n t e p a r a p . - p R

( 0 . 2 8 - 0 . 1 9 ) - 1 . 9 6 , / ^ ^ + i l ^ < p A - P B < ( 0 . 2 8 - 0 . 1 9 ) + 1 . 9 6 ^ V 2 0 0 1 5 0 A B V

2 8 x 0 . 7 2 0 . 1 9 x 0 . 8 1 + -2 0 0 1 5 0

0 . 0 0 1 8 <í>A-f>B< 0 . 1 7 8 2

C o m o p A - p g > 0 e n t o n c e s p A > p g . P o r t a n t o , n o e s válida l a suposición d e q u e l a población d e f u m a d o r e s p r e f i e r e l a

m a r c a B s o b r e l a A c o n 9 5 % d e c o n f i a n z a .

E j e r c i c i o 5

1 . P a r a e s t i m a r l a p r o p u e s t a d e l o s t r a b a j a d o r e s d e s e m p l e a d o s e n Panamá, u n e c o n o m i s t a t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e 4 0 0 p e r s o n a s d e c l a s e o b r e r a , d o n d e 2 5 r e s u l t a r o n s i n e m p l e o . C a l c u l a l a proporción r e a l d e t r a b a j a d o r e s d e s e m p l e a d o s e n Panamá c o n s i d e r a n d o 9 7 % d e u n i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a .

2 . U n r e c t o r registró d e b i d a m e n t e e l p o r c e n t a j e d e c a l i f i c a c i o n e s D y F o t o r g a d a s a l o s e s t u d i a n t e s p o r d o s p r o f e s o r e s u n i v e r s i t a r i o s d e h i s t o r i a . E l p r o f e s o r I alcanzó 3 2 % c o n t r a 2 1 % d e l p r o f e s o r I I , c o n 2 0 0 y 1 8 0 e s t u d i a n t e s , r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r a 9 0 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a d e p r o p o r c i o n e s .

3 . U n antropólogo está i n t e r e s a d o e n l a proporción d e i n d i v i d u o s q u e p r e s e n t a n b r a q u i c e f a l i a e n d o s t r i b u s indígenas. S u p o n q u e s e t o m a n m u e s t r a s i n d e p e n d i e n t e s d e c a d a u n a d e l a s t r i b u s y se d e s c u b r e q u e 2 4 d e c a d a 1 0 0 n a t i v o s d e l a t r i b u A y 3 6 d e c a d a 1 2 0 d e l a t r i b u B p o s e e n d i c h a característica. C o n s i d e r a 9 5 % d e i n t e r v a l o d e c o n f i a n z a p a r a l a d i f e r e n c i a p^ - p ? e n t r e l a s p r o p o r c i o n e s d e e s t a s d o s t r i b u s .

1 0 . 2 P r u e b a s d e hipótesis

E n l a sección a n t e r i o r s e a n a l i z a r o n l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a p a r a e l cálculo d e e s t i m a c i o n e s s o b r e l o s parámetros y p a r a t o m a r d e c i s i o n e s a l t r a b a j a r c o n l a población d e interés. E n e s t a sección s e estudiará o t r o método estadístico q u e p e r m i t a t o m a r d e c i s i o n e s e n p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n p o b l a c i o n e s q u e r e s u l t a n m u y difíciles o i m p o s i b l e s d e a n a l i z a r e n s u t o t a l i d a d . P o r e j e m p l o , p a r a p o d e r c o n c l u i r c o n c i e r t a v e r a c i d a d s o b r e l a

U N I D A D 1 0 • I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A

v i d a p r o m e d i o d e f o c o s d e c i e r t a m a r c a , s e p u e d e f o r m u l a r u n a hipótesis, l a c u a l se d e b e c o m p r o b a r , e s d e c i r , b u s c a r e v i d e n c i a s q u e a y u d e n a d e c i d i r s i l a hipótesis s e a c e p t a o s e r e c h a z a .


Se llama hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura referente a la población.

L a comprobación d e u n a hipótesis estadística c o n s i s t e e n b u s c a r e v i d e n c i a s p a r a d e c i d i r s o b r e l a aceptación o r e c h a z o d e l a afirmación r e a l i z a d a . E n e l e j e m p l o d e l o s f o c o s s e p u e d e s u p o n e r q u e s u v i d a p r o m e d i o está p o r a r r i b a d e l a s 7 5 0 h d e duración; después d e e l e g i r u n a m u e s t r a d e t a l e s f o c o s , r e s u l t a q u e s u v i d a p r o m e d i o f u e 7 3 0 h , c o n e s t e análisis s u r g e u n c u e s t i o n a m i e n t o .

E n l a comprobación d e hipótesis, l a m a n e r a óptima d e t o m a r l a decisión d e a c e p t a r o r e c h a z a r l a afirmación r e a l i z a d a sólo s e p u e d e c o n o c e r c u a n d o s e a n a l i z a t o d a l a población; s i n e m b a r g o , e n l a práctica, u n a afirmación se a c e p t a c o n b a s e e n u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e l a población q u e sólo i n d i c a q u e c o n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s n o e x i s t e e v i d e n c i a p a r a r e c h a z a r l a . A s i m i s m o , c u a n d o s e r e c h a z a u n a afirmación f o r m u l a d a sólo s i g n i f i c a q u e n o e x i s r e n e v i d e n c i a s s u f i c i e n t e s d e l a m u e s t r a p a r a a c e p t a r l a .

P a r a f o r m u l a r u n a afirmación s o b r e u n s u c e s o y r e a l i z a r u n a p r u e b a d e aceptación o r e c h a z o , s u r g e l a s i g u i e n t e terminología: s e l l a m a hipótesis n u l a a l a afirmación q u e s e q u i e r a p r o b a r y s e s i m b o l i z a p o r H Q . A l a afirmación q u e e s o p u e s t a a l a hipótesis n u l a s e l e l l a m a hipótesis a l t e r n a , y s e s i m b o l i z a p o r Hy C a b e a c l a r a r q u e l a hipótesis n u l a s i e m p r e deberá s e r e s t a b l e c i d a d e t a l f o r m a q u e e s p e c i f i q u e u n v a l o r e x a c t o d e l parámetro e n e s t u d i o , m i e n t r a s q u e l a hipótesis a l t e r n a d e b e r e p r e s e n t a r u n v a l o r d i f e r e n t e a l d e l a hipótesis n u l a . P o r e j e m p l o e n e l c a s o d e l a duración p r o m e d i o d e l o s f o c o s l a m u e s t r a t u v o u n a v i d a p r o m e d i o d e 7 3 0 h , 2 0 m e n o s q u e l a c o n j e t u r a d e l f a b r i c a n t e , p o r t a n t o , s e f o r m u l a l a hipótesis n u l a c o m o H Q : \i < 7 5 0 , e s d e c i r , l a v i d a p r o m e d i o d e l o s t o c o s e s m e n o r o i g u a l q u e 7 5 0 .

L a hipótesis a l t e r n a c o r r e s p o n d i e n t e s e b a s a e n l a afirmación d e l f a b r i c a n t e , e l c u a l a s e g u r a q u e l a v i d a p r o m e d i o d e l o s t o c o s está p o r a r r i b a d e l a s 7 5 0 h d e duración, c o n l o q u e s e e s t a b l e c e l a hipótesis a l t e r n a c o m o H j : ¿i > 7 5 0 , e s d e c i r , l a v i d a p r o m e d i o d e l o s f o c o s e s m a y o r a 7 5 0 .

C o m o s e a p r e c i a , e l v a l o r d e l parámetro e n l a hipótesis a l t e r n a p u e d e e l e g i r s e d e n t r o d e u n a i n f i n i d a d d e p o s i b i l i d a d e s y a q u e n o s e e s t a b l e c e u n v a l o r c o n c r e t o , e n e s t e c a s o sólo d e b e c u m p l i r c o n s e r m a y o r a 7 5 0 .

