I. Descripcion newtoniana del campo gravitatorio´...

I. Descripcion newtoniana del campo gravitatorio . . . 2005-06 1

LA DESCRIPCION NEWTONIANA DEL CAMPO GRAVITATORIOY LA INTERPRETACION DE LA GRAVITACION NEWTONIANA

COMO CURVATURA DEL ESPACIO–TIEMPO

M. SantanderDepartamento de Fısica Teorica, Universidad de Valladolid

Version 4.1 (Mayo 2006, correcciones de detalle y redefinicion de macros de formato).Revisiones anteriores: Version 4.0, Abril 2006, 3.02, Abril 2004; 3.0, Mayo 2003; 2.2,Noviembre 2002; 2.1, Octubre 2002; 2.0, Octubre 2001.Estas notas usan los macros ACRES de G. Tuynmann.

La exposicion esta organizada en dos partes, como sugiere el tıtulo global. En laprimera parte se pretende solo describir el campo gravitatorio newtoniano de la maneraconvencional, aunque haciendo enfasis en los aspectos que nos interesen; lo haremos endos etapas, suponiendo primero que el sistema de referencia usado es un sistema inercial,y liberandonos de esa limitacion luego, especialmente en favor de un tipo particular desistemas no inerciales, los sistemas en caıda libre y sin rotacion, que resultaran esencialesen el desarrollo posterior, y que a veces se denominan sistemas de referencia localmenteinerciales.

En la segunda parte, lo que se pretende es introducir la interpretacion geometrica de lagravitacion newtoniana como una teorıa en la que el espacio-tiempo tienen una conexioncon curvatura. La idea basica es la formulacion de Cartan del principio de inercia, querequiere que en el espacio-tiempo este definida una conexion. El resto es traducir losresultados convencionales —ecuaciones del movimiento, ecuaciones de campo, etc.— alnuevo lenguaje. Debe quedar claro desde el principio que la interpretacion geometrica essimplemente una formulacion o interpretacion alternativa, que es fısicamente equivalentepor completo a la interpretacion usual.

• ejercicio 1.1. Para referencia posterior, damos algunos datos numericos que se usaran en

diversas estimaciones:

Constante de Gravitacion G = 6.67× 10−8 cm3g−1s−2

Velocidad de la luz c = 2.99× 1010 cm s−1

Masa del Sol: M = 1.99× 1033 g

Radio del Sol: R = 6.96× 1010 cm

Masa de la Tierra: M⊕ = 5.97× 1027 g

Radio de la Tierra: R⊕ = 6.371× 108 cm

Masa de la Luna: Ml = 7.35× 1025 g

Distancia media Tierra-Sol (U.A.): 1.49× 1013 cm

Distancia media Tierra-Luna 3.84× 1010 cm

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LA DESCRIPCION NEWTONIANA DEL CAMPO GRAVITATORIO

Descripcion del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia Inercial.

La descripcion clasica del campo gravitatorio se realiza en terminos de un vectorespacial (3-vector), g(x, t) llamado intensidad de campo gravitatorio que describe lafuerza gravitatoria F = mg producida por el campo sobre una partıcula test de masam situada en el punto x en el instante t. Para formular esta teorıa de un modo paralelo ala teorıa de Einstein, es necesario distinguir tres niveles en la descripcion clasica; los dosprimeros —potencial gravitatorio y campo gravitatorio— son bien conocidos, mientrasque el tercero —campo de marea— es mucho menos familiar.

En todo lo que sigue, donde se comienza desde cero, x,X denotan los vectoresposicion de puntos en el espacio fısico, asimilado al espacio euclideo 3D, referidos asus componentes cartesianas usuales; el tensor metrico en esas coordenadas es δIJ .Asimismo se usara de manera sistematica el convenio de Einstein de suma sobre ındices(latinos, I, i con rango 1, 2, 3 o griegos µ con rango 0, 1, 2, 3) repetidos (mudos).

1A) El Campo gravitatorio.

La fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una partıcula test de masa gravitatoria mgr

en el punto x, debido a la presencia de una coleccion de masas (gravitatorias) M(s),situadas en las posiciones X(s)(t) esta dada segun la ley de Newton por:

Fgrav = −mgrG∑(s)

M(s)

(x−X(s)(t))2x−X(s)(t)| x−X(s)(t) |

(1.1)

donde G es la constante gravitatoria de Newton (cuya primera determinacion experi-mental con cierta precision se debe a Cavendish), G = 6.67× 10−8 cm3g−1s−2. Cuandoesta expresion para la fuerza gravitatoria se introduce en el marco de la mecanica New-toniana, se obtiene la ecuacion del movimiento para la partıcula test

mind2x(t)

dt2= Fgr. (1.2)

Parece ser un hecho experimental notable que la masa inercial min es universalmenteproporcional a la masa gravitatoria mgr. La primera comprobacion de este hecho sedebe a Galileo, mediante experimentos con pendulos de diversas sustancias; enunciadoen terminos modernos Galileo dio una cota para la eventual diferencia relativa entrelas masas inerte y gravitatoria de diversos cuerpos |min − mgr|/min < 2 · 10−3. Lacomprobacion fina de tal hipotesis comienza con el baron hungaro L. Eotvos, quiena partir de 1890 realizo medidas muy precisas con una balanza de torsion para muydiversas sustancias (cobre, agua, sulfato de cobre, madera, asbesto, . . . ) en comparacioncon un patron de platino, obteniendo la cota |min−mgr|/min < 5 ·10−8 para la eventualdiferencia relativa independientemente de la sustancia, que mejoro a < 3 · 10−9 en


experimentos mas precisos en 1910. Sorprendentemente, una balanza de torsion siguesiendo hasta hoy el mejor instrumento para tal comprobacion; las mejores cotas son< 1 · 10−11 en los experimentos de Adelberger et al. (1990) y de < 0.9 · 10−12 en losexperimentos de Braginski et al. (1971), y se espera llegar hasta una precision < 10−17

en un experimento propuesto por Barlier et al. (1991), a realizar en una nave espacialen caıda libre, como la Estacion Espacial Internacional (ISS).

Si tomamos la proporcionalidad estricta entre masa inercial y gravitatoria como unhecho, podemos simplemente prescindir de la etiqueta inercial en (1.2). Entonces, us-ando unidades adecuadas la masa inercial y la gravitatoria son iguales para cualquiercuerpo. Como consecuencia, el movimiento en un campo gravitatorio dado de partıculastest de masas y composiciones diferentes, para las mismas condiciones iniciales, esidentico. Esto permite definir un vector intensidad de campo gravitatorio (o simple-mente campo gravitatorio) como la fuerza por unidad de masa de la partıcula test, quela distribucion de materia que crea el campo ejerce sobre una partıcula test de masa m:

g(x, t) =1m

Fgrav.

En consecuencia la masa m de la partıcula test desaparece de la ecuacion del movimientoque adopta la forma usual:

d2x(t)dt2

= g(x(t), t). (1.3)

El paso siguiente es plantear las ecuaciones de campo, que relacionan la distribucionde masa (fuente del campo) con el campo del vector g(x, t). En el caso de una dis-tribucion continua de masa con densidad ρ(x, t) dada, g(x, t) es un campo vectorialirrotacional que satisface la ecuacion de Poisson:

−div g(x, t) = 4 π Gρ(x, t), rot g(x, t) = 0, (1.4)

Estas dos ecuaciones son las ecuaciones del campo gravitatorio en la teorıa newtoniana.

• ejercicio 1.2. La solucion mas simple de las ecuaciones (1.4) corresponde al caso de una masa

esferica de densidad uniforme ρ0, con radio R, masa M y en reposo. En un sistema de coordenadas

cartesianas con origen en el centro de la masa, el campo gravitatorio g a distancia r del centro

vale gI(x) = −GM xI

r3 en el exterior (cuando r > R) y en el interior (cuando r < R) esta

dado por gI(x) = −GMR3 xI . Notese que al atravesar el borde del cuerpo el campo gravitatorio

cambia con la posicion de manera continua, y que en el interior del cuerpo puede reescribirse

gI(x) = − 43πGρ0xI (r < R)

1B) El Potencial gravitatorio.

El segundo nivel de descripcion de la gravitacion involucra al potencial, cuya intro-duccion puede abordarse de dos maneras. Matematicamente, la segunda ecuacion en(1.4) permite escribir (localmente) el vector intensidad de campo gravitatorio como elvector asociado (mediante la metrica espacial δIJ) al covector gradiente de un campoescalar ϕ(x, t),

gI(x, t) = −δIJ ∂ϕ(x, t)∂xJ

. (1.5)


El campo escalar ϕ(x, t) se denomina potencial gravitatorio. La energıa potencial de lapartıcula test de masa m situada en el punto x en el instante t es:

V (x, t) = −mG∑(s)

M(s)

| x−X(s)(t) |, (1.6)

y en terminos de V las ecuaciones (1.1) y (1.2) son:

F = −∇V (x, t), (1.7)

md2x(t)

dt2= F = −∇V (x(t), t). (1.8)

Dividiendo las ecuaciones (1.7)–(1.8) por m y comparando con (1.3)–(1.5), resulta claroque el potencial gravitatorio ϕ(x, t) admite una interpretacion fısica como la energıapotencial gravitatoria por unidad de masa que posee una partıcula test situada en elpunto (x, t) del espacio-tiempo:

ϕ(x, t) =1m

V (x, t)

Al igual que ocurrıa en (1.3), esto implica que cuando las ecuaciones de movimientose escriben en terminos del potencial, la masa de la partıcula test desaparece completa-mente:

d2xI(t)dt2

= −δIJ ∂ϕ

∂xJ(x(t), t), (1.9)

La ecuacion de campo (1.4) en terminos del potencial queda en la forma:

∇2ϕ(x, t) = 4 π Gρ(x, t). (1.10)

• ejercicio 1.3. El potencial producido por una masa esferica uniforme y en reposo a distancia

r del centro vale en el exterior (cuando r > R) ϕ(x, t) = −GM 1r

y en el interior (cuando

r < R) esta dado por ϕ(x, t) = − 32

GMR

+ 12

GMR3 r2. Notar que el termino constante aditivo en el

potencial interior serıa innecesario, pero se anade con el objeto de que el potencial sea continuo en

r = R, lo que permite hacer estimaciones significativas de la diferencia de potencial entre puntos

interiores y exteriores. Notar tambien que en el interior el potencial es un oscilador armonico.

Un complemento ilustrativo es derivar la expresion para la frecuencia propia de oscilacion de un

cuerpo en caıda libre atravesando el interior de la tierra por un pozo diametral.

1C) El Campo de Marea.

Consideremos ahora la gravitacion desde un punto de vista ligeramente distinto. Va-mos a desviar nuestra atencion de las ecuaciones de movimiento que dan la evolucion dela posicion x(t) de la partıcula test con respecto a un sistema de referencia previamentefijado, y vamos a fijarla en las ecuaciones que describen la evolucion de la posicionrelativa o separacion η(t) entre dos partıculas test, ambas en caıda libre en el campogravitatorio.


• ejercicio 1.4. En el campo gravitatorio de la Tierra, en el exterior, demostrar que la separacion

ηh(t) entre dos partıculas en caıda libre y situadas inicialmente en reposo a la misma altura (por

tanto con separacion horizontal, denotada ηh), satisface la ecuacion:

d2ηh(t)

dt2≈ −

(GM⊕

r3

)ηh(t) (1.11)

mientras que si la separacion es inicialmente vertical denotada ηv , la ecuacion es

d2ηv(t)

dt2≈ −

(−2GM⊕

r3

)ηv(t) (1.12)

donde r > R⊕ es la distancia al centro.

El caso general es similar: Si denotamos por x(t) e y(t) las trayectorias de las dospartıculas test —ambas soluciones de la ecuacion (1.3)—, y consideramos la separacionη(t) = y(t)− x(t), la aceleracion de η es igual a la diferencia entre el valor del campogravitatorio g en los dos puntos (y(t), t) y (x(t), t). Pero si ambos puntos son proximos,el termino dominante en esta diferencia se obtiene desarrollando el campo g(y(t), t)alrededor de x(t) en serie de potencias de η y conservando los primeros terminos deldesarrollo:

gI(y, t) = gI(x, t) +∂gI(x, t)

∂xJ(yJ − xJ) + . . . (1.13)

Ası vemos que lo importante para este problema es el campo gravitatorio diferencial,esdecir, el eventual cambio del vector intensidad g en el espacio. Esto conduce a considerarun nuevo objeto que llamaremos campo de marea A, un tensor (3-D, bajo rotaciones)una vez contravariante y una vez covariante cuyas componentes estan definidas como:

AIJ(x, t) = −∂gI(x, t)

∂xJ, (1.14)

En terminos de A la aceleracion de la separacion relativa ηI(t) entre dos partıculas testen caıda libre es:

d2ηI(t)dt2

≈ −AIJ(x(t), t) ηJ(t). (1.15)

Expresando g en terminos del potencial ϕ, las componentes del campo de marea Aresultan ser las derivadas espaciales segundas del potencial:

AIJ = δIK ∂2ϕ

∂xK∂xJ, AIJ := δILAL

J =∂2ϕ

∂xI∂xJ, AIJ = δIKδJL ∂2ϕ

∂xK∂xL. (1.16)

Las ecuaciones (1.4) del campo gravitatorio se transcriben en terminos de A como:

AII(x, t) = A1

1 + A22 + A3

3 = 4 π G ρ(x, t), AIJ = AJI , (1.17)

que muestran una relacion local entre el campo de marea y la densidad de fuentes delcampo.

• ejercicio 1.5. Demostrar que el campo de marea en el exterior de una masa M de densidad

uniforme, simetrıa esferica y en reposo, es AIK(x, t) = GMr3

(δIK − 3xIxK

r2

), (r > R). En


particular, en el punto x = (0, 0, r) sobre el eje z y a distancia r del origen, la matriz AIJ es

diagonal, con componentes no nulas

AXX = AY

Y =GM

r3, AZ

Z = −2GM

r3, (1.18)

que naturalmente concuerdan con las formulas (1.11)–(1.12) del ejercicio al comienzo de este

apartado, cuando se aplican a separaciones inicialmente horizontales (X, Y ) o verticales (Z). Las

expresiones (1.18) son aplicables al exterior, donde la densidad de masa es nula, ρ = 0; es evidente

que la ecuacion de campo (1.17) AXX + AY

Y + AZZ = 0(= 4πGρ) se satisface.

• ejercicio 1.6. Demostrar que el campo de marea existente en el interior de una masa esferica

de radio R, masa M , densidad uniforme ρ0 = M43

πR3y en reposo es: AIJ (x, t) = GM

R3 δIJ (r < R)

y como se debe, la suma de los tres elementos diagonales de AIJ coincide con 4πGρ0.

Las fuerzas de marea.

Podemos dar una imagen mas vıvida de los fenomenos implicados en el aspecto demarea del campo gravitatorio si consideramos una de las dos partıculas como fiducial yreferimos el movimiento de la segunda a un sistema de referencia (no inercial) que esteen caıda libre con la primera partıcula y sea no-rotante. Los detalles se iran precisandoa lo largo del tema.

Comencemos con dos ejemplos. En el caso de las mareas debidas a la gravitacion dela Luna y del Sol en el oceano terrestre, podemos considerar la Tierra en su movimientode caıda libre en el campo gravitatorio conjunto de la Luna y del Sol como movimientofiducial, y referir el de un elemento de volumen del mar, como segunda partıcula, a unsistema de referencia ligado al movimiento del centro de masa de la Tierra, que es quienrealmente esta en caıda libre. En otro ejemplo, el de las dos partıculas cayendo en elcampo de la Tierra, al que las expresiones (1.11) y (1.12) se refieren, se tomarıa porejemplo una de las partıculas como fiducial, y las ecuaciones (1.11) y (1.12) describenla aceleracion experimentada por la segunda partıcula relativamente a la fiducial.

En tales situaciones, y de acuerdo con el modelo newtoniano, podemos considerar elmovimiento de la segunda partıcula de masa m relativamente a la primera, —que a suvez esta dado por la ecuacion (1.15)—, como el resultante de ciertas fuerzas de marea,en terminos de las cuales las ecuaciones (1.15) se presentan en la forma newtonianastandard:

md2ηI(t)

dt2= f I(x(t), t) (1.19)

con unas fuerzas de marea f I(x(t), t) dadas por:

f I(x(t), t) = −m AIJ(x(t), t) ηJ(t) (1.20)

Ası pues, las fuerzas de marea se anulan para ηJ(t) = 0, y actuan efectivamente solocuando la partıcula test se separa de la posicion fiducial, siendo proporcionales a dichaseparacion, ademas de ser tambien proporcionales a la masa de la partıcula. Por ejemplo,sobre un elemento de volumen del mar, que esta separado del centro de la Tierra poruna distancia R⊕ (que es pequena en comparacion con la distancia a que esta la Luna


o el Sol, quuienes crean el campo de marea, aunque desde otros puntos de vista R⊕pueda parecer grande), sı que se ejerce una fuerza de marea, mientras que en el centrode la Tierra no hay fuerzas de marea. Para la situacion del ejercicio (1.11)/(1.12), yescogiendo las coordenadas en el sistema ligado a la partıcula fiducial en caıda libre demanera que las separaciones x, y sean horizontales y la z vertical, para una separacioninicial horizontal, ηJ = (x, 0, 0), la fuerza de marea es

f = −mGM⊕

r3

11

−2

x00

= −mGM⊕

r3

x00

, (1.21)

fuerza que es atractiva, horizontal, colineal con la separacion inicial, dirigida siemprehacia el origen (esto es, hacia la partıcula fiducial) y proporcional a la separacion hori-zontal x. Algo semejante ocurre para la separacion a lo largo de cualquier otra direccionhorizontal, digamos y. Para separacion vertical en la direccion z, ηJ = (0, 0, z), la fuerzade marea resulta ser

f = −mGM⊕

r3

11

−2

00z

= 2mGM⊕

r3

00z

, (1.22)

que es repulsiva, vertical, colineal con la separacion inicial y proporcional a ella.Si la posicion relativa de la segunda partıcula test es generica, ηJ = (x, y, z), entonces

la fuerza de marea es la dada por la expresion general, y en general ya no es colinealcon la separacion, de manera que no tiene sentido decir si es atractiva o repulsiva (eltensor de marea no es un multiplo de la identidad).

