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Elettricit e Magnetismo prof. Giovanni Falcone(G. Falcone) Dipartimento di Fisica - Universit della Calabria, ponte P. Bucci, cubo 31C, Rende (CS) Italy Current address, G. Falcone: Dipartimento di Fisica, Universit della Calabria E-mail address, G. Falcone: [email protected] URL: http://www.fis.unical.itDedicato alla memoria di mia madre cui in vita ho dedicato molto meno tempo di quanto avrei voluto

Abstract. Queste dispense si riferisco al corso di Fisica II da me svolto presso la Facolt di Ingegneria delluniversit della Calabria nellAA 2001-2002. Il corso prevedeva 30 ore di lezioni tradizionali e 30 di esercitazioni. Le dispense contengono sia le lezioni svolte che un gran numero di esercizi svolti.In un momento di transizione del nostro sistema universitario, in assenza di adeguati libri di testo, ritengo che sia un dovere dei docenti fornire delle dispense quanto pi vicine possibili ad un libro di testo. Nei miei ricordi di studente, non posso non ricordare la minore dicolt che ho incontrato nel sostenere gli esami di cui erano disponibili o le dispense o il libro del docente del corso. Avrei raggiunto lo scopo che mi ero presso se almeno una parte dei miei studenti potesse trovare un aiuto da queste mie dispense. A tutti coloro che volessero darmi suggerimenti per migliorare queste dispense o segnalarmi eventuali errori porgo i miei ringraziamenti.

ContentsPrefazione Chapter 1. Il campo elettrostatico 1. La legge di Coulomb 2. Il campo prodotto da pi cariche puntiformi 3. Le linee di forza del campo elettrostatico 4. Esempi v 1 1 5 6 7

Chapter 2. Il concetto di potenziale 13 1. Il potenziale coulombiano 14 2. Il potenziale del campo uniforme e costante 16 3. Espressione cartesiana di potenziali coulombiani 18 4. Il dipolo elettrico ed il suo momento 19 5. Potenziale a grande distanza da una distribuzione puntiforme di cariche 20 6. Dipolo in un campo elettrico esterno ed uniforme 22 7. Esempi 24 Chapter 3. Distribuzioni continue di cariche 1. Determinazione di alcuni campi 2. Determinazione di alcuni potenziali 3. Potenziali a grande distanza da un distribuzione continua Chapter 4. La legge di Gauss 1. Flusso di un vettore attraverso una supercie 2. La legge di Gauss per il campo elettrico 3. Legge di Gauss: derivazione generale 4. Esempi Chapter 5. Conduttori e Dielettrici in elettrostatica 1. Il campo elettrico nei conduttori 2. Il campo elettrico nelle vicinanze di un conduttore 3. Linduzione elettrostatica 4. Lo schermo elettrostatico 5. Potenziale di un conduttore 6. Eetto punta 7. Capacit di un conduttore 8. Capacit di un condensatore piano 9. I Dielettrici 10. Complementi: energia e densit di energia elettrostatica Chapter 6. La corrente elettrica continuaiii

25 26 30 33 35 35 38 39 43 51 51 53 56 56 58 60 61 62 66 72 85

iv

CONTENTS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Densit di carica e di corrente Legge di Ohm La densit di energia elettrostatica Complementi: cenni sulle leggi di Kirchho Complementi: teoria microscopica elementare della conduzione Complementi: carica di un condensatore Complementi: scarica di un condensatore

85 87 93 94 96 97 99 101 101 106 106 107 110 111 114 121 121 122 125 130 132 135 138 139 140 142 144 146 147 153 153 155 157 160 163

Chapter 7. Forze agenti su cariche e correnti 1. La forza di Lorentz 2. Il lavoro della forza di Lorentz 3. Forza agente su tratti di li: seconda formula di Laplace 4. Lazione magnetica su un circuito: il dipolo magnetico 5. Il segno dei portatori di carica nei metalli 6. Eetto Hall 7. Complementi: Circuito in moto in un campo B uniforme e costante Chapter 8. Campi magnetici prodotti da correnti stazionarie 1. Il campo magnetico prodotto da una carica in moto uniforme 2. La prima formula di Laplace 3. Legge di Biot-Savart 4. Forza agente tra cariche in moto 5. Denizione di Ampre Chapter 9. La legge di Faraday 1. Induzione in un circuito in moto 2. La legge di Lenz 3. Autoinduttanza ed induttanza 4. Esempi 5. Lenergia magnetica: elementi 6. Il circuiti LC 7. Esempi Chapter 10. La circuitazione e il usso del campo magnetico 1. Circuitazione di B: il teorema di Ampre 2. Esempi 3. La corrente di spostamento di Maxwell 4. Il usso di B attraverso una supercie chiusa Appendix A. Appendice

PrefazioneLorganizzazione di queste dispense tiene conto sia del numero di ore in cui erogare le lezioni tradizionali sia le conoscenze dello studente che segue il corso. Il modulo di Fisica II consta di 30 ore di lezioni e 30 di esercitazioni. Rispetto ad un corso tradizionale siamo ad appena un terzo delle ore frontali che una volta gli studenti di Ingegneria ricevevano. Inoltre gli studenti avendo solo svolto il corso di Calcolo 1, non sarebbero in grado di comprendere una formulazione locale del campo elettromagnetico. Con questi presupposti il corso deve essere necessariamente un corso di Elettricit e Magnetismo. In realt, come per il corso di Fisica I lo scopo dei due corsi quello di fornire agli studenti le sole conoscenze di Fisica di base, indispensabili per arontare i corsi della nuova laurea. Il corso allora una semplice introduzione alle quattro leggi fondamentali dellelettricit e Magnetismo nel vuoto. Ogni approfondimento sulla corrente continua e non, sui conduttori, sui dielettrici, sul magnetismo nella materia e sulla formulazione locale dei campi dovr essere arontata in altri corsi del primo triennio o in alcuni del secondo biennio.

v

CHAPTER 1

Il campo elettrostaticoLa conoscenza dei fenomeni elettrici e magnetici, nella forma presentata in questo corso relativamente recente. Tuttavia, conoscenze di fenomeni legati allelettricit ed al magnetismo erano noti anche ai popoli della Grecia. Infatti, questi popoli conoscevano la resina fossile, detta ambra e la magnetite. Per arrivare ad una prima conoscenza dei fenomeni magnetici come li intendiamo oggi bisogna attendere il libro dellinglese William Gilbert, del 1600. In esso si parla del magnetismo terrestre e dellorientamento degli aghi magnetici, nonch dellelettricit per stronio. La nascita dellelettricit moderna si fonda, in ogni caso, sui lavori del francese Charles Augustin Coulomb (1736-1806). La storia dellelettricit e del magnetismo, come tutte le storie relative al progresso della conoscenza umana non mai il contributo di pochi ed dicile compendiare gli sforzi dei molti che ci hanno consegnato i loro risultati. Vogliamo solo rilevare ora che la storia dellelettricit e del magnetismo si mescolata con la storia della costituzione della materia e con la storia della natura della luce. Nel corso di questo corso incontreremo alcuni dei protagonisti ed il lavoro da essi svolto. Non procederemo in maniera storica, perch questo approccio non spetta a questo corso, ma partiremo quasi dalla ne, ovvero dalla costituzione della materia, in una forma semplicata. Tutti i corpi sono costituiti di atomi. Gli atomi sono costituiti da un nucleo, ove risiedono i neutroni ed i protoni, e da elettroni che sono localizzati intorno al nucleo. Questo modello fu proposto nel 1917 dallinglese Rutherford e dal danese Bohr. Elettroni e protoni posseggono una carica elettrica, che indicheremo con qe e qp . Per convenzione, la carica dellelettrone stata assunta negativa. Il protone, possiede una carica di valore pari alla carica dellelettrone ma di segno opposto. La carica dellelettrone e del protone detta carica fondamentale ed il suo valore, , qe = 1, 6 1019 C qp = 1, 6 1019 C