10.2 .1 T i p o s d e e r r o r e s e n u n a p r u e b a d e hipótesis

A l a c e p t a r o r e c h a z a r u n a hipótesis n u l a s e p u e d e n c o m e t e r c i e r t o s e r r o r e s , l o s c u a l e s d e b e n s e r mínimos.

Def in i c i ón 1 0 . 6 Se llama e r r o r tipo I cuando se rechaza la hipótesis nula, dado que ésta es cierta. Asimismo, se llama error tipo II cuando no se rechaza la hipótesis nula, dado que es falsa.

D a d a s l a s d e f i n i c i o n e s d e l o s d o s e r r o r e s q u e v a n implícitos a l a c e p t a r o r e c h a z a r u n a hipótesis n u l a , s u r g e d e n u e v o u n c u e s t i o n a m i e n t o .

¿El r e s u l t a d o d e l a m u e s t r a e s e v i d e n c i a s u f i c i e n t e p a r a i n d i c a r

q u e l a c o n j e t u r a r e a l i z a d a n o e s c o r r e c t a ?


¿Cuál e s l a p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r a l g u n o d e l o s e r r o r e s ?

Def in i c i ón 10.7

E j e m p l o 1 5

E j e m p l o 1 6

L a r e s p u e s t a r e f e r e n t e a l a p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r u n e r r o r t i p o I o t i p o I I e s f u n d a m e n t a l e n e l d e s a r r o l l o d e l a p r u e b a d e hipótesis.

S e llama nivel de significancia a la probabilidad decometer un error tipo I y se simboliza por si sécemete un error tipo II, la probabilidad se simboliza por p

S e r e t o m a e l c a s o d e l a v i d a p r o m e d i o d e l o s f o c o s y s e c o n s i d e r a n 4 9 f o c o s d e m u e s t r a y l a s hipótesis H Q : p < 7 5 0 , H j : u > 7 5 0 , l a e v i d e n c i a d e l a m u e s t r a e s t a b l e c e 7 6 0 h d e v i d a p r o m e d i o , s e c a l c u l a e l n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a .

a = p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r u n e r r o r t i p o I - p r o b a b i l i d a d d e r e c h a z a r H Q s i e n d o v e r d a d e r a

E s d e c i r

a = 0 . 0 0 2 6 Región d e r e c h a z o d e H 0

0 2 . 8

a = P ( X > 760), c u a n d o u < 750

P a r a c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d a n t e r i o r s e u s a e l t e o r e m a c e n t r a l d e l límite

o = P ( X > 760) = P X-n 7 6 0 - 7 5 0 P{Z> 2.8) = 0 .0026

E n t a l e s c o n d i c i o n e s , l a p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r u n e r r o r t i p o I e s pequeña; e s d e c i r , e l n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a e s 0 . 2 6 % .

S e r e t o m a e l c a s o d e l a v i d a p r o m e d i o d e l o s f o c o s y s e c a l c u l a f3 p a r a n - 7 6 5 .

P - p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r u n e r r o r t i p o I I • p r o b a b i l i d a d d e a c e p t a r H 0 , s i e n d o f a l s a

E s d e c i r ,

P = P(X< 760 c u a n d o n = 765)

s e c a l c u l a l a p r o b a b i l i d a d a n t e r i o r u s a n d o e l t e o r e m a d e l límite c e n t r a l

0 = P ( X < 7 6 O ) = P X-n ^ 7 6 0 - 7 6 5

1 % / n " / ^ / 4 9 )

= P ( Z < - 1 . 4 ) = 0 .0808

L a p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r u n e r r o r t i p o I I e s pequeña, e s d e c i r , 8 . 0 8 % p a r a e l c a s o e n q u e l a v e r d a d e r a v i d a p r o m e d i o d e l o s f o c o s s e a i g u a l a 7 6 5 h o r a s .


E j e r c i c i o 6

1 . S e h a d e s a r r o l l a d o u n a n u e v a preparación p a r a c i e r t o t i p o d e c e m e n t o c o n u n c o e f i c i e n t e d e compresión d e 5 m i l k g p o r e r a " y u n a desviación estándar d e 1 2 0 . P a r a c o m p r o b a r l a hipótesis d e q u e \i = 5 0 0 0 , e n contraposición c o n l a a l t e r n a t i v a d e u < 5 0 0 0 s e v e r i f i c a u n a m u e s t r a a l a z a r d e 5 0 p i e z a s d e c e m e n t o . S e d e t e r m i n a q u e l a región crítica e s X < 4 9 7 0 .

a ) c a l c u l a l a p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r e l e r r o r t i p o I c u a n d o H Q e s v e r d a d e r a b) evalúa /? p a r a l a a l t e r n a t i v a \i = 4 9 6 0

2 . S u p o n q u e X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a n o r m a l c o n v a r i a n z a 1 0 0 . S i s e t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e tamaño 1 6 d e X , c o m p r u e b a l a hipótesis H Q : \i = 1 0 c o n t r a H j : H > 1 0 . S i s e determinó u n a m e d i a m u e s t r a l d e 1 2 . 5 , c a l c u l a l a p r o b a b i l i d a d d e e r r o r d e t i p o I I .

3 . U n a lavandería a f i r m a q u e u n n u e v o q u i t a m a n c h a s e s e f e c t i v o e n n o más d e 7 0 % d e l o s c a s o s e n q u e s e u t i l i z a . P a r a c o m p r o b a r e s t a afirmación s e a p l i c a e l p r o d u c t o e n d o c e m a n c h a s t o m a d a s a l a z a r . S i m e n o s d e o n c e s o n e l i m i n a d a s s e a c e p t a l a hipótesis n u l a d e q u e p " 0 . 7 ; d e o t r a f o r m a s e c o n c l u y e p > 0 . 7 .

a) evalúa a , s u p o n i e n d o p = 0 . 7 b) evalúa /? p a r a l a a l t e r n a t i v a p = 0 . 9

P a r a l a comprobación d e hipótesis s e t i e n e n l o s m i s m o s c a s o s q u e e n l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a . L a formulación d e l a s hipótesis n u l a y a l t e r n a comúnmente c a u s a c i e r t o d e s c o n c i e r t o . P a r a d i f e r e n c i a r a l a hipótesis n u l a d e l a a l t e r n a y s i m p l i f i c a r l o s e j e m p l o s y e j e r c i c i o s , e l análisis d e l i m i t a q u e l a s hipótesis a v e r i f i c a r s i e m p r e estén f o r m u l a d a s c o n > , < o = . D e t a l f o r m a q u e e n l o s d o s p r i m e r o s c a s o s éstas serán l a s hipótesis a l t e r n a s c o r r e s p o n d i e n t e s , m i e n t r a s q u e e n e l t e r c e r o s e r e f i e r e a l a hipótesis n u l a .

P u e s t o q u e e n l a p r u e b a d e hipótesis y l o s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a s e t i e n e n l o s m i s m o s c a s o s y s u s c o n d i c i o n e s p a r a l a aplicación s o n l a s m i s m a s , s e s i m p l i f i c a e l t r a b a j o , r e s u m i e n d o únicamente l a s fórmulas p a r a l a s hipótesis n u l a s y s u s hipótesis a l t e r n a s r e s p e c t i v a s c o n s u s estadísticos y r e g i o n e s d e r e c h a z o c o r r e s p o n d i e n t e s , p a r a c a d a u n o d e l o s d i f e r e n t e s t e m a s : m e d i a s ( t r e s c a s o s ) , d i f e r e n c i a d e m e d i a s ( c i n c o ) , v a r i a n z a s ( d o s ) y p r o p o r c i o n e s ( d o s ) .

