HERONIS ALEXANDRINI

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HERONIS ALEXANDRINI OPERA QVAE SVPERSVNT OMNIA VOLVMEN IV HERONIS DEFINITIONES CVM VARIIS COLLECTIONIBVS HERONIS QVAE FERVNTVR GEOMETRICA COPHS GVILELMI SCHMIDT VSVS EDIDIT J. L. HEIBERG CVM LXII FIGVRIS STVTGARDIAE IN AEDIBVS B. G. TEVBNERI MCMLXXVI

Transcript of HERONIS ALEXANDRINI

  • HERONIS ALEXANDRINI

    OPERA QVAE SVPERSVNT OMNIA

    VOLVMEN IV

    HERONIS DEFINITIONES CVM VARIIS

    COLLECTIONIBVS

    HERONIS QVAE FERVNTVR GEOMETRICA

    COPHS GVILELMI SCHMIDT VSVS

    EDIDIT

    J. L. HEIBERG

    CVM LXII FIGVRIS

    STVTGARDIAE IN AEDIBVS B. G. TEVBNERI MCMLXXVI

  • Editio stereotypa editionis anni MCMXII

    CIP-Kurztitelaufuahme der Deutschen Bibliothek

    Hero rSammlung)Heronis Afexamfrini opera quae surersunt omnia.- Nachdr. - Stutgardiae [Stuttgart : Teubner.Vol 4. Heronis definitiones cum varlis collec-tionibus. HeronisJ.uae ferunturfi.0metrica I:oE~~s?e~~l~~.S_ 19~9~ USUs e J. 1.. Heiberg.

    (Bibliotheca scriptorum Graecorum et Romane-rum Teubneriana)ISBN 3-S19-01416-5

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    @ B. G. Teubner,. Stuttgart 1976Printed in Germany

    Druck: IuHus Beh"" ..HemsbachlBergstr.

  • PRAEFATIO.Cum Guilelmus Schmidt morbo mortifero impedi-

    tus esset, quominus opus inceptum ad :linem perduceret,eo consentiente editionem opusculorum mathematicorum,quae Fridericus Hultsch in uolumiue notissimo (BeroliniMDCCCLXIV) coniunxerat, instituendam suscepi, et abAcademia Berolinensi omnis materia, quam collegerat ille,mihi tradita ast. Deinde codices, quos contulerat, inspexi,ubicunque de scriptura dubitaueram, alios, qui alicuius mo-menti mihi esse uidebantur, aut totos aut ex parte ipse con-tuli, omnes denique, de quibus quae enotata erant non suf-ficiebant, denuo examinaui, ut stemma codicum non usurpa-torum efficeretur. Definitiarvwm quidem et recensio et interpre-tatio a Guilelmo Schmidt prope finita erat, sed constitui eas at,ariis collectionibus, ut titulo Hultschiano utar, non dirimere,quibuscum una traditae sunt. In ceteris praeter collationesadnotationesque nonnullas nihil a Guilelmo Schmidt relictumerat. Cum codices partim eadem partim diuersa praeberent,opportunum esseduxi, omnia geometrica et omnia stereo-metrica in duas quasi moles congerere. Quae huic disposi-tioni necessario insunt incommoda, quod, quae inter se re-spondent, non semper iuxta se collocari possunt, ne turbeturcodicis ordo, et quod qui editione utuntur imaginem singu- -lomm codicum sine difficultate animo sibi effingere. nonpossunt, ea ita adtenuare conatus sum, ut singulis partibussigla codicum in margine adponerem numerorumque serieuiolata capitula inter se respondentia eodem numero signa-rem (u. uerbi gratia p. 334-38), et ut hic singulos codicesplane et copiose describerem. Ex opusculis ab Hultschio

    a*

  • IV PRA.EFA.TIO.

    editis Geeponicum librum qui uocatur prorsus omisi, quippequi ex errore ortus sit (u. Festschrift Moritz Cautor anlI.seines achtzigsten Geburtstages gewidmet, Leipzig 1909,p.118sqq.); quae continet ex Heronianis excerpta, suis lociscollata sunt. Ne Geodaesiam quidem recepi, quae nihilpraebet nisi excerpta tenuia Geometriae Heronianae; in pro-Iegomenis uoluminis V codices eius diligenter describam etquae continent indicabo. Didymum omisi, quia comperi)alium in eo occupatum esse. Rursus metrologica quaedam(p. 402, 26 sqq.) in meis codicibus obuia adiunxi, quaeHultschius inter Metrologicorum scriptorum reliquias (Ifr. 5,95,81) posuerat. Non pauca additamenta inedita suppedi-tauit codex Constantinopolitanus (u. uoI. m p. VIIsqq.),cuius imaginem Iucis ope expressam beneficio HermanniSchne possideo. Figuras eius plerasque reddendas curauipropter codicis antiquitatem, quas reliqui codices praebent,omnes fere omisi ut inutiles ad uerba scriptoris intellegenda;genus eorum et ex S, quas cum Hultschio speciminis causarecepi, et ex Cnopolitanis satis cognosci potest.

    Codicibus igitur usus sum his:

    DEFINITIONES.Hoc opusculum, quod Heroni tribuere non dubito, nobis

    traditum est ut pars prima collectaneorum mathematicorum,quae homo doctus ne~cio quis Byzantinus fortasse saeculo XIe uariis auctoribus excerpserat (1-132 Definitiones, 133 exBeroms Geometria, 134 ex Euclidis Elementis, 135 ex Gemino,136-137 ex Procli Commentario in Elem. I siue potius excollectione aliqua scholiorum Euclidianorum, 138 ex Ana-tolio et Theone Smyrnaeo), quorum partes aliae etiam se-paratim in aliis codicibus seruatae sunt. Ab iis incipiam, quitotam collectionem praebent.C = cod. Paris. suppl. Gr. 387, Mo, bombyc.1) saec. XIV,

    prius Georgii Vallae, apud quem eum Venetiis uidit IanusLascaris a. 1490-91 (u. K. K. Mller, CentralbI. f. Bi-

    1) H. e. ex charta orientali, in oriente 8CriptU8.

  • PRAEFATIO. v

    bliothekswesen I p. 383 f. 51b 10, cfr. Beihefte z. Centralbl.f. BibI. XVI p. 128), turn. Alberti P principis Carpensis,cuius libriMutinam inBibliothecamEstensem migrauerunt;inde a. 1796 Parisios transportatus est nec a. 1814 cumceteris in patriam rediit (u. Cenni storici della R. Bi-blioteca Estense p. 78 nr. 7). efr. Omont, Inv. m p. 254sq.quae continet hic codex unicus, haee sunt:f. 1-4," notae ltstronomieae, medicae, similia, manu poste-

    riore, f!Uae ad finem bis subscripsit: (fJ ~ P07}fr8~ /W~ 'l:IDGID d'ovro nmrr/lro: - t'l:O zovp.'/Io.

    f. 4v ':1.(:1EQ'l:ov IIlo"; KQnCllm'/l I1QZ0'/l'l:OS 'X:z:ijP.Cl.nOlQrlov 'l:OV BaU,Cl ~G'I:~ 'l:OV'l:O '1:0 p,PUO'/l (deletum).

    f. 5-12 n8Qt OoQCl'/lOV, ine. ooQCl'/!6s ~G'I:t'/l n8QwZ~ (astrologiea). O'oiios'l:OV fr(80V 0) iEQOP.O'/letzos lIvQtS

  • VI PRAEll'ATIO.

    f. 62"-63r u. infra appendix 1.f. 63r-95" Definitiones p. 2, 1-166, 9 Q1j-ro~tXfi. deinde 3

    folia recisa.1)f. 96r _l05r Stereometncaj u. uol. V.f. 105r-107v Didymus Ms-r~o: (La~(La~Ol'V xai '1tav-roww svlow.f. 107v-ll0r Geometr. 23, 1 p. 398, 12-66 p. 412, 27 (om.

    p. 406, 3-408, 13).f. 110r-117v Stereometricaj u. uol. V.f. 118r notulae.f. 118"-140" 'l/J1jlp1jlpO~tXa t1j-r1/(La-ro: xai '1t~oIJl1/(Lcx-ro:, & 8~

    xcxi (LE-ra -riiw oixElOl'V (LE.ffo80l'V lxat1-ro'V t1V"XEt-rIXt.7f. 141r-142r m. post. (JJ) arithmetica quaedam, inc. '1tiig 0'1;

    &Qt.ff(LOS 71 '1tEQt-r-rOS ~t1-rw 71 {tQ-rtOS, des. El-ro: 0 ilps{J80(LoSXOli oL ilpESijS xOI-ra -ro &xolov.ffo'V.

    f. 142r alia manu (e) 9 uersus de numero circulari.f. 142"-147r hac mann (e) astronomica.f. 147" notulae.r. 148r-149" mann post. (b) computatiunculae.f. 150r-151r post deleta nonnulla: -rre EiJQtt1XO(LE'VO: xOI-ra lOl-

    -rl'Vovg i!n &:no -rov XV ,OI-r" xo:-ra -ro i'VEt1-rWS i'V 1I(Lt'/l ,

  • PRAEFATIO. VII

    f. 209r -210v &QX1J G-Iw .a-sp ~rov zceQcezspm;~CiW. inc. l'c;{hozo~cev llQCOT:1j&fis EIs ~a ZceQ&ZE[LZ~ce, des. 'lIce~ [LS""SLS Ef!-QlG'lI.EW. 'T:S"OS GVV &EcO 't'ov ff"ov 'l/J1jrpceQlov 'lI.ce~ -dis ZQlXr-[Lce'T:SV~L'lIijS llzw'T:lp,1js. ({emde duae notulae manu c deletae.

    f. 211r-v nota clrronologica (manu b), cuius initium deI.f. 212r-219r &QX~ 'T:ijs ~rov XQLC;~U~Vrov PceGLUCOV 'lI.COvG't'IXV~WOV

    z6"scos (manu c) 0. Constantino Magno ad Michaelem IV(t 1040). f. 219v (ult.) uacat.

    - contulit Guilelmus Sehmidt praeter p. 92-168; egohane partem eontuli plurimosque 10eos inspexi.1)

    B = cod. Paris. Gr. 2475, chm. saec. XVI. continet:f.1-53 Definitiones p. 2-166, 9 Q1j~oQ&'lI.fi. f. 54 uacat.

    f. 55-7'F Stereometrica, u. uol. Vi f. 7'lv uacat. f. 72-76r Didymum. f. 76r-80r Geometr. 23, 1 p. 398, 12-66p. 412, 27 (om. p. 406,3-408,13). f. 80v-94 (ult.) Stereo-metriea, u. uoI. V. a eodiee C pendet. eontulit FriderieusHultseh; nonnullos looos inspeximus Guilelmus Schmidtet ego. paucas scripturas memorabiles in adparatum re-cepi, ceteras neglexi.

    F = cod. Paris. Gr. 2385, chart. saec. XV-XVI. continet:f.1-18 Geminum. f. 19-39 Pediasimi eommentarium in

    Cleomedem. f. 40-48r astronomica zSQl 'T:OV ~s~Qcer,},vov(u. Th. H. Martin I. c. p. 237); f. 48v uacat. f. 49-63r De-finitiones p. 2-166, 9 Q1j~oQL'lIfi. a eodice C pendet, sedemendationes aliquot obuias habet; quare totam fere discre-pantiam scripturae recepi. contulit Fridericus Hultsch,inspeximus Guilelmus Schmidt et ego.

    M = cod. Monaeensis Gr.165, chm. saee. XVI (ser. .A.ndreasDarmarius). continet:f. 2-27 Heronis Ba"ozoLL'lIIX. f. 28-65r Stereometrica. f.65T

    _70r Geometriea 23,1 p. 398, 12-66 p. 412, 27 (om. p. 406,3-408, 13). f. 70v_75v Didymum. f. 76r-79r Defl'.138p. 160, 8-168, 12. f. 79v-87r Damiani Optica. a codiceC pendet, sed impudenter interpolatus est. eontulit Fri-dericus Hultseh; ego locos nonnullos inspexi et p. 166,9-168, 12, quam partem solus seruauit, sine dubio 0. Cdesumptam ante folia trio. post f. 95 recisa, iterum con-tuli; ibi omnem scripturae discrepantiam dedi, reliquamneglexi.

    1) De uerbo rlVE"&ceL uel rlvov~ceL, utrum omnibus litterisan compendio scriptum sit, ea tantum praestare possum, quaediserte indicaui. sed u. infra Corrigenda.

  • vm PRAEFATIO.

    v = eod. Vatie. Gr.215, bombye. saee. XIV, de euius genereuniuerso u. Festsehr. Moritz Cantor anl. sein. aehtz. Ge-burtstages gewidmet p. 119 sq. est codex Geeponicorum,quae habet f. 24r -19P. Deinde addita sunt acta quae-dam ad possessiones rusticas pertinentia f. 192-195(nune numerantur 193-96, quia insertum est 1 foliumrecens uacuum). Praemittuntur excerpta Heroniana reirusticae utilia f. 1-24r , scilicet haee:Deff. 25-34, 39-53, 55-G1, 65-72, 98-99; deinde (f.4")

    Geometr. 3, 1-25; 4,1,6; 5,1 p. 200b 1-3; 5,1 p. 200-1-3 p. 202,31; 6,1 p. 206& 1-2 p.. 208& 27; 7,1 p.210-1-212& 10; 7,5 p. 212& 30-214& 21; 11,1 p. 228- 1-2p. 230- 3; 24,31 p. 434, 20-36 p. 438, 19; 17,4 p. 332-1-338- 13; 18,4 p. 352& 1-11; 18,6 p. 354& 1-9; ($T:o&u. Stereometr.; 18,15-16 p. 356,12-22;. de pyramidibus,u. uol. V; Diophantus ed. 'l'annery n p. 18, 7-23 (f.l0r/l's&ocl'Ot T:{jJ'V :n:oJ.vyroVQW O~T:roS);l) Geometr. 24, 1p. 414,28-2 p. 418, 2; Stereometriea, u. uo!. V; Geometr. 13, 6p. 272,25-274,4; Stereometriea, u. uol. V; Deff.130-132(f. 12V _13V ); Geometr. 2; Geometr. 23, 67 p. 412, 28-414,12; MET:Q7}/iEtS 54-59 (u. uol. V); Geometr. 23, 68 p.414,13-27; MET:Q7/UEtS 2-3, 16-23, 54-59, 1-10,12,14-16,18, 20-23, 26, 29-31, 35-36, 38 (u. uol. V); Diophan-tus n p. 24, 15-27,19 (f. 19V-21"); Geometr. 22,1 p. 390-1-24 p. 398, 11 (f. 21"-22"); Stereometr., u. uo!. V; ME-T:Q7}/iEtS 49; Stereometr., u. uol. V; Stereometr.; MET:(I1}6EtS52; Stereometr. (f. 22"-24"). in prima pagina postea adr

    ditum: nQro(vos>yE1J:n:O vtltOV tfiUov et supra scri-Vt,lt"

    ptum manu recenti~ Ironis Agncultura; in folio anteposito~7fQrovos yEQ)/LET:Qt"7JS lt,,~ GT:EQEro/LET:Qt"1jS :n:Q&~EroS tUov.T:OV "ilT:oii yEroQytltiv SltJ.oyiv fitU" 11 (cui adscripsit An-gelus Mai~ nempe sunt eatlem quae Constantini Caesaris).hinc originem duxit "Heronis liber geeponicus" Hultsch.

    In Definitionibus Mensurisque sui generis est et haudspernendae auctoritatis; reliqua paucis capitulis exceptis eeodice S deseripta esse, iam Guilelmus Sehmidt intellexerat.Contulit ille, inspexi ego.G = eod. Paris. Gr. 2342, eharl. saee. XIV. u. Omont, Inv. II

    p. 243; ApolIon. Perg. ed. Heibel'g II p. XII. habet f. 114r

    1) De his Pseudo-Diophanteis u. appendix 6.

  • PR.A.EF.A.TIO. IX

    -H5r De:ff. 135, 10 p. 102, 9-13 p. 108, 9. ContulitRichardus Schne (Damianos Schrift ber Optik, Berlin1897, p. 22 sqq.).

    J = cod. Vatie. Gr. 192, bomb. saee XIV; u. Heiberg, OmScholierne til Euklids Elementer (Vidensk. Selsk. Skr., -6.Raekke, hist. philos. Md. TI 3, Hauniae 1888) p. 34. habetf. 125r sq. De:ff. 135, 10-13 ut G. Contuli, sed pleras-que seripturas ut inutiles omisi.

    H = cod. Vatie. Gr. 193, ehart. saee. XIV~XV (Heiberg,Om Seholierne p. 59, Hermes XXXVIII p. 71 not.). habetf. F-3v De:ff. 136,1 p. 108, 10-57 p. 154, 23. Con-tuli ipse.

    N = eod. Bonon. BibI. comm. 18, membr. saec. XI. u. Eucli-dis opp. edd. Heiberg et Menge- V p. XXXIII. habetf. 35r-Mv De:ff. 136, 1 p. 108, 10-58 p. 156, 5. Con-tuli ipse.

    Definitiones 1-131 primus edidit Cunr. Dasypodius,Euelidis Elem. lib. primus. Heronis Alexand.rbri voeabulageometriea, Argentorati 1570 (in aliis exemplaribus est15.71). Deinde Hasenbalg, Heronis Alexandrini defini-tiones geometrieae, Stralsundiae 1826. Cfr. etiam May~ring, Des Heron aus Alexanchien geometrische Definitionenbersetzt u. eommentirt, Neuburg 1861.

    De:ff.1-132 edidit G. Friedlein, De Heronis quaeferuntur definitionibus, Bullettino di bibliografia e di storiadelle scienze matematiche e fisiche IV, Romae 1871.

    De:ff. 138 edidit Fabricius, Bibliotheca Graeca, Ham-burgi 1707, TI p. 275sqq. Praeterea nonnulla excerpseruntM. Letronne, Recherehes eritiques, historiques et geogra-phiques sur les fragments d'Heron d'Alexandrie, Paris 1851,p. 59 sqq., et Th. Henri Martin, Reeherehes sur la vie etles ouvrages d'Heron d'Alexandrie (Memoires presentes pardivers savants aYAcademie des inscriptions etbelles-lettres,1e serie, IV), Paris 1854, p.405sqq. De:ff. 135, 10-13saepius cum Opticis Damiani uel Heliodori editae .sunt,

  • x PRAEFATIO.

    nOUlSsnnum a Richard Schne I. c. p. 22 sqq., et prae-terea ab Henrico Martin 1. c. p. 414sqq. cum De:ff. 138 (ib.p. 427 sqq.).

