Heiskanen

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G E O D E S I A F I S I C A WEIKKO A. HEISKANEN Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia HELMUT MORITZ Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín

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G E O D E S I A F I S I C A

WEIKKO A. HEISKANEN

Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia

HELMUT MORITZ

Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín

Page 2: Heiskanen

W. H. FREEMAN AND COMPANY

San Francisco y Londres

PREFACIO

Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el

estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la

geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta.

En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, ―The Earth and Its

Gravity Field‖ (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el

tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una

nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran

aumento en la cantidad de información disponible requería que este se limitara concretamente a los aspectos

geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfasis en los métodos matemáticos. Así nació este

libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión ―física

teórica‖.

Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado , se deberá contar con todos los

conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8

presentan varios temas más especializados y avanzados en los que actualmente se están realizando muchas

investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta

materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un

capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico.

Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones

detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de

los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos

últimos.

Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser

obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos

teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8.

Se han omitido intencionalmente aquellas técnicas de observación como las que se utilizan para las

observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que,

básicamente es teórica.

Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales

podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de

publicación –por ejemplo, Kellogg (1929).

No ha sido nuestra intención establecer prioridades. Los nombres relacionados con las fórmulas deben

considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o

más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera.

La mayoría de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en la

Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la

redacción en inglés de partes del manuscrito.

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Diciembre 1966 WEIKKO A. HEISKANEN

HELMUT MORITZ

INDICE

1

Principios de la Teoría del Potencial

1-1. Introducción. Atracción del Potencial. 1

1-2. Potencial de un Cuerpo Sólido 3

1-3. Potencial de una Superficie Material 5

1-4. Potencial de una Doble Capa 6

1-5. Fórmulas Integrales de Gauss y Green 9

1-6. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green 11

1-7. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet 14

1-8. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas 17

1-9. Armónicas Esféricas 19

1-10. Armónicas Esféricas de Superficie 20

1-11. Funciones de Legendre 21

1-12. Funciones de Legendre del Segundo Tipo 26

1-13. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad 28

1-14. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas 29

1-15. Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición 33

1-16. Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson 35

1-17. Otros Problemas de Valores Límites 37

1-18. La Derivada Radial de una Función Armónica 38

1-19. La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales 41

1-20. Armónicas Elipsoidales 43

Referencias 48

2

El Campo de Gravedad de la Tierra

2-1. Gravedad 49

2-2. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada 51

2-3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada 53

2-4. Coordenadas Naturales 58

2-5. El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas 60

2-6. Armónicas de Grado Inferior 64

2-7. El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67

2-8. Gravedad Normal 70

2-9. Desarrollo del Potencial Normal 74

2-10. Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77

2-11. Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional 82

2-12. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84

2-13. El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 85

2-14. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas 90

2-15. Anomalías de la Gravedad 92

2-16. Fórmula de Stokes 95

2-17. Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas 98

2-18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 101

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2-19. Generalización dela Fórmula de Stokes para N 103

2-20. Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra 110

2-21. El Elipsoide Terrestre Medio 112

2-22. Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz 114

2-23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar 117

2-24. Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales 120

Referencias 126

3

Métodos Gravimétricos

3-1. Reducción de la Gravedad 129

3-2. Fórmulas Auxiliares 130

3-3. La Reducción de Bouguer 133

3-4. Isostasia 136

3-5. Reducciones Isostáticas 140

3-6. El Efecto Indirecto 144

3-7. Otras Reducciones de la Gravedad 146

3-8. Efectos Esféricos 150

3-9. Determinación Práctica del Geoide 155

Referencias 162

4

Alturas Sobre el Nivel del Mar

4-1. Nivelación con Nivel de Burbuja 164

4-2. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas 166

4-3. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey 167

4-4. Alturas Ortométricas 170

4-5. Alturas Normales 174

4-6. Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas 176

4-7. Alturas Trianguladas 178

Referencias 182

5

Métodos Astrogeodésicos

5-1. Introducción 183

5-2. Proyecciones hacia el Elipsoide 184

5-3. Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares 186

5-4. Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide 190

5-5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 194

5-6. Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada 198

5-7. La Determinación Astrogeodésica del Geoide 202

5-8. Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica 206

5-9. Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 209

5-10. Determinación del Tamaño de la Tierra 215

5-11. Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio 220

5-12. Geodesia Tridimensional 223

Page 5: Heiskanen

Referencias 230

6

Campo de Gravedad Fuera de la Tierra

6-1. Introducción

6-2. Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas

6-3. Gravedad Normal – Desarrollos en Serie

6-4. Perturbaciones de la Gravedad – Método Directo

6-5. Perturbaciones de la Gravedad – Método de Revestimiento

6-6. Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente

6-7. Otras Consideraciones

6-8. Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra

Referencias

7

Métodos Estadísticos en la Geodesia Física

7-1. Introducción

7-2. La Función de Covarianza

7-3. Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas

7-4. Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz

7-5. Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad

7-6. Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática

7-7. Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas

7-8. Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad

7-9. Precisión de las Anomalías Medias

7-10. Correlación con la Elevación

Referencias

8

Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra

8-1. Introducción

8-2. Reducciones de al Gravedad y el Geoide

8-3. El Problema de Molodensky

8-4. Ecuaciones Integrales Lineales

8-5. Aplicación de las Integrales de Green

8-6. Ecuación Integral para la Capa Superficial

8-7. Solución de la Ecuación Integral

8-8. Interpretación Geométrica

8-9. Desviaciones dela Vertical

8-10. Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar

8-11. Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna

Page 6: Heiskanen

8-12. Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo

8-13. Repaso

Referencias

9

Métodos Astronómicos

9-1. Introducción. Métodos de Observación

9-2. Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna

9-3. Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra

9-4. Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión

9-5. Orbitas de los Satélites Artificiales

9-6. Determinación de las Armónicas Zonales

9-7. Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones

9-8. Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones

Referencias

CAPITULO 1

1-1. Introducción. Atracción y Potencial

El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los

teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al fina l de este capítulo).

Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante

un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario.

De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2,

separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a

Page 7: Heiskanen

2

2m1mkF

l (1-1)

Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En

unidades de egs, dicha constante tiene un valor de

k = 66.7 X 10 8 cm2 g 1 sec 2 (1-2)

según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930.

Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente

denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa

atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula

2

mkF

l (1-3)

Aunque las masas representa la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m.

Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masa

atrayente m por , , y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse mediante un

vector con magnitud de F (fig. 1-1). Los componentes de F pueden expresarse así

32

xkm

xkmcosFX

lll

32

ykm

ykmcosFY

lll (1-4)

32

zkm

zkmcosFZ

lll

en donde

2

22 )z()y()x(l (1-5)

Luego incorporamos una función escalar

l

kmV , (1- 6)

conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por

consiguiente así

,x

VX ,

y

VY ,

z

VZ (1-7)

Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (1-6), dado que

,........xx1

x

l1)

1(

x 322 lllll (1-8)

El símbolo vectorial de (1-7) se expresa

F = (X,Y,Z) – grad V (1-7‘)

Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V.

Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (1-7), las tres componentes del vector F pueden sustituirse

por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de ma sas puntuales o de

cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres

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componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (1-7); la función sería entonces

sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas.

De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , mn

, que si tenemos el potencial del

sistema sería la suma de las contribuciones individuales (1-6):

n

1i i

i

n

n

2

2

1

1 mk

km.........

kmkmV

llll (1-9)

FIGURA 1-1 Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.

1-2. Potencial de un Cuerpo Sólido

Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 1-2) con una

densidad de

,dv

dm (1-10)

en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (1-9) se

convierte en una integral

vv

,dvkdm

kVll

(1-11)

en donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = dv y el punto atraído P.

FIGURA 1-2

Potencial de un cuerpo sólido

Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ,

, ) , las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (1-5), y podemos escribir explícitamente

,ddd)z()y()x(

),,(k)z,y,x(V

v222

(1-11‘)

puesto que el elemento de volumen está expresado por

Esta es la razón por la que tenemos integrales triples en (1-11)

Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (1-7). Por ejemplo,

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,ddd),,(

xk

x

VX

vl

.ddd1

x),,(k

vl

Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (1-8) en la expresión

anterior, obtenemos finalmente

.vdx

kXv

3l

Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z.

El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l . Esto es obvio por el

hecho de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de

que su atracción está representada aproximadamente por (1-6). E n consecuencia, los planetas se consideran

generalmente masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste.

Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio,

pero no así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las

segundas derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la

ecuación de Poisson :

k4V (1-13)

en donde

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV (1-14)

El símbolo , llamado el operador de Laplace, tiene la forma

2

2

2

2

2

2

zyx

Analizando (1-13 y 1-14) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser

discontinua junto con .

En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad es cero y (1-13) se

convierte en

0V (1-15)

Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas . Por consiguiente, el potencial

de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí

satisface la ecuación de Poisson.

1-3. Potencial de una Superficie Material

Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con

un espesor de cero y una densidad de

dS

dmk

en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia

teórica.

Al igual que (1-11), el potencial está dado por

SS

dSk

kdm

kVll

(1-16)

en donde l representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 1-3).

En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las

derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas

normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.

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FIGURA 1-3

Potencial de una Superficie Material

Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite

;dS1

nkkkk2

dn

dV

Sl

(1-17a)

si es desde el interior

.dS1

nkkkk2

dn

dV

Sl

(1-17b)

Para efectos de este texto n/ denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 1-3).

Por ende vemos que la derivada normal n/V tiene una discontinuidad en S :

kk4n

V

n

V

??

(1-18)

Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (1-17a,b) y representan la discontinuidad en S dela

derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :

S

.dS1

mk)n,mcos(k2

m

Vkk

l (1-19a)

S

.dS1

mk)n,mcos(k2

m

Vkk

l (1-19b)

en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (1-17a,b) y de la

continuidad de las derivadas tangenciales.

Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas

partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuación de Laplace para las

funciones armónicas,

0V .

En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo

sólido, anulándose como 1/ l para .l

El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo

del potencial de doble capa que se explica continuación.

1-4. Potencial de una Doble Capa

Imagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por

una distancia h pequeña (fig. 1-4). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen

masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en

efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por

,km

Vl

el potencial de la masa negativa por ,km

Vh

Luego el potencial total del dipolo estaría representado por

.11

kmVVVhl

Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor

con respecto a h :

........1

n

11

n

11 2

2

2

hl2

hllh

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FIGURA 1-4 Potencial de un Dipolo

Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos

.........1

n2

mk

1

nm.kV

2

2

l

h

lh.

2

o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,

.........1

n2k

1

n.kV

2

2

l

Mh

lM.

La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye

indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En

consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresión para V llega a un limite :

l

1

nkMV (1-20)

Este es el potencial de un dipolo.

Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña.

La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P‘ que se encuentran muy cerca uno d el otro y

cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 1-5). Por tanto, todo par de puntos

correspondientes P, P‘ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura

anterior está representada por k (h muy pequeña, k muy grande).

Aplicando (1-20) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos

en forma continua sobre la superficie S, obtenemos

dS.1

nd.

1

nkV

SSl

kMl

(1-21)

Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.

FIGURA 1-5 El potencial de doble capa como límite del potencial

de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas.

Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial,

dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S :

S

e .dS1

nk2V

l (1-22a)

S

i .dS1

nk2V

l (1-22b)

La diferencia,

,k4VV ie (1-23)

es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro.

Aunque las ecuaciones (1-22a,b) son similares a las (1-17a,b) la diferenciación / n se refiere a la normal a la

superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial de

doble capa, y por consiguiente en (1-22a,b), la diferenciación / n se toma a lo largo de la normal a la superficie en

el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto la dirección

de la normal a la superficie hacia fuera.

La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que

existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el

mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S,

satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas

Page 12: Heiskanen

totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan

usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green.

1-5. Fórmulas Integrales de Gauss y Green

Los teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del

potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica.

Fórmula de Gauss . Empezando por la fórmula integral de Gauss,

S

n

v

,dS.FdvdivF. (1-24)

en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyección del vector F sobre la normal exterior a

la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes

X, Y, Z, es decir,

F = (X, Y, Z)

entonces

z

Z

y

Y

x

XdivF (1-25)

Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de

física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva.

La fórmula (1-24) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en

que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden

existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros

se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (1-24) representa la cantidad de fluido generado (o muere)

en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo

unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (1-24) expresa el hecho de que ambas cantidades son

equivalentes.

En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero

muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X,

Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (1-7) :

,x

VX ,

y

VY ,

z

VZ

Por tanto

V,2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

z

Z

y

Y

x

XdivF

de manera que según la ecuación de Poisson (1-13)

div F = -4 k ,

Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad

de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa . La parte derecha de (1-24) se conoce como el flujo

de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido.

Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (1-

7), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en

la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X: Fn =

X. Luego, como n/Vx/V ; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo

con (1-7)

n

VF

Incorporando esto y la relación div F = V a (1-24), obtenemos

v S

.dS.n

Vdv.V (1-26)

Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial.

Al deducir (1-26) de (1-24) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una

función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo

tanto, la integral de Gauss también es válida para una función arbitraria V que sea suficientemente regular y

diferenciable.

Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (1-24) mediante la sustitución

Page 13: Heiskanen

,x

VUX ,

y

VUY ,

z

VUZ

en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por

.n

VUFn

Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (1-25) la

divergencia sería,

V.Uz

V

z

U

y

V

y

U

x

V

x

UdivF

De esta manera (1-24) pasa a ser

v v S

.dS.n

VUdv).

z

V

z

U

y

V

y

U

x

V

x

U(dv.V.U (1-27)

Esta es la primera identidad de Green.

Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos

v S

.dS)n

VV

n

VU(dv)U.VV.U( (1-28)

Esta es la segunda identidad de Green.

En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v

(v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y

segundo orden.

Es de gran importancia en el caso que

l

1U ,

en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es

regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la

misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (1-28) no podrá aplicarse directamente sino que deberá

modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :

v S

,dS].1

nV

n

V1[pVdv.V

1

lll (1-29)

en donde

p = 4 si P está dentro de S,

2 si P está en S,

0 si P está fuera de S.

Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (1-28) en el término –pV. La razón por la que (1-

29) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene

n/ (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P está fuera de S,

entonces 1/ l es regular en v, y la ecuación (1-29), con p = 0, es consecuencia inmediata de (1-28); v es el interior de

la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera.

La tercera identidad de Green (1-29) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n

es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de ,

obteniendo así :

v S

,dS].1

nV

n

V1[pVdv.V

1

lll (1-29‘)

en donde

p = 4 si P está fuera de S,

2 si P está en S,

0 si P está dentro de S.

Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que,

además de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertas

condiciones en infinito, como el de anularse allí.

Page 14: Heiskanen

1-6. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green

Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales.

1. En la tercera identidad (1-29), hacemos que V≡1. De modo que

dS.1

nS

l { 4 si P está dentro de S, 2 si P está en S ó 0 si P está fuera de S. (1-30)

Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas

sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor

constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (1-23) en S.

2. En este caso, V es una función armónica fuera de S : V = 0. Si el punto P también está fuera de S,

entonces la tercera identidad (1-29) resultaría en (p = 4 ) :

.dS.n

1

4

1dS.

n

V1

4

1V

SSll

(1-31)

Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (1-

16) con una densidad de

,n

V

k4

1k

y un potencial de doble capa (1-21), con una densidad de =V/ k4 .

3. Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V = Vo

= const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De manera que para un

punto P fuera de S, aplicamos (1-31), obtenemos

Page 15: Heiskanen

.dS.1

n4

VdS.

n

V1

4

1V

SSll

La segunda integral es cero de acuerdo con (1-30). Por tanto

dS.n

V1

4

1V

Sl

(1-32)

Esta fórmula, atribuida a Chasles, muestra que toda función armónica puede presentarse

como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si

V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible

reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies

equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 1-6).

Daremos a continuación dos ejemplos algo más elaborados que consideramos sumamente

importantes desde el punto de vista de la geodesia física.

4. En la segunda identidad (1-28) hacemos que U≡1. Volvemos a obtener la fórmula de Gauss (1-26) :

v S

.dS.n

Vdv.V

FIGURA 1-6. Teorema de Chasles. En cualquier punto P fuera de S, el

potencial de una capa superficial cuya densidad

n/V.)k4( 1k es igual a la del sólido atrayente en sí.

Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 2-1) :

v S

.dS.n

Wdv.W

La función W satisface una ecuación (2-6)

Page 16: Heiskanen

,2k4W 2

la cual es similar a la ecuación de Poisson (1-13); representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S.

Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que

v S

n

2 .dS.gdv.2k4

ó

S

2

n ,vk2

dS.gk4

1M (1-33)

en donde

v

dv.M

M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir

de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra.

5. Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (1-29) a un punto sobre la

superficie terrestre. Entonces p = 2 , de manera que tenemos

0dS.1

nW

n

W1W2dv.W.

1

Svlll

Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos

0dS.g1

nWW2dv).2k4.(

1

S

n2

vlll

y según (1-11),

v

222 ),yx(2

1dv.kW

l

finalmente obtenemos

v

2222

S

n 0dv

2)yx(2dS.g1

nWW2

lll (1-34)

Todas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S.

La ecuación (1-34) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable

suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación como la base matemática para determinar la superficie física S de la t ierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).

Page 17: Heiskanen

1-7. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet

Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace

0V .

Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si

dicha región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/ l para l . Es posible

demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden.

La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca

222 )z()y()x(

11

l

entre dos puntos ( , , ) y (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el

punto ( , , ); comparemos (1-5) y (1-6) para km = 1.

Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera que (1-8) :

111 llllll

;x1

z,

y1

y,

x1

x

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2 )z(31

z,

)y(31

y,

)x(31

x l

l

ll

l

ll

l

l

Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de , hallamos que

;01

l (1-35)

es decir que 1/ l es armónica.

El punto ( , , ), en donde l equivale a cero y 1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior; 1/ l no es

armónica en este punto exclusivamente.

De hecho, el potencial algo más general (1-6) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en ( , , ) dado que (1-

35) no cambia al multiplicar ambos lados por km.

Page 18: Heiskanen

En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial gravitacional. Consideremos ahora el potencial (1-11) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración,

hallamos que de acuerdo con (1-11)

vv

;0dv.1

kdv.kVll

es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.

Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm

( , , ) que coincide con P (c, y, z), y (1-35) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es armónico en

su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (1-13).

De la misma manera podemos demostrar que el potencial (1-16) de una capa atrayente en una superficie S es armónico en todos sus puntos con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (1-21) de una doble capa es también armónico en todas partes excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas

superficiales contiguas; compárese la fig. 1-5.

De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismo ocurre con el potencial externo de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se le debe la importancia que tienen

las funciones armónicas en la geodesia física.

En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es el

del potencial externo de una esfera homogénea :

l

kMV ,

en donde m representa la masa de la esfera y l la distancia desde su centro. 1Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa

total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro, puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula.

Otro ejemplo sería el teorema de Chasles (1-32). Tomemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficies equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad

;n

V.

k4

1

véase la fig. 1-6.

Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función armónica V dada.

1 Esto se ve enseguida analizando (2-39) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero. 2 Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de

las secciones anteriores quedarán satisfechas.

Page 19: Heiskanen

Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no tiene una solución única (problema directo : determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso : determinación de las masas a

partir del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas : se deducen masa invisibles basándose en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas.

Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aquí una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinada distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución diferente de masa dentro de S genera un potencial V‘ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V‘ – V por U,

entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis, U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (1-27) y poniendo una función igual a la otra,

obtenemos

Sv

222

.dS.n

U.Udv.

z

U

y

U

x

Udv.U.U

v

Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S.2 Dado que U = V‘ – V, siendo esta la diferencia de dos

funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera

integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos

Si solo una de las derivadas de U tiene otro valor que no sea cero, esta ecuación dejará de ser válida ya que el integrando debe ser siempre positivo

cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U es una constante. Dado que U, como función armónica, t iene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V‘ – V = 0 o sea V‘ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar.

El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites asignados arbitrariamente existe siempre una función V que asume en S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de S.

El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración

resulta bastante difícil.

0.

222

dvz

U

y

U

x

U

v

Page 20: Heiskanen

El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el

problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle en la sección 1-16.

Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V ≡ 0) : siempre hay por

lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.

1-8. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas

Las funciones armónicas más importantes son las llamadas armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas

esféricas : r (vector radial), ζ (distancia polar), λ (longitud concéntrica) (fig. 1 -7). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones

x = r sin ζ cos λ,

y = r sin ζ sin λ, (1-36)

z = r cos ζ

o inversamente por

(1-37)

.tan

,tan

,

1

22

1

222

x

y

z

yx

zyxr

Page 21: Heiskanen

FIGURA 1-7.

Coordenadas esféricas y rectangulares.

Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos

.zz

rr

xdz

,yy

rr

ydy

,xx

rr

xdx

Diferenciando (1-36) e incorporándolas la fórmula básica

2222 dzdydxds

obtenemos

.d.sinrdrdrds 2222222 (1-38)

Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede aplicarse también a la coordenadas elipsoidales.

En (1-38) no hay términos con dr dζ, dr dλ y dζ dλ. Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales : las esferas r = const., los conos ζ = const. y los planos λ = const. se intersecan entre sí ortogonalmente.

La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es

.dq.hdq.hdq.hds 2

3

2

3

2

21

2

2

2

1

2

1

2 (1-39)

puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es

3

21

32

13

21

32

1321 h

hh

qh

hh

qh

hh

qhhh

1V (1-40)

Para las coordenadas esféricas, tenemos que .q,q,rq 321 Una comparación de (1-38) con (1-39) mostrará que

.sin.rh,rh,1h 321

Page 22: Heiskanen

Si sustituimos esto en (1-40), obtenemos

.V

sinr

1Vsin

sinr

1

r

Vr

rr

1V

2

2

222

2

2

Al efectuar las diferenciaciones, hallamos

.0V

sinr

1V

r

cotV

r

1

r

V

r

2

r

VV

2

2

2222

2

22

2

(1-41)

que representa la ecuación de Laplace expresada en coordenadas esféricas. Se obtiene una expresión alterna multiplicando ambos lados por 2r

.0V

sin

1Vcot

V

r

Vr2

r

Vr

2

2

22

2

2

22

(1- 41‘)

esta fórmula resulta mucho más conveniente para nuestro trabajo posterior.

1-9. Armónicas Esféricas

Trataremos de resolver la ecuación de Laplace (1-41) o (1-41‘) separando las variables r, ζ, λ por medio de una sustitución tentativa

V(r, ζ, λ) = f (r) Y(ζ, λ) (1- 42)

En donde f es una función de r solamente, y Y es una función de ζ y de λ solamente. Al sustituir esto en (1 – 41‘) y dividiendo por f Y, obtenemos

,Y

sin

1Ycot

Y

Y

1)'rf2''fr(

f

12

2

22

22

en donde las primas denotan una diferenciación con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y al parte derecha solamente de ζ y λ, ambos lados deberán ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuación en dos :

,0)r(f)1n(n)r('rf2)r(''fr 2 (1- 43)

,0Y)1n(nY

sin

1Ycot

Y2

2

22

2

(1- 44)

en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1 - 43) están expresadas mediante las funciones

nr)r(f y ;r)r(f )1n(

(1- 45)

Page 23: Heiskanen

esto deberá comprobarse por sustitución. Si denotamos las soluciones de (1- 44) hasta ahora desconocidas por ),(Yn vemos que la ecuación

de Laplace (1- 41) se resuelve por medio de la funciones

),(YrV n

n y

1n

n

r

),(YV (1- 46)

Estas funciones se conocen como las armónicas esféricas sólidas, mientras que las funciones ),(Yn se conocen como las armónicas esféricas

de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armónicas esféricas; del tipo al que se está haciendo referencia por lo general se deduce del contexto.

Más adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuación diferencial es lineal y

conocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones será también una solución en sí. Por lo tanto podemos concluir que

0n

n

n ),(YrV y

0n1n

n

r

),(YV (1- 47)

son también soluciones de la ecuación de Laplace 0V ; es decir, funciones armónicas.

Lo importante es que toda función armónica –con ciertas restricciones- puede expresarse en una de las formas indicadas en (1- 47).

1-10. Armónicas Esféricas de Superficie

Ahora tenemos que determinar las armónicas de superficie de Laplace ),(Yn .

T rataremos de resolver (1- 44) por medio de una nueva sustitución tentativa

),(Yn = g (ζ) h (λ), (1- 48)

en donde tanto la función g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitución en (1 - 44) y multiplicando por gh/sin 2

hallamos que

,h

''h)g.sin)1n(n'g.cos''g.(sin

g

sin

en donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento : ζ en g, λ en h. La parte izquierda es una función de ζ solamente, y la

derecha es una función de λ solamente. Por lo tanto ambos lados tendrán que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea 2m . De

esta manera se divide la ecuación diferencial parcial (1- 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g (ζ) y h (λ) :

;0)(g.sin

msin)1n(n[)('g.cos)(''g.sin

2

(1- 49)

0)(hm)(''h 2 (1- 50)

Las soluciones de la segunda ecuación son las funciones

Page 24: Heiskanen

mcos)(h y ,msin)(h (1- 51)

tal como puede comprobarse por sustitución. La primera ecuación es más difícil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado físico solamente si n y m son números enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1- 49) es la llamada función de

Legendre )(cosPnm la cual será tratada con más detalle en la siguiente sección. Por tanto

)(cosP)(g nm (1- 52)

y las funciones

mcos)(cosP),(Y nmn y msin)(cosP),(Y nmn

(1- 53)

son soluciones de la ecuación diferencial (1- 44) para las armónicas de superficie de Laplace.

Dado que esta ecuación es lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones (1- 53) será también una solución en sí. Dicha combinación lineal tiene la siguiente forma general :

],msin)(cosPbmcos)(cosPa[),(Y nmnmnm

n

0m

nmn

en donde nma y nmb son constantes arbitrarias. Esta es la expresión general para la armónica de superficie nY .

Si incluimos esto en las ecuaciones (1- 47), vemos que

],msin)(cosPbmcos)(cosPa[r),,r(V nmnmnm

n

0m

nm

m

0n

n (1- 54a)

],msin)(cosPbmcos)(cosPa[r

1),,r(V nmnmnm

n

0m

nm

m

0n1n

(1- 54b)

son soluciones de la ecuación de Laplace 0V ; es decir, funciones armónicas. Además, tal como se ha mencionado anteriormente, son en

realidad soluciones muy generales : toda función que sea armónica dentro de determinada esfera podrá desarrollarse para formar una serie (1- 54a), y toda función que sea armónica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tierra) podrá desarrollarse para formar una serie (1- 54b). Así vemos como las armónicas esféricas pueden resultar útiles en la geodesia.

1-11. Funciones de Legendre

En la sección anterior se definió la función )(cosPnm de Legendre como una solución de la ecuación diferencial de Legendre (1- 49). La n

denota el grado y m el orden de nmP .

Resulta conveniente transformar la ecuación de Legendre (1- 49) sustituyendo

t = cos ζ (1 - 55)

Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una función de t . Por lo tanto,

Page 25: Heiskanen

g (ζ) = g (t),

.cos)t(''gsin)t(''g)(''g

,sin)t('gd

dt

dt

dg

d

dg)('g

22

Si insertamos esto en (1- 49), dividimos por sin ζ, y luego sustituimos 2sin = 1-

2t obtenemos

.0)t(g.

t1

m)1n(n)t('g.t2)t(''g)t1(

2

2

2

(1- 56)

La función de Legendre g (t) = nmP (t), definida por

,)1t(dt

d)t1(

!n2

1)t(P n2

mn

mn2/m2

nnm (1- 57)

satisface (1- 56). Aparte del factor 2/m2 )t1( =

msin y de una constante, la función nmP es la (n +m)-ésima derivada del polinomio

n2 )1t( . De esta manera es posible determinar su valor numérico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,

.sint12*t12

1)1t(

dt

d

1*2

)t1()t(P 222

2

22/12

11

El caso m = 0, t iene especial importancia. A menudo las funciones )t(Pn se denotan sencillamente por )t(Pn . Luego (1- 57) da

,)1t(dt

d

!n2

1)t(P)t(P)t(P n2

n

n

nnmnn (1- 57‘)

Como m = 0, no hay raíz cuadrada, es decir, no hay sin ζ. Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t . Se conocen como polinomios de

Legendre. Aquí mostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.

,1)t(Pp ,t2

3t

2

5)t(P 2

3

,t)t(P1 ,8

3t

4

15t

8

35)t(P 24

4 (1- 58)

,t2

1t

2

3)t(P 2

2 ,t8

15t

4

35t

8

63)t(P 35

5

Page 26: Heiskanen

Recordemos que

t = cos ζ.

Los polinomios podrán obtenerse por medio de (1- 57‘) o más fácilmente usando la fórmula de recursión

),t(P.tn

1n2)t(P

n

1n)t(P 1n2nn

(1- 59)

mediante la cual es posible calcular 2P a partir de 0P y

1P , 3P a partir de 1P y

2P , etc. En la fig. 1-8 se muestran las graficadse los

polinomios de Legendre.

Las potencias de cos ζ pueden expresarse en términos de los cosenos de múltiplos de ζ, tales como

,2

12cos

2

1cos2

.cos4

33cos

4

1cos2

Por consiguiente, también podemos expresar nP (cos ζ) en esta forma, obteniendo

......................................................................

,cos64

153cos

128

355cos

128

63)(cosP

,64

92cos

16

54cos

64

35)(cosP

,cos8

33cos

8

5)(cosP

,4

12cos

4

3)(cosP

5

4

3

2

(1- 58‘)

Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de Legendre nmP (cos ζ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre.

Estas pueden reducirse fácilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuación

,dt

tPd)t1()t(P

m

n

m2/m2

nm (1- 60)

Page 27: Heiskanen

que se desarrolla de (1- 57) y (1- 57‘). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en términos de polinomios de

Legendre del mismo grado n. Aquí damos algunas nmP , escribiendo t = cos ζ, :sint1 2

sin)(cosP11 ,

2

3cos

2

15sinP 2

31

,cossin3)(cosP21 ,cossin15P 2

32 (1- 61)

,sin3)(cosP 2

22 .sin15P 2

33

También mencionamos una fórmula explícita para cualquier función de Legendre (polinomio o función asociada) :

r

0k

k2mnk2/m2n

nm .t)!k2mn()!kn(!k

)!k2n2()1()t1(2)t(P (1- 62)

donde r representa el número entero más alto ≤ (n -m) / 2; v. g. r es (n -m) / 2 o (n –m -1) / 2, cualquiera que sea un número entero. Esta fórmula resulta conveniente para la programación de una computadora electrónica.

Puesto que es difícil encontrar esta fórmula útil en trabajos publicados hemos incluido aquí su deducción la cual es bastante sencilla y sin complicaciones. La información requerida sobre factoriales puede obtenerse de cualquier colección de fórmulas matemáticas.

FIGURA 1-8

Polinomios de Legendre como

funciones de t = cos ζ. Arriba, n

es par; abajo, n es impar.

Page 28: Heiskanen

El teorema del binomio da

.t)!kn(!k

!n)1(t

k

n)1()1t(

n

0k

k2n2n

0k

kk2n2kn2

De esta manera se convierte en

n

0k

k2n2k2/m2

nnm ,t)!kn(!k

1)1()t1(

2

1)t(P

al suprimirse el factor común n! La r-ésima derivada de la potencia 8t es

.t)!rs(

!st)1rs().........1s(s)t(

dt

d rsrsr

r

r

Si ponemos r = n + m y s = 2 n – 2k, tenemos

.t)!k2mn(

)!k2n2()t(

dt

d k2mnk2n2

mn

mn

Al insertar esto en la expresión anterior para nmP (t) y notar que el exponente más bajo posible de t es t ó t° = 1, obtenemos (1- 62).

Las armónicas esféricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos mλ o sin mλ :

Grado 0 );(cosP0

Grado 1 );(cosP0

;sin)(cosP,cos)(cosP 1111

Grado 2 );(cosP2

,sin)(cosP,cos)(cosP 2121

;2sin)(cosP,2cos)(cosP 2222

y así sucesivamente.

La representación geométrica de estas armónicas esféricas resulta útil. Las armónicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legen dre , son polinomios de grado n en t , de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y están situados en el intervalo -1 ≤ t ≤ +1, es decir 0 ≤

ζ ≤ π (fig. 1-8). Las armónicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; además no dependen de λ . Su represent ación geométrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 1-9. Como dividen la esfera en zonas, también se conocen como armónicas zonales.

Page 29: Heiskanen

Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n – m veces en el intervalo 0 ≤ ζ ≤ π. Las funciones cos mλ y sin mλ tienen 2m ceros en el intervalo 0 ≤ λ ≤ 2 π, de manera que la representación geométrica de las armónicas para m ≠ 0 es similar a la del caso b. Dividen la esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se con ocen como armónicas t

eserales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen como armónicas sectoriales (fig. 1-9, caso c).

Page 30: Heiskanen

FIGURA 1-9 Los diferentes tipos de armónicas esféricas : (a) zonales, (b) Teserales, (c) sectoriales.

1-12. Funciones de Legendre del Segundo Tipo

La función de Legendre no es la única solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 - 56). Hay una función de naturaleza completamente diferente que también satisface esta ecuación. Se le conoce como la función de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota

por )t(Q nm .

Aunque )t(Q nm son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las

)t(Pnm .

Las funciones ―zonales‖

)t(Q)t(Q nn

están definidas por

),t(P)t(Pk

1

t1

t1ln)t(P

2

1)t(Q kn1k

n

1k

nn (1- 63)

y las otras por

.dt

)t(Qd)t1()t(Q

m

n

m

2/m2

nm (1- 64)

La ecuación (1- 64)es completamente análoga a (1- 60); además, las funciones )t(Q n satisfacen la misma fórmula de recursión (1- 59) que las

funciones .

Si determinamos el valor de las primeras nQ por medio de (1- 63) hallamos que

.t2

3ttanh

2

1t

2

3t

2

3

t1

t1ln

4

1t

4

3)t(Q

,1ttanht1t1

t1ln

2

t)t(Q

,ttanht1

t1ln

2

1)t(Q

122

2

1

1

1

0

(1- 65)

Page 31: Heiskanen

Estas fórmulas y la fig. 1-10 muestran que las funciones nmQ son en realidad muy distintas a las funciones

nmP . Por la singularidad

± en t = (v. G. = 0 ó π) vemos que es imposible sustituir nmQ (cos ζ) por

nmP (cos ζ)si ζ representa la distancia polar, ya que las funciones

armónicas tienen que ser regulares.

No obstante, las hallaremos en la teoría de las armónicas elipsoidales (sección 1- 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de la tierra (sección 2- 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si el argumento z es complejo tendremos que sustituir la definición (1- 63) por

),z(P)z(Pk

1

1z

1zln)z(P

2

1)z(Q kn1k

n

1k

nn (1- 63‘)

en

donde los polinomios de Legendre )z(Pn se definen mediante las mismas fórmulas que en el caso de un argumento real t . Así pues, el único

cambio en comparación con (1- 63) es la sustitución de

FIGURA 1- 10

Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar.

Por

.

,tanh1

1ln

2

1 1 ttt

t

.

,coth1

1ln

2

1 1 zz

z

Page 32: Heiskanen

específicamente tenemos

(1- 65‘)

1-13. Teorema de Desarrollo y Relaciones de O rtogonalidad

En esta sección trataremos con las armónicas esféricas de superficie. En (1- 54a,b) desarrollamos las funciones armónicas en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Similarmente es posible desarrollar una función f (ζ, λ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general) en la superficie de una esfera para formar una serie de armónicas de esfera de superficie :

(1- 66)

en donde hemos utilizado las formas abreviadas3

),(R nm = mcos)(cosPnm ,

),(Snm = .msin)(cosPnm (1- 67)

Los símbolos nma y nmb son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relaciones de

Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones

diferentes nmR y nmS es cero :

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos

En cualquier caso

En el caso del producto de dos funciones equivalentes nmR ó nmS tenemos

3 Se han usado las establecidas por MacMillan (1930); él utiliza las formas abreviadas ),(Cnm = mcos)(cosPnm , y,

),(Snm = .msin)(cosPnm

0d).,(S),(R

0d).,(S),(S

0d).,(R),(R

srnm

srnm

srnm

.2

3coth

2

1

2

3

2

3

1

1ln

4

1

4

3)(

,1coth11

1ln

2)(

,1

1ln

2

1)(

122

2

1

1

1

0

zzzzz

zzzQ

zzz

zzzQ

zcorhz

zzQ

,)],(),([),(),(0 00

m

n

n

m

nmnmnmnm

m

n

n SbRaYf

Page 33: Heiskanen

)!mn(

)!mn(

1n2

2d.)],(S[d.)],(R[

;1n2

4d.)],(R[

2

nm

2

nm

2

n

(m ≠ 0). (1- 69)

(No hay ninguna 0nS , ya que sin 0λ = 0.) En estas fórmulas hemos utilizado la forma abreviada

2

0 0

para la integral sobre la esfera unitaria. La expresión

dζ = sin ζ dζ dλ

denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ángulo sólido, el cual se define como el área correspondiente en al esfera unitaria.

Ahora resulta fácil determinar los coeficientes nma y nmb en (1- 66).

Si multiplicamos ambas partes de la ecuación por un ),(R sr e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos

,d.)],(R[ad.)],(R),(f2

srsrsr

ya que en el lado derecho de la integral doble se anularán todos los términos, salvo el que t iene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones de

Ortogonalidad (1- 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1- 69) de manera que se ha determinado sra . En forma similar podemos

calcular srb multiplicando (1- 66) por ),(Ssr e integrando sobre la esfera unitaria. El resultado es

(1- 70) ( m ≠ 0 )

Los coeficientes nma y nmb pueden por lo tanto determinarse mediante una integración.

Notamos que también es posible hallar directamente las armónicas esféricas de Laplace ),(Yn en (1- 66) mediante la fórmula

2

0' 0'nn ,'d'.d'.sin)(cosP)','(f

4

1n2),(Y (1- 71)

en donde ψ es la distancia esférica entre los puntos (ζ,λ) y (ζ‘,λ‘), de modo que (fig. 1 -11)

;d).,(S),(f)!mn(

)!mn(

2

1n2b

;d).,(R),(f)!mn(

)!mn(

2

1n2a

;d).(cosP),(f4

1n2a

nmnm

nmnm

nn

Page 34: Heiskanen

'sinsin'cos.coscos (1- 72)

La ecuación (1- 71) puede verificarse fácilmente mediante cálculos directos, sustituyendo )(cosPn de la fórmula de descomposición (1- 82)

de la sección 1-5.

1-14. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas

Las fórmulas de la sección anterior para el desarrollo de una función a una serie de armónicas de superficie son bastante dif íciles de manejar. Si analizamos las ecuaciones (1- 69) y (1- 70) vemos que hay diferentes fórmulas para m = 0 y m ≠ 0; además, las expresiones son relativamente complicadas y difíciles de recordar.

FIGURA 1-11

La distancia esférica ψ.

Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armónicas ―convencionales‖ nmR y nmS definidas por (1- 67) y (1- 57) ó (1- 62), por otras

funciones que difieran por un factor constante y sean más fáciles de manejar. Aquí consideramos solamente las armónicas totalmente normalizadas 4

que parecen ser las más convenientes así como las más usadas. Las denotamos por nmR y nmS ;están definidas por

);(cosP.1n2),(R.1n2),(R nnn (1- 73)

),(S

),(R

nm

nm

)!mn(

)!mn()1n2(2

),(S

),(R

nm

nm ( m ≠ 0).

Las relaciones de Ortogonalidad (1- 68) son válidas también para estas armónicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1 - 69) se simplifican completamente : se convierten en

4 Las armónicas totalmente normalizadas han sido sencillamente ―normalizadas‖ en la forma que establece la teoría de

las funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresión extraña porque el término ―armónicas e sféricas

normalizadas‖ ya se ha usado en otras funciones, lamentablemente muchas veces para funciones que no han sido

realmente ―normalizadas‖ en el sentido matemático de la palabra. Jahnke -Emde-Losch (1960) utiliza una forma

diferente de normalización.

Page 35: Heiskanen

.1dSdR4

1.nm

2.nm

2 (1- 74)

Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armónica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula so bre la esfera (promedio = integral dividida por el área 4π). Esta fórmula para cualquier m sea esta cero o no.

Si desarrollamos una función arbitraria f (ζ, λ) para formar una serie de armónicas totalmente normalizadas, análoga a (1 - 66),

,)],(Sb),(Ra[),(fm

0n

n

0m

nmnmnmnm (1- 75)

Entonces los coeficientes nma nmb estarán dados sencillamente por

;dv).,(S),(f4

1b

,dv).,(R),(f4

1a

nmnm

nmnm

(1- 76)

es decir, los coeficientes serán los productos medios de la función y la armónica correspondiente nmR o nmS .

La sencillez de las fórmulas (1- 74) y (1- 76) representa la ventaja principal de las armónicas esféricas totalmente normalizadas, haciéndolas

útiles en muchos respectos, aun cuando las funciones nmR y nmS (1- 73) sean algo más complicadas que las nmR y nmS convencionales :

tenemos que

),(R nm = mcos)(cosPnm ,

),(Snm = .msin)(cosPnm .

Page 36: Heiskanen

En donde

Pnm(t)= 12nknr

k

k tknknkkn2

0

)!2()!(!/)!22()1( (l-77a)

para m=0, y

2/2)1(2*))!/()!)((12(2 mn tmnmnn

kmnr

k

k tknknkkn2

0

)!2()!(!/)!22()1( (l-77b)

para m diferente de 0. Esto corresponde a (1-62): aquí, al igual que en (1-62), r es el numero entero mas alto (n-m)/2

Hay relaciones entre los coeficientes a nm y b nm para armónicas totalmente normalizadas y los coeficientes a nm y

b nm para armónicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (1-73):

a ng = a0n

/ 12n (1-78)

b

a*))!/()!)((12(2/1

nm

nmmnmnn m diferente de cero

1-15. Desarrollo de la Distancia Reciproca en Armónicas Zonales. Formula de Descomposición

La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esféricas son:

P(r, ), ), P(r´ ´),́

esta representada por

´cos2´222 rrrrl (1-79)

en donde ψ es el ángulo entre los vectores radíales r y r´ (fig. 1-12), de manera que según (1-72),

• cos ψ - cos θ cos θ + sin θ sin θ cos λ´- λ).

Suponiendo que r' < r, podemos escribir

Page 37: Heiskanen

1/l=1/22 r´ ´cos2rrr =

221

1

ur

en donde hemos utilizado α =r'/r y ,u=cos ψ. Esto puede desarrollarse para

formar una serle exponencial con respecto a α . Resulta notable que los

coeficientes de αn

sean las armónicas zonales (convencionales), o polinomios

de Legendre Pn(u)=Pn(cos ψ)

).........()()(2

110

02

uPuPuPaut

n

n

n, (1-80)

Por consiguiente, obtenemos

)(cos´1

01 n

nn

n

Pr

r

l (1-81)

que es una formula importante.

Aun asi sería conveniente expresar )(cosnP en esta ecuación en términos funciones de las coordenadas es féricas

ζ,λ y ζ´,λ´ que componen ψ de acuerdo con (1-72). Esto se logra por medio de la formula de descomposición.

Pn(cos ψ)=Pn(cos ζ)Pn(cos ζ ´)

´´),´(),(´),´(),()!(

)!(2

1

nmnmnmnm

n

m

SSRRmn

mn (1-82)

Si sustituimos esto en (1-81), obtenemos 1-83

´´),´(´)/),((´),´(´)/),(()!(

)!(2´)(cos´*

)(cos

l

1 11

101 nm

nn

nmnm

nn

nm

n

mn

nnSrrSRrrR

mn

mnPr

r

P

El uso de las armónicas totalmente normalizadas- simplifica estas formulas. Si reemplazamos las armónicas

convencionales de (1-82) y (1-83) por armónicas totalmente normalizadas por medio de (1-73) hallamos que

;´́ ),´(´)/),(()́,´(´/),((12

1)(cos

0

11n

m

nm

nn

nmnm

nn

nmn SrrSRrrRn

P

(1-82')

´´),´(´)/),((´),´(´)/),((12

11 11

0 0

nm

nn

nmnm

nn

nm

m

n

m

m

SrrSRrrRnl

(1-83')

La ultima formula resulta esencial para el desarrollo del campo gravitación

de la tierra con armónicas esféricas.

1-16. Solución del Problema de Dirichiet Por Medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson

En la sección 1-7 se menciono el problema de Dirichiet, o sea el primer problema de valores limites de la teoría del

potencial: con una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea

dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida.

Page 38: Heiskanen

Si la superficie S es una esfera, entonces el problema de Dirichict podrá resolverse fácilmente por medio de

armónicas esféricas. Tomemos primero la esfera unitaria, r = 1, y desarrollamos !a función preestablecida, indicada

en la esfera unitaria y denotada por V(1,λ,ζ), para formar una serie de armónicas de superficie (1-66);

V(1,λ,ζ)= )(0n

ny (1-84)

habiéndose determinado Y (λ,ζ) por medio de (1-71). las funciones

V(r,λ,ζ)= )(0

n

n

nry (1-85a)

V(r,λ,ζ)= )(0n

ny /1nr (1-85b)

asumen los valores dados V(1,λ,ζ)en la superficie r=1. La serie (1-84) converge y para r<1 tenemos

nn

n YYr .

y para r> l

n

n

n YrY 1/ .

Por tanto 1a serle (l-85a) converge cuando r<1 y la serie (l-85b) cuando r>1; ademas, se ha determinado que ambas series representan funciones amónicas. Asi pues podemos resolver el problema de Dirichiet por medio de V(r,λ,ζ) para el interior de la esfera r = l, y por V(r,λ,ζ) para su exterior. En el caso de una esfera de radio arbitrario r •= R. la solución es similar. Desarrollamos la función dada

V(R,λ,ζ)= )(0n

ny (1-86)

Las armónicas de superficie Yn se determinan por

´´´sin)(cos´),,(4

12)(

2

2 0ddPRV

nY

x x

nn

Luego la serie .

V(r,λ,ζ)= )(0n

n

n

yR

r

resuelve el primer problema para valores limites para el interior y la serie

V(r,λ,ζ)= )(0

1

n

n

n

yr

R (i-87b)

lo resuelve para el exterior de la esfera r = R.

De manera que siempre sera posible resolver el problema de Dirichiet para la esfera. Obviamenté esto esta estrechamente relacionado con la posibildad de desarrollar una función arbitrarla en la esfera para formar una serie de

Page 39: Heiskanen

armónicas esféricas de superficie, y una función armónica en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas.

Integral de Poisson: Hay una solución mas directa la cual se explica a continuación. Consideremos solamente el problema exterior que tiene mayor aplicación en la geodesia. Si sustituimos Yn(λ,ζ) de (1-71) en (l-87b),

Obtenemos

´´´sin)(cos´),,(4

12),,(

2

2 00

1

ddPRVn

r

RrV n

n

n

Esto lo podemos reordenar asi:

´´´sin)(cos12´),,(4

1),,(

2

2 00

1

ddPr

RnRVrV

x x

n

n

n

(1-88)

Es posible determinar el valor de la suma dentro de los paréntesis rec-

tangulares. Denotamos la distancia espacial entre los puntos (r,λ,ζ) y (R,λ,ζ)

por l. Luego, de acuerdo con (1-81)

0

1

22

cos1

cos2

11

n

n

n

Pr

R

RRRrl

Diferenciando con respecto a r obtenemos

cos)1(cos

1

1

03 nn

n

n

Pr

Rn

R

i

l

Rr

Si multiplicamos esta ecuación por -2Rr, y multiplicamos la expresión para 1/l por -R y luego sumamos las dos

ecuaciones, obtenemos como resultado

0

1

2

22

)(cos)12()(

n

n

n

Pr

Rn

l

RrR

1a parte derecha es la expresión entre paréntesis rectangulares de (1-88).Si sustituimos la parte Izquierda,

obtenemos finalmente '

V(r,λ,ζ)= ´´´´),́,(

4

( 2

0 0 2

)22

ddsenl

RVRrR (1-89)

Page 40: Heiskanen

Esta es la integral de Poisson. Es una solución explícita del problema de Dirichlet para el exterior de la esfera que tiene

muchas aplicaciones en la geodesia física.

1-17, Otros Problemas de Valores Límites

Hay otros problemas de valores límites similares. En el problema de Neumann o sea el segundo problema de valores

limites de la teoria del potencial, se da la derivada normal de V con respecto a n en la superficie S en lugar de la

función V misma. La derivada normal es la derivada a lo Iargo de la normal superficial n a S en dirección hacia

afuera. En el tercer problema de valores Iimites, se da una combinación lineal de V y de su derivada normal

hV+k*aV/an

en S.

En el caso de la esfera también es posible expresar fácilmente la solución de estos problemas de valores limites en

terminos de armónicas esféricas. Consideremos ahora los problemas exteriores solamente, ya que son de especial

ínteres en la geodesia.

En el problema de Neúmmann desarrollamos los valores dados de aV/an en la esfera r = R para formar-una serie de

armónicas de superficie:

0

)(nRr

Yn

V 1-90

La función armónica que resuelve el problema de Neinnann para el exterior de la esfera es por lo tanto

1

),(),,(

1

0 n

Y

r

RRrV n

n

n

Para verificarla, podemos diferenciarla con respecto a r. obteniendo

),(0

1

n

n

n

Yr

R

n

V

|Como en el caso de la esfera, la normal coincide con el vector radial tenemos que

RrRr r

V

n

V

y por lo tanto vemos que satisface (l-l0).

El tercer problema de los valores limites es particularmente importante para la geodesia fsica, ya que la determinación

de las ondulaciones del geoide a partir de 1as anomalias de la gravedad esprecisamente este tipo de problema. Para

resolver el caso general desarrollamos nuevamente la función definida por los valores limites dado; para formar

armónicas de superficie:

),(0n

nYn

VkhV

La función armónica

0

1

)1)(/(

)(),,(

n

n

n

nRkh

Y

r

RRrV 1-91

Page 41: Heiskanen

resuelve el tercer problema de valores limites para el exterior de la esfera r=R. Su verificación es totalmente

análoga al caso de (1-91).

Al determinar las ondulaciones geoidales, las constantes h, k asumen los valores

h=2/R, k=-1

de manera que

0

1

)1(

)(),,(

n

n

n

n

Y

r

RRrV (1-92•)

resuelve el llamado problema de 1os valores 1imites de la geodesia fisica.

Como hemos podido apreciar en la sección anterior, también es posible resolver directamente el primer problema de valores limites por medio de la integral de Poisson. Existen asimismo formulas integrales similares para el segundo y tercer problema. La formula integral que corresponde a (l-92) para el problema de los valores limites de la geodesia física es 1a integral de Stokes que trataremos con mayor de-talle en el Capitulo 2.

1-18. La Derivada Radial de una Función Armónica

Para poder aplicarla mas adelante a problemas relacionados con la gradiente vertical de la gravedad, deduciremos

ahora una formula integral para 1a derivada a lo largo del vector radial r de una función armónica arbitraria que

denotaremos por V. Una función armonica como esta satisface la integral de Poisson (1-89):

V(r,λ,ζ) = ´´´´),́,(

4

( 2

0 0 2

)22

ddsenl

RVRrR

Al formar la derivada radial aV/ar notamos que V(r´,λ´,ζ´) no depende de r. De modo que solo necesitamos diferenciar (r2-R2)/l2 obteniendo

´´´´),́,().(

4

),,( 2

0 0ddsen

RVrMR

r

rV

en donde

)cos3cos5(1

),( 2232

22

22

RRrrRll

Rr

rrM

(1-94)

Si aplicamos esta ecuación a la función armónica especial

obtenemos

´´´).(

4

2

0 02ddsen

rMR

r

R

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por V(r,λ,ζ) y restándola de (1-93) nos da

´´´))(,(4

2

0 02ddsenVrvrM

RVr

r

R

r

V

en donde Vp=V(r,λ,ζ), V=(R, ,λ,ζ),

Page 42: Heiskanen

Para hallar la derivada radial en la superficie de una esfera de radio R,tenemos que usar r= R. Luego ( pasa a ser (fig.

1-31)

2sin20 R

l

y la función M adquiere la forma sencilla

0

322

2

24

1),(

l

R

senR

RM

ψ(1-96)

Para ψ

0 tenemos M(r, ψ)0 y no podemos utilizar la formula original (1-93) en la superficie de la esfera f = R. En la

ecuación ransformada (1-95), sin embargo, tenemos v - v. —-> 0 para ψ0, y la singularidad de M para ψ 0 sera neutralizada.- Siempre que V sea dos veces diferencíable en P-. De esta manera obtenemos

´´´)(

2

1 2

0 00

2

ddsenl

VrvRVr

Rr

V 1-97

esta ecuación representa aV/ar en la esfera r = R en términos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos

Vr=(R,ζ,λ), V=(R´,ζ´,λ´) 1-98

SoÍución en términos de armónicas esféricas. Podemos expresar Vr como

0

1)(1

n

n

nY

r

R

Rr

V 1-99

Una diferenciación nos da

01

1 )(1

n

n

n

n Y

r

Rn

r

V 1-100

Para r=R esto se convierte en

0

),()1(1

n

nYRr

V

Esto es el equivalente de (1-97} en términos de armonicas esféricas.

Page 43: Heiskanen

De esta ecuación obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuación (1-100) podria escribirse

0

),(11

n

np nYR

VRr

V

Si comparamos esto con (1-97) vemos que si estuviera en una esfera de radioR .

0

),(n

np YV (1-101)

entonces

´´´)(

2

2

0 00

3

2

ddsenl

VrvR

0

),(1

n

nnYR

(1-102)

Esta ecuación se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esférica solamente.

Además, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una función en el espacio

que sea armónica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se hace

resolviendo el problema exterior de Diricnlet. Según esto podemos concluir que (1-102) es valida para una función

arbitrarla V definida sn la superficie de una esfera.

