Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

222

description

Texto sobre Geometria Computacional dos professores Pedro Rezende e Jorge Stolfi, ambos da Unicamp

Transcript of Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Page 1: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���������� ���������� ������������

����� �� �� ������������ �����

!"#$%#&!'%( )! *+,!'-+# )# *(&".%#/-0#(1'+2!$3+)#)! 43%#).#5 )! *#&"+'#3*#&"+'#3 678 9$#3+5:;<=<>?<@ABCDEFG?HHIJ>KHLMNIO;

PQ RSTUVW XY ZU[\]^W_TWUa]VbU XY cdde

Page 2: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi
Page 3: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

fgh ighhgh jklghm

n

Page 4: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

opqrstuvwtxyz{|f }g~nhh��g ����in���g�� �� �� �h�gk� �� }g~��������g ��k� g�g����in���� � ��k� ���n��i�n��fg }��� � |� ����h� ��kg ��gng ji�i��n�g�fgh �gk���h �g �������~�i�g �� }n��i�n� �� }g~��������g �� �in���~� ��kgh ni��i�n�gh � ��k� �g���i����fgh ighhgh �h����i��h ��� h��g�����~ ig��h ���kn~ni���h ni�g~��k���h ��h�� ����g�|f ����� � ��~n�g �g� �gi���n��~ ���g ��~ �g�g g ��h�gm

nn

Page 5: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

� ¡¢ £¤¥¦§

�h�� ����g � �~� ni��g������g |� ©ª«¬ª­®¯° ±«¬²³­°±¯«´°µ¶ � �nh�n�kni���� �h���� ���in��h¶ �k�g�n�~gh¶ � �h�������h �� ���gh ���� � ��hgk�����g�� ��g�k�~�h ��g~���n�gh �g� �g~�����g�m�h ��g�k�~�h �h�����gh h��g ����k~�i�� ��h��n�gh �g �k�ig¶ �g~ ni����h�g�h g��hngi�nh ��kg �h����g ��n�n~�ihngi�km ���hh���g��h� ��� g k�n�g���il� �gil��n~�i�gh �k�~�i����h �� ��g~���n� ���kn�n�i� � �i�k·�n��¶�g i·��k �� h���i�g ����� � �� �k����� kni���¶ ��g���~�����g¶ � �h�������h�� ���gh¶ �g i·��k �� ��n~�n�g �ig �� ����������gm� ��n~�n�g ���·��kg �g kn��g ni��g��� �gi��n�gh ��hn�gh �� ��g¸��g� �i�knh� �� �k�g�n�~gh ¹ �h���nj��~�i��¶ �i�knh� �hhni�g�n�� �g �ng���hgm � k�n�g� � �k�����g ���� � ��nh���i�n� �� ~�n�gh �k�g�n�~gh �������� ��g�k�~�¶ ��� �g��~ �nº��n� ��h��i�� �~ �j�n��i�n�m� h���i�g ���·��kg ��h����� �h º����~�i��h �k�~�i����h �� ��g~����n� �g~�����ngi�k¶ ni�k�ni�g � �����h�i������g �� �gi�gh � knil�h �g�~�ng �� �gg���i���h lg~g���i��h¶ � �h g�������g�h ��g~���n��h ��hn��h¶��nh �g~g g ��k��kg �� ���� ��� ��hh� �g� �gnh �gi�gh ���gh¶ g� g ��h���� g�n�i������g »lg���n� g� �i�n�lg���n�¼ �� �~ ��n��i��kgmf j~ �� ~g�n��� � nk�h���� g �gi��n�g �� °µ©«®¯­¬« ©ª«¬ ½ª­®¯±«¶ g���·��kg ¾ �h���� g ��g�k�~� �� �����~ni�� g ��� ~�nh ��g�n~g ��i����~� �gk�����g �� �gi�gh ���� � ��~��~ g ��g�k�~� �� kg��kn������g ���gi�gh �g~ ��k�����g � �~ �gk·�gig hn~�k�h¶ �h���k��gh g� �gi���ghm� ���·��kg ¿ �h���� ��g�k�~�h ��k��ngi��gh �g~ �gi���n����¶ �~����n��k�� � �gih�������g �g ��h�g �gi���g �� �gi�gh ig �k�igm �n����hgh �k�g�n~gh h��g ����h�i���gh¶ nk�h���i�g �nº���i��h �����n�~�h ����g¸��gh �� hgk����g�hm� ��~� �g ���·��kg À � g �gi��n�g �� ¬°²° ²µ°´°® Á �~� �n�nh��g ���~� h����º·�n� �~ �gi�gh¶ �����h¶ � ���n�g�h¶ �nh �i��h ���h � ���hm �~nnn

Page 6: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

n� ÂÃÄÅ ÆÇÈÉÊ����n��k��¶ �k� ��ji� � ˳²ª®²«Ë¯±Ì°« �� �gnh ~���h¶ �~� g��������g ����k��� �g�� h�� �h��� ���� ~�n��h ��kn�����g�h¶ �g~g �g� ���~�kg � ni����h������g � �in��g �� �gk·�gigh ���n����nghm � �����n�~� �� Í°®®ªÎ³®° �g�k�ig � ����h�i���g �g~g hgk�����g �j�n�i�� ���� �h�� �n�g �� ��g�k�~�m�ni�k~�i��¶ g ���·��kg Ï �h���� ���ngh ��g�k�~�h ��k��ngi��gh �g~~nin~n������g �� �nh���i�n�h �i��� �gi¸�i�gh �� �gi�gh ig �k�igm fh hg�k����g�h ���� �g�gh �hh�h ��g�k�~�h �h���g ��h����h i� ~�h~� �h���������g~���n��¶ g ί°©®°¬° Ϊ Ы®«´«¯¶ � h�� ���k¶ � ­®¯°´©³µ°Ñ±Ì°« Ϊ ÒªÓµ°³´°Ô¶ ��� h��g ���h ��h ~�nh n~�g���i��h � ���h���nh º����~�i��h ����g~���n� �g~�����ngi�km �h����~gh ��~��~ �g~g g����¶ � ����n��� ��n�i��k�����g �� ��k��i��¶ �����h ����h ��g~���n��h n~�g���i��h¶ ni��k�ni�g � ½°®Í«®ª ±«´ª±­«®° ¬½Õ´¯¬°¶ g ©®°Ö « Ϊ ×°Ø®¯ªµ¶ � g ©®°Ö « Ϊͯٯ´Ú°´Ñ±° ®ªµ°­¯Í°m

Page 7: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Û§ÜÝ¡ £Þߧ

àáâã äåæçè çççé êëìèáçíîèï â ðèîñëâòçóåóâ éômô �i��g������g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôômõ }gi��n�g �� �k�g�n�~g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m õômõmô � �i�i�n��g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¾ômõmõ � ~g��kg �g~�����ngi�k m m m m m m m m m m m m m m ¾ômõm¾ f h��ö���i�n� �� g�������g�h m m m m m m m m m m m m m m ¿ômõm¿ f ��g�� �� �g�������g m m m m m m m m m m m m m m m m m ÀômõmÀ f �i�knh� �� ��h�~��ilg m m m m m m m m m m m m m m ÷ôm¾ fi�knh� �hhni�g�n�� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m øôm¿ }g~�k��n���� �� ��g�k�~�h m m m m m m m m m m m m m m m m ôõôm¿mô }g��h niº��ng��h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõômÀ ùg��kgh �g~�����ngi�nh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõômÏ �����n�~�h �� ��g¸��g �� �k�g�n�~gh m m m m m m m m m m m ôÀômÏmô ��g��h �g� ni������g m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÀôm÷ �������g�h �i��� ��g�k�~�h m m m m m m m m m m m m m m m m m ôúû ðèüæâçíèï ãýüóåîâüíåçï ûþõmô }gg���i���h �����hn�i�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m õÀõmômô ��h��i����ih �� ��g~���n� �����hn�i� m m m m m m m õÀõmõ }gg���i���h lg~g���i��h m m m m m m m m m m m m m m m m m õÏõmõmô �gi�gh nijin�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m õ÷õmõmõ � g���g k��g �g �k�ig m m m m m m m m m m m m m m m õøõm¾ � �k�ig ��g¸��n�g g�n�i���g ÿ� m m m m m m m m m m m m m m õúõm¾mô � ~g��kg �k�ig �� ÿ� m m m m m m m m m m m m m m m ¾�õm¾mõ � ~g��kg �hº��n�g �� ÿ� m m m m m m m m m m m m m m ¾ô

Page 8: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�n ����� Æ���õm¾m¾ }g���h�gi���i�n� �i��� gh ~g��kgh m m m m m m m m m ¾õõm¿ ����h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¾¾õm¿mô ��������g lg~g���i�� �� ���� m m m m m m m m m m m m ¾¾õm¿mõ �h �gi�gh ig nijin�g �� �~� ���� m m m m m m m m m ¾¿õm¿m¾ ����h ig �k�~ m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¾Àõm¿m¿ ����h ig ~g��kg �hº��n�g m m m m m m m m m m m m m m ¾Àõm¿mÀ �h �gnh k��gh �� �~� ���� m m m m m m m m m m m m m ¾Ïõm¿mÏ � ��h�� �� �gi�g �gi��� ���� m m m m m m m m m m m m ¾øõm¿m÷ ����h g�gh��h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¾øõm¿mø f ���� ig nijin�g m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¾úõm¿mú �i�n���i�n� �� ����h � �gi�gh m m m m m m m m m m m m ¿�õm¿mô� g�gkg�n� �� ÿ� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¿�õmÀ �g�~�k�h ��g~���n��h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¿õõmÀmô �gi�g ~��ng m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¿¾õmÀmõ }gkni���n���� �� ����h �gi�gh m m m m m m m m m m m m ¿¿õmÀm¾ ���� �����~ni��� �g� �gnh �gi�gh m m m m m m m m m ¿ÀõmÀm¿ ���� �g� �gi�gh ig nijin�g m m m m m m m m m m m m ¿ÏõmÀmÀ �gi�g �����~ni��g �g� ���h ����h m m m m m m m m m ¿÷õmÀmÏ �i���h������g �� ����h ����k�k�h m m m m m m m m m m m ¿úõmÀm÷ ���kn���� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ¿úõmÏ ��~�i�gh � ��n��i��kgh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m À�õmÏmô ��~�i�g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m À�õmÏmõ }gihnh���i�n� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m À¿õmÏm¾ }g��� �� h��~�i�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m À¿õmÏm¿ �n��i��kgh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÀÏõm÷ ��n�i������g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Àúõm÷mô ��n�i������g �� ����h �gi�gh m m m m m m m m m m m m m Àúõm÷mõ ��n�i������g �k����n�� m m m m m m m m m m m m m m m m Àúõm÷m¾ ��n�i������g ig �k�~ m m m m m m m m m m m m m m m m m Ï�õm÷m¿ ��n�i������g ig ~g��kg �hº��n�g m m m m m m m m m m m Ïôõm÷mÀ ��n�i������g �� ���� �g� �gnh �gi�gh m m m m m m m m Ïõõm÷mÏ ��n�i������g kgi�n���ni�k �� �~� ���� m m m m m m m Ͼõm÷m÷ }����~�i�g �� ����h � g�n�i������g m m m m m m m m m Ͼõmø ��ihºg�~����g�h ��g¸��n��h m m m m m m m m m m m m m m m m m Ï¿õmømô }�������n������g �k����n�� m m m m m m m m m m m m m m Ï¿õmømõ ��ihk����g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÏÀõmøm¾ �g�����g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÏÏ

Page 9: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

����� Æ��� �nnõmøm¿ ��ihºg�~����g�h �� �h��k� m m m m m m m m m m m m m m Ï÷õmømÀ ������g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Ï÷õmømÏ }nh�kl�~�i�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Ïøõmøm÷ }g~�ghn����g �� ���ihºg�~����g�h m m m m m m m m m m m Ïøõmømø ��ihºg�~�����g ni���h� m m m m m m m m m m m m m m m ÷�õmømú ��ihºg�~����g�h �gi¸�����h m m m m m m m m m m m m ÷�õmømô� �º�n�g �� ��g¸��n�n����h �~ ����h m m m m m m m m m ÷ôõmømôô ��ihºg�~����g�h �jih m m m m m m m m m m m m m m m m ÷ôõmømôõ ��ihºg�~����g�h ��g¸��n��h ����nh m m m m m m m m m m ÷õõmú ��g~���n� ��g¸��n�� ��n�n~�ihngi�k m m m m m m m m m m m m ÷¾õmúmô �gi�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÷¾õmúmõ �k�igh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÷¿õmúm¾ ��n�i������g �� �~ ��������g m m m m m m m m m m m m ÷¿õmúm¿ }gih���ni�g �k�igh � �gi�gh m m m m m m m m m m m m ÷ÀõmúmÀ ��ihºg�~����g�h ��g¸��n��h ig �h����g m m m m m m m ÷÷õmô� � �k�ig ��g¸��n�g �k�hhn�g m m m m m m m m m m m m m m m m m ÷÷

àáè�ëâîåï �âèîäâíáçæèï �ëâîâüíåáâï ��¾mô �i��g������g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÷ú¾mõ ��� ~�nh ��g�n~g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ÷ú¾mõmô fk�g�n�~g ni���i�g m m m m m m m m m m m m m m m m m ø�¾mõmõ fk�g�n�~g �g� �n�nh��g � �gi��nh�� m m m m m m m m m øõ¾mõm¾ }g�� niº��ng� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ø÷¾m¾ �g��kn������g �� �gi�gh �~ ��k�����g � �~ �gk·�gig m m m m m øø¾m¾mô }gi��n�gh ��hn�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m øú¾m¾mõ �� ��� k��g �� �~ �gk·�gig hn~�k�h �~ �gi�g�h��� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m úõ¾m¿ }gi���n���� º��nkn�� kg��kn������g �� �gi�gh m m m m m m m m ú¿¾mÀ �gi�gh �~ �h���k�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m úú� ðèü�âòçóåóâ é� ¿mô �i��g������g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô�¾¿mõ �����~ni�����g �� �gi���n���� m m m m m m m m m m m m m m m ô�¿¿m¾ }�h�g �gi���g �� �gi¸�i�gh jin�gh �� �gi�gh m m m m m m m ô�Ï¿m¾mô fk�g�n�~gh hn~�k�h ���� �gi¸�i�gh �� �gi�gh m m m ô�÷¿m¾mõ }g�� niº��ng� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôô¾¿m¾m¾ �i�gk��i�g �h���k�h m m m m m m m m m m m m m m m m m ôô¿

Page 10: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�nnn ����� Æ���¿m¾m¿ ����i�g �h���k�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôô÷¿m¾mÀ }gih�������g �g� �n�nh��g � �gi��nh�� m m m m m m m m ôõ�¿m¾mÏ � ���i�g g ��h�g �gi���g i��g ��nh��� m m m m m m m ôõ¿¿m¿ ����ih�g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõÀ¿m¿mô }�h�g �gi���g �� �gk·�gig hn~�k�h m m m m m m m m ôõÀ

þ �åñåï éû�Àmô �i��g������g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõ÷Àmômô }gi��n�gh º�i��~�i��nh m m m m m m m m m m m m m m ôõ÷Àmômõ f�kn�����g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõøÀmôm¾ �h�������h �� ���gh m m m m m m m m m m m m m m m m ôõøÀmôm¿ fk�g�n�~gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõúÀmõ }gi��n�gh º�i��~�i��nh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôõúÀmõmô f��gh � �nh�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾�Àmõmõ ����º·�n� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾�Àmõm¾ }gi¸�i�g �gi��g m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾ôÀmõm¿ ��jin����g ºg�~�k �� ~��� m m m m m m m m m m m m m ô¾õÀmõmÀ ù���h ���n��k�i��h m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾õÀmõmÏ �i�n���i�n� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾¾Àm¾ ù���h �h���n�nh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾¾Àm¾mô ����º·�n� �g~����� m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾¾Àm¾mõ ù���h hn~�k�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾¿Àm¾m¾ ù���h �k����n�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾ÏÀm¾m¿ ù���h �k�i���h � �gkn�gi�nh m m m m m m m m m m m m ô¾øÀm¿ f�kn�����g�h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾øÀm¿mô ù���h ��~��n�gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾øÀm¿mõ }�~�gh �� ��kg��h m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¾úÀmÀ �����h�i������g �� ~���h m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¿ôÀmÀmô ����gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¿ôÀmÀmõ ��i���g�h �~��k��g�n�h m m m m m m m m m m m m m m m m ô¿õÀmÀm¾ ���i�n����h �~��k��g�n�h m m m m m m m m m m m m m m ô¿ÀÀmÀm¿ fk����� �� ����gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¿ÏÀmÀmÀ �h������� ���� ~���h hn~�k�h m m m m m m m m m m m ô¿ÏÀmÀmÏ ��jin����g �~ ��h��k m m m m m m m m m m m m m m m m m ô¿÷ÀmÀm÷ ����º·�n�h g�n�i����nh m m m m m m m m m m m m m m m ôÀôÀmÀmø �����h�i������g �� ~���h g�n�i����nh m m m m m m m m ôÀôÀmÏ �����ghn����g �� ~���h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÀ¾

Page 11: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

����� Æ��� n�ÀmÏmô �i���h������g �� �gk·�gigh m m m m m m m m m m m m m m ôÀ¾ÀmÏmõ ��������g�h �gi���nh m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÀÀÀmÏm¾ fk�g�n�~g ��n�n�k m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÀÏÀmÏm¿ �����ghn����g �� ~���h �k����n�gh m m m m m m m m m ôÀÏÀmÏmÀ fk�g�n�~g ~�igh ��n�n�k m m m m m m m m m m m m m m ôÀ÷Àm÷ � �����n�~� �� ��������� m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÀøÀm÷mô � �k�g�n�~g �� ��i�k�� � ���~�ii m m m m m m m m ôÀúÀm÷mõ f ���i�� �� ���i�gh º����gh m m m m m m m m m m m m ôÀúÀm÷m¾ }�h�g �g �k�g�n�~g m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÏõÀmø ��������� �� �hº��� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôϾÀmømô f��h��h �����h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÏÏÀmømõ }�hgh ����i����gh m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÏ÷Àmøm¾ �h�gkl� �gh �gkgh m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôÏøÀmú f���i�n��Á }gi��n�gh ��hn�gh �� �g�gkg�n� m m m m m m m m m ô÷ôÀmúmô �h����g �g�gkg�n�g� �����gh � º��l��gh m m m m m m m ô÷ôÀmúmõ ���gi¸�i�gh º��l��gh m m m m m m m m m m m m m m m ô÷ôÀmúm¾ ����h����gh m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷ôÀmúm¿ ��g���g �����hn�ig m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷õÀmúmÀ g�gkg�n� i�����k �� �� m m m m m m m m m m m m m m ô÷õÀmúmÏ �n�nil�i��� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷¾Àmúm÷ �gi�g �� ���~�k�����g m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷¾Àmúmø ���lg¶ ni���ng�¶ � º�gi��n�� m m m m m m m m m m m m m ô÷¿Àmúmú �h����g ��g�n�i�� m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷¿Àmúmô� ������nkn���� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷ÀÀmúmôô }gi�ni�n���� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷ÀÀmúmôõ ���n��k��i�n� �g�gkg�n�� m m m m m m m m m m m m m m m ô÷Ï

� àáè�ëâîåï óâ ñáèòçîçóåóâ é��Ïmô � ��g�k�~� �g �g���ng m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ô÷úÏmõ � �n����~� �� �g�gign m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôø�Ïmõmô �g�gign i� ���� m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôø�Ïmõmõ �g�gign ig �k�ig m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôøõÏmõm¾ }g~�k��n���� �g �g�gign m m m m m m m m m m m m m ôø¾Ïmõm¿ �h�i�g g �n����~� m m m m m m m m m m m m m m m m m ôø¿Ïm¾ � �n����~� �� ��k��i�� m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôøÀÏm¾mô ��g��n�����h º�i��~�i��nh m m m m m m m m m m m m m ôøÀÏm¾mõ �n�i��k�����g �� ��k��i�� m m m m m m m m m m m m m ôø÷

Page 12: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

� ����� Æ���Ïm¾m¾ ��ö�n�i��k��n���� m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôøøÏm¾m¿ �g�� �� ���h��h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôøúÏm¿ }gih�������g �g ��k��i�� m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôøúÏm¿mô �gkn���g �� ��k��i�� m m m m m m m m m m m m m m m m ôú�Ïm¿mõ �i�gk�g�n� �gi���� m m m m m m m m m m m m m m m m m ôúôÏm¿m¾ ��i��i�g �i�gk�g�n�h m m m m m m m m m m m m m m m m ôúôÏm¿m¿ f �gkl� �~��k�i�� m m m m m m m m m m m m m m m m m ôú¾ÏmÀ f�kn�����g�h �g �� ! m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ôú¿ÏmÀmô �n����~� �� ����n�k m m m m m m m m m m m m m m m m ôúÀÏmÀmõ ���ºg �� �n�nil�i��� ��k��n�� m m m m m m m m m m m m ôúÏÏmÀm¾ f��g�� �gi���g�� ~·in~� m m m m m m m m m m m m m m ôú÷ÏmÀm¿ �n�nilg ~�nh ��g�n~g m m m m m m m m m m m m m m m ôúú

ä"üóçæâ û�û

Page 13: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Û¤#£$ÝÞ%§ &

'%(§ ¦Ý)§* ¡ Û§)#%¡+¦ß¤ß¡

fi��h �� �h�����~gh ��g�k�~�h � �k�g�n�~gh ��g~���n�gh � i���hh���ng �h����k����~gh �~� ���~nigkg�n� ��hn�� ���� �g���~gh º�k�� ���h����gh �� �g~�k��n���� �g~�����ngi�km}g~g g k�n�g� ¸ � ���� ��� ��kg ~�igh �k��ih �gil��n~�i�gh ��hn�gh�� ��g¸��g � �i�knh� �� �k�g�n�~gh¶ g ��g�ghn�g ��h�� ���·��kg � ���i�hg �� �h����k���� �g~ g k�n�g� �~� kni�����~ �g~�~m �n���hgh ����gh�����~ ~�n�g ~�nh ����ih�~�i�� gh �gi��n�gh ���n ��h��n�gh � ���g�~�i��~gh �h���n�k~�i�� � �gih�k�� � ,}��ú�¶ ù�iøú¶ ��ø¾¶ f-�÷¿.���� ����k�h ni����hh��gh �~ ~�ng��h ����kl�hm

/0/ 123456789:;5-� ���h º�����h ig �h���g �� ��g�k�~�h �g~�����ngi�nh �g �gi�g ���nh�� �� �k�g�n�~gh � �g~�k��n����hm �� �~ k��g �h�� � g���i����g ��hgk����g�h �j�n�i��h ���� �~ ���g ��g�k�~�m �g g���g �h�� � i���hhn������¶ g��n��h hgk����g�h �j�n�i��h¶ ���n�n� ��� ��� �gi�g � �ghh·��k g����g����h �ni�� ~�nh �j�n�i��hmf ��n~�n�� ��h��h ���h��g�h �gihnh��¶ �g~g ����~gh¶ �� ��h�g����� ���k�g�n�~gh � �g �h����k��n~�i�g �� ª< ±¯=ª´±¯° �gh ~��g�gh �� hgk����g�h��� �h��h ��h�����~m �g g���g k��g¶ ��~gh � ���h���g �� �����~ni��� �nj��k���� ni��·ih��� �g ���g ��g�k�~� ¹ ��ig~ni��� ±«¬²µª>¯ÓΰΪ �g ��g�k�~� ¹ nh�g �¶ �i�gi���� �~� �����hh��g ���� � ~��n~��j�n��i�n� ��ni�·��k �g� ���k���� hgk�����g �g ��g�k�~�m

ô

Page 14: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ/0L M529NO35 6N ;PQ54O3R5�~ °µ©«®¯­¬« � �~� ����n�� ~���~��n�� ���� ��hgk��� �k��~ ��g�k�~�m� ��¸��n�g S~���~��n��T n~�kn�� ��� � ����n�� ���� h�� ���g ����n�h�¶ �g�����¶ � ����kl��� ���i�g ���k���� ��g��~�¶ g� �gih�������g ���g~���n��mfhhn~ �g~g �~ ��g��~�h¶ g ���� �� ����kl� � ºg�~�knh~g ��� �~�k�g�n�~g ���� ��� ����i�� �g Sk�n�g�T �k~� ��gm �g ��hg �����~g�~ ��� g Sk�n�g�T � �~ �g~�����g�¶ �g�gh gh ����kl�h ����~ h���h���nj���gh¶ i�~� ig������g ��� �ghh� h�� ni���������� ~���in��~�i��¹ g� h� �¶ g �k�g�n�~g ���� h�� ����h�i���g i� ºg�~� �� �~ ��g���~�m�g ��hg ��h�� kn��g¶ h��g��~gh ��� g Sk�n�g�T � �~� ��hhg�Á �g����~�kg¶ �~ ��g���~��g�¶ ��� �g�� �n� � ��nkn��� gh �k�g�n�~gh ���n����h�i���gh �~ h��h ��g���~�h� g� �~ �n�i�nh��¶ ��� �g�� �h�� �h��h�k�g�n�~gh �g~g �gi�g �� ����n�� ���� ��h�i�gk��� �k�g�n�~gh g�n�n�i�nhm �g���i�g¶ �g ��h������ ighhgh �k�g�n�~gh¶ �h���~gh �~� kni������~ h�~n�ºg�~�k¶ h�~�kl�i�� |� �h��� �~ ��~gih������g�h �� ��g��~�h�� g~n�n��~gh �~ ����k �g�gh gh ����kl�h ��� �g��~ h�� º��nk~�i�� h����n�gh �g� �~ ��g���~��g� ¹ �kg������g �� ~�~g�n�¶ ���k������g�h �����n���nh¶ �i����� � h�·�� �� ���gh¶ �i�~�������g �� knh��h¶ ���m fk�~�nhhg¶ ����kl�h ��� h��g ���kn���gh i�~ �k�g�n�~g �g��~ h�� g~n�n�ghigh �k�g�n�~gh h��h��ö��i��hm�~ �k�g�n�~g ���� �gi��� gh h���ni��h ni����n�i��hÁUVWXYZ[\Xôm �~ ª´³´±¯°Î«¶õm �~ ¬«Îªµ« ±«¬²³­°±¯«´°µ¶¾m �~� ��h��n����g �� ˪]³ =ª´±¯° Ϊ «²ª®°Ñ±Ì«ªË � �º�����¶¿m �~� ²®«Í° Ϊ ±«®®ªÑ±Ì°«¶ �Àm �~� °´ ½°µ¯Ëª Ϊ Ϊ˪¬²ª´Ú«m���~ni���~gh � h���n� ���� �~ ��h��h n��ih �g~ ~�nh ����kl�m

Page 15: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE_E �Ê`ÈÄÉAÊ KÄ ÇCGÊÃÉAHÊ ¾abcba d efgfhijkl� ª´³´±¯°Î« �g �k�g�n�~g ��h����� gh ���gh ��� ����~ h�� ºg�i��n�gh�g �k�g�n�~g¶ gh ��h�k���gh ��k��k��gh ��kg ~�h~g¶ � � ��k�����g �i����~�ghm�g� ���~�kg¶ g �i�i�n��g �� �~ �k�g�n�~g ���� ni���h��g �� ~���n��h�g���n� h��Áêëìèáçíîè émé �i� »nop¼Ò°Î«Ë ³¬ ¯´­ª¯®« p ª ³¬° ¬°­®¯Ù ®ª°µ n Ϊ ί¬ª´Ë Ì°« p qpr ΪͫµÍª³¬° ¬°­®¯Ù ®ª°µ s p qp ­°µ ]³ª ns ½ª ° ¬°­®¯Ù ¯Îª´­¯Î°Îªt «³ ³¬°¬ª´Ë°©ª¬ Ϊ ª®®«r ˪ ­°µ ¬°­®¯Ù ´ Ì°« ª>¯Ë­¯®u�h ��h�k���gh ����nh�gh ig �i�i�n��g �� �~ �k�g�n�~g �g��~ i��gº���� i�il�~� ����h��ghn����g � ��h��n�g �gh ���gh »�g~g i�h�� ���~�kg¼g� �g��~ ���h�~n� ��� g g�¸��g � h�� �g~�����g � h�~��� �g~������k� ����n� �gh ���gh ºg�i��n�ghm ��h�� ��hg¶ g �i�i�n��g ���� ni�n�������nh�~�i�� ��� ��g��n�����h h��h ���gh �� �i����� ����~ h��nhº����m

abcbc d vlkewl hlvxgyjhilfjw�~ knil�h ����nh¶ �h����k���� �~ ~g��kg �g~�����ngi�k �gihnh�� �~��jin� ���nh h��g �h g�������g�h ���~n�n��h � ���k g ��h�g �� ���� �~���k�h¶ �� ~g�g � �g���~gh �g~����� � �j�n��i�n� »g� ni�j�n��i�n�¼ ��hgk����g�hm�h�� ������g�ng �� g�������g�h S�k�~�i����h¶T ��� �g��~ h�� ��nkn�����h ��kgh �k�g�n�~gh ��� h� ��h� � ��h������ i�h�� ~g��kg¶ ���� h�� ��k��� g ������g� �g �k�g�n�~g¹ ��hhg� g� �g~�����g� ¹ h��gh��~�i��¸� �h h��� �º�����m�g ��hg �� �k�g�n�~gh ��h�ni��gh � �g~�����g��h¶ �h g�������g�h�k�~�i����h h��g ����k�h ��� g �g~�����g� �g�� �º����� �g~ �~ i�~��gj�g �� nih������g�hm �h��h ni�k��~¶ �~ ����kÁ �h �����g g�������g�h ��n�~���n��h »�~ ni��n�gh g� ���nh �� ����nh��g kn~n����¼� g�������g�h �g~ ��kg��hkg�n�gh� ���ihº����i�n� �� ���gh �i��� �ghn���g�h �� ~�~g�n�� ni��������g�� ���g��h � ~���n��h� �i�������~�i�g ni�n���g� � g����h �� ~�h~g i·��k�� �g~�k��n����m�~ ����n��k��¶ ig ��hg �� �k�g�n�~gh ��g~���n�gh¶ ni�k�·~gh �i��� �hg�������g�h �k�~�i����h �g��h �h �gih������g�h ��g~���n��h ��� �g��~ h��

Page 16: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¿ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ�º������h �i�kn�n��~�i��¶ �g~ �~ i�~��g j�g �� g�������g�h ��n�~��n��h� ����n� ��h �gg���i���h �gh ���ghm }g~g ����~gh ig ���·��kg õ¶ �h�������g�n� ni�k�n �����~ni�� � ���� ��� ��hh� �g� �gnh �gi�gh¶ g �gi�g�� ni���h������g �� ���h ����h¶ ���mabcbz { |e}~g�efhij ke lxe�j�h�le|� n��~ ��i���k �g �k�g�n�~g � �~� �h���nj������g �� ˪]³ =ª´±¯° Ϊ «²ªÓ®°Ñ±Ì«ªË ��� ����~ h�� �º������hm�~ ����k¶ � h��ö���i�n� ����i�� �gh ���gh �� �i�����¶ � �h��h �g��~h�� nijin��~�i�� ���n���nhm �g���i�g¶ ����nh�~gh �� �~� ig������g ���h� � ����� �� ��h������ �h�� nijin���� �� h��ö���i�n�h �� ~�i�n�� jin��mù�n��h ig�����g�h ºg��~ ��g�gh��h ���� �hh� j~¶ �gk����h ��i�g �����g~�����g��h »kni�����ih �� ��g���~�����g¼ ���i�g ���� k�n�g��h l�~��ighm ��h�� kn��g¶ �h���~gh �~ ����k �~� ��h��n����g h�~n�ºg�~�k ��h����� �~ �g~�i�gh ��� ���~ hn~nk���h i� ~�ng�n� ��h kni�����ih �� ��g����~�����gm �~ �k��ih ��hgh¶ �g� �k����� �� ���ghn����g �h���~gh �~���h��n����g �ni�� ~�nh niºg�~�km���� � i���hhn���� �� ��h������~gh g�������g�h �����n�n��h¶ �h���~gh��i�g �����h��g ���i�g k���gh n�����n�ghm fhh�~n��~gh ��� g k�n�g� ��~º�~nkn��n���� �g~ � ��h��n����g �� �k�g�n�~gh �~ ºg�~� �����hn��m ��h�� i��g � g ��hg¶ ���g~�i��~gh �g~g �~� ni��g������g � �k�g�n�~gh�����hn�gh¶ g ���·��kg À �� ,��ø¾.m�~ ����n��k��¶ �h���~gh gh h���ni��h �g~�i�gh¶ ��¸gh hn�inj���gh�g��~ i��g h�� g��nghÁ

ñåáå Í°®¯ ½°Íªµ âî ˪]³ =ª´±¯° ãå�æå ±«¬°´Î«������ g ±«¬°´Î« �~� ��� ���� ���� ��kg� i�˪]³=ª´±¯° �� ��kg��h �h���nj����¶ �g~ � Í°®¯ ½°Íªµ ������h�i��i�g �hh� ��kg�m�g�� ��� h� � ˪]³ =ª´±¯° ºg� ���n�¶ g ±«¬°´Î« i��g ���������g i�il�~� ���m

âü�ýåüíè ±«´Î¯Ñ±Ì°« áâñçíå ±«¬°´Î«�h�� � ±«´Î¯Ñ±Ì°«� h� ºg� �������n��¶ ������� g ±«Ó¬°´Î«¶ � ������ ���g �� ig�g ¹ ��h�� ig��~�i�� �

Page 17: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE_E �Ê`ÈÄÉAÊ KÄ ÇCGÊÃÉAHÊ À±«´Î¯Ñ±Ì°«¶ ���m f �����n����g ���~ni� hg~�i�� h� � ���i��g � ±«´Î¯Ñ±Ì°« ��h���� � º�kh�m�g�� ��� g ��h�� �� ±«´Î¯Ñ±Ì°« � º�n�g °´­ªË �� �������������g �g ±«¬°´Î«m �g���i�g¶ h� � ±«´Î¯Ñ±Ì°« ºg� º�kh�i� ��n~�n�� ���¶ g ±«¬°´Î« i��g � ��������g i�il�~����m

óâ�èë�å Ö ½«®¬³µ°Ë��~ni� � ���������g �g �k�g�n�~g¶ ���gk��i�g gh��kg��h ��h Ö ½«®¬³µ°Ë �g~g ��h�k���gh �g ~�h~gm

��� ���� �������� ������ �� �������� ���� �� ��������� �� � ¡�¢�£¤�� ¥��¦§�¨ ©� �� � � ª����¤� « ¬ ­ �� ��£� £�¤�£��� ¥��£�¥��� « � ­� �������ª���� � �ª���®��� �� ����°§±¨ ©� �� � � ª�¤²���£� ³´ �� ��£� £�¤�£��� ª��£¤£��� ³ � µ ������ �� ¡��£¤�� �� £¤�� §�¨ �� £��¶�� �� �ª���®��� ·¸

��� ��¹� º�»�®�� � �¼���¶½�£� ��¤��£�� §��� ���� ���� �� ��������¨��¤���¶�� �� ª��¾�¤� �� � ¡��£¤��� ������£���¸abcb¿ { x�lÀj ke hl��e�h�jl���� ��� �~ �k�g�n�~g �ghh� h�� �h��g �g~ �gij�i���¶ � ����nhg ��g������ �k� h��nhº�� �h h���ni��h �gi�n���g�hÁôm ÁË «²ª®°Ñ±Ì«ªË ]³ª « °µ©«®¯­¬« ¬°´Î° ª>ª±³­°® Ë Ì°« ˪¬²®ª Í ½°µ¯Î°Ëª Ϊ<´¯Î°Ër ]³°¯Ë]³ª® ]³ª ˪°¬ «Ë Î°Î«Ë Ö «®´ª±¯Î«Ë °« ¬ªË¬«u�g� ���~�kg¶ h� g �k�g�n�~g ���� ���� ��k��k�� g ��g�n�i�� ÃÄÅ ¶� ����nhg ��g��� ��� i�hh� ~g~�i�g Å h��� h�~��� �nº���i�� �����gm

õm Æ °µ©«®¯­¬« ˪¬²®ª ­ª®¬¯´° °² ½«Ë ³¬ ´ ½³¬ª®«<´¯­« Ϊ «²ª®°Ñ±Ì«ªËu�h�� n��~ ����nh� h�� ���kn�n��~�i�� ��~gih����g ���i�g g �k�g��n�~g �gi��~ �g~�i�gh �� �����n����g �g �n�g âü�ýåüíè ±«´Î¯Ñ±Ì°«

Page 18: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Ï �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄáâñçíå Ç Ç Ç m ��h�� ��hg¶ ��~gh ��� ��g��� ��� � ±«´Î¯Ñ±Ì°« h�~���h��� º�kh� ���gnh �� �~ i�~��g jin�g �� �����n���g�hm�h�� n��~ ��~��~ ����nh� h�� ��g���g ���kn�n��~�i�� ���i�g g�k�g�n�~g ������� � hn ��g��ng �����hn��~�i��m ��h�� ��hg¶ ��~gh��� ��g��� ��� gh ����~�i�gh �� ���� ��kn������g �����hn�� �g �k��g�n�~g h��g ~�nh Shn~�k�hT �g ��� gh ���gh g�n�ni�nh¶ h���i�g�k��~ ��n���ng �� hn~�kn�n����� � ���¶ ���gnh �� �~ i�~��g jin�g�� ��nh Shn~�knj�����g�h¶T gh ���gh h� ������~ � �~ ��hg ����n���k�� »±°Ë« ذ˪¼ ��� � ��hgk�n�g �n����~�i�� ��kg �k�g�n�~g¶ h�~�����h��gm

¾m Æ ®ªË³µ­°Î« ΪͫµÍ¯Î« ²ªµ« °µ©«®¯­¬« Ë°­¯ËÖ °Ù °Ë ±«´Î¯Ñ±Ì«ªË ²®«¬ªÓ­¯Î°Ë ´« ª´³´±¯°Î« Ϋ ¬ªË¬«u�h�� � �~ ����k � ����� ~�nh �nº·�nk �� ��g��¶ � � ��� ��n���~ �i��i�n~�i�g ~�nh ��gº�i�g �g ��g�k�~� � �g �k�g�n�~gm�g ��hg �gh ighhgh �k�g�n�~gh¶ �h�� ����� �� ��~gih�������g ��n����i��� ����n�k~�i�� ��h ��g��n�����h º�i��~�i��nh �g �h����g��g~���n�g ��nkn���g¶ ��� h����g �nh��h ig ���·��kg õ¼m

ù�n��h ����h ��~gh ����h�i��� ���i�h �h n��n�h ��ni�n��nh �� ��g���� �g�������g �� �~ �k�g�n�~g¶ � ��n��� � ��~gih�������g ����kl��� ��n�g�gh� � ����g �g k�n�g�m�i�����i�g¶ ���� j��� �k��g ��� �~ �k�g�n�~g hg �g�� h�� k����g� h��ng ���gnh ��� ��k ��~gih�������g ºg� ����h�i����m ���� ��� �g����ghh� �����n��� ��� �~ �k�g�n�~g º�i�ngi� � ����nhg ��� �g��� ��il� i�h�� ~�i�� �k�g ��� h� � ���n��k�i�� � �~� ��g�� ~���~��n�� �� h���g�������gm �h��h �~�·�n�gh �g��~ ��~�i��� � �gij�i���¶ ~�h i�i���g��~ ��� �������Á ���� � nijin�� ���n����� �� ���gh �� �i�����¶ �~i�~��g jin�g �� �����n~�i�gh h�~��� �g�� ��n��� �� ��h��� gh ��hgh����n��k���h �~ ��� g �k�g�n�~g º�kl�m� ��n~�n�g ��hhg ���� ��~gih���� � �g�������g �� �~ �k�g�n�~g ������~ni�� �~ ¯´Í°®¯°´­ª ���g��n��g ���� ���� �g~�i�g �g ~�h~gm� ni���n�i�� �� �~ �g~�i�g � �~� �j�~�����g kg�n�� hg��� �h ���n���nh� ���gh �g ��g���~� ��� h��gh��~�i�� ��k� h�~��� ���¶ ����i�� ����������g �g �k�g�n�~g¶ �l���� � ��� �� �������� g �g~�i�g �~ ���h���gm� gh ni���n�i��h ºg��~ �g�����~�i�� �h�gkln�gh¶ ��h�� �i���g ��g������¶ h� �~ ni���n�i�� ºg� �������¶ �i���g g �g~�i�g �g���h�gi��i��

Page 19: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE_E �Ê`ÈÄÉAÊ KÄ ÇCGÊÃÉAHÊ ÷�h�� ��~ ��jin�g¶ � h�� ���������g �g�i� ��kn�g g ni���n�i�� �g �g~�i�gn~��n���~�i�� h���ni��m �ni�k~�i��¶ ��~gh ��� ��g��� ��� g ni���n�i���� �g�g �g~�i�g óâ�èë�å Ö ½«®¬³µ°Ë n~�kn�� ��� �h Ö ½«®¬³µ°Ë ���gk�n��h�g~g ��h�k���g h��nhº���~ g �i�i�n��g �g �k�g�n�~gm�g� g���g k��g¶ ����~gh i� h�����g ômÏ ��� �~� ~�i�n�� �k���i��n���� �gih���n� �k�g�n�~gh �g����gh � ��nkn��� �gi���h�g�h �� ��g��h �gih�����n��h �� ��nh���i�n� �� hgk����g�h¶ �~ ��g���n~�i�ghm �~ ����n��k��¶��g��h �g� ni������g h�����~ ~�n�g i�����k~�i�� �k�g�n�~gh �����hn�gh¶�g ~�h~g ��~�g �~ ��� h� �gih�n���~ ��g��h �� �g�������g ��h��hm

abcbÈ { jf Éjwi|e ke ke|evxefÊl}g~g ����~gh¶ h�~��� ��nh��~ nijin�gh �k�g�n�~gh �nº���i��h ���� ���hgk��� �~ ~�h~g ��g�k�~�¶ g ��� �g�i� n~�g���i�� � �h�gkl� �g �k��g�n�~g ~�nh ���g��n��g ���� �~� �����~ni��� ��kn������gm -� ~�n��h~�i�n��h �� �g~����� �hh�h �k�g�n�~ghÁ �j�n��i�n�¶ ���n�nkn����¶ �g~��k��n����¶ �g��h���¶ �����~�i�g �� ���gh ni�g����gh¶ º��nkn���� �� �hg¶���m ù�n��h ��h��h ��g��n�����h h��g �nº·��nh �� ���i�nj���¶ � �g���i�g�� �h����� �n�i�nj��~�i��m�~� ��g��n����� ��� � ���k~�i�� º��nk �� ���i�nj��� � g ±³Ë­« �g�k�g�n�~g¶ ��� ni�k�n ��i�g g ­ª¬²« ��� g �k�g�n�~g k��� ���� h�� ���������g¶ ���i�g g ªË²°Ñ±« ��� �h ���n���nh ni���i�h g����~ i�h �in����h ����~���i�~�i�g �� ���gh �g �g~�����g� »~�~g�n�¶ �nh�g¶ ���m¼m }g~g����~gh¶ � �g~�~ �i�gi���� �gnh �k�g�n�~gh ���� g ~�h~g ��g�k�~���� h��g ����n��~�i�� ���n��k�i��h hg� gh ��~�nh �h����gh¶ ~�h ��¸gh��h�gh �� ���������g �nº���~ �g� º��g��h �h��gi�g~n�ghm�h��h ��h�gh h��g ���i�nj���gh �~ ���~gh �g S��~�ilgT �gh ���gh�g ��g�k�~� ¹ ~��n�g¶ �g� ���~�kg¶ ��kg i�~��g �� �k�~�i�gh g��g~g g �h����g i���hh��ng ���� �����h�i���kghm �h��k~�i��¶ �l�~�~gh�h��h ��h�gh �� ª< ±¯=ª´±¯° g� ±«¬²µª>¯Î°Îª �g �k�g�n�~gm� k�n�g� º�~nkn��n���g �g~ �k�g�n�~gh �� g���i�����g h� ���g����� ������h ~��n��h �� ��h�g ��k���i��h ���� � �g~��������g �� �j�n��i�n� ��k�h� g i�~��g �� �g~�������g�h ���kn����h � g i�~��g �� ���n��n���g�hm �g����~�kg¶ ���� g���i�� �~ ���g� �� p �k�~�i�ghÁ

Ë g���i�����g �g� h�k�����g º�� Ì»pͼ �g~�������g�h � Ì»p¼ ���n��n���g�h�

Page 20: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ø �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄË g���i�����g �g� nih������g º�� Ì»p kg�p¼ �g~�������g�h � Ì»pͼ ���n���n���g�h�Ë g���i�����g �g� ni�����k�����g º�� Ì»p kg�p¼ �g~�������g�h � Ì»p¼���n��n���g�hm�i�����i�g¶ g ��~�g ����g �� ���������g Î »�~ h���i�gh¼ i��g �g���~ ����k h�� �����~ni��g � ����n� �� ��h��n����g h�~n�ºg�~�k �g �k�g�n��~g¶ �gnh �hh� ��~�g ����i�� �gh ����kl�h �� �g�nj������g �g �k�g�n�~g�~ ºg�~� �� ��g���~�¶ � �� h�� ���������g ���� � kni�����~ �� ~���ni��g �g~�����g�� �¶ i�����k~�i��¶ �g ~g��kg �� �g~�����g� ��nkn���gmfhhn~¶ ��~gh ��� igh �gi��i��� �~ �gi��� g i�~��g Ï �� g�������g�h �k��~�i����h �º������h ��kg ~�h~gm ��h���� ���¶ h� ���� g��������g �k�~�i���� �g�� h�� ������n�� i�~ i�~��g j�g �� nih������g�h �� ~���ni�¶ �h��~��n�� h��� ���g�n~���~�i�� ��g�g��ngi�k �g ��~�g �� ���������g Î �g� h� �¶ ��nh��~ �gih��i��h ÐÑo ÒÑo ÐÍo ÒÍ ��nh ��� ÐÑÏÓÒÑ Ô Î Ô ÐÍÏÓÒÍ mù�nh �ni��¶ �~� ��� ��� �h �gih��i��h ÐÑ � ÐÍ ����i��~ �� ~���ni�� �g ��g���~��g�¶ i��g � ~�n�g n~�g���i�� �����~ni�� g i�~��g ����g�� g�������g�h Ï� ��h�� �����~ni�� � ~�i�n�� �g~g �hh� i�~��g ���n��g~ g ��~�ilg �g ��g�k�~�m fhhn~¶ �����hh���~gh g ��h�~��ilg ���~ �k�g�n�~g ������h �� �~� º�i����g ��¸g �����~���g h��� g ��~�ilg ���i����� ��h��m }l�~���~gh �� ±«­° ˳²ª®¯«® »�� �g~�k��n����¼ �� �~ÕX[Ö ×ØÙÚYZXY ��g�k�~� ���k���� º�i����g ��� �����hh� � �j�n��i�n�Ñ �� �k��~ �k�g�n�~g��� g ��hgk��m � g�¸��n�g �g ��g¸��nh�� �� �k�g�n�~gh � �~ ����k g ��g���� � ~�ig� �g�� h����ng� �ghh·��km�����~�i��h ���� �g~��������g �i��� º�i���g�h¶ �gihn����i�g g �g~��g���~�i�g ��k�h |� ~��n�� ��� g �����~���g �g~�~ � �k�h ���h�� »�g~��g���~�i�g °Ë˯´­ ½«­¯±«¼¶ h����g �nh��h i� h�����g ôm¾m

/0Û Ü2 Ý;POÞN ;ÞÞO23 Ý53O9;�i�g � �g~��������g ��h �j�n��i�n� �� �k�g�n�~gh ���� �~ ���g ��g�k��~� ���i�g � �g~��������g ��h �g~�k��n����h �� �nº���i��h ��g�k�~�h»�g~g �nh���n��~gh i� h�����g ôm¿¼ �������~ ��� �ghh�~gh �g~����� g

ßàáâãäåæçá èéâåäåááãêçá åæ åëìèíåéìèã êå áçîïðìñçåá åæ òóôõ ö÷øô ã æåéçá ùïå áåúãåûüîèìèâãæåéâå èéêèìãêç ç ìçéâä ýãäèçþ

Page 21: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DEÿE F` ÆÇCÉIÄ ÇIIÉ`A ÆÊAÉÈÇ ú���h�n~�i�g �hhni�g�n�g �� º�i���g�hm ���� nhhg¶ �gi��~ ��h�i�gk���~gh�~� ig������g �gi�nh�m� �~ � ¶ � Á � � � ���h º�i���g�h �ghn�n��hm � g kn~n�� �g ��g�n�i���Ä� ���i�g p ��i�� � nijin�g � ��jin�g¶ �g��~gh �k�hhnj��� � � ��g~ ��h��n�g � h��h ���h�n~�i�gh �hhni�g�n�gh ��h��i�g�igh ig ��kg���h�� kn~n�� »���g¶ �ghn�n�g jin�g g� nijin�g¼m -� �g��~ hn������g�h �~��� �h�� kn~n�� i��g � ��jin�g i�h ���nh �ni�� � i���hh��ng º���� �h���k�hhnj������gmfhhn~¶ ��jin��~gh �k�hh�h �� º�i���g�h ��h���gh i�h ig���g�h ~�nh º�����h �� kn~n��h niº��ng� »kn~¼ � h����ng� »kn~¼m � � � � h��g º�i���g�h �g�hn�n��h¶ �i���g gh kn~n��h ����n�nh kn~��� � »p¼Ä� »p¼ � kn~��� � »p¼Ä� »p¼h|�g h�~��� ��jin�gh »i�~��gh ���nh g� nijin�gh¼m�n��~gh �i���g ���Á U× �VÖ××Ú× � �� Ú � � �»�¼ h� kn~��� � »p¼� »p¼ � �

� � Ì»�¼ h� kn~��� � »p¼� »p¼ ��� � �»�¼ h� � � kn~���

� »p¼� »p¼ � kn~��� � »p¼� »p¼ ��� � �»�¼ h� � � kn~���

� »p¼� »p¼� � � »�¼ h� � � kn~���

� »p¼� »p¼� � � h��g ni�g~������nh h� � � kn~���

� »p¼� »p¼ � kn~��� � »p¼� »p¼ � �}g~g g kn~n�� niº��ng� � h�~��� ~�ig� ��� g� n���k �g kn~n�� h����ng�¶� ��jin����g ��n~� �g��� �g�gh gh ��hgh � �g���i�g¶ � �in��g ��h �k�hh�h�»�¼¶Ì»�¼¶�»�¼¶�»�¼ � � »�¼ �gi��~ �g��h �h º�i���g�h �g~������nh �g~� º�i����g � m

Page 22: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô� �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ� k�n�g� �g�� h� h�i�n� �ni�� ~�nh �giºg�����k �g~ �h�� ig������g��ih�i�g nin�n�k~�i�� �~ ���~gh �� º�i���g�h ��¸g kn~n�� �g ��g�n�i�� ���jin�g¶ ¸ � ��� i�h��h ��hgh ��~ghÁ

kn~���� »p¼� »p¼ � kn~��� � »p¼� »p¼ � kn~��� � »p¼� »p¼ Ç

��� ���� ¶� » ¶��£  ��� ¥�� �¼£�¤�� £�¤�����®���� ��¤�� � ¡���� ���¤��� ����� ���� £ ��¤�� � �¡��� �¸�¸ ���¤�� ¥��¦§�¨ �§�¨ � §�¨§±¨ �§�¨ � §�¨ ��§�¨§�¨ �§�¨ � §�¨§�¨ �§�¨ � §�¨ � �§�¨ �§�¨ � �§�¨ � �§» ¨ �§�¨ � §�¨ � �¸

� »�¼�»�¼ �»�¼

!Ì»�¼

�»�¼ "�n���� ômôÁ }k�hh�h �� º�i���g�h

f �����g ���� h� �h��� ni����hh��g i� �g~�k��n���� °Ë˯´­ ½«­¯±° � ����~� º�i����g ��� � �����hh� �g�� ��� �~ �g~�g���~�i�g¶ ���� nih���i�n�h

Page 23: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DEÿE F` ÆÇCÉIÄ ÇIIÉ`A ÆÊAÉÈÇ ôô�� ��~�ilgh kn~n���gh¶ ��� i��g �g���h�gi�� |� ��i���i�n� �� h�� ���h�n�~�i�g ���� �i�����h �� ��~�ilg ���h��i��m �h�g �¶ g �g~�g���~�i�g�g ���h�n~�i�g �� º�i����g j�� ~�h�����g �g� �gih��i��h ~�k�n�kn���n���h ��� i��g �gi��n���~ ���� � n��i�nj������g �� h�� ���h�n~�i�gm �g����~�kg¶ h� g �����~���g p ~��� g ��~�ilg �� �i����� �� �~ ��g��k�~� # ¶ ��i�g º�� �n���~gh ��� # ��~ �g~�k��n���� �hhni�g�n�� pÄõ¶p g� ô��pm � ���h�n~�i�g �� �g��h �h��h º�i���g�h � kni��� �~ pm �¶�g��~¶ �����~gh ~gh���� ��� # ��~��~ ��~ �g�� niº��ng� �����hh� �g�p$%ÍÄô��¶ �h�� � ~�nh hn�inj��i�� �g ��� ���k���� ��h �����hh�g�h kni�����h �i���ng��hm �~�g�� p$%ÍÄô�� h� � ~�ig� ��� ô��p ���� p � ô�& ¶ g�g~�g���~�i�g �hhni�g�n�g �� p$%ÍÄô�� � ~�ng� ��� g �� ô��p¶ nh�g �Á

p$%Íô�� � � »ô��p¼Ç

��� ��'� ���¤�� ¥��¦§�¨ (­ ) §­¨ §±¨ �**­ ) �§­¨§�¨ ­  �¡ ­ ) �§­Í¨ §�¨ ­+ ) �§,�¨ -. ) /§�¨ ­Ñ%0 ) �§ �¡0 ­¨ §»¨ ­1 ) § �¡+ ­¨ -. ) /2 -3 45

�g� g���g k��g¶ g�h���� ���Á� � �»�¼ h� � hg~�i�� h� � � � »�¼� � Ì»�¼ h� � hg~�i�� h� � � �»�¼� � �»�¼ h� � hg~�i�� h� � � �»�¼� � �»�¼ h� � hg~�i�� h� � � Ì»�¼� � � »�¼ h� � hg~�i�� h� � � �»�¼�iºg�~�k~�i��¶ ��º��n~gh |�h º�i���g�h ��h ���n�h �k�hh�h �n��i�g ���Á� ���h�� ~�nh k�i��~�i�� ��� � h� � � �»�¼� ���h�� ig ~��n~g ���g ���n��~�i�� ���i�g � h� � � Ì»�¼� ���h�� ���g ���n��~�i�� ���i�g � h� � � �»�¼� ���h�� ig ~·in~g ���g ���n��~�i�� ���i�g � h� � � �»�¼� ���h�� ~�nh ���n��~�i�� ��� � h� � � � »�¼����~gh ¸� ig ���·��kg ¾ �k��ih ���~�kgh �g �hg �gh �gi��n�gh � �����~nigkg�n� ���n �h����k��n�ghm

Page 24: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôõ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ/06 M5R7PN8O6;6N 6N 7459PNR;Þf �h�gkl� �� �~ ~g��kg �g~�����ngi�k �������g � n~�g���i�� ��i�g���� h� �h����k���� �h g�������g�h k�����h �~ �gi�� i� �����~ni�����g ���j�n��i�n� �� hgk����g�h¶ ���i�g ���� g �h����k��n~�i�g �� �g~�k��n����ni��·ih��� �� ��g�k�~�h i�h�� ~g��kg¶ nh�g �¶ g ~�klg� ��� h� �g���h����� ���� � �j�n��i�n� �� ���nh���� hgk����g�h ��� �h�~ �h g�������g�h�g ~g��kgm�~ ~g��kg �g~�����ngi�k hg � ��k���i�� ���� �~ ��g�k�~� h� �hg�������g�h i�k� ����nh��h �g��~ ���~n�n� °µ©³¬° hgk�����g �g ��g�k�~�m�g� ���~�kg¶ �~ ~g��kg ��� ���~n�� ���i�h g �hg �� g�������g�h ���g~��������g »�o Ôo�¶ ���m¼ �i��� �k�~�i�gh �� �i����� � ��k���i�� ����g ��g�k�~� �� g���i�����g ~�h i��g ���� g ��g�k�~� �� ~�k�n�kn������g�� ~���n��h� �i���i�g �~ ~g��kg ��� ���~n�� ���i�h �h g�������g�h��n�~��n��h »Óo:o qo;¼ hg��� g �gi¸�i�g �gh i�~��gh ���nh � ��k���i������ g h���i�g ~�h i��g ���� g ��n~�n�gm

ab¿ba <lyj| if=e�il�e|�n���g �~ ��g�k�~� � �~ ~g��kg �g~�����ngi�k »��k���i��¼¶ kn~n���~gh ighh� ���i����g |�h hgk����g�h ��� h� �~ ��h��n�·��nh i�h�� ~g��kgmf ±«¬²µª>¯Î°Îª °Ë˯´­ ½«­¯±° �� �~ ��g�k�~� � �����hh� �g� �~�º�i����g ��� ni�n�� �~ i�~��g ~·in~g �� g�������g�h ��� ��~ ��� h�����kn���g �g� ���k���� hgk�����g �g ��g�k�~�¶ �~ º�i����g �g ��~�ilg ���i�����m }gh��~��h� ��nkn��� ��~��~ g ���~g ±«­° ¯ Ö ª®¯«® »�� �g~�ÕX[Ö Z>? ÚYZXY �k��n����¼ �g ��g�k�~�m f ����º� �� ���~ º�� �i�knh� �� �g~�k��n������ ��g�k�~�h � h�~��� � �� g���� � ~�ng� �g�� niº��ng� �ghh·��km

/0@ A56NP5Þ 95R773;9O52;OÞ���� ��g~��il�� �h�� h�����g¶ g k�n�g� ���� ��� �k��~� º�~nkn��n������kg ~�igh �g~ g ~g��kg �� ���g�� �� ���nh�g�h �ni��n�h ig ���k h��g�� ~gh���� ��� g ��g�k�~� �� g���i�����g �� p i�~��gh ���nh ������� ���kn������g �� ��kg ~�igh Bp kg�p �g~�������g�h �i��� gh �k�~�i�gh� h���~ g���i��gh¶ ���� �k��~� �gih��i�� B �ghn�n�� ¹ �� �¶ �g����~�kg¶ ,���øø.m »���g~�i��~gh � k�n���� �� �~ ����g �� ��g¸��g

Page 25: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DECE DÊKÄCÊI ÈÊH?BAÇÈÉÊ`ÇÉI ô¾� �i�knh� �� �k�g�n�~gh ,}��ú�.¶ ,ù�iøú.¶ ,���øø.¶ ,��ø¾.¶ ,f-�÷¿.���� ���~ gh �������ºgh h���ni��h hg�~ �g~�k��� ig�n����m¼

�n���� ômõÁ f��g�� �� ���nh�g�h �ni��n�m� ~g��kg �� ���g�� �� ���nh�g�h �ni��n�h �¶ niº�kn�~�i��¶ ��~�hn��gº���g ���� � hgk�����g �� ��g�k�~�h ��g~���n�gh �~ ����km ��h���� ���i�~ ~�h~g g�������g�h ��n�~��n��h �i��� �h �gg���i���h �gh g�¸��gh�� �i����� h��g ���~n�n��hm ��g �g���i�g i���hh��n�h ����ih�g�h ��h��~g��kg¶ ~�h �ni�� ���i��h |� n~�g����i�n� �� g��������g �� �g~��������gi� �����~ni�����g �� �g~�k��n����hmùg��kgh �g~�����ngi�nh �l�~��gh ¬«Îªµ«Ë Ϊ Ϊ±¯Ë Ì«ªË h��g ����k�high ���nh �h g�������g�h �� �g~��������g ��h�~��il�~ �~ ����k �hh�i��n�km fk�g�n�~gh ��h��n�·��nh i�h��h ~g��kgh �g��~ h�� �����h�i���ghi� ºg�~� �� ���g�� »�~ ����k �ni��n�¼ gi��¶ �~ ���� ig ni���ig � ����kn���� �~� g��������g �� �g~��������g �i��� �gnh ��kg��h¶ �i���i�g i�hºgkl�h h��g ��~���i��gh ��h�k���gh �� h�·��m fh º�i���g�h ��nkn����h ����� ��������g �gh ��kg��h �h��gh i�h �g~�������g�h �����~ni�~ g �n�g ��

Page 26: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô¿ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ~g��kg¶ nh�g �¶ h��g i�h��h º�i���g�h ��� �������~ �h g����h g�������g�h���~n�n��h ig ~g��kgm� � n �~ �k�g�n�~g ��� h� ��h� � �����h�i��� i�~ ��h��h ~g��kgh� h� � E � FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�G �~� �i����� ���� g �k�g�n�~gm �~ ����ig ni���ig �� ���g�� �g���h�gi��i�� � n � ���kn���� �~� �g~��������g�i��� gh ��kg��h �����gh �g� ���h º�i���g�h �~ E m� ~g��kg �� ½°®Í«®ª Ϊ Ϊ±¯Ë Ì«ªË د´ ½°®¯°Ë � ����k� ��� ���~n�� ���i�hHUYIXYÚ JÚ JÚ�Z× KXÚ×LZ> HÖYZÖ× g �hg �� º�i���g�h �� ��g¸�����g »�� ºg�~� � »E¼ � ÃM ���� �k��~ ô Ô N Ôp¼¶ nh�g �¶ i��g h��g ���~n�n��h g�������g�h �� i�il�~� �h���n� �g~ �h�g~�gi�i��h �� �i����� E m� ~g��kg �� ½°®Í«®ª Ϊ Ϊ±¯Ë Ì«ªË µ¯´ª°®ªË ���~n�� ���i�h g�������g�hHUYIXYÚ JÚ JÚ�Z× KXÚ×VZ>ÚÖYÚ× �� ��n����g � ��g���g �h��k�� hg��� �h �g~�gi�i��h �� �i�����¶ nh�g �¶�h º�i���g�h h��g i���hh��n�~�i�� kni����h »�� ºg�~� � »E¼ � O�PQÑ RP S ÃP�g~ RP � � �gih��i��h¼m�g ~g��kg �� ½°®Í«®ª Ϊ Ϊ±¯Ë Ì«ªË ]³°Î® ½°­¯±°Ë¶ ± ½³Ø¯±°Ë¶ ���m¶ � ���~n�HUYIXYÚ JÚ JÚ�Z× KXÚ×TØÖJY HÖ[Z�Ö× �n�g ��� �h º�i���g�h h� �~ �gkni�g~ngh i�h �g~�gi�i��h �� E ¶ �� ������� �gnh¶ ����h¶ ���m�~ ~g��kg �ni�� ~�nh ����k � g �� ½°®Í«®ª Ϊ Ϊ±¯Ë Ì«ªË °µ© ½ªØ®¯±°ËHUYIXYÚ JÚ JÚ�Z× KXÚ×ÖVW HÚLYZ�Ö× ��� ��~n�� º�i���g�h �gknig~n�nh �~ ����k¶ h�~ kn~n������g �� ����m�g�� ��� �h��h ~g��kgh h��g ������n��~�i�� ~�nh �g���ghgh ig h�i��n�g ��� �g�g �k�g�n�~g �����h�i����k i�~ ��k�h ��~n�� ��~��~ ������h�i������g igh ~g��kgh h���ni��hm��h�~n~gh ���n�g �h��h �����g ~g��kghÁ

��i���g�h ùg��kg��g¸����g�h f��g�� �� ���nh�g�h �ni��n�h�ni����h f��g�� �� ���nh�g�h �ni����hU������n��h f��g�� �� ���nh�g�h U������n��hmmm mmm�gknig~n�nh f��g�� �� ���nh�g�h fk����n��h

�g ���·��kg õ¶ ����~gh ��� � �����~ni�����g �� g�n�i������g �� �~��n��i��kg �g�� h�� º�n�� ��nkn��i�g�h� g ��k��kg �� �~ �����~ni�i��¾ q¾¶ ���� g ���k � i���hh��ng ��k��k�� ��g���gh �i��� �h �gg���i���h�gh ����n��h �g ��n��i��kgm �g���i�g¶ g ~g��kg ~�nh º���g ig ���k h��g�� ��nkn��� �hh� ~��g�g � g ~g��kg �� ���g�� �� ���nh�g�h �������n��hm�� º��g¶ g k�n�g� ni����hh��g �i�gi����� �~ ,f�nø�. �~� ��~gih�������g

Page 27: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DEVE ÂÇÃÇKÉGHÇI KÄ ?ÃÊW ÄAÊ KÄ ÇCGÊÃÉAHÊI ôÀ�� ��� g ~g��kg �� ���g�� �� ���nh�g�h kni����h � ��~�hn��g º���g ����� �gih�������g �� ��h�gh �gi���gh »�n�� ���·��kg ¿¼m �hhg ~gh��� �����g��h �� �g�� niº��ng� ���� �h�� ��g�k�~� i�hh� ~g��kg »�g~g ��������~ ,��ø�.¼ h��g n���k���i��hm�g� �~� ���h���g �� �gi��in��i�n�¶ �h���n�k~�i�� ���� g �h����k���n~�i�g �� �g��h niº��ng��h ���� ��g�k�~�h ��g~���n�gh¶ �hh�~n��~gh�g����i�� ��� g ~g��kg ��nkn���g � g �� ���g�� �� ���nh�g�h �k����n��hm

/0X Y;4;6OQR;Þ 6N 745ZN35 6N ;PQ54O3R5Þ���g �~ ��g�k�~� ��¸g ��~�ilg �� �i����� �g�� h�� �����hhg �g� [>JØ\�KÖX] [ HÚ�>Z�ÖÙÖYÖ ÙYXIÖ�X>×[YØ[ZIÖ JÚÚ^Z×[_Ú>�ZÖ JÚ×XVØ\�KXÚ×`�~ �����~���g p¶ h��gil� ��� ~gh���~gh � ��nh���i�n� �� �~� hgk�����g��nkn��i�g �~� ��~gih�������g �g� ni������g �~ pm ��ihºg�~�� �h�� ���~gih�������g �~ �~ �k�g�n�~g �����hn�g ��� �gih��gn �~� ��k hgk�����g ��~ �����klg �h��k~�i�� ��h��i�� hn~�k�h ¸ � ��� gh ni����n�i��h ��ni��n��nh �g �k�g�n�~g �������~ ���kn�n��~�i�� i� ��~gih�������gÁ � ��h��� ni������g � � �gi�n����g �� ������ �� �����h��g� � ln�g��h� �� ni������g� � �l�~��� �����hn�� �g �k�g�n�~g � g ��hhg �� ni������g � � g��������g�� �º��n�� �gih�������g �� hgk�����g ���� � �i����� �� ��~�ilg p � ����n���h hgk����g�h �gih���·��h �����hn��~�i��m�g� g���g k��g¶ ���� h� �h����k���� � �g�������g �� �~ �k�g�n�~g�hhn~ �gih���·�g¶ ��h�� ��g��� ��� � ���������g �� ��~gih�������g ����g ��g���n~�i�g � �g�����¶ �gnh � ��kn���� �� �gih�������g �� hgk�����g ��h����k��n�� ��k� ��g�� ni���n��mfhhn~¶ �gi��~ ��� �����n��k�~gh �k��~�h ºg�~�h �� ��g��h �g�ni������gmababa b�lÀj| xl� ifkg�h�jl���g �~ ��g�k�~� # ��� ������ ��� h� g���il� �~� hgk�����g �����~� �i����� E �g~ p �k�~�i�gh¶ h��gil� ��� �����~gh ��~gih�����g� ni������g ��� � �ghh·��k g���� ��k hgk�����gm � ��ig��~gh �g� c »E¼� �hh���n��Á

dª E ½ª ³¬° ª´­®°Î° ±«¬ p ªµª¬ª´­«Ë ²°®° « ²®«Øµª¬° # rª´­ Ì°« ˰ت¬«Ë «Ø­ª® ³¬° Ë«µ³Ñ±Ì°« ef »E¼ ²°®° ° ª´­®°Î°E u

Page 28: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôÏ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ�i���g �����~gh ��~gih���� ��� c »E¼ � �������n�g¶ �g� ni������g �~ pgi�� gE g � p h pi ���� �k��~ ni��n�g pi h ô »�~ ����k¶ pi � ô¼m��ig��~gh gh �k�~�i�gh �� �i����� E �g� FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�Gm�g��~gh �h�� �n���h�h ºg�~�h �� ni������g � ���� �~� ��k�h k��� ��~ �����n�~� �� ��g¸��g �� �k�g�n�~gh ���¶ �g~g ����~gh � h���n�¶ni�k�n gh �����n�~�h ni���~�i��k¶ �� ���������¶ � �� �n�nh��g � �gi��nh��¶�i��� g���ghmàáè�å ñèá çüóý�æjåè ïçîñëâï

��h�Á ��g��� ��� c »FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�k G¼ � �������n�g ���� �k���~ pi h ôm-n�g��h�Á fhh�~n� ��� c »El¼ � �������n�g ���� gEl g � p : ôm��hhgÁ ��g��� ��� c »E¼ � �������n�g ���� gE g � pm

m äâæüçæå é��~g��� �~ �k�~�i�g ���n����ng ÃP ��E ¶ ºg�~�i�gEl � E:FÃPGm �g�ln�g��h� �� ni������g¶ c »El¼ � �������n�gm ��h�� ~gh���� ��� c »E¼ �c »El n FÃPG¼ � �������n�g¶ � ����n� �� �����n���� �� c »El¼màåáåóçìîå "üæáâîâüíåë� h���ni�� �k�g�n�~g ¯´±®ª¬ª´­°µ »�����hn�g¼ �g�� h�� g��n�g � ����n�oÖYÖJZW\Ö[>�YÚ\Ú>[ÖV �� ��g�� ��n~�Áêëìèáçíîè émû �i�f »E¼ôm � gE g � pi �i���g ���gk�� � hgk�����g �gih���·�� �n����~�i����h���� i� ��g�� �g ��hg ��h�mõm �i��g¶ �h�gkl� �~ �k�~�i�g ���n����ng ÃP � E m� � El � E : FÃPGmõmôm ����il� �����hn��~�i�� ef »El¼ � �i�f »El¼mõmõm ���gk�� � hgk�����g ef »E¼ g��n�� �h��i��i�g ef »El¼ �� ~g��g � ni�k�n� ÃP �giºg�~� g ��hhg �� ��g�� ni���n��m

Page 29: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DEVE ÂÇÃÇKÉGHÇI KÄ ?ÃÊW ÄAÊ KÄ ÇCGÊÃÉAHÊI ô÷ðèîñëâòçóåóâ�g� ���~�kg¶ h� g ��hhg �� ����ih��g �� hgk�����g ����n�k ���� � hgk�����gji�k �g~� ��~�g Îp»p¼¶ �i���g � h���ni�� ��k�����g �� ���g����i�n� �����hh�� �g~�k��n���� �g��k �g �k�g�n�~gÁq Î »p¼ � Î »p : ô¼ÓÎp»p¼ ���� p r piÎ »pi¼ � Ì»ô¼Ç »ômô¼� Îp»p¼ � Ì»p¼¶ �i���g Î »p¼ � Ì»pͼ¶ ~�h h� Îp»p¼ � Ì»kg�p¼¶ �i���gÎ »p¼ � Ì»p kg�p¼mm äâæüçæå û����i�� gh p �k�~�i�gh �� E h���i�g �k��~ ��n���ng »����ig~ni�i��g�gh FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�G i�hh� g���~¼ � ��~g��� g ~�nh S|� �n��n��¶T Ã� ¶ºg�~�i�gEl � E:FÃ�Gm �g� ln�g��h� �� ni������g¶c »El¼ � �������n�gm��h�� ~gh���� ��� c »E¼ � c »El n FÃ�G¼ � �������n�g¶ � ����n� �������n���� �� c »El¼màåáåóçìîå óâ såááâóýáå� h���ni�� �k�g�n�~g Ϊ Í°®®ªÎ³®° »�����hn�g¼ �g�� h�� g��n�g � ����n� oÖYÖJZW\Ö JÚtÖYYÚJØYÖ�� ��g�� ��n~�Áêëìèáçíîè ém ���f »E¼ôm ����i� gh �k�~�i�gh �� E h���i�g �k��~ ��n���ng »����ig~n�i�i�g�gh FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�G i�hh� g���~¼mõm ���gk�� g ��h�k���g �g �k�g�n�~g ����f��f »E¼ ���n�gm

êëìèáçíîè ém� ����f��f »E¼ôm � gE g � pi �i���g ���gk�� � hgk�����g �gih���·�� �n����~�i����h���� i� ��g�� �g ��hg ��h�mõm �i��g¶ h� � El � E : FÃ�Gmõmôm ����il� �����hn��~�i�� ef »El¼ � ����f��f »El¼mõmõm ���gk�� � hgk�����g ef »E¼ g��n�� �h��i��i�g ef »El¼ �� ~g��g � ni�k�n� Ã� �giºg�~� g ��hhg �� ��g�� ni���n��m

Page 30: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôø �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄðèîñëâòçóåóâ}g~g �i��h¶ h� g ��hhg �� ����ih��g �� hgk�����g ����n�k ���� � hgk�����gji�k �g~� ��~�g Îp»p¼¶ �i���g � h���ni�� ��k�����g �� ���g����i�n� �����hh�� �g~�k��n���� �g��k �g �k�g�n�~gÁq Î »p¼ � Î »p : ô¼ÓÎp»p¼ ���� p r piÎ »pi¼ � Ì»ô¼Ç »ômõ¼� Îp»p¼ � Ì»p¼¶ �i���g Î »p¼ � Ì»pͼ¶ ~�h h� Îp»p¼ � Ì»kg�p¼¶ �i���gÎ »p¼ � Ì»p kg�p¼màáè�å ñèá çüóý�æjåè �åïâåóå âî óç�çïjåè â�ýçëç�áåóå

��h�Á ��g��� ��� c »FÃÑoÃÍo Ç Ç Ç oÃ�k G¼ � �������n�g ���� �k���~ pi h ôm-n�g��h�Á fhh�~n� ��� c »El¼ � �������n�g ���� gEl gÔ upÄõvm��hhgÁ ��g��� ��� c »E¼ � �������n�g ���� gE g � pm

m äâæüçæå����n�ngi�� g �gi¸�i�g E �� p �k�~�i�gh �~ �gnh h����gi¸�i�gh EÑ �EÍ �� pÄõ �k�~�i�ghÍ m �g� ln�g��h� �� ni������g c »EѼ � c »Eͼ h��g�������n�ghm ��h�� ~gh���� ��� c »E¼ � c »EÑ wnEͼ � �������n�g �����n� �� �����n���� �� c »EѼ � c »Eͼmàåáåóçìîå óâ xç�çïjåè â ðèü�ýçïíå� h���ni�� �k�g�n�~g �� Î¯Í¯Ë Ì°« ª ±«´]³¯Ë­° »�����hn�g¼ �g�� h�� g��n�goÖYÖJZW\Ö JÚyZIZ× KÖX Ú ÕX>TØZ×[Ö � ����n� �� ��g�� ��n~�Áêëìèáçíîè émþ �z}f »E¼ôm � gE g � pi �i���g ���gk�� � hgk�����g �gih���·�� �n����~�i����h���� i� ��g�� �g ��hg ��h�mõm �i��g¶ �n�n�� g �gi¸�i�g E �~ �gnh h����gi¸�i�gh EÑ � EÍ ��pÄõ �k�~�i�ghmõmôm ����il� �����hn��~�i�� ef »EѼ � �z}f »EѼ � ef »Eͼ ��z}f »Eͼm{|ááïæã} üçä áèæüîèìèêãêå} ùïå ~ ýå ïæã üçâíåéìèã êå �þ

Page 31: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE�E �ÄKB�È�ÊÄI Ä`AÃÄ ?ÃÊ�CÄHÇI ôúõmõm ���gk�� � hgk�����g ef »E¼ g��n�� �h��i��i�g ef »EѼ �ef »Eͼ �giºg�~� g ��hhg �� ��g�� ni���n��m

ðèîñëâòçóåóâ� g ��hhg �� �n�nh��g �~ �gnh �gi¸�i�gh �g~� ��~�g Î� »p¼ � g ��hhg�� ����ih��g ��h ���h hgk����g�h ����n�nh ���� � hgk�����g ji�k �g~� ��~�gÎp»p¼¶ �i���g � h���ni�� ��k�����g �� ���g����i�n� �����hh� � �g~�k��n�����g��k �g �k�g�n�~gÁq Î »p¼ � õ SÎ »pÄõ¼Ó »Î� »p¼ÓÎp»p¼¼ ���� p r piÎ »pi¼ � Ì»ô¼Ç »ôm¾¼

}g~g Î� »p¼ � Ì»p¼ �h�i�g�h� �~ �k�g�n�~g ���� ��k��kg �� ~��n�i��~ ��~�g kni��� »�n�� ,f-�÷¿.¼¶ h� Î� »p¼ Ó Îp»p¼ � Ì»p¼¶ �i���gÎ »p¼ � Ì»p kg�p¼m �g� g���g k��g¶ h� ��h��i���~gh ��~�g Ì»p kg�p¼���� ����g���i�� gh �k�~�i�gh �� E �g~g j��~gh ig ��hg �g �k�g�n�~g�� ���������¶ ����~gh Î� »p¼ � Ì»ô¼¶ ~�h g ~�klg� ��� �g����~gh g����i�h�� ��hg �ni�� � Ì»p kg�p¼ ���n�g |� g���i�����gm�n~gh �g���i�g ��� �~ ~��g�g �gi��in�i�� �� ��g¸���� �k�g�n�~gh� hn~�k�h~�i�� ��~gih���� �g� ni������g ��� g ��g�k�~� �~ ���h���g� hgk���k� ���g l� i��� �� ���k~�i�� �h���n�k � ��h��n�g �� ��g��h�g� ni������g � i��g h�� g º��g �� �k�h h���~ ��g��h �gih����n��hm �g����i�g¶ ���k���� g���� ���in�� ��� �ghh� h�� ��nkn���� ���� ��~gih�����gih����n��~�i�� � hgk��nkn���� �� ��g�k�~�h h���� �g~g ~��g�g ����g¸��g �� �k�g�n�~gh � k��� � hgk����g�h ��¸�h ��g��h �� �g�������g �h���g�hh�i�n�k~�i�� �· �~���n��hm/0� �N6789:5NÞ N234N 7459PNR;Þ}g~ g ��� �n~gh i� h�����g �i���ng� hg��� �����n�~�h �� ��g¸��g ���k�g�n�~gh¶ � �g~g �g��~gh ��~��~ i� ���h���g �� �����~ni�����g ��h��h �g~�k��n����h¶ �g~����~gh � ��g���� g �h����g �� g���i����g ���g��h h����ng��hm��h�� ��� �ni�� i�h�� ���·��kg ��� ��g��hhgh �g��~gh ��nkn��� ������~gih���� � �g~�k��n���� ni��·ih��� �� ��g�k�~�hm

Page 32: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õ� �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ��g �~ ����k �nh��h �~ ���hgh ��hn�gh �� ��g¸��g �� �k�g�n�~gh �h��g��h �� ���ÁË g ��g�k�~� �� g���i�����g »�l�~��g |�h ����h �� ��g�k�~� ���k�hhnj������g¼ ������ �»p kg�p¼ g�������g�h �� �g~��������g �i��� gh�k�~�i�gh �� �i������Ë g ��g�k�~� �� ��h�� �� �~ g�¸��g �� ���g i�~ ���g� �� ��kg��h���nh g���i��gh ������ �»kg�p¼ g�������g�h �� �g~��������g �i�������k� g�¸��g � gh �k�~�i�gh �g ���g�m

f~��h �h��h ��g��h h��g º�n��h ��nkn��i�g � �����h�i������g �� �k�g�n�~gh��i��n�gh ���� ���� �~ ��hh�h ��g�k�~�h i�~ ~g��kg �� ���g�� �� ����nh��g �gi��in�i��m �~ h���n�� �g~�����h� g i�~��g �� igh�ºgkl� ��h�����g�� ��¸g kg���n�~g � �~� �h�n~��n�� ���� � �k���� �� ���g�� � �g����i�g ���� � �g�� ~·in~� �g i�~��g �� �g~�������g�h ��� g �k�g�n�~g����nh� ���kn��� ���� ��hgk��� g ���g ��g�k�~�m �h��h ��g��h �n����h»��nkn��i�g �����h�i�����g�h �g ~g��kg �g~�����ngi�k � � �gi����~ �gi�~��g �� g�������g�h¼ h��g �~ ����k �����klgh�hm�~ ,��ø¾.¶ ��i��� ����h�i�� º����~�i��h �g���gh�h ���� g �h�����k��n~�i�g �� g����h �g��h niº��ng��h ������h �� ���kn������g �� ��g��h�n����hm ��h��i�g�igh �~ �k��ih �g��gh ��g�k�~�h ��¸�h �g~�k��n�����h ni��·ih���h ºg��~ �h����k��n��h i�hh� �����klg �ngi�n�g¶ »~�h ���i��g ����g���n��~gh ���n¼¶ ��~gh ��~gih���� �g��h �h �g��h niº��ng��h���� ��g�k�~�h �������h i�h�� kn��gmf ���in�� ��� ��nkn����~gh � ~�igh k��g�ngh� ��� �h ��g��h �n����h|�h ���nh igh ��º��n~gh¶ ~�h i��g ~�igh �n�g�gh�m}gihn���� �gnh ��g�k�~�h # � �m U����~gh ��jin� ���i�g g ��g��k�~� # � ®ªÎ³­ ½Õͪµ �g ��g�k�~� � �~ ��~�g � »p¼¶ g ��� h��� ni�n���g��k� ig������g$ # ����� �m �� ~�i�n�� niºg�~�k¶ nhhg hn�inj���� ~gh������� ���� �~� nih���i�n� ��i��n�� �f �g ��g�k�~� # �k� �g�� h�� �gi�����n�� ���� �~� nih���i�n� �� �� � �� ~g�g ���¶ g��n�� �~� hgk�����g e����� ��¶ � �ghh·��k g���� � ����n� �� e� �~� hgk�����g ���� � nih���i�n� �f����m f~��h �h �gi���h�g�h »�i��� nih���i�n�h � �i��� hgk����g�h¼ ����~h�� ���������h �~ ig ~��n~g Ì»� »p¼¼ g�������g�hm�� âãæãé�ç �åæ �åäãî ã ìãäêèéãîèêãêå� êã èéáâíãéìèã �� ýå ç ùïå êåéçâãæçá ãùïèüåîç üãäíãæåâäç ~þ

Page 33: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE�E �ÄKB�È�ÊÄI Ä`AÃÄ ?ÃÊ�CÄHÇI õô�� �~gh �g~g ��h������ � ~�h~� �gnh� �� �~ ~g�g �~ �g��g ~�nhºg�~�km �~ ��n~�n�g k����¶ ��h� �~gh g���� �~� ���ihºg�~�����g �� ����~����~�i�g �� nih���i�n�h �� ��g�k�~�hÁ

�� Á �� � ��gi�� �� ��ig�� g �gi¸�i�g �� �g��h �h nih���i�n�h �g ��g�k�~� ˶ ��~g�g ��� g ��~�g i���hh��ng ���� �g~����� �� »�f ¼ h� � Ì»� »p¼¼m �~h���i�g k����¶ h� ��ig��~gh �g� �� g �gi¸�i�g �� �g��h �h hgk����g�h��h nih���i�n�h �~ ��¶ � �g� �l� � �� g �gi¸�i�g �� �g��h �h hgk����g�h��h nih���i�n�h �~ �� »��¼¶ �����~gh �i���g g���� �~� ���ihºg�~�����g � ���� ~����~�i�g �� hgk����g�h �� ��g�k�~�hÁ

�  Á �l� � ��o�g~ � ��g��n����� �� ��� � n~���~ �g� �  �� �� »�f ¼ � �~� hgk�����g ���f ¶ ���� �g�� nih���i�n� �f � ��m� h���ni�� �n����~� º��nkn�� � �nh��kn������g ��h ���ihºg�~����g�h ��������~gh �� ��h������Á ¡YÖ>×? ÚY _Ú>�ZÖ JÚÕX[Ö× [>? ÚYZXYÚ×

n�¢£

¤�����

� 

��

�l���

����# �

��h���� ��� �g��~gh �gih���n� � ����n� �� ���� �k�g�n�~g n� �����hgk�� nih���i�n�h ���n����n�h �g ��g�k�~� �¶ �~ �k�g�n�~g ��� ��hgk��nih���i�n�h �g ��g�k�~� # �g h���ni�� ~g�gÁnf Ç� �  ¥n� ¥ �� onh�g �¶ ���g �f � ��¶ nf »�f ¼ � �  »n�»�� »�f ¼¼¼ � ��m ������� ��� ��g~�k��n���� �g �k�g�n�~g nf �hhn~ �gih���·�g � � hg~� ��h �g~�k���n����h ��h ����h g�������g�h ��� g �g~��g�~m �g���i�gÁ

