I LA DISTRIBUTIVITE

CALCUL LITTERAL

k ( a + b ) k a + k b=

1° Règle

On dit que la multiplication est DISTRIBUTIVE par rapport à l’addition.

2° Vocabulaire

k x ( a + b ) = a + bk xk x

Développer

k x a + k x b = ( a + b )

k x k x

Factoriser

II EXEMPLES DE DEVELOPPEMENT.

1° Exemple 1

3 ( 5 + x ) = 3 x 5 + 3 x x

= 15 + 3x

2° Exemple 2

3x ( x – 4 ) = 3x x x - 3x x 4

= 3x2 - 12x

3° Exemple 3

4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 )

Il faut développer séparément les deux termes de la somme

4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 ) = 4x x 3x + 4x x 5 + 2 x 3x - 2 x 7

= 12x2 + 20x + 6x - 14

= 12x2 + 26x - 14

3° Exemple 4

5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 )

Il faut développer séparément les deux termes de la somme

5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 ) = 5x x 7x + 5x x 4 3 x 4x 3 x 7

= 35x2 + 20x 12x 21

= 35x2 + 8x 21

3 x( 7) = 3 x 7

A = ( 3x + 4 ) ( 5x + 7 ) = 3x × 5x + 3x × 7 + 4 × 5x + 4 × 7

= 15x2 + 21x + 20x + 28

= 15x2 + 41x + 28

B = ( 5x - 3 ) ( 9x + 4 ) 5x × 9x= + 5x × 4 3 × 9x

3 × 4

Attention au signe Attention au signe

= 45x2 + 20x 27x 12

= 45x2 7x 12

III PRODUIT DE DEUX SOMMES

C = ( 6x + 5) ( 4x -7 ) = 6x × 4x 6x × 7 + 5 × 4x 5 × 7

= 24x2 - 42x + 20x - 5 ×7

= 24x2 - 22x - 35

D = ( 7x - 3 ) ( 8x - 5 ) 7x × 8x= 7x × 5 3 × 8x

3 × 5

-3 ×( - 5 ) = 3 × 5

= 56x2 - 35x 24x 15

= 56x2 15

6x ×(-7) = - 6x × 75 ×( - 7 ) = -5 × 7

- 59x

-

+

SOMME de DEVELOPPEMENTS

2x (3x + 5) - ( 3x –2)(5x + 3)

= 6x + 10 x – [ 15 x + 9x -10x - 6 ]Danger, il faut d’abord développer dans les crochets

= 6x + 10 x - 15 x - 9x + 10x + 6

2

2

2

2

= - 9 x + 11x + 62

IV PRODUIT REMARQUABLES

1° Carré d’une somme: ( a +b )2

a b

a

b

Calculons l’aire du grand carré de deux façons

1° façon

A = côté x côté = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b )2

2° façonOn fait la somme des aires à l’intérieur du grand carré

A = a x a + a x b + b x a + b x b

a x a a x b

b x a b x b

= a + ab + ab + b 2 2

= a + 2 ab + b 2 2

Conclusion

( a + b ) = a + 2 ab + b 2 2 2

Double produit

Exemples d’utilisation

Développer ( x + 7 ) 2

( x + 7 ) 2 =

( a + b ) = a + 2 x a x b + b 2 2 2

x2

+ 2 x 7 + 72

= x + 14 x + 49

Développer ( 3x + 5 )2

( a + b ) = a + 2 x a x b + b 2 2 2

( 3x + 5 )2

= ( 3x ) + 2 3x 5 + 52

Attention, c’est 3x qui est au carré,donc ne pas oublier les parenthèses

2

9x= 2

+ 30x + 25

2

Détail

2° Carré d’une différence ( a – b )2

a) Développement

(a – b ) = (a – b) ( a – b ) = a x a - a x b - b x a + b x b

= a -ab -ab +b

= a -2 ab + b

2

2

2

2

2

b) On retient

( a + b ) = a - 2 ab + b 2 2 2

Exemples d’utilisation

Développer ( x - 8 ) 2

( x - 8 ) 2 =

( a - b ) = a - 2 x a x b + b 2 2 2

x2

- 2 x 8 + 82

= x - 16 x + 64

Développer ( 4x - 7 )2

( a - b ) = a - 2 x a x b + b 2 2 2

( 4x - 7 )2

= ( 4x ) - 2 4x 7 + 72

Attention, c’est 4x qui est au carré,donc ne pas oublier les parenthèses

2

16x= 2

- 56x + 49

2

Détail

2° Différence de deux carrés a – b22

a) Recherche

( a – b ) ( a + b ) = a x a + a x b - b x a - b x b

= a + ab -ab - b22

= a - b

22

b) On retient

( a – b ) ( a + b )= a b22

c) Utilisation

Développer ( x – 5 ) ( x + 5 )

( a – b ) ( a + b ) = a - b

2 2

( x – 5 ) ( x + 5 ) = x - 52 2

= x - 25

Développer ( 7x + 4 ) ( 7x - 4 )

( a – b ) ( a + b ) = a - b

2 2

( 7x + 4 ) ( 7x - 4 )= ( 7x ) - 42 2

= 49x - 162

2

(3x)2

= 3 x2 2

= 9 x2

Retour

Rappel ( ab) = a x b2 2 2

V FACTORISATION

Rappel : ka + kb = k ( a + b )

