FIM702: lecture 8
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Economy & Finance
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Modelisation de strategies en finance demarche
Seance 13 : Modele de Black & Litterman
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]
Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke
Le 12 avril 2017
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Table de matiere
Fondations theoriques du modele de MarkowitzModele d’evaluation des actifs financiers
Extensions du modele de MarkowitzModele de Black & Litterman
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Table de matiere
Fondations theoriques du modele de MarkowitzModele d’evaluation des actifs financiers
Extensions du modele de MarkowitzModele de Black & Litterman
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probleme de consommateur (1)
I Supposons que le consommateur ne vive que lors2 periodes : aujourd’hui et demain .
I L’utilite de sa consommation demain est decrite parla fonction suivante :
u(c) = 1− exp (−αc)
(noter la decroissance de l’utilite marginale)
I Le consommateur possede aujourd’hui le capital V0
a investir dans les actifs risques et sans risque.
I Son probleme d’optimisation
E u(c)→ maxω0, ω
c = V0
(1 + ω0Rf + ωTR
), ω0 + ωT
1 = 1
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
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CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probleme de consommateur (2)
I Supposons que R ∼ N (µ,Σ).
I La consommation demain est donc distribuee selonla loi normale.
E [1− exp (−αc)] = 1− exp
(−αE c +
α2
2V c
)I Le probleme d’optimisation
−αV0
(1 + ω0Rf + ωTµ
)+α2
2V 2
0 ωTΣω → min
ω0, ω
ω0 + ωT1 = 1
I α est l’aversion absolue au risque.
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Black-Litterman
Probleme de consommateur (3)
δ
2ωTΣω −
(ω0Rf + ωTµ
)→ min
ω0, ω
ω0 + ωT1 = 1
I δ = αV0 est l’aversion relative au risque.
I En substituant la contrainte,
δ
2ωTΣω − ωT (µ− Rf 1)→ min
ω
δΣω∗ − (µ− Rf 1) = 0
ω∗ =1
δΣ−1 (µ− Rf 1)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : probleme de consommateur, δ = 10
0 0.02 0.04 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : probleme de consommateur, δ = 20
0 0.02 0.04 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : δ = 10, pas de vente a decouvert
0 0.02 0.04 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : δ = 20, pas de vente a decouvert
0 0.02 0.04 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
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Black-Litterman
CAPM
I Nous sommes interesses par l’evaluation d’actifs : quelest le rendement moyen µi equilibre ?
I Le consommateur investit dans son portefeuille optimal :
µ− Rf = δΣω∗, µi − Rf = δ (Σω∗)i
I Pour n’importe quel portefeuille optimal ωπ,
cov(R(i),Rπ
)= cov
(R(i), ωT
π R)
= (Σωπ)i
µi − Rf = δ cov(R(i),Rπ
)I Le meme est vrai pour le portefeuille de marche :
µi − Rf = δ cov(R(i),RM
)µM − Rf = δ σ2
M
µi − Rf =cov
(R(i),RM
)σ2M
(µM − Rf )
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Black-Litterman
Table de matiere
Fondations theoriques du modele de MarkowitzModele d’evaluation des actifs financiers
Extensions du modele de MarkowitzModele de Black & Litterman
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Black-Litterman
Problemes de l’approche de Markowitz
I Les resultats de l’approche de Markowitz sont souventpeu intuitifs :
I Positions importantes a decouvert (si la vente adecouvert est permise),
I Poids nuls des nombreux actifs (si la vente a decouvertest interdite),
I Poids importants des actifs avec une petitecapitalisation.
I Les raisons :I Les rendements moyens sont tres difficiles a estimer et
l’investisseur ne peut couvrir que quelques marches dansson analyse.
I Le modele exige cependant l’opinion sur le rendementde tous les actifs.
I Le resultat est tres sensible aux rendements estimes.
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Black-Litterman
Modele de Black & Litterman
I Le modele de Black & Litterman est une approcheBayesienne, les rendements moyens etant inconnus etaleatoires.
I Le point de depart est l’equilibre de marche.
I Pour preciser la distribution des rendements moyens,des opinions (partielles ou completes) de l’investisseursont integrees dans l’analyse.
I On va considerer l’optimisation sans contraintes sur lavente a decouvert. Cependant, notre analyse est tresfacile a generaliser : il faut tout simplement utiliserl’optimisation numerique avec la contraintecorrespondant.
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Black-Litterman
Hypotheses
I Les rendement sont normaux : R ∼ N (µ,Σ)
I Dans l’equilibre, tous les investisseurs detiennent leportefeuille de marche ωM .
I Les rendements equilibres
µeq = Rf + δΣωM
I Supposons que les rendements moyens sont aleatoires :
µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)
I ε et R sont supposes independants.
I τ reflete l’incertitude dans l’estimation des rendementmoyens.
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Black-Litterman
Les parametres du modele
I La matrice de covariance des actifs Σ peut etre estimeea partir des donnees historiques. Dans le modele elle estpresumee connue.
I Les poids du portefeuille de marche refletent lescapitalisations.
I δ provient des donnees historiques ou de l’experience.Disons, δ = 3.
I τ doit etre choisi. Disons, τ = 1/T , ou T est le nombred’observations.