El campo de marea produce dos manifestaciones importantes, ambas discutidas orig-inalmente por el propio Newton:

• Las mareas. Si en vez de dos partıculas cercanas ambas en caıda libre en (1.11)–(1.12),consideramos una gota lıquida, supuesta de forma inicialmente esferica, la gota sedeforma bajo la accion de las fuerzas de marea hasta adoptar una forma de elipsoidede revolucion; su “ecuador” horizontal (X, Y ) se encoge y su eje “vertical” Z se estirahasta que las fuerzas de marea quedan en equilibrio con las fuerzas que mantienenunida la gota. Para una gota pequena de un lıquido ordinario (agua) la fuerza quela mantiene unida es la tension superficial, que la llevarıa, de actuar sola, a la formaesferica que tiene superficie mınima para el volumen dado; para una gota pequenalas fuerzas de tension superficial son abrumadoramente dominantes sobre las propiasfuerzas de marea creadas por la Tierra en las cercanıas de su superficie. de maneraque no debemos esperar que la deformacion de marea sea facilmente observable en laforma de una gota. Sin embargo, si imaginamos lıquidos con tension superficial cadavez menor, o anadimos un agente detergente que disminuya la tension superficial,entonces en el lımite de tension superficial nula, las fuerzas de marea deforman laesfera a un elipsoide, y la forma de este elipsoide (su deformacion medida en terminosrelativos) es independiente de su tamano, y resulta —en principio— una medidaabsoluta de la presencia de campo gravitatorio.En el ejemplo de las mareas, el mar debe imaginarse como una delgada pelıcula lıquida(espesor medio del orden de 1 Km) sobre un nucleo rocoso esferico que en primera


aproximacion supondremos rıgido. En este caso la fuerza inicialmente responsable dela forma esferica del mar es la propia gravedad ordinaria de la Tierra (y no la tensionsuperficial, cuyo efecto sobre el Oceano resulta despreciable). Las mareas se deben alefecto diferencial del campo gravitatorio de la Luna y del Sol, que presenta variacionesapreciables sobre distancias a la escala espacial de la Tierra. Una estimacion sencilladel efecto y altura de las mareas causadas por la Luna sobre el mar terrestre sepropone en el siguiente ejercicio:

• ejercicio 1.7. Se trata de dar un modelo simple de la superficie del mar, supuesto una pelıcula

delgada que cubre la superficie de una Tierra esferica y solida, bajo el efecto del campo de marea

de la Luna. Dar la expresion de las fuerzas de marea que se ejercen sobre un elemento del mar

(situado en posicion (x, y, z) con x2 +y2 +z2 = R2⊕ con la Luna en el eje z negativo) y comprobar

que estas fuerzas derivan de un potencial que debera escribirse. La condicion que determina la

forma del mar es que su superficie debe ser una equipotencial del potencial conjunto “potencial

de marea + potencial gravitatorio ordinario”. Encontrar la ecuacion que da la altura de marea h

en funcion del angulo de latitud θ de la posicion (x, y, z) relativa al eje polar Luna-Tierra. Dar el

valor numerico del rango ∆h de la marea lunar (diferencia entre los valores maximo y mınimo de

h). Finalmente comprobar que si la Tierra se asimilara a una gota fluida de densidad constante

ρ, mantenida en esa forma por su propia gravedad, la deformacion relativa ∆h/R⊕ resultarıa

independiente del tamano, confirmando lo que se indico antes: tal deformacion relativa resulta

una medida absoluta de la presencia de campo gravitatorio.

• ejercicio 1.8. Alrededor de un planeta de masa Mp y radio Rp orbita, a distancia entre centros

r y en orbita circular, un satelite, que supondremos una esfera solida de roca de masa ms y radio

Rs. Mostrar que si la distancia r es menor que el llamado lımite de Roche para ese satelite,

rRoche = Rs

(2Mp

ms

)1/3

entonces las fuerzas de marea pueden “limpiar” de rocas sueltas la superficie del satelite, esto es,

levantar literalmente las rocas del suelo. Para orbitas mas cercanas, las fuerzas de marea llegan

enseguida a despedazar el satelite, al superar la propia resistencia de la roca a la rotura. Como

un ejemplo, ¿cual es el lımite de Roche para Jupiter? Y a cuantas veces el lımite de Roche se

encuentra la orbita de un satelite como Io? (conseguir datos sobre masa y radio de Io y sobre su

orbita alrededor de Jupiter es facil en Internet, p. ej:

http://sse.jpl.nasa.gov/features/planets/jupiter/io.html.

http://seds.lpl.arizona.edu/billa/tnp/io.html Datos de Io

http://www.oarval.org/section3 2.htm Datos sobre el sistema solar

http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants.html Constantes)

• Efecto sobre el movimiento de rotacion. Sobre un cuerpo con tensor de inercia IKL ,

el campo de marea produce un torque (par)

T I = εIKLAKS(−ISL + 1

3δSL IM

M ), (1.23)Ası pues, para un cuerpo rotante, cualquier desviacion de la simetrıa esferica perfecta(esto es, cualquier tensor de inercia que no sea proporcional a la identidad) provocauna precesion en el eje de giro. Por ello puede decirse que el campo de marea es elresponsable ultimo de efectos astronomicos como la precesion de los equinoccios (laprecesion del eje de giro de la Tierra, que no es una esfera perfecta), descubierto enla antiguedad y medido con gran precision por Hiparco (cf. Ohanian, p. 49)


• ejercicio 1.9. La ley 1-2-3 de Kepler. La tercera ley de Kepler establece la relacion entre

el perıodo T de la orbita circular de radio r en el campo gravitatorio producido por una masa

central M con simetrıa esferica. ¿Podrıa recuperarse esta ley mediante analisis dimensional? Para

ello notese que la cantidad√

GMr3 tiene dimensiones de inverso de tiempo; debe esperarse que

tanto la frecuencia de rotacion, ν = 1/T como la pulsacion ω = 2πν = 2π/T sean proporcionales

a ella, con cierto coeficiente adimensional. El calculo exacto indica que el coeficiente vale 12π

para

la frecuencia y 1 para la pulsacion:

ν = 12π

√GMr3 , ω =

√GMr3

(curiosamente, los mismos coeficientes adimensionales que aparecen en el tıpico problema de la

frecuencia y la pulsacion del pendulo simple). Es decir, excepto el coeficiente adimensional (que

resulta valer exactamente 1), la relacion GM = ω2r3 que contiene la tercera ley de Kepler (cuyo

enunciado usual es T 2 = 4π2

GMr3) puede realmente obtenerse por analisis dimensional.

• ejercicio 1.10. Imaginemos ahora una orbita circular rasante a un planeta esferico de masa

M y radio R. Comparar el perıodo de dicha orbita con el del movimiento armonico simple que

ejecutarıa un cuerpo en caıda libre por un pozo diametral en el interior del planeta. ¿Coinciden

ambos perıodos?

El analisis dimensional de las ecuaciones (1.14)–(1.15) muestra que la dimensiondel campo de marea es T−2; A se mide en s−2. Las dimensiones del potencial y delvector campo gravitatorio son L2T−2 y LT−2 respectivamente; notese la secuenciaL2T−2, LT−2, T−2 para los tres niveles potencial; intensidad de campo; campo de marea,que corresponde a que cada nivel es la derivada espacial del anterior. Conviene teneruna idea numerica de la intensidad de los campos de marea presentes en el sistemasolar: prescindiendo de los signos y factores 2 en (1.18), el orden de magnitud delcampo de marea producido por una masa M a distancia r es GM/r3; este valor dalas aceleraciones de marea entre dos partıculas proximas, ambas en caıda libre, porunidad de separacion. Substituyendo los valores de las masas y distancias involucradas,se obtienen las siguientes estimaciones de orden de magnitud:

Campo de marea debido a la Tierra, sobre su superficie: GM⊕R3⊕

' 1.541 · 10−6s−2.

Campo de marea debido al Sol, en la orbita de la Tierra: GMR3⊕

' 3.97 · 10−14s−2.

Campo de marea debido a la Luna, sobre la Tierra: GMlunaR3⊕ luna

' 8.6 · 10−14s−2.

• ejercicio 1.11. Los valores numericos de los campos de marea del Sol sobre la Tierra, o de la

propia Tierra en su superficie pueden entenderse mejor a la luz del resultado del ejercicio anterior;

en particular el valor del campo de marea debido al Sol, sobre la orbita de la Tierra, escrito en las

unidades temporales “adaptadas” (el perıodo de la orbita), vale exactamente 4π2ano−2. Calcular

el tiempo que juega el papel del “ano” para el campo de marea debido a la Tierra, sobre su

superficie, y comprobar que efectivamente se obtienen los 84 minutos del perıodo de un satelite

artificial en orbita rasante a la Tierra. Estos dos casos son faciles; si se hace lo mismo con el

campo de marea creado por la Luna sobre la Tierra, los resultados no parecen concordar. ¿Que

ocurre?

De los valores numericos mencionados es claro que todos estos campos de mareaproducen, sobre partıculas separadas entre sı distancias del orden digamos de 1 m unasaceleraciones ‘de marea’ extraordinariamente pequenas cuando se comparan con las


aceleraciones gravitatorias ordinarias (las asociadas al peso) a las que estamos acostum-brados. En un experimento con dos partıculas inicialmente en reposo y con separacionde 1m en una nave espacial en caıda libre, como la Estacion Espacial Internacional (ISS)la aceleracion de marea causada por la Tierra es del orden de 10−6m s−2, que es unossiete ordenes de magnitud inferior a la aceleracion gravitatoria que la tierra producesobre un cuerpo en las cercanıas de su superficie (orden de magnitud 10 m s−2). Y esteejemplo se refiere al campo de marea creado por la propia Tierra en las cercanıas de susuperficie, que comparativamente es bastante grande, unos 7 u 8 ordenes de magnitudmayor que el debido al Sol o a la Luna. Esto significa que a efectos practicos, paraseparaciones en la escala de 1m las aceleraciones de marea del Sol o de la Luna sondespreciables. Es interesante entender que el propio fenomeno de las mareas, causadopor un campo tan extraordinariamente debil (orden de magnitud de las componentesno nulas de A del orden de 10−14s−2), resulta ser tan apreciable debido a que las sepa-raciones en juego (entre un elemento de volumen del mar y el centro de la tierra) son delorden del radio de la Tierra; debido a ello las aceleraciones de la separacion causadaspor ejemplo por el campo de marea del Sol, sobre el mar terrestre, son del orden deGMR3⊕

R⊕ ' 2.53 · 10−7m s−2, que aunque parecen pequenas son las responsables del im-presionante fenomeno de la marea. Curiosamente, este orden de magnitud es semejantea los 10−6m s−2 debidas al campo de marea de la propia Tierra para dos partıculasseparadas 1 m en la ISS.

• ejercicio 1.12. Si uno se sienta a la orilla del mar, durante un perıodo completo de la marea,

se observa el nivel del agua ascender y luego descender, con un comportamiento que en primera

aproximacion es sinusoidal en el tiempo. En los momentos de pleamar y bajamar la aceleracion

de este movimiento es maxima. Estimar esta aceleracion. Entender porque esta aceleracion no

coincide con los 2.53·10−7m s−2 recien calculados. ¿A que se refiere exactamente esta aceleracion?

En geodesia, para los campos de marea se usa como unidad el Eotvos, 1E = 10−9s−2.A pesar de su pequenez, el campo de marea terrestre (el creado por la propia Tierrasobre un objeto en caida libre cercano a la superficie, como por ejemplo sobre unagota lıquida en la Estacion espacial Internacional) es medible directamente medianteun gradiometro. Los gradiometros de la generacion de 1970 (ver C.W. Misner, K.S.Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman 1971, pp. 400-403), permitıan medidasde campos hasta 1E = 10−9 s−2. Los gradiometros de la siguiente generacion, muchomas compactos y sensibles utilizan acelerometros superconductores y la fina tecnologıade los SQIDs para la deteccion, y llegan por debajo de 10−2E = 10−11 s−2, y se esperamejorar su sensibilidad en al menos dos ordenes de magnitud, lo que corresponderıa a laposibilidad de medir directamente el campo de marea debido a la Luna sobre la Tierra.

Conviene recapitular sobre la introduccion de las fuerzas de marea y el campo demarea. Las fuerzas de marea, al igual que las fuerzas gravitatorias ordinarias, sonestrictamente proporcionales a la masa m de la partıcula test; esto esta incorporado enla propia definicion del campo de marea A a partir de (1.20). Pero conviene reconocerlas diferencias importantes que hay con el vector intensidad de campo gravitatorio,que es simplemente el cociente g = F /m, y hereda el caracter vectorial de la fuerzagravitatoria ordinaria F . Para el campo de marea lo que se considera no es la propiafuerza de marea f sino su gradiente, por lo que el campo de marea ya no es un vector,sino un tensor, que describe las variaciones espaciales del propio campo de fuerzas de


marea:

AIJ(x(t), t) := − 1

m

∂f I(x(t), t)∂xJ

(1.24)

expresion que permite reescribir de manera alternativa las ecuaciones del campo gravi-tatorio: en efecto

AII = − 1

m

∂f I(x(t), t)∂xI

= − 1m∇ · f (1.25)

y la ecuacion (1.15) puede escribirse como

∇ · f(x, t) = −4πG mρ(x, t) (1.26)

que es estrictamente equivalente a la ecuacion usual del campo gravitatorio: ∇2ϕ(x, t) =4 π Gρ(x, t). En particular, un campo gravitatorio en el vacıo se caracteriza por laanulacion de la divergencia del campo de fuerzas de marea.

Conviene tener presente esta vision del campo de marea en relacion con las fuerzasde marea, en paralelo con la definicion original de A, que mide la variacion diferencialde la intensidad ordinaria del campo gravitatorio, esto es su ritmo o tasa de variacionde un punto a otro cercano.

Para acabar conviene decir que las fuerzas de marea reales que se dan en la naturalezason mas complicadas que las que estamos describiendo aquı, y su descripcion correcta es—creemos— la proporcionada por la teorıa de Einstein de la gravitacion. Sin embargo,en muchas situaciones, incluyendo la practica totalidad de los fenomenos gravitatorios ennuestro sistema solar, la teorıa newtoniana proporciona una descripcion excelentementeaproximada; solo en campos gravitatorios mucho mas intensos o mucho mas rapidamentevariables con el tiempo, como los que presumiblemente se dan en situaciones astrofısicas,las diferencias entre la situacion real y las predicciones newtonianas son importantes.Los campos de marea reales resultan depender tanto de la velocidad del punto de refe-rencia fiducial como de la velocidad relativa de la segunda partıcula test respecto alpunto de referencia, analogamente a lo que ocurre en electromagnetismo, donde ademasde la componente electrica, que produce fuerzas independientes de la velocidad, hayfuerzas magneticas, dependientes de la velocidad. La descripcion del campo de marearelativista es complicada; baste ahora decir que en los lımites adecuados de campo debily velocidades bajas, el campo de marea relativista conserva como unicas componentesno despreciablemente pequenas los AI

J dados antes.

Descripcion del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia no Inercial.

Parte de la simplicidad de las expresiones anteriores se debe al uso de un sistemade referencia inercial global, y, estrictamente hablando, esas ecuaciones tan simples noson aplicables mas que en tales sistemas. Por ejemplo, la caıda libre en la superficie dela Tierra, partiendo de una situacion con velocidad inicial nula, no sigue exactamentela vertical, como hemos supuesto al hacer las estimaciones contenidas en (1.11)–(1.12),sino que se desvıa de ella por la fuerza de Coriolis (aunque tal desviacion sea unacorreccion que puede despreciarse en una primera aproximacion, como hemos hechoimplıcitamente en (1.11)–(1.12)). Sin embargo es fundamental tratar de liberar a ladescripcion anterior de la condicion restrictiva de estar formulada en un sistema de


referencia inercial. Si somos capaces de ello, conseguiremos una descripcion del campogravitatorio valida para cualquier observador (cualquier sistema de referencia). Vamosa ver en este apartado como puede llevarse a cabo este programa, y como es preciso(si lo es) modificar o reentender las ecuaciones para que sean validas en tal situaciongeneral.

Mientras que la expresion de la fuerza gravitatoria (1.1) no depende de si las posi-ciones se refieren a un sistema inercial o a otro no inercial, la ecuacion de Newton (1.2)requiere la incorporacion de las llamadas fuerzas inerciales si deseamos obtener una de-scripcion de la evolucion real de la posicion de una partıcula en caıda libre en un campogravitatorio desde un SRnI. En otras palabras, los movimientos “ideales” inerciales enausencia de campo solo estan descritos por una ecuacion d2x(t)

dt2 = 0 si el sistema dereferencia es inercial y entonces las tres coordenadas XI dependen del tiempo de man-era afın: xI(t) = xI

(0) + vI(0)t; los mismos movimientos, observados en un sistema de

referencia no inercial estan descritos por funciones no lineales del tiempo.Supongamos pues dos sistemas de referencia, uno inercial (I), y otro no inercial (i),

referidos ambos a un juego de coordenadas espaciales cartesianas, que denotaremosrespectivamente xI y xi. El paso (I) → (i) esta descrito por una rotacion Ri

I(t) yuna traslacion ai(t) dependientes del tiempo de modo arbitrario; la relacion entre lascoordenadas (xI , t) y (xi, t) es:

xi = RiI(t) xI + ai(t), (1.27)

y la condicion de que RiI(t) sea constantemente una matriz ortogonal conduce (ecua-

ciones de Euler) adRi

I(t)dt

= Ωik(t) Rk

I(t), (1.28)

donde el tensor Ωjk(t) := δijΩjk(t) obtenido bajando los ındices (espaciales) de Ωi

k(t)con la metrica espacial (que al suponer el 3-espacio euclideo y las coordenadas carte-sianas adopta la forma usual δij) es un tensor antisimetrico, dual al vector velocidadangular instantanea ωk(t):

Ωij(t) = −Ωji(t), Ωij(t) = εijk ωk(t), ωk(t) = 12 εijk Ωij(t). (1.29)

• ejercicio 1.13. Derivar estas ecuaciones e interpretarlas.

2A) El Potencial gravitatorio.

Supondremos que el potencial gravitatorio se comporta como un escalar: ϕ(xi, t) =ϕ(xi(xI , t), t) bajo el cambio a un sistema de referencia no inercial; es una hipotesisrazonable habida cuenta de la interpretacion del potencial como la energıa potencial porunidad de masa almacenada en el campo gravitatorio. (Alternativamente, podrıamosadoptar otra ley de transformacion como hace Wheeler et al., de modo que el termino dearrastre lineal se derive del nuevo potencial; se trata de una convencion sin significadofısico directo).


2B) El Campo gravitatorio.

Del hecho de que el movimiento en el sistema inercial satisfaga la ecuacion (1.3) seconcluye para las aceleraciones en el sistema no inercial:

d2xk(t)dt2

= −δki ∂ϕ

∂xi+

d2ak

dt2+Ωk

i−ΩkjΩj

i(xi(t)−ai(t))+2Ωkid(xi(t)− ai(t))

dt. (1.30)

• ejercicio 1.14. Derivar esta ecuacion y estudiarla en detalle en varios casos particulares sim-

ples (por ejemplo, el sistema no inercial tiene solo movimiento de traslacion, o solo de rotacion

uniforme). ¿Que terminos sobreviven en cada uno de estos casos?

En esta ecuacion tan solo el primer sumando del segundo miembro es la fuerza debidaal campo gravitatorio “real”. Los demas son, en conjunto, las fuerzas inerciales, queengloban el termino de arrastre (debido a la no uniformidad de la traslacion ai(t)), elde no uniformidad de la rotacion, el termino centrıfugo y el de Coriolis.

• ejercicio 1.15. Traducir esta ecuacion al lenguaje vectorial ordinario, usando el vector velocidad

angular instantanea. Comprobar que efectivamente los terminos que aparecen en el segundo

miembro corresponden a las fuerzas de inercia, como se acaba de indicar.

