Guia Transformaciones ISOMETRICAS y Tangram

8/18/2019 Guia Transformaciones ISOMETRICAS y Tangram

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GUÍA TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS, USANDO GEOGEBRA

ESTUDIANTE: ________________________________________

GRADO: 9° FECHA: ________________________ INTRODUCCIÓN

En la siguiente unidad pondrás en práctica los conocimientos adquiridos

durante las clases de geometría, para ello se utilizaremos el aula de

sistemas con el software Geogebra y el Tangram.

on esta guía didáctica se busca que los estudiantes se adiestren en el

tema !"omotecias en el plano#, a tra$%s del reconocimiento de las

transformaciones dinámicas en el plano y de razones y

proporciones entre áreas y perímetro de una gura& para ello, losestudiantes desarrollan una serie de acti$idades mediadas por el

software Geogebra y el Tangram, el cual permitirá la $isualizaci'n y el

análisis de los diferentes mo$imientos que puede tener una (gura en el

plano y la construcci'n de diferentes polígonos y $isualizaci'n de su

super(cie.

)as acti$idades planteadas permitirán desarrollar procesos de

razonamiento, modelaci'n y soluci'n de problemas a tra$%s de la

ubicaci'n de puntos en el plano, identi(caci'n de coordenadas,

aplicaci'n de mo$imientos en el plano de determinadas (guras,descripci'n de tipos de mo$imientos, comprensi'n de la importancia del

orden de una pare*a ordenada, construcci'n de polígonos y la (nalidad

de cada mo$imiento.

1- Fundamen!" e#$%&!":

-"%"ema" de $e'$e"ena&%#n, (%"ua)%*a&%#n: El estudio de las (gurasgeom%tricas y de sus elementos, de los mo$imientos y las

transformaciones nos permitirá construir una imagen del mundo que nos

rodea, obser$ar la realidad y el orden en el uni$erso y admirar subelleza.

1+1- M!de)!" 'eda#%&!: El traba*o está enmarcado en el modelopedag'gico constructi$ista, puesto que la ruta metodol'gica se relaciona

con el descubrimiento y el "allazgo para llegar a la comprobaci'n o

$eri(caci'n, se propone un dise+o de campo que centra su análisis en

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los estudiantes como actores de la práctica del tema a estudiar,

permiti%ndoles describir una de(nici'n en contraste con lo que ocurre en

la práctica, con el (n de realizar una propuesta de interacci'n entre los

actores.

1+- E".nda$e":

Pensamiento espacial y sistemas geométricos.

redigo y comparo los resultados de aplicar transformacionesrígidas -traslaciones, rotaciones, ree/iones0 y "omotecias-ampliaciones y reducciones0 sobre (guras bidimensionales ensituaciones matemáticas y en el arte.

1esuel$o y formulo problemas usando modelos geom%tricos.

2denti(co características de localizaci'n de ob*etos en sistemas derepresentaci'n cartesiana y geográ(ca.

Pensamiento métrico y sistemas de medidas.

3tilizo t%cnicas y "erramientas para la construcci'n de (gurasplanas y cuerpos con medidas dadas.

2denti(co relaciones entre distintas unidades utilizadas para medircantidades de la misma magnitud.

1esuel$o y formulo problemas que requieren t%cnicas deestimaci'n.

/ O0e%(!": 4ortalecer la concentraci'n y moti$aci'n de losestudiantes en la geometría, mediante la aplicaci'n de "erramientas

tecnol'gicas.

5lasi(car dentro de las "erramientas de la informática cuales son las

más rele$antes para me*orar el aprendiza*e de la geometría en losestudiantes.

2- C!n!&%m%en!" '$e(%!":

5omprender el concepto de paralelismo, ángulo, segmento, perímetro,

perpendicularidad.

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5clasi(car los ángulos de acuerdo a sus medidas.

5alcular perímetros.

52denti(caci'n de polígonos regulares

52denti(caci'n de las di$ersas transformaciones que pueden ocurrir en elplano.

3- Se&uen&%a en )a" A&%(%dade": 5ermitir comprender el carácterdinámico de la geometría a tra$%s de las transformaciones.

5$eri(car que los ángulos y la relaci'n de proporcionalidad no se altera al

rotar una (gura.

56eri(car que los ángulos contin7an constantes& el $alor de los lados se

altera proporcionalmente ya que la proporci'n entre lados "om'logos seconser$a.

51ealizar una e/posici'n con los diferentes traba*os realizados por los

estudiantes como estimulo a su creati$idad.

.

4UEGO E5 TANGRAMTEMAS:

arte de un todo perímetro y área de polígonos

5OGROS: 8escribir y argumentar relaciones entre el perímetro y el área de

(guras diferentes cuando es constante una de las dimensiones 1econocer signi(cados del n7mero en diferentes conte/tos

-medici'n, conteo, comparaci'n, codi(caci'n, localizaci'n entreotros0.