P a r a l a p r u e b a d e hipótesis s e r e c o m i e n d a s e g u i r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

• e s t a b l e c e r l a hipótesis n u l a • e s t a b l e c e r l a hipótesis a l t e r n a • f i j a r e l n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a • e l e g i r e l estadístico p a r a l a p r u e b a d e hipótesis • c o n b a s e e n l o a n t e r i o r e n c o n t r a r l a región d e aceptación y r e c h a z o • c a l c u l a r e l v a l o r d e l estadístico c o r r e s p o n d i e n t e y , c o n b a s e e n éste, a c e p t a r o

r e c h a z a r l a hipótesis n u l a


1 0 . 2 . 2 P r u e b a s d e hipótesis p a r a m e d i a s d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s c o n v a l o r crítico a

C a s o Hipótesis n u l a

V a l o r d e l estadístico d e p r u e b a

Hipótesis a l t e r n a

Región c r i t i c a c o r r e s p o n d i e n t e

C u a n d o s e c o n o c e o

M < / * o Z < - Z a

C u a n d o s e c o n o c e o o/yfñ

Distribución Z

f > f o Z > Z a C u a n d o s e c o n o c e o o/yfñ

Distribución Z 2 < ~ z a l 2 Y z > z a / z

C u a n d o s e d e s c o n o c e o ,

y m u e s t r a s g r a n d e s

M < f > 0 z < - z a


y m u e s t r a s g r a n d e s s/yfñ

Distribución Z s 2 v a r i a n z a i n s e s g a d a

f > f 0 ¿ > z a


y m u e s t r a s g r a n d e s s/yfñ

Distribución Z s 2 v a r i a n z a i n s e s g a d a z < ~ z a l 2 y z > Z a / 2

C u a n d o s e d e s c o n o c e a ,

y m u e s t r a s pequeñas P = t > 0 Distribución t - S t u d e n t c o n v = n - 1 g . 1 .

s 2 v a r i a n z a i n s e s g a d a

M < M 0 t < - t a



s 2 v a r i a n z a i n s e s g a d a

M > P 0



s 2 v a r i a n z a i n s e s g a d a t < - t a / 2 y t > t a ¡ 2

E j e m p l o 1 7 1 . U n a máquina p r o d u c e p i e z a s metálicas d e f o r m a c i l i n d r i c a , se t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e p i e z a s c u y o s diámetros s o n 9 . 8 , 9 . 5 , 9 . 8 , 1 1 . 5 , 9 . 0 , 1 0 . 4 , 9 . 8 , 1 0 . 1 y 1 1 . 2 m m . S e s u p o n e q u e l o s diámetros t i e n e n u n a distribución a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l . S i e l f a b r i c a n t e a f i r m a q u e e l diámetro p r o m e d i o e s 1 0 m m , s e d e t e r m i n a r e s p e c t o d e e s t a afirmación c o n 0 . 0 1 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a .

S e p i d e u n a p r u e b a d e hipótesis p a r a l a m e d i a , c o m p r o b a n d o q u e ésta e s i g u a l a 1 0 m m , e n t a l c a s o , d e a c u e r d o c o n d a t o s muéstrales, l a hipótesis a l t e r n a será e l o p u e s t o , e s d e c i r , d i f e r e n t e d e d i e z . S e s i g u e n l o s p a s o s p a r a u n a p r u e b a d e hipótesis.

a ) H Q : M = 1 0 b) H j : / i í t l 0 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 1 d) estadístico d e p r u e b a , p r i m e r o s e i d e n t i f i c a a cuál d e l o s t r e s c a s o s a n t e r i o r e s c o r r e s

p o n d e , s e i n d i c a q u e n o s e c o n o c e s y q u e l a m u e s t r a e s pequeña; p o r t a n t o ,

f _ * - f t )

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e d o s c o l a s , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución t - S t u d e n t ^ p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

Región d e r e c h a z o , c o l a i z q u i e r d a

t < - t - y t > t „ a/2 ' a/1

C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e a = 0 . 0 1 , d o n d e a / 2 • 0 . 0 0 5 . P o r o t r o l a d o , e l tamaño d e l a m u e s t r a e s n = 9 , d o n d e v = 9 - 1 = 8 g r a d o s d e l i b e r t a d . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución t - S t u d e n t r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

C < - t 0 O O 5 = - 3 3 5 5 y t > t 0 . 0 0 5 = 3 - 3 5 5

Región d e r e c h a z o , c o l a d e r e c h a

-Itlííil R e c

d e a c e i o n atación

-3.355 0 3.355


/ ) p a r a c a l c u l a r e l estadístico t , p r i m e r o s e d e t e r m i n a n l o s d a t o s d e l a m e d i a y l a desviación estándar m u e s t r a l c a l c u l a n d o l o s n u e v e d a t o s , s e t i e n e x = 1 0 . 1 2 2 2 y s - 0 . 7 9 8 1 , d o n d e

1 0 . 1 2 2 2 - 1 0

0 . 7 9 8 1 / 7 9 : 0 . 4 5 9 3

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a s e a c e p t a y , p o r t a n t o , s e d e t e r m i n a q u e c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e a = 0 . 0 1 e s válida l a afirmación d e l f a b r i c a n t e .

S e t o m a u n a m u e s t r a a l a z a r d e 3 6 v a s o s s u m i n i s t r a d o s p o r u n a máquina d e r e f r e s c o s q u e s i r v e p o r v a s o u n c o n t e n i d o p r o m e d i o d e 2 1 . 9 d i , c o n desviación estándar d e 1 . 4 2 d i . S e c o m p r u e b a l a hipótesis t i = 2 2 . 2 d i c o n t r a l a hipótesis a l t e r n a u < 2 2 . 2 c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a 0 . 0 5 .

a ) H 0 - . u = 2 2 . 2 b) H , : u < 2 2 . 2 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 5 d) estadístico d e p r u e b a ; p r i m e r o s e i d e n t i f i c a a cuál d e l o s t r e s c a s o s a n t e r i o r e s

c o r r e s p o n d e , d a d o q u e n o s e c o n o c e c r y l a m u e s t r a e s g r a n d e ; p o r t a n t o

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución n o r m a l , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e a = 0 . 0 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución n o r m a l l a región d e r e c h a z o r e s u l t a

< - z _ - - 1 . 6 4 4 9

Región d e r e c h a z o •4

- 1 . 6 4 4 9 Región d e aceptación

f) d e l a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 3 6 s e r v i c i o s d e l a máquina d e b e b i d a s s e o b t u v o u n c o n t e n i d o p r o m e d i o d e 2 1 . 9 d i , c o n desviación estándar d e L 4 2 d i , d o n d e

2 1 . 9 - 2 2 . 2 z - . Z± = - 1 . 2 6 7 6

1 . 4 2 / V 3 6

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a se a c e p t a c o n u n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e a = 0 . 0 5 .

D e a c u e r d o c o n l a s n o r m a s e s t a b l e c i d a s p a r a u n e x a m e n d e a p t i t u d mecánica, l a s p e r s o n a s d e 1 8 años deberían p r o m e d i a r 7 3 . 2 c o n desviación estándar d e 8 . 6 . S i d e u n a t o m a a l a z a r 4 5 p e r s o n a s p r o m e d i a n 7 6 . 7 , s e c o m p r u e b a l a hipótesis d e q u e l a m e d i a p o b l a c i o n a l e s m a y o r q u e 7 3 . 2 . S e d e t e r m i n a n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 2 . 5 % y desviación estándar p o b l a c i o n a l d e 8 . 6 .


S e p i d e u n a p r u e b a d e hipótesis p a r a l a m e d i a , d o n d e s e c o m p r u e b a q u e l a m e d i a p o b l a c i o n a l e s m a y o r q u e 7 3 . 2 , según l o s d a t o s a n t e r i o r e s ; e n t a l c a s o , l a hipótesis a l t e r n a será l a afirmación q u e s e q u i e r e p r o b a r : l a m e d i a p o b l a c i o n a l e s m a y o r q u e 7 3 . 2 .

a ) H 0 : ¿i = 7 3 . 2 W H , : # i > 7 3 2 c j n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 2 5 d) estadístico d e p r u e b a ; p r i m e r o s e i d e n t i f i c a a cuál d e l o s t r e s c a s o s c o r r e s p o n d e ,

s i e n d o q u e s e c o n o c e cr; p o r t a n t o ,

cr/Vñ

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución n o r m a l , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

? >Za-C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e q u e a = 0 . 0 2 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s

p o r c e n t u a l e s d e l a distribución n o r m a l l a región d e r e c h a z o r e s u l t ?