Al igual que el campo gravitatorio “real”, las fuerzas inerciales afectan por iguala todas las partıculas test, independientemente de su masa. Pero mientras que paralas fuerzas gravitatorias esta independencia es misteriosa, para las fuerzas de inerciano resulta nada sorprendente, ya que, tal cual las hemos introducido, estas fuerzas se‘producen’ exclusivamente por un cambio del sistema de referencia, que afecta por iguala los movimientos de cualquier tipo de partıculas test.

El status de las fuerzas de inercia ha originado ciertas controversias, y a veces se en-cuentran referencias calificando a las fuerzas de inercia como ficticias. Es dıficil conjugaresta consideracion con los efectos, extraordinariamente reales, que tales fuerzas puedenproducir. Los volantes de la primeras maquinas de vapor que se rompıan debido a unaresistencia insuficiente a las fuerzas centrıfugas que actuaban sobre ellos, o el visitantede un parque de atracciones que supera cabeza abajo un loop y abandona la atraccionmareado no testifican precisamente sobre un caracter aparente de dichas fuerzas. Parecemas razonable la actitud de quienes dicen que, de juzgarlas por sus efectos, son fuerzasbien reales. El punto importante es que cualquier formulacion de la gravitacion newtoni-ana que sea aplicable a sistemas de referencia arbitrarios necesariamente debera contar,ademas de las fuerzas gravitatorias propiamente dichas, con las fuerzas inerciales (quepor cierto, deberıan llamarse fuerzas no inerciales ya que solo aparecen en sistemas dereferencia no inerciales).

2C) El Campo de marea.

Al usar la ecuacion (1.30) para estudiar la aceleracion de la separacion relativa entreuna partıcula fiducial test y otra partıcula proxima, ambas en caıda libre en el campogravitatorio, obtenemos para la diferencia ηi(t) = yi(t)− xi(t) la ecuacion

d2ηk(t)dt2

≈ −Akl(x(t), t) ηl(t) + Ωk

l − ΩkjΩj

l ηl(t) + 2Ωkldηl(t)

dt. (1.31)


Una lectura rapida de esta ecuacion (1.31) sugiere que las fuerzas de marea tienentambien terminos “no inerciales de rotacion” (rotacion no uniforme, centrıfugo y deCoriolis), pero un termino que provenga de una traslacion no uniforme esta ausente. Laescritura de esta ecuacion en la forma

d2ηk(t)dt2

≈ −Akl ηl(t) + Bk

ldηl(t)

dt, (1.32)

con Akl(xi, t) = Ak

l(xi, t) + Ωkl − Ωk

jΩjl, Bk

l(t) = 2Ωkl parece tener un aspecto

sugerente: en esta ecuacion A y B aparecerıan respectivamente como campos de mareatipo “electrico” (lineal en la separacion ηl) y “magnetico” (lineal en la velocidad deseparacion dηl

dt ). El mero hecho de que consideradas desde un sistema no inercial lasfuerzas de marea adquieran una componente de tipo “magnetico”, es decir, dependan develocidades, puede tomarse como un indicio de que posiblemente las fuerzas de mareareales (no las de la teorıa newtoniana) se comporten ası; veremos que esto ocurre en lateorıa de Einstein. Mas adelante volveremos sobre estas ecuaciones y comprobaremosque la “buena” forma de escribirlas es:

d2ηk(t)dt2

− Ωkl − Ωk

jΩjl ηl(t)− 2Ωk

ldηl(t)

dt≈ −Ak

l(x(t), t) ηl(t). (1.33)

en donde la unicas fuerzas de marea presentes son las Akl(x(t), t) ηl(t), y los restantes

terminos aparecen en el miembro de la izquierda, junto con la aceleracion de la sepa-racion, aunque por ahora no es posible desvelar lo que significa que esa sea la “buena”manera.

Las ecuaciones de campo en un sistema de referencia no inercial.

Finalmente, la ecuacion del campo gravitatorio en el SRnI resulta formalmenteidentica a (1.15), ya que la densidad de masa se comporta como un escalar bajo estecambio:

Aii(x, t) = 4 π Gρ(x, t), Aij = Aji. (1.34)

Ası pues, la conexion entre las fuentes del campo (densidad de masa) y el campogravitatorio descrito por en campo de marea Ai

j tiene explıcitamente la misma formaen cualquier sistema de referencia, tanto inercial como no inercial.

Veremos tambien mas adelante que la forma (1.34) de la ecuacion del campo grav-itatorio es la precursora de las ecuaciones de Einstein, cuyo objetivo es la descripciondel campo gravitatorio desde el punto de vista de un observador arbitrario, no nece-sariamente inercial y de acuerdo con la teorıa de la relatividad. Por el contrario, lasecuaciones (1.30) y (1.33) parecen no tener la misma forma que sus contrapartidas (1.9)o (1.15) en un sistema de referencia no inercial. Como suele ocurrir en otras ocasiones,tambien aquı las apariencias enganan: ambas ecuaciones pueden escribirse de una man-era que explicitamente tiene la misma forma en cualquier sistema de referencia, lo querevelara la estructura geometrica del espacio–tiempo newtoniano (una conexion) rele-vante para la descripcion del campo gravitatorio.


Descripcion del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia en caıdalibre y no rotante.

Las ecuaciones del apartado anterior se han escrito para el sistema no inercial masgeneral. Estas ecuaciones adoptan una forma mucho mas simple y clara para un tipomuy particular de sistemas de referencia no inerciales. La idea es ligar a cada partıculaen caıda libre un sistema de referencia no inercial muy particular, determinado porlas dos condiciones siguientes: el origen de coordenadas es la propia partıcula y elsistema es no rotante relativamente a un sistema inercial. Este tipo de sistemas dereferencia resultaran esenciales en la teorıa relativista de la gravitacion, y convienehaberles manejado desde los inicios en la teorıa newtoniana; genericamente se denominansistemas de referencia en caıda libre y no rotantes, SRclnr; se entiende que en caıda librese refiere a la partıcula escogida. El sistema de coordenadas ligado al paradigmaticoascensor que cae es de este tipo.

Supongamos una partıcula en caıda libre que en un sistema inercial esta descrita port → xI(t) que debe satisfacer la ecuacion (1.9). Veamos como se relacionan entre sı elSRclnr (no rotante y en caida libre con la partıcula) y el sistema inercial. En el SRclnrdenotaremos las coordenadas espaciales mediante un ındice minusculo con circunflejo,ı. La transformacion entre las coordenadas inerciales xI y las coordenadas no inercialesen el SRclnr xı debe ser del tipo (1.18):

xı = RıI(t)xI + aı(t),

Ahora la condicion de ser no rotante relativamente a un sistema de referencia inercialimplica que la rotacion Rı

I(t) es independiente del tiempo; sin mas que reorientar enel instante inicial los ejes de uno de los dos sistemas XI o xı podemos suponer que larotacion Rı

I es la identidad, RıI = δı

I . Esto deja la ley de transformacion como:

xı = δıI xI + aı(t),

Ahora debemos imponer la segunda condicion: a lo largo de toda su evolucion, lapartıcula se mantiene en el origen del sistema (ı). De manera que la evolucion dela partıcula, vista desde el sistema SRclnr debe ser xı(t) = 0. Esto implica que lacomponente de traslacion aı(t) del sistema en caıda libre debe estar dada por aı(t) =−δı

I xI(t). Todo ello nos lleva a la forma final de la relacion:

xı = δıI (xI − xI(t)) (1.35)

entre las coordenadas xI e xı de sucesos genericos (recordemos que aquı xI(t) es elmovimiento de la partıcula fiducial descrito en el sistema inercial inicial, movimientoque se supone es un dato conocido). Para este caso, la velocidad angular de rotacion delsistema de referencia no inercial (t, xı) es identicamente nula, y por tanto las ecuaciones(1.30) y (1.31) se simplifican. La ecuacion de movimiento queda:

d2xk(t)dt2

= −δkı ∂ϕ

∂xı+

d2ak

dt2. (1.36)

II. Gravitacion Newtoniana como curvatura . . . 2005-06 16

Esta ecuacion proporciona la aceleracion de cualquier movimiento causado por el campogravitatorio desde el punto de vista del SRclnr; es por tanto la ecuacion de movimientopara la caıda libre en el sistema de referencia que consideramos. Es claro que sobrela trayectoria completa de la partıcula fiducial, la fuerza gravitatoria real se cancelaexactamente con la aparente o inercial de arrastre, de manera que xk(t) = 0 (k = 1, 2, 3)es una solucion de la ecuacion (1.36). Pero notese bien que sobre otra partıcula cercanaque tambien este en caıda libre la cancelacion ya no se da exactamente; en otras palabras,xk(t) = yk

(0) donde los valores yk(0) son constantes no todas nulas ya no es solucion. Para

ver esto con claridad lo mejor es formular la ecuacion (1.36) en terminos del campo demarea. Sean yı(t) las coordenadas de otra partıcula en caıda libre cercana a la partıculafiducial xk(t) = 0 en el sistema de referencia SRclnr; la separacion de esta segundapartıcula con la fiducial, situada permanentemente en el origen es ηı(t) = yı(t), y laecuacion que da la aceleracion de la separacion relativa es:

d2ηk(t)dt2

≈ −Akl(x(t), t) ηl(t). (1.37)

En esta forma, es evidente que ηk(t) = 0 es solucion, mientras que si el campo demarea es no nulo (es decir, si realmente hay campo gravitatorio), entonces las partıculascercanas no van a permanecer en reposo relativo, o lo que es lo mismo, ηk(t) = yk

(0) 6=(0, 0, 0) no es solucion.

El resumen de esta discusion es que en un sistema de referencia en caıda libre y norotante, el movimiento de caıda libre de una partıcula en el campo gravitatorio es lomas parecido posible al movimiento ideal en ausencia de gravitacion en un sistema dereferencia inercial en el que la aceleracion se anula; pero nunca resulta exactamenteigual ya que las aceleraciones previstas por la ecuacion (1.37) solo se anulan en el origendel sistema de coordenadas.

Conviene tambien registrar ahora otro hecho notable: la ecuacion (1.37) que describela aceleracion de la separacion entre partıculas proximas, ambas en caıda libre en unSRclnr tiene exactamente la misma forma que en un sistema de referencia globalmenteinercial.


LA INTERPRETACION DE LA GRAVITACION NEWTONIANACOMO CURVATURA DEL ESPACIO–TIEMPO

Gravitacion como curvatura (I).

La idea de entender la gravitacion como curvatura del espacio–tiempo tiene sus raıcesen la teorıa newtoniana, aunque dichas raıces permanecieran ocultas hasta despues deque Einstein desvelara una idea semejante en su teorıa relativista de la gravitacion.En este Capıtulo vamos a presentar una exposicion en la que se mezclan de maneraintencionada discusiones historicas sobre el status de las fuerzas de inercia, —que orig-inalmente reflejaban el desagrado con que los cientıficos del continente veıan el espacioabsoluto—, con la formulacion que hoy, casi tres siglos despues, podemos hacer deaquellas discusiones.

El resultado final de esta presentacion es que la gravitacion newtoniana puede en-tenderse como una fuerza cuya sede es el espacio absoluto, pero que tambien, y al-ternativamente, puede entenderse como una manifestacion de la curvatura del espaciotiempo. Se trata de dos interpretaciones; ninguna de ellas es mas ni menos correctaque la otra, y ambas resultan fısicamente equivalentes en sus predicciones. Las razonespara preferir una u otra son, en todo caso, externas: podemos inclinarnos por la se-gunda interpretacion basandonos en que permite llegar con extrema naturalidad a lateorıa (relativista) de la gravitacion de Einstein o tambien por las razones, de ındoleempirista/positivista que subyacıan en las crıticas de Leibniz, Berkeley y Mach a la ideadel espacio absoluto, idea de la que esta interpretacion prescinde (bueno, solo en ciertomodo :-) ).

Historicamente, el reconocimiento de que era posible entender la gravitacion comouna consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo se produjo por vez primera enla teorıa propuesta por Einstein, que es fısicamente diferente de la de Newton a laque incluye como lımite en situaciones muy particulares (campo debil y movimientolento). Este orden historico de los descubrimientos, muy apartado del orden conceptualsubyacente en las ideas basicas, ha tenido como consecuencia desafortunada el que pormucho tiempo la interpretacion de la gravitacion como curvatura se ha presentado comouna consecuencia de que el marco espacio-temporal correcto para la descripcion de lanaturaleza sea la relatividad especial de Einstein (Lorentz, Poincare).

Aun hoy es todavıa frecuente encontrar afirmaciones tajantes de que en la teorıaNewtoniana el espacio-tiempo es rıgido, llano, pasivo ante la materia que contiene,actuando sobre ella pero sin dejarse influir, mientras que en la teorıa de Einstein, elespacio-tiempo pierde su caracter rıgido, absoluto, y adquiere un cierto caracter flexibleque se curva por la presencia de materia y energıa. Un objetivo de este Capıtulo esproporcionar el necesario contrapunto a estas afirmaciones en exceso dogmaticas y algocortas de miras: con la interpretacion oportuna dichas afirmaciones, que son correctaspara la teorıa de Einstein, pero tambien resultan serlo esencialmente tambien para lateorıa de Newton.

En descargo de los autores voluntarios o involuntarios de malentendidos de este tipohay que decir que a la dificultad de formalizar de una manera satisfactoria algunas de lasideas fısicas implicadas en una teorıa no relativista de la gravitacion —en concreto, las


fuerzas de inercia— se unio la circunstancia historica accidental de que la interpretacionde la gravitacion como curvatura surgio por primera vez en el transcurso de la elabo-racion de una teorıa relativista de la gravitacion por parte de Einstein entre 1908 y 1915;ası las cosas, la simplificacion excesiva de atribuir a la nueva teorıa de la relatividadespecial —que proporciona el marco espacio-temporal correcto— la razon ultima de lainterpretacion de la gravitacion como curvatura era una tentacion muy fuerte.

Aunque no entraremos en los interesantısimos detalles, conviene indicar que en mu-chos aspectos la relacion entre las teorıas gravitatorias de Newton y de Einstein estambien muy semejante a la relacion que hay entre la pura electrostatica y la teorıaelectromagnetica completa de Maxwell.

Comenzaremos viendo que conceptos se deben introducir para formular de maneramatematicamente adecuada las ideas del espacio absoluto de Newton y de su crıtica porLeibniz. Una vez hecho esto, apreciaremos que, como suele ocurrir con las polemicasentre grandes, ambos tenıan razon.

Sistemas Inerciales y no Inerciales. ¿Quien es quien?

La interpretacion usual de la teorıa de Newton supone la existencia de unos “movimien-tos ideales”, o inerciales, que son los que seguirıan los cuerpos en ausencia de cualquiertipo de fuerzas ‘genuinas’ sobre ellos, y a continuacion refiere los movimientos realesen presencia de gravitacion a esos movimientos “ideales” mediante las ecuaciones deNewton. Si la Luna siguiera dicho movimiento “ideal” se alejarıa de la Tierra segunla tangente instantanea a su orbita. Pero de hecho la la Luna, en su movimiento real“circular” alrededor de la Tierra esta constantemente cayendo hacia ella con una ciertaaceleracion con respecto al movimiento “ideal” instantaneo que serıa rectilıneo y uni-forme, segun la tangente al cırculo.

Por tanto la idea basica podrıa formularse ası: si no hubiera fuerzas, ni gravitatoriasni de ningun otro tipo, el movimiento de un cuerpo cualquiera serıa un movimiento“ideal” inercial, rectılineo y uniforme. Cuando hay fuerzas, sean estas gravitatorias o decualquier otro origen (electromagneticas, de rozamiento, elasticas, etc.), el movimientose desvıa del “ideal” inercial, y esta desviacion se entiende como causada por la fuerzaexterna F vıa la usual ecuacion de Newton: la aceleracion del movimiento de unapartıcula de masa m, relativamente a los movimientos ideales inerciales es F /m.

Todo esto estarıa muy bien si hubiera un criterio independiente que permitiera dis-tinguir sin ambiguedad los movimientos ideales inerciales. Pero parece imposible dartal criterio al margen del conjunto de las leyes de la dinamica newtoniana. Precisa yexactamente, esta era la objecion central en la que basaban los cientıficos continentalessu oposicion a la idea del espacio absoluto —alguno de cuyos ecos se recogen en la parteque atane al espacio y al tiempo en la polemica Leibniz–Clarke, en la que realmenteClarke actuaba como portavoz de las ideas de Newton—.

Newton pretendio zanjar la cuestion de una manera expeditiva, —y que hoy, con lasherramientas matematicas disponibles podemos reconocer como una de las posibilidadescorrectas— mediante la introduccion del espacio absoluto. Se trata, en el fondo, de unfantasma cuya unica funcion es distinguir entre los movimientos inerciales ideales y losdemas. Cuando antes se ha dicho que si no hubiera fuerzas externas, gravitatorias o deotro tipo, el movimiento de un cuerpo cualquiera serıa un movimiento “ideal” inercial,


rectilineo y uniforme, sibilinamente se ha omitido la pregunta: rectilıneo y uniforme,¿con respecto a que? La unica funcion del espacio absoluto es la de dar una respuestade emergencia a esa pregunta: rectilıneo y uniforme, con respecto al espacio absoluto.Aceptar el espacio absoluto permite distinguir entre aquellos sistemas de referencia queesten en reposo o movimiento rectilıneo uniforme con respecto al espacio absoluto (queson precisamente los llamados sistemas inerciales, SRI) de los demas sistemas de refer-encia (llamados sistemas no inerciales, SRnI) cuyo movimiento relativamente al espacioabsoluto es de cualquier otro tipo (incluyendo una traslacion que no sea rectilınea yuniforme, sino acelerada, o una rotacion de cualquier tipo, aunque sea uniforme, o bienambas simultaneamente). Y obviamente, la idea de movimiento rectilıneo y uniforme,con respecto al espacio absoluto se traduce de inmediato en movimiento rectilıneo yuniforme, con respecto a cualquier sistema de referencia inercial. Esta es la caracteri-zacion habitual de la ley de inercia; no hace falta ser muy inquisitivo para sentir ciertacircularidad, ya que se describen los SRI como aquellos en los que la ley de inercia sesatisface, y la ley de inercia como caracterizando el movimiento en ausencia de fuerzasen un SRI.

Un aspecto de la crıtica de Leibniz podrıa centrarse en la siguiente pregunta: si lageometrıa del 3-espacio es euclıdea, tanto vista en el 3-espacio de un SRI como en el deun SRnI, ¿como podemos zanjar la discusion sobre si un sistema de referencia rıgido semueve o no con respecto al espacio absoluto?

Newton dio una respuesta satisfactoria a otra pregunta algo mas especıfica: segun el,el movimiento de rotacion con respecto al espacio absoluto sı que es distinguible: bastaobservar la aparicion de fuerzas centrıfugas. Ası, la superficie del agua en un caldero queeste en reposo con respecto al espacio absoluto es plana, pero deja de serlo, para adoptaruna forma de paraboloide en cuanto el caldero rota con respecto al espacio absoluto [Unexperimento esta al alcance de cualquiera con un cuenco con agua en el plato de untocadiscos de discos de vinilo; haced el experimento antes de que estos desaparezcan].Como esta diferencia es observable, la idea de rotacion absoluta (rotacion con respectoal espacio absoluto) tiene segun Newton, un status fısico aceptable.