Esto se usara en las secciones 2-23 y 8-8.

1-19. Ecuación de Laplace Expresada en Coordenadas Elipsoidales

Las armónicas esféricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esférica.

Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolución es de esperar que las armónicas elipsoidales, las cuales se

definen en una forma similar a las armónicas esféricas, sean hasta mas apropiadas.- todo se reduce a un asunto de

conveniencia la matemática puesto que se pueden usar tanto las armónicas esféricas como las elipsoidales para

cualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma.- Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en

ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo

preciso de la gravedad normal.

Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (µ,λ,ζ) (F-fg. 1-14). En un sistema rectangular, el punto P tiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, cuyo eje coincide con el eje z y cuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada µ es

Page 44: Heiskanen

el semieje menor de este elipsoide, ζ es el complemento de la latitud reducida" β de P con respecto a este elipsoide (su definición puede verse en 1a ,f1g. 1-14), y λ es la longitud geocéntrica en el sentido normal de la palabra.- estas coordenadas(µ,λ,ζ) estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolución; son distintas a las coordenadas elipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armónicas elipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodésicos -.

Las coordenadas elipsoidales (µ,λ,ζ) estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones

cos22 senEx

sensenEx 22 1-103

cosz

que pueden leerse de la figura, considerando que22 E es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa

por P.

Si tomamos µ= const, hallamos

2

2

22

22 z

E

yx

•B¿., • 'erj

que representa un elipsoide de revolución. Para ζ= const. Obtenemos

1cos22

2

22

22

E

z

senE

yx

lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para λ = const. obtenemos el plano meridiano

La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides µ= const. caracteriza el sistema de

coordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esféricas usuales µ=r λ ζ como caso limite.

Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con las coordenadas esféricas, ec. (1-38) y se obtiene,

22222222

22

222

)()cos(cos

dsenEudEuduEu

Euds 1-104

El sistema de coordenadas (µ,λ,ζ) es aqui también ortogonal: los productos du, dζ,etc. hacen falta en la

ecuación para ds. Si aplicamos ζ=q2,µ=q1,λ=q3 tenemos en (1-39)

2222

3

222

222

2222

1 )(,cos,cos

senEuhEuhEu

Euh

Sí sustituimos esto en (1-40) obtenemos

V

senEu

EuVsen

u

VsenEu

usenEuV

)(

cos)()(

)cos(

122

22222

222

Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor común sin ζ, obtenemos

Page 45: Heiskanen

2

2

222

222

2

2

2

222

222 )(

cos(cot2)(

)cos(

1 V

senEu

Eu

u

VV

u

Vu

u

VEu

EuV (1-105)

que es la ecuación de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresión alterna

haciendo caso omiso del. factor 1222 )cos( Eu

2

2

222

222

2

2

2

222

)(

cos(cot2)(0

V

senEu

Eu

u

VV

u

Vu

u

VEu 1-105´

En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esféricas (1-41) y (1-41').

1-20 Armónicas Elipsoidales

Para resolver (i-105) o (l-105'l procedemus de manera totalmente ana1oga al método utilizado para resolver la ecuación correspondiente (1-41') en coordenadas esféricas. Los pasos podran resumirse de la siguiente manera. Por medio de una sustitución tentativa

V(r λ ζ)=f(r)g(ζ)h(λ)

separamos 1as variables(r λ ζ) para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (1-41') en tres ecuaciones difen'nctales regulares (1-43), (1-49) y (1-50).

Para resolver la ecuación dé Laplace; en coordenadas elipsoidales (1-105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa

V(µ λ ζ)=f(µ)g(ζ)h(λ) (1-106)

Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos

h

h

senEu

Eugg

guffEu

´´

)(

cos()´cot´´(

1´)2´´)((0

222

22222

La variable λ solo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deberá

ser constante._ 1esto resulta mas claro si escribimos la ecuación en la forma

h

hgg

guffEu

fEu

senEu ´´)´cot´´(

1´))2´´)((

1

cos

)( 22

222

222

El lado izquierdo .depende solamente de µ y ζ y el lado derecho solamente

de λ Los dos lados no pueden ser exactamente iguales a menos que ambos

sean iguales a la misma constante-.

2´´m

h

h

El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. si-

guiente manera:

22

2

2222

222 1cos)(

Eu

E

sensenEu

Eu ,:

Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuación anterior y combinamos

las funciones de la misma variable obtenemos

Page 46: Heiskanen

'2

22

22

222 )´cot´´(

1´)2´´)((

1

sen

mgg

gm

Eu

EuffEu

f

Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si

denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . '

0)()1()´(2)´´()( 2

22

222 ufm

Eu

EnnuufufEu (1-107)

0)()1()´(cos)´´(2

gsen

msennnggsen (1-108)

0)()´´( 2hmh (1-109)

Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1-105)

mediante la separacion de variables (1-106)

La segunda y tercera ecuaciones son las mismas que en el caso esférico, ecuaciones, (1-49) y (1-50); la primera

ecuación es diferente. las sustituciones

cost

transforman 1a primera y segunda ecuaciones en

0)(1

)1()´(2)´´()1(2

22 rf

r

mnnrrfrfr

0)(1

)1()´(2)´´()1(2

22 tf

t

mnnttftft

en donde la raya inidica las funciones f y q están expresadas en términos de los nuevos argumentos r y t. Por las

armónicas esféricas ya estamos familiarisados con la sustitución t =-cos ζ y con la ecu.icion correspondiente para

g(t) en donde t=cosζ, las Qmn(t)"^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la sección 1-12.Para

f(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm(λ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dos

soluciones diferentes, f = rn y f =

)1(1 nr en el caso esférico. . , .

Finalmente, (1-1.09) tiene como antes las soluciones cos(mλ) y sen(nλ).

Resumimos todas las soluciones individuales:

E

uiióQnm

E

uiPuf nm /()(

Page 47: Heiskanen

);(cos)( nmPug

)()cos)(( senmómh

aqui n y m < n son números enteros 0,1,2,...., como antes. Por lo tanto, las funciones

senmmPE

uiPuv nmnm ,coscos),,(

senmmPE

uiQuv nmnm ,coscos),,(

son soluciones de la ecuación de Laplace 0V

es decir, funciones armonicas. Con estas funciones y mediante

combinaciones lineales pdtemos formar' la Serie

m

n

n

m

V0 0

)(E

uipnm

/ Pnm (anmPnm(cosζ)cosmλ+hnmPnm(cosζ)senmλ);

m

n

n

m

V0 0

)(E

aipnm /

E

bipnm

Aquí b es el semieje menor de «n elipsoide arbitrario pero fijo que podra llamarse el elipsoide de referencia (fiq. 1-15).

La división por Pnm(ib/E) Qnm(ib/E) es posible por ser constantes; su proposito es simplificar 1as expresiones y lograr que los coeficientes anm y bnm seran reales.

SI la excentricidad E se reduce a cero, las coordenadas elipsoidales se convierten en coordenadas esféricas el elipsoide

u = b se convierten en _la. esfera r = R [porque entonces los. semiejes a y. b sera'n jguales al radio R); y hallamos

nn

nm

nmE

R

r

b

u

E

bi

E

ui

P

P)(lim 0 ,

1

0 )(lim

n

nm

nmE

R

r

E

bi

E

ui

Q

Q

de manera que la serie (l-ll1)convierte en (l-87a), y (1-lllb) se convierte en (1-87) Por consiguiente, vemos que la

fuincion Pnm(iu/E)corresponde a

n

r y Onm(iu/E) corresponde.' a )1(1 nr en las armónicas esféricas.

Por lo tanto la serie (1-111a) es armonica en ele interior del elipsoide a=b, y la serie (1-111b)es asrmonica en su exterior; este caso es pertinente a la geodesia:

Para u=b, las dos series son iguales:

m

n

n

m

nmnm pa0 0

nmnm senmcosPbm cos co( (1-113)

» - Ü RI-O

Page 48: Heiskanen

De manera que 1a solución de1 problema de los valores limites de Dirichlet para el elipsoide revolucion es sencilla, desarrollamos la funcion (b,µ,λ) , dada en el elipsoide u = b, para formar una serie do armonicas esféricas de superficie con los siguientes argumentos:

ζ= complemento de latitud reducida, λ=longitud geocéntrica. De modo que (l-llla) es la solución del problema interior

y (1-111b)es la solución del problema extenor do Dirichlet.

La fo'rmu1a [1-113) muestra quye no solo pueden desarrollarse las funciones que se definen en la superficie para formar una sene de armonicas esfericas de superficie. También es posible desarrollar funciones mas bien arbitrarias definidas en una superficie convexa.

46 Cabe hacer notar que en las armonicas esféricas, ζ es la distancia.polar, t no es mas que el complemento de la Iatitud geocentrica, mientras_que en las armonicas elipsoidales, ζ es el complemento de la latitud reducida..

2

EL CAMPO DE GRAVEDAD DE LA TIERRA

2-1. gravedad.

La fuerza que activa sobre un cuerpo en reposo que se halla sobre la superficie, de la. tierra. es_ la_suma _ vectorial de 1a fuerza gravitacional y la fuerza centrifuga de la rotacion de la tierra.

Tomemos un sistema de coordenadas rectangulares donde el origen es al centro de gravedad de la tierra y el eje z

coincide con el eje medio de rotación de la tierra (Fig. 2-1). Los ejes x,y,z se escogen de tal manera que se obtiene

Page 49: Heiskanen

un sistema de coordenadas dextrorso: de 1o contrario son arbitrarios. Para mayor conveniencia podemos suponer

que el eje x se halla paralelo al plano meridiano de Greenwich (refierase a la sección 2-4).

.

La fuerza centrifuga f sobre una masa unitaria ésta representada por

pf ´

en donde ω es 1a velocidad angular da 1a rotación de la tierra y

22 yxp (2-1)

es la distancia desde el eje de rotación. El vector f de esta fuerza tiene

misma dirección del vector

)0,,( yxp

y por lo tanto viene dado por

)0.,(´ 22 yxpf 2-2

La fuerza centrifuga puede deducirse tambien de un potencial

)(2

1 222 yx 2-3

de manera que

zyxgradf 2-4

Si insertamos (2-3) en (2-4), obtenemos (2-2)

La fuerza total, o sea la suma vectorial de 1a fuerza gravitacional y la Fuerza centrifuqa, se llama gravedad. El

potencial de qravedad, W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravítacional, V(l-ll) y la fuerzacentrffuga Ф:

222

12

1´),,( yxdr

l

pkVzyxWW 2-5

en dónde la integracicn se extiende por toda la tierra..

Page 50: Heiskanen

Al diferenciar (2-.3) hallamos que

22zyx

2-7

SÍ combinarnos esto con la ecuación de Poissón (l-13) para V obtenemos la

ecuación generalizada de Poisson para el potencial de grayedad W:

224 kpW (2-6)

Como Ф es una función analitica, las discontinuidades de W son las de V: algunas de las segundas derivadas tienen

interrupciones en la discontinuidad de la densidad.

El vector de gradiente de W.

z

W

y

W

x

WgradWg 2-7

con las componentes

xpdvp

xk

x

Wg z

2

1

ypdvp

yk

y

Wg y

2

1

pdvp

xk

z

Wgx

1

se conoce como el vector de gravedad; es la fuerza total (fuerza gravitacional mas fuerza centrifuga) que actúa sobre una masa unitaria. Como es un vector tiene magnitud y dirección.

La magnitud g se denomina gravedad en el sentido mas estricto de la palabra. Tiene la dimensión fisica de una

aceleración y se mide en gales (1 gal ='1 cm|i seg"2), en honor a Galileo Galilei. El valor numerico de g es de unos

973 gales en el ecuador y unos 983 gales en los polos. En geodesia frecuentemente conviene utilizar otra unidad - el

miligal, abreviado mgal (1 mgal = 1*10-3 gal).

La direccion del vector de gravedad es la. dirección de la línea de la plomada, ósea la vertical; como_es por todos conocido su importancia_es esencial para las mediciones geodésicas y astronómicas.

Ademas.,de 1a..fuerza centrffuga, hay. otra fuerza que actúa sobre_un...cuerpo en movimiento, la llamada fuerza .de Coriolis. Es proporcional .a 1.a _yelocidad con_respecto a la,tierra, de_manera que pa ra lus cuerpos en reposo sobre la tierra viene a ser_cero. Como en la geodesia tratamos por lo general con instrumentos en reposo con respecto a la tierra, la fuerza de Coriolis no ejerce efecto a uno aquí 'y por lo tanto no es necesario tomarla en cuenta.

2-2. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada

Las superficies.

constWzyxW 0),,( - (2.9)

en 1as que e1 potencial W es constante, se denominan superficiales equipotenciales o superficies de.nivel.,

Page 51: Heiskanen

Si diferenciamos el potencial de gravedad W = W(x,y,z) hallamos que

dzz

Wdy

y

Wdx

x

WdW

Según la notación vectorial, utilizando el producto escalar, esto seria:

gdxgradWdxdW

en donde

)..( dzdydxdx

Si se toma el vector dx a lo largo de la superficie equipotencial W = W0 entonces el potencial permanece constante y

W=0, de manera que (2-10) se convierte en (2-12)

g*dx=0

SÍ e1 producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos. Valores son perpendiculares entre si. Esta ecuación

expresa por lo.tanto, el. hecho por todos conocido de que el vector de gravedad es normal a la superficie equipotencial

que.pasa por el mismo punto.

J

Como las superficies de nivel son, por asi decirlo, horizontales en todas partes, comparten el signi focado intiutivo y

Fisico de 1a horizontal ; y comparten..tambien. la importancia geodesica de linea de la plomada por ser normales a

ella.. Por eso comprendemos por que' se les da tanta importancia a 1as superficies equipotenciales.

La superficie de 1os océanos puede considerarse con cierta idealizacion, como parte de determinada superficie de

nivel esta superficie equipotencial en particular Fue propuesto por C.F. Gauss, el "Principe de las Matemáticas",

como la "figura matematica. de la tierra y mas adelante se le llamo geoide. Esta definición ha resultarlo sumamente

apropiada, y todavia muchos la consideran como la superficie fundamental para la geodesia fisica.

Si observamos en la ecuación (2-5)el potencial de gravedad W, vemos que las superficies equipotenciales M(x,y,z) =

WQ son bastante complicadas matematicamente. Las superficies de nivel que están completamente fuera de la tierra son

por lo menos superficies analiticas, si bien no tienen ninguna expresión ana1itica sencilla, puesto que fuera de la tierra

el potencial de gravedad es analitico. Eso no es cierto para el caso de las superficies del .nivel..que.se hallan parcial o

totalmente dentro de la tierra, como el geoide por ejemplo Estas ultimas son continuas y "lisa'." (v.q. sin bordes), pero

dejan de ser superficies analíticas; en la siguiente seccion veremos que la curvatura de las superficies de nivel

interiores cambian en Forma discontinua segun la.densidad.

Las lineas que son nórmales a todas las superficies equipotenciales no se precisamente rectas sino 1iogeramente

curvas (fig. 2-2). Se llaman lineasde fuerza o lineas de la plomada. El vector de gravedad en cualquier punto es

tangente a la linea de la plomada en dicho punto, por tanto la "dirección del |vector de grvedad, la "vertical", y 1a

dirección de la 1inea de la p1omadia son sinónimos. Algiunas veces la misma dirección se conoce la linea de la

plomada".

Page 52: Heiskanen

La altura .H de.un .punto.sobre el nivel del mar, (denominada .tambien .la.altura .ortometrica). se mide a lo largo de la

linea de la plomada curva, empezando en el geoide (fig. 2-2). Si tomamos el vector- dx a lo largo de la linea de la

plomada en la dirección en que aumenta la altura H, entonces su longitud es

dHdx

y su dirección es contraria al vector de gravedad g, que apunta hacia abajo, de manera 'que el ángulo entre dx y g es de

180 Como

gdHgdhgdxgdHgdx 180cos)cos(

de acuerdo con la definición del producto escalar, la ecuación (2-10) se convierte

dW=-gdH (2-13)

Esta ecuaci'n relaciona la altura H con el potencial W y es esencial para la teori'a do la determinación e de la

altura(capftulo 4). Muestra claramente la interrelacion inseparable que caracteriza a la geodesia -la interrelacion de los

conceptos geometricos (H) con los conceptos dinamicos (W)

Otra forma oe la ecuación (2-13) es:

H

Wg (2-14)

muestra que la gravedad es el gradiente vertical negativo del potencial W, o sea 1a componenete vertical del vector del

vector gradienteW.

Las mediciones geodesicas (mediciones con teodolito, nivelación, etc.) hacen referencia casi exclusivamente al sistema

de superficies de nivel y de lineas de la plomada del que es parte importanteel geoide. Asi', pues, vemos porque se dice

que el proposito de 1a geodesis fisica es determinar las superficies de nivel del campo de gravedad de la tierra,

tambien puede decirse, en forma ma's abstracta pero equivalente, que e1 objetivo de la geodesia fisica es determinarla

función potencial W(x,y,z). Tal vez.a primera vista e1 lector se sienta sorprendido por esta definición que Fue

establecida por Bruns (1878), pero su significado no es difícil de comprender: si se expresa el potencial W como una

función de las coordenadas x,y,z, entonces se conocerán todas las superficies de nivel, incluyendo al geoide, y estarán

representadas por la ecuación.

W(x,y,z)=const

Page 53: Heiskanen

2-3. Curvatura de las Superficies de nivel y de las líneas de la Plomada

Recordemos la conocida formula para la curvatura de una curva y "=f(x). Es

2/12

2

)1(

1

y

y

pk

en donde k es la curvatura, p el radio de la curvatura, y

,´dx

dyy

2

´´´

dx

ydy

En el caso especial donde una paralela al eje x es tanqente en el punto P bajo consideración (fig. 2-3), y' = O,

sencillamente se obtiene

2

1

dy

Fy

pk |

Superficies de Nivel. Consideremos ahora un punto P en una superficie de nivel S. Traemos un sistema local de

coordenadas x,y,z cuyo origen es P y cuyo eje z es vertical, esto es, normal a la superficie S.(fig. 2-4). l.uecgo corta

esta superf cié de nivel

0),,( Wzyxw

con el plano x,z haciendo que

y = 0

Si comparamos la fi 2-4 con la 2-3, vemos que ahora z toma el luqar de y. itanto, en vez de (2-15) para la curvatura de

la intersección de la superficie nivel con.el plano xz tenemos:

2

2

1dx

zdK 2-16 '

Si diferenciamos W(x,y,z) = Wo con respecto a x, y considerando que y es cero y z ,una funcion de x. obtenemos

Page 54: Heiskanen

0dx

dzWW zz

0)(22

22

dx

zdW

dx

dzW

dx

dzWW zzzz

en donde los subíndices denotan la diferenciación parcial

x

WWx , ,....

2

zx

WWxx

Como el eje x es tangente en P, entonces dz/dx = O en P. de modo que

x

xx

W

W

dx

zd2

2

Como el eje z es vertical, tenemos, según (2-14),

gH

W

z

WWz

Por lo tanto (2-16) se convierte en

g

WK xx

1 2-17

La curvatura de la intersección de la ^pprficie denfvel con el plano yz- se determina reemplazando x por y;

Page 55: Heiskanen

g

WK

yy

22-18

La curvatura media J de una superficie en el punto P se define cono la media aritmética de las curvas de las

curvas en donde los planos perpendiculares entre si a traves de la normal a la superficie intersectanla superficie fig (2-

5)Por consiguiente hallamos

g

WWKKJ

yyxx

22

121

Aunque el signo negativo es solamente una regla convencional. Esta es una expresión para la curvatura media de

la superficie de nivel,

Mediante la ecuación generalizada de Poisson

224 wkpWWWW zzyyxx

hallamos 2242 wkpWgJ xx

Considerando

zz gW

H

g

z

gWzz

Finalmente obtenemos

2242 wpgJH

g

Esta ecuación importante que relaciona el gradiente vertical de la gravedad con la curvatura media de la superficie de

nivel,tambien fue desarrollado por Bruns (1878).Es otro ejemplo notable de la interrelacion de los conceptos

geometricos con los dinámicos en la geodesia.

líneas de la Plomada. La curvatura de una linea de la plomada es necesario para la reduccion de las observaciones

astronomicas al geoide.

Una línea de la plomada se define como una curva cuyo vector de elemento

),.( dzdydxdx

tiene la dirección de gravedad

Page 56: Heiskanen

),,( zzyyxx WWWg

es decir, que dx y g solamente difieren por un factor de proporcionalidad.

se expresa mejor en la forma

zyx W

dz

W

dy

W

dx 2-21

En el sistema de coordenadas de la fifí 2-4, la curvatura de la proyeccion en el plano xz de la línea de la plomada

viene dada por

2

2

dz

xdy

esta es la ecuación (2-15) aplicada al caso que se esta considerando. Segun (2-21) tenemos

z

x

W

W

dz

dx

Diferenciamos con respecto a z considerando que y =.0:

dz

dxWWW

dz

dxWWW

Wdz

dzzzzzzzxxz

x

22

2 1

En nuestro sistema de coordenadas en particular el vector do gravedad coincide con el eje z, por lo que sus

componente x y y, son.cero:

0xz WW

La Fig. 2-4 muestra que tambien tenemos

0dx

dz

Por consiguiente.

z

xz

z

zx

z

xxx

W

W

W

W

W

WW

dz

xd22

2

Considerando Wz = -g, Finalmente obtenemos

x

g

gk

11 (2-22a)

y en fonna similar,

Page 57: Heiskanen

y

g

gk

12

(2-22b)

Estas son las curvaturas de las proyecciones de la linea de la plomada en e1 plano xz y yz, siendo el eje z vertical,

es decir que coincide con e1 vector de gravedad.

Se conoce la curvatura total k de la Ifnea de la plomada, de acuerdo con la geometría diferencial, aplicando

222

2

2

1

1zx gg

gkkk (2-23)

Para reducir las observaciones astronómica;; (Sec. 5-6) solamente se necesitaran las curvaturas de la proyección {2-

22a,b}.

Finalmente, 1as diversas formulas para la curvatura de superficies de nivel y de las lineas de la plomada son

equivalentes a la ecuación de un solo vector

1

2 )242( gnnwkpgJgradg (2-24)

en donde n es ei vector unitario a lo largo de la linea de la plomada (su vector tangente unitario) y n1 es el vector

unitario a lo largo de la normal principal ala linea de la plomada.

Esto puede comprobarse fácilmente. En el.sistema xyz local utilizado, tenemos

n = (0,0,1),

n1=(cosα,senα,(1)

en donde α es el ángulo entre la normal principal y el eje x-(Fig. 2-6) La componente Z de 2-24 resulta en la ecuación

de Bruns (2-20), y las componentes horizontales resultan en

cosgkx

g, gksen

y

g

La ecuac.ion generalizada de Bruns.

57

Estos son idénticos a (2-22a,b)puesto que K1=K cosα y K2=K senα, tal como lo demuestra la geometria diferencial.

La ecuación 2-24 se conoce como la ecuación generalizada de Bruns

En las publicaciones de Marussi (1949) y de Hottine [1957) podra hallarse mas información acerca de las propiedades

de la curvatura y de 1a geometría interna" del campo gravitacional.

2-4. Coordenadas Naturales

El sistema de superficies de nivel y de líneas de la plomada puede usarse como

un sistema tridimensional curvilineo de coordenardas, el cual resulta adecuado para algunos propósitos; estas

coordenadas pueden medirse directamente, todo lo contrario de las coordenadas rectangulares x,y,z.

La dirección del eje de rotacion de la tierra y la posición del plano ecuatorial (normal al eje)estan bien definidas

astronómicamente. l,a latitud geográfica Ф de un punto P en el angulo entre la vertical (direccion de la linea de la

plomada) en P y el plano ecuatoria1 (Fiq. 2-7). Consideremos ahora un rectoa traves de P y paralela a1 eje de la tierra.

Page 58: Heiskanen

Esta paralela y la vertical en P definen conjuntamente el plano meridiano de P. 'El ángulo entre estar plano meridiano y

el plano meridiano de Grrenwich (o algun otro plano fijo) constituye la longitud geográfica λ de P

Definición de las coordenadas geograficas Ф y λ de P por medio de una esfera unitaria con centro en P. La 1inea PN

paralela al eje- de rotación, el plano GPF normal a1 mismo, es decir paralelo al plano ecuatorial: n es e1 vector unitario

a lo largo do la linea de la plomada; el plano NPF es el plano meridiano de P, y el plano NPG es para1elo al plano

meridiano de Greenwich.

Las coordenadas geográficas, latitud Ф y longitud λ , forman dos de las tres coordenadas espaciales de P. Como

tercera coordenada podemos tomar la altura ortométnca H de P o su potencial W. El numero geopotencial c = W0-W

es equivalente a W, en donde W0 es el potencial del gaoide. La altura ortométrica H se definio en la sección 2-2; vease

tambien la figura 2-2; Las relaciones entre W, C y H están dadas por las ecuaciones H

CWgdHWW0

00

H

gdHWWC0

0

W

W

C

g

dC

g

dWH

0 0

que resultan de la interseccion de (2-13). La integral se toma a lo Largo de la linea de la plomada del

punto P, empezando en el geoide,(H=0,W=W0)

Las cantidades

Ф, ∆, W o Ф, ∆, H

se conocen como las coordenadas naturales.

A continuación se muestra c'mo estan relacionadas con las coordenadas rectangulares geocéntricas

x.y.z de la seccion 2-1, siendo el eje x paralelo al plano meridiano de Greenwic

Observando la Fig. 2-7 podemos apreciar que el vector unitario de 1a vertical n tiene los co.-

ponentes xyz

)cos,cos(cos sensenn 2-26

se entiende que el vector de gravedad g es

),,( zxx WWWg 2-27

Por otra parte, como n es el vector unitario que corresponde a g pero en dirección contraria, viene dado por

g

g

g

gn :

Page 59: Heiskanen

de modo que

gug

Esta ecuación, junto con (2-26) y (2-27) nos da

coscosgWx

sengWy cos

gsenWz

Despejando λ y Ф tenemos finalmente

22

1tan

yz

z

WW

W

x

y

W

W1tan

),,( zyxWW

Estas tres ecuaciones relacionan las coordenadas naturales W con las coordenadas rectangulares x, y, z

siempre y cuando se conozca la función W= W (x, y. z).

Vemos que ΛФH estan relacionadas con x, y. z, y en una forma considerablemente mas complicada que las

coordenadas esféricas de 1a sección 1-8. Nótese tambien que hay una diferencia de concepto entre la longitud

geografica Λ y la longitud geocentrica λ. . .

2-S. El Potencial de la Tierra en Términos de Armónicos Esféricas

Si obsérvanos en la expresión (2-5) el potencial de gravedad W, vemos que la parte mas difícil de tratar es el potencial

gravítacional V, ya que el potencial centrífugo es una función analitica sencilla.

El potencial gravitacional V.podria manejarse mejor| para muichos propositos si tenemos presente el hecho de que

es una_funcion armonica. fuera de las masa atrayentes y que por lo tanto puede desarrollarse hasta formar una serie de

armonicas esfericas.

Determinamos ahora el valor de los coeficientes de esta serie. El potencial gravitacional V esta representado por

la ecuación basica (1-11)

l

dMkV 2-30

en donde ahora denotaremos el elemento de masa. por dM; la integral se extiende sobre toda la tierra. En esta integral insertamos la expresion (1-81)

Page 60: Heiskanen

cos1

01

´

n

nn

n

pr

r

l

en donde P. son los polinomios de legendre convencionales, r es el vector radial del punto fijo p en el que se

determinara V, r´ es el vector radial del elemento de masa variable dM y ψ es el angulo entre r y r´ [Fig. 2-9).

Como r es una constante con respecto ii la integración sobre la tierra, puede sacarse de la integral. De manera que

obtenemos

dMprk

rV n

n

nn

)(cos´1

01

Si escribimos esto en la forma usual como una serie de armonicas esféricas solidas,

01

)(

nn

n

r

YV 2-31

vemos por comparación que la armónica esferica de superficie de Laplace Yn(λ,θ) viene dada por

´)(cos´),(

dprkY n

n

2-32

y su dependencia de ζ y λ se manifiesta a través del ángulo ψ, dado que

´cos´coscoscos sensen (2-33)

Las coordenadas esféricas se definieron en la sección 1-8.

Se puede obtener una forma mas explicitá utilizando la formula de descomposición (1-83´):

0 011

´),́(´)(

´),́(´)(

12

11

n

n

m

nm

n

n

nmnm

n

n

nm Srr

SRr

r

R

nl

Si insertamos esto en la integral (2-30.) y sacamos los términos que dependen de r,θ,λ, obtenemos

(2-34)

0 011

)()(

n

n

mn

nmnmn

nmnm

r

SB

r

RAV 2-34

Figura 2-9

en donde los coeficientes constantes A y B están representados por

tierra

nm

n

nm dMRrkAn ´)´()12( ´ 2-35

tierra

nm

n

nm dMSrkBn ´)´()12( ´

Estas Formulas son muy simetricas y fáciles de recordar: el coeficiente multiplicado por 2n + 1. de la armónica

solida

Page 61: Heiskanen

1

)(n

nm

r

R

es 1a Integral de la armónica solida

Hay una relación similar que es valida para Snm

Como el elemento de masa es

´´´´´´´ 2´ dddrsenprdzdypdxdM (2-36)

La determinación misma del valor de las integrales requiere que la densidad p este expresada como una función de r´

,λ´,ζ´.Aunque en la actualidad no se dispone de dicha expresión, esta no afecta la importancia teórica y practica de las

armonicas esféricas ya que los coeficientes Anm y Bnm pueden determinarse| con los valores limites de la gravedad en

la superficie de la tierra. Este es un problema de valores limites que esta relacionado con los conceptos desarrollados

en las secciones 1-16 y 1-L7 y que mas adelante se explicarán en detalle.

Si recordamos 1as aplaciones (1-73) y (1-78) entre las armónicas esfericas completamente normal izadas y la';

convencionales, es posible escribir las ecuaciones (2-34) / (2-35) en terminos de armonicas convencionales,

obteniendo asi:

(2-37)

11

)()(nn r

SnmBnm

r

RnmAnmV en donde

dMprKAno n

n )̀cos(

dMRrmn

mnAnm nm

n )()!(

)!(2 (2.38) cuando m es diferente de cero

dMSrmn

mnBnm nm

n )()!(

)!(2

Estas formulas no son tan simetricas como las formulas correspondientes(2-35).

Con respecto a la dinamica de los satelites, el potencial V se expresa a menudo de la forma.

n

n

n

m

nmnmnmnm

n

SKRUr

a

r

MV

1 0

)()(1 2.39

En donde a es el radio ecuatorial de la tierra, de manera que.

nm

n

nm

n

KKMaBnm

JKMaAnm n diferente de cero 2.40

Los coeficientes completamente normalizados correspondientes

0012

1nn J

nJ

nm

nm

nm

nm

K

J

mnn

mn

K

J

)!)(12(2

)!( m sea dif de cero (2-41)

Page 62: Heiskanen

Tambien se utilizan .

Es obvio que faltarian los terminos no zonales (m diferente de 0) en todos estos desarrollos si la tierra tuviera una

simetría de revolucion total, puesto que los terminos mencionados dependen de la longitud. En cuerpos

rotacionalmente simétricos no hay dependencia de landa porque todas lan longitudes son equvalentes. Las armonicas

teserales y sectoriales seran, no obstante, pequeñas puesto que las desviaciones de la simetría de revolucion son

triviales.

Finalmente analicemos la convergenia de (234) o de desarrollos en series equivalentes del potencial de la tierra. Esta

serie es un desarrollo por potencias de 1/r. Por consiguiente, cuando mas grande sea r tanto mejor la convergencia.

Para r mas pequeños no es necesariamente convergentes. En el caso de un cuerpo arbitrario, puede demostrarse que el

desarrollo de V en armonicas esfericas es siempre convergentes fuera de la efera mas pequeña r=rο que encierra el

cuerpo totalmente . Dentro de esta esfera, la serie es po lo generalmente divergente. En algunos caso puede ser

parcialmente convergente dentro de la esfera r=rο. Si la tierra fuera un elipsoide homogéneo con aproximaiones las

mismas dimensiones, entonces la serie para V seria en efecto convergente en la superficie de la tierra. Dadas las

irregularidades de la masa, sin embargo la serie del potencial real V de la tierra debera considerarse divergente en su

superficie. Esto afecta el significado practico del desarrollo armonico de V para la geodesia terrestre; no obstante,

ademas de su valor teorico tiene un gran uso practico en la dinamica de los satelites.

No es necesario recalcar que el desarrollo armonico esferico, expresando siempre una funcion armonica, puede

representarse solamente el potencial afuera de las masa atrayaentes, nunca dentro de las mismas.

ARMONICAS DE GRADO INFERIOR

Resulta ilustrativo determinar en forma explicita el valor de los coeficientes de las primeras armonicas esfericas.

Para referencia rápida establecemos el primero algunas funciones armonicas convencionales Rnm y Snm, utilizando

(1-58)(1-61):

23

cos3

0

0

0

cos3

coscos3

2/1cos2/3

cos

cos

1

2

22

21

20

11

10

00

2

22

21

2

20

11

10

00

sensenS

sensenS

S

sensenS

S

S

senR

senR

R

senR

R

R

2.42

las armonicas solidas correspondientes rnRnm y rnSm son sencillamente plinomios homogéneos expresados en x, y,z.

Po ejemplo,

ecuacion xysenrsenrsensensenrSr 6))(cos(6cos6 22

22

2

En esta forma hallamos

Page 63: Heiskanen

yzrS

yzrS

rS

yrS

rS

S

yxrR

xzrR

zyxrR

senrR

zrR

R

6

3

0

0

0

33

3

2/12/1

cos

1

22

21

20

11

10

00

22

22

21

222

20

11

10

00

3-43

Si sustituimos estas funciones en la expresión (238)para los coeficientes Anm y Bnm, obtenemos para el termino de

cero grado.

kMdMkAno 2-44a

Es decir el producto de la masa de la tierra por la constante gravitacional.

Para los coeficientes de primer grado obtenemos

Ecuación

dMzkAno ` dMxkAn ` dMykBn ` 2-44a

Y para los coeficientes de segundo grado

dMzyxkA 222

2

1

dMzxkA ´´2

1dMzykB ´´ 2-44c

dMyxkA 22

2

1dMyxkB ´´

2

1

De acuerdo con la mecánica sabemos que

dMxM

´1

dMyM

´1

dMzM

´1

2-45

Son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad. Si el origen del sistema coordenadas coincide con el centro

de gravedad entonces estas coordenadas y por tanto las integrales (2-44a)son cero. Si el origen r=0 es el centro de

gravedad de la tierra, entonces no habra terminos de primer grado en el desarrollo armonico esferico del potencial V.

Sto es por consiguente tambien cierto para nuestro sistema de coordenads egocéntricas.

Las integrales

dMyx ´´ dMzy ´´´ dMyz ´´

Page 64: Heiskanen

Son los productos de inercia. Seran cero si los ejkes de las coordenadas coinciden con los ejes principales de inercia.

Como el eje z es idéntico al eje medio de rotación de la tierra, el cual coincide con el eje de máxima inercia, se

anularan por lo meno el segundo y el tercero de estos productos de inercia. Por consiguiente A21 y B22 seran cero, peo

no B22, el cual es proporcional al primer producto de inercia; B22 se anularia unicamente si al tierra tuviera una

simetri de revolucion total o si de por casualidad el eje principal de inercia coincidiera con el meridiano de Greenwich.

Las cinco armonicas A10,R11,S11,A21,R21 y B21,S21, todas armonicas de primer grado y las de segundo grado y

primer orden que deben anularse de esta manera en cualquier desarrolloarmonico esferico del potencia l de la tierra, se

conocen como armonicas esfericas o inadmisibles.

Si incluimos los momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z aplicando las definiciones por todos conocidas

dMzyA )( 22

dMxzB )( 22 2-46a

dMyxC )( 22

Y denotamos el proucto xy de inercia, el cual no puede decirse que se anula, por

dMyxD ´´ 2-46b

Obtendremos finalmente.

Ecuaciones

kDB

ABkA

CBA

CBA

kA

BAA

kMA

2/1

)(4/1

)2

(

0

22

22

2121

20

111110

00

2-47

Supongamos ahora que los ejes x y y coinciden con los respectivos ejes principales de inercia de la tierra. (Esto es

teóricamente posible ya que en la actualidad los ejes principales de inercia de la tierra solo se conocen

aproximandamente). Luego B22=0, y teniendo en cuenta (2-42) podemos escribir explícitamente

)1

(02cos)(4/3)cos31)(2

(2

14

22

3 rsenAB

BAC

r

k

r

kMV 2-48

En el caso de las oordenadas rectangulares se supne la forma simétrica.

)1

(0)2()2()2(2 4

222

3 rzCBAyBACxACB

r

k

r

kMV

2-48´

Que se puede obtener fácilmente si se toma en cuenta las relaciones (1-36)entre las coordenadas rectangulares y las

esfericas.

Los erminos de oreden superior a 1/r³pueden omitirse en el caso de distancias mayores (digamos para la distancia a la

luna)de amnera que tanto (2-48) como (2-48´), pasando pr alto los terminos de orden superior 0/(1/r4) resultan

apropiados para muchos propósitos astronomicos. En el caso de distancias planetarias, aun el primer termino,

V=kM/r

Es por lo general sufuciente; representa el potencial de una masa puntual. Por lo tanto, para distancia muy grandes,

todos los cuerpos actuan como masas puntuales.

Page 65: Heiskanen

Si se usa la forma (2-39)del desarrollo armonico esferico de V entonces los coeficientes de orden inferior se obtienen

aplicando (2-40)y (2-47)hallando que

222

222

2121

220

111110

2

4

0

2

0

Ma

DK

Ma

BAJ

KJ

Ma

BAC

J

KJJ

La primera de estas formulas muestra qu la suma de una sucesión en (2-39 normalmete empieza con n=2, las otras

realcionan los coeficientes de segundo grado con la mas y los momentos y productos de la inercia de la tierra.

La notación 0(1,r4) se refier a los termino del orden de 1/r4

EL CAMPO DE GRAVEDAD DEL ELIPSOIDE DE NIVEL

Como una primera aproximación,la tierra puede considerarse como una esfera; como una segunda aproximación puede

considerarse un elipsoide de revolucion. Aunque la tierra no es un elipoide exacto, el campo de gravedad de un

elipoide tiene una gran importancia practica porque es mas facil de manejar matemáticamente y las diferencias entre el

campo real de gravedad y el campo normal elipsoidal son tan pequeñas que pueden considerarse lineales. Esta division

del campo de gravedad de la tierra en uno normal y un campo pequeño pertubador restante simplifica

considerablemnte el problema de su determinación; el problema difícilmente se podria resolver de otra forma.

Por lo anto suponemos que la configuración normal de la tierra es un elipsoide de nivel, es deci, un elipsoide de

revolucion que es una supeficie equipotencial de una campo de gravedad normal. Esta hipótesis es necesaria porque el

elipsoide ha de ser la forma normal de geoide, el cual es una superficie equipotencial del campo real de la gravedad. Si

denotamos el potencial del campo de gravedad normal por

U=U(x,y,z)

Vemos que el elipsoide de nivel, siendo este una superficie U=const, corresponde exactamente al geoide, definido omo

una superficie W=const.

Lo importante aquí es que al por sentado que el elipsoide dad es una supeficie equipotencial del campo de gravedad

normal, y al suponer que la masa total es M, determinamos de una manera completa y exclusiva el potencial normal U.

La distribución detallada de la densidad dentro del elipsoide, la cual origina el potencial U, es de poca importancia y

no es necesario conocerla.

Esta determinación resulta posible por el teorema de Stokes. Originalmente se demostro que era solamente valida para

el potencial gravitacional V, pero tambien puede aplicarse al potencial de gravedad.

)(2/1 222 yxVU

Si se conoce la velocidad angular w. La prueba se deduce de la seccion 1-7 con ciertas modificaciones como es obvio.

Por lo tanto, la funcion potencial normal U(x,y,z) se determina completamente por medio de:

1. La configuración del elipsoide de revolucion, es decir, sus semiejes a y b.

2. La masa total M

3. La velocidad angular.

Ahora efestuaremos los calculos detalladamente. El elipsoide dado So

12

2

2

22

b

z

a

yx 2-51

Page 66: Heiskanen

Es por definición una superficie equipotencial

UozyxU ),,( 2-52

Se considera el elipsoide So como el elipsoide de referencia u =b. En este capitulo y los siguientes denotaremos las

coordenadas elipsoidadles ζ por ζ´´reservando el símbolo ζ para la distancia polar esferica. Esta distinciones necesaria

porque tanto ζ como ζ´´se usaran en el mismo contexto. Ademas usaremos

90

Es al latitud reducida muy utilizada en la geodesia geométrica

Como la parte gravitacional V del potencial normal U es armonica fuera del elipsoide So, usamos la seri 1-111b el

campo b tiene simetría de revolucion y pr consiguiente no depende de la longitud landa, Por lo tanto todos los terminos

que no sean razonables y dependan de landa deben ser cero.

Por lo tanto el potencial de gravedad normal total puede expresarse

2222 cos)(2/1)(

)(

)(

),( EusenAnPn

p

biQ

b

uiQ

uU

En el elipsoide So tenemos que u=b y U=Uo, por consiguiente

2222 cos)(2/1)( EbsenAnPnUo

Esta ecuación debe ser valida para todos los puntos de So, es decir, para todos los vslores de beta , como

222 aEb

)1(3/2cos2 psen

Tenemos que

0)(3/13/1)( 2

22

0

22 UosenPaasenAnPnn

del desarrollo de la anterior concluimos:

)(3/1)3/1(),( 2

2

2

2222 senp

E

biQ

E

uiQ

a

E

biQo

E

uiQ

aUouVo

2-56

Esta formula es esencialmente la solución del problema 'de Dinctilet para elelipsoide de nivel, pero podemos darle

fnrmas mucho ina's convenientes.

Como

Page 67: Heiskanen

De acuerdo con las expresiones (1-36) para las coordenadas esféricas y con las ecuaciones (1-103) para las

coordenadas elipsoidales, hallamos

2222222 cosEurzyx

de modo que para los valores

grandes de r tenemos

3

10

11

rru

3

1 10tan

rr

E

u

E

Para distancias r muy grandes, el primer termino en"(2-59) es dominante, de modo

que asintoticamente

.31

22

0

10

1

)(tan3

1

rrEb

EawUV

Según la sección anterior sabemos que

3

10

rr

KMV |

La comparación de estas dos expresiones muestra que.

)(tan3

11

22

0Eb

EawUKM 2-60

221

03

1tan aw

b

b

E

KMU

san las relaciones deseadas entre la masa M y e1 potencial 0U

Estas relacionas pueden sustituirse en la expresión para V dada por (2-59) y-P2 expresarse como

2

1

2

3)( 2

2 sensenp

Fina1mente si agregaramos e1 potencial centrifugo Ф (2-55), obtenemos el potencial de la gravedad normal U

2222221 cos)(2

1

3

1

2

1tan)3,( Euwsen

q

qaw

u

E

E

KMuU

Page 68: Heiskanen

Las únicas constantes que so presentan en esta formula son a, b, kM, y w.

cüncuerria plenamente con el teorema f.tp Stokes.

2-8. Gravedad Normal

El elemento lineal expresado en coordenadas elipsoidales, esta dado por

dxEudEuwduwdv 22222222 cos)()(

en donde

22

222

Eu

senEuw 2-63

Por lo tanto tenemos, junto con las lineas de coordenadas:

µ = variable β=const λ=const

β= variable µ=const λ=const

λ= variable µ=const β=const

Las componentes del vector de gravedad normal

Γ=gradU

A lo largo de estas líneas de coordenadas están dados por

u

U

Ws

U

u

1

U

EuWs

U

22

1

0cos

1

22

U

EuWs

U

La componente Yt

es cero puesto que U no contiene λ. Esto tambien resulta obvio por la simetría de la revolucion.

A1 efectuar las diferenciaciones parcíales hallamos que:

222

0

2

22

22

22cos

6

1

2

1´uwsen

q

q

Eu

Eaw

Eu

KMW u

cos222

022

22

senEuwq

q

Eu

aww

en donde hemos usado

1tan113´ 1

2

222

u

E

E

u

E

u

du

dq

E

Euq

(2-67)

Page 69: Heiskanen

Nótese que que no significa dq/qu; esta notacion se ha adoptado del trabajo deHirvonen (1960), en donde q' es la

derivada con respecto a otra variable independiente α , que no estamos usando aqui"

.Para el misino elipsoide de nivel 0S tenemos que u = b, y obtenemos.

00 (2-6,8]

(Con Frecuencia denotaremos. 1as cantidades que hacen referencia a So por el subindice 0.) Esto también

resulta evidente porque en 0S el vector de gravedad es normal a la superficie de nivel 0S . Por consiguiente,

ademas de la componente λ también la componente β es cero en el elipsoide de referencia u = b.1 _

Los otros

elipsoides coordenado', u x const. no son superficies equipotenciales U

= const, de manera que en general

lacomponente no sera cero-.

Por lo tanto la gravedad total en el elipsoide. 0S que sencillamente denotaremos por γ, esta' dada por

\2

222

0

0

22

22220, cos

6

1

2

1´1

cos KM

bawsen

q

q

KM

Eaw

bsenaa

KMa

ya que las relaciones

aEbEu 222

2

2222222

0 cos11

bsenaa

senEba

w

son validas en 0S

Si Incluimos la forma abreviada

KM

bawm

22

2-70

y la segunda excentricidad- l

La primera excentricidad es c = E/a.. La prima de e no denota diferenciación sino

que sencillamente distingue la segunda excentricidad de la primera-.

b

ba

b

Ee

22

´ 2-71

y eliminamos los terminos constantes al notar que

22cos senl

obtenemos

Page 70: Heiskanen

2

0

02

0

0

2222cos

´

61)

´

3

´1(

cos q

eqmmsen

q

eqm

bsenaa

KM2-72

En el ecuador β=0 hallamos.

0

0

61

q

eqmm

ab

KM 2-73:

(2-74)

en 1os polos (β=+-90) la gravedad normal está representada por

0

0

203

1q

eqm

a

KM 2-74

La gravedad normal en el ecuador γa y la gravedad normal en el polo, γb satisfacen a relación

0

0

2

2

´´1

q

qebw

a

ba

a

ab (2-75)

que deberá comprobarse por susutitucion. Esta es la forma inflexible de una formula aproximado importante publicada

por Clairaut en 1738. Por ello se le

Page 71: Heiskanen

conoce como el teorema de Clairaut. Su importancia se explica claramente en la sección 2-10.

Si comparamos la expresión (2-73) para a y U. expresión (2-74) para b con las cantidades encerradas con

paréntesis en la formula (2-72), vemos que es posible escribir en la forma simétrica

2222

22

cos

cos

bsina

bsina ab (2-76)

Finalmente, se incluye en el elipsoide la latitud geográfica, , que es el ángulo entre la normal al elipsoide y e1 plano

ecuatorial (Fig. 2-11). Aplicando la conocida formula de la geodesia geométrica

tana

btan (2-77)

obtenemos

2222

22

cos

cos

sinba

sinba ba (2-78)

Los calcu1os podrá efectuarlos el lector como práctica. Esta formula para 1a gravedad normal en el e1 elipsoide fue

desarrollada por Somigliana (1929).

Concluiremos esta sección con observaciones sobre e1 gradiente vertical de 1a gravedad en e1 elipsoide de referencia

hsu . La formula de Bruns (2-20) aplicada al campo de gravedad normal en donde =0; nos da

222 Jh

(2-79)

La curvatura media de1 elipsoide está dada por

NMJ

11

2

1 (2-80)

en donde M y N son los radios principales de curvatura M es el radio en la misma dirección que el meridiano, y N e1

radio normal de la curvatura, tomado en la misma dirección que el primer vertical. Adoptando geométrica 1as formulas

elipsoide de referencia U = Uo

Page 72: Heiskanen

Figura 2-11: Latitud geográfica (elipsoidal) , latitud geocéntrica , latitud reducida y sus complementos para un

punto P en el elipsoide.

21

22 cos'1 e

cM ,

21

22 cos'1 e

cN

en donde

b

ac

2

es el radio de curvatura en el polo. El radio normal de curvatura, N, puede interpretarse geométricamente (Fig. 2-11),

por lo que también se 1i? conoce como 1a "normal terminada por el eje menor" (Bomford. 1962, pag. 497).

2-9. Desarrollo del Potencial Normal en Armónicas Esféricas

Hemos hallado que el potencial gravitacional de la configuración normal de la tierra en términos de armónicas

elipsiodales tiene 1a siguiente forma

sinPq

qa

u

Etan

E

KMV 2

0

221

3

1 (2-83)

Ahora deseamos expresar esta ecuación en términos de las coordenadas esféricas ,,r

Primero tenemos que establecer una relación entre las coordenadas elipsoidales y las esféricas. Si comparamos las

coordenadas rectangulares de estos sistemas de acuerdo con las ecuaciones (1-36) y (1-103), obtenemos

usinr

sinEursin

Eursin

cos

coscos

coscoscos

22

22

Como la longitud es la misma en ambos sistemas, con estas ecuaciones podemos determinar fácilmente

222

22

cos

cot

Eur

tanEu

u

(2-84)

La transformación directa de (2-83) expresando u y en términos de r y por medio de las ecuaciones (2-84) es

sumamente difícil. Sin embargo el problema puede resolverse fácilmente en una forma indirecta.

Desarrollamos tan-1(E/u) p-ira formar una serie exponencial conocida por

...5

1

3

153

1

u

E

u

E

u

E

u

Etan (2-85)

Si insertamos esta serie en la formula (2-57)

Page 73: Heiskanen

E

u

u

Etan

E

uq 331

2

1 1

2

2

resulta, después de operaciones sencillas, en

753

9.7

3

7.5

2

5.3

12

u

E

u

E

u

Eq (2-86)

Concretamente tenemos

12

1

12

1

1

3212

21

12

11

n

n

n

n

n

n

u

E

nn

nq

u

E

nu

E

u

Etan

Insertando esto en (2-83) obtenemos

)(3212

21

312

11 2

12

1 10

2212

sinPu

E

nn

n

q

a

u

E

nE

kM

u

kMV

n

n

n

n

n

n

Si incluimos m. definido por (2-70), y la segunda excentricidad e' = E/b, hallamos

1

2

0

12

32

2

3

'1

121

n

n

nsinP

n

n

q

me

u

E

En

kM

u

kMV (2-87)

Desarrollamos el potencial V en una serie de armónicas esféricas. Dada la simetría de revolución solamente habrán

términos zonales, y dada la simetría con respecto al plano ecuatorial solamente habrá armónicas zonales pares. Las

armónicas zonales de grado impar cambian de signo para las latitudes negativas y por lo tanto no se incluyen. En

consecuencia, la serie tiene la forma

t 5

4

43

2

2

coscos

r

PA

r

PA

r

kMV (2-88)

Luego tenemos que determinar los coeficientes ,, 42 AA .Para ello consideramos un punto sobre e1 eje de rotación,

afuera del elipsoide. Para dicho punto tenemos que = 90°, = O°, y de acuerdo con (2-84), u = r. Luego (2-87)

pasa a ser

112

0

2 1

3

'

32

21

121

nn

nn

rq

me

n

n

n

kME

r

kMV

y (2-88) toma la forma

11225

4

3

3 1

nnn

rA

r

kM

r

A

r

A

r

kMV

Aquí hemos aplicado el hecho de que para todos los valores de n

;1)1(nP

véase también la Fig. 1-8. Comparando los coeficientes, de ambas expresiones para V hallamos que

Page 74: Heiskanen

0

2

23

'

32

21

12)1(

q

me

n

n

n

kMEA

nn

n (2-89)

Las ecuaciones (2-88) y (2-89) proporcionan 1a expresión deseada para el potencial del elipsoide de nivel como una

serie de armónicas esféricas.

El coeficiente de segundo 2A es

)(2 CAkA

Esto resulta de (2-47); tenemos que A = B por motivos de simetría. La C constituye el momento de inercia con

respecto al eje de rotación, y A es el momento de inercia con res pecto a cualquier eje en el plano ecuatorial. Usando

n=1 en (2-89) obtenemos

0

2

2

'

15

21

3

1

q

mekMEA

Comparando esto con la ecuación anterior, hallamos que

0

2 '

15

21

3

1)(

q

mekMEACk (2-90)

Por lo tanto la diferencia entre los momentos principales de inercia se expresa en términos de las "constantes de

Stokes" a, b. M y .

Es posible eliminar qp de las ecuaciones (2-89) y (2-90), obteniendo

2

2

2 51)32)(12(

3)1(

ME

ACnn

nn

kMEA n

n (2-91)

Si escribimos el potencial V en la forma

1

2

2

2

4

4

42

2

2

)(cos1

)(cos)(cos1

n

n

n

n Pr

aJ

r

kMV

Pr

aJP

r

aJ

r

kMV

luego J está dado por

2

21

2 51)32)(12(

3)1(

ME

ACnn

nn

eJ

nn

n (2-92).

Aquí hemos incluido la primera excentricidad e = E/a. Para n = 1 esto resulta en la formula importante

22Ma

ACJ (2-92‘)

que esta de acuerdo con 1as ecuaciones (2-49).

Finalmente observamos que al eliminar E

biQ

iq 20

1 usando (2-90), y Uo (2-60) podemos escribir el desarrollo

de V en armónicas elipsoidales, ecuaciones (2-56), en la forma

Page 75: Heiskanen

)(3

1

2

15),( 22

2

0 sinPE

uiQMEACk

E

i

E

uikMQ

E

iuV (2-93)

Esto muestra que los coeficientes de las armónicas elipsoidales de los grados cero y dos son funciones de la masa y de

la diferencia entre los dos momentos principales de inercia. La ana1ogía con 1os coeficientes armónicos esféricos

correspondientes (2-47) es obvia.

