MATEMATICA II - 2012

María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano.

No se altera la forma ni el tamaño de la figura. Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

SIMETRÍA

Axial

Central

TRASLACIÓN ROTACIÓN

Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma.

Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).

Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.

Axial (reflexión respecto de un eje)

Central (reflexión respecto de un punto)

O .

Eje Horizontal (x)

Eje Vertical (y)

Diagonal (45 grados

El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico.

Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.

O

AXIAL CENTRAL

Indica que tipo de Simetría se aplicado en cada imagen

A) B) C)

D) E) F)

El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)

En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b)

En torno al origen El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)

P’

P P’

P

P’

Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3)

Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)

Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1)

A(4,6)

A’ (2,3)

B(-5,2)

B’(-1,6)

C(-4,-2)

C’(3,-1)

Dirección (horizontal, vertical u oblicua).

Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).

Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación.

La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación.

El sentido de giro, positivo (anti horario), negativo (horario)

A A’

A’

Entonces: x’ = -y y’ = x

Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

x

y

x’

y’

x

y

x’

y’

A’

A

A’

Entonces: x’ = -x y’ = -y

Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

x

y

x’

y’

y

x’

y’

x

1) Identifica si hay:

a) Traslación

b) rotación

c) reflexión

d) ninguna de las tres.

2) Identifica si hay:

a) Traslación

b) rotación

c) reflexión

d) ninguna de las tres.

3) Identifica si hay:

a) Traslación

b) rotación

c) reflexión

d) ninguna de las tres.

La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

Embaldosado por traslación Embaldosado por rotación Embaldosado por reflexión

Traslación, Rotación y Reflexión son tres

transformaciones isométricas mediante las cuales

puede hacerse coincidir una figura consigo misma.

Se llama teselación a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse, ni pueden dejar espacios sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben de sumar 360 grados.

Hablamos de TESELACIONES regulares cuando se utiliza únicamente un polígono regular.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

60º x 6 = 360º 90º x 4 = 360º 120º x 3 = 360º

Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares:

90º + 2x135º =360º 90º+ 2x60º + 90º + 60º =360º 3x60º + 2x90º = 360º 4x 60º + 120º = 360º

60º +2x150º= 360º 90º + 120º +90º + 60º = 360º 120º + 60º + 120º + 60º = 360º 150º +90º + 120º= 360º

El primer vértice esta constituido por un dodecágono, dos triángulos equiláteros y un cuadrado.

Al segundo vértice

concurren seis

Triángulos equiláteros.

Son aquellas formadas por polígonos regulares y no regulares. A continuación algunos ejemplos. Además también debe tener una figura que calce exactamente una y otra vez sobre el plano.

Figuras formadas por 5 cuadrados congruentes

Las escamas de un pescado es un

claro ejemplo de teselación a

continuación lo podrán comprobar…

Como podemos ver las escamas del pez

son exactamente igual entre ellas y

forman un dibujo sobre el lomo del pez

Otro ejemplo de teselaciones es el panal de abejas en la imagen

se demuestra la forma de hexágono una teselación regular.

Este es otro ejemplo

de teselación y uno

muy clásico.

Se trata del balón de

fútbol, sus

pentágonos negros y

sus hexágonos

blancos

forman una

teselación iregular

muy clara al mirarla.

Otro ejemplo

claro y cotidiano

es el arco de

fútbol. Se puede

apreciar una

teselación

regular.

Este es uno de los

más claros

ejemplos de

teselaciones los

vemos a diario es

solo cosa de mirar

el suelo.

Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El

Cairo, Egipto y en los murales y arte islámico, de ahí su

nombre.

El pentágono posee aquí 4 lados de la misma medida. Tiene

dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de

108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es

de 540°.

Mucho mas difícil es la teselación mediante figuras irregulares, a la que Escher dedicó muchas de sus primeras obras, sumando a la creatividad un concepto intuitivo de la simetría, y en la que demostró ser un consumado maestro.

Fuente de recursos: Internet Adaptación: Ma. Isabel Navarrete

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