Pero el movimiento rıgido mas general, aparte de su eventual rotacion con respectoal espacio absoluto, tiene tambien una componente de traslacion, posiblemente acele-rada; en lo que respecta a este movimiento no parece existir ningun procedimientopara determinar la aceleracion absoluta (aceleracion con respecto al espacio absoluto).Esta imposibilidad, entendida como la afirmacion de una propiedad de la Naturaleza,es el contenido esencial del principio de equivalencia: un campo gravitatorio uniformeproduce los mismos efectos que un movimiento acelerado del sistema de referencia.

La aceptacion historica de la Teorıa Newtoniana de la Gravitacion (T.N.G.) fuerelativamente lenta, y estuvo precedida por una fuerte reaccion de desagrado inicialentre varios de los grandes cientıficos del siglo XVIII (Leibniz, Huygens) y con im-portantes crıticas posteriores por parte de los filosofos empiristas britanicos (Berkeley,Hume). Solo paulatinamente fueron quedando estos crıticos relegados, vencidos —queno convencidos— por los exitos repetidos y abrumadores de la teorıa de Newton. Con eltiempo, la mayor parte de los cientıficos adoptaron la actitud pragmatica “si funciona,no lo arregles”, evitando entrar siquiera en la discusion sobre el status del espacio ab-soluto, que todos reconocıan como una cuestion obscura.

Las razones ultimas de este desagrado eran dos: una es que los movimientos “ideales”


son estrictamente inobservables y por tanto no deberıan aparecer en la formulacion de lasteorıas; la otra es que la idea de accion a distancia con propagacion instantanea resultaharto inquietante. La historia de la teorıa de la gravitacion esta ligada a los intentosde eliminar estos dos molestos fantasmas. Pero una cosa es reconocer que se trata defantasmas cuya eliminacion es deseable —reconocimiento que estaba al alcance de losgrandes de la epoca— y otra muy diferente es ser capaz de hacerlo; las matematicasdel siglo XVIII carecıan de las herramientas necesarias, que con gran esfuerzo se fuerondesarrollando durante el siglo XIX y principios del XX, precedidas por mas de 2000anos de reflexion sobre la fundamentacion de la geometrıa. Siendo mas consciente quemuchos de sus continuadores de las debilidades del edificio que construyo, y posiblementetambien entendiendo que las criticas de los cartesianos eran pertinentes, al parecerNewton fue tambien lucido al reconocer que la unica posibilidad de progreso abiertaen su epoca era seguir el camino que el siguio: aceptar al espacio absoluto como unhuesped indeseable pero que no podemos rechazar, esperando que el futuro se encarguede aclarar las cosas. La misma postura tomaron, abiertamente, muchos de los cientıficosposteriores (p. ej. Euler).

Sistemas Inerciales, no inerciales y la ley de inercia.

El papel del espacio absoluto es simplemente el de proporcionar un marco en el quelos movimientos “ideales” inerciales aparezcan como movimientos rectilıneos uniformes(a velocidad constante). Un movimiento real bajo la accion de fuerzas genuinas —sean estas gravitatorias o no— se describe mediante su desviacion con respecto a losmovimientos “inerciales”, desviacion que se mide por la aceleracion; por ello en lossistemas de referencia inerciales (en estado de reposo o de movimiento uniforme conrespecto al espacio absoluto) las aceleraciones que aparecen en la ley de Newton sonexclusivamente las debidas a las fuerzas externas, mientras que nos vemos obligados aintroducir unas fuerzas auxiliares o de inercia cuando se trata de describir el movimientode un cuerpo en un sistema de referencia que este en movimiento arbitrario con respectoal espacio absoluto.

La forma convencional de distinguir entre sistemas de referencia inerciales y no iner-ciales es postular el principio de inercia:

Principio de inercia, formulacion convencional: Existen ciertos sistemas de referenciaprivilegiados o inerciales, con respecto a los cuales los movimientos “ideales” inercialesaparecen como teniendo aceleracion nula:

d2xI(t)dt2

= 0 (2.38)

Podemos ahora plantear la siguiente pregunta: ¿como se verıan los movimientos “ide-ales” inerciales desde el punto de vista de un sistema de referencia no inercial? Estacuestion ya se discutio en la primera parte de estas notas: resulta que cuando la posicionse describe en uno de tales sistemas (componentes cartesianas del vector posicion de-notadas xi), ya no es cierto que los movimientos “ideales” inerciales aparezcan comoteniendo aceleracion nula; por el contrario, presentan aceleraciones que dependen delmovimiento del sistema no inercial relativamente al espacio absoluto (o, lo que es lo


mismo, respecto a un sistema inercial), que desaparecen cuando el movimiento del SRrespecto al espacio absoluto es una traslacion rectilınea y uniforme, a velocidad con-stante, y sin rotacion. Como vimos en el Capıtulo I, la ecuacion que describe losmovimientos “ideales” inerciales en un sistema de referencia no inercial es:

d2xk(t)dt2

=d2ak

dt2+ Ωk

i − ΩkjΩj

i(xi(t)− ai(t)) + 2Ωkid(xi(t)− ai(t))

dt. (2.39)

en donde no aparece la masa de la partıcula test; el caracter no inercial del sistema dereferencia esta descrito por las funciones del tiempo ak(t),Ωk

i(t) que corresponden re-spectivamente al movimiento de traslacion y de rotacion con respecto al espacio absoluto(recordemos que dRi

I(t)dt = Ωi

k(t) RkI(t)).

En presencia de la accion conjunta de fuerzas de naturaleza gravitatoria, electro-magnetica, elastica, de rozamiento, etc., englobadas en una unica resultante F , que esun vector espacial cuyas componentes en el sistema de referencia mas general no inercialarbitrario son F i(t, xl), las correspondientes ecuaciones de movimiento serıan:

md2xk(t)

dt2= F k(t, xl)+m

d2ak

dt2+ Ωk

i − ΩkjΩj


dt

.

(2.40)en donde en el segundo miembro, aparte de las fuerzas genuinas F , aparecen otrosterminos, encerrados en que podemos, si queremos, entender como las fuerzas in-erciales; su unica funcion es salvar formalmente la ecuacion de Newton. Las fuerzasde inercia que actuan sobre una partıcula de masa m en un sistema de referencia noinercial resultan estrictamente proporcionales a m. Como tales fuerzas no aparecen siel sistema de referencia es inercial, a veces se las califica como ficticias, ya que simple-mente desaparecen o cambian cuando el movimiento se describe desde otro sistema dereferencia, lo que no ocurre con la fuerza gravitatoria que esta siempre presente, pero esmanifiesto que sus efectos son tan reales como los de las fuerzas de origen gravitatorio,electromagnetico, etc. Cuando interese distinguirlas de las fuerzas de otro origen quehemos llamado genuinas, llamaremos auxiliares a las fuerzas de inercia.

El punto de vista newtoniano es comenza analizando las ecuaciones en ausencia deotras fuerzas (esto es, cuando solo hay fuerzas inerciales auxiliares) y despues referirel movimiento en presencia de fuerzas adicionales anadiendo las expresiones oportunaspara F .

La estructura geometrica del Espacio-Tiempo newtoniano y la ‘conexioninercial’.

El espacio-tiempo newtoniano es una variedad de cuatro dimensiones, en la que unsuceso esta especificado por cuatro coordenadas, que colectivamente denotaremos xµ.Sistematicamente emplearemos el convenio de asignar valores µ = 0, 1, 2, 3 a los ındicesgriegos, e i = 1, 2, 3 a los ındices latinos. Consideraremos sucesivamente la descripcionque se harıa de la situacion desde un sistema de referencia globalmente inercial SRI en elque las coordenadas de un suceso son (t, xI) con t el tiempo (newtoniano, absoluto) y xI

las coordenadas cartesianas usuales, o desde un sistema de referencia no inercial, SRnI,en cuyo caso las coordenadas (t, xi) corresponden al tiempo (newtoniano, absoluto)


y a las coordenadas cartesianas usuales relativas al SRnI. Para estos dos sistemas decoordenadas (t, xI), (t, xi), el ındice 0 se reservara siempre para la coordenada t, x0 ≡ t,mientras que los ındices latinos hacen referencia a las tres componentes ordinarias dela posicion; los ındices mayusculos serviran para enfatizar o recordar que el sistema dereferencia en uso tiene un caracter globalmente inercial.

Naturalmente, el uso de estas coordenadas tan particulares no es obligatorio. Pode-mos perfectamente usar cualquier otro sistema de coordenadas, dado por cuatro fun-ciones arbitrarias xµ(t, xI) o xµ(t, xi) (con las limitaciones usuales de que el jacobianode la transformacion sea diferente de cero). Pero en la practica, la coordenada temporalprivilegiada es el tiempo absoluto, y usar otra simplemente oscurece las expresiones.Como coordenadas espaciales, se puede y a veces conviene usar coordenadas no carte-sianas, como las esfericas (r, θ, φ) en problemas con simetrıa esferica.

Observense dos puntos importantes: 1) estamos asumiendo el tiempo absoluto dela fısica newtoniana, al escoger t como coordenada que se identifica con la duraciontemporal y que coincide en todos los SR, tanto inerciales como no inerciales; 2) deuna manera un poco mas solapada, estamos tambien asumiendo implıcitamente que elespacio es euclıdeo, al decir que escogemos coordenadas (cartesianas) xI , xi en las quela metrica esta dada por el tensor δIJ , δij .

El enunciado convencional de la ley de inercia, y la idea de que los sistemas de re-ferencia inerciales son aquellos que se encuentran en movimiento rectilıneo y uniformecon respecto al espacio absoluto se traduce de manera matematicamente impecablemediante la siguiente idea:

Principio de inercia, formulacion de Cartan: En el espacio-tiempo hay una conexion,denominada conexion inercial, cuyas autoparalelas D

Dτdxµ

dτ = 0 son exactamente losmovimientos inerciales ideales.

Las expresiones explıcitas de los coeficientes de la conexion como funcion de las coor-denadas dependeran del sistema de referencia y de coordenadas que se use, y debemosesperar que sean mas simples en ciertos sistemas de referencia y de coordenadas ’adap-tados’.

Pasemos a comprobar que efectivamente es posible encontrar una conexion cuyasautoparalelas son exactamente los movimientos inerciales ideales. Por motivos quequedaran claros enseguida, a esta conexion no la denotaremos con el sımbolo tradi-cional Γ para las conexiones, sino como Λ. La idea basica es que en un sistema dereferencia inercial, y en coordenadas cartesianas relativas al SRI, todos los coeficientesde la conexion ‘inercial’ Λ son nulos:

Λ000(t, xM ) = 0, Λ0

J0(t, xM ) = Λ00J(t, xM ) = 0, Λ0

JK(t, xM ) = 0, (2.41)

ΛI00(t, xM ) = 0, ΛI

J0(t, xM ) = ΛI0J(t, xM ) = 0, ΛI

JK(t, xM ) = 0, (2.42)

Veamos ahora que, en efecto, la ecuacion de las autoparalelas de esta conexion, en elSRI coincide con la ecuacion habitualmente usada para caracterizar el movimiento ‘ideal’inercial (2.38). Las ecuaciones de las autoparalelas de la conexion Λµ

αβ , en coordenadasarbitrarias y referidas al parametro afın τ son:

d2xµ

dτ2+ Λµ

αβdxα

dτ

dxβ

dτ= 0, (2.43)


que se reducen inmediatamente en las coordenadas (t, xM ) usando la eleccion de loscoeficientes de conexion (2.41), (2.42) a cuatro ecuaciones:

d2xµ

dτ2= 0. (2.44)

La ecuacion µ = 0 queda:d2x0

dτ2= 0 (2.45)

cuya solucion general x0 = cte τ + cte indica que salvo un cambio trivial de origen y deescala, el parametro afın τ de las autoparalelas se identifica con la coordenada x0 ≡ t.Asumiendo la identificacion entre el parametro τ y tiempo absoluto t, las tres ecuacionesrestantes quedan:

d2xI

dt2= 0. (2.46)

que es exactamente lo que estipula la formulacion convencional de la ley de inercia.Esto resulta decepcionantemente simple, y seguramente parece una construccion muy

artificial la primera vez que uno se encuentra con ella. Pero es la manera en la quelas matematicas nos dicen que se debe entender el espacio absoluto. Cuando Newtondecıa: sistema de referencia en reposo o en movimiento uniforme con respecto al espacioabsoluto, lo que estaba diciendo era: sistema de referencia en el que, en coordenadascartesianas, todas las componentes de la conexion inercial se anulan.

• ejercicio 2.16. Si en un sistema original de referencia (t, xI) la conexion Λ tiene nulos todos

sus coeficientes, se pide usar la ley de transformacion de una conexion para encontrar como son

los coeficientes de Λ en el sistema de referencia cuya relacion con el original es:

xI′ = RI′I xI + vI′ t + aI′ . (2.47)

con RI′I una rotacion fija, independiente del tiempo, y vI′ , aI′ son constantes. Evidentemente,

este cambio de coordenadas pasa de un sistema de referencia a otro que se mueve con respecto al

primero con movimiento uniforme, por tanto el nuevo sistema tambien es inercial. El resultado

correcto es que en el nuevo sistema de coordenadas (t, xI′ ) todos los coeficientes de conexion son

nulos. [Ayuda: basta observar que las ecuaciones del cambio de coordenadas (t, xI) → (t, xI′ ) son

lineales.]

Por lo tanto, tenemos una caracterizacion de los sistemas de referencia inerciales enterminos de la conexion Λ: los sistemas de referencia inerciales son aquellos en los que,en coordenadas espaciales cartesianas, la ‘conexion inercial’ es nula.

Pasemos ahora a un sistema de referencia general no inercial, y denotemos (xi) lascoordenadas cartesianas en el. El tiempo universal es el mismo en el nuevo sistema queen el antiguo, y las relaciones entre las “coordenadas inerciales I” y las “no inercialesi” son (1.27):

xi = RiI(t) xI + ai(t). (2.48)

en donde la novedad con relacion a (2.47) es que el movimiento de traslacion tieneuna dependencia arbitraria del tiempo (en vez del movimiento uniforme, a velocidadconstante que corresponde a la forma particular ai(t) = vit + ai) y la rotacion depende


tambien del tiempo; ya no es una simple reorientacion de los ejes de coordenadas comoen (2.47).

• ejercicio 2.17. Si en un sistema original de referencia (t, xI) la conexion Λ tiene nulos todos

sus coeficientes, se pide usar la ley de transformacion de una conexion para encontrar como son

los coeficientes de Λ en el nuevo sistema de referencia no inercial cuya relacion con el original es:

xi = RiI(t) xI + ai(t).

con RiI(t) una rotacion dependiente del tiempo de manera arbitraria, y ai(t) un vector, depen-

diente del tiempo tambien de manera arbitraria. Este cambio de coordenadas pasa de un sistema

de referencia a otro que se mueve aceleradamente y rota con respecto al primero. Comprobar

que en el nuevo sistema de coordenadas (t, xi) algunos coeficientes de conexion son no nulos, y

encontrar sus expresiones explıcitas. [Ayuda: como en el sistema original la conexion es nula

basta considerar la parte inhomogenea de la ley de transformacion].

El resultado del ejercicio precedente es que en el nuevo sistema de referencia noinercial, la conexion es:

Λ000 = 0, Λ0

0j = Λ0j0 = 0, Λ0

jk = 0 (2.49)

Λi00 = −Ωi

l − ΩijΩj

lxl −[d2ai(t)

dt2− 2Ωi

ldal(t)

dt− Ωi

l − ΩijΩj

lal(t)]

,(2.50)

Λi0j = Λi

j0 = −Ωij(t), (2.51)

Λijk = 0. (2.52)

Notese que los coeficientes de conexion no nulos dependen de (t, xi) de una manera muyespecial: la dependencia en las coordenadas espaciales aparece solo en el coeficienteΛi

00 y es lineal; el resto de la dependencia es solo del tiempo, a traves de Ωij(t) en

Λi0j = Λi

j0 y de las dos expresiones (que dependen de Ωij(t) y de ai(t)) que aparecen

entre llaves y entre corchetes en Λi00 (2.50).

• ejercicio 2.18. Comprobar que las ecuaciones de las autoparalelas en un sistema de referencia

no inercial incluyen la relacion τ = t y la ecuacion (2.39). [Ayuda: desglosar la ecuacion de las

autoparalelas en la forma

d2x0

dτ2+ Λ0

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2Λ0

0jdx0

dτ

dxj

dτ+ Λ0

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0, (2.53)

d2xi

dτ2+ Λi

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2Λi

0jdx0

dτ

dxj

dτ+ Λi

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0, i = 1, 2, 3. (2.54)

y ver que de la primera ecuacion se deriva τ = t salvo cambio de origen y escala, y entonces la

segunda coincide exactamente con (2.39)]

Ahora comienza a emerger lo interesante de este enfoque, que revela la autenticanaturaleza de las fuerzas de inercia: estas fuerzas estan descritas por una conexion enel espacio-tiempo. Las ecuaciones de las autoparalelas para la conexion (2.41)–(2.42), olo que es lo mismo, (2.49)–(2.52) contienen a la vez la identificacion del parametro afınτ con el tiempo absoluto y las ecuaciones de los movimientos “ideales inerciales” de lateorıa newtoniana. Por lo tanto es posible interpretar la ley de inercia en terminos de


una conexion. Esta forma de hablar es un eufemismo; realmente, no es que sea posible,es que debe hacerse ası; lo reconocio con claridad por primera vez Cartan, aunque estabaimplıcito en la teorıa de Einstein. Y con esta idea el espacio absoluto se reviste de unropaje matematico bien definido: traduce la existencia de una ‘conexion inercial’ en elespacio-tiempo.

El tensor de curvatura de esta conexion se obtiene sin nigun calculo: ya que enciertos sistemas de coordenadas la conexion Λ es nula, el tensor de curvatura de Λse anula identicamente. Desde este punto de vista, que es el Newtoniano estricto, estajustificado decir que el espacio-tiempo no tiene curvatura, y por tanto es rıgido, insensiblea la presencia de materia, etc. Aunque el enunciado de la teorıa newtoniana en estosterminos se debe a Cartan (1923), es seguro que este enunciado no hace sino traducira un lenguaje matematico preciso lo que tenıan implıcitamente en mente aquellos queentendıan de verdad de que hablaban cuando hablaban del espacio absoluto, aunque loexpresaran de una manera matematicamente tosca.

La base empırica de la ley de inercia y su sustitucion por el principio deGalileo.

Una cosa es haber encontrado una manera matematicamente satisfactoria de enun-ciar la ley de inercia newtoniana, y otra muy diferente la evidencia experimental,basada en resultados empıricos, que pueda encontrarse para apoyar dicha interpretacionmatematica. Cuando este aspecto se toma en consideracion, lo que la naturalezanos sugiere es que toda la construccion anterior es matematicamente consistente perofısicamente insatisfactoria, lo que finalmente reivindica el rechazo a la idea del espacioabsoluto que avanzaron Leibniz y otros. Pero, como suele ocurrir, veremos que las nuevasideas que toman el relevo estan implıcitamente sugeridas por el intento insatisfactorioque acabamos de describir.