Φ§ � Ψ© ÓΦª ÓΨ« Ç

Page 34: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õõ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ�g���i�g¶ � ��n~�n�� �gih��ö���i�n� n~�g���i�� �� g���i����g �� �~�¡YÖ>×? ÚY _Ú>�ZÖ JÚÕX[Ö× ¬ØÙÚYZXYÚ× ��������g �� �~ ��g�k�~� # ���� g���g ��g�k�~� � � ��� �g��~ghg���� �~ �k�g�n�~g ���� # � ����n� �� ±°Î° �k�g�n�~g ���� �m ��h��ºg�~�¶ ��~gh �~ ~��g�g hn~�k�h �� �h����k���� �g��h h����ng��h ����g ��g�k�~� # m�~ �h���n�k¶ h� # ����� � � h� � � hgk���k �~ ��~�g � »p¼ ��»� »p¼¼¶ �i���g �g��~gh �j�~�� ��� # ��~��~ � hgk���k �~ ��~�gÌ»� »p¼¼ �gnh¶ �g~g �n~gh¶ � �g~�k��n���� �g �k�g�n�~g �g~�gh�gnf � �  ¥n�¥�� �¶ i�h�� ��hg¶ kn~n���� ��k� hg~�Á � »p¼Ó� »p¼Ó� »p¼ �Ì»� »p¼¼mf h���i�� i��g ~�igh n~�g���i�� �gih��ö���i�n� �� h� ~gh���� ���¡YÖ>×? ÚY _Ú>�ZÖ JÚÕX[Ö× [>? ÚYZXYÚ× # ����� � �¶ i�~ ����g h�i�n�g¶ hn~���n�� |� ��� ��h�����~gh ��n~�m��gil� ��� h���~gh ��� �»­»p¼¼ � �~� �g�� niº��ng����� g ��g�k�~�# ¶ nh�g �¶ ��� ���k���� �k�g�n�~g ��� ��hgk�� nih���i�n�h »���n����n�h¼ ��# �� ��~�ilg p ���� ���kn��� ��kg ~�igh �»­»p¼¼ g�������g�hm ��gil��ni�� ��� � ��������g h� �� �~ ��~�g � »p¼ � �»­»p¼¼m �g��~gh �gi�k�n���� �»­»p¼¼ � �~� �g�� niº��ng� ���� g ��g�k�~� �m �� º��g¶ h� ����hh�l���� �~ �k�g�n�~g n� ��� ��hgk��hh� nih���i�n�h »���n����n�h¼ �� � �~��~�g � »p¼ � �»­»p¼¼¶ �gih���ni�g g �k�g�n�~g nf � �  ¥n� ¥ �� ����hgk�����g �g ��g�k�~� # ¶ ���·�~gh ��� h�� �g~�k��n���� h��n�¶ �g~g�n~gh �i��h¶ Ì»� »p¼ Ó � »p¼ Ó � »p¼¼ � �»­»p¼¼ g ��� �gi����n� � �g��niº��ng� �»­»p¼¼ ���� # mùg��k �� lnh�g�n�Á � ���in�� �� ��������g �i��� ��g�k�~�h h���� ����� ���ihº����i�n� �� �g��h h����ng��h �� �n��n�� ���� � �h������ � �� �g��hniº��ng��h �� �h������ ���� � �n��n��m��� ��®� ¯�¾�� °Ñ � °Í ��£� ª��± ���� ¤�£� ¥�� °Ñ ±�°Í � ��ª��²�¥�� °Ñ ¤�� ��¤� £�»��£�� �§­  �¡ ­¨¸ ³��£� ��� ��¡�£�¤�� �����®���� ����������£���´§�¨ �§­  �¡ ­¨ ¶� ¤��±¶�� ��� ��¤� £�»��£�� ª��� °Í¸§±¨ µ��� � ¡��£¤�� ¥�� ���� �� °Ñ ª��� ��� ����� ª��� ���� ��� °Í¸§�¨ µ��� � ¡��£¤�� ¥�� ���� �� °Í ª��� ��� ����� ª��� ���� ��� °Ñ¸§�¨ ¶ ª��± ��� °Í ª��� ��� ���� �£�� �� ª£�� ���� �� ¤��ª�§­  �¡ ­¨¸

��� ��·� ¯�¾�� °Ñ � °Í ��£� ª��± ���� ¤�£� ¥�� �� �� �� ¤�� �����¤� £�»��£�� �§­+¨� ª��� � ¡�� . 4 �� ��� ���� � ���ª�¤��£��� 

Page 35: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

DE�E �ÄKB�È�ÊÄI Ä`AÃÄ ?ÃÊ�CÄHÇI õ¾¸ � � ��¤�� �� �� ¶� ��  ¶���  �� ¤��ª� §­  �¡ ­¨� �� ����� ���� ����ª�¤��£��� ¸¸ ¯� °Ñ ¶� ����¤¶½��  � °Í �� ¤��ª�  £���� §°Ñ ±� °Í¨����£�� ¥��  ¶� ¥�� ¸

àáè�ëâîåï óâ âüýîâáå�æjåè¹ æèüíåìâî â óâæçïjåè� �g~�~ �����kl��~gh �g~ ����h �n�gh �� ��g�k�~�h �~ ��g~���n��g~�����ngi�kÁ

Ë ��g�k�~�h �� �i�~�������g�Ë ��g�k�~�h �� �gi����~�Ë ��g�k�~�h �� ���nh��gm

�~ ��g�k�~� � �l�~��g �� ª´³¬ª®°Ñ±Ì°« h� �k� �gihnh�� �~ �����~ni��]³°¯Ë gh �k�~�i�gh �� h�� �i����� h��nhº���~ � �~� ����� ��g��n�������i���i�g ��� �k� � �� ±«´­°©ª¬ h� g�¸��n�� g���� ]³°´­«Ë �k�~�i�gh ���i����� h��nhº���~ |����k� ��g��n������ � � �n�g h�� �� Ϊ±¯Ë Ì°« h� ��������� h� �����~ni� ���i�h ˪ ª>¯Ë­ª °µ©³¬ �k�~�i�g �� �i����� ��� �h��nhº��m���g � �nº·�nk ��� »��n��~gh ���� g k�n�g� ºg�~�kn��� �h �������g�h¼ ���� �ghh·��k �����n� �~ ��~�g kni��� ��i�g � ���h��g �� ���nh��g �� �~��g�k�~� ���� h�� ���h��g �� �gi����~ ���i�g �h�� ���� � ���h��g ���i�~�������gm�������¶ �g���i�g¶ ��� h� ��~gih���~gh �~� �g�� niº��ng� h�����kni��� »� »p¼¼ ���� �~ ��g�k�~� �� ���nh��g¶ � ~�h~� �g�� ��k� ���� �h���h g����h ���h�g�hm n~nk��~�i��¶ ���ihº����i�n�h �� �g��h h����ng��hh� ���g �~ ��~�g kni��� i� g���� �n������gm

Page 36: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õ¿ �Ç? Æ@ABCÊ DE FCGÊÃÉAHÊI Ä �ÊH?CÄJÉKÇKÄ

Page 37: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Û¤#£$ÝÞ%§ ºÛ§Ü¥¡¦Ý§* ¢ÞÜߤ)¡Üݤ¦*

��h�� ���·��kg �h������~gh � �����h�i������g � ~�in��k�����g ig �g~������g� �� g�¸��gh ��g~���n�gh �k�~�i����h¶ ��nh �g~g �gi�gh¶ knil�h¶ h���~�i�gh¶ � ��n��i��kghm �h��h �k�~�i�gh h��g � ��h� �� �g�gh �h �h�������h� �k�g�n�~gh ��� �h������~gh igh ���·��kgh h���ni��hm

L0/ M5546N2;6;Þ 9;43NÞO;2;Þ� k�n�g� �����~�i�� h��� �� kgi�� ���� ��� �~ �gi�g �g �k�ig �g�� h�� ÕXXYJÚ>ÖJÖ×�ÖY[Ú×ZÖ>Ö×�n�in�g��~�i�� �����h�i���g �g� �~ ��� �� i�~��gh ���nh »Eo» ¼¶ h��h±««®Îª´°Î°Ë ±°®­ªË¯°´°Ë¶ ~��n��h � ����n� �� �k��~� g�n��~ ���n����n��g kgi�g �� �gnh �n�gh g��g�gi�nhm f �g��kn���� ��hh�h ����h �gih�n��ng ²µ°´« ±°®­ªË¯°´« ��}gg���i���h �����hn�i�h¶ ���h�� �� ��~ �gil��n��h � ��h��i�� �h����h¶ i��g h��g � �in�� ~�i�n�� �� �����h�i��� �gi�gh �g �k�ig ig �g~������g�m �� �������¶ �~ ��g~���n� �g~�����ngi�k � �~ ����k ~�nh�gi��in�i�� �����kl�� �g~ �~� �����h�i������g ~�nh hgjh�n����¶ �h �l��~���h ±««®Îª´°Î°Ë Ú«¬«© =ª´ª°Ë¶ ��¸�h ��g��n�����h � ~�in��k�����g h��gg ��~� ��ni�n��k ��h�� ���·��kgmcbaba ¼e|Àjfyj½ef| kj ½elvey�ij hj�ye|ijfjf ��ni�n��k ��h��i����~ ��h �gg���i���h �����hn�i�h � ��� �k�h i��g ¾KÖX ¿ HÖ ÙX>[X× >XZ>À>Z[Xh��g���~ g �gi��n�g �� �gi�gh ig nijin�gm �h�� kn~n������g g��n�� gh

õÀ

Page 38: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õÏ �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI�k�g�n�~gh ��g~���n�gh � ������ h�������~�i�� ~�n�gh ��hgh ����n��k����hm�g� ���~�kg¶ h��gil� ��� �~ �k�g�n�~g ����nh� ��k��k�� � ni����h������g �� ���h ����hm �� ��g~���n� �����hn�i�¶ ��~gh ��� �gihn���������h ��hgh �nº���i��hÁ �h ����h �gni�n��~ »���~ nijin�gh �gi�gh �~ �g�~�~¼¶ h��g ����k�k�h »i��g ���~ i�il�~ �gi�g �~ �g~�~¼¶ g� �h���g �~�ghn����g ��i��n�� »���~ �����~�i�� �~ �gi�g �~ �g~�~¼m��¶ �i���g¶ h��gil� ��� �����~gh ��k��k�� � ni���h������g �� �gnh g�~�nh h�~n��k�igh ���ghm � ��h�k���g Sg��ni��ngT ��hh� g��������g � �~�gk·�gigm �� ��g~���n� �����hn�i�¶ �i�����i�g¶ ��~gh ��� �gihn��������ngh ��hgh S������ngi�nhTÁ � ni���h������g �g�� h�� �~� º�n�� kn~n����� �g� ���h ����h ����k�k�h¶ g� �~� ���n��g nijin�� kn~n���� �g� ���hh�~n�����h � �k��ih h��~�i�gh¶ ���m �~ g �gi��n�g �� �gi�gh ig nijin��g¶ ����nh�~gh ni��i��� �����h�i�����g�h �h���n�nh¶ � �g���i�g �k�g�n�~gh�h���n�nh¶ ���� ������ ���� �~ ��hh�h ��hghm�g���·�~gh �i�~���� g����h ��h��i����ih �� ��g~���n� �����hn�i�¶ÁØ[YÖ×JÚ×IÖ>[ÖWÚ>× �g~g �g� ���~�kg � º�k�� �� �~� �g���h�gi���i�n� ���º�n�� »���kn����¼�i��� �gi�gh � ����h¶ g� � ni�gi��in��i�n� �� �����h�i������g �� ���ih�ºg�~����g�h ��g~���n��hm �i�����i�g¶ �h��h kn~n�����g�h hg �g�����g h�����n��~�i�� �����n���h ���gnh ��� �n���~gh �h�����g � �����h�i������g�g� �gg���i���h lg~g���i��h¶ ��� i��g � �º����� �g� �k�hm

L0L M5546N2;6;Þ Â5R5QÃN2N;Þ�g� ��jin����g¶ h� »Eo» ¼ h��g �h �gg���i���h �����hn�i�h �� �~ �gi�g ��ÕXXYJÚ>ÖJÖ׿X\XW _Ú>ÚÖ× �� ¶ �h ±««®Îª´°Î°Ë Ú«¬«© =ª´ª°Ë ��hh� �gi�g h��g �~� ��n�k� �� i�~��gh���nh ,ÄoÃoÅ.¶ ��nh ��� E � ÃÄÄ � » � ÅÄÄmf �gg���i��� Ä � �l�~��� �� ²ªË«¶ � �g� �i���i�g ��~gh h��g�oÚ×X ��� �k� � �h��n��~�i�� �ghn�n��m ������ i� ig������gÁ �h���~gh h�~��������i��h�h »Åoż ���� �gg���i���h �����hn�i�h¶ � �gk�l���h ,ÅoÅo Å. �����gg���i���h lg~g���i��hmf ��jin����g ��n~� n~�kn�� ��� �~ ~�h~g �gi�g �� �� �g�� h�������h�i���g �g� ~�n��h ��n�k�h �� �gg���i���h lg~g���i��hm fhhn~¶�g� ���~�kg¶ ,ôoõoÀ.¶ ,õo¿o ô�.¶ � ,�Ç�¾o �Ç�Ïo �ÇôÀ. h��g �g�gh g ~�h~g�gi�g¶ ��¸�h �gg���i���h �����hn�i�h h��g »õoÀ¼m

Page 39: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_E_E �ÊÊÃKÄ`ÇKÇI ÆÊHÊG ÇÄ`ÄÇI õ÷�~ ����k¶ g ��� �����hn�ig »Eo» ¼ �g���h�gi�� � �g��h �h ��n�k�hlg~g���i��h ,ÄoÄEoÄ» . �g~ Ä r �� �~ ����n��k��¶ � ,ôoEo» .m��h���� ��� �h �gg���i���h lg~g���i��h ÄoÃoÅ �� �~ �gi�g i��g��~ hn�inj���g ni�n�n���k� ���i�h �h ����g�h ÃÄÄ � ÅÄÄ ��~ h�i�n�gm��� ¹��� µ����È� �� ��¡�£�¤�� ª��¤�� �� ����������� ���¤��£���� ª���²���¡²�����¦§�¨ §*2*¨ §±¨ §�2*¨§�¨ §*2 �¨ §�¨ §É2ʨ

��� ¹�¹� µ����È� �� ��¡�£�¤�� ª��¤�� �� ����������� ²���¡²����� ª������¤��£����¦§�¨ Ë�2*2*Ì §±¨ Ë�2 �2*Ì §�¨ Ë�2*2 �̧�¨ Ë�2 ,2 ÍÌ §�¨ Ë,2 É2 ÊÌ §» ¨ Ë,2*2*Ì��� ¹��� ������� � ª��¤� §�Î,2ÍÎɨ �� ����������� ²���¡²����� Z>Ï[ÚZYÖ׸��� ¹�'� ¶ ¥�� ����¤��� ��� � ª��¤� ËÐ2³2µÌ ¥����� ³ � µ ª����¢����� ����¤��¤��� � � ª��� Ð ¤���� ª��� *´ � ¥����� Ð ¤���� ª���ÑÒ´��� ¹�®� Ó������� � ¤��¾�¤ ¶��£� �� ª��¤� Ë� Ñ ÔÍ 2 � Õ ÔÍ 2 ,ÔÌ ¥����� �ª��²���¤�� Ô ���£� �� ÕÒ � ÑÒ¸

cbcba blfyl| ifÖfiyl|��h���� ��� ���i�g g ��hg Ä ��i�� ���� ���g¶ �g~ à � Å j�gh¶ g �gi�g,ÄoÃoÅ. ��i�� � h� �º�h��� nijin��~�i�� �� g�n��~¶ i� �n������g �g ���g�»Ãożm� i�����k �g���i�g �gihn����� �~� ��n�k� lg~g���i�� ,�oÃoÅ.¶ �g~ oX>[X Z>À>Z[X��hg i�kg¶ �g~g h�i�g �~ �gi�g nijin��~�i�� �nh��i�� �� g�n��~ ¹�~ ²«´­« ¯ <´¯­«¹ i� �n������g �g ���g� »Ãożm ��ig����~gh �hh� �gi�g�g� �»Ãożm� �g~��n~�i�g �g ���g� »Ãoż � n���k���i��¶ ��h�� ��� i��g h� � ���g�nh�g �¶ �h �gg���i���h ,�o×Ão×Å. �����h�i��~ g ~�h~g �gi�g nijin�g¶���� �g�g × r �m »�g�� ��� �h�� � � ~�h~� ���n��k��i�n� �� �gg���i���h

Page 40: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

õø �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉIlg~g���i��h ��� ��k� ���� �gi�gh g��ni��nghm¼ �g� g���g k��g¶ g h�i�n�g�g ���g� � n~�g���i��� nh�g �¶ �h ��n�k�h ,�oÃoÅ. � ,�o:Ão:Å. �����h�i��~�gi�gh nijin�gh �nh�ni�ghmÑ �n��~gh ��� �h��h �gnh �gi�gh nijin�gh h��g°´­¯²«Î°¯Ë¶ � ��� �~ � g °´­ ½Õ²«Î° �g g���gmf ��n�k� ,�o �o �. � �~ ��hg �h���n�km f �����n��i�n� ~gh��� ��� i��gÕXXYJÚ>ÖJÖ×Z>I HÖVZJÖ× ��k� � ��i� ��i��� ni���������k� �g~g �~ �gi�g� � ~�klg� �������� ����hh� ��n�k� � ni��kn��m��� ¹�·� ������� �� ����������� ²���¡²����� �� ª��¤� £���£¤� ��¾��£��®��� »�È �� ²��¡� � �� Ø ���£���� ��� � �£¼� ��� �±��£����¸

cbcbc d lgy�l wjkl kl xwjfl� �h ��n�k�h lg~g���i��h ,ÄoÃoÅ. �g~ ��hg Ä �ghn�n�g h��g �gi�gh ���� ¶ � �h �g~ ��hg i�kg h��g �gi�gh nijin�g¶ ��� hn�inj���g �g��~gh ������� �h ��n�k�h �g~ ��hg i����n�g��g� �h���ilg ��� �������¶ � ~�klg� ni��������� �hh�h ��n�k�h �g~g�gi�gh ���¶ ��i�g ��hh��g S�k�~ �g nijin�gT¶ ºg��~ ����� ig Sg���gk��gT �g �k�igm�iºg�~�k~�i�� ��~gh n~��ni�� ��� g �k�ig � �~� ºgkl� nijin�� ��UTØ HÚ\ Ú ÖV HÚ\ ����k ���ihk��n�g� � ���¶ ���� ���� �ghn����g »Eo» ¼¶ ��nh��~ �gnh �gi�gh�g �k�ig¶ hg����gh�gh ~�h �nh�ni�ghÁ �~ i� º��i�� �� ºgkl�¶ � g���g ig���hgm }g~ ¸� ºgn �n�g¶ �~� ��n�k� lg~g���i�� ,ÄoÃoÅ. �g~ Ä Ù� ���h����� �~ �gi�g �� �gg���i���h �����hn�i�h »ÃÄÄo ÅÄļ� h�i�g ���g �gi�g �h�� i� º��i�� �� ºgkl� h� Ä r �¶ � ig ���hg h� Ä � �m �n��~gh��� g ��n~�n�g �h�� ig °]³ ½ª¬ � h���i�g ig °µ ½ª¬m�n��~gh ��~��~ ��� �hh�h �gnh �gi�gh h��g ±«¯´±¯Îª´­ªË ~�h i��goX>[X× �XZ>�ZJÚ>[Ú×Ú Ö>[ZÙXJÖZ× n���nh¶ � ��� �~ � g °´­ ½Õ²«Î° �g g���gm �~ ����k¶ ��ig����~gh g�i�·�g�� �� �~ �gi�g Ú �g� ÛÚ Á g� h� �¶ Û,ÄoÃoÅ. � ,:Äo:Ão:Å.m�h�� ��jin����g ��k� ��i�g ���� �gi�gh ig ����~¶ ig �k�~¶ g� ig nijin�g��~ ����n��k��¶ Û,�oÃoÅ. � ,�o:Ão:Å.m�g�� ��� �gi�ni�� ��kn�� � ����� ��� ,ÄoÃoÅ. � ,×Äo×Ão×Å.¶ �����g�g × r �m��� ¹�Ü� Ý��� ���� �� ��� ª��¤�� ��¡�£�¤��� �²� �� ����������� ���¤�¢�£����� � �£¡� �� � ª��¤� ��¤ ¶� �� �¥�¶�� �� �� � ¶��¦ßàáâã êèáâèéðìñãç üçêå üãäåìåä åáâäãé�ã ãçá îåèâçäåá ùïå ú ýã åáâñãç Þãæèîèãäèßãêçáìçæ �åçæåâäèã üäçúåâèàãþ àáâå ãááïéâç áåä ýã êèáìïâèêç éã áåðìñãç �þáâþ

Page 41: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EÿE � ?CÇ`Ê ?ÃÊW ÄAÉãÊ ÊÃÉÄ`AÇKÊ ÿ� õú§�¨ Ë�2 Õ,2ÍÌ §±¨ Ë�2 ,2 ÕÍÌ §�¨ ËÕ�2,2 Í̧�¨ ËÕ�2Õ,2ÕÍÌ §�¨ Ë�2*2*Ì §» ¨ ËÕ�2*2*Ì��� ¹�ä� Ó²� ����������� ²���¡²����� ª��� �� ª��¤�� �� �¥�¶�� � ��� ¶�� ��¾�� ����������� ���¤��£���� ���¦§�¨ §*2*¨ §±¨ §,2ͨ§�¨ §Õ,2Õͨ §�¨ §Õ,2ͨ

��� ¹�å� ³��  � �� �®��� ¡���¶�¤�£�� ��¤�� �� ª��¤�� ËÐ2³2µÌ � ËÕÐ2³2µÌ´§¯�ª��²� Ð 4 *¸¨��� ¹��æ� ¯�¾�� Ð ³� � µ � ¶������ ���£� ��� �� ��¸ ©���£���� �� �£¤�¤�£ª �� ²���¡²����� Ë3Ð2ç³2èµÌ� ���� 32ç2è ) éÑ�2Õ�ê¸ ³���¤��ª��¤�� �£�¤£�¤�� ��¤�� ��ª�����¤���� ª�� ����� ¤�£ª ��´ ³��£� ª���� ��ª��¤�� ��� ��¤£ª���£�´

L0Û ë 7P;25 745ZN3Oì5 54ON23;65 íîfg �h��~gh �gg���i���h lg~g���i��h �~ ��� �� �gg���i���h �����hn�� oVÖ>X ÙYXï Ú[ZIXXYZÚ>[ÖJXi�h¶ �h��~gh ��g��i�g g �k�ig �����hn�ig �� �g� �~ �h����g ��g~���n�g�h��n��~�i�� ~�ng�¶ ��� ��� �l�~���~gh �� ²µ°´« ²®«Â ª­¯Í« «®¯ª´­°Î«¶� ��� ��ig����~gh �g� ÿ� m »� ·i�n�� õ ���n ni�n�� � �n~�ih��g �g�h����gm¼fk����n��~�i��¶ g �gi¸�i�g �� �gi�gh �g �h����g ÿ� �gihnh�� ���g��h �h ��n�k�h �� i�~��gh ���nh ,ÄoÃoÅ.¶ �����g � ��n�k� ,�o �o �.� h�i�g��� ���h ��n�k�h h��g �gihn������h ���n��k�i��h h� � hg~�i�� h� �~� ºg��~ ~�k�n�kg �ghn�n�g �� g����m

Page 42: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¾� �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉIcbzba d vlkewl xwjfl ke ðñ��g~���n��~�i��¶ g �h����g ÿ� �g�� h�� ��jin�g ��kg h�� ¬«Îªµ« ²µ°´«¶òXJÚVX ÙVÖ>X ��� �gihnh�� �� ���h �g�n�h �g �k�ig �����hn�ig �� »g ����~ � g �k�~¼¶~�nh �~� �g�n� �g �·���kg �in���ng �ó »gh �gi�gh nijin�gh¼m �� � �j���� õmôm

�n���� õmôÁ � �k�ig ��g¸��n�g �� �gnh k��ghm��~���~gh ��� g �gi�g ,ÄoÃoÅ. �h�� ig ����~ h� Ä r �¶ � ig

�k�~ h� Ä � �� �~ �~�gh gh ��hgh¶ h��h �gg���i���h �����hn�i�h h��g»ÃÄÄo ÅÄļm � �gi�g � nijin�g h� Ä � �� i�hh� ��hg¶ h�� �n������g � � �g���g� »Ãożm�~ ����k¶ �h nk�h������g�h �� j����h ��g~���n��h �� ÿ� ��� h� h����~ÕX>IÚ>\�KXÚ× WY HÖÀ�Ö× h����g ��h����h i�h�� ~g��kg �k�igm �gi�gh �g~ ~�h~�h �gg���i���h�����hn�i�h h����g ��h�il��gh hg����gh�gh� ���� �nh�ni��n� gh �gnh k��gh�g �k�ig¶ �h���~gh �gi�gh �l�ngh »Ë¼¶ knil�h �l�n�h¶ � ����h l��l�����h���� g ����~¶ � �gi�gh ���ngh »¥¼¶ knil�h ����� ���h¶ � ����h �gi�nkl���h���� g �k�~m �� � � j���� õmõm

Page 43: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EÿE � ?CÇ`Ê ?ÃÊW ÄAÉãÊ ÊÃÉÄ`AÇKÊ ÿ� ¾ô

�n���� õmõÁ }gi��i���g�h ���j��h ���� gh �gnh k��gh �g �k�igm

��� ¹���� Ó����²� �� ��£� ¤�£²��¡� �� ��¾�� �¶��¤£��� ��� ����� � ��¡�£����¡���� �� ������®���� �� �¡��� ,¸,¸ �� ���� ����� ��ª��²� ¥�� �¤�£²��¡� � ��¤ ¶� £�¤�£�����¤� ���¤£�� ��� ���  ���� �� ª ��� §�¥�¶�� ��� ¶��¨¸§�¨ Ë�2*2*Ì Ë�2 ,2*Ì Ë,2 Í2 Ȩ́±¨ ËÕ�2 �2*Ì ËÕ�2,2 ,Ì ËÕ�2,2 ÕÍÌcbzbc d vlkewl e|= Ée�ihl ke ðñ����� ~�i�n�� �� �nh��kn��� g �h����g ÿ� � ������h �� h�� ¬«Îªµ« òXJÚVX Ú×? HÚYZ�XªËÖ ½ª®¯±«¶ ��� �gihnh�� i� h����º·�n� �� �� �hº��� �in���n� �� �ô �g~��i��g i� g�n��~m

�n���� õm¾Á � ~g��kg �hº��n�g �� ÿ� m�h���nj��~�i��¶ ig ~g��kg �hº��n�g g �gi�g �� ÿ� �g~ �gg���i���hlg~g���i��h ,ÄoÃoÅ. � �����h�i���g ��kg �gi�g �� �� �g~ �gg���i���h

Page 44: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¾õ �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI�����hn�i�h »ÄoÃożõÄÍ Ó ÃÍ Ó ÅÍ�� h� �¶ ,ÄoÃoÅ. � �����h�i���g ��k� ��g¸�����g �g �gi�g »ÄoÃoż �� �ôhg��� � �hº���¶ i� �n������g �g ��i��g �� ~�h~�m �� � � j���� õm¾m� ����~ � g �k�~ �� ÿ� �g���h�gi��~ �g���i�g �gh l�~nhº��ngh ��UTØ HÚ\ Ú ÖV HÚ\ >ÖÚ×? ÚYÖ �� �g~ Ä r � � Ä � �¶ ��h����n��~�i��m f g�n��~ »�o�¼ �g ����~ � g�gi�g »ôo �o �¼ �� �hº���� � � �g �k�~ � »:ôo �o �¼m �h �gi�gh ig nijin�g�� ÿ� �h���g ig �·���kg gi�� � �hº��� � �g����� ��kg �k�ig Ä � � �� �ô m��h���� ���¶ i�h�� ~g��kg¶ �~ �gi�g Ú � h�� �i�·�g�� ÛÚ �h���gh�~��� �n�~����k~�i�� g�gh�gh i� �hº���m��� ¹��¹� ö��£¥�� ¡��������¤� � ª��£®��� ��� ��¡�£�¤�� ª��¤�� �� ��¢�� � ��» ¶��£�� �� ÷� ¸¸§�¨ Ë�2*2*Ì §±¨ ËÕ�2*2*Ì §�¨ Ë�2 �2*̧�¨ Ë,2 Í2 ÉÌ §�¨ Ë,2 ÕÍ2ÕÉÌ §» ¨ ËÕ,2Í2 Ȩ́¡¨ Ë*2 Í2 ÉÌ §²¨ Ë*2 ÕÍ2ÕÉÌ §£¨ Ë*2 Í2 ÕÉÌ

cbzbz <l��e|xlfk�efhij efy�e l| vlkewl|m f �g���h�gi���i�n� �i��� g ~g��kg �hº��n�g � g ~g��kg �k�ig¶ ��jin��n~�kn�n��~�i�� ��k�h �gg���i���h lg~g���i��h¶ ���n��k� |� ��g¸�����g ������ l�~nhº��ng �� �� »Ä r � � Ä � �¼ i� �g�n� �g���h�gi��i�� �� ��»����~ g� �k�~¼m�~ �~�gh gh ��hgh¶ ����~gh n~��ni�� � �g�n� �� �� �g~g �~ �k�ig��i��i�� |� �hº��� �� ¶ �g~ h�� g�n��~ ig �gi�g »ôo �o �¼ �� ~�h~�¶ ��g~ h��h �n�gh ����k�kgh �gh �n�gh à � Å �� �ô m�g ��hg �g ����~¶ ��g¸���~gh g l�~nhº��ng Ä r � �� �� ig �k�ig¶� ����n� �g ��i��g �� �hº���m �� � � j���� õm¿»�¼m�g ��hg �g �k�~¶ ��g¸���~gh g l�~nhº��ng Ä � � hg��� g �k�ig°­®°Í ½ªË �g ��i��g �� �hº���m �� � � j���� õm¿»�¼m ��h���� �g~g �h����g¸�����g º�� �g~ ��� g �k�~ �g ~g��kg �hº��n�g j��� �g���g �� ôø�ø�~ ��k�����g �g �k�~ �g ~g��kg �k�igm

Page 45: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EùE �ÄAÇI ¾¾

�n���� õm¿Á }g���h�gi���i�n� �i��� gh ~g��kgh �k�ig � �hº��n�g �� ÿ� m�ni�k~�i��¶ k�~���~gh ��� gh �gi�gh nijin�gh »�g~ Ä � �¼ h��g�����h�i���gh �~ �~�gh gh ~g��kgh �g� �~� �g�n� �g �·���kg �in���ngÁú »Ãoż Á ÃÍ Ó ÅÍ � ô û »~g��kg �k�ig¼ú »�oÃoż Á ÃÍ Ó ÅÍ � ô û »~g��kg �hº��n�g¼

f �g���h�gi���i�n� �i��� �h��h �gnh �·���kgh � � g��n�mL06 �N3;Þcb¿ba ü}gj�h�jl Êlvl½�efej kj �eyj}g~g h���~gh¶ �~� knil� ���� �g �k�ig � ��jin�� �g� ����h �g�j�n�i���h nosoý ¶ ��nh ��� �~ �gi�g ��i��n�g Ú �� �gg���i���h �����hn�i�h»Eo» ¼ �h�� i�hh� knil� h� � hg~�i�� nEÓs» Óý � �m �����ni�g �hh���������g ���� �gg���i���h lg~g���i��h¶ �gi�k�n�h� ��� �~ �gi�g jin�gÚ � ,ÄoÃoÅ. �h�� i�hh� knil� h� � hg~�i�� h� n»ÃÄļÓs»ÅÄļÓý � �¶nh�g �¶ nà ÓsÅ ÓýÄ � �mf ig������g j�� ~�nh �k���i�� h� �����n���~gh gh �g�j�n�i��h n¶ s ¶ ÕXÚÀ�ZÚ>[Ú׿X\XW _Ú>ÚX× JÖ YÚ[Ö� ý �� þ ¶ ÿ ¶ � � ¶ � �gkg���~gh � �~ ��n~�n�g k����m ��h�� ºg�~�¶�g��~gh �n��� ��� �~� knil� � ��jin�� �g� ����h ±«ª< ±¯ª´­ªË Ú«¬«© =ª´ª«Ë

Page 46: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¾¿ �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI�� oþ oÿ�¶ h�i�g ��� g �gi�g ��i��n�g Ú � ,ÄoÃoÅ. �h�� i�hh� knil� h�� hg~�i�� �Ä Ó þà ÓÿÅ � �m�g� ���~�kg¶ � knil� �ôoõo¾� ��hh� �g� �g�gh gh �gi�gh ,ÄoÃoÅ. ��nh��� ÄÓõÃӾŠ� �� g�¶ �~ ���~gh �����hn�igh¶ �g�gh gh �gi�gh »Eo» ¼��nh ��� õE Ó ¾» Ó ô � �m��� ¹���� ³��  ¶� � �¥��®��� ���¤��£��� �� ��¤� ��� �����£��¤�� ²�¢��¡²����� �,2Í2 É�´��� ¹��'� ³��£� ��� �� �����£��¤�� ²���¡²����� �� ��¤� ��¾� �¥��®������¤��£��� ¶� Í� Õ,� � Ê´��� ¹��®� ³��£� ��� �� �����£��¤�� ²���¡²����� ��� �£¼�� ���¤��£����� � � ´��� ¹��·� Ó�¤���£�� �� ����£®���� � ¡ ¶�±�£��� ��±�� �� �����£��¤���� 2� 2� ¥�� �����¤��£È��¦§�¨ ��¤�� ²��£È��¤�£�°§±¨ ��¤�� ���¤£��£�°§�¨ ��¤�� ¥�� ª����� ª� � ��£¡��¸��h���� ��� � S����T �g~ �g�j�n�i��h ��o�o �� � ��h��i�� ����kn��¶Ú[Ö Z>I HÖVZJÖ �gnh �k� ��hh� �g� �g�gh gh �gi�gh �g �k�ig� ���� ��n��� ~�ng��h��g�k�~�h¶ � ~�klg� �������� ��� �hh� ��n�k� �� �g�j�n�i��h � ni��kn��¶� i��g �����h�i�� i�il�~� ����m

cb¿bc d| xlfyl| fl ifÖfiyl ke gvj �eyj�g�� ��� � ��������g lg~g���i�� �� ���� �Ä Ó þÃ Ó ÿÅ � � i��g �oX>[X× Z>À>Z[X× JÚØ\Ö YÚ[Ö h��nhº�n�� ���i�h �g� �gi�gh jin�gh¶ ~�h ��~��~ ��kgh �gi�gh nijin�gh,�oÿ o:þ . � ,�o:ÿ oþ .m �h��h h��g ¸�h��~�i�� gh �gi�gh nijin�gh i�h���h �n�����g�h ����k�k�h |� ����m �� h� �¶ �g�� ���� ����k�k� � �~ ���g�� � »Ãoż �gi��~ gh �gi�gh nijin�gh �� � ,�oÃoÅ. � �»:�¼ �,�o:Ão:Å.m��� ¹��Ü� Ó�¤���£�� �� ��£� ª��¤�� £���£¤�� �� ��¤� �,2Í2 É�¸�g�� ��� ���h ����h �� �� h��g ����k�k�h �i��� hn h� � hg~�i�� �hÚ[Ö× ÙÖYÖVÚVÖ× ����h �g���h�gi��i��h �� ÿ� ��hh�~ ��kgh ~�h~gh �gi�gh ig nijin�gm

Page 47: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EùE �ÄAÇI ¾Àcb¿bz �eyj| fl jw Éev��h���� ��� � ��������g�ÄÓþÃÓÿÅ � �¶ ��� ��ji� ���i�g �~ �gi�g Ú[Ö× >X \XJÚVXÙVÖ>X�����i�� � �~� ����¶ �gi�ni�� ��kn�� h� i����~gh �h ����h �gg���i���hÄoÃoÅ �g �gi�g hn~�k��i��~�i��m �g���i�g¶ h� �~� ���� ��hh� �g� �~�gi�g Ú �g ����~¶ �k� ��~��~ ��hh� ��kg h�� �i�·�g�� ÛÚ ig �k�~m�� h� �¶ �~� ���� �� ÿ� � �����h�i���� ig ~g��kg �k�ig �g� γ°Ë����h ���kn�n�i�h h�����gh��h¶ �~� ig ����~ � �~� ig �k�~¶ �g~ gh~�h~gh �g�j�n�i��h �����hn�igh� ~�nh �gnh �gi�gh nijin�gh¶ i�h ���h�n�����g�h ����k�k�h |�h ����hm �� � � j���� õmÀm

�n���� õmÀÁ �~� ����¶ ig ����~ � ig �k�~m

cb¿b¿ �eyj| fl vlkewl e|= Ée�ihl��~���~gh ��� g ���g� �in���ng »ÄoÃoż �g ~g��kg �hº��n�g �����h�i��g �gi�g ,ÄoÃoÅ. �� ÿ� m �g���i�g¶ gh �gi�gh �� ÿ� ��� �h���g i� ������ oþ oÿ� �g���h�gi��~ � �gi�gh �� �� ��� h��nhº���~ � h��nhº���~ ���������g �Ä Ó þà ÓÿÅ � �m�h�� ��������g ��ji� �~ �k�ig �� �ô ��� ��hh� ��k� g�n��~¶ � Ú[Ö× >X \XJÚVXÚ×? HÚYZ�X�g���i�g �g��� � �hº��� i�~ �·���kg �� ��ng ~��n~gm �� h� �¶ �~����� �� ÿ� �g���h�gi�� � �~ �·���kg ~��n~g �� �� � � � º��nk ��� ��� ����·��g�� ��~��~ ��k�m �� � � j���� õmÏm

Page 48: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¾Ï �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI

�n���� õmÏÁ �~� ���� ig ~g��kg �hº��n�gm

��� ¹��ä� ö��£¥�� ¡��������¤� � ª��£®��� ��� ��¡�£�¤�� ��¤��� �� ��¢�� � ��» ¶��£��¦§�¨ �*2 �2*� §±¨ �*2*2 �� §�¨ �*2 �2 ��§�¨ ��2,2 Í� §�¨ ��2Í2 ,� §» ¨ �Õ�2,2 Í�§¡¨ ��2 Õ�2Õ�� §²¨ �,2 Õ�2Õ�� §£¨ �Õ�*2 �2 ��

cb¿bÈ d| kli| wjkl| ke gvj �eyj�h �gi�gh ,ÄoÃoÅ. ��� i��g �h���g hg��� �~� ���� R � �� oþ oÿ� �g��~ ÖJX ÙX×Z[ZIX Ú>ÚWÖ[ZIX h�� �n�n�n�gh �~ �gnh �gi¸�i�gh¶ gh µ°Î«Ë �� ����¶ �giºg�~� g hni�k �������hh��g �Ä Ó þÃ Ó ÿÅ m �h�� ��h�� ��ji� g k��g ²«Ë¯­¯Í« � g k��g´ª©°­¯Í« �� ���� Rm�g ~g��kg �hº��n�g¶ gh �gnh k��gh �� ���� h��g gh �gnh l�~nhº��ngh �~��� � �hº��� �� j�� �n�n�n�� ��kg �k�ig �� ��������g�ÄÓþÃÓÿÅ � �m�� � � j���� õm÷m��� ¹��å� �� ���� � ��» ¶��£��� £��£¥�� �  ��� ª��£¤£�� �� ���� ��� �����¤�� �� �¼���¶½�£� ,¸��¸��h���� ��� g hni�k ���ÄÓþÃÓÿÅ h� ni����� h� i����~gh �h ����h�gg���i���h lg~g���i��h ÄoÃoÅ � nh�g �¶ �~ �gi�g �h�� ig k��g �ghn�n�g�� �~� ���� h� � hg~�i�� h� h�� �i�·�g�� �h�� ig k��g i����n�gm

Page 49: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EùE �ÄAÇI ¾÷

�n���� õm÷Á �h �gnh k��gh �� �~� ����¶ ig ~g��kg �hº��n�gm�g���h� �gi�k�n� ��· ���¶ ig ~g��kg �k�ig �� ÿ� ¶ g k��g �ghn�n�g ÖJX× >X \XJÚVXÙVÖ>X�� �~� ���� R �gihnh�� �� �~ h�~n��k�ig �g ����~¶ kn~n���g �g� R¶ ��g «³­®« h�~n��k�ig �g �k�~¶ ��� i��g � �i�·�g�� �g ��n~�n�gm �� � �j���� õmøm� k��g �ghn�n�g �� ���� R ��~��~ ni�k�n �g�gh gh �gi�gh ig nijin�gi�~ ���g �� ôø�ø kn~n���g ��k�h ���h �n�����g�h ����k�k�h � Rm �h �gnhg���gh h�~n��k�igh¶ � g g ���g �g~�k�~�i��� ig nijin�g¶ ºg�~�~ g k��gi����n�g �� Rm

�n���� õmøÁ �h �gnh k��gh �� �~� ����¶ ig ~g��kg �k�igm

Page 50: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¾ø �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI��� ¹�¹æ� Ó�������� �� ���� � ª ���� �  ��� ª��£¤£�� �� ���� ������¤�� ��¤��¦§�¨ �*2 �2*� §±¨ �*2*2 ,�§�¨ �*2 Õ�2*� §�¨ �,2Í2 Õ��

��� ¹�¹�� ³��  � ����£®��� � ¡ ¶�±�£�� ª��� ¥�� � ��£¡�� �� �¥�¶�� ��¤�¾���  ��� ª��£¤£�� �� ��¤� �� 2� 2�´cb¿ba d ye|ye ke xlfyl hlfy�j �eyjf g��������g �� �����~ni�� g k��g �� �~� ���� ���� ��� �gi��~ �~ �gi�¾X[Ö\�KÖX � � � �g ���g � º�i��~�i��k ���� ~�n�gh �k�g�n�~gh ��g~���n�ghm �g���i�g¶��k� � ��i� ni��g���n� � ig������g

R � Ú � h�i»�Ä Ó þà Óÿż »õmô¼gi�� Ú � ,ÄoÃoÅ.¶ R � �� oþ oÿ�¶ � h�i Ï � g hni�k �� Ï ¹ nh�g �¶ :ô h�Ï � �¶ � h� Ï � �¶ � Óô h� Ï r �m �g�� ��� R � »ÛÚ¼ � :»R � Ú¼m��� ¹�¹¹� Ó�¤���£�� � � � ª��� ���� �� ��� ����� �±�£¼�¦§�¨ � � �,2Í2 É�� � � Ë�2 �2 Õ�Ì

§±¨ � � �,2Í2 É�� � � Ë�2 �2*̧�¨ � � �,2Í2 É�� � � Ë�2 �2 �̧�¨ � � ��2*2*�� � � Ë�2*2*̧�¨ � � ��2*2*�� � � ËÕ�2*2*̧» ¨ � � ��2 �2��� � � Ë�2 �2�Ì

cb¿b� �eyj| lxl|yj|�g�� ��� � º�i����g R�Ú i��g h� �k���� h� ~�k�n�kn���~gh gh �g�j�n�i��h ��R �g� �~ i�~��g × �ghn�n�g¶ �gnh nh�g ���n��k� � ~�k�n�kn��� � �����hh��g�ÄÓþÃÓÿÅ �g� ×m �i�����i�g¶ h� ~�k�n�kn���~gh gh �g�j�n�i��h ��R �g� �~ i�~��g i����n�g¶ g ��kg� �� R �Ú j�� i����g� nh�g �¶ gh k��gh�ghn�n�g � i����n�g �� ���� h� ni�����~m

Page 51: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EùE �ÄAÇI ¾ú�g���i�g¶ ���� ��� � º�i����g � ��il� hn�inj���g ��~ ��jin�g¶ ����n� Ú[Ö× XÙX×[Ö× Ú�XZ>�ZJÚ>[Ú×h�~gh �nh�ni��n� �h ����h R � �� oþ oÿ� � Rl � �:� o:þ o:ÿ�m f��h���� �~��h h���~ ±«¯´±¯Îª´­ªË »��hh���~ �����~�i�� ��kgh ~�h~gh �gi��gh¼ �k�h i��g h��g ¯©³°¯Ë¶ �gnh �nº���~ i� h�� «®¯ª´­°Ñ±Ì°« »� �g��k�����g �ghh��h �gnh k��gh¼m �n��~gh ��� �hh�h ����h h��g «²«Ë­°Ë �~� �� g����¶ ���ig����~gh �hh� ��k�����g �g� Rl � ÛRm�� h� �¶ � ��n�k� �� �g�j�n�i��h �×� o×þ o×ÿ� ��ig�� � ~�h~� ������� �� oþ oÿ� ���� �g�g × �ghn�n�g¶ � � ���� g�gh�� ���� �g�g × � �m

cb¿b� { �eyj fl ifÖfiyl�� ��g~���n� �����hn�i�¶ � ��������g nE Ós» Ó ý � � hg ��ji� �~����� h� ��kg ~�igh �~ �gh �g�j�n�i��h n � s ºg� �nº���i�� �� ���gmU��i�g n � s � �¶ � ��������g i��g � h��nhº�n�� �g� i�il�~ �gi�g ���� m »f ~�igh ��� ý ��~��~ h� � ���g¶ ��hg �~ ��� �g�g �gi�g �g�k�ig h��nhº�� � ��������gm¼�g���i�g¶ gh �g�j�n�i��h lg~g���i�gh �� oþ oÿ� ��ig��~ �~� �����g �k�ig ���kn�n�ig hg h� þ Ù� � g� ÿ Ù� �m � ��� º���~gh �i���g �g~�h ��n�k�h �� ºg�~� �� o �o ��� ��� ���¶ �g~ � ni��g������g �� �gi�gh ignijin�g¶ � �ghh·��k ���n��n� �k��~ hn�inj���g ��g~���n�g � �hh�h ��n�k�h���h���� ��n~�n�g ���¶ h� ��g���~gh ���� �h��h ��n�k�h � ~�h~������ �� ���n��k��i�n� ��� ��k� ���� �h ��n�k�h ig�~�nh¶ �gi�k�·~gh ����� o �o �� � ���n��k�i�� |� ��n�k� �ôo �o ��¶ g� � �:ôo �o ��¶ ����i��i�g �ghni�k �� � m �� h� �¶ ��nh��~ ���i�h ���h S����hT �� ºg�~� �� o �o ��¶g�gh��h �i��� hnm� �ôo �o �� � �~� ����¶ ���nh h��g h��h �gi�gh� ���i�g � ��jin����g¶ Ú[Ö× >X Z>À>Z[X]� Ú ���~ �gi�g ,ÄoÃoÅ. �h�� �~ �ôo �o �� h� � hg~�i�� h� ô SÄÓ� SÃÓ� SÅ � ��nh�g �¶ Ä � �m �� h� �¶ � ���� �ôo �o �� �gi��~ �g�gh gh �gi�gh nijin�gh¶� ���i�h �hh�h �gi�ghm �g���i�g¶ �n��~gh ��� �ôo �o �� � �:ôo �o �� h��g�h ���h ®ª­°Ë ´« ¯ <´¯­«¶ ��� ��ig����~gh �g� � � Û�� � �l�~���~gh�h g����h ����h �� «®Î¯´ ½°®¯°Ëm Ú[Ö× XYJZ> HÖYZÖ×��� ¹�¹�� ³��  ¶� �  ��� ª��£¤£�� �� ��¤� �´ � � �� ��´�~ ��h�~gÁ �k����n��~�i��¶ g �gi¸�i�g �� ����h �� ÿ� � g �gi¸�i�g�� �g��h �h ��n�k�h ���nh �� oþ oÿ�¶ �����g � ��n�k� ��o�o ��� h�i�g ������h ��n�k�h h��g �gihn������h ���n��k�i��h h� � hg~�i�� h� �~� ºg�

Page 52: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¿� �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI�~ ~�k�n�kg �ghn�n�g �� g����m �~ �gi�g ,ÄoÃoÅ. �h�� i�~� ������ oþ oÿ� h� � hg~�i�� h� �Ä Ó þÃ Ó ÿÅ � ���gm }�hg �gi����ng¶ g�gi�g �h�� ig k��g �ghn�n�g g� i����n�g �� ����¶ �giºg�~� g hni�k ��h��ºg�~�k�m

cb¿b� �fhik�efhij ke �eyj| e xlfyl|�g�� ���¶ ���h�� �gh �gi�gh � ����h ig nijin�g ��������~ �h���n�nh ig~g��kg �k�ig¶ ig ~g��kg �hº��n�g �k�h h��g ���º�n��~�i�� ���n��k�i��h�gh �gi�gh jin�gh � ����h g��ni��n�hm }g~g ����~gh¶ �h�� �inºg�~n����¹ Ú«¬«©ª´ª¯Î°Îª ¹ �gh �k�~�i�gh �� ÿ� h� ������ i� ~�in��k�����g�k����n�� �� h��h �gg���i���h lg~g���i��hm�~� ~�inº�h������g ��hh� lg~g��i�n���� � g º��g ���¶ ig �k�ig ÿ� ¶[>[ÚY×Ú�\�KÖX JÚ JØÖ×YÚ[Ö× Î³°Ë ®ª­°Ë ´ Ì°«Ó±«¯´±¯Îª´­ªË ˪ ¯´­ª®±ª²­°¬ ª¬ Ϋ¯Ë ²«´­«Ë °´­¯²«Î°¯Ëun~���n��~�i��¶ �~ ÿ� Ϋ¯Ë ²«´­«Ë ´ Ì°«Ó±«¯´±¯Îª´­ªË Ϊ­ª®¬¯´°¬ ª>°Ó­°¬ª´­ª γ°Ë ®ª­°Ër «²«Ë­°Ë ª´­®ª ˯m �h��h ��g��n�����h ��k�~ ����Ú[Ö ÙXY JXZ×ÙX>[X× �g�gh gh �n�gh �� �gi�gh ¹ jin�gh g� nijin�gh¶ ig ����~ g� ig �k�~¹ � ���� �g�gh gh �n�gh �� ����h ¹ g��ni��n�h g� ig nijin�g¶ ����k�k�hg� i��gm�g�� � h�~�kl�i��� �i��� �h��h ��g��n�����h � gh �gnh ��ni�n��nh��ng~�h �� ��g~���n� ���kn�n�i�� S�g� �gnh �gi�gh �nh�ni�gh ��hh� �~��in�� ����T¶ � S���h ����h �nh�ni��h � i��g ����k�k�h h� �i�gi���~ i�~�in�g �gi�gTm fh �nº���i���h ~�nh g��n�h �i��� �h ���h ºg�~�k����g�hh��g ���h� ��� �~� ���h���g �� ig~�i�k����� ¹ ���� ���� �gi�g ����g~���n� ���kn�n�i� � ��h�g����g �~ �gnh �gi�gh �� ÿ� ¶ g ~�h~g

��gi����i�g �g~ �h ����hm �~� �nº���i��� ~�nh hn�inj���n�� � ���¶������h �gh �gi�gh ig nijin�g¶ g ��hg ��h ����h ����k�k�h i��g � ~�nh������ngi�km

cb¿ba� �lxlwl½ij ke ðñ�iºg�~�k~�i��¶ ��jin� � �g�gkg�n� �� �~ �h����g ~���~��n�g e �gihnh���~ ��jin� gh kn~n��h �� h��ö���i�n�h nijin��h �� �gi�gh �� e � g�¶ g ����� ig ~�h~g¶ �~ ��jin� � ig����g �� �gi�ni�n���� ���� �����h �� e»º�i���g�h �� � ���� e¼m

Page 53: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_EùE �ÄAÇI ¿ô�g� ��jin����g¶ � �g�gkg�n� �� ÿ� � � �����~ni��� n~�kn�n��~�i�� ¬ÚT �Ø _Ú>�ZÖ�X>IÚYWÚ>[Ú JÚÙX>[X×��kg h�� ~g��kg �hº��n�gm �� h� �¶ �~� h��ö���i�n� �� �gi�gh ÚP �,ÄP oÃP o ÅP. �gi����� ���� �~ �gi�g Ú � ,ÄoÃoÅ. h� � hg~�i�� h� gh���g��h �in���ngh »ÄP oÃP o ÅP¼Ä ÄÍP ÓÃÍP Ó ÅÍP

�� �ô �gi����n��~ ���� g ���g� »ÄoÃożÄõÄÍ Ó ÃÍ Ó ÅÍ m��� ¹�¹'� Ý��� ���� ��� ��� ��¥!�²���£�� � ��¡�£�� ��¤���£�� �� ª��¤�� £�£¤�� ¥����� " ¤���� ª��� £���£¤�¦§�¨ �P � Ë�2 "2 "ÍÌ §±¨ �P � Ë�2 Õ"2 "Í̧�¨ �P � Ë�2 "2 �£� "Ì §�¨ �P � Ë�Î"2 �2 ,̧�¨ �P � Ë�Î"2 �Χ" Ñ �¨2 �Χ" Ñ Í Ì §» ¨ �P � Ë"$2 "0 2 "ÍÌ

��� ¹�¹®� ³��£� ��� ��¥!�²���£�� �±�£¼� ������¡�� ¥����� " ¤���� ª���£���£¤�¦§�¨ �P � ˧Õ�¨P 2 �2 "̧±¨ �P � Ë�2 �2 "§Õ�¨P̧�¨ �P � ˧Õ�¨P 2 �2 "§Õ�¨PÌ�h�� �gi��n�g �� �gi������i�n� igh ���~n�� ��jin� � ig����g �� �gi�n� #Ø>\�KXÚ× �X>[H$>ØÖ×i�n���� ���� º�i���g�h ��¸g �g~·ing �%g� �gi�����g~·ing h��g h���gi¸�i��gh �� ÿ� m �g� ���~�kg¶ �~� º�i����g B»Ï¼ � ,Ļϼoûϼo&»Ï¼. �� �k��~ni�����kg � ' � ���� ÿ� � �gi�·i�� h� � hg~�i�� h� � º�i����g(B»Ï¼ � »Ä»Ï¼oûϼo Żϼ¼Ä Ä»Ï¼Í Ó Ã»Ï¼Í Ó Å»Ï¼Í

�� � ���� �� ºg� �gi�·i��m��� ¹�¹·� Ý���� ¥�� ��� »��®��� �§Ô¨ �� � ¡�� £�¤���� � ) * + ª���÷� ¶� ���¤¶½��� �� � �����¤� �� �¼£�¤£��� ¤�²�� »��®���� ���¤¶½���� ЧԨ�³§Ô¨� � µ§Ô¨� ¥�� ��� �� ��� �� ¤���� ª��� �� ����� Ô ) ) � ¤�£� ¥���§Ô¨ � ËЧԨ2³§Ô¨2,§Ô ̸��� ¹�¹Ü� ³��£� ��� » ¶���� �� �±�£¼� ������ »��®���� ���¤¶½���� ��£�¤���� � �±��¤� §*2 �¨ ª��� ÷� ´ ³��£� �� �� ª���� ��� ��¤���£��� ª���� £�¤���� � Ë*2 �Ì� ���¤���� � ���¤£��£����´

Page 54: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¿õ �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI§�¨ �§Ô¨ � Ë�2 Ô2 ÔÍ̧±¨ �§Ô¨ � ËÔ2 ÔÍ 2 Ô$̧�¨ �§Ô¨ � ËÔ2 ÔÍ 2 �£� Ô̧�¨ �§Ô¨ � ËÔ Õ �Î,2 �2 ,̧�¨ �§Ô¨ � ËÔ2 �2 �£�§�ÎÔ Ì�g ~g��kg �k�ig¶ � �g�gkg�n� �� ÿ� � ��k��n��~�i�� �g~�kn����m¡XÙXVXWZÖ JX\XJÚVX ÙVÖ>X �g���h� ���nj��� h�~ ~�n�� �nj��k���� ��� ���� �~ �gh k��gh �g �k�ig»����~ g� �k�~¼ ��~ �� º��g � ~�h~� �g�gkg�n� �g �k�ig �����hn�ig�� � � gh �gi�gh ig nijin�g ���~ � �g�gkg�n� �g �·���kg �ó mf �g~�k��n���� �g�� �h�� i� � ~�i�n�� �g~g �h��h ����h �����h �h���gkn����h �i��� hnm }gihn���� �~� h��ö���i�n� �� �gi�gh ÚP �g~ �gg���i���h�����hn�i�h »EP o»P¼¶ ��nh ��� �h �nh���i�n�h gÚP g � EÍP Ó » ÍP �gh �gi�gh|� g�n��~ ��i�� ���� g nijin�g¶ �i���i�g ��� gh ���g��h �in���ngh �P �»EP o»P¼ÄgÚP g �gi�����~ ���� �k��~ ���g� kn~n�� � � »Eo» ¼m ��hh� ��hg¶�g� ��jin����g¶ � h��ö���i�n� ÚP �gi����� ���� g �gi�g ig nijin�g ,�oEo» .¶h� gh �gi�gh ÚP �h�n����~ �g�gh ig ����~� � ���� ,�o:Eo:» .¶ h� gh�gi�gh ÚP �h�n����~ �g�gh ig �k�~m��� ¹�¹ä� ©���£���� � ����� �§Ô¨ � Ë� Õ ,Ô2 ,Ô2�ÔÍ Õ �Ì� ���� Ô ���£���¤�� * � �¸ Ó�¤���£�� � ª��¤� ���� ���� ����� ��¤ ¶� �� £���£¤�� � ��� �� �� Ô ������ª�����¤�¸ Ó����²� � ¤��¾�¤ ¶��£� ����� ������ �� ���� ���» ¶��£�� � �� ���� � ª ���¸

L0@ - Ý54R7P;Þ QN5RÝN34O9;Þ�� ~g�g ����k¶ ���k���� ºg�~�k� �� ��g~���n� �i�k·�n�� �k�i� �g�� h���������� ���� �gg���i���h lg~g���i��h¶ ��h��i�g h��h�n��n� i� ~�h~��h �gg���i���h �����hn�i�h E � » �g� ÃÄÄ � ÅÄĶ ��h����n��~�i��m »�� ºg�~�k� ��h����� �h �gg���i���h �� �~ �gi�g¶ ����nh�~gh ��~��~��g��� gh �����i��h�h �� ~�h~� �g� �gk�l���h¶ � ����h��i��� �~� �gg����i��� ô nin�n�k »g ��hg¼m¼

Page 55: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_ECE . ÆÊÃHBCÇI GÄÊH ÆÄAÃÉÈÇI ¿¾cbÈba blfyl vÉekil�g� ���~�kg¶ �~ ��g~���n� �����hn�i�¶ h���~gh ��� g �gi�g ~��ng / oX>[X \ HÚJZX JÚ Ø\×ÚW\Ú>[X�g h��~�i�g �g~ �����~gh Úi � »Ei o»i¼ � ÚÍ � »EÍo»Í¼ � ���g �g�/ � 0Ei ÓEÍõ o »i Ó »Íõ 1�g���i�g¶ �~ ���~gh �� �gg���i���h lg~g���i��h¶ h� gh �����~ghºg��~ Úi � ,Äi oÃi o Åi. � ÚÍ � ,ÄÍoÃÍ oÅÍ.¶ �h�� ºg�~�k� ���n��k� �/ � 23 ôo ÃiÄi Ó ÃÍÄÍõ o ÅiÄi Ó ÅÍÄÍõ 45

� 6 ôo ÃiÄÍ Ó ÃÍÄiõÄiÄÍ o ÅiÄÍ Ó ÅÍÄiõÄiÄÍ 7�g��~gh �kn~ni�� �h �n�nh�g�h ��h�� ºg�~�k�¶ ~�k�n�kn��i�g �h ����h �gg����i���h lg~g���i��h �g� ÄiÄÍ ¶ g ��� i��g �k���� g �gi�g /m ����~gh�hhn~ � ºg�~�k�/ � , õÄiÄÍo ÄÍÃi ÓÄiÃÍo ÄÍÅi ÓÄiÅÍ . »õmõ¼��� ¹�¹å� Ó²� ��� » ¶���� � ²���¡²����� ��� �£�£����� ª��� � ���¤�� ��¡���£���� �� �� ¤�£²��¡� � ��� �¶��¤£��� �P � ËÐP 2³P 2µPÌ� " � *2 �2 ,¸��� ¹��æ� ¶ ¥�� ����¤��� ��� � ª��¤� �¶��£� �� �i � �Í� ���»��������£�� ª� � » ¶���� � §,¸,¨� �� Ø\ ��� ª��¤�� ��¤£��� �� £���£¤�´ � ��Ö\LX× ��¤£����� �� £���£¤�´��� ¹���� ³��  � ª��£®��� �� ª��¤� ����£�� ª� � » ¶���� � §,¸,¨� �� ����� ª��¤�� ��¤£��� �� �¥�¶��� � � ��¤�� �� � ¶��´ � �� ��±�� ��¤£������� � ¶��´��� ¹��¹� 8�� » ¶���� � ª��� � ª��¤� �¶��£� ¥�� � ¶� ���� ¤���� ��£�����£�¤��¤�� ª��� ª��¤�� �� � ¶�� ¶�

« � Ë 9ÐÍ 9Ði Ñ 9Ði 9ÐÍ 2 9ÐÍ 9³i Ñ 9Ði 9³Í 2 9ÐÍ 9µi Ñ 9Ði 9µÍ Ì©��ª��� � ���� ¤��� ���¤� » ¶���� � ��� � �� §,¸,¨ ª��� �� Ê �����¦ �i� �Í ��±�� �� �¥�¶��� ��±�� �� � ¶��� �� �� �¥�¶�� � �� �� � ¶����� �� �¥�¶�� � ��¤�� £���£¤�� �� �� � ¶�� � ��¤�� £���£¤�� � ��±�� ��£���£¤�¸

Page 56: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¿¿ �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI��� ¹���� ©� �� � �� ����������� ²���¡²����� �� ª��¤� �� �¥�¶�� ¥����¤ ¶� � �ÎÍ �� ���£�²� ��¤�� �� ª��¤�� Ë�2 ,2 ÍÌ � Ë,2 Í2 É̸��� ¹��'� Ó�¤���£�� ��� » ¶���� � ²���¡²����� ��� �£�£����� ª��� �ª��¤� « ¥�� �£�£�� � ��¡���¤� �i�Ñ �� ���� ª��¤�� ��¾�� ���ª�£���¤����¤�� �� ��È�� :i ¦ :Ѹ ¯�ª��²� ¥�� �i � �Ñ� � « ��¤�� �� �¥�¶��� �:i Ñ :Ñ 4 *¸

cbÈbc <lwifej�ikjke ke y��e| xlfyl|�n��~gh ��� ����h �gi�gh h;�g ±«µ¯´ª°®ªË h� �k�h �����i��~ � �~� ~�h~�oX>[X× �XVZ>ÚÖYÚ× ����m � ��� nh�g hn�inj�� �~ ���~gh �� �gg���i���h lg~g���i��h����� �g~�����¶ ��~gh h��g� ��� gh ����h �gi�gh �h�;�g ig ����~m�~ ��g~���n� �����hn�i�¶ ��g���h� ��� ����h �gi�gh Úi � »Ei o»i¼¶ ÚÑ �»EÑo»Ñ¼¶ � ÚÍ � »EÍo»Í¼ h;�g �gkni����h h� � hg~�i�� h�<<<<<<<

ô Ei »iô EÑ »Ñô EÍ »Í<<<<<<<� �

�~ ���~gh ��h �gg���i���h lg~g���i��h ,ÄP oÃP o ÅP. �gh ����h �gi�gh¶ �h��ºg�~�k� ���n��k� � <<<<<<<ô ÃiÄÄi ÅiÄÄiô ÃÑÄÄÑ ÅÑÄÄÑô ÃÍÄÄÍ ÅÍÄÄÍ

<<<<<<<� � »õm¾¼�g��~gh ~�k�n�kn��� �h ����h knil�h ��h�� ~���n� �g� Äi ¶ ÄѶ � ÄÍ ¶ ��h�����n��~�i��¶ �gnh nh�g ���i�h ~�k�n�kn�� g �����~ni�i�� ��kg i�~��g�ghn�n�g ÄiÄÑÄÍ ¶ g ��� i;�g �º��� � ������;�gm }gi�k�·~gh ��� gh ����h�gi�gh �g ����~ h;�g �gkni����h h� � hg~�i�� h�<<<<<<<

Äi Ãi ÅiÄÑ ÃÑ ÅÑÄÍ ÃÍ ÅÍ<<<<<<<� � »õm¿¼

�� �������¶ � ºg�~�k� »õm¿¼ ��k� ���� ]³°¯Ë]³ª® ���h �gi�gh �� ÿ� ¶jin�gh g� nijin�gh¶ ig ����~ g� ig �k�~m �h�� ��h�k���g �g�� h����~gih����g h�~ ~�n�� �nj��k���� � ����n� �g ~g��kg �hº��n�g �� ÿ� ¶g� �� ��jin��;�g �k����n�� �� ����m

Page 57: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

_ECE . ÆÊÃHBCÇI GÄÊH ÆÄAÃÉÈÇI ¿À��� ¹��®� 8����� � » ¶���� � §,¸�¨� ��¤���£�� ¥��£� ���¤�� ¤�£ª �� ��ª��¤�� ��� �� £������¦§�¨ Ë�2*2*Ì� Ë�2 �2*Ì� Ë�2*2 �̸§±¨ Ë�2*2*Ì� Ë�2 �2*Ì� Ë�2 ,2*̸§�¨ Ë�2*2 �Ì� Ë�2 ,2 ÊÌ� Ë�2 Í2�̸§�¨ Ë�2 ,2 ÍÌ� Ë,2 ,2 ÍÌ� ËÉ2 ,2 Í̸��� ¹��·� Ó�����¤�� ÖVWÚLYZ�Ö\Ú>[Ú� ������ � » ¶���� � ,¸�� ¥�� ��ª��¤�� �i � �Ñ� � �Í ��� �� £������ �� ���� �� ��� ��¡�£�¤�� �����¦§�¨ �i � �Ѹ§±¨ �Í ¶� � ª��¤� �¶��£� �� �i � �Ѹ§�¨ �Ñ� �Í � �i ��� �� £������¸��� ¹��Ü� ©���£���� ¤�²�� ª��¤�� �¶���£� �i2�Ñ2�Í �� ª ���� ���� ¥�� �� ��� ������ ��  £�²� ��¤� ��� �� ��£���� ��£»����¸ ¶� ��¾�� ������������� ���¤��£���� �� �P � ��� £��¤��¤� Ô ¥��£�¥���� ��� §�P 2�P¨ÑÔ§� lP 2� lP ¨� ���� �P � �P � � lP � � lP ��� ����¤��¤��¸§�¨ ���¤�� ���� �� �� �� � £��¤��¤� Ô= �� ¥�� ����� ¤�²�� ª��¤�� ��¤����� £�²����¸§±¨ >�� £�� � � ¶����� �� �� �®���� Ô= �£�¤£�¤�� ���£¤£��� ª� � ª��± ����� £¤�� §�¨� �£���¤£��� ¤���� �� ����� ¥�� ª���� �������¸

cbÈbz �eyj keye�vifjkj xl� kli| xlfyl|}g~g ¸� g�h����~gh¶ �gnh �gi�gh i;�g �gni�n��i��h �� ÿ� �����~ni�~���h ����h ��� ��hh�~ �g� �k�h¶ �gni�n��i��h ~�h �g~ g�n�i����;g�h g�gh���hm�g��~gh �����n� � ºg�~�k� ���� gh �g�j�n�i��h ��h��h ����h � ����n� # HXY\ØVÖ JÖ YÚ[ÖÙXY JXZ× ÙX>[X×�� ������;�g »õm¿¼m �� ��g��g �g~ �h�� �k�n~�¶ � �gi�n��;�g ���� ����~ �gi�g ��i��n�g ,ÄoÃoÅ. h� � �gkni��� �g~ Úi � ,Äi oÃi o Åi. � ÚÑ �,ÄÑoÃÑoÅÑ. � <<<<<<<

Äi Ãi ÅiÄÑ ÃÑ ÅÑÄ Ã Å<<<<<<<� �

Page 58: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

¿Ï �Ç? Æ@ABCÊ _E �Ê`ÈÄÉAÊI ÅB`KÇHÄ`AÇÉI����i�ni�g �h�� �����~ni�i�� ��k� �k�n~� knil�¶ g���~gh

Ó<<<<< Ãi ÅiÃÑ ÅÑ<<<<<Ä : <<<<< Äi ÅiÄÑ ÅÑ

<<<<< Ã Ó <<<<< Äi ÃiÄÑ ÃÑ<<<<< Å � �

����n h� ����� ��� �~� ��h ���h ����h ��� ��hh�~ �g� Úi � ÚÑ � ������k� ºg�~�k�Úi ?ÚÑ � @ Ó<<<<< Ãi ÅiÃÑ ÅÑ

<<<<<o :<<<<< Äi ÅiÄÑ ÅÑ<<<<<o Ó<<<<< Äi ÃiÄÑ ÃÑ

<<<<< A BCDEFG H IJKLM NJMLKO NPKLM I PMLKO IPKJM NPMJK QRSTUVWXYZX[ V \]Z^V ^XZV _]X `VaaV `\^ bK X bM cXdBbK ebMF G H NJKLM I JMLKO IPKLM NPMLKO NPKJM I PMJK Qf \^UXYZVg�hV\ iV ^XZV bK e bM[ UW`jck�UZV YV l c\^W]jV BCDEF[ ZXW ]WaUmYUn�Vi\ mX\WcXZ^U�\ SVaZVYZX aUW`jXa[ _]X aX^ cV TUaZ\ YV aXg�hV\ CDoDEDpqr srtuv wxyxz{|}x ~� ��~� zxy~� ��x �~��~{ �x��� ��}y�� ��� �� �� x��� �� ���pqr srt�v wxyxz{|}x ~ zxy~ ��x �~��~ �x�� ��}y� �� x|�� � ��{ ~����|��~ �K� x �x�� ��}y� �� x|�� � ��{ �z�x}~�~ �K�pqr sr��v wxyxz{|}x ~ zxy~ ��x �~��~ �x�~ �z|�x{ x �x�� ��}y� ���� ��pqr sr��v � ��x ~��}yx�x ��{ ~ �  �z{��~ ������ ��~}�� �� ��}y�� ¡K x¡M ��|}�|�x{¢£¤¥¤¦ §¨©ª «¬­ «¬®©¬¯ ®¬ °®±®°©¬²\iX³aX TX^Un�V^ _]X V l c\^W]jV BCDEF TVjX `V^V _]VUa_]X^ i\Ua `\YZ\a ´Y\ V_]cXW[ Y\ Vj cXW[ \] UYnYUZ\a ´ _]X YhV\ aXµVW Um]VUa \] VYZU`\iVUaD�aZV ¶X·USUjUiViX cX c]ZUj[ `\^ X·XW`j\[ _]VYi\ _]X^XW\a �Vj�]jV^ \a¸¹ºÖ »Ö»¼ ½¼¾º¼ ¹»¿À¹ÁÂÃÖ¼ �\Xn�UXYZXa iV ^XZV Ä _]X `VaaV `\^ ]W `\YZ\ nYUZ\ b G ÅPÆ OJÆ OLÆÇ X cX`V^VjXjV V ]W �X^Z\ TXZ\^ È G BJÉOLÉFD �aZV ^XZV �\YZ cXW \ `\YZ\ UYnYUZ\ÊÈ G ÅËOJÉOLÉÇÌ \] aXµV[ Ä G b e BÊÈFD ²\^ZVYZ\[ YhV\ `^X�UaVW\aiXaXYT\jTX^ BX `^\m^VWV^F ]WV l c\^W]jV Xa`X�UVj `V^V XaZX `^\SjXWVÌSVaZV ]aV^ V l c\^W]jV BCDEF[ iV ^XZV bK ebM[ �\W bK G b X bM G ÊÈD

Page 59: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎÏÎ Ð ÑÒÓÔÕÖ×Ø ÙÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝ×Ø Þopqr sr�sv wxyxz{|}x �� ��xß�|x}yx� �~ zxy~ ��x �~��~ ��z ��� ���� x  x�~z~�x�~ ~� àxy�z �á�����pqr sr�tv wxyxz{|}x ~ �  �z{��~ �xz~� x��� â�|y~ �~z~ �� ��xß�|x}yx� �~zxy~ ��x �~��~ �x�� ��}y� �~zyx�|~}� ���� � x �~ã �{ ä~}���� ~}y|�å�z  ~z|��x æ z~�|~}�� ��{ � x|�� ��pqr sr��v w|�~ ��{� �~����~z �� ��xß�|x}yx� �~ zxy~ ��x �~��~ ��z �{��}y� ß}|y� ¡ ç �èÆ �éÆ �êÆ� x  x ½¹À½¹¾»¿ÂëìÖÀ ~ �{ àxy�z �~zyx�|~}�í ç �éÉ�êÉ��pqr sr�îv � ��x ~��}yx�x ��{ ~ zxy~ ¡K ï¡M ��  �z{��~ ������� ��~}���� ��}y�� ¡K x ¡M �ð~� ~{��� |}ß}|y��¢£¤¥¤¥ ñ¬®©¬ ò¨©¨­ó°®ªò¬ «¬­ òôª¯ ­¨©ª¯õV mX\WXZ^UV X]�jUiUVYV[ V`^XYiXW\a _]X i]Va ^XZVa ÄK G HöKO÷KOøKQX ÄM G HöMO÷MOøMQ[ iUaZUYZVa X YhV\ `V^VjXjVa[ aX �^]ùVW Y]W c]YU�\`\YZ\[ _]X TVW\a iXY\ZV^ `\^ ÄK ú ÄMDfa �\\^iXYViVa �V^ZXaUVYVa BûOü F iXaaX `\YZ\ iXTXW aVZUalVùX^ Vai]Va X_]Vg�h\Xa öý I ÷ýû I øýü G ËÌ X `\^ZVYZ\ `\iXW aX^ �Vj�]jViVa^Xa\jTXYi\³aX \ aUaZXWV jUYXV^þÿ�÷Kû IøKü G NöK÷Mû IøMü G NöM�Xm]Yi\ V ^Xm^V iX �^VWX^[ V a\j]g�hV\ iXaZX aUaZXWV cX

û G N����� öK øKöM øM ���������� ÷K øK÷M øM �����

O ü G N����� ÷K öK÷M öM ���������� ÷K øK÷M øM ����� BCD�F

�\YTX^ZXYi\ \ `V^ BûOü F `V^V �\\^iXYViVa �\W\m�XYXVa[ X W]jZU`jU³ � �¼ÀëìÖ ½ÖÀÖ ¼½¼¾º¼ »¹ ¹¾Â¼¾ºÀ¼»¹ »ëÖ× À¹ºÖ×VYi\ Va WXaWVa `Xj\ iXY\WUYVi\^ \W]W[ \Yj]ckW\a _]X \ `\YZ\

Page 60: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Þ� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØiX UYZX^aXghV\ iVa i]Va ^XZVa cX iVi\ `XjV l c\^W]jV

ÄK ú ÄM G �� I����� ÷K øK÷M øM ����� O N����� öK øKöM øM �����O I����� öK ÷KöM ÷M ����� �� BCDoFG � I÷KøM N÷MøKONöKøM IöMøKOIöK÷M NöM÷K � BCD�Fpqr sr��v 8�~}�� ~ �  �z{��~ ���� �xyxz{|}x � ��}y� �x x}��}yz� � � ��~z~ �� �x��|}yx� �~zx� �x zxy~���~� � ç ��� ��� � ç ����� � ��� � ç ����� � � ç ��� ��� ��� � ç ����� � � ç ����� � ��� � ç ����� � � ç ������ ��� � ç ����� � � ç ����� � f`XaV^ iV l c\^W]jV BCD�F ZX^ aUi\ iXaXYT\jTUiV a\S V �U` c\ZXaX i\ `\Y³Z\ iX XY\YZ^\ aX^ nYUZ\[ `\iX³aX TX^UnV^ _]X XjV TVjX `V^V _]VUa_]X^i]Va ^XZVa YhV\ \UYUiXYZXa[ WXaW\ Va _]X aX XY\YZ^VW Y\ UYnYUZ\D!XµV \a X·X^ckU\a CDÞo[ X CDÞ�Dpqr sr�"v #xz|ß��x ~��x�z|�~{x}yx ��x � ��}y� � � �� �~����~�� �x�~�  �z{��~ ������ �x{�zx �xzyx}�x $~� zxy~� � x ��pqr sr�uv %z�àx ��x ��~� zxy~� � x �� �z�|}  ~z|~� x }ð~� ��|}�|�x}yx���ð~� �~z~�x�~� �x x ��{x}yx �x � � �  x �{ ��}y� |}ß}|y��pqr sr��v wxyxz{|}x � ��}y� �x x}��}yz� �~� zxy~� ��x �~��~{ �x�����}y�� �x ~���|��~ &� x á� �� x|�� �� x ��z{~{ ä~}����� ' x ( ��{ �{x�{�� zx��x�y|à~{x}yx�pqr srî�v � ��x ~��}yx�x ��{ ~ �  �z{��~ ������ ��~}�� ~� zxy~� �K x �M��|}�|�x{ ��ð~� |��~|� �� ����y~��¢) cV \SaX^TVW\a VYZXa _]X[ Y\ `jVY\ *+ [ i]Va ^XZVa YhV\ \UYUiXYZXaaX XY\YZ^VW XW ,-./ `\YZ\a VYZU`\iVUaD f l c\^W]jV BCD�F i cV V`XYVa]W iXaaXa `\YZ\aD 0]Vj iXjXa1 Ra X·X^ckU\a CDE2 X CDEC ^Xa`\YiXW XW`V^ZX V XaaV `X^m]YZVÌ V ^Xa`\aZV \W`jXZV aX^ cV TUaZV YV aXghV\ CDoDoD

Page 61: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎÏÎ Ð ÑÒÓÔÕÖ×Ø ÙÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝ×Ø Þ3pqr srî�v 4 �~zy|z �~ �  �z{��~ ������ {��yzx ��x�5�K� � �M ç �K � �5�M� ç 5��K � �M�pqr srîsv 4 �~zy|z �~ �  �z{��~ ������ {��yzx ��x �M � �K ç 5��K � �M�£¤¥¤6 7®©¨­¯¨898:ª¬ ò¨ ­¨©ª¯ «ª­ª;¨;ª¯õV mX\WXZ^UV X]jUiUVYV B\] V^ZXaUVYVF j cVaaUV[ i]Va ^XZVa `V^VjXjVaY]YV aX XY\YZ^VWD �\W V UYj]ahV\ i\a `\YZ\a UYnYUZ\a[ XaaV `^\³`^UXiViX YhV\ cX WVUa T cVjUiVD ²Xj\ \YZ^ cV^U\[ i]Va ^XZVa `V^VjXjVa aXXY\YZ^VW XW ,-./ `\YZ\a UYnYUZ\a iUaZUYZ\a< \a `\YZ\a ÊB=ÈF[ \YiXÈ cX _]Vj_]X^ TXZ\^ `V^VjXj\ >Va i]Va ^XZVaD õV TX^iViX[ `\iXW\a ]aV^XaZX lVZ\ `V^V iXnYU^ ^XZVa `V^VjXjVa YV mX\WXZ^UV `^\µXZUTVD²\iX³aX TX^UnV^ _]X V l c\^W]jV BCD�F[ _]X i cV V UYZX^aXghV\ ÄK ú ?¾º¹À×¹ÂÁÂÃÖ¼ »¹ À¹ºÖ×½ÖÀÖì¹ìÖ×ÄM iX i]Va ^XZVa ÄK X ÄM[ l]YU\YV WXaW\ _]VYi\ Va i]Va ^XZVa ahV\`V^VjXjVa[ X i cV \W\ ^Xa]jZVi\ ]W i\a i\Ua `\YZ\a UYnYUZ\a \W]YaV VWSVaD ²\^ZVYZ\[ _]VYi\ _]X^XW\a Vj]jV^ V UYZX^aXghV\ iX i]Va^XZVa[ YhV\ `^XUaVW\a Y\a `^X\]`V^ \W V `\aaUSUjUiViX iVa WXaWVaaX^XW `V^VjXjVaDpqr srîtv 8�~}�� ~ �  �z{��~ ������ �xyxz{|}x ~� ���z�x}~�~� �� ��}�y� �x |}yxz�x�@�ð~� �~ zxy~ �x} xz|�~ �A �B �C ��{ ~ zxy~ D� E�~� ��|�}|ß�~�� �x�{ xyz|�� �x��x ��}y�¢£¤¥¤F Gôª;°òªò¨HXUZ\^Xa VZXYZ\a `^\TVTXjWXYZX Y\ZV^VW V aXWXj�VYgV XYZ^X Va l c\^W]jVa IëÖì¿»Ö»¹ ¹¾ºÀ¹ï ¹ �iV ^XZV _]X `VaaV `\^ i\Ua `\YZ\a BCDEF X i\ `\YZ\ iX UYZX^aXghV\ iXi]Va ^XZVa BCD�FDJaZV aXWXj�VYgV cX ]WV WVYUlXaZVghV\ iX ]W `^UYck`U\ W]UZ\ UW`\^³ IëÖì¿»Ö»¹ ¹¾ºÀ¹½¼¾º¼× ¹ À¹ºÖ×ZVYZX[ V ,KLM.,L,N XYZ^X `\YZ\a X ^XZVa i\ `jVY\ `^\µXZUT\D �\YaUiX^XV l]YghV\ _]X V\ `\YZ\ b G ÅPOJOLÇ Vaa\UV V ^XZV bO G HPOJOLQÌ X >V^XZV Ä G HöO÷ OøQ Vaa\UV \ `\YZ\ ÄO G ÅöO÷ OøÇD cJ l cVUj TX^ _]X ]W`\YZ\ b XaZ cV Y]WV ^XZV Ä aX X a\WXYZX aX V ^XZV bO `VaaV `Xj\ `\YZ\ ÄOÌX[ YV TX^iViX[ Ä P b G bO P ÄO

Page 62: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

EË �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ�\W ]W `\]\ WVUa iX Z^VSVj�\[ `\iX³aX \Yj]U^ _]X

BbK ebMFO G BbKFO ú BbMFO`V^V _]VUa_]X^ i\Ua `\YZ\a bKObMD �\W\ BbOFO G b[ ZXW\a ZVWScXWBQK úQMFO G BQKFO e BQMFO`V^V _]VUa_]X^ i]Va jUY�Va QK OQMDf l]YghV\ RO S cX V ,KLM.,L,N TLU V-U.TL iX *+ D JjV Y\a `X^WUZX Z^Vi]³ùU^ WXVYUVWXYZX W]UZVa l c\^W]jVa mX\WcXZ^UVa _]X XYT\jTXW `\YZ\aXW \]Z^Va l c\^W]jVa _]X XYT\jTXW jUY�Va[ X TUX³TX^aVD R WXaW\ TVjX`V^V ZX\^XWVa[ Vjm\^UZW\a[ X XaZ^]Z]^Va iX iVi\aD �\W UaZ\[ \ ]a³Z\ iX iXaXYT\jTUWXYZ\ X `^\m^VWVghV\ iX Vjm\^UZW\a mX\WcXZ^U\a nVa]SaZVYUVjWXYZX ^Xi]ùUi\[ _]VaX _]X `XjV WXZViXDpqr srî�v E�~�  x � ��~� �~}ä�}|�� ��� �x��|}yx� ��Wxy�� x ��}�x|y����~� 8{ ��}y� �� ~�� x{���� 8{ ��}y� }� |}ß}|y����� � ~}y â���~ �x �{ ��}y����� 4 �z|�x{ �� ~�� x{��x� � x|�� ��XYZ [\]^\_`ab \ `cdef_]ghab£¤6¤i j¨k󨮩¬HXWS^XW\a _]X ]WV T-lm.ULnToL- M.UNLp iX TXZ\^Xa qMOqr O s sqt cX ]WVÕ¼u¿¾ÖÁÂÃÖ¼ 쿾¹ÖÀ¹ ¼¾v¹wÖ a\WV iV l\^WV xKqK I xMqM I y yxtqt [ \YiX \a xý ahV\ Y c]WX^\a ^XVUaDzWV T-lm.ULnToL- T-U{N|L cX ]WV \WSUYVghV\ jUYXV^ ]µ\a \XnUXYZXaxý ahV\ Z\i\a WVU\^Xa \] Um]VUa V ùX^\D�XµVW bK X bM i\Ua `\YZ\a YhV\³VYZU`\iVUa iX *+ D ²\^ iXnYUghV\[ \}¹~¹¾º¼ �ë¹ ì¿~Ö»¼¿× ½¼¾º¼× /N�lNU�- B� NT�L,-F bK bM \YaUaZX iX Z\i\a \a `\YZ\a ]µVa \\^iXYV³iVa �\W\m�XYXVa ahV\ \WSUYVgh\Xa \YTX·Va YhV\ Y]jVa iVa \\^iXYViVa�\W\m�XYXVa iX bK X bMD

Page 63: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î �ÚÙÔÚ�ÛÒØ Ú ÛÓÜ �×�ÙÕÖÒØ E2R] aXµV[ aX bK G ÅPKOJKOLKÇ X bM G ÅPMOJMOLMÇ[ \ aXmWXYZ\ bK bM\YaUaZX iX Z\i\a \a `\YZ\a iV l\^WV

Å xK PK I xM PMO xK JK I xM JMO xK LK I xM LM Ç BCD3F\YiX xK X xM ahV\ Y c]WX^\a ^XVUa YhV\³YXmVZUT\a[ X YhV\ VWS\a Y]j\aD0]Vj \ aUmYUnVi\ mX\WcXZ^U\ iV l c\^W]jV BCD3F1 õ\ W\iXj\ Xal cX^U\iX *+ [ cX l cVUj TX^ _]X \ aXmWXYZ\ bK bM cX aUW`jXaWXYZX \ VWUY�\ WVUa]^Z\ iX bK V bM a\S^X V XalX^VD JaaX VWUY�\ cX aXW`^X ]W V^\ iXck^]j\ W cV·UW\[ \W WXY\a iX 2�Ë� iX X·ZXYahV\D !XµV V nm]^V CD3D

�Um]^V CD3< zW aXmWXYZ\ Y\ W\iXj\ Xal cX^U\Dõ\ W\iXj\ `jVY\[ \W\ aXW`^X[ `^XUaVW\a iUaZUYm]U^ T cV^U\a Va\aDJW `^UWXU^\ j]mV^[ aX bK X bM XaZhV\ VWS\a Y\ V_]cXW[ `\iX³aX TX^UnV^_]X V l c\^W]jV iXnYX aUW`jXaWXYZX \ aXmWXYZ\ X]jUiUVY\ i\ V_]cXWjUmVYi\ XaaXa i\Ua `\YZ\aD !XµV V nm]^V CD2ËBVFD

Page 64: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

EC �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ

�Um]^V CD2Ë< �XmWXYZ\a Y\ W\iXj\ `jVY\D²\^ \]Z^\ jVi\[ V l c\^W]jV UW`jUV _]X ]W `\YZ\ b XaZ cV Y\ aXmWXYZ\bK bM aX X a\WXYZX aX \ VYZck`\iV db XaZ cV Y\ aXmWXYZ\ BdbKFBdbMFD�\Yj]ckW\a iVck _]X[ aX VWS\a \a `\YZ\a XaZhV\ Y\ Vj cXW[ \ aXmWXYZ\bK bM cX aUW`jXaWXYZX \ aXmWXYZ\ X]jUiUVY\ i\ Vj cXW _]X jUmV \a i\Ua`\YZ\aD !XµV V nm]^V CD2ËBSFD0]VYi\ bK XaZ cV Y\ V_]cXW[ X bM Y\ Vj cXW[ V aUZ]VghV\ nV ]W `\]\WVUa \W`jUViVD õXaaX Va\[ \ aXmWXYZ\ bK bM \YaUaZX iX i]Va aXWU³^XZVa< ]WV Y\ V_]cXW[ aVUYi\ iX bK YV iU^XghV\ \`\aZV V dbMÌ X ]WV Y\Vj cXW[ aVUYi\ iX bM YV iU^XghV\ \`\aZV V dbKD !XµV V nm]^V CD2ËBFD�X ]W i\a `\YZ\a cX UYnYUZ\[ \ aXmWXYZ\ bK bM cX ]WV aXWU³^XZV \W\^UmXW Y\ `\YZ\ nYUZ\ X V`\YZVYi\ `V^V \ UYnYUZ\D !XµV V nm]^V CD22D�UYVjWXYZX[ aX VWS\a \a `\YZ\a ahV\ UYnYUZ\a[ \ aXmWXYZ\ cX ]W \Yµ]YZ\iX `\YZ\a UYnYUZ\a[ \S^UYi\ ]W V^\ iX iU^Xgh\Xa WXY\^ _]X 2�Ë� XYZ^XVa iU^Xgh\Xa iX bK X bMD

Page 65: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î �ÚÙÔÚ�ÛÒØ Ú ÛÓÜ �×�ÙÕÖÒØ E�

�Um]^V CD22< �XmWXYZ\a \W ]W X·Z^XW\ UYnYUZ\D

pqr srîîv wx�x}åx �� �x��|}yx� �x�{x}y�� �� ��~}� �z�Wxy|à� �z|x}y~���� ��~}�� ~� ��}àx}@�ð�x� �z  ~ß�~� �~ ß��z~ �����~� ��� �� �� � ��� á��á������ �&������ � ��� �������� �á������ � ��� �������� ������� � ��� á������x� ��� �� �� � �á�� �� ����� � ��� ���� � ����� ���

Page 66: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

EÞ �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ£¤6¤£ �¬®¯°¯©�®8°ªRSaX^TX _]X \ `\YZ\ iXa^UZ\ `XjV l c\^W]jV BCD3F iX`XYiX YhV\ a c\ iX bK[bM[ xK [ X xM[ WVa ZVWScXW iV Xa\j�V i\a `Xa\a iX bK X bMD �aZ\ cX[ aXW]jZU`jUV^W\a Va \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa iX bK `\^ ]W lVZ\^ `\aUZUT\� [ \ `\YZ\ iXa^UZ\ `XjV l c\^W]jV W]iV^ cV iX `\aUghV\[ `\Ua UaZ\ X_]UTVjXV W]jZU`jUV^ xK `\^ � D²\^ZVYZ\[ \a `\YZ\a UYiUTUi]VUa mX^Vi\a `\^ BCD3F YhV\ ZXW aUmYUnV³i\ mX\WcXZ^U\Ì V`XYVa \ T-U�KU�- iX Z\i\a XaaXa `\YZ\a ´ \] aXµV[ \aXmWXYZ\ bK bM ´ cX ]W \YXUZ\ SXW iXnYUi\DcJ UW`\^ZVYZX Y\ZV^ _]X \ aXmWXYZ\ bK bM YhV\ XaZ cV iXnYUi\ aX BXa\WXYZX aXF bK X bM ahV\ VYZU`\iVUaD õXaaX Va\[ X·UaZXW UYnYUZVa ^XZVa_]X `VaaVW `\^ bK X bMD RSaX^TX _]X XaZX cX \ c]YU\ Va\ XW _]X Vl c\^W]jV BCD3F `\iX iV^ \^UmXW >V Z^U`jV UYT cVjUiV ÅËO ËO ËÇDpqr srî�v wx{�}�yzx ~��x�z|�~{x}yx ��x yzäx� ��}y�� �x �+ �ð~� ���|�}x~zx� �x x ��{x}yx �x ��|� �x�x� �ð~� ~}y|���~|�� �� �x �{ �x�x� x�y  ~ }��x�{x}y� ��x �|�~ �� ��yz�� ��|�� �� �x � ~}y â���~ �x �{ �x�x� x�y  ~ }��x�{x}y� ��x �|�~ �� ��yz�� ��|��pqr srî"v E�~�  x � ��~� �~}ä�}|�� �� �x�{x}y� ¡K ¡M¢£¤6¤� �¬­©¨ ò¨ ¯¨k󨮩¬¯zWV iVa \`X^Vgh\Xa WVUa \W]Ya XW mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVj X \W³`]ZVghV\ m^ cVnV cX iXZX^WUYV^ `\YZ\ \YiX ]W aXmWXYZ\ bK bM ^]ùV ]WViXZX^WUYViV jUY�V QDJW `^UWXU^\ j]mV^[ `V^V aVSX^ aX \ aXmWXYZ\ iX lVZ\ ^]ùV V ^XZV[�¹×º¹ ×¹ ë×¹~¹¾º¼ ÂÀë�ÖëÖ À¹ºÖ SVaZV TX^UnV^ aX aX]a X·Z^XW\a XaZhV\ i\ WXaW\ jVi\ iV WXaWVD Ja³`XUnVWXYZX[ aX bK G ÅPKOJKOLKÇ[ bM G ÅPMOJMOLMÇ[ X Q G HöO÷ OøQ[XYZhV\ SVaZV Vj]jV^ \a Y c]WX^\a ^XVUaxK G öPK I ÷JK I øLKxM G öPM I ÷JM I øLMR aXmWXYZ\ bK bM ^]ùV B\] Z\VF V jUY�V Q aX X a\WXYZX aX �K X �M ZXWaUYVUa \`\aZ\a[ \] ]W iXjXa cX Y]j\Ì UaZ\ cX[ aX �K �M � ËD�X XaZV \YiUghV\ cX aVZUalXUZV[ \ `\YZ\ iX UYZX^aXghV\ `\iX aX^ iXZX^³Õ¼¼À»¹¾Ö»Ö× »Ö¿¾º¹À×¹ÂÁÂÃÖ¼ WUYVi\ iV aXm]UYZX WVYXU^VD

Page 67: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î �ÚÙÔÚ�ÛÒØ Ú ÛÓÜ �×�ÙÕÖÒØ EE�\W\ TUW\a YV aXghV\ CD�D2[ ]W `\YZ\ mXYcX^U\ i\ aXmWXYZ\ bK bMZXW \\^iXYViVaÅ xK PK I xM PMO xK JK I xM JMO xK LK I xM LM Ç BCD2ËF`V^V xK � Ë[ xM � Ë[ BxK OxMF �G BËOËFD JaZX `\YZ\ XaZ cV YV ^XZV Q aX Xa\WXYZX aXöBxK PK I xM PMF I ÷ BxK JK I xM JMF I øBxK LK I xM LMF G Ë\] aXµV xK BöPK I ÷JK I øLKF I xMBöPM I ÷JM I øLMF G Ë\][ VUYiV[ xK �K I xM �M G ˲\^ZVYZ\[ `V^V _]X \ `\YZ\ BCD2ËF XaZXµV YV jUY�V Q[ SVaZV Z\WV^xK G =�M X xM G ��K [ Xa\j�XYi\³aX \a aUYVUa iX W\i\ _]X xK X xMaXµVW YhV\³YXmVZUT\aD R] aXµV[ \ `\YZ\ iX UYZX^aXghV\ cXÅ ��M �PK I ��K �PMO ��M �JK I ��K �JMO ��M �LK I ��K �LM Ç BCD22Fõ\ZX _]X XaZV l c\^W]jV iXT\jTX V Z^U`jV UYT cVjUiV ÅËO ËO ËÇ aX �K X �Ml\^XW VWS\a Y]j\aÌ UaZ\ cX[ aX \a i\Ua X·Z^XW\a i\ aXmWXYZ\ XaZUTX^XWa\S^X V ^XZV QDpqr srîuv �{ �~�~ �{ ��� �~��� ~�~|��� �xyxz{|}x ~ |}yxz�x�@�ð~� ���x�{x}y� ¡K¡M ��{ ~ zxy~ � ��~� ¡K ç ������� ¡M ç ��� �� �� � ç ��� á��á� ��� ¡K ç ��� �� �� ¡M ç �á�� �� �� � ç ��� á��á� ��� ¡K ç ��� �� �� ¡M ç �á�� �� �� � ç ������ pqr srî�v wx��zxà~ �{ { xy��� �~z~ �xyxz{|}~z �x ��|� �x�{x}y��¡K¡M x �K �M �x |}yxz�x�y~{� x �~����~z � ��}y� �x |}yxz�x�@�ð~�� ~ �~zy|z�~� ���z�x}~�~� å�{��äx}x~� ��� x�yzx{���

Page 68: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

E� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ£¤6¤¦ �­°�ª®kô;¬¯²\^ iXnYUghV\[ \ �p. VLU�KM- iXZX^WUYVi\ `\^ Z^�Xa `\YZ\a iX *+ cX \ \Y³�À¿ �Ö¾~ëì¼ µ]YZ\ iX Z\i\a \a `\YZ\a ]µVa \\^iXYViVa ahV\ \WSUYVgh\Xa \YTX·VaYhV\ Y]jVa iVa \\^iXYViVa iXaaXa `\YZ\aDR] aXµV[ aX bý G ÅPýOJý O LýÇ[ `V^V � �  ËO 2O C¡[ \ Z^U�VYm]j\ bK bMbr\YaUaZX iX Z\i\a \a `\YZ\a iV l\^WV� xK PK I xM PM I xrPr OxK JK I xM JM I xr Jr OxK LK I xM LM I xr Lr � BCD2CF\YiX xK[ xM[ X xr ahV\ Y c]WX^\a ^XVUa[ YhV\ YXmVZUT\a X YhV\ Z\i\a Y]j\aDV !XµV V nm]^V CD2C

�Um]^V CD2C< zW Z^U�VYm]j\ Y\ V_]cXWDõ\ZX _]X XaZX \Yµ]YZ\ UYj]U \a Z^�Xa `\YZ\a bK[ bM[ X br B\a { ¢Np�.TN/F[?¾º¹À¿¼À£ ¹wº¹À¿¼À£ ¹¤À¼¾º¹¿ÀÖ SXW \W\ \a aXmWXYZ\a bK bM[ bMbr [ X br bK B\a ML,-/FD f ]YUhV\ iXaZXaZ^�Xa aXmWXYZ\a cX V � p-U�N.pL i\ Z^U�VYm]j\[ ]WV ]^TV lX�ViV _]X aX`V^V\a iXWVUa `\YZ\a i\ Z^U�VYm]j\ B\ .U�Np.-pF i\ ^XaZVYZX i\ `jVY\ B\N|�Np.-pFD¥U^XW\a _]X ]W Z^U�VYm]j\ cX ,N�NUNpL,- aX aX] UYZX^U\^ l\^ TVùU\[ X�À¿ �Ö¾~ëì¼ ½À �¼½À¿¼ ¹»¹~¹¾¹ÀÖ»¼ ¦p ¢-¦p.- Va\ \YZ^ cV^U\Dpqr sr��v %z�àx ��x � yz|ä~}���� ¡K¡M¡r  x ~ �}|ð~� �x y���� �� �x�{x}�y�� �~ ��z{~ ¡K �� �}�x � x�y  ~ }� �x�{x}y� ¡M¡r �pqr sr��v %z�àx ��x �{ yz|ä~}����  x �x�x}xz~�� �x x ��{x}yx �x �{��� à xzy|�x� �xzyx}�x ~� �x�{x}y� ��x �|�~ �� ��yz�� ��|��

Page 69: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î �ÚÙÔÚ�ÛÒØ Ú ÛÓÜ �×�ÙÕÖÒØ Eof l c\^W]jV BCD2CF `\iX iXT\jTX^ V Z^U`jV UYT cVjUiV ÅËO ËO ËÇD �aZ\ V\Y³ZXX aX X a\WXYZX aX i\Ua T cX^ZUXa ahV\ VYZU`\iVUa[ \] aX \ VYZck`\iV iX]W i\a T cX^ZUXa XaZ cV Y\ aXmWXYZ\ _]X jUmV \a \]Z^\a i\UaD õXaZXa Va\a\ Z^U�VYm]j\ cX §UYiXnYUi\ `\^ iXnYUghV\¨Dõ\ W\iXj\ Xal cX^U\[ \ Z^U�VYm]j\ bK bMbr cX ]W �p. VLU�KM- N/� ¢Np.T-´ �À¿ �Ö¾~ëì¼ ¾¼¼»¹ì¼ ¹×¤ �¹À¿Â¼]WV ^XmUhV\ jUWUZViV `\^ Z^�Xa V^\a iX ck^]j\ W cV·UW\[ \W X·Z^XW\aYXaaXa `\YZ\aD !XµV V nm]^V CD2�D

�Um]^V CD2�< zW Z^U�VYm]j\ Y\ W\iXj\ Xal cX^U\Dõ\ W\iXj\ `jVY\[ aX \a T cX^ZUXa XaZhV\ Z\i\a Y\ V_]cXW[ \] Z\i\a Y\ �À¿ �Ö¾~ëì¼ ¾¼¼»¹ì¼ ½ìÖ¾¼Vj cXW[ \a `\YZ\a iXnYUi\a `XjV l c\^W]jV BCD2CF XaZV^hV\ Z\i\a Y\ WXaW\jVi\ i\ `jVY\[ X \YaZUZ]XW aUW`jXaWXYZX \ Z^U�VYm]j\ X]jUiUVY\ \W\a T cX^ZUXa iVi\aD�Va\ \YZ^ cV^U\[ \ Z^U�VYm]j\ ZXW ]WV l\^WV WVUa \W`jUViV[ _]X aXXaZXYiX iX ]W jVi\ `V^V \]Z^\ i\ `jVY\[ VZ^VT cXa iX `\YZ\a Y\ UYnYUZ\D²\^ X·XW`j\[ V nm]^V CD2Þ Uj]aZ^V \ Z^U�VYm]j\ \W TcX^ZUXa © G Å2O 2O ËÇ[ª G Å2O ËO CÇ[ X « G ÅN2O 2O 2ÇD

Page 70: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

E� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ

�Um]^V CD2Þ< zW Z^U�VYm]j\ Y\ W\iXj\ `jVY\Dpqr sr�sv �{ �~�~ �{ ��� �~��� ~�~|��� �x�x}åx � yz|ä~}���� ¡K ¡M¡r �|}�|�~}�� �x� |}yxz|�z ��{ ~ ��}àx}@�ð~� ���~� �å~�å�z~�� }� ~�� x{���}y|�å~�� }� ~� x{���~� ¡K ç ������� ¡M ç ��� ���� ¡r ç ����� ������ ¡K ç ������� ¡M ç ��� ���� ¡r ç ����� ������ ¡K ç ��� ���� ¡M ç ����� �� ¡r ç �á�� �� ������ ¡K ç ��� ���� ¡M ç ����� �� ¡r ç �á�� �������� ¡K ç ������� ¡M ç ��� ���� ¡r ç ��� �����

Page 71: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍάΠ­ÓÜÚ�Û×®Ý×Ò E3XY° ±cd\_`f²³fa£¤F¤i µ­°¨®©ª98:ª¬ ò¨ ©­ � «¬®©¬¯�XµVW b[ ¶ [ X Ä Z^�Xa `\YZ\a YhV\ \jUYXV^Xa \YZUi\ Y\ V_]cXWD �Yl\^³ ·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ »¹ ºÀ �¹×½¼¾º¼×WVjWXYZX[ V -p.NU�LnToL- iV Z^U`jV Bb O¶ O ÄF cX \ aXYZUi\ B�\^ cV^U\ \] VYZU³�\^ cV^U\F XW _]X \ aXmWXYZ\ aXmWXYZ\ b ¸ ^\iV XW Z\^Y\ iX b[ _]VYi\\ `\YZ\ ¸ TVU iX ¶ `V^V Ä V\ j\Ym\ i\ aXmWXYZ\ ¶ ÄDRSaX^TX _]X V \^iXW i\a `\YZ\a cX UW`\^ZVYZXD ²\^ X·XW`j\[ VZ^U`jV B B2O 2FO B�O CFO BCOÞF F ZXW \^UXYZVghV\ VYZU³�\^ cV^UV XY_]VYZ\ _]XB B2O 2FO BCOÞFO B�O CF F ZXW \^UXYZVghV\ �\^ cV^UVDRa ZX^W\a �-p ¢Lp.- X LU�.¹�-p ¢Lp.- `^Xaa]`h\XW V \YTXYghV\ ]a]Vj _]X }¹¾º¿»¼ ½¼×¿º¿v¼ ¹¾¹~Öº¿v¼\ XU·\ ü i\ `jVY\ V^ZXaUVY\ cX iXaXY�Vi\ V 3Ë� i\ XU·\ û [ Y\ aXYZU³i\ VYZU³�\^ cV^U\D ²V^V YhV\ iX`XYiX^W\a iXaaV \YTXYghV\ `]^VWXYZXm^ cVnV[ �VWV^XW\a \a i\Ua aXYZUi\a iX ^\ZVghV\ iX UN�L�.{- X ¦-/.�.{-ÌaXYi\ _]X[ `\^ iXnYUghV\[ V Z^U`jV B BËO ËFO B2O ËFO BËO 2F F ZXW \^UXYZVghV\`\aUZUTVDºVUa l\^WVjWXYZX[ iXnYUW\a V l]YghV\ »Bb O¶ O ÄF[ _]X TVjX N2 \]I2[ \Yl\^WX V Z^U`jV Bb O¶ O ÄF ZXY�V \^UXYZVghV\ YXmVZUTV \] `\aUZUTV[^Xa`XZUTVWXYZXÌ X _]X TVjX Ë aX \a Z^�Xa `\YZ\a ahV\ \jUYXV^XaDpqr sr�tv wxyxz{|}x � à~��z �x ¼�¡ ����� �~z~ �~�~ �{~ �~� yz|��~�~�~|����~� ¡ ç ������� � ç ��� ���� � ç ����� ����� ¡ ç ������� � ç ����� �� � ç ����� ����� ¡ ç ��� �� �� � ç ������� � ç �����½�õV aXghV\ CD�DÞ iXnYUW\a \ Z^U�VYm]j\ b ¶ Ä \W\ aXYi\ ]W \Yµ]YZ\iX `\YZ\a[ UYj]UYi\ \a T cX^ZUXa[ jVi\a[ X UYZX^U\^D ²\^ZVYZ\[ XaZ^UZV³WXYZX lVjVYi\[ \ Z^U�VYm]j\ YhV\ iX`XYiX iV \^iXW i\a aX]a T cX^ZUXaDJYZ^XZVYZ\[ VS]aVYi\ ]W `\]\ iV jUYm]VmXW[ TVW\a l^X_¾]XYZXWXYZXXa^XTX^ §\^UXYZVghV\ i\ Z^U�VYm]j\ b ¶ Ĩ XW TXù iX §\^UXYZVghV\ iV Z^U`jVBb O¶ O ÄF¨£¤F¤£ µ­°¨®©ª98:ª¬ ª;k ¿À­°8ª!UW\a YV aXghV\ CDEDC _]X Z^�Xa `\YZ\a ahV\ \jUYXV^Xa _]VYi\ \ iXZX^WU³YVYZX � Á� iX a]Va \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa cX ùX^\D

Page 72: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�Ë �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ!X^UnV³aX _]X[ aX XaaXa Z^�Xa `\YZ\a XaZhV\ Y\ V_]cXW[ X YhV\ ahV\ \jU³� �¼ÀëìÖ ½ÖÀÖ Ö¼À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ YXV^Xa[ \ aUYVj iXaaX WXaW\ iXZX^WUYVYZX cX `^XUaVWXYZX V \^UXYZVghV\i\ Z^U�VYm]j\ iXZX^WUYVi\ `\^ XaaXa Z^�Xa `\YZ\aDR] aXµV[ aX bý G ÅPýOJý O LýÇ[ `V^V � G � ËO 2O C¡[ ZXW\a

»BbK ObMObrF G amY �������PK JK LKPM JM LMPr Jr Lr

������� BCD2�FJW cVjmXS^V jUYXV^ V`^XYiXW\a _]X W]jZU`jUV^ ]WV jUY�V iX ]WVWVZ^Uù `\^ ]WV \YaZVYZX x ZVWScXW W]jZU`jUV aX] iXZX^WUYVYZX `\^xD ¥X\^^X iVck _]X \ aUYVj i\ iXZX^WUYVYZX VUWV YhV\ aX VjZX^V aXa]SaZUZ]U^W\a Va Z^U`jVa �\W\m�XYXVa ÅPý OJý O LýÇ `\^ _]VUa_]X^ \]Z^VaZ^U`jVa X_]UTVjXYZXaD R] aXµV[ \ TVj\^ iV l]YghV\ »BbK ObMObrF iX`XYiXV`XYVa iVa `\aUgh\Xa i\a `\YZ\a[ X YhV\ iV Xa\j�V i\a `Xa\a PýDRSaX^TX ZVWScXW _]X aX Z^\V^W\a V \^iXW iX _]VUa_]X^ i]Va jUY�Va·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ ¹ ¼À»¹ iV WVZ^Uù[ \ aUYVj i\ iXZX^WUYVYZX aX UYTX^ZXD ²\^ZVYZ\[ V \^UXYZVghV\iX ]W Z^U�VYm]j\ ZVWScXW aX UYTX^ZX _]VYi\ Z^\VW\a _]VUa_]X^ i\Ua iXaX]a T cX^ZUXaD R] aXµV[»B¶ Ob O ÄF G »Bb O ÄO¶F G »BÄO¶ ObF G N»Bb O¶ O ÄF BCD2ÞFpqr sr��v wxyxz{|}x Öì~¹uÀ¿ÂÖ¹¾º¹ � à~��z �x ¼�¡ ������ ��~}�� ~�  �z{��~ ������� �~z~ �~�~ �{ ��� yz|ä~}������~� ¡ ç ������� � ç ��� ���� � ç ����� ����� ¡ ç ������� � ç ����� �� � ç ����� ����� ¡ ç ��� �� �� � ç ������� � ç �����½�pqr sr�îv E�~� � x�x|y� �x �{~ �xz{�y~@�ð~� �|z���~z ��� ~z��{x}y���x ¼¢ Ã�y�  x� ��~� ~ zx�~@�ð~� x}yzx ¼�¡ ������ ¼�����¡�� x ¼���¡ ���¢pqr sr��v wx{�}�yzx ��x �� yz|ä~}����� ¡�� � ¡Ä� x Ä�� yäx{ ~ {x�{~�z|x}y~@�ð~�� �x Ä ��z � ��}y� { x�|� �� �x�{x}y� ¡��£¤F¤� µ­°¨®©ª98:ª¬ ®¬ ª; ¿ófZcX Vm\^V a c\ iXnYUW\a V l]YghV\ » `V^V `\YZ\a i\ V_]cXWD �\W\ nVXaaX \YXUZ\ _]VYi\ Vjm]Ya i\a `\YZ\a XaZhV\ Y\ UYnYUZ\[ \] Y\ Vj cXW1

Page 73: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍάΠ­ÓÜÚ�Û×®Ý×Ò �2�\W\ \ \YXUZ\ UYZ]UZUT\ iX §aXYZUi\ iX ^\ZVghV\¨ YhV\ cX W]UZ\ jV^\YXaaXa Va\a[ TVW\a Vi\ZV^ V l c\^W]jV BCD2�F \W\ aXYi\ V ,NÅU.nToL- iVl]YghV\ » [ `V^V _]VUa_]X^ Z^�Xa `\YZ\a iX *+ DRSaX^TX _]X \ iXZX^WUYVYZX iV l c\^W]jV BCD2�F W]iV iX aUYVj aX ·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ ¾¼×Ö¾º�ƽ¼»Ö×W]jZU`jUV^W\a _]Vj_]X^ jUY�V `\^ N2D ²\^ZVYZ\[ aX Z^\V^W\a _]Vj_]X^T cX^ZUX `Xj\ aX] VYZck`\iV[ V \^UXYZVghV\ i\ Z^U�VYm]j\ aX UYTX^ZXD R] aXµV[

»BdbKObMObrF G N»BbKObMObrF BCD2EF²\^ZVYZ\[»BdbKOdbMOdbrF G N»BbKObMObrF BCD2�FJW `V^ZU]jV^[ V \^UXYZVghV\ iX ]W Z^U�VYm]j\ Y\ Vj cXW cX \`\aZV >V i\Z^U�VYm]j\ \UYUiXYZX Y\ V_]cXWD

pqr sr�"v 8�~}�� ~� x��~@�ð�x� ������ x ������� �xyxz{|}x ~ �z|x}y~@�ð~���� ��}y�� ~�~|��� �~�x}�� ��x ¼�¡ ����� ç &���~� ¼�¡ ���5�� ��� ¼�¡ �5��5����� ¼�¡ �5���� ��� ¼�����5¡�£¤F¤¦ µ­°¨®©ª98:ª¬ ®¬ ó¬ò¨;¬ ¨¯Ç ¿­°8¬R aUmYUnVi\ mX\WcXZ^U\ iV l]YghV\ » cX ^XjVZUTVWXYZX l cVUj iX TUa]VjUùV^Y\ W\iXj\ Xal cX^U\DJW `^UWXU^\ j]mV^[ TVW\a iXnYU^ UYl\^WVjWXYZX \ /NU�.,- ¦-/.�.¹{- ,N p-�LnToL- XW Z\^Y\ iX ]W `\YZ\ _]Vj_]X^ b iX È+ [ \W\ aXYi\ \aXYZUi\ VYZU³�\^ cV^U\ aX TUaZ\ iX ]W `\YZ\ X·ZX^U\^ >V XalX^V WVa V^SUZ^V³^UVWXYZX `^ c\·UW\ iX bDJaZV iXnYUghV\ `^Xaa]`h\X _]X \a XU·\a iX ÉÊ XaZhV\ iUa`\aZ\a iXWVYXU^V ]a]VjÌ \] aXµV _]X \a TXZ\^Xa B2O ËO ËF[ BËO 2O ËF[ X BËO ËO 2F[ YXaaV\^iXW[ ^\iVW XW aXYZUi\ VYZU³�\^ cV^U\ _]VYi\ TUaZ\a i\ `\YZ\ B2O 2O 2FD�\W XaZV iXnYUghV\[ `\iXW\a XYZhV\ TX^UnV^ _]X »Bb O¶ O ÄF UYiUV \ ·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ ¾¼¼»¹ì¼ ¹×¤ �¹À¿Â¼aXYZUi\ XW _]X \ aXmWXYZ\ b ¸ ^\iV XW Z\^Y\ iX b[ _]VYi\ \ `\YZ\ ¸TVU iX ¶ `V^V Ä V\ j\Ym\ i\ aXmWXYZ\ ¶ ÄD !XµV V nm]^V CD2ED

Page 74: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�C �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ

�Um]^V CD2E< R^UXYZVghV\ iX ]W Z^U�VYm]j\ Y\ W\iXj\ Xal cX^U\D£¤F¤¥ µ­°¨®©ª98:ª¬ òª ­¨©ª «¬­ ò¬°¯ «¬®©¬¯JaZVW\a Vm\^V XW \YiUgh\Xa iX XajV^XX^ ]WV i c]TUiV _]X ^XaZ\]·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ »Ö À¹ºÖ½¼À »¼¿× ½¼¾º¼× iV aXghV\ CDED�< _]Vj cX V \^UXYZVghV\ iV ^XZV bK e bM[ iXnYUiV `XjVl c\^W]jV BCDEFD²V^V XaaX nW[ TVW\a ZXaZV^ V `\aUghV\ iX ]W `\YZ\ mXYcX^U\ br GÅPr O Lr OJrÇ XW ^XjVghV\ >V WXaWV<BbK ebMFPbr G amY Ë I����� JK LKJM LM �����Pr N ����� PK LKPM LM ����� Jr I ����� PK JKPM JM ����� Lr Ìõ\ZX _]X V l c\^W]jV iXYZ^\ i\a `V^�XYZXaXa cX aUW`jXaWXYZX V X·`VYahV\[`XjV c]jZUWV jUY�V[ i\ iXZX^WUYVYZX iV WVZ^Uù iX \\^iXYViVa i\a Z^�Xa`\YZ\a bK[ bM[ br D �\W\ TUW\a[ \ aUYVj iXaaX iXZX^WUYVYZX iXnYX V\^UXYZVghV\ i\ Z^U�VYm]j\ bKObMObr D�\Yj]ckW\a `\^ZVYZ\ _]X - ML,- ¦-/.�.{- ,L pN�L bK e bM T-U/./�N,N �-,-/ -/ ¦-U�-/ br ÍKN � -plLl Kl �p. VLU�KM- ¦-/.�.{- T-l bK N bMD�\^WVjWXYZX[

BbK ebMF P br G »BbKObMObrF BCD2oF²\iX³aX TX^UnV^ _]X[ aX \a XU·\a û X ü l\^XW iXaXY�Vi\a XW a]V`\aUghV\ \YTXYU\YVj[ iX W\i\ _]X \ aXYZUi\ `\aUZUT\ cX VYZU³�\^ cV^U\[XYZhV\ \ jVi\ `\aUZUT\ iV ^XZV bK ebM cX \ aXWU³`jVY\ _]X nV >V Xa_]X^iViV WXaWV[ i\ `\YZ\ iX TUaZV iX _]XW TVU iX bK V bM V\ j\Ym\ iV ^XZVDpqr sr�uv Î��yzx ��x ~ zxy~ �x ¡M ~ ¡K yx{ �z|x}y~@�ð~� ��}yz  ~z|~ $~ zxy~�x ¡K ~ ¡MÏ |�y�  x� ¡M ï¡K ç 5�¡K ï¡M��

Page 75: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍάΠ­ÓÜÚ�Û×®Ý×Ò ��pqr sr��v E�~�  x ~ �z|x}y~@�ð~� �~ zxy~ ¡ ï �Ðí�¢ �Ã�y�  x� ��~�  x � �~�����|y|à� �x��~ zxy~¢�£¤F¤6 µ­°¨®©ª98:ª¬ ;¬®k°©ôò°®ª; ò¨ ôóª ­¨©ªzaVYi\ \ \YXUZ\ iX ^\ZVghV\ `\aUZUTV XW Z\^Y\ iX ]W `\YZ\ YV XalX^V[ ·À¿¹¾ºÖÁÂÃּ켾~¿ºë»¿¾Öì »¹ ëÖÀ¹ºÖ`\iXW\a iXnYU^ V -p.NU�LnToL- M-U�.�K,.ULM iX ]WV ^XZV \W\ aXYi\ \aXYZUi\ iX `X^]^a\ iV WXaWV _]X U^]YiV \a `\YZ\a i\ aX] �XWUal cX^U\`\aUZUT\ Y\ aXYZUi\ `\aUZUT\DR] aXµV[ aX b X ¶ ahV\ i\Ua `\YZ\a iX ]WV ^XZV Ä[ ZVUa _]X b e ¶ G Ä[V \^UXYZVghV\ j\YmUZ]iUYVj iX Ä cX \ aXYZUi\ iX `X^]^a\ iV WXaWV _]X\^^Xa`\YiX V U^ iX b `V^V ¶ V\ j\Ym\ i\ aXmWXYZ\ b ¶ D

£¤F¤F �­ôѪ󨮩¬ ò¨ ­¨©ª¯ ¨ ¬­°¨®©ª98:ª¬²\iXW\a Vm\^V ^Xa`\YiX^ ZVWScXW V \]Z^V i c]TUiV _]X n\] XW VSX^Z\iV aXghV\ CDEDE< aX i]Va ^XZVa Ä X � aX ^]ùVW XW i\Ua `\YZ\a VYZU`\iVUab X ¶ [ _]Vj iXaZXa i\Ua cX \ `\YZ\ Ä ú �[ iXnYUi\ `XjV l c\^W]jV BCD�F1HXWS^XW\a _]X Ä ú � a c\ XaZ cV iXnYUi\ aX Ä X � YhV\ ahV\ \UYUiXYZXaDõXaZX Va\[ X·UaZX ]WV c]YUV WVYXU^V iX ^\iV^ V ^XZV Ä XW Z\^Y\ i\XU·\ b N N¶ [ `\^ ]W �VYm]j\ WXY\^ _]X 2�Ë�[ _]X V Z\^YV Um]Vj V �[ XW`\aUghV\ X \^UXYZVghV\DcJ l cVUj TX^ _]X XaaV ^\ZVghV\ TVU ZX^ aXYZUi\a \`\aZ\a XW ^XjVghV\ V b X Ò×¼ìÓÖ »¹ � � �¶ D ²\iX³aX `^\TV^ _]X \ `\YZ\ Ä ú �[ Vj]jVi\ aXm]Yi\ V l c\^W]jV BCD�F[cX `^XUaVWXYZX V_]XjX `\YZ\ XW _]X \ aXYZUi\ iXaZV ^\ZVghV\ cX `\aUZUT\D²\iX³aX ZVWScXW TX^UnV^ _]X Ä ú � cX \ `\YZ\ \YiX Ä[ `X^\^^UiV Y\aXYZUi\ iV a]V \^UXYZVghV\ j\YmUZ]iUYVj[ `VaaV i\ �XWUal cX^U\ `\aUZUT\ iX� `V^V \ �XWUal cX^U\ YXmVZUT\Dpqr sr"�v Î��yzx ��x� �x ¼�¡ ����� ç &�� x}yð~� �¡ ï �� � �� ï �� ç ��pqr sr"�v Ôx �  x �{~ zxy~ �z�|}  ~z|~� ��à|~{x}yx � � D  x �{ ��� ��|���}y�� |}ß}|y�� �x � � E�~� �x�x�¢ �Õx���}�~ x{ yxz{�� �x�{ xyz|����x }ð~� ~��  x�z|�����

Page 76: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�Þ �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØXYÖ ×cf_bØac^f²³a\b ÙcaÚ\`dÛfb¥XYZ^X Z\iVa Va l]Ygh\Xa _]X jXTVW `\YZ\a iX *+ `V^V `\YZ\a iX *+ [�À־פ¼ÀÖÁÂü¹×½À¼Ü ¹º¿vÖ× X·UaZX ]WV jVaaX UW`\^ZVYZX[ Va �pLU/� -plLnTo-N/ ¦p-� N�.{L/[ \] ¦p-� N�.¹{.,L,N/[ _]X aX V^VZX^UùVW `\^ `^XaX^TV^ Va ^XjVgh\Xa iX \jUYXV^UiViX<UaZ\ cX[ aX Z^�Xa `\YZ\a XaZhV\ VjUY�Vi\a[ a]Va UWVmXYa ZVWScXW \ ahV\[ XTUX³TX^aVDR \YXUZ\ iX `^\µXZUTUiViX XYmj\SV W]UZVa Z^VYal\^WVgh\Xa mX\WcX³Z^UVa UW`\^ZVYZXa[ \W\ Va Z^VYajVgh\Xa[ ^\ZVgh\Xa[ X W]iVYgVa iX XaVjV[_]X XaZ]iV^XW\a V aXm]U^D£¤Ý¤i �ª­ª8©¨­°Ñª98:ª¬ ª;k ¿À­°8ª²\iX³aX `^\TV^ _]X Z\iV `^\µXZUTUiViX iX *+ \^^Xa`\YiX V ]WV Z^VYa³ÞÖºÀ¿� »¹ºÀ־פ¼ÀÖÁÂÃÖ¼ l\^WVghV\ jUYXV^ UYTX^ackTXj iVa \\^iXYViVa �\W\m�XYXVaD �aZ\ cX[ `V^VZ\iV `^\µXZUTUiViX ß X·UaZX ]WV WVZ^Uù ^XVj

à G �á� âãã âãä âãåâäã âää âäåâåã âåä âåå

�æ�\W iUWXYahV\ � Á� X iXZX^WUYVYZX YhV\ Y]j\[ ZVj _]X

ß BÅPOJOLÇF G ÅPOJOLÇàG � Pâãã IJâäã I LâåãPâãä IJâää I LâåäPâãå IJâäå I Lâåå � BCD2�F

õ\ZX _]X[ `V^V nYa iXaZV l c\^W]jV[ V Z^U`jV ÅPOJOLÇ iXTX aX^ \YaUiX^ViV]W TXZ\^ jUY�V[ UaZ\ cX[ ]WV WVZ^Uù 2 Á�Df ^Xck`^\V ZVWScXW cX TX^iViXU^V< Z\iV WVZ^Uù � Á � à[ \W iX³ZX^WUYVYZX YhV\ Y]j\[ iXnYX `XjV l c\^W]jV BCD2�F ]WV `^\µXZUTUiViX iX*+ D JaZX lVZ\ cX l cVUj iX `^\TV^[ ]aVYi\ V iXnYUghV\ iX \jUYXV^UiViXBX_]VghV\ BCD2�FF[ X \ lVZ\ _]X \ iXZX^WUYVYZX iX ]W `^\i]Z\ iX WVZ^U³ùXa cX \ `^\i]Z\ i\a aX]a iXZX^WUYVYZXaD !XµV \ X·X^ckU\ CDoCD

Page 77: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎçÎ èÓ×�Ø�ÒÓÔ×®ÝÒÚØ ÓÒé ÚÛÜê×Ø �Epqr sr"sv ÔxW~ ë �{~ {~yz|ã � ì�� %z�àx ��x ~ ��}@�ð~� í �x �+ �~z~�+ �xß}|�~ �x�~ �  �z{��~ ������ �~y|��~ã¼�í �¡K��í �¡M��í �¡r�� ç ¼�¡K�¡M�¡r� î ��} ïëïR X·X^ckU\ CDoC ^XTXjV _]X Va Z^VYal\^WVgh\Xa `^\µXZUTVa aX iUTUiXW �À־פ¼ÀÖÁÂü¹×½¼×¿º¿vÖ× ¹¾¹~Öº¿vÖ×XW i]Va jVaaXa[ Va ¦-/.�.{L/ X Va UN�L�.{L/[ \Yl\^WX \ aUYVj i\ iXZX^³WUYVYZX iX a]V WVZ^UùÌ aXYi\ _]X ]WV `^\µXZUTUiViX `\aUZUTV `^XaX^TVVa \^UXYZVgh\Xa iX Z\i\a \a Z^U�VYm]j\a[ XY_]VYZ\ _]X ]WV `^\µXZUTUiViXYXmVZUTV Va UYTX^ZXDõ\ZX _]X[ aX V`jUV^W\a V l c\^W]jV BCD2�F V i]Va Z^U`jVa �\W\m�XYXVaX_]UTVjXYZXa[ \SZX^XW\a i\Ua ^Xa]jZVi\a X_]UTVjXYZXaDõ\ZX ZVWScXW _]X[ aX W]jZU`jUV^W\a Z\i\a \a XjXWXYZ\a iV WVZ^Uùà `\^ ]W WXaW\ Y c]WX^\ x �G Ë[ V Z^VYal\^WVghV\ `^\µXZUTV ß iXnYUiV`XjV WXaWV YhV\ aX VjZX^VD ²\^ZVYZ\[ i]Va WVZ^UùXa àð X àðð iXZX^WUYVWV WXaWV Z^VYal\^WVghV\ aX X a\WXYZX aX àð G xàðð `V^V Vjm]W x �G ËDpqr sr"tv Î��yzx ��x ~ ��}@�ð~� í �¡� ç 5¡ � ��x �xà~ �~�~ ��}y� �~z~�x� ~}y â���~�  x �{~ �z�Wxy|à|�~�x }x�~y|à~ �x �+ �fYZXa iX XaZ]iV^ Va `^\`^UXiViXa mX^VUa iVa `^\µXZUTUiViXa[ TVW\a\Y�XX^ Vjm]Ya Va\a `V^ZU]jV^Xa[ _]X ahV\ SVaZVYZX UW`\^ZVYZXa YV`^ cVZUVD£¤Ý¤£ �­ª®¯;ª98:¬¨¯²V^V iXaj\V^ ]WV nm]^V Y\ `jVY\[ WVYZXYi\³aX a]V \^UXYZVghV\[ SVaZV �ÀÖ¾×ìÖÁÂÃÖ¼a\WV^ >Va \\^iXYViVa V^ZXaUVYVa iX ViV ]W iX aX]a `\YZ\a ]W WXaW\TXZ\^ BûKOüKFD �aZ\ cX[ SVaZV V`jUV^ V ViV `\YZ\ iV nm]^V V l]YghV\

BûOü F ñò Bû IûKOü I üKF G BûOü F I BûKOüKFzWV l]YghV\ iXaZV l\^WV cX �VWViV iX �pLU/MLnToL- i\ `jVY\ É+ `Xj\TXZ\^ BûKOüKFD õ\ZX _]X BûKOüKF cX ZVWScXW V UWVmXW iV \^UmXW BËOËFDJW ZX^W\a iX \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa[ V Z^VYajVghV\ _]X jXTV V\^UmXW Å2O ËO ËÇ `V^V \ `\YZ\ ÅPKOJKOLKÇ BYXXaaV^UVWXYZX nYUZ\F cX iViV`XjV l c\^W]jV ÅPOJOLÇ ñò Å PPKO JPK I PJKO LPK I PLK Ç

Page 78: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØõ\ZX _]X Va \\^iXYViVa i\ ^Xa]jZVi\ ahV\ \WSUYVgh\Xa jUYXV^Xa iVa\\^iXYViVa i\ V^m]WXYZ\D ²\iXW\a `\^ZVYZ\ Xa^XTX^ V l]YghV\ VUWV\W\ ]W `^\i]Z\ iV Z^U`jV �\W\m�XYXV ÅPOJOLÇ BTUaZV Vm\^V \W\ ]WTXZ\^ jUY�V i\ ÉÊ F `\^ ]WV WVZ^Uù � Á�<ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á�PK JK LKË PK ËË Ë PK

�æ� BCD23Fõ\ZX _]X ]W `\YZ\ UYnYUZ\ b G ÅËOJOLÇ cX jXTVi\ `V^V ÅËOJPKOLPKÇ GÅËOJOLÇ G bD R] aXµV[ _]Vj_]X^ Z^VYajVghV\ WVYZ cXW V ^XZV ó n·V`\YZ\³V³`\YZ\D �Xm]X³aX _]X Va Z^VYajVgh\Xa ZVWScXW `^XaX^TVW Z\iVaVa iUaZ�VYUVa[ iU^Xgh\Xa[ X �VYm]j\a iX _]Vj_]X^ nm]^VDpqr sr"�v ���zxà~ ~ {~yz|ã �~ yz~}��~@�ð~� ��x �x����~ � ��}y� ��K��K��~z~ � ��}y� ��M��M��£¤Ý¤� §¬©ª98:¬¨¯²V^V ^\iV^ ]WV nm]^V `jVYV XW Z\^Y\ iV \^UmXW BËOËF[ `\^ ]W �VYm]j\¸¼ºÖÁÂÃÖ¼ ô XW aXYZUi\ VYZU³�\^ cV^U\[ SVaZV V`jUV^ V ViV ]W iX aX]a `\YZ\a Vl]YghV\BûOü F ñò Bû \a ô Nü aUY ôOû aUY ô I ü \a ôF

G BûOü F Ë I \a ô NaUY ôIaUY ô I \a ô ÌJW ZX^W\a iX \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa[ XaZV l]YghV\ cX

ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� 2 Ë ËË I \a ô NaUY ôË IaUY ô I \a ô�æ� BCDCËF

�\W\ cX aVSUi\[ ]WV ^\ZVghV\ `\^ _]Vj_]X^ �VYm]j\ `^XaX^TV Z\i\a \a�VYm]j\a X iUaZ�VYUVa XYZ^X \a `\YZ\a i\ `jVY\Dpqr sr"îv ���zxà~ ~� {~yz|ãx� �x z�y~@�ð~� �~z~ �� ä~}����� ��� � ��� � ½�� ����� � x á½�� �

Page 79: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎçÎ èÓ×�Ø�ÒÓÔ×®ÝÒÚØ ÓÒé ÚÛÜê×Ø �opqr sr"�v wxyxz{|}x ~ {~yz|ã �x z�y~@�ð~� ��x yz~}���z{~ � x|�� � }~zxy~ �x�~ �z|�x{ �~z~�x�~ ~� àxy�z ���� ��õ\ZX _]X V l c\^W]jV BCDCËF iXa^XTX V`XYVa ^\ZVgh\Xa ]µ\ XYZ^\B \YZ\ n·\F cX V \^UmXWD õV aXghV\ CD�D3 TX^XW\a \W\ \YaZ^]U^ ]WVWVZ^Uù iX ^\ZVghV\ ]µ\ XYZ^\ cX ]W `\YZ\ V^SUZ^ cV^U\ i\ V_]cXWD

£¤Ý¤¦ �­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯ ò¨ ¨¯8ª;ª²V^V VW`jUV^ \] ^Xi]ùU^ ]WV nm]^V[ WVYZXYi\³aX a]V \^UXYZVghV\[ SVaZV �À־פ¼ÀÖÁÂÃÖ¼ »¹¹×ÂÖìÖW]jZU`jUV^ ViV \\^iXYViV V^ZXaUVYV iX ViV `\YZ\ `\^ ]W lVZ\^ iXXaVjV \YTXYUXYZXÌ \] aXµV[ V`jUV^ V ViV `\YZ\ V �pLU/� -plLnToL- ,NN/TLMLBûOü F ñò BxûO�ü FR `V^ iX lVZ\^Xa iX XaVjV BxO�F `\iX aX^ XYZXYiUi\ \W\ aXYi\ VUWVmXW i\ `\YZ\ V^ZXaUVY\ B2O 2FD JW \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa[ XaZVZ^VYal\^WVghV\ cX iViV `\^

ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� 2 Ë ËË x ËË Ë ��æ� BCDC2F�X \ lVZ\^ iX XaVjV cX \ WXaW\ `V^V Va i]Va \\^iXYViVa[ V VW³`jUVghV\ \] ^Xi]ghV\ cX iUZV KU.� -plN[ X `^XaX^TV Z\i\a \a �VYm]j\a X iU³^Xgh\Xa XYZ^X \a `\YZ\a i\ `jVY\D �Va\ \YZ^ cV^U\[ V`XYVa Va iU^Xgh\Xa�\^Uù\YZVUa X TX^ZUVUa ahV\ `^XaX^TViVaDpqr sr""v ���zxà~ ~ {~yz|ã �x {��~}@�~ �x x��~�~ ��x �xà~ � ��}y���K��K� �~z~ � ��}y� ��M��M� �����}å~ ��x }x}å�{ �x��x� }  �{xz��  xãxz���£¤Ý¤¥ §¨õ¨ö:¬¨¯f Z^VYal\^WVghV\ BûOü F ñò BNûOü FV`jUViV V\a `\YZ\a iX ]WV nm]^V ^X¶XZX V WXaWV XW Z\^Y\ i\ XU·\ ü [ ¸¹÷ ¹w ÃÖ¼

Page 80: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØUYTX^ZXYi\ \ aXYZUi\ i\ XU·\ û D cJ ]W Va\ `V^ZU]jV^ iX Z^VYal\^WVghV\iX XaVjV[ \W lVZ\^Xa BN2O 2FÌ a]V TX^ahV\ �\W\m�XYXV cX `\^ZVYZ\

ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á�I2 Ë ËË N2 ËË Ë I2�æ� BCDCCFf ^X¶X·hV\ XW Z\^Y\ i\ XU·\ û cX VY cVj\mVD õV aXghV\ CD�D3 TX^XW\a\W\ \YaZ^]U^ ]WV WVZ^Uù iX ^X¶X·hV\ ]µ\ XU·\ cX ]WV ^XZV \^iUY cV^UV_]Vj_]X^Dõ\ZX _]X ^X¶X·h\Xa `^XaX^TVW iUaZ�VYUVa[ X UYTX^ZXW \ aXYZUi\ i\a�VYm]j\a[ `^XaX^TVYi\ aX] TVj\^ VSa\j]Z\D£¤Ý¤6 �°¯ª;øªó¨®©¬¯f Z^VYal\^WVghV\

BûOü F ñò Bû I xüOü FcX �VWViV iX T./LM�LlNU�- �-p.ù-U�LM< JaZV Z^VYal\^WVghV\ `^XaX^TVÕ¿×ÖìÓÖ¹¾º¼ V \\^iXYViV ü i\ V^m]WXYZ\[ X iXaj\V V \\^iXYViV û `\^ ]WViUaZ�VYUV `^\`\^U\YVj >V \\^iXYViV ü D BfaaUW[ XjV `\iX^UV aX^ ]aViV`V^V \YTX^ZX^ jXZ^Va § \WVYVa¨ XW §UZ cVjUVa¨DF JW `V^ZU]jV^[ \ `\YZ\BËO 2F cX jXTVi\ `V^V BxO 2FD f l\^WV �\W\m�XYXV iXaZV Z^VYal\^WVghV\ cXÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� 2 Ë ËË 2 ËË x 2

�æ� BCDC�Ffa Z^VYal\^WVgh\Xa iX T./LM�LlNU�- {Np�.TLM ahV\ iXnYUiVa iX W\i\VY cVj\m\D R UaVj�VWXYZ\ WVUa mX^Vj WVYZ cXW n·\a \a `\YZ\a iX ]WV^XZV \^iUY cV^UV Ä[ X iXaj\V _]Vj_]X^ \]Z^\ `\YZ\ nYUZ\ Y]WV iU^XghV\`V^VjXjV V Ä[ aXYi\ \ iXaj\VWXYZ\ `^\`\^U\YVj >V iUaZ�VYUV iX b VÄD õV aXghV\ CD�D3 TX^XW\a \W\ \YaZ^]U^ XaZV WVZ^Uù[ iViVa Ä X V\YaZVYZX iX `^\`\^U\YVjUiViXD£¤Ý¤F �¬ó«¬¯°98:ª¬ ò¨ ©­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯�X ß X ú ahV\ i]Va l]Ygh\Xa iX *+ `V^V *+ [ \W\ Va iXa^UZVa VUWV[Õ¼½¼×¿Á ÃÖ¼

Page 81: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎçÎ èÓ×�Ø�ÒÓÔ×®ÝÒÚØ ÓÒé ÚÛÜê×Ø �3V �pLU/� -plLnToL- T-l¦-/�L b ñò úBß BbFF X_]UTVjX V`jUV^ ß X ú XWaX_¾]�XYUV[ YXaZV \^iXW[ V ViV `\YZ\DRSaX^TX _]X[ YV Y\ZVghV\ l]YU\YVj \^iUY cV^UV úBß BbFF[ V \^iXW ·À»¹ »Ö¼½¼×¿Á ÃÖ¼XW _]X XaaVa l]Ygh\Xa ahV\ Xa^UZVa cX \`\aZV >V \^iXW XW _]X XjVa ahV\V`jUViVaD ²V^V XTUZV^ XaZX UY\YTXYUXYZX[ Vi\ZV^XW\a YXaZX ]^a\ VY\ZVghV\ l]YU\YVj ` c\a³n·V ]aViV `Xj\a VjmXS^UaZVaD R] aXµV[ V V`jUVghV\iX ]WV l]YghV\ ß V ]W V^m]WXYZ\ J aX^ cV iXY\ZViV `\^ Jß [ XW TXù iXß BJFÌ X V \W`\aUghV\ iX i]Va l]Ygh\Xa ß X ú[ V`jUViVa YXaaV \^iXW[aX^ cV iXY\ZViV `\^ ßú[ XW TXù iX úûß D ²\^ZVYZ\[ XW j]mV^ iX ß BúBJFFXa^XTX^XW\a Jßú[ _]X `\iX aX^ jUi\ ZVYZ\ BJß Fú _]VYZ\ JBßúFD�\W`\Yi\ Va Z^VYal\^WVgh\Xa §S cVaUVa¨ TUaZVa YVa aXgh\Xa CD�DCüCD�D�[ ?×¼¹ºÀ¿Ö`\iXW\a \SZX^ \]Z^Va jVaaXa UYZX^XaaVYZXaD ²\^ X·XW`j\[ \WSUYVYi\^\ZVgh\Xa[ Z^VYajVgh\Xa[ X ^X¶X·h\Xa \SZXW\a Va �VWViVa �pLU/� -plLnTo-N/./-l ¢N�p.TL/[ \] ./-lN�p.L/[ \] l-{.lNU�-/ p ¢ý�.,-/ i\ `jVY\[ _]X ahV\µ]aZVWXYZX Z\iVa Va l]Ygh\Xa iX *+ XW *+ _]X `^XaX^TVW Va iUaZ�VYUVa X�VYm]j\a XYZ^X \a `\YZ\aD �X µ]YZV^W\a V XaaVa Va Z^VYal\^WVgh\Xa ]YUl\^³ }¿¿ìÖÀ¿»Ö»¹WXa iX XaVjV[ \SZXW\a Va �pLU/� -plLnTo-N/ NKTM.,.LUL/[ \] /.l.MLp.,L,N/[_]X `^XaX^TVW V`XYVa \a �VYm]j\a X Va ^Vùh\Xa XYZ^X iUaZ�VYUVaD ²\^ \]Z^\jVi\[ aX \WSUYV^W\a Va Ua\WXZ^UVa \W \a UaVj�VWXYZ\a �\^Uù\YZVUa X �À־פ¼ÀÖÁÂÃּ뾿º �ÖÀ¿ÖTX^ZUVUa[ \SZXW\a Va �pLU/� -plLnTo-N/ KU.� ¢Lp.L/[ _]X `^XaX^TVW cV^XVa X\ `V^VjXjUaW\ XYZ^X ^XZVaDJW _]Vj_]X^ Va\[ Y\ZX _]X Z\iV Z^VYal\^WVghV\ ß VaaUW \SZUiV`\iX aX^ Xa^UZV YV l\^WV ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇà[ \YiX à cX ]WV WVZ^Uù� Á �D f \W`\aUghV\ ßú iX i]Va Z^VYal\^WVgh\Xa ß X ú X_]UTVjX\STUVWXYZX V\ `^\i]Z\ àþ iVa WVZ^UùXa \^^Xa`\YiXYZXa[ YXaaV \^iXWDpqr sr"uv ÔxW~ ÿ ~ z�y~@�ð~� ��z ½�� x{ y�z}� �~ �z|�x{� x � ~ yz~}���~@�ð~� �x�� àxy�z ��� ��� �~����x ~� {~yz|ãx� �~z~ ~� yz~}���z{~@�ð�x�� ç �ÿ x � ç ÿ� � ����|��x ��x�{xyz|�~{x}yx� � x�x|y� �x � x � � x ~�|�xzx}@�~ x}yzx ~� ��~��pqr sr"�v Î��yzx ��x �{~ yz~}���z{~@�ð~�  x �x �|{|�~z|�~�x �x x ���{x}yx �x ��~ {~yz|ã yx{ ~ ��z{~�á� � éÉ êÉ� &� &�� á� &�

�æ��}�x � x � �ð~� }  �{xz�� zx~|�� }ð~� ~{��� }����� x éÉ� êÉ �ð~� }  �{xz��zx~|� ��~|���xz� E�~� � �|�}|ß�~�� �x�{ xyz|�� �x��x� �~zä~{xyz��¢

Page 82: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

oË �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ£¤Ý¤Ý �­ª®¯Ç¬­óª98:ª¬ °®�¨­¯ª�\iV Z^VYal\^WVghV\ ß iXYZ^X Va jVaaXa iXa^UZVa VUWV cX ]WV SUµXghV\�À־פ¼ÀÖÁÂÃÖ¼¿¾v¹À×Ö iX *+ `V^V *+ Ì `\^ZVYZ\[ XjV ViWUZX ]WV Z^VYal\^WVghV\ UYTX^aV ß�M[ZVj _]X ßß�M X ß�Mß ahV\ V l]YghV\ UiXYZUiViX iX *+ D RSTUVWXYZX[ VWVZ^Uù iV UYTX^aV iX ß cX V UYTX^aV iV WVZ^Uù iX ß D�ViV ]WV iVa jVaaXa iX Z^VYal\^WVgh\Xa WXYU\YViVa VUWV cX lX³�ViV ZVWScXW a\S UYTX^ahV\Ì `\^ X·XW`j\[ V UYTX^aV iV Z^VYajVghV\ `\^BûKOüKF cX V Z^VYajVghV\ `\^ BNûKONüKF[ XZDpqr sru�v %~z~ �~�~ �{~ �~� yz~}���z{~@�ð�x� x�x{x}y~zx� à|�y~� ~�|{~�yz~}��~@�ð�x�� z�y~@�ð�x�� zxx�ð�x�� {��~}@�~� �x x��~�~� x �|�~�å~{x}y����äx ~ {~yz|ã å�{��äx}x~ �~ yz~}���z{~@�ð~� |}àxz�~��\W\ aVSXW\a[ V UYTX^aV iV \W`\aUghV\ ßú cX V \W`\aUghV\ iVaUYTX^aVa YV \^iXW UYTX^aV[ ú�Mß�MD£¤Ý¤ �­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯ 8¬®�ôkªòª¯�\W`\aUghV\ X UYTX^ahV\ ahV\ lX^^VWXYZVa X·Z^XWVWXYZX c]ZXUa _]VYi\_]X^XW\a \YaZ^]U^ `^\µXZUTUiViXa WVUa \W`jX·Va _]X Va iXa^UZVa VU³WVD²V^V XaaX nW[ ]aVW\a l^X_¾]XYZXWXYZX \ UiU\WV ú�Mßú[ �VWVi\Õ¼¾Üë~ÖÁÂÃÖ¼ iX T-U�K�L,L ,N ß ¦-p úD RSaX^TX _]X aX ß jXTV \ `\YZ\ b Y\ `\YZ\ ¶ [a]V \Yµ]mViV ú�Mßú jXTV \ `\YZ\ bú Y\ `\YZ\ ¶úÌ X aX b cX ]W `\YZ\n·\ iX ß [ XYZhV\ bú cX ]W `\YZ\ n·\ iX ú�MßúD²\^ X·XW`j\[ V Z^VYal\^WVghV\ _]X ^\iV \ `jVY\ iX �Ë� XW Z\^Y\i\ `\YZ\ B�O EF `\iX aX^ \SZUiV `XjV \W`\aUghV\ � �M � [ \YiX � cX VZ^VYajVghV\ `\^ B�O EF[ X cX V ^\ZVghV\ iX �Ë� XW Z\^Y\ iV \^UmXWDpqr sru�v %~z~ �~�~ �{~ �~� yz~}���z{~@�ð�x� ~�~|��� �|�~ ��{� ��yäx��~ ~yz~à x� �~ ��{���|@�ð~� �x �z�Wxy|à|�~�x� �|{��x� �yz~}��~@�ð�x�� z��y~@�ð�x� x{ y�z}� �~ �z|�x{� {��~}@�~� �x x��~�~� zxx�ð�x� }�� x|���� x�|�~�å~{x}y�� å�z|ã�}y~|� x àxzy|�~|����~� Õxx�ð~� x{ y�z}� �~ zxy~ àxzy|�~� �x ~���|��~ ����� Õxx�ð~� x{ y�z}� �~ zxy~ �~z~�x�~ ~� àxy�z ��É��É� �~��~}�� �x�~�z|�x{�

Page 83: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎçÎ èÓ×�Ø�ÒÓÔ×®ÝÒÚØ ÓÒé ÚÛÜê×Ø o2��� Õxx�ð~� x{ y�z}� �~ zxy~ �~z~�x�~ ~� àxy�z ��É��É� �~��~}�� �x����}y� ��Æ ��Æ���� Î��~}@�~ �x x|��� x x��~�~� ��x �xà~ � zxyä~}���� �~zyx�|~}� ����� ì�� ì�� �~z~ � zxyä~}���� �á��&�� ì ��� ���£¤Ý¤i� �Ǩ°©¬ ò¨ «­¬�¨©°�°òªò¨¯ ¨ó ­¨©ª¯�XµV ß ]WV `^\µXZUTUiViX iX *+ X Ä ]WV ^XZVD ²\^ iXnYUghV\[ V UWVmXWiX Ä `\^ ß cX V c]YUV ^XZV ß BÄF ZVj _]XÄ P b G ß BÄF P ß BbF`V^V Z\i\ `\YZ\ bD õ\ZX[ XW `V^ZU]jV^[ _]X b XaZ cV XW Ä aX X a\WXYZXaX ß BbF XaZ cV XW ß BÄFDRa \XnUXYZXa iV ^XZV ß BÄF `\iXW aX^ \SZUi\a W]jZU`jUVYi\³aX V ?Ö~¹ »¹ ëÖÀ¹ºÖUYTX^aV iV WVZ^Uù iX ß `Xj\a \XnUXYZXa iX Ä[ _]X iXTXW aX^ \YaUiX³^Vi\a \W\ ]W TXZ\^ \j]YV BUaZ\ cX[ ]WV WVZ^Uù � Á 2FD R] aXµV[ß BHöO÷ OøQF G à�MHöO÷ OøQ BCDCÞFpqr srusv wxyxz{|}x ~ |{~�x{ �� ��}y� ��� �� �� x �~ zxy~ ��� �� � ����{~ yz~}��~@�ð~� �x�� àxy�z ��� ���£¤Ý¤ii �­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯ ª±®¯

�\iVa Va Z^VYal\^WVgh\Xa TUaZVa VZ cX Vm\^V ahV\ Va\a `V^ZU]jV^Xa iVa �À־פ¼ÀÖÁÂÃÖ¼ Ö��pLU/� -plLnTo-N/ LÅU/ i\ `jVY\[ ]µV l\^WV V^ZXaUVYV mX^Vj cXBûOü F ñò B©û I ªü I �O «û I Èü I âFG BûOü F Ë © ª« È Ì I B�OâF\YiX �� �� É� cX ]WV WVZ^Uù ^XVj YhV\ aUYm]jV^[ X B�OâF ]W TXZ\^ ^XVjD fTX^ahV\ �\W\m�XYXV cX

ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� 2 � âË © ªË « È�æ� BCDCEF

Page 84: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

oC �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØcJ l cVUj TX^UnV^ _]X Va Z^VYal\^WVgh\Xa VnYa ahV\ lX�ViVa a\S \W³`\aUghV\ X UYTX^ahV\DºVUa VUYiV[ Z\iV Z^VYal\^WVghV\ VnW WVYZ cXW V ^XZV ó n·V B\W\Ò¤ ¹¿º¼ ¾Ö À¹ºÖ D \Yµ]YZ\[ YhV\ YXXaaV^UVWXYZX `\YZ\³V³`\YZ\FÌ \] aXµV[ jXTV `\YZ\a n³YUZ\a `V^V `\YZ\a nYUZ\a[ X `\YZ\a UYnYUZ\a `V^V `\YZ\a UYnYUZ\D õVTX^iViX[ XaZVa i]Va `^\`^UXiViXa `\iXW aX^ ]aViVa `V^V iXnYU^ Z^VYa³l\^WVgh\Xa VnYa i\ `jVY\D fjU cVa[ _]X Va Z^VYal\^WVgh\Xa VnYa ahV\ µ]a³ZVWXYZX Z\iVa `^\µXZUTUiViXa _]X `\iXW aX^ XaZ]iViVa YV mX\WXZ^UVX]jUiUVYV B\] V^ZXaUVYVF[ aXW aVU^ i\a jUWUZXa i\ É+ D²\iX³aX \Yj]U^ ZVWScXW _]X Z\iV Z^VYal\^WVghV\ VnW `^XaX^TV \�À¹×¹ÀvÖÁÂÃÖ¼ »¹½ÖÀÖì¹ì¿×¼ `V^VjXjUaW\ XYZ^X ^XZVa[ `\Ua i]Va ^XZVa nYUZVa ahV\ `V^VjXjVa aX X a\WXYZXaX XjVa XY\YZ^VW Y]W `\YZ\ UYnYUZ\DJ·UaZX ]WV c]YUV Z^VYal\^WVghV\ VnW i\ `jVY\ _]X jXTV \a Z^�Xa `\Y³Z\a BËO ËF[ B2O ËF[ X BËO 2F `V^V Z^�Xa `\YZ\a iVi\a BnYUZ\a X YhV\ \jUYXV^XaFbK G BûKOüKF[ bM G BûMOüMF[ br G Bûr O ürFD f WVZ^Uù �\W\m�XYXV iXaaVZ^VYal\^WVghV\ cX�Æ�Æ�Æ� � ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� 2 ûK üKË ûM NûK üM N üKË ûr NûK ür NüK

�æ� BCDC�F²\^ZVYi\[ iVi\a _]VUa_]X^ i\Ua Z^U�VYm]j\a ©ª« X b¶Ä BnYUZ\a X YhV\³iXmXYX^Vi\aF[ X·UaZX ]WV c]YUV Z^VYal\^WVghV\ VnW i\ `jVY\ _]X jXTV© ñò b[ ª ñò ¶ [ X « ñò Ä[ _]X cX aUW`jXaWXYZX V \W`\aUghV\ �����M�Æ�� Dpqr srutv wxyxz{|}x ~ {~yz|ã �~ yz~}���z{~@�ð~� ~ß{ ��x �xà~ �� ��}�y�� ��� �� ��� �������� ��������~z~ ��� ����� ��� á�� ��� ��� á�� á��£¤Ý¤i£ �­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯ «­¬�¨©°�ª¯ k¨­ª°¯f Z^VYal\^WVgh\Xa VnYa ahV\ ]W a]S\Yµ]YZ\ `^ c\`^U\ iVa `^\µXZUTUiViXaiX *+ D JW mX^Vj[ `^\µXZUTUiViX `\iX jXTV^ `\YZ\a nYUZ\a `V^V \ UYnYUZ\[

Page 85: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î ÚÒÔÚÛÓÜ× ÓÒé ÚÛÜê× ÛÓÜ�ÜÔÚ�ØÜÒ�×Ö o�X TUX³TX^aVD �\YaUiX^X `\^ X·XW`j\ V Z^VYal\^WVghV\

ÅPOJOLÇ ñò ÅPOJOLÇ �á� Ë 2 Ë2 Ë ËË Ë 2�æ� G ÅJOPOLÇ

_]X WVYZ cXW \ § c\j\ Y\^ZX¨ ÅËO ËO 2Ç n·\[ X Z^\V V \^UmXW Å2O ËO ËÇ \W\ § c\j\ jXaZX¨ ÅËO 2O ËÇD JaZV `^\µXZUTUiViX Z^\V \ XU·\ ü \W V ^XZV Y\UYnYUZ\ óÌ `\^ZVYZ\[ XjV Z^VYal\^WV ^XZVa �\^Uù\YZVUa XW ^XZVa _]X `Va³aVW `XjV \^UmXW[ X TUX³TX^aVD JW ZX^W\a iX \\^iXYViVa V^ZXaUVYVa[XaZV Z^VYal\^WVghV\ cXBûOü F ñò B2!ûOü!ûFõ\ZX _]X XaZV l c\^W]jV cX UYiXnYUiV _]VYi\ û G ËÌ X[ ^XU`^\VWXYZX[YhV\ X·UaZX YXY�]W `\YZ\ i\ É+ ]µV UWVmXW ZXY�V û G ËD �\W\XaZX X·XW`j\ W\aZ^V[ Z^VYal\^WVgh\Xa `^\µXZUTVa YhV\³VnYa ´ _]X jXTVW`\YZ\a nYUZ\a `V^V \ UYnYUZ\[ \] TUX³TX^aV ´ a c\ `\iXW aX^ XaZ]iViVa\YTXYUXYZXWXYZX Y\ `jVY\ `^\µXZUT\ *+ [ XW ZX^W\a iX \\^iXYViVa�\W\m�XYXVaD

XY" #\a^\`cdf ÙcaÚ\`dÛf `cd$d^\_bda_fhf ZX\^UV iX \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa `\iX aX^ XaZXYiUiV `V^V \ Xa`Vg\Z^UiUWXYaU\YVj BX[ YV TX^iViX[ ³iUWXYaU\YVjF aXW WVU\^Xa `^\SjXWVaDf`XaV^ iX Y\aaV UYZXYghV\ iXjV^ViV iX XaZ]iV^ V`XYVa `^\SjXWVamX\WcXZ^U\a Y\ `jVY\[ TVjX V `XYV iXa^XTX^ V_]U Va Ui cXUVa XaaXYUVUaiXaaV X·ZXYahV\[ `\Ua W]UZ\a `^\SjXWVa ^XVUa iX mX\WXZ^UV \W`]ZVU\³YVj[ Xa`XUVjWXYZX XW \W`]ZVghV\ m^ cVnV[ XYT\jTXW \SµXZ\a Z^UiUWXY³aU\YVUaD fj cXW iUaa\[Vjm]Ya Vjm\^UZW\a _]X XaZ]iV^XW\a Y\ V`ckZ]j\ �]ZUjUùVW UYZX^YVWXYZX Z cXYUVa Z^UiUWXYaU\YVUa `V^V ^Xa\jTX^ `^\SjXWVaSUiUWXYaU\YVUaD£¤¤i ñ¬®©¬¯õ\ N/¦LnT- ¦p-� N�.{- -p.NU�L,- *Ê [ \a `\YZ\a ahV\ Z\iVa Va _] cVi^]`jVa Ò×½ÖÁ¼ ½À¼Ü ¹º¿v¼ �ÊÅPOJOLO%Ç iX Y c]WX^\a ^XVUa[ X·XZ\ ÅËO ËO ËO ËÇ[ aXYi\ _]X ÅPOJOLO%Ç XÅxPOxJOxLOx%Ç iXY\ZVW \ WXaW\ `\YZ\ `V^V Z\i\ x & ËD

Page 86: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

oÞ �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØzW W\iXj\ mX\WcXZ^U\ iX *Ê BVY cVj\m\ V\ W\iXj\ `jVY\ iX *+ F Þ¼»¹ì¼ ÂÖÀº`\iX aX^ \YaZ^]cki\ \W i]Va c\`UVa i\ Xa`Vg\ V^ZXaUVY\ ÉÊ [ \ LÍK ¢NlX \ LM ¢NlÌ WVUa ]WV c\`UV iV XalX^V È+ [ ViV TXZ\^ ]YUZ cV^U\ iV _]Vj^X`^XaXYZV ]W ¦-U�- .UÅU.�- iX *Ê D �X P & Ë[ V _] cVi^]`jV ÅPOJOLO%ÇiXY\ZV \ `\YZ\ iX \\^iXYViVa V^ZXaUVYVa BJ!POL!PO%!PF i\ V_]cXWÌaX P ' Ë[ XjV iXY\ZV \ WXaW\ `\YZ\ Y\ Vj cXWÌ aXX P G Ë[ XjV iXY\ZV \`\YZ\ UYnYUZ\ YV iU^XghV\ i\ TXZ\^ BJOLO%FD£¤¤£ ñ;ª®¬¯zW `jVY\ B\^UXYZVi\F iX *Ê cX iXnYUi\ `\^ _]VZ^\ \XnUXYZXa ^XVUa�ìÖ¾¼× HöO÷ Oø O(QÌ aXYi\ _]X ]W `\YZ\ ÅPOJOLO%Ç XaZ cV YXaaX `jVY\ aX Xa\WXYZX aX öP I ÷J IøL I(% G ËRa iXWVUa `\YZ\a iX *Ê ahV\ aX`V^Vi\a `Xj\ `jVY\ XW i\Ua \Yµ]YZ\a[\a ML,-/ i\ `jVY\[ _]X `\iXW aX^ iUaZUYm]Ui\a `Xj\ aUYVj iV l c\^W]jVVUWVD RSaX^TX _]X \ aUYVj iV l c\^W]jV YhV\ aX VjZX^V aX W]jZU`jUV^W\aZ\i\a \a \XnUXYZXa i\ `jVY\ `Xj\ WXaW\ ^XVj x & ËD

£¤¤� µ­°¨®©ª98:ª¬ ò¨ ôó ©¨©­ª¨ò­¬¥Vi\a _]VZ^\ `\YZ\a bKO s sb) iX *Ê [ \YiX bý G ÅPýOJý O Lý O%ýÇ[ iXnYUW\a·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ »¹ 뺹ºÀÖ¹»À¼ V -p.NU�LnToL- i\a WXaW\a \W\ aXYi\»BbKObMObr Ob)F G amY

���������PK JK LK %KPM JM LM %MPr Jr Lr %rP) J) L) %)

���������G Ë BCDCoFpqr sru�v wxyxz{|}x ~ �z|x}y~@�ð~� ��� ��~yz� ��}y����������� ��� ������ ����� ���� ������� ��pqr sruîv %z�àx ��x ~ ��}@�ð~� ¼�¡K�¡M�¡r �¡)�� �xß}|�~ �x�~ �  �z{���~ ����*��  x ãxz� �x x ��{x}yx �x �� ��~yz� ��}y�� �xzyx}�x{ ~ �{{x�{� ��~}��

Page 87: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ�Î ÚÒÔÚÛÓÜ× ÓÒé ÚÛÜê× ÛÓÜ�ÜÔÚ�ØÜÒ�×Ö oE�YZ]UZUTVWXYZX[ `V^V `\YZ\a Y\ V_]cXW[ V l c\^W]jV BCDCoF iUù aX VZ^VµXZ c\^UV bK ò bM ò br ò b) cX ]WV �cXjUX §iU^XUZV¨ B\W\ V iV WVU\^UVi\a `V^Vl]a\aF \] §Xa_]X^iV¨Ì UaZ\ cX[ aX \ Z^U�VYm]j\ bK ò bM ò br ^\iVY\ aXYZUi\ VYZU³�\^ cV^U\ _]VYi\ TUaZ\ iX b) D !XµV V nm]^V CD2�D BJaZVUYZX^`^XZVghV\ a]`h\X _]X \a XU·\a iX ÉÊ XaZhV\ ^X`^XaXYZVi\a YV `\aUghV\\aZ]WXU^V[ \W \ aXYZUi\ iX û `V^V ü VYZU³�\^ cV^U\ _]VYi\ TUaZ\ iX +`\aUZUT\DF

�Um]^V CD2�< R^UXYZVghV\ `\aUZUTV iX _]VZ^\ `\YZ\a Y\ Xa`Vg\Dpqr sru�v �~� Î��yzx ��x ~ �z|x}y~@�ð~� �x ��~yz� ��}y�� }� x��~@�� �x|}àxzyx �x yz��~z{�� ��~|���xz ��|� ��}y�� x}yzx �|� 4��|{� ��z x�x{����¼�¡K�¡M�¡r �¡)� ç á¼�¡K�¡) �¡r �¡M���� 8�~}�� � zx���y~�� �� |yx{ �~�� {��yzx ��x �{~ �xz{�y~@�ð~� �|z����~z ��� ��}y�� y~{� x{ |}àxzyx ��~ �z|x}y~@�ð~�Ï |�y�  x�¼�¡K�¡M�¡r �¡)� ç á¼�¡) �¡K�¡M�¡r�pqr sru"v � ��x ~��}yx�x ��{ � à~��z �x ¼�¡K�¡M�¡r �¡)� �x yz��~z{���{ ��� ��}y�� �x�� �x� ~}y â���~¢ � �x yz��~z{�� y���� �� ��~yz���}y�� �x��� �x�� ~}y â���~�¢

£¤¤¦ �¬®¯©­ô°®ò¬ «;ª®¬¯ ¨ «¬®©¬¯²\^ Z^�Xa `\YZ\a YhV\³\jUYXV^Xa bKObMObr iX *Ê `VaaVW X·VZVWXYZX i\Ua � �¼ÀëìÖ »¼ ½ìÖ¾¼½¼À ºÀ �¹× ½¼¾º¼×

Page 88: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

o� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ`jVY\a[ \UYUiXYZXa X \`\aZ\aD zW iXaaXa `jVY\a ZXW \XnUXYZXabK ebM ebr G HöO÷ Oø O(Q[ \YiX

ö G I�������JK LK %KJM LM %MJr Lr %r

������� ÷ G N�������PK LK %KPM LM %MPr Lr %r

�������ø G I�������

PK JK %KPM JM %MPr Jr %r������� ( G N�������

PK JK LKPM JM LMPr Jr Lr�������

Page 89: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÍÎ,-Î ­ Ö×�Ò ÓÒé ÚÛÜêÒ ÝÖ Ñ×ØØÜÝÒ oo¥]VjWXYZX[ Z^�Xa `jVY\a _]X YhV\ \YZ cXW ]WV ^XZV \W]W ZXW X·V³ � �¼ÀëìÖ »¼ ½¼¾º¼Â¼ë Ö ºÀ �¹×½ìÖ¾¼×ZVWXYZX i\Ua `\YZ\a VYZU`\iVUa XW \W]WD fa \\^iXYViVa iXaZXa`\YZ\a `\iXW aX^ \SZUiVa `\^ ]WV l c\^W]jV aXWXj�VYZX BYV TX^iViX[i]VjF >V l c\^W]jV iX bK ebM ebr VUWVD

£¤¤¥ �­ª®¯Ç¬­óª98:¬¨¯ «­¬�¨©°�ª¯ ®¬ ¨¯«ª98¬f ZX\^UV iVa Z^VYal\^WVgh\Xa `^\µXZUTVa `\iX aX^ lVUjWXYZX mXYX^VjUùViV`V^V Xa`Vg\a `^\µXZUT\a iX Z^�Xa iUWXYah\Xa[ \] WVUaDfaaUW[ Va �pLU/� -plLnTo-N/ ¦p-� N�.{L/ iX *Ê ahV\ Va Z^VYal\^WVgh\Xa �À־פ¼ÀÖÁÂü¹×½À¼Ü ¹º¿vÖ× ¾¼ ¹×½ÖÁ¼_]X `^XaX^TVW V \`jVYV^UiViX iX `\YZ\aD 0]Vj_]X^ Z^VYal\^WVghV\iXaaX ZU`\ X_]UTVjX V W]jZU`jUV^ Va \\^iXYViVa �\W\m�XYXVa iX ViV`\YZ\ `\^ ]WV X^ZV WVZ^Uù ^XVj Þ ÁÞDXY./ ± Ùhf_a ÙcaÚ\`dÛa ³h 0fbbd³af XaZVa VjZ]^Va[ \a jXUZ\^Xa _]X µ cV XaZVTVW lVWUjUV^UùVi\a \W mX\WX³Z^UV `^\µXZUTV iXTXW XaZV^ SVaZVYZX `X^`jX·\a[ X Xa`X^VYi\ UW`VUXYZXa`Xj\a XajV^XUWXYZ\a _]X `^\WXZXW\a YV aXghV\ CDCD2D ��Xm\] V �\^ViX ]W`^U^ XaaV `^\WXaaVDf TX^iViX cX _]X[ `V^V V m^VYiX WVU\^UV i\a WVZXW cVZU\a X �ìÖ¾¼ ½À¼Ü ¹º¿v¼ ¾ ÃÖ¼¼À¿¹¾ºÖ»¼mX�\WXZ^Va[ V l^VaX ¦MLU- ¦p-� N�.{- aUmYUnV ]W Xa`Vg\ 1+ _]X \YZ cXWX·VZVWXYZX V WXZViX i\a `\YZ\a i\ Y\aa\ Xa`Vg\ *+ D ºVUa `^XUaVWXY³ZX[ ViV `V^ iX `\YZ\a VYZU`\iVUa iX *+ \^^Xa`\YiX V ]W c]YU\ `\YZ\iX 1+ D fjmXS^UVWXYZX[ UaZ\ X_]UTVjX V iUùX^ _]X ÅPOJOLÇ X ÅxPOxJOxLÇahV\ \ WXaW\ `\YZ\ `V^V Z\i\ P �G Ë[ `\aUZUT\ \] YXmVZUT\D ¥V WXaWVl\^WV[ ViV `V^ iX ^XZVa \`\aZVa iX *+ \^^Xa`\YiX V ]WV c]YUV ^XZViX 1+ ´ UaZ\ cX[ Va ^XZVa iX 1+ YhV\ ahV\ \^UXYZViVaDf aUW`jUUiViX i\ `jVY\ `^\µXZUT\ §j cVaaU\¨ 1+ ZXW a]Va TVYZVmXYaD²\^ X·XW`j\[ Va `VjVT^Va §Um]Vj¨ X §\UYUiXYZX¨ aUmYUnVW V WXaWV\UaVD H cV YhV\ X·UaZXW \ V_]cXW X \ Vj cXW[ `\Ua \ \Yµ]YZ\ i\a `\YZ\anYUZ\a iX 1+ X_]UTVjX V ]WV c]YUV c\`UV iX É+ D JW 1+ [ i]Va ^XZVaiUaZUYZVa aX XY\YZ^VW Y]W c]YU\ `\YZ\[ X i\Ua `\YZ\a iUaZUYZ\a iXZX^³WUYVW ]WV c]YUV ^XZVÌ \W UaZ\[ \a V·U\WVa iV mX\WXZ^UV iX 1+ ahV\WVUa `^ c\·UW\a V\a iV mX\WXZ^UV X]jUiUVYVD

Page 90: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

o� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØJYZ^XZVYZ\[ Z^VSVj�V^ Y\ `jVY\ 1+ ZVWScXW ZXW W]UZVa iXaTVYZV³mXYaD JW `^UWXU^\ j]mV^[ YhV\ `\iXW\a WVUa iUaZUYm]U^ \ `\YZ\ Y\?¾�¾¿º¼ UYnYUZ\ \W iU^XghV\ IÈ i\ `\YZ\ \W iU^XghV\ NÈD ²U\^ VUYiV[ YhV\`\iXW\a iUaZUYm]U^ \a i\Ua jVi\a iX ]WV ^XZVD õV TX^iViX[ Y\ `jVY\2Ö»¼× 1+ [ Z\iV ^XZV ZXW V`XYVa ]W jVi\Ì UaZ\ cX[ _]VUa_]X^ i\Ua `\YZ\a l\^ViV ^XZV `\iXW aX^ jUmVi\a `\^ ]W VWUY�\ \YZckY]\ _]X YhV\ ^]ùV V^XZVDºVUa VUYiV[ XW 1+ `\iXW\a Z^VYal\^WV^ _]VUa_]X^ Z^U�VYm]j\ `^ c\`^U\·À¿¹¾ºÖÁÂÃÖ¼ »¹ºÀ¿ �Ö¾~ëì¼× `V^V _]Vj_]X^ \]Z^\[ iX WVYXU^V \YZckY]V[ aXW Y]YV `VaaV^ `\^ ]WZ^U�VYm]j\ iXmXYX^Vi\D �aZ\ aUmYUnV _]X YhV\ `\iXW\a iXnYU^ V \^UXY³ZVghV\ iX ]W Z^U�VYm]j\D�UYVjWXYZX[ XW 1+ YhV\ cX `\aackTXj iXnYU^ \ aXmWXYZ\ _]X jUmV i\Ua}¹~¹¾º¼× `\YZ\a iVi\a[ `\Ua X·UaZXW XW mX^Vj i]Va WVYXU^Va iX aX U^ iX ]W`\YZ\ `V^V \]Z^\ XW jUY�V ^XZV[ X YhV\ cX `\aackTXj iUaZUYm]U^ XYZ^X XaaVai]Va VjZX^YVZUTVa iX WVYXU^V \YaUaZXYZXD JaZV VWSUm¾]UiViX \W`jUVV iXnYUghV\ iX nm]^V \YTX·V[ X UYTVjUiV _]VaX Z\iVa Va `^\`^UXiViXaÕ¼¾v¹w¿»Ö»¹ _]X Z\^YVW XaaX \YXUZ\ UYZX^XaaVYZX YV mX\WXZ^UV X]jUiUVYV ´ `\^X·XW`j\[ V UYZX^aXghV\ iX i]Va nm]^Va \YTX·Va iX 1+ `\iX YhV\ aX^\YTX·VD�\W\ TX^XW\a Y\a V`ckZ]j\a aXm]UYZXa[ \a \YXUZ\a iX aXmWXYZ\[\YTX·UiViX[ UYZX^U\^[ jVi\[ \^UXYZVghV\[ X iX^UTVi\a ahV\ l]YiVWXYZVUa`V^V V WVU\^UV i\a `^\SjXWVa X WcXZ\i\a iX mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVjDcJ `\^ XaZV ^VùhV\ _]X[ YXaZX jUT^\[ Xa\j�XW\a Z^VSVj�V^ \W *+ XW TXùiX 1+ ´ UaZ\ cX[ \W V mX\WXZ^UV `^\µXZUTV \^UXYZViV XW TXù iV j cVaaUVD

Page 91: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3456789:; <=>;?:@A4B C@;A6@8>DE;BF:@A@G84>@B

õXaZX V`ckZ]j\ XaZ]iVW\a i\Ua `^\SjXWVa mX\WcXZ^U\a aUW`jXa \W \\SµXZUT\ iX iV^ V\ jXUZ\^ ]WV `^UWXU^V UicXUV iV YVZ]^XùV iVa _]XaZh\XaLM�-p ¢ý�l.TL/ _]X V`V^XXW XW mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVjD �j]aZ^VW\aZ cXYUVa aUW`jXa `V^V `^\µXZ\a iX Vjm\^UZW\a X iXa^XTXW\a Va VY cVjUaXaiX a]Va \W`jX·UiViXaDfa aUW`jUUiViXa i\a XY]YUVi\a iXaaXa i\Ua `^\SjXWVa X \ lVZ\ iXZhV\ YVZ]^VjWXYZX V`XjV^XW >V UYZ]UghV\ mX\WcXZ^UV \ZUiUVYV \a Z\^YVWUiXVUa `V^V ]WV UYZ^\i]ghV\ >V mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVjDHY. I_`ca$g²³fa²^Xa]WU^XW\a V`XYVa Vjm]Ya \Y�XUWXYZ\a S cVaU\a iX WVZXW cVZUV iUa³^XZV[ XWS\^V ]WV `X_]XYV X·`X^U�XYUV iX `^\m^VWVghV\ X ]WV UicXUVUYZ]UZUTV iX XnU�XYUV iX Vjm\^UZW\a Vj cXW i\ WVZX^UVj TUaZ\ Y\ V`ckZ]j\ 2X^ZVWXYZX aX^UV ]W SXYXlckU\DHYX Jfc ^fdb Ùc 0aKd^aJW ]W aUaZXWV iX \YZ^\jX iX Z^ cVlXm\ VcX^X\ V]·UjUVi\ `\^ \W`]ZVi\^[cX iX TUZVj UW`\^Z�VYUV _]X V UYl\^WVghV\ iX _]Vj `V^ iX VX^\YVTXa XaZhV\o3

Page 92: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�Ë �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØWVUa `^ c\·UWVa aXµV \W`]Z cVTXj i\ W\i\ WVUa XnUXYZX `\aackTXj[ µ cV _]XXaZVa aX^UVW Va WVUa `^\T cVTXUa iX \jUiU^DR ¦p-mMNlL ,- ¦Lp lL./ ¦p ¢-|.l-[ _]X \YaUaZX XW iXZX^WUYV^ _]VUaahV\ i\Ua `\YZ\a _]X XaZhV\ >V WXY\^ iUaZ�VYUV iXYZ^X Z\i\a \a `V^XaiX `\YZ\a XW ]WV \jXghV\ nYUZV iX `\YZ\a iVi\a[ cX ]W `^\SjXWVl]YiVWXYZVj XW mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVj ZVYZ\ `XjV aUW`jUUiViX iXaX] XY]YUVi\ _]VYZ\ `XjV UW`\^Z�VYUV iX a]Va V`jUVgh\XaDf`XaV^ iV l\^W]jVghV\ i\ `^\SjXWV lVùX^ aXYZUi\ XW _]Vj_]X^ iU³WXYahV\ BÈ � 2F[ TVW\a Z^VZV^ i\ Va\ SU³iUWXYaU\YVjD ²V^V _]X `\aaV³W\a Y\a VZX^ V\a Va`XZ\a Vjm\^ckZWU\a i\ `^\SjXWV[ aXW lVùX^ \ jXUZ\^aX iUaZ^VU^ \W aUZ]Vgh\Xa Xa`XcknVa iX \Yµ]YZ\a iX `\YZ\a i\a i\UajVi\a i\ `jVY\ `^\µXZUT\[ ^XaZ^UYmU^XW\a XaZV aXghV\ V\ Z^VZVWXYZ\ iX\Yµ]YZ\a iX `\YZ\a \YZUi\a Y\ V_]cXWD�¤£¤i P;k¬­°©ó¬ °®k�®ô¬f `^UWXU^V UicXUV iX a\j]ghV\ `V^V XaZX `^\SjXWV cX V V`jUVghV\ iX ]WVS]aV X·V]aZUTV XW Z\i\a \a `V^Xa iX `\YZ\a iV \jXghV\ iViV >V `^\]^ViV iUaZ�VYUV WckYUWV B\] iX ]W `V^ iX `\YZ\a _]X ]µV iUaZ�VYUV aXµVWckYUWVFD�aa\ Y\a jXTV V\ aXm]UYZX Vjm\^UZW\ UYm�XY]\ B\] `\^ l\^gV S^]ZVF<QRSTUVWXT YZ[ ²º²MB\F]L,L KlL T-MNnToL- \ G BbMObr O s s s ObtF ,N  ¦-U�-/ ,N{-M{N L ,./� VLUT.Ll¢ýU.lL NU�pN ¦-U�-/ ,N \^

