Hiperbola - eduideas.weebly.com filePersamaan Hiperbola •S adalah fokus •ZL adalah direktrix...
Transcript of Hiperbola - eduideas.weebly.com filePersamaan Hiperbola •S adalah fokus •ZL adalah direktrix...
Definisi Hiperbola
• Lokus bagi suatu titikyang bergerak dengansyarat nisbah jaraknyadari suatu titik tetap(fokus) kepada jarakdari suatu garis tetap(direktriks) adalah suatupemalar yang > 1 ialahsuatu hiperbola.
• The locus of a point which moves in such a way that the ratio of its distance from a fixed point (focus) and from a fixed straight line (directrix) is a constant greater than 1 is a hiperbola.
Persamaan Hiperbola
• S adalah fokus
• ZL adalah direktrix
• A adalah titik padahiperbola
• O adalah titik tengahAA’
• SA = e.AZ (e>1)
• P juga berada atashiperbola
L
NP(x, y)
A’OZAS
Persamaan Hiperbola
• SA= e.AZ (e>1)
• SA’=e.A’Z
• SA’-SA=e(A’Z-AZ)
• (OS+a)-(OS-a)=e(A’Z-AZ)
• 2a=e[(a+OZ)-(a-OZ)]
• 2a=2e.OZ
• OZ=a/e (Ingat)
L
NP(x, y)
A’OZAS
Persamaan Hiperbola
• (OS-a)=SA
• (OS-a)=eAZ
• OS-a=e(a-OZ)
• OS=a+e(a-a/e)
• OS=a+ae-a
• OS=ae (Ingat)
L
NP(x, y)
A’OZAS
Persamaan Hiperbola
• PS = e.PN (e>1)
• PS2=e2PN
L
NP(x, y)
A’OZAS
1,1
11
11
11
22
22
222
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22222
2222222
2222222
2
2
222222
2
222
eabb
y
a
x
ea
y
a
x
ea
y
a
x
eayex
axeyeax
aaexxeyeaaexx
e
a
e
axxeyeaaexx
e
axeyaex
Definisi Alternatif
• Hiperbola adalah set semua titik pada satah dengansyarat perbezaan antara jarak titik kepada dua titiktetap (fokus) adalah suatu pemalar.
• Bentuk piawai hiperbola berpusat pada asalan:
• Bercabang kiri & kanan
• Bercabang atas & bawah 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
b
x
a
y
b
y
a
x
Hiperbola
Bagi sebarang titik P yang
berada pada hiperbola,
d2 – d1 adalah pemalar
(lihat ilustrasi GSP)
Dalam contoh ini, titik
asalan adalah pusat
hiperbola. Pusat ialah titik
tengah antara titik-titik
fokus.
F1 F2
d1
d2
P
1. Garis melalui titik-titik fokus
bersilang dengan hiperbola
pada bucu-bucu (V)
2. Segmen yang
menyambungkan bucu-bucu
ialah paksi merentas lintang
hiperbola.
3. Pusat hiperbola terletak pada
titik tengah paksi merentas
lintang.
F F
V V
C
Hiperbola
F F
V V
C
4. Garis-garis berputus adalah
asimptot (asymptote)
hiperbola.
5. Asimptot melalui pusat
hiperbola.
Hyperbolas
(c, 0)(-c, 0)
F1 F2(-a, 0) (a, 0)
A1A2
B (0, b)
B (0, -b)
Bentuk Piawai Persamaan HiperbolaBerpusat di (0, 0) & Fokus pada paksi x
Persamaan hiperbolaberpusatkan (0, 0) dgnFokus pada x-axis:
x2
a2
y2
b2 1
Panjang paksi merentas lintangialah 2a.Panjang paksi konjugatialah 2b.Bucu-bucu ialah (a, 0) dan(-a, 0).Fokus ialah (c, 0) and (-c, 0).
Titik fokus terletak pada paksi y
F1(0, c)
F2(0, -c)
A1(0, a)
A2(0, -a)
B2(b, 0)B1(-b, 0)
Persamaan hiperbolaBerpusat di (0, 0) dan fokuspada paksi y
y2
a2
x2
b2 1
Panjang paksi merentas lintang = 2a.Panjang paksi konjugat = 2b.Bucu-bucu (0, a) & ( 0, -a).Fokus (0, c) & (0, -c).