dove C sta per Coulomb, ed lunit di misura della carica elettrica, nel Sistema Internazionale. Un corpo carico quando vi un eccesso di cariche positive o negative. Tutti i corpi carichi risultano avere una carica che un multiplo della carica fondamentale. Lelettrone fu scoperto nel 1897 dallinglese Joseph John Thomson (1856-1940).

1. La legge di Coulomb Il contributo pi rilevante di Coulomb stato la determinazione, per via sperimentale, di quella che oggi nota come legge di Coulomb (1785). La legge di1

2

1. IL CAM PO ELETTROSTATICO

Coulomb stabilisce che due corpi carichi puntiformi, posti nel vuoto ad una distanza r, esercitano luno sullaltro una forza la cui intensit, data da F0 = k0 Q1 Q2 r2

dove Q1 e Q2 sono le cariche possedute dai corpi e k0 una costante, detta costante di Coulomb, che nel Sistema Internazionale vale circa k0 = 9 109 N m2 C2

La direzione della forza F0 lungo la congiungente i due corpi e risulta attrattiva,se le due cariche sono di segno opposto,e repulsiva, se sono dello stesso segno:

Nel Sistema Internazionale si usa riscrivere la costante k0 nel modo seguente k0 = 1 4 0

dove 0 una costante, detta costante dielettrica del vuoto, (o permettivit assoluta del vuoto). Il suo valore, nel Sistema Internazionale circa = 8, 9 1012 C2 N m2

0

1.1. Il campo coulombiano. Si considerino due cariche puntiformi, Q e q ed un sistema di riferimento con lorigine sulla carica Q. Secondo la legge di Coulomb, sulla carica puntiforme q verr esercitata, da parte della carica puntiforme Q, una forza la cui espressione Qq ur r2

(1)

F0 = k0

dove ur il versore del vettore posizione ur = r r

Nella (1) il segno positivo va preso se le due cariche sono dello stesso segno, mentre il segno negativo va preso se le due cariche hanno segno opposto.

1. LA LEGGE DI COULOM B

3

Assumeremo, in tutta la restante sezione che entrambe le cariche siano positive. Il vettore (2a) E= F0 q

detto campo elettrico generato dalla carica Q. Usando la (1), possiamo ottenere la forma esplicita del campo: (2b) Q ur r2 Come si vede, il campo elettrico dipende dalla carica Q e dalla distanza dove abbiamo posto la carica Q. E = k0

Indipendentemente dalla presenza eettiva della carica q, ad ogni punto dello spazio intorno alla carica Q si pu associare un vettore, la cui direzione lungo la congiungente la carica Q e la carica q, il cui verso quello del versore posizione e la cui intensit data da (3) Q r2 Linsieme dei vettori associabili ai punti dello spazio, con le modalit appena descritte, costituiscono il campo coulombiano della carica puntiforme Q. Lunit di misura del campo elettrico quella di una forza per unit di carica E = k0

4

1. IL CAM PO ELETTROSTATICO

E=

[f orza] N = [carica] C

Un tipico valore del campo elettrico 104 N/C. Il campo coulombiano generato dalla carica Q non dipende dalla carica q. Tuttavia, per misurare il campo coulombiano E0 , dobbiamo, secondo la (2), prima conoscere la forza F0 agente sulla carica q e poi dividere la forza stessa per il valore della carica q. Per evitare che ci sia una dipendenza dalla carica q usata, per determinare il campo coulombiano, occorre che la carica q sia una carica di prova. Per carica di prova si intende una carica che sia puntiforme e sucientemente piccola paragonata con Q, in maniera tale che il campo coulombiano di Q non sia modicato apprezzabilmente dalla carica di prova. Allora, possiamo scrivere (4) E= F0 Q = k0 2 ur q r q > R

Ma IR2 il momento di dipolo magnetico dI della spira, per cui possiamo scrivere (d) 0 dI x >> R 2 x3 che va confrontato con lanalogo del campo elettrico generato, da un dipolo elettrico, a grande distanza dal dipolo. Esempio 5: Il campo magnetico lungo lasse di un solenoide B=

Il solenoide costituito da un insieme di spire circolari. Si pu pensare il campo come la somma dei campi prodotti dalle singole spire. pi esattamente, il campo risultante uguale al campo prodotto da una distribuzione continua di spire, percorse dalla stessa corrente. Se si prende la formula (a) B= 0 R2 I 2 (R2 + x2 )3/2

del precedente esercizio, si vede che dobbiamo prima valutare il campo prodotto dalle spire che sono contenute nel tratto (x, x + dx). Lunica quantit che varia nella (a) la corrente prodotta dalle spire contenute nel tratto considerato. Poich la densit lineare delle spire costante e vale n = N/L la corrente prodotta dalle spire contenute nel tratto considerato sar (b) dI = nIdx

130

8. CAM PI M AGNETICI PRODOTTI DA CORRENTI STAZIONARIE

per cui, il campo prodotto dalle spire nel tratto considerato diventa (c) Il campo risultante sar B=n 0 I 2 Zx2

dB = n

R2 0 dx I 2 (R2 + x2 )3/2

R2 (R2 + x2 )3/2

dx

x1

Conviene passare alla variabile angolare x = R tan Otterremo (d) B=n 0 I 2 Z2

dx = R sec2 d

cos d = n

1

0 I (sin 2 sin 1 ) 2

Se assumiamo P al centro del solenoide e si assume il solenoide rettiline indenito (R molto piccolo rispetto ad L) gli angoli tendono a /2 e /2 ed il risultato diventa (e) B = 0 nI

Il campo allinterno di un solenoide rettilineo indenito, il campo magnetico praticamente costante ovunque e risulta proporzionale alla densit lineare delle spire e alla corrente che circola nelle spire. 4. Forza agente tra cariche in moto Possiamo pensare di utilizzare la forza di Lorentz e la legge del campo generato da una carica in moto lento ed uniforme, per calcolare le forza, che reciprocamente si inducono due cariche in moto uniforme e lento. Supponiamo, per semplicit di calcolo, che la carica positiva Q0 , in moto con velocit costante v0 , allistante t, sia nellorigine degli assi, ed il verso della corrente sia lungo la direzione positiva dellasse x. Inoltre, consideriamo i seguenti tre casi per la carica Q, che supporremo sempre positiva e posta, sullasse y, ad una distanza r, dallorigine. I tre casi si distingueranno per la direzione e verso della velocit v. 4.1. Caso a: v parallela a v0 . Per calcorale la forza agente su Q, e prodotta da Q0 abbiamo bisogno della forza di Lorentz (14) FQ (r) = Qv B0 (r)

dove E0 (r) il campo coulombiano che, allistante t, la carica Q0 genera nel punto P, dove posta la carica Q. Il campo prodotto dalla carica Q0 nel punto P : (15) B0 (r) = 0 0 v0 E0 (r)