2-10. Desarrollos en Serie para el Campo de Gravedad Normal

Como e1 elipsoide de la tierra es casi una esfera, las cantidades

22 baE , excentricidad lineal

a

Ee , primera excentricidad (numérica),

b

Ee' , segunda excentricidad (numérica), (2-94)

a

baf , achatamiento

y los parámetros similares que caracterizan la desviación de una esfera, son pequeños. Por consiguiente, los desarrollos

en serie en términos de estos parámetros o similares resultan convenientes para los cálculos numéricos.

Aproximación Lineal. Para que el 1ector pueda entender y aplicar las siguientes formulas prácticas, se considerará

primero una aproximación que es lineal en el achatamiento f. Aquí tratamos con fórmulas particularmente sencillas y

simétricas que también demuestran claramente la estructura de 1os desarrollos de orden superior.

Es conocido que el vector radial r de un elipsoide está dado aproximadamente por

)1( fsinar (2-95)

Como veremos más adelante, la gravedad normal con la misma aproximación, puede escribirse

)*1( 2sinfa (2-96)

Para 90 , en los polos, tenemos que a=b y b . Por tanto podemos

escribir

*)1(),1( ffab ab

y despejando f y f* obtenemos

a

baf (2-97)

a

abf * (2-98)

de manera que f es el achatamiento definido por (2-94), y f* es una cantidad análoga que podemos denominar el

achatamiento por gravedad.

Con esta misma aproximación, (2-75) se convierte en

,2

5* mff (2-99)

en donde

Page 76: Heiskanen

ecuadorelenvedad

ecuadorelencentrifugafuerzaam

a ___gra

____2

(2-100)

Este es el teorema de Clairaut en su forma original. Es una de las fórmulas más notables de la geodesia física: El

achatamiento (geométrico) f (2-97) puede deducirse de f* y m, que son cantidades netamente dinámicas obtenidas

mediante mediciones gravimétricas; es decir, que e1 achatamiento de la tierra puede determinarse de mediciones

gravimétricas.

Obviamente la formula de Clairaut es solamente una primera aproximación y debe mejorarse incluyendo primero en f

los términos elipsoidales de orden superior y, en segundo lugar, tomando en cuenta la desviación del campo de

gravedad de la tierra normal. Pero e1 principio sigue siendo el mismo.

Desarrollo de segundo orden. Ahora desarrollaremos las formulas cerradas de las dos secciones anteriores para

formar series de términos de la segunda excentricidad e‘ y del achatamiento f, genera1mente hasta 24' ofe inclusive.

Casi siempre se hace caso omiso do términos del orden de 35' ofe y superior.

Se empieza con la serie

842

753

753

1

97

1

75

1

53

16'

,97

3

75

2

53

12

,7

1

5

1

3

1

u

E

u

E

u

Eq

u

E

u

E

u

Eq

u

E

u

E

u

E

u

E

u

Etan

(2-101)

Las primeras dos series ya se han usado en la sección anterior; la tercera se obtiene incorporando 1a serie de 1tan a la

formula cerrada (2-67) para q‘.

En el elipsoide de referencia So tenemos que u = b y

,'eb

E

u

E

De modo que

,'7

61'

15

2

,'5

1'

3

1''

23

0

531

eeq

eeeetan

(2-102)

2

0

0

22

0

'7

313

'

,'7

31'

5

2'

eq

qe

eeq

(2-103)

También necesitaremos la serie

Page 77: Heiskanen

42

2'

8

3'

2

11

'1eea

e

ab

Potencial y gravedad. Si sustituimos estas expresiones en las formulas cerradas (2-61), (2-73). (2-74) y (2-75)

obtenemos hasta el orden e‘4, inclusive:

potencial :

,3

1'

5

1'

3

11 2242

0 aeeb

kMU (2-104)

gravedad en el ecuador y en el polo:

,'14

3

2

31 2 mem

ab

kMa

(2-105a)

,'7

31 2

2mem

a

kMb

(2-105b)

e1 teorema de Clairaut:

22

'35

91

2

5* e

bff

a

(2-106)

La razón aa /2 puede expresarse

,2

3 22

mma

a

(2-107)

que es una versión más exacta de (2-100).

De acuerdo con la ecuación (2-l05a) hallamos

22

4

9'

14

3

2

31 mmemabkM a , (2-108)

que da como resultado la masa en términos de la gravedad ecuatorial. Por medio de esta ecuación podemos expresar 1a

kM de 1a ecuación (2-104) en términos de a , obteniendo

2242

04

11'

7

2'

5

1

6

11'

3

11 mmeemeaU a (2-109)

Aquí hemos eliminado 22 a sustituyéndolo por kMm/b.

Ahora podemos considerar la ecuación (2-78) para la gravedad normal. Con una operación simple obtenemos

2

2

22

2

1

1

sina

ba

sina

ab

b

ab

a

Page 78: Heiskanen

Se desarrolla el denominador para formar una serie binomia:

2

8

3

2

11

1

1xx

x

Luego se incluye 1a serie abreviada

2242

42

2

2

2

22

4

15'

7

13'

2

5'

,'''1

'

mmeemea

ab

eee

e

a

ba

a

ab

y, después de la sustitución, obtenemos

42422242 '4

5'

8

1

4

15'

7

13'

2

1

2

5'

2

11 sinmeesinmmeemea

(2-110)

También podemos expresar estas cantidades en términos del achatamiento f s ustituyendo la ecuación

2

2

2 3211

1' ff

fe

El achatamiento f se utiliza con mucha frecuencia; ofrece una pequeña ventaja sobre la segunda excentricidad e' puesto

que es del mismo orden de magnitud que m: el hecho de que 422 ',', emem sean cantidades de1 mismo orden de

magnitud no se aprecia enseguida. De modo que obtenemos

2

4

9

7

3

2

31 mfmmabkM a (2-111)

22

04

11

7

4

5

1

6

11

3

21 mfmfmfaU a (2-112)

42222

2

5

2

1

4

15

7

26

2

1

2

51 sinfmfsinmfmfmfa (2-113)

La ultima formula generalmente se abrevia de la siguiente manera

,1 4

4

2

2 sinfsinfa (2-114)

de modo que tenemos

fmff

mfmfmff

2

5

2

1

4

15

7

26

2

1

2

5

2

4

22

2

(2-115)

Page 79: Heiskanen

Si sustituimos

24

1 224 sinsinsin

finalmente obtenemos

24

1*1 2

4

2 sinfsinfa (2-116)

en donde

42* fffa

ab (2-117)

es el "achatamiento por gravedad‖

Coeficientes de las armónicas esféricas . La ecuación (2-90) para los momentos principales de inercia en seguida da

como resultado

02

'

45

2

3

1

q

me

ME

AC

Si la desarrollamos por medio de (2-102) hallamos

memeeME

AC 22

22'

7

2

3

1'

3

1

'

1

Al insertar esto en (2-92) obtenemos

fmfmfJ

meemeMa

ACJ

21

2

3

1

3

1

3

2

'21

1'

3

1

3

1'

3

1

2

2

242

22

(2-118)

fmfmeeJ7

1

5

4'

7

2'

5

1 224

4 (2-119)

Las J superiores corresponden a un orden de magnitud que se ha omitido.

Gravedad sobre el elipsoide. En el caso de una elevación pequeña h sobre el elipsoide, es posible desarrollar la

gravedad normal h , a esta elevación para formar una serie en términos de h: -

2

2

2

2

1h

hh

hb

en donde y sus derivadas hacen referencia al elipsoide (h = 0).

La primera derivada h/ está dada por la formula de Bruns (2-79):

Page 80: Heiskanen

2211

NMh (2-120)

en donde M, N son los radios principa1es de curvatura del elipsoide, definidos por (2-8l). Como

22

2

2322

2cos'

2

31cos'1

1e

a

be

a

b

M

22

2

2122

2cos'

2

11cos'1

1e

a

be

a

b

N

tenemos

2

2

2322

2cos21

2cos'22

11f

a

be

a

b

NM

Aquí nos hemos limitado a términos lineales en f, dado que la elevación h es en sí una cantidad pequeña. Por tanto,

después de algunas operaciones sencillas con (2-120) hallamos:

2212

fsinmfah

(2-121)

La segunda derivada puede tomarse de la aproximación esférica, la cual se obtiene haciendo caso omiso de e’2 o f:

42

2

2

2

32

6,

2,

a

kM

aha

kM

aha

kM

De modo que

22

2 6

ah (2-122)

Por 1o tanto obtenemos

2

2

2 321

21 h

ahfsinmf

ah (2-123)

Usando la ecuación (2-113) para , también podemos expresar la diferencia h en la siguiente forma

2

2

42 3

2

531

2h

ahsinmfmf

a

a

h (2-124)

El símbo1o h denota 1a gravedad normal para un punto de latitud , situado a una altura h sobre el elipsoide;

representa la gravedad en el elipsoide mismo para la misma latitud , tal como se expresa en (2-116) o formulas

equivalentes.

En la publicación de Hirvonen (1960) podrán hallarse desarrollos en serie de órdenes superiores así como fórmulas

para calcular las diversas cantidades relativas al campo de gravedad normal.

2-11. Valores numéricos. El Elipsoide Internacional

El elipsoide de referencia y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes. Por 1o

general se incluyen tos siguientes cuatro parámetros:

Page 81: Heiskanen

a semieje principal;

f achatamiento;

a gravedad ecuatorial; y

velocidad angular.

Los valores mas conocidos y usados son los que corresponden al elipsoide internacional:

a= 6378688.00 metros

f= 1/297000

a = 978.049000 gal

= 0.72921151 x 10^-4 sec^-1

Los parámetros geométricos de a y F Fueron determinados por Hayford en 1909 a partir de datos astrogeodesicos do

los Estados Unidos que habían sido reducidos isostáticamente. La asamblea de la Asociación Internacional de

Geodesia celebrada en Madrid en 1924 los adopto para el elipsoide internacinal. El valor de la gravedad ecuatorial a

fue calculado por Heiskanen (l928) usamdo también datos gravimétricos reducidos isostaticamente,; La formula

correspondiente para la gravedad Internacional,

galsinsing )20000059.00052884.01(0490.978 22 (2-126)

cuyos coeficientes fueron calculados a partir de valores supuestos para a, f, a , mediante 1as ecuaciones de Cassinis

(19.10) [ecuaciones (2-115), (2-116), (2-117) fue adoptada por la asamblea de Estocolmo en 1930.

Todos los parámetros del elípsoide internacional y su campo de gravedad pueden calcularse a cualquier grado de

precisión utilizando (2-125), la cual por supuesto expresa únicamente la consistencia interna. En esta forma hallamos

que

b = 6 356 911 metros,

E = 522 9/6.1 metros, 2'e = 0.006 768 (2-127)

0q = 0.000 0/3 8130.

0'q = 0.002 699 44.

m = 0.003 449 86.

El potencial del elipsoide internacional es

Uo = 6 263 978.7 kgal metros (2-128)

El producto de la masa de la tierra y de la constante gravitacional tiene un valor de

kM = 3.9863290 x 10^20 cm3 sec^-2 (2-129)

Como la constante gravitacional tiene un valor de

k = 6.67 X 10^-8 cm3 g^-1 sec^-2

la masa de la tierra es

M = 5.98 X lO^27 g.

Como k no es muy precisa no tendría mucho sentido proporcionar una mayor precisión para M.

En e1 caso de las constantes del desarrollo armónico esférico del campo de gravedad normal, hallamos los siguientes

valores

Page 82: Heiskanen

00000243.0

0010920.0

4

22

J

Ma

ACJ

(2-130)

El cambio de la gravedad normal con respecto a la elevación esta expresado por la formula (2-124), la cual para el

elipsoide internacional pasa a ser

22 000072.0)00045.030877.0( hhsinb (2-131)

en donde h y se miden en gales, y h es la elevación en kilómetros.

Aunque ya no podemos considerar al elipsoide internacional como la mejor aproximación de la tierra por medio de un

elipsoide, aún puede utilizarse como elipsoide de referencia para fines geodésicos (véase la sección 2-21 para mayores

detalles).

Recientemente, la asamblea de la Unión Astronómica Internacional adopto en Hamburgo en 1964 (Fricke et al., 1965)

una serie de valores que probablemente se adapte mejor a la situación actual:

a= 6378160 metros,

2f = 0.0010827

kM= 3.98603 x 10^20 cm3 sec^-2

El achatamiento correspondiente es f = 1/298.25. El valor de a. el cual es considerablemente menor que el del elipsoide

internacional, incorpora determinaciones geodésicas obtenidas recientemente; el cambio en el valor de 2J y por

consiguiente de f, se debe a los resultados proporcionados por los satélites artificiales.

Los países de oriente utilizan el elipsoide de Krasowsky:

a= 6378245 metros,

f= 1/298.3 (2-133)

En este libro continuaremos usando los valores (2-125) del elipsoide internacional, a menos que se indique lo

contrario, ya que la mayoría de 1ª mayoría de los cálculos, tablas, etc. hacen referencia al mismo; además, dichos

valores todavía no han sido cambiados oficialmente por la Unión Internacional de Geodesia y geofísica.

2-12. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia

Como se menciono anteriormente, e1 campo de gravedad de la tierra se ha divido convenientemente en un campo

normal y uno perturbador. El campo normal comprende las características de encala grande, de manera que las

desviaciones del verdadero campo de gravedad del campo normal - las perturbaciones - son pequeñas. Además, el

campo normal debe ser matemáticamente sencillo. De lo contrario sería bastante arbitrario.

El uso del elipsoide como una superficie de referencia para el campo de gravedad es bastante reciente. No se utilizó

oficialmente hasta 1930 cuando la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia en Estoco lmo adoptó la

formula teórica de la gravedad (2-126) basada en un elipsoide de revolución. Anteriormente se usaban los primeros

términos del desarrollo armónico esférico de W como un potencial normal U, es decir, las funciones,

)(2

1),(' 222

4

20 yxr

Y

r

YU (2-134a)

)(2

1),(),('' 222

5

3

5

20 yxr

Y

r

Y

r

YU (2-134b)

Aquí falta la armónica de primer grado porque se escogió el centro de la tierra como el origen de las coordenadas; se

omitió la armónica de tercer grado porque se dio por sentado que el campo normal es simétrico con respecto al plano

ecuatoria1. Las funciones 420 ,,, YyYkMY supuestamente corresponden al verdadero campo de gravedad do la

tierra.

Page 83: Heiskanen

Las superficies de referencia correspondientes U = Uo se llaman esferoides de la tierra (1)

La superficie

0),,(' UzyxU (2-135a)

se conoce como el esferoide de Bruns; la superficie

0),,('' UzyxU (2-135b)

es e1 esferoide de Helmert.

(1) Un esferoide es (1) cualquier superficie que se asemeje a una esfera: y (2) específicamente, un elip soide de

revolución. En este texto usaremos la palabra "esferoide" en el primer sentido más amplio en lugar del segundo sentido

especial.

De acuerdo con (2-48), el esferoide de Bruns esta representado por la ecuación

0

222222

5 2

1222

2UyxzCBAyBACxACB

r

k

r

kM (2-136)

Sí eliminamos la raíz cuadrada

222 zyxr

hallamos que es una superficie algebraica de grado 14. E1 esferoide de Helmert es una superficie de grado 22. .

.

En la practica, estas superficies se aproximan mucho a los elips oides. Sin embargo, son mucho mas complicadas

matemáticamente, de manera que prácticamente es imposible obtener formulas cerradas con ellas.

A continuación se dan tres razones a favor del elipsoide como una superficie de referencia en la geodesia física.

1. Como para las triangulaciones, etc. siempre se utiliza un elipsoide como superficie de referencia, es posible

usar el mismo elipsoide como una superficie de referencia tanto geométrica como física.

2. Las formulas cerradas para el elipsoide de nivel no solo permiten definir en una forma clara y precisa el

campo de gravedad normal, sino también efectuar cálculos prácticos con cualquier precisión.

3. Las funciones (2-134a) y (2-L34b) pueden considerarse las primeras aproximaciones naturales del campo de

gravedad de la tierra. Sin embargo, el desarrollo armónico esférico del potencial de la gravedad no deja de ser

mas "natural" que, digamos, un desarrollo en términos de 1as armónicas elipsoidales. Si desarrollamos W para

formar una serie de armónicas elipsoidales, entonces e1 elipsoide de nivel constituirá la primera

aproximación.

El concepto de superficie de referencia y de su campo de gravedad resultara más claro en "las siguientes secciones,

específicamente en la sección 2-21.

2-13. El Campo Anómalo de 1a Gravedad, las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical

La pequeña diferencia entre el potencial de la gravedad real W y el potencial de la gravedad normal U se denota por T,

de modo que

);,,(),,(),,( zyxTzyxUzyxW (2-137)

T se conoce como el potencial anómalo, o potencial de perturbación.

Comparamos el geoide

Page 84: Heiskanen

0),,( WzyxW

con un elipsoide de referencia

0),,( WzyxU

Figura 2-12. Geoide y elipsoide de referencia

del mismo potencial Uo = Wo. Un punto P del geoide se proyecta hacia el punto q del elipsoide por medio de normal

elipsoidal (Fig. 2-12). La distancia PQ entre el geoide y el elipsoide se conoce como la altura geoidal, u ondulación

geoidal, y se denota por N.(1)

Consideremos ahora e1 vector de gravedad g en el punto P y el vector de gravedad normal en el punto Q. El vector

de la anomalía de la gravedad g se define como su diferencia:

QPgg (2-138)

Un vector se caracteriza por magnitud y dirección. La diferencia en magnitud es la anomalía de la gravedad

QPgg (2-139)

la diferencia en dirección constituye la desviación de la vertical.

La desviación de la vertical tiene dos componentes, una componente norte-sur y una componente este-oeste (Fig.

2-13). Como la dirección de la vertical es definida directamente por las coordenadas geográficas de latitud y longitud,

1as componentes y pueden expresarse fácilmente por medio de las mismas. Las coordenadas geográficas

verdaderas del punto geoidal P, que definen la dirección de la línea de la plomada n o del vector de gravedad g, pueden

determinarse mediante mediciones astronómicas. Por lo tanto se llaman coordenadas astronómicas y se han denotado

por y . Las coordenadas geográficas elipsoidales dadas por la dirección de la normal elipsoidal n‘ se han denotado

por y . Resulta obvio que esta ultima es idéntica a la longitud geocéntrica. Por tanto,

normal geoidal n, coordenadas astronómicas , ;

normal elipsoidal n‘, coordenadas "geodésicas" , ;

En la Figura 2-13 vemos que

cos)( (2-140)

(1) Lamentablemente tenemos aquí un conflicto en la notación. En las publicaciones geodésicas tanto el radio normal

de curvatura del elipsoide como la altura geoidal se han denotado por N. Continuaremos haciendo lo mismo ya que es

poco probable que se produzcan confusiones.

Page 85: Heiskanen

Figura- 2-13. La desviación de 1ª vertical tal como se ilustra por medio de una esfera unitaria con centro en P.

También es posible comparar los vectores g y en el mismo punto P. Luego obtenemos el vector de perturbación de

la gravedad

PPg (2-141)

De igual forma, la diferencia en magnitud es 1a perturbación de la gravedad

PPgg (2-142)

La diferencia en dirección - es decir, la desviación de la vertical - es la misma que antes, puesto que las direcciones de

P y Q prácticamente coinciden.

La perturbación de 1a gravedad resulta en concepto, mucho más sencilla que la anomalía de la gravedad, pero no tiene

tanta importancia en la geodesia terrestre. La importancia de la anomalía de la gravedad es que se obtiene

directamente: la gravedad g se mide en e1 geoide (o se reduce al mismo, refiérase al capítulo 3) y la gravedad normal

se calcula para el elipsoide.

Relaciones . Hay varias relaciones matemáticas básicas entre las cantidades que acabamos de definir. Como

NUNn

UUU Q

Q

QP

tenemos

TNUTUW QPPP

Dado que

0WUW QP

hallamos que

NT (2-143)

o

TN (2-144)

Esta es la conocida formula de Bruns, la cual relaciona la ondulación geoidal con el potencial de perturbación.

Luego consideramos la perturbación de la gravedad. Como

Page 86: Heiskanen

dU

dWg

gra

gra

el vector de perturbación de la gravedad (2-141) pasa a ser

z

T

y

T

x

TdTUWd ,,gra)(gra (2-145)

Luego

n

U

n

U

n

Wg

',

ya que las direcciones dé las normales n y n‘ prácticamente coinciden. Por lo tanto, la perturbación de la gravedad se

expresa mediante

n

U

n

W

n

U

n

Wgg PP

'

O

n

Tg (2-146)

Como la elevación h se calcula a leí largo de la normal, también podemos escribir

h

Tg (2-146‘)

Si compararnos (2-146) con (2-145) vemos que la perturbación de la gravedad g , además de ser la diferencia en

magnitud entre el vector de gravedad real y el de gravedad normal es también la componente normal del vector de

perturbación de la gravedad

Veamos ahora la anomalía de la gravedad g . Como

Nh

P 0

tenemos

Nh

gggh

TQPPP

Recordando 1a definición (2-139) de la anomalía de la gravedad y tomando en cuenta la formula de Bruns (2-144),

hallamos las siguientes ecuaciones equivalentes

Nh

gh

T (2-147a)

Nhh

Tg (2-147b)

Page 87: Heiskanen

Thh

Tg

1 (2-147c)

Nh

gg (2-147d)

01

Th

gg (2-147e)

que relacionan las diferentes cantidades del campo de anomalías de la gravedad.

Otra forma equivalente seria

01

gThh

T (2-148)

Esta expresión se conoce como la ecuación fundamental de la geodesia física, porque relaciona la cantidad medida

g con el potencial anoma1o desconocido T.

Tiene la forma de una ecuación diferencial parcial. Si se conociera g en todo e1 espacio, entonces (2-148) podría

considerarse y resolverse como una ecuación diferencial parcial real. No obstante, como solo se conoce g a lo largo

de una superficie (el geoide), la ecuación fundamental (2-148) solo puede usarse como condición límite, porque sí sola

no es suficiente para calcular T. Por consiguiente, el nombre "ecuación diferencial de geodesia física", que se utiliza en

ocasiones para (2-148) muchas veces, resulta engañosa.

Por lo general damos por hecho que no existen masas fuera del geoide. Esto, por supuesto, no es en realidad cierto.

Pero tampoco se hacen observaciones directamente sobre e1 geoide; se hacen sobre la superficie física de la tierra. Al

reducir la gravedad medida al geoide, se elimina por medio de cálculos el efecto de las masas fuera del geoide, de

manera que en efecto podemos suponer que todas las masas están encerradas por e1 geoide (refiérase a los capítulos 3

y 8).

En este caso, como la densidad es cero en todas partes fuera de1 geoide, el potencial anoma1o T allí es armónico y

satisface la ecuación de Lap1ace

02

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

TT

Esta es, desde luego, una ecuación diferencial parcial real, 1a cual es suficiente, si se complementa con la condición

límite (2-148), para determinar T en todos los puntos fuera del geoide.

Si expresamos la condición 1ímite en 1a forma

gTnn

T 1 (2-148')

en donde supuestamente se conoce g para todos los puntos del geoide, vemos que una combinación lineal de T y

nT estaría representada sobre esa superficie. De acuerdo con la sección 1-17, la determinación de T constituiría

por 1o tanto un tercer problema de valores 1ímites de la teoría del potencial. Si despejamos T, entonces podemos

calcular 1a altura geoidal, que es la cantidad geométrica más importante de la geodesia física, mediante la formula de

Bruns (2-144).

Podemos decir por lo tanto que el problema básico de la geodesia física, es la determinación del qeoide a partir de

mediciones de la gravedad, es esencialmente un tercer problema de valores límites de la teoría de1 potencial.

2-14. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas

Page 88: Heiskanen

El elipsoide de referencia difiere de una esfera solo por cantidades correspondientes al orden del achatamiento, f = 3 X

10-3. Por consiguiente, si tratamos al elipsoide de referencia como una esfera en ecuaciones que relacionan las

cantidades del campo anómalo, esto podría producir un error relativo del orden de 3x10^-3. Este error por lo general

es permisible en N, T, Ag, etc. Por ejemplo. El efecto absoluto de este error relativo en la altura geoidal es de orden de

3x10^-3 N; como N difícilmente excede los 100 metros, generalmente, se espera que este error sea menor que un

metro

Como aproximación esférica tenemos que

rhr

kM

rhr

kM 212,

302

Le incorporaremos un radio medio R de 1a tierra. Casi siempre se define como radio de una es fera con el mismo

volumen que el elipsoide terrestre; de acuerdo con la condición

baR 24

3

4

3

4

obtenemos

4 2baR

En forma similar podemos definir un valor medio G de gravedad sobre la tierra. Normalmente se utilizan valores,

numéricos de aproximadamente

galsGKMR 8.979,6371 (2-149)

Luego

Rh

21 (2-l50)

R

G

h

2 (2-150')

Como la normal a la esfera constituye la dirección del vector radial r, tenemos con la misma aproximación

rhn

Según el teorema de Bruns (2-144), podemos sustituir por G, y las ecuaciónes (2-147) y (2-148) se convierten en

NR

Gg

h

T 2 (2-15la)

NR

G

r

Tg

2 (2-151b)

TRr

Tg

2 (2-151c)

NR

Ggg

2 (2-151d)

Page 89: Heiskanen

TR

gg2

(2-l51e)

02

gTRr

T (2-15lf)

La última ecuación representa la aproximación esférica de la condición límite fundamental.

Hay que tener presente el significado) exacto de esta aproximación esférica. Se usa solamente en ecuaciones que

relacionan cantidades pequeñas como T, N, g , etc. La superficie de referencia jamás es una esfera en el sentido

geométrico, sino siempre un elipsoide. Dado que el achatamiento f es muy pequeño, pueden desarrollarse las formulas

elipsoidales para formar series exponenciales en términos de f, y luego se omiten todos "los términos que contienen f,

f^2, etc. En esta forma se obtienen formulas que son totalmente va1idas para la esfera, pero solo más o menos validas

para el elipsoide de referencia en sí. No obstante, es necesario calcular con un alto grado de -precisión la gravedad

normal en la anomalía de la gravedad gg para el elipsoide.

),0(n Como el potencial anómalo T = W - U es una función armónica, puede desarrollarse fácilmente en una serie

de armónicas esféricas:

0

1

),(),,(n

n

n

Tr

RrT (2-152)

es la armónica de superficie de Laplace de grado n. En e1 geoide, que como aproximación esférica corresponde a la

esfera r = R. formalmente tenemos

0

),(),,(n

nTRTT (2-152'}

(no hay que preocuparse aquí por el problema de la convergencia).

Si diferenciamos la serie (2-152) con respecto a r hallamos que

0

1

),()1(1

n

n

n

Tr

Rn

rr

Tg (2-153)

En el geoide (r = R) esto se convierte en

0

),()1(1

n

nTnRr

Tg (2-153´)

Esta serie expresa la perturbación de la gravedad en términos de armónicas esféricas.

El equivalente de (2-151c) fuera de la tierra obviamente es

Trr

Tg

2 (2-154)

Su significado exacto se tratara al final de la siguiente sección. Al incorporar (2-153) y (2-152) en esta ecuación,

obtenemos:

0

1

),()1(1

n

n

n

Tr

Rn

rg (2-155)

Page 90: Heiskanen

En el geoide esto se convierte en

0

),()1(1

n

nTnR

g (2-155')

Este es el desarrollo armónico esférico de la anomalía de 1a gravedad.

Nótese que aun si el potencial anómalo T tuviera un termino esférico de primer grado ),(1T en 1a expresión para

g sería multiplicado por e1 factor 1-1=O, por lo que Ag no podrá tener jamás una armónica esférica de

primer grado - aun si T tuviera uno.

2-15. Anomalías de la Gravedad fuera de la Tierra

Si una función armónica H viene dada en la superficie de la tierra, entonces, como aproximación esférica, podrían

calcu1arse los valores de H fuera de la tierra por medio de la formula integral de Poisson (1-89)

Hdl

RrRH P

22

4

El símbolo es la forma abreviada usual para una integral que se extiende sobre 1a esfera unitaria total, o sobre el

ángulo sólido total, que viene a ser lo mismo; d denota el elemento de ángulo sólido, definido como el elemento

superficie de la esfera unitaria. Por consiguiente, el elemento de superficie de 1a esfera, terrestre r - R es dR 2 los

significados de las demás notaciones pueden determinarse de la Fig. 2-14. £1 valor de la función armónica en el

Figura 2-14: Notaciones para la integral, integral de Poisson u sus fórmulas derivadas.

El elemento de superficie variable dR 2 se denota senci11amente por H, en donde se refiere al punto fijo P.

Obviamente, entonces,

cos222 rRRrl (3-156)

La función armónica H puede desarrollarse en una serie de armónicas esféricas:

2

1

1

2

0

n

n

n

Hr

RH

r

RH

r

RH

Omitimos los términos de grados uno y cero, obtenemos 1a nueva función

Page 91: Heiskanen

2

1

1

2

0'n

n

n

Hr

RH

r

RH

r

RHH (2-157)

Las armónicas de superficie están representadas por

dHHHdH cos4

3,

4

110 (2-158)

Según la ecuación (1-71). Por tanto hallamos, de acuerdo con (2-157), expresando H mediante la integral de Poisson y

sustituyendo las integrales (2-158) por Ho y H1, la formula bás1ca

Hdr

R

rl

RrRH P cos

21

4'

23

22

(2-159)

La razón de esta modificación de la integra1 de Poisson es que las formulas de la geodesia física resultan mucho mas

sencillas si 1as funciones comprendidas contienen armónicas de los grados cero y uno. Es por e11o conveniente

comparar estos términos. Esto se hace automáticamente por medio de la integral identificada de Poisson (2-159).

Ahora aplicaremos estas formulas a las anomalías de 1a gravedad fuera de la tierra. La ecuación. (2-155) resulta en

0

1

,1n

n

n

Tnr

Rgr

Al igual que ),(nT es una armónica de superficie de Laplace, también lo es . Por consiguiente, gr ,

considerada como una función en el espacio, ha de desarrollarse en una serie de armónicas esféricas y por lo tanto es

una función armónica.

Por tanto podemos aplicar la formula de Poisson gr , obteniendo así

dgRr

R

rl

RrRgrr cos

31

4 23

22

gdr

R

rl

Rr

r

Rgr cos

31

4 23

222

(2-160)

Esta es 1a formula para calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra a partir de las anomalías de la gravedad

en la superficie, o de la prolongada ascendente de las anomalías de la gravedad.

Finalmente explicaremos e1 significado exacto de la anomalía de la gravedad pAg de 1a tierra. Empezaremos por una

definición conveniente. Las superficies de nivel del potencial real de gravedad, las superficies

W=Const.,

se conocen frecuentemente como superficies geopotenciales; las superficies de nivel del campo de la gravedad normal,

las superficies

U=Const.,

se conocen como superficies esferopotenciales.

Consideraremos ahora el punto P fuera de la tierra (Fig. 2-15) y denotaremos la superficie qeopotencial que pasa por él

por medio de

W = Wp.

Page 92: Heiskanen

También hay una superficie esferopotencial

U = Wp

de la misma constante Wp. La línea de la plomada normal a través de P corta esta su perficie esferopotencial en el

punto Q, el cual se dice que corresponde a P.

Vemos que las suprficies de nivel W=Wp y U=Wp están relacionadas entre sí en exactamente 1a misma forma que los

geoides W = Wo y el elipsoide de referencia U = Wo. Por tanto, si la anomalía de la gravedad esta definida por

QPP gg

como en la sección 2-13. entonces todas las deducciones y formulas de esa sección son también validas para la

situación actual en donde la superficie geopotencial W = Wp reemplaza al geoide W = Wo y la superficie

esferopotencial U = Wp reemplaza al elipsoide U = Wo esta es también 1a razón por 1a que (2-154) es válida en P a1

igual que en el geoide.

Nótese que en la sección 2-13, P es un punto en el geoide, el cual se denota por Po en 1a Fig. 2-15.

Figura 2-15. Superficie geopotencial y esferopotencial.

Page 93: Heiskanen

2-16. Formula de Stokes

La ecuación básica (2-154),

Trr

Tg

2

puede considerarse solamente una condición límite, siempre y cuando se conozcan las anomalías de la gravedad g

en la superficie de 1a tierra solamente. Sin embargo, por medio de la integral de la prolongación ascendente (2-160)

ahora es posible calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra. De esta manera nuestra ecuación básica

cambia radicalmente de significado, convirtiéndose en una verdadera ecuación diferencial que puede integrarse con

respecto a r.(1)

Multiplicando por -r2, obtenemos

)(2 222 Trr

rTr

Trgr

Al integrar la formula

)()( 22 rgrTrr

entre los límites y r, hallamos rr

drrgrTr )(2 2

en donde g (r) indica que g es ahora una función de r, calculada a partir de las anomalías de la gravedad de la

superficie por medio de la formula (2-160). Como esta formula elimina automáticamente las armónicas esféricas de los

grados uno y cero de g (r), el potencial anómalo T, tal como se calcula de g (r) no puede contener dichos

términos. De modo que tenemos

34

4

23

31

2

Tr

RT

r

RT

r

RT n

n

n

Por tanto,

0)( 42

4

2

32 T

r

RT

r

RlimTrlimrr

de manera que

TrTrlimTrTrr

r2222 )(

Por consiguiente,(2)

t

r

drrgrTr )(22

(1)Nótese que esto solamente es posible porque T, además de satisfacer la condición límite, satisface también la

ecuación de Laplace AT = 0.

(2)E1 hecho de que se utilice r como unn variable de integración y como un límite superior no debería causar dificultad

alguna.

Y al incorporar la integral de la prolongación ascendente (2-160) obtenemos

drgdr

R

l

rRrRTr

r

cos3

14 3

2322

Si intercambiamos el orden de las integraciones, obtenemos

gddrr

R

l

rRrRTr

r

cos3

14 3

2322

Es posible determinar el valor de la integral entre paréntesis rectangulares mediante métodos convencionales. La

integral Indefinida es(1)

Page 94: Heiskanen

rRrRrPll

rdr

r

R

l

rRrlncos3)1cosln(cos33

2cos

31

2

3

23

Para valores grandes de r tenemos

coscos1 Rrr

Rrl

y por lo tanto hallamos que a medida que r—> , 1a parte derecha de la integral indefinida anterior se aproxima a

2lncos3cos5 RR

Si restamos esto de la integral indefinida, obtenemos la integral definida, puesto que su límite inferior de integración es

infinito. Por lo tanto

r

RrRlr

l

rdr

r

R

l

rRrr

2

1cosln35cos3

2cos

31

2

3

23

De manera que obtenemos

gdrSR

rT ),(4

),,( (2-161)

en donde

r

Rr

r

R

r

Rl

r

R

l

RrS

2

1cosln35cos3

2),(

2

2

2 (2-162)

En el mismo geoide tenemos que r = R, y si denotamos ),,(RT sencillamente por T, hallamos que

dgSR

T )(4

(2-163a)

(1)Se recomienda al lector efectuar esta integración tonando en cuenta (2-156) o comprobar por lo menos el resultado

diferenciando la parte derecha con respecto a r.

en donde

22lncos3cos51

26

)2/(

1)( 2sinsinsin

sinS (2-164)

se obtiene de ),(rS y haciendo que

Rr y 2

2Rsinl

Según el teorema de Bruns, N=T/G, finalmente obtenemos

dgSG

RN )(

4 (2-163b)

Esta formula fue publicada por George Gabriel Stokes en 1894; por lo tanto se le conoce como 1a formula de Stokes o

la integra1 de Stokes. Es sin duda alguna la formula mas importante de la geodesia física puesto que permite

determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La ecuación (2-163a) se denomina también la formula de Stokes y

)(S conoce como la función de Stokes. Esta función y las relacionadas se encuentran tabuladds en la publicación de

Lambert y Darling (1936).

Utilizando la formula (2-161), la cual fue deducida por Pizzetti (1911) y posteriormente por Vening Meinesz (1928),

podemos calcular el potencial anómalo T en cualquier punto fuera de la tierra. Al dividir T por la gravedad normal en

el punto dado P (teorema de Bruns) obtenemos la separación PN entre la superficie geopotencial W= Wp y la

superficie esferopotencial correspondiente U=Wp la cual, fuera de la tierra, toma el lugar de 1a ondulación geoidal N.

(Véase la Fig. 2-15 y las explicaciones al final dé la sección anterior.)

Quisiéramos mencionar nuevamente que estas fórmulas se basan en una aproximación esférica; se hace caso omiso de

las cantidades de1 orden de 3 X 10"3 N. Esto da como resultado un error probablemente menor que un metro en N, lo

cual puede pasarse por alto para la mayoría de 1os propósitos prácticos. Zagrebin, Molodensky y Bjerhammar han

desarrollado aproximaciones de grado superior, las cuales toman en cuenta el achatamiento f del elipsoide de

referencia; refiérase a Sagrehin (1956), Molodenskii et al. (1962, p.53) y Bjerhammar (1962).

Luego vemos de la deducción de la fórmula de Stokes por medio, de una integral de la prolongación ascendente (2-

160) que los términos armónicos de los grados uno y cero se suprimen automáticamente en T y N. más adelante se

discutirán las de esto. Veremos que la fórmula de Stokes en su forma inferencias original (2-163a,b) sólo es valida para

Page 95: Heiskanen

un elipsoide de referencia que (1)tiene el mismo potencial Uo=Wo que el geoide,(2)encierra una masa que es

numéricamente igual a la de la tierra y (3) cuyo centro es e1 centro de gravedad de la tierra. Como las primeras dos

condiciones no están debidamente satisfechas por los elipsoides de referencia utilizados en la actualida d, y difícilmente

podrán serlo jamás, será necesario modificar la fórmula de Stokes en el caso de un elipsoide de referencia arbitrario.

Finalmente, se supone que T sea armónica fuera del geoide. Esto significa que el efecto de las masas sobre el geoide

tendrá que ser eliminado por las debidas reducciones de la gravedad. Esto se tratara en el capituló 3.

2-17, Formas Explícitas de 1a Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas

Escribiremos ahora la fórmula de Stokes (2-l63b) en una forma más explícita incorporando a la esfera un sistema

apropiado de coordenadas.

E1 uso de coordenadas polares esféricas con origen en P ofrece 1a ventaja de que el ángulo que es el argumento de

la función de Stokes, es una de las coordenadas, 1a distancia esférica. La otra coordenada es e1 acimut calculado

desde el norte. Sus definiciones pueden apreciarse en la Fig. 2-16. La práctica común es usar P para denotar tanto un

punto fijo la esfera r = R (o en el espacio) como su proyección en la esfera unitaria y no se producen dificultades.

Si P coincide con el polo norte, entonces y son idénticos a y . De acuerdo con la sección 1-13, el elemento

de ángulo sólido estará dado por

ddsind

Como todos los puntos de 1a esfera son equivalentes, esta relación es valida para un origen arbitrario P. De la misma

manera tenemos que

0

2

0

Por lo tanto hallamos

ddsinSgG

RN

0

2

0

)(),(4

(2-165)

como una forma explícita de (2-l63b).

Al efectuar primero la integración con respecto a , obtenemos

0

2

0

)(),(2

1

2dsinSdg

G

RN

La expresión en paréntesis rectangulares es e1 promedio de g a lo largo de un paralelo de, radio esférico . Este

promedio 1o denotamos por g ( ) de modo que

Figura 2-16. Coordenadas polares en la esfera unitaria.

2

0

),(2

1)( dgg

Por consiguiente la formula de Stokes puede escribirse

Page 96: Heiskanen

0

)()( dFgG

RN (2-165‘)

en donde hemos usado

)()()(2

1FsinS (2-166)

Las Funciones S( ) y F( ) se muestran en la Fig. 2-17.

Otra alternativa es usar las coordenadas geográficas , . Dado que una aproximación esférica es el complemento

de la latitud geográfica:

90,90

Tenemos por tanto

2/

2/

2

0

cos ddd

de modo que la fórmu1a de Stokes se convierte en 2/

2/'

2

0'

'''cos)()','(4

),( ddSgG

RN (2-167)

Figura 2-17. Funciones de Stokes S( ) y F( )

en donde , son las coordenadas gráficas del punto de calculo y ',' son las coordenadas del elemento variable

de superficie d La distancia esférica se expresa como una función de estas coordenadas por medio de

)'cos('coscos'cos 1 sinsin (2-168)

La función de Stokes en términos de armónicas esféricas . En la sección 2-14 hallamos

),()1(1

),( 0

0

TnR

gn

También es posible expresar ),(g directamente como una serie de armónicas de superficie de Laplace:

0

),(),(n

ngg

Si comparamos estas dos series, obtenemos

nnnn gn

RTT

R

ng

1),,(

1),(

de modo que

0 0 1n n

n

nn

gRTT

Page 97: Heiskanen

Esta ecuación demuestra nuevamente que no debe haber ningún termino de primer grado en el desarrollo armónico

esférico de g ; de lo contrario, el termino )1(ng n sería infinito para n=1. Como siempre, daremos ahora por

sentado que hacen falta las armónicas de los grados cero y uno. Por lo tanto, empezaremos la suma de la sucesión con

n=2.

Como de acuerdo con la ecuación (1-71)

dgPn

g nn )(cos4

12

la formula anterior pasa a ser

2

)(cos1

12

4 n

n dgPn

nRT

Si intercambiamos el orden de la suma de la sucesión y de 1a integración, obtenemos

gdPn

nRT

n

n

2

)(cos1

12

4

Al comparar esto con la formula de Stokes (2-l63a) hallamos la expresión para función de Stokes en términos de

polinomios de Legendre (armónicas zonales):

2

)(cos1

12)(

n

nPn

nS (2-169)

En realidad, la expresión analítica (2-164) de la función de Stokes pudo haberse deducido en una forma mas sencilla

por medio de la suma directa de esta serie, pero estimamos que la deducción demostrada en la Sección anterior es

mucho más ilustrativa ya que también muestra información secundaria sobre problemas relacionados importantes.

2-18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario.

Como hemos visto, la fórmula de Stokes en su forma original elimina las armónicas esféricas de 1os qrados cero y uno

en el potencial anómalo T y por consiguiente sólo es válida si dichos términos no se encuentran presentes. Tanto este

hecho como la condición Uo=Wo imponen restricciones, en el elipsoide de referencia y en su campo de gravedad

normal que difícilmente se satisfacen, en la practica.

Por consiguiente generalizaremos la fórmula de Stokes para que pueda aplicarse a un elipsoide de referencia arbitrario,

e1 cual únicamente debe satisfacer la condición de que se aproxima tanto al geoide que las desviaciones de este con

respecto al elipsoide pueden considerarse lineales.

Consideremos ahora el potencial anómalo T en 1a superficie de la tierra. Su expresión en armónicas esféricas de

superficie está dada por

0

),(),(n

nTT

Si separamos los términos de los grados cero y uno podemos escribir

),('),(),( 1 TTTT o (2-170)

En donde

2

),(),('n

nTT (2-171)

En el caso general, esta función T‘ es, en lugar de la T misma, la cantidad dada por la fórmula de Stokes. Resulta igual

a T solamente si hacen falta To y T1. De lo contrario tenemos que agregar To y T1 pan poder obtener 1a función T

completa.

E1 termino de grado cero en el desarrollo armónico esférico del potencial es igual a

r

kM

en donde M representa la masa. Por consiguiente, e1 termino de grado cero del potencial anómalo T =W -U en la

superficie de la tierra (r=R) está representado por

R

MkTo (2-172)

en donde

Page 98: Heiskanen

'MMM (2-173)

es la diferencia entre la masa M de la tierra y la masa M' del elipsoide, la cual sería cero si ambas masas fueran iguales

- pero como no conocemos la masa exacta de la tierra, ¿cómo podemos hacer que M‘ sea igual a M?

Mas adelante veremos que la armónica de primer grado siempre podra considerarse cero. Dando esto por sentado,

podemos sustituir (2-172) en (2-170) y expresar T‘ mediante la formula convencional de Stokes (2-163a). Asi

obtendríamos

dgSR

R

MkT )(

4 (2-174)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para T. Resulta valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo

centro coincida con el centro de la tierra.

Términos de primer grado. Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial W, de acuerdo con (2-

44b) y (2-45), están representados por

kMkMkM ,,

en donde ,, son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra. En el caso del potencial

normal U, tenemos las cantidades análogas

'','','' kMkMkM

Dado que ',',' son de todos modos muy pequeños, prácticamente equivalen a

',',' kMkMkM

Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial anómalo T=W son por lo tanto equivalentes a

)'(),'(),'( kMkMkM (2-175)

Son cero y no hay ninguna armónica de primer grado ),(1T si el centro del elipsoide de referencia coincide con

el centro de gravedad de la tierra, 1º cual suele darse por sentado.

En el caso general, de acuerdo con el término de primer grado de (2-37) hay que fijar r=R y utilizar los coeficientes (2-

44b) junto con (2-45).

sinPPPR

kMT )(cos)'(cos)(cos)'()(cos'),( 22121

Si consideramos el origen del sistema de coordenadas como el centro del elipsoide de referencia, entonces ''' .

Usando sinPP )(cos,cos)(cos 21 y GRkM 2obtenemos la siguiente expresión para la

armónica de primer grado

)coscos(),(1 sinsinsinGT (2-176a)

Dividiendo por G hallamos la armónica de primer grado de la altura geoidal

coscos),(1 sinsinsinN (2-176b)

en donde ',',' son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra, siendo el origen el centro

del elipsoide de referencia.

Al incorporar el vector

),,(

y el vector unitario de la dirección ),(

)cos,,cos( sinsinsine

(2-l76b) puede escribirse como

eN ),(1 (2-177)

lo cual se interpreta como la proyección del vector en la dirección ),( .

Por consiguiente, si los dos centros de gravedad no coinciden, entonces solo tenemos que agregar los términos de

primer grado (2-l76a) y (2-l76b) a la formula generalizada de Stokes (2-174) y a su análoga para N (ecuación (2-181

de abajo), respectivamente, para obtener la solución mas general para el problema de Stokes, el cálculo de T y N a

partir de g . La ecuación (2-155') muestra que cualquier valor de ),(1T es compatible con un campo g dado

porque, para n=1, la cantidad {n-l)T1 es cero, de modo que T1, cualquiera que sea su valor, no entra del todo en g .

Por lo tanto, la solución más general para T y N contiene tres constantes arbitrarias ,, que pueden considerarse

constantes de integracion para el problema de Stokes. En la practica, siempre se fija 0 colocando de

esta forma el centro del elipsoide de referencia en el centro de la tierra. Esto con stituye una gran ventaja de la

Page 99: Heiskanen

determinación gravimetrica del geoide en comparación con e1 método astrogeodesico en donde se desconoce la

posición del elipsoide de referencia con respecto al centro do la tierra.

2-19. Generalización de la Fórmula de Stokes para N

Desarrollemos primero la formula de Bruns (2-44) a una elipsoide de referencia arbitrario. Supongamos que

UzyxU

WzyxW

),,,(

),,(

son las ecuaiciones del geoide y del elipsoide, donde generalmente las constantes oW y

0U son distintas; hemos

escrito oW ,

0U en 1ugar de Wo,Uo para que no se confundan con una armónica de grado cero. Al igual que en la

sección 2-13, si nos referimos a la Fig. 2-12, tenemos

pero ahora

WWUU

TNUW

Q

QP

de modo que

)( UWTN

Si denotamos la diferencia entre los potenciales por

UWW

obtenemos la siguiente generalización sencilla de 1a formula de Bruns

WTN (2-178)

Asimismo tendremos que desarrollar las ecuaciones (2-147a-e). Aquellas formulas que contienen N en lugar de T

obviamente también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario, pero en ese caso la transición de N a T se

fectúa por medio de (2-178). Por tanto (2-147b)

Nhh

Tg

no cambia, sino que (2-147c) se convierte en

Wh

Thh

Tg

11 (2-179)

Por lo tanto, la condición límite fundamental ahora es

Wh

gThh

T 11 (2-180)

Las aproximaciones esféricas de estas ecuaciones son

G

WTN (2-178‘)

WR

TRr

Tg

22 (2-179‘)

WR

gTRr

T 22 (2-180‘)

Diversas formas de la fórmula genera1izada de Stokes . De acuerdo con (2-178) tenemos

WGNT

Si insertamos esto en (2-174) y dividimos por G obtenemos

dgSG

R

G

W

RG

MkN )(

4 (2-181)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para N. Es valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo

centro coincida con el centro de 1a tierra.

Mientras que la formula (2-174) para T sólo contiene el efecto de una diferencia de masa M . la formula (2-181) para

N contiene, además 1a diferencia potencial W . Estas formulas también muestran claramente que las integrales

sencillas de Stokes (2-163a,b) solo son validas si M = W =0, es decir, si el elipsoide de referencia tiene el mismo

potencial que el geoide y la misma masa que la tierra. De lo contrario, sólo darán N y T hasta las constantes aditivas si

fijamos

Page 100: Heiskanen

G

W

RG

MkN 0

(2-182)

y tomamos en cuenta (2-17), tenemos

dgSR

TT )(4

0 (2-183a)

dgNG

RNN )(

40 (2-183b)

Es posible obtener de la siguiente manera, formas alternativas de (2-181), a veces resultan útiles. Si incorporamos la

serie (2-152') y (2-153') en (2-179'), obtenemos

0

2),()1(

1),(

n

n WR

TnR

g (2-184a)

como la generalización de (2-155'). Si desarrollamos la función ),(g en la serie usual de armónicas esféricas de

superficie de Laplace,

0

),(),(n

ngg (2-184b)

y comparamos los términos constantes (n = 0) (de estas dos ecuaciones, obtenemos

00

21gW

RT

R

en donde, según (1-71).

gdg4

10 (2-185)

Si expresamos To por medio de (2-172) en términos de M . obtenemos

WR

MkR

g21

20 (2-186)

Ahora podemos despejar M y W en las dos ecuaciones para No (2-182) y para og (2-186):

)2( 00 GNgRRMk (2-187a)

00 GNgRW (2-187b)

La constante No puede expresarse por medio de cualquiera de las siguientes ecuaciones:

GR

Mkgd

G

R

GR

Mkg

G

RN

282200

G

Wgd

G

R

G

Wg

G

RN

400

Al insertarlas en (2-183b) obtenemos

GR

MkdSg

G

RN

22

1

40 (2-188)

G

WdSg

G

RN 1

40 (2-189)

Estas formulas son totalmente equivalentes a (2-181); también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario.

Si M=M‘, aun si 00 WU , tenemos

dSgG

RN

2

1)(

4 (2-188‘)

Y si 00 WU , aun si MM ' tenemos

dSgG

RN 1)(

4 (2-189‘)

Page 101: Heiskanen

Estas fórmulas son algo más generales que la integral sencilla i1e Stokes, en cuanto a que se ha establecido

anteriormente solamente una de las condiciones M‘=M, 00 WU . La ecuación (2-188') fue deducida por Pizzetti y

la (2-189) por Hirvonen.

Determinación de No. Si se conocieran con exactitud la masa M de la tierra y el potencial W° del geoide, entonces

sería posible calcular No por medio de (2-182). Las ondulaciones geoidales N podrían entonces calcularse con

precisión mediante la formu1a de Stokes (2-l83b). Si aplicamos N al elipsoide de referencia fijo, el geoide estaría

representado en forma absoluta, con la debida escala de largo, sin medir una sola distancia.

En la práctica obviamente no conocemos los valores de M y W° con suficiente precisión para poder determinar No. Si

sólo determinamos el valor de la integral original de Stokes

dgSG

RN )(

4' (2-190)

obtenemos entonces, en lugar del geoide S, una superficie S‘ paralela al geoide a una distancia No (Fiq. 2-l8a). Como

ambas superficies son prácticamente esféricas, son geométricamente similares con un alto grado de precisión; es

Figura 2-18. Dos interpretaciones de la formula de Stokes. (a) N' es la altura sobre el elips oide V de 1a superficie S‘

paralela al geoide. (b)N' es la altura del geoide S sobre el elipsoide modificado E‘ paralelo a E.

decir, que solamente difieren en escala. Por consiguiente, podemos decir que 1a integral original de Stokes (2-190) da

como resultado un geoide al que solo le hace falta un factor de escala. Este factor puede determinarse por medio de una

sola medición de distancia, mientras se conozca también la constante No. Esto se desarrolla matemáticamente a

continuación.

Supongamos que P1 y P2 son dos puntos geoidales, y que Q1 y Q2 son sus proyecciones en el elipsoide de referencia

(Fig. 2-19); s representa la distancia entre P1 y P2 a lo largo del geoide, y s‘ la distancia entre Q1 y Q2 a lo largo, del

elipsoide.

Ahora deduciremos, la relación entre s, s' y N. si sustituimos el arco elipsoidal s‘=Q1Q2 por uno esférico cuyo radio R

sea el radio medio de curvatura, entonces la Fig. 2-19 demuestra que

R

ds

NR

ds 'cos

Como 1cos , tenemos

dsR

Nds

R

Nds

R

Ndsds ''1'

Al integrar obtenemos

2

1

1'

Q

Q

NdsR

ss (2-191)

que es la relación deseada entre s, s‘ y N.

Si insertamos N=No+N', hallamos

00

2

1

2

1

'1

)'(1

' NR

sdsN

RdsNN

Rss

Q

Q

Q

Q

de modo que

Page 102: Heiskanen

2

1

'1

)'(0

Q

Q

dsNs

sss

RN (2-192)

Figura 2-19. Determinación de la escala del geoide.

La cantidad N‘ esta dada por 1a integral de Stokes (2-190). Consideremos la distancia s que ha de medirse en el geoide

o reducirse a1 mismo. La distancia elipsoidal s‘ puede calcularse si se conocen las coordenadas , de sus puntos

extremos Q1 y Q2. De acuerdo con las ecuaciones (2-140) obtenemos

cos

(2-193)

Las coordenadas astronómicas y se miden directamente; 1as componentes y de la desviación de la vertical

pueden calcularse a partir de g por medio de la formula de Vening Meinesz; (refiérase a la sección 2-22), de modo

que se conocerán y .