, > r p p 2 5 = 1 . 9 6

Región d e r e c h a z o < •

Región d e aceptación 1 . 9 6

/) s e c a l c u l a e l estadístico z, x = 7 6 . 7 y O" = 8 . 6 , d o n d e

7 6 . 7 - 7 3 . 2 z = , •— = 2 . 7 3

8 . 6 / V 4 5

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e r e c h a z o , l a hipótesis n u l a s e r e c h a z a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 2 . 5 % .

E j e r c i c i o 7

1 . U n f a b r i c a n t e d e máquinas d e r e f r e s c o s a s e g u r a q u e s u s máquinas s u m i n i s t r a n u n p r o m e d i o d e 2 5 0 m m p o r v a s o , p e r o d e b i d o a a l g u n a s q u e j a s d e l o s c o n s u m i d o r e s s o b r e u n a m 4 q u i n a e n p a r t i c u l a r d e c i d e v e r i f i c a r l a , p a r a l o c u a l t o m a u n a m u e s t r a d e 2 0 v a s o s , o b t e n i e n d o 2 4 5 m m d e m e d i a c o n desviación estándar d e 1 1 . C a l c u l a c o n 0 . 1 0 d e n i v e l d e significación, s i e s c i e r t a l a afirmación d e l f a b r i c a n t e .

2 . C o m p r u e b a l a hipótesis d e q u e e l c o n t e n i d o p r o m e d i o d e l o s e n v a s e s d e u n l u b r i c a n t e e s d e d i e z l i t r o s s i l o s c o n t e n i d o s d e u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e d i e z e n v a s e s s o n 1 0 . 2 , 9 . 7 , 1 0 . 1 , 1 0 . 3 , 1 0 . 1 , 9 . 8 , 9 . 9 , 1 0 . 4 , 1 0 . 3 y 9 . 8 1 . U t i l i z a 0 . 0 1 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a y s u p o n q u e l a distribución d e l o s c o n t e n i d o s e s n o r m a l .

3 . U n i n v e s t i g a d o r a f i r m a q u e e l p r o m e d i o d e a c c i d e n t e s e n u n a fábrica e s i n f e r i o r a o n c e . A l t o m a r u n a m u e s t r a a l a z a r d e tamaño 3 6 , s e o b t i e n e q u e X = 1 0 y S 2 = 9 . C a l c u l a s i s e p u e d e a p o y a r a l i n v e s t i g a d o r c o n b a s e e n l o s r e s u l t a d o s d e l a m u e s t r a a n i v e l d e 1 % .


4 . U n i n v e s t i g a d o r a f i r m a q u e e l p r o m e d i o d e a c c i d e n t e s e n u n a f a b r i c a e s i n f e r i o r a t r e c e . A l t o m a r u n a m u e s t r a a l a z a r d e tamaño 3 6 , s e o b t i e n e u n a m e d i a y u n a v a r i a n z a d e 1 0 y 9 , r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l a s i s e p u e d e a p o y a r a l i n v e s t i g a d o r c o n b a s e e n l o s r e s u l t a d o s d e l a m u e s t r a a n i v e l d e 1 % .

10 .2 .3 P r u e b a s p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s d e p o b l a c i o n e s a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l e s c o n v a l o r crítico a

C a s o Hipótesis

n u l a V a l o r d e l estadístico

d e p r u e b a Hipótesis

a l t e r n a Región crítica

C u a n d o s e c o n o c e /<1 ~ f 2 = á 0

z < - z „

C u a n d o s e c o n o c e /<1 ~ f 2 = á 0

V " 1 " 2

Distribución Z

/ * 1 - / * 2 > d 0 C u a n d o s e c o n o c e /<1 ~ f 2 = á 0

V " 1 " 2

Distribución Z ^1 ~ * 2 " ¿ o z < - w z > 2 w 2

C u a n d o s e d e s c o n o c e n o 2

y a 2 , p a r a m u e s t r a s g r a n d e s .

^ ~ ^ 2 = d 0

( i - x ) - d j l 1 2 0

/ * 1 - P 2 < d 0 z < - z a

C u a n d o s e d e s c o n o c e n o 2


^ ~ ^ 2 = d 0 V " 1 n 2

Distribución Z 2 2

v a r i a n z a s i n s e s g a d a s

M l ~ / * 2 > d 0 z > z a C u a n d o s e

d e s c o n o c e n o 2


^ ~ ^ 2 = d 0 V " 1 n 2

Distribución Z 2 2

v a r i a n z a s i n s e s g a d a s

H - f t * do z < - z a l 2 V z > z a / 2

C u a n d o s e d e s c o n o c e n

a \ y a j p e r o s e s a b e q u e

o,=o¡ p a r a m u e s t r a s

pequeñas.

^ 1 = d0

( X, - % ) - £¡C P , - P 2 < d 0 t < - t a




pequeñas.

^ 1 = d0

vVtV»r>+ay»2> Distribución t - S t u d e n t c o n

v = » 1 + n 2 — 2 g r a d o s d e l i b e r t a d . E n d o n d e

j ( n , - l ) 5 r + ( n 2 - l ) i 22

h V " , + " 2 - 2

/ * 1 - / * 2 > d 0 t > t a




pequeñas.

^ 1 = d0

vVtV»r>+ay»2> Distribución t - S t u d e n t c o n

v = » 1 + n 2 — 2 g r a d o s d e l i b e r t a d . E n d o n d e

j ( n , - l ) 5 r + ( n 2 - l ) i 22

h V " , + " 2 - 2

/ * 1 - > " 2 * d 0 * < a l 2 Y f > f a/2


a \ y a 2

p e r o s e s a b e q u e

*\*°\ p a r a m u e s t r a s

pequeñas.

f l - f 2 = d 0

(X] - x j ) - d0

Distribución t - S t u d e n t

P l - f * 2 < d 0 * < - * m C u a n d o s e d e s c o n o c e n

a \ y a 2



pequeñas.

f l - f 2 = d 0

(X] - x j ) - d0

Distribución t - S t u d e n t /*1 - M 2 > d o ' > * < z


a \ y a 2



pequeñas.

f l - f 2 = d 0 g r a d o ;

( n i ) ( " i "

. d e l i b e r t a d

2 i f .

n , n 2 t < - t a l 2 y t > t a ¡ 2


°\yo\ p e r o s e s a b e q u e

s o n o b s e r v a c i o n e s p a r e a d a s , p a r a

m u e s t r a s pequeñas.

f*D = d0

_d-d0

Distribución t - S t u d e n t s c o n v = » - 1 g r a d o s

d e l i b e r t a d Í ¿ v a r i a n z a i n s e s g a d a

d e l a s o b s e r v a c i o n e s p a r e a d a s

t < - t a





f*D = d0

_d-d0



d e l a s o b s e r v a c i o n e s p a r e a d a s

f l D > d 0





f*D = d0

_d-d0



d e l a s o b s e r v a c i o n e s p a r e a d a s t * D * d 0 * < a / 2 Y ' > c a / 2

P a r a d e t e r m i n a r e l r e n d i m i e n t o d e c o m b u s t i b l e e n d o s m a r c a s d e automóviles c o n características s i m i l a r e s s e experimentó c o n d o c e automóviles m a r c a V y d i e z m a r c a I e n p r u e b a s d e v e l o c i d a d t i j a d e 9 0 k m p h . P a r a l o s d e l a m a r c a V s e o b t u v i e r o n 1 6 k m p l c o n desviación estándar d e 1 . 0 k m p l y p a r a l o s d e l a m a r c a I e l p r o m e d i o t u e 1 1 k m p l , c o n desviación estándar d e 1 . 8 k m p l . S e s u p o n e q u e l a d i s t a n c i a p o r l i t r o p a r a c a d a m o d e l o d e l automóvil se d i s t r i b u y e a p r o x i m a d a m e n t e e n f o r m a n o r m a l c o n v a r i a n z a s i g u a l e s . S e c o m p r u e b a l a hipótesis r e f e r e n t e a q u e l o s automóviles m a r c a V e n p r o m e d i o e x c e d e n a l o s d e l a m a r c a 1 p o r 4 k m p l u t i l i z a n d o a ' 0 . 1 0 L a s v a r i a n z a s p . o b l a c i o n a l e s s o n d i f e r e n t e s .

S e p i d e u n a p r u e b a d e hipótesis p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s , d o n d e s e t i e n e q u e c o m p r o b a r q u e e l r e n d i m i e n t o p r o m e d i o p o r l i t r o d e l o s automóviles m a r c a V e x c e d e e l r e n d i m i e n t o d e l o s d e l a m a r c a I e n 4 k m p l . D e t a l f o r m a q u e l a hipótesis a l t e r n a q u e d a d e d o s c o l a s . S e r e p r e s e n t a p o r i x t e l p r o m e d i o d e l r e n d i m i e n t o p o r l i t r o d e l o s automóviles m a r c a V y p o r a l o s d e l a m a r c a I .

a) H n : n

b) c)

d)

H , : u , ^ = 4

n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a " 0 . 1 0 estadístico d e p r u e b a ; p r i m e r o s e i d e n t i f i c a a cuál d e l o s c i n c o c a s o s a n t e r i o r e s c o r r e s p o n d e , d a d o q u e n o s e c o n o c e l a v a r i a n z a p o b l a c i o n a l y l a s m u e s t r a s s o n pequeñas, c o n v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s d i f e r e n t e s , se t i e n e

( x , i)-d0

•s](s¡/n1) + ( s l / n 2 )

p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e d o s c o l a s , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución t - S t u d e n t , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

t < - t _ y t > - t a/2 ' <

a/2

C o n b a s e e n e l i n c i s o c) , s e t i e n e q u e a = 0 . 1 0 , d o n d e a/2 = 0 . 0 5 . L o s g r a d o s d e l i b e r t a d s e c a l c u l a n m e d i a n t e

= 1 3 . 4 9 4 6 = 1 3

'2 2 " 2

" 1 n , n 2 1 2

f 2 " i

v n l , , " 1 - 1

í 2 ~\

n 2 - l j

1 W 3 . 2 4

1 2 ; U 2 - U V 10 ; u o - i 1

P o r t a n t o , u s a n d o l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución t - S t u d e n t c o n 1 3 g r a d o s d e l i b e r t a d r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

C < - t 0 . 0 5 = - 1 ' 7 9 6 V t > í c . 0 5 = L 7 9 6

Región d e r e c h a z o •< • -

Región d e r e c h a z o •

- 1 . 7 9 6 Región 1.796 d e aceptación

/) s e c a l c u l a e l estadístico t c o n l o s d a t o s q u e s e t i e n e n

x , = 1 6 , s 2 = 1 y n , = 1 2 ; x , = 1 1 , ,\ = ( 1 . 8 ) 2 = 3 . 2 4 y n 2 = 1 0


[ = K-V-ÍQ = ( 1 6 - 1 D - 4 = 1 5 6 6 8

V ( S l / n , ) + ( s ! / n 2 ) > / < V l 2 ) + ( 3 . 2 4 / 1 0 )

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a s e a c e p t a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 1 0 % . P o r t a n t o , e l r e n d i m i e n t o p o r l i t r o d e l o s automóviles m a r c a V s o b r e p a s a e n 4 k m p l a l o s d e l a m a r c a I .

S e c o m p a r a n d o s t i p o s d e r o s c a d e t o r n i l l o p a r a d e t e r m i n a r s u r e s i s t e n c i a a l a tensión. S e p r u e b a n d o c e p i e z a s d e c a d a t i p o d e c u e r d a b a j o c o n d i c i o n e s s i m i l a r e s , obteniéndose l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s ( e n k g )

T i p o d e r o s c a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

1 7 8 7 6 8 0 7 9 7 8 8 0 8 2 8 1 7 9 8 3 8 0 8 2

2 8 3 8 0 8 2 8 3 8 1 8 0 7 9 8 0 8 2 7 8 7 9 8 1

C o n 0 . 0 2 5 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a , s e c a l c u l a q u e l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I e s m e n o r a l a d e l o s t i p o I I , S e s u p o n e q u e l a s v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s s o n i g u a l e s .

S e p i d e u n a p r u e b a d e hipótesis p a r a l a d i f e r e n c i a d e m e d i a s , d o n d e s e t i e n e q u e c o m p r o b a r q u e l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I e s m e n o r q u e l a d e l o s t i p o I I . D e t a l f o r m a q u e l a hipótesis a l t e r n a e s d e u n a c o l a . S e r e p r e s e n t a p o r U j l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I y p o r ¿t, l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t i p o I I .

a ) H 0 : u , - ^ = 0 b) H , : ¿i, - / J , " < 0 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a m 0 . 0 2 5 d ) estadístico d e p r u e b a ; p r i m e r o se i d e n t i f i c a a cuál d e l o s c i n c o c a s o s a n t e r i o r e s

c o r r e s p o n d e , d a d o q u e n o c o n o c e l a s v a r i a n z a p o b l a c i o n a l p e r o s e s a b e q u e s o n i g u a l e s y l a s m u e s t r a s pequeñas; p o r t a n t o

_ { x l - 4 x l ) - i Q

S | l > / t l / n , ) + ( l / n 2 )

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución t - S t u d e n t , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

t < - t a

C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e q u e a = 0 . 0 2 5 . L o s g r a d o s d e l i b e r t a d s e c a l c u l a n m e d i a n t e v = n + n , - 2 = 1 2 + 1 2 - 2 = 2 2 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución t - S t u d e n t c o n 2 2 g r a d o s d e l i b e r t a d , r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

t < - t p P 2 5 = - 2 . 0 7 4

Región d e r e c h a z o ^ 1 > -

- 2 . 0 7 4 Región d e aceptación


f ) s e c a l c u l a e l estadístico t c o n l o s d a t o s d e s u s m e d i a s y v a r i a n z a s

x j = 7 9 . 8 3 3 3 , s,2 = 3 . 9 6 9 7 y n , = 1 2 ; x2 = 8 0 . 6 6 6 7 , s] = 2 . 6 0 6 1 y n 2 = 1 2

"\ n i + n 2 - 2 V

( 1 2 - 1 ) 3 . 9 6 9 7 + ( 1 2 - 1 ) 2 . 6 0 6 1 , „ , „ = 1 . 0 1 J J 1 2 + 1 2 - 2

S e s u s t i t u y e e n l a fórmula d e l estadístico

(J{-J2)-d0 _ ( 7 9 . 8 3 3 3 - 8 0 . 6 6 6 7 ) - 0 _ ] 1 2 5 ?

spyJ(\/ni) + ( l / r x 2 ) 1 . 8 1 3 3 ^ 1 / 1 2 ) + ( 1 / 1 2 )

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a s e a c e p t a , c o n 2 . 5 % d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a , p o r t a n t o , l a r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a tensión d e l o s t o r n i l l o s t i p o I n o e s m e n o r a l a d e l o s t i p o I I .