4. FORZA AGENTE TRA CARICHE IN M OTO

131

Il campo dipende dalla posizione istantanea della carica Q0 . Poich le due cariche sono entrambe positive, il campo E0 (r) diretto lungo la direzione positiva dellasse y. Poich v0 nella direzione dellasse x, il campo magnetico B0 (r) diretto lungo lasse z. v0 = v0 ux E0 (r) = E 0 uy B0 (r) = B 0 uz

Possiamo ora sapere la direzione della forza FQ (r): Poich v nella direzione posiutiva dellasse x e B0 (r) diretto lungo lasse z, la forza FQ (r) diretta lungo lasse y, ma con verso opposto alla direzione positiva dellasse. (16) v = vux B0 (r) = B 0 uz FQ (r) = FQ uy

Per calcolare la forza che agisce si Q0 e prodotta dalla carica Q, dobbiamo riusare la forza di Lorentz: (17) dove: (18) B (0) = 0 0 v E (0) FQ0 (0) = Q0 v0 B (0)

Qui, E il campo elettrico generato dalla carica Q nellorigine degli assi, in cui posta la carica Q0 . Quindi v = vux per cui (19) E (0) = Euy B (0) = Buz

FQ0 (0) = FQ0 uy

Poich si pu mostrare che le due forze sono di pari intensit, in questo caso le due forze obbediscono alla terza legge di Newton. Se le due particelle invece di avere velocit parallele avessero avuto velocit antiparallele, invece di essere attrattive le forze sarebbero state repulsive. Ma in ogni caso, le due forze rimanevano newtoniane.

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8. CAM PI M AGNETICI PRODOTTI DA CORRENTI STAZIONARIE

4.2. Caso b: v ortogonale a v0 . 1) Supponiamo che la carica Q0 abbia le stesse caratteristiche del caso a, mentre invece la direzione ed il verso della carica Q siano nella direzione positiva dellasse y. Poich, non sono cambiati i seguenti vettori, v0 = v0 ux E0 (r) = E 0 uy B0 (r) = B 0 uz

la forza agente sulla carica Q,

(20) sar diretta lungo lasse x

FQ (r) = Qv B0 (r)

.

2) Se supponiamo che la carica Q sia diretta lungo lsse z, allora la forza agente su tale carica (21) FQ (r) = Qv B0 (r)

risulter nulla, perch la velocit ed il campo magnetico sono paralleli. In conclusione, con la sola eccezione di velocit parallele o antiparallele, la forza di Lorentz non obbedisce alla terza legge di Newton. Questo carattere non newtoniano ha creato non pochi problemi alla forza di Lorentz. Solo la constatazione che la terza legge di Newton in contrasto con la propagazione nita delle interazioni, ha ristabilito limportanza di tale forza.

5. Denizione di Ampre Molto prima della scoperta della forza di Lorentz, nel 1820 circa il francese Andr Marie Ampre (1775-1836) rilev che due li percorsi da corrente si attraggono o si respingono. Si considerino due conduttori paralleli, rettilinei, di lunghezza innita e di sezione trasversale trascurabile, posti nel vuoto, ad un distanza di un metro. I due conduttori giacciono nel piano yz e le correnti sono dirette lungo lasse z. Indicheremo con 1 e 2 i due conduttori.

5. DEFINIZIONE DI AM PRE

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Lintensit del campo, che indicheremo con B1 , prodotto dal conduttore 1 in un punto qualunque del conduttore 2 dato dalla legge di Biot-Savart: (22) 0 I1 2 d se d la distanza tra i due conduttori. La direzione del campo quella dellasse x ed il suo verso nella direzione negativa dellasse x. Ora guardiamo il secondo lo immerso nel campo B1 . La forza magnetica agente su ciascun elemento l2 , per la seconda legge di Laplace sar B1 = (23) Fl

CHAPTER 9

La legge di FaradayIn un precedente capitolo abbiamo analizzato lazione di un campo magnetico costante su di un circuito percorso da corrente. In questo capitolo, vogliamo analizzare la possibilit da parte del campo magnetico di generare una corrente. Abbiamo visto che per generare una corrente occorre porre in un circuito una batteria (generatore di corrente). E la batteria, che mediante la sua energia chimica fornisce, lenergia alle cariche per farle compiere il giro del circuito. Non a caso abbiamo caratterizzato la batteria mediante una forza elettromotrice Vf en (energia per unit di carica). Ancora, possiamo dire che la batteria che genera il campo elettrico che muove le cariche nei conduttori. La questione che ora vogliamo analizzare se, per esempio, un campo magnetico esterno possa generare un campo elettrico in un conduttore e questi a sua volta possa far muovere i portatori e generare una corrente. In altre parole, oltre alle batterie, esistono dei meccanismi che possano mettere in moto i portatori di carica nei conduttori. La risposta a questa domanda fu trovata dallinglese Michael Faraday (1791-1867) che nel 1831 esegu e quantic il seguente esperimento. Supponiamo di avere un circuito, nel quale inseriamo un galvanometro, ma nel quale non presente alcun generatore di corrente (gura a sinistra).

Non essendoci alcuna sorgente di energia (forza elettromotrice) non dovremmo avere alcun passaggio di corrente. Infatti il galvanometro non segna alcuna corrente. Prendiamo ora un magnete naturale ed avviciniamolo al circuito (gura a centro); Se facessimo un tale esperimento osserveremmo che il galvanometro segna il passaggio di una corrente. Allo stesso identico risulta giungeremmo se avvicinassimo il circuito al magnete (gura a destra). Potremmo allora pensare che il qualche modo si prodotta nel circuito una forza elettromotrice, che diremo indotta che consente il passaggio di corrente nel circuito:

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136

9. LA LEGGE DI FARADAY

Modichiamo un poco lesperimento. Supponiamo che inizialmente il circuito ed il magnete siano vicini ma fermi. Nel circuito non passa alcuna corrente, come si potrebbe vedere dal galvanometro. Se ora si allontana o il magnete o il circuito, nch vi un moto relativo tra i due, il galvanometro segna una corrente, ma di segno opposto alla precedente:

Tutto accade come se vi fosse una forza elettromotrice (indotta) ma di segno opposto nel circuito. Il risultato complessivo di tutti gli esperimenti sintetizzabile dalla seguente aermazione: Finch il magnete ed il circuito sono in moto relativo, appare una forza elettromotrice indotta nel circuito che genera un passaggio di corrente. Discutiamo ancora un esperimento. Si abbia un magnete naturale (per esempio, un anello di ferro) a forma di ciambella.

