Examen-Robotica-Final (1)

7/25/2019 Examen-Robotica-Final (1)

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UNIVERSIDAD AUTNOMA DEYUCATN


2/14

Facultad de Ingeniera

Prier !arcial"R#$%tica I&

PROFESOR'M(C( CRU)*IM+NE),RAU-IO*OS+

Entrega gru!al

Fec.a de entrega'/0 de *uni# de /123

Universidad Autnoma de

Yucatn Ingeniera en

Mecatrnica Robtica I


3/14

Nombre :

Fecha :

NOTA' Ante4 de c#nte4tar5 lee cuidad#4aente l# 6ue 4e te !ide(

1. !a con"iguracin de# $UMA %&& con #os sistemas coordenados se muestra en #a

siguiente "igura. 'eterminar si se ha seguido e# a#goritmo de 'enavit(artenberg.

'etermine #os )armetros cinemticos estructura#es* com)#ete tab#a )ara e#

mani)u#ador + ha##e su mode#o cinemtico inverso.


4/14

A )artir de# an#isis de #os sistemas de re"erencia anteriores + de #a dis)osicin de #os

mismos en sus e,es x + y * )rinci)a#mente* se determina -ue )ara e#estab#ecimiento de a#gunos de estos sistemas no se ha seguido e# a#goritmo 'enavit(artenberger

on base en #os nuevos sistemas de re"erencia )ro)uestos* es )osib#e determinar #a tab#a

'enavit (artenver

i ai i d i /i)o

1 1

& & & R

0 2

& 90 & R

3 a

2& d

3R

2 4

a3

90 d4

R

3 5

& 90 & R

% 6

& 90 & R

!a ecuacin de trans"ormacin T de# robot $UMA estar dada )or:

T=A 60=A 1

0 A 2

1 A 3

2 A4

3 A 5

4 A6

5

'onde #as matrices de cada es#abon ser


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A1

0=[c

1 s

1

s 1 c 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1] A 12=[

c 2

s 2

0 0

0 0

1 0

s 1

c 2

0 0

0 0

0 1] A 23=[

c 3 s 3s

3 c

3

0 a20 0

0 0

0 0

1 d30 1

]A

3

4=[ c

4 s

4

0 0

0 a3

1 d4

s 4 c 40 0

0 0

0 1] A 45=[

c 5

s 5

0 0

0 0

1 0s

5 c

5

0 0

0 0

0 1]

A5

6=[ c

6 s

6

0 0

0 0

1 0

s 6

c 6

0 0

0 0

0 1]

4ntonces tenemos -ue #a matri5 de trans"ormacin nos -ueda

T60 =A 6

0=[r

11 r

12 r

13 px

r21

r22

r23

pyr

31 r

32 r

33 pz

0 0 0 1]

'onde:

( 6)s(

4)+c (

4)(s

6)

( 5)c c

6s (2+3 ) s (5)+c (2+3)(c (4 ) c (5 )(c(6)s ( 4)s (6)))

c + c 1

r11=s (1)

r21=c (6)s(1)s ( 2+3 ) s (5 )c (1)(c ( 5 ) c ( 6 ) s ( 4 )+c ( 4 ) s ( 6 ))+c (2+3 ) s( 1)(c ( 4)c (5 )c (6r31=c (6)(c ( 4 ) c (5 ) s ( 2+3 )+c (2+3 ) s (5 ))+s ( 2+3 ) s(4)s (6)

2+

3

s ()s(5)s( 6)c (2+3)(c (6)s(4)+c (4)c (5)s( 6))r12=s(1) (c (4) c (6)c (5 ) s (4 ) s (6 ))+c (1)

r22=c (1 )(c ( 4 ) c ( 6)+c (5 ) s ( 4) s (6 ))+s ( 1)( s (2+3 ) s (5 )s( 6)c (2+3)(c (6)s(4)+c (4)cr

32=c (2+3 ) s (5 ) s ( 6 )+ s( 2+ 3)(c (6 ) s (4)+c ( 4 ) c (5 ) s (6 ))

r13

=s (1) s (4 ) s (5 )c (1) (c (5 ) s (2+ 3 )+c ( 2+ 3 ) c (4 ) s (5 )) r

23=c (1 ) s (4 ) s (5 )s (1 )(c (5 ) s (2+3 )+c (2+3 ) c (4 ) s (5 ))

r33

=c ( 2+ 3 ) c ( 5 )+c ( 4) s (2 +3 ) s (5 ) px=d 3 s (1 )+c (1 )(a2 c (2 )+a3 c (2+3 )d4 s (2+3 )) py=d3 c (1)+s (1 )(a2c (2)+a3 c (2+3 )d4s (2+3 ))


6/14

2

2+3

pz=d4 c ( 2+ 3 )a2 s

4n base a #a matri5 de trans"ormacin * )rocederemos a ca#cu#ar #a cinemtica inversa* se )one#a de)endencia 1 de# #ado i5-uierdo de #a ecuacin:

(A10)1T=A 2

1 A 3

2 A 4

3 A 5

4 A6

5

[ c (

1) s(

1) 0 0

s(1) c( 1) 0 00 0 1 0

0 0 0 1][

r11

r12

r13

pxr

21 r

22 r

23 py

r31

r32

r33

pz0 0 0 1

]= A61(A2

1

)1

(A 10

)1

T=A 32

A 43

A54

A65

(A32)1 (A 2

1)1 (A 10)1 T=A 4

3 A5

4 A 6

5

+ as sucesivamente.

