F B G B K L ? J K L H ; J : A H < : G BЯ B G : M D B J H K ... · линейных...

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное учреждение

высшего профессионального образования

«Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Института управления, экономики и финансов

Кафедра экономико-математического моделирования

Габитов Рафхат Фархатович

Линейная алгебра

Краткий конспект лекций

Казань-2014

2

Направление подготовки : 080100.62 «Экономика» (бакалавриат, 2 курс, 3

семестр; очное обучение).

Дисциплина: «Линейная алгебра»

Количество часов: 144 (в т.ч.: 26 ч. – лекции, 28 ч. – практические занятия, 54 ч. –

самостоятельная работа, 36 ч. – экзамен).

Аннотация: В предлагаемых лекциях содержатся основные понятия, определения

и методы, применяемые в линейной алгебре. В том числе, даётся понятие определителей,

матриц, систем линейных уравнений и т.д. Изучив лекции, содержащие много

практических примеров, можно научиться вычислять определители, производить

арифметические действия над матрицами и с их помощью научиться решать задачи

межотраслевого баланса. Также можно научиться решать системы линейных уравнений с

помощью методов Крамера, обратной матрицы и метода Жордана-Гаусса. Материал

лекций знакомит с задачами линейного программирования и методами их решения, в том

числе: графическим и симплексным методами. Материал лекций можно изучать

самостоятельно, решая предлагаемые задачи и отвечая на теоретические вопросы, тем

самым проводя самоконтроль усвоения материала.

Темы: 1.Определители и его свойства. Метод Крамера решения систем линейных

уравнений. 2.Матрицы и действия над ними. Матричный способ решения систем

линейных уравнений. 3.Модель Леонтьева. Модель равновесных цен. 4.Линейное n-

мерное векторное пространство. Линейная зависимость системы векторов. 5.Виды

произведений в R3: скалярное, векторное, смешанное. 6.Поверхности в пространстве.

7.Собственные значения и собственные векторы. 8.Квадратичные формы. 9.Ранг матрицы.

10.Произвольные системы линейных уравнений. Метод Жордана-Гаусса. 11.Опорные

решения систем линейных уравнений. 13.Общая задача линейного программирования.

14.Симплексный метод решения задачи линейного программирования.

Ключевые слова: определитель, минор, алгебраическое дополнение, матрица,

квадратная матрица, матрица – строка, матрица – столбец, обратная матрица, матрица

коэффициентов прямых затрат, модель Леонтьева, матрица Леонтьева, матрица

коэффициентов полных затрат, норма добавленной стоимости, модель равновесных цен,

ранг матрицы, ступенчатая матрица, ранг системы векторов, ортогональная система

векторов, разрешающий элемент, итерация, допустимое решение системы линейных

уравнений, опорное решение системы линейных уравнений, целевая функция.

Автор курса: Габитов Рафхат Фархатович, старший преподаватель кафедры

экономико-математического моделирования.

Дата начала эксплуатации: 2 сентября 2013 г.