2D _ `ÊCD ²V^V Z\i\ � XW Å2ssÂÇ lVgVCD2D ²V^V Z\i\ a XW Å� I 2ss N 2Ç lVgVCD2D2D _ ` WUY _O ÈBbýObb F¡�D ¥XT\jTV _D

Page 93: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÍÎ M×Ó Ô×ÜØ Ó ÑÒcÜÔÒ �2

�Um]^V �D2< d]aV XW Z\i\a \a `V^XaDõhV\ � cV W]UZ\ \ _]X iUùX^ a\S^X V \^^XghV\ \] V \W`jX·UiViX iXaZXVjm\^UZW\D �\W\ Y\ `Vaa\ CD2D2 cX Vj]jVi\ \ WckYUW\ XYZ^X V iUaZ�VYUVi\ `V^ iX `\YZ\a aXYi\ \YaUiX^Vi\ X V WXY\^ iUaZ�VYUV XY\YZ^ViV VZ cX\ W\WXYZ\[ _ Y]YV ^XaX X XTXYZ]VjWXYZX Vaa]WX \ TVj\^ WckYUW\iXaXµVi\D �\W\ XaZX `Vaa\ cX X·X]ZVi\ �tr� G ÂB N 2F!C � eBÂrFTXùXa[ XaZX cX ]W Vjm\^UZW\ iX \W`jX·UiViX _]Vi^ cVZUVDpqr tr�v f� �~� ây��� � à|{�� ��x �x �{ ~���z|y{�  x �z�Wxy~�� ~ �~zy|z�x �{~ �z�à~ ��}�yz�y|à~ �~ x�|�yäx}�|~ �x ����@�ð~�� yx{��x x��x}�|~��{x}yx x�y~�x�x�|�~ ~ ��zzx@�ð~� �� �z��x�|{x}y���~� g~@�~ �{~ �x{�}�yz~@�ð~� ��z |}��@�ð~� �~ x�|�yäx}�|~ �x �{~ ����@�ð~��~z~ � �z���x{~ �� �~z {~|� �z  ��|{� ��x zx���yx }� �x��|}yx~���z|y{��hijklmnok trs %Î%r�p�Iq»q ëq ¼ì¹ÁÂÃq¼ p ç �¡M�¡r � r r r �¡t� »¹ s ½¼¾º¼× »¹v¼ìv¹ ë½qÀ »¹ ½¼¾º¼× »¹ p �ë¹ À¹qì¿�q q »¿×º �q¾Â¿q �ƾ¿q ¹¾ºÀ¹ ½¼¾º¼× »¹pt�� Ôx ïp ïç � x}yð~� �xà��à~ �¡M�¡r���� Ôx}ð~� x����å~ �{ x�x{x}y� ~z�|yz  ~z|� ¡ý u p� ÔxW~ pð çp á �¡ý���� ��yx}å~ zx��z�|à~{x}yx � �~z {~|� �z  ��|{� �x pð ��¡v �¡w� ç %Î%r�pð���� %z���zx � ��}y� ¡b �x pð {~|� �z  ��|{� �x ¡ý ��� Ôx í�¡ý �¡b � x í�¡v �¡w� x}yð~� �xà��à~ �¡ý �¡b � �x}ð~� �xà��à~�¡v �¡w��

Page 94: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�C �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ

�Um]^V �DC< R `Vaa\ iV UYi]ghV\D��� g~@�~ ~ ~}  ~�|�x �x ��{��x�|�~�x �x�yx ~���z|y{� ��yx}�� x zx����àx}�� ~ zx�~@�ð~� �x zx��zzäx}�|~ ��zzx���}�x}yx��¤£¤£ P;k¬­°©ó¬ «¬­ ò°�°¯:ª¬ ¨ 8¬®yô°¯©ªf ^VùhV\ `V^V V \W`jX·UiViX _]Vi^ cVZUV i\ Vjm\^UZW\ �D2 cX _]X aX`^\]^V \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ iXYZ^X Z\i\a \a �tr� `\aackTXUa `V^XaD R\W`\^ZVWXYZ\ i\ Vjm\^UZW\ �DC i\ X·X^ckU\ �D2 `XV `XjV WXaWV^VùhV\ `\Ua XjX mVaZV eBÂF \W`V^Vgh\Xa `V^V iXZX^WUYV^ \ `\YZ\ WVUa`^ c\·UW\ iX bý D �X^ cV _]X cX `\aackTXj WXj�\^V^ XaZX ZXW`\1cJ XW mX^Vj W]UZ\ c]ZUj[ XW mX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVj[ lVùX^ UY]^ah\XaXW iUWXYah\Xa WXY\^Xa iX W\i\ V \SZX^ Ui cXUVa _]X a]mU^VW a\j]gh\XaXnUXYZXa `V^V iUWXYah\Xa WVU\^XaD�\YaUiX^VYi\ \ `^\SjXWV i\ `V^ WVUa `^ c\·UW\ XW ]WV iUWXYahV\[TXW\a UWXiUVZVWXYZX _]X X·UaZX ]W aUW`jXa Vjm\^UZW\ _]X \ ^Xa\jTX iXWVYXU^V W]UZ\ XnUXYZX< SVaZV \^iXYV^ \a § \YZ\a¨ iVi\a X `^\]^V^\ `V^ WVUa `^ c\·UW\ VZ^VT cXa iX ]WV TV^^Xi]^V jUYXV^ iXaZXa `\YZ\aD f\SaX^TVghV\ iX _]X \ `V^ iX `\YZ\a WVUa `^ c\·UW\a cX YXXaaV^UVWXYZX ]W`V^ \YaX]ZUT\ Y\ \Yµ]YZ\ \^iXYVi\ cX \ _]X `X^WUZX iXaXYT\jTX^ Xa³ZX Vjm\^UZW\D ²\^ZVYZ\[ V Y\ghV\ iX \YaX]ZUTUiViX cX l]YiVWXYZVjD �XZXYZVW\a mXYX^VjUùV^ \ Vjm\^UZW\ VUWV `V^V iUWXYah\Xa WVU\^Xa[ TXW\a_]X `^XUaV^ckVW\a \Y�XX^ V `^U\^U ]WV iU^XghV\ YV _]Vj \ `V^ iX TUùU³Y�\a WVUa `^ c\·UW\a aX^UV \YaX]ZUT\D �\W\ Uaa\ YhV\ cX `\aackTXj `V^V\]Z^Va iUWXYah\Xa[ \YiX \ aXmWXYZ\ iX ^XZV ]YUYi\ ]W `V^ iX TUùUY�\aWVUa `^ c\·UW\a `\iX ZX^ _]Vj_]X^ \^UXYZVghV\[ `^XUaVW\a iXa\S^U^ Vj³

Page 95: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÍÎ M×Ó Ô×ÜØ Ó ÑÒcÜÔÒ ��m]WV \]Z^V `^\`^UXiViX _]X[ aX^TUYi\ `V^V \ `^\µXZ\ iX ]W Vjm\^UZW\XnUXYZX XW ]WV iUWXYahV\[ `\aaV aX^ mXYX^VjUùViV `V^V iUWXYahV\ i\UaD�\YaUiX^X XYZhV\ V aXm]UYZX UicXUV `V^V ]W Vjm\^UZW\ SVaXVi\ Y\`V^ViUmWV iX iUTUahV\ X \Y_]UaZVD �X iUTUiUW\a ]W \Yµ]YZ\ \ iX `\YZ\a iV ^XZV `XjV a]V WXiUVYV[ ZXW\a i\Ua a]S\Yµ]YZ\a iUaµ]YZ\a[iUmVW\a \M X \r [ \W Z\i\a \a `\YZ\a iX \M >V Xa_]X^iV iV WXiUVYV X\a iX \r >V iU^XUZVD R `V^ iX `\YZ\a WVUa `^ c\·UW\a XW \ aX^ cV ]W `V^\YZUi\ XW \M \] ]W `V^ \YZUi\ XW \r \] aX^ cV l\^WVi\ `\^ ]W `V^W]UZ\ `V^ZU]jV^ iX `\YZ\a iX \M Á\r D JaZX `V^ YXXaaV^UVWXYZX ZX^UV_]X aX^ \W`\aZ\ i\ `\YZ\ WVUa >V iU^XUZV iX \M X i\ WVUa >V Xa_]X^iViX \r [ UaZ\ cX[ ÒØ �ÒÜØ Ò�ÛÒØ êÜzÜ�{ÒØ �× ÔÚ�Ü×�×| Ò�ÛÒ �Ú ØÚ ×Ó×®Ý×Ò�Ú \M Ú \r D!XµVW\a Vm\^V \W\ mXYX^VjUùV^ XaZV UicXUV `V^V ]W Vjm\^UZW\ _]X^Xa\jTX \ `^\SjXWV i\ `V^ WVUa `^ c\·UW\ XnUXYZXWXYZX XW iUWXYahV\i\UaD�\WXgVW\a \W ]WV \]Z^V `^\TV iV X·UaZ�XYUV iX a\j]ghV\ `V^V \`^\SjXWV<}UT~� B \^ UYi]ghV\ XW ÂF<dVaX< �X  G C[ BbMObrF cX \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ iX \ D�U` c\ZXaX< faa]WV _]X cX `\aackTXj iXZX^WUYV^ \ `V^ iX `\YZ\a WVUa`^ c\·UW\a XW \jXgh\Xa iX VZ cX �Â!C� `\YZ\a Y\ `jVY\D²Vaa\< ²V^ZUU\YX V \jXghV\ \ XW i]Va a]S³\jXgh\Xa \M X \r iX�Â!C� X �Â!C� XjXWXYZ\a[ ^Xa`XZUTVWXYZX[ aX`V^Vi\a`\^ ]WV ^XZV TX^ZUVj ÄD ²\^ �U` c\ZXaX iX UYi]ghV\[ cX`\aackTXj iXZX^WUYV^ \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ Bbý� Obb�F XW \MX Bbý� Obb�F XW \r D �XµV � G WUY ÈBbý� Obb�FO ÈBbý� Obb�F¡D�\YaUiX^X V lVU·V TX^ZUVj � iX jV^m]^V C� XYZ^ViV YV^XZV ÄD ¥XZX^WUYX \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ l\^WVi\ iX ]W`\YZ\ iX \M X ]W `\YZ\ iX \r [ VWS\a iXYZ^\ iV lVU·V� D �XµV Bbv ObwF XaZX `V^D �X ÈBbv ObwF � �[ XYZhV\ \ `V^WVUa `^ c\·UW\ iX \ cX Bbv ObwF[ aXYhV\ cX V_]XjX iXYZ^XBbý� Obb�F X Bbý� Obb�F _]X ^XVjUùV V iUaZ�VYUV �D�\W\ Y\ Va\ iV `^\TV VYZX^U\^[ \SZXW\a lVUjWXYZX ]W Vjm\^UZW\ V`V^ZU^ iXaZV `^\TVD R ]UiVi\ _]X ZXW\a _]X Z\WV^ cX \W V XnU�XYUVi\ `Vaa\ iX \YaZ^]ghV\ \ _]Vj XaaXYUVjWXYZX iXnYX V \W`jX·UiViX^Xa]jZVYZX i\ Vjm\^UZW\D !VW\a XYZhV\ X·`j\^V^ V aXm]UYZX UicXUVD

Page 96: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�Þ �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ

�Um]^V �D�< R `^\Xaa\ iX iUTUahV\D²V^V ViV `\YZ\ bý iX \M�� SVaZV _]X aX `^\]^X \ `\YZ\ XW \r��WVUa `^ c\·UW\ iX bý XYZ^X V_]XjXa _]X XaZUTX^XW iXYZ^\ iX ]W ÍKL,pL,-B\W jVi\a `V^VjXj\a V\a XU·\a \\^iXYVi\aF iX VjZ]^V X jV^m]^V C�[XYZ^Vi\ XW bý D �X \ Y c]WX^\ iX ZVUa `\YZ\a l\aaX VUYiV eBÂF XW YViVViUVYZV^UV XaaX V`^UW\^VWXYZ\[ WVa lXjUùWXYZX cX l cVUj TX^ _]X YhV\ `\iX�VTX^ WVUa iX /N./ ZVUa VYiUiVZ\a `\Ua i\ \YZ^ cV^U\ �VTX^UV ]W `V^ iX`\YZ\a XW \r ]µV iUaZ�VYUV aX^UV WXY\^ _]X � \ _]X YhV\ `\iX \\^^X^DR `^\SjXWV _]X ^XaZV cX< \W\ XY\YZ^V^ \a `\YZ\a iX \r iXYZ^\ iVlVU·V �1 J VUYiV WVUa[ \W\ ^XVjUùV^ XaaX `^\XaaVWXYZ\ `V^V Z\i\a\a `\YZ\a iX \M �� XW ZXW`\ Z\ZVj jUYXV^ XW Â1

�Um]^V �DÞ< �ViV bý � \M ZXW Y\ WcV·UW\ aXUa TUùUY�\a XW � � ��D

Page 97: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÍÎ M×Ó Ô×ÜØ Ó ÑÒcÜÔÒ �E)]aZVWXYZX V jVaaUnVghV\ i\a `\YZ\a iX \ XW aX_¾]�XYUV ^XaXYZX`\^ \^iXYViVa `X^WUZX _]X aX lVgV Uaa\ iX WVYXU^V XnUXYZXD

QRSTUVWXT YZY ²º²) B\F]L,L KlL T-MNnToL- \ G BbMObr O s s s ObtF ,N  ¦-U�-/ ,N{-M{N L ,./� VLUT.Ll¢ýU.lL NU�pN ¦-U�-/ ,N \^2D R^iXYX \a `\YZ\a iX \ `\^ VSaUaaV X V^WVùXYX Y]W TXZ\^ �ä DCD R^iXYX \a `\YZ\a iX \ `\^ \^iXYViV X V^WVùXYX Y]W TXZ\^ �å D�D ¥XT\jTV \ `V^ \SZUi\ `Xj\ Vjm\^UZW\ ���)¹�K|B\F VSVU·\DQRSTUVWXT YZ� ²º²)³f]·B\F2D �X �\ �G C XYZhV\ iXT\jTV BbMObrFDCD �XYhV\[ Vj]jX V WXiUVYV Qä iVa VSaUaaVa iX \ D �XµV Ä V ^XZVTX^ZUVj \W VSaUaaV Qä D�D ¥UTUiV \ XW i]Va \jXgh\Xa \M X \r \W �Â!C� X �Â!C� `\YZ\a[^Xa`XZUTVWXYZX[ aXYi\ _]X Z\i\a \a `\YZ\a iX \M XaZhV\ >V Xa³_]X^iV iX B\] a\S^XF V ^XZV Ä X \a `\YZ\a iX \r XaZhV\ >V iU^XUZViX B\] a\S^XF V ^XZV ÄDÞD RSZXY�V ^X]^aUTVWXYZX \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ iX \M<

Bbý� Obb�F G ���)¹�K|B\MFX \ `V^ WVUa `^ c\·UW\ iX \r <Bbý� Obb�F G ���)¹�K|B\rFsED �XµV � G WUY ÈBbý� Obb�FO ÈBbý� Obb�F¡�D �XµV � V lVU·V iX jV^m]^V C� XYZ^ViV YV ^XZV ÄD ²^\]^X `\^TV^^Xi]^V TX^ZUVj[ \Yl\^WX iXZVj�Vi\ VSVU·\[ \ `V^ iX `\YZ\abv � \M �� X bw � \r �� WVUa `^ c\·UW\aDoD ¥XYZ^X \a Z^�Xa `V^Xa iX `\YZ\a[ Bbý� Obb�F[ Bbý� Obb�F[ Bbv ObwF[ iX³T\jTV V_]XjX _]X ^XVjUùV V WXY\^ iUaZ�VYUVD

Page 98: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�� �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ

�Um]^V �DE< R `Vaa\ iX \Y_]UaZVD��W�R��X��WT �T ����T �²V^V aX ^XVjUùV^ \ `Vaa\ �[ SVaZV lVùX^<�D2 zZUjUùVYi\ \ TXZ\^ \^iXYVi\ �å ^UVi\ Y\ `Vaa\ C i\ Vjm\^UZ³W\ �D�[ `X^\^^V \a `\YZ\a iX \M �� XW \^iXW VaXYiXYZX iX\^iXYViVaD²V^V ViV `\YZ\ b TUaUZVi\[ Z\WVW\a XW �å \a �p VN/ `\YZ\a iX\r � � VUWV X \a �p VN/ `\YZ\a VSVU·\ iX bD �\W\ \SaX^TVW\aVYZX^U\^WXYZX[ \ TUùUY�\ WVUa `^ c\·UW\ iX b XW \r iXYZ^\ iVlVU·V � ZXW _]X aX^ ]W iXaZXa aXUa `\YZ\a[ iXTUi\ >V Xa\j�V iVjV^m]^V � iV lVU·V � D�DC ¥XT\jTV \ `V^ Bbv ObwF _]X WUYUWUùV Va iUaZ�VYUVa XY\YZ^ViVaD�TX�R��V����Ra `Vaa\a 2[ C[ E X o Z\WVW ZXW`\ \YaZVYZX[ XY_]VYZ\ \ `Vaa\ � `\iXaX^ lXUZ\ XW ZXW`\ jUYXV^D�\W\ Y\ `Vaa\ � `V^V ViV ]W i\a �Â!C� `\YZ\a iX \M lVùXW\a �\W`V^Vgh\Xa iX iUaZ�VYUVa \W`]ZViVa \W V WXY\^ iUaZ�VYUV \SZUiVVZ cX \ W\WXYZ\[ \ ZXW`\ Z\ZVj iXa`XYiUi\ Y\ `Vaa\ � cX iV \^iXW iXeBÂFD�\W\ \ `Vaa\ Þ cX ]WV �VWViV ^X]^aUTV \W i]Va UYaZ�VYUVa iXZVWVY�\ BXaaXYUVjWXYZXF Â!C[ V ^XjVghV\ iX ^X\^^�XYUV _]X X·`^XaaV V

Page 99: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÍÎ M×Ó Ô×ÜØ Ó ÑÒcÜÔÒ �o\W`jX·UiViX i\ Vjm\^UZW\ �DÞ cX<� ���� BÂF � C ���� B�Â!C�F I ©Â `V^V  & C���� BCF � eB2FO B�D2F\YiX © cX ]WV \YaZVYZXD f a\j]ghV\ iV X_]VghV\ �D2 cX iV \^iXW iXeB j\mÂFDfaaUW[ V \W`jX·UiViX � BÂF i\ Vjm\^UZW\ �D� cX V a\WV iVa \W³`jX·UiViXa i\a aX]a i\Ua `Vaa\a iX \^iXYVghV\ X iX ���� BÂFD ²\^ZVYZ\[� BÂF � eB j\mÂFD�¤£¤� �¬©ª °®Ç¨­°¬­õXaZV aXghV\ TVW\a W\aZ^V^ _]X óB j\mÂF cX ]WV \ZV UYlX^U\^ `V^V \`^\SjXWV i\ `V^ WVUa `^ c\·UW\D²^XUaV^XW\a \Y�XX^ \ `^\SjXWV iV �U.T.,L,N ,N �MNlNU�-/ _]X\YaUaZX iX<¥ViV ]WV \jXghV\ iX  TVj\^Xa ^XVUa[ iXZX^WUYV^ aX XjXa ahV\Z\i\a iUaZUYZ\aDJaZX `^\SjXWV ZXW ]WV \ZV UYlX^U\^ iX óB j\mÂF Y\ W\iXj\ iXcV^T\^X iXUah\Xa Vjm cXS^UVaD f iXW\YaZ^VghV\ iXaZX lVZ\ cX iXWVaUVi\ XY³T\jTUiV `V^V V`^XaXYZVghV\ YXaZX ZX·Z\[ WVa \W\ \YaUaZX iX ]W X·XW³`j\ `^UWVj iX V`jUVghV\ iV Z cXYUV iXaXYT\jTUiV `\^ dXY³R^[ ^X\WXY³iVW\a V\ jXUZ\^ UYZX^XaaVi\ V jXUZ]^V i\ V^ZUm\ \^UmUYVj ÅdR��ÇD�V^XW\a[ XYZhV\[ ]WV ^Xi]ghV\ i\ `^\SjXWV iV ]YUUiViX iX XjXWXY³Z\a `V^V \ `^\SjXWV i\ ²V^ ºVUa ²^ c\·UW\[ \ _]X XaZVSXjXX^ cV V \ZVUYlX^U\^ `V^V XaZX c]jZUW\[ \Yl\^WX aXghV\ 2DoD�\YaUiX^X \ iUVm^VWV<

�� �¡¢

£¤t

¥¦

¥§

È𠩨Ȫ«¬ ©¨¬ª«

zJ ²º²

Page 100: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�� �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ_]X Uj]aZ^V _]X SVaZV \YaZ^]U^W\a \a WV`XVWXYZ\a ¥§ X ¥¦ D ²V^V ZVY³Z\[ iViV ]WV UYaZ�VYUV ­®¯ G BJMOJr O s s s OJtF � ¬ª« [ \YaZ^]U^XW\a VUYaZ�VYUV ­� � G ¥§ B­®¯F � ¬ ©¨ ^UVYi\[ `V^V ViV Jý XW ­®¯ ]W`\YZ\ Y\ `jVY\D õ\ZX _]X[ \W\ V XYZ^ViV `V^V \ `^\SjXWV i\ `V^WVUa `^ c\·UW\[ \Yl\^WX XY]YUVi\[ cX ]WV T-MNnToL- BX YhV\ ]W \Yµ]Y³Z\F iX `\YZ\a[ aX WV`XVW\a BJýF Y\ `\YZ\ BJý O ËF[ YhV\ XaZV^XW\a iXa³Z^]UYi\ _]VUa_]X^ ^X`XZUgh\Xa iX `\YZ\a _]X XaZUTXaaXW `^XaXYZXa YV \³jXghV\ XYZ^ViV i\ `^\SjXWV iV ]YUUiViX iX XjXWXYZ\aD faaUW[ lV^XW\a¥§ BJýF G BJý O ËFDf aXm]YiV `V^ZX \YaUaZX V`XYVa XW lVùX^ ¥¦ iXZX^WUYV^ aX �VTUV]YUUiViX i\a XjXWXYZ\a iX ­®¯ SVaXVi\ YV a\j]ghV\ iX ­� � D R^V[WVa \a XjXWXYZ\a iX ­®¯ X^VW Z\i\a iUaZUYZ\a aX X a\WXYZX aX V WXY\^iUaZ�VYUV _]X \\^^X XYZ^X `V^Xa iX XjXWXYZ\a iX ­� � cX YhV\ Y]jVD²\^ZVYZ\[ ¥¦ BËF G °±²³[ X ¥¦ BÈF G ´µ¶ `V^V Z\i\ È �G ËD�\W\ VWSVa Va Z^VYal\^WVgh\Xa ¥§ X ¥¦ ahV\ ^XVjUù cVTXUa XW ZXW`\eBÂF[ Uaa\ \W`jXZV V ^Xi]ghV\ X `^\TV V \ZV UYlX^U\^ óB j\mÂF `V^V \`^\SjXWV i\ `V^ WVUa `^ c\·UW\D �\YaX_¾]XYZXWXYZX[ \ Vjm\^UZW\ �D� cXc\ZUW\ Y\ W\iXj\ iX cV^T\^X iX iXUah\Xa Vjm cXS^UVaDpqr trsv ��}�|�xzx � �x��|}yx �z���x{~�Iq»¼× s Â�ÆÀÂëì¼× ¾¼ ½ìq¾¼£ º¼»¼× »¹ ¹×¼ Àq¿¼ � · �£»¹º¹À¿¾qÀ ×¹ ¹w¿×º¹ »¼¿× »¹ì¹× �ë¹ ×¹ ¿¾º¹À¹½ºqt�~� 4�zx�x}yx �{ ~���z|y{� �x ��{��x�|�~�x ¸�s ���s� ��x zx���àxx�yx �z���x{~���� Î��yzx ��x D�s ��� s�  x ��y~ |}�xz|�z �~z~ � �z���x{~� x�y~�x�x��x}�� ~��|{ ~ �y|{~�|�~�x ~��|}y  �y|�~ �x �x� ~���z|y{��HYH ¹a³fhdºf²³fa $\ Ùa_`ab \^ c\hf²³fa fg^ Ùah0»]a_aR jXUZ\^ iXTX aX ^X\^iV^ _]X Y\aaV \`ghV\ `Xj\ `jVY\ `^\µXZUT\ \^UXY³ZVi\ TUaV XTUZV^ iXaTVYZVmXYa UYX^XYZXa >V mX\WXZ^UV X]jUiUVYV VaaUW\W\ \]Z^Va _]X a]^mU^UVW aX ZUT cXaaXW\a Xa\j�Ui\ Z^VSVj�V^ \W V mX³\WXZ^UV `^\µXZUTV j cVaaUVD zWV iVa iXaTVYZVmXYa iXaZV c]jZUWV cX _]X V

Page 101: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎLÎ ¼ÒÝ×ÖÜz×®Ý×Ò �Ú Ò�ÛÒØ ÚÔ ÓÚÖ×®Ý×Ò × ÕÔ ÒÖ Ñ�ÙÒ�Ò �3^XW\ghV\ iX ]WV ^XZV iXU·V ]WV c]YUV \W`\YXYZX \YX·V X_]UTVjXYZXBZ\`\j\mUVWXYZXF V ]W iUa\D ²\^ZVYZ\[ Y]YV aX `\iX iUùX^ _]X i\Ua`\YZ\a iVi\a XaZhV\ XW jVi\a \`\aZ\a iX ]WV ^XZVD ¥V WXaWV l\^WV[YhV\ `\iXW\a VjU iXUiU^ aX i\Ua `\YZ\a XaZhV\ i\ WXaW\ jVi\ \] iX jVi\a\`\aZ\a iX ]W `\jckm\Y\Dõ\ `jVY\ `^\µXZUT\ \^UXYZVi\ XaZX `^\SjXWV ZXW aXYZUi\[ UaZ\ cX[ \�X\^XWV iV �]^TV iX )\^iVY mV^VYZX _]X ]WV ]^TV lX�ViV aXW V]Z\³UYZX^aXghV\ BX[ XW `V^ZU]jV^[ ]W `\jckm\Y\ aUW`jXaF iUTUiX \ Xa`Vg\ XWi]Va ^XmUh\Xa iUaµ]YZVa[ _]X ahV\ \a aX]a jVi\a B \aUZUT\ X YXmVZUT\FD�¤�¤i �¬®8¨°©¬¯ À ¿ª¯°8¬¯�YUUVjWXYZX[ TVW\a l\^WVjUùV^ Vjm]Ya \YXUZ\a XjXWXYZV^Xa YXXaa cV^U\a`V^V \ XYZXYiUWXYZ\ i\a XY]YUVi\a i\a `^\SjXWVaD

�Um]^V �D�< �^�Xa `\jckm\Y\aD

Page 102: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3Ë �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ��½�V¾¿À�T YZ[ ]L,-/  ¦-U�-/ ,./�.U�-/ N U oL- LU�.¦-,L./ bKObMO s s s O�¼ì �Æ~¼¾¼ bt�MÁ NMN/ ,NÅUNl KlL /NÍ ÂKVNUT.L ,N /N�lNU�-/ ,N pN�L Nl -p,Nl T¢ýTM.TL�ý G býbýÃM ¦LpL � G ËO 2O s s s OÂN 2Á -U,N L/ /-lL/ ,N ¢ýU,.TN/ / oL- �-lL¹,L/ l ¢-,KM- Â^ Ä/ ¦-U�-/ bý Å/ �KU�LlNU�N T-l -/ /N�lNU�-/ �ý Å/ � -plLlKl `\jckm\Y\^ Ä/ ¦-U�-/ / oL- T�LlL,-/ -/ T cX^ZUXa N -/ /N�lNU�-/ / oL-L/ V^XaZVa ,- ¦-M ¢ý�-U-^ ÆÇ.�^ È^É ÆLÊÁ ÆmÊ N ÆTÊ Ê].ùNl-/ ÍKN Kl ¦-M ¢ý�-U- Ë G BbKObMO s s s Obt�MF ¢N Kl `\jckm\Y\�¼ì �Æ~¼¾¼ ׿½ì¹× aUW`jXa /N NMN /L�./� Lù ÌL /N�K.U�N ¦p-¦p.N,L,NÍ

�-,L/ L/ LpN/�L/ ,N Ë / oL- ,./�KU�L/ N|TN�- ¦NM-/ { ¢Np�.TN/ ÍKN L/LpN/�L/ T-U/NTK�.{L/ T-l¦Lp�.M�LlÁ ./�- ¢NÁ �ý � �ýÃM G  býÃM¡ ¦LpLË � � �  N 2 N �ý � �b G Î ¦LpL � ' a N 2 N a ' � I  N 2^ÆÇ.�^ È^É ÆmÊ N ÆTÊ ÊÏ� R��T� �� ÐX �TRÑÒST�T �VX�R��Ó\aZV^ckVW\a iX aX^ V`VùXa iX iUaZUYm]U^ \a i\Ua jVi\a iX `\jckm\Y\aaUW`jXa XW *+ iV WXaWV l\^WV _]X \ lVùXW\a `V^V `\jckm\Y\a aUW`jXa\YZUi\a Y\ `jVY\ X]jUiUVY\D²Xj\ �X\^XWV iV �]^TV iX )\^iVY[ \ \W`jXWXYZ\ iX ]W `\jckm\Y\aUW`jXa cX l\^WVi\ `\^ i]Va ^XmUh\Xa iUaµ]YZVaD õ\ `jVY\ X]jUiUVY\[]WV iXjVa ZXW cV^XV jUWUZViV X V \]Z^V ZXW cV^XV UjUWUZViVD JW *+YhV\ `\iXW\a mV^VYZU^ Uaa\[ µ cV _]X � cV `\jckm\Y\a aUW`jXa _]X iUTUiXW \Xa`Vg\ XW ^XmUh\Xa iX cV^XV UYnYUZVDR _]X `\iXW\a lVùX^ ZVYZ\ XW É+ _]VYZ\ XW *+ iX W\i\ \YaUa³ZXYZX cX iUaZUYm]U^ \a jVi\a iX `\jckm\Y\a aUW`jXa SVaXVi\ YV \^iXW iViVi\a aX]a T cX^ZUXaD��½�V¾¿À�T YZÔ ]NÅU.l-/ - jVi\ `\aUZUT\ ,N Kl ¦-M ¢ý�-U- /.l¦MN/ Ë GBbKObMO s s s Obt�MF Nl *+ Á T-l- /NU,- L pN�. oL- ÍKN ÅTL ,- ML,- N/ÍKNp,-,- ¦Np ¢ýlN�p-Á ÍKLU,- N/�N ¢N ¦NpT-pp.,- UL -p,Nl ,L,L^�L./ ¦pNT./LlNU�NÁ -m/Np{N ÍKN �-,L {.ù.U�LUnTL Õ /KÅT.NU�NlNU�N¦NÍKNUL ,N Kl ¦-U�- b UoL- N|�pNl- ,L LpN/�L bKbM ¦-,N /Np ,.{.,.,LNl �p VN/ ¦Lp�N/Í

Page 103: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎLÎ ¼ÒÝ×ÖÜz×®Ý×Ò �Ú Ò�ÛÒØ ÚÔ ÓÚÖ×®Ý×Ò × ÕÔ ÒÖ Ñ�ÙÒ�Ò 32ÕK Í L .U�Np/NToL- ,N Õ T-l - /N�lNU�- bKbMÁÕÃÍ L ¦Lp�N ,N Õ .U�N.pLlNU�N T-U�.,L U- ML,- ¦-/.�.{- ,LpN�L ÄK G bK ebMÁ NÕ�Í L ¦Lp�N ,N Õ .U�N.pLlNU�N T-U�.,L U- ML,- UN�L�.{- ,NÄK ^Ä jVi\ `\aUZUT\ ,- ¦-M ¢ý�-U- Ë ¢N LÍKNMN ML,- ÍKN .UTMK. Õà ÆNÁ ¦-p¹�LU�-Á N|TMK. Õ NÊ^Ä -K�p- ML,- ,N Ë ¢N T�LlL,- jVi\ YXmVZUT\^

�Um]^V �Do< R jVi\ `\aUZUT\ iX ]W `\jckm\Y\ \YZUi\ XW *+ Dõ\ W\iXj\ Xal cX^U\[ \ jVi\ `\aUZUT\ iX ]WV ^XZV Q[ ]YUi\ \W V`^ c\`^UV ^XZV l\^WV ]W �XWUal cX^U\ lX�Vi\D ÖXlX^U^XW\a V XjX ZVWScXW\W\ \ jVi\ YhV\ YXmVZUT\ iX QD ¥Vi\ ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa Ë aX X·UaZX]WV ^XZV Q XW ]µ\ jVi\ YhV\ YXmVZUT\ \ `\jckm\Y\ XaZ cV \YZUi\[ iU^XW\a_]X Q cX ]WV ^XZV jUWUZVYZX iX Ë DRa `\jckm\Y\a aUW`jXa `V^V \a _]VUa X·UaZXW ^XZVa jUWUZVYZXa Z�XW`^\`^UXiViXa UYZX^XaaVYZXaD JjXa m\ùVW iX `^VZUVWXYZX Z\iVa Va V³^VZX^ckaZUVa iX `\jckm\Y\a aUW`jXa \YZUi\a Y\ `jVY\ X]jUiUVY\D ²\^\]Z^\ jVi\[ \a `\jckm\Y\a aUW`jXa _]X ahV\ UYZX^X`ZVi\a `\^ Z\iVa Va^XZVa iX *+ ahV\ WXY\a UYZ]UZUT\aD

Page 104: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3C �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØpqr trtv Î��yzx ��x �� ��|� �~��� �� �x��|}yx ��� â��}� �ð~� ��}�z�x}yx��x ��zy~}y�� x��x}�|~�{x}yx� |}�|�y|}�� âàx|��� ��}���~ ��x y��~ zxy~ �x�+ � |}yxz�x�y~� × ç �¡M�¡r �¡) �¡Ø� �}�x¡M ç �&��&��&��� ¡r ç �á��&�� á��¡) ç �&�� á��á��� ¡Ø ç �á��á��&��8{~ �~� ��{��|�~�~� |�|��|}�z~�|~� �x ��� â��}�� ��{� x�yx  x � �~y� �x��x �x�� {x}�� �{ �x �x�� �~��� ��}y  x{ ��}y�� ~}y|���~|��õ\ `^ c\·UW\ X·X^ckU\[ \ jXUZ\^ W\aZ^V^ cV _]X aXW`^X � cV ]W i\a jVi\aiX ]W `\jckm\Y\ _]X YhV\ `\iX \YZX^ ^XZV Vjm]WVDpqr tr�v ÔxW~ × �{ ��� â��}� �|{��x� x{ �+ x ����}å~ ��x x�|�yx �{~zxy~ �|{|y~}yx Ä �~z~ ×x �|�~{�� ��x Ä x�y  ~ ��}y|�~ }� �~�� }x�~y|à��x × � Î��yzx ��x � �~�� ���|y|à� �x × }ð~� ���x ��}yxz }x}å�{~zxy~� �Ô��x�yð~�� �x å��àx��x y~� zxy~� �}�x x�y~z|~{ �� ��}y�� �}�x x�~|}yxz�x�y~z|~ Ä¢�pqr trîv wxyxz{|}x �x �~�~ �{ ��� �x��|}yx� ��� â��}��  x �|{��x� x� �~��� ~ßz{~y|à�� �x�x}åx�� å~�å�z|~}�� �x� �~�� ���|y|à�� wx�|�~ y~{� x{�x x�|�yx{ zxy~� �|{|y~}yx� �~z~ �~�~ �{ �x�x���~� �������� ��� ����� ��� �� ��� ��� ������� �������� ����� á��� ��� á��á��� ��� á������� ��� �� á��� ��� �� ��� �á��á������� ��� ����� ����� ��� ��� á����� ����� á���¤�¤£ G¨ yô¨ ;ªò¬ ò¨ ôó «¬;¿Ùk¬®¬ ¯°ó«;¨¯ ôó «¬®Ú©¬ ¨¯© ¿ªÛf V`V^XYZX aUW`jUUiViX iX Vjm]WVa a\j]gh\Xa UYZ]UZUTVa `V^V X^Z\a `^\³SjXWVa mX\WcXZ^U\a aX iXTX V\ lVZ\ iX _]X XW mX^Vj Z^VZVW\a V`XYVaUYaZ�VYUVa `X_]XYVaD JYZ^XZVYZ\[ _]VYi\ `^\µXZVW\a Vjm\^UZW\a `V³^V a\j]gh\Xa V]Z\W cVZUVa iX `^\SjXWVa[ `^XZXYiXW\a _]X XaZXa \`X^XW\^^XZVWXYZX XW UYaZ�VYUVa iX ZVWVY�\a V^SUZ^ cV^U\aDR `^\SjXWV iX iXZX^WUYV^ V _]X jVi\ iX ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa ]W`\YZ\ `X^ZXYX a c\ Y\a V`^XaXYZV iXaVn\ TUa]Vj _]VYi\ Z^VZVW\a iX`\jckm\Y\a \W `Xj\ WXY\a T cV^UVa iXùXYVa iX T cX^ZUXaD fUYiV VaaUW[ V

Page 105: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎLÎ ¼ÒÝ×ÖÜz×®Ý×Ò �Ú Ò�ÛÒØ ÚÔ ÓÚÖ×®Ý×Ò × ÕÔ ÒÖ Ñ�ÙÒ�Ò 3�m^VYiX _]VYZUiViX iX UYl\^WVgh\Xa \SZUiVa `Xj\ \j�\ �]WVY\ YhV\ cX lVUj³WXYZX X·Z^VckTXj `V^V `^\XaaVWXYZ\ V]Z\WcVZU\ V `V^ZU^ X·j]aUTVWXYZXiVa \\^iXYViVa i\a T cX^ZUXaD ²\^ Uaa\[ cX XaaXYUVj V iXZX^WUYVghV\ iX`^\`^UXiViXa V^VZX^ckaZUVa _]X aXµVW \W`]ZVU\YVjWXYZX XnUXYZXaD!VW\a Z^VZV^ iX \SZX^ ]WV ZVj `^\`^UXiViX `V^V \ `^\SjXWV iVj\VjUùVghV\ iX ]W `\YZ\ \W ^Xa`XUZ\ V\ jVi\ `\aUZUT\ iX ]W `\jckm\Y\aUW`jXaD�XµV Ë G BbKObMO s s s Obt�MF ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa X ¶ ]W `\YZ\ XW*+ D �X \YZV^W\a \ Y c]WX^\ iX UYZX^aXgh\Xa i\ aXmWXYZ\ bK¶ \W VaV^XaZVa iX Ë [ ZX^XW\a \ Y c]WX^\ iX TXùXa _]X ]W `\YZ\ TUVµVYi\ a\S^XbK¶ W]iV iX ]W jVi\ V\ \]Z^\ i\ `\jckm\Y\ Ë D �X a\]SX^W\a \ `^UWXU^\jVi\ XY\YZ^Vi\ `Xj\ `\YZ\ TUVµVYZX VaaUW _]X XjX iXU·V \ `\YZ\ bK[aVSX^XW\a `XjV `V^UiViX i\ Y c]WX^\ iX UYZX^aXgh\Xa aX ¶ XaZ cV iXaZXWXaW\ jVi\ \] i\ jVi\ \`\aZ\D

�Um]^V �D�< H\VjUùVghV\ iX `\YZ\ XW `\jckm\Y\ aUW`jXaD�aa\ ^Xa]jZV Y\ aXm]UYZX Vjm\^UZW\<QRSTUVWXT YZÜ H\²\jMB¶ OË F]L,- Kl ¦-M ¢ý�-U- /.l¦MN/ Ë N Kl ¦-U�- ¶Á ,N{-M{N - ML,- ,N Ë NlÍKN ¶ /N NUT-U�pL^

2D �X \ aXmWXYZ\ bK¶ [ V\ aVU^ iX bK[ XYZ^V Y\ jVi\ `\aUZUT\ iX Ë [XYZhV\ lVgV �` I2[ aXYhV\[ lVgV � ` N2DCD ²V^V ViV � XW  2 s s N C¡[ lVgVCD2D �X V V^XaZV býbýÃM ^]ùV ¶bK XYZhV\ UYTX^ZV \ aUYVj iX �D�D ¥XT\jTV \ aUYVj iX �D

Page 106: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3Þ �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ��W�R��X��WT �T ����T [²V^V aX ^XVjUùV^ \ `Vaa\ 2[ SVaZV lVùX^<2D2 © ` »B¶ ObKObMF2DC ª ` »Bbt�MObKO¶F2D� Ý ` »Bbt�MObKObMF2DÞ �X © G ª G Ý XYZhV\ � ` Ý aXYhV\ �` NÝD��W�R��X��WT �T ����T ÔZ[zWV iVa WVYXU^Va iX aX X·X]ZV^ \ `Vaa\ CD2 cX<CD2D2 �Vj]jX V ^XZV Q G bK e ¶ DCD2DC !X^Un_]X V `\aUghV\ iX bý XW ^XjVghV\ QDCD2D� �X bý XaZ cV i\ jVi\ `\aUZUT\ iX Q \] a\S^X Q[ X býÃM XaZ cV Y\jVi\ YXmVZUT\ iX Q[ XYZhV\<CD2D�D2 �X »Bbý ObýÃMObKF G N2 X »Bbý ObýÃMO¶F G I2[ XYZhV\iXT\jTV §Þßàá²áߵ೨ Bbý ObýÃM ^]ùV ¶bKF[ aXYhV\ iX³T\jTV §â²ã´³¨ Bbý ObýÃM YhV\ ^]ùV ¶bKFD�TX�R��V����Ra `Vaa\a 2 X � Z\WVW ZXW`\ \YaZVYZXD f S]aV `\^ UYZX^aXgh\Xa lXUZVY\ `Vaa\ CD2 Z\WV ZXW`\ jUYXV^D ²\^ZVYZ\[ XaZX Vjm\^UZW\ Z\WV ZXW`\Z\ZVj � BÂF � eBÂFDHYä åa_Û\Kd$f$\ Øf³dhd`f ha³fhdºf²³fa $\Ùa_`abfVSVW\a iX TX^ \W\ j\VjUùV^ ]W `\YZ\ XW ^XjVghV\ V\a jVi\a `\aU³ZUT\ X YXmVZUT\ iX ]W `\jckm\Y\ aUW`jXaD RSaX^TX _]X \ c]YU\ ]a\ _]XnùXW\a iV mX\WXZ^UV i\ `\jckm\Y\ l\U i\ lVZ\ iX XjX iUTUiU^ \ `jVY\ XWi]Va `V^ZXa iUaµ]YZVaD f aUW`jUUiViX i\ `\jckm\Y\ YhV\ a]mX^X YXY�]³WV `\aaUSUjUiViX iX WXj�\^UV YV XnU�XYUV i\ Vjm\^UZW\ iX j\VjUùVghV\D�X[ `\^ cXW[ ZUT cXaaXW\a WVUa XaZ^]Z]^V mX\WcXZ^UV Y]W `\jckm\Y\ B \^

Page 107: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎæÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú �×ÝÜÖÜÛ× ÖÒÝ×ÖÜz×®Ý×Ò �Ú Ò�ÛÒØ 3EX·XW`j\[ \YTX·UiViXF[ ZVjTXù Uaa\ Y\a Vµ]iVaaX V iXaXYT\jTX^ Vjm\^UZ³W\a WVUa XnUXYZXa `V^V \ `^\SjXWV iX j\VjUùVghV\ iX `\YZ\aD fYZXaiX TX^W\a \ _]X aX `\iX mVY�V^ _]VYi\ \a `\jckm\Y\a ahV\ \YTX·\a[`^XUaVW\a l\^WVjUùV^ V Y\ghV\ iX \YTX·UiViX YV mX\WXZ^UV `^\µXZUTV\^UXYZViVD²^XZXYiXW\a XaZXYiX^ iX l\^WV \YaUaZXYZX V iXnYUghV\ iX \YTX³·UiViX i\ `jVY\ X]jUiUVY\ `V^V \ `jVY\ `^\µXZUT\ \^UXYZVi\D ²V^VUaa\[ `^XUaVW\a `\iX^ Y\a ^XlX^U^ V\ aXmWXYZ\ _]X jUmV i\Ua `\YZ\aDÖX\^iX³aX _]X \ aXmWXYZ\ iX ^XZV XYZ^X i\Ua `\YZ\a XW *+ a c\ XaZ cViXnYUi\ _]VYi\ XaZXa `\YZ\a ahV\ UoL- VYZU`\iVUaD��½�V¾¿À�T YZY çN�L è Kl /KmT-U�KU�- ,N *+ ^ ].ùNl-/ ÍKN è ¢N \Y³TX·\ /N ¦LpL �-,- ¦Lp ,N ¦-U�-/ Nl è - /N�lNU�- ,N pN�L ÍKN NMN/,N�Npl.ULl N/� ¢L .U�N.pLlNU�N T-U�.,- Nl è^²\^ZVYZ\[ V iXnYUghV\ iX \Yµ]YZ\ \YTX·\ X·j]U \Yµ]YZ\a _]X \Y³ZXY�VW `V^Xa iX `\YZ\a VYZU`\iVUaD JW `V^ZU]jV^[ YhV\ \YaUiX^VW\a*+ \W\ ]W \Yµ]YZ\ \YTX·\D �aa\ `\iX `V^XX^ XaZ^VY�\[ WVa Y\ZX[XYZ^XZVYZ\[ _]X Uaa\ YhV\ Z\^YV XaZV iXnYUghV\ UY\W`VZckTXj \W V iX \Y³TX·UiViX Y\ `jVY\ X]jUiUVY\ `\Ua ViV ]WV iX a]Va c\`UVa B\ V_]cXWX \ Vj cXWF \YZUiVa XW *+ ahV\ \YTX·VaD ¥V WXaWV l\^WV[ _]Vj_]X^�XWUal cX^U\ VSX^Z\ cX \YTX·\Dpqr tr�v�~� Î��yzx ��x � ��� â��}� ��z{~�� �x��� �x��|}yx� à xzy|�x� }ð~�  x �{��}W�}y� ��}àx����������� �á���� ��� ��� �� ��� �á�� ����r��� ��yx ��� â��}�  x �|{��x�¢Ra WVU\^Xa \Yµ]YZ\a \YTX·\a XW *+ ahV\ \YaZUZ]cki\a[ Y\ W\iXj\Xal cX^U\[ `^XUaVWXYZX iX ]W �XWUal cX^U\[ ]WV WXZViX iX a]V l^\YZXU^V´ ]WVWXZViX VSX^ZV iX ]W ck^]j\ W cV·UW\´ X V`XYVa ]W i\a `\YZ\aX·Z^XW\a iXaZX WXU\³ck^]j\ W cV·UW\D

Page 108: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3� �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ��½�V¾¿À�T YZ� �l ¦-M ¢ý�-U- /.l¦MN/ Ë G BbKObMO s s s Obt�MF Nl *+ ¢N�¼ì �Æ~¼¾¼ ¼¾v¹w¼ T�LlL,- `\jckm\Y\ \YTX·\ /N»Bbý Ob� I 2ObýÃr G I2¦LpL �-,- � NU�pN é N  N 2^� cV T cV^UVa l\^WVa X_]UTVjXYZXa iX aX iXnYU^ `\jckm\Y\ \YTX·\D �\W\ViV ]WV iXjVa cX aX `^XaZV V Vjm]WV aUZ]VghV\ iX W\i\ WVUa \YTXYUXYZX_]X Va \]Z^Va[ TXµVW\a Z^�Xa iXaZVaD f\ ^Xa\jTX^ ViV ]W i\a X·X^ckU\aV aXm]U^[ YhV\ iXU·X iX X·Z^VU^ \ aUmYUnVi\ mX\WcXZ^U\ iX ViV ]WDpqr tr"v Î��yzx ��x �{ ��� â��}� �|{��x� × ç �¡K�¡M� r r r �¡t�M�  x��}àx�� �x x ��{x}yx �x ¼�¡ý �¡ê & ��¡b ç &��~z~ y��� ê�ë ��{ ê x ë x ê & s�pqr truv Î��yzx ��x �{ ��� â��}� �|{��x� × ç �¡K�¡M� r r r �¡t�M�  x��}àx�� �x x ��{x}yx �x ¼�¡ý �¡ë �¡v� ç &��~z~ y��� ê�ë �ì ��{ ê x ë x ì x ê & s�pqr tr�v Î��yzx ��x �{ ��� â��}� �|{��x� × ç �¡K�¡M� r r r �¡t�M�  x��}àx�� �x x ��{x}yx �x }x}å�{ �x �x�� à xzy|�x�  x ��{�|}~@�ð~� ��}àx�~��� ��yz���pqr tr��v�~� Î��yzx ��x ~ �x��|}yx |{��|�~@�ð~�  x y~{� x{ àxz�~�x|z~�Ôx ×  x �{ ��� â��}� ��}àx��� x}yð~� �x� �~�� ���|y|à� ��z{~ �{��}W�}y� ��}àx������ %�z ��x ~ zx� â�z��~ }ð~�  x àxz�~�x|z~¢

��½�V¾¿À�T YZÜ í�LlLl-/ - ML,- ¦-/.�.{- ,N Kl ¦-M ¢ý�-U- T-U{N|- ,N?¾º¹À¿¼À »¹ ½¼ì �Æ~¼¾¼Â¼¾v¹w¼ UYZX^U\^ ,- ¦-M ¢ý�-U- N - ML,- UN�L�.{- ,N X·ZX^U\^^

Page 109: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎæÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú �×ÝÜÖÜÛ× ÖÒÝ×ÖÜz×®Ý×Ò �Ú Ò�ÛÒØ 3o!XµVW\a Vm\^V \W\ `\iXW\a iXZX^WUYV^ XW ZXW`\ a]SjUYXV^ aX]W `\YZ\ iVi\ XaZ cV Y\ UYZX^U\^ \] X·ZX^U\^ iX ]W `\jckm\Y\ \YTX·\D�\YaUiX^X ]W `\jckm\Y\ \YTX·\ Ë G BbKObMO s s s Obt�MFD f \YTX·U³iViX iX Ë mV^VYZX _]X X·UaZX ]WV ^XZV Q ZVj _]X Z\i\a \a T cX^ZUXa iXË XaZhV\ i\ jVi\ YhV\ YXmVZUT\ iX QD

�Um]^V �D3< ²\jckm\Y\ \YTX·\ \YZUi\ i\ jVi\ `\aUZUT\ iX QDpqr tr��v w~�� �{ ��� â��}� ��}àx��� {��yzx ��x  x ���� âàx� �xyxz{|�}~z x{ yx{�� ��}�y~}yx �{~ zxy~ x{ ��W� �~�� }ð~� }x�~y|à� x�yð~� y������ à xzy|�x� �� ��� â��}�� �Ô��x�yð~�� �x Ä  x �{~ zxy~ }� �~�� x�yxz|�z�� ��� â��}�� x}yð~� Ä �� 5Ä �~y|��~ã ~ �z��z|x�~�x���\YaUiX^X[ XW \YaX_¾]�XYUV i\ X·X^ckU\ �D22 _]X ZXW\a[ Vj cXW i\`\jckm\Y\ \YTX·\ Ë [ ]WV ^XZV Q ]µ\ jVi\ `\aUZUT\ \YZ cXW Ë D �\W\\ jVi\ iX Q \YZXYi\ Ë ]YUi\ \W Q l\^WV ]W �XWUal cX^U\ BZ\`\³j\mUVWXYZXF lX�Vi\[ ZXW\a ]WV aUZ]VghV\ \W`jXZVWXYZX VY cVj\mV >VaUZ]VghV\ XW _]X Ë XaZ cV \YZUi\ Y\ V_]cXWD f WXY\a[ `\^ZVYZ\[ iX ]W�\WX\W\^naW\M _]X WV`XUV \ �XWUal cX^U\ lX�Vi\ iXZX^WUYVi\ `\^ Q\YZXYi\ Ë [ Y\ V_]cXW XaZXYiUi\[ `\iXW\a Vaa]WU^ _]X Ë XaZ cV \YZUi\Y\ V_]cXWDJW \]Z^Va `VjVT^Va[ `\iXW\a Vaa]WU^[ `V^V jV^XùV iX X·`\aUghV\[_]X YXY�]W i\a T cX^ZUXa iX Ë XaZ cV Y\ Vj cXWD ¥XaZX W\i\[ iVi\ ]W`\YZ\ BiX \Ya]jZVF ¶ _]X aX iXaXµV iXZX^WUYV^ aX XaZ cV Y\ UYZX^U\^ iXË [ Va\ ¶ XaZXµV Y\ Vj cXW[ aVSXW\a _]X ¶ XaZ cV Y\ X·ZX^U\^ iX Ë Dîïð ñòðóòðòôõöðò ÷ó øðù úûüóýþÿùò þò��÷��øù þøüù û��óôöù ÷ó �ùðú÷óð þò��÷��øù�

Page 110: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3� �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØÖXaZV[ XYZhV\[ iXa^XTX^ ]W Vjm\^UZW\ _]X iXUiX aX ]W `\YZ\ ¶ iX`Xa\ `\aUZUT\ XaZ cV Y\ UYZX^U\^ \] X·ZX^U\^ iX Ë D�XµV b ]W `\YZ\ Y\ UYZX^U\^ iX Ë D ²V^V ViV T cX^ZUX bý iX Ë [\YaUiX^X \ aXmWXYZ\ `VaaVYi\ `\^ bý jUmVYi\ b V ]W `\YZ\ Y\ UYnYUZ\´ YV iU^XghV\ i\ TXZ\^ Bbý NbFD ²X^XSV _]X \ V_]cXW nV VaaUW iUTUiUi\XW  Z^U�VYm]j\a Z\i\a ZXYi\ b \W\ TcX^ZUX \W]WD ��VWXW\a iX �ý\ Z^U�VYm]j\ jUWUZVi\ `Xj\a aXmWXYZ\a iXZX^WUYVi\a `\^ b X bý X `\^ b XbýÃMD �\W\ XaZXa Z^U�VYm]j\a XaZhV\ \^iXYVi\a U^]jV^WXYZX XW Z\^Y\ iXb `XjV `^ c\`^UV aX_¾]�XYUV i\a T cX^ZUXa iX Ë iViV[ `\iXW\a iXZX^WUYV^`\^ S]aV SUY cV^UV _]Vj \ Z^U�VYm]j\ iXYZ^\ i\ _]Vj \ `\YZ\ iX \Ya]jZV ¶XaZ cVD �X ¶ XaZ cV iXYZ^\ iX ]W Z^U�VYm]j\ �b XYZhV\ ¶ XaZV^ cV Y\ UYZX^U\^ iXË aX X a\WXYZX aX ¶ XaZUTX^ i\ jVi\ `\aUZUT\ iV ^XZV iXZX^WUYViV `Xj\aXmWXYZ\ bbbbÃMD !XµV nm]^V �D2ËD�XW\a VaaUW[ \ aXm]UYZX Vjm\^UZW\ _]X iXZX^WUYV aX ]W `\YZ\ ¶ iX`Xa\ `\aUZUT\ XaZ cV i\ jVi\ `\aUZUT\ BUYZX^U\^F \] YXmVZUT\ BX·ZX^U\^F iX]W `\jckm\Y\ \YTX·\ Ë \YZUi\ Y\ V_]cXW<

QRSTUVWXT YZ� H\²\j�\YTB¶ OË F]L,- Kl ¦-M ¢ý�-U- T-U{N|- Ë N Kl ¦-U�- ¶Á ,N{-M{N - ML,- ,N Ë NlÍKN ¶ /N NUT-U�pL^2D �XµV b \ SV^UXYZ^\ iX Vjm]W Z^U�VYm]j\ l\^WVi\ `\^ T cX^ZUXa iXË DCD �\W\ V \^iXW i\a T cX^ZUXa BbKObMO s s s Obt�MF iX Ë XaZVSXjXXW]WV \^iXW ckjUV `V^V Va ^XZVa b e bý [ iXZX^WUYX `\^ S]aVSUY cV^UV \ ckYiUX a BË � a �  N 2F ZVj _]X Bb e bbÃMF P ¶ & Ë XBb ebb F P ¶ � ËD�D ¥XT\jTV \ aUYVj iX Bbb ebbÃMF P ¶ D

�TX�R��V����Ra `Vaa\a 2 X � Z\WVW ZXW`\ \YaZVYZXD f S]aV lXUZV Y\ `Vaa\ CZ\WV ZXW`\ j\mV^ckZWU\D ²\^ZVYZ\[ XaZX Vjm\^UZW\ Z\WV ZXW`\ Z\ZVj� BÂF � eBj\mÂFD

Page 111: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÏÎ MÒ�ÛÒØ ÚÔ ÚØÛÓÚÖ×Ø 33

�Um]^V �D2Ë< H\VjUùVghV\ iX `\YZ\ XW `\jckm\Y\ \YTX·\DRSZUTXW\a VaaUW[ ]W Vjm\^UZW\ _]X ^Xa\jTX \ `^\SjXWV iV j\VjU³ùVghV\ iX `\YZ\a \W ^Xa`XUZ\ V\ UYZX^U\^ iX `\jckm\Y\a \YTX·\a iX W\i\W]UZ\ WVUa XnUXYZX i\ _]X `]iXW\a lVùX^ `V^V `\jckm\Y\a aUW`jXaDHY� Ja_`ab \^ \b`c\hfbzWV jVaaX iX `\jckm\Y\a aUW`jXa YhV\ \YTX·\a W]UZ\ c]ZUj XW mX\WXZ^UV\W`]ZVU\YVj cX V i\a `\jckm\Y\a XaZ^XjVi\a _]X iXnYU^XW\a V aXm]U^DfYZXa[ `\^ cXW[ `^XUaVW\a iV Y\ghV\ iX `\YZ\a W]Z]VWXYZX TUackTXUaDf\ j\Ym\ iXaZV aXghV\[ \YaUiX^X Ë ]W `\jckm\Y\ aUW`jXaD��½�V¾¿À�T YZ� ]L,-/ ,-./ ¦-U�-/ bO¶ U- .U�Np.-p ,N Ë Á ,.ùNl-/ ÍKN b �¼¾º¼× �ë¹ ×¹¹¾w¹À~qXY·X^mV ¶ ÆN {.TN¹{Np/LÊ /N - /N�lNU�- b¶ U oL- .U�NpTN¦�L - N|�Np.-p ,NË ^ �N/�N TL/-Á ,.ùNl-/ �Llm ¢Nl ÍKN b N ¶ / oL- W]Z]VWXYZX TUackTXUa^

�Um]^V �D22< ²\YZ\a _]X aX XY·X^mVWD

Page 112: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ËË �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ��½�V¾¿À�T YZ� ]NÅU.l-/ - Y c]jX\ ,- ¦-M ¢ý�-U- Ë T-l- /NU,- - T-U¹ � �ëÂì¹¼ »¹ ë½¼ì �Æ~¼¾¼�KU�- ,-/ ¦-U�-/ ,- /NK .U�Np.-p ÍKN NU|Np�Ll �-,-/ -/ ¦-U�-/ ,N Ë ^

�Um]^V �D2C< R Y c]jX\ iX ]W `\jckm\Y\D��½�V¾¿À�T YZ ].ùNl-/ ÍKN Ë ¢N Kl ¦-M ¢ý�-U- XaZ^XjVi\ Æ-K XW l\^WV�¼ì �Æ~¼¾¼ ¹×ºÀ¹ìq»¼ iX XaZ^XjVÊ /N /NK U ¢KTMN- ¢N UoL- {Lù.-^pqr tr�sv Î��yzx ��x �x x�|�yx �{ ��}y� }� |}yxz|�z �x �{ ��� â��}���x x}�xz�~ y���� �� �x�� ��lnm ��� x}yð~� � ��� â��}�  x x�yzx�~���RSTUVWXYZX[ Z\i\ `\jckm\Y\ \YTX·\ cX XaZ^XjVi\ `\Ua aX] Y c]jX\\UYUiX \W aX] UYZX^U\^Dpqr tr�tv Î��yzx ��x � }  ���x� �x ��~���xz ��� â��}� x�yzx�~��  x �x{�zx�{ ��}W�}y� ��}àx���²\jckm\Y\a XaZ^XjVi\a ahV\ i\ZVi\a iX XaZ^]Z]^V a]nUXYZX `V^V _]X aX`\aaV iXZX^WUYV^ aX ]W `\YZ\ iVi\ `X^ZXYX V aX] UYZX^U\^ \] X·ZX^U\^ZhV\ XnUXYZXWXYZX _]VYZ\ l\U `\aackTXj lVùX^ `V^V \a `\jckm\Y\a \YTX·\aDõ\a X·X^ckU\a V aXm]U^ \ jXUZ\^ W\aZ^V^ cV Uaa\Dpqr tr��v Î��yzx ��x ~ �z�x{ �~�~ ��� à xzy|�x� �¡K�¡M� r r r �¡t�M� �x�{ ��� â��}� x�yzx�~�� x�y~�x�x�x{ �{~ �z�x{ � â��|�~ �~z~ ~� zxy~�¡ ï¡ý� x{ y�z}� �x �{ ��}y� ¡ ��~���xz x{ �x� }  ���x��pqr tr�îv �x}xz~�|ãx � ~���z|y{� ��� �~z~ ��� â��}�� x�yzx�~��� ��~}���x ��}åx�x ~���{ ��}y� �x �x� }  ���x��

Page 113: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

LÎÏÎ MÒ�ÛÒØ ÚÔ ÚØÛÓÚÖ×Ø 2Ë2

�Um]^V �D2�< ÓXYX^VjUùVghV\ `V^V `\jckm\Y\a XaZ^XjVi\aD

Page 114: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ËC �× Ñ�ÛÕÖÒ LÎ MÓÒNÖÚÔ×Ø ÚÒÔ ÑÚÛÓÜÝÒØ OÖÚÔÚ�Û×ÓÚØ

Page 115: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3456789:; �

3;G�@�D�4�@

f Y\ghV\ iX \YTX·UiViX cX XYZ^Vj V W]UZ\a `^\SjXWVa YhV\ V`XYVa XWmX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVj WVa ZVWScXW `^\m^VWVghV\ jUYXV^[ `^\XaaV³WXYZ\ iX UWVmXYa[ ^X\Y�XUWXYZ\ iX `Vi^h\Xa[ XZD õXaZX V`ckZ]j\XaZ]iV^XW\a `^UYU`VjWXYZX \ `^\SjXWV iV \YaZ^]ghV\ iX `\jckm\Y\a\YTX·\a _]X XYT\jTVW \Yµ]YZ\a iX `\YZ\a WUYUWUùVYi\ V cV^XV XY³T\jTUiVD JWS\^V V`V^XYZXWXYZX aUW`jXa[ XaZX `^\SjXWV µ cV ^XXSX] YVjUZX^VZ]^V VZXYghV\ _]VaX ZhV\ m^VYiX _]VYZ\ \ `^\SjXWV iX \^iXYVghV\Y\ Z\VYZX V\ `^\µXZ\ iX a\j]gh\Xa XnUXYZXaD !X^XW\a V_]U Vjm]WVa iVaWVUa Xj]UiVZUTVaDäY. I_`ca$g²³faR aUYmXj\ `^\SjXWV iX iXZX^WUYV^ aX ]W `\jckm\Y\ iVi\ cX \YTX·\ cX ZhV\aUW`jXa _]VYZ\ \ `^\SjXWV iX iXZX^WUYV^ aX ]WV aX_¾]�XYUV nYUZV iXTVj\^Xa ^XVUa XaZ cV \^iXYViVD ¥V WXaWV l\^WV[ TX^XW\a _]X iVi\a Â`\YZ\a Y\ `jVY\[ iXZX^WUYV^ \ WXY\^ `\jckm\Y\ \YTX·\ _]X \a \YZ cXWcX iV WXaWV \^iXW iX iUn]jiViX iX \^iXYV^ Â Y c]WX^\a ^XVUaD ¥XlVZ\[ X·UaZXW T cV^U\a Vjm\^UZW\a iX \^iXYVghV\ _]X Z�XW \^^Xa`\YiXYZXaVjm\^UZW\a `V^V \YaZ^]ghV\ iX `\jckm\Y\a \YTX·\aD

2�

Page 116: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ËÞ �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�ÚäYX �\`\c^d_f²³fa $\ ³a_Û\Kd$f$\�\YaUiX^X UYUUVjWXYZX \ `^\SjXWV iX iXZX^WUYV^ aX ]W `\jckm\Y\ iVi\cX \YTX·\ \] YhV\DõhV\ cX iUlckUj TX^ _]X SVaZV TX^UnV^ aX Z\iVa Va iUVm\YVUa i\ `\jckm\Y\XaZhV\ UYZXU^VWXYZX \YZUiVa Y\ aX] jVi\ `\aUZUT\D Bfa ,.L�-UL./ iX ]W`\jckm\Y\ ahV\ \a aXmWXYZ\a _]X ]YXW `V^Xa iX T cX^ZUXa YhV\ jUmVi\a `\^V^XaZVaDF ²\^ WVUa _]X aX \YaUmV lVùX^ ]WV ZVj TX^UnVghV\ iX W\i\XnUXYZX[ XaZV VS\^iVmXW Y\a ^X_]X^ lVùX^ �tr� � �BÂrF ZVUa TX^UnVgh\Xa\ _]X Z\^YV ]W ZVj Vjm\^UZW\ aX^UVWXYZX UYXnUXYZXD zWV WXj�\^UViXaZV VS\^iVmXW cX `^\`\aZV Y\ X·X^ckU\ ÞD2Dpqr �r�v�~� %z�àx ��x �x �{ ��� â��}�  x }ð~� ��}àx��� x}yð~� x�|�yx ~���{~�|~��}~� x}yzx à xzy|�x� �x�~z~��� ��z x�~y~{x}yx ��~� ~zx�y~� ��W���}y� { x�|�  x x�yxz}� ~� ��� â��}��

�Um]^V ÞD2< ²\YZ\a WcXiU\a iX iUVm\YVUa��� 8�x x�y~ �z��z|x�~�x �~z~ �x�x}à��àxz �{ ~���z|y{� �~z~ �xyxz�{|}~z �x �{ ��� â��}� �~��  x ��}àx��� 4 ��{��x�|�~�x �x �x�~���z|y{� �xàx �xz ¸�s ���s� �}�x s  x � }  �{xz� �x à xzy|�x���\W`]ZVU\YVjWXYZX cX WVUa UYZX^XaaVYZX X·`j\^V^ V `^\`^UXiViX iX_]X Z\i\ `\jckm\Y\ YhV\ \YTX·\ \YZ cXW ]W �VYm]j\ ^X¶X·\ Y\ aX] jVi\`\aUZUT\ BUDcXD[ WVU\^ _]X 2�Ë�FD JaZV TX^UnVghV\ iXTX `\^ cXW aX^ jXTViV VVS\ aXW V X·`jckUZV \W`]ZVghV\ iX �VYm]j\a `\Ua UaZ\ XYT\jTX ^X\^^X^ V

Page 117: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎÍÎ �ÚÛÚÓÔÜ�×®Ý×Ò �Ú ÝÒ�êÚcÜ�×�Ú 2ËEl]Ygh\Xa Z^VYaXYiXYZVUa BXDmD[ V^ZVYF _]X YhV\ lVùXW `V^ZX i\a W\iXj\a\W`]ZVU\YVUa \W _]X jUiVW\aD

�Um]^V ÞDC< zW `\jckm\Y\ YhV\ \YTX·\ X ]W iX aX]a �VYm]j\a ^X¶X·\aDzWV WVYXU^V iX VZUYmU^ \ WXaW\ \SµXZUT\ cX lVùX^ ]a\ i\ ZXaZX iXiXZX^WUYVghV\ iX \^UXYZVghV\ iX Z^U�VYm]j\aDpqr �rsv�~� ���zxà~ �{ ~���z|y{� ��x �xyxz{|}~ �x �{ ��� â��}� �|{��x� �~�� x ��}àx��� �y|�|ã~}�� ~ �z  ��z|~ �xß}|@�ð~� ������� Î��yzx ��x ~ ��{��x�|�~�x �x �x� ~���z|y{�  x ¸�s� �}�x s  x �}  �{xz� �x à xzy|�x��f�yx ��x x�yx ~���z|y{�  x �¼º¿¼ ��|� ~ ��y~ |}�xz|�z D�s� �x��x ���~y� �x ��x �x ~���{ ~���z|y{� }ð~� ��å~z ~{�~� ~� ~zx�y~� |}�|��x}yx� ~ �~�~ �{ ��� à xzy|�x�� x�x }ð~� ���x �x�|�|z ��zzxy~{x}yx~ ��}àx�|�~�x �� ��� â��}��

�Um]^V ÞD�< zW TcX^ZUX YhV\ TX^UnVi\ SVaZV `V^V iXaZ^]U^ V\YTX·UiViXD

Page 118: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2Ë� �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�ÚäYH åfb³a ³a_Û\Ka $\ ³a_Úg_`ab �_d`ab $\Ùa_`ab¥Vi\ ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a[ iXnYUW\a aX] TL/T- T-U{N|- B\] a]VNU{-M� ¢-p.L T-U{N|L F[ \W\ aXYi\ \ WXY\^ \Yµ]YZ\ \YTX·\ _]X \\YZ cXW[ \] WVUa l\^WVjWXYZX<��½�V¾¿À�T �Z[ çN�L Ë Kl T-U�KU�-^ Ä Va\ \YTX·\ Æ-K L XYT\jZ c\^UV�q×¼ ¼¾v¹w¼ \YTX·VÊ ,N Ë Á ¢N - T-U�KU�-Íí-U{ÆËÊ G ����� ûO-U,N è� G  û � Ë �û ¢N Kl T-U�KU�- T-U{N|-¡^JW `V^ZU]jV^[ XaZV^XW\a UYZX^XaaVi\a Y\ Va\ \YTX·\ iX \Yµ]YZ\anYUZ\a iX `\YZ\a[ YhV\ Z\i\a \jUYXV^XaDÏ���U~�¾¿À�T �Z[ Ä TL/T- T-U{N|- ,N Kl T-U�KU�- ÅU.�- ,N ¦-U�-/ÁT-.UT.,N T-l L KU. oL- ,N Kl ¦-M ¢ý�-U- T-U{N|- N /NK .U�Np.-p^�- M-U�- ,N/�N TL¦ ¢ý�KM-Á \ ,NU-�Lp ¢L Kl T-U�KU�- ,N  ¦-U�-/ Nl*+ Á \ G  bKObMO s s s Obt�M¡^�\W\ \ Va\ \YTX·\ iX \ [ �\YTB\F[ `\iX aX^ iXZX^WUYVi\ V`V^ZU^ i\ `\jckm\Y\ _]X \UYUiX \W a]V l^\YZXU^V[ Y\a Vjm\^UZW\a _]XiXZX^WUYVW XYT\jZ c\^UVa \YTX·Va[ SVaZV `^\i]ùU^W\a \ \Yµ]YZ\ iXT cX^ZUXa iXaZX `\jckm\Y\ Vaa]WUYi\ _]X V \^iXW V`^\`^UViV i\a T cX^ZUXaaXµV XaZVSXjXUiVD ²\^ Uaa\[ Y\a ^XlX^U^XW\a >Va TXùXa V\ Va\ \YTX·\iX \ \W\ \ `\jckm\Y\ \YTX·\ _]X \UYUiX \W a]V l^\YZXU^VDJ·UaZXW iUTX^a\a Vjm\^UZW\a `V^V V \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\iX \Yµ]YZ\a nYUZ\a iX `\YZ\a[ UYj]aUTX V_]XjXa _]X X·`j\^VW Vjm]WVXTXYZ]Vj XaZ^]Z]^V iX _]X XaZX \Yµ]YZ\ aXµV i\ZVi\D�\W\ \a T cX^ZUXa i\ Va\ \YTX·\ iX \ l\^WVW ]W a]S\Yµ]YZ\ iX\ [ � cV i]Va `\aackTXUa VS\^iVmXYa `V^V V UiXYZUnVghV\ iXaZXa< iXZX^WUYV^\a `\YZ\a iX \ _]X ahV\ T cX^ZUXa iX �\YTB\F[ \] UiXYZUnV^ \a `\YZ\a iX\ _]X UoL- ahV\ T cX^ZUXa iX �\YTB\F iX W\i\ V XjUWUY cV³j\aDJWS\^V XaZV `V^XgV ]WV \SaX^TVghV\ Z^UTUVj[ TX^XW\a _]X ZVYZ\]WV _]VYZ\ V \]Z^V VS\^iVmXW `X^WUZXW UiXYZUnV^ `^\`^UXiViXa mX³\WcXZ^UVa _]X `^\i]ùXW Vjm\^UZW\a `V^V V \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\D

Page 119: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 2Ëo¦¤�¤i P;k¬­°©ó¬¯ ¯°ó«;¨¯ «ª­ª 8¬®�ô®©¬¯ ò¨ «¬®©¬¯�\W\ V iXnYUghV\ iX Va\ \YTX·\ iX ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a B\W\ \WXY\^ \Yµ]YZ\ \YTX·\ _]X \ \YZ cXWF YhV\ a]mX^X ]WV l\^WV \YaZ^]ZU³TV iX \SZ�X³j\[ lVù³aX YXXaa cV^U\ iXZX^WUYV^ ]WV `^\`^UXiViX mX\WcXZ^UV_]X UYi]ùV V ]WV \YaZ^]ghV\ XnUXYZXDõ\ZX _]X[ V `^UYck`U\[ YhV\ ZXW\a \W\ iXUiU^ aX \ Va\ \YTX·\iX ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a iX *+ cX SXW iXnYUi\[ UaZ\ cX[ `\iX V\YZXX^_]X \ \Yµ]YZ\ YhV\ \YZXY�V YXY�]W `V^ iX `\YZ\a VYZU`\iVUa WVaa]Va \WSUYVgh\Xa \YTX·Va mX^XW ]W ZVj `V^Dõ\ nYVj iXaZX V`ckZ]j\ BaXghV\ ÞD�D�F[ TX^XW\a \W\ ^Xa\jTX^ XaZVaaUZ]Vgh\XaD ²\^ XY_]VYZ\[ Vaa]WV _]X \ \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a iVi\ XaZXµVZ\i\ \YZUi\ Y\ V_]cXWD ¥XaZX W\i\[ \ Va\ \YTX·\ i\ \Yµ]YZ\ Xa³ZV^ cV SXW iXnYUi\[ UaZ\ cX[ aX] UYZX^U\^ aX^ cV aXW`^X ]W \Yµ]YZ\ \YTX·\D X �RSTUVWXT V�S!��ÐTRSµXZUTVYi\ XjUWUYV^ \a `\YZ\a iX \ _]X aXµVW UYZX^U\^Xa V\ Va\\YTX·\ iX \ [ \SaX^TVW\a _]X<}UT�UV����� �Z[ �l ¦-U�- ¢N .U�NpU- ÌL NU{-M� ¢-p.L T-U{N|L ,N KlT-U�KU�- /N N /-lNU�N /N ¢N .U�Np.-p L LM�Kl �p. VLU�KM- � -plL,- ¦-pLM�KlL �p.¦ML ,N ¦-U�-/ ,- T-U�KU�-^

JaZV `^\`^UXiViX a]mX^X ]W Vjm\^UZW\ Z^UTUVj WVa iX VjZ\ ]aZ\<QRSTUVWXT �Z[ JYT�\YTMB\F]L,- Kl T-U�KU�- ÅU.�- ,N ¦-U�-/ \Á ,N{-M{N -/ { ¢Np�.TN/ ,- TL/T-T-U{N|- ,N \Á í-U{Æ\Ê^

Page 120: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2Ë� �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú2D è ` \CD ²V^V ViV Z^U`jV iX `\YZ\a iUaZUYZ\a ¶MO¶r O¶) iX \ lVgVCD2D ²V^V ViV `\YZ\ b iX è [ lVgVCD2D2D �X b cX UYZX^Y\ V\ Z^U�VYm]j\ l\^WVi\ `\^ ¶MO¶r O¶) XYZhV\^XW\TV b iX è D�D ¥XT\jTV �\YTB\F G è D

�TX�R��V�����\W\ X·UaZXW �t)� � �BÂ)F Z^U�VYm]j\a[ XW ViV ]W i\a _]VUa aX TX^UnV[�¼½ì¹w¿»q»¹"¸�sØ� Y\ `U\^ Va\[ V `X^ZUY�XYUV iX ViV ]W i\a \]Z^\a  N � `\YZ\a[ V\W`jX·UiViX Z\ZVj iXaZX Vjm\^UZW\ cX iV \^iXW iX ÂØ D¥XTXW\a X^ZVWXYZX \YaXm]U^ lVùX^ WXj�\^ _]X Uaa\DÏÐWUT �RSTUVWXT #�À�T WÀ�T$ V�S!��ÐT��½�V¾¿À�T �ZÔ çN�L KlL pN�. oL- ÍKLMÍKNp ,N *+ N /N�L Q KlL pN�L¸¹ºq »¹ ×ë½¼Àº¹ ÍKN ¦L//L ¦-p LM�Kl ¦-U�- ,N ^ çN Kl ,-/ ML,-/ � NT�L,-/ ,N�Npl.UL¹,-/ ¦-p Q T-U� ¢Nl �-,L L pN�. oL- Á NU� oL- ,.ùNl-/ ÍKN Q ¢N KlL ^XZV iXa]`\^ZX ,N ^

�Um]^V ÞDÞ< ÖXZVa iX a]`\^ZXD

Page 121: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 2Ë3RSaX^TX _]X Va ^XZVa iXZX^WUYViVa `XjVa V^XaZVa iX ]W `\jckm\Y\\YTX·\ ahV\ Z\iVa ^XZVa iX a]`\^ZX i\ `\jckm\Y\D ÖXU`^\VWXYZX<}UT�UV����� �ZÔ çN \ ¢N Kl T-U�KU�- ,N ¦-U�-/ Nl ¦-/.nToL- �NpLMMNU� oL- TL,L ¦Lp ,N ¦-U�-/ ,N \ ¦NM-/ ÍKL./ ¦L//L KlL pN�L ,N /K¦-p�N,N�Npl.UL KlL LpN/�L ,N /NK TL/T- T-U{N|-^

�Um]^V ÞDE< zW Va\ \YTX·\ X Va jUY�Va iX a]`\^ZX _]X iXZX^WUYVWa]Va V^XaZVaD�\W SVaX YXaZV `^\`^UXiViX[ `\iXW\a iXaXYT\jTX^ ]W Vjm\^UZW\WVUa XnUXYZX _]X \ VYZX^U\^D JaZX cX \ \SµXZUT\ i\ X·X^ckU\ ÞD�Dpqr �rtv�~� wx��zxà~ �{ ~���z|y{� ��x ��}�yz  �| ~ x}à��y  �z|~ ��}àx�~ �x �{��}W�}y� �x s ��}y�� }� ~�� x{ x{ ���|@�ð~� �xz~�� |�x}y|ß�~}�� ~�~zx�y~� ~yz~à x� �~ �z��z|x�~�x ������� g~@�~ ~ ~}  ~�|�x �~ ��{��x�|�~�x �x �x� ~���z|y{� x {��yzx ��x x�x �¼½ì¹w¿»q»¹"¸�s)� x {~|� xß�|x}yx ��x � ~���z|y{� ��� ��z �{ �~y�z �|}x~z�îïð þò�üø��ò %ó &ò��òö óð '( óö� ÷ù óð )*+,-./0* 12304 öó ó5ó �ÿùò þò�� ÷óð %òûö&ò��òö þòû�þû%ó��óö òø �ô6óö &ò��òö þò5û�óùôóö�

Page 122: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

22Ë �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú7 Ñ�WT�T 8�¿U�X��W�R�\Yl\^WX TUW\a YV aXghV\ 2D�D2[ ]WV iVa Z cXYUVa UW`\^ZVYZXa iX `^\³µXZ\ iX Vjm\^UZW\a[ Xa`XUVjWXYZX _]VYi\ \a iVi\a YhV\ ahV\ Z\i\a \³Y�XUi\a V `^U\^U[ cX V UY^XWXYZVjD !XµVW\a \W\ V`jU cV³jV V\ `^\SjXWViV \YaZ^]ghV\ iX Va\a \YTX·\aDf \^^XghV\ i\ Vjm\^UZW\ VSVU·\ cX iX\^^�XYUV iX ]WV `^\TV `\^UYi]ghV\ iX _]X ]WV a\j]ghV\ X·UaZX[ V _]Vj \ jXUZ\^ VZXYZ\ `X^XSX^ cVZ^VYa`V^XYZX Y\ `^ c\`^U\ Vjm\^UZW\DQRSTUVWXT �ZÔ JYT�\YTrB\F]L,- Kl T-U�KU�- ÅU.�- \ ,N ¦NM- lNU-/ �p VN/ ¦-U�-/Á ,N{-M{N - TL/T-�¼¾×ºÀëÁÂÃq¼¿¾ÂÀ¹¹¾ºqì T-U{N|- ,N \Á í-U{Æ\Ê^

2D �X �\ �G � XYZhV\2D2D �X »BbKObMObrF & Ë XYZhV\ iXT\jTV BbKObMObrF aXYhV\ iXT\jTVBbr ObMObKFDCD Ja\j�V ]W `\YZ\ ¶ � \ D �VgV \ð ` \ N  ¶¡D�D �\YaZ^]V ^X]^aUTVWXYZX �\YTB\ðF G JYT�\YTrB\ðFDÞD �X ¶ `X^ZXYX V\ UYZX^U\^ iX �\YTB\ðFÞD2D JYZhV\ iXT\jTV �\YTB\F G �\YTB\ðFÞDCD �XYhV\ÞDCD2D �\^WX �\YTB\F XaZXYiXYi\ �\YTB\ðF iX W\i\ _]X ¶aXµV ]W iX aX]a T cX^ZUXaDÞDCDCD ¥XT\jTV �\YTB\FDõ\ `Vaa\ C \ lVZ\ iX _]X ¶ cX ]W `\YZ\ V^SUZ^ cV^U\ `X^WUZX _]X XaZXVjm\^UZW\ aXµV V`jUVi\ V\ Va\ XW _]X \a `\YZ\a ahV\ iVi\a ]W V ]WY]WV \^iXW V^SUZ^ cV^UVD²V^V ViV `\YZ\[ V iXZX^WUYVghV\ iX _]Vj i\a i\Ua Va\a `\aackTXUa Y\`Vaa\ Þ cX \ _]X \\^^X `\iX aX^ lXUZV ]aVYi\³aX \a Vjm\^UZW\a iUa]ZUi\aYV aXghV\ �D�DCD

Page 123: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 222��W�R��X��WT �T ����T �ZÔZ[�^VZXW\a `\^ZVYZ\ iV aUZ]VghV\ XW _]X ¶ iXTX aX^ UYj]Ui\ YV a\j]ghV\nYVj B Vaa\ ÞDCD2FD õXaZX Va\[ i]Va Y\TVa V^XaZVa iXTXW aX^ V^XaXY³ZViVa >V XYT\jZ c\^UV \YTX·V �\YTB\ðF ViµVXYZXa V ¶ [ XY_]VYZ\ _]X ]WVViXUV iX V^XaZVa B\W `Xj\ WXY\a ]WV V^XaZVF X `\aaUTXjWXYZX T cX^ZUXaiXTX aX^ XjUWUYViVD

�Um]^V ÞD�< fjm\^UZW\ UY^XWXYZVjD¥XY\ZV^XW\a XaZV ViXUV `\^ bw ObwÃMO s s s O b9 [ \YiX Z\i\a \a T cX^ZUXabwÃMObwÃr O s s s O b9�M X Va V^XaZVa YXjXa UYUiXYZXa iXTXW aX^ XjUWUYVi\aD²\^ZVYZ\[ SVaZV iXZX^WUYV^W\a \a `\YZ\a bw X b9 D õ\ZX _]X bw¶ iXZX^³WUYV ]WV ^XZV iX a]`\^ZX `V^V \ [ VaaUW \W\ ¶b9 Df `V^ZU^ i\ T cX^ZUX bb iX �\YTB\ðF WVUa `^ c\·UW\ iX ¶ [ ]W VWUY�V³WXYZ\ Y\ aXYZUi\ VYZU³�\^ cV^U\ a\S^X \a T cX^ZUXa iX �\YTB\ðF Y\a `X^WUZXiXZX^WUYV^ b9 iV aXm]UYZX WVYXU^VD JY_]VYZ\ bbÃM XaZ cV >V iU^XUZV i\ ^VU\iX \^UmXW XW ¶ `VaaVYi\ `\^ bb [ UaZ\ cX[ XY_]VYZ\ »Bbb O¶ ObbÃMF & Ë[VTVYgV³aX bb D 0]VYi\ bb YhV\ `]iX^ WVUa aX^ VTVYgVi\ aXW iXU·V^ iXaVZUalVùX^ XaZV `^\`^UXiViX[ ZX^XW\a XY\YZ^Vi\ b9D RSaX^TX _]X[ iXlVZ\[ b9 VaaUW \SZUi\ iXZX^WUYV V ^XZV a]`\^ZX iX �\YTB\ðF `VaaVYi\`\^ ¶ D ¥X WVYXU^V aUWUjV^ aX iXZX^WUYV bw D R `Vaa\ ^XaZVYZX \YaUaZXXW a]SaZUZ]U^ V ViXUV bw ObwÃMO s s s O b9 iX �\YTB\ðF `\^ bw O¶ Ob9 \SZXYi\�\YTB\FD

Page 124: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

22C �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú

�Um]^V ÞDo< ¥XZX^WUYVghV\ iV ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^ iX �\YTB\ðF`VaaVYi\ `\^ ¶ D�TX�R��V����Ra `Vaa\a 2 X C Z\WVW ZXW`\ \YaZVYZXD ²Xj\ iXZVj�VWXYZ\ i\ `Va³�¼½ì¹w¿»q»¹"¸�sr� a\ ÞDCD2[ TXW\a _]X XjX `\iX aX^ ^XVjUùVi\ XW ZXW`\ jUYXV^ YV V^³iUYVjUiViX �\ � G ÂD H\m\[ V ^XjVghV\ iX ^X\^^�XYUV _]X iXa^XTX V\W`jX·UiViX i\ Vjm\^UZW\ cX<� � BÂF � � B N 2F I ©Â `V^V  & �� B�F G ª BÞD2F\YiX © X ª ahV\ \YaZVYZXaD ²\^ZVYZ\[ \ ZXW`\ mVaZ\ `Xj\ Vjm\^UZW\ ÞDCcX iV \^iXW iX eBÂrF[ a]`X^VYi\[ VaaUW[ V XnU�XYUV i\a VYZX^U\^XaD²X^XSV _]X aX Y\ `Vaa\ C Z\WVW\a ¶ \W\ \ `\YZ\ WVUa >V iU^XUZV iX:qÀÀ¹»ëÀq �ìq¾qÀ \ [ \ Vjm\^UZW\ ^Xa]jZVYZX cX ]W Vjm\^UZW\ iX TV^^Xi]^V `jVYV^D ²V^V _]XaX `\aaV lVùX^ V Xa\j�V iX ¶ iX WVYXU^V XnUXYZX YXaZX Va\[ iXTX³aX `^ cX³\^iXYV^ \ \Yµ]YZ\ \ `XjVa VSUaaVa iX aX]a `\YZ\a[ \W\ iUa]ZUW\aYV aXghV\ 2D�D2D

