FIM702: lecture 3

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 8 : Modelisation du rendement

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]

Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke

Le 8 mars 2017


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere

Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements stochastiques

I Les rendements sont senses d’etre aleatoires.

I Par exemple, les rendements logarithmiques sontfrequemment senses d’etre distribues selon la loinormale, ce qui donne le mouvement browniengeometrique pour les prix.

I Les rendements stochastiques sont utilises pourl’evaluation des produits derives (par exemple le modelede Black & Scholes) et pour la modelisation deMonte-Carlo.


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Exemple : rendements stochastiques

I Les estimations du rendement moyen et de la variance

µR = 2.7%, σR = 18.7%

I Le processus pour les rendements et les prix :

Rt = µR ·∆t + Wt · σR√

∆t, Pt = Pt−∆t · expRt

ou ∆t est l’increment du temps (disons, 1/252 ans),Wt ∼ N (0, 1).

I Matlab :

m = 100; % nombre de simulations

n = 252; % nombre d’increments du temps

R = normrnd(mu_R/n, sigma_R/sqrt(n), n, m);

P = 100*cumprod(exp(R),1);


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Exemple : Monte-Carlo

50 100 150 200 25040

60

80

100

120

140

160

180


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere



finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Modeles ARMA

I Autoregressive – moving average, ARMA(p, q) :

rt = µ+

p∑i=1

θi rt−i +εt +

q∑i=1

αiεt−i , εt ∼ N(0, σ2

)I La valeur de q peut etre trouvee en utilisant la fonction

d’autocorrelation, tandis que pour determiner p, il fautanalyser la fonction d’autocorrelation partielle.

I Le modele tient compte du fait que les rendements nesont pas independants.


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Stochastique

ARMA

GARCH

Fonction d’autocorrelation

I La fonction d’autocorrelation

ACF (τ) = corr (Rt ,Rt−τ )

I La fonction d’autocorrelation partielle est la fonction decorrelation entre Rt et Rt−τ obtenue lorsque l’influencede Rt−1, Rt−2, . . ., Rt−τ+1 a ete retiree.

I Matlab :

autocorr(R); % Attention aux NaNs!

parcorr(R);


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements de l’indice S&P 500 : ACF

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements de l’indice S&P 500 : PACF

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : estimation

I Essayons ARMA(2, 2) :

Mdl = arima(2,0,2);

[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA(2, 2)

ARIMA(2,0,2) Model:

--------------------

Conditional Probability Distribution: Gaussian

Standard t

Parameter Value Error Statistic

----------- ----------- ---------- ----------

Constant 0.0002685 0.0002907 0.9236

AR{1} -0.2359 0.2795 -0.84

AR{2} 0.0231 0.1216 0.1899

MA{1} 0.1226 0.2803 0.438

MA{2} -0.1022 0.1455 -0.7026

Variance 0.0001639 2.04e-06 80.33


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Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : estimation

I Essayons ARMA(2, 2) :

Mdl = arima(2,0,2);


I Le critere d’information d’Akaike : AIC = −14 503.

aic = aicbic(logL, 5);

I Pour ARMA(1, 1) et AR(2), AIC = −14 507, AR(2)etant marginalement preferable

Mdl = arima(2,0,0);



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Stochastique

ARMA

GARCH

AR(2)

ARIMA(2,0,0) Model:

--------------------

Conditional Probability Distribution: Gaussian

Standard t


----------- ----------- ------------ -----------

Constant 0.000260 0.0002698 0.9638

AR{1} -0.1132 0.0116 -10.15

AR{2} -0.06328 0.008705 -7.269

Variance 0.000164 2.028e-06 80.8


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Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA :previsions

Mdl = arima(2,0,0);

eMdl = estimate( Mdl, R( 1:(end-21) ) );

[Rf,MSE] = forecast(eMdl,21, ’Y0’, R(1:(end-21)));

plot([R( (end-20):end ) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...

Rf+1.96*sqrt(MSE) ]);

I Les previsions convergent tres rapidement vers lamoyenne.

I La variance conditionnelle est constante.


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : previsions

5 10 15 20−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Ren

dem

ent

Jours


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Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere



finance de marche

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Stochastique

ARMA

GARCH

Modeles GARCH

I Le modele GARCH (generalized autoregressiveconditional heteroscedasticity) permet d’estimer lavariance conditionnelle

σ2t+1 = V (εt+1 |εt , εt−1, . . . )

I Le modele GARCH(p, q) :

rt = µ+n∑

i=1

θi rt−i + εt

εt |εt−1, εt−2, . . . ∼ N(0, σ2

t

)σ2t = ω +

p∑i=1

αiε2t−i +

q∑i=1

βiσ2t−i


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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : specification (1)

I Pour determiner si l’effet ARCH est present, il fautanalyser les fonctions d’autocorrelation des residuscarres du modele ARMA retenu ou effectuer les testsstatistiques correspondants.

I Matlab :

Mdl = arima(2,0,0); % Le modele AR(2) retenu

eMdl = estimate(Mdl, R);

res = infer(eMdl, R); % Les residus

autocorr(res .^ 2); % ACF

parcorr(res .^ 2); % PACF


finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH


0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion



finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH


0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns



finance de marche

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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : estimation (1)

I Si l’effet ARCH est present, le modele GARCH(1, 1) esthabituellement suffisant.

I Matlab :

Mdl = arima(’ARLags’, [1 2],...

’Variance’, garch(1,1));

eMdl = estimate(Mdl, R);

% Les residus et les variances conditionnelles

[res, V] = infer(eMdl, R);

autocorr(res .^ 2 ./ V); % ACF

parcorr(res .^ 2 ./ V); % PACF


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Stochastique

ARMA

GARCH


Standard t


----------- ----------- ------------ -----------

Constant 0.0006578 0.0001682 3.912

AR{1} -0.05994 0.02408 -2.489

AR{2} -0.01947 0.02157 -0.903

----------- ----------- ------------ -----------

Constant 2.140e-06 5.834e-07 3.668

GARCH{1} 0.8760 0.01090 80.2

ARCH{1} 0.1069 0.009236 11.58


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Stochastique

ARMA

GARCH


05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Date

Ren

dem

ent


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Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH


0 5 10 15 20

Lag

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion



finance de marche

Alexander Surkov


Stochastique

ARMA

GARCH


0 5 10 15 20

Lag

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns



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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : previsions (1)

I Les previsions pour les rendements et pour les variancesconditionnelles :

Mdl = arima(’ARLags’, [1 2], ’Variance’,...

garch(1,1));

eMdl = estimate(Mdl, R(1:(end-21)));

[Rf, MSE, Vf] = forecast(eMdl,21, ’Y0’,...

R(1:(end-21)));

plot([R( (end-20): end) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...

Rf+1.96*sqrt(MSE) sqrt(Vf)]);

I La volatilite inconditionnelle

σR =ω

1−p∑

i=1αi −

q∑i=1

βi


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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : previsions (2)

5 10 15 20−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Ren

dem

ent

Jours


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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : modifications

I Nombreuses modifications de GARCH existent :I Differentes formes fonctionnelles (A-GARCH,

E-GARCH. . .)I Des distributions des residus autres que la loi normale

(t GARCH)

I Modeles GARCH multivaries permettent de capturer ladynamique de la correlation.

I Evidemment, les modeles GARCH peuvent etre utilisesdans les simulations Monte-Carlo.

I Voir :I Alexander, C. Market Risk Analysis : Vol. 2. Practical

Financial Econometrics. John Wiley & Sons, Ltd., 2008.I Tsay, R.S. Analysis of Financial Time Series. John

Wiley & Sons, Inc., 2002.

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Economy & Finance

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