Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

69

description

meccanica

Transcript of Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

Page 1: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������������������������������� �!�����"���$#&%�%�'(�����)�*�

+�+-,�,

.0/214365457398;:=<43;>@?A?�.

Page 2: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

���������

�� ��������������������� �

"!#�����%$'&(�)��*�&+���%,.-/�����)�0�����%,1*��2�3-.�4����5������ 67(8 �:9; <>=�?A@�BC; DE9�@4F(=�GIH>J><EBCKL<>=�G�H>;M@N<>K2OP@NH>H>QCK(9�9; K+?R=)F(;M@N<EBC=�;�<%J>?R=�QC;

9K�?RH>G =)SCST;U8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8 X7(8 7ZY.; <>=�?A@�BC;M9�@RF(=�G[9K�QCH�KRQC; \�;MF(K]<>=�G�H>;M@N<>KZ8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8^�)_

7(8 7(8 �a`b=c2<>; d�; K�<>;�QC=�GM@�BC; D�=V@NGe?RK�D%; ?R=�<EBCKR; <�J><f9K�QCH�Kg8W8V8W8W8V8W8^�)_7(8 7(8 7h`b=c2<>; d�; K�<>=iF(;�9K�QCH�KRQC; \�;MF(K�8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8^�)j7(8 7(8 kmlnQo@�F(;(F(;>G ; p�=�QTB�q@VF(=�G>9K�QCH�KVQC; \�;MF(Kn<>=�G(H>;M@N<>KV=�9GM@�SCST; c�9�@Nd�; K�<>=

F(=�;e?RKNBC;�QC; \�;MF(;^8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8^�)j7(8 7(8 rms1BTBCKAF(;�?RKNBCKRQC; \�;MF(KRH>;M@N<>Kg8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8t7(�7(8 7(8 uwvx=�G K(9; B�q@]=)F�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;eF(=�;eH>J><EBC;[F(;�J><f9K�QCH�KRQC; \�;MF(Ky8V8W8t7Nk7(8 7(8 z vb; <29K�G ;{8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8t7Nz

7(8 k|Y.; <>=�?A@�BC;M9�@RF(=�G�H>J><EBCK2O}S~BCJ2F(; KR?R=)F(;M@N<EBC=W;�?RKNBC;eQC=�GM@�BC; D%;�8V8W8W8V8W8�k�k7(8 k>8 �wY.; <>=�?A@�BC;M9�@RF(=�G�H>J><EBCK2Ox�f=BCK(F(K�9�@NQTBC=)ST;M@N<>KR9K�<P?RKNBC;�QC=�GM@�BC; D%;yk�k7(8 k>8 7mY.K�<(��QCK�<EBCKR9K�<PG�� @NH>H>QCK(9�9; KR9K�<�;e<%J>?R=�QC;[9K�?RH>G =)SCST;V8W8W8V8W8�k%X

7(8 rZ�}QCK�p>G =�?R;�8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�k�j

��!#�����%$'&(�)��*�&+���%�1�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�1����5������ �[�k>8 ����<EBCQCK(F(J>d�; K�<>=b8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�r2�

k>8 ��8 �a�f=)9�9�@N<>;MST?R;e=WS~BCQCJ(BTBCJ>QC=V8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�r%7k>8 ��8 7mY.K�?RH>J(BCKAF(=�;�\�Qo@�F(;eF(;�G ; p�=�QTB�q@AF(;eJ><fST;MS~BC=�?A@RF(;[9K�QCH>;eQC; \�;MF(;�rEkk>8 ��8 k�Y1@�BC=�<>=W9; <>=�?A@�BC;M9o�>=W@NH�=�QTBC=W=W9o�>; J2ST=48V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�rEk

k>8 7���@N<>; H�K�GM@�BCK�QC=nH>;M@N<>KA�I����8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�rE_k>8 k���@N<>K�D�=�G G ;MST?RK]K�QoF(; <2@NQC; K]9=�<EBCQo@�BCK�8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8tuN�k>8 rZs�H>H>G ;M9�@Nd�; K�<>;18W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8tu�u

k>8 r28 �a�fKNBCK�QC=+@y9K�?#p>J2S~BC; K�<>=+; <EBC=�QC<2@>O0; Gn?RKNBCK�QC=4F(=�G GM@'D�=BTBCJ>Qo@s�G ��@A��K�?R=�K�lV�IvV7N�����P�~�)j%X%�3�y8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8tu�u

k>8 r28 7h��@N<>K�D�=�G G ;MST?RK#K�QoF(; <2@NQC; KRF(=�D%;M@�BCK�8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8tuNzk>8 r28 k��bJ2@�F(QC; GM@�BC=�QCK]@NQTBC;M9K�GM@�BCKA8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8tuEXk>8 r28 r�Y.; <>=�?A@�BC;M9�@RF(=�G�\�G ; ��KRKESC9; G GM@N<EBC=A8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�z��k>8 r28 uhs�d�; K�<2@N?R=�<EBCKRF(=�G GM@ASTG ; BTBo@RF(;�J><2@R?A@�9�9o�>; <2@#J(BC=�<2ST; G =�8W8V8W8�z>�k>8 r28 z���<�� @NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>=WF(=�Ge\�G ; ��K'8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8V8W8V8W8W8V8W8�zE7

Page 3: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7 ��� )!��

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 4: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

k

����� ������� ��� ������������������]��

� \�\�=BTBCK+F(=�G G K4S~BCJ2F(; KLF(=�G GM@�?R=)9�9�@N<>;M9�@+STK�<>K+;�ST;MS~BC=�?R;I?A@�BC=�QC;M@NG ;n��KESCST;M@+F(KNBo@�BC;�F(;?A@�SCSC@E���NSC9o�>=�?A@�BC; d�d)@Np>; G ;(9K�?R=1H>J><EBC;��E9K�QCH>;%QC; \�;MF(;(KVF(=��K�QC?A@Np>; G ;��N=�9K�?#p>; <2@Nd�; K�<>;(F(;� J>=)S~BC;�=�G =�?R=�<EBC;�8���KRS~BCJ2F(; KRF(=�G GM@#?R=)9�9�@N<>;M9�@#9K�?RH>QC=�<2F(=bBCQC=V@NQC\�K�?R=�<EBC;�H>QC; <29; H2@NG ;�O9; <>=�?A@�BC;M9�@��>S~Bo@�BC;M9�@]=WF(; <2@N?R;M9�@>8

� �[@ ��!#"%$�&('*)�!+��'LS~BCJ2F(;M@�; G1?RK�D%; ?R=�<EBCK+F(;1J>< ST;MS~BC=�?A@f?R=)9�9�@N<>;M9K,�/; <yp2@�ST= @N;D%; <29K�G ;���KESCST;M@i@NG G =b9K�<><>=)SCST; K�<>;(BCQo@W\�G ;2=�G =�?R=�<EBC;�9o�>=b9K�?RH�K�<>\�K�<>KW; G�ST;MS~BC=�?A@E���; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC=�?R=�<EBC=#F>@NG G =W@Nd�; K�<>;}� ��K�QCd�=V=i9K�H>H>; =3�1STJfF(;�=)SCSTKR@N\�=�<EBC;�8

� �[@.-�)/'*)�!+��'yS~BCJ2F(;M@0G�� = � J>; G ; p>QC; KyF(=�GVST;MS~BC=�?A@0?R=)9�9�@N<>;M9K0<>=�G GM@'9K�<2F(; d�; K�<>=+F(;� J>; =BC=0�>H�=�Q�=�1�=BTBCK�F(=�G G =V��K�QCd�=W@N\�=�<EBC;�8

� �[@32*!#"%'*&!+��'fS~BCJ2F(;M@ ; G/?RK�D%; ?R=�<EBCK F(=�GxST;MS~BC=�?A@�?R=)9�9�@N<>;M9K ; <+QC=�GM@Nd�; K�<>=#@NG G =@Nd�; K�<>;�@N\�=�<EBC;�STJ>G�ST;MS~BC=�?A@>8

�[Qo@n;2ST;MS~BC=�?R;>?R=)9�9�@N<>;M9;>J><RH�KES~BCKW; ?RH�K�QTBo@N<EBC=Vq=�K(9�9J>H2@�BCKWF>@NG G =�?A@�9�9o�>; <>=0��F(;�9J>;2ST;K(9�9J>H�=�Q�q@bH>QC=�D�@NG =�<EBC=�?R=�<EBC=I; < � J>=)S~BCKVBC=)S~BCK28}Y.K�<]; G(BC=�QC?R; <>=4&('0����56!#"%'#ST;>; <EBC=�<2F(=�Q�q@J>< ST;MS~BC=�?A@L?R=)9�9�@N<>;M9K'@�BTBCK'@LBCQo@�S~��K�QC?A@NQC=P=�<>=�QC\�; =�F(;nF(; D�=�QoSC@4K�QC; \�; <>;#��9o�>; ?R;M9�@��;MF(Qo@NJ>G ;M9�@���=�G =BTBCQC;M9�@E�/; <�=�<>=�QC\�;M@V?R=)9�9�@N<>;M9�@���=�D%;M9=�D�=�QoSC@��NK�H>H>J>QC=�J(BC; G ; d�d)@NQC=�G =���K�QC?R=F(;}=�<>=�QC\�;M@PK�Qo@P9; Bo@�BC=0��H�=�QiQC=)@NG ; d�d)@NQC=]J><2@P��J><>d�; K�<>=AKfJ><2@�GM@3D�K�Qo@Nd�; K�<>=0�e9K�?R=0��@�F=)ST=�?RH>; K,�.<>=�G�9�@�STKLF(;�?A@�9�9o�>; <>=�H�=�Q�STK�G G =�D�@N?R=�<EBCK4=PBCQo@�STH�K�QTBCK,�}KL<>=�G�9�@�STKLF(=�G G =?A@�9�9o�>; <>=nH�=�Q�=�1�=BTBCJ2@NQC=WGM@3D�K�Qo@Nd�; K�<>;2<>=�G�9�@N?RH�KAF(=�G G =VBC=)9<>K�G K�\�; =n?R=)9�9�@N<>;M9o�>=�8�7�=�GH>QC; ?RKP9�@�STKPST;/H>J�qK�H2@NQCGM@NQC=#F(;x?A@�9�9o�>; <>=#=�<>=�QC\�=BC;M9o�>=0��?R=�<EBCQC=]<>=�G}ST=)9K�<2F(KP9�@�STKPST;H2@NQCG =�Q�q@#F(;�?A@�9�9o�>; <>=VK�H�=�Qo@�BCQC;M9;�8�}QC=�?R=)SCSC@#��K�<2F>@N?R=�<EBo@NG =iH�=�Qb=�1�=BTBCJ2@NQC=iG K�S~BCJ2F(; K F(;[J>< � J2@NG J>< � J>=iST;MS~BC=�?A@Rc>�

ST;M9Kyq=PGM@4QC=)@NG ; d�d)@Nd�; K�<>= F(;�J><2@4Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@Nd�; K�<>=�H�=�QAH�KNBC=�QC<>=�H�K�;�F(=)SC9QC; D�=�QC=0�}; <BC=�QC?R; <>;�?A@�BC=�?A@�BC;M9;��1; Gb9K�?RH�K�QTBo@N?R=�<EBCK2O Bo@NG =�H>QCK(9=)F(; ?R=�<EBCKLH>QC=�<2F(=�; G�<>K�?R=�F(;&(8920$�:#: '9;�!+8*"%$8��bJ2@N<EBCKAF(=BTBCKRD�@NG =WK�D%D%;M@N?R=�<EBC=V@N<29o�>=VH�=�Q�;[ST;MS~BC=�?R;�?R=)9�9�@N<>;M9;�8��<]H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=}; G>ST;MS~BC=�?A@nQC=)@NG =IF(=�D�=1=)SCST=�QC=1QC;MF(KNBTBCKV@�FiJ><RST;MS~BC=�?A@bc�ST;M9Kn;MF(=)@NG =IF(;>QC; ���=�QC; ?R=�<EBCK#9o�>=�<>=bQo@NH>H>QC=)ST=�<EBC;>G =n9�@NQo@�BTBC=�QC;MS~BC;M9o�>=�H>QC; <29; H2@NG ;��E; <A��J><>d�; K�<>=nF(=�G G�� @N<2@NG ;MST;F>@P9K�?RH>; =�QC=0<�STJ29�9=)SCST; D�@N?R=�<EBC=RF>@NGxST;MS~BC=�?A@�c�ST;M9K�ST;�BCQo@N=]; G/?RK(F(=�G G KP?A@�BC=�?A@�BC;M9K,�9o�>=i9K�<2ST;MS~BC=i<>=�G G�� ; <2ST; =�?R=#F(;[= � J2@Nd�; K�<>;[9o�>=iG =�\E@N<>KRG =#F(; D�=�QoST=W\�Qo@N<2F(=�d�d�=WJ(BC; G ; d�d)@�BC=H�=�QWF(=)SC9QC; D�=�QC=#; G}ST;MS~BC=�?A@>8�7�=�G GM@ H>QCK(9=)F(J>Qo@ F(;x?RK(F(=�G GM@Nd�; K�<>=RF(=�D�K�<>K K�D%D%;M@N?R=�<EBC==)SCST=�QC=�=�1�=BTBCJ2@�BC=VF(=�G G =nST=�?RH>G ; c�9�@Nd�; K�<>;�H�=�Q1H�KNBC=�Q1\�; J><>\�=�QC=b@NG GM@V��K�QC?#J>GM@Nd�; K�<>=bF(;�J><?RK(F(=�G G Kf=�=�9�@�9=�O]GM@f9K�?RH>G =)SCST; B�q@�F(=�G.?RK(F(=�G G K+F(=�D�=AH�=�QTBo@N<EBCK�=)SCST=�QC=�@�F(=�\�J2@�Bo@�@NGH>QCK�p>G =�?A@n9o�>=�ST;>; <EBC=�<2F(=�S~BCJ2F(;M@NQC=�8���<(��@�BTBC;>J><R?RK(F(=�G G KV; <29K�?RH>G =BCKW<>K�<R9K�<2ST=�<EBC=�F(;KNBTBC=�<>=�QC=VQC;MSTJ>G Bo@�BC;eBC=)9<>;M9�@N?R=�<EBC=WD�@NG ;MF(;���Fe� @NG BCQo@]H2@NQTBC=0�>J><�?RK(F(=�G G KA=)9�9=)SCST; D�@N?R=�<EBC=9K�?RH>G =)SCSTK,��K�G BCQC=]@�Ff=)SCST=�QC=#H>;TqJ+; ?RH�=�\�<2@�BC; D�KPF>@NG�H>J><EBCK�F(;/D%;MS~Bo@ 9K�?RH>J(Bo@Nd�; K�<2@NG =0�QC;MSTJ>G BC=�QC=�p>p�=bF(=�G2BCJ(BTBCK#; <%J(BC; G =nST=�H�K�;�<>K�<R��KESCST=�QCKiF(;MSTH�K�<>; p>; G ;�;�D�@NG K�QC;2F(=�;�H2@NQo@N?R=BCQC;��KA@NG ?R=�<>KRJ><2@]G K�QCKAS~BC; ?A@]Qo@N\�; K�<>=�D�K�G =3�}F>@R; <2ST=�QC; QC=n<>=�G�?RK(F(=�G G KAS~BC=)SCSTK28

Page 5: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

r !#&(-/���)��,�� � � ���������������������

��<2@]9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@iF(=�G GM@#H>QCK(9=)F(J>Qo@iF(;e?RK(F(=�G GM@Nd�; K�<>=iq=V9o�>=nST;MS~BC=�?R;e@N<29o�>=n?RK�G BCK]F(; �D�=�QoST;EBCQo@VG K�QCKnH�KESCSTK�<>Kn=)SCST=�QC=IQC;M9K�<2F(KNBTBC;>@NG(?R=)F(=)ST; ?RKW?RK(F(=�G G KV?A@�BC=�?A@�BC;M9K,�NH>QC=�D%;M@D�@NQC;M@Nd�; K�<>=RF(=�G1ST; \�<>; c�9�@�BCKfF(=�G G =A\�Qo@N<2F(=�d�d�=�8 7�K�< q=�9K�?#J>< � J>=�ST=�?RH>QC=R<>=)9=)SCSC@NQC; K=�1�=BTBCJ2@NQC=b= � � <>K�D�KWGM@i?RK(F(=�G GM@Nd�; K�<>=bF(;�J><PST;MS~BC=�?A@W?R=)9�9�@N<>;M9K,�E; < � J2@N<EBCKiH�=�QI@NGM9J(�<>=R9GM@�SCST;xF(;xST;MS~BC=�?R;xSTK�<>KP\�;�q@ F(;MSTH�K�<>; p>; G ;x?RK(F(=�G GM@Nd�; K�<>;xS~Bo@N<2F>@NQoF �e9o�>=R9K�<2ST=�<EBCK�<>KF(;}KNBTBC=�<>=�QC=AQC;MSTJ>G Bo@�BC;x; <>\�=�\�<>=�QC;MS~BC;M9�@N?R=�<EBC=RD�@NG ;MF(;}H�=�QiG =�@NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>;xH>;TqJ09K�?#J><>;�8��@NG =�q=i; G/9�@�STK,��@�F�=)ST=�?RH>; K,��F(=�;�D�=�;M9K�G ;���F(=�G G =#H>;TqJ+9K�?#J><>;�?A@�9�9o�>; <>=#F>@�; ?RH>;M@N<EBCK,�F(=�;�?A@N<>; H�K�GM@�BCK�QC;�=iF(=�;eQCK�p�KNB�; <2F(J2S~BCQC;M@NG ;[F(;�?A@N\�\�; K�Q1J(BC; G ; d�d�KA=WF(; 1�J2ST; K�<>=�8

7�=�G G�� K�QoF(; <2@NQC; KV; BC=�Q.H>QCK�\�=BTBCJ2@NG =�F(;2J><�ST;MS~BC=�?A@V?R=)9�9�@N<>;M9KiST;>H�KESCSTK�<>KiF(;MS~BC; <>\�J>=�QC=VF(; 1�=�QC=�<EBC;eG ; D�=�G G ;�F(;�@NH>H>QCKN��K�<2F(; ?R=�<EBCK]H�=�Q � J2@N<EBCK]QC; \�J2@NQoF>@#ST;M@#GM@]?RK(F(=�G GM@Nd�; K�<>=0�ST;M@n; G(BC; H�K#F(;2@N<2@NG ;MST;�8[��G>H>QC; ?RKVG ; D�=�G G KWH>J�qKVQC; \�J2@NQoF>@NQC=1GM@VSTK�GM@V9; <>=�?A@�BC;M9�@>O[QC; =�<EBCQo@N<>K; < � J>=)S~BCKP@N?#p>; BCK G =R@N<2@NG ;MST;�F(;/?RK�p>; G ; B�q@ G =�\E@�BC=]@NG GM@R��J><>d�; K�<2@NG ; B�q@PF(=�;/?R=)9�9�@N<>;MST?R;��G KfS~BCJ2F(; K�F(=�G G KfSTH2@Nd�; K�F(;}GM@3D�K�QCKPF(;}QCK�p�KNBW=A?A@N<>; H�K�GM@�BCK�QC;�8R`n@NG GM@�STK�GM@ '*"%'*: ! -�! ��!��"%$�&('*)�!+��'�<>K�<�ST;�BCQo@N\�\�K�<>K]H�=�Q�qK�; <2F(;M9�@Nd�; K�<>;�H�=�Qb; G�F(; ?R=�<2ST; K�<2@N?R=�<EBCKAK�GM@AD�=�QC; c�9�@F(;}QC=)ST;MS~BC=�<>d)@PF(;}J><0ST;MS~BC=�?A@>8�s Bo@NG =ASC9K�H�KLq=R<>=)9=)SCSC@NQC; KP=�1�=BTBCJ2@NQC=A@N<2@NG ;MST;x; <09J>;ST;[; <29G J2F>@N<>K�G =i��K�QCd�=i@N\�=�<EBC;�STJ>G�ST;MS~BC=�?A@>8�s � J>=)S~BCK�G ; D�=�G G K ST;�9K�G G K(9�@R; <>; d�;M@NG ?R=�<EBC=G�� @N<2@NG ;MST;�S~Bo@�BC;M9�@]K � J2@�ST; ��S~Bo@�BC;M9�@��%<>=�G GM@ � J2@NG =WST;[9K�<2ST;MF(=�Qo@]@�SCST=�\�<2@�BCK]; G�?RK�D%; ?R=�<EBCKF(=�G/ST;MS~BC=�?A@���=]ST;�D�@NG J(Bo@AG�� =�1�=BTBCK�F(=�G G =i��K�QCd�=#@N\�=�<EBC;��2BCQo@�SC9J>Qo@N<2F(KAG =#H>QC=)ST=�<>d)@AF(=�G �G =�@Nd�; K�<>;.F(;}; <>=�QCd�;M@fF(=�QC; D�@N<EBC;}F>@NG G =�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;}@N\�=�<EBC;}STJ>;}?R=�?#p>QC;.F(=�G1ST;MS~BC=�?A@?R=)9�9�@N<>;M9K0� '*"%'*: ! -�! -�)/'*)�!+��'E� O � J>=)S~BCKPBC; H�K�F(;.@N<2@NG ;MST;xH>J�qKf\�; J2S~BC; c�9�@NQoST;/<>=�G.9�@�STKfF(;?RK�D%; ?R=�<EBC;eG =�<EBC;�8� J29�9=)SCST; D�@N?R=�<EBC=Vq=�H�KESCST; p>; G =�; <29G J2F(=�QC=�<>=�G G�� @N<2@NG ;MST;(H>QC=)9=)F(=�<EBC=�@N<29o�>=IG�� =�1�=BTBCK#F(=�G G =@Nd�; K�<>;/F(;/; <>=�QCd�;M@���=)F�; < � J>=)S~BCKP9�@�STKPST;/H2@NQCGM@�F(;x@N<2@NG ;MST; ��!#"%$�)/8 -�)/'*)�!+��'*��<>=�G GM@ � J2@NG =H�=�Q�qKAST;�@�SCSTJ>?R=W@N<29K�Qo@#; ?RH�KES~BCKR; G�?RK�D%; ?R=�<EBCKAF(=�G[ST;MS~BC=�?A@>8s�G[G ; D�=�G G KRH>;TqJ�@NG BCK�ST;��2@�:�� '*"%'*: ! -�! 2*!#"%'*&!+��' D�=�Qo@#=iH>QCK�H>QC;M@��(<>=�G GM@ � J2@NG =i@�SCST=�\�<2@�BC=G =i@Nd�; K�<>;[@N\�=�<EBC;[STJ>G[ST;MS~BC=�?A@��2ST=i<>=iS~BCJ2F(;M@AG�� =�D�K�G J>d�; K�<>=V<>=�G�BC=�?RH�K,�2; <29G J2F(=�<2F(K,��ST=H>QC=)ST=�<EBC=0�>@N<29o�>=V; G[9K�<EBCQCK�G G K]F(=�G[ST;MS~BC=�?A@>87�=�G G K0S~BCJ2F(; K0F(;�J>< ST;MS~BC=�?A@4?R=)9�9�@N<>;M9KLST;�F(;MS~BC; <>\�J>K�<>K � J>; <2F(;��1K�G BCQC=f@NG GM@4S~BCJ2F(; K9; <>=�?A@�BC;M9K =RS~Bo@�BC;M9KPF(;x9J>;xST;1q=#\�;�q@ F(=BTBCK,��;xST=�\�J>=�<EBC;/@NH>H>QCK(9�9;��eST; <EBC=BC; d�d)@�BC;�<>=�\�G ;SC9o�>=�?R;�F(;ec2\�J>Qo@ ��8 ��O

� Y.; <>=BCKES~Bo@�BC;M9�@i� Bo@NG K�Qo@�; <2F(;M9�@�Bo@�9K�<W; G�BC=�QC?R; <>=1`b; <2@N?R;M9�@�; <%D�=�QoSC@E����<>=�G GM@ � J2@NG =q=I@�SCST=�\�<2@�BCKb; G%?RK�D%; ?R=�<EBCKVF(=�G>ST;MS~BC=�?A@b=�ST;(9�@NGM9K�GM@N<>KbG =�@Nd�; K�<>;(9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<EBC;@ABo@NG =i?RK�D%; ?R=�<EBCK28VY.;�qK�; ?RH>G ;M9�@�; <�\�=�<>=�Qo@NG =iF(=�G G =#; H�KNBC=)ST;/ST=�?RH>G ; c�9�@�BC; D�=#STJ>G?RK�D%; ?R=�<EBCKLF(=�G�ST;MS~BC=�?A@>OP@�F'=)ST=�?RH>; KLST;�9K�<2ST;MF(=�Qo@+9KES~Bo@N<EBC=PGM@+D�=�G K(9; B�q@+F(;J><>K�F(=�;[STJ>K�;e=�G =�?R=�<EBC;�8

� `b; <2@N?R;M9�@'F(; QC=BTBo@���9o�>=�F(=)SC9QC; D�=�G�� =�D�K�G J>d�; K�<>=f<>=�G�BC=�?RH�KyF(;bJ>< ST;MS~BC=�?A@���@H2@NQTBC; QC=nF>@NG G =n@Nd�; K�<>;�STJ F(;�=)SCSTK#@N\�=�<EBC;�8.�bJ>=)S~BCK#S~BCJ2F(; KR9K�<2ST=�<EBC=bF(;�D�=�QC; c�9�@NQC=0�@�FA=)ST=�?RH>; K,�(ST=bG =bH>QC=)S~Bo@Nd�; K�<>;�F(;�J><PST;MS~BC=�?A@iSTK�<>K]@�F(=�\�J2@�BC=b@NG GM@V��J><>d�; K�<>=VF>@STD�K�G \�=�QC=0�%KA9K�?#J>< � J>=VH2@NQC;�@ � J>=�G G =i@�BTBC=)ST=�8

� `b; <2@N?R;M9�@yF(=�GVST;MS~BC=�?A@y9K�<EBCQCK�G GM@�BCK,��9o�>=49K�?RH>QC=�<2F(=+F(J>=4ST; BCJ2@Nd�; K�<>;�OL<>=�G GM@H>QC; ?A@ ��F(=BTBo@'; < @N<>=�G G Ky@NH�=�QTBCK%����p2@�SC@N<2F(KEST;�STJ J>< ?RK(F(=�G G KyF(=�GVST;MS~BC=�?A@L=STJ>G G�� @N<2F>@N?R=�<EBCK]F(=�G GM@#\�Qo@N<2F(=�d�d)@i9o�>=nST;�; <EBC=�<2F(=V9K�<EBCQCK�G GM@NQC=0�EST;e@NH>H>G ;M9�@iJ><�� @��d�; K�<>=nF(;e9K�<EBCQCK�G G KWBo@NG =nF>@iQC=)@NG ; d�d)@NQC=�; G�?RK�D%; ?R=�<EBCKiQC;M9o�>; =)S~BCK28���< � J>=)S~BCK#9�@�STK

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 6: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

u

F(;MS~BCJ>QCp>;��[G =�ST=�?RH>G ; c�9�@Nd�; K�<>;}F(=�G}?RK(F(=�G G KfF(=�G.ST;MS~BC=�?A@P=)F4=�QCQCK�QC;/K�D�@NQC;M@Nd�; K�<>;<>=�;}H2@NQo@N?R=BCQC;}F(=�G}?RK(F(=�G G K�S~BC=)SCSTK�H�KESCSTK�<>K�9K�?RH�K�QTBo@NQC=AF(=�D%;M@Nd�; K�<>;}F>@NG G�� @N<(�F>@N?R=�<EBCKAF(=)ST;MF(=�Qo@�BCK287�=�GeST=)9K�<2F(K#9�@�STK ��@N<>=�G G K#9o�>; J2STK%���%ST;eS~BCJ2F(;M@iG�� =�D�K�G J>d�; K�<>=bF(;�J><PST;MS~BC=�?A@W?R=)9 �9�@N<>;M9K�; <+9J>;/J><2@A\�Qo@N<2F(=�d�d)@A9o�>=]ST;�; <EBC=�<2F(=#?A@N<EBC=�<>=�QC=#STKNBTBCKP9K�<EBCQCK�G G K���@�F=)ST=�?RH>; KfJ><2@fD�=�G K(9; B�q@�KfJ><2@�H�KEST; d�; K�<>=3�nD%; =�<>=�?R;MSTJ>Qo@�Bo@�=�9K�<(��QCK�<EBo@�Bo@�9K�<J><PQC; ��=�QC; ?R=�<EBCK28��}� =�QCQCK�QC=bF(=c2<>; BCKAF>@NG GM@]F(; 1�=�QC=�<>d)@iBCQo@]GM@#\�Qo@N<2F(=�d�d)@#9K�<EBCQCK�G �GM@�Bo@�=)F0; G1QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK49KES~BC; BCJ>;MSC9=�G�� ; <2F(;M9�@Nd�; K�<>= H�=�Q]; G�ST;MS~BC=�?A@�F(;�9K�<EBCQCK�G G K9o�>=b@NH>H>G ;M9�@WJ><�� @Nd�; K�<>=bSTJ>G�ST;MS~BC=�?A@��E; <A?RK(F(K]F>@iST=�\�J>; QC=�; G�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKiQC;M9o�>; =�S~BCK,�E; <�9K�<29K�QCQC=�<>d)@V9K�<RBCJ(BTBC=bG =b@NG BCQC=�@Nd�; K�<>;�9o�>=�=)ST=�Qo9; Bo@N<>KVJ><�� ; < � J>=�<>d)@#STJ>GST;MS~BC=�?A@RS~BC=)SCSTK28

� 9�9K�QCQC=RSTKNBTBCK�G ; <>=)@NQC=�9o�>=AGM@f<>=)9=)SCST; B�q@fF(;1STD�K�G \�=�QC=RK�H�=�Qo@Nd�; K�<>;x=�GM@3D�K�Qo@Nd�; K�<>;xST=�?]�H>QC=RH>;TqJL9K�?RH>G =)SCST=0�[9K�<4?A@N\�\�; K�QV@�9�9J>Qo@�BC=�d�d)@ =RQC; H�=BC; p>; G ; B�q@��[=)F4; <+BC=�?RH>;.ST=�?RH>QC=H>;TqJ�Qo@NH>;MF(;��(; <�J><2@]H2@NQCK�GM@��%G�� ; <29QC=�?R=�<EBCKAF(=�G G =WH>QC=)S~Bo@Nd�; K�<>;�QC;M9o�>; =)S~BC=W@NG G =V?A@�9�9o�>; <>=0��2@AH�K�QTBo@�BCK @�9K�<2ST;MF(=�Qo@NQC=WST=�?RH>QC=iH>;TqJ�G�� J(BC; G ; d�d�KPF(;/ST;MS~BC=�?A@A?R=)9�9�@N<>;M9;�9K�<EBCQCK�G GM@�BC;�8vx=�;M9K�G ;1��S~BCQo@�F>@NG ;��2��=�QCQCK�D%;M@NQC;��2@N=�QC=�; ���2; ?RH>;M@N<EBC;/F(;/STK�G G =�D�@N?R=�<EBCK�=i?RK�D%; ?R=�<EBo@Nd�; K�<>=0�?A@�9�9o�>; <>=AH�=�QiGM@3D�K�Qo@Nd�; K�<>;/?R=)9�9�@N<>;M9o�>=0��STK�<>K�STK�G Kf@NGM9J><>;.=)ST=�?RH>;1F(;.ST;MS~BC=�?R;.?R=)9 �9�@N<>;M9;�; < 9J>;#q=fH>QC=)ST=�<EBC=f; < ?R;MSTJ>Qo@L; ?RH�K�QTBo@N<EBC=f; Gn9K�<EBCQCK�G G K,�IST;M@L; < ��J><>d�; K�<>=+F(;QC=�\�K�GM@Nd�; K�<>=0�%ST;M@]H�=�QI��@NQ�ST=�\�J>; QC=W@NG�ST;MS~BC=�?A@]J><f9K�?RH�K�QTBo@N?R=�<EBCKRF(=)ST;MF(=�Qo@�BCK28

Page 7: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

z !#&(-/���)��,�� � � ���������������������

SistemaAzioni Movimento

SistemaControlloMovimentoRiferimento

Azioni esterne/disturbi

SistemaControlloMovimento

Azioni esterne/disturbi

ErroreRiferimento

Misura

-+

Sistema

Cinetostatica

Dinamica diretta

Dinamica del sistema controllato (in anello aperto)

Dinamica del sistema controllato (in anello chiuso)

Movimento

Azioni note

Azioni incognite

��� ��������� �������������������� ��� ����� ����!! �#"$�����%&��'(%&��%)���(��*+����!! ��,-�� �������(��,-��(��%)%&��*.����!! �,-�� �������(� ����!/'(�'(%0�����1�(����%)�2�3!! ��%&�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 8: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

X

����� ������� � � � ������ � �x�� � �f � �f���� �f y� ��� � ��}���]�� �

�[@L9; <>=�?A@�BC;M9�@ q= � J>=�G GM@4H2@NQTBC=�F(=�G GM@4?R=)9�9�@N<>;M9�@L9o�>=�S~BCJ2F(;M@L; G�?RK�D%; ?R=�<EBCK0F(;bJ><H>J><EBCK,��F(;�J><+9K�QCH�K,��F(;[J><�; <2ST; =�?R=#F(;/9K�QCH>;[; <EBC=�Qo9K�<><>=)SCST;eBCQo@AG K�QCK���?R=)9�9�@N<>;MST?R; ���; <EBC=�<2F(=�<2F(KR9K�< ; G�BC=�QC?R; <>=V?RK�D%; ?R=�<EBCK#GM@]F(=)SC9QC; d�; K�<>=b?A@�BC=�?A@�BC;M9�@]F(=�G G�� =�D�K�G J>d�; K�<>=BC=�?RH�K�Qo@NG =1F(=�G GM@�H�KEST; d�; K�<>=1F(=�G%ST;MS~BC=�?A@>8[��< � J>=)S~BCKn9�@NH>; BCK�G KbD�=�QCQ�q@IQC; H>QC=)SC@�GM@b<>K�d�; K�<>=F(;��,8 -�! ;�!+8*"%$��(9o�>=b9K�<2ST;MF(=�Qo@V9K�?R=�G�� =�<EBC=�S~BCJ2F(;M@�BCKiST;�9K�G G K(9�@nQC;MSTH�=BTBCKi@�FRJ><AST;MS~BC=�?A@F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK,�(GM@��*$�: 89��!#)'*��G =�\E@�Bo@R@NG GM@]?RK(F>@NG ; B�q@AF(;�D�@NQC;M@Nd�; K�<>=WF(=�G GM@��,8 -�! ;�!+8*"%$#<>=�GBC=�?RH�K,��= :�� '0����$�: $�� '9;�!+8*"%$��.9o�>=�@fSTJ2@�D�K�G Bo@�F(=)SC9QC; D�=A9K�?R=AGM@ �*$�: 89��!#)'4ST;}?RK(F(; c�9�@<>=�G�BC=�?RH�K28�[@]9; <>=�?A@�BC;M9�@]ST;�K(9�9J>H2@]F(;�F(=)SC9QC; D�=�QC=�; Ge?RK�D%; ?R=�<EBCK]; <P\�=�<>=�Qo@NG =b<>=�G G KRSTH2@Nd�; K,<%<>=�GST=�\�J>; BCKWG K#S~BCJ2F(; K#SC@NQ�q@n; <%D�=)9=�9; Qo9KESC9QC; BTBCKWH>QC=�D�=�G =�<EBC=�?R=�<EBC=�@N;2?RKNBC;�9o�>=b@3D%D�=�<>\�K�<>K<>=�G�H>;M@N<>K28 s Bo@NG =fSC9K�H�KLST;�; <EBCQCK(F(J>QCQ�q@+GM@+BC=)9<>;M9�@LF(=�;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;��.; Gb9J>;J(BC; G ; d�d�KRQC;MSTJ>G Bo@]D�@N<EBo@N\�\�; KESTK#H�=�Q�G KAS~BCJ2F(; KAF(=�;�?R=)9�9�@N<>;MST?R;eH>;M@N<>;�8

����� ���������������! ��"�$#���% &�'�����($����% &��)����(+*,��&�&�-"(.������(/����#��)���"0���1�+��'�����-�����(.��&�%2��3434�

5 8 -�! ;�!+8*"%$8 � ;M@iF>@�BCK ��D�=)F(;2c2\�J>Qo@i7(8 �3�/J>< ST;MS~BC=�?A@WF(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK#F(;�@�SCST;�9K%K�QoF(; <2@�BC;K�QTBCK�\�K�<2@NG ;b�7698;:>� O�GM@+F(; QC=�d�; K�<>=�=)F'; GID�=�QoSTK+F(;�9;M@�SC9J><y@�SCST=�q=PF>@�BCK4F>@N;1D�=�QoSTK�QC;��D�=BTBCK�QC;}F(;.?RK(F(J>G KfJ><>; Bo@NQC; K%�.<=b=><?fQC=�GM@�BC; D%;}QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=�@N\�G ;.@�SCST;@6'=)FA:�8 � ;9K�<2ST;MF(=�QC;�J><+H>J><EBCK�B ��@NH>H2@NQTBC=�<>=�<EBC=]@NG�H>;M@N<>KP; <2F(; D%;MF(J2@�BCKPF>@N\�G ;x@�SCST;/9K%K�QoF(; <2@�BC;��GM@ASTJ2@AH�KEST; d�; K�<>=iH>J�qK�=)SCST=�QC=V; <2F(; D%;MF(J2@�Bo@�?R=)F(;M@N<EBC=iGM@A9K�H>H>;M@�F(;�9K%K�QoF(; <2@�BC=��76DC�:>�� ��J><>d�; K�<>;[F(=�GeBC=�?RH�K%���>KR?R=)F(;M@N<EBC=W; GeD�=BTBCK�QC= <BRO

<BA�7ET�GF �HBI8KJW�GFL<=!6��7ET�NMO<?P:e�7ET� ��7(8 �3�

=)STH>QC=)SCSTKP@�BTBCQo@3D�=�QoSTK�G =�9K�?RH�K�<>=�<EBC;}STJ>;}F(J>=A@�SCST;x9K%K�QoF(; <2@�BC;�8]��GxD�=BTBCK�QC=RH�KEST; d�; K�<>=<B <>=�G�H>;M@N<>K]H>J�qK]=)SCST=�QC=nH�KES~BCK]; <P9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@#9K�< J>< <%J>?R=�QCKR9K�?RH>G =)SCSTK BRQ ��S��@�9=�<2F(KR9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�QC=�G =W9K�?RH�K�<>=�<EBC;eF(=�GeD�=BTBCK�QC=VST=)9K�<2F(K#\�G ;e@�SCST;e9K%K�QoF(; <2@�BC;e@NG GM@H2@NQTBC=VQC=)@NG =n=)F�@NG GM@]H2@NQTBC=V; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@]F(=�Ge<%J>?R=�QCKA9K�?RH>G =)SCSTK BRO

BTFOBNU.M ! BNVWFOBL9KESX�M ! BLST; <�X+FLBWY[Z \ ��7(8 7��

; G � J2@NG =WH>J�qK�=)SCST=�QC=W=)STH>QC=)SCSTKA@N<29o�>=i; <���K�QC?A@RH�K�GM@NQC=0�>KESCST;M@R?R=)F(;M@N<EBC=i; G[?RK(F(J>G K]B= G�� @N<>K�?A@NG ;M@9X��.9o�>= Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@fG�� @N<>\�K�G K+9o�>= ; GID�=BTBCK�QC=���K�QC?A@+9K�<'G�� @�SCST= QC=)@NG =0�9o�>=Rq=n;MF(=�<EBC; c�9�@�BCK�9K�<PG��2@�SCST=.6+F(=�G�ST;MS~BC=�?A@AF(;eQC; ��=�QC; ?R=�<EBCKASC9=�G BCK28 � =VGM@A9K�H>H>;M@RF(;9K%K�QoF(; <2@�BC=Wq=n9KES~BC; BCJ>; Bo@#F>@iF(J>=b��J><>d�; K�<>;�F(=�G�BC=�?RH�KP�76��7ET�^C�:e�7ET�T���>=)SCST=bF(=)SC9QC; D�K�<>KWGM@

Page 9: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

_ !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

��

�� ���

���

��� ���� ����� ����� � �(��%&������!��3��%)%&���(� � ��'(� ������������ � '����1�(�������'�� ��� ������� �#�(��� �)! ��� � ���2��(��� � ! ��'('�� �

STJ29�9=)SCST; K�<>=VF(=�G G =WH�KEST; d�; K�<>;�F(=�G�H>J><EBCK,�>F(=BC=�QC?R; <2@N<2F(K�<>=VGM@]BCQo@N; =BTBCK�QC;M@#<>=�G�H>;M@N<>K2O� 6�F;6��7ET�:,FL:e�7ET� ��7(8 kE�

��= ��7(8 kE�W=)STH>QC; ?RK�<>K+GM@fBCQo@N; =BTBCK�QC;M@�; <'��K�QC?A@�H2@NQo@N?R=BCQC;M9�@��x@�SCSTJ>?R=�<2F(K+; G1BC=�?RH�KER9K�?R=fH2@NQo@N?R=BCQCK28��}G ; ?R; <2@N<2F(KL; G�BC=�?RH�KKE]=)F =)STH>QC; ?R=�<2F(K0J><2@L9K%K�QoF(; <2@�Bo@4; <��J><>d�; K�<>=�F(=�G G�� @NG BCQo@���ST;�KNBTBC; =�<>=�GM@4��J><>d�; K�<>=�9o�>=�F(=c2<>;MSC9=�GM@4BCQo@N; =BTBCK�QC;M@��1KESCST;M@4GM@G ; <>=)@RF(=)SC9QC; BTBo@RF>@NG�H>J><EBCKAF(J>Qo@N<EBC=V; G[STJ>KR?RKNBCK2O

� E�F��e�76��: FL: �!� �7E#"$".F&%/�76�� ��7(8 r%�

' $�: 89��!#)'�8 � ;2F(=c2<>;MSC9=ID�=�G K(9; B�q@bGM@VF(=�QC; D�@�Bo@nQC;MSTH�=BTBCKW@NG%BC=�?RH�KWF(=�G>D�=BTBCK�QC=1H�KEST; d�; K�<>=9o�>=0�E9K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(KW9o�>=�;2D�=�QoSTK�QC;(F(=�\�G ;�@�SCST;>9K%K�QoF(; <2@�BC;><>K�<�ST;>?RK(F(; c�9�@N<>KW<>=�G>BC=�?RH�K��<�q=V; <�?RK(F(J>G K,�(<�q=V; <fF(; QC=�d�; K�<>=3���(QC;MSTJ>G Bo@>O

<( F*) <B) E FL<=,+6/�7ET�DMO<?-+:��7ET� ��7(8 u��

�[@�D�=�G K(9; B�q@0q= � J>; <2F(;IJ><'D�=BTBCK�QC= G =P9J>;I9K�?RH�K�<>=�<EBC;I9�@NQTBC=)ST;M@N<>= STK�<>K�G =�F(=�QC; D�@�BC=QC;MSTH�=BTBCKL@NG1BC=�?RH�K0F(=�G G =f9K�?RH�K�<>=�<EBC;�9�@NQTBC=)ST;M@N<>=PF(=�GID�=BTBCK�QC=PH�KEST; d�; K�<>= <B]8 Y.K�<(�ST;MF(=�Qo@N<2F(Ky; <%D�=)9=4G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=49�@NQTBC=)ST;M@N<2@'; < BC=�QC?R; <>;iF(;W<%J>?R=�QCK 9K�?RH>G =)SCSTK,�bST;KNBTBC; =�<>=�O

( F +BNU.MK= +BNV F ( U.MK= ( V ��7(8 zE�

?R=�<EBCQC=RF>@NG GM@ F(=�QC; D�@�Bo@ABCKNBo@NG =]QC;MSTH�=BTBCKP@NG�BC=�?RH�K�F(=�G G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=#; <���K�QC?A@�H�K�GM@NQC=ST;eQC;M9�@3D�@>O

( F +BWY[Z \GM ! +XPBWY[Z \�F ( Y[Z . ��7(8 XN�

�[@+c2\�J>Qo@ ��7(8 7��iQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@+; G�ST; \�<>; c�9�@�BCKLF(=�;IBC=�QC?R; <>;bF(=�G GM@ ��7(8 u��i=�F(=�G GM@ ��7(8 zE� 8�/K�;M9o�0/=fGM@ F(=�QC; D�@�Bo@ F(=�GV<%J>?R=�QCK 9K�?RH>G =)SCSTKy; < ��K�QC?A@yH�K�GM@NQC=4ST=�\�J>=+G =4QC=�\�K�G =4F(;

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 10: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������� ��������������� �� �� ������������ � ������!"�#�"��$���%������������&�� � �%��!���"���%���'��()(*�>j

( UP<=

( V�<?