Da un lato(a destra) avvolto un circuito, con una batteria inserita (circuito primario), mentre dallaltro lato (a sinistra) abbiamo un circuito (circuito secondario) senza batteria ma con un galvanometro inserito. Quando si chiude il circuito primario appare nel secondario una corrente, che diventa di segno opposto quando si riapre il circuito primario. Poich, nel secondo circuito cambiato solo il campo


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magnete possiamo concludere dicendo che quando un circuito immerso in un campo magnetico variabile, si genera in esso una forza elettromotrice indotta. La conclusione alla domanda di partenza di partenza che un campo magnetico per poter generare una corrente deve essere variabile. Ma non la semplice variazione del campo a generare la corrente indotta, ma la risposta quella trovata per primo da Faraday. Egli, infatti giunse alla seguente conclusione generale (legge di Faraday): la corrente elettrica indotta in un circuito, in presenza di un campo magnetico, proporzianale al numero di linee di forza del campo che attraversano il circuito nellunit di tempo. Parlare di corrente indotta signica anche parlare di forza elettromotrice indotta Vfind . Infatti, se R la resistenza del circuito avremo sempre em (1) Vfind em R Daltra parte, il vantaggio di parlare di forza elettromotrice nel suo legame diretto con il campo elettrico indotto. Infatti, se indichiamo con l il generico circuito potremo scrivere I ind (2) Vf em = E dl I ind =l

dove E il campo elettrico indotto. Ed in termini della forza elettromotrice indotta che Newmann e Lenz formularono quantitativamente la legge di Faraday. La legge di Faraday, tradotta in linguaggio matematico dice che la forza elettromotrice indotta in un circuito l uguale alla variazione, col segno cambiato, del usso del campo magnetico,concatenato con il circuito: (3) I d E dl = dt l Z B ua d a2

al

dove al una qualunque supercie che abbia l per contorno. La prima considerazione che viene di fare quella che non sono i campi magnetici stazionari a generare le correnti ma i campi variabili e che dobbiamo aspettarci sempre unassociazione tra campo magnetici variabili (secondo membro) e campi elettrici variabili (primo membro). La legge (3) la prima legge esplicita dellelettromagnetismo. Dobbiamo usare, per la prima volta la parola elettromagnetismo, e non elettricit o magnetismo, perch essa collega per la prima volta il campo magnetico (attraverso la variazione del suo usso) alla variazione del campo elettrico (variazione del campo elettrico lungo un circuito-percorso). In altre parole, per la prima volta, si evidenzia che una variazione di un campo magnetico genera una variazione del campo elettrico. Inne, osserviamo in maniera esplicita, che il campo elettrico, in generale, non pi conservativo: I E dl 6= 0 La forza elettromotrice indotta , ai ni della corrente che percorre un circuito, esattamente uguale alla f.e.m. di una batteria, per cui se nel circuito presente anche una batteria, bisogner sommare algebricamente le dierenti forze elettromotrici. Allora, il campo elettrico, sar in generale fatto di una parte la cui origine dovuta ad una distribuzione di carica ed una parte la cui origine dovr essere

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legata a variazioni di usso di campo magnetico attraverso la supercie concatenata, con il circuito. 1. Induzione in un circuito in moto Nel precedente paragrafo per spiegare il moto degli elettroni in un circuito (corrente) abbiamo fatto ricorso ad un campo elettrico indotto. Ora mostreremo che la stessa legge pu essere spiegata facendo ricorso alla forza di Lorentz, almeno nel caso in esame. Supponiamo di avere un circuito poggiato nel piano xy (vedi Figura) immerso in un campo di induzione magnetica B uniforme, diretto lungo la direzione dellasse z. Il tratto AB di lunghezza l, si pu spostare, nel piano xy, senza attrito.

Supponiamo che nellintervallo di tempo innitesimo dt, il tratto compreso tra A e B si sposti con velocit v verso destra, nella direzione positiva dellasse y. Lo spostamento innitesimo subito dal tratto AB sar stato dr = vdt. Quando il tratto AB si sposta, anche gli elettroni di conduzione si spostano con velocit v e la forza di Lorentz F = qe vB agisce su di loro e li sposta, nel verso che va da B ad A (qe = e) (per convenzione, una corrente antioraria, verso ABCD, deve circolare nel circuito). Per capire quello che accade facciamo un passo indietro e supponiamo di trattare il lato del circuito che si sposta come se fosse isolato dal resto del circuito. Allora, la forza di Lorentz tenderebbe ad accumulare nellestremo A degli elettroni (e delle cariche positive sullestremo B). Tra i punti A e B si genera una dierenza di potenziale (forza elettromotrice indotta). Ci che accaduto nora si pu sintetizzare nel modo seguente. Abbiamo spostato un pezzo di metallo (fatto un lavoro). Poich siamo in un campo magnetico, viene indotta ai capi della barretta una forza elettromotrice. Abbiamo trasformato, mediante la presenza del campo magnetico un lavoro meccanico in una dierenza di potenziale, quindi in una possibilit di utilizzo elettrico dello stesso. Infatti, se ora poggiamo il tratto di circuito tra A e B sul resto del circuito passa una corrente, che in parte dissiper lenergia in eetto Joule ma una parte pu comunque essere utilizzata ( nato il motore elettrico!). Riguardiamo quantitativamente quello che sta succedendo. La forza magnetica genera la dierenza di potenziale indotta ai capi A e B. Questa dierenza a sua volta genera un campo elettrico indotto E che si opporr alla forza magnetica, ovvero qe E = qe vB la dierenza di potenziale tra A e B , equindi tra due punti qualunque del circuito, sar data da

2. LA LEGGE DI LENZ

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(4)

El = vBl

Mostriamo ora che il secondo membro indica una variazione di usso concatenato con il circuito. La variazione innitesima del usso concatenato con il circuito, poich il campo uniforme, dipender solo dalla variazione innitesima della supercie, d2 a = lvdt , (ovvero, in termini vettoriale, d2 auz = dr dl ) e quindi si avr d (B) = B ua d2 a = Bd2 a = Blvdt dove il segno meno deriva dal fatto che il verso della corrente indotta, verso ABCD, tale che la supercie spazzata ha una direzione positiva opposta al campo (usare la regola di percorrenza del bordo). Si pu anche dire che, la corrente indotta genera un campo magnetico indotto che tende di opporsi alla variazione del usso (vedi legge di Lenz, sotto). La variazione, nellunit di tempo, del usso concatenato sar: (5) d dt Z B ua d2 a = Blv Z B ua d2 a

al

Ponendo insieme la (4) e (la (5) troviamo (6) El = d dt

al

Poich il tratto parte di un circuito, possiamo dire che si generata una f.e.m. indotta , Vfind che sar data da: em Z I d (7) E dl = B ua d2 a dt al l Abbiamo cos mostrato che, nel caso di circuito in moto, la legge di Faraday deducibile dalla forza di Lorentz. Tuttavia, siccome il solo caso in cui ci avviene, dobbiamo concludere che comunque la legge di Faraday una legge fondamentale dellelettromagnetismo. 2. La legge di Lenz Il modo pi semplice di determinare la polarit della f.e.m indotta deducibile dalla legge di Lenz: la f.e.m indotta ha una polarit tale da opporsi sempre alla causa che lha prodotta. In termini di corrente, si pu dire che la direzione della corrente indotta sempre tale da produrre un campo magnetico che si oppone alla variazione di usso che lha generata (legge di Lenz ). Lesempio dato nel precedente paragrafo molto signicativo e noi ora lo approfondiremo. Mostriamo che nel caso del circuito in moto, il campo indotto, genera una forza che tende a frenare il moto del tratto di circuito in movimento, responsabile della corrente indotta stessa. Sappiamo che il tratto AB ha lunghezza l, ma ora aggiungiamo ad esso una resistenza R ed una massa M . La corrente indotta, che nata quando abbiamo mosso il lo verso destra, diretta nel verso che va da A a B (direzione positiva dellasse x). Il campo magnetico nella direzione positiva dellasse z, quindi la forza di Laplace agente su tale lo sar, con le scelte fatte,