Mae$%a)e"

apeles cuadriculados 9 regla 9 lápiz 9 cuestionarios guía

INTRODUCCIÓN

El tangram es un rompecabezas que consta de piezas, consiste en

formar siluetas de (guras con la totalidad de una serie de piezas dadas.

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)as siete piezas llamadas Tans, que *untas forman un cuadrado, son las

siguientes: !cinco triángulos de diferentes tama+os#, !un cuadrado#, y

!un paralelogramo#. Es un *uego que requiere de ingenio, imaginaci'n y,

sobre todo, paciencia. ;o se conoce con certeza su origen, pero "ay

quienes suponen que se in$ent' en "ina a principios del siglo se publicaron libros de tangram en algunos países de

Europa y en Estados 3nidos, lo que lo "izo un *uego popular y de muc"o

auge.

El tangram es un gran estímulo para la creati$idad y se lo puede

apro$ec"ar en la ense+anza de la matemática para introducir conceptos

de geometría plana, y para promo$er el desarrollo de capacidades

psicomotrices e intelectuales pues permite ligar de manera l7dica la

manipulaci'n concreta de materiales con la formaci'n de ideas

abstractas.

En la ense+anza de la matemática el tangram se puede utilizar como

material didáctico que fa$orecerá el desarrollo de "abilidades del

pensamiento abstracto, de relaciones espaciales, l'gica, imaginaci'n,estrategias para resol$er problemas, entre muc"as otras, así como un

medio que permite introducir conceptos geom%tricos.

Su" $e)a" "!n mu6 "%m')e":

=. on dic"os elementos, ni uno más ni uno menos, se deben de

construir (guras. Es decir, al momento de formar las distintas (guras

no debe quedar ni una de las piezas sin utilizarse, además que %stas

no deben superponerse.

?. El tangram es un *uego planim%trico, es decir, todas las (guras deben

estar contenidas en un mismo plano.

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7a)!$e" 6 a&%ude" 8ue "e 'ueden de"a$$!))a$+on el *uego !el tangram# tambi%n podemos buscar que los alumnos

asuman actitudes y practiquen $alores, mencionaremos algunos, por

e*emplo: 1esponsabilidad, colaboraci'n, atenci'n, traba*o en equipo,

relaciones interpersonales, sentido del orden, comunicaci'n entre otros.

C#m! &!n"$u%$ un ue! de an$am

ara empezar sugerimos que los alumnos traba*en en una "o*a de

cuadrícula c"ica -es decir cuadrículas o cuadrados de @.Acm por lado0,

pues eso facilitará los cálculos de las (guras. Bi no se traba*a en este

tipo de papel, entonces deberá utilizarse una regla, con la cual realizará

las respecti$as medidas. )uego continuamos con los siguientes pasos.

;Em'e&em!"<

=a"! 1: 8ibu*a un cuadrado de =@ cm por lado. -?@ cuadritos de la"o*a0.

=a"! : Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los

puntos medios de dos lados consecuti$os del cuadrado& esta recta debe

ser paralela a la diagonal.

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=a"! 2: 8ibu*a la otra diagonal del cuadrado y ll%$ala "asta la segunda

línea.

=a"! 3: )a primera diagonal que trazaste deberás partirla en cuatro

partes iguales. -ada pedacito medirá A cuadritos0.

=a"! >: Traza la recta que se muestra en el dibu*o siguiente -dibu*o A0

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=a"! ?: or 7ltimo traza esta otra recta -la de la (gura C0

=a"! @ D"ora deberás graduar el tangram "aciendo marcas de =cm -o

de dos cuadritos0 tal y como se muestra en el dibu*o siguiente. ara

marcar las diagonales necesariamente deberás usar una regla

La recta que debes trazar

Traza esta otra recta

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=a"! : or 7ltimo recortamos las piezas, de tal manera que

obtengamos lo que se presenta en la siguiente (gura.

)istoF a tienes tu propio *uego del Tangram.

ACTI7IDADES =RO=UESTAS CON E5 TANGRAM

=. 4orma triángulos con las piezas del tangram. 3tiliza primero una sola

pieza, luego, dos, tres, "asta llegar a utilizar las siete piezas.

a0 Huántos triángulos puedes formar en cada casoI HEstás seguro que

no e/isten másI

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b0 lasi(ca los que encontraste en funci'n: b.=0 8e la medida de sus

ángulos. b.?0 8e la medida de sus lados.

c0 Huál es el triángulo de mayor perímetroI Huál es el de mayor áreaI

?. 4orma rectángulos con las piezas del tangram. 3tiliza diferente

n7meros de piezas "asta llegar a utilizar las siete. a0 Huántos

rectángulos puedes formar en cada casoI b0 Huál es el de mayor

perímetroI Huál es el de mayor áreaI

J. 3tilizando algunas piezas del tangram, construye (guras seme*antes.

8ib7*alas en papel cuadriculado y anota la relaci'n entre sus lados y sus

áreas. construye dos cuadrados y encuentra su raz'n de seme*anza.