La pregunta esencial es: ¿son observables los movimientos “ideales inerciales”? ¿Quienserıa el mejor candidato a partıcula test en movimiento “ideal inercial”? Las fuerzas deorigen electromagnetico pueden eliminarse si tomamos una partıcula sin carga electricay sin momentos multipolares electricos ni magneticos. Las fuerzas de rozamiento conel aire pueden eliminarse haciendo el vacıo; las de rozamiento ordinario evitando elcontacto. Otras fuerzas pueden descartarse mediante una preparacion adecuada. Peroproducir un movimiento “ideal inercial”, que exige la ausencia total de fuerzas, requerirıadesconectar las fuerzas gravitatorias, de lo que no hay manera; a diferencia de las fuerzaselectromagneticas sobre un sistema test que se ‘desenchufan’ sin mas que eliminar lacarga electrica —y los momentos dipolares, cuadrupolares, etc.— del sistema test, lamasa gravitatoria tiene siempre el mismo signo, lo que hace que literalmente hablandono podamos desconectar la gravitacion.

Para verlo mas formalmente, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una partıculacon masa gravitatoria pasiva mgr es mgrg, donde g es la familiar intensidad de campogravitatorio. En consecuencia, en el sistema de referencia no inercial mas general, laecuacion de movimiento de la partıcula es:

md2xk(t)

dt2= mgrg

k(t, xl(t))+m

d2ak

dt2+ Ωk

i − ΩkjΩj


dt

.

(2.55)


en donde dividiendo por la masa inercial m de la partıcula test se obtiene:

d2xk(t)dt2

=mgr

mgk(t, xl(t))+

d2ak

dt2+ Ωk

i − ΩkjΩj


dt

.

(2.56)Si midiendo las posiciones, velocidades y aceleraciones de un numero suficiente departıculas en caıda libre en el campo gravitatorio relativamente a este sistema de refe-rencia fuera posible encontrar separadamente el vector intensidad de campo gravitatoriogk(t, xl) en cada punto del espacio-tiempo y las dos cantidades ak(t),Ωk

j(t) como fun-ciones solamente del tiempo, entonces la forma usual de la ley de inercia tendrıa unabase empırica clara. Este serıa el caso si existieran partıculas con diferentes cocientes(mgr/m) —que podrıa llamarse masa gravitatoria especıfica—. Midiendo posiciones,velocidades y aceleraciones de varias partıculas con cocientes (mgr/m) diferentes, sepodrıa descontar sin ambiguedad el termino en gk(t, xl), y del resto se podrıa recuperarsin tampoco ambiguedad las dos cantidades ak(t),Ωk

j(t).Pero no parece que esa sea la situacion experimental. Por el contrario, toda la eviden-

cia experimental apoya muy fuertemente la suposicion de que en la naturaleza el cociente(mgr/m) es el mismo para todas las partıculas, independientemente de su naturaleza,composicion quımica, etc. (En la primera parte revisamos la impresionante precisioncon que esta idea se ha comprobado experimentalmente).

En estas circunstancias, la esperanza de usar la ecuacion (2.56) para dotar de con-tenido empırico a la ley de inercia se desvanece: si el cociente (mgrav/m) es una con-stante universal, que podemos hacer igual a 1 escogiendo adecuadamente las unidadesde medida de mgr por ejemplo, entonces es facil ver que la ecuacion

d2xk(t)dt2

= gk(t, xl(t))+

d2ak

dt2+ Ωk

i − ΩkjΩj


dt

.

(2.57)en la que todas las masas han desaparecido, permite medir Ωk

j(t) —como correctay astutamente vio Newton—, y tambien la combinacion gk(t, xl(t)) + d2ak

dt2 , pero nogk(t, xl(t)) y ak(t) separadamente.

Se conoce como principio de equivalencia debil o principio de Galileo la hipotesisde que en la naturaleza el cociente (mgr/m) es el mismo para todas las partıculas,independientemente de su naturaleza, composicion quımica, etc. Se suele enunciar talprincipio a traves de su consecuencia:

Principio de equivalencia debil: Las orbitas de partıculas test neutras, en caıda libreen un campo gravitatorio dado son independientes de la masa y composicion de laspartıculas test, y estan determinadas unicamente por su posicion y velocidad inicial.

Esta es la idea en la que Einstein baso su teorıa relativista de la gravitacion. Nadiehabıa reparado antes en formular explıcitamente este principio dentro de una teorıaclasica de la gravitacion, pero es manifiesto que el rango de validez incluye el dominiono-relativista.

Si se acepta el principio de equivalencia debil (o de Galileo) resultan dos consecuen-cias. Primero, lo que antes era una misteriosa semejanza entre las fuerzas gravitatorias


y las de inercia, un hecho para el que no hay razon fısica aparente —a saber— la propor-cionalidad estricta de las masas inercial y gravitatoria, queda incorporada de maneranatural. Y segundo, resulta imposible medir la intensidad de campo gravitatorio demanera inambigua: lo unico que es medible de manera inambigua es la combinaciongk(t, xl(t)) + d2ak

dt2 .El camino a seguir ahora es claro: como ya sabemos que las fuerzas inerciales se de-

scriben correctamente mediante una conexion, intentemos describir conjuntamente lasfuerzas gravitatorias y las inerciales mediante una sola conexion, que ahora sı llamare-mos Γ, y que es diferente de la anterior Λ. No es demasiado atrevido conjeturar que, sinpoderlo formular de manera matematicamente precisa, este camino era el que hubieranpreferido seguir los oponentes continentales de Newton.

La conexion ‘gravitatorio-inercial’ o de caıda libre.

Lo que se pretende ahora es abordar una interpretacion alternativa de la TeorıaNewtoniana de la Gravitacion de modo que la gravitacion aparezca como una mani-festacion de curvatura del espacio–tiempo. En esa interpretacion el espacio absoluto—representado por la conexion ∆— desaparece completamente de la escena.

En una primera etapa, nos limitaremos sucesivamente a comprobar que en efecto, lasecuaciones de movimiento (1.9)/(1.30) son las ecuaciones de las autoparalelas (geodesicas)de una cierta conexion en el espacio–tiempo, que las ecuaciones de separacion de marea(1.15)/(1.31) son las ecuaciones de desviacion geodesica para la aceleracion (covariante)de la separacion relativa entre autoparalelas de esa conexion (lo que permite identificarel tensor de marea con las componentes posiblemente no nulas del tensor de curvatura),y que finalmente, las ecuaciones del propio campo gravitatorio (1.17)/(1.37) se leen demodo muy simple en terminos del tensor de curvatura de la conexion: la unica com-ponente no nula del tensor de Ricci (una contraccion del tensor de curvatura de laconexion) es proporcional a la densidad de masa.

La ‘conexion gravitatorio-inercial’ en un sistema de referencia inercial

¿Es posible identificar los movimientos en caıda libre en un campo gravitatorio conlas lıneas autoparalelas (geodesicas) de una conexion Γµ

αβ? La respuesta es afirmativa.El hecho de que una curva sea autoparalela de la conexion es intrınseco y no dependedel sistema de coordenadas, de modo que la interpretacion que ası se obtiene entre losmovimientos en caıda libre en el campo gravitatorio y las autoparalelas de la conexionresulta independiente del sistema de coordenadas.

Comencemos el ejercicio considerando un SRI. Se trata de identificar la ecuacion decaıda libre en el campo gravitatorio, (1.9),

d2xI(t)dt2

= −δIL ∂ϕ(t, xM )∂xL

, (2.58)

con las ecuaciones de las autoparalelas de la conexion Γµαβ , referidas al parametro afın

τ , que son:d2xµ

dτ2+ Γµ

αβdxα

dτ

dxβ

dτ= 0. (2.59)


Para llevar a cabo esta identificacion, procede separar explıcitamente la ecuacionµ = 0 de las tres ecuaciones µ = I, y en cada una de ellas ademas separar los terminosen la suma doble en α, β que corresponden a las alternativas α = 0, J o β = 0,K,manteniendo el convenio de suma en ındices espaciales I, J,K repetidos. Ello lleva a:

d2x0

dτ2+ Γ0

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2Γ0

0Jdx0

dτ

dxJ

dτ+ Γ0

JKdxJ

dτ

dxK

dτ= 0,

d2xI

dτ2+ ΓI

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2ΓI

0Jdx0

dτ

dxJ

dτ+ ΓI

JKdxJ

dτ

dxK

dτ= 0, I = 1, 2, 3

La eleccion:

Γ000 = 0, Γ0

J0 = Γ00J = 0, Γ0

JK = 0, (2.60)

ΓI00(x, t) = δIM ∂ϕ(x, t)

∂xM, ΓI

J0 = ΓI0J = 0, ΓI

JK = 0, (2.61)

hace que la componente µ = 0 de la ecuacion de las autoparalelas se reduzca a

d2x0

dτ2= 0 (2.62)

cuya solucion general x0 = cte τ +cte indica que un cambio trivial de origen y de escalareducen las constantes a 1 y 0, de manera que el parametro afın τ de las autoparalelasτ se identifica con la coordenada x0 ≡ t. Habida cuenta de τ = t y de dx0

dt = 1, las tresrestantes componentes µ = I de las autoparalelas quedan:

d2xI

dt2+ ΓI

00 + 2ΓI0J

dxJ

dt+ ΓI

JKdxJ

dt

dxK

dt= 0, I = 1, 2, 3 (2.63)

que para la eleccion (2.61) se reducen exactamente a la ecuacion de caıda libre (2.58).Es pertinente hacer aquı una pequena disgresion: la ecuacion (2.63) en su forma mas

general, para una conexion dada por (2.60) pero con ΓI00,ΓI

J0 = ΓI0J ,ΓI

JK que seanfunciones de las coordenadas mas generales que las dadas en (2.61) podrıa verse comouna ‘ecuacion de Newton’ para unas ‘fuerzas’ mucho mas generales que las habituales,con terminos lineales y cuadraticos en las velocidades (que aparecerıan descritas me-diante los coeficientes ΓI

J0 = ΓI0J y ΓI

JK de la conexion), ademas de los terminosordinarios, independientes de la velocidad (como las gravitatorias ordinarias) que es-taran descritas por los coeficientes ΓI

00. De nuevo aquı aparece una analogıa con elelectromagnetismo, en donde ademas de las fuerzas electrostaticas hay tambien fuerzas(magneticas) lineales en la velocidad; las fuerzas cuadraticas en las velocidades no tienenanalogo en electromagnetismo. La eleccion de la conexion (2.61), que estipula la an-ulacion de las ‘posibles’ componentes adicionales de las fuerzas gravitatorias que seanlineales y cuadraticas en las velocidades puede verse como un reflejo de que en la teorıade gravitacion de Newton las fuerzas gravitatorias sobre una partıcula test son indepen-dientes de la velocidad de dicha partıcula; en terminos imprecisos pero sugerentes, elcampo gravitatorio newtoniano carece de un campo ‘gravimagnetico’ asociado, que serıaun campo especıfico, creado por la masa en movimiento y distinto del gravitatorio usual.


Dicho de otro modo: la gravitacion newtoniana resulta analoga a la electrostatica, endonde los efectos magneticos no aparecen; en la naturaleza sı que parece haber efectosde tipo gravimagnetico y por tanto la teorıa newtoniana de la gravitacion, al igual quela electrostatica, es solo una aproximacion.

Resumiendo: las ecuaciones de las autoparalelas para la conexion (2.60)–(2.61) con-tienen a la vez la identificacion del parametro afın τ con el tiempo absoluto y las ecua-ciones de caıda libre (2.58). Por lo tanto es posible interpretar el movimiento en caıdalibre bajo el campo gravitatorio con las autoparalelas de la conexion gravitatorio-inercialo de caıda libre Γ, dada en un SRI por (2.60)–(2.61). Naturalmente, la nueva conexionno es la ‘conexion inercial’ Λ que incorporaba exclusivamente las fuerzas de inercia.

El tensor de curvatura de la conexion Γ se calcula sin gran dificultad y ahora resultano nulo; las componentes RI

0J0 y RI00J son diferentes de cero:

RI0J0 = δIK ∂2ϕ(x, t)

∂xK∂xJ, RI

00J = −RI0J0 demas Rµ

ναβ = 0 (2.64)

donde se ve que esencialmente, las componentes no nulas del tensor de curvatura de laconexion gravitatorio-inercial de caıda libre son las componentes del tensor de mareaordinario,

RI0J0 ≡ AI

J (2.65)

Debe observarse en particular: a) todas las componentes R0ναβ = 0 (anulacion ligada

con el tiempo absoluto) y b) que todas las componentes puramente espaciales del tensorde curvatura tambien se anulan, RI

JKL = 0 lo que corresponde a que el 3-espacio esplano en la teorıa newtoniana. Este mismo resultado tambien se ve en la expresion dela conexion: del hecho de que todos los ΓI

JK(t, x1, x2, x3) = 0 se deriva que el espacioes plano, lo que es consistente con la consideracion implıcita que se ha hecho desde elprincipio, aceptando sin mucha discusion el que las coordenadas xI fueran coordenadascartesianas.

• ejercicio 2.19. Comprobar la expresion (2.64) de las componentes del tensor de curvatura.

La separacion entre dos autoparalelas proximas τ → xµ(τ) y τ → xµ(τ) + ηµ(τ)satisface la ecuacion de desviacion geodesica

D2ηµ(τ)Dτ2

+ Rµναβ

dxν

dτηα dxβ

dτ≈ 0. (2.66)

en la que aparece la derivada covariante del vector separacion ηI(τ) a lo largo de lacurva τ → xµ(τ); recordemos que para un vector arbitrario ξµ(τ) a lo largo de la curva,su derivada covariante esta definida por:

Dξµ(τ)Dτ

=dξµ(τ)

dτ+ Γµ

αβ ξα(τ)dxβ

dτ. (2.67)

Para ver mejor que significa la ecuacion (2.66) desde el punto de vista ordinario 1+3(‘tiempo + espacio’), debemos realizar el descenso desde la notacion ‘cuadridimensional’a la ordinaria tridimensional. Para ello hay que distinguir entre componentes tempo-rales (las que lleven un ındice 0) y espaciales (que llevan un indice I) de los objetos


involucrados (la separacion ηµ, el tensor de curvatura Rµναβ y el vector tangente a

la autoparalela fiducial dxβ

dτ ), y por otro lado, debemos considerar separadamente lasecuaciones µ = 0 y µ = I.

El ejercicio siguiente plantea paso a paso el calculo de la derivada covariante delvector separacion:

• ejercicio 2.20. El vector separacion entre las dos autoparalelas tiene nula la componente η0,

esto es, tiene la forma τ → (η0 = 0, ηI(τ)). Por tanto, aunque se describa como un vector

en el espacio-tiempo (4-vector), se trata realmente de un 3-vector puramente espacial. (Este es

el primer ejemplo del nexo entre la formulacion cuadridimensional, en el espacio-tiempo, y la

descripcion tridimensional ordinaria que emerge de manera natural de la espaciotemporal). El

ejercicio consiste en comprobar que en un sistema de coordenadas en el que la conexion este dada

por (2.60)–(2.61), la derivada covariante de la separacion a lo largo de la geodesica fiducial esta

dada por:Dη0(t)

Dτ= 0,

DηI(t)

Dτ=

dηI(t)

dt. (2.68)

es decir, las componentes espaciales de la derivada covariante de la separacion con respecto al

parametro afın de las autoparalelas coinciden con las derivadas temporales ordinarias.

Para verlo se debe partir de la expresion de la derivada covariante, introduciendo ya la relacion

τ = t:Dηµ(τ)

Dτ=

dηµ(t)

dt+ Γµ

αβdxα

dtηβ(t). (2.69)

y notar los siguientes hechos:

1) Para µ = 0 habida cuenta de (2.60), esta ecuacion se reduce a una identidad 0 = 0

2) Para µ = I, teniendo en cuenta las expresiones (2.61) para la conexion, la derivada covariante de

la separacion ηI(t) a lo largo de la geodesica fiducial tiene, en adicion a la derivada ordinaria,

terminos extra del tipo ΓIαβ

dxα

dtηβ(τ). Al llevar a cabo la suma en α, β, vemos que los

unicos coeficientes de conexion no nulos son los ΓI00, que aparecen acompanados de un factor

dx0

dτη0(τ) que resulta ser identicamente nulo pues η0(τ) = 0. Ası se obtiene el resultado

buscado.

Habiendo obtenido los resultados previos, pasemos a nuestro objetivo que es escribiren forma 3 + 1 la ecuacion de desviacion geodesica (2.66). La componente µ = 0 deestas ecuaciones es una identidad debido a que η0(t) = 0 y R0

ναβ = 0. Tan solo quedanlas tres componentes espaciales µ = I que son:

D2ηI(t)Dt2

+ RIναβ

dxν

dtηα dxβ

dt≈ 0. (2.70)

Ahora debemos tener en cuenta tres hechos: 1) en el sistema de coordenadas en queestamos trabajando las derivadas covariantes de ηI con respecto al tiempo estan dadaspor las derivadas ordinarias (segun (2.68)), 2) al sumar sobre los indices mudos ν α β,solo los elementos RI

0J0 y RI00J del tensor de Riemann RI

ναβ son eventualmentedistintos de 0; estos elementos del tensor de Riemann van acompanados respectivamentede los factores dx0

dt ηJ dx0

dt = ηJ y dx0

dt η0 dxJ

dt = 0, de manera que solo hay contribucionproveniente de RI

0J0 y finalmente la ecuacion anterior se reduce a:

d2ηI(t)dt2

+ RI0J0η

J(t) ≈ 0, (2.71)


que es la ecuacion del campo de marea (1.15) con la identificacion

AIJ ≡ RI

0J0. (2.72)

que ya habıa aparecido en (2.65).En otras palabras: la definicion “fısica” del campo de marea AI

J (1.14) resultacoincidir exactamente con las componentes algebraicamente independientes RI

0J0 deltensor de curvatura (2.64) asociado a la conexion ‘gravitatorio-inercial’ (2.60)–(2.61).

Las ecuaciones del propio campo gravitatorio se escribieron en su momento en terminosdel potencial (1.10), del vector campo gravitatorio (1.4), y del tensor campo de marea(1.17). Ahora podemos anadir un eslabon mas a esa cadena: el campo de marea aparececomo la parte posiblemente no nula del tensor de curvatura. Como consecuencia, laecuacion de Poisson del campo gravitatorio puede expresarse como una relacion entre eltensor de curvatura de la conexion Γ y la densidad de masa:(

∇2φ(x, t) = −divg(x, t) = AII(x, t) =

)RI

0I0(x, t) = 4 π Gρ(x, t) (2.73)

La ultima ecuacion, que es la realmente nueva en la interpretacion de la gravitacioncomo curvatura se formula habitualmente en terminos del tensor de Ricci de la conexion.El tensor de Ricci Rνβ asociado al tensor de curvatura Rµ

ναβ se define como:

Rνβ := Rµνµβ (2.74)

• ejercicio 2.21. Comprobar que para un tensor de curvatura de tipo newtoniano (2.64), en el

que R0ναβ = 0, la suma en los cuatro ındices µ se reduce a una suma en los tres ındices espaciales:

Rνβ := Rµνµβ = R0

ν0β + RIνIβ = RI

νIβ (2.75)

con lo que el tensor de Ricci asociado a (2.64) tiene componentes

R00 = δIM ∂2ϕ

∂xI∂xM= ∇2ϕ, R0I = RI0 = RIJ = 0 (2.76)

que es bastante especial: en un SRI solo la componente R00 puede ser no nula y las demas se

anulan de manera automatica. Esto es analogo a lo que ocurrıa tambien en el tensor de curvatura,

y esta ligado a la estructura del espacio-tiempo newtoniano, especıficamente a la existencia de la

foliacion asociada al tiempo absoluto. La exploracion de esta conexion se propone en una serie de

ejercicios (aun no incluıdos).