���+

�� ���

+,

���

-� �'.�/

� -� � �'.�/

��� ���� � �� ����� � �(��%&������!��3��%)%&���(� �3��! � ���%10���2 � �(�������'�� ��� ������� � �(��� �)!���� � ���2�1�(��� � ! ��'('��2F(=�QC; D�@Nd�; K�<>=#F(=�G�H>QCK(F(KNBTBCKPF(;[��J><>d�; K�<>;���9K�?RH2@NQC=#ST;M@AGM@ F(=�QC; D�@�Bo@ F(=�G�?RK(F(J>G KPF(;@B �ST;M@#GM@]F(=�QC; D�@�Bo@]F(=�G G�� @NQC\�K�?R=�<EBCK]F(=�G G�� =)STH�K�<>=�<>d�;M@NG =�8/��<PH2@NQTBC;M9K�GM@NQC=b; GeH>QC; ?RK#BC=�QC?R; <>=F(=�G GM@W��7(8 zE��Qo@NH>QC=)ST=�<EBo@1J><WD�=BTBCK�QC=}F(;E?RK(F(J>G K +B =.9K�<iF(; QC=�d�; K�<>=x; <2F(;M9�@�Bo@�F>@NG G�� @N<>\�K�G KX���?R=�<EBCQC=R; G}ST=)9K�<2F(KPBC=�QC?R; <>=AF(=�G GM@L��7(8 zE��Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@ J><4D�=BTBCK�QC=RF(;}?RK(F(J>G K>B +X=VF(; QC=�d�; K�<>=bH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=V@NG GM@iH>QC=)9=)F(=�<EBC=�8/��GeH>QCK(F(KNBTBCK]F(;eJ><P<%J>?R=�QCK]9K�?RH>G =)SCSTKH�=�QAG�� J><>; B�q@L; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@9=��1; <(��@�BTBC;��I= � J>; D�@NG =f@�FyJ><2@4QCKNBo@Nd�; K�<>=�F(;43#5N7+; < ST=�<2STK@N<EBC; K�Qo@NQC; K,�>F(=�G�D�=BTBCK�QC=iQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCKAF>@�F(=BTBCK <%J>?R=�QCK 9K�?RH>G =)SCSTK28���G[?RK(F(J>G K (H>J�qKA9�@NGM9K�GM@NQoST;�9K�?R=�O

6 ( 6 F ( F87 (:9U M (;9V F 7 � +B " 9 M � +XPB " 9 ��7(8 _E�

��;MSTJ>G Bo@y; <EBC=�QC=)SCSC@N<EBC=+KESCST=�QCD�@NQC=49o�>=4; GWD�=BTBCK�QC=+D�=�G K(9; B�q@ ( QC;MSTJ>G Bo@'Bo@N<>\�=�<EBC=L@NG GM@BCQo@N; =BTBCK�QC;M@]ST=�\�J>; Bo@RF>@NGeH>J><EBCK,BR8x��<(��@�BTBC;�ST;e�2@��(KESCST=�QCD�@N<2F(K]GM@#c2\�J>Qo@A7(8 7(O

Bo@N<[��</�GF ( V( U F +: +6 F ) :) E )E) 6 F ) :) 6 F %"= ��7(8 jE�

F(K�D�=0�3; <#p2@�ST=1@NG GM@n7(8 r,� : F %/�76��}q=.GM@���J><>d�; K�<>=I9o�>=1F(=)SC9QC; D�=.GM@�BCQo@N; =BTBCK�QC;M@�F(=�G%H>J><EBCK28�/=�Q � J2@N<EBCK QC; \�J2@NQoF>@�; GxST; \�<>; c�9�@�BCK c�ST;M9K�F(=�G GM@ D�=�G K(9; B�q@��eST;xQC;M9K�QoF>@�9o�>=]; Gx?RK(F(J>G KF(=�G�D�=BTBCK�QC=WD�=�G K(9; B�q@]; <2F(;M9�@RGM@AQo@NH>;MF(; B�q@R9K�<f9J>;[; G[H>J><EBCK�� F(=)SC9QC; D�=VGM@]BCQo@N; =BTBCK�QC;M@��GM@iF(; QC=�d�; K�<>=nF(=�G�D�=BTBCK�QC=�; <2F(;M9�@iGM@WBo@N<>\�=�<EBC=b@NG GM@VBCQo@N; =BTBCK�QC;M@��E?R=�<EBCQC=�; G�D�=�QoSTKW; <2F(;M9�@; G�ST=�<2STKAF(;�H�=�Qo9K�QCQC=�<>d)@#F(=�G GM@]BCQo@N; =BTBCK�QC;M@>8> ����$�: $�� '9;�!+8*"%$8 `b=�QC; D�@N<2F(K4QC;MSTH�=BTBCK0@NG1BC=�?RH�KL; G�D�=BTBCK�QC=PD�=�G K(9; B�q@��.ST;�KNBTBC; =�<>=�; GD�=BTBCK�QC=V@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�O

<? F*) <@) E FL<=BA6/�7ET�DMO<?CA:e�7ET� ��7(8 �)�E�

`b=�QC; D�@N<2F(KR; <%D�=)9=nG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=R��7(8 zE���2ST;eKNBTBC; =�<>=�O

? F ) () E YED . MK= +< ( YED . ��7(8 ���3�

9o�>=AQC;MSTJ>G Bo@�9K�?RH�KES~BCK�F>@NG GM@fSTK�?R?A@�F(;1F(J>=RBC=�QC?R; <>;��/F(;19J>;}; G.H>QC; ?RK'��D�=)F(;xc2\�J>Qo@7(8 k���@iF(=)S~BCQo@E�1q=�F(; QC=BTBCKiST=)9K�<2F(KWGM@nBo@N<>\�=�<EBC=�@NG GM@nBCQo@N; =BTBCK�QC;M@��N?R=�<EBCQC=�; G�ST=)9K�<2F(KV�2@

Page 11: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

�)� !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

����������

� � ���

�,� +��� �'.��� -, + � .��

���

��� ���, � � �� ����� � �(��%&�1����!,�3��%)%&���(� ���(����! ���2� ��������� � � �(�������'�� ��� ������� �#�(��� �)!���� � ���2��(��� � ! ��'('�� �

J><2@RF(; QC=�d�; K�<>=VH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=W@NG GM@#H>QC=)9=)F(=�<EBC=0�>; <2F(;M9�@�Bo@R9K�?R= 2*! � $�;�!+8*"%$�"%8 ��&('*: $8��G>D�=BTBCK�QC=�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=1H>J�qKW=)SCST=�QC=I=)STH>QC=)SCSTKV; <AJ><2@n��K�QC?A@WST; \�<>; c�9�@�BC; D�@nQC; ��=�QC=�<2F(KEST;@NG GM@Ac2\�J>Qo@P7(8 r284�[@���K�QC?A@ F(=�G GM@ABCQo@N; =BTBCK�QC;M@���<>=�G G�� ; <EBCK�QC<>K F(=�G/H>J><EBCK�����H>J�qK =)SCST=�QC=STKES~BC; BCJ>; Bo@WF>@NG ��$�� ��56!+8(8 - �� : '*)/8 � $��%9KES~BC; BCJ>; BCKiF>@NG GM@W9; Qo9K�<(��=�QC=�<>d)@V@3D�=�<EBC=I; <�9K�?#J><>=9K�<'GM@fBCQo@N; =BTBCK�QC;M@f; GIH>J><EBCK4���/GM@+F(=�QC; D�@�Bo@fH>QC; ?A@�=�ST=)9K�<2F>@>84�/=�Q#K�\�<>;1H>J><EBCKL�F(=�G GM@bBCQo@N; =BTBCK�QC;M@#q=1H�KESCST; p>; G =�F(=c2<>; QC=IJ><AF(; 1�=�QC=�<EBC=�9=�Qo9o�>; KnKESC9J>GM@�BCK�QC=�8���G%BC=�QC?R; <>= +<Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@nGM@VD�=�G K(9; B�q@W9K�<A9J>;2D�@NQC;M@VG�� ; <29G ; <2@Nd�; K�<>=�F(=�G GM@VBo@N<>\�=�<EBC=�@NG GM@nBCQo@N; =BTBCK�QC;M@H�=�Qo9K�QoSC@�F>@NGIH>J><EBCKL�/8.Y.K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(K�G�� ;MS~Bo@N<EBC=�F(;IBC=�?RH�KAEi=�G�� ;MS~Bo@N<EBC=PF(;IBC=�?RH�KE"M ) E��I<>=�G G�� ; <EBC=�QCD�@NG G K ) ER; G�Qo@N\�\�; KLF(=�Gn9=�Qo9o�>; KLKESC9J>GM@�BCK�QC=P�2@0F(=)SC9QC; BTBCK0G�� @N<>\�K�G K) < F +< ) E���9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<EBC=�?R=�<EBC=W; G/H>J><EBCKP� �2@�H�=�Qo9K�QoSTKA; G[BCQo@�BTBCK ) � F�� ) < ��H�=�Q9J>;�; Ge?RK(F(J>G K�F(=�G GM@]D�=�G K(9; B�q@]QC;MSTJ>G Bo@>O

( F ) �) E F�� ) <) E F�� +< ��7(8 �37��

; <2ST=�QC=�<2F(KRGM@A7(8 �37i<>=�G GM@A7(8 ���0�(G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=VF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(; D%; =�<>=�O

? F*) () E YED . MK=( 9� YED . ��7(8 �)kE�

; < 9J>;#; G#H>QC; ?RK BC=�QC?R; <>= q='F(=�<>K�?R; <2@�BCK 9K�?RH�K�<>=�<EBC=0Bo@N<>\�=�<EBC= ?�� �i='; <2F(;M9�@ GM@D�@NQC;M@Nd�; K�<>=4F(=�GW?RK(F(J>G K F(=�GWD�=BTBCK�QC=4D�=�G K(9; B�q@��n?R=�<EBCQC=4; GiST=)9K�<2F(K{q=LF(=�<>K�?R; <2@�BCK9K�?RH�K�<>=�<EBC=n<>K�QC?A@NG = ? � �%=V; <2F(;M9�@#GM@#D�@NQC;M@Nd�; K�<>=nF(;�F(; QC=�d�; K�<>=VF(=�GeD�=BTBCK�QC=bD�=�G K(9; B�q@>O

?�� F*) () E ? � F ( 9� ��7(8 ��r%�

��<2F(;M9�@N<2F(KV9K�< � G KVSTH2@Nd�; KbH�=�Qo9K�QoSTKnF>@NG%H>J><EBCKV�+G J><>\�KnGM@�BCQo@N; =BTBCK�QC;M@bST;(H�KESCSTK�<>KF(=c2<>; QC=nG =VST=�\�J>=�<EBC;�QC=�GM@Nd�; K�<>;��(F(;�J2STKR9K�?#J><>=n<>=�G G KRS~BCJ2F(; KRF(=�G G =VG =�\�\�;�F(;e?RKNBCK,�EBCQo@GM@]G =�\�\�=VK�Qo@NQC;M@#F(;�?RKNBCKASTH�KES~Bo@N?R=�<EBCK � �7ET�1=V; G�?RK(F(J>G K�F(=�G GM@]D�=�G K(9; B�q@ ( �7ET� O

� �7ET��F ��� M�� ���� ( �7ET� ) E ��7(8 �3u��

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 12: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������� ��������������� �� �� ������������ � ������!"�#�"��$���%������������&�� � �%��!���"���%���'��()(*�e�����

� , �

����� + ���

��� ���� � ���+�������(��' ����%&� ��������������! �����2����������'�� � ! ��%&���(� �3!! � %)�2���&��%)%&������� ����! � � ��%&� �=nBCQo@];�?RK(F(J>G ;[F(=�G GM@]D�=�G K(9; B�q@]=iF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�O

? �7ET��F ) () E F

) 9 �) E 9 < ( �7ET��F ( � M�� �

��� ? �7ET� ) E ��7(8 �)zE�

Page 13: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

�37 !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� -�-/,���*�&>������������� �2�)�L���E���)��,������%�� ;�9K�<2ST;MF(=�QC;�J><�H>J><EBCKA� 9o�>=VST;e?#J>K�D�=V9K�<PG =�\�\�=.6��7ET�1G J><>\�KRJ><2@#BCQo@N; =BTBCK�QC;M@iQC=BTBC; �G ; <>=)@��(9K�?R=b?RKES~BCQo@�BCK#; <�c2\�J>Qo@>8 7(8 uN@>8 �.SCST=�<2F(K#GM@WBCQo@N; =BTBCK�QC;M@WQC=BTBC; G ; <>=)@��(=bH�K�<>=�<2F(KG�� @�SCST=VQC=)@NG =WG J><>\�KAGM@]BCQo@N; =BTBCK�QC;M@RS~BC=)SCSC@��>QC;MSTJ>G Bo@ :e�7ET�"F����>H�=�Q�K�\�<>;eBC=�?RH�K E 8 � ;[�2@� J>; <2F(;�O

B FL6��7ET�( F +6��7ET�? F A6��7ET� ��7(8 ��XN�

�.SCST=�<2F(K�; G1Qo@N\�\�; K�F(=�G�9=�Qo9o�>; K�KESC9J>GM@�BCK�QC=AH2@NQC;I@�� �xH�=�QRGM@47(8 ����GM@+9K�?RH�K�<>=�<EBC=<>K�QC?A@NG =bF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�QC;MSTJ>G Bo@W<%J>G GM@>O/9;�qK]ST; \�<>; c�9�@i9o�>=�GM@#F(; QC=�d�; K�<>=bF(=�G�D�=BTBCK�QC=D�=�G K(9; B�q@L<>K�< D�@NQC;M@4<>=�G�BC=�?RH�K28 7�=�Gn9�@�STK0F(;b?RKNBCK0QC=BTBC; G ; <>=�K'ST;bF(=c2<>;MSC9=+@N<29o�>=GM@PF(=�QC; D�@�Bo@ABC=�QCd)@PF(=�G G K�STH�KES~Bo@N?R=�<EBCK,�eF(=BTBo@���=�Q�� ����H2@NQTBC;M9K�GM@NQC?R=�<EBC=#J(BC; G =]H�=�QWG KS~BCJ2F(; KAF(=�;�?R=)9�9�@N<>;MST?R;�F(;�?A@�9�9o�>; <>=W@NJ(BCK�?A@�BC;M9o�>=�O

� Y����e�7ET�GF ) ?) E F )�� 6) E �

��7(8 �)_E�

sgBC; BCK�G K'F(;�=)ST=�?RH>; K,�I<>=�G GM@0��@Np�=�G GM@'7(8 ��ST;�QC; H�K�QTBo@N<>K0@NGM9J><>;�D�@NG K�QC;�; <2F(;M9�@�BC; D%;bF(;@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�(QC=�GM@�BC; D%;[@�F�@NGM9J><>;[D�=�;M9K�G ;�8�Y.K�?R=iST;[H>J�qK�KESCST=�QCD�@NQC=n;[D�@NG K�QC;�H�KESCSTK�<>KD�@NQC;M@NQC=V@N<29o�>=V<>KNBC=�D�K�G ?R=�<EBC=0�%; <P��J><>d�; K�<>=iF(=�G G =iF(; 1�=�QC=�<EBC;[9K�<2F(; d�; K�<>;�8

BC; H�K�F(;eK�H�=�Qo@Nd�; K�<>= @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=+Q � 5 � 9 S F(J>Qo@�Bo@�Q � S@�SC9=�<2STK�QC=�OST=�QCD%; d�; K ���y7 ���yuG ; ?R; BC=iF(;[9K�?]��K�QTB kF(=)9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=VFe� =�?R=�QC\�=�<>d)@ 7�u?R=�d�d�;�BCQo@�STH�K�QTBCK]H>J>p>p>G ;M9K2O<>K�QC?A@NG =V@3D%D%;M@N?R=�<EBCK]=)F�@NQCQC=)S~BCK ���y7 ���yu��QC=�<2@�Bo@RFe� =�?R=�QC\�=�<>d)@]F>@P��rE����� 5�� r 7(8 u@NJ(BCK�D�=BTBCJ>Qo@>O@NQCQC=)S~BCK]9K�<(��K�QTBC=�D�K�G = 7 � u u��'_@NQCQC=)S~BCK#<>K�<f9K�<(��K�QTBC=�D�K�G = r�� u k��yu?A@�SCST; ?A@]F(=)9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nKNBTBC=�<>; p>; G = ��� X kJ>QTBCKf��H�KNBC=�<>d�;M@NG ?R=�<EBC=W<>K�<P?RK�QTBo@NG =3� 7N��� � ��� �@N=�QC=�KPOF(=)9K�G G K]<>K�QC?A@NG = u {�)��_F(=)9K�G G KR9K�<f9�@�Bo@NH>J>G Bo@ 7�u!�'z�� k��yu

" �$# � ���% � ���&� ��� � � � � �2��%0� �� �����(��%)� �3� ����!!'& ���(����! ���2� ��������� '���#��%&��������� ��'(' ��� ������� ������ �3����'(��� � �����.����%)�2��'�� ����%&�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 14: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������� ��������������� �� �� ������������ � ������!"�#�"��$���%������������&�� � �%��!���"���%���'��()(*�e�)k� -�-/,���*�&>������������� �2�)�L,�����5��L����&4*�����*���� � �E���%����&�.STH>QC; ?R=�<2F(KLGM@0H�KEST; d�; K�<>=�F(=�GbH>J><EBCK'; < 9K%K�QoF(; <2@�BC=f9�@NQTBC=)ST;M@N<>=0�IQC;MSTJ>G Bo@0ST=�?RH>G ;M9=SC9QC; D�=�QC=W; G�D�=BTBCK�QC=iH�KEST; d�; K�<>= �HBT8 JW�bF(; QC=BTBo@N?R=�<EBC=#; <f��K�QC?A@AH�K�GM@NQC=0��=)Ff=)ST=�\�J>; QC=G =�F(=�QC; D�@Nd�; K�<>;xH�=�QiKNBTBC=�<>=�QC=RD�=�G K(9; B�q@�=)FL@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0��F(; QC=BTBo@N?R=�<EBC=A; <4��K�QC?A@fF(;D�=BTBCK�QC=�O

B F��49KESX�MK=%ST; <�X�F�� Y D \( FL= +X�� Y D \? FL= AX�� Y D \ 8 +X 9 Y D \ ��7(8 �)jE�

7�=�G G =]7(8 �)jAST;�F(=�D�=VBC=�<>=�QC=#9K�<EBCK,�2<>=�G G =#F(=�QC; D�@Nd�; K�<>;��29o�>=i; G�Qo@N\�\�; K�� q=i9KES~Bo@N<EBC=�8 � ;H>J�qK�KESCST=�QCD�@NQC=i9o�>=]F>@NG GM@�F(=�QC; D�@Nd�; K�<>=i=�?R=�QC\�K�<>K�F(; QC=BTBo@N?R=�<EBC=#G =]9K�?RH�K�<>=�<EBC;�Bo@N<(�\�=�<EBC=W=i<>K�QC?A@NG =iF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�OxGM@AH>QC; ?A@�q=VBo@N<>\�=�<EBC=i@NG GM@]BCQo@N; =BTBCK�QC;M@��>?R=�<EBCQC=GM@#ST=)9K�<2F>@#@N\�;MSC9=�; <PF(; QC=�d�; K�<>=bH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=0�E=)F�q=bQC; D�K�G Bo@WD�=�QoSTKi; Ge9=�<EBCQCK]F(;e9J>QT�D�@�BCJ>Qo@�F(=�G GM@ABCQo@N; =BTBCK�QC;M@>8 � ;�KESCST=�QCD�@A; <>K�G BCQC=]9o�>=0��@N<29o�>=#<>=�G/9�@�STK�; <49J>;/; G�?RK(F(J>G KF(=�G GM@PD�=�G K(9; B�q@P<>K�<LD�@NQC;x<>=�GxBC=�?RH�K,�[; G}H>J><EBCK0q=A9K�?#J>< � J>=ASTK�\�\�=BTBCK�@�F+J><2@f@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�[; < � J2@N<EBCKfGM@�F(; QC=�d�; K�<>=�F(=�G.D�=BTBCK�QC=AD�=�G K(9; B�q@f9�@N?#p>;M@�<>=�G}BC=�?RH�K2OR9;�qK'q=; <2F(;M9�@�BCK�F>@NG/D�@NG K�QC=]<>K�<+<%J>G G K�F(=�G GM@�9K�?RH�K�<>=�<EBC=]<>K�QC?A@NG =RF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�8 ��KSTH2@Nd�; K]H�=�Qo9K�QoSTK]G J><>\�KRGM@#BCQo@N; =BTBCK�QC;M@ q=W@N<29K�Qo@]F(=c2<>; BCKAF>@NG G =#7(8 �3ui=i7(8 �)z>8

�� �+ ���

���

� -� ���'.�/

,��� ���'.�/

-��� ���'.�/

���

: �

��� ���, � �� ��%&���(��%)%)�)! ����2���0��� *�����%&��'�� %)�2���&��%)%&������������2�(�3! ���(��� #��3�

Page 15: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��r !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

0 1 2 3 4 5

−0.2

0

0.2

a [m

/s2 ]

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

t

v [m

/s]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

t

s [m

]

��� ���� � � "��������2����%&� %)�2� ! ��� ���.����!�����%&�1���1���(����! ���2� ��������� �(��'(%&����%0� �&! ����2� �(����%)��������1�%)�2����� � �������3! ���&! ����2��%)�2��%)%0��� ������%&���

� -�-/,���*�&>�����������V,��%5�5��1���%,1$'�2�)�

7�=�G}9�@N?RH�K�F(=�G G =R?A@�9�9o�>; <>=R@NJ(BCK�?A@�BC;M9o�>=0�e=AF(=�G GM@P?RK�D%; ?R=�<EBo@Nd�; K�<>=#; <4\�=�<>=�Qo@NG =0�/q=<>=)9=)SCSC@NQC; Ki9K�?RH>; =�QC=bF(=�;�?RK�D%; ?R=�<EBC;�9o�>=bH>QC=�D�=)F(K�<>KWG K]STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKiKiGM@iQCKNBo@Nd�; K�<>=9K�<+H2@NQTBC=�<>d)@ F>@ ��=�QC?RKP=)F+@NQCQC=)S~BCKP@NG�BC=�QC?R; <>=RF(=�Gx?RK�D%; ?R=�<EBCK�S~BC=)SCSTK,��K�H>H>J>QC=]J><?RKNBCK�@NG BC=�QC<2@�BCKABCQo@PF(J>=]H�KEST; d�; K�<>;/=)S~BCQC=�?R=�O�; <+K�\�<>;/9�@�STKPSTK�<>K H>QC=)ST=�<EBC;xF(=�G GM@A��@�ST;F(;[@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=b=iF(;[F(=)9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�8�[Qo@]G =iG =�\�\�;eH>;TqJ�ST=�?RH>G ;M9;[H�=�Q�=�1�=BTBCJ2@NQC= � J>=)S~BC;[?RK�D%; ?R=�<EBC;�D%;[STK�<>K � J>=�G G =#F(=�<>K�?]�<>; <2@�BC=�@�F.'0����$�: $�� '9;�!+8*"%$���8 -�)/'*",)/$A=�@�F.'0����$�: $�� '9;�!+8*"%$ ��8 -�)/'*",)/$,� '0����8 � 20'*)/'�8 7�=�G GM@H>QC; ?A@ ST;/�2@N<><>K ; <EBC=�QCD�@NG G ;�BC=�?RH�K�Qo@NG ;/F(;x@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=#9KES~Bo@N<EBC=]@ABCQo@�BTBC;��eJ><2@���@�ST=F(;�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=I=)FRJ><2@iF(;�F(=)9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0��BCQo@WG = � J2@NG ;>H>J�qKi=)SCST=�QCD%;2@N<29o�>=�J><ABCQo@�BTBCK@�Fy@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>= <%J>G GM@ ��KESCST;M@49K�<yD�=�G K(9; B�q@49KES~Bo@N<EBC=3� 8 �}� @N<2F>@N?R=�<EBCK4<>=�GIBC=�?RH�KF(=�G GM@ D�=�G K(9; B�q@�=]G K�STH2@Nd�; K H�=�Qo9K�QoSTK�QC; � =BTBCK�<>K K�D%D%;M@N?R=�<EBC=#;/G =�\E@N?R;/=)STH>QC=)SCST;�F>@NG G =��7(8 �3u�� �b��7(8 �)zE� 8 �[@]c2\�J>Qo@A7(8 zR?RKES~BCQo@]J><f=)ST=�?RH>; K�F(;[G =�\�\�=WF(=�G[?RKNBCKAH�=�Qb@�9�9=�G =�Qo@��d�; K�<>=W9KES~Bo@N<EBC=W@#BCQo@�BTBC;��[��; <�G ; <>=)@R9K�<EBC; <%J2@E� 8�}� @NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>=.F(=�G GM@�G =�\�\�=.@�Fi@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=}9KES~Bo@N<EBC=.<>K�<Aq=1@�F>@�BTBo@b@NG%9�@�STKbF(;E?RK�D%; �?R=�<EBC;eD�=�G K(9;��%H�=�QI; � J2@NG ;�G =VD�@NQC;M@Nd�; K�<>;�F(;e@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�H�KESCSTK�<>K#; <2F(J>QCQC=b��=�<>K�?R=�<>;F(; <2@N?R;M9;2; ?RH�K�QTBo@N<EBC;�8���<�@NG BC=�QC<2@�BC; D�@VST;2H>J�qKW?RK(F(; c�9�@NQC=�G�� @N<2F>@N?R=�<EBCKiF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@��d�; K�<>=1Qo@�9�9K�QoF>@N<2F(K�G ; <>=)@NQC?R=�<EBC=I;%BCQo@�BTBC;(@�F]@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=.9KES~Bo@N<EBC=�8[��<#Bo@NG>9�@�STKR��D�=�F(;(c2\�J>Qo@V7(8 zE�[G�� @N<2F>@N?R=�<EBCKVF(=�G GM@nD�=�G K(9; B�q@nQC;MSTJ>G Bo@nF(=�G(BC; H�KVBCQo@NH�=�d�K�;MF>@NG =1Qo@�9�9K�QoF>@�BCK,�=VG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=n<>K�<PH>QC=)ST=�<EBo@]H>;TqJfF(;MSC9K�<EBC; <%J>; B�q@>8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 16: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������� ��������������� �� �� ������������ � ������!"�#�"��$���%������������&�� � �%��!���"���%���'��()(*�e�3u� -�-/,���*�&>������������� �2�)�L���I��� -/�����)�0,�����5��L����&+����&>���E���)�2����&45��%���E����*�&��< � J>=)S~BCK]=)ST=�?RH>; K,�(D�K�G BCKR@NG G KRS~BCJ2F(; KAF(=�Ge?RKNBCKRF(;eJ><PH>J><EBCKRG J><>\�KRJ><2@iBCQo@N; =BTBCK�QC;M@\�=�<>=�QC;M9�@��1ST;b9K�<2ST;MF(=�Qo@+J>< H>J><EBCK B 9o�>=�ST;�?#J>K�D�=PG J><>\�K0J><�� @�S~Bo@4QC=BTBC; G ; <>=)@ J �� c2\�J>Qo@P7(8 XN����F(KNBo@�Bo@ F(;x?RKNBCKPQCKNBo@�BCK�QC; K @�BTBCK�QC<>KP@NG/H><EBCK>J]8 � ;M@]X2�7ET�nG�� @N<>\�K�G K 9o�>=G�� @�S~Bo@�� � ��K�QC?A@]9K�< G�� @�SCST=nQC=)@NG =0�%= � �7ET�1GM@]F(;MS~Bo@N<>d)@iBCQo@#; GeH>J><EBCK,B =nG�� =)S~BCQC=�?RK,JF(=�G G�� @�S~Bo@>8x��; H>QC=�<2F(=�<2F(KRGM@A7(8 7 �>ST;��2@>O

B$FOBWY[Z \�F � �7ET� Y[Z \�� ��� ��7(8 7N�E�

��<2ST=�QC=�<2F(KAGM@�F(; H�=�<2F(=�<>d)@ F>@NG�BC=�?RH�KPF(=�G G =#F(J>=]9K%K�QoF(; <2@�BC= � �7ET��= X2�7ET���/q=WH�KESCST; p>; G =BCQo@�9�9;M@NQC=�GM@VBCQo@N; =BTBCK�QC;M@iF(=)SC9QC; BTBo@iF>@NG�H>J><EBCK+BR8.Y.K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(KWGM@#F(=�QC; D�@�Bo@WQC;MSTH�=BTBCK@NG�BC=�?RH�K�F(=�G GM@���7(8 7N�E���>ST;�KNBTBC; =�<>=VGM@RD�=�G K(9; B�q@]F(=�G�H>J><EBCK BR8

(�� F +� Y Z \ M ! +X � Y Z \ ��7(8 7(�3�

; <�9J>;[ST;xq=VK�?R=)SCSC@]H�=�Q�p>QC=�D%; B�q@]G�� ; <2F(;M9�@Nd�; K�<>=V=)STH>G ;M9; Bo@RF(;[F(; H�=�<2F(=�<>d)@AF>@NG�BC=�?RH�K28��F(J>=iBC=�QC?R; <>;x9o�>=]9K�?RH2@N; K�<>K @ ST=)9K�<2F(K�?R=�?#p>QCK F(=�G GM@P7(8 7(�#STK�<>K ?RKES~BCQo@�BC;[<>=�G GM@c2\�J>Qo@#7(8 _��E9K�< F(; QC=�d�; K�<>;�=bD�=�QoST;�F(=BTBo@�BC;eF>@NG G =�G K�QCK#S~BC=)SCST=b=)STH>QC=)SCST; K�<>;�O[G�� @N<>K�?A@NG ;M@Aq=G�� @NQC\�K�?R=�<EBCKRF(=�G G =i��J><>d�; K�<>;[=)STH�K�<>=�<>d�;M@NG ;��2?R=�<EBCQC=W; G[H>QCK(F(KNBTBCK�H�=�Q�G�� J><>; B�q@�; ?R?A@N\�; �<2@NQC;M@!x9K�?RH�K�QTBo@VJ><2@VQCKNBo@Nd�; K�<>=�F(;�3#5N7V; <AD�=�QoSTKW@N<EBC; K�Qo@NQC; K,��9K�?R=�\�;�q@WQC;M9K�QoF>@�BCKV; <H>QC=)9=)F(=�<>d)@>8[��<(c2<>=�G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=1D�=BTBCK�QC;M@NG =IF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=IF(=�G>H>J><EBCK B QC;MSTJ>G Bo@>O

? � F A� Y[Z \GM ! 7 +� +XPY[Z \GM ! AX � Y[Z \�8 +X 9 � Y[Z \ ��7(8 7�7��

9K�<�9K�?RH�K�<>=�<EBC;e; <2F(;M9�@�BC=i@N<29o��� =)SCST=n; <Pc2\�J>Qo@A7(8 _>8����H�KESCST; p>; G =0��BCQo@N?R; BC=]GM@4��7(8 7N�E��BCQo@�9�9;M@NQC=i<>=�GxH>;M@N<>K]6�8 :fGM@�BCQo@N; =BTBCK�QC;M@ F(=)SC9QC; BTBo@F>@NGxH>J><EBCK>B ��<>KNBC=RG =AG =�\�\�;xF(=�G}?RKNBCK�F(=�G G =�F(J>=RD�@NQC;M@Np>; G ; � �7ET�n= X2�7ET�R� c2\�J>Qo@�7(8 jE� 87�=�G GM@ic2\�J>Qo@]7(8 �)�#ST;�QC; H�K�QTBo@N<>K,�E; <P9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@iF(;�F(J>=nH>J><EBC;�F(=�G GM@iBCQo@N; =BTBCK�QC;M@��E;D�=BTBCK�QC;�D�=�G K(9; B�q@#=)FP@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0� � J>=)S~B)� J>G BC; ?RKR<>=�G G =WSTJ>=W9K�?RH�K�?R<>=BC;�Bo@N<>\�=�<EBC=n=<>K�QC?A@NG =�8

��

��� ���� ��� ��'(%0����� ����� ! � '(% �������1��� � � � %)�2���&��%)%&���������������������(��*.�(��'(%)�% � �%&� ��� � ��& ��'(%&�� ���2��%&����%0� ��%)%&����� ������ � ��� � � ��%&� � ����� '��(�����(� '�� !!'& ��'(%&�

Page 17: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

�)z !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

-� � -� � � /� -� � � � /

-��

�� � � /� �� � � � /

�-� � � � /

>�� -� � � � /

��� ���, � ���(� �����(� ��������� ������%0����������.����� �(��� � ��� ����� �1! � �3��! � ���%10� � !'& ���(����! ���2� ��������� ����!� � ��%&� � ����� '��(�����(� '�� !!'& ��'(%&�

0 1 2 3 4 5−0.5

0

0.5

[m/s

2 ], [r

ad/s

2 ]

d2s/dt2 d2θ/dt2

0 1 2 3 4 5−1

0

1

t

[m/s

], [r

ad/s

]

ds/dt dθ/dt

0 1 2 3 4 50

2

4

t

[m],

[rad

] s(t) θ(t)

��� ���� � ��� ��� ���.����!�����%&�1���1���(����! ���2� ��������� �(��'(%&����%0� ����!! � ���������$#��)! � �&! ����2�1�(����%)��������1�� �&! ����2� %)�2��%)%0��� ������%&���

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 18: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

����������� ��������� ��������������� �� �� ������������ � ������!"�#�"��$���%������������&�� � �%��!���"���%���'��()(*�e��X

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

sx

sy

traiettoria

V(t1)

V(t2)

P(t1)

P(t2)

−0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

sx

sy

traiettoria

at

an

at

an

P(t1)

P(t2)

��� ���� �� � "��2���&��%)%&������������! � � ��%&� � �(��� �� �����(� ����������*.� �3! ���'(%&����%)��������� ������ � 3*����!! � �3��! � ���%10� ���� �3! %&���1� ����!!'& ���(����! ���2� ���������������#(��'('����

Page 19: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

�)_ !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

���!� � ���������������"� #���% ��(.-�&�( -���� ��#�( ����%T&��)����(

7�=�G[H2@NQo@N\�Qo@���KRH>QC=)9=)F(=�<EBC=iST;.q=#S~BCJ2F(;M@�Bo@AGM@�9; <>=�?A@�BC;M9�@AF(;�J><�ST;MS~BC=�?A@AH>J><EBC; ��K�QC?R=0�KESCST;M@4F(KNBo@�BCK0F(;�F(; ?R=�<2ST; K�<>;�BCQo@�SC9J>Qo@Np>; G ;�8 �fK�G BCK0STH�=)SCSTK4H�=�Q�qKL<>=�G G K0S~BCJ2F(; K0F(=�G GM@�f=)9�9�@N<>;M9�@RK(9�9K�QCQC=V9K�<2ST;MF(=�Qo@NQC=W9K�QCH>;[F(;�F(; ?R=�<2ST; K�<>;�c2<>; BC=�81��< � J>=)S~BCK�@N?#p>; BCK,�2J><?RK(F(=�G G K#H2@NQTBC;M9K�GM@NQC?R=�<EBC=�; ?RH�K�QTBo@N<EBC=iq= � J>=�G G K]F(=�G���8 �!�,8 ��! � !+208R9o�>=bD�=�QCQ�q@nBCQo@�BTBo@�BCK; < � J>=)S~BCKRH2@NQo@N\�Qo@���K28��<'H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=0�/ST;}��K�QC<>; Q�q@fGM@�F(=c2<>; d�; K�<>=PF(;I9K�QCH�KfQC; \�;MF(K�= ST;IF(=)SC9QC; D�=�Qo@N<><>K�;

H2@NQTBC;M9K�GM@NQC;%BC; H>;�F(;�?RK�D%; ?R=�<EBCK#9o�>=�H�KESCSTK�<>KW=)SCST=�QC=�9K�?RH>; J(BC;�F>@W=)SCSTK,��=�D%;MF(=�<>d�;M@N<2F(KG =]QC=�GM@Nd�; K�<>;/9; <>=�?A@�BC;M9o�>=#��K�<2F>@N?R=�<EBo@NG ;x9o�>=]<>=R\�K�D�=�QC<2@N<>KA; Gx?RKNBCK,��G ; ?R; Bo@N<2F(KEST;}@NG?RKNBCKR; <�J><�H>;M@N<>K28