    GEOMETRICA.Ex Geometria fragmenta nonnulla sub nomine Didymi

    ediderunt Angelus Mai, lliadis fragmenta et picturae,Mediolani 1819, et Th. Henri Martin I. c. p. 437sqq.,plenius deinde J. L. Sirks, Specimen litterarium exhibensHeronis mathematici A.lexandrini Metrica nunc primum edita,Lugduni Batav. 1861, codicibus recentibus usus. DeniqueFridericus Hultsch (Heronis A.lexandrini Geometrieorumet Stereometricorum reliquiae, Berolini 1864), qui edi-tionem Sirksii non nouerat, unum saltem codicem antiquum(A) nactus sanum fundamentum recensionis iecit; sed co-dicem C iniuria neglerit (I. c. p. VI-VTI). In hac editionecodices usurpati sunt hi:..A. = cod. Paris. 1670, membr. saee. XIT.l) u. Omont, Inv.TI

    p. 118. Continet:f. 1 = f. 50, mg. "duplex exemplar folli 50 infra reperiendi".

    f. 2 = f. 43, mg. "duplex exemplar folli 43 infra reperien-di". f. 3 ~-13r &QZ1] 6Vl1 .fl'sq; -.fjs %et1..ettCis l.oYetQtldjs 'PoilAiJYOV6'POV Ketl6a1]OS. f. 13" 'd1..oS6vv ;f}sij> 'l:ijs %et1..ett&soyaQtK7js 'Poil AiJYOV6'POV Ko:l6a1]0~ "etl &QX1). -e7js vEas 'P7jsl1ill1 &%at'Cov/LE111jS &fI. %Q0I1'PcX6SCOS 'Poil &ot8l/!-ov {Ja6t1.EroslWQOV ~1..s6[OV 'Poil KO/Lv1jvoilj sequuntur duo deereta regia;des. f. 18V j deinde: ltet'tfl. yoilv Zfl.~ %sQt'lj'l/JstS Ketl 8Vl1cX/LStS'Prov &vaysYl]et/Llufvcov .fl'slcov "al %Q06KVV1jl:rov (Jet6t1..t"rov %1]06-ZcX6SCOV Ofjlsl1..sts %Otsiv Z1]V &%etl'P1j6W ~KcXli'POV 'l/J1jfjllov 01J'PCOs"'P1..., des. f. 21V ('PE1..o~).

    f. 2F-33V &QX1] 6VV .fl'sij> 'Prov 1..t'PQt6/LroV. f. 33V~34V m'Ql'P{f)V 1..S%'Prov 'P7js U'PQets. f. 35r-46v &QX~ 6VV .fl'sij> 'Prov 1..S%-'Prov. f. 46V-61V &QX1] 6VV .fl'sp -e7js 1{J'ljfjlOV zrov %a6xaUCOv

    1) In sehedula antefixa.: sero est a. m. 6691 i. Christi 1183.fol. 1 in mg. inf.: 1..oytli'PLn1] 'Prov snl AiJYOV6'POV Ketl6tt1]OS. I 1..0-'YLI1'PtK1] 'Prov s%l 'Poil {Jet6tUcoS 11J.s6lov 'Po;; KOILV''lvoil. I 'IjJ'ljfjl1j6LS-erov %et6Xtt'J.lcov "etL ~'PsQcov 8LafjlaQcov t1j'P1j/LcX";COv~ I EiJ,,1..sl80v Ketl''.HQCOVOS "etl IDcX'Pcovos "ttl 'AI]XL/L7}80vs YSCOP,S'PQL"OC 8tcXfjloQet, svois "etl f} (Jl{J1..os 'Ps1..sv.,;. N 13.

    2) fol. 3r mg. inf. 'numerus quaternionis a legitur, et siedeineeps. sunt quate:rniones iustae tS' praeter fall. 1, 2, 132.

  • PRAEFATIO. XI

    na~ ~f:sQJ'I1 !JtacpoQJ'I1 {;1jf:1jp.tXf:J'I1, na.'ros aV'I1ll1f:a'l1f:tlt na~'l/>1jcpl{;o'l1f:at, 1Ca~ sVQll1nsf:at ~'I10s ~"tXl11;OV (;1jf:7}p.I:lf:OS ~ ~Q"'1j'Vsla. f. 61v u. app. 5. f. 62" &QX1J 6V'I1 .'srp f:iiS rSJp.S1:Qltls.llin?sll1ov zSQ~ rSJp.sf:Ql"s, Euelidis Elem. I deff. 1-23.1)

    f. 62-131 Geometr.2 p. 176,1-5,8; 6,1-3; 6,5-10,11p. 226, 17; 10,12--13; 11-12,13;12,15-28,30-40,43-74;13-15,14; 15, 17-19; 15,15-16; 16,1-25; 16,27-46;17-18, 14; 19, 1-4; 20-21, 27; 23, 1-22 p. 402, 25.

    f. 132 (uU.) = f. 44, mg. "duplex exemplar folli 44".Post Hultschium contulit Guilelmus Schmidtj 10cos non

    paucos inspexi.2) Numeros p1erumque omnibus litteris scri-bit, quod non notaui.(} = cod. Paris. suppl. Gr. 387.u. p. IVsqq.

    f, 13r~14v, 16r-61", 107v-110r. partes quaedam bis legun-tnr; in s quae ordinem non sequuntnr, sigla Ca signi-fieaui. de Cb u. supra p. V n. 2.

    D == cod. Paris. Gr. 2013, chan. saec. XVI. u. Omont, Inv.TI p. 179. Continet:f. 1-80 Theonem Smyrnaeum. f. 81-97 Euelidis Catoptrica

    (hueusque a Christophoro Auer seriptus est). f. 98-141Geometr. 2 - 21, 2'1 p. 388, 12 (in fine add. i!Jofi na~ f:0

    1) Ruius partis codicum A et C (f. 13') communis col~Iationem hie dabo. Eue!. edit. meae p. 2, 1 o'!JE'I1 A. numerosom. C, add. m. 2 A. 4 f:Ois] f:iis c. 6 1!XSt P.0'l10'l1 C. 10 supraS'iJ.'slats add. rQtlp,p.ais m. 2.A.. 11 ~'V10m. C. 12 YQap.p.i'l1Jcorr. ex rQap.p.ocf:Jv C. p.4, 2 ~11f:W C. supra s'.'sia add. ,),Q"P.P.1jm. 2 A. 5 lfJ.aI1110'l1 C. 6 8'Qos] fJQos I1E AC. 7 E6f:t] !J/; AC.f:o] om. A. 13 sil11 A. 15 ~6f:~V] in ras. m. 2 C. 19 I1xijp.a]I1zii- e corr. m. 2 C. p. 6,1 zSQtcpsQslas] f:OV "v"J.ov zSQtcpsQslasAC. 1 nS'I1f:Qo'l1-2 ~11f:l'l1] f:p.ijp.a ?tv,,1.ov EI1f:L f:0 ,,;sQtSZoP.S'I10'l16ZijP." vzo f:S sMtslas na~ "v"J.ov zSQtcpsQslas ~ (mut. in 1/f:Otm. 2 A) p.sl{;ovos ~ ~J.OCf:f:OVOs ~p.t?tvnUov AC. 3 t."] ,,' m. 2 A.v,,;o] e eorr. m. 2 C. 4 f:Qti'l1J f:Qti'l1 ,,;sQtSxop.s'l1a C. 7,,']"'m. 2 A. ante il1ol1"s1.ss ins. p' m. 2 A. 9 p.ovov A. 11 ,,0:']11' m. 2 A. 12 Ifzo'l1] p.lav l!zov A, p.la'l1 IfXJ'I1 C. ante &p.p?vr.ins. s' m. 2 A. 13 !JE] t:E AC. I1zo'l1] p,lav I1zo'l1 A, 1!zov p.lav C.14 ')'fiwlas I1zo'l1 AC. 15 "P'] a' m. 2A. 16 ante ~f:sQoP.' ins.' m. 2 A. 18 ante op.pos ins. r' m. 2 A. OQ.'0')'0I'l10'l1 C. 19 anteop.fJostiNs ins. ~' m.2 A. &zs'I1a'l1f:t A. p. 8, 1 ante f:" 111, ins.s' m. 2A 3 n')"] S' m.2A. .

    2) Ne hie quidem in formis 1l"ovf:at uel ')'lvsf:"t prae-stare possum, quae non diserte indieaui. u. Corrigenda.

  • XII PRAEFATIO.

    nSllrtf; 1?ijf; Ap/ijf; '),tm;Ovll'Ylrtf;) praemissis definitionibus Eu-cUdis Elem. I et omissis sdem capitulis, quae in 0 de-BUnt. f. 141-15F 'Yero8rttGlet "HQrovo!;. f. 15lV-154, 'IGrta"p.ova:xov 't"ov ~Q'YVIlOV IImf; &'11 't"ft p.1] dQ~ft 't"mv 'l;"Qt'Y';wrov"d. f. 155-158 fragmenta Mensurarum et metrologica.f.159 (ult.) finem opusculiIsaaci. OontulitFridericUBHultschjinspexi ego, sedraro scripturas eius adtuli. Pendet a 0,sed aliunde correctus est.

    S = "cod. Constantinopolitanus Palat ueteris I, membr. saec.XI. u. H. Schne uol. m p. VII sqq. Continet:f. 3 1) Geometr.l p.172-175.f. 4-61' Geometr.3 p.176, 15 (omisso titulo}-4,13p.196& 18.f. 6r_6v Geometr. 5, 1-3 p. 202'" 31; 6, 1-2 p. 208'" 27.f. 71' Geometr. 7, 1-6 p. 214" 21.f. 7v Geometr. 11, 1-2 p. 230'" 3.f. 7v_8v Geometr. 24, 31 p. 434, 20-35 p. 438, 11.f. 91'_101' Geometr. 17, 4 p. 332'" 1-338& 13.f. lOr_l0v Geometr.18, 4 p. 352& 1-6 p. 354,& 9 j 15-16 p. 356,

    12-22.f. 10v Stereometr., u. uol. V.f. 111'-121' Geometr. 20, 4 p. 364& l-11j 19,5 p.358, 30-7

    p. 360, 30; 20,8 p. 368" 1-9 p. 370" 12; 19, 8 p. 360, 31-362,7.

    f. 12r-17v Stereometr., u. uol. V.Ruc usque uno tenore sine ulla distinctione. tum

    f. 17v-261' Lltorpavovf; (Lltolpav't"ov!; m. 2), Diophantus ed.Tannery II p. 15,21-31, 22. u. appendix 6.

    f. 26v (sine distinctione) Stereometr., u. uol. V.f.27r-28v ''HQroVOf; elGet'Yro'Yetl, Geometr. 23, 1-21, 23-54.f. 28v_38v (post distinctionem omamento significatam) Geo-

    metro 24, 1-51.f. 38v-42r (sine distinctione) Stereometr" u. uol. V.f. 421'-511' P.S7:1l7jGtf; 'l;"e7:Qa:G7:6ov ij7:0t 'l;"e7:Qa:"rtp.eXQov "7:'),. (post

    distinctionemh u. uol. V.f. 51r-54v(post distinctionem) G7:6a: iIxoVGCY. "d., u. uol. V.f. 551'-611' (post spatium uacuumf. 54V ) p.S7:Q7jGtf; nVQ"p.l8rov,

    u. uol. V.f. 611'-62v Geometr. 22, 1 p. 390& 1-24 p. 398, 11.f. 63r-63v (post spatium uacuum f. 62") ''HQrovof; (in ras.

    manu rec.) 1erop.e7:Qt'KeX, Geometr. 4, 1-13 p. 196" 16.

    1) In mg. superiore manus recens scripsit: A7:7j1l1]-3'7j. causa.est, cur putem, codicem fnisse bibliothecae Uniuersitatis Cnopo~litanae.

  • PRAEFA.TIO. Xill

    f. 64r '-66r At~VI1-0'lJ ~"'Egv~lIlfcoS ZEQt z1J7:ola!V ~V"'COv 7:fjsEtE7:Q1}GECOS. f. 66v uacat.

    f. 67r-110v (ult.) "Heco1Jos MS7:Qtl'w1J I-rn (u. nol. III).

    Nonnulla correxeruut duae manus recentes. Scholia ad-scripsit et manus recens et prima; quae ad partes a meeditas pertinent, in uol. V dabo. In partibus, quae bis le-guntur, ea, quae extra ordinem emtionis sunt, sigla Sb in-dicaui (uelut p.182 est f. 63). Contuli uel descripsi ipse eximagine phototypica; ipsum eodicem Berolini inspexi.

    V = eod. Vatic. Gr. 215; u. p. VIII. f. 4r-22r~

    De codiee Paris. suppl. Gr.541 (p.184, 26) eeterisque co-dieibus Geodaesiae u. Prolegomena uoluminis V, ubi etiamda codieibus non usurpatis eorumque eognatione disputabo.

    Scr. Hauniae mense Febr. MDCCCCXII.

    J. L. Heiberg.

  • APPENDIX.1. C fol. 62v-6Sr

    Ta 'CEuua"!a e" E" ..l ftE,,!OS EM '1C"!os ..Ci. ,,0'; E,,!OVftEV olivoff..oos "a..a ..~v "OV L!tOep&v-r;ov ftEf}ooov' E'1CEtO~ '1CE,,!~ E" E"l, loros, '1CEV..&"ts ..Ci. ,,0" rlvov..cxt Q"" "a~ E'1CEtc\'~ 0' E" E",l&{JE lJiQo~ 0' ..iv ,,!,,', f1'1CEQ eu..~ "Qlav..a "a~ fun ..Ci. 0' E"E"

    5 Eis ..Ci. "0' ftS"!OS l". 01)..00 '1COlEf, l(,a-r;Ci. '1Cav..os '!fn1epov, 8..EE'1C"Ci. Elcv. "a~ E'1CEtO~ ..Ci. lE'lC'rCi. o'13X EffQ'YJ..cxt EV~ &Qt.fr/J4J '1C&v-"O'tE &S ..0 ltVoo.frEv 1" ftEQOS, &uCi. 'W1i ft~v ElS 6:Qt.frp.ov lvuVu'tsUovraf, ..Ci. '1Cui'u..a lE'1C"&. &S ElQ~"aftEV, '1Cij o~ o.oXo{f..ooS, ~/lEi'S '1CEQL ..iv Uvu..EU0ftEVOOV Erp' Gvt &"!t.frp.ov EI:'1COp.EV.

    10 Holv'1Clac1taUftos .fraV/leXutOS uVV ..oiS /lE..' afl'tiv lE'1C'CoiS"I' "I" E'1C~ 0' 0" nat a.vfhs ..av'Ca E'1Ct E' E'" "at l"ErOftEV off-nilS' OtCi. 'CCi. E'1Canolov.frovv..a lE'1C"Ci. '1ColV'1Cl~()t&~EtS ~v lnau'CovE'1C~ ftE,,!OS offtoos' tCi. "I' "I" OtCi. tO ,,/" rlvov'Cat f,', ..Ci. 0' 0"OtCi. tO 0" rlvovtat tt', "a~ ..Ci. E' E" ,,/lvovtaf, ,,;;'. El..a 'COVS

    15 ..0tOVtOVS &Qt.frftOVS '1C"!OS &ll~lovS' OE"&"tS ..Ci. tt' "!o' natt(Xv'ta E'1C~ ..Ci. ,,~,. rlvov..at vn', er..a Ot' 6:ll'ljloov ..alEn-r;&',,/'0' t{J', "at taiita '1CEVt&"tS S'. ..iv ,,/OVV vn' ..0 S" la-{JOOV fr,ps ..0 ~'YJtOVftE1JOV, "at fu'Ct"o S" Or' US".

    {J' 0", 0' E", ;;' ~", .fr' 'YJ" et'13..Ci. '1CQOS lt,ul1la 'tl ,,/lvovtat;10 na~ rlVovtaf, ep' n.fr' L" E" QS". lErE..at OE "a-r;a ..~v '1C"!Or"!fX-

    epEiucw ftE.frooov tCi. {J' 0" rlvovtat 0" .fr', d~ 0' E" E" E" "a',..Ci. ~' ~" t" f' p.r', ..Ci. .fr' 'YJ" 11" 11" 0"1', 11rovv IJ-OV&OES .fr'''(x' ftr' n(X~ 0"1" t(XVt(X '1C"!OS /fll'YJla, 11rovv ..Ci. .fr' E'1CL 'CCi. n(X'

    2 df,ocpa1J, C. 3 rl1Jo1J'&etf,] r' C, ut semper.C. 9 i1Jt] C, scrib. r1Jet. .13 r' J r C, ut saepius.COIT. ex. ,rvn' C. 20 es' C.

    4 'f:(llet1J'&et16,d'vn']

  • "0u-Mz88'0!J'0ZlJ-"98"03'''lall:01~"0~u.(J'118'0H"'l'11[Utt13'1188"051!:z.

