Q1: We consider a mass‐spring system. How shouldwe change the mass and spring in order for theperiod of free vibration to halve?

Basic

Exercise of mechanical vibration (1-dof vibration (translation)) Q2: Consider the following car suspension in which L1 = 0.3 m and L2 =0.6 m. The coil spring has a spring constant of 36,000 N/m and thecar weight associated with that wheel is 3,500 N. Determine thesuspension’s natural frequency and period for vertical motion.

L1

L2Wheel

Upper control arm

Lower control arm

Basic

Q3: Figure 1 shows a 1‐DOF cart system at the equilibrium state. Asshown in Fig. 2, the cart is released from rest at the position of𝑥 0 𝑥 , and then the free vibration is started. Solve theinstantaneous velocity of the cart when it collides with the wall at𝑥 𝑙.

𝑥 0 𝑥𝑙𝑥Fig. 1

Fig. 2 𝑥 0 0Basic

Q4: Carts A and B are moving at constant speed 𝑣 . Cart A is stillcompared with Cart B. Cart B suddenly stops at 𝑡 0. Answer theequation of motion of Cart A about x. x is the position of Cart Arelative to Cart B. The origin of x is the position of Cart A at 𝑡 0.

𝑥 𝑡𝑣𝑘 𝑘

Cart B

Cart A

𝑥 0 0𝑥 0 𝑣

Basic

Q5: Answer the problems about the free vibration of the cart.

Answer the maximum kinetic energy 𝑇 and potential energy 𝑈 when 𝑥 0 𝑥 and 𝑥 0 0.(1) 

Compute 𝑇 and 𝑈 when 𝑥 1 m, 𝑣 10 m s⁄ ,  𝑚0.1 kg,  𝑘 10 N m⁄ .(3) 

Basic

Answer the maximum kinetic energy 𝑇 and potential energy 𝑈 when 𝑥 0 𝑥 and 𝑥 0 𝑣 .(2) 

Q6: Consider bungee jumping. A person of which mass is 60 kg jumpswith a cord. Its natural length and spring constant are 50 m and2,000 N/m, respectively.(1) Answer the frequency of the vibration.(2) Answer the velocity of the person when reaches 50 m.(3) Answer the maximum point that the person reaches.

Basic

Q7: Solve the natural frequency of a mass hung by a spring.(1) Answer the static deflection δ of the spring and the spring’s 

potential energy caused by δ.(2) Answer the natural frequency of the mass using Rayleigh’s 

method. 

Basic

Q8: Determine the natural frequencies of the systems in R1 (3), (5), and (10) using Rayleigh’s method.

Basic

𝑚 𝑥𝑘

𝑘

Q9: The mass m is supported by two pulley‐spring systems of which mass and friction are negligible. 𝑥 is 0 in its statically equivalent position. Answer the equation of motion about 𝑥, by using 𝑘 , 𝑘 , and 𝑚.

Intermediate

R1: For each system, answer the equation of motion and solve the natural frequency. The pulleys’ masses are negligibly small.

(1) (2)

(3) (4)

𝜃𝜃Deflection of the spring is small enough such 

that θ is approximated to be constant.Intermediate

(5)

(7)

(6)

(8) 𝑟Intermediate

(9) A cart is pulled to a wall by a spring such that it does not fall off.Answer the equation of motion about x and the naturalfrequency of the system.

Assume that the deflection is small, and the tension of the spring is constant. Use a small angle assumption: sin 𝜃 ~ 𝜃.

𝑇𝑥 𝑡 𝑙

𝑙 𝑙𝑇

𝜃

Intermediate

The weight of the stick is negligible and θ(t)is small.

(10) Consider a lever system supported at O. Answer theequation of motion about θ. You may use small angleassumption (sin𝜃~𝜃).

O

Intermediate

R3: A snowboarder (weight m) slides on a half pipe of which radius is R. When the friction is negligible, determine the natural frequency from 1) equation of motion and 2) Rayleigh’s method. We consider the motion of the boarder on a polar coordinate system.(1‐1) Answer the equation of motion about 𝜃.(1‐2) Using a small angle assumption (sin 𝜃 ~𝜃), determine the 

natural frequency.(2‐1) Answer the kinetic and potential energies of the boarder.(2‐2) Assuming that 𝜃 𝑡 𝐴sin𝜔𝑡, its maximum angle and 

angular velocity values are A and A𝜔, respectively. Determine the natural frequency of the boarder 𝜔 by Rayleigh’s method. Use a small angle assumption (cos𝜃~1 𝜃 /2).