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(a)

F = I ind lBuy

La forza nella direzione opposta al movimento del tratto di lo e quindi tende a frenare il movimento. Se si trascura lautoinduzione e lattrito tra i li possiamo scrivere M v = I ind lB e poich I ind = troviamo l2 B 2 v R Vfind Blv em = R R

Mv = da cui

(b)

2 2 l B t vx (t) = vx (0) exp MR La velocit si sar dimezzata dopo un tempo 2 2 l B vx (0) = vx (0) exp t 2 MR ovvero t1/2 = MR ln 2 l2 B 2

3. Autoinduttanza ed induttanza Se il usso di B concatenato con un circuito varia, la legge di Faraday ci dice che nel circuito si genera un campo elettrico indotto, e quindi una f.e.m. indotta che tende a ridurre leetto della variazione del usso secondo la seguente legge: d = dt Z B ua d a2

(8)

Vfind em

al

Consideriamo ora un singolo circuito (si pensi ad una spira circolare) percorso da corrente I. Se la corrente subisce una variazione, il usso del campo B, generato dalla stessa corrente, concatenato con lo stesso circuito varier.

3. AUTOINDUTTANZA ED INDUTTANZA

141

Anche in questo caso nel circuito si generer una f.e.m. indotta (ora detta autoindotta) che tender di ostacolare la variazione del usso concatenato. Si dimostra che il usso di B, concatenato con il circuito, risulta essere sempre proporzionale alla corrente che circola ad un dato istante nel circuito stesso: (9) Z B ua d2 a = LI

al

dove L un coeciente che dipende solo dalla geometria del circuito. Tale coeciente detto induttanza (o autoinduttanza) del circuito. Allora, la legge di Faraday pu assumere una forma dierente: Vfind = L em dI dt

(10)

ovvero, la f.e.m. autoindotta, in un circuito in cui circola una corrente, proporzionale alla variazione della corrente che circola nel circuito. Linduttanza L si misura in Henry (H): L = H = s LHenry un valore piuttosto grande di induttanza: i valori delle induttanze di uso frequente sono comprese tra i valori H = 106 H e mH = 103 H. Si abbiano ora due circuiti separati (due spire circolari) percorsi da correnti I1 e I2 :

142


Se varia la corrente che circola nel circuito 1, il usso concatenato con il secondo circuito varier. Si dimostra che, il usso concatenato con il circuito 2 risulta proporzionale alla corrente I1 (11) Z B1 ua d2 a = L21 I1

a2

dove il coeciente, (detto di mutua induzione) dipende solo dalla natura geometrica dei due circuiti. In maniera analoga, al variare della corrente I2 , nel circuito 1 varier il usso concatenato e si dimostra che (12) Z B2 ua d2 a = L12 I2

a1

dove il coeciente di mutua induzione dipende solo dalla geometria dei due circuiti, anzi si verica che L21 = L12 . Anche i coecienti di mutua induzione si misurano in Henry. 4. Esempi Esempio: Determinare linduttanza di un solenoide rettilineo ideale di lunghezza l costituito da N spire.

Per ciascuna spira del solenoide possiamo assumere che il usso concatenato (B) sia lo stesso. Allora, il usso concatenato con tutto il solenoide sar N (B) per cui, se con L indichiamo linduttanza del solenoide, avremo (a) N l (B) = LI

dove I la corrente che circola nel solenoide. Allora, (b) L= N (B) I

Se con a indichiamo la sezione interna del solenoide, il usso di B, (B costante ed ortogonale alla sezione) attraverso una spira qualunque sar (c) (B) = Ba

4. ESEM PI

143

Il campo magnetico nel solenoide rettilineo indenito ideale (vedi capitolo sulla legge di Ampre-Maxwell) (d) B = 0 nI

dove n = N/l, la densit lineare delle spire. Allora, la (c) diventa (e) (B) = 0 nIa

e linduttanza, espressa dalla (b), diventent N 0 nIa = 0 n2 al I Linduttanza proporzionale al quadrato della densit lineare delle spire (n2 ) ed al suo volume (al) interno. Esempio 2: Cosa sta succedendo nel circuito? Il prodotto di R per la corrente che uisce nel circuito uguale alla somma delle f.e.m. presenti nel circuito, quindi: (f) L= RI = Vf em + Vfind em da cui (g) RI = Vf em L dI dt

dove Vf em la f.e.m. del generatore e Vfind quella indotta. La soluzione di tale em equazione (vedi la carica di un condensatore) (h) I (t) = Vf em [1 exp (t/ )] R

dove abbiamo introdotto il tempo (i) L R

La corrente allinizio cresce rapidamente, poi rallenta e poi tende al valore nale Vf em /R. Arrivato al valore nale, noi potremmo togliere f.e.m. esterna (generatore) e vedere in quanto tempo il circuito scarica lenergia accumulata. Il circuito, senza la f.e.m. esterna verica la seguente equazione (l) L dI + RI = 0 dt

con la condizione iniziale (il valore nale ora valore iniziale)

144


(m)

I0 =

Vf em R

La soluzione della nostra equazione (n) Vf em R I (t) = exp t R L

Lintensit di corrente si smorza esponenzialmente. Gli induttori sono costituiti da solenoidi ed il loro simbolo

5. Lenergia magnetica: elementi La similarit tra il condensatore per il campo elettrico e linduttore per il campo magnetico, ci inducono a pensare che anche nellinduttore viene immagazzinata dellenergia magnetica. Sul piano della descrizione qualitativa possiamo dire che quando un generatore esterno inizia ad erogare corrente nel circuito, la f.e.m indotta si oppone allaumento di corrente e quindi il generatore deve compiere un lavoro per vincere lopposizione della f.e.m. indotta. Questo lavoro si trasformer in energia immagazzinata nellinduttore e pu essere ripresa, quando si toglie il generatore esterno. Passiamo al calcolo diretto. Quando la corrente cresce con una rapidit pari a dI/dt, la f.e.m. indotta, Vfind data em (13) Vfind = L em dI dt

Se moltiplichiamo per I tale espressione otteniamo il lavoro per unit di tempo compiuto dallinduttore: IVfind = IL em dI dt

quindi lenergia immagazzinata per unit di tempo (14) ovvero dU = ILdI che integrata, con I (t = 0) = 0, dar dU dI = IL dt dt