De esta manera es posible calcular No por medio de (2-L92). Vemos que, en principio, una distancia medida s es

suficiente para ello. En la practica, se medirán por supuesto muchas distancias y también ángulos, y No se obtendrá por

medio de un ajuste adecuado (refiérase a la sección 5-10).

Interpretación de No. Finalmente mencionaremos que No, además de ser la distancia entre S y S' (Fig. 2-l8a), tiene

otro significado geométrico sencillo (Fig. 2-18b).

El vector radial r del geoide se obtiene con suficiente aproximación agregando la altura geoidal N al vector radial

elipsoidal dado por (2-95):

Nfsinar )1( 2

Supongamos ahora que el semieje principal del elipsoide de referencia cambia por , y que e1 achatamiento F

queda igual. Como el vector radial geocentrico del geoide es independiente del tamaño de1 elipsoide de referencia, no

se ve afectado por este cambio. Si diferenciamos la ecuación r, obtenemos

NaNfsinar )1(0 2

de modo que el cambio en el semieje principal del elipsoide de referencia está compensado por un cambio en las

ondulaciones geoidales de

aN

Si el cambio es =No, entonces el semieje principal del nuevo elipsoide referencial E' es

0' Naa

y las nuevas ondulaciones geoidales son

0' NNNNN

De acuerdo con (2-183b) esto sería

dgSG

RN )(

4'

Por lo tanto, al cambiar el semieje principal del elipsoide de referencia por No, las nuevas ondulaciones geoidales

estarán dadas por 1a formula original de Stokes. Es decir, los valores N' obtenidos aplicando la formula sencilla de

Page 103: Heiskanen

Stokes hacen referencia a un elipsoide con el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original y un semieje

principal de a+No.

Dado que N‘ no contiene armónicas de grado cero, tenemos

0' dN (2-194a)

El volumen v de la capa entre el elipsoide E‘ y el geoide esta dado por

dRNv 2'

porque dR 2 es el elemento de superficie de E‘ como una aproximación esférica, de modo que (fig. 2-18b)

dRNdv 2'

Por tanto (2-194a) expresa e1 hecho de que el volumen total de esta capa es cero, o que e1 elipsoide nuevo E‘ con u'

a‘=a+No encierra el mismo volumen que el geoide.

Interpretación de 0g . La armónica de grado cero 0g puede interpretarse en forma análoga.

La gravedad g del geoide se obtiene agregando la anomalía de la gravedad g a la gravedad normal representada por

(2-96):

gsinfg a )*1( 2

Supongamos ahora que la gravedad ecuatorial normal a cambia por a , y que el coeficiente f* permanece igual.

Como g no se ve afectado por este cambio, a1 diferenciar esta ecuación hallamos.

ggsinfg aa )*1(0 2

de modo que,

ag

Con un cambio de 0ga os valores pasan a ser

00 ',' ggggaa

Notando la definición (2-185) de 0g , hallamos

0' dg (2-194b)

lo cual significa que las nuevas anomalías de 1agravedad 'g no contienen armónicas de grado cero.

Como ni N‘ ni 'g contienen armónicas de grado cero, deberán hacer referencia a un elipsoide que encierra la misma

masa que la tierra y que tiene el mismo potencial que el geoide. Este elipsoide tiene el mismo achatamiento que el

elipsoide de referencia original, y sus otras constantes son

0',' gNoaa aa

Esta interpretación esta relacionada con las ideas de Ledersteger (1957).

2-20, Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra

Masa y potencial. En la sección anterior se determinaron las siguientes ecuaciones fundamentales para la mas -i y el

potencial.

00

00 )2(

GNgRW

GNgRRMk

Vamos a resumir ahora como so determinan la masa de la tierra, M, y el potencial del geoide, W°. con estas

ecuaciones. Supongamos que un elipsoide de referencia arbitrario pero fijo tiene 1as constantes M‘, (masa) y U°

(potencial). Calculamos las anomalías de la gravedad g . que hacen referencia a este elipsoide y calculamos 0g

por medio de (2-lfl5). Midiendo por lo menos una distancia s, así como la latitud y longitud astronómicas de

sus puntos extremos, podemos determinar No, utilizando la formula (2-192). Luego se calculan las correcciones y con

las ecuaciones anteriores. Finalmente, la masa de la tierra M y e1 potencial geoidal W° se determinan agregando estas

correcciones de los valores elipsoidales supuestos M' y U°:

WUW

MMM '

Page 104: Heiskanen

La masa se expresa en la forma kM; es decir que la masa se multiplica por la constante gravitacional en lugar de

representarse solamente como M dado que no se conoce k con mucha precisión.

Nótese la estrecha relación entre las constantes geométricas y las físicas. Una vez que so conozcan las constantes

físicas kM y W°, se conocerá también la escala lineal de la tierra, en otras palabras, su tamaño. A la inversa, es por

hallar kM y Wo con la ayuda de mediciones de distancia. Otro hecho significativo es que como se requieren las

anomalías de la gravedad en toda la tierra (2-185) no es posible determinar las constantes kM y W° a menos que se

conozca la gravedad g en toda la tierra. Esto refleja nuevamente el principio general del método gravimetrico-

principalmente, que es necesario conocer g en todos 1os puntos de la superficie de la tierra.

Armónicas superiores. En la sección 2-5 hallamos la siguiente expresión para el potencial gravitacional V fuera de la

tierra:

n

m

nmnmnm

n

n

PsinmKmJr

a

r

kMWV

02

)(cos)cos(1

En forma similar, el potencial gravitacional normal puede escribirse como

n

m

nmnmnm

n

n

PsinmKmJr

a

r

kMU

02

)(cos)'cos'(1'

Si tomamos un elipsoide de revolución como nuestra superficie de referencia, entonces todas las K'nm son cero. y de

las J'nm solamente las J‘no donde n es par tendrán valor distinto de cero (refiérase a la sección 2-9).

Si restamos las ecuaciones anteriores y fijamos r=a, obtenemos n

m

nmnmnm

n

PsinmKmJa

kM

a

MkUWT

02

)(cos)cos(

en donde

nmnmnmnmnmnmnm KKKKJJJ ','

esto es posible ya que para los términos de segundo grado y superiores, podemos sustituir e1 factor k‘/a por kM/a.

Al comparar esto con e1 desarrollo (2-152‘) de T, vemos que la armónica de superficie de Laplace ),(nT , para

2n esta representada por n

m

nmnmnmn PsinmKmJa

kMT

0

)(cos)cos(),(

De acuerdo con 1a aproximación esférica usual, reemplazamos a por R, obteniendo así n

m

nmnmnmn PsinmKmJR

kMT

0

)(cos)cos(),(

Insertamos esta ecuación, junto con (2-172.}, en (2-184a) y obtenemos

R

W

R

MkPsinmKmJn

R

kMg

n

m

nmnmnm

n

2)(cos)cos)(1(),(

202

2(2-195a)

También podemos escribir el desarrollo armónico esférico de g la forma usual (1-66):

n

m

nmnmnm

n

Psinmdmcg02

)(cos)cos(),( (2-195b)

en donde los coeficientes nmnm ydC están dados por (1-70):

)0(cos

)(cos)!(

)!(

2

12

)(cos4

120

mdsinm

mgP

mn

mnn

d

c

dgPn

c

nm

nm

nm

nn

(2-196)

Las ecuaciones (2-195a) y (2-i95b) ebviamente son idénticas a (2-184a) y (2-l84b), las armónicas de superficie de

Laplace ),(nT y ),(ng se escriben explícitamente al igual que en la ecuación (1-66).

Al comparar los coeficientes de (2-195a) y de (2-195b) vemos que

Page 105: Heiskanen

nmnmnmnm dkMn

RKc

kMn

RJ

)1(,

)1(

22

Como Jnm =J‘nm+Jnm, lugo nmnm KK Y J‘nm=0 para m=0, finalmente obtenemos

0

2

)1(' nnn c

kMn

RJJ

)0(

)1(

)1(

2

2

m

dkMn

RK

ckMn

RJ

nmnm

nmnm

(2-197)

Aquí hemos abreviado los coeficientes zonales Jno Por Jn.

Por consiguiente podemos describir la determinación de los coeficientes armónicos esféricos de1 potencial de la tierra

de la siguiente manera. Se desarrollan las anomalías de la gravedad g , que deben cubrir la tierra entera para formar

una serie de armónicas esféricas, de acuerdo con (2-195b) y (2-196). Luego calculamos los coeficientes J'n para el

elipsoide de referencia usando (2-92) por ejemplo. De esta manera las formulas (2-L97) proporcionaran el resultado

deseado.

De especial importancia es el coeficiente 2Ma

ACJ n (2-198)

que expresa la diferencia entre los momentos principales de inercia de la tierra C es el momento polar y

)(2

1BAA (2-199)

en el momento ecuatorial medio de inercia; refiérase a (2-49).

2-21- E1 Elipsoide Terrestre Medio

Como e1 elipsoide de revolución de nivel y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro

constantes, hay un solo elipsoide que tiene e1 mismo potencial Wo que el qeoide y la misma masa M, la misma

diferencia entre los momentos de inercia C- A , y la misma velocidad angular ; que la tierra; A se define mediante

(2-199). De acuerdo con (2-198) este elipsoide también tiene el mismo coeficiente J2. Puede considerarse en mucho

aspectos la, mejor representación de la tierra por medio de un elipsoide; por lo tanto se le conoce como el elipsoide

terrestre medio.

E1 elipsoide terrestre medio, definido por

,,,0 ACkMW

o, de una forma equivalente, por

,,, 20 fkMW

tiene muchas propiedades convenientes. Como hemos observado en la seccion 2-19, encierra el mismo volumen que e1

geoide; en la sección 5-11 veremos que la suma de los cuadrados de las desviaciones N del geoide con respecto al

elipsoide terrestre medio es mínima. Si el elipsoide terrestre medio estuviera en una posición absoluta y su centro

coincidiera con el centro de gravedad de la tierra, tendría entonces un potencial normal U que en el caso de distancias

mayores seríaa prácticamente igual al potencial real W y de 1a tierra.

Page 106: Heiskanen

Esta última propiedad del elipsoide terrestre medio lo hace particularmente adecuado para la astronomía dinámica –

por ejemplo, con respecto a la teoría del movimiento de la luna o de los satélites artificiales. El motivo de ello es que

para distancias mayores solo resultan efectivas las armónicas hasta el segundo grado, las cuales son iguales para W y U

debido a la igualdad de kM (grado 0), la posición absoluta del elipsoide (primer grado), y la igualdad e J2 (segundo

grado, zonal1).

Esta definición del elipsoide terrestre medio nos permite proporcionar definiciones precisas del semieje principal a de

la tierra de la gravedad ecuatorial 0 , etc., para fines geodésicos. De hecho, el ecuador real de la tierra es una curva

irregular en lugar de un circulo de radio a, y si midiéramos la gravedad a lo largo del ecuador, obtendríamos muchos

valores distintos en lugar de una constante definida 0

. Algo similar resulta cierto, por ejemplo, en el caso del

achatamiento abaf / . Esta constantes, a, f, 0 , etc., deben por lo tanto considerarse parámetros derivados

que hacen referencia a un elipsoide idealizado en lugar de directamente a la tierra.

Para obtener estas cantidades a partir de valores dados W 0, kM, J2, resolvemos las dos ecuaciones

,3

1`tan 221

0 aeE

kMW

uq

me

a

EJ

`

15

21

3 2

2

2

Con respecto a a y f calculamos 0 por medio de (2 - 73). La primera de estas ecuaciones es (2-61); la segunda se

obtiene de (2-90) si notamos que ./ 2

2 MaACJ en la practica resulta mas conveniente usar el desarrollo en

serie correspondiente (2-104), (2-118) y (2-105ª).

Resulta aun mas conveniente usar las formulas diferenciales. Como b=a(1-f)podemos aproximar (2-111) y (2-112) por

medio de

mfakM2

310

2

mfaW6

11

3

2100

Despejando a y 0 obtenemos mfW

kMa

3

1

3

11

0

mfkM

W

6

13

3

11

2

0

0

Diferenciando estas formulas y haciendo caso omiso de f y m en los coeficientes, hallamos las siguientes como

aproximaciones esféricas.

faWMka

a3

111

00

fWa

Mka

0203

121 (2-200´)

____________________________________________________________________________________________________________

1 tamben habrían términos no zonales del segundo grado, por que A≠B, pero serán mucho mas pequeños que J2

Page 107: Heiskanen

Esta puede simplificarse considerablemente aplicando (2-182) y (2-186)

,3

10 faNa

,3

1000 fg

De acuerdo con (2-118) obtenemos aproximadamente,

mJf2

1

2

32

La diferenciación nos proporciona finalmente

2

2

3Jf (2-201)

Esta ecuación expresa el cambio de acatamiento en términos de la variación de J2; los cambios en a y 0

pueden

obtenerse de (2-200) o (2-200´).

Cabe recordar, no obstante, que el elipsoide terrestre medio definido en esta forma no es en modo alguno la mejor

superficie de referencia para propósitos geodésicos prácticos. Básicamente podemos definirlo empíricamente por

medio de determinaciones empíricas de kM, W 0 , etc. Sus parámetros cambian cada vez que mejora la calidad o el

número de mediciones pertinentes (gravedad, distancia, etc.). Y como gran cantidad de datos numéricos se basa en un

elipsoide de referencia hipotético, seria un poco practico cambiarlo con frecuencia. Resulta mucho mejor usar un

elipsoide de referencia fijo con parámetros establecidos, que pueden ser mas o menos arbitrarios y siempre y cuando

ofrezcan una buena aproximación. A este respecto, incluso el elipsoide internacional podría ser suficiente, aunque tal

vez pueda considerarse deseable un cambio por otros motivos.

Hay cierto conflicto de intereses entre los geodesias y los astrónomos con respecto al elipsoide terrestre. El geodesta

necesita una superficie de referencia permanente, mientras que el astrónomo desea obtener la mejor aproximación de la

tierra mediante un elipsoide. La mejor solución es usar un elipsoide de referencia geodésico fijo y calcular de vez en

cuando para propósitos astronómicos las ―mejores‖ correspondientes para aplicar a los parámetros supuestos.

2-22. Desviaciones de la vertical. Formula de Vening Meinesz

La formula de Stokes permite calcular las ondulaciones geoidales a partir de las anomalías de la gravedad Vening

Meinesz (1928) desarrollo una formula similar para calcular las desviaciones de la vertical a partir de las anomalías de

la gravedad.

Figura 2-20

La relación entra la ondulación geoidal la desviación de la vertical.

La figura 2 -20 muestra la intersección del geoide y el elipsoide de referencia con un plano vertical azimut arbitrario.

Si є es la componente de la desviación vertical en este plano, entonces

Page 108: Heiskanen

,dsdN (2-202)

o ;dsdN (2-203) El signo

negativo responde a una regla convencional y su significado se explicara mas adelante.

En una dirección norte sur tenemos

y ;Rddsds

En una dirección este oeste

y ;cos dRdsds

En las formulas para ds y ds hemos utilizado nuevamente la aproximación esférica; de acuerdo con (1-38), el

elemento lineal de la esfera r=R esta dado por

222222 cos dRdRds

Si especializamos (2-203) hallamos

N

Rds

dN 1,

N

Rds

dN

cos

1 (2-204)

Lo cual nos muestra la relación entre la ondulación geoidal N y las componentes y de la desviación de la vertical.

Como N esta dado por la integral de Stokes, nuestro problema es diferenciar esta formula con respecto a y . Para

ello usamos la forma (2-167).

2

0`

2

2`

,́´`cos,̀4

, ddSNgG

RN

En donde se define como una función de `,̀,, por medio de (2-168).

La integral del lado derecho de esta formula depende de y solamente a través de en S . por lo tanto, al

diferenciar bajo el signo integral hallamos

2

0`

2

2`

,́´`cos`,̀4

ddd

dSg

G

RN (2-205)

Y una formula similar para N . Aquí tenemos

,SS

,SS

(2-206)

Escribiendo (2-168) en la forma

``coscoscos´cos sensen (2-207)

Y diferenciando con respecto a y obtenemos

``coscos´cos sensensen

`´coscos sensen

Ahora incluimos el azimut , tal como se muestra en la Fig. 2-16. de acuerdo con el triangulo esférico de la Fig. 2-21

y aplicando conocidas formulas de la trigonometría esférica obtenemos

``coscos´coscos sensensen

`´coscos sensensen (2-208)

Si insertamos estas en las ecuaciones anteriores hallamos las expresiones sencillas

Page 109: Heiskanen

cos , sencos (2-209)

De modo que

cosd

SS, sen

SScos

)(

Estas se sustituyen en (2-205) y la formula correspondiente para N , y con las ecuaciones (2-204) finalmente

obtenemos 2

0`

2

2`

,́´`coscos`,̀4

, ddS

gG

R

2

0`

2

2`

,́´`cos`,̀4

, ddsenS

gG

R (2-210)

Figura 2-21

La relación entre las coordenadas geográficas y las polares en la esfera.

O expresando en la forma abreviada usual, dd

dSg

Gcos

4

1

0

dsend

dSg

G 04

1 (2-210)

Estas son las formulas de Vening Meinesz. Si diferenciamos la función de Stokes S(), ecuación (2-164), con respecto

a obtenemos la función de Vening Meinesz

2/2/ln32/1

32/cos682/2

2/cos 2

2sensensen

sen

sensen

send

dS

(2-211)

Esto puede verificarse rápidamente usando las identidades trigonométricas elementales. El azimut esta dado por la

formula

``coscos`cos

``costan

sensen

sen (2-212)

Que es el resultado inmediato de (2-208).

La forma (2-210) es una expresión de (2-210`) en términos de las coordenadas geográficas y . Al igual que con la

formula de Stokes (sección 2-17) podemos usar una expresión en términos de las coordenadas polares esféricas y

:

2

0` 0

,,4

1ddsen

Sag

G (2-10‖)

Page 110: Heiskanen

El lector puede verificar fácilmente si estas ecuaciones proporciona las componentes y de la desviación con el

signo correcto correspondiente a la definición (2-140): véase también la Fig. 2-13. este es el motivo por el cual

incluimos el signo negativo en (2-203).

Cabe anotar que la formula de Vening Meinesz, en la forma en que se encuentra es valida para un elipsoide de

referencia arbitrario, mientras que la formula de Stokes tuvo que ser modificada agregando una constante N0: si

diferenciamos la formula modificada de Stokes (2-183b) con respecto a y para obtener la formula de Vening

Meinesz, entonces esta constante N0 queda eliminada y obtenemos las ecuaciones (2-210`).

La aplicación practica de las formulas de Stokes da origen a muchos problemas importantes para los cuales el lector

debe referirse a la sección 2-24 y al capitulo 3. La formula dS/d y las funciones relacionadas se encuentran tabuladas

en la publicación de Sollins (1947).

2-23. El gradiente vertical de la gravedad.

Reducción de aire libre al nivel del mar

Para la reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide necesitamos el gradiente vertical de la gravedad,

.hg si g es el valor observado en la superficie de la tierra entonces es posible obtener g0 en el geoide como un

desarrollo de Taylor:

Hh

ggg0 …,

En donde H es la elevación de la estación gravimetría sobre el geoide. Pasando por alto todos los términos exc epto el

lineal, tenemos

,1 fgg (2-213)

En donde

Hh

gF (2-214)

Es la reducción del aire libre al geoide. Aquí, al igual que en todo este capitulo, hemos dado por sentado que no hay

ninguna masa sobre el geoide, o que se ha eliminado antes, de manera que en realidad esta reducción se lleva a cabo en

―aire libre‖.

222gJh

g

La formula de Bruns (2-20), con ,0 no puede aplicarse directamente para este propósito porque se desconoce la

curvatura media J de las superficies de nivel. Por consiguiente, se procede en la forma usual dividiendo hg en

una parte norma y en una parte anómala

h

g

hh

g (2-215)

El gradiente normal h está dado por (2-79) y (2-80), o por (2-121). Primero consideraremos la parte anómala

hg .

Expresión en términos de g . La ecuación 2-155 puede escribirse

0

2

,,,n

n

n

gr

Rrg .

Si diferenciamos con respecto a r y usando r=R, obtenemos el nivel del mar:

Page 111: Heiskanen

0 0

00

212

1

n n

gR

gnR

gnRr

g (2-216)

Ahora podemos aplicar (1-102), usando gV y Y0 = 0g . El resultado es

grR

grgR

r

g 2

`20

2

(2-217)

En esta ecuación, gr hace referencia al punto fijo P en donde hay que calcular rg ; I0 es la distancia espacial

entre el punto fijo P y el elemento de superficie variable dR2 , expresado en términos de la distancia angular

por

220 RsenI .

Comparemos la figura 1-13 de la sección 1-18; el elemento dR2 no se halla en el punto P`.

La formula integral importante (2-217) representa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la

misma anomalía de la gravedad. Como el integrando disminuye rápidamente al aumentar la distancia, es suficiente en

esta formula para extender la integración a las cercanías del punto P mientras que en las formulas de Stokes y Vening

Meinesz la integración debe incluir la tierra entera si se desea obtener suficiente precisión.

Expresión en términos de N. Si diferenciamos la ecuación (2-154)

Trr

Tg

2

Con respecto a r, obtenemos

Trr

T

rr

T

dr

gd22

2 22

A esta formula se le agrega la ecuación de Laplace 0T , que en coordenadas esféricas tiene la forma1

0cos

11tan22

2

222

2

222

2 T

r

T

r

T

rr

T

rr

T

El resultado, al fijar Rr , es

2

2

222

2

222 cos

11tan2 T

R

TT

RT

Rr

g (2-218)

Como GNT , también podemos escribir

2

2

222

2

22 cos

tan2 N

R

GN

R

GN

R

GN

R

G

r

gi

(2-219)

Esta ecuación expresa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la ondulación geoidal N y su

primera y segunda derivadas son horizontales. Su valor puede determinarse por medio de una diferenciación numérica

usando un mapa de la función 0N no obstante es menos adecuada que (2-217) para aplicaciones practicas por que

requiere un mapa geoidal local sumamente preciso y detallado, lo cual es prácticamente imposible de conseguir; las

inexactitudes de N pueden simplificarse enormemente formando las segundas derivadas.

Expresión en términos de y . De acuerdo con las expresiones (2-204) hallamos

Page 112: Heiskanen

RN

, cosRN

,

De modo que

RN2

2

, cos2

2

RN

,

_______________________________________________________________________________

1. vease la ecuación (1-41); sustituya 0=900- .

Si incorporamos esto en (2-219), obtenemos

2

22 costan

2

R

G

R

G

R

GN

R

G

r

g (2-220)

Al incluir las coordenadas rectangulares locales, x, y en el plano tangente tenemos

,dxdsRd

,cos dydsdR

De modo que (2-220) pasa a ser

.tan2

2 yxG

R

GN

R

G

r

g

Puede demostrarse que los primeros dos términos del lado derecho son muy pequeños en comparación con el tercero;

por lo tanto

.yx

Gr

g (2-221)

Con suficiente precisión. Estas formulas representan el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de

las derivadas horizontales de la desviación de la vertical. También es posible determinar su valo r por medio de una

diferenciación numérica siempre que se disponga de un mapa de y . Son mas apropiados para aplicaciones

practicas que (2-219) ya que solo se requieren las primeras derivadas. Para un calculo mas practico refiérase a Mueller

(1961).

Estas formulas se usaran en la sección 8-8

2-24 determinación practica del valor de las formulas integrales

El valor de las formulas integrales cono las de Stokes y de Vening Meinesz se determina aproximadament e por medio

de sumas de una sucesión. Los elementos de superficie d se remplazan por compartimientos pequeños pero finitos

q . Los cuales se obtienen subdividiendo la superficie de la tierra en una forma conveniente. Se utilizaran dos métodos

convenientes de subdivisión:

1. Plantillas (fig. 2-22). La subdivisión se efectúa mediante círculos concéntricos y sus radios. La plantilla de material

transparente coloca sobre un mapa gravimétrico de la misma escala, de manera que el centro de la plantilla con el

punto de calculo P en el mapa. Las coordenadas naturales para este fin son las coordenadas polares y con origen

en P.

2. Líneas cuadriculares (fig. 2-23). La subdivisión se efectúa por medio de líneas cuadriculares de algún sistema fijo de

coordenadas, especialmente de coordenadas geográficas , . Forman casillas rectangulares por ejemplo de 10`x

10´ o de 1o x 1

o. estas casillas se conocen también como cuadrados aunque por lo general no son cuadrados de acuerdo

a la definición de geometría plana.

Como ejemplo para ilustrar los principios de la integración numérica, consultaremos ahora la formula de Stokes

Page 113: Heiskanen

dgsG

RN

4

Figura 2-22 una plantilla

En sus formas explicitas (2-165) para el método de plantilla y (2-167) para el método que utiliza casillas fijas.

Para cada comportamiento kq las anomalías de la gravedad se remplazan por su valo medio kg en dichos

compartimientos. Por consiguiente la ecuación anterior se convierte en

dSgG

RdSg

G

RN

k

k

k

k44

(2-222)

k

k

k gCN

λ 36o20` 30´ 40´ 36

o50´

45º30`

30`

45º10`

Figura 2-23

Casillas formadas por una cuadricula de coordenadas geográficas

En donde los coeficientes

Page 114: Heiskanen

dSG

RCk

4 (2-223)

Se obtienen mediante la integración del comportamiento qk; no dependen de g .

Si el integrando - en nuestro caso la función de Stokes S - es razonablemente constante en el compartimiento qk

que puede reemplazarse por su valor S en el centro de qk.

Luego tenemos

dRGR

SdS

G

RCk

3

44

La integral final es sencillamente el área kA del compartimiento. Por lo tanto obtenemos

G

SAC k

k4

(2-224)

Esta forma es mucho mas sencilla, sin embargo cerca del punto de calculo podría se necesario utilizar los coeficientes

integrados (2-223).

Si los compartimientos están formados por las líneas const , const entonces el cálculo de estos

coeficientes integrados resulta difícil. Para el método de plantilla, no obstante, donde los compartimientos están

formados por las líneas const ., const ., resulta bastante sencillo. Tenemos.

1

1

1

14

ddsenSG

RCk

2

14

12 dsenSG

R

La función

0 02

1dFdsenSJ (2-225)

(Refiriéndose a la sección 2-17) ha sido tabulada por Lambert y Darling (1936). Por consiguiente obtenemos

1212

2JJ

G

RCk (2-226)

Como otro ejemplo, consideraremos ahora la formula (2-217) de la sección.

Aquí

kq

kG

dRC

2

2

En donde

220 RsenI

Hallamos

1

1

1

12/16

12sen

ddsen

RCk

dsenR

dsen

sen

R

2

1

1

1 2/

2/cos

82/

2/cos2/2

16 2

12

2

12

Page 115: Heiskanen

Esta integral se resuelve fácilmente sustituyendo ;2/senu obtenemos

2.01.0

12 11

2 IICk (2-227)

La ventaja del método de plantilla consiste en su gran flexibilidad. La influencia de los compartimientos cerca del

punto de calculo P es mayor que la de los compartimientos mas distantes, y el integrando cambia mas rápidamente en

la proximidad de P. por lo tanto, se necesita una subdivisión aun mayor alrededor de P. esto puede lograrse fácilmente

por medio de plantillas. Además, el cálculo de los coeficientes integrados resulta mas sencillo con el método de

plantilla.

La ventaja de un sistema fijo de casillas formada por una cuadricula de coordenadas geográficas radica en el hecho de

que se necesitan sus anomalías medias de la gravedad para diversos propósitos. Una vez determinadas, estas

anomalías medias de las casillas de tamaño estándar pueden almacenarse y procesarse fácilmente por medio de una

computadora electrónica. Además, se utiliza la misma subdivisión para todos los punt os de cálculo, mientras que los

compartimientos definidos por una plantilla cambia cuando esta se corre al siguiente punto de cálculo. La flexibilidad

del método de casilla estándar es limitada por supuesto; sin embargo, es posible utilizar casillas mas pe queñas (5`x5`,

por ejemplo) en la proximidad de P y otras mas grandes (1ºx 1º, por ejemplo) a distancias mayores. Generalmente se

prefiere este método para los cálculos electrónicos.

También es posible combinar los dos métodos, calculando el efecto de la zona interior por medio de una plantilla y

utilizando afuera las casillas estándar. Esto podría resultar ventajoso si el integrando cambia demasiado rápido en una

casilla de 5`x5`, que normalmente es el tamaño estándar mas pequeño disponible.

Efecto de la proximidad. Aun el la zona interior, el método de plantilla podría traer dificultades si el integrando fuera

hacia el infinito como 0 . Esto sucede con la formula de Stokes, dado que

2

S (2-228)

para un pequeño. Esto puede verse en la definición (2-164) ya que el primer termino es predominante y para un

pequeño esta dado por

2

2/

1

2/

1

sen

La función de Vening Meinesz pasa a ser infinita también ya que, con el mismo grado de aproximación,

2

2

d

dS (2-229)

En la formula del gradiente (2-217), el integrando

33

0 `

11

RI (2-230)

se comporta en forma similar.

Por consiguiente resulta conveniente dividir el efecto de esta zona interior, la cual se supone sea un circulo de radio

alrededor del punto de calculo. Por ejemplo, la integral de Stokes se convierte de esta manera en

ei NNN

Donde

dgSG

RN i

2

0 04

Y dgSG

RNe

2

0 04

Page 116: Heiskanen

El radio 0 de la zona interior corresponde a una distancia lineal de unos cuanto kilómetros.

Dentro de esta distancia podemos considerar la esfera como un plano usando las coordenadas polares S, en donde

2/2RsenRsenRs ,

De modo que el elemento de área se convierte en

sdsddR2

De acuerdo con esta aproximación podemos usar de (2-228) a (2-230), haciendo que

s

RS

2,

2

22

s

R

d

dS,

33

0

11

sI

Tanto en las funciones de Stokes como en las de Vening Meinesz, el error relativo de estas aproximaciones es de 1%

para s=10km, y un 3% para s=30km. En el caso de 1

0/1 I es aun menor. Por tanto el efecto de esta zona interior en

nuestras formulas integrales pasa a ser

dsdss

g

GN

s

s

i

2

0 02

1 (2-231)

2

0 0

2

cos

2

1s

si

sdsdsens

g

G (2-232)

sdsds

gg

h

gs

s

p

i

2

0 0

32

1 (2-233)

Para determinar el valor de estas integrales desarrollamos g en una serie de Taylor en el punto de calculo P:

yyxvxxyxr gyxyggxygxggg 22 2!2

1+…

Las coordenadas rectangulares x, y se definen por

,cossx 1sseny

De modo que el eje x apunta hacia el norte. Además tenemos

,p

sx

gg

p

ssx

gg

2

2

, etc.

esta serie de Taylor puede escribirse también

...cos2cos2

cos 222

sengsenggs

senggsgg yyxyxxvxp

Al incorporar esto en las integrales anteriores, podemos determinar fácilmente su valor. Efectuando primero la

integración con respecto a y notando que

2

2

0

d ,

0coscos

2

0

2

0

2

0

dsenddsen ,

2

0

2

2

0

2 cos ddsen

Hallamos dsggs

gG

N yyxxpi

0

2

...4

1,

Page 117: Heiskanen

dsg

g

G y

x

0...

...

2

1,

....4

1

0

dsggh

gyyxx

Ahora efectuamos la integración sobre s, reteniendo solamente los términos mas bajos que no se anulan. El resultado

es

;0

pi gG

sN (2-234)

xi gG

s

2

0, ;

2

0

yi gG

s (2-235)

yyxx gg

s

h

g

4

0 (2-236)

Vemos que el efecto de la zona circular inferior de la formula de Stokes depende, en una primera aproximación, de el

valor de g en P; el efecto de la formula de Vening Meinesz depende de las primeras derivadas horizontales de g ;

y el efecto en el gradiente vertical depende de las segundas derivadas horizontales.

Nótese que la contribución de la zona interior a la desviación total de la vertical tiene la misma dirección que la línea

de mayor inclinación de la ―superficie de la anomalía de la gravedad‖ por que el vector planar

11,,O

Figura 2-24

Líneas de g constante y líneas de descenso más inclinado.

Es proporcional al gradiente horizontal de g ,

yx ggggrad ,

La dirección del grad g define la línea de descenso mas inclinado (véase la Fig. 2-24).

Los valore de xg y yg pueden obtenerse de un mapa gravimétrico. Son la inclinaciones de perfiles norte sus y este

oeste a través de P. los valores de xxg y yyg pueden determinarse ajustando un polinomio en x y y de segundo grado

a la función de anomalías de la gravedad en la proximidad de P.

La influencia de las zonas distantes en las formulas de Stokes y Vening Meinesz refié rase a Hotila (1960). Los

geofísicos han desarrollado técnicas numéricas interesantes para la integración y la diferenciación, las cuales resultan

útiles para determinar el valor de formulas tales como (2-217) y (2-236); refiérase a Jung (1961).

Page 118: Heiskanen
Page 119: Heiskanen
Page 120: Heiskanen

3 METODOS GRAVIMETRICOS

3-1. REDUCCION DE LA GRAVEDAD

La gravedad g que se mide en la superficie física de la tierra no puede compararse directamente con la gravedad

normal que hace referencia a la superficie de l elipsoide. Es necesario efectuar una reducción de g a nivel del mar.

Como hay masa sobre el nivel del mar, los métodos de reducción difieren según la forma en que se tratan estas masas

topográficas.

La reducción de la gravedad permite llevar a cabo tres objetivos principales:

1. la determinación del geoide

2. la interpolación y extrapolación de la gravedad

3. la investigación de la corteza terrestre.

Únicamente los dos primeros son de naturaleza geodesica. El tercero es de interés para los geofísicos y los geólogos

teóricos que estudian la estructura general de la corteza, y para los geofísicos exploradores que buscan detalles o

accidentes de poca profundidad que pudieran indicar la presencia de depósitos minerales

Para usar la formula de stokes en la determinación del geoide es necesario que las anomalías de la gravedad g

representen valores limites en el geoide, para lo cual se requieren dos condiciones: primero, que la gravedad g haga

referencia al geoide; y, segundo, que no haya masas fuera del geoide (sección 2 -13). Por consiguiente by hablando en

sentido figurado, la reducción de la gravedad consta de los siguientes pasos: eliminar masas topográficas fuera del

geoide completamente o correrlas por debajo del nivel del mar; luego se baja la estación gravimetriíta desde la

superficie de la tierra (punto P), hasta el geoide (punto P0, véase la Fig. 3-1)

Figura 3-1

Reducción de la gravedad

Page 121: Heiskanen

Para el primer paso hay que conocer la densidad de las masas topográficas lo cual es, por supuesto algo problemático.

Mediante este procedimiento de reducción, se eliminan ciertas irregularidades en la gravedad producidas por las

diferencias en alturas de las estaciones, facilitando así la interpolación e incluso la extrapolación a las áreas no

observadas (sección 7-10)

3-2. Formulas auxiliares

Calculemos el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro circular homogéneo con un radio a y una altura b

en un punto P se encuentra arriba del cilindro c>b. luego el potencial estará dado por la formula general (1-11),

.dvI

kU

Figura 3-2

Potencial y atracción de un cilindro circular en un punto externo

Si incorporamos las coordenadas polares ,s en el plano x, y por medio de

,cossx sseny (3-2)

Tenemos22 zcsI

Y

dzsdsddxdydzdv

Por lo tanto hallamos que con una densidad constp ,

2

0 0 022

a

s

b

z

p

zcs

sdsdzdkU

2

0 022

2z zcs

sdsdzk

La integración con respecto a s proporciona

zczcaa

zcszcs

sdsa

2222

022 0

De mod0o que tenemos

Page 122: Heiskanen

dzzcazckU

b

0

222

La integral indefinida es k2 multiplicado por

222222ln

2

1

2

1

2

1zcazcazcazczc

Según puede verificarse por medio de una diferenciación. Por consiguiente U finalmente se convierte en

222222

222222

lnln cacabcabca

caczcabcczckU e (3-2)

En donde el subíndice e indica que p esta externo al cilindro.

La atracción vertical a es la derivada negativa de U con respecto a la altura c [comparece con la ecuación (2-14)]:

c

UA (3-2)

Diferenciando 3-2 obtenemos

22222 cabcabkA (3-4)

P sobre el cilindro. En este caso tenemos que q e c = b y que las ecuaciones (3-2) y (3-4) pasan a ser

a

babababbkU

222222

0 ln (3-5)

222

0 2 babakA (3-6)

P dentro del cilindro. Supongamos ahora que P se encuentra dentro del cilindro, c<b. por medio del plano z = c

separamos el cilindro en dos partes 1 y 2 (fig 3-3), y calculamos u como la suma de las contribuciones de estas dos

partes:

21 UUU i

En donde el subíndice i denota que P se encuentra ahora dentro del cilindro. El termino U1 esta dado por (3-5) en

donde se ha sustituido b por c, y U2 esta dado por la misma formula en donde se ha sustituido b por b-c. su suma es

a

cbacba

a

caca

cbacbcaccbc

kU i 22

222

2

222222

lnln

(3-7)

Podemos ver fácilmente que la atracción es la diferencia A1 – A2:

222222 cabcabckAi (3-8)

Esta formula también puede obtenerse diferenciando (3-7) de acuerdo con (3-3).

Disco circular. Digamos que el espesor b del cilindro tiende hacia cero, y que el producto

pbk

Permanece finito. La cantidad k podría considerarse entonces como la densidad de superficie (sección 1-3) con la que

se concentra la materia en la superficie de un circulo de radio a. necesitamos el p otencial y la atracción para un punto

exterior. Usando

b

k

En (3-2) y (3-4) y dejando que 0b , obtenemos por medio de métodos de cálculos conocidos

ccakU e

220 2 (3-9)

Page 123: Heiskanen

22

0 12ca

ckAe

(3-10)

Sectores y compartimientos. Las formulas anteriores no se utilizan para cilindros o discos completos si no para

sectores y compartimientos como los que se muestran en la figura (2-22). Para un sector de radio a y ángulo

n

2 (3-11)

Figura 3-3

Potencial y atracción en un punto

α – α1 α – α2 Figura 3-4

Un compartimiento de plantilla

Tenemos que dividir las formulas anteriores por n. para un compartimiento que subtienden el mismo ángulo y esta

delimitado por los radios 1a y 2a (Figura 3-4) obtenemos, en una notación obvia,

Ya que hp es la masa tanto de la coloumna topografica como de su compensación; d es la distancia entre los dos

centros de masa ST y SC de la figura 3-16 (es h de la seccion 1-4): La condición 0d se cumple bastante bien si d

es pequeña en comparación con la distancia desde la estacion.

Por tanto, el efecto combinado de la topografía y de la compensación en la gravedad y potencia se obtiene por medio

de (3-78) y (3-77) de la siguiente forma:

2

2

SIN

COS

R

hdAA CT

(3-82)

2sin2hdUU CT (3-83)

Page 124: Heiskanen

fig 3-16

Topografia y compensación como un dipolo

fig 3-17

Topografia y compensación para las diferentes reducciones de la gravedad.

La figura 3-17 muestrala distancia d para las diferentes reducciones de la gravedad; tenemos:

Pratt-Hayford: 2

dhd

Airy-Heikanen: 2

thTd

Rudzki (invesion): hd

Helmert (condensación): 2

hd

Estas son validas para los continentes.

Page 125: Heiskanen

En el caso de los oceanos no hay ni inversion ni condenascion, sino solamente compensación isotatica . En lugar de 3-

81 tenemos:

,́)(' dh

en donde pw y h‘ son la densida y profundidad del océano, y d‘ se calcula de la misma forma que antes dando como

resultado:

Pratt-Hayford: 2

'D

d

Airy-Heikanen: 2

'''

thTd

Rudzki y Helmert: 0'd

El signo negativo en 3-85 indica que la masa se desplaza contraria a la anterior.

Para la compensación isostatica según Pratt-Hayford 3-82, esto se convierte en:

Continentes:

2sin

2cos

2R

DhhAcAt

Oceanos:

2sin

22cos

2w

R

hDAc

Estas dos formulas fueron deducidas por Helmert.

Todas esta formulas deberan usarse con relacion a algun sistema que divida la tierra en compartimentos esfericos

similares a los de hayford de manera que en realidad

AA

UU

En donde la densidad y la elevación pueden considerarse constantes para cada compartimento.

3-9. Determinación Practica del Geoide

Metodo de reduccion que ha de utilizarse. En principio, todas la reducciones de la gravedad son equivalentes y

deberían dar por resultado el mismo geoide si se aplican debidamente y se toma en cuenta el efecto indirecto. No

obstante hay ciertos requisitos que limitan seriamente el numero de reducciones practic as. Los requerimientos

principales son:

Page 126: Heiskanen

1. La reducción debe proporcionar anomalías de la gravedad pequeñas y uniformes para que puedan interpolarse

fácilmente y, donde fuere necesario, extrapolarse. En otras palabras, una sola anomalía debe ser lo mas

representativa posible de toda la vecindad.

2. La reducción debe corresponder a un modelo geofísicamente significativo de manera que las anomalias

resultantes también puedan ser útiles para interpretaciones geofísicas y geologicas.

3. El efecto indirecto no debe ser excesivamente grande.

Las anomalías de Bouguer tienen buenas propiedades de interpolación – son grandes pero uniformes -y son

geofísicas significativas, pero para los propósitos de este manual debemos excluir la reducción de Bouguer en

vista de su efecto indirecto excesivamente grande (refiérase a la sección 3-6).

La reducción de Rudzki no tiene efecto indirecto alguno en el geoide, pero cambia el potencial fuera de la tierra, que

actualmente tiene la misma importancia que el geoide. Las anomalías de Rudzki no tienen significado geofísico

alguno.

La reducción por condensación es fácil de calcular, ya que proporciona en forma aproximada las anomalías de

aire Ubre y tiene un efecto indirecto insignificante. Tiene cierto significado geofísico que corresp ondería a un

caso extremo de compensación isostatica. las anomalías de aire libre son pequeñas pero dependen demasiado de la

topografía, de modo que su interpolación resulta sumamente imprecisa.

Las anomalías isostaticas satisfacen los tres requisitos. Los modelos en los que se basan se ciñen mejor a la realidad

geológica. Las anomalías isostaticas son pequeñas, uniformes e independientes de la topografía, de manera que son

ideales para la interpolación y la extrapolación, y muy representativas. El efecto indirecto es moderado.

Por tanto las anomalias de aire libre y las isostáticas deben considerarse como las más apropiadas para los fines

actuales. La ventaja principal de las anomalias de aire libre es la fácilidad con que pueden calcularse; su desventaja

principal es la dificultad que presentan para interpolación. En el caso de la reducción isostatica es todo lo contrario.

Dada la posibilidad actual de utilizar él calculo automático, el trabajo requerido para la reducción isostatica se ha

facilitado enormemente. Por otra parte, los datos gravimetricos son escasos y deben procesarse de tal forma que se

extraiga de ellos la mayor cantidad de información posible y que sean lo más representativos posibles. Es Lo favorece

considerablemente la utilización de la reducción hipostática en la actualidad.

Cabe mencionar que también puedo usarse la reducción hipostática conjuntamente con la determinación gravimetrica

directa de la superficie física de la tierra, tema que será tratado en oí capitulo 8; refiérase a la sección 8-11.

Datos gravimetricos. Para aplicar los métodos gravimetricos es necesario contar previamente con lo siguiente:

1. Teóricamente, hay que conocer las anomalías de la gravedad de cada punto sobre la superficie de la tierra; en

la practica, es suficiente tener una red gravimetrica densa alrededor de los puntos de calculo y una

distribución razonablemente uniforme de mediciones de gravedad afuera.

2. Todas las anomalías de la gravedad deberán convertirse al mismo sistema.

Las mediciones de Ta gravedad absoluta mediante péndulos requieren mucho trabajo y difícilmente se logra la

precisión requerida de +l mgal . Por tanto, se prefieren las mediciones de la. gravedad relativa, las cuales pueden

efectuarse por medio de péndulos con una precisión de +1 mgal. y mayor y por medio, de gravímetros con una

precisión alrededor de +l mgal.

Estas mediciones relativas deberian estar enlazadas entre si de manera que referencia a un sistema gravimetrico

mundial uniforme. Una estación ó varias en cada pais forman una red de estaciones gravimetricas base, a nivel

mundial (Uotila, 1964a). El plano de referencia actual consiste en e1 llamado sistema de Potsdám que ésta basado en

mediciones de la gravedad absoluta hechas alrededor de 1900 en el Instituto Geodésico d e Potsdám, Alemania.

Este sistema requiere correcciones constantemente, -13 mgals. aproximadamente. Actualmente se están llevando a

cabo varias determinaciones absolutas de la gravedad. Para ello se emplean diversas técnicas tales como el uso de

péndulos y la observación de cuerpos en caída libre.

Los datos gravimetricos se reúnen y procesan en centros ^ como el Instituto Isostatico de Helsinki, la Universidad del

Estado de Ohio, y-la Oficina Gravimetrica Internacional de Parias.

Page 127: Heiskanen

Para un procesamiento automático, los datos se almacenan como valores medios de compartimientos que tienen

un tamaño estándar, por ejemplo 5‘X 5', 10‘ X 10‘, 1°X 1°, 2°X 2°, y 5°X 5|

El mapa de la Fig. 3-18 muestra los datos gravimetricos disponibles en 1959. La distribución esta lejos de ser

satisfactoria. Se espera poder completar en el futuro las áreas extensas sin levantar que aparecen en los océanos con los

resultados obtenidos de mediciones gravimetricas efectuadas en el mar y desde el aire.

Figura 3-18

Anomalías medias de aire libre de bloques de 5° X 5°, unidad 1 mgal. Calculadas en la Universidad del Estado de Ohio

sobre la-base de los datos gravimetricos disponibles al 31 de diciembre de 1959.

Mientras tanto tenemos que tratar de rellenar los1espacios en blanco con valores extrapolados por medio de técnicas

estadísticas (capitulo 7) o por medio de un modelo geofísico o con valores obtenidos utilizando combinaciones de ambos métodos. Uotila (1964b) calculó las anomalías de la gravedad de aire 1ibre que representaban el efecto de la topografía y de su compensación isostatica solamente, de modo que correspondieran a una anomalía isostatica de cero, utilizando un desarrollo armónico esférico hasta el grado 37 y así obtuvo valores medios de 5°X 5°. En la figura 3-19 se muestra parte de sus resultados. Mientras que Uotila no uso ningún dato gravimetrico real, Kivioja (1964) trato de aplicar a las áreas que no hablan sido levantadas una combinación de datos gravimetricos medidos y de extrapolac ión geofísica, usando nuevamente un modelo isostataico.

Page 128: Heiskanen

Figura 3 -19

Anomalías medias de aire libre de Moques de 5°X 5° calculados por Uotila (1964b) para un modelo matemático <te la tierra en el sector comprendido entre tas longitudes de 0° y 90° E desde el Polo Norte hasta el Ecuador.

Cálculos geoidales. En la sección 2-24 se explicaron 1o^ principios de calculo de la formula de Stokes. Los primeros cálculos prácticos del geoide a nivel mundial- fueron efectuados por Hirvonen (1934). El Calculo

las ondulaciones geoidales para 62 puntos distribuidos en una franja de este a oeste alrededor de la tierra. Estimo las

anomalias medias de aire libré de aquellos bloques de 5°X 5° para los que se disponía de datos gravimetricos ; en las áreas no levantadas utilizo anomalías de aire libre correspondientes a una anomalía isostatica de cero.

Tanni (1948, 1949) calculo las alturas geoidales utilizando la formula de Stokes al igual que Hirvonen, pero se baso en una cantidad mucho mayor de datos gravimetricos. Utilizo la reducción isostatica por medio del sistema de Pratt-Hayford con D = 113.7 km y el sistema de Airy-Heiskanen con T = 60 km. Tanm calculo las ondulaciones globales, usando bloques de 5°X 5, y un geoide mas detallado para Europa, usando bloques de l°X 1°.

El geoide gravimetrico detallado mas reciente es el de Columbus (Heiskanen , 1957). En ese entonces se disponia de cinco veces mas datos gravimetricos que los utilizados por Tanni. Se emplearon anomalías de aire libre, y se efectuó la integración numérica de la formula de Stokes usando una computadora electrónica. Los detalles de los cálculos se describen en el trabajo de Uotila, 1960. La figura 3-20 muestra el geoide europeo.

Los detalles de escala grande del geoide también pueden obtenerse por medio de un desarrollo armónico esférico de grado inferior, digamos hasta el grado cuatro u ocho, utilizando métodos como 1os descritos en la sección 2-20. Mencionamos Jeffreys (1943), Zhongolovich (19^2), Kaula (1961), Uotila (1962) y Kaula (1966-). La figura 3-21 muestra el geoide de Uotila (1962), que corresponde a un desarrollo armónico esférico de cuarto grado. Los resultados de los diversos autores difieren en cuanto a los datos gravimetricos disponibles y a los métodos utilizados para manejar la distribución no uniforme de los datos.

Page 129: Heiskanen

Para mayor información refiérase, por ejemplo, a Heiskanen (1965) y Kaula (1963).

Desviaciones de la vertical. La formula de Vening Meinesz (2-210) para calcular las desviaciones de la vertical es mucho mas sensible a las anomalías locales de la gravedad alrededor del punto de calculo que la formula de Stokes para las alturas geoidales. Por consiguiente, se necesita una red gravimetrica densa alrededor del punto de calculo. El efecto de las zonas distantes es algo menor que con la formula ríe Stokes pero aun asi es

considerable (refiérase a la sección 7-4),

Se requiere una precisión mayor puesto que +0.3" corresponde a unos +40 metros ;en la posición. Esto es mucho mas

difícil de lograr que la precisión correspondiente de +10 metros en la altura geoidal.

Para mayores detalles sobre la integración numérica el -lector puede referirse nuevamente a 1a sección 2-24. El efecto de la zona mas ifiterior requiere una evaluación cuidadosa del gradiente horizontal de la gravedad. El radio de esta zona interior varia entre 0.1 y 10 km de acuerdo con los diversos autores y dependiendo también de los datos gravimetricos disponibles y de 1a precisión deseada. Refiérase a Heiskanen ya Vening Meinesz (1950, pags. 25/-277).

Fig 3-20

El geoide Columbus para Europa, hace referencia al elipsoide internncional (f= 1/297). El intervalo de 1as curvr3s de nivel es de 2 metros.

Si se usan las anomalías isostaticas, entonces habria que tomar en cuenta el efecto indirec to, el cual es idéntico a 1a desviación isostatica-topógrafo correpondiente al modelo isostratico utilizado (sección 3-6). Si se usan las anomalías de aire libre, entonces podrán calcularse las desviaciones de la vertical en la superficie de la tierra en lugar del geoide utilizando los procedimientos de refinamiento descri tos en la sección 8-9.

Sistema geodésico mundial. Como la determinacion gravimétrica de las alturas geoidales proporciona valores

absolutos para un elipsoide dé referencia que coincide con el centro de masa de la tierra, tiene un papel principal en un

sistema geodésico mundial. (Heiskanen. '1951; Heiskanen y Vening Meinesz, 1968, capftulo 9).

Page 130: Heiskanen

Esto requiere una combinación con los datos astro geodésicos (refiérase a nuestro cap itulo 5). Durante los

u1timos cinco años, también se han usado los satélites para reunir datos para un sistema geodésico mundial (refiérase

a nuestro capftulo 9).

Figura 3-21

E1 geoide generalizado de Uotila (1962) calculado a partir de un desarrollo armónico esférico de cuarto grado. La

unidad es 1 metro: el achatamiento del elipsoide de referencia, f = 1/298.24.

Page 131: Heiskanen

4

ALTURAS SOBREEL NIVEL DEL MAR

4-1. Nivelación con Nivel de Burbuja

El principio del nivel, do burbuja os ampliamente conocido. Para medir la diferencia de altura, H , entre dos puntos A y B se colocan miras verticales en cada uno de estos puntos y un nivel (instrumento de nivelación) entre ellas (fig. 4-1). Como 1a_recta AB es horizontal, la diferencia entre 1as lecturas

de las miras l1=AA la diferencia de altura: Para mayores detalles sobro esta técnica de medición, el lector puede referirse a la publicación de Bomford (1962).

Si medimos un circuito, es decir, una línea de nivelación cerrada, entonces por lo general 1a suma algebraica do

todas las diferencias de altura medidas no será exactamente cero como esperaríamos aun si hubiésemos podido efectuar las observaciones con una precisión perfecta. Este error de cierre, como se llama indica que la nivelación es mas complicada de lo que aparenta ser a primera vista. ^

Veamos esto con mas detalle. La figura 4-2 muestra los principios;

geométricos comprendidos. Digamos que los puntos A y Q se encuentran tan distantes uno del otro que resulta necesario aplicar el procedimiento de la figura 4-1 repetidamente. Por consiguiente la suma de las diferencias de

FIGURA 4-1

altura niveladas entre A y B no sera igual a la diferencia de las a11 ortometricas HA y Hg. El motivo de esto es que el incremento de nivelación, como seguiremos llamándolo, es distinto al incremento correspondiente dH de hb (fig. 4-2), debido a 1a falta de paralelismo de las superficies Si denotamos el incremento correspondiente al potencial W por dW, de acuerdo con (2-13) tenemos.

;' BW g n g H

en donde g es la gravedad en la estación de nivelacion y g es la gravedad en Ía línea de la plomada de B en dHb.

Por tanto.

;'

Bg

H n ng

(4-2)

No hay por consiguiente ninguna relación geométrica directa entre el resultado de la nive1aci5n y la altura

ortometrica ya que (4-2) expresa una relacion física. Si no es la altura, entónces ¿que se obtiene directamente por

nive1aci6n? Si también se mide la gravedad g. entonces es posible determinar.

FIGURA 4-2

Nfve1acion y

orfometrica.