Nyatakan kordinat bucu-bucu, titik-titik fokus , panjang paksimerentas lintang dan konjugat, serta persamaan asimptot hiperbola.
x2
4
y2
16 1
a = 2 and b = 4.Panjang paksi merentas lintang,2a = 4Panjang paksi konjugat,2b = 8Bucu-bucu ialah (2, 0), (-2, 0):
c2 = a2 + b2
= 4 + 16= 20
c 20 c 2 5
Kordinat titik-titik fokus
(2 5,0) and (2 5,0).
Persamaan asimptot
2 2 .
1 1y x and y x
y2
25
x2
9 1
c2 = a2 + b2
= 25 + 9= 34
c 34
Kordinat titik-titik fokus
(0, 34) and (0, 34).
Persamaan asimptot ialah
5 5 .
3 3y x and y x
a = 5 and b = 3.Panjang paksi merentas lintang2a = 10Panjang paksi konjugat2b = 6Bucu-bucu ialah (0, 5) and (0, -5):
(h, k)
Pusat ialah (h, k).
Bila paksi merentas lintang menegak, tidak berpusat di (0, 0). Persamaan umum
(y k)2
a2
(x h)2
b2 1
Paksi merentas lintang selari dengan paksiy dan panjangnya 2a unit.Paksi konjugat selari dengan paksi x danpanjangnya 2b unit.
Kecerunan asimptot and .a a
b b
Jika paksi merentaslintang mendatar:
(x h)2
a2
(y k)2
b2 1
Paksi merentas lintang selari denganpaksi x dan panjangnya 2a unit.Paksi konjugat selari dengan paksiy dan panjangnya 2b unit.
Kecerunan asimptot and .b b
a a
Huraikan hiperbola berikut
• Paksi merentas lintang adalah menegak
• Pusat ialah (-1, 3)
• a = 2 unit, bucu terletak di (-1, 5) & (-1, 1)
• Asimptot melalui titik (-1, 3), kecerunan = 2/3, -2/3
• Fokus terletak unit di atas dan di bawah pusat,
• Kordinat titik-titik fokus diberikan oleh
36)1(4)3(9 22 xy
13
)133,1(),133,1(
Mencari Persamaan Hiperbola
Pusat ialah (-2, 3), maka h = -2 and k = 3.Paksi merentas lintang selari dengan paksi y,panjangnya 10 unit, maka a = 5.Paksi konjugat selari dengan paksi x,panjangnya 6 unit, maka b = 3.
Bucu-bucu ialah (-2, 8) and (-2, -2).
(y k)2
a2
(x h)2
b2 1
Bentuk Piawai
c2 = a2 + b2
= 25 + 9= 34
c 34
Kordinat titiki-titik fokus
(2, 3 34 ) and (2, 3 34).
1
9
2
25
322
xy
Mengungkapkan Persamaan dalam Bentuk Am
9(y - 3)2 - 25(x +2)2 = 2259(y2 - 6y + 9) - 25(x2 + 4x + 4) = 225
9y2 - 54y + 81 - 25x2 - 100x - 100 = 225-25x2 + 9y2 - 100x - 54y + 81 - 100 = 225
-25x2 + 9y2 - 100x - 54y - 244 = 0
Persamaan dalam bentuk am
1
9
2
25
322
xy
Mencari Persamaan Hiperbola
• Cari persamaan hiperbola yang berpusat dititik (2, -3) jika salah satu bucunya terletakpada titik (6, -3) dan salah satu titik fokusnyaialah titik (-3, -3).
Hiperbola berpusat di titik (2, -3). Salah satu bucunyaialah titik (6, -3), salah satu titik fokus ialah titik (-3, -3).
Pusat ialah (2, -3), h = 2, k = -3.
Jarak pusat ke bucu ialah 4 unit, a = 4.Jarak pusat ke titik fokus ialah 5 unit, c = 5.
Gunakan Teorem Pythagoras untuk mencari b
b2 = c2 - a2
= 25 - 16= 9
b = ± 3
(x h)2
a2
(y k)2
b2 1
(x 2)2
42
(y 3)2
32 1
(x 2)2
16
(y 3)2
9 1
Bentuk Piawai
Contoh Latihan
• Nyatakan kordinat titik-titik bucu, fokus, panjang paksi merentas lintang, paksi konjugatserta persamaan asimptot bagi hiperbola yang mempunyai persamaan
4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0.
