Fluid Mechanics - · PDF file in a pipe (Bernoulli’s equation) (1) (1'): apply Bernoulli...

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Transcript of Fluid Mechanics - · PDF file in a pipe (Bernoulli’s equation) (1) (1'): apply Bernoulli...

  • Fluid Mechanics

    Lecture #10

  • Review • Streamline

    –A curve that is instantaneously tangent to  the velocity vector of a flow.

    • Streamwise acceleration 21 ( )

    2 s s s s

    ss dv dv dv d vdsa v dt ds dt ds ds

       

  • For constant density fluids

    2

    constant along the same streamline 2

    p Vgz    

    Bernoulli's Equation

    2

    constant across the streamlines p Vgz dn R

      

  • Stagnation Point The point on the solid body at which the velocity  is zero

  • Stagnation Pressure • A pressure is increased when the velocity  becomes small.

    • A stagnation point is where the velocity  becomes zero and the pressure is  maximized. 2

    2 p V z C

    g   

  • 1 m/sV 

    20.01 mA 

    Force ?F 

    2 2 1 1

    1 2 2

    22 2 p V p Vz z

    g g      

    2 21 00 0 0 2(9.8) 9,800 2(9.8)

    p     

    2 21 00 0 0 2(9.8) 2

    p g

        

    500 Pap 

    5 NF 

  • Flow Rate (Discharge) • The measure of “how much a fluid flows” • Defined as the volume per time. • Unit: m3/s • Volume/Time = (Area) x (Length / Time)

    = (Area) x (Velocity) • Q=VA

  • Example I • Determine the velocity at (2).

    D

  • D 0 h V1

    2

    2g  00

    V2 2

    2g

    1 1

    2 2 1 2 2

    22 2 V Vz z

    g p

    g p

          

    2 2 1 2 (1)

    2 2 V Vh

    g g       

    One more equation required: 2 2

    1 2 (24 4 )V VDQ d      

    2Solve for V .

  • V2  2gh

    1 (d / D)4

    2If , 2VD d gh 

  • DO IT YOUR SELF

  • Example II • Manometer is a device to measure pressure  difference. Find the h.

    Given Q(flowrate), A1, A2, SG.

  • Fluid is static within  the tube (hydrostatic pressure)

    There is a flow from left to right  in a pipe (Bernoulli’s equation)

  • (1) (1') : apply Bernoulli equaion across streamlines

    (1')

    (2 ')

    1 1 2 2

    1 1 11

    p V p Vz dn z dn R R 

           

    1 1 2

    1

    2 1

    1 1p V p Vz dn z dn

     

      

        

       

    11 11( )p p z z    

    2 2 2 2Similarly, ( )p p z z    

    Although there is a flow in between (1) and (1 ), the above equation tells the pressure distribution is hydrostatic.

  • Find the relation between p1 and p2. p1  (z2  z1) (l  h) (SG)hl  p2

     1 2 1 2(1 )p z z SG h p    

     1 2 2 1 (1 )p p z z SG h    

    (1')

    (2 ')

  • Apply Bernoulli Equation 2 2

    1 1 2 2 1 22 2

    p V p Vz z g g 

        

    1 2 1

    2 2

    2 2 1( / ) ( / )

    2 2 p Q A p Q Az z

    g g      

    1 2 2

    2

    2 21 12

    1 1 2

    p p Qz z g A A

        

      

     

  • Solve equations

     1 2 2 1 (1 )p p z z SG h     1 2 2 2

    2 21 12

    1 1 2

    p p Qz z g A A

        

      

     

     2 1 2 1 2 2 1

    2

    2 1 1(1 )

    2 1 Qz z SG h z z

    g A A 

       

       

      

     

    1

    2

    2 2 2

    1 1 2 (1 )

    Qh g SG A A

       

     

    

  • DO IT YOUR SELF

  • Example III (Flow rate measurement) If one can measure p2‐p1, the flow rate Q can be  calculated. Find Q in terms of p1, p2, A1, A2.

  • 1 1 2 2Q V A V A 

    2 2 1 1 2 2

    2 2 p V p V

    g g    

    2 2

    2 21

    1 2 22 2

    p pQ Q gA gA 

      

    2

    2 2 1 2

    21

    1 1 2

    p pQ g A A     

        

    1 2 2 12 2

    21

    21 ( )A AQ p A A

    p 

      

  • Example IV (siphon) Calculate the flow rate through the siphon and the   pressure at A.

  • 2 2 1 1 2 2

    1 2 between (1)----(2)2 2 p V p Vz z

    g g      

    (1)

    (2)

    2 20 3 0 0 0

    2 9.8 V

         

    2 7.66 m/sV 

    2 2 3 2 (0.0(7.66 m/s) m4) 0.1 m /s4

    Q V A        

    2 2 1 1

    1 between (1)----(A)2 2 A A

    A p V p Vz z

    g g       0 3 0 0 0Ap

         

    29.4 kPaAp 

  • Example V (Sluice Gate)

    Calculate the flow rate through the sluice gate.

  • p1   z1 

    V1 2

    2g 

    p2   z2 

    V2 2

    2g V1z1B V2z2B

    Q  z2B 2g(z1  z2 ) 1 (z1 / z2 )

    2