Intermediate

R3 cont.

R

R is the distance between the center of the pipe and the mass center of the boarder.

mg

θ

Intermediate

R4: The mass is supported by a pulley‐spring system of which mass and friction are ignorable. 𝑥 is 0 in its static position. Answer the following two problems.(1) Answer the equation of motion about 𝑥 based on the 

equilibrium of forces.(2) Answer the equation of motion about 𝑥, by using Lagrange’s 

method.

𝑚 𝑥𝑘

𝑘Intermediate

R5: For each system, answer the equation of motion about x or θ, and solve the natural angular frequency.  At their equivalence points, 𝑥 0 and 𝜃 0. For both systems, the deflections of the springs are small enough such that the small angle assumption is available (sin𝜃~𝜃).

(1)

θ (t)

k

kl2

l1m

A weightless rod is supported at frictionless pivot O. A mass of m is fixed at an end, and the other end is supported by two springs each of which constant is k.

O

Intermediate

(2)

x (t)

k k

A mass of m is supported by springs of constant k. They are angled at π/4 rad to the ceiling.

m

𝜋/4𝜋/4

Intermediate

R6: Suppose a block of mass m on a plate of mass M. The coefficient offriction between them is 𝜇. The plate is on a frictionless floor. Thegravity acceleration g works on both masses. The block starts slidingon the still plate with the initial velocity v0: 𝑥 0 𝑣 , 𝑥 00, 𝑥 0 0, 𝑥 0 0. Answer the following two questions.1) Answer t at which the relative velocity of the block and plate

becomes 0.2) Answer the distance that the block slides on the plate.

m

v0

Intermediate

S1: Suppose a circular rail of radius r. This rail is smoothly connected toa linear rail at point Q (x > 0). Coordinate axis s lies along the linearrail with s = 0 at point Q. A weightless spring of stiffness k is fixedon the linear rail. Its end point is s = s0 (natural length). 𝛼 (0 𝛼𝜋/2) and 𝛽 (𝛽 0) are the angles formed by points C, P, O, and Q.The gravitational acceleration is g. Answer the following problems.Ignore the friction of rails.

1) After releasing mass point A, of which mass is m, from rest atpoint P, it slides on the rail, passes point Q, and collides the endof the spring. The mass point is then attached to the spring andoscillates as a spring‐mass system. Answer the condition of 𝛼and 𝛽 for which

1‐1) mass point A reaches the spring,1‐2) the end of the spring does not go over point Q.

2010年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

2010年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

x

y

rr

𝛼 𝛽

O

P

C

Q 𝑠 𝑠𝑠 0 𝛽sMass A 𝑠

2) As shown in Fig. 2, mass B (2m) is fixed on the spring. The heightof the mass is h. Similar to 1), mass point A is released frompoint P and it collides mass B. This encounter is regarded as anelastic collision. Mass B then vibrates at 𝑠 0. We do notconsider the second or later collision between mass A and B.

2‐1) Answer the maximum height that mass A reaches after thecollision (𝑥 0).

2‐2) Answer the equation of motion of mass B after the collisionusing s.

2‐3) Solve the above equation of motion with 𝑡 0 at the momentof collision. Use uA as the velocity of mass A just before thecollision.

2010年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

2010年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

x

y

rr

𝛼 𝛽

O

P

C

Q 𝑠 𝑠𝑠 0𝛽

sMass A(m)

h

Mass B(2m)

S2: Consider a double pendulum made of a string (length l) and a soliddisk (mass m, radius a). Its motion is constrained on the X‐Y plane.The string is fixed on the origin O. Gravity acts on the disk withgravitational acceleration g. The angles made by the direction ofgravity and string and disk are 𝜃 and 𝜙, respectively. Answer thefollowing problems.

2018年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械・航空宇宙系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

𝜃𝜙𝑎

𝑙 X

Y

O

𝑠𝑚𝑔

(x, y)

(1) Answer the equation of translational motion of the disk about the center of gravity: x and y using m, g, 𝜃, 𝜙, and s, which is the string tension.

(2) Answer the equation of rotational motion of the disk about its center of gravity. The mass moment of inertia of the disk is𝑚𝑎 .