    [l:l-oz"0{j[r?08"S'zCf"'qp:os'0[!J'ozl1'"91"013X9-Z1lI"013[~6-."lt,,,~0llIlIIj:'0L,~a9'0,lt,["lt,f7

    ",~'I'113.1"'u'JJ:llJ'I'1S9t!t'1'aoJY~IJoz~zS13Sf!,:1,/,lJrott~UlttO,F'I'1-u!J13.fJ'J:11"'uttlJofjJtt~u1!J(I,(htt~ZttO:1r;}OU3ll!J70l3'3'ttJ!J1311J!JB'SO~'I'1~Sf!,:1SofjJS~Z"'130'1'3rog~'{OO:L!J'I/1j;J:1tt113'{'}Og1'JI

    ttOoUltR1:OUttlJttf!,'I'1Uttf?:1~:1:OU:O:1IJ:O:1qU",aB

    9Z,ayf!,.f}'Sltouu~'{'13~~~u13'J:1!Jltt3aoN'Sf!,:1fJ'lJttr;}'I'1Y.f}ehpttr;}:1ttOOll:O0:1tt073'{7MMn'131:Oll'Srog10ll1JSao.n'{lJ.f}ehoSao:1573ttU:1n~:1'301"O:1ltO;'7Xl~lU~1J7~SUttorlS:01~ro3~OU:o3;13'"avlJ,'", J-,.s-,-'oS"I,"t)\,,3""L_'O'9qU1!'ttl.f}X3:1f?:11:1.01MOO??'m,.n/1,ttJ3'1'1tt~'I'1F1:OU'ttr;}1a:L.tr;}:11u1ttO'{13ehl3'S"':1tt:ou:JS:o~tta!J1u11:OU'sf!,:1fJ':OaO"'9'~a!J

    osIJ0:111JUSU:19'13:17J'I'1OttRf?:1113u'~ttn"~tt397JY~ttM)r/Jttl'S9ttu'l'1IJ0:L:o'l'1Ott9f?:Ltto!Ju.n.(J'J0'l/.Sro:1l3'013J0Jl,'ao"'nIJoui:z.u'I'1.f}10'l/,'U'ttoaog'l'1/~7Xl:13!J~ttIl3'"ttf?U13UOU'J'X11Jtta'"tt13U1300U13'{'}Og1'JI

    "11J:13ttJ'"f?:L13ttp.f}eh1:19ttoyuUr/Jtt1'3!'~3U~:1sf?ouIJ0:1aOJ3X,0:1!JIJ0:1,/,:O,:1.371

    9lIJ0:1f?U'I/IJ0.n.o70311IJ0:177J~ONtt013X70:1!Jtt01:O:1a3Y3:1f?:1acpJl,7Y-lJ:l:OU'1:O:13JtJ'"'/'0f?:1f?U'1'qU13'tt3.f}13U~IJ0'l'1!J703'1'1!J0:11:o~aN'11J:13tt1'"0:1OUaa011J:1a3Y3:10:1/1,Xa:1tt3'1'11311JU':o13X,0:1!J13:11.oro.f}/n'3yg;L~:o'Sro3-'11J:13tt1"~o11J:1~ttJ"~'13:13Mtao7;:13tt1"3"~yIIO;3X70:1!J30"ttO:L~:OU3.'::ou'':003:1.070'"1U3~ro7~3nou:o'1:05613 _,.l"I,J,"0"\,~,-~.s""~Je

    ot"':113'aOU9.f}3'1'1Sf!,u1UttI,Sf!,:Ltt1~3!:La~:1~:1lJUttf?'I'1.f}10l'tt0:1I}070:L713t!t:oo"'9ul'.Sro:15}o73~~13J'I'1tt~'I'1~1:OU'Sro311pttau10:LH-~o(l,3yJl,IJo'l'1.f}10l'1t0llS9":oa:13:1Sf?:1tt:ou11J:13u!JJu'1'3aroU9.f}371o'}uyul'

    'Sa0:1tt~eh01f7Sf!,U1:1U'l'1.f}101'Sf!,:1u'JI,

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    013UUU13'1:o:L/tOM'".U:O:LSOOU13:1n;;:I.113U'1'10~0:1Soau~:1a"':1'.U',13:1ttOM'"'./~Z50a~n0;.13~UVV;Sogu~03i,:1 -,'I11\\II~\~Lr."\I"13U"'O.o1JJ!J:oyuayou[J:~wJ"':L13,13o!J"'.f}~11J:1110ttJ".,"0~:L

    1UlMypU13:1IJlJ:1JUOU'11J:1ttOttJ"""'1'1~:11Zl13:LIJ13:1".f}UO

    AX'XI

  • XVI APPENDIX,

    nqb _'/;ov [.tEer'1J[Uqtov '1vqEVEt~ '/;~v f!JQCX11 EilqEW, gJ~qE '/;b t,pOtov,iv 00 iermt .qlto~, lICX~ '/;t&EL '/;~v ftot'Qcxv cx.f,'/;~v, ~v fXEt .qlt~~, El~ '/;bv 'ltQciJ'tov '/;fi~ &vcx'/;oHj~ ncxQlfU'1Jlov :l(CX~ ~'tqcx&nb ,/;OV [.tOtQo [181V] '1vro[.tovtov fL~XQHOif er1J[.tEtov "fi~ f!JQCX~,

    5 noera ern~"tlf Eiert, lICX~ ifgJEtlov ..cxv,/;cx in~ '/;bv '1' lICX~ lla,/;a r'lo'1ttov iJjqcxv [.ttcxv Ei OE (.LE'/;a '/;b [.tEer'1Jl!~QtOv OV).EL '/;~v iJjQcxvEil(!Eiv, ..t&EL '/;b t,pOtoV El~ '/;bv '/;1]~ overero~ nQro,/;ov ncx(!lfU1J-lov, llCX~ Eilq~erEt~ ..a~ &llQtEi~ f!J(!CX~ '/;1]~ ~[.t~(!a~. Ei OE OVlEt..b ..oiJ ~Uov EfJ(!Eiv if1{JriJ(-!cx, ..t&Et ,/;0 t,pOtov, iv ~ iernv

    10 .qlto~, El~ ..~v [.t~I1'1JV '1(!cx[.t~v '/;fi~ overEroS llCX~ '/;1]~ &vcx'/;ol1]~,lICX~ EfJQ~erEt~ ..0 if1{JriJ[.tcx.

    3. C fol. 20Sr IIaQElIolcx~ '1E'1ovvicxt .0iJ BQcxvu"ov ,/;E ~Uov :!tcx~ '/;1]~

    erEl?iv1J~ :!tcx,/;a '/;0 ,~ rote;; E"O~ lIa~ ..OV [.tEv ~Uov :!tcx,/;a t~v cx''/;OV OElIE[.t(!tov, '/;1]~ OE erEl~v1J~ :!tcx,/;a t~v i toiJ VOE(t(!tOV.

    15 1!XEL OE oiftro~. sequuntur duae tabulae astronomicae.

    4. C fol. 20SvE1J(!'1J[.tcx llcxwov. &q60v [.tE'/;(!EW &no [.tovMo~, &!~ E-ItO~

    iertlv, cx' ' '1' 0' E' e;;' r 11' -It' t'tCX' t', &X(!t~ &v ovJ..Otoer'/;fivcxt, lICX~ Ell "O,/;E, Ei -It~ky~ '1vrovat, noero~ &(!t&[.tOS E'1E'1ovEt&nb '/;1]S ervv-lt~erEroS, notEt oif'/;ro~' noHcxn.cxertcxtE &E~ '/;bv 1!erxcx-

    20 ..ov nltvtrov &qt&(tOV Eis Ecxvtbv lICX~ ..oiJ '1wo[.t~vov &Qt-lt[.tOV&no '/;ov noUcxnlcxo'tcxer[.tov &EL M[.tCXVE '/;0 L", [.totros lICX~ ,/;0L" '/;oiJ nollcx'ltlcxertcxer-lt~v'/;os &Qt&[.tov, lICX~ o'VVdAtEL [.toiJ, lIa~f6Et~ '/;~v noero'/;1J'/;cx '/;1]S ..(Jtcxv'/;'1J~ o'vv-lt~(jEriJ~. otov iv fJno-oEty[.tcm, -It~J..ro '1vrovCXt, noo'os &Qt&[.tOS '1tve"CXt &n;o [.tovMoS

    25 [.t~X(!L 'tOV r: erVV,/;E-It[vtrov ..rov &qt&[.trov, lIa), 1COtro oif..ros ..ar: EgJ' Ecxv..lf rtvovtat ~...0 t.:' ..rov ~ V', "a), ..b t.:' ..rov t E"

    2 ..Ut1j C. 3 /La'/;(,lcx] an pl'/;(,lst? 5 oan~ C. .glJ'SI?'Ol1]~') C. 7 "UT1j C. 8 {Jot C. 9 ~Uov] comp. C. "UT1jC. 10 ..ijs (pr.)] "~11 C. 12 lErOl1Eicxt seq. :ras. 5 litt. C.ijo:f C. 13 GE1..?]l11jS] comp. C, i;ons] h. e. anno p. Chr. 1308.7jUov] comp. C. 14 GEI.7}l11jS]'comp. C. 18 ElsrOWEt C.25 /LEl(,lEt C.

  • APPENDIX; XVII

    6/-'-011 VE. El OE ov7..Et rvfiwcxt 't~v 'tOtcxv't'1Jv &TtetQlfJo/-,-'1JoW -oTtOTt7..Elovor; TtElecxr;, E/'1;E &'1JfJo'ljr; io'tw E1,''l:E /-,-'lj, ElTtE ofi'toor;' et' ~etl13' r', ' r' .,;', ~ett o'"t, ~cxl E' LE', ~t .;' ~et', "ett t' "'1J', ~cxl'1J' 7...,;', ~cxl fJo' /-,-E', ~cxl "t VI:' "cxl &'1JfJo~r; ~ &TtOOI:Lstr;. /-'-~XQt

    5&T6El(lov ' EUotV &l'1JfJo~r; 1] 'tOLetV't'1J /-,-EfJoooOr;.El fJoEE&r; elTtEw, (Jot' illpEOV &TtO &(ltfJofLo11 L" 0" '1J", ~cxl

    2}r; &TtO(LElvoootV i, TtOlEt oil'toor;' Ttaw ..cL '1J' TtoHcxTtcxolcxoovElr; i, "cxl rlvov'tett (lS' 'l:a (l6 'l:cxii'ta Eo'tW 6 &(ltfJofLor;, &lp'0,0 E6E(lXE'l:CXt 'to L", '1:0 'tE'l:et(l'tOV ~lXl '1:0 orooov, ~etl &TtOfLE-

    10 VOVoW E1,'~ooL.5. A fol. 6F.

    ME't(l'1Jutr; }..[fJoov O'tE(lEOii. }..[-I}ov fL1j~or; TtoofiJV

  • XVIII APPENDIX.

    "ov ~] ~ ~ p.8] ~ p.8 10 t'OCio'iJ-COV] 'l:OCiOv'l:IlW ~11 EP.. 'l:OV :KV"ov 13 'l:OCiOV'l:OV '1:0 Ep.a86v] 'l:OCiO'lJ'tovg

    ~ ~~Et :KV"og 15 t-t8] ~ fI'~ 16 8nt'&"tg] 8- corr. ex tin scrib. 17 ~] rt. ~ 't'OCiOVt'OV] 't'Ciovt'OOV ~ fCi't'O/t

    dutt-t. 't'ov "vl'ov 20 &11"] E" ~ 22 t'oCiomov] ~ t25 &V"] E" ~

    p. 17, 1 t'q~Ci&,,~g 2 ~8'] ~O' r~. ,L'] corr. ex ~ m.rec.t'oeJov't'ov] fCi't'at Et-t. ~ i (i" L' m. rec.) 3~] ~ ~8~1 ~. ~ 4 't'~vl '1:0 5 &CiW E'1t'~ 7 8VOE,,&,,~g] t~] r~' ~ ~ 't'OCiovt'ov] 't'oCiovt'oov ECi't'~ 8 Et-t. ~ ~ 9 't'~v]

    om. ,] ~ , 11 En~ '1:"] om. ~8'] ~8' rt. 12 ""2'], , 0 - .... ""

    corr. ex 11 m. 1 'l:OeJovt'oov 13 CirpO/lq. n 't'~o 0 "1/15 'l:OVJ om. 16't'Et't'&QOOV ~]:& 17 o~nO/Cilp] mut.in ~t-t~oUp m. rec. supra -l}v add. o,ug m. rec. ~] oEntxCirov g~. 18 &qMl'f"11t'~,,7jg] rEOOt-tEt'q~"~, mg. m. rec.~}.}." "a~ ~~&t-t1Jt'~,,~ (relatum ad ~ lin. 19) 20 'l:OCiOV'-'l:o~g] 'l:q~Ci~1I 8E] OE "a~ 22 'l:OCiOVt'OV] 't'OV'l:OV post Enl-'l:q~'l:og add. I &QIl'0v~"'iig &vO/orltxg Ot't't'~ "qlCi~g t-tltx, ff'l:txv 't'ov6rov ,3v fXE~ P,SCiog nqog 'l:OV nqrot'ov, 'l:OVt'ov gXE~, 3v

    - 0 - - 0-t:lt'EQSr.E'l:O/~ tno 'l:OV 't'eEv't'O/lov 1) 23 t] n t 24 ] n 27 o] ~ '1:"] om.

    p. 18, 1 t'OCiovt'OV 3 ~}.}.oog] om. 4 '1:"] OIn. 5 t'0Ci-ov't'ov 6 seq. ornamentum :finale 7 novr. off'l:oog

    8 ~ ~ , 11 r'] rr~. ur'] $, ut semper q~

  • APPENDIX. XIX

    19 't'oG'ov.ro1l J:: EG''t'lv E~urrovog 21 ] ;:; ~, ut semper22 ,'t'fl-] ;:; ,'t'fl- 't'oG'ovioov;:; EG''t'oo

    p.19,1 "i] : "i 2 fl-y] 1:" fl-y 3 t'] t' rt. 't'0G'-ov..ov 4 't"E] om. 5"i];:; L 8 ..OGov..ov E(f..l 10;:; X~

    - 0-nOtOO 11 (l] n (l L] rt. L 't'OGov't'ov 12 6x't'arrovov]

    - 0-corr. ex 't'qL'J'ro1lov m. 2 14 "0] n "0 15 't'o] om.

    L] ;:; L 't'O(fov't'ov 17 't'E] om. 18 L] ;:; L 20 ,EQ] -f!e COIT. m. 1 't'011't'ooV] bis, pr. deI. 't'oG'ov't'ov 21 Efl-. 't'OV

    Evvarrovov 23:, ut semper 24 L];:;t 't'(ltnaG'toov

    p. 20, 1 ylvE't'at] rt., ut sem.per 2 't'oG'ov't'ov 3 1jJV]""v EG''t'at 4 L] corr: ex 0 m. rec. 5 ,;;ro] COIT. ex ,t;oo9 L] : L nOtOO o.fi't'oog] om. 11 gOo(.tov] f yt. 't'oG'OV't'ov];:; ~Io/ 13 L] ;:; "i 15 0'] COIT. ex IX'? 't'OG'ov't'ovE(.t. 't'OV orooE"arrovov 18 nOtEig nEv't'u"tg] E mut. in[i m. rec. 19 ~] ;:; ~ 't'o] om. 20 E"] ~ E" 't'OG'OV-

    't'6v] 't'oG'ov't'oov: ~] ~ E~ 21~] ~ ~ 23 ~ ~ ~

    p. 21, 2 E] ;:; E OroOE"&Xtg] COIT. ex oroJE"a m. rec.- 0 - 0-

    3 t] n"iE 't'0(foii't'6v] 't'oG'ov't'rov '1I:ooOOv 6 t] n t

    7 EG'nv] EG'n;:; fl-EVOVG'W] &'1I:O(.tEVOVG't: 1.1 rt. r 8 t]4i;:; fl-EVOVG't 9 J] : J 't'0G'ov't'6v] 't'oG'ov't'rov : &arro-Vtog] COIT. ex ou~rrfJVog 11 Ei] COIT. ex. ~ 13 G'vrroo-

    - 0- 0vog 15 t] 1t t 17 't'oG'oii't'ov] 't'oG'ov't'oov 1t 18 Efl-.

    't'ov o"'t'arrovov 20 ~] ;:; ~ y] ~ deI. fl-la] nqro't''1jo --0-0- 0

    E] 1t E" 21 t] t n ~] n 5 22 ~ n (I" 't'oG'ov't'oovo , ,. -, , 0 - 23 -11 24

    '11: EG''t'W 't'o Efl- 't'ov o"'t'aroovov n f!" fl'CtMOV- 't'E-

    't'f!urrovov] om. 25 ~] : ~ L'] 1:0 L'p. 22, 1 't'o] 't'ov 2 add. (f. 21T extr.) E~!ijg ~"m"-

    rqIXlp1[ (fig. seq. f. 22r ) 3 "v"ovg Exl 5 't'ql't'ov "al OE-b*

  • xx APPENDIX.

    :Ka'Oov] r' t'; Hem Un. 17, 19 17 EG1!l 'OE'OQayoovou; &]supraser. 21 r:Kal 'Co t7:oGov'OO1J

    p. 23, 1 x,,] : w~ 'OOGov'OO1J 4 11fttllV] 1:, ut sem-per 5 G:KE &:1~0] &Qov &'~O 6 :K"l : :K~ 'OoGov'Oov

    o -0- -o-S 7:q] n 7:q 'OOGO'lfr01J 10 t] n t 0] n 0 11 C]'00 L' Eav'Ok 'OQtG&1ttr; 15 7:OGov'Oov] 'OOGov'Ocov: 19

  • APPEhTDIX. XXI

    1:0'11] EO";OO 6y.1:ay.; i 4 EVVtX'}'oovoS i] ~ i 6 1:~'-~AaultXtoo ~];:; ~ 7 ~ ~ ~ 1:000'111:00'11 ~ Eo1:OO ?j ~AE'Vl,>a1:0i! EVv,,'}'c6vo'V 8 &~o] &~O 1:ijs ~E'V(las tt1J1:. Evva'}'c6~

    '110'11 9 EVVtXKLS]:& ~] ~ ~ 10 1:(ll1:ov] r '}',. 7;000'11-1:00'11 ~ 11 ouxft. ,;oi! Evva'}'oovo'V 12 08"tt'}'oovOS i] ~;;13 ~AE'V(I. oii.,;oos 1:(I'~AaoLtX~ELS 14 ~] ii ~ oi"a1:ov] i:~] ~ ~ 15 1:0CiO'111:OOv ;:; E01:OO ~ ~E'V!,>a 1:off OEKarc6vo'V

    17 a111:. OEKa'}'c6vo'V 18 ~] ;:; ~ 1:(lLootXKLS] r 19 i]~ i 1:000v,,;oov ~ EU1:OO ?} &tt(.t. 1:0ff OEKayc6vo'V 20 EVOE-

    "tXyoovos "13] ~ K 22 ~S'] ~. SS' 23 Evo~"a7;ov] L1i '}'L.~] post ras. 1 litt. 1:oooiitov] EU";OO ~AE'V(la ~. ~ 24 &~OJ1:0i! a111:oi! EvoEKa'}'oovo'V &.~o 25 ~OLELS EVOEKtX"'S] L&

    - 0 - 0 0-26 ~;] 1C SC; 1:(lt1:ov] r'}'t. ~ 27 ,;oooi!1:ov] 1C "

    p. 27, 1 ooooEKtX'}'OOvOS i] ii i 3 1:(lLotXK'S ~] ~ ~4 .t'.t" ] 13' 0 " < J. 0 - 5' N'uOOuEKa1:0V' '}',. 1lr W1:OO 'l) ~ ~ E ~I\,E'V(I. 1:0'11 a'V-1:0U ooooEKa'}'c6vov 6 oooollKtXKLS] L 7 f] ~ ~ T(ll1:ov]r '}',. ~ 8 i] &aftE1:(los 1:0i! ooooEKa'}'rfJVo'V ;:; i 11 oux-ftE1:(I. yt. ~ sq. spat. 1 litt. 12 1:000'111:0'11 17 1:(lLoKaL-OIl"tX'}'OOvoS ~OlEt vy 't~v 20 ftoloos-X(lro] Eav OE ";Eoo"-(lEoKatOEKtX'}'OOvOS .q ~EV1:E"atOEKtX'}'oovos .q E~"atOEKtX'}'oovoS .qooovo~1CO";E ,~OtEL, "a.{}oos 1Cl,>o'}'i'}'(la~1:aL &'TCO 1:ijoOlll) 1:~V~AE'Vl,>av Kai &'TCO 1:ijs 1'CAE'V(las 1:~V &ttftE1:(lOV' Ka.{}oAtKOOS 1:ya111:'jj ftE.{}60rp Xl,>oo "aL 1:000'111:0'11 &TCOrpalVO'V, "aL ESELS &.Ot,,-0CPtXA";OOS 'tas ftE.{}60o'Vs. Seq. ornamentum finale. turn:

    ocpail,>tX Eon oxij(-!" O'tEI,>EOV fJ1Co ftLS ETCtrpavElas TCE(lL-EXO(.tEVOV, 1'C(lOS .qv &.rp' EVOS O'l)ftEtO'V 'trov EV1:0S 1:0i! G"x~fta.,;osKEt(.tsvooV TCoat aE TC(lOOTClTC.,;ovoat E11.{}ELat (TC(lOS ,(:~v 1'CE(lt-cpE(l8taV mg. m. 1) ruat &U~Aats Elulv. 'KEV1:(lOV dE ,;ijs G"epal-(las 1:0 O'I'JftELOV Eonv. (&tt(.tE1:!,>OS OE ,;ijs oepal(las E01:Lv mg.