K. HLu% combinaci'n de piezas dan como resultado otra pieza del

tangramI Encuentra todas las alternati$as posibles.

A. iense en alguna an%cdota o algo que desea contar a sus amigos y

nárrela "aciendo uso de las piezas del tangram -debe usarlas todas en

cada ocasi'n0.

C. a0 Bi damos al triángulo más peque+o el $alor =, Hqu% $alor daremos a

las demás piezasI

b0 Bi damos al cuadrado el $alor =, Hqu% $alor daremos a las demás

piezasI

c0 Bi damos al cuadrado grande -formado con todas las piezas del

tangram0 el $alor =, Hqu% $alor daremos a las demás piezasI

d0 Bi damos al triángulo intermedio el $alor =, Hqu% $alor daremos a las

demás piezasI

e0 Bi sumamos todos los n7meros asociados a las (guras en la acti$idad

anterior, Hqu% n7mero resultaráI

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Med%da

onsiderando como unidad de medida de longitud la dimensi'n del ladode la pieza cuadrada B, encuentra:. )as dimensiones y el perímetro de cada pieza perímetro de cada

pieza.>. HLu% fracci'n, respecto del tangram, le corresponde a cada piezaIM. Bi la pieza E midiese ?, J, etc. unidades, Hqu% fracci'n representaría acada una de las piezasI, y Hel tangram completoI

ompleta la siguiente tabla:

erímetro áreaieza fracci'n decimal porcenta

*e

fracci'n decimal porcenta

*eDN8E

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TRANSFORMACIONES EN E5 =5ANO

SECUENCIA DE ACTI7IDADES

5OGRO BSICO: Boluciona problemas asociados a las (guras planas.

C5ASE N°1: TRAS5ACIONES ROTACIONES

MO7IMIENTO DE TRAS5ACIÓN

3na TRASLACIÓN es un mo$imientoen el plano en el cual todos los

puntos de una (gura se mue$en en

la misma direcci'n y la trayectoria

de cada punto es una línea recta.

ara dar la direcci'n y el n7mero deunidades que se $a a trasladar una

(gura, se toma como base un

vector.

or e*emplo, el cuadrilátero DN8

que se muestra en la (gura, se "a

trasladado en el sentido que indicala punta de la ec"a del $ector u,con la dirección dada por suinclinaci'n y una magnitud igual asu longitud.

MO7IMIENTO DE ROTACIÓN

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3na ROTACIÓN es un mo$imientomediante el cual una (gura gira alrededorde un punto (*o llamado centro derotación.

En este tipo de mo$imiento, cada puntode la (gura describe un arco de

circunferencia.

ara rotar una (gura en el plano es

necesario conocer, además del centro de

rotaci'n, el sentido y la amplitud del giro

)a siguiente grá(ca nos muestra un punto

que gira M@O en sentido positi$o -o

anti"orario 0

En la grá(ca siguiente el triángulo N8 rot' =?@P en sentido negati$o

en torno al centro de rotaci'n Q

C5ASE N: A=5ICACIÓN EN GEOGEBRA

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onstruya en el plano

cartesiano el polígono con

coordenadas: -5J,=0, -5=,J0,

-=,J0 y -J,=0

Dcti$e la opci'n 7e&!$ en$e d!" 'un!". 8e(na el $ector N8, entrelas coordenadas E R -J,J0 y 4 R -C,C0

Dcti$e la opci'n T$a")ada !0e! '!$ (e&!$. Traslade el trapecioDN8 en la direcci'n y sentido del $ector N8 ermita que se obser$en

las coordenadas del trapecio DSNSS8S.

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ara rotarlo acti$e la opci'n $!a !0e! a)$eded!$ de) un 'un! '!$un .nu)!+ 1ote el trapecio DN8 con centro en el punto G -@,@0, con unángulo de =>@O ermita que se obser$en las coordenadas del trapecio D

SNSS8S.

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• H)os trapecios son iguales o diferentes

• HLu% direcciones tienen los trapeciosI

• HLu% relaci'n encuentras en los trapecios formadosI

• H'mo son las áreas y los ángulos de dic"os trapeciosI

C5ASE N2: REF5EIÓN EN E5 =5ANO CARTESIANO

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)a ree/i'n con respecto a un e*e se conoce tambi%n

como simetría a/ial. uando en una (gura una de sus

mitades se puede obtener por ree*o de la otra, se

dice que la (gura es sim%trica. Dl e*e de ree/i'n

correspondiente se le denomina e*e de simetría.