(3) Express x and y using the following symbols: l, a, 𝜃, 𝜙.(4) Express the equation of motion established in (1) by using 𝜃 and 𝜙 instead of x and y. Also, simplify the equation by using the 

small angle assumption: sin𝜃~𝜃, sin𝜙~𝜙, cos𝜃~1, and cos𝜙~1.(5) Simplify the equation established in (2) by using the small angle 

assumption.

2018年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械・航空宇宙系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

(6) When the answer of the simplified equations earned in (4) and (5) are 𝜃 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝛼 ,  𝜙 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝛼 ,answer the equation that 𝜔 should satisfy not by using s, A, and B.

2018年度 名古屋大学大学院工学研究科 機械・航空宇宙系 入試問題 力学より大学院入試問題を解いてみよう!

Any object has a natural frequency which is determined by its massand stiffness. If a gong strikes a bell, the bell rings at its owncharacteristic frequency known as its natural frequency. The gong‐striking event is forced vibration, whereas the ringing of bell is freevibration. There is a simple method to find the natural frequency ofany object. Using a hammer, a blow is struck on the body, to whicha vibration sensor is fixed. The dominant frequency observed bythe sensor is the natural frequency of the body.

Excerpt and modified from “Practical Machinery Vibration Analysis and Predictive Maintenance,” by Cornelius Scheffer, Paresh Girdhar

A: Translate the following paragraph about natural frequency into Japanese.

Stiffness は「剛性」と訳されるが，ここまで学習したばね定数と同義である．

Considering a mass‐spring system, we reach the same conclusionfrom two types of equations. One is the equation of motiondescribed by 𝑚𝑥 𝑘𝑥 0.The other is based on the principle of energy conservation:𝑚𝑣 𝑘𝑥 .

For these two types of equations, 𝜔 𝑘/𝑚 must hold. This meansthat the system can oscillate only at 𝑘/𝑚 rad/s when it undergoesfree vibration.

B: Translate the following paragraph about natural frequency into Japanese.

C: Translate the following paragraph into Japanese.

Rayleigh’s method is based on the principle of conservation ofenergy. The energy in a dynamic system consists of the kineticenergy (T) and the potential energy (U). Unless the external forceacts on the system, the total energy remains constant. The kineticenergy is stored in the mass and is proportional to the square of thevelocity. The potential energy includes strain energy stored in theelastic deformation of the system and the work done by the appliedforces. For a simple spring‐mass system, the potential energy is zerowhen the mass is passing through the static equilibrium position. Atthis time, the velocity is maximum. Therefore, the kinetic energy isat its maximum. When the mass is at its extreme position, thekinetic energy is zero and the potential energy is at its maximum.Hence, the following equality holds:

Tmax = Umax.

Modified from: http://user.engineering.uiowa.edu/~sxiao/class/058‐153/lecture‐20.pdf

COLUMN: 機械系ならダイナミクス

機械工学を学ぶ者が大学の学部教育で涵養すべきものはダイナミクス（動学）です．機械工学の学科では多くのダイナミクスを学びます．例えば，Mechanical dynamics（解析力学，振動学），Fluid dynamics（流体力学）, Thermal dynamics（熱力学）, Control theory（制御工学*）です．力やエネルギーの移動が見えるかのように理解できるというのが，機械技術者の強みです．

* 制御工学は dynamics という名前ではありませんが，当然，ダイナミクスを取り扱います．

演習問題および解答にはミスがあります．ミスを初めに見つけて教えてくれた人には，加点をします．1個目なら2点，2個目以降は1点ずつを加点します．

• The whole schedule is listed in the course web site.• http://www.mech.nagoya‐u.ac.jp/asi/ja/lecture/okamoto_vib1.html• Or search with “名古屋大学 講義 振動学 岡本”

Q1 質量を1/4倍すればよい

Q2 𝑇 ≅ 1.3 [s]

Q3 𝑥 𝑡′ 𝑘𝑚 𝑥 𝑙Q4 𝑥 𝑡 𝑣 𝑚𝑘 𝑘 sin 𝑘 𝑘𝑚 𝑡Q5 𝑇 𝑚𝑣 𝑘𝑥 𝑈 𝑘𝑥 𝑘𝑥(1)

(3) 𝑇 12 𝑚𝑣 10 𝑈 12 𝑘𝑥 10

Answers

Q7 𝛿 𝑚𝑔𝑘 𝑉 𝑚𝑔𝛿𝑉 12 𝑘𝛿𝑝 𝑘𝑚

(1)

(2)

