Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA

8/9/2019 Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA

http://slidepdf.com/reader/full/evaluare-nationala-2014-editura-caba 1/301

e d i ţ i e d i g i t a l ă

Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu

Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc

Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru

Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu

Dana Radu • Marius Farcaş

Evaluarea naţională 2014MATEMATICĂ

ditura

Caba

matematician

Buburuza

breviar teoretic

12 teste recapitulative cuprinzând

materia din clasele V – VII

16 teste pentru aprofundarea materiei

din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I)

variante de probe scrise date la examene

în perioada 2010 – 2013

70 teste pentru recapitulare nală

răspunsuri, rezolvări, bareme

103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a



MATEMATICĂ pentru Evaluarea Naţională 2014



e d i ţ i e d i g i t a l ă

Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu

Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc

Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru

Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu

Dana Radu • Marius Farcaş

Evaluarea naţională 2014MATEMATICĂ

ditura

Caba

matematician

Buburuza

breviar teoretic

12 teste recapitulative cuprinzând

materia din clasele V – VII

16 teste pentru aprofundarea materiei

din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I)

variante de probe scrise date la examene

în perioada 2010 – 2013

70 teste pentru recapitulare nală

răspunsuri, rezolvări, bareme

103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a



© Copyright 2014, 2013, 2012, 2011, 2010Editura CABA

Toate drepturile sunt rezervate. Nicioparte din aceastã carte nu poate fireprodusã sau transmisã în orice formãsau prin orice mijloace fãrã acordulprealabil scris al Editurii CABA.

Publicat: ianuarie 2014

Tehnoredactare:

Cãtãlin GeorgescuOana Georgescu,

Cristian Stănescu

Copertã:

Alina Păun

Colecþia DidacticaSeria Examene

e-Evaluare Naţională 2014

e-00017

Informaţii şi comenzi: Editura CABA

Telefon/fax: 021/327.32.44Telefon fix: 031/431.11.18

Telefon mobil: 0723.563.570

0747.048.670

e-mail: [email protected]

site internet: www.edituracaba.ro

adresă poştală: OP 39-CP D4, sector 2,

cod 021711 Bucureşti

mailto:[email protected]

http://www.edituracaba.ro/

http://www.edituracaba.ro/

mailto:[email protected]



Cuprins

PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională

pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014 ............................ 6CALENDARUL de desfăşurare a Evaluării Naţionale 2014 .................10

BREVIAR TEORETIC ...........................................................................11

Secţiunea 1 Recapitularea materiei din

clasele V-VII ................................................54 Testele 1-12 (enunţuri) ............................... 54

Secţiunea 2 Recapitularea materiei din

clasele V-VII şi a VIII-a semestrul I ........... 71

Testele 13-28 (enunţuri) ............................ 71

Secţiunea 3 Recapitulare finală .................................... 94

Testele 29-98 (enunţuri) ............................ 94

Secţiunea 4 Variante de probe scrise date laexamene în perioada 2010 –2013.........179

Testele 99-103 (enunţuri) ......................... 179

Răspunsuri, rezolvări, bareme ...................................... 188

Secţiunea 1 ................................................ 188

Secţiunea 2 ................................................ 205

Secţiunea 3

................................................ 225

Secţiunea 4 ................................................ 297



6

PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014

I. STATUTUL DISCIPLINEI Pentru anul şcolar 2013/2014, în cadrul Evaluării Naţionale pentru elevii clasei

a VIII-a, matematica are statut de disciplină obligatorie. Testul la matematică este o probă scrisă cu durata de 2 ore.

II. COMPETENŢE DE EVALUAT1. Utilizarea noţiunii de număr real şi a relaţiilor dintre mulţimile de numere studiate2. Identicarea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale3. Aplicarea operaţiilor cu numere reale în calcule variate4. Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor, proporţiilor5. Identicarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a

sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut6. Aplicarea în rezolvarea problemelor a elementelor de logică şi de teoria mulţimilor7. Utilizarea elementelor de calcul algebric8. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe

funcţionale sau calculul probabilităţilor9. Aplicarea teoriei specice funcţiei de forma f : → , f ( x ) = ax + b, a, b є

10. Utilizarea proprietăţilor gurilor geometrice şi a corpurilor geometrice în problemede demonstraţie si de calcul

11. Reprezentarea, prin desen, a unor guri geometrice şi a unor corpuri geometrice utilizând instrumente geometrice12. Transpunerea în limbaj matematic a enunţului unei situaţii-problemă13. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unei probleme practice cu referire la gurile geometrice şi la unităţile de măsură14. Investigarea valorii de adevăr a unor enunţuri şi construirea unor generalizări15. Redactarea coerentă şi completă a soluţiei unei probleme

III. CONŢINUTURI

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ

Mulţimi

Mulţimi: relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); submulţime; operaţii cu mulţimi(reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian). Mulţimi nite, mulţimi innite.Mulţimile: , , , , \ , ⊂ ⊂ ⊂

Scrierea numerelor naturale în baza zece.Propoziţii adevărate şi propoziţii false.



7

Împărţirea cu rest a numerelor naturale. Divizibilitatea în : deniţie, divizor,multiplu; proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate; criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3;numere prime şi numere compuse; numere pare şi numere impare; numere prime întreele; descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime; cel maimare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun.

Divizibilitatea în : deniţie, divizor, multiplu. Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezentări echivalente ale fracţiilor;fracţii ireductibile. Scrierea unui număr raţional sub formă de fracţie ordinară sau fracţie zecimală. Reprezentarea pe axă a numerelor reale. Compararea şi ordonarea numerelor reale Valoarea absolută (modulul), partea întreaga şi partea fracţionară a unui număr real.Opusul şi inversul unui număr real. Rotunjirea şi aproximarea unui număr real. Intervale în : deniţie, repezentare pe axă. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect; algoritmul de extragere a

rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; scrierea unui număr real pozitiv ca radical dinpătratul său. Reguli de calcul cu radicali. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilorde sub radical. Raţionalizarea numitorului de forma ,a b a b± , cu a є *, b є . Operaţii cunumere reale: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponentnumăr întreg. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor. Factorul comun. Media aritmetică şi media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive.

Media geometrică a două numere reale pozitive.

Rapoarte şi proporţii: raport; proprietatea fundamentală a propoţiilor; proporţiiderivate; aarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie; mărimi direct proporţionaleşi mărimi invers proporţionale; regula de trei simplă. Procente: p% dintr-un număr real; aarea unui număr raţional când cunoaştem p%

din el; aarea raportului procentual. Rezolvarea problemelor în care intervin procente. Calculul probabilităţii de realizare a unui eveniment.

Calcul algebric Calcul cu numere reprezentate prin litere: adunare, scadere, înmulţire, împarţire,

ridicarea la putere cu exponent număr întreg. Formulele de calcul prescurtat: ( )( )( )

( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

a b a ab b

a b a b a b

a b c a b c ab bc ac

± = ± +

+ − = −

+ + = + + + + +

Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelor de calculprescurtat; gruparea termenilor şi metode combinate. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Simplicare.Operaţii cu rapoarte (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu expo-

nent număr întreg).



8

Funcţii Noţiunea de funcţie. Funcţii denite pe mulţimi nite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formu-

le; gracul unei funcţii, reprezentarea geometrică a gracului. Funcţii de tipul f : A → , f ( x ) = ax + b, a, b є , unde A = sau o mulţime nită;

reprezentarea geometrică a gracului funcţiei f ; interpretare geometrică.

Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a є *, b є . Ecuaţii echivalente.

Rezolvarea în x a sistemelor de ecuaţii de forma:

1 1 1

1 2 1 2 1 2

2 2 2

, , , , , ,a x b y c

a a b b c ca x b y c

+ =∈

+ =

Rezolvarea în a inecuaţiilor de forma ax + b ≤ 0, (<, ≥, >), unde a є *, b є .

Probleme cu caracter aplicativ care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi alsistemelor de ecuaţii.

Utilizarea metodelor aritmetică sau algebrică pentru rezolvarea unor probleme.

GEOMETRIE

Figuri şi corpuri geometrice1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul • poziţii relative, clasicare; convenţii de desen şi de notaţii • paralelism şi perpendicularitate în plan şi în spaţiu: axioma paralelelor, unghiuri

cu laturile respectiv paralele; unghiul a două drepte în spaţiu; drepteperpendiculare; dreapta perpendiculară pe un plan;

• distanţa de la un punct la un plan; plane paralele; distanţa dintre două planeparalele;

• teorema celor trei perpendiculare; distanţa de la un punct la o dreaptă; • proiecţia ortogonală a unui punct, segment sau a unei drepte pe un plan; • unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment; • unghiul dietru; unghiul plan corespunzător unui unghi dietru; măsura unghiului

a două plane; plane perpendiculare; • simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan. • calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor

studiate.

2. Triunghiul • perimetrul şi aria; • suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; • unghi exterior unui triunghi;

• linii importante în triunghi şi concurenţa lor; • linia mijlocie în triunghi;

• triunghiul isoscel si triunghiul echilateral - proprietăţi;



9

• criteriile de congruenţă a triunghiurilor; • triunghiul dreptunghic-teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora

şi reciproca ei; sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta; rezolvarea triunghiuluidreptunghic;

• teorema lui Thales şi reciproca ei; • teorema fundamentală a asemănării • triunghiuri asemenea – criteriile de asemănare a triunghiurilor.

3. Patrulaterul convex

• perimetrul şi aria (paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul); • suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex; • paralelogramul – proprietăţi referitoare la laturi, unghiuri, diagonale; • paralelograme particulare (dreptunghi, romb, pătrat) – proprietăţi; • trapezul; linia mijlocie în trapez; • trapeze particulare (isoscel şi dreptunghic) – proprietăţi.

4. Cercul • centru, rază, diametru, disc; • unghi la centru; • coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente şi

reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietateaarcelor cuprinse între două coarde paralele; proprietatea coardelor egaldepărtate de centru);

• unghi înscris în cerc; măsura unghiului înscris în cerc; • lungimea cercului; aria discului;

• calculul elementelor (latură, apotemă, perimetru, arie) în poligoane regulate;triunghi echilateral; pătrat.

5. Corpuri geometrice

• Paralelipipedul dreptunghic, cubul: prisma dreaptă cu baza triunghiechilateral, pătrat sau dreptunghi; piramida triunghiulară regulată, tetraedrulregulat, piramida patrulateră regulată.

• reprezentarea lor prin desen; convenţii de desen şi de notaţii; • descrierea elementelor lor (vârfuri, muchii, feţe laterale, baze, diagonale,

înălţimi);

• desfăşurări; • aria laterală, aria totală, volumul.

NOTĂ:

Programa pentru Evaluarea Naţională 2014 la disciplina matematică este realizată în

conformitate cu prevederile programelor şcolare în vigoare. Subiectele pentru evaluarea

naţională din anul 2014 se vor elabora în baza prezentei programe.



11Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

BREVIAR TEORETIC

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ

MULŢIMIRelaţii între mulţimi. Mulţimi finite.

Apartenenţă Incluziune, submulţime

1 25 6

7

A

1 ∈ A

7 ∉ A

∅ ⊂ A

1 2 56 7

A B D

D ⊂

A; D

submulþime a lui A

B nu este submulþime a lui A

„∈“ — aparþine; „∉“ — nu aparþine; „⊂“ — inclus

Mulþimea vidã ∅ este submulþime a oricãrei mulþimi. Orice mulþime este inclusã în ea însãºi.Egalitatea a două mulţimi Considerăm mulţimile C şi D.

D = C

C = {6, 5}

5 ∈ C , 6 ∈ C ⇒ D ⊂ C

D5

65 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D

Mulþimile D ºi C sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte.Mulþimi finite

Exemple:

A = {1, 2, 5, 6},

B = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã,C = {0, 2, 4, 6, ..., 2012} sunt mulþimi finite.

Operaţii cu mulţimi

Reuniunea Intersecţia

A ∪ B

A B

5

6 71 2 A ∪ B = { x | x ∈ A sau x ∈ B}

A ∩ B

1 2 7

A B

5

6 A ∪ B = { x | x ∈ A ºi x ∈ B}



12 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Diferenţa Diferenţa simetrică

B \ A A \ B

A B

5

61 2 7 A \ B = { x | x ∈ A ºi x ∉ B} B \ A = { x | x ∈ B ºi x ∉ A}

A ∆ B

A B

1 2

5

6 7

A ∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A)

Produsul cartezian

(1, 7) (2, 7) (5, 7) (6, 7)

(1, 6) (2, 6) (5, 6) (6, 6)

(1, 5) (2, 5) (5, 5) (6, 5)

1 2 5 6

A × B

A

7

6

5

B

B

(5, 6) (6, 6) (7, 6)

(5, 5) (6, 5) (7, 5)

(5, 2) (6, 2) (7, 2)

(5, 1) (6, 1) (7, 1)

B × A

5 6 7

6

5

2

1

A

A × B = {( x, y) | x ∈ A ºi y ∈ B} B × A = {( y, x) | y ∈ B ºi x ∈ A}

(a, b) = (c, d )⇔def

a = c ºi b = d .

Mulţimi infinite: , , ,

= {0, 1, 2, 3, ...} * = {1, 2, 3, 4, ...}

mulþimea numerelor naturale mulþimea numerelor naturale nenule = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} * = \ {0}

mulþimea numerelor întregi mulþimea numerelor întregi nenule

=a

ba b| , *∈ ∈

* = \ {0}

mulþimea numerelor raţionale mulþimea numerelor raţionale nenule

I = 2 3 5, , , ,...−{ } Toate fracþiile infinite neperiodice sunt

mulţimea numerelor iraţionale numere raþionale. = ∪ I * = \ {0}

mulþimea numerelor reale mulþimea numerelor reale nenule




Incluziunile Ì Ì Ì

–2014 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 2014

− 3 2 p

–4,93 – 9

5

– 1

7

0,(3)13

2

7,5

\

\

\

Scrierea numerelor naturale în baza 10În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1, 2, ..., 9. De exemplu, putem scrie:

48 = 4 · 10 + 8 sau

48 = 4 · 101 + 8 · 100

526 = 5 · 100 + 2 · 10 + 6 sau

526 = 5 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100

7 342 = 7 · 1 000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 2 sau

7 342 = 7 · 103 + 3 · 102 + 4 · 101 + 2 · 100

În general, în baza 10: Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a · 10 + b, a ≠ 0, a, b ∈{0, 1, 2, ..., 9}.

Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a · 100 + b · 10 + c, a ≠ 0, a, b, c ∈{0, 1, 2, ..., 9}.

Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d ,

a ≠ 0, a, b, c, d ∈{0, 1, 2, ..., 9}.

Un numãr de m + 1 cifre se scrie:

ama

m – 1...a

1a

0 = a

m · 10m + a

m – 1 · 10m – 1 + ... + a

1 · 10 + a

0,

unde am, am – 1, am –2, ..., a1, a0 ∈{0, 1, 2, ..., 9}, am ≠ 0, m ∈ *.

Propoziţii adevărate şi propoziţii false

O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este

adevãrat sau fals, într-un anumit context.

Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr A; dacã este falsã, i se

atribuie valoarea de adevãr F.

Exemple:

propoziþia p: „3 + 5 = 8“ este adevãratã (A);

propoziþia q: „3 + 5 > 9“ este falsã (F).




Împărţirea cu rest a numerelor naturale

Pentru numere naturale:

Dacã a ∈, b ∈*,

atunci existã q ∈, r ∈ astfelîncât a = bq + r , cu 0 r < b.

Exemplu:

a = 23, b = 4

23 = 4 · 5 + 3

cât rest

Pentru numere întregi:

Dacã a ∈, b ∈*, atunci existã

q ∈, r ∈ astfel încât a = bq + r ,cu 0 r < |b|.

Exemplu:

a = – 23, b = – 4 – 23 = (– 4) · 6 + 1

cât rest

Divizibilitatea în şi

Definiţii, divizori, multipli:

În :

a divide b

a | b ⇔def

existã c ∈* astfel încât

b = a · c.

a se numeºte divizor al numãruluinatural b;

b se numeºte multiplu al numãruluinatural a.

Exemplu: 2 | 14; 7 | 14.

În :

a divide b

a | b ⇔def

existã c ∈* astfel încât

b = a · c.

a se numeºte divizor al numãruluiîntreg b;

b se numeºte multiplu al numãruluiîntreg a.

Exemplu: –2 | 14; 7 | (–14).

Divizori improprii, divizori proprii în

D e f i n i ţ i e :

Divizorii – a, –1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii.

Orice alt divizor al lui a ∈ se numeºte divizor propriu.

Exemple:

D

18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18;

D

18 = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui 18.

Numerele ±2, ±3, ±6, ±9 sunt divizori proprii în ai numãrului 18.




Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c.Fie a, b, d ∈*, m ∈.

d se numeºte divizor comun dacã d | a ºi d | b.

m se numeºte multiplu comun dacã a | m ºi b | m.

Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se

noteazã (a, b).

Cel mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se

noteazã [a, b].

Reþineþi!

(a, b) · [a, b] = a · b. Exemple: D

12 = {1, 2, 3, 6, 12}, D

18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} c.m.m.d.c.(12, 18) = 6;

M

12 = {0, 12, 24, 36, ...}, M

18 = {0, 18, 36, ...} c.m.m.m.c.[12, 18] = 36;

Verificare: (12, 18) · [12, 18] = 12 · 18.

D e f i n i ţ i i :

Numere pare, numere impare{ x | x = 2n, n ∈ } = {..., –2, 0, 2, 4, ...} mulþimea numerelor pare.{ x | x = 2n + 1, n ∈ } = {..., –1, 1, 3, ...} mulþimea numerelor impare.

Numere prime, numere compuse

p 2, p ∈, p numãr prim ⇔def

D p = {– p, –1, 1, p}.

Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse.

Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 20, 21 ...

Numere prime între ele

D e f i n i ţ i

e :

Douã numere a, b ∈* pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele.

Exemple: (2, 3) = 1; (3, 5) = 1; (5, 9) = 1.

Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere prime Exemple:

18

|

2 18 = 2 · 32 12

|

2 12 = 22 · 3 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1Observăm că:C.m.m.d.c. (12, 18) = 2 · 3 = 6; c.m.m.m.c. [12, 18] = 22 · 32 = 36.




Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în

1. a | a , ∀a ∈*.

2. 1 | a , ∀a ∈.

3. a | 0 , ∀a ∈*.

4. a | b }⇒ a = b, ∀a, b ∈*.

b | a

5. a | b }⇒ a | c, ∀a, b ∈*, c ∈.

b | c

6. a | x }⇒ a | x + y, ∀a ∈*, x, y ∈.

a | y

6'. a | x }⇒ a | x – y, ∀a ∈*, x y ∈.

a | y

7. a | x ⇒ a | xy, a ∈*, unde x, y ∈.

8. a | x ºi b | x}⇒ ab | x, unde a, b ∈*, x ∈.

(a, b) = 1

Fracţii


O pereche ordonatã de numere întregi de forma (b ≠ 0) se numeºte fracþie.a

b

Exemple: 5

4

15

10

342

39

29

3

2 581

100, , , ,

−−

.


O fracþie (b ≠ 0) se numeºte: subunitarã, dacã a < b;

echiunitarã, dacã a = b;

supraunitarã, dacã a > b

a

b


Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem = , dacã ad = bc.a

b

a

b

c

d

c

d

Acestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã.

Exemplu: 15

10

3

2

6

4, , sunt echivalente.

Amplificarea:2

3

2

6

4

)

= . Simplificarea:30

20

15

10

3

2

2 5( (

= = .

D e f i n

i ţ i e :

O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã.

Exemple: 3

2

5

6

8

7, , .





Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, 10 000 etc.) se numesc

fracþii zecimale finite.

Exemple: 543

10

3

100

49

1000

37 527, , ,

10 000.

Scrierea fracţiilor sub formă zecimală

138

10= 13,8;

7

100= 0,07;

579

1000= 0,579;

35 478

10 000= 3,5478

partea fracþionarã

partea întreagã

Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare

2,5 = 25

10; 0,34 =

34

100; 0,008 =

8

1000; 12,34567 =

1 234 567

000100.

Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite!

Exemplu: 19

150 19,00000... | 150

15 0 0,1266... =4 00

=3 001 000

900=1000

900 100 Fracþia zecimalã 0,12666... se scrie 0,12(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu

perioada 6.

Fracţii periodice simple

Exemple: 175

3= 58,(3);

48

11= 4,(36) etc.

Fracţii periodice mixte Exemple: 12,34(567) ;

parteaneperiodicã

partea periodicã

1,2(345); 1,23(45); 1,234(5); 0,32(7) etc.




Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară

0,(3) = 3

9; 0,(15) =

15

99; 0,(238) =

238

999;

2,(6) = 2 6

9 sau 2,(6) =

26 2

9

24

9

−= ;

15,(21) = 15 21

99 sau 15,(21) =

1 521 15

99

1506− =99

;

34,(872) = 34 872

999 sau 34,(872) =

34 872 34

999

34 838

999

−= .

Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.

Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară

0,2(5) = − =25 2

90

23

90; 0,12(6) = − =126 12

900

114

900;

0,3(15) =−

=315 3

990

312

990; 3,4(6) =

−=

346 34

90

312

90;

5,11(37) =−

=51137 511

9 900

50 626

9 900;

12,3(456) =−

=123 456 123

9 990

123 333

9 990.

Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.

Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă

Numere naturale

0 1 2 3

= {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}; * = {1, 2, 3, ..., n, ...};

Numere întregi

numere opuse

0 1 2 3 –1 –2 –3

= {..., – n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}; * = \ {0};

–a este opusul numãrului a.




Numere raţionale

Se numeşte număr raţional mulţimea fracţiilor echivalente cu o fracţie dată.

= a

ba b b, ,∈ ≠

0 ; reprezintă numărul raţional

0 1 2 –1 –2 3 –3

7

3

1

22

4, ,

3

6

4

8

−−

* = \ {0}; =

mm

1∈

, deci ⊂ .

b

a este inversul numãrului raþional

a

b (a, b ≠ 0);

numãr raþional sub formã fracþionarã:

6

5

25

100

2

3

2 291

990, , , ; numãr raþional sub formã zecimalã: 1,2; 0,25; 0,(6); 2,3(14). fracþii finite fracþii infinite periodice

Numere iraţionale

Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale.

Numerele – d , d , unde d nu este pãtrat perfect,sunt numere iraþionale. 0 1

2 – 221

Numere reale Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea

numerelor reale.

D e f i n i ţ i e

:

| x| = { x, dacã x 0 – x, dacã x < 0

se numeºte modulul numãrului real x.

| x| 0, oricare ar fi x ∈.

Proprietăţi x = [ x] + { x},[ x] ∈, 0 { x} < 1 Exemple: [3,27] = 3; {3,27} = 0,27;

[–3,27] = –4; {–3,27} = 0,73.

k + 1k x

{

[ x] { x}

partea întreagã a

numãrului x

partea fracþionarãa numãrului x




Compararea şi ordonarea numerelor reale

Dacã a, b ∈* ºi a < b, atuncia

n

b

n< ºi

n

a

n

b> (n ∈*).

Dacã a, b ∈+ ºi a < b, atunci:

an

< bn

(n ∈*

); a < b ;

1

a <

1

b .

Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã:a, b < 0 ºi |a| < |b|, atunci a > b.

a < b ⇔ a b

un numãr mai mic îl „precede“ pe cel mai mare.

Dacã a, b ∈, atunci are loc una ºi numai una dintre relaþiile: a < b, a = b, a > b.

Intervale în : definiţii, reprezentări pe axă

Fie a, b ∈ ºi a < b.Intervale mãrginite:

(a, b) = { x ∈ | a < x < b} x

ba( )

+∞

[a, b] = { x ∈ | a x b} x

ba[ ]

+∞

[a, b) = { x ∈ | a x < b} x

ba[ )

+∞

(a, b] = { x ∈ | a < x b} x

ba

( ]+∞

Intervale nemãrginite: (a, +∞) = { x ∈ | a < x}

x

a(

+∞

[a, +∞) = { x ∈ | a x} x

a[

+∞

(– ∞, a) = { x ∈ | x < a} x

a)

+∞

(– ∞, a] = { x ∈ | x a} x

a]

+∞

Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale

Adunarea Înmulţirea1. Asociativitatea:

(a + b) + c = a + (b + c),oricare ar fi a, b, c ∈.

2. Elementul neutru este 0: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a ∈.3. Opusul oricãrui numãr real a este – a:

a + (– a) = (– a) + a = 0.4. Comutativitatea:

a + b = b + a, oricare ar fi a, b ∈.

1. Asociativitatea:

(a · b) · c =a · (b · c), oricare ar fi a,b,c ∈.2. Elementul neutru este 1: a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi a ∈.3. Inversul oricãrui numãr real nenul a este

1

a:

a · 1

a =1

a · a = 1, oricare ar fi a ∈*

.4. Comutativitatea:

a · b = b · a, oricare ar fi a, b ∈.




Ridicarea la putere cu exponent întreg Fie a ∈, n ∈*. Fie a, b ∈, p, q ∈*.

an = a a a an

⋅ ⋅ ⋅ ⋅... factori

, n 2. a p · aq = a p + q

a1 = a; a0 = 1, a ≠ 0 a p : a q = a p – q, a ≠ 0 1n = 1; 0n = 0 (a p)q = a pq

a – n =1

an , a ≠ 0 (a · b) p = a p · b p

(–1)n = 1

1

,

,

n

n

par

impar −

(a : b) p = a p : b p, b ≠ 0

10 n =100 0...n zerouri

a

b

b

a

p p

=

−

, a, b ≠ 0

10 – n = 0 00 01, ...n cifre

Radicali

D e f i n i ţ i i : Fie a ∈, a 0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x ∈ astfel încât

a = x2.

Fie a ∈, a 0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a estenumãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a).

Proprietãþi: 1. a( )

2

= a, a ∈+ . 3. a nu existã dacã a < 0.

2. a 0, a ∈+ . 4. a2 = |a|, a ∈.Reguli de calcul cu radicali

a b a b⋅ = ⋅ , a, b ∈+

a

b

a

b= , a, b ∈

+ , b ≠ 0

a b a b= 2 , a, b ∈+

a b a b2 = , a ∈, b ∈+

x a y b xy ab

⋅ = ,a

,b ∈

+

x a

y b

x

y

a

b

= , a, b ∈+ ,

y, b ≠ 0

x a y a x y a± = ±( ) , a ∈+

x a x an

n n( ) = , a, b ∈+

Raţionalizarea numitorilor Exemple:

b x

a b

x b

ab

)=

32

3

2 3

3

)=

a b x

a b

x a b

a b

− )

+=

−( )−2

2 3

1

2 3

2 3

4 32 3

− )

+=

−

−= −

a b x

a b

x a b

a b

+ )

−=

+( )−2

3 25

3 2

5 3 2

9 2

5 3 2

7

+ )

−=

+( )−

=+( )




Medii

Fie a, b ∈*, p, q ∈

*.

ma =

a b+2

este media aritmeticã

map = pa qb p q++ este media aritmeticã ponderatã

m g = ab este media geometricã

Exemple: Fie a = 3 – 5 , b = 3 + 5 .

ma =

3 5 3 5

2

− + += 3;

m g = 3 5 3 5−( ) +( ) = 9 5− = 2.

Rapoarte şi proporţii

Definiţii. Proprietatea fundamentală a proporţiilor Raportul numerelor raþionale a ºi b (b ≠ 0) este numãrula

b.

Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate demãsurã.

Numãrul r = a

b

se numeºte valoarea raportuluia

b

.

Egalitatea a douã rapoartea

b=

c

d (b, d ≠ 0) se numeºte proporþie.

Într-o proporþiea

b=

c

d produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc.

Aflarea unui termen necunoscut

a

b=

c

d

a = bc

d b =

ad

c c =

ad

b d =

bc

a

Proporţii derivate

a b

b

c d

d

−=

− a

c

b

d =

d

b

c

a=

a b

b

c d

d

+=

+

a

b=

c

d

a

b

a c

b d =

++

a

b a

c

d c+=

+a

b a

c

d c−=

−a

b

c a

d b=

−−




Şir de rapoarte egale

a

b

c

d

e

f

x

y

a c e x

b d f y= = = = =

+ + + ++ + + +

... ...

...

Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă

{a, b, c} direct proporþionale { x, y, z }

a

x

b

y

c

z = =

{a, b, c} invers proporþionale { x, y, z }

a

x

b

y

c

z

1 1 1= =

Procente


Fie p ∈*+. Raportul

p

100 se numeºte raport procentual.

Numãrul p din proporþiaa

b=

p

100 se numeºte procent.

Notãm p%. Avem p% din a = p

100· a. Exemplu: 15% din 700 = 105.

Aflarea unui numãr când cunoaºtem p% din el:

p

100· x = a ⇒ x = a · 100

p. Exemplu: 15% din x = 105 ⇒ x = 700.

Aflarea raportului procentual:

a

b=

p

100 ⇒ p =

a

b

⋅100. Exemplu:

3

8 100=

p ⇒ p = 37,5.

Probabilitatea realizării unui eveniment

p =numãrul cazurilor favorabile evenimentului

numãrul cazurilor posibile Exemple:

1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 13 bile negre. Se extrage o bilã. Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este:

1730

numãrul bilelor albenumãrul total al bilelor ( = )

2. Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 36 (toate perechile ( x, y), unde x, y sunt numere naturale de la 1 la 6).

Probabilitatea sã aparã dubla 3:1

36

(existã 1 caz favorabil: (3, 3)).

Probabilitatea sã aparã 2, respectiv 5: 2

36

1

18= ((2; 5) ºi (5; 2)).




CALCUL ALGEBRICReguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere

ax + bx + cx = (a + b + c) · x a · ( x + y + z ) = ax + ay + az

(a + b) · ( x + y + z ) = ax + ay + az + bx + by + bz

Formule de calcul prescurtat

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Descompunerea în factori

Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab – ac + ad = a(b – c + d )

Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a

2

+ b

2

+ c

2

+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Exemple:

4 x 2 + 6 xy + 9 y 2 = (2 x + 3 y)2

4 x 2 – 6 xy + 9 y 2 = (2 x – 3 y)2

4 x 2 – 9 y2 = (2 x – 3 y)(2 x + 3 y)Gruparea termenilor ºi metode combinate:

ax + ay + bx + by = a( x + y) + b( x + y) = ( x + y)(a + b) ax + ay – bx – by = a( x + y) – b( x + y) = ( x + y)(a – b)

a( x2

± 2 xy + y2

) = a( x ± y)2

x2 ± 2 xy + y2 – a2 = ( x ± y)2 – a2 = ( x ± y – a)( x ± y + a) a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) Exemple:

5 x2 – 30 x + 45 = 5( x2 – 6 x + 9) = 5( x – 3)2 ;4 x2 + 4 x + 1 – 16 y 2 = (2 x + 1)2 – 16 y2 = (2 x + 1 – 4 y)(2 x + 1 + 4 y).




Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

amplificarea simplificarea

c

a

b

ac

bc

)

= , b, c ≠ 0a

b

a c

b c

c(:

:= , b, c ≠ 0

adunarea sau scãderea

înmulþirea

a

b

c

b

a c

b± =

±, b ≠ 0

a

b

c

d

a c

b d ⋅ =

⋅⋅

, b, d ≠ 0

puterea cu exponent natural împãrþirea

a

b

a

b

n n

n

= , b ≠ 0, n ∈* a

b

c

d

a

b

d

c: = ⋅ , b, c, d ≠ 0

puterea cu exponent întreg negativ

a

b

b

a

n n

n

=−

, a, b ≠ 0, n ∈*

FUNCŢIISistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan

y

x

M ( x, y) y

x0

axa absciselor

abscisa punctului M

axa ordonatelor

ordonata

punctului M

Oricãrei perechi ordonate ( x, y) i se poate asocia un punct M din plan.

Noţiunea de funcţie


Fiind date douã mulþimi nevide, A

ºi B

, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãruielement x din A sã-i corespundã un unic element y din B, spunem cã am definit ofuncþie pe A cu valori în B ºi scriem f : A → B.

Exemplu:

f ( x) = x 2

Im f = { y ∈ B | y = f ( x), x ∈ A}

domeniul dedefiniþie

codomeniul (mulþimeaîn care funcþia ia valori)

legea de

corespondenþã

imaginea funcþiei

1

2

3

2

123456




Funcţii de tipul f : A → , f ( x ) = ax + b, unde a, b ∈, A = mulţime finită


Fie f : A → B. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimeaG

f = {( x, f ( x)) | x ∈ A} ⊂ A × B.

Deci (a, b) ∈G f ⇔ f (a) = b ºi a ∈ A, b ∈ B. Graficul G

f al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul A.

Exemplu:

Fie funcþia numericã f : {0, 1, 2, 3} → , datã prin f ( x) = 2 x + 1. G

f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} iar reprezentarea sa geometricã

este mulþimea punctelor: A, B, C , D.

y

x

0 1 2 3

1

3

5

7

A

B

C

D

Funcţii de tipul f : → , f ( x ) = ax + b, unde a, b ∈

Cum domeniul de definiþie este , atunci G f este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un

sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã.

y

x

a = 0

0

b G f

y

x

0

b

a ≠ 0

−b

a

G f

G f ∩ Ox = −

b

a , 0 , G f ∩ Oy = (0, b) Un punct M ( x, y) ∈G

f ⇔ y = ax + b.

Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte.

ECUAŢII ŞI INECUAŢII

Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a ∈*, b ∈

ax + b = 0, x ∈ D ⇔ ax = – b ⇔ x = –

b

a .

Dacã – b

a∈ D ⇒ S = −

b

a. Dacã – b

a∉ D ⇒ S = ∅.

Am notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor. Exemplu:

–7 x + 3 = 0 ⇔ –7 x = – 3 ⇔ x = 3

7.

În avem S = ∅, dar în avem S = 3

7

.




*Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ , a ≠ 0

Pentru a rezolva în ecuaþia ax2 + bc + c = 0, a ≠0, a, b, c ∈, calculãm discriminantul

∆ = b2 – 4ac.

Vom avea urmãtoarele situaþii: I. ∆ < 0 ⇒ S = ∅. II. ∆ = 0 ⇒ S = −

b

a2.

III. ∆ > 0 ⇒ S =− − − +

b

a

b

a

∆ ∆2 2

, .

* Notă: Această temă nu este cuprinsă în programa pentru evaluare naţională.

Rezolvarea în × a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute

Metoda substituþiei (exemplu)

y x

x y

y x

x x

y x

x x

+ =− =

⇔= −

− −( ) =

⇔= −− + =

⇔5

2 3 0

5

2 3 5 0

5

2 15 3 0

y x

x

y x

x

x

yS

= −− =

⇔ = −=

⇔ ==

⇒ = ( ){ }5

5 15 053

32

3, 2 .

Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã; înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã,

obþinându-se o componentã a soluþiei; revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei.Metoda reducerii (exemplu)

x y

x y

x y

x y

+ =

− =

⋅

⋅ ⇔

+ =

− =

4 11

2 3 0

3

4

3 12 33

8 12 0 11 x / = 33 ⊕

x

x y

x

y

x

y

x

y

=+ =

⇔=+ =

⇔=

=

⇔==

3

4 11

3

3 4 11

3

4 8

3

2

Etapele metodei substituþiei: se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr; adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute; se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale.

Rezolvarea în a inecuaţiilor de forma ax + b 0 (<, , >), a ∈*, b ∈

Dacã a > 0: ax + b 0 ⇔ x – b

a – ∞ +∞

−b

a]

Dacã a < 0: ax + b 0 ⇔ x – b

a – ∞ +∞

−b

a

[

Analog, pentru formele <, , >. Exemple:

1. 2 x + 3 < 0 ⇔ 2 x < –3 ⇔ x < – 32 . 2. –2 x + 3 0 ⇔ –2 x –3 ⇔ 2 x 3 ⇔ x 32 .

3. –2 x – 3 > 0 ⇔ –2 x > 3 ⇔ 2 x < –3 ⇔ x < – 3

2.




GEOMETRIEMĂSURARE ŞI MĂSURI

Unităţi de măsură pentru lungime

mm cm dm m dam hm km

submultiplii metrului multiplii metrului

1 m = 1 000 mm 1 dam = 10 m 1 m = 100 cm 1 hm = 100 m 1 m = 10 dm 1 km = 1 000 m Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100,

1 000, ...

1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam 1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10,

100, 1 000, ...

Unităţi de măsură pentru arie

mm2 cm2 dm2 m2 dam2 hm2 km2

submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat

1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dam2 = 100 m2

1 m2 = 10 000 cm2 1 hm2 = 10 000 m2

1 m2 = 100 dm2 1 km2 = 1 000 000 m2

Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100,10 000, 1 000 000, ...

1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2 = 0,01 dam2

1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2 = 0,0001 hm2

1 dm2 = 0,01 m2 1 m2 = 0,000001 km2

Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100,10 000, 1 000 000, ...

1 ha = 10 000 m2 1 ar = 100 m2

Unităţi de măsură pentru volum

mm3 cm3 dm3 m3 dam3 hm3 km3

submultiplii metrului cub multiplii metrului cub

1 m3 = 1 000 000 000 mm3 1 dam3 = 1 000 m3

1 m3 = 1 000 000 cm3 1 hm3 = 1 000 000 m3

1 m3 = 1 000 dm3 1 km3 = 1 000 000 000 m3

Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, 1 000 000,1 000 000 000, ...

1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,001 dam3

1 cm3

= 0,000001 m3

1 m3

= 0,000001 hm3

1 dm3 = 0,001 m3 1 m3 = 0,000000001 km3

Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, 1 000 000,1 000 000 000, ...



29Breviar teoretic Geometrie

Unităţi de măsură pentru capacitate

ml cl dl l dal hl k l

submultiplii litrului multiplii litrului

1 l = 1 000 ml 1 dal = 10 l

1 m = 100 cl 1 hl = 100 l 1 m = 10 dl 1 k l = 1 000 l

Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100,1 000, ...