3 . S e c o m p a r a n d o s t i p o s d e r o s c a d e a n i l l o p a r a d e t e r m i n a r s u r e s i s t e n c i a a l a tensión. S e p r u e b a n c i e n p i e z a s d e c a d a t i p o d e c u e r d a b a j o c o n d i c i o n e s s i m i l a r e s , obteniéndose l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s , l a t i p o I , presentó r e s i s t e n c i a p r o m e d i o d e 8 8 k g , c o n desviación estándar d e 5 ; l a t i p o I I presentó r e s i s t e n c i a p r o m e d i o d e 8 3 k g , c o n desviación estándar d e 9 . S e c a l c u l a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 5 s i l a r o s c a t i p o I t i e n e m a y o r r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a t i p o I I e n más d e 3 k g .

S e p i d e u n a p r u e b a d e hipótesis p a r a lá d i f e r e n c i a d e m e d i a s , d o n d e s e t i e n e q u e c o m p r o b a r l a r e s i s t e n c i a a l a tensión d e l a r o s c a d e d o s t i p o s d e t o r n i l l o s . D e t a l f o r m a q u e l a hipótesis a l t e r n a e s d e u n a c o l a . S e r e p r e s e n t a p o r l i j a l a r e s i s t e n c i a a l a tensión d e l a s c u e r d a s d e l o s t o r n i l l o s t i p o 1 y p o r a l a d e l o s t o r n i l l o s t i p o I I ;

a ) H Q : u t - u , = 3 b) H 1 : u , - u 2 > 3 c ) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a * 0 . 0 5 . d) estadístico d e p r u e b a : p r i m e r o s e i d e n t i f i c a a cuál d e l o s c i n c o c a s o s a n t e r i o r e s

c o r r e s p o n d e , d a d o q u e n o s e c o n o c e l a v a r i a n z a p o b l a c i o n a l y l a s m u e s t r a s s o n g r a n d e s , s e t i e n e

_ ( x j - x 2 ) - d 0

1 2 2 s l 5 ?

. — + -*-V " . " 2

e ) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b ) , s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución n o r m a l , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e q u e a - 0 . 0 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución n o r m a l r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

Región d e r e c h a z o I •

Región d e aceptación 1 . 6 4 4 9


f) s e c a l c u l a e l estadístico z c o n l o s d a t o s

s 2 = 5 2 = 2 5 y n , = 1 0 0 ; 7 2 = 8 3 , sj = 9 2 = 8 1 y n 2 = 1 0 0

( * 1 - x 2 ) - d 0

2 2 i L + J L n , n 2

, - 8 3 » - 3 T 9 4 2 6 2 5 _ J 5 1

1 0 0 + 1 0 0

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e r e c h a z o , l a hipótesis n u l a s e r e c h a z a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 5 % , p o r t a n t o , l a r o s c a d e l o s t o r n i l l o s t i p o 1 t i e n e m a y o r r e s i s t e n c i a p r o m e d i o a l a t i p o I I e n más d e 3 k g .

E j e r c i c i o 8

1 . U n g r u p o d e p e r s o n a s r e q u i e r e p r o c e s a r t r a b a j o s d e cálculo e n u n c e n t r o d e cómputo p a r a e s t i m a r l a c a n t i d a d d e t i e m p o r e q u e r i d a p o r l a c o m p u t a d o r a p a r a a n a l i z a r e l t r a b a j o . E s t e t i e m p o s e m i d e e n u n a u n i d a d c e n t r a l d e p r o c e s a m i e n t o ( l I C P ) . S e d e c i d e c o m p a r a r e l t i e m p o e s t i m a d o c o n t r a e l t i e m p o r e a l e n l a U C P p a r a u n c l i e n t e y s e o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e s d a t o s

Número d e t r a b a j o

T i e m p o d e U C P ( M i n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

E s t i m a d o 0 . 5 0 1 . 4 0 0 . 9 5 0 . 4 5 0 . 2 5 1 . 2 0 1 . 6 0 2 . 6 1 . 3 0 0 . 3 5 0 . 8 0

R e a l 1 . 4 6 1 . 5 2 0 . 0 9 0 . 3 3 0 . 7 1 1 . 3 1 1 . 4 9 2 . 9 1 . 4 1 0 . 8 3 0 . 7 4

C a l c u l a s i e s t a e v i d e n c i a e s s u f i c i e n t e p a r a señalar q u e , e n p r o m e d i o , e l c l i e n t e t i e n d e a s u b e s t i m a r e l t i e m p o e n l a i ' C P n e c e s a r i o p a r a l o s t r a b a j o s ; r e a l i z a l a p r u e b a c o n a = 0 . 1 0 y v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s d i f e r e n t e s .

2 . C i e r t o m e t a l s e o b t i e n e m e d i a n t e u n p r o c e s o estándar. S e d e s a r r o l l a u n n u e v o p r o c e s o e n e l q u e s e añade u n a aleación a l a producción d e l m e t a l . L o s f a b r i c a n t e s s e e n c u e n t r a n i n t e r e s a d o s e n e s t i m a r l a d i f e r e n c i a e n t r e l a s t e n s i o n e s d e r u p t u r a d e l o s m e t a l e s p r o d u c i d o s p o r l o s d o s p r o c e s o s , e l estándar y l a aleación. P a r a c a d a m e t a l s e t o m a n a l a z a r o c h o e s p e c i f i c a c i o n e s , d o n d e c a d a u n a s e s o m e t e a tensión h a s t a q u e s e r o m p e . L a s i g u i e n t e t a b l a m u e s t r a l a s t e n s i o n e s d e r u p t u r a d e l o s m e t a l e s e n k g / c m " .

P r o c e s o estándar 4 2 8 4 1 9 4 5 8 4 3 9 4 4 1 4 5 6 4 6 3 4 2 9

P r o c e s o n u e v o 4 6 2 4 4 8 4 3 5 4 6 5 4 2 9 4 7 2 4 5 3 4 5 9

S u p o n q u e e l m u e s t r e o s e l l e v a a c a b o s o b r e d o s d i s t r i b u c i o n e s n o r m a l e s e i n d e p e n d i e n t e s c o n v a r i a n z a s i g u a l e s . C o n b a s e e n l o s r e s u l t a d o s , c a l c u l a s i e x i s t e u n a d i f e r e n c i a r e a l e n t r e j U £ y H n , c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 5 % y v a r i a n z a s p o b l a c i o n a l e s i g u a l e s .

3 . S e realizó u n e x p e r i m e n t o p a r a c o m p a r a r l o s t i e m p o s m e d i o s n e c e s a r i o s p a r a q u e d o s e m p l e a d o s ( A y B ) , c o m p l e t e n e l trámite d e l a s c u e n t a s c o r r i e n t e s p e r s o n a l e s p a r a n u e v o s c l i e n t e s . S e t o m a n a l a z a r d i e z c l i e n t e s p a r a c a d a e m p l e a d o y s e r e g i s t r a n l o s t i e m p o s d e s e r v i c i o obteniéndose l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s


A B

£ X = 2 2 2 E Y , = 2 8 5

£ X f = 5 0 7 5 . 6 4 £ Y 2 = 8 2 9 2 . 7 8

D e t e r m i n a s i e x i s t e e v i d e n c i a s u f i c i e n t e p a r a i n d i c a r u n a d i f e r e n c i a s i g n i f i c a t i v a e n l o s t i e m p o s m e d i o s r e q u e r i d o s p a r a c o m p l e t a r l o s trámites n e c e s a r i o s m e n c i o n a d o s . L o s parámetros d e l a s v a r i a n z a s s o n d i f e r e n t e s ; u s a a = 0 . 1 0 .

