ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

ILMUKOMPUTER

FAKMIPAUGM

Pohon Semantika

If ( ( if p then q) then (if (not p) then (not q)) )

p : true p : false

If ( ( if p then q) then (if (not p) then (not q)) )T T T F T

2 T

1

3

Pohon Semantika

If ( ( if p then q) then (if (not p) then (not q)) )F T F T F T F F T

p : true p : false

2 T

1

3

q : true q : false

F

If ( ( if p then q) then T T F F (if (not p) then (not q)) ) T T F T F

T Not Valid

If q then (if p then q) ??????? Pohon Semantika

{(IF p THEN q))} IF AND ONLY IF {((not p) OR q)}

F/T1 6 kesimpulan

T/F 2 5Kontrdk

F2

F3

F3

F3

T 4

T 4

F T/FT F T FF

1a).

{(IF(p THEN q))} IF AND ONLY IF {((not p) OR q)}

F/T1 6 kesimpulan

F 2

T/F 2 5kontrdk

F4

F3

F3

T 3

T 3

F T/FT F T FF

1b).

Falsifikasi

IF ((NOT p) OR (NOT q)) THEN (NOT(p AND q))

F/T1 72 disimpulkan

T/F 2 6kontrdks

F2 T

3T 4

T 4

F 5

F5 T

4T4

2).

Logika Informasi

Materi.

1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.

Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]

Fungsi Kebenaran/Truth Functions

Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu operator logis) adalah suatufungsi yang mengambil nilai-kebenaran sebagai argumen dan selalumenghasilkan salah satu dari nilai T atau nilai F. Suatu fungsi kebenaran dapat mempunyai sejumlah operand (kadang-kadang disebutargumen atau tempat).

Suatu fungsi dengan satu operand disebut suatu fungsi kebenaranmonadika ( ).Jika mempunyai dua operand disebut dng fungsi kebenaran diadika (, , , ), jika tiga triadika ( If.. then .. else .. ) .


Operator Monadika

Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk operator-monadika (terdapat dua entri dalam tabel-kebenaran masing-masing T dan F)yg dapat dilihat dibawah ini :

Empat kolom tersebut adalah : 1) f0 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu F (falsum) 2) f1 : Operator negasi (lihat dibagian terdahulu) (Negasi) 3) f2 : Suatu fungsi yang bernilai seperti p (assertium) 4) f3 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu T (Verum)

p

TF

f0

FF

f1

FT

f2

TF

f3

TT

f0(p) : f0(T) = F f0(F) = F

f1(p) : f1(T) = F f1(F) = T

f2(p) : f2(T) = T f2(F) = F

f3(p) : f3(T) = T f3(F) = T


Operator Diadika

p

TTFF

q

TFTF

g0

FFFF

g1

FFFT

g2

FFTF

g3

FFTT

g4

FTFF

g5

FTFT

g6

FTTF

g7

FTTT

g8

TFFF

g9

TFFT

h0

TFTF

h1

TFTT

h2

TTFF

h3

TTFT

h4

TTTF

h5

TTTT

h5 : verum ( suatu tautologi diadika ) ; (h5(p,q) = T) g0 : falsum (fungsi diadika yang selalu bernilai F) ; (g0(p,q) = F) h2 : bernilai sama dengan p ; (h2(p,q) = p) h0 : bernilai sama dengan q g3 : negasi daripada p, selalu bernilai sm-dng p) ; (g3(p,q) = p) g5 : negasi daripada q, selalu bernilai sm-dng q) ; (g5(p,q) = q)

10 (sepuluh) sisanya dibicarakan berikut ini

; (h0(p,q) = q)


Operator Diadika

p

TTFF

q

TFTF

g0

FFFF

g1

FFFT

g2

FFTF

g3

FFTT

g4

FTFF

g5

FTFT

g6

FTTF

g7

FTTT

g8

TFFF

g9

TFFT

h0

TFTF

h1

TFTT

h2

TTFF

h3

TTFT

h4

TTTF

h5

TTTT

g6 : Operator “non-equivalent”, “Exclusive Or” (disajikan dengan , , atau , atau XOR); p q =T (p q) (p q) =T (p q) (q p) g1 : NOR, Joint denial, Pierce’s arrow (), negasi dp disjoint p q =T (p q) = p q g8 : and (konjungsi) ; g9 : ekuivalen ; h4 : or (disjungsi) ; h1 , h3 : implikasi


Operator Diadika

p

TTFF

q

TFTF

g0

FFFF

g1

FFFT

g2

FFTF

g3

FFTT

g4

FTFF

g5

FTFT

g6

FTTF

g7

FTTT

g8

TFFF

g9

TFFT

h0

TFTF

h1

TFTT

h2

TTFF

h3

TTFT

h4

TTTF

h5

TTTT

g7 : Operator “NAND”, “Incompatibility”, “Stroke”, “fungsi stroke Sheffer”, (simbol / atau ), negasi dp konjungsi p/q =T (p q) = p q ; (p/q) = (pq)

g2, g4 : fungsi “non implikasi” ( disajikan dengan ) q/p p/q =T

(q/p p/q) ; q/p p/q =T q/p (p/q)


Operator Triadika

Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256 (= 2^8), padasaat ini hanya beberapa yang dapat langsung dimanfaatkan. Operator triadika ini sulit untuk disimbolkan, seperti misalnya operator “If..then..Else..” disini variabelnya berupa titik-titik.

