Fluid Mechanics

Lecture #10

Review • Streamline

–A curve that is instantaneously tangent to  the velocity vector of a flow.

• Streamwise acceleration 21 ( )

2 s s s s

ss dv dv dv d vdsa v dt ds dt ds ds

   

For constant density fluids

2

constant along the same streamline 2

p Vgz    

Bernoulli's Equation

2

constant across the streamlines p Vgz dn R

  

Stagnation Point The point on the solid body at which the velocity  is zero

Stagnation Pressure • A pressure is increased when the velocity  becomes small.

• A stagnation point is where the velocity  becomes zero and the pressure is  maximized. 2

2 p V z C

g   

1 m/sV 

20.01 mA 

Force ?F 

2 2 1 1

1 2 2

22 2 p V p Vz z

g g      

2 21 00 0 0 2(9.8) 9,800 2(9.8)

p     

2 21 00 0 0 2(9.8) 2

p g

    

500 Pap 

5 NF 

Flow Rate (Discharge) • The measure of “how much a fluid flows” • Defined as the volume per time. • Unit: m3/s • Volume/Time = (Area) x (Length / Time)

= (Area) x (Velocity) • Q=VA

Example I • Determine the velocity at (2).

D

D 0 h V1

2

2g  00

V2 2

2g

1 1

2 2 1 2 2

22 2 V Vz z

g p

g p

      

2 2 1 2 (1)

2 2 V Vh

g g       

One more equation required: 2 2

1 2 (24 4 )V VDQ d      

2Solve for V .

V2  2gh

1 (d / D)4

2If , 2VD d gh 

DO IT YOUR SELF

Example II • Manometer is a device to measure pressure  difference. Find the h.

Given Q(flowrate), A1, A2, SG.

Fluid is static within  the tube (hydrostatic pressure)

There is a flow from left to right  in a pipe (Bernoulli’s equation)

(1) (1') : apply Bernoulli equaion across streamlines

(1')

(2 ')

1 1 2 2

1 1 11

p V p Vz dn z dn R R 

       

1 1 2

1

2 1

1 1p V p Vz dn z dn

 

  

    

   

11 11( )p p z z    

2 2 2 2Similarly, ( )p p z z    

Although there is a flow in between (1) and (1 ), the above equation tells the pressure distribution is hydrostatic.



Find the relation between p1 and p2. p1  (z2  z1) (l  h) (SG)hl  p2

 1 2 1 2(1 )p z z SG h p    

 1 2 2 1 (1 )p p z z SG h    

(1')

(2 ')

Apply Bernoulli Equation 2 2

1 1 2 2 1 22 2

p V p Vz z g g 

    

1 2 1

2 2

2 2 1( / ) ( / )

2 2 p Q A p Q Az z

g g      

1 2 2

2

2 21 12

1 1 2

p p Qz z g A A

    

  

 

Solve equations

 1 2 2 1 (1 )p p z z SG h     1 2 2 2

2 21 12

1 1 2

p p Qz z g A A

    

  

 

 2 1 2 1 2 2 1

2

2 1 1(1 )

2 1 Qz z SG h z z

g A A 

   

   

  

 

1

2

2 2 2

1 1 2 (1 )

Qh g SG A A

   

 



DO IT YOUR SELF

Example III (Flow rate measurement) If one can measure p2‐p1, the flow rate Q can be  calculated. Find Q in terms of p1, p2, A1, A2.

1 1 2 2Q V A V A 

2 2 1 1 2 2

2 2 p V p V

g g    

2 2

2 21

1 2 22 2

p pQ Q gA gA 

  

2

2 2 1 2

21

1 1 2

p pQ g A A     

    

1 2 2 12 2

21

21 ( )A AQ p A A

p 

  

Example IV (siphon) Calculate the flow rate through the siphon and the   pressure at A.

2 2 1 1 2 2

1 2 between (1)----(2)2 2 p V p Vz z

g g      

(1)

(2)

2 20 3 0 0 0

2 9.8 V

     

2 7.66 m/sV 

2 2 3 2 (0.0(7.66 m/s) m4) 0.1 m /s4

Q V A        

2 2 1 1

1 between (1)----(A)2 2 A A

A p V p Vz z

g g       0 3 0 0 0Ap

     

29.4 kPaAp 

Example V (Sluice Gate)

Calculate the flow rate through the sluice gate.

p1   z1 

V1 2

2g 

p2   z2 

V2 2

2g V1z1B V2z2B

Q  z2B 2g(z1  z2 ) 1 (z1 / z2 )

2