1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal

1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl

1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 k l Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100,

1 000, ...Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm3 = 1l

Unităţi de măsură pentru masă

mg cg dg g dag hg kg

submultiplii gramului

submultiplii kilogramului

1 g = 1 000 mg 1 dag = 10 g 1 g = 100 cg 1 hg = 100 g

1 g = 10 dg 1 kg = 1 000 g

1 mg = 0,001 g 1 g = 0,1 dag 1 cg = 0,01 g 1 g = 0,01 hg 1 dg = 0,1 g 1 g = 0,001 kg

1 q = 100 kg 1 t = 1 000 kg chintalul tona

Unităţi de măsură pentru timp

Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s).

Alte unitãþi:

minutul: 1 min = 60 s ora: 1 h = 60 min = 3 600 s ziua: 1 zi = 24 h sãptãmâna: 1 sãptãmânã = 7 zile luna: 1 lunã are 28, 29, 30 sau 31 zile

anul: 365 zile sau 366 zile (an bisect) deceniul: 10 ani secolul: 100 ani mileniul: 1 000 ani




FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE

Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta,segmentul de dreaptă, unghiul

Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple.

A Punctul nu are „întindere“.

A B

C d

A, B ∈d C ∉ d d = AB

Dreapta este nemãrginitã ºi „nu are grosime“.

B

Ad

a

A ∈a B ∉ ad ⊂ AB

AB ⊄ a Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã).

Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare. Planul conþine drepte.

Semidreapta este mãrginitã la un capãt,

Semidreapta deschisã ( AB sau semidreapta închisã [ AB.

A C C ∈[ AB D ∉[ AB

D B

numit origine.

Segmentul de dreaptã este

Segmentul deschis ( AB) sausegmentul închis [ AB].

A B C ∈[ AB] D ∉[ AB] D

C mãrginit la ambele capete.

O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte

În desen am haºuratsemiplanul deschis (dA.

d

a

D

B A

C

C ∈(dA

B ∈[dA D ∉[dA

în douã semiplane.

Douã semidrepte având aceeaºi origine

Notãm AOB sau AOB .

A

BO

formeazã un unghi.




UNGHIURI FORMATE DE DOUĂ DREPTE TĂIATE DE O SECANTĂDouã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri: alterne interne: 3 5 ,( ) , 4 6 ,( )

a

b

1 234

5 68 7

s

alterne externe: 1 7 ,( ) , 2 8 ,( )

corespondente: 1 5 ,( ) , 2 6

,( ) , 3 7 ,( ) , 4 8

,( ) interne de aceeaºi parte a secantei: 4 5 ,( ) , 3 6 ,( ) externe de aceeaºi parte a secantei: 1 8 ,( ) , 2 7 ,( )

Axioma lui EuclidPrintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã.

Criterii de paralelism

a

b

4

s

8

4 8 ≡ ⇒ a b||

a

b

4

s

5

4 5 , ||supl. ⇒ a b

a

b

2 s

7

2 7 , ||supl. ⇒ a b

a

b

4

s

6

4 6 ≡ ⇒ a b||

Axiomele geometriei în spaţiuA1

Douã puncte distincte determinã o dreaptã. A B

Punctele A, B determinã dreapta AB.

Existã puncte exterioare unei drepte.

C

d

C ∉d .

A2 Trei puncte necoliniare determinã un plan.

E F G

E , F , G necoliniare determinã planul ( EFG ).

Existã puncte exterioare unui plan.

H

a H ∉aA3 Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin

unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan.

I

J b

I , J ∈b ⇒ IJ ⊂ b

A4 Dacã douã plane au un punct comunatunci au o dreaptã comunã.

δ K

L

g

K , L ∈δ ∩ g ⇒ δ ∩ g = KLA5 Spaþiul este o mulþime de puncte. Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului.




Perpendiculare şi oblice


O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºteoblicã faþã de plan.

a

d

P m d ∩ a = { P }

}⇔

def

d este oblicã faþã de planul ad , a( ) ≠ 90°

Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimeasegmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendiculareiduse din punct pe plan.

a

A

P

AP ⊥ a ⇔def

d( A, a) = AP

Distanţa dintre două plane paralele


Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimeaunui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele.

a A

b B AB ⊥ a } ⇒ d(a, b) = AB AB ⊥ b

Proiecţii ortogonale pe un plan

D e

f i n i ţ i e :

Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul

perpendicularei duse din acel punct pe plan. A′ = pr a A, AA′ este proiectanta punctului A pe a a

A

A′


Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan.

A

a A′

B′

C ′

B

C

A′ B′C ′ = pr a

ABC




Proiecţia unei drepte pe un plan

Teoremå: Proiecþia unei drepte pe un plan

este o dreaptã sau un punct. a

d ′

d

d ′ = pr ad

a

d

A

{ A} = pr ad


Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe careaceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan.

a

A

d

d ′(d , a) = (d , d ′), unde d ′ = pr ad

Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan

Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimea

segmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suporta segmentului cu planul.

au

A′ B′

A

B

A′ B′ = AB cos u

Aplicaþie:

A′ B′ = 5 cm, AB = 10 cm.

Avem cos u = A′ B′ AB

=5

10 =

1

2⇒ u = 60°.

Teorema celor trei perpendiculare

d ⊥ a

}

a ⊥ b ⇒ c ⊥ b

a P A

b

c

d

a a, b ⊂ a

Distanþa de la un punct la o dreaptã MP ⊥ a

} a ⊥ b ⇒ MA ⊥ b⇒ d( M , b) = MA

a P A

b

c M

a a ∩ b = { A} a, b ⊂ a

Teoremele reciproce ale teoremei celor 3 perpendiculare

Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d ⊥ a

} c ⊥ b ⇒ a ⊥ b

a P A

b

cd

a a, b ⊂ a a ∩ b = { A}

A doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d

⊥ a

} a ⊥ b ⇒ d ⊥ a

a P A

bc

d

a c ⊥ b

a, b ⊂ a




Unghiul diedru


Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douãsemiplane delimitate de aceeaºi dreaptã.

Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiuldeterminat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanelece formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedruluiºi fiind perpendiculare pe aceasta. a ⊥ d , b ⊥ d ⇒ (a, b) esteunghiul plan al diedrului de muchie d .

d

a

b

Plane perpendiculare

D e f

i n i ţ i e :

Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept.

Teoremå: Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan,

b

ad

atunci cele douã plane sunt perpendiculare. d ⊂ a }⇒ a ⊥ b d ⊥ b

Simetria în plan


Spunem cã douã puncte A ºi A′ sunt simetrice faþã deun punct O, dacã O este mijlocul segmentului [ AA′].

A O A′ A ºi A′ sunt simetrice faþã

de O

Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al uneifiguri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetricfaþã de O tot un punct al figurii.

OF

O este centrul de simetrieal figurii F


Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de odreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentuluideterminat de cele douã puncte.

A, A′ sunt simetrice faþãde dreapta s

A

O A′

s

Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã

de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetricfaþã de dreapta s tot un punct al figurii. s este axa de simetrie afigurii F

F

s




Triunghiul

Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria

P ABC

= a + b + c perimetrul triunghiului

A ABC

= baza · înãlþimea

2

aria triunghiului

A

B C D

c

a

b

sau A

ABC = AB · AC · sin A

2

m A( ) + m B( ) + m C ( ) = 180°.

ACD este unghi exterior triunghiului ABC .Triunghiul isoscel

[ AB] ≡ [ AC ] ⇔ B ≡ C

B C

A

Triunghiul echilateral [ AB] ≡ [ BC ] ≡ [CA] ⇔ m A( ) = m B( ) = m C ( ) = 60°.

P ABC

= 3l ;

h =l 3

2;

B C

A

l h l

l

A

ABC =

l 2 3

4 .

Linii importante în triunghi

Mediatoarea


Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijloculsegmentului.

A

B C

O

Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi estecentrul cercului circumscris triunghiului.

Bisectoarea


Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârfulunghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente.

A

B C

I

Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi estecentrul cercului înscris.

Mediana

D e f

i n i ţ i e :

Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi

mijlocul laturii opuse.

A

B C

G

M Punctul de intersecþie a medianelor se numeºte

centrul de greutate al triunghiului.




Înălţimea


Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pelatura opusã.

A

B C

H

M Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul

triunghiului.Linia mijlocie în triunghi


Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte liniemijlocie.

Teorema asupra liniei mijlocii Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este

paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtate

din lungimea acesteia.

A

B C

N M

MN linie mijlocie ⇒ MN BC

MN BC

||

=

2Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [ AM ] ≡ [ MB]

} ⇒ [ AN ] ≡ [ NC ] ºi MN =

BC

2

A

B C

N M MN || BC

Aplicaþie:

Fie M , N mijloacele laturii [ AB], respectiv [ AC ] ale unui triunghi.Atunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful A aparþin dreptei MN .

A

B C

N M




Criteriile de congruenţă a triunghiurilor

A

B C

A′

B′ C ′


[ AB] ≡ [ A′ B′]; A ≡ A′;[ BC ] ≡ [ B′C ′]; B ≡ B′; } ⇔

def ∆ ABC ≡ ∆ A′ B′C ′

[CA] ≡ [C ′ A′]; C ≡ C ′

[ AB] ≡ [ A′ B′]Cazul LUL [ BC ] ≡ [ B′C ′] } ⇔ ∆ ABC ≡ ∆ A′ B′C ′ B ≡ B′

B ≡ B′ Cazul ULU [ BC ] ≡ [ B′C ′] } ⇔ ∆ ABC ≡ ∆ A′ B′C ′ C ≡ C ′

[ AB] ≡ [ A′ B′]Cazul LLL [ BC ] ≡ [ B′C ′] } ⇔ ∆ ABC ≡ ∆ A′ B′C ′ [CA] ≡ [C ′ A′]

[ AB] ≡ [ A′ B′]Cazul LUU B ≡ B′ } ⇔ ∆ ABC ≡ ∆ A′ B′C ′ C ≡ C ′

Criteriile de asemănare a triunghiurilor

A

B C

A′

B′ C ′


A ≡ A′; B

≡ B

′;

}C ≡ C ′ ⇔

def ∆ ABC ~ ∆ A′ B′C ′ AB

A B

BC

B C

AC

A C ′ ′ ′ ′ ′ ′= =

Criteriul 1 de asemãnare:

A ≡ A′; AB

A B

AC

A C ′ ′ ′ ′= ⇒ ∆ ABC ~ ∆ A′ B′C ′

Criteriul 2 de asemãnare: A ≡ A′; B ≡ B′ ⇒ ∆ ABC ~ ∆ A′ B′C ′Criteriul 3 de asemãnare:

AB

A B

BC

B C

AC

A C ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⇒ ∆ ABC ~ ∆ A′ B′C ′




Teoreme

Fie triunghiul ABC ºi punctele D ∈ AB, E ∈ AC .

Teorema lui Thales

A

B C

D E DE BC

AD

DB

AE

EC || ⇒ =

Teorema reciprocå a teoremei lui Thales A

B C

D E AD

DB

AE

EC DE BC = ⇒ ||

Teorema fundamentalå a asemånårii A

B C

D E

DE || BC ⇒ ∆ ADE ~ ∆ ABC ⇒ AB

AD

AC

AE

BC

DE r = = = .

Triunghiul dreptunghicTriunghiul dreptunghic isoscel

A

B C

m A( ) = 90°

[ AB] ≡ [ AC ] ⇔

⇔ m B( ) = m C ( )= 45°

Triunghiul dreptunghic oarecare A

B C D

AB ⊥ AC sau m A( ) = 90°

A ABC

= AB AC ⋅

2

Teorema înålÆimii

m A

( )= 90°

} ⇒ AD2 = BD · DC AD ⊥ BC

Teorema catetei

m A( ) = 90° } ⇒ AB2 = BC · BD, AC 2 = BC · CD AD ⊥ BC

Teorema lui Pitagora

AB 2 = BC 2 – AC 2

m A( ) = 90° ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 AC 2 = BC 2 – AB 2

Teorema reciprocå a teoremei lui Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ m A( ) = 90°

Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic

sin B = b

a, cos B =

c

a

tg B =b

c, ctg B =

c

b

A

B C

c

a

b

tg B =sin

cos

B

B , ctg B = 1tg B

sin B = cos C




Tabele trigonometrice

a funcþia

30° 45° 60°

sin a 1

2

2

2

3

2

cos a3

2

2

2

1

2

tg a1

31 3

ctg a 3 11

3

Patrulaterul convex Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°.

ParalelogramulPatrulaterul convex care are laturileopuse paralele se numeºte paralelogram.

A B

D C AB || CD; BC || DA ⇔def

ABCD paralelogram.

Teoremå referitoare la laturi În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente.

A B

D C ABCD paralelogram ⇔ [ AB] ≡ [CD] ºi [ BC ] ≡ [ DA].

Teoremå referitoare la unghiuri În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente

ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare. A B

D C ABCD paralelogram ⇔ A ≡ C ; B ≡ D. A, B suplementare.

Teoremå referitoare la diagonale În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. A B

D C O ABCD paralelogram ⇔ {

[OA] ≡ [OC ]; [OB] ≡ [OD].


DREPTUNGHIULParalelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi .

A B

D C ABCD paralelogram, m A( ) = 90°⇔

def ABCD dreptunghi .

Teoremå referitoare la unghiuriÎn orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte. ABCD dreptunghi ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D.

A B

D C




Teoremå referitoare la diagonaleÎn orice dreptunghi diagonalele sunt congruente. ABCD dreptunghi ⇔ [ AC ] ≡ [ BD].

A B

D C

D e f i n

i ţ i e :

ROMBUL

Paralelogramul care are două laturiconsecutive congruente se numeşte romb.

A

B

C

D

ABCD paralelogram, [ AB] ≡ [ BC ]⇔def

ABCD romb.

Teoremå referitoare la laturi A

B

C

DÎn orice romb toate laturile sunt congruente. ABCD romb ⇔ [ AB] ≡ [ BC ] ≡ [CD] ≡ [ DA].

Teorema 1 referitoare la diagonaleÎn orice romb diagonalele sunt perpendiculare. ABCD romb ⇔ AC ⊥ BD.Teorema 2 referitoare la diagonale

A

B

C

DÎn orice romb diagonalele sunt bisectoare. ABCD romb ⇔ [ BD] bisectoarea unghiului D.


PÃTRATULUn paralelogram care are un unghi drept şi două laturiconsecutive congruente se numeşte pătrat .

A B

D C ABCD dreptunghi ºi romb⇔def

ABCD pãtrat .

Proprietăţile pătratului

Diagonalele sunt perpen-diculare, congruente ºi au

acelaºi mijloc.

Diagonalele sunt bisectoarele pãtratului.

Toate unghiurilesunt drepte.

Toate laturilesunt congruente.


TRAPEZUL

Patrulaterul convex care are două laturi opuse paralele şi celelaltedouă neparalele se numeşte trapez .

AB | CD ºi AD } BC ⇔def

ABCD trapez .

A B

D C

Trapezul dreptunghicTrapezul care are una dintre laturile neparalele perpendiculară pe bază se numeşte trapez dreptunghic.

ABCD trapez, m A

( )= 90°⇔

def ABCD trapez dreptunghic.

A B

D C

Linia mijlocie în trapez Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia

mijlocie a trapezului .




Teorema asupra liniei mijlocii în trapez

[ AM ] ≡ [ MD]; [ BN ] ≡ [ NC ] ⇔ MN || AB; MN = AB CD+

2.

A B

D C

M N

Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez

[ AM ] ≡ [ MD]; MN || AB ⇔ [ BN ] ≡ [ NC ]; MN = AB CD+

2.

A B

D C

M N


TRAPEZUL ISOSCELTrapezul care are laturile neparalelecongruente se numeşte trapez isoscel .

ABCD trapez , [ AD] ≡ [ BC ] ⇔def

ABCD trapez isoscel .

A B

D C

Teoremå referitoare la unghiuri A B

D C

ABCD trapez isoscel ⇔ A ≡ B ºi D ≡ C .

Teoremå referitoare la diagonale A B

D C

ABCD trapez isoscel ⇔ [ AC ] ≡ [ BD].

Perimetrele şi ariile poligoanelor

Dreptunghiul A B

D C

L

l d

P ABCD

= 2( L + l )A

ABCD = L · l

d = L l 2 2+

Rombul A B

C D

l h

l

P ABCD

= 4l

A ABCD

= l · h

A ABCD

=d d 1 2

2

⋅

Paralelogramul A B

D C

h L

l

P ABCD

= 2( L + l )A

ABCD = L · h

A ABCD

= L · l · sin B

Pãtratul A B

D C

l

P ABCD = 4l A

ABCD = l 2

d = l 2

Trapezul A B

D C

h

b

B

P ABCD = AB + BC + CD + DA

A ABCD

= B +( ) ⋅b h

2




Cercul


C (O, r )

r Ocentrul

coardã

razã

diametru

Mulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r .

Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºtecoardã.

Coarda care trece prin centrul cercului se numeºtediametru, iar capetele diametrului se numesc punctediametral opuse.


arcul mic AB

A B

O

O

O

interior exterior

semicerc

Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã punctedistincte ale cercului se numeºte arc de cerc.

Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse,atunci arcul se numeºte semicerc.

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþemai mici decât raza, formeazã interiorul cercului.

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþemai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului.

Mulþimea punctelor cercului C (O, r ) reunitã cu interiorulcercului se numeºte disc de centru O ºi razã r : D(O, r ).

Unghi la centru; sector de cerc


A B

O

m( ADB ) = m AOB( )

D

Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghila centru.

Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerccuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îlsubîntind.

Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund

arce congruente.

B C

A D

AB CD ≡ ⇔ [ AB] ≡ [CD]




Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin

mijlocul arcului subîntins de coardã. A B

O

Teoremå privind coardele egal depårtate de centru Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã

sunt egal depãrtate de centru. [ AB] ≡ [CD] ⇔ d(O, AB) = d(O, CD)

A

B

O D

C

Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele

cuprinse între ele sunt congruente.

A B

O D C

AB || CD ⇒ AB CD ≡

Unghiul înscris în cerc


Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douãcoarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc.

A B

O

C

mm

ACB AB

( ) = ( )

2m m AOB AB ( ) = ( )

Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arculuicuprins între laturile sale.

Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cercO dreaptã poate avea cu un cerc:

b) un punct comun

O

t

r

tangentã

OT ⊥ t OT = d(O, t ) = r

c) niciun punct comun

O

e

dreaptã exterioarã

cercului

d(O, e) > r

a) douã puncte comune

O

s

secantã

d(O, s) < r




Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente

ºi numai douã la cerc. O A

T

T ′

Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerca) [TA] ≡ [T ′ A];b) [ AO este bisectoarea unghiului TAT ′ ;

c) [OA este bisectoarea unghiului TOT ′ ;d) OA este mediatoarea segmentului [TT ′]. Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi

secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsuraarcului cuprins între laturile sale. O

T A

B

mm

2 ATB

AB

( ) = ( )

Aplicaþie: BT = 4 3 cm, m ATB( ) = 60°.

Se cere mãsura arcului mic BT ºi raza r . Soluþie:

m ATB( ) =m

2

BT ( ) ⇔ 60° =

m

2

BT ( ) ⇔ m BT ( ) = 120°.

Deducem uºor cã m OTB ( ) = 30°. Triunghiul TOB este isoscel cu baza (TB).

Se obþine r = 4 cm.


BC

A

O

Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacãlaturile triunghiului sunt tangente la cerc.În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului.

Centrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþia bisectoarelor triunghiului.

Cercul circumscris unui triunghi

D e f i n i ţ i e

:

Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacãvârfurile triunghiului sunt situate pe cerc.În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris încerc.

B

C

A

O

Centrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþiamediatoarelor triunghiului.




Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc

Lcerc

= 2p R; A disc

= p R2 R

n° L

arc =

n Rp180

; A sector circular

=n Rp 2

360 Aplicaþii:

1. Aflaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 20p dm2. Soluþie: p R2 = 20p ⇒ R = 2 5 dm; L

cerc = 2p 5 dm.2. Aflaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru

corespunzãtor n° = 60°.

Soluþie: 15p =n Rp180

⇔ 15p =60

180

p R ⇒ R = 45 cm.

Elemente în poligoane regulatePãtratul

45°

l R R

O

a p

l = R 2

a p =

R 2

2

Hexagonul regulat

60°

l R R

O

a p

l = R; a p = R 3

2

P = 6l ; A =3 3

2

2l

Triunghiul echilateral

30°

l R

R RO

a p

l = R 3

a p =

R

2




Corpuri geometrice. Poliedre

Prisma dreaptã

Cu baza pãtrat

bazã

f a þ ã

l a t e r a l ã

m u c h i e l a t e r a l ã

Cu baza hexagon regulat

d i a g on a l ã

î n ã l þ i m e

Cu baza triunghiechilateral

v â r f

muchia bazei

înãlþime

lãþime

lungime

Feþele unui paralelipiped dreptunghic suntdreptunghiuri, douã câte douã congruente.

D

A B

C

D′

A′ B′

C ′

Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi suntcongruente.

A B

D C D′

A′

C ′

B′

D′ C ′C ′

B′

A′ B′ D e s f ã º u r a r e a

c u b u l u i

Paralelipipeduldreptunghic

Cubul

V

E D

C B

A

vârful piramidei

baza piramidei

faþãlateralã

muchielateralã

înãlþimea piramidei

În funcþie de natura bazei, folosim

denumirile: piramidã triunghiularã, patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã.

A

B

C

D

D e f i n

i ţ i i :

Punctele necoplanare A, B, C , D determinã poliedrul cu cel mai micnumãr de feþe numit tetraedru.

Reuniunea feþelor tetraedrului senumeºte suprafaþa tetraedrului.

Piramida Tetraedrul





O piramidã care are baza poligon ºi muchiile lateralecongruente se numeºte piramidã regulatã.

Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri

isoscele (congruente).

V

C A

B

M O

apotema piramidei

înãlþimea piramidei

apotema

bazei

Piramida regulată, tetraedrul regulat


Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei.

Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei.

Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat.

î n

p r i s m ã

planul de

secþiune

Planul de secþiune este un poligon (cutoate punctele interioare) congruent cu bazele ºi paralel cu acestea.

Obþinem douã prisme de acelaºi tip cu prisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici.

î n p i r a m i d ã planul de

secþiune

Planul de secþiune este un poligonasemenea cu baza ºi paralel cu aceasta.

Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârfeste vârful piramidei iniþiale iar baza poligonul (cu toate punctele interioare) ºiun trunchi de piramidã.

Secţiuni paralele cu baza în poliedre

Trunchiul de piramidă

D e

f i n i ţ i i :

bazamare

bazamicãlaturã a

bazei mici

laturã a bazei mari

muchielateralã

faþãlateralã

Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometricobþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul desecþiune.

Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului.




Corpuri rotunde

Cilindrul circular drept

A

O

R

BC

B

A D

A

B

D

C

O razãgeneratoaresuprafaþã lateralã

bazã

R

Bazele unui cilindru au formã de disc.

D

e f i n i ţ i i :

Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului.

Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi.

Conul circular drept

B A

vârf

generatoare

bazã

V

O

O R BV

A

A

Baza unui con are formã de disc.


Raza bazei se numeºte raza conului.

Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc.




în cilindru circular drept

planul desecþiune

Planul de secþiune este un disc congruentcu bazele ºi paralel cu acestea.

Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cucilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici.

în con circular drept

planul desecþiune

Planul de secþiune este un disc asemeneacu baza ºi paralel cu aceasta.

Obþinem un con mic, al cãrui vârf estevârful conului iniþial, iar baza discul desecþiune ºi un trunchi de con.

Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde

Trunchiul de con


bazamare

bazamicã

raza bazeimari

suprafaþa

lateralã

raza bazeimiciînãlþimea

trunchiului

generatoarea

Se numeºte trunchi de con corpul geometricobþinut prin secþionarea unui con circular drept printr-

un plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului micobþinut.

Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului.

Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de coneste un sector de coroanã circularã.




Sferã de centru O ºi razã R S (O, R)S (O, R) = { P | P punct din

spaþiu a.î. OP = R}

O R

Prin rotaþia unui cerc în jurul unuidiametru al sãu obþinem o sferã avândraza egalã cu raza cercului de rotaþie ºicentrul în centrul cercului de rotaþie.

Bilã de centru O ºi razã R B (O, R)

B (O, R) = { P | P punct dinspaþiu a.î. OP R}

O R

Planul de secþiune este un disc asemeneacu baza ºi paralel cu aceasta.

Obþinem un con mic, al cãrui vârf estevârful conului iniþial, iar baza discul de

secþiune ºi un trunchi de con.

Sfera; descriere. Bila

Secţiuni axiale în corpuri rotunde


Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului aresimetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului.

Secþiunea axialã estedreptunghi de dimensiuni

2 R ºi G

R s

G

triunghi isoscel cu baza2 R ºi laturile R

s

G

R

trapez isoscel cu bazamicã r , baza mare R ºi

latura neparalelã G

s

G

R

disc de razã R

R

s




Ariile şi volumele corpurilor geometrice

Piramida regulatã

h

A l = suma ariilor

feþelor lateraleA

t = A

l + A

b

V =A

b · h

3

Trunchiul de piramidãregulatã

h

A l = suma ariilor

feþelor lateraleA

t = A

l + A

B + A

b

V =h

B b B b3 A A A A + + ⋅( )

Prisma dreaptã

h

A l = suma ariilor

feþelor lateraleA

t = A

l + 2A

b

V = A b · h

Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare.Conul

G h

RG 2 = h2 + R2

A l = p RG

A t = p R( R + G )

V =p R2h

3

Trunchiul de con

G h

r

RG 2 = h2 + ( R – r )2

A l = pG ( R + r )

A t = A

l + A

B +A

b

V =ph

· (R2 + r 2 + Rr ) 3

Cilindrul

G h

RG = h

A l = 2p RG

A t = 2p R( R + G )

V = p R2h

Cubul

a d

aa

A t = 6a2

V = a3

d = a 3

Sfera

R

A sferei = 4p R2

V bilei

=4p R3

3

Paralelipipeduldreptunghic

b d

ac

A t = 2(ab + bc + ca)

V = abc

d = a b c2 2 2+ +




Testul 1 (Autor: prof. Ana Poştaru) (Bareme la pagina 188)

SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile.

1. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 2,34 este .......... (5p)

2. Jumătate din sfertul numărului 48 este .......... (5p)

3. Dacă 3 x – 2 y = 16 , atunci 73 – 6 x + 4 y este egal cu.......... (5p)

4. Triunghiul MAT are perimetrul 108 cm. Dacă Q, P , S sunt mijloacele laturilor ( AM ), ( AT )

respectiv ( MT ), atunci perimetrul triunghiului QPS este egal cu.......... cm. (5p)

5. Aria unui cerc, având lungimea de 10 π cm, este egală cu .......... cm2. (5p)

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate peste zi pe muntele Semenic

în ziua de 10 ianuarie 2012. Temperatura medie înregistrată peste zi este ..........°C (5p)

ora 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

temp. – 3 – 2 – 2 – 1 0 0 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 0 0

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb MATE cu m A( ) = °40 . (5p)

2. Arătaţi că oricare ar cifrele x şi y nenule 10 10 15 xy yx−( ) . (5p)

3. Profesorul de sport doreşte să aşeze participanţii la o întrecere sportivă în coloane de câte

4, 6 sau 9 elevi, dar constată că rămân de ecare dată câte 2 elevi neîncolonaţi.

a) Care este numărul elevilor, ştiind că este cel mult egal cu 50? (5p)

b) Care este numărul minim de elevi ce pot aşezaţi în coloane de 4, 6 sau 9 elevi? (5p)

4. Fie mulţimea A x x= ∈ − ≤ − <{ } | .3 2 1 5 Calculaţi suma elementelor mulţimii A. (5p)

5. Fie A = −

1 44 14 4 61

4

3

20, ; , ; ; ; ; .π Calculaţi A \ . (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

1. În gura alăturată este schiţa unei grădini ornamentale.

Semicercurile mici sunt identice şi au razele r egale

cu jumătate din raza R a semicercului mare.

r r A

C

B

Dr r

R

R

a) Exprimaţi perimetrul întregii guri în funcţie de r şi

numărul iraţional π. (5p)

b) Calculaţi aria semicercului colorat cu gri, pentru

r = 10 m şi π = 3,14. (5p)

c) Calculaţi aria suprafeţei dreptunghiulare ABCD, ştiind

că r = 2 3 m. (5p)

d) Câte kg de seminţe de gazon sunt necesare, pentru cultivarea suprafeţei ABCD în cazul

r = 2 3 m, dacă 1 kg de seminţe ajunge pentru 30 m2? (5p)



551. Recapitularea materiei din clasele V – VII

2. O suprafaţă de forma unui trapez dreptunghic ABCD

trebuie pavată cu plăci de gresie.

45° A

D C

E B

CD = 3 m; AD = 2 CD; m B( ) = °45 .

a) Calculaţi aria trapezului ABCD. (5p)

b) Calculaţi câtă gresie trebuie cumpărată, ştiind că 10% din cantitate se pierde la tăierea

acesteia. Exprimaţi în număr întreg de m2. (5p)

Testul 2 (Autor: prof. Gina Caba) (Bareme la pagina 189)

SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.

1. Rezultatul calculului 15 2 9− ⋅ este egal cu .......... (5p)

2. Numărul 3 3n ⋅ se scrie ca putere astfel .......... (5p)

3. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 12 este .......... (5p)

4. Lungimea laturii unui pătrat cu aria de 36 m2 este egală cu ..........m. (5p)

5. Un trapez dreptunghic ABCD are m

A( ) = °90 , AB = 6 dm, BC = 5 dm, CD = 9 dm. Atunci

perimetrul trapezului este egal cu ..........dm. (5p)

6. În gracul de mai jos, este prezentată evoluţia euro/leu în perioada 31 august -

17 septembrie 2012. Cel mai mare curs s-a înregistrat în ziua de .......... (5p)

l e

i

1-17 septembrie 2012

(sursa: www.cursbnr.ro)





1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb cu o latură de 3 cm şi un unghi ascuţit de 30°. (5p)

2. Un elev are 14 ani. Peste câţi ani va avea de trei ori vârsta de acum? (5p)

3. Într-o urnă sunt 50 de bile numerotate de la 1 la 50. Care este probabilitatea ca, luând laîntâmplare o bilă, pe aceasta să e scris:

a) un număr prim? (5p)

b) un număr pătrat perfect? (5p)

4. Stabiliţi dacă numărul A = − + + −4 2 3 4 2 3 6 3 este pozitiv, negativ sau zero. (5p)

5. Simplicaţi fracţia2 3

2 3

1

1

n n

n n

+

+⋅

⋅ , unde n ∈ *, astfel încât să obţineţi o fracţie ireductibilă.(5p)


1. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren împărţit 3

3

4

4

în două triunghiuri dreptunghice având catetele

de lungimi 3 m, respectiv 4 m, şi un triunghi echilateral.

a) Terenul se împrejmuieşte cu gard a câte 6 rânduri desârmă.

Câţi m de sârmă trebuie cumpăraţi? (5p)

b) Pe suprafeţele triunghiurilor dreptunghice se însămânţează gazon, necesarul ind de

0,025 kg seminţe pe metrul pătrat, iar costul pe 1 kg gazon este 32 lei.

Cât a costat gazonul? (5p)

c) Pe suprafaţa triunghiului echilateral s-au trasat patru ronduri (ca în gură) ecare în

formă de triunghi echilateral asemenea cu triunghiul iniţial, având lungimile laturilor de4 m, 3 m, 2 m, respectiv 1 m. Pe ecare latură de rond s-au plantat tufe de trandari la

distanţe egale cu 0,5 m între ele.

Câte tufe de trandari au fost necesare şi cât s-a plătit, ştiind că la piaţă se vând 3 tufe la 10 lei? (5p)

2. Cercul din desenul alăturat are raza de 12 cm. Calculaţi:

l 12a) lungimea laturii triunghiului echilateral înscris în cerc; (5p)

b) apotema triunghiului echilateral înscris în cerc; (5p)

c) raportul dintre aria triunghiului şi aria discului. (5p)




Testul 3 (Autor: prof. Marinela Canu) (Bareme la pagina 191)


1. Restul împărţirii numărului 564 la 10 este .......... (5p)

2. Dintre numerele 2,34 şi 2,3(4) este mai mic numărul .......... (5p)

3. Fie mulţimea A = {0; 3; 5; 6; 8; 9}. Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din A,

acesta să e divizibil cu 3, este egală cu .......... (5p)

4. În triunghiul ABC dreptunghic în A, [ AM ] este mediană având lungimea de 18 cm.

Lungimea ipotenuzei este egală cu .......... cm. (5p)

5. Lăţimea unui teren dreptunghiular este 8 m, iar lungimea

gardului ce-l înconjoară este de 50 m. Lungimea

dreptunghiului este egală cu .......... m. (5p)

8 m

6. În schema de mai jos este prezentată:

Cea mai mare valoare s-a înregistrat în anul .......... (5p)


1. 12 muncitori termină o lucrare în 15 zile.

În câte zile vor termina aceeaşi lucrare 18 muncitori? (5p)

2. Preţul unui produs este egal cu 120 lei. Prima dată preţul creşte cu 50% şi apoi scade

tot cu 50%.

Care va preţul nal al produsului? (5p)




Testul 4 (Autor: prof. Nadia Bărbieru) (Bareme la pagina 192)


1. Rezultatul calculului:

(– 1)3 + (– 1)2 + (– 81) : (+ 3) este egal cu .......... (5p)

2. Inversul numărului 3 7+ este .......... (5p)

3. Dacă 25 3 x , atunci valoarea lui x este .......... (5p)

4. În triunghiul ABC , m cm cm A AB AC ( ) = ° = =90 8 12; ; .

Aria triunghiului este egală cu ..........cm2. (5p)

5. Într-un dreptunghi ABCD, BC = 7 cm, AC BD O∩ = { } şi m AOD( ) = °60 .

Lungimea diagonalei [ AC ] este egală cu ..........cm. (5p)

6. La un test de matematică elevii unei clase au obţinut următoarele note:

Nota1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr.elevi

7

6

5

4

32

1

Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mare decât 6 este .......... (5p)


1. Desenaţi un trapez dreptunghic MNPQ. (5p)

2. O cutie de bomboane costă 12,5 lei. Dacă o persoană plăteşte suma de 62,5 lei, câte cutii de bomboane a cumpărat? (5p)

3. Fie numerele a1 = 2; a2 = a

1 · 1 + 1; a3 = a

1 · 2 + 2; ...; a10 = a

1 · 9 + 9.

a) Aaţi suma acestor numere. (5p)

b) Cât la sută reprezintă suma numerelor pare din suma numerelor impare? (5p)

4. Arătaţi că numărul A = ++

+ ⋅ −18 246 8

2 26 242 2

2 22 2 este natural. (5p)

5. Descompuneţi în factori: 4 x3 – 24 x2 + 36 x. (5p)





1. Un parc este de forma unui trapez isoscel ABCD, cu AD BC , AC ⊥ CD şi m ( DAC ) = 30°, iar AB = 6 dam.

A Dg. 1

C B a) Dacă parcul este înconjurat cu un gard, aaţi lungimea acestuia. (5p)

b) Calculaţi aria trapezului. (5p)

c) Aaţi aria triunghiului ABC . (5p)

2. Figura 2 reprezintă schiţa unei grădini cu ori în formă

A

M

N D

C B

g. 2

de dreptunghi, cu AB = 10 m, BC = 10 3 m,

şi BM ⊥ AC . Dreapta BM se prelungeşte astfel încât BM AD N ∩ = { }.

a) Aaţi lungimile segmentelor [ AC ] şi [ BM ]. (5p)

b) Arătaţi că m ( CBM ) = 60° (5p)

c) Determinaţi valoarea raportului

AMN

ADC

. (5p)

Testul 5 (Autor: prof. Florentina Enea ) (Bareme la pagina 194)


1. Rezultatul calculului 5 + 5 : 5 este egal cu .......... (5p)

2. Media aritmetică a numerelor 8, 9, 11, 18 este .......... (5p)

3. Dacă 2 este soluţia ecuaţiei mx – 5m = 15, atunci valoarea parametrului m este .......... (5p)

4. Un triunghi echilateral are o latură cu lungimea de 8 3 cm.

Raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p)

5. Dacă aria dreptunghiului ABCD este 24 cm2 şi M ∈ (CD),

atunci aria triunghiului AMB este egală cu ..........cm2.

A B

D M C (5p)

6. În gracul alăturat este

reprezentată evoluţia

inaţiei în perioada

ian. 2010–dec. 2010. Inaţia a avut cea

mai scăzută

valoare în luna

....................... (5p)

(sursa: reectiieconomice)





1. Desenaţi un trapez isoscel de baze [ AD] şi [ BC ]. (5p)

2. Calculaţi 2 –1 + 3 –1 + 6 –1. (5p)

3. Fie A = {– 9; 4; – 10; 7} şi B = {2 x – 1; – 32; 5 y; (– 2)2} cu x, y ∈ .

a) Ştiind că x = 0 şi y = 2, scrieţi elementele comune mulţimilor A şi B. (5p)

b) Ştiind că A = B, determinaţi valorile numerelor x şi y. (5p)

4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 3 x – 2 < 5. (5p)

5. Stabiliţi dacă numărul p = + + −( ) − −3 4 3 12 2 32 2 2este natural. (5p)


1. În patrulaterul convex ABCD, M ∈ ( AB).

Dacă MN AC , N ∈ ( BC ) şi MP AD, P ∈ ( BD),

arătaţi că:

a) NP CD; (5p)

b) CN

BC

BP

BD+ = 1. (5p)

2. În triunghiul ABC cunoaştem AB = 2 cm, AC = 2 3 cm, BC = 4 cm. a) Arătaţi că triunghiul ABC este dreptunghic. (5p)

b) Calculaţi d( A, BC ). (5p)

c) Calculaţi sin2 B + sin2C. (5p)

d) Calculaţi lungimea segmentului [ BM ], unde M este mijlocul segmentului ( AC ). (5p)

Testul 6 (Autor: prof. Adrian Ciupitu) (Bareme la pagina 195)


1. Calculând 1111 : 11 – 11 se obţine rezultatul .......... (5p)

2. Dacă x = 5 şi y + z = 20, atunci xy + xz este egal cu .......... (5p)

3. Calculând sin cos2 230 30° + ° obţinem rezultatul .......... (5p)

4. Complementul unghiului de 44°16´ este unghiul .......... ° ..........´ (5p)

5. Cel mai mare număr natural de forma x y4 divizibil cu 2 este .......... (5p)

A

D

C B

M

N

P




6. În gracul de mai jos este prezentată creşterea preţurilor la materiile prime

pe plan mondial în perioada 8 iunie – 3 august 2010.