Q6 (1) 0.92 [Hz] (2) 𝑣 100𝑔 [m/s] (3) 𝑥 50 𝑚

Q8は省略．R1と同じ解になる．

Q9

𝑇 𝑚𝑥2𝑇 𝑘 𝛿2𝑇 𝑘 𝛿𝑥 2𝛿 2𝛿 𝑚 𝑥𝑘

𝑘

𝑚𝑥 𝑘 𝑘 𝑥4𝑘 4𝑘 0

δa, δb を静的に釣り合った位置からのばねa, bの伸びとする．各プーリでの摩擦

による損失がないため，糸の張力はどの点でも等しい．糸の張力をTとする． 𝑇 𝑇

𝑝 𝑘 𝑘𝑚 𝑘 𝑘 𝑝 𝑘 𝑘𝑚AnswersR1(1) (2) (3)

(4) (5) (7)(6)

𝑝 𝑘 cos 𝜃𝑚𝑝 𝑘 𝑘𝑚 𝑝 𝑘4𝑚 𝑝 4𝑘𝑚 𝑝 𝑘 𝑘4𝑘 𝑘 𝑚

(8) (10)(9)𝑝 𝑅𝑟 𝑘𝑚 𝑝 𝑓𝑚𝑙 𝑝 𝑙𝑙 2𝑘𝑚

R2 𝛿 𝑚𝑔2𝑘(1) (2) 𝑣 4𝑘𝛿 2𝑚𝑔𝛿𝑚 0𝑣 2𝑚𝑔𝛿 4𝑘𝛿𝑚 0(3)

𝑥 𝑥 0 𝜔 𝑘𝑚R3 (1‐1)

(1‐2) 𝜔 𝑔𝑅𝜃 𝑔𝑅 𝜃 0𝑉 𝑚𝑔𝑅 𝜃2 𝑜𝑟 𝑉 𝑚𝑔𝑅 𝐴2(2‐1)

𝑇 𝑚 𝑅𝜃 or 𝑇 𝑚 𝑅𝐴𝜔(2‐2) 𝜔 𝑔𝑅

R4 𝑚𝑥 𝑘 𝑘𝑘 4𝑘 𝑥 0R5

(2)

p l1l2

2km

p km

(1)

𝑚𝑥 2𝑘sin 𝜋4 0𝑚𝜃 2𝑙𝑙 𝑘𝜃 0

R6

ブロックと板の間に作用する摩擦力（mgμ）によって，板は右方向に滑り出す．

(1) 𝑚𝑥 𝜇𝑚𝑔𝑀𝑥 𝜇𝑚𝑔ブロックが板の上を滑っているときの2物体の運動方程式

ここから，2物体の速度は下記の通りになる．𝑥 𝑣 𝜇𝑔𝑡𝑥 𝜇𝑚𝑔𝑀 𝑡2物体の速度が等しくなるときは𝑥 𝑥 より， 𝑡 𝑀𝑣𝜇𝑔 𝑀 𝑚

(2)2物体が進む距離は下記の通りである．𝑥 𝑣 𝑡 𝜇𝑔𝑡2𝑥 𝜇𝑚𝑔2𝑀 𝑡2物体の距離の差が，ブロックが板の上を滑った距離であるから，𝑥 𝑥 𝑣 𝑡 𝑀 𝑚 𝜇𝑔2𝑀 𝑡が解となる．ブロックと板が相対運動を止める時間は(1)の通りであるから，𝑥 𝑥 𝑀𝑣2𝜇 𝑀 𝑚 𝑔が解として得られる．

S1

(1‐1)システム全体の力学エネルギーは保存されることに留意して解く．

質点Aが，Pにあるときのシステムの力学エネルギーは，この質点の位置エネルギーのみである． 𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛼ばねの端点に到達する直前の質点Aの位置エネルギーは，𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛽 𝑚𝑔𝑠 sin𝛽である．このとき質点Aが運動エネルギーを有していれば，質点Aはばねの端

点に到達し得る．したがって，上記の位置エネルギーの差が正であることが条件である．𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛽 𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛽 𝑚𝑔𝑠 sin𝛽 0

𝑠 𝑟 cos𝛽 cos𝛼sin𝛽これを整理すると下記が得られる．

S1(1‐2)

質点Aのついたばねがのびきった状態（質点の運動エネルギーがなし）で点Qに調度，到達するときのエネルギーの釣り合い（保存）を考えればよい．点Qでの位置エネルギーは，質点とばねの位置エネルギーを含む．12 𝑘𝑠 𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛽 𝑚𝑔𝑟 1 cos𝛼