�Um]^V ÞD�< �\YaZ^]ghV\ UY^XWXYZVj XW \^iXW ^XaXYZX iX VSUaaVa

Page 125: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 22�f \W`jX·UiViX ^Xa]jZVYZX iX`XYiX ^]UVjWXYZX i\ `^\Xaa\ iXiXZX^WUYVghV\ iV ViXUV iX T cX^ZUXa X V^XaZVa V aX^ XjUWUYViV i\ Va\\YTX·\ UYZX^WXiU cV^U\ BX iV XjUWUYVghV\ `^\`^UVWXYZX iUZVFD fiUV^XW\aV VY cVjUaX iXZVj�ViV iX ]WV WVYXU^V XnUXYZX iX ^XVjUùV^ XaZVa Vgh\XaVZ cX WVUa ViUVYZX[ WVa \ jXUZ\^ VYaU\a\ cX \YTUiVi\ V `^\µXZV^ X VYVjUaV^V \W`jX·UiViX iX ]W Vjm\^UZW\ `\^ TV^^Xi]^V `jVYV^ SVaXVi\ YXaZVa\SaX^TVgh\XaD

¦¤�¤£ �¬©ª °®Ç¨­°¬­�\YTcXW VYVjUaV^W\a \ `^\SjXWV XW XaZ]i\ iX W\i\ V iXZX^WUYV^ ]WV }¹À �q �ë¹ ×¹ ½¼»¹¤q�¹À ¹ìÓ¼À;\ZV UYlX^U\^ _]X iXa^XTV a]V \W`jX·UiViX UYZ^ckYaXVD�\W\ iUa]ZUW\a YV aXghV\ 2DE[ Z\i\ Vjm\^UZW\ _]X ]ZUjUùV \ ZXaZXiX \^UXYZVghV\ iX Z^U�VYm]j\ `^Xaa]`h\X _]X \ W\iXj\ \W`]ZVU\YVj Vi³WUZV `^\i]Z\a XYZ^X TVj\^Xa iV XYZ^ViVD H\m\[ ZVUa Vjm\^UZW\a YhV\ ahV\^X`^XaXYZ cVTXUa Y\a W\iXj\a iX iXUah\Xa SUY cV^UVa \] iX iXUah\Xa jUYXV^XaD²\^ZVYZ\[ _]Vj_]X^ `^\TV iX \ZV UYlX^U\^ `V^V \ `^\SjXWV iV \Ya³Z^]ghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V iXTX aX^ lXUZV iXYZ^\ iX ]W W\iXj\ `Xj\WXY\a ZhV\ l\^ZX _]VYZ\ \ iX cV^T\^X iX iXUah\Xa _]Vi^ cVZUVaD �\YaU³iX^V^XW\a \ W\iXj\ iX iXUah\Xa Vjm cXS^UVa[ µ cV _]X XaZX UYj]U Z\iVa Va\`X^Vgh\Xa YXXaa cV^UVaDR jXUZ\^ lVWUjUV^ \W V iXW\YaZ^VghV\ iX _]X \ `^\SjXWV iV \^iX³YVghV\ ^X_]X^ `Xj\ WXY\a óB j\mÂF \W`V^Vgh\Xa Y\ W\iXj\ iX cV^T\^XiX iXUah\Xa SUY cV^UVa YhV\ ZX^ cV iUn]jiViX iX TX^ _]X V WXaWV `^\TV TVjXZVWScXW `V^V \ W\iXj\ iX cV^T\^X iX iXUah\Xa Vjm cXS^UVaDH\m\[ `V^V XaZVSXjXX^W\a óB j\mÂF \W\ \ZV UYlX^U\^ `V^V \`^\SjXWV iV \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\[ SVaZV ^Xi]ùU^W\a V XaZX[\ `^\SjXWV iV \^iXYVghV\[ \Yl\^WX aXghV\ 2DoD �aa\ aX `\iX lVùX^\YaZ^]UYi\³aX BXW ZXW`\ jUYXV^F ]WV UYaZ�VYUV i\ `^\SjXWV i\ Va\\YTX·\ V `V^ZU^ iX ]WV UYaZ�VYUV V^SUZ^ cV^UV i\ `^\SjXWV iV \^iXYVghV\iX W\i\ _]X aX `\aaV \SZX^ BXW ZXW`\ jUYXV^F V a\j]ghV\ iXaZV V `V^ZU^iV a\j]ghV\ iV_]XjVD¥ViV ]WV aX_¾]�XYUV \ iX  Y c]WX^\a ^XVUa B\] WXaW\ UYZXU^\aF �¼ºq ¿¾¤ ¹À¿¼À"D�s ���s�JKOJMO s s s OJt�M[ \YaUiX^X \ \Yµ]YZ\ \ G  BJKOJrKFO BJMOJrMFO s s s OBJt�MOJrt�MF¡ iX `\YZ\a a\S^X V `V^ cVS\jV L G Jr D JW `^UWXU^\ j]mV^[Y\ZX _]X Z\i\a \a `\YZ\a iX \ ahV\ T cX^ZUXa iX a]V XYT\jZ c\^UV \YTX³

Page 126: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

22Þ �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú·V �\YTB\FD fiXWVUa[ `X^\^^XYi\³aX Bi]Va TXùXaF V aX_¾]�XYUV i\aT cX^ZUXa iX �\YTB\F `\iXW\a `^\i]ùU^ V aX_¾]�XYUV \ \^iXYViVD

�Um]^V ÞD3< ÖXi]ghV\ iX \^iXYVghV\ `V^V Va\ \YTX·\�aa\ W\aZ^V _]X _]Vj_]X^ Vjm\^UZW\ _]X \YaZ^ c\U XYT\jZ c\^UVa \YTX³·Va `\iX aX^ ]aVi\ `V^V \^iXYV^ X[ `\^ZVYZ\[ nV XaZVSXjXUiV V \ZVUYlX^U\^ óB j\mÂF `V^V \ `^\SjXWV iV \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\iX ]W \Yµ]YZ\ iX  `\YZ\a XW *+ [ Y\ W\iXj\ iX cV^T\^X iX iXUah\XaVjm cXS^UVaD²\^ZVYZ\[ \ WXj�\^ _]X `\iXW\a Xa`X^V^ \SZX^ cX ]W Vjm\^UZW\ iX\W`jX·UiViX eB j\mÂFD �aZ\ cX `^XUaVWXYZX \ _]X ^XVjUùV^XW\a YVaaXgh\Xa aXm]UYZXaD¦¤�¤� �®�¬;�¨®ò¬ ¨¯©­¨;ª¯zW `\jckm\Y\ XW l\^WV iX XaZ^XjV ^X]YX a]nUXYZX XaZ^]Z]^V `V^V `X^³WUZU^ V \YaZ^]ghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V iX aX]a T cX^ZUXa iX WVYXU^VW]UZ\ WVUa XnUXYZX i\ _]X aX XaZXa l\aaXW \YaUiX^Vi\a V`XYVa \W\]W \Yµ]YZ\ iXaXaZ^]Z]^Vi\ iX `\YZ\aD<�~TRW ÑTUV� ¿T�~��� �� ÐX �TRÑÒST�T �X =TUX� �� ��WU�R�R Z^VSVj�\ iX Z^VYal\^WV^ ]W `\jckm\Y\ XW l\^WV iX XaZ^XjV YV XY³Òì¿¿¾qÁÂÃq¼ »¹�q¾~ëì¼× À¹÷ ¹w¼× T\jZ c\^UV \YTX·V iX aX]a T cX^ZUXa \YaUaZX XaaXYUVjWXYZX XW XjUWUYV^\a T cX^ZUXa Y\a _]VUa \a �VYm]j\a UYZX^Y\a ahV\ ^X¶X·\aD

Page 127: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 22E²XjV iXnYUghV\ iX `\jckm\Y\ \YTX·\[ ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa Ë GBbKObMO s s s Obt�MF cX \YTX·\ aX X a\WXYZX aX »Bbý�MObý ObýÃMF G I2 `V^VË � � �  N 2DR Vjm\^UZW\ _]X TVW\a iXa^XTX^ SVaXVi\ YXaZV iXnYUghV\ V`V^XXYV jUZX^VZ]^V µ cV Y\ V^ZUm\ `U\YXU^\ iX ÖD Ó^V�VW ÅÓ^VoCÇ[ X `\^ XaaV^VùhV\ XjX cX \Y�XUi\ `\^ TV^^Xi]^V iX Ó^V�VWDÏ���U~�¾¿À�T �ZÔ çN Kl ¦-M ¢ý�-U- N/�pNML,- UoL- N/� ¢L T-U�.,- UKl �N¹l./� ¢Np.-Á /NK TL/T- T-U{N|- UoL- N/� ¢L ,NÅU.,- ¦-./ U oL- N|./�N UNU�KlT-U�KU�- T-U{N|- ÍKN - T-U�NU�L^ � ,N�NTnToL- ,N/�L /.�KLnToL- ¢N Kl L/¹¦NT�- .l¦-p�LU�N ,- ¦p-mMNlL N ¦-,N /Np �pL�L,L ,NU�p- ,N TL,L LM�-p.�¹l- ÍKN T-U/�p ¢-. L NU{-M� ¢-p.L T-U{N|L^ �- NU�LU�-Á U-//- -m� N�.{- UN/�L/NnToL- ¢N - ,N T-U/�pK.p TL/T-/ T-U{N|-/ L¦NUL/ ,N ¦-M ¢ý�-U-/ N/�pNML,-/TK� -/ { ¢Np�.TN/ N/� oL- �-,-/ T-U�.,-/ UKl �Nl./� ¢Np.-Á ¦-p .//-Á T-U/.,NpL¹pNl-/ ÍKN -/ ¦-M ¢ý�-U-/ Nl �-plL ,N N/�pNML �pL�L,-/ LÍK. N/� oL- T-U�.,-/U- LÍK ¢Nl^�\YaUiX^X ]W `\jckm\Y\ XW l\^WV iX XaZ^XjV Ë G BbKObMO s s s Obt�MFD�X b cX ]W i\a T cX^ZUXa iX Ë [ iXY\ZV^XW\a `\^ a]BbF \ a]Xaa\^ iX b X`\^ `^XiBbF \ aX] `^XiXXaa\^ YV \^iXW XW _]X \a T cX^ZUXa ahV\ iVi\aDf UicXUV cX `X^\^^X^ \a T cX^ZUXa iX Ë [ \WXgVYi\ YVjm]W TcX^ZUX_]X aX aVUSV _]X `X^ZXYX^ cV >V XYT\jZ c\^UV \YTX·V[ iX l\^WV U^]jV^[TX^UnVYi\ aX ViV aX_¾]�XYUV iX Z^�Xa T cX^ZUXa \YaX]ZUT\a l\^WV ]WV]^TV `V^V V Xa_]X^iV \] `V^V V iU^XUZVD õ\ `^UWXU^\ Va\[ aX `^\aaXm]XX Y\ aXm]Yi\[ XjUWUYV³aX `Xj\ WXY\a ]W TcX^ZUXD

�Um]^V ÞD2Ë< �fYm]j\a ^X¶X·\a iXTXW aX^ XjUWUYVi\a

Page 128: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

22� �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú¥]^VYZX XaZX `X^]^a\[ WVYZ cXW³aX ]WV `Uj�V � i\a T cX^ZUXa _]X l\^³WVW \ Va\ \YTX·\ i\a `\YZ\a `^\XaaVi\a VZ cX \ W\WXYZ\D ! cX^ZUXa_]X TXY�VW V aX^ XY\YZ^Vi\a WVUa ZV^iX YXaZX `^\Xaa\ `\iXW l\^gV^V XjUWUYVghV\ iX Vjm]Ya i\a _]X aX XY\YZ^VW YV `Uj�V iXTUi\ >V iXZXghV\iX �VYm]j\a ^X¶X·\aD f\ nYVj[ V `Uj�V \YZ cXW \a T cX^ZUXa BYV \^iXW UY³TX^aV iV _]X _]X^XW\a>F i\ Va\ \YTX·\ iX Ë D ¥XY\ZXW\a `\^ �?@Æ@\ `\YZ\ Y\ Z\`\ iV `Uj�V � X `\^ �?@Æ@�M \ `\YZ\ UWXiUVZVWXYZX VSVU·\iX �?@Æ@ XW � DQRSTUVWXT �ZY !V^^³Ó^V�VWBË F]L,- Kl ¦-M ¢ý�-U- N/�pNML,- Ë T-l  { ¢Np�.TN/Á ,N{-M{N - TL/T- T-U{N|-,N Ë ^2D ¥XYZ^X \a T cX^ZUXa iX WVU\^ VSUaaV[ XY\YZ^X \ iX WXY\^ \^iX³YViVÌ �VWX³\ bDCD JW`Uj�X B� ObFÌ XW`Uj�X B� O a]BbFFD�D ¶ ` a]Ba]BbFFDÞD JY_]VYZ\ ¶ �G a]BbF ^X`UZVÞD2D �X »B�?@Æ@�MO�?@Æ@ O¶F & Ë XYZhV\ÞD2D2D JW`Uj�X B� O¶FÌÞD2DCD ¶ ` a]B¶FÞDCD �XYhV\ iXaXW`Uj�X B�FDED ¥XT\jTV \W\ �\YTBË F \a T cX^ZUXa iX � YV \^iXW UYTX^aV iV_]X aX XY\YZ^VW YV `Uj�VD

�TX�R��V����RSaX^TX _]X ZVYZ\ V iXZX^WUYVghV\ i\ T cX^ZUX UYUUVj b B Vaa\ 2F _]VYZ\�¼½ì¹w¿»q»¹"¸�s� \ `X^]^a\ B Vaa\ ÞF ahV\ `^\XiUWXYZ\a ^XVjUù cVTXUa XW ZXW`\ jUYXV^ Y\Y c]WX^\ iX T cX^ZUXa iX Ë [ µ cV _]X ViV T cX^ZUX cX XW`Uj�Vi\ X·VZVWXYZX]WV TXùDcJ UW`\^ZVYZX \SaX^TV^ _]X V aUW`jUUiViX i\ `\jckm\Y\ ^Xa]jZVYZX cXiX\^^XYZX i\ lVZ\ iX _]X \ `\jckm\Y\ \^UmUYVj Ë X^V N/�pNML,-D �X Ë l\aaXV`XYVa ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa YhV\ XaZ^XjVi\[ \ `^\XiUWXYZ\ lVj�V^UV[\W\ W\aZ^V \ X·X^ckU\ aXm]UYZX<

Page 129: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 22opqr �r�v�~� �}��}yzx �{ ��� â��}� �|{��x� ¾ Ãq¼ ¹×ºÀ¹ìq»¼ �~z~ � ��~� � �z��x��|{x}y� ~�|{~ ½À¼»ë� ~ x}à��y  �z|~ ��}àx�~���� �}��}yzx �{ ��� â��}� �|{��x� ¾ Ãq¼ ¹×ºÀ¹ìq»¼ �~z~ � ��~� � �z��x��|{x}y� ~�|{~ ¾ Ãq¼ ½À¼»ë� ~ x}à��y  �z|~ ��}àx�~���� Î��yzx ��x � {x}�z ��� â��}� ��x �xzàx �x ����@�ð~� �~z~ � |yx{ ���yx{ �x|� à xzy|�x��

¦¤�¤¦ AªÑ¨®ò¬ ¨¯©­¨;ª¯JW TUaZV i\ _]X V`^XaXYZVW\a Y\ UYckU\ iXaZV aXghV\[ `V^V _]X `\aaVW\a\SZX^ ]W Vjm\^UZW\ a]S_]Vi^ cVZU\ `V^V \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\ iX]W \Yµ]YZ\ \ iX  `\YZ\a i\ V_]cXW[ SVaZV V`XYVa _]X \SZXY�VW\a]W Vjm\^UZW\ iX \W`jX·UiViX BBÂrF `V^V \YaZ^]ghV\ iX ]W `\jckm\Y\XW l\^WV iX XaZ^XjV ]µ\a T cX^ZUXa aXµVW \a `\YZ\a iX \ D R aXm]UYZXVjm\^UZW\ VZUYmX XaaX \SµXZUT\D

�Um]^V ÞD22< �\YaZ^]ghV\ iX `\jckm\Y\ XW l\^WV iX XaZ^XjVQRSTUVWXT �Z� JaZ^B\F]L,- Kl T-U�KU�- \ ,N Â ¦-U�-/Á ,N{-M{N Kl ¦-M ¢ý�-U- N/�pNML,- TK� -T-U�KU�- ,N { ¢Np�.TN/ ¢N \^

Page 130: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

22� �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú2D Ja\j�V i\Ua `\YZ\a iUaZUYZ\a bK X bM _]VUa_]X^ XW \ DCD R^iXYX \a iXWVUa `\YZ\a VYm]jV^WXYZX XW ^XjVghV\ V bK X bKebMD�D ¥XT\jTV \ `\jckm\Y\ ]µ\a T cX^ZUXa ahV\ Z\i\a \a `\YZ\a iX \ [ YV\^iXW \SZUiV Y\ `Vaa\ VYZX^U\^[ \WXgVYi\ X ZX^WUYVYi\ XWbKDf iXW\YaZ^VghV\ iX _]X \ T cX^ZUX bK Xa\j�Ui\ Y\ `^UWXU^\ `Vaa\·À»¹¾qÁÂÃq¼ ¿¾»ë�¹×ºÀëºëÀq iXaZX Vjm\^UZW\ `\iX aX^ V^SUZ^ cV^U\ cX W\ZUT\ i\ X·X^ckU\ ÞDEDpqr �rîv � �z��  ��|y� �� ~���z|y{� ���  x ~ ��}�yz�@�ð~� �x �{ ��� â��}�x{ ��z{~ �x x�yzx�~ ��W�� à xzy|�x� �ð~� �� ��}y�� �x �{ �~�� ��}W�}y�ß}|y� p��~� Î��yzx ��x� }� �z|{x|z� �~��� �� ~���z|y{�� ~ x����å~ �� ��}y� ¡K�� ��}W�}y� p x{ y�z}� �� ��~� ~ �z�x}~@�ð~� �|z���~z ��� ��yz����}y��  x zx~�|ã~�~ ���x �xz ~z�|yz  ~z|~� Ã�y�  x� ��~���xz ��x �xW~ ���}y� �x}yz~� �~ �z�x}~@�ð~� � zx���y~�� �� ~���z|y{�  x �x{�zx �{��� â��}� x{ ��z{~ �x x�yzx�~���� Î��yzx ��x ���x{�� y~{� x{ x����åxz ��{� ��}y� �x}yz~� ��~����xz ��}y� x{ �+ ��x �xW~ �{~ ��{�|}~@�ð~� ��}àx�~ �x �x�� {x}��� ��}y�� �x p���� � ��x ~��}yx�x �x x����åxz{�� ��{� ��}y� �x}yz~� �~ �z�x}~@�ð~��|z���~z �{ ��}y� ��x �xW~ �{~ ��{�|}~@�ð~� �|}x~z ¾ Ãq¼ ¼¾v¹wq�x ��}y�� �x p¢�\W\ \ jXUZ\^ µ cV iXTX a]a`XUZV^[ V \^iXYVghV\ VYm]jV^ `\iX aX^^XVjUùViV aXW V YXXaaUiViX iX cVj]j\ X·`jckUZ\ iX �VYm]j\aD !XµVX·X^ckU\ ÞD�Dpqr �r�v wx��zxà~ �{ �z��x�|{x}y� �~z~ zx~�|ã~z ~ �z�x}~@�ð~� ~}���~z�� �~��� � �� ~���z|y{� ��� ��~}�� ~�x}~� � yx�yx �x �z|x}y~@�ð~� �xyz|ä~}������

�TX�R��V����f \W`jX·UiViX i\ Vjm\^UZW\ ÞDÞ cX XaaXYUVjWXYZX iXTUiV V\ `Vaa\ C iX�¼½ì¹w¿»q»¹"¸�s ���s� \^iXYVghV\ _]X `\iX aX^ ^XVjUùVi\ XW ZXW`\ eB j\mÂF[ \ _]X cX c\ZUW\D

Page 131: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 223ÏWVX�RV���� �T �RSTUVWXTõVa i]Va aXgh\Xa VYZX^U\^Xa TUW\a _]X[ iVi\ ]W \Yµ]YZ\ \ iX  `\YZ\a �q×¼ ¼¾v¹w¼ ¹º¹½¼ �¼º¿¼"C�s ���s�Y\ V_]cXW<D `\iXW\a \YaZ^]U^ XW ZXW`\ eB j\mÂF ]W `\jckm\Y\ XaZ^XjVi\ ËZXYi\ Z\i\a \a `\YZ\a iX \ \W\ TcX^ZUXaÌD V `V^ZU^ iX ]W `\jckm\Y\ XaZ^XjVi\ cX `\aackTXj \SZX^ XW ZXW`\ jUYXV^\ aX] Va\ \YTX·\ÌD óB j\mÂF cX ]WV \ZV UYlX^U\^ `V^V V \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\iX ]W \Yµ]YZ\ iX  `\YZ\a XW *+ [ Y\ W\iXj\ iX cV^T\^X iXiXUah\Xa Vjm cXS^UVaD�aa\ XaZVSXjXX ]W Vjm\^UZW\ VaaUYZ\ZUVWXYZX c\ZUW\ `V^V V iXZX^³WUYVghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V iX \Yµ]YZ\a nYUZ\a iX `\YZ\a Y\ `jVY\`^\µXZUT\ \^UXYZVi\D

E�UU��ÐU�F ÐX� GÐ��WÀ�T �� ÑTWV¿�!XµVW\a Vm\^V \W\ `\iXW\a Z^VYal\^WV^ \a `^\XiUWXYZ\a _]X jXTV³^VW >V \YaZ^]ghV\ iX Va\ \YTX·\ XW ZXW`\ c\ZUW\ XW ]W Vjm\^UZW\_]X ]ZUjUùV \ `V^ViUmWV iX TV^^Xi]^V `jVYV^D�XµV[ VUYiV[ \ ]W \Yµ]YZ\ iX  `\YZ\a Y\ V_]cXWD ��VWXW\a iXbHýt X bH�ä \a `\YZ\a iX \ iX WXY\^ X iX WVU\^ VSUaaV[ ^Xa`XZUTVWXY³ZXD �\YaUiX^X \ a]S\Yµ]YZ\ \à iX \ l\^WVi\ `Xj\a `\YZ\a _]X XaZhV\i\ jVi\ YhV\³YXmVZUT\ iV ^XZV bHýt ebH�ä D �UWUjV^WXYZX[ iXY\ZX `\^ \�\ \Yµ]YZ\ i\a `\YZ\a iX \ i\ jVi\ YhV\³`\aUZUT\ iX bHýt ebH�ä D RSaX^³TX _]X \ Va\ \YTX·\ iX \ `\iX aX^ \SZUi\ iV ]YUhV\ iX �\YTB\ÃF X�\YTB\�F ]µV c]YUV UYZX^aXghV\ ahV\ \a `\YZ\a bHýt X bH�ä D ²\^ZVYZ\[`\iXW\a \YaZ^]U^ �\YTB\ÃF X �\YTB\�F UYiX`XYiXYZXWXYZXD�WVmUYX ]W `\YZ\ bI iX VSUaaV bIsJ G BbHýtsJ I bH�ä sJF!C X\^iXYViV bIsL G NÊ[ XW Z\^Y\ i\ _]Vj \^iXYVW\a VYm]jV^WXYZX \a`\YZ\a iX \ÃD JaZV \^iXYVghV\ \^^Xa`\YiX X·VZVWXYZX >V \^iXYVghV\i\a `\YZ\a iX \à `\^ a]Va VSUaaVaD

Page 132: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2CË �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú

�Um]^V ÞD2C< �\YaZ^]ghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V `\^ TV^^Xi]^VD�X \YaZ^]ckW\a[ \Yl\^WX \ `Vaa\ C i\ Vjm\^UZW\ ÞDÞ[ \ `\jckm\Y\ Xa³Z^XjVi\ Ë ]µ\ \Yµ]YZ\ iX T cX^ZUXa cX \Ã[ V V`jUVghV\ i\ Vjm\^UZW\ ÞD�BiX TV^^Xi]^V iX Ó^V�VWF `^\i]ù \ Va\ \YTX·\ iX \ÃD �UWUjV^WXY³ZX[ `\iXW\a \SZX^ �\YTB\�FD²X^XSV _]X XaZX `^\XiUWXYZ\ cX `^XUaVWXYZX ]W iX TV^^Xi]^V`jVYV^ Y\ aXYZUi\ iXa^UZ\ YV aXghV\ 2D�D2[ aX iXa`^XùVW\a \ V^ZUlckU\ i\`\YZ\ bI X \YaUiX^VW\a V`XYVa _]X[ ]WV TXù \^iXYVi\a \a `\YZ\a iX\Ã[ \ Vjm\^UZW\ iV TV^^Xi]^V iX Ó^V�VW \YaUaZX iX TUaUZV^ \a `\YZ\a iX\à XW aX_¾]�XYUV `^\XaaVYi\³\a iX W\i\ V XjUWUYV^ �VYm]j\a ^X¶X·\aDf \W`jX·UiViX i\ Vjm\^UZW\ VUYiV cX V WXaWV iXa^UZV VYZX^U\^³WXYZX[ UaZ\ cX[ eB j\mÂF[ X ZXW\a VaaUW[ ]W Vjm\^UZW\ c\ZUW\ SVaXVi\YV Z cXYUV iX TV^^Xi]^V `jVYV^[ a c\ _]X V`^XaXYZVi\ \W\ ]WV TV^UVghV\iX ]W \]Z^\ Vjm\^UZW\ iX TV^^Xi]^V VYm]jV^D¦¤�¤¥ �¬®¯©­ô98:ª¬ «¬­ ò°�°¯:ª¬ ¨ 8¬®yô°¯©ª!VW\a Vm\^V ]ZUjUùV^ \]Z^\ UW`\^ZVYZX `V^ViUmWV iX `^\µXZ\ iX Vjm\^UZ³W\a[ `V^V V`^XaXYZV^W\a WVUa ]W `^\XiUWXYZ\ BZVWScXW c\ZUW\F `V^V\YaZ^]ghV\ iX Va\ \YTX·\D}TU �V~V�À�T � ¿T�GÐV�W�R Vjm\^UZW\ `Xj\ WcXZ\i\ UY^XWXYZVj _]X TUW\a YV aXghV\ ÞD�D2 `V^V\YaZ^]ghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V iX ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a \YaUaZX

Page 133: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 2C2XaaXYUVjWXYZX iX ^X]YU^ ]W `\YZ\ iX ViV TXù V ]W Va\ \YTX·\`^XTUVWXYZX \YaZ^]cki\DzWV UicXUV aXWXj�VYZX cX V iX ^X]YU^ ,-./ Va\a \YTX·\a `V^UVUaBiUaµ]YZ\aF iX W\i\ V l\^WV^ \ Va\ \YTX·\ iV ]YUhV\ iX aX]a T cX^ZUXaD�aa\ Y\a jXTV >V V`jUVghV\ iV Z cXYUV iX ,.{./ oL- N T-UÍK./�L `V^V `^\µXZ\iX ]W Y\T\ Vjm\^UZW\Df\ UYT cXa iX lVùX^W\a ]WV iUTUahV\ i\ \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a XW i\Ua �q×¼ ¼¾v¹w¼ ½¼À»¿v¿× Ãq¼ ¹ ¼¾�ë¿×ºqa]S\Yµ]YZ\a V^SUZ^ cV^U\a[ ]aV^XW\a ]WV iUTUahV\ _]X `^\i]ùV i\Ua a]S³\Yµ]YZ\a aX`V^Vi\a `\^ ]WV ^XZV TX^ZUVj WXiUVYV YVa VSUaaVa i\a`\YZ\aD B��VWV^XW\a J \ i\ jVi\ YhV\ YXmVZUT\ X _ \ i\ jVi\ YhV\`\aUZUT\DF

�Um]^V ÞD2�< �Va\ \YTX·\ `\^ iUTUahV\ X \Y_]UaZV¥XaZX W\i\[ mV^VYZUW\a _]X Y\ `Vaa\ iX \Y_]UaZV ZX^XW\a i\Ua`\jckm\Y\a \YTX·\a iUaµ]YZ\a V aX^XW `^\XaaVi\aD JaZX `^\XaaVWXYZ\\YaUaZX iV \YaZ^]ghV\ iX i]Va V^XaZVa iX a]`\^ZX BaXWXj�VYZX V \W\nùXW\a Y\ Va\ i\ Vjm\^UZW\ UY^XWXYZVjF X iV XjUWUYVghV\ i\a T cX^ZUXaUYZX^Y\a V\ Y\T\ `\jckm\Y\D R Vjm\^UZW\ ÞDE VZUYmX XaZX `^\` c\aUZ\DQRSTUVWXT �ZÜ �\YT¥K�B\F]L,- Kl T-U�KU�- \ ,N ¦-U�-/Á ,N{-M{N - TL/T- T-U{N|- ,N \^2D R^iXYX \a  `\YZ\a i\ \Yµ]YZ\ \ `\^ VSUaaVDCD ¥XT\jTV \ Va\ \YTX·\ \YaZ^]cki\ `Xj\ Vjm\^UZW\�\YT¥K�³f]·B\F VSVU·\D

Page 134: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2CC �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�ÚQRSTUVWXT �Z� �\YT¥K�³f]·B\F2D �X �\ �G � XYZhV\2D2D aX »BbKObMObrF & Ë XYZhV\ iXT\jTV BbKObMObrF aXYhV\ iXT\jTVBbr ObMObKFDCD ¥UTUiV \a `\YZ\a XW i\Ua \Yµ]YZ\a J X _ \YZXYi\ \a �Â!C�`\YZ\a i\ jVi\ YhV\ YXmVZUT\ X \a �Â!C� `\YZ\a i\ jVi\ YhV\`\aUZUT\[ ^Xa`XZUTVWXYZXD�D �\YaZ^]V \a Va\a \YTX·\a �\YTBJFG�\YT¥K�³f]·BJF X�\YTB_FG�\YT¥K�³f]·B_F[ ^X]^aUTVWXYZXDÞD �YZX^VjX �\YTBJF \W �\YTB_F l\^WVYi\ �\YTB\FDED ¥XT\jTV �\YTB\FDRSTUVWXYZX[ \ `Vaa\ iX UYZX^VjVghV\ ^X_]X^ iXZVj�VWXYZ\ `\Ua cX VjU_]X aX i cV V XlXZUTV \YaZ^]ghV\ iX Y\TVa V^XaZVa V ViV `Vaa\ iX \Y_]Ua³ZVD R Vjm\^UZW\ ÞDo V aXm]U^ iXZX^WUYV \ `V^ iX T cX^ZUXa i\a \Yµ]Y³Z\a �\YTBJF X �\YTB_F _]X iXnYXW ]WV ^XZV iX a]`\^ZX \W]W V\ai\Ua `\jckm\Y\a �\YTBJF X �\YTB_FD �UWUjV^WXYZX[ iXTX³aX iXZX^WUYV^V V^XaZV iX a]`\^ZX UYlX^U\^ X XjUWUYV^ iX ViV ]W i\a Va\a \YTX³·\a `V^UVUa VYZX^U\^Xa \a T cX^ZUXa UYZX^U\^Xa V\ `\jckm\Y\ �\YTBJ L_F^Xa]jZVYZX[ VaaUW \W\ Va V^XaZVa YXjXa UYUiXYZXaDÖX\^iX³aX _]X iVi\ ]W TcX^ZUX b iX ]W `\jckm\Y\ iXY\ZVW\a `\^a]BbF \ T cX^ZUX aXm]UYZX V b X `\^ `^XiBbF \ aX] VYZX^U\^ YV \^iXW XW_]X \a T cX^ZUXa ahV\ iVi\aD

�Um]^V ÞD2Þ< �\YaZ^]ghV\ iV ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^D

Page 135: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎLÎ �×ØÝÒ ÝÒ�êÚcÒ �Ú ÝÒ�éÕ�ÛÒØ ��ÜÛÒØ �Ú Ò�ÛÒØ 2C�QRSTUVWXT �Z� �]`³�]`\^ZXB�\YTBJF[�\YTB_FF]L,-/ -/ TL/T-/ T-U{N|-/ í-U{ÆJÊ N í-U{Æ_Ê ,N ,-./ T-U�KU�-/ J N_Á M.UNLplNU�N /N¦Lp ¢L{N./ ¦-p KlL pN�L MÁ T-l J ,- ML,- UoL- UN�L�.{-,N M N_ ,- ML,- UoL- ¦-/.�.{- ,N MÁ ,N{-M{N L LpN/�L ,N /K¦-p�N /K¦Np.-p,N í-U{ÆJÊ N í-U{Æ_Ê^2D �XµV � ]W TcX^ZUX iX �\YTBJF WVUa `^ c\·UW\ iX M X È ]W TcX^ZUXiX �\YTB_F WVUa `^ c\·UW\ iX MDCD JY_]VYZ\ B�O ÈF YhV\ cX ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^ ZVYZ\ iX �\YTBJF_]VYZ\ iX �\YTB_F ^X`UZVCD2D JY_]VYZ\ B�O ÈF YhV\ cX ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^ iX �\YTBJF^X`UZVCD2D2D � ` a]B�FDCDCD JY_]VYZ\ B�O ÈF YhV\ cX ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^ iX �\YTB_F^X`UZVCDCD2D È` `^XiBÈFD�D ¥XT\jTV \ `V^ B�O ÈFD²V^V iXZX^WUYV^ aX B�O ÈF[ � � J [ È � _[ cX ^XZV iX a]`\^ZX a]`X^U\^ I¹º¹À¿¾qÁÂÃq¼ »¹À¹ºq »¹ ×ë½¼Àº¹ »¹»¼¿× ½¼ì �Æ~¼¾¼×iX �\YTBJF SVaZV TX^UnV^ aX »BÈO`^XiB�FO�F ' Ë X »BÈO�O a]B�FF & Ë[BUaZ\ cX[ \ `^XiXXaa\^ X \ a]Xaa\^ iX � XW �\YTBJF iXTXW XaZV^ VWS\ai\ jVi\ `\aUZUT\ iX È e �FD�TX�R��V����²V^V aX iXZX^WUYV^ V \W`jX·UiViX i\ Vjm\^UZW\ ÞDo[ Y\ZX _]X ViV �¼½ì¹w¿»q»¹"C�s ���s�T cX^ZUX iX ]WV a]S³ViXUV iX �\YTBJF cX TUaUZVi\ X·VZVWXYZX ]WVTXùD BJaZV a]S³ViXUV cX `^XUaVWXYZX V_]XjV _]X iXTX aX^ XjUWUYViVi]^VYZX V UYZX^VjVghV\ iX �\YTBJF X �\YTB_FDF ²\^ZVYZ\[ \ Y c]WX^\iX \`X^Vgh\Xa ^XVjUùViVa YhV\ ]jZ^V`VaaV eBÂFDJaZVSXjXUiV V XnU�XYUV i\ `^\XiUWXYZ\ _]X \^^Xa`\YiX V\ `Vaa\iX \Y_]UaZV i\ Vjm\^UZW\ ÞD�[ `\iXW\a X·`^XaaV^ V \W`jX·UiViX iXaZX\W\ V a\j]ghV\ iV ^XjVghV\ iX ^X\^^�XYUV<� � BÂF � C� BÂ!CF I ©Â `V^V  & �� B�F G ª BÞDCF\YiX © X ª ahV\ \YaZVYZXaD H\m\ \ ZXW`\ mVaZ\ `Xj\ Vjm\^UZW\ ÞDE cX iV\^iXW iX eB j\mÂF[ aXYi\[ `\^ZVYZ\[ ZVWScXW c\ZUW\D

Page 136: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2CÞ �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�Ú¦¤�¤6 � yôª®ò¬ ¬ 8ª¯8¬ 8¬®�¨ö¬ ®:ª¬ ¨ö°¯©¨Û²^\WXZXW\a VYZX^U\^WXYZX XajV^XX^ \W\ iXZX^WUYV^ aX \ Va\ \Y³TX·\ iX ]W \Yµ]YZ\ nYUZ\ iX `\YZ\a cX iXnYUi\D f iUn]jiViX iV_]XaZhV\ cX _]X WXaW\ ]W \Yµ]YZ\ aXW `\YZ\a VYZU`\iVUa `\iX `^\i]³ùU^ ]W `\jckm\Y\ BaUW`jXaF \YZXYi\ `V^Xa iX `\YZ\a VYZU`\iVUa ZVYZ\XW aX] jVi\ `\aUZUT\ _]VYZ\ XW aX] jVi\ YXmVZUT\D0]Vj cX XYZhV\ ]WV V^VZX^UùVghV\ i\a \Yµ]YZ\a `V^V \a _]VUa Uaa\\\^^X1 RSTUVWXYZX[ `\YZ\a VYZU`\iVUa `X^ZXYXW V �XWUal cX^U\a \W³`jXWXYZV^Xa X[ VUYiV WVUa[ X·VZVWXYZX ]W `\YZ\ iXYZ^X ]W `V^ _]Vj³_]X^ iX VYZck`\iVa `X^ZXYX V\ V_]cXW X \ \]Z^\ V\ Vj cXWD ²\^ZVYZ\[ aX]WV ^XmUhV\ iX *+ \YZ cXW `\YZ\a VYZU`\iVUa[ \ \Yµ]YZ\ VYZU`\iVj iV`V^ZX iX \YZUiV Y\ Vj cXW ZXW _]X UYZX^X`ZV^ V `\^ghV\ iX \YZUiVY\ V_]cXWDJaZV `^\`^UXiViX `X^WUZX iXUiU^W\a aX V XYT\jZ c\^UV \YTX·V iX ]W\Yµ]YZ\ \ iX  `\YZ\a XW *+ cX iXnYUiV \] YhV\D R aXm]UYZX Vjm\^UZW\iXUiX XaZV _]XaZhV\<QRSTUVWXT �Z J·UaZX³�\YTB\F]L,- Kl T-U�KU�- \ ,N ¦-U�-/ Nl *+ Á ,N{-M{N N{Np,L,N.p-N/N - TL/T-T-U{N|- ,N \ ¢N ,NÅU.,- N N� LM/-NU- TL/- T-U�p ¢Lp.-^2D �XµV \à B\�F \ \Yµ]YZ\ iX Z\i\a \a `\YZ\a iX \ iX `Xa\ `\aUZUT\BYXmVZUT\FDCD �XµV d\� \ \Yµ]YZ\ VYZU`\iVj iX \�D�D �\YaZ^]V �\YTB\ÃF X �\YTBd\�FDÞD �X �\YTB\ÃF � �\YTBd\�F �G Î XYZhV\ iXT\jTV â²ã´³[ aXYhV\iXT\jTV Þßàá²áßµà³DR Vjm\^UZW\ ]aVi\ Y\ `Vaa\ � `\iX aX^ _]Vj_]X^ ]W _]X \YaZ^]VVa\ \YTX·\ `\Ua VWS\a \a \Yµ]YZ\a \à X d\� Z�XW XYT\jZ c\^UVa iXn³YUiVaDf iXZX^WUYVghV\ iV X·UaZ�XYUV iX UYZX^aXghV\ XYZ^X �\YTB\ÃF X�\YTBd\�F Y\ `Vaa\ Þ `\iX aX^ lXUZV XW ZXW`\ jUYXV^ XW �\ � X iXU³·VW\a \W\ ]W X·X^ckU\ `V^V \ jXUZ\^ \ `^\µXZ\ iXaZX Vjm\^UZW\D²\^ZVYZ\[ V V`jUVghV\ iX Z\i\a \a Vjm\^UZW\a TUaZ\a YXaZX V`ckZ]j\`V^V \YaZ^]ghV\ i\ Va\ \YTX·\ iX ]W \Yµ]YZ\ nYUZ\ \ iX `\YZ\a

Page 137: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

æÎæÎ OcÛÚ�ØÒÚØ 2CE`\iX aX^ lXUZV Vaa]WUYi\ _]X aX iXUiU] VYZXa _]X XaZX Va\ cX iXnYUi\[µ cV _]X XaZV iXUahV\ `\iX aX^ lXUZV VZ^VT cXa iV X·X]ghV\ i\ Vjm\^UZW\J·UaZX³�\YTB\F VUWVD f UYiXnYUghV\ iV XYT\jZ c\^UV \YTX·V cX UYiUViV`\^ ]WV WXYaVmXW iX X^^\[ _]VYi\ V`^\`^UVi\Dfj cXW iUaa\[ V WXY\a iX ]WV Z^VYajVghV\ B XVjUù cVTXj XW ZXW`\ jUYXV^F[`\iXW\a Vaa]WU^ _]X \ \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a ]µ\ Va\ \YTX·\ aX iXaXµV\YaZ^]U^ XaZ cV \YZUi\ Y\ V_]cXWDäYä OK`\_ba\b�j]aZ^VW\a Vjm]Ya `V^ViUmWVa iX `^\µXZ\a iX Vjm\^UZW\a YV cV^XV iXmX\WXZ^UV \W`]ZVU\YVj VZ^VT cXa iV VS\^iVmXW iX Vjm]Ya `^\SjXWVa^XjVU\YVi\a \W `\jckm\Y\a X[ XW `V^ZU]jV^[ \W V \YaZ^]ghV\ iX XY³T\jZ c\^UVa \YTX·VaD ¥XYZ^X XaZXa `V^ViUmWVa[ TUW\a<D \YaZ^]ghV\ UY^XWXYZVj[D TV^^Xi]^V `jVYV^[D iUTUahV\ X \Y_]UaZVDfj cXW iUaa\[ XaZVSXjXXW\a ]WV \ZV UYlX^U\^ YhV\ Z^UTUVj `V^V \ `^\³SjXWV iV \YaZ^]ghV\ iX Va\a \YTX·\a X W\aZ^VW\a _]X XjV `\iX aX^VZUYmUiV `\^ Vjm\^UZW\a \W\ V_]XjXa SVaXVi\a XW TV^^Xi]^V X iUTUahV\X \Y_]UaZVD �aa\[ Y\ XYZVYZ\[ YhV\ XYX^^V \ XaZ]i\ iX Vjm\^UZW\a `V^VXaZX `^\SjXWV[ `\Ua � cV VUYiV W]UZVa _]XaZh\Xa ^XjXTVYZXaD ¥XYZ^X XjVa[ZXW\a< VY cVjUaX \W`V^VZUTV iX Vjm\^UZW\a `V^V UYaZ�VYUVa iX ZVWVY�\aiX UYZX^XaaX `^ cVZU\[ WVY]ZXYghV\ iX XYT\jZ c\^UV \YTX·V YV aUZ]VghV\ iX\Yµ]YZ\a iX `\YZ\a a]SWXZUi\a V VjZX^Vgh\Xa XW ZXW`\ ^XVj BUYaX^ghV\[^XW\ghV\F[ `^\µXZ\ iX Vjm\^UZW\a V`^\·UWVi\a \W \W`jX·UiViX jUYXV^[XZD

¦¤¦¤i �ª¯8¬ 8¬®�¨ö¬ ò¨ «¬;¿Ùk¬®¬ ¯°ó«;¨¯!UW\a VYZX^U\^WXYZX BaXghV\ ÞD�D�F _]X V XaZ^]Z]^V iX ]W `\jckm\Y\ Xa³Z^XjVi\ cX a]nUXYZX `V^V _]X aX `\aaV ^XVjUùV^ V \YaZ^]ghV\ iV XYT\jZ c\^UV\YTX·V iX aX]a T cX^ZUXa \W ]WV _]VYZUiViX jUYXV^ iX \`X^Vgh\XaD

Page 138: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2C� �× Ñ�ÛÕÖÒ æÎ �Ò�êÚcÜ�×�ÚR Va\ \YTX·\ iX ]W `\jckm\Y\ aUW`jXa BYhV\ YXXaaV^UVWXYZX XW�q×¼ ¼¾v¹w¼ »¹½¼ì �Æ~¼¾¼ ׿½ì¹× ¹º¹½¼ 쿾¹qÀt l\^WV iX XaZ^XjVF[ \YZUi\ Y]W �XWUal cX^U\[ ZVWScXW `\iX aX^ iXZX^WU³YVi\ XW ZXW`\ jUYXV^ `\^ ]W WcXZ\i\ YhV\ W]UZ\ WVUa \W`jX·\ _]X\ Vjm\^UZW\ iX Ó^V�VW iXa^UZ\ YV aXghV\ ÞD�D�D zW i\a Vjm\^UZW\a`V^V Uaa\ l\U iXa\SX^Z\ `\^ ¥D�DHXX ÅHXX��ÇD ²V^V ]WV iXa^UghV\ iXaZXVjm\^UZW\ VaaUW \W\ ]WV �UaZ c\^UV iX aUW`jUnVgh\Xa V`^XaXYZViVa `\^\]Z^\a V]Z\^Xa[ TXµV Ų��EÇD

Page 139: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

3456789:; PQ454B

�Y. I_`ca$g²³faR ZXWV iXaZX V`ckZ]j\ cX V ^X`^XaXYZVghV\ X WVY]aXU\ iX lL¦L/ Y\\W`]ZVi\^D ¥ViV a]V X·ZXYahV\[ \YTcXW \WXgV^ `\^ ]WV S^XTXaUY\`aX iX aX] \YZX c]i\D¥¤i¤i �¬®8¨°©¬¯ Çô®òªó¨®©ª°¯�Yl\^WVjWXYZX[ ]W WV`V cX ]WV iUTUahV\ iX \jXghV\ ]WV a]`X^lckUX ´`\^ X·XW`j\[ \ `jVY\ \] V XalX^V ´ Y]W Y c]WX^\ nYUZ\ iX ^XmUh\XaDfjm]Ya X·XW`j\a Zck`U\a ahV\ ]W WV`V i\ d^VaUj W\aZ^VYi\ \a XaZVi\a[]W mj\S\ ZX^^XaZ^X W\aZ^VYi\ \a \YZUYXYZXa X \XVY\a[ \ V^^VYµ\ iXlVXa X V^XaZVa YV a]`X^lckUX iX ]W `\jUXi^\[ ]W j\m\ZU`\ W]jZU\j\^[XZD !XµV V nm]^V ED2D

�Um]^V ED2< J·XW`j\a iX WV`VaD2Co

Page 140: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2C� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×ØõXaZX jUT^\ Z^VZV^XW\a _]VaX _]X X·j]aUTVWXYZX iX lL¦L/ ¦MLULpN/[]µV a]`X^lckUX cX \ `jVY\ `^\µXZUT\ \^UXYZVi\ *+ D ¥XYZ^\ iXaZV jVaaX[XaZ]iV^XW\a \W WVUa iXZVj�Xa V a]SjVaaX i\a lL¦L/ ¦-M.�-UL./[ ]µVaV^XaZVa ahV\ aXmWXYZ\a iX ^XZVD¥¤i¤£ P«;°8ª98:¬¨¯ºV`Va `\iXW aX^ TUaZ\a \W\ ]WV mXYX^VjUùVghV\ i\a \YXUZ\a iX�¼ì �Æ~¼¾¼×~¹¾¹Àqì¿�q»¼× Z^U�VYm]j\[ `\jckm\Y\ \YTX·\[ X `\jckm\Y\ aUW`jXa _]X XaZ]iVW\a Y\aV`ckZ]j\a VYZX^U\^XaD f µ]aZUnVZUTV `V^V UYZ^\i]ùU^ XaaX Y\T\ \YXUZ\mX^Vj cX _]X W]UZVa nm]^Va mX\WcXZ^UVa _]X a]^mXW YV `^ cVZUV YhV\ aXXY_]Vi^VW XW YXY�]WV iXaZVa jVaaXa WVUa ^XaZ^UZVaD ²\^ X·XW`j\[ \WV`V iX ]W `Vcka YXW aXW`^X `\iX aX^ ^X`^XaXYZVi\ `\^ ]W `\jckm\Y\aUW`jXa[ `\Ua XjX `\iX ZX^ Uj�Va[ \] WXaW\ S]^V\a BZX^^UZ c\^U\a UYZX^Y\a`X^ZXYXYZXa V \]Z^\a `VckaXaFD zWV ^XiX iX XaZ^ViVa `\iX ZX^ WVUa iXi]Va jUY�Va �XmVYi\ YV WXaWV UiViXÌ ]WV `V^XiX iX `^ cXiU\ `\iXZX^ µVYXjVa X `\^ZVaÌ ]WV `XgV WXZ cVjUV XaZVW`ViV `\iX ZX^ l]^\aÌ\ \YZ\^Y\ iX ]WV jXZ^V `\iX ZX^ V^\a iX ck^]j\ \] ]^TVa WVUa\W`jX·VaÌ X VaaUW `\^ iUVYZXDºV`Va ahV\ ]aVi\a ZVWScXW `V^V V W\iXjVmXW iX \SµXZ\a Z^UiUWXY³S½ì¿ÂqÁÂü¹× ½À �qº¿Âq× aU\YVUa XW \W`]ZVghV\ m^ cVnV[ ^\S c\ZUV[ X `^\µXZ\ UYi]aZ^UVjÌ `V^V VW\iXjVmXW iX ZX^^XY\a XW mX\j\mUV X Z\`\m^VnVÌ Y\ `^\µXZ\ X lVS^U³VghV\ iX U^]UZ\a UYZXm^Vi\aÌ YV ^Xa\j]ghV\ Y]WcX^UV iVa X_]Vgh\Xa iU³lX^XYUVUa `V^UVUa iV WXZX\^\j\mUV[ WX�VYUV i\a ¶]Ui\a[ X XYmXY�V^UVUTUj BWcXZ\i\ iX XjXWXYZ\a nYUZ\aFÌ X W]UZVa \]Z^Va V`jUVgh\XaDpqr îr�v �|yx �{ �~ â� ��x yx{ �x�� {x}�� »¼¿× ��z~��� }� �x� yxz�z|y  �z|��¥¤i¤� �¯©­ô©ô­ª¯ ò¨ òªò¬¯JW W]UZVa V`jUVgh\Xa[ Va `^\`^UXiViXa �-¦-M ¢-�.TL/ iX ]W WV`V B_]VUaÒ׺ÀëºëÀq× »¹ »q»¼×º¼½¼ì �¼~¿Âq× ^XmUh\Xa ahV\ TUùUY�Va XYZ^X aUF `\iXW aX^ WVUa UW`\^ZVYZXa i\ _]X a]Va`^\`^UXiViXa �N-l ¢N�p.TL/ BV l\^WV X \ ZVWVY�\ iVa ^XmUh\XaFD õXaaXa V³a\a[ \YTcXW XW mX^Vj ^X`^XaXYZV^ ]W WV`V `\^ ]WV XaZ^]Z]^V iX iVi\ajUmViV[ \YiX Va ^XjVgh\Xa iX TUùUY�VYgV XYZ^X Va ^XmUh\Xa ahV\ X·`jUUZVWXY³ZX ^X`^XaXYZViVa `\^ V`\YZVi\^Xa XYZ^X \a ^XmUaZ^\a \^^Xa`\YiXYZXaD

Page 141: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ 2C3�VUa V`\YZVi\^Xa ZVWScXW `X^WUZXW WXj�\^V^ V XnU�XYUV iX X^³Z\a Vjm\^UZW\a mX\WcXZ^U\a[ \W\ `\^ X·XW`j\ j\VjUùV^ \ XaZVi\ _]X\YZ cXW ]W `\YZ\ iX jVZUZ]iX X j\YmUZ]iX \Y�XUiVaD fj cXW iUaa\[ \ ]a\iX V`\YZVi\^Xa mX^VjWXYZX `X^WUZX X\Y\WUùV^ Xa`Vg\[ `\Ua V l^\YZXU^V\W]W XYZX i]Va ^XmUh\Xa `\iX aX^ ^X`^XaXYZViV ]WV c]YUV TXùD

¥¤i¤¦ P;k¬­°©ó¬¯0]VYZ\ V Vjm\^UZW\a[ XaZX V`ckZ]j\ UYZ^\i]ù i\Ua `V^ViUmWVa UW`\^ZVY³ZXa `V^V V WVYU`]jVghV\ iX WV`Va `jVYV^Xa< /K¦Np¦-/.nToL- iX WV`Va X V{LppN,KpL i\ `jVY\Dº]UZ\a `^\SjXWVa mX\WcXZ^U\a XYT\jTXYi\ i\Ua WV`Va `jVYV^Xa `\³ }ë½¹À½¼×¿Á Ãq¼iXW aX^ ^Xa\jTUi\a \YaZ^]UYi\³aX `^UWXU^\ ]W ZX^XU^\ WV`V _]X cX WX³^VWXYZX V a]`X^`\aUghV\ i\a i\Ua[ X XjUWUYVYi\³aX XW aXm]UiV Vjm]WVajUY�Va X ^XmUh\Xa iXaZX c]jZUW\[ aXm]Yi\ X^ZVa ^Xm^Va aUW`jXaD �\W XaZXWcXZ\i\ `\iXW\a lVUjWXYZX Vj]jV^[ `\^ X·XW`j\[ V ]YUhV\[ UYZX^aXghV\[X iUlX^XYgV iX i\Ua `\jckm\Y\a V^SUZ^ cV^U\aDõ]W YckTXj WVUa S cVaU\[ \ `V^ViUmWV iV TV^^Xi]^V i\ `jVY\ cX V :qÀÀ¹»ëÀqSVaX iX Vjm\^UZW\a c\ZUW\a `V^V T cV^UVa \`X^Vgh\Xa \W WV`Va `jVYV^Xa[UYj]UYi\ \ cVj]j\ iV a]`X^`\aUghV\ iX i\Ua WV`Va[ V iX\W`\aUghV\ iX`\jckm\Y\a XW Z^U�VYm]j\a \] _]Vi^Uj cVZX^\a[ V j\VjUùVghV\ iX `\YZ\a Y]WWV`V[ X W]UZ\a \]Z^\aD�YX åa_³\d`ab Øg_$f^\_`fdbR \YXUZ\ UYl\^WVj iX iX WV`V ´ ]WV a]`X^lckUX iUTUiUiV XW ^XmUh\Xa´ cX TVm\ X mXYcX^U\ iXWVUa `V^V aX^TU^ iX SVaX V Vjm\^UZW\aD ²\^ZVYZ\[VYZXa iX WVUa YViV `^XUaVW\a l\^WVjUùV^ ]W `\]\ WVUa XaZV iXnYUghV\D²V^V XaZX nW[ X `V^V \]Z^Va iXnYUgh\Xa _]X aX aXm]XW[ TVW\a a]`\^\Y�XUi\a X^Z\a \YXUZ\a XjXWXYZV^Xa iX Z\`\j\mUV iX \Yµ]YZ\aD JW`V^ZU]jV^[ TVW\a ]aV^ \a \YXUZ\a iX N/¦LnT- �-¦-M ¢-�.T-[ T-U�KU�- LmNp¹�- X � NT�L,-[ /Km¹N/¦LnT-[ {.ù.U�LUnTL iX ]W `\YZ\[ ¦-U�- ,N LTKlKMLnToL-X M.l.�N[ � NT�-[ .U�Np.-p[ X � p-U�N.pL iX ]W \Yµ]YZ\[ X T-U�.UK.,L,N iX]WV l]YghV\D !VW\a ZVWScXW ]ZUjUùV^ SVaZVYZX \ \YXUZ\ iX �-lN-l-p¹Å/l- B\] NÍK.{LM VNUT.LF XYZ^X i\Ua Xa`Vg\a Z\`\j c\mU\aD

Page 142: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2�Ë �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×ØHXUZ\^Xa _]X ZUTX^VW Vjm]W \YZVZ\ \W XaZXa \YXUZ\a XW ]^a\aiX VY cVjUaX ^XVj \] cVj]j\ YhV\ iXTXW ZX^ iUn]jiViX XW V\W`VY�V^V iUa]aahV\ VSVU·\D JW Z\i\ Va\[ UYj]ckW\a iXnYUgh\Xa a]UYZVa i\aWXaW\a Y\ nW iXaZX V`ckZ]j\ BaXghV\ ED3FD¥¤£¤i P­8¬¯ ¨ ò°¯8¬¯JW Z\`\j\mUV[ iXnYX³aX ]W LpT- LmNp�- iX ]W Xa`Vg\ Z\`\j c\mU\ \W\SÀ¼ qu¹Àº¼ aXYi\ ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a X_]UTVjXYZX V\ UYZX^TVj\ VSX^Z\ BN2OI2FD�Yl\^WVjWXYZX[ ]W V^\ VSX^Z\ cX ]W `XiVg\ c]YU\ iX ^XZV \] iX]^TV[ _]X YhV\ aX ^]ùV X _]X YhV\ \YZ cXW aX]a `\YZ\a X·Z^XW\aD JaZViXnYUghV\ X·j]U `\^ZVYZ\ ]^TVa aXW `\YZVa B \^ X·XW`j\[ ]W ck^]j\F[\] _]X aX SUl]^VWD¥XnYX³aX ZVWScXW ]W ,./T- LmNp�- \W\ aXYi\ ]W \Yµ]YZ\ iXI¿×¼ qu¹Àº¼ `\YZ\a X_]UTVjXYZX V\ UYZX^U\^ i\ ck^]j\ ]YUZ cV^U\ iX É+ D �Yl\^WVjWXYZX[]W iUa\ VSX^Z\ cX ]W `XiVg\ iX a]`X^lckUX \W ]WV c]YUV S\^iV[ _]X`\iX aX^ XaZUVi\ X iXai\S^Vi\[ aXW ^VamV^[ VZ cX nV^ UYZXU^VWXYZX `jVY\Dpqr îrsv Î��yzx ��x y��� ~z�� ~�xzy�  x x��|à~�x}yx $~ zxy~ T � x ��xy��� �|��� ~�xzy�  x x��|à~�x}yx ~� ��~}� T+ �pqr îrtv E�~|� ��� �����}W�}y�� ~�~|�� �ð~� ~z��� �x T+ ¢ �U��y|ß��x|}��z{~�{x}yx ~� zx����y~����~� V �W� Wr� � � x W x � X��� V �W� Wr� � � x W Y � X��� Z ���� æ� �|} æ� � � x æ x �[ \��� Z �W� �|}��]W�� � � x W x �\�x� Z �W��� � � x W Y �\ ^ Z ��� W� � � x W x �\�� � Z �W��� � � x W Y �\ ^ Z ���� æ� �|} æ� � � x æ x �[ \pqr îr�v Î��yzx ��x y��� �|��� ~�xzy�  x x��|à~�x}yx ~� ��~�z~�� ~�xz�y� �á��&�� ì �á��&���¥¤£¤£ jô«¨­Ç¿Ù8°¨²\^ /K¦Np� ¢ýT.N XYZXYiXW\a \ _]X cX ZXYUVWXYZX �VWVi\ iX {Lp.N,L,N}ë½¹À¤ �Æ¿¹ �-¦-M ¢-�.TL m.,.lNU/.-ULM< UaZ\ cX[ ]W Xa`Vg\ Z\`\j c\mU\[ ViV `\YZ\ i\_]Vj ZXW ]WV TUùUY�VYgV _]X cX ]W iUa\ VSX^Z\D

Page 143: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎÍÎ �Ò�ÝÚÜÛÒØ �Õ��×ÔÚ�Û×ÜØ 2�2�Yl\^WVjWXYZX[ ]WV a]`X^lckUX cX ]W \Yµ]YZ\ iX `\YZ\a _]X cX SU³iUWXYaU\YVj V\ ^Xi\^ iX _]Vj_]X^ iX aX]a `\YZ\aD R `jVY\ V^ZXaUVY\É+ [ V XalX^V È+ [ X V a]`X^lckUX iX ]W Z\^\ ahV\ X·XW`j\a Zck`U\aD R]Z^\aX·XW`j\a ahV\< ]W �XWUal cX^U\ iX È+ BX·j]UYi\ \ RX_]Vi\^SF[ V a]`X^lckUXiX ]W UjUYi^\ iX \W`^UWXYZ\ UYnYUZ\[ ]WV nZV iX º¾\SU]a BX·j]UYi\\a `\YZ\a YV S\^iVFD !XµV V nm]^V EDCD

�Um]^V EDC< J·XW`j\a iX a]`X^lckUXa²\^ \]Z^\ jVi\[ ]W �XWUal cX^U\ iX È+ [ .UTMK.U,- \ X_]Vi\^[ YhV\ cX ]WVa]`X^lckUXÌ `\Ua \a `\YZ\a i\ X_]Vi\^ YhV\ ZXW YXY�]WV TUùUY�VYgV _]XaXµV X_]UTVjXYZX V ]W iUa\ VSX^Z\D R]Z^\a X·XW`j\a iX \Yµ]YZ\a _]XYhV\ ahV\ a]`X^lckUXa[ Y\ Y\aa\ aXYZUi\[ ahV\< i\Ua \YXa ]YUi\a `Xj\ T cX^ZUX[Z^�Xa aXWU³`jVY\a jUWUZVi\a `XjV WXaWV ^XZV[ \] ]WV XalX^V WXY\a ]WV^\ VSX^Z\ i\ X_]Vi\^D¥¤£¤� �¬®�ô®©¬ 8¬®¨ö¬JW Z\`\j\mUV[ iUù³aX _]X ]W Xa`Vg\ û cX T-UN|- aX YhV\ X·UaZX YXY�]W �¼¾Ü뾺¼ ¼¾¹w¼a]S\Yµ]YZ\ `^ c\`^U\ X YhV\ TVùU\ ü iX û _]X cX V\ WXaW\ ZXW`\ VSX^Z\X lX�Vi\Dõ\ Va\ iX û aX^ ]W a]S\Yµ]YZ\ iX ]WV a]`X^lckUX[ UaZ\ X_]UTVjXV iUùX^ _]X cX `\aackTXj U^ iX _]Vj_]X^ `\YZ\ iX û `V^V _]Vj_]X^ \]Z^\`\YZ\[ `\^ ]WV Z^VµXZ c\^UV \YZckY]V[ aXW aVU^ iX û D BºVUa `^XUaVWXYZX[`V^V _]VUa_]X^ i\Ua `\YZ\a ¸ X q iX û [ X·UaZX ]WV l]YghV\ \YZckY]V âi\ UYZX^TVj\ lX�Vi\ ÅËO 2Ç `V^V û [ ZVj _]X â BËF G ¸ X â B2F G q DF

Page 144: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2�C �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×Øfa T-l¦-UNU�N/ T-UN|L/ iX ]W \Yµ]YZ\ û ahV\ \a aX]a a]S\Yµ]Y³Z\a \YX·\a WV·UWVUaD R] aXµV[ i\Ua `\YZ\a iX û XaZhV\ YV WXaWV\W`\YXYZX aX X a\WXYZX aX cX `\aackTXj U^ iX ]W `V^ \ \]Z^\ aXm]Yi\]WV Z^VµXZ c\^UV \YZckY]V XW ûD¥¤£¤¦ G¨±®°98:ª¬ Ǭ­óª; ò¨ 󪫪JaZVW\a nYVjWXYZX XW \YiUgh\Xa iX iXnYU^ \ Vaa]YZ\ iXaZX V`ckZ]j\<��½�V¾¿À�T ÜZ[ zW lL¦L a\S^X ]WV a]`X^lckUX \ cX ]WV `V^ZUghV\ iX \Þq½q ¹ ¹ì¹¹¾º¼ Y]WV \jXghV\ iX a]S\Yµ]YZ\a \YX·\a X YhV\ TVùU\a ´ \a NMNlNU�-/ i\WV`VDõ\ZX V `VjVT^V ¦Lp�.nToL-< XjV aUmYUnV _]X \a XjXWXYZ\a i\ WV`V ahV\iUaµ]YZ\a i\Ua V i\Ua[ X \S^XW \W`jXZVWXYZX V a]`X^lckUX \ D R] aXµV[Z\i\ `\YZ\ iV a]`X^lckUX `X^ZXYX V X·VZVWXYZX ]W XjXWXYZ\ i\ WV`VD�X _ cX ]W WV`V a\S^X ]WV a]`X^lckUX \ [ X b cX ]W `\YZ\ iX \ [Òì¹¹¾º¼ �ë¹Â¼¾º �¹ ë ½¼¾º¼ iXY\ZV^XW\a `\^ _ BbF \ c]YU\ XjXWXYZ\ iX _ _]X `\aa]U b D ºVUamX^VjWXYZX[ aX û cX ]W a]S\Yµ]YZ\ iX \ _]X XaZ cV \YZUi\ Y]W c]YU\XjXWXYZ\ iX _ [ iXY\ZV^XW\a XaaX XjXWXYZ\ `\^ _ BûFDpqr îrîv ��}�|�xzx � {~�~ ` ���zx ~ x��xz~ a+ � �}�x ��|� ��}y���è�é�ê� x èð �éð �êð� �xzyx}�x{ ~� {x�{� x�x{x}y� �x ` �x x ��{x}yx �x��}è ç ��}èð � ��}é ç ��}éð x ��} ê ç ��}êð � wx��zxà~ x���|�|y~{x}yx�� x�x{x}y�� �x ` �¥¤£¤¥ bª«ª¯ ¨yô°�ª;¨®©¨¯¥UùXW\a _]X i\Ua WV`Va _ X c ahV\ NÍK.{LMNU�N/ B�-¦-M-�.TLlNU�NF aXÞq½q× ¹�ë¿vqì¹¾º¹× X·UaZU^ ]W �\WX\W\^naW\ XYZ^X Va i]Va a]`X^lckUXa i\a WXaW\a[ ZVj_]X V UWVmXW iX ViV XjXWXYZ\ iX _ cX ]W XjXWXYZ\ iX c DzWV ¦p-¦p.N,L,N �-¦-M ¢-�.TL iX a]`X^lckUXa[ WV`Va[ `\YZ\a[ \] \Y³�¼½¼ì¼~¿q »¹ ëq½q µ]YZ\a iX `\YZ\a cX ]WV Vn^WVghV\ _]X `\iX aX^ iXnYUiV ]aVYi\ V`XYVacVjmXS^V iX \Yµ]YZ\a X \a \YXUZ\a iX \Yµ]YZ\ VSX^Z\ X lX�Vi\D R]aXµV[ cX ]WV `^\`^UXiViX _]X YhV\ cX VlXZViV aX a]SaZUZ]U^W\a ViV a]³`X^lckUX \ `\^ ]WV a]`X^lckUX �\WX\W\^lV \ð [ X ViV `\YZ\ \] \Yµ]YZ\iX `\YZ\a iX \ `Xj\ aX] \^^Xa`\YiXYZX XW \ð D

Page 145: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎLÎ R× ×Ø ÚØ ÚÝÜ×ÜØ 2��f �-¦-M-�.L iX ]W WV`V _ a\S^X ]WV a]`X^lckUX \ cX \ \Yµ]YZ\ iXZ\iVa Va `^\`^UXiViXa Z\`\j c\mUVa iX \ X _ D ²\iXW\a `\^ZVYZ\ iUùX^_]X i\Ua WV`Va X_]UTVjXYZXa aX XjXa Z�XW V lN/lL �-¦-M-�.LD

¥¤£¤6 7®8°ò�®8°ªzW X·XW`j\ iX `^\`^UXiViX Z\`\j c\mUV ahV\ Va pNMLnTo-N/ ,N .UT.,VNUT.L ?¾Â¿»�¹¾Â¿q ¹¾ºÀ¹¹ì¹¹¾º¼×XYZ^X XjXWXYZ\a iX ]W WV`VD ¥U^XW\a _]X ]W XjXWXYZ\ © iX ]W WV`V_ .UT.,N XW \]Z^\ XjXWXYZ\ ª[ iXY\ZVi\ `\^ © ò ª[ aX V l^\YZXU^V iX ©\YZ cXW Vjm]W `\YZ\ iX ªDR] aXµV[ © ò ª aX ª \YZ cXW ]W `\YZ\ iX V]W]jVghV\ iX ©D õ\ `jVY\É+ [ `\^ X·XW`j\[ \ aXmWXYZ\ VSX^Z\ iX XYZ^X BËO ËF X B2O 2F UYUiX YXaaXai\Ua `\YZ\aÌ X \ aXWU`jVY\ L & Ë UYUiX Y\a i\Ua `\YZ\a X Y\ aXmWXYZ\D�YH dfÙfb \bÙ\³dfdbf iXnYUghV\ iX WV`V _]X iXW\a YV aXghV\ EDCDÞ cX mX^Vj iXWVUa `V^VY\aa\a `^\` c\aUZ\aD ²\^ X·XW`j\[ XjV `X^WUZX ]W Y c]WX^\ UYnYUZ\ iXXjXWXYZ\a V^SUZ^V^UVWXYZX \W`jUVi\a[ XW a]`X^lckUXa V^SUZ^V^UVWXYZX\W`jUViVaD²\^ZVYZ\[ aX _]UaX^W\a ^X`^XaXYZV^ X WVYU`]jV^ WV`Va Y\ \W`]ZV³i\^[ ZXW\a _]X jUWUZV^ Y\aaV VZXYghV\ V Vjm]WV a]SjVaaX iX WV`Va \YiX\ ZU`\ iX a]`X^lckUX[ V l\^WV i\a XjXWXYZ\a[ X Va ^XjVgh\Xa iX UYUi�XYUVXYZ^X XjXa ahV\ a]nUXYZXWXYZX ^XaZ^UZVaD�\W XaZV W\ZUTVghV\[ iXnYU^XW\a V aXm]U^ Vjm]WVa a]SjVaaXa iXWV`Va _]X ahV\ UW`\^ZVYZXa YV `^ cVZUV< \a lL¦L/ /.l¦MN/[ LM� ¢Nmp.T-/[¦MLULpN/[ X ¦-M.�-UL./D¥¤�¤i jô«¨­Ç¿Ù8°¨ 8¬ó«ª8©ªJW `^UWXU^\ j]mV^[ \YTcXW Z^VSVj�V^ V`XYVa \W WV`Va a\S^X a]³ }ë½¹À¤ �Æ¿¹ ¼½qºq`X^lckUXa T-l¦LT�L/D �\^WVjWXYZX[ iUù³aX _]X ]W Xa`Vg\ Z\`\j c\mU\\ cX T-l¦LT�- aX X a\WXYZX aX Z\i\ a]S\Yµ]YZ\ UYnYUZ\ iX \ ZXW `X³j\ WXY\a ]W `\YZ\ iX V]W]jVghV\ XW \ D �Yl\^WVjWXYZX[ ]W Xa`Vg\cX \W`VZ\ aX XjX ZXW X·ZXYahV\ nYUZV X YhV\ ZXW SXU^ViVa §VSX^ZVaS[

Page 146: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2�Þ �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×ØiX W\i\ _]X cX UW`\aackTXj VYiV^ `V^V aXW`^X aXW `VaaV^ UYnYUZVWXYZX`X^Z\ iX Vjm]W `\YZ\ i\ Xa`Vg\DJ·XW`j\a iX a]`X^lckUXa \W`VZVa ahV\ V XalX^V È+ BX[ `\^ZVYZ\[ \`jVY\ `^\µXZUT\ \^UXYZVi\ *+ F X \ Z\^\D ²\^ \]Z^\ jVi\[ \ `jVY\ V^ZXaU³VY\ É+ YhV\ cX \W`VZ\[ `\Ua \ \Yµ]YZ\ i\a `\YZ\a iV l\^WV B�O ËF[ \W� UYZXU^\[ cX UYnYUZ\ WVa YhV\ ZXW YXY�]W `\YZ\ iX V]W]jVghV\ XW É+ DR]Z^\a X·XW`j\a iX a]`X^lckUXa YhV\ \W`VZVa ahV\ ]W �XWUal cX^U\ iX È+X·j]UYi\ \ X_]Vi\^ B_]X[ VjU cVa[ cX �\WX\W\^l\ V É+ F[ \] ]W UjUYi^\UYnYUZ\DJYZ^X \]Z^Va _]VjUiViXa[ ]WV a]`X^lckUX \W`VZV ZXW V]Z\WVZUV³WXYZX ]W Y c]WX^\ nYUZ\ iX \W`\YXYZXa[ X ]W Y c]WX^\ nYUZ\ iX §VjgVa¨BZXYUVWXYZX[ Z�XW m�XY]a nYUZ\DF¥¤�¤£ bª«ª¯ ¯°ó«;¨¯²\iXW\a XYZhV\ iXnYU^ V jVaaX _]X Y\a UYZX^XaaV<��½�V¾¿À�T ÜZÔ zW lL¦L /.l¦MN/ cX ]W WV`V a\S^X ]WV a]`X^lckUX \Þq½q ׿½ì¹× ZVj _]XB2F \ Y c]WX^\ iX XjXWXYZ\a cX nYUZ\ÌBCF ViV XjXWXYZ\ cX]W { ¢Np�.TN< ]W c]YU\ `\YZ\ iX \ [ \]:�¹Àº¿Â¹£ qÀ¹×ºq£ ¤q¹ ]WV LpN/�L< ]W V^\ VSX^Z\ iX \ [ \]]WV � LTN< ]W iUa\ VSX^Z\ iX \ D

B�F V a]`X^lckUX \ cX \W`VZVÌBÞF V l^\YZXU^V iX Z\iV V^XaZV cX ]W \Yµ]YZ\ iX T cX^ZUXaÌBEF Z\i\ T cX^ZUX XaZ cV YV l^\YZXU^V iX Vjm]WV V^XaZVDf \YiUghV\ B2F Y\a `X^WUZX ^X`^XaXYZV^ ViV XjXWXYZ\ UYiUTUi]Vj³WXYZX[ `\^ ]W ^XmUaZ^\ iX ]WV XaZ^]Z]^V iX iVi\aD f \YiUghV\ BCFiUù _]X � cV Z^�Xa ZU`\a iX XjXWXYZ\a[ \W Z\`\j\mUVa SXW iXnYUiVaD f\YiUghV\ B�F mV^VYZX _]X \a i\Ua X·Z^XW\a iX ViV V^XaZV X·UaZXW X ahV\`\YZ\a iX \ [ X _]X \ WXaW\ \\^^X \W \ `X^ckWXZ^\ \W`jXZ\ iX ViVlVXD f \YiUghV\ BÞF UW`XiX _]X V `\YZV iX ]WV V^XaZV ZX^WUYX Y\WXU\ iX \]Z^VÌ X V \YiUghV\ BEF X·j]U T cX^ZUXa Ua\jVi\aD

Page 147: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎLÎ R× ×Ø ÚØ ÚÝÜ×ÜØ 2�E�\W\ TX^XW\a[ XaZVa \YiUgh\Xa Z\iVa UW`jUVW _]X V Z\`\j\mUV i\WV`V cX UYZXU^VWXYZX iXZX^WUYViV `XjVa ^XjVgh\Xa iX UYUi�XYUV X \^iXWXYZ^X \a XjXWXYZ\aDf nm]^V ED� W\aZ^V Z^�Xa WV`Va aUW`jXaD fa a]`X^lckUXa ahV\ BVF VXalX^V[ BSF \ Z\^\[ X BF V mV^^VlV iX ejXUYD JaZV c]jZUWV YhV\ `\iX aX^\YaZ^]ckiV Y\ Xa`Vg\ ÉÊ Ì \ mV^mVj\ iV mV^^VlV `^XUaV `VaaV^ i\ jVi\ iXl\^V `V^V \ jVi\ iX iXYZ^\ iV mV^^VlV aXW ^]ùV^ V a]`X^lckUX iV WXaWV[\ _]X a c\ `\iX aX^ \YaXm]Ui\ `VaaVYi\³aX `\^ ]WV ÞVf iUWXYahV\D

�Um]^V ED�< �^�Xa WV`Va aUW`jXaDf nm]^V EDÞ cX \]Z^V ^X`^XaXYZVghV\ i\a WV`Va iV ED�D õXaZX W\iXj\[ViV lVX i\ WV`V cX ^X`^XaXYZViV `\^ ]W `\jckm\Y\[ ]µ\a jVi\a iXTXWaX^ §\jVi\a¨ i\Ua V i\Ua `V^V l\^WV^ Va V^XaZVa X lX�V^ a]`X^lckUXDf\ \jV^ i\Ua jVi\a[ XjXa iXTXW aX^ µ]aZV`\aZ\a iX l\^WV _]X Va aXZVa\UYUiVW ´ VSXgV \W VSXgV[ V]iV \W V]iVDpqr îr�v E�~|� �ð~� �� }  �{xz�� { â}|{�� �x ~zx�y~�� à  xzy|�x�� �~�x�� xx�x{x}y�� �x �{ {~�~ �|{��x� x{ �+ ¢ wäx x�x{���� �x {~�~� ��x~y|}�x{ x��x� { â}|{���pqr îr"v wx��zxà~ �{ {~�~ �|{��x� ���zx � �|y�z� ��{~ x��xz~ ��{��~� ~�@�~���

Page 148: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2�� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×Ø

�Um]^V EDÞ< Ra WV`Va iV nm]^V ED�[ Y\ W\iXj\ iX \jVmXW iX lVXaD¥¤�¤� bª«ª¯ ª;k ¿À­°8¬¯f iXnYUghV\ iX WV`V aUW`jXa ^XaZ^UYmX V`XYVa V Z\`\j\mUV i\a XjXWXYZ\aD!VW\a Vm\^V \YaUiX^V^ ^XaZ^Ugh\Xa a\S^X V l\^WV i\a WXaW\aD¥UùXW\a _]X ]W a]S\Yµ]YZ\ û iX Ég cX LM� ¢Nmp.T- aX XjX `\iX aX^�¼¾Ü뾺¼ qì~ �¹uÀ¿Â¼ \SZUi\ `\^ WXU\ iX ]YUh\Xa[ UYZX^aXgh\Xa[ X \W`jXWXYZ\a iX \Yµ]YZ\aiV l\^WV   BJMO s sJvF < â BJMO s sJvF G Ë ¡ BED2F\]   BJMO s sJvF < â BJMO s sJvF ' Ë ¡ BEDCF\YiX Va l]Ygh\Xa âý ahV\ `\jUY�\WU\a \W \XnUXYZXa UYZXU^\aMDîhö�ù �òðó�þ5ù�øôù ÷ó óiþ5øöû�ùðó��ó �òööùj ò �òðó kòõþûù5l &ùôù óö�ó þò�þóû�ò÷ó m03,2n0n2 +2o,p041 q2r3,.0�

Page 149: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎLÎ R× ×Ø ÚØ ÚÝÜ×ÜØ 2�opqr îruv %z�àx ��x � �~�� ���|y|à� �x �{ ��� â��}� ��}àx��  x �{�����}W�}y� ~��  x�z|�� �x T+ � Ã�x{ �~z~ �{ ��� â��}� �|{��x��pqr îr�v %z�àx ��x �{ �����}W�}y� � �x �+  x ~��  x�z|�� �x x ��{x}yx�x x�x ��}�|�yx �x ��}y�� �è�é�ê� y~|� ��x s �è�é�ê� ç nlt�� �x}�� ��xs  x �{~ �  �z{��~ x}à��àx}�� ~�x}~� ~� ��xz~@�ð�x� �x ��{~� ���yz~@�ð~��x {��y|��|�~@�ð~�� ~� ��{�~z~@�ð�x� ç x x� x ~� ��xz~@�ð�x� �  ��|�~� �� kt�uvwk�JW `V^ZU]jV^[ ]WV /K¦Np� ¢ýT.N LM� ¢Nmp.TL cX ]W a]S\Yµ]YZ\ Vjm cXS^U\ }ë½¹À¤ �Æ¿¹ qì~ �¹uÀ¿Âq\ x Ég B V^V Vjm]W yF _]X cX ]WV a]`X^lckUX[ Y\ aXYZUi\ Z\`\j c\mU\D fXalX^V ]YUZ cV^UV È+ iX ÉÊ cX ]W X·XW`j\ Zck`U\ iX a]`X^lckUX Vjm cXS^UVDR]Z^\ X·XW`j\ cX V l^\YZXU^V iX _]Vj_]X^ `\jUXi^\ jUWUZVi\ iX ÉÊ [ `\^X·XW`j\ ]W ]S\Dpqr îr��v ÔxW~ � �{ }�{xz� ���|y|à� {x}�z ��x �� x ��}�|�xzx � ������}W�}y� � zTÊ �xß}|�� ��z� ç Z ���& � ��� æ� ��� {� ��& � ��� æ� �|}{�� �|} æ� � � Y æ x �[ \wx��zxà~ ~ ��z{~ �x�yx ��}W�}y�� x �z�àx ��x x�x  x �{~ ���xz� â�|x~��  x�z|�~� �w|�~� ���xzàx ��x �x �é�ê�|� u � � x}yð~� ér & êr & |r ç�& �r & �� ��� æ��pqr îr��v ��}�|�xzx � �����}W�}y� p }T~ �xß}|�� ��z

p ç � ���� �é�ê� � ��r & �r á ��r & �ér & êr á ��r ç � �Î��yzx ��x x�x  x y������|�~{x}yx x��|à~�x}yx ~� y�z� � �� x�xz� â�|� ������w|�~� ��}�|�xzx ~ ��zzx���}�äx}�|~ � ç ��� æ� � ç �|} æ� é ç ��� {�ê ç �|}{��²\^ X·ZXYahV\[ iU^XW\a _]X \ `jVY\ `^\µXZUT\ \^UXYZVi\ *+ ZVWScXW }ëu¼¾Ü뾺¼qì~ �¹uÀ¿Â¼ »¹ �+cX ]WV a]`X^lckUX Vjm cXS^UVÌ X _]X ]W a]S\Yµ]YZ\ û iX *+ cX LM� ¢Nmp.T-aX[ Y\ W\iXj\ Xal cX^U\[ XjX \^^Xa`\YiX^ V ]W a]S\Yµ]YZ\ Vjm cXS^U\ iVXalX^V È+ D�\W XaaXa \YXUZ\a[ `\iXW\a XYZhV\ iXnYU^ ]W lL¦L LM� ¢Nmp.T-\W\ Þq½q qì~ �¹uÀ¿Â¼aXYi\ ]W WV`V a\S^X ]WV a]`X^lckUX Vjm cXS^UV ]µ\a XjXWXYZ\a ahV\\Yµ]YZ\a Vjm cXS^U\aD

Page 150: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2�� �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×Ø¥¤�¤¦ bª«ª¯ «;ª®ª­¨¯ ¨ «¬;°k¬®ª°¯º]UZ\a WV`Va _]X V`V^XXW YV `^ cVZUV ahV\ WV`Va a\S^X \ `jVY\ É+ D�\W\ É+ YhV\ cX \W`VZ\[ aX _]UaX^W\a ]ZUjUùV^ XaZ^]Z]^Va iX iVi\a\W\ V iXa^UZV VUWV `^XUaVW\a §\W`jXZV^¨ É+ iX Vjm]WV l\^WVÌ \]aXµV[ ]aV^ ]WV a]`X^lckUX \W`VZV _]X \YZ cXW É+ \W\ a]S³Xa`Vg\DõXaZX jUT^\[ ]aV^XW\a `V^V XaaX nW \ `jVY\ `^\µXZUT\ iX i\Ua jVi\aÞq½q ½ìq¾qÀ *+ D ¥XnYUW\a `\^ZVYZ\ ]W lL¦L ¦MLULp \W\ aXYi\ ]W WV`V a\S^X*+ D zWV TVYZVmXW VUiXYZVj iXaaV Xa\j�V cX _]X W]UZ\a Vjm\^UZW\a`V^V WV`Va `jVYV^Xa `\iXW aX^ V`jUVi\a ZVWScXW V WV`Va a\S^X VXalX^V È+ DzWV a]SjVaaX UW`\^ZVYZX i\a WV`Va `jVYV^Xa cX V i\a lL¦L/ ¦-M.¹Þq½q ½¼ì¿~¼¾qì �-UL./[ XW _]X Va V^XaZVa ahV\ aXmWXYZ\a iX ^XZVaD�Yä �Ùhd³f²³a\b¥¤¦¤i bª«ª¯ ©¨ó ¿ª©°8¬¯zW WV`V _]X V`V^XX Y]W `^\SjXWV `^ cVZU\ mX^VjWXYZX \YZ cXW WVUaUYl\^WVghV\ i\ _]X V`XYVa V Z\`\j\mUV X mX\WXZ^UV i\a XjXWXYZ\aD JWW]UZ\a Va\a[ XaaV UYl\^WVghV\ ViUU\YVj `\iX aX^ ^X`^XaXYZViV `\^ ]WV\jXghV\ iX §TVj\^Xa¨ \] §VZ^US]Z\a¨ Vaa\UVi\a V\a XjXWXYZ\aD JW`^Xa³ZVYi\ V Y\WXYjVZ]^V iX V^Z\m^VnV[ �VWV^XW\a XaaX WV`V §iX\^V³Þq½q º¹ �qº¿Â¼ i\¨ iX lL¦L �Nl ¢L�.T-DºVUa l\^WVjWXYZX[ iXnYUW\a ]W WV`V ZXW cVZU\ \W\ aXYi\ ]W`V^ B�OqF[ \YiX � cX ]W WV`V[ X q cX ]WV l]YghV\ _]X V ViV XjXWXYZ\� iX � Vaa\UV ]W {LM-p qB�F[ `X^ZXYXYZX V ]W \Yµ]YZ\ V^SUZ^ cV^U\ ü DzW X·XW`j\ iX WV`V ZXW cVZU\ cX ]W WV`V `\jckZU\ i\a XaZVi\a i\d^VaUj[ \YiX \ TVj\^ qBâF iX ]WV lVX â cX V aUmjV i\ XaZVi\< �}[7�[XZDD õXaZX X·XW`j\[ \a TVj\^Xa iVa V^XaZVa X T cX^ZUXa ahV\ U^^XjXTVYZXa[X `\iXW aX^ _]Vj_]X^ TVj\^ §Y]j\¨´ `\^ X·XW`j\[ V ViXUV ��DR]Z^\ X·XW`j\ iX WV`V ZXW cVZU\ cX ]W WV`V ^\i\TU cV^U\[ \YiX VaV^XaZVa ahV\ Z^X�\a iX XaZ^ViV X \a T cX^ZUXa ahV\ ^]ùVWXYZ\aD R TVj\^ iX]WV V^XaZV `\iX XYZhV\ aX^ \ c\iUm\ iV XaZ^ViV \^^Xa`\YiXYZX[ X TVj\^iX ]W TcX^ZUX `\iX aX^ \ Y\WX iV UiViX TUùUY�VD õXaZX X·XW`j\[ ValVXa i\ WV`V B XmUh\Xa jUWUZViVa `\^ XaZ^ViVaF YhV\ ahV\ UW`\^ZVYZXa[ XaX] TVj\^ q� `\iX aX^ ]W TVj\^ Y]j\ _]Vj_]X^ ��D