  • xxn APPENDIX.

    26 ~no]

    m. 1) IJfJ{}lJiu ..tS otlt 7:0ii niv'r(!ov imdv'YJ xai nlJ(!a7:ov[.tEv'YJ scp'Enu"lJ(!a ..tt [.t8(!'YJ vno "fis sntcpavElas "fis

  • APPENDIX. xxm

    16 ~o'] eorr. ex ~a' m. 1 17 tElilia~a] 0 18~] ~ ~19 "vttoo] eorr. ex "v&too m. 1 20 EVOE"&"td ta

    21 touoi}tov] toliovtoov ~.

    SCHOLlA.1. Ad p. 16, 22 m. ree. fol. 18r .

    A " , , -, C"" dd) , ,t ano .tooV "EVt~ooV Ent tO "EVt~OV supra a .. arO/LEVatOta tOOv &cpOOv EAE1Jliovt(:it otCt "&0 t' toi} r' tOOv ~tOtXEtooV.rtvEtat o.ov "&~troovov luonAEv~ov' lliot ra~ oE "V"AO" fMte~ ,,&oi} t~t'Yrovov roovta 0t/LO"~OV flitat c3~{}ijs. EM OE "a~oE 'l:0/LEtS lliot Ota "&0 "a~ tas roovtas flias Elvat Ota "&0 "&E-Awtaiov toi} ;' tOOv ~tOtXEtooV' 8v 'Y0vv A6rov ~'rt ~roovta n~os 0' 6~{}&s' flin OE g"tov' "&ov attov AOrOV fXEtza~ tOf,tEVS n~os tOV ffAOV ,w"AOV. &cpat~E{}EVtOs o.ovt~tli(j'&"ts toi} g"tov toi} E~aooi} toi} $V"AOV &no toi} EY,-aooi} toi} 'I:~trrovov to AOtnOV flitat tO toi} /LEliOV liX'l]/LCl.tOS.

    2. Ad p.17, 12 m. ree. fol. 18v Ata "&0 t~V Entcp&vEtaV tijs licpat~as tEt~anAali[av Elvat toi}/-tEr[litOv "V&AOV "&OOv EV tTi licpat~lf'

    3. Ad p. 17, 21 m. ree. fol. 19r AtiAauliov [?] a15t1] ~. &va').orta.

    4. Ad p. 18, 10 m. 1 fol. 19r rbn &a~ EtEt~&roova t~tlil nEvtetrrovOts toiS &no tijsat'I:'ijsn').Ev~iis &var~acpO/LEVOtS flia Elittv~

    5. Ad p. 18, 11 m. ree. fol. 19r ''Es 1: "'rr 1)' l' r l' ,., 'Q,;uEtSEV 0 Ll.~OOV EV A1]/L/Lan, oos, I:av '!1 t~trooVOV O~'lJOroo~lIWV to AI'B i'xov 'P1)1I n~os tijJr roovtall c3~{}'l]lI (supra ser.),t1lv OE n~os trp A OVO nE/LntooV c3~{}ijs (eorr. ex c3~{}ais), "&0&no liVVa/LcpOtE~OV tijs BA, Ar nEVtan').&litoV Elin toi} (corr.ex tOOlI) &no (eorr. ex r) Ar(eorr. ex r). A1]cp{}'l]tOO tO &EV-'I:~OV ,,&oi} &V&AOV tO Z, 11) "a~ ~nEtEvx{}ooliav aE ZA, ZB, "a~

    1) MEtl,l'"'' I 17 p. 50, 1sqq.2) In pentagono inseripto, euius latus est AB, ad quod

    perpendieularis est zr.

  • XXIV .APPENDIX.

    ~x-3'ro ,,&-3's.O~~. Zr.. E%sl ot,v ~

  • 'll;ItJ"7a~i/1'1T(J

    50~i/{}"'''.It~~(1,'"ZFl(l,OlhltFlU(l,0~OZ'"/(,'aoltroA,"'~UO11O:L"")M"~~~';DFl~l'Fl'U",n~7i/n;013Z'"';5:.0"'070:3n"'0:L'aOO:L \.t.~"~J',11'r~.ts,-1l3"(l,0:LU33~ll,3~"'0:LIlo,toy13~:150:L3{}"'U"''''O(l,3yZ"'~:L7Z~(l,OO~IlFl~~03.OZ'"~'llou;ro,tOD;'1"'UIlC:O(l,3"~ODlro"u~u '~J'"\,~I."L,L,!!c:6",a,t,t1ItOllro,t~:L"PIt7U(l'50ltrooH"520:L11.1''''3.alt''J3J7

    ''lOg'10J'oax'm6'6i'dpy'gl

    t1aproyu9'uaoo(l,3yz9D1"'Oltro,t70:LIl'"'IlOZ1Y3(}"'Zi/~03Z0)Ilron;oIlro3.1ZFl1;>I)Ui/~5ro:L(I,7J~ro'5'm3D1n~;"'U51l:noo(I,~",ro,t"':Li~(l,0:L~O~~,\n .I,)I.,-"_'0',,,-JC,)n.sl"'U5;oJ3D1n~~Zrt13D~[}(J~5~OZ130111;0,5!!{}0~5"'J3D1n~~z:p1;ol"'roA,1;oU1Itro,t1fJ:Ll.l':LU~roO~Il~UrfJ:L5~oz1'"IlroltS'J,t-"':LU~ItflJ:L1z1'",ron9~f1~IlflJ70:L113U5!!{}O~1"'~D/~"'Jltro,taOllS'J,t",~z~1}0:L~33.DCf}'ltrorl9R[}~33."'~Z~z:p73D~f1(J~5qoz;o(}p,1;0,Itron9R[}~,R~Zrt71O:LltODJ~7IOJltro,t1;oU1Itro,t7(}:Lro(}3.f1~y"rfJ~5q(}z1;0ItroltS'J,t7J:LZ~ItflJ~1z~';oJllro,t(l,OIlS'J,t;o~~(l,0:L~1"':L!JFlaO~10:L7;oU;o(};o5~{}(}0,(-;uooa-7-)(l,O(}70rI=7n~z;a7';;(1,01~D7~3D"',.j[:L50(}~1;0aOllroA,1(}:LaO:LD~y"Fl .s-"-J,;t,CI-"ti.,,J3:LDro.1;o:J,flODFlItro01on1R~~7"'UMroA1(}:L1mltroA,ro(}3.IlFlUro:L5~(};1'"aolt;il7J~~'g,0:L1~1'"5!!{}0~aO:L~rI~z1"'u5!!{}h~1"':LFl!JFlmltroA,aoltro,t"'3.ItFlZItoill,Fl:LDroltro3.ZrlFlZ.ltro70:Loz;a

    1"'Ut~~~"IODCJ:07IO~1"'(}P,13;pg'!J:L5~(}Z1'".(i)5i!;(}~~ro;-ZrlFlZItro(};oDD3:LU:LD"'UFl('.I.IOOa)1;o~3D3",ro""roA,3ro(}3.ltFlU I,--1.11'--,IrfJ:L5yoz"'flJ:LaO"'S'JA,"'3.1l3Z1}0:L(':r:rooa)lZ~5ro:L9'13Dtp'1"'~Il0D,~5i!{}(}~5"'JFlD7r1~~Zrt''''DiJ'01;>I)D11IOJ"'roA,ItroltS'JA,1(}:LIlflJ:L1D3D~[}52133.,5~0~('1ap:L)13~p,Jl3.1;>I)D11t11)135..?13{}(}~It1D"'(}3.~3.('1apQI~)roa:LIt~y"flJ:L.5~(}z7;oltFlri~~p",,:paoltS'J,t-7JChFl:L1}03.ItflJU(I,i/YzItflJ:L~Zrt113113Jltro,tIRp,u""roA,n):LJ;o'1"'D1It1D135113{}(}P""D(}l3DD~:LroU:LIt~UtE:L5~(}z113u'l,tlFlz~ltflJU1Itro,t,(}:LItflJ1ttroA,Itroltlnl3~D71t(tDaoyu9'ug,0:Lrochlt~utE:L

    5~(}zItflJ:L~z:p113:LltOD~{}Drolt,t113Jltro,tItroaS'J,t(l,YozItflJ:L1Y',A6T'10J'oax'Wf'6i'dPY'n

    ~510ttS'J,t13:L"~,:5113:L3U!lJOC{3}:)Dl(.:uooa-"'-)aOttro,t"':LUOaO:L5130aFl"Zoz",m.iMro,tni):LFl:LnU;0T ,,......I._",\,,,"0-\UI

    'A6l'1oJ'oax'mf'61'dPY'Oi

    AXX'XIGNtH:ddV

  • XXVI APPENDIX.

    ( '" d 1) ' '5> , 5> 5>' ,,,ro~ E.rrtu7:a e. t /Lovaurov "at urouE."a7:Oll ro~ SrrtlS7:a"a~ (?) El"O

  • CONSPECTUS CAPlTULORUM EDITIONISHUL~SCHIAN.A.E CUM IDUS COMPARATORUM.

    ed. meae

    = 186,19= 136, 20-28= 136, 29-31= 136, 32-33= 136, 84= 136,35-49= 136,60-51= 186,52-54= 136, 55-56= 136, 5'1= 136, 58= 13'1, 1-4= 137, 5== 13'1,6-9= 138,1-2= 138, 3-4= 138, 5-6= 138, '1-11

    ed. HultschDeff. cap.

    12-1011-8233-100101102-103104105-114115, 1115,2-116-124125,1-4125,5-6126-130131-182183

    Var. Collect.128-45-1314,1-214,3-414,.5-814,9-1015-1'118,118,2-1920-3132,1

    ed. meae

    = p.14,lsqq.=1-8=9-30= 32-99= 103-104= 101-102= 100= 105-114= 115,-1= 115, 2-4= 116-124= 126,1= 125, 2= 126-180~131

    =182

    = 188, 1-3= 133,4= 134,1-2= 135, 1-9= 135,10= 135, 11= 185,12= 135, 13== 136, 1-8= 136,4= 136, 5= 136,6-1'1= 136, 18

    ed. HultschiiVar. Collect.

    32,283-42,142,2-443-4445-464'1-616268,1-364-6566-6'16869-'12'18-'14.'15-'18'19,1-280-8182,1-283-8'1

    Geometr.1)1 u. supra p. XI n. 1.2-3 = 2-34,1-2 = 4, 1-24,3-4 = 4, 84,5-1'1 = 4, 4-164,18 = 5,15, 1-9 = 5, 2-106 =6'1 = '1, 1-48 ='1,5-'19,1-2 = 'I, 8-9

    1) Ex- duabus columnis dexlira Hultscmana continet.

  • XXVTII OONSPECTUS CAPITULORUM.

    ed. HUltBChGeometr.

    10-1112-1314151617181920212223242526272829303132333~

    353637383940,1-240,3-44142-4344454647-495051525354555657

    ed. meae

    = 7, 10-17=8-9= 10,1-2= 10, 3-5= 10, 6-8= 10, 9~13= 11,1-2= 11,3-4== 11, 5-6= 11, 7-8= 11, 9-10= 11,11-12= 12, 1~3= 12, 4-8== 12, 9-14= 12, 15-18= 12, 19~22= 12,23-27= 12,28-29= 12, 30-32= 12, 33-37= 12, 38-40= 12, 43-50= 12, 51-62= 12,63-74= 13, 1= 13, 2= 13, 3=13,4= 13, 5= 13, 6=14, 1~2= 14, 3-6= 14, 7= 14, 8-9== 14,10-12= 14, 13-15= 14, 16-21= 14, 2:!-23= 15, 1-3=15,4= 15, 5-7= 15, 8-9== 15, 10-11

    ed. HultBchGeometr.

    58596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091\1293949596979899100101

    ed. meae

    = 15, 12-14== 15, 17-18= 15, 19= 15,15-16= 16,1= 16, 2-3=' 16,4_16,5= 16, 6~8= 16, 9-10== 16, 11= 16;12-13= 16, 14= 16, 15-16= 16,17= 16, 18-19= 16,20= 16, 21-22= 16,23= 16,24-25= 16, 26= 16, 27-28= 16, 29-30= 16, 31-32= 16,33= 16,34-37= 16, 38-39= 16,40-41=16,42-46= 17,1~9= 17, 10~22= 17, 23= 17, 24-28= 17, 29-36= 18, 1= 18, 2~14= 19, 1-2= 19, 3-4= 20,1~3= 20~4-'.7= 20, 8-13= 20, 14== 21, 1-2= ~1, 3-13

  • CONSPECTUS CAPITULORUM. XXIX

    ed.. meo.eGeom.18,4(0.)18,6(0.)

    ed. HultschiiLib. Geepon.

    666768 n. nol. V69--70 = Geom.18,15--1671-74. n. nol. V75-77 = Psendo-Dioph.

    10-1178--79= Geom.24, 1--280-85 n. nol. V.86 = Geom.13, 687--89 n. nol. V90--93 = Deff. 130--13294 = Geom.295 23,6796--101 n. nol. V

    102-103 = Geom.23,68104--145 n. nol. V146-164 = Psendo-Dioph.

    23-41165--166 = Geom.22, 1(0.)-2167--190 = 22,3--24191--205 u. nol. V

    ed. meae

    = 21,14-24= 21, 25= 21, 26--27=22= 23,1-22

    46-47 =48-49 =50-;,1 =5253-58 =59-65 =

    ed. HultschiiGeometr.

    102103104105106

    Lib. Geepon.1-6 = Deff.25-307-9 32--B410--24 = 39--5325-31 = 55--6132--39 = 65-7240-41 = 98--9942 -43 = Geom.344 4,145 4,6(a);

    5,1(aetb)5,2-3(a)6,1--2(a)7,1-6(a)11,1--2(a.)24,31-3617,4--8(a.)

  • DEFINITIONES

  • '05j!,p70'X7Y1'.iI[51g,p7901t1"(~!.'050~7:L'J[[53/1.1-'"S

    0&:1ori1im]J,0.ftC[ilJ?JS?JrP-npsqCJ;I&1pnoXilSWII',U:XJJarol,?Jlil'(fMplfSJ.L',.fJ'1

    :?JJarol,?J2:1~9~S,1.L',U1:?JJarol,Tf.(}CJ9lfSJ.L',~1

    !7?JCJOdJ?J1~aW1arol,aC01hipCJl,a.(}C[ilafJ}ZJ?JSi1aJ.L',51

    9t:?JJarortSo1i1i?Jol,0.fl'C[:ISO~:l1t71t~lfS7.L',:11:?J7arol,SO~il1tJ1t~SfJ}a10U1ZP~7.L',~1

    :J?JoodJm~afJ}1arortafJ}z1?J"1aill,1?JSIJa7.L"l,1'Sf!,ri1i?JCJl,SUa}1ip?JrUilU1?J"S?J7arol,1CJ:lII',g1

    'SOZ'X)rirppQ-OilCJ:I:LP1CJilii')rJ1

    Ot:m:lapdJ11t~SO~31t,1;I&~"C[OlfSJ.L',1

    :rmapdJ11t~SO~31tJ;I&~aUp?J.L',.(}

    'S'X)J:la'X)dJ11t~1CJ:lII').L:J?Jn1i'X)CJl,SJ~1:10U1rl1'X)S:laJ.L',J

    :7'X)1i1i'X)CJrt1'X)r}t1t1i'X)UJ?JS3aJ.L')3:J?J1i1i'X)CJrt.1'X)U1r"auJ?JS3a7.L',:1

    *1iri'XJ('jrf,'X)l:l.(}C[:IaUp?J.L',~!7?JCJodJm~afJ}riri'X)CJl,aW:LJ?JS3fl,J.L',l,

    :p,riri?JCJtl7.L',g:aOlilriup1ZP'iJ.L',?J]

    'N~iliYJ'\lONO~VIdilim~ITfJ:N~iliIOdO~ON~dH

  • 10

    15

    20

    HERONS

    DEFINITIONEN GEOMETRISCHERBENENNUNGEN.

