Facultat de Matematiques i Informatica

Treball final del

GRAU DE MATEMATIQUES

El problema estes de dos cossos

Autora: Chunwei Ye

Director: Dr. Antoni Benseny Ardiaca

Realitzat a: Departament de Matematiques

i Informatica

Barcelona, 27 de juny de 2018

Abstract

This memory is about the extended problem of two bodies using the physical con-cepts and the mathematical branches as numerical methods and differential equa-tions. After the reduction of the problem, we analyze the main theoretical part.In the following chapter, based on the results obtained, we will focus on the Ke-pler problem that studies the behaviors of the orbits in the gravitational case. Inthe end, with a simulator we can visualize the movement of these two bodies forextended problems.

Resum

Aquesta memoria tracta el problema estes de dos cossos utilitzant els conceptes fısicsi les branques matematiques com metodes numerics i equacions diferencials. Despresde la reduccio del problema, analitzem la part teorica principal. En el capıtolseguent, a partir dels resultats obtinguts, ens centrarem a problema de Kepler queestudia els comportaments de les orbites en el cas gravitatori. Al final, amb unsimulador podem visualitzar el moviment d’aquests dos cossos per a problemesestesos.

i

Agraıments

Primer de tot, vull agrair sincerament al meu tutor, Dr. Antoni Benseny. Sense laseva ajuda no hagues pogut realitzar aquest treball. Gracies pel seu consell a l’horad’elegir el tema del treball i tambe per la seva paciencia durant el curs. A mes ames, m’ha ajudat molt en la correcio ortografica.

Tambe vull donar gracies al Dr. Alex Haro pel seu suport material i per la sevaexperiencia.

Despres, volia donar gracies a la meva famıla i als meus amics pel suport i laconfianca en mi.

Finalment, gracies a totes les experiencies que he tingut durant el grau perquem’han permes ser capac de realitzar aquest treball.

ii

Index

1 Lleis de la fısica 2

1.1 Evolucio historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Lleis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Problema estes de dos cossos 6

2.1 Reduccio al problema estes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Conservacio del moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Conservacio de l’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Potencial efectiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Comportaments de les orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Equacio diferencial de les orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Teorema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Cas gravitatori 24

3.1 Equacio diferencial gravitatoria de les orbites . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Geometria de les orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Forma i equacions en coordenades cartesianes . . . . . . . . 25

3.2.2 Recorregut de l’orbites el·lıtiques . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Equacio de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Simulacio del problema de dos cossos 35

4.1 Descripcio del simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Conclusions 41

6 Bibliografia 42

iii

Introduccio

Durant segles, els humans han explorat l’Univers. Gracies als grans astronoms,fısics i matematics, podem reconeixer bona part del Cosmos.

Des de la infancia, ens van ensenyar que el Sol es el centre del sistema solar i quetots els objectes estan regits per la gravetat del Sol. A mes, els planetes estanubicats en orbites el·lıptiques en gairebe el mateix pla i orbiten al voltant del Solen la mateixa direccio.

Ens pregutem: per que els planetes es mouen d’aquesta manera en lloc de qualsevolforma caotica i desordenada? Com son les seves orbites? Totes son de mateixaforma? I de que depen el perıode dels planetes?

A fi de trobar les respostes de les preguntes anteriors, en aquest treball tractarem elmoviment de dos cossos assumint que no son afectats per altres forces que no siguinla interaccio mutua amb forces atractives proporcionals a rα, on r es la distanciamutua i α un exponent. Es tracta d’una extensio del cas gravitatori que te lloc pera α = −2.

Aquesta memoria te quatre capıtols principals, els tres primers estan viculats a lapart teorica i l’ultim, a la part practica.

Primer de tot, explica breument l’evolucio historica de l’Astronomia i fa un repassobre les lleis de Kepler i les lleis de Newton.

En el capıtol seguent, introdueix els conceptes basics que serveixen per a la reducciodel problema de dos cossos estes a un problema d’un unic cos. Mes tard, amb lesdues lleis de conservacio importants, dedueix l’equacio diferencial de les orbites encoordenades polars i tracta el teorema de Bertrand.

Mes endavant, es concentra al cas gravitatori. Estudia els comportaments de lesorbites en coordenades cartesianes segons els valors de l’excentricitat. Despres s’en-foca a les orbites el·lıptiques i a l’equacio de Kepler.

Finalment, explica el funcionament d’un simulador d’orbites del problema estes.

1

1 Lleis de la fısica

1.1 Evolucio historica

Abans de la invencio del telescopi, l’Astronomia nomes comprenia l’observacio iprediccio del moviment dels objectes que podien ser observats a simpre vista.Des de molt aviat, els astronoms grecs van proposar el model geocentric que vaconsiderar la Terra com el centre de l’Univers, i que el Sol, els planetes i les estrellesgiraven al seu voltant.Aquest model va culminar al segle II dC en el model de Claudi Ptolemeu. Creia quela Terra estava immobil i els planetes descriven trajectories circulars respecte a laTerra. Les seves teories van tenir gran exit i van influir en el pensament d’astronomsi matematics fins al segle XVI.En el Renaixement, Nicolau Copernic va proposar el model heliocentric en el qualla Terra feia una orbita circular al voltant del Sol. Aquest nou model explicava deforma mes simple les irregularitats dels planetes. Pero inicialment aquest modelno s’accepta per complet, ates que les dades obtingudes empıricament afavorien elmodel de Ptolomeu.

Figura 1: Heliocentric vs Geocentric

L’any 1610, Galileu va construir un telescopi i l’enfoca al firmament. Per a lesseves explicacions, va adoptar el model heliocentric, pero va seguir suposant orbitescirculars per als planetes.L’astronom danes Tycho Brahe va proposar un model geoheliocentric que es unatransicio entre la teoria geocentrica de Ptolomeu i la teoria heliocentrica de Copernic.Va considerar el Sol i la Lluna giraven al voltant de la Terra immobil, mentre quealtres giraven al voltant del Sol. A mes, Brahe pensava que les orbites en realitateren el·lipses.Durant el segle XVII, Johannes Kepler va publicar les seves tres famoses lleis, ba-sades en les observacions de Brahe. Pero malgrat els seus esforcos, no va ser capacde definir les equacions de les trajectories el·lıptiques.Mes tard, Newton va aplicar les seves lleis de la dinamica a l’estudi dels fenomensnaturals. Va descobrir l’existencia d’una forca, anomenada gravetat, que empenyun objecte massiu cap al centre d’un altre de mes massiu. Posteriorment, les lleisde Kepler van explicar-se a partir de la llei de la gravitacio universal de Newton ide les lleis de la dinamica.

2

1.2 Lleis de Kepler

Johannes Kepler va resumir els seus resultats astronomics en tres lleis empıriques perdesciure el moviment dels planetes en les seves orbites al voltant del Sol. Aquesteslleis constitueixen la cinematica del moviment planetari.

• Primera llei

Tots els planetes descriuen orbites el·lıptiques al voltant del Sol, situat en undels seus focus.

Figura 2: Moviment d’un planeta al voltant del Sol

• Segona llei

El radi vector que uneix el planeta amb el Sol escombra arees iguals en tempsiguals, de tal manera que la velocitat areolar es constant.

dA

dt= K

on A ≡ area escombrada, t ≡ temps i K ≡ velocitat areolar

Figura 3: Llei d’arees de Kepler

Aixı, els planetes es desplacen mes rapidament quan estiguin mes propers alSol (periheli) que quan estiguin mes allunyats (afeli).

3

• Tercera llei

Per a tot planeta, el quadrat de seu perıode orbital T es directament propor-cional al cub del semieix major a de la seva orbita el·lıptica.

Figura 4: UA ≡ unitats astronomiques

1.3 Lleis de Newton

Isaac Newton va formular les lleis que descriuen les causes i les formes de movimentdels cossos, tambe va enunciar la llei de la gravitacio universal per explicar la forcad’atraccio entre dos cossos. Constitueixen la dinamica del moviment planetari i vanpermetre explicar la seva cinematica.

• Principi d’inercia

Si sobre un cos no actua cap forca, aleshores mante el seu estat de moviment,jasigui en repos, o ja sigui en moviment rectilini uniforme (M.R.U).

∑~F = 0⇔ ~v = C1 −→

{~v = 0 (repos) si ~v0 = 0

~v = ~v0 = C2 (M.R.U) si ~v0 6= 0

amb ~F ≡ forca, ~v ≡ velocitat, ~v0 ≡ velocitat inicial, i C1, C2 ≡ constants.

Definicio 1.1. La quantitat de moviment o moment lineal (~P ) d’un cos es elproducte de la seva massa m per la seva velocitat lineal ~v mesurades en undeterminant sistema de referencia. La seva definicio matematica es

~P = m~v

4

• Llei fonamental de la dinamica

La variacio de la quantitat de moviment ~P respecte al temps t d’un cos esigual a la forca ~F que actua.

d~P

dt= m

d~v

dt= m~a = ~F , on ~a ≡ acceleracio

• Llei d’accio i reaccio

Sempre que un cos exerceix una forca sobre un altre, aquest segon cos exerceixuna forca de modul igual pero sentit contrari sobre el primer.

~Fij = −~Fji , ~Fij es la forca que fa el cos i sobre el j

• Llei de gravitacio universal

La forca d’atraccio F entre dos cossos, amb masses m1 i m2 respectivament, esproporcional al producte de les masses i inversament proporcional al quadratde la distancia r que separa els dos cossos.

F = Gm1m2

r2

on G es la constant gravitacional i val (6.6742± 0.001)× 10−11m3s−2kg−1

5

2 Problema estes de dos cossos

El problema de dos cossos es refereix a la interaccio de dues masses en movimentsota l’accio mutua de la gravetat descrita per la llei de la gravitacio universal deNewton. Newton pensava que la gravetat radiava igualment en totes les direccionsdel cos central i havia de complir la llei de l’invers del quadrat.A part de la forca gravitacional, tambe es interessant coneixer els comportamentsen problemes estesos a forces atractives depenents de la distancia r, del tipus

F = krα

on k es una constant i α es un exponent. Notem que quan α = −2 tenim el casgravitatori.

2.1 Reduccio al problema estes de Kepler

El nostre objectiu es determinar el moviment de dues partıcules puntuals que nomesinteractuen entre sı. Les lleis de Newton ens permeten reduir el problema dels doscossos a un problema d’un unic cos. Es a dir, resoldre el moviment d’una partıculasotmesa a un camp gravitatori conservatiu i que, per tant, deriva d’un potencialextern.Primer de tot, anem a introduir els conceptes importants que ens serveixen perreduir el problema.

Moviment del centre de masses

Definicio 2.1. El centre de massa o baricentre es pot considerar com la mitjanade la ubicacio de totes les masses d’un sistema. En el cas discret, es troba en lamitjana de les posicions ~ri de les partıcules ponderada per les seves masses mi, is’expressa com

~R =n∑i=0

mi~rim1 + · · ·+mn

En el cas de dos cossos, sigui M := m1 +m2 la massa total, aleshores

~R =m1~r1 +m2~r2

m1 +m2

=m1~r1 +m2~r2

M(2.1)

Observacio 2.2. Aplicant la llei d’accio i reaccio de Newton a la derivada segonarespecte el temps de l’equacio anterior, obtenim que

d2 ~R

dt2=

1

M

(m1

d2~r1

dt2+m2

d2~r2

dt2

)=

~F12 + ~F21

M= 0

Mostra com la velocitat del centre de masses es constant, d’on s’extreu que laquantitat de moviment del sistema tambe es conserva. Per tant, la posicio ~R delcentre de masses pot ser determinada en qualsevol instant de temps a partir de lesposicions i velocitats incials.

6

Moviment del vector relatiu

Ara definim el vector relatiu entre les dues masses com ~r := ~r2− ~r1. Segons les lleisde Newton, tindrem una equacio de la manera que

d2~r

dt2=d2~r2

dt2− d2~r1

dt2=

~F21

m2

−~F12

m1

=

(1

m1

+1

m2

)~F12

Observem que aquesta equacio pot rescriure’s com

~F (r) = md2~r

dt2= m~a

on m es la massa reduıda i te la forma

m :=1

1m1

+ 1m2

=m1m2

m1 +m2

.

Moviment de les dues masses

Substituint la relacio entre ~r, ~r1 i ~r2 a l’equacio (2.1), obtenim que

~r1 = ~R− m2

m1 +m2

~r , ~r2 = ~R +m1

m1 +m2

~r

Encara podem reduir mes el problema escollit la posicio del centre de masses coml’origen de les coordenades, es a dir, ~R = 0.

~r1 = − m2

m1 +m2

~r , ~r2 =m1

m1 +m2

~r (2.2)

Observacio 2.3. En el cas de que la massa m1 d’un dels cossos sigui molt mesgran que la massa m2 de l’altre (m1 >> m2), aleshores

m2

m1 +m2

≈ 0 ⇒ ~r1 = 0 ,m1

m1 +m2

≈ 1 ⇒ ~r2 = ~r

Com que les posicions ~r1 i ~r2, de les masses m1 i m2 respectivament, es podendeduir a partir del vector relatiu ~r, l’analisi del problema de dos cossos ha reduita l’analisi d’un problema simplificat amb el vector relatiu ~r, la massa total M i lamassa reduıda m.En el cas gravitatori, aquest problema resultant es el denominant problema deKepler i segons la llei de gravitacio universal la forca es pot expressar com

~F (r) = −GMm

r2~er

en que ~er es el vector unitari en la direccio radial.

Com s’ha mencionat al principi del capıtol, considerarem el problema estes de Kepleramb forces del tipus

~F (r) = −F (r)~er = −krα~er

7

Observacio 2.4. Degut a que la forca en la direccio radial ~er i la seva magnitudnomes depen de distancia r a l’origen, direm que es una forca central. Es verifiquenles propietats seguents:

1. ~F (r) sempre es conservativa.

2. ∇× ~F (r) = 0 (el seu rotacional es nul)

3. ~F (r) = −∇V (r) (es el gradient del seu potencial amb signe canviat)

Per tant, considerem el potencial en forma general

V (r) =

k(rα+1−1)

α+1si α 6= −1

k ln r si α = −1

En particular, si α = −2, tenim que

V (r) = −GMm

r

2.2 Conservacio del moment angular

Definicio 2.5. En mecanica newtoniana, el moment angular ~L d’una partıcularespecte a l’origen es defineix com el moment de la seva quantitat de moviment ~P .

~L = ~r × ~P = ~r ×m~v

Teorema 2.6. La variacio del moment angular d’un sistema material respecte altemps es igual al moment total de les forces que actuen.

Demostracio.

d~L

dt=

d

dt(~r × ~P ) =

d~r

dt× ~P + ~r × d~P

dt= ~v ×m~v + ~r ×m~a = ~r × ~F =: ~N

�

Teorema 2.7. (Llei de conservacio del moment angular) En els camps de forcescentrals, el moment angular es conserva.

Demostracio. En un camp central, la forca ~F es paral·lela al vector de posicio ~r,aleshores

~r × ~F = ~N =d~L

dt= 0 =⇒ ~L = constant

�

Per tant, el cos es mou en un pla, ja que el vector de desplacament ~r i el vectorde velocitat ~v sempre es troben en el pla perpendicular al vector constant ~L.

8

Figura 5: Moment angular en un camp central

Coordenades polars

Definicio 2.8. El sistema de coordenades polars es un sistema de coordenades dedues dimensions en el qual cada punt ve determinat per la coordenada radial segons~er i la coordenada angular segons ~eθ.

Figura 6: Relacio entre les coordenades

Observacio 2.9. Segons la Figura 6, podem trobar les relacions entre les coorde-nades cartesines i polars.

~er = cos θ ~ex + sin θ~ey , ~eθ = − sin θ ~ex + cos θ~ey

i observem que

d~erdθ

= − sin θ ~ex + cos θ~ey = ~eθ ,d~eθdθ

= − cos θ ~ex − sin θ~ey = −~er

La llei de conservacio del moment angular va ser primer descoberta per Kepler atraves de l’observacio del moviment de Mart. Kepler va formular aquesta llei d’unamanera lleugerament diferent.

Com que el moviment es realitza en un pla i la forca ~F (r) nomes depen de la coorde-nada radial r i te direccio radial ~er, aleshores es util treballar amb les coordenadespolars.

9

Amb les observacions anteriors, rescrivim els vectors en coordenades polars

~r = r~er

~v =d~r

dt=dr

dt~er + r

d~erdθ

dθ

dt=dr

dt~er + r

dθ

dt~eθ (2.3)

~a =d~v

dt=d2r

dt2~er +

dr

dt

dθ

dt~eθ +

dr

dt

dθ

dt~eθ + r

d2θ

dt2~eθ − r

dθ

dt

dθ

dt~er

=

[d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2]~er +

(2dr

dt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2

)~eθ

(2.4)

Degut a que la forca nomes te la component radial, i l’acceleracio ~a es paral·lela ala forca, tenim l’equacio diferencial angular:

2dr

dt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2= 0 (2.5)

Observacio 2.10. Observem que

L =| ~r ×m~v |= m

∣∣∣∣r~er × (drdt ~er + rdθ

dt~eθ

)∣∣∣∣ = mr2dθ

dt

⇒ dθ

dt=

L2

mr2(2.6)

Segons l’equacio diferencial angular i usant la regla de la cadena, obtenim

0 = 2dr

dt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2=

1

r

d

dt

(r2dθ

dt

)=⇒ dL

dt= m

d

dt

(r2dθ

dt

)= 0

Per tant, el cos es mou al pla en orbites en que el moment angular ~L sempre te elmodul constant.

Observacio 2.11. Kepler va formular la llei que l’area A(t) era escombrada pelradi vector amb una velocitat areolar constant K. Aquesta es pot deduir de la lleide conservacio del moment angular.Segons la Figura 7, donat ~r i ~r + 4~r les posicions del planeta respecte al Solals instants t i t +4t respectivament. L’area escombrada 4A pel radi vector enl’interval 4t es aproximada per

4A ≈ 1

2| ~r ×4~r | =⇒ 2

4A4t≈∣∣∣∣~r × 4~r4t

∣∣∣∣10

Passant al lımit quan 4t→ 0, obtenim que

2dA

dt=

∣∣∣∣~r × d~r

dt

∣∣∣∣ =| ~r × ~v |= L

m

⇒ K =dA

dt=

L

2m(2.7)

L’observacio anterior mostra que la velocitat areolar K es invariant.

Figura 7: Area escombrada en un interval de temps

2.3 Conservacio de l’energia

La llei de la conservacio de l’energia afirma que la quantitat total d’energia es manteconstant al llarg de temps a qualsevol sistema aıllat.

Aplicant la llei fonamental de Newton i la propietat de la forca central a la derivadarespecte al temps de l’enegia total E = 1

2mv2 + V (r), obtenim que

dE

dt= mva+

dV (r)

dt= vma+

dV (r)

dr

dr

dt= vF − Fv = 0

Aixı, l’energia total del sistema es constant.

Observacio 2.12. Si substituım les equacions (2.3) i (2.6) a la de l’energia total,obtenim una nova equacio

E =1

2m

[(dr

dt

)2

+ r2

(dθ

dt

)2]

+ V (r) =1

2m

[(dr

dt

)2

+L2

m2r2

]+ V (r)

=1

2m

(dr

dt

)2

+ Veff (r)

(2.8)

on Veff (r) := L2

2mr2+ V (r) es el potencial efectiu.

11

2.3.1 Potencial efectiu

El potencial efectiu es defineix com la suma de l’energia potencial centrıfuga i l’e-nergia potencial d’un sistema dinamic. Notem que Veff nomes depen de la distanciaentre els dos cossos, es a dir, de r. Per tant, ens permet la reduccio del nombre dedimensions del problema.

Observacio 2.13. Sigui E l’energia total.

Com que E = 12m(drdt

)2+ Veff (r) i 1

2m(drdt

)2 ≥ 0, per a cada valor E de l’energia,el moviment es produeix a la regio delimitada per la desigualtat Veff (r) ≤ E.

Per tant, no hi ha moviment quan l’energia del sistema es menor que la del mınimdel potencial efectiu.

La desigualtat dona regions anulars del pla

0 ≤ rmin ≤ r ≤ rmax ≤ ∞

Si 0 ≤ rmin ≤ r ≤ rmax < ∞, aleshores el moviment esta fitat i te lloc a l’interiorde l’anell entre els cercles de radi rmin i rmax.

Figura 8: Orbita d’un punt en un camp central

La forma de l’orbita es mostra en la Figura 8. L’angle θ varia de forma monotonamentre r oscil·la entre rmin i rmax. Els punts on r = rmin es diuen pericentres i, onr = rmax, apocentres.

Cadascun dels raigs que parteixen del centre a l’apocentre o al pericentre es un eixde simetria de l’orbita.

En general, l’orbita no es tancada: l’angle entre els pericentres i apocentres succes-sius ve donat per la integral seguent, obtinguda segons les equacions (2.6) i (2.8).

θ =

∫ rmax

rmin

Lr2√

2(E − Veff (r))dr

L’orbita es tancada si l’angle θ es commensurable amb 2π, aixo es, si θ = 2π(mn

)amb m i n enters. Si l’angle θ no es commensurable amb 2π, aleshores l’orbita esdensa en totes les parts de l’anell.

12

Figura 9: Orbital dens en un anell

Observem que en el lımit d’aquesta regio, rmin = rmax, aixo es, E = Veff en unpunt mınim, l’anell degenera en una circumferencia.

Encara en aquest cas drdt

= 0, pero en general la velocitat del punt en moviment no

es igual a zero ja que dθdt6= 0 per L 6= 0.

Finalment si rmax = ∞, aleshores l’orbita no esta fitada. Una partıcula pot venirde l’infinit, xocar contra la barrera centrıfuga repulsiva del potencial al seu rmin,ser repel·lida i tornar a allunyar-se infinitament.

Figura 10: Moviment ilimitat

2.3.2 Comportaments de les orbites

Ara estudiem graficament la regio permesa per a cada valor d’E i les seves con-sequencies en la forma de les orbites segons els diferents valors de α.A fi de simplicacio, considerem k = 1.

13

Moment angular no nul

Veff (r) =L2

2mr2+ V (r) , amb V (r) =

rα+1−1α+1

si α 6= −1

ln r si α = −1

Observacio 2.14. Si r es proper a 0, Veff (r) esta dominat pel terme L2

2mr2, aleshores

Veff (r) es positiva i amb pendent decreixent.

En canvi, si r prou gran, Veff (r) te el mateix comportament que V (r).

Observem que limr→0L2

2mr2= +∞.

• α < −1 ⇒ α + 1 < 0 ⇒ limr→+∞ V (r) = − 1α+1

> 0

aleshores el potencial efectiu Veff (r) te la forma seguent

Figura 11: Grafica de Veff amb L 6= 0 i α < −1

– Quan E correspon al mınim del potencial efectiu, els dos lımits coinciden,de la manera que el moviment nomes es possible per a un radi i l’orbitaes circular.

– Si E < − 1α+1

, aleshores existeixen el lımit inferior r1 i el superior r2.Les orbites estan fitades i contingudes entre les dues circumferencies deradis r1 i r2 amb punts d’inversio que es troben sempre en aquestescircumferencies.

– Sigui E ≥ − 1α+1

, no existeix lımit superior pels valors possibles de r, aixıque el cos es pot escapar a l’infinit.

14

• α = −1 ⇒ V (r) = ln r ⇒ limr→+∞ V (r) = +∞

Figura 12: Grafica del Veff amb L 6= 0 i α = −1

Observem que Veff no esta fitat superiorment pels dos costats, aleshores nomestenim dos cassos d’energies

– Amb l’energia mınim Emin = Veffmin tenim una orbita circular.

– Per les energies superiors a Emin, tenim orbites fitades pel radi mınim imaxim.

• α > −1 ⇒ α + 1 > 0 ⇒ limr→+∞ V (r) = +∞

Figura 13: Grafica del Veff amb L 6= 0 i α > −1

Com el cas anterior, per qualsevol nivel d’energia el moviment sempre esta fitat,per tant el cos no es pot escapar del sistema.

15

Moment angular nul

Sigui L = 0, aleshores

Veff (r) = V (r) =

{rα+1−1α+1

si α 6= −1

ln r si α = −1

• α < −1 =⇒ α + 1 < 0 =⇒ limr→0 V (r) = −∞ , limr→+∞ V (r) = − 1α+1

> 0

Figura 14: Grafica del Veff amb L = 0 i α < −1

– Sigui E < − 1α+1

, el cos s’allunyara del focus fins a una distancia maxima idespres recorrera la mateixa trajectoria en sentit contrari fins a col·lisionar.Aquest recorregut es repetira infinitament, tret que se li doti al cos d’e-nergia fins que l’energia sigui nul·la.

– Per totes les energies E ≥ − 1α+1

, hi ha escapament.

• α = −1 =⇒ V (r) = ln r =⇒ limr→0 V (r) = −∞ , limr→+∞ V (r) = +∞

Figura 15: Grafica del Veff amb L = 0 i α = −1

16

Observem que per tot el nivell d’energia hi haura col·lisio i el cos mai podraescapar.

• α > −1 =⇒ α + 1 > 0 =⇒ limr→0 V (r) = − 1α+1

< 0 , limr→+∞ V (r) = +∞

Figura 16: Grafica del Veff amb L = 0 i α > −1

En aquest cas, per cada nivell d’energia E ≥ Veff , el cos xocara infinitesvegades, despres de topar el cos s’allunyara de nou fins a arribar el radi maximper tornar a col·lisionar.

Conclusions

• L 6= 0

– Les orbites seran fitades quan α ≥ −1 o, α < −1 i E < − 1α+1

.

– Les orbites no seran fitades si α < −1 i E ≥ − 1α+1

.

• L = 0

– Hi haura col·lisio, sense fugida si α ≥ −1 o, α < −1 i E < 1α+1

.

– El cos escapara a l’infinit si α < −1 i E ≥ − 1α+1

.

17

2.4 Equacio diferencial de les orbites

Ja hem vist els comportaments de l’energia del sistema. Per coneixer el movimentdels cossos tambe es necessari estudiar la forma de les seves equacions orbitals.Amb la combinacio de les equacions (2.4), (2.5) i (2.6), obtindrem que

~a =

[d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2]~er =

(d2r

dt2− L2

m2r3

)~er

i com que ~F = m~a = −krα~er, doncs resulta l’equacio diferencial radial

md2r

dt2− L2

mr3= −krα (2.9)

Ara expressem la posicio en funcio de l’angle tal que r = r(θ), i calculem les sevesderivades respecte al temps

dr

dt=dr

dθ

dθ

dt=

L

mr2

dr

dθ

Observem que

d

dθ

(L

mr2

dr

dθ

)=

1

m2r4

(Lmr2d

2r

dθ2− 2Lmr

dr

dθ

dr

dθ

)=

L

mr4

[r2d

2r

dθ2− 2r

(dr

dθ

)2]

d2r

dt2=

d

dt

(L

mr2

dr

dθ

)=

d

dθ

(L

mr2

dr

dθ

)dθ

dt=

L

mr2

d

dθ

(L

mr2

dr

dθ

)=

L2

m2r4

[d2r

dθ2− 2

r

(dr

dθ

)2]

Aıllem d2rdt2

de l’equacio diferencial radial i l’igualem amb l’equacio anterior

d2r

dt2=

L2

m2r3− k

mrα =

L2

m2r4

[d2r

dθ2− 2

r

(dr

dθ

)2]

m2r4

L2

(L2

mr3− k

mrα)

=d2r

dθ2− 2

r

(dr

dθ

)2

−kmL2

rα+4 =d2r

dθ2− 2

r

(dr

dθ

)2

− r

Fent el canvi de variable u = 1r, resulta:

d2r

dθ2− 2

(dr

dθ

)2

u− 1

u= −km

L2

1

uα+4

d2r

dθ2uα+4 − 2

(dr

dθ

)2

uα+5 − uα+3 = −kmL2

18

Observacio 2.15. Com que r = 1u, aleshores

dr

dθ= − 1

u2

du

dθ,

d2r

dθ2=

1

u4

[−u2d

2u

dθ2+ 2u

(du

dθ

)2]

=1

u3

[2

(du

dθ

)2

− ud2u

dθ2

]

Substituım drdθ

i d2rdθ2

a l’equacio anterior, obtenim

uα+1

[2

(du

dθ

)2

− ud2u

dθ2

]− 2

u4

(du

dθ

)2

uα+5 − uα+3 = −kmL2

−uα+2d2u

dθ2− uα+3 = −km

L2

−uα+2

(d2u

dθ2+ u

)= −km

L2(2.10)

Com que la solucio depen del parametre α, no podem continuar treballant mes. Ames, no totes les equacions son resolubles.

2.5 Teorema de Bertrand

Teorema 2.16. (Teorema de Bertrand) Entre els potencials de forces centrals amborbites estables, nomes hi han dos tipus amb la propietat de que totes les orbitesque produeixen son tancades. Aquests dos son

1. El potencial gravitatori o electrostatic

V (r) = −kr

2. El potencial de l’oscil·lador harmonic simple

V (r) =1

2kr2

Observacio 2.17. Sigui F (r) = krα. Definim una funcio f com

f(u) =k

uα

A partir del canvi de variable r = 1u, observem que

f(u) = F

(1

u

)

Amb la definicio de f , l’equacio (2.10) es transforma en

d2u

dθ2+ u =

m

L2u2f(u)

19

Definint J(u) := d2udθ2

+ u, aleshores tenim que

J(u) =m

L2u2f(u) (2.11)

Observacio 2.18. Per tenir una orbita circular, es a dir, r = r0, cal complir

r = constant,∀θ ⇒ dr

dθ=d2r

dθ2=d2u

dθ2= 0

de manera que

J(u0) =m

L2u20

f(u0) = u0, amb u0 =1

r0

(2.12)

Si l’energia varia en un entorn de la condicio d’orbita circular, aleshores es mantel’orbita tancada i la pertorbacio respecte u0 es molt petita, de tal forma que podemexpandir la funcio J(u) en una serie de Taylor

J(u) = u0 + ηdJ(u0)

du+

1

2η2d

2J(u0)

du2+O(η3)

on η es defineix com η := u− u0 i diJ(u0)dui

es la derivada i-esima de J(u) respecte elvariable u valorada en u0.

Per a la definicio de J(u) i a la relacio de η amb u, l’equacio anterior es converteixen

d2η

dθ2+ η = η

dJ(u0)

du+

1

2η2d

2J(u0)

du2+

1

6η3d

3J(u0)

du3+O(η4)

Sigui β2 := 1− dJ(u0)du

, aleshores

d2η

dθ2+ β2η =

1

2η2d

2J(u0)

du2 (u0) +1

6η3d

3J(u0)

du3+O(η4) (2.13)

Ara, derivem l’equacio (2.11) de J(u) respecte u, obtenim que

dJ

du= −2

m

L2u3f +

m

L2u2

df

du

Valorant aquesta equacio en u0 i per a l’equacio (2.12), resulta:

dJ(u0)

du= −2

J(u0)

u0

+m

L2u20

df(u0)

du= −2 +

m

L2u20

df(u0)

du

on df(u0)du

es la derivada de f respecte u valorada en u0.

Per a la relacio de β2 amb dJ(u0)du

, tenim que

−2 +m

L2u20

df(u0)

du= 1− β2

20

Segons la relacio de r amb u i la de f amb F , es te:

df(u0)

du=df(u0)

dr

dr

du= −r2

0

df(u0)

dr= −r2

0

dF (r0)

dr

on dF (r0)dr

es la derivada de F respecte r valorada en r0.

Substituint a l’equacio anterior, tenim

−2− mr20

L2r2

0

dF (r0)

dr= 1− β2

mr40

L2

dF (r0)

dr= β2 − 3 (2.14)

Per l’equacio (2.12), podem trobar la relacio seguent:

mr20

L2F (r0) =

1

r0

Per tant, l’equacio (2.14) es pot expressar com

dF (r0)

dr= (β2 − 3)

F (r0)

r0

Com r0 es qualsevol, aleshores

dF

dr= (β2 − 3)

F

r

La solucio d’aquesta equacio diferencial es

lnF = ln(krβ2−3)

F (r) =k

r3−β2 (2.15)

D’aquesta manera obtenim que

J(u) =mk

L2u1−β2

(2.16)

Observacio 2.19. La solucio homogenia de l’equacio (2.13) es

η(θ) = h1 cos(βθ)

Podem considerar la solucio anterior com un terme d’una expansio de Fourier de η,per la qual cosa considerant mes termes obtindrem la solucio de l’equacio generalde l’orbita. Per tant, η es pot expressar com

η(θ) = h0 + h1 cos(βθ) + h2 cos(2βθ) + h3 cos(3βθ) + . . .

amb h0 i h2 son d’ordre h21 i, h3 d’ordre h3

1.

21

Com que el coeficient de l’element d’alta frequencia es massa petit, a partir d’araconsiderem el η fins al terme h3 i l’equacio (2.13) fins a l’ordre η3.

Calculem la derivada segona de η respecte θ de manera que

d2η

dθ2= −β2h1 cos(βθ)− 4β2h2 cos(2βθ)− 9β2h3 cos(3βθ)

Substituint l’equacio de η i de la seva deriva segona a l’equacio (2.13), obtenim que

d2η

dθ2+ β2η = β2h0 − 3β2h2 cos(2βθ)− 8β2h3 cos(3βθ)

=1

2(h0 + h1 cos(βθ) + h2 cos(2βθ) + h3 cos(3βθ))2d

2J(u0)

du2

+1

6(h0 + h1 cos(βθ) + h2 cos(2βθ) + h3 cos(3βθ))3d

3J(u0)

du3

(2.17)

Utilitzant les propietats trigonometriques

cos2 x =1

2(1 + cos(2x))

cosx cos y =1

2(cos(x+ y) + cos(x− y))

cos3 x =1

4(3 cosx+ cos(3x))

obtenim que

(h0 + h1 cos(βθ) + h2 cos(2βθ) + h3 cos(3βθ))2

=

(h2

0 +h2

1

2+h2

2

2+h2

3

2

)+ (2h0h1 + h1h2 + h2h3) cos(βθ)+

+

(h2

1

2+ h1h3 + 2h0h2

)cos(2βθ) + (h1h2 + 2h0h3) cos(3βθ) + . . .

(h0 + h1 cos(βθ) + h2 cos(2βθ) + h3 cos(3βθ))3

=

(h3

0 + · · ·+ 3h1h2h3

2

)+

(3h3

1

4+ · · ·+ 3h3h

22

4

)cos(βθ)+

+

(3h2

0h2 + · · ·+ 3h22h3

2

)cos(2βθ) +

(h3

1

4+ · · ·+ 3h2

2h2

2

)cos(3βθ) + . . .

Equiparem els coeficients de l’equacio (2.17) que pertanyen a la mateixa frequencia,mantenint nomes els termes mes grans, en funcio de l’ordre de h1, aleshores

h0 =h2

1

4β2

d2J(u0)

du2

h2 = − h21

12β2

d2J(u0)

du2

h3 = − 1

8β2

[h1h2

2

d2J(u0)

du2+h3

1

24

d3J(u0)

du3

]0 =

2h1h0 + h1h2

2

d2J(u0)

du2+h3

1

8

d3J(u0)

du3

22

Combinant les equacions anteriors, tindrem una nova equacio

0 =h3

1

24β2

[3β2d

3J(u0)

du3+ 5

(d2J(u0)

du2

)2]

Utilitzant l’equacio (2.12) i les derivades de J(u) segons l’equacio (2.16), aleshores

d2J(u0)

du2= −β

2(1− β2)

u0

d3J(u0)

du3=β2(1− β2)(1 + β2)

u20

Substituint aquests valors en l’ultima equacio, obtenim el resultat principal delteorema de Bertrand

β2(1− β2)(4− β2) = 0

Observacio 2.20. Si β = 0, tenim F (r) = kr3

, aleshores α = −3. Sabem que quanα < −1, el cos escapara a partir d’una certa energia.

Per tant, les uniques forces que generen orbites tancades a qualsevol valor de l’e-nergia E son la forca gravitacional i la d’oscil·lador harmonic simple, corresponentsa β2 = 1 i β2 = 4 respectivament.

β2 = 1 −→ F (r) =k

r2

β2 = 4 −→ F (r) = kr

23

3 Cas gravitatori

En el capıtol anterior, hem estudiat les caracterıstiques generals del problema estesde dos cossos. Ara ens centrem al cas gravitori on tenim k = GMm i α = −2.

3.1 Equacio diferencial gravitatoria de les orbites

En aquest cas podem trobar la solucio de l’equacio orbital.Reemplacem els valors de k i α a l’equacio polar de les orbites (2.10) i obtenim enforma gravitatoria

d2u

dθ2+ u =

GMm2

L2

Es una equacio diferencial que pot rescriure’s amb el canvi de variable v := dudθ

dudθ

= v

dvdθ

= −u+ GMm2

L2

La solucio homogenia de l’equacio es(u

v

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(c1

c2

)=

(c1 cos θ + c2 sin θ

−c1 sin θ + c2 cos θ

)on c1 i c2 son constants.

Per les propietats trigonometriques, pot reescriure’l com(u

v

)=

(c cos(θ − θ0)

−c sin(θ − θ0)

)amb c cos θ0 = c1 i c sin θ0 = c2.

Observem que GMm2

L2 es una solucio particular de l’equacio. Per tant, la solucio

general te la forma seguent:

u(θ) =GMm2

L2(1 + e cos(θ − θ0)) , on c =

GMm2

L2e

Observacio 3.1. Trobem la relacio de e amb E i L a partir de l’equacio (2.8).

E =1

2m

[(dr

dt

)2

+ r2

(dθ

dt

)2]− GMm

r=

1

2m

[(dr

dθ

)2(dθ

dt

)2

+ r2

(dθ

dt

)2]− GMm

r

=1

2

L2

mr4

[(dr

dθ

)2

+ r2

]− GMm

r

24

Utilitzant el canvi de variable r = 1u, tenim que

E =1

2

L2u4

m

[1

u4

(du

dθ

)2

+1

u2

]−GMmu

Calculat la derivada de u respecte θ, resulta:

du

dθ= −GMm2

L2e sin(θ − θ0)

Substituint l’equacio de u i de dudθ

a l’equacio de l’energia E, obtenim que

E =G2M2m3

2L2

[e2 sin2(θ − θ0) + (1 + e cos(θ − θ0))2

]− G2M2m3

L2(1 + e cos(θ − θ0))

=1

2

G2M2m3

L2e2 − 1

2

G2M2m3

L2=

1

2

G2M2m3

L2(e2 − 1)

Per tant, l’excentricitat e es pot expressar com

e =

√1 +

2L2E

G2M2m3

3.2 Geometria de les orbites

3.2.1 Forma i equacions en coordenades cartesianes

Un cop trobada la solucio de l’equacio diferencial, podem aconseguir l’equacio dela trajectoria desfent el canvi de variable precedent

r(θ) =1

u(θ)=

L2

GMm2

1

1 + e cos(θ − θ0)=

p

1 + e cos(θ − θ0)(3.1)

on el parametre p esta definit com

p :=L2

GMm2(3.2)

Observem que l’equacio orbital en coordenades polars es l’equacio focal d’una conicad’excentricitat e i parametre p.

Segons la definicio de p, l’energia total E es pot expressar com

E =1

2

G2M2m3

L2(e2 − 1) = −GMm2

2p(1− e2) (3.3)

25

Observacio 3.2. Les equacions de les coniques en coordenades cartesianes tenenexpressions ben diferents i que es poden deduir a partir de l’equacio focal.

Orbita Equacio Descripcio

Circumferencia (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 centrada al punt (x0, y0) amb el radi rcentrat al punt (x0, y0)

El·lipse (x−x0)2

a2+ (y−y0)2

b2= 1 distancia focal es 2c amb c2 = a2 − b2

on a es el semieix major i b el menorParabola y2 = 4qx q es la distancia de l’origen al focus

centrat al punt (x0, y0)

Hiperbola (x−x0)2

a2− (y−y0)2

b2= 1 a es la distancia de l’origen a l’hiperbola

c es la distancia focales compleix b2 = c2 − a2

Taula 1: Forma de les coniques en cartesianes

Observacio 3.3. Si definim l’angle ϕ := θ − θ0, aleshores

r(ϕ) =p

1 + e cosϕ(3.4)

Per transformar les equacions en coordenades cartesianes, utilitzem les relacionsx = r cosϕ i y = r sinϕ i, per tant, x2 + y2 = r2. Reemplacant l’equacio (3.4) ambles relacions, es te:

r + ex = p

r2 = (p− ex)2 = x2 + y2

(1− e2)x2 + 2pex+ y2 = p2 (3.5)

Ara estudiem els comportaments i les propietats de les orbites segons l’energia totali la trajectoria en funcio de l’excentricitat e.

• e = 0

Substituint el valor de e a les equacions (3.3), (3.4) i (3.5), obtenim que

E = Ec = −GMm2

2p= −G

2M2m3

2L2

r(ϕ) = p

x2 + y2 = p2

Observem que l’energia es negativa. D’acord amb l’equacio, les trajectoriesson circulars centrades a l’origen, en nostre cas es el Sol, amb radi p.

26

Figura 17: Circumferencia centrada al Sol amb radi p

• 0 < e < 1

En aquest cas, observem que l’energia correspon tambe es negativa i majorque la de la circumferencia, ja que 1− e2 > 0.

Ec < Ee = −GMm2

2p(1− e2) < 0

Com que | cosϕ |≤ 1, tenim que

rmin =p

1 + eamb ϕ = 0 , rmax =

p

1− eamb ϕ = π

Ara, sumant p2e2

1−e2 als dos costats de l’equacio (3.5), es transforma en

(1− e2)x2 + 2pex+ y2 +p2e2

1− e2= p2 +

p2e2

1− e2

(1− e2)

(x2 +

2pex

1− e2+

p2e2

(1− e2)2

)+ y2 =

p2

1− e2

(1− e2)

(x+

pe

1− e2

)2

+ y2 =p2

1− e2

Si definima :=

p

1− e2, b :=

p√1− e2

(3.6)

aleshores tenim que(1− e2)(x+ ae)2 + y2 = b2

dividint b2 als dos costats:

(1− e2)

b2(x+ ae)2 +

(yb

)2

= 1

27

(1 + e2)2

p2(x+ ae)2 +

(yb

)2

= 1

(x+ ae)2

a2+y2

b2= 1 (3.7)

Tenim una el·lipse amb semieixos a = p1−e2 , b = p√

1−e2 , i centrada al punt

(−ae, 0).

Figura 18: El·lipse centrada al punt (−ae, 0)

Observacio 3.4. Tenim la relacio

b

a=√

1− e2 (3.8)

Sabem que l’excentricitat e determina el grau de desviacio de la conica respectea una circumferencia.Si e ' 0, aleshores a ' b i l’el·lipse sera practicament una circumferencia.

• e = 1

Quan substituım e = 1 a les equaions com abans, obtenim que

E = −GMm2

2p(1− e2) = 0

r(ϕ) =p

1 + cosϕ

Observem que, en aquesta situacio, el cos te energia nul·la i es capac d’escapar,es a dir, la trajectoria va a l’infinit si ϕ = ±π.

Aixı que limr→∞

V (r) = limr→∞−GMm

r= 0, i la velocitat d’escapament es nul·la.

E =1

2mv2

escap ⇒ vescap =

√2E

m= 0

28

I l’equacio de l’orbita en cartesianes te la forma

2px+ y2 = p2

y2 = p2 − 2px = p(p− 2x)

Per tant les trajectories son paraboles amb focus en el punt (0,0), es a dir, enel Sol.

Figura 19: Parabola amb el Sol situat al focus en funcio de p

• 1 < e

A causa de 1− e2 < 0, doncs que

E = −GMm2

2p(1− e2) > 0

r(ϕ) =p

1 + e cosϕ

En aquest cas, l’orbita es pot escapar amb els valors de ϕmax determinat perl’equacio

e cosϕmax = −1

Aixı, els angles ϕ estan confinats a (−ϕmax, ϕmax), i la velocitat d’escapamentdepen de l’energia total

vescap =

√2E

m

Tenim l’equacio d’orbita (3.5) en coordenades cartesianes. Com que 1−e2 < 0,aleshores de la manera semblat al cas 0 < e < 1, podem reesciure’l com

(x− ζ)2

γ2− y2

δ2= 1

onγ =

p

e2 − 1, δ =

p√e2 − 1

i ζ = γe

29

La trajectoria te la forma d’una hiperbola. Les seves asımptotes son y = δγx

i y = − δγx amb el centre (ζ, 0).

Observem que els focus de l’hiperbola estan a la posicio (0, ζ − q) i (0, ζ + q)amb q =

√γ2 + δ2.

En particular, q = pe2−1

e = ζ, aixı que (0, ζ − q) = (0, 0) que es la posicio delSol.

Figura 20: Hiperbola amb els diferents valors de e > 1

Finalment, sabem que les orbites fitades son aquelles que te l’excentricitat e mespetita estrictament que 1, cas en que el cos te una enegia negativa i mai es pot alluyara l’infinit. En canvi, amb les energies positives, quan mes gran es l’energia mesgran es la velocitat d’escapament, ja que la velocitat d’escapament es directamentproporcional a l’arrel quadrada de l’energia.

Figura 21: Comparacio de les orbites segons els valors d’e

30

3.2.2 Recorregut de l’orbites el·lıtiques

En l’apartat precedent hem vist que, quan e ≥ 1, el cos es pot escapar a l’infinit.I en el cas d’una circumferencia tal que e = 0, es mante el seu radi. Per tant, araanem a enfocar al cas el·lıptic.

Per a un el·lipse, tenim 0 < e < 1. Com que r(ϕ) sempre esta fitat per a tots elsvalors de ϕ i es una funcio periodica, les trajectories son tancades.

Gracies a les lleis de Kepler es pot analitzar el recorregut temporal de les orbitesel·lıptiques.

Sigui A l’area escombrada pel radi vector format pel Sol i el planeta, aleshores tenimque la velocitat areolar d’escombrat de l’area es constant i val

K =dA

dt=

L

2m

Sigui T el perıode del planeta, aleshores es verifica

TK = Λ

on Λ es l’area total de l’el·lipse, Λ = πab.

Aleshores, es satisfa

T =Λ

K=

2πabm

L

Per les equacions (3.2), (3.6) i (3.8), sabem que a = p1−e2 =

L2

GMm2

1−e2 i b = a√

1− e2,aixı que

T =2πma2

√1− e2

L

T 2 = 4π2m2a4(1− e2)

L2= 4π2m2a

3p

L2=

4π2m2a3 L2

GMm2

L2=

4π2

GMa3

Es el resultat de la tercera llei de Kepler, que conclou la proporcionalitat entre elquadrat del perıode T i el cub del semieix major a de l’el·lipse.

3.2.3 Equacio de Kepler

Volem coneixer el recorregut del planeta en funcio del temps, la qual cosa no es tantsenzilla d’expressar. Nomes podem tenir idea sobre la seva anomalia excentrica Ξ,la qual esta relaciona el temps mitjancant l’equacio de Kepler.

Definicio 3.5. L’anomalia excentrica Ξ es l’angle mesurat des del centre de l’el·lipse,que forma la projeccio del planeta sobre la circumferencia principal i l’eix de l’el·lipse.

Observacio 3.6. Ara estudiem la relacio entre l’anomalia excentrica Ξ amb l’ex-centricitat e i l’angle corregut ϕ del planeta segons la Figura 22.

31

Tracem la trajectoria el·lıptica de semieix major a i excentricitat e en color vermelli la circumferencia principal de radi a en color blau. Observem que c = ae es lasemidistancia focal entre l’origen O i el focus S on situat el Sol.

Obtenim la relacio geometrica, a cos Ξ = c+ r cosϕ. I com que c = ae, r = p1+e cosϕ

i p = a(1− e2), doncs que

a cos Ξ = ae+a(1− e2)

1 + e cosϕcosϕ

cos Ξ = e+1− e2

1 + e cosϕcosϕ =

e+ cosϕ

1 + e cosϕ

cosϕ =cos Ξ− e

1− e cos Ξ

Substituım la igualtat de cosϕ a l’equacio de r, tenim que

r =a(1− e2)

1 + e cosϕ= a(1− e cos Ξ)

Ara utilitzant la propietat geometrica tan2 x = 1−cosx1+cosx

, trobem la relacio

tan2 Ξ

2=

1− cos Ξ

1 + cos Ξ=

1− e1 + e

1− cosϕ

1 + cosϕ=

1− e1 + e

tan2 ϕ

2

tanΞ

2=

√1− e1 + e

tanϕ

2

Ξ = 2 tan−1

(√1− e1 + e

tanϕ

2

)

Definicio 3.7. El moviment mitja n es l’angle girat en la unitat de temps suposantmoviment uniforme amb el perıode T . Ve donat per

n =2π

T

32

Definicio 3.8. L’angle recorregut d’aquest planeta des del periheli movent-se ambvelocidad angular constant n es defineix com anomalia mitjana

µ = n(t− t0) , on t0 es l’instant de pas pel periheli

Proposicio 3.9. Si Ξ i µ son l’anomalia excentrica i l’anomalia mitjana respecti-vament, aleshores es verifica l’equacio de Kepler

µ = Ξ− e sin Ξ

Demostracio. Es fa servir que el planeta realitza un moviment circular i uniformeamb un perıode T sobre la circumferencia de radi a.

Sigui t0 el moment que el planeta esta en el periheli P . Definim τ := t − t0 comel temps que triga el planeta a assolir la posicio Q. Pel punt Q tracem al puntcorresponent R en la circumferencia principal de radi a.

Observem que la circumferencia principal te una relacio d’afinitat entre les sevesordenades i les ordenades de l’el·lipse, ja que son mes grans en un factor a

b, aixı que

APSR =a

bAPSQ

on APSQ es l’area escombrat en el temps τ de l’el·lipse, tal que APSQ = τTπab.

Per tant, tenim que

APSR =τ

Tπa2

Ara be, tambe tenimAPSR = APOR − ASOR

on APOR es el sector circular amb l’anomalia excentrica Ξ que te una area total πa2

i la fraccio es Ξ2π

, aixı que

APOR = πa2 Ξ

2π=a2

2Ξ

33

Com que SOR es un triangle amb la longitud c = ae i l’alcada a sin Ξ, doncs

ASOR =a2e sin Ξ

2

Combinant les equacions anteriors, obtenim la igualtat

APSR =τ

Tπa2 =

a2

2Ξ− a2

2e sin Ξ

2π

Tτ = Ξ− e sin Ξ

Finalment segons les definicions, aconseguim l’equacio de Kepler

µ = nτ = n(t− t0) = Ξ− e sin Ξ

�

34

4 Simulacio del problema de dos cossos

En els capıtols anteriors, hem estudiat el problema estes de dos cossos teoricament.Es coneix la forma conica de les orbites del cas gravitatori.

Per estudiar els comportaments de les orbites del cas no gravitatori, utilitzarem unsimulador que visualitza les orbites a partir d’una situacio inicial.

4.1 Descripcio del simulador

L’aplicacio del simulador del problema estes de dos cossos te dues parts.La part esquerra es forma per dos blocs. En el bloc superior podem trobar con-trols de perspectiva i dels variables importants, l’exponent α i la velocitat. I en elbloc inferior hi han monitors dels valors de les magnituds principals. Pero no totsd’ells existeixen. Podem trobar l’energia total, el moment angular, la velocitat i ladistancia corresponents en cada moment. Tambe la longitud i la latitud de la pers-pectiva. En canvi, el semieix major, l’excentricitat i el perıode nomes visualitzemen el cas gravitatori. I la part dreta simplement visualitza els comportaments deles orbites depenent de les variables.

Utilitzant el boto esquerra del ratolı podem canviar la perspectiva. A mes, podemmodificar la proximitat amb els botons de “Zoom” o les tecles “a/A”, i per canviarla velocitat de la partıcula a part dels botons de “Speed” tambe podem utilitzar lestecles “v/V”.

Figura 22: Inici del simulador amb orbites i textures

35

A part de la visualitzacio, el simulador tambe ens permet realitzar comparacionsentre els resultats analıtics i teorics. Variant els valors de α i la velocitat, podemtrobar tots els tipus d’orbites que hem estudiat anteriorment.

Observem que, un cop donat les condicions inicials, l’energia i el moment angulares mantenen constants. Aixo es, es verifiquen les dues lleis de conservacio que hemestudiat anteriorment.

A mes, ens fixem que nomes quan α = −2 tenim l’orbita completa, es a dir, laconica correspon a la posicio i velocitat, sempre que es facin canvis sobre les velo-citats.

Figura 23: α = −2

36

En el cas gravitatori, tambe ens permet comprovar la tercera llei de Kepler queproporciona la relacio entre el perıode i el semieix major.

Figura 24: Comprovacio de la tercera llei de Kepler

A l’inici tenim el perıode T1 = 1 i el semieix major a1 = 1. Sigui T2 = 0.503425.

Observem quea3

2

a31

=T 2

2

T 21

= T 22 = (0.503425)2

Aleshoresa2

a1

= T23

2 = (0.503425)23 = 0.632834

Per tant, es verifica la tercera llei de Kepler.

37

Tambe podem comprovar el teorema de Bertrand amb el simulador. Quan α = 1,correspon a l’oscil·lador harmonic simple, sempre produeix orbites tancades com elcas gravitatori.

Figura 25: α = 1

38

Es facil comprovar el cas L 6= 0. Si α ≥ −1, aleshores totes les orbites estan fitades.La majoria de les orbites son denses en un anell de forma diferent.

Figura 26: α = 2

39

Per la part teorica, si α < −1, un cop l’energia E superi el valor de − 1α+1

, el cosescapara a l’infinit.

Podem comprovar-lo amb el cas gravitatori. Sigui α = −2, observem que quanl’energia E ≥ − 1

α+1= 1, aleshores l’orbita de la conica es una hiperbola tal que la

partıcula escapara cap a l’inifit.

Figura 27: El cos escapara amb E = 1.001036 quan α = −2

40

5 Conclusions

Despres d’aquest treball ja soc capac de resoldre els dubtes mencionats al principi.Els planetes giren al voltant del Sol degut a la seva gravetat. A causa de la conser-vacio del moment angular dels planetes, es realitzen moviments en el pla. Tambeentenem que els planetes no facin orbites qualssevol, sino el·lıtiques. A mes, podemcalcular el perıode dels planetes segons la tercera llei de Kepler que introdueix larelacio entre el seu perıode i el seu semieix major. Aixı, com que Mercuri esta mesproper al Sol, triga menys temps a fer una volta entera. En canvi, Neptu triga moltmes temps.

Tambe hem assolit alguns resultats sobre el problema estes. Depenent del valorde α, els cossos tenen comportaments molt diferents i possiblitats de col·lisionar oescapar. A mes, pel teorema de Bertrand sabem que els unics casos que produeixensempre orbites fitades i tancades son el gravitatori i l’oscil·lador harmonic simple.

He intentat aclarir tots els procediments pas a pas per les persones que llegeixenaquest treball poguessin entender-lo.

El desenvolupament d’aquesta memoria m’ha ajudat a aprofundir els meus conei-xements de fısica i de matematiques. A mes a mes, aquest treball m’ha permesampliar la meva visio de l’Astronomia.

41

6 Bibliografia

Referencies

[1] Goldstein, H.: Mecanica clasica, 1987.

[2] Arnold, V. I.: Mecanica clasica metodos matematicos, 1983.

[3] Blasco Sanchez, Carmen: Simulacion de problemas de dos cuerpos con finali-dades didacticas, 2016

[4] Llorente Trillo, Barbara, Simulacio i visualitzacio grafica en problemes demecanica celeste, 2014

[5] Alamanac, Garrido, Rafael Juan, El problema de dos cuerpos y las leyes deKepler, 2016

[6] https://www.artehistoria.com/es/contexto/revolucion-astronomica

[7] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/celeste/kepler/kepler.html

[8] https://el-sistema-solar.com/caracteristicas-y-movimientos-de-los-planetas/

[9] https://sites.google.com/a/xtec.cat/tecnologiaindustrial2/u2-estatica/2-2-centre-de-masses http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/3000/3227/html/12-conservacin-del-momento-angular.html

42