システムが最初に保有している力学的エネルギー

点Qでの質点Aの位置エネルギー

点Qでのばねの位置エネルギー

これを解くと，𝑠 は，𝑠 2𝑚𝑔𝑟𝑘 cos𝛽 cos𝛼 /となる．これが，ばねが点Qに調度到達できる条件である．問題は，ばねが点Qを超えない条件を問うているので，解は次の通りになる．𝑠 2𝑚𝑔𝑟𝑘 cos𝛽 cos𝛼 /

S1(2‐1)

弾性衝突では，衝突前後で運動量が保存される．また，2物体の相対速度が衝突前後で等しい．ここから，𝑚𝑣 2𝑚𝑣 𝑚𝑣 2𝑚𝑣 ′𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 ′が成立する．ただし，𝑣 , 𝑣 , 𝑣 ′, 𝑣 ′は，衝突前後の質点A, Bの速度である𝑣 0 ．これを整理すると，𝑣 13 𝑣が得られる．すなわち，質点の運動エネルギーは衝突後には，1/9になる．したがって，質点Aの最高到達点は，下記となる．𝑦 19 𝑟 1 cos𝛼 ℎ ℎ19 𝑟 1 cos𝛼 89 ℎ

S1(2‐2)

減衰の無い単振動系であるから，s軸に沿って座標z（ばねに質点Bが付いた状態での釣り合いの位置を原点とする）をとると，運動方程式は，

2𝑚𝑧 𝑘𝑧 0となる．z と s の関係は，𝑧 𝑠 𝑠 2𝑚𝑔sin𝛽𝑘であるから，運動方程式は，

2𝑚𝑠 𝑘 𝑠 𝑠 0もしくは，

2𝑚𝑠 𝑘𝑠 𝑘𝑠 2𝑚𝑔sin𝛽となる．

S1(2‐3)

2𝑚𝑧 𝑘𝑧 0を解くのが容易い．𝑧 0 0, z 0 𝑣 として，上式を解くと，

𝑧 23 𝑣 2𝑚𝑘 sin 𝑘2𝑚 𝑡が得られる．s は，下記の通りになる．

𝑠 23 𝑣 2𝑚𝑘 sin 𝑘2𝑚 𝑡 𝑠 2𝑚𝑔sin𝛽𝑘

S2(1) 𝑚 𝑑 𝑥𝑑𝑡 𝑠sin𝜃 0

𝑚 𝑑 𝑦𝑑𝑡 𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚𝑔(2) 𝑚 𝑎2 𝑑 𝜙𝑑𝑡 𝑠𝑎sin 𝜙 𝜃 0(3) 𝑥 𝑙sin𝜃 𝑎sin𝜙𝑦 𝑙cos𝜃 𝑎cos𝜙

(4)

𝑚 𝑙𝜃 𝑎𝜙 𝑠𝜃 0𝑠 𝑚𝑔

xに関する運動方程式から，

yに関する運動方程式から，

両式より，𝑙𝜃 𝑎𝜙 𝑔𝜃 0(5) 𝑎2 𝜙 𝑔 𝜙 𝜃 0

S2(6)

𝑙𝜔 𝑔 𝐴 𝑎𝜔 𝐵 0(4)の解答より

𝑔𝐴 𝑎2 𝜔 𝑔 𝐵 0(5)の解答より

が得られ，行列を用いて表現すると，

𝑙𝜔 𝑔 𝑎𝜔𝑔 𝑎2 𝜔 𝑔 0

𝑙𝜔 𝑔 𝑎𝜔𝑔 𝑎2 𝜔 𝑔 𝐴𝐵 0となる．これが成立するためには，第一項の行列式について

が成立する必要がある．この行列式より，ωが満たすべき数式は下記の通りになる．𝑙𝜔 𝑔 𝑎2 𝜔 𝑔 𝑎𝑔𝜔 0

ある1自由度の質点ばね系の自由振動について，質量のみを変化させ自由振動の周期を半分にするには，どのように変化させればよいか．

Q1:

𝑚𝑥 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 0より，固有振動数は 𝑝 [rad/s]

周期は 𝑇 2𝜋 [s]

質量を𝑚 → 𝑚 として周期𝑇が半分となる時， 𝑇 2𝜋 / 2𝜋 [s]

このとき 𝑚′ となることから，質量を1/4倍すればよい．

Exercise of mechanical vibration

Q2: Consider the following car suspension in which L1 = 0.3 m andL2 = 0.6 m. The coil spring has a spring constant of 36,000 N/mand the car weight associated with that wheel is 3,500 N.Determine the suspension’s natural frequency and period forvertical motion.

