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小テスト No...小テスト No.18 図形と方程式 2 点間の距離 年 組 番 名前 /20...
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小テスト No.18 図形と方程式 2 点間の距離
年 組 番 名前 /20
1. 次の 2点間の距離を求めよ。
(1) A 0, 0£ ¤ ,B 4, 1£ ¤
(2) A P3, 2£ ¤ ,B P7, P4£ ¤ 2. 次の 3点を頂点とする三角形はどのような形の三角形か。
A 0, 2£ ¤ ,B P1, P2£ ¤ ,C 4, 1£ ¤ 3. 2 点A 3, 5£ ¤ ,B 6, P2£ ¤ から等距離にあるx 軸上の点P の座標を求めよ。
小テスト No.19 図形と方程式 内分点・外分点
年 組 番 名前 /20
1. 2 点A P3, 7£ ¤ ,B 6, 1£ ¤ を結ぶ線分 ABについて,次の点の座標を求めよ。
(1) 2 : 1 に内分する点 P
(2) 2 : 1 に外分する点 Q
(3) 中点M 2. 4 点 A P3, 1£ ¤,B 5, P1£ ¤ ,C 7, 5£ ¤ ,D を頂点とする平行四辺形ABCD について,次
の点の座標を求めよ。 (1) 対角線 ACと BDの交点P
(2) 頂点D 3. 3点A 1, 2£ ¤,B 8, 3£ ¤,C 6, 4£ ¤ を頂点とする4ABC の重心 Gの座標を求めよ。
小テスト No.20 図形と方程式 直線の方程式
年 組 番 名前 /20
1. 次のような直線の方程式を求め,そのグラフをかけ。
(1) 点 3, P5£ ¤を通り,傾きが 4の直線
(2) 点 2, 3£ ¤を通り,y軸に平行な直線 2. 次の 2点 A,Bを通る直線の方程式を求めよ。
(1) A 0, P2£ ¤,B 4, 6£ ¤
(2) A 3, 6£ ¤,B P5, 6£ ¤
(3) A P4, 6£ ¤,B 1, P2£ ¤ 3. 2 点 4, 0£ ¤, 0, 9£ ¤ を通る直線の方程式を求めよ。
小テスト No.21 図形と方程式 2 直線の関係(1)
年 組 番 名前 /20
1. 点 2, P5£ ¤を通り,直線 2xOyP1x0 に平行な直線の方程式を求めよ。また,垂直な
直線の方程式を求めよ。 2. 直線 2xO3yP9x0 に関して,点 A 5, 4£ ¤と対称な点 Bの座標を求めよ。
小テスト No.22 図形と方程式 2 直線の関係(2)
年 組 番 名前 /20
1. 3 直線
xO3yO8x0 , 2xPyO2x0 , 3xPyOmx0 が 1点で交わるとき,定数 mの値を求めよ。
2. 次の点と直線の距離を求めよ。
(1) 点 1, 4£ ¤と直線 2xO3yO1x0
(2) 点 5, 3£ ¤と直線 yxP5
小テスト No.23 図形と方程式 円の方程式
年 組 番 名前 /20
1. 次の円の方程式を求めよ。
(1) 点 P4, 1£ ¤を中心とし,点 3, P2£ ¤を通る円
(2) 2 点 2, 3£ ¤, 4, P5£ ¤ を直径の両端とする円 2. 次の方程式はどのような図形を表すか。
x 2Oy 2PxO5yO2x0 3. 次の 3点を通る円の方程式を求めよ。
A 0, 3£ ¤ ,B P1, 0£ ¤ ,C P3, 4£ ¤
小テスト No.24 図形と方程式 円と直線(1)
年 組 番 名前 /20
1. 次の直線と円の共有点の座標を求めよ。
xPyP1x0 ,x 2Oy 2x5 2. 直線 yxP2xOk が円 x 2Oy 2x3 と異なる2 点で交わるように,定数 kの値の範囲を
定めよ。
小テスト No.25 図形と方程式 円と直線(2)
年 組 番 名前 /20
1. 円 x 2Oy 2x4 と直線 2xPyPkx0 が接するように,定数 kの値を定めよ。 2. 円 x 2Oy 2O4xP2yP1x0 と直線 4xO3yP5x0 の 2つの交点を結ぶ線分の長さ lを
求めよ。
小テスト No.26 図形と方程式 円と直線(3)
年 組 番 名前 /20
1. 次の円上の点 Pにおける接線の方程式を求めよ。
(1) x 2Oy 2x5 ,P 1, 2£ ¤
(2) x 2Oy 2x36 ,P 6, 0£ ¤ 2. 点 2, 6£ ¤を通り,円 x 2Oy 2x20に接する直線の方程式と接点の座標を求めよ。
小テスト No.27 図形と方程式 2 つの円(1)
年 組 番 名前 /20
1. 点 1, 3£ ¤を中心とし,円 x 2Oy 2x40 に内接する円の方程式を求めよ。 2. 円 x 2Oy 2P2kxO4kyO5k2P9x0 と円 x 2Oy 2x4 が互いに外部にあるとき,定数 k
のとり得る値の範囲を求めよ。
小テスト No.28 図形と方程式 2つの円(2)
年 組 番 名前 /20
1. 次の 2つの円の共有点の座標を求めよ。
x 2Oy 2x8,x 2Oy 2O2xP2yP8x0 2. 2つの円 x 2Oy 2P3x0 , x 2Oy 2P8xP4yO3x0 の交点と点 1, 3£ ¤を通る円の方程式
を求めよ。
小テスト No.29 図形と方程式 軌跡の方程式(1)
年 組 番 名前 /20
1. 2 点A 3, 0£ ¤ ,B 6, 0£ ¤ に対して,AP : BPx 1 : 2であるような点 Pの軌跡を求めよ。
小テスト No.30 図形と方程式 軌跡の方程式(2)
年 組 番 名前 /20
1. 2点 A 2, 3£ ¤,B 4, P4£ ¤がある。点 Pが円 x 2Oy 2x4 上を動くとき,4ABPの重心 G
の軌跡を求めよ。
小テスト No.31 図形と方程式 不等式の表す領域
年 組 番 名前 /20
1. 次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) yuxO2 (2) 3xP6yU2
(3) 4xP7T0 (4) x 2O yP1£ ¤ 2T1
(5) x 2Oy 2O2xP4yO4u0
小テスト No.32 図形と方程式 連立不等式の表す領域(1)
年 組 番 名前 /20
1. 次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
(1) x 2Oy 2t9 ……①
xP2yO2u0 ……②Ç
(2) xPyP1£ ¤ xO2yP1£ ¤T0
小テスト No.33 図形と方程式 連立不等式の表す領域(2)
年 組 番 名前 /20
1. 点 x, y£ ¤が連立不等式
xU0 , yU0 , xPyP1T0 , 2xO3yP12T0 の表す領域 Dを動くとき,次の式の最大値と最小値を求めよ。
(1) xOy (2) 2yPx
小テスト解答 No.18 図形と方程式 2 点間の距離 1. (1) ABx 42O12 x 17
(3 点)
(2) ABx P7P P3£ ¤« ¬ 2O P4P2£ ¤ 2 x 52x2 13 (3 点)
2. ABx P1P0£ ¤ 2O P2P2£ ¤ 2 x 17
BCx 4P P1£ ¤« ¬ 2O 1P P2£ ¤« ¬ 2 x 34 CAx 0P4£ ¤ 2O 2P1£ ¤ 2 x 17 であるから
ABxCA , AB2OCA2xBC2 よって,4ABC は {Aを直角とする直角二等辺三角形である。
(7 点) 3. 点P の座標を x, 0£ ¤ とする。
APxBP より AP2xBP2
よって xP3£ ¤ 2O 0P5£ ¤ 2x xP6£ ¤ 2O 0P P2£ ¤« ¬ 2
これを解くと xx1
すなわち P 1, 0£ ¤
(7 点)
小テスト解答 No.19 図形と方程式 内分点・外分点 1. (1) P x, y£ ¤とすると
xx1 @ P3£ ¤O2 @ 6
2O1x3, yx
1 @ 7O2 @ 12O1
x3
したがって,求める点 Pの座標は 3, 3£ ¤である。 (3 点)
(2) Q x ,́ y´£ ¤とすると,
x´xP1 @ P3£ ¤O2 @ 6
2P1x15, y´x
P1 @ 7O2 @ 12P1
xP5
したがって,求める点 Qの座標は 15, P5£ ¤である。 (3 点)
(3) M x´́ , y´́£ ¤とすると,
x´́xP3O6
2x
32, y´́x
7O12
x4
したがって,求める点 Mの座標は32, 4Ã Äである。
(3 点) 2. (1) 点 Pの座標を a, b£ ¤とすると,対角線 ACの中点が点 Pであるから
axP3O7
2x2, bx
1O52
x3
したがって,交点 Pの座標は 2, 3£ ¤である。 (3 点)
(2) 点 Dの座標を c, d£ ¤とすると,対角線 BDの中点が点 Pであるから 5Oc2
x2, P1Od
2x3
したがって cxP1,dx7
頂点 Dの座標は P1, 7£ ¤である。 (4 点)
3. 重心 Gの座標を x, y£ ¤とすると
xx1O8O6
3x5 , yx
2O3O43
x3
すなわち G 5, 3£ ¤
(4 点)
小テスト解答 No.20 図形と方程式 直線の方程式 1. (1) 求める直線の方程式は
yP P5£ ¤x4 xP3£ ¤ より すなわち
yx4xP17 そのグラフは,右のようになる。
(4 点)
(2) 点 2, 3£ ¤ を通り,y 軸に平行な直線である
から求める方程式は xx2
そのグラフは,右のようになる。
(4 点)
2. (1) yP P2£ ¤x 6P P2£ ¤4P0
xP0£ ¤
すなわち yx2xP2 (3 点)
(2) yP6x6P6
P5P3xP3£ ¤
すなわち yx6 (3 点)
(3) yP6xP2P61P P4£ ¤ xP P4£ ¤« ¬
すなわち yxP85xP
25
(3 点)
3. x4O
y9x1
(3 点)
小テスト解答 No.21 図形と方程式 2 直線の関係(1) 1. 直線 2xOyP1x0 を lとすると,lの傾きはP2 である。
よって,lに平行な直線の傾きはP2であるから,点 2, P5£ ¤を通り,lに平行な直線の
方程式は yP P5£ ¤xP2 xP2£ ¤
すなわち 2xOyO1x0 ……答 (5 点)
また,lに垂直な直線の傾きを mとすると P2mxP1
すなわち mx12
点 2, P5£ ¤を通り,lに垂直な直線の方程式は
yP P5£ ¤x 12
xP2£ ¤
すなわち xP2yP12x0 ……答 (5 点)
2. 直線 2xO3yP9x0を lとし,点 Bの座標を a, b£ ¤とする。
直線 lの傾きは P23
直線 ABの傾きは bP4aP5
l=ABであるから
P23Ã Ä @ bP4
aP5xP1
すなわち 3aP2bP7x0 ……①
また,線分 ABの中点aO52
,bO42Ã Äは
l上にあるから
2 @aO52Ã ÄO3 @
bO42Ã ÄP9x0
すなわち 2aO3bO4x0 ……②
①,②より ax1 ,bxP2
したがって,点 Bの座標は 1, P2£ ¤ (10 点)
小テスト解答 No.22 図形と方程式 2 直線の関係(2) 1. 連立方程式
xO3yO8x02xPyO2x0Ç
を解くと xxP2 ,yxP2
よって,交点の座標は P2, P2£ ¤
直線 3xPyOmx0 が点 P2, P2£ ¤を通るから 3 @ P2£ ¤PP2£ ¤Omx0
したがって mx4
(10 点) 2. (1) 求める距離 dは
dx2 @ 1O3 @ 4O1
22O32x
15
13x
15 1313
(5 点)
(2) 直線の方程式 yxP5を変形すると 0xO yO5x0
よって,求める距離 d´は
d´x0 @ 5O1 @ 3O5
02O12x
81 x8
(別解) 右の図より,求める距離は8
(5 点)
小テスト解答 No.23 図形と方程式 円の方程式 1. (1) 求める円の半径は 3O4£ ¤ 2O P2P1£ ¤ 2 x 58
したがって,この円の方程式は xO4£ ¤ 2O yP1£ ¤ 2x58
(4 点)
(2) 求める円の中心の座標は 2O42
,3P52Ã Ä
すなわち 3, P1£ ¤ また,半径は 2P3£ ¤ 2O 3O1£ ¤ 2 x 17 したがって,この円の方程式は
xP3£ ¤ 2O yO1£ ¤ 2x17 (4 点)
2. この方程式を変形すると x 2Px£ ¤O y 2O5y£ ¤xP2
xP12Ã Ä 2
P12Ã Ä 2
O yO52Ã Ä 2
P52Ã Ä 2
xP2
xP12Ã Ä 2
O yO52Ã Ä 2
x92
ここで 92x
92Ã Ä 2
x3 22
Ã Ä 2
よって,この方程式は点12, P
52Ã Äを中心とする半径 3 2
2の円を表す。
(5 点) 3. 求める円の方程式を x2Oy 2OlxOmyOnx0 とおく。
これが点 A 0, 3£ ¤を通るから 02O32Ol @ 0Om @ 3Onx0 すなわち
9O3mOnx0 ……① 同様に点 B P1, 0£ ¤,C P3, 4£ ¤ を通るから
P1£ ¤ 2O02Ol @ P1£ ¤Om @ 0Onx0 P3£ ¤ 2O42Ol @ P3£ ¤Om @ 4Onx0
すなわち 1PlOnx0 ……② 25P3lO4mOnx0 ……③
①,②,③より lx4,mxP4 ,nx3 よって,求める円の方程式は x 2Oy 2O4xP4yO3x0
(7 点)
小テスト解答 No.24 図形と方程式 円と直線(1) 1. 共有点の座標は次の連立方程式の実数解として得られる。
xPyP1x0 ……①
x 2Oy 2x5 ……②Ç
①より yxxP1 ……③ ③を②に代入すると
x 2O xP1£ ¤ 2x5 整理すると
x 2PxP2x0 これを解くと
xx2,P1 ③より,xx2のとき yx1
xxP1 のとき yxP2 よって,求める座標は 2, 1£ ¤, P1, P2£ ¤ である。
(10 点) 2. 連立方程式
x 2Oy 2x3 ……①
yxP2xOk ……②Ç
において,②を①に代入すると x 2O P2xOk£ ¤ 2x3
すなわち 5x 2P4kxOk2P3x0 ……③
この 2次方程式の判別式をD とすると D4x P2k£ ¤ 2P5 k 2P3£ ¤xPk 2O15
2次方程式③が異なる 2つの実数解をもつ条件は,D4u0であるから
Pk2O15u0 すなわち
kO 15£ ¤ kP 15£ ¤t0 したがって
P 15tkt 15 (10 点)
小テスト解答 No.25 図形と方程式 円と直線(2) 1. 円の中心 0, 0£ ¤と直線 2xPyPkx0の距離 dが 2であればよい。
dx2 @ 0P0Pk
22O P1£ ¤ 2 xk
5x2
すなわち kx2 5 したがって kxE2 5 (別解)
連立方程式 x 2Oy 2x4 ……①
2xPyPkx0 ……②Ç
において,②より yx2xPk これを①に代入して x 2O 2xPk£ ¤ 2x4 すなわち 5x 2P4kxOk2P4x0 ……③ この 2次方程式の判別式をD とすると
D4x P2k£ ¤ 2P5 k 2P4£ ¤xPk 2O20
2次方程式③が重解をもつ条件は,D4x0であるから
Pk2O20x0 すなわち
k2x20 したがって
kxE2 5 (8 点)
2. 円の方程式を変形すると
xO2£ ¤ 2O yP1£ ¤ 2x6 円の中心 P2, 1£ ¤と直線 4xO3yP5x0 の距離 dは
dx4 @ P2£ ¤O3 @ 1P5
42O32x2
また,円の半径 rは rx 6
であるから,三平方の定理により 12lx r 2Pd 2 x 6£ ¤ 2P22 x 2
ゆえに,求める線分の長さ lは lx2 2
(12 点)
小テスト解答 No.26 図形と方程式 円と直線(3) 1. (1) 求める接線の方程式は
1 @ xO2 @ yx5 よって xO2yx5
(3 点)
(2) 求める接線の方程式は 6 @ xO0 @ yx36
よって xx6 (3 点)
2. 接点の座標を x 1, y 1£ ¤とすると,接線の方程式は
x 1xOy 1yx20 ……① これが点 2, 6£ ¤を通るから
2x 1O6y 1x20 これより x 1x10P3y 1 ……② また, x 1, y 1£ ¤は円上の点であるから
x 21Oy 2
1x20 ……③ ②を③に代入すると
10P3y 1£ ¤ 2Oy 21x20
整理すると y 2
1P6y 1O8x0 y 1P2£ ¤ y 1P4£ ¤x0
これを解くと y 1x2,4
②より,y 1x2のとき x 1x4 y 1x4のとき x 1xP2
したがって,求める接線は 2本あり,①よりその方程式と接点の座標は 接線 2xOyx10, 接点の座標 4, 2£ ¤ 接線 xP2yxP10, 接点の座標 P2, 4£ ¤
(14 点)
小テスト解答 No.27 図形と方程式 2 つの円(1) 1. 円 x 2Oy 2x40 は中心が原点,半径が 2 10 の円である。
2 つの円の中心間の距離は 13O32 x 10
よって,求める円の半径は 2 10P 10x 10
ゆえに,求める円の方程式は xP1£ ¤ 2O yP3£ ¤ 2x10
(10 点) 2. 円 x 2Oy 2x4 は中心が原点,半径が 2の円である。
また,円 x 2Oy 2P2kxO4kyO5k2P9x0 の方程式を変形すると x 2P2kx£ ¤O y 2O4ky£ ¤xP5k2O9 xPk£ ¤ 2Pk2O yO2k£ ¤ 2P4k2xP5k2O9 xPk£ ¤ 2O yO2k£ ¤ 2x9
よって,この方程式は中心が点 k, P2k£ ¤,半径が 3の円を表す。 2つの円の中心間の距離は
k 2O P2k£ ¤ 2 x 5k 2 kU0のとき 5k 2 x 5 k kt0のとき 5k 2 xP 5 k 2つの円が互いに外部にあるので kU0のとき 5 ku2O3x5
ku 5 kt0のとき P 5 ku5
ktP 5 よって,kのとり得る値の範囲は
ku 5 または ktP 5 (10 点)
小テスト解答 No.28 図形と方程式 2 つの円(2) 1. 求める共有点の座標は次の連立方程式の実数解として得られる。
x 2Oy 2x8 ……①
x 2Oy 2O2xP2yP8x0 ……②Ç
①-②より P2xO2yO8x8
すなわち yxx ……③
③を①に代入すると x 2Ox 2x8
整理すると x 2x4
これを解くと xxE2
③より xx2のとき yx2 xxP2のとき yxP2
よって,共有点の座標は 2, 2£ ¤, P2, P2£ ¤ (10 点)
2. kを定数として,2つの円の交点を通る円の方程式を
k x 2Oy 2P3£ ¤O x 2Oy 2P8xP4yO3£ ¤x0 ……① とおく。 ①に xx1,yx3を代入すると
7kP7x0 より kx1 これを①に代入して整理すると,求める円の方程式は
x 2Oy 2P4xP2yx0 (10 点)
小テスト解答 No.29 図形と方程式 軌跡の方程式(1) 1. 点 Pの座標を x, y£ ¤とする。