URL: http://bars.kpfu.ru/course/view.php?id=1480

http://bars.kpfu.ru/course/view.php?id=1480

3

Содержание

Лекция 1. Определители и его свойства. Метод Крамера решения систем

линейных уравнений………..……………………………………………………….…… 8

1.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 8

1.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 8

1.3. Методические рекомендации по изучению темы………………………………… 8

1.4. Рекомендуемые информационные ресурсы.………………………………………. 8

1.5. Список сокращений…………………………………………………………………. 8

1.6. Глоссарий к лекции 1..……………………………………………………………… 8

1.7. Вопросы для самоконтроля………………....……………………………………… 8

1.8. Понятие определителя 2-го и 3-го порядков……………………………………… 9

Лекция 2. Матрицы и действия над ними. Матричный способ решения систем

линейных уравнений ……………………………………………………………………... 10

2.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 10

2.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 10






2.8. Понятие матрицы…………………………….……………………………………… 11

Лекция 3. Модель Леонтьева. Модель равновесных цен……………………………. 12

3.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 12

3.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 12






3.8. Модель Леонтьева………………………………………..…………………………. 13

Лекция 4. Элементы векторной алгебры ……..………………………………….……. 14

4.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 14

4.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 14






4.8. Элементы векторной алгебры ……………………………………………………... 15

Лекция 5. Элементы аналитической геометрии на плоскости…...…………….…… 16

5.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 16

5.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 16



4




5.8. Уравнение прямой на плоскости…………………………………………………… 18

Лекция 6. Элементы аналитической геометрии в пространстве...…………….…… 18

6.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 18

6.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 18






6.8. Уравнение плоскости в пространстве……………………………………………… 18

Лекция 7. Линейное n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость

системы векторов ………..……………………………………………………….………. 18

7.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 18

7.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 19






7.8. Понятие n-мерного вектора………………...……………………………………… 20

Лекция 8. Собственные значения и собственные векторы системы векторов

Квадратичные формы …………………..……………………………………….………. 18

8.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 18

8.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 19






8.8. Собственные значения вектора…….……...……………………………………… 20

Лекция 9. Ранг матрицы ..…..……………………………………………………….…… 21

9.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 21

9.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 21






9.8. Ранг системы векторов……………………………………………………………… 22

Лекция 10. Произвольные системы линейных уравнений. Метод Жордана-

Гаусса……………………………………………………………………………………….. 23

10.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 23

5

10.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 23






10.8. Метод Жордана-Гаусса решения СЛАУ…...……………………………………… 24

Лекция 11. Опорные решения систем линейных уравнений …..………………...…. 25

11.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 25

11.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 25






11.8. Опорные решения СЛАУ…………………………………………………………… 26

Лекция 12. Общая задача линейного программирования ..…………………….…… 27

12.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 27

12.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 27




12.6. Глоссарий к лекции 10……………………………………………………………… 27


12.8. Общая задача линейного программирования..…………………………………… 28

Лекция 13. Симплексный метод решения задачи линейного программиро-

вания……………….. ………..……………………………………………………….…….. 29

13.1. Аннотация…………………………………………………………………………… 29

13.2. Ключевые слова…..………………………………………………………………..... 29




13.6. Глоссарий к лекции 11……………………………………………………………… 29


13.8. Симплексный метод решения задачи линейного программирования……………

………………………………………

30

6

Лекция 1

Определители и его свойства. Метод Крамера решения систем линейных

уравнений (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия определителей 2 - го, 3 - го и n - го

порядков. Приводятся свойства определителей, а также правила вычисления

определителей 2-го и 3-го порядков. Раскрывается понятие системы n линейных

уравнений с n неизвестными и приводится метод Крамера для её решения.

Ключевые слова. Определитель, минор, алгебраическое дополнение.

Методические рекомендации по изучению темы

Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме.

В дополнение к лекции есть практическое занятие с примерами решения задач,

необходимо научиться решать задачи, аналогичные приведённым в этой теме.

Для проверки усвоения теоретического материала необходимо ответить на вопросы.

Для проверки усвоения темы имеется тест.

Рекомендуемые информационные ресурсы:

1. http://bars.kpfu.ru/course/view.php?id=1480

2. http://www.mathelp.spb.ru/videomath2.htm


Список сокращений

ЛА – линейная алгебра

СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений

Глоссарий к лекции 1

Определитель – число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A. При этом

порядки матрицы и соответствующего ей определителя совпадают. Обозначение: detA или

A . Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле: 21122211 aaaa .

Минор – для элемента ija определителя n-го порядка – это определитель (n-1)-го порядка,

который получается вычёркиванием в исходном определителе i-й строки и j-го столбца.

Обозначение: ijM .

Алгебраическое дополнение – для элемента ija определителя n-го порядка – это минор

,ijM умноженный на ji )1( . Обозначение: ijA .

Вопросы для самоконтроля:

1. Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

2. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента

определителя?

3. Сформулируйте основные свойства определителей.

4. Способы вычисления определителей n-го порядка.

http://www.mathelp.spb.ru/videomath3.htm



7

5. Сформулируйте теорему Крамера и запишите формулы для решения систем n

линейных уравнений с n неизвестными.

6. Как изменится величина определителя при транспонировании?

7. Чему равна сумма произведений элементов какого - либо столбца

определителя на их алгебраические дополнения?

8. Что произойдёт с определителем, если к элементам какой - либо строки

определителя прибавить соответствующие элементы другой строки,

умноженные на некоторое число k≠ 0?

9. Как изменится величина определителя, если поменять местами две его

строки?

10. Чему будет равен определитель, если все элементы какой – либо его строки

равны нулю?

Понятие определителя 2-го и 3-го порядков

Свойства определителей

1) Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы -

соответствующими строками.

2) Общий множитель элементов какого-нибудь ряда может быть вынесен за знак

определителя.

3) Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны или

пропорциональны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на

противоположный.

8

5) Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить

соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число

λ≠0.

