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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTESDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FORMULARIO BÁSICODE

MATEMÁTICAS SUPERIORES

UNIDAD COSIO

EDICIÓN FEBRERO – JUNIO 2009

ÍNDICE

Geometría 1

Trigonometría 2

Números Complejos 6

Geometría Analítica del Espacio 6

Reglas Generales de Derivación 7

Tablas de Integrales 9

Vectores 13

Integrales Múltiples 14

Fórmulas Misceláneas 16

Tabla de Transformadas de Laplace 18

NSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES FORMULARIOS BÁSICOS 2004

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría

Volumen 43

3 r

Área de la Superficie 4 2 r

Volumen r h2

Área de la superficie lateral 2 rh

r

h

Volumen 13

2 r h

Área de la superficie lateral r r h r l2 2

Volumen 13

2 2 h a ab b

Área de la superficie lateral

a b h b aa b l

2 2

h

a

b

l

Departamento de Ciencias Básicas 1 Ing. Enrique A. Silva Acosta

TrigonometríaIDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES DE UN ANGULO

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:


Identidades de ángulo cuádruple:

Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:(teorema de Moivre)

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES


E XPRESIÓN DE UNA F UNCIÓN M EDIANTE O TRA (del mismo ángulo):

PRODUCTO DE FUNCIONES


POTENCIAS DE FUNCIONES

sen sen A A cos cos A A

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.

Ley de los senos

Ley de los cosenosc a b a b C2 2 2 2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a ba b

tan A Btan A B

1212

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

Números Complejos

Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que


r i r p i pp pcos sen cos sen

Sea n cualquier entero positivo y , entonces

r i r in n kn

kncos sen cos sen 1 1 2 2

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo

Geometría Analítica del Espacio

Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,

Vector que une P1 y P2 : PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,

Distancia entre dos puntos: d x x y y z z l m n 2 1

2

2 1

2

2 1

2 2 2 2

Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:

x x l t 1 y y mt 1 z z n t 1

-Forma Simétrica:

t x xl

1 t y y

m

1 t z zn

1

Cosenos Directores:

cos

x x

dld

2 1 cos

y y

dmd

2 1 cos

z z

dnd

2 1

donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.

Ecuación del Plano:- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

1 2 3, , :

a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0

-Forma General:Ax By Cz D 0

cos cos cos2 2 2 1 o

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0


en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

Coordenadas cilíndricas:

x ry rz z

cossen

o

r x ytan

z z

yx

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P(x,y,z)(r,z){

x

O

Coordenadas esféricas:

x ry rz r

sen cossen sencos

o r x y z

tan yx

zx y z

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,{

(x,y,z)

O

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan

m m

m m2 1

1 21

Reglas Generales de Derivación

ddx

cx c

ddx

cx ncxn n 1

ddx

u v wdudx

dvdx

dwdx

ddx

cu cdudx

ddx

uv udvdx

vdudx

ddx

uvw u vdwdx

u wdvdx

v wdudx

ddx

uv

v dudx u dv

dxv

2


ddx

u nududx

n n 1

(Regla de la cadena)