��� ������� ��� �� ��1�$�� � !���� ����� �#� ����� ��#���%���� � �� � �"��!�����}QC=�?R=BTBC;M@N?RK4; <><2@N<>d�; BCJ(BTBCK0@NGM9J><>=fF(=c2<>; d�; K�<>;�9o�>=fST;�@NH>H>G ;M9�@N<>K4; < \�=�<>=�Qo@NG =P@NG GM@9; <>=�?A@�BC;M9�@�F(;.J><y9K�QCH�K�F(KNBo@�BCK+F(;1F(; ?R=�<2ST; K�<>;.c2<>; BC=4��<>K�<0<>=)9=)SCSC@NQC;M@N?R=�<EBC=RQC; \�; �F(K%� 8 `b=c2<>;M@N?RK� ���)����������� F(=�G�9K�QCH�K,�xG�� ; <2ST; =�?R=fF(=�;�D�=BTBCK�QC;�9o�>=�F(=c2<>;MSC9K�<>K4GM@H�KEST; d�; K�<>=�F(;I9;M@�SC9J><LH>J><EBCK+9K�?RH�K�<>=�<EBC=�; G19K�QCH�K28�`b; QC=�?RK�H�K�; � � ����$'�%���)� ��K&(8*)/8�!#"��[� '*"%20$3�}F(=�G�9K�QCH�KVGM@iF(=)SC9QC; d�; K�<>=�F(;�9K�?R=�GM@VH�KEST; d�; K�<>=�F(; � J>=)S~BCKWD�@NQC;M@n<>=�GBC=�?RH�K,�%KESCST;M@VGM@iF(; H�=�<2F(=�<>d)@#F(;2BCJ(BTBC;�;�D�=BTBCK�QC;2H�KEST; d�; K�<>=�QC=�GM@�BC; D%;�@N;�H>J><EBC;�F(=�G�9K�QCH�K; <+��J><>d�; K�<>=�F(=�G/BC=�?RH�K28R��<4H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=0��F(; QC=�?RK $'�2�)� -/��&>��� J><2@�9K�<2F(; d�; K�<>=RF(;?RK�D%; ?R=�<EBCKV; <A9J>;>G =IBCQo@N; =BTBCK�QC; =�F(;>BCJ(BTBC;2;>H>J><EBC;���=�F(;�9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@�BCJ(BTBC=�G =�D�=�G K(9; B�q@=]G =R@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;�F(=�;/H>J><EBC;}F(=�GxST;MS~BC=�?A@PSTK�<>K H2@NQo@NG G =�G =]@�F�J><+H>;M@N<>KPF(=BTBCK]�%!+'*"%82*! � $�)�)/8 � $8`b; QC=�?RK#; <(c2<>= � ���)�+���x$'�2�)� G�� ; <2ST; =�?R=nF(=�G G =bD�=�G K(9; B�q@iF(;2BCJ(BTBC;�;�H>J><EBC;eF(=�G�ST;MS~BC=�?A@<>=�G G�� ;MS~Bo@N<EBC=i9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK28��}� @�BTBCKAF(;[?RKNBCKA9K�QCQC;MSTH�K�<2F(= � J>; <2F(;[@�FPJ><2@ ����KNBCK�\�Qo@�c�@�F(=�G GM@�9K�<2F(; d�; K�<>=];MS~Bo@N<EBo@N<>=)@PF(;}?RKNBCKfF(=�G}9K�QCH�K28 ��=AF(J>=AF(=c2<>; d�; K�<>;}F(;}H�KEST; d�; K�<>==]?RK�D%; ?R=�<EBCKPF(=�Gx9K�QCH�KPQC;M9�@NGM9�@N<>K F>@ D%;M9; <>K G =R9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<EBC;/F(=c2<>; d�; K�<>;���K�QC<>; BC=H�=�Qn; G�?RKNBCKPF(=�G�H>J><EBCK,��GM@ F(=c2<>; d�; K�<>=]F(;/@�BTBCKPF(;�?RKNBCK D%;M9=�D�=�QoSC@Pq=]STH�=)9; c�9�@�F(=�G GM@9; <>=�?A@�BC;M9�@WF(;29K�QCH>;(<>K�<RH>J><EBC; ��K�QC?R;�8��[@VQo@N\�; K�<>=1H�=�Q.9J>;2ST;>QC=�<2F(=�<>=)9=)SCSC@NQC; Kn; <EBCQCKN�F(J>QCQC=.GM@nF(=c2<>; d�; K�<>=IF(;(@�BTBCKVF(;%?RKNBCK]q=19o�>=0�N9K�?R=IST;%D�=)F(Q�q@�<>=�G>ST=�\�J>; BCK,�3?RK�G BCKVSTH�=)SCSTK@N;�<>KES~BCQC;�c2<>;1��@�F�=)S�81H�=�Qn9�@NGM9K�GM@NQC=VG�� =�<>=�QC\�;M@R9; <>=BC;M9�@�F(;[J><�9K�QCH�KA; <f?RK�D%; ?R=�<EBCK%�SC@NQ�q@nH2@NQTBC;M9K�GM@NQC?R=�<EBC=�; ?RH�K�QTBo@N<EBC=bF(=c2<>; QC=�GM@i9K�<2F(; d�; K�<>=�;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@WF(;2?RK�D%; ?R=�<EBCKF(=�G[ST;MS~BC=�?A@>8}��<>K�G BCQC=0�29K�?R=iST;�?RKES~BCQC=�Q�q@#; < � J>=)S~BCKA9�@NH>; BCK�G K,�>?R=�<EBCQC=WGM@RF(=)SC9QC; d�; K�<>=F(=�G�?RK�D%; ?R=�<EBCK]F(;eJ><P9K�QCH�KP��@N<29o�>=n<>=�Ge9�@�STK]F(;eJ><P9K�QCH�K#QC; \�;MF(K%�xQC;MSTJ>G Bo@#; < \�=�<>=�QC=9K�?RH>G =)SCSC@��EH�=�QIG�� @�BTBCKRF(;�?RKNBCKRF(;�J><�9K�QCH�K#QC; \�;MF(K q=bH�KESCST; p>; G =VF(=c2<>; QC=V@NGM9J><>=bQC=�GM@��d�; K�<>;�9; <>=�?A@�BC;M9o�>=i9o�>=W9K�<2ST=�<EBCK�<>KRF(;[S~BCJ2F(;M@NQCG KR9K�<�QC=�GM@�BC; D�@]ST=�?RH>G ;M9; B�q@>8v}@NG =�GM@VH�=�<2@nc2<AFe� K�Qo@VF(;2; <EBCQCK(F(J>QCQC=I@N<29o�>=�GM@V<>K�d�; K�<>=�F(;�� -.�����)&>$'�%���)�P�����/�����)����)��$'� F(;�J><�9K�QCH�K2O}ST;�BCQo@�BTBo@RF(;[J><>K�STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKA; <f9J>;�9;M@�SC9J><PH>J><EBCK F(=�G[9K�QCH�KD�@NQC;M@�GM@fH>QCK�H>QC;M@PH�KEST; d�; K�<>=�F(;1J><2@ � J2@N<EBC; B�q@�; <(c2<>; BC=)ST; ?A@��/KESCST;M@fF(;.=�<EBC; B�q@�BCQo@�SC9J(�Qo@Np>; G =WQC;MSTH�=BTBCK�@ � J2@NG J>< � J>=iF(; ?R=�<2ST; K�<>=#9o�>=WQo@NH>H>QC=)ST=�<EBC;eGM@AH�KEST; d�; K�<>=W; <>; d�;M@NG =iF(=�G9K�QCH�K28���<�@NG BCQC=�H2@NQCK�G =0��G K#STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKW; <(c2<>; BC=)ST; ?RK�q=�J><>K#STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKi9o�>=�H�K�QTBo@; G/9K�QCH�K�; <�J><2@�<%J>K�D�@AH�KEST; d�; K�<>=]9o�>=iH�=�Q�qK,�e@A?R=�<>KPF(; � J2@N<EBC; B�q@�; <(c2<>; BC=)ST; ?R=0��H>J�qK=)SCST=�QC=nQC; BC=�<EBCJ(Bo@R;MF(=�<EBC;M9�@R@ � J>=�G GM@RF(;�H2@NQTBC=�<>d)@>8�[@b<>=)9=)SCST; B�q@bF(;(; <EBCQCK(F(J>QCQC=.J><R9K�<29=BTBCKV9KES�q �E@�S~BCQo@�BTBCKb=)F]@NH>H2@NQC=�<EBC=�?R=�<EBC=.H�K(9KnJ(BC; �G ; d�d)@Np>; G =b; < 9K�<29QC=BCKW<2@�SC9=nF>@NG>��@�BTBCK]9o�>=b<>=�G G K]S~BCJ2F(; K]F(=�G GM@iF(; <2@N?R;M9�@iJ(BC; G ; d�d�=�QC=�?RK

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 20: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ �)j

=)S~BC=)SC@N?R=�<EBC=b; G 5 ��!#"%��! �%!+8 20$�!�� ' �*8 ��! ' ! ��) ,'*: !���9 ��QnY1@NH�8 r%���(9o�>=nQC;M9o�>; =)F(=nH�=�QIGM@]STJ2@@NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>= F(;�9�@NGM9K�GM@NQC=AG K4STH�KES~Bo@N?R=�<EBCK+; <(c2<>; BC=)ST; ?RKLF(=�GIST;MS~BC=�?A@y��H>J><EBCK,�.9K�QT�H�K,�2; <2ST; =�?R=]F(;�9K�QCH>; ��S~BCJ2F(;M@�BCK28��/=�Q�; G�?RK�?R=�<EBCK,��9;�@�9�9K�<EBC=�<EBC=�QC=�?RK�F(;[KESCST=�QCD�@NQC=9o�>=W=)ST;MS~BC=iJ><2@�9o�>;M@NQo@R@N<2@NG K�\�;M@#BCQo@RG�� @�BTBCK F(;[?RKNBCKA=iG K STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKA; <(c2<>; BC=)ST; ?RK2O; <(��@�BTBC;��xH�K�;M9o��q=AGM@�D�=�G K(9; B�q@�F(;I9;M@�SC9J><0H>J><EBCK+H>J�qK�=)SCST=�QC= F(=c2<>; Bo@+9K�?R=�Qo@NH>H�K�QTBCKBCQo@RG K�STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKR; <(c2<>; BC=)ST; ?RK F(=�G[H>J><EBCKA=)F�; G�BC=�?RH�K ) E1; <�9J>; � J>=)S~BCK�@3D%D%; =�<>=0�G�� @�BTBCK F(;[?RKNBCK�H>J�qK =)SCST=�QC=W; <EBC=)STK @N<29o�>=i9K�?R=iJ><2@ F(=)SC9QC; d�; K�<>=iF(=�G G K STH�KES~Bo@N?R=�<EBCK; <(c2<>; BC=)ST; ?RK�F(=�G�9K�QCH�K,�>Qo@NH>H�K�QTBo@�BCKR@NG�BC=�?RH�KA; <(c2<>; BC=)ST; ?RK ) EI; <�9J>; � J>=)S~BCK�@3D%D%; =�<>=�837�=�9K�<2ST=�\�J>= 9o�>=�: $ -�)/$�-�- $�� $ � 8*: $ ��!#"%$�&('*)�!+��5�$ ��5�$ 20$���",! � $�&(8 �,$�� :�� '*)�)/8 2*!&(8*)/8 �*'*: � 8*"%8�'*"%��5�$��,$���: 8(-!�,8 -�)/'*&($�",)/8 !#"���",!#)/$�-�!#&(8 2*! " ��8 �!�,8]��! � !+208 < � J>=)S~Bo@9K�<2ST;MF(=�Qo@Nd�; K�<>=]SC@NQ�q@�F(;}\�Qo@N<2F(=R; ?RH�K�QTBo@N<>d)@P<>=�G}?RK�?R=�<EBCK�; <09J>;.@*1�QCK�<EBC=�QC=�?RKPG KS~BCJ2F(; KAF(=�G GM@RF(; <2@N?R;M9�@AF(=�;�ST;MS~BC=�?R;�?R=)9�9�@N<>;M9;�8

��� ��� � � ��� �� ��1�$�� � ��� �"��!���� !��������#��/KESCST;M@N?RK F(=c2<>; QC=AQC; \�;MF(KPJ><L9K�QCH�K0��; <2ST; =�?R=AF(;}H>J><EBC;.F(KNBo@�BCK�F(;.F(; ?R=�<2ST; K�<>; �n9o�>=H>J�qKbSTJ>p>; QC=}=)SC9G J2ST; D�@N?R=�<EBC=}STH�KES~Bo@N?R=�<EBC;�QC; \�;MF(;��3KESCST;M@�9o�>=}QC;MSTH�=BTBo@N<>K�G =.F(J>=.ST=�\�J>=�<EBC;QC=�\�K�G =R��K,�(H>;TqJ�H>QC=)9;MSC@N?R=�<EBC=0�(D%; <29K�G ; � O

� GM@RF(;MS~Bo@N<>d)@#BCQo@ � J2@NG J>< � J>=i9K�H>H>;M@]F(;�H>J><EBC;[ST;�?A@N<EBC; =�<>=V; ?R?#J(Bo@�Bo@�<

� G�� @N<>\�K�G K ��K�QC?A@�BCK F>@ F(J>=yST=�\�?R=�<EBC;#9K�<>\�; J><>\�=�<EBC;#F(J>=y9K�H>H>; ='F(;#H>J><EBC;]@H>;M@�9=�QC=V<>=�G�9K�QCH�KAST;e?A@N<EBC; =�<>=W; ?R?#J(Bo@�BCK28

9=�Qo9�@N<2F(K#F(;�ST; <EBC=BC; d�d)@NQC= � J>=)S~Bo@iF(=c2<>; d�; K�<>=0�(ST;�H>J�qK]@*1�=�QC?A@NQC=b9o�>=bJ><P9K�QCH�KiQC; \�;MF(Kq=WJ><�ST;MS~BC=�?A@A9o�>=iST;�STH�KES~Bo@AST=�<>d)@A9�@N?#p>;M@NQC=VGM@RH>QCK�H>QC;M@#��K�QC?A@>8 � ;[KESCST=�QCD%;��>@]BC; BCK�G KF(;>=)ST=�?RH>; K,�N; G2QC=BTBo@N<>\�K�G KVF(=�G GM@nc2\�J>Qo@W7(8 ����O�G KiSTH�KES~Bo@N?R=�<EBCKVQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCKn; <RG ; <>=)@9K�<EBC; <%J2@Pq=VQC; \�;MF(K2OxGM@]��K�QC?A@AF(=�G[9K�QCH�KR<>K�<Lq=W9�@N?#p>;M@�Bo@��2@N<29o�>=WST=WGM@RH�KEST; d�; K�<>=iF(=�;H>J><EBC;.9o�>=�G K�9K�?RH�K�<>\�K�<>K4q=�F(; D�=�QoSC@��[@�F4=)ST=�?RH>; Kf; G.GM@�BCK�s � =�G}GM@�BCK � Y �2@N<><>K@�SCSTJ><EBCKbH�=�Q/=�1�=BTBCKWF(=�G G KVSTH�KES~Bo@N?R=�<EBCKVF(; QC=�d�; K�<>;(F(; D�=�QoST=0�3?A@n?A@N<EBC=�<>\�K�<>KbGM@nS~BC=)SCSC@G J><>\��>=�d�d)@A=R9K�<EBC; <%J2@N<>KP@A��K�QC?A@NQC=iJ><4@N<>\�K�G K�QC=BTBCK28Ws�Gx9K�<EBCQo@NQC; K,�2;xF(J>=RSTH�KES~Bo@��?R=�<EBC;(Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BC;E; <]G ; <>=)@�BCQo@�BTBC=�\�\�;M@�Bo@�<>K�<RSTK�<>KnQC; \�;MF(;�O�; <]J><R9�@�STKn; G(QC=BTBo@N<>\�K�G KST;[F(=��K�QC?A@R; <�J><fH2@NQo@NG G =�G K�\�Qo@N?R?A@>O/;�GM@�BC;[?A@N<EBC=�<>\�K�<>KA@N<29K�Qo@]GM@AS~BC=)SCSC@]G J><>\��>=�d�d)@���?A@ G�� @N<>\�K�G KA��Qo@ F(;/G K�QCK�QC;MSTJ>G Bo@ F(; D�=�QoSTK�QC;MSTH�=BTBCK�@NG GM@AH�KEST; d�; K�<>=#K�QC; \�; <2@NG =�847�=�GST=)9K�<2F(K#9�@�STK,��J><>K]F(=�;�GM@�BC;�QC;MSTJ>G Bo@i; <29J>QCD�@�BCK2O/ST=nST;�9K�<2ST;MF(=�Qo@VJ>< � J2@NG J>< � J>=bH>J><EBCK; <EBC=�QC<>K]@#Bo@NG =nGM@�BCK���@�F�=)ST=�?RH>; K]; GeH>J><EBCK�i���%GM@]STJ2@]F(;MS~Bo@N<>d)@]F>@R9;M@�SC9J><>K]F(=�;�F(J>=D�=�QTBC;M9;/q=W9�@N?#p>;M@�Bo@��>9KES�q ��9K�?R=Rq=W9�@N?#p>;M@�BCK,�>@�F =)ST=�?RH>; K,�(G�� @N<>\�K�G KR`�s�R8Y.K�?R=IST;(H>J�qKn<>KNBo@NQC=IF>@NG GM@�c2\�J>Qo@�� � J2@N<2F(KnJ><R9K�QCH�KVSTJ>p>;MSC9=1J><>KVSTH�KES~Bo@N?R=�<EBCKnQC; \�; �F(K q=nST=�?RH>QC=bH�KESCST; p>; G =�BCQCK�D�@NQC=�J><2@#<%J>K�D�@WH�KEST; d�; K�<>=nF>@]9J>;�KESCST=�QCD�@NQC=�; Ge9K�QCH�K ��H>;TqJQC; \�K�QCKESC@N?R=�<EBC=0�e=)ST=�\�J>; QC=RJ><y9�@N?#p>;M@N?R=�<EBCKfF(=�G1ST;MS~BC=�?A@fF(;.QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK%�V<>=�G � J2@NG =D�=)F(QC=�?RK]; G�ST;MS~BC=�?A@]; <f?RK(F(KA;MF(=�<EBC;M9KA@A9K�?R=i9;[@NH>H2@NQC; D�@]H>QC; ?A@R9o�>=i@3D%D�=�<>;MSCST=nG KSTH�KES~Bo@N?R=�<EBCK28

��� ��� � � !"�����#���C�'�����!'���������� �"��!���� !��������#�� ��� ���������� �� �#()(*� � �$��� �1�$�� ������ � � ��� !����������� =I9K�<2ST;MF(=�QC;M@N?RK�J><]9K�QCH�KnF(KNBo@�BCKnF(;(F(; ?R=�<2ST; K�<>;%<>K�<iBCQo@�SC9J>Qo@Np>; G ;��3=IST=.; H�KNBC; d�d�;M@N?RK9o�>=A=)SCSTKfH�KESCSC@f9K�?RH>; =�QC= � J2@NG J>< � J>=ABC; H�K+F(;1STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKf<>=�G.H>;M@N<>K,�/@N<29o�>=A<>K�<

Page 21: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7N� !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� �

��

�/KEST; d�; K�<>=n; <>; d�;M@NG =

��

� H�KES~Bo@N?R=�<EBCKRQC; \�;MF(K

� �

��

� H�KES~Bo@N?R=�<EBCKR<>K�<�QC; \�;MF(K

� �

��

� H�KES~Bo@N?R=�<EBCKR<>K�<�QC; \�;MF(K��� ���� ������.' ��� ��� ����'�� ��'(%&��� ����%&�1��� �������1� ����'�� ��'(%&��� ����%&�1� ��� ��� �������

QC; \�;MF(K,�>@NG G K�Qo@#; <f\�=�<>=�Qo@NG =VF(K�D%QC=�?RKA@�BTBCQC; p>J>; QC=W@NG[9K�QCH�K � 9 \�Qo@�F(;�F(;�G ; p�=�QTB�q@��2KESCST;M@F(J>=VH�KESCST; p>; G ; B�q@#; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC;�F(;e?RK�D%; ?R=�<EBCK���=)S�8/; <PK�QC; d�d�K�<EBo@NG =b=n; <PD�=�QTBC;M9�@NG =3�xH�=�Q9;M@�SC9J><>KRF(=�\�G ;�; <(c2<>; BC;�H>J><EBC;[9o�>=i9K�?RH�K�<>\�K�<>K]; G�9K�QCH�K28� =VH�=�Q�qK]; G�9K�QCH�K q=VQC; \�;MF(K,�%@NG G K�Qo@]STK�<>K]STJ =�9; =�<EBC;�BCQC=WSTK�G =V9K%K�QoF(; <2@�BC=nH�=�Q�F(=c2<>; QC<>=GM@bH�KEST; d�; K�<>=�O[ST;%H�=�<2ST;>@�Fi=)ST=�?RH>; KVF(;>F(=c2<>; QC=1GM@bH�KEST; d�; K�<>=1F(;(J><]H>J><EBCK � J2@NGMST;M@�ST;%F(=�G9K�QCH�K+��@�F�=)ST=�?RH>; K�; G�H>J><EBCK � <>=�G/9K�QCH�KAQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCKA; <fc2\�J>Qo@�7(8 ���0�2?R=)F(;M@N<EBC=J><2@�9K�H>H>;M@�F(;19K%K�QoF(; <2@�BC=��76DC�:>�WQC; ��=�QC; BC= @�FLJ><yST;MS~BC=�?A@�F(;1@�SCST;19�@NQTBC=)ST;M@N<>;.SC9=�G BCK; <�H>QC=)9=)F(=�<>d)@>8.s � J>=)S~BCKAH>J><EBCKAH�KNBCQC=�?RKA; <2F(; D%;MF(J2@NQC=VGM@RH�KEST; d�; K�<>=WF(;[J><fST=)9K�<2F(KH>J><EBCKAF(=�G�9K�QCH�KR9K�<PJ><2@]STK�GM@]9K%K�QoF(; <2@�Bo@>O/9K�<>KESC9=�<2F(K]; <(��@�BTBC;�\�;�q@#GM@]F(;MS~Bo@N<>d)@#BCQo@;[F(J>=WH>J><EBC;��>p2@�S~BC=�Q�q@]J(BC; G ; d�d)@NQC=VJ><2@R9K%K�QoF(; <2@�Bo@R@N<>\�K�GM@NQC=bH�=�QbF(=)SC9QC; D�=�QC=nG�� K�QC; =�<EBo@��?R=�<EBCKAF(=�G GM@A9K�<>\�; J><>\�=�<EBC=R��@�FP=)ST=�?RH>; K,�(; <Pc2\�J>Qo@A7(8 ���0�%H�KNBCQC=�?R?RKRJ2SC@NQC=VG�� @N<>\�K�G K��K�QC?A@�BCK#F>@NG�GM@�BCK]s � 9K�<�GM@iF(; QC=�d�; K�<>=bK�QC; d�d�K�<EBo@NG =�H�=�QI; <2F(; D%;MF(J2@NQC=�; G�H>J><EBCK � � 8}s� J>=)S~BCKRH>J><EBCKAGM@]H�KEST; d�; K�<>=WF(; � J2@NG J>< � J>=W@NG BCQCKRH>J><EBCK,B F(=�G�9K�QCH�KRQC; \�;MF(KPq=VJ><>; D�KN�9�@N?R=�<EBC=�F(=c2<>; Bo@iF>@NG(��@�BTBCK#9o�>=�GM@WF(;MS~Bo@N<>d)@���B q=I<>KNBo@��E=)FPq=�<>KNBCKWG�� @N<>\�K�G Kn��K�QC?A@�BCKF>@NG GM@+9K�<>\�; J><>\�=�<EBC= ��BU9K�< � � 8 ���/; ?RH�K�QTBo@N<EBC=�STKNBTBCK�G ; <>=)@NQC= 9o�>=0�}H>QCK�H>QC; K�H�=�QGM@ ST=)9K�<2F>@�F(=�G G =]9K�<2F(; d�; K�<>;/9o�>=#F(=c2<>;MSC9K�<>K ; G�?RKNBCK QC; \�;MF(K,� � J2@NG J>< � J>=]ST=�\�?R=�<EBCKH�KESCSC@#=)SCST=�QC=b; <2F(; D%;MF(J2@�BCKRSTJ>Ge<>KES~BCQCK]9K�QCH�K]QCJ>KNBC=�Q�q@#F(=�G GM@]S~BC=)SCSC@ � J2@N<EBC; B�q@>8/��<�@NG BCQC=H2@NQCK�G =�O]GM@�QCKNBo@Nd�; K�<>=fq=�J><2@fH>QCK�H>QC; =B�q@�F(=�G G�� ; <EBC=�QCK+9K�QCH�K�QC; \�;MF(K�=�<>K�<yF(=�;IF(; D�=�QoST;H>J><EBC;[9o�>=VG K�9K�?RH�K�<>\�K�<>K28��;M@�SCSTJ>?R=�<2F(K2ORH�=�QR; <2F(; D%;MF(J2@NQC= GM@�H�KEST; d�; K�<>= F(;IJ>< 9K�QCH�K�QC; \�;MF(K�<>=�GIH>;M@N<>K+STK�<>K<>=)9=)SCSC@NQC; =�=fSTJ =�9; =�<EBC;1BCQC=�9K%K�QoF(; <2@�BC=�OAGM@+H�KEST; d�; K�<>=PD�=�QTBC;M9�@NG = =)F'K�QC; d�d�K�<EBo@NG = F(;

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 22: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ 7(�

B

B

B

B

B

B

a) b)

��� ���� �� �.' ��� ��� ��������%&��%)�2��'�! ��%&�������1����! ������� �1��� ! � � ��� � � ��%)�2���&��%)%&��������� � �#� �)! ����2��* #��! � � ��� � � ��%)�2���&��%)%&������� �(��%)%)�)! ����2���

J><0H>J><EBCK�=�J><'@N<>\�K�G K0��9o�>=�=)STH>QC; ?R=�GM@ � 8*)/'9;�!+8*"%$PF(=�G19K�QCH�K%� 8f`n@ � J2@N<EBCK�F(=BTBCK9K�<2ST=�\�J>=0��H�=�Q1G K#?R=�<>Ki; <EBCJ>; BC; D�@N?R=�<EBC=0�>9o�>=�J><P9K�QCH�KiQC; \�;MF(KiH>J�qK#9K�?RH>; =�QC=�BCQC=bSTK�G ;BC; H>;[F(;�?RKNBCK2O

$'�2�)�+����&>�),�&(�)�2����� ; <�9J>;[; G[9K�QCH�KAST;�STH�KES~Bo@]?A@N<EBC=�<>=�<2F(K�9KES~Bo@N<EBC=W; G[STJ>KAK�QC; =�<(�Bo@N?R=�<EBCK ��9�@N?#p>;M@N<>K�G =P9K%K�QoF(; <2@�BC=]6 =]:%�x?A@�<>K�<yGM@�QCKNBo@Nd�; K�<>= � � c2\�J>Qo@47(8 �37�� 87�=i9K�<2ST=�\�J>=V9o�>=VBCJ(BTBC;�;�H>J><EBC;�F(=�G[9K�QCH�K]H�KESCST; =)F(K�<>K,�>@�F K�\�<>;e\�=�<>=�QC;M9KR;MS~Bo@N<EBC=0�(GM@S~BC=)SCSC@#D�=�G K(9; B�q@#=VGM@RS~BC=)SCSC@]@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�E=W9o�>=VG =nBCQo@N; =BTBCK�QC; =VF(;eBCJ(BTBC;�;eH>J><EBC;[STK�<>KG =PS~BC=)SCST=�8 � ;IKESCST=�QCD%;19o�>=0�}9K�?R= ?RKES~BCQo@�BCK+; <0c2\�J>Qo@47(8 �37 � J>=)S~Bo@fBCQo@N; =BTBCK�QC;M@fH>J�qK=)SCST=�QC=]J><2@�G ; <>=)@ � J2@NGMST;M@�ST;���=A<>K�<L<>=)9=)SCSC@NQC;M@N?R=�<EBC=]J><2@PQC=BTBo@>OW; G.?RKNBCK�QC=BTBC; G ; <>=�K9KES~BC; BCJ>;MSC9=WSTK�G K]J><f9�@�STKRH2@NQTBC;M9K�GM@NQC=nF(=�G[9�@�STK]H>;TqJ�\�=�<>=�Qo@NG =VF(;�?RKNBCK]BCQo@�STGM@�BCK�QC; K28

$'�2�)�f���2�)&(�)�2����� ; <P9J>;�; Ge9K�QCH�K]ST;eSTH�KES~Bo@i?A@N<EBC=�<>=�<2F(KR9KES~Bo@N<EBC=bGM@iH�KEST; d�; K�<>=VF(;J><>K F(=�;/STJ>K�;[H>J><EBC;I��9o�>=iH>QC=�<2F(=i; G�<>K�?R=#F(; ��$�",)!� 8 2*!"� 8*)/'9;�!+8*"%$3��=#9�@N?#p>;M@A; <%D�=)9=GM@]STJ2@]H�KEST; d�; K�<>=V@N<>\�K�GM@NQC=�8���<2F(;M9�@N<2F(KR9K�< ��Bo@NG =VH>J><EBCK,�>G =nBCQo@N; =BTBCK�QC; =VF(;�BCJ(BTBC;�\�G ;@NG BCQC;�H>J><EBC;[F(=�G[9K�QCH�KRSTK�<>KRF(=�G G =W9; Qo9K�<(��=�QC=�<>d�=0�>9K�<P9=�<EBCQCKR; < � =VQo@N\�\�; K#H2@NQC;�@NG GM@F(;MS~Bo@N<>d)@PBCQo@ � =)F0; G1H>J><EBCK+9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK,��; G19J>;1?RKNBCK'q= F(=)SC9QC; BTBCK+9K�?R=�?RKNBCK+STJBCQo@N; =BTBCK�QC;M@]9; Qo9K�GM@NQC=0��� c2\�J>Qo@A7(8 �)kE���(=VH>J�qKA=)SCST=�QC=n=)STH>QC=)SCSTK]J(BC; G ; d�d)@N<2F(KRG =���7(8 �)jE� 8

$'�2�)� ���2�)�2����&>�),�&(�)�2����� 9o�>=�q=AGM@�9K�<2F(; d�; K�<>=�F(;}?RKNBCKfH>;TqJL\�=�<>=�Qo@NG =0��; <'9J>;}<>K�<q=WH�KESCST; p>; G =V; <2F(; D%;MF(J2@NQC=WJ><fH>J><EBCKRc�SCSTKR=0�><>=�G[9K�<EBC=�?RH�K,�>D�@NQC;M@R@N<29o�>=WGM@RH�KEST; d�; K�<>=@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�G[9K�QCH�K28

��� ��� ���4�"� � ��� � � � � !��������#� ��������� =�; <%D�=)9=�F(=�G GM@�9K�<2F(; d�; K�<>= F(;.?RK�D%; ?R=�<EBCKf; <'\�Qo@N<2F(=�9;.G ; ?R; BC;M@N?RK+@�9K�<2ST;MF(=�Qo@NQC=G�� @�BTBCK�F(;1?RKNBCK,��KESCST;M@PGM@ ����KNBCK�\�Qo@�c�@� ;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@fF(=�G G =�D�=�G K(9; B�q@fF(=�G19K�QCH�KfQC; \�;MF(K,�

Page 23: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7�7 !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

B

B’B"

β

��� ���, �� � � ��%&���2��%&��%&�������1����! ������� ���

B

B’

β ’

A’

B"

β"

A"

��� ���� �� ��� ��%&���2��%&��%)�2��'�! ��%&������������! ������� ���

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 24: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ 7Nk

@NG G K�Qo@RH�=�QV; G/9K�QCH�K�QC; \�;MF(KP9o�>=]ST;�?#J>K�D�=#F(;/?RKNBCK H>;M@N<>K�D�@NG =]J><2@�H>QCK�H>QC; =B�q@A=)S~BCQC=�?A@N?R=�<EBC=�; ?RH�K�QTBo@N<EBC=�O :�� '*)�)/8 2*!�&(8*)/8 ��! � !+2089�%!+'*"%8>���8.$�-�- $�� $ $�- ��: 6-�! �*'*&($�",)/$)!� ' -�: '*)/8 ��!+8 8 � 8*)/'*)/8 ��!+8�8��bJ>=)S~BCKAST; \�<>; c�9�@A9o�>=0�>; < � J2@NGMST;M@�ST;e;MS~Bo@N<EBC=iF(=�G�?RKNBCK�F(;[J><9K�QCH�K]QC; \�;MF(Kf��H>J>Qo9o�0/=n<>=�G�H>;M@N<>K%�1F(K�D%Q�q@#D�@NG =�QC=VJ><2@RF(=�G G =iST=�\�J>=�<EBC;�F(J>=i9K�<2F(; d�; K�<>;�O� G =]D�=�G K(9; B�q@�F(;�BCJ(BTBC;/;/H>J><EBC;xSTK�<>K�J>\�J2@NG ;�; <+?RK(F(J>G K,�eF(; QC=�d�; K�<>=#=#D�=�QoSTK+��@�BTBCKF(;�?RKNBCK]BCQo@�STGM@�BCK�QC; K%��<

� K�H>H>J>QC=�G�� @�BTBCK'F(;�?RKNBCK q=�QCKNBo@�BCK�QC; K+= � J>; <2F(;b=)ST;MS~BC=�J>< H>J><EBCK0F(=�Gb9K�QCH�KLKQC; \�;MF>@N?R=�<EBC=W9K�G G =�\E@�BCKR@�FP=)SCSTKR9o�>=W�2@]; < � J>=)S~BCKA;MS~Bo@N<EBC=VD�=�G K(9; B�q@]<%J>G GM@>O/Bo@NG =H>J><EBCKAH>QC=�<2F(=V; G�<>K�?R=WF(; ��$�",)!� 8 2*!�! -�)/'*",)/'*"%$�',� 8*)/'9;�!+8*"%$ � ��� !�� ��� �4F(=�G[9K�QCH�K

� SCST=�QCD�@Nd�; K�<>=�O�<>=�G[ST=)9K�<2F(KAF(=�;[F(J>=i9�@�ST;��2ST;eKESCST=�QCD%;�9o�>=V; G�H>J><EBCK�F(=�G[9K�QCH�KA9o�>=iF(; �D%; =�<>=W9=�<EBCQCKRF(;e;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@#QCKNBo@Nd�; K�<>=V9�@N?#p>;M@]F>@]J><�� ;MS~Bo@N<EBC=W@NG G�� @NG BCQCK,�%<>=W9K�<2ST=�\�J>=9o�>=�; G29=�<EBCQCKWF(;2;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@nQCKNBo@Nd�; K�<>=0�N@V?R=�<>KiF(;�9�@�ST;(H2@NQTBC;M9K�GM@NQC;��65�' �*$�: 89��!#)'�" :#: '&(' '0����$�: $�� '9;�!+8*"%$ 2*! �*$���- ' 20' ;9$�� 8�8

��� ��� ��� ��� �#������� ��� � �"����'��!"� �1�$�� � ����� ��� ���� ��� � �"��!���� !��������#���< � J>=)S~BCK H2@NQo@N\�Qo@���K�ST;�QC;M9�@3D�@N<>K�G =]=)STH>QC=)SCST; K�<>;�9o�>=]F(=c2<>;MSC9K�<>K G =#D�=�G K(9; B�q@�=)F+@�9 �9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;/F(=�;}F(; D�=�QoST;/H>J><EBC;.F(;xJ><L9K�QCH�KPQC; \�;MF(K28]�/=�Qn��@NQC= � J>=)S~BCK,�[9K�<2ST;MF(=�QC;M@N?RK; G/9�@�STK�H>;TqJ+\�=�<>=�Qo@NG =#F(;�?RKNBCK QCKNBCKNBCQo@�STGM@�BCK�QC; K2O.;xF(J>=]9�@�ST;�H2@NQTBC;M9K�GM@NQC;[F(;/?RKNBCK�BCQo@��STGM@�BCK�QC; Kf= QCKNBo@�BCK�QC; KfH�KNBCQo@N<><>K�H�K�;I=)SCST=�QC=�KNBTBC=�<%J(BC;I@N<><%J>G GM@N<2F(K�QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=P;BC=�QC?R; <>;�F(;�QCKNBo@Nd�; K�<>=n=iF(;eBCQo@�STGM@Nd�; K�<>=�8`b=)SC9QC; D%;M@N?RKL; G�?RKNBCK0F(=�Gn9K�QCH�K4J(BC; G ; d�d)@N<2F(K'F(J>=�9K%K�QoF(; <2@�BC=�6 =>:� F(;bJ><

STJ>KLH>J><EBCK � � J2@NGMST;M@�ST;I=�GM@LQCKNBo@Nd�; K�<>= � F(=�Gb9K�QCH�KLS~BC=)SCSTK28 �[@4H�KEST; d�; K�<>=fF(;�J><@NG BCQCK+H>J><EBCK � � J2@NGMST;M@�ST;�@NH>H2@NQTBC=�<>=�<EBC=�@NG�9K�QCH�K4H�KNBCQ�q@+=)SCST=�QC=�SC9QC; BTBo@+; < p2@�ST=�@NG��K�QC?A@NG ;MST?RKRF(=�;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;�9K�?R=�O

� FL6�AMK=):�� FL6>MK=):��M � � Y D ��7(8 7NkE�; < 9J>;VST;#q=fJ(BC; G ; d�d)@�Bo@0GM@0<>KNBo@Nd�; K�<>=fH�K�GM@NQC=�H�=�Q ; GnD�=BTBCK�QC=�9o�>=�J><>;MSC9= � 9K�< � 8`b=�QC; D�@N<2F(KRGM@]QC;MSTH�=BTBCKA@NGeBC=�?RH�K�ST;e�2@>O

( � F ( U.MK= ( V�MK= +� � � YED �F ( >M ( �� ��7(8 7�r%�; <y9J>;�ST;nq=�BC=�<%J(BCKL9K�<EBCK49o�>=PF(=�G1��@�BTBCK49o�>=P=)SCST=�<2F(K�; G�9K�QCH�K+QC; \�;MF(K,�/GM@4F(;MS~Bo@N<>d)@� � <>K�<�D�@NQC;M@R<>=�G�BC=�?RH�K28IGM@�7(8 7�r�9K�<2ST=�<EBC=iF(;[=)STH>QC; ?R=�QC=WGM@RD�=�G K(9; B�q@AF(;[J><fH>J><EBCK� J2@NGMST;M@�ST;[F(=�Gx9K�QCH�K�QC; \�;MF(K,��9K�?R=]9K�?RH�KEST; d�; K�<>=#F(=�G GM@�D�=�G K(9; B�q@�F(;�J><�H>J><EBCKPSC9=�G BCK@NQCp>; BCQo@NQC;M@N?R=�<EBC=]STJ>G G KfS~BC=)SCSTKf9K�QCH�K ( �[=)F+J><4BC=�QC?R; <>= ( �� H�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=A@NG �GM@�9K�<>\�; J><>\�=�<EBC= � � ��; G/9J>;�?RK(F(J>G KPF(; H�=�<2F(=]F>@NG GM@ F(;MS~Bo@N<>d)@ � � =]F>@NG GM@�F(=�QC; D�@�Bo@BC=�?RH�K�Qo@NG =#F(=�G G�� @N<>\�K�G K�F(=�G/9K�QCH�K,��9o�>=#<>=�G[?RKNBCK H>;M@N<>K�<>=#Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@]GM@�D�=�G K(9; B�q@@N<>\�K�GM@NQC=�8 � ;VSTKNBTBCK�G ; <>=)@09K�?R= � J>=)S~B)� J>G BC; ?A@'\�Qo@N<2F(=�d�d)@LST;M@0J><2@0H>QCK�H>QC; =B�q@09; <>=�?A@�BC;M9�@�F(=�G G�� ; <EBC=�QCK49K�QCH�K,�x9o�>= <>K�<yF(; H�=�<2F(=P; < @NGM9J><'?RK(F(K4F>@NG1H>J><EBCK � SC9=�G BCK,�=)SC@�BTBo@N?R=�<EBC=W9K�?R=VGM@]QCKNBo@Nd�; K�<>= � F(;[9J>;[9KES~BC; BCJ>;MSC9=VGM@RF(=�QC; D�@�Bo@>8�}� =)STH>QC=)SCST; K�<>=b7(8 7�r,�%SC9QC; BTBo@W; <�BC=�QC?R; <>;�9K�?RH>G =)SCST;��EBCQCK�D�@i9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@V<>=�G��[=�K�QC=�?A@RF(;[��; D�@NGMSIH�=�Q�G =VD�=�G K(9; B�q@��(=)STH>QC=)SCSTK]; <%D�=)9=V; <PBC=�QC?R; <>;eD�=BTBCK�QC;M@NG ;�O

<( � F <( >M <��� � � 8 �n� ��7(8 7�u��

Page 25: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7�r !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

AB eiβ

A’

B

ω

Ax + i Ay

β

Bx + i By

Re

Im

��� ���� �� �, ��'������ ��������������!/����%&���2��%&��%)�2��'�! ��%&������������! ������� � � � ��'(� ��������� �

9o�>=b; <EBC=�QCH>QC=Bo@W; G�?RKNBCK#QCKNBCKNBCQo@�STGM@�BCK�QC; KWF(;�J>< 9K�QCH�K#<>=�G�H>;M@N<>K,�(9K�?R=n9K�?RH�KES~BCK#F>@NG?RKNBCK F(=�G[H>J><EBCK ����SC9=�G BCK�@�Ff@NQCp>; BCQC; K,�>=iGM@AQCKNBo@Nd�; K�<>=WF(=�G/9K�QCH�K�@�BTBCK�QC<>K�@NG�H>J><EBCK� S~BC=)SCSTK,��9o�>=#@3D%D%; =�<>=#9K�<fD�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC= � F +� 8 � =#; <�H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=V<>=�G GM@P7(8 7�uST;[J(BC; G ; d�d)@R; <fG J>K�\�K�F(;[J><f\�=�<>=�QC;M9KRH>J><EBCK � ; G�9=�<EBCQCK�F(;[;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@RQCKNBo@Nd�; K�<>=WF(=�G9K�QCH�K���; <2F(;M9�@�BCK�9K�< � �IST;�KNBTBC; =�<>=�O

<( � F <� � � � 8 � � ��7(8 7NzE�

9o�>=i; <2F(;M9�@�9o�>=iGM@RD�=�G K(9; B�q@�F(;�9;M@�SC9J><fH>J><EBCK F(=�G�9K�QCH�KAQC; \�;MF(KAQC;MSTJ>G Bo@�ST=�?RH>QC=iH�=�QT�H�=�<2F(;M9K�GM@NQC=W@NG GM@]9K�<>\�; J><>\�=�<EBC=V; G�H>J><EBCKA9K�<P; G[9=�<EBCQCKAF(;�;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@#QCKNBo@Nd�; K�<>=�8� SCST=�QCD�@Nd�; K�<>=�O�; <�p2@�ST=b@ � J2@N<EBCK#F(=BTBCK]STK�H>Qo@��>q=�H�KESCST; p>; G =�KNBTBC=�<>=�QC=�J><�?R=BCK(F(K#\�Qo@��c�9KR=)S~BCQC=�?A@N?R=�<EBC=VJ(BC; G =VH�=�QbF(=BC=�QC?R; <2@NQC=n; G[9N8 ;�8 Q)8xF(;�J><f9K�QCH�K]; <�J><fF>@�BCK];MS~Bo@N<EBC=�OST=�ST;}9K�<>KESC9=RGM@fF(; QC=�d�; K�<>=AF(=�G}D�=BTBCK�QC=RD�=�G K(9; B�q@PH�=�QiF(J>=�H>J><EBC;.F(=�G.9K�QCH�K,��; G.9N8 ;�8 Q)8ST;bBCQCK�D�@0@NG G�� ; <EBC=�QoST=�d�; K�<>=fBCQo@0G =+H�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC;n@NG G =+F(J>=4F(; QC=�d�; K�<>;nF(=�G G =+D�=�G K(9; B�q@H�K�QTBo@�BC=WF>@N;�F(J>=WH>J><EBC;�8�/=�Q�KNBTBC=�<>=�QC=1G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=.F(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=.F(;%J><]H>J><EBCKnF(=�G>9K�QCH�K#��; <#BC=�QC?R; <>;

9K�?RH>G =)SCST; �bq=VH�KESCST; p>; G =WF(=�QC; D�@NQC=nJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=VGM@A7(8 7�r,�(KNBTBC=�<>=�<2F(KRG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�O

? � F ? U�MK= ? V�MK= A� � � YED 8A= � 9 � � YED ��7(8 7EXN�

9o�>=W9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=V@NG GM@]QC=�GM@Nd�; K�<>=nD�=BTBCK�QC;M@NG =�O

<? � F <? �M1< +��� � � 8 �n�DM <���L<��� � � 8 �n� ��7(8 7N_E�

F(=BTBo@i�[=�K�QC=�?A@VF(;���; D�@NGMSxH�=�Q.G =b@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;�8 7�=�\�G ;2J>G BC; ?R;�F(J>=�BC=�QC?R; <>;�@WST=)9K�<2F(K?R=�?#p>QCKyF(=�G GM@y7(8 7EXLST;bQC;M9K�<>KESC9K�<>K0G =�=)STH>QC=)SCST; K�<>;nF(=�G G =49K�?RH�K�<>=�<EBC;�Bo@N<>\�=�<EBC=�=<>K�QC?A@NG =#F(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=iF(=�G/H>J><EBCK <>=�G�?RKNBCKP9; Qo9K�GM@NQC=�8 �[@Rc2\�J>Qo@ 7(8 �)zA?RKES~BCQo@\�Qo@�c�9�@N?R=�<EBC=n;�BC=�QC?R; <>;[F(;�D�=�G K(9; B�q@]=)F�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=bQC=�GM@�BC; D%;�@NG G =A��7(8 7�r%�.=)FL��7(8 7EXN� 8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 26: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ 7�u

a A

AB eiβωi

.

a An

AB eiβ

VAAB ei

βωi

VA VB

AB eiβωi

AB eiβ−ω2

a At

a At

a An

AB eiβωi

.AB ei

β−ω2

a B

B

A

B

A

ω

ω.

