Gioi Thieu LTTH (Tieng Duc)

Necatibey Eitim Fakltesi Elektronik Fen ve Matematik Eitimi Dergisi (EFMED) Cilt 5, Say 1, Haziran 2011, sayfa 204-224.

Necatibey Faculty of Education Electronic Journal of Science and Mathematics Education Vol. 5, Issue 1, June 2011, pp. 204-224.

Brousseaus Theory of Didactical Situations in Mathematics and An Application of Adidactical Situations

Selahattin Arslan*, Demet BARAN and Samet OKUMU

Karadeniz Technical University, Trabzon, TRKYE,

Received : 30.03.2010 Accepted : 02.06.2011

Abstract Researches in education have been leading to several educational theories and models in the last

century. As a result of this, mathematics education has been affected by this development, a series of innovations

has been made in the education field, and these innovations adaptations and effectiveness have been

investigated by researchers. The theory of didactical situations in mathematics (Brousseau, 1998) is one of these

educational theories. This article aims to introduce both this theory and adidactical situations which play an

imminent role in this theory and to present an application of adidactical situations to describe experiences during

the different phases of this theory. For this purpose, an activity on the barycentre of a triangle was administered

to eight-grade students and the stages of adidactical situation were observed and video-taped. At the end of the

study, taking into account the five stages of adidactical situations students experiences were described.

Key words: Theory of Didactical Situations In Mathematics, Adidactical Situations, Barycentre of a Triangle.

Summary

Introduction: The subject of how learning occurs and of being more effective and retention,

have attracted educators attention for a long time. For this reason, much research related to

these subject have been conducted. Therefore, research on learning theories with different

quantity and quality have been carried out in the second part of the 20th century. One of these

theories is Didactic. Didactic developed several theories and one of them is Theory of

Didactical Situations in Mathematics (TDSM), proposed by Guy Brousseau. The current

study deals with the Theory of Didactical Situations (TDSM) and its concepts. Considering

TDSM, there are three learning situations: didactical situation, adidactical situation and non-

didactical situation. An adidactical situation has five phases: Devolution, Action,

* Corresponding author: Selahattin ARSLAN, Assist. Prof. Dr. in Elementary Mathematics Education, Fatih Faculty of Education, Karadeniz Technical University Adnan Kahveci Bulvar, Stl, Akaabat-Trabzon, TURKIYE. E-mail: [email protected]

205 BROUSSEAUNUN MATEMATKSEL RENME ORTAMLARI KURAMI BROUSSEAUS THEORY OF DIDACTICAL SITUATIONS IN MATHEMATICS...

Formulation, Validation, Institutionalization. After having presented TDSM, the main aim of

this study is to represent a practice for adidactical situations and to examine the students

experiences during the different phases of adidactical situations. To access this objective,

following research question is formulated: What is the students experiences during the

different phases of adidactical situations?

Methodology: This research is designed as a case-study, based on classroom observations.

The participants were selected by using purposeful sampling procedure. Because this

sampling method leads researchers to select participants suitable for research focus. In order

to select the participants, interviews were performed with the mathematics teacher and

participants were identified in view of their recommendations at an elementary school of Rize

district. Besides, we considered students abilities such as constructing a median, a

perpendicular bisector and a height of a triangle, recognizing that a median is a line segment

which connects between the vertex and the middle point of the side of a triangle. The study

was carried out with 25 students attending 8th grade in 2008-2009 school year. The activity

and the materials connected with adidactical situation were designed and implemented in the

classroom by the researchers. This activity is connected with making students to discover the

barycentre of a triangle.

Results and Conclusions: The most important findings are summarized. The researchers

gave students triangles with various side lengths and various angel measurements during the

first phase Devolution. And the students were asked to find barycentre of a triangle and

they are observed by the researchers during this activity. Along the Action stage the

students interacted with milieu, experienced to find the balance points of the triangles and

marked them. They tested many ways to find them. However they didnt claimed any idea

about the term barycentre. In this phase although students were in group action, they tried to

find the balance points individually. Some students claimed that there could be more than one

balance point after their try-outs, but after the feedback from Milieu they changed their mind.

The students suggested the terms such as height, bisector, median to determine the rule of the

barycentre during the Formulation phase. In this phase transition of students between

Formulation and Validation phases was observed. So its sighted that the students showed

reasonable solution strategies. During the fourth phase, Validation, the students

summarized their knowledge that they learned in previous phases and persuade the other

NEF-EFMED Cilt 5, Say 1, Haziran 2011/ NFE-EJMSE Vol. 5, No. 1, June 2011

ARSLAN, S., BARAN, D., & OKUMU, S. 206

students or the teacher about the correctness of their solutions. During the last phase,

Institutionalization, the teacher (researcher) was on action. The researcher explained the

problem situation and knowledge which students were required to gain during the activity.

Consequently the term barycentre of a triangle was learned by the students.

Suggestion: This study was restricted with only one activity. Hence it should be suggested

that new activities on different topics in math curriculum related to adidactical situation may

be designed by other researchers. Also teachers may use this approach during their

instructions. Besides, current study is considered to contribute to learning approaches in

content of elementary mathematics curriculum. Further studies may be suggested to

implement adidactical situations in different academic levels and investigate effects.

Necatibey Eitim Fakltesi Elektronik Fen ve Matematik Eitimi Dergisi Necatibey Faculty of Education, Electronic Journal of Science and Mathematics Education


Brousseaunun Matematiksel renme Ortamlar Kuram ve Adidaktik Ortamn Bir Uygulamas

Selahattin Arslan, Demet BARAN ve Samet OKUMU

Karadeniz Teknik niversitesi, Trabzon, TRKYE,

Makale Gnderme Tarihi: 30.03.2010 Makale Kabul Tarihi: 02.06.2011

zet Eitim alannda yaplan aratrmalar son asrda farkl retim kuram, yaklam ve modellerinin

domasna yol amtr. Bunun sonucu olarak matematik eitimi de bu gelimelerden etkilenmi, yeni kuram ve

modeller ortaya km ve bunlarn uygulanabilirlii ve etkililii zerinde eitli aratrmalar yaplmtr. Bu

kuramlardan biri, Guy Brousseaunun (1998) Matematiksel renme Ortamlar Kuramdr. Bu almann

amac; bu kuram ve bu kuramda nemli bir yer tutan adidaktik renme ortamlarn ana hatlaryla tantmak ve

buna ynelik bir uygulama rnei sunarak ortamn farkl safhalarnda yaananlar betimlemektir. Bu dorultuda

8.snf seviyesinde genlerde arlk merkezini bulma zerine bir adidaktik ortam tasarlanm ve snf ii

almalar gzlenerek kamera ile kayt altna alnmtr. almann sonunda adidaktik ortamlarn be evresi

dikkate alnarak her bir evredeki renci yaantlar betimlenmitir.

Anahtar kelimeler: Matematiksel renme Ortamlar Kuram, adidaktik ortamlar, gende arlk merkezi.

Giri

renmenin nasl gerekletii, hangi artlarda daha etkili ve kalc bir renmenin

gerekleecei konusu uzun zamandan beri eitimcilerin ilgisini ekmi ve konuyla ilgili

birok aratrma gerekletirilmitir. Bunun neticesinde zellikle 20. yzyln ikinci

yarsndan itibaren farkl nitelikte renme kuramlar ortaya atlmtr (davran, bilisel,

yaplandrmac, vs.). Bunlardan biri de G. Brousseau (Brousseau, 1998, 2002) tarafndan

ortaya atlan Matematiksel renme Ortamlar Kuram (Theory of Didactical Situations in

Mathematics, Franszcas: Thorie des Situations Didactiques en Mathmatiques) dr.

letiim: Selahattin ARSLAN, Yard. Do. Dr., lkretim Matematik Eitimi ABD, Fatih Eitim Fakltesi, Karadeniz Teknik niversitesi, Adnan Kahveci Bulvar, Stl, Akaabat-Trabzon, TRKYE. E-mail: [email protected] Gerek kuramn ad gerekse bu almada geen dier Franszca kavramlar Arslan (2009) tarafndan Trkeletirilmitir. Tercmeden doabilecek problemleri asgariye indirmek amacyla kuram ve kavramlarn ngilizce karlklar da okuyucuya verilmitir.



Fransada Didaktik aratrma alan ierisinde ortaya atlan ve gelien bu kuramn daha iyi

alglanabilmesi iin Didaktikten bahsetmek yerinde olacaktr.

Kelime anlam retici, retimle ilgili olan Didaktik, renmeyi incelemek ve

anlamak mmkndr prensibinden hareketle ortaya km ve kendine zg kuram ve

kavramlara sahip halen gelimekte olan bir bilim daldr (Salam Arslan, 2008). Robert

(1988), Didaktiin alma sahasn bir bilimsel alana ait bilgilerin -renci tarafndan- elde

edilmesi ve -retici tarafndan- aktarlmas srecini incelemek eklinde zetlemektedir. Bu

nedenle Didaktik, eitim-retim etkinliklerinin bileenden (retmen, renci, bilgi)

olutuu gereinden hareketle bu bileenleri ve bu bileenler arasndaki ilikiyi

incelemektedir (Brousseau, 1998, 2002). Bununla birlikte, ad geen bileen farkl

etkenlerin (program ve ders kitab yazarlar, veliler, ) etkisi altnda olduklarndan

Didaktiin alma sahas bu bileenlerle bunlarn arasndaki ilikilerin tesine gemektedir

(rnein Bkz. Noosphre kavram, Chevallard, 1985).

Didaktik, En etkili retim yntemi nedir? Bir kavram en iyi nasl retebiliriz? vb.

sorularn cevabnn kii, ortam ve artlara gre deitiini kabul ettiinden (Robert, 1988), bu

tr sorularn cevabn verme amac gtmemektedir. Bununla birlikte, retme etkinliini

ideal artlarda yerine getirmenin yolu renme olgusunu anlamaktan geer prensibinden

hareketle renme olgusunu anlamaya younlamaktadr. te bu amala ortaya atlan ve

Didaktik aratrma alan ierisinde yer alan kuramlardan biri de bu aratrmann ana temasn

oluturan Matematiksel renme Ortamlar Kuram (MOK) dr.

Bu kuram Piaget ekolnn etkisinde yaplandrmac bir felsefeye dayanmakta ve temel

karakteristikleri bu yaklamla rtmektedir. Bununla birlikte, kuramn yaplandrmaclktan

ve Piagetden ayrld hususlar da vardr. MOK, zetle eitim-retim sisteminin farkl

aktr (retmen, renci, ) ve nesnelerinin (bilgi, renme ortam, ) rol ve ilevlerini

modelleme amac gtmektedir. Bu balamda kuramn alma alanlar ksaca matematiksel

bilgi (kkeni, oluumu, renim ve retimi), retmenin ve rencinin rol ve grevleri,

renci-renci, renci-retmen, renci-bilgi ve renci-materyal etkileimleridir. Bu

kuram amac dorultusunda retim etkinliinde yer alan bir ok olay ve kavram modelleme

yoluna gitmitir: Milieu, Sorumluluk aktarma (Devolution), Didaktik Szlemesi (Didactical

Contract), Didaktik- Adidaktik ve Didaktik olmayan renme ortamlar, vb.

rencinin sahip olduu bilgilerin, renme ortamnda var olan materyal ve bireylerin (akran, retmen, vs.) bir bilekesi konumundaki Milieu, kelimenin szlk anlamyla Franszcada evre, ortam gibi anlamlara gelmektedir. MOKa ynelik yaplan ngilizce almalarda bu kavram -anlam kaymasn nlemek amacyla- Franszca asl korunarak kullanlmtr. Bu aratrmada da, bu terimi karlayacak Trke bir kelime bulunmandan, aslnn korunmas uygun grlmtr. Telaffuzu Mily eklindedir.



Kuramn felsefi yaps ele alndnda Piagetnin Bilisel Geliim Kuramndan byk

oranda etkilendii dnlebilir. Bu balamda Piagetnin dengeleme kavram bu kuram iin

byk nem arz etmektedir. Aadaki aklamalardan anlalaca zere dengeleme

kavram, zellikle rencilerin yeni bilgiye ulaabilmek amacyla, karlatklar problem

durumunu zmeye altklar ve Milieuden dnt alarak kavramlarn ve stratejilerini

gzden geirdikleri adidaktik ortamlar iin daha da anlamldr (Ruthven, Laborde, Leach &

Tiberghien, 2009). MOKye gre renme aada verilen ekildeki gibidir:

ekil 1 Adidaktik Ortamlarda renme

Buna gre bir renme ortamnda birey Milieu ile etkileime girerek renir. Bu

balamda birey Milieuye bir etki gnderir. Buna karlk Milieu de bireye bir dnt gnderir.

Bu dnt bazen bir onay bazen de bir uyardr. Milieunn gnderdii bu dnt sayesinde

birey iki durumla kar karya kalr: Milieu bireye onay gnderir -ki bu durumda birey

bilgisini onaylamtr- ya da Milieu bireye uyar gnderir -ki birey bu durumda da bilgisinin

eksik veya tamamen yanl olduunun farkna varr-. Bu ikinci halde birey durumunu

dzeltme yoluna giderek Milieuye yeni bir etki gnderir. Birey gnderdii tm etkiler iin

Milieuden onay alnca renme gereklemi olur.

Grld gibi MOKde, ksaca bir renme ortamnda renenin etkileimde

olduu her ey (materyal, akran, retmen, bilgi, bilgisayar, ) eklinde tanmlanabilen

Milieu kavram anahtar rol oynamaktadr. renme ortamnda rencilere eylemde

bulunma imkn salayan, rencilerin gerekletirdikleri eylemler zerinde veya

rencilerin dnme ilemlerini gerekletirmelerinde etkisi olabilen Milieu, bir bakma

zihinsel gereklerin ve materyallerin bir bilekesidir. Bu dorultuda renci ile Milieu

arasndaki etkileim sistemi hem bir sonu hem de bir bilgi kaynadr. renci Milieuye etki



gnderdiinde, Milieuden bilgi ve dnt alabilmekte ve ayrca rencinin nbilgileriyle

kurulmu dengesi de bozulabilmektedir (Laborde & Glorian, 2005).

Bu kuramda bir renme ortam retmenin belirdii hedeflere ulamak iin

rencilerin eski bilgilerini ie kotuklar ve yeni bilgiler yaplandrdklar etkinlikler btn

olarak tanmlanmaktadr. Matematiksel renme ortamlar kuramna gre eit renme

ortam mevcuttur (Arslan, 2009):

Didaktik Ortamlar: retmenin, rencilerinin bilgilerini ortaya karmak, deitirmek veya rencilerine yeni bilgiler vermek amacyla niyetini de belli ederek

hazrlam olduu ve uygulad ortamlardr. Bu tr ortamlarda reticinin barol oynamasna

karn ortam bazen renci merkezli de olabilir.

Adidaktik Ortamlar: Bu tip ortamlarda sorumluluun retmenden renciye kaymas sz konusudur. retmenin rol snrldr ve birey Milieu ile etkileim neticesinde renir. Bu

ortamlar, renme amal dzenlenmitir ancak renci retim amalarndan haberdar

deildir. Kurama gre bir ortamn adidaktik olmas iin sahip olmas gereken belli bal

artlar vardr: i) renci renme ortamnda sunulan problemi belirli bir aamaya kadar

zebilecek nbilgilere sahiptir ancak zm tamamlayacak seviyede deildir. ii) renci

balang stratejisi ortaya atabilmelidir. iii) Balang stratejisinin zm iin yetersiz olmas

ve bu yetersizliin kendini gstermesi gerekir. iv) Onay iin bir Milieu olmal ve Milieu

dnt vermelidir. v) Dntler dorultusunda alnan sonulara gre ortam tekrarlanabilir

zellie sahip olmaldr.

Didaktik Olmayan Ortamlar: Bilgi aktarma veya eitim retim amacyla tasarlanm olmayan ortamlardr.

Brousseau (1998) bir renme ortamnn be evreden olutuunu ifade etmekte ve

aadaki gibi tanmlamaktadr (Arslan, 2009):

1. Sorumluluk Aktarma (Devolution) Evresi: retmen, ortamn gerekli hazrlklarn

yaparak renciye roln bildirir ve aradan ekilir. Bu aamada renci grevini

anlam ve sahiplenmitir.

2. Eylem (Action) Evresi: Birey renme ortamndadr ve Milieu ile etkileim

halindedir. renci Milieuye bir takm etkiler yaparak Milieuden dntler alr. Bu

dntler neticesinde birey bilgisini yanlsa dzletir, eksikse tamamlar. Bu aamada

birey baz bilgiler elde etmitir, ancak elde edilen bu bilgilerinin tam olarak farknda

deildir ve onlar bir bakasyla paylaabilecek durumda da deildir.



3. fade Etme (Formulation) Evresi: Bir nceki evrede birey elde etmi olduu rtk

bilgileri ifade ederek bakalaryla paylar. kinci aamada olduu gibi bu aamada da

birey Milieu ile etkileim halindedir ve Milieunun bir paras olan dier bireylerle

fikir alverii yapmaktadr (ekil 2). Alc ve verici konumundaki bu bireyler yazl

veya szl etkileimde bulunabilecekleri gibi basit bir matematiksel dil de

kullanabilirler. Bu aamann sonucunda belli bir model (bilgi) ortaya kar. Bu model

daha nce bilinen veya renilen kurallar yardmyla ifade edilir.

ekil 2 renme Ortamlarnda fade Etme Aamas

4. Onaylama (Validation) Evresi: Bu evrede rencinin bir nceki evreden elde ettii ve

deneysel olarak ksmen ispatlad modelin veya bilgilerin neden doru veya yeterli

olduunu ispat etmesi gerekir. spatn geerli olmas iin kar taraf ikna etmesi

gerekir (ekil 3).

ekil 3 renme Ortamlarnda Onaylama Aamas

nerenle muhatap bir nceki aamadaki gibi srekli etkileim halinde deildir.

ekil 3ten de grld gibi neren matematiksel bilgiyi muhatabna bir iddia veya



tez olarak sunar, neren Milieuden de destek alarak modelini aklar. Muhatap, ek

bilgi isteyebilir, baz ksmlar reddedebilir veya neriyi tamamen onaylayabilir. Bu

ilemler srasnda muhatap da Milieu ile etkileimdedir ve neriyi test eder.

5. Kurumsallatrma (Institionnalization) Evresi: Bir nceki aamada onaylanan

matematiksel bilgi artk snfn bilgileri arasndadr. Ancak henz resmi bir statye

sahip olmamtr ve ismi de konmamtr. Bilginin resmiletirilmesi, isminin verilmesi

ve genellemesi ilemlerine kurumsallatrma denir. Son aamada yaplacak bu i,

retmenin grevidir.

Yukarda tantlan aamalar, ideal bir renme ortam iin geerli olup ortamn

niteliine gre deiiklik gsterebilir. Bu balamda, baz evreler renme ortamnn, bilginin

ve renenlerin niteliine gre snk geebilecei gibi baz evreler arasnda gelgitler de

ortaya kabilir. Hatta renenlerin bilisel seviyesinin yetersiz olduu durumlarda fade Etme

ve Onaylama evreleri ve hatta Eylem evresi gereklemeyebilir.

Literatr incelendiinde Brousseaunun ortaya att kuram tantmaya ynelik Trke

haricindeki dillerde almalara rastlanmaktadr (Bessot, 1994; Brousseau, 1998, Brousseau,

2002). Bununla birlikte adidaktik ortamlara ynelik bir aratrmaya ulalmtr (Samaniego

ve Barrera, 1999). Yazarlar almalarnda ABDde TI-92 hesap makineleri yardmyla

fonksiyonlarn retimine ynelik bir adidaktik ortam tasarlamlardr. Ancak almada snf

ii uygulamadan ve sonulardan bahsedilmemektedir.

Ama

Bu almann amac, Matematiksel renme Ortamlar Kuram (MOK) ile bu

kuramda nemli bir yere sahip olan Adidaktik renme ortamlarn tantp bu tr ortamlarn

farkl evrelerinde yaananlar incelemektir.

Aratrma Problemi

almann problemi, MOKda yer alan Adidaktik renme ortamnn farkl

evrelerindeki yaantlar nelerdir? eklinde belirlenmitir.

almann nemi ve Gerekesi

Matematiksel renme Ortamlar Kuramna ynelik olarak Trkiyede yaplan

almalara rastlanmadndan byle bir almann sz konusu kuram tantaca



dnlmektedir. Dier yandan adidaktik ortamlarn yukarda verilen tanm ve evreleri

dikkate alndnda bu ortamlarn yaplandrmac renme teorisinin bir uygulama modeli

olarak kullanlabilecekleri anlalmaktadr. Trkiyede bilinmeyen bir uygulama modelini

ortaya karp retmen ve aratrmaclarn kullanmna sunacandan ve yaplandrmacln

snftaki uygulama modellerinden olan 4E, 5E ve 7E gibi modellerden farkl bir bak as

kazandracandan bu alma ayrca bir nem kazanmaktadr.

Dier yandan, adidaktik ortamlarla ilgili olarak daha nce yaplm uygulamal

almalara Samaniego ve Barrera (1999) haricinde literatrde rastlanmamtr. Bu nedenle bu

almann ileride yaplacak almalara yol gsterici olaca dnlmektedir.

Yntem

Nitel bir aratrma olan bu almada zel durum yaklam (case-study) kullanlmtr.

zel durum yaklam, bir veya birka olay derinlemesine inceleme imkan sunduundan

(Cohen, Manion ve Morrison, 2005) ve bu almada adidaktik renme ortamnda renci

yaantlar etraflca incelenmek istendiinden bu yntemin uygun olaca dnlmtr.

Katlmclar

alma Rizenin ayeli ilesindeki bir ilkretim okulunun 8. snf 25 rencisi ile

2008-2009 retim yl bahar dneminde gerekletirilmitir. Katlmclar, amal rneklem

yntemi ile seilmilerdir. Tasarlanan adidaktik ortam rencilere genlerin arlk

merkezini buldurmay amaladndan renci grubunun seimi, snfn matematik retmeni

ile yaplan grme sonucunda gerekletirilmitir. rencilerin kenarortay tanmn bilme ile

gende kenarortay, kenar orta dikme, aortay ve ykseklii ina eder kazanm gibi

nbilgilere sahip olmalarna ve genin arlk merkezini bilmemelerine dikkat edilmitir.

Veri Toplama Arac

Veri toplama arac olarak snf ii gzlemler kullanlmtr. Burada verilerin toplanmas

aamasnda katlml gzlem teknii kullanlmtr. Hazrlanan ortamn farkl safhalarnda

yaananlar gzlemlemek ve her evrede yaanan ayrntlar daha ak bir ekilde

gzlemleyebilmek iin veriler video ile kayt altna alnmtr. Bu kaytlar daha sonra her bir

evrede meydana gelen deiimleri incelemek asndan aratrmaclar tarafndan

deerlendirilmi ve her bir evre iin renci yaantlar ayrntlar ile verilmitir. Bu esnada

rencilerden alnan yorumlar da gzlemleri destekler nitelikte sunulmutur.



Uygulama Sreci

almada rencilere bir genin arlk merkezi buldurulmaya ynelik bir adidaktik

ortam tasarlanp uygulanmtr. alma esnasnda renciler rastgele beerli gruplara

ayrlarak her bir gruba mukavvadan yaplm genler, yapkanl ubuklar, denge

dzenekleri (Bkz. Ek-1) yeterli sayda temin edilmitir. rencilere farkl zelliklere

(ekenar, ikizkenar, eitkenar gen; dik, dar, geni al gen) sahip genler verilerek

bulduklar zelliklerin farkl trdeki genler iin de geerli olup olmadklarn test etmeleri

salanmtr. Bu materyaller, rencilerin etkileime girebilecekleri yani etki gnderip

karlnda bilgi ve dntler alabilecekleri Milieunn birer parasdr. Ancak daha nce de

sylendii gibi Milieu sz edilen materyallerle snrl kalmayp, rencinin grup arkadalar,

n bilgileri ve retmen gibi bileenlere de sahiptir.

almada kullanlan etkinlik ve materyaller aratrmaclar tarafndan hazrlanmtr.

alma bir ders saati srmtr. Bu esnada aratrmaclar genelde yaplan almalar

gzlemlemekle yetinmi ve rencilerden gelen sorular, ulamalar beklenen doru cevaba

ynlendirmemeye dikkat ederek genel cevaplarla yantlamlardr.

Bulgular ve Yorum

Snf-ii gzlemler ve video kaytlarnn incelenmesi sonucunda her evrede gerekleen

olaylar, diyaloglar, Milieu ile etkileimler, renme ortamnn evreleri dikkate alnarak,

aada verilmitir.

Adidaktik ortamlarn kullanmna ynelik olarak daha nce yaplm bir almaya

rastlanmadndan elde edilen verilerin tartlmas i geerliliine baklarak yaplmaya

allmtr. geerlilik, aratrma sonularna ularken izlenen srecin allan gereklii

ortaya karmadaki yeterlii ile ilgilidir (Yldrm & imek, 2008). Bu nedenle her evrede

gzlenen etkileimler ayrntl olarak verilmi, elde edilen bulgularn, oluturulan kavramsal

ereve ile uyumlu olduu yaplan etkinlik srasndaki evrelerde gzlenen etkileimlerin,

adidaktik ortamlardaki evrelerle ayn zellikleri tadnn belirlenmesi ile gsterilmitir.

1. Sorumluluk Aktarma Evresi: gruplara eitli kenar uzunluklarna ve a deerlerine

sahip genlerle (ekenar, ikizkenar, eitkenar genler; dik, dar, geni al genler)

birlikte cetvel, yapkanl ubuklar ve denge dzenekleri verilmitir (Bkz Ek-1).

Aratrmaclar materyalleri genel zellikleriyle tanttktan sonra rencilerden genleri

yzeye paralel bir ekilde tutabilecekleri denge noktalarn belirlemelerini istemilerdir.

Aratrmaclar bu evrede arlk merkezi kavramn kullanmayp, bu kavram temsil etmek



zere daha somut olan denge noktas kavramn kullanmlardr. Ardndan bu noktalarn

yerine dair fikir yrtmeleri rencilerden istenerek, denge noktasnn yerine dair genel

zelliklerin bulunmas gerektii rencilere bildirilmitir. Bylece dersin sorumluluu

renciye aktarlm ve bylelikle aratrmaclar alma ortamndan ekilmilerdir.

2. Eylem Evresi: Bu evrede renciler, genleri alarna ve kenarlarna gre

inceledikten sonra Milieu ile etkileime girip genleri dengede tutan noktalar tespit etmeye

alm ve belirledikleri noktalar iaretlemilerdir. renciler, bu evrede gemi

renmelerini de kullanarak birok yorum ve deneme yapmlardr. Yaplan yorumlara

verilen rneklerden bazlar aadaki gibidir:

Bu nokta Pisagor bants ile bulunur. Euclides bantsn kullanacaz.

Yaplan yorumlardan sonra renciler kendilerine verilen genlerde denge

noktalarn, yapkan ubuklar ve denge dzenekleri yardmyla genlerde belirledikleri

eitli noktalar zerinde denemeler yaparak tespit etmeye almlardr. Bu denemeler

esnasnda her bir yanl nokta doru noktay bulmaya giden yol iin bir dnt olmutur.

rnein bir renci ayn gen zerinde denge noktas olarak dnd birbirine ok yakn

olan nokta belirlemi (ekil 4) ve ardndan iaretledii noktalar deneyerek Milieuden

ald dntler sonucunda tek bir denge noktas olduuna kanaat getirmitir.

ekil 4 eitkenar bir gende denge noktas olarak iaretlenen ayr nokta

Bu evrede renciler, birok deneme yapm olmalarna ramen Arlk Merkezi

kavramnn hangi zellie sahip olduu konusunda bir bilgiye sahip deildirler. Zaten

rencilerin seimi srasnda genin kenarortay, aortay, ykseklik gibi zellikleri renmi

olmalar kstas alnm ve bylelikle henz bilmedikleri bir kavram olan genin arlk

merkezi kavramn gemi bilgileri, Milieuden alnan dntler ile kefetmeleri

amalanmtr. Bu evrede grup halinde almaya balam olsalar bile rencilerin grup

iinde bireysel olarak altklar gzlemlenmitir. Gzlenen dier bir durum ise hemen



hemen tm rencilerin genlerde sadece bir tane denge noktas bulmu olmalardr. Birden

fazla noktada genleri dengede tutabileceini dnen renciler ise zamanla Milieuden

ald bilgi ve dntler sonucunda tek bir denge noktas olduunu fark etmitir.

3. fade Etme Evresi: Eylem evresinde Milieu ile etkileim halinde olan renciler bu

evrede ise bilgilerini paylamlar, yorumlamalar yapmlardr. fade etme aamasnda denge

noktasnn yerine dair ortaya kan fikirler genel itibariyle 3 gruba ayrlabilir:

a) Bulunan denge noktasndan geecek doru paralar oluturulmas

Bu evrede en sk karlalan durumlardan biri, rencilerin Milieuden aldklar dntler

sonucunda arlk merkezini iaretlemelerinin ardndan bu noktann yeri sorulduunda denge

noktasndan geen dorularn kesim noktasdr trnden cevaplar alnmasdr. Yani

renciler nce arlk merkezindeki noktay belirlemi, daha sonra genin gerek

kenarortay doru paralarna yakn grnen doru paralarn rastgele oluturarak savlarn

aklamaya almlardr (ekil 5). Bu tarz dnce sistemine sahip rencilerin onaylama ve

ifade etme aamalar arasnda geiler yaptklar grlmektedir. Rastgele oluturduklar doru

paralarnn genin kenarortaylar olduunu fark edebilen renciler byk bir ipucu

yakalayabilmiken, bu durumu fark edemeyen rencilere ise materyallerin olmamas halinde

denge noktasnn yerinin nasl bulunacaklar zerinde sorular sorularak rencilerin farkl bir

adan bakmalar salanmtr.

ekil 5 rencilerden birinin izdii denge noktasndan geen doru paralar

b) rencilerin n bilgileri sayesinde amaca ulamaya almalar

Bu aamada en sk rastlanan dier bir durum ise rencilerin Milieu araclyla

iaretledikleri denge noktalarn ifade edebilecek matematiksel kavram arayna girmeleridir.

Bu amala en sk telaffuz ettikleri kavramlar ykseklik, aortay, kenarortay olmutur.

rencilerden bazlar ayn gen zerinde bir keden aortay, kenarortay ve ykseklii



oluturmu (ekil 6) ve bunlar arasnda karlatrma yaparak denge noktasndan

gemeyenleri elemilerdir. Denge noktasnn kenarortay zerinde olduunu fark edebilen

renciler artk bu kavram zerine younlamaya balamlar, Milieuye bu dorultuda etkiler

gndermeye balamlardr. Ayrca zel olarak ekenar gende sz edilen bu kavramlar

deneyen renciler onaylama evresinde ek zellikler oluturma frsat yakalamlardr.

ekil 6 eitkenar bir gende oluturulan ykseklik, aortay ve kenarortay

Denge noktasnn genlerin kenarortayndan getiini grmelerine ramen kimi

renciler bu kavramda sknt yaamtr. rnein denge noktasnn, oluturduu

kenarortaydan getiini grdkten sonra kenarortaylarn kesim noktasnn denge noktas

olduunu dnen rencilerden biri, genin dier kenarortaylarn yanl oluturmas

sebebiyle (ekil 7) savnn doru olmadn dnm ve baka bir sav arayna girmitir.

ekil 7 rencilerden birinin hatal izdii gen kenarortaylar

c) Dier cevaplar

Kimi renciler denge noktasnn yerini belirlerken eitli savlar ne srerek yola

kmlar ve bu savlarn Milieu araclyla test etmilerdir. rencilerin bir ksm bu evrede

fikirlerini ifade etmesi ynleri ile verici, bir ksm da alc konumundadr. Bu fikir

alveriinden sonra renciler cetvelle lm yapmaya balamlardr. Testler neticesinde

fikirlerinin yetersiz olduunu anlamlardr. Bu savlardan bazlar aadaki gibidir:

genin tam ortas. Tam dengede durduu yer olmuyor mu?



Bu nokta emberin tam ortas (renci genin iine iaretledii denge noktasn merkez kabul edecek ekilde bir ember oluturmutur).

Denge noktas, genin dndan gene dik inen [yapkanl] ubukla bulunur. Bu evrenin sonunda rencilerin byk ksm, genin arlk merkezinin yerini

belirlemi ve gemi bilgileriyle rten eitli aklamalarda bulunmulardr. Fakat hala

renme tam olarak gereklemi saylmaz. nk rencilerin, elde ettikleri bilgileri ve

onayladklar bilgilerin neden doru ve yeterli olduunu ispatlamalar gerekmekte ve alc

durumunda olan arkadalarna bu ispat kabul ettirmek durumundadrlar.

4. Onaylama Evresi: Bu aamada renciler, bir nceki evreden elde ettikleri ve

deneysel olarak ksmen ispatladklar modelin veya bilgilerin neden doru veya yeterli

olduunu lmlerle destekleyerek ispat etmeye almlardr. Kimi renciler kendilerine

verilen tm genlerde kenarortaylarn kesim noktasnn denge noktas olduunu

gstermilerdir. Bu aamada zme ulaan renciler, zme ulaamayan grup

arkadalarna bulduklar zmn ispatn yaparak onlar da renilmesi beklenen konuda

ikna etmiler ve onaylama srecinin bir parasn oluturmulardr.

Aada onaylama evresine ait aratrmacyla bir renci arasnda geen diyaloglar yer

almaktadr. Bu renci genlerin kenarortaylarn oluturmu, denge noktasndan getiini

deneysel olarak ksmen ispatlam ve bu durumu aratrmacya yle ifade etmitir:

renci: retmenim, bir gende kenarortaylarn kesitikleri nokta denge noktasdr!

Aratrmac: Nereden anladn bunu?

renci: Bakn retmenim, bu kenarn uzunluunu ltm 17cm, buray ltm 12

cm, buray ltm 10 cm. Hepsinin orta noktalarn belirledim ve u [kar] kelerden

birletirdim. Bakn, denge noktasndan geti.

Aratrmac: Dier genler iin de byle midir?

renci: Evet retmenim denedim, onlarda da oluyor.

Aratrmac: O halde neye karar verdin?

renci: Bir gende kenarortaylarn kesitii nokta denge noktasdr.

Yukardaki rnekte renci Milieuden ald dntler yardmyla genin her bir

kenarnn kenarortaylarn doru bir ekilde izerek lmleriyle desteklemi ve

kenarortaylarn kesim noktasnn, eylem ve ifade etme aamasnda belirledii genin denge

noktas ile aktn bularak onaylama evresini tamamlamtr. Ayrca baz renciler

ekenar gen iin arlk merkezinin aortaylarnn ve yksekliklerinin kesim noktas



olduunu da kefetmilerdir. rencilerden bazlar bu zellii kendileri kefetmiken bazlar

ise Milieunn bir bileeni konumundaki aratrmacnn dntleri ile bu zellie ulamlardr.

Aada bu durumu rneklendiren ve aratrmacyla bir grubun iki yesi arasnda geen

diyaloglara yer verilmitir. Bu grup yeleri belirledikleri denge noktasnn kenarortaylarn

kesim noktas olduklarn ispat etmilerdir.

Aratrmac: Peki her bir gen iin ayn ekilde sadece kenarortaylarndan m

bulunuyor denge noktas? Mesela ykseklik, aortay olmaz m? (renciler dnr,

genler zerinde lmler yaparlar)

renci 1: Ekenar gende hem kenarortay hem de aortay oluyor! Zaten alarn

bldmzde 300 ve 300 oluyor ve kar kenin tam ortasndan geiyor. Kenarortayda

bulduumuz denge noktasndan geiyor, kenarda da ada da ayn oluyor. Ama ikizkenar ve

eitkenar gende sadece kenarortaylarn kesim noktas oluyor.

renci 2: Yani ekenar gende kenarortay ve aortaylarn kesim noktas olabiliyor

ama ikizkenar ve dier gende sadece kenarortaylarn kesim noktas oluyor.

Aratrmac: Evet, genler iin ortak olarak denge noktasnn kenarortaylarnn kesim

noktas olduundan sz etmitiniz. Ama ekenar gen iin ne diyorsunuz imdi?

renci 1: Hem kenarortay hem de aortay.

Aratrmac: Peki ykseklik iin ne sylenebilir?

renci 2: Ykseklik, h Hocam ama bu genin ykseklii ok farkl olur, mesela bu

keden tutunca farkl buradan tutunca farkl Ben bunun yksekliiyle yola kamam ki.

(renci dikkat etmeyerek ekenar gen yerine eitkenar gen alarak inceleme yapmtr)

renci 1: Ekenar gende de ayrca yksekliklerin kesitikleri nokta.

Aratrmac: Niin?

renci 1: Ykseklikler de ekenar gende kenarlarn tam orta noktalarndan geiyor,

ama dier gende bu zellik salanmyor.

renci 2: retmenim ben eitkenar gen almm, o yzden yksekliklerin kesim

noktas denge noktasndan gemiyor. Ama ekenar gende bakn geiyor.

Aratrmac: O halde ekenar gende denge noktas nerelerde olabiliyor?

renci 2: Hem aortay, hem kenarortay hem de yksekliklerin kesitii nokta oluyor.

Yukarda verilen diyalog, rencinin Milieu (aratrmac da Milieunn bir parasdr)

ile etkileim sonucunda renmesine dair bir rnektir.



5. Kurumsallatrma Evresi: Onaylanan bilgi artk tm snfn bilgisi haline gelmitir.

Her ne kadar grup ii etkileim ile bilgi tm rencilere iletilse de henz resmi bir statye

sahip olmam ve ismi de konmamtr. Problem olarak verilen denge noktasn bulma, artk

genin arlk merkezi kavramnn verilmesi gereken kurumsallatrma aamasndadr. Bu

aamada aratrmaclar tarafndan denge noktas ad verilen noktann genin arlk merkezi

olduu rencilere aklanm, arlk merkezinin nasl bulunduu rencilerce tartlm,

ekenar gende arlk merkezinin belirlenmesindeki ek zellikler irdelenmitir. Ayrca

arlk merkezinin gnlk hayattaki kullanmlar hakknda ksa bilgiler verilip, rencilerin de

verdikleri rneklere yer verildikten sonra renme ortamnn tm aamalar tamamlanm ve

arlk merkezi kavram artk snfn bildii bir kavram haline gelmitir.

Sonular

Bu almada Matematiksel renme Ortamlar Kuram ksaca tantldktan sonra, bu

kuramda nemli bir yer tutan baz kavramlar ile kuramn tanmlad farkl renme ortam

tantlmtr. Ardndan adidaktik ortamna uygun olarak hazrlanan bir etkinlik uygulanarak bu

ortamn aamalar incelenmi ve her bir aamada rencilerin Milieu ile etkileimleri tespit

edilmeye allmtr. Bu dorultuda rencilerin neler yaptklar ve sonuca ulamak iin ne

gibi srelerden getikleri ayrntl bir ekilde incelenmitir.

Bu aamalara genel olarak bakldnda Sorumluluk Aktarma aamasnda gerekli

hazrlklar yaplarak renciler problem durumuyla yz yze braklm ve onlara grevler

yklenmitir.

Eylem evresinde grup halinde almaya balam olsalar bile rencilerin grup iinde

bireysel olarak altklar gzlemlenmitir. renciler Milieu ile etkileime girip genleri

dengede tutan noktalar tespit etmeye alarak bu noktalar iaretlemilerdir. Belirledikleri bu

noktalar rencilerin, gemi bilgilerinden de yararlanarak problem durumu zerinde deneme,

lm ve yorum yapma, destekleme, ispat etme gibi davranlar sergileyebilmelerine zemin

hazrlamtr. Milieuye gnderilen etkilerden (yapkan ubuklar ve denge dzenekleri

yardmyla) sonra genlerde farkl denge noktalar belirlenmi ve renciler denemeler

esnasnda Milieuden dntler alarak cevaplarn dzenlemilerdir. Bylece birden fazla

noktada genleri dengede tutabileceini dnen renciler zamanla Milieuden aldklar

bilgi ve dntler sonucunda tek bir denge noktas olduunu fark etmilerdir.



Eylem evresinde Milieu ile etkileim halinde olan renciler fade Etme aamasnda

ise bilgilerini paylam ve yorumlamalar yapmlardr. Bu evrede rencilerin zaman zaman

Eylem evresine geri dndkleri zaman zaman da onaylama evresine ilerledikleri ortaya

kmtr.

Onaylama evresinde ise renciler, bir nceki evreden elde ettikleri ve deneysel

olarak ksmen ispatladklar modelin veya bilgilerin neden doru veya yeterli olduunu

lmlerle destekleyerek ispat etmeye almlardr. Bu balamda Milieuden aldklar

dntler yardmyla renciler, genin kenarortaylarn doru bir ekilde izerek

lmleriyle desteklemi ve kenarortaylarn kesim noktasnn, genin denge noktas ile

akt sonucuna varmlardr. Ayrca baz renciler ekenar gen iin arlk merkezinin

aortaylarnn ve yksekliklerinin kesim noktas olduunu da kefetmilerdir. Bu aamada

zme ulaan renciler, zme ulaamayan grup arkadalarna bulduklar zmn

ispatn yaparak onlar da renilmesi beklenen konuda ikna etmiler ve onaylama srecinin

bir parasn oluturmulardr.

Kurumsallatrma aamasnda aratrmaclar tarafndan denge noktas ad verilen

noktann genin arlk merkezi olduu rencilere aklanm, arlk merkezinin nasl

bulunduu rencilerle tartlm, ekenar gende arlk merkezinin belirlenmesindeki ek

zellikler irdelenmitir. Ayrca arlk merkezinin gnlk hayattaki kullanmlar hakknda

ksa bilgiler verilip, rencilerin de verdikleri rneklere yer verildikten sonra renme

ortamnn tm aamalar tamamlanm ve arlk merkezi kavram artk snfn bildii bir

kavram haline gelmitir.

Bu almada ortaya kan sonulardan biri de adidaktik ortamlarn aamalar arasnda

hiyerarik bir sra olmaddr. Bu balamda, renci kar taraf ikna edemezse, yanl

olduunu fark ederse vs. nceki aamalara tekrar geri dnebilmekte ve bylece farkl

aamalar arasnda gidip gelmeler yaayabilmektedir. Dier yandan rencilerin farkl

evrelerde (zellikle fade etme ve onaylama) zaman zaman tkanmalar yaadklar

gzlenmitir. Bu tr durumlarda ortamn zelliklerine zarar vermemesine zen gsterilerek

aratrmaclar tarafndan gerekli ynlendirmeler yaplmtr.

neriler

Yaplan alma, sadece bir ders saati boyunca yrtlm ve sadece bir adidaktik ortam

zerinden kuram rneklendirilmeye allmtr. Yaplandrmac yaklam temele alan

retim programn destekler nitelikteki MOK kullanlarak yeni etkinlikler dier



aratrmaclar tarafndan gelitirilip kuramn rneklendirilmesi eitlenebilir ve bu

rneklendirmeler arasnda karlatrmalar yaplabilir.

Dier yandan, adidaktik ortamn bulu yoluyla renme ve yaplandrmac gibi

kuramlarn uygulamasna ynelik bir model olduu dnldnden retmenlerin de

snflarnda adidaktik ortamlar tasarlayp uygulamalar nerilmektedir.

Kuram iinde kurumsallatrma evresinde en aktif grevi alan retmen, dier evrelerde

aktif olan rencileri Milieu ile etkileim halinde brakt iin kalabalk snflarda renci

kontrol ok zor olmaktadr. rencilerin Milieu ile etkileimlerini engellememek adna

serbest braklan rencilerin kontrolnn salanabilmesi ve bylece adidaktik ortamn

aamalarnn salkl ilerleyebilmesi iin daha az sayda renci ile alma yapmann daha

faydal olabilecei dnlmektedir.

Kaynaka

Arslan, S. (2009). Matematik retiminde Dnce Farkllklar 2008-2009 Bahar Dnemi

Yaynlanmam Ders Notlar. Karadeniz Teknik niversitesi. Fen Bilimleri Enstits.

Bessot, A. (1994), Panorama del quadro teorico della didactica matematica. LEducazione

Matematica, 15(4) Vol 1.

Brousseau, G. (1998). Theory of didactical situations in mathematics: didactique des

mathmatiques, 1970-1990, Kluwer Academic, Dordrecht.

Brousseau, G. (2002). Theory of Didactical Situations In Mathematics. London: Kluwer

Academic Publisher.

Chevallard Y. (1985). La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseign.

Grenoble: La Pense Sauvage.

Cohen, L.; Manion, L. & Morrison, K. (2005). Research Methods in Education(5 th Edition).

London and NewYork; Routledge Falmer Taylor and Fracis Group.

Laborde, C. & Perrin-Glorian, M. J. (2005). Teaching Situations as Object of Research:

Empirical Studies within Theoretical Perspectives. Educational Studies in Mathematics

59, 1-12.

Robert, A. (1988). Une introduction la didactique des mathmatiques. Cahier de Didactique

des Mathmatiques. No: 50, Paris: IREM de Paris-7 yaynlar.



Ruthven, K., Laborde, C., Leach, J. & Tiberghien, A. (2009). Design Tools in Didactical

Research: Instrumenting the Epistemological and Cognitive Aspects of the Design of

Teaching Sequences. Educational Researcher 38(5), 329-342.

Samaniego, A. H. F. ve Barrera, S. V. (1999) Brousseau in action: Didactical situation for

learning how to graph functions. Asian Technology Conference in Mathematics.

http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED451036.pdf.

Salam Arslan, A. (2008). Didaktikte Antropolojik Kuram ve Kullanmna Ynelik rnekler.

Gazi Eitim Fakltesi Dergisi, 28(2), 19-36.

Yldrm, A. & imek, H. (2008). Sosyal Bilimlerde Nitel Aratrma Yntemleri. Ankara:

Sekin Yaynlar.




EKLER

Resim 1 Resim 2

Resim 3 Resim 4

Resim 5 Resim 6

Resim 1: Uygulamada kullanlan eitli genler, denge dzenekleri ve yapkanl ubuklar

Resim 2: Uygulamada kullanlan bir denge dzenei

Resim 3: Denge dzenei yardmyla bir gende arlk merkezinin bulunmas denemeleri

Resim 4: Denge dzenei yardmyla arlk merkezi bulunmu bir gen

Resim 5: Yapkanl ubuk yardmyla bir gende arlk merkezinin bulunmas denemeleri

Resim 6: Yapkanl ubuk yardmyla arlk merkezi bulunmu bir gen.

Gioi Thieu LTTH (Tieng Duc)

Documents

Transcript of Gioi Thieu LTTH (Tieng Duc)