    [1. Was ist ein Punkt?2. Was eine Linie?3. Welche sind die Arten der Linien?4. Was ist eine gerade Linie?5. Was sind Kreislinien?6. Was sind krumme Linien?7. Was sind Schneckenlinien?8. Von der Flche.9. Was ist eine ebene Flche?

    10. Was ist eine nichtebene Flche?11. Vom soliden Krper.i2. Vom Winkel und von der gebrochenen Linie.13. Welche sind die allgemeinen Arten der Winkel?14. Was ist allgemein ein ebener Winkel?15. Was ist der ebene gradlinige Winkel?16. Welche sind die Arten der gradlinigen Winkel?17. Was ist der rechte Winkel?18. Was der spitze Winkel?19. Was der stumpfe Winkel?20. Wie verhalten sich die gradlinigen Winkel zu-

    einander?

    9 Ea'L't'll] C, ~a F. 12 XCll xExlClap-a'll1j!;] Hultsch, xExlClap-a'll1j!;"Cil C; cfr. p. 22, 22. 13 rCllvuli'll] F, rO'lltwv C. 20 E'8'v-'r(lClp,p,Ot] C, EfJ8'vr(lClp,p,Ot (rCllvlClt) Hultsch, EfJ8'v r(lClp,p,Ot r(lClp,-!Lod F, cfr. p. 26, 18.

    1*

  • 4 HERONIS

    "cl. 'Un ~ oQfT~ '}'rov{rt ,,~~ n [LovaS ,,~~ ";0 vvvO[Lotros EXOVOW.

    "(J'. lIEQ~ O";EQEiis '}'rovt~s."'}". lIEQ~ oxn/L~";os.,,8', TtvEs oC '6rov 0X'Y}wx:trov oQo/';"E'. TtvEs ~C '}'8VLU~~ '6rov 0X'Y}/L,x.,;rov OL~CPOQ~t;u~'. TtVES ~C '6rov l%L'1d8rov 0X'Y}/L,x.,;rov 8L~CPOQ~t;,,~t. 1I8Q~ MvvfTs'6oV 8%L%l80v ox?f/L~";OS,o 86n

    "V"A.Os.."'Y}'. lIEQ~ &rc/LS'rQOV. 10"fT'. nEQ~ 7:rov lv .,;oi:s l%L%s80cs 8; &:VO/L0'}'8VroV

    ovvfTs.,;rov %EQCCPEQCLrov 0X'YJ/L,x.,;wv, orov.,;t 8(J";W

    nWUVUA.LOV;il/. TC st1.,;w lk.1"tS;

    l~'. Tt lo";L 7:/Lij/L~ "vulov '60 /L8;;~()V; 15l(J'. Tt lo";/, uowros 7:/Lij/L~ "v"lov;l'}". Tts n SV 7:/Ln/L~";c "V"A.OV '}'rovtrx;M'. Tt son ";0/L8VS "V"A.OV;A.E'. lIEQ~' '6rov l" 8'150 %EQCCP8Q8LroV snLns8rov oX'Y}-

    /L,x.,;rov ua-~ A.OLnrov, '6ov.,;Eon %8Q~ "v(J.,;ijs ,,~~ 20"otl'Y}S %EQCCPEQ8t~S.

    A.\;,'. Tt ion /L'Y}vtouos;A.~f. Tt so'6(, o";Elp,xV'Y};1'Y} '. Tb So";/, nSA.8UVS;A.fT'. TtVES a-C .,;rov iv ";oi:s lnLnl80cs 8fJfTV'}'Q,x/L[LOJV 25

    oX'Y}/L,x.,;rov 8L~lpOQ~t;[L'. Tt ion ";Qt'}'rovov;

    [L~'. Ttv~ .,;rov 7:QC']'rJwrov El'8'Y} u~~ noo~ jlt(J'. Tt.,;o loonA.8'lJQov;

    5 oi] F2, cti OF. 7 'XS"-d'tctcpoQctl] .F, efr. p. 30, 25;om. O. 8 'Kr] 'KS" O. int1tEd'ov] F, eIT. p. 32, 9 j i1ttlpoc-

  • DEFINITIONES. 5

    21. Der rechte Winkel, die Einheit und das Nu ver-halten sich hnlich.

    22. Vom krperlichen Winkel.23. Von der Figur.24. Welche sind die Grenzen der Figuren?25. Welche sind die allgemeinen Arten der Figuren?26. Welche sind die Arten der ebenen Figuren?27. Von der nicht zusammengesetzten ebenen Figur,

    d. h. dem Kreise.10 28. Vom Durchmesser.

    29. Von den Figuren in der Ebene, welche aus un-gleichartigen Peripherien zusammengesetzt sind,und zwar: was ist ein Halbkreis?

    30. Was ist eine Apsis?15 31. Was ist ein grerer Kreisabschnitt?

    32. Was ist allgemein ein Kreisabschnitt?33. Was ist der Winkel in einem Kreisabschnitt?34. Was ist ein Kreisausschriitt~35. Von den aus zwei Kreisbgen zusammengesetzten

    20 ebenen Figuren usw., d. h. von dem konvexen undkonkaven Bogen.

    36. Was ist ein Mndchen?37. Was ist ein Kranz?38. Was ist ein Doppelbeil?

    25 39. Welche sind die Arten der gradlinigen Figurenin der Ebene?

    40. Was ist ein Dreieck?41. Welche sind die Arten der Dreiecke und wie viele?42. Was ist ein gleichseitiges Dreieck?

    VEls C. 10 ul1'] u{;' C. 11 u.&l Ul1' C. Em1CE6'Ots] F,E1Ctcpor.VEls 1C~6'OtS C. ES &vop.orsvciiv] F, Esor.Vor.Vop.OrEVciiv C.12 oIov] Schmidt, lD C, nrovv F. 14 ~1 1/0&' C, et similiterdeinceps. 15 ~or.'-p.El{;ov10m. F I cfr. p. 34, 13. 16 ~fJ1~' F, et sie deineeps. 19l1u] Hultseh, efr. p. 36, 9; om. C,EV F. 20 -r;OV..EliT:t -r;ijs 'Kol~l1S uor.~ 1CEQtCPEQElor.s F. 25 L] C,EU F. E-oO&VrQ"Ilp.rov] C, om. F.28 Etor.'-;Z;Olior.] F, efr.p. 38, 15; om. C. 29 EtfJ'] Et' C, et similitel' deineeps.

  • 6 HERONIS

    p,r'. TC 7:0 lOOOU8US;p,o'. TC 7:0 oucc)./Yjvov;[L8'. TC 7:0 o(,J&orwvwv;ll";'. TC 1:0 o~vrwvwv;p,s'. TC 7:0 ftp,lvrwvwv;WYj'. T(,Jt'}'wvCiJV lOLOT;1jT;8S.p,&'. II8(,J~ 1:81:(,JanJ.8u(,JCiJV 0X'YJp,rXT;CiJV. 1:C Eo7:L 1:S1:(,JrX-

    n18v(,Jov inCn8oov;v'. Ttv8s aC 7:WV 7:87:(,Janl8v(,JCiJV oLagJo(,JaC;

    va'. TCva 7:IX 7:87:(,JrXrCiJVa; 10v'. TCva 7:IX E7:8(,JOp'nx'YJ;v'}". TC QOp,OL;vo'. TC QOp,08LOfj;va'. TtvlX "cxQcc).,l'TJO,},QCllLft";

    v",'. II8(,J~ naQall'YJlor(,JrXp,p,CiJV O(,J&O'}'CiJvCCiJV. 15vr. TCs 0 EV ncc(,Jccll'YJlo'}'(,JrXp,p'1fJ rVWp,CiJVjV'YJ'. TC Eu7:L rVWp,CiJV UOWWS;v&'. TC Eon 7:(,JfX%E6WV;

    ~'. TCva 1:IX 7:(,JccnEsLCt;~a'. TCva 7:IX 1:(,Jan86oHofj; 20~'. TC 7:(,JIXnE6wv lOOOU8US;~r'. TC 7:(,JanE6wv ouaA'YJvov;~o'. TCvcc 1:IX nolunAw(,JIX EnCn8occ;~8'. II8Q~ 7:WV 8V 7:ots inLnEooLS 8iJ%Vr(,JrtP,!LCiJV UIX~

    guaoT;cc l8'}'O[LEVCiJV, oiov 7:C Eon aoLS; 25~",'. Tl 807:(, n18v(,JrX;~r. TC 807:L &IXrWVLOS;~TJ'. Tt EoT:f, "&&8'tOg;~%'. TC 80n UrX&8T;OS n(,Jos o(,J-tTrXS;

    } Tl) 'Cl add. litt:..initial; T C.7 p..fr] ILti C. Ante 'C~ ms. /L{; C;

    6 IL7J'] om. C.9 111 /L7J' C, et simi-

  • DEFINlTIO~"ES. 7

    10

    15

    20

    25

    30

    43. Was ein gleichschenkliges?44. Was ein ungleichseitiges?45. Was ein rechtwinkliges?46. Was ein spitzwinkliges?47. Was ein stumpfwinkliges?48. Eigentmlichkeiten der Dreiecke.49. Von den vierseitigen Figuren. Was ist ein ebenes

    Viereck?50. Welche sind die Arten der Vierecke?51. Was sind Quadrate?52. Was Rechtecke?53. Was Rhomben?54. Was Rhomboide?55. Was Parallelogra=e?56. Von den rechtwinkligen Parallelogrammen.57. Was ist der Gnomon in einem Parallelogra=e?58. Was ist allgemein ein Gnomon?59. Was ist ein Trapez?60. Welche sind die Trapeze?61. Welche die Trapezoide?62. Was ist ein gleichschenkliges Trapez?63. Was ein ungleichseitiges Trapez?64. Welche sind die Vielecke in der Ebene?65. Von den einzelnen Benennungen an den grad-

    linigen Figuren in der Ebene, und zwar: was istGrundlinie?

    66. Was ist Seite?67. Was ist Diagonale?68. Was ist eine Kathete?69. Was ist eine senkrecht stehende Kathete?

    liter deinceps. 10 't'~] 0, Oll. F. 11 't'~] 0, 'OE F. 13 'OlQO/LOEtlYij] 0, om. F. 14 Tl'llCl 't'~ F,. cft. p. 4~, 15.18 '7:l SGn 't'eanE~wv] (ut p. 44,15) falsum; cft. Euc!. I def. 22.23 '7:l11a] 0, dva &erx F. cft. p. 46,7. .24 't'&'II] OF, cft.p. 46, 11. 25 "a~] OF, cft. p. 46, 12; "a4T' Hultsch. oio'll]F, cft. p. 46, 12; lJeOV O. Ante '7:l ins. sO" O. 26 sS'lsE' 0,etsimiliter deinceps.

  • ,0" .

    8 HERONIS

    0'. TtVEg'cl6L E&EZetc~aQ&l.1]loL;TCver; oiJ ~"(1&lJ';YJlo" e'fter",,;TC EO'f:(, T:(1"Ychvov iJ1{Jor;;TCv" '/;ifw E%t~iO(J1V oXnf",x:r:GJV,/;OV E~"~E~OV '/;o~ov;

    'E(1[J>nvei"" '/;fjw o-r:e(1eo[J>E'/;(10Vf"EVJV.

    o~'. Ttver;' -r:i'iw 8V '/;oir; O7:e(1Eoir; OXtlf""o" -r:i'iJV i~trp"veti'iw o""rpoQat;

    oe'. TCver; -r:i1Jv EV '/;oir; o-r:e(1Eoir; oXnlL"o" -r:i1Jv YQ"[J>-f"i1Jv 0tarpo(1at; 10

    0;'. IIe(1~ orpaC(1"r; &ovv4tE7:0V 07:EQEOV ochf"lX'/;or; "a~

    oqJat(1""i'ir; E~tqJavetar;.of. TC "EV7:(10V orpaC(1ar;;orl'- TC ~GJV orpaC(1ar;;04t'. TC ~oJlor; 8V offJaC(1~; 16

    ~'. TC "v"itor; 8V oqJaCQIf;~a'. T{, "vdov %olor; i%~ 6ffJaCQO/-;~'. 'tJ-r:" '/;i1Jv o,/;EQei1Jv loO%eQ"f"E7:QGJV oXnf"&.'/;oov

    [J>EC~OOV norpai(1a.~1". IIeQ~ -r:i1Jv 8~ &vo[J>oyevi1Jv ovv{tlr:cov O'/;EQEi1JV 20

    oXTJwx:r:OOV OV7:GJr;',/;C ni1Jvor;;

    ~o'. TC &.o"r; "chvov;~e'. TC ~oQvrpTj nchvov;~;'. TC ~oov ~aSvO'l1;~h'. TCS looo"eli]r; ni1Jvor;; 25~n'. TCr; onalnvor; "i1JvoS;~4t'. Ttr; O(14toychvwr; ni1Jvos;

    1 E.fJ-&Era~ zaQdJ.J.7jJ.o~] E.fJ.[JoEra~ zetQaJ.J.7jJ.OrQ&/LILCllV C, zC&Qal-J.7jMrQa/L/Lo~ F, zetQ&J.J.7jJ.ot rQa/L/Lal Hultsch. 2o.fJ] F, olJ(ja~C. 6 llQ/L1jvEra~] C, ~Q/L1jvEla F; cfr. p. 50, 8. 7 001 ins. C."mv (alt.)] deI. Hultsch. ~:n:upavE~mvJ F, ~ntepEQE~mv C. "9 oi] C,

  • DEl!'INITIONES. 9

    70. Welche sind parallele Gerade?71. Welche sind nichtparallele Gerade?72. Was ist Hhe eines Dreiecks?73. Welche ebenen Figuren fllen den Raum der Ebene?

    Erklrung der stereometrischen Benennungen.74. Welche sind die Arten der Flchen in den krper-

    lichen Figuren?75. Welche die Arten der Linien in den krperlichen

    Figuren?10 76. Von dem nicht zusammengesetzten soliden Krper,

    der Kugel, und von der Kugeloberflche.77. Was ist ein Kugelzentrum?78. Was eine Kugelachse?79. Was ist auf einer Kugel ein Pol?

    16 80. Was ist ein Kreis auf einer Kugel?81. Was ist der Pol eines Kreises auf einer Kugel?82. Die Kugel ist grer als die krperlichen Figuren

    gleichen Umfangs.83. Von den aus ungleichartigen zusammengesetzten

    20 krperlichen Figuren, und zwar: was ist ein Kegel?84. Was ist Grundflche eines Kegels?85. Was Spitze eines Kegels?86. Was Achse eines Kegels?87. Welcher ist der gleichschenklige Kegel?

    2& 88. Welcher der ungleichseitige Kegel?89. Welcher der rechtwinklige Kegel?

    et sie deineeps. -rwv] C, om. F. -rwv (alt.)] C, om. F; cfr.p. 50, 9. . 11 &Gvv{ts-ro'lll C, Gvv&i7;ov F. 12 s:n:upavElas]F, cfr. p. 52, 11; f:n:~cpEQE{as C. 15 -rl] C, -rl san F. fvO"lJlalQa] C, om. F; cfr. p. 54, 7. 17 :n:a'-GcpalQ~] om. F.s:n:l] , cfr.:p. 54, 11. 18 -rwv O"-rEQEmvIGo:n:EQt!LE-rQCDv] F,cfr. p. 54;, 16; -ro G-rEQEOV lGO:n:1.E1JQCDV C. 20 &'/Iop.owYE'/ImVF, efr. p. 54, 23. 21 O~kCDS] om. F, cfr. :p. 54, 24; olovSchmidt, deI. Hultseh. .Ante -rl ins. :n:o' O. 22 :n:cl"] :n:E' C,et similiter deinceps.. Tl] om. F. 24 :n:s-'-x&.vov] om. F.25 d] om. F. lGOGXE1.7}S] F, laOa'KEkES C. 26 -rl xmvos G'Ka1.1)-'/lOS F. 27 -rEs] C, -rt F.

  • 10 HERONIS

    G'. Ttr; O;VraSVLOr; ~iJJVor;;Ga'. Ttr; &p,).vraSVLOr; UWVOr;jG'. Tt uoJ1.()v~JOr; uwvor;;Gr', Tt,,; br:upavsux uaSvov;Gd". Tt 7:0p,-q' uaSvov; ~GS'. IIcQ~ uvUvd'Qov lX~ovor; ua~ tXoSWr; aV7:ov uaL

    7:0p,ijr; uvUvd'Qov.G;". IIcQ~ 7:0p,iir; uowWr;.Gb'. IIcQ~ 7:WV SU d'vo '1T:SQUPSQ8LWV O7:SQSWV oxr;-

    p,a7:WV, o1T:stQar; i}7:0L uQt~ov. 10qr/. Ttvsr; aC 7:WV sv.f7vrQap,p,wv 07:SQSWV oxr;p,a.,;wv

    d'LacpoQat;q{}'. Tt Eon '1T:vQap,tr;;

    Q'. Tt Eon uvor;;Qa'. TC EO";W ou'tasd'Qov; 15(l'. Tt EO'tL d'md'suasd'Qov;Qr'. Tt So'tW sluooasd'(l0v;(ld". 'On '1T:l-qv 7:ov'd'w8suaid'Qov 7:U "8 lorov 8XOVOL

    '1T:Qor; .,;-qv ocpaiQav.(lS'. Tt EO'tL '1T:Qtop,lX'ta; 20

    ~r;'. Ttva 'Cmv OX'YlitcX7:GJ'V 015'1:8 7tV(lcq,tCOES OV7:8 '](,(lto-p,a7:a sloL;

    Qb'. Ttv- d'e '1T:aQallr;lOrQfXp,p,(Y, '1T:QCop,a'ta;Qr/. TtvCf. 'tU 'JT:(Y,QaJ1.).;11.s'1T:C'1T:88(Y,;(J{}'. TtS fJ SV' O'tSQ8fjJ ua{}87:0r;; 25(lL'. Ttv(Y, 7:U '1T:(Y,(I(Y,l}"r;10'1T:l.svQ- 0Q{}oraSVL(Y, '1T:Qto-

    p,(Y,'t(Y" 7:tv(Y, d's ovu 0Q{}oraSvLa;QL(Y,'. Tt Eon uvos;QL'. TC EO'tL 80uoS;

    1 't'ls] C, 't'l F. 2 't'ls] C, 't'l F. 4 Gr'-lCOOVOV] om. F.,,6vov C. 6 lCVUVJ(lOV] F, lCVU'Pcf8 C. &60'POS] Hultscb, &600-

  • DEFINlTIONES. 11

    90. Welcher der spitzwinklige Kegel?91. Welcher der stumpfwinklige Kegel?92. Was ist ein Kegelstumpf?93. Welcher ist ein Kegelmantel?94. Was ein Kegelschnitt?95. Von der Achse eines Zylinders, seiner Grundflche

    und dem Zylinderschnitt.96. Vom Schnitt allgemein.97. Von den aus zwei Peripherien gebildeten krper-

    10 lichen Figuren, Wulst oder Ring.98. Welche sind die Arten der gradlinigen krper-

    lichen Figuren?99. Was ist eine Pyramide?