4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0(4x2 + 32x ) + (- 9y2 + 18y) + 91 = 0
4(x2 + 8x + ____) - 9(y2 - 2y + _____) = -91 + _____ + _____16 1 64 -9
4(x + 4)2 - 9(y - 1)2 = -36(x 4)2
9
( y 1)2
4 1
(y 1)2
4
(x 4)2
9 1
4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0
(y 1)2
4
(x 4)2
9 1
)13(-4ialah fokustitik -Titik
1394 c
1)- (-4,dan 3) (-4,ialah bucu titik -Titik
1k -4,h
kerana 1) (-4, titik pada beradaPusat
6 konjugat paksi Panjang
4 lintang merentas paksi Panjang
3b 2,a
Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)
– Kedua-dua sebutan x dan y dikusaduakan
– Sebutan pemalar ialah 1
– Persamaan sentiasa melibatkan operasi (-)
– a2 adalah penyebut (denominator) yang pertama
– c2 = a2 + b2
– c = jarak dari pusat ke titik fokus
– a = jarak dari pusat ke bucu (pada paksi
merentas lintang)
Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)
– b = jarak dari pusat titik tengah sisi segiempattepat yang digunakan untuk melakarkanasimptot.
– Jika sebutan x2 ialah sebutan pertama, hiperbolaadalah melintang
– Jika sebutan y2 ialah sebutan pertama, hiperbolaadalah menegak.
Rumusan Sifat-Sifat Penting Hiperbola
Persamaan Pusat Titik-titik Fokus PersamaanAsimptot
Bucu-bucu Arah paksimerentas
lintang
(x – h)2 _ (y – k)2
a2 b2
(h, k) (h – c, k) &(h + c, k)
y – k = +/- (b/a) (x – h)
(h +a, k) & (h – a, k)
Melintang
(y – k)2 _ (x – h)2
a2 b2
(h, k) (h, k – c) &(h, k + c)
(c = a2 + b2 )
y – k = +/- (a/b) (x – h)
(h, k + a) &
(h, k – a)
Menegak
= 1
= 1
Latihan 1
Tuliskan persamaan bentuk piawai bagihiperbola144y2 – 25x2 – 576y – 150x = 3249.
Seterusnya, cari kordinat pusat, bucu-bucu, titik-titikfokus dan persamaan asimptot. Lukiskan grafhiperbola tersebut dan asimptot-asimptotnya.
Penyelesaian
Write the standard form of the equation of the hiperbola144y2 – 25x2 – 576y – 150x = 3249. Then find the coordinates of the center, the vertices, the foci, and the equation of the asymptotes. Graph the hiperbola and the asymptotes.
144(y2 – 4y + o) – 25(x2 + 6x + o) = 3249 + 144(o) + 25(o)
144(y2 – 4y + 4) – 25(x2 + 6x + 9) = 3249 + 144(4) + 25(9)
144(y – 2)2 – 25(x + 3)2 = 3600
(y-2)2 _ (x + 3)2
25 144= 1
Center: (-3, 2) a = 5 so the vertices are (-3, 7) and (-3, -3)
a2 + b2 = c2
25 + 144 = c2
c = 13
The foci are (-3, 15) and (-3, -11).
Penyelesaian
Asymptotes have the formula y = +/- a/b x and we have center (-3, 2) and slopes +/-5/12.
y – 2 = 5/12 (x + 3) y – 2 = -5/12 (x + 3)
y – 2 = (5/12) x + 15/12 y – 2 = (-5/12) x + -15/12
y = (5/12) x + 13/4 y = (-5/12) x + 3/4
Latihan 2
Cari kordinat bagi bucu-bucu dan titik-titik fokus serta kecerunanasimptot setiap hiperbola berikut. Seterusnya, lakarkanhiperbola tersebut.
1) x2 _ y2
9 49
2) 25x2 – 4y2 = 100
= 1
1)Vertices: (-3, 0) (3, 0) Foci: (-58, 0) ( 58, 0) Slope = +/-7/3
2)Vertices: (-2, 0) (2, 0) Foci: ( 29, 0) (-29, 0) Slope = +/-5/21)2)