��� ���� �� � , ��'������ ��������� ����!/����%&���2��%&��%)�2��'�! ��%&������������! ������� � �!�3��! � ���%10� �2�1���(����! ���2� ��������� �

Page 27: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7Nz !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

��� ��� � � ����"���'��nD%; <29K�G ;.STK�<>KfF(=�;.F(;MSTH�KEST; BC; D%;.9o�>=AG ; ?R; Bo@N<>Kf;.\�Qo@�F(;}F(;}G ; p�=�QTB�q@0��\28 Fe8 G�8 � F(=�G.9K�QCH�K,�9K�G G =�\E@N<2F(K�G K+@�F0J>< ST;MS~BC=�?A@4F(;IQC; ��=�QC; ?R=�<EBCK�c�SCSTK � BC=�GM@N; K%�WKL@�F'@NG BCQC;�9K�QCH>;�8L��<2@H�KESCST; p>; G =f9GM@�SCST; c�9�@Nd�; K�<>=�F(=�;�D%; <29K�G ;�H>J�qKL=)SCST=�QC=P��@�BTBo@L; < p2@�ST=f@N;�\28 Fe8 G�8 9o�>=f=)SCST;STK�H>H>QC; ?RK�<>K2O.@�F�K�\�<>;[\28 Fe8 G�8�STK�H>H>QC=)SCSTK,�29K�QCQC;MSTH�K�<2F(=VJ><2@�9K�?RH�K�<>=�<EBC=#F(;G� $�'9;�!+8*"%$�9!#"%��8*: ' � $��>9o�>=iq=�9KES~BC; BCJ>; Bo@#F>@WJ><2@W��K�QCd)@���<>=�G�9�@�STK#ST;�STK�H>H>QC; ?A@WJ><�\28 Fe8 G�8/F(;�STH�KES~Bo@��?R=�<EBCK,��K F>@AJ><2@�9K�H>H>;M@���<>=�G�9�@�STK�D�=�<>\E@ASTK�H>H>QC=)SCSTKRJ><�\28 Fe8 G�8bF(;[QCKNBo@Nd�; K�<>=�8�`n@�BCK9o�>=IST;>9K�<2ST;MF(=�Qo@N<>KnST;MS~BC=�?R;>F(;>9K�QCH>;(<>=�G(H>;M@N<>K,��G =1��K�QCd�=I@NH>H2@NQTBC=�<>\�K�<>Kn@NG%H>;M@N<>KWS~BC=)S~�STK,�(?R=�<EBCQC=VG =i9K�H>H>; =WSTK�<>K]Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@Np>; G ;e9K�?R=VD�=BTBCK�QC;e?RK�?R=�<EBCKRH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC;@NG}H>;M@N<>K�<>=�G � J2@NG =�ST;.STD�K�G \�=]; G}?RKNBCK28 7�=�G GM@Pc2\�J>Qo@f7(8 ��X STK�<>K�QC; H�K�QTBo@�BC;x;.ST; ?#p�K�G ;\�Qo@�c�9;�F(=�;�BC; H>;�F(;�D%; <29K�G K]H>;TqJPJ(BC; G ; d�d)@�BC;��(G =nQC=)@Nd�; K�<>;�D%; <29K�GM@NQC;�=)F ;e?RK�D%; ?R=�<EBC;�H�=�QT�?R=)SCST;e<>=�;�QC; \�J2@NQoF(;eF(=�G�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK]c�SCSTK28

��� "%��' -�)!� 8�8 � ;nBCQo@�BTBo@ F(;VJ><�D%; <29K�G K'BCQC; H>G K,�b; < � J2@N<EBCK STK�H>H>QC; ?R=�BCQC=+\�Qo@�F(;F(;}G ; p�=�QTB�q@>8���G.ST;MS~BC=�?A@�F(=�G G =AQC=)@Nd�; K�<>;/D%; <29K�GM@NQC;Iq=A9KES~BC; BCJ(BC=�F>@�J><L?RK�?R=�<EBCK��; <2F(;M9�@�Bo@�9K�<�� ����=)F+J><2@���K�QCd)@P9K�?#J>< � J>=RF(; QC=BTBo@���SC9K�?RH�K�<>; p>; G =RST=)9K�<2F(KF(J>=i9K�?RH�K�<>=�<EBC;[@3D�=�<EBC;eF(; QC=�d�; K�<>=V<>KNBo@]=VD�@NG K�QC=V; <29K�\�<>; BCK���@�FP=)ST=�?RH>; K�� =( ���� $���",!+$�� '�8 � K�H>H>QC; ?R= � J2@NGMST;M@�ST;2STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKiF(=�G�H>J><EBCK]STJ�9J>;[q=b@NH>H>G ;M9�@�BCK,�EGM@QC=)@Nd�; K�<>=#D%; <29K�GM@NQC=�q=#H�=�Qo9;�qKP9KES~BC; BCJ>; Bo@PF>@�J><2@���K�QCd)@ F(;/?RK(F(J>G K =RF(; QC=�d�; K�<>=� J2@NGMST;M@�ST;��>SC9K�?RH�K�<>; p>; G =W; <�F(J>=i9K�?RH�K�<>=�<EBC;[F(;[F(; QC=�d�; K�<>=W<>KNBo@]=W?RK(F(J>G KA; <(�9K�\�<>; BCK280�.SCST=�<2F(KR; <%D�=)9=W<>K�<f; ?R=)F(; Bo@AGM@RQCKNBo@Nd�; K�<>=WX��2<>K�<Lq=WH>QC=)ST=�<EBC=i@NGM9J><?RK�?R=�<EBCKA<>=�G�ST;MS~BC=�?A@RF(=�G G =WQC=)@Nd�; K�<>;�D%; <29K�GM@NQC;�8

� 5 '*)�)�!#"%8W= '*",!+��8*)�)/8�81Y.K�?R=�GM@i9=�QC<>; =�Qo@���ST;>BCQo@�BTBo@iF(;2D%; <29K�G ;�F(K�H>H>;��E; < � J2@N<(�BCKfSTK�H>H>QC; ?RK�<>K�F(J>=R\�Qo@�F(;xF(;xG ; p�=�QTB�q@>8]��?RH�=)F(;MSC9K�<>K�GM@PQCKNBo@Nd�; K�<>=]F(=�G}9K�QCH�K,�=AG KfSTH�KES~Bo@N?R=�<EBCKP; <0F(; QC=�d�; K�<>=]H�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=A@NGxD%; <29K�G K28]��G.ST;MS~BC=�?A@PF(=�G GM@QC=)@Nd�; K�<>;(D%; <29K�GM@NQC;�q= � J>; <2F(;�9KES~BC; BCJ>; BCKWF>@VJ><R?RK�?R=�<EBCKW=�F>@nJ><2@n��K�QCd)@VF(;>?RKN�F(J>G K � J2@NGMST;M@�ST;��>=#F(; QC=�d�; K�<>=WH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=i@NG GM@AF(; QC=�d�; K�<>=#F(=�G G K�SC9K�QCQC; ?R=�<EBCK� 9K�<29=)SCSTKRF>@NGeD%; <29K�G K28��� ' �^� $�:#: 8�8 � ;bBCQo@�BTBo@'F(;nJ>< D%; <29K�G KyST=�?RH>G ;M9=y��STK�H>H>QC; ?R=+STK�G K'J>< \�Qo@�F(K'F(;G ; p�=�QTB�q@E���[9o�>=RH>J�qKP=)SCST=�QC=#H�=�<2SC@�BCK(9]K�?R=]GM@ QC; J><>; K�<>=AF(;/J><4H2@�BTBC; <>K�=AF(;/J><2@9=�QC<>; =�Qo@>8 �}� J><>;M9�@0QC=)@Nd�; K�<>=�D%; <29K�GM@NQC=�STD%; G J>H>H2@�Bo@ q=+J><2@L��K�QCd)@'F(;n?RK(F(J>G K� J2@NGMST;M@�ST;e=WF(; QC=�d�; K�<>=VH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=W@ � J>=�G G =WF(=�G G K�SC9K�QCQC; ?R=�<EBCK]9K�<29=)SCSTK28

� 9�9K�QCQC=bSTKNBTBCK�G ; <>=)@NQC=b9o�>=n;�D%; <29K�G ;��(9KES�q ��9K�?R=bD�=�QCQo@N<><>KiQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BC;�<>=�GeST=�\�J>; BCK,�9KES~BC; BCJ>;MSC9K�<>K�F(=�G G =R;MF(=)@NG ; d�d)@Nd�; K�<>;xF(;}=�1�=BTBC; D%;.F(;MSTH�KEST; BC; D%;}@�BTBC;.@ ; ?RH�=)F(; QC=A;x?RK�D%; �?R=�<EBC;IH>QC=)SC9QC; BTBC;�F>@NGID%; <29K�G KLS~BC=)SCSTK2O F(;MSTH�KEST; BC; D%;�@N<29o�>=P?RK�G BCK4F(; 1�=�QC=�<EBC;IBCQo@+G K�QCKH�KESCSTK�<>KPH�=�QTBo@N<EBCK�=)SCST=�QC=RSC9o�>=�?A@�BC; d�d)@�BC;x<>=�G G KfS~BC=)SCSTK�?RK(F(K28R�VF(;MSTH�KEST; BC; D%;xQC=)@NG ;}F(;D%; <29K�G K�H�KESCSTK�<>K�@N<29o�>= F(; 1�=�QC; QC= F(;1?RK�G BCK,�x9K�?R=�QC=)@NG ; d�d)@Nd�; K�<>=0�/F>@NG G K+SC9o�>=�?A@�9; �<>=�?A@�BC;M9K � J>;�?RKES~BCQo@�BCK,�(?A@RH>QCK�D%D�=)F(K�<>K]@]��K�QC<>; QC=VG =iS~BC=)SCST=VQC=)@Nd�; K�<>;eD%; <29K�GM@NQC;eF(=�G9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<EBC=VSC9o�>=�?A@R9; <>=�?A@�BC;M9K287�=�GxST;MS~BC=�?A@ QC=)@NG =0��; <>K�G BCQC=0��K(9�9K�QCQC=]9K�<2ST;MF(=�Qo@NQC=i9o�>=]GM@P9�@NH2@�9; B�q@ F(;/QC=)ST;MS~BC=�<>d)@ F(=�GD%; <29K�G Kn<>K�< q=1; <(c2<>; Bo@��NH�=�Q}9J>; � J2@N<2F(KVST;(; <2F(;M9�@n9o�>=I; G(?RK(F(J>G KVF(;>J><2@bQC=)@Nd�; K�<>=.H>J�qK

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 28: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ 7EX

,

����� � 1 57<���1+��

� 39< ��� 39< �

,

� �1+ �

� � 545 ��� ��� �

8 � ����� �@545��

,�

+�� �

� � <4<43������

,

+ � �

� � ��� <439143 � 5 ��� � � � 3��=3���� ����� ����� � 3 ��� � � ���� ����� ��� � < � ��� � � � �� 39<48 39141 �

��� ���� �� � ���������������������� ��� � �3! ��%)� ��� ��� � �� �(�3! � ����! ������� �

Page 29: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

7N_ !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5�������

5�

�+���� �+�� �

� �A< � � .

� �A< � � >

��� ���� �� � �.' ��� �����1��� �(����%&��%)%&�1%)�2��'�� ����� � ��� � ��� �(����� ��������� ! � �(��� � ��������%)� � �������3! �����!! �-�3��! � ���%10�1�����.� ��� �(���&������ �(�������'�� ��� ������� � ����! � � ��%&�1���.�(����%&��%)%&�1'���� ����� ���3! �

� �

� � �

��� ���� �� ���.' ��� �����1��� �(����%&��%)%&� �����2��%&�3! ��� ����%&���-���'��(��'��1� � �������(��%)%)�)! ����2�

=)SCST=�QC= � J2@NGMST;M@�ST;��eq=iF>@R; <EBC=�<2F(=�QoST;[9o�>=WG =WQC=)@Nd�; K�<>;eD%; <29K�GM@NQC;�STK�<>K�@Nd�; K�<>;e<>K�<�<>KNBC=#@H>QC; K�QC;��E=V9o�>=n;�D%; <29K�G ;eSTK�<>K#; < \�Qo@�F(K]F(;eSTD%; G J>H>H2@NQC=bGM@#QC=)@Nd�; K�<>=bD%; <29K�GM@NQC=�QC;M9o�>; =)S~Bo@��ST= � J>=)S~Bo@Pq=V=�<EBCQCKR;eG ; ?R; BC;�F(=�G GM@R9�@NH2@�9; B�q@]F(=�G�D%; <29K�G KAS~BC=)SCSTK28�1D%; <29K�G ;eK�Qo@#=)SC@N?R; <2@�BC;��>9K�?R=VD%;MS~BCK,�>; ?RH�K�<>\�K�<>KRF(; QC=BTBo@N?R=�<EBC=WJ><2@R9K�<2F(; d�; K�<>=WSTJ9;M@�SC9J><P\28 Fe8 G�8}STK�H>H>QC=)SCSTK,�%@NG BCQC;�BC; H>;[F(;�D%; <29K�G KR; <%D�=)9=VQC; \�J2@NQoF>@N<>K#G�� @�9�9K�H>H>;M@N?R=�<EBCKF(;[STJ>H�=�QTc�9;�8

!#�����)&(���)�L����&L�)�[-.�E� �/*��1����� *���� � �2��$'�

s � J>=)S~BCKbH>QCK�H�KEST; BCKnST;%9K�<2ST;MF(=�QC;%F>@NH>H>QC; ?A@�; G%D%; <29K�G KnF(; ��9K�<EBo@�BTBCK�BCQo@bSTJ>H�=�QTc�9;E<>K�<9K�<(��K�QC?R; ����; <EBC=�<2F(=�<2F(Ki9K�<R; G(BC=�QC?R; <>=��N<>K�<R9K�<(��K�QC?R; �b; G(��@�BTBCKi9o�>=�G =�F(J>=�STJ>H�=�QTc�9;H>QC=)ST=�<EBC; <>Ki9J>QCD�@�BCJ>QC=�9K�<EBCQo@NH>H�KES~BC=�<>=�G2H>J><EBCK ��KiG J><>\�KiGM@VG ; <>=)@E�xF(;�9K�<EBo@�BTBCK28/��@NG =BC; H�K0F(;�9K�<EBo@�BTBCK q=PQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCK+; <yc2\�J>Qo@L7(8 �)_>8'��G�9K�<EBo@�BTBCK0@3D%D%; =�<>= ; < ?RK(F(K9o�>=f;bF(J>=+9K�QCH>;�H>QC=)ST=�<EBC; <>K0GM@0S~BC=)SCSC@+Bo@N<>\�=�<EBC=f; < 9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@4F(=�GbH>J><EBCK'F(;9K�<EBo@�BTBCKW����GM@V9K�?RH�K�<>=�<EBC=�<>K�QC?A@NG =I@NG>9K�<EBo@�BTBCKWF(=�G GM@VD�=�G K(9; B�q@nF(;29;M@�SC9J><]H>J><EBCKiF(;9K�<EBo@�BTBCK�F(=�;�F(J>=]9K�QCH>;���q=WGM@�S~BC=)SCSC@>8��/=�QTBo@N<EBCK,�(GM@�F(; 1�=�QC=�<>d)@AF(=�G G =#D�=�G K(9; B�q@RQC;MSTJ>G Bo@<%J>G GM@0; < F(; QC=�d�; K�<>=f<>K�QC?A@NG =�@NGn9K�<EBo@�BTBCK,�I=�; < \�=�<>=�QC=f<>K�< <%J>G GM@L<>=�G GM@'F(; QC=�d�; K�<>=Bo@N<>\�=�<EBC=�OWBo@NG = 9K�?RH�K�<>=�<EBC=�9KES~BC; BCJ>;MSC9=AGM@�D�=�G K(9; B�q@fF(;1S~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCK�QC=�GM@�BC; D�KPBCQo@;.F(J>=A9K�QCH>;}@�9K�<EBo@�BTBCK28(7�=�G G K�S~BCJ2F(; KfF(=�;x��=�<>K�?R=�<>;}G =�\E@�BC;}@NG G�� @�BTBCQC; BCK�=A@NG G�� J2STJ>Qo@��9K�?R=}D�=�QCQ�q@1?RKES~BCQo@�BCK�<>=�GE9�@NH>; BCK�G Kbu �3QC;MSTJ>G Bo@I; <2F(;MSTH�=�<2SC@Np>; G =}GM@�9K�<>KESC9=�<>d)@IF(; � J>=)S~Bo@9K�?RH�K�<>=�<EBC=�8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 30: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ 7Nj

� �

��� ���� � � �.' ��� ����� ���.�(����%&��%)%&� �����2��%&�3! ��� ����%&��� � ��� ���'������ �1�(����%&��%)%&�!#�����)&(���)�0���.-/�[���L���2�)��,�&>$'�%���)�7�=�G[9�@�STK]; <f9J>;[@NG�D%; <29K�G KRF(;[9K�<EBo@�BTBCK]BCQo@ASTJ>H�=�QTc�9;�ST;[@N\�\�; J><>\E@#G�� J>G BC=�QC; K�QC=V9K�<2F(; �d�; K�<>=�F(;2D�=�G K(9; B�q@VF(;�S~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCKV<%J>G GM@��EST;>KNBTBC; =�<>=�; G>D%; <29K�G KWF(;2H>J>QCKWQCKNBCK�GM@N?R=�<EBCK28� ;29K�<2ST;MF(=�QC; � J2@NG =I=)ST=�?RH>; K#7(8 7(8 zbJ><AF(;MSC9KW9o�>=IQCKNBCK�GM@nST=�<>d)@VS~BCQC;MSC9;M@NQC=ISTJRJ><2@V\�J>;MF>@QC=BTBC; G ; <>=)@Rc�SCSC@>8���<2F(;M9�@N<2F(KP9K�< � ; G�H>J><EBCK F(;x9K�<EBo@�BTBCK�<>=�G GM@AH�KEST; d�; K�<>=#; <>; d�;M@NG =0��=9K�< � G�� @N<>\�K�G K BCQo@P;.ST=�\�?R=�<EBC; � � = � � ����@�9=�<2F(Kf9K�?RH>; =�QC=]J><2@�QCKNBo@Nd�; K�<>= � @NGF(;MSC9K,��F>@�ST=�?RH>G ;M9;19K�<2ST;MF(=�Qo@Nd�; K�<>;/\�=�K�?R=BCQC;M9o�>=RST;}QC;M9�@3D�@�9o�>=AG K�STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKfF(=�G9=�<EBCQCK � F(=�G�F(;MSC9K'q= H2@NQC;I@NG GM@�G J><>\��>=�d�d)@+F(=�G G�� @NQo9K � � 80`b=�QC; D�@N<2F(K+QC;MSTH�=BTBCK4@NGBC=�?RH�KPST;�KNBTBC=�<>\�K�<>K�G =#=)STH>QC=)SCST; K�<>;[H�=�QnGM@AD�=�G K(9; B�q@A=#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=iF(Gx9=�<EBCQCK F(=�GF(;MSC9K2O

� F�� � < (�� F�� +� < ? � F�� A�GM@i9J>;2BCQo@N; =BTBCK�QC;M@Aq=�J><2@iQC=BTBo@iH2@NQo@NG G =�GM@W@NG GM@W\�J>;MF>@>8/��G�D%; <29K�G K#F(;�H>J>QCK#QCKNBCK�GM@N?R=�<EBCKH>J�qKV=)SCST=�QC=1@NH>H>G ;M9�@�BCKW@N<29o�>=I@VF(J>=�9K�QCH>;(; <R9K�<EBo@�BTBCKn<>K�<R9K�<(��K�QC?R=0��9K�?R=1?RKES~BCQo@�BCK; <Rc2\�J>Qo@i7(8 7(8 z���F(K�D�=�F(J>=�H>QCKNc2G ;�9; Qo9K�GM@NQC;>STK�<>KiF(KNBo@�BC;�F(;2?RKNBCKiQCKNBo@�BCK�QC; KV=�D�=�<>\�K�<>KBC=�<%J(BC;2@W9K�<EBo@�BTBCKV<>=�G>H>J><EBCKi�/8N��<A@�SCST=�<>d)@nF(;�S~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCK,��GM@VG J><>\��>=�d�d)@VF(=�G G�� @NQo9KSTKNBTBC=)STKPF>@NG G�� @N<>\�K�G K � STJ>GxF(;MSC9K4�Pq=#=�\�J2@NG =R@ � J>=�G GM@PF(=�G G�� @NQo9KPSTKNBTBC=)STK�F>@NG G�� @N<>\�K�G K� 9 STJ>G�F(;MSC9K�7(O

��� � � F � 9 � 9��GI?RK(F(J>G KLF(=�G GM@�D�=�G K(9; B�q@�<>=�GIH>J><EBCKLF(;�9K�<EBo@�BTBCK B q= =)STH>QC; ?R; p>; G =�9K�?R=�F(=�QC; D�@�Bo@F(=�G G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=nH>QC=)9=)F(=�<EBC=�O

(�� F ��� � � F � 9 � 9=)SCST=�<2F(K ��� =)F � 9 G =+D�=�G K(9;�q@'@N<>\�K�GM@NQC;�F(=�;WF(J>=4F(;MSC9o�>;n@y9K�<EBo@�BTBCK28 �[@'D�=�G K(9; B�q@9�@NGM9K�GM@�Bo@+H�=�<2SC@N<2F(KL; G�H>J><EBCK B @NH>H2@NQTBC=�<>=�<EBC=�QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=�@NG�F(;MSC9K ��=)F @NGF(;MSC9K�7�q=VGM@R?R=)F(=)ST; ?A@��(; < � J2@N<EBCKR<>K�<PD%;xq=WS~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCK]<>=�G�H>J><EBCK�F(;�9K�<EBo@�BTBCK28

Page 31: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

k�� !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� -�-/,���*�&>����������� ���2�)��,�&>$'�%���)� �)�%����& ���������)*���&>$'�%���)� ��� ��� �����)*�� �)�g����&5�������&+����*�,�����&(�)&�bJ>=)S~BCK+=)ST=�?RH>; K49K�<2ST=�<EBC=�F(;�@NH>H>G ;M9�@NQC=�;�9K�<29=BTBC;IQC=�GM@�BC; D%;I@NGIQCKNBCK�GM@N?R=�<EBCK+ST=�<>d)@S~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCKA; <EBCQCK(F(KNBTBC;�<>=�G�H2@NQo@N\�Qo@���K]H>QC=)9=)F(=�<EBC=�8 � ;/9K�<2ST;MF(=�QC;�J><�F(;MSC9K F(;[Qo@N\N�\�; K ���H�KES~BCKfSTJLJ><2@P\�J>;MF>@P; <29G ; <2@�Bo@PQC;MSTH�=BTBCKf@NG G�� K�QC; d�d�K�<EBo@NG =RF(;xJ><0@N<>\�K�G K�<.8A��GF(;MSC9K QCKNBCK�GM@ ST=�<>d)@ S~BCQC;MSC9;M@NQC=#STJ>G GM@ \�J>;MF>@>8 �.SCST=�<2F(K�<>KNBC=]GM@ D�=�G K(9; B�q@ @N<>\�K�GM@NQC= +X =G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=n@N<>\�K�GM@NQC= AXAF(=�G�F(;MSC9K,�>ST;�QC;M9o�>; =)F(=WF(;�O��8�F(=BC=�QC?R; <2@NQC=VGM@#BCQo@N; =BTBCK�QC;M@RF(=�G�9=�<EBCQCK � F(=�G[F(;MSC9K

7(8I; <2F(; D%;MF(J2@NQC=W; G�9=�<EBCQCKAF(;�;MS~Bo@N<EBo@N<>=)@#QCKNBo@Nd�; K�<>=VF(=�G[F(;MSC9K

k>8�9�@NGM9K�GM@NQC=R��; <�?RK(F(J>G K,�2F(; QC=�d�; K�<>=n=WD�=�QoSTK%�}GM@]D�=�G K(9; B�q@]=)F�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(; �

r28�9�@NGM9K�GM@NQC=nG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�H>J><EBCK B F(=�G[F(;MSC9KR; <f9K�<EBo@�BTBCKA9K�<PGM@]\�J>;MF>@>8

B

+X�� AX

� ���)��,�������������� �}J><EBCK4��OnH�K�;M9o�0/=RF(;MSC9KP=R\�J>;MF>@PSTK�<>KPQC; \�;MF(;x=R<>K�<+H�KESCSTK�<>K�9K�?]�H�=�<>=BCQo@NQoST;�� � J2@NG J>< � J>=WH�KEST; d�; K�<>=V; G[F(;MSC9KA@�SCSTJ>?A@]QC;MSTH�=BTBCK�@NG GM@]\�J>;MF>@���=)SC9G J2F(=�<2F(K; G/F(;MS~Bo@�9�9K�BCQo@A;/F(J>=R9K�QCH>; ��SC@NQ�q@RBo@NG =#H�=�QV9J>;�; Gx9=�<EBCQCK � F(=�G/F(;MSC9KPF(;MS~Bo@ � F>@NG GM@STJ>H�=�QTc�9; =P; <29G ; <2@�Bo@LF(=�G GM@+\�J>;MF>@>8y`b;�9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@��xGM@+BCQo@N; =BTBCK�QC;M@+F(=�G�9=�<EBCQCKLF(=�GF(;MSC9K#F(=�D�=�<>=)9=)SCSC@NQC;M@N?R=�<EBC=I=)SCST=�QC=�J>< ST=�\�?R=�<EBCKi@NH>H2@NQTBC=�<>=�<EBC=�@NG GM@WQC=BTBo@WH2@NQo@NG G =�GM@@NGeH>;M@N<>KR; <29G ; <2@�BCKR=iF(;MS~Bo@N<EBC= � F>@ � J>=)S~Bo@>8�}J><EBCK 7(O � ;�BCQo@�BTBo@AF(;eBCQCK�D�@NQC=V; G[H>J><EBCK�F(=�G�F(;MSC9K�9o�>=W�2@���<>=�G GM@A9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=

?RKES~BCQo@�Bo@E�/D�=�G K(9; B�q@i<%J>G GM@>8.Y.K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(Ki9o�>=nGM@i\�J>;MF>@Aq=�c�SCSC@��E= � J>; <2F(;�BCJ(BTBC;�;eSTJ>K�;H>J><EBC;x�2@N<><>K�D�=�G K(9; B�q@ <%J>G GM@���=A9o�>=0�eH�=�QW=�1�=BTBCK�F(=�GxD%; <29K�G K�F(;xQCKNBCK�GM@N?R=�<EBCKPST=�<>d)@S~BCQC;MSC9;M@N?R=�<EBCKi; G�H>J><EBCK+B F(=�GeF(;MSC9Ki�2@iGM@�S~BC=)SCSC@WD�=�G K(9; B�q@#F(=�G�H>J><EBCK]F(=�G GM@i\�J>;MF>@#9K�<9J>;�D%; =�<>=�; < 9K�<EBo@�BTBCK,�EST;�9K�<29G J2F(=b9o�>=�B{�2@iD�=�G K(9; B�q@V<%J>G GM@W=)Ffq= � J>; <2F(;2; G���� !�� ���.F(=�GF(;MSC9K28�}J><EBCK k>O �[@AD�=�G K(9; B�q@�F(=�G[H>J><EBCK � ST;[H>J�qKP9�@NGM9K�GM@NQC=W9K�<f; G�BC=�K�QC=�?A@�F(;���; D�@NGMS �

S~��QCJ(BTBo@N<2F(Kf; Gx��@�BTBCK�9o�>=�9K�<>KESC9;M@N?RKPGM@�D�=�G K(9; B�q@�F(;"B ��<%J>G GM@�H�=�Q � J2@N<EBCKfF(=BTBCK+@NGH>J><EBCKRH>QC=)9=)F(=�<EBC=3�1=VGM@RD�=�G K(9; B�q@]@N<>\�K�GM@NQC=VF(=�G�F(;MSC9K2O

<@�� F < +X � � � 8 Bi�� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 32: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� �������"��!���� !��������#� ������������ k>�

=xQC;MSTJ>G Bo@ � J>; <2F(;EF(; QC=BTBo@IH2@NQo@NG G =�GM@N?R=�<EBC=x@NG GM@I\�J>;MF>@���9K�<VD�=�QoSTK�@�SC@NG ; QC=0�)=.9K�<V?RK(F(J>G KH2@NQC;e@>O

@�� F +X��ST;�KESCST=�QCD%;�9o�>=nGM@#D�=�G K(9; B�q@#F(; � q=nH2@NQo@NG G =�GM@i@NG GM@#QC=BTBo@#9o�>=VF(=c2<>;MSC9=nGM@iBCQo@N; =BTBCK�QC;M@#F(;� S~BC=)SCSTK,�%KESCST;M@#QC;MSTJ>G Bo@���9K�?R=W<>=)9=)SCSC@NQC; K%�xBo@N<>\�=�<EBC=W@NG GM@#BCQo@N; =BTBCK�QC;M@>8�/=�Q � J2@N<EBCK QC; \�J2@NQoF>@AG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=iF(; � �eQC;M9K�QoF>@N<2F(K � J2@N<EBCKPF(=BTBCK�STJ>G GM@ 9; �

<>=�?A@�BC;M9�@�F(=�G}H>J><EBCK,�[H�KESCST;M@N?RKPKESCST=�QCD�@NQC=]9o�>=AG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=]F(;}J><LH>J><EBCK�9o�>=AST;?#J>K�D�=�STJ�J><2@VBCQo@N; =BTBCK�QC;M@nQC=BTBC; G ; <>=)@���KESCST;M@W@i9J>QCD�@�BCJ>Qo@V<%J>G GM@E���%@3D%Q�q@nJ><2@iSTK�GM@i9K�?]�H�K�<>=�<EBC=1F(;%@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�)F(; QC=BTBo@�Bo@N<>\�=�<EBC=1@NG GM@IBCQo@N; =BTBCK�QC;M@i��KESCST;M@�@N<29K�Qo@IJ><2@�D�K�G Bo@H2@NQo@NG G =�GM@W@NG�H>;M@N<>Ki; <29G ; <2@�BCK%�x=bH2@NQC;2; < ?RK(F(J>G K#@NG GM@#F(=�QC; D�@�Bo@WQC;MSTH�=BTBCK]@NG>BC=�?RH�KRF(=�G?RK(F(J>G KAF(=�G GM@]D�=�G K(9; B�q@>O

? � F ) 6 <(�� 6) E F AX ��}J><EBCK#r2O�7�KNBo@iG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=bF(;[Y �(ST;�H>J�qK]@NH>H>G ;M9�@NQC=b; G�BC=�K�QC=�?A@iF(;e��; D�@NGMS1H�=�Q

G =W@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;x��7(8 7N_E� O

<? � F <? � M < AX � � � 8 Bi�2M < +X � < +X � � � 8 Bi��[@A��K�QC?#J>GM@ STK�H>Qo@AQC; H�K�QTBo@�Bo@�9;xF(;M9=R9o�>=#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=#F(;@Bgq=]STK�?R?A@�D�=BTBCK�QC;M@NG =F(;�J><�BC=�QC?R; <>=]; <29G ; <2@�BCKP9K�?R=]GM@�\�J>;MF>@��e9K�<�D�=�QoSTK @ SC@NG ; QC=#=#?RK(F(J>G K AX�� ��G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=iF(; � ����F(;�J><fBC=�QC?R; <>=#; <29G ; <2@�BCK 9K�?R=iGM@�\�J>;MF>@���9K�<fD�=�QoSTK�@ SC9=�<2F(=�QC=0�2=?RK(F(J>G KiJ>\�J2@NG =n@NG2H>QC=)9=)F(=�<EBC=]��; G2BC=�QC?R; <>=nF(K�D%J(BCK#@NG�H>QCK(F(KNBTBCKiD�=BTBCK�QC;M@NG =bF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=]@N<>\�K�GM@NQC=iH�=�QVGM@PF(;MS~Bo@N<>d)@PF(;�B F>@ � �n=)F�; <(c2<>=RJ><+BC=�QC?R; <>=]K�QTBCK�\�K�<2@NG =@NG GM@�\�J>;MF>@��}F(; QC=BTBCKLF>@AB D�=�QoSTK � =�F(;�?RK(F(J>G K4H2@NQC;I@NG � J2@�F(Qo@�BCK+F(=�G GM@+D�=�G K(9; B�q@@N<>\�K�GM@NQC=VH�=�Qn; G�Qo@N\�\�; K28��IH>QC; ?R;/F(J>=#BC=�?R; <>;/STK�<>K�J>\�J2@NG ;[=)FfK�H>H�KES~BC;�=#H�=�QTBo@N<EBCK ST;=�G ;MF(K�<>K�BCQo@�G K�QCK,��H�=�QV9J>;/G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=#F(;@B QC;MSTJ>G Bo@�H>J>Qo@N?R=�<EBC=]K�QTBCK�\�K�<2@NG =i@NG GM@\�J>;MF>@>8 �[@�c2\�J>Qo@+STKNBTBCKES~Bo@N<EBC= ; G G J2S~BCQo@+\�Qo@�c�9�@N?R=�<EBC=�GM@4STK�G J>d�; K�<>=PSTK�H>Qo@�=)STH�KES~Bo@��QC=�GM@�BC; D�@N?R=�<EBC=V@N;�D�@NQC;eH>J><EBC;�8

B

<@�� F +X �<? � F AX �

<? � F +X 9 �

Page 33: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

kE7 !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� -�-/,���*�&>�����������V$'�2�)�+���2�)�2����&>�),�&(�)�2�����0���I��� *��2�3-.��}� =)ST=�?RH>; K � J>;nQC; H�K�QTBo@�BCK0?R; Qo@y@'9o�>;M@NQC; QC=f; GV9K�<29=BTBCKyF(;nD�=�G K(9; B�q@'@N<>\�K�GM@NQC=0�I=4@?RKES~BCQo@NQC=�9K�?R=nST;M@WH�KESCST; p>; G =nF(=)SC9QC; D�=�QC=�; G�?RKNBCKiQCKNBCKNBCQo@�STGM@�BCK�QC; KWF(;�J>< 9K�QCH�KiQC; \�;MF(K<>=�GbH>;M@N<>K28 � ;V9K�<2ST;MF(=�QC;�J><�� @�S~Bo@0QC; \�;MF>@LD%; <29K�GM@�Bo@0@�F J><2@0=)S~BCQC=�?R; B�q@'@'SC9K�QCQC=�QC=G J><>\�K�J><2@�\�J>;MF>@PK�QC; d�d�K�<EBo@NG =���D%; <29K�G KfF(;.9�@NQCQC=�G G K%�b9K�<LD�=�G K(9; B�q@P=)F4@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=@�SCST=�\�<2@�BC=���QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC= +6�= A6}�n=)FL; <>K�G BCQC=�F(KNBo@�Bo@�F(;.D�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC=]=)F@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=V@N<>\�K�GM@NQC=nH2@NQC;�QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=#@ +XA= AX���9K�?R=W?RKES~BCQo@�BCKR<>=�G GM@]c2\�J>Qo@STKNBTBCKES~Bo@N<EBC=�8 � ;�9�@NGM9K�G ; <>KRG =V=)STH>QC=)SCST; K�<>;eF(=�G GM@]H�KEST; d�; K�<>=0�(D�=�G K(9; B�q@]=)FP@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=F(=�G G�� =)S~BCQC=�?RK � F(=�G G�� @�S~Bo@>8

J � Y

� �

6

X

� +6 � A6

� ���)��,�������������� ��BC; G ; d�d)@N<2F(KA; G[?R=BCK(F(K�F(=�;[<%J>?R=�QC;[9K�?RH>G =)SCST;��>=)STH>QC; ?R;M@N?RKRGM@AH�KN�ST; d�; K�<>=WF(=�G�H>J><EBCK � 9K�?R=�O

� � 8KJW�GF;6>M��GYED � � � 9���� \ �F(=�QC; D�@N<2F(KRQC;MSTH�=BTBCKA@NG�BC=�?RH�KRBo@NG =W=)STH>QC=)SCST; K�<>=VST;eKNBTBC; =�<>=�O

<( � F ) � � 8KJW�) E F +6>MK= +X��GYED � � � 9���� \ �

� J>=)S~Bo@�=)STH>QC=)SCST; K�<>=R9;.F(;M9= 9o�>=AGM@�D�=�G K(9; B�q@�F(=�G}H>J><EBCK+� q=�STK�?R?A@�F(;.J><4BC=�QC?R; <>=K�QC; d�d�K�<EBo@NG =/H2@NQC;E@NG GM@ID�=�G K(9; B�q@�F(=�G�H>J><EBCK ����STK�?R?A@�Bo@ID�=BTBCK�QC;M@NG ?R=�<EBC=}@�FVJ><VBC=�QC?R; <>=K�QTBCK�\�K�<2@NG =�@NG G�� @�S~Bo@W=�H2@NQC;2; <�?RK(F(J>G K]@NG2H>QCK(F(KNBTBCK#F(=�G GM@iD�=�G K(9; B�q@W@N<>\�K�GM@NQC=�F(=�G G�� @�S~Bo@+X�?RK�G BC; H>G ;M9�@�Bo@fH�=�Q]GM@�G J><>\��>=�d�d)@�F(=�G G�� @�S~Bo@�S~BC=)SCSC@>8 � ;1; <EBC=�QCH>QC=BC; � J>=)S~BCK�QC;MSTJ>G Bo@�BCKSTJ>G GM@]p2@�ST=WF(=�GeBC=�K�QC=�?A@]F(;[��; D�@NGMS �>Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCK]F>@NG GM@���7(8 7�u�� 8`b=�QC; D�@N<2F(KRJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=WST;�KNBTBC; =�<>=�O

<? � F*) <( �) E F A6>MK= AX��GYED � � � 9���� \ � 8 +X 9 �GYED � � � 9���� \ �9o�>=WH�KESCST;M@N?RKA; <EBC=�QCH>QC=Bo@NQC=V; < � J>=)S~BCKA?RK(F(K2O.G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=VF(; � q=iSTK�?R?A@RF(;�BCQC=BC=�QC?R; <>;�O}J><>K�F(; QC=BTBCKAK�QC; d�d�K�<EBo@NG ?R=�<EBC=n=WH2@NQC;�@NG GM@R@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=VF(; ���2J><fST=)9K�<2F(KK�QTBCK�\�K�<2@NG =1@NG G�� @�S~Bo@b=IH2@NQC;(; <R?RK(F(J>G KW@NG(H>QCK(F(KNBTBCKWF(=�G GM@V@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=1@N<>\�K�GM@NQC=1F(=�G �G�� @�S~Bo@ AXRH�=�QIGM@]G J><>\��>=�d�d)@]F(=�G G�� @�S~Bo@��(=)F ; <(c2<>=VJ><>KAF(; QC=BTBCKRH2@NQo@NG G =�GM@N?R=�<EBC=n@NG G�� @�S~Bo@��?A@n9K�<#D�=�QoSTKbF(; QC=BTBCKVF>@ � D�=�QoSTK ���N; G(9J>;%?RK(F(J>G K]q=.H2@NQC;(@NG%H>QCK(F(KNBTBCKnF(=�G GM@bD�=�G K(9; B�q@@N<>\�K�GM@NQC=n@NG � J2@�F(Qo@�BCKRH�=�Q�GM@]G J><>\��>=�d�d)@RF(=�G G�� @�S~Bo@>8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 34: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� ��������� �� � ��( ��� ���$� �%������������ � � � ��� !���� ����� �#� k�k

���

���

J � � �

� ��

��� ���� � ���.' ��� �����1��� �(��� � ��'(� ��������������������%)���� � ���������������"�R#���%;&�'�����(+*�3��'�#���(R����#��)�������T� ��(����.-���% ��0