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Capitalisations des marches
0 1 2 3 4
x 1013
US stocks
CA stocks
UK stocks
DE stocks
FR stocks
JP stocks
US bonds
Capitalisation en 2012, $
Selon les donnees de la Banque Mondiale et SIFMA
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Fondations
CAPM
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Black-Litterman
Rendements equilibres
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10−3
σi
µi
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
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CAPM
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Black-Litterman
Investisseur sans opinions
R ∼ N (µ,Σ) , µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)
I Etant donne que ε et R sont independants,
R ∼ N [µeq, (1 + τ)Σ]
ω∗ =Σ−1 (µeq − Rf 1)
δ(1 + τ)=
ωM
1 + τ, ω0 =
τ
1 + τ
I Une partie du capital est investie dans l’actif sans risqueen raison de l’incertitude supplementaire liee auxrendements moyens.
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Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
τ = 0
0 0.02 0.04 0.060
1
2
3
4
5x 10
−3
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
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finance de marche
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Extensions
Black-Litterman
τ = 0.5
0 0.02 0.04 0.060
1
2
3
4
5x 10
−3
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
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Opinions
I L’investisseur suppose que k certains portefeuilles ontles rendements moyens q :
P︸︷︷︸k×N
µ = q︸︷︷︸k×1
+ε′, ε′ ∼ N (0,Ω)
I Ω est une matrice diagonale k × k , elle est connue etreflete l’incertitude de l’investisseur concernant sesopinions.
I ε′ et ε sont supposes independants.
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Inference bayesienne (1)
I Nous sommes interesses par la distribution de µ etantdonne les opinions de l’investisseur.
I Supposons que les opinions de l’investisseur son formeessuite aux observations.
I Par exemple, il observe les portefeuilles P et trouve queleurs rendements moyens µP ∼ N (q,Ω).
I On cherche
P (µ |µP ) =P (µP |µ)Pµ
PµP
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Inference bayesienne (2)
I La probabilite d’observer µ
Pµ ∝ exp
[−1
2(µ− µeq)T (τΣ)−1 (µ− µeq)
]I Etant donne les rendement des actifs µ, la probabilite
d’observer les rendements µP
P (µP |µ) ∝ exp
[−1
2(Pµ− q)T Ω−1 (Pµ− q)
]
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Inference bayesienne (3)
I Suite a certaines transformations...
P (µ |µP ) ∝ exp
[−1
2(µ− µeq)TH−1 (µ− µeq)
]I Les rendements moyens compte tenu des opinions :
µeq = H[(τΣ)−1 µeq + PTΩ−1q
]I La covariance des moyennes compte tenu des opinions :
H =[(τΣ)−1 + PTΩ−1P
]−1
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Black-Litterman
Portefeuille optimal
R ∼ N(µeq, Σ
)
µeq = H[(τΣ)−1 µeq + PTΩ−1q
]Σ = Σ + H = Σ +
[(τΣ)−1 + PTΩ−1P
]−1
ω∗ =1
δΣ−1 (µeq − Rf 1)
Modelisation destrategies en
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Fondations
CAPM
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Black-Litterman
Exemple 1
I Supposons queI le rendement moyen mensuel de DAX sera 0.5% plus
eleve que celui de CAC,I le rendement moyen mensuel de TSX sera 1%.
P =
(0 0 0 1 −1 0 00 1 0 0 0 0 0
), q =
(0.0050.01
)I L’incertitude dans notre opinion :
Ω =
(0.0012 0
0 0.0012
)I Supposons que δ = 3, τ = 0.01.
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Exemple 1 en Matlab (1)
Weq = caps / sum( caps );
delta = 3;
mu_eq = sigma * Weq * delta + Rf;
P = [0 0 0 1 -1 0 0; 0 1 0 0 0 0 0];
q = [0.005; 0.01];
Omega = [1e-6 0; 0 1e-6];
tau = 0.01;
H = inv( inv(tau * sigma) + P’ * inv(Omega) * P );
barmu_eq = H * ( inv( tau * sigma ) * mu_eq ...
+ P’ * inv( Omega ) * q );
barsigma = sigma + H;
W = 1 / delta * inv(barsigma) * ( barmu_eq - Rf );
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CAPM
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Black-Litterman
Exemple 1 en Matlab (2)
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0103 0.2775 0.2747
0.0042 0.0098 0.0300 0.8306
0.0041 0.0059 0.0449 0.0444
0.0045 0.0100 0.0221 2.3866
0.0046 0.0057 0.0271 -2.3379
0.0033 0.0044 0.0547 0.0542
0.0018 0.0015 0.5438 0.5384
>> sum(W)
ans =
1.7910
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Black-Litterman
Exemple 2
% Omega = [1e-6 0; 0 1e-4];
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0061 0.2775 0.2747
0.0042 0.0048 0.0300 0.2009
0.0041 0.0030 0.0449 0.0444
0.0045 0.0067 0.0221 2.3011
0.0046 0.0024 0.0271 -2.2524
0.0033 0.0029 0.0547 0.0542
0.0018 0.0016 0.5438 0.5384
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finance de marche
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 3
% q = [0.005; 0];
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0043 0.2775 0.2747
0.0042 0.0028 0.0300 -0.0612
0.0041 0.0018 0.0449 0.0444
0.0045 0.0053 0.0221 2.2655
0.0046 0.0010 0.0271 -2.2168
0.0033 0.0023 0.0547 0.0542
0.0018 0.0016 0.5438 0.5384
>> sum(W)
ans =
0.8992