Segun las ecuacion del campo (1.10b), el laplaciano del potencial es proporcional ala densidad de masa. Como este laplaciano aparece como la unica componente no nuladel tensor de Ricci, la ecuacion de campo se transcribe:

R00(x, t) = 4 π Gρ(x, t). (2.77)

Conviene recordar que esta no es la unica ecuacion del campo gravitatorio: enterminos del vector campo gravitatorio (1.4) hay otra condicion que expresa el hecho


de que g es un campo irrotacional, que para el campo de marea se traduce en terminosdel tensor de curvatura como:

δIKRK0J0(x, t) = δJKRK

0I0(x, t) (2.78)

Para un tensor de curvatura dado en terminos del potencial mediante (2.64) estacondicion se satisface identicamente y la anterior se reduce a la ecuacion de Poisson.Ambas ecuaciones deben considerarse como las ecuaciones del campo gravitatorio new-toniano.

En resumen: Es posible interpretar el movimiento de caıda libre en un campo gravi-tatorio como movimiento autoparalelo de una conexion gravitatorio-inercial o conexionde caıda libre Γ (que recoge conjuntamente las fuerzas gravitatorias y las inerciales)definida en el espacio-tiempo.

La curvatura de esta conexion, descrita por el tensor de curvatura (2.64), es no nula,de manera que es perfectamente aceptable decir que el espacio-tiempo newtoniano tienecurvatura. Como la teorıa sigue teniendo un tiempo absoluto, la curvatura es bastanteespecial; en particular el propio 3-espacio (cada espacio de simultaneidad absoluta, en uninstante t) es plano. Lo que se obtiene puede describirse como curvatura de un espacio-tiempo con tiempo absoluto y sin curvatura puramente espacial. Esto se ve bien en(2.64), ya que todas las componentes de tipo Rµ

νKL son nulas, y son esas componentesdel tensor de curvatura las que regulan el cambio de un vector en transporte paralelo alo largo de un circuito cerrado puramente espacial, contenido en el 2-plano espacial KL.La interpretacion de la gravitacion newtoniana como teorıa de curvatura del espaciotiempo mantiene un espacio tridimensional sin curvatura espacial; la curvatura solo semanifiesta cuando hay transcurso temporal y es, estrictamente hablando, una propiedaddel espacio-tiempo.

A posteriori, esto justifica el que implıcitamente hayamos estado usando las xI comocoordenadas cartesianas en las que la metrica espacial esta dada por el familiar tensormetrico δIJ . Esto lo hemos estado haciendo sin decirlo muy explıcitamente, pero debequedar claro qu de manera subrepticia hemos estado presuponiendo desde el principioque el espacio fısico es un 3-espacio euclıdeo. Si tal actitud despreocupada funcionaello se debe a que en la teorıa newtoniana las propias ecuaciones del campo gravita-torio implican que la curvatura del espacio tridimensional tiene que ser identicamentenula. En consecuencia, si desde el principio suponemos que el 3-espacio es plano (cur-vatura=0) no caemos despues en inconsistencias ni otras dificultades. Conviene senalarya desde ahora que una de las diferencias esenciales entre la gravitacion Newtoniana yla relativista es que en la teorıa de Einstein, el espacio-tiempo es curvo, y el 3-espaciotambien es curvo lo que allı complica extraordinariamente las cosas ya que entonces nosera posible escoger coordenadas espaciales canonicas —como hemos hecho nosotros conlas xI (o las xi)— en terminos de las cuales toda la descripcion sea tan sencilla y sobretodo tan facilmente visualizable.

La ‘conexion gravitatorio-inercial’ en un sistema de referencia no inercial

La discusion anterior supone un sistema de coordenadas globalmente inercial. ¿Queocurre si planteamos una discusion analoga partiendo de las ecuaciones de movimientoy de marea en un sistema no inercial?


La interpretacion geometrica es la misma: la caıda libre (1.30) corresponde a lasautoparalelas (geodesicas) de la misma conexion, referida ahora a un nuevo sistemade coordenadas; la ecuacion de marea (1.37) se identifica con la misma ecuacion dedesviacion geodesica en las nuevas coordenadas; el campo de marea son las componentesesenciales del tensor de curvatura de la conexion, y las ecuaciones de campo relacionanla componente ‘tiempo-tiempo’ R00 del tensor de Ricci con la densidad de masa en elsistema no inercial, exactamente de la misma forma que en el sistema de referenciainercial.

Ası pues, el proceso de analisis que comenzamos caracterizando la gravitacion como“aceleracion de la separacion relativa en caıda libre” se cierra produciendo una de-scripcion que resulta ser valida en cualquier sistema de coordenadas, sea este inercial ono. Veamos las expresiones.

Sean (xi) las coordenadas cartesianas en un sistema de referencia no inercial arbi-trario. El tiempo universal es el mismo en el nuevo sistema que en el antiguo, y lasrelaciones entre las “coordenadas inerciales I” y las “no inerciales i” es (1.27):

xi = RiI(t) xI + ai(t). (2.79)

Las ecuaciones de caıda libre y de marea en el sistema no inercial son (1.30) y (1.31).Ambas resultan ser la ecuacion de las autoparalelas y la ecuacion de desviacion geodesicapara la separacion relativa entre dos autoparalelas.

Comencemos por la identificacion de la caıda libre (1.30)

d2xk(t)dt2

= −δki ∂ϕ

∂xi+

d2ak

dt2+Ωk

i−ΩkjΩj

i(xi(t)−ai(t))+2 Ωkid(xi(t)− ai(t))

dt(2.80)

con las ecuaciones de las autoparalelas τ → xµ(τ) de la conexion Γµαβ(xi, t):

d2x0

dτ2+ Γ0

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2Γ0

0jdx0

dτ

dxj

dτ+ Γ0

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0, (2.81)

d2xi

dτ2+ Γi

00dx0

dτ

dx0

dτ+ 2Γi

0jdx0

dτ

dxj

dτ+ Γi

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0, i = 1, 2, 3. (2.82)

La eleccionΓ0

00 = 0, Γ00j = Γ0

j0 = 0, Γ0jk = 0, (2.83)

permite al igual que hicimos con la conexion inercial Λ, identificar la coordenada x0 ≡ t

con el parametro afın τ , (salvo un cambio trivial de origen y escala), con lo que dx0

dt = 1.Comparando los terminos independientes, lineales o cuadraticos en las velocidades en(2.80) con los terminos correspondientes en (2.82) reescrita como:

d2xi

dt2+ Γi

00 + 2Γi0j

dxj

dt+ Γi

jkdxj

dt

dxk

dt= 0, i = 1, 2, 3, (2.84)

el candidato a conexion cuyas autoparalelas sean (2.80) debe tener las restantes com-ponentes dadas por:

Γi00 = δim ∂ϕ

∂xm− Ωi

l − ΩijΩj

lxi −[d2ai(t)

dt2− 2Ωi

ldal(t)

dt− Ωi

l − ΩijΩj

lal(t)]

,(2.85)

Γi0j = Γi

j0 = −Ωij(t), (2.86)

Γijk = 0. (2.87)


Con esta eleccion la ecuacion (2.82) o (2.84) de las geodesicas coincide con la ecuacion decaıda libre (2.80). Notese que la rotacion del sistema no inercial con respecto al inercialesta descrita por un Ωi

j(t) que depende solo del tiempo, y que el campo gravitatorioordinario, al ser un gradiente, es un campo irrotacional.

Son aquı aplicables los comentarios que en su momento se hicieron sobre la forma dela conexion inercial, tras (2.52). Pero debe notarse que ahora el coeficiente Γi

00 dependede x de una manera que ya no es lineal, a traves del potencial gravitatorio.

• ejercicio 2.22. Comprobar las ecuaciones (2.85)–(2.87)

• ejercicio 2.23. Comprobar que la conexion Γijk(t, xm) en el sistema de referencia no inercial

xm es exactamente (como se debıa) la que se obtiene a partir de la conexion ΓIJK(t, xM ) (2.60)–

(2.61) mediante la ley de transformacion de una conexion, para el cambio de coordenadas (2.48).

Conviene notar que para el potencial gravitatorio estamos suponiendo una ley detransformacion de tipo escalar. Es posible encontrar otro convenio para la ley de trans-formacion del potencial —equivalente fısicamente— en el que las fuerzas inerciales dearrastre y centrıfugas estan incorporadas en el potencial; ambas elecciones conducen ala misma ecuacion de movimiento.

Es fundamental entender que en esta interpretacion un solo objeto geometrico, laconexion gravitatorio-inercial, presenta mezcladas sin distincion invariante posible a lasfuerzas gravitatorias ‘reales’ con las fuerzas inerciales. Ası se corta el nudo gordianode la discusion “sistema inercial + fuerzas gravitatorias” versus “sistema no inercial yausencia de fuerzas” por el expediente, directo pero bastante radical, de englobar ambasen un mismo objeto y dejar la tarea de discernir (ya que no separar) entre ambos tiposa otro objeto, el tensor de curvatura.

El tensor de curvatura se calcula a partir de la conexion con poco mas trabajo queel necesario para pasar de (2.60)–(2.61) a (2.64); el resultado —esperable— es que lano inercialidad del sistema de referencia (descrita por ai(t) y Ωi

j(t)) no se manifiestaen el tensor de curvatura, cuyas unicas componentes no nulas son otra vez Ri

0j0 y lasalgebraicamente dependientes de ellas:

Ri0j0 = δim ∂2ϕ

∂xj∂xm, Ri

00j = −Ri0j0 demas Rµ

ναβ = 0 (2.88)

que podrıa tambien haberse obtenido mediante la ley de transformacion tensorial deltensor de Riemann bajo el cambio de coordenadas (2.48) partiendo de su expresion enel sistema inercial (2.64).

• ejercicio 2.24. Comprobar, al menos por uno de los dos procedimientos.

Al escribir en estas coordenadas la ecuacion general de desviacion geodesica, la iden-tidad de la coordenada t con el parametro afın τ se mantiene, ası como el hecho deque la separacion es un vector espacial, η0(t) = 0 (lo que concuerda con la anulacionde los coeficientes Γ0

αβ), pero la derivada covariante de la separacion ηi(t) a lo largode la geodesica fiducial ya no coincide con la derivada ordinaria, sino que adquiere un


termino extra:

Dηi

Dτ=

dηi

dt+ Γi

αβ ηα dxβ

dt

=dηi

dt+ Γi

00 η0 dx0

dt+ Γi

j0 ηj dx0

dt+ Γi

0j η0 dxj

dt+ Γi

jk ηj dxk

dt

=dηi

dt+ Γi

j0 ηj =dηi

dt− Ωi

j(t)ηj . (2.89)

Notar que en esta expresion (en un sistema de referencia no inercial) solo aparece lavelocidad angular Ωi

j(t) con la que el sistema no inercial rota relativamente al inercial.Para sistemas no inerciales sin rotacion (en los que la no inercialidad se debe solo aun movimiento de traslacion acelerada), la derivada covariante de la separacion conrespecto al tiempo coincide con la derivada ordinaria; vease de nuevo la astucia y lavision de Newton al usar un SR rotante en su replica a Leibniz.

En consecuencia, la transcripcion de la ecuacion de desviacion geodesica:

D2ηµ(τ)Dτ2

+ Rµναβ

dxν

dτηα dxβ

dτ≈ 0, (2.90)

en el SRnI tiene terminos extra comparados con los de la formula (2.68)) que procedende la segunda derivada covariante. Partiendo de (2.89) se llega a:

D2ηi(t)Dt2

=D

Dt

(Dηi(t)

Dt

)=

D

Dt

(dηi(t)

dt− Ωi

jηj

)=

d2ηi(t)dt2

− Ωijη

j − Ωijdηj

dt− Ωi

k

(dηk(t)

dt− Ωk

mηm

)=

=d2ηi(t)

dt2− (Ωi

j + ΩikΩk

j)ηj − 2Ωijdηj

dt. (2.91)

Exactamente igual que en un SRI, al termino que contiene el tensor de Riemann en(2.90) solo pueden aportar contribucion las componentes no nulas del tensor que sonRi

0j0 y Ri00j . Las primeras contribuyen acompanadas de un factor dx0

dt ηj dx0

dτ = ηj

mientras que las Ri00j no contribuyen pues su factor acompanante dx0

dt η0 dxj

dτ se anula alser η0 = 0; todos los restantes elementos del tensor de Riemann se anulan y no aportanninguna contribucion a (2.90). Ası pues la transcripcion de la ecuacion de desviaciongeodesica es:

D2ηi(τ)Dτ2

+ Ri0j0η

j =d2ηi(t)

dt2− (Ωi

j + ΩikΩk

j)ηj − 2Ωijdηj

dt+ Ri

0j0ηj(t) ≈ 0, (2.92)

cuya identidad con la ecuacion de marea en el sistema no inercial (1.31):

d2ηi(t)dt2

− Ωij + Ωi

lΩlj ηj(t)− 2Ωi

ldηl(t)

dt≈ −Ai

j(x(t), t) ηj(t) (2.93)


es evidente. La relacion entre el tensor de curvatura y el campo de marea en el nuevosistema, de acuerdo con el caracter tensorial de ambos, es:

Ri0j0 = Ai

j . (2.94)

El comentario hecho al final del apartado dedicado a la descripcion de la gravitacionNewtoniana, en el sentido de que la “buena” forma de escribir la ecuacion de marea enel sistema no inercial era precisamente (1.33), es decir (2.93), se refiere, por supuesto,a que en esa forma el segundo miembro contiene solo el termino de curvatura quecorresponde al campo gravitatorio “real” (es decir, el creado por las masas), mientrasque los terminos extra en el primer miembro se deben a que las derivadas relevantes sonlas derivadas “absolutas” covariantes, y no las derivadas temporales ordinarias.

El tensor de Ricci Rµν = Rαµαν en el sistema no inercial es:

R00 = δim ∂2ϕ

∂xi∂xm= ∇2ϕ(xi, t), Ri0 = R0i = Rij = 0, (2.95)

y las ecuaciones del propio campo gravitatorio son formalmente identicas a (2.77),

R00(x, t) = 4πGρ(x, t), δikRk0j0 = δjkRk

0i0 (2.96)

A modo de resumen

El programa de formular la teorıa newtoniana de la gravitacion como una teorıade curvatura del espacio–tiempo galileano resulta un completo exito: el principio deequivalencia debil, segun el cual el movimiento de partıculas test en un campo gravi-tatorio con las mismas condiciones iniciales es independiente de la masa, composicion,etc, permite interpretar el movimiento en caıda libre como las autoparalelas de ciertaconexion definida en el espacio–tiempo. En un sistema de referencia globalmente in-ercial la conexion (2.60)–(2.61) que describe el campo gravitatorio es bastante simpleaunque no es nula, pero las leyes de transformacion no homogeneas de una conexionhacen que al pasar a un sistema no inercial aparezcan una serie de terminos extra, quedeben entenderse como fuerzas de inercia; no hay ninguna posibilidad de separar deforma invariante las fuerzas gravitatorias “reales” de las de inercia.

La idea de construir una teorıa en la que las fuerzas de inercia se describan en pie deigualdad con las gravitatorias esta sugerida por la observacion de que las fuerzas gravita-torias reales satisfacen el principio de Galileo —las aceleraciones de origen gravitatoriosufridas por un cuerpo son independientes de su masa, composicion, etc.— lo que es unhecho experimental muy especial y sin razon fısica aparente. Las fuerzas de inercia satis-facen tambien esta propiedad de que las aceleraciones que producen sean independientesde la masa, composicion quımica, etc del cuerpo sobre el que actuan, pero para estasfuerzas la razon ultima de la independencia se entiende perfectamente: es consecuenciadel caracter “auxiliar” que dichas aceleraciones (o las fuerzas que las producen) tienenpara ‘salvar’ la ley de Newton en cualquier sistema de referencia. Y ya que cambiandoel sistema de referencia podemos hacerlas desaparecer es evidente que deben afectar porigual a cualquier objeto, independientemente de su masa, composicion, etc.


Es frecuente leer que se da una explicacion del principio de Galileo al englobar lasaceleraciones gravitatorias e inerciales en un mismo objeto pero parece mucho masacertado decir que es el principio de Galileo quien permite una interpretacion geometricade la gravitacion. Si el movimiento de diversas partıculas en caıda libre con condicionesiniciales identicas pudiera ser diferente (como ocurre para partıculas cargadas en uncampo electromagnetico, en donde el movimiento depende del cociente q/m), entoncesla identificacion de la caıda libre con unas curvas determinadas de una vez por todas enel espacio–tiempo serıa imposible, y se caerıa por su propio peso —valga la tonterıa—la pretension de interpretar el campo gravitatorio como descrito por una conexion en elespacio-tiempo. Y si este fuera el caso, la unica alternativa viable serıa la descripcion dela gravitacion como un campo adicional de fuerzas en un espacio-tiempo llano, en el quelas fuerzas de inercia aun estarıan dadas por la conexion inercial ∆, esto es, recaerıamosen la interpretacion convencional de la gravitacion newtoniana.

En la interpretacion alternativa, la aparente proporcionalidad estricta de la masa in-ercial y gravitatoria, comprobada en los experimentos de tipo Eotvos-Dicke, sugiere quela autentica naturaleza matematica del campo gravitatorio no es la de un campo vecto-rial, sino la de una conexion, que incorpora automaticamente las fuerzas de inercia, ycuyas autoparalelas son los movimientos de caıda libre; todos los enunciados son validosindistintamente para sistemas de referencia inerciales o no inerciales. Esta caracterısticaanticipa, en el contexto de la gravitacion Newtoniana, lo que sera uno de los ingredi-entes principales en la teorıa de Einstein. La conexion, que en un sistema globalmenteinercial presenta la forma mas simple (2.60)–(2.61) esta dada en un sistema no iner-cial por (2.85)–(2.87), pero a pesar de las apariencias, se trata del mismo objeto, queengloba conjuntamente las fuerzas gravitatorias y las inerciales. La curvatura, descritapor el tensor de Riemann de la conexion, esta relacionada con las fuentes del campo (ladensidad de masa) mediante una relacion muy simple entre el tensor de Riemann (elcampo de marea) y la densidad de masa. Ademas esta relacion tiene la misma forma encualquier sistema de referencia (inercial o no): la componente R00 del tensor de Ricci(la traza del campo de marea) es proporcional a la densidad de masa.

Es necesario insistir en que sı es posible distinguir entre un campo gravitatorio ‘real’y el campo de las “fuerzas de inercia” que aparece en un sistema de referencia no iner-cial, pero dicha distincion es local y no requiere el espacio absoluto; basta observarel movimiento “relativo” de dos partıculas test proximas en caıda libre; la segundaderivada covariante de esta separacion con respecto al tiempo esta siempre ligada conla presencia intrınseca de campo gravitatorio y el objeto que describe esta presencia esel campo de marea, que geometricamente aparece como el tensor de curvatura.