���! .�

� ; <>K#@�FRK�Qo@W; G2?RK�D%; ?R=�<EBCK#F(;�J><�H>J><EBCKi<>=�G�H>;M@N<>K�q=bS~Bo@�BCK#@N<2@NG ; d�d)@�BCKWJ>; G ; d�d)@N<2F(KiJ><J><>;M9K�ST;MS~BC=�?A@ F(;xQC; ��=�QC; ?R=�<EBCKL��9�@NQTBC=)ST;M@N<>K,�2BC=�QC<2@ ; <EBCQC; <2ST=)9�@E� 8is D�K�G BC=]; <%D�=)9=#H>J�qKQC; D�=�GM@NQoST;%J(BC; G =b9K�<2ST;MF(=�Qo@NQC=1H>;TqJ�ST;MS~BC=�?R;�F(;2QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKW9K�<EBC=�?RH�K�Qo@N<2@N?R=�<EBC=�8 �}� ;MF(=)@F(;�J(BC; G ; d�d)@NQC=bF(; D�=�QoST;�ST;MS~BC=�?R;�F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKiH>QC=�<2F(=bSTH>J><EBCK]F>@NG�9K�<29=BTBCK]F(;�9K�?RH�KN�ST; d�; K�<>=�F(=�;�?RKNBC;�8 � =bST;�9K�<2ST;MF(=�Qo@nGM@Vc2\�J>Qo@#7(8 7(��ST;2H>J�qKiKESCST=�QCD�@NQC=�9o�>=�; G�?RK�D%; ?R=�<EBCKF(=�G>H>J><EBCK B ��H>; J(BTBCKES~BCKi9K�?RH>G =)SCSTK%����H>J�qKW=)SCST=�QC=1D%;MS~BCKi9K�?R=�STK�D%Qo@NH>H�KEST; d�; K�<>=1F(;2H>;TqJ?RK�D%; ?R=�<EBC;>=�G =�?R=�<EBo@NQC;�ONB{SC9K�QCQC=I<>=�G2H>;M@N<>KiF(=�G GM@V\�J>;MF>@W9o�>=�@WSTJ2@VD�K�G Bo@VH>J�qKWQCJ>KNBo@��QC=n@�BTBCK�QC<>K]@NG�H�=�QC<>K����>9o�>=VST;�?#J>K�D�=bSTK�G ;MF>@NG ?R=�<EBC=V@NG�9�@NQCQC=�G G K28}Y.;M@�SC9J><>K]F(; � J>=)S~BC;?RK�D%; ?R=�<EBC;.H>J�qK�=)SCST=�QC=AKESCST=�QCD�@�BCK�9K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(K�F(; 1�=�QC=�<EBC;1ST;MS~BC=�?R;IF(;1QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK287�=�G GM@bc2\�J>Qo@W7(8 7(�ISTK�<>KV; <2F(;M9�@�BC;29K�< � � ; G2ST;MS~BC=�?A@VF(;>QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKVQCKNBo@N<EBC=I9K�<RG�� @�S~Bo@��9o�>=]9K�<2ST=�<EBC=RF(;x@N<2@NG ; d�d)@NQC=i; G/?RKNBCK�F(=�G/H>J><EBCK�B <>=�G GM@ \�J>;MF>@��e9K�< � � � � GM@ABC=�QC<2@STK�G ;MF>@NG =R9K�<4; G}9�@NQCQC=�G G KP9o�>=RKESCST=�QCD�@ ; Gx?RKNBCKfF(;xQCKNBo@Nd�; K�<>=RF(=�G G�� @�S~Bo@P=A9K�< � � � � ; GST;MS~BC=�?A@4F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKL@�SCSTK�G J(BCK28 7�=�G�ST=�\�J>; BCK4D�=�QCQ�q@�; G G J2S~BCQo@�BCKL9K�?R=4q=PH�KESCST; p>; G =H>QCK(9=)F(=�QC=RH�=�Qi=�1�=BTBCJ2@NQC=AG�� @N<2@NG ;MST;.F(;}J><0?RK�D%; ?R=�<EBCKf9KES�q �}9K�?RH>G =)SCSTK,��J(BC; G ; d�d)@N<2F(KH>;TqJfST;MS~BC=�?R;�F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK28

��� ����� � �� ���������$��� ��������� �� � ������� ���#� ����!'����(*������ �"���� � ��� !���� ����� �#�� ;1@N<2@NG ; d�d)@�K�Qo@�; G.\�=�<>=�QC;M9Kf?RK�D%; ?R=�<EBCK�F(;1J><'H>J><EBCK B <>=�G.H>;M@N<>K,�x9K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(KF(J>=iF(; D�=�QoST;eST;MS~BC=�?R;[F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKf� c2\�J>Qo@A7(8 7�7�� 8�B q=V; <�?RKNBCKRQC;MSTH�=BTBCK�@NG�ST;MS~BC=�?A@J � � � � � �[9o�>=A@�STJ2@ D�K�G Bo@PST;x?#J>K�D�=RF(;x?RKNBCK�\�=�<>=�QC;M9KPQCKNBCKNBCQo@�STGM@�BCK�QC; KAQC;MSTH�=BTBCKf@NGST;MS~BC=�?A@RF(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK#c�SCSTK J � � � � 8

Page 35: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

kNr !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� � � ���

�� �

���

J �

� �

� �

<= �

<? �

��� ���� � "���� � ��'(� ��������� ����������%)������! ������� ���G�D�=BTBCK�QC= <By; <2F(; D%;MF(J2@�GM@�H�KEST; d�; K�<>=}F(=�G�H>J><EBCK�By<>=�GEST;MS~BC=�?A@�F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK�@�SCSTK�G J(BCK=VH>J�qKA=)SCST=�QC=VSC9QC; BTBCKA9K�?R=�O

<BTF �HB 8KJW�GF �HB 8KJ � �DM �!J � 8KJW�GF�� <= � 6 � MO<? � : ��� M���<=�� 6���M <?� :� ���7(8 7NjE�

�/=�Q�9�@NGM9K�GM@NQC=nGM@]D�=�G K(9; B�q@RF(=�GeH>J><EBCK B ST;[F(=�QC; D�@]; G�D�=BTBCK�QC=nH�KEST; d�; K�<>=�O

<@ � F )) E �HB 8KJW�GF <=�� +6���M <?� +:�"M ) <= �) E 6 � M <= � ) 6 �) E M ) <? �) E : � M <? � ) : �) E ��7(8 k��E�

�1H>QC; ?R;[F(J>=VBC=�QC?R; <>;[F(=�G G�� = � J2@Nd�; K�<>= ��7(8 k��E�.Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>K]GM@]D�=�G K(9; B�q@RF(=�G G�� K�QC; \�; <>=J F(=�G GM@bBC=�QC<2@b?RK�p>; G =IQC;MSTH�=BTBCKV@NG GM@�BC=�QC<2@�c�SCSC@���?R=�<EBCQC=I; G � J2@NQTBCKb=)F#; G>ST=)S~BCKbBC=�QC?R; <>=Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>KIG =.9K�?RH�K�<>=�<EBC;EF(=�G GM@�D�=�G K(9; B�q@�F(; B QC;MSTH�=BTBCKb@NGEST;MS~BC=�?A@�F(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK?RK�p>; G = J � � � � � 8Y1@NGM9K�GM@N<2F(K�G =]F(=�QC; D�@�BC=RF(=�;�D�=�QoSTK�QC;�9o�>=]9K�?RH2@N; K�<>K�<>=�G GM@4��7(8 k��E�I=]QC;M9K�QoF>@N<2F(K 9o�>=<= � F ! Y D \ �>ST;��2@>O

) <= �) EF ! Y D \ +X�FOY[Z � \ ��� � +X+F <? � +X ��7(8 k>�3�

=)SCST=�<2F(K2O<? � F ! YED \ ��7(8 kE7��

s�<2@NG K�\E@N?R=�<EBC=�O

) <? �) E FL=9 YED \ +X+FT8�YED \ +X�F$8�<= � +X ��7(8 k�kE�

=)SCST=�<2F(K +X�GM@�D�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC=iF(=�G GM@ABC=�QC<2@]J � � � � 8 7�=�GxST=�\�J>; BCK�H�K�QCQC=�?RK +X]F � 8��<fST; <EBC=)ST;�ST;e�2@>O

) <= �) E F$<? � � ) <? �) E F$8�<= � � ��7(8 kNr%�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 36: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� ��������� �� � ��( ��� ���$� �%������������ � � � ��� !���� ����� �#� kEu

��=i7(8 kNrR9KES~BC; BCJ>;MSC9K�<>KRG =W9KEST;MF>F(=BTBC=V��K�QC?#J>G =WF(;[�/K�;MSCSTK�<+��H�=�Q�?RKNBC;�H>;M@N<>; � Q �^S 8��;M9K�QoF>@N<2F(K 9o�>=K<= � F Y D \ ST;i�2@>O � KES~BC; BCJ>=�<2F(K GM@ ��7(8 kNr%�P<>=�G G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=LF(=�G GM@D�=�G K(9; B�q@]F(;DB ��7(8 k��E���>ST;eKNBTBC; =�<>=�O

<@ � FL<=�� +6���MO<?� +:�"M <= � +6 � MO<? � +: � M � � 8�<= � : � MO<? � 6 � � ��7(8 kEu��

� ;IF(; ?RKES~BCQo@�9o�>= ; G.BC=�QC?R; <>= � � 8 <= � : � M <? � 6 � �Aq=�J>\�J2@NG = @ <� � �HB 8LJ � � 8+��<(��@�BTBC;F(=c2<>; BCK <� F <� � J><�D�=BTBCK�QC=VF(;�?RK(F(J>G K � F +X��2F(; QC=BTBCKRH�=�QCH�=�<2F(;M9K�GM@NQC=W@NGeH>;M@N<>K2O

<� ��� �HB 8KJ � ��F <� � � � <= � 6 � MO<? � : ��� F� <� � <= �� ��� �����

6 � M � <� � <? �� ��� � � D �

: � F � �P<? � 6 � 8 <= � : ���

`n@NG G�� = � J2@Nd�; K�<>=�7(8 kEu�ST;ID�=)F(=�9o�>=PGM@+D�=�G K(9; B�q@4@�SCSTK�G J(Bo@+F(=�GIH>J><EBCKL� q=�F>@�Bo@4F>@NG GM@9K�?RH�KEST; d�; K�<>=VF(=�;[ST=�\�J>=�<EBC;�BC=�QC?R; <>;�O

<=�� +6���MO<?� +:� BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCKRF(K�D%J(BCKA@NGe?RKNBCKAF(=�G G�� K�QC; \�; <>= J �� 8�<= � : � MO<? � 6 � � � BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCKRF(K�D%J(BCKA@NGe?RKNBCKRQCKNBo@�BCK�QC; KRF(=�G GM@#BC=�QC<2@]?RK�p>; G =<= � +6 � MO<? � +: � D�=�G K(9; B�q@]QC=�GM@�BC; D�@]?RKNBCKAF(;[� QC;MSTH�=BTBCKA@NG GM@#BC=�QC<2@]?RK�p>; G =

�bH>QC; ?R;}F(J>=]BC=�QC?R; <>;xQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>K ; G &(8*)/8�2*! )!� ' - ��!#"%'*&($�",)/8*�[KESCST;M@�; G}?RKNBCK�9o�>=D%; =�<>=P; ?RH2@NQTBC; BCK0@NGIH>J><EBCKKBUH�=�QA=�1�=BTBCK0F(=�G�?RKNBCK0F(=�G GM@�BC=�QC<2@4?RK�p>; G =0�19K�?R=�ST=; G.H>J><EBCKf��KESCST=AQC; \�;MF>@N?R=�<EBC=�9K�G G =�\E@�BCKf@�FL=)SCSC@>8P��<0H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=R; G.H>QC; ?RK'q=�F(K�D%J(BCK@NG GM@W9K�?RH�K�<>=�<EBC=IBCQo@�STGM@�BCK�QC;M@VF(=�G>?RKNBCK#F(=�G GM@nBC=�QC<2@W?RK�p>; G =i��@�SCST; ?R; GM@�Bo@W@�FRJ><�9K�QCH�KQC; \�;MF(K%���%?R=�<EBCQC=W; G�ST=)9K�<2F(K�q=WF(K�D%J(Bo@]@NG GM@R9K�?RH�K�<>=�<EBC=WF(;�QCKNBo@Nd�; K�<>=�8��G�BC=�QCd�KRBC=�QC?R; <>=#F(=)SC9QC; D�=V; G[?RKNBCK F(=�G[H>J><EBCK]B QC;MSTH�=BTBCK @NG[ST;MS~BC=�?A@�F(;[QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK?RK�p>; G =A��D�=)F(;ec2\�J>Qo@��%� 8.�/K�<>=�<2F(K � J>; <2F(;�O

<=�� +6���MO<?� +:� F <@� �� 8�<= � : � MO<? � 6 � � � F <� � �HB 8KJ � �<= � +6 � MO<? � +: � F <@ � �

� ;eKNBTBC; =�<>=WG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=VF(=�G GM@RD�=�G K(9; B�q@]@�SCSTK�G J(Bo@]F(;DB ; <P��K�QC?A@#D�=BTBCK�QC;M@NG =�O

<@ � F <@� � M <��� �HB 8KJ � �DM <@ � � F <@ ��� M <@������ ��7(8 k�zE�

; < 9J>;�GM@LSTK�?R?A@4F(=�;�H>QC; ?R;bF(J>=PBC=�QC?R; <>;�@LST=)9K�<2F(K4?R=�?#p>QCK q=�F(=c2<>; Bo@ �*$�: 89��!#)'2*! )!� ' - ��!#"%'*&($�",)/8*�1=)F ; G�BC=�QCd�K4BC=�QC?R; <>=0q=fF(=c2<>; BCKL�*$�: 89��!#)'K� $�: '*)�! �*'�8���G�QC;MSTJ>G Bo@�BCKKNBTBC=�<%J(BCK�q=V<>KNBCKA9K�?R=��,$�8 � $�&(' 2*!�� '*: !#: $�8�8`b=�QC; D�@N<2F(KRGM@]QC=�GM@Nd�; K�<>=W7(8 k��]ST;�QC;M9�@3D�@#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�H>J><EBCK���O

<? � F�� ����� � FL<=��"A6���MO<?��A:�"M � ����

� � � 6 � MM�<? � +� 6 � MO<? � � +6 � 8�� � D �� � : � � 8 <= � +� +: � MM�� � D �

� � +6 � M <= � A6 � M � ����� � +: � MO<? � A: �

��7(8 k%XN�

Page 37: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

k�z !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

��BC; G ; d�d)@N<2F(KiG =]��7(8 k>��~7(8 kNr%��@NG G�� ; <EBC=�QC<>K#F(=�G GM@ ��7(8 �)�E���EST;�KNBTBC; =�<>=bG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�F(=�G G�� @�9 �9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=VF(=�G�H>J><EBCK,�(; <f9J>;[ST;�F(;MS~BC; <>\�J>K�<>KR;[ST=�\�J>=�<EBC;�BC=�QC?R; <>;�O

<=��:A6���M <?�%A:� F <? � sb9�9N8}F(;eBCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK��?RKNBCK]BCQo@�STGM@�BCK�QC; K%�

� 9 �P8�<= � 6 � 8;<? � : ��� F$8 � 9 �HB 8KJ � � sb9�9N8}F(;eBCQo@�SC9b<>K�QC?A@NG =WF(K�D%J(Bo@R@NGe?RKNBCKQCKNBo@�BCK�QC; K]F(=�G GM@]BC=�QC<2@

+� �"<? � 6 � 8 <= � : ��� F < +��� �HBI8KJ � �"sb9�9N8}F(;eBCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK#Bo@N<>\�=�<>d�;M@NG =F(K�D%J(Bo@R@NGe?RKNBCKRQCKNBo@�BCK�QC; K]F(=�G GM@]BC=�QC<2@

<= � A6 � M <? � A: � F <? ����� sb9�9N8xQC=�GM@�BC; D�@7�<? � � +6 � 807�<= � � +: � F�7 <��� <@ � � sb9�9N8}F(;/Y.K�QC; K�G ;MS

��@N\�\�QCJ>H>H2@N<2F(KV;2BC=�QC?R; <>;�STK�H>Qo@V; <2F(;M9�@�BC;�; <�?A@N<>; =�Qo@i@N<2@NG K�\E@V@ � J2@N<EBCKW��@�BTBCK#H�=�Q1GM@D�=�G K(9; B�q@RST;eKNBTBC; =�<>=�O

<? � FL<=���A6���M <?��A:��M < +��� �HBI8KJ � �N8 � 9 �HB 8KJ � �� ��� �

� ����� � D ����� � � � � ����

M <= � A6 � M <? � A: �� ��� � ��� � � D � � �� ���

M 7 <��� <@ � �� ��� �� � � D � � D � ����

��7(8 k�_E�K�D%D�=�QCK2O

<? � F <?���� M <? ����� M <? � ��7(8 k�jE�

�[@+��7(8 k�jE�IH>QC=�<2F(=#; G�<>K�?R=]F(; �,$�8 � $�&(' 2*! � 8 ��!+8*: ! - 8]�bJ>=)S~BC;[BC=�K�QC=�?R;[=]G�� @NH>H>QCK(9�9; K\�Qo@�c�9KR9K�<2ST=�<EBCK�<>KRF(;[9�@NGM9K�GM@NQC=bD�=�G K(9; B�q@]=)F�@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(;�J><�H>J><EBCK287�=�G�9�@�STK#H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=b; <�9J>;e; GeST;MS~BC=�?A@RF(;�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK]?RK�p>; G =n��KESCST=VF(KNBo@�BCKRF(;e?RKNBCKSTK�GM@N?R=�<EBC=PBCQo@�STGM@�BCK�QC; K,�b��KESCST;M@L9K�< D�=�G K(9; B�q@L@N<>\�K�GM@NQC=�ST=�?RH>QC=�<%J>G GM@E���IG�� = � J2@Nd�; K�<>=��7(8 k�zE�1ST;eQC;MF(J29=i@NG GM@P��7(8 7�u����(=WH>QC=�<2F(=V; G�<>K�?R=WF(; �,$�8 � $�&(' 2*!�� ! �*'*: - 8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 38: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ���������$��� ��������� �� � ��( ��� ���$� �%������������ � � � ��� !���� ����� �#� k%X

���

� � �

� Y �

�,�

� � � � �

� � � � � /�� ���

��� ���, � � "���� � ��'(� ��������� ����������%)������! ������� ��� �������2� �(�������(��� ����� � �����.�(��� � ! ��'('(���� ��� � � �� � !"���� � �"�� ��� ������!"�#�"��$� �"�� � � �%��!�� �"���%���'��()(*�� =�<29o��q=�; Gn?R=BCK(F(KyF(=�;b<%J>?R=�QC;n9K�?RH>G =)SCST;�H�KESCSC@L=)SCST=�QC=fJ(BC; G ; d�d)@�BCK'; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC=�?R=�<EBC=PF>@NG G�� J(BC; G ; d�d�K4F(;.BC=�QC<>=P?RK�p>; G ;1K4F>@NG1G K�QCK�QC;M9K�<>KESC9; ?R=�<EBCK�@NG G�� ; <EBC=�QC<>K+F(;IJ><?R=)9�9�@N<>;MST?RK,�2ST;[QC; BC; =�<>=iJ(BC; G =#QC; H>QCK�H�K�QCQC=VG K S~BCJ2F(; K F(=�G[H>J><EBCK�<>=�G[H>;M@N<>K @�BTBCQo@3D�=�QoSTKG =WBC=�QC<>=i?RK�p>; G ;��2=)STH>QC; ?R=�<2F(K�H�=�Q�qK � J>=)S~Bo@AD�K�G Bo@RGM@AH�KEST; d�; K�<>=���= � J>; <2F(;[GM@AD�=�G K(9; B�q@=#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=3��F(=�G/H>J><EBCKP<>K�<+@�BTBCQo@3D�=�QoSTKA;/D�=BTBCK�QC;/\�=�K�?R=BCQC;M9;���?A@ ?R=)F(;M@N<EBC=];<%J>?R=�QC;}9K�?RH>G =)SCST;}9o�>=RG ;}Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>K28]��<+Bo@NG}?RK(F(KfST;}H�KNBCQ�q@PQC;M9K�<>KESC9=�QC=#<>=�G GM@SC9QC; BTBCJ>Qo@i; < BC=�QC?R; <>;�F(;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;�;�BC=�QC?R; <>;�F(;e?RKNBCKRF(;�BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK,�EQC=�GM@�BC; D�K]=W; GeBC=�QC?R; <>=iF(;/Y.K�QC; K�G ;MS�8/��@NG =WQC;M9K�<>KESC9; ?R=�<EBCK]<>K�<4q=V; <�\�=�<>=�Qo@NG =n<>=)9=)SCSC@NQC; KH�=�QRGM@4QC;MSTK�G J>d�; K�<>=PF(=�;�H>QCK�p>G =�?R;��.?A@yq= c2<2@NG ; d�d)@�Bo@4@�Fy; <EBC=�QCH>QC=Bo@NQC= ; G�ST; \�<>; c�9�@�BCKc�ST;M9KAF(=�;eD�@NQC;�BC=�QC?R; <>;�8`n@NG GM@#c2\�J>Qo@f��7(8 7NkE�1ST;eBCQo@N=WG�� = � J2@Nd�; K�<>=W9o�>=iF(=)SC9QC; D�=VGM@RH�KEST; d�; K�<>=WF(=�G�H>J><EBCK]B <>=�GH>;M@N<>K,�(9K�?R=VSTK�?R?A@]F(;[F(J>=V<%J>?R=�QC;e9K�?RH>G =)SCST;��(F(;[9J>;e; GeH>QC; ?RK]Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@iGM@#H�KN�ST; d�; K�<>=]F(=�G G�� K�QC; \�; <>=RF(=�G GM@�BC=�QC<2@���=)F+; GxST=)9K�<2F(KPGM@�H�KEST; d�; K�<>=RF(=�GxH>J><EBCK�B QC;MSTH�=BTBCK@NG GM@iBC=�QC<2@]?RK�p>; G =�O

�HBI8 JW��F � � Y Z M � 9 Y Z � \ � . � ��7(8 rE�E�F(=�QC; D�@N<2F(K,�(9K�?R=iF(;�9K�<2STJ>=BCK,�(QC;MSTH�=BTBCK�@NG�BC=�?RH�K,�2ST;eKNBTBC; =�<>=WGM@]D%G =�K(9; B�q@>O

( � F +� � Y[Z �M ! � � +� Y[Z �M +� 9 Y[Z � \ � . � M ! � 9 � +<�M +X " Y[Z � \ � . � ��7(8 r2�3�QC; K�QC\E@N<>; d�d)@N<2F(Ki;eBC=�QC?R; <>;��>=W9K�<(��QCK�<EBo@N<2F(K�G ;e9K�<�GM@A7(8 k�z]ST;��2@>O

@ � F ��+� � M ! � � +� � Y[Z � ��� �

�� � �M ! � 9 +XPY[Z � \ � . �� ��� �

��� � � � �My��+� 9 M ! � 9 +<x� Y[Z � \ � . �� ��� �

�� ���

��7(8 r%7��

`n@NG G�� =)SC@N?R=�F(=�;I<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;�ST;�<>KNBo@+; <(��@�BTBC;�9o�>=P=)SCST;I=)STH>QC; ?RK�<>K4;�ST=�\�J>=�<EBC;BC=�QC?R; <>;�F(;�D�=�G K(9; B�q@>O� BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK0F(K�D%J(BCK'@NG�?RKNBCKLBCQo@�STGM@�BCK�QC; KLF(=�G GM@LBC=�QC<2@��I; <(��@�BTBC;b; Gb<%J>?R=�QCK9K�?RH>G =)SCSTKy9K�?RH>QC=�<2F(=4STK�G K';nBC=�QC?R; <>;n; < � � = � �bG =�\E@�BC;V@NGn?RKNBCK F(=�GVSTK�G KH>J><EBCK]J�>K�QC; \�; <>=VF(=�G GM@]BC=�QC<2@]?RK�p>; G =0<

Page 39: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

k�_ !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCKRF(K�D%J(BCKA@NGe?RKNBCKRQCKNBo@�BCK�QC; KRF(=�G GM@#BC=�QC<2@��>9o�>=V; <(��@�BTBC;}q=V=)STH>QC=)SCSTK9K�?R=nH>QCK(F(KNBTBCKRF(=�G GM@#H�KEST; d�; K�<>= � 9 @NG G�� ; <EBC=�QC<>K]F(=�GeQC; ��=�QC; ?R=�<EBCK]?RK�p>; G =0�%H�=�Q�GM@D�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC= +X�F(=�G GM@�S~BC=)SCSC@1BC=�QC<2@>8 �}� @NQC\�K�?R=�<EBCKIF(=�G G�� =)STH�K�<>=�<>d�;M@NG =x; <2F(;M9�@GM@#F(; QC=�d�; K�<>=0��QC;MSTH�=BTBCK#@NG2QC; ��=�QC; ?R=�<EBCK#@�SCSTK�G J(BCK,�EF(=�G�D�=BTBCK�QC=�Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCKWF>@NG<%J>?R=�QCKA9K�?RH>G =)SCSTK,<

� QC=�GM@�BC; D�K�F(=�G[H>J><EBCK B QC;MSTH�=BTBCK @NG�QC; ��=�QC; ?R=�<EBCKA?RK�p>; G =0�2; < � J2@N<EBCK�9K�?RH>QC=�<2F(=STK�G K];eBC=�QC?R; <>;e; <�� 9 =:<.8}s�<29o�>=V; < � J>=)S~BCKR9�@�STK]D�@NG \�K�<>K]G =WS~BC=)SCST=V9K�<2ST;MF(=�Qo@��d�; K�<>;eF(=�G�H>J><EBCK]H>QC=)9=)F(=�<EBC=nH�=�Q � J2@N<EBCK]9K�<29=�QC<>=bG�� @NQC\�K�?R=�<EBCK#F(=�G G�� =)STH�K�<>=�<(�d�;M@NG =�8

� =�; Gb?RKNBCK'F(=�G GM@LBC=�QC<2@0F(;nQC; ��=�QC; ?R=�<EBCK q=+STK�G K4BCQo@�STGM@�BCK�QC; K ��KESCST;M@LGM@4BC=�QC<2@0<>K�< q=STK�\�\�=BTBo@R@RQCKNBo@Nd�; K�<>=0�(= � J>; <2F(; +X F��E���>=)F�; G[D�=BTBCK�QC=�� 9 9K�<><>=BTBC=iF(J>=iH>J><EBC;�F(;[J><9K�QCH�K]QC; \�;MF(K,�(=)SCST=�<2F(K&+� 9 F ���>@NG G K�Qo@#GM@���7(8 r%7��1ST;[ST=�?RH>G ; c�9�@]<>=�G GM@>O

@ � F ��+� � M ! � � +� � Y[Z � ��� �

�� � �M ! � 9 +<NY[Z � \ � . �� ��� �

���� � �

��7(8 rEkE�

9o�>=]=)STH>QC; ?R=#; G/BC=�K�QC=�?A@ F(;x��; D�@NGMS ��@NH>H>G ;M9�@�BCKP@NGx9�@�STKPF(=�Gx9K�QCH�K QC; \�;MF(K28V��< � J>=)S~BCK9�@�STK +< Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@4GM@'D�=�G K(9; B�q@0@N<>\�K�GM@NQC=fF(=�GV9K�QCH�K28 � =+; Gb?RKNBCKyF(=�G GM@LBC=�QC<2@ q=STK�GM@N?R=�<EBC=nQCKNBo@�BCK�QC; K,�(@�BTBCK�QC<>KR@NG GM@RSTJ2@]K�QC; \�; <>= J � �2@NG G K�Qo@]ST;e�2@>O

@ � F ! � 9 +<�Y[Z � \ � . �� ��� ���� � � � �

My��+� 9 M ! � 9 +XE� Y[Z � \ � . �� ��� �

�� ���

��7(8 r�r%�

9o�>=b=)STH>QC; ?R=�; G�?RKNBCK]F(=�G�H>J><EBCK]9K�?R=�=)STH>QC=)SCSTKi@�BTBCQo@3D�=�QoSTKV; G�?RKNBCKiQC=�GM@�BC; D�KWQC;MSTH�=BTBCK@�FRJ><2@WBC=�QC<2@WQCKNBo@N<EBC=0�EH>;TqJ�; G�?RKNBCK#F(;2BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK#F(;�STK�GM@VQCKNBo@Nd�; K�<>=bF(=�G GM@iS~BC=)SCSC@BC=�QC<2@>8 � =RH�K�;xGM@ BCQo@N; =BTBCK�QC;M@ F(=�Gx?RKNBCK�QC=�GM@�BC; D�K+q=]QC=BTBC; G ; <>=)@��[@NG G K�Qo@�; G/BC=�QC?R; <>= +X4q=<%J>G G K,��?R=�<EBCQC=]ST=#GM@RBCQo@N; =BTBCK�QC;M@�F(=�G�?RKNBCK QC=�GM@�BC; D�Kfq=iJ><2@ 9; Qo9K�<(��=�QC=�<>d)@���@NG G K�Qo@�q=i; GBC=�QC?R; <>= +� 9 @�F =)SCST=�QC=V<%J>G G K28��<(c2<>=0ST;W=)SC@N?R; <2@y; GVBC=�QC?R; <>=LF(;i@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�bKNBTBC=�<%J(BCK F(=�QC; D�@N<2F(K QC;MSTH�=BTBCK @NGBC=�?RH�KAGM@���7(8 r%7�� O

? � F � A� � M !$+� � +� M ! � � A� � Y Z M !,+� ��+� � M ! � � +� � Y Z M � ! +� 9 +X.M ! � 9 AXE� Y Z � \ � . � 8 � +X.M +</�'� 9 +XPY Z � \ � . �M � A� 9 M !$+� 9 +<�M ! � 9 A<x� Y Z � \ � . � M !�� +X.M +</���+� 9 M ! � 9 +</� Y Z � \ � . �

��G�9K�<(��QCK�<EBCK49K�< GM@ ��7(8 k�_E�#9K�<2ST=�<EBC=�F(;�QC;M9K�<>KESC9=�QC= ;IBC=�QC?R; <>;�F(;IBCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK,�QC=�GM@�BC; D�K]=iF(;�Y.K�QC; K�G ;MSV��K�9K�?RH>G =�?R=�<EBo@NQC=3� O

? � F � A� � My7 ! +� � +� M ! � � A� 8 � � +� 9 � Y Z � ��� �

�� � �M 8 +� 9 +X 9 Y Z � \ � . �� ��� � � � � �

M ! � 9 AXPY Z � \ � . �� ��� �� ��� � � � �M � A� 9 My7 ! +� 9 +<�M ! � 9 A<98 � 9 +< 9 � Y[Z � \ � . �

� ��� ��� ���

M ! 7 +X2��+� 9 M ! � 9 +<x� Y � \ � .>�� ��� �9 ��� ���� � �

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 40: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � !"� ��'���%� k�j

Y.K�<2ST;MF(=�Qo@Nd�; K�<>;�@N<2@NG K�\��>=b@ � J>=�G G =VSTD�K�G BC=nSTJ>G G =nD�=�G K(9; B�q@i<>=�Ge9�@�STK#F(;�BC=�QC<>=�BCQo@�STGM@N<EBC==�9K�QCH�K4QC; \�;MF(K,�}=�F(;IBC=�QC<2@+QCKNBo@N<EBC=0�.9K�<yBCQo@N; =BTBCK�QC;M@+F(=�G�?RKNBCK4QC=�GM@�BC; D�@4F(;I��K�QC?A@QC=BTBC; G ; <>=)@�K�9; Qo9K�GM@NQC=0��9K�<2ST=�<EBCK�<>KPF(;xST=�?RH>G ; c�9�@NQC=#G =#=)STH>QC=)SCST; K�<>;/STK�H>Qo@�SC9QC; BTBC=0� <>=�;STJ2F>F(=BTBC;[9�@�ST;eH2@NQTBC;M9K�GM@NQC;��%H�=�Qo@NG BCQCKRF(;[@N?RH>; KRJ(BC; G ; d�d�K28

����� ��-"(��"%2�����

� ��<�D�@N\�K�<>=���=�QCQCK�D%;M@NQC; KnH�=�Qo9K�QCQC=�; G2BCQo@�9�9;M@�BCKW?RKES~BCQo@�BCKi; <Rc2\�J>Qo@��E?#J>K�D�=�<2F(KEST;9K�<f?RK(F(J>G K F(=�G GM@RD�=�G K(9; B�q@A9KES~Bo@N<EBC=W=iH2@NQC;�@�7N� � 5 � 8�sbSCST; ?R; GM@N<2F(KA; G�ST;MS~BC=�?A@f@�FLJ><0H>J><EBCKf?A@�BC=�QC;M@NG =0��F(=BC=�QC?R; <2@NQC=0��<>=�;}D�@NQC;xBCQo@�BTBC;1F(=�G GM@PBCQo@N; =BTBCK�QC;M@��G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=V9J>;�STK�<>KASTKNBTBCK�H�KES~BC;e;�H2@�SCST=�\�\�=�QC;�8

R=500 m

R=500 m

L=100 m

L=100 m

L=200 m

L=200 m

� ��Gn9�@NQC;M9K'F(;bJ>< ; ?RH>;M@N<EBCKyF(;nSTK�G G =�D�@N?R=�<EBCK'F(=�D�=fH�=�Qo9K�QCQC=�QC=�7�r�? ; <�@NG BC=�d�d)@��IH2@NQTBC=�<2F(KyF>@4��=�QC?RK'=�\�; J><>\�=�<2F(K'@NG�BC=�QC?R; <>=+F(=�G GM@'9K�QoSC@L9K�< D�=�G K(9; B�q@<%J>G GM@��e9K�<�J><2@�G =�\�\�=]F(;�D�=�G K(9; B�q@ABCQo@NH�=�d�K�;MF>@NG =�8b��G/D�@NG K�QC=i?A@�SCST; ?RKPF(=�G GM@�D�=�G K(9; B�q@�F(;}STK�G G =�D�@N?R=�<EBCK+q=AF(;��)�N?��3?R; < �e?R=�<EBCQC=RGM@PF(J>Qo@�Bo@PF(=�G/BCQo@N<2ST; BCK�QC; K�F(;@3D%D%;M@N?R=�<EBCK4=�F(;b@NQCQC=)S~BCK q=fF(;n7NS�8 ��;M9�@3D�@NQC=P; GbF(;M@N\�Qo@N?R?A@4F(=�G GM@LD�=�G K(9; B�q@��F(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�%=)F ; GeBC=�?RH�KA<>=)9=)SCSC@NQC; KR@R9K�?RH>; =�QC=VGM@]?A@N<>K�D%Qo@>8

Page 41: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

rE� !#&(-/���)��,��0 � !#�����%$'&(�)��*�&����%,1-/�����)�0�f���%,I*��2�3-.�4����5������

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 42: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

r2�

����� ������� � � � ������ � �x�� � �fb���/��� �/�� � ���'� ��� � ��}���]����

���� � ����-"(.#�'�� ��(.���

7�=�G>9�@NH>; BCK�G KbH>QC=)9=)F(=�<EBC=ISTK�<>KVS~Bo@�BC=IF(=)SC9QC; BTBC;(;%BC; H>;>F(;(?RKNBCKnH�KESCST; p>; G ;(H�=�Q/J><RST; <>\�K�G K9K�QCH�KLQC; \�;MF(K,�1BC=�<>=�<2F(Ky9K�<EBCK'F(;n=�D�=�<EBCJ2@NG ;�D%; <29K�G ;b@N\�=�<EBC;bSTJ>Gn9K�QCH�K28{��< � J>=)S~BCK9�@NH>; BCK�G K0G K'S~BCJ2F(; KyF(=�G GM@'9; <>=�?A@�BC;M9�@LD%; =�<>=�\�=�<>=�Qo@NG ; d�d)@�BCK0@NGb9�@�STK'F(;bJ>< ST;MS~BC=�?A@9K�?RH�KES~BCKWF>@nH>;TqJ�9K�QCH>;(QC; \�;MF(;��N; <EBC=�Qo9K�<><>=)SCST;>F>@VD%; <29K�G ;�8}Y.K�?R=IH�=�Q}; G2ST; <>\�K�G KW9K�QCH�KQC; \�;MF(K,��; G.H>QC; ?RK�H>QCK�p>G =�?A@fF>@fH�K�QoST;bq=A; G1<%J>?R=�QCK�F(;1\�Qo@�F(;.F(;1G ; p�=�QTB�q@�F(=�G1ST;MS~BC=�?A@9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK2O}@Np>p>;M@N?RKRD%;MS~BCK�9o�>=iJ><�ST; <>\�K�G KA9K�QCH�KRQC; \�;MF(KA; <f?RKNBCKA<>=�G�H>;M@N<>KA=#STJ>G� J2@NG =R<>K�<0@N\�;MSC9K�<>K D%; <29K�G ;}H�KESCST; =)F(=]BCQC=A\�Qo@�F(;}F(;}G ; p�=�QTB�q@>OWJ><0ST;MS~BC=�?A@f9K�?RH�KES~BCKF>@�"L9K�QCH>;}q=WH�=�QTBo@N<EBCK 9�@NQo@�BTBC=�QC; d�d)@�BCK,�(H>QC; ?A@�F(=�G G�� @NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>=iF(=�;[D%; <29K�G ;���F>@Ak��\�Qo@�F(;[F(;�G ; p�=�QTB�q@>8 �}� ; <EBCQCK(F(J>d�; K�<>=#F(;�D%; <29K�G ;�BCQo@�;/9K�QCH>;[=#9K�<�J><�?R=�?#p>QCKAc�SCSTK+��KBC=�GM@N; K%���(QC;MF(J29=V; G�<%J>?R=�QCKAF(=�;�\�Qo@�F(;eF(;�G ; p�=�QTB�q@RF(=�G[ST;MS~BC=�?A@>8�/=�QR; <EBCQCK(F(J>QCQC=�G�� @NQC\�K�?R=�<EBCK49;bST;�QC; ��=�QC;MSC9=�@�F J>< ST;MS~BC=�?A@09K�?RH�KES~BCKLF>@0F(J>=

@�S~BC=�� c2\�J>Qo@�k>8 �3���/9J>;}D�=�<>\�K�<>K�H>QCK�\�QC=)SCST; D�@N?R=�<EBC=R@NH>H>G ;M9�@�BC;.F(=�;.D%; <29K�G ;�8PsbFLK�\�<>;ST; BCJ2@Nd�; K�<>=�F(;ID%; <29K�G KLST;�KESCST=�QCD�=�Q�q@ � J2@N<EBC=�9K%K�QoF(; <2@�BC=4q= <>=)9=)SCSC@NQC; K+; <2F(;M9�@NQC=PH�=�QF(=c2<>; QC=VGM@R9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=VF(=�G�ST;MS~BC=�?A@>8 � =�\�J>=�<2F(KRGM@#c2\�J>Qo@Rk>8 �VST;�KESCST=�QCD�@]9o�>=�O

� H>QC; ?A@'F(=�G G�� ; <EBCQCK(F(J>d�; K�<>=4F(=�;nD%; <29K�G ;���G�� ; <2ST; =�?R=LF(=�;VF(J>=49K�QCH>;iq=+F(KNBo@�BCK F(;z�F 7�kR\�Qo@�F(;eF(;�G ; p�=�QTB�q@�<

� @NH>H>G ;M9�@N<2F(KR;[D%; <29K�G ;[F(;[9=�QC<>; =�Qo@]<>=�;�H>J><EBC;�J = ����ST;�H>J�qKAH�=�<2SC@NQC=WF(;[; <2F(; D%; �F(J2@NQC=�GM@i9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=�F(=�G�ST;MS~BC=�?A@i@�BTBCQo@3D�=�QoSTKn\�G ;�@N<>\�K�G ;�<+= � �E; G�ST;MS~BC=�?A@Aq=� J>; <2F(;>F(KNBo@�BCKVF(;(F(J>=I\�Qo@�F(;%F(;(G ; p�=�QTB�q@>8�`n@NG(<%J>?R=�QCKn9K�?RH>G =)SCST; D�KnF(;>z�\�Qo@�F(;(F(;G ; p�=�QTB�q@��ED�=�<>\�K�<>KW; <(��@�BTBC;�STKNBTBCQo@�BTBC;�F(J>=b\�Qo@�F(;2F(;�G ; p�=�QTB�q@iH�=�Q19;M@�SC9J><2@W9=�QC<>; =�Qo@@NH>H>G ;M9�@�Bo@R@NG�ST;MS~BC=�?A@>8

� s�H>H>G ;M9�@N<2F(K�J><�J>G BC=�QC; K�QC=iD%; <29K�G K�F(;/9�@NQCQC=�G G KR<>=�G�H>J><EBCK � ��H�=�QVF(=BC=�QC?R; <2@NQC=GM@09K�<(c2\�J2@Nd�; K�<>=fF(=�GbST;MS~BC=�?A@ q=�STJ =�9; =�<EBC=�F(=c2<>; QC=0��@�F =)ST=�?RH>; K,�I; G�D�@NG K�QC=F(=�G G�� @N<>\�K�G K;<.8x��< � J>=)S~BCK#9�@�STKW; G�<%J>?R=�QCK#F(;�\�Qo@�F(;2F(;�D%; <29K�G K�q=�H2@NQC;�@i9; < � J>=�8� 7�=�G%9�@�STK�; <#9J>;���; <(c2<>=0��; GED%; <29K�G K�H�KES~BCK�<>=�G%H>J><EBCK � q=}J><2@b9=�QC<>; =�Qo@��)<>K�<#STK�<>KH>;TqJ H�KESCST; p>; G ;�?RK�D%; ?R=�<EBC;2QC; \�;MF(;�F(=�G�ST;MS~BC=�?A@>O�; <(��@�BTBC;�H�=�Q1=�1�=BTBCKRF(=�G G =n9=�QC<>; =�QC=; <9J = � 9;M@�SC9J><2@]F(=�G G =iF(J>=i@�S~BC=WH�KNBCQC=�p>p�=i@NGeH>;TqJ�QCJ>KNBo@NQC=W@�BTBCK�QC<>KR@NG GM@RSTJ2@=)S~BCQC=�?R; B�q@�c�SCSC@���?A@ H�=�QV=�1�=BTBCKfF(=�G GM@P9=�QC<>; =�Qo@�; < � @N<29o�>= � J>=)S~BC=]QCKNBo@Nd�; K�<>;STK�<>Kf; ?RH�=)F(; BC=0�xH�=�Qo9o�0/=RGM@fQCKNBo@Nd�; K�<>=RQC; \�;MF>@fF(;.J><2@�F(=�G G = F(J>=P@�S~BC=�9K�?RH�K�QT�BC=�QC=�p>p�=P<>=)9=)SCSC@NQC;M@N?R=�<EBC=AJ>< @NG G J><>\E@N?R=�<EBCK�K4@�9�9K�Qo9;M@N?R=�<EBCK�F(=�G G�� @NG BCQo@>8+��G��@�BTBCK 9o�>=W; G�ST;MS~BC=�?A@R<>K�<�H�KESCSC@RSTJ>p>; QC=W?RKNBC;[QC; \�;MF(;eBCQCK�D�@R9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@]<>=�G9K�<EBC=�\�\�; KAF(=�G[<%J>?R=�QCK�F(=�;[\�Qo@�F(;[F(;[D%; <29K�G K�@N\�=�<EBC;���9o�>=#STK�<>KA; < � J>=)S~BCK�9�@�STK

Page 43: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

r%7 !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

O A’’

B

A’

O

A

B

O

A

B

B

A

O

β

α

α

��� ��� � �� ����(����'('(� ��������� ! ���(� ��������������� �� �(�3! �ST=�;��[KESCST;M@ H2@NQC;x@NGx<%J>?R=�QCKfF(=�;x\�Qo@�F(;xF(;}G ; p�=�QTB�q@�9o�>=A9K�?RH�=BC=A@NG G�� ; <2ST; =�?R=AF(=�;9K�QCH>;e<>K�<�D%; <29K�GM@�BC;�8