'e #as ecuaciones de )osicin se uti#i5a una sim)#e t6cnica en #a -ue se mu#ti)#ica cada #ado )or

una inversa -ue es cada es#abn de# robot )ara as encontrar #as variab#es q .

'e #a )rimera mu#ti)#icacin de es#abones* )odemos obtener #os e#ementos 70*28 de ambos #ados de

#a ecaucin* as obtenemos:

s 1Px +c 1Py=d 3

$ara reso#ver estas ecuaciones usamos identidades trigonom6tricas

Px=c Py=s

=Px2+Py

2

=Atan 2(Px , Py)9ustitu+endo

c 1 ss 1 c=d 3

/rignom6tricamente

s ( 1 )=d 3

d 3, Px2+Py

2d 32

1=Atan 2 (Px , Py )Atan 2

/enemos ahora #as )osib#es so#uciones )ara 1 #o -ue nos )ermite tomar ahora e#ementos de

#a mu#ti)#icacin 71*28 + 7*28 e igua#amos ambos #ados:

C1Px+S1Py=a3 C23d4 S23+a2 C2 ,Pz=a3 S23+d 4 C23+a2 S2


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9i e#evamos a# cuadrado estas ecuaciones con #a )rimera -ue obtuvimos + #as sumamos

obtenemos:

a3

C3d

4S

3=K

K=Px

2+Py2+Pz

2a22a3

2d32d4

2

2 a2

Ahora -ue hemos removido 1 * )odemos seguir reso#viendo )ara ca#cu#ar #os siguientes

angu#os* entonces obtenemos -ue:

3=Atan 2 (a3 , d4 )Atan 2 (k ,a32 +d4 2K2)Ahora vo#vamos a tener en cuenta #a matri5 de trans"ormacin* )odemos escribir de# #ado

i5-uierdo en "uncin de #o -ue conocemos + 2 :

[

c (1)c (

2+

3) s (

1)c(

2+

3) s (

2+

3) a

2c (

3)

c (1) s(

2+

3) s(

2+

3) s(

1) c(

2+

3) a

2s(

3)

s (1) c (

1) 1 d

3

0 0 0 1

] [

r 11 r 12 r13 pxr

21 r

22 r

23 py

r31

r32

r33

pz0 0 0 1

]= A

6

1

/omamos #os e#ementos 71*28 + 70*28 + #os igua#amos con sus corres)ondientes + obtenemos:

C1

C23

Px +S1 C23PyS23Pza2C3=a3C

1S

23PxS 1 S23P yC23Pz+ a2 S3=d4

4stas ecuaciones )ueden ser resue#tas simu#taneamente )ara c (2+3) + s (2+3)

a(3a2 C3)Pz+(C1Px+S1Py )(a2 S3d4)

Pz2

+(C1Px+S1Py)2

S23=

a

(2 S3d4)Pz+(a3+a2C3)(C1Px+S1Py)

Pz2+(C1Px+S1Py)

2

C23=

!os denominadores son igua#es + )ositivos* )or #o tanto reso#vemos )ara #a suma de 2y 3

23=Atan2

((a3a2C3 )Pz(C1Px+S1Py ) (d 4a2 S3 ) , (a2 S3d4 )Pz(a3+a2C3)(C1Px + S1Py ))bteniendo #os va#ores resu#tan cuatro )osib#es va#ores de 2 +3 debido a #ascombinaciones de 2y 3 )or #o tanto se obtienen:

2=

23

3

9iem)re + cuando

s ( 5) 0

)odremos reso#ver )ara 4 de #a siguiente manera:

4

=Atan2(r13

S1

+r23

C1

,r13

C1

C23

r23

S1

C23

+r33

S23

)


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4 se e#ige arbitrariamente + cuando ca#cu#emos 6 * se ca#cu#a acorde con e##o.

Ahora )odemos escribir #a ecuacion

[ c (

1) s (

1) 0 0

s(1) c( 1) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

][r

11 r

12 r

13 px

r21

r22

r23

py

r31 r32 r33 pz0 0 0 1

]= A6

1

'e modo -ue todo e# #ado i5-uierdo sea una "uncin so#amente de variab#es conocidas + 4

(A40)1 T=A 5

4 A 6

5

Igua#ando #os e#ementos 71*8 + 7*8 de esta mu#ti)#icacin obtenemos

r13 (C1 S23 )+r23(S 1 S23 )+r33(C23 )=C5

$or #o tanto )odemos reso#ver )ara 5

5=Atan 2 (S5 ,C5 )

4n donde

s ( 5)

+

c ( 5)

se obtienen mediante #a ecuacin

r13 (C1 S23 )+r23(S 1 S23 )+r33(C23 )=C5

ontinuando #as mu#ti)#icaciones de #a matri5:

(A50)1 T=A 6

5

Igua#ando #os e#ementos de #a matri5 7*18 + 71*18 de ambos #ados de #a ecuacin* obtenemos:

6=Atan 2(S6 , C6)

4n donde

S6=r

11 (C1 C23 S4S1 C4)r21(S1 C23 S4+C1 C4 )+r31 ( S23 C4 )21( ( S1 C23 C4C1 S 4 ) C5S1 S23)r31 (S23 C4 C5+C23 S5 )

C6=r11 ((C1C23 C4+S1 S4 ) C5C1 S23 S 5 )+r

$ara cada una de #as cuatro so#uciones ca#cu#adas antes* obtenemos #a so#ucin inversa mediante:

4=

4+180

5=

5

'6=

6+180


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0. $ara e# robot ti)o 9ARA -ue se muestra en #a "igura:

a8 Asigne #os sistemas coordenadas basndose en #a re)resentacin o a#goritmo

'enavit(artenberg.

b8 4scriba #a ecuacin de trans"ormacin.

a8 !os sistemas de coordenadas )ro)uestos de acuerdo con e# a#goritmo 'enavit

(artenberg )ara #os sistemas de re"erencia de cada es#abn de# robot se muestran en #a

siguiente "igura:


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A )artir de #os sistemas )ro)uestos* se determina #a tab#a 'enavit(artenberg de# robot

9ARA:

i ai i d i /i)o

1 1

& & d1

R

0 290 d

3& d

2R

3 +90 d4 & & R2 & & 180 d

5$

b8 !a ecuacin de trans"ormacin T de# robot 9ARA estar dada )or:

T=A 40=A1

0 A2

1 A3

2 A 4

3

9iendo #as matrices )ara cada trans"ormacin:

A1

0=

[c

1 s

1

s 1 c 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 d10 1 ]

A3

2=[c

3+ 90 s

3+ 90

s 3 +90 c 3+90 0 d

4

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1]

A2

1=

[c

290 s

290

s 290 c 290

0 d3

0 0

0 0

0 0

1 d20 1 ]

A4

3=[1 0

0 c 180

0 0

s 180 00 s 180

0 0

c 180 d50 1

]$or tanto* #a T ser:


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2. Un bra5o robtico con grados de #ibertad ha sido dise;ado )ara a)#icar )intura a

una )ared como se muestra en #a "igura.

a8 Asigne #os sistemas coordinados basndose en #a )resentacin '(.

b8 !#ene #a tab#a de )armetros

c8 (a##e e# mode#o cinemtico inverso.

a8 !os sistemas de coordenadas )ro)uestos de acuerdo con e# a#goritmo 'enavit(artenberg

)ara #os sistemas de re"erencia de cada es#abn de# robot se muestran en #a siguiente "igura:

b8 A )artir de #os sistemas )ro)uestos* se determina #a tab#a 'enavit(artenberg de# robot

cartesiano:

i ai i d i /i)o

1 1

& & l3

R

0 & & & l4

$

& l5

90 & $( 90 & & l

6$


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c8 A )artir de #a tab#a '( anterior* es )osib#e obtener #as matrices A + T -ue

)ermitirn determinar #a cinemtica inversa de# robot cartesiano:

T=AH

0 =A 10

A21

A32

AH

3

9iendo #as matrices )ara cada trans"ormacin:

A1

0=[c

1 s

1

s 1

c 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 l30 1

]A

3

2=

[1 0

0 c(90 )0 l

5

s (90 ) 0

0 s (90 )0 0

c (90 ) 00 1

]

A2

1=[1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 l40 1

]A H

3 =

[c 90 s 90s 90 c 90

0 0

0 0

0 0

0 0

1 l6

0 1

]


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onsiderando #a matri5 T :

A 40

=

[nx xny y

ax pxay py

nz z0 0

az pz0 1 ]A)#icamos #a matri5 inversa (A10)1 sobre /

(A10)1 T=A 2

1 A

3

2 A H

3

(A10)1

T=[c1 nx+c1 ny c1 x+s1 yc

1nyc1 nx c1 ys1 x

c1 ax+s1 ay c1px+s1pyc

1ays1 ax c1pys1px

nz z0 0

az pz0 1 ]=[

0 10 0

0 l51 l

6

1 00 0

0 l 40 1 ]

/omando #os e#ementos 71*28 + 70*28 se )rocede a buscar 1 :

c1px+ s1py=l5

c1pys1px=l6

9e dividen ambas ecuaciones entre c1 )ara obtener tan1

px + tan1py =l

5

c1

pytan1px=l

6

c1

Ahora dividimos una entre otra )ara obtener:

(px+tan 1py )pytan1px

=l

5

l6


14/14

l5

l6=K

(px+tan 1py )pytan1px

=K

9i arreg#amos #a ecuacin de ta# "orma -ue des)e,emos tan1 )odemos ha##ar 1 :

tan1(pyk +px )=(py

px

K)

tan1(pypxK)(pyk+px)

1=arctan ((pypxK)

(pyk +px )) ,

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