    100. Was ist ein Wrfel?15 101. Was ist ein Oktaeder?

    102. Was ist ein Dodekaeder?103. Was ist ein Ikosaeder?104. Die 4 (Krper) auer dem Dodekaeder haben ein

    Verhltnis zur Kugel.20 105. Was sind Prismen?

    106. Welche unter den Figuren sind weder Pyramidennoch Prismen?

    107. Und welche parallellinige Prismen?108. Welche sind die Parallelepipeda?

    25 109. Was ist eine Senkrechte im Raume?110. Welche sind die parallelseitigen rechtwinkligen

    Prismen, und welche nicht rechtwinklige?111. Was ist ein Wrfel?112. Was ist ein Balken?

    'lI0~ CF. cdn;oii lIld aaEco~ F. 8 "owij~ F. 9 l!,,] F,OlU. C. 14 l!an ",6o~] C, l!a'Cw El"ttoaaEQov Fj cu. p. 64, 1.17 l!a'Cw El"ttoaaEQo1l] C, l!an "vo~ F. 18 QO"] QE' C, om. F.'On-19 atp",rQ"''P] C, om. F; cu. p. 64, 19. 20 %Qla[L'" F.22 ElaL] C, om. F. 23 'Cl'P-%Qla[L"'';'''] %EQ! %"'Q",U7jJ.ojlQa[L[Lw'P%(!La[La,;w'P F, mg. faco~ %"'Q",J.J.7jJ.onJ.EvQco'P. 27 .A.nte 'Cl'PO'E ins. QL' C. 28 QL"'1 Q~jI' C, et similiter deinceps.(!L'-"ttVo~] om. F.

  • 12 HERONIS

    Q~'J'" Tt So't~ ~AW&t~;

    Q~U'. Tt Mn oq)'YJvto"o~;Qte'. Ttvwv "IX~ ~6olX~ sv 't0E'~ oX1}p,IXOW 8~lXeplXt;Qtr;;'. IIeQ~ fowv ~/X~ O[Lotwv 0X'I][La'twv.Qtr. IIeQ~ J:oWV 'J'QIX[L[LWV.Q~r/. neQ~ J:oWV "IX~ &v7:t~e~ov,f}67:wv 0X'YJ[LtX7:wv.

    (lt,f}'. neQ~ 7:0V sV [Leye,f}eow &~etQov.

    (l"'. IIe(l~ 'tOV 8V [Lere-&eo~ [Le(lov~.Q"IX'. IIeQ"t ~O'uIX~AlXo&OV.

    Q"'. IIs(l~ 7:ij~ "1Xt' [Ls'}'e-&'I] &VIXAO'}'tlX~. 10Qur'. TtvlX A6'}'ov Exe~ ~Qb~ &XA'I]AIX d, [Le'}'e-&1];(l"u'. TtvlX 7: sv 7:~ 1X1rcfjJJl.6'J'9J [Le'}'E-&1] 807:tv;Q"e'. L1~aepoQo~ [Lere-&wv &VIXAO'}'tlX~.

    Q"r;;~ TtvlX 't op,610'}'1X [LE'}'E-&1];Q"~" IIeQ~ 7:fj~ 8V 'toi~ [Le'J'E-&eo~ 'twv AO'}'WV &lXepoQa~. 16Q"'I]'. IIeQ~ [LEre-&WV OVp,p,E7:QWV "IX~ &OV[L[LEt'QWV.Qu-&'. IIeQ~ E'-&StWV OV[L[LE-r:Qwv "d &OV[L[LE7:QWV.

    QA'. TtvlX [LEQ'I] -r:WV SV 't0E'~ p,E'}'E-&eo(, [LE7:Q'r/oewv~1X'tIX[Le7:Qovv7:1X 7: OAIX;

    QA/X'. Tt 'tWV elQ'I][LEVWV lfulXo7:oV uvva'tlXt; 20

    QA'. E'-&V[LE7:QtUr!;.QA'}". 'E[LIXUO[LE7:Qtua.

    QAU'. "HQwvo~ &QXn 7:WV '}'eW[Le7:Qov[Llvwv.Q1e'. Elu'I] 7:fj~ [Le7:Q1}oew~ ~Ev'te.QAr;;'. KV"AWV -&ewQ1}[LIX7:1X ~. 25

    QA~'. "HQwvo~ elolX'}'wrd 'twv r ew[LE7:QOV[LEVWV.J

    2 6CP1J~l6ltOS] F, CP1J~l6ltOS C. S -z;l~oo~] C, d~ES Fj cfr.p. 70, 8. 6"1}{L~ C. Enacpal] F " Ena{Lcpla, C. 5 t6oo~1(la/L{Li~] F, l601(la{LELoo~ C. 10 {LE1s4hj] F, {LE1s.fl'E' C.11 {LE1s.fl'11J F, {LE1s.fl'E' C. 12 -z;Ct] C, om. F. a~-z;ro] F, afrcp-cip C. 13 O'tacpO(lO'] scripsij O'LacpO(l"~ C, d'Lacp6(loo~ F. lwa-

  • DEFINITIONES. 13

    10

    15

    20

    25

    30

    113. Was ist eine Plinthis?114. Was ist ein Spheniskos?115. Zwischen welchen und wie viele Berhrungen gibt

    es bei den Figuren~116. Von gleichen und hnlichen Figuren.117. Von gleichen Linien.118. Von gleichenundumgekehrtproportionalenFiguren.119. Vom Unendlichen in den Gren.120. Vom Teil in den Gren.12L Vom Vielfachen.122. Von der Proportionalitt an den Gren.123. Welches Verhltnis haben die Gren zueinander?124. Welche sind die Gren, die in demselben Ver-

    hltnis stehen?125. Verschiedene Proportionalitten der Gren.126. Was sind homologe Gren?127. Von der Verschiedenheit der Verhltnisse bei den

    Gren.128. Von kommensurablen und inkommensurablen

    Gren.129. Von kommensurablen und inkommensurablen Ge-

    raden.130. Welche sind bei den Vermessungen der Gren

    die Teile, die das Ganze messen?131. Was gilt jedes der genannten (Mae)?132. Lngenmae.133. Flchenmae.134. Anfang der Geometrie von Reron.135. Fnf Arten der Vermessung.136. 4 Stze ber Kreise.137. Einleitung in die Geometrie von Reron.]

    Xorlat] &vaXorcos C; &vaXorla F, mg. [GCOs &vaXorlat; cfr.p. 80, 9. 14 o/LoXoya] "Xora F. 15 'Z''ijs] F, 'rois C.18 /LSrsoB'SGtJ, F, /LS/lB6t C. 26 'H/lCOVOs-rSco/Ls'r/lOV/LSl1COV] C;slGarcorat ''H/lcovos. /lX'. trtaqJo/lat /LsrsoB'w &vaXOrCOl1. /lXa'.'rlva 'rCc O/LoXorCl:p.srsoB'1j. /lX'. %s(>t 'r'ijs Sl1 'rois /Ls1soB'SGt 'rwr(>a/L/LiDv trtCl:qJo(>&s F. .

  • 14 HERONIS

    KUL 't'u p,~v ~Qo 't'ijs YEWp,8't'(WXijS O't'O~XEtWOEWS't'EXVOJ.OYOVp,eVU iJ~OrQ(Xrpwv .OO~ xut iJ~O't''V~OVp,EVOS,Gis ]fxe~ p,rX).LO't'fZ OVV't'Op,WS, LltOVVOLE ).UP,~QO't'U't'e, 't''ljv't'E &QXnV xut 't'nV O).7jV OVV't'U~W ~O~'ljOO!LU~ XU't'U 't'nV't'OV E'"lEt~ov 't'OV otOLXeLW't'OV 't'ijs ~V YEWp,e't'Qtlf 5.f1'EWQCUS ~~8Uo'XcxUuV' olp,u~ rUQ 01)'t'WS 0' p,OVOV 't'USEXetVOV nQCXrp,U't'eCUS e'oVVO~'t'OVS 110EO.f1'UC OO~, &Hu"ut ~).eto't'US ~uus 't'ffw Els yewp,e't'QCUV &V7jXOv't'WV.&Q~OP,U~ 't'oCVVV &no O'Yjp,cCOV.

    U' [lleQt OWLEtOV.] 10

    B1]p,e;'OV EOnV, 0-6 P,8QOS O'.f1'sv 1] ~8QUS MUy.o't'u-'t'OV 1]~8QUS YQUp,p,ijs, n8rpVXE ~S ~~UVOCIf p,OVjJ ).'Yjn't'ovElvUL moUVet &p,eQES 't'E XUL &p,8re.f1'ES 't'Vrxavov. 't'OLOV-'t'OV OiJ'lJ odn;o rpUoW eiVU~ oiov EV XQOVIjJ 't'0 EVeo't'OS'XUL otov p,ovrX~cx .f1'8oW EXOVOUV. ot~ p,8V oiiv 't'fi oMCIf 15't'U~'t'OV 't'fJ p,ovrX&' MLUtQeUt. YUQ ap,rpw "al, &owp,U't'Uxd &p,EQlotCX' 't'fJ ~S bnrpUVECIf xd 't'fJ oX80U &arp8Qe~'~ p,sv rUQ p,ovus &QXn &QL.f1'p,OV, ~o ~s o7jp,e;'OV 't'i]sYEWp,e't'QOVp,8V7jS o'OCas &Qx'Ij, &QXn 08 "u't'u ]fx.f1'eow,o'X ths P,EQOS (Jv 't'ijs YQup,p,ijs, ths 't'OV &QL.f1'p,OV P,EQOS 20fJ p,OVrXS, ~QOe~WOOVp,eVOV 08 U''t'ijs' XW7j.f1'EV't'OS YUQ1] p,aHov VO'Yj.f1'8V't'OS EV ~vrfE~ 1JOE;''t'U~ rQUp,p,'Ij, "uL01)'t'w 07jp,Ei:OV &Qx'Ij Eo't'L YQup,P.i]s, ~nLrprXVe~U ~s O't'EQEOVrfwp,u't'os.

    ' [lIEQL YQup,p,ijs.] 25

    rQup,p,n ~8 So't'~ p,fj"os &nA.u't'ss "ut &u.f1'ss 1] 't'o

    1 /LEv] mihi suspectum. 2 -onoY(la

  • DEFINITIO~'ES. 15

    Auch in dieser mglichst kurzen Darstellung und Abrider kunstgerechten Vorbereitung zu den Elementen derGeometrie, hochverehrter Dionysios, werde ich mich sowohlin der Grundlegung als im ganzen Aufbau an die Lehre

    5 des Eukleides halten, des Verfassers der Elemente der geo-metrischen Wissenschaft; so glaube ich nmlich, da nichtnur seine Arbeiten, sondern auch viele andere ber Gegen-stnde., die unter die Geometrie gehren, dir bersichtlichsein werden. Ich werde also mit dem Punkte anfangen.

    10 1. [Vom Punkte.]

    Ein Punkt ist, was keinen Teil hat oder eine Grenzeohne Ausdehnung oder Grenze einer Linie, und sein Wesenist es nur dem Gedanken fabar zu sein, weil er sowohlohne Teile als ohne Gre ist. M!tn sagt daher, da er von

    15 deJ;selben Beschaffenheit ist als das Nu in der Zeit und dieim Raume fixierte Einheit. Dem Wesen nach_ ist er nuno:ffenbar dasselbe als die Einheit; denn beide sind unteilbar,krperlos und teilerlos ; aber der Erscheinung und dem Ver-halten nach sind sie verschieden; denn die Einheit ist An~

    ~o fang der Zahl, der Punkt aber der geometrischen GebildeAnfang, und zwar Anfang der Auseinandersetzung nach,nicht als Teil der Linie, wie die Einheit Teil der Zahl ist,und gedanklich ihr vorausgehend; denn aus der Bewegungdes Punktes oder richtiger aus der Vorstellung eines im. Flu

    25 befindlichen Punktes entsteht die Vorstellung einer Linie,und in dem Sinne ist der Punkt Anfang der Linie wie dieFlche der des soliden Krpers.

    2. [Von der Linie.]

    Eine Linie aber ist eine Lnge ohne Breite und Tiefe

    "ai &uro/la..a F. 20 ~v] Hultsch, Cbv CF. 21 "ltQOE'1tt7JOOV-/l-S7Jov] scripsi, :TtQoS:TtWOOV/LEVOV CF. 22 rQa/l-/l-7], "al] scripsi,.rQa/L/l-iJs CF, rQa/l-Et7] Hasenbalg. 23 01)$(0] scripsi, I"f7:E CF.o'1J/l-si'o7J] mg. F2, u1J/tsi'a CF. rQafL/t7is, rQa/t/l-~ o~ ~:Ttupa7JElas~~:Tttcp&7JEta Mayring.

  • 16 HERONIS

    :n:(!w'COV 6V p,cri&cc 'C~v v:n:Oo'CetQw Aetp,cXVOV ~ 'Co Erp'8V ocetQ'Cet'COV 'Cc "et~ Otett(!c'COV' rtvc'Cet(, OSO'YJp,stov6VEV'COS avo1&cv ucX'Cl11 6VVOt'f 'C'n "et'C~ 'C~V oVVEXctetV,:n:c(!tEXcT:ett T:c :lG(i,[, :n:c(!etT:ofmtc o'YJp,ctOtS ~d(!ets E:n:trpetVEtetSaiJT:~rcVOp,EV'YJ~ J.ErO(,T:O os av civett r(!ap,p,~ 'Co Otett- 5QOVV &:n:0 'Ci)s o:lGCiXS T:~V fjltet,,~V &"'Civet ~ &:n:0 'COV:n:cIp01'CtOp,EVOV p,i(!OVS 'C~VO"tlXV :lGetl, 8V Lp,rtdtp tb~ EVOVVcXch VOOVp,EVtp 'CO X01QtbOV 'C~V :n:O(!IpV(!etv &:n:O 'COVE(!tOV ~ 'CO E(!tOV &:n:O 'Ci)s :n:O(!rpV(!etS. tjO'YJ OS ,,&V T:fJ6vv'YJ&cllf 'Cfjs r(!etp,p,i)s EVVOCetV EX0p,cV tbs p,fj:lGOS p,OVOV 106XOVeJ'YJS, OV"E'CC OS :n:AcX'COS ~ cX1tOS. UrOp,cV rOVV' ErST:OiXOS 86T:(, "a{}' V:n;O&c6W :n:'YJXWV Q, OV:lGE'CC &:n;OU-:n:OVT:ES cis 'Co :n:AcX'COS ~. 'Co :/tcXXoS, ~ OOOS 6'Cetoto1v 11,7:0 t-ti)"os p,ovov, OV"ET:t 08 "etl, T:O :n:U'Cos etlJ'Ci)s :n:OAV-:n:Qet'J'[LOVOVVT:cS, tbs 'J'(,Jetttp'C:lG~V fjp,iv civett "etl, 'C~v T:OC- 15etV'C'YjV i~iX(!t.&p''YJ6W etiJ'Ct:lGet "et~ cV&Vp,c7:(,JCU~ "etAch'CetC.

    'J'" [Ttvcs etC 'CWV 'J'(,Jetp,[LWV OCetrpO(,Jett;]

    Twv 'Y(!etp,p,WV aC p,EV cl6W EV&Eiac, etL OS OV, Uet~7:WV p,~ S'&cCWV et[ [LEV ci6c "V"lC:lGext :n:c(!trpE(!ctrtC6VO[LabOp,CVaC, aL OS ilC:lGOcCOciS, a[os Uap,:n:VAat. 20

    0'. [Tls cV&cia 'Y(!etp,t-tn;]

    EV&ciiX p,SV oiJv 'Y(!et[L[L'li E6'CW, 1J7:CS 6~ ~OOV 7:0hS6:n:' av'Ci)s 6'YJp,clocs "c~7:etc Q~ o'oa "a~ O[OV E:n:'tl.U(!OV 7:c'Cap,EV'YJ 6:n:~ 7:~ :/tE(!et'Cet' 1J'CtS 0'150 OO&EV7:01V6'YJp,Eto1V p,E7:et~V EAaxt67:'YJ 86'C~V 7:WV 7:& aiJdt :n:E(!et'Ca 25

    1 lltEtpavovJ F, ],ltEtpavow C. ~tp'J Hasenbalg , om. CF.3 'tfi] 'YE FriedIein. 7 1I1t~] 3) Schmidt. 9 7}]Schmidt,1I1t~ CF. 11 EISJ F, Els C. 13 3) (alt.)J mg. F", ~ CF.14 a:-6'tijs] scripsi, a:-6'twv CF. 17 lI'tlttpoQa:l] F, cfr. p. 2, 3;

  • DEFTh"TrIONES. 17

    oder das, was innerhalb der Gre zuerst Existenz annimmt,oder was nach einer Dimension Ausdehnung hat und teil-bar ist, und sie entsteht, indem ein Punkt von oben nachunten gleitet mittels des Kontinuittsbegriffs, und ist ein-

    5 geschlossen und begrenzt durch Punkte, whrend sie selbstGrenze einer Flche ist. Linie kann mau nennen, was dasSonnenlicht vom Schatten oder den Schatten vom beleuch-teten Teil abtrennt, und an einem Kleid als ein Kontinuier-liches betrachtet was den Purpurstreifen von der Wolle oder

    10 die Wolle vom Purpurstreifen scheidet. Und auch schou imgewhnlichen Sprachgebrauch haben wir den Begriff derLinie als etwas, das nur Lnge hat, nicht aber zugleichBreite und Dicke. Wir sagen ja: eine Wand ist z. B. 100Ellen lang, ohne zugleich die Breite oder Dicke zu berck-

    15 sichtigen, oder: ein Weg von 50 Stadien, indem wir unsnur um die Lnge, nicht aber zugleich auch um seine Breitekmmern, so da auch diese Vermessung fr uns linear ist;sie wird ja auch Lngenmessung genannt.