Page 151: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎæÎ � ÖÜÝ×®ÝÒÚØ 2�3R]Z^\ X·XW`j\ VUYiV cX V iXa^UghV\ iX ]W iXaXY�\ `\jU^\W cVZU\Bj\m\ZU`\[ V^ZVù[ ^ c\Z]j\[ V`V iX jUT^\[ XZDF[ \YiX \ TVj\^ iX ViV lVXcX V \^ iV WXaWV[ X \a TVj\^Xa iX T cX^ZUXa X V^XaZVa ahV\ U^^XjXTVYZXaD¥¤¦¤£ �ªó«¬¯ ò¨ �ª;¬­¨¯zW WV`V ZXW cVZU\ B�OqF `\iX ZVWScXW aX^ TUaZ\ \W\ ]W TLl¦- ,N �q½¼ »¹ vqì¼À¹×{LM-pN/[ ]WV l]YghV\ â _]X Vaa\UV V ViV `\YZ\ b i\ `jVY\ \ TVj\^â BbF G qB�BbFF[ \YiX �BbF cX \ XjXWXYZ\ iX � _]X \YZ cXW bD õVTX^iViX[ ]W WV`V ZXW cVZU\ cX V ^X`^XaXYZVghV\ YVZ]^Vj `V^V _]Vj_]X^l]YghV\ â iXaZX ZU`\Ì iXaiX _]X \ \Yµ]YZ\ iX TVj\^Xa `\aackTXUa iX âaXµV nYUZ\[ X iXaiX _]X V UWVmXW UYTX^aV iX _]Vj_]X^ TVj\^ aXµV ]WV^XmUhV\ a]nUXYZXWXYZX aUW`jXa[ ]µV l^\YZXU^V `\iX aX^ ^X`^XaXYZViV iXWVYXU^V \W`VZVDJW `V^ZU]jV^[ Z\i\ a]S\Yµ]YZ\ \ iX `\YZ\a i\ `jVY\ iXnYX ]W �ë¾ÁÂÃq¼ÂqÀqº¹À �Æ׺¿ÂqVW`\ iX TVj\^Xa �¦ [ V �KUnToL- TLpLT�Np ¢ý/�.TL iX \ [ _]X TVjX WUÐ� Y]W`\YZ\ b aX b � \ [ X =�R�� Va\ \YZ^ cV^U\DzW WV`V ZXW cVZU\ `\iX ZVWScXW aX^ ]aVi\ `V^V ^X`^XaXYZV^ ]WVW`\ iX TVj\^Xa â \W \YZ^V³i\WckYU\ UYnYUZ\[ iXaiX _]X â aXµVLM� ¢Nmp.T- ¦-p ¦Lp�N/D �\W UaZ\ _]X^XW\a iUùX^ _]X \ `jVY\ *+ `\³ �q½¼ qì~ �¹uÀ¿Â¼½¼À ½qÀº¹×iX aX^ iUTUiUi\ Y]W Y c]WX^\ nYUZ\ iX ^XmUh\Xa[ iXjUWUZViVa `\^ ]^TVaVjm cXS^UVa[ ZVUa _]X iXYZ^\ iX ViV ^XmUhV\ \ TVj\^ iX â BbF cX iVi\ `\^]WV c]YUV l c\^W]jV Vjm cXS^UV XYT\jTXYi\ Va \\^iXYViVa iX bD²\^ X·XW`j\[ Va ^XmUh\Xa `\iXW aX^ Z^U�VYm]j\a[ aXYi\ _]X \ TVj\^ i\VW`\ Y]W `\YZ\ BûOü F cX ]WV l]YghV\ iX `^UWXU^\ m^V] ©û I ªü I «[\YiX \a \XnUXYZXa ©[ ª[ X « iX`XYiXW iV ^XmUhV\D !XµV V nm]^V EDED

�Um]^V EDE< zW VW`\ iX TVj\^Xa jUYXV^ `\^ `V^ZXaD

Page 152: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ÞË �× Ñ�ÛÕÖÒ ÏÎ R× ×زV^V ^X`^XaXYZV^ ]W VW`\ iX TVj\^Xa Vjm cXS^U\ `\^ `V^ZXa[ SVaZV\YaUiX^V^ \ VW`\ iX TVj\^Xa ß _]X[ V ViV `\YZ\ b[ Vaa\UV V � ¢-plKMLBYhV\ \ TVj\^F iX â BbF T cVjUiV YV ^XmUhV\ _]X \YZ cXW bD RSTUVWXYZX[ ßZXW \YZ^V³i\WckYU\ nYUZ\ B]W \Yµ]YZ\ nYUZ\ iX l c\^W]jVaF[ X `\^ZVYZ\`\iX aX^ ^X`^XaXYZVi\ YV l\^WV iX WV`V ZXW cVZU\DJaZV ^X`^XaXYZVghV\ iX VW`\a iX TVj\^Xa cX ^Xm]jV^WXYZX ]aViV XWS½ì¿ÂqÁÂü¹× ½À �qº¿Âq× mX\j\mUV X Z\`\m^VnV `V^V ^X`^XaXYZV^ \ ^XjXT\ iX ]WV ^XmUhV\Ì XWXYmXY�V^UV UTUj[ `V^V ^X`^XaXYZV^ Va `^Xaah\Xa X ZXYah\Xa iXYZ^\ iX ]WVXaZ^]Z]^VÌ XW WX�VYUV i\a ¶]Ui\a[ `V^V ^X`^XaXYZV^ \ ¶]·\ iX jck_]Ui\aX mVaXaÌ XW iXaXY�\ UYi]aZ^UVj[ `V^V iXa^XTX^ \ l\^WVZ\ iX �V`VaXaZVW`ViVaÌ X XW W]UZVa \]Z^Va V`jUVgh\Xa `^ cVZUVaDpqr îr�sv ÔxW~ s � �~{�� �x à~��zx� ��x ~ �~�~ ��}y� ¡ ç �è�é�ê� �x�+ ~����|~ � à~��z s �¡� ç ��}�é�ér & êr áèr��� f�yx ��x � ��}yz~���{ â}|� �x s  x � ��}W�}y� Zá����&�\� wx��zxà~ �� à xzy|�x�� ~zx�y~�� x�~�x� �x �{ {~�~ yx{ ~y|�� ��x zx�zx�x}y~ s �

Page 153: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÏÎÏÎ �Ú ÓÚØÚ�Û×®Ý×Ò �Ú Ô× ×Ø 2Þ2�Y� ��������������� �� ������������ � �¡� ¢��� £��¢¡�¤�¡ � ¥�¦�§� ¨� £� ©� ��¦� ª� ¢��¦©¥�£�¡«����� ª�� §¨�¨¥�¡ �¬©¨ � ��¦�� �¨�¦§��­ ¢©�� ¥�¦�§� ¨�­ ¢��� ¤�¡����­®� £�¥�¡�¨ª�£� ¦�§�� ¡�§�¢°��� £� ¨ª¢¨£±�ª¢¨� � �¡£�� £� �©�� �¡��¥��«²³²³´ µ¶·¸¹º»�¡� ¢�£� �¡��¥� ¼ £� ©� ��¦� �¨�¦§�� ¦�£���� £�½ª¨¡ £©�� ¾¿ÀÁÂà ÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÊÎÏÎÈÐÆÉÑÒÆÈÊÏ ÇÉÅÊÈÓÔÇÅÓÊÏÕÖ×ØÙ¾ÁÚ Û¾ÂÜÀÕÝÞÀÂÖÀÚ­ ¬©� �°�� �� £�¨� ��ª¥¨£�� £� ¦�¡¢©¡�� �� §�ª � £� ¼ß� £©�� ¾¿ÀÁÂÕÖ×ØÙ¾ÁÚ Õ¿ÖÂÚàÁ¿ÚÖÀÚ­ ¬©� �°�� �� £©�� ��ª�¨¡�� ¦���®á¤�¨� £�£�½ª¨¡ � â§�£� ��¬©�¡£�ã � � â§�£� £¨¡�¨¥�ã £� �¡��¥�­ ª©�� ¤¨ä¨ªå�ª¢��©½¢¨�ª¥���ª¥� ¦�¬©�ª� £� �����«æ� ÞÖ¿Þ¾ £� ©� ��¦� �¨�¦§�� ¢�ª�¨�¥� £� ©�� �¡��¥� ¢�� £¨¡�¢°��� çÊÅÒΧ�ª ¨¥©£¨ª�§ � ¥¡�ª�¤�¡��§ ��¦�¢¨½¢�£��« »�£���� ¤¨�©�§¨ä�¡ ��¥�� £¨è¡�¢°��� ¦�¡ ©� ¦�¡ £� ��¥�� ¦�¬©�ª�� ¢�§�¢�£�� ��é¡� ©� ¦�ª¥� ¬©�§¬©�¡£� �¡��¥�ê ©�� ¥�ª �ª¥� ë� �¡��¥�­ ª� ��ª¥¨£� ¢¡��¢�ª¥� £� �¡£�� £��¦�ª¥��ß � � �©¥¡� ¦�¡¦�ª£¨¢©§�¡ ë� ¦¡¨��¨¡�­ ª� ��ª¥¨£� £� §�£� £¨¡�¨¥�¦�¡� � ��¬©�¡£�« ì©¥¡� ��ª�¨¡� £� ¤¨�©�§¨ä�¡ ��¥�� £¨¡�¢°��� ®� ¨�� ¨èª�¡ ©� �é��¡¤�£�¡ �¨ª ®©�¢©§� �ª£�ª£� ��é¡� � �©¦�¡í®á¢¨�­ �� §�ª � £��¡��¥�ê � £¨¡�¢°�� §�ª ¨¥©£¨ª�§ £¨ä �� ¬©� ��ª¥¨£� �§� ��¥ ®� ¢��¨ªå�ª£�­� � ¥¡�ª�¤�¡��§ £¨ä �� ¬©� §�£� £� �¡��¥� ��¥ ®� ��© ¦®� ��¬©�¡£� î�© ����­��é¡� ¬©� §�£� £� �©¦�¡í®á¢¨� �§� ��¥ ®� �ª£�ª£�ï« ���� � ½ ©¡� ð«ñ«

ò¨ ©¡� ð«ñê ó�¡£��«

Page 154: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôõö ÷øù úûüýþÿ �� Røùø�²³²³� A�����¹º ¶���¶ �¹·�¶º»�¡� ¢�£� �¡��¥� £� ©� ��¦� �¨�¦§�� ��¨�¥�� ���¥���ª¥� ¬©�¥¡� £�¡è£�� £¨�¥¨ª¥��« ��¥� ¬©� ¨�¥� ®� ¤�¡£�£� ����� ¬©� �� £�¨� ��¥¡����£� �¡��¥� ¨ª¢¨£�� ª� ����� ¤®�¡¥¨¢�­ �© ¬©� �� £�¨� §�£�� £� �¡��¥�¦�¡¥�ª¢�� ë� ����� í�¢�«

�� � ®� ©� £�¡£�­ £�ª�¥�¡���� ¦�¡ � �À� � £�¡£� ¬©� ¢�ª�¨�¥� £�çÊÅÒÎÓ Î�ÎÓÉÎÓ��Æ Ç �ÇÔ ����� �¡��¥� ¬©� �­ ��� ¢�� �� £©�� �¡¨�ª¥�¢°��� ¨ª¤�¡¥¨£��« ó�ª�è¥�¡���� ¥��é®�� ¦�¡ � �Áà � ¡��©§¥�£� £� ¨ª¤�¡¥�¡ �¦�ª�� � £¨¡�¢°��¥¡�ª�¤�¡��§ £� £�¡£� �­ ��ª¥�ª£� � £¨¡�¢°�� §�ª ¨¥©£¨ª�§« ���� � ½ ©è¡� ð«�«

ò¨ ©¡� ð«�ê �� í©ª¢°��� �Áà � �À�«æ��ª£� � £¨¡�¢°�� §�ª ¨¥©£¨ª�§­ ¦�£���� £�½ª¨¡ ��� ��騠�©¨£�£���ÇÅÉÆÌÇÓ Ç ÊÌÇÓ ÒÇÑÈ ÒÊÅÒÎ � à !Á¿ÕÀØÁ ÞÁ ¾¿ÀÜÁ� � � à !Á¿ÕÀØÁ ÞÁ ÞÁÚÕÀ¾ £� ©� £�¡£� �­ £�ª�¥�£��¡��¦�¢¥¨¤���ª¥� ¦�¡ � "¿Ü � � #ÚÕ« �ª�§� ���ª¥�­ ©��ª£� � £¨¡�¢°��¥¡�ª�¤�¡��§­ ¦�£���� £�½ª¨¡ � $ÖØÁ ÁÚ%ÝÁ¿ÞÖ � � $ÖØÁ ÞÀ¿ÁÀÕÖ £� �¡��¥�­£�ª�¥�£�� ¦�¡ � &Ú% � � #À¿ « ��¥� ¬©� ¦�£���� ¥�¡ � "¿Ü ' � #ÚÕ­ �©

� &Ú% ' � #À¿ «()* +*,-. /012304567 789:8 7;2<788=>78?@:A B �Æ ÄÅÐ @CA B �ÇÔ ÄÅÐ@DA B �Æ EÓF @GA B �Æ �ÇÔ EÓF@7A B �Æ �ÇÔ çÓÉ @H A B �ÇÔ �ÆçÆÅ

Page 155: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� IJùKJ�JLüøMNOøÿ PJ Qøùø� ôõR���� S � �¡¨ �� £� ©� £�¡£� �« � �¡¨�ª¥�¢°�� ¥¡�ª�¤�¡��§ £� �­¢�ª�¨£�¡�£� �� ¦�ª¥�� �¡é¨¥¡�¡¨���ª¥� ¦¡ ®��¨��� � S ­ £�½ª� ©� ��ª¥¨£�£� ¡�¥�¢°�� �� ¥�¡ª� £� S « T�ª�¨£�¡� ¥�£�� �� £�¡£�� ¢�� �¡¨ �� S UÅ �ÎVÆÎ ÒÊÅÒÎ ÌÎÇÓÊ ÎÅÆÐÇ�ÄUÅÎV¬©� £�½ª�� � ����� ��ª¥¨£� £� ¡�¥�¢°��« W�¨�¥� ©�� �¡£�� ¢®á¢§¨¢�ª�¥©¡�§ ¦�¡� ����� £�¡£��­ ¢�¡¡��¦�ª£�ª¥� � ���� ��ª¥¨£� £� ¡�¥�¢°��«

���¥� �¡£�� ¢®á¢§¨¢�­ ¦�£���� £¨�¥¨ª ©¨¡ � X¿ !¾YÀ�¾ ÞÖ¿Þ¾ ؾ� �ÁÚ�Ö¾¿ÀÜÁ� %ÝÁ �­ £�ª�¥�£� ¦�¡ � "Z¿¾Y «

ò¨ ©¡� ð«[ê ò©ª¢°��� ��驧�¥ ®�¡¨��«� ¦�¡¥¨¡ £� ¬©�§¬©�¡ £�¡£� ¨ª¨¢¨�§ �­ ¦�£���� �¥¨ª ¨¡ ¥�£�� ��£�¡£�� ª� ¢��¦�ª�ª¥� ¢�ª��� £� ��¦� ¬©� ¢�ª¥ ®�� �­ ©��ª£� ¢��è騪�¢°��� �¦¡�¦¡¨�£�� £� �Áà­ �À�­ £ "Z¿¾Y « »�¡ ����¦§�­ ¦�£���� UÅ �ÎVÆÎ ÒÊÅÒÎ ÈÊ

ÊÌÇ� EUÅÎV�é¥�¡ � X¿ !¾YÀ�¾ ÞÖ¿Þ¾ ؾ� �ÁÚ�Ö $ÖØÁ ÁÚ%ÝÁ¿ÞÖ � &Z¿¾Y ­ ª� ��ª¥¨£��ª¥¨èå�¡ ®�¡¨� �� ¥�¡ª� £� �����­ ¦�§� í ®�¡�©§�� &Z¿¾Y ' � �À� "Z¿¾Y\]���� � ½ ©¡� ð«^«

ò¨ ©¡� ð«^ê »�¡¢�¡¡�ª£� �� £�¡£�� £� ©�� í�¢�«

Page 156: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôõõ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�� ½ ©¡� ð«ô` ®� ©� ����¦§� £� ©� ��¦� �¨�¦§�� ��é¡� � ��í�¡�­ ¢��EVÇ� ÏÎ õ ¤ ®�¡¥¨¢��­ ð �¡��¥��­ � R í�¢��« ���¥� ½ ©¡�­ �� ¬©�¥¡� £�¡£�� £� ©���¡��¥� � �°�� £�ª�¥�£�� ¦�¡ �ab ­ �ª£� c � d ¨ª£¨¢�� ¡��¦�¢¥¨¤���ª¥� ��¡¨�ª¥�¢°�� §�ª ¨¥©£¨ª�§ � ¥¡�ª�¤�¡��§ß ��ª£� ¬©� � �¡¨�ª¥�¢°�� £� �ee ®���¢�§å¨£� �¡é¨¥¡�¡¨���ª¥�« � ¥�é�§� §¨�¥� �� ¤�§�¡�� £� "Z¿¾Y £� ¥�£������� £�¡£��«

f ¼ee ¼e] ¼]e ¼]]f "Z¿¾Y ge] h]] ¼]e ¼]]f hee he] h]e h]]f "Z¿¾Y �ee i]] gee ¼eef gee ge] g]e g]]f "Z¿¾Y ¼e] h]] �]] �]ef �ee �e] �]e �]]f "Z¿¾Y ie] he] g]] g]ef iee ie] i]e i]]f "Z¿¾Y �e] i]e hee iee

ò¨ ©¡� ð«ô`ê æ� ��¦� �¨�¦§�� ��é¡� � ��í�¡�«()* +*,j. kl617<7 9>G>8 >8 G:<G>8 G>8 1:2:8 8012378 03689<:G>8 l:4m6<: nopq 7 D>l89<6: : 9:C73: G: H6lrD=:> ÄUÅÎV 2:<: >8 1781>8

Page 157: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� IJùKJ�JLüøMNOøÿ PJ Qøùø� ôõð²³²³s t¸� �¸¶¸º ¶���¶ �¹·�¶º��¥� ¬©�­ ¦�¡� ¥�£� £�¡£� �­ ¤�§� uÒÇÈÉÆÒÊÒÇÓ

ÑÈÒÊÇÈÉÊÆÓîv�ôï � �Áà w' �îv�öï � �Áà �Áà ' �îv�Rï � �À� w' �îv�õï � �À� w' � �Áàîv�ðï � �À� �À� ' �îv�ñï � �À� �Áà �À� �Áà ' �îv��ï � "Z¿¾Y w' � �Áàîv�[ï � "Z¿¾Y �Áà "Z¿¾Y �Áà ' ��� ¦¡�¦¡¨�£�£�� îv�öï­ îv�ðï­ � îv�[ï �½¡��� ¬©� �� í©ª¢°���

�À�­ �Áà ­ � "Z¿¾Y �°�� ¦�¡�©¥�¢°��� £� ¢�ª�©ª¥� £� £�¡£��ß ¨�¥� ®�­í©ª¢°��� é ��¥�¡�� £� £�¡£�� ¦�¡� £�¡£�� î¤��� ���¡¢®á¢¨� ð«ôðï« v�¨����¥���ª¥�­ ����� ¨£�ª¥¨£�£�� �½¡��� ¬©� �À� � �Áà �°�� �©�� ¦¡ ®�¦¡¨��¨ª¤�¡���ß � � ¨ª¤�¡�� £� "Z¿¾Y ®� �Áà "Z¿¾Y �Áà« ��¥� ¬©� ��¥� ®©§¥¨��£�¤�§¤� � ÞÖ¿Þ¾ ÖÂÕÁ¿À¾¿ ؾ� �ÁÚ�Ö ¾¿ÀÜÁ� ¬©� � �¡ ©��ª¥�­ ª� �¡£��¢®á¢§¨¢� £�� £�¡£�� ¢�� ����� �¡¨ ��«()* +*,+. x8:lG> :8 2<>2<07G:G78 @y/z{y/|Aq 2<>}7 567 uÒÇÈÉÆÒÊÒÇÓÊÑVÆÏÆÊÅÇÓ@y/~A B ÄUÅÎV� �� B �ÇÔ 2:<: 9>G> 0l970<> �

@y/z�A B �ÇÔ �Æ � B �Æ �ÇÔ@y/zzA B �Æ �ÇÔ �� B@y/z�A B �ÇÔ ÄUÅÎV �ÇÔ ÄUÅÎV � B

()* +*,�. �<>}7 : 87m60l978 2<>2<07G:G7?@y/z�A B �ÇÔ EUÅÎV �ÇÔ � B EUÅÎV\]

()* +*,�. x8:lG> :8 H6lrD=>78 �Æq �ÇÔ q 7 ÄUÅÎV :27l:8q G0m: D>1>>C97<

@:A > 2< �>;01> G:<G> D>1 1781: H:D7 G0<709: 567 Bq@CA > 2< �>;01> G:<G> D>1 1781> }�7<90D7 G7 G7890l> 567 B

Page 158: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôõñ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø��0m: 9:1C�71 D>1> >C97< :8 0l}7<8:8 G789:8 H6lrD=>78 @089> �7q > G:<G>ÊÈÉÇÅÆÎÅ : B D>1 1781: H:D7 G0<709: >6 }�7<90D7 G7 G7890l>Ao()* +*,�. /7�: � > 1:2: 8012378 567 D>l80897 G>8 }�7<90D78q :<789:8q 7H:D78 G7 61 G>G7D:7G<> <7m63:<o �>97 567 2>G71>8 G0}0G0< : 8627<H��D07G> G>G7D:7G<> 71 G>08 ��7108H �7<0>8� 0m6:08q D:G: 61 D>1 � H:D78qD><9:lG> > 1781> :> 3>lm> G7 61 D0<D609> �756:9><0:3� D>1 z� :<789:8ox8:lG> :8 H6lrD=>78 :1C63:9 �><0:8q 78D<7}: 61 :3m><091> 567 7l617<: :8:<789:8 G7 9:3 D0<D609>q : 2:<90< G7 61 G:<G> D>l�7D0G> G> 1781>o

²³²³� �����·¶ ¸ ¸¶·¸¹º»�£�è�� ¦¡�¤�¡ ¬©� �� í©ª¢°��� �À�­ "Z¿¾Y ­ � �Áà £�½ª�� ¢��¦§�¥�è��ª¥� � ¥�¦�§� ¨� £� ©� ��¦� �¨�¦§��« ��¥� ®�­ �� ��¨�¥� ©�� é ��¢°�� ��ª¥¡� �� £�¡£�� £� £�¨� ��¦�� � � � ­ ¥�§ ¬©� �� "Z¿¾Y ' � "Z¿¾Y �­�� �À� ' � �À� �­ � �� �Áà ' � �Áà �­ ¦�¡� ¥�£� £�¡£� �­ �ª¥°�� � �� �°�� ¥�¦�§� ¨¢���ª¥� �¬©¨¤�§�ª¥��«æ�� !ÖÛÜÁ�¿Ö ÞÁ ÞÖ¿Þ¾Ú ®� ©�� ��¥¡©¥©¡� ��¥�� ®�¥¨¢� ¬©� ¢�ª�¨�¥���ÏÐÇ�ÅÊ ÒÇ ÒÊÅÒÎÓ £� ©� ¢�ª�©ª¥� �¡é¨¥¡ ®�¡¨� �­ ¢�� ¥¡±�� í©ª¢°��� �¡é¨¥¡ ®�¡¨�� �À�­ �Áà ­� "Z¿¾Y £� � ¦�¡� � ¬©� ��¥¨�í�ä�� �� ¢�ª£¨¢°��� îv�ô�v�[ï �¢¨��«»�¨� é��­ ¦�£�è�� ¦¡�¤�¡ ¬©�­ ¦�¡� ¥�£� ®�§ �é¡� £� �¡��¥��­ ��¨�¥� ©���¦� �¨�¦§�� � ¢©��� £�¡£�� � í©ª¢°��� ��驧�¥ ®�¡¨�� �� ¢��¦�¡¥��¢��� �� �§���ª¥�� � í©ª¢°��� £���� ®�§ �é¡�«²³²³²  º ·� �·¶ ¡¶·¶ ¶¡¶º º�¡�º»�¡¥�ª¥�­ ¦�¡� ¡�¦¡���ª¥�¡ ½�§��ª¥� � ¥�¦�§� ¨� £� ©� ��¦� �¨�¦§��ª� ¢��¦©¥�£�¡­ ¦�£���� ©��¡ ©�� ��¥¡©¥©¡� £� £�£�� §¨ �£�­ �� ¬©�¢�£� ¡� ¨�¥¡� ¡�¦¡���ª¥� ©� £�¡£� �­ ¢�� ¥¡±�� �¦�ª¥�£�¡�� ¦�¡� ��¡� ¨�¥¡�� ¢�¡¡��¦�ª£�ª¥�� ��� £�¡£�� � "Z¿¾Y ­ � �À�­ � � �Áà«

�� ¤�¡£�£�­ ¦�£���� �¢�ª��¨ä�¡ �©¨¥�� £����� �¦�ª¥�£�¡��­ ���ÇÐÆÓÉÅÎ ÒÇ ÊÅÇÓÉÊ ¡�¦¡���ª¥�¡��� �� ¬©�¥¡� £�¡£�� �¡¨ ¨ª ®�¡¨�� £� ����� �¡��¥� ¦�¡ ©�®©ª¨¢� ¡� ¨�¥¡� £¨¤¨£¨£� �� ¬©�¥¡� ¦�¡¥�� ª� í�¡�� £� ©�� ��¥¡¨ä ö ¢ö« ���� � ½ ©¡� ð«ôô« �� §¨ªå�� £��¥� ��¥¡¨ä ¢�¡¡��¦�ª£�� ë�� £©���¡¨�ª¥�¢°��� §�ª ¨¥©£¨ª�¨� £� �¡��¥�­ ¡�¥©§�£�� �¡é¨¥¡�¡¨���ª¥� ¢�� `� ôß � �� ¢�§©ª�� ¢�¡¡��¦�ª£�� ë�� �¡¨�ª¥�¢°��� ¥¡�ª�¤�¡��¨�« ó��¥�í�¡��­ ©� £�¡£� � £� �¡��¥�­ ¢�� �¡¨�ª¥�¢°�� §�ª ¨¥©£¨ª�§ c � �¡¨�ª¥�¢°��¥¡�ª�¤�¡��§ d­ ��¥ ®� ¡�¦¡���ª¥�£� ¦�§� �§���ª¥� £¤ ¥ S¦ £��¥� ��¥¡¨ä«

Page 159: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� IJùKJ�JLüøMNOøÿ PJ Qøùø� ôõ�

ò¨ ©¡� ð«ôôê §�¦¡���ª¥�¢°�� ¢��¦�¢¥� £�� £�¡£�� £� ©�� �¡��¥�«���¥� �§���ª¥� �¡��ä�ª���� ©� �¦�ª¥�£�¡ ¦�¡� � £�¡£� � "Z¿¾Y ­� ¦���¨¤�§��ª¥� �©¥¡�� ¨ªí�¡��¢°��� ��é¡� £�¡£� �­ ��¦�¢®á½¢�� £� ��¦§¨¢�¢°��« ��¥� ¬©� ª°�� ¦¡�¢¨����� �¡��ä�ª�¡ �¦�ª¥�£�¡�� ¦�¡� ��£�¡£�� � �À� £ � �Áà­ ¦�¨�­ ¢��� ¤�¡���� ª� ��¢°�� ð«ð«ñ­ �§�� ¦�£����¡ ¢�§¢©§�£�� � ¦�¡¥¨¡ £� �ª£�¡�¢� £� �«ì� ¤ ®�¡¥¨¢�� � í�¢�� £� ��¥¡©¥©¡�  �¡�§��ª¥� �°�� ¡�¦¡���ª¥�£�� ¦�¡ �ÇÐÆÓÉÅÎÓ ÒÇÔ �ÇÅÉÆÌÇÓ Ç ÊÌÇÓ¡� ¨�¥¡�� ��¦�¡�£��« ����� ¢���­ �� ¢�£� ¡� ¨�¥¡� £� �¡��¥� ¢�ª¤ ®���¡��ä�ª�¡ �¦�ª¥�£�¡�� ¦�¡� �� £�¨� ¤ ®�¡¥¨¢�� �� ¬©� � �¡��¥� ¨ª¢¨£�î ª£���£�� ¦�§�� �¡¨�ª¥�¢°��� §�ª ¨¥©£¨ª�¨� £� �¡��¥�ï­ � ¦�¡� �� £©��í�¢�� ¬©� ¨ª¢¨£�� ª�§� î ª£���£�� ¦�§�� �¡¨�ª¥�¢°��� ¥¡�ª�¤�¡��¨�ï«T�ªí�¡�� �é��¡¤���� �ª¥�¡¨�¡��ª¥�­ �� ¡�§�¢°��� �À�­ �Áà­ � "Z¿¾Y�ª¥¡� �� £�¡£�� £�¥�¡�¨ª�� ¢��¦§�¥���ª¥� � ¥�¦�§� ¨� £� ��¦�ß ¦�¡è¥�ª¥�­ �� ¡� ¨�¥¡�� £� ¤ ®�¡¥¨¢�� � í�¢�� ª°�� ¦¡�¢¨��� ¢�¡¡� �¡ ¨ªí�¡��¢°���¥�¦�§ ®� ¨¢��« ¨¨¦¨¢���ª¥�­ ��¥�� ¡� ¨�¥¡�� ¢�ª¥ ®�� £�£��  ���®�¥¡¨¢��î¢��¡£�ª�£�� £� ¤ ®�¡¥¨¢�­ �¬©�¢°�� £� í�¢�ï �© £�£�� ��¦�¢®á½¢�� £� �¦§¨è¢�¢°��«

²³²³© µª�����¶¹ «¶º�¶�W� §¨ª ©� �ª� £� ¦¡� ¡���¢°�� ¬©� ¦�¡�¨¥�� �¦�ª¥�£�¡�� ¦�¡� §© �¡�� �Ç�ÅÇÓÇÈÉÊËÌÍÊÎ ÒÇÑ ÒÊÅÒÎ�¡é¨¥¡ ®�¡¨�� £� ���®�¡¨� î¢��� T­ ¦�¡ ����¦§�ï­ ®� ¦���®á¤�§ ¡�¦¡���ª¥�¡©� £�¡£� ¦�§� �ª£�¡�¢� £� �©éè¡� ¨�¥¡� ¢�¡¡��¦�ª£�ª¥�« ì �ª£�¡�¢� £��£���¨� £�¡£�� £� ����� �¡��¥� ¦�£� �ª¥°�� ��¡ �饨£� ¦�¡ �¡¨¥�®�¥¨¢�£� �ª£�¡�¢��«

W� §¨ª ©� �ª� ¢��� »��¢�§ � v�£©§�èö­ ¬©� ª°�� ¦�¡�¨¥�� ¥�¨� �¦�è¡�¢°���­ �� 騥� £� �¡¨�ª¥�¢°�� ¦¡�¢¨��� ��¡ ��¦�¢¨½¢�£�� ��¦�¡�£���ª¥�£� � �ª£�¡�¢� £� ¡� ¨�¥¡�« ì© ����­ ¦�¡� ¨£�ª¥¨½¢�¡ ©� £�¡£� ¦¡�¢¨��è��� í�¡ª�¢�¡ ©�� ¥¡¨¦§�  c¥ dï­ �ª£� ¬ ®� ©� �¦�ª¥�£�¡ ¦�¡� � ¡� ¨�¥¡�£� �¡��¥�­ � c¥ d �°�� �� 騥� £� �¡¨�ª¥�¢°��«

Page 160: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôõ[ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø��� §¨ª ©� �� »��¢�§­ ¦�¡ ����¦§�­ � ��¥¡©¥©¡� £� £�£�� ¦�£�¡¨���¡ £�¢§�¡�£� £� �� ©¨ª¥� ��ª�¨¡�ê­®¯°±²­ ³ ´µµ¶·

¸¹º»¼ ³ º°½¼º»¯ ¾ ¿Àº°Á­¹·Â¾ ±²­ · à ĺ²°Å­¹½¹¼ ¼ÅƲ­Ç»²Å¹Â È­ ¾ ±²­ · à ĺ²°Å­¹½¹¼ ­º¹ÅÁÉ°ºÁ¹Â È

°Å»·Àº°Á­¹ ³ º°½¼º»

¼¯º¼Ê ¾ ¹ºº¹® ˱²­Ì ±²­Í ¼Î ¸¹º»¼· à ÏÅ»²½°Á ËÂÌ­Í È¼ºÆ ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¿Ð°º­²½°· à ÏÅ»²½° ËÂÍ È°ÁÑ ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¿Ò¹½°· à ÏÅ»²½° ËÂÍ È

°Å»·Ð°º­²½° ³ º°½¼º» µµµ °Å»·Ò¹½° ³ º°½¼º» µµµ °Å»·

»�¡� �é¥�¡ �� �©¥¡�� £�¡£�� £� ����� �¡��¥�­ é��¥� ��ª¨¦©§�¡ �� 騥�£� �¡¨�ª¥�¢°�� c � dêÎÇŽ­²¼Å Ó°ÉÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼·

ְƲÅÓ°É µ ¾³ » µ ·Ó°É µÂ ¾³ » µÂ·Ó°É µ­ ¾³ ¶ × » µ­·

°Å»·ÎÇŽ­²¼Å ز٠Ի ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼·

ְƲÅز٠µ ¾³ » µ ·Ø²Ù µÂ ¾³ ¶ × » µÂ·Ø²Ù µ­ ¾³ ¶ × » µ­·

°Å»·

Page 161: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� IJùKJ�JLüøMNOøÿ PJ Qøùø� ôõ^»�¡ �©¥¡� §�£�­ � £�¡£� � "Z¿¾Y ��¥ ®� �¡��ä�ª�£� ��¦§¨¢¨¥���ª¥� ª��©éè¡� ¨�¥¡� £� £�¡£� �ê

ÎÇŽ­²¼Å įº¼ÊÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼·Ö°Æ²Åįº¼Ê ¾³ » µ ¿µ¼¯º¼Ê Ë» µÂÌ » µ­Í°Å»·

ì� ¤®�¡¥¨¢�� � í�¢�� ¤¨ä¨ªå�� � � �°�� ¥��é®�� ��¥¡�®á£�� £� ¡� ¨�¥¡� £��¡��¥�êÎÇŽ­²¼Å ĺÆÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¿Ð°º­²½°·

ְƲÅÄºÆ ¾³ » µ ¿µ¼ºÆ Ë» µÂÍ°Å»·

ÎÇŽ­²¼Å ¸Á­Ô» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¿Ð°º­²½°·Ö°Æ²Å¸Á­ ¾³ » µ ¿µ¼ºÆ ˶ × » µÂÂÍ°Å»·

ÎÇŽ­²¼Å ÚÁÑÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¿Ò¹½°·Ö°Æ²Å

ÚÁÑ ¾³ » µ ¿µ°ÁÑ Ë» µ­Í°Å»·

ÎÇŽ­²¼Å ¸²ºÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¿Ò¹½°·Ö°Æ²Å¸²º ¾³ » µ ¿µ°ÁÑ Ë¶ × » µ­Í°Å»·

T��� ¤¨���­ �� £���¨� í©ª¢°��� ��驧�¥ ®�¡¨�� ¦�£�� ��¡ £�½ª¨£�� �¦�¡¥¨¡ £� �À�­ �Áà­ � "Z¿¾Y êÎÇŽ­²¼Å įº°ÉÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼· à ÏÅÉ°ºÁ¹ »° įº¼Ê È

ְƲÅįº°É ¾³ Ó°ÉÔįº¼ÊÔÓ°ÉÔ»ÕÕÕ°Å»·

Page 162: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôð` ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�ÎÇŽ­²¼Å Ú¯º¼ÊÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼·

ְƲÅÚ¯º¼Ê ¾³ įº°ÉÔز٠ԻÕÕ

°Å»·ÎÇŽ­²¼Å Ú¯º°ÉÔ» ¾ ¸¹º»¼Õ¾ ¸¹º»¼· à ÏÅÉ°ºÁ¹ »° Ú¯º¼Ê È

ְƲÅÚ¯º°É ¾³ ز٠ÔÄÅ°Ê­Ô»ÕÕ

°Å»·W ���¨� ¦�¡ £¨�ª¥�«

()* +*,Û. k8D<7}: 61 2<>D7G017l9> uÈÓÇÅÇçÆÊÐÎÈÊÏ @ÅÜ ÓAq 567 :D<78ÝD7l9: :> 1:2: 61: l>}: :<789: Éq 30m:lG> >8 }�7<90D78 Þ ÄÅÐ 7 ß ÄÅÐ:9<:}�78 G: H:D7 Þ EÓFo k827D04567 G79:3�:G:17l97 > 7H709> G7887 2<>D7ÝG017l9>o()* +*àá. k8D<7}: 61 :3m><091> 567 D>l89< �>0 61 1:2: D>1 � H:D78q z�:<789:8q 7 | }�7<90D78q 0lD0G7l978 7l9<7 80 D>1> :8 H:D78q :<789:8 7 }�7<90D78G7 61 D6C>o()* +*à,. /7�: B 61 G:<G> G7 61 1:2: �q 7 â �7 61: 875ã6ä7lD0:56:3567< G7 >27<:rD=>78 ÄUÅÎV q �Æåq �ÇÔ o y>89<7 567 > 7H709> G7 �ÇÔ7560}:37 : <7æ790< > 1:2: � l> 78273�>? 089> �7q 87 Bâ � çq 7l9=:>B �ÇÔ âè � ç �ÇÔ q >lG7 âè �7 : 875ã6ä7lD0: >C90G: G7 â 9<>D:lG>Ý87 9>G:>D><<ä7lD0: G7 ÄUÅÎV 2>< ÄUÅÎV\]o y:08 :0lG:q 87 Bâ EÓF � é q 7l9=:>B �ÇÔ âè çÆÅ � é()* +*àà. k8D<7}: 61 2<>D7G017l9> UÇÅÌÎÅÅÇ@ÅÜ �UÜ�UÜêUAq 567 27<ÝD><<7 9>G>8 >8 73717l9>8 G> 1:2: 567 D>l9 �71 : :<789: Åq D�:1:lG> >82<>D7G017l9>8 �U@ÔA 2:<: D:G: }�7<90D7 Ôq �U@ÒA 2:<: D:G: G:<G> ÒqêU@ A 2:<: D:G: H:D7 q 871 D�:1:< G6:8 }7ë78 > 1781> 2<>D7G017lÝ9> D>1 > 1781> :<m617l9>o @�:<: H:D0309:< 86: 9:<7H:q 862>l�: 61:}7<8=:> G: 30lm6:m71 �:8D:3 l: 56:3 �7 27<1090G> G7D3:<:< }:<0 �:}708 G>902> ìíî ïð ñ 2:<: 56:3567< 902> ñq 0lD3680}7 :2>l9:G><78oA()* +*à-. k8D<7}: 61 :3m><091> 567q G:G> 61 1:2: 971 �:90D> @òÜóôAqG7}>3}7 > 1:2: 971 �:90D> @õÜóöA 1:08 m<>8870<> 567 <72<787l9: > 1781>D:12> G7 }:3><78o

Page 163: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� IJùKJ�JLüøMNOøÿ PJ Qøùø� ôðô²³²³÷ ø�¡·ù�ú��º ¹·�� �¶û�º���¥� §¨¤¡� ¤���� ¢�ª�¨£�¡�¡ �¦�ª�� ��¦�� �� �©¦�¡í®á¢¨�� ¾¿ÀÁÂÕ !ÖàÁÀÚ« �Ñ�ÇÅ �üÌÆÇÎÅÆÇÈÉ �ÊÔÇÏ�ªí�¡��§��ª¥�­ ©�� �©¦�¡í®á¢¨� ®� �¡¨�ª¥ ®�¤�§ �� ®� ¦���®á¤�§ £�½ª¨¡ �� ¥�¡ª�£� ¢�£� ¦�ª¥� ©� ÚÁÂÕÀÞ¾ X¾ÚÀÕÀྠÞÁ ¿¾ÕÖ×ØÙÖ¾­ £� ��ª�¨¡� ¢�ª¥®áª©�­��é¡� ¥�£� � �©¦�¡í®á¢¨�«� £�½ª¨¢°�� í�¡��§ £��¥� ¢�ª¢�¨¥� ®� £����¨�£� ¥ ®�¢ª¨¢� ¦�¡� ��¥�§¨¤¡�« Wª¥¡�¥�ª¥�­ ¦�£�è�� ¦¡�¤�¡ ¬©� ©�� �©¦�¡í®á¢¨� ¢��¦�¢¥� ý ®��¡¨�ª¥ ®�¤�§ �� � ����ª¥� �� �§� ®� �¬©¨¤�§�ª¥� � �§ ©�� �©¦�¡í®á¢¨� ýè þ ÿ� «����� ¢���­ ýè ®� � í¡�ª¥�¨¡� £� �§ ©� � ®�§¨£� £� ��¥�ª�°�� §¨�¨¥�£� ¢�ª¥¨£��� ÿ� «»�¡¥�ª¥�­ � ��í�¡� �� � � ¥�¡� �°�� �¡¨�ª¥ ®�¤�¨�« »�¡� ¢��¦¡�¤�¡ ��¥��½¡��¢°��­ ¦�£���� £�½ª¨¡ � ��ª¥¨£� ¦��¨¥¨¤� £� ¡�¥�¢°�� �� ¥�¡ª� £�©� ¦�ª¥� ¬©�§¬©�¡ ¬ ¢��� ��ª£� � ��ª¥¨£� �ª¥¨èå�¡ ®�¡¨�­ ¤¨�¥� ¦�¡ ©��é��¡¤�£�¡ ª� §�£� £� í�¡� £� �©¦�¡í®á¢¨� � ¦¡ ®��¨�� �� ¦�ª¥� ¬ «

�� ��¨�¡¨� £�� �¦§¨¢�¢°��� ¦¡ ®�¥¨¢��­ � ¡��¥¡¨¢°�� � �©¦�¡í®á¢¨�� �¡¨è�ª¥ ®�¤�¨� ®� ¦�¡í�¨¥���ª¥� ¨ª ®�¢©�« W� £���ªå� ¨ª£©�¥¡¨�§­ ¦�¡ ����¦§�­��¦�� �¨�¦§�� �°�� ©��£�� ¦¡¨ª¢¨¦�§��ª¥� ¦�¡� ¡�¦¡���ª¥�¡ � �©¦�¡í®á¢¨�£� ¦�¢�� ��¢±�ª¨¢�� � �©¥¡�� �é��¥�� � ®�§¨£�� � ¬©�­ ¢��� �é��¡¤�����¢¨��­ ®� ���¦¡� �¡¨�ª¥ ®�¤�§« W�  ��¦¡�¢������ª¥�­ ¡�é ®�¥¨¢�­ ¥¨¦� ¡�è½�­ � �©¨¥�� �©¥¡�� �¦§¨¢�¢°���­ � ®©ª¨¢� �©¦�¡í®á¢¨� £� ¨ª¥�¡���� ®� � ��í�¡��� ­ �©­ � ¬©� £ ®� ª� �����­ � ¦§�ª� £� £�¨� §�£�� �� « î�§¨ ®��­ ��¥� ®���¨� ©�� ¤�ª¥� �� £� �� ¥¡�é�§å�¡ ¢�� �� ­ �� ¤�ä £� ¦§�ª� ¦¡���¥¨¤�¢§ ®���¨¢� �� «ï²³²³� �¡·º� ¶���¶¹ ¸ ¶¡¶º ¹·�� �¶û�º� �©¦�¡í®á¢¨� £� ©� ��¦� �¨�¦§�� ®� �¡¨�ª¥ ®�¤�§ �� � ����ª¥� �� � ¢�ªè �Ê�Ê ÎÅÆÇÈÉ �ÊÔÇÏ�©ª¥� £�� £�¡£�� £� ����� ¦�£� ��¡ £¨¤¨£¨£� �� £©�� ¢§����� £� ¨ ©�§¥���ªå�­ ¥�¨� ¬©� ¢�£� ¢§���� ®� í�¢å�£� ��é �À� � "Z¿¾Y ß ��ª£� ¬©��Áà §�¤� ���¦¡� £� ©�� ¢§���� ¦�¡� � �©¥¡�« T�£� ©�� £����� ¢§�����£� £�¡£�� ¢�¡¡��¦�ª£� � ©�� �¡¨�ª¥�¢°�� £� �©¦�¡í®á¢¨�­ � ¦�£� ��¡ ¨ªè¥�¡¦¡�¥�£� ¢��� ©� §�£� £� �����« �©�� �©¦�¡í®á¢¨� ª°��è�¡¨�ª¥ ®�¤�§­¦�§� ¢�ª¥¡ ®�¡¨�­ ®� ¦���®á¤�§ ¨¡ £� �§ ©� £�¡£� � ¦�¡� � £�¡£� � �Áà ¦�¡��¨� £� ©�� ��¬�©±�ª¢¨� £� �¦�¡�¢°��� �À� � "Z¿¾Y «�� � �©¦�¡í®á¢¨� ®� �¡¨�ª¥ ®�¤�§­ � í©ª¢°�� �Áà ®� �� ¦¡¨ª¢®á¦¨� �©¦®�¡©�ß � EÓÉÅÑÉÑÅÊ �ÊÅÊ

åÊ�ÊÓ ÎÅÆÇÈÉ �ÊÔÇÆÓ¥�¦�§� ¨� £� ��¦� ®� ¨ª¥�¨¡���ª¥� £��¢¡¨¥� ¦�§�� í©ª¢°��� �À� � "Z¿¾Y ­

Page 164: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôðö ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�¡��¥¡¨¥�� � ©�� £�� £©�� ¢§����� £� £�¡£��« »�¡¥�ª¥�­ ª©�� �¦§¨¢�¢°���� ¬©� ¥�£�� �� ��¦�� �°�� �¡¨�ª¥ ®�¤�¨�­ ¦�£�¡®á���� �¨�¦§¨½¢�¡ ©� ¦�©è¢� � ��¥¡©¥©¡� £� £�£�� £� ��¢°�� ð«ð«ñ­ ��¨¥¨ª£� � 騥 £� �¡¨�ª¥�¢°��¥¡�ª�¤�¡��§ ª� ¡�¦¡���ª¥�¢°�� £� £�¡£��« ����� ¢���­ ¥�¡®á���� ¬©� �©é�襨¥©¨¡ �� ¬©�¥¡� �¦�ª¥�£�¡�� �� ¦�¡ £�¨� �¦�ª¥�£�¡�� �� � £�¨�����« ì© ����­ ¥�¡®á���� ¬©� £�¢§�¡�¡ê

­®¯°¸¹º»¼ ³ º°½¼º»¯ ¾ ¿Àº°Á­¹·Â¾ ±²­ · à ĺ²°Å­¹½¹¼ ¼ÅƲ­Ç»²Å¹Â È

°Å»Àº°Á­¹ ³ º°½¼º»¼¯º¼Ê ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¸¹º»¼· à ÏÅ»°Ê¹»¼ ¯¼º ËÂÍ È¼¯º°É ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¸¹º»¼· à ÏÅ»°Ê¹»¼ ¯¼º ËÂÍ È¼ºÆ ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¿Ð°º­²½°· à ÏÅ»°Ê¹»¼ ¯¼º ËÂÍ È°ÁÑ ¾ ¹ºº¹® ±²­ ¼Î ¿Ò¹½°· à ÏÅ»°Ê¹»¼ ¯¼º ËÂÍ È

°Å»·Wª¥¡�¥�ª¥�­ ��¥� �¨�¦§¨½¢�¢°�� �¢�ª��¨ä� �©¨¥� ¦�©¢� ��¦�¢� îõ 騥�¦�¡ �¡��¥�ï­ � ¥�� �§ ©��� £��¤�ª¥� �ª�« ���� �� ���¡¢®á¢¨�� ð«öõ � ð«öð«

()* +*àj. �7ÝD>G04567 :8 H6lrD=>78 :1C63:9 �><0:8 � �Æåq ÄUÅÎV qÄUÅÎV\]q EUÅÎV q EUÅÎV\]q ÄÅÐ q çÓÉ q EÓFq 7 çÆÅ � 2:<: 1:2:8 ><0Ý7l9 �:}708q 862>lG> : 789<696<: G7 G:G>8 8012304D:G: D>1> :D01:o()* +*à+. /62>l�: 567 567<71>8 D>l89<60< : 01:m71 7827D63:< �è G761 1:2: � G:G>o �>1 : 789<696<: G7 G:G>8 G78D<09: l: 87rD=:> nono�qC:89: 68:< : H6lrD=:> �ÇÔ @}7�: > 7;7<D��D0> no�zAo �>1 : 789<696<: >90Ý10ë:G: 2:<: 8627<H��D078 ><07l9 �:}708q G78D<09: :D01:q �7 2<7D08> D>l89<60<61: l>}: 789<696<: 2:<: �èok8D<7}: 61 :3m><091> 567 D>l89< �>0 9:3 789<696<:o �:<: H:D0309:< 86:9:<7H:q 862>l�: 567 D:G: <7m089<> Àº°Á­¹ Þ G7 � D>l9�71 61 D:12>Þ µÅÇÙ ¾ ²Å­°Æ°ºq 7l9<7 z 7 > l �617<> G7 :<789:8 G7 �q 567 0G7l904D:6l0D:17l97 : :<789:o

Page 165: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �ýùJKùÿ��MNOøÿ PJ Qøùø� ôðR��� �������������� �� �����ó¨ä���� ¬©� ©� ��¦� � ®� ©� ¿Á�ÂÖ�ÁÂÕ¾ £� ©� ��¦� � �� ¥�£� �Ç�ÈÊåÇÈÉÎ�§���ª¥� £� � ��¥ ®� ¨ª¥�¨¡���ª¥� ¢�ª¥¨£� �� �§ ©� �§���ª¥� £� � « ì©����­ �� ¥�£� �§���ª¥� £� � ®� � ©ª¨°�� £� ©� �© ��¨� �§���ª¥�� £� �«ó�½ª¨��� ¥��é®�� � ÚÝXÁ¿X¾ÚÀ×ØÙÖ¾� � £� £�¨� ��¦�� � � � ¢��� �Ñ�ÇÅ�ÎÓÆËÌ ÍÊÎ ÒÇåÊ�ÊÓ��ª£� � ��¦� ��ª�� ¡�½ª�£� ¬©� ®� ©� ¡�½ª���ª¥� £� � � £� � «

�ªí�¡��§��ª¥�­ � � ®� � ¡��©§¥�£� £� ¡�¦�¡¥¨¡ � �©¦�¡í®á¢¨� �� ©ª£��� £�¨� ��¦�� �� ����� ¥��¦�« ���� � ½ ©¡� ð«ôö«

ò¨ ©¡� ð«ôöê � �©¦�¡¦��¨¢°�� £� £�¨� ��¦��«®W í ®�¢¨§ ¤�¡ ¬©� ¦�¡� ¢�£� �§���ª¥� g £� � � ��¨�¥� ©� ®©ª¨¢� EÏÇåÇÈÉÎÓ ÒÊÓÑ�ÇÅ�ÎÓÆËÌ ÍÊÎ�§���ª¥� £� � � ©� ®©ª¨¢� �§���ª¥� £� � ¬©� ¢�ª¥ ®�� g« �� ¤�¡£�£�­¦�£�è�� ¦¡�¤�¡ í�¢¨§��ª¥� ¬©� ¥�£� �§���ª¥� £� � � ®� ©�� ¢��¦�èª�ª¥� ¢�ª��� £� ¼ ! h­ �ª£� ¼ ®� ©� �§���ª¥� £� �­ � h ®� ©� �§���ª¥�£� � ß � ¤¨¢�è¤�¡��«²³©³´ t� ·º����¶¹ ¸ ¡¹��ú�¹�¹º" ®� ��ª¢¨�ª���� ¬©� � �©¦�¡¦��¨¢°�� £� ��¦�� �í�¡�¢� ©� ¢��¨ªå� uÈÉÇÅÓÇÌËÌÍÊÎ ÒÇ�ÎÏ �üÐÎÈÎÓ�¨�¦§�� � �½¢¨�ª¥� ¦�¡� �©¨¥�� �¦�¡�¢°���  ���®�¥¡¨¢��« æ� ����¦§�¥®á¦¨¢� ®� � ¢ ®�§¢©§� £� ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� £�¨� ¦�§®á �ª�� � � � ­ ¤¨�¥�� ¢���¢�ª�©ª¥�� £� ¦�ª¥�� £� �� « W�¥� ¦¡�é§��� ®� é��¥�ª¥� ¢��¦§¨¢�£�­����� ¬©�ª£� � � � �°�� ¦�§®á �ª�� �¨�¦§�� ¢�� �¡��¥�� ¡�¥¨§®áª���«»�¡� ¢���¢� £� ¢�ª¤�¡��­ � ¨ª¥�¡��¢¢°�� ¦�£� ¢�ª�¨�¥¨¡ £� ��¨� £� ©�¦�§®á �ª�« �§ ®�� £¨���­ ª� ¢��� £� ¦�§®á �ª�� �� �� �© �� ­ � ¨ª¥�¡��¢¢°��¦�£� ¥�¡ é©¡�¢��« W­ ª�¥©¡�§��ª¥�­ �©¨¥�� ¦�§®á �ª�� ¬©� �¦�¡�¢�� ª�¦¡ ®�¥¨¢� ª°�� �°�� �¨�¦§��«

Page 166: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôðõ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�»�¡®��­ � ¦¡�é§��� ½¢� ¬©��� ¬©� ¥¡¨¤¨�§ �� ¥¨¤�¡��� ë� �°�� ©��§ �¡¨¥�� ¬©� ¢�ª�¥¡ ®�¨ � �©¦�¡¦��¨¢°�� £� £�¨� ��¦�� £�£��« �����¢���­ ¦�£���� ¢�ª�¨£�¡�¡ ¢�£� ©� £�� ¦�§®á �ª�� ¢��� ��ª£� ©� ��¦�¥�� ®�¥¨¢�­ �ª£� ¢�£� í�¢� # ¥�� ¤�§�¡ $%&' ¦�¡� � ¨ª¥�¡¨�¡ £� ¦�§®á �ª�­� ()*+' ¦�¡� � ��¥�¡¨�¡« ���� � ½ ©¡� ð«ôR«

ò¨ ©¡� ð«ôRê �ª¥�¡��¢¢°�� £� ¦�§®á �ª��ê ¦¡�¥� ®� ¨ª¥�¡¨�¡ î$%&'ï­ é¡�ª¢�®� ��¥�¡¨�¡ î()*+'ï«»�¡� �é¥�¡ � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £�� ¦�§®á �ª��­ ¢�ª�¥¡©®á��� ¦¡¨��¨¡� � �©è¦�¡¦��¨¢°�� , ' � � £�� ��¦��« ��¥� ¬©� ¢�£� í�¢� g £� , ®� �¨ª¥�¡��¢¢°�� £� ©�� í�¢� ¼ £� �­ � ©�� í�¢� h £� � « »�¡¥�ª¥�­ ¦�£�����¥¡¨é©¨¡ � g ©� ¤�§�¡ é�� £�½ª¨£�ê $%&' �� ¥�ª¥� ¼ ¬©�ª¥� h í�¡��$%&'� ª�� ¡��¦�¢¥¨¤�� ��¦��ß � £� ()*+' ¢��� ¢�ª¥¡ ®�¡¨�« ì© ����­ ¦¨ª¥�è��� £� ¦¡�¥� �� í�¢�� £� , ¬©� �¡�� ¦¡�¥�� �� ��é�� �� ��¦��« æ��

Page 167: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �ýùJKùÿ��MNOøÿ PJ Qøùø� ôðð¤�ä ¦¨ª¥�£�� ¥�£�� �� í�¢�� £� ��¦� , ­ é��¥� �§¨�¨ª�¡ £� ����� ¥�£���� �¡��¥�� ¼ ¬©� ��¦�¡�� £©�� í�¢�� £� ����� ¢�¡­ � ¥�£�� �� ¤ ®�¡¥¨¢��¬©� ª°�� �°�� ¦�ª¥� £� ª�ªå©�� �¡��¥�«

()* +*à�. �> :3m><091> :D01:q >8 2>3��m>l>8 G:G>8 8=:> D>l80G7<:G>8D>l�6l9>8 :C7<9>8 � 089> �7q :8 :<789:8 7 }�7<90D78 G7 ò l=:> H:ë71 2:<97G> D>l�6l9> G7 2>l9>8 G7 òo y>G04567 > :3m><091> G7 H><1: : @:A9<:9:< :<789:8 7 }�7<90D78 D>1> 2:<97 G>8 2>3��m>l>8- @CA 27<1090< 567> D307l97 7827D04567q 2:<: D:G: :<789: >6 }�7<90D7 G7 7l9<:G:q 87 788773717l9> 27<97lD7 >6 l=:> :> D>l�6l9>o� ����� ¥ ®�¢ª¨¢� ¦�£� ��¡ ©��£� ¦�¡� ¢�§¢©§�¡ � ©ª¨°�� �© �©é¥¡�¢°��£� £�¨� ¦�§®á �ª��ê � ¦�¡¥� £¨í®á¢¨§ £� ¦¡�¢���� � ¢�§¢©§�¡ � ��¦� , '� � � ®� ���¥���ª¥� � �����­ �©£� �¦�ª�� � ¢¡¨¥ ®�¡¨� ¦�¡� ¢�§�¡¨¡�� í�¢�� £� , «

²³©³� .¡·¶���¹º ¡¹� �¶�º»�£����  �ª�¡�§¨ä�¡ ��¥� ����¦§�­ £� �� ©¨ª¥� í�¡��« ����� # � ¤ £�¨� Ä�ÇÅÊËÌÍÊÎ �ÎÈÉÑÊÏ¢��¦�� £� ¤�§�¡�� ¢�� ¢�ª¥¡�è£��®áª¨�� / � 0 « ���� � ©�� í©ª¢°��¬©� � ¢�£� ¦�¡ f 1 / ­ 2 1 0 ����¢¨� ©� ¤�§�¡ f � 2 £� ©� ¥�¡¢�¨¡�¢�ª�©ª¥� £� ¤�§�¡�� 3 « W�¥�� £�£�� £�½ª�� ©� ¥�¡¢�¨¡� ¢��¦� £�¤�§�¡�� 4 ' # � ¤ ­ ¢�� ¢�ª¥¡�è£��®áª¨� 3 ­ ¬©� � ¢�£� ¦�ª¥� ¬ £� ������¢¨� � ¤�§�¡ 4î¬ï ' # î¬ï � ¤ î¬ï«

��¥� ¬©� � ¤�§�¡ £� ¢��¦� 4 �� ¢�£� ¦�ª¥� £�¦�ª£� �¦�ª�� £��¤�§�¡�� £� # � ¤ ª���� ����� ¦�ª¥�­ ¨ª£�¦�ª£�ª¥���ª¥� £� ¬©� �¢�ª¥�¢�ª� ¡��¥� £� ¦§�ª�« ó¨ä���� ¦�¡¥�ª¥� ¬©� 4 ®� � ¡��©§¥�£� £� ¾XÁ¿Ö×ØÙÖ¾X¾ÂÕÝÖÛ � �¦§¨¢�£� ��� £�¨� ¢��¦�� # � ¤ « W�¥� ¢�ª¢�¨¥� ¦�£� ��¡ �ª�¡�§¨ä�£� ¦�¡� í©ª¢°��� � ¢�� ¬©�§¬©�¡ ª ®©��¡� £� �¡ ©��ª¥��­ £���ª�¨¡� ®�館�«�©¦�ªå� � �¡� ¬©� �� ¢��¦�� # � ¤ ��¥°�� ¡�¦¡���ª¥�£�� ¦�¡ ��¦��¥�� ®�¥¨¢�� î�¥5ï � î� ¥ Sï­ � ¬©�¡���� ¢�ª�¥¡©¨¡ ©� ��¦� ¥�� ®�¥¨¢�î,¥6ï ¬©� ¡�¦¡���ª¥� 4­ ì館���ª¥�­ é��¥� ¥���¡ , ' � � ­ � ����¢¨�¡� ¢�£� g 1 , � ¤�§�¡ 6îgï ' 5î�îgïï � Sî�îgïï«� ©ª¨°��­ ¨ª¥�¡��¢¢°��­ � �©é¥¡�¢°�� £� ¦�§®á �ª��­ £¨�¢©¥¨£�� �¢¨��­�°�� ����¦§�� ®�館�� £� �¦�¡�¢°��� ¦�ª¥©�¨�« v�¨�  �¡�§��ª¥�­ ¥�£��¦�¡�¢°�� é��§��ª� �¦§¨¢�£� � ¢�ª�©ª¥�� £� ¦�ª¥�� 7­ ý �¬©¨¤�§� � ©���¦�¡�¢°�� ¦�ª¥©�§ ��é¡� �©�� í©ª¢°��� ¢�¡�¢¥�¡®á�¥¨¢�� 89 ­ 8: «

Page 168: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôðñ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�()* +*à�. /7�: ; � <î=>íÜ ð?@ìíAo �ä7 :8 H6lrD=>78 B â C q G7 ; D; 2:<:; q 567 G74l71 >27<:rD=>78 2>l96:08 8>C<7 D:12>8 D:<:D97<��890D>8 7560}:Ý37l978 E: 6l0=:>q 0l97<87DrD=:>q 7 86C9<:rD=:> G>8 D>l�6l9>8 D><<782>lG7l978o

²³©³s ���¹·� ¹ ·�û�¶�� £�½ª¨¢°�� £� � � �© �¡� ©� �§ �¡¨¥�� ¥¡¨¤¨�§ ¦�¡� �©� ¢�ª�¥¡©¢°��ê�ÏÐÎÅÆÉåÎ ÉÅÆÔÆÊÏ ÒÇÓÑ�ÇÅ�ÎÓÆËÌ ÍÊÎ ¦�¡� ¢�£� �§���ª¥� ¼ 1 �­ � ¢�£� �§���ª¥� h 1 � ­ ¢�§¢©§� � ¨ª¥�¡��¢¢°��¼ ! h­ � �ª©��¡� �� ¢��¦�ª�ª¥�� ¢�ª���� £� �����« ì ¢�ª�©ª¥� £�¥�£�� ����� ¢��¦�ª�ª¥�� ®� � ��¦� � � «æ� ¦���®á¤�§ ¦¡�é§��� ¢�� ��¥� �§ �¡¨¥�� ®� ¬©� � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� £�¨�¢�ª�©ª¥�� ¢�ª���� ¦�£� ¥�¡ ©� ª ®©��¡� �¡é¨¥¡ ®�¡¨� � ¥�§¤�ä ¨ª½ª¨¥�� £� ¢��¦�ª�ª¥�� ¢�ª����« »�¡¥�ª¥�­ � ¥�¦�§� ¨� £� � � ¦�£���¡ �¡é¨¥¡�¡¨���ª¥� ��¨� ¢��¦§¨¢�£� ¬©� � �© � « »�¡ ����¦§�­ �¨ª¥�¡��¢¢°�� £�� �¡¢��

¼ ' F £ô¥ d¥ d �¨ªîôGdï¦ ê ` H d H ô Ih ' F £ô¥ d¥ `¦ ê ` H d H ô I

®� ©� ¢�ª�©ª¥� ¨ª½ª¨¥� £� ¦�ª¥��«²³©³� ø�¡·¡¹º����¶¹ ¸ ¶¡¶º ¶�� ��·��¹ºWª¥¡�¥�ª¥�­ �� �� ��¦�� � � � �°�� ��¦�� �§  ®�顨¢��­ ®� í ®�¢¨§ ¤�¡ ¬©��Ñ�ÇÅ�ÎÓÆËÌ ÍÊÎ ÒÇåÊ�ÊÓ ÊÏÐ �Ç�ÅÆÌÎÓ � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� �§���ª¥�� ¼ 1 � � h 1 � ®� ©� ¢�ª�©ª¥� �§  ®�顨¢�«»�£�è�� £���ª�¥¡�¡ ¬©� ¥�£� ¢�ª�©ª¥� �§  ®�顨¢� ¥�� ©� ª ®©��¡� ½ª¨¥�£� ¢��¦�ª�ª¥�� ¢�ª����­ � ¬©� ¢�£� ©�� £����� ¢��¦�ª�ª¥�� ¦�¡ �¨ � ®�®� ©� ¢�ª�©ª¥� �§  ®�顨¢�« »�¡¥�ª¥�­ ¢�ª¢§©®á��� ¬©� Ö ÚÝXÁ¿X¾ÚÀ×ØÙÖ¾ ÞÁÞ¾ÀÚ �ÖXÖÚ ÚÀ�XÛÁÚ ÖÛÜ !Á�¿ÀØ¾Ú !Á Ý� �ÖXÖ ÖÛÜ !Á�¿ÀؾJ î� £���ª�¥¡�¢°��£��¥�� í�¥�� ��¥ ®� §�ª � £� ��¡ ¥¡¨¤¨�§«ï�� ¢�ª�¨£�¡�¡��� ��¦�� �§  ®�顨¢�� í�¡��£�� ¦�¡ �§���ª¥�� â¢�ª±�誨¢��ã� ¤®�¡¥¨¢��­ �¡¢��­ � £¨�¢�� � ¦�£���� £¨ä�¡ �§ � ��¨�ê

K � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� ©� ¦�ª¥� ¨��§�£� ¢�� ¬©�§¬©�¡ ¢�ª�©ª¥� ®� î�é褨���ª¥�ï ©� ¦�ª¥� ¨��§�£�ßK � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� £�¨� �¡¢�� �§  ®�顨¢�� ©� ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� �¡¢���§  ®�顨¢��­ �© ©� ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� ¦�ª¥�� ¨��§�£��ß

Page 169: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �ýùJKùÿ��MNOøÿ PJ Qøùø� ôð�K � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� ©� �¡¢� �§  ®�顨¢� � ©� £¨�¢� �§  ®�顨¢� ®� ©�ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� �¡¢�� �§  ®�顨¢��ßK � ¨ª¥�¡��¢°�� £� £�¨� £¨�¢�� �§  ®�顨¢��­ ¢©�� ©ª¨°�� ª°�� ®� � �©¦�¡í®á¢¨�¥�£�­ ®� ©� ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� £¨�¢�� �§  ®�顨¢��«

()* +*à�. �ä7 61 7;7123> G7 G>08 G08D>8 :3m �7C<0D>8 l: 78H7<: L� D6�:0l97<87rD=:> l=:> �7 61 G08D>oó��¥�� ¡��©§¥�£��­ ¦�£���� ¢�ª¢§©¨¡ ¬©�­ ¦�¡� £�¨� ��¦�� �¨�¦§���§  ®�顨¢�� � � � ­ ¥�£� ¤ ®�¡¥¨¢� £� � � ®� ©� ¤®�¡¥¨¢� £� � �© £� � ­�© ©� ¦�ª¥� ¨��§�£� £� ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� £©�� �¡��¥��« »�£���� ¢�ª¢§©¨¡¥��é®�� ¬©� ¥�£� �¡��¥� £� � � ®� ©� ¦�£�¢� £� ©�� �¡��¥� £� � �©£� � «

²³©³² ���¹·� ¹ �¹º ·�û�¶��� �é��¡¤�¢°��� £� ��¢°�� �ª¥�¡¨�¡ �© �¡�� � �� ©¨ª¥� �§ �¡¨¥��­ ©�¦�©¢� ��ª�� ¥¡¨¤¨�§êM*NO%P$QO RST U�ÝXV¿ÀàW #ÖÞ¾Ú Þ¾ÀÚ �ÖXÖÚ ÚÀ�XÛÁÚ ÖÛÜ !Á�¿ÀØ¾Ú � Á�X ÂÖ �ÁÚ�Ö ÚÝXÁ¿$ !YØÀÁX ÞÁà¾ÛàÁ ¾ �ÖXÖ , ' � �Jô« ò�¢� Z [ Z� \ Z � «ö« »�¡� ¢�£� ¦�¡ £� �¡��¥�� ¼ 1 ]�­ h 1 ]� ­ ¥�§ ¬©� ¼!h ¢�ª�¨�¥�£� ¦�ª¥�� £¨�¢¡�¥��­ í�¢� Z [ Z \ î¼ ! hï«R« ò�¢� ] [ FI«õ« »�¡� ¢�£� �¡��¥� ¼ £� ]� \]� ­ £�¥�¡�¨ª� ¥�£�� �� ¦�ª¥�� £�Z ¬©� ��¥°�� �� �« »�¡� ¢�£� ¥¡�¢å� g £� ¼ �ª¥¡� £�¨� �����¦�ª¥��­ ¢¡¨� ©� ª�¤� ¡� ¨�¥¡� £� �¡��¥� � �¢¡��¢�ª¥�è� � ] «�°�� ®� £¨í®á¢¨§ ¢��¦§�¥�¡ ��¥� �§ �¡¨¥�� £� ��£� � ¡� ¨�¥¡�¡­ ¦�¡� ¥�£� ^ÎÈÓÉÅÑÆÈÒÎ ÊÇÓÉÅÑÉÑÅÊ ÒÇ ò _õ¤®�¡¥¨¢� � �¡��¥� g £� , ­ �� �§���ª¥�� �îgï � �îgï £�� ��¦�� �¡¨ ¨ª�¨�¬©� ¢�ª¥ ®�� g« T�� ©� ¦�©¢� ��¨� £� ¥¡�é�§å�« ®� ¦���®á¤�§ ¥��é®��£�¥�¡�¨ª�¡ � �©¢����¡ g "Z¿¾Y ¦�¡� ¥�£� £�¡£� g £� , « T�� ��¥�¨ªí�¡��¢°��­ ®� ¦���®á¤�§ £�¥�¡�¨ª�¡ �� í�¢�� £� , ß � ¡� ¨�¥¡�¡­ ¦�¡� ¢�£�í�¢� # ­ �� í�¢�� �¡¨ ¨ª�¨� �î#ï � �î#ï ¬©� ¢�ª¥±�� # «

Page 170: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôð[ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�W� �©��­ �� � � � �°�� ¡�¦¡���ª¥�£�� ¦�¡ ��¥¡©¥©¡�� £� �¡��¥��¢��� � £��¢¡¨¥� ª� ��¢°�� ð«ð«ñß � �§ �¡¨¥�� �¢¨�� ¦�¡�¨¥� ¢�ª�¥¡©¨¡©�� ¡�¦¡���ª¥�¢°�� �ª ®�§� � ¦�¡� � ��¦� , « ��¥� ¦¡���©¦°�� ¬©� , ®� ©���¦� �¨�¦§��­ � �� ¦�¡¥¨¢©§�¡ ¬©� ¥�£� í�¢� £� , ���� ©� £¨�¢�« ��¢��� £� ©�� �©¦�¡í®á¢¨� ��í ®�¡¨¢�­ ¨�¥� ®� ¤�¡£�£� �� � � � í�¡�� ��¦���¨�¦§��­ � ¥�£� í�¢� £�� ������ ��¥¨¤�¡ ¢�ª¥¨£� ª©� å��¨�í ®�¡¨�«`©�§ ®� � ¢©�¥� £��¥� �§ �¡¨¥��a �� � � � ¥�� b �¡��¥��­ ª� ¥�¥�§­^ÑÓÉÎ ÒÊÓÑ�ÇÅ�ÎÓÆËÌ ÍÊÎ �ª¥°�� ª� ¦¨�¡ ¢��� ¥���� ¬©� ����¨ª�¡ cîbdï ¦�¡�� £� �¡��¥��« �� �¢©�¥� £� ¢�£� ¦�¡ ®� eîôï î �¥� ®�­ ¨ª£�¦�ª£�ª¥� £� bï­ �ª¥°�� � ¢©�¥�¥�¥�§ £� �§ �¡¨¥�� ¥��é®�� ��¡ ®� cîbdï«®W í ®�¢¨§ £�¡ ����¦§�� £� £�¨� ��¦�� ¦�§¨ �ª�¨� �¨�¦§�� ¢�� b �§�è^ÎÉÊ ÆÈ ÇÅÆÎÅ ��ª¥�� ¢©�� �©¦�¡¦��¨¢°�� ¥�� cîbdï �§���ª¥��« »�¡¥�ª¥�­ ª°�� ��¨�¥�ª�ªå©� �§ �¡¨¥�� ¬©� ���� ���¨ª¥�¥¨¢���ª¥� ��¨� ¡ ®�¦¨£� ¬©� � �§ �¡¨¥è�� ð«ô ¦�¡� ¥�£�� �� ¢����«Wª¥¡�¥�ª¥�­ ª� ¦¡ ®�¥¨¢� � ¢��¦§��¨£�£� £� ��¦� � � ¡�¡���ª¥��¥¨ª � � §¨�¨¥� ¥� ®�¡¨¢�« �©��  ¡�ª£� ¦�¡¢�ª¥� �� £�� ¢����­ � ª ®©��¡�£� �§���ª¥�� £� � � ª°�� ®� �©¨¥� ��¨�¡ ¬©� ª ®©��¡� £� �§���ª¥��£� � � � � �© ����­ ¢�£� �¡��¥� £� � ¢¡©ä� �� �®�£¨� ©��� ¦�©¢���¡��¥�� £� � «»�¡¥�ª¥�­ ¦�¡� ½ª� ¦¡ ®�¥¨¢�� ®� £���� ®�¤�§ ©� �§ �¡¨¥�� £� �©¦�¡¦�è�¨¢°�� ¢©�� ¢©�¥� ���� ��¨� �© ��ª�� ¦¡�¦�¡¢¨�ª�§ ë� ¢��¦§��¨£�£� £���¦� ½ª�§« ��� ¦¡ ®��¨��� ��¢°��� £���ª¤�§¤�¡���� ¥�§ �§ �¡¨¥��«

��f g ������h�� �� i��������T��� ¤¨��� ª� ��¢°�� �ª¥�¡¨�¡­ � ¦���� ��¨� ¢¡®á¥¨¢� ª� ¢ ®�§¢©§� £� � �®� £�¥�¡�¨ª�¡ ¥�£�� ¢¡©ä���ª¥�� �ª¥¡� �¡��¥�� £� � � £� � «� ¥ ®�¢ª¨¢� £� ¤�¡¡�£©¡� £� ¦§�ª� ¦�¡�¨¥� ¢�§¢©§�¡ ����� ¨ª¥�¡��¢¢°��� �çÇÉÇÅåÆÈÊËÌÍÊÎÇ�ÌÆÇÈÉÇ ÒÎÓÌÅÑjÊåÇÈÉÎÓ ©� ¢©�¥�  �¡�§��ª¥� ��ª�¡ ¬©� � £� �§ �¡¨¥�� ð«ô« v�¨� ¦¡�¢¨����ª¥�­�� b ®� � ª ®©��¡� £� �¡��¥�� £� � � � ­ � k � ª ®©��¡� £� ¨ª¥�¡��¢¢°���­� ¥ ®�¢ª¨¢� £� ¤�¡¡�£©¡� ¦�¡�¨¥� £�¥�¡�¨ª�¡ ¥�£�� �� ¢¡©ä���ª¥�� ��¥��¦� eîîklbï §� îklbïï� �© ����­ � ©� ¢©�¥� �®�£¨� £� eî§� îklbïï ¦�¡ �¡��¥��«æ�� ¤�ä ¢�ªå�¢¨£�� ¥�£�� ����� ¢¡©ä���ª¥��­ ª°�� ®� £¨í®á¢¨§ £�¥�¡�¨èª�¡ �� £���¨� ¦¡�¦¡¨�£�£�� £� ��¦� � � ­ � ¢�ª�¥¡©¨¡ � ��¥¡©¥©¡� £�£�£�� ¦�¡� � �����­ � ©� ¢©�¥� �£¨¢¨�ª�§ £� �¦�ª�� eî§� îklbïï«

Page 171: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��m� n ùøKøP�oQø Pø pøKKJPýKø ôð^²³÷³´ . ¶��¹·� ¹ ¸ q� �r . ¶��»�¡� ��¦§¨¢�¡ � ¦�¡�£¨ �� £� ¤�¡¡�£©¡�­ ¤���� ¢���¢�¡ ¦�¡ ©� ¦¡�é§�è UÅÎ�ÏÇåÊÓÆå� ÏÆ�ÌÊÒÎ�� é�� �¨�¦§��ê £�£� ©� ¢�ª�©ª¥� ý £� �� ��ª¥�� £� ÿ� ­ £�¥�¡�¨ª�¡¥�£�� �� ¦�¡�� £� �� ��ª¥�� ¬©� �� ¢¡©ä��« � ��§©¢°�� ¢§ ®���¨¢� ¦�¡� ��¥�¦¡�é§��� ®� � �§ �¡¨¥�� s�ª¥§�t � 쥥��ªª £sì�^¦­ ¬©� £��¢¡�¤���� ��� ©¨¡«

��� ¨ª� ©�� ¡�¥� ¤�¡¥¨¢�§ ¤�¡¡�ª£� � ¦§�ª� ÿ� £� ��¬©�¡£� ¦�¡� �ÇÉÊ ÒÇ ÔÊÅÅÇÒÑÅÊ� £¨¡�¨¥�« W� ¢�£� ¦��¨¢°��­ � ¡�¥� u �ª¢�ª¥¡� ©� ¢�¡¥� �©é¢�ª�©ª¥�£� �� ��ª¥��­ ¬©� ¢å���¡���� £� ÚÁÜ�ÁÂÕ¾Ú ÖÕÀà¾Ú« ���� vîuï � §¨�¥�£����� �� ��ª¥��­ �¡£�ª�£�� ¦�§� ¦��¨¢°�� 2 �� ¬©� �§�� ¢¡©ä�� u«����� �©¦�¡ ª°�� å ®� £�¨� ¤ ®�¡¥¨¢�� �© ¢¡©ä���ª¥�� ¢�� ����� �é�袨���­ �© £�¨� �� ��ª¥�� ¢�§¨ª��¡��« ����� ¢���­ � �¡£�� £�� �� ��ª¥���� vîuï � ®� �©£� �� £�¨� ¥¨¦�� £� ÁàÁÂÕ¾Úê ¬©�ª¥� � ¡�¥� ¦���� ¦�§� EÔÇÈÉÎÓ��¥¡��� £� ©� �� ��ª¥�­ �© ¦�§� ¢¡©ä���ª¥� £� £�¨� �� ��ª¥��« ��¦¡¨��¨¡� ¢���­ ©� �� ��ª¥� ��¨ £� §¨�¥�­ �© �ª¥¡� ª�§�« �� �� ©ª£�¢���­ �� £�¨� �� ��ª¥�� ¥¡�¢�� £� §© �¡ ª� §¨�¥�« �§ ®�� £¨���­ �¦�ª��©� £��¥�� �¤�ª¥�� ¦�£� �¢�ª¥�¢�¡ £� ¢�£� ¤�ä«æ�� ¤�ä ¬©� �� ª ®©��¡� £� �¤�ª¥�� ®� ½ª¨¥�­ ®� ¦���®á¤�§ �¨�©§�¡ ��¥�¤�¡¡�£©¡� ª©� ¢��¦©¥�£�¡« �� ¨ª®á¢¨� £� ¢�£� ¨¥�¡�¢°��­ � ¢�ª¥� ®©£�� �¡£�� £� §¨�¥� v ¢�¡¡��¦�ª£� ë� ¡�¥� u ¦��¨¢¨�ª�£� �ª¥¡� £�¨� �¤�ªè¥�� �©¢���¨¤��« ì �§ �¡¨¥�� £�¥�¡�¨ª� � ¦¡ ®��¨�� �¤�ª¥�­ � �¨�©§� �¦���� �� £� ¡�¥� ¦�¡ ��é¡� � �����« W�¥� �¨�©§�¢°�� ¨�¦§¨¢� �� ¡�¥¨è¡�¡­ �¢¡��¢�ª¥�¡­ � ¦�¡�©¥�¡ �� ��ª¥�� £� §¨�¥� v £� ��£� � ¡��¥¨¡ ��¨¥©�¢°�� ¢�� � ¡�¥� ¦��¨¢¨�ª�£� §� � �¦ ®�� � �¤�ª¥�«²³÷³� � ¶��¸¶ ¸ û� ¹º ù� �·¹º� £¨½¢©§£�£� ¥�£� ��¥ ®� �� £�¥�¡�¨ª�¡ � ¦¡ ®��¨�� �¤�ª¥�­ £� ��ª�¨¡� �ÐÇÈÒÊ ÒÇ ÇÔÇÈÉÎÓ�½¢¨�ª¥�« »�¡� ¨���­ ©��¡���� ©�� §¨�¥� w � � ÖÜÁÂÞÖ� ¬©� ¢�ª¥ ®��¥�£�� �� �¤�ª¥�� í©¥©¡�� ¢�ªå�¢¨£��­ �¡£�ª�£�� ¦�¡ �é�¢¨��� ¢¡��¢�ª¥�«���¨�­ � ¦¡ ®��¨�� �¤�ª¥� ��¡ ®� ���¦¡� � ¦¡¨��¨¡� ¨¥�� £� � �ª£�«

�� ¨ª®á¢¨� £� �§ �¡¨¥��­ � � �ª£� ¢�ª¥ ®�� �¦�ª�� �� �¤�ª¥�� £� ¦¡¨è��¨¡� ¥¨¦�� �� ��¥¡���� £� ¥�£�� �� �� ��ª¥��« ì� �¤�ª¥�� £� �� ©ª£�¥¨¦� � ¢¡©ä���ª¥�� � ��¡°�� £��¢�é�¡¥�� ª� £�¢�¡¡�¡ £� ¤�¡¡�£©¡�­ �¨ª��¡¨£�� ª� � �ª£�­ ª� ¦��¨¢°�� �£�¬©�£�«ì館���ª¥�­ ¦�¡� ¬©� ��¥� ¨£®�¨� í©ª¢¨�ª�­ ¦¡�¢¨����� £��¢�顨¡ ¢�£� UÅÇÔÆÓ ÍÊÎ ÒÇ ÇÔÇÈÉÎÓ

Page 172: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôñ` ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�¢¡©ä���ª¥� ÖÂÕÁÚ £� ¡�¥� u ¦����¡ ¦�§� �����« � ���� ¡��¦�¨¥�­ �é��¡¤�¬©�­ §� � �ª¥�� £� ¡�¥� u ¦����¡ ¦�¡ ©� ¢¡©ä���ª¥�­ �� £�¨� �� ��ª¥����¥�¡°�� �顨 �¥�¡¨���ª¥� �� ¦��¨¢°��� �£��¢�ª¥�� ª� §¨�¥�« »�¡¥�ª¥�­¦�¡� £��¢�顨¡ ¥�£�� �� ¢¡©ä���ª¥��­ é��¥� ����¨ª�¡ ¥�£�� �� ¦�¡�� £��� ��ª¥�� ؾÂÚÁØÝÕÀà¾Ú £� §¨�¥� v«

v�¨� �¨ª£�­ ©�� ¤�ä ¬©� � ¦¡�¢������ª¥� £� ©� �¤�ª¥� � ®� �í�¥�¦�©¢�� �§���ª¥�� £� §¨�¥�­ é��¥� ����¨ª�¡ �¦�ª�� �� ª�¤�� ¦�¡�� £��§���ª¥�� ¢�ª��¢©¥¨¤�� ¬©� ¡��©§¥�¡�� £���� ¦¡�¢������ª¥�«»�¡ ����¦§�­ ª� ¢��� £� ½ ©¡� ð«ôõî�ï­ ¬©�ª£� � ¡�¥� ¦���� ¦�§�UÅÎÌÇÓÓÊåÇÈÉÎ ÒÇÑå ÇÔÇÈÉÎ ¦�ª¥� S ­ � �� ��ª¥� x ��¨ £� §¨�¥�­ � �� �� ��ª¥�� ¼ � g ¦����� � ��¡ ¤¨è䨪å��« »�¡¥�ª¥�­ ª���� å�¡� £�¤���� ¤�¡¨½¢�¡ �� å ®� �§ ©� ¢¡©ä���ª¥��ª¥¡� �� �¡��¥�� ¼ � g ¢�� �é�¢¨��� ��¨�¡ ¬©� � £� S «�� ¢��� £� ½ ©¡� ð«ôõîéï­ ¬©�ª£� � ¡�¥� ¦���� ¦�§� ��¥¡��� S ­ ��� ��ª¥� x ®� �¢¡��¢�ª¥�£� ë� §¨�¥�­ �ª¥¡� �� �� ��ª¥�� ¼ � g« ���������ª¥�­ £�¤���� ¤�¡¨½¢�¡ �� x ¢¡©ä� ¼ �© g«ò¨ª�§��ª¥�­ ª� ½ ©¡� ð«ôõî¢ï­ ¬©�ª£� � ¡�¥� ¦���� ¦�§� ¢¡©ä���ª¥�S £� u ¢�� x­ ��¥�� £�¨� �� ��ª¥�� ¥¡�¢�� £� §© �¡ ª� §¨�¥�« ó�¤�����ª¥°�� ¤�¡¨½¢�¡ �� å ®� ¢¡©ä���ª¥�� �ª¥¡� x � ¼­ �y�© �ª¥¡� u � h­ ¢���é�¢¨��� ��¨�¡ ¬©� � £� S ß ��ª£� ¬©� ¼ � h �°�� �� �� ��ª¥�� �¥¨¤��¨��£¨�¥���ª¥� �¢¨�� � �é�¨�� £� ¢¡©ä���ª¥� S «

ò¨ ©¡� ð«ôõê ì� ¥¡±�� ¥¨¦�� £� �¤�ª¥��ê î�ï ��¥¡��� ��¬©�¡£�­ îéï��¥¡��� £¨¡�¨¥�­ î¢ï ¢¡©ä���ª¥� £� �� ��ª¥��«�� £��¢¡¨¢°�� í�¡��§ £� �§ �¡¨¥��­ �é�¨��­ ¢�£� �¤�ª¥� £� � �ª£� w�ÊÅÆ �ÊÔÇÆÓ ÒÎÊÏÐÎÅÆÉåÎ ®� ©�� ±�ª©¦§� £� í�¡�� î'+z¥ xï­ î{P%¥ xï­ �© i ' î|%}¥u¥ xï­ �ª£� u � x�°�� �� ��ª¥��« � Ö�ÚØÀÚÚÖ £� �¤�ª¥� ®�­ ª�� £�¨� ¦¡¨��¨¡�� ¢����­ � £���ÓÌÆÓÓÊ ÒÇ ÑåÇÔÇÈÉÎ

Page 173: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��m� n ùøKøP�oQø Pø pøKKJPýKø ôñô��¥¡��� ¢�¡¡��¦�ª£�ª¥� £� xß �­ ª� ¥�¡¢�¨¡�­ � £� ¦�ª¥� �ª£� u � x ��¢¡©ä��«M*NO%P$QO RS~ U�'�$*'���$$Q)��W #ÖÞ¾ Ý� ؾÂ�ÝÂÕ¾ ý ÞÁ ÚÁÜÃ�ÁÂÕ¾Ú Ø¾� ÁYÕ¿Á�¾Ú Á� ÿ� X ÞÁà¾ÛàÁ Ý�Ö ÛÀÚÕÖ � ÞÁ XÖ¿ÁÚ ÞÁ ÚÁÜ�ÁÂÕ¾Ú%ÝÁ ÚÁ Ø¿Ý�Ö�X Á� ¾¿ÞÁ� ÞÁ Ö�ÚØÀÚÚÖ Ø¿ÁÚØÁÂÕÁJô« �ª¨¢¨�§¨ä� w [ FI­ v [ îï­ � � [ îï«ö« »�¡� ¥�£� �� ��ª¥� x 1 ý ­ �¢¡��¢�ª¥� î'+z¥ xï ë� � �ª£� w «R« �ª¬©�ª¥� w w' FI í�¢�

R«ô« §�¥¨¡� £� w � �¤�ª¥� i £� ��ª�¡ �é�¢¨���«R«ö« �� i ¥�� � í�¡�� î'+z¥ xï­ �ª¥°��êR«ö«ô« ���� S � ��¥¡��� ��¬©�¡£� £� x« ��¢�§¨ä� �� �� ��ª¥��¼ � h £� v ¨��£¨�¥���ª¥� �¢¨�� � �é�¨�� £� ¦�ª¥� S «R«ö«ö« �ª�¨¡� x �� v �ª¥¡� ¼ � h«R«ö«R« �¢¡��¢�ª¥� � �¤�ª¥� î{P%¥ xï ë� � �ª£� w «R«ö«õ« �� x ¢¡©ä� ¼ ë� £¨¡�¨¥� £� S ­ �¢¡��¢�ª¥� � �¤�ª¥� î|%}¥ x¥¼ïë� � �ª£� w « �£�� ¦�¡� h � x«R«R« ��ª°��­ �� i ¥�� � í�¡�� î{P%¥ xï­ �ª¥°��êR«R«ô« ì �� ��ª¥� x £�¤� ��¥�¡ ��v« ����� ¼ � h �� �� ��ª¥��£� v ¨��£¨�¥���ª¥� �¢¨�� � �é�¨�� £� x«R«R«ö« §���¤� x £� v«R«R«R« �� ¼ ¢¡©ä� h ë� £¨¡�¨¥� £� S ­ �¢¡��¢�ª¥� � �¤�ª¥� î|%}¥¼¥ hïë� � �ª£� w � ë� §¨�¥� � «

R«õ« ��ª°��­ �� i ¥�� � í�¡�� î|%}¥u¥ xï­ �ª¥°��êR«õ«ô« ì� �� ��ª¥�� u � x £�¤�� ��¥�¡ �� ¦��¨¢°��� ¢�ª��¢©¥¨è¤�� £� v­ ¢�� u �é�¨�� £� x« ����� ¼ � h �� �� ��ª¥��£� v ¨��£¨�¥���ª¥� �¢¨�� £� x � �é�¨�� £� u« ���� S �¦�ª¥� £� ¢¡©ä���ª¥�«R«õ«ö« �¢¡��¢�ª¥� � ¦�¡ îu¥ xï �� ½� £� §¨�¥� � «R«õ«R« ¡�¬©� �� ¦��¨¢°��� £� u � x �� v«R«õ«õ« �� u ¢¡©ä� ¼ ë� £¨¡�¨¥� £� S ­ �¢¡��¢�ª¥� � �¤�ª¥� î|%}¥u¥¼ïë� � �ª£� w « �£�� ¦�¡� h � x«õ« £�¤�§¤� � §¨�¥� �

Page 174: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôñö ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�()* +*àÛ. �> :3m><091> no�q 1>89<7 567 > 1781> D<6ë:17l9> @�=�Ü�Ü �A2>G7 87< 0l87<0G> 1:08 G7 61: }7ë l: :m7lG: � o @�ä7 61 D>l�6l9> G787m17l9>8 � 2:<: > 56:3 089> :D>l97D7Ao

²³÷³s ��º ¹ ¸¹ ¶��¹·� ¹ì ¥��¦�  ��¥� ¦�§� �§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�t � 쥥��ªª ®� ��ª�¡ �© ¨ ©�§�� ª ®©��¡� £� �¤�ª¥�� ¦¡�¢����£��­ ¤�ä�� � ¥��¦� �®��¨��  ��¥� ¦�¡�¦¡�¢����¡ ¢�£� �¤�ª¥�«�� � ¢�ª�©ª¥� £� �ª¥¡�£� ý ¥�� b �� ��ª¥��­ � � ¦�¡�� £����� ��^ÑÓÉÎ ÒÎ ÊÏÐÎÅÆÉåÎ ¢¡©ä��­ � ª ®©��¡� £� �¤�ª¥�� ¦¡�¢����£�� ¦�§� �§ �¡¨¥�� ®� ���¥���ª¥�öb l �« T��� � ®� �é��¡¤����­ � ª ®©��¡� £� ¢¡©ä���ª¥�� � ¦�£� ¤�¡¨�¡�ª¥¡� ` � ��d� ' bîb � ôïGö«ì ¥��¦� ª�¢��� ®�¡¨� ¦�¡� ¦¡�¢����¡ ©� �¤�ª¥� £�¦�ª£� £� ��ª�¨¡�¢��� �� §¨�¥��v � w �°�� �¡��ä�ª�£��« �� ©� ®������� ©�� ¡�¦¡���ª¥�¢°��¥¡¨¤¨�§ ¦�¡� � � �ª£�� ©� ¤�¥�¡­ �© ©�� §¨�¥� §¨ �£�� � ¢©�¥� ¦�¡�¨ª��¡¨¡ ©� ª�¤� �¤�ª¥� �© ¦�¡� ��¥¡�¨¡ � �¤�ª¥� £� ��ª�¡ �é�¢¨��� ��¡¨�¦¡�¦�¡¢¨�ª�§ �� ª ®©��¡� £� �¤�ª¥�� ª� �����« ������ ¢�ª£¨¢°��­ ª°��®� £¨í®á¢¨§ £� ���¥¡�¡ ¬©�­ ª� ¦¨�¡ ¢���­ � ¢©�¥� ¥�¥�§ £� �§ �¡¨¥�� ��¡¨��îb�ï � ��¨�¡ ¬©� � £� �§ �¡¨¥�� ¨ª ±�ª©�­ ¬©� ¥��¥� ¥�£�� �� ¦�¡��£� �� ��ª¥��« ���� � ���¡¢®á¢¨� ð«RRò�§¨ä��ª¥�­ �� �¡��ä�ª�¡��� � � �ª£� w � í�¡�� £� ©�� ��¥¡©¥©¡��Ç�ÅÇÓÇÈÉÊËÌÍÊÎÇ�ÌÆÇÈÉÇ ÒÊ ÊÐÇÈÒÊ ©� ¦�©¢� ��¨� ��½�¥¨¢�£� � ©�� � ÛÖ ÞÁ X¿À¾¿ÀÞÖÞÁ � ®� ¦���®á¤�§�í�¥©�¡ ¢�£� ©�� £����� £©�� �¦�¡�¢°��� �� ¥��¦� eî§� kï­ �ª£�k ®� � ª ®©��¡� £� �¤�ª¥�� ª� � �ª£�« æ�� ¤�ä ¬©� k ' eîbdï­� §� îbdï ' eî§� bï­ ¢�ª¢§©®á��� ¬©� � ¢©�¥� £� ¢�£� ©�� £��¥���¦�¡�¢°��� ®� ª� �®��¨�� eî§� bï«�ª�§� ���ª¥�­ �� ©� ®������� ©�� ¡�¦¡���ª¥�¢°�� ¥¡¨¤¨�§ ¦�¡� � §¨�¥��Ç�ÅÇÓÇÈÉÊËÌÍÊÎÇ�ÌÆÇÈÉÇ ÒÊ ÏÆÓÉÊÊÉÆÔÊ v­ ¥�¡®á���� ª� ¦¨�¡ ¢��� ¬©�  ��¥�¡ ¥��¦� �îbï ¦�¡� ¨ª��¡¨¡ ©� ª�¤��� ��ª¥� ª� �����­ �© ¦�¡� §�¢�§¨ä�¡ �� �� ��ª¥�� �£��¢�ª¥�� ������� î¦���� R«ö«ôï« »�£���� ¡���§¤�¡ ��¥� ¦¡�é§��� ©��ª£� ©����¥¡©¥©¡� £� £�£�� ��¨� ��½�¥¨¢�£�­ ¢��� ¦�¡ ����¦§� �� !ֿ྿ÁÚ ÖÝÕ¾Ã�ÖÛÖÂØÁÖÞÖÚ £� �§��¥�¡ � ¨�¡��ª £�¨[R¦«

T�� ��¥�� ��£¨½¢�¢°���­ � ¥��¦�  ��¥� ¦�§� �§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�t �쥥��ªª ®� ª� �®��¨�� eîîb l �ï §� bï«��¥� ¬©� ��¥� §¨�¨¥� �¨ª£� ®� ���¨ª¥�¥¨¢���ª¥� ��¨�¡ ¬©� � £� �§èUÆÎÅ ÌÊÓÎ  �¡¨¥�� ð«ô ¬©�ª£� å ®� �©¨¥�� ¨ª¥�¡��¢¢°���« Wª¥¡�¥�ª¥�­ �� �©¨¥��

Page 175: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �øKKJPýKø Pø J��JKø ôñR�¦§¨¢�¢°��� ¦¡ ®�¥¨¢��­ � ª ®©��¡� ��¦�¡�£� £� ¢¡©ä���ª¥�� � ®� eîbï �©��ª��« ������ ¢�ª£¨¢°���­ � �§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�tè쥥��ªª ¡�£� ��¥��¦� eîb §� bï­ �ª¬©�ª¥� ¬©� � �§ �¡¨¥�� ¥¡¨¤¨�§ �¨ª£� ��¨ � ¥��¦�eîbdï«

W�¨�¥�� �§ �¡¨¥��� ��¨� ¡�¢�ª¥�� ¬©� ¡���§¤�� ��¥� ����� ¦¡�é§�è�� �� ¥��¦� eîb §� b l �ï � ¨�¥� ®�­ eî§� bï ¦�¡ �� ��ª¥�­ ��¨�eîôï ¦�¡ ¢¡©ä���ª¥�« Wª¥¡�¥�ª¥�­ ��¥�� �§ �¡¨¥��� �°�� ¡�§�¥¨¤���ª¥�¢��¦§¨¢�£��­ � ª°�� �� ��é� �� �§�� �°�� ¡��§��ª¥� ��¨� �½¢¨�ª¥�� ¬©� �£� s�ª¥§�tè쥥��ªª �� ¦¡�é§���� ¦¡ ®�¥¨¢��«()* +*-á. @:A /7 > D>l�6l9> � 971 � 87m17l9>8q 56:3 > D>12<017l9>1 �:;01> G: 3089: �q l> G7D><<7< G> :3m><091>� @CA y>89<7 567 2:<:9>G> � 7;0897 61 D>l�6l9> G7 � 87m17l9>8 2:<: > 56:3 7897 1 �:;01> �7:90lm0G>o()* +*-,. @:A �<>}7 567 > l �617<> G7 7}7l9>8 l: :m7lG: � q 71 56:3567<1>17l9>q �7 8712<7 17l>< >6 0m6:3 : � � �o @CA /7< �: 567 2:<: 9>G> �7 9>G> � � �@� � zA�� 7;0897 61 D>l�6l9> ß G7 87m17l9>8 2:<: > 56:37887 1 �:;01> �7 :90lm0G>�()* +*-à. /7�:  ¡ > l �617<> G7 097l8 l: 3089: �q l> 1>17l9> 71 567> ¢Ý �7801> 0971 �7 0l87<0G> l: 1781:o y>89<7 567q 2:<: 9>G> �q 7;089761 D>l�6l9> � G7 � 87m17l9>8 9:3 567  ¡ � £@�A 2:<: £@�A }:3><78G0H7<7l978 G7 ¢o()* +*--. /7�: ¤¥ > 9:1:l�> G: :m7lG: � q l> 1>17l9> 71 567 > ¦Ý�7801> 7}7l9> �7 0l87<0G> l: 1781:o y>89<7 567q 2:<: 9>G> �q 7;0897 61D>l�6l9> � G7 � 87m17l9>8 9:3 567 ¤¥ � £@�A 2:<: 273> 17l>8 £@�dA}:3><78 G0H7<7l978 G7 ¦ o

��§ �������� �� ��©���� ¨£ ®�¨� ¢�ª¥¡�§ £� �§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�tè쥥��ªª ®� ¥¡�ª�í�¡��¡ ©� ¦¡�èé§��� 騣¨��ª�¨�ª�§ ��¥ ®�¥¨¢� ª©� ¦¡�é§��� ©ª¨£¨��ª�¨�ª�§ £¨ª±��¨¢�­�� ¬©� � ¢�£� ����ª¥� ª�� ¦¡��¢©¦���� �¦�ª�� ¢�� � ¬©� �¢�ª¥�¢��� §�ª � £� ©�� §¨ªå� ¬©� ¤�¡¡� � ¦§�ª� ¥�£�«»�£���� ©��¡ ���� ����� ¥ ®�¢ª¨¢� ¦�¡� ¢�§¢©§�¡ �½¢¨�ª¥���ª¥� ��¨ª¥�¡��¢¢°��� �ª¥¡� �� �¡��¥�� £� ��¦�� ��  �¡�§« »�¡� ¨���­ �ª¥¡�¥�ª¥�­¦¡�¢¨����� ��£¨½¢�¡ ¤ ®�¡¨�� £�¥�§å�� £� �§ �¡¨¥��«

Page 176: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôñõ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�W� ¦¡¨��¨¡� §© �¡­ �©¨¥�� ��¦�� £� ¨ª¥�¡���� ¦¡ ®�¥¨¢� �°�� ��¦��UÎÅFÑ ªÇ ÈÊ ÇÓ ÇÅÊ« ��é¡� � ��í�¡� �� î�© ª� ¦§�ª� ¦¡���¥¨¤� �¡¨�ª¥�£� �� ï« v���� ��¦��¡��¥¡¨¥�� �� ¦§�ª� ¢�¡¥��¨�ª� ÿ� í¡�¬�©�ª¥���ª¥� ¥�� �¡��¥�� ¨ª½ª¨¥���© ���¨è¨ª½ª¨¥��ß � ��ª�¨¡� ��¨� �¨�¦§�� £� ¥¡�¥�¡ ����� �¡��¥�� ®� �©¦�¡¬©� ��©� ��¥¡���� �°�� ¦�ª¥�� ª� ¨ª½ª¨¥�«��¡¡�¡ � ��í�¡� �� ®� ��¨� ¢��¦§¨¢�£� £� ¬©� ¤�¡¡�¡ � ¦§�ª� ÿ� «�ÇÅÆÒÆÊÈÎÓ Ç � �ÎÏÎÓÒÇ ÔÊÅÅÇÒÑÅÊ W� ¦¡¨��¨¡� §© �¡­ �� ¤�ä £� ©�� ¡�¥� £� ¤�¡¡�£©¡�­ ¥���� ¬©� ©��¡©� �Á¿ÀÞÀÖÂ¾ê ©� �¡¢� £� ¢®á¡¢©§� � ®��¨�� ¢�� ��¥¡���� �ª¥¨¦�£�¨�­ ¨¡�ª£� �� ¥�¡ª� £� �¨�� ¬©� ¦���� ¦�§�� ������« ���� � ½ ©¡� ð«ôð«����� ¢å���¡ �� ��¥¡���� £� ��¡¨£¨�ª� £� X !¾Û¾ ¾¿ÕÁ î¬ ï � X !¾Û¾ ÚÝÛî­ ' ®¬ ïß ��ª£� ¬©� � ��¡¨£¨�ª�  ¨¡� �� ��ª¥¨£� ¦��¨¥¨¤� �� ¥�¡ª�£� ¬ ­ � ª� �¥¨¤� �� ¥�¡ª� £� ­ «

ò¨ ©¡� ð«ôðê ��¡¡�ª£� � ��í�¡� ¢�� ©� ��¡¨£¨�ª�«T�£� ��¡¨£¨�ª� k ¦�£� ��¡ ¨£�ª¥¨½¢�£� ¢�� �©� ¿ÁÕÖ ÚÝX¾¿ÕÁ¬ ¯�ÇÉÊ ÓÑ�ÎÅÉÇ ÒÎ

åÇÅÆÒÆÊÈÎ ¬ ' ¬ ¯ ­ ­ �ª£� ¬ ®� ¬©�§¬©�¡ ¦�ª¥� £� ��¡¨£¨�ª�« ��¥� ¬©�­ �� ©ª£���¥� £�½ª¨¢°��­ � ¥¡���¥� £� ¬ ¦�¡� ­ �� §�ª � £� ��¡¨£¨�ª�  ¨¡� ª���ª¥¨£� ¦��¨¥¨¤� �� ¥�¡ª� £� §�£� ¦��¨¥¨¤� £� �©� ¡�¥� �©¦�¡¥�«ì©¥¡� £¨½¢©§£�£� � �ªí¡�ª¥�¡ ª� ¤�¡¡�£©¡� £� ��í�¡� ®� ¬©� � �¡£���ÇÅÆÒÆÊÈÎ ÆÈÆÌÆÊÏ ÇÏÎÈÐÆÉÑÒÇ �� ¬©� �� �¤�ª¥�� �°�� �ª¢�ª¥¡�£�� ¦�§� ��¡¨£¨�ª� £� ¤�¡¡�£©¡� ª°�� ®��¨�¦§����ª¥� � �¡£�� £� �é�¢¨��� ¢¡��¢�ª¥�« �� ¤�¡£�£�­ �� ��¡¨£¨�èª�� ¢�� ����� ¦ ®�§� �°�� �¡£�ª�£�� ¢¨¡¢©§�¡��ª¥�­ � ª°�� §¨ª��¡��ª¥�«»�¡¥�ª¥�­ ¦�¡� �¡£�ª�¡ �� �¤�ª¥��­ ¦¡�¢¨����� ��¢�§å�¡ ©� �Á¿ÀÞÀÖ¾ÀÂÀØÀÖÛ k° ­ �ª£� � ¤�¡¡�£©¡� ¢���¢�« »�£���� �ª¥°�� ¢§���¨½¢�¡ ¢�£��¤�ª¥� ¦�§� Û¾ÂÜÀÕÝÞÁ £� ��¡¨£¨�ª� ¬©� ¦���� ¦�¡ �§�­ ��£¨£� � ¦�¡¥¨¡£� k° ª� ��ª¥¨£� £� ¡�¥�¢°�� ¦��¨¥¨¤� �� ¥�¡ª� £� ¦ ®�§� ª�¡¥�«»�¡� ½ª� £� ¨§©�¥¡�¢°��­ ¤���� �©¦�¡ ¬©� ¬ ®� � ¦�ª¥� £ ¥ `¥ ô¦ß � ¬©�k° ®� � ��¡¨£¨�ª� ¬©� ¢�ª¥ ®�� � ¦�ª¥� £ ¥�ô¥ `¦­ ¢©�� ¡�¥� �©¦�¡¥� ®�

Page 177: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �øKKJPýKø Pø J��JKø ôñð� ' ± ¥ `¥ ô²« Wª¥¡�¥�ª¥�­ ¤�§� � ¦�ª� í¡¨��¡ ¬©� ¬ ¦�£� ��¡ ¬©�§¬©�¡¦�ª¥� £� ��í�¡�­ � k° ¦�£� ��¡ ¬©�§¬©�¡ �¡¢� ¢�� ��¥¡���� ¬ � ®¬ «

()* +*-j. @:A �78D<7}: : :2:<ä7lD0: G7 61 17<0G0:l> m7l�7<0D> l> 1>G7Ý3> 23:l> G7 ³� q 862>lG> 567 ´ � µ�Ü�Ü z¶o @CA ·G71q 2:<: ´ � µ�Ü zÜ�¶o@DA ·G71q 2:<: ´ � µzÜ�Ü�¶o�� � §�ª ¨¥©£� £� ©� ¦�ª¥� ¬ í�¡ ��ª�¡ ¬©� � £� �©¥¡� ¦�ª¥� ¸ ­ ¹ÇÓÉǺ ÎÇÓÉǺ ÈÎÅÉǺÓÑÏ£¨¡���� ¬©� ¬ ÁÚÕ !Ö Ö ¾ÁÚÕÁ ÞÁ ¸ ­ � ¸ ÁÚÕ !Ö Ö ÛÁÚÕÁ ÞÁ ¸ « �� ¬ � ¸ ¥¨¤�¡��� ����� §�ª ¨¥©£�­ � ©� ¦�¡¢©¡�� £� ¬ ¦�¡� ­ �� §�ª � £� ��¡¨£¨�ª��ª¢�ª¥¡�¡ ¬ �ª¥�� £� ¸ ­ £¨¡���� ¬©� ¬ ÁÚÕ !Ö Ö¾ ¾¿ÕÁ ÞÁ ¸ ­ � ¸ ÁÚÕ !Ö Ö¾ÚÝÛ ÞÁ ¬ « î�°�� ¦¡�¢¨��¡���� £�½ª¨¡ � �¡£�� ª�¡¥�è�©§ ¦�¡� ¦�ª¥�� ¢��§�ª ¨¥©£�� £¨í�¡�ª¥��«ï ��¥� ¬©� ��¥�� ¢�ª¢�¨¥�� ª°�� ��¥°�� £�½ª¨£��¬©�ª£� ¬ �© ¸ ¢�¨ª¢¨£�� ¢�� �� ¦ ®�§�� £� ¤�¡¡�£©¡�«

()* +*-+. �ä7 61 :3m><091> 2:<: G7D0G0< 87 61 2>l9> » 789 �: : >7897 G761 2>l9> ¼o @�0D:? D>12:<7 : ><G7l:rD=:> 2>< 3>lm096G7 D>1 : :lm63:<68:G: l: 87rD=:> �opo�oA()* +*-�. �ä7 61 :3m><091> 2:<: G7D0G0< 87 » 789 �: :> l><97 G7 ¼q8:C7lG>Ý87 567 :1C>8 789=:> l> 1781> 17<0G0:l>oæ�� ¥�¡¢�¨¡� £¨½¢©§£�£� £� ¤�¡¡�£©¡� ��í ®�¡¨¢� ®� ¬©�­ ��¨�¥�� ��¦�� ^ÎåÇËÌÊÈÒÎ �ÇÏÎ

åÇÆÎ¥�¨� ¬©� ¬©�§¬©�¡ ��¡¨£¨�ª�­ ¢�� ¬©�§¬©�¡ ¦ ®�§�­ ¢¡©ä� ©�� �© ��¨��¡��¥��« ì© ����­ ª°�� ��¨�¥� ��  �¡�§ ©�� ¦��¨¢°�� ⧨�¦�ã ¦�¡� ���¡¨£¨�ª� £� ¤�¡¡�£©¡�« »�¡¥�ª¥�­ ¬©�§¬©�¡ �§ �¡¨¥�� £� ¤�¡¡�£©¡�¦¡�¢¨�� ¢���¢�¡ â¦�§� ��¨�ã­ ¢�� ©�� §¨�¥� £� �� ��ª¥�� �¥¨¤�� ª°��è¤�ä¨�« W�  �¡�§­ � �§ �¡¨¥�� ¦¡�¢¨�� £�¨��¡ �� �é�¡¥� �§ ©ª� £�¥�§å��£� ¡��©§¥�£�­ ¬©� £�¦�ª£�� £�� ¦�¡¥�� ª°�� ¤�¡¡¨£�� £����� �� ��ª¥��ß�­ �� ½� £� ¤�¡¡�£©¡�­ ¦¡�¢¨�� ¤�§¥�¡ �¥¡ ®�� � ¢��¦§�¥�¡ ����� £�¥�§å��«æ�� ��ª�¨¡� ¡�§�¥¨¤���ª¥� ¢§�¡� £� £��¢¡�¤�¡ î� ¨�¦§���ª¥�¡ï ��è ^ÎÅÉÇ Ç ÌÎÓÉÑÅÊ¥�� ��£¨½¢�¢°��� ®� ¨�� ¨ª�¡ � ��í�¡� ¢�¡¥�£� �� §�ª � £� ��¡¨£¨�ª�¨ª¨¢¨�§ k° « �¦�§� ¨¢���ª¥�­ ���� ¢�¡¥� ¥¡�ª�í�¡�� � ��í�¡� �� ª� ¦§�èª� ¢�¡¥��¨�ª� ÿ� ­ � � ¤�¡¡�£©¡� £� �� ¦�¡ ©� ��¡¨£¨�ª� ª� ¤�¡¡�£©¡�£� ÿ� ¦�¡ ©�� ¡�¥�� ¥�§ ¢��� ª� �§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�t � 쥥��ªª« 즡�é§��� £� â¢���¢�¡ ª� ��¨�ã ¦���� � ��¡ �ª¥°�� ¬©� ¢�£� �¡��¥� ¬©�¢¡©ä� k° ½¢� £¨¤¨£¨£� �� ¦�§� ��ª�� £©�� �¡��¥��ß � � ����� �¢�ª¥�¢�¢�� �� í�¢��« »�¡� ¢�¡¡¨ ¨¡ ���� ¦¡�é§���­ ¬©�ª£� � ¤�¡¡�£©¡� ¥�¡�¨ª�

Page 178: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôññ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�¦¡�¢¨����� â¢��¥©¡�¡ã £� ¤�§¥� �� £©�� ��¡ �ª� £� ��¦�­ �©ª¥�ª£� ��¦�£�¢�� £� ¢�£� �¡��¥� �© í�¢� ¬©� ¢¡©ä� � ��¡¨£¨�ª� £� ¡�í�¡±�ª¢¨�« �½ ©¡� ð«ôñ ¨§©�¥¡� ��¥� ¦¡�¢����«

ò¨ ©¡� ð«ôñê T�¡¥� � ¢��¥©¡� £� ��¦�� ª� ��í�¡�«²³�³´ �·º ¶º ��·û¶º�§ ®�� £¨���­ ¦¡�¢¨����� §�¤�¡ �� ¢�ª¥� ¬©� �©¨¥�� ��¦�� £� ¨ª¥�¡�����ÅÇÓÉÊÓ ÌÑÅÔÊÓ ¦¡ ®�¥¨¢� ¥�� �¡��¥�� ¢©¡¤��« �� ¤�¡¡�£©¡� £� ¥�¨� ��¦��­ ¦¡�¢¨�����§¨£�¡ ¢�� � í�¥� ¬©� ©� ��¡¨£¨�ª� £� ¤�¡¡�£©¡� ¦�£� �ª¢�ª¥¡�¡ � ���è�� �¡��¥�� ¤ ®�¡¨�� ¤�ä��­ � ¬©� � §¨�¥� £� �¡��¥�� �¥¨¤�� ¦�£� �©£�¡ ª°���¦�ª�� �� ¤®�¡¥¨¢�� � ¢¡©ä���ª¥��­ ��� ¥��é®�� ¬©�ª£� � ��¡¨£¨�ª�½¢� ¥�ª �ª¥� � ©�� �¡��¥�« ���� � ½ ©¡� ð«ô�«

ò¨ ©¡� ð«ô�ê ��¡¡�ª£� ©� ��¦� ¢�� �¡��¥�� ¢©¡¤��«W�¥� ¦¡�é§��� ª°�� �¢�¡¡� �� ¥�£� �¡��¥� í�¡ �¾Â¾Õ ½¾ÂÀØÖ Á� Û¾ÂÃ�ÅÇÓÉÊÓ

åÎÈÎÉ ªÎÈÆÌÊÓ ÜÀÕÝÞÁê ¨�¥� ®�­ �� ¢�£� ��¡¨£¨�ª� ¢¡©ä�¡ ¢�£� �¡��¥� �� ª� �®��¨��

Page 179: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �øKKJPýKø Pø J��JKø ôñ�©� ¦�ª¥�« W�  �¡�§­ ¦�£���� ¡���§¤�¡ ��¥� ¦¡�é§��� ¢�� ©� ¦¡®�覡�¢������ª¥� ¬©� £¨¤¨£� ¥�£� �¡��¥� �� ¥¡�¢å�� ��ª�¥±�ª¨¢��­ ¨ª¥¡�裩䨪£� ª�¤�� ¤ ®�¡¥¨¢�� ª�� ¦�ª¥�� £� ����� �� ¬©� � §�ª ¨¥©£� ®�§�¢�§��ª¥� �®áª¨�� �© �®��¨��«»�¡� ¬©� ��¥� ��§©¢°�� ���� ¤¨ ®�¤�§­ ®� ¦¡�¢¨�� ¬©� å��� �¦�ª�� ©�ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� ¦�ª¥�� ��¥�¢¨�ª ®�¡¨��­ � ¬©� �§�� ����� £�¥�¡�¨ª ®�¤�¨��§ �¡¨¥�¨¢���ª¥�« W�¥�� £©�� ¢�ª£¨¢°��� �°�� ��¥¨�í�¨¥�� ª� ¢��� £� ¢©¡è¤�� �§  ®�顨¢�� ¨�¦§®á¢¨¥�� �© ¦�¡��®�¥¡¨¢��­ � �� ¦�¡¥¨¢©§�¡ ª� ¢��� £�¢®á¡¢©§��­ ��¢°��� ¢±�ª¨¢�� ��  �¡�§­ � ¢©¡¤�� £� së�ä¨�¡«ì©¥¡� £�¥�§å� � ��¡ §�¤�£� �� ¢�ª¥� ®� ¬©� £©�� �¡��¥�� ¢©¡¤�� ¦�£�� ÅÑjÊåÇÈÉÎÓ

å �ÑÏÉÆ� ÏÎÓ�� ¢¡©ä�¡ ��¨� £� ©�� ¤�ä« ò�§¨ä��ª¥�­ ¦�£�è�� ¦¡�¤�¡ ¬©� � ¨ª¥�¡��¢¢°��£� £�¨� �¡¢�� £� ¢©¡¤�� �§  ®�顨¢�� ¢�ª�¨�¥� ©� ª ®©��¡� ½ª¨¥� £� �¡¢�� �¦�ª¥�� ¨��§�£��­ ¬©� ¦�£�� ��¡ £�¥�¡�¨ª�£�� �§ �¡¨¥�¨¢���ª¥�«()* +*-�. �ä7 61 :3m><091> 2:<: G7D>12>< 61 D��<D63> G7 D7l9<> @4l0Ý9>A» � µ¾ÜBÜC¶ 7 <:0> Þ 71 61 >6 1:08 :<D>8 1>l>9ä>l0D>8 71 3>lm096G7q71 <73:rD=:> : 61 2 �>3>´ G:G>q 872:<:G>8 2>< }�7<90D78 08>3:G>8o /62>l�:567 D��<D63> l=:> 2:88: 2>< ´ o

²³�³� �¶º¹º ¸��·¶¸¹º�§ ®�� £�� £¨½¢©§£�£�� ¢�©��£�� ¦�§� ¥�¦�§� ¨� ��í ®�¡¨¢� � ¦�§�� �¡��¥�� ^ÊÓÎÓ ÒÇÐÇÈÇÅÊÒÎÓ¢©¡¤��­ ¥���� ¬©� ª�� ¦¡��¢©¦�¡ ¥��é®�� ¢�� ¢�¡¥�� â�¨¥©�¢°��� £�è �ª�¡�£��ã­ ¬©� í�¡�� ��¢§©®á£�� ¦�¡ 娦 ®�¥��� ª� ª���� £��¢¡¨¢°�� £��§ �¡¨¥�� £� s�ª¥§�t � 쥥��ªª­ ��� ¬©� ª°�� ¦�£�� ��¡ ¨ ª�¡�£�� ª��©¦�¡¦��¨¢°�� £� ��¦��«»�¡ ����¦§�­ ¬©��� ¥�£� ��¦� ¥�� £©�� �© ��¨� �¡��¥�� ¨ª¢¨£¨ª£� � �ÑÏÉÆ� ÏÊÓ ÊÅÇÓÉÊÓ

�ÎÅ Ô �ÇÅÉÆÌǪ� ����� ¤®�¡¥¨¢�« W��� ®� ©�� ¢�¡�¢¥�¡®á�¥¨¢� ����ª¢¨�§ £� ��¦�­ ¬©�£�¥�¡�¨ª� �©� ¥�¦�§� ¨�ß ¦�¡¥�ª¥�­ ª°�� ®� ¤¨ ®�¤�§ ��¨ ¨¡ ¬©� � ¢�£���¥¡��� £� ¢�£� �¡��¥� ¥�ªå� ©�� §�¥¨¥©£� £¨í�¡�ª¥�« ���� �¨ ª¨½¢�¬©�­ ¬©�ª£� � ��¡¨£¨�ª� £� ¤�¡¡�£©¡� ¦���� ��é¡� ©� ¤®�¡¥¨¢�­ ¥����¬©� ¦¡�¢����¡ ª©� ®©ª¨¢� �¤�ª¥� ¥�£�� �� �¡��¥�� ¬©� ¨ª¢¨£�� ª����¤ ®�¡¥¨¢�«»�£� ¥��é®�� �¢�ª¥�¢�¡ ¬©�­ ª� ��é¡�¦��¨¢°�� £� ��¦�� � � � ­ ��ÇÅÉÆÌÇÓ ÓÎ�ÅÇÊÅÇÓÉÊÓ©� ¤®�¡¥¨¢� £� ��¦� � ��¥��� ª� ��¨� £� ©�� �¡��¥� £� � ­ �© ¤¨¢�è¤�¡��« »�¡� ª°�� ¢��¦§¨¢�¡ � �§ �¡¨¥�� ¦¡¨ª¢¨¦�§­ ¤���� �©¦�¡ ¬©� ����¦�� í�¡�� ¦¡�¤¨���ª¥� ¡�½ª�£�� £� ��£� � �§¨�¨ª�¡ ��¥�� �¨¥©�¢°���«

Page 180: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ôñ[ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�v�¨� ¦¡�¢¨����ª¥�­ ¤���� �©¦�¡ ¬©� ¥�£� �¡��¥� £� � ¬©� ¢�ª¥¨ªå� ©�¤®�¡¥¨¢� S £� � í�¨ £¨¤¨£¨£� �� £©�� �¡��¥��­ ��¦�¡�£�� ¦�¡ ©� ª�¤�¤ ®�¡¥¨¢� Sè ¢�� ������ ¢��¡£�ª�£�� ¬©� S ß � �ª�§� ���ª¥� ¦�¡� � ��¦�� «

T�� ��¥� ¡�½ª���ª¥� ¨ª¨¢¨�§­ ¥�£� ¤ ®�¡¥¨¢� £� �©¦�¡¦��¨¢°�� ®� � ¨ªè¥�¡��¢¢°�� £� ©� ¤®�¡¥¨¢� � ©�� í�¢�­ �© £� £�¨� ¤ ®�¡¥¨¢��­ �© £� £©���¡��¥��«»�£� ¥��é®�� �¢�ª¥�¢�¡ ¬©� � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� £©�� �¡��¥�� î©�� £� ��ÅÇÓÉÊÓ ÓÎ�ÅÇ�ÎÓÉÊÓ � �©¥¡� £� �ï ¢�ª¥�ªå� ª°�� �¦�ª�� ¦�ª¥�� £¨�¢¡�¥��­ ��� ¥��é®�� �¡¢��¨ª¥�¨¡��« �� �� ¢©¡¤�� �°�� �§  ®�顨¢��­ � �� ��¦�� í�¡�� ¡�½ª�£�� ¢���£��¢¡¨¥� �¢¨��­ ¦¡�¤�è�� ¬©� ª��¥� ¢��� �� £©�� �¡��¥�� �°�� ¨£±�ª¥¨¢��­� ¦�¡¥�ª¥� ¨ ©�¨� ë� �©� ¨ª¥�¡��¢¢°��« W�¥� í�¥� �¨�¦§¨½¢� é��¥�ª¥� �¥¡�¥���ª¥� £��¥�� ¢����«²³�³s  º�¹�¿¶ ¸¹º ¡ �¹�¹º��¥� ¬©� �� �¨¥©�¢°��� £� �ª�¡�£�� £��¢¡¨¥�� �¥ ®� �¬©¨ �°�� ¨ª¥¡®áª��¢�� ��EÓÌÎÏÀÊ ÒÎÓ � �ÎÏÎÓ ¦¡�é§���ê �§�� £¨ä�� ¡��¦�¨¥� �¦�ª�� ��� £�£�� � �� ¡��©§¥�£� £�����£�«�§ ®�� £�����­ å ®� ¤ ®�¡¨�� �©¥¡�� �¨¥©�¢°��� £� �ª�¡�£�� ¬©� �ª¤�§¤�� ��¦ ®�§�� £� ¤�¡¡�£©¡� � � ��¡¨£¨�ª� ¨ª¨¢¨�§­ � ¦�¡¥�ª¥� �°�� ¨ª¥�¡ª�� ���§ �¡¨¥��« »�¡ ����¦§�­ ¦�£���� ¥�¡ �¤�ª¥�� î¤ ®�¡¥¨¢�� �© ¢¡©ä���ª¥��ïª� ��¡¨£¨�ª� ¨ª¨¢¨�§­ �© � ®©§¥¨¦§�� �¤�ª¥�� ¢�� � ����� §�ª ¨¥©£�­ �©�¡��¥�� ¦����ª£� ¦�§�� ¦ ®�§��­ �¥¢«ò�§¨ä��ª¥�­ ��¥�� �¨¥©�¢°��� ¦�£�� ��¡ �¤¨¥�£�� ¦�¡ ��¨� £� â¦�¡è�ÇÅÉÑÅ�ÊËÌÍÊÎ ÔÆÅÉÑÊÏ ¥©¡é�¢°��� ¤¨¡¥©�¨�ã ª� ¦��¨¢°�� £� ¦ ®�§� � £� ��¡¨£¨�ª� ¨ª¨¢¨�§« � ¨£ ®�¨�®� �©¦�¡ ¬©� � ¦ ®�§� ª�¡¥� ª°�� ��¥ ®� ���¥���ª¥� �� £ ¥ `¥ ô¦­ ��� �¨�ª©� ¦�ª¥� £Ád ¥Á¥ ô¦­ �ª£� Á ®� ©� ÀÂ�ÂÀÕ !ÁÚÀ�¾ê ©� ⪠®©��¡�ã ¬©�­ ¦�¡£�½ª¨¢°��­ ®� ��¨�¡ ¬©� ä�¡�­ ��� ��ª�¡ ¬©� ¬©�§¬©�¡ ¡��§ ¦��¨¥¨¤�«æ�� ¢�ª��¬�©±�ª¢¨� ¨��£¨�¥� £��¥� ¦�¡¥©¡é�¢°�� ¨ª½ª¨¥ ®��¨�� ®� ¬©�¾Ú X !¾Û¾Ú ¬ Á ­ ÂÙÖ¾ ؾÀÂØÀÞÁ� ؾ� ÂÁÂÂÝ� à !Á¿ÕÀØÁ Þ¾ �ÖXÖ � ª�¤�¡£�£�­ ª°�� ¢�¨ª¢¨£�� ¢�� ª�ªå©� ¦�ª¥� â�¡£¨ª ®�¡¨�ã £� �� Ã

v�¨� �¨ª£�­ � ¦�¡¥©¡é�¢°��  �¡�ª¥� ¬©� ØÖÞÖ X¾ÂÕ¾ ÞÁ �� ÁÚÕ !Ö ÂÝ�¹ÎÈÐÆÉÑÒÇ�ÇÅÉÑÅ�ÊÒÊ �Á¿ÀÞÀÖ¾ ÞÀÚÕÀÂÕ¾« »�¡� ¤�¡¨½¢�¡ ��¥� �½¡��¢°��­ ¤���� ¥���¡ £�¨�¦�ª¥�� ¬©�¨�¬©�¡ ¬] ' £6]¥f]¥2]¦ � ¬d ' £6d ¥fd ¥2d¦ £� �� ­ � ¢�§¢©§�¡ ��¡¨�ª¥�¢°�� £� ¥¡¨±�ª ©§� ¬]¬d¬ ê

Page 181: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

���� �øKKJPýKø Pø J��JKø ôñ^

Äî¬ ¥¬]¥¬dï îð«Rï' � ª ÅÅÅÅÅÅÅ

Ád Á ô6] f] 2]6d fd 2d ÅÅÅÅÅÅÅ' � ª ÆÇÈÅÅÅÅÅÅÅ

` ` ô6] f] 2]6d fd 2d ÅÅÅÅÅÅÅl ÁÅÅÅÅÅÅÅ

` ô `6] f] 2]6d fd 2d ÅÅÅÅÅÅÅl Ád ÅÅÅÅÅÅÅ

ô ` `6] f] 2]6d fd 2d ÅÅÅÅÅÅÅÉÊËîð«õï

' � ª ÌÅÅÅÅÅ6] f]6d fd ÅÅÅÅÅ

� ÁÅÅÅÅÅ6] 2]6d 2d ÅÅÅÅÅ

l Ád ÅÅÅÅÅf] 2]fd 2d ÅÅÅÅÅ

Í îð«ðïìé��¡¤� ¬©� � �¡ ©��ª¥� £� � ª ª� í ®�¡�©§� îð«ðï ®� ©� ¦�§¨ª±��¨�¼e l ¼]Á l ¼dÁd ��é¡� � ¨ª½ª¨¥ ®��¨�� Á­ ¢©��� ¢��½¢¨�ª¥�� �°�� ª ®©��¡��¡��¨� �¡£¨ª ®�¡¨��« �� � ¦¡¨��¨¡� ¢��½¢¨�ª¥� ¼e í�¡ £¨í�¡�ª¥� �� ä�¡�­ ��©¤�§�¡ �é��§©¥� ®� ¦�¡ £�½ª¨¢°�� ��¨�¡ ¬©� ¬©�§¬©�¡ � ®©§¥¨¦§� £� Á �© Ád ß �¦�¡¥�ª¥� � �¨ª�§ £� í ®�¡�©§� ¥�£� ®� � �¨ª�§ £� ¼e « »�§� ����� �¡ ©��ª¥�­�� ¼e í�¡ ä�¡�­ ��� ¼] í�¡ £¨í�¡�ª¥� £� ä�¡�­ � �¨ª�§ £� í ®�¡�©§� ��¡ ®� ��¨ª�§ £� ¼]« �� ��é�� í�¡�� ä�¡�­ ¤�§� � �¨ª�§ £� ¼d « ���� ¦�¡¥�ª¥� ��� ©¨ª¥� �§ �¡¨¥��êM*NO%P$QO RSÎ UÄÏ î¬]¥¬dïW #ÖÞ¾Ú Þ¾ÀÚ X¾ÂÕ¾Ú ¬] ' £6]¥f]¥2]¦ Á¬d ' £6d ¥fd ¥2d¦X ÞÁà¾ÛàÁ Äî¬ ¥¬]¥¬dïX ¾ÂÞÁ¬ ' £Ád ¥Á¥ ô¦Jô« x [ ÅÅÅÅÅ

6] f]6d fd ÅÅÅÅÅß �� x w' ` �ª¥°�� £�¤�§¤� � ª xß

ö« x [ ÅÅÅÅÅ6] 2]6d 2d ÅÅÅÅÅ

ß �� x w' ` �ª¥°�� £�¤�§¤� � � ª xßR« x [ ÅÅÅÅÅ

f] 2]fd 2d ÅÅÅÅÅß £�¤�§¤� � ª x«

��¥� ¬©� ÄÏ î¬]¥¬dï � ®� ®� ä�¡� �� �� ¥¡±�� £�¥�¡�¨ª�ª¥�� ö ¢ö �¢¨��í�¡�� ª©§��« ����� ¢���­ ¦�£�è�� ¢�ª¢§©¨¡ ¬©� �� £�¨� ¤�¥�¡�� î6]¥f]¥2]ï� î6d ¥fd ¥2dï �°�� � ®©§¥¨¦§�� ©� £� �©¥¡�ß �© ����­ �� ¦�ª¥�� ¬] � ¬d �°��¢�¨ª¢¨£�ª¥�� î  ©�¨� �© �ª¥¨¦�£�¨�ï« T��� ¦�ª¥�� �ª¥¨¦�£�¨� ���¦¡���¥°�� �� ��¡¨£¨�ª�� �¦��¥��­ ¢�ª¢§©®á��� ¬©� ¬] � ¬d ��¥°�� ª� �������¡¨£¨�ª� �� � ����ª¥� �� ¬] ' ¬d «

Page 182: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô�` ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�� ¥ ®�¢ª¨¢� £� ¦�¡¥©¡é�¢°�� ¨ª½ª¨¥ ®��¨�� ¥��é®�� ¦�£� ��¡ ©��£� ¦�¡�UÇÅÉÑÅ�ÊËÌÍÊÎ ÒÎåÇÅÆÒÆÊÈÎ ÆÈÆÌÆÊÏ  �¡�ª¥¨¡ ¬©� � ��¡¨£¨�ª� £� ¡�í�¡±�ª¢¨�k° ª°�� ¦���� ¦�¡ ª�ªå©� ¤®�¡¥¨¢��© ¢¡©ä���ª¥� £�� £�¨� ��¦��« »�¡� ¥�ª¥�­ é��¥� ¥���¡ k° ª� ¡�¥�±ôlÁd¥Á� ¥�Ád²« »�£�è�� ¤�¡¨½¢�¡ ¬©� ��¥� â¡�¥� ¦�¡¥©¡é�£�ã ¦���� ¦�¡¬ � ­ ­ ��� ª°�� ¦���� ¦�¡ ª�ªå©� ¦�ª¥� â�¡£¨ª ®�¡¨�ã £� �� «ì� ���¡¢®á¢¨�� � �� ©¨¡ �©¦°��� ��¥�� ¦�¡¥©¡é�¢°��� ¨ª½ª¨¥ ®��¨���ß ¨�¥�®�­¬ ' £Ád ¥Á¥ ô¦ � k° ' ±ôl Ád ¥Á� ¥�Ád²«

()* +*-�. �ä7 61 :3m><091> 567q G:G>8 G>08 2>l9>8 » 7 ¼ G7 ³� q G7}>3}7�z 87 » 789 �: : 37897 G7 ¼q �z 87 » 789 �: : >7897 G7 ¼q 7 � 87 » � ¼o()* +*-Û. �ä7 61 :3m><091> 567q G:G>8 G>08 2>l9>8 » 7 ¼ G7 ³� q G0890lÝ9>8 7 l=:> :l902>G:08q G7D0G7 87 » �7 > 7;9<71> >7897 >6 > 7;9<71> 37897G> 87m17l9> »¼o()* +*já. �ä7 61 :3m><091> 567q G:G>8 61 2>l9> » G7 ³� q 7 61 87mÝ17l9> ¼Þ 567 D<6ë: > 17<0G0:l> G7 » q G797<10l: 87 » 789 �: :> 863 >6 :>l><97 G7 ¼Þo()* +*j,. �ä7 61 :3m><091>q 567q G:G>8 G>08 87m17l9>8 »¼ 7 »Þq G>856:08 » �7 > 7;9<71> >7897q G7}>3}7 �z 87 »¼ 789 �: 1:08 :> l><97 567 »Þq�z 87 789 �: 1:08 :> 863q 7 � 87 >8 G>08 87m17l9>8 8=:> D>30l7:<78o()* +*jà. �ä7 61 :3m><091> 2:<: G7D0G0< 87 61 87m17l9> »¼ D<6ë: >17<0G0:l> 0l0D0:3 аo()* +*j-. �ä7 61 :3m><091>q 567q G:G>8 G>08 87m17l9>8 G08�6l9>8 »¼7 Þß 567 D<6ë:1 > 17<0G0:l> 0l0D0:3 а q G797<10l: 56:3 G7378 D<6ë: >87m17l9> 1:08 :> l><97o

Page 183: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��Ñ� Òù ÓJLP�NJÔ ÷ÿLNJ�üÿ� Õ úø��Nÿ� PJ üÿùÿþÿo�ø ô�ô��Ö ×�Ø������Ù Ú�������� Û Ü������ �� ����ÝÞ�h��W�¥� ��¢°�� ®� ©�� ¡�¢�¦¨¥©§�¢°�� �©¢¨ª¥� £�� £�½ª¨¢°��� ��¨� £� ¥�¦�§� ¨�£� ¢�ª�©ª¥�� ©��£�� ª��¥� ¢�¦®á¥©§�« »�¡� ��¨�¡�� £�¥�§å��­ ¡�¢���ª£�è��� ¢�ª�©§¥�¡ ©� §¨¤¡�� ¥��¥� £� ®�¡��­ ¢��� ¦�¡ ����¦§� £�¨��ñ¦«²³ß³´  º¡¶��¹ ¹¡¹� �¹���¹à ¶�· ¹º ù�¿¶¸¹ºæ� ÁÚXÖ×ؾ Õ¾X¾Û !¾ÜÀؾ ®� ©�� ¥¡¨¦§� î/¥vï­ �ª£� / ®� ©� ¢�ª�©ª¥� EÓ�ÊËÌÎ Ç ÌÎÈáÑÈÉÎÊ�ÇÅÉά©�§¬©�¡ î�� X¾ÂÕ¾Úï­ � v ®� ©�� ¢�§�¢°�� £� �©é¢�ª�©ª¥�� £� / î��Ö�Á¿Õ¾Úï­ ��¥¨�í�ä�ª£� �� �� ©¨ª¥�� ��¨����êô« � ¢�ª�©ª¥� / � � ¢�ª�©ª¥� ¤�ä¨� �°�� �é�¡¥��ßö« � ©ª¨°�� £� ¬©�§¬©�¡ ¢�§�¢°�� £� �©é¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥�� ®� ©� �é�¡¥�ßR« � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� ©�� ¢�§�¢°�� �ÂÀÕÖ £� �©é¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥�� ®� ©��é�¡¥�«������ ¢�ª£¨¢°���­ £¨ä���� ¬©� � ¢�§�¢°�� v ÞÁÕÁ¿�ÀÂÖ Ý�Ö ÁÚÕ¿ÝÕÝ¿Ö ñÎ�ÎÏÎÐÆÊÕ¾X¾Û !¾ÜÀØÖ ��é¡� � ¢�ª�©ª¥� / ­ �© ¬©� !Á Ý�Ö Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ XÖ¿Ö/ «�� ¡��¥� £��¥� �¦±�ª£¨¢�­ ¤���� �©¦�¡ ¬©� î/¥vï ®� ©� ��¦�¢�¥�¦�§ ®� ¨¢�«

²³ß³� ø���¹�â�� ¹º ù�¿¶¸¹º»�¡ £�½ª¨¢°��­ ©� �©é¢�ª�©ª¥� 3 £� / ®� $ ÁØÂÖÞ¾ �� ��© ¢��¦§���ª¥� ^ÎÈáÑÈÉÎ ÇÌÀÊÒÎ/ã3 ®� �é�¡¥�« »�¡¥�ª¥�­ / � FI �°�� í�¢å�£��ß � ¨ª¥�¡��¢¢°�� £� ¬©�§è¬©�¡ í��®á§¨� £� �©é¢�ª�©ª¥�� í�¢å�£�� ®� í�¢å�£�ß � � ©ª¨°�� �ÂÀÕÖ £��©é¢�ª�©ª¥�� í�¢å�£�� ®� í�¢å�£�«

W�  �¡�§­ ª©� ��¦�¢� î/¥vï ��¨�¥�� �©é¢�ª�©ª¥�� £� ¦�ª¥�� ¬©�ª°�� �°�� ª�� �é�¡¥�� ª�� í�¢å�£��«²³ß³s ø��亡¶��¹ºó¨ä���� ¬©� ©� ��¦�¢� î3¥åï ®� ©� ÚÝ�ÃÁÚXÖ×ؾ £� î/¥vï �� � ����ª¥� �Ñ�æÇÓ�ÊËÌÎ

Page 184: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô�ö ÷øù úûüýþÿ �� _øùø��� 3 þ/ ­ � å ' F� ! 3 ê � 1 v I���¥� ¢���­ £¨ä���� ¬©� å ®� � Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ ÞÁ 3 ÀÂÞÝ�ÀÞÖ X¾¿ v«²³ß³� «·¹¸� ¹ �¶· º�¶�¹ì X¿¾ÞÝÕ¾ ØÖ¿ÕÁÚÀÖ¾ £� £�¨� ��¦�¢�� ¥�¦�§ ®� ¨¢�� î/¥vï � î0 ¥åï ®� �UÅÎÒÑÉÎ ÌÊÅÉÇÓÆÊÈÎ ��¦�¢� ¢©��� ¦�ª¥�� �°�� �� ¦�¡�� / ¢0 ­ � ¢©��� �é�¡¥�� �°�� ¥�£�� ��©ª¨°��� ¨¥�� � ¨ª½ª¨¥��ï £� ¦¡�£©¥�� � ¢� ¢�� ¼ 1 v � � 1 嫲³ß³² 繡¹�¹��¶ �¶ �·¶� ¸ è éæ� ÀÂÕÁ¿àÖÛ¾ Ö�Á¿Õ¾ £� ª ®©��¡�� ¡��¨� ®� ©� ¢�ª�©ª¥� £� í�¡��uÈÉÇÅÔÊÏÎ Ê�ÇÅÉÎ

Ff ê ¼ H f H h I�ª£� ¼ � h �°�� ¡��¨� ¢�� ¼ H h«»�¡ £�½ª¨¢°��­ ª� Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ ÂÖÕÝ¿ÖÛ £� ¡�¥� ÿ ©� �©é¢�ª�©ª¥� ®�ñÎ�ÎÏÎÐÆÊ ÈÊÉÑÅÊÏÒÇ ê� �é�¡¥� �� � ����ª¥� �� �§� ®� � ©ª¨°�� î¦���¨¤�§��ª¥� ¨ª½ª¨¥�ï £� ¨ª¥�¡¤�§���é�¡¥��«»�¡� � ��¦�¢� ÿë­ ¢�� b ì ô­ � Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ ÂÖÕÝ¿ÖÛ ®� � £�½ª¨£� ¦�§�¡� ¡� £� ¦¡�£©¥� ¢�¡¥��¨�ª� �¢¨��« ì© ����­ ©� �©é¢�ª�©ª¥� £� ÿë ®��é�¡¥� �� � ����ª¥� �� �§� ®� � ©ª¨°�� î¦���¨¤�§��ª¥� ¨ª½ª¨¥�ï £� ¦¡�£©¥��£� b ¨ª¥�¡¤�§�� �é�¡¥�� £� ÿ «

()* +*jj. /7 í �7 61 2>l9> G> 782:rD> D:<9780:l> êëq 7 Þ 61 <7:32>8090}>q : �ÎÏÊ @Ê�ÇÅÉÊA ÌÎå ÌÇÈÉÅÎ í Ç ÅÊÆÎ Þ �7 > D>l�6l9> G7 2>l9>8î» ï êë ? ðñ � ð ò óô>lG7 ðBð �7 > D>12<017l9> @76D30G0:l>A G> }79>< Bo �<>}7 567q G>2>l9> G7 }089: 9>2>3 �>m0D>q C>3:8 <7G>lG:8 8=:> 9=:> C>:8 56:l9> C>3:856:G<:G:8- >6 87�:q

@:A 9>G: C>3: :C7<9: �7 61 86CD>l�6l9> :C7<9> G7 êëo@CA l: 9>2>3>m0: l:96<:3 G7 êëq 61 86CD>l�6l9> �7 :C7<9> 87 7 8>17l97

87 737 �7 : 6l0=:> @2>880}7317l97 0l4l09:A G7 C>3:8 :C7<9:8o

Page 185: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��Ñ� Òù ÓJLP�NJÔ ÷ÿLNJ�üÿ� Õ úø��Nÿ� PJ üÿùÿþÿo�ø ô�R�� 3 ®� ©� �©é¢�ª�©ª¥� £� ÿë­ � Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ ÂÖÕÝ¿ÖÛ £� 3 ®� � ¨ª£©ä¨£���é¡� 3 ¦�§� ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§ £� ÿë«W� ¦�¡¥¨¢©§�¡­ � ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§ £� ��í�¡� �� ®� � ¨ª£©ä¨£� ª� ���è ñÎ�ÎÏÎÐÆÊ ÈÊÉÑÅÊÏÒÊ ÇÓ ÇÅÊ�� ¦�§� ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§ £� ÿ� « �£�ª¥¨½¢�ª£�è�� �� ¦�ª¥�� £� �� ¢���� £� ¦§�ª� ¦¡���¥¨¤� �¡¨�ª¥�£� �� ­ ¢�ªí�¡�� £��¢¡¨¥� ª� ��¢°�� ö«R«ö­��¥� ����� ¡� ¡� £�½ª� Õ¾X¾Û¾ÜÀÖ ÂÖÕÝ¿ÖÛ ¦�¡� �� «���¦¡� ¬©� ��ª¢¨�ª�¡��� ©� �©é¢�ª�©ª¥� £� ¦�ª¥�� £� ÿë­ �ë­�© �ë ¢��� ©� ��¦�¢� ¥�¦�§ ®� ¨¢�­ ��� ��¦�¢¨½¢�¡ ©�� ¥�¦�§� ¨�­��¥�¡���� �©¦�ª£� � ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§«

²³ß³© õ�ö��¿¶���¶æ�� àÀ�ÀÂÂÖÂ×ØÖ £� ©� ¦�ª¥� f 1/ ®� ¬©�§¬©�¡ �©é¢�ª�©ª¥� �é�¡¥� £� �ÆjÆÈÀÊÈËÌÊ/ ¬©� ¨ª¢§©¨ f« »�¡ ��¥�ª�°��­ ©�� ¤¨ä¨ªå�ª¢� £� ©� ¢�ª�©ª¥� 3 þ/®� ¬©�§¬©�¡ �©é¢�ª�©ª¥� �é�¡¥� £� / ¬©� ¢�ª¥ ®�� 3 «

�� ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§ £� ÿë­ ¥�£� é�§� ¢�� ¢�ª¥¡� f ®� ©�� ¤¨ä¨èªå�ª¢� £� f«²³ß³÷ «¹� ¹ ¸ ¶����¶���¶¹ó¨¡���� ¬©� ©� �§���ª¥� ¬ 1 / ®� ©� X¾ÂÕ¾ ÞÁ ÖØÝ�ÝÛÖ×ØÙÖ¾ £� ©� UÎÈÉÎ ÒÇÊÌÑåÑÏÊËÌÍÊ΢�ª�©ª¥� 3 þ / �� � ����ª¥� �� ¬©�§¬©�¡ ¤¨ä¨ªå�ª¢� £� ¬ ¢�ª¥ ®�� ©�ª ®©��¡� ¨ª½ª¨¥� £� ¦�ª¥�� £� 3 «ó¨¡���� ¬©� ©�� ��¬�©±�ª¢¨� ¨ª½ª¨¥� £� ¦�ª¥�� ¬]¥¬d ¥ ÷ ÷ ÷ £� ©� ^ÎÈÔÇÅÐ ªÇÈÌÆÊ ÇÏÆåÆÉÇ��¦�¢� / ؾÂàÁ¿ÜÁ ¦�¡� ©� ¢�ª�©ª¥� £� ¦�ª¥�� 3 þ / �� ¬©�§¬©�¡¤¨ä¨ªå�ª¢� £� 3 ¢�ª¥ ®�� ¥�£�� �� ¦�ª¥�� £� ��¬�©±�ª¢¨�­ ��¢�¥� ¦�¡ ©��©é¢�ª�©ª¥� ½ª¨¥�« �� ©�� ��¬�©±�ª¢¨� ¢�ª¤�¡ � ¦�¡� ©� ¢�ª�©ª¥� ¢��©� ®©ª¨¢� ¦�ª¥�­ £¨ä���� ¬©� ���� ¦�ª¥� ®� ¾ ÛÀ�ÀÕÁ £� ��¬�©±�ª¢¨�«

()* +*j+. �<>}7 567 » ï ø �7 61 2>l9> G7 :D6163:rD=:> G7 ù úø q l>782:rD> @øÜ�Aq 87 7 8>17l97 87 » H>< 61 2>l9> G7 :D6163:rD=:> G7 ù 71:3m61 86CÝ782:rD> @û ÜüA G7 @øÜ�A 9:3 567 » ï û 7 ù ï üo

()* +*j�. �<>}7 567 » ï ø �7 61 2>l9> G7 :D6163:rD=:> G7 ù 87 78>17l97 87 737 �7 > 301097 G7 61: 875ã6ä7lD0: 0l4l09: G7 2>l9>8 G7 ù o

Page 186: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô�õ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�²³ß³� ý�¿¹þ �� ·�¹·þ ù·¹� �·¶�� 3 þ / ­ £�½ª¨��� � ÀÂÕÁ¿À¾¿ ÞÁ 3 îÁ� /ï ¢��� ��ª£� � ©ª¨°�� £�¥�£�� �� �©é¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥�� £� / ¢�ª¥¨£�� �� 3 «

()* +*j�. �<>}7 567 > 0l97<0>< G7 ù 71 ø �7 61 86CD>l�6l9> :C7<9>G7 ø o()* +*j�. �<>}7 567 > 0l97<0>< G7 ù 71 ø D>l9 �71 56:3567< 86CD>lÝ�6l9> :C7<9> G7 ø D>l90G> 71 ù o()* +*jÛ. �<>}7 567 61 2>l9> B ï ø 27<97lD7 :> 0l97<0>< G7 ù 71ø 87 7 8>17l97 87 7;0897 :3m61: }0ë0l�:lrD: G7 B 71 ø 567 789 �:0l970<:17l97 D>l90G: 71 ù oó�½ª¨��� ¥��é®�� � $ Áؾ ÞÁ 3 îÁ� /ï ¢��� ��ª£� � ¨ª¥�¡��¢¢°��£� ¥�£�� �� �©é¢�ª�©ª¥�� í�¢å�£�� £� / ¬©� ¢�ª¥ ®�� 3 «

()* +*+á. �<>}7 567 > H7D�> G7 ù 71 ø 789 �: D>l90G> 71 56:3567<86CD>l�6l9> H7D�:G> G7 ø 567 D>l9 �71 ù o()* +*+,. �<>}7 567 > H7D�> G7 ù 71 ø D>l80897 G7 9>G>8 >8 73717l9>8G7 ø 567 8=:> 2>l9>8 G7 :D6163:rD=:> G7 ù o� $¿¾ÂÕÁÀ¿Ö ÞÁ 3 îÁ�/ï ®� � £¨í�¡�ª¢� �ª¥¡� � í�¢å� £� 3 � � ¨ª¥�¡¨�¡£� 3 «

()* +*+à. �<>}7 567 B ï ø 27<97lD7 E: H<>l970<: G7 ù 71 ø 87 78>17l97 87 9>G: }0ë0l�:lrD: G7 B 71 ø D>l9 �71 :3m61 2>l9> G7 ù 7:3m61 2>l9> G7 øãù o

²³ß³ß  º¡¶��¹ ÿ�¹��� �� � ®� ©�� ¡�§�¢°�� £� �¬©¨¤�§±�ª¢¨� ��é¡� �� ¦�ª¥�� £� ©� ��¦�¢�EÓ�ÊËÌÎ FÑÎÌÆÇÈÉÇ î/¥vï­ £�½ª¨��� � ÁÚXÖ×ؾ %ݾØÀÁÂÕÁ î/¥vïG� ¢��� ��ª£� î0 ¥åï­ �ª£�0 ®� � ¢�ª�©ª¥� /G� £�� ¢§����� £� �¬©¨¤�§±�ª¢¨� £� / ¦�¡ �ß � å ®� �í��®á§¨� £� ¥�£�� �� ¢�ª�©ª¥�� �G�­ ¦�¡� ¥�£� � 1 v ¬©� ®� ©ª¨°�� £�¢§����� £� /G�«

Page 187: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��Ñ� Òù ÓJLP�NJÔ ÷ÿLNJ�üÿ� Õ úø��Nÿ� PJ üÿùÿþÿo�ø ô�ðW�¦�¢�� ¬©�¢¨�ª¥�� �¦�¡�¢�� ª�¥©¡�§��ª¥� ¬©�ª£� ©�� �©¦�¡í®á¢¨� ^ÎÏÊÐÇå ÒÇ

�ÎÏ �üÐÎÈÎÓ®� £��¢¡¨¥� ¦�¡ ��¨� £� ¢�§� �� £� í�¢��« ����� ¢���­ � ��¦�¢� î/¥vï�¡¨ ¨ª�§ ®� � ©ª¨°�� £� ¦�§®á �ª�� ¡� ©§�¡�� ¨��§�£��­ ©� ¦�¡� ¢�£� í�¢�« �¡�§�¢°�� £� �¬©¨¤�§±�ª¢¨� £�½ª� � ��ª�¨¡� ¢��� �� é�¨¡�£�� £����� í�¢��£�¤�� ��¡ ¢�§�£��« ��¥� ®�­ �� � ¦�ª¥� f ª©�� �¡��¥� £� ©� ¦�§®á �ª�£�¤� ��¡ ¢�§�£� ¢�� � ¦�ª¥� 2 �� �©¥¡� �¡��¥� î£� �©¥¡� ¦�§®á �ª�­ �©£� �����ï­ �ª¥°�� ¦�¡ £�½ª¨¢°�� f � 2 ß ��¢�¥� ¦�¡ ��¥� ¢���­ f � 2 �� �����ª¥� �� f ' 2 «ì©¥¡� ����¦§� ¢§ ®���¨¢� £� ��¦�¢� ¬©�¢¨�ª¥� ®� � ¦§�ª� ¦¡���¥¨¤� ª°�� UÏÊÈÎ �ÅÎá ÇÉÆÔÎ�¡¨�ª¥�£�­ ¬©� ¦�£� ��¡ £�½ª¨£� ¢��� � ¬©�¢¨�ª¥� £� ��í�¡� �� î¢��� ¥�¦�§� ¨� ª�¥©¡�§ï ¦�§� ¡�§�¢°�� £� �¬©¨¤�§±�ª¢¨� ¬©� ¨£�ª¥¨½¢� ¢�£�¦�ª¥� £� ����� ¢�� ��© �ª¥®á¦�£�«²³ß³´� ø¡¶·¶����¸¶¸ó�¨� ¦�ª¥�� £� ©� ��¦�¢� ¥�¦�§ ®� ¨¢� �°�� ÚÁXÖ¿ !ÖàÁÀÚ �� ��¨�¥� ©� ¢�ªè UÎÈÉÎÓ ÓÇ�ÊÅ �ÊÔÇÆÓ�©ª¥� �é�¡¥� ¬©� ¢�ª¥ ®�� ©� ��� ª°�� � �©¥¡�ß ¢��� ¢�ª¥¡ ®�¡¨� �§�� �°��ÀÂÚÁXÖ¿ !ÖàÁÀÚ«

()* +*+-. y>89<7 567 0l872:<:C030G:G7 �7 61: <73:rD=:> G7 7560}:3ä7lD0:oó� ¦�ª¥� £� ¤¨�¥� ¥�¦�§ ®� ¨¢�­ £�¨� ¦�ª¥�� ¨ª��¦�¡ ®�¤�¨� �°�� ����ª¢¨è�§��ª¥� ¨ª£¨�¥¨ª ©®á¤�¨�æ� ��¦�¢� ®� ÚÁXÖ¿ !ÖàÁÛ �� ¥�£�� �� ¦�¡�� £� ¦�ª¥�� �°�� ��¦�¡ ®�¤�¨�« EÓ�ÊËÌÎ ÓÇ�ÊÅ �ÊÔÇÏ

�°�� ��¥�¡���� ¦�¡£�ª£� �©¨¥� ¢�¨�� ¨ª¥�¡����ª¥� �� ¡��¥¡¨ª ¨¡��� ª�����¥�ª¢°�� � ��¦�¢�� ��¦�¡ ®�¤�¨�ß ¦�¨� � ¬©�¢¨�ª¥� £� ¬©�§¬©�¡ ��¦�¢� ¦�¡�©� ¡�§�¢°�� £� ¨ª��¦�¡�騧¨£�£� ®� ©� ��¦�¢� ��¦�¡ ®�¤�§­ ¢©��� �é�¡¥��¢�¡¡��¦�ª£�� ��� �é�¡¥�� £� ��¦�¢� �¡¨ ¨ª�§ £� ��ª�¨¡� 騩ª®á¤�¢� �¢��¦�¥®á¤�§ ¢�� þ«²³ß³´´ �¹� ����¸¶¸ó�½ª¨��� ©�� $ÝÂ×ØÙÖ¾ ؾÂÕ!YÂÝÖ £� ©� ��¦�¢� ¥�¦�§ ®� ¨¢� î/¥vï ¦�¡� êÑÈËÌÍÊÎ ÌÎÈÉ�üÈÑÊ�©¥¡� ��¦�¢� ¥�¦�§ ®� ¨¢� î0 ¥åï ¢��� ��ª£� ©�� í©ª¢°�� £� / ¦�¡� 0¥�§ ¬©� � ¨�� �� ¨ª¤�¡�� £� ¥�£� �©é¢�ª�©ª¥� í�¢å�£� £� 0 ®� ©��©é¢�ª�©ª¥� í�¢å�£� £� / «

Page 188: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô�ñ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�()* +*+j. /7�: é 61: H6lrD=:> D>l9��l6: G7 @øÜ�A 2:<: @û ÜüAo y>89<7567

@:A 87 B ïø �7 2>l9> G7 :D6163:rD=:> G7 ù úø 87m6lG> �q 7l9=:> é @BA�7 61 2>l9> G7 :D6163:rD=:> G7 é @ùA 87m6lG> üo

@CA 87 B ïø �7 301097 G: 875ã6ä7lD0: B]ÜBd Ü � � � G7 2>l9>8 G7 ø q 87m6lG>�q 7l9=:> é @BA �7 > 301097 G: 875ã6ä7lD0: é @B]AÜ é @BdAÜ � � � 87m6lG> üo²³ß³´�  ÿ��û¶�����¶ ¹¡¹� �¹���¶æ� £�� ¢�ª¢�¨¥�� í©ª£���ª¥�¨� £� ¥�¦�§� ¨� ®� � £� ¾�Á¾�¾¿�Ú�¾ê�ÎåÇÎåÎÅ�ÓåÎ ©�� é ��¢°�� �ª¥¡� £�¨� ��¦�¢�� ®� ©� å������¡½��� �� � ����ª¥� ���§� §�¤� ¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥�� ¦�¡� ¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥��« ó¨ä���� ¬©� £�¨���¦�¢�� ¥�¦�§ ®� ¨¢�� �°�� ¾�Á¾�¾¿$¾Ú­ �© Á%ÝÀàÖÛÁÂÕÁÚ­ �� � ����ª¥� ��EFÑÆÔÊÏ ªÇÈÌÆÊÉÎ�ÎÏ �ÎÐÆÌÊ ��¨�¥� ©� å������¡½��� �ª¥¡� �§��«ó�¢�¡¡� £� £�½ª¨¢°�� ¬©� ©�� é ��¢°�� �ª¥¡� £�¨� ��¦�¢�� ®� ©� å�è�����¡½��� �� � ����ª¥� �� �§� ®� ¢�ª¥®áª©�­ � �©� ¨ª¤�¡�� ¥��é®�� ®�¢�ª¥®áª©�«

()* +*++. y>89<7 567 : <79: ê �7 7560}:37l97 :> 87m17l9> :C7<9> @�Ü zAo()* +*+�. y>89<7 567 > 23:l> ê� �7 7560}:37l97 :> 56:G<:G> :C7<9>@�Ü zA D @�Ü zAo()* +*+�. y>89<7 567 > 23:l> ê� �7 7560}:37l97 :> D>l�6l9>

� @BÜCA ï ê� ? �� ��� ò� æ�� X¿¾X¿ÀÁÞÖÞÁ Õ¾X¾Û !¾ÜÀØÖ ®� ©�� ¦¡�¦¡¨�£�£� £� ¦�ª¥�� � �©é¢�ªèUÅÎ�ÅÆÇÒÊÒÇÉÎ�ÎÏ �ÎÐÆÌÊ �©ª¥�� £� ©� ��¦�¢� / ¬©� ¦�£� ��¡ ��¡ £�½ª¨£� �¦�ª�� �� ¥�¡��� £�¢�ª�©ª¥�� �é�¡¥�� £� / î� £�� �¦�¡�¢°��� £� ¥��¡¨� £� ¢�ª�©ª¥��ï« æ�����¦§� ®� � í�¥� £� ©� ¢�ª�©ª¥� £� ¦�ª¥�� ��¡ í�¢å�£�ê ¬©� �¨ ª¨½¢�­¦�¡ £�½ª¨¢°��­ ¬©� � ¢��¦§���ª¥� £�§� ®� �é�¡¥�« ì©¥¡� ����¦§� ®� �í�¥� £� ©� ��¦�¢� / ��¡ ؾÂÁY¾­ ¬©� �¨ ª¨½¢� ¬©� ª°�� ��¨�¥� ª�ªå©�^ÎÈáÑÈÉÎ ÌÎÈÇVÎ �©é¢�ª�©ª¥� ¦¡ ®�¦¡¨� � ª°��è¤�ä¨� £� / ¬©� ®� �� ����� ¥��¦� í�¢å�£� ��é�¡¥�« �¨ª£� �©¥¡� ����¦§� ®� í�¥� £� ©� ¢�ª�©ª¥� £� ¦�ª¥�� 3 ª©���¦�¢� / ÚÁXÖ¿Ö¿ £�¨� ¦�ª¥�� 5¥ S 1 /ã3 ­ �¨ ª¨½¢�ª£� ¬©� ª°�� ��¨�¥�ª�ªå©� �©éè��¦�¢� £� /ã3 ¬©� ���� ¢�ª��� � ¢�ª¥�ªå� 5 � S «

Page 189: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��Ñ� Òù ÓJLP�NJÔ ÷ÿLNJ�üÿ� Õ úø��Nÿ� PJ üÿùÿþÿo�ø ô��»�¡¥�ª¥�­ ©� å������¡½��� # ¦¡���¡¤� ¥�£�� �� ¦¡�¦¡¨�£�£�� ¥�è¦�§ ®� ¨¢�� £� ¦�ª¥�� � �©é¢�ª�©ª¥�� £� ¦�ª¥��« W� ¦�¡¥¨¢©§�¡­ �� ©���¦�¢� ®� ¢�ª���­ ¬©�§¬©�¡ ��¦�¢� å������¡í� � �§� ¥��é®�� ��¡ ®� ¢�èª���ß �� 3 ��¦�¡� 5 � S ­ �ª¥°�� # î3ï ��¦�¡� # î5ï £� # îSï« W ���¨� ¦�¡£¨�ª¥�«

()* +*+�. �>l80G7<7 >8 86CÝ782:rD>8 G> ê� G74l0G>8 :C:0;>o �78D<7}:D:G: 61 71 2:3:}<:8o 6:08 G7378 8=:> 8627<H��D078� 6:08 8=:> 8627<H��D078D>12:D9:8� @�68904567 :8 <782>89:8oA

@:A î @BÜC Ü�A ? Bd � Cd � �d ï <zÜ�A ôo@CA î @BÜC Ü�A ? Bd � Cd � �d ï ã<�A ôo@DA < @BÜC Ü�A ? 1:; <ðBðÜ ðC ðÜ ð� ðA � zAo@GA î @BÜC Ü�A ? Bd � Cd � z� � � � ôo@7A î @BÜC Ü�A ? Bd � Cd ò z� � � � ôo

Page 190: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô�[ ÷øù úûüýþÿ �� _øùø�

Page 191: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

��������� �

��������� � ���!"�" � �

��# g $%&ÛÞ'() *& +&%%'�&T,-./0121 , .134/-51 X67�89�: ;7 <7669=7> �1?@ ý 4A B,-?4-5, C�, 01 �DE�FGåH IE JEDDGKEb L,-5,. 0, LM@-, ÿ� N O41 BP@A@21A,. 01 Q !YR=7Q> ó@0, 4A L,-5, ¬31-S12/B,N O4@M @ A@-1/2@ A@/. 1CB/1-51 01 01512A/-@2 , .ST5/, 01 ý A@/.L2 S,�/A, @ ¬a UV1?@ @ C342@ ñ>ô>ï

ò/342@ ñ>ôW X L2,YM1A@ 0, B,221/,>W.51 L2,YM1A@ @L@21B1 1A A4/5,. B,-51�5,. L2 S@5/B,.N ,-01 ,. ,..ST5/,. L,01A .12 Z S@Y2/[email protected] 01L S,./5,.N M,[email protected] L,.5,. 0, B,221/,N B/[email protected]@[B\,1. A151,2,M S,3/[email protected] 15B>> WA B,AL45@[B\@, 32 S@CB@N 1A L@25/B4M@2N

ô�^

Page 192: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ô[` ÷øù úûüýþÿ �� ]KÿÕþJQø� PJ ùKÿ �Q�PøPJ

,. .ST5/,. L,01A .12 L,./[B\,1. 01 ,Y?15,. -@ 51M@N 1 ¬ @ L,./[B\@, 0, B42.,232 S@CB, O41 1.5 S@ .1-0, 4.@0, L@2@ .1M1B/,-@2 4A 01..1. ,Y?15,.> X4N1-5\@,N ,. .ST5/,. .\@, L,-5,. ,-01 4A@ Z4-[B\@, # Uf¥2_ Z,/ @A,.52@0@N 1 ¬4A L,-5, ,-01 @ A1.A@ L21B/.@ .12 /-512L,M@0@>� .,M4[B\@, 52/`/@M L@2@ 1.51 L2,YM1A@ S1 B@MB4M@2 @. b 0/.5a@-B/@.0/.5Ux¥¬_ L@2@ 5,0, x 1 ý N 1-B,-52@2 , AST-/A, 01..1. - S4A12,.N 101`,M`12 , .ST5/, x B,221.L,-01-51> W.51 @M3,2/5A, ,Y`/@A1-51 21O412cUb_ ,L12@[B\,1.>SW L,..ST`1M A1MP,2@2 1.51 51AL,a b@2@ 4A@ S4-/B@ B,-.4M5@N @ 21.cL,.5@ S1 -\@,W O4@MO412 @M3,2/5A, B,2215, L21B/.@ M1`@2 1A B,-5@ 5,0,.,. .ST5/,.N 1 L,25@-5, 1�/31 51AL, L1M, A1-,. L2,L,2B/,-@M @ b � /.5,S1N �Ub_>W-5215@-5,N .4L,-P@ O41 O4121A,. 21.,M`12 1.51 L2,YM1A@ L@2@ 4A32@-01 - S4A12, 01 L,-5,. ¬ N A@-51-0, , B,-?4-5, ý 01 .ST5/,. C�,>�udIKJG eGEå �GfDKJE

�1.51 B@.,N `@M1 @ L1-@ /-`1.5/2 @M34A 51AL, /-/B/@MA1-51N B,-.524/-0,@ L@25/2 0, B,-?4-5, ý @M34A 5/L, 01 !Yg;=<9 h97� !9R6=<7 UL,2 @-@M,3/@B,A , ST-0/B1 @MZ@YS15/B, 01 4A M/`2,_> T,A 4A ST-0/B1 @01O4@0,N S1L,..ST`1M 21.L,-012 @ B@0@ B,-.4M5@ A4/5, A@/. 2@L/0@A1-51 0, O41 B,A, @M3,2/5A, 52/`/@M> �4L,-0,c.1 4A - S4A12, .4CB/1-51 01 B,[email protected] ,51AL, 1B,-,A/i@0, -@. A1.A@. @B@Y@ B,AL1-.@-0, , 51AL, [email protected], -@B,-.524[B\@, 0, ST-0/B1>��j g *�)h%)() *' ¨&%&k&�b@2@ 5,2-@2 @ /0S1/@ 01 ST-0/B1 31,AS152/B, A@/. L@ML S@`1MN B,-./0121 ,L2,YM1A@ @- S@M,3, 1A 4A@ 0/A1-.\@,> �1.51 B@.,N ,. .ST5/,.� 1M1A1-5,.01 ý � .\@, L,-5,. -@ 215@ ÿ N /.5, S1N - S4A12,. 21@/.> lA@ B,-.4M5@B,-./.51 1A 01512A/-@2 O4@M , 1M1A1-5, 01 ý O41 1.5 S@ A@/. L2 S,�/A, 014A - S4A12, 21@M ¬ 0@0,>©m�mn õopo�o� �q p qb@2@ B@0@ .ST5/, x 1 ý N B,-./0121 , B,-?4-5, 7r 0,. L,-5,. ¬ 0@ 215@ ÿ5@/. O41 , .ST5/, A@/. L2 S,�/A, @ ¬ S1 x> XY`/@A1-51N 01512A/-@2 , .ST5/,A@/. L2 S,�/A, @ ¬ 1O4/`@M1 @ 01512A/-@2 O4@M 0@. 213/\,1. 7r B,-5 S1A ¬ >

Page 193: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�sts n P�uoKuQu PJ �vKvLv� w[wb@2@ 1-51-012 @. 213/\,1. 7rN .4L,-P@ O41 ,. .ST5/,. 01 ý 1.5\@,,201-@0,. 1A ,201A B21.B1-51W x] H xd H x x x H x� > �1.5@. B,-0/[B\,1.N-\@, S1 0/ZSTB/M `12 O41 B@0@ 213/\@, 7ry S1 4A /-512`@M, M/A/5@0, L1M,. L,-5,.S¡ 1 S¡z]N ,-01 S¡ S1 , L,-5, 1O�4/0/.5@-51 1-521 ,. .ST5/,. B,-.1B45/`,. x¡\]1 x¡ N /.5, S1N S¡ ' ]d Ux¡\] l x¡_>b@2@ 1-O4@02@2 @. 213/\,1. 1�521A@. 7r{ 1 7r| -1.5@ 01.B2/[B\@,N S1-1B1.. S@2/, .4L,2 O41 S] ' �} 1 S�z] ' l}> V1?@ @ C342@ ~>�>

�/342@ ~>�W V,2,-,/ -@ 215@>� B,M1[B\@, 0@. 213/\,1. 7r S1 L,2 01C-/[B\@, , ;=:h6:�: ;9 �767g7=U����_ 0, B,-?4-5, ý N @../A BP@A@0, 1A P,A1-@31A @, A@51A S@5/B, �EDEdEK dH DGfH24.., �> V,2,-,/>]>�1 5/`12A,. O41 21.L,-012 @ A4/5@. B,-.4M5@. L@2@ 4A A1.A, B,-c?4-5, ý N S1 `@-5@?,., B@MB4M@2 L2/A1/2, , 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ 01 ý >b@2@ 5@-5,N [email protected]@ ,201-@2 ,. .ST5/,. 1A ,201A B21.B1-51N 1 B@MB4M@2 ,.L,-5,. .1L@2@0,21. S]¥Sd ¥ ÷ ÷ ÷ ¥ S�z]N BP@A@0,. 01 � !96R=<9Q ;9 �767g7=NB,-Z,2A1 01.B2/5, @B/A@> �1/5, /..,N L@2@ B@0@ L,-5, 01 B,-.4M5@ ¬ N [email protected]@ 01512A/-@2 ,. ` S125/B1. B,-.1B45/`,. S¡ 1 S¡z] 5@/. O41 S¡ H ¬ H S¡z]N1 01`,M`12 , .ST5/, x¡ >� `@-5@31A 01.5@ 1.52@5 S13/@ S1 O41 , /-512`@M, US¡ ¥ S¡z]_ O41 B,-5 S1A, L,-5, ¬ L,01 .12 01512A/-@0, 2@L/0@A1-51� 1A 51AL, eUM,3b_�L,2 Y4.B@ Y/- S@2/@>b,2 ,452, M@0,N @ ,201-@[B\@, 0,. .ST5/,. 21O412 @L1-@. eUb M,3b_ ,L1c ^��fE IE �üdIKJGG IH JEd��FfH2@[B\,1.N 1 , B S@MB4M, 0,. ` S125/B1. B,A @L1-@. eUb_ ,L12@[B\,1.> b,25@-5,N ,51AL, [email protected], -@ B,-.524[B\@, 0, 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ S1 @L1-@. eUb M,3b_>

�,51c.1 O41 1.51 52@Y@MP, L21B/.@ .12 Z1/5, 4A@ S4-/B@ `1i� L,25@-5,N ,B4.5, 5,5@M L@2@ L2 S1cL2,B1..@2 ,. b .ST5/,.N 1 21.L,-012 @ k B,-.4M5@..,Y21 ,. A1.A,.N S1eUb M,3b_lkeUM,3b_ ' eUUb lk_ M,3b_

��� ����� �������� �� �������� � �������� ¡�¢ �� £��� ���� ¤¥�¦§�� �¥� ©¥� ª�«��¬�¥­�� ®¥¯¥ ��¤� °��°�±¤�²

Page 194: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

w[� ³u´ µ¶· ¹v �s ]KvÕ¹JQuº PJ ´Kv �Q�PuPJ

WA B,[email protected] , @M3,2/5A, 52/`/@M � B,AL@2@2 B@0@ L,-5, ¬ B,AB@0@ .ST5/,� M1`@2/@ 51AL,eUkb_ L@2@ @51-012 1..@. A1.A@. B,-.4M5@.>b@2@ 5,2-@2 1.5@. @- S@M/.1. A@/. B,[email protected] .4L,-P@ L,2 1»1ALM,b ' k ' w```> X @M3,2/5A, 52/`/@M 51A O41 B@MB4M@2 1 B,AL@2@2w÷```÷``` 0/.5a@-B/@. 1-521 L,-5,. 1 .ST5/,.> WA B,[email protected] , @M3,2/5A,[email protected]@0, -, 0/@32@A@ 01 V,2,-,/N 01.B2/5, @B/A@N 1»1B45@2/@ @[email protected] ¢ �``` ¢ M,3 w``` ¼ g ¢ �`÷``` ,L12@[B\,1.N ,-01 g S1 4A@ B,-.5@-51L1O41-@>©m½m½ õopo¾o¿ ¾o ¡Àq¾oX B,-B1/5, 01 0/@32@A@ 01 V,2,-,/N 01C-/0, @B/A@ L@2@ @ 215@N L,01�EDEdEK dE � FHdE .12 5@AYS1A @LM/B@0, @, LM@-, U,4 @ O4@MO412 1.L@[B, AS152/B,_>

W.L1B/CB@A1-51N 0@0, 4A B,-?4-5, ý 01 .ST5/,. 1A ÿ� N , 0/@32@A@01 V,2,-,/ 01 ý S1 4A@ B,M1[B\@, 01 213/\,1. 7r 0, LM@-,N 4A@ L@2@ B@[email protected]/, xN 5@/. O41 4A L,-5, ¬ 1.5 S@ -@ 213/\@, 7r .1 1 .,A1-51 , .ST5/, A@/.L2 S,»/A, @ ¬ S1 x> V1?@ @ C342@ ~>R

�/342@ ~>RW X 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ -, LM@-,>`4@M S1 @ Z,2A@ 0@ 213/\@, 7ra T,-./0121 4A ,452, .ST5/, O4@MO412�GeK ÁEG� � ÁHEJEdÂGVH� d 0/.5/-5, 01 x> lA L,-5, ¬ 0, LM@-, 1.5 S@ A@/. L2 S,»/A, 01 x 0, O4101 d .1 1 .,A1-51 .1 ¬ 1.5 S@ -, .1A/cLM@-, Ãrb N O41 B,-5 S1A xN 1 O41 S1M/A/5@0, L1M@ 215@ A10/@52/i krb 0, .13A1-5, xd> V1?@ @ C342@ ~>Ä>

Page 195: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�sts n P�uoKuQu PJ �vKvLv� w[R

�/342@ ~>ÄW � 213/\@, L,-5/MP@0@ 1.5 S@ A@/. L2 S,»/A@ 01 x 0, O41 01 d>b,25@-5,N @ 213/\@, 7r S1 @ /-512.1B[B\@, 01 5,0,. 1..1. .1A/LM@-,.N ,4.1?@ 7r ' ÅbÆ:ãrÃrb

T,-BM4/c.1 /A10/@5@A1-51 01.5@ 01C-/[B\@, O41 7r S1 4A L,MST3,-, B,-`1»,O41 B,-5 S1A , .ST5/, B,221.L,-01-51 x>SW Z S@B/M 01 `12 O41 4A L,-5, ¬ L1251-B1 Ç@ Z2,-51/2@ 1-521 04@. 213/\,1.7r 1 7b .1 1 .,A1-51 .1 ¬ S1 1O�4/0/.5@-51 01 x 1 01 dN 1 1.51. .\@, ,. 0,/..ST5/,. 01 ý A@/. L2 S,»/A,. @ ¬ > X A1.A, `@M1 L@2@ ,. L,-5,. -@ Z2,-51/2@01 52a1. ,4 A@/. 213/\,1.N O41 .\@, ,. ` S125/B1. 0,. L,MST3,-,.>©m½ms �oÈ¡ÀÉÊ¿ËqËÉ Ëo õopo¾o¿T,A, `/A,. @B/A@N , V,2,-,/ 01 b .ST5/,. -@ 215@ L,01 .12 01.B2/5, 01A@-1/2@ B,AL@B5@ L1M@ M/.5@ 01 .14. b � w ` S125/B1.>`4@M @ B,ALM1»/0@01 0, 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ -, LM@-,a Ç� L2/A1/2@ ^Eå� FGVKIHIG IE�EDEdEK`/.5@N L@21B1 .12 A4/5, 32@-01> W-O4@-5, O41 -@ 215@ ÿ B@0@ 213/\@, 01V,2,-,/ 51A -, AS@»/A, 0,/. `/i/-P,.N -, LM@-, ÿ� 4A@ S4-/B@ 213/\@,L,01 512 @5 S1 b � w M@0,.> Ì1 /.., L401..1 @B,-51B12 B,A 5,0@. @. b213/\,1.N 512ST@A,. cUbd_ @[email protected] , O41 /AL10/2/@ , 4., 0, 0/@32@A@ 01V,2,-,/ 1A @LM/B@[B\,1. L2 S@5/B@.>�1M/iA1-51N 1.5@ P/L S,51.1 L1../A/.5@ -\@, S1 L,..ST`1M> lA@ `1i O41 ,0/@32@A@ 01 V,2,-,/ S1 4A 32@Z, LM@-@2N 1M1 .@5/.Z@i @ 21M@[B\@, 01 W4M12

± S125/B1.² � ±@21.5@.² l ±Z@B1.² ' �

Page 196: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

w[Ä ³u´ µ¶· ¹v �s ]KvÕ¹JQuº PJ ´Kv �Q�PuPJ

l.@-0, 1.5@ /01-5/0@01N 1 4A L,4B, 01 S@M31Y2@N L,01c.1 L2,`@2 O41 ,0/@32@A@ 01 V,2,-,/ 01 b Í R .ST5/,. 51A -, AS@»/A, Rb � ~ @[email protected] �b � Ä ` S125/B1.> X4 .1?@N @ B,ALM1»/0@01 0, 0/@32@A@ S1 @[email protected],L,2B/,-@M @, - S4A12, 01 .ST5/,.� 1 -\@, O4@02 S@5/B@N B,A, 51AST@A,.>©m½m� ÎÏq¾Ëo o Ë¿q�pqÈqÌ4L,-P@ O41 B,-.524STA,. , 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ F7r W x 1 ý I 0,.Ð�HdIE E IKHeDHåHIG �EDEdEK .ST5/,. 0@0,.> b,25@-5,N L@2@ 1-B,-52@2 , .ST5/, A@/. L2 S,»/A, @ 4A L,-5,0@0, ¬ [email protected]@ 01512A/-@2 @ 213/\@, 7r 0, 0/@32@A@ O41 B,-5 S1A ¬ >

W.5@ 1.52@5 S13/@ -\@, B,AL1-.@ .1 5/`12A,. O41 51.5@2 5,0@. @. 213/\,1.7rN 4A@ L,2 4A@> U�.., B125@A1-51 M1`@2/@ A@/. 51AL, 0, O41 B,AL@2@2@. 0/.5a@-B/@. 1-521 ¬ 1 ,. .ST5/,.Ã_ Ñ, B@., 4-/0/A1-./,-@MN 4A@ ./ALM1.Y4.B@ Y/- S@2/@ L12A/5/@ 21.,M`12 1.51 L2,YM1A@ 1A 51AL, eUM,3b_> Ì12 S@O41 1»/.51 @3, 1O4/`@M1-51 Ç@ Y4.B@ Y/- S@2/@ 1A 04@. 0/A1-.\,1.a�1M/iA1-51N @ 21.L,.5@ S1 Q=�> X. 015@MP1. .\@, B,ALM/B@0,. 01A@/.L@2@ 0/.B45/2 -1.51 B42.,N A@. @ B,-BM4.\@, S1 O41N A1.A, 1A [email protected]/A1-.\,1.N @ 213/\@, 7r O41 B,-5 S1A , L,-5, ¬ L,01 .12 1-B,-52@0@ 1A51AL, eUM,3b_>v@/. @0/@-51 `121A,. O41 , 0/@32@A@ 01 V,2,-,/ 01 b .ST5/,. L,01 .12B@MB4M@0, 1A 51AL, eUb M,3b_> b,25@-5,N , B4.5, 5,5@M L@2@ 21.L,-012@k B,-.4M5@. .,Y21 b .ST5/,. -, LM@-, S1 , A1.A, 0, B@., 4-/0/A1-./,-@MN,4 .1?@ eUUklb_ M,3b_>

Page 197: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

�sÒs n P�uoKuQu PJ ÓJ¹u¸LuÔ w[Õ��Ö g *�)h%)() *' ×'Þ)�k)ØÌ1?@ Ù 4A B,-?4-5, 01 .ST5/,. -, LM@-,> Ú/21A,. O41 0,/. .ST5/,. ÛN Ü 01 Ù ÝDG�fH� IE ÞEDEdEK.\@, �=ß=gÂ7Q ;9 à767g7= .1 @. 21.L1B5/`@. 213/\,1. árN áâ 0, 0/@32@A@ 01V,2,-,/ 51A 4A M@0, 1A B,A4A> ã/0@-0, B@0@ L@2 01 .ST5/,. `/i/-P,.B,A 4A .13A1-5, 01 215@N ,Y51A,. , ;=:h6:ä: ;9 å98:æg:ç U��èé_ 01 êKHeDHëH IGêGFH�dHìÙ> V1?@ @ C342@ ~>Õ>

�/342@ ~>ÕW X 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í>

îmïmn ðpoñp¿ÉËqËÉÏ òó¾ËqÈɾôq¿ÏÌ1?@A Û 1 Ü ,. 0,/. 1»521A,. 01 4A@ @21.5@ 0, 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í01 Ù> b1M@ 01C-/[B\@, 0, ��èéN @. 213/\,1. 01 V,2,-,/ ár 1 áâ 01`1A512 4A M@0, õ 1A B,A4A> Ì1?@ ö 4A L,-5, O4@MO412 -, /-512/,2 01 õU1»BM4/-0, .14. 1»521A,._> b1M@ 01C-/[B\@, 0, ����N ö 1.5 S@ ./54@0, Ç@A1.A@ 0/.5a@-B/@ ÷ 0,. 0,/. .ST5/,. Û 1 Ü� 1 @ 0/.5a@-B/@ 01 ö @ O4@MO412,452, .ST5/, ø S1 1.52/5@A1-51 A@/,2 O41 ÷>Ì1 B,-./012@2A,. , BST2B4M, 01 B1-52, ö 1 2@/, ÷N L,01A,. B,-BM4/2 ,.134/-51 Z@5,W

Page 198: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

wù~ ³u´ µ¶· ¹v ús ]ûvü¹ýþuº ÿý ´ûv��þ�ÿuÿý���������� �� �������� ����� å7=Q Q ��R=7Q Q �:7 :;�:<9gR9Q g7 ;=�ÝDG�fH� IEêGFH�dHì� J��DJ�FEÂH�KE :h6:ä: ;9 å98:æg:ç Q9 9 Q7ä9gR9 Q9 9 =QR9 :8hæä <��6<æ87 !æ9 ":QQ: "76989Q# 9 g�:7 <7gR �9ä 7æ ":QQ: "76 g9g$æä 7æR67 Q ��R=7 ;7 ;=:h6:ä:%

�/342@ ~>~W & L2,L2/10@01 0, 'ST2B4M, V@i/,>& L@25/2 01.5@ L2,L2/10@01 Z4-0@A1-5@MN L,01A,. 012/`@2 Z@B/MA1-c51 A4/5@. ,452@. L2,L2/10@01. /AL,25@-51. 0, ��èé>b,2 1»1ALM,N L,01A,. L2,`@2 O41 @. @21.5@. 0, ��èé -\@, .1 B24i@A,4 5,B@AN @ -\@, .12 -,. .14. 1»521A,.> (.5, ./3-/CB@ O41 ,. 0/@32@[email protected] V,2,-,/ 1 01 Ú1M@4-@í .\@, 04@/.N -\@, @L1-@. B,A, 32@Z,.N [email protected],A, 0/@32@A@.> X4 .1?@N 5,0, ` S125/B1N @21.5@N ,4 Z@B1 01 4A 01M1.B,221.L,-01 21.L1B5/`@A1-51 @ 4A@ Z@B1N @21.5@N ,4 ` S125/B1 0, ,452,NL21.12`@-0, @. 21M@[B\,1. 01 /-B/0a1-B/@ 1-521 1..1. 1M1A1-5,.>)A L@25/B4M@2N .1 * S1 4A `S125/B1 0, 0/@32@A@ 01 V,2,-,/N 1Þ�GDfKJG� IE ÞEDEdEK ár{ +ár, + - - - +ár. .\@, @. 213/\,1. /-B/01-51. @ * N 1- ,201A @-5/cP,2 S@2/@N1-5\@, * 01`1 .12 1O/4/0/.5@-51 0,. .ST5/,. Û0+ Û1+ - - - + Û2 N 1 O4@MO412 ,452,.ST5/, 1.5 S@ A@/. @[email protected]@0, 01 * 0, O41 1M1.> Ì1 B,-./012@2A,. , BST2B4M,B,A B1-52, * O41 L@..@ L,2 1..1. 3 .ST5/,.N B,-BM4STA,. O41

Page 199: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ús4s 5 ÿ�u6ûuþu ÿý 7ý¹u¸8u9 wù:���������� �; �������� �����<=���>�� ?6@9Q 7æ ä:=Q Q ��R=7Q ;9A� BHJG� IE êGFH�dHì�J��DJ�FE JKDJ�d�JDKfEg9ä æä: C:<9 ;7 ;=:h6:ä: ;9 å98:æg:ç Q9 9 Q7ä9gR9 Q9 9 =QR9 :8hæä<��6<æ87 !æ9 ":QQ: "76 989Q# 9 g�:7 <7gR �9ä 7æ ":QQ: "76 g9g$æä 7æR67Q ��R=7 ;7 ;=:h6:ä:% D <9gR67 ;9QQ9 <��6<æ87 �9 7 � �96R=<9 ;7 ;=:h6:ä: ;9à767g7= !æ9 <7669Q"7g;9 : 9QQ: C:<9%

�/342@ ~>:W �@B1. 0, 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í>b,25@-5,N 5,0@ Z@B1 0, ��èé S1 4A L,MST3,-, ./ALM1. /-.B2/5, 1A@M34A BST2B4M,N 1 L,25@-5, 4A L,MST3,-, B,-`1»,>

îmïm½ Ep¿q¾FóÀqGHIqo ËÉ JÉÀqó¾qKÌ1 ,. .ST5/,. .\@, 312@0,. @M1@5,2/@A1-51N ,4 .\@, .4?1/5,. @ 122,. 01 A1c LDKHde�FHMJÁHE IGêGFH�dHì0/0@ @M1@5 S,2/,.N @ L2,Y@Y/M/0@01 01 O4@52, ,4 A@/. .ST5/,. L1251-B121A@ 4A A1.A, BST2B4M, S1 -4M@> Ñ1..@. B,-0/[B\,1.N @. Z@B1. 0, ��èé .\@, /-c`@2/@`1MA1-51 52/a@-34M,.N 1 , ��èé S1 5@AYS1A BP@A@0, 01 R6=:ghæ8:N<�:7;9 å98:æg:ç UO�èé_>P1.A, -,. B@.,. 1A O41 , ��èé 51A Z@B1. B,A A@/. 01 52a1. ` S125/B1.N1M1 L,01 .12 Z@B/MA1-51 [email protected],2A@0, -4A@ 52/@-34M@[B\@,� [email protected]@ @B21.cB1-5@2 3 Q R 0/@3,-@/. U-\@, B24i@0@._ @ B@0@ Z@B1 B,A 3 S R M@0,.>

Page 200: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

wùù ³u´ µ¶· ¹v ús ]ûvü¹ýþuº ÿý ´ûv��þ�ÿuÿýîmïmï TUVó¿q¾FóÀqp¿ËqËÉ&. 52/@-34M@[B\,1. 01 Ú1M@4-@íN ,Y5/0@. B,A, 01.B2/5, @B/A@N .\@, [email protected]@-51 4.@0@. /-512L,M@[B\@, 01 0@0,.N A,01M@31A 01 . S,M/0,.N B S@MB4M, 011M1A1-5,. C-/5,.N 1 ,452@. S@21@. 0@ @- S@M/.1 -4AS12/B@>& 2@i\@, L@2@ 1..@ L,L4M@2/0@01 S1 O41 ,. 122,. 01 @L2,»/A@[B\@,WÝde�FE� �dKXEDëG� B,A15/0,. -1..@. S@21@. 01L1-01A 0@ Z,2A@ 0,. 52/a@-34M,. 4.@0,.N .1-0,1A 312@M 5@-5, A@/,21. O4@-5, A1-,. 1O/4/M S@512,. Z,21A ,. 52/a@-34M,.>&B,-51B1 O41N 01-521 5,0@. @. 52/@-34M@[B\,1. 0, LM@-, B,A 4A B,-?4-5,C», Ù 01 ` S125/B1.N @ O�èé S1 @ O41 L2,04i ,. 52/a@-34M,. A@/. 1O/4/M S@512,.L,..ST`1/.>)A L@25/B4M@2N B,-./0121 04@. Z@B1. @0?@B1-51. O4@/.O412 ÛÜø 1 ÜÛ*01 4A@ 52/@-34M@[B\@, 01 Ú1M@4-@í YN 5@/. O41 , O4@02/M S@512, øÛ*Ü .1?@B,-`1»,> & L2,L2/10@01 ~>� 0/i O41 , .ST5/, ø 51A O41 1.5@2 Z,2@ 0,BST2B4M, ÜÛ* N 1 * 51A O41 1.5@2 Z,2@ 0, BST2B4M, ÛÜø> b,01c.1 0104i/2 0@STO41 @ .,A@ 0,. a@-34M,. Ü aøÛ 1 Ûa*Ü S1 A1-,2 0, O41 wùZ[> b,2 ,452, M@0,N.@Y1A,. O41 @ .,A@ 0,. O4@52, a@-34M,. /-512-,. 01 4A O4@02/M S@512, S1R~Z[� L,25@-5,N @ .,A@ 0,. a@-34M,. øaÛ* 1 *aÜø S1 A@/,2 0, O41 wùZ[>

',AL@21 @3,2@ @ 52/@-34M@[B\@, 01 Ú1M@4-@í \ B,A @ 52/@-34M@[B\@,@M512-@5/`@ \ ] 0,. A1.A,. .ST5/,.N ,Y5/0@ 01 \ 1M/A/-@-0,c.1 @ @21.5@ ÛÜ1 @B21.B1-5@-0,c.1 @ @21.5@ ø* > X4 .1?@N \ 1 \ ] 0/Z121A @L1-@. -@ A@c-1/2@ 01 B,25@2 , O4@02/M S@512, øÛ*Ü 1A 0,/. 52/a@-34M,.> ',A 4A L,4B,01 S@M31Y2@ 1 31,A152/@N S1 L,..ST`1M A,.52@2 O41 ,. 0,/. 52/a@-34M,. 4.@0,.L,2 \ .\@, A@/. 1O/4/M S@512,. O41 ,. 0,/. 4.@0,. L,2 \ ] N .1 A10/2A,. @1O/4/M@512@M/0@01_ 01 4A 52/a@-34M, L1M, 5@A@-P, 0, .14 A1-,2 a@-34M,/-512-,>&M/ [email protected] 1.5@ L2,L2/10@01 M,B@M S1 .4CB/1-51 L@2@ B@2@B512/i@2 @. 52/@-c34M@[B\,1. 01 Ú1M@4-@íN 01-521 5,0@. @. 52/@-34M@[B\,1. 0, A1.A, B,-?4-5,01 .ST5/,.W���������� �` abc��<d�������� e9�: \ æä: R6=:ghæ8:N<�:7 ;9WÝde�FE� IEf�HIDKF �HfGDE æä <7g�ægR7 ;9 Q ��R=7Q Ù# <æ�7 <7gR76g7 �9 : 9g�78R �76=: <7g�9 : ;9 Ù %g9QQ9 <:Q7# \ �9 æä: R6=:ghæ8:N<�:7 ;9 å98:æg:ç Q9 9 Q7ä9gR9 Q9 7 � �96R=<9ø 9QR �: C76: ;7 <��6<æ87 ÜÛ*# ":6: R7;7Q 7Q ":69Q ;9 R6= @:ghæ87Q :;�:<9gR9QÛÜø 9 ÜÛ* R:=Q !æ9 7 !æ:;6=8 �:R967 øÛ*Ü �9 <7g�9 7%Ñ,51 O41 O41 , B4.5, 01 51.5@2 4A O4@02/M S@512, øÛ*Ü S1 B,-.5@-51N 1- S4A12, 01 O4@02/M S@512,. @ 51.5@2 S1 M/A/5@0, L1M, - S4A12, 01 @21.5@. ÛÜ

Page 201: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úshs ³v8º·û¸ijkuv ÿv 7ý¹u¸8u9 wùl0@ 52/@-34M@[B\@,> b,25@-5,N 1.5@ L2,L2/10@01 -,. L12A/51 51.5@2 .1 4A@52/@-34M@[B\@, 01 m .ST5/,. S1 Ú1M@4-@í 1A 51AL, nUm_� 1-O4@-5, O41 4A51.51 /-3a1-4,N [email protected]@0, -@ L2,L2/10@01 ~>wN M1`@2/@ 51AL, oUm1_>îmïmp EpoHq ËÉ qpÉÏôqÏ).5@ B@2@B512/i@[B\@, 5@AYS1A Z,2-1B1 4A @M3,2/5A, 1»521A@A1-51 ./Ac êGFH�dHì qED fDEJHIG HDG�fH�LM1. L@2@ B,-.524/2 4A@ O�èé 01 4A B,-?4-5, 01 .ST5/,. Ù> [email protected]@ ,Y5124A@ 52/@-34M@[B\@, O4@MO412 01 ÙN 1 `12/CB@2 .1 5,0@. .4@. @21.5@. ÛÜ.@5/.Z@i1A @ L2,L2/10@01 ~>R> '@., @ L2,L2/10@01 Z@MP1 L@2@ @M34AO4@02/M S@512, øÛ*ÜN 21A,`1A,. @ @21.5@ ÛÜ 1 @B21.B1-5@A,. @ @21.5@ ø* �1 B,-5/-4@A,. 21L15/-0, ,. 51.51. 1 52,B@. @5 S1 O41 5,0@. @. @[email protected]?@A B,-./.51-51>Ñ,51 O41 @ 52,B@ 01 ÛÜ L,2 ø* /-`@M/0@ O4@/.O412 51.51. @-512/,21.0@. @21.5@. øÛN Û* N *ÜN 1 Üø� L,25@-5,N @L S,. @ 52,B@N 1..@. @21.5@. 01`1A.12 51.5@0@. 01 -,`,>b,01c.1 A,.52@2 O41 1.51 L2,B1.., 512A/-@ 01L,/. 01 -, AS@»/A,sUm1_ 52,[email protected] -, L/,2 B@.,> ',A, `121A,.N .1 , L2,YM1A@ S1 B,-.524/2, ��èé B,ALM15,N P S@ @M3,2/5A,. A4/5, A@/. 2 S@L/0,.> P@. 1.51 @M3,2/5cA, S1 4A@ A@-1/2@ 1»B1M1-51 01 21B@MB4M@2 , 0/@32@A@ 01L,/. 01 4A@A40@-[B@ M,B@M -, B,-?4-5, 01 .ST5/,.N 1A L@25/B4M@2 01L,/. 0@ @0/[B\@, 014A .ST5/,> Ñ1.51 B@.,N , @M3,2/5A, @B/A@ M1`@ 51AL, AST-/A,N L2,L,2B/c,-@M @, - S4A12, 01 @21.5@. 0@ 52/@-34M@[B\@, O41 21@MA1-51 L21B/.@A .12@M512@0@.>tuv w&kxy%z{+|)& *& ×'})zk)ØX. 0/@32@A@. 01 Ú1M@4-@í 1 01 V,2,-,/ .\@, Y@./B@A1-51 1O4/`@M1-51.WÌ1 .,4Y12A,. B,A, B,-.524/2 4AN L,01A,. ,Y512 ,452, B,A @[email protected]_ 01 1.Z,2[B,>

(.5, L,.5,N S1 1A 312@M @B,-.1MP S@`1M 52@Y@MP@2 B,A , 0/@32@A@ 01Ú1M@4-@íN 1-O4@-5, Z,2 L,..ST`1M> & 2@i\@, L2/-B/L@M S1 O41 ,. ` S125/B1. 0,��èé .\@, ,. L2 S,L2/,. .ST5/,. 01 1-52@0@N 1 L,25@-5, C-/5,.> )A B,[email protected],. ` S125/B1. 0, ���� L,01A 1.5@2 -, /-C-/5,N 1 51A O41 .12 B@MB4M@0,.L,2 AS15,0,. -4AS12/B,. U21.,M4[B\@, 01 4A ./.51A@ M/-1@2 01 0/A1-.\@,� ~�_N .1-0, L,25@-5, .4?1/5,. @ 122,. 01 @2210,-0@A1-5, 1 7�96�7�>

Page 202: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

wlZ ³u´ µ¶· ¹v ús ]ûvü¹ýþuº ÿý ´ûv��þ�ÿuÿýîmpmn ðoÀ¿ÉËpo ËÉ JÉÀqó¾qK& B,-.524[B\@, 0, 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í U,4 01 V,2,-,/_ @ L@25/2 0@ 01cêGFH�dHì�FKdGHDK�HMJÁHE IE�J �HFJ�FE� C-/[B\@, L@21B1 1»/3/2 , B S@MB4M, 01 1»L21..\,1. -\@,cM/-1@21. B,ALM/B@0@.

NB,A, @ B,-.524[B\@, 0, BST2B4M, L@..@-0, L,2 52a1. L,-5,. 0@0,.> )-521c5@-5,N L,2 4A@ [email protected],2A@[B\@, @01O4@0@ 0,. 0@0,.N L,01A,. .4Y.5/54/25,0@. 1..@. ,L12@[B\,1. L,2 ./ALM1. B S@MB4M,. 01 01512A/-@-51. R~R 1 Ä~Ä>& [email protected],2A@[B\@, B,-./.51 1A .4Y.5/54/2 5,0, .ST5/, Û B,A B,,201-@[email protected]�+�_ L1M, L,-5, Û� 0, �� B,A B,,201-@0@. U�+�+�1��1_> �1,A152/B@cA1-51N /.., B,221.L,-01 @ L2,?15@2 .ST5/, `125/B@MA1-51N 01 Y@/», L@2@ B/c�DE� GMJÁHE dEqHDH�EF �EKIG A@N @5 S1 @ .4L12ZSTB/1 � 0, L@2@Y,M S,/01 01C-/0, L1M@ 1O4@[B\@, � � �1��1 >b,25@-5,N 1.5@ [email protected],2A@[B\@, .4Y.5/54/ , B,-?4-5, 01 .ST5/,. ,2/3/-@/. ÙL,2 4A B,-?4-5, Ù� 01 L,-5,. -, L@2@Y,M S,/01 �> V1?@ @ C342@ ~>ù

�/342@ ~>ùW [email protected],2A@[B\@, 0, L@2@Y,M S,/01>',-.5@[email protected] O41 1.5@ [email protected],2A@[B\@, 5@AYS1A @..,B/@ @ 5,0, BST2B4M,� 01 �� 4A LM@-, �� 01 �� N 5@M O41 � L@..@ L,2 4A .ST5/, Û .1 1 .,A1-51.1 , LM@-, �� L@..@ L1M, L,-5, Û�> b,25@-5,N , B S@MB4M, 0, BST2B4M, O4@L@..@ L,2 52a1. L,-5,. 01 �� B,221.L,-01 @, B S@MB4M, 0, LM@-, O41 L@..@L,2 52a1. L,-5,. 01 �� >P@/. @/-0@N L2,`@c.1 O41 4A .ST5/, Û 1.5 S@ 01-52, 0, BST2B4M, � .1 1.,A1-51 .1 , L,-5, Û� 1.5 S@ @Y@/», 0, LM@-, ��> ',AY/-@-0, 1.51 Z@5,B,A @ L2,L2/10@01 0, BST2B4M, `@i/,N B,-BM4STA,. O41 0,/. .ST5/,. Û+ Ü 01 Ù.\@, M/3@0,. L,2 4A@ @21.5@ 0, ��èé .1 1 .,A1-51 .1 1»/.51 4A LM@-,-, �� O41 L@..@ L,2 .4@. /A@31-. Û� 1 Ü�N 1 O41 O41 L@..@ L,2 Y@/»,01 5,0,. ,. 01A@/. L,-5,. 01 Ù�>b,2 .4@ `1iN 1.5@ S1 @ B,-0/[B\@, L@2@ O41 , .13A1-5, Û�Ü� .1?@ 4A@@21.5@ 0@ 1-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ Ã� 01 Ù�N , A1-,2 L,M/102, B,-`1», O41

Page 203: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úshs ³v8º·û¸ijkuv ÿv 7ý¹u¸8u9 wlwB,-5 S1A Ù�> P@/. 1»@5@A1-51N S1 @ B,-0/[B\@, L@2@ O41 Û�Ü� .1?@ 4A @21.5@;: ":6R9 =gC 96=76 01 Ã�� /.5, S1N 0@ L@251 O41 1.5@2/@ -@ .,AY2@ .1 , .,M1.5/`1..1 1A UZ+Z+�}_>& B,221.L,-0a1-B/@ @B/A@ 01.B2/5@ Z,2-1B1 4A @M3,2/5A, L@2@ @ B,-.c524[B\@, 0, 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í> [email protected]@ B@MB4M@2 @. /A@31-. Ù� 0,..ST5/,. 0@0,.N B@MB4M@2 @ 1-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ 01 Ù� N 1 L2,?15@2 01 `,[email protected]@ L@251 /-Z12/,2 .,Y21 , LM@-, U�+�_>b,25@-5,N `@A,. 01/»@2 01 M@0, ,. 0/@32@A@ 01 Ú1M@4-@í L,2 @Mc34A 51AL,N 1 B,-./012@2 , L2,YM1A@ 0@ 1-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ 1A 52a1.0/A1-.\,1.>împm½ T¾�oÀô �op¿q Ho¾�ÉÊqÌ1?@ 1-5\@, Ù 4A B,-?4-5, 01 L,-5,. U.ST5/,._ -, 1.L@[B, �� > & 1-`,M5 S,2/@ �dÂEFf �EDKH JEdÂG�HdE G�qHMJEB,-`1»@ 01 Ù L,01 .12 1CB/1-51A1-51 B@MB4M@0@ L1M, AS15,0, 01 0/`/.\@,1 B,-O4/.5@> b2/A1/2,N 0/`/0/A,. , B,-?4-5, Ù 1A 04@. L@251. � 1 � NB,A @L2,»/A@0@A1-51 , A1.A, - S4A12, 01 L,-5,.N L,2 @M34A LM@-,01 �� > Ub,2 1»1ALM,N L,01A,. ,201-@2 ,. L,-5,. L1M@ .4@ B,,201-@0@�N 1 @ 0/`/0/2 @ M/.5@ 21.4M5@-51 @, A1/,>_ )A .134/0@N B@MB4M@A,. @.1-`,M5 S,2/@. B,-`1»@. Ã� 1 Ã� 01..1. 0,/. B,-?4-5,.N 21B42./`@A1-51>�/-@MA1-51N 01512A/-@A,. , A1-,2 L,M/102, B,-`1», à O41 B,-51A ,.0,/. L,M/102,. Ã� 1 Ã� > V1?@ @ C342@ ~>l>& 21B42.\@, @B/A@ 512A/-@ O4@-0, , B,-?4-5, 01 L,-5,. Ù 51A@L1-@. 4A 1M1A1-5,� -1..1 B@.,N @ 1-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ .1 2104i @ 1..1L,-5,>împmï �ó¾ôq¾Ëo ɾ�oÀô �op¿qÏ(-54/5/`@A1-51N @ S4M5/A@ 15@L@ 0, @M3,2/5A, @B/A@ � B@MB4M@2 @ 1-c ��dfHdIEGdÂEFf �EDKH�JEdÂG�H�`,M5 S,2/@ B,-`1»@ S4-/B@ à 01 Ã� 1 Ã� � 1O4/`@M1 @ 1-`,M`12 ,. 0,/.L,M/102,. L,2 4A Y@M\@, 1M [email protected]/B,> X L,M/102, à B,-./.51 0@. 04@. A15@c01. 1»512-@._ 01 Ã� 1 Ã� N M/3@0@. 4A@ ^A@-3@_ B,-.5/54ST0@ 01 [email protected],`@. U312@MA1-51 52/a@-34M,._>

Y,0@ Z@B1 0@ ^A@-3@_ U312@MA1-51N 4A 52/a@-34M,_ 51A L1M, A1-,.4A `S125/B1 1A B@0@ 4A 0,. 0,/. L,M/102,. Ã� 1 Ã� > '@0@ Z@B1 S1 B,M@0@-@ Z@B1 .134/-51 L,2 1»@5@A1-51 4A@ @21.5@N 01 A,0, @ Z,2A@2 4A @-1M01 Z@B1.>

Page 204: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

wl� ³u´ µ¶· ¹v ús ]ûvü¹ýþuº ÿý ´ûv��þ�ÿuÿý

�/342@ ~>lW )-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ -, �� >X @M3,2/5A, L@2@ 01512A/-@2 1..@. Z@B1. ./A4M@ , L2,B1.., 01 1Ac�HFJ�FHdIE H�ëHdeH� Y24MP@2 ,. 0,/. L,M/102,. B,A 4A@ Z,MP@ 01 L@L1M> P@/. L21B/.@A1-51N1M1 ./A4M@ , A,`/A1-5, 01 4A LM@-, � O41 2,M@_ 1A 5,2-, 01 Ã�1 Ã� N .1AL21 5,B@-0, 1A L1M, A1-,. 4A `S125/B1 01 B@0@ L,M/102,N 1.1AL21 A@-51-0, ,. 0,/. L,M/102,. -, A1.A, .1A/c1.L@[B, 01 � >b,25@-5,N , L2/A1/2, L@.., S1 1-B,-52@2 4A LM@-, � -1..@. B,-0/[B\,1.>�FHdE fHdeGdfGJEë�ë (.5, S1N � 5,B@ 1A 1»@5@A1-51 0,/. L,-5,. ø�+ *� 01 ÙN 4A 1A B@0@L,M/102,N 1 01/»@ 5,0,. ,. ,452,. L,-5,. 01 Ù -, A1.A, .1A/c1.L@[B, 01� > �1/5, /..,N , L2 S,»/A, L@.., S1 2,0@2 , LM@-, � 1A 5,2-, 0@ 215@ ø�*� N�EFHdIE E q FHdE @5 S1 O41 1.51 1-B,.51 1A @M34A ,452, L,-5, 01 Ù> b,01c.1 L2,`@2 O41, L2/A1/2, L,-5,  � @5/-3/0, L1M, LM@-, S1 `/i/-P, 01 ø� 1A Ã� N ,4 01

*� 1A Ã� � , O41 L12A/51 01512A/- S@cM, .1A A4/5, 1.Z,2[B,>lA@ `1i 1-B,-52@0, , ` S125/B1  ZN 51A,. @ L2/A1/2@ Z@B1 0@ ^A@-c3@_N ,4 .1?@N , 52/a@-34M, ø�*� � > b@2@ L2,..134/2 @ Y4.B@N 01`1A,..4Y.5/54/2 4A 0,. ø� ,4 *Z L,2  � N 01 Z,2A@ @ ,Y512 ,452, L@2 01` S125/B1. ø0N *0N 4A 1A B@0@ L,M/102,>',A /.5,N 1.5@A,. -,`@A1-51 1A B,-0/[B\,1. 01 21L15/2 , L@.., @-c512/,2> X4 .1?@N L,01A,. @3,2@ 2,0@2 , LM@-, � 1A 5,2-, 0@ 215@ ø0*0N@/-0@ -, A1.A, .1-5/0,N @5 S1 @5/-3/2 ,452, L,-5,  0 01 Ù> & .134-0@Z@B1 0@ ^A@-3@_ .12 S@ 1-5\@, ø0*0 0>Ì4Y.5/54/-0, 4A 0,. 0,/. ` S125/B1. ø0N *0 L1M, ` S125/B1  0N ,Y51A,.@ 215@cL/`a, .134/-51N ø1*1 � 1 @../A L,2 0/@-51> ).51 L2,B1.., 512A/-@O4@-0, , LM@-, 2,M@-51 � `,M5@ Ç@ L,./[B\@, 01 L@25/0@N /.5, S1N O4@-0, ,-,`, L@2 01 L/`a,. ø2 N *2 S1 /34@M @, L@2 /-/B/@M ø� N *� >Ñ1..1 L,-5,N 540, , O41 21.5@ @ Z@i12 S1 21B,25@2 ,. 0,/. L,M/102,. @,�EDfG G JE�f�DH M,-3, 0,. B@A/-P,. ø�ø0 - - -ø3 1 *0*1 - - -*3N 01.B@25@2 @. A15@01. O41

Page 205: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úshs ³v8º·û¸ijkuv ÿv 7ý¹u¸8u9 wlR1.5\@, `,M5@0@. L@2@ 01-52,N 1 ?4-5@2 @. ,452@. 04@. A15@01. Ç@. Z@B1. 0@^A@-3@>_Ñ\@, S1 0/ZSTB/M L2,`@2 O41 , L2,B1.., 01 B S@MB4M, 0@ ^A@-3@_ 1 ?4-[B\@, Ýd �HFK�G IG J��fE0,. 0,/. L,M/102,.N B,A, 01.B2/5, @B/A@N 512A/-@ 1A 51AL, nUm_N ,-01m S1 , - S4A12, 5,5@M 01 ` S125/B1. 0,. 0,/. L,M/102,.> b,25@-5,N , B4.5,5,5@M ÜUm_ L@2@ B,-.524/2 @ 1-`,M5 S,2/@ B,-`1»@ 01 m L,-5,. 01 �� N L1M,@M3,2/5A, 21B42./`, 0@ .1[B\@, ~>Ä>�N S1 0@0, L1M@ 21B,22a1-B/@

ÜUm_ � �ÜUm¡�_�nUm_B4?@ .,M4[B\@, S1 ÜUm_ � nUm M,3m_>împmp ¢ £oÀ¤q qÈ£óÀq¾ôÉ¥¦§¨©ª«¬­¨®¯°± ®¨² ²¦³§°¦² ¨®«¦µª°µ¦² ¶ª·°² ¬· ¨­¸°µª«·° ¯¦ §¬²«°n¹m ­°¸ mº ©¨µ¨ ° § »­§¬­° ¯° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í ¯¦ m ²»¼«ª°² ®° ©­¨®°�� ½ ¾ ¨­¸°µª«·° §°®²ª²«¦ ¦· «µ¨®²¿°µ·¨µ °² ²»¼«ª°² ¯¨¯°² ¦· ©°®«°² ¯°¦²©¨³§° �� ± §¨­§¬­¨µ ¨ ¦®¶°­« »°µª¨ §°®¶¦À¨ ¯¦²«¦² ©°®«°² ©°µ ¯ª¶ª²´°Á¦Á§°®Â¬ª²«¨± ¦ ©µ°Ã¦«¨µ ¨ ©¨µ«¦ ª®¿¦µª°µ ¯° ©°­ª¦¯µ° µ¦²¬­«¨®«¦ ®° �� ½)· ¶¦Ä ¯¦ ­¦¶¨®«¨µ °² ²»¼«ª°² ©¨µ¨ ° ¦²©¨³§° �� ± ©°¯¦·°² ©µ°Ã¦«¨µ_° ¨­¸°µª«·° ¯¦ ¦®¶°­« »°µª¨ §°®¶¦À¨ ²°Åµ¦ ° ©­¨®° �� ½ ¾ µ¦²¬­«¨¯° »¦ LÆÇ�ÇÈÉÇÊËÌ ÍëËÎÇÏ ËÐëÍÊÏ ÑÌÍϬ· ¨­¸°µª«·° ¯¦ ¯ª¶ª²´°Á¦Á§°®Â¬ª²«¨ ¬¦ §°®²«µ »°ª ° ÒÒèé «µ¨Å¨­Ó¨®¯°¯ªµ¦«¨·¦®«¦ §°· °² ²»¼«ª°² ¯¨¯°²½Ôµª·¦ªµ°± ¯ª¶ª¯ª·°² ° §°®Ã¬®«° Ù ¦· ¯¬¨² ©¨µ«¦² � ¦ � ± §°·¨©µ°Àª·¨¯¨·¦®«¦ ° ·¦²·° ® »¬·¦µ° ¯¦ ©°®«°²± ©°µ ¨­¸¬·¨ µ¦«¨ Õ ¯¦�� ½ ¹Ô°µ ¦À¦·©­°± ©°¯¦·°² °µ¯¦®¨µ °² ©°®«°² ©¦­¨ ²¬¨ §°°µ¯¦®¨¯¨�± ¦ ¨ ¯ª¶ª¯ªµ ¨ ­ª²«¨ µ¦²¬­«¨®«¦ ¨° ·¦ª°½º )· ²¦¸¬ª¯¨± §°®²«µ¬»¼·°²° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í Ö� ¦ Ö� ©¨µ¨ §¨¯¨ ©¨µ«¦± µ¦§¬µ²ª¶¨·¦®«¦½×ª®¨­·¦®«¦± 쮫¨·°² ¦²²¦² ¯°ª² ¯ª¨¸µ¨·¨² ®¬· »¬®ª§° ¯ª¨¸µ¨·¨ Ö ©¨µ¨° §°®Ã¬®«° Ù «°¯°½Øª·°² ®¨ ²¦³§´° Ù½Ú½R ¬¦ ¨ ¦®¶°­« »°µª¨ §°·¬· ¯¦ ¯°ª² ©°­ª¦¯µ°²§°®¶¦À°² ©°¯¦ ²¦µ ¯¦«¦µ·ª®¨¯¨ §°· ° ¨¬À»¼­ª° ¯¦ ¬· ©­¨®° µ°­¨®«¦_±Â¬¦ ¸ªµ¨ ¦· «°µ®° ¯°² ¯°ª² ©°­ª¦¯µ°²± ·¨®«¦®¯° ²¦·©µ¦ §°®«¨«° §°·©¦­° ·¦®°² ¬· ¶»¦µ«ª§¦ ¯¦ §¨¯¨ ¬·½ &² ¨µ¦²«¨² ®°¶¨² ¯¨ ¦®¶°­« »°µª¨§°·¬· ²´° °² ©¨µ¦² ¯¦ ¶ »¦µ«ª§¦² ¬²¨¯°² §°·° ©ª¶Û°² ®° ¯¦§°µµ¦µ ¯¦²²¨µ°­¨¸¦·½

Yµ¨¯¬Äª®¯° ¦²²¦² §°®§¦ª«°² ©¨µ¨ ¯ª¨¸µ¨·¨² ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í ®° �� ± Ý �ÌÈÉÇ Çë�ÎÈÇÊÜÍ

Page 206: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÝlÚ Þßà áâãäåæ úç èûæüåýþßé ÿý àûæ��þ�ÿßÿý§°®§­¬»¼·°² ¬¦ ¨ 쮳§´° ¯°² ¯°ª² ¯ª¨¸µ¨·¨² ©¨µ§ª¨ª² Ö� ¦ Ö� ©°¯¦ ²¦µ¿¦ª«¨ §°· ° ¨¬À»¼­ª° ¯¦ ¬·¨ êëì$í íäêæìíîïðñ ¬· §»¼µ§¬­° ¬¦ ©¦µ§°µµ¦° ¦²©¨³§° ¦®«µ¦ °² ¯°ª² ¯ª¨¸µ¨·¨²± ·¨®«¦®¯° ²¦·©µ¦ §°®«¨«° §°· ©¦­°·¦®°² ¬· ²»¼«ª° ¯¦ §¨¯¨ ¬·± ¦ ²¦· ®¬®§¨ ª®§­¬ªµ ²»¼«ª°² ¦· ²¦¬ ª®«¦µª°µ½Ø¦Ã¨ ¨ ò¸¬µ¨ Ù½ÝZ½¾² ©¨µ¦² ¯¦ ²»¼«ª°² «°§¨¯°² ©¦­¨ Å°­Ó¨ ¯¦ò®¦· ¨² ¨µ¦²«¨² ¬¦ ©µ¦§ªÁ²¨· ²¦µ ¨§µ¦²§¦®«¨¯¨² ¦®«µ¦ Ö� ¦ Ö� ©¨µ¨ ©¨µ¨ ¿°µ·¨µ ° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦Ù ½ 󦲲¦ ©µ°§¦²²°± »¦ ®¦§¦²² »µª° µ¦·°¶¦µ ¨² ¨µ¦²«¨² ¯¦ Ö� ¦ Ö� ¬¦ ²´°§°µ«¨¯¨² ©¦­¨² ®°¶¨² ¨µ¦²«¨²½

ת¸¬µ¨ Ù½ÝZñ ¾ ¨­¸°µª«·° ¯¨ Å°­Ó¨ ¨·Å¬­¨®«¦½

tuô õö}÷øù{ø|úûx üú ýýþÿ¾ ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í± ¦ «µª¨®¸¬­¨³§°¦² ¯° ·¦²·°± «¦· ª® »¬·¦µ°²ÝqÈÐ�ÇM�ÑÌÍÏ ËÌËÐÇ�ÆÇëÇ ËÍêÍÈÇÎÊÇì ¬²°² ©µ »«ª§°²± ¨­ »¦· ¯¦ ²¦µ¦· ¬· §¨·ª®Ó° ®¨«¬µ¨­ ©¨µ¨ ° § »­§¬­° ¯°¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ø°µ°®°ª½ � » ·¦®§ª°®¨·°² ²¦¬ ¬²° ¦· ¨® »­ª²¦ ®¬·»¦µª§¨ ¦·°¯¦­¨¸¦·½ 󦲫¨ ²¦³§´°± ¦²«¬¯¨µ¦·°² ° ¬²° ¯° ÒÒèé §°·° Ũ²¦ ©¨µ¨°¬«µ°² ¨­¸°µª«·°² ¸¦°·»¦«µª§°²

Page 207: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úç�ç �àå�jßijkæýé ÿæ ÒÒèé Ýl�î���� JF�� � �£���)· ¶ª²´° ©°µ §°·©¬«¨¯°µ ¦ µ¦§°®Ó¦§ª·¦®«° ¯¦ ©¨¯µ°¦²± ¬· ©µ°Å­¦·¨ �ÆÌ�ÈÍëÇ ËÇÆÍ�ÌÊÏÜÆÎM�ÑÇÌ ËÍ�ÌÊÜÌÆÊÌϧ°·¬· »¦ µ¦§°®²«µ¬ªµ ° §°®«°µ®° ¯¦ ¬·¨ ò¸¬µ¨ ©­¨®¨ ¨ ©¨µ«ªµ ¯¦ ¬·¨§°­¦³§´° Ù ¯¦ ©°®«°² ª²°­¨¯°² ¹� ��ï�ë�º ®¨ ¿µ°®«¦ªµ¨ ¯¨ ·¦²·¨½

)· ¸¦µ¨­± ¨ ©¨µ«¦ ·¨ª² ¯¦­ª§¨¯¨ ¯¦²«¦ ©µ°Å­¦·¨ »¦ ¯¦«¦µ·ª®¨µ ¨°µ¯¦· ¯°² ©°®«°² ¯¨¯°² ¨° ­°®¸° ¯° §°®«°µ®°� °¬ ²¦Ã¨± ¬¨®¯° »¦ ¬¦¬· ©¨µ ¯¦ ²»¼«ª°² ¯¦¶¦ ²¦µ ­ª¸¨¯° ©°µ ¬·¨ ¨µ¦²«¨½

)²«¦ ©µ°Å­¦·¨ ®´° «¦· ²°­¬³§´° Ŧ· ¯¦ò®ª¯¨± ©°ª² ¦· ¸¦µ¨­ ¦Àª²«¦¬· ® »¬·¦µ° ¦®°µ·¦ ¯¦ ·¨®¦ªµ¨² ¯¦ ­ª¸¨µ °² ©°®«°² ¯¦ Ù ¯¦ ·°¯° ¨¿°µ·¨µ ¬· §°®«°µ®° ²¦· §µ¬Ä¨·¦®«°²� ¦ ®´° ¦Àª²«¦ ¬· §µª« »¦µª° »°Å¶ª° ¦¬®ª¶¦µ²¨­ ©¨µ¨ ©µ¦¿¦µªµ ¬·¨ ¯¦­¨² �² °¬«µ¨²½� » ·¬ª«¨² Ó¦¬µ»¼²«ª§¨² ¬¦ ©°¯¦· ²¦µ ¬²¨¯¨² ©¨µ¨ µ¦²«µª®¸ªµ °® »¬·¦µ° ¯¦ §°®«°µ®°² ¦· §°®²ª¯¦µ¨³§´°½ �·¨ §­¨²²¦ ©°©¬­¨µ ¯¦Ó¦¬µ»¼²«ª§¨² §°·¦³§¨· §°®²«µ¬ª®¯° ¨­¸¬· ¸µ¨¿° ©­¨®¨µ �± §¬Ã°² ¶ »¦µ«ª§¦²²´° °² ©°®«°² ¯¨¯°²± ¦ §¬Ã¨² ¨µ¦²«¨² ²´° ²¦¸·¦®«°² ¯¦ µ¦«¨ ¬¦ ®´°²¦ §µ¬Ä¨·½ Ú¨»¼ ¦· ¯ª¨®«¦± ²´° §°®²ª¯¦µ¨¯°² ¨©¦®¨² §°®«°µ®°² ¬¦ ²´°²¬Å¸µ¨¿°² ¯¦ �� ª²²° ¸¨µ¨®«¦ ¨¬«°·¨«ª§¨·¦®«¦ ¬¦ ¨² ¨µ¦²«¨² ¯¦²²¦²§°®«°µ®°² ®´° ²¦ §µ¬Ä¨·½

�· ¸µ¨¿° ¬¦ ©°¯¦ ²¦µ ¬²¨¯° ©¨µ¨ ¦²²¦ ò· »¦ ° ��í��íäí��ð �íê��ðì± êÐÇ�ÆÇëÇ ËÍ�Ç�ÆÐÍÈ®° ¬¨­ ¯°ª² ²»¼«ª°² Û± Ü ²´° ­ª¸¨¯°² ©°µ ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ²¦ ¦ ²°·¦®«¦ ²¦ °Û®¸¬­° ÛøÜ »¦ ¨¸¬¯°± ©¨µ¨ ¬¨­Â¬¦µ °¬«µ° ²»¼«ª° * ¯¦ Ù ½

») ¿ »§ª­ ¶¦µ ¬¦ ¦²«¨ §°®¯ª³§´° ¦Â¬ª¶¨­¦ ¨ ¯ªÄ¦µ ¬¦ ° §»¼µ§¬­° §¬Ã°¯ªÛ·¦«µ° »¦ ° ²¦¸·¦®«° ÛÜ ®´° §°®« »¦· ®¦®Ó¬· °¬«µ° ²»¼«ª° ¯¦ Ù ½ ئè ¨ò¸¬µ¨ Ù½Ýݽ

& ©¨µ«ªµ ¯¦²«¨ ¯¦ò®ª³§´°± §°®§­¬»¼·°² ª·¦¯ª¨«¨·¦®«¦ ¬¦ «°¯¨ ¨µ¦²«¨ �ÍÈÇM�ÑÇÌ ÍÊÜÆÍ �� !Í ��"#¯° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ $¨Åµª¦­ »¦ «¨·Å»¦· ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ¯° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í½Ô°µ ²¬¨ ¶¦Ä± ª²²° ª·©­ª§¨ ¬¦ ° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ $¨Åµª¦­ »¦ ¬· ¸µ¨¿° ©­¨®¨µ�¦± ©°µ«¨®«°± «¦· ¨©¦®¨² n¹mº ¨µ¦²«¨²½

ó¨ ¶¦µ¯¨¯¦± ©°¯¦Á²¦ ¶¦µªò§¨µ ¬¦ ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ¹Û+ ܺ ¯° ÒÒèé ¦²« »®° ¸µ¨¿° ¯¦ $¨Åµª¦­ ²¦ ¦ ²°·¦®«¦ ²¦ ° ²¦¸·¦®«° ÛÜ §µ¬Ä¨ ¨ ¨µ¦²«¨ ¯°¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ø°µ°®°ª ¬¦ ²¦©¨µ¨ ¨² µ¦¸ª°¦² ¯¦ Û ¦ ܽ )²«¨ °Å²¦µ¶¨³§´° ®°²¯ » ¬· ¨­¸°µª«·° ©¨µ¨ §¨­§¬­¨µ ° ¸µ¨¿° ¯¦ $¨Åµª¦­ ¨ ©¨µ«ªµ ¯° ¯ª¨¸µ¨·¨¯¦ Ú¦­¨¬®¨í± ¦· «¦·©° n¹mº½

Page 208: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

ÝlÙ Þßà áâãäåæ úç èûæüåýþßé ÿý àûæ��þ�ÿßÿý

ת¸¬µ¨ Ù½ÝÝñ ¾ ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ $¨Åµª¦­½

î���% ��ò& � �'(¤(GH ���ô�¾¬«µ° ¸µ¨¿° Ũ²«¨®«¦ ¬²¨¯° ¦· µ¦§°®Ó¦§ª·¦®«° ¯¦ ©¨¯µ°¦² ¹·¨ª² ¨ª®¯¨¯° ¬¦ ° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ $¨Åµª¦­º »¦ ° ��íC ë �ð )�ß�î$íîN*í �ðìíï�)í ¹+,-è麽�ÆÇXÌ ËÍ .Ð�ÐÊÉÇÊM�ÇÆÍÈÇÜÐ.Ç Ô°µ ¯¦ò®ª³§´°± ¯°ª² ²»¼«ª°² Û± Ü ²´° ­ª¸¨¯°² ©°µ ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ¯° +,-è鬨®¯° ®¦®Ó¬· °¬«µ° ²»¼«ª° ¦²« » ·¨ª² ©µ »°Àª·° ¯¦ ¨·Å°² ¯° ¬¦ ¦­¦²¦²«´° ©µ »°Àª·°² ¦®«µ¦ ²ª½ ×°µ·¨­·¦®«¦± ²¦ ¯ª²«¹Û+ ܺ � /± ¦®«´° Û ¦ ܲ´° ¶ªÄª®Ó°² ²¦ ¦ ²°·¦®«¦ ²¦± ©¨µ¨ ¬¨­Â¬¦µ °¬«µ° ²»¼«ª° ø± «ª¶¦µ·°²¯ª²«¹ø+ Ûº S / °¬ ¯ª²«¹ø+ ܺ S /½�·¨ ¯¦ò®ª³§´° ¦Â¬ª¶¨­¦®«¦± «¨­¶¦Ä ·¨ª² ¿ »§ª­ ¯¦ ¶ª²¬¨­ªÄ¨µ± »¦ ¨ ²¦Á¸¬ª®«¦½ '°®²ª¯¦µ¦ ¨ µ¦¸ª´° 01â ¯° ©­¨®° ¬¦ »¦ ¨ ª®«¦µ²¦§³§´° ¯°² ¯ª²§°²§°· §¦®«µ°² ®°² ¯°ª² ²»¼«ª°² ¦ µ¨ª° ª¸¬¨­ � ¯ª²«Û®§ª¨ / ¦®«µ¦ ¦­¦²½ ¾² ¯°ª²²»¼«ª°² Û± Ü ¦²«´° ­ª¸¨¯°² ©°µ ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ®° +,-èé ²¦ ¦ ²°·¦®«¦ ²¦ ¨­¦®«¦ 01â ®´° §°®« »¦· ®¦®Ó¬· °¬«µ° ²»¼«ª° ¯¦ Ù ½ ئè ¨ ò¸¬µ¨ Ù½Ý2½ó°«¦ ¬¦ ¨ ­¦®«¦ 01â §°®« »¦· ° ¯ª²§° Ö1â §¬Ã° ¯ªÛ·¦«µ° »¦ ° ²¦¸·¦®«°Ûܽ Ô°µ«¨®«°± «°¯¨ ¨µ¦²«¨ ¯° +,-èé »¦ «¨·Å»¦· ©¦µ«¦®§¦ ¨°² ¯ª¨¸µ¨·¨²�ÍÈÇM�ÑÇÌ ÍÊÜÆÍ �� !Í �34"# ¯¦ $¨Åµª¦­ ¦ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í½ ¾¬ ²¦Ã¨± ° ¸µ¨¿° ¯¦ ¶ªÄª®Ó¨®³§¨ µ¦­¨«ª¶¨ »¦ ¬·²¬Å¸µ¨¿° ¹©µ »°©µª°º ¯¦²²¦² ¯°ª²½ 5¦¸¬¦Á²¦ ¯¨»¼ ¬¦ °¿ +,-èé «¨·Å»¦· »¦©­¨®¨µ ¦ «¦· ¨©¦®¨² n¹mº ¨µ¦²«¨²½

Page 209: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úç�ç �àå�jßijkæýé ÿæ ÒÒèé Ýl:ó¨ ¶¦µ¯¨¯¦± ¬·¨ ¶¦Ä §°®²«µ¬»¼¯° ° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í± »¦ ©°²²»¼¶¦­

§¨­§¬­¨µ ° +,-èé ¨ ©¨µ«ªµ ¯¦­¦± ¦· «¦·©° n¹mº½

ת¸¬µ¨ Ù½Ý2ñ ¾ ¸µ¨¿° ¯¦ ¶ªÄª®Ó¨®³§¨ µ¦­¨«ª¶¨½&©¦²¨µ ¯¦ «¦µ µ¦­¨«ª¶¨·¦®«¦ ©°¬§¨² ¨µ¦²«¨²± ° ¸µ¨¿° ¯¦ ¶ªÄª®Ó¨®³§¨

µ¦­¨«ª¶¨ »¦ ²¦·©µ¦ §°®¦À°½ Ô¨µ¨ ·°²«µ¨µ ¦²«¦ ¿¨«°± Ũ²«¨ ·°²«µ¨µ ¬¦±©¨µ¨ ¬¨­Â¬¦µ ²¬Å§°®Ã¬®«° � ¯¦ Ù ± ©µ »°©µª° ¦ ®´° ¶¨Äª°± ¦Àª²«¦ ©¦­°·¦®°² ¬·¨ ¨µ¦²«¨ ¬¦ ­ª¸¨ ¨­¸¬· ²»¼«ª° ¯¦ � ¨ ¨­¸¬· ²»¼«ª° ¯¦ � � Ù6�½Ú¦®«µ¦ «°¯°² °² ©¨µ¦² ¯¦ ²»¼«ª°² ¦· � ~� ± ²¦Ã¨ ¹ø+ *º ¬· ©¨µ «¨­ ¬¦¯ª²«¹ø+ *º � / »¦ ·»¼®ª·¨½ '°· ¦²«¨ ¦²§°­Ó¨± ©¨µ¨ ¬¨­Â¬¦µ °¬«µ° ²»¼«ª°  ¦· Ù ± «¦·°² ¬¦ ¯ª²«¹ +*º S / ²¦   ¦²« » ¦· �± ¦ ¯ª²«¹ø+ º S / ²¦  ¦²« » ¦· � ½ P¨² ª²«° ²ª¸®ªò§¨ ¬¦ ø ¦ * ¦²«´° ­ª¸¨¯°² ©°µ ¬·¨ ¨µ¦²«¨±©¦­¨ ¯¦ò®ª³§´° ¯¦ +,-èé½ '°®§­¬»¼·°² ©°µ«¨®«° ¬¦ ° +,-èé »¦ §°®¦À°½

î���ï �¢��&�� H&(�Hô&� ��7(�5¬©°®Ó¨ ¬¦ ¬¦µ¦·°² ­ª¸¨µ ¬· §¦µ«° ® »¬·¦µ° ¯¦ §¦®«µ¨ª² «¦­¦¿Û°®ª§¨² �ÌÊÍ�ÜÌÆ ËÍ�ÌëqÆÐëÍÊÜÌë ��ÊÐëÌ©°µ ©°µ §¨Å°²± ¯¦ ·°¯° ¬¦ ²¦Ã¨ ©°²²»¼¶¦­ «¦­¦¿°®¨µ ¯¦ ¬¨­Â¬¦µ ¦²«¨³§´°©¨µ¨ ¬¨­Â¬¦µ °¬«µ¨½ 8¬¨­ »¦ ¨ ·¨®¦ªµ¨ ¯¦ ¿¨Ä¦µ ª²²°± ¸¨²«¨®¯° ¨ ·¦®°µÂ¬¨®«ª¯¨¯¦ ©°²²»¼¶¦­ ¯¦ §¨Å°9�·¨ ¿°µ·¬­¨³§´° ·¨ª² ¨Å²«µ¨«¨ ¯¦²²¦ ©µ°Å­¦·¨ »¦ ¨ ²¦¸¬ª®«¦ñ ¯¨¯°¬· §°®Ã¬®«° Ù ¯¦ ²»¼«ª°² ®° ©­¨®°± ¯¦«¦µ·ª®¨µ ¬· ¸µ¨¿° §¬Ã°² ¶ »¦µ«ª§¦²

Page 210: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

Ýlù Þßà áâãäåæ úç èûæüåýþßé ÿý àûæ��þ�ÿßÿý²´° ¦²²¦² ²»¼«ª°² ¦ §¬Ã¨² ¨µ¦²«¨² ²´° §¬µ¶¨² ®° ©­¨®°± «¨­ ¬¦ ¨ ²°·¨ ¯°²§°·©µª·¦®«°² ¯¨² ¨µ¦²«¨² ²¦Ã¨ ·»¼®ª·¨½») ¿ »§ª­ ©µ°¶¨µ ¬¦ ° ¸µ¨¿° ¬¦ ²¨«ª²¿¨Ä ¦²«¨² §°®¯ª³§°¦² ¯¦¶¦ ²¦µ�ÝÆ.ÌÆÍ �ÌÊÍ�ÜÌÆÇë ��ÊÐëÇ §°®¦À° ¦ ²¦· §ª§­°² � °¬ ²¦Ã¨± ¬·¨ »µ¶°µ¦� ¦ ¬¦ ²¬¨² ¨µ¦²«¨² ²´°²¦¸·¦®«°² ¯¦ µ¦«¨² ¬¦ ®´° ²¦ §µ¬Ä¨·½ )²²¨ »µ¶°µ¦ »¦ ¨ �í�)ë�ð *ëîð*ïë�íä��î�äí ¹:;<=>º ¯° §°®Ã¬®«° Ù ½ ئè ¨ ò¸¬µ¨ Ù½ÝR½

ת¸¬µ¨ Ù½ÝRñ & »µ¶°µ¦ §°®¦§«°µ¨ ·»¼®ª·¨½ó°«¦ ¬¦ ¨ ¯¦ò®ª³§´° ®´° ®°² ©¦µ·ª«¦ ¬²¨µ± §°·° ¶»¦µ«ª§¦ ¯¨ :;<=>±

®¦®Ó¬· °¬«µ° ©°®«° ¯° ©­¨®° ¨­ »¦· ¯°² ²»¼«ª°² ¯¨¯°²½ Ô°µ ¦À¦·©­°±§°®²ª¯¦µ¦ «µÛ¦² ²»¼«ª°² ¿°µ·¨®¯° ¬· «µªÛ®¸¬­° ¦Â/¬ª­ »«¦µ° ¯¦ ­¨¯° ݱ §°·°®¨ ò¸¬µ¨ Ù½ÝÚ½ 󦲫¦ §¨²°± ¨ »µ¶°µ¦ � ¦²Â¬¦µ¯¨± §°· §°·©µª·¦®«° «°«¨­?R± ®´° »¦ §°®²ª¯¦µ¨¯¨ ¶ »­ª¯¨½ &² »¬®ª§¨² µ¦²©°²«¨² ¶ »­ª¯¨² ²´° ¨² «µÛ¦²»µ¶°µ¦² � ¯ªµ¦ª«¨± ¯¦ §°·©µª·¦®«° 2½

ת¸¬µ¨ Ù½ÝÚñ &µ¶°µ¦² §°®¦§«°µ¨² ·»¼®ª·¨²½

Page 211: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

úç�ç �àå�jßijkæýé ÿæ ÒÒèé Ýll& ¦À§­¬²´° ¯° ¬²° ¯¦ ¶ »¦µ«ª§¦² ¨¯ª§ª°®¨ª² ¹) �ð�ï�*ð� �ð eïð�îð�º ©°¯¦ Þ�ÍÆÜÐ�ÍÏ ËÍ @ÜÍÐÊÍƨ¬·¦®«¨µ ¦· ¨« »¦ �ZA ° §°·©µª·¦®«° «°«¨­ ¯° ¸µ¨¿°½ )®«µ¦«¨®«°± ¦²²¨

µ¦¸µ¨ »¦ 첫ªò§ »¶¦­ ¦· ·¬ª«¨² ¨©­ª§¨³§°¦²½ &­ »¦· ¯° ¬¦± ²¦ ²¦· ¦²²¨µ¦¸µ¨ ° ©µ°Å­¦·¨ ò§¨ ·¬ª«° ·¨ª² ¯ª¿»¼§ª­½5¬©°®¯° ¬¦ ¶ »¦µ«ª§¦² ¯¦ 5«¦ª®¦µ ²¦Ã¨· ©µ°ªÅª¯°²± ©°¯¦·°² µ¦¯¬Äªµ¨ §°®²«µ¬³§´° ¯¨ :;<=> ¨° ²¦¸¬ª®«¦ ©µ°Å­¦·¨ ¯¨ «¦°µª¨ ¯¦ ¸µ¨¿°²½ 5¦Ã¨� ° ¸µ¨¿° §¬Ã°² ¶ »¦µ«ª§¦² ²´° °² ²»¼«ª°²± ¦ §¬Ã¨² ¨µ¦²«¨² ²´° «°¯°² °² ©¨µ¦²¯¦ ²»¼«ª°² ¯ª²«ª®«°² ¹ª²«° »¦± ²¦Ã¨ � ° ¸µ¨¿° §°·©­¦«° §°· ¶»¦µ«ª§¦² Ù ½º5¬©°®Ó¨ ¬¦ §¨¯¨ ¨µ¦²«¨ ¹ø+ *º ¯¦ � «¦· ¬· ¶ §¬²«°_ ©µ°©°µ§ª°®¨­ ¨¯ª²«¹ø+ *º½ Ú¦«¦µ·ª®¦ ¬· ²¬Å¸µ¨¿° ¯¦ � ¬¦ ¬²¦ «°¯°² °² ¶ »¦µ«ª§¦²± ²¦Ã¨¬·¨ »µ¶°µ¦± ¦ «¦®Ó¨ §¬²«° «°«¨­ ·»¼®ª·°½)²«¦ »¦ ¬· ©µ°Å­¦·¨ §­ »²²ª§° ¯¨ «¦°µª¨ ¯¦ ¸µ¨¿°²± ¬¦ ©°¯¦ ²¦µµ¦²°­¶ª¯° ¦· «¦·©° n¹Õ ­°¸Õº± °®¯¦ Õ »¦ ° ® »¬·¦µ° ¯¦ ¨µ¦²«¨² ¯°¸µ¨¿°½ ¾ ©µ°Å­¦·¨ »¦ ¬¦ Õ ®¦²«¦ §¨²° »¦ BC1D � s¹m1º½ ») ©°²²»¼¶¦­·¦­Ó°µ¨µ ¦²«¦ «¦·©°9צ­ªÄ·¦®«¦± ©°¯¦Á²¦ ©µ°¶¨µ ¬¦ ¨ »µ¶°µ¦ §°®¦§«°µ¨ ·»¼®ª·¨ »¦ ¬· �ÍÈÇM�ÑÇÌ ÍÊÜÆÍ EFGH Í �34"#²¬Å¸µ¨¿° ¯° ¸µ¨¿° ¯¦ ¶ªÄª®Ó¨®³§¨ µ¦­¨«ª¶¨± ¦ ©°µ«¨®«° ¯° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦Ú¦­¨¬®¨í½ Ô°µ«¨®«°± ¦· ¶¦Ä ¯° ¸µ¨¿° §°·©­¦«° � ¨§ª·¨± ©°¯¦·°² ¬²¨µ° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í½ '°·° ° ÒÒèé «¦· ¨©¦®¨² n¹mº ¨µ¦²«¨²±° §¬²«° ¯¦ §¨­§¬­¨µ ¨ :;<=> ©°µ ¦²«¦ §¨·ª®Ó° »¦ ¨©¦®¨² n¹m ­°¸ mº±ª®§­¬ª®¯° ¨ §°®²«µ¬³§´° ¯° ÒÒèé½î���p I'(¤& �J ñ� �&K�&'°®²ª¯¦µ¦ ° ²¦¸¬ª®«¦ ©µ°Å­¦·¨ñ ¯¨¯° ¬· §°®Ã¬®«° Ù ¯¦ ©°®«°² ¦· �� ± �ÆÌ�ÈÍëÇ ËÌ.Ð�ÐÊÉÌ ëÇÐÏqÆ �Ì�Ðë̦®§°®«µ¨µ ©¨µ¨ §¨¯¨ Û L Ù ° ©°®«° Ü L Ù ·¨ª² ©µ »°Àª·° ¨ Û½ ¹)· °¬«µ¨²©¨­¨¶µ¨²± §°®²ª¯¦µ¦ ° ©µ°Å­¦·¨ ¯° ²»¼«ª° ·¨ª² ©µ »°Àª·°± °®¯¦ °² ©°®«°²¯¦ §°®²¬­«¨ M ²´° °² ©µ »°©µª°² ²»¼«ª°² ¯¦ Ù ½º¾ ¨­¸°µª«·° «µª¶ª¨­ � ©¨µ¨ §¨¯¨ ²»¼«ª° Û± §°·©¨µ¦ «°¯°² °² ²»¼«ª°² Ü� «¦· §¬²«° s¹m1º½ )®«µ¦«¨®«°± »¦ ¿ »§ª­ ·°²«µ¨µ ¬¦± ²¦ Ü »¦ ° ²»¼«ª° ·¨ª²©µ »°Àª·° ¨° ²»¼«ª° Û± ¦®«´° Û ¦ Ü ¯¦¶¦· ²¦µ ¨ 触®«¦² ®¨ »µ¶°µ¦ §°®¦§«°µ¨¯¦ §¬²«° ·»¼®ª·°± ¦ ©°µ«¨®«° ®° ¯ª¨¸µ¨·¨ ¯¦ Ú¦­¨¬®¨í½Ô°µ«¨®«°± Ũ²«¨ §°®²«µ¬ªµ ÒÒèé¹Ùº ¦± ©¨µ¨ §¨¯¨ ²»¼«ª° Û± ¦À¨·ª®¨µ¨©¦®¨² °² ²»¼«ª°² Ü Â¬¦ ²´° ¨ 触®«¦² ¨ Û ®° ·¦²·°½ '°·° Ó » ¨©¦Á®¨² n¹mº ¨µ¦²«¨²± ° §¬²«° «°«¨­ ¯¦²«¦ ·»¦«°¯° »¦ n¹m ­°¸ mº � n¹mº �n¹m ­°¸ mº½

Page 212: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ZZ Þßà áâãäåæ úç èûæüåýþßé ÿý àûæ��þ�ÿßÿý

Page 213: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

NOPQORSTUVU

WXYZ[\] X^ _^ X`ab c^ d^ Yaefgahib j c^ k^ Zllmno^ LÉÍ êÍÏÐ�Ê ÇÊËÝÊÇÈìÏÐÏ ÌX �ÌëqÎÜÍÆ ÝÈ�ÌÆÐÜÉëÏ^ Xppqraostjrljub vjnpqowb xXbyz[\^WX{q|}] k^ X{qr^ ~ammjoir ao n la�jg �a�op hag fao{j� `�ll pjijgmqonsiqao^ �ÊXÌÆë� �ÆÌ�ÍÏÏ� �ÍÜÜ�b yy�y��b yz|}^W�nn||] �^ �nnrj^ �ÌëqÎÜÍÆ ÝÈ�ÌÆÐÜÉëÏ^ Xppqraostjrljub yz||���^W��[z] c^ �^ �joilju j �^ X^ �iimnoo^ Xlwagqi`mr hag gjeagiqow nop fa�osiqow wjamjigqf qoijgrjfiqaor^ ���� LÆÇÊÏ� �ÌëqÎÜ�b ~s�|�z���\���\[b rjijm�ga pj yz[z^W��|�] x^ �jos�g^ �a�jg �a�opr hag nlwj�gnqf fame�iniqao igjjr^ �o�ÆÌ�� ��ÜÉ ÝÊÊÎ�Ý�� @ìëqÌÏ� LÉÍÌÆì �ÌëqÎÜ�b ee^ |}�|�b yz|�^W~�vz}] �^ Y^ ~agmjob ~^ d^ �jqrjgraob j v^ �^ vq{jri^ �ÊÜÆÌËÎ�ÜÐÌÊ ÜÌÝÈ�ÌÆÐÜÉëÏ^ x�� �gjrrb ~nm�gqpwjb xXb yzz}^W�gn[�] v^ �^ �gn`nm^ Xo j�fqjoi nlwagqi`m hag pjijgmqoqow i`j fao{j�`�ll ah n �oqij elnong rji^ �ÊXÌÆë� �ÆÌ�ÍÏÏ� �ÍÜÜ�b y�y���y��b yz[�^W�jj|�] k^ �^ �jj^ �o �opqow i`j fao{j� `�ll ah n rqmelj ealuwao^ �ÊÜÍÆÊÇÜ�

�� �ÌëqÎÜ� �ÊXÌÆë� @�Ð�b y��|[�z|b yz|�^W�qm[�] dlao �nwjr �qmn^ �ÈÍëÍÊÜÌÏ ËÍ ÜÌqÌÈÌ�ÐÇ �ÍÆÇÈ^ �q{gar i �jfoqfar jfqjoi���farb vqa pj cnojqgab vcb yz[�^Wxno|z] Z^ xno�jg^ ÝÈ�ÌÆÐÜÉëÏ� Ý �ÆÍÇÜÐ.Í ÝqqÆÌÇ�É^ Xppqraostjrljubvjnpqowb xXb yz|z^W��|�] �^ �^ �gjengnin j x^ �^ �`nmar^ �ÌëqÎÜÇÜÐÌÊÇÈ �ÍÌëÍÜÆì� ÝÊ�ÊÜÆÌËÎ�ÜÐÌÊ^ �egqowjgs_jglnwb �j�  ag¡b � b yz|�^

2ZÝ

Page 214: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2Z2 ¢£¢¤£5¥¦�§£�W�jp|�] v^ �jpwj�qf¡^ ÝÈ�ÌÆÐÜÉëÏ^ Xppqraostjrljub vjnpqowb xXb yrijpqf©nab yz|�^W��|�] k^ k^ �ljniag j v^ d^ �ngªno^ �jlhsnpª�riqow �qongu igjjr^ �o �ÆÌ����ÜÉ Ý�� @ìëq � ÌÊ LÉÍÌÆì ÌX �ÌëqÎÜÐÊ�b ee^ �����\�b yz|�^W{d|}] �^ {no dmpj �anr^ �o i`j «�¬ law ¬� la�jgs�a�op hag fao{j�`�ll nop mn�qmnl {jfiag pjijgmqoniqao^ �ÊXÌÆë� �ÆÌ�ÍÏÏ� �ÍÜÜ�by}�y���y��b yz|}^

Page 215: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

­®¯°O±²

³ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \|´ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zêÐÆ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|êÏÜ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|��ÆÌ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|�ϵ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|¶ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��· ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z¸ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z¹ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z« ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zb �zº ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z»�ÆÌ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|»Æ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|¼� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [[�Í. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|½¾ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}½� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �y@Ðë ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �z¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [�À ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \�b [�W ] ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��Á ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \z ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[ EFGH^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz|

n�oqpnpj .Í�Ç ignorhagmnf©na n�mnl�jm ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|b [\b [[�nlwj�gn pj pngpar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç pngparb �nlwj�gnnlwagqima ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��joiljus�iimnoo ^ ^ ^ ^ y�zb y�yfamelj�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yb [pjrjmejo`a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b |j�fqÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yb [jo�ofqnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b �aejgnf©ajrrjÄÅ�Ãjofqn pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b \engnpqwmnpj pq{qr©na j faoÄ�qrin ^ ^ ^ y|pj {nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[pq{qr©na j faoÄ�qrin ^ ^ ^ ^ y�yqofgjmjoinl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�ega{n pj faggjf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b �nmelqnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[no �nlqrj pj pjrjmejo`a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �Ãnow�la gjÆj�a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}\b yy\noi��eapn ^ ^ .Í�Ç eaoiar noiqeapnqrnÄ��jm ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|b [\b [[ngfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�}b y�\ngjrin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\gjwqriga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�ngjrinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}2ZR

Page 216: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ZÚ á£8ÿ�jý�ng{agjfaojfiagn m��oqmn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz|�ng{agj pj pjfqr©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�b y�nlw �j�gqfnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�qo �ngqnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\lqojngjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\Ä�npg �niqfnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\nrrqoi �aiqfnfamelj�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}b y�nrrqoi �aiqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |fameaginmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |fgjrfqmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z�qiaga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��fnmea pj {nlagjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zb y��nlw �j�gqfa eag engijr ^ ^ ^ ^ ^ y�zfnrfa fao{j�a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}�pq{qr©na j faoÄ�qrin ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�yqofgjmjoinl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yy}{nggjp�gn elnong ^ ^ ^ ^ yy�b yyzfnrar pjwjojgnpar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç{nggjp�gnb fnrar pjwjojgnparfqrnl`nmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|faj�fqjoijrpj �mn gjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��qo{ �nlqpar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\falqojngqpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \\b �zfam�qonf©nafao{j�n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}lqojng ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}famelj�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yb [nrrqoi �aiqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}b y�pj eqag fnra ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |fameaojoijfaoj�n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��famearqf©napj ignorhagmnf©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|faoª�wnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [}

faoª�oian�jgia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[ynlw �j�gqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y�[fngnfijg��riqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zfamenfia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��faoj�a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�yb y[�fao{j�a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [|b z�hjf`npa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[yfaoinwjmega�ljmn pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��faoiqo�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \yb y[�fao{jgwÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \}b y[�fao{j�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [|faagpjonpnrfngijrqnonr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��`amawÃjojnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b ��qo{ �nlqpnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|fainqohjgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�b �yr�ejgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |b ��fgjrfqmjoia nrrqoi �aiqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z´ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zpngpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\ynoijgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�pjriqoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�hnfj pqgjqin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�hnfj jrÄ�jgpn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\�h�of©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�lnpar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\yagqwjm ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�eg �a�qma ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�gj{jgra ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�rqm�jigqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�pngpar�nlwj�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\���"#^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�

Page 217: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

á£8ÿ�jý 2Z�pjfqr©naega�ljmn pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��kjln�onuÃnow�lar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y||f��gf�la {nÇqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�b yz}fama fnrfa fao{j�a ^ ^ ^ ^ ^ yz}faorig�f©na�al`n nm��lnoij ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz�jo{ali �agqn fao{j�n ^ ^ ^ ^ ^ yzyigafn pj ngjrinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|zpj�oqf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�hnfjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|[engn�ng{agj faojfiagn ^ ^ ^ ^ ^ ^ yzzpqnwgnmn pj �n�gqjl ^ ^ ^ yz�{qÇqo`nofn gjlniq{n ^ ^ ^ ^ yz�engn�al �aqpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz}igqnow�lnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|[pjrjmejo`a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |�� !^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz�pqnwaonl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}\pqnwgnmnpj kjln�onu ^ ^ ^ .Í�Ç kjln�onupj kqgqf`lji ^ ^ ^ ^ .Í�Ç _agaoaqpj �n�gqjl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz�pj �`qjrrjo ^ ^ ^ ^ .Í�Ç _agaoaqpj {qÇqo`nofn gjlniq{n ^ ^ ^ ^ yz�pj _agaoaq ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç _agaoaqêÐÆ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|pqrfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�}b y�\êÏÜ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|p�nlqpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \z�3È4^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|yj�fqÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yb [jljmjoia ^ ^ ^ .Í�Ç mnenb jljmjoiar

jo�mjgnf©naega�ljmn pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��jo�ofqnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b �jo{ali �agqn fao{j�n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç fnrfa fao{j�ajm�g�l`a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz�jo{ali �agqn fam�m ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yzyoa jrenfa É� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yzyjo�jgwn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zz��ÆÌ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|jrenfajÄ�q{nlÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�egaªjiq{a agqjoinpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [�Ä�afqjoij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[\rjeng �n{jl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�iaeal �awqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[y�ϵ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|jrigjlnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}jrig�i�gn pj pnparengn mnen rqmeljr ^ ^ ^ y\�b y\[engn mnenr agqjoi �n{jqr ^ ^ ^ y�yengn mnenr rqmeljr ^ ^ ^ ^ ^ y�yengn {nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��j�ijgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b y[\hnfj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\pqgjqin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�jrÄ�jgpn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�hgaoijqgn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�gjwqriga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\[�w�gnqofaggjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz|�in pj xÅa�q�r ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�yhagmn pj jrigjln ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}hgaoijqgn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b y[\pj �m r �alqpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�ypj �mn ngjrin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\pj �mn hnfj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\

Page 218: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ZÙ á£8ÿ�jýh�of©nanm��lni �agqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y��fngnfijg��riqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zfaoi��o�n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \yb y[�h�of©ajrflnrrj pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zfgjrfqmjoia pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yywnggnhn pj Êljqo ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��wgnha ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç pqnwgnmn�gn`nm ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yy��34"#^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yz�`amjamag�rma ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�qofqpÃjofqn ^ .Í�Ç mnenb qofqpÃjofqnr��opqfj wjam�jigqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|}qop�f©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [b y��y|�nrj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�`qe �aijrj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�enrra ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�qo�oqi �jrqma ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|�ÊÏÍÆÍêÐÇ�ÌÊÇÈ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�}qoijgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b z�b y[\qoijgrjff©napj elnoar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [[pj eal��waoar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��pj gjinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \}b \[b \zb ��pj rjwmjoiar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\b y�zqoijg{nla ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�qo{jgrn .Í�Ç ignorhagmnf©na qo{jgrnqramjigqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zlnpaojwniq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b ��b zyearqiq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b ��b z}lnparpj �m pngpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\ypj �m elnoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [\

pj �mn gjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b ��b [|ljrij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnbljrijlqmqij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \}b y[�qohjgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zengfqnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zr�ejgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zlafnlqÇnf©na pj eaoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z�lafnlqÇnf©na j�fqjoij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|\laowqi�pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnmnen ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[b y��nlw �j�gqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[b y��falnwjm pj hnfjr ^ ^ ^ ^ ^ y��b y[�fama fnmea ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zpj pjrjo`a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zjljmjoiar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y�\jÄ�q{nlÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y\�h�of©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�qofqpÃjofqnr ^ ^ ^ ^ ^ y��b y��b y\�agqjoi �n{jl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�ygjegjrjoinf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�yelnong ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|eal��iqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|ealqwaonl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|gj�onmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��gapa{q �ngqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|rqmeljr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\gjegjrjoinf©na ^ y\�b y\[b y�yr�ejgearqf©na ^ ^ ^ y�zb y��b y��ijm�niqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|b y�}b y��mnigqÇ pj ignorhagmnf©na ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç ignorhagmnf©namjgqpqnoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnmapjlafngijrqnoa pj ¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [\jrh �jgqfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �yb \yelnoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}b \�mapjla fame�infqaonl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �

Page 219: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

á£8ÿ�jý 2Z:mapjlarpj pjfqr©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�magnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��ma{qmjoia g��wqpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zo ��flja ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}oagij ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnboagij· ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z¸ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z« ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zb �zº ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zajrij ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnbajrijaejgnf©naeaoi�nl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��aejgnf©ajrrjÄÅ�Ãjofqn pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b \aeariapj �mn gjin ^ .Í�Ç gjinr aearinr»�ÆÌ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|agpjmf��flqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �z»Æ� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|agqjoinf©napj �m pngpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\ypj �m ijignjpga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [\pj �m igqÃnow�la ^ ^ ^ ^ �z��yb [|pj �mn gjin ^ �zb \�b \|b ��b ��laowqi�pqonl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��pj �m pngpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\yoar noi��eapnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �yignor{jgrnlpj �m pngpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\y¼� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [[eng mnqr eg �a�qma ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |}engnpqwmn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��yzpj {nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zpq{qr©na j faoÄ�qrin y|b yzyb yz�qofgjmjoinl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�

{nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[b y�z�nrfnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\[�ÍÆ�ÌÆÆÍ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�}ejra ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��ojwniq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|o�la ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[eqnpn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�b [�eqag fnra ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |elnoafngijrqnoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��eag igÃjr eaoiar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [�egaªjiq{a fl �nrrqfa ^ ^ ^ ^ [[b y[�egaªjiq{a agqjoinpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zelnoarpj ¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [\eal��waoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}b y�[ngjrinr pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}fao{j�a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z�j�ijgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z�qoijgqag ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z�pqnwaonl pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}\jrigjlnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}b yy�hagmn pj jrigjln ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}wjojgnlqÇnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�|rqmeljr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}lnpa ojwniq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zylnpa earqiq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}o ��flja pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}}{�jgiqfjr pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}eaoiapj nf�m�lnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y[�jm p�nr gjinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç qoijgrjff©na pj gjinrjm igÃjr elnoar ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç qoijgrjff©na pj elnoar�oqia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[qo�oqia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b�[b \}b \�b \�b \zb ��b [\b [|qo{ �nlqpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|b �[

Page 220: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2Zù á£8ÿ�jým�jpqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \�eaoiarnoiqeapnqr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|b \}b\|b �\b �[b �yb ��b [\b [[b y[�faqofqpjoijr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|b [[falqojngjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \\b ��b �zpa jrenfa ¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [�pa elnoa ¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zqorjeng �n{jqr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�rjeng �n{jqr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�earqf©na wjgnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y}zega�ljmnfaggjqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[zr��iqa mnqr eg �a�qma ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[z{qÇqo`a mnqr eg �a�qma ^ ^ ^ ^ yzzegaªjf©na fjoignl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��egaªjiq{qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .ÍË� Ç ignorhagmnf©na egaªjiq{nb [�ega{n pj faggjf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �b �ega{n eag qop�f©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [

gjfaorig�f©na pj faoiagoa ^ ^ ^ ^ yz�gjp�f©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b �[gjp�i��{jl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}ega�ljmn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}gj�onmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��gjÆj�©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[gjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��fngijrqnon ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��faj�fqjoijr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��pj {nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.Í�Ç {nggjp�gnb gjin pjqo{ �nlqpn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\oa qo�oqia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zb \�agpqo �ngqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zeag paqr eaoiar ^ \}b \�b \zb ��eag eaoia j pqgjf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ \�r�eagij pj mjgqpqnoa ^ ^ ^ ^ y�\ignorhagmnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [y

gjin pj r�eagij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^y}|b y}zb yyyb y��b y��gjinrfaqofqpjoijr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zaearinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zb \}engnljlnr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b \}b \zb [��Í. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|gainf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��½¾ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}½� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �yr��iqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[zrjwmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �}b [|qo{ �nlqpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[rjwmjoiarfagij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\rjmqsgjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��rjoiqpanoiqs`ag �ngqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zpj gainf©na ^ ^ ^ ^ �zb �yb ��b y�y`ag �ngqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zojwniq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zb �yearqiq{a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zb �y@Ðë ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\�b y\|rqmqlngqpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zr��sjrenfa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[yr�l ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç {nggjp�gnbr�lr�ejgh��fqj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�}nlw �j�gqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[famenfin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y�\agqjoi �n{jl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�yealq �jpgqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[r�ejgearqf©nanlwagqima ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y�[pj mnenr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��r�eagijgjin pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç gjin pjr�eagijb .Í�Ç gjin pj r�eagij

Page 221: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

á£8ÿ�jý 2Zl@ÎqLÆÐ.^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[¹ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �z¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [�Ì�"#^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|[ijrrjlnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç pqnwgnmnijignjpga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [\iaealawqnfaofjqiar wjgnqr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[ypj ¿� ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \}pj �m mnen ^ ^ ^ ^ y�|b y��b y\�pa egap�ia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�jÄ�q{nlÃjofqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�oni�gnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�Ä�afqjoij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[\iaga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��b y�[ignorhagmnf©nan�m ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [yfamearin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|faoª�wnpn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [}pj fqrnl`nmjoia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �|pj jrfnln ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[pj gjÆj�©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �[pj �mn gjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [yj�flqpqnon ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zqo{jgrn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [}qram�jigqfn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zmnigqÇ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\ojwniq{n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��earqiq{n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��egaªjiq{n ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �\b [�b [[gainf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��rqmqlngqpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zignorlnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ���oqi �ngqn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ �zignorlnf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��

igqÃnow�la ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��pjwjojgnpa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ��b �zeg �aegqa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ���oqfqpnpj pj jljmjoiar ^ ^ ^ ^ ^ ^ |[{�jgiqfj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\pj �ijqojg ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yzzgjwqriga ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y\[{�jgiqfjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z}{ngqjpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ .Í�Ç r�ejgh��fqj{nggjp�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�znwjopn pj j{joiar ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zngjrinr f�g{nr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��ngjrinr maoaiÃaoqfnr ^ ^ ^ ^ ^ y��fnrar pjwjojgnpar ^ ^ ^ ^ y�[b y�|fagij j fari�gn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��pj �m mnen ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�[j{joia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zljrij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��laowqi�pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\mjgqpqnoaqoqfqnl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\b y��b y[}mjgqpqnoa pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\oagij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��ajrij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��e �alar pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�\b y�|ejgi�g�nf©na {qgi�nl ^ ^ ^ ^ ^ y�|gjin pj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y�zr�l ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y��{nggjp�gn elnong ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ yy�b yyz{qr��{jqrm�i�nmjoij ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ zz{qÇqo`nofn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y[�_agaoaqngjrinr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�famelj�qpnpj ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�pj�oqf©na ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|yp�nl ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�on gjin ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|y

Page 222: Fundamentos de Geometria Computacional - Rezende - Stolfi

2ÝZ á£8ÿ�jýoa elnoa ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�gjwq©ajr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|� {�jgiqfjr ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y|