Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenter Dag 5
27
Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenter Dag 5 Skolen i Aten. Rafael.
Transcript of Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenter Dag 5
Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenterDag 5
Skolen i Aten. Rafael.
Luca Pacioli (1446‐1517): Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita
Leonardo da Vinci De divina proportione
Albrecht Düreres Melencolia I og et ”magisk ”kvadrat
v<-c(16,5,9,4,3,10,6,15,2,11,7,14,13,8,12,1)magisk<-matrix(v,nrow=4)
[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 16 3 2 13[2,] 5 10 11 8[3,] 9 6 7 12[4,] 4 15 14 1
colSums(magisk)[1] 34 34 34 34
rowSums(magisk)[1] 34 34 34 34
sum(diag(magisk))[1] 34
August Ferdinand MöbiusHøyre/venstre vending: kirale
Möbius‐bånd (M.C. Escher)
Topologi
Topologi – studiet av posisjon
Symmetri er (M.C. Escher)
Symmetri er (M.C. Escher)
17 hovedmønstre
René Magritte
Leslie‐matrise
http://www.ubcbotanicalgarden.org/potd/brassica_romanesco.jpg
Brassica oleracea cv. Romanesco
Naturlige fraktaler
http://www.psych.utah.edu/stat/dynamic_systems/Content/examples/E42_Manual/Eco‐of‐Mind_CNS/images/Fern‐Fractal‐3D.jpg
http://www.3dnworld.com/gallery.php?user=AHauldren
Lyapunov fraktal
von Koch kurve
Sierpinski teppe
http://www.chanceandchoice.com/ChanceandChoice/
Julia mengde
Mandelbrot fraktal
http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifskit/gallery/gallery.htm
Sierpinski triangel
http://sprott.physics.wisc.edu/fractals/collect/1996/
Menger svamp
A B
CD
D A
BC
C D
AB
B C
DA
A B
CD
A B
CD
Grupper og symmetrier
Sophus Lie
en n‐kant har 2n symmetrier, firkant (n=4) : 8 symmetrier(4 rotasjoner + 4 speilinger)
E8
Polyeder Hjørner Kanter Flater H - K +F
Tetraeder 4 6 4 2
Kube 8 12 6 2
Oktaeder 6 12 8 2
Dodekader 20 30 12 2
Ikosaeder 12 30 20 2
Torus Eulerkarakteristikk:H‐K+F=0
Kurt Gödel