    3. [Welche sind die Arten der Linien~J

    20 Die Linien sind teils gerade teils nicht, die nicht ge~raden sind teils Kreislinien, Bogen genannt, teils Schrauben-linien, teils krumme.

    4. [Was ist eine gerade Linie?]

    Eine gerade Linie ist eine solche, die eine den auf ihr25 befindlichen Punkten gleichmige Lage hat, gleichlaufend

    und wie vllig ausgespannt zwischen den Endpunkten. Sieist zwischen zwei gegebenen Punkten die kleinste der Linien,welche dieselben Eudpunkte haben, sie ist so beschaffen, da

    liiJ&liilXt C. 19 p.~] Dasypodius, P.EV CF. 23 E7t' IXVT:i]f;;Hultsch, E7t' IXVT:OV C, E7t' IXVT:OV F, E7t' IXVT:~V mg. F2, EcpiilX'llT:i]f; Dasypodius ex Euclide I p. 2,4. 24 't"1iT:IX/LEV1j] Hultsch,'l:1i'l:1X/L/LEV1j CF. .f}'l:tf;] 1} .f}T:tf; Mayring. 25 /L1i'l:1X;i>] Mayring,cn-. Theo Smym. p. 111; 24; 7} /L1iT:1X6i> CF. EAIXXla'l:1j] Dasypo-dius, EAaXtaT:Of; CF. Ead F.

    Reronis op. vol. IV ed. Reiberg. 2

  • 18 HER,ONIS

    txovorov rQc'l},p,rov, xal ~s TtrXvta t P,EQrj TtIXOC 7:0hSP,EQEOC TtaV7:0ns ElJla(J[J,O~EW TtElJlVXE, xal 7:rov TtEQrX7:roVp,EVOVtroV xal avti} p,EVOVOa, olov EV 7:~ aV7:~ ETtCTtEOepO";QElJlOp,EVrj xal %E(Jl 7: aV7:%E(Jata, 7:0V aV7:0V &E~7:0%OV BXOVOa. ovtE 08 p,ta EV{TEicc OV7:E 0'150 ox'ijp,a 67:Elovow.

    Er. [TtVES aL xvxlcxa~ rQCl:p,p,Cl:t;]

    Kv"lc"al rQCl:[J,p,Cl:t Elow, OOCl:C TtEQ~ gv orjp,ElOVTtE(JClJlEQroS ETt' "QoV 7:E7:Cl:p,EVCl:C 1] xv"lovS 1] p,E(JrjuV"lrov &Tt07:ElovoC [J,OVCl:C 7:rov llrov rQotp,p,rov oX'l]- 10p,Cl:7:0S OiioCl:C TtOCrj'tCucd.

    r;'. [TtVES Cl:C xap,Ttvlac r(Jotp,p,at;]

    Trov 08 xap,Ttvlrov rQCl:p,[J,rov BotW [J,I1V7:QC Ttl'ij&osTtEC(JOV' aL p,sv raQ tTtl ,,;a aV7:a P,EQ'YJ 7:a xoilaBXOVOW, aC 08 ov. ETtl 7: aV7:a p,SV oiiv xotl'YJ r(JCl:p,p,'l] 16807:W, OtCl:V 0'150 o'YJP,etrov l'YJlJl&EVtroV a't'ijs OTtocrovoiw~ 7: o'YJlLClCl: ETtt~EVrVVOVOCl: EV&EiCl: tjtOC XCl:t' aVt'ijs

    TttTt7:11 7:fjs rQCl:p,[J,TJS 1] tVtOS, 8"7:0S 08 p''YJ08Tt07:E. OV"ETt~ 't avta p,E(J'Yj "otl'YJ rQap,p,'l] Eo7:W ~ OVX OVtros~oo~ ~

    r. [TtVEs Cl:L ilt"OECOEis rQCl:[J,p,Cl:t;]'];lt~ os 'J!QCl:p,p,'l] E07:W EV ETttTtEOep p,l1v, EeW EV&EtCl:S

    p,l1vovtos tov idQov TtEQatoS [xa~] XWOVI.tEVrjS EV tifJ8%C11:EOep, gros els tO Cl:V7:0 TtrXlw eXTto"atao.,;cx&fj, lJlE(J'YJ7:at7:C f:1rjp,SioV &%0 tov p,l1vOV7:0s Tt8QCl:-r:OS op,ov eXQ~rXp,EVOV 967:fi EV&Etff "a~ ~ p,SV eXTtO taV7:rjS 7:fjs EiJ&Etas rWOllEV'YJrQap,p,i} "v"los B07:Cl:t, ~ OS eXTtO tOv "Cl:.,;a t'ijs EV&StCl:S

    1 Ti.] DasypodiuB, ei. CF. 2 1ta~] 1i 7}. Sehmidt, efr. Pro-elus in Euel. p. 110, 21. 16 .onotliJ'Vov'V] FC2, onoto'Vov'V C.

  • DEFINITIONES. 19

    alle Teile mit allen Teilen vollstndig kongrnieren, undwenn die Endpunkte bleiben, bleibt sie auch selbst, wennsie gleichsam in derselben Ebene und um dieselben End-punkte gedreht wird, indem sie immer denselben Ort ein-

    5 nimmt. Weder eine noch zwei Geraden bringen eine Figurzustande.

    5. [Was sind Kreislinien?]

    Kreislinien sind solche, die um einen Punkt in die Rundevllig ausgespaunt entweder Kreise oder Kreisteile bilden,

    10 indem sie zum Unterschied von allen anderen Linien alleinim Stande sind eine Figur hervorzubringen.

    6. [Was sind krumme Linien?]

    Von den krummen Linien aber gibt es in der Tat eineunbegrenzte Anzahl; sie haben nmlich teils die Krmmung

    15 nach derselben Seite teils nicht. Eine Linie ist nun nachderselben Seite gekrmmt, wenn die Gerade, die zwei be-liebig herausgegriffene ihrer Punkte verbindet, entwederauf der Linie selbst fllt oder innerhalb derselben, auer-halb aber niemals. Nicht nach derselben Seite gekrmmt

    20 aber ist eine Linie, die sich so nicht verhlt.

    7. [Was sind Schneckenlinien?]

    Eine Schneckenlinie aber entsteht, in der Ebene, wenn,whrend eine Gerade, deren einer Endpunkt fest bleibt, sichin der Ebene bewegt, bis sie wieder zu derselben Lage

    25 zurckgekehrt ist, vom festen Endpunkt gleichzeitig mit derLinie anfangend ein Punkt sie durchluft; dann wird diedurch jene Gerade entstehende Linie ein Kreis sein, dieaber, welche durch den die Gerade durchlaufenden Punkt

    18 nln1:17] Hultsch, nln1:EL CF. 19 oiJ~] Dasypodiu~, Dm. C;oiJ" F, mg. C2, 23 p,sVOV1:0s] DasypodlUs, cD:. .Archlmedes IIp. (iO, 23; p,E'POV61jS CF. ?ted.) deI. Hultsch. 24 EroS] EroS iX'PHultsch. 26 rwop,{'P1jl ?twovp,sv1j F. 27 ?tv?t.os] xol.1j F.XIX1:"] Schmidt, cD:. Archimedes II p. 52, 3; Dm. CF.

    2*

  • 20 HERONIS

    PEQOll-EVOV 01'}tLElOV g~; U"lEi't"~. ta.V 081t"Q"U'YJOl'QrXfL-fLoV oQ{}ol'wvlov fLEVOV0'YJS fL~iXS 1tlEVQas 'tf/Jv :n:EQL 't~v

    oQ{}rJV l'wvl"v 1tEQ~EVEX{}8V'tOS '/:0 fL~V 1t"Q"U1'}6l'Q"fL-[tov elS '/:0 "i,.,;o 1trX}"w &1tO,,"'t"o't"{}U, {}EV t/Q;"'/:OP8QEO{}"~, {Xp," 08 'tifJ :n:"Q"U'YJ}"Ol'QrXfLfLrp 0'YJfLEi:ov 't~ 5P8Q'YJ't"~ U"'/:' "iJ'tijs 'tijs fLrz fLEVOVo1]S 1t"Q",u-qOV&Q;rXfLEVOV &1tO 'tPV idQoV :n:8Q"'/:OS, 'tO p,~V [oiiv] 1tEQ~'YJP{}~V oXijfL" ':n:O 'tijs 'tOV 1t"Q"U'YJlOl'QcXfLP,OV UW-q-oEroS U"Ei't"~ UVWOQOS, ii O~ '1tO '/:ov pEQOfL8VOV 0'YJ-fLElov l'Q"fLfL~ l'tVE't"~ gl~;, Jis 1taV fL8QOS E1tL 1taV 10Ep"QfL06H, '/:"V 81tL 'ta "iJ'ta fL8!!'YJ 'ta uoi},," [xn.

    'YJ" [rrEQ~ E1t~p"VElas.]

    'E'1tiPrXVEUX EO'tW, fLfJ"OS UIX~ 1tA.rXt'OS fLOVOV lJXE~

    1j :n:EQ"S orofL"'tOS ""~ 'tO:n:OV 1j 'tO E1tL 0'150 Ot"ot'"'tOV&"{}~S 1j 1:0 'Jl:"V'tOS o1:EQEOV 1:E u"~ E1t~'Jl:800V OX-qtL"t'OS 15UIX1:tX 0'150 O~"o'f:rXoELS p,-q"OVS u"~ 1tA.rX'f:OVS E:n:~P"WOP,EVOV 'Jl:EQ"S. l'lVE'f:"" O~ QVdE~ ''Jl:0 l'QCXp,llJijS U"1:tX 1tA.rXt"OS&11:0 OE;~f/JV E1t' &Q~O'tEQa QVElo'YJs, X"L VOOi1:' av clV"~E1t~PrXVEUX 1tao" ouul U"~ 1tao" XQO", U"{}' U"L XQO"SEY.rXAOVV ot rrV{}"1'6QE~Ot t'as 81t~P"VEl"S' VOOi1:0 X"t, 20U"{}' fLll'vV1:"~ &rzQ 1:17 l'fi 1j li,urp 01:EQEij"J orhfL"t'~i1 0 &rzQ ,fM'"n 1j 1:0 i5O'WQ 1tO'f:'YJQtrp 1j lirp 1:W~ oOXElrp.

    [TtVES "C 1:rov '81t~P"VE~roV 'YEV~X"~ O~"POQcxt 1j '/:tsE:n:l'Jl:EOOS E'Jl:UprXVEt"i]

    Trov O~ E'Jl:~P"VE~roV "t fL~V E'Jl:t'Jl:EO'O~ X"ovvm~, 25"C OS OV.

    1 l)'E(l0(LS'l10v] Dasypodius, l)'E(lO(LSV1)~ C, l)'E(lO(LS'l11j F. O'b]Friedlein, om. CF. 2 6(l&orco'l1lov] F; 6(l&Or&Wov C, mg.F.2 ormv-'3 rcovlct'l1] deI. Mayring. 3 'lCE(ltEvEZ&SVorO~J scripsi,'lCE(ltEVEZ&SVorcov CF, 'lCE(lUiVEZ&SV Dasypodius. (Llw or6 Dasypo-dius. 'lCa(laU1)i..6r(la(L(Lov] F, 'lCa(laU1)i..or(lcX(L(LCIlv C. 4 &,",0-

  • DEFINlTIONES. 21

    entsteht, wird Schneckenlinie genannt. Wenn aber, in-dem ein rechtwinkliges Parallelogra= sich herumbewegt,whrend eine der den rechten Winkel umschlieenden Seitenfest bleibt, das Parallelogramm wieder zu derselben Lage

    5 zurckkehrt, von der aus es sich zu bewegen anfing, undgleichzeitig mit dem Parallelogra= ein Punkt sich aufder nicht fest bleibenden Parallelen selbst bewegt von demeinen Endpunkt anfangend, so wird die durch die Bewegungdes Parallelogramms entstandene Figur Zylinder genannt,

    10 die Linie aber, die von dem sich bewegenden Punkt be-schrieben wird, ist eine Schneckenlinie, von der jeder Teilmit jedem kongruiert, wenn sie die Kriinpnung nach der-selben Seite haben.

    8. [Von der Flche.]

    15 Eine Flche ist, was nur Lnge und Breite hat, oderGrenze eines Krpers und eines Raumes, oder was nachzwei Dimensionen Ausdehnung hat ohne Tiefe, oder die be-grenzende Oberflche jeder soliden und ebenen Figur nachden zwei Dimensionen der Lnge und Breite. Sie entsteht

    20 durch Gleiten einer Linie, die in der Breite von rechts nachlinks gleitet. Und als Flche kann man sich vorstellen jedenSchatten und jede Farbe, weshalb -die pythagoreer auch dieFlchen "Farben" nannten; ferner das, wo die Luft mit derErde oder mit einem anderen soliden Krper zusammenstt

    25 oder die Luft mit dem Wasser oder das Wasser mit demBecher oder einem anderen Behlter.

    [Welche sind die Hauptarten der Flchen, oder was isteine ebene Flche?]

    Die Flchen aber werden teils ebene genannt, teils nicht30 ebene.

    "a't'aG't'a{fj] Dasypodius, tX7CO"a7;EG't'a{1j O. Ibcoxa't'EG7;a{'ij F.11 &/L/La F. 6 /L~] Dasypodius, om. CF. 7 o?i'll] deleo. 9 'linb]&n6? cfr. p.1S, 27. Ill!XEt F, sed corr. 18 QVElG1js] Hasen-balg (Dasypod QV1]GEtS idem sibi uult), QV1jGtS C, QVGts F.'lIooi7:']Ma.yring (vooi7:o), 'lJOEi7:' CF. 20 lTv{a1'6l/EtOt] F, nv{a1'6l/tot C."al.] "&'IJ Hultsch. 22 80Xlrp F. 23 rE'lJt"aq l'E'lI6(.tE'lJat F.

  • 22 HERONIS

    -8". [Tt 80nv 8ntnE~og 8ntlptXVSL/l:;]

    'EntnE80f; lnuptXvEttX Mr:w, fj-r:tg E; CoOV -r:ais 8rp'eav-r:fjf; E'-8'ECatg uEi-r:ar, OQ-8'fJ ovoa &no-r:E-r:apivrr ~g8nEt8&.v 8'150 O'I'J[LEtwv lX1{J'I'J-r:ar, E'-8'Eia, ua~ 0117 av-r:f1ua-r:a ntXv-r:a -r:onov nav-r:oLWg erpaQ[LObE-r:at, -r:OV-r:Eo-r:w ~ 5ua-r:&. ol'I'Jv E'-8'Eiav El]JaQ[LObOVOa, ud ~ 81axto-r:'I'J naomv-r:mv -r:a av-r:a. nEQa-r:a Exovomv EntrpaVEtmV, :lCa~ ~g ntXv-r:a-r:a. [LEQ'I'J srpaQ[LotEw nErpvuE.

    t'. [Ttf;8~ ovu 8ntnE80g 8ntrptXVEta;]

    OiJu 8ntnE80r, EntrptXVEtat ElowaC [LfJ otJ-r:Wf; EXOV- 10oat, -r:OVd6-r:W aC [LfJ ntXv-r:'I'J :lCa-r:' E'&staf; rpSQop,Evar,rQa[L[LtXg, ifXOVolXt 8{ -r:Wa &vwp,aUav :lCa~ ovx OQ-8'lX~8r,' olov.

    ta'. [lIEQ~ 6-r:EQEOV oaJ[La-r:Of;.]

    2kEQEOV 8o-r:t om[La -r:o [L'iJ:lC0f; ua~ nltX-r:og ua~ tX-8'og 15ifxov rj'r:O 'r:ai:g -r:Qto~ 8tao'r:tXoEor, UEXQ'Y/p,8VOV. UCl10iiv--r:Clr, 88 O'r:EQE&. OaJ[LCl-r:(t ua~. oC 'r:onot. dmp,Cl p,~v ovvp,a-8"YJ[La-r:tUov Eon -r:o -r:QtXfi 8tad-r:a-r:ov, omp,a 81: &n1mg-r:o 'r:QtXfi &ad-r:Cl-r:ov [LEd~ &vntvntag. nEQCl'r:oii-r:Clr, 81:nfiv O'r:EQEOV {,no 8ntrpaVEtmV ua~ rtvE-r:at 8ntrpavEtag 20&no -r:wv nQodw [ifp,nQ06'&Ev] 8n~ 'r:&. ontdw 8VEX-8'Et6''l'Jg.

    t'. [lIEQ~ rwvtas ua~ UE:lCao[LEv'Y/f; rQCl[L[L'iJg.]

    rwvtCl Ed'r:~ 6'VVClrWrfJ nQOf;Ev d'I'Jp,Eiov {,no "E-UAadp,EV'I'Jg EntrpavEtaf; ~ rQap,pfljg ckno-r:s1ovp,Ev'I'J' uEulad-

    3 a;f!T:iis F. &%OT:E"~EL~V'l)] F, &%07;ET:/X!LELSV'I) C.. ~s] Hultsch,nv CF. 4 a;'t:fj] Sch.nrldt, a;fml CF. 6 1ta;t] ii Schmidt.%/Xuwv] C; 7&&"mvF, mg. l'ums 7&a;uwv. 7~s] Dasypodius, Eis

  • DEFINlTIONES. 23

    9. [Was ist eine ebene Flohe?J

    Eine ebene Flohe ist eine solohe, die eine den auf ihrbefindliohen Geraden gleiohmige Lage hat gleiohlaufendausgespannt; und wenn eine Gerade zwei ihrerPunkte rhrt,

    5 fllt auoh die ganze Gerade an jeder Stelle vollkommen mitihr zusammen, also eine Flohe, die mit einer Geraden inihrer ganzen Lnge zusammenfallt, und die kleinste vonallen Flohen, die dieselben Grenzen haben, und eine solche,deren smtliohe Teile die Eigenschaft haben, unter sioh zu

    10 kongruieren.

    10. [Was ist eine nicht ebene Flohe?J

    Nioht ebene Flohen sind solohe, die sioh nioht so ver-halten, d. h, die sioh nicht naoh allen Riohtungen hin naohgeraden Linien bewegen, sondern eine Ungleiohmigkeit

    15 haben und nioht duroh und durch gleiohlaufend sind.