1° Exemple 1

15 + 3x = 3 x 5 + 3 x x

= 3 ( 5 + x )

2° Exemple 2

14x - 21 x = 7x x 2x - 7x x 3 = 7x ( 2x - 3)2

3° Exemple 3

2x ( 3x -5 ) + 7 ( 3x – 5 ) = (3x -5 ) ( 2x +7)

4° Exemple 4

( 3x -2 ) ( 6x +7) ( 3x -2 ) ( 4x - 3 )+ = ( 3x - 2 ) [ ](6x + 7) + ( 4x - 3 )

= ( 3x -2 ) [ 6x +7 + 4x – 3 ]

= ( 3x -2 ) ( 10x + 4 )

5° Exemple 5

( 2x - 5 ) ( 3x + 4) ( 2x - 5 )( 4x - 3 )- = ( 2x - 5 ) [ ](3x + 4) - ( 4x - 3 )

= ( 2x - 5 ) [ 3x +4 - 4x + 3 ]

= ( 2x - 5 ) ( 7 - x )

Penser à changer les signes

VI FACTORISER avec les égalités remarquables

1° Avec (a + b) et (a - b)2

On cherche à factoriser x + 10 x + 252

► il n’y a pas de facteur commun

► rappel a + 2 a b + b = ( a + b )2 2 2

x + 10 x + 25 = x + 2 x x x 5

+ 5222

= ( x + 5 )2

Remarque :

Si l’on doit factoriser x + 15x + 252

Il y a bien deux carrés x et 5

Mais le double produit 2 x x x 5 ne convient pas car il faut 10x et là il y a 15x

Donc en troisième vous ne pouvez pas factoriser cette expression.

22

2

Factoriser 9x - 30 x + 252

= ( 3x ) - 2 x 3x x 5 + 59x - 30 x + 252 2 2 2

= ( 3x – 5 )

2° Factoriser avec a – b 22

a) Exemple 1

x – 25 = x - 52

2 2

22= ( x – 5 ) ( x + 5 )

b) Exemple 2

9x - 49 = ( 3x ) - 72

= ( 3x + 7 ) ( 3x – 7 )

3° Exemple 3

( 3x + 5) - 812

= ( 3x + 5 ) - 9

2

2 2= [ ( 3x + 5 ) - 9 ] [ ( 3x + 5 ) + 9 ]

= [ 3x – 4 ] [ 3x + 14 ]

4° Exemple 4

(5x + 3 ) – ( 2x - 5 )2

[ (5x + 3 ) – ( 2x - 5 ) ] [ (5x + 3 ) + ( 2x - 5 ) ]=

= [ 5x + 3 - 2x + 5 ] [ 5x + 3 + 2x - 5 ]

= [ 3x + 8 ] [ 7x – 2 ]

a - b = [ a - b ] [ a + b ]22

5° Exemple 5

Soit A = 9x + 24 x + 16 + ( 3x + 4) ( 2x – 5 )2

a) On factorise 9x + 24 x + 16 2

9x + 24 x + 16 2

= ( 3x + 4 )2

b) On factorise A

A = 9x + 24 x + 16 + ( 3x + 4) ( 2x – 5 )2

= ( 3x + 4) + ( 3x + 4) ( 2x – 5 )

= ( 3x + 4) [ ( 3x + 4) + ( 2x – 5 ) ]

= ( 3x + 4 ) ( 5 x – 1 )

2

VII EQUATION PRODUIT ou PRODUIT NUL

1° Rappel sur les équations

a) Résoudre 5x - 3 = 12

5x - 3 = 12+ 3 + 3On ajoute +3 aux deux membres de l’équation

5x = 15

x = 5

15

x = 3

b) Résoudre

5

13

2x + 7 – 7 = - 7

3

2x =

5

35

5

1

3

2x =

5

34

2x x 5 = – 34 x 3

On fait le produit en croix

10 x = – 102

x = 10

102–

3

2x + 7 =

5

1

c) Résoudre l’équation 5( 3x – 2) = 4x -7

5( 3x – 2) = 4x -7

15x – 10 = 4x -7

15x – 10 +10 = 4x -7 + 10

15x = 4x + 3

15x - 4x = 4x + 3 – 4x

11x = 3

x =11

3

On développe

On supprime les termes constants du 1° membre

On supprime les en x du 2° membre

2° Remarque.

a) Si 3x = 0 alors x = 0

b) Si x y = 0 alors x = 0 ou y = 0

c) Règle

Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul

3° Résoudre l’équation ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) = 0

► ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) est un produit ► les facteurs du produit sont ( 3x -2 ) et ( 5x +3 )

Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul

donc Soit 3x -2 = 0 Soit 5x +3 = 0

3x = 2

x =

5x = - 3

x =3

2

5

3

L’équation admet deux solutions x = et x = 3

2

5

3

4° Résoudre l’équation 16x² - 25 = 0

Cette équation contient un carré x²

Pour la résoudre, il faut se ramener à une équation du 1° degré, en FACTORISANT

16x² - 25 = ( 4x ) ² - 5² = ( 4x – 5) ( 4x + 5)

Donc il faut résoudre l’équation

Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul

( 4x – 5) ( 4x + 5) = 0

donc Soit 4x – 5 = 0 Soit 4x + 5 = 0

4x = 5 4x = - 5

x = x =4

5

4

5

L’équation admet deux solutions x = et x = 4

5

4

5