Histogram and variability

Histograms and Variability

G. Edgar Mata Ortiz

Histograma

• El histograma es una herramienta gráfica para la organización y presentación de datos.

• Está formado por barras cuya altura representa la frecuencia absoluta de cada categoría.

• Es necesario que en el eje equis se representen los límites entre categorías.

• Las barras no presentan ninguna separación entre ellas.

Histograma

• Para facilitar el análisis de la información se recomienda que el histograma, además de las barras, contenga:

1. Una línea en la posición de la media aritmética: 𝒙

2. Tres líneas en las posiciones de la media aritmética más una, dos y tres desviaciones estándar: 𝒙 + 𝟏𝒔, 𝒙 + 𝟐𝒔 y 𝒙 + 𝟑𝒔

3. Tres líneas en las posiciones de la media aritmética menos una, dos y tres desviaciones estándar: 𝒙 − 𝟏𝒔, 𝒙 − 𝟐𝒔 y 𝒙 − 𝟑𝒔

Histograma

• En las siguientes diapositivas se plantea un problema y se resuelve, paso a paso, mediante un histograma y su análisis.

• Es conveniente ir resolviendo el mismo ejemplo utilizando sólo una calculadora para una mejor comprensión del procedimiento.

• La fase de análisis es la más importante, ya que la construcción del histograma puede, posteriormente, realizarse mediante algún software estadístico.

Problema

• Una característica importante en la fabricación de ciertos opresores es el diámetro de la esfera metálica que actúa como seguro.

• El cliente está solicitando que las esferas tengan un diámetro de 1.5 mm con una tolerancia de 0.1 mm.

TV = 1.5 ± 0.1 mm.

Problema

• Se te indica que realices un análisis estadístico para determinar si se están cumpliendo las especificaciones del cliente.

Problema

•De un lote grande se toma una muestra de 300 piezas para verificar que cumplan con las especificaciones del cliente.

•Determina si la muestra cumple con las especificaciones del cliente y calcula la tasa de defectos en la muestra.

• Estima la tasa de defectos en el lote completo.

Problema

• En la siguiente tabla se encuentran los diámetros de las 300 piezas de la muestra.

Datos

1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562

1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549

1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482

1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529

1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466

1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485

1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597

1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520

1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504

1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467

1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556

1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526

1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503

1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493

1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558

Histograma

• Se agrupan los datos en 9 intervalos.

• El valor máximo es: 1.638 mm

• El valor mínimo: 1.424 mm

• El rango es: 0.214

• El tamaño del intervalo aparente es de: 0.024 mm

• El tamaño del intervalo real es: 0.025 mm

• La tabla de análisis estadístico se encuentra en la siguiente diapositiva.

Tabla de análisis estadístico

Lím. Inferior Lím. Superior xi fi fai fri frai fi por xi

1.4170 1.4420 1.4295 5 5 0.0167 0.0167 7.14750 0.45875 0.04209

1.4420 1.4670 1.4545 11 16 0.0367 0.0533 15.99950 0.73425 0.04901

1.4670 1.4920 1.4795 51 67 0.1700 0.2233 75.45450 2.12925 0.08890

1.4920 1.5170 1.5045 68 135 0.2267 0.4500 102.30600 1.13900 0.01908

1.5170 1.5420 1.5295 86 221 0.2867 0.7367 131.53700 0.70950 0.00585

1.5420 1.5670 1.5545 48 269 0.1600 0.8967 74.61600 1.59600 0.05307

1.5670 1.5920 1.5795 19 288 0.0633 0.9600 30.01050 1.10675 0.06447

1.5920 1.6170 1.6045 10 298 0.0333 0.9933 16.04500 0.83250 0.06931

1.6170 1.6420 1.6295 2 300 0.0067 1.0000 3.25900 0.21650 0.02344

0

#N/A #N/A #N/A #N/A

#N/A #N/A

#N/A #N/A #N/A #N/A

#N/A #N/A #N/A #N/A

#N/A #N/A #N/A #N/A

#N/A #N/A #N/A #N/A

Totales 456.375 8.92 0.42

1.5213

0.02974

0.00139

0.037265

Clases o categorías Marcas

de claseFrecuencias

Medidas de tendencia central y

dispersiónIntervalos

s2 =

s =

− −

Histograma

Por el aspecto visual del histograma podemos afirmar que

la muestra está distribuida en forma aproximadamente normal.

Histograma

Eje y: Frecuencia absoluta

Eje x: Límites entre clases o categorías

Por el aspecto visual del histograma podemos afirmar que

la muestra está distribuida en forma aproximadamente normal.

Histograma

Eje x: Límites entre clases o categorías

Se amplía para observar cómo se traza la escala en

el eje x (horizontal).

Histograma

• Para analizar el comportamiento de la muestra, es necesario representar con líneas verticales, los siguientes valores:

+ 1𝑠 1.559 + 2𝑠 1.597 + 3𝑠 1.636

1.521

− 1𝑠 1.483 − 2𝑠 1.445 − 3𝑠 1.407

Histograma

Media y desviación estándar

Histograma

Media y desviación estándar

+ 1𝑠 + 2𝑠 + 3𝑠 − 3𝑠 − 2𝑠 − 1𝑠

Regla empírica

• Los valores de la media y desviación estándar son importantes para la aplicación de la regla empírica o cualquier método de estadística inferencial.

Histograma

• Aproximadamente el 68% de los datos se encuentran entre la media menos una desviación estándar y la media más una desviación estándar.

Histograma

+ 1𝑠 − 1𝑠

Histograma

• Aproximadamente el 95% de los datos se encuentran entre la media menos dos desviaciones estándar y la media más dos desviaciones estándar.