5. LENERGIA M AGNETICA: ELEM ENTI

145

(15)

U=

1 2 LI 2

Una tale espressione pu essere usata facilmente per una verica sperimentale. Per il condensatore avevamo trovato U = Q2 /2C. Poich L = (B) /I, avremo una seconda forma per lenergia magnetica 1 (B) I 2

(16)

U=

5.1. La densit di energia magnetica. Lespressione dellinduttanza di un solenoide rettilineo indenito ideale verr calcolate negli esempi e si trover: (17) L = 0 n2 al

dove 0 la permeabilit magnetica del vuoto, n la densit lineare delle spire del solenoide, a la sezione interna del solenoide ed l la sua lunghezza. Sostituendo la (17) nella (15) troviamo 1 n2 I 2 (al) 2 0

(18)

U=

Poich il campo B, allinterno di un solenoide rettilineo indenito ideale, (19) la (18) diventa B2 al 20 B = 0 nI

(20)

U=

La (20) suggerisce di interpretare la quantit B2 20

(21)

uB =

come una densit di energia magnetostatica (energia per unit di volume). Possiamo dire che per ogni volume unitario, interno al solenoide, vi una quantit di energia che proporzionale al quadrato del campo B. Questo risultato ha una validit generale: in ogni punto dello spazio in cui presente un campo di induzione magneta si pu pensare immagazzinata unenergia per unit di volume espressa dalla (21).

146


6. Il circuiti LC Supponiamo di avere in serie un induttore ed una capacit. Se il condensatore inizialmente carico, possiamo immaginare che a partire da un certo istante iniziale, inizier a uire una corrente. Lequazione di Kirchho, in presenza anche di una resistenza, sarebbe (a) RI = V L dI dt

si riduce, specicando la dierenza di potenziale ai capi del condensatore, = qC, a (b) che scritta per la carica q d2 q + =0 2 dt C L q dI + =0 dt C

(c)

L

Se confrontiamo tale equazione con quella per loscillatore armonico semplice (particella che legata ad una molla su di un piano senza attrito) d2 x + kx = 0 dt2

(d)

M

vediamo che (x > q; k > 1/C ed M > L) possiamo subito scrivere la soluzione come segue: (e) dove abbiamo posto (f) 1 0 LC q (t) = q0 cos ( 0 t + )

Quello che succede nel circuito la seguente cosa: Alternativamente, le armature del condensatore si caricano di cariche di segno opposto, e ci avviene no a quando la carica di un certo segno non si trasferita sullarmatura opposta a quella dove era inizialmente. Dopo di ch, si inverte il processo, che in assenza di attrito (la resistenza!), oscillerebbe per sempre. Se al tempo iniziale q (t = 0) = q0 , la fase iniziale pu essere posta uguale a zero, e la soluzione diventa: (g) q (t) = q0 cos ( 0 t)

7. ESEM PI

147

In tal caso, la corrente si evolve nel tempo secondo la seguente legge: q0 sin I (t) = LC t LC

(h)

7. Esempi Esempio 1: Si abbia una spira quadrata, ferma, in un campo magnetico uniforme, ma variabile nel corso del tempo, secondo la legge (1) B = B0 sin (t) La spira nel piano xy e la direzione ed il verso del campo sono lungo lasse z.

Poich il circuiro fermo, la derivata temporale si pu portare dentro lintegrale ed applicarla solo al campo (2) ovvero, esplicitando I E dl = [B0 sin (t)] uz ua d2 a t al Z uz uz d2 a = B0 cos (t)al

I

l

E dl =

Z

al

B ua d2 a t

l

Z

= B0 cos (t) al

Se la spira, non nel piano xy, ma forma un angolo con lasse z, allora uz ua = cos ed il precedente risultato diventa (3) I E dl = B0 cos cos (t) al

l

Esempio 2: Consideriamo una spira quadrata, inizialmente a riposo, nel piano xy, ma poi ruotante, intorno allasse x, con velocit angolare 0 . Il campo B nella direzione positiva dellasse z, ed costante ed uniforme, B = B0 .

148


Se la spira inizialmente nel piano xy, langolo che la spira forma con il piano xy (o equivalentemente langolo che la normale alla supercie forma con lasse z) si scriver (1) La legge di Faraday, si scrive I d E dl = dt l Z B ua d a2

= 0 t

al

ed il usso di B, attraverso larea variabile sar (2) per cui (3) I E dl = d (B0 al cos ( 0 t)) = B0 al 0 sin ( 0 t) dt Z B ua d2 a = B0 al cos ( 0 t)

al

l

Esempio 3: Si abbia una spira quadrata, inizialmente ferma nel pianoxy. Successivamente inizia a ruotare intorno allasse x, con velocit angolare 0 , ed immersa in un campo magnetico variabile, diretto lungo lasse z, la cui legge (1) B (t) = B0 sin (t)

7. ESEM PI

149

Rispetto al precedente esempio avremo (2) La legge di Faraday, si scrive I E dl = d dt Z B ua d2 a = 0 t

l

al

ed il usso di B, attraverso larea variabile sar (3) per cui (4) I E dl = I Z

al

B ua d2 a = B (t) al cos ( 0 t)

l

d dB (t) (B (t) al cos ( 0 t)) = al cos ( 0 t) + B (t) al 0 sin ( 0 t) dt dt

che esplicitata diventa (5) E dl = B0 cos (t) al cos ( 0 t) + B0 sin (t) al 0 sin ( 0 t)

l

e se = 0 , avremo I E dl = B0 al [cos (t) cos (t) sin (t) sin (t)] = B0 al cos (2t) (6)

l

Esempio 4: Un conduttore di un metro si muove, nel piano xy, parallelamente allasse x con velocit V = 2, 50uy m/s. Sapendo che esso si muove in un campo uniforme e costante, diretto lungo lasse z, B = 0, 50uz T , trovare la forza elettromotrice indotta ai capi del conduttore.

Abbiamo visto che per il circuito in moto d (B) = BlV dt che, esplicitamente calcolato, diventa

150


d (B) = 1, 25V dt Esempio 5: Trovare la forza elettromotrice indotta, in un conduttore rettilineo, lungo 2 metri, immerso in un campo magnetico uniforme e costante, B = 0, 50uy T , che si muove nella direzione dellasse z, con una velocit v = 2, 50 sin 102 t uz m/s,

Poich il circuito in moto E = v B = 1, 25 sin 102 t ux E dl = Z2

Allora I

l

0

Esempio 6: Un conduttore liforme posto nel piano xy, e racchiude una supercie di 0, 50m2 . Il conduttore immerso in un campo uniforme, ma variabile, secondo la seguente legge B = 0, 02 cos 102 t [uy + uz ]

1, 25 sin 102 t ux ux dx = 2, 50 sin 102 t V

Poich, il circuito fermo, la legge di Faraday, si scrive I E dl = Z B ua d2 a t

l

al

e

7. ESEM PI

151

avremo I

B = 2 sin 102 t [uy + uz ] t E dl = Zal

ua d2 a = uz d2 a

l

2 sin 102 t d2 a = 2 sin 102 t al = sin 102 t V

CHAPTER 10

La circuitazione e il usso del campo magneticoAbbiamo gia detto che per determinare completamente un campo vettoriale dobbiamo dare il valore della sua circuitazione ed il usso del campo attraverso una supercie chiusa. In questo capitolo determineremo sia la circuitazione sia il usso. Incominceremo con la circuitazione del campo magnetico. Divideremo il risultato in due parti. Nella prima ci limiteremo alle correnti stazionarie ed il risultato che otterremo va sotto il nome di teorema di Ampre. Nella seconda parte mostreremo la correzione apportata da Maxwell e solo allora il teorema assumer una validit generale e diventer una legge fondamentale dellelettromagnetismo. Inne, parleremo del usso del campo magnetico attraverso una supercie chiusa.