Page 132: Heiskanen

;W g n

de manera que obtenemos

,R

B A

A

W W g n (4,3)

Por consiguiente, la nive1aci6n combinada con las mediciones de la gravedad proporcio na las diferencias de

potencial, es decir, cantidades físicas.

Teóricamente, resulta mas preciso reemplazar la suma de'(4-3) por una integral, obteniéndose así

;B

B AA

W W gdn (4-4)

Page 133: Heiskanen

Nótese que esta integral es independiente del trayecto de integración; en otras palabras, las distintas líneas de

nivelación que conectan los puntos A y B (fig. 4-3)' deberían proporcionar el mismo resultado. Esto es obvio

puesto

FIGURA 4-3

Dos líneas de nivel acción distintas' que conectan A y B; juntas forman un circuito..

Que W es una función de posici8n únicamente; de manera qué para cada punto hay un valor único W

correspondiente. Si la línea de nivelaci5n regresa a A, entonces la integral completa deberá ser Cero:

0;gdn Wa Wa (4-5)

El símbolo (J) denota una integral sobre un circuito.

Por otra parte, la diferencia de altura medida, es decir, la suma de los incrementos de nive1aci6n

;R B

ABA

A

R n dn (4-6)

depende del trayecto de integración y por consiguente no suele ser cero en e1 caso de un circuito:

0;dn errordecierre (4-7)

En términos matemáticos, dn no es una diferencial perfecta (la diferencial de una función de posición), mientras que dW=-gdn si lo es, de modo que se convierte en una diferencial perfecta cuando se multiplica por e1 factor integrante (-g).

Las diferencias de potencial son por lo tanto el resultado de 1a nivelación combinada con mediciones de la gravedad. Son fundamentales para todo la teoría altimétrica; aun las alturas ortometricas deberán considerarse

1

cantidades derivadas de las diferenciar, do potencial.

La nivelación sin mediciones de la gravedad, aunque en la práctica se use, no tiene mucha importancia desde

el punto de vista de la precisión, puesto que el uso de las alturas niveladas (4-/i) romo tales da origen a ciertas contradicciones (errores de cierre); no SP incluirá aquí.

Page 134: Heiskanen

4-2. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas Digamos que O es un punto a nivel del mar, es decir, sobre el geoide; por lo \ general se selecciona un punto adecuado sobre la costa. Supongamos que A sea otro punto conectado con o por una linea de nivelación. Luego, mediante la formula (4-3), es posible determinar la diferencia de potencial entre A y O.

La integral

;B

Agdn W Wa C

(4-8) que es la diferencia entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto A, se explico en a sección 2-4 como el numero geopotencial de A.

Por ser una diferencia de potencial, el numero geopotencial C es independiente de la línea de nivelación especifica utilizada para relacionar el punto con e1 nivel del mar. Es igual para todos los puntos de una superficie de nivel, por lo tanto, puede considerarse una medida natural de la altura, aun si su dimensión no es de longitud.

El numero geopotercial C se mide en unidades de geopotencial (g-p.u), en donde

1 g.p.u. = 1 kgal metro =1000 gal metro.

Como g = 0.98 kgal,

C=gH=0.98H

de modo que los numeros geopotenciales en g-p.u. son casi iguales a la altura sobre el nivel de mar en metros.

Los números geopotcncia1es se adoptaron en 1955 durante una reunión de una de las subcomisiones de la

Asociación Internacional: de Geodesia celebrada en Florencia. Anteriormente s e habían utilizado las alturas

dinámicas, definidas por H

dyn=C/v0

en donde v° es la gravedad normal para una latitud estándar arbitraria, usualmente 45°:

v45= 980.6294 gals

para el geoide Internacional.

Obviamente la altura dinámica difiere del numero geopotencial s51o en escala o en unidad: La divisi6n 'por la

consunta 7o en (4-9) sencillamente convierte algún numero geopotencial a una longitud. Sin embargo, la altura

dinámica no tiene significado geopotencial alguno de modo que la división por un v; arbitrario sencillamente

interfiere con el verdadero significado físico de una diferencia de potencial. Por lo tanto, generalmente se prefieren

los números geopotenciales en lugar de las alturas dinámicas.

Corrección Dinámica. Resulta a veces conveniente convertir la diferencia d»:? altura medida ^/u» (4-6)

en una diferencia, de altura dinámica agregándole una pequeña correcci5n.

La ecuacion (4-9) nos da

0

11/ ;

1( ) ;

B

AB B A

A

B B

A A

H H H Cb Ca gdn

gg dn dn dn

de inodo que.

Page 135: Heiskanen

;ABH n DC

en donde

;BB

AA

g gDC dn N (4-11)

es la corrección dinamica.

En realidad, la correcci5n dinamica tambien puede usarse para calcular las diferencias de los números

geopotenciales. Enseguida se obtiene

;Cb Ca N DC (4-101)

4-3. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey

Para convertir los resultados de la nive1acion en alturas ortométricas, necesitamos obtener de (4-2) la gravedad g‘

dentro,de la tierra. Como no es posible medir g‘, deber5 calcularse a partir de la gravedad en la superficie. Esto se

logra reduciendo los valores medidos de la gravedad de acuerdo con el método dü PoincarS y Prey.

Denotamos por Q, el punto en el que se ha de calcular, a', de ¡nodo que q'=gq Supongamos que P sea el punto

correspondiente de 1a superficie dr; manera que tanto P como Q están situados en 1<1 misma línea de la plomada

(fig. 4-4). ^ mide 1a gravedad en P, denotada por'^r . . :

La forma directa de calcular go sería usando 1a formula

,P

Q

gg gp dH

h

siempre y cuando se conozca el gradiente real de 1a gravedad dg/dh dentro de 1 a tierra.

Puede obtenerse por medio de 1a formula do Rruns (2-20),

22 4 2 ,g

gj kp wh

conociendo la curvatura media J de las superficies geopotenciales y la densidad p entre P y Q.

El Gradiente normal de aire libre esta dada por (2-79):22 2 ,

gj w

h

en donde Jo es

1a curvatura media do tas superficies esferopotenciales. Si la aproximacion

0,gJ J

(4-14)

Page 136: Heiskanen

es suficiente, entonces aplicando (4-13) y (4-14) obtenemos

4 ,g

kph h

Numéricamente, haciendo caso omiso de 1a variación de ^7/c^ según la latiti hallamos para una densidad p <s 2.67

^/cm1 y k == 66.7 X 10""

9 c.g.s. unidades:

0.3086 0.2238 0.0848 /g

gal kmh

(4-16 )

en donde g est3 expresado en gales y H en kilómetros, Esta formula sencilla, aunque es m5s bien aproximada, en

la practica se aplica frecuentemente.

La forma exacta de calcular ^ sería usando (4-12) y (4-13) con la verdadera curvatura media J de las superficies

geopotenciales, pero para esto se requeriría un conocimiento mas extenso de 1a configuración detallada de estas

superficies del que se tiene actualmente.

La siguiente es otra forma de calcular g que en este caso resulta mas convenien te. Se asemeja a la reducción normal

de la gravedad a1 nivel del mar (véase el capítulo 3) y consta de tres pasos:

1. Eliminar todas las masas encima de l<i superficie geopotencial W=Wo, la cual contiene Q, y restar

su atracción de g en el punto P.

2. Como la estación gravimetrica P se encuentra ahora en "aire libre", aplicar la reducción de aire libre,

desplazando así la estación gravimetrica de P a Q.

3. Restaurar las masas que se habían eliminado de su posición anterior, y sumar algebraicamente su atrac ción a

g en Q.

El propósito de este procedimiento un tanto complicado es que en el paso 2 puede usarse el gradiente de aire libre. Si

aquí reemplazamos el verdadero gradiente de aire libre por el gradiente normal dv/dh, el error supuestamente será

menor que si se usa (4-15).

El efecto de las masas encima de Q (pasos 1 y 3) puede calcularse mediante los métodos del capítulo 3 - por ejemplo,

por medio de algún tipo de -plantilla. Si se hace caso omiso de la corrección del terreno y solo se toma en cuenta la

placa infinita de Bouguer entre P y Q de la densidad normal P = 2.67 g/cm

1 entonces, con los pasos enumerados

anteriormente, sencillamente obtenemos:

gravedad medida en P ^

1. eliminación de la placa de Bouguer -0.1119(Hp-Hq)

2. reducción de aire libre de P a Q +0.3086(Hp--Hq)

3. restauración de la placa de Bouguer 0.1119(Hp-Hq)

todos juntos: gravedad en Q gq=gc+0.0848(Hp+Hq)

Esto es lo mismo que (4-16), que de este modo se confirma independientemente. Ahora vemos que el uso de (4-

15) o (4-16) equivale a reemplazar el terreno con una placa de Bouguer.

El gradiente de aire libre puede calcularse también con precisión por medio de (2-217); las anomalías de la gravedad '

que han de usarse en esta fórmula son las que se obtienen después del paso 2, es decir, aquellas que se refieren al nivel

del punto Q. Finalmente notamos que la reducción de PoincarS y ,Prey, conocida can la forma abreviada de reduccion de Prey,

proporciona la-gravedad real que se mediría dentro de la tierra si fuera posible. Su proposito es por 1o tanto

(4-15)

Page 137: Heiskanen

completamente diferente al de las otras reducciones de la gravedad, que es el de dar valores límites en el geoide; vease la sección 3-7.

4-4 Alturas Ortométricas

Denotamos la intersección del geoide con 1a línea de la plomada a traves del punto P por PQ (FIG- 4-4). Digamos que

C es el numero geopotencial de P, en otras palabras,

,C W W

y H su altura ortometrica, es decir, el largo de1 segmento de la líneai de la plomada entre PQ Y P» La integr^cidn en

(4-8) se efectúa a lo largo de 1a línea de la plomada PQ?. Esto esta permitido porque el resultado es independiente del

trayecto. Luego obtenemos

0,

H

C gdH C^¡^df{. 01-17)

Esta ecuación contiene H en una form-3 implícita. También es posible obtener H explícitamente, usando

, ,dW dC

dC dW gdH dHg g

de donde se obtiene

0,

W C

w

dW dCH

g g

Al igual que artes, la integración se extiende sobre la línea de la plomada.

Esta forrnula explícita (4-18), sin embargo, tiene poco uso practico. Es mejor transfomar (4-17) de una manera que tal vez al orincipio paraca insig-ni ficante:

0 0

1,

H H

C gdH H gdHH

de modo que

,C gH

Page 138: Heiskanen

en donde

0

1,

H

g gdHH

es el valor medio de la gravedad a lo 1argo de la línea de la plómala entre el geoide, punto P0 y el terreno, punto P. Aplicando (4-19) tenemos a continuaci6n que

,C

Hg

lo cual permite calcular H si se conoce la gravedad media g. Como g no depende mucho de H, 1a ecuación (4-21)

constituye una fórmula practica y no meramente una tautología.

Para determinar el valor de (4-21) es necesario conocer la gravedad media g.

LA ecuación (4-20) puede escribirse

0

1( ) ,

H

g g z dzH

en donde g(z) es la gravedad real en el punto variable Q que tiene a altura z (fig. 4-4).

La aproximación m5s sencilla es usando la reducci5n simplificada de Prey de (4-16):

( ) 0.0848( ),g z g H z

en donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. La integración (4-22) puede efectuarse ahora

enseguida» dando como resultado

2

0

1 10.0848( ) 0.0848 ,

2

H zg g h z dz g Hz

H H

o

g = g + 0.0424H (g en gales, II en km).

El factor 0.0424 es v51ido para la densidad no. mal p = 2.67 g/cm3. La formula correspondiente para una

densidad constante arbitraria» de acuerdo con (4-15), es

1/ 2 2 ,g g kp Hh

(4-25)

Si usamos g de acuerdo con (4-24) o (4-26) en 1a formula basica (4-21), obtenemos las alturas

conocidas como de Helmert: (Helinert, 1890):

Page 139: Heiskanen

,0.0424

CH

g h

con C en g.p.u., g en gales, y H en km.

Como hemos visto en la sección 4-3, esta aproximacion sustituye e1 terreno con una placa infinita de Bouguer de

densidad constante y altura h, A menudo resulta suficiente. Algunas veces, en el caso de montañas elevadas y para

obtener una precisión mayor, es necesario aplicar a g una reducción de Prey mucho mas exacta, como la de los tres

pasos descritos en la seccion 4-3.

Niethammer (1932) desarrolló un método práctico y muy preciso para este fin, en el que se toma en cuenta la

topografía y solo se da por sentado que el gradiente de aire Ubre es normal y que la densidad es constante hasta el

geoide.

También es suficiente calcular g como 1a media de la gravedad g, medida en el punto de superfice P, y de la graveda

go, calculada en el punto geoidal correspondiente PQ, por medio de la reducción de Prey:

1/ 2( '),g g g g ^ ^ {g + ^). (4-27 )

Esto fue propuesto por Mader (1954); da por sentado que la gravedad g varía linealmente a lo largo de la línea de la

plomada. Esto por lo general pueda ponerse con suficiente precisión, aun en casos extremos, según lo han de -

mostrado Mader (1954) y Lederstegar (1055).

Corrección ortometrlca. La corrección ortométrica se agrega a 1a diferencia de altura medida para convertirla en

una diferencia de altura ortometrica.

Supongamos que 1a línea de nivelación conecta dos puntos A y B (fig. 4-5 ^rimero se aplica un truco sencillo:

( )

( ) ( ),

Hab Hb Ha Hb Ha Hdymb Hdyma Hb Ha

Hab Hb Hdymb Ha Hdyma

de acuerdo con (4-10) tenemos

,Hab hab DCab

Considérenos ahora las diferencias entre 1a altura ortometrica y 1a dinamica ,Ha-Had y Hb-Hbd. Imaginémonos una

línea de nivelación ficticia quo va desde e1 pie AO en el geoide hasta el punto terrestre A a 1o largo de 1inea de la

plomada. Obviamente, 1a diferencia de altura medida sería la misma Ha de modo que

Page 140: Heiskanen

Cabe hacer notar los siguientes dos puntos:

1. El eje del elipsoide de referencia es paralelo al eje de rotación de la tierra (porque de

lo contrario habría dos polos PN diferentes en la figura 5-4), pero no tiene que

encontrarse necesariamente en una posición absoluta, y su centro coincide con el

centro de gravedad de la tierra.

2. Las componentes de desviación Š y n se refieren directamente al punto terrestre

donde se efectúan las observaciones astronómicas, y no al geoide.

Si se calculan gravimétricamente las componentes Š y n de la desviación vertical para el geoide usando la fórmula de Vening Meinesz, entonces ‘, , h y € se refieren a un elipsoide en una posición absoluta, pero debe tenerse cuidado debido a la curvatura de la línea de la plomada; refiérase también al final de la sección 5-2.

Debemos mencionar también que el acimut elipsoidal € (5-18) hace referencia al objetivo real T,

que por lo general no esta en el elipsoide. Para los ca1culos convencionales en un elipsoide, lo deseable es que el acimut haga referencia a un objetivo T0 en el elipsoide, que viene a ser el

punto de contacto de la normal que pasa por T. Además, € se refiere a lo que llamamos una sección normal del e1ipsoide y no a una línea geodésica la cual se usa en los ca1culos. En

cualquiera de los dos casos, se necesitan reducciones acimutales muy pequeñas; como estas

reducciones son meramente problemas de geometría elipsoidal, el lector puede referirse a cualquier texto sobre geodesia geométrica o al de Bomford (1962). Efecto de la migración polar. La dirección del eje de rotación de la tierra no es totalmente fija con respecto a la tierra sino que sufre variaciones muy pequeñas más o menos periódicas. Este fenómeno es el resultado del minuto de diferencia entre los ejes de rotación y de máxima inercia, siendo el ángulo entre estos dos ejes de unos 0.3", Y se asemeja bastante a la presesión de un trompo girando. Este movimiento del polo tiene un período principal de 430 días aproximadamente, el período de Chandler, pero es más bien irregular, debido supuestamente al movimiento de las masas, a las variaciones atmosféricas, etc. (figura 5-5). El Servicio Internacional de Latitudes que tienen la Unión Astronómica Internacional y 1a Unión

Internaciona1 de: Geodesia y Geofísica, observa en forma continua la variación de la latitud en diversas estaciones y determina de esta manera el movimiento del polo. Los resultados se

publican como las coordenadas rectangulares del polo instantáneo PN con respecto a un polo medio Pn

x (figura 5-5). Los valores observados astronómicamente de ‘, , y A hacen referencia

naturalmente al polo instantáneo PN y por lo tanto tienen que reducirse al polo medio, uti1izando

los valores publicados de X y Y.

Esto se efectúa por medio de las ecuaciones

= obs – (xcos + ysen ) tan‘+ytan‘

A = Aobs - (xcos + ysen ) sec‘ (5-19)

Page 141: Heiskanen

‘ = ‘obs – xcos + ysen

FIGURA 5-5

Movimiento polar

Ahora hacen referencia al polo medio; estos valores se utilizan en geodesia porque no varían con el tiempo. La longitud se calcula en este libro como positiva hacia el este, como se hace usualmente en geodesia; cabe mencionar que en las publicaciones muchas veces estas fórmulas se escriben para longitud oeste, según lo que acostumbran muchos astrónomos. Como los términos de corrección que contienen X y Y son sumamente pequeños {del orden de 0.1"), podemos usar bien sea los valores geodésicos ‘ y o los valores astronómicos ‘ Y en estos términos. El término que contiene ‘Gr (la latitud de Greenwich) en la formu1a para generalmente se omite, de modo qué se mantiene fijo el meridiana medio de Greenwich, en 1ugar de la longitud astronómica del mismo Greenwich.

No es el propósito de este libro incluir el desarrollo de estas fórmulas; éste puede hallarse en cualquier texto sobre astronomía esférica. No obstante, es interesante notar la gran simi1itud entre la reducción del acimut (5-13) producida por la "variación cenital" -es decir" la desviación de la vertical - y la reducción de la latitud de (5-19) producida por la variación polar. En realidad, la geometría es la misma en ambos casos. Las cantidades Corresponden a x, y, ‘,‘Gr ;la diferencia de signo de sin€ y sin ‘ se debe al hecho de que cuando se observa desde el cenit, el acimut se ca1cula en sentido dextrorso y cuando se observa desde el polo, la longitud este se calcula en sentido sinistrorso.

5-5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Ver1icales y de las Distancias Ángulos Horizontales. Para reducir un ángulo horizontal observado ” al elipsoide es importante notar que todo ángulo puede considerarse como 1a diferencia entre dos acimuts:

,º90,, z

Page 142: Heiskanen

” = €2-€1

Por consiguiente podemos aplicar la fórmula (5-13). En la diferencia €2-€1, el término principal

tan‘ queda eliminado, de modo que en el caso de visuales casi horizontales podemos omitir la reducción por completo.

Ángulos Verticales. La relación entre la distancia ceni1tal medida Z` y la distancia cenital

elipsoidal correspondiente z se determino en la sección 4-7 La ecuación (4-49) nos da

z = z̀ + — = z̀ + Šcos€ + sin€ en donde € es el acimut del objetivo. Esta ecuación también puede obtenerse analizando la

figura 5-4.

Líneas Base. La figura 5-6 ilustra la reducción de las líneas base medidas al elips0ide.

Denotemos un elemento de la distancia medida por dl. Tiene una inclinación ß hacia el horizonte local (la superficie geopotencial a nivel que pasa por d1). La componente de desviación

en la dirección de la línea medida que contiene el acimut € se denota por — y está dado por (5-16). El elemento ds, que es la componente de dl paralela al elipsoide es

ds = dl cos ( ß - —) = dl cosß + —dlsinß

Si denotamos la proyección de dl en el horizonte local por dl;

dl` = dl cosß y observamos que dl sinß = dh tenemos ds = dl`+ —dh

si r es el radio de curvatura local del acimut € del elipsoide, entonces podemos demostrar por medio de la geometría diferencial que.

NMR

22 sincos1

Page 143: Heiskanen

FIGURA 5 - 6 Reducción de las líneas base en donde M y N son, respectivamente, los radios de curvatura norte-sur y este-oeste. luego, si ds0 es la proyección de dl en el elipsoide o Si dejamos que (5-23)

tenemos

y al efectuar la integración entre los puntos extremos A y B, obtenemos

(5-24)

Si 1a elevación h es prácticamente constante a lo largo de la línea, como suele ocurrir con 1as mediciones de la línea base, entonces la aplicación de un teorema de valor medio del calculo integral, resulta en Aquí

Rh

RhR

dsds 1

0

000 ' dsdhdldsdsdsRh

Rh

dR

ds0

)()('0 hdhdhddhdlds

)('0 dhhhlsB

AAABB

dhhhhlsB

AmABmAABB )('0

B

Adll cos'

Page 144: Heiskanen

es la suma de la dl’ reducida localmente, y hm es la elevación media a lo largo de la línea. Al Expresar d’ en términos de ds0 por -medio de (5-23) e integrando obtenemos finalmente

(5-25)

En un sentido estricto de 1a palabra, R, el radio de curvatura elipsoidal local del acimut €., varia ligerarnente a lo 1argo de la 1ínea de A a B. En la práctica, sin embargo, esta permitido reemp1azar el va1or 1ocal de R por su promedio a lo 1argo de la línea, de modo que podemos

considerar R en (5-23) como una constante, lo cual nos lleva a (5-25). Esto viene a ser la aproximación del arco elipsiodal AB por un arco circular cuyo radio R es el promedio de los

valores dados por (5 -21) a lo largo de AB. Los términos con representan el efecto de la inclinación entre la superficie geopotencial y la esferopotencial; casi siempre son insignificantes. El término s0hm/R se debe a la convergencia de las normales elipsoidales.

Por consiguiente la reducción exacta de las líneas base según (5-25) requiere la ondulación geoidal N, a través de la altura h encima del elipsoide, y la desviación de la vertical —. Las líneas

base se reducen directamente al elipsoide por medio de las normales el elipsoidales rectas, de acuerdo con la proyección de Helmert.

Distancias espaciales. La medición electrónica de la distancia da como resultado distancias

espaciales rectas l entre dos puntos A y B (figura 5-7). Estas distancias pueden usarse ya sea directamente para cálculos en el sistema de coordenadas geodésicas ‘, ,h, como en la

―geodesia tridimensional‖ (refierase a la sección 5-12), o pueden reducirse a la superficie del elipsoide para obtener distancias de cuerda l0 o distancias geodésicas s0. FIGURA 5-7 Reducción de Distancias espaciales.

00 )()(' shhhhls R

h

mAAABBm

BAy

Page 145: Heiskanen

Volvemos a aproximarnos al arco elipsoidal A0B0 por medio de un arco circulas de radio R que es el radio de curvatura elipsoidal medio a lo largo de A0B0. si aplicamos la ley de los cosenos al triangulo OAB hallamos que Con esto se convierte en y con y la forma abreviada , obtenemos por tanto la cuerda l0 y el arco s0 están dados por (5-26) (5-27)

Los refinamientos elipsoidales de estas fórmulas: pueden hallarse en la pub1icación de Rinner

(1956).

La razón por la cual difieren tanto los procedimientos de reducción para las líneas base y para las distancias medidas e1ectrónicamente es que podemos considerar que las primeras se minen a lo largo de la superficie de la tierra y se reducen por partes, al horizonte local, lo cual comprende la dirección de la vertical, mientras que las distancias espaciales rectas son independientes de la vertical. Por lo tanto, la fórmula de reducción (5-26) no contiene la desviación de la vertical — .

5-6. Reducción de las coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada

Las coordenada; astronómicas ‘ y , tal como se observan en la superficie de la tierra, no son exactamente iguales a sus valores correspondientes en el geoide puesto que la línea de la

.cos))((2)()( 21

2

2

2

1

2 hRhRhRhRl

2

2sin21cos

;sin)1)(1(4)(2

222

12

2 21

R

h

R

hRhhl

20 sin2Rl

12 hhh

2

0

22 )1)(1( 21 lhlR

h

R

h

)1)(1(0 21

22

R

h

R

h

hll

R

lRRs

2

1

00sin2

Page 146: Heiskanen

plomada, la, línea de fuerza, no es recta, en otras palabras, porque las superficies; de nivel no son paralelas. Por consiguiente, si deseamos que nuestras coordenadas astronómicas hagan referencia al geoide, tendremos que reducir nuestras observaciones de una manera acorde. En principio, 1a proyección de Helmert evita la reducción de la curvatura de la línea de la plomada porque no utiliza el geoide directamente, pero si se desea usar u obtener cantidades que hagan referencia al geoide será necesario efectuar dicha reducción. Algunos ejemplos de este caso serian:

1. Las desviaciones gravimétricas generalmente se calculan por medio de la fórmula de

Vening Meinesz para el geoide; de modo que hay que reducir las desviaciones

gravimétricas hacia arriba al punto terrestre o hay que reducir las observaciones

astronómicas hacia abajo al geoide para que las dos cantidades puedan compararse.

2. Si se utilizan observaciones astronómicas para la determinación de1 geoide, deberá

aplicarse la misma reducción que se explica en la siguiente sección. Consideremos ahora la proyección de la línea de la plomada en e1 plano meridiano. De acuerdo con la definición conocida de la curvatura de una curva plana, el ángulo entre dos tangentes contiguas de esta proyección de la línea de 1a plomada es

en donde e signo negativo es convencional y la curvatura está representada por (2-22a 1:

El eje x es horizontal y apunta hacia el norte. Por lo tanto, el cambio total de latitud a lo largo de la 1ínea de la plomada entre .un punto sobre el terreno, P; y su proyección en el geoide, P0, está representado por o (5-

28a) En forma similar hallamos para el cambio de longitud, €2 (2-22b); sustituyendo a

(5-28a)

,1dhd

.11 x

g

g

p

p

p

pdhd

0 01

dhy

gp

p g0

1

,cos0

1 dhP

p y

g

g

Page 147: Heiskanen

En donde el eje y es horizontal y apunta hacia el este. Fórmulas alternas. Hay una estrecha relación entre la reducción de la curvatura de las coordenadas astronómicas y la reducción ortométrica de la nivelación, considerada en la sección 4.4. FIGURA 5-8 Curvatura de la línea de la plomada y corrección ortométrica. La corrección ortométrica d(OC) se ha definido como la cantidad que debe agregarse al incremento de nivelación dn para convertirlo en la diferencia de altura ortométrica dH: d(OC) =dH-dn (5-29)

Page 148: Heiskanen

En la figura 5-8 vemos que, para un perfil norte-sur, la reducción de la curvatura y la corrección ortométrica están relacionadas por la fórmula sencilla

(5-30a) En forma similar hallamos que

(5-30b) De acuerdo con la sección 4-4, tenemos dC = gdn = -dW, H=

Por consiguiente (5-29) pasa a ser d(OC) = dH - dC = dH + dW,

de modo que

(5-31)

Estas ecuaciones relacionan la reducción para la curvatura de la línea de la plomada con la altura ortométrica H y el potencial W. En vista de la forma irregular de las líneas de la plomada resulta sorprendente que existan relaciones generales tan simples como las (5-30) y (5-31). Estas relaciones pueden usarrse para hallar fórmulas de cálculo para las reducciones …‘ y … de la curvatura (Bodemüller, 1957). Tenemos d(OC)= dH - =d - = - -

= o

Si sustituimos esto en (5-30ª,b) obtenemos

(5-32)

x

OC )(

y

OCd

)(cos

g

C

g1

g1

xW

gxH 1

y

W

gy

Hd 1cos

g

dC )(g

C

g

dC

g

dCdgg

C2g

dC

.dndg g

gg

gC

.)( dngdOCdg

gg

gH

,tan 1g

gg

x

g

gH

,tancos 2g

gg

y

g

gH

Page 149: Heiskanen

En donde hemos dejado que

tan ß1 = , tan ß2 = ,

De manera que ß1 y ß2, son los ángulos de inclinación de los perfiles norte-sur y este-oeste con

respecto al horizonte local; es el valor medio de la gravedad entre el geoide y el terreno. En estas fórmulas sólo necesitamos este mientras que (5-28) necesitamos conocer las derivadas horizontales de la gravedad a todo lo largo de la línea de la plomada. En (5-32) no se usa

directamente la forma detallada de las líneas de la plomada como se hace en (5-28).

El valor medio se determina mediante una reducción de Prey de la gravedad medida g. Para que las diferenciaciones numéricas … /…x y … /…x proporciones resultados confiables, se necesita una red densa de gravedad alrededor de la estación, y la reducción de Prey deberá

efectuarse cuidadosamente. Los ángulos de inclinación ß1 y ß2 se obtienes de un mapa topografía.

El signo de estas correcciones puede determinarse de la siguiente manera. Si g disminuye en la dirección x, entonces las fórmulas (5-28) y (5-32) resultaran en …‘>O y la figura 5-8 muestra

que ‘ en P0 es mayor que en P.

Φgeoid = Φground + δ‘ Λ geoid= Λground + δΛ (5-33)

para otros métodos de determinar la curvatura de la línea de la plomada refiérase a los trabajos de Arnold (1956, sección C ) y de Ledersteger (1955).

Curvatura de la línea de plomada normal. Si, en lugar de la gravedad real g, se utiliza la gravedad normal

Para calcular la curvatura de la línea de la plomada, hallamos, utilizando

γ = γz (1+f*sin2‘ - …..)

que

f*sin‘cos‘= f*sin‘cos‘,

g

gg g

xn

yn

ha2

RRxa21

R

2

0cos1

Ry

Page 150: Heiskanen

Por tanto, el integrando en (5-28ª) no depende de h, de manera que la integración puede efectuarse enseguida. Hallamos

δ‘normal= - h sin2‘ = -0.17” hmm sin2‘ (5-34)

δ normal = 0

La curvatura de la línea de plomada normal en dirección este-oeste es cero por la simetría de rotación del elipsoide de revolución.

La reducción normal 85_34) se aplica muchas veces convencionalmente, pero se usa poco puesto

que el efecto de las irregularidades topográficas en la curvatura de la línea de la plomada es muchas veces mayor que la parte ―normal ―. En montañas altas, la reducción verdadera puede alcanzar varios segundos de arco ( Kobold y hunziker, 1962).

Para la aplicación exacta de la reducción normal (5-34) refiere a la sección 8-9.

5-7 La Determinación Astrogeodésica del geoide

La forma del geoide puede determinarse si se conocen las desviaciones de la vertical. La

ecuación básica es ( 2- 202):

dN = -— ds Al integrar obtenemos

NB = NA- — ds

En donde — = ξcosα + ηsinα

Es la componente de la desviación de la vertical a lo largo del perfil AB, cuyo acimut es €; véase la ecuación

( 5-16). Esta formula expresa la ondulación geoidal como una integral de las desviaciones de la vertical a

lo largo de un perfil. Como N es una función de posición, esta integral no depende de la forma de

R

f *

B

A

Page 151: Heiskanen

la línea que conecta los puntos A y B. esta línea no necesariamente es una geodésica en el elipsoide, y en el caso general € puede ser variable. En la practica, los perfiles norte –sur (— = Š) o este – oeste (— = n) se utilizan con frecuencia. Hay que determinar el valor de la integral (5-

36) por medio de una integración numérica o gráfica. Deberá conocerse la componente de desviación — en suficientes estaciones a lo largo del perfil para que la interpolación entre estas

estaciones pueda efectuarse con cierto grado de confiabilidad. Algunas veces se dispone de un mapa de Š y n para determinada área. Estos mapas se construyen mediante interpolación entre estaciones bien distribuidas en las que se ha determinado Š y n. Luego pueden seleccionarse

debidamente los perfiles de integración; se pueden formar circuito; para obtener redundancias que deben ajustarse.

Si las componentes de desviación Š y n se obtienen directamente de las ecuaciones Š=‘-‘0 , n = ( – 0) cos‘ (5-37)

Es decir, comparando las coordenadas astronómicas y geodésicas del mismo punto, entonces dicho método se conoce como la determinación astrogeodésica del geoide.

Las coordenadas astronómicas se observan directamente; las coordenadas geodésicas se obtienen de la siguiente manera. Se escoge cierto ―punto inicial‖ p1 en un sistema de triangulación más

grande para el que se establece la ondulación N1 y las componentes Š1 y n1 de la desviación de la vertical. En principio se pueden establecer arbitrariamente Š0 ,n0 y N1 ; por lo tanto la posición

del elipsoide de referencia con respecto a la tierra es fija. Para efectos de definición, consideremos ahora un caso de gran importancia practica, es decir, aquel donde Š1 = n1 =N1 = 0. Como en este caso el Š1 = n1 = 0 el geoide y el elipsoide tienen la misma normal a la

superficie, 5 de modo que como N1= 0 el elipsoide es tangente al geoide debajo de P1 (figura 5-9). La condición de la tierra determina finalmente la orientación de la red de triangulación ya que

la ecuación de Laplace (5-14) da entonces como resultado Δ€1 = n1 tan‘=0. de modo que €1 = A1; es decir que en el punto inicial el acimut geodésico es igual al acimut astronómico.

Ahora podemos reducir las distancias y los ángulos medidos al elipsoide y calcular en él la

posición de los puntos de la red de triangulación (sus coordenadas geodésicas ‘ y Ν ) en forma

usual. Después de medir las coordenadas ‘ y Л astronómicamente en los mismos puntos,

5 Se hace caso omiso de la curvatura de la línea de la plomada.

Page 152: Heiskanen

podemos calcular las componentes de desviación Š y n con (5-37). Empezando por el valor supuesto de N1 en el punto inicial P1 (en nuestro caso N1= 0) podemos finalmente calcular las alturas geoidales n de cualquier punto de la red de triangulación aplicando (5-36) repetidamente.

Estas alturas geoidales hacen referencia al elipsoide cuya posición qudo fija al establecer previamente los valores de Š0 ,n0, N0 Y por supuesto de su semieje mayor a y de su

achatamiento f. Para emplear un término que se utiliza frecuentemente, estas hacen referencia a un determinado dátum astrogeodesico (a, f, Š0 , n0 y N1).

FIGURA 5-9 El elipsoide de referencia es

Tangente al geoide en P1

Por medio de N y de la altura ortométrica H, se obtiene la altura h, encima del elipsoide (h 0

H+N ), de modo que es posible calcular las coordenadas rectangulares espaciales X, Y, Z por medio de ( 5-5 ). Pero a menos que ξ y η sean desviaciones absolutas, el origen del sistema de

Coordenadas no estará en el centro de la tierra; véase la sección 5-9.

Page 153: Heiskanen

Lo Que parece ser una falla en el procedimiento descrito anteriormente es Que ya se necesitan N, ξ, η para la reducción de los ángulos y distancias medidas al elipsoide. Sin embargo, para este

propósito los valores aproximados de N, ξ, η resultan suficientes estos se obtienen llevando a cabo el procedimiento que acaba de explicarse con los ángulos y las distancias sin reducir.

También pueden obtenerse valores apropiados para N, ξ, η en otras formas, por ejemplo con la fórmu1a de Stokes.

Cabe mencionar que en la práctica muchas veces la componente η se obtiene de las mediciones acimutales usando (5-18), η = ( A – α ) cot ‘, ( 5-38 ) dado Que las mediciones astronómicas; del acimut son mucho más sencillas que las de la longitud. Además. Con frecuencia la longitud y el acimut se miden en e1 mismo punto. Luego la condición de Laplace

Δα = Δ sin ‘

representa una verificación para la orientación correcta de la red y puede usarse para efectos de ajuste. Las estaciones astronómicas con observaciones de longitud y de acimut se conocen por lo tanto como estaciones de Laplace. La determinación astrogeodésica del geoide fue desarrollada por Helrnert (1880); también. se le'

conoce como nivelación astronómica.

Comparación con el método de Stokes. Resulta ilustrativo comparar la fórmula de Helmert

N = NA - —ds para el método astrogeodésico con la fórmula de 5tokes

para el método gravimétrico. Ambos métodos utilizan el vector de gravedad g. Es equivalente a

un vector de gravedad normal γ. Las componentes ξ = Δ‘ η= de la desviación de la vertical representan las diferencias de

dirección y la anoma1ía de la gravedad Δg representa la diferencia de magnitud de los dos vectores. La fórmu1a de Helmert determina la ondulación geoidal N a partir de ξ y η, es decir por

medio de la dirección de g, y la fórmula de Stokes determina N a partir de Δg, es decir por medio de la magnitud de g. Ambas f6rmulas son algo similares: son integrales que contienen —,O, ξ y

ε, y Δg en forma lineal.

B

A

dgSNnGR )(

4

Page 154: Heiskanen

De lo contrario, .las dos fórmulas muestran diferencias marcadas las cuales son características de los respectivos métodos. En la fórmula de Helmert la integración se extiende sobre parte de un perfil.; por lo tanto sólo es necesario conocer la desviación de la vertical en un área limitada, Sin embargo, la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro de gravedad de la tierra se desconoce, y puede determinarse solamente por medio del método gravimétrico (sección 5-10) o análisis de las órbitas satelitales (sección 9-8), Además el método astrogeodésico solo puede usarse en tierra ya que es imposible efectuar las Mediciones necesarias en el mar, En la fórmula de Stokes, no obstante, la integración debe extenderse sobre toda la tierra. Hay que conocer la anomalía de la gravedad Δg en toda la tierra; sin embargo, es posible efectuar mediciones gravimétricas precisas en el mar. El método gravimétrico proporciona las ondulaciones geoidales absolutas para toda la tierra, en donde el centro del e1ipsoide de referencia coincide con el centro de la tierra. Por consiguiente, de los métodos geodésicos tradicionales, solamente el gravimétrico permite tener un sistema geodésico a nivel mundial. El método astrogeodésico es necesario --por ejemplo, para establecer la escala. Ambos métodos deberán combinarse y comp1ementarse por aquella información geodésica que pueda obtenerse de otras formas, especialmente aquellas. que proporcionan los sate1ites artificiales; véase el Capítulo 9. Corrección para la curvatura de la línea de la plomada. En la fórmula (5-36), las componentes de desviación ξ y η hacen referencia al geoide. Esto significa .que las observaciones astronómicas de

‘ y Λ deben reducirse al geoide de acuerdo con la sección 5-6.

También es posible, y muchas veces más; conveniente, no aplicar esta corrección para la curvatura dé la línea de la plomada a las coordenadas astronómicas ‘ y Λ sino a las diferencias de la altura geoidal calculadas a partir de las componentes no reducidas de la desviación (Helmert, 1900 y 1.901). Estos valores N, denotados por N', se obtienen utilizando en (5-37) las coordenadas ‘ y Λ directamente observada; las cuales definen la dirección de la plomada en la estación P de la figura 5-10. La notación N se ha reservado para las alturas geoidales correctas.

dh= dN+ d.H = dN' + dη,

Luego de la figura 5-10 vemos que:

Page 155: Heiskanen

FIGURA 5-lO reducción de la nivelación astronómica. en donde h es la altura geométrica del elipsoide. Por tanto vemos que la diferencia entre el elemento no reducido de la altura gordal y el dN‟ – dN = dH-dη 0 d(OC), (5-39)

es igual a la diferencia entre el elemento dH de la altura ortométrica y el incremento de

nivelación dn, que es la reduccion ortométrica d(OC). Por consiguiente NB – NA = N‟B - N‟A – OCAB,

(5-40)

de manera que podemos aplicar enseguida la ecuación (4-33) del capítulo anterior:

NB – NA = - —ds -

(5-41)

En donde γ0 es un valor constante arbitrario que puede escogerse convenientemente, las componentes de desviación — se calculan a partir de los valores terrestres observados ‘ y Λ por

medio de (5-37) y (5-16).

El método astrogeodésico se ha aplicado frecuentemente a la determinación de las secciones

geoidales; refiérase por ejemplo a Bomford (1963), Fischer (1961), Galle (1914), Niethammer (1939) Olander (19519, Rice (1962) y Wolf (1956). En el trabajo de Bomford se podrá hallar una

explicación de los aspectos prácticos y de la precisión del método (1962, capitulo 5, sección 5).

5-8. Interpolación de las Desviaciones de la vertical.

Nivelación Astrogravimétrica

La fórmula de Helmert (5-36) para la nivelación astronómica da por sentado que las estaciones donde se conocen las desviaciones de la vertical se encuentran muy cerca entre sí. Por tanto

puede construirse un perfil para — por interpolación, y la integración de (5-36) puede efectuarse numéricamente o gráficamente.

Si para A y b en (5- 36 ) tomamos dos estaciones astrogeodésicas vecinas y éstas se encuentran

tan cerca una de la otra que el perfil geodésico entre ellas puede aproximarse mediante el arco de un círculo, entonces esta fórmula pasa a ser

B

A

B

A

,0

0

0

0

0

0

A

g

B

ggHHd AB

Page 156: Heiskanen

NB – NA = s

(5-42)

En donde s es la distancia A y B. En esta forma es posible evitar la interpolación; pero esto sólo es aparente puesto que la hipótesis de que el geoide entre A y B forma un arco circular es en sí

equivalente a una interpolación, y no necesariamente la mejor.

En áreas moderadamente niveladas, por lo general una distancia de unos 25 Km entre estaciones y la aproximación (5-42) resultan adecuadas; pero en

montañas altas puede que un espaciado de 10 Km o hasta menos no sea suficiente.

Como las observaciones astronómicas requieren mucho tiempo, se han ideado formas más

eficaces para interpolar entre estaciones asrogeodésicas. Dichos métodos son:

medición de distancias cenitales;

uso de la balanza de torsión

nivelación astrogravimétrica

uso de las desviaciones topográficas- isostáticas.

Ahora trataremos algunos aspectos de estos métodos. Distancias cenitales. Las mediciones de las distancias cenitales pueden usarse. por lo menos teóricamente, para reemplazar las observaciones astronómicas (de Graaf-Hunter, 1913). El principio ya se ha descrito en la sección 4 -7. La ecuación básica es (4-57):

—2 - —1 = Z‟1 + Z‟2 –γ-180º

(4-44)

en donde Z‟1 y Z‟2 representan las distancias cenitales medidas en las que se ha corregido el efecto de la refracción atmosférica. El ángulo γ está dado por γ = (5-44)

en donde s es la distancia elipsoidal entre las estaciones 1 y 2, Y R el radio de curvatura medio a lo largo del arco s. La distancia s se obtiene por medio de triangulación o trilateración. la dificultad de este método es, por supuesto, el margen adecuado de error para la refracción atmosférica. Por consiguiente en la actualidad su uso se limita a las montañas altas. Este metado se está aplicando con éxito en los Alpes suizos, donde se han obtenido diferencias de desviación con una precisión de +1" (Kobold. 1951).

2BA

Rs

Page 157: Heiskanen

Mediciones con la balanza de torsión. La balanza de torsión instrumento que mide ciertas combinaciones de las segundas derivadas parciales del potencial de la gravedad con respecto al sistema de coordenadas rectangulares con un eje z vertical. Tornemos ahora el eje X en dirección norte y consideremos la cantidad en el geoide. Como el potencial normal U es constante a 1o largo del elipsoide, y por consiguiente

y el plano xy es tangente al elipsoide, tenemos

Aplicando las relaciones básicas ξ = ε =

en donde G es el valor medio de la gravedad, obtenemos a partir de las mediciones con la balanza de torsión. Por consiguiente conocemos ciertas derivadas horizontales de las componentes de la desviación de la vertical. Es evidente que podemos obtener las diferencias ξ2 – ξ1 y η2 - η1 de las componentes de las desviación por medio de una integración apropiada de (5-45). Los detal les son algo complicados; el lector pu1de referirse a las descripciones que se dan en las publicaciones de Baeschlin (1948) y de Muel1er (1963). Este método es muy susceptible a las irregularidades topográficas, y las mediciones son algo demoradas. Se usa muy poco hoy día pero tal vez no deba pasarse completamente por alto. Además de su gran interés teórico, puede tener una importancia practica en áreas niveladas en donde no existe o no es posible efectuar un levantamiento gravimétrico detallado, necesario parra la nivelación astrogravimétrica -por ejemplo, a lo 1argó de los litora1es. Nivelación astrogravimétrica. Si en la fórmula Vening Meinesz la integración no se extiende sobre toda la tierra sino solamente sobre el área vecina al punto considerado, entonces se producirá un error por haberse omitido las zonas distantes. Este error sin embargo es casi igual para puntos que no se encuentran demasiado distantes, y varía sólo lentamente para los puntos de un perfil corto, de mono que es posible usar las desviaciones gravimétricas calculadas de esta forma para interpolación entre las desviaciones astrogeodésicas.

zyW

zxW

yxW

x

W

y

W 222

2

2

2

2

,,,

yxW2

02

yxU

yxW

yxT 22

,2

1xT

G,

21

yT

G

,2

1yT

Gxy

Page 158: Heiskanen

de —‘ = ξ‘cosα + ε‘sinα. (5-46)

Con ξ' y ε', obtenidas gravimétricamente, se calculan las componentes —„ de la forma usual:

Las diferencias

δ— = — -—„ (5-47) entre las desviaciones. astrogeodésicas "correctas" — y los valores gravimétricos aproximados —' varían sólo lentamente y es posible suponer que cambian en forma lineal con la distancia, de modo que pueden calcularse por una interpolación 1ineal δ—P = δ—A + sAp, (5-48)

donde P es cualquier punto en el perfil entre las estaciones astronómicas B y s es la distancia entre los puntos que corresponden a los subíndices. El procedimiento es por lo tanto el siguiente. En A Y. B se dan las desviaciones astronómicas —A y—B. En estos puntos y en los puntos Intermedios P2……, Pn se calculan las ecuaciones gravimétricas —A„,—B„,—p„….—n„ se interpola δ—

en los puntos intermedios por medio de (5..48). Luego se calculan las desviaciones deseadas de la

vertical — en los puntos intermedios, con referencia al dátum astrogeodésico por medio de

—1 =—1„ + δ— (5-

49)

Esta combinación de desviaciones astrogeodésicas con valores interpolados gravimetricamente se conoce como nivelación astrogravimétrica (Molodenskii al.,1962, capítulo6). Este se considera el

AB

A

s

Page 159: Heiskanen

mejor método interrelación. Si se utiliza, entonces las estacione astrogeodésicas pueden estar separadas por 100 y hasta 200 Km. en terreno nivelado, pero siendo este el caso será necesario tener una red gravimétrica suficientemente densa que se extienda por lo menos dos veces la distancia entre dos estaciones. La nive1ación astrogravimétrica muestra1a 'gran flexibilidad del método gravimétrico. La fórmula de Vening Meinesz puede aplicarse con dos fines totalmente distintos: si estamos integrando sobre toda la tierra, da como las desviaciones abso1utas de la vertical, proporcionando así la orientación abso1uta de los sistemas astrogeodésicos; si estamos integrando sobre un área limitada, ayuda a interpolar entre las desviaciones astrogeodésicas relativas. Uso de las desviaciones topográficas-isostáticas. En (5 - 49) también calcularse las desviaciones

de la vertical —‗ a partir del efecto de la topografía (Helmert, 1900 y 1901). Este método puede mejorarse tomando en cuenta el efecto de la compensación isostática. Para ello no se necesita

gravimétrica. Dicho método se ha aplicado con éxito para interrelaciones entre estaciones astrogeodésicas alpinas que no se encuentran demasiado separadas (Niethammer, 1939). No

obstante, se ve afectado por las morfologias de densidad desconocida, etc., y representa mucho trabajo. Por consiguiente, se prefiere la nivelación astrogravimétrica cuando las estaciones

astrogeodésicas son grandes.

5-9 Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Dátum

Tal como se estableció en la sección 5-7, un datum geodésico se determina con las dimensiones del elipsoide de referencia (semieje mayor a y achatamiento f) de su y posición con respecto a la

tierra o al geoide. Esta posición relativa biene dada por lo general por la ondulación geoidal. N1 y

las componentes ξ1, y η1, la desviación de la vertical en un punto inicial P1. En lugar de ξ1, η1 ,N1

podriamos utilizar también las coordenadas geodésicas ‘1, 1, h1 de P1 porque ξ1 = ‘1- ‘2 (5-50) η1 = ( 2 - 1 )cos‘ N1 =h1 – H1

Hay un método equivalente, aunque -superficialmente diferente, en el que se utilizan las coordenadas rectangulares x0, y0, z0 del centro del elipsoide de referencia con respecto al centro de la tierra.

Si variamos el dátum geodésico - es decir, el elipsoide de referencia y su posición. - entonces las coordenadas geodésicas ‘, , h y, por consiguiente, las desviaciones de la vertical y las ondulaciones del geoide, ξ=‘-‘, (5-50) η = ( Λ - )cos‘, N =h1 – H1

Page 160: Heiskanen

también cambiarán. Como hay tres formas diferentes de fijar el dátum, podemos formular estos cambios en términos de la variación de ξ0, η0 ,N0 o ‘0, 0, h0 o x0, y0, z0 Matemáticamente, el problema se reduce sencillamente a una transformación de las coordenadas puesto que cada dátum geodésico corresponde a un sistema distinto de coordenadas geodésicas ‘, , h. Digamos que el centro del elipsoide de referencia no coincide con el centro de gravedad de la tierra, sino que el eje del elipsoide se encuentra paralelo al eje de rotación de la tierra. Supongamos un sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z cuyo origen es el centro de gravedad de la tierra (no el centro del elipsoide como antes), en donde los ejes tienen la misma reacción que antes. Digamos que las coordenadas del centro del elipsoide con respecto a este sistema son X0, Y0, Z0 como se indicó anteriormente. Luego, obviamente, es necesario modificar las ecuaciones (5-5) para que se conviertan en X = x0 + (N + h)cos‘cos , Y = y0 + (N + h)cos‘sin , (5-52) Z = z0 + ( N + h)cos‘cos , Estas ecuaciones forman el punto inicial para diversas fórmulas diferenciales importante; de transformación de coordenadas. Primero nos preguntamos cómo cambian las coordenadas rectangulares X, Y, Z si variamos las

coordenadas geodésicas ‘, , h. por las pequeñas cantidades δ‘, δ , δh y si alteramos asimismo el dátum geodésico, principalmente el elipsoide de referencia (a, f) y su posición (X0,

Y0, Z0) por δa, δf y δx0, δy0, δz0. Nótese que δf y δx0, δy0, δz0 corresponden a una traslación pequeña (desplazamiento paralelo) del elipsoide, donde su eje permanece paralelo al eje de la tierra. La solución de este problema se logra diferenciando (5-52):

δX = δx0 + δa + δf + δ‘ + δ + δh0

δY = δy0 + δa + δf + δ‘ + δ + δh0

(5-53) δZ = δz0 + δa + δf + δ‘ + δ + δh0 Esto que según el teorema de Taylor los cambios pequeños pueden considerarse no diferenciales.

2

2

a

b

aX X

f

X X

h

X

a

Y Y

f

Y yh

Y

a

Z Z

f

Z Z

h

Z

Page 161: Heiskanen

En estas fórmulas diferenciales nos consideraremos satisfechos con una aproximación. Como el achatamiento f es pequeño, podemos desarrollar (2-81) N = (1-e‟2cos2‘)-1/2 = (1- e‟2cos2‘...)

= a(1+f…)(1-f cos2‘...)= a(1-- f -fcos2‘...);

N = a(1+fsin2‘); N =(1-2f…) a(1+ fsin2‘…)= a (1 - 2f + fsin2‘),

dado que

b = a(1-f), e‟20 2f…. por consiguiente, las ecuaciones (5-52) pueden aproximarse po medio de X = x0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘cos , Y = y0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘sin , Z = z0 + (a-2af+ afsin2‘ + h)cos‘cos (5-52‘) ahora podemos formar las derivadas parciales en (5-53), por ejemplo = (1+fsin2‘)cos‘cos =cos‘ cos , la que podemos hacer caso omiso del achatamiento en estos coeficientes. Esto se resume a utilizar una aproximación esférica, análoga a la de la sección 2-14, para los coeficientes, y solamente para éstos. De igual manera, se obtienen fácilmente todos los coeficientes como derivadas parciales y las ecuaciones (5-53) pasan a ser δX = δx0 – a sin‘cos δ‘- a cos‘sin δ + cos‘cos (δh + δa + a sin2‘δf), (5-54a) δY = δy0 - a sin‘sin δ‘- a cos‘cos δ + cos‘sin (δh + δa + a sin2‘δf), (5-54b)

δZ = δz0 – a sin‘ δ‘ +sin‘(δh + δa +a sin2‘δf) -2a sin2‘δf,

(5-54c) Estas fórmulas dan como resultado los cambios en las coordenadas rectangulares X, Y, Z, en términos de la variación en la posiciórr (x0, y0, z0) y las dimensiones (a, f) del elipsoide y en las coordenadas geodésicas ‘, , h que hacen referencia al mismo.