Histograma

+ 2𝑠 − 2𝑠

Histograma

• Aproximadamente el 99.7% de los datos se encuentran entre la media menos tres desviaciones estándar y la media más tres desviaciones estándar.

Histograma

+ 3𝑠 − 3𝑠

Histograma

• Por lo tanto, aproximadamente el 0.3% de los datos se encuentra fuera del intervalo:

− 3𝑠, + 3𝑠

Histograma

• En las diapositivas anteriores se analizó la variabilidad de los datos sin compararlos con nada, solamente su variabilidad interna.

• Sin embargo, un aspecto fundamental es la comparación de la muestra contra el valor deseado, es decir, contra las especificaciones del cliente.

• En este caso el valor deseado es: 1.5 𝑚𝑚

Histograma

• Comparamos la media contra el valor deseado:

• La media: 1.521 es ligeramente mayor (0.021 mm) que el valor deseado: 1.5 𝑚𝑚

Histograma: Requerimientos

TV: Target Value (Valor deseado)Una diferencia de 0.021 mm

Histograma

• Comparamos la media contra el valor deseado:

• La media: 1.521 es ligeramente mayor (0.021 mm) que el valor deseado: 1.5 𝑚𝑚

¿Esta diferencia es grande o pequeña?¿El producto cumple con las especificaciones del cliente?

Histograma

• Para responder a esta pregunta necesitamos revisar otro dato:

• La tolerancia. Recordemos que el valor deseado es: TV 1.5 𝑚𝑚 ± 0.1 𝑚𝑚

¿Esta diferencia es grande o pequeña?¿El producto cumple con las especificaciones del cliente?

Histograma - Requerimientos

TV


TV USLLSL


• Podemos observar que algunas de las barras del histograma quedan fuera del USL (Upper Specification Limit = Límite Superior de Especificación)


• Podemos observar que algunas de las barras del histograma quedan fuera del USL (Upper Specification Limit = Límite Superior de Especificación)

Esto significa que algunas piezas no cumplen con las especificaciones del cliente, son más grandes que el valor máximo considerado aceptable.


TV USLLSL


• Observando cuidadosamente la gráfica se aprecia que +2𝑠 queda justo dentro de la tolerancia, y las restantes dos barras del histograma se salen del USL.

• Estas dos barras representan el 3.33+0.67 = 4%.

Según la regla empírica, aproximadamente el 95% de los datos están dentro de ± dos desviaciones estándar, entonces el 5% queda fuera de este intervalo, pero como sólo se trata de un lado del histograma, el 2.5% de los datos estarán fuera del USL.


• Como te habrás dado cuenta, lo que indica la regla empírica:

• El 2.5% de los datos estarán fuera de especificación

• No coincide con los cálculos de la tabla de análisis estadístico:

• Estas dos barras representan el: 3.33+0.67 = 4%.

No coinciden porque la regla empírica indica probabilidades (2.5%), mientras que la tabla de análisis estadístico son valores reales de una muestra específica (4%).


• Para este cliente el TV 1.5 𝑚𝑚 ± 0.1 𝑚𝑚

• De acuerdo con la muestra tendremos una tasa de defectos entre el 2.5% y el 4%

• Este porcentaje de defectos es demasiado alto, será necesario revisar el proceso y tomar acciones para reducir la variabilidad del proceso.

La variabilidad es inevitable, siempre se presenta, el objetivo es mantenerla bajo control, reducirla hasta límites que mantengan el producto dentro de las especificaciones del cliente.

Cliente número 2.La empresa tiene otro cliente cuyos requerimientos son de una mayor tolerancia:

TV 1.5 𝑚𝑚 ± 0.15 𝑚𝑚

Histograma

• Este segundo cliente, al permitir que los productos tengan mayor tolerancia, es más probable cumplir con sus requerimientos.

• Si empleamos la misma muestra el histograma queda igual, solamente se modifican los límites de especificación.

TV 1.5 𝑚𝑚 ± 0.15 𝑚𝑚𝑈𝑆𝐿 1.65 𝑚𝑚𝐿𝑆𝐿 1.35 𝑚𝑚


TV USLLSL


• En este caso, todas las piezas de la muestra están dentro de las especificaciones.


• En este caso, todas las piezas de la muestra están dentro de las especificaciones.

A pesar de que todas las piezas de la muestra cumplen con las especificaciones, no debemos olvidar la regla empírica.La recta + 3𝑠 está demasiado cerca del USL.


TV USLLSL


• Al estar la recta + 3𝑠 tan cerca del USL, existe una probabilidad del 0.15% de que se presenten piezas defectuosas.

El proceso debe ser supervisado cuidadosa y atentamente para evitar que haya piezas defectuosas.

La variabilidad es un concepto muy importante en el control estadístico del proceso.

En las siguientes diapositivas se abordará el tema de la variabilidad, sus causas y su manejo.

Variabilidad del proceso

Histograma


Small changes

ProductQuality


La variabilidad es la consecuencia de pequeños e inevitables cambios en el proceso, que

afectan a la calidad del producto

Causas de la variabilidad

• Causas comunes• Son inherentes al proceso

• Son inevitables

• Se distribuyen en forma normal

• También se llaman causas aleatorias

• Causas especiales• También se llaman causas asignables

• No son parte normal del proceso

• Pueden ser identificadas, seguidas y eliminadas

• No son aleatorias

• La identificación y seguimiento se lleva a cabo mediante herramientas estadísticas

Causas de la variabilidad

• Referencias:

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https://sites.google.com/site/mataspc/home

http://licmata-math.blogspot.com/

http://www.scoop.it/t/mathematics-learning

http://www.slideshare.net/licmata/

http://www.facebook.com/licemata

Twitter: @licemata

Gracias por su atención

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Engineering

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