�}� =)ST=�?RH>; KPSTK�H>Qo@�F(=)SC9QC; BTBCK 9K�<2ST=�<EBC=]F(;�; <EBCQCK(F(J>QCQC=#@NGM9J><>=]F(=c2<>; d�; K�<>;/H2@NQTBC;M9KN�GM@NQC?R=�<EBC=V; ?RH�K�QTBo@N<EBC;��>9o�>=WSTK�<>KRQC; H�K�QTBo@�BC=V<>=�G�ST=�\�J>; BCK28

��������� �����"���� �$(*�%� � ( ��!���"��� !���}� =)ST=�?RH>; KW?RKES~BCQo@W9o�>=�H�KESCST;M@N?RKiF(;MS~BC; <>\�J>=�QC=�;�ST;MS~BC=�?R;2?R=)9�9�@N<>;M9;2; <�F(J>=b9�@�BC=�\�K�QC; =�O

� -�)!� )�) � $�O�ST;MS~BC=�?R;(@3D�=�<EBC;E\�Qo@�F(KbF(;%?RK�p>; G ; B�q@b<%J>G G K,��H�=�Q/=)SCST;%<>K�<#STK�<>KbH�KESCST; p>; G ;@�BTBC;bF(;�?RKNBCKLQC; \�;MF(K,�.G =�J><>;M9o�>=fH�KESCST; p>; G ; B�q@LF(;�?RK�D%; ?R=�<EBCKLSTK�<>KLG =�\E@�BC=f@NG G =F(=��K�QC?A@Np>; G ; B�q@'F(=�;b?R=�?#p>QC;b9o�>=+9K�?RH�K�<>\�K�<>KLGM@'S~BCQCJ(BTBCJ>Qo@���@Np>p2@N<2F(K�<2@N<2F(K� J>; <2F(;eG�� ; H�KNBC=)ST;�F(;�9K�QCH>;�QC; \�;MF(;��%H�=�Q � J>=)S~BCK]H>QCK�p>G =�?A@]ST;�QC; ?A@N<2F>@]@NGe9K�QoSTK]F(;

� 8*"%20'*&($�",)�! 2*! � 8 -�)!� ;�!+8*"%$ 2*! '0����56!#"%$8� &($�����'*",! -�&!COxST;MS~BC=�?R;�@3D�=�<EBC;(\�Qo@�F(KWF(;>?RK�p>; G ; B�q@W<>K�<R<%J>G G K,��; <A\�Qo@�F(K � J>; <2F(;�F(;9K�?RH>; =�QC=b?RK�D%; ?R=�<EBC;eST=�<>d)@#9K�<EBCQo@3D%D�=�<>; QC=�@NG GM@#9K�<2F(; d�; K�<>=nF(;�?RKNBCK#QC; \�;MF(K2O1q=; <4H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=#F(; � J>=)S~Bo@ 9�@�BC=�\�K�QC;M@�F(;xST;MS~BC=�?R;x9o�>=]9;/K(9�9J>H�=�QC=�?RKP; < � J>=)S~BCK9�@NH>; BCK�G K28

� ;1KESCST=�QCD%;19o�>=P@N<29o�>= J><'?R=)9�9�@N<>;MST?RK+H�KNBCQC=�p>p�=PSTJ>p>; QC=PF(=�;1?RKNBC;I<>K�<'QC; \�;MF(;��/H�=�Q=�1�=BTBCKfF(=�G GM@PF(=��K�QC?A@Np>; G ; B�q@PF(=�;x9K�QCH>;x9o�>=]G K�9K�?RH�K�<>\�K�<>K2Ob9; K�<>K�<>KES~Bo@N<EBC=0��;/?RKNBC;

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 44: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

������� � ���!"�������1�$�� � rEk

@�SCSTK(9;M@�BC;�@NG GM@bF(=��K�QC?A@Np>; G ; B�q@��3=)SCST=�<2F(K#��; <i\�=�<>=�Qo@NG =3�e9K�<(c2<2@�BC;E=�<EBCQCK�;%G ; ?R; BC;%F(;(F(=��K�QT�?A@Nd�; K�<>=i=�GM@�S~BC;M9�@AF(=�G/9K�QCH�K,�2�2@N<><>K�BC; H>;M9�@N?R=�<EBC=#@N?RH>; =�d�d�=#?RK�G BCK�H>;M9�9K�G =iQC;MSTH�=BTBCK@N;[?RKNBC;[QC; \�;MF(;�8bsbFf=)ST=�?RH>; K,�2J><�� @�S~Bo@�F(=�G GM@�G J><>\��>=�d�d)@AF(;�J><�?R=BCQCK�; <29=�QC<>; =�Qo@�Bo@A@BC=�QCQo@]@�FPJ><2@R=)S~BCQC=�?R; B�q@]H�KNBCQC=�p>p�=WQCJ>KNBo@NQC=n; <EBCK�QC<>KA@NG G�� =)S~BCQC=�?RK]c�SCSTKf��?RKNBCKAQC; \�;MF(K%�9K�<2ST=�<EBC=�<2F(K�@NG1STJ>Kf=)S~BCQC=�?RKfG ; p�=�QCK+F(;1STH�KES~Bo@NQoST;.F(;1J><2@�F(;MS~Bo@N<>d)@fF(=�G G�� K�QoF(; <>= F(=�;?R=BCQC;��[?R=�<EBCQC=AJ><0Qo@N\�; K�<>=�D�K�G =]K�QoF(; <>=AF(;.\�Qo@N<2F(=�d�d)@PF(=�G G K�STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKfH>QCK(F(KNBTBCKF>@NG GM@RF(=��K�QC?A@Nd�; K�<>=n=�GM@�S~BC;M9�@#H�KNBCQC=�p>p�=W=)SCST=�QC=R� �%�)�����iF(=�G GM@AF(; ?R=�<2ST; K�<>=WF(=�G[9K�QCH�K28�/=�Q � J>=)S~BCK�?RKNBC; D�K�<>=�GEST=�\�J>; BCK�9K�<2ST;MF(=�QC=�QC=�?RKI;E?R=)9�9�@N<>;MST?R;�9K�?R=.9K�?RH�KES~BC;EF>@�9K�QT�H>;�QC; \�;MF(;�D�@NQC;M@N?R=�<EBC=#; <EBC=�Qo9K�<><>=)SCST;��2BCQo@�SC9J>Qo@N<2F(KRBCJ(BTBC;x\�G ;�=�1�=BTBC;}F(;xF(=��K�QC?A@Np>; G ; B�q@F(=�;�9K�QCH>;�8

������� � � ���%����� � ����� ��!"����� ��� �'�����!'���� ��� � (*�$( ������� ��� �"��!���� !�����������[@iH>QCK(9=)F(J>Qo@iJ(BC; G ; d�d)@�Bo@#<>=�G G�� =)ST=�?RH>; K#H�=�Q�9�@NGM9K�GM@NQC=�; Ge<%J>?R=�QCK]F(=�;�\�Qo@�F(;�F(;�G ; p�=�QTB�q@��KP\�Qo@�F(;xF(;}?RK�p>; G ; B�q@E�nF(=�G}ST;MS~BC=�?A@���H>J�qKP=)SCST=�QC=]\�=�<>=�Qo@NG ; d�d)@�Bo@�H�=�Qi@NGM9J><>=A9GM@�SCST;xF(;?R=)9�9�@N<>;MST?R;�8�7�=�G�9�@�STKiF(;�?R=)9�9�@N<>;MST?R;2H>;M@N<>;��(9K�<�STK�G =b9K�H>H>; =�; <(��=�QC; K�QC;���@�FR=)ST=�?RH>; K9=�QC<>; =�QC=0�EH2@�BTBC; <>;�=V9�@NQCQC=�G G ; ���E; <P9J>;�;e9K�G G =�\E@N?R=�<EBC;�ST;M@N<>K]STK�G K]F(;�BC; H�K]p>; <2@NQC; K,�EKESCST;M@K�\�<>;xD%; <29K�G K�9K�G G =�\E@�STK�G KfF(J>=A=�G =�?R=�<EBC;��/ST;1F(=c2<>;MSC9=AGM@�QC=�\�K�GM@PF(;IlnQ1AJ>p>G =�Q9�[H�=�Q#; G9�@NGM9K�G KLF(=�G�\�Qo@�F(KLF(;�?RK�p>; G ; B�q@0F(=�GbST;MS~BC=�?A@>8�`b=BTBCK�� � ; G�<%J>?R=�QCK0F(;bD%; <29K�G ;�9o�>=STK�H>H>QC; ?RK�<>KfJ><'STK�G K�\�Qo@�F(KfF(;1G ; p�=�QTB�q@'��D%; <29K�G KfBC; H�K49�@NQCQC=�G G K%���[=�� 9 ; G1<%J>?R=�QCK+F(;D%; <29K�G ;�9o�>=nSTK�H>H>QC; ?RK�<>K#F(J>=n\�Qo@�F(;�F(;�G ; p�=�QTB�q@��e��D%; <29K�G KiBC; H�KR9=�QC<>; =�Qo@WK]H2@�BTBC; <>K%���(ST;�2@>O

� � ) F k�� ��8�� � 807���� 9 ��k>8 �3�

=)SCST=�<2F(K "�; G�<%J>?R=�QCKAF(;e?R=�?#p>QC;[F(=�G�?R=)9�9�@N<>;MST?RK,�%=)SC9G J2STKR; GeBC=�GM@N; K28

������� � � ������ � ��� ���������$� � ������!'��� � � ����(*��}� =)ST=�?RH>; K]F(;���J>\�J>Qo@#k>8 �VSTJ>\�\�=�QC;MSC9=�J><2@#J>G BC=�QC; K�QC=nF(;MS~BC; <>d�; K�<>=W@NG G�� ; <EBC=�QC<>K]F(=�G GM@]9�@��BC=�\�K�QC;M@�F(=�;�?R=)9�9�@N<>;MST?R;��xBCQo@ � '*)/$�"%$ ��!#"%$�&('*)�!+��5�$ ' �,$���)/$�= � '*)/$�"%$���!#"%$�&('*)�!+��5�$��56!�6- $8b`b; QC=�?RK 9�@�BC=�<2@�9; <>=�?A@�BC;M9�@�@NH�=�QTBo@AJ><+ST;MS~BC=�?A@�9K�?RH�KES~BCK�F>@�J><2@�ST=�QC; =#F(;9K�QCH>;2?RK�p>; G ;��%H>;TqJ�J><P9K�QCH�KWc�SCSTKP��F(=BTBCK )/$�: '*!+8����>; < 9J>;eF(; D�=�QoST;�9K�QCH>;�STK�<>K#D%; <29K�GM@�BC;; <ASTJ29�9=)SCST; K�<>=IG�� J><>Ki@NG G�� @NG BCQCKA��@V��K�QC?A@NQC=1J><2@iSTK�QTBo@VF(;���9�@�BC=�<2@�E�[; <A?RK(F(Ki9o�>=�K�\�<>;9K�QCH�K QC;MSTJ>G BC;�D%; <29K�GM@�BCK =)SC9G J2ST; D�@N?R=�<EBC=R@ � J>=�G G K�9o�>=#G KPH>QC=)9=)F(=]=]@ � J>=�G G K�9o�>=#G KST=�\�J>=i<>=�G GM@ 9�@�BC=�<2@>847�=�G G�� =)ST=�?RH>; KP9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK,��G�� ; <EBCQCK(F(J>d�; K�<>=]F(=�G G =]STK�G =]F(J>=R9=�QT�<>; =�QC=1; <,J =I; < � F[q@nG J>K�\�KV@�FiJ><2@V9�@�BC=�<2@n9; <>=�?A@�BC;M9�@V@NH�=�QTBo@b; <R9J>;(; G%BC=�GM@N; KA��9K�QCH�K����E�Wq=]D%; <29K�GM@�BCK�STK�G KP@NG G�� @�S~Bo@�J � ��9K�QCH�K �>���E��= � J>=)S~Bo@P@PSTJ2@ D�K�G Bo@+q=]D%; <29K�GM@�Bo@STK�G KR@NG G�� @�S~Bo@ � � ��9K�QCH�K �E7��E� 8vb;M9=�D�=�QoSC@���ST;(F(;M9=�9�@�BC=�<2@n9; =�?A@�BC;M9�@n9o�>; J2SC@bJ><RST;MS~BC=�?A@b; <R9J>;>@NG ?R=�<>KbJ><>KWF(=�;>9K�QCH>;<>K�<AQC;MSTH�=BTBo@iGM@#9K�<2F(; d�; K�<>=bSTK�H>Qo@V=�<%J><29;M@�Bo@>8�7�=�G G�� =)ST=�?RH>; K#9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK,��G�� ; <EBCQCK(F(J(�d�; K�<>=bF(=�G G =V9=�QC<>; =�QC=�; <�J = � =)F�; <>K�G BCQC=nF(=�G�9�@NQCQC=�G G KW; < � F[q@iG J>K�\�K#@�FAJ><2@]9�@�BC=�<2@9o�>; J2SC@��%H�=�Qo9o�0/=V; G ��9K�QCH�KA7�����@�S~Bo@ � � �nq=W9K�G G =�\E@�BCKR@N<29o�>=W@NG�BC=�GM@N; Kf� ��9K�QCH�KA��E� 8�[@RF(;MS~BC; <>d�; K�<>=VBCQo@A9�@�BC=�<>=i9; <>=�?A@�BC;M9o�>=W@NH�=�QTBC=W=i9o�>; J2ST=W<>K�<�QC;MST; =)F(=WSTK�G Bo@N<EBCKR<>=�G GM@��BCK�H�K�G K�\�;M@��F(=�G2ST;MS~BC=�?A@��N?A@V9K�?RH�K�QTBo@bJ><2@n; ?RH�K�QTBo@N<EBC=�F(; 1�=�QC=�<>d)@>O[H�=�Q}F(=)SC9QC; D�=�QC=; G�?RKNBCK]F(;�J><2@#9�@�BC=�<2@#9; <>=�?A@�BC;M9�@i@NH�=�QTBo@�q=bSTJ =�9; =�<EBC=nJ(BC; G ; d�d)@NQC=bJ>< 9=�QTBCK#<%J>?R=�QCKF(;.9K%K�QoF(; <2@�BC=�9o�>=AH�=�QC?R=BTBo@N<>K�F(;.Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@NQC=]; G.?RKNBCK�F(;.J><09K�QCH�KfQC;MSTH�=BTBCK�@

Page 45: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

r�r !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

� J>=�G G K#9o�>=bG KiH>QC=)9=)F(=�<>=�G GM@#9�@�BC=�<2@>8/sbFA=)ST=�?RH>; K,�EH�=�Q1GM@#9�@�BC=�<2@i9; <>=�?A@�BC;M9�@i@NH�=�QTBo@F(=�G G�� =)ST=�?RH>; KWF(;%c2\�J>Qo@nk>8 �IST;(H�KESCSTK�<>KnJ2SC@NQC=I9K�?R=I9K%K�QoF(; <2@�BC=1G�� @N<>\�K�G Kb��K�QC?A@�BCKVF>@NG �G�� @�S~Bo@�J � 9K�<+G�� K�QC; d�d�K�<EBo@NG = ��QCKNBo@Nd�; K�<>=]@�SCSTK�G J(Bo@ F(=�Gx9K�QCH�K+�3��=]G�� @N<>\�K�G KA��K�QC?A@�BCKF>@NG G�� @�S~Bo@ � � 9K�<4G�� K�QC; d�d�K�<EBo@NG =���QCKNBo@Nd�; K�<>=R@�SCSTK�G J(Bo@PF(=�G}9K�QCH�K�7���<[; <0@NG BC=�QC<2@�BC; D�@��9K�?R=iST=)9K�<2F>@A9K%K�QoF(; <2@�Bo@RH>J�qK�=)SCST=�QC=WSC9=�G BCK�G�� @N<>\�K�G K]��K�QC?A@�BCK�F>@NG�� @�S~Bo@ � � 9K�<f; GH>QCK�G J><>\E@N?R=�<EBCKPF(=�G G�� @�S~Bo@�J �g��QCKNBo@Nd�; K�<>=RF(=�Gx9K�QCH�Kf79� $�: '*)�! �*'�@NGx9K�QCH�K+�3� 8A�bJ2@��G J>< � J>=iF(=�;[F(J>=iST=BbF(;[9K%K�QoF(; <2@�BC=WST;[SC9=�G \E@��(G =iF(J>=i9K%K�QoF(; <2@�BC=VQC;MSTJ>G Bo@N<>KAF(=�GeBCJ(BTBCK; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC;[G�� J><2@RF>@NG G�� @NG BCQo@>8vb;M9=�D�=�QoSC@��xH�=�QRJ><2@49�@�BC=�<2@49; <>=�?A@�BC;M9�@49o�>; J2SC@��xG =fF(; D�=�QoST=P9K%K�QoF(; <2@�BC=P9o�>=P=)STH>QC; �?RK�<>Kf; G.?RKNBCK�F(;.J><0?R=�?#p>QCKfQC;MSTH�=BTBCK+@NG}H>QC=)9=)F(=�<EBC=A<>K�<'STK�<>K�BCJ(BTBC=�G ; p�=�QC=0��?A@@NGx9K�<EBCQo@NQC; KPF(=�D�K�<>K QC;MSTH�=BTBo@NQC=]J><2@ K�H>;TqJL9K�<2F(; d�; K�<>;�Ob<>=�G G�� =)ST=�?RH>; KfF(;}9�@�BC=�<2@P9; �<>=�?A@�BC;M9�@�9o�>; J2SC@PQC; H�K�QTBo@�BCKP; <4c2\�J>Qo@Pk>8 �0�[; Gx?RKNBCKfF(=�G.ST;MS~BC=�?A@PH>J�qK�@N<29K�Qo@�=)SCST=�QC=F(=)SC9QC; BTBCKP; <+BC=�QC?R; <>;}@�F�=)ST=�?RH>; K�F(;xQCKNBo@Nd�; K�<>;x@�SCSTK�G J(BC=]F(=�G G =AF(J>=A@�S~BC=,J � = � � �?A@P; < � J>=)S~BCKf9�@�STK � J>=)S~BC=AF(J>=A9K%K�QoF(; <2@�BC=]<>K�<LSC@NQo@N<><>K ; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC;b��KESCST;M@ <>K�<H�KNBCQo@N<><>K4D�@NQC;M@NQC= G ; p�=�Qo@N?R=�<EBC=0�}; <2F(; H�=�<2F(=�<EBC=�?R=�<EBC=fG�� J><2@LF>@NG G�� @NG BCQo@E���}?A@+; <%D�=)9=F(K�D%Qo@N<><>KRD�@NQC;M@NQC=WQC;MSTH�=BTBo@N<2F(KA; G�D%; <29K�G K�F(;/9�@NQCQC=�G G KR; < � ��KESCST;M@]��@�9=�<2F(K�; <�?RK(F(K9o�>=b; G�H>J><EBCK � @NH>H2@NQTBC=�<>\E@iST=�?RH>QC=n@NG GM@iQC=BTBo@iK�QC; d�d�K�<EBo@NG =�STJP9J>;eSC9K�QCQC=�; Ge9�@NQCQC=�G G K28��<2@�9K�<2F(; d�; K�<>=�9; <>=�?A@�BC;M9�@�F(; � J>=)S~BCKfBC; H�Ky��K�H>;TqJ'9K�<2F(; d�; K�<>;���<>=�GI9�@�STKfF(;IST;MS~BC=�?R;eH>;TqJf9K�?RH>G =)SCST; �.H>J�qKAST=�?RH>QC=V=)SCST=�QC=nQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�Bo@i; < BC=�QC?R; <>;[F(;eJ><2@]= � J2@Nd�; K�<>=��KPH>;TqJ+= � J2@Nd�; K�<>; ��SC9QC; BTBo@ 9K�<�; G���K�QC?A@NG ;MST?RKPF(=�;/<%J>?R=�QC;/9K�?RH>G =)SCST;��e9o�>=]H>QC=�<2F(=#; G<>K�?R=AF(; $ � ,'9;�!+8*"%$ 2*! ��56!�6- � 'f; < � J2@N<EBCK�H>J�qK�=)SCST=�QC=]; <EBC=�QCH>QC=Bo@�Bo@ \�Qo@�c�9�@N?R=�<EBC=9K�?R=VJ><2@A9K�<2F(; d�; K�<>=W9o�>=W; ?RH�K�<>=WGM@A9; Qo9KES~Bo@N<>d)@iH�=�Qb9J>;�J><fH2@NQTBC;M9K�GM@NQC=bH�K�G ; \�K�<>KST;.?A@N<EBC; =�<>=�9o�>; J2STK+F(J>Qo@N<EBC=A; G.?RKNBCK�F(=�GIST;MS~BC=�?A@>8��[@�QC=�GM@Nd�; K�<>=RBCQo@�G = 9K%K�QoF(; <2@��BC=0��; < � J>=)S~BCKL9�@�STK+G =fF(J>=PQCKNBo@Nd�; K�<>; �#F(=�;�9K�QCH>;�9o�>=�9K�?RH�K�<>\�K�<>K+GM@L9�@�BC=�<2@�H>J�qK��@�BTBCQo@3D�=�QoSTK#; G[?R=BCK(F(K�F(=�;�<%J>?R=�QC;[9K�?RH>G =)SCST; �.=)SCST=�QC=V=)STH>G ;M9; Bo@�Bo@R; <P��J><>d�; K�<>=#F(;�J><<%J>?R=�QCKf?R; <>; ?RK4F(;19K%K�QoF(; <2@�BC=0��H2@NQC;.@NG.<%J>?R=�QCK�F(;1\�Qo@�F(;.F(;.G ; p�=�QTB�q@�F(=�GIST;MS~BC=�?A@>O<>=�G G�� =)ST=�?RH>; Kf9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK�ST;xH�KNBCQ�q@�@�F+=)ST=�?RH>; K�=)STH>G ;M9; Bo@NQC=RGM@PQCKNBo@Nd�; K�<>=RF(; � � ; <��J><>d�; K�<>=�F(=�G GM@�QCKNBo@Nd�; K�<>=PF(;�J � =PQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@NQC= � J>; <2F(;I; GI?RKNBCKLF(=�G�ST;MS~BC=�?A@�; <��J><>d�; K�<>=]F(;�J><�� J><>;M9�@ 9K%K�QoF(; <2@�Bo@RG ; p�=�Qo@���9K�?R=#9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@AF(=�G[��@�BTBCKP9o�>=#; G[?R=)9 �9�@N<>;MST?RKA9K�<2ST;MF(=�Qo@�BCK#�2@RJ><fSTK�G K]\�Qo@�F(KRF(;�G ; p�=�QTB�q@>8lnG ;�=)ST=�?RH>;eF(;e9�@�BC=�<2@#9; <>=�?A@�BC;M9�@#@NH�=�QTBo@i=V9o�>; J2SC@iQC; H�K�QTBo@�BC;�; <�c2\�J>Qo@#k>8 �b<>K�< STK�<>KSTK�G K�J(BC; G ;x@�; <EBCQCK(F(J>QCQC=i;x9K�<29=BTBC;[c2< � J>;[BCQo@�BTBo@�BC;���?A@ Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>K�F(J>=#=)ST=�?RH>;H2@NQTBC;M9K�GM@NQC?R=�<EBC=�<>KNBC=�D�K�G ;�F(;�ST;MS~BC=�?R;2?R=)9�9�@N<>;M9;�O/QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=�J>< ?A@N<>; H�K�GM@�BCK�QC=H>;M@N<>Ki@WF(J>=�\�Qo@�F(;>F(;2G ; p�=�QTB�q@W=�; G2?A@N<>K�D�=�G G ;MST?RKVK�QoF(; <2@NQC; K28[�/=�Q}GM@VG K�QCKV; ?RH�K�QTBo@N<>d)@��GM@P9; <>=�?A@�BC;M9�@PF(; � J>=)S~BC;}F(J>=AST;MS~BC=�?R;}SC@NQ�q@ S~BCJ2F(;M@�Bo@ ; <LF(=BTBo@N\�G ; KP<>=�;xH>QCKESCST; ?R;xF(J>=H2@NQo@N\�Qo@�c[8P�}QC; ?A@fH�=�Q�qK�F(;I@*1�QCK�<EBo@NQC=AG K+S~BCJ2F(; K+F(=�G GM@�9; <>=�?A@�BC;M9�@�F(; � J>=)S~BC;IST;MS~BC=�?R;xQC=�GM@�BC; D�@N?R=�<EBC=]9K�?RH>G =)SCST;���ST;xH>QC=�?R=BTBC=]J><4=)ST=�?RH>; KP=)S~BCQC=�?A@N?R=�<EBC=RST=�?RH>G ;M9=RF(;9�@�BC=�<2@R9; <>=�?A@�BC;M9�@R9o�>; J2SC@>8

� -�-/,���*�&>�����������V&>���)&4����5�����& ������*���,�&(�)&L*���� ���2-�-/���L&(-�-.��5�5����� ;�9K�<2ST;MF(=�QC;2; G�ST;MS~BC=�?A@WQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BCKW<>=�G GM@Vc2\�J>Qo@iSTKNBTBCKES~Bo@N<EBC=0�E9KES~BC; BCJ>; BCK]F>@iJ><�� @��S~Bo@ QC; \�;MF>@ G =y9J>;i=)S~BCQC=�?R; B�q@ STK�<>K @NH>H�K�\�\�;M@�BC='@ F(J>='\�J>;MF(=0QC=BTBC; G ; <>=�=0�#F(;MSTH�KES~BC=QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=W; <�K�QC; d�d�K�<EBo@NG =b=)FP; <�D�=�QTBC;M9�@NG =�8/�/=�Q � J>=)S~BCKAST;MS~BC=�?A@>O

��8�ST;[F(=BC=�QC?R; <>;�; G�<%J>?R=�QCKRF(;�\�Qo@�F(;�F(;eG ; p�=�QTB�q@�<

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 46: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

������� � ���!"�������1�$�� � r%u

7(8�@�SCST=�\�<2@�Bo@4GM@0D�=�G K(9; B�q@0@N<>\�K�GM@NQC=fF(=�G G�� @�S~Bo@���ST;n9�@NGM9K�G ; <>K0G =�D�=�G K(9; B�q@0F(=�;VF(J>==)S~BCQC=�?R;e= � J>=�G GM@RF(=�G�H>J><EBCKA9=�<EBCQo@NG = � <

k>8IG KASTH�KES~Bo@N?R=�<EBCK#; <(c2<>; BC=)ST; ?RKAF(=�;eH>J><EBC; �{= � 9o�>=V9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=n@�F J><2@#QCKNBo@��d�; K�<>=V; <(c2<>; BC=)ST; ?A@ � XAF(=�G G�� @�S~Bo@�<

r28�@�SCST=�\�<2@�Bo@�; <>K�G BCQC=1G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=1@N<>\�K�GM@NQC=1F(=�G G�� @�S~Bo@nST;>9�@NGM9K�G ;%G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=F(=�G�H>J><EBCKA9=�<EBCQo@NG = � 8

� Y

� ��

�:�

6�

� ���)��,�������������� �}J><EBCKL��O � =�ST;x=)SC9G J2F(=AGM@PH�KESCST; p>; G ; B�q@�F(;.F(;MS~Bo@�9�9KPBCQo@PG =A\�J>;MF(=R=G =R=)S~BCQC=�?R; B�q@�F(=�G G�� @�S~Bo@��[;xD%; <29K�G ;.F(;}@NH>H�K�\�\�; K�@N\�=�<EBC;}STJ>G G�� @�S~Bo@PH�KESCSTK�<>K�@ BCJ(BTBC;.\�G ;=�1�=BTBC;�=)SCST=�QC=�@�SCST; ?R; GM@�BC;�@09�@NQCQC=�G G ;�OP; <(��@�BTBC;b9;M@�SC9J>< D%; <29K�G K0F(;b@NH>H�K�\�\�; K4D%; <29K�GM@=)SC9G J2ST; D�@N?R=�<EBC=WG K STH�KES~Bo@N?R=�<EBCKA; <fJ><2@�STK�GM@AF(; QC=�d�; K�<>=#F(;[J><�H>J><EBCK F(=�G�9K�QCH�K28I`b;9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@W@Np>p>;M@N?RKiJ>< ST;MS~BC=�?A@W��K�QC?A@�BCK#F>@iJ>< STK�G K#9K�QCH�K ��K�G BCQC=b@NG2BC=�GM@N; KWc�SCSTK%�STJ49J>;}@N\�;MSC9K�<>K F(J>=]D%; <29K�G ;}9o�>=RSTK�H>H>QC; ?RK�<>KP9;M@�SC9J><>K J><4\�Qo@�F(K F(;xG ; p�=�QTB�q@��e=)F+; G<%J>?R=�QCK]QC=)ST;MF(J>KAF(;�\28 Fe8 G�8Iq=VH�=�QTBo@N<EBCK �9F k 807WF ��8�}J><EBCK+7(O �.ST;MS~BCK�<>K�@NG ?R=�<>KfF(J>=�H�KESCST; p>; G ; B�q@fH�=�QiQC;MSTH�K�<2F(=�QC=�@ � J>=)S~Bo@fF(K�?A@N<(�

F>@>8x��<�H>QC; ?RKA@NH>H>QCK(9�9; K]9K�<2ST;MS~BC=V<>=�G G�� @NH>H>G ;M9�@NQC=n; G�?R=BCK(F(KAF(=�;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;�O� J>=)S~BCKR?RK(F(KAF(;�@*1�QCK�<EBo@NQC=b; G[H>QCK�p>G =�?A@ q=VQC=�GM@�BC; D�@N?R=�<EBC=VG J><>\�K�9K�?R=WSTD%; G J>H>H�K�F(=�;H2@�SCSC@N\�\�;��2?A@+q=#?RK�G BCKP\�=�<>=�Qo@NG =0��= � J>; <2F(;xH>J�qK =)SCST=�QC=]@NH>H>G ;M9�@�BCK H�=�QVQC;MSTK�G D�=�QC=iJ><2@D�@�S~Bo@R9�@�BC=�\�K�QC;M@]F(;�H>QCK�p>G =�?R;[F(;�9; <>=�?A@�BC;M9�@�<>H�=�Q � J>=)S~BCKR?RKNBC; D�K�ST;�H>QC; D%; G =�\�=�Q�q@#<>=�G �G�� =)STH�KEST; d�; K�<>= � J>=)S~BCK0@NH>H>QCK(9�9; KLQC;MSTK�G J(BC; D�K28�ln; J><EBC;n@NG GM@LSTK�G J>d�; K�<>=fST;�H�KNBCQ�q@4H�=�Q�qKKESCST=�QCD�@NQC=b9o�>=0�%; < � J>=)S~BCK]9�@�STK]STH�=)9; c�9K,�(J><2@#QC;MSTH�KES~Bo@#@NG GM@]F(K�?A@N<2F>@iH�KNBC=�D�@R@N<29o�>==)SCST=�QC=i��K�QC<>; Bo@P9K�<+J><L@NH>H>QCK�\�\�; K�?RK�G BCKPH>;TqJLST; <EBC=BC;M9K,�ep2@�SC@�BCKPSTJ>G G�� ; <2F(; D%;MF(J2@Nd�; K�<>=F(=�G�9N8 ;�8 Q)8}F(=�G G�� @�S~Bo@>8s 1�QCK�<EBo@N<2F(Kf; G1H>QCK�p>G =�?A@f9K�<0; G.?R=BCK(F(K+F(=�;1<%J>?R=�QC;19K�?RH>G =)SCST;���KESCST=�QCD%;M@N?RKf9o�>=0�� J2@NG J>< � J>=bST;M@i; G�?RKNBCK]F(=�G G�� @�S~Bo@��E=)SCSTK#F(K�D%Q�q@i@3D%D�=�<>; QC=�?A@N<EBC=�<>=�<2F(K]9o�>; J2STKi; G�BCQC;M@N<(�\�K�G K>J � � 8P`b;19K�<2ST=�\�J>=�<>d)@��e; <EBCQCK(F(J29=�<2F(KfG =RD�@NQC;M@Np>; G ;�6� =,:� H�=�QiQo@NH>H>QC=)ST=�<(�Bo@NQC=W\�G ;[STH�KES~Bo@N?R=�<EBC;�G J><>\�KAG =#F(J>=i\�J>;MF(=iQC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=#F(=�;[H>J><EBC; � = � ST;[H>J�qKSC9QC; D�=�QC=�O

6�AM��GYED \ F;=):�q= � J>=)S~BCKn; G(H>QC; ?RKn=)ST=�?RH>; KVF(;(= � J2@Nd�; K�<>=1F(;>9o�>; J2STJ>Qo@b9o�>=1; <29K�<EBCQC;M@N?RK2O[F>@NG%H>J><EBCKWF(;D%;MS~Bo@WBCK�H�K�G K�\�;M9K#Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@WGM@#9; Qo9KES~Bo@N<>d)@i\�;�q@i<>K�?R; <2@�Bo@iH�=�Q�9J>;�J>< BCQC;M@N<>\�K�G K#ST;?A@N<EBC; =�<>=IBo@NG =bF(J>Qo@N<EBC=�; G2?RKNBCK,<%F>@NG2H>J><EBCK#F(;2D%;MS~Bo@i9; <>=�?A@�BC;M9KW; <%D�=)9=�=)SCSC@VQo@NH>H>QC=�ST=�<EBo@nJ><2@W= � J2@Nd�; K�<>=I; <�9�@N?RH�Ki9K�?RH>G =)SCSTK,�E9o�>=�= � J>; D�@NG = � J>; <2F(;�@WF(J>=�= � J2@Nd�; K�<>;>; <

Page 47: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

rEz !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

9�@N?RH�KRQC=)@NG =0�>9o�>=WG =�\E@N<>K]G =VBCQC= � J2@N<EBC; B�q@R9; <>=�?A@�BC;M9o�>=Vc2<>K�Qo@#; <EBCQCK(F(KNBTBC=0�>KESCST;M@�:� �6� =.X>8}`bK�D�=�<2F(K]STK(F>F(;MS~��@NQC=nF(J>=W9K�<2F(; d�; K�<>;x��; <�9�@N?RH�K]QC=)@NG =3���%STK�G K]J><2@]F(; � J>=)S~BC=BCQC= � J2@N<EBC; B�q@+H>J�qK4D�@NQC;M@NQC= G ; p�=�Qo@N?R=�<EBC=L��9K%K�QoF(; <2@�Bo@�G ; p�=�Qo@E���.?R=�<EBCQC=PG =�@NG BCQC=�F(J>=H�KESCSTK�<>KA=)SCST=�QC=i=)STH>G ;M9; Bo@�BC=i; <f��J><>d�; K�<>=]F(=�G GM@AH>QC; ?A@>8 � 9=�\�G ;M@N?RK�@�Ff=)ST=�?RH>; K 9K�?R=9K%K�QoF(; <2@�Bo@nG ; p�=�Qo@nGM@VQCKNBo@Nd�; K�<>=�X>O/ST=�H2@NQo@N<2F(KnGM@VH2@NQTBC=�QC=)@NG =�F>@ � J>=�G GM@V; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@<>=�G G�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;�9o�>; J2STJ>Qo@]=WQC; K�QoF(; <2@N<2F(K#;eBC=�QC?R; <>;[ST;eKNBTBC; =�<>=�O

� 6� F 8 � �� � X:� F � � = � X

� J>=)S~BC=�F(J>=�=)STH>QC=)SCST; K�<>;(9K�<2ST=�<EBCK�<>KVF(;29�@NGM9K�GM@NQC=1G =�H�KEST; d�; K�<>;>F(=�\�G ;(=)S~BCQC=�?R;2F(=�G G�� @�S~Bo@; <A��J><>d�; K�<>=bF(=�G GM@WQCKNBo@Nd�; K�<>=�X>8x�/=�Q.9�@NGM9K�GM@NQC=�G =�D�=�G K(9; B�q@iF(=�G G =�=)S~BCQC=�?R; B�q@iST;�H�KESCSTK�<>KF(=�QC; D�@NQC=VQC;MSTH�=BTBCK�@NG�BC=�?RH�K � J>=)S~BC=iF(J>=WQC=�GM@Nd�; K�<>;��(K�H>H>J>QC=iST;�H>J�qK�F(=�QC; D�@NQC=nQC;MSTH�=BTBCK@NG�BC=�?RH�K�G�� = � J2@Nd�; K�<>=R9K�?RH>G =)SCSC@PF(;}9o�>; J2STJ>Qo@>8i��< � J>=)S~BCK�ST=)9K�<2F(K�9�@�STKPST;xKNBTBC; =�<>=��QC;M9K�QoF>@N<2F(KR9o�>=VGM@]G J><>\��>=�d�d)@ � F(=�G G�� @�S~Bo@Pq=W9KES~Bo@N<EBC=3� O

+6�AMK= +X��GY D \�FL= +:�9o�>=WSC9K�?RH�KES~Bo@]; <�H2@NQTBC=VQC=)@NG =n=)FP; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@i��K�QC<>;MSC9=VG =VD�=�G K(9; B�q@]QC;M9=�Qo9�@�BC=�O

+6� F 6 <@ � 6 F +X�� � = � X+:� F 6 <@ 6 F +X�� � � � XST;EKESCST=�QCD%;�9o�>=0�3=)SCST=�<2F(K � = � X ��=�� � � X � ���3H�=�Q +XbH�KEST; BC; D�@#��KESCST;M@ID�=�G K(9; B�q@b@N<>\�K�GM@NQC=; <�ST=�<2STK�@N<EBC; K�Qo@NQC; K%�.GM@RD�=�G K(9; B�q@�F(; � SC@NQ�q@RF(; QC=BTBo@AD�=�QoSTKAF(=)S~BCQo@R=iGM@AD�=�G K(9; B�q@AF(;�sD�=�QoSTK]; G�p2@�SCSTK28�/=�Q � J2@N<EBCKRQC; \�J2@NQoF>@i; G�H>J><EBCK�9=�<EBCQo@NG =VF(=�G G�� @�S~Bo@��>ST;�H>J�qKASC9QC; D�=�QC=�O

� 8KJTFL6�AM�� 5N7[YED \F>@R9J>;[F(=�QC; D�@N<2F(K2O

@�� F +6�AMK= +X��GY D \GM@�D�=�G K(9; B�q@bF(;2Y4H>J�qKb=)SCST=�QC=.SC9K�?RH�KES~Bo@�; <]9K�?RH�K�<>=�<EBC=.K�QC; d�d�K�<EBo@NG =}=.D�=�QTBC;M9�@NG =.H>QC=�<(�F(=�<2F(KRQC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=VGM@#H2@NQTBC=nQC=)@NG =n=)F ; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@#F(=�G G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=n9K�?RH>G =)SCSC@STK�H>Qo@#QC; H�K�QTBo@�Bo@>O

( � U�F +6�K8 +X�� 5N7 � = � XWF +X�� 5N7 � = � X( � VWF +X�� 5N7 � � � XY.K�?R=PF(=BTBCK4; <'H>QC=)9=)F(=�<>d)@��x=)ST;MS~BC= J><'H>QCK(9=)F(; ?R=�<EBCK+H>;TqJyQo@NH>;MF(K�H�=�QR\�; J><>\�=�QC= @� J>=)S~BC=.QC;MSTH�KES~BC=�OeKESCST=�QCD%;M@N?RK�9o�>=.G =}BCQo@N; =BTBCK�QC; =}F(;(s'= � STK�<>KbF(J>=1ST=�\�?R=�<EBC;EF(;%QC=BTBo@��QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=ID�=�QTBC;M9�@NG =1=)F#K�QC; d�d�K�<EBo@NG =0<NF(;>9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@��3H�KESCST;M@N?RKV@*1�=�QC?A@NQC=I9o�>=G =iD�=�G K(9; B�q@�F(=�;�F(J>=#H>J><EBC;1� Bo@N<>\�=�<EBC;�@NG G =iQC;MSTH�=BTBC; D�=WBCQo@N; =BTBCK�QC; =3��@3D%Qo@N<><>KAF(; QC=�d�; K�<>=D�=�QTBC;M9�@NG =#GM@NH>QC; ?A@�=#K�QC; d�d�K�<EBo@NG =iGM@PST=)9K�<2F>@>8 � @NH>H>;M@N?RKPF>@NG G�� KESCST=�QCD�@Nd�; K�<>=W��@�BTBo@P@NGH2@NQo@N\�Qo@���Kn7(8 7(8 kb9o�>=1; G>9N8 ;�8 Q)8/F(=�G G�� @�S~Bo@nS~Bo@nSTJ>G G�� ; <EBC=�QoST=�d�; K�<>=1F(=�G G =IQC=BTBC=ISTH>;M9�9�@�BC=�F>@ �= � K�QTBCK�\�K�<2@NG ?R=�<EBC=.@NG G =1QC;MSTH�=BTBC; D�=1D�=�G K(9; B�q@>O[ST=1<>=I9K�<29G J2F(=I9o�>=I; G(9N8 ;�8 Q)8/F(=�G G�� @�S~Bo@iq=

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 48: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

������� � ���!"�������1�$�� � r(X

H�KES~BCK�<>=�GEH>J><EBCK � F(=�G GM@Ic2\�J>Qo@�STKNBTBCKES~Bo@N<EBC=���; G���@�BTBCKb9o�>=xBo@NG =}H>J><EBCK�<>K�<i@NH>H2@NQTBC=�<>\E@?A@�BC=�QC;M@NG ?R=�<EBC=�@NG G�� @�S~Bo@P<>K�<'F(=�D�=A��@NQ#STK�QC\�=�QC=AF(J>p>p>;�O]p2@�S~Bo@�H�=�<2SC@NQC= � 9K�?R=�J><H>J><EBCKA9K�G G =�\E@�BCK]QC; \�;MF>@N?R=�<EBC=W@NG G�� @�S~Bo@E� 8�[QCK�D�@�BCKn; G29N8 ;�8 Q)8/F(=�G G�� @�S~Bo@��ESC@NH>H>;M@N?RKW9o�>=�GM@nD�=�G K(9; B�q@WF(; � J2@NG J>< � J>=�H>J><EBCKiF(=�G29K�QCH�Kq=.K�QTBCK�\�K�<2@NG =}@NG GM@b9K�<>\�; J><>\�=�<EBC=}; G%H>J><EBCKn9K�<i; G(9N8 ;�8 Q)8[=.; <#?RK(F(J>G K#q=.H2@NQC;%@NGEH>QCK(F(KNBTBCKF(=�G GM@AD�=�G K(9; B�q@A@N<>\�K�GM@NQC= +X�H�=�QbGM@�F(;MS~Bo@N<>d)@�F(=�G[H>J><EBCKPF>@NG�9N8 ;�8 Q)8 <�@NH>H>G ;M9�@N<2F(K � J>=)S~BC=QC=�\�K�G =VST;eQC; BCQCK�D�@#; G�QC;MSTJ>G Bo@�BCKR\�;�q@#KNBTBC=�<%J(BCK�9K�<P; G�?R=BCK(F(KAF(=�;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;�8