L1

L2

WheelUpper control arm

Lower control arm𝑚

L1

L2

系は右図のように表すことができる．これはQ1 (10)と同様の系であり，運動方程式，固有振動数も同じである．

𝑝 .. .⁄ ≅ 5.0 [rad/s] 𝑇 ≅ 1.3 [s]

Q3: Figure 1 shows a 1‐DOF cart system at the equilibrium state. Asshown in Fig. 2, the cart is released from rest at the position of𝑥 0 𝑥 , and then the free vibration is started. Solve theinstantaneous velocity of the cart when it collides with thewall at 𝑥 𝑙.

𝑥 0 𝑥𝑘 𝑚

𝑥 𝑡

𝑘 𝑚 𝑙𝑥

Fig. 1

Fig. 2

𝑥 0 0𝑚𝑥 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 0𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝑝𝑡 𝐵 cos 𝑝𝑡𝑥 𝑡 𝐴𝑝 cos 𝑝𝑡 𝐵𝑝 sin 𝑝𝑡𝑥 0 𝐵 𝑥 𝑥 𝑡 𝑥 cos 𝑝𝑡𝑥 𝑡 𝑥 𝑝 sin 𝑝𝑡𝑝 𝑘 𝑚⁄𝑥 0 𝐴𝑝 0

𝑥 𝑡′ 𝑥 cos 𝑝𝑡 𝑙𝑥 𝑡′ 𝑥 𝑝 sin 𝑝𝑡′ 𝑥 𝑝 1 cos 𝑝𝑡′

∴ cos 𝑝𝑡 𝑙𝑥𝑥 𝑘𝑚 1 𝑙𝑥

時刻 𝑡′ に壁と衝突するとき

𝑘𝑚 𝑥 𝑙

Q4: 台車Aが台車Bと一体になって一定速度𝑣 で移動している．台車Bを急停止させた時刻を𝑡 0として，台車Aの運動𝑥 𝑡を記述せよ．

𝑥 𝑡 𝑘𝑘 𝑚台車B

台車A

※急停止させる前の台車Aは，台車Bに対して相対的に停止しているものとし，台車Aの変位の原点は台車Bを停止させた時点での台車Aの位置とする．

𝑣𝑥 0 0𝑥 0 𝑣 𝑚𝑥 𝑡 𝑘 𝑘 𝑥 𝑡 0𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝑝𝑡 𝐵 cos 𝑝𝑡𝑥 𝑡 𝐴𝑝 cos 𝑝𝑡 𝐵𝑝 sin 𝑝𝑡𝑥 0 𝐵 0

𝑥 𝑡 𝑣𝑝 sin 𝑝𝑡𝑝 𝑘 𝑘𝑚

𝑥 0 𝐴𝑝 𝑣 𝑣 𝑚𝑘 𝑘 sin 𝑘 𝑘𝑚 𝑡

𝑥 0 𝑥𝑥 0 𝑣

(1) 

(2) 

Q5：

𝑚𝑥 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 0 𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝑝𝑡 𝐵 cos 𝑝𝑡𝑥 𝑡 𝐴𝑝 cos 𝑝𝑡 𝐵𝑝 sin 𝑝𝑡𝑥 0 𝐵 𝑥𝑥 0 𝐴𝑝 𝑣𝑝 𝑘 𝑚⁄ 𝑥 𝑡 sin 𝑝𝑡 𝑥 cos 𝑝𝑡𝑥 𝑣𝑝 cos 𝑝𝑡 tan 𝑣𝑥 𝑝𝑣 0より，𝑥 𝑡 𝑥 cos 𝑝𝑡 tan ， 𝑥 𝑡 𝑥 𝑝 sin 𝑝𝑡 tan最大変位と最大速度の大きさはそれぞれ 𝑥 𝑥 ， 𝑣 𝑥 𝑝よって， 𝑇 𝑚𝑣 𝑘𝑥 𝑈 𝑘𝑥 𝑘𝑥

𝑥 𝑥 ， 𝑣 𝑝 𝑥 𝑇 12 𝑚𝑣 10𝑈 12 𝑘𝑥 10

Q6‐1:

𝑚𝑚

First 50 m the body is in free fall.

After 50 m the spring starts taking effect.