Лекция 2

Матрицы и действия над ними. Матричный способ решения систем

линейных уравнений (2 часа)

Аннотация. В данной теме даётся понятие матрицы. Приводятся виды матриц,

действия над матрицами и их свойства. Также приводятся алгоритм нахождения обратной

матрицы, матричная форма записи систем n линейных уравнений с n неизвестными и ее

решение с помощью обратной матрицы.

Ключевые слова. Матрица, единичная матрица, обратная матрица.











4. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/1-1-1-matritsi-operatsii-nad-

matritsami-opredelenie-matritsi

5. http://matica.org.ua/analiticheskaya-geometriya-lineynaya-algebra/35-lektsiya-9-matritsi





Матрица – таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Размер матрицы

обозначается символом: nm . Обозначение: A. Элементы матрицы A обозначаются ija .

Единичная матрица – квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны

единице, а остальные элементы равны нулю. Обозначение: E.

Транспонированная матрица – по отношению к матрице A – это матрица, у которой

строки (столбцы) являются соответствующими столбцами (строками) матрицы A.

Обозначение: TA .

Квадратная матрица – матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

Матрица – строка – прямоугольная матрица, состоящая из одной строки.

Матрица – столбец – прямоугольная матрица, состоящая из одного столбца.




http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/1-1-1-matritsi-operatsii-nad-matritsami-opredelenie-matritsi

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/1-1-1-matritsi-operatsii-nad-matritsami-opredelenie-matritsi

http://matica.org.ua/analiticheskaya-geometriya-lineynaya-algebra/35-lektsiya-9-matritsi

9

Обратная матрица – для матрицы A – это матрица 1A , для которой выполняются

равенства: EAAAA 11.


1. Дайте определение матрицы, укажите её виды.

2. Опишите правила действий над матрицами и их свойства.

3. Какие две матрицы можно перемножить?

4. Дайте определение обратной матрицы. Запишите алгоритм её нахождения.

5. Как выражается решение системы n линейных уравнений с n неизвестными

через обратную матрицу.

Понятие матрицы

10

Лекция 3

Модель Леонтьева. Модель равновесных цен (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия модели Леонтьева многоотраслевой

экономики, матриц коэффициентов прямых и полных затрат, их экономический смысл.

Приводится уравнение зависимости между валовой и конечной продукцией, модель

равновесных цен.

Ключевые слова. Матрица коэффициентов прямых затрат, модель Леонтьева,

матрица коэффициентов полных затрат, модель равновесных цен.









2. http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-

m-s-chuprinov-b-p/16-3-2-produktivnie-modeli-leonteva

3. http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-

m-s-chuprinov-b-p/16-3-model-leonteva-mnogootraslevoy-ekonomiki

4. http://matica.org.ua/konspekt-lektsiy-po-visshey-matematike-komogortsev-v-f/2-5-

mezhotraslevaya-model-leonteva

5. http://matica.org.ua/a-s-shapkin-zadachi-po-visshey-matematike-teorii-veroyatnostey-

matematicheskoy-statistike-matematicheskomu-programmirovaniiu-s-resheniyami/7-2-2-

mezhotraslevoy-balans

6. Модель межотраслевого баланса





Матрица коэффициентов прямых затрат – матрица A, элементами которой являются

числа, определяемые по формуле: j

ijij x

xa , где ijx - это объём продукции отрасли i,

расходуемый отраслью j, jx - объём выпускаемой продукции j-й отрасли.

Модель Леонтьева – уравнение линейного межотраслевого баланса, определяемое

формулой AX+Y=X, где A - матрица коэффициентов прямых затрат, X - вектор-столбец

валового выпуска, Y - вектор-столбец конечного потребления.

Матрица Леонтьева – это матрица (E-A), где E – единичная матрица, A - матрица

коэффициентов прямых затрат.

Матрица коэффициентов полных затрат – это матрица, обратная к матрице Леонтьева,

она равна 1)( AE .


http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprinov-b-p/16-3-2-produktivnie-modeli-leonteva

http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprinov-b-p/16-3-2-produktivnie-modeli-leonteva

http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprinov-b-p/16-3-model-leonteva-mnogootraslevoy-ekonomiki

http://matica.org.ua/osnovi-matematiki-i-ee-prilozheniya-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprinov-b-p/16-3-model-leonteva-mnogootraslevoy-ekonomiki

http://matica.org.ua/konspekt-lektsiy-po-visshey-matematike-komogortsev-v-f/2-5-mezhotraslevaya-model-leonteva

http://matica.org.ua/konspekt-lektsiy-po-visshey-matematike-komogortsev-v-f/2-5-mezhotraslevaya-model-leonteva

http://matica.org.ua/a-s-shapkin-zadachi-po-visshey-matematike-teorii-veroyatnostey-matematicheskoy-statistike-matematicheskomu-programmirovaniiu-s-resheniyami/7-2-2-mezhotraslevoy-balans



http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/3-model-mezhotraslevogo-balansa

11

Норма добавленной стоимости – для i-й отрасли равна i

ii x

Dd , где iD - это

добавленная стоимость, ix - объём выпускаемой продукции.

Модель равновесных цен – уравнение PdPAT , где TA - это транспонированная

матрица коэффициентов прямых затрат, P - вектор цен единицы продукции каждой отрасли,

d - вектор норм добавленной стоимости.


1. Запишите систему балансовых уравнений, характеризующих распределение

продукции отраслей.

2. По какой формуле определяются элементы матрицы коэффициентов прямых

затрат?

3. По какой формуле определяются элементы матрицы коэффициентов полных

затрат?

4. Объясните экономический смысл столбцов матрицы коэффициентов полных

затрат.

5. Что называется нормой добавленной стоимости и по какой формуле она

находится?

Модель Леонтьева

12

Лекция 4

Элементы векторной алгебры (2 часа)

Аннотация. В данной теме даётся понятия вектора и приводятся действия над

векторами. Даются понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Приводятся их свойства, применение, геометрический смысл и условие компланарности

векторов.

Ключевые слова. Вектор, скалярное произведение векторов, векторное

произведение векторов, смешанное произведение векторов, коллинеарность векторов,

компланарность векторов.









2. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-1-6-skalyarnoe-

proizvedenie

3. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-1-vektornoe-i-

smeshannoe-proizvedeniya-vektornoe-proizvedenie

4. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-2-smeshannoe-

proizvedenie


http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-1-6-skalyarnoe-proizvedenie

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-1-6-skalyarnoe-proizvedenie

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-1-vektornoe-i-smeshannoe-proizvedeniya-vektornoe-proizvedenie

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-1-vektornoe-i-smeshannoe-proizvedeniya-vektornoe-proizvedenie

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-2-smeshannoe-proizvedenie

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/3-2-2-smeshannoe-proizvedenie

13





Скалярное произведение векторов – это число, равное произведению длин этих векторов,

умноженному на косинус угла между ними.

Векторное произведение векторов – вектор, перпендикулярный обоим сомножителям,

образующий с ними правую тройку, модуль которого равен произведению модулей

сомножителей на синус угла между ними.

Смешанное произведение трёх векторов – это есть скалярное произведение одного вектора

на векторное произведение двух других.


1. Запишите формулу скалярного произведения, выраженную через координаты

этих векторов.

2. По какой формуле определяется векторное произведение векторов?

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

4. Какие три вектора называются компланарными?

5. Какие три вектора образуют правую тройку векторов?

6. Чему геометрически равен модуль векторного произведения двух векторов?

7. Чему геометрически равен модуль смешанного произведения трёх векторов?

14

Лекция 5

Элементы аналитической геометрии на плоскости (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия полупространства, линейного под-

пространства. Приводятся уравнения поверхностей второго порядка.

Ключевые слова. Полупространство, линейное подпространство, поверхность

второго порядка, сфера, эллипсоид, гиперболоид, эллиптический параболоид,

гиперболический параболоид, конус второго порядка.

15









2. http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-analiticheskoy-geometrii/5-1-uravneniya-liniy-i-

poverch-nostey-v-prostranstve-uravnenie-liniy-i-poverchnostey-v-dekartovoy-sisteme-koordinat

3. http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-analiticheskoy-geometrii/5-3-tsilindricheskie-i-

konicheskie-poverchnosti


5. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=kanonicheskie-uravneniya-poverhnosti-vtorogo-

poryadka





Цилиндрическая поверхность – поверхность, описываемая прямой L, движущейся в

пространстве и сохраняющей постоянное направление, пересекая каждый раз некоторую

кривую K.

Метод сечений – исследование вида поверхности второго порядка с помощью изучения

линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им

параллельными.

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой

вокруг оси, лежащей в её плоскости.

Коническая поверхность – поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими

через данную точку P и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через

P).


1. Что называется поверхностью второго порядка?

2. Запишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат.

3. Запишите уравнение эллипсоида с полуосями a, b, c и центром в начале

координат.

4. Запишите уравнения однополостного и двуполостного гиперболоидов.

5. Запишите уравнения эллиптического и гиперболического параболоидов.

6. Запишите уравнение конуса эллиптического.







http://mathhelpplanet.com/static.php?p=kanonicheskie-uravneniya-poverhnosti-vtorogo-poryadka


16

7. Запишите уравнения эллиптического, гиперболического и параболического

цилиндров.

Уравнения плоскости в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве Oxyz позволяет установить

взаимно-однозначное соответствие между точками пространства 3R (далее-пространства)

и тройками чисел x, y, z – их координатами.

Опр.1 Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение F(x;y;z)=0 с

тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей

на поверхности и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой

поверхности.

Уравнение поверхности позволяет заменить изучение геометрических свойств

линии исследованием его уравнения.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно

задать разными способами, каждому из которых соответствует определенный вид ее

уравнения.

Лекция 6

Элементы аналитической геометрии в пространстве (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия полупространства, линейного под-

пространства. Приводятся уравнения поверхностей второго порядка.

Ключевые слова. Полупространство, линейное подпространство, поверхность

второго порядка, сфера, эллипсоид, гиперболоид, эллиптический параболоид,

гиперболический параболоид, конус второго порядка.





17





7. http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-analiticheskoy-geometrii/5-1-uravneniya-liniy-i-

poverch-nostey-v-prostranstve-uravnenie-liniy-i-poverchnostey-v-dekartovoy-sisteme-koordinat

8. http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-analiticheskoy-geometrii/5-3-tsilindricheskie-i-

konicheskie-poverchnosti


10. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=kanonicheskie-uravneniya-poverhnosti-vtorogo-

poryadka





Цилиндрическая поверхность – поверхность, описываемая прямой L, движущейся в

пространстве и сохраняющей постоянное направление, пересекая каждый раз некоторую

кривую K.

Метод сечений – исследование вида поверхности второго порядка с помощью изучения

линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им

параллельными.

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой

вокруг оси, лежащей в её плоскости.

Коническая поверхность – поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими

через данную точку P и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через

P).


8. Что называется поверхностью второго порядка?

9. Запишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат.

10. Запишите уравнение эллипсоида с полуосями a, b, c и центром в начале

координат.

11. Запишите уравнения однополостного и двуполостного гиперболоидов.

12. Запишите уравнения эллиптического и гиперболического параболоидов.

13. Запишите уравнение конуса эллиптического.

14. Запишите уравнения эллиптического, гиперболического и параболического

цилиндров.

Уравнения плоскости в пространстве









18

Прямоугольная система координат в пространстве Oxyz позволяет установить

взаимно-однозначное соответствие между точками пространства 3R (далее-пространства)

и тройками чисел x, y, z – их координатами.

Опр.1 Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение F(x;y;z)=0 с

тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей

на поверхности и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой

поверхности.

Уравнение поверхности позволяет заменить изучение геометрических свойств

линии исследованием его уравнения.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно

задать разными способами, каждому из которых соответствует определенный вид ее

уравнения.

Лекция 7

Линейное n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость

системы векторов (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются такие понятия, как n-мерные векторы и действия

над ними, n-мерное линейное векторное пространство Rn, а также - линейные операторы,

линейная комбинация векторов, линейная зависимость и линейная независимость системы

векторов. Приводятся свойства линейной зависимости и линейной независимости

векторов. Раскрывается понятие базиса n - мерного векторного пространства. Приводится

разложение вектора пространства Rn по векторам базиса.

Ключевые слова. Векторное пространство, n-мерные векторы, линейная

комбинация векторов, линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов.

19









2. http://matica.org.ua/lineynie-operatori-kvadratichnie-formi/3-1-lineynie-operatori-osnovnie-

opredeleniya

3. http://matica.org.ua/visshaya-matematika-erochina-a-p-baybakova-l-n/2-2-bazis-i-koordinati-na-

pryamoy-ploskosti-i-v-prostranstve





n-мерным вектор - любая упорядоченная совокупность n действительных чисел

Линейное n-мерное векторное пространство - множество всех n-мерных векторов, в

котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Обозначение:

Линейная комбинация векторов - выражение вида

где


1. Что называется линейным n-мерным векторным пространством?

2. Что называется линейной комбинацией векторов?

3. Какая система векторов называется линейно зависимой?

4. Какая система векторов называется линейно независимой?

5. Что называется базисом пространства Rn?

.;...;; 21 naaa

.nR

.,...,, 21 Rk kaaa ,...,, 21 ,...2211 kk aaa






21

Лекция 8

Собственные значения и собственные векторы системы векторов.

Квадратичные формы (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются такие понятия, как n-мерные векторы и действия

над ними, n-мерное линейное векторное пространство Rn, а также - линейные операторы,

линейная комбинация векторов, линейная зависимость и линейная независимость системы

векторов. Приводятся свойства линейной зависимости и линейной независимости

векторов. Раскрывается понятие базиса n - мерного векторного пространства. Приводится

разложение вектора пространства Rn по векторам базиса.

Ключевые слова. Векторное пространство, n-мерные векторы, линейная

комбинация векторов, линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов.









5. http://matica.org.ua/lineynie-operatori-kvadratichnie-formi/3-1-lineynie-operatori-osnovnie-

opredeleniya

6. http://matica.org.ua/visshaya-matematika-erochina-a-p-baybakova-l-n/2-2-bazis-i-koordinati-na-

pryamoy-ploskosti-i-v-prostranstve






22





n-мерным вектор - любая упорядоченная совокупность n действительных чисел

Линейное n-мерное векторное пространство - множество всех n-мерных векторов, в

котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Обозначение:

Линейная комбинация векторов - выражение вида

где


6. Что называется линейным n-мерным векторным пространством?

7. Что называется линейной комбинацией векторов?

8. Какая система векторов называется линейно зависимой?

9. Какая система векторов называется линейно независимой?

10. Что называется базисом пространства Rn?

.;...;; 21 naaa

.nR

.,...,, 21 Rk kaaa ,...,, 21 ,...2211 kk aaa

23

Лекция 9

Ранг матрицы (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия ранга системы векторов и ранга

матрицы. Приводятся методы вычисления ранга матрицы. Раскрывается понятие

ортогональных систем векторов.

Ключевые слова. Ступенчатая матрица, ранг матрицы, ранг системы векторов,

ортогональные системы векторов.









2. http://matica.org.ua/kurs-visshey-matematiki/09-rang-matritsi

3. http://matica.org.ua/visshaya-matematika-erochina-a-p-baybakova-l-n/4-1-5-lineynaya-

zavisimost-mezhdu-stolbtsami-matritsi-ponyatie-o-range-matritsi

4. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-2-elementarnie-

preobrazovaniya-matritsi

5. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-3-privedenie-matritsi-k-

stupenchatomu-vidu


http://matica.org.ua/kurs-visshey-matematiki/09-rang-matritsi

http://matica.org.ua/visshaya-matematika-erochina-a-p-baybakova-l-n/4-1-5-lineynaya-zavisimost-mezhdu-stolbtsami-matritsi-ponyatie-o-range-matritsi

http://matica.org.ua/visshaya-matematika-erochina-a-p-baybakova-l-n/4-1-5-lineynaya-zavisimost-mezhdu-stolbtsami-matritsi-ponyatie-o-range-matritsi

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-2-elementarnie-preobrazovaniya-matritsi

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-2-elementarnie-preobrazovaniya-matritsi

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-3-privedenie-matritsi-k-stupenchatomu-vidu

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-3-privedenie-matritsi-k-stupenchatomu-vidu

24

6. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-4-primeri-resheniya-

zadach-po-teme-rang-matritsi





Ранг матрицы – наибольший порядок отличных от нуля её миноров.

Обозначение: r(A).

Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится

правее крайнего элемента предыдущей строки.

Ранг системы векторов – максимальное число линейно независимых векторов системы.

Ортогональная система векторов – система векторов в евклидовом пространстве, в

которой все векторы попарно ортогональны.


1. Какая матрица называется ступенчатой?

2. Что называется рангом матрицы?

3. Сформулируйте основные свойства определителей.

4. Опишите методы вычисления ранга матрицы.

5. Что называется рангом и базисом системы векторов?

6. Какие два вектора в евклидовом пространстве называются ортогональными?

7. Какая система векторов в евклидовом пространстве называется

ортогональной системой?

Ранг системы векторов и ранг матрицы

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-4-primeri-resheniya-zadach-po-teme-rang-matritsi

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-2-4-primeri-resheniya-zadach-po-teme-rang-matritsi

25

Лекция 10

Произвольные системы линейных уравнений. Метод Жордана-Гаусса

(2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия произвольных системы m линейных

уравнений с n неизвестными, а также общего, частного и базисного решений системы

уравнений. Приводятся метод Жордана-Гаусса решения СЛАУ, показывается, как

производить переход от одного базисного решения к другому.

Ключевые слова. Совместная СЛАУ, несовместная СЛАУ, равносильные СЛАУ,

противоречивое уравнение, уравнение-тождество, разрешающий элемент, разрешающая

строка, разрешающий столбец, правило прямоугольника, итерация.









2. http://matica.org.ua/elementi-matrichnoy-algebri-i-teorii-sistem-lineynich-uravneniy/02-metod-

gaussa

3. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-3-5-metod-gaussa

4. http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-3-6-primeri-resheniya-

zadach-po-teme-sistemi-uravneniy-obschego-vida-metod-gaussa


http://matica.org.ua/elementi-matrichnoy-algebri-i-teorii-sistem-lineynich-uravneniy/02-metod-gaussa

http://matica.org.ua/elementi-matrichnoy-algebri-i-teorii-sistem-lineynich-uravneniy/02-metod-gaussa

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-3-5-metod-gaussa

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-3-6-primeri-resheniya-zadach-po-teme-sistemi-uravneniy-obschego-vida-metod-gaussa

http://matica.org.ua/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya/2-3-6-primeri-resheniya-zadach-po-teme-sistemi-uravneniy-obschego-vida-metod-gaussa

26





Разрешающий элемент – коэффициент qka в системе линейных уравнений, который

находится на пересечении разрешающей строки с номером q и разрешающего столбца с

номером k.

Итерация – преобразование системы линейных уравнений в равносильную систему, в

которой разрешающий столбец стал единичным столбцом.


1. Что относится к элементарным преобразованиям СЛАУ?

2. Что называется общим решением системы m линейных уравнений с n

неизвестными?

3. Какой элемент можно выбрать при отыскании общего решения системы m

линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве

разрешающего элемента?

4. В каком случае система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет

решений?

5. Чему равно число базисных решений произвольной системы m линейных

уравнений с n неизвестными?

Метод Жордана-Гаусса решения СЛАУ

27

Лекция 11

Опорные решения систем линейных уравнений (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия опорного и допустимого решений

систем линейных уравнений. Вводится понятие симплексных преобразований, приводится

теорема о симплексных преобразованиях.









2. Электронное учебное пособие «Методы оптимальных решений» .- С. 65-68.-

http://visoloviev.ru/booksmath/MOS.pdf



ОДР - область допустимых решений


Допустимое решение системы линейных уравнений – неотрицательное решение системы

линейных уравнений.

Опорное решение системы линейных уравнений – базисное допустимое решение системы

линейных уравнений.


http://visoloviev.ru/booksmath/MOS.pdf

28


1. Какие решения СЛАУ называются допустимыми?

2. Что называется опорным решением СЛАУ?

3. Что называется симплексными преобразованиями?

4. Как выбирается разрешающий столбец при нахождении опорных решений?

5. Как выбирается разрешающая строка при нахождении опорных решений?

Опорные решения СЛАУ

29

Лекция 12

Общая задача линейного программирования (2 часа)

Аннотация. В данной теме даётся понятие общей задачи математического

программирования. Приводятся типы задач математического программирования:

линейное программирование, не линейное программирование, динамическое

программирование. Рассматривается понятие экономико-математической модели (ЭММ)

и этапы ее составления. Приводятся примеры линейных ЭММ задач линейного

программирования (ЗЛП): задачи распределения ресурсов и задачи «о диете». Даётся

геометрическая интерпретация ЗЛП.

Ключевые слова. Математическое программирование, целевая функция,

ограничительное условие, область допустимых решений.









2. http://matica.org.ua/a-s-shapkin-zadachi-po-visshey-matematike-teorii-veroyatnostey-

matematicheskoy-statistike-matematicheskomu-programmirovaniiu-s-resheniyami/7-1-1-

zadacha-optimalnogo-proizvodstva-produktsii

3. http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/1-geometricheskaya-

interpretatsiya-osnovnoy-zadachi-planirovaniya-proizvodstva-i-graficheskiy-sposob-ee-

resheniya

4. http://www.matburo.ru/ex_mp.php?p1=mpgr


ЭММ – экономико-математическая модель

ЗЛП – задача линейного программирования


Математическое программирование – раздел современной математики, задачами которого

является нахождение экстремума функции при условии принадлежности переменных

определенному множеству.

Задача целочисленного программирования – с дополнительным условием целочисленности

оптимального решения.

Задача нелинейного программирования – задача мат.программирования, в которой хотя бы

одно из ограничительных условий или целевая функция нелинейны.