    11. [Vom soliden Krper.]

    Ein solider Krper ist, was Lnge, Breite und Tiefe hat,oder was drei Dimensionen besitzt. Ein mathematisoherKrper ist also wie gesagt, was naoh drei Dimensionen Aus-

    ~o dehnung hat, Krper im allgemeinen aber, was nach dreiDimensionen Ausdehnung hat und Widerstand leistet. Be-grenzt aber ist jeder solide Krper von Flchen und entsteht,indem eine Flche sich von vorn nach hinten bewegt.

    12. [Vom Winkel und von der gebrochenen Linie.]

    25 Ein Winkel ist die von einer gebroohenen Flche oderLinie gebildete Zusammenziehung auf einen Punkt zu. Ge-

    CF. 8 Post p.{Q1j add. '1t{ifjL 'l:oiS P.{QEtr' '1tftv'l:olros Hultschpraeeunte Mayringio, cfr. p. 18, 1. 11 EV.'Elfts CPEQOP.EVft'YQftP.P.as] Hultsch, EV.'Eiow CPEQOP.SVft' YQftp.p.rtl CF. 17 (jrop.cc-18 &fttr-r:a-r:ov] om. F. 21 l!f!''1tQO(j&EV] om. Dasypodius.S'1tEVE'l,.'sl(j1js F, COrl". mg. 23 lIslI1.ft(j[Lsvll Yl?ftp./lofj 1) E'1t'cpft-vEler Pxoclus in Eucl. p. 128, 17; cfr. infra p. 24, 15. 24 &1tO-'l:E1.o11/loSV1jS F.

  • 24 HERONIS

    p,av'Yj O's laYE'Cftt YQftp,p,ij, 11'Ctf; supftl)"op,avrj 0' ovp,-n{n'CEt ft''CTj "ft,f}' EftV'Cijf;.

    ty'. [TtVEg ftL yEVt"ftb yrovtrov O'tftCJloQftt;]

    Trov O'a yrovtfiJV ftL p,lv Elow lntnEO'Ot, fti 0'8O'CEQEftt, "ftl, 'Crov lntnaO'rov 17 O'CEQEroV fti p,sv Elow 5E',f}VYQftp,p,Ot, fti O'a oiJ.

    tO". [T{ son xowrof; sntnEO'of; yrov{ft;]

    'En{nEO'Of; p,SV olJV lo,tt "owrof; yrovtft fJ SV lnt-nsO'rp 0''150 YQftp,p,rov &n'Cop,svrov &A.lijll.rov "ftl, p,Tj sn'E',f}Etftf; "Etp,SVroV nQof; &UJj..Uf; 'CfiJV YQftp,p,rov x).tOtg. 10ElOb oS 0' OVVEXEif; &n'Cop,EVftt &A.l'l]lrov fti YQftp,p,ftt,t;ftV fJ ldQ, 1tQOOEUpft)"ll.Op,sv'Yj "ft't'a 't'~v Eftvtfjf; oVv-VEVoW p,T] ntn't'jJ "ft't'a 'Cfjf; ldQftf;. "ftb llll.lrof; OE'EntnEoOf; EO't't yrov{ft YQftP,p,fjf; sv lnt1tsorp 1tQOf; lvI,0'YJP,E{rp "..rXOtf; 17 OVVftyroyn nQof; sv o'YJp,Eiov uno UE- 15u..ftop,av'!1 YQftp,P.fJ.

    tE', [T{f; fJ ln{nEoof; E'4tVYQftP,P,0f; yrovtft;]'EntTCEO'os oS E',f}VYQftfLfL0f; "ftIl.Ei't'ftt yroV{ft, MV

    aC 1tEQtaXOVoftt ftv'Cnv YQftfLp,ftl, EV,f}Eiftt ibow [81t{1tEOOf;oa yrovtft ~ EV 81tt1taO'rp nQof; lvI, 0'YJfLEtrp oVVVEvotf; 20YQftP,wijf;], 17 YQftfLP,fjf; E',f}Etftf; nQof; lvI, O'YjfLEtrp ulrXotf;'ov't'ro yovv ylroXivftf; lucilovv oC Hv,f}ftYOQEtOt 'Cttf;yrov{ftf;.

    1 E,,~"J.O/LSV1J C. 011] Hasenbalg, eh, p. 28 ,22; om. OF.GV/Lnl1r?;Et] nln?;Et Sehmidt, ef:r. lin. :t3. 2 ,,1It:~] Dasy-podius, ,,1I?;jj CF. ~"V?;'ij&,] Hasenbalg, eh. p.18, 17 al.; ~"vt:'I}vC, "vt:'I}V F. 6 EMrvrQ"[L/L"t F. 10 "UGt&,} Dasy-

  • DEFINlTIONES. 25

    brachen aber wird eine Linie genannt, deren Verlngerungnicht mit ihr selbst zusammenfllt.

    13. [Welche sind die allgemeinen Arten der Winkel?]

    Die Winkel aber sind teils ebene, teils solide, und die5 ebenen oder soliden sind teils gradlinig, teils nicht.

    14. [Was ist allgemein ein ebener Winkel?1

    Ein ebener Winkel allgemein ist nun, wenn zwei Linienm der Ebene einander rhren ohne auf einer Geraden zuliegen, die Neigung der Linien gegeneinander. Einander

    10 rhrend aber, ohne kontinuierlich zu sein, sind die Linien,wenn die eine, nach der Richtung ihrer Neigung auf dieandere verlngert, nicht auf der anderen fllt. Und aufandere Weise: ein ebener Winkel ist die Brechung einerLinie in der Ebene an einem Punkt oder eine Zusammen-

    15 ziehung auf einen Punkt zu unter einer gebrochenen Linie.

    15. [Was ist der ebene gradlinige Winkel?]

    Gradlinig eben aber wird ein Winkel genannt, wenn dieihn umschlieenden Linien Geraden sind, oder die Brechungeiner geraden Linie an einem Punkt; nach dieser Auf-

    20 fassung haben ja die Pythagoreer die Winkel Spitzen ge-nannt.

    podius, ,,?.tuELS CF. 12 UVVVEVO"W] Hasenbalg, uVVEVO"W C;,uVVEUW F, mg. l'uros uVVEVuW. ]4 1rovll"S F. 15 ,,1auLS]Dasypodius, cfr. Proclus in EueI. p. 125, 10; "UuLS CF. 7)]Dasypodius, 1) CF. -onoltElt1cxUIl,EV7j 1Ql"/L/L1} C, &noltE,,1cxO"/LEV7j1QCi/L/L1} F, -onb "Elt1CiO"/LEV7jS 1Qrt/L/Lf]s Dasypodius. 19 snl-nEO'os-21 pr. 1QrtP;/Lf]S] deI. Friedlein. 20 iv~ U7j/LElp] seripsi,&vluovs CF'. UVVVEVULS] Hasenbalg, uVVEVuLS CF. 21 1QCXP;-p,f]s (pr.)] F, 1Qrt/L/LCl:S C. 7)] Dasypodius, 1) CF. 1Qrt/L/Lf]s (alt.)]Dasypodius, 1Qlt/L/L1} CF. lt1aO"LS] Dasypodius, ltUuLS CF.22 lIv,frrt16QELOL] F, lIv,frrt16QLOL C.

  • 26 HERONIS

    tr;;'. [TtvEg (XC "GtDV E',fFVjlQtXp,p,rov 'YCDVttv OtaqJo,Q{j]

    Tiv 8V 7:oiS E~n1&880ts O-()'}(, c',fTvr(JrXp,p,rov 'YroVtrov1CMj&oS E07:W &1&et(Jov. 7:rov 8s EV 7:oiS 81&t1&880tS li',fTv-'Y(;!rXf1-p,rov 'Yrovlw IJ8'YJ EI17:~ 7:(Jl(x:lXl f!'~V 'YtX(J o(J{TlXl, IXlos o~eilXt, IXC 08 &p,fJ1.eblXt ')(,1X1.0VV7:O:t.

    tr. [Tts iJ. oQ{TTj rrovtlXi]'OQ{TTj f!'~V o{JV 807:t rrovtlX iJ 7:1] &v7:t')(,etp,EVU Z6r;.

    &v7:t')(,etp,liVlXt 88 elow, tts 1&Oteb c'{TeblX 81&' e'{TeilXV67:IX{TeiolX 07:IXV rtX(J e'{TeblX En' e'{TeilXv O7:~e;;oO: 7:tXS

    8'Pe~fjs rrovtlXS ZOIXS &1.1..q1.lXtS 1&Ot1], oQfFTj ;('IX7:EQfX 7:rov 10forovrrovhv 807:tV.

    t'YJ'. [TtS iJ o~eilX rrovtlX;]'O~eblX rrovllX Eodv iJ EArX'C7:roV OQ{TijS.

    t{T'. [Tls iJ &p,fJ1.eblX rroV{lXi]~p,fJAeblX 8s iJ p,elbrov OQ{TijS' 07:IXV rtX(J li'fFeilX E1&' 16

    e'fFeilXv 07:~ei61X rrovtlXS &vtOOVS 1&Ot'fj, iJ f1-~V ElrX7:7:rov')(,1X1.ei7:O:t o~liilX, 1/ 8s p,etbrov &p,fJ1.eilX.

    ,,'. [lIroS 8XOVot 1&QOS &1.l.qAIXS IXC li'{TVrQIXp,p,Oti]

    1Ii{6fX p,~V OQ{TTj 1&rX011 OQ{T1] E07:W tO'YJ, 0'X87:t 8s1&i{ofX O~ebO: 1&rX011 o~etff E07:~V f0'YJ, ofJ8s 1&i{01X &p,fJ1.Eto: 201&rX011 &f1-fJ1.elCf EI1'tLV I:O'YJ. e'{Te{o:s rtX(J i1&~ e'{TEbO:V 67:(X-&eto'YJS "(X~ irx1.wrXo'YJS &1&0 7:fjs O(J{Tfjs p,EX(Jt 7:0V7:0V

    3 ~'['-B'vrQ&"'{uo'P] 0.[," ~'[',fTvrQ&/L/Lco'P C, COIT. C2. 8 in'-9 E'-B'Ei'ew] om.. F. 8 ~'-B'Ei'aw] Dasypodius, cfr. Eucl. :Edef. 10; E'-B'Ei'et C. 9 E'.ftEi'Cl'P] Dasypodius, E'-B'Ei'Cl C.10 &J.J.'ljJ.CltS' notjj] Hasenbalg, cfr. Euc!. I p. 4, 1; &J.J.'ljJ.ClS' nOtEi'CF. 13 iJ.&7:7:co'P] F,l!J.Cl7:7:0'P C. 15 0'1:] rco'Plet F. 16 '1tOt~;; F.iJ.&7:7:co'P] lfJ.Cl7:7:CO'P F, lfJ.et7:7:0'P C. 17 /L~ll:co'P] F, ",~i(;0'P C.

  • DEFINITIONES. 27

    16. [Welche sind die Arten der gradlinigen Winkel?]

    Von den nicht gradlinigen Winkeln in der Ebene gibtes eine unendliche Anzahl. Von den gradlinigen Winkelnaber in der Ebene gibt es drei Arten; teils werden sie nm-

    5 lieh rechte, teils spitze, teils stumpfe genannt.

    17. [Was ist der rechte Winkel?]

    Recht ist nun der Winkel, der dem gegenberliegendengleich ist. Gegenberliegend aber sind die Winkel, die eineGerade auf einer Geraden aufgerichtet bildet; wenn nm-

    10 lieh eine Gerade auf einer Geraden aufgerichtet die Nachbar-winkel unter sich gleich bildet, ist jeder der beiden gleichenWinkel ein rechter~

    18. [Was der spitze Winkel?]

    Ein spitzer Winkel ist ein solcher, der kleiner ist als15 ein rechter.

    19. [Was ein stumpfer Winkel?]

    Ein stumpfer aber ein solcher, der grer ist als einrechter; wenn nmlich eine Gerade auf einer Geraden auf-gerichtet ungleiche Winkel bildet, wird der kleinere spitz

    20 genannt, der grere aber stumpf.

    20. [Wie verhalten sich die gradlinigen Winkel zueinander?]

    Jeder rechte Winkel ist jedem rechten gleich, dagegenist nicht auch jeder spitze jedem spitzen gleich, noch jederstumpfe jedem stumpfen gleich. Wenn nmlich eine Gerade

    25 auf einer Geraden aufgerichtet wird und von dem rechtenWinkel aus sich vorwrts neigt, so wird der spitze Winkelimmer kleiner, bis die Geraden selbst zusammenfallen und

    18 E'.&VrQaf.Ll.tO~] Schmidt, E'.&VrQaf.Lf.L0~ rQaf.Lf.Lal CF, E'.&VrQaf.L-EL/)~ r6Jvla~ Hultsch, cfr. p. 2, 20. 20 %&.uTJ ii~Ela] mg. F,om. C. 22 ~rll1.w&.Ulls] Hasenbalg, cfr. Proclus' in Eucl.p. 134,26; 1111111.w&.U1JS CF.

  • 28 HERONIS

    EA.a7?!:oV1:a(, ~ 6~Eba, goog oVVt~'ljoooOW a''td aC E'-&Ebat

    ud ~rpLuOO'/J1:at &U'ljA.OO'/J, EiJ.f}Etecg a8 E%' EiJ-&E'iav o1:a-.f}ELO'Yjg ua~ &%OUA.WcXo'Yjg &%0 'tfjg ol;>.frfjg '}'oovtag f.dX(lt'tOV'tOV {-tEt~oo'/J '}'tvE'Ccct ~ &{-tA.Eba, grog CtV 1J%ncXoaoa

    ~ UcX-&E'tOg E%' E'.f}ELrXg ua~ OV'/JEX~g '}'E'/J'Y}'tat 't'fi V%O- 5

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    ua/. rOn ~ 6Q.f}~ '}'OOVLa uaL 'to VVV "al, 1] {-tovago{-totoog EXOVOW.]

    eH l;>~ '}'OO'/Jtcc ud 'to VV'/J uaL {-tovc'cg o{-totoogEXOVOW fJ 'tE '}'al;> 61;>-&~ '}'OOVLa &EL gO't'YjUEV ~ a''t~ {-tE- 10VOVoa 'tfjg 6~Etag ua~ &{-tA.ELtXg ~%' lf.%EtI;>OV{-tE'taUWOV-

    {-tEVOOV, fJ 'tE {-tovag {-t~V aiJ't~ EO't'YjUEV, 0 8~ {-tEl;>tO{-tOg%EI;>L a''t~v ua~ ~ oVV.f}EOtg, uaL 't0 VVV a~ aiJ'to go't'Yj-UE'/J, 0 O~ %aQEA.'YjA.V-&Wg uaL 0 {-tEA.A.ooV bt lf.%EtI;>OV.

    u'. [llEI;>L O'tEI;>Eg '}'OOVLag.] 15

    ~'tEI;>Ea '}'oovta uowrog {-tEV ~O'tW ~%trpaVELrxg ~%L'Ca alha {-tEI;>'Yj 'ta uOba BXOVO'Y}g %I;>og iv~ o'Y}{-tetrp ovv-

    a'}'OO']IEa '}'oovCa ~07:~V ~ iJ%O 'tQtrovn%A.Et6voov '}'OOVtrov 7tEl;>tEXO{-tEV'Y} Ln] ovva'}'oo']I~ O'tEI;>EOi'Jx(Jog i'/J~ O'Yj{-tEtrp 1J%0 UEuA.ao{-tEvj1 ~%trpaVELlf' UEitA.aO- 20

    p,sV'Y} 0{ BO'tW BXtrpeZvEta xl;>og '}'(Ja{-t{-t

  • DEFINITIONES. 29

    einander erreichen, wenn aber eine Gerade auf einer Ge-raden aufgerichtet wird und von dem rechten Winkel aussich rckwrts neigt, so wird der stumpfe Winkel immergrer, bis die Senkrechte rckwrts geneigt mit der ge-

    u gebenen auf einer Geraden und kontinuierlich zu liegenkommt.

    21. [Der rechte Winkel und das Nu und die Einheitverhalten sich hnlich.]

    Der rechte Winkel und das Nu und die Einheit ver-10 halten sich hnlich; denn der rechte Winkel bleibt immer

    stehen, indem er derselbe bleibt, whrend der spitze und derstumpfe sich unbegrenzt ndern, und ebenfalls bleibt dieEinheit selbst stehen, whrend Teilung und Summierung umsie her vorgehen, und auch das Nu bleibt selbst stehen,

    15 whrend die vergangene und die kommende Zeit ins un-endliche gehen.

    22. [Vom soliden Winkel.]

    Ein solider Winkel ist allgemein die Zusammenziehungeiner Flche, welche die Krmmung nach derselben Seite

    20 hat, an einem Punkt. Und auf andere Weise: ein soliderWinkel ist die von drei oder mehr Winkeln gebildete Zu-sammenziehung eines Krpers an einem Punkt unter einergebrochenen Flche. Gebrochen aber an einer Linie ist eineFlche, deren Verlngerung nicht mit ihr selbst zusammen-

    25 fllt; verlngert aber wird eine Flche gedacht, wenn sieoffenbar ihre ganze Ausdehnung nicht berschreitet; ebensowird auch eine Ebene verlngert gedacht.

    Hultsch, %t-s~6voov 71 "Q~lV CF, %t-at6voov 71 ovo Eucl. IVp. 4, 13. 19 71] deleo. 20 %eO~ ~v~ 61JfLSloo]. Schmidt, iJ%O~'I10~ 61JfLSlov CF. iJ%O lI.SlI.t-a.6fLSVT/ E%~l]Ja.vsla.] 'addidi praeeunteSchmidtio, cfr. Proclus in Eucl. p: 123, 15sq:j om. CF. 21 tJSE61;W] addidf, om. CF. 22 011-23 ElI.a.t-t-ofLSv1J] om. F.22 6VfLnln7:s~] nln7:EL Schmidt, cfr. p. 24, 1. a.1I7:~] Dasypodius,a.1J'l;ij C. 23 fL~ (pr.)] deI. Mayring.

  • 30 HERONIS

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bilder.buecher.de · CYRILLUS: Sancti Patris Nostri Cyrilli Archiepiscopi Alexandrini in D. Joannis Evangelium, ed. post Aubertum P. E. PUSEY 1—111, Oxford1872; repr. Culture and

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