� Y

� ��

������� � � � �

<@ � F +X � � = � X<@ KFT8 +X�� � � � �$3�8AXE�

�}J><EBCK+k>O ����S~Bo@�BCK�\�;�q@fKESCST=�QCD�@�BCK�<>=�GI9�@NH>; BCK�G K47f9o�>=�G =PS~BC=)SCST=�QC=�GM@Nd�; K�<>;.9; <>=�?A@�BC;M9o�>=WD�@NG ;MF(=VBCQo@RG =WD�=�G K(9; B�q@RD�@NG \�K�<>KA@N<29o�>=nBCQo@R\�G ;[STH�KES~Bo@N?R=�<EBC;�; <(c2<>; BC=)ST; ?R;�OIF(;9K�<2ST=�\�J>=�<>d)@��2G =]=)STH>QC=)SCST; K�<>;�F(; @ = @ ��; <���J><>d�; K�<>=]F(; +X�BCQCK�D�@�BC=#@NG�H>J><EBCKPH>QC=)9=�F(=�<EBC=0�%Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<>K#@N<29o�>=b; G�G =�\E@N?R=bBCQo@i\�G ;eSTH�KES~Bo@N?R=�<EBC;�; <(c2<>; BC=)ST; ?R; � :�L= � 6�F(=�\�G ;e=)S~BCQC=�?R;e=WGM@]QCKNBo@Nd�; K�<>=n; <(c2<>; BC=)ST; ?A@AF(=�G G�� @�S~Bo@ � X>O

� 6� F � X�� � = � X� :� F � X�� � � � X

� J>=)S~BCK+QC;MSTJ>G Bo@�BCK,�xH�=�QRK�Qo@�@NH>H2@NQC=�<EBC=�?R=�<EBC= H�K(9KLST; \�<>; c�9�@�BC; D�K,�x@�SCSTJ>?R=�Q�q@f\�Qo@N<2F(=; ?RH�K�QTBo@N<>d)@ � J2@N<2F(KVBCQo@�BTBC=�QC=�?RKWGM@WS~Bo@�BC;M9�@V=�GM@WF(; <2@N?R;M9�@WF(;�ST;MS~BC=�?R;�F(;�9K�QCH>;(QC; \�;MF(;�8�}J><EBCK r2O �/=�QPKNBTBC=�<>=�QC=4G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=+F(=�GWH>J><EBCK ?R=)F(; K � p2@�S~Bo@ F(=�QC; D�@NQC=

QC;MSTH�=BTBCKA@NG�BC=�?RH�KAG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=V9K�?RH>G =)SCSC@RF(=�G GM@]D�=�G K(9; B�q@RF(; � O

? � F*) @��) E F A6�AMK= AX��GYED \ 8 +X 9 �GYED \H�=�QIKNBTBC=�<>=�QC=bG =V9K�?RH�K�<>=�<EBC;�K�QC; d�d�K�<EBo@NG =b=nD�=�QTBC;M9�@NG =nF(; � J>=)S~BCK]D�=BTBCK�QC=iq=VSTJ =�9; =�<EBC=H>QC=�<2F(=�QC=1GM@VH2@NQTBC=IQC=)@NG =I=I; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@nF(=�G G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�9K�?RH>G =)SCSC@nSTK�H>Qo@bQC; H�K�QTBo@�Bo@��H2@�SCSC@N\�\�; K#GM@�SC9;M@�BCKR@NGeG =BTBCK�QC=3� 8

Page 49: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

rE_ !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

��!� � ������&�(.% ����(.-�� &��)����(�� 0��� ;/BCQo@�BTBo@PF(;xJ><4?R=)9�9�@N<>;MST?RK�@�9�@�BC=�<2@P@NH�=�QTBo@��e; <L9J>;x; Gx?RKNBCK4q=0�e; <4\�=�<>=�Qo@NG =0��; ?]�H2@NQTBC; BCK'@�BTBCQo@3D�=�QoSTKLF(=�;b?RKNBCK�QC;�H�KES~BC;n; < 9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@LF(=�;b\�; J><EBC;�8 ��K'SC9o�>=�?A@9; <>=�?A@�BC;M9KA9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=0�(@�F =)ST=�?RH>; K,�>@N;eF(J>=Wp>Qo@�9�9;eF(;�J><�QCK�p�KNB � 8 Yb8 si8 �W8 si8 �2?RKN�S~BCQo@�BCKb; <#c2\�J>Qo@nk>8 7(8xY.K�?R=IF(=)SC9QC; BTBCKn<>=�G(H2@NQo@N\�Qo@���Ki��k>8 ��8 7����N; G(ST;MS~BC=�?A@#q=IF(KNBo@�BCKVF(;27\28 Fe8 G�8/�/=�QxF(=)SC9QC; D�=�QC=1; G>?RKNBCKWST;>H�KESCSTK�<>K,�N@�F]=)ST=�?RH>; K,�NJ(BC; G ; d�d)@NQC=0�NG =�F(J>=�9K%K�QoF(; <2@�BC=<�QCKNBo@Nd�; K�<>=�F(=�G2H>QC; ?RKWp>Qo@�9�9; KV= � QCKNBo@Nd�; K�<>=IQC=�G Bo@N; D�@WF(=�G�ST=)9K�<2F(KVp>Qo@�9�9; KVQC;MSTH�=BTBCK@NG�H>QC; ?RK28/��G�ST;MS~BC=�?A@#F(;�<%J>?R=�QC;�9K�?RH>G =)SCST;/��D�=BTBCK�QC; �}9o�>=n; <2F(; D%;MF(J2@iGM@iH�KEST; d�; K�<>=nF(=�GH>J><EBCK]c2<2@NG = � q=V; G[ST=�\�J>=�<EBC=A��D�=)F(;�c2\�J>Qo@Rk>8 kE� O

� � 8KJW�GF � � 8 �n�DM � �L8KJW� ��k>8 7��9o�>=V; <P��K�QC?A@R9K�?RH>G =)SCSC@]F(; D�=�<EBo@

� FL6�AMK=):�� F ? YED . M��^YED � . � � ��k>8 kE�� =�H2@NQo@N<2F(K]GM@]H2@NQTBC=VQC=)@NG =n=V; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@]F(=�G GM@U��k>8 �)�E�1ST;eKNBTBC=�<>\�K�<>K]G =W=)STH>QC=)SCST; K�<>;F(=�G G =�9K�?RH�K�<>=�<EBC;(K�QC; d�d�K�<EBo@NG =1=ID�=�QTBC;M9�@NG =IF(=�G GM@nH�KEST; d�; K�<>=IF(; � �76�L=�:��1��; <#��J><>d�; KN�<>=#F(=�G G =]9K%K�QoF(; <2@�BC=WG ; p�=�QC= <y= � 8��/=�Q�KNBTBC=�<>=�QC=iG =iD�=�G K(9; B�q@AST;[=�1�=BTBCJ2@�GM@�F(=�QC; D�@�Bo@QC;MSTH�=BTBCKA@NGeBC=�?RH�K�F(=�G GM@]H�KEST; d�; K�<>= ��k>8 �)�E� O

( � F ( �NU M ( �NVWFL= +< ? YED . M = �,+<�M +� � ���^YED � . � � ��k>8 r%��[@RSTJ29�9=)SCST; D�@]F(=�QC; D�@Nd�; K�<>=VH�K�QC\�=VG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=VF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�H>J><EBCK � O

? � F ? �NUKM ? �NV FL='A< ? YED . 8 +< 9 ? YED . MK= �BA<�M A� � ���^YED � . � � 8 �,+<�M +� � � 9 �^YED � . � ���k>8 u��

�[@ ��k>8 �)�E���>9K�?R=W@N<EBC;M9; H2@�BCK,�(H>J�qKR=)SCST=�QC=nQC;MSC9QC; BTBo@]<>=�G G =iSTJ>=W9K�?RH�K�<>=�<EBC;�O� 6� F ? 9KES�<�M���9KES��<>M � � �:�� F ? ST; <�<�M���ST; <���<�M � � � ��k>8 zE�

; <�9J>;�@�SCST=�\�<2@�BC;(;2D�@NG K�QC;�<+= � � F(=�G G =�QCKNBo@Nd�; K�<>;2@N;2\�; J><EBC;��EST;2QC;M9�@3D�@VGM@WH�KEST; d�; K�<>=�F(=�G9KES�q ��F(=BTBCK $�"%2($�� $���)/8 ����H>J><EBCK � � 8}`b=�QC; D�@N<2F(K]H�=�Q1KNBTBC=�<>=�QC=nG =bD�=�G K(9; B�q@#ST;�KNBTBC; =�<>=�O

� ( �NU+FT8 +< ? ST; <�<>8 �,+<�M +� � ����ST; <[��<�M � � �( �NV F +< ? 9KES�<�M ��+<�M +� � ����9KES���<�M � � � ��k>8 XN�

�[@ ��k>8 XN�.H>J�qKR=)SCST=�QC=VQC; K�QC\E@N<>; d�d)@�Bo@W; <P��K�QC?A@]?A@�BCQC;M9;M@NG =�O� ( �NU( �NV F� 8 ? ST; <4<98���ST; <���<>M � � � 8 ��ST; <���<�M � � �? 9KES�<�M���9KES��<>M � � � ��9KES���<�M � � ��� � +< +� �

��k>8 _E�

�[@+?A@�BCQC;M9=fF(=c2<>; Bo@4<>=�G GM@���k>8 _E�#G =�\E@+G =�D�=�G K(9; B�q@4F(=�G G��#$�"%2 $�� $���)/8 �4@NG G =PD�=�G K(9; B�q@F(=�G G =WD�@NQC;M@Np>; G ;eF(=�;�\�; J><EBC;��>=VH>QC=�<2F(=W; Ge<>K�?R=iF(;�� '0��8���!+'*"%8�F(=�G�?A@N<>; H�K�GM@�BCK�QC=

( � F�� ��� +� F � . +<�M � +� � ��k>8 jE�GM@ ��k>8 jE�#=)STH>QC; ?R=P; G1��@�BTBCK09o�>=PGM@+D�=�G K(9; B�q@+F(;�J>< H>J><EBCKLF(=�G�?A@N<>; H�K�GM@�BCK�QC=4� � ; <� J>=)S~BCKA9�@�STK%�.H>J�qKR=)SCST=�QC=V=)STH>QC=)SCSC@#9K�?R=i9K�?#p>; <2@Nd�; K�<>=nG ; <>=)@NQC=0�%BCQo@N?R; BC=VG =i9K�G K�<><>=F(=�G GM@]?A@�BCQC;M9= � � �*�2F(=�G G =WD�=�G K(9; B�q@R@N<>\�K�GM@NQC;�QC=�GM@�BC; D�=WF(=�;e\�; J><EBC;�8

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 50: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �� ������� ��� ��!�� �������� ����� rEj

��� ����� � �� ����� � �3! ��%&���(� ���" � % � � � % � ��� ��� ��� ���3! � ����� � #��2���(��� � ��������� �1�(��� � � �����(� ��������� ��'('���*� ���2����������! � #�����%10� �3����%)���(�3! ������!!'& ��� �� � � �2��%&���

,

���

���

���

� � � � ��� � ���

� � � �

���� �,

��� �

��� ��� � � � ���������1�����������%)���(������!�������� � �3! ��%&���(� ���" � % � � � % �

Page 51: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

uN� !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

�� � ����(� .��%2%2��34��( (.-�#�������-���( ��������-�����(

� ;.BCQo@�BTBo@�F(;1J><'?R=)9�9�@N<>;MST?RK+@+9�@�BC=�<2@�9o�>; J2SC@��/J(BC; G ; d�d)@�BCK�H�=�QR9K�<%D�=�QTBC; QC=A; G1?RKNBCKQCKNBo@�BCK�QC; K+; < ?RKNBCK4BCQo@�STGM@�BCK�QC; K+QC=BTBC; G ; <>=�K ��=fD%;M9=�D�=�QoSC@E� 8 ���xJ><>K0F(=�;�?R=)9�9�@N<>;MST?R;H>;TqJ'J(BC; G ; d�d)@�BC;��x=�BCQCK�D�@f; ?RH>; =�\�K,�x@�F0=)ST=�?RH>; K,�/<>=�;1?RKNBCK�QC;1@+9K�?#p>J2S~BC; K�<>=�; <EBC=�QC<2@� c2\�J>Qo@0k>8 r%���I<>=�G G =+H>QC=)SCST=0�I<>=�G G =�H�K�?RH�=�=+9K�?RH>QC=)SCSTK�QC;�@NG BC=�QC<2@�BC; D%;�8 ��K'SC9o�>=�?A@9; <>=�?A@�BC;M9K,�.?RKES~BCQo@�BCK+; <yc2\�J>Qo@4k>8 u �.9K�?RH>QC=�<2F(=PGM@4?A@N<>K�D�=�G GM@AJ ���1; < \�Qo@�F(K4F(;9K�?RH>; =�QC=xJ><2@IQCKNBo@Nd�; K�<>=x9K�?RH>G =Bo@��)=xGM@Ip>; =�G GM@ � � ��@NG GM@I9J>;�=)S~BCQC=�?R; B�q@ � q=�O�9K�G G =�\E@�BCK; G29K�QoSTK�; K,�N9o�>=�<>=�G G KWSC9o�>=�?A@V9; <>=�?A@�BC;M9KAq=IQC;MF(KNBTBCKW@NG>D%; <29K�G KWF(;29�@NQCQC=�G G K28 � ;2@�SCSTJ>?R=9o�>= � � � J ���x@*=A<29o��q=RG�� =�G =�?R=�<EBCKAJ � H�KESCSC@�=�1�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=P9K�?RH>; =�QC=AJ><0\�; QCK9K�?RH>G =BCK28���G2ST;MS~BC=�?A@WF(;><%J>?R=�QC;29K�?RH>G =)SCST;���D�=BTBCK�QC; �/9o�>=�; <2F(; D%;MF(J2@VGM@VH�KEST; d�; K�<>=�F(=�GH>J><EBCK]c2<2@NG = � q=�O

� �L8KJW�DM � � 8 �n�GF � � 8KJW� ��k>8 �)�E�

9o�>=V; <P��K�QC?A@R9K�?RH>G =)SCSC@]F(; D�=�<EBo@>O

? Y D .LM �^Y D F � ��k>8 ���3�

; <y9J>; ��q=�J><'<%J>?R=�QCK�QC=)@NG =0�/=)SCST=�<2F(K J � ST=�?RH>QC= @NH>H2@NQTBC=�<>=�<EBC= @NG G�� @�SCST= 6[84�/=�QKNBTBC=�<>=�QC=LG =LD�=�G K(9; B�q@ ST;W=�1�=BTBCJ2@ GM@ F(=�QC; D�@�Bo@yQC;MSTH�=BTBCK @NGVBC=�?RH�K F(=�G GM@ H�KEST; d�; K�<>=��k>8 ���3� O

=�+< ? Y D .OM = +� �^Y D F +��F ( � ��k>8 �37��

�[@RSTJ29�9=)SCST; D�@]F(=�QC; D�@Nd�; K�<>=VH�K�QC\�=VG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=VF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�H>J><EBCK � O

='A< ? YED . 8 +< 9 ? YED . MK= A� �^YED 8 +� 9 �^YED ]F A��F ? �NU�F ? � ��k>8 �)kE�

�[@ ��k>8 ���3�.H>J�qKR=)SCST=�QC=VQC;MSC9QC; BTBo@#<>=�G G =iSTJ>=i9K�?RH�K�<>=�<EBC;�O� ? 9KES�<�M���9KES � F �? ST; <�<�M���ST; < � F � ��k>8 ��r%�

�[@�ST=)9K�<2F>@�F(=�G G = ��k>8 ��r%��9KES~BC; BCJ>;MSC9=#GM@�9K�<2F(; d�; K�<>=]F(;�D%; <29K�G K F(=�G�H>J><EBCK � ��KESCST;M@G�� @NH>H2@NQTBC=�<>=�<>d)@A@NG G�� @�SCST=W6[8 ��= ��k>8 ��r%��9KES~BC; BCJ>;MSC9K�<>KAJ><+ST;MS~BC=�?A@�F(;�= � J2@Nd�; K�<>;�<>K�<G ; <>=)@NQC=0�2\�G ;�@N<>\�K�G ;�<y= � 9K�?RH2@N; K�<>KA; <(��@�BTBC;/9K�?R=#@NQC\�K�?R=�<EBC;[F(;���J><>d�; K�<>;[BCQC; \�K�<>KN�?R=BCQC;M9o�>=�8P��< � J>=)S~BCKfH>QC; ?RKf=)ST=�?RH>; K�GM@�H�KEST; d�; K�<>= F(=�G19K�QoSTK�; K � =�G�� ; <29G ; <2@Nd�; K�<>=F(=�G GM@]p>; =�G GM@R; < ��J><>d�; K�<>=iF(=�G GM@RH�KEST; d�; K�<>=W@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�G GM@]?A@N<>K�D�=�G GM@]F(; D�=�<>\�K�<>K2O�

� F ? 9KES�<�M�� 7 ��8 � ����� � .� " 9� F @NQo9�ST; < � 8 ����� � � . �� " ��k>8 �3u��

�/=�Q}G =n@�SCSTJ><>d�; K�<>;(��@�BTBC=nSTJ>G GM@W\�=�K�?R=BCQC;M@WF(=�G�ST;MS~BC=�?A@��EG�� @N<>\�K�G K � QC=�GM@�BC; D�Ki@NG GM@Vp>; =�G GM@@NH>H2@NQTBC; =�<>=VST=�?RH>QC=nKR@NGeH>QC; ?RK,�%KR@NG � J2@NQTBCK � J2@�F(Qo@N<EBC=0�%; G�BC=�QC?R; <>=W9KES � H�=�QTBo@N<EBCK2O

9KES � F� ��8� ? ST; <[��</�� � 9 ��k>8 �)zE�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 52: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �����#���'�'�$(*� � ��!��������!��$� ������!"��� � u(�

��� ����� � � �.' ��� ��� ����'(�'(%0�����.�(��� ����� � �3��!! �'(����� ����%&���(��� � � �&� � 1%0��� ���

6

:

<

? Y D . �^Y D �

��� ����� � � ���������1�����������%)���(�1����!/����� � �3��!! �'(��� ���2���� �������1������%)�2��%&�

Page 53: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

u�7 !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

QC;MSTJ>G Bo@ � J>; <2F(;�ST=�?RH>QC=WH�KEST; BC; D�K28 �[@RH>QC; ?A@AF(=�G GM@ ��k>8 �3u��.=)STH>QC; ?R=W; G[G =�\E@N?R=VBCQo@RGM@QCKNBo@Nd�; K�<>=�<'F(=�G GM@]?A@N<>K�D�=�G GM@#=WGM@]H�KEST; d�; K�<>= �nF(=�G[9K�QoSTK�; K2O

��F ? >9KES�<�M�� ���8 � ? ST; <���</�� " 9 � ��k>8 ��XN�

7�=�G GM@fc2\�J>Qo@�k>8 z�ST;.QC; H�K�QTBo@fG�� @N<2F>@N?R=�<EBCK+F(=�G GM@ ��k>8 ��XN���/G =PF(J>= H�KEST; d�; K�<>;1=)S~BCQC=�?R=; <2F(;M9�@N<>KAG =iH�KEST; d�; K�<>;[F(;[H>J><EBCKA?RK�QTBCKA; <EBC=�QC<>KA=WH>J><EBCK�?RK�QTBCKA=)S~BC=�QC<>K,�(QC;MSTH�=BTBC; D�@��?R=�<EBC=WH�=�Q�< F 3���< F �R=V; <(c2<>=WH�=�Q%<AF�7B3x8��<AH�KESCST; p>; G =b@NH>H>QCK(9�9; KVH�=�Q.KNBTBC=�<>=�QC=�D�=�G K(9; B�q@V=)FA@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=IF(=�G2H>J><EBCK � 9K�<2ST; �S~BC=b<>=�G�F(=�QC; D�@NQC=�GM@ ��k>8 �3u�����<>=�G�ST=�\�J>; BCK#ST;�ST=�\�J>; Q�q@V; <%D�=)9=�GM@#ST=)9K�<2F>@VD%;M@��%F(=�QC; D�@N<2F(KG =iF(J>=W9K�?RH�K�<>=�<EBC;[F(=�G G�� = � J2@Nd�; K�<>=VF(;[9o�>; J2STJ>Qo@U��k>8 ��r%� O

� 8 +< ? ST; <4<98 +� ��ST; < � F +�+< ? 9KES�<�M +� ��9KES � F � ��k>8 �)_E�

�[@ ��k>8 �)_E�}H>J�qKA=)SCST=�QC=nQC; K�QC\E@N<>; d�d)@�Bo@i; <P��K�QC?A@]?A@�BCQC;M9;M@NG =�O

� ��ST; < �� 8 ��9KES � � � +� +� F � 8 +< ? ST; <�<+< ? 9KES�<

��k>8 �)jE�

��=WSTK�G J>d�; K�<>;�F(=�G GM@ ��k>8 �)jE�1STK�<>K2O�� � +��FT8 +< ? � ST; <�<98L9KES�<WBo@N< � "+� F$8 +< ? 9KES�<��9KES � ��k>8 7N�E�

�[@�c2\�J>Qo@+k>8 z�QC; H�K�QTBo@+G�� @N<2F>@N?R=�<EBCK4F(=�G GM@+D�=�G K(9; B�q@4F(=�GIH>J><EBCK � �}=)SCSC@4ST;�@N<><%J>G GM@; <L9K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@�F(=�;xH>J><EBC;x?RK�QTBC;���F>@�9J>;/; Gx<>K�?R=3����?R=�<EBCQC=];xD�@NG K�QC;�?A@�SCST; ?R;xST;�2@N<><>KR; <�H>QCKESCST; ?R; B�q@]F(=�G GM@RH�KEST; d�; K�<>=�< F 3#5N7(8�[@RSTJ29�9=)SCST; D�@]F(=�QC; D�@Nd�; K�<>=VH�K�QTBo@R@RF(=c2<>; QC=WG =W@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;�O

� 8�A< ? ST; <4<98 +< 9 ? 9KES�<98 A� ��ST; < � 8 +� 9 ��9KES � F A�A< ? 9KES�<98 +< 9 ? ST; <�<�M A� ��9KES � 8 +� 9 ��ST; < � F � ��k>8 7(�3�

`n@NG GM@bST=)9K�<2F>@�F(=�G G = ��k>8 7(�3�eST;EQC;M9�@3D�@�G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=}@N<>\�K�GM@NQC= A� F(=�G GM@�p>; =�G GM@���9o�>=1STKN�ST; BCJ>; Bo@W<>=�G GM@VH>QC; ?A@W9K�<2ST=�<EBC=�F(;2QC;M9�@3D�@NQC=IG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=;A�IF(=�G�9K�QoSTK�; K28[��BC; G ; d�d)@N<2F(K@N<29K�Qo@#GM@]<>KNBo@Nd�; K�<>=n?A@�BCQC;M9;M@NG =WST;��2@>O

� ��ST; < �� 8 ��9KES � � � A� A� F � ? ST; <4<

8 ? 9KES�< A<�M � +< 9 ? 9KES�<�M +� 9 ��9KES �+< 9 ? ST; <4<�M +� 9 ��ST; < �

��k>8 7�7��

� ;xKESCST=�QCD�@ 9o�>=RGM@ ?A@�BCQC;M9=AF(=�;}9K%=�=�9; =�<EBC;Iq=A@N<29K�Qo@ � J>=�G GM@PF(=�G}ST;MS~BC=�?A@PQC;MSTK�G D�=�<EBC=H�=�Q1G =bD�=�G K(9; B�q@ ��k>8 �)jE���E?R=�<EBCQC=n@WBC=�QC?R; <>=b<>KNBCK]STK�<>KiH>QC=)ST=�<EBC;�F(=�;�9K�<EBCQC; p>J(BC;�; < 9J>;9K�?RH2@NQC=b; G � J2@�F(Qo@�BCK]F(=�G G =VD�=�G K(9; B�q@]@N<>\�K�GM@NQC;�F(=�;�9K�QCH>;��%=)F J>< BC=�QC?R; <>=VF(; H�=�<2F(=�<EBC=STK�G KRF>@NG G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=V@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�G GM@]?A@N<>K�D�=�G GM@>8�}� @N<2F>@N?R=�<EBCKyF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0q=�?RKES~BCQo@�BCKyST=�?RH>QC=+<>=�G GM@0c2\�J>Qo@'k>8 z>OL; GnD�@NG K�QC=

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 54: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� � �����#���'�'�$(*� � ��!��������!��$� ������!"��� � uNk

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.28320

0.05

0.1

[m]

spostamento

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832−2

0

2

[m/s

]

velocità

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832−200

0

200

[m/s

2 ]

α

accelerazione

��� ����� � � � ��� � �3��!! �'(���1���2���� �������1������%)�2��%&��� �3!!'& �3! %&� '�� ��'(%&��� ����%&��* �3��! � ���%10���2����(����! ���2� ��������� ����! �(����'������

?A@�SCST; ?RKP<>=�\E@�BCD�KPST;}D�=�QC; c�9�@�; <09K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�<>d)@ F(=�GxH>J><EBCKf?RK�QTBCKP=)S~BC=�QC<>K28 �}� @N<(�F>@N?R=�<EBCKAQC;MSTJ>G Bo@AF(; H�=�<2F(=�QC=#F>@NG[Qo@NH>H�K�QTBCK]BCQo@RGM@AG J><>\��>=�d�d)@ J � F(=�G GM@A?A@N<>K�D�=�G GM@]=� � F(=�G GM@�p>; =�G GM@���9K�?R=#=�D%;MF(=�<>d�;M@�BCK�<>=�G GM@Ac2\�J>Qo@�k>8 X6��F(K�D�=#ST;�?RKES~BCQo@AG�� @N<2F>@N?R=�<EBCKF(=�G G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=]@NG/D�@NQC;M@NQC=RF(=�GxQo@NH>H�K�QTBCK � F J ��5 � � 8���; H>QC=�<2F(=�<2F(K�GM@ H>QC; ?A@F(=�G G = ��k>8 7N�E����ST;�F(=c2<>;MSC9=�G K��T@�9K�p>;M@N<>KWF(=�G2?RKNBCKiF(=�G29K�QoSTK�; KVQC;MSTH�=BTBCKi@NG GM@VQCKNBo@Nd�; K�<>=F(=�G GM@]?A@N<>K�D�=�G GM@>O

+��F +< � ��</� ��k>8 7NkE�

��G�BC=�QC?R; <>= � q=b��J><>d�; K�<>=VF(=�G GM@#9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=bF(=�G�?R=)9�9�@N<>;MST?RK28��[@#F(=�QC; D�@�Bo@WBCKNBo@NG =QC;MSTH�=BTBCKR@NG�BC=�?RH�KAF(=�G GM@U��k>8 7NkE�x; <2F(;M9�@R9o�>=nG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�9K�QoSTK�; K#F(; H�=�<2F(=iST;M@F>@NG G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�@N<>\�K�GM@NQC= F(=�G GM@�?A@N<>K�D�=�G GM@��}ST;M@+F>@�BC=�QC?R; <>;I<>=�G � J2@�F(Qo@�BCK+F(=�G GM@D�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC=�F(; � J>=)S~B)� J>G BC; ?A@>80��@NG ;1BC=�QC?R; <>;ISTK�<>K4F(K�D%J(BC;I@NG GM@�D�@NQC;M@Nd�; K�<>= F(;D�=�G K(9; B�q@]@�SCSTK(9;M@�Bo@]@ � J>=�G GM@RF(=�G GM@A9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=nF(=�G�?R=)9�9�@N<>;MST?RK2O

A��F A< � ��</�NM�� �� < +< 9 ��k>8 7�r%�

�}� =)STH>QC=)SCST; K�<>=.STK�H>Qo@�SC9QC; BTBo@�=�D%;MF(=�<>d�;M@b9K�?R=.; <#J><#?R=)9�9�@N<>;MST?RK�; <]9J>;%;%Qo@NH>H�K�QTBC;�BCQo@G =�D�=�G K(9; B�q@iSTK�<>KV��J><>d�; K�<>=nF(=�G GM@#9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=0�NG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�F(=�G�\�=�<>=�QC;M9KWH>J><EBCKq=iF(; D�=�QoSC@]F>@Rd�=�QCK,�>@N<29o�>=WST=W; G�?R=�?#p>QCKA?RK�D�=�<EBC=A��; < � J>=)S~BCK�9�@�STKRGM@]?A@N<>K�D�=�G GM@E���eq=@N<>; ?A@�BCKRF(;�?RKNBCKRQCKNBo@�BCK�QC; KR@]D�=�G K(9; B�q@R9KES~Bo@N<EBC=�8

Page 55: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

u�r !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

[m/s

2 ]

α

a/b=1/3

a/b=1/4a/b=1/6

��� ����� ��� � ��� � �3��!! �'(��� ���2���� �������1������%)�2��%&��� ���(����! ���2� ��������������! �(����'��������3!������������(������!�2����� ����%&� ��� ����� � �3��!! ��� #��&��!! �

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 56: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � u�u

���� � &�&�%2���"� � ��(.���

��� ����� � � � ��!�� � �"������( ���$�� � �������!��� � ���8� � � ��!�� �����'� � �#���"��� !"��&� � � � ���%��� ��� � ��������� ���"� �

� ;b9K�<2ST;MF(=�QC;�; Gb9; <>=�?A@�BC;MST?RK0p>; =�G GM@�� ?A@N<>K�D�=�G GM@4F(=�G�?RKNBCK�QC=�F(=�G G�� @NJ(BCK�D�=BTBCJ>Qo@Ls�G ��@��K�?R=�KAlV�IvV7N����� q=W9�@NQo@�BTBC=�QC; d�d)@�BCK]F>@N;[ST=�\�J>=�<EBC;�F>@�BC;e\�=�K�?R=BCQC;M9;e=i9; <>=�?A@�BC;M9; � O

� ? ����= �� ? � �E@ Y���� ? F r�r�� 7�u ���

��� � ��� Y�� � ? � =�Y���� ? F �3uEX ���� Y ��= ��Y ) = � �

E ? �P= ��2Y ) =�� �

E Y ��� ? � ? ��� = � ? F uN_���� ��= � = 5 =�[@#c2\�J>Qo@Rk>8 _#<>=W?RKES~BCQo@]J><�SC9o�>=�?A@#��J><>d�; K�<2@NG =W=VG�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;[9o�>; J2STJ>Qo@>8

J

J

� �

? Y � .

�^Y � ��Y ���

� Y ? �J

��� ����� � � � ��%&���(���(��� # � '(%&������ ���%0����� ��/=�Q � J2@N<EBCKiQC; \�J2@NQoF>@VG�� @N<2@NG ;MST;�F(;�H�KEST; d�; K�<>=0�%@�SCST=�\�<2@�BCKW; G�D�@NG K�QC=bF(=�G GM@iQCKNBo@Nd�; K�<>=<yF(=�G GM@A?A@N<>K�D�=�G GM@��>G K STH�KES~Bo@N?R=�<EBCK�F(=�G�H>; =)F(=#F(;[p>; =�G GM@A=#GM@AQCKNBo@Nd�; K�<>=WF(=�G GM@Ap>; =�G GM@

H�KESCSTK�<>K]=)SCST=�QC=VF(=BC=�QC?R; <2@�BC=WQC;MSTK�G D�=�<2F(K#G�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;[9o�>; J2STJ>Qo@>O? ��Y ��� F ? Y � .�M��^Y � ��k>8 7�u��

�bJ>;I=P<>=�G�ST=�\�J>; BCK,�}G�� J><>; B�q@4; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@�SC@NQ�q@�; <2F(;M9�@�Bo@��}K�G BCQC=�9o�>=�F>@NG�ST; ?#p�K�G K !#�@N<29o�>=WF>@NG�ST; ?#p�K�G K � 8.�[=�<>=�<2F(K�9K�<EBCKR9o�>=WG�� @N<>\�K�G K��>F 3#5N7 q=W9KES~BC<2@�BC=0�>F(=�QC; D�@N<2F(KG�� = � J2@Nd�; K�<>=V9K�?RH>G =)SCSC@RF(;�9o�>; J2STJ>Qo@RST;eKNBTBC; =�<>=�O

? +�� ��� ����

F ? +< ? Y � .� ��� �� � ���

M�? +� �^Y � � ��� �� ���

��k>8 7NzE�

`b=�QC; D�@N<2F(KRJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=nG�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;[9o�>; J2STJ>Qo@]ST;�KNBTBC; =�<>=�O

?�A�� ��� �� �

F ? A< ? Y � .� ��� �� �� ���

8 +< 9 ? Y � .� ��� ��"!� ���

M�? A� �^Y � � ��� �� ����

8 +� 9 �^Y � � ��� ��"!���

��k>8 7EXN�

#%$'&)('& *�+"(-,�.%& ,0/21 34*�+�576)8�9�,;:�<"*�9-=�&�>�?%/�@7& AB,�(�C'& DE?%*FC'<E>�&�GH?%9%9�,�*�& 9�,;>�?%/�I�<"/ & C'?%9%*�& 9%<;>�&�GH& / ,�*�<AJ?%(�,%KF?%(�9%<"(�C'?%$'?%DE?%*FC'?ML <"('*�& C'<NC-,�/ &)>B,OC'&

Page 57: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

uNz !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

�[@4STK�G J>d�; K�<>= F(=�G G�� = � J2@Nd�; K�<>=PF(;�9o�>; J2STJ>Qo@�?RKES~BCQo@�9K�?R= ; GI?RKNBCKLF(=�G1H>J><EBCK �H�KESCSC@f=)SCST=�QC=�D%;MS~BCK49K�?R= 9K�?RH�KES~BCK+F>@�J><y?RKNBCK+F(;1BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCKf=PF>@�J><>K+QC=�GM@�BC; D�K28W��<(��@�BTBC; � 9K�?RH>; =RJ><+?RKNBCKPQCKNBo@�BCK�QC; K QC=�GM@�BC; D�K ; <EBCK�QC<>KP@�F �i8]�/=�Q � J2@N<EBCKQC; \�J2@NQoF>@i; Ge?RKNBCKAF(;�BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK]=)SCSTK]QC;MSTJ>G Bo@#J><2@#BCQo@�STGM@Nd�; K�<>=n9K�<PJ><2@#BCQC=�; =BTBCKN�QC;M@P9; Qo9K�GM@NQC=]F(=�G G�� ; <EBC=�Qo@ p>; =�G GM@ � � ; <EBCK�QC<>K�@�F J]8As�<2@NG K�\E@N?R=�<EBC=#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=F(; � q=V9K�?RH�KES~Bo@]F>@]J><�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=bF(;�BCQo@�SC9; <2@N?R=�<EBCK#=WF>@#J><2@]QC=�GM@�BC; D�@]F(K�D%J(BC=QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=#@�FPJ><f?RKNBCKAQCKNBo@�BCK�QC; KRF(; � QC;MSTH�=BTBCK�@�F9J =#F(; � QC;MSTH�=BTBCK @�F �i8`n@ J><+H>J><EBCKPF(;/D%;MS~Bo@ QC;MSTK�G J(BC; D�K�QC;MSTJ>G Bo@ ST=�?RH>G ;M9=RSC9QC; D�=�QC=iG�� = � J2@Nd�; K�<>=#9K�?RH>G =)SCSC@��k>8 7�u���<>=�G G =ASTJ>=A9K�?RH�K�<>=�<EBC;xQC=)@NG ;/=R; ?R?A@N\�; <2@NQC; =]= � J>; <2F(;}F(=�QC; D�@NQC=#Bo@NG =AST;MS~BC=�?A@F(;�= � J2@Nd�; K�<>;�H�=�Q�D�@NG J(Bo@NQC=VD�=�G K(9; B�q@#=i@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=�O

� ��F ? 9KES�<�M���9KES ���F ? ST; <�<�M���ST; < � ��k>8 7N_E�

� ��FT8 +< ? ST; <�<98 +� ��ST; < �+��F +< ? 9KES�<�M +� ��9KES � ��k>8 7NjE�

� ��FT8�A< ? ST; <�<98 +< 9 ? 9KES�<98 A� ��ST; < � 8 +� 9 ��9KES �A��F A< ? 9KES�<98 +< 9 ? ST; <�<�M A� ��9KES � 8 +� 9 ��ST; < � ��k>8 k��E�

��=#= � J2@Nd�; K�<>;���k>8 7NjE�I= ��k>8 k��E�1H�=�QC?R=BTBCK�<>K H�=�QTBo@N<EBCK,�2H�=�QnK�\�<>;[D�@NG K�QC=iF(;C< � +<=WF(;:A< �>F(;�D�@NG J(Bo@NQC=VD�=�G K(9; B�q@#=i@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=nF(; � <>K�<29o��q=nD�=�G K(9; B�q@]=W@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�G GM@Rp>; =�G GM@ � � 87�=�G.9�@�STK,��@�F+=)ST=�?RH>; K�9o�>= < D�@NG \E@ r%u � �[F>@NG GM@ ��k>8 7N_E��QC;MSTJ>G Bo@�9o�>= � F �)�>� � =

� F �)_Eu ���48 ���2H�KESCST; p>; G =#@ � J>=)S~BCK�H>J><EBCK�D�@NG J(Bo@NQC=#9K�?RH>G =Bo@N?R=�<EBC=#GM@AH�KEST; d�; K�<>=\�=�K�?R=BCQC;M9�@VF(=�G�?A@N<>K�D�=�G G ;MST?RKV=�D�@NG J(Bo@NQC=bF>@NG GM@ ��k>8 7NjE�/GM@WD�=�G K(9; B�q@W@N<>\�K�GM@NQC= +� F(=�G GM@p>; =�G GM@+H2@NQC;�@ 8W�37Nk�� u�7 � ? ) 5 � =PGM@4D�=�G K(9; B�q@+F(=�G�H>; =)F(=�F(;�p>; =�G GM@ ��+�9F �3u � �37 � 5 � � 8��<(c2<>=]QC;MSTK�G D�=�<2F(K�; GxST;MS~BC=�?A@���k>8 k��E�Vq=]H�KESCST; p>; G =#D�@NG J(Bo@NQC=#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=#@N<>\�K�GM@NQC=F(=�G GM@�p>; =�G GM@ A� FT8nX%�)j������ ? ) 5 � 9 =.G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=xF(=�GEH>J><EBCK � � A��F$8b7�rEj���� � 5 � 9 ���@3D�=�<2F(K]H�KES~BCKR<%J>G GM@]G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=V@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�G GM@]?A@N<>K�D�=�G GM@>8

��� ��� � � �����#���'�'�$(*� � ��!��������!��$� ��� �#����� �� ;�9K�<2ST;MF(=�QC;�K�Qo@i; G�ST;MS~BC=�?A@RF(;�c2\�J>Qo@#k>8 j]9o�>=WST;eF(; 1�=�QC=�<>d�;M@RF>@NG�?A@N<>K�D�=�G G ;MST?RK#K�QoF(; �<2@NQC; K#9=�<EBCQo@�BCKiH�=�Q1; G���@�BTBCK]9o�>=bGM@#F(; QC=�d�; K�<>=bF(=�G�?RKNBCK#F(=�Ge9K�QoSTK�; K � <>K�<�H2@�SCSC@WH�=�QGM@R9=�QC<>; =�Qo@ J]O.ST;eH2@NQCGM@]; <PBo@NG�9�@�STKRF(;�&('*"%8 �*$�:#: ! -�&(8�8 � 2*!#"%' ��!+8�20$��9!+'*)/8�8�}� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;[9o�>; J2STJ>Qo@>O

� � 8 � �DM � � 8KJW�GF � � 8 �n�DM � �L8KJW� ��k>8 k>�3�

H>QC=)ST=�<EBo@'GM@y9�@NQo@�BTBC=�QC;MS~BC;M9�@'F(;VJ(BC; G ; d�d)@NQC=+J><{D�=BTBCK�QC= ) Y ��� 9KES~Bo@N<EBC=+; <{?RK(F(J>G Ky=@N<>K�?A@NG ;M@#=WJ><>K ��Y ��� 9o�>=V=�D%;MF(=�<>d�;M@]; G�D%; <29K�G KAF(=�G�9�@NQCQC=�G G K � O

��Y ��� M ) Y ��� F ? Y � .�M��^Y � ��k>8 kE7��

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 58: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � uEX

J

� �

? Y � .�^Y �

��Y ���) Y ���

� Y ? �J

��� ����� � � ����� � �3��!! �'(��� ���2���� �����������#� ����%&�`b=�QC; D�@N<2F(KRG�� = � J2@Nd�; K�<>= ��k>8 kE7����>ST;�KNBTBC; =�<>=�O

+��F ? +< ? Y � . M ? +� �^Y � ��k>8 k�kE�

; < 9J>;�<>KNBo@��}@�F'=)ST=�?RH>; K +<{=PGM@+\�=�K�?R=BCQC;M@��Iq= H�KESCST; p>; G =PQC;M9�@3D�@NQC=�; GI?RKNBCKLF(=�GH>; =)F(=WF(;�p>; =�G GM@>8}s�<2@NG K�\E@N?R=�<EBC=nH�=�Q � J2@N<EBCK]QC; \�J>QoF>@#G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=0�(ST;eKNBTBC; =�<>=�O