Una parte importante de los malentendidos que surgen sobre la correcta interpretaciondel principio de equivalencia se deben a ignorar que el comportamiento del campo grav-itatorio en un punto dado requiere (al menos) dos niveles de descripcion: la intensidadde campo gravitatorio g y el tensor campo de marea A. Mientras consideremos el com-portamiento de la caıda libre de una sola partıcula test, el segundo nivel no es relevante,y entonces la discusion entre dos posturas que pueden enunciarse como “la fuerza quese observa sobre la partıcula se debe a la existencia de un campo gravitatorio; el sistemade referencia es inercial” versus “no hay campo gravitatorio; el sistema de referenciano es inercial” puede proseguir indefinidamente y no hay manera de zanjarla. Sin em-bargo, en cuanto consideremos dos partıculas test cercanas, ambas en caıda libre, el


nivel campo de marea es esencial, y basta la observacion de los efectos de marea paradistinguir de manera absoluta entre los campos gravitatorios “reales” de los aparentesdebidos al empleo de sistemas de referencia no inerciales.

En ausencia de campo gravitatorio (ϕ = 0, g = 0) y en un sistema de referenciainercial global, la conexion es nula (Γµ

αβ = 0), y el tensor de curvatura se anula(Rµ

ναβ = 0). Al pasar a un sistema no inercial, aparecen en la conexion ciertas compo-nentes no nulas, las aceleraciones de inercia, contenidas en los coeficientes de conexionΓi

00,Γij0 que ahora ya no son nulos, sino que valen:

Γi00 = −Ωi

l − ΩijΩj

lxi −[d2ai(t)

dt2− 2Ωi

ldal(t)

dt− Ωi

l − ΩijΩj

lal(t)]

,(2.97)

Γi0j = Γi

j0 = −Ωij(t), (2.98)

Γijk = 0. (2.99)

mientras que el tensor de curvatura en las nuevas coordenadas sigue siendo nulo (comose debe). Esto es: la ausencia de campo gravitatorio corresponde de manera intrınseca,independiente de las coordenadas, a la anulacion del tensor de Riemann.

Cuando hay un campo gravitatorio real, incluso si escogemos como sistema de referen-cia un SRI, la conexion tiene alguna componente no nula, ΓI

00 = δIM ∂ϕ∂xM y el tensor de

curvatura tambien tiene componentes no nulas, (p.ej., RI0J0). Si el campo se describe

en un SRnI, entonces la conexion tiene otras contribuciones, como las dadas en (2.85)–(2.87), y alguna de las componentes del tensor de curvatura en el SRnI son tambien nonulas. Esto es: la presencia de campo gravitatorio corresponde de manera intrınseca,independiente de las coordenadas, a que el tensor de Riemann tenga componentes nonulas.

Gravitacion como curvatura (II).

Mas de 2000 anos de reflexion sobre los fundamentos de la geometrıa llevaron, enel periodo entre 1820 y 1860 al reconocimiento de que la geometrıa euclidea es solouna de las posibles geometrıas del mundo real, y que la geometrıa del espacio fısicobien pudiera ser no euclidiana. El marco matematico adecuado para describir estaextension es la geometrıa Riemanniana: en ella las propiedades de un espacio se parecenen pequenas escalas a la geometrıa euclidea pero estrictamente hablando las propiedadesson diferentes, y las diferencias estan cualitativa y cuantitativamente descritas por lacurvatura; los espacios son mas cercanos en sus propiedades locales al espacio euclideo encuanto mas pequena sea su curvatura, que (por definicion) es nula en el espacio euclıdeo.Entre estos espacios hay algunos ejemplos particulares (muy especiales y no genericos),que conservan otra propiedad del espacio euclıdeo, su homogeneidad: estos son losespacios de curvatura constante, como la esfera y el espacio hiperbolico de Lobachewski.

Uno de los objetivos de este programa matematico, en el que destacan sobre todo losnombres de Gauss y Riemann, era el de responder a viejas preguntas sobre la naturalezade la geometrıa euclıdea y sobre su excelente adecuacion experimental al espacio fısico.Una vez que quedo claro cuales son las posibles propiedades de un espacio curvo, y comose reconoce la posible la existencia de curvatura en el espacio, la pregunta natural paraun fısico es: ¿Es realmente curvo el espacio?


Se sabe que la suma de los tres angulos de un triangulo puede ser diferente de πen caso de que la geometrıa del espacio no sea euclıdea. En concreto, si la geometrıaes de curvatura constante (positiva/negativa) entonces esta suma es mayor/menor queπ y el exceso/defecto de la suma sobre π es proporcional al area del triangulo. En eltranscurso de sus trabajos de geodesia y topografıa, Gauss midio los angulos de un grantriangulo cuyos vertices eran tres montanas separadas del orden de 100 Km. De susdatos se concluye que el espacio fısico es euclıdeo con una muy buena aproximacion,y si tuviera curvatura no nula, en cualquier caso su posible valor absoluto es muypequeno. Por su parte Lobachewski fue mucho mas atrevido: usando el diametro de laorbita de la Tierra alrededor del Sol como base de un triangulo, (del orden de 3 ×108

Km), y una estrella como tercer vertice, indico que si la geometrıa del espacio fısico erahiperbolica (curvatura negativa) en vez de euclıdea, entonces el paralaje de cualquierestrella, arbitrariamente alejada debıa ser superior a un valor no nulo (el angulo deparalelismo de la base). De los paralajes que se habıan determinado en su epoca fuecapaz de concluir que si el espacio era hiperbolico, su curvatura era muy pequena.

Hoy sabemos que el 3-espacio es curvo, pero su curvatura en circunstancias ordinariases extraordinariamente pequena —mucho mas pequena de lo que ningun experimentodirecto de este tipo podrıa medir—, y ademas los intentos anteriores estaban viciadospor la suposicion implıcita de que la luz se propaga segun las geodesicas de la metricadel 3-espacio, lo que veremos no es el caso en la teorıa de Einstein (y por lo que parece,tampoco en la realidad experimental).

Tuvieron que pasar otros 50 anos despues de Riemann para entender plenamente queuna conexion es cuanto se requiere para dar su autentico sentido a la idea de curvatura.Ası puede extenderse la idea de curvatura a situaciones, mas alla de lo imaginado porGauss y Riemann, en las que los espacios no tengan una estructura local euclıdea. Haydos etapas naturales en la extension de esta idea: primero, a espacios con una metricaindefinida, por ejemplo lorentziana, cuya estructura local serıa minkowskiana, y despues,a situaciones en las que no incluso puede ni haber una metrica, lo que constituye laextension mas amplia, en la que la estructura local es simplemente afın.

Una situacion intermedia entre ambos extremos lo proporciona el caso de que lametrica sea degenerada (como es el caso del espacio-tiempo newtoniano) Si ahora nosrestringimos al contexto del espacio-tiempo newtoniano, debemos recordar que allı ini-cialmente introducimos una conexion Λ cuyas autoparalelas son los movimientos iner-ciales ideales. Resulta claro que estos movimientos juegan un papel espacio–temporalmuy semejante al de las lıneas rectas de la geometrıa euclıdea. La analogıa proviene deque solo en ciertos sistemas de coordenadas las lıneas rectas de la geometrıa euclidea(que son las curvas solucion del problema variacional de buscar las extremales de lalongitud) estan descritas mediante ecuaciones lineales en las que las propias coorde-nadas dependen linealmente del parametro natural (la longitud de arco a lo largo dela curva); esto es muy parecido a lo que ocurre con los sistemas inerciales, en los quelos movimientos inerciales estan descritos mediante ecuaciones lineales, con las cuatrocoordenadas (la temporal y las tres espaciales) dependiendo linealmente del parametronatural a lo largo de la evolucion, es decir el tiempo propio, que en la teorıa de Newtoncoincide con la coordenada temporal t.

Tras haber introducido la conexion Λ, la analogıa parece bien fundada: tambien enel plano o el espacio euclıdeo hay una conexion natural, la conexion de Levi-Civita


asociada a la metrica, que en coordenadas cartesianas tiene nulos todos los coeficientesde conexion. El hecho de que las rectas euclıdeas en otras coordenadas, como porejemplo las polares, no esten dadas por ecuaciones en las que las coordenadas dependenlinealmente del parametro natural de evolucion (en este caso la longitud de arco), parecetotalmente analogo al hecho de que los movimientos inerciales presentan aceleracioncuando se describen en un sistema de referencia no inercial.

Pero es fundamental entender que esta analogıa no es perfecta, y en un aspectoimportante falla por completo. La diferencia es que las lıneas rectas de la geometrıaeuclıdea son observables, mientras que los movimientos inerciales ideales son inobser-vables. Para comprobar la primera afirmacion, baste decir que es posible construir unaparato real (no un experimento mental) que distinga sin ambiguedad una recta de unacurva, aparato que podrıamos imaginar como un medidor de la curvatura geodesica decualquier curva: cuando este aparato avanza a lo largo de una recta mide constantemente0 y cuando avanza a lo largo de una curva en el plano euclıdeo mide diferente de 0. [Parauna descripcion de tal aparato, la Carretilla China indicadora del Sur, vease Am. J. Phys60 782–787, (1992)]. La clave del funcionamiento de la carretilla china indicadora delsur es la comparacion entre las longitudes de dos trayectorias proximas (las dos ruedassiguen lıneas equidistantes a la trayectoria del centro de la carretilla). Por lo tanto laidea de que una lınea en el plano euclıdeo sea ‘recta’ o ‘curva’ no es convencional, sinoobservacionalmente distinguible.

La pregunta importante ahora es: ¿Sera posible encontrar un aparato real que mida0 cuando sigue en el espacio–tiempo un movimiento “ideal” inercial y que mida difer-ente de 0 cuando sigue un movimiento acelerado? Este aparato, de existir serıa unacelerometro absoluto, que medirıa la aceleracion con respecto al espacio absoluto.

Podemos imaginar un acelerometro que verosımilmente se comportarıa de ese modoen ausencia de campo gravitatorio. Su version mas simple es una esfera con una masa mmantenida cuando el aparato no acelera, en una posicion de equilibrio estable en el centrode la esfera mediante fuerzas no gravitatorias (p.ej. resortes o fuerzas electromagneticas).Cuando el aparato acelera, las fuerzas de inercia desplazan la posicion de equilibrio aun punto excentrico; sometido este aparato a un movimiento arbitrario se observarıauna desviacion de la posicion de la masa central con respecto a su posicion centralde equilibrio. Que la masa no se desvıe del centro significa aceleracion 0; cualquierotra medida corresponde a un movimiento acelerado [Version muy simplificada quesolo detecta aceleraciones en un plano ’horizontal’ en el que se mueve un automovil:un pendulo suspendido del techo del coche. Mientras el movimiento del coche es noacelerado, el pendulo permanece en una posicion de equilibrio vertical, pero el equilibriose retrasa o adelanta cuando acelera o frena, y se desplaza hacia los lados cuando segira, incluso a velocidad lineal constante].

Cabe poca duda de que si en ausencia de campo gravitatorio este aparato marcapermanentemente 0, entonces esta siguiendo un un movimiento “ideal” inercial. Enparticular, esperarıamos que si el aparato esta en reposo en un sistema de referenciainercial, entonces deberıa marcar 0.

Pero cuando hay un campo gravitatorio, como consecuencia de la universalidad de lagravitacion un aparato construido como se ha descrito, realmente no se comporta de estemodo. El hecho basico es que la gravitacion es universal y no se puede eliminar: la fuerzagravitatoria sigue actuando siempre sobre la masa m del centro hasta que las fuerzas


gravitatorias se cancelan con las de recuperacion que garantizan en funcionamiento delacelerometro. En otras palabras: cuando un acelerometro real sigue un movimientoinercial (por ejemplo esta en reposo en un SRI), en presencia de un campo gravita-torio, su lectura es diferente de 0. La discusion de si esta medida se debe a “campogravitatorio + sistema inercial” o por el contrario a “ausencia de campo + sistema noinercial” es completamente indecidible mientras no se introduzcan mas elementos en ladiscusion. Traducido al lenguaje matematico, lo que esto significa es que la conexion Λes inobservable.

En vez de especular con inexistentes acelerometros ideales, que medirıan la ace-leracion con respecto al espacio absoluto (e.g., la aceleracion de caıda de la Luna haciala Tierra que hemos comentado antes), resulta mucho mas satisfactorio declarar quelos autenticos analogos de las lıneas rectas (geodesicas) son los movimientos a lo largode los cuales la lectura del acelerometro real es constantemente 0. ¿Quienes son estos?Naturalmente, los movimientos de caıda libre en el campo gravitatorio, esto es, lasautoparalelas de la conexion Γ, no de la Λ.

¿Es razonable tomar los movimientos reales en el campo gravitatorio como analogosde las lıneas rectas? Sı, debido a la propiedad muy especial de las fuerzas gravitato-rias de que la aceleracion gravitatoria sobre un cuerpo cualquiera es completamenteindependiente de su masa, composicion, etc., por lo que condiciones iniciales identicasproducen el mismo movimiento para cualquier cuerpo.

En resumen, mientras que la conexion Λ y su alter ego el espacio absoluto son inob-servables, hay una conexion observable Γ, cuyas autoparalelas se distinguen porque unacelerometro real que siga una de ellas marca permanentemente 0; en otras palabras,esta en caıda libre. Desde este punto de vista es evidente que los autenticos analogos delas rectas euclidianas son los movimientos en caıda libre, que sı son observables. Comola conexion Γ gravitatorio-inercial presenta curvatura, el espacio-tiempo newtoniano conla conexion Γ es analogo no al espacio euclıdeo, sino a un espacio curvo. Si la conexion Γes observable, la interpretacion de la gravitacion newtoniana como curvatura del espaciotiempo es preferible a la vieja interpretacion que exige el espacio absoluto, en base alcaracter observable de Γ versus la inoservabilidad de Λ.

En el espacio euclideo habıamos introducido un aparato que distingue las rectas de lascurvas. Preguntemonos ahora que le ocurre al indicador de la carretilla indicadora delSur cuando se “engana” a este aparato haciendole funcionar en una superficie curva. Sureaccion es . . . ¡indicar 0 cuando la carretilla sigue una geodesica! Es decir, exactamente¡lo mismo que hace un acelerometro real cuando esta en caıda libre! Para acabar depresentar la analogıa con la idea de curvatura en una superficie, recordemos que allıla curvatura aparece, entre otras manifestaciones, como aceleracion en la separacionrelativa entre geodesicas. Si se mide el progreso a lo largo de la geodesica fiducial porla longitud recorrida l y la separacion por la distancia η(l) entre ambas a lo largo de lasgeodesicas ortogonales a la fiducial, la ecuacion que regula la aceleracion de la separaciony que mide el “comportamiento no thalesiano” es:

d2η(l)dl2

≈ −K η(l) (2.100)

No es necesario ningun esfuerzo para percibir la analogıa con la aceleracion de laseparacion relativa entre dos partıculas test en caıda libre en el campo gravitatorio.


Como vimos en la primera seccion, en el campo gravitatorio de la Tierra, un calculoextremadamente simple indica que la separacion ηh(t) entre dos partıculas en caıdalibre y situadas inicialmente en reposo a la misma altura (por tanto con separacionhorizontal), satisface la ecuacion:

d2ηh(t)dt2

≈ −(

GM⊕

r3

)ηh(t)

mientras que si la separacion es inicialmente vertical, la ecuacion es

d2ηv(t)dt2

≈ −(−2GM⊕

r3

)ηv(t)

donde r > R⊕ es la distancia al centro. La identidad formal de estas ecuaciones con(2.100) es absoluta, y simplemente sugiere que es posible una descripcion geometricade la gravitacion (incluso newtoniana) como curvatura del espacio–tiempo en donde loscoeficientes GM⊕

r3 y −2GM⊕r3 deberan interpretarse como curvaturas en los 2–planos (h0)

y (v0) que contienen la direccion horizontal h (o vertical v) y la direccion temporal 0,para el caso de un campo central creado por una masa M , que es exactamente lo quese deriva del tensor de curvatura de la conexion Γ.

De este modo la primera causa de desagrado en la formulacion convencional dela T.N.G. —mencionada en la primera seccion— desaparece a la vez que el espacioabsoluto. La segunda causa de desagrado, la accion a distancia, permanece, ya queesta ligada al tiempo absoluto y a la posibilidad —caracterıstica del espacio-tiemponewtoniano— de velocidades arbitrariamente altas para la propagacion de las interac-ciones. Esta accion a distancia solo desaparece en una teorıa propiamente relativistacomo es la teorıa de Einstein de la gravitacion, en la que la gravitacion se propaga avelocidad finita c.

Sistemas de Referencia inerciales versus no inerciales: ¿En que queda ladiscusion?

A casi todos los efectos, la discusion sobre el status de los SRI y SRnI, que en lainterpretacion convencional se distinguen por su diferente movimiento con respecto alespacio absoluto, queda dentro de esta formulacion alternativa en casi nada. Una vezque se reconoce que la descripcion correcta del movimiento real en un campo gravita-torio requiere una conexion, lo unico relevante es conocer los coeficientes de conexionen el sistema de coordenadas en que estemos trabajando. Que este sea o no inercialcarece de ningun significado fundamental; todo lo que es necesario es emplear las ecua-ciones generalmente covariantes, que son validas en cualquier sistema de referencia yde coordenadas, y emplearlas correctamente en el sistema particular en el que hayamosescogido trabajar.

De nada sirve entrar en discusiones sobre la terminologıa, sobre todo si esta con-sagrada por un uso de siglos. Pero sı conviene ser consciente de lo confusa que resulta lanomenclatura impuesta por la tradicion newtoniana. Al menos tras la discusion anteriorse puede describir claramente la situacion. Si no existiera gravitacion, serıa aceptableidentificar los SRI como aquellos en que en coordenadas espaciales apropiadas (de tipo


cartesiano) la conexion inercial tiene todos los coeficientes nulos. Pero cuando hay uncampo gravitatorio, la conexion inercial resulta inobservable, y conviene eliminarla porcompleto en favor de la conexion Γ, en la que resulta que no hay ningun SR, de ninguntipo, en el que todos los coeficientes se anulen. Desde este punto de vista podrıamosdecir que en presencia de un campo gravitatorio real no hay, estrictamente hablando,SRI. Pero esto no es obstaculo para poder escribir las ecuaciones de movimiento, las decampo, etc., en coordenadas en las que la conexion tiene las expresiones (2.60)–(2.61)que globalmente son, en cierto sentido, las mas simples posible. Cabe entender estossistemas de referencia como lo que queda de la vieja idea de SRI en la interpretaciongeometrica de la gravitacion; por ello les denominaremos Sistemas de referencia global-mente inerciales (SRgI).