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

ddx

ue

ududx

a aaalog

log, 0 1

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

ddx

uu u

dudx u u

dudx

si u

si usec

sec

sec

12 2

12

21

1

1

1

1

0


ddx

uu u

dudx u u

dudx

si u

si ucsc

csc

csc

12 2

12

21

1

1

1

1

0

0

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

ddx

u u dudx

coth csc h2

ddx

u u u dudx

sec sec tanhh h

ddx

u u u dudx

csc csc cothh h

ddx

uu

dudx

si u u

si u ucos

cosh ,

cosh ,h-1

1

1

0 1

0 12

1

1

ddx

uu

dudx

u o ucoth

12

11

1 1

ddx

uu u

dudx

si u u

si u usec

sec ,

sec ,h

h

h-1

1

1

0 0 1

0 0 12

1

1

ddx

uu u

dudx u u

dudx

si u si ucsc ,h-1

11

11

0 02 2

Tablas de Integrales

u dv uv v du csc cot cscu udu u C u du

nu C nn n

1

111

duu

u C ln cot ln senu du u C

e du e Cu u

a dua

aCu

u

lncsc ln csc cotudu u u C

sen cosudu u C dua u

ua

C2 2

1

sen

duu u a a

ua

C2 2

11

sec

csc cot2 udu u C dua u a

u au a

C2 2

12

ln


duu a a

u au a

C2 2

12

ln

a u duu

a ua

u a u C2 2 2 22

2 2

2 2 ln du

u a u aa u a

uC

2 2

2 21

ln

u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 22

2 2

82

8 ln du

u a u

a ua u

C2 2 2

2 2

2

a u

udu a u a

a a uu

C2 2

2 22 2

ln du

a uu

a a uC

2 2 3 2 2 2 2

/

a uu

dua u

uu a u C

2 2

2

2 22 2

ln

a u du2 2

a u duu

a ua u

aC2 2 2 2

21

2 2 sen

dua u

u a u C2 2

2 2

ln

u dua u

ua u

au a u C

2

2 22 2

22 2

2 2 ln

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2

ln

a uu

duu

a uua

C2 2

22 2 11

sen u a duu

u aa

u u a C2 2 2 22

2 2

2 2 ln

u dua u

ua u

a ua

C2

2 22 2

21

2 2 sen

Cdu

u a u aa a u

uC

2 2

2 21

lnu a

udu u a a

au

C2 2

2 2 1 cos

duu a u a u

a u C2 2 2 2

2 21

u au

duu a

uu u a C

2 2

2

2 22 2

ln

duu a

u u a C2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2

du

u u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2

du

u a

u

a u aC

2 23

2 2 2 2

udua bu b

a bu a a bu C

12 ln u du

a bu ba b u abu a bu

2

32 2 22

158 3 4


duu a bu a

a bu a

a bu aC a

1

0ln , si

2 01

aa bu

aC atan , si

du

u a bu au

a buC

1

ln a buu

du a bu adu

u a bu

2

du

u a bu auba

a buu

C2 2

1

ln a buu

dua bu

ub du

u a bu

2 2

udu

a bua

b a bu ba bu C

2 2

1ln

u a bu du

b nu a bu na u a bu dun n n

2

2 332 1

du

u a bu a a bu aa bu

uC

2 2

1 1ln

u dua bu

u a bub n

nab n

u dua bu

n n n

2

2 122 1

1

du

u a bua bu

a n ub n

a ndu

u a bun n n

1

2 32 11 1

u a budub

bu a a bu C 215

3 22

32

udua bu b

bu a a bu

23

22


sen sen2 12

14 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1

212u du u u u u C

cos sen2 12

14 2udu u u C sen sen cos senn

nn nu du u u

nn

u du 1 1 21

cos cos sen cosnn

n nu du u un

nu du

1 1 21

sen sen cos3 13

22udu u u C cot cot cotn n nudun

u u du

11

1 2

cos cos sen3 13

22u du u u C sec sec secn n nu dun

tanu unn

udu

11

21

2 2

csc cot csc cscn n nudun

u unn

u du

11

21

2 2

cot cot ln sen3 12

2u du u u C

sen sen

sen senau bu du

a b ua b

a b ua b

C

2 2sec sec lnsec3 1

212u du u tanu u tanu C

cos cos

sen senau budu

a b ua b

a b ua b

C

2 2

sen cos

cos cosau bu du

a b ua b

a b ua b

C

2 2u udu u u n u udun n ncos sen sen 1

u u du u u u Csen sen cos sen cosn mu u du

sen cos

sen cosn m

n mu un m

nn m

u u du1 1

21

sen cos

sen cosn m

n mu un m

mn m

u udu1 1

21

u u du u u u Ccos cos sen u u du

uu

u uCcos cos

1

21

22 14

14

u udu u u n u u dun n nsen cos cos 1

sen sen 1 1 21udu u u u Cu u du

nu u

u du

unn n

n

sen sen ,

1 1 1

1

2

11 1

1


cos cos 1 1 21udu u u u Cu udu

nu u

u duu

nn nn

cos cos ,

1 1 1

1

2

11 1

1

u u duu

uu u

Csen sen

12

122 1

414

ue dua

au e Cau au 112

ln lnudu u u u C

u e dua

u ena

u e dun au n au n au 1 1

u u du

un

n u Cnn

ln ln

1

211 1

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos

2 2

1u u

du u Cln

ln ln

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen

2 2

senh coshudu u C cosh senhudu u C

coth ln senhudu u C

22

22

2 22

1au u duu a

au ua a u

aC

cos

dua u u

a ua

C2 2

1

cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 36

22

22

23

1

cos

udu

au ua u u a

a ua

C2

22

2 1

cos

22

2

22 1a u u

udu a u u a

a ua

C

cos

duu a u u

a u ua u

C2

22

2

2 2 22

2

21a u u

udu

a u uu

a ua

C

cos

Vectores

A B A B cos 0

donde es el ángulo formado por A y B

A B A B A B A B1 1 2 2 3 3


donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k

B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz: AxBi j k

A A AB B B

1 2 3

1 2 3

Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen

El operador nabla se define así:

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

Divergencia de A = div A

Ax

Ay

Az

1 2 3

Rotacional de A = rot A

Ay

Az

Az

Ax

Ax

Ay

3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U =

Integrales Múltiples

F x y dydx

y f x

f x

x a

b,

( )

1

2

F x y dy dx

y f x

f x

x a

b,

( )

1

2

donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:


F x y dxdyx g y

g y

y c

d,

( )

1

2

F x y dx dyx g y

g y

y c

d,

( )

1

2

donde , son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.

Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

s s t r t dta

t ( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t tr tr t

( )( )( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal

n sr sr s

( )( )( )

Vector binormal

b sr s r s

r s( )

( ) ( )( )

x

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo

b t n n b t t n b x x x, ,

Recta tangente en Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

r r t r t 0 0

Plano osculador t n, en

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

r r t r t xr t 0 0 0 0

x x y y z zx y zx y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y Torsión

tr t r t

r tt

r t r t r tr t r t

x x

x3 2

s r s

Plano Normal

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0


Plano Rectificante t b, en

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t n t 0 0 0

x x y y z zx y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

aT a T a

.

aN a Nx a

.

Propiedades de la Divergencia

i) div ( + ) = div ( ) +div ( )ii) div ( ) = div( ) + ( grad ) iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )

Fórmulas misceláneas

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para

Trabajo W

Longitud de arco de y f x en a b y dxa

b, ( ) 1 2

Centro de gravedad de una región plana ,

Longitud de arco en forma paramétrica

Momento de inercia de R respecto al origen

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x


Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

Cálculo del volumen

Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )( )

Ecuación del resorte helicoidal r t t tt

( ) cos ,sen ,2

Derivada direccional D f x y z f x y zu, , , , u (

u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC

q E t 1

Fuerza ejercida por un fluído

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20


TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

L

1

, es entero positivo

,

, es entero positivo

1

U

U

TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

L

TRANSFORMADA DE INTEGRAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTESSUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

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Fax 01 (449) 970-04223www.ita.mx

Aguascalientes, Ags

2006

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