𝑚The equation of motion is𝑚𝑥 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 0Organizing the coefficients as the standard form: 𝑥 𝑡 𝑘𝑚 𝑥 𝑡 0 𝑝 𝑘𝑚

ℎ = 50 m

Q6‐2: 12 𝑚𝑣 𝑚𝑔ℎ𝑣 2𝑔ℎ → 31.32 m/s

Q6‐3: 12 𝑚𝑣 𝑚𝑔𝑥max 12 𝑘𝑥𝑥 , 5.72, ‐5.13 mMaximum displacement is h 𝑥 55.72 m.

Q7‐1: 𝑘𝛿 𝑚𝑔 0 𝛿 𝑚𝑔𝑘𝛿 will cause spring and gravitational potential energy as follows: 𝑉 𝑚𝑔𝛿𝑉 12 𝑘𝛿From the principle of energy conservation,

𝑚Q7‐2:

12 𝑘𝛿 𝑚𝑔𝛿 12 𝑚𝑣 12 k 𝛿 𝐴 𝑚𝑔 𝛿 𝐴𝑣 𝐴𝜔𝑥 𝐴Left‐hand: 釣り合いの位置（x = 0）のときの位置エネルギーと運動エネルギーの和

Right‐hand: ばねが伸び切った位置（x = xmax = A）での位置エネルギーの和

Q7‐2: Cont.

Q11‐1 より， 𝑘𝛿 𝑚𝑔𝛿 0．また，静止位置での釣り合いより，𝑘𝛿 𝑚𝑔 0 であることを利用する．

両辺は，

Left‐hand:  𝑚𝑣Right‐hand:  𝑘𝑥となる．𝑥 𝐴cos𝜔 𝑡と仮定すると，𝑥 𝐴, 𝑣 𝐴𝜔となる．結果として，𝜔 となる．

R1: For each system, build the equation of motion and solve the natural angular frequency.

(1) (2)

Exercise of mechanical vibration

𝑚𝑥 𝑡 𝑘 𝑘𝑘 𝑘 𝑥 𝑡 0 𝑚𝑥 𝑡 𝑘 𝑘 𝑥 𝑡 0𝑝 𝑘 𝑘𝑚 𝑘 𝑘 𝑝 𝑘 𝑘𝑚

𝐹 𝑘 𝑘𝑘 𝑘 𝑥 𝑡

𝐹

𝐹 𝐹 𝐹 𝑘 𝑘 𝑥 𝑡

𝐹𝐹

(3) (4)

𝜃 𝑚𝜃Deflection of the spring is small enough such that θ is approximated to be constant.

𝐹

𝑚𝑥 𝑡 𝑘 𝑘 𝑥 𝑡 0𝑝 𝑘 𝑘𝑚

𝐹 𝐹 𝐹 𝑘 𝑘 𝑥 𝑡𝑚𝑥 𝑡 𝑘 cos 𝜃 𝑥 𝑡 0

𝑝 𝑘 cos 𝜃𝑚

𝐹 𝑘𝑥 cos 𝜃𝑚𝑥 𝑡 𝐹 cos 𝜃

𝐹 𝐹

(5)

𝑚

(6)