A��F ? A< ? Y � . 8 +< 9 ? Y � .+M ? A� �^Y � 8 +� 9 �^Y � ��k>8 kNr%�

��=.= � J2@Nd�; K�<>;R��k>8 kE7����W��k>8 k�kE���W��k>8 kNr%�e9K�?RH>G =)SCST=}H�KESCSTK�<>K�D�=�<>; QC=.SC9QC; BTBC=.; <i��K�QC?A@SC9�@NGM@NQC=0����9K�?RH�K�<>=�<EBC;�QC=)@NG =V=V; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@E� O

� ��F ? 9KES�<�M���9KES �) F ? ST; <�<�M���ST; < � ��k>8 kEu��

� +��F$8 +< ? ST; <�<>8 +� ��ST; < �� F +< ? 9KES�<�M +� ��9KES � ��k>8 k�zE�

� A��F$8�A< ? ST; <�<>8 +< 9 ? 9KES�<98 A� ��ST; < � 8 +� 9 ��9KES �� F A< ? 9KES�<98 +< 9 ? ST; <4<�M A� ��9KES � 8 +� 9 ��ST; < � ��k>8 k%XN�

��� ��� � � ������!���� ������!"� ��!'���$�"��� ��� �� ;x9K�<2ST;MF(=�QC;[K�Qo@�; GxST;MS~BC=�?A@ F(;�c2\�J>Qo@ k>8 �)� F(K�D�=i; G/p>Qo@�9�9; K�J � � H>J�qK,��@�Ff=)ST=�?RH>; K,�9KES~BC; BCJ>; QC=�J><'=�G =�?R=�<EBCK+F(;1J><2@f?A@�9�9o�>; <2@�F(;ISTK�G G =�D�@N?R=�<EBCKfK+F(;1?RK�D%; ?R=�<EBo@Nd�; K�<>=BC=�QCQo@>OnGM@PQCKNBo@Nd�; K�<>=RF(=�Gxp>Qo@�9�9; K>J � � q=RKNBTBC=�<%J(Bo@�@�BTBCQo@3D�=�QoSTK�J><0ST;MS~BC=�?A@�@NQTBC;M9K�GM@��BCK���K�QC?A@�BCK4F>@N;IF(J>=P=�G =�?R=�<EBC; �.J = � � = QC=�\�K�GM@�Bo@��x@�F0=)ST=�?RH>; K,�}@�BTBCQo@3D�=�QoSTKfJ><

Page 59: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

uN_ !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

?RKNBCK�QC=PH�KEST; d�; K�<2@�BCK4; <OJU9o�>=�GM@3D�K�Qo@�H�=�QAGM@4QCKNBo@Nd�; K�<>=PQC=�GM@�BC; D�@�BCQo@ �.JU=9J � J]8��G}ST;MS~BC=�?A@4q=AF(=BTBCK � ,'02 ��!#: '*)/$�� 83' ��)�!+��8*: '*)/8�8 s�H>H>G ;M9�@N<2F(KfGM@PQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@Nd�; K�<>=]9K�<<%J>?R=�QC;29K�?RH>G =)SCST;2@NG � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCKV@NQTBC;M9K�GM@�BCKWF(;>c2\�J>Qo@Wk>8 �)���NGM@V?A@N<>K�D�=�G GM@��NGM@Vp>; =�G GM@=)FA; G�p>; GM@N<29; =�QC=bSTK�<>KWQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BC;2QC;MSTH�=BTBC; D�@N?R=�<EBC=bF>@N;�D�=BTBCK�QC;�� � 8>JW���e� � 8 �n���� � 8KJ � �1=)STH>QC=)SCST;�9K�?R=�O

� �L8KJW�GF �^Y D � � 8 �n�GF ��Y D �� � 8KJ � ��F ? Y D . ��k>8 k�_E�

��<>K�G BCQC=�q=RJ(BC; G =A; <EBCQCK(F(J>QCQC=]; GxD�=BTBCK�QC=f�!J$8;J � �WF ) Y D � 9o�>=AQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�; G ���������� F(=�G GM@R?A@�9�9o�>; <2@��2=#F(=c2<>;MSC9=iGM@RH�KEST; d�; K�<>=iQC=�GM@�BC; D�@AF(=�G G =#F(J>=#9=�QC<>; =�QC=i@]BC=�QCQo@>8Y.K�<2ST;MF(=�Qo@N<2F(K4@N<29K�Qo@�; G � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK4@NQTBC;M9K�GM@�BCK4F(;Ic2\�J>Qo@4k>8 �)���}KESCST=�QCD%;M@N?RK49o�>==)SCSTK 9KES~BC; BCJ>;MSC9=]J><+ST;MS~BC=�?A@ @�F�J><�\�Qo@�F(K F(;/G ; p�=�QTB�q@>ObST=]@�Ff=)ST=�?RH>; KPST;/9K�<>\�=�GM@�GM@QCKNBo@Nd�; K�<>= � F(=�G GM@f?A@N<>K�D�=�G GM@��[GM@f?A@N<>K�D�=�G GM@PQC;MSTJ>G Bo@�9K�?RH>G =Bo@N?R=�<EBC=�p>G K(9�9�@�Bo@>O#; <H2@NQTBC;M9K�GM@NQC=.; G(H>J><EBCK � QC;MSTJ>G Bo@���=�QC?RKV= � J>; <2F(;>G�� ; <2ST; =�?R=�9KES~BC; BCJ>; BCKVF>@NG GM@bp>; =�G GM@n=IF>@NGp>; GM@N<29; =�QC=b��K�QC?A@#J><�@NQo9KR@iBCQC=W9=�QC<>; =�QC= � � J � �>@N<29o��� =)SCSTK#p>G K(9�9�@�BCK28�7�=W9K�<2ST=�\�J>=9o�>=0�NJ><2@bD�K�G Bo@nF(=BC=�QC?R; <2@�BCK,��@�Fi=)ST=�?RH>; K,�NG�� @N<>\�K�G K � F(;>9J>;eq=1QCJ>KNBo@�Bo@�GM@n?A@N<>K�D�=�G GM@��QC;MSTJ>G Bo@N<>K J><>; D�K(9�@N?R=�<EBC=]F(=BC=�QC?R; <2@�BC=]G =#H�KEST; d�; K�<>;xF(;�BCJ(BTBC;x;/H>J><EBC;xF(=�GxST;MS~BC=�?A@>Oiq=F(J>< � J>=WH�KESCST; p>; G =W=)STH>QC; ?R=�QC=VGM@RH�KEST; d�; K�<>=WF(; � J2@NG J>< � J>=WH>J><EBCK�F(=�G � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK]; <��J><>d�; K�<>=iF(=�G�STK�G KRD�@NG K�QC=VF(=�G G�� @N<>\�K�G K � 8

J

J �

� �

J

J �

�� �

� Y ? �

? Y � .

�^Y � ��Y ���) Y ���

��� ����� �� � � ���������)! ��%0���2�1����%)���(�3! ��%&��/=�Q]; G � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK+F(;Ic2\�J>Qo@+k>8 �)���/GM@+H�KEST; d�; K�<>=PF(=�G�H>J><EBCK � =)STH>QC=)SCSC@+9K�?R=

STK�?R?A@fF(=�;.D�=BTBCK�QC;xQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<EBC;xGM@�?A@N<>K�D�=�G GM@P=�GM@�p>; =�G GM@��/F(=�D�=�ST=�?RH>QC=A=)SCST=�QC=J>\�J2@NG =�@NG GM@LH�KEST; d�; K�<>=+F(=�G G K'S~BC=)SCSTK'H>J><EBCK � KNBTBC=�<%J(Bo@'9K�?R=+STK�?R?A@0F(=�;bD�=BTBCK�QC;Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@N<EBC;�; G�BC=�GM@N; KR=)FP; G�p>; GM@N<29; =�QC=�O

� �L8KJW�DM � � 8 �n��F �!JI8KJ � �DM � � 8KJ � �

��BC; G ; d�d)@N<2F(K GM@�Qo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@Nd�; K�<>=i9K�?RH>G =)SCSC@�F(=�;�D�=BTBCK�QC;��eST;�KNBTBC; =�<>= � J>; <2F(;/G�� = � J2@��d�; K�<>=W9K�?RH>G =)SCSC@>O

? Y � .�M ) Y ��� F ��Y ��� M��^Y � ��k>8 k�jE�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 60: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � uNj

� �

� �

� 7

� k

��� ����� ������.'��3! ��%0���2�� 9�9K�QCQC=1<>KNBo@NQC=I9o�>=0��H�=�Q}ST;MS~BC=�?R;2@NQTBC;M9K�GM@�BC;%H>;TqJ�9K�?RH>G =)SCST;>F(=�G � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK,��H>J�qK

=)SCST=�QC=}<>=)9=)SCSC@NQC; K�; <EBCQCK(F(J>QCQC=.H>;TqJ]F(;EJ><2@b= � J2@Nd�; K�<>=.F(;(9o�>; J2STJ>Qo@��3H�=�Q�=)STH>QC; ?R=�QC=}BCJ(BTBC;;2G =�\E@N?R;�9; <>=�?A@�BC;M9;�9o�>=bQC=�\�K�GM@N<>KV; G�?RKNBCK#F(=�G�ST;MS~BC=�?A@>8xsbFA=)ST=�?RH>; KiH�=�Q1G�� =)SC@NGM@�BC=�QCKF(;�c2\�J>Qo@Rk>8 ���]q=VH�KESCST; p>; G =WSC9QC; D�=�QC=nG =WF(J>=W= � J2@Nd�; K�<>;�F(;[9o�>; J2STJ>Qo@>O

� � �L8KJ � �DM � � 8 �n� F �!J 9 8KJ � �DM � � 8KJ 9 �� � 8KJ 9 �DM � � 8 � � F �!J�8KJ 9 �2M � � 8KJ � �

��k>8 rE�E�

?R=�<EBCQC=RG�� J>G BC=�QC; K�QC=R= � J2@Nd�; K�<>=RQC=�GM@�BC; D�@�@NG GM@f9o�>; J2STJ>Qo@PF(=�G.H�K�G ; \�K�<>K>J � � � � J 9 J �QC;MSTJ>G Bo@R9K�?#p>; <2@Nd�; K�<>=VF(=�G G =iF(J>=V= � J2@Nd�; K�<>;e\�;�q@RSC9QC; BTBC=0�(=)F4q=VH�=�Qo9;�qKASTJ>H�=�Q � J2@>8�[K�QC<2@N<2F(KL@NG � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK4F(;�c2\�J>Qo@+k>8 �)���.G�� @N<2@NG ;MST;�F(;�H�KEST; d�; K�<>=�9K�<2ST;MS~BC=�<>=�G

QC;MSTK�G D�=�QC=RQC; H�=BCJ(Bo@N?R=�<EBC=�G�� = � J2@Nd�; K�<>=���K�G = = � J2@Nd�; K�<>; �VF(;I9o�>; J2STJ>Qo@���H�=�Q#H>QC=c�SCSC@�BC;D�@NG K�QC;EF(=�G GM@b9K%K�QoF(; <2@�Bo@�G ; p�=�Qo@#��<>=�G G�� =)ST=�?RH>; KnGM@�QCKNBo@Nd�; K�<>= � F(=�G GM@b?A@N<>K�D�=�G GM@E� 8/�bJ>=�S~Bo@]@N<2@NG ;MST;�9K�<2ST=�<EBC= � J>; <2F(;[F(;�F(=BC=�QC?R; <2@NQC=VH�=�Q�H>J><EBC;e; G�G =�\E@N?R=bBCQo@]GM@]9K%K�QoF(; <2@�Bo@G ; p�=�Qo@VF(=�G�9; <>=�?A@�BC;MST?RKW=�G =�D�@NQC;M@Np>; G ;2F(; H�=�<2F(=�<EBC;�9o�>=�F(=BC=�QC?R; <2@N<>KVGM@VH�KEST; d�; K�<>=�F(=�;D�@NQC;E?R=�?#p>QC;%F(=�G(ST;MS~BC=�?A@]��<>=�G G�� =)ST=�?RH>; K�<P=N����=IF(;%QC;M9KES~BCQCJ>; QC= � J>; <2F(;��NH�=�Q�; <EBC=�QCD�@NG G ;F(;MSC9QC=BC;xF(;�BC=�?RH�K,��G =AF(; D�=�QoST=]9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>;�; <49J>;}ST;/H�K�QTBo@ ; G}ST;MS~BC=�?A@P@NQTBC;M9K�GM@�BCKF(J>Qo@N<EBC=V; G�STJ>KR?RK�D%; ?R=�<EBCK28�}QC=�<2F(=�<2F(KP@N<29K�Qo@AJ><2@�D�K�G Bo@�; <49K�<2ST;MF(=�Qo@Nd�; K�<>=WG�� =)ST=�?RH>; K,�eK(9�9K�QCQC= � J>; <2F(;xQC; �

STK�G D�=�QC=�G�� = � J2@Nd�; K�<>=b9K�?RH>G =)SCSC@ ��k>8 k�jE���E; < 9J>; � q=�<>KNBCK ��9KES�q ��9K�?R=bSTK�<>Ki<>KNBC=�BCJ(BTBC=G =WF(; ?R=�<2ST; K�<>;�\�=�K�?R=BCQC;M9o�>=V@��(p �29 �2F2���>?R=�<EBCQC=:<0=H�+STK�<>KRG =V; <29K�\�<>; BC=�8��@NG =PSTK�G J>d�; K�<>=P@3D%D%; =�<>=PSTH�=)SCSTK+SC9QC; D�=�<2F(K+G�� = � J2@Nd�; K�<>= F(;�9o�>; J2STJ>Qo@�; <'BC=�QC?R; <>;

SC9�@NGM@NQC;x��9K�?RH�K�<>=�<EBC;eQC=)@NG =V=V; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@E� O

� ? 9KES�<�M ) 9KES � F ��9KES � M��e9KES �? ST; <�<�M ) ST; < � F ��ST; < � M��eST; <0� ��k>8 r2�3�

��<2@#D�K�G Bo@WQC;MSTK�G Bo@iG�� @N<2@NG ;MST;�F(;�H�KEST; d�; K�<>=iq=bH�KESCST; p>; G =VF(=BC=�QC?R; <2@NQC=�G =nD�=�G K(9; B�q@#F(=�G9; <>=�?A@�BC;MST?RK�F(=�QC; D�@N<2F(K�QC;MSTH�=BTBCK�@NG�BC=�?RH�K�G�� = � J2@Nd�; K�<>=���K�G =}= � J2@Nd�; K�<>; ��F(;E9o�>; J2STJ>Qo@>87�=�GE9�@�STK�F(=�G � J2@�F(QC; GM@�BC=�QCK�F(;�c2\�J>Qo@�k>8 �)���3F(=�QC; D�@N<2F(K�G�� = � J2@Nd�; K�<>=}F(;%9o�>; J2STJ>Qo@ ��k>8 k�jE���ST;eKNBTBC; =�<>=�O

? +< ? Y � .]F ? +� �^Y � M ? +� ��Y ��� ��k>8 r%7��

Page 61: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

z�� !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

; <y9J>;.;1D�@NG K�QC;.F(=�\�G ;1@N<>\�K�G ; < � � � � STK�<>Kf<>KNBC;1F>@NG G�� @N<2@NG ;MST;.F(;1H�KEST; d�; K�<>=0��=)F q=� J>; <2F(;/H�KESCST; p>; G =#QC;M9�@3D�@NQC=WG =#D�=�G K(9; B�q@ @N<>\�K�GM@NQC; +� F(=�G GM@�p>; =�G GM@�=�+�0F(=�G�p>; GM@N<29; =�QC=#; <��J><>d�; K�<>=�F(=�G GM@4D�=�G K(9; B�q@L@N<>\�K�GM@NQC=PF(=�G GM@4?A@N<>K�D�=�G GM@>8 ��<y��K�QC?A@LSC9�@NGM@NQC=PGM@:��k>8 r%7��F(; D%; =�<>=�O

� 8 +< ? ST; <�<AF$8 +� ��ST; < � 8 +� �eST; <0�+< ? 9KES�<AF +� ��9KES � M*+� �e9KES)� ��k>8 rEkE�

`b=�QC; D�@N<2F(KRJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=VG�� = � J2@Nd�; K�<>= ��k>8 r%7��.ST;�KNBTBC; =�<>=WG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�O

? A< ? Y � . 8 +< 9 ? Y � . F ? A� �^Y � ,8 +� 9 �^Y � +M ? A� ��Y ��� 8 +� 9 ��Y ��� ��k>8 r�r%�

K�D%D�=�QCK,�%; < ��K�QC?A@RSC9�@NGM@NQC=�O

� 8�A< ? ST; <4<98 +< 9 ? 9KES�< F$8 A� ��ST; < � 8 +� 9 ��9KES � 8 A� �eST; <0�]8 +� 9 �e9KES)�A< ? 9KES�<98 +< 9 ? ST; <4< F A� ��9KES � 8 +� 9 ��ST; < � M A� �e9KES)�]8 +� 9 �eST; <0���k>8 r%u��

��; BC=�<>=�<2F(KiK�Qo@V<>KNBo@VJ><2@WH�KESCST; p>; G =�9K�<(c2\�J>Qo@Nd�; K�<>=�F(=�G2?R=)9�9�@N<>;MST?RKW; <A=)SC@N?R=�; <9J>;/@�Ff=)ST=�?RH>; K ? F � ���3� � F �� 7EX ���3� �WF �� r%u ���3� ) F �� r2� ��� =&< F �� ? ) � � F z�� ��_�� ? ) �B�>F �� ��k�� ? ) � � F ��� X�_Eu�r!� ? ) �>q=.H�KESCST; p>; G =0�N@bH2@NQTBC; QC=.F>@ +� F ��� u� ? ) 5 � =�F>@NG G�� = � J2@Nd�; K�<>=t��k>8 rEkE����F(=BC=�QC?R; <2@NQC=AG =AD�=�G K(9; B�q@f@N<>\�K�GM@NQC;}F(=�\�G ;}=�G =�?R=�<EBC;� � � +�IF 8���� � � ? ) 5 � �W=�J � � ��+</F ��� u�r � ? ) 5 � � 8Ls�<2@NG K�\E@N?R=�<EBC=A; G�ST;MS~BC=�?A@�F(;= � J2@Nd�; K�<>; ��k>8 r%u��iH�=�QC?R=BTBC=�F(;�D�@NG J(Bo@NQC=PG =f@�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>;I@N<>\�K�GM@NQC;�O A�$F 8���� �>��X� ? ) 5 � 9 = A<AF ��� ��k%X � ? ) 5 � 9 8��� ��� � � �� ���������$��� ����� ���'� �'� �#()����'� ��������<#c2\�J>Qo@bk>8 �37�ST;%?RKES~BCQo@bJ><#=)ST=�?RH>; KVF(;(J><]?R=)9�9�@N<>;MST?RKV@b\�G ; ��KnKESC9; G GM@N<EBC=1F(=�G � J2@NG =0�; < � J>=)S~BCKRH2@NQo@N\�Qo@���K,�%ST;�STD�K�G \�=�Q�q@iG�� @N<2@NG ;MST;�9; <>=�?A@�BC;M9�@>8�}� = � J2@Nd�; K�<>=IF(;>9o�>; J2STJ>Qo@�QC=�GM@�BC; D�@n@NG%\�G ; ��KnKESC9; G GM@N<EBC=IF(;%c2\�J>Qo@bk>8 �37Wq=1GM@nST=�\�J>=�<EBC=�O

6 YED �F;= ) M � YED .K�D%D�=�QCK2O

6 Y D 8A= ) 8 � Y D .]F �sbSCST=�\�<2@�BCKy; GVD�@NG K�QC=4F(=�G GM@yQCKNBo@Nd�; K�<>= < F(=�G GM@y?A@N<>K�D�=�G GM@���GM@yH�KEST; d�; K�<>= � F(=�G

9K�QoSTK�; K0G J><>\�K'GM@'\�J>;MF>@0=+GM@'QCKNBo@Nd�; K�<>=�F(=�Gn\�G ; ��K � H�KESCSTK�<>K'=)SCST=�QC=�F(=BC=�QC?R; <2@�BC=QC;MSTK�G D�=�<2F(K]; G�ST;MS~BC=�?A@>O

� 6b9KES � F �x9KES�<6bST; < � F �xST; <4<�M ) ��k>8 rEzE�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 62: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � z>�

� Y ? �

� �

��� ����� �� ��+! � � � ��'����)!! ����%0�

`b=�QC; D�@N<2F(KRG�� = � J2@Nd�; K�<>=W9K�?RH>G =)SCSC@]F(;[9o�>; J2STJ>Qo@]ST;�KNBTBC; =�<>=�O

+6 Y D M = +� 6 Y D FL= �-+<NY D .F>@R9J>;���ST=�H2@NQo@N<2F(K]GM@]H2@NQTBC=WQC=)@NG =WF>@ � J>=�G GM@R; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@��%QC; K�QoF(; <2@N<2F(KR;eBC=�QC?R; <>;�=H2@�SCSC@N<2F(K#@NG GM@W��K�QC?A@]F(;e9K�?RH�K�<>=�<EBC=nQC=)@NG =b=n; ?R?A@N\�; <2@NQC;M@iST;�KNBTBC; =�<>=nG�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�O

� +6b9KES � 8A6 +� ST; < � FT8 +< �xST; <�<+6nST; < � MK6 +� 9KES � F +< �x9KES�< ��k>8 r(XN�

`b=�QC; D�@N<2F(KRJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=VG�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;�9o�>; J2STJ>Qo@RST;eKNBTBC; =�<>=�O

A6 Y D MK=,+6 +� Y D MK=,+6 +� Y D MK=)6 A� Y D 8A6 +� 9 Y D FL='A< � Y D .+M +< 9 � Y D .F>@R9J>;��29K�<P;[9K�<2STJ>=BC;�H2@�SCSC@N\�\�;��%ST;eKNBTBC; =�<>=�O

� A6n9KES � 807 +6 +� ST; < � 8A6 A� ST; < � 8A6 +� 9 9KES � FT8!�CA<]ST; <�<98 � +< 9 9KES�<A6nST; < � My7 +6 +� ST; < � MK6 A� 9KES � 8A6 +� 9 ST; < � F �CA<]9KES�<98 � +< 9 ST; <�< ��k>8 rE_E�

��� ��� � � �1�$������%���� � �����'� � (*�'���"�'� ��� � �� ��� �"� ���� �������(*���'�� ;�H>QC=)ST=�<EBo@WJ><�=)ST=�?RH>; K]@NH>H>G ;M9�@�BC; D�KiQC=�GM@�BC; D�Ki@NG GM@#9; <>=�?A@�BC;M9�@iF(;�J><�\�G ; ��K#KESC9; G GM@N<EBC=J(BC; G ; d�d)@�BCK�H�=�Qi?RK�D%; ?R=�<EBo@NQC=]GM@fSTG ; BTBo@�F(;}J><2@�?A@�9�9o�>; <2@PJ(BC=�<2ST; G =�8��VF>@�BC;xQC; G =�D�@N<EBC;

Page 63: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

zE7 !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

H�=�Q�G�� @N<2@NG ;MST;�9; <>=�?A@�BC;M9�@RF(;eBo@NG =W?R=)9�9�@N<>;MST?RKRSTK�<>KR;[ST=�\�J>=�<EBC;�O� ? ����= �

� ? � �E@ Y���� ? F �37�u ���) = � E ? ��� ? @ Y�� E�= � ? �HYWE'� ? �HY ��Y�� � =�Y�� Y ? E Y��$� ? F uN_�� ���� Y ��= ��Y ) = � �

E ? �P= ��2Y ) Y���� ? � ? � �E@ Y���� ? F z�� ��= � = 5 =

�[QC;MSTJ>G Bo@�BC;%QC=�GM@�BC; D%;(@NG G�� @N<2@NG ;MST;%F(;%H�KEST; d�; K�<>=ISTK�<>Kb?RKES~BCQo@�BC;%; <#c2\�J>Qo@bk>8 �)k��3; <R9J>;(ST;QC; H�K�QTBo@V<>=�G GM@WH2@NQTBC=�; <(��=�QC; K�QC=�GM@WQCKNBo@Nd�; K�<>= � F(=�G�\�G ; ��Ki; <R��J><>d�; K�<>=nF(=�G GM@WQCKNBo@Nd�; K�<>=�<F(=�G GM@b?A@N<>K�D�=�G GM@���?R=�<EBCQC=1<>=�G GM@nH2@NQTBC=ISTJ>H�=�QC; K�QC=IST;%QC; H�K�QTBo@bGM@nH�KEST; d�; K�<>= � F(=�G>9K�QoSTK�; K; <P��J><>d�; K�<>=iF(=�G GM@RS~BC=)SCSC@ � J2@N<EBC; B�q@>8��<+c2\�J>Qo@ k>8 ��r ST;/QC; H�K�QTBo@N<>K ; <%D�=)9=#GM@ D�=�G K(9; B�q@ @N<>\�K�GM@NQC=#F(=�G/\�G ; ��K =]GM@ D�=�G K(9; B�q@

F(=�G[9K�QoSTK�; K#<>=�G[STJ>KR?RKNBCKRQC=�GM@�BC; D�KR@NGe\�G ; ��K28��@NG ;2\�Qo@N<2F(=�d�d�=�STK�<>KiQo@NH>H>QC=)ST=�<EBo@�BC=I; <A��J><>d�; K�<>=bF(=�G GM@WQCKNBo@Nd�; K�<>=�F(=�G GM@W?A@N<>K�D�=�G �

GM@��>@�SCSTJ>?R=�<2F(KA9o�>=VGM@]?A@N<>K�D�=�G GM@#QCJ>KNBC;�9K�<�D�=�G K(9; B�q@]@N<>\�K�GM@NQC=nH2@NQC;e@Az>8 7N_#Qo@�F ��S�8��<(c2<>=0�(; <�c2\�J>Qo@#k>8 �3uiST;�QC; H�K�QTBo@N<>KiG�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=b@N<>\�K�GM@NQC=bF(=�G�\�G ; ��K#=nG�� @�9�9=�G =�

Qo@Nd�; K�<>=VF(=�G[9K�QoSTK�; K#<>=�G[STJ>KR?RKNBCKRQC=�GM@�BC; D�KR@NG�\�G ; ��K28

0 1 2 3 4 5 6 70.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75Posizione corsoio

rot. manovella [rad]

[m]

0 1 2 3 4 5 6 71.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8Rotazione glifo

rot. manovella [rad]

[rad

]

��� ����� �� ��% � �3! �'(� ����� ��'(� ��������� ����� !'& � ������� ��� ����%&�1����� � ��'�! �%)%&�1���������(������ � � %0����'(�)! �

��� ��� � � � �������'�$��� �1�$�� � ����� ���'� �'�� ;x9K�<2ST;MF(=�QC;[; <(c2<>=]; G/p>Qo@�9�9; K F(;�c2\�J>Qo@ k>8 �)�>O�9K�?R=RST;1q=]F(=BTBCK GM@ ?RK�D%; ?R=�<EBo@Nd�; K�<>=F(=�G.\�Qo@�F(K�F(;.G ; p�=�QTB�q@0q=�; <LBo@NG19�@�STK�@*=�F>@�Bo@�@�FLJ><'@Nd�; K�<2@N?R=�<EBCKf=�G =BTBCQC;M9Ky��?RKNBCKN�QC=3��H�KES~BCK ; <49K�QCQC;MSTH�K�<2F(=�d)@�F(=�G GM@ 9=�QC<>; =�Qo@]J]8W��@NG =]@NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>=#?RKES~BCQo@A<>KNBC=�D�K�G ;D�@N<EBo@N\�\�;�F(;eH>QC=)9;MST; K�<>=b<>=�G�H�KEST; d�; K�<2@N?R=�<EBCK]F(=�G�p>Qo@�9�9; K,�%F(;�D�=�G K(9; B�q@#F(;eQC;MSTH�KES~Bo@��%F(;��@�9; G ; B�q@AF(;[; <2S~Bo@NG GM@Nd�; K�<>=0<>?A@RQC;MSTJ>G Bo@]G ; ?R; Bo@�Bo@A; <f@NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>;�; <�9J>;[ST;�<>=)9=)SCST; Bo@N<>KF(;�<>KNBC=�D�K�G ;e��K�QCd�=A� � J>; <2F(;[p>Qo@�9�9;[F(;�\�Qo@N<2F(=iF(; ?R=�<2ST; K�<>=3�1=W?A@N\�\�; K�QC=VST;M9J>QC=�d�d)@>8}��<Bo@NG ;[@NH>H>G ;M9�@Nd�; K�<>;�ST;e��@]J2STK�F(;[@Nd�; K�<2@N?R=�<EBC;e;MF(Qo@NJ>G ;M9;�O}ST;�D�=)F>@R@]H>QCK�H�KEST; BCKRGM@#c2\�J>Qo@k>8 �)z>8�s1BTBCQo@3D�=�QoSTKVJ><2@iH�K�QTBo@�Bo@WF(;�K�G ; KW; <�H>QC=)SCST; K�<>=�ST;2QC=)@NG ; d�d)@V; G�?RK�D%; ?R=�<EBCKW=b; G�STKN�S~BC=�<EBo@N?R=�<EBCKWF(=�G>p>Qo@�9�9; K J � � 8��[@nc2\�J>Qo@Vk>8 �)zbQC; H�K�QTBo@n; <>K�G BCQC=�<>=�G>H>;M@N<>KW9K�?RH>G =)SCSTKG�� = � J2@Nd�; K�<>=WF(;�9o�>; J2STJ>Qo@RF(=�G[ST;MS~BC=�?A@]; <�K�\�\�=BTBCK2O

? Y � .�M���Y ��� F �^Y � ��k>8 rEjE�

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 64: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � z�k

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.5

0

0.5

1Velocita’ relativa corsoio

rot. manovella [rad]

[m/s

]

0 1 2 3 4 5 6 7−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Velocita’ angolare glifo

rot. manovella [rad]

[rad

/s]

��� ����� �� � % � �3! �'(� �����3��! � ���%10� ����� !'& � ������� ��� ����%&�1����� � ��'�! �%)%&�1���������(������ � � %0����'(�)! �

0 1 2 3 4 5 6 7−6

−4

−2

0

2

4

6

8Accelerazione relativa corsoio

rot. manovella [rad]

[m/s

2 ]

0 1 2 3 4 5 6 7−15

−10

−5

0

5

10

15Accelerazione angolare glifo

rot. manovella [rad]

[rad

/s2 ]

��� ��� � �� �% � �3! �'(���������(����! ���2� ���������+����� !'& � ������� ��� ����%&����� � � ��'�! �%)%&�����$�����(������ � � %0����'(�)! �

9o�>=VH>QCK�; =BTBo@�Bo@RSTJ>;�F(J>=i@�SCST;�F(; D�=�<EBo@>O

� ? 9KES�<�M��e9KES)�>F ��9KES �? ST; <4<�M��eST; < �>F ��ST; < � ��k>8 uN�E�

��<2@#D�K�G Bo@WQC;MSTK�G Bo@iG�� @N<2@NG ;MST;�F(;�H�KEST; d�; K�<>=iq=bH�KESCST; p>; G =VF(=BC=�QC?R; <2@NQC=�G =nD�=�G K(9; B�q@#F(=�G9; <>=�?A@�BC;MST?RKAF(=�QC; D�@N<2F(K]QC;MSTH�=BTBCK�@NG�BC=�?RH�KAG�� = � J2@Nd�; K�<>=�O

? +< ? Y � . F ? +� �^Y � �M ? +�^Y � ��k>8 u(�3�

; < 9J>;�;ID�@NG K�QC;�F(=�\�G ;�@N<>\�K�G ; < = � �1STK�<>K+<>KNBC;�F>@NG G�� @N<2@NG ;MST;IF(;�H�KEST; d�; K�<>=0�}=)F�q=� J>; <2F(;[H�KESCST; p>; G =#QC;M9�@3D�@NQC=VG =#D�=�G K(9; B�q@A@N<>\�K�GM@NQC; +� = +<y; <f��J><>d�; K�<>=]F(=�G GM@AD�=�G K(9; B�q@�F(;S~c2G K +��F(=�G�9; G ; <2F(QCK];MF(Qo@NJ>G ;M9K28���< BC=�QC?R; <>;�SC9�@NGM@NQC;��EG�� @N<2@NG ;MST;eF(=�G G =VD�=�G K(9; B�q@#@�SCSTJ>?R=nGM@��K�QC?A@>O

Page 65: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

zNr !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

J

J �

� �

J

J � �� �

� Y ? �

? Y � .�^Y � ��Y ���

��� ����� �� � �+! � � �

� 8 +< ? ST; <4< FT8 +� ��ST; < � M +��9KES �+< ? 9KES�<AF +� ��9KES � M +��ST; < � ��k>8 u�7��

`b=�QC; D�@N<2F(KWJ>G BC=�QC; K�QC?R=�<EBC=IG�� = � J2@Nd�; K�<>=�F(;29o�>; J2STJ>Qo@R���%�xST;>KNBTBC; =�<>=�G�� =)STH>QC=)SCST; K�<>=�O

? A< ? Y � . 8 +< 9 ? Y � . F ? A� �^Y � ,8 +� 9 �^Y � +My7 ? +� +�^Y � ,8 A� Y � ��k>8 uNkE�

K�D%D�=�QCK

� 8�A< ? ST; <4<98 +< 9 ? 9KES�<AF$8 A� ��ST; < � 8 +� 9 ��9KES � 807 +� +��ST; < � M A��9KES �A< ? 9KES�<98 +< 9 ? ST; <�<AF A� ��9KES � 8 +� 9 ��ST; < � My7 +� +��9KES � M A��ST; < � ��k>8 u�r%�

� ;>D%J>K�G =1K�Qo@bF(=BC=�QC?R; <2@NQC=0�NH�=�Q/; G>ST;MS~BC=�?A@n; <]=)SC@N?R=1; <R9J>; ��F �� r2� �3� ? F�7 � u �3�< F � � =A; <(c2<>=��;F r%u � =A<>KNBo@�GM@PD�=�G K(9; B�q@f9KES~Bo@N<EBC= +� F ��� � � 5 � ��GM@�D�=�G K(9; B�q@P=G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=P@N<>\�K�GM@NQC=�F(=�\�G ;�=�G =�?R=�<EBC;�J � � =9J � 8�`n@NG�ST;MS~BC=�?A@LF(;�= � J2@Nd�; K�<>;��k>8 uN�E��q=VH�KESCST; p>; G =WQC;M9�@3D�@NQC=�O

Bo@N< � F �eST; < �? M��e9KES)� � � F @NQo9 Bo@N< �eST; <0�

? M �e9KES � � F ��� 7EX$� ? ) ��k>8 u�u��

= � J>; <2F(; ��F k�� zNrn?�8�7�KNBo@nK�Qo@�GM@V9K�?RH>G =Bo@nH�KEST; d�; K�<>=�F(=�G>ST;MS~BC=�?A@#q=IH�KESCST; p>; G =�F>@NG GM@H>QC; ?A@AF(=�G G =#F(J>=i= � J2@Nd�; K�<>;�F(=�G GM@ ��k>8 u�7��1QC;M9�@3D�@NQC=�O +� F���� ��j�z]Qo@�F ��S�9o�>=#STKES~BC; BCJ>; BCK

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 66: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

��� ��� �&�����'�$��� �1�$�� � zEu

<>=�G GM@fST=)9K�<2F>@P= � J2@Nd�; K�<>=RH�=�QC?R=BTBC= F(;.D�@NG J(Bo@NQC=AGM@�D�=�G K(9; B�q@�@N<>\�K�GM@NQC=AF(=�G}p>Qo@�9�9; K2O+<AF ��� ��r%uWQo@�F ��S��<(c2<>=+QC;MSTK�G D�=�<2F(K0; GnST;MS~BC=�?A@���k>8 u�r%��q=�H�KESCST; p>; G =+F(=BC=�QC?R; <2@NG =�G�� @�9�9=�G =�Qo@Nd�; K�<>=

@N<>\�K�GM@NQC=nF(=�;[F(J>=Vp>Qo@�9�9;�O A� F ��� �>�3u�r � ? ) 5 � 9 = A<AF ��� �E7�u�7 � ? ) 5 � 9 8

Page 67: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

z�z !#&(-/���)��,��0� � !#�����%$'&(�)��*�&����%�I�)�����)�%$'�x���I*��2�3-/�.����5������

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�

Page 68: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

z%X

� ��� �������� �����

Q ��S���; <>d�; � 8 $�����'*",!+��' � '9;�!+8*"%'*: $ � ' 8*: � � � � �.Fe8���@N<>;M9o�>=�G G ; � K�G K�\�<2@����)j%X�_Q 7 Si��@�SCSC@-��8 > �P�� ",)�! 2*! $�����'*",!+��' > �P�%: !+��'*)/' '*:#: $ '0����56!#"%$ �.Fe8 � H>; =�\�=�G��f; GM@N<>K,��)j�_Eu

Q k S��>J><2@N; K�G ; ��8 �2��@N\�\�; K�QC=0�(�f=�<>=�\��>=BTBC; $�����'*",!+��' > �P�%: !+��'*)/'�'*:#: $ '0����56!#"%$ �.Fe8�x@�BCQCK�< � K�G K�\�<2@����)j�_�z

Q r[Si��@N\�<2@N<>;%�/8*�}8 �N��J>\�\�; =�QC;(l]8 $�����'*",! -�&! �,$�� &('0����56!#"%$ ' )/8*&('*)�!+��5�$ �.Fe8���BC=B�[K�QC; <>K,�e�)j�_�z

Q u S#ln�>; \�G ;M@Nd�d)@ �W8 �RlV@NG G =BTBC;Rsi8 $�����'*",!+��' ' �P�%: !+��'*)/' '*:#: $ &('0����56!#"%$ �.Fe8n��BC=B�[K�QC; <>K,�e�)j�_�j

Q z Si`b;M@N<2@Pl]8 ��Y.�>=�G ;�18��!#"%'*&!+��'�$ ' !���� '9;�!+8*",! 20$�! � ! -�)/$�&! $�����'*",!+��! � ' 8*: � � � ��.Fe82��BC=Bb�[K�QC; <>K,�e�)j�jE7Q X Si��@N<>; \�Qo@�SCSTK0�W8n��@'9J>Qo@0F(; � > ;�!+8*"%'*&($�",)�!�' ' $�: 89��!#)' � 8*",)!� 8*:#: '*)/'4Y.K�QoSTK'F(;@N\�\�; K�QC<2@N?R=�<EBCK�F(=�G��}QCK�\�Qo@N?R?A@ F(;A�~S~BCQCJ>d�; K�<>= �/=�QC?A@N<>=�<EBC={�)j�_�z ��_%X F =�G�/K�G ; BC=)9<>;M9KRF(;[�f; GM@N<>K

Q _ S#ln=�<EBo@�l]8 $�����'*",!+��' 20$�:#:�� > )/8 �*$�!+��8*: 8 �.Fe8���=�D%QCKNBTBCK�� � =�G GM@R�[K�QC; <>K,���)j�j�kQ j Si�f; G G ; ��=�<�� 8 �18 �.�f; G G ; ��=�<y`#8��}8 � '0��$ � ' � ' $�56!+��: $���*"%'*&!+��- � s � ��<EB)8 �.Fe8�L@NQCQC=�<2F>@NG =R���i8 � 8 si8 �����)j�jEu

Q �)� SW`b;M@N<2@Wl]8 �%Y.�>=�G ;��18��!#"%'*&!+��'�$ ' !���� '9;�!+8*",! 20$�!�� ! -�)/$�&! $�����'*",!+��! �.Fe8��b�-�.��[K�QC; <>K,�e�)j�jE7

Q ����SW�x@N<2@N\�; <{�W8 � '��!#"%'*&!+��' 20$�: ' $�!+��8*: 8 � $��^� 8 �9!+' ��!+8��.Fe8 ��=�D%QCKNBTBCK�� � =�G GM@�[K�QC; <>K,�e�)j�j��

Q �37 S �W@NG ��=�Q 28 28�� : ' -�)�!+� ��892*!+$�- !#"K� 8*:#: !#" � ��8*",)/'0��) �.Fe8 �VG J��1=�QV`bK�QoF(QC=)9o�EB]�+7 �1����)j�j��

Q �)k SW�x@�9= � ��@��i8 � 8 � � @�����=�Q-��8 �%5�$ ' � !+� � 8 ��& : '()�� � $�&(8920$�:(; <�O.�}QCK(9=�=)F(=�; <>\ES�)S~Bb��<EB)8�Y.K�G G K � J>; J>?gK�<�� �%QC=i�fK(F(=�GMS���K�Qbvx=��>;M9G =]`��%<2@N?R;M9�Sbs�<2@NG �(ST;MS ��`b=�G � B�+7 �1� � 9 BCK�p�=�QW�)j�j>�

Q ��r[S ��; QoSC9o�%p�=�QC\!� 8 �"� � $ � 8 � ��$ � 8*&��� )/'*)�!+8*" 892 : $#�� � ��� ; <�Oi�}QCK(9=�=)F(=�; <>\ES�)S~Bb��<EB)8�Y.K�G G K � J>; J>?gK�<�� �%QC=i�fK(F(=�GMS���K�Qbvx=��>;M9G =]`��%<2@N?R;M9�Sbs�<2@NG �(ST;MS ��`b=�G � B�+7 �1� � 9 BCK�p�=�QW�)j�j>�

Q �3u S ��J>\�<>=�Q/�/8%$�8 ��! ;98*",)/'*: &(8*)�!+8*" 8'& ' )/8*&(8���!#: $�-)( �%5�$�8 � $�)�!+��'*: '*"%2G� � '0��)�!+��'*:�!#" �*$ �-�)�! � '*)�!+8*"�-}; <�Ox`��%<2@N?R;M9�S.KN���>; \��(��STH�=�=)FRD�=��>;M9G =)S�Y.� � � Y.K�J>QoST=)S.@N<2F ��=)9 BCJ>QC=)S<�8�7EX3r,�(�bF(; <>= ���~��� �J><>=R�)j�_E7

Page 69: Fondamenti Di Meccanica Teorica Ed Applicata

z�_ � ��� ���� � ��� �

Q �)z S#lnKNBCJ2SCSTK �}8 � '*: ��8*: 8 " &($���!+��8 �.Fe8�Y �[�b� �f; GM@N<>K,�e�)j%X�_

� K�d�d)@]F(=�G}�)jRST=BTBC=�?#p>QC=i7N���>