Beberapa operator triadik adalah : 1) Disjungsi terkondisi (conditioned disjunction). If…then…else… disimbolkan [p,q,r] 2) Inkompatibel terkondisi dengan simbol [[p,q,r]] 3) L2 (mayoritas) ; L2(p,q,r) =T (pq) (qr) (rp); bernilai T jika paling sedikit dua atu lebih argumen bernilai T 4) L1 (Paling sedikit satu); dst


Operator Triadika

p

T

T

T

T

F

F

F

F

q

T

T

F

F

T

T

F

F

r

T

F

T

F

T

F

T

F

Tr0

T

T

T

T

T

T

T

T

Tr1

T

T

T

T

T

T

T

F

Tr2

T

T

T

T

T

T

F

T

Tr3

T

T

T

T

T

T

F

F

Tr4

T

T

T

T

T

F

T

T

Tr5

T

T

T

T

T

F

T

F

[p,q,r]

T

T

T

F

F

F

T

F

L2(p,q,r)

T

T

T

F

T

F

F

F

Dst


Operator Triadika

1) Disjungsi terkondisi; Ditulis [p,q,r] , diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai r. Jika ditulis dengan“If-then-else” maka menjadi “If q then p else r”. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :

[p,q,r] =T (q p) (q r)

(q1TTFFTTFF

2TTFFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFFFTF

( 2FFTTFFTT

q 1TTFFTTFF

3FFTFFFTF

r) 1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFFFTF

Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]Operator Triadika

2) Inkompatibelitas terkondisi; Ditulis [[p,q,r]] , ada kaitannya dengan disjungsi terkondisi diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F makahasilnya adalah nilai r. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :

[[p,q,r]] =T (q p) (q r)

(q1TTFFTTFF

3FFFFTTFF

p)) 1TTTTFFFF

4FFFTTTFT

(( 2FFTTFFTT

q) 1TTFFTTFF

3FFFTFFFT

r)) 1TFTFTFTF

p1FFFFTTTT

q1TTFFTTFF

r1FTFTFTFT

4FFFTTTFT

( 2FTFTFTFT

( 2FFFFTTTT


Operator Triadika(q1TTFFTTFF

2TTFFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFFFTF

( 2FFTTFFTT

q 1TTFFTTFF

3FFTFFFTF

r) 1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFFFTF

(q1TTFFTTFF

3FFFFTTFF

p)) 1TTTTFFFF

4FFFTTTFT

(( 2FFTTFFTT

q) 1TTFFTTFF

3FFFTFFFT

r)) 1TFTFTFTF

p1FFFFTTTT

q1TTFFTTFF

r1FTFTFTFT

4FFFTTTFT

( 2FTFTFTFT

( 2FFFFTTTT

Ternyata bahwa : [p,q,r] =T [[p,q,r]] , Disj-tkond = negasi Inkomptbl-Tkond


Operator Triadika

3) L2 Mayoritas; Ditulis L2(p,q,r) , disini operand adalah argumen dp fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 2 (dua) atau lebih dp argumennya bernilai T. L2 diartikan dengan “Paling sedikit dua”. Tabelkebenarannya adalah : L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p)

(p1TTTTFFFF

2TTFFFFFF

q) 1TTFFTTFF

3TTFFTFFF

(q 1TTFFTTFF

2TFFFTFFF

r) 1TFTFTFTF

(r 1TFTFTFTF

2TFTFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFTFFF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFTFFF

3T2T2T1T2T1T1T0T


Operator Triadika

4) L1 Paling sedikit satu ; Ditulis L1(p,q,r) , disini operand adalah argumen dp fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 1 (satu) atau lebih dp argumennya bernilai T. L1 diartikan dengan “Paling sedikit satu”. Tabel kebenarannya adalah : L1(p,q,r) =T (p q r)

p1TTTTFFFF

q 1TTFFTTFF

3TTTTTTTF

2TTTTTTFF

r1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTT TT TF

3T2T2T1T2T1T1T0T


Operator Triadika

4) L3 Paling sedikit tiga ; Ditulis L3(p,q,r) , disini operand adalah argumen dp fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 3 (tiga) argumennya bernilai T. L3 diartikan dng “Paling sedikit tiga”. Tabel kebenarannya adl : L3(p,q,r) =T (p q r)

p1TTTTFFFF

q 1TTFFTTFF

3TFFFFFFF

2TTFFFFFF

r1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TFFF FF FF

3T2T2T1T2T1T1T0T


Fungsi Kebenaran

Teorema : Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , . . . pn) dari n variabel proposisional p1 , p2 . . . pn selalu dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi kebenaran diadika dan monadika.

Pembuktiannya dengan menggunakan induksi.

Contoh dalam disjungsi terkondisi adalah :

f(p1,p2,...,pn) =T [f1(p2 ,...,pn) , p1 , f2(p2,...,pn)]

ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

Documents

Transcript of ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM