Geometri Ruang Euclid dimensi-n
-
Upload
linggasanjaya -
Category
Science
-
view
0 -
download
0
description
Transcript of Geometri Ruang Euclid dimensi-n
![Page 1: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/1.jpg)
MAKALAH GEOMETRI di RUANG
EUCLIDE DIMENSI-n
Lingga Sanjaya
Departemen Matematika/Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Gadjah Mada
![Page 2: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/2.jpg)
BERKAS BIDANG DATAR-n
(n-Hyper Plane)
Definisi.1.1
Diberikan bdaing datar-n V1 dan V2. Himpunan ๐ต = {๐1 + ๐พ๐2 = 0, ๐พ โ ๐ }
disebut berkas bidang-n B yang dibangkitkan oleh V1 dan V2; dan
๐1 + ๐พ๐2 = 0
Disebut persamaan bidang-n B.
Suatu hyperline-n pada berkas bidang datar-n disebut hyperline-n pokok.
Dua buah bidang datar-n yang membentuk berkas bidang datar-n disebut bidang
pokok.
Sifat.1
Setiap bilangan ๐พ โ ๐ menentukan tepat satu anggota
Bukti:
Misalkan suatu bidang-n
๐1 + ๐พ๐2 = โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = 0
Ambil sebarang ๐พ๐ ๐๐๐ ๐พ๐ โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐พ๐ โ ๐พ๐. Akan dibuktikan ๐๐ โ ๐๐
Diperhatikan:
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ๐(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = โจ๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ (๐ฝ1 + ๐พ๐. ๐ฝ2) = 0
Dan
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ๐(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = โจ๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ (๐ฝ1 + ๐พ๐. ๐ฝ2) = 0
Karena ๐พ๐ โ ๐พ๐ maka diperoleh:
โข ๐พ๐ โ ๐พ๐ โ ๐ผ2. ๐พ๐ โ ๐พ๐. ๐ผ2 โ ๐ผ1 + ๐ผ2. ๐พ๐ โ ๐พ๐. ๐ผ2 + ๐ผ1
Sehingg ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐โ ๐ฆ๐๐๐ ๐ ๐๐๐.
โข ๐พ๐ โ ๐พ๐ โ ๐ฝ2. ๐พ๐ โ ๐พ๐. ๐ฝ2 โ ๐ฝ2. ๐พ๐ + ๐ฝ1 โ ๐พ๐. ๐ฝ2 + ๐ฝ1
Sehingga ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐ ๐๐๐.
Dengan demikian untuk setiap pengambilan ๐พ โ ๐ menentukan satu buah
anggota.(bukti selesai)
Sifat.2
Setiap anggota memuat hyperline-n pokok.
Bukti:
Misalkan bidang-n yang dibangkitkan oleh :
๐1: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0 Dan ๐2: โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0 , katakanlah
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = 0 . karena V1 dan V2 adalah bidang
pokok yang tak sejajar, maka ๐1 โ ๐2 dan berpotongan pada hyperline-n
pokok, katakanlah:
![Page 3: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/3.jpg)
๐ป: {๐ โ ๐ |{โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0
Akan dibuktikan ๐ป โ ๐๐. Ambil sebarang ๐โ โ ๐ป. Karena ๐โmemenuhi
{โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0
, maka diperoleh:
๐๐: โจ๐ผ1, ๐โโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ(โจ๐ผ2, ๐โโฉ โ ๐ฝ2) = 0 + ๐พ0 = 0
Sehingga untuk setiap pengambilan ๐โ โ ๐ป, pasti ๐โmemenuhi ๐๐ = 0, dengan
demikian untuk setiap pengambilan ๐โ โ ๐ป, ๐โ berada di dalam ๐๐. Sehingga
๐ป โ ๐๐. Dengan demikian setiap anggota berkas bidang-n memuat hyperline
pokoknya. (bukti selesai)
Sifat.3
Setiap titik di laur hyperline-n pokok, dilewati tepat satu anggotanya.
Bukti:
Misal suatu berkas bidang-n dengan bidang-n pembangun:
๐1: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0 dan ๐2: โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0 katakanlah
๐ต = {๐1 + ๐พ๐2 = 0, ๐พ โ ๐ } dengan ๐1 ๐๐๐ ๐2 berpotongan pada hyperline-n
katakanlah:
๐ป: {๐ โ ๐ |โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0
โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0}
Ambil sebarang titik ๐โ โ ๐ ๐ di luar H, dengan demikian diperoleh:
|โจ๐ผ1, ๐โโฉ โ ๐ฝ1 = ๐ โ 0
โจ๐ผ2, ๐โโฉ โ ๐ฝ2 = ๐ โ 0
Maka terdapat ๐พ = โ๐
๐, sehingga:
โจ๐ผ1, ๐โโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ(โจ๐ผ2, ๐โโฉ โ ๐ฝ2) = ๐ โ๐
๐(๐) = 0
Dengan demikian terdapat satu bidang-n ๐๐ โ ๐ต, dengan
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = 0 dimana ๐พ = โ๐
๐, yang melewati setiap
titik di luar hyperline-n. (bukti selesai)
Sifat.4
Setiap anggota bidang datar-n, menentukan suatu ๐พ โ ๐ .
Bukti:
Misal suatu berkas bidang-n dengan bidang-n pembangun:
๐1: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 = 0 dan ๐2: โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2 = 0 katakanlah
๐ต = {๐1 + ๐พ๐2 = 0, ๐พ โ ๐ }. Telah kita ketahui setiap anggota berkas bidang
datar-n ditentukan oleh ๐พ โ ๐ . Diambil sebarang ๐๐ โ ๐๐ dengan
![Page 4: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/4.jpg)
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ๐(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = โจ๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ (๐ฝ1 + ๐พ๐. ๐ฝ2) = 0
Dan
๐๐: โจ๐ผ1, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ1 + ๐พ๐(โจ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ ๐ฝ2) = โจ๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2, ๐ฅโฉ โ (๐ฝ1 + ๐พ๐. ๐ฝ2) = 0
Kemudian karena ๐๐ โ ๐๐, maka :
๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2 โ ๐ผ1 + ๐พ๐. ๐ผ2 โ ๐พ๐. ๐ผ2 โ ๐พ๐. ๐ผ2 โ ๐พ๐ โ ๐พ๐
Dengan demikian setiap pengambilan sebarang ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ yang berbeda
menghasilkan bilangan ๐พ๐, ๐พ๐ โ ๐ yang berbeda pula. Sehingga setiap anggota
berkas bidang-n menentukan sauatu bilangan ๐พ โ ๐ . (bukti selesai)
Sifat.5
Setiap dua anggota berkas bidang datar-n dapat menjadi anggota pokoknya.
Bukti:
Misalkan suatu berkas bidang datar-n katakanlah ๐1 + ๐พ๐2 = 0. Selanjutnya
misalkan untuk sebarang dua anggota ๐๐ = 0 ๐๐๐ ๐๐ = 0 dengan
๐๐ = ๐1 + ๐พ๐. ๐2 = 0 ๐๐๐ ๐๐ = ๐1 + ๐พ๐. ๐2 = 0. Kemudian dibentuk bidang
datar-n yang dibangun oleh ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐โ ๐โฒ = ๐๐ + ๐พโฒ. ๐๐ = 0.
Kemudian diperhatikan:
๐โฒ = ๐๐ + ๐พโฒ. ๐๐ = 0
โ ๐โฒ = ๐1 + ๐พ๐. ๐2 + ๐พโฒ( ๐1 + ๐พ๐. ๐2) = 0
โ ๐โฒ = ๐1(๐พโฒ + 1) + ๐2(๐พโฒ๐พ๐ + ๐พ๐) = 0
โ ๐โฒ = ๐1 + ((๐พโฒ๐พ๐+๐พ๐)
(๐พโฒ+1)) ๐2 = 0
โ ๐โฒ = ๐1 + ๐. ๐2 = 0 dimana ๐ =(๐พโฒ๐พ๐+๐พ๐)
(๐พโฒ+1)โ ๐
Dengan kata lain pesamaan ๐โฒ dapat dinyatakan dalam persamaan ๐1 + ๐๐2 =
0, sehingga setiap dua anggota berkas bidang datar-n dapat menjadi anggota
pokoknya.(bukti selesai)
![Page 5: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/5.jpg)
LUASAN BOLA-n
(n-Hyper Sphere)
Luasan Bola di dalam Ruang Euclide berdimensi-n(Rn)
Luasan bola-n adalah kumpulan titik yang memeliki jarak tetap terhadap
suatu titik tertentu yang disebut titik pusat.
Definisi.2
Diberikan titik tetap ๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 0. Himpunan :
๐ = {๐ โ ๐ ๐: ๐(๐, ๐) = ๐}
Disebut luasan bola-n (n-Hyper Sphere) S. Titik ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐ก ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ก ๐,
skalar r disebut jari-jari S, dan ๐(๐, ๐) = ๐ disebut persamaan S.
Persamaan luasa bola-n S: ๐(๐, ๐) = ๐ equivalen dengan persamaan-
persamaan berikut:
1. โ๐ โ ๐โ = ๐ ๐๐ก๐๐ข
โ(๐ฅ๐ โ ๐๐)2 = ๐2
๐
๐=1
2. โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2
3. โจ๐, ๐โฉ โ 2 โ ๐๐๐ฅ๐ + ๐๐๐=1 = 0
Persamaan Luasan Bola-n melalui n+1 titik
Jika diberikan n+1 titik:{๐(๐), ๐(๐), โฆ , ๐(๐+๐)}โ๐ ๐ yang tak sebidang
maka, dapat dibentuk luasan bola-n yang melalui titik tersebut yaitu sama saja
dengan mencari bilangan-bilangan ๐0, ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ ๐๐๐ ๐ sedemikian sehingga
titik-titik tersebut terletak pada luasan bola-n:
๐0 โ ๐ฅ๐2
๐
๐=1
โ 2 โ ๐๐๐ฅ๐
๐
๐=1
+ ๐ = 0
Dengan kata lain menyelesaikan sistem n+2 persamaan homogen dengan n+2
unknwon:
|๐0 โ ๐ฅ๐
2๐๐=1 โ 2 โ ๐๐๐ฅ๐
๐๐=1 + ๐ = 0
๐0 โ ๐ฅ๐(๐)2
๐๐=1 โ 2 โ ๐๐๐ฅ๐
(๐)๐๐=1 + ๐ = 0 , ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐ + 1
![Page 6: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/6.jpg)
Selanjutnya sistem tersebut memiliki penyelesaian jika:
det(๐ด) =
|
|โ ๐ฅ๐
2
๐
๐=1
2๐ฅ1 โฏ 2๐ฅ๐ 1
โฎ โฑ โฎ
โ ๐ฅ๐(๐+1)2
๐
๐=1
2๐ฅ1(๐+1) โฏ 2๐ฅ๐
(๐+1) 1|
|
= 0
Teorema.1
Jika diketahui dari n+1 titik yang tidak sebidang {๐(๐), ๐(๐), โฆ , ๐(๐+๐)}โ๐ ๐,
maka terdapat luasan bola-n yang melalui n+1 titik tersebut yaitu:
|
|โ ๐ฅ๐
2
๐
๐=1
2๐ฅ1 โฏ 2๐ฅ๐ 1
โฎ โฑ โฎ
โ ๐ฅ๐(๐+1)2
๐
๐=1
2๐ฅ1(๐+1) โฏ 2๐ฅ๐
(๐+1) 1|
|
= 0
Bukti:
Karena persamaan luasan bola-n adalah
๐0 โ ๐ฅ๐2
๐
๐=1
โ 2 โ ๐๐๐ฅ๐
๐
๐=1
+ ๐ = 0
Maka dapat dicari koefisien-koefisien ๐0, ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ ๐๐๐ ๐ yaitu:
๐๐ = (โ1)1+๐|๐ด1๐| dengan i = 0,1,2,...,n+1
๐ = |๐ด1๐+2|
Dalam hal ini, |๐ด1๐|, k = 0,1,2,...,n+2 adalah determinan yang diperoleh dari
det(A) dengan mencoret baris ke-1 dan kolom ke-i. (bukti selesai)
Bidang Singgung-n suatu Luasan Bola-n
Jika diberikan suatu luasan bola-n ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 dan ๐(๐) โ ๐น๐
terletak pada luasan bola-n tersebut, maka persamaan
โจ๐ โ ๐, ๐(๐) โ ๐โฉ = ๐2
merupakan bidang datar-n yang memiliki vektor arah ๐(๐) โ ๐ dan melalui titik
๐(๐). Bidang datar-n tersebut berserikat dengan S di suatu titik yaitu ๐(๐). Jadi
โจ๐ โ ๐, ๐(๐) โ ๐โฉ = ๐2 merupakan bidang singgung-n pada luasan bola-n
๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 pada titik ๐(๐). Selanjutnya titik ๐(๐)disebut titik
singgung pada luasan bola-n tersebut.
![Page 7: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/7.jpg)
Secara khusus jika luasan bola-n memiliki titik pusat pada titik origin
(0,0,.....,0) dengan jari-jari r, maka persamaan bidang singgung-n di titik
๐(๐)pada luasan bola-n tersebut adalah:
โจ๐, ๐(๐)โฉ = ๐2
Kutub dan Bidang Kutub terhadap suatu Luasan Bola-n
Jika diketahui suatu luasan bola ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 dan sebarang titik
๐ โ ๐ ๐. Tentu dengan titik ๐ tersebut dapat dibentuk vektor ๐ โ ๐, sehingga
diperoleh bidang datar-n :
๐๐: {๐ โ ๐ ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2}
Bidang datar-n ๐๐disebut bidang kutub titik ๐ terhadap luasan bola-n S,
sedangkan titik ๐ disebut kutub bidang datar-n ๐๐ terhadap luasan bola-n S.
Selanjutnya untuk suatu luasan bola-n ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2, dapat
dihitung jarak antara titik pusat ๐: ๐ dan titik kutub ๐๐: ๐ yaitu:
๐ฟ(๐, ๐๐) =๐2
โ๐ โ ๐โ
Hal ini menghasilkan ketentuan-ketentuan berikut:
1. Jika titik ๐ di luar S, maka ๐๐ memotong S.
2. Jika titik ๐ di dalam S, maka ๐๐ tidak memotong S.
3. Jika titik ๐ pada S, maka ๐๐ berimpit dengan bidang singgung-n S di ๐.
Jika diberikan suatu luasan bola-n ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 dan suatu bidang
datar-n ๐: โจ๐, ๐โฉ = ๐พ sebagai bidang kutub suatu titik tertentu. Cara menemukan
titik kutub tersebut sebagai berikut:
Dimisalkan titik ๐ = (๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) โ ๐ ๐ adalah titik kutub dengan
๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ adalah unknwon. Titik ๐ memenuhi persamaan:
โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2
Yaitu bidang kutub titik ๐, yang ekuivalen dengan
โจ๐ โ ๐, ๐โฉ = ๐2 + โจ๐ โ ๐, ๐โฉ
Karena persamaan bidang kutunya adalah โจ๐, ๐โฉ = ๐พ, maka diperoleh
perbandingan
(๐1 โ ๐1)
๐1=
(๐2 โ ๐2)
๐2= โฏ =
(๐๐ โ ๐๐)
๐๐=
๐2 + โจ๐ โ ๐, ๐โฉ
๐พ
yang akan memberikn n persamaan dengan n unknwon, sehingga dengan
menggunkan penyelesaian sistem persamaan linear dapat diperoleh nilai dari
๐1, ๐2, โฆ , ๐๐. Dengan demikian diperoleh kutub ๐ yang dicari.
![Page 8: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/8.jpg)
Kuasa titik Terhadap Luasan Bola-n
Definisi.3
Diberikan suatu luasan bola-n ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2. Untuk sebarang titik ๐ โ
๐ ๐, fungsi ๐(๐): โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 disebut kuasa titik ๐ terhadap luasan bola-
n S.
Jika persamaan bola-n S yang diberikan adalah
โจ๐, ๐โฉ + ๐ด1๐ฅ1 + ๐ด2๐ฅ2 + โฏ + ๐ด๐๐ฅ๐ + ๐ต = 0
Maka fungsi kuasa sebarang titik ๐ โ ๐ ๐ ๐ adalah
๐(๐) = โจ๐, ๐โฉ + ๐ด1๐ฅ1 + ๐ด2๐ฅ2 + โฏ + ๐ด๐๐ฅ๐ + ๐ต
Himpunan kuasa terhadap beberapa luasan bola-n
Himpunan titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap beberapa
luasan bola-n tertentu disebut juga sebagai: bidang kuasa, n-hyperline kuasa,
garis kuasa, dan titik kuasa.
Bidang kuasa-n dari dua Luasan Bola-n
Diberikan dua luasan bola-n ๐1 ๐๐๐ ๐2 yang berbeda. Himpunan titik-
titik yang memiliki kuasa sama terhadap ๐1 ๐๐๐ ๐2 dapat dituliskan:
๐๐ = {๐ โ ๐ ๐: ๐1(๐) = ๐2(๐)}
n-Hyperline kuasa dari tiga Luasan Bola-n
n-Hyperline dapat diperoleh dari dua bidang datar-n. Jadi jika diberikan
tiga buah luasan bola-n S1=0, S2=0, dan S3=0 yang tidak sepusat dan tidak
mempunyai bidang kuasa yang tidak searah, maka ketiga bidang tersebut akan
menentukan tepat satu n-Hyperline yang dapat ditulis:
๐ป๐ = {๐ โ ๐ ๐: ๐1(๐) = ๐2(๐) = ๐3(๐)}
Disebut n-Hyperline kuasa ๐ป๐ terhadap tiga luasan bola S1,S2, dan S3.
Garis Kuasa dari n Luasan Bola-n
Diberikan n luasan bola-n ๐๐ = 0, ๐ = 1,2, โฆ , ๐ yang setiap dua luasan
bola-n tidak sepusat dan mempunyai bidang kuasa yang tidak searah. Pada n
luasan bola-n tersebut terdapat n titik pusat yang sebidang. Selanjutnya dapat
ditentukan arah bidang daar-n tersebut yang ternyata juga merupakan garis
kuasa dai n luasan bola-n tersebut. Dinotasikan :
๐ผ๐ = {๐ โ ๐ ๐: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐2๐ , ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐}
![Page 9: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/9.jpg)
Titik kuasa dari n+1 Luasan Bola-n
Diberikan n+1 luasan bola-n ๐๐ = 0, ๐ = 1,2, โฆ , ๐+1 yang setiap dua
luasan bola tidak sepusat dan mempunyai bidang kuasa yang searah. Himpunan
titik yang memilki kuasa yang sama terhadap n+1 luasan bola-n dinotasikan
sebagai:
๐๐ = {๐ โ ๐ ๐: ๐1(๐) = ๐2(๐) = ๐3(๐) = โฏ = ๐๐+1(๐)}
Lingkaran-n (n-Hypercircle)
Misalkan diberikan dua luasan bola-n S1 dan S2 maka hasil dari interkasi
dari kedua luasan bola-n tersebut diperoleh himpunan :
๐1 โฉ ๐2 {= โ
= ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐ โ โ
Definisi.4
Diberikan dua luasan bola-n yang tidak sepusat S1 dan S2, maka himpunan:
๐ถ = ๐1 โฉ ๐2
Disebut:
1. Lingkaran-n sejati C dari ๐1๐๐๐๐2 , ๐๐๐๐ ๐1 โฉ ๐2 โ โ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐.
2. Lingkaran-n khayal C dari ๐1๐๐๐ ๐2, ๐๐๐๐ ๐1 โฉ ๐2 = โ .
3. Lingkaran-n titk C dari ๐1๐๐๐ ๐2 , ๐๐๐๐ ๐1 โฉ ๐2 = ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐.
Definisi.5
Diberikan luasan bola-n S dan bidang datar-n V, maka himpunan:
๐ถ = ๐ โฉ ๐
Disebut:
1. Lingkaran-n sejati C dari ๐๐๐๐ ๐, ๐๐๐๐ ๐ถ โฉ ๐ โ โ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐.
2. Lingkaran-n khayal C dari ๐ ๐๐๐ ๐ , ๐๐๐๐ ๐ถ โฉ ๐ = โ .
3. Lingkaran-n titk C dari ๐ ๐๐๐ ๐, ๐๐๐๐ ๐ถ โฉ ๐ = ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐.
Misal terdapat dua luasan bola-n yang tidak sepusat dan berimpit
๐1=โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐21 ๐๐๐ ๐2 = โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐2
2
Maka dapat dicari jarak antar kedua pusatnya dan jumlahan jari-jarinya,
kemudian diperoleh:
1. Jika โ๐๐ โ ๐๐โ > ๐๐ + ๐๐, maka diperoleh lingakaran-n khayal
2. Jika โ๐๐ โ ๐๐โ = ๐๐ + ๐๐, maka diperoleh lingakaran-n titik
3. Jika โ๐๐ โ ๐๐โ < ๐๐ + ๐๐, maka diperoleh lingakaran-n sejati
![Page 10: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/10.jpg)
Misal terdapat luasan bola-n ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 dan bidang datar-n
๐: โจ๐ถ, ๐โฉ = ๐พ, tentu dapat dihitung jarak antara dua pusat S dengan bidang
datar-n V:
๐ฟ(๐, ๐) =|โจ๐ถ, ๐โฉ โ ๐พ|
โ๐ถโ
Sehingga diperoleh ketuntuan:
1. ๐ฟ(๐, ๐) > ๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐โ๐๐ฆ๐๐
2. ๐ฟ(๐, ๐) = ๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐ก๐๐ก๐๐
3. ๐ฟ(๐, ๐) < ๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐
Misal diberikan bidang kutub ๐๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2 yang merupakan
bidang kutub titik b terhadap luasan bola-n โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2, maka
himpunan:
๐ถ: {๐ โ ๐ ๐: โจ๐ โ ๐, ๐ โ ๐โฉ = ๐2}
Merupakan lingkaran-n C dari S dan ๐๐.
Berkas luasan bola-n
Misal terdapat dua luasan bola-n dengan๐1: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐21 dan
๐2: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐22 , maka dapat dibentuk
๐1 + ๐ฝ๐2 = 0
Definisi.6
Diberikan dua luasan bola-n ๐1๐๐๐ ๐2. Himpunan
๐ฝ = {๐1 + ๐ฝ๐2 = 0 , ๐ฝ โ ๐ ๐}
Disebut berkas luasan bola-n yang dibangkitkan oleh ๐1๐๐๐ ๐2.
๐1๐๐๐ ๐2 disebut anggota pokok, kemudian bidang kuasa dari kedua
luasan bola tersebut disebut bidang pokok.
Sifat.6
Setiap bilangan ๐ฝ โ ๐ menentukan tepat satu anggota berkas luasan bola-n
Bukti:
Ambil sebarang berkas bola-n J. Misalkan dua anggota pokoknya:
๐1: โ๐โ2 โ 2๐1(1)
๐ฅ1 โ 2๐2(1)
๐ฅ2 โ โฏ โ 2๐๐(1)
๐ฅ๐ + ๐(1) = 0
๐2: โ๐โ2 โ 2๐1(2)
๐ฅ1 โ 2๐2(2)
๐ฅ2 โ โฏ โ 2๐๐(2)
๐ฅ๐ + ๐(2) = 0
Selanjutnya, untuk setiap ๐ฝ โ ๐ memberikan persamaan:
๐1 + ๐ฝ๐2 = 0
โ (1 + ๐ฝ)โ๐โ2 โ 2(๐1(1)
+ ๐ฝ๐1(2)
)๐ฅ1 โ โฏ โ 2(๐๐(1)
+ ๐ฝ๐๐(2)
)๐ฅ๐ + ๐(1) = 0
![Page 11: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/11.jpg)
โ โ๐โ2 โ 2(๐1(1)
+ ๐ฝ๐1(2)
)๐ฅ1/(1 + ๐ฝ) โ โฏ โ 2(๐๐(1)
+ ๐ฝ๐๐(2)
)๐ฅ๐/(1 + ๐ฝ)
+ ๐(1) = 0
Terlihat bahwa untuk setiap ๐ฝ โ ๐ diperoleh tepat satu anggota J yang
mempunyai titik pusat :
๐ = (๐1(1)
+ ๐ฝ๐1(2)
)๐ฅ1/(1 + ๐ฝ) + โฏ + (๐๐(1)
+ ๐ฝ๐๐(2)
)๐ฅ๐/(1 + ๐ฝ)
Dan jari-jari r dengan
๐2 = โจ๐, ๐โฉ โ (๐(1) + ๐ฝ๐(2))
Sifat.7
Setiap anggota berkas luasan bola-n memuat lingkaran pokoknya
Bukti:
Misalkan diberikan dua luasan bola-n S1 dan S2. Ambil secbarang titik bโ ๐ ๐
Di dalam lingkaran pokok. Maka b memenuhi persamaan S1=0 dan S2=0.
Kemudian juga memenuhi S1+๐ฝ. ๐2 = 0 untuk setiap ๐ฝ โ ๐ . Dengan kata lain,
untuk setiap anggota memuat b.(bukti selesai)
Sifat.8
Setiap titik di luar lingkaran pokok berkas luasan bola-n, dilalui oleh tepat satu
anggota.
Bukti:
Ambil sebarang berkas luasan bola-n J. Misalkan J dibangkitkan oleh
๐1: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐21 dan ๐2: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐2
2, maka diperoleh
๐ฝ = {๐1 + ๐ฝ๐2 = 0 , ๐ฝ โ ๐ ๐}
Misalkan titik b โ ๐ ๐ yang bukan anggota lingkaran pokok dilalui oleh anggota
๐1 + ๐ฝ๐2 = 0 untuk ๐ฝ โ ๐ ๐, maka berlaku
โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ โ ๐21 + ๐ฝ(โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ โ ๐2
2) = 0
Sehingga akan diperoleh nilai ๐ฝ yaitu:
๐ฝ =โ(โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ โ ๐2
1)
(โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ โ ๐22)
โ ๐ ๐
Dengan demikian terdapat tepat satu anggota J, yaitu :
๐1 + ๐ฝ๐2 = 0
dimana titik b termuat di dalamnya.(bukti selesai)
![Page 12: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/12.jpg)
Sifat.9
Setiap anggota berkas luasan bola-n menentukan tepat satu bilangan ๐ฝ โ ๐ ๐.
Bukti:
Dari sifat sebelumnya sudah diketahui bahwa setiap anggota berkas luasan bola-
n yang dibangkitkan oleh S1 dan S2 yaitu:
๐1 + ๐ฝ๐2 = 0
Untuk ๐ฝ โ ๐ ๐.
Ambil titik sebarang b โ ๐ ๐. Jika b tidak dilalui oleh S1 atau S2, maka
persamaan ๐1 + ๐ฝ๐2 = 0 yang melalui b hanya dipenuhi oleh tepat satu ๐ฝ โ ๐ ๐.
Sifat.10
Bidang kuasa dari setiap dua anggota berkas luasan bola-n adalah sama.
Bukti:
Misalkan berkas luasan bola-n dibangkitkan oleh S1 dan S2, yaitu:
๐1: โ๐โ2 โ 2๐1(1)
๐ฅ1 โ 2๐2(1)
๐ฅ2 โ โฏ โ 2๐๐(1)
๐ฅ๐ + ๐(1) = 0
๐2: โ๐โ2 โ 2๐1(2)
๐ฅ1 โ 2๐2(2)
๐ฅ2 โ โฏ โ 2๐๐(2)
๐ฅ๐ + ๐(2) = 0
Di mana ๐(1) = โ๐(1)โ2
โ ๐21 dan ๐(2) = โ๐(2)โ
2โ ๐2
2, maka diperoleh
bidang kuasa yaitu:
๐: โจ๐(1) โ ๐(2), ๐โฉ โ ๐พ = 0
dengan ๐พ =โ๐(1)โโโ๐(2)โโ๐2
1+๐22
2.
Ambil sebarang dua anggota, misalnya ๐1โฒ ๐๐๐ ๐2โฒ maka terdapat ๐ฝ1๐๐๐ ๐ฝ2 โ ๐
sehingga:
๐1โฒ : ๐1 + ๐ฝ1๐2 = 0 dan ๐2
โฒ : ๐1 + ๐ฝ2๐2 = 0
maka diperoleh:
๐โฒ1: โ๐โ2 โ2 (๐1
(1)๐ฅ1 + ๐ฝ1๐1
(2))
1 + ๐ฝ1๐ฅ1 โ โฏ โ
2 (๐๐(1)
+ ๐ฝ1๐๐(2)
)
1 + ๐ฝ1๐ฅ๐ +
(๐(1) + ๐ฝ1๐(2))1 + ๐ฝ1
= 0
๐โฒ2: โ๐โ2 โ2 (๐1
(1)๐ฅ1 + ๐ฝ2๐1
(2))
1 + ๐ฝ2๐ฅ1 โ โฏ โ
2 (๐๐(1)
+ ๐ฝ2๐๐(2)
)
1 + ๐ฝ2๐ฅ๐ +
(๐(1) + ๐ฝ2๐(2))1 + ๐ฝ2
= 0
Bidang kuasa dari dua anggota tersebut adalah Vl dengan Vl hasil eliminasi dari
kedua persamaan di atas, yaitu:
![Page 13: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/13.jpg)
2 ((๐1
(1)๐ฅ1+๐ฝ2๐1
(2))
1+๐ฝ2โ
(๐1(1)
๐ฅ1+๐ฝ1๐1(2)
)
1+๐ฝ1) ๐ฅ1 + โฏ + 2(
(๐๐(1)
+๐ฝ2๐๐(2)
)
1+๐ฝ2โ
(๐๐(1)
+๐ฝ2๐๐(2)
)
1+๐ฝ2)๐ฅ๐ +
(๐(1)+๐ฝ1๐(2))
1+๐ฝ1โ
(๐(1)+๐ฝ1๐(2))
1+๐ฝ1= 0
โ 2(๐ฝ1 โ ๐ฝ2)(๐1(1)
โ ๐1(2)
) + 2(๐ฝ1 โ ๐ฝ2)(๐2(1)
โ ๐2(2)
) + โฏ + 2(๐ฝ1 โ ๐ฝ2)(๐๐(1)
โ ๐๐(2)
) + (๐ฝ1 โ ๐ฝ2)( ๐(1) + ๐(2)) = 0
โ (๐1(1)
โ ๐1(2)
) + (๐2(1)
โ ๐2(2)
) + โฏ + (๐๐(1)
โ ๐๐(2)
) +1
2( ๐(1) + ๐(2)) = 0
โ โจ๐(1) โ ๐(2), ๐โฉ โ ๐พ = 0 , di mana ๐พ =โ๐(1)โโโ๐(2)โโ๐2
1+๐22
2.
Dengan demikian diperoleh nahwa ๐๐ = ๐. Dengan kata lain setiap dua anggota
berkas luasan bola-n memiliki bidang kuasa yang sama.(bukti selesai)
Sifat.11
Setiap dua anggota berkas luasan bola-n dapat menjadi anggota pokoknya.
Bukti:
Ambil sebarang berkas luasan bola-n J. Misalkan J dibangkitkan oleh
๐1: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐21 dan ๐2: โจ๐ โ ๐๐, ๐ โ ๐๐โฉ = ๐2
2, maka diperoleh
๐ฝ = {๐1 + ๐ฝ๐2 = 0 , ๐ฝ โ ๐ }
Selanjutnya misalkan ๐1โฒ๐๐๐ ๐2โฒ sebarang dua anggota berkas luasan bola-n J
dimana ๐ฝ1, ๐ฝ2 โ ๐ dengan ๐1โฒ : ๐1 + ๐ฝ1๐2 = 0 dan ๐2
โฒ : ๐1 + ๐ฝ2๐2 = 0. Kemudian
dibentuk luasan bola-n Jโ yang dibangkitkan oleh ๐1โฒ = 0 ๐๐๐ ๐2
โฒ = 0 :
๐1โฒ + ๐ฝ๐2
โฒ = 0
Maka diperoleh:
๐1 + ๐ฝ1๐2 + ๐ฝ(๐1 + ๐ฝ2๐2) = 0
โ (1 + ๐ฝ)๐1 + (๐ฝ1 + ๐ฝ2๐ฝ)๐2 = 0
โ ๐1 +(๐ฝ1+๐ฝ2๐ฝ)๐2
1+๐ฝ= 0
โ ๐1 + ๐๐2 = 0
Sehingga diperoleh ๐1 + ๐๐2 = 0 dengan ๐ =(๐ฝ1+๐ฝ2๐ฝ)
1+๐ฝโ ๐ . Karena demikian
maka Jโ dapat dituliskan sebagai ๐1 + ๐๐2 = 0, ๐ โ ๐ dengan demikian
terbukti bahwa Jโ=j. (bukti selesai)
![Page 14: Geometri Ruang Euclid dimensi-n](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022080507/5f09c1e33a409f1ca040e6b6/html5/thumbnails/14.jpg)