4 . L o s s i g u i e n t e s d a t o s f u e r o n r e c a b a d o s e n u n e x p e r i m e n t o q u e s e diseñó p a r a v e r i f i c a r s i e x i s t e u n a d i f e r e n c i a sistemática e n l o s p e s o s o b t e n i d o s c o n d o s e s c a l a s d i f e r e n t e s

E s c a l a 1 1 1 . 2 3 1 4 . 3 6 8 . 3 3 1 0 . 5 2 3 . 4 2 9 . 1 5 1 3 . 4 7 6 0 . 4 7 1 2 . 4 0 1 9 . 3 8

E s c a l a 2 1 1 . 2 7 1 4 . 4 1 8 . 3 5 1 0 . 5 2 2 3 . 4 1 9 . 1 7 1 3 . 5 2 6 . 4 6 1 2 . 4 5 1 9 . 3 5

S u p o n i e n d o n o r m a l i d a d , ¿se p u e d e c o n c l u i r q u e l a e s c a l a 1 d a m e n o r p e s o p r o m e d i o q u e l a 2 ? Considérese a = 5 % y q u e l a s v a r i a n z a s s o n d i f e r e n t e s .

1 0 . 2 . 4 . P r u e b a s p a r a l as v a r i a n z a s p o b l a c i o n e s n o r m a l e s d e m u e s t r a s pequeñas c o n v a l o r crítico a



Hipótesis a l t e r n a Región crítica

P a r a a 2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s , m u e s t r a s pequeñas.

° 2 = °¡ Distribución X 2

c o n v = »- 1 g r a d o s d e l i b e r t a d

o 2 < a \ X 2 < X 2 _ a área d e r . 1 - c z

P a r a a 2 d e p o b l a c i o n e s n o r m a l e s , m u e s t r a s pequeñas.



o * > o * X 2 > X a área d e r . a P a r a a 2 d e

p o b l a c i o n e s n o r m a l e s , m u e s t r a s pequeñas.



a 2 * o \ X 2 < X j 2 - a / 2 ^ e a d e r . 1 - f

y X 2 > X 2 / 2 área d e r . f

P a r a ° 2 ¡ ° \ d e p o b l a c i o n e s

n o r m a l e s , m u e s t r a s pequeñas.

Distribución F , c o n J», = n 1 - 1 g r a d o s

d e l i b e r t a d d e l n u m e r a d o r v 2 ~ n 2 ~ ^ g r a d o s

d e l i b e r t a d d e l d e n o m i n a d o r

o \ < o \ área d e r . 1 - a






/ >fa ( v y , t 2 ) área d e r . a






f < f \ - a l l { ^ ' "2>á read. 1 - |

' f > f a / 2 { v ^ "2)área d e r . f

E j e m p l o 1 9 1 . S e d e t e r m i n a q u e u n a máquina d e r e f r e s c o s está f u e r a d e c o n t r o l s i l a v a r i a n z a d e l o s c o n t e n i d o s e x c e d e 1 . 1 5 d i . S e t o m a u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 5 r e f r e s c o s c o n v a r i a n z a d e 2 . 0 3 d i . S e c a l c u l a c o n 0 . 0 5 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a s i l a máquina está f u e r a d e c o n t r o l y se s u p o n e q u e l o s c o n t e n i d o s t i e n e n u n a distribución n o r m a l .

E n e s t e e j e r c i c i o l a p r u e b a d e hipótesis s e r e f i e r e a u n a v a r i a n z a , s e c o m p r u e b a s i ésta e s m a y o r q u e 1 . 1 5 d i .

a ) H 0 : a 2 = 1 . 1 5 b ) H , : a : > 1 . 1 5 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 5


d) estadístico d e p r u e b a ; aquí sólo s e t i e n e u n c a s o p a r a l a v a r i a n z a ; p o r t a n t o

2 ( n - l ) s 2

- o 2

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b ) , s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución ji p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

x1>xl

área d e r e c h a . C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , s e t i e n e a • 0 . 0 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución j i " c o n v = n - l = 2 5 - l = 2 4 g r a d o s d e l i b e r t a d , r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

X2>xl= ¿ios = 3 6 . 4 1 5

Región d e r e c h a z o

Región d e aceptación 3 6 . 4 1 5

P a r a c a l c u l a r e l estadístico X , s e t i e n e , d e l o s d a t o s d e l e n u n c i a d o , s 2 = 2 . 0 3 y n = 2 5 .

z _ ( n - l ) s Z _ ( 2 5 - l ) x 2 . 0 3

* = a¡ 1-15

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e r e c h a z o , l a hipótesis n u l a s e r e c h a z a c o n u n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 5 , p o r t a n t o , l a máquina está f u e r a d e c o n t r o l .

= 4 2 . 3 6 5

S e c o m p a r a n d o s t i p o s d e r o s c a d e t o r n i l l o p a r a d e t e r m i n a r s u r e s i s t e n c i a a l a tensión. S e p r u e b a n d o c e p i e z a s d e c a d a t i p o d e c u e r d a b a j o c o n d i c i o n e s s i m i l a r e s , obteniéndose l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s ( e n k g )

T i p o d e r o s c a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

1 7 8 7 6 8 0 7 9 7 8 8 0 8 2 8 1 7 9 8 3 8 0 8 2

2 8 3 8 0 8 2 8 3 8 1 8 0 7 9 8 0 8 2 7 8 7 9 8 1

C o n 0 . 1 0 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a , s e c o m p r u e b a s i e s j u s t i f i c a b l e l a suposición

d e q u e a \ = a \ . C o m o n o s e t i e n e ningún c a s o p a r a d i f e r e n c i a d e v a r i a n z a s s e p u e d e d i v i d i r

e n t r e l a v a r i a n z a 2 y o b t e n e r u n a razón e n t r e v a r i a n z a s , d e t a l f o r m a q u e

«0 H 0 : 4 = l

b) H , : 4 * l ° " 2

c ) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a - 0 . 1 0


d) estadístico d e p r u e b a ; aquí sólo s e t i e n e u n c a s o p a r a l a razón e n t r e v a r i a n z a s ; p o r t a n t o

' 4 s 2

e ) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e d o s c o l a s , y d e l i n c i s o d), q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución F p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

C o n b a s e e n e l i n c i s o c) , s e t i e n e a • 0 . 1 0 , d o n d e a/2 = 0 . 0 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución F c o n v{ = v , » 1 1 g r a d o s d e l i b e r t a d , r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

/ < = — — = 0 . 3 5 5 y / > / 0 0 , ( 1 1 , 1 1 ) = 2 . 8 1 8 / 0 0 5 ( 1 1 , 1 1 ) 2 . 8 1 8 J 0 0 5

Región d e r e c h a z o o . » m »

0 . 3 5 5 Región d e aceptación 2 . 8 1 8

P a r a c a l c u l a r e l estadístico / s e d e t e r m i n a n l a s v a r i a n z a s i n s e s g a d a s d e l o s d a t o s muéstrales

sj 2 . 6 1

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a s e a c e p t a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 1 0 y s e j u s t i f i c a l a suposición d e q u e o " 1 = .

E j e r c i c i o 9

1 . S e c o n o c e q u e l a v a r i a n z a d e l o s p u n t a j e s d e l e c t u r a p a r a l o s e s t u d i a n t e s d e s e x t o año d e p r i m a r i a e s 1 . 4 4 . S e t o m a n a l a z a r 2 1 e s t u d i a n t e s d e s e x t o año a l o s q u e s e l e s p r o p o r c i o n a u n c u r s o e s p e c i a l d e l e c t u r a , después d e l c u a l l a v a r i a n z a d e l o s p u n t a j e s d e l e c t u r a e s 1 . 0 5 . C a l c u l a s i ésta e s s u f i c i e n t e c o n n i v e l d e significación d e 0 . 0 5 p a r a d e t e r m i n a r s i e l c u r s o e s p e c i a l l a r e d u c e .

2 . U n a máquina p r o d u c e p i e z a s metálicas d e f o r m a c i l i n d r i c a . S e t o m a u n a m u e s t r a d e p i e z a s a l a z a r c u y o s diámetros s o n 9 . 8 , 9 . 8 , 9 . 8 , 1 1 . 5 , 9 . 0 , 1 0 . 4 , 1 0 . 0 , 1 0 . 0 , 1 1 . 0 y 1 2 . 0 m m . S u p o n q u e l o s diámetros t i e n e n u n a distribución a p r o x i m a d a m e n t e n o r m a l . S i e l f a b r i c a n t e d e l a s máquinas i n d i c a q u e s u máquina está d e s a j u s t a d a c u a n d o l a v a r i a n z a d e l o s diámetros d e l a s p i e z a s metálicas p r o d u c i d a s e x c e d e 0 . 5 m m , c a l c u l a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 1 s i l a máquina está d e s a j u s t a d a .