AP : BPx1 : 2 よって 2APxBP 両辺を2 乗すると
4AP2xBP2 すなわち
4 xP3£ ¤ 2Oy 2« ¬x xP6£ ¤ 2Oy 2 整理すると
x 2P4xOy 2x0 xP2£ ¤ 2Oy 2x22
ゆえに,点 Pの軌跡は中心 2, 0£ ¤,半径 2の円である。 (20 点)
小テスト解答 No.30 図形と方程式 軌跡の方程式(2) 1. 4ABPの重心 Gの座標を x, y£ ¤とする。また,点 Pの座標を s, t£ ¤とすると,これは
円 x 2Oy 2x4 上の点であるから s 2Ot 2x4 ……①
Gは4ABPの重心であるから
xx2O4Os
3,yx
3P4Ot3
すなわち sx3xP6 ,tx3yO1 ……②
②を①に代入すると 3xP6£ ¤ 2O 3yO1£ ¤ 2x4
すなわち
xP2£ ¤ 2O yO13Ã Ä 2
x23Ã Ä 2
ゆえに,点 Gの軌跡は,中心 2, P13Ã Ä,半径
23の円である。
(20 点)
小テスト解答 No.31 図形と方程式 不等式の表す領域 1. (1) 直線 yxxO2 の上側である。ただし境界線は含まない。 (4 点)
(2) 直線 yx12xP
13
の下側である。ただし,境界線を含む。 (4 点) (3) 直線 xx
74
の左側である。ただし,境界線を含む。 (4 点) (4) 円 x 2O yP1£ ¤ 2x1 の内部である。ただし,境界線を含む。 (4 点) (5) 円 xO1£ ¤ 2O yP2£ ¤ 2x1の外側である。ただし,境界線を含まない。 (4 点)
(1) (2) (3) (4) (5)
小テスト解答 No.32 図形と方程式 連立不等式の表す領域(1) 1. (1) ①の表す領域は
円 x 2Oy 2x9 の内部 ②より
yx12xO1
よって,②の表す領域は
直線 yx 12xO1 の下側
与えられた連立不等式の表す領域は,①,②
の表す領域の共通部分であるから,図の斜線
部分となる。ただし,境界線は含まない。 (10 点)
(2) 与えられた不等式は
xPyP1U0
xO2yP1T0Ç
すなわち yTxP1
yTP12xO
12
Ç ……①
または xPyP1T0
xO2yP1U0Ç
すなわち yUxP1
yUP12xO
12
Ç ……②
が成り立つことと同値である。 ①の表す領域をA,②の表す領域をBとすると,求める領域は,A とB の和集合
A>B である。 これを図示すると,上の図の斜線部分となる。 ただし,境界線を含む。
(10 点)
小テスト解答 No.33 図形と方程式 連立不等式の表す領域(2) 1. (1) 連立不等式を満たす領域Dは,右の図のよ
うに,O 0, 0£ ¤,A 1, 0£ ¤,B 3, 2£ ¤,C 0, 4£ ¤を頂点とする四角形の内部および周である。 xOyxk とおくと
yxPxOk ……① よって,①は傾きがP1,y 切片が kの直
線である。この直線①が領域Dと共有点を
もつような kの最大値と最小値を求める。 図より,kの値が最大になるのは直線①が
頂点 Bを通るときであり,最小になるのは,
直線①が原点 Oを通るときである。 したがって,xOyは xx3,yx2 のとき 最大値 5
xx0,yx0のとき 最小値 0 をとる。
(10 点)
(2) 2yPxxk とおくと
yx12xO
k2
……②
よって,②は傾きが12,y 切片が
k2
の直
線である。この直線②が領域Dと共有点を
もつような kの最大値と最小値を求める。 図より,kの値が最大になるのは直線②が
頂点 Cを通るときであり,最小になるのは,
直線②が頂点 Aを通るときである。 したがって,2yPxは xx0 ,yx4 のとき 最大値 8
xx1 ,yx0のとき 最小値P1 をとる。
(10 点)