Trasformaciónde las coordenadas geodésicas. De las ecuaciones (5-54) se pueden deducir varias fórmulas importantes para la transformación de las coordenadas. En primer lugar, digamos que

la posición de P en el espacio no cambia; es decir, hagamos que

δX = δY = δZ = 0

se determina el cambio de las coordenadas geodésicas ‘, , h cuando varían las dimenciones del elipsoide de referencia y su posición.

ba2

ba2

21

2

2

a

b

aX

Page 162: Heiskanen

El problema es por lo tanto resolver las ecuaciones (5-54) para despejar δ‘, δ , δh en donde los terminos de la izquierda se igualan a cero. Para obtener δ‘ se multiplica (5-54a) por sin‘cos multiplica (5-54b) por -sin‘cos (5-54c) por cos‘,y luego se suman todas las ecuaciones obtenidas en esta forma. Para δ los factores son -sin , cos y O; para δh son cos‘cos , cos‘sin y sin‘. El resultado es aδ‘ = sin‘cos δx0+ sin‘ sin δy0 -cos‘ δz0 + 2a sin‘cos‘δf, a cos δ =sin δx0 - cos δy0, (5-55) δh = - cos‘cos δx0 - cos‘ sin δy0 - sin‘ δz0 – δa+asin2‘δf, Hemos visto que la traslación del elipsoide también puede expresarse en términos de los cambios en las coordenadas geodésicas δ‘1,δ 1, δh1 de un punto inicial, en lugar de δx0,δ 0, δz0 Luego el problema es determinar las variaciones δ‘,δ , δh en los otro puntos. Primero se expresa el desplazamiento paralelo (δx0,δ 0, δz0 ) del elipsoide en término de los δ‘1,δ 1 δh1 dados. En las ecuaciones (5-54), dejamos que δX = δY = δZ = 0 (debido otra vez a

que la posición de los puntos en el espacio no canbia) y ‘=‘1 1 h=h1 Luego obtenemos δx0 = a sin‘1 cos 1 δ‘1 + a cos‘1 sin 1 δ 1 - cos‘1 cos 1 (δh1 + δa + a sin2‘1δf), (5-56) δy0 = a sin‘1 sin 1 δ‘1 - a cos‘1 sin 1 δ 1 - cos‘‘1 cos 1 (δh1 + δa + a sin2‘1δf), δz0 = -a sin‘1 δ‘1 - a cos‘1(δh1 + δa + a sin2‘1δf) +2a sin‘1δf

Estas expresiones para las componentes de desplazamiento δx0,δ 0, δz0 se incorporan a las

ecuaciones (5-55), de modo que finalmente se obtiene:

δ‘= cos‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ δ‘1 - sin‘ sinΔ •cos‘1 δ 1

+(sin‘1 cos‘ - cos‘1 sin‘ cosΔ )

+2cos‘(sin‘-sin‘1) δf (5-

57)

cos‘δ = sin‘1 sinΔ δ‘1 + cosΔ •cos‘1 δ 1

-cos‘1 sinΔ

= (cos‘1 sin‘ + sin‘1 cos‘cosΔ ) δ‘1 + cos‘ sinΔ •cos‘1 δ 1

+(sin‘1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ )

faa

a

h

1

2sin1

faa

a

h

1

2sin1

faa

a

h

1

2sin1ah

aa

Page 163: Heiskanen

- +(sin2‘-2sin‘1 sin‘) δf

en donde

Δ - 1

Estas fórmulas expresan las variaciones δ‘,δ , δh en algún punto vario en términos de las variaciones δ‘1,δ 1 δh1 en un punto determinado y los cambios δa y δf de los parámetros del elipsoide de referencia. De esta forma relacionan dos sistemas diferentes de coordenadas geodésicas, Conviene que éstos se encuentren tan cerca uno del otro que sus diferencias pueden considerarse lineales. Matemáticamente, las ecuaciones (5-57) son formaciones infinitesimales de coordenadas; para el geodesta, representan el efecto de un cambio en el dátum geodésico. Son eluivalentes a las ecuaciones (5-5). Tanto (5-55) como (5-57) son transformaciones infinitesimales de coordenadas geodésicas; difieren solamente en los parámetros que se encuentran para determinar el sistema coordenadas, el dátum geodésico; en (5-55) el sistema de coordenadas se define por (a, f; x0,y0, z0) y en (5-57) (a, f; ‘1 1 h1 ).

conformacion de ξ, ε N. Por lo general, las ecuaciones (5-57) se expresan en términos de las variaciones de las componentes de desviación ξ y ε y de la variación geoidal N. Como las

coordenadas natulales ‘,Λ,H no se ven afectados por un desplazamiento del dátum y no

cambian, obtenemos (5-51) δ‘ = - δξ,

δ cos‘ =- δη, (5-58) δ =δN, asumiendo que las ecuaciones (5-57) adoptan la forma

δξ= (os‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ ) δξ1 - sin‘ sinΔ δη1

-(sin‘1 cos‘ - cos‘1 sin‘ cosΔ )

- 2cos‘(sin‘-sin‘1) δf (5-59)

δη1=sin‘1 sinΔ δξ1 + cosΔ δη1 + cos‘1 sinΔ

= (cos‘1 sin‘ - sin‘1 cos‘cosΔ ) δ‘1 - cos‘ sinΔ δη1

+(sin‘1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ )

fa

a

a

N

1

2sin1

a

N

fa

a

a

N

1

2sin1

fa

a

a

N

1

2sin1

Page 164: Heiskanen

- +(sin2‘-2sin‘1 sin‘) δf

Estas fórmulas para el efecto de un desplazamiento de1 dátum geodésico se consideran entre las

más importantes de la geodesia. Fueron desarrolladas por varios científicos, 6 entre ellos Vening Meinesz. (l950, 1953), y generalmente se conocen por su nombre. Anteriorménte se usaban fórmulas superficialmente similares que habían sido desarrolladas por Helmert pero que

estaban basadas en principios geométricos completamente diferentes, y no son apropiadas para la geodesia moderna. 7

Cabe hacer notar que las primeras dos; ecuaciones (5-59) también pudieron haberse deducido diferenciando la tercera de estas ecuaciones, puesto que (2-204) da

como una aproximación esférica. Aplicaciones. A modo de ilustración, vamos a aplicar estas fórmulas al caso práctico más

importante, la orientación absoluta de un sistema geodésico local, o su conversión a un sistema geodésico mundial (Heiskanen, 1951). Supongamos que se ha calculado una red de triangulación o de trilateración en un dátum geodésico local (a‟, f‟; ξ‟, η‟,N‟ ). Las cantidades que hacen referencia a este sistema se indicarán por medio de un signo de prima. Por lo tanto ξ‟, η‟,N‟ pertenecen al punto fundamental P1; pueden considerarse como cero o cualquier otro valor.

Supongamos ahora que en e1 Punto inicia1 se conocen la a1tura geoida1 absoluta ξ1 y η1. (En1a

siguiente sección se explica cómo determinan.) Los valores absolutos N, ξ, η se refieren en

general a un elipsoide distinto (a,f), cuyo centro se encuentra en el centro de gravedad de la tierra.

Las cantidades a, f; ξ1, η1,N1 determinan este “sistema geodésico mundial" completamente.

Ahora resulta muy fácil transformar el sistema local ( a‟, f‟; ξ‟, η‟,N‟) al sistema mundial. Haciendo que

δ ξ = ξ1 – ξ' δ η = η1 – η ' δa =a –a'

6 pudiéramos mencionar de Gras-Hunter en 1929, Krassovsky en 1934 y 1942 y Benford en 1939.

7 La idea de Helmert se basa en la traslación de líneas geodésicas en el elipsoide que básicamente es un problema bidimensional, mientras que la idea de Vening Meinesz se basa en la traslación del elipsoide en él espacio. Solamente esto ultimo corresponde a la naturaleza esencialmente tridimensional de la geodesia moderna.

aa

Page 165: Heiskanen

δN1 =N1 –N' δf =f –f' (5-60)

se calculan, para todos los puntos del sistema local, s cambios δ ξ, δ η , δN por medio de las

ecuaciones (5-59), Luego, ; ξ, η,N de sistema mundial estarán representados por ξ =– ξ'+ δ ξ

η1 = η‟+ δ η N1=N`+ δN

Las coordenadas geodésicas en el sistema geodésico mundial

‘=‘‟ - δξ

= ‟ - δηsec‘ N=N‟+δ Las coordenadas rectangulares geocéntricas X, Y, Z pueden calcularse mediante (5-5). Para la determinación de las coordenadas x‟0, y‟0, z‟0 del centro del elipsoide de referencia original que define el dátum local (a‟, f‟; ξ‟, η‟,N‟ ). es un problema afín. Como el dátum nuevo (a, f; ξ, η, N ), el mundial, se encuentra en posición absoluta, tenemos x0 = y0 = z0 = 0 de modo que δx0 = x0 - x‘0 = - x‘0, δy0 = y0 - y‘0 = - y‘0, (5-61) δz0 = z0 - z‘0 = - z‘0,

x‘0 = -δx0, y‘0 = -δy0, z‘0 = -δz0,

donde δx0, δy0, δz0 se calculan utilizando (5-56). Esto resuelve nuestro Problema. 5.10 Determinación del Tamaño de la tierra. Si usamos el método gravimétrico con un elipsoide de referencia fijo así el centro coincida con el centro de gravedad de la tierra, entonces las variaciones geoidales podrán obtenerse usando (2-183b), (5-62) N = N0 + ΔgS(Ψ)dσ,

GR

4

Page 166: Heiskanen

La determinación del tamaño de la tierra se reduce a la determinación de la constante No (sección 2-19). Como hemos visto, No tiene un significado geométrico inmediato: si a representa el radio ecuatorial de un elipsoide de referencia dado, entonces aE = a +N0 (5-63) el radio ecuatorial de un elipsoide cuyo potencial normal U0 es igual al real Wo del geoide, que encierra la misma masa que la tierra, y de el achatamiento f es el mismo. Si el supuesto elipsoide de referencia sea escogido de manera que tenga el mismo valor

J2 =

para la tierra, cantidad que hoy día se conoce con exactitud por los satélites artificiales (refiérase al capitulo 9), entonces aE: será el mayor de1 e1ipsoide terrestre medio; refiérase a las secciones 5-10 y 11 Mediante el método graviétrico sólo podemos determinar el segundo termino de la derecha de la formula anterior, es decir, la integral de Stokes; para determinar N0 necesitamos usar el método astrogeodesico con por lo menos una distancia medida. El principio se ha descrito antes en la sección 2-19; ahora analizaremos el problema en un a forma más practica. El problema puede formularse concisamente así. Se da por sentado que el geoide gravimetrico es conocido para todo el mundo; está en una posición absoluta pero como N0 no se conoce no se ha determinado su escala. Se conoce el geoide astrogeodesico para parte de la tierra: éte se encuentra en una posición relativa definida por el dátum geodésico local, pero su escala se conoce correctamente. Lo que hay que hacer es adaptar los dos geoides entre sí para poder (1) determinar la escala del geoide gravimétrico y (2) transformar el dátum astrogeodésico local al sistema geodésico mundial.

Supongamos que se utiliza el mismo elipsoide de referencia (a, f) en ambos sistemas [de No ser así, podríamostransformar primero el sistema astrogeodésico a los parámetros del elipsoide de

referencia gravimétrica por medio de las fórmulas (5-59), haciendo que δξ = δη = δ = 0 Si se da por sentado que se conocen. en el punto inicia, entonces es posible calcular las desviaciones E y 17 en el sistema mundial por merlio de estas f.órmulas y compararla~ C(II) las rlesv;a~i9'ne$ qrav;métrica co ~ . rre$ponrl;ent~s obtenidas directrlment" nw'fliilnte la formliJla de Vening Meinr'$2:.

Teóricamente, deberfamos ootener el mi sm(1 t'e'sul tado. Si denotamos las df"s- viaciones astrogeodé.sicas transform~das (5--64) por ~.,'1G Y 1as rle5v;aciones gravimétricas

directas por ~", ,,", ,dI?lre'r'íamos tener

2Ma

AC

Page 167: Heiskanen

En la práctica es posible calcular directamente para el punto inicial usando

Page 168: Heiskanen

EL CAMPO GRAVITACIONAL FUERA DE LA TIERRA

Introducción

E1 interés práctico que ha surgido son respecto al campo gravitacional de la tierra es de fecha relativamente reciente.

Los dos propósitos principales de dichos estudios son (1) la evaluación del efec to que tienen irregularidades

gravitacionales en el movimiento dentro del campo de tierra, y (2) la aplicación de las mediciones que se efectúan de

la gravedad mediante instrumentos aerotransportados.

Dados los cálculos comprendidos, aquí también resulta conveniente definir el geopotencial W y el vector de

gravedad:

g = grad W (6-1)

El potencial normal U y un vector de gravedad normal

γ = grad U (6-2)

Potencial de perturbación T = W -U y el vector de perturbación de la gravedad

δ = grad T = g – γ (6-3)

Por lo general se toma como campo gravitacional normal el campo de un geoide equipotencial apropiado. Esto

permite utilizar fórmulas cerradas y ofrece otras ventajas por su sencillez matemática; véase la Sección 2-12.

Por lo tanto primero se calculan U y γ. y luego se ob tienen W y g

Mediante

W = U + T (6-4)

g = γ + δ (6-5)

Para algunos fines se necesita el vector de gravitación, grad V (fricción pura sin fuerza centrífuga) en lugar del

vector de gravedad. El vector gravitacional se calcula a partir del vector de gravedad res e el vector de la fuerza

centrífuga:

Page 169: Heiskanen

(6-6)

Usando las notaciones de la Sección 2-1. El sistema de coordenadas rectangulares x, y, z se usara en este capítulo en

la forma usual: es geocéntrico. Los ejes x y yacen en el plano ecuatorial con longitudes de 0° y 90° al este de

Greenwich, respectivamente, y el eje z corresponde al eje de rotación de la tierra.

El signo de las componentes de g ,y,δ, etc. siempre se escoge de manera tal que sean positivas en la dirección en que

aumentan las coordenadas.

6-2. Gravedad Normal -Formulas Cerradas

El campo gravitacional de un elipsoide equipotencial se expresa mejor en términos de las coordenadas elipsoidales

u,β,λ, introducidas en las Secciones 1-19 y 2-7. Están relacionadas con las coordenadas rectangulares x,y,z de la

siguiente manera:

(6-7)

Si se conocen x,y,z, entonces será posible calcular u,β,λ por medio de fórmulas cerradas. Primero se calcula Al

eliminar β entre estas dos ecuaciones, se obtiene una ecuación cuadrática para u2 , cuya solución es :

(6-8 a)

Luego β esta dada por:

( 6-8 b)

Y para λ sencillamente se tiene que.

Page 170: Heiskanen

(6-8 c)

Al conocer las coordenadas elipsoidales, el potencial normal U esta dado por:

(6-9)

Sus componentes de γ a lo largo de la líneas de coordenadas son ,según ( 2- 65) y (2- 66)

(6-10)

Para obtener las componentes de γ en el sistema x,y,z, se calcula:

Las derivadas parciales de x,y,z con respecto a u,β,λ se obtienen al diferenciar las ecuaciones (6-7); se tiene que:

Al introducir las componentes

se obtiene

Page 171: Heiskanen

Estas son las fórmulas de una transformación ortogonal de coordenadas rectangulares. Es sabido que la

transformación inversa se obtiene sencillamente intercambiando las filas y columnas de la matriz de este sistema de

ecuaciones. Así se obtiene:

(6-12)

Este es el resultado de definir estos coeficientes como cosenos directores las ecuaciones (6-12) ― también pueden

obtenerse resolviendo las ecuaciones lineales (6-11) con respecto a γx , γy , γz por a1gun otro método.

Las fórmulas de esta sección son totalmente inflexibles. Es posible desarrollarlas en serie; sin embargo, resulta más

conveniente desarrollarlas en coordenadas esféricas, 10 cual se tratará en la siguiente sección.

6.3 Gravedad Norma - Desarrollos en Serie

En esta sección se usarán las coordenadas esféricas usuales r (radio vector),Ф ( latitud geocéntrica) y . λ (longitud):

(6-13)

de acuerdo con la sección 2-9 el potencial de la gravitación normal v puede expresarse en la forma:

(6-14)

Luego el potencial de la gravedad normal U estará dado por.

Page 172: Heiskanen

U = V + Ф (6-15)

Donde Ф es el potencial centrifugo. Según ( 2-92) los coeficientes J2n

(6-16)

Las componentes de γ a lo largo de las líneas de coordenadas están definidas por:

(6-17)

estas componentes concuerdan bastante con las componentes ( 6-10), puesto que para E = 0 se tiene que u = r, ,β =

Ф, W =1. por consiguiente las componentes rectangulares γx , γy , γz se obtienen directamente de (6-12) al igualar

E = 0:

(6-18)

estas ecuaciones son validas también cuando γλ son diferentes de 0, pero en este caso de hecho se tiene que γ λ son

iguales a cero.

Resulta conveniente calcular primero las componentes del vector de gravitación normal.

. Г = grad V ( 6-19)

para calcular luego λ sumándole la fuerza centrifuga:

γ = Г + grad Ф (6-20)

Expresada con las componentes x,y,z esta ecuación seria:

Page 173: Heiskanen

(6-20´)

El vector Г también es en si interesante puesto que representa el efecto de la atracción gravitacional normal de la

tierra sobre un satélite. Las componentes de Г a lo largo de las líneas de coordenadas están dadas análogamente a (

6-17) , por:

(6-21)

es fácil ver que la ecuación (6-18) también resulta valida cuando se reemplazan todas las componentes de γ por las

componentes correspondientes de Г.

Las componentes ( 6 -21) se obtienen diferenciando (6-14) con respecto a Г y Ф .Después de las operaciones

elementales, se halla que

(6-22)

estas ecuaciones son apropiadas para los cálculos numéricos. Como estas serias convergen muy rápidamente, a

menudo es suficiente considerar los términos hasta J4.

Se puede lograr una ligera modificación introduciendo.

de modo que (6-23)

si se iguala

(6-24)

se obtiene fácilmente

Page 174: Heiskanen

(6-25)

estas formulas pueden usarse en lugar de (6-14) y (6-22).

Al expresar P2n y dP2n / Ф en potencias de cos 2Ф, se obtiene una forma mas explicita, especialmente para cálculos

manuales si se sustituye.

con ( 1-58), se halla que:

estas ecuaciones pueden diferenciarse fácilmente con respecto a Ф, lo cual dP2n / Ф. Al insertar esto en (6-25) se

obtiene, reteniendo solamente los términos hasta n = 2:

(6-26)

Usando los valores numéricos del elipsoide internacional sección (2-11), las formulas (6-23) y (6-26) pasan a ser:

(6-28)

Page 175: Heiskanen

Estas expresiones dan como resultado V en unidades de geopotencial

(1 u.g.p. = 1000 gal.metros) y Г r y Г Ф . en gals, con una precisión de 1 mgal.

Después de calcular Г r y Г Ф y siendo Г λ cero, se obtienen las componentes rectangulares Г x ,Г y, Г z por medio

de (6-18) en donde hay que reemplazar las componentes de γ por las de Г. Si se necesitan las componentes de γ,

pueden calcularse usando (6-20').

6-4. Perturbaciones de la Gravedad --Método Directo

Resulta conveniente empezar por las componentes δ Г , δ Ф., δ λ del vector de perturbación de la gravedad δ,

ecuación (6-3), expresadas en las coordenadas esféricas, Г , Ф., λ que se utilizaron en la sección anterior.

Análogamente a (6-17), se tiene que

(6-29)

El potencial de perturbación T puede estresarse en términos de las anomalías del aire libre en la superfic ie terrestre

por medio de la formula de pizzeti , ecuaciones (2-161) y (2-162).

(6-30)

donde S( r ,ψ.) es la función de Stokes ampliada,

(6-31)

y

Page 176: Heiskanen

en la publicación de Hirvonen y Moritz ( 1963), pag 12 se pueden encontrar desarrollos en serie de orden superior,

en (6-28) se han adoptado las notaciones generales de este trabajo pero la derivación es diferente. Cabe hacer notar

que Hirvonen define Г r y Г Ф con signos contrarios y que denota la latitud geocéntrica por ψ.

De acuerdo con (6-29) hay que diferenciar (6-30) con respecto a r , Ф aquí puede notarse que la integral del lado

derecho de (6-30) depende de r, Ф, λ solamente a través de la función S (r ,ψ).por tanto al ser Δg resultante con

respecto a la diferenciación, se tiene que.

(6-33)

el punto P donde hay que calcular δ tiene las coordenadas Ф, λ; denótese que las coordenadas correspondientes del

punto variable P´ a las cuales hace referencia Δg y dζ, por Ф´, λ´ luego, dζ estará expresado por :

(6-34)

ψ, la distancia angular entre P y P´, pasa a ser :

(6-35)

se tiene que

(6-36)

para efectos de comparación cabe hacer notar que la publicación de Hirvonen y Moritz (1963) se utilizan las

notaciones δn = - δr , δm = δ Ф, δη= δ λ.

Page 177: Heiskanen

Ahora se hace referencia a las derivaciones correspondientes de la Sección 2-22, que resultaron en la fórmula de

Vening Meinesz. Al igual que una aproximación esférica, la cual es suficiente para T, δ, etc., es posible identificar la

latitud geocéntrica Ф con la latitud geográfica Ф por tanto, las ecuaciones (6-36) y (2-206) son completamente

análogas y se puede usar la (2-209) de la Sección 2-22:

(6-37)

el azimut α esta dado por la formula (2-212)

(6-38)

por medio de (6-36) y (6-37), las ecuaciones (6-33) pasan a ser

(6-39 a)

(6-39 b)

Ahora se forman las derivadas de la función de Stokes ampliada (6-31) con respecto a r y ψl. Al diferenciar (6-32) se

obtiene

(6-40)

por medio de estas relaciones auxiliares se tiene que

(6-41)

(6-42)

Page 178: Heiskanen

Se pude obtener expresiones mas convenientes sise sustituye

(6-43)

(6-44)

Luego la función de Stokes ampliada (6-31) y sus derivadas (6-41) y (6-42) pasa a ser

(6-45)

(6-46 a)

(6-46 b)

Estas expresiones se utilizan en (6-30) y (6-39) para calcular T y δ.

La separación Np de la superficie geopotencial que pasa por P, W = Wp, y la superficie esferopotencial

correspondiente U = Wp, esta dada según el teorema de Bruns por.

(6-47)

Vease la sección 2-15 y la figura 2- 15.

La desviación de la vertical, que es la desviación de la verdadera línea de plomada normal en el punto P, esta

representada por sus componentes norte–sur y este–oeste.

Page 179: Heiskanen

(6-48)

Estas ecuaciones corresponden a (2-204). Como y varía muy poco con la latitud y es independiente de la longitud, se

tiene que

Y

La comparación entre (6-29) y (6-48) muestra que

(6-49)

Vemos que Np, ξ p, np están dados por las ecuaciones (6-30~ y (6-39b), con excepción del factor ±1/γ0. Por

consiguiente, estas ecuaciones son ampliaciones de las fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz para puntos que

están fuera de la tierra y se reducen a estas fórmulas para r = R, t = l.

Si escribimos las ecuaciones (6-49) en la forma

δФ = - γξ , δλ = - γη (6-49´)

vemos que las componentes horizontales de δ están directamente relacionadas con la desviación de la vertical, que es

la diferencia en direcci6n de los vectores g y γ. La componente radial, δ r, sin embargo, representa la diferencia en

magnitud de estos vectores, puesto que al igual que una aproximación esférica.

-δ r = δg = gp - γ p (6-50)

que es la perturbación escalar de la gravedad; véase la Sección 2-13.

5-5. Perturbaciones de la Gravedad --Método de Recubrimiento

Un método alterno para calcular T y δ (Orlin, 1959) se basa en el hecho de que las masas perturbadoras pueden

sustituirse por una capa superficial o recubrimiento sobre el elipsoide de referencia, sin cambiar el potencial externo.

De acuerdo con un teorema de la teoría del potencial esto es sola- lente posible si el geoide encierra la masa total de

la tierra. En el caso de la tierra real, esto resulta factible con un buen grado de aproximación.

Page 180: Heiskanen

De acuerdo con la sección 1-3 el potencial de perturbación se representa en la forma (1-16)

(6-51)

la superpie S es el elipsoide de referencia, el cual al igual que una aproximación esférica, se considera como una

esfera de radio R. ahora hay que determinar la densidad superficial k del recubrimiento.

En el elipsoide S (a nivel del mar) la derivada normal de T es la derivad exterior (1-17 a).

(6-52)

generalmente, de acuerdo con (6-40)

a nivel del mar(r =R)

por tanto (6-52) pasa a ser

según (6-51)

(6-53)

luego de igual a 2πKk = μ (6-54)

de manera que (6-53) pede expresarse así

(6-55)

por ultimo se expresa dT / dn en términos de la anomalía gravimétrica Δg por medio de la ecuación fundamental de

la Geodesia Física (2-151 f)

Page 181: Heiskanen

(6-56)

obteniendo así

(6-57)

G es la gravedad media a nivel del mar .y N denota la ondulación geoidal.

Por lo tanto, la densidad μ del recubrimiento puede calcularse si se conocen tanto Δg como N.

Después de expresar k en términos de μ de acuerdo con (6-54). el potencial de perturbaci6n (6-51) pasa a ser.

(6-58)

dado que como aproximación esférica dS = R2 dσ; los símbolos dσ y l tienen el mismo significado que en la sección

anterior.

Para formar las componentes (6-29) de la perturbación de la gravedad δ hay que diferenciar (6-58) exactamente

de la misma forma como se diferenció (6-3C) en la sección anterior. En lugar de

Ahora se tiene que

Y μ toma el lugar de Δg. Se determina las expresiones

Page 182: Heiskanen

(6-59)

las cuales son comparables con (6-39) las derivadas con respecto a r y ψ se determinan usando (6- 40), de modo

que se tienen.

(6-60)

Al sustituir (6-43) y (6-44), las ecuaciones (6-58) y (6-60) pasan finalmente a ser

(6-61)

(6-62 a)

(6-62 b)

Aquí también pueden usarse las ecuaciones (6-61) y (6-62b) junto con (6-47) y (6-49) para calcular la separación de

las superficies geopotencial y esferopotencial correspondientes, y la desviación de la vertical.

El método de recubrimiento da por sentado que se conocen las alturas geoidales N, además de las anomalías

gravimétricas Δg.

5-6 Perturbaciones de la Gravedad-Continuaci6n Ascendente

Se aplica la fórmula integral de Poisson (1-89) a la función armónica T:

(6-63)

En las cercanías de P (Fig. 6-1), la esfera prácticamente coincide con su plano tangente en F. Como el valor del

integrando es muy pequeño a grandes distancias de P, es posible extender la integración al plano tangente en lugar de

la esfera. Luego, de acuerdo con la Figura 6-1.

Page 183: Heiskanen

(6-64 a)

Se introduce un sistema de coordenadas rectangulares x, y, z con el eje x hacia el norte y el eje y hacia el este en el

plano tangente. Luego, también puede escribirse:

(6-64 b)

el elemento de superficie pasa a ser

Y se tiene además que

por consiguiente (6-63) pasa a ser la formula del plano

Page 184: Heiskanen

(6-65)

―formula importante se llama la Integral de continuación ascendente". Permite calcular el valor de la función

armónica T en un punto sobre el eje x, y a partir de valores dados de T en el plano, es decir, la continuación

ascendente de una función armónica. Tanto T como sus derivadas parciales dT / dx, dT / dy, dT / dz son armónicas.

porque si

Entonces también se tiene que

Tanto la integral de continuación ascendente (6-65). que resulta valida para cualquier función armónica. también

puede aplicarse a dT / dx, dT / dy, dT / dz.

como T es el potencial de perturbación, sus derivadas parciales son componentes de la perturbación de la gravedad:

Se están usando δx. δy. δz porque esta notación está reservada para las componentes en el sistema geocéntrico global

de coordenadas. el cual no debe confundirse con el sistema local presentado en esta sección. De manera que las de

(6-65) se tienen.

(6-66 a)

(6-66 b)

Al lado izquierdo de estas ecuaciones, las componentes de δ se refieren al punto elevado P en la integral de la

derecha se fijan a nivel del mar y se calculan a partir de la expresiones.

(6-67 a)

Page 185: Heiskanen

(6-67 b)

que resultan de (6-49') y (6-50), aplicadas al nivel del mar, junto con (2-151d). Los símbolos R y G denotan, como

siempre, el radio medio de la tierra y el valor medio de la gravedad en la superficie de la tierra.

Por lo tanto es posible calcular T y .δ por medio de una integral de continuación ascendente si se conocen las

ondulaciones geoidales N y las componentes de la desviación ξ; y ε en la superficie terrestre.

La aproximación al plano es suficiente excepto en el cas o de altitudes muy grandes (.>250km). De otro modo se

tendría que usar la fórmula esférica (6-63) para T. Para la componente radial .δr, se puede demostrar que las

ecuaciones (6-74) ó (6-75) que se dan más adelante, donde .δr reemplaza a.Δg, son validas. No se conocen las

fórmulas esféricas correspondientes para la continuación ascendente de las componentes horizontales δФ y δλ. El

motivo por el cual la misma fórmula, o sea la integral de continuación ascendente, resulta valida para T y las

componentes de δ únicamente en el caso planas es que las derivadas de T son armónicas solamente cuando hacen

referencia a un sistema de coordenadas cartesianas.

6-7. Consideraciones Adicionales

Superficie de Referencia. Las fórmulas anteriores para el potencial de perturbación T y el vector de perturbación de

la gravedad δ son solamente validas si la superficie de referencia es una esfera. En la práctica, las anomalías

gravimétricas se refieren a un elipsoide. Las fórmulas anteriores para T y δ son también válidas para una superficie

elipsoida1 de referencia, si se hace caso omiso de un error relativo del orden del achatamiento f = 0.3%, es decir, al

igual que una aproximación esférica. Se le recuerda al lector que esto no significa que se está sustituyendo el

e1ipsoide por una esfera en un sentido geométrico, sino que en las fórmulas originalmente elípticas se pasan por alto

la primera y las potencias superiores del achatamiento, y por ello se convierten formalmente en fórmulas esféricas.

Como las anoma1ias gravimétricas, etc., hacen referencia a un e1ipsoide, hay que ser sumamente cuidadosos al

ca1cular t que forma parte de las fórmulas de las Secciones 6-4 y 6-5. Si se usara una esfera exacta de radio R, como

superficie de referencia, entonces se tendría que usar r =.R + H, donde H es la e1evacion del punto de calculo sobre

la esfera. En realidad se uti1iza un elipsoide de referencia; luego, nuevamente se tiene que

(6-68)

pero como H es ahora la elevación sobre el e1ipsoide (o, con suficiente precisión, sobre el nivel del mar), la

constante R = 6371 Km. es el radio medio.de la tierra. Por lo tanto, r tal como se calcula en (6-68) difiere del radio

vector geocéntrico r = ( x2

+ y2

+ z2

)1/2

. De hecho, esto es sólo válido para las secciones 6-4 y 6-5, y no para las

fórmulas de la Sección 6-3. que únicamente se refieren a las coordenadas esféricas.

Page 186: Heiskanen

Ya se ha mencionado que es posible sustituir la latitud geocéntrica Ф, y latitud geográfica Ф , en lo que respecta a T

y δ -- por ejemplo, Ф = Ф en (6-35) o (6-38).

Para todos los cálculos relacionados con el campo gravitacional de la tierra, hay que usar las anomalías

gravimétricas de aire libre puesto que todos los demás tipos de anomalías gravimétricas corres ponden a alguna

eliminación o transferencia de masas las cuales cambian el externo. Si, además de Δg, se usan las ondulaciones

geoidales N (según recubrimiento) o las desviaciones de la vertical ξ , n (en la continuación ascendente) entonces

estas cantidades deberán calcularse a partir de las anomalías de aire libre.

como suele hacerse, se utiliza la gradiente normal de aire libre 0.3086 mgal/metro para la reducción de aire libre,

entonces las formulas aire libre se refieren exclusivamente a la superficie física de la altura a nivel del terreno) en

lugar del geoide (a nivel del mar). Los n calculados a partir de éstos por medio de la fórmula de Stokes las formulas

son altura, δ , que se refieren al terreno en lugar de alturas del mismo. Esta diferencia, no obstante, es insignificante y

puede omitirse en la mayoría de los casos, de modo que Δg puede considerarse como una altura nivel del mar (véase

la sección 8-13).

No podemos pasar esta diferencia por alto en busca de la mayor presión en montañas altas y empinadas para

altitudes H bajas, entonces necesario proceder de otra manera (véanse las Secciones 8-8 y 8-10). Se mira la anomalía

de aire libre Δg del punto A en el terreno al punto A0 con pendiente a nivel del mar (véase la Figura 6-2):

(6-69)

para la anomalía a nivel del mar Δg * obtenida así. La gradiente vertical Δg/ dh puede calcularse mediante la

fórmula (2-217) usando las anomalías a nivel del terreno Δg . También se puede reducir a cualquier otra superficie

de nivel W = Wl, por ejemplo la que pasa por F (Fig. 6-2) usando en lugar de h en (6-69). Luego, también habrá que

usar H1 en lugar de H .para propósitos de escala grande, la reducción a nivel del mar es preferible. Es probable que

dicha reducción sólo llegue a ser confidencia en casos excepcionales, de manera que por lo general puede omitirse de

las fórmulas en las Secciones 6-4 hasta 6-6 puede considerarse como altura de P sobre el nivel del mar o sobre el

terreno. Para otros métodos emplear la topografía refiérase a las publicaciones de Arnold (1959), levallois (1960) y

Moritz (1966).

Page 187: Heiskanen

Comparación entre Métodos. de todos los métodos descritos en las tres secciones anteriores, las fórmulas del método directo son las más complicadas, pero pueden manejarse bastante bien si se tabu1an las funciones requeridas o si se programan para una computadora automática. Aquí sólo se requieren las anomalías gravimétricas. Si se conocen las alturas geoidales N además de Δg, resulta preferible el método de recubrimiento porque comprende fórmulas un poco más sencillas. Si bien los cómputos son más sencillos en el método de continuación ascendente requiere la mayor cantidad de datos: N para T, Δg Y N para δr, y ξ y ε para δФ y δλ .

Para tener una mejor idea de la ap1icabi1idad de estos tres métodos, hay que considerar el efecto de las zonas distantes. La tabla 6-1, tomada de la publicación de Hirvone Moritz (1963, pág. 63), muestra la influencia de la raíz media cuadrática Δ δr , Δ δФ = Δ δλ de las zonas más allá de un radio esférico ψ0 sobre δr, δФ, δλ. El método usado para calcular esta tab1a se describirá en la Sección 7-4. Los valores de la tabla son validos para todas las altitudes H, desde cero hasta varios cientos de kilómetros.

Se admite que para ψ0 > 20° o 30°. la influencia de las zonas distantes disminuye muy lentamente. Por tanto, no parece practico extender la integración mucho más a1la de 20° (Método de recubrimiento) o de 30°(método directo), a menos que se extienda a toda la tierra.

Page 188: Heiskanen

Influencia de la raíz media cuadrática de la zona mas allá de un radio ψ0 , δr, δФ, δλ

puede notarse además que el efecto de las zonas remotas sobre δФ y δλ no como menor en el método de

recubrimiento que en el método di recto. La influencia sobre δr es .menor en el método de recubrimiento, pero si se

conoce más de Δg, entonces no se deberá calcular δr por este método sino por el de continuación ascendente, donde

la influencia de las zonas distantes es específicamente pequeña.

Es fácil comprender porqué esta influencia es tan pequeña en el método continuación ascendente. Si H = O.

entonces el efecto de las zonas remotas en el método directo y en el de recubrimiento esta dado aún por la tabla 6-1.

el método de continuación ascendente., no obstante. este efecto es cero para P = F. puesto que el valor "calculado"

en P es entonces idéntico al .correspondiente en el terreno en F, donde no hay influencia alguna en valores vecinos.

Si H es diferente de O, entonces solamente el vecino más cercano a P es alguna importancia en este método. En la

próxima sección se 'verá que por lo general es suficiente llegar hasta diez veces la elevación si se utiliza continuación

ascendente.

Esta también es la razón por la que se puede usar la aproximación al plano en el método de la Sección 6-6, pero no

en los otros métodos que comprenden influencias mucho mayores para las que esta aproximación no resulta válida.

En resumen, los siguientes métodos son adecuados para uso práctico: si se conocen Δg, el método directo; si se

conocen Δg y N, el método de recubrimiento para las componentes horizontales y el de continuación ascendente.

para la componente vertical de δ y para T; si se conocen Δg, N, ξ, ,ε entonces la continuación ascendente para todo.

Page 189: Heiskanen

La precisi6n que puede obtenerse es más o menos la misma en los tres métodos si se aplican correctamente,

especialmente si se extiende la integraci6n lo suficiente. Los errores típicos de las tres componentes son

aproximadamente proporcionales a l / H y son muy pequeños en elevaciones grandes, pero la correlación entre los

valores vecinos puede ser considerable.

Integraci6n practica. Las fórmulas integrales de este capítulo tienen que evaluarse aproximadamente por medio de

sumatorias exactamente en la misma forma como, por ejemplo, las fórmulas de Stokes y Vening Meinesz. Los

procedimientos se describieron en la Sección 2-24.

Los detalles del método de continuación ascendente se dan en la sección que sigue. En cuanto al método directo y al

de recubrimiento utilizando bloques de tamaño estándar, los siguiente, tamaños pueden considerarse adecuados a

unos 45° de latitud. Para diferencias en latitud con el punto de cómputo hasta de ΔФ = 1.5° y una diferencia en

longitud de Δλ = 2°, se utilizan bloques de 5' X 5'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 3.5° y Δλ = 4.5°, se utilizan

bloques de 20' X 20'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 12.5° y Δλ = 15.,

se utilizan bloques de 1°X l°; y afuera de esta zona, bloques de 5°X 5°.

En el caso de puntos con elevaciones de sólo unos cuantos ki1ometros, algunos bloques de 5' X 5´ quizás no sean

suficiente alrededor del punto de cómputo y haya que recurrir a otros medios, ta1es como el uso de una plantilla para

la región interna o el uso de gradientes horizontales de la gravedad análogas a las de la formula de Vening Meinesz.

Por consiguiente, los detalles de estas integraciones numéricas son algo complicados; el lector podrá hallar más

información en la publicación de Hirvonen y Moritz (1~63).

Calculo del vector de gravedad. Después de calcular las componentes δr, δФ, δλ. mediante la integración

numérica, es posible transformar1as en coordenadas cartesianas δx, δy, δz. con respecto al sistema mundial de

coordenadas. Las ecuaciones de transformación son (6-18), donde se sustituyen las componentes de γ por las

componentes correspondientes de δ es fácil notar que (6-18) es válida para un vector arbitrario.

También se puede formar primero las componentes del vector de gravedad g en coordenadas esféricas por medio de:

.gr = γr + δr, gФ = γФ + δФ, gλ = δλ (6-70)

donde γ r. , γ Ф, γλ , están dados por las fórmulas de la Sección 6-3, y aplicar luego (6-18) a g.

Otra posibilidad es usar las componentes de coordenadas elipsoidales de acuerdo con la Sección 6-2. Para 1as

cantidades pequeñas δu, δβ, δλ se puede aplicar aquí también la aproximación esférica, haciendo caso omiso de un

error relativo del orden del achatam1ento. Si se pasa por alto el achatamiento, entonces las coordenadas elipsoidales

u , β, λ se reducen a las coordenadas esféricas r, Ф, λ de manera que al igual que una aproximación esférica.

Page 190: Heiskanen

. δu = δr, δβ = δФ (6-71)

Donde δλ es exactamente la misma en ambos sistemas. Por .tanto, también

δr, δФ, δλ pueden considerarse como componentes de δen coordenadas elipsoidales.

Por consiguiente, se tiene que

.gu = γ u + δr, gβ = γβ + δФ, gλ = δλ (6-72)

Y gx, gy gz .se obtienen por medio de,(6-12), las componentes de g que, sustituyen las componentes

correspondientes de γ . Obviamente la aproximación esférica sólo puede usarse para δ , de manera que hay que

calcular γ u, γβ, por medio de las formulas exactas (6-10).

El geopotencial W puede calcularse usando (6-4); el potencial gravitacional V se obtiene restando el potencial

centrifugo w2 (x

2+ y

2 )/2; y el vector de gravitación está dado por (6-6).

Arm6nicas esféricas . El potencial anómalo T y sus derivadas también pueden obtenerse por medio de su desarrollo

armónico esférico, en donde los coeficientes se calculan por medio de un análisis armónico de las anomalías

gravimétricas (véase la Sección 2-20). no obstante, como estas series tienen una convergencia lenta, solamente

pueden aplicarse cálculos con elevaciones satelitales (unos 1000 Km.). Resultan útiles para el cálculo de las órbitas

satelitales; véanse las Secciones de la 9-6 ,1 la 9-8.

6-8. Anomalías Gravimétricas Fuera de la Tierra .

Supóngase que haya que calcular g en algún punto P fuera de la tierra (Fig. 6-3): aquí sólo se tomará en cuenta la

magnitud del vector de gravedad. Esto se hace convenientemente añadiendo una corrección la gravedad normal γ.

En la sección 2-13 se estudiaron dos tipos diferentes de dicha corrección, g - γ:

l. La perturbación de la gravedad δg en la que tanto g como γ se refieren al mismo punto P.

2. La anomalía gravimétrica, Δg. En este caso g se refiere a P pero γ se refiere al punto correspondiente Q situado en

la misma línea de plomada que P, y cuyo potencial normal U es igual al potencial real W de P, es decir, UQ = Wp.

Page 191: Heiskanen

esta forma sencilla es suficiente para alturas moderadas.

La perturbación de la gravedad se utiliza cuando se conoce la posición espacial de P, es decir, sus coordenadas

rectangulares geocéntricas x, y, z, como por ejemplo, en los cómputos de la gravedad a lo largo de trayectorias

espaciales u órbitas satelitales. Luego, por lo general, se necesita el vector completo g y no solamente su magnitud

g, y los cálculos se efectúan según los métodos descritos en las secciones anteriores. En la Sección 2-13 : se vio

que la diferencia en magnitud δg es prácticamente igual a la componente vertical del vector de perturbación de la

gravedad:

δg = - δr

I

En esta sección se hace referencia a la anomalía gravimétrica Δg. Se usa cuandoquiera que se conozcan las

coordenadas naturales (Sección 2-4).

Page 192: Heiskanen

Especialmente el potencial W de P. Entonces se podrá determinar Q como el punto cuyo potencial normal es igual al

valor dado de W; es decir, será posible calcular la altura de Q sobre el elipsoide por medio de una, fórmula elipsoidal

como (4-44) donde C = W0 -W. luego la gravedad normal en Q estará dada, por ejemplo, por (2-123)

En la superficie terrestre, el potencial W se determina mediante nivelación (Sección 4-1); es por ello que el material

básico de la "geodesia gravimétrica lo constituyen las anomalías gravimétricas y no 1as perturbaciones de la

gravedad. Si se conoce la altura H1 de P sobre el terreno, entonces el potencial en P podrá obtenerse mediante.

(6-73)

donde W l es el potencial en el punto terrestre F debajo de P, y g es la gravedad media entre F y P. Por tanto, aun en

este caso se conoce W en lugar e las coordenadas rectangulares x,y,z y lo apropiado es usar las anomalías

gravimétricas Δg . Este es el caso, por ejemplo, de las mediciones de la gravedad desde el aire, en donde se mide la

altura .de la aeronave sobre el terreno.

Fórmulas. La fórmula básica es

(6-74)

la cual difiere de (2-160) en que las armónicas esféricas de grado 0 y 1 las cuales han sido excluidas aquí, se dejan en

la formula actual. Si se hace las sustituciones usuales en (6-43) y (6-44) se obtiene.

(6-75)

nuevamente,

donde H es la altura sobre el nivel al que hace referencia las anomalías Δg dadas; véanse los comentarios al respecto

en la sección anterior.

hasta con alturas de vuelo, es posible usar otra vez la aproximación al plano de la sección 6-6, de manera que (6-75)

se reduce a una integral de continuación ascendente del tipo (6-75):

(6-76)

Page 193: Heiskanen

O en las coordenadas polares s y α

(6-76´)

donde

Integración practica. Se pueden volver a usar bloques estándar ( 5´ X 5´ , 10´ X 10´ ó 1° X 1°, digamos),

adecuados para cálculos automáticos, o se pueden utilizar plantillas.

La integral (6-76) puede sustituirse entonces por

(6-77)

donde Δgk es la media en k-esimo compartimiento. Si se utilizan bloques estándar con lados de ΔФ y Δλ, entonces.

(6-78)

donde Фk y lk se refieren al centro del bloque. Estos coefiencientes son del tipo (2-224). Para una plantilla polar, los

coeficientes integrados preferibles del tipo (2-223) también tienen una forma sencilla si se usa (6-76´) y las

notaciones de la figura 2-22 ( donde se ha sustituido ψ por s ), se tiene que

y después de integrar,

(6-79)

Page 194: Heiskanen

donde l1 pertenece al radio interno y l2 al radio externo.

Hirvonen (1962) preparo un diseño óptimo para una plantilla. Se construye de tal manera que el error producido por

cada compartimento tiene la misma raíz media cuadrática. La tabla 6-2 contiene los coeficientes de Hirvonen. Los

radios S1 y S2 y la elevación H tienen que medirse en la misma unidad.

Page 195: Heiskanen

Tal como se vio en la sección anterior, la continuación ascendente es básicamente un problema local. La

contribución principal a las integrales (6-76) ó (6-76´) se originan del área alrededor del punto P, dado que la

influencia de las regiones distantes es insignificantemente pequeña, considérese el efecto de la zona que esta mas allá

de una distancia dada S0 desde P fig 6-4 de acuerdo con (6-76), este efecto esta dado por.

por que cuando S es grande se reemplaza 1 = ( S2 + H

2 )

½ por S. si se introduce cierto valor promedio Δg de las

anomalías gravimétricas en la zona S > S0 entonces, según el teorema del valor medio del calculo integral, es posible

expresar el valor promedio del efecto de esta zona así

Lo cual equivale a

Page 196: Heiskanen

Con esta formula puede verse que S0 debe ser más o menos proporcional a H si se desea obtener el mismo error ε

para las diferentes elevaciones H. Por ejemplo, si So = 10H, entonces ε = 0.1 Δg . Si Δg no excede de 10 mgals,

entonces ε será menor que 1 mgal. Esto por lo general puede darse por sentado porque se espera que los valores de

Δg para la zona S > So tienden a promediarse cuando So tiene un valor alto. Siendo ese el caso , solo es necesario

extender la integración hasta 10 veces la elevación.

Las consideraciones de la sección anterior también pueden aplicarse en muchos aspectos a la continuación

ascendente de las anomalías gravimétricas. Nuevamente, se tendrá que usar anomalías de aire libre que hagan

referencia al nivel del terreno o, para mayor exactitud, a alguna superficie de nivel. Si el terreno está sobre el nivel

del mar, pero es razonablemente plano, resulta mejor considerar H como la elevación sobre el terreno y no sobre el

nivel del mar, porque entonces el terreno podrá considerarse localmente como parte de una superficie de nivel.

Para mayor información sobre la precisión, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1962).

El problema inverso, o sea la continuación descendente de las anomalías gravimétricas, ocurre cuando se reduce la

gravedad medida a bordo de una aeronave, y también en determinada solución del problema geodésico de los valores

límites que se describirá en la Sección 8-10. No hay una fórmula integral cerrada inversa para (6-75) o (6-76), pero

es posible resolver el problema de la continuación descendente con el método iterativo de la Sección 8-10.

La continuación ascendente y la descendente también se usan en la exploración geofísica pero aquí el propósito es

bastante diferente. Se han desarrollado varios métodos relacionados, algunos de los cuales también pueden aplicarse

con fines geodésicos; véanse, por ejemplo, las publicaciones de Jung (1961, Sección 7.22), Oean (195R), Hellderson

(1960) y Tsuboi (1961).

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METODOS ESTADISTICOS EN LA GEODES IA FISICA

7-1. introducción

Page 198: Heiskanen

Los problemas más importantes de la geodesia física se formulan y resuelven en términos de integrales extendidas a

toda la tierra. Un ejemplo típico sería la fórmula de Stokes. Por consiguiente, es necesario conocer, en principio, la

gravedad g en todos los puntos de la superficie de la tierra. En realidad, aun en el caso de la red gravimétrica más

densa., solo se mide g en relativamente pocos puntos, de modo que para los otros es necesario estimar g mediante

interpolación. En muchas partes extensas de los océanos no se ha efectuado absolutamente ninguna observación;

estos vacíos tienen que llenarse con algún tipo de extrapolación.

Matemáticamente, no hay diferencia alguna entre la interpolación y la extrapolación: por lo tanto se denotan

mediante el mismo término, predicción. La predicción (interpolación o extrapolación) no puede, por supuesto,

proporcionar valores exactos; por tanto, el problema es estimar los errores que pueden esperarse en la gravedad g o

en la anomalía gravimétrica Δg. Como Δg se utiliza también para calcular otras cantidades, tales como la ondulación

geoidal N o las componentes de la desviación ξ y ε , hay que investigar la influencia de los errores de predicción de

Δg sobre N., ξ y ε, etc. A esto se le conoce como propagaci6n de errores.

Además es importante saber qué métodos de predicción proporcionan la mayor precisión, bien sea en Δg o en las

cantidades derivadas N., ξ y ε, etc. Para poder determinar los "mejores" métodos de predicción, obviamente resulta

necesario, haber resuelto primero el problema anterior, conocer el error de predicción de Δg y su influencia en las

cantidades derivadas.

Hay otro aspecto incluido. En principio, las fórmulas integrales presentadas comprenden siempre integraciones sobre

toda la tierra. En la práctica, no obstante, muchas veces las integraciones sólo abarcan un área limitada, ya sea

porque no existen mediciones gravimétricas , más allá de la misma o porque si se extienden no se observa

prácticamente ningún aumento en la precisión. Después habrá que estimar el efecto de las zonas distantes no tomadas

en cuenta.

En resumen, se tienen los siguientes problemas:

l. Estimación de los errores de interpolación y extrapolación de Δg;

2. Estimaci6n del efecto de estos errores en las cantidades derivadas N., ξ y ε, etc.

3. Determinación del mejor método de predicción.'

4. Estimación del efecto de las zonas distantes omitidas.

Como los que interesan son los errores promedio y no los individuales, se requieren procedimientos

estadísticos. Este es el tema del presente capítulo. 7.

7-2. La función de Covarianza ,

Es realmente notable que todos los problemas arriba mencionados pueden resolverse mediante una sola función

de una variable sin ninguna otro información. Esta es la función de Covarianza de las anomalías gravimétricas.

Page 199: Heiskanen

Primero se necesita una medida del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas Δg. Si se halla el promedio de

Δg en toda la tierra, se obtiene el valor cero:

(7-1)

El símbolo M representa el promedio sobre toda la tierra (sobre la esfera unitaria), este promedio es igual a la

integral sobre la esfera unitaria dividida por su área 4π. La integral es cero si no hay término de grado cero en el

desarrollo de las anomalías gravimétricas Δg en armónicos esféricos, es decir si se usa un elipsoide de referencia con

la misma masa que la tierra y con el mismo Potencial que el geoide. Esto se dará por sentado en todo este capítulo2.

Evidentemente la cantidad M { Δg }, que es cero, no puede usarse para caracterizar el tamaño promedio de las

anomalías gravimétricas. Considérese entonces el cuadrado promedio de Δg

(7-2)

Se le llama la varianza de las anomalías gravimétricas. Su raíz cuadrada es la anomalía media cuadrática ( r.m.s.):

(7-3)

la anomalía media cuadrática es una medida muy útil del tamaño promedio d e las anomalías gravimétricas; por lo

general se da en la forma:

r.m.s { Δg}= ± 35 m.gals;

Los signos de más y de menos expresan la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada e indican que ésta puede s er

positiva o negativa. La anomalía media cuadrática es muy intuitiva pero la varianza de Δg es mucho más

fácil de manejar matemáticamente y se presenta para una generalización significativa.

1 Se está omitiendo primero la correlación con la elevación.

2 De no ser ese el caso, es decir si M {Δg} = m diferente de cero entonces es posible formar anomalías gravimétricas

nuevas Δg* = Δg – m, restando el valor promedio m. Luego M Δg* = 0 y todos los desarrollos subsiguientes se

aplican a es anomalías Δg* ―centradas".

En lugar del cuadrado promedio de Δg, considérese el producto promedio de las anomalías gravimétricas Δg Δg´ en

cada par de puntos P y P´ que tienen una distancia constante s, de separación. Este producto promedio se llama la

Covarianza de las anomalías gravimétricas para la distancia s y se define por .

Covs {Δg} = M {Δg Δg´} (7-4)

Page 200: Heiskanen

E1 promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P´ en donde PP' = s = constante.'

La Covarianza caracteriza la correlaci6n estadís tica de las anomalías gravimétricas Δg y Δg´, que viene a ser su

tendencia a tener más o menos el mismo tamaño y signo. Si la Covarianza es cero, entonces las anomalías Δg Δg´ no

están correlacionadas , o sea que son independientes1 la una de la otra; en otras palabras, ni el tamaño ni el signo de

Δg tienen influencia alguna sobre el tamaño o el signo de Δg´. Las anomalías gravirnétricas en puntos que se

encuentran muy separados pueden considerarse no correlacionadas o independientes dado que las perturbaciones

locales que producen Δg casi no tienen influencia sobre Δg´ y viceversa.

Si se considera la Covarianza como una función de s = PP´, entonces se obtiene la función de Covarianza C(s)

mencionada al principio:

C(s) = Covs {Δg} = M {Δg Δg´} (PP'=S). (7-5)

para s = O se tiene que

C(O)= M{Δg 2}= var {Δg} (7-51)

de acuerdo con (7-2). La Covarianza para s = O es la varianza:

1 En el sentido estricto de la estadística matemática la correlación cero y la independencia no son exactamente lo

mismo, pero en este caso puede hacerse caso omiso de la diferencia.

En la figura 7-1 se muestra una forma típica de la función C(s) .Para distancias s pequeñas (de 1 Km., por ejemplo)

es casi igual a Δg de manera que la Covarianza es casi igua1 a la varianza; en otras palabras, hay una correlación

muy fuerte. La Covarianza C(s) disminuye al aumentar s, porque entonces las anomalías Δg y Δg´ se vuelven cada

vez más independientes. En el caso de distancias muy grandes, la Covarianza será muy pequeña, pero en general no

exactamente cero porque las anomalías gravimétricas no sólo se ven afectadas por las perturbaciones locales de la

masa sino también por factores regionales . De. manera que en su lugar puede esperarse una osci1ación entre valores

positivos y negativos pequeños1

La determinación práctica de la función de Covarianza C(s) es un tanto problemática. Si tuviera que determinarse

con exactitud, sería necesario conocer la gravedad en todos los puntos de la superficie terrestre. Esto obviamente no

Page 201: Heiskanen

es así puesto que, si se conociera, entonces la función de Covarianza perdería gran parte de su importancia porque

sería posible resolver los problemas con exactitud sin necesidad de estadísticas. De hecho, la función de Covarianza

solo puede estimarse usando muestras distribuidas en toda la tierra. Pero en la actualidad hasta eso resulta imposible

porque los datos gravimétricos de los océanos son imperfectos o no existen del todo. Para una explicación sobre el

muestreo y los problemas relacionados refiérase a la publicación de Kau1a (1963, 1966).