3 . S e s a b e q u e e l c o n t e n i d o d e n i c o t i n a d e u n a c i e r t a m a r c a d e c i g a r r i l l o s está n o r m a l m e n t e d i s t r i b u i d a c o n u n a v a r i a n z a d e 1 . 3 m g . C o m p r u e b a l a hipótesis a - - 1 . 3 e n c o n t r a d e l a a l t e r n a t i v a a 1 * 1 . 3 , s i u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e o c h o c i g a r r i l l o s t i e n e desviación estándar d e 1 . 8 . U t i l i z a 0 . 0 5 d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a .


1 0 . 2 . 5 P r u e b a s p a r a m u e s t r a s g r a n d e s



Hipótesis a l t e r n a

Región crítica c o r r e s p o n d i e n t e

_ x-np0 P<Po z < - z a

P a r a e l parámetro/», m u e s t r a s g r a n d e s P=Po P>Po z > z a P a r a e l parámetro/», m u e s t r a s g r a n d e s Distribución z, x

e s c a n t i d a d d e éxitos e n l a m u e s t r a d e tamaño n

P*Po z < - z a l 2 Y z > z a l 2

Distribución z , p l = —

p 2 = „ y P=„1„

c a n t i d a d e s d e éxitos e n l a s m u e s t r a s d e tamaño

« 1 y » 2 ' r e s p e c t i v a m e n t e

- P 2 < P 0 z < - z a


p 2 = „ y P=„1„



P , - P 2 > P 0 z > z a

P a r a ; , - p 2

d e m u e s t r a s pequeñas

Pl - i ) 2 = í o


p 2 = „ y P=„1„



Pl~P2*Po z < - z a l 2 Y z > z a l 2

E j e m p l o 2 0 1 . U n a f i r m a m a n u f a c t u r e r a d e c i g a r r o s d i s t r i b u y e d o s m a r c a s . S i s e d e t e r m i n a q u e 5 6 d e 2 0 0 f u m a d o r e s p r e f i e r e n l a m a r c a A y q u e 2 9 d e 1 5 0 f u m a d o r e s p r e f i e r e n l a m a r c a B , se c a l c u l a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 6 s i l a m a r c a A a v e n t a j a e n v e n t a s a l a B .

E s t o s e p u e d e c o m p r o b a r m e d i a n t e u n a d i f e r e n c i a d e p r o p o r c i o n e s .

a ) H 0 : p A - f > B = 0 b) H , : p A - í > B > 0 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 6 d ) estadístico d e p r u e b a ; aquí sólo s e t i e n e u n c a s o p a r a l a d i f e r e n c i a d e p r o p o r c i o n e s ;

p o r t a n t o

z _ h-Pi-Po

^ W a / n A + l / n B )

e) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b ) , s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d ) , q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución Z , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

z > z a

C o n b a s e e n e l i n c i s o c ) , se t i e n e a = 0 . 0 6 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución Z , r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

z > z 1 > M - 1 . 5 5 4 8

Región d e r e c h a z o + • •

Región d e aceptación 1 . 5 5 4 8

P a r a c a l c u l a r e l estadístico z l a s v a r i a b l e s s o n X A y X g , q u e r e p r e s e n t a n a l o s f u m a d o r e s e n f a v o r d e l a s m a r c a s A y B , r e s p e c t i v a m e n t e , d e t a l m a n e r a q u e l a s p r o p o r c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s están d a d a s p o r

A n A 2 0 0 n B 1 5 0

m i e n t r a s q u e

? . * f i + a 3 J 6 + 2 L . 0 . 2 4 3 y 4 = 1 - ^ = 1 - 0 . 2 4 3 = 01757 n A + n B 2 0 0 + 1 5 0

P o r t a n t o ,

h^Pj-_Po__ 0 . 2 8 - 0 . 1 9 3 - 0

^ ( l / i ^ + l / n , ) 7°- 2 4 3 x 0 . 7 5 7 ( 1 / 2 0 0 + 1 / 1 5 0 ) = 1 . 8 7 8

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e r e c h a z o , l a hipótesis n u l a s e r e c h a z a c o n u n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 6 ; p o r t a n t o , l a suposición d e q u e l a m a r c a A a v e n t a j a e n v e n t a s a l a m a r c a B s e j u s t i f i c a .

U n c a n a l t e l e v i s i v o a s e g u r a q u e l a a u d i e n c i a q u e m i r a c i e r t o p r o g r a m a e l sábado p o r l a n o c h e e s 4 0 % . S e t o m o a l a z a r u n a m u e s t r a d e c i e n t e l e v i d e n t e s , a q u i e n e s s e entrevistó, d a n d o c o m o r e s u l t a d o q u e 4 5 d e e l l o s veían e l p r o g r a m a . C o n 2 . 5 % d e n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a se c o m p r u e b a s i l a afirmación e s válida.

L a p r u e b a s e t r a t a d e p r o p o r c i o n e s , d o n d e s e d e f i n e u n a v a r i a b l e

X = " c a n t i d a d d e p e r s o n a s q u e m i r a n d i c h o p r o g r a m a l o s sábados p o r l a n o c h e " .

a) H 0 : p = 0 . 4 0 b) H , : t > > 0 . 4 0 c) n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a a = 0 . 0 2 5 d) estadístico d e p r u e b a ; aquí sólo s e t i e n e u n c a s o p a r a l a s p r o p o r c i o n e s ; p o r t a n t o ,

_ x-npo

Vn¡>o<io

e ) p a r a l o c a l i z a r l a región d e aceptación y r e c h a z o d e l i n c i s o b), s e d e t e r m i n a q u e s e t r a t a d e u n a p r u e b a d e u n a c o l a , y d e l i n c i s o d ) , q u e e l estadístico d e p r u e b a está b a s a d o e n l a distribución Z , p o r l o q u e l a región d e r e c h a z o está d a d a p o r

C o n b a s e e n e l i n c i s o c), s e t i e n e a = 0 . 0 2 5 . P o r t a n t o , d e l a s t a b l a s p o r c e n t u a l e s d e l a distribución z, r e s u l t a l a región d e r e c h a z o

Región d e r e c h a z o * • * -

Región d e aceptación 1 . 9 6

/) s e c a l c u l a e l estadístico z c o n l o s d a t o s q u e s e t i e n e n , l a v a r i a b l e X r e p r e s e n t a a l o s t e l e v i d e n t e s q u e v e n d i c h o p r o g r a m a l o s sábados p o r l a n o c h e : s e e n t r e v i s t a a n = 1 0 0 t e l e v i d e n t e s d e l o s c u a l e s x = 4 5 v e n e l p r o g r a m a ; p o r t a n t o

U N I D A D 1 0 • I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A

_ x - n p 0 _ 4 5 - 1 0 0 x 0 . 4 0 _ j Q 2

4ñpo% V i 0 0 x 0 . 4 0 x 0 . 6 0 ~

C o m o d i c h o v a l o r s e e n c u e n t r a e n l a región d e aceptación, l a hipótesis n u l a s e a c e p t a c o n n i v e l d e s i g n i f i c a n c i a d e 0 . 0 2 5 , p o r t a n t o , s e p u e d e a s e g u r a r q u e l a proporción d e t e l e v i d e n t e s q u e v e n e l p r o g r a m a d e l sábado p o r l a n o c h e e s m e n o r q u e 4 0 % .

Inferencia estadística - ivanacal inferencia estadística consiste en crear métodos con los cuales...

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