O creştere de aproximativ 60% s-a înregistrat la .......... (5p)

(sursa: Ziarul Financiar)


1. Aaţi preţul unui obiect care, după o scumpire cu 25% costă 15 lei. (5p)

2. Determinaţi mulţimea A x x

= ∈

⋅ −( )

∈

| .15

3 4 (5p)

3. Se dau numerele: a = −2 3 şi b = +2 3.

a) Arătaţi că a · b = 1. (5p)

b) Calculaţi (a – b)2. (5p)

4. Un dreptunghi are dimensiunile de 9 cm şi 16 cm. Aaţi lungimea diagonalei pătratului

echivalent cu dreptunghiul dat. (5p)

5. Măsura unuia dintre unghiurile rombului ABCD este egală cu 60°.

Aaţi aria şi perimetrul rombului, dacă lungimea diagonalei mici este de 6 cm. (5p)


1. Numerele naturale x, y şi z sunt direct proporţionale cu 2; 5 şi 9.

a) Aaţi cât la sută din y reprezintă x. (5p)

b) Dacă 2 · x +3 · y + 4 · z = 275, să se determine x, y şi z . (5p)

2. Fie trapezul ABCD, AB CD. Ştiind că AB = BC = AD = 12 cm şi AC ⊥ AD.

a) Arătaţi că ( AC este bisectoarea unghiului BCD. (5p)

b) Aaţi măsurile unghiurilor trapezului. (5p)

c) Calculaţi aria şi perimetrul trapezului. (5p)

d) Calculaţi distanţa de la A la BC . (5p)




Testul 7 (Autor: prof. Constantin Apostol) (Bareme la pagina 196)


1. Ştiind că p

q10

2

3

11= = , valoarea raportului

p

q, scrisă ca fracţie zecimală, este .......... (5p)

2. Rezultatul calculului: 3 · 2,1 + 0,3 · 21 + 0,03 · 0,21 · 103 este egal cu .......... (5p)

3. Pentru ca egalitatea

2

33

2

x

x= să e o proporţie, x trebuie să e egal cu .......... (5p)

4. În triunghiul ABC , D BC ∈ ( ) , perimetrul triunghiului ABD este egal cu 10 cm, perimetrul

triunghiului ADC este egal cu 12 cm şi perimetrul triunghiului ABC este egal cu 14 cm.

Atunci AD = ........cm... (5p)

5. Pentru ca raportul 2 31

mm

+− să e număr natural, cea mai mică valoare a lui m este .......... (5p)

6. Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 2012 este prezentată în gracul de mai

jos. Rata a fost de 5,1% în luna .......... (5p)

Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 2012(la sfârşitul lunii)

Ian.2012

4,4%

4,5%4,6%

4,7%

4,8%

4,9%

5%

5,1%5,2%

5,3%

5,4%

Feb.2012

Mar.2012

Apr.2012

Mai

2012Iun.2012

(sursa: Institutul Naţional de Statistică)


1. Desenaţi un triunghi şi puneţi în evidenţă toate unghiurile sale exterioare. (5p)

2. Arătaţi că oricare ar a ∈*, numărul A a a a a=

+( ) +( ) +( )1 2 3

4 se poate scrie ca un

produs de două numere naturale consecutive. (10p)




3. Fie triunghiul ABC cu m A( ) ≠ °90 . Pe dreapta AC se consideră punctul D, astfel încât

BA = BD şi pe dreapta AB se consideră punctul E , astfel încât CA = CE . Notăm cu M ,

mijlocul segmentului ( AD) şi cu N , mijlocul segmentului ( AE ). Fie P BM CN { } = ∩ .

Demonstraţi că dreptele AP şi BC sunt perpendiculare. (10p)

4. Ştiind că a = − + −3 5 9 4 5 şi b = − − −7 1 11 4 7 , arătaţi că 22

a ba b

−+

este

număr raţional. (5p)


1. Determinaţi numerele a, b, c, ştiind că sunt proporţionale cu 3; 2; 2 şi 3a + 2b + 2c = 17. (10p)

2. Fie numerele raţionale x, y, z , astfel încât să aibă loc egalitatea: x

x y

y

y z

z

z x+ +

+ +

+ = 2.

a) Demonstraţi că xyz ≠ 0. (5p)

b) Arătaţi că y

x y

z

y z

x

z x+ +

+ +

+ = 1 (5p)

3. Într-un cerc cu raza de 6 cm se înscrie un patrulater convex ABCD, având m A( ) = °60

şi m B( ) = °45 . Calculaţi lungimile diagonalelor acestui patrulater. (5p)

4. Se dă triunghiul ABC şi D, piciorul bisectoarei din C . Ştiind că triunghiurile ABC şi CDB

sunt asemenea, calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC . (5p)

Testul 8 (Autor: prof. Marilena Faiciuc) (Bareme la pagina 197)


1. Rezultatul calculului (– 2) · (– 3) – (– 4) · (– 5) este .......... (5p)

2. Rezultatul calculului −

−

⋅

2

3

2

3

3

2

3 2

: este numărul întreg .......... (5p)

3. Dintre 3 5 şi 2 10 este mai mare .......... (5p)

4. Fie triunghiul ABC cu m A( ) = °90 , AD ⊥ BC , D BC ∈ ( ). Dacă m ABC ( ) = °40 ,

atunci m CAD( ) = .......... (5p)

5. Aria unui romb cu latura de 10 cm şi măsura unui unghi de 60° este egală cu ......... (5p)

6. Dacă 20% din numărul total de elevi ai unei clase, adică 5 elevi, joacă baschet, atunci

în clasă sunt .......... elevi. (5p)





1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic MNPQ. (5p)

2. O cantitate de 5500 kg carto se distribuie la 3 cantine direct proporţional cu numărul

abonaţilor ecăreia. Aaţi câte kg primeşte ecare cantină, ştiind că prima are 100 de abonaţi, a doua 200 de

abonaţi, iar a treia 250 de abonaţi. (5p)

3. Un elev citeşte o carte în 3 zile: în prima zi citeşte o treime din numărul total de pagini, a

doua zi jumătate din numărul paginilor rămase şi încă 10 pagini, iar a treia zi ultimele 60 de

pagini.

Aaţi câte pagini are cartea. (5p)

4. Pentru a umple un bazin cu apă se folosesc zilnic simultan cele 4 robinete care au acelaşi

debit şi astfel bazinul se umple în 4 ore. Într-una din zile, după o oră, unul dintre robinete

s-a înfundat.

Aaţi în cât timp după defecţiune celelalte 3 robinete vor umple bazinul. (5p)

5. Dacă elevii unei clase se grupează câte 2, câte 3 sau câte 5, rămâne de ecare dată un elev

negrupat.

Aaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul elevilor este mai mic decât 40. (5p)

6. Determinaţi numerele naturale a şi b astfel încât 3a + 2b = 14. (5p)


1. Un elev desenează un cerc cu raza de 6 cm, după care, pornind

din punctul A, cu aceeaşi deschidere a compasului ca şi raza

cercului, marchează succesiv pe cerc punctele B, C , D, E , F .

a) Demonstraţi că următoarea marcare va în punctul A. (5p)

b) Calculaţi aria triunghiului ACE . (5p)

A D

C

E

B

F c) Arătaţi că CE BF . (5p)

2. Fie trapezul ABCD cu AB CD, AB = 15 cm, CD = 5 cm, AD = 6 cm, BC = 8 cm.

a) Dacă CF AD, F AB∈ ( ) , calculaţi m FCB( ). (5p)

b) Calculaţi aria trapezului ABCD. (5p)

c) Dacă BC AD S ∩ = { } , calculaţi aria triunghiului SAB. (5p)




Testul 9 (Autor: prof. Costică Lupu) (Bareme la pagina 199)


1. Rezultatul calculului4

3

5

13

5

2

1

4

1

5− ⋅ −

1⋅

, este egal cu.......... (5p)

2. Dacă x y− + − =1 3 9 0, atunci x = .........., y = .......... (5p)

3. Dacă x y

3 5= , atunci

x

y

2

2 = .......... (5p)

4. Dacă apotema unui hexagon regulat este 2 3 cm, atunci aria hexagonului

este egală cu .......... cm2. (5p)

5. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de 9 cm şi 12 cm. Ipotenuza triunghiului

are lungimea de .......... cm. (5p)

6. În diagrama de mai jos este prezentată evoluţia creditelor restante în sistemul bancar.

Cea mai mare sumă restantă a fost de ........... mld. lei. (5p)

Evoluţia creditelor restante

Sume restante (mld. lei)dec.2011

21

21,7

22,2

22,8

23,5

24

24,8

ian.2012feb.2012mar.2012

apr.2012mai

2012iun.2012

(sursa: BNR)


1. Ştiind că x, y şi z sunt proporţionale cu 2, 4 respectiv 6 şi x

y z

+

+

=1 5

24

,

determinaţi x, y şi z . (5p)

2. Determinaţi cifra a, astfel încât numărul a a64 2 13− ⋅ să e raţional. (5p)

3. Arătaţi că pentru orice n ∈ , numărul a n n n n= ⋅ − ⋅+ + + +3 4 2 62 2 2 3 2 1 2 3 ,

este pătrat perfect. (5p)

4. Pe cercul C (O, 2) luăm punctele A, B, C , D, în această ordine, astfel încât m AB ( ) = °70 ,

m BC ( ) = °110 , m CD ( ) = °130 .

a) Aaţi: m ADC ( ) , m DBC ( ) , m ABD( ). (5p)

b) Aaţi aria triunghiului BOD. (5p)

5. Să se arate că, trapezul ABCD ( AB CD), în care AB = 4 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm şi

AD = 6 cm, este dreptunghic. (5p)





1. Fie punctele A (0; – 6) şi B (8; 0), iar M mijlocul segmentului [ AB].

a) Aaţi lungimea segmentului [ AB]. (5p)

b) Determinaţi coordonatele punctului M . (5p)

2. Fie un triunghi dreptunghic isoscel ABC , cu m A( ) = °90 . Mediana [ AI ], I ∈ BC se

prelungeşte cu [ ID] ≡ [ AI ].

a) Demonstraţi că punctele A, B, C , D formează un pătrat. (5p)

b) Demonstraţi că mijloacele laturilor acestui pătrat formează de asemenea un pătrat. (5p)

3. Triunghiul ABC are AB = 7 cm, AC = 24 cm, BC = 25 cm. Determinaţi:

a) Aria triunghiului. (5p)

b) Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [ BC ]. (5p)

Testul 10 (Autor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (Bareme la pagina 200)


1. Rezultatul calculului 45 20 5−( ) : este egal cu .......... (5p)

2. Media geometrică a numerelor a = 1,(6) şi b = 0,6 este .......... (5p)

3. Un dreptunghi are lungimea egală cu 8 cm, iar lăţimea cu 2 cm mai mică. Atunci perimetrul este egal cu .......... cm. (5p)

4. Rezultatul calculului 20% · 1200 – 8% · 3000 este .......... (5p)

5. Punctul de intersecţie a dreptelor care includ înălţimile unui triunghi se numeşte .......... (5p)

6. În diagrama alăturată suma

procentelor primelor două

(cele mai căutate) specializări

din învăţământul superior

este egală cu ..........% (5p)

Structura studenţilor, pe grupe de specializări, din învăţământul superior, în anul universitar 2011/2012

28,3%tehnice

26,3%universitar-pedagogice

1,6%artistice10,1%

medico-farmaceutice

12,5%

juridice

21,2%ştiinţe economice



1. Fie ABCD un romb. Desenaţi şi denumiţi axele de simetrie ale rombului. (5p)2. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi şi

a

b c

b c

a+ =

−, justicaţi că triunghiul este

dreptunghic. (5p)




3. Calculaţi 0 25 1

237 1

238 2012

, − −

⋅ + −( ) (5p)

4. Să se rezolve ecuaţia: x

x

= 1. (5p)

5. Exprimaţi printr-o formulă:

a) Dublul lui a este cu 7 mai mare decât b. (5p)

b) Triplul lui x reprezintă 20% din y. (5p)


1. a) Determinaţi valorile lui n ∈ pentru care n2 17+ ∈. (5p)

b) Calculaţia b

a b b a++ , unde a, b ∈ +*. (5p)

c) Care este zecimala de pe poziţia 603 a numărului1

7? (5p)

2. Se dă dreptunghiul ABCD în care O AC BD{ } = ∩ . Ştiind că tg m ACB( )( ) = 2 şi că

perimetrul dreptunghiului este 12 cm, aaţi:

a) Aria dreptunghiului. (5p)

b) Aria triunghiului BOC . (5p)

c) cos (m( < BOC )). (5p)

Testul 11 (Autor: prof. Marius Farcaş) (Bareme la pagina 201)


1. Rezultatul calculului 16 9 25− + este egal cu .......... (5p)

2. Un ceas electronic indică ora 08:08. Ceasul va arăta din nou numere identice la ore şiminute peste minimum .......... minute. (5p)

3. Virgil a cumpărat de la piaţă 3 kg de mere cu 3 lei/kg şi 5 kg de mere cu 5 lei/kg. Preţul

mediu al unui kg de mere este de ..........lei/kg. (5p)

4. Bunicul măsoară grădina de formă dreptunghiulară şi obţine 45 paşi pe lăţime şi 75 paşi pe

lungime. Pasul bunicului este de 80 cm.

Aria grădinii este egală cu .......... m2. (5p)

5. După ce a parcurs două treimi dintr-un traseu montan, un turist constată că a depăşit cu

2 km borna ce indică mijlocul traseului.

Lungimea traseului este de ..........km. (5p)




6. Cheltuielile efectuate de o familie în

timpul unei luni sunt prezentate în

diagrama alăturată.

Dintr-un venit de 3000 lei, cheltuielile

cu activităţile extraşcolare ale copiilor

excursii10%

îmbrăcăminte15%

transport

15%

20%

40%alimente

activităţi extraşcolare sunt de ........lei. (5p)


1. Desenaţi două triunghiuri echilaterale ABC şi ABD care au latura comună [ AB]. (5p)

2. Aaţi elementele mulţimilor A şi B, ştiind că:

A B a b c d e f ∪ = { }, , , , , , A B a c e∩ = { }, , şi A B b− = { } . (5p)

3. Dacă mutăm 10 cărţi de pe primul raft al bibliotecii pe al doilea, pe acesta vor de două

ori mai multe cărţi decât pe primul. Dacă mutăm 10 cărţi de pe al doilea raft pe primul raft,

atunci pe cele două rafturi vom avea acelaşi număr de cărţi.

Câte cărţi sunt pe ecare raft al bibliotecii? (5p)

4. Fie numărul a = ⋅ +12 21505 10816 .

a) Aplicaţi algoritmul pentru a extrage 10816 . (5p)

b) Calculaţi a. (5p)

5. Calculaţi 4 8 5 27 9 2 5 25 3 332 12 5 2 60 25 25 4 70 25 4 30 102

⋅ − ( ) +

( ) − + ( ) ⋅ : : : .. (5p)


1. O maşină de calcul are trei butoane. Butonul roşu dublează numărul de pe ecran, butonul

verde măreşte cu 10 numărul de pe ecran, iar butonul albastru, micşorează cu 10 numărul

de pe ecran.

a) Dacă pe ecran este scris numărul 10 şi se acţionează butonul roşu, apoi cel verde, apoi

cel albastru, ce număr se obţine? (5p)

b) Ce număr era iniţial pe ecran, dacă în urma acţionării butoanelor roşu, albastru, verde,

roşu, se obţine numărul 20? (5p)

c) Dacă pe ecran este scris numărul 2, care este ordinea acţionării de 3 ori a ecărui buton,

astfel încât numărul obţinut să e cel mai mare posibil? (5p)




2. Pentru realizarea unei piscine, un arhitect construieşte un cerc cu centrul în A şi raza de 5

m, apoi construieşte un cerc cu centrul în B, punct al primului cerc,

şi raza tot de 5 m şi, la nal, un cerc cu centrul în C , punctul

A B

C

de intersecţie a primelor două cercuri şi raza 5 m. (Suprafaţa

astfel obţinută reprezintă suprafaţa piscinei.) a) Care este distanţa maximă pe care o poate parcurge

un înotător în linie dreaptă? (5p)

b) Triunghiul ABC marchează zona cu adâncimea cea

mai mare. Care este perimetrul acestuia? (5p)

c) Pe peretele interior piscinei este montată o balustradă

de inox care înconjoară piscina. Care este lungimea acestei balustrade? (5p)

Testul 12 (Autor: prof. Dana Radu) (Bareme la pagina 202)


1. Rezultatul calculului−

+2

3

4

7 este egal cu .......... (5p)

2. Atunci când se dublează preţul unui obiect, acesta se scumpeşte cu .......... (5p)

3. Dacă lungimea unui dreptunghi este 5 cm şi perimetrul are 16 cm, atunci lăţimea sa este

egală cu ........... cm. (5p)

4. Aproximarea cu o eroare mai mică de o sutime prin lipsă a numărului − 2 este .......... (5p)5. În gura alăturată, patrulaterul ABCD are AB CD ,

AB = 10 cm, CD = 6 cm. Dacă M , N , P , Q sunt mijloacele

segmentelor [ AD], [ BC ], [ AC ], respectiv [ BD], atunci

lungimea segmentului [ PQ] este PQ = ..........cm. (5p) A B

C D

N Q P

M

6. În diagrama alăturată este prezen-

tată evoluţia salariului mediu net

în Bucureşti în perioada 2002-2010. Nivelul maxim s-a înregistrat în

anul .......... . (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Desenaţi, pe foaia de examen, un hexagon regulat ABCDEF. (5p)

2. Determinaţi numerele raţionale a şi b, ştiind că 2a b= . (5p)




5. Se consideră prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral.

Se ştie că AB = 8 cm şi AA' = 3 3 cm.

Distanţa de la A' la BC este egală cu .......... cm. (5p)

6. În gura alăturată sunt reprezentate temperaturile înregistrate în zilele de miercuri, joi,

vineri şi sâmbătă ale primei săptămâni din

anul 2012. Temperatura

medie pentru zilele de

miercuri, joi şi vineri

este de .......... ºC. (5p)Miercuri Joi Vineri Sâmbătă ziua

Temperatura (ºC)

15 º

10º

5º


1. Desenaţi, pe foaia de examen, prisma regulată dreaptă triunghiulară ABCDEF. (5p)

2. Se consideră mulţimea A x x= Î <ìíïï

îïï

üýïï

þïï |

13

4. Enumeraţi elementele mulţimii A Ç* . (5p)

3. La sfertul numărului x se adună jumătatea acestuia. Din această sumă se scade 1,25 şi se

obţine 5,5. Determinaţi numărul x. (5p)

4. Se consideră expresia E x x x

x x( ) , \ { }=

+ +

-Î ±

2

2

10 25

255 .

a) Simplicaţi E ( x). (5p)

b) Rezolvaţi ecuaţia E x x( ) ( )= - -5 1 . (5p)

5. Arătaţi că numărul N x x x x= + - + - + -( ) ( )( ) ( )5 2 10 5 52 2 este pătratul unui număr real

oricare ar x Î . (10p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Un vas în formă de prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătrat şi muchia bazei de

lungime egală cu 5 cm şi înălţime de 12 cm, conţine apă până la o treime din înălţime. a) Calculaţi tangenta unghiului format de diagonala [ D'B] a prismei şi planul ( ABCD). (5p)

b) Calculaţi perimetrul triunghiului D'AC .

(5p) c) La ce înălţime se va ridica apa, dacă vasul, închis etanş, se va aşeza astfel încât baza să

aibă dimensiunile 5 cm şi 12 cm? (5p)

2. Figura alăturată, reprezintă schiţa unui spaţiu comercial de forma unui romb ABCD. În interiorul acestuia se aă un spaţiu destinat vânzării produselor alimentare reprezentat în gură de pătratul BEDF , iar punctele E şi F aparţin dreptei AC.

A

B

C

D

E

F

Se ştie că AC = 48 m şi BD = 14 m.

a) Calculaţi aria întregului spaţiu comercial. (5p) b) Calculaţi aria spaţiului în care nu se vând produse alimentare. (5p)

c) Calculaţi perimetrul spaţiului comercial ABCD. (5p)



732. Recapitularea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a semestrul I

Testul 14 (Autor: prof. Doina Moldoveanu) (Bareme la pagina 204)

SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.1. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 12 este .......... (5p)

2. Descompunerea în factori primi a numărului 20 este .......... (5p)

3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 şi 20 este .......... (5p)4. O sobă consumă 15 kg de lemne pe zi de iarnă. Cantitatea de 750 kg de lemne ajunge pentru .......... zile (5p)

5. Un atlet a alergat într-o zi 12 km, a doua zi 14,2 km, a treia zi 16,8 km şi a patra zi 18 km. Distanţa medie parcursă pe zi de către atlet este de .......... km (5p)

6. Oana avea de rezolvat în weekend 12 exerciţii la matematică. Dacă a rezolvat sâmbătă 75% din temă, pentru duminică i-au rămas .......... exerciţii. (5p)


1. La un magazin se fac două oferte la acelaşi produs: i) La 5 kg de zahăr cumpărat primiţi 1 kg în plus. ii) La ecare două kilograme de zahăr cumpărat, aveţi o reducere de 10%. Care ofertă este mai avantajoasă? (5p)

2. Unghiurile AOB şi AOC sunt adiacente, (OD este bisectoarea unghiului BOC . Cunoscândm( AOC ) = 14° şi m(COD) = 22°, calculaţi:

a) m( BOD). (5p) b) m( AOB). (5p)

3. Masa individuală a elevilor are blatul de lemn de formă dreptunghiulară cu lungimea de 80 cm şi lăţimea de 65 cm. Calculaţi perimetrul mesei. (5p)

4. Ileana propune Mariei un joc: gândeşte-te la un număr, înmulţeşte-l cu 5, adună cu 8 şi veiobţine acelaşi rezultat ca atunci când înmulţeşti acel număr cu 2, aduni cu 5 şi toată suma o înmulţeşti din nou cu 2. Ce număr a găsit Maria? (5p)

5. Roata stricată a unei biciclete a rămas cu 6 spiţe, deci s-au format 6 unghiuri în jurul unui punct. Dacă măsurile a 5 dintre ele sunt: 80°, 45°, 65°, 70° şi respectiv 60°, cât este măsura celui de-al şaselea unghi? (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. O sală de clasă cu lungimea de 10,8 m, lăţimea de 6 m şi înălţimea de 4 m, care are o uşă de

1,80 m înălţime şi 1,20 m lăţime şi trei ferestre dreptunghiulare cu dimensiunile de 2,5 m şi2 m, se văruieşte (pereţii şi platforma). a) Calculaţi suprafaţa uşii şi suprafaţa unei ferestre. (5p)

b) Ştiind că la 1 m2 se folosesc 0,2 kg de var şi că se văruieşte de două ori, aaţi câte kilograme de var sunt necesare. (5p)

c) Dacă pentru un elev sunt necesari 8 m3 de aer, care este numărul maxim de elevi ce pot învăţa în acea clasă? (5p)

2. Un autoturism se deplasează pe o autostradă cu viteză constantă de 120 km/h. Dacă a plecatde la ora 6 şi s-a oprit la ora 11, aaţi:

a) Ce distanţă a parcurs după 2 ore? Dar după 3 ore? (5p) b) Reprezentaţi grac mişcarea autoturismului. (5p)

c) După câte ore a parcurs 540 km? (5p)






1. Rezultatul calculului 2 · 13 – 52 este egal cu .......... (5p)

2. Media aritmetică a numerelor 19 şi 91 este .......... (5p)

3. Fie mulţimile A = { }3 5 7; ; şi B = { }2 5 6; ; . Mulţimea A B∪ este egală cu .......... (5p)

4. Un romb are latura de lungime 12 cm. Perimetrul rombului este egal cu .......... cm. (5p)

5. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC , având lungimile catetelor AB = 3 cm, AC = 4 cm,

în punctul A, se ridică perpendiculara pe planul triunghiului pe care se consideră

punctul V astfel încât AV = 2,9 cm. Distanţa de la V la planul ( ABC ) este de .......... cm. (5p)

6. În diagrama alăturată este

prezentată evoluţia salariului mediu brut pe ţară în perioada

august 2011 – iulie 2012.

Diferenţa dintre cel mai mare şi

cel mai mic venit salarial mediu

lunar a fost de ......... lei. (5p)


1. Prin punctul O, de intersecţie a diagonalelor pătratului ABCD, se ridică perpendiculara

[OV ] pe plan şi se ia punctul V , astfel încât VO = 2 3 cm. Construiţi segmentul a cărui

lungime reprezintă d(V , AB). (5p)

2. Perimetrul şi aria unui triunghi echilateral sunt exprimate prin acelaşi număr real. Aaţi lungimea laturii triunghiului. (5p)

3. Un funcţionar avea salariul de 1200 lei lunar. În anul 2010 veniturile salariale au fost reduse

cu 25%, iar în anul următor cu încă 10%.

a) Care a fost salariul lunar net al funcţionarului în anul 2010? (5p)

b) Cu ce sumă s-a redus salariul lunar după a doua reducere şi cât câştigă acum

funcţionarul? (5p)

4. Un unghi ascuţit al unui trapez isoscel este de 45°, iar bazele au lungimile de 24 cm, respectiv 18 cm. Calculaţi aria trapezului. (5p)

5. Fie numerele x = 23 · 3 · 54 · 1320 şi y = 2 · 32 · 53 · 1320. Aaţi x

y. (5p)






1. Un fermier deţine un teren de formă dreptunghiulară, latura estică având lungimea de

102 m, iar cea sudică de 108 m. El doreşte să planteze arbuşti fructiferi, pe rânduri,

respectând condiţiile:

• Distanţa dintre rânduri, precum şi de la arbuştii de pe margine la gardul care va împrejmuisuprafaţa să e de 3 m;

• Distanţa dintre arbuşti (pe ecare rând) să e de 1 m;

• Rândurile orientate de la nord la sud.

a) Câte rânduri trebuie să proiecteze şi câte plante îi sunt necesare? (Rotunjiţi la sute.) (5p)

b) Gardul trebuie să e înalt de 1,80 m şi din plasă de sârmă (aceasta se vinde numai la role

de 50 m). Ce lăţime trebuie să aibă plasa, ştiind că aceasta trebuie îngropată 20 cm

în pământ şi câte role trebuie să cumpere? (5p)

c) Câţi stâlpi sunt necesari pentru construcţia gardului, ştiind că aceştia se plasează din 3 m în 3 m? (5p)

d) Faceţi un calcul estimativ pentru îninţarea acestei culturi, ştiind următoarele costuri:

1 plantă: 4,5 lei bucata, 1 rolă de plasă de sârmă: 480 lei,

1 stâlp: 12 lei, iar sistemul de irigaţii costă 9000 lei. (5p)

2. Pentru irigarea unei culturi, un gospodar are nevoie de un sistem de irigare prin picurare.

Vânzătorul i-a pus la dispoziţie o schemă ca în gura de mai jos. Cultura gospodarului este

pe 8 rânduri, având lungimea de 50 m, distanţa dintre rânduri ind de 3 m, iar până la sursa

de apă sunt 150 m.

a) Câţi m de tub şi câţi m de ţeavă polietilenă trebuie să achiziţioneze? (Ţineţi cont

de faptul că este necesar un surplus de 10% la materiale pentru eventuale pierderi.) (5p)

b) Calculaţi necesarul de componente: ltru pentru nisip, racorduri, dopuri şi cârlige

pentru xare, conform schemei şi legendei date. (5p)

LEGENDĂ

Sursa

de apăţeavăaducţiune

Lungime tuburi (l ) ţ e

a v ă

d i s t r i b u ţ i e L

u n g i m e s u p r a f a ţ ă ( L )




Testul 16 (Autor: prof. Ana Poştaru) (Bareme la pagina 206)


1. Rezultatul calculului 12 6 6 3: −( ) este .......... (5p)

2. Probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri suma punctelor de pe feţe să e un număr prim este .......... (5p)

3. Media geometrică a numerelor 5 1− şi 5 1+ este .......... (5p)

4. Un cerc are aria 1,44π cm2. Lungimea cercului este .......... π cm. (5p)

5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este 72 2 cm.

Diagonala unei feţe are lungimea de .......... cm. (5p)

6. Cheltuielile făcute de o gospodină timp de o săptămână sunt trecute în tabelul de mai jos.

Suma cheltuită în medie pe zi este de .......... lei. (5p)

Ziua

săptămâniiL Ma Mi J V S D

Suma

cheltuită(lei)

25 21 16,5 28 12 18,5 20

(exprimaţi suma cu două zecimale)


1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată şi haşuraţi bazele. (5p)

2. Ioana şi Alexandru au împreună 54 de creioane colorate. Dacă Ioana i-ar da lui Alexandru

20 de creioane, acesta ar avea un număr dublu de creioane faţă de Ioana.

Câte creioane are ecare? (5p)

3. În cabinetul de biologie se desfăşoară un experiment folosindu-se microscoapele din dotare.

Dacă se aşază câte doi copii la un microscop, un copil rămâne neaşezat. Dacă se aşază câte

trei copii la un microscop, la un microscop se aşază doar doi copii şi cinci microscoape

rămân libere.

a) Câţi copii sunt în clasă? (5p)

b) Câte microscoape sunt în cabinet? (5p)

4. Arătaţi că x x x x2 2

6 9+( ) + +( ) + este pătrat. (5p)

5. Rotunjiţi la zecimi numărul 2 2. (5p)





1. Trapezul MATE , din gura alăturată, reprezintă suprafaţa unei camere de mansardă.

a) Exprimaţi în funcţie de x aria

A M

x 3 m

2 m

4 m

S

N E T

triunghiului SET . (5p) b) Câţi m2 de parchet sunt necesari

pentru parchetarea încăperii MATE ? (5p)

c) Câţi m de plintă sunt necesari, ştiind

că pe latura [ MA] este prevăzută o uşă

cu lăţimea de 1 m? (5p)

(exprimaţi printr-un număr întreg)

d) Calculaţi aria suprafeţei MATS ,

pentru x = 2 m. (5p)

2. În gura alăturată, este reprezentată o parte dintr-un teren de baschet.

a) Calculaţi lungimea arcului de cerc CD ,

A

a

B

O

C

D

ştiind că [CD] este un diametru al cercului din care

provine arcul CD şi CD = 4 m. (5p)

b) Demonstraţi că tangenta în A la arcul CD

(notată a) este perpendiculară pe planul ( BOA). (5p)

c) Calculaţi distanţa de la B la dreapta a ştiind că

OB = 3,5 m. (5p)




Testul 17 (Autor: prof. Marinela Canu) (Bareme la pagina 208)


1. Opusul numărului 3 + 1 – 31 este .......... (5p)

2. Fie y un număr real. Rezultatul calculului 2 y : 2 + 2 y este egal cu.......... (5p)

3. Numărul natural din mulţimea A = ( ) − −{ }0 3 9

3

5

249 0 5, ; ; ; ; , este .......... (5p)

4. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A cu AC = 12 cm. Dacă sin B = 0,8, atunci

lungimea [ BC ] este egală cu .......... cm. (5p)

5. Punctele A, B, C , D se aă pe un cerc în această ordine.

B

C

D A

35°Măsura unghiului ABD este de 35°. Atunci măsura unghiului

ACD este egală cu ..........°. (5p)

6. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ . Valoarea de adevăr a propoziţiei:

„Dreptele AB şi B′C′ sunt coplanare“ este .......... (5p)


1. Câţi m3 de pietriş sunt necesari pentru a acoperi aleea unui parc lungă de 35 m

şi lată de 2,2 m, dacă pietrişul trebuie să aibă o grosime de 12 cm? (5p)

2. Un grup de 88 de turişti este condus de un ghid care le cere: „împărţiţi-vă în două grupe,

astfel încât o cincime din numărul turiştilor din grupa întâi să e egală cu o şesime a

numărului din grupa a doua“. După câteva minute un turist spune: „40 în grupa întâi,

48 în grupa a doua“. Cum a calculat? (5p)

3. Fie E ( x) = x3 + 2 x2 – x – 2.

a) Descompuneţi E ( x) în factori. (5p)

b) Demonstraţi că E (n) 6, n ∈ *, n3 . (5p)

4. Fie x = −( ) + −( ) − −( )25 5 5 125 336 21 12 4 0

: : şi y =

−

+

+

−

+15

4 11

8

11 3

1

211 11: .

a) Vericaţi dacă x ∈ −∞( ); 368 (5p)

b) Aaţi partea întreagă a numărului y. (Se notează [ y]). (5p)


1. O tablă de oţel în formă de hexagon regulat, cu latura de 60 cm, trebuie vopsită pe ambele

părţi.

a) Aaţi suprafaţa ce trebuie vopsită. (5p) b) Să se calculeze cantitatea de vopsea necesară, dacă pentru 6,5 cm2 se consumă 1,5 g de

vopsea. (5p)




2. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3 cm, BC = 4 cm, E mijlocul laturii [ AD],

AC BD O∩ = { }. De aceeaşi parte a planului ( ABCD) se ridică perpendicularele [ MB] şi

[CP ] astfel încât MB = 1 cm şi PC = 5 cm. Se cer:

a) d ( P ; E ); (5p)

A

B

M

D

C

P

b) d ( P ; AD); (5p) c) poziţia planelor ( MAB) şi ( PDC ); (5p)

d) m (( MA, DC )); m (( MP , AD)). (5p)

Testul 18 (Autor: prof. Nadia Bărbieru) (Bareme la pagina 209)


1. Soluţia ecuaţiei – x + 4 = 7 este egală cu .......... (5p)

2. Fie mulţimea A = {4; 9; 8} şi mulţimea B = {32, x, 23}. Ştiind că A = B atunci valoarea

lui x este egală cu .......... (5p)

3. Dacă x + y = 30 şi y + z = 15 atunci 2 x + 7 y + 5 z este egală cu .......... (5p)

4. Un pătrat are latura de 8 cm. Atunci raza cercului circumscris pătratului este egală cu ... (5p)

5. Fie ABCDA'B'C'D' cub. Măsura unghiului dintre dreptele AD' şi D'C este de ..........°. (5p)

6. Figura de mai jos reprezintă gracul deplasării unui autoturism pe parcursul a 7 ore.

În acest interval de timp autoturismul a parcurs .......... km. (5p)

1

100

150

210

300

365

Distanţa(km)

Timpul în ore2 3 4 5 6 7




Testul 19 (Autor: prof. Florentina Enea) (Bareme la pagina 211)


1. Restul împărţirii numărului 2500 la 300 este egal cu .......... (5p)

2. Cel mai mare număr întreg mai mic decât – 5,25 este .......... (5p)

3. 12

x este număr natural dacă x ∈ .......... (5p)

4. În paralelogramul NMPQ, măsura unghiului P este de 48° 30' 10" .

Atunci măsura unghiului N este .....°.....′.....″. (5p)

5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 72 cm.

Lungimea diagonalei cubului este de ..........cm. (5p)

6. Dacă ABCDA'B'C'D' este cub atunci m (C'BD) = ..........°. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC . (5p)

2. Fie expresia E ( x, y) = x2 + 4 y2 + 6 x + 12 y + 18.

a) Calculaţi E (2; 0). (5p)

b) Aaţi numerele reale x şi y, ştiind că E ( x, y) = 0. (5p)

3. Fie m = − + −3 2 1 2 şi n = +( ) − −( )1 2 1 22 2

.

Determinaţi media aritmetică şi media geometrică a celor două numere. (5p)

4. Determinaţi mulţimea soluţiilor reale, scrisă sub formă de interval, a inecuaţiei x + <2 1 . (5p)

5. Determinaţi perimetrul dreptunghiului de dimensiuni x şi y ştiind că x2 + y2 = 25

şi xy = 12. (5p)


1. În trapezul isoscel ABCD ( AB CD) cu măsura unghiului A de 60° şi laturile neparalele

congruente cu baza mică [CD], arătaţi că: a) AC ⊥ BC. (5p)

b) Dacă punctul M este mijlocul laturii [ AB], atunci DM ⊥ AC . (5p)

c) Dacă AB = 8 cm, determinaţi perimetrul triunghiului ABP , unde P AD BC { } = ∩ . (5p)

2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc muchiile AB = 2 3 cm,

BC = 2 6 cm, AA′ = 3 2 cm. Punctele M şi N sunt mijloacele muchiilor

[ B'C' ], respectiv [ A'D' ].

a) Demonstraţi că planele ( AA'M ) şi (CC'N ) sunt paralele. (5p)

b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele AM şi CN . (5p)

c) Determinaţi distanţa de la B la AM . (5p)




Testul 20 (Autor: prof. Adrian Ciupitu) (Bareme la pagina 212)


1. Rezultatul calculului 24 3 8 12 4 3+( ) ( ): este egal cu .......... (5p)

2. Rezultatul calculului 24 3 8 12 4 3+( ) ⋅: este egal cu .......... (5p)3. Partea întreagă a numărului – 0,25 este .......... (5p)

4. Suma lungimilor muchiilor unui tetraedru regulat, de muchie 5 cm este egală cu .......cm.(5p)

5. Dacă 3 x + 8 = y şi x = – 1, atunci y = .......... (5p)

6. Diagonala cubului de muchie 2 3 cm este egală cu ..........cm. (5p)


1. Determinaţi numărul natural ab , scris în baza 10 de numeraţie, a≠

b, dacă

ab

ba =

3

8 . (5p)2. Aaţi numerele care, împărţite la 4, dau câtul 10 şi restul diferit de zero. (5p)

3. Pe planul triunghiului isoscel ABC , cu AB = AC = 5 cm şi BC = 8 cm, se ridică

perpendiculara [ AM ], AM = 3 cm. Calculaţi:

a) Distanta de la M la BC . (5p)

b) Aria triunghiului MBC . (5p)

4. Rezolvaţi în ecuaţia |2 x + 1| = 7. (5p)

5. Trapezul ABCD, de baze ( AB) şi (CD), şi dreptunghiul CDEF se găsesc plane diferite.

Arătaţi că dreptele BE şi AF sunt concurente. (5p)


1. Se consideră un trapez isoscel cu bazele 4 2 şi 8 2 şi

diagonalele perpendiculare. Calculaţi: A B

C D

O

4 2

8 2

a) Înălţimea trapezului. (5p)

b) Lungimea liniei mijlocii a trapezului. (5p)

c) Aria trapezului. (5p)

d) Lungimea înălţimii corespunzătoare bazei triunghiuluiisoscel format din prelungirea laturilor neparalele ale trapezului

cu baza mare a trapezului. (5p)

2. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDEFGH

A

E

D

H

B

F

C

G

cu lungimea laturii bazei de 6 2 cm şi muchia laterală de

lungime egală cu 6 3 cm.

a) Aaţi distanţa de la E la AD. (5p)

b) Determinaţi măsura unghiului format de planele

( EBD) şi (GBD). (5p)




Testul 21 (Autor: prof. Costică Lupu) (Bareme la pagina 214)


1. Rezultatul calculului 2 8 3 18 5 50− + este egal cu.......... (5p)

2. Dacă 3 x – 2 = 0, atunci 2 3 9 5 3 9 12 132 2 x x x x x+( ) ⋅ + + ⋅ + + = .......... (5p)

3. Suma

S =+

++

++

+ ++

1

2 1

1

3 2

1

4 3

1

121 120... este este egală cu.......... (5p)

4. Laturile unui triunghi sunt de 4 cm şi 5 cm, iar unghiul cuprins între ele de 30°.

Aria triunghiului este .......... cm2. (5p)

5. Diagonalele unui romb sunt de 6 cm şi 8 cm. Perimetrul rombului este de .......... (5p)

6. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de 15 cm şi 20 cm.