La estimación más completa que se ha hecho hasta la fecha es la de Kaula (1959). Algunos de sus valores se dan en

la Tabla 7-1. Se refieren a las anoma1ías de aire libre. El argumento es la distancia esférica.

(7-6)

que corresponde a una distancia linea1 s medida sobre la superficie terrestre; R es un radio medio de la tierra. La

anomalía media cuadrática de aire libre es

(7-7)

1 Las covarianzas positivas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño y el mismo signo; las

covarianzas negativas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño pero signos opuestos. Cuanto mayor

sea esta tendencia, tanto Mayor será C(s); el valor absoluto de C(s ), no obstante, jamás podrá exceder la varianza

C(O).

Page 202: Heiskanen
Page 203: Heiskanen

Puede notarse que C(s) disminuye al aumentar ,s y que para, s/R > 30°, los valores son muy pequeños y oscilan

entre positivo y negativo.

Para ciertos fines se necesita una función de Covarianza local en lugar: de una global; luego el promedio M se

extiende solamente a un área limitada y no a toda la tierra como en el caso anterior. Esta función de Covarianza

local resulta útil para estudios más detallados en un área limitada --por ejemplo, para problemas de interpolación.

Como ejemplo se puede mencionar; que Hirvonen (1962), al investigar la función de Covarianza local de las

anomalías de aire libre en Ohio, halló valores numéricos que están debidamente representados por un expresión

analítica de la forma .

(7-8)

Donde

(7-9)

Esta función es válida para s < 100 Km.

7-3 Desarrollo de la Función de Covarianza en Arm6nicos Esféricos

Las fórmulas integrales más o menos complicadas de la geodesia física adquieren por lo general una forma mucho

más sencilla si se vuelven a escribir en términos de armónicos esféricos. Un buen ejemplo es la fórmula de Stokes

(Véase la Sección 2-17). Lamentablemente esta ventaja teórica se pierde en la mayoría de los casos frente a 1a

desventaja de que en la práctica las series pertinentes convergen muy lentamente. En ciertos casos, sin embargo, la

convergencia es buena. Por consiguiente, los armónicos esféricos son convenientes en la práctica; en la próxima

sección se presenta un caso de éstos.

El desarrollo armónico-esférico de las anomalías gravimétricas Δg puede expresarse de muchas formas diferentes,

tales como

(7-10)

Donde Δg n (ζ,λ) es el armónico de superficie de Laplace de grado n, o más específicamente.

(7-11)

Donde

(7-12)

Page 204: Heiskanen

son los armónicos esféricos convencionales, o en términos de armónicos totalmente normalizados ( vease la sección

1-14):

(7-13)

en este caso ζ es la distancia polar ( complemento de la latitud geocéntrica) y λ es la longitud.

Hay que determinar los productos promedio de dos armónicos de Laplace.

(7-14)

Estos productos promedio son.

(7-15)

Dado que el promedio se extiende a toda la tierra, es decir, a toda la esfera unitaria. Primero se toma n´ = n

que da el cuadrado promedio del armónico de Laplace de grado n.

(7-16)

Si se inserta (7-14) y se toma en cuenta las relaciones de ortoganalidad (1-68) y la normalización (1-74) se halla

fácilmente.

(7-17)

Considérese ahora el producto promedio (7-15) de dos armónicos de Laplace de diferente grado n´ diferente n debido

a la ortogonalidad de los armónicos esféricos, la integral de (7-15) es cero.

(7-18)

En términos estadísticos, esto significa que dos armónicos de Laplace de diferente grado no están correlacionados o,

en un sentido más amplio son estadísticamente independientes.

En una forma similar a las que se utiliza para las anomalías gravimétricas, también la función de Covarianza C(s)

puede desarrollarse en una serie.

Page 205: Heiskanen

de armónicos esféricos. Tómese un punto P arbitrario, pero fijo, como el polo de dicho desarrollo. De esta manera se

introducen las coordenadas polares esféricas ψ, (distancia angular desde P) y α (azimut) (Figura 7-2). La distancia

angular ψ, corresponde a la distancia lineal s según (7-6). Si se desarrolla la función de Covarianza, con el argumento

ψ en una serie de armónicos esféricos con respecto al polo P y a las coordenadas ψ, y α, se tiene

que es del mismo tipo que (7-11). Pero como C depende solamente de la distancia ψ, y no del azimut α, los

armónicos esféricos no pueden contener ningún término que dependa explícitamente de α. Los únicos armónicos

independientes de α son las funciones zonales .

los cn =cn° son los únicos coeficientes que no son iguales a cero. también se usa la expresión equivalente en términos

de armónicos completamente normalizados

(7-20)

Page 206: Heiskanen

los coeficientes de estas series de acuerdo 1-13 y 1-14 están dadas por

(7-21)

(7-22)

Ahora hay que determinar la relación entre los coeficientes Cn de C(ψ) en (7-19) y los coeficientes anm y bnm de Δg

en (7-14). Por este motivo se necesita una expresión para C (ψ) en términos de Δg , la cual se obtiene fácilmente

escribiendo (7-5) en una forma mas explicita. Considérense los dos puntos p (ζ,λ.) y p´( ζ´,λ´) de la figura 7-2. Su

distancia esférica ψ está representada por

(7-23)

En este caso ψ, y el azimut α son las coordenadas polares de p´( ζ´,λ´) con respecto al polo p (ζ,λ.)

El símbolo M en (7-5) denota el promedio sobre la esfera unitaria.

Para calcularlo se necesitan dos pasos. En primer lugar se halla el promedio sobre el circulo esférico cuyo radio es ψ

(indicado en la figura 7-2 por medio de una línea de trazos), manteniendo el polo P fijo y desplazando p´ a lo largo

del circulo de manera tal que la distancia PP' permanezca constante. Esto resu lta en

Donde C* sigue dependiendo del punto P que se escogió como el polo ψ = 0. en segundo lugar se calcula el

promedio de C* sobre la esfera unitaria

esto es igual a la función de Covarianza C(ψ) y el símbolo M en (7-5) se expresa ahora explícitamente así.

(7-24)

Page 207: Heiskanen

Se ha dado por sentado que las coordenadas ζ´,λ´ de esta fórmula están relacionadas con ζ, λ por medio de (7-23)

donde, ψ = const. ; pero que de otra manera son arbitrarias; esto expresa, por supuesto, el hecho de que en (7-5) el

promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P' para los que PP' = ψ = const.

Par calcular los coeficientes Cn, se inserta (7-24) en (7-21) obteniendo así.

(7-25)

considerese primero la integración con respecto a α y ψ. Deacuerdo con (1-71) se tiene que

donde el cambio de las variables de integración es evidente. Por tanto, (7-25) se convierte en

(7-26)

esto también puede expresarse como

(7-27)

Ahora se le inserta (7-10) que puede escribirse

donde el índice de la sumatoria se denota por n´ en lugar de n se obtiene.

Según (7-18), solamente el termino donde n´=n es distinto de cero, de manera que por (7-17) se obtiene.

(7-28)

por tanto Cn es el cuadrado promedio del armónico de Laplace Δg n (ζ,λ) de grado n, o su varianza. Los Cn también

se conocen como varianzas de grado. ( las covarianzas de grado son cero, debido a (7-18)

Page 208: Heiskanen

La ecuación (7-28) relaciona los coeficientes nma y nmb de g y nc de C(s) de la forma más sencilla

posible. Nótese que nma y nmb son coeficientes de armónicos totalmente normalizados, mientras que nc son

coeficientes de armónicos convencionales. De hecho, también pueden usarse los nma y

nmb (convencionales) o los

nc (totalmente normalizados); pero obviamente (7-28) se tornará un poco más complicado.

7-4. Influencia de las Zonas Distantes sobre las Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz.

Los desarrollos armónicos esféricos de la sección anterior se usarán ahora para evaluar los efectos de omitir las zonas

distantes en los cálculos de la altura geoidal y de la desviaci6n de la vertical.

La integral de Stokes (2-165) se divide en dos partes:

0

0

2

0

sincos4

ddSgG

RN (7-29)

0

2

0

sincos4

ddSgG

R

Ahora se denota la funci6n de Stokes por S(cos ) en lugar de S( ). Para tener mas adelante en la sección una

notación sencilla y coherente.

Si la integraci6n no se extiende sobre toda la tierra sino sólo hasta una distancia esférica 0 , entonces

solamente se considera la primera integral de (7-29). El error N que resulta al Omitir las zonas que están más allá

de 0 está dado, por 10 tanto, por la segunda integral de (7-29),

0

2

0

sincos4

ddSgG

RN (7-30)

Si se introduce la función (discontinua), (figura 7-30):

,cos

,00cos

o

o

siS

siS (7-31)

Figura 7-3

La Función

cosS

Page 209: Heiskanen

l Cabe mencionar que la matemática en que se basa la descripción estadística de las anomalías gravimétricas es la

teoría de los procesos estocásticos , donde el campo de las anomalías gravimétricas se considera como un proceso

estocástico estacionario en una esfera; los desarrollos esféricos - armónicos de está sección no son más que el

análisis espectral de dicho proceso. El trabajo de Miller (1956) incluye una introducción elemental a los procesos

estocásticos

(7-30) puede expresarse en la forma

0

2

0

sincos4

ddSgG

RN (7-32)

La integración puede extenderse ahora formalmente a toda la esfera unitaria porque las zonas con 0 no

contribuyen en nada al valor de la integral.

Dado que la función cosS es continua por partes, puede desarrollarse en una serie de polinomios de Legendre

(armónicos zonales):

.cos2

12cos

0n

nn PQn

S (7-33)

Por razones formales, los coeficientes de este desarrollo se denotan por medio de (2n + 1)Qn/2. De acuerdo con la

Sección 1-13, ecuación (1-70), están dados por

2

0 0

sincoscos4

12

2

12ddPS

nQ

nnn

La integración con respecto a puede efectuarse de inmediato, dando así

,2

2

0

d

de modo que

0

sincoscos dPSQ nn

Si se usa (7-31), finalmente se halla que

0

sincoscos dPSQ nn ( 7 - 34)

Page 210: Heiskanen

Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio limitador 0 .

La evaluación de esta integral es un asunto de rutina; se mostrará más adelante.

Ahora se inserta (7-31) en (7-32). Después de intercambiar el orden de la integración y la

sumatoria, se obtiene

2

0 00

sincos128

ddPgQnG

RN n

n

n

Según (1- 71), la integral doble es igual a 12/4 ngn , de modo que

,2

,2

n

n

n gQG

RN (7-35)

donde es, al igual que antes, el armónico de Laplace de n-ésimo g .

La ecuación (7-35) da como resultado el error en N en un punto dado ,P causado por la omisión de las

anomalías gravimétricas más allá de un circulo de radio 0 y cuyo centro es P. Si se desea hallar el efecto de la

raíz media cuadrática , hay que calcular el promedio M sobre la esfera unitaria:

'

2 2'

'2

2

'

2 2'

'2

2

'

2'

'

22

2

2

22

22

4

4

4

4

nn

n n

nn

nn

n n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

ggMQQG

R

ggQQMG

R

gQgQMG

R

gQMG

RNMN

Las operaciones realizas aquí son obvias . Primero se insertó (7 - 3 5 ); luego se introdujo otro índice de sumatoria

n', para transformar el cuadrado de una suma en una suma doble; finalmente, se intercambió E1 orden de la

integración (símbolo M) y la sumatoria.

De acuerdo con la ecuación (7-18) de la sección anterior, todos los 'nn ggM son cero excepto cuando

n' = n. Por tanto, finalmente se obtiene

Page 211: Heiskanen

n

n

nn

n

n cQG

RgMQ

G

RN

2

2

2

22

2

2

2

22

44 (7-36)

De manera que la influencia de la raíz media cuadrática de las zonas distantes sobre la altura geoidal N

puede calcularse a partir de las varianzas de grado 0, lo que viene siendo lo mismo, a partir de la función de

covarianza. Este es un ejemplo del papel fundamental que desempeña la función de covarianza en los problemas

estadísticos de la geodesia física.

Las fórmulas para la influencia de las zonas remotas sobre la desviación de la vertical son mucho más difíciles de

desarrollar. Por lo tanto, sólo se resumirán los puntos principales; si se desea un desarrollo detallado podrá hallarse

en el trabajo de Hirvonen y Mortiz (1963), al cual se hace referencia en el Capítulo 6.

De acuerdo con las ecuaciones (2-204) y (7-35) se tiene que

2

2

cos

1

2

1

cos

1

2

11

n

nn

n

nn

gQ

G

N

R

gQ

G

N

R

El error medio cuadrático total de la desviación dé la vertical está dado entonces por

'

2

'

2 2'

'2

222

cos

1

4

1 nnnn

n n

nn

ggggMQQ

G

M

Puede mostrarse que para un armónico de superficie arbitrario de Laplace

Yn de grado n, las siguientes relaciones son válidas:

;'0cos

1

)1(cos

1

'

2

'

2

2

2

2

nnsiYYYY

M

YMnnYY

M

nnnn

n

nn

(7-37)

véase también el trabajo de Jeffreys (1962, pág. 1-35). Por consiguiente, para nn gY , se obtiene

n

n

nn

n

n cQnnG

gMQnnG 2

2

2

2

2

2

2

2 14

11

4

1 (7-38)

Page 212: Heiskanen

Esta fórmula da como resultado la influencia media cuadrática de las zonas remotas sobre la desviación total de la

vertical ; corresponde a la ecuación (7- 36) para N.

Los Coeficientes Qn. Para obtener los Qn expresamente como funciones del radio 0 , hay que evaluar la integral

(7-34). Si se sustituye

tZ2

sin,2

sin 0 ( 7 - 39 )

se obtiene

,21214sincoscos

1

22

0 t

nnn dzzzSzPdPSQ

porque

dzzdd

z

422

cos*2

sin4sin

,212

sin21cos 22

Si se intercambian los límites de integración, finalmente se halla

t

nn dzzzSzPQ1

22 21214 (7-40)

La 221 zS significa que en la función de Stokes cosS hay que sustituir cos por 221 z y 2

sin por z:

;10641ln61ln31

21 222 zzzzzzzz

zS (7-41)

en forma similar, Pn221 z significa que el argumento del armónico, zonal Pn [t en las ecuaciones (1-58)] tiene que

sustituirse por 221 z , por ejemplo.

2

121

2

321,2121,121 222

2

22

1

2

0 zzPzzPzP (7-42)

Por lo tanto, la integral (7-40) puede evaluarse aplicando los métodos usuales de integración; se obtiene, por

ejemplo,

Page 213: Heiskanen

,1ln1836246

2

51184730

2

5314542

,1ln21ln8246

3

32814

3

2842

,1ln667654

8642

8765432

2

642

65432

1

42432

0

tttttt

ttttttttQ

ttttt

ttttttQ

ttttttttQ

(7-43)

En el trabajo de Molodenskii et al. (1962, págs. 148-150) pueden hallarse las fórmulas para los Qn hasta n =

8 y una tabla de valores.

Si 00 , entonces la función cosS de la ecuaci6n (7-31) se reduce a la función de Stokes cosS para

todos los valores de :

,cos1

12coscos

2

12cos

0 2n n

nnn Pn

nSPQ

nS

de modo que

021

2,0 010 sin

nQQQ n

(7-44)

Resultados Numéricos. Como el tamaño de. los Qn disminuye rápidamente al aumentar n, excepto cuando

0 es pequeño, las series (7-36) y (7-38) convergen rápidamente, de manera que por lo general unos cuantos

términos son suficientes.

Kaula (1959, pág. 2419) propone los siguientes valores máximos razonables (mgals ) para las varianzas de

grado:

,25,30,43,15 87654321 ccccccc (7-45)

los cuales concuerdan con los valores de la función de covarianza de la Tabla 7 - 1 . Luego, el efecto medio de las

anomalías gravimétricas más allá de un radio esférico 0 está dado por la Tabla 7-2. Los primeros tres valores de

0 corresponden a distancias lineales de 1000, 1500 y 2000 km. La sumatoria de (7-36) y (7-38) se extendió hasta n

= 8.

1 Anteriormente se usó el símbolo para denotar la distancia polar.

Page 214: Heiskanen

Tabla 7-2

Influencia Media Cuadrática de la Zona Más Allá del Radio 0 sobre la Altura

Geoidal N y la Desviación de la Vertical .

0 N 0 N

9.0° 25m "4.2 60° 14m "2.1

13.5° 21 2.0 90° .11 1.1

18.0° 18 1.8 135° 8 0.8

30° 14 1.2 180° 0 0.0

Molodenskii et al. (1962, páq. 167) hizo estimaciones numéricas de N y las cuales son

aproximadamente 70% más altas. Se basan en valores de 2

nn gc que corresponden a un desarrollo esférico

armónico obtenido por Zhongolovich en 1952.

7-5. Interpolaci6n y Extrapolaci6n de Anomalías Gravimétricas

Tal como se indicó en la Sección 7-1, el propósito de la predicción (interpolación y extrapolación) es complementar

las observaciones gravimétricas que sólo pueden efectuarse en relativamente pocos puntos, estimando los valores de

la gravedad o de las anomalías gravimétricas en todos los demás puntos P de la superficie t errestre.

Si P se encuentra rodeado por estaciones gravimétricas, es necesario interpolar; si las estaciones

gravimétricas se encuentran lejos de P, hay que extrapolar. Aparentemente no hay mucha diferencia entre estos dos

tipos de predicciones y en ambos casos la formulación matemática es la misma.

Para predecir una anomalía gravimétrica en P, se necesita información sobre la función de la anomalía

gravimétrica. La información más importante es, por supuesto, los valores que se observan en ciertos puntos .

Además, se necesita cierta información sobre la forma de la función de anomalía. Si las mediciones gravimétricas

son muy densas, entonces la continuidad o ―regularidad‖ de la función es suficiente - para interpolación lineal, por

ejemplo. De lo contrario se podría tratar de usar información estadística sobre la estructura general de las anomalías

gravimétricas. En este caso hay que considerar dos tipos de correlación estadística: la autocorrelación de las

anomalías gravimétricas -- la correlaci6n entre ellas, y la correlación de las anomalías gravimétricas con la elevación.

Por el momento se hará caso omiso de la correlación con la elevación la Sección 7-10 estará dedicada a este

tema . La autocorrelación se caracteriza por la función de covarianza que se consideró en la Sección 7-2.

Matemáticamente, el propósito de la predicción es hallar una función de las anomalías gravimétricas

observadas nggg ,,, 21 de manera que la anomalía desconocida pg en P pueda ser aproximada por la

función

np gggFg ,,, 21 (7-46)

En la práctica, sólo se usan funciones lineales de la ig . Si el valor . pronosticado de pg se denota por pg ,

dicha predicción lineal tendrá la forma

n

i

iinnP gpgpgpgpg1

2211 (7-47)

Page 215: Heiskanen

Los coeficientes pi dependen Únicamente de la posición relativa de P y de las estaciones gravimétricas 1,

2, ..., n; son independientes de ig . Según la forma como se escojan estos coeficientes, se obtienen los diferentes

métodos de interpolación o extrapolación. A continuación se dan algunos ejemplos.

Interpolación Geométrica. La ―superficie‖ de anomalías gravimétricas, ―tal corno se halla representada en un mapa

de anomalías gravimétricas, puede aproximarse por medio de un poliedro, dividiendo el área eh triángulos cuyas

esquinas están formadas por las estaciones gravimétricas y pasando un plano por las tres esquinas de cada triángulo

(véase la figura 7-4). Esto es más o menos lo que se hace cuando se construyen las curvas de nivel de un mapa de

anomalías gravimétricas por medio de interpolación gráfica.

Analíticamente, esta interpolación puede formularse de la siguiente manera. Supóngase que el punto P se encuentra

situado dentro de un triangulo con esquinas 1,2,3 (figura 7-4). A cada punto se le asigna su valor g como

coordenada z, de modo que los puntos 1, 2, y 3 tengan 1as coordenadas ―espaciales‖ (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3,

z3); x y y son coordenadas planares normales. El plano que pasa por 1, 2, 3 tiene la ecuación

3

12311231

121121

2

312133123

313313

1

23122312

232232

zxxyyyyxx

xxyyyyxx

zxxyyyyxx

xxyyyyxx

zxxyyyyxx

xxyyyyxxz

( 7 - 48 )

Si sustituimos zl, z2, z3 por 1g ,

2g ,3g entonces z será el valor interpolado pg en el punto P, que tiene las

coordenadas planares x, y.

Por tanto,

332211 gpgpgpgP (7-49)

lAquí 1g denota el valor de g en un punto i y no un armónico esférico. donde los ip son los coeficientes de zi

de la ecuaci6n anterior.

Representación. Con frecuencia se usa la anomalía medida de una estación gravimétrica 1 para representar

toda la vecindad, de manera que

1gg p (7-50)

siempre y cuando P esté dentro de cierta vecindad del punto l.

En este caso,

0,1 321 npppp

Este método es más bien general, pero lo suficientemente sencillo y preciso para servir para muchos propósitos.

Page 216: Heiskanen

Figura 7-4

Interpolación Geométrica

Anomalía Cero. Si no hay ninguna medición gravimétrica en un área extensa -- por ejemplo, los océanos -- entonces

se usa la estimación

0pg (7-51)

para esa área. En este caso común todos los ip son cero.

Si todas las estaciones gravimétricas conocidas se encuentran distantes. y no se conoce nada mejor. entonces

se aplica este método rudimentario de extrapolación, si bien la precisión es deficiente. Para tal efecto, las anomalías

isostáticas resultan más convenientes

Ninguno de estos tres métodos ofrece una precisión óptima. En la próxima sección se estudiará la precisión

de la fórmula general de predicción (7-47) y se hallarán los coeficientes ip que proporcionen los resultados más

precisos.

7-6. Precisión de los Métodos de Predicción

Pred1cción Mínimo-Cuadrática.

Page 217: Heiskanen

Para comparar los diversos métodos posibles de predicción, determinar el alcance de sus aplicaciones y hallar el

método más exacto, resulta necesario evaluar sus precisiones.

Considérese el caso general de la ecuación (7-47). La anomalía gravimétrica correcta en P es ,

el valor pronosticado es:

i

n

i

ip gpg1

La diferencia es el error P de la predicción,

i

i

ippp gpgggp1

(7-52)

Si se eleva al cuadrado se halla que

i k

kikiiP

i

ip

k

k

kipi

i

ip

ggppggpg

gpggpgp

22

2

(7-53)

Después se calcula el promedio M de esta fórmula sobre el área considerada (sea ésta una región limitada o toda la

tierra). Luego, según (7-5), se tiene que

0

20

,

,

CCgM

CPiCggM

CikCggM

p

Piip

ikki

(7-54)

Estos son valores específicos de la función de covarianza C(s), para s = ik, s = Pi, y s=0; por ejemp1o ik es la

distancia entre las estaciones gravimétricas i y k. Las notaciones compendiadas Cik y CPi se explican por sí mismas.

Además, se fija

Pp mM 22 (7-55)

De esta manera, mp es el error medio cuadrático de una anomalía gravimétrica pronosticada en P o, en otras palabras,

el error típico de predicción M (interpolación o extrapolación).

Al tomar en cuenta todas esta relaciones, se halla que el promedio M de (7- 53) es

Page 218: Heiskanen

ik

n

i

n

k

kiPi

n

i

iP CppCpCm1 11

0

2 2 (7-56)

Esta es la fórmula fundamental para el error típico de la fórmula general de predicción (7-47). En los casos

especiales descritos en la sección anterior, hay que insertar los valores específicos de ip

Como ejemplo, considérese el caso de la representación, ecuación (7-50); todos los , son cero excepto

por uno. Aquí, (7-56) da como resultado

PiPiP CCCCCm 222 000

2

Muchas veces no solamente se necesita el error típico mP de predicción sino también la correlación de los

errores de predicción p y 0 en dos puntos diferentes P y Q, expresada por medio de la “covarianza de los errores”

PQ , la cual se define por

kpPk M (7-57)

(Si los errores P y Q no están corre1acinados, entonces la covarianza de los errores PQ = 0) Según (7-52) se

tiene que

n

i

n

k

kikik

n

k

PkiQ

n

i

iQP

k

n

k

kQi

n

i

iPPQ

ggQPggQggPggM

gQggPgM

1 111

11

y finalmente

n

i

n

k

ikki

n

i

PiiiQ

n

i

iPQPQ CQPCQCPC1 111

(7-58)

Las notaciones se explican por sf mismas; por ejemplo, CPQ = C(PQ).

La Función de Covarianza de los Errores. Los valores de la covarianza de los errores PQ para diferentes

posiciones de los puntos P y Q. forman una función continua de las coordenadas de P y Q. Esta función se conoce

como la función de covarianza de los errores, o en breve, la función error, y se denota mediante (xp, yp, xQ, yQ). Si

P y Q son diferentes, entonces sencillamente se tiene

Page 219: Heiskanen

PQQQPP yxyx ,,, (7-59 a)

si P y Q coinciden, entonces (7-58) se reduce a (7-56), de modo que

2,,, PQQPP myxyx (7-59 b)

es el cuadrado del error típico de predicción en P.

Por consiguiente, las covarianzas de los errores PQ pueden considerarse como valores especiales de la función de

covarianza de los errores, de la misma manera como las covarianzas CPQ de las anomalías gravimétricas pueden

considerarse como valores especiales de la función de covarianza C(s) A modo de repetición, la función de error es

la función de covarianza de los errores de predicción, definida como

,QpM

mientras que C(s) es la función de covarianza de las anomalías gravimétricas, definida como

,QP ggM

El término "función de covarianza", en el sentido más estricto de la palabra, se reserva para C(s).

Aplicando (7-56) y (7-58), la función de error puede expresarse en términos de la función de covarianza; puede

escribirse en forma más explicita

n

i

n

k

QkPi

n

i

Qi

n

i

PiQQPP ikCPiCQiCPQCyxyx1 111

,,, (7-60)

Como puede verse, la función de covarianza tiene un papel esencial en los estudios de precisión. La función de error,

por otra parte, es fundamental para los problemas de propagación de errores, como podrá notarse en las siguientes

secciones.

Predicción Mínimo-Cuadrática. Los valores de Pi para el método más preciso de predicción se obtienen

minimizando el error típico de predicción expresado por (7-56) como una función de los . Las. condiciones

familiares necesarias para un mínimo son

niCCm

ik

n

k

PkPi

pi

p,,2,1022

1

2

ó (7-61)

Page 220: Heiskanen

,1

PiPkik

n

k

CC

Este es un sistema de n ecuaciones lineales expresadas con n incógnitas Pk ; la solución es

,1

1

Piik

n

i

Pk CC (7-62)

donde 1

ikC denotan los elementos de la inversa de la matriz (Cik).

Si se inserta (7-62) en (7- 47) se obtiene.

gkPiik

n

i

n

k

gkPk

n

k

P CCg 1

1 11

En notación matricial esto se escribe así:

nnnnn

n

n

PnPP

g

g

g

CCC

CCC

CCC

CCCPg

2

1

1

21

22221

11211

21 ,, (7-63)

Puede verse que para una predicción óptima es necesario conocer el comportamiento estadístico de las anomalías

gravimétricas mediante la función de covarianza C(s).

Hay una estrecha relación entre este método óptimo de predicción y el método de a juste mínimo-

cuadrático. Si bien se refieren a problemas distintos, ambos han sido diseñados de manera que proporcionen los

resultados más precisos las ecuaciones lineales (7-61) corresponden a las

"ecuaciones normales‖ de los cálculos de ajuste. Por lo tanto, las predicciones que se basan en la fórmula (7.-63) se

conocen como ―predicciones mínimo-cuadráticas". Los detalles podrán hallarse en el trabajo de Kaula (1963) y en el

de Moritz (1965 ).

Resulta fácil determinar la precisión de la predicción mínimo- cuadrática. Los de la ecuación (7-62) se

insertan en (7-56) después de efectuar los debidos cambios en los índices de la sumatoria. Esto da como resultado

ki

n

i

n

k

PiPkPkPk

n

k

oP CCCm1 11

2 2

Se ti ene que klPjjlPi

i j k l

ikPkPi

i k

iko CCCCCCCCC 1112

Page 221: Heiskanen

ksij

ksijCC jkkl

l

jl0

11

La matriz kl es la matriz unidad. Esta fórmula establece que el producto de una matriz y de su inversa es la matriz

unidad. Por tanto, también se tiene que

1111

ijjk

k

ikkljl

k l

ik CCCCC

Dado que una matriz no cambia al multiplicarse por la matriz unidad.

Por consiguiente se obtiene.

i k

PkPiiko

i j

PkPi

i k

PkPiiko

j

PjPi

i k

PkPiikoP

CCCC

CCCCCCC

CCCCCCCm

ik

ij

1

11

112

2

2

De manera que el error típico de la predicción mínimo-cuadrática está dado por

n

i

n

k

PkPiikoP CCCCm1 1

12

Pn

P

P

nnnn

n

n

PnP

C

C

C

CCC

CCC

CCC

CCCPC

2

1

1

21

22221

11211

210 ,, (7-64)

De igual manera se puede hallar la covarianza de los errores en los puntos P y Q:

n

i

n

k

QkPiikPQPQ CCCC1 1

1

Qn

Q

Q

nnnn

n

n

PnPPQ

C

C

C

CCC

CCC

CCC

CCCPC

2

1

1

21

22221

11211

21 ,, (7-65)

Page 222: Heiskanen

Con estas dos fórmulas se determina la función de la covarianza de los errores para la predicción mínimo -cuadrática.

Ambas fórmulas tienen una forma parecida a la de (7-63) y son adecuadas para cálculos automáticos, de modo que es

posible calcular y su precisión al mismo tiempo.

Consideraciones Prácticas . La interpolación geométrica (Sección 7-5) se presta para interpolar las anomalías de

punto en una red gravimetrica densa, donde, las distancias entre estaciones son de 10 km. o menos. Si se necesitan

anomalías medias para bloques de 5‘ x 5‘, o más grandes, en lugar de anomalías de punto, entonces una

representación como la que se consideró en la sección anterior podría resultar mucho más sencil1a y tener casi la

misma precisión.

La predicción mínimo-cuadrática es, por supuesto, más precisa que la interpolación o representación

geométricas, pero incremento en la precisión no es impresionante. La ventaja principal .de la predicción mínimo-

cuadrática es que permite un procesamiento sistemático y puramente numérico de los datos gravimétricos; ya no es

necesario elaborar mapas de las anoma1ías gravimétricas. La misma fórmula se aplica tanto a la interpolación como

a la extrapolación, de manera que la falta de datos gravimétricos no afecta el método de cálculo, el cual es

completamente esquemático. Como se requieren matrices grandes, es esencial contar con una computadora

electrónica de alta velocidad. Para mayores detalles prácticos y sobre los cálculos, véase la publicación de Rapp

(1964).

Cuando las distancias entre estaciones son mayores, de 50 km o más la predicción de los valores de puntos

individuales no tiene sentido. En tal caso, es necesario trabajar, por ejemplo, con las anomalías medias de bloques de

1° x 1°. Este será el tema de la Sección 7-9.

7-7. Propagación de Errores. Precisión de los Armónicos Esféricos.

Las anomalías gravimétricas son aquellos datos de observación a partir de los cu ales se ca1culan otras cantidades de

interés geodésico, tales como las ondulaciones geoidales, las desviaciones de la vertical o e1 campo gravitacional

externo. Todos estos cálculos se realizan mediante fórmulas integrales. El problema es estimar la precisión de estas

cantidades derivadas a partir de la precisión conocida de las anomalías gravimétricas.

La teoría del error convencional no incluye este caso directamente.

Debe modificarse ligeramente; esto se logra mediante una ampliación natural y lógica d e la teoría común de la

propagación de errores. Los lectores interesados en el método general pueden referirse a las publicaciones de Mor1tz

(1961. 1964a); aquí sólo se expondrán dos casos prácticos que

se tratarán en esta sección y en la que sigue.

.

El primer problema es el siguiente. El campo de las anomalías gravimétricas se desarrolla en una serie de armónicos

esféricos completamente normalizados (7-13):

2 0

,,,n m

mnnmnmnm SbRag

donde

ddS

Rg

b

a

mn

nm

nm

nmsin

,

,,

4

12

0 0

(7-66)

Se conoce la función de covarianza de los errores de las anomalías gravimétricas; hay que determinar la precisión

de los coeficientes nma y nmb , es decir. las varianzas y covarianzas de sus errores (errores típicos).

Page 223: Heiskanen

El error individual εp de la anomalía gravimétrica en un punto P cuyas coordenadas son y λ, se denota por

medio de

,

La totalidad de estos errores en todos los puntos de la esfera obviamente forma una función de y λ. La función de

covarianza de los errores según (1-59a) y (7-57), esta dada entonces por

',',',',, M (7-67)

Como el producto promedio de los errores individuales en dos puntos donde las coordenadas son , λ y ‘, λ‘. La

covarianza de los errores se consideran aquí como una función de las coordenadas esféricas , λ y no como una

función de las coordenadas planares x, y. .

El efecto de estos errores ε ( , λ) en el coeficiente nma , según (7-66), está representado por

ddRnm sin,,4

12

0 0

(7-68)

Donde n es entonces el error individual de nma La varianza de los errores nma , el cuadrado de su error típico, está

obviamente dada por

22 Mm (7-69)

Como el promedio de los 2

individuales. Por tanto, hay que hallar primero 2

. Se tiene que

'''sinsin',',',',16

1

'''sin','','*sin,,16

1

sin,,16

1

2

0 0

2

0' 0'

2

2

0' 0'

2

0 0

2

22

0 0

2

2

ddddRR

ddRddR

ddR

nmnm

nmnm

nm

En este caso se han usado dos teoremas muy conocidos del cálculo integral:

Page 224: Heiskanen

1. Los símbolos que denotan las variables de integración en una integral definida no tienen importancia;

pueden sustituirse por cualquier otro símbolo. En este caso, , λ se han sustituido por ‘, λ‘en la segunda

integral.

2. Los productos de las integrales definidas pueden escribirse como una integral múltiple.

Ahora se calcula el promedio de la última ecuación para obtener el error típico m según (7-69). Se tiene que

'''sinsin',',',',,16

12

0 0

2

0' 0'

2

2 ddddRRm nmnm

El símbolo M se colocó dentro de la integral porque M, por su definición como el promedio sobre la esfera unitaria,

es en realidad una integral doble, y el orden de las integrales con límites finitos fijos puede intercambiarse.

La definición (7-67) finalmente proporciona

'''sinsin',',',',,16

12

0 0

2

0' 0'

2

2 ddddRRm nmnm (7-70)

Esta es la fórmula deseada para el error típico del coeficiente esférico armónico nma Si se desea el error típico del

coeficiente nmb , sencillamente hay que sustituir nmR por la función correspondiente nmS .

Esta fórmula resuelve así un problema específico de propagación de errores en los cálculos gravimétricos. Al igual

que (7-66), es una fórmula integral. La función de covarianza de los errores interviene en una forma básica; de

esta manera se ve la importancia fundamental de para la propagación de errores. Si se conoce la función de error,

entonces será posible hacer la evaluación de la integral (7-70) sin dificultades teóricas usando, por ejemplo, una

integración numérica.

Se obtendrá un resultado particularmente sencillo si a la función de error se le aplican dos hipótesis:

1. Sólo los errores de puntos vecinos estarán correlacionados significativamente; más allá de cierta distancia

no hay correlación alguna.

2. La precisión es la misma para todos los puntos de la superficie terrestre.

Analicemos lo que significan estas hipótesis en la práctica. Las principales faltas de precisión de las anomalías

gravimétricas son causadas por la interpolación. Si se pasan por alto los otros errores, entonces se podría calcular la

función de covarianza de los errores mediante las fórmulas de la sección anterior. La primera hipótesis es natural

dado que en una red gravimétrica razonablemente densa, los errores de interpolación en aquellos puntos que se

encuentran bastante separados prácticamente no están correlacionados. La segunda hipótesis es valida para el caso

ideal de un cubrimiento uniforme de mediciones gravimétricas en toda la tierra. Sencillamente establece que la

precisión es la misma en todos los puntos; sin embargo, la precisión puede ser diferente en las diferentes direcciones,

como es el caso de las mediciones para perfiles.

Page 225: Heiskanen

El punto crucial que. permite simplificar drásticamente la integral cuádruple (7-70) es que, según la hipótesis 1, el

integrando puede ser significativamente diferente de cero solamente si ‘= y λ‘= λ, porque la función de error para

dos puntos distantes es cero. Por consiguiente, es posible hacer una aproximaci6n (7-70) por

'''sinsin,',',,16

122

0 0

2

0' 0'

2

2 ddddRm nm

y realizar primero la integración sobre ‘ y λ‘. Si se fija

2

2

0' 0'

'''sin',',,R

Sdd (7-71)

(R = 6371 km.); de acuerdo con la hipótesis 2, esto será una constante independiente de la posición. La cantidad S se

llamará la constante de error en la Sección 7-9 se mostrará una forma práctica de calcularla y se darán valores

numéricos.

Luego, la fórmula para 2m se convierte en

ddRR

Sm nm sin,

16

22

0 0

22

2 (7-72)

Según la ecuación (1-74), la integral es 4π, de manera que finalmente se obtiene el resultado sencillo

2

2

4 R

Sm (7-73)

donde m es el error típico de cualquier coeficiente nma . Para nmb hay que reemplazar la función nmR por nmS , que

obviamente da el mismo resultado.

Por consiguiente, los errores típicos de todos los coeficientes completamente normalizados nma y nmb son

iguales y están dados por (7-73).

Luego se calcula la covarianza de los errores de dos coeficientes esféricos armónicos diferentes nma y pqa .

El error individual de nma está dado por (7-68); el error individual * de pqa es

'''sin','','4

1*

2

0' 0'

ddRpq

Page 226: Heiskanen

La covarianza de los errores de nma y pqa se define como

.*, Maa pqnm

Si se repite el procedimiento que da (7-70) como resultado se hallará que

'''sinsin',',',',,16

1,

2

0 0

2

0' 0'

2ddddRRaa pqnmpqnm

En lugar de (7-72) ahora se tiene que

ddRRR

Saa pqnmpqnm sin,,

16,

2

0 0

22

Dada la ortogonalidad de dos armónicos esféricos diferentes, esto es cero. .

Se hubiera obtenido el mismo resultado sustituyendo pqR por pqS para obtener la covarianza de los errores entre

los coeficientes nma y pqb . Por consiguiente, ninguno de los coeficientes nma y nmb están correlacionados.

En realidad, estos resultados sencillos solamente tienen validez cuando es factible la sus titución aproximada

que permite pasar de (7-70) a (7-72).

Como puede verse, en el caso de los armónicos esféricos de grado n muy alto no se cumple, pero es válido para los

armónicos de grado más bajo, que son los de mayor interés geodésico.

Con estos resultados, es posible calcular fácilmente la precisión de los coeficientes nmJ y nmK del potencial

gravitacional V (Moritz, 1964a).

7-8. Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas a Partir de las Anomalías

Gravimétricas .

Este problema dio origen a la aplicación de las técnicas estadísticas a la geodesia gravimétrica. Dos trabajos básicos

(de Graaff-Hunter, 1915; Hirvonen, 1956) tratan este tema a fondo. El segunda de ellos dio lugar a un intenso

desarrollo moderno. .

Hay que volver a considerar una red gravimétrica idealizada que sea tanto uniforme como homogénea sobre toda la

tierra para estudiar la precisión de la ondulaci6n geoidal N que puede obtenerse con dicha red gravimétrica. Este es

un aspecto importante porque el resultado indica cómo debe planificarse un levantamiento gravimétrico para lograr

una determinada precisión para N. Por lo tanto se trata en detalle en varios trabajos: de Graaff-Hunter (1935), Kaula

(1957)~ Groten y Moritz (1964).

Por ello se estudiará la propagación de errores en la fórmula de Stokes.

Page 227: Heiskanen

ddSgG

RN sin,

4

2

0 0

Esto se hace en una forma muy similar a la sección. anterior. El error individual de N está dado por

;sin,4

2

0 0

ddSG

R

y su cuadrado se convierte en

ddSG

Rsin,

4

2

0 0

2

2

ó

'''sin'','

2

0' 0'

ddS

'''sinsin'',',4

2

0 0

2

0' 0'

2

2 ddddSSG

R

Si se calcula el promedio M de ambos lados de esta ecuación se halla que

'''sinsin'',',,4

2

0 0

2

0' 0'

2

2 ddddSSG

Rm (7-74)

Aquí m es el error típico de N y ',',, es la función de error de las anomalías gravimétricas. Esta es la

fórmula general para la propagación de errores de la fórmula de Stokes. Es válida para una forma arbitraria de la

función de error

Esta ecuación puede simplificarse drásticamente una vez más aplicando las dos hipótesis - ninguna

correlación de errores más allá de cierta distancia pequeña y precisión uniforme - que se mencionaron en,.la sección

anterior. Se aplicae1 mismo truco que con la ecuación (7-70). Se fija

SS ' y luego se efectúa la integración sobre '

Usando la constante de error S según (7-71) se obtiene

Page 228: Heiskanen

ddSG

Sm sin

16

2

2

0 0

22

2

La integración con respecto a puede efectuarse ahora enseguida; finalmente se obtiene

dSG

Sm sin

8

2

0

2

2

Esta fórmula es muy sencilla pero lamentablemente no es válida en esta forma; de hecho el valor que proporciona es

. La razón es que si se reemplaza 'S por S en una forma aproximada hay que suponer que para '

también se tiene que SS ' . Esto no es cierto en la vecindad del origen 0 porque S aumenta

rápidamente y es, en efecto, discontinuo en el origen: 0siS

Por consiguiente hay que excluir el origen empezando la integración en 0

( 0 pequeño) en lugar de 0 :

dSG

Sm sin

8

2

2

2

0

(7-75)

Luego hay que considerar la pequeña vecindad de 0 de otra forma, para lo cual el lector podrá referirse a

Groten y Moritz {1964).

La integral (7-75) puede evaluarse de diversas maneras. Una de las posibilidades es tomar las funciones

S y sinS de las tablas de Lambert y Darling (1936), a las que se hace referencia en el capítulo 2, y

calcular la integral por integración numérica. En el trabajo de Groten y Moritz antes citado se ha tabulado la integral

dS sin2

0

calculada de esta forma para ciertos valores de 0 . También hay una fórmula cerrada para la integral dada en

Molodenskii et al., (1962, pág. 157), pero es un tanto complicada.

Los valores numéricos de la Tabla 7-3 se calcularon a base de los resultados , particularmente para la

constante de error S, de la siguiente sección. También incluyen la zona central, 0

que se excluye de (7-75), y

que corresponde a aquellos casos en que hay un punto situado arbitrariamente, o una medici6n grav imétrica central

del perfil este-oeste en cada bloque de l° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° ó 10° x 10°, sobre toda la superficie de la tierra.

Bloque l° x 1° 2° x 2° 5° x 5° . 10° x 10°

Page 229: Heiskanen

Punto 5.1 5 13 25

Perfil 2.1 3 7 9

Cabe hacer aquí un último comentario acerca de la constante de error S, la cual no debe confundirse con la función

de Stokes S , en problemas generales de propagaci6n de errores. Supóngase que la función de covarianza de los

errores ',',, satisface las hipótesis 1 y 2 de la sección anterior y que se puede aplicar el truco de

reemp1azar ',' por , en parte del integrando. Esto es posible si la parte específica del integrando cambia

lenta y continuamente con y , que son los casos que se han tratado en las últimas dos secciones. Luego la

función de covarianza de los errores solamente entra en la fórmula de propagación de errores por la constante de

error S, la cual puede calcularse una sola vez para todos y es independiente del problema específico de la

propagación de errores. Por tanto, la función central de S es obvia.

7-9. .Precisión de las Anomalías Medias

La anomalía gravimétrica media de un bloque rectangular AB C D, cuyos lados son a y b, está expresada por

a

x

b

y

dydxyxgab

g0 0

,1

(7-76)

(Fig.7-5). Esta fórmula inflexible da por sentado que la anoma1fa gravimétrica g está dada en todos los puntos (x,y)

dentro del rect~ngulo ABCD.

En la practica solo se ha medido g en unos cuantos puntos dentro del rectángulo; el problema es estimar

la anomalía media g a partir de estas mediciones. Una manera es interpolar o predecir g en todos los demás

puntos del bloque según los métodos de 1a Sección 7-5 y ca1cular g a partir de estas anomalías de punto

estimadas g mediante la fórmula (7-76).

Figura 7-5

La Anomalía Media de un Rectángulo.

Page 230: Heiskanen

También puede usarse una forma más directa. Análogamente a (7-47), es posible aproximar g mediante

una combinación lineal de los valores medidos

:,, 21 nggg

n

i

iinn ggggg1

2211

~ (7-77)

como es evidente, e1 error del valor pronosticado g~

es a diferencia

n

i

ii gggg1

~~ (7-78)

Si se eleva al cuadrado, se obtiene

ki

n

i

n

k

ki

n

i

ii ggggg1 11

22 2

Para hallar el error típico m de la anomalía media estimada, se forma el promedio M, obteniendo así

ik

n

i

n

k

ki

n

i

ii CCCm1 11

2 2 (7-79)

La cantidad ikC se define mediante (7-54); la cantidad

2gMC (7-80)

es el cuadrado medio de la anomalía media del bloque g o su varianza; y

ggMC ii (7-81)

es la covarianza entre el punto ig y la anomalía media g

Estas cantidades pueden expresarse en términos de la función de covarianza C(s). Al insertar (7-76) en (7-80) y

aplicar la definición. (7-5) de la func16n de covarianza, se obtiene fácilmente

Page 231: Heiskanen

''''1 22

0 0 0' 0'22dydxdydxyyxxC

baC

a

x

b

y

a

x

b

y (7-82)

En forma similar

a

x

b

yi dydxyyxxC

abC

0 0

22''

1 (7-83)

donde ii yx , son 1as coordenadas del punto donde se mi de ig .

Si sólo hay una anomalía gravimétrica medida 1g en el b1oque, la fórmula de predicci5n (7-77) se

convierte en:

1

~gg (7-84)

y la ecuac16n (7-79) se simplifica a

oi CCCm 22 2 (7-85)

donde se ha fijado 001 CCy .

El i en (7-77) Y el en (7-84) pueden escogerse de diferentes maneras.

El caso más senci1lo es el de representación directa, 11 . Se hace una aproximación, o representación, directa de

la anomalía media E9 por medio

de la anomalía medida 1g . La ecuación (7- 84) se convierte entonces en

1

~gg (7-86)

y (7-85) se reduce a

oi CCCm 22 (7-87)

La ecuaci6n (7-87) depende de la posición ii yx , de la estación gravimétrica por medio de 1a 1C ecuación (7-83) .

También resu1ta útil considerar la varianza del error promedio 2m para una situación arbitraria de

la observaci6n gravimétrica dentro del cuadrado:

a

x

b

ydydxyxm

abm

01 011111

22 ,1

(7-88)

Si se calcula el promedio (7-87) hay que tener presente que como C y 0C son constantes no sufren cambios,

mientras que el promedio de 1C pasa a ser

Page 232: Heiskanen

CdydxCab

a

x

b

y01 01111

1

Esto se ve enseguida al comparar (7-82) y (7-83).

Por tanto, sencillamente se obtiene

CCm 0

2 (7-89)

Hirvonen (1956), el autor de esta fórmula, la escribió en una forma especialmente elegante e instructiva:

2

1

2

0

2 GGEi (7 – 89‘)

En ella usó sE para el error (típico) de representación. El símbolo sG es la anomalía gravimétrica media de la raíz

media cuadrática de un bloque cuyo lado es s (usó bloques cuadrados donde a = b = s); lo cual resulta dela definición

(7-80), 2

sGC Por consiguiente, sG es la anomalía media cuadrática de punto que puede considerarse como una

anomalía media de un bloque cuyo lado s = 0; según nuestra notación 0

2 CGo .

Las fórmulas anteriores pueden aplicarse a otros métodos de predicción asumiendo diferentes valores de

i . Los valores de i que minimizan 2m ecuación (7-79), pueden hallarse fácilmente (predicción mínimo-

cuadrática).

Todo esto se efectúa a lo largo de líneas similares a las de las Secciones 7-5 y 7-6.

Las generalizaciones y ampliaciones son obvias. Además de las varianzas de los errores 2m , también

pueden considerarse las varianzas de los errores de diferentes bloques. Estas pueden usarse para calcular la constante

de error S mencionada en las secciones anteriores. Otra ampliación comprende observaciones de perfiles, en donde la

gravedad se mide a 10 largo de perfiles en lugar de estaciones de punto. No obstante, como no es el propósito de este

libro incluir dichos temas, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1964b).

Resultados Numéricos . Sólo se darán algunos valores numéricos del libro de Moritz (1964b) con su

explicación correspondiente pero sin f6rmu1as detalladas. Básicamente, las varianzas de los errores 2m de (7-85), y

las covarianzas correspondientes, se calcularon con diferentes . Este es el caso donde hay una sola estación

gravimétrica en cada bloque. Hay una serie similar de fórmulas para las varianzas y covarianzas de los errores para

un perfil gravimétrico medido en cada bloque; también estas fórmu1as se evaluaron. Las integracione s se realizaron

sobre la base de las covarianzas estimadas C de la Tabla 7-1, usando una computadora electr6nica. El autor usó

bloques de 1° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° y 10° x10° en una latitud de 45o, de manera que un bloque de 10° x 10° es un

rectángulo de 1112 km x 788 km.

La Tabla 7-4 muestra las varianzas y covarianzas de los errores para observaciones gravimétricas de puntos.

El primer valor de la línea superior de cada sección (para anomalía cero, representaci6n, etc.) es la varianza de los

errores; el segundo valor de la línea superior de cada sección es la covarianza de los errores entre un bloque y su

vecino al este (u oeste); el tercer valor de cada línea superior es la covarianza de los errores entre dos bloques que

tienen la misma latitud y que están separados por otro bloque, etc. De manera que la posición relativa de cualesquier

dos bloques que se estén considerando estará representada directamente por el lugar que ocupa su covarianza en la

tabla.

Tabla 7-4

Var1anzas y Covar1anzas de los Errores (mgal s2). Observaciones de Puntos

Page 233: Heiskanen

El significado de la anomalía cero ( = O) Y de la representación ( =1) está claro. El "error típico mínimo"

corresponde al valor de que minimiza a 2m (7-85) :

0

1

C

C (7-90)

la "constante mínima de error" se refiere al que minimiza la constante de error S.

Para estos primeros cuatro ítems se dio por sentado que la estación gravimétrica estaba en el centro de cada

bloque. El último ítem, ―representación promedio" se refiere a una posición aleatoria de la estación gravimétrica

dentro del bloque. Las varianzas correspondientes de los errores se expresan por medio de (7-89), mientras que la

varianza de los errores para la ―representación‖ está dada por (7-87).

La Tabla 7-5 muestra los resultados análogos con respecto a 1a precisión de las mediciones gravimétricas

para perfiles. ―Representación‖, ―error típico mínimo‖ y ―constante mínima de error‖ se refieren a perfiles de este a

oeste espaciados uniformemente a través del centro de cada bloque, mientras que "representación promedio"

corresponde a una posición aleatoria del perfil este-oeste dentro del bloque.

Tabla 7-5

Varianzas y Covarianzas de los Errores (mgals2).Observac1ones de Perfiles

Page 234: Heiskanen

Las varianzas son obviamente más pequeñas en el caso de una estación. gravimétrica o un perfil situado

centralmente. Son más. grandes para otros casos de observaciones. Esto puede apreciarse al comparar

"representación", que se ref1ere.al caso central, con ―representación promedio‖, donde se determina el promedio de

las observaciones distribuidas en todo el bloque. N6tese que para bloques más grandes, la ubicación de las

observaciones tiene menos influencia.

Tabla 7-6

Constantes de Error S/R2(mgal s

2)

Page 235: Heiskanen

Finalmente, la tabla 7-6 muestra las constantes de. error correspondientes, o más bien las cantidades S/R2,

donde R = 6371 km.

[

Estas tablas muestran que los diversos métodos de estimación difieren significativamente en cuanto a la

precisión y a la correlación de errores. El ―error típico mínimo‖ tiene una corre1ación de errores bastante grand e, de

manera que no es lo mejor en lo que se refiere a la propagación de errores. Esto lo demuestran claramente las

constantes. de error de la Tabla 7-6; en la sección anterior pudo observarse que la constante de error S, y no el error

típico m, es el factor importante en la propagación de errores. De manera que en general debería minimizarse la

constante de error en lugar del error típico, pero los resultados de la representación d1recta ( =1) son casi

igualmente buenos. El "error típico mínimo" es

notablemente inferior con respecto a la propagación de errores. Produce un demasiada pequeño; si < 1 se

interpreta como un promedio ponderado de 1a anomalía observada y 1a anomalía cero, entonces se 1e está asignando

demasiado peso a 1a anomalía cero, 1a cua1 tiene una corre1ación a1ta .

7-10. Correlación con la Elevación

Hasta el momento sólo se ha tomado en cuenta la correlación mutua de las anomalías gravimétricas, su

autocorrelación, pasando por alto la correlación con la elevación que en muchos casos es importante. Por

consiguiente, nuestras fórmulas sólo son válidas para las anomalías gravimétricas que no están correlacionadas con

la elevación, como las isostáticas o hasta cierto punto las anomalías de Bouguer; o para las anomalías de aire libre en

áreas de relativamente planas. las anomalías aire libre en montañas deberán tratarse en una forma diferente .

la figura 7-6, según Uotila (1960), muestra la correlación de las anomalías de aire libre con la elevación.