𝐹2𝐹

𝐹

ばねが𝑥′ 𝑡 伸びる時

おもりの降下量 𝑥 𝑡 2𝑥′ 𝑡ばねの力 2 F 𝑘𝑥′ 𝑡

𝑚𝑥 𝑡 𝑘4 𝑥 𝑡 0 𝑝 12 𝑘𝑚𝑚𝑥 𝑡 F 14 𝑘𝑥 𝑡

𝐹12 𝐹 12 𝐹

ばねが𝑥′ 𝑡 伸びる時

おもりの降下量 𝑥 𝑡 𝑥′ 𝑡ばねの力 F 𝑘𝑥′ 𝑡

𝑚𝑥 𝑡 4𝑘𝑥 𝑡 0 𝑝 2 𝑘𝑚𝑚𝑥 𝑡 F 4𝑘𝑥 𝑡

(7) (8) 𝑅 𝑟ばね1が𝑥 ，ばね2が𝑥 伸びる時

おもりの降下量 𝑥 𝑡 𝑥 2𝑥ばね1の力 F 𝑘 𝑥

𝑚𝑥 𝑡 𝑘 𝑘4𝑘 𝑘 𝑥 𝑡 0𝑚𝑥 𝑡 F 𝑘 𝑘4𝑘 𝑘 𝑥 𝑡

𝐹2𝐹

𝐹

ばね2の力 2 F 𝑘 𝑥①

②

③

②，③を①に代入 𝑥 𝑡 𝐹𝑘 4 𝐹k𝑝 𝑘 𝑘4𝑘 𝑘 𝑚

𝐹𝐹′

𝑥 𝑡 𝑅𝑟 𝑥 𝑡F′ 𝑘𝑥 𝑡F 𝑅𝑟 𝐹′𝑚𝑥 𝑡 F 𝑅𝑟 𝑘𝑥 𝑡𝑚𝑥 𝑡 𝑅𝑟 𝑘𝑥 𝑡 0 𝑝 𝑅𝑟 𝑘𝑚

(9)

Assume that the deflection is small, and tension of the spring is constant.

𝑓

𝑥 𝑡𝑙

𝑙 ≅ 𝑙𝑓

𝜃台車が𝑥 𝑡 下がる時

張力の鉛直方向成分 𝑓 𝑓 sin 𝜃

𝑚𝑥 𝑡 𝑓𝑙 𝑥 𝑡 0𝑚𝑥 𝑡 𝑓 𝑓𝑙 𝑥 𝑡

振動変位微小より sin 𝜃 𝑥 𝑡𝑙′ ≅ 𝑥 𝑡𝑙𝑝 𝑓𝑚𝑙

𝑓

The weight of the stick is negligible and θ(t) is small.

(10)𝐹′

𝐹𝑥′ 𝑡

𝑥 𝑡𝜃回転する時，ばねが𝑥′ 𝑡 伸びる

ばねの伸び 𝑥′ 𝑡 𝑙 sin 𝜃 ≅ 𝑙 𝜃ばねの力 F′ 𝑘𝑥 𝑘𝑙 𝜃

𝑚𝑥 𝑡 F より

𝑝 𝑙𝑙 𝑘𝑚𝜃回転する時，おもりが𝑥 𝑡 下がる

おもりの降下量 𝑥 𝑡 𝑙 sin 𝜃 ≅ 𝑙 𝜃おもりにかかる力 F 𝑙 𝑙⁄ 𝐹′ 𝑘𝜃

𝑚𝑙 𝜃 𝑡 𝑙𝑙 𝑘𝜃 𝑡 0𝑚𝜃 𝑡 𝑙𝑙 𝑘𝜃 𝑡 0

R3‐1‐1:

𝑚𝑔𝑚𝑔sin𝜃The force component to affect the rotational movement of the body is 𝑚𝑔sin𝜃.

𝑚𝑅𝜃 𝑚𝑔sin𝜃 0

𝜃 𝑔𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃 0𝑠𝑖𝑛𝜃~𝜃 𝜃 𝑔𝑅 𝜃 0 𝜔 𝑔𝑅R3‐1‐2:

R3‐2‐1:

𝑇 𝑉 𝑇 𝑉

𝑉 𝑚𝑔 𝑅 𝑅cos𝜃 𝑅𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃~1 𝜃2𝑉 𝑚𝑔𝑅 𝜃2𝑇 12 𝑚𝑣

Potential energy is represented by

Kinetic energy can be represented by𝑣 𝑅𝜃𝑇 12 𝑚 𝑅𝜃

R3‐2‐2: 𝑚𝑔𝑅 𝐴2 12 𝑚 𝑅𝐴𝜔 𝜔 𝑔𝑅

• どんな物体にも，質量と剛性で決定される固有振動数がある．ゴングが鐘を鳴らすとき，鐘は固有周波数として知られる，特徴的な周波数で鳴る．ゴングで打ち付ける現象は強制振動である一方，ベルが鳴る現象は自由振動である．固有周波数を見つける簡単な方法がある．ハンマーを使って，振動センサーが取り付けられた物体を叩く．センサーで測定された支配的な周波数が，その物体の固有周波数である．

A: Translate the following paragraph about natural frequency into Japanese.

B: Translate the following paragraph about natural frequency into Japanese.

• あるばね‐質量系を考えるとき，2種類の等式から同じ結論に達する． 一つは， 𝑚𝑥 𝑘𝑥 0で表される運動方程式である．もう一つは，エネルギー保存の法則に基づいており，12 𝑚𝑣 12 𝑘𝑥である．これら2種類の等式について，𝜔 𝑘/𝑚 が成立しなければならない．これは，自由振動しているとき，この系は𝑘/𝑚 rad/s でのみ振動し得ることを意味する．