Înălţimea corespunzătoare unghiului drept este de .......... (5p)


1. Fie funcţia f : → , care verică relaţia: f ( x – 1) = 3 x + 4 – f (1), oricare ar x ∈ .

a) Calculaţi f (1) + f (– 1). (5p)

b) Determinaţi funcţia f . (5p)

c) Rezolvaţi în inecuaţia: f ( x) + 5≤

12. (5p)2. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 2a şi BC = a. Fie P , Q, R mijloacele laturilor

[ AB], [ AD] şi [ BC ]. Demonstraţi că:

a) Triunghiul PQD este congruent cu triunghiul PRC . (5p)

b) [ DP este bisectoarea unghiului ADC . (5p)

c) Precizaţi natura triunghiului PDC . (5p)


1. Fie cubul ABCDA'B'C'D' din gura alăturată.

A

A'

D

D'

B

B'

C

C'

a) Scrieţi trei drepte paralele cu planul ( ADD' ). (5p)

b) Precizaţi două drepte perpendiculare

pe planul ( ACC' ). (5p)

2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu

AB = AA' = 8 3 cm şi BC = 8 cm.

a) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele AB şi D'C . (5p)

b) Aaţi lungimea diagonalei [ AC' ]. (5p)




3. Piramida triunghiulară VABC are baza ABC triunghi echilateral, iar feţele laterale

triunghiuri dreptunghice isoscele şi muchiile laterale de lungime 6 cm. Calculaţi:

a) aria bazei; (5p)

b) aria unei feţe laterale. (5p)

Testul 22 (Autor: prof. Marilena Faiciuc) (Bareme la pagina 215)


1. Un număr din \ este .......... (5p)

2. Rezultatul calculului 2 3 3 2 12 18− + − este numărul natural .......... (5p)

3. Mulţimea { x ∈ | x < 3} scrisă sub formă de interval este .......... (5p)

4. Un tetraedru are un număr de .......... vârfuri. (5p)

5. Fie ABCD un paralelogram situat în planul α, AC BD O∩ = { } şi un punct V ∉ α.

Intersecţia planelor (VAC ) şi (VBD) este dreapta .......... (5p)

6. În cubul ABCDA'B'C'D' , măsura unghiului format de AB' şi CD' este egală cu .........°. (5p)


1. Desenaţi un triunghi dreptunghic ABC inclus în planul α şi un punct D ∉ α. (5p)

2. Stabiliţi dacă 2 8 2 18 4 50 2 28+ −( ) + −( ) = . (5p)

3. Dacă x ∈ −{ } \ ; ; ,2 0 2 arătaţi că x

x x x

x

x x

− −

+ −

−

−

= +2

1

2 4

1

4 2 82 3

2 2: . (5p)

4. Calculaţi 2 3 2 32

+ − −( ) . (5p)

5. Stabiliţi dacă 5 2 2 5 30

5 2 2 5

1−( ) ⋅

+

− este număr natural. (5p)

6. Aaţi x ∈ astfel încât − + =2 1 5 x . (5p)


1. Picioarele unei mese de călcat, ( BC ) şi ( AD), au

A B

C

O

d 1

d 2

d 3

Dd

4

aceeaşi lungime şi se deschid astfel încât

triunghiul AOB este dreptunghic isoscel,

AB ⊥ d 1, AB ⊥ d

2, CD ⊥ d

3, CD ⊥ d

4

(d 1, d

2, d

3, d

4 sunt dreptele suport ale

tijelor de susţinere).

a) Stabiliţi de ce planul mesei (ce conţine AB, d 1 şi d

2) este paralel cu podeaua. (5p)

b) Dacă AB = 40 cm şi CO = 2 BO, calculaţi CD şi AD. (5p)




2. Pe planul triunghiului ABC , cu AC = 20, BC = 15 şi m(C ) = 90°, se ridică

perpendicularele ( AA' ), ( BB' ), (CC' ) astfel încât AA' = CC' = 16 şi BB' = 26.

a) Arătaţi că CC' ( ABB' ) şi că AC ⊥ ( BCC' ). (5p)

b) Calculaţi perimetrul triunghiului A'B'C' ; A'C' ⊥ C'B', (5p)

c) Calculaţi distanţa de la

A' la BC .(5p)

d) Calculaţi distanţa de la C' la AB. (5p)

Testul 23 (Autor: prof. Constantin Apostol) (Bareme la pagina 216)


1. Dacă media aritmetică a numerelor 7 şi x este egală cu media geometrică

a aceloraşi numere, atunci x = .......... (5p)

2. În triunghiul ABC are loc relaţia: AC 2 = AB2 + BC 2. Atunci laturile perpendiculare ale

triunghiului sunt ........ şi ......... (5p)

3. Dacă numerele 3 x şi 5 y sunt proporţionale cu 7 şi 7, atunci x

y = .......... (5p)

4. Media geometrică a pătratelor numerelor 2 3 şi 3 2 este egală cu .......... (5p)

5. O piramidă are, în total, 30 de vârfuri, muchii şi feţe. Atunci:

▪ numărul de vârfuri este egal cu ..........

▪ numărul de muchii este egal cu ..........

▪ numărul de feţe este egal cu .......... (5p)

6. Pentru ca să putem restrânge în pătratul unei diferenţe de două numere reale,

la expresia 9m2 + 3m + 1, trebuie să adunăm .......... (5p)


1. Calculaţi aa

22

1+ , ştiind că a2 – 3a + 1 = 0. (5p)

2. Determinaţi măsurile unghiurilor unui triunghi, ştiind că trei dintre unghiurile sale

exterioare au măsurile proporţionale cu numerele 14; 14 şi 11 şi suma măsurilor

celorlalte trei, egală cu 330°. (10p)

3. Rezolvaţi în × ecuaţia: x2 – y2 + 4 x – y + 3 = 0. (5p)

4. Se dă numărul impar n. Arătaţi că există o singură pereche de numere

naturale consecutive (a, b), pentru care a2 – b2 = n. (5p)

5. Arătaţi că orice triunghi, care are două laturi proporţionale cu numerele 2 6 şi 3 2 ,

iar unghiul dintre ele are măsura de 30°, este dreptunghic. (5p)





1. Determinaţi toate numerele naturale nenule, care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi,

împărţite la 23, dau, de asemenea, câtul egal cu restul. (5p)

2. Fie numerele reale pozitive a, b, c, astfel încât

b c

a

+

=

+3 1

2 şi

a c

b

+

= 3.

a) Determinaţi valoarea raportuluia b

c

+. (5p)

b) Arătaţi că a, b, c pot lungimile laturilor unui triunghi, ale cărui unghiuri

pot determinate. (10p)

3. a) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate scris ca produs de trei numere

consecutive, atunci acesta poate scris şi ca sumă de trei numere consecutive. (5p)

b) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate scris ca produs de patru numere

consecutive, acesta nu poate scris ca sumă de patru numere consecutive. (5p)



1. Dintre fracţiile 2

5 şi 3

7 mai mare este .......... (5p)

2. Media aritmetică a numerelor a = − +2 3 3 2 1 şi b = − +5 12 18 este .......... (5p)3. Dacă suplementul unui unghi este egal cu dublul măsurii sale, atunci măsura unghiului este

..........° (5p)

4. Ştiind căa

b=

3

4, atunci raportul

7 3

5 2

a b

a b

−+

este egal cu .......... (5p)

5. Partea întreagă a numărului – 23,13 este .......... (5p)

6. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au .......... comună. (5p)


1. Determinaţi măsura unghiului format de dreptele AB cu D'C în cubul ABCDA'B'C'D' . (5p)

2. Descompuneţi în produs de factori ireductibili expresia x4 + 2 x2 + 9. (5p)

3. Un segment de dreaptă are lungimea de 2 3 cm şi face cu un plan α un unghi de 30°.

Aaţi lungimea proiecţiei segmentului pe plan. (5p)

4. Fie mulţimile A x x

= ∈ ≤ −

<

1 3 1

23 şi B x x= ∈ − ≤{ } 1 1 .

a) Determinaţi A şi B. (5p) b) Determinaţi A B∩ . (5p)

5. Diagonala unui cub este 6 3 cm. Aaţi aria totală a cubului. (5p)





1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH . (5p)

2. Se consideră mulţimea A = [– 3; 5). Enumeraţi elementele mulţimii A N ∩ . (5p)

3. Media aritmetică a patru numere este 4,5, iar media aritmetică a primelor două este 6.

Aaţi media aritmetică a ultimelor două. (5p)

4. Numerele reale x şi y verică relaţiile x2 + y2 = 85 şi x + y = 13.

a) Calculaţi valoarea produsului xy. (5p)

b) Dacă x > y, calculaţi x – y. (5p)

5. Arătaţi că numărul

a =−( )

+ +( )

⋅ +( )−1

5 2 6

5 2 6 5 2 62012

2012 2012 este natural. (5p)


1. Un teren de sport are dimensiunile din gură şi40 m

4 m 1 0 m

1 0 m

1 5 m

este vopsit în două culori astfel: cercul din

centru, precum şi cele două semicercuri cu

vopsea galbenă, iar restul cu vopsea albastră.

a) Care este aria terenului? (5p)

b) Dacă pentru vopsirea unui metru pătrat de

teren este necesară o cantitate de 200 ml

de vopsea, câte cutii cu capacitatea de 0,5l de vopsea galbenă sunt necesare pentru vopsirea

terenului? (Se consideră π 3,14) (5p)

c) Câte cutii de vopsea albastră, cu capacitatea de 2l, sunt necesare

pentru vopsirea terenului? (5p)

2. Alex şi tatăl lui au construit o cuşcă pentru iepuri,

ca în desenul alăturat (cuşca este fără fund pentru

a permite iepurilor să mănânce iarba).

Dimensiunile cuştii sunt: 1 m lungimea, 80 cm lăţimea

şi 60 cm înălţimea.

Scheletul metalic este construit din ţeavă, iar feţele

laterale şi cea superioară au fost acoperite cu o plasă de sârmă.

a) Dacă pierderile sunt de 20%, care este lungimea ţevii necesară construcţiei? (5p)

b) Care este aria plasei ce acoperă cuşca? (5p)

c) Într-o zi iepurii mănâncă iarba de pe 2 m2.

De câte ori trebuie mutată cuşca în timpul a 10 zile? (5p)




Testul 26 (Autor: prof. Marinela Georgescu) (Bareme la pagina 221)


1. Dacă 2 · ( x + 3) = 10, atunci numărul x este egal cu .......... (5p)

2. Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 5 ore atunci 2 muncitori vor termina lucrarea în .......... ore. (5p)

3. După o majorare cu 20% un stilou costă 54 lei. Preţul iniţial al stiloului a fost de ..... lei. (5p)

4. Un paralelogram are dimensiunile de 6 cm şi 10 cm. Măsura unghiului ascuţit al

paralelogramului este egală cu 30°. Aria paralelogramului este egală cu .......... cm 2. (5p)

5. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' din gura alăturată.

A B

C

D

A' B'

C' D'

Măsura unghiului dintre dreptele D'A şi A'B este egală cu .......... º. (5p)

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute deelevii unei clase la testul de matematică

NOTA SUB 5 6 7 8 9 10

NR. ELEVI 2 3 7 4 6 8

Numărul elevilor care au obţinut note cel puţin egale cu 7 este egal cu .......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată care are baza ABC

şi vârful V . (5p)

2. Se consideră mulţimea A = { x Î / |x − 2| ≤ 3}. Enumeraţi elementele mulţimii A Ç . (5p)

3. Numărul întreg n se adună cu dublul numărului 4,5. Suma obţinută se înmulţeşte cu 2,(3) şi

se obţine rezultatul 14. Determinaţi numărul necunoscut. (5p)

4. Se consideră funcţia f : → . f ( x) = 3 x − 2.

a) Reprezentaţi grac funcţia f . (5p)

b) Determinaţi numărul real m pentru care punctul A (m; n) aparţine reprezentării grace a funcţiei f . (5p)

5. Se consideră numărul real a x x

= -æ

èççç

ö

ø÷÷÷ + + × - -

-æ

èççç

ö

ø÷÷÷2

1

33 1 1 3

1 6

3

22 2

2

( ) ( ) .

Determinaţi numărul întreg negativ x, astfel încât x 2 = a. (5p)


1. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 3 m, 4 m şi 12 m, este plincu apă. Se goleşte toată apa din acest vas într-un vas cubic cu lungimea muchiei de 6 m.

a) Calculaţi câţi litri de apă sunt în vasul paralelipipedic. (5p)

b) Calculaţi aria laterală a vasului cubic. (5p)

c) Calculaţi înălţimea la care se ridică apa în vasul cubic. (5p)




2. Figura alăturată reprezintă schiţa unei grădini în formă de

A M B

D P C

Q N

pătrat în interiorul căreia se aă un rond de ori, circular şi

tangent laturilor ( AB), ( BC ), (CD) şi ( DA) în punctele

M , N , P şi Q. Se ştie că AB = 4 m (3,14 < π < 3,15).

a) Calculaţi aria rondului.

(5p)

b) Vericaţi dacă dublul ariei porţiunii gri este mai

mare decât aria rondului. (10p)

c) Arătaţi că, oriunde am planta 2 copaci în zona gri a

grădinii, distanţa dintre aceştia este mai mică decât 6 m. (5p)

Testul 27 (Autor: prof. Dana Radu) (Bareme la pagina 222)


1. Numerele întregi care se aă în intervalul [−1,2; 3 ] sunt .......... (5p)

2. Primele două zecimale exacte ale numărului −2,13 + 1,98 sunt ........... (5p)3. Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 cm este .......... cm 2. (5p)

4. În gura alăturată, triunghiul ABC este isoscel,

B

A

C

D E

m( A) = 20º, iar triunghiurile ABD şi ACE

sunt echilaterale.

Măsura unghiului format de dreptele

BA şi AE este ..........º. (5p)

5. Numărul cu 8 mai mare decât numărul egalcu 3% din 300 este .......... (5p)

6. Fie cubul ABCDA'B'C'D' .

A B

C D

A' B'

C' D'

Măsura unghiului format

de dreptele BC' şi A'B este .......... º. (5p)


1. Un burete conţine 99% apă şi cântăreşte 2 kg. Cât cântăreşte buretele uscat? (5p)

2. Determinaţi a, b Î ştiind că a b a b5 3 1 3 5 3 2 1+ + = - + + . (5p)




3. În gura alăturată, ABCD este un romb cu

60º

M

A

D C

B

E

lungimea laturii de 6 cm şi măsura unghiului A

de 60º. Pe perpendiculara în A pe planul

rombului ABCD se consideră punctul M astfel

încât AM = 8 cm.a) Completaţi gura cu diagonala [ AC ] şi

centrul O al rombului ABCD. (5p)

b) Calculaţi:

i) distanţa de la A la BC ( AE ̂ BC , E Î BC ); (2p)

ii) distanţa de la M la BC ; (1p)

iii) distanţa de la M la BD; (1p)

iv) distanţa de la C la planul ( MAB). (1p)

4. Arătaţi că oricare ar numerele reale nenegative a şi b, avem: a bab+ ³

2. (5p)

5. Care este soluţia ecuaţiei: 11 4 15 162( ) ( ), . x x x- = - Î (5p)


1. O rochie costă 600 lei. Rochia se ieftineşte cu 20% şi apoi se scumpeşte cu 15%.

a) Aaţi cât costă rochia după ieftinire. (5p)

b) Aaţi cât costă rochia după scumpire. (5p) c) Aaţi cu cât la sută trebuie modicat preţul nal pentru a egal cu cel iniţial. (5p)

2. În gura alăturată, ABCD este paralelogram şi a, b, c, d

A

D C

B

A'

D'

C'

a

d c

b

patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului

care trec prin punctele A, C , B, respectiv D.

Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d , în

punctele A' , B' , C' , D' .

a) Completaţi gura conform enunţului cu punctul B' şi

centrul O al paralelogramului ABCD. (5p)

b) Arătaţi că planele ADD'A' şi BCC'B' sunt paralele. (5p)

c) Arătaţi că A'B'C'D' este paralelogram. (5p)




Testul 28 (Autor: prof. Doina Moldoveanu) (Bareme la pagina 223)


1. Calculând 23 + 2 · 3 obţinem .......... (5p)

2. Aria unui pătrat cu latura de 3 3 este .......... m2. (5p)

3. Gigel a invitat câţiva prieteni la joacă şi a cumpărat o sticlă de 2 litri cu suc de portocale.

Dacă dă ecăruia câte un pahar de 200 ml cu suc, înseamnă că a invitat .......... prieteni. (5p)

4. Toţi elevii unei clase au susţinut teza la matematică. Rezultatele obţinute sunt reprezentate

în tabelul alăturat:

Număr elevi 1 2 2 7 4 7 2 2

Nota obţinută 3 4 5 6 7 8 9 10

În clasă erau .......... elevi. (5p)

5. Un unghi drept s-a împărţit prin două semidrepte interioare care pornesc din vârful său

în trei unghiuri congruente. Măsura unui astfel de unghi este de .......... °. (5p)

6. Din 45 de probleme, numai 36 sunt rezolvate corect. Probabilitatea ca profesorul

să găsească o problemă rezolvată corect este .......... (5p)


1. Mama a cumpărat 5 kg de carto cu 1,50 lei / kg, 4 kg de varză cu 1,20 lei / kg şi 2 kg

de carne cu 15 lei / kg. Ce rest a primit de la casă la o bancnotă de 50 lei? (5p)

2. O bluză costă 140 lei. Cât va costa bluza după o reducere de 25%? (5p)

3. La decolare un avion urmează o traiectorie care face cu planul pământului

un unghi de 30°. Menţinându-şi direcţia, după parcurgerea a 2 km, la ce înălţime faţă

de pământ va situat avionul? Alcătuiţi un desen corespunzător. (5p)

4. Figura de mai jos reprezintă o piesă de puzzle, cu dimensiunile indicate în cm. Ştiind că

este formată numai din segmente orizontale şi verticale, aaţi:

a) Perimetrul gurii. (5p)

b) Aria gurii din care provine piesa de puzzle. (5p)

2

4,5

5. Bunicul avea o suprafaţă de teren de 2000 m2 şi a împărţit-o celor 5 nepoţi ai săi în mod egal,

ecare parcelă având formă de pătrat. Calculaţi lungimea laturii unei astfel de parcele. (5p)





1. Un elev a cumpărat 4 creioane şi 2 stilouri şi a plătit 36 lei. Un alt elev a cumpărat

6 creioane şi 1 stilou (identice cu primele) şi a plătit 30 lei.

a) Cât costă un creion şi cât costă un stilou? (5p)

b) Care este numărul maxim de creioane pe care le poate cumpăra cu 81 lei,

ştiind că din toată suma cumpără creioane şi stilouri identice cu primele? (5p)

2. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate cu muchia bazei de 4 m şi muchia

laterală de 41

2 m. Cortul se închide cu un fermoar care porneşte din vârf şi ajunge în

mijlocul unei laturi a bazei.

a) Calculaţi lungimea fermoarului. (5p)

b) Calculaţi înălţimea cortului. (5p)

c) Calculaţi volumul cortului. (5p)

d) Unde trebuie instalat un bec pentru ca toate feţele laterale şi baza cortului

să e la fel de luminate? (5p)



953. Recapitulare finală


1. Un parc are forma unui pătrat cu latura de 120 m. El este

traversat de două alei perpendiculare având lăţimea x m.

a) Arătaţi că aria suprafeţei celor două alei este

x(240 – x) m2. (5p)

b) Exprimaţi aria spaţiului verde în funcţie de x. (5p)

c) În cazul x = 4, aaţi cantitatea de sămânţă de iarbă

necesară pentru întregul parc, ştiind că pentru 100 m2 de

se utilizează 2 kg de sămânţă. (5p)

x m

x m 1 2 0 m

120 m

d) Pentru pavarea unei singure alei, administraţia parcului a calculat un necesar de 12 000

dale de beton de formă dreptunghiulară având ecare lungimea de 20 cm şi lăţimea 15 cm.

Care este lăţimea unei alei şi câte dale sunt necesare în total pentru pavarea ambelor alei? (5p)

2. Doi stâlpi, având înălţimile de 10 m, respectiv 15 m

au fost xaţi vertical faţă de sol, la distanţa de 12 m

unul faţă de celălalt.

a) Aaţi distanţa dintre vârfurile celor doi stâlpi. (5p)

b) La ce distanţă faţă de sol se intersectează rele

care unesc vârful unui stâlp, respectiv cu baza celui

(5p) de-al doilea stâlp? 12 m

15 m

10 m x m



1. Rezultatul calculului – 2,8 · 100 este egal cu .......... (5p)

2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 20 este .......... (5p)

3. Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară faţa cu 3 puncte este ......... (5p)

4. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 4 cm este de ..........cm. (5p)

5. Aria totală a unui tetraedru regulat cu latura de 10 cm este egală cu .........cm2. (5p)

6. În tabelul de mai jos este prezentată distribuţia familiilor dintr-un sat, după numărul copiilor.

Conform tabelului, în sat sunt .......... copii. (5p)

Număr copii 0 1 2 3 4 5 6

Număr familii 7 17 23 16 13 10 5





1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată ABCA'B'C'. (5p)

2. Din două localităţi, situate la 180 km una faţă de cealaltă, pornesc simultan două

automobile care se întâlnesc după 2 ore. Care au fost vitezele automobilelor, ştiind că unul se deplasează cu 10 km/h mai repede decât celălalt? (5p)

3. Un elev are la dispoziţie plăci dreptunghiulare cu lungimea de 30 cm şi lăţimea de 20 cm.

a) Aaţi numărul minim de plăci dreptunghiulare necesare elevului pentru a construi

un pătrat. 5p)

b) Calculaţi lungimea laturii unui pătrat construit cu 24 dintre plăcile pe care le are

la dispoziţie elevul. (5p)

4. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = ax – a, unde a este număr real. Punctul A(2; – 3)

este situat pe dreapta care reprezintă gracul funcţiei f . Arătaţi că a = – 3 şi reprezentaţi

grac funcţia. (5p)

5. Arătaţi că ( )( )( )( )16

2 4 8 11 1 1 1

1

x x x x x

x

-+ + + + =

-, pentru orice x ≠ 1, apoi folosiţi rezultatul

pentru a calcula 1,1 · 1,01 · 1,0001 · 1,00000001. (5p)


1. În gura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic

în A, având AB = 4 cm, AD = 4 cm, CD = 7 cm.

Fie M un punct pe baza (CD) şi MD = x cm.

a) Calculaţi, în funcţie de x, aria trapezului ABMD. (5p)

b) Determinaţi poziţia punctului M astfel încât

D

A

C

B4

4

x

7 M

A ABMD = A

BCM. (5p)

2. Pentru a aa volumul unui corp de formă neregulată, Ioana îl scufundă într-un vas cu apă

având formă de cub. Se ştie că latura cubului este de 15 cm şi apa

în vas se ridică cu 7 cm.15

7

15

15

a) Cum trebuie să procedeze Ioana pentru a calcula corect

volumul corpului de formă neregulată? (5p)

b) Aaţi volumul corpului. (5p)

c) Câţi litri de apă ar putea turna Ioana în vas, după introducerea corpului de formă

neregulată? (5p)

d) Înălţimea corpului este neapărat egală cu înălţimea cu care se ridică apa în vas? (5p)






1. Rezultatul calculului4 8

:

3 5

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

este egal cu .......... (5p)

2. Media geometrică a numerelor 8 şi 18 este egală cu .......... (5p)

3. Aruncăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea

ca pe faţa de sus a zarului să apară un număr impar este .......... (5p)

4. În gura alăturată, cele două discuri au acelaşi centru O.

Diametrul discului mare este 8 cm, iar diametrul discului mic

este de 6 cm. Aria porţiunii haşurate este egală cu ..........cm2. (5p)

O

5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub ne trebuie 0,25 kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub

avem nevoie de ..........kg vopsea. (5p)

6. La un liceu cu 500 de elevi, repartizarea pe specializări

este prezentată în diagrama alăturată. Numărul elevilor

care învaţă la prolul ştiinţe ale naturii este .......... (5p)

18%

22%

45%matematicăinformatică

lologie

ştiinţe alenaturii

ştiinţe sociale


1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei

desfăşurare este prezentată alăturat. (5p)

3

33

3

3

1

1

1

2. Măsura unui unghi este de 3 ori mai mare decât măsura complementului său.

Aaţi măsurile celor două unghiuri. (5p)

3. La un concurs participă 36 de fete şi 45 de băieţi. Toţi participanţii sunt grupaţi în echipe

cu acelaşi număr de copii, iar ecare echipă are acelaşi număr de fete. a) Arătaţi că nu se pot forma 5 echipe. (5p)

b) Care este numărul maxim de echipe care se pot forma? Dar numărul minim? (5p)

4. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 2 x – 1. Reprezentaţi grac funcţia, apoi rezolvaţi

ecuaţia f ( x) = x2. (5p)

5. Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi

(a + b – c)(a – b + c) + (a + b + c)(a – b – c) = 0, arătaţi că triunghiul este dreptunghic. (5p)





1. Pentru a-şi pardosi baia, Maria alege un model cu

gresie albă sub formă de octogon şi gresie verde

sub formă de pătrate (ca în gura alăturată).

Ea ştie că plăcile albe au fost obţinute din pătrate

cu latura de 10 cm. Vânzătorul îi spune că ariaunei plăci verzi este de 6 ori mai mică decât aria

unei plăci albe.10 cm

10 cm

a) Ajutaţi-o pe Maria să calculeze dimensiunea

plăcilor verzi. (5p)

b) Câte plăci albe îi sunt necesare pentru a-şi

pardosi baia, ştiind că aceasta are forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 3 m şi 4 m? (5p)

c) Care este numărul minim de plăci verzi pe care trebuie să le cumpere Maria? (5p)

d) Plăcile albe se vând în cutii a câte 20 bucăţi, iar cele verzi în cutii a câte 100 bucăţi. Câte cutii din ecare fel trebuie să cumpere, ţinând cont că are nevoie de câte o cutie în plus

pentru eventuale pierderi? (5p)

2. O piramidă patrulateră regulată este aşezată pe un cub cu latura l .

a) Aaţi înălţimea piramidei, în funcţie de l, astfel încât volumele

celor două corpuri să e egale. (5p)

b) În cazul l = 2 m şi înălţimea aată la punctul a), aaţi cantitatea

de vopsea necesară pentru vopsirea corpului nou obţinut, ştiind că

pentru acoperirea unei suprafeţe de 1 m2 trebuie 200 ml vopsea. (5p)



1. Rezultatul calculului ( ) 2

0, 33

+ este egal cu .......... (5p)

2. Un obiect care costa 120 lei s-a ieftinit cu 15%. Obiectul s-a ieftinit cu .........lei. (5p)

3. Într-o urnă sunt 10 bile roşii şi 15 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila

extrasă să e roşie este ........... (5p)

4. Lungimea unui cerc de rază 7 cm este egală cu ..........cm. (5p)

5. O piramidă patrulateră regulată are înălţimea de 5 cm şi latura bazei de 6 cm. Volumul

piramidei este egal cu ..........cm3. (5p)

6. Diagrama alăturată reprezintă mediile obţinute la

matematică de elevii clasei a VIII-a C la

sfârşitul semestrului I. Numărul elevilor care

au obţinut media 9 este .......... (5p)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

123

4567

nr. elevi

nota





1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră cu toate muchiile congruente. (5p)

2. O persoană depune o sumă de bani la banca X unde dobânda este de 5% pe an şi o altă sumă

de bani la banca Y, unde dobânda este de 6% pe an. A câştigat 720 de lei după primul an

din dobânzi. Dacă ar inversat sumele depuse la cele două bănci ar câştigat 710 lei după primul an. Ce sume de bani a depus persoana? (5p)

3. Bunica are un coş cu ouă. Numărul lor este mai mare decât 70 şi mai mic decât 150. Dacă

numără toate ouăle din coş 3 câte 3, sau 4 câte 4, sau 5 câte 5, de ecare dată rămâne un ou.

a) Calculaţi cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 4 şi 5. (5p)

b) Câte ouă are bunica în coş? (5p)

4. Fie x şi y două numere naturale nenule. Raportul dintre x şi y este egal cu 0,25, iar media

aritmetică a celor două numere este 50. Aaţi cele două numere. (5p)

5. Ştiind că x + y = 3 şi xy = 2, calculaţi x2

+ y2

şi x4

+ y4

. (5p)


1. În gura alăturată ABCD este trapez ED CD⊥ , FC CD⊥ şi DE = CF = înălţimea trapezului ABCD. Aria trapezului

ABCD este 360 cm2, DC = 14 cm, DE = 12 cm.

a) Stabiliţi natura patrulaterului ABFE. (5p)

b) Calculaţi perimetrul gurii CDEF. (5p)

c) Aaţi suma ariilor triunghiurilor EAD şi FCB. (5p)

d) Ce procent din aria trapezului ABFE reprezintă aria

trapezului ABCD? (5p) A B

D C

F E

2. O cioară vrea să bea apă dintr-un vas, dar nivelul apei

este prea scăzut. Pentru a-şi satisface setea, cioara pune

pietricele în vas iar nivelul apei creşte până la marginea

vasului. Ştim că vasul are forma unei prisme patrulatere

regulate cu latura bazei de 20 cm şi înălţimea 150%

din latura bazei. Iniţial, nivelul apei era de 10 cm.a) Ce volum de pietricele a pus cioara în vas? (5p)

b) Câţi litri de apă erau în vas? (5p)



1. Rezultatul calculului 50% din 2010 este egal cu .......... (5p)

2. Fie mulţimea 10 A x

x

= ∈ ∈

. Atunci A = {..........}. (5p)

3. Aruncăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea ca pe faţa de

sus a zarului să apară cifra 7 este egală cu .......... (5p)




4. Hexagonul regulat ABCDEF are AD = 6 cm. Aria hexagonului este egală cu ..........cm2. (5p)

5. Un cub are muchia de 5 m. Volumul cubului este egal cu ..........cm3. (5p)

6. Distanţele de la domiciliu la şcoală pentru elevii şcolii din comuna Cucuieţi sunt înregistrate

în tabelul următor. Numărul elevilor şcolii este .......... (5p)

distanţa 0 – 1 km 1 – 2 km 2 – 3 km 3 – 5 km 5 – 10 km

număr de elevi 75 50 30 17 3


1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei

desfăşurare este prezentată în gura alăturată. (5p)

2. Două trenuri pleacă din aceeaşi gară, în aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. Primul tren pleacă cu

o oră înaintea celuilalt şi circulă cu viteza de 45 km/h. După cât timp al doilea tren îl va ajunge pe primul, ştiind că acesta se deplasează cu viteza de 60 km/h? (5p)

3. Fiecare dintre cei 160 de elevi ai clasei a VIII-a ai unei şcoli practică cel puţin un sport de

echipă. Dintre aceştia 92 joacă baschet şi 125 handbal.

a) Câţi elevi practică ambele sporturi? (5p)

b) Câţi elevi practică numai handbal? (5p)

4. Fie expresia21 7 1 2

( ) :3 1 3 2( 1)

x x E x x

x x x x

− += − + ⋅ − − − −

, unde x є \ { – 2; 1; 3}.

Arătaţi că E ( x) = x + 2. (5p)

5. Care este natura triunghiului MNP din gura

alăturată? (5p)

M

P

N

a

b a

b


1. În gura alăturată am construit cercul de diametru [ AB] şi

A B M x xO2O1

semicercuri de diametre [ AM ] şi [ MB].

Cunoaştem AB = 6 cm, M є [ AB] şi AM = 2 x cm.

a) Calculaţi aria suprafeţei marcate cu punctuleţe în cazul x = 1,5 cm. (5p)

b) Calculaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei haşurate. (5p)

c) Aaţi valoarea minimă, respectiv maximă, a ariei suprafeţei haşurate. (5p)

d) Pentru ce valoare a lui x, aria suprafeţei haşurate este de 20 cm2 ? (5p)

2. Georgel vrea să-şi instaleze în camera sa un dulap

nedemontabil procedând ca în desenul alăturat.

Înălţimea camerei este de 2,55 cm, iar dulapul este

înalt de 2,50 m, lat de 0,60 m şi îngust de 0,50 m.

a) Va reuşi Georgel, să ridice dulapul, procedând ca în

desen? (5p) b) Are şanse, totuşi, să instaleze dulapul sau trebuie să

cumpere altul? (5p)

0 ,6 0 m

2 , 5 0

m

2 , 5

5 m

2

1 4 1 4






1. Rezultatul calculului: 20 – 10 : 2 este egal cu .......... (5p)

2. Dacă 3 · | x| = 0, atunci x este egal cu .......... (5p)

3. Un cub are muchia de 6 cm. Diagonala cubului este de ..........cm. (5p)

4. Un triunghi are baza de 10 cm şi înălţimea corespunzătoare ei de 8 cm. Aria triunghiului

este .......... cm2. (5p)

5. Lungimea unui dreptunghi este de 10 cm, iar lăţimea cu 2 cm mai mică. Perimetrul

dreptunghiului este ..........cm. (5p)

6. Conform tabelului alăturat, avem o relaţie între

latura şi aria unui pătrat. Corespunzător laturii de

7 cm, aria va ..........cm2. (5p)

l 1 2 3 7

A 1 4 9 ? SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH. (5p)

2. În clasa a VIII-a A sunt 14 fete şi 12 băieţi. În clasa a VIII-a B sunt cu 4 fete mai puţin

şi cu 2 băieţi mai mult decât în clasa a VIII-a A. Câţi elevi sunt în clasa a VIII-a B? (5p)

3. Într-un bloc sunt apartamente cu 2 şi 3 camere, în total 35 de camere.

a) Vericaţi dacă în bloc pot 5 apartamente cu 3 camere. (5p)

b) Se poate să avem acelaşi număr de apartamente cu 2 respectiv 3 camere în acest bloc? (5p)

4. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 2 x – 1. Determinaţi a, b є , ştiind că punctele A(3, a) şi B(b, 1) aparţin gracului funcţiei f . (5p)

5. Arătaţi că: x5 – 5 x3 + 4 x = x( x – 2)( x – 1)( x + 1)( x + 2). (5p)


1. În gura alăturată avem un trapez isoscel ABCD cu AB = 24 cm,

CD = 8 cm şi CE = DF = x cm.

a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria patrulaterului DFEC.(5p)

b) Aaţi înălţimea trapezului, ştiind că perimetrul A

D C

B F E său este de 52 cm. (5p)

c) Cât la sută din aria trapezului ABCD reprezintă aria dreptunghiului DFEC ? (5p)

2. Figura alăturată reprezintă o prismă patrulateră

regulată cu înălţimea OO' = 12 cm şi baze ( ABCD) ,

( A'B'C'D' ) , AB = 32 cm.

a) Calculaţi aria laterală a piramidei O'ABCD. (5p)

b) Vericaţi dacă raportul dintre volumul piramidei

O'ABCD şi volumul prismei este 13

. (5p)

A'

O'

D' C'

B'

A

D C

B

M O







2. Ce element al mulţimii {1, 2, 3} este soluţie a ecuaţiei 2 x – 4 = 0? (5p)

3. Aria unei feţe a unui cub este 9 cm2. Muchia cubului are lungimea egală cu ..........cm. (5p)

4. Dacă lungimea unui dreptunghi este 8 cm şi lăţimea 4 cm, atunci perimetrul

dreptunghiului este egal cu ..........cm. (5p)

5. Raza unui cerc este de 3 cm. Aria discului este egală cu .........cm2. (5p)

6. Într-un şir de 5 numere naturale impare consecutive al doilea termen este 41. Suma

celor 5 numere este .......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată ABCA'B'C' . (5p)

2. Într-o cămară sunt trei lăzi cu mere, ecare având câte 20 de kg şi 4 lăzi cu pere, în

ecare ind 15 kg. Ce cantitate de fructe se aă în cele 7 lăzi? (5p)

3. La cercul de matematică au fost propuse mai multe probleme. Pentru ecare soluţie corectă

se acordă 5 puncte, iar pentru o soluţie eronată se scad 20 de puncte. Pentru 40 de probleme

un elev a primit 50 de puncte.

a) Câte probleme a rezolvat corect? (5p) b) Câte probleme a rezolvat greşit? (5p)

4. Fie f, g : → , unde f ( x) = x + 2 şi g ( x) = – x + 4.

Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grace ale funcţiilor. (5p)

5. Arătaţi că2

2

3 2 1

24

x x x

x x

+ + +=

−−, pentru orice x є \ { – 2; 2}. (5p)


1. În gura alăturată avem un trapez isoscel ortodiagonal ( AC este perpendiculară pe BD), cu AB = 12 cm, CD = 6 cm.

a) Aaţi înălţimea trapezului. (5p)

b) Arătaţi că A AOD

= A BOC

. (5p)

c) Cât la sută din aria triunghiului AOB reprezintă

O

D C

A B

aria triunghiului AOD? (5p)

2. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea VO = 4 cm şi muchia laterală de

5 cm, unde AC ∩ BD = {O}.

a) Calculaţi volumul piramidei. (5p) b) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (VBC ). (5p)

c) Arătaţi că ( ) BD VAC ⊥ . (5p)






1. Rezultatul calculului 1515 : 15 – 1 este .......... (5p)

2. Fie mulţimile A = {1; 2} şi B = { x – 1; 2}. Mulţimile A şi B sunt egale, atunci când x este egal cu ......... (5p)

3. Probabilitatea ca aruncând un zar să obţinem un număr par este .......... (5p)

4. Perimetrul unui hexagon regulat este de 24 cm. Atunci latura sa x are lungimea de .....cm. (5p)

5. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt de 3 cm, 4 cm şi 5 cm. Volumul

paralelipipedului este egal cu ..........cm3. (5p)

6. Un dispozitiv îşi dublează săritura după ecare salt. La primul salt el realizează 1,5 cm.

La al patrulea salt lungimea parcursă de dispozitiv este de ..........cm. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ( ABC ). (5p)

2. La un trial au participat 120 de sportivi. După prima probă au rămas jumătate dintre ei.

După următoarea probă au mai fost eliminaţi un sfert din cei rămaşi. Ştiind că la ultima

probă au părăsit competiţia încă 21 de sportivi, câţi dintre aceştia au rămas în nal? (5p)

3. Se dă relaţia: 2 x + 5 y = 20, unde x şi y sunt numere naturale.

a) Poate y un număr natural impar? (5p) b) Care este maximul sumei 4 x + 7 y? (5p)

4. Se consideră f : → , f ( x) = 3 x – 2. Să se determine m є , ştiind că punctul

A(m, 2m + 3) aparţine gracului funcţiei f . (5p)

5. Arătaţi că:2

2

4 5 4

1 1

x x x

x x

− − +=

+ −, pentru orice x є \ { – 1; 1}. (5p)


1. În gura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB || CD, AD AB^ ,

AB = 10 cm, CD = 6 cm şi măsura unghiului B de 45°.

a) Să se ae perimetrul trapezului ABCD. (5p)

b) Să se ae aria trapezului ABCD. (5p)

A

D C

B

c) Cât la sută din aria trapezului reprezintă aria

triunghiului ADC ? (5p)

2. Cubul ABCDA'B'C'D' are diagonala egală cu 6 3 cm. Calculaţi:

a) volumul cubului; (5p)

b) distanţa de la punctul A' la diagonala BD; (5p)

c) distanţa de la punctul B' la planul ( A'BC' ). (5p)






1. Rezultatul calculului 2323 : 23 – 100 este .......... (5p)

2. Fie mulţimile A = { x є | x < 2} şi B = {2; 3}. Mulţimea A B∪ este {..........}. (5p)

3. Într-o urnă avem 2 bile roşii, 4 albe şi 6 negre. Probabilitatea ca o bilă albă

să e extrasă este egală cu ......... (5p)

4. Un romb are diagonalele de 12 cm şi 10 cm. Aria rombului este egală cu ......... cm2. (5p)

5. Aria laterală a unui cub este 100 cm2. Muchia acestui cub are lungimea de ..........cm. (5p)

6. Timp de o săptămână s-au înregistrat următoarele temperaturi: 2 zile temperaturi de 26°C,

4 zile temperaturi de 24°C şi o zi temperatura de 27°C. Temperatura medie în săptămâna

respectivă a fost de ..........°C. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf S şi baza ABCDEF.(5p)

2. La proba scrisă la matematică, la clasa a VIII-a, un elev a obţinut la subiectul I: 30 puncte,

la subiectul al II-lea: 25 puncte şi la subiectul al III-lea: 23 puncte.

Câte puncte a obţinut în total elevul, ştiind că se acordă 10 puncte din ociu? (5p)

3. Pentru a realiza un canal colector pe o lungime de 1,56 km sunt folosite conducte, unele cu

lungimea de 3,75 m, iar altele de 4,25 m. S-au folosit un număr de 400 de conducte. a) Câte conducte sunt de ecare fel? (5p)

b) Vericaţi dacă pot 240 de conducte cu lungimea de 3,75 m şi 160 de conducte de

4,25 m pentru aceeaşi lungime de 1,56 km. (5p)

4. Fie f, g : → , unde f ( x) = x – 2 şi g ( x) = 3. Determinaţi coordonatele punctului de

intersecţie a reprezentărilor grace a celor două funcţii. (5p)

5. Arătaţi că: 9(2 x + 1)2 – 4( x – 2)2 = (4 x + 7)(8 x – 1), pentru orice x număr real. (5p)


1. În gura alăturată ABCD este un dreptunghi. Se ştie că

BC = 6 cm, m( MCB) = m( ABN ) = 30°, 4 3 DN = cm.

a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD. (5p)

b) Aaţi aria trapezului MBCN . (5p)

D

A

N C

B M

c) Determinaţi aria pentagonului MPNDA, unde { P } = CM ∩ NB. (5p)

2. În prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', se dă: AB = 12 cm şi AA' = 6 cm. Aaţi:

a) aria totală a prismei; (5p)

b) distanţa de la punctul A' la dreapta BC ; (5p)

c) măsura unghiului diedru dintre planele ( A'BC ) şi ( ABC ). (5p)






1. Rezultatul calculului: 8 · 9 – 36 : 2 este egal cu ......... (5p)

2. Fie mulţimile A = { x + 3; 5} şi B = {5; 9}. A = B dacă x este egal cu .......... (5p)

3. Media aritmetică a 5 numere este 3,6. Suma celor 5 numere este .......... (5p)

4. Linia mijlocie a unui trapez este de 18 cm, iar înălţimea sa are 5 cm. Aria trapezului

este egală cu ..........cm2. (5p)

5. Dacă muchia unui tetraedru regulat este 12 cm, atunci suma tuturor muchiilor sale

este egală cu ..........cm. (5p)

6. Folosind o sticlă de 500 ml, vrem să umplem un vas paralelipipedic cu dimensiunile de

6 dm, 5 dm şi 4 dm. Sticla trebuie golită în vas de .......... ori. (5p)


1. Desenaţi o prismă hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F'. (5p)

2. După ce a parcurs 42,5 km, un turist constată că mai are încă 18,5 km până la jumătatea

drumului. Aaţi lungimea drumului. (5p)

3. Într-o clasă sunt 25 de elevi. Numărul băieţilor este cu 1 mai mare decât dublul

numărului de fete.

a) Câte fete şi câţi băieţi sunt în clasă? (5p)

b) Dovediţi că sunt cel puţin două fete născute în aceeaşi zi a unei săptămâni. (5p)4. Fie f : → unde f ( x) = 3 – 2 x. Punctele

1; 4

2 A

−

; B(2; – 1) şi 2,3 2

2C

sunt

coliniare? (5p)

5. Să se arate că:2 2 2

1 1 2

1 x x x x x+ =

+ − −, oricare ar x є \ { – 1; 0; 1}. (5p)


1. În gura alăturată, AB şi AC sunt tangente la cercul

C (O, 6 cm), iar m( OAC ) = 30°. Aaţi: a) AO; (5p)

b) AB ; (5p)

c) A ABOC

.

(5p)

C

O

B

A

2. Fie ABCA'B'C' un trunchi de piramidă triunghiulară regulată cu 12 3 AB = cm,6 3 A B′ ′ = cm şi măsura unghiului dintre o faţă laterală şi planul ( ABC ) este de 60°.

Calculaţi: a) aria laterală a trunchiului de piramidă; (5p)

b) volumul piramidei din care face parte trunchiul de piramidă; (5p)

c) distanţa de la punctul O' la planul (VA'B' ), unde O' este centrul feţei ( A'B'C' ) şi V este

vârful piramidei din care face parte trunchiul de piramidă. (5p)




Testul 39 (Autor: prof. Marius Farcaş)


1. Rezultatul calculului: 2 34 : 2 5+ este egal cu .......... (5p)

2. Mulţimea divizorilor naturali ai lui 6 este D6 = {..........}. (5p)

3. Într-un sac sunt 5 mingi roşii şi 7 mingi galbene. George scoate o minge roşie, apoi fără a se

uita mai scoate una. Probabilitatea ca şi cea de-a doua minge să e tot roşie este ......... (5p)

4. Lungimea laturii unui triunghi echilateral este de 4 cm. Perimetrul este egal cu .......cm. (5p)

5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 3 cm, 4 cm şi 12 cm. Lungimea

diagonalei paralelipipedului este egală cu ..........cm. (5p)

6. Vlad a întocmit un grac cu înălţimile elevilor din clasa sa:

înălţimea (în m)

12345

6

1,20 1,22 1,24 1,27 1,30 1,32 1,33

n u m ă r u l d e e l e v i

Conform gracului, înălţimea medie a elevilor clasei este de .........m. (5p)


1. Desenaţi pe foaia de examen un cub ABCDEFGH. (5p)

2. Maria a citit luni 38 de pagini, iar marţi cu 15 pagini mai mult decât luni şi a terminat cartea. Câte pagini are cartea? (5p)

3. Elevii participanţi la etapa judeţeană a Olimpiadei de Matematică pot repartizaţi câte 12,

15 sau 18 într-o sală de clasă.

a) Arătaţi că elevii pot repartizaţi şi câte 20 într-o sală de clasă. (5p)

b) Aaţi numărul elevilor participanţi, ştiind că este mai mic decât 200. (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = 2 x – 5. Aaţi valorile parametrilor reali m şi n astfel încât

punctele M (m; 3) şi N (2n – 1; 2n + 3) să aparţină reprezentării grace a funcţiei f . (5p)

5. Calculaţi { }2 2

2 2

6 8 2 3, 4; 3; 2; 1 .

7 12 2

x x x x x

x x x x

+ + + −⋅ ∈ − − − −

+ + + − . (5p)

(Bareme la pagina 237)





1. Călin a primit de ziua lui un joc cu un soldat care se

deplasează pe traseul ABCDEA, ca în gură. În ecare

punct în care îşi schimbă direcţia, soldatul staţionează

a secunde, iar în punctele P , Q şi R, unde are loc câte oluptă, soldatul staţionează b secunde.

B A

C

P

Q

D E

R S 1 S 2

Distanţele AB, BC, CD, DE şi EA sunt egale cu 4 dm. Soldatul parcurge 2 cm într-o secundă.

a) Exprimaţi în funcţie de a şi b timpul necesar parcurgerii distanţelor AC şi AE . (5p)

b) Dacă de la plecarea din A până la sosirea în C trec 52 de secunde, iar de la plecarea din

A până la sosirea în E trec 1 minut şi 46 secunde, aaţi a şi b. (5p)

c) Suprafaţa S 1 este împărţită în pătrate cu latura de 5 cm iar suprafaţa S 2 este împărţită

în triunghiuri echilaterale cu latura tot de 5 cm. În ecare astfel de pătrat se aă un copac

iar în ecare triunghi este o oare. Câţi copaci şi câte ori sunt? (10p)

2. Filip a primit un set de piese din lemn. Iniţial acestea erau aşezate într-o cutie sub formă de

cub cu latura de 4 dm şi ocupau întreaga cutie, fără a exista goluri între ele. Piesele au forme

de cuburi mari cu latura de 10 cm, cuburi mici cu latura de 8 cm şi paralelipipede

dreptunghice cu dimensiunile de 8 cm, 6 cm şi 5 cm. Din toate cuburile mari, Filip a făcut 4

cuburi cu latura de 20 cm. Dacă ar mai avut două cuburi mici, Filip ar putut face din

acestea un cub cu latura de 24 cm.

a) Câte piese de ecare fel sunt în set? (5p)

b) Tatăl lui Filip vrea să vopsească piesele. Pentru a vopsi 1 dm2, îi trebuie 5 ml devopsea. Câte cutii de 0,5 l vopsea sunt necesare pentru a vopsi toate piesele? (5p)



1. Rezultatul calculului:1 1 1

6 2 3+ ⋅ este egal cu .......... (5p)

2. Numerele naturale prime cuprinse între 30 şi 40 sunt .......... (5p)

3. Un elev are la matematică notele 10, 8, 9, 8, 10, iar la teză nota 7. Media la matematică

pe semestrul I este .......... (5p)

4. În pătratul ABCD măsura unghiului ACD este de ..........°. (5p)

5. Un cub are latura de 4 cm. Aria totală a cubului este de ..........cm2. (5p)

6. În tabelul următor este prezentată o situaţie cu numărul de apartamente şi numărul de

camere ale ecărui apartament dintr-un bloc. Conform tabelului, numărul camerelor din

bloc este de .......... (5p)

Nr. camere 1 cameră 2 camere 3 camere 4 camere

Nr. de apartamente 4 6 6 4






1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trunchi de piramidă triunghiulară regulată ABCA'B'C' . (5p)

2. Aaţi măsurile a două unghiuri complementare, ştiind că măsura unuia este cu 20° mai mare

decât o pătrime din măsura celuilalt. (5p)

3. Un pomicultor a cules într-o zi 59 kg vişine şi 67 kg cireşe. După ce le aşază în lădiţe,rămân 3 kg de vişine şi 4 kg de cireşe. Ştiind că într-o lădiţă încape aceeaşi cantitate de

cireşe sau de vişine, aaţi această cantitate. (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = (2a + 1) x + b – 2. Aaţi valorile reale ale lui a şi b astfel

încât punctele M (2; – 2) şi N ( – 1; 1) să aparţină gracului funcţiei f . (10p)

5. Calculaţi:2

2 1 3 4

2 2 4

x x

x x x

− −+ −

+ − −. (5p)


1. Pe o masă de biliard, o bilă aată în punctul M

este lovită şi urmează traiectoria MNPQM . În

ecare punct în care bila loveşte manta unghiul

făcut de mantă cu traiectoria înainte de ciocnire

este congruent cu unghiul făcut de mantă cu traiectoria

după ciocnire (exemplu: N 1

≡ N 2

).

A B

C D

P

Q

M

N 1 2

a) Dacă m( ANM ) = x, exprimaţi în funcţie de x

măsurile unghiurilor: MNP , NPQ, PQM , QMN . (5p)

b) Arătaţi că lungimea traiectoriei M - N - P este egală cu lungimea traiectoriei P - Q - M . 5p)

c) Dimensiunile mesei sunt AB = 1,5 m şi BC = 1,2 m iar bila se aă în M astfel încât

AM = 40 cm. Aaţi poziţia punctului N unde bila trebuie să ciocnească manta, astfel încât

după ce trece şi prin punctele P şi Q să ajungă înapoi în M . (5p)

d) Cu dimensiunile de la punctul c), aaţi aria suprafeţei MNPQ. (5p)

2. Pentru amenajarea unui parc, primăria a datcomandă de 50 de piese de forma celei din gura

alăturată. Piesa are forma unui paralelipiped

dreptunghic cu dimensiunile indicate, iar în

interior este săpat un paralelipiped dreptunghic.

Grosimea pereţilor, atât cei laterali cât şi cel de

dedesubt, este de 10 cm. 1 m

80 cm

60 cm

a) Aaţi cât cântăreşte piesa, dacă 1 dm3 din materialul din care este realizată aceasta

cântăreşte 3 kg. (5p) b) Piesa este umplută cu pământ. Aaţi volumul pământului necesar pentru toate piesele. (5p)






1. Rezultatul calculului 2 3 3 2 5 6⋅ − este egal cu ........... (5p)

2. Enumerând elementele mulţimii A = { x є * | x este pătrat perfect, x < 30},

obţinem A = {..........}. (5p)

3. Suma de 2 000 de lei este împărţită la doi muncitori proporţional cu numărul de zile lucrate.

Primul muncitor a lucrat 9 zile, iar al doilea 16. Suma de bani primită de primul muncitor

este de .......... lei. (5p)

4. Triunghiul isoscel ABC ([ AB] = [ AC ]) are m( A) = 80°. Unghiul B al triunghiului are

măsura de ..........°. (5p)

5. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 6 cm şi înălţimea de 5 cm. Volumul

piramidei este egal cu ..........cm3. (5p)

6. Evoluţia cursului leu-euro în timpul unei săptămâni este prezentată prin următorul grac:

Cea mai mare creştere a valorii euro faţă de leu a fost înregistrată în ziua de .......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf V şi bază ABCDEF. (5p)

2. După ce a parcurs o treime din drum, un călător constată că mai are de parcurs 5 km până la jumătatea traseului. Care este lungimea traseului? (5p)

3. Bunicul are 24 lei şi doreşte să cumpere mere şi portocale pentru nepoţii săi. Un kilogram de

mere costă 2 lei, iar un kilogram de portocale costă 3 lei.

a) Ce variante are bunicul astfel încât să cheltuiască toţi banii şi să cumpere un număr întreg

de kg de fructe de ecare fel? (5p)

b) Dacă bunicul a cumpărat 10 kg de fructe, câte kg de mere şi câte kg de portocale va duce

nepoţilor? (5p)

4. Vericaţi dacă punctele

( )2; 4 A ,

( )2; 0 B - ,

( )2 2; 2C - - reprezentate într-un sistem

de coordonate xOy sunt coliniare. (5p)

5. Fie x, y є , x > y > 0 şi x2 + y2 = 10, x · y = 4. Calculaţi x + y şi x – y. (5p)

4,21

Luni Marţi Miercuri Joi Vineri

4,224,234,244,254,264,27

zilele săptămânii

l e i






1. Un agricultor are un teren în formă de trapez ABCD, AB || CD.

a) Cu ajutorul unei drepte, împărţiţi terenul în două loturi cu aceeaşi arie. (5p)

A B

D C M N

A B

D C

G E I

H F

J

b) Agricultorul face următoarele măsurători ( fgura 1): AM = 12 m, DM = 9 m, MN = 20 m,

NC = 16 m. Terenul trebuie împrejmuit cu panouri având lungimea de 6 m şi înălţimea de

1,8 m; ecare panou costă 250 lei. Aaţi cât costă gardul. (5p)

c) Pentru o anumită cultură, agricultorul împarte terenul în dreptunghiuri cu lăţimea de 3 m

ca în fgura 2. Aaţi aria suprafeţei cultivate. (5p)2. Un stadion este în formă de trunchi de piramidă

patrulateră regulată. Pătratul ABCD are latura AB = 72 m,

iar pătratul A'B'C'D' are latura A'B' = 240 m.

Un spectator situat pe ultimul rând în punctul M ,

mijlocul lui ( A'D' ), se aă la înălţimea de h = 35 m faţă

de pământ.

a) Care este distanţa de la spectatorul situat în punctul M la portarul situat în punctul N ,

mijlocul lui ( AD)? (5p)

b) Calculaţi distanţa de la spectatorul situat în punctul M la dreapta d , care desemneazămijlocul terenului. (5p)

c) Pentru a moderniza stadionul, administratorul doreşte schimbarea scaunelor şi din acest

motiv trebuie să calculeze suprafaţa tribunelor. Ce suprafaţă au acestea? (5p)



1. Rezultatul calculului: 1,2 · 1,3 + 5 este egal cu .......... (5p)

2. Fracţiile supraunitare de forma4

a, a є *, sunt ......... (5p)

3. În sezonul reducerilor, preţul unui palton care era de 324 lei se reduce cu 25%. Preţul după

reducere va de ..........lei. (5p)

4. Trapezul ABCD, AB || CD are lungimile bazelor de 8 cm şi 14 cm. Lungimea liniei mijlocii

este egală cu ..........cm. (5p)

5. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 8 cm şi aria totală de ( )32 3 120+ cm2.

Înălţimea prismei este egală cu ..........cm. (5p)

fgura 1 fgura 2


A B

N

A'

M

D' C'

C D B'

d P




6. Toţi elevii unei clase practică unul dintre sporturile:

fotbal, handbal, volei, tenis şi baschet, după cum

indică diagrama.

40%

16%

16% baschet

fotbal

handbal

volei

8%tenis

20%

Dacă în clasă sunt 5 elevi care joacă handbal, atunci în

clasă sunt ..........elevi. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' . (5p)

2. Un teren de formă dreptunghiulară este înconjurat cu 112 m de gard. Ştiind că lungimea este

cu 20 m mai mare decât dublul lăţimii, aaţi lungimea şi lăţimea terenului. (5p)

3. Anul acesta numărul elevilor din şcoala noastră a scăzut cu 5% faţă de anul trecut, dar

procentul fetelor a crescut de la 50% la 60% din numărul elevilor.

a) Dacă anul trecut în şcoală erau 1200 elevi, câţi elevi sunt anul acesta? (5p) b) Câte fete sunt anul acesta în şcoală, dacă anul trecut erau 600? (5p)

4. Fie funcţiile f : → , f ( x) = x – 2 şi g : → , g ( x) = f (2 x + 1). Aaţi coordonatele

punctului de intersecţie a gracelor celor două funcţii. (5p)

5. Aaţi numerele reale x şi y care verică egalitatea: 2 x2 + 4 y2 + 4 xy – 8 x + 16 = 0. (5p)


1. Într-o competiţie sportivă sunt înscrise 5 echipe de fotbal. Fiecare echipă joacă câte un mecicu ecare din celelalte echipe. Pentru o victorie se dau 3 puncte echipei câştigătoare şi

0 puncte echipei învinse, iar pentru un meci egal se dă câte un punct ecărei echipe.

a) Aaţi câte meciuri s-au jucat în competiţie. (5p)

b) La nal s-a înregistrat următorul clasament: Echipa I: 10p; Echipa II: 8p;

Echipa III: 5p; Echipa IV: 2p; Echipa V: 1 p. Precizaţi care meciuri s-au încheiat cu o

victorie şi cine a câştigat, precum şi ce meciuri s-au încheiat la egalitate. (5p)

c) Stabiliţi dacă la nalul competiţiei, se poate întâmpla ca în clasament, ecare două echipe

vecine să e despărţite de exact două puncte. (5p)

2. Un constructor de jucării are o piesă în formă de tetraedru regulat DBGE cu latura de 8 cm şi doreşte

să construiască patru piramide triunghiulare regulate

AEDB, CGDB, FEBG şi HEDG, care împreună cu

tetraedrul să formeze un cub.

a) Cât trebuie să e muchia laterală a piramidelor? (5p)

b) Aaţi lungimea înălţimii care pleacă din A spre faţa

( EDB) în piramida AEDB. (5p)

c) Aaţi suma ariilor feţelor laterale ale celor 4 piramide triunghiulare. (5p)

E

H G

F

A

D C

B






1. Rezultatul calculului ( – 2) · ( – 3) + ( – 5) este egal cu .......... (5p)

2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 11 este D11 = {..........}. (5p)

3. La sfârşitul unei lucrări, doi muncitori au primit o primă de 500 de lei împărţită invers

proporţional cu numărul pieselor defecte predate de ecare. Dacă primul a avut 3 piese

defecte, iar al doilea doar una, suma de bani primită de primul este de ...........lei. (5p)

4. În dreptunghiul ABCD, O este punctul de intersecţie a diagonalelor. Dacă AC are lungimea

de 10 cm, atunci lungimea lui OB este egală cu ..........cm. (5p)

5. Un tetraedru regulat are aria totală de 81 3 cm2. Muchia tetraedrului are lungimea

egală cu ..........cm. (5p)

6. În gracul următor este prezentată evoluţia cursului euro-leu şi dolar-leu

în prima săptămână a lunii septembrie.

Diferenţa dintre valoarea unui euro şi

valoarea unui dolar în ziua de marţi

este de ..........lei. (5p)

curs EURO

luni

( l e i )

marţi miercuri joi vineri

curs USD


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH . (5p)

2. Toţi cei 18 băieţi ai unei clase se întâlnesc o dată pe săptămână pentru a juca fotbal

(în ziua de luni) sau baschet (joia). Numărul băieţilor care joacă fotbal este de 2 ori mai maredecât al celor care joacă baschet, dar sunt 3 băieţi care joacă şi baschet şi fotbal.

Câţi băieţi din această clasă se întâlnesc în ziua de luni la fotbal? (5p)

3. La festivitatea de deschidere a unei competiţii sportive, dacă se aşază participanţii în

coloane de câte 5, 7 sau 10, rămâne de ecare dată ultima coloană cu 4 sportivi.

a) Vericaţi dacă numărul participanţilor la competiţie poate 214. (5p)

b) În nal, participanţii au fost aşezaţi în coloane de câte 12 sportivi şi formaţia a fost

completă. Aaţi numărul participanţilor, ştiind că este mai mic de 500. (5p)

4. Reprezentarea gracă a funcţiei liniare f intersectează axele de coordonate OX şi OY în

punctele A, respectiv B. Abscisa punctului A este egală cu triplul ordonatei punctului B.

Triunghiul determinat de axa OX , axa OY şi G f se aă în cadranul I şi are aria de 6u2.

Determinaţi funcţia f . (5p)





5. Aaţi numerele raţionale x şi y care verică egalitatea: ( )2 2 1 8 2(1 ) x y y+ - = + - .(5p)


1. Pentru un depozit în euro, o bancă comercială percepe următoarele comisioane: comisionde deschidere cont de 20 de euro, care se încasează la deschiderea contului, comision de

administrare cont de 0,2% pe lună din suma aată în cont, impozit de 1% din dobândă şi

acordă o dobândă de 6% pe an. Dobânda se calculează şi se acordă la ecare 3 luni.

Tot atunci se calculează şi se încasează comisionul de administrare a contului pentru

ecare din cele 3 luni şi se reţine impozitul pe dobândă.

a) O persoană are 10 020 euro şi îşi deschide un cont pentru 3 luni. Ce sumă va lua de la

bancă după această perioadă? (5p)

b) Care este suma minimă pe care o persoană trebuie să o depună la bancă pentru ca după 3

luni să nu scoată mai puţin decât a depus? (5p)

c) Ce perioadă (multiplu de 3 luni) trebuie să ţină la bancă o persoană suma de 820 euro

(din care plăteşte comisionul de deschidere cont) pentru a avea prot? (5p)

2. Marcel şi-a construit în grădină o piramidă

ornamentală formată din trei bare de lemn

SA = SB = SC = 2 m. Pentru stabilitate a

xat punctele de sprijin A, B şi C la

distanţe de 2 m, două câte două.

În punctul S a legat o sfoară de care este prins

un ghiveci cu ori.

Lungimea sforii din S până la coş este de 1 m, iar

înălţimea ghiveciului este de 20 cm.

A

B

M

C

S

a) Dacă ar dori să acopere feţele SAB, SAC şi SBC cu sticlă, care este suprafaţa acestora? (5p)

b) La ce înălţime faţă de sol se aă coşul? (5p)

c) La un moment al zilei punctul S are umbra în punctul M , mijlocul lui ( BC ). Calculaţi

lungimea umbrei sforii. (5p)




Testul 44 (Autor: prof. Ana Poştaru)



2. Dintre numerele −4,3 şi 4,3 mai mic este .......... . (5p)

3. Numărul x din proporţia 3 2 6

2 x= este .......... (5p)

4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 dm este egal cu ..........dm. (5p)

5. O prismă triunghiulară regulată dreaptă cu volumul de 30 cm3 şi aria bazei de 10 cm2 are

înălţimea egală cu ..........cm. (5p)

6. În cele şapte zile ale unei

l ma m sv j d0

−1−2−3

123

ºC

zilelesăptămânii

săptămâni au fost măsurate, la aceeaşi oră,

temperaturile şi notate în gracul alăturat.Conform gracului, temperatura

medie a săptămânii este de ..........ºC (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V şi baza ( MAC ). (5p)

2. Un produs costă 10 lei şi se ieftineşte cu 10%. Cât va costa după ieftinire? (5p

3. Corina doreşte să-şi aranjeze cărţile pe rafturile bibliotecii sale. Dacă pune 30 de cărţi pe un

raft, îi rămân 5 cărţi, iar dacă pune 40 de cărţi pe un raft îi rămân tot 5 cărţi. (5p)

a) Poate Corina să aibă 65 de cărţi? (5p)

b) Care este numărul cărţilor Corinei, dacă acesta este cuprins între 350 şi 400? (5p)

4. Fie ecuaţia x − =3 5 . Vericaţi care din numerele: 8; 5; −2 sunt soluţii pentru ecuaţia dată. (5p)

5. Arătaţi că 4 x2 + 4 x + 3 > 0, pentru orice x Î . (5p)


1. Desenul alăturat reprezintă un

A1

A2

10 m

x

x

5 m

parc; partea haşurată reprezintă

aleile, iar partea punctată spaţiul verde.

a) Exprimaţi în funcţie de x

aria destinată spaţiului verde. (5p)

b) Care este valoarea lui x astfel încât

aria suprafeţei destinată spaţiului verde

să e egală cu aria suprafeţei aleilor? (5p)

c) Pentru împrejmuirea spaţiului verde se folosesc module din lemn cu lungimea de 80 cm.

Calculaţi de câte module este nevoie, ştiind că x = 1,4 m. (5p)

d) Calculaţi suma necesară pentru împrejmuirea întregului teren cu un gard, ştiind că x = 2 m

şi preţul unui metru de gard este de 67 lei. (5p)





2. Pentru confecţionarea unui panou publicitar se E

C

B A

D

foloseşte un cadru metalic format din pătratul ABCD şi

triunghiul dreptunghic isoscel BEC , m( E ) = 90º,

situate în plane perpendiculare. Ştiind că lungimea

laturii pătratului este de 4 m şi pentru susţinere seunesc şi punctele E cu D şi E cu A, calculaţi:

a) Câţi metri de cadru metalic se folosesc la confecţionarea panoului? Aproximaţi rezultatul

prin adaos la unităţi. (5p)

b) Câţi metri pătraţi de pânză sunt necesari pentru „îmbrăcarea“ suprafeţelor ( EDA) şi ( EBC ),

ştiind că 1,5 m2 se pierd la tăierea şi montarea acesteia? (5p)



1. Numărul raţional care este soluţie a ecuaţiei 4 1 5 x− + = este egal cu .......... (5p)

2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 6 este D6 = {...............}. (5p)

3. Media geometrică (proporţională) a numerelor 2 şi 8 este egală cu ......... (5p)

4. Aria unui trapez cu lungimea liniei mijlocii de 10 cm şi a înălţimii de 4 cm este de .........cm2. (5p)

5. Un paralelipiped dreptunghic are în total un număr de ......... muchii. (5p)

6. Partea haşurată reprezintă numărul elevilor unei clase, care au

ochii căprui, partea punctată, a celor cu ochii verzi, iar ceanemarcată a celor cu ochii albaştri.

Din numărul total de elevi, un procent de ......... au ochii albaştri. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub, notat ABCDA'B'C'D'. (5p)

2. Maria are 8 ani, iar mama ei, de patru ori mai mult. Ce vârstă avea mama Mariei,

atunci când s-a născut Maria? (5p)

3. Un grup de elevi doresc să cumpere un cadou unui coleg, cu ocazia zilei de naştere.

Dacă ecare elev pune 10 lei, mai trebuie 6 lei, iar dacă ecare elev pune 11 lei, rămân 6 lei.

a) Câţi elevi sunt în grup? (5p)

b) Care este preţul cadoului? (5p)

4. Un caiet costă 1,2 lei şi un pix costă 2 lei. Marius are 8 lei.

Vericaţi dacă poate cumpăra cu aceşti bani 2 caiete şi 3 pixuri. Dar 3 caiete şi 2 pixuri? (5p)

5. Fie E ( x) = 3 x2 − 2 x − 4. Arătaţi că E ( 2 ) < 0. (5p)






1. Pentru confecţionarea unor ornamente, se foloseşte o coală color

50 cm

pătrată cu latura de 50 cm, din care se decupează un disc de diametru

maxim (desenat punctat pe gură). Concentric cu primul disc

se desenează al doilea disc cu raza de 10 cm.a) Care este deschiderea compasului la construcţia primului cerc? (5p)

b) Ce suprafaţă din coala color se pierde în urma decupării primului disc? (5p)

c) Calculaţi câţi metri de şnur cu mărgele se folosesc pentru a lipiţi pe circumferinţa

celor două discuri (pentru calcule se foloseşte π = 3,14). (5p)

2. Laura doreşte să construiasă în curte un bazin pentru broscuţele ţestoase Kiki şi Riki,

sub forma unui cilindru cu diametrul de 2 m şi adâncimea de 1 m.

a) Calculaţi volumul bazinului şi vericaţi dacă se pot pune în bazin 4000 l de apă. (5p)

b) Ştiind că ţestoasele au nevoie de minim 1000 l de apă, calculaţi dacă este sucient

să se pună apă până la jumătatea bazinului. (5p)

c) Pentru izolarea bazinului se cumpără folie cu lăţimea de 1,20 m, iar de pe rola de folie

se taie doar un număr întreg de metri. Calculaţi câţi metri de folie trebuie cumpăraţi,

ştiind că pierderile sunt de 5%? (5p)



1. Numărul x din proporţia2 6

9 x= este egal cu ......... . (5p)

2. Cel mai mic multiplu comun pentru numerele 12 şi 15 este ......... . (5p)

3. Într-o clasă sunt 30 de elevi dintre care 20% sunt fete. Numărul fetelor este ......... . (5p)

4. Un dreptunghi are lungimea de 14 cm şi perimetrul de 36 cm. Lăţimea dreptunghiului este ........ (5p)

5. Un cub are un număr de ......... feţe. (5p)

6. Rezultatele testului la biologie sunt notate în tabelul de mai jos. Media clasei este egală cu ........(5p)

nr. de elevinota

2 3 5 2 4 3 1 10 9 8 7 6 5 4


1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH , una dintre baze fiind ABCD. (5p)

2. Ioana şi-a cumpărat 4 caiete cu 2 lei caietul.

Ce rest a primit dacă a plătit la casă cu o bancnotă de 10 lei? (5p)

3. Un elev citeşte dintr-o carte în 4 zile în felul următor: începând cu ziua a doua, citeşte dublul

numărului de pagini citite în ziua precedentă.

a) Câte pagini a citit în cele 4 zile, dacă a doua zi a citit 28 de pagini? (5p)

b) Câte pagini are cartea ştiind că numărul acestora trebuie să e multiplu de 16, mai mic

decât 240? (5p)





4. Fie mulţimea4

; 2; 3;0;5 ;105

A π = − −

. Specicaţi care dintre elementele mulţimii A

sunt numere raţionale. (5p)

5. Fie f : → , f ( x) = 2 x − 1, g : →, g ( x) = −3 x şi h: → , h( x) = 4. Vericaţi care

dintre reprezentările grace ale funcţiilor de mai sus conţin originea sistemului de axe. (5p)


1. Curtea lui Cristi are formă dreptunghiulară,

A B

C D

E F 3 m 3 m6 m

AD = 6 m şi a fost amenajată în felul următor:

bazin de apă sub formă de semicerc cu

diametrul EF = 6 m, gazon pe porţiunea

haşurată ( AE = FB = 3 m), în spaţiul rămas

punându-se pietriş şi două bănci.

(Pentru calcule se ia π = 3,14.)

a) Calculaţi aria suprafaţei alocate bazinului. (5p)

b) Aaţi preţul plătit pentru semănarea gazonului, ştiind că pentru 1 m2 costul este de 20 lei. (5p)

c) Calculaţi aria suprafeţei amenajate cu pietriş. (5p)

d) Câţi metri de gărduleţ decorativ trebuie cumpărat pentru împrejmuirea bazinului,

ştiind că nu se vând decât număr întreg de metri? (5p)

2. Pentru amenajarea unei minisere, Miruna îşi cumpără un vas de sticlă în formă de prismă

hexagonală regulată dreaptă, cu latura bazei de 40 cm şi muchia laterală de 30 cm.

a) Calculaţi suprafaţa pe care Miruna o are la dispoziţie, pentru xarea plantelor. (5p)

b) La achiziţionarea plantelor, Miruna este sfătuită ca pentru ecare plantă să asigure un volum de

cel puţin 2000 cm3 de aer. Care este numărul maxim de plante pe care le poate achiziţiona? (5p)



1. Fie fracţia13

5. În urma scoaterii întregului din fracţie se obţine ......... . (5p)

2. Dintre numerele 2 3 şi 2 5 , mai mic este ......... . (5p)

3. Media aritmetică a numerelor 14 şi 4 este ......... . (5p)

4. Dacă perimetrul unui pătrat este 24 cm, atunci aria acestuia este de ......... cm 2. (5p)

5. O piramidă patrulateră regulată care are lungimea înălţimii de 9 cm şi lungimea laturii

bazei de 5 cm, are volumul de ......... cm3. (5p)

6. În tabelul de mai jos sunt notate cele opt familii ce locuiesc într-un bloc şi numărul de copii ai

ecărei familii. Numărul familiilor care au cel puţin doi copii este ........ . (5p)

familia

nr. de copii

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8

2 − 3 1 2 − − 4


1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată dreaptă cu bazele notate DANI şi RELU. (5p)





6. În tabelul alăturat sunt prezentateziua

încasări (lei)

I II III IV V

120 100 140 90 115 încasările unui vânzător de produse

lactate în 5 zile lucrătoare.

Cât a încasat în medie pe zi? (5p)


1. Desenaţi un cub şi haşuraţi bazele. (5p)

2. Într-o clasă sunt 15 băieţi. Numărul fetelor reprezintă 60% din numărul băieţilor.

Câţi elevi sunt în clasă? (5p)

3. Un elev are la matematică, la oral, notele 6; 7; 7; 9 şi în teză nota 8.

a) Calculaţi media semestrială a elevului. (5p)

b) Vericaţi dacă încă o notă de 8 la oral i-ar mări acestuia media. (5p)

4. Vericaţi care dintre numerele −3; 0; 4; 1,5 sunt soluţii ale inecuaţiei 3 x − 2 > 1. (5p)5. Arătaţi că intersecţia reprezentărilor grace ale funcţiilor : f → , f ( x) = x − 1 şi

: g → , g ( x) = 2 x − 3 este punctul de coordonate (2; 1). (5p)


1. Familia Ionescu doreşte să-şi renoveze căsuţa de vacanţă,

3 m

4 m

8 m

aceasta ind reprezentată în desenul alăturat printr-un

paralelipiped dreptunghic, iar acoperişul printr-o prismă

triunghiulară regulată dreaptă. a) Calculaţi aria suprafeţei ce trebuie zugrăvită ştiind

că dimensiunile uşii sunt 2,2 m şi 2 m, iar cele trei

geamuri identice au dimensiunile de 1,2 m şi 1,5 m. (10p)

b) Care este costul zugrăvitului dacă pentru 1 m2 se plătesc 35 lei? (5p)

c) Calculaţi de câte ţigle este nevoie pentru schimbarea acoperişului ştiind că pe 1 m2 intră,

în medie, 24 de bucăţi. (Suprafeţele haşurate sunt placate cu lemn.) (5p)

d) Pentru cumpărarea unui cazan de încălzire centrală trebuie să se cunoască volumul spaţiului încălzit. Calculaţi acest volum, ştiind că o încăpere a casei, având formă de

paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 1,5 m; 2 m şi 2,5 m, nu este încălzită. (5p)

e) Calculaţi câte bucăţi de grinzi sunt necesare la acoperiş pentru a le înlocui pe cele

vechi, ştiind că ele se vând la bucăţi de 4,5 m liniari (grinzile ce trebuie înlocuite la acoperiş

reprezintă toate muchiile prismei). (5p)




Testul 49 (Autor: prof. Doina Moldoveanu)


1. Rezultatul calculului 330 : 33 : 10 · 2 este .......... . (5p)

2. Din vânzarea a 350 kg de mere de acelaşi fel s-au obţinut 700 lei. Preţul unui kilogram de

mere este egal cu .......... lei. (5p)

3. Soluţia reală a ecuaţiei 7 – x = 4 este x = .......... (5p)

4. Rezultatul calculului 2 3 : 6⋅ este egal cu .......... . (5p)

5. Diagrama reprezintă procentele corespunzătoare situaţiilor A, B, C .

30%

10%

40% A

C

B

D

Situaţiei D îi corespunde ..........%. (5p)

6. Aria unei feţe a unui cub este de 9 dm2. Aria totală a cubului

este egală cu ..........dm2. (5p)


1. Câte case sunt pe partea dreaptă a unei străzi dacă numerele sunt de la 2 la 48, ecare casă

are un număr şi nu sunt numere dublate (spre exemplu, nu există numărul 8 bis)? (5p)

2. Aaţi elementele mulţimii: A = { x Î | −3 < x + 2 ≤ 4}. (5p)

3. Calculaţi preţul mediu pentru un kilogram de fursecuri dacă se amestecă două kilograme de

fursecuri care costă 10 lei kilogramul cu trei kilograme de fursecuri care costă 12 lei /kg? (5p)

4. Vericaţi care dintre elementele mulţimii {2; 3; 5} este soluţie pentru ecuaţia x2 − 7 x + 10 = 0. (5p)

5. Un trapez isoscel ABCD are bazele AB = 12 cm şi DC = 6 cm, iar m( DAB) = 60º. Dacă M este mijlocul segmentului [ AB], calculaţi:

a) măsura unghiului ADC şi măsura unghiului CMB; (5p)

b) perimetrul patrulaterului AMCD. (5p)


1. Măsurile unghiurilor A, B, C , D ale patrulaterului convex ABCD sunt direct proporţionale cu

numerele 1, 2, 5 şi 4. Dacă M este mijlocul segmentului [ AB], unde AB = 12 cm şi CM ||AD ,

aaţi:

a) măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD; (5p)

b) dacă m( A) = 30º, m( B) = 60º şi m(C ) = 150º, calculaţi aria triunghiului MBC ; (5p)

c) în aceleaşi condiţii, calculaţi aria patrulaterului DCMN , unde N Î ( AD), MN ̂AD. (5p)

2. Cutia de lapte pe care o primesc elevii la şcoală are forma unui tetraedru regulat ABCD cu

latura de 8 2 cm.

a) Desenaţi tetraedrul regulat ABCD. (5p)

b) Calculaţi aria totală a cutiei, precum şi suprafaţa cartonului folosit pentru confecţionarea ei, ştiind că la îmbinare se foloseşte 10% din suprafaţa totală a cutiei. (5p)

c) Calculaţi volumul cutiei precum şi cantitatea de lapte din ea când este plină. (5p)







1. Numărul cu 250 mai mic decât 700 este .......... . (5p)

2. Scris cu cifre, numărul două sute trei mii este .......... . (5p)

3. Un lot agricol în formă de dreptunghi are dimensiunile de 200 m, respectiv 400 m.Exprimată în m2, aria sa este egală cu .......... . (5p)

4. Dacă măsura unui unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic este de 40º, măsura celuilalt

unghi ascuţit este de ..........º . (5p)

5. Rezultatul calculului 7 · (8 − 2) este egal cu .......... . (5p)

6. O maşină, care merge cu viteza constantă de 80 km/h, va străbate în două ore şi

jumătate ..........km. (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' . (5p)

2. Un produs costă 200 lei. Cât va costa acest produs după o scumpire cu 15%? (5p)

3. Dacă la suma de bani pe care o are ecare elev dintr-o clasă se adaugă încă 2 lei, se obţine

relaţia funcţională dată de formula f ( x) = x + 2. Reprezentaţi grac această funcţie ştiind că

suma cea mai mică pe care o avea unul dintre elevi era de 1 leu, iar cea mai mare era de 7 lei. (5p)

4. a) Efectuaţi înmulţirea (3 x − y) · ( y + 3 x). (5p)

b) Rezolvaţi, în mulţimea numerelor naturale, inecuaţia x − 2 ≤ 6

3

x +. (5p)

5. Secţiunea diagonală într-un paralelipiped dreptunghic este un pătrat cu latura de 6 cm.

Calculaţi volumul paralelipipedului dacă baza este tot pătrat. (5p)


1. În centrul O al dreptunghiului MATE cu AT = a şi m( AOT ) = 60º, se ridică perpendiculara

OD =3

2

a pe planul său.

a) Calculaţi distanţa de la D la A. (5p)

b) Aaţi măsura unghiului format de planul ( DAT ) cu planul dreptunghiului. (5p)

c) Arătaţi că planul (SET ) este perpendicular pe planul ( DON ), unde N este mijlocul

segmentului [ MA], iar S un punct oarecare din spaţiu, S Ï ET . (5p)

d) Demonstraţi că planele ( NOB) şi ( MED) sunt paralele, B ind mijlocul lui [ DT ]. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă o prăjitură tăiată în 10 felii

egale în formă de paralelipiped dreptunghic.

Suprafaţa unei felii are dimensiunile de 10 cm şi respectiv 6 cm.

Dacă o felie de prăjitură cântăreşte 210 g, folosind relaţia 1 dm3

= 1 kg, aaţi: a) volumul prăjiturii; (5p)

b) înălţimea prăjiturii; (5p)







1. Soluţia reală a ecuaţiei x − 7 = 0 este .......... . (5p)

2. Un elev are 12 creioane colorate, iar colegul său are cu 8 creioane mai puţin. Colegul său

are .......... creioane. (5p)

3. Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Perimetrul său este egal cu .......... cm. (5p)

4. De la ora 10 şi 10 minute, până la ora 11 trec ..........minute. (5p)

5. Un autoturism parcurge o distanţă în 2 ore. Dacă păstrează aceeaşi viteză şi nu se opreşte

din drum, parcurge o distanţă de trei ori mai mare decât prima în .......... ore. (5p)

6. Dacă un elev de gimnaziu are, la chimie, pe semestrul întâi, notele: 7, 8, 10, 7, atunci media

semestrială va .......... . (5p)


1. Desenaţi şi notaţi o piramidă triunghiulară regulată de vârf T şi bază EZA. (5p)

2. Citind oferta „cumperi un produs, al doilea îl plăteşti la jumătate de preţ“ şi ştiind că

reducerea se aplică produsului mai ieftin, cât va plăti o persoană care vrea să cumpere un

produs de 160 lei şi unul de 120 lei? (5p)

3. Mama cumpără copiilor săi 40 de napolitane, iar bunica le cumpără 28 de batoane de ciocolată.

Ştiind că aceste dulciuri se împart în mod egal copiilor, câţi copii pot în acea familie? (5p)

4. Un dreptunghi ABCD are laturile AB = 4 cm şi BC = 6 cm. Calculaţi aria şi perimetruldreptunghiului. (5p)

5. Se consideră funcţia f : →, f ( x) = (a + 1) · x + 5, unde a este un număr real.

a) Aaţi valorile lui a pentru care punctul A(a; 25) aparţine gracului funcţiei f . (5p)

b) Pentru a = 4, reprezentaţi grac funcţia f într-un sistem de axe perpendiculare xOy. (5p)


1. În triunghiul echilateral ABC , punctele M şi P sunt mijloacele laturilor[ AB], respectiv [ AC ].

Dacă AB = 4 cm, calculaţi:a) aria triunghiului ABC ; (5p)

b) aria triunghiului BMP . (5p)

2. În cubul ABCDA'B'C'D' , punctul M este mijlocul segmentului [ BC ] şi A'M = 9 cm.

a) Arătaţi că lungimea segmentului [ AB] este egală cu 6 cm. (5p)

b) Calculaţi aria totală a piramidei triunghiulare regulate A'C'BD. (5p)

c) Fie P mijlocul segmentului [ A'B' ]. Demonstraţi că dreapta D' P este perpendiculară pe

planul ( AA'M ). (5p) d) Stabiliţi poziţia dreptelor MQ şi PN , unde M şi P sunt punctele folosite anterior,

iar N şi Q sunt mijloacele segmentelor [ DC ], respectiv [ A' D']. (5p)







1. Calculând (0,42 + 1,78) : 2 se obţine .......... . (5p)

2. Un sfert din suma 784 lei reprezintă .......... lei. (5p)

3. Dacă o pâine costă 1,50 lei, patru pâini de acelaşi fel vor costa .......... lei. (5p)4. Calculând 1,5% din 200 se obţine .......... . (5p)

5. Curtea şcolii are formă de dreptunghi. Dacă lungimea este de 50 m şi lăţimea este de 30 m,

lungimea gardului care o înconjoară este de .......... m. (5p)

6. La teză se pot lua note de la 1 la 10. Probabilitatea ca un elev să nu ia mai puţin de

nota 8 este .......... . (5p)


1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic notat ALGEBRIC şi puneţi în evidenţă pe desen o

secţiune diagonală. (5p)

2. a) Arătaţi că (2 x − 1)(3 + x) = 2 x2 + 5 x − 3. (5p)

b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2( x − 2)2 −3( x + 1)2 = −3 x2 −19 x + 8. (5p)

3. Un autoturism parcurge o distanţă de 150 km în două ore. Cu ce viteză medie a mers? (5p)

4. În desenul alăturat este reprezentat gracul unei funcţii liniare f .

123456

1 2 3 4 50

A

B a) Determinaţi funcţia f . (5p)

b) Care este valoarea funcţiei pentru x = 3? (5p)

5. Un frigider costa 1500 lei. După o reducere de preţ, frigiderulse vinde cu 1200 lei. Cu câte procente s-a redus preţul frigiderului? (5p)


1. În trapezul dreptunghic ABCD, AD || BC , AD < BC şi m( A) = 90º, perpendiculara d pe

latura [ DC ] în mijlocul ei E , intersectează pe BC în punctul F , care este mijlocul lui [ BC ],

DC = 20 cm, AD = 9 cm, AB = 12 cm.

a) Arătaţi că BD ^ DC . (5p)

b) Calculaţi aria trapezului ABCD. (5p)

c) Calculaţi aria triunghiului FCE . (5p)

2. În gura alăturată este reprezentată o piesă din oţel.

Respectând dimensiunile indicate, calculaţi:

a) aria laterală a piesei; (5p)

b) volumul piesei; (5p)

c) masa piesei dacă densitatea oţelului este

7,8ρ = t/m3

şi m = ⋅ρ . (5p)

2 0 0

c m

7 0

c m

50 cm 7 0 c m

70 cm

1 0 0 c m





Testul 54 (Autor: prof. Nadia Bărbieru)


1. Rezultatul calculului 3 · ( – 4) + 2 este egal .......... (5p)

2. Complementul unghiului 34°15' este egal cu ........... (5p)3. Un triunghi echilateral cu latura de 8 cm are înălţimea egală cu .......... cm. (5p)

4. Aria totală a unui cub este de 192 cm2. Latura cubului este egală cu .......... cm. (5p)

5. Soluţia ecuaţiei 4 x – 8 = 12 este egală cu .......... (5p)

6. Un grup de prieteni au rezolvat ecare un număr de probleme de matematică. Numărul de

probleme este trecut în gracul de mai jos. În total au rezolvat .......... probleme. (5p)

Grupul de prieteni

3

5

78

10

Ana Ioana Dana DoruAlex N u m ă r u l d e p

r o b l e m e

SUBIECTUL II (30 puncte).

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

1. Desenaţi o prismă triunghiulară regulată MNPM'N'P' . (5p)

2. Dorel are într-un clasor 252 de timbre. Dintre acestea o treime i le dă colegei sale

Irina. Câte timbre îi mai rămân lui Dorel? (5p)

3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 2, 3 şi respectiv 5 şi diferenţa dintre numărul cel

mai mare şi cel mai mic este 36.

a) Aaţi numărul mijlociu. (5p)

b) Ce procent reprezintă numărul cel mic din cel mare? (5p)

4. Se consideră ecuaţia ( x + 2)2 – 9 = 0. Vericaţi dacă x = 1 şi x = – 5 sunt soluţiile acestei ecuaţii. (5p)

5. Arătaţi că: x2 + 6 x + 9 – y2 = ( x + 3 – y)( x + 3 + y), pentru orice y număr real. (5p)


1. În gura alăturată este reprezentat un teren ABC , în

care avem: m( A) = 90°, 6 3 AC = m,

AB = x ( x este o distanţă exprimată în metri).

A

B

C

R O x





a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei ABC . (5p)

b) Dacă O este mijlocul laturii [ BC ], arătaţi că suprafaţa terenului AOC este egală

cu3 3

2

x. (5p)

c) Aaţi x ştiind că triunghiul AOB are toate laturile egale. (5p)

d) Dacă x = 6 şi notăm cu R piciorul perpendicularei din A pe BC , atunci aaţi de câte ori este mai mare suprafaţa lui ARC faţă de suprafaţa lui ABR. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă un bazin care are

forma unei piramide triunghiulare regulate ABCD

în care înălţimea bazinului este AO = 4 dm, iar

înălţimea unei feţe laterale a bazinului este AM = 5 dm.

a) Aaţi suprafaţa totală a piramidei. (5p)

b) Dacă bazinul se umple cu apă, atunci încap în el 61l de apă? Justicaţi.(5p)



1. Fie 2 3 x = + şi 3 y = . Atunci x – y este egal cu .......... (5p)

2. 12 % din 25 este egal cu .......... (5p)

3. Un triunghi are două unghiuri de 80° şi 45°. Cel de-al treilea are măsura de .......... (5p)

4. Dacă MN = 8 cm şi măsura unghiului format de dreapta MN cu planul α este de 60°,atunci lungimea proiecţiei segmentului MN pe planul α este egală cu ..........cm. (5p)

5. După simplicare, fracţia2 281 64

9 8

x y

x y

−−

devine .......... (5p)

6. 250 de elevi fac parte dintr-un club sportiv. Numărul

de elevi care au performanţe în acest an este reprezentat

în diagrama alăturată. Conform diagramei numărul celor

care nu au obţinut performanţe sportive în ultimul an

este ........... (5p)

12 elevi baschet

4 elevi înotnu au performanţe 52 elevi

atletism

12 elevi

gimnastică


1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată VABCD. (5p)

2. Un vânzător vinde o ladă cu mere care conţine 40 kg şi încă o lădiţă care are de 5 ori mai

puţin. Câte kg de mere vinde vânzătorul? (5p)

3. Aaţi toate numerele naturale mai mici decât 1100 care împărţite cu 24; 30 şi 18 dau de

ecare dată restul 7.a) Vericaţi dacă numărul 1087 îndeplineşte condiţiile date. (5p)

b) Determinaţi numerele care au această proprietate. (5p)

A

C

B

M

D

O





4. Determinaţi funcţia f : → , f ( x) = ax + b unde a, b є , care trece prin punctele

A( – 2; – 4) şi B(1, 5). (5p)

5. Arătaţi că x3 + 2 x2 – x – 2 = ( x + 2)( x – 1)( x + 1), pentru orice x număr real. (5p)


1. O cameră avea forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 10 m

AD = 7 m. Se măresc dimensiunile camerei cu

BE = DG = x m.

a) Care este perimetrul noii camere formate AEFG

(în funcţie de x)? (5p)

b) Determinaţi suprafaţa pardoselii AEFG. (5p)

c) Aaţi valoarea lui x ştiind că distanţa GE = 15 m. (5p)

d) Se consideră BE = 2 m. O persoană doreşte să cumpere vopsea albă pentru suprafaţa pardoselii ABCD şi vopsea crem pentru pardoseala BEFGDC . Care este preţul pe care îl va da

persoana pe vopsea ştiind că 1 l de vopsea costă 11 lei şi se ocupă o suprafaţă de 10 m2. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă schematic un depozit sub forma unui paralelipiped

dreptunghic ABCDA'B'CD'. Unghiul dintre dreapta D'B

şi planul ( ABC ) are măsura de 30°, BC = 5 m,

iar înălţimea DD' = 10 m.

a) Aaţi aria totală a paralelipipedului dreptunghic. (5p)

b) Vericaţi dacă distanţa de la C la dreapta AC' este de 5 3 m. (5p) A

D

B

A'

C

10 B'

C' D'

30° 5



1. Rezultatul calculului ( ) 11 3 5 2 4 6 :

3− − − + + + este egal cu .......... (5p)

2. Fie mulţimile A = {2, 5, 8, 10} şi B = {10, 2, 8}. Mulţimea A \ B este egală cu ......... (5p)

3. Cel mai mic număr întreg par de trei cifre este ........... (5p)

4. Lungimea unui cerc este de 12π cm. Atunci raza cercului este egală cu .......... cm. (5p)

5. Diagonala unui cub este de 15 6 cm. Atunci latura cubului este egală cu .......... cm. (5p)

6. În gura alăturată este reprezentat gracul unei funcţii

liniare. Conform reprezentării grace, punctul C are

coordonatele .......... (5p)


C

O x A( – 3; 0)

y

B ( – 1 ;

2 )

A

G

D

B E

C

F





1. În gura alăturată este reprezentat schematic un teren

agricol de forma ABCD şi o suprafaţă de păşune ADC.

Ştim că AC = 200 dam şi DB = 40 dam, iar ED = x.

a) Aaţi, în funcţie de x, suprafaţa păşunii ACD. (5p)

b) Determinaţi suprafaţa terenului agricol ABCDA. (5p)

c) Dacă E este mijlocul lui ( AC ), iar m( EAD) = 60°,

determinaţi valoarea lui x. (5p)

A C

B

D

E

d) Ştiind că pe terenul agricol se cultivă grâu, iar recolta de grâu a fost de 3000 kg/ha, aaţi

câte tone de grâu s-au recoltat. (5p)

2. Un foraj marin este ilustrat schematic în gura de mai

jos. VABCD este o piramidă patrulateră regulată

iar ( MNP ) || ( ABC ). Dacă 30 8 AC = m; 10 8 MP = m,

iar O'O = 18 m.

a) Determinaţi aria trapezului ACPM . (5p)

b) Aaţi volumul VMNPQ, ştiind că acesta va umplut

cu ciment. (5p)



1. Rezultatul calculului: ( – 2)0 + ( – 1)3 · 5 este egal cu.......... (5p)

2. Media aritmetică a numerelor 8 3a = − şi 6 3b = + este .......... (5p)

3. Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + 1 < 5 x – 3 este .......... (5p)

4. Suplementul unghiului de 70° este egal cu .......... (5p)

5. Volumul unui cub este egal cu 216 cm3. Aria totală a cubului este egală cu .......... cm2. (5p)

6. Într-un depozit s-a adus marfă, astfel încât depozitul a fost plin. Conform diagramei,

procentul de smochine din cantitatea de marfă reprezintă ..........% (5p)

42%mere

s m o c h i n e 2

8 %

p e

r e

26% portocale

Cantitatea de marfă

A

M

V

Q

P N

D

C B

O'

O






1. Desenaţi cubul ABCDA'B'C'D'. (5p)

2. Un turist parcurge un drum în două etape. În prima etapă a parcurs2

3 din drum, iar în

ultima etapă a parcurs 150 km. Aaţi lungimea drumului. (5p)

3. a) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că:

3 2 5 27a b b a+ = − + . (5p)

b) Fie mulţimea { 327; 256; 0,4; 2 ; 5; 8, A = − .

Aaţi elementele mulţimii B = { x | x є A, x є – }. (5p)

4. Fie funcţia f : → ,1

( ) 25

f x x= − . Calculaţi f (1) + f (2) + f (3) + ....+ f (10). (5p)

5. Arătaţi că x4 – 256 = ( x – 4)( x + 4)( x2 + 16). (5p)


1. Un triunghi este reprezentat în gura alăturată.

Avem: BC = 8 cm, m( BAC ) = 90°, m( ABC ) = 60°,

AD BC ⊥ .

a) Aaţi lungimile laturilor AB şi AC . (5p)

b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC . (5p)

c) Dacă DE || AB, E є ( AC ), aaţi CE . (5p)

A

B C D

d) Aaţi raportul dintre aria suprafaţei ADC şi aria suprafeţei ABC . (5p)

2. În gura alăturată, ABCA'B'C' este un trunchi de piramidă

triunghiulară regulată cu 2 3O C ′ ′ = dam, 3 3OC = dam,

7 3CC ′ = dam.

a) Aaţi suprafaţa laterală a trunchiului. (5p)

b) Calculaţi volumul ABCA'B'C'. (5p) A

M

B

C

O

B'

C' A'

M' O'




Testul 59 (Autor: prof. Marinela Canu)


1. Rezultatul calculului: (216 : 2 – 23) · 4 este egal cu .......... (5p)

2. După o reducere cu 10%, preţul unei cărţi a devenit 27 lei. Preţul iniţial a fost .........lei. (5p)3. Fie mulţimile A = {1; 4; 7} şi B = {0; 4; 7}. Mulţimea A ∩ B = {.........}. (5p)

4. Un cerc are diametrul de 20 cm. Lungimea cercului este egală cu ..........cm. (5p)

5. Un zar are muchia de 8 mm. Aria laterală a zarului este egală cu .......... mm2. (5p)

6. Un canal plin cu apă este mărginit de dreptele paralele d şi d' . Acest canal este traversat deun pod p ca în gura de mai jos. Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Unghiurile 1 şi 7 sunt

congruente“ este ......... (5p)

1

7d'

d

p


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC . (5p)

2. Ce notă trebuie să obţină un elev la istorie, dacă el are deja o notă de 5 şi una de 6 şi

doreşte să aibă media 7? (5p)

3. Pentru a face înconjurul unei grădini pătrate, o persoană are nevoie de 12 minute. Aceasta

face 100 de paşi pe minut. Lungimea unui pas este egală cu 50 cm. a) Aaţi perimetrul grădinii. (5p)

b) Care este suprafaţa grădinii? (5p)

4. Arătaţi că raportul4 2

3 2

5 4

2 2

x x

x x x

− +

− − + reprezintă un număr natural, oricare ar x natural mai

mare decât 2. (5p)

5. Fie f : → , f ( x) = – 3 x + 4. Aaţi punctul de pe grac ale cărui coordonate sunt numere

opuse. (5p)


1. Se consideră trapezul isoscel ABCD, AB || CD, [ AD] ≡ [ DC ] ≡ [CB], CB = 5 cm, m( A) = 60° a) Arătaţi că AC BC ⊥ . b) Dacă M este mijlocul laturii [ AB], arătaţi că ADCM este romb şi DM AC ⊥ . c) Dacă AD ∩ BC = { P }, calculaţi perimetrul triunghiului PAB.2. Dintr-o prismă de metal, triunghiulară regulată, cu latura bazei de 3 dm şi înălţimea de 6 dm,

se scoate o piramidă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime cu prisma. Din metalul rămas se toarnă, prin topire, o nouă prismă triunghiulară regulată cu înălţimea de 1 dm.

a) Aaţi volumul prismei de metal. (5p) b) Calculaţi volumul piramidei care se scoate. (5p)

c) Determinaţi lungimea laturii bazei prismei noi obţinute. (5p)


.






1. Rezultatul calculului: 18 50 2 2-( ) ( ): este egal cu .......... (5p)

2. 3 dm3 = ..........l. (5p)

3. Dacă 9a

b= , atunci 6

2

a

b a− are valoarea .......... (5p)

4. Un triunghi isoscel ABC are m( ABC ) = 30° şi [ AB] ≡ [ AC ]. Măsura unghiului BAC

este egală cu ..........°. (5p)

5. Rezultatul calculului: ( )18 50 : 2 2- este egal cu .......... (5p)

6. Într-o grădină, terenul este împărţit în 2 parcele:

una în formă de pătrat ABCD cu AB = 10 m şi alta

de forma unui triunghi dreptunghic isoscel ADE, ca îngura alăturată.

E A B

C D

Aria terenului EBCD este egală cu ..........m2. (5p)


1. Suma a două numere naturale este 95. Împărţindu-l pe unul dintre ele la celălalt obţinem

câtul 3 şi restul 15. Aaţi cele 2 numere. (5p)

2. Fie A = { x | x є şi | x| ≤ 3} şi B = { x | x є , x2 – 1 = 0}. Determinaţi elementele mulţimii A ∩ B. (5p)

3. 8 caiete şi 6 pixuri costă 52 lei iar 7 caiete şi 14 pixuri costă 63 lei. Cât costă un caiet şi cât

costă un pix?

4. Cinci muncitori termină o lucrare în 2 ore şi 48 minute. Câţi muncitori trebuie să lucreze

pentru a termina aceeaşi lucrare în 1 oră şi 45 minute? (5p)

5. Se dă funcţia f : → , f ( x) = 3 x – 5. Să se determine a є , astfel încât punctul

M (a; a – 2) є G f

. (5p)

6. Se dă expresia ( )22 6 2( ) 2 639

x x E x x x

+ −= ⋅ − +− , unde x є \ {±3}.

Rezolvaţi ecuaţia E ( x) = 5. (5p)


1. O sală de conferinţe de formă dreptunghiulară cu lungimea de 24 m şi lăţimea de 15 m se

parchetează cu parchet având forma de dreptunghi, cu dimensiunile de 25 cm şi 8 cm.

Aaţi:

a) aria podelei sălii de conferinţe; (5p)

b) câte bucăţi de parchet sunt necesare pentru acoperirea podelei întregii săli? (5p)

c) cu câţi dm2 trebuie mărită aria sălii pentru a se obţine aria unui pătrat cu latura de

19 m? (5p)





2. Acoperişul unui turn este de forma unui tetraedru

regulat ABCD cu aria totală egală cu 36 3 cm2.

a) Arătaţi că înălţimea AO a acoperişului are

lungimea egală cu 2 6 cm. (5p)

b) Calculaţi volumul acoperişului. (5p)

c) Calculaţi distanţa de la mijlocul M al laturii [CD] la faţa ( ABC ). (5p)



1. Fie numărul n = 33 – 32 · 0,(3). Valoarea lui „n“ este .......... (5p)

2. Se dă fracţia 4

6

x . Fracţia este număr natural dacă x є {.........}. (5p)

3. Într-un coş sunt 60 de mere dintre care 10 sunt stricate. Probabilitatea ca luând la întâmplare

un măr, acesta să e bun, este egală cu .......... (5p)

4. Un gard de forma unui pătrat are 16 m. Diagonala pătratului este egală cu .........m. (5p)

5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub este necesar un kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub

este nevoie de ..........kg de vopsea. (5p)

6. Triunghiul ABC oarecare are aria egală cu 80 cm2

. Fie D simetricul lui B faţă de dreapta AC .Aria patrulaterului ABCD este egală cu .........cm2. (5p)


1. Desenaţi pe foaia de examen, o bară în formă de prismă patrulateră regulată

ABCDA'B'C'D'. (5p)

2. Fie x = ( – 3)80 : 275 + 310 : ( – 9)5 + ( – 5)0. Vericaţi dacă x є (2104; ∞). (5p)

3. Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă ecare persoană contribuie cu câte 25 lei,

nu ajung 50 lei, iar dacă ecare persoană dă câte 35 lei, sunt în plus 40 lei. (5p)

a) Câte persoane sunt? (5p)

b) Cât costă obiectul? (5p)

4. Fie funcţia f : → ,3

( ) (3 2)2

f x m x= − ⋅ + .

a) Aaţi m є astfel încât reprezentarea gracă a funcţiei trece prin A(1; 4). (5p)

b) Pentru m = 1, calculaţi aria cuprinsă între gracul funcţiei şi axele de coordonate. (5p)


C

A

D

M

B




4. O bucată de sfoară trebuie tăiată în două părţi ale căror lungimi să e în raportul5

3, iar

prima parte trebuie să e cu 5 cm mai lungă decât 5

9 din toată bucata de sfoară. Aaţi

lungimile celor două părţi. (5p)

5. Un trapez isoscel are baza mare egală cu x + 12, latura neparalelă egală cu x – 1 şi perimetrul egal cu 4 x + 12. Aaţi baza mică a trapezului (exprimată cu ajutorul lui x). (5p)


1. Piciorul unui munte este la 900 de m deasupra nivelului mării şi vârful muntelui la 1500 m.

Un teleski care porneşte de la piciorul muntelui până la vârful lui are o lungime de 800 m.

La 300 m de la vârful muntelui se aă o cabană. La ce înălţime deasupra nivelului mării este

situată cabana? (10p)

2. Pe un teren în formă de triunghi dreptunghic cu cateta AB = 30 m şi ipotenuza BC = 34 m

se marchează un dreptunghi DEFA, înscris în acest teren ( D є [ AB], E є [ BC ], F є [ AC ]).

Perimetrul dreptunghiului este 34,8 m. Pe acest contur DEFA se sapă o piscină în formă de

paralelipiped dreptunghic având adâncimea de 7,5 m. Aaţi:

a) lungimea catetei [ AC ]; (5p)

b) dimensiunile dreptunghiului DEFA; (5p)

c) aria bazei piscinei; (5p)

d) volumul piscinei exprimat în l. (5p)



1. Dacă 2 3 x = + atunci1

x x

+ este egal cu .......... (5p)

2. Ultima cifră a produsului 1 · 2 · 3 · 4 · .... · 99 este egală cu .......... (5p)3. Soluţia reală a ecuaţiei 4 x + 7 = 27 este .......... (5p)

4. O placă dreptunghiulară este de două ori mai lungă decât lată. Perimetrul este egal cu 24 m.

Aria plăcii este egală cu .......... m2. (5p)

5. Un vas de forma unui paralelipiped cu baza pătrat, a cărui arie este 400 dm2 are înălţimea

de 2 ori mai mare decât perimetrul bazei. Volumul vasului este egal cu ..........m3. (5p)

6. O busolă are acul magnetic de forma unui romb cu diagonalele de 30 mm şi 16 mm.

Perimetrul rombului este egal cu .......... mm. (5p)






1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful V în jos şi

baza ABCD. (5p)

2. Suma numerelor ce reprezintă vârstele a doi fraţi este 21. Peste câţi ani suma vârstelor

lor va 29? (5p)3. a) Dacă a + b = 5, calculaţi a2 + a + 2ab + b + b2. (5p)

b) Ştiind că x2 – y2 = 70 şi x – y = 5, aaţi media aritmetică a numerelor x şi y.

4. Trei ingineri au executat un proiect astfel: primul 40% din proiect, al doilea 1

3 din rest plus

5% din tot proiectul, iar al treilea restul proiectului. (5p)

a) Cât la sută din proiect a executat al treilea inginer? (5p)

b) Ce sumă de bani a primit ecare inginer, dacă întregul proiect a costat 4 000 lei? (5p)


1. Un panou publicitar este dreptunghiular, are lungimea de 9 ori mai mare decât lăţimea şi

perimetrul de 20 m. Aaţi:

a) dimensiunile dreptunghiului; (5p)

b) câte cutii de vopsea sunt necesare pentru a vopsi panoul, dacă la 60 dm2 se consumă

o cutie? (5p)

c) perimetrul unui pătrat echivalent cu dreptunghiul. (5p)

2. a) O masă de biliard se sprijină pe 4 picioare egale ce au forma unor prisme drepte cu bazele triunghiuri echilaterale. Latura bazei este de 6 cm, iar înălţimea piciorului de 8 dm.

Să se ae volumul lemnului folosit la construcţia picioarelor. (5p)

b) Masa de biliard are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 2 m şi lăţimea

de 1,5 m. Aaţi câţi m2 de material sunt necesari pentru a acoperi tăblia mesei. (5p)

c) Ştiind că 1 m2 de material costă 35 lei, calculaţi preţul materialului folosit la

acoperirea mesei. (5p)




Testul 65 (Autor: prof. Costică Lupu)


1. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este .......... . (5p)

2. Scrisă sub formă de număr zecimal, fracţia 7

4

este.......... . (5p)

3. Dacă |2 x + 3 y − 5| + 2( 2 3) x y− + ≤ 0, atunci perechea ( x, y) este .......... . (5p)

4. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 bile roşii. Probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare o bilă,

aceasta să e roşie este .............. . (5p)

5. Volumul unui paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile (în cm) proporţionale cu

numerele 2, 4, 6 şi diagonala de 4 14 cm este egal cu .......... . (5p)

6. Un obiect costă 500 lei. Preţul obiectului, după o scumpire cu 10% şi apoi o reducere

cu 20%, va ..........lei . (5p)


1. Aaţi valorile întregi ale lui x pentru care fracţia 1

1

x

x

+−

Î − {1}. (5p)

2. Determinaţi cel mai mic număr natural, diferit de zero, care împărţit la 24 dă restul 10,

împărţit la 40 dă restul 26 şi împărţit la 50 dă restul 36. (5p)

3. Se consideră funcţiile: f : →, f ( x) = 2 x − 1 şi g : →, g ( x) = −2 x + 3.

a) Aaţi coordonatele punctului de intersecţie a gracelor celor două funcţii. (5p)

b) Calculaţi suma S = f (1) + f (2) + ... + f (2012) + g (1) + g (2) + ... + g (2012). (5p) 4. Produsul a două numere este 1242. Dacă din primul număr se scade 6 atunci produsul se

micşorează cu 324. Aaţi numerele. (5p)

5. Calculaţi partea întreagă a lui E (0), dacă E ( x) = ( x + 2 3 )2 + | 3 −1 + x|. (5p)


1. Fie o piramidă triunghiulară regulată VABC de bază ( ABC), iar M este mijlocul laturii ( BC ).

a) Realizaţi desenul piramidei şi al segmentului [VM ]. (5p) b) Ştiind că latura bazei este de 12 cm, iar perimetrul unei feţe laterale de 32 cm, calculaţi

aria laterală a piramidei. (5p)

c) Calculaţi înălţimea piramidei. (5p)

d) Aaţi volumul piramidei. (5p)

2. O cutie fără capac, din tablă, având forma unui paralelipiped dreptunghic, se desfăşoară

după un dreptunghi cu lungimea de 36 cm şi lăţimea de 4 cm şi un altul lipit cu dimensiunile

de 12 cm, respectiv 6 cm.

a) Aaţi suprafaţa cutiei fără capac. (5p)

b) Calculaţi volumul cutiei. (5p)







1. Soluţia reală a ecuaţiei 1,(3) x + 4 =20

3 este .......... . (5p)

2. Scris sub formă de număr zecimal, fracţia9

4

este .......... . (5p)

3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 63 şi 72 este .......... . (5p)

4. 20 de robinete umplu un bazin în 12 ore. 15 robinete umplu acelaşi bazin în .......... ore. (5p)

5. Un cub are aria totală egală cu 1176 cm2. Latura cubului are lungimea egală cu .......... cm. (5p)

6. Radu este cu 4 ani mai mare decât Mircea, iar suma vârstelor celor doi copii este 32 ani.

Vârsta lui Radu este de .......... ani. (5p)


1. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii2 3 7

3 5

x y

x y

+ =

− =. (5p)

2. Să se rezolve ecuaţia1 1 1 1

3 3 3 3 02 2 2 2

x − − − − =

. (5p)

3. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 2 x + 1.

a) Determinaţi coordonatele punctelor A, B de intersecţie a reprezentării grace a funcţiei cu

axele Ox respectiv Oy. (5p)

b) Aaţi valoarea sumei

S = f (−2012) + f (−2011) + ... + f (−2) + f (−1) + f (0) + f (1) + f (2) + ... + f (2011) + f (2012). (5p)

4. Într-o magazie sunt 930 kg de pere şi 1170 kg de mere. În ecare zi se scot câte 30 kg de

pere şi 30 kg de mere. După câte zile cantitatea de pere din magazie va cât trei sferturi din

cantitatea de mere? (5p)

5. Aflaţi lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de:

9 cm, 12 cm şi 15 cm. (5p)


1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul piramidei şi xaţi centrul bazei O. (5p)

b) Ştiind că latura bazei este de 16 cm, iar aria secţiunii ce trece prin mijloacele a două laturi

opuse ale bazei şi vârful V este 48 cm2, calculaţi aria laterală a piramidei. (5p)

c) Aaţi volumul piramidei. (5p)

d) Calculaţi distanţa de la centrul bazei O la planul (VBC ). (5p)

2. În cubul ABCDA'B'C'D' , se consideră punctele: M mijlocul segmentului ( A'D' ) şi P mijlocul

segmentului ( DC ).

a) Aaţi lungimea muchiei cubului, ştiind că MP =5 6 cm. (5p)

b) Dacă N este mijlocul muchiei AD, calculaţi volumul corpului rămas după eliminarea

piramidei MNDD'P . (5p)







1. Soluţia ecuaţiei 3 x − 1 = 2 este .......... . (5p)

2. Numărul soluţiilor naturale ale inecuaţiei 3 x < 17 este.......... . (5p)

3. Aria totală unui tetraedru regulat cu muchia de 6 cm este egală cu .......... . (5p)

4. Rombul cu diagonalele de 6 cm şi 10 cm are aria egală cu .......... . (5p)

5. Punctul de coordonate egale ce aparţine reprezentării geometrice a gracului funcţiei

f : → , f ( x) = 4 x − 6 este .......... . (5p)

6. Diferenţa a două numere este cât a cincea parte din numărul mic. Raportul celor două

numere este .......... . (5p)


1. Arătaţi că 2 4( 1)n n+ + este număr natural pentru orice n Î . (5p)

2. Calculaţi media geometrică a numerelor 5 − 2 6 şi 5 + 2 6 . (5p)

3. În triunghiul dreptunghic ABC , m( A) = 90º şi AD ⊥ BC , iar BD = 4 cm, DC = 9 cm.

a) Calculaţi lungimea înălţimii AD. (5p)

b) Calculaţi sin(m( B)). (5p)

4. Într-o clasă numărul fetelor este de 3 ori mai mic decât numărul băieţilor. Dacă pleacă 4 băieţi şi vine o fată, numărul băieţilor va de 2 ori mai mare decât al fetelor.

Câţi băieţi şi câte fete sunt în clasă? (5p)

5. Câţi litri de apă încap într-un vas cubic cu muchia de lungime 2 m? (5p)


1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ( ABCD) şi centrul bazei O.

a) Realizaţi desenul de piramidei şi xaţi centrul bazei O. (5p)

b) Ştiind că latura bazei are lungimea 16 cm şi muchia laterală face cu planul bazei

un unghi de 60º, calculaţi înălţimea piramidei. (5p)

c) Aaţi volumul piramidei. (5p)

d) Calculaţi distanţa de la punctul O la muchia VA. (5p)

2. Ştiind că latura cubului are lungimea 12 cm, aaţi:

a) lungimea diagonalei cubului; (5p)

b) sinusul unghiului dintre diagonala cubului şi planul bazei. (5p)





Testul 69 (Autor: prof. Marilena Faiciuc)


1. Cel mai mare număr par de 3 cifre este .......... (5p)

2. Un divizor al numărului 18 este .......... (5p)

3. Efectuând 33 obţinem .......... (5p)4. Perimetrul unui pătrat este 16 cm. Atunci latura pătratului este egală cu ..........cm. (5p)

5. Dintre următoarele două numere: 3,12 şi 3,2 este mai mare .......... (5p)

6. Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu laturile bazei de 6 cm şi 8 cm şi înălţimea

de 5 cm este egală cu ..........cm. (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un tetraedru regulat. (5p)

2. La un magazin, din cele 72 kg de banane, s-a vândut în prima zi o treime din cantitate, iar a

doua zi jumătate din cantitatea rămasă. Aaţi câte kg de banane au rămas în magazin. (5p)

3. Dacă elevii unei clase se grupează în rânduri de câte 6 elevi atunci nu rămâne niciun elev

negrupat. La fel, dacă se grupează câte 8 elevi pe un rând, nu rămâne niciun elev negrupat.

a) Vericaţi dacă în clasă pot 32 de elevi. (5p)

b) Aaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul acestora este mai mic decât 40. (5p)

4. Un produs care a fost ieftinit cu 20% costă acum 120 lei. Aaţi preţul produsului înainte

de ieftinire. (5p)

5. Arătaţi că (2 x – 3)2 – 16 = (2 x – 7)(2 x + 1), pentru orice x număr real. (5p)


1. O grădină de formă dreptunghiulară ABCD are

lungimea de 12 m şi lăţimea de 6 m.

a) Dacă se construieşte un gard care împrejmuieşte

grădina format din 5 rânduri de sârmă, aaţi

lungimea sârmei necesare.

b) Calculaţi distanţa cea mai mare dintre două puncte ale grădinii.

c) Dacă se construieşte o magazie de forma unui pătrat MBNP în colţul grădinii cu latura MB = 1 m, calculaţi aria suprafeţei rămase pentru cultivat.

d) Dacă, după construirea magaziei, suprafaţa rămasă a grădinii se împarte în suprafeţele

AMPD şi DCNP, calculaţi ariile celor două suprafeţe.

2. Un bloc turn are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D'

cu dimensiunile AB = 16 m, BC = 10 m, AA' = 30 m.

a) Calculaţi distanţa de la D' la AC .

b) Dacă trebuie izolat acoperişul blocului şi se ştie că un

muncitor izolează 1 m2 în 2 ore, aaţi câţi muncitori trebuie angajaţi pentru a termina izolarea blocului în 5 zile, dacă toţi au acelaşi ritm

de lucru şi lucrează 8 ore pe zi.


N

A B

C D

M

P

A B

C D

A' B'

C' D'






1. Rezultatul calculului1 1 5

2 3 6

+ − este egal cu .......... (5p)

2. Scrisă ca interval, mulţimea { x є s 1 ≤ x P 5} este ........... (5p)

3. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este .......... (5p)

4. Aria totală a unui cub cu latura de 4 cm este egală cu .......... (5p)

5. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 12 cm, 16 cm şi 15 cm are

lungimea egală cu .......... cm. (5p)

6. Soluţia ecuaţiei 36 : x = 12 este ........... (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic. (5p)

2. Pentru o serbare se cumpără 2 kg de bomboane cu preţul de 15 lei kilogramul şi 3 kg cu

10 lei kilogramul. Aaţi preţul mediu al unui kg de bomboane. (5p)

3. Într-un bloc sunt 55 de apartamente, unele cu 2 camere şi altele cu 3 camere, în total 145

de camere.

a) Stabiliţi dacă în bloc pot 20 de apartamente cu 3 camere. (5p)

b) Calculaţi câte apartamente sunt cu 2 camere şi câte cu 3 camere. (5p)

4. Calculaţi ( ) ( )2 2

3 5 2 5- + - . (5p)

5. Determinaţi valoarea lui x є pentru care egalitatea ( x – 3)2 = ( x – 2)( x – 5) este

adevărată. (5p)


1. Fie rombul ABCD, cu AB = 6 m şi m(r BAD) = 60°.

a) Calculaţi lungimea diagonalei ( AC ). (5p)

b) Calculaţi distanţa de la B la CD. (5p) c) Dacă paralela prin A la BD intersectează dreapta CD în

punctul M , calculaţi lungimea segmentului ( AM ). (5p)

O

A

B

C

D

2. O piesă are forma unei piramide patrulatere regulate

VABCD cu latura bazei AB = 12 cm şi muchia laterală

2 34VA = cm.

a) Calculaţi lungimea înălţimii piramidei. (5p)

b) Arătaţi că ( ) ( )VAC VBD^ (5p)

c) Calculaţi distanţa de la punctul de intersecţie a diagonalelor

bazei la o faţă laterală. (5p)

V

A

D C

B







1. Rezultatul calculului 12 – 5 · 3 este .......... (5p)

2. Scris ca putere cu baza 2 numărul 16 este egal cu .......... (5p)

3. Un produs are preţul de 150 lei. După o reducere de 10% acesta va costa .........lei. (5p)

4. Apotema unui triunghi echilateral cu latura de 2 3 cm este egală cu ..........cm. (5p)

5. Pe planul pătratului ABCD cu latura AB = 4 cm se ridică perpendiculara ( ) AM ABC ^ cu

AM = 1 cm. Distanţa de la M la BD este egală cu ..........cm. (5p)

6. Volumul unei piramide triunghiulare regulate cu latura bazei de 5 cm şi înălţimea de 12 cm

este egal cu ........... cm3. (5p)


1. Desenaţi un trapez isoscel ABCD. (5p)

2. Un elev a citit 160 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă

4

5 din totalul numărului de pagini. Aaţi câte pagini are cartea. (5p)

3. Fie expresia2

3( )

5 6

x E x

x x

−=

− +, unde x є \ {2; 3}.

a) Calculaţi E ( – 1) + E (1). (5p)

b) Arătaţi că1

( )2

E x x

=−

. (5p)

c) Aaţi x є , pentru care E ( x) є . (5p)

4. Calculaţi ( )2 12 10

2 3 56 15 10

- + + ++

. (5p)


1. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC = 13 cm şi

BC = 10 cm, iar MNPQ este un pătrat cu M, N є ( BC )

P є

( AC ) şi Q є

( AB). a) Calculaţi aria triunghiului ABC . (5p)

b) Dacă MN = x cm, exprimaţi aria triunghiului

PNC în funcţie de x. (5p)

c) Determinaţi valoarea lui x. (5p)

Q

A

B C M N

P

2. Un cort are forma unei piramide patrulatere VABCD cu latura bazei AB = 24 dm şi

înălţimea VO = 16 dm.

a) Calculaţi aria suprafeţei laterale a piramidei. (5p)

b) Calculaţi tangenta măsurii unghiului diedru

format de o faţă laterală cu planul bazei. (5p)

c) Calculaţi sinusul unghiului format de VA cu planul (VBD). (5p)

V

A B

C D

O







1. Rezultatul calculului 3,5 · 6 este .......... (5p)

2. Dintre 5 2 şi 7 mai mare este numărul ......... (5p)

3. Dacă A = {1, 2, 8, 9} şi B = {1, 2, 3, 5} atunci A B∪ = .......... (5p)

4. Aria unui cerc cu raza de 5 cm este egală cu ........... cm2. (5p)

5. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 6 cm este egală cu ..........cm. (5p)

6. Volumul unui tetraedru regulat cu latura de 3 m este egal cu ..........m3. (5p)


1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată. (5p)

2. Pentru o intrare la o piscină, un elev trebuie să plătească 7 lei, iar un abonament pentru o

lună costă 50 lei. Un elev vrea să meargă la piscină într-o lună de 8 ori. Este rentabil să-şifacă abonament? Justicaţi răspunsul. (5p)

3. Un turist parcurge 320 km în 3 zile astfel: în prima zi parcurge 20% din drum, a doua zi

50% din cât a rămas şi în a treia zi restul drumului.

a) Aaţi câţi km a parcurs în prima zi. (5p)

b) Aaţi câţi km a parcurs în a treia zi. (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = 2 x – 4.

a) Reprezentaţi grac funcţia f . (5p)

b) Aaţi a є

, pentru care f (a) = 4a – 12. (5p)


1. O curte are forma unui dreptunghi ABCD cu

AB = 24 m, AD = 15 m, MB = 10 m, unde

M є ( BC ) reprezintă ieşirea din curte, iar

{ } AM DC N ∩ = .

a) Calculaţi distanţa d( A, M ). (5p) b) Calculaţi distanţa pe care o parcurge un copil pe o bicicletă, dacă porneşte din A,

trece prin M şi ajunge în punctul N . (5p)

c) Aaţi ce procent din aria dreptunghiului ABCD reprezintă aria triunghiului AMB. (5p)

2. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 50 m, lăţimea de 20 m şi

adâncimea de 3 m.

a) Calculaţi volumul bazinului. (5p)

b) Dacă bazinul se umple cu apă până la înălţimea de 2,5 m, calculaţi câţi litri de apă intră

în bazin. (5p) c) Dacă bazinul se umple prin 10 robinete prin care curg 250 l pe minut din ecare, aaţi în

cât timp (exprimat în ore şi minute) se va umple bazinul până la înălţimea de 2,5 m. (5p)


A B

M

N C D




Testul 74 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)



2. Cel mai mare număr întreg din intervalul1

;2

æ ùç ú-¥ -çç úè û

este .......... (5p)

3. 40% din 50 este egal cu .......... (5p)

4. Într-un cerc BC este diametru. Punctul A se aă pe cerc astfel încât arcele AB şi AC sunt

congruente. Dacă raza cercului este de 5 cm, atunci lungimea coardei AB este egală

cu ..........cm. (5p)

5. Un tetraedru regulat are muchia de 4 cm. Aria totală este egală cu ..........cm2. (5p)

6. În gura de mai jos, în sistemul de axe XOY sunt reprezentate punctele A şi B. Lungimea

segmentului ( AB) este egală cu .......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH . (5p)

2. Un biciclist parcurge într-o zi 72 de km, iar a doua zi de două ori mai puţin. Ce distanţă a

parcurs în cele două zile? (5p)

3. Într-un coş sunt mai multe nuci. Dacă nucile se împart în mod egal unui grup de 4, 5 sau 6

copii, în coş rămân de ecare dată 3 nuci.

a) Vericaţi dacă pot 183 de nuci. (5p)

b) Care poate cel mai mic număr de nuci din coş înainte ca acestea să e împărţite

copiilor? (5p)

4. Se consideră funcţia f : (2; + ∞) → , f ( x) = x – 2. Vericaţi dacă punctele M (2; 0) şi N (3; 1) aparţin reprezentării geometrice a gracului funcţiei. (5p)

5. Arătaţi că (a – 2)3 – a + 2 = (a – 1)(a – 2)(a – 3), pentru orice a, număr real. (5p)


1. În gura alăturată, ABCD este un trapez

dreptunghic cu AB = 6 cm, BC = 9 cm,

CD = 12 cm, iar punctul M є ( BC ).

a) Dacă BM = x, exprimaţi în funcţie de x, aria triunghiului ABM . (5p)

M

A B

C D

N

b) Aaţi BM = x , astfel încât A ABM

= A DMC

. (5p)


A

O x

y B

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4




c) Ştiind că BM = x = 6 cm, arătaţi că aria triunghiului AMN , unde N este mijlocul

segmentului [ AD] este egală cu 122

2 cm2. (5p)

d) Fie P mijlocul segmentului ( DC ). Demonstraţi că ABPD este paralelogram, iar aria

trapezului este egală cu trei ori aria triunghiului APD. (5p)

2. În gura alăturată, SABCD este o piramidă patrulateră regulată cu 3 6SA = dm şi latura bazei AB = 6 dm.

a) Aaţi volumul piramidei SABCD. (5p)

b) Calculaţi distanţa de la punctul A la faţa laterală (SBC ). (5p)

S

A B

C D

O


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.1. Rezultatul calculului 9 · 7 – 7 este egal cu .......... (5p)

2. Se consideră mulţimea A = { x є s 2 ≤ x < 11}. Numărul elementelor mulţimii A este

egal cu .......... (5p)

3. Media aritmetică a două numere este 25. Suma celor două numere este egală cu .......... (5p)

4. Un romb are perimetrul egal cu 48 cm. Lungimea unei laturi este egală cu ..........cm. (5p)

5. Diagonala unui cub este egală cu 4 3 cm. Volumul cubului este egal cu .........cm3. (5p)

6. Se consideră un disc. Porţiunea haşurată reprezintă din întregul disc un procent

de ..........%. (5p)

45°

A

B O


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic. (5p)

2. Mama foloseşte

2

3 din cele 18 ouă de care dispune la prepararea unui tort şi alte două ouă pentru omletă. Câte ouă îi rămân? (5p)

3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 6, 7 şi 15.

a) Exprimaţi raportul dintre cel mai mic şi cel mai mare număr sub formă zecimală. (5p)

b) Aaţi cele trei numere dacă, împărţind numărul cel mai mare la cel mai mic obţinem

câtul 2 şi restul 6. (5p)

4. Se consideră f : → , f ( x) = 2 x – 3a. Aaţi a є , astfel încât punctul M (1; 5), să aparţină

gracului funcţiei.

5. Arătaţi că2

3 6 3

12

x

x x x

+ =−+ −

, pentru x є \ { – 2; 1}. (5p)






1. În gura alăturată, patrulaterul ABCD este trapez

AB || CD, AB = BC = AD = 10 cm şi AC AD⊥ a) Arătaţi că AC este bisectoarea unghiului BCD. (5p)

b) Calculaţi unghiurile trapezului. (5p)

c) Fie BE || AD, E є (CD). Demonstraţi că ABED este romb. (5p)

d) Calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD. (5p)

10 A B

C D

10 10

2. În gura alăturată, ABCDEFGH este prismă patrulateră

regulată cu lungimea laturii bazei de 2 2 dm şi muchia

laterală de lungime egală cu 2 3 dm.

a) Determinaţi măsura unghiului format de planele ( ACF ) şi ( ACH ). (5p)

b) Vericaţi dacă într-un vas cu dimensiunile prismei

ABCDEFGH încap 32 de litri de apă. (5p)

H

A B

C D

E F

G


SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.1. Rezultatul calculului 16 – 16 : 4 este egal cu .......... (5p)

2. Se consideră mulţimea3

9; 16; ; 145

Aì üï ïï ï= -í ýï ïï ïî þ

. Mulţimea A ∩ = {..........} (5p)

3. Dacă 5% din numărul a reprezintă 0,5, atunci valoarea lui a este .......... (5p)

4. Perimetrul unui pătrat este egal cu 20 cm. Aria pătratului este egală cu .........cm2. (5p)

5. O prismă patrulateră regulată are înălţimea de 8 cm şi latura bazei de 4 cm. Volumul este

egal cu ..........cm3. (5p)6. În gura de mai jos, este reprezentat gracul funcţiei f : D → . Mulţimea D are

elementele: {..........}. (5p)

O x

y

1 2 3 4 5

1

2

3

– 1

– 1






1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă patrulateră regulată, SABCD, de vârf S . (5p)

2. Dorina are cu 54 de nuci mai multe decât Andreea, ceea ce înseamnă că are de 7 ori mai

multe nuci decât aceasta. Câte nuci are ecare? (5p)

3. După două scumpiri succesive, una de 5%, cealaltă de 4%, un obiect costă 546 lei. a) Aaţi preţul iniţial al obiectului. (5p)

b) Dacă preţul iniţial a fost 500 lei, aaţi preţul după prima scumpire. (5p)

4. Determinaţi funcţia liniară f : → , f ( x) = ax + b, dacă punctele A(2; 3) şi B( – 1; – 3)

aparţin reprezentării grace a funcţiei f . (5p)

5. Arătaţi că E ( y) = ( y2 – 3)2 – 2( y2 – 3) + 1 se poate scrie ca un produs de pătrate perfecte. (5p)


1. În gura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic

cu AB || DC , m( B) = 90°. Ştim că 3 AB = cm,

BC = 8 cm, DC = 5 3 cm şi M є ( BC ).

a) Să se ae BM = x, astfel încât triunghiul AMD să

e dreptunghic în M . (5p)

b) Pentru x = 3, aaţi A AMD

. (5p)

c) Pentru x = 3, calculaţi tg(m( MDC )). (5p)

A B

C D

M

d) Exprimaţi sub forma unui număr zecimal raportul ABCD

AMD

A

A , pentru x = 3. (5p)

2. Prisma triunghiulară regulată ABCDEF are latura

bazei 4 3 AB = cm, iar înălţimea 3 3 cm. Calculaţi:

a) volumul prismei; (5p)

b) distanţa de la punctul A la planul ( BCD). (5p)

E

A

B C

F

D






1. Rezultatul calculului 22 · 32 – 16 este egal cu .......... (5p)

2. Valorile naturale ale lui x pentru care 2 x – 4 ≤ 0 sunt .......... (5p)

3. Dacă 29 3 y = , atunci numărul y este egal cu .......... (5p)

4. Aria unui dreptunghi este egală cu 42 cm2 iar lungimea sa este de 7 cm. Lăţimea este

egală cu ..........cm. (5p)

5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 2, 3 respectiv 5 cm. Volumul este

egal cu ...........cm3. (5p)

6. Figura alăturată reprezintă gracul unui drum

pe care-l face un elev de la şcoală până

acasă: O (şcoala) şi A (acasă).Distanţa parcursă a fost de ..........m. (5p)

minute

km

10 20 3014 23O

A

D

C B

1

0,5

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată VABC de vârf V şi bază ( ABC ). (5p)

2. Doi fraţi au economisit pentru vacanţă 200 lei. Cât a economisit ecare, dacă suma unuia

este cu 20 de lei mai mare decât a celuilalt? (5p)

3. Fiul şi tatăl au vârsta de 16 ani, respectiv 40 de ani.

a) Cu câţi ani în urmă tatăl a fost de trei ori mai în vârstă decât ul? (5p)

b) Peste câţi ani tatăl va de două ori mai în vârstă decât ul? (5p)

4. Arătaţi că produsul numerelor 27 75a = − şi 12 48b = − este un număr întreg. (5p)

5. Rezolvaţi inecuaţia: ( )1 2 2 2 2 x- + £ în – (mulţimea numerelor întregi negative). (5p)


1. În dreptunghiul ABCD cu AB = 10 cm şi AC = 20 cm,

se duce BM AC ⊥ şi se prelungeşte astfel încât

BM ∩ AD = { N }.

a) Calculaţi aria dreptunghiului. (5p)

b) Aaţi raportul

AM

MC (5p)

M

A

B C

D N

c) Calculaţi MN . (5p)

d) Arătaţi că A ADC

= 12 · A AMN

(5p)





2. O piramidă triunghiulară regulată SABC are latura bazei

AB = 6 cm şi înălţimea SO = 3 cm.

a) Calculaţi aria laterală şi volumul piramidei. (5p)

b) Arătaţi că SB AC ⊥ . (5p)



1. Rezultatul calculului3 10

13 13+ este egal cu .......... (5p)

2. Numărul 2a a este divizibil cu 5. Valoarea cifrei a este egală cu ........... (5p)

3. Produsul dintre un număr şi inversul lui este egal cu .......... (5p)

4. Aria rombului cu diagonalele de 6 cm şi 8 cm este egală cu ..........cm2. (5p)

5. O prismă triunghiulară are toate feţele laterale pătrate egale cu latura de 6 cm. Volumul

prismei este egal cu ..........cm3. (5p)

6. Dacă 7 a= , a > 0, atunci a este egal cu .......... (5p)


1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' de bază ( ABCD). (5p)

2. Calculaţi suma elementelor mulţimii [ – 3; 4) ∩ . (5p)

3. Calculaţi aria unui trapez cu bazele de 10 cm, 3 2 cm şi înălţimea de

( )10 3 2- cm. (5p)

4. Pentru a confecţiona 4 bluze şi 2 rochii, un croitor are nevoie de 14 m de pânză, iar pentru

a confecţiona 2 bluze şi 3 rochii, de acelaşi fel, are nevoie de 13 m de pânză.

a) Aaţi câţi metri de pânză îi trebuie croitorului pentru a confecţiona o bluză, respectiv

pentru o rochie (5p)

b) Câţi metri îi sunt necesari pentru a confecţiona 3 bluze şi 4 rochii de acelaşi fel? (5p)

5. Se dă expresia:2 4 4

( )2 2 2

x x x F x

x x

− − −= − +

− −, x є \ {2}. Arătaţi că

1( ) 1

2 F x x= − . (5p)


1. Se dă dreptunghiul ABCD. Dimensiunile dreptunghiului sunt egale cu ( )3 x + m,

( )3 x - m, iar diagonala 14 AC = m.

a) Aaţi valoarea lui x. (5p)

b) Pentru x = 2, calculaţi perimetrul şi aria dreptunghiului. (5p)

c) Calculaţi distanţa de la B la diagonala AC . (5p)

d) Calculaţi aria discului cu diametrul egal cu AC . (5p)

2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 8 cm, 8 3 BC = cm,

iar triunghiul ACC' este isoscel. Calculaţi: a) diagonala paralelipipedului; (5p)

b) aria totală şi volumul. (5p)

C

A

B

S

O





Testul 79 (Autor: prof. Florentina Enea)


1. Rezultatul calculului 5 + 65 : 5 este egal cu ........... (5p)

2. Fie mulţimile A = { – 3; – 1; 0; 1; 3} şi B = { – 1; 1; 2}. Mulţimea A ∪ B = {.........} (5p)

3. Se aruncă un zar. Probabilitatea să iasă numărul 5 este egală cu .......... (5p)

4. Lungimea unui cerc este de 10p m. Lungimea diametrului cercului este de ..........m. (5p)

5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6, 8 şi respectiv 10 cm. Lungimea

diagonalei paralelipipedului este de ..........cm. (5p)

6. Într-o clasă de 25 elevi, la teza de la matematică s-au obţinut următoarele rezultate:

4 note de 4, 5 note de 5, 3 note de 6, 5 note de 7, 3 note de 8, 4 note de 9 şi o notă de 10.

Media clasei este ......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen un tetraedru ABCD. (5p)2. O trotinetă costă 55 lei şi o bicicletă cu 40% mai mult. Care este costul bicicletei? (5p)

3. Raportul a două numere este1

4 şi suma lor tot atât. Aaţi:

a) media aritmetică a numerelor 5p)

b) media geometrică a celor două numere. (5p)

4. Se consieră funcţia f : → , f ( x) = 2 x + 1. Determinaţi coordonatele punctului de

intersecţie a reprezentării grace a funcţiei cu axa Ox. (5p)

5. Simplicaţi fracţia 22

1 2 31 9

x x

x− −

−, x є \ 1

3 ±

. (5p)


1. Fie triunghiul ABC , m( A) = 90°; m( B) = 60°;

BC = 8 cm şi AD BC ⊥ , D є ( BC ), ca în gura alăturată.

a) Calculaţi lungimea catetelor şi a înălţimii AD. (5p)

b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului

circumscris triunghiului ABC . (5p) c) Dacă DE || AB, E є ( AC ), aaţi EC . (5p)

d) Aaţi raportul dintre aria ( ABD) şi aria ( ABC ). (5p) A

B

C

D

2. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura

bazei de 12 cm şi apotema de 10 cm.

a) Calculaţi volumul piramidei. (5p)

b) Vericaţi dacă, într-un vas confecţionat sub formă

de trunchi de piramidă dintr-un corp cu dimensiunile

piramidei VABCD, prin secţionarea cu un plan paralel

cu baza, situat la un sfert din înălţime faţă de bază, ar încăpea jumătate de litru de apă. (5p)


V

A B

C D

O

M






1. Rezultatul calculului 2 225 15− este egal cu .......... (5p)

2. Fie mulţimea A = { x є | – 2 < x + 1 ≤ 3}. Elementele mulţimii A sunt.......... (5p)

3. Probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea cifrelor, acesta să e prim este......... (5p)

4. Un paralelogram cu diagonalele de 2 2 cm, respectiv 3 cm şi măsura unghiului dintre ele

de 45° are aria egală cu ..........cm2. (5p)

5. Un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm are aria totală egală cu ..........cm2. (5p)

6. În gura alăturată, punctele D, E şi F , G împart laturile

( MN ) respectiv ( MP ) în trei segmente congruente.

Dacă GE = 4 cm, atunci NP = ..........cm. (5p)

M

D F

E G

N P


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată. (5p)

2. Dacă suma a două numere naturale consecutive este 29, determinaţi produsul lor. (5p)

3. După două scumpiri succesive una cu 5%, cealaltă cu 4% un produs costă 546 lei.

a) Aaţi preţul iniţial al produsului. (5p)

b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul preţul produsului, după cele 2

scumpiri. (5p)

4. Se consideră funcţiile f, g : → , f ( x) = x + 2, g( x) = – 2 x – 7. Determinaţi punctul de intersecţie a reprezentărilor grace ale celor două funcţii. (5p)

5. Fie expresia2

1 1 3 3( ) 2 1

1 1 4

x x x E x

x x

− − + = − ⋅ + ⋅ + + , x є \ { – 1}. Determinaţi x є pentru

care E ( x) є . (5p)


1. În gura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic în A, având bazele ( AD) şi respectiv ( BC ) de lungimi

12 m şi 16 m şi m( C ) = 60°.

a) Determinaţi perimetrul trapezului. (5p)

b) Dacă ABCD reprezintă suprafaţa unui apartament,

determinaţi câţi m2 de parchet sunt necesari

pentru parchetarea întregului apartament. (5p) B

A D

C

c) Dacă 1 m2 de parchet costă 30 lei, vericaţi dacă 2900 lei sunt sucienţi pentru

cumpărarea parchetului necesar. (5p)





2. O piramidă triunghiulară regulată are măsura unghiului

format de muchia laterală cu planul bazei egal cu 60°

iar lungimea înălţimii (VO) a piramidei egală cu 12 cm.

a) Arătaţi că AB = 12 cm. (5p)

b) Calculaţi d(O; VBC ). (5p)

c) La ce distanţă de vârf trebuie secţionată piramida cu un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale

acelor două corpuri formate să e egale? (5p)



1. Rezultatul calculului1

0, 25

− este egal cu .......... (5p)

2. Un divizor propriu al numărului 28 este .......... (5p)

3. Dacă a = 4 şi b + c = 19, atunci suma ab + ac este egală cu .......... (5p)

4. Un triunghi dreptunghic are catetele de 9 şi respectiv 12 cm. Lungimea înălţimii

corespunzătoare ipotenuzei este egală cu ..........cm. (5p)

5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 120 cm. Aria cubului este .........cm2. (5p)

6. În gura alăturată sunt reprezentate notele obţinute de cei 25 elevi ai unei clase la evaluarea naţională,

pe tranşe de note. Numărul elevilor care au obţinut

note între 7 şi 10 este ......... (5p)

20% noteîntre 5 şi 7

20% notesub 5

note între7 şi 10


1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulatăSABCD.

(5p)2. Suma a două numere naturale este 12, iar suma inverselor lor este 0,6. Aaţi numerele. (5p)

3. Aaţi cel mai mic număr de mere care împărţit la cinci copii dă restul 3, împărţit la 6 copii

dă restul 4 şi împărţit la 8 copii dă restul 6. (5p)

4. Determinaţi aria suprafeţei determinată de axele de coordonate şi reprezentarea gracă a

funcţiei f : → , f ( x) = x + 2. (5p)

5. a) Arătaţi că2 4 3

3

n n

n

+ ++

este număr natural, oricare ar n număr natural. (5p)

b) Arătaţi că2 2 2

2 22 4 3 4 4 1:3 14 3 9

x x x x x x x x x x x

æ ö+ - + + + -÷ç × =÷ç ÷çè ø- ++ + -, oricare ar

x є \ { – 3; – 2; – 1; 3}. (5p)


A 60°

B

C

V

O




3. Dovediţi că numărul:

a) ( )2

1 2 3 2 2 32 pé ùê ú= + + - ×ê úë û

este pătrat perfect. (5p)

b) q = (1 + 3 + 5 + ......+ 219) · 110 este cub perfect. (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = 2 x + 3. Determinaţi distanţa de la punctul P (3; 0) la G f . (5p)5. Aaţi valorile reale ale numerelor x şi y pentru care expresia

2 2( ) 6 9 9 6 10 E x x x y y= − + + + + are valoare minimă. (5p)


1. Se consideră triunghiul isoscel ABC , cu BC = 36 cm

şi AB = AC = 30 cm. Aaţi:

a) aria triunghiului şi lungimea înălţimii din B; (5p)

b) cos(m( BAC )); (5p)

c) lungimea cercului circumscris triunghiului ABC; (5p) C

A

B d) distanţa de la centrul cercului circumscris triunghiului ABC la dreapta AB. (5p)

2. Fie ABCA'B'C' o prismă dreaptă cu baza triunghi

echilateral şi BA' ∩ AB' = {O}, BC ∩ CB' = {O' },

AA' = 6 cm şi AB = 8 cm.

a) Calculaţi d( B, OO' ). (5p)

b) Aaţi aria totală a prismei. (5p)

O'

A

B

C

A'

B'

C'

O



1. Restul împărţirii numărului 406 la 9 este .......... (5p)

2. Valoarea expresiei 4 x3 – 2 x2 + 8 x – 90 pentru x = 2 este .......... (5p)3. Cel mai mare număr de trei cifre care împărţit la 9 dă câtul 45 este .......... (5p)

4. Un trapez isoscel are baza mică de 7 cm, baza mare de 15 cm şi un unghi ascuţit de 45°.

Aria trapezului este egală cu ..........cm2. (5p)

5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 5, 4 şi respectiv 10 cm. Aria

paralelipipedului este egală cu .........cm2. (5p)

6. Funcţia al cărui grac este reprezentat în gura

alăturată este f : → , f ( x) = .......... (5p)

x

y

A(0; 2)

O B(2; 0)






1. Desenaţi un cub ABCDA'B'C'D'. (5p)

2. Rezolvaţi inecuaţia 2 4 5 2 5 x x− > − . (5p)

3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că 2 6 3 2 8a b b a+ = − + . (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = – 2 x + 5.

a) Determinaţi tangenta măsurii unghiului pe care îl face reprezentarea gracă a funcţiei cuaxa Ox. (5p)

b) Aaţi x є astfel încât2

6 ( ) 18

( ) 9

f x

f x

+

− є , x ∈ − { } 1 4; . (5p)

5. Arătaţi că numărul ( ) ( )2 2

ab ba- este divizibil cu 9, unde ab reprezintă un număr scris în

baza 10, cu a ≠ 0 şi b ≠ 0. (5p)


1. În triunghiul ABC , AD BC ⊥ , iar M, N şi P sunt

mijloacele laturilor [ AB], [ BC ] şi respectiv [ AC ].

a) Demonstraţi că DNPM este trapez isoscel. (5p)

b) Dacă AB = 30 cm, BC = 50 cm, AC = 40 cm,

stabiliţi natura triunghiului ABC şi calculaţi

perimetrul trapezului. (5p)

c) Calculaţi aria trapezului. (5p)

d) Demonstraţi că MDP ≡ BAC. (5p)

A

B C

M

N D

P

2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', O mijlocul segmentului BD şi M

mijlocul segmentului AB.

a) Demonstraţi că OM A B′⊥ . (5p)

b) Dacă paralelipipedul de dimensiuni a, b şi c îşi măreşte dimensiunea a cu x > 0,

dimensiunea b cu 2 x, iar dimensiunea c se micşorează cu 3 x astfel încât aria

totală rămâne neschimbată, arătaţi că noul paralelipiped nu poate cub. (5p)




Testul 84 (Autor: prof. Marinela Georgescu)


1. Rezultatul calculului 64 : 4 16+ este egal cu .......... (5p)

2. Fie mulţimea 78; 1; ; 2; 02

A ì üï ïï ï= -í ýï ïï ïî þ

. Mulţimea A ∩ = {..........} (5p)

3. Cel mai mare dintre numerele1

2 şi

2

3 este .......... (5p)

4. Latura unui triunghi echilateral are lungimea de 8 cm. Lungimea ecărei linii mijlocii a

triunghiului este egală cu ..........cm. (5p)

5. Aria laterală a unui cub este egală cu 36 cm2. Muchia acestui cub are lungimea egală

cu ...........cm. (5p)

6. Toţi cei 30 de elevi ai clasei a V-a B au participat la 4 concursuri pe discipline organizate în şcoală,

ecare elev participând numai la un concurs. Astfel,

conform diagramei au participat 40% la matematică,

20% la biologie, 10% la geograe şi restul la

concursul sportiv. Numărul elevilor care au participat

la concursul sportiv este de .......... (5p)

40%20%

10%


1. Desenaţi, pe foaia de examen un cub ABCDA'B'C'D'. (5p)

2. Preţul unei cărţi este 27 lei iar preţul unui caiet este de 3 ori mai mic. Ştefania cumpără

o carte şi un caiet. Câţi lei a plătit? (5p)

3. Un grup de copii a primit cărţi. Unul dintre ei a primit 4 cărţi iar ceilalţi câte 6 cărţi ecare.

Ştiind că, dacă ecare copil ar primit câte 4 cărţi, ar rămas 28 nedistribuite, aaţi:

a) Câţi copii sunt în grup? (5p)

b) Câte cărţi au fost în total? (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = ax – 3; a є . Determinaţi numărul real a ştiind că M (2; 17)

aparţine reprezentării geometrice a gracului funcţiei f . (5p)

5. Arătaţi că (1 + x)3 · (1 – x)2 = 1 + x – 2 x2 – 2 x3 + x4 + x5, pentru orice x număr real. (5p)


1. În gura alăturată sunt ilustrate schematic două

parcele de teren agricol: ABCD şi BEFG, ecare

având formă de dreptunghi. Se ştie că

AB = 500 m, AD = 100 m, EF = 200 m,

GF = x ( x este o distanţă exprimată în metri). A B

C D

G F

E 1

0 0 m

500 m

2 0 0 m

x

a) Exprimaţi, în funcţie de x, perimetrul terenului agricol format din cele două parcele. (5p)





b) Determinaţi x astfel încât ariile suprafeţelor celor două parcele să e egale. (5p)

c) Pentru x = 2,5 hm, aaţi aria (în hm2) a parcelei BEFG. (5p)

d) Se consideră x = 250 m. Parcela ABCD va însămânţată cu grâu, iar BEFG va

însămânţată cu porumb. Pentru sămânţa de grâu, magazinul acordă o reducere de 5%, în

cazul în care cantitatea cumpărată este mai mare de 1000 de kg. Se ştie că pentru 1 ha

cultivat cu grâu sunt necesare 250 kg sămânţă, preţul grâului ind 1,5 lei/kg, iar pentru

10 000 m2 cultivaţi cu porumb trebuie 17 kg sămânţă de porumb, preţul ind 10 lei/kg.

Cât costă în total sămânţa pentru cele două parcele? (5p)

2. Figura alăturată reprezintă schema unui acvariu (fără capac)

confecţionat din geam cu grosimea de 0,1 dm. Acvariul

are forma unui paralelipiped dreptunghic. Se ştie că

pentru bază s-a folosit o bucată de geam cu

dimensiunile de 6 dm şi 3 dm, iar perpendicular pe

aceasta s-au lipit pereţii laterali conform desenului.Preţul unui m2 de geam este 45 lei.

a) Câţi litri de apă încap în acvariu? (5p) 6 dm

4

d m

3 d m

0 , 1

d m

b) Câţi m2 de geam au fost necesari şi cât a costat, ştiind că au fost pierderi de 11,6%? (5p)



1. Rezultatul calculului 6 – 6 · ( – 2) este egal cu .......... (5p)

2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 40 şi 60 este .......... (5p)

3. Fie mulţimea2

1; ; 2; 2; ; 35

A = − π

. Probabilitatea ca la extragerea unui element din A

acesta să e număr raţional este egală cu .......... (5p)

4. Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este de 4 cm. Înălţimea triunghiului

are lungimea egală cu ..........cm. (5p)

5. Aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 9 cm este .........cm2. (5p)

6. Elevii clasei a IX- a A au participat, în cadrul

unui proiect educativ la un concurs. Ei au vizitat

5 muzee (A, B, M, S, T) şi apoi au completat un

chestionar onnline cu 50 de întrebări referitoare

la cunoştinţele acumulate în urma vizitei la cele 5

muzee (câte 10 întrebări despre ecare muzeu).

Pentru ecare răspuns corect au primit 5 puncte iar

pentru ecare răspuns greşit au fost penalizaţi cu 2 puncte.

N u m ă r r ă s p u n s u r i c o r e c t e

TA B M S

Muzeu

În gracul alăturat sunt reprezentate rezultatele obţinute. Clasa a IX-a A a obţinut un punctaj

nal de .......... puncte. (5p)






1. Desenaţi o prismă dreaptă cu baza pătrat. (5p)

2. Într-un magazin, cutii cu obiecte de acelaşi fel sunt aşezate pe 3 rafturi. Pe primul raft sunt

24 de cutii, pe al doilea cu 11 mai putin decât pe primul iar pe al treilea sunt 33 de cutii.

Câte cutii se aă în total pe cele trei rafturi? (5p)

3. În clasa a VIII-a B numărul de băieţi este egal cu 40% din numărul elevilor clasei. a) Vericaţi dacă în clasă pot 35 de elevi. (5p)

b) Cât la sută din numărul băieţilor reprezintă fetele? (5p)

4. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 2 x – 4. Reprezentaţi grac funcţia f . (5p)

5. Arătaţi că, oricare ar x є \ { – 2}, avem egalitatea2

2

5 6 3

24 4

x x x

x x x

+ + +=

++ +. (5p)


1. În gura alăturată este ilustrat schematic

un teren cu gazon sintetic, pentru fotbal, al unui

club sportiv, reprezentat prin dreptunghiul

ABCD cu dimensiunile AB = 55 m , şi AD = 100 m,

iar porţiunea haşurată reprezintă pista pentru atletism

din jurul terenului, lăţimea acesteia ind de

lungime x ( x este o distanţă exprimată în metri).

x

A B

C D

A' B'

C' D'

a) Exprimaţi în funcţie de x, aria porţiunii haşurate. (5p)

b) Pentru ce valoare a lui x, perimetrul

dreptunghiului A'B'C'D' este egal cu 350 m? (5p)

c) Pentru x = 5 m, calculaţi aria porţiunii haşurate. (5p)

d) Ştiind că ecare metru pătrat construit al terenului de fotbal costă 24 de euro

(incluzând gazonul sintetic, granulele de cauciuc reciclabil, nisipul) şi că pentru această

lucrare clubul a obţinut o sponsorizare de 21% din sumă, aaţi câţi euro mai sunt

necesari pentru a achita lucrarea. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul

(cu capac) în care se face dezinfecţia termică

a substratului de cultură la ciupercile Pleurotus.

Acesta este în formă de prismă ABCDA'B'C'D'

dreaptă cu baza pătrat cu latura AB = 3 m.

a) Calculaţi aria (în m2) a capacului. (5p)

b) Calculaţi volumul (în m3) al bazinului. (5p) 3 m A B

C D A' B'

C' D'

A'' B''

3 m0,5 m






1. Rezultatul calculului

12

1,3 5+ este egal cu .......... (5p)

2. Fie mulţimile1

2; 4; 6; ; 32

A = −

şi

72; 6; 3;

2 B

=

. Mulţimea B \ A = {.........} (5p)

3. Aproximarea cu o zecime prin lipsă a numărului1 5

2

+ este egală cu .......... (5p)

4. Dacă ABC DEF ∼∆ ∆ , iar AB = 8 cm şi DE = 5 cm, atunci BC

EF = .......... (5p)

5. Aria laterală a unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral este egală cu 150 cm2, iar

înălţimea prismei este egală cu 10 cm. Latura bazei are lungimea egală cu ..........cm. (5p)

6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de elevii clasei a VIII-a C la teza de

matematică. Media aritmetică ponderată obţinută de clasa a VIII-a C este .......... (5p)

Nota 4 5 6 7 8 9 10

Nr. elevi 0 3 2 4 4 8 9


1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă triunghiulară regulată. (5p)

2. Aaţi cu câţi ani în urmă vârsta tatălui era de trei ori mai mare decât vârsta ului, dacă în

prezent tatăl are 38 de ani iar ul are 14 ani? (5p)

3. Raportul dintre numerele naturale x şi y este4

9. Media geometrică a celor două numere

este 48. a) Aaţi x şi y. (5p)

b) Calculaţi media aritmetică a celor două numere. (5p)

4. Fie funcţia f : → , f ( x) = x + 1. Calculaţi(0) (1) (2) ...... (19)

20

f f f f n

+ + + +=

şi f ( s) unde0 1 2 ....... 19

20 s

+ + + += . (5p)

5. Fie expresia2 2

1 6 2( ) :

3 4

x E x

x x x x

−= ⋅

− +, x є * \ {1; – 4}. Arătaţi că E ( x) = x + 4. (5p)






1. Într-un parc din oraş s-a amenajat o porţiune

dreptunghiulară PQRS , ilustrată grac în

gura alăturată. Astfel:

► s-a plantat gazon (partea haşurată);

► s-au pavat două alei (reprezentate cu gri pe gură);

► s-a delimitat spaţiul de joacă adică o porţiune în formă

circulară (centrul cercului din care provine ind la jumătatea

distanţei dintre centrul O al dreptunghiului ARBH şi punctul H );

► s-au plantat arbuşti ornamentali în punctele de pe

cerc H, M, C şi N .

Se ştie că AR = 12 m şi BR = 16 m.

a) Arătaţi că punctul M se aă la jumătatea distanţei dintre

H şi B, iar N la jumătatea distanţei dintre A şi H . (5p)

b) Arătaţi că aria spaţiului de joacă este mai mică de 79 m2. (5p)

c) Calculaţi distanţa dintre arbuştii ornamentali H şi C . (5p)

d) Dacă pentru spaţiul de joacă s-au achiziţionat 4 leagăne şi 3 balansoare la preţul de

400 de lei bucata, respectiv 500 de lei bucata, iar magazinul a făcut o reducere de 15%,

calculaţi câţi lei s-au plătit în total. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul de înot

al şcolii. ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped

D'

A B

C D

A' B'

C'

dreptunghic cu înălţimea AA' = 3 m, AB = 30 m

şi BC = 10 m.

a) Dacă feţele laterale şi baza sunt placate cu gresie,

câţi m2 de gresie sunt necesari? (5p)

b) Calculaţi volumul apei din bazin, ştiind că bazinul conţine apă până la înălţimea

de 2,5 m. (5p)

S

P Q

R

N O

C

B

A

H M




Testul 87 (Autor: prof. Marinela Georgescu) (Bareme la pagina 284)


1. Rezultatul calculului ( )2

2 3 4 3- + este egal cu .......... (5p)

2. Dintre numerele – 17 şi 12 2− mai mare este .......... (5p)

3. Dacă 76 3 x atunci x є {..........}. (5p)

4. Punctele A şi B aparţin cercului de centru O şi rază 3 cm. Dacă lungimea coardei AB este

egală cu 3 cm, atunci perimetrul triunghiului AOB este egal cu .........cm. (5p)

5. Diagonala unui cub are lungimea egală cu 4 6 cm. Muchia acestui cub este de ........cm.(5p)

6. Tabelul de mai jos prezintă cheltuielile efectuate în anul precedent de societatea agricolă

„FLORA“ pentru un hectar (hm2

) de teren cultivat cu rapiţă. Costul total pentru cultura de rapiţă din anul precedent dacă au fost cultivate 50 de hectare

cu rapiţă este ..........lei. (5p)

Cheltuieli (în lei) pe 1 ha

Lucrări mecanice Materiale Aprovi-zionare

Forţade

muncăArat Discuit Semănat Recoltat Tratamenteto-sanitare

Transporttehno-logic

Sămân-ţa

Insec-ticide

Fungi-cide

200 102 90 128 34 30 425 18 45 98 30


1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic. (5p)

2. Dacă 4 muncitori execută o lucrare în 6 zile, aaţi în câte zile termină aceeaşi lucrare

8 muncitori. (5p)

3. Într-o şcoală sunt 170 de elevi. Fiecare elev ştie cel puţin una din limbile străine engleză şi franceză. Ştiind că 150 ştiu limba engleză şi 100 ştiu limba franceză, aaţi:

a) numărul elevilor care ştiu numai limba engleză; (5p)

b) numărul elevilor care ştiu ambele limbi străine. (5p)

4. Fie funcţiile f : → , f ( x) = x + 2 şi g : → , g ( x) = 2 x + 3. Punctul M (a; b) aparţine

reprezentărilor grace ale celor două funcţii. Aaţi a şi b. (5p)

5. Arătaţi că ( x2 + 3 x)( x2 + 3 x + 10) + 25 este pătratul unui număr real, oricare ar x є . (5p)





1. În gura alăturată este ilustrat schematic decorul

pentru piesa de teatru „Vizită“ de I.L.Caragiale,

reprezentând un perete în formă de dreptunghi cu dimensiunile din gură, uşa şi fereastra

ind decupate, iar lăţimea uşii având lungimea

x ( x este o distanţă exprimată în metri).

Porţiunea plină a peretelui este acoperită cu tapet.

a) Calculaţi x astfel încât aria porţiunii pe care se

aplică tapetul să e egală cu 14,64 m2. (5p) x

uşă fereastră

120 cm 1 2 0 c m

2 4 0 c m

3,6 m

3 , 6 m

5 m

b) Pentru x = 0,8 m, calculaţi suma care s-a plătit la achiziţionarea tapetului ştiind că preţul

unui metru pătrat de tapet este 25 lei. (5p)

c) În cazul în care înălţimea uşii ar egală cu 2 m şi aria peretelui (fără fereastră şi uşă) ar

egală cu 14,64 m2, calculaţi lăţimea uşii. (5p)

d) Calculaţi valoarea raportului dintre aria ferestrei şi aria uşii, dacă x = 0,8 m. (5p)

2. În gura alăturată este reprezentat schematic un pavilion destinat Târgului Educaţional.

ABCEA'B'C'E' este un paralelipiped dreptunghic

iar CDEC'D'E' este o prismă dreaptă cu baza

triunghi echilateral. AB = 6 m; BB' = 10 m;

B'C' = 6 m şi DE = 6 m.

A B

C

D

E A' B'

C'

D'

E'

a) Calculaţi distanţa de la D la baza ( ABB' )

(înălţimea cortului). (5p)

b) Calculaţi câţi m2 de prelată sunt necesari pentru

a confecţiona pavilionul (feţe laterale şi acoperiş). Rezultatul se va aproxima prin adaos

la cel mai apropiat număr întreg. (5p)






1. Rezultatul calculului 1 12 3 2 3+ + este .......... (5p)

2. Fie mulţimea { }/ 2 20 A x x= Î £ < . Numerele naturale din mulţimea A sunt........ (5p)

3. Dacă a şi b sunt numere reale pozitive şi a ≠ 1 iar 175 a b= , atunci a + b este

egal cu .......... (5p)

4. Punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O şi rază 6, iar m( ACB) = 45°. Măsura

unghiului AOB este egală cu ..........grade. (5p)

5. Aria totală a unei piramide patrulatere regulate este egală cu 96 dm2

iar aria laterală a saeste egală cu 60 dm2. Volumul piramidei este egal cu ..........litri. (5p)

6. În gracul alăturat sunt prezentate valorile

temperaturilor măsurate la ora 1400 în ecare

zi a unei săptămâni din luna decembrie. Media

aritmetică a temperaturilor din săptămâna

respectivă este egală cu ............°C. (5p)

T e m p e r a t u r a

– 1

ziua1

2

34

5

1

2 3

4 5

6

7

– 2

°C


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral. (5p)

2. Daniel şi sora lui au în total 52 de mere. Daniel îi dă surorii lui 10 mere şi astfel ei au

acelaşi număr de mere. Calculaţi numărul merelor pe care le-a avut Daniel. (5p)

3. Pentru serbarea de Crăciun s-au primit 300 de portocale, 120 de napolitane şi 150 de

tablete de ciocolată. Acestea vor distribuite copiilor în pachete cu acelaşi conţinut

(ecare pachet având portocale, napolitane şi ciocolată).

a) Vericaţi dacă pot făcute 15 pachete cu acelaşi conţinut. (5p)

b) Aaţi cel mai mare număr de pachete care se pot face cu acelaşi conţinut. (5p)

4. Fie funcţia f : {7; 1} → {4; 2}. Ştim că pentru a < b avem f (a) > f (b). Reprezentaţi grac

funcţia f . (5p)5. Arătaţi că numărul n = a3 – a este divizibil cu 3, oricare ar a є . (5p)






1. În gura alăturată este ilustrată schematic

grădina unei pensiuni agroturistice în care

au fost cultivate ori şi gazon. Grădina areforma dreptunghiului ABCD în care AB = 12 m

şi AD = 5 m. Cele două alei au fost pavate

cu gresie iar dimensiunile din gură sunt

exprimate în metri.

a) Câţi m2 sunt cultivaţi cu gazon? (5p)

a l

e e

gazon

trandari

lalele

a l e e

crizanteme

ghiocei

gazon

gazon

A B

C D S P Q R T

F G H

2 3 1 1 3 2

311 E 3

b) Câţi m2 sunt cultivaţi cu ori? (5p)

c) Cât costă gresia necesară acoperirii celor două alei dacă un metru pătrat costă 28 lei? (5p)

d) În cazul în care AD = x ( x este o distanţă exprimată în metri şi x > 0), arătaţi că valoarea

raportului dintre aria suprafeţei cultivate cu ori şi a celei cultivate cu gazon este

constantă. (5p)

2. Figura alăturată reprezintă schematic o vază din

sticlă în care apa poate ocupa numai forma unui cub ABCDA'B'C'D' . Corpul SMNPQ este o piramidă

patrulateră regulată cu înălţimea SO = 40 cm,

latura bazei MN = 60 cm, iar punctele A, B, C , D

aparţin bazei ( MNPQ) şi A', B' , C' , D' aparţin muchiilor

laterale ale piramidei astfel încât AA' || SO.

a) Calculaţi aria laterală a piramidei SMNPQ. (5p)

Q

A' B'

C' D' O'

S

A B

C D

M N

P

b) Calculaţi volumul maxim (în litri) de apă pe care îl poate

conţine vaza. (5p)




Testul 89 (Autor: prof. Constantin Apostol)


1. Numărul cu 10,01 mai mare decât 10,10 este .......... (5p)

2. Soluţia reală a ecuaţiei 2 – ( x – 3) = 3 este .......... (5p)

3. Ştiind că 3 2

5 7

a b= , valoarea raportului a

b este .......... (5p)

4. Soluţia întreagă a ecuaţiei 2 9 3 0 x x− + − = este .......... (5p)

5. Aria paralelogramului ABCD, cu 15 3 AB = cm, 10 3 AD = cm şi m( A) = 60°,

este egală cu .......... (5p)

6. Produsul 2a este cu 3 mai mic decât a. Numărul a este .......... (5p)


1. Desenaţi linia mijlocie, ( MN ), a trapezului ABCD, cu AD || BC . (5p)

2. Determinaţi numerele pozitive x, y, z ştiind că sunt direct proporţionale cu 3, 2 şi 5, iar

suma pătratelor lor este egală cu 76. (5p)

3. Arătaţi că suma S = 2 + 22 + 23 + ....+ 212 se divide cu 21. (5p)

4. Se dă expresia E (n) = 220 · 2n + 1 · 32n + 1 + 318 · 22n + 1 · 3n + 1; arătaţi că E (1) este şi pătrat

perfect şi cub perfect. (5p)

5. Demonstraţi că orice triunghi care are două laturi proporţionale cu 2 şi 3 , iar unghiul

dintre ele de 30°, este dreptunghic. (5p)

6. Rezolvaţi în ecuaţia (3 x – 5)(5 x – 5)(7 x – 5) = 0. (5p)


1. În trapezul isoscel ABCD, cu AB || DC , au loc egalităţile: 3 3 AB DC AC + = = .

a) Calculaţi înălţimea trapezului. (5p) b) Calculaţi aria trapezului. (5p)

2. Se dă piramida patrulateră regulată VABCD. Ştiind că apotema piramidei este de două ori

mai mare decât apotema bazei, iar latura bazei are lungimea de 6 cm, calculaţi:

a) aria totală a piramidei; (5p)

b) volumul piramidei; (5p)

c) distanţa de la punctul O la planul (VBC ), unde {O} = AC ∩ BD; (5p)

d) cosinusul măsurii unghiului planelor (VAD) şi (VBC ). (5p)







1. Soluţia negativă a ecuaţiei 2

2

x

x= este .......... (5p)

2. Numărul a (de o cifră) pentru care 56a se divide cu 9 este .......... (5p)

3. Lungimea unui cerc este de 6 p cm. Diametrul cercului are lungimea de .........cm. (5p)

4. A treia cifră a câtului împărţirii 0,0721 : 7 este .......... (5p)

5. Calculând suma ( ) ( )2 2

1 2 2 2- + - obţinem .......... (5p)

6. Ştiind că3 5

3 7

a

b= = , atunci, dintre numerele a şi b, mai mare este .......... (5p)


1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă centrul său de greutate, G. (5p)

2. Determinaţi cea mai mică valoare n є * pentru care numărul 18 · 3n + 21 · 3n +1 este şi

pătrat perfect şi cub perfect. (5p)

3. Calculaţi măsurile unghiurilor A şi B din triunghiul ABC , ştiind că m( C ) = 30°,

2 6 AC = cm şi 3 2 BC = cm.

4. Rezolvaţi în ecuaţia: 2 3 4 2009..... 2008.3 4 5 2010

x x x x+ + + ++ + + + = (5p)

5. Din vârful A al triunghiului ABC , cu aria 24 cm2 şi în care BC = 8 cm, se duce

perpendiculara pe bisectoarea unghiului B. Calculaţi distanţa de la piciorul acestei

perpendiculare la dreapta BC . (5p)

6. Se dă numărul real P ( x) = 2 x2 + 3 x – 7. Aaţi valorile întregi ale lui a, pentru care P (a)

este divizibil cu 5. (5p)


1. Se dă un pătrat cu latura de 1 cm.

a) Construiţi un triunghi cu vârfurile pe laturile pătratului, având centrul de greutate în

centrul pătratului. (5p)

b) Este adevărat că un vârf al triunghiului este mijlocul unei laturi a pătratului? (5p)

c) Calculaţi aria acestui triunghi. (5p)

d) Acest triunghi poate isoscel? (5p)

e) Poate acest triunghi echilateral? (5p)2. În tetraedrul regulat VABC , M şi N sunt mijloacele muchiilor (VA), respectiv ( BC ), acestea

având lungimea de a cm. Determinaţi lungimea segmentului ( MN ). (5p)







1. Efectuând calculul (53 · 22) : (5 · 2) obţinem ......... (5p)

2. Dacă2 1 3

1 x

x− =

−, x ≠ 1, atunci x este egal cu .......... (5p)

3. O fracţie ordinară din care provine fracţia zecimală periodică 0,(3) este .......... (5p)

4. O diagonală a unui pătrat este 3 2 cm. Aria acestui pătrat este egală cu ........... (5p)

5. Dacă1

3 x x

+ = , atunci suma 22

1 x

x+ este egală cu .......... (5p)

6. Dintre numerele 0,(5) şi 0,(51), mai mare este .......... (5p)


1. Desenaţi un triunghi dreptunghic şi puneţi în evidenţă proiecţiile catetelor pe ipotenuză. (5p)

2. Precizaţi care sunt valorile lui x pentru care A( x) este denită: (5p)

3. Rezolvaţi în ecuaţia { }2 2, 3 .

3 3

x x x

x x

+ −= ∈ − ±

− + (5p)

4. Determinaţi aria bazei unui tetraedru regulat, ştiind că aria desfăşurării sale este egală

cu 72 cm2. (5p)

5. Se dă funcţia f : → , astfel încât f ( x + 1) = 2 x + 2.

a) Calculaţi f (2). (5p)

b) Precizaţi dacă punctul A(2; 4) aparţine gracului acestei funcţii. (5p)


1. În triunghiul ABC cunoaştem AB = 12 cm, m( A) = 75° şi 4m( C ) = 3m( B). a) Aaţi măsurile unghiurilor B şi C . (5p)

b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC . (5p)

c) Aaţi aria triunghiului ABC . (5p)

2. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' în care 36 2 AB = cm şi12 3 BC BB′= = cm. Calculaţi:

a) lungimea diagonalei ( AC' ); (5p)

b) sinusul măsurii unghiului format de diagonala ( AC' ) cu faţa ( BCC'B' ); (5p)

c) cosinusul măsurii unghiului dintre diagonala ( AC' ) şi diagonala ( BD' ). (5p)


2

1( ) 4

9 A x x

x= + +

−






1. Dacă1

2 x x

+ = , atunci suma 33

1 x

x+ este egală cu ........... (5p)

2. Ştiind că 2 23 3 y

x= = , atunci, dintre numerele x şi y, mai mare este ........... (5p)

3. Dacă2 9

73

a

a

−=

+, a ≠ – 3, atunci a este egal cu ........... (5p)

4. Valoarea raportului x

y, unde 3 2 x = şi 2 8 y = + , este egală cu .......... (5p)

5. Împărţind în , numărul 2 la numărul 3, obţinem restul egal cu .......... (5p)

6. Efectuând adunarea ( – 2)2 + ( – 2)3 + ( – 2)4, obţinem suma .......... (5p)


1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' şi puneţi în evidenţă

diagonala ( BD' ). (5p)

2. Rezolvaţi, în mulţimea , ecuaţia { }3 1, 1; 3

1 3

x x x

x x

− −= ∈ −

− − . (5p)

3. Se dă triunghiul ABC , în care I este centrul cercului înscris în triunghi. Calculaţi m( BIC ),

ştiind că m( BAC ) = 70°. (5p)

4. Arătaţi că a şi b sunt numere inverse, unde 3 5 9 4 5a = − + − şi

7 1 11 4 7b = − − − . (5p)

5. Arătaţi că toate ecuaţiile de gradul al II-lea cu coecienţii diferiţi din mulţimea {2; 1; – 3},

au o rădăcină comună. (5p)

6. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe semidreptele ( BA şi (CD se iau punctele M , respectiv

N , astfel încât BM = BD şi CN = CA. Să se arate că MN || BC . (5p)


1. Un dreptunghi este împărţit de o dreaptă paralelă cu una dintre laturi, în două dreptunghiuri

cu ariile de 12 cm2 şi, respectiv, 36 cm2. Determinaţi dimensiunile dreptunghiului iniţial,

ştiind că unul dintre cele două dreptunghiuri este pătrat. (5p)

2. a) Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC , ştiind că suplementele unghiurilor

A şi B sunt proporţionale cu 8 şi 7, iar suplementele unghiurilor B şi C sunt

proporţionale cu 14 şi 15. (5p)

b) Determinaţi rapoartele constante ale măsurii unghiului C . (5p)

3. a) Dacă 3 3, x a= , care este cel mai mic număr cu care poate egal x? Dar cel mai mare?(5p)

b) Dacă 7 9, x b= , care este cel mai mic număr cu care poate egal x? Dar cel mai mare?(5p)

c) Aaţi x când a) şi b) au loc în acelaşi timp. (5p)







1. Dacă împărţim numărul 20a – 16 la – 4, câtul este egal cu ........... (5p)

2. Soluţia reală a ecuaţiei 0,4 – x = – 1,6 este ........... (5p)

3. Dacă complementul unghiului A are măsura egală cu 72°, atunci suplementul unghiului

A are măsura egală cu .......... (5p)

4. Ştiind că a = 3 + 32 + 33, numărul divizorilor naturali ai lui a este egal cu .......... (5p)

5. Dacă2 1

3 2

x

y= , atunci

x

y este egal cu ........... (5p)


1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă punctul G, centrul de greutate altriunghiului. (5p)

2. Simplicaţi raportul9 12 4

4 9

3

2

2

2

+ +

−

∈ − ±{ }n n

nn, . (5p)

3. Punctele A, B, C şi D sunt într-un plan, iar M este în afara planului şi au loc egalităţile

MA = MB = MC = MD. Arătaţi că există un cerc care să conţină punctele A, B, C, D. (5p)

4. Se dă funcţia f : → , f ( x) = mx + 2. Determinaţi pentru ce valoare a lui m, reprezentarea

gracă a funcţiei conţine punctul M (2m; 10). (5p)

5. Cele trei dimensiuni ale unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporţionale cu

numerele 5, 3 şi 2. Calculaţi volumul acestui paralelipiped, ştiind că o diagonală a sa are

lungimea egală cu 342 cm. (5p)

6. Determinaţi cifrele x şi y, astfel încât numărul 3 5 x y să se dividă cu 15. (5p)


1. Arătaţi că dacă piramida VABCD, cu baza ABCD pătrat, muchiile laterale sunt congruente,

atunci înălţimea piramidei are piciorul în centrul pătratului. (5p)

2. Determinaţi numerele pozitive a şi b, ştiind că sunt direct proporţionale cu b – 6 şi a,

respectiv invers proporţionale cu a + 12 şi b. (5p)3. Arătaţi că media aritmetică a numerelor 19 6 2 2 3 x = + − şi 13 4 3 3 2 y = − − este un număr raţional. (5p)

4. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC . Pe semidreapta ( AC se consideră punctul D, astfel încât

BA = BD, iar pe semidreapta ( AB se consideră punctul E , astfel încât CA = CE .

Notăm cu M , mijlocul segmentului ( AD) şi cu N , mijlocul segmentului ( AE ). Dacă

{ P } = BM ∩ CN , arătaţi că AP BC ⊥ . (5p)

5. Arătaţi că pentru nicio valoare întreagă a lui n, raportul2

2

2 4 3

3

n n

n n

− +

− nu este număr

întreg, n ∈ − { } 0 3, . (5p)

6. Într-un triunghi, un unghi are măsura de n° , iar laturile au lungimile de 3 cm, 3k 1 cm şi3k 2 cm, unde k 1, k 2 є

*. Aflaţi măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului. (5p)





Testul 94 (Autor: prof. Dana Radu)


1. Numerele întregi care se aă în intervalul 3; 3é ù-ê úë û sunt .......... (5p)

2. Media aritmetică a numerelor 5, 8 şi 8 este .......... (5p)

3. Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 4 cm este ...........

(5p)4. Un obiect costă 45 lei. După o scumpire cu 10% el va costa.......... (5p)

5. Fie ABCD un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 12 cm. Aria totală a

tetraedrului este egală cu ..........cm2. (5p)

6. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu muchia egală cu 6 cm. Distanţa de la A' la BC este egală

cu ..........cm. (5p)


1. O rochie costă 600 de lei. Rochia se ieftineşte cu 20% şi apoi se scumpeşte cu 15%.

a) Aaţi cât costă rochia după scumpire. (5p) b) Aaţi cât costă rochia după ieftinire. (5p)

c) Aaţi cu cât la sută trebuie modicat preţul nal pentru a costa la fel cu cel iniţial. (5p)

2. Stabiliţi dacă următoarele numere sunt raţionale: 1 3 5 .... 2011a = + + + + ,

25 23b n= + , unde n є . (5p)

3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că 5 7 3 5 3 2 1a b a b+ + = − + + . (5p)

4. În triunghiul ABC , m( A) = 90°, m( B) = 60°, AB = 40 cm, iar D este proiecţia punctului

A pe BC . Calculaţi:

a) lungimea segmentului ( BC ); (5p)

b) lungimea segmentului ( AD). (5p)

5. În patrulaterul ABCD, AB || CD, AB = 10 cm şi CD = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt

respectiv mijloacele segmentelor ( AD), (BC ), (AC ) şi ( BD): Calculaţi:

a) lungimea segmentului ( MN ); (5p)

b) lungimea segmentului ( PQ). (5p)


1. Fie VABC o piramidă triunghiulară. Un plan α paralel cu dreptele VB şi AC intersectează

muchiile VA, AB, BC, VC, în punctele M, N, P respectiv Q. a) Arătaţi că MN || VB. (5p)

b) Arătaţi că MNPQ este paralelogram. (5p)

c) Dacă VM = 5 cm, AM = 2 cm, VB = 14 cm, AC = 35 cm, calculaţi perimetrul

patrulaterului MNPQ. (5p)

2. Fie ABCD un paralelogram şi a, b, c, d patru drepte perpendiculare pe planul

paralelogramului care trec prin punctele A, B, C respectiv D. Un plan α intersectează

dreptele a, b, c, d în punctele A', B', C', D' . Arătaţi că:

a) Planele ADD'A' şi BCC'B' sunt paralele. (5p)

b) A'B'C'D' este paralelogram. (5p)

c) Dacă AA' = 8 cm, BB' = 6 cm, CC' = 7 cm, m( A) = 90°, AB = 6 cm, BC = 10 cm,

calculaţi distanţa de la D la D' . (5p)







1. Rezultatul calculului (5 + 9)2 – 52 – 92 este .......... (5p)

2. Numărul divizorilor întregi ai lui – 38 este .......... (5p)

3. Restul împărţirii numărului 13 la 46 este ........... (5p)

4. Se aruncă două zaruri. Probabilitatea ca suma punctelor obţinute pe cele două zaruri să e

un număr natural pătrat perfect este .......... (5p)

5. Aria unui trapez care are lungimile laturilor egale cu 4 cm, 4cm, 4 cm, 8 cm este

egală cu ..........cm2. (5p)

6. O prismă regulată are 18 muchii toate de lungime egală cu 4 cm. Perimetrul bazei prismei

este ..........cm. (5p)


1. Simplicaţi fracţia4 5 9

8 13 51

5

8

2

2

x x

x x x

+ −

− + −

∈ −{ }, : . (5p)

2. Aaţi preţul iniţial al unui obiect, care după două scumpiri succesive cu 20% costă

288 lei. (5p)

3. Fie f : → , f ( x) =2

23

x + . (5p)

a) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a gracului lui f cu axa absciselor. (5p)

b) Reprezentaţi grac funcţia f . (5p)

4. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A iar D piciorul înălţimii duse din A pe BC . Ştiind că

BD = 9 cm şi AC = 20 cm. Aaţi:

a) Perimetrul şi aria triunghiului ABC . (5p)

b) Distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC . (5p)

5. În triunghiul ABC ( AB = AC ) e puncul E є AC astfel încât m( ABE ) = m( CBE ). Ştiind

că m( C ) = 72°, arătaţi că BC 2 = AB · EC . (5p)


1. Fie O, A, B, C patru puncte necoplanare astfel încât OA OB OC OA⊥ ⊥ ⊥ . a) Să se arate că OB este perpendiculară pe AC . (5p)

b) Arătaţi că proiecţia lui O pe planul ( ABC ) este ortocentrul triunghiului ABC . (5p)

c) Dacă OA = a, OB = b şi OC = c arătaţi că lungimea segmentului [OH ], unde H este

proiecţia lui O pe planul ABC este egală cu2 2 2 2 2 2

abcOH

a b b c c a=

+ +. (5p)

2. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu 3 2 cm şi înălţimea egală cu

3 2 cm. Calculaţi:

a) aria totală şi volumul piramidei; (5p)

b) măsura unghiului format de două feţe laterale opuse; (5p)

c) la ce distanţă de bază trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale

corpurilor formate să e egale? (5p)







1. Rezultatul calculului – 42 + 33 este .......... (5p)

2. Mulţimea ( )1

8; 6; 0; 2; 8 ; 9, 7(65); 363

ì üï ïï ï- - - - -í ýï ïï ïî þ

este egală cu .......... (5p)

3. Cel mai mic număr natural care împărţit la 15 dă restul 3 este ........... (5p)

4. Dacă 5 saci cu grâu cântăresc 200 kg, în câţi saci de acelaşi fel au loc 560 kg de grâu? (5p)

5. Perimetrul unui romb cu lungimea laturii egală cu 3 cm este ...........cm. (5p)

6. Un bazin sub forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 3 m, 8 m,

50 m. Câţi litri de apă încap în acest bazin? (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Aaţi două numere naturale, ştiind că unul este de 8 ori mai mare decât celălalt, iar diferenţa

lor este 287. (5p)

2. Fie f : → , f ( x) = 2 x – 3. Determinaţi punctul de pe reprezentarea geometrică a gracului

funcţiei f care are abscisa egală cu ordonata. (5p)

3. Fie a, b, c trei numere naturale direct proporţionale cu 6, 12, 18. Aaţi cele mai mici numere

a, b, c. (5p)

4. Paralelogramul ABCD are m( B) = 120°, AB = 16 cm, AD = 8 cm.

a) Aaţi aria paralelogramului ABCD. (5p)

b) CalculaţiA

A

MBC

ABMD

, unde M este mijlocul lui [CD]. (5p)

5. Hexagonul regulat ABCDEF are lungimea laturii egală cu 10 cm. Aria triunghiului ACE

este ...........cm2. (5p)


1. Fie ABCDA'B'C'D' o prismă regulată cu baza ABCD, lungimea muchiei AB = 5 cm iar A'B = 10 cm. Să se calculeze:

a) aria totală şi volumul prismei; (5p)

b) măsura unghiului format de D'C cu planul ( ABC ); (5p)

c) suma distanţelor unui punct M din interiorul prismei la feţele prismei. (5p)

2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm şi 16 cm, iar

apotema trunchiului de 4 2 cm. Calculaţi:

a) suprafaţa laterală şi volumul trunchiului; (5p)

b) măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei mari; (5p)

c) aria secţiunii obţinute prin intersectarea trunchiului de piramidă patrulateră regulată

dat cu un plan paralel cu bazele dus prin mijlocul înălţimii acestuia. (5p)







1. Rezultatul calculului – 52 + 5 · 12 : ( – 2) este ........... (5p)

2. Numărul de 4 ori mai mare decât 28 este .......... (5p)

3. C.m.m.m.c. al numerelor 24 şi 36 este ........... (5p)

4. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 5 cm, 12 cm, 13 cm

este egală cu ...........cm. (5p)

5. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu lungimea catetei de 3 cm este

egală cu ...........cm. (5p)

6. Aria unui cerc cu raza de 4 cm este egală cu .......... cm2 . (5p)


1. Calculaţi 23 5 :| 1| | 3 | 7 841− + − − − ⋅ + . (5p)

2. Rezolvaţi în x :5

32

2 5

x y

x y

+ = − = −

(5p)

3. Fie f : → , f ( x) = ax + b.

a) Determinaţi funcţia f al cărei grac trece prin punctele A(2; 2) şi B( – 3; – 3); (5p)

b) Stabiliţi dacă punctul M ( – 1; 34) aparţine gracului funcţiei f determinate anterior. (5p)

4. Arătaţi că triunghiul care are lungimile laturilor proporţionale cu 4, 3, 5 este

dreptunghic. (5p)

5. Arătaţi că într-un trapez laturile neparalele determină,

pe dreapta paralelă cu bazele care trece prin punctul

de intersecţie a diagonalelor trapezului, două segmente

congruente. (5p)


1. Trapezul ABCD are AB || CD, măsura unghiului A este de 90°, AD = AB = 4 cm şi

DC = 8 cm. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul trapezului. Dacă AM = 4 cm,

calculaţi:

a) Distanţa de la punctul M la DC , respectiv BD. (5p)

b) Aria triunghiului MBD. (5p)

c) Volumul unei prisme triunghiulare regulate cu înălţimea egală cu AM şi baza echivalentă

ABCD. (5p)

2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 9 cm, AD = 15 cm şi AA' = 20 cm.

a) Calculaţi suprafaţa laterală, volumul şi diagonala paralelipipedului. (5p)

b) Care este sinusul măsurii unghiului format de diagonala BD' şi planul ( ABC )? (5p)

c) Calculaţi distanţa de la punctul B' la diagonala ( AD' ). (5p)







1. Calculaţi: – 3 + 5 – 8 + 6 + ( – 54) – ( – 8) (5p)

2. Un obiect costă 20 lei. După o ieftinire cu 30% el va costa .......... (5p)

3. Media aritmetică a numerelor ( )25 3- şi ( )2

5 3+ este ........... (5p)

4. Aria unui romb cu lungimile diagonalelor 4 cm şi 8 cm este egală cu ......... cm2. (5p)

5. Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimile muchiilor egale cu 4 cm, 5 cm

şi 6 cm este egală cu ..........cm2. (5p)

6. Volumul unui cub cu muchia egală cu 4 cm este egal cu ........... (5p)

SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. Aaţi x є , astfel încât numerele 2 x, 6 x – 8 şi 16 – 2 x, să e lungimile laturilor unui

triunghi. (5p)

2. Găsiţi x, y є astfel încât: x2 + y2 + 2 y + 5 = 4 · ( x – y – 2). (5p)

3. Pentru plata unei lucrări efectuate de trei muncitori sumele au fost atribuite proporţional

cu numărul de ore lucrat de ecare muncitor. Ştiind că al doilea muncitor a lucrat de două

ori mai multe ore decât primul şi de trei ori mai puţine ore decât al treilea, aaţi ce sumă

de bani a primit ecare muncitor, ştiind că împreună au primit 7200 lei. (5p)

4. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC şi M mijlocul laturii [ BC ]. Ştiind că

A ABC

= 15 cm2, calculaţi:

a) A ABG

; (5p)

b) raportul dintre aria triunghiului MGC şi ABM . (5p)

5. În triunghiul ABC e M, N puncte pe laturile [ AB], respectiv [ AC ], astfel încât MN || BC .

Ştiind că 3 AM

MB= şi AC = 16 cm, calculaţi NC . (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.1. O piramidă patrulateră regulată VABCD are apotema egală cu a iar unghiul format de două

feţe laterale opuse de măsură 60°. Calculaţi:

a) aria totală a piramidei VABCD; (5p)

b) volumul piramidei VABCD; (5p)

c) distanţa de la O la planul (VBC ). (5p)

2. Fie ABDA'B'D' o prismă triunghiulară regulată cu feţele laterale pătrate cu latura de 6 cm.

Fie C simetricul lui A faţă de BD. Calculaţi:

a) aria totală şi volumul prismei ABDA'B'D' ; (5p)

b) distanţa de la A' la dreapta BD; (5p)

c) tangenta măsurii unghiului format de dreapta A'C cu planul ( ABD). (5p)




1794. Variante date la examene

Testul 99 (sesiune specială 2010) (Bareme la pagina 296)


1. Rezultatul calculului 624 : 3 este egal cu .......... (5p)

2. Inversul numărului 23

este egal cu .......... (5p)

3