FIGURAS SIMTRICAS

3na (gura se llama sim%trica si e/iste una recta tal que

tomada como e*e de simetría transforma a la (gura en ella

misma.

ay (guras que tiene $arios e*es de simetría. or e*emplo, un rectángulo

tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo in(nitos -cualquier recta que

pasa por su centro es e*e de simetría.

or lo tanto, para "allar la imagen de una (gura cualquiera con respecto

a uno de los e*es coordenados, basta "allar los sim%tricos con respecto a

dic"os e*es de cada uno de los puntos -$%rtices0 de la (gura dada y

(nalmente unirlos

Ree%#n en e) =)an! Ca$e"%an!

Qbser$emos las siguientes (guras donde se muestran los sim%tricos de

un punto y luego la imagen de una (gura con respecto al e*e < y

(nalmente respecto al e*e

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Qbs%r$ese que las (guras DSNSS8S y DSSNSSSS8SS son

sim%tricas respecto al Q12GE;.

C5ASE N3: HOMOTECIAS EN E5 =5ANO CARTESIANO

omo "emos "ec"o en las anteriores transformaciones, tomaremos

como centro de la omotecia, el Qrigen del Bistema artesiano.

Ddemás debemos tener en cuenta que para "allar la omotecia de una

(gura geom%trica, se multiplican las coordenadas del cada punto por elfactor de dilataci'n, E*emplo, si uno de los puntos de la (gura es -5J, K0

y el factor de dilataci'n es J& la imagen de será el punto U -5M, =?0 es

decir JV -5J, K0

Eem')!:

Tenemos un triángulo cuyas coordenadas son: D -? , = 0 N - J , @ 0 y -

=, 5= 0 y le aplicamos una omotecia con centro en el origen y factor de

dilataci'n igual a J. omo se puede obser$ar cada $%rtice del $%.nu)!%maen tiene por coordenadas el triple de las coordenadas de los$%rtices del triángulo original.

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Hual es la relaci'n entre la medida de los lados de los triángulosIHuál es la relaci'n entre sus áreasIHuál es la medida de sus ángulosI

C5ASE N>: A=5ICACIÓN EN GEOGEBRA REF5EIÓN

8ibu*a una recta -e*e de simetría0 y unpolígono.

3sa la "erramienta Reea !0e! en $e&a:para que el programa dibu*e la (gura

sim%trica del polígono debes "acer clic sobre

%l y sobre el e*e de simetría.

3na $ez "ec"a la simetría, puedes comprobarque el e*e de simetría es la mediatriz de los

segmentos que unen cada punto del polígono

inicial con su "om'logo del polígono

transformado.

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HOMOTECIA

onstruya el trapecio DN8, utilizando la opci'n polígono, tomando

como $%rtices respecti$os las coordenadas -5J,=0, -5=,J0, -=,J0 y -J,=0rimeramente de(na el punto E, E R -J,J0, luego acti$e la opci'n D%)aa!0e! de"de e) 'un! '!$ un a&!$+

)uego da un clic al interior

del polígono y luego en el

punto E. Dparecera un

cuadro de diálogo que

preguntará el factor quedesea se utilice para

aplicar la "omotecia, en

nuestro caso escribiremos

? y luego aplica.

El polígono DSNSS8S es el resultado de aplicar la "omotecia al polígono

DN8:

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C5ASE N?: ESCHER 5OS MO7IMIENTOS EN E5 =5ANO

1+ Elige J de las siguientes teselaciones de W.. Esc"er y realiza paraellas un análisis de sus trasformaciones, con base en los e*emplos

anteriores

+ rea una plantilla e in$enta tu propia teselaci'n. 1ealízala condiferentes materiales para e/ponerla en clase.

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ACTI7IDADES DE TRABA4O AUTÓNOMO

Dplica los mo$imientos de ree/i'n, rotaci'n y traslaci'n en la siguiente

(gura utilizando los comandos del software, teniendo en cuenta las

condiciones presentadas para cada "omotecia.

Aplicación de la reflexión en la grafica

Refleja la figura con respecto al eje al eje de simetría

Aplicación de la rotación

Rota la figura 150º en sentido contario a las manecillas del reloj con centro de giro

en el punto M (!"0#$

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Aplicación de la traslación

Traslada la figura cinco unidades %acia abajo & seis unidades %acia la izquierda

Aplicación de la homotecia

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Realiza una %omotecia a raz'n de )5 de la figura inicial" mide sus *ngulos +qu,

puedes concluir-

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