En un sistema globalmente inercial (y en coordenadas cartesianas en el 3-espacio),solo los ΓI

00 son diferentes de 0; se trata del tipo de sistemas mas conveniente paradiscusiones generales. Por ejemplo, el sistema de coordenadas heliocentrico (origen enel centro de masas del sistema solar, ejes orientados segun las estrellas fijas, no rotante)es de este tipo, y es el sistema al que implıcitamente se refieren las afirmaciones usualesde que las orbitas de los planetas son elipses, las de los cometas elipses o hiperbolas,etc. ‘Bien adaptado’ significa en este caso, que muchos de los coeficientes de la conexionson identicamente nulos. Notese que esta acepcion del termino SRgI, calificada por eladjetivo ‘globalmente’ es estrictamente hablando diferente de la idea (inobservable) deSRI en ausencia de gravitacion.

Los sistemas de referencia localmente inerciales

Esto abre una pregunta interesante: ¿existe algun sistema de referencia en el quela expresion de la conexion sea aun mas “sencilla”? Todo depende de que se entiendapor sencilla. Basta un vistazo a (2.85)–(2.87) para concluir que la expresion de laconexion en sistemas de referencia acelerados con respecto a un SRgI es, en general, mascomplicada que en un SRgI. Pero entre los sistemas no inerciales es posible encontrarciertos sistemas (que con la interpretacion tradicional serıan SRnI y que sin embargocorresponden mucho mejor, aunque sea solo localmente a la idea newtoniana original desistema de referencia inercial), y que tienen sobre aquellos la ventaja de ser observables.Estos sistemas tienen una gran importancia en la teorıa de Einstein y se denominansistemas de Referencia localmente inerciales, SRlI; para mayor confusion del lenguaje,desde el punto de vista newtoniano convencional, estos sistemas deberıan ser calificadoscomo no inerciales.

Veamos como se llega a estos sistemas. En primer lugar, escribamos la conexion enun SRnI de tipo restringido, al que permitimos que pueda moverse relativamente a unSRgI con traslacion arbitraria, eventualmente acelerada, pero cuyos ejes de coordenadasno roten con respecto al SRI. La relacion entre las coordenadas de un suceso arbitrarioen el sistema SRgI original y en el nuevo sistema, que llamaremos Sistema de referenciano rotante (SRnr) es:

xi = δiIx

I + ai(t). (2.101)

de donde solo los terminos en ai(t) van a aparecer en la conexion; como no hay rotacionse tiene Ωi

j(t) = 0. El SRnr (i) se mueve con respecto al SRgI (I) con un movimientoexclusivamente de traslacion y el origen del SRnr (xi = 0) se mueve en el SRI como


t → xI(t) = −δIia

i(t). En este tipo de sistemas de coordenadas las componentes de laconexion son:

Γı00(t, xn) = δım ∂ϕ

∂xm− d2aı(t)

dt2= gı(t, xn)− d2aı(t)

dt2, (2.102)

Γı0j = Γı

j0 = 0, (2.103)

Γıjk = 0. (2.104)

• ejercicio 2.25. ¡Comprobar!

Aparentemente la expresion es un poco mas complicada que la (2.61). Pero noteseque tenemos una libertad en la eleccion de ai(t) que corresponde a un movimientode traslacion arbitrario del sistema de referencia. Resulta que podemos aprovecharesa libertad para anular todas las componentes de la conexion a lo largo de una lineatemporal de caıda libre en el espacio-tiempo (pero solo en esa lınea en el caso de querealmente haya campo gravitatorio).

Esto se ve directamente en (2.102), ya que si fijamos una lınea temporal (estoes, especificamos un movimiento t → xi

(0)(t)), entonces gı(t, xn(0)(t)) pasa a ser una

funcion de t solo, y podemos escoger un ai(t) de manera que sobre esa lınea se tengaΓı

00(t, xn(0)(t)) = 0. [Notese que si el campo gravitatorio no es uniforme y depende

realmente de x, entonces mediante este procedimiento se consigue solo la anulacion dela conexion sobre la lınea escogida; si el campo fuera estrictamente uniforme, entoncesel termino debido a ai(t) podrıa cancelar el campo gravitatorio en toda una region] Sieste argumento no es claro, veamoslo de otra manera: sea t → x0(t) un determinadomovimiento (fiducial) de caıda libre, que por tanto suponemos descrito por

d2xI(0)(t)

dt2= δIM ∂ϕ

∂xM

∣∣∣∣(t,x(0)(t))

= gI(t,x(0)(t))

y consideremos un sistema no inercial determinado por dos condiciones: estar en caıdalibre con el movimiento t → x0(t) y ser no rotante. Este sistema, que denominare-mos SRnrcl, esta relacionado con el SRI inicial mediante (2.48) con la eleccion para larotacion y la traslacion:

RıI(t) = δı

I , aı(t) = −δıIx

I0(t), (2.105)

de modo que las expresiones del cambio de sistema son:

xı = δıI(xI − xI

(0)(t)). (2.106)

y en particular el movimiento descrito en el SRI por t → xI(t) resulta estar descrito enel SRnrcl por

xı(t) = δıI(xI(t)− xi

(0)(t)). (2.107)

En concreto esto significa que el movimiento xI(t) = −xI(0)(t), que es solucion de las

ecuaciones de movimiento, y por tanto una autoparalela, aparece en el SRnrcl como


xı(t) = 0. Y si t → xı(t) = 0 es una autoparalela, necesariamente todos los coeficientesde la conexion se anulan en el SRnrcl a lo largo de la lınea xı = 0.

Ya sabıamos que si hay un campo gravitatorio no es posible escoger un sistemade referencia en el que todas las componentes de la conexion Γ se anulen en todo elespacio-tiempo. Ahora vemos que existen infinidad de sistemas de referencia localmenteinerciales, cada uno asociado a un movimiento posible de caıda libre y no rotante, enlos cuales todas las componentes de la conexion se anulan a lo largo de la autoparalelade caıda libre fiducial; el prototipo de estos sistemas de referencia es el sistema ligado alascensor en caıda libre de Einstein: la aceleracion que un observador ligado a la Tierraatribuirıa a la caıda del ascensor se compensa en el interior con la aceleracion debida a lagravedad, produciendo una cancelacion perfecta de ambas fuerzas en el centro de masasdel ascensor. Es conveniente entender correctamente que si existe campo gravitatorio, elmovimiento relativo de dos de tales sistemas localmente inerciales no es un movimientorelativo uniforme; al contrario, presenta la aceleracion relativa que discutimos al hablarde las fuerzas de marea. Ası debe quedar claro que los SRnrcl o sistemas localmenteinerciales no son inerciales desde el punto de vista newtoniano tradicional.

Para describir lo que ocurre en las cercanıas de la lınea de universo de una partıculaen caıda libre los sistemas SRlI son claramente mejores que los globalmente inerciales,ya que en ellos se aunan la anulacion (en todo el espacio-tiempo) de casi todas lascomponentes de la conexion que se da en un SRgI y la anulacion, solo a lo largo de unmovimiento particular, de las restantes componentes de Γµ

αβ que son no nulas en unSRgI. Es fundamental entender que esta cancelacion se da solo a lo largo de la lınea deuniverso del movimiento fiducial, pero no en el resto del espacio-tiempo. Tan solo esposible escoger un sistema de coordenadas en el que todas las componentes de la conexionsean nulas en todo el espacio–tiempo si el tensor de curvatura se anula, esto es, si noexiste ningun campo gravitatorio. En un sistema de referencia en caıda libre con unapartıcula fiducial, la derivacion covariante de la separacion entre el movimiento fiducialy otro proximo se reduce a la derivada ordinaria (pues los terminos extra en (2.90)son nulos), pero el segundo miembro de la ecuacion de desviacion geodesica contiene eltensor de curvatura, que naturalmente, no se anula en general sobre la trayectoria de lapartıcula fiducial (ya que la anulacion de este tensor no depende de nuestra habilidadpara escoger coordenadas sino de si la geometrıa del espacio tiempo es curva o no, esdecir, de si hay o no campo gravitatorio).

Es usual encontrar en la literatura mencion a la posibilidad de escoger sistemas decoordenadas en los que todas las componentes de la conexion se anulen en un puntodado, sistemas que se suelen denominar localmente galileanos o minkowskianos, segunel contexto sea la teorıa de Newton o la de Einstein. Los sistemas en caıda libre y sinrotacion son claramente de este tipo. Nuestra discusion muestra que es posible encontrarsistemas de coordenadas que sean localmente galileanos o minkowskianos no solo en unpunto, sino tambien a lo largo de una lınea de universo de una partıcula fiducial encaıda libre, ya que en ellos se consigue anular todas los componentes de la conexion alo largo de una autoparalela dada.

Un ultimo comentario para acabar: el SRgI heliocentrico habitual es, de hecho, elSRlI asociado a la caıda libre del centro de masas del sistema solar, de manera quevemos que el sistema de referencia globalmente inercial mas importante en la astronomıaobservacional del sistema solar resulta ser, a la postre, un sistema localmente inercial.


En este sistema, a lo largo de la lınea de universo del centro de masas del sistemasolar (situado muy cerca del centro del Sol), todas las componentes de la conexionΓ se anulan. Conforme nos vamos alejando del centro, las componentes Γi

00 se vanhaciendo progresivamente mas importantes, hasta que en la region en la que se muevenlos planetas, ya en el exterior del Sol y lejos de el, la conexion adopta una forma en laque la naturaleza localmente inercial del SR se hace difıcil de reconocer [Para analizareste aspecto es pertinente recurrir a la expresion del potencial gravitatorio creado poruna masa central simetrica de densidad y tamano finito, tanto en el exterior como en elinterior, como se vio en un ejercicio en la primera seccion].

El campo gravitatorio central simetrico descrito en la interpretacion geometricade la gravitacion newtoniana

Esta seccion se dedica a un ejercicio. Se trata de describir, mediante la conexionΓ, el campo gravitatorio producido por un cuerpo esferico, de masa M y radio R,como el Sol, del cual tambien ignoramos la rotacion (en el caso del Sol, la rotacion esrealmente bastante lenta, del orden de 1 vuelta en 25 a 30 dıas). Vamos a comenzarestableciendo un sistema de referencia ‘inercial’ adecuado (de hecho, se trata del ‘sistemaheliocentrico’, no rotante y en caıda libre con el centro de masas del sistema solar), enel que vamos a usar alternativamente las coordenadas cartesianas usuales (xI ≡ x, y, z)y las polares convencionales (r, θ, φ). Las relaciones entre ellas son bien conocidas.

Imaginemos primero que no hay campo gravitatorio. Entonces la conexion gravita-torio-inercial Γ coincide con la puramente inercial, que tiene nulas todas sus compo-nentes en coordenadas cartesianas. Pasando a polares, se encuentran las siguientescomponentes:

Λtrt = Λt

tr = 0, demas Λtµν = 0

Λrtt = 0, Λr

rr = 0, Λrθθ = −r, Λr

φφ = −r sin2 θ, demas Λrµν = 0

Λθrθ = Λθ

θr = 1/r, Λθφφ = − sin θ cos θ, demas Λθ

µν = 0

Λφrφ = Γφ

φr = 1/r, Λφθφ = Λφ

φθ = 1/ tan θ, demas Λφµν = 0

donde la presencia de los coeficientes de conexion no nulos se debe a la eleccion decoordenadas no cartesianas.

• ejercicio 2.26. Comprobar!

Pasemos ahora a considerar la conexion que describe el campo gravitatorio (2.60)–(2.61). Ahora el potencial esta dado, en el exterior de la masa M , por ϕ(t,x) = −GM/r,y en coordenadas cartesianas los unicos coeficientes de conexion no nulos son:

Γxtt =

GMx

(x2 + y2 + z2)3/2, Γy

tt =GMy

(x2 + y2 + z2)3/2, Γz

tt =GMz

(x2 + y2 + z2)3/2,

• ejercicio 2.27. En el interior del cuerpo que crea el campo, supuesto de densidad constante

ρ0, masa M y radio R y en reposo, comprobar que para los coeficientes de la conexion se tiene:

Γxtt =

GMx

R3, Γy

tt =GMy

R3, Γz

tt =GMz

R3,


que efectivamente se anulan en el centro del cuerpo, como era de esperar ya que el sistema de

coordenadas que estamos usando es el sistema no rotante en caıda libre con la masa central que

crea el campo.

La simetrıa esferica del problema aconseja el uso de coordenadas polares en el espacio.Limitando ya de ahora en adelante nuestra atencion a la zona exterior, x2+y2+z2 > R2,los coeficientes de la conexion de caıda libre en estas coordenadas polares resultan:

Γtrt = Γt

tr = 0, demas Γtµν = 0

Γrtt =

GM

r2, Γr

rr = 0, Γrθθ = −r, Γr

φφ = −r sin2 θ, demas Γrµν = 0

Γθrθ = Γθ

θr = 1/r, Γθφφ = − sin θ cos θ, demas Γθ

µν = 0

Γφrφ = Γφ

φr = 1/r, Γφθφ = Γφ

φθ = 1/ tan θ, demas Γφµν = 0

(2.108)

La inclusion explıcita en (2.108) de algunos coeficientes de conexion que resultan ser nu-los es intencionada para facilitar la comparacion con el problema analogo en la teorıa deEinstein. Debe notarse que la masa M que crea el campo gravitatorio aparece, a travesdel producto GM en un solo coeficiente Γr

tt, que en cierto sentido recoge por completola presencia del campo gravitatorio en la conexion; los restantes coeficientes no nulosprovienen del mero hecho de usar coordenadas polares, por lo que en ellos no apareceGM . La simetrıa esferica del problema esta detras de esta ‘simplificacion’ en los termi-nos ‘gravitatorios’ de la conexion (en comparacion con las expresiones en cartesianas), acosta de introducir algunos coeficientes no nulos que se originan al abandonar las coorde-nadas espaciales cartesianas y pasar a polares. Ahora podemos escribir explıcitamentela ecuacion de las autoparalelas. Veamos sucesivamente las cuatro ecuaciones

d2xµ

dτ2+ Γµ

αβdxα

dτ

dxβ

dτ= 0, (2.109)

en el sistema de coordenadas que estamos usando. Comencemos como siempre porla ecuacion µ = t. Como todos los Γt

αβ son nulos, de la componente µ = t de laecuacion se concluye, exactamente igual que en (2.62) que τ = t. Daremos por hechaesta sustitucion en las demas ecuaciones que siguen.

Sigamos con la ecuacion µ = θ. Los unicos Γθαβ no nulos son Γθ

rθ = Γθθr y Γθ

φφ,por lo que la componente µ = θ de la ecuacion de las autoparalelas:

d2θ

dt2+ 2Γθ

θφdθ

dt

dφ

dt+ Γθ

φφ

(dφ

dt

)2

= 0

se reduce sustituyendo los coeficientes Γθµν segun (2.108) a:

d2θ

dt2− 2

1r

dθ

dt

dφ

dt− sin θ cos θ

(dφ

dt

)2

= 0 (2.110)

Es claro que θ(t) = π/2 es solucion de esta ecuacion; de hecho es la solucion concondiciones iniciales θ(0) = π/2, dθ

dt (0) = 0. Esto traduce el bien conocido hecho de que


el movimiento es plano; escogiendo adecuadamente la orientacion de las coordenadaspolares podemos suponer que el movimiento ocurre siempre en el plano ‘ecuatorial’θ(t) = π/2, cosa que supondremos en lo sucesivo.

Pasamos ahora a la ecuacion µ = φ. Los dos coeficientes no nulos del tipo Γφαβ se

leen en (2.108) y son Γφrφ = Γφ

φr = 1/r, Γφθφ = Γφ

φθ = 1/ tan θ. Sustituyendo seencuentra la componente φ de la ecuacion de las autopararelas como:

d2φ

dt2− 2

1r

dr

dt

dφ

dt− 2

1tan θ

dφ

dt

dθ

dt= 0

que en el caso particular de que θ(t) = π/2 queda:

d2φ

dt2− 2

1r

dr

dt

dφ

dt= 0 (2.111)

Esta ecuacion tiene una integral primera; por manipulaciones directas se compruebaque si φ(t) satisface la ecuacion, entonces

d

dt

(r2 dφ

dt

)= 0,

lo que implica que la cantidad(r2 dφ

dt

)es una constante del movimiento, el momento

angular por unidad de masa, L = L/m. Esta ecuacion expresa la bien conocida ley delas areas de Kepler:

r2 dφ

dt= L (2.112)

Finalmente queda solo la ecuacion radial, que en vista de los coeficientes no nulos deltipo Γr

αβ que se leen en (2.108) Γrtt = GM

r2 ,Γrθθ = −r, Γr

φφ = −r sin2 θ se escribe ensu total generalidad:

d2r

dt2+

GM

r2+ (−r)

(dθ

dt

)2

+ (−r sin2 θ)(

dφ

dt

)2

= 0

Para el movimiento que estamos estudiando θ(t) = π/2; si ademas se introduce laintegral primera (2.112), queda la ecuacion radial en la forma bien conocida:

d2r

dt2+

GM

r2− L2

r3= 0 (2.113)

que a su vez tambien tiene una integral primera, la energıa: por manipulacion directase comprueba que si r(t) satisface la ecuacion, entonces

d

dt

(12

(dr

dt

)2

− GM

r+

12L2

r2

)= 0


de donde la cantidad entre parentesis es una constante del movimiento, que deno-minaremos E y que corresponde a la energıa total de la partıcula test por unidad demasa E = Etot/m:

12

(dr

dt

)2

− GM

r+

12L2

r2= E (2.114)

Formalmente, esta ecuacion es la ecuacion de conservacion de la energıa (por unidadde masa) de una partıcula de masa m que se mueve en un potencial unidimensionalradial equivalente Veff = −mGM

r + m 12L2

r2 , idea de la que se puede derivar de maneradirecta informacion cualitativa sobre el movimiento.

Las ecuaciones obtenidas permiten resolver completamente el problema del movi-miento de una partıcula en este campo gravitatorio. Por ejemplo, si se quiere conocerla forma de la orbita, lo mejor es encontrar la ecuacion diferencial para la funcion r(φ):Substituyendo

dr

dt=

dr

dφ

dφ

dt=

Lr2

dr

dφ

en (2.114) se encuentra la ecuacion que deben satisfacer las funciones r(φ):

E =12

(Lr2

dr

dφ

)2

− GM

r+

12L2

r2(2.115)

Como es muy bien conocido, la solucion general de esta ecuacion es

r(φ) =p

1 + e cos(φ− φ0)(2.116)

que representa una conica de excentricidad e con un foco en el origen. La ecuacion dela orbita involucra tres constantes. Una de ellas φ0 corresponde a la orientacion de laorbita dentro del plano en el que se realiza el movimiento (para ser preciso, determinala orientacion del periastro, el punto de la orbita mas cercano al centro). Las otras dosp, e estan ligadas con las dos constantes del movimiento E ,L mediante las ecuaciones

p =L2

GM, e =

√1 +

2EL2

(GM)2

• ejercicio 2.28. Comprobar que efectivamente (2.116) es solucion de la ecuacion (2.115).

• ejercicio 2.29. Escribir la ecuacion de las orbitas en terminos de la variable auxiliar u = 1/r.

Derivando otra vez en esa ecuacion con respecto a φ, encontrar la ecuacion de las orbitas en su

forma llamada de Binet:d2u

dφ2+ u(φ)−

GM

L2= 0

cuya solucion en la forma u(φ)− GML2 ∝ cos(φ− φ0) es obvia.

I. Descripcion newtoniana del campo gravitatorio´...

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