1. Circuitazione di B: il teorema di Ampre Ci limiteremo alla sua dimostrazione nel caso in cui il campo prodotto da un lo rettilineo indenito (campo di Biot-Savart) percorso da corrente stazionaria. Distinguiamo tra due casi. Caso a. Supponiamo che il lo percorso da corrente sia ortogonale al piano ove giace il percorso lungo il quale calcoleremo la circuitazione:

Il percorso non si avvolge intorno al lo. Poich, il percorso non legato al moto di alcuna particella, per non confondere con lo spostamento innitesimo, noi indicheremo con dl il vettore innitesimo, tangente al percorso, in ogni punto, di modulo dl , dove con l , indichiamo il percorso, misurata lungo lo stesso percorso. I tratti 2 e 4 sono nella direzione radiale mentre i tratti 1 e 3 sono parti di circonferenza con raggio rispettivamente uguale a R1 e R3 . Il prodotto scalare nullo nei tratti 2 e 4, quindi non viene alcun contributo da questi due tratti. Nei rimanenti tratti il campo B e lo spostamento innitesimo sono paralleli o antiparalleli, per cui:153

154

10. LA CIRCUITAZIONE E IL FLUSSO DEL CAM PO M AGNETICO

Z

1+3

B dl =

Z

Bdl +

1

Z

3

Bdl = B

Z

dl + B1

Z

3

dl =

0 I I L1 + 0 L3 2 R1 2 R3

dove L1 e L3 sono le lunghezze degli archi delle due circonferenze. Usando la denizione di misura di un arco in radianti, potremo anche scrivere: Z I I B dl = 0 R1 + 0 R3 = 0 2 R1 2 R3 1+3 dove langolo che sottende sia larco 1 che larco 2. Possiamo concludere, dicendo che, per un percorso che non avvolga il lo, la circuitazione nulla, almeno per un campo prodotto da un lo rettilineo indenito. Caso b: Prendiamo ora un circonferenza che giri intorno al lo.

Il tal caso, la circuitazione si calcola anche facilmente e si trova, essendo B e dl paralleli e concordi e B costante su una circonferenza con centro sul li, (2) I B dl = I I Bdl = 0 2 R I dl = 0 I 2R = 0 I 2 R

La circuitazione, quando il percorso avvolge il lo proporzionale alla corrente che uisce nel lo. Se il percorso si avvolge N volte intorno al lo allora (3) I B dl = N 0 I

Sebbene abbiamo dato una dimostrazione in un caso molto semplice lesperienza mostra che i due risultati valgono qualunque sia la forma del circuito percorso da corrente stazionaria che produce il campo e qualunque sia il percorso scelto per la circuitazione. Pi in generale data una qualunque linea chiusa la circuitazione lungo di essa del campo magnetico generato da un sistema comunque complesso di correnti uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate (diremo che un percorso concatenato con un circuito se esso non pu, a causa del circuito percorso dalla corrente, ridursi ad un punto) con la linea, ciascuna corrente essendo presa come positiva (negativa) se uisce in verso concorde (discorde) con quello con cui avanza

2. ESEM PI

155

una vite che giri nel verso ssato sul percorso ed essendo contata tante volte quante volte la linea con essa concatenata. Scriveremo tutto ci come segue: I Xn

(4)

B dl = 0

In

2. Esempi Il teorema di Ampre pu essere usato per determinare il campo magnetico prodotto da da circuiti con particolari simmetrie, come in elettrostatica il teorema di Gauss pu essere utilizzato per determinare il campo elettrico per distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. Vediamo qualche caso: Esempio 1: Si pu ritrovare il campo B prodotto da un filo rettilineo indenito. Si procede in maniera inversa rispetto alla dimostrazione fatta per provare il teorema di Ampre. Assumiamo valido il teorema di Ampre: I

(a)

B dl = 0 I

Per ragioni di simmetria il campo prodotto dal lo in un punto che disti r dal lo sar tangente alla circonferenza di raggio r e centro sul lo. Scegliamo il verso (ovvero la corrente) in maniera tale che il campo sia parallelo allo spostamento innitesimo. Possiamo allora prendere come percorso proprio la circonferenza che passa per il punto P e la precedente relazione diventa

B2r = 0 I da cui

(b)

B=

0 I 2 r

che proprio la legge di Biot-Savart. Esempio 2: Determinare il campo B allinterno di un solenoide rettilineo indenito ideale. Un solenoide costituito da un lo conduttore sottile, avvolto a forma di elica cilindrica, a spire circolari molto numerose e ravvicinate. Il solenoide si pu allora considerare come costituito da tante spire circolari percorse dalla stessa corrente. Per ragioni di simmetria il campo B allinterno di un solenoide rettilineo indenito ideale diretto lungo lasse comune delle spire. Allesterno del solenoide, nelle zone lontane dai bordi il campo talmente debole da potersi considerare nullo.

156


Ci proponiamo di calcolare il campo B sullasse comune delle spire. Useremo il teorema di Ampre per determinare tale campo. Il percorso, lungo il quale calcoleremo la circuitazione quello in gura, dove abbiamo disegnato una sezione longitudinale. La scelta del circuito stata fatta in modo da semplicare il calcolo della circuitazione del campo B: Z I Z Z Z B dl = B dl + B dl + B dl + B dl1 2 3 4

dove abbiamo separato i comtributi alla circuitazione nei quattro tratti. Poich il campo B praticamente nullo allesterno del solenoide, dal tratto 1 vi sar un contributo nullo e sempre nulli saranno i contributi dei tratti 2 e 4 perch il campo B e lo spostamento innitesimo sono ortogonali. Rimane il tratto 3, dove il campo B risulta parallelo e concorde con lo spostamento lungo tutto il tratto. Allora, (c) I B dl = Bl

dove l la lunghezza del tratto del percorso 3. Il teorema di Ampre, se le spire, comprese nel tratto di persorso sono N si scriver (d) I B dl = N 0 I

dove I la corrente che percorre lavvolgimento (e quindi ogni spira). Ponendo insieme la (c) e la (d) troviamo Bl = N 0 I da cui (e) B = n0 I

dove abbiamo introdotto la densit lineare delle spire, n = Nl /l, supposta costante. Possiamo dire che in un solenoide indenito, in tutti i punti dellasse il campo B ha lo stesso valore (modulo, direzione e verso). Tale valore non dipende dal raggio delle spire ma solo dalla corrente e dalla densit lineare delle stesse.