Allí, se trazaron las anomalías gravimétricas g en comparación con la elevación h. Si hubiera una dependencia

funcional exacta entre g y h, entonces todos los puntos estarían en una recta (o, como es el caso general, en una

curva). En realidad solamente hay una relación funcional aproximada, una tendencia general de las anomalías de aire

a aumentar proporcionalmente con la elevación; puede haber excepciones, algunas veces hasta grandes. Es to muestra

claramente el significado de la correlación.

la correlación mutua de las anomalías gravimétricas está representada por la función de autocovarianza (7-5),

'ggMsC

donde 'PPS Asimismo pueden formarse las funciones

hgMhgMsB '' ( 7 -91 )

que expresan la correlación entre la gravedad y la elevación, y

'hhMsA , ( 7 -92 )

que es la función de autovarianza de las diferencias de elevación

hMhh ; ( 7 -93 )

el símbolo M{h} denota la elevación media de toda el área considerada.

Si g y h no están correlacionadas, entonces la funci5n B(s) es idénticamente cero. De no ser este el caso, entonces

también hay que tomar en cuenta la elevación en la interpolación.,

Es fáci1 ampliar la fórmula de predicción (7-47) con este fin. Si las predicciones se limitan a aquellas que son

lineales tanto en h como g , es posible escribir

hphiPigiPipg~ (7-94)

donde los coeficientes Pi , Pi , y no dependen de g ni de h .

Page 236: Heiskanen

Figura 7-6

Correlación de las Anomalías de Aire Libre con la Elevación.

Según la terminología estadística, esto equivale a eliminar la tendencia (con respecto a la elevación) por una

regresión lineal. En forma similar, (7-47) es una fórmula autorregresiva.

El error de predicción es

i

i

PiiPiPPPPP hghggg ~

Si se eleva al cuadrado y se halla el promedio de la forma usual, se obtiene

i k

ikPkPiik

i i i k

PkPi

k

ikPkPiPiPi

Pi

i

Pi

i

PiPiPiooP

ACA

CABCm

22

222 0

22

(7-95)

donde

A0 = A(0), B0 = B(0), C0 = C(0),

Api = A(Pi), Bpi, = B(Pi), Cpi = C(Pi),

Aik = A(ik), Bik = B(ik), Cik = C(ik);

siendo P el punto en el que se va a predecir g , y i o k denotan las estaciones gravimétricas conocidas.

Esta fórmula, la cual evidentemente, es una ampliación de (7-56), da como resultado el error típico de

predicción si se toma en cuenta la correlación con' la elevación. Resulta fácil hallar una fórmula para la función de

covarianza de los errores, generalizando (7-60), y las fórmulas matriciales correspondientes a (7-63) usando (7-65)

para una predicción mínimo-cuadrática que minimice (7-95); refiérase al trabajo de Moritz (19 63 ) . Cabe hacer

notar que en estas fórmulas intervienen las funciones A, B y C pero ninguna otra cant1dad estadística.

Aplicación de las Anomalías de Bouguer. El asunto de que si es posible lograr que las anomalías de aire libre sean

independientes de la elevación agregando un término que sea proporcional a la elevación es de suma importancia. En

otras palabras, ¿en qué momento 1a cantidad

Page 237: Heiskanen

hbgz (7-96)

con un coeficiente b determinado, no tiene correlación alguna con la elevación?

La forma de z es 1a de una anoma1ía de Bouguer; para una verdadera anomalía de Bouguer, según la

sección 3-3, se tiene

Pkb 2 ( 7 -97 )

si la densidad = 2.67 g/cm3, entonces

/112.0 mgalb (7-97 ‘)

La funci6n de covarianza Z(s) de la ―anomalía de Bouguer" (7-96) con la elevac16n se forma de la siguiente manera:

sAbsBhhbhgMhzMsZ '''

Si z ha de ser independiente de h, entontes Z(s) deberá ser idénticamente cero. La condición es

0sAbsB ( 7 -98 )

la cual debe satisfacerse para todas las s y cierta constante b.

Vemos que la ―anomalía de Bouguer‖ z no está correlacionada con la elevación si las funciones A(s) y B(s)

son proporcionales para el área considerada luego, la constante b está representada por

sA

sBb (7-99)

Puede mostrarse que esto equivale a la condición de que los puntos de la figura 7-6 deben estar situados más

o menos en línea recta y no en alguna otra curva. Luego, el coeficiente b estará dado por

tanb (7-100)

como la inclinación de la línea hacia el eje h.

En la práctica estas condiciones se cumplen a menudo bastante bien; y, además, si se calcula b a partir de la

ecuación (7-99) o se determina gráficamente por medio de (7-100), se obtiene un valor que se aproxima bastante a la

gradiente normal de Bouguer (7-97‘).

Si se da por sentado que b depende solamente de la densidad de la roca , entonces se dispondrá de un

medio para determinar 1a densidad promedio que muchas veces es difíci1 medir di rectamente. Este es el "método de

Nett1eton", el cual se usa para la prospección geofísica: el coeficiente b se determina estadísticamente mediante las

ecuaciones (7-99) o (7-100), y 1uego se calcula 1a densidad de la roca a partir de (7 - 97) . La figura 7-7 ilustra el

principio de este método; véase también el trabajo de Jung (1956, Pág. 600).

Page 238: Heiskanen

Figura 7-7

Las anomalías de Bouguer que corresponden a diferentes densidades . La mejor densidad es = 2.4 g/cm3 ninguna

correlación); para otras densidades, las anomalías de Bouguer están correlacionadas con la elevación (correlación

positiva para = 2.2, correlación negativa para = 2.6).

Si se cumple 1a condición (7-98) ,-entonces la ―anoma1ía de Bouguer‖ z podrá considerarse una anomalía

gravimétrica que no tiene correlación alguna con la elevación; se le puede aplicar directamente la teoría completa de

las secciones anteriores. Pero aun cuando no se cumpla esta condición totalmente, las anomalías de Bouguer

generalmente están mucho menos correlacionadas con la elevación que las anomalías de aire libre. El hecho de que

en (7-96), la gravedad se reduce a una elevación media y no al nivel del mar, no tiene, importancia en este respecto

puesto que es literalmente cuestión de una constante aditiva. Desde este punto de vista estadístico el elemental,

también puede hacerse caso omiso de tales refinamientos como, las correcciones del terreno, etc.

Por eso es posible considerar la reducción de Bouguer como un medio para obtener aquellas anomalías

gravimétricas que dependen menos de la elevación y que por tanto son más representativas que las anomalías de aire

libre. Más específicamente, las anomalías de Bouguer toman en cuenta la dependencia en las irregularidades locales

de la elevación. Además, las anomalías isostáticas también son, en gran medida, independientes de las características

regionales de la topografía. Véase también el Capítulo 3.

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METODOS MODERNOS PARA DETERMINAR LA CONFIGURACION DE LA TIERRA

8-1. Introducción

En los capítulos anteriores se uti1izó 1o que podría 11amarse e1 en foque conservador a los prob1emas de la

geodesia física. Las mediciones geodésicas -- coordenadas y azirnuts ,astronómicos ,ángu1os horizonta1es,

observaciones gravimétricas, etc. -- se reducen a1 geoide, y el "prob1ema de los valores límites geodésicos" para el

geoide se resuelve por medio de la integra1 de Stokes y fórmu1as similares. Luego e1 geoide sirve de base para

establecer la posición de puntos de 1a superficie terrestre.

La ventaja de este método es que el geoide es una superficie de nivel, capaz ,de definirse sencillamente en

términos del potencial W, físicamente significativo y geodésicamente importante. El geoide representa la

formulación matemática más obvia de una superficie horizontal a nive1 del mar. Es por ello q ue el uso del geoide

simplifica los problemas qeodésicos y los hace comprensibles a la intuición geométrica.

La desventaja es que el potencial W en el interior de la tierra y, por tanto, el geoide W = const., depende de

la densidad debido d la ecuación de Poisson (2-6).

224 wkW

Page 240: Heiskanen

Por consiguiente, para determinar o usar el geoide, hay que conocer la densidad de las masas en todos los puntos

entre geoide y el terreno. por lo menos teóricamente. Obviamente esto es imposible y por ende hay que hacer algunas

hipótesis acerca de la densidad, lo cual teóricamente no resulta satisfactorio, aun cuando la influencia práctica de

estas hipótesis sea, por lo general, muy pequeña.

Por esta razón fue de suma importancia que Molodensky mostrara en 1945 que la superficie física de la

tierra podía determinarse a partir de mediciones geodésicas solamente sin usar la densidad de la corteza terrestre.

Esto dio lugar a que se abandonara el concepto del geoide. La formulación matemática se vuelve más abstracta y más

difícil. Tanto el método gravimétrico como el astrogeodésico pueden modificarse para este propósito. Las anomalías

gravirnétricas y 1as desviaciones de la vertical están ahora

referidas al terreno y no al nivel del mar; las ―anomalías de altura‖ a niveles del terreno toman el lugar de las

ondulaciones geoidales.

Estos adelantos recientes han ampliado considerablemente nuestros conocimientos de los principios de la

geodesia física y han introducido a la vez nuevos métodos efectivos para abordar los problemas clásicos. Por

consiguiente, su importancia teórica básica casi no se ve disminuida por el hecho de que muchos científicos

prefieren retener el geoide por sus ventajas conceptuales y prácticas.

En este capítulo se hará primero un estudio conciso de la determinación convencional del geoide por medio

de reducciones de la gravedad para poder comprender mejor las ideas modernas. Después de exponer la teoría de

Molodensky, se mostrará como pueden aplicarse los métodos nuevos a los problemas clásicos tales como la

reducción de la gravedad o la determinación del geoide.

Cabe mencionar que los términos "moderno" y "convencional" se utilizan meramente como rótulos

convenientes; no pretenden dar a entender ni valores ni preferencias.

8-2. Reducciones de la Gravedad y el Geoide

Las integrales de Stokes y de Vening Meinesz, así como otras fórmulas similares dan por sentado que e1 potencial de

perturbación T es armónico en el geoide, lo cual significa que no hay masas fuera de éste. Esta hipótes is – ninguna

masa fuera de 1a Superficie delimitadora -- se hace necesaria si se desea tratar cualquier problema de geodesia física

como un problema de valores límites de acuerdo con 1a teoría del potencial. La raz6n es que; los problemas de

valores límites de 1a teoría del potencial requieren siempre funciones armónicas, es decir, so1uciones de la ecuación

de Laplace.

0T

Se sabe, por ejemplo que la determinación de T o N a partir ,de las anomalías gravimétricas g puede considerarse

como un tercer problema de valores límites: véase la Sección 2-13.

Page 241: Heiskanen

Como hay masas fuera del geoide, es necesario transferirlas hacia el interior del geoide o eliminarlas

completamente, antes de que pueda aplicarse la integral de Stokes o las fórmulas relacionadas. Este es el propósito

de las diversas reducciones de 1a gravedad . Estas se explicaron extensamente en e1 capítulo 3; por lo tanto,

podemos limitarnos a señalar aquellas características teóricas que son pertinentes a nuestra problema actual.

Si las masas externas , las masas fuera del geoide, se eliminan o transfieren a su interior, la gravedad

cambiará. Además, la gravedad se observa a nivel del terreno pero se necesita con respecto al nivel del mar. Por

consiguiente, la reducción de la gravedad requiere que se tomen en cuenta estos deo efectos para obtener así valores

límites en el geoide.

Esta llamada regularización del geoide que elimina las masas externas lamentablemente cambia también las

superficies de nivel y por lo tanto el geoide en general. Este es el efecto indirecto; el geoide modificado se conoce

como cogeoide o geoide regularizado.

El principio de este método puede describirse de la siguiente manera (Jung, 19S6, pág. 578); véase la figura

8-1.

1. Las masas fuera del geoide se eliminan totalmente o se transfieren a su interior por medio de cálculos. Hay

considerar e1 efecto de este procedimiento en e1 valor de la gravedad, g, en la estación P.

2. La estación gravimétrica se traslada desde P hacia el geoide al punto Po Nuevamente se considera el efecto

correspondiente en la gravedad

3. El efecto indirecto, la distancia PoPcN , se obtiene dividiendo el cambio en potencial en el geoide, W ,

por la gravedad normal (teorema de Bruns):

WN (8-1)

4. Luego, la estación gravimétrica se traslada desde el punto geoidal Po hacia el geoide, PC. Esto proporciona el

valor límite de la gravedad en el cogeoide, cg

5. La forma del cogeoide se calcula a partir de las anomalías gravimétricas reducidas

cc gg (8-2)

Page 242: Heiskanen

por medio de la fórmula de Slokes la cual da corno resultado PC

c QN

6. Por último el geoide se determina tomando en cuenta el efecto ind irecto. La ondulación geoidal N se obtiene,

por lo tanto, así

NNN cc (8-3)

A primera vista, podría parecer que las masas entre el geoide y el cogeoide ;tienen qu e1 eliminarse si se da el caso

de que el cogeoide se encuentra por debajo del geoide, puesto que 1a fórmula de Stokes se aplica al cogeoide. Sin

embargo, esto no es necesario y no hay que preocuparse por un ―efecto indirecto secundario‖. El argumento es un

tanto técnico para incluirlo aquí; véase Moritz (1965, pág. 26).

Figura 8-1

Geoide y Cogeoide

En principio. toda reducción de la gravedad que dé como resu1tado valores límites en el geoide también

resulta apropiada para la determinación del geoide, siempre y cuando se tome debidamente en cuen ta el efecto

indirecto. Por consiguiente la selección de un buen método de reducción deberá hacerse según otros puntos de vista,

ta1es como el significado geofísico de las anomalías gravimétricas reducidas, la sencillez de los cálculos, la

factibilidad de la interpolación entre estaciones gravimétricas, la insignificancia o incluso la ausencia del efecto

indirecto, etc. Véase la sección 3-9

La reducción de Bouguer corresponde a la eliminación comp1eta de las masa externas. En la reducción

isostática, estas masas se desplazan verticalmente hacia debajo de acuerdo con alguna teoría de isostasia. En la

reducción por condensación de Helbert, las masas externas se comprimen para formar capa superficial sobre el

geoide. Según la reducción de Rudzki se transfieren al interior del geoide de manera de manera tal que el potencial

en el geoide, y por lo tanto el geoide mismo, no sufra cambio alguno (sin embargo, las superficies del potencial

externo y del nivel externo si cambian); de manera que no hay efecto indirecto en este caso.

Page 243: Heiskanen

La reducción de Prey y la de aire libre son bastante diferentes. La reduccion de Poincare -Prey (Scccion 4-3)

proporcionan la gravedad real dentro de la tierra; no proporciona los valores límites. La reducción de aire libre, en el

contexto actual, requiere que las masas fuera del geoide sean eliminadas previamente; forma parte de todas las

reducciones de la gravedad al geoide en lugar de ser una reducción independiente. En la sección 8-10 se tratará otro

aspecto de este problema.

1Es posible hallar en la publicación de Moritz (1965, Sección 4) la demostración formal basada en la transformación

de cierta ecuación integral.

En todos los métodos de reducción es necesario conocer la densidad de las masas encima del geoide. En la prác tica

esto requiere algún, tipo de hipótesis -- suponer, por ejemplo, que = 2.67 g/cm3. En 1a reducci6n de aire libre por

1o general se hace una segunda hipótesis la cual -s parte de la reducción de la gravedad al geoide: se da por sentado,

que la gradiente rea1 de la gravedad de aire libre es igual a la gradiente normal

metromgalh

/3086.0

Estas dos hipótesis adulteran los resultados, teóricamente al menos (Moritz, 1962).

Es posible evitar esta segunda hipótesis usando la gradiente real de a ire libre tal como se calcula por medio

de los métodos indicados en la Sección 2-23. Las anomalías g que se usan en la fórmula (2-217) tienen que ser las

anomalías gravirnétricas reducidas en el geoide: la gravedad g después de los pasos 1 y 2 de la descripción anterior,

menos la gravedad teórica en el elipsoide. Esto supone que en el paso 2 se ha ap1icado primero una reducción

preliminar de aire libre usando la gradiente normal.

Desviaciones de la Vertical. El efecto indirecto influye tanto en la desviación de la vertical corno en la

altura geoidal. Se halló que

NNN C

donde CN es la ondulación del cogeoide, el resultado inmediato de la f6rmula de Stokes, y N es el efecto

indirecto. Al diferenciar N en una dirección horizonta1 se obtiene la componente de desviación a lo largo de

dicha dirección:

Page 244: Heiskanen

s

N

s

N

s

N C

(8-4)

Esto significa que se deberá agregar al resultado inmediato de la fórnlu1a de Vening Meinesz, SN C / , un

término que representa 1a derivada horizontal de; véase también la Sección 3-6.

En el caso de la reducción de Rudzki, donde e1 donde el efecto indirecto es cero, la fórmula de Vening Meinsz

proporcionará desviaciones de la vertical que estarán directamente referidas al geoide.

8-3. El Problema de Molodenski

Acaba de verse que la reducción de 1a gravedad a nivel del mar requiere que se hagan ciertas hipótesis con respecto

a 1a densidad de 1as masas arriba del geoide. Esto también es cierto en e1 caso de otros cá1culos geodésicos cuando

se 11evan ,a cabo según 1os métodos convencionales.

Para despreciar esto, considérese el problema de calcular las coordenadas geodésicas h,, , a partir de las

coordenadas naturales H,, , según se describe en el Capítulo 5. La altura geométrica h sobre el elipsoide se

obtiene el partir de la altura ortométrica H sobre el geoide y la ondulación geoidal N usando

h = H + N.

La determinacion de N se explicó el la sección anterior. Para ca1cular H a partir de los resultados de 1ª nivelación, es

necesario conocer la gravedad media g a lo largo de la línea de plomada entre el geoide y el terreno (Sección (4-4).

Como la gravedad g no puede medirse dentro de la tierra, se calcula dentro de la reducción de Prey para lo cual hay

que conocer la densidad de las masas arriba del geoide.

Las coordenadas geodésicas y se obtienen a partir de las coordenadas, astronómicas y las componentes de

la desviación y ; usando

sec,

Las coordenadas y se miden en el terreno; y pueden calcularse con respecto al geoide usando la la fórmula

de Vening Meinsz, tomándose en cuenta el efecto indirecto de acuerdo con la sección anterior. Para aplicar las

fórmulas anteriores, hay que reducir bien sea y al geoide o y hasta el terreno. En ambos casos esto

requiere la reducción de la curvatura de la línea de plomada (Sección 5-6), que también depende del valor medio g

según sus derivadas horizontales. Por tanto, también hay que usar aquí la reducción de Prey.

La figura 8-2 muestra los principios geométricos de dicho método. El punto terrestre P se proyecta nuevamente sobre

el elipsoide de acuerdo con el método de Helmert. Sin embargo, la altura geométrica h se determina en este caso

usando

*Hh (8-5)

Page 245: Heiskanen

Figura 8-2

El teluroide. La altura normal H*

y la anomalía de altura

donde se ha sustituido la altura ortométrica H por la altura normal H*, y la ondulación geoida1 N por la

anomalía da altura .

Esto resu1tará c1aro si se considera que la superficie cuyo potencial normal U en todos los puntos Q es igual al

potencial real W en su punto P correspondiente de manera tal que UQ = Wp. Donde los puntos P y Q

correspondientes se encuentran situados en la misma normal del elipsoide. Esta su perficie se llama el teluroide

(Hirvonen 1960,1961). La distancia vertical del elipsoide al teluroide constituye la altura normal H* (Sección 4-5),

mientras que la altura geométrica h es la distancia vertical del elipsoide al terreno. La diferencia entre estas dos

alturas es por consiguiente la anomalía de altura.

*Hh (8-6)

que corresponde exactamente a 1a ondulación geopidal N = h - H que es la diferencia entre la altura geométrica y la

ortométrica.

La altura normal H*, y por consiguiente, el teluroide puede determinarse mediante una nivelación

combinada con mediciones gravimétricas, de acuerdo con la Sección 4-5. Primero se calcula el número geopotencial

de P, C = Wo - Wp, usando

P

dngC0

.

donde g es la gravedad me1ida y dn es el incremento de nivelación. Luego se relaciona la altura normal H* con C

mediante una expresión analítica como (4-44) ,

2

0

sin211*CC

fmfC

H

Page 246: Heiskanen

donde o es la gravedad normal en el punto elipsoidal Qo. Obviamente, H* es independiente de la densidad.

La altura normal H* de un punto terrestre P es idéntica a la altura sobre el elipsoide, h, del punto Q

correspondiente al teluroide. Si 1a función geopotencial W fuese igual a la función potencial normal U de todos los

puntos, entonces Q coincidiría Con P, e1 teluroide coincidiría con la Superficie física del la tierra, y altura normal de

todos los puntos sería a su altura geométrica. Pero en realidad, Wp Up; así pues la diferencia

QhhHh *

no es cero. Esto explica el término "anomalía de altura" para .

Ahora la anomalía gravimétrica se define como

Qgg (8-7)

es la diferencia entre la gravedad real tal como mide en el terreno y la gravedad normal en el teluroide. La gravedad

normal en el teluroide; que se denotará por , se calcula a partir de la gravedad normal en el elipsoide, 0 , mediante

la reducción normal de aire libre, pero ahora se aplica hacia arriba:

2

2

2

0 *2

1* H

hH

hQ

(8-8)

Por ésta razón, las nuevas anomalías gravimétricas (8-7) se conocen como anomalías de aire libre. Está referidas al

nivel del. terreno, mientras que las anomalías gravimétricas convencionales están referidas al nivel de l mar. Por

consiguiente, las nuevas anomalías de aire libre no tienen nada en común con una reducción de aire libre de la

gravedad real al nivel del mar, con excepción del nombre. Hay que tener presente esta diferencia.

Una fórmula directa para calcular en Q sería (2-123),

2

2

0

*3

*sin2121

a

H

a

Hfmf (8-9)

donde 0 es el valor correspondiente en el elipsoide.

La anomalía de altura puede considerarse como la distancia entre la superficie geopotencial W = Wp = const. y la

superficie esferopotencial correspondiente U = Wp = const. en-el punto P. En la .Sección 2-16 esta distancia se

representó por medio de Np, y se halló que la fórmula de Rruns (2-144) también se aplica a esta cantidad. De manera

que para = Np se tiene que

Page 247: Heiskanen

T (8-10)

siendo T = Wp - Up el potencial de perturbación a nivel del terreno, y la gravedad normal en el teluroide.

Puede esperarse que esté relacionada con las anomalías a nivel del terreno g mediante una expresi6n análoga a

la fórmula de Stokes para la altura geoidal N. Esto es en efecto cierto. Sin embargo, el teluroide no es una superficie

de nivel y a cada punto P de la superficie terrestre le corres ponde por lo general una superficie geopotencial W = Wp

diferente. Por tanto, la relación entre g y según la nueva teoría resulta considerablemente más complicada que

para el geoide. El problema comprende una ecuación integral la cual puede resolverse por iteración y donde el primer

término está dado por las f6rmula de Stokes.

Finalmente cabe mencionar que también es posible trazar unas anomalías de altura arriba del elipsoide. Se obtiene

así una superficie idéntica al geoide sobre los océanos dado que allí = N, y se aproxima mucho al

geoide en todas las demás partes. Molodensky denominó esta superficie cuasigeoide. No obstante, no es una

superficie de nivel y no tiene significado físico alguno. Debe considerarse como una concesión a los conceptos

convencionales que requieren una superficie parecida al geoide. Desde este punto de vista, la altura normal de un

punto es su elevación sobre el cuasigeoide, así como la altura ortométrica es su elevación sobre el geoide.

8-4 Ecuaciones Integrales Lineales

En las siguientes secciones se hará so de ecuaciones integrales lineales. Para efectos de esta explicación se hará una

breve introducción intuitiva a las ecuaciones integrales lineales par aquellos lectores que no es en familiarizados con

este tema. Para mayores detalles, refiérase a los tratados convencionales, tales como el de Courant y Hilbert (1953).

Las funciones definidas en la superficie de la tierra son funciones de dos variables (latitud y longitud, por ejemplo).

Para mayor sencillez, no obstante, aquí sólo se tratarán las funcionsede una sola variable; esto es suficiente para una

comprensión general.

Considérese la ecuación

b

asdtttsK )()(,

Se conoce como ecuación integral lineal del primer tipo. Las funciones (s) y K (s, t) (llamada el núcleo de la

ecuación integral están dadas; el problema es determinar la función desconocida u (t) a partir de esta ecuación.

La analogía de esta ecuación integral con el sistema de ecuaciones lineales

112uKn

ij

1 ( i = 1,2 . . . , n)

el cual puede escribirse completamente como:

K12ui + K12u2 + . . . + K12ui = 1

K12ui + K22u2 + . . . + K12ui = 2

.

Page 248: Heiskanen

.

.

Kn1u1 + Kn2u2 + . . . + Knnun = n1

Resulta obvia. Corresponde a :

La integral b

uipara sumar

n

;

las variables s, t hasta los índices i, j.

313

Esto muestra que una ecuación integral lineal puede considerarse análoga a un sistema de ecuaciones lineales.

Asimismo, resulta sencillo aproximarse a la ecuación integral (8-11) pro medio de un sistema de ecuaciones lineales.

El intervalo de integración (a,b) puede dividirse en n partes iguales y aplicar.

h = b – a

n

t1 = a + 2

h t2 = a +

2

3h t3 = a +

2

5h. . . , tn = a +

2

)12( hn

La figura 8 – 3 muestra que la integral puede aproximarse mediante

b

adtttsK )(, K(s, t1)u(t1) h + K (s, t2)u(t2) h + . . . + K (s, tn)u(tn) h

Esto no es más que la aproximación normal de un área mediante al suma de rectángulos; aquí s se considera un

parámetro fijo. Por tanto, la ecuación integral (8-11) se convierte aproximadamente en

h [K(s . t1)u(t2) + K(s . t2)u(t2) +. . . + K(s . tn)u(tn)] = (s)

Si se hace que s sea consecutivamente igual a t1 , t3 . . . , tn se obtiene

h [K(t1 . t1)u(t1) + K(t1 . t2)u(t2) +. . . + K(t1 . tn)u(tn)] = (t1)

h [K(t2 . t2)u(t2) + K(t2 . t2)u(t2) +. . . + K(t2 . tn)u(tn)] = (t2)

.

.

.

h [K(tn . t1)u(t1) + K(tn . t2)u(t2) +. . . + K(tn . tn)u(tn)] = (tn)

al sustituir

h [K(t1 . t2) = Kn . u(t2) = un (t1)= n

el sistema (8 – 13) se convierte en el sistema (8 - 12) o (8-12‘).

Page 249: Heiskanen

Cuando n , el sistema aproximado de ecuaciones lineales (8-13) cambia rigurosamente a la ecuación integral

(9-11). Por consiguiente, una ecuación integral lineal puede considerarse como el límite ( n ) de un sistema de

ecuaciones lineales.

El sistema (8-13) también puede usarse para una solución aproximada de la ecuación integral (8-11); los valores de

u(t) para t = t1, t2. . . tn pueden calcularse resolviendo (8-13) e interpolando para obtener los otros argumentos t (de la

misma manera que en una tabla de funciones).

314

Las ecuaciones integrales lineales del segundo tipo son considerablemente más importantes teórica y prácticamente.

Tienen la forma

u(s) + b

adttutsF )(),)( (s)

De hecho, dicha ecuación integral equivale a un sistema de ecuaciones lineales de la forma

U1 + i

n

i

uK1

12 1

y puede aproximarse de la manera indicada anteriormente,

Como resulta sencillo considerar una ecuación integral lineal como un límite de un sistema de ecuaciones lineales,

se ha escogido este método si bien más adelante las ecuaciones integrales se resolverán en una forma diferente,

usando un proceso iterativo en lugar de hacer una aproximación usando sistemas de educaciones lineales.

8-5 Aplicación de las identidades de Green

Al aplicar la tercera identidad de Green al geopotencial W en la Sección 1 – 6, se desarolló la fórmula (1-34),

-2 W + 2222 yxdS

n

W

t

I

t

I

nw

s (8-16)

22

s l

dr

's

Aquí S representa la superficie física de la tierra; l es la distancia entre un punto fijo P, al cual está referido el primer

término y el tercero, y el elemento variable de superficie dS; n es la normal a la superficie física en dS; en dirección

hacia fuera; W / n es la componente de la normal vectorial de la gravedad a S; el eje z corresponde al eje de

rotación de la tierra; es al velocidad angular; y l‘ es la distancia entre P y el elemento de volumen dv. Los

pequeños cambios de notación resultan obvios.

Page 250: Heiskanen

Esta ecuación, la cual también obtuvo de Graaff-Hunter (1960), relaciona la superficie terrestre S con el potencial W

y su derivada normal W / n. Constituye la formulación matemática más directa del problema de la determinación

gravimétrica de la configuración de la tierra S, en otras palabras, del problema de los valores límites de la geodesia

física según Molodensky. Es por ello importante analizar su significado en detalle.

El geopotencial W en cualquier punto P se obtiene, salvo por una constante aditiva Wo, mediante una nivelación

combinada con mediciones gravimétricas de acuerdo con

W = Wo - P

Og dn

315

La componente normal W/ n del vector de gravedad g se determina midiendo que es la magnitud de g, y la latitud

y longitud astronómicas, las cuales establecen la dirección de g.

Por lo tanto, la única incógnita en (8-16) es la superficie S en sí, puesto que T, T‘, x, y se determinan mediante S y

las coordenadas astronómicas de los puntos en cuestión. Puede suponerse entonces que es posible resolver esta

ecuación con respecto a S de alguna forma. De esta manera puede verse que una cantidad netamente geométrica – o

sea la configuración S--- puede determinarse únicamente a partir de cantidades físicas relacionadas con el campo

gravitacional de la tierra (geopotencial y vector de gravedad).

Hasta el momento se ha supuesto que se conoce la constante W o, la cual puede considerarse como el potencial a nivel

del mar. Tal como se mencionó en la Sección 2-20, está relacionado con la escala lineal de la tierra, véase también

Molodenskii et al, (1962ª,pág. 113). Si Wo sólo se conoce aproximadamente, tal como lo es en la actualidad,

entonces la configuración de la tierra solo se determina hasta un factor escalar. La medición de una sola distancia

(preferiblemente un arco largo) es suficiente para establecer al escala. En principio, no se necesitan otras mediciones

de distancias o ángulos, así como tampoco triangulación o trilateración.

Por tanto, las mediciones geodésicas necesarias y suficientes para la determinación gravimétrica de la superficie

física de la tierra pueden resumirse de la siguiente manera:

1. Mediciones gravimétricas

2. determinación astronómica de la lattiud y longitud

3. nivelación; y

4. medición de una distancia

Esto es por supuesto el mínimo teórico; en la práctica la triangulación y la trilateración resultan sumamente útiles por

la alta precisión relativa que proporcionan.

Linealización. La ecuación básica (8-16) tiene la forma simbólica

F n

WWS ,, = 0;

Page 251: Heiskanen

el problema es despejar S. lamentablemente es una ecuación integral no lineal que no puede resolverse directamente.

Sin embargo, se le puede aplicar el tratamiento normal que se le da a cualquier ecuación no lineal complicada; se

linealiza introduciendo valores aproximados apropiados, de manea que finalmente se obtiene una ecuación lineal ara

la desviación de la solución real de la aproximada. El potencial real W se aproxima así por medio de un potencial

normal U; la solución aproximada de S es el teluroide t. La desviación de W con respecto a U es el potencial de

perturbación Y = W – U, y la desviación de S con respecto a es la anomalía de altura t.

Se procede a la linealización de (8-16). Como W en esta ecuación es una función bastante arbitraria, también se

puede aplicar (8-16) al potencial normal U, obteniendo así,

316

-2 U + 0'

22 2

222

l

dvyxdS

n

U

t

I

t

I

nU

s

si esto se resta de la ecuación original (8-16), se obtiene

-2 T + 0dSn

T

t

I

t

I

nT

s

Esta ecuación es en sí mucho más sencilla que (8-16). Lo esencial es sin embargo, que en esta ecuación la

integración sobre la superficie desconocida S puede sustituirse por una integración sobre el teluroide conocid o ,

obteniendo así.

-2 T + 0dn

T

t

I

t

I

nT

s (8-18)

Esto es posible porque dS difiere de d solamente en cantidades del mismo orden que la anomalía de altura :

ds =:d (I + A + B + . . . )

Por consiguiente, se tiene que

T dS = Td + dTA 2

Si nos limitamos a términos que son lineales en T o = T/ , entonces se omitirán los términos que contienen T2 y

potencias superiores de T, quedando así

T dS = T d

o, siempre y cuando se multiplique por términos del orden de T.

dS = d

Nótese que no está permitido sustituir s por en la ecuación original (8 - 16) porque W s de un orden de magnitud

mayor que T.

En (8-18) la normal n es la normal a la superficie física de la tierra o, con el mismo grado de precisión, la normal al

teluroide. De manera que en general no es vertical. Por tal motivo, T/ n no es igual a

Page 252: Heiskanen

rh

Ig

h

T

[esta es la ecuación (2/147c) aplicada a nivel del terreno], pero contiene, además de g, las componentes y n de la

desviación de la vertical.

La evaluación misma de T/ n en términos de g, , n es un tanto difícil (Molodenskii et al., 1962ª, Capítulo V;

Moritz, 1965, pág 13). Como en la siguiente sección se mostrara una solución mucho más conveniente al problema

de Molodensky se omitirá su desarrollo dando sólo el resultado que es

.3cos3tantan 21dTh

Ig

n

T (8 - 21)

donde B1 es el ángulo de inclinación de un perfil norte-sur del terreno con respecto a la horizontal; en forma similar,

B2 es la inclinación de un perfil es te-oeste; B es el ángulo de máxima inclinación del terreno.

Si se inserta (8-21) en (8-18), se obtiene :

T - Tdlh

I

l

I

n

cos

2

= dtgl

I3cos3tan3tan

1

221

Esta es una ecuación integral lineal del segundo tipo para el potencial de perturbación T o para la anomalía de altura

= T/ . Si se compara con (8-14) se verá que la función desconocida u está representada ahora por T. La función

conocida está dada por el lado derecho de (8 - 22), y el núcleo K es igual a –1/2 multiplicado por la expresión

en corchetes en al integral del lado izquierdo de (8-22). Esta ecuación integral también ha sido tratada por Levallois

(1958).

Si se desea despejar T en esta ecuación, hay que conocer además de g las componentes de la desviación y .

Como las inclinaciones B1 y B2 son los valores aproximados de las componentes de la desviación suelen ser

suficientes. Molodensky incluso logró eliminar y de (8-22) de una manera sumamente ingeniosa.

Tal como se indicó anteriormente, en la siguiente sección se tratará un método muchísimo más sencillo. Por lo tanto,

no se seguirá explicando el método actual y sólo cabe mencionar que la ecuación integral (8-22) puede resolverse

mediante una iteración análoga a la descrita en la Sección 8-7.

Aplicación al geoide. La ecuación integral (8-22) también puede aplicarse al geoide, siempre y cuando se haya

―regularizado‖ eliminando las masas que se encuentran fuera del mismo. Luego, en lugar del teluroide se tiene el

elipsoide de referencia E; además B1 = B2 = B = 0, y /n = / h. Así se obtiene

dEI

gITdE

l

I

h

I

l

I

h

LT

22 (8-23)

Esta ecuación es mucho más sencilla que (8-22) porque no contiene las componentes de desviación y .

Page 253: Heiskanen

Si el elipsoide de referencia se aproxima mediante una esfera, en otras palabras, se hace una aproximación esférica,

la solución de (8-23) estará dada sencillamente por la fórmula de Stokes. Esto es obvio porque la fórmula de Stokes

expresa T en términos de g como aproximación esférica.

Si las cantidades elipsoides de (8-23) se desarrollan en términos de e‘2 o un parámetro similar del mismo orden del

achatamiento,. Esta ecuación integral puede resolverse iterativamente usando la fórmula de Stokes como una primera

aproximación. Es posible hallar de esta forma una solución relativamente sencilla al ―problema de Zagrebin‖, la

determinación del geoide regularizado por medio de un elipsoide de referncia hasta el orden de e‘2 (Molodenskii et

al.. 1962ª, pág, 53).

318

El método de la ecuación integral hace posible en esta forma la solución numérica de los problemas de los valores

límites de la geodesia física problema cuya solución por algún otro método puede resultar mucho más complicada y

hasta imposible. Además de esta ventaja en la resolución de problemas, t ambién hay una ventaja en la formulación

de los mismos. Pro medio de las ecuaciones integrales (8-22) y (8-23) se describen completamente los respectivos

problemas. La formulación convencional correspondiente sería determinar una función T que afuera de c ierta

superficie (la de la tierra o del geoide regularizado) satisfaga la ecuación diferencial de Laplace.

T = 0 (8-24a)

y esté sujeta a la condición límite (8-20),

gTh

I

h

T (8-24b)

sobre esta superficie. Obviamente, la formulación mediante una ecuación integral (en lugar de una ecuación

diferencial y una condición límite), es mucho más breve; además, en muchos casos el problema se acerca más a su

solución.

Aún si T no es armónico, en el caso del geoide mismo, todavía res ulta posible el método directo de la ecuación

integral, mientras que el método convencional ya no puede seguir usándose directamente. La aplicación de una

ecuación integral correspondiente a (8-23) al geoide mismo ofrece una solución matemática directa al problema de

las reducciones de la gravedad para determinar el geoide (Moritz, 1965, Sección 4). Por tanto, el método de

ecuación integral es eficaz para los problemas clásicos de la geodesia.

8-6 Ecuación Integral para la Capa Superficial. La ecuación integral (8-22) tiene la desventaja de que contiene,

además de la anomalía gravimétrica g, las componentes de desviación y . Como se mencionó, es posible

transformar (8-22) de manera que sólo contenga g, pero se vuelve bastante complicado.

Es posible obtener una ecuación integral más práctica y sencilla de la siguiente manera. El potencial anómalo T

puede expresarse como el potencial de una capa superficial (Sección 1-3) sobre la superficie de la tierra o, con el

mismo grado de precisión, sobre el teluroide:

Page 254: Heiskanen

T = dl

El símbolo representa la densidad superficial multiplicada por la constante gravitacional.

Esta expresión se inserta en la condición límite (8-20)

gTh

I

h

T

319

Si se desea diferenciar la ecuación (8-25) con respecto a h, hay que recordar de la Sección 1-3 que las derivada del

potencial de una capa superficial son discontinuas en la superficie. Para la condición límite obviamente se necesita la

derivada exterior, la cual está dada por la ecuación (1-19a) :

dl

I

hrh

T3cos2 (8-26)

donde la dirección de m es ahora la vertical del punto P al cual tanto T en (8-25) como la condición límite (8-20)

están referidas; por tanto, se ha escrito / hp. El ángulo (m,n) es ahora el ángulo entre esta vertical y la normal a la

superficie, que es el ángulo de inclinación B.

Al insertar esta expresión en la condición límite, se obtiene :

2 cos 3 - gdl

I

hr

l

l

I

hr

Las cantidades que están afuera de la integral siempre se toman en el punto P. Si las cantidades adentro de la

integral han de hacer referencia a este punto, se marcan específicamente mediante el subíndice P, de lo contrario se

tomarán en el elemento de superficie d .

Resulta ilustrativo comparar esta ecuación con (8-22). Ambas son ecuaciones integrales lineales del segundo tipo. El

coeficiente de T adentro de la integral en (8-22) evidentemente es muy similar al coeficiente correspondiente de en

(8-27). Sin embargo, y las derivadas parciales / n en (8-27) están referidos a P.

La ventaja de la nueva ecuación integral (8-27) es que sólo depende de g.

Aproximación esférica. Ahora la ecuación integral (8-27) se escribe como una aproximación esférica. Nótese que

esto significa que para la aproximación al elipsoide de referencia, pero no al teluroide, se utiliza una esfera,.

Luego se hace una aproximación de los radios egocéntricos de P y de d mediante (véase la figura 8-4).

rP = r + hp, (8-28)

r = R + h

donde R es un radio medio de la tierra y h es la altura sobre el elipsoide o, con el mismo grado de aproximación , la

altura ortométrica o también la normal.

Page 255: Heiskanen

Se tiene que

I = cos222 rrrr Pr

3

cos

l

rr

l

I

rl

I

h

P

PP

-

PPP rh

I 2

320

de modo que después de un simple cálculo se halla que:

Figura 8-4

Aproximación esférica.

Por tanto (8-27) se convierte en:

gdrpl

rr

rpl 2

2

1

2

22

3cos2

el elemento de superficie d puede eliminarse observando que la proyección de d en el horizonte local está dada

po

d cos

esto es también igual a:

dr 2

donde d es el elemento de ángulo sólido puesto que r es el radio vector de d .

d = dr sec2

Así, pues, la ecuación integral se convierte finalmente en:

2

1

2

1

2

1 22

3

lr

rr

lrl

I

hpp

I

l

I

hp

Page 256: Heiskanen

gvdrp

r

l

rr

l*sec

22

3cos2

2

2

2

1

2

(8-30)

ésta ecuación se resolverá y simplificará en la próxima sección.

Si se conoce , entonces T y se determinan por medio de (8-25), que puede escibirse

.sec2 drl

aplicación al geoide. La ecuación integral (8-30) también puede aplicarse al geoide regularizado. Se tiene entonces

que

h = hp = = 0, r = rp = R,

321

y (8-30) se convierte en:

gdl

R

02

32 (8-32)

donde

2sin20 Rl (8-33)

vease la figura 1-13.

T y N se expresan en términos de por medio de (3-31), que ahora pasa a ser

dl

RGNT0

2 (8-34)

donde G es el valor medio de la gravedad.

Al insertar (8-34) en (8-32) se halla que

= vR

GgT

Rg

2

3

2

1

2

3

2

1 (8-35)

Esta expresión de en términos de g y N es equivalente a (6-57) dado que = 2 . La altura geoidal N esá dada

como una aproximación esférica por la fórmula de Stokes.

N = dgSG

R

o4 (8-36)

Esto se inserta en (8-35), lo cual da como resultado

Page 257: Heiskanen

2 = g + dgSo

8

3 (8-37)

Esta fórmula expresa en términos de g y es por tanto una solución de la ecuación integral (8-32)

Si se resuelve (8-35) se hallará que

T = gR

23

2 (8-38)

Estas fórmulas sencillas son válidas para el geoide regularizado a una aproximación esférica.

322

8-7.1 Solución de la Ecuación Integral

Antes de resolver la ecuación integral (8-30) se simplifica, notándose que

r = R + h = R R

hl

difiere de R en menos de 10-3

, lo cual es menor que el error de la aproximación esférica. De modo que puede decirse

que:

Rr

r

p

2

y se obtiene r2 – r

2p = (h – hp) (r + rp) = 2R (h – hp)

2 cos - gdl

hrhR

l

Rsec

2

33

2

(8-39)

Esta ecuación es mucho más sencilla que (8-30), pero tiene casi la misma precisión.

La expresión para la distancia l también puede simplificarse. Se halla que

l2 = r

2P + r

2 – 2rPr cos

= (R + hp)2 + (R + h)

2 – 2(R + hp)( R + h) cos

= 2R2 (1 – cos ) + eR(h + hp)( l – cos ) + h

2p + h

2 – 2hph cos

= 4R2 sin

2

2

2)(1

2hph

R

hh

r

hrh P

Por las mismas razones anteriores es posible omitir (h + hp) /R y hph/R2., obteniendo así

I2 = I

2o + (h + hp)

2,

Page 258: Heiskanen

2

1o

Po

I

hhII

Aquí lo denota la distancia esférica (8-33)

Después de completar estos pesos preliminares, se puede proceder a resolver la ecuación integral (8-39). El principio

básico es utilizar un desarrollo en potencias de las cantidades

h - hP y tan

Io

323

Estas cantidades tienen el mismo orden de magnitud porque conforme Io o, entonces obviamente (h - hp) /

lo se aproxima a tan ‘, donde ‘ es el ángulo de inclinación en la dirección de lo.

Nótese que las cantidades (8-41) son de un orden de magnitud mayor que h/R en (8-39). A modo de ejemplo

numérico, supóngase n declive moderado de una montaña cuya inclinación es ) 15º a una elevación h de 1000

metros. Luego

h - 0.00016, pero tan = 0.27

R

Solución. La solución de (8-39) se obtiene mediante aproximaciones sucesivas.

a) Como primer paso se omiten las cantidades (8-41). Luego (8-39) se convierte en

2 o - oo

o

o Gdl

R

2

3 (8.42)

donde se ha usado

Go = g (8.43)

y la ―aproximación de orden cero‖ de se ha denotado por 0.

Como (8-42) tiene la misma forma que (8-32), su solución está dada por (8-37), que en la notación actual sería.

2 o = Go + dSGo

o )(8

3 (8-44)

b) Después de esto, se toman en cuenta las cantidades (8-41) pero únicamente a la primera potencia; se hace

caso omiso de la segunda potencia y de potencias superiores. Luego se le aplicará a una pequeña corrección 1 de

manera que como una ―aproximación de primer orden‖.

= 0 + 1 (8-45)

Con esta aproximación aún se tiene que

1 = 1o,

Page 259: Heiskanen

cos = sec = 1

porque se omiten los términos cuadráticos de la serie

l = l0 ...2

111

22

o

PoL

hh

l

hhl

o

r

cos = ...tan2

11

tan1

2

2

l

324

Por tanto (8-39) se convierte en

2 ( 0 + 1) - gdP

hhRd

l

Ro

o

p

o 10

2

0

10

2

3

dado que tanto (h - hp)/ lo como 1 son cantidades de primer orden, su producto será omitido en la segunda integral,

y se obtiene

2 o – o

o

o dL

R12

2

3

oo

o dl

R

2

3- R

2 o

o

P Gdl

hh11

0

Los primeros dos términos del lado izquierdo son iguales al lado derecho de acuerdo con (8-42). Queda entonces

2 1 – o

o

o

P

oo

o dl

hhRd

l

R0

2

31

2

oo

o

Gdl

R 11

2

32

donde

G1 = R2 d

P

hho

oo

P

La ecuación (8-45) es igual a la (8-42), salvo que se usa 1 y G1 en lugar de o y Go.

Su solución por tanto está dada por (8-44)

2 1 = G1 + dSGo

)(8

31 (8-48)

c) Como paso siguiente se pueden tomar en cuenta los cuadrados de las cantidades (8-41), omitiendo la tercera

potencia y potencias superiores. El procedimiento es básicamente el mismo que en (b). De est a forma se puede

proceder a aproximaciones cada vez más altas.

Page 260: Heiskanen

Molodensky (Mlodenskii et al . . 1962ª. Pág. 118) ha ideado un método elegante para este fin y también las

aproximaciones de segundo y tercer orden. No obstante, las pruebas prácticas han in dicado que en la mayoría de los

casos la aproximación de primer orden es suficientemente precisa. Por consiguiente, nos limitaremos a esta

aproximación.

Para obtener T y a partir de , se usará (8-31), donde nuevamente se fija r = R.:

T = R2

oRd

l

2seco

Rdl

2

0

0 ....... 10

0

1 TTdlo

325

Puesto que tanto 0 como 1 satisfacen las ecuaciones de la forma (8-32) y están relacionadas con T0 y T1 por medio

de las ecuaciones dela forma (8-34), se puede aplicar (8-38), obteniendo así

T0 = oo G

R2

3

2

T1 = 1123

2G

R

Al insertar (8-44) y (8-48) se halla que

To = dSGR

oo

4

T1 = dSGR

o1

4 (8-49)

De esta manera la fórmula de Bruns, = T/ , finalmente da como resultado

= 0 + 1 =

o

o dSG

RdgS

R

144 (8-50)

donde, según (8-47) y (8-35)

G1 = o

pd

R

gg

l

hhR01

0

2

2

3

2 (8-51)

Por consiguiente está de nuevo dado aproximadamente por la fórmula de Stokes; este es el término o. Además

hay una pequeña corrección 1. Los pasos de cálculo son los siguientes: primero, calcular 0 mediante la fórmula de

Stokes; luego evaluar G1 pro medio de (8-51); y, finalmente, usar G1 para calcular el término de corrección 1 en (8-

50).

Page 261: Heiskanen

En la próxima sección se verá que el término que contiene 0 en (8-51) incluso puede omitirse sin afectar la

precisión.

La fórmula integral (8-51) puede evaluarse según los métodos normales, tal como se explicó en la Sección 2-24;

véase también la publicación Bursa (1965).

El método donde se usa el potencial de una capa superficial ficticia para obtener una ecuación integral apropiada,

descrito en la sección anterior, puede generalizase a fin de construir otras ecuaciones integrales par el problema de

Molodensky. Estas pueden resolverse mediante el método iterativo empleado en la sección actual (Brovar, 1964).

326

8-8 Interpretación geométrica

A continuación se escribe una interpretación geométrica de la solución aproximada de Molodensky (8-50),

=

o

dSGgR

4 (8-52)

usando la notación de la Sección 6-5, se utiliza

= g + oR

G

2

3 (8-53)

de modo que (8-51) toma la forma

G1 =

o o

P dl

hhR3

2

2 (8-54)

Ahora se aplica una transformación cuyo principio fue dado por Molodensky et al. (1962b),. Se escribe

(h - hP) = (h - hP ) + hP P - hP P

= - hP( - P) + (h - hP P)

Luego (8-54) se convierte en

G1 = dl

Rh

o

P

3

0

2

2d

l

hhR

o

P

3

0

2 )(

2 (8-55)

Nótese que si se saca hp de la integral, puede denotarse sencillamente por h porque, con excepción de las cantidades

que están dentro del signo de integral, todo está referido al punto P.

Page 262: Heiskanen

Usando las ecuaciones (1-101) y (1-102) es posible expresar (8-55) en términos de armónicos esféricos. Sean los

desarrollos esféricos-armónicos de las funciones y h .

=

n

n

n

n

n

n hh00

Luego (8-55) se convierte en

G1 =

n

nn

o

n hnR

nR

h

0

1

327

Si se resta y se suma 1/R veces

n

o

n

o

n hhh

se obtiene

n

n

o

n

o

n hnR

nR

hG )(1

111 ()8-57)

De esta manera G1 puede dividirse en dos partes:

G1 = G + G12 (8-58)

Donde

G11 = R

hd

l

Rhn

R

h

o

Pn

o

n 3

0

2

2)1( (8-59a)

G12 = R

h

l

hhRhn

R

I

o

Pn

o

n 3

0

2

2))(1( (8-59b

Considérese primero el término G11. Si se escribe g = { gn y To = Tn}nótese que To significa aquí la

aproximación de orden cero de la función T y no el armónico de grado cero), se tiene que

n = gn + nTR2

3

Por tanto, (8-59a) se convierte en

G =

o

n

o

TnR

hgn

R

h1

2

31

2

=

o

n

o

n TnR

hg

R

hgn

R

h1

2

332

2

Según las ecuaciones (2-216) y (2-155)se tiene

gTnRg

ggn

R o

n

o

n 11

,21

de manera que

Page 263: Heiskanen

Gn = -h gR

h

h

g

2

3 (8-60)

Como se agregará G11 a g, de acuerdo con (8-52) y (8-58), la cantidad (h/R) g, que a lo máximo es del orden de

10-3

g, y lo que queda es

Gu = -h h

g

328

Puede notarse que el término G11 corresponde a la reducción de la anomalía gravimétrica de aire libre del terreno a

nivel del mar, mediante la elevación topográfica H. Si se omite otra vez un error relativo de h/R, de acuerdo con (2-

217) se tiene

Gu = dl

ggRh

o

P

3

0

2

2 (8-61)

Antes de considerar G12, cabe notar que el término de corrección 1, el cual representa el efecto de G1., puede

dividirse de la misma forma que G1.

1 = 11 + 12 (8-62)

Luego

u = dSh

gh

RdSG

R

oo44

11 (8-63a)

La segunda componente

12 = dSGR

o

124

(8-63b)

puede evaluarse directamente. Debe recordarse que el equivalente de la fórmula de Stokes

= dSgR

o4

en términos de armónicos esféricos es

n = ngn

R

1

Si se sustituye por 12, g por G12 y gn por -(n - 1) (h )n/R, de acuerdo con (8-59b), entonces la conversión de (8-

63b) a una expresión en armónicos esféricos sería

Page 264: Heiskanen

(G12)n = nn hhn

Rn

R)(

1)(1

1

1

La sumatoria desde n = 0 a da como resultado la fórmula sencilla

12 = h

(8-64)

329

Al insertar (8-53) con G = y esto resulta en

12 = o

R

hgh

2

3 (8-65)

Como 12 se agrega a o, nuevamente se introduce un error relativo del orden de h/R solamente si se omite el

segundo término del lado derecho de esta ecuación. Por tanto, finalmente se obtiene

12 = hg

Este término es tan sencillo como (8-60) y admite una interpretación geométrica correspondiente. Considérese la

derivada de la anomalía de altura . Se halla

Th

l

h

TlT

h

l

h

TlT

hh 2

de acuerdo con la ecuación (2-147) esto es igual a

g

h (8-66)

Por tanto (8-65) equivale a

hh

12 (8-67)

Puede observarse que el término 12 corresponde a la reducción de la anomalía de altura del nivel del mar al terreno,

y el signo de esta reducción es opuesta al de (8-60‘).

Si se usa (8-63a) y (8-67), la solución (8-52) puede escribirse en su forma alterna

Page 265: Heiskanen

= hh

dShh

gg

R

o4

(8-68)

La interpretación geométrica de esta ecuación resulta obvia por lo indicado anteriormente: las anomalías de aire libre

g a nivel del terreno se reducen a nivel del mar para convertirse en

g = g - ;hh

g (8-69)

luego la integral de Stokes da como resultado las anomalías de altura a nivel del mar, las cuales se reducen hacia

arriba al nivel del terreno agregando el término (8-67).

330

Page 266: Heiskanen