Задача квадратичного программирования – задача мат.программирования, в которой

целевая функция представляет собой сумму линейной и квадратичной функций.


http://matica.org.ua/a-s-shapkin-zadachi-po-visshey-matematike-teorii-veroyatnostey-matematicheskoy-statistike-matematicheskomu-programmirovaniiu-s-resheniyami/7-1-1-zadacha-optimalnogo-proizvodstva-produktsii



http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/1-geometricheskaya-interpretatsiya-osnovnoy-zadachi-planirovaniya-proizvodstva-i-graficheskiy-sposob-ee-resheniya



http://www.matburo.ru/ex_mp.php?p1=mpgr

30

Целевая функция – критерий оптимизации, признак, характеризующий качество

принимаемого решения (максимум прибыли, минимум затрат).

Линейное программирование – методы решения задач математического программирования,

в которых ограничения и целевая функция линейны.


1. Что является критерием оптимальности задачи математического

программирования?

2. В каком случае задача математического программирования является задачей

линейного программирования?

3. Какие задачи относятся к задачам целочисленного программирования?

4. Что называется экономико-математической моделью задачи линейного

программирования?

5. Опишите этапы составления ЭММ.

Общая задача линейного программирования

Характерной чертой задач математического программирования (далее –

мат.программирования) является наличие большого числа решений, удовлетворяющих

определённым условиям. И по какому-либо признаку необходимо выбрать наилучшее

(оптимальное).

В качестве критерия оптимальности могут выступать, например, получение

максимальной прибыли, минимальных затрат и т.д. Отсюда термин «программирование»,

который отражает конечную цель исследования – определение оптимального решения

(плана) или, другими словами, оптимальной программы действий, которая приведёт к

наилучшему результату.

31

Лекция 13

Симплексный метод решения задачи линейного программирования (2 часа)

Аннотация. В данной теме даются понятия допустимого, опорного, оптимального

планов ЗЛП, выпуклого множества, области допустимых решений ЗЛП. Приводятся

теорема о достижении максимума или минимума целевой функции в угловой точке

выпуклого многогранника решений и теоремы об оптимальности плана ЗЛП. Описывается

симплексный метод решения ЗЛП, алгоритм симплексного метода.

Ключевые слова. Оценка плана, минор, алгебраическое дополнение.









2. http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/2-simpleksniy-metod-resheniya-

zadach-lineynogo-programmirovaniya

3. http://math.semestr.ru/simplex/lec_simplex.php


ЗЛП – задача линейного программирования

ЭММ – экономико-математическая модель



Оценка плана – в симплексном методе решения ЗЛП – это значения jj cz , где jz -

значение целевой функции, если в неё вместо неизвестных jx подставить соответствующие

коэффициенты разложения вектора ja по базису, jc - коэффициенты при неизвестных в

целевой функции.

Оптимальный план ЗЛП - опорный план, приводящий к максимуму или минимуму целевой

функции.

Симплекс-метод – метод решения задач линейного программирования, заключающийся в

последовательном улучшении плана и позволяющий осуществлять переход от одного

допустимого базисного решения к другому таким образом, что значение целевой функции

непрерывно возрастают, и за конечное число шагов находится оптимальное решение.


1. Что называется оценкой плана ЗЛП?

2. Чему равна нулевая оценка ЗЛП?

3. Как выбирается разрешающий столбец при решении ЗЛП на min целевой

функции?


http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/2-simpleksniy-metod-resheniya-zadach-lineynogo-programmirovaniya

http://matica.org.ua/metodi-optimalnich-resheniy-m-a-kozlova/2-simpleksniy-metod-resheniya-zadach-lineynogo-programmirovaniya

http://math.semestr.ru/simplex/lec_simplex.php

32

4. Что является критерием оптимальности плана ЗЛП?

5. Опишите алгоритм симплексного метода.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Симплексный метод позволяет за конечное число итераций получить оптимальный

план ЗЛП. При решении задачи на минимум каждая итерация – это нахождение

нового опорного плана, которому соответствует меньшее (или небольшее) значение

целевой функции по сравнению с предыдущим планом. В задаче на максимум –

большее (или неменьшее) значение.

Рассмотрим задачу первого вида на минимум. Пусть система ограничений

приведена к единичному базису и записана в векторной форме.

F B G B K L ? J K L H ; J : A H < : G BЯ B G : M D B J H K ... · линейных...

Documents

Transcript of F B G B K L ? J K L H ; J : A H < : G BЯ B G : M D B J H K ... · линейных...