3. LA CORRENTE DI SPOSTAM ENTO DI M AXW ELL

157

Esempio 3: Determinare il campo B allinterno di un solenoide toroidale ideale. Per ragioni di simmetria le linee di forza del campo devono essere circonferenze con centro sullasse della gura toroidale:

Il campo B sar tangente alle circonferenze e costante su ciascuna di esse. La circuitazione, lungo una qualunque circonferenza di raggio r si calcola facilmente e si trova I B dl = 2rB Il teorema di Ampre ci dice che I B dl = N 0 I

dove N sono le spire che costituiscono lavvolgimento. Dalle due equazioni deduciamo: 0 I N 2 r Il campo inversamente proporzionale alla distanza r dal centro della gura toroidale. (f) B= 3. La corrente di spostamento di Maxwell Abbiamo visto nello studio dei campi magnetici variabili, (legge di Faraday) che ad essi sempre associata la comparsa di un campo elettrico variabile (che poi responsabile della corrente indotta). La legge di Ampre sulla circuitazione valida per correnti stazionarie e quindi campi magnetici non variabili nel tempo. In particolare, in regioni in cui non ci sono correnti (per esempio nel vuoto) noi possiamo scrivere I (1) B dl = 0l

Se confrontiamo tale equazione con la legge di faraday Z I d (2) E dl = B ua d2 a dt l al

158


ci accorgiamo di una palese asimmetria. La variazione di un campo magnetico pu generare un campo campo elettrico variabile, ma nella prima equazione manca al secondo membro un termine che ci dica come la variazione di un campo elettrico possa generale un campo magnetico variabile. Ovviamente, questa osservazione, dettata pi dalle conoscenze del poi, non in generale suciente ad aermare lesistenza di un tale termine, ma in questo caso, per maxwell fu uno delle motivazioni che lo spinsero ad indagare sullesistenza delleventuale termine mancante. Ora ci occuperemo della derivazione del termine mancante, ovvero di quella che Maxwell chiam corrente di spostamento. Ai tempi di Maxwell la quasi totalit della comunit dei sici credeva nellesistenza dellEtere, una sostanza che permeava tutto lo spazio vuoto. Sebbene una tale sostanza non fosse mai stata trovata, Maxwell, per ragioni di conservazione della carica elettrica, ipotizz che anche nel vuoto, occorresse introdurre nel teorema di Ampre una ulteriore corrente, detta di spostamento, non legata al moto delle cariche, ma ad una sorta di polarizzazione del vuoto. Vogliamo vedere di ricavare questa espressione della corrente di spostamento di Maxwell. Ricordiamo che il teorema di Ampre si scrive (3) I B dl = 0 I

l

Consideriamo il seguente circuito, che contiene un condensatore, un generatore di corrente variabile ed un percorso l che gira intorno al conduttore. In gura anche evidenziato la supercie a1 che ha l per contorno.

Abbiamo una corrente variabile che comunque possiamo scrivere come usso del vettore densit di corrente attraverso la sezione trasversale del conduttore: Z (4) I = d2 aj uaa

dove a la sezione trasversa del conduttore. Ma nei conduttori vale la legge di Ohm, (5) j = E

per cui, la corrente pu anche scriversi Z I = d2 aE uaa

3. LA CORRENTE DI SPOSTAM ENTO DI M AXW ELL

159

Inne, poich il campo elettrico diverso da zero praticamente solo nel conduttore, possiamo sostituire nellintegrale, al posto della sezione trasversa del conduttore, larea della circonferenza a1 : Z d2 aE ua I=a1

Possiamo, allora scrivere il teorema di Ampre per correnti variabili (6) I B dl = Z d2 aE ua

l

a1

Se ora manteniamo la scelta del percorso l , ma usiamo una supercie dierente, che abbia sempre l per contorno, ma che attraversi una delle armature del condensatore ci troveremo in presenza di una contraddizione.

Il secondo membro della (1) vale zero. In altre parole, se con a2 indichiamo la nuova supercie, il usso di E attraverso a2 nullo, pur avendo l per contorno. Poich ci non pu essere, dobbiamo ipotizzare che anche nei luoghi dove non presente un moto reale di cariche esiste unaltra corrente che renda il calcolo del usso diverso da zero. Per fare ci dobbiamo indagare la situazione sica tra le armature del condensatore. Il campo elettrico tra le armature E0 = 0 a 0 a0

dove la densit di carica superciale istantanea delle armature del condensatore. Poich la carica Q0 accumulata sulle armature Q0 = 0 a0 , dove a0 la supercie a dellarmatura, avremo E0 = Q0 0 0a

da cui, possiamo derivare la carica istantanea presente sullarmatura: Q0 = In maniera pi generale, potremo scrivere0E 0 0

a

160


(7)

Q0 =

0

Z

a0

E0 ua d2 a

Ma, il usso del campo elettrico attraverso una qualunque armatura uguale al usso attraverso la supercie a2 , in quanto le linee di forza del campo elettrico che attraversano unarmatura sono uguali a quelle che attraversano la supercie a2 (le linee di forza del campo tra le armature nascono su di una armatura e niscono sullaltra armatura): (8) In denitiva, (9) Q =0 0 a2

0

Z

a0

E0 ua d2 a =

0

Z Z

a2

E0 ua d2 a

(E ) =

0

0

a2

E0 ua d2 a

Poich la carica Q0 varia nel tempo vi , tra le armature una corrente ID , detta corrente di spostamento, data da dQ0 = dt da2 (E 0 ) = 0 dt d 0 dt Z E0 ua d2 a

(10)

ID =

a2

Abbiamo almeno nel caso mostrato trovato una espressione esplicita della corrente di spostamento. Il teorema di Ampre deve scriversi, nella sua forma generale: (12) I B dl = 0 (I + ID )

l

Questa una legge fondamentale dellelettromagnetismo. Nel vuoto, I = 0 avremo Z I d 2 0 B dl = 0 0 E ua d a (13) dt l a2 che mostra la cercata simmetria con la legge di Faraday. La corrente di spostamento essenziale nel caso di campi rapidamente variabili ed stata determinante per dimostrare che la luce un fenomeno elettromagnetico, ma nel caso di correnti e campi lentamente variabili il suo eetto trascurabile. 4. Il usso di B attraverso una supercie chiusa Abbiamo visto che le linee di forza del campo magnetico di un lo rettilineo indenito sono delle circonferenze concentriche intorno al lo. Si potrebbe dimostrare in maniera diretta, in casi un p pi complessi, che le linee di forza del campo magnetico sono sempre linee chiuse. Pi in generale, si mostrato sperimentalmente che le linee di forza del campo magnetico sono sempre chiuse. Questo vuol dire che, il numero di linee di forza che entrano attraverso una supercie chiusa sono uguali alle linee di forza che escono dalla supercie. In maniera formale, possiamo

4. IL FLUSSO DI B ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA

161

La (14) esprime anche la mancanza di monopoli magnetici.

assumere, sulla base di evidenze sperimentali, che il usso del campo magnetico attraverso una qualunque supercie chiusa sempre nullo: I (14) B ua d2 a = 0

APPENDIX A

AppendiceThe appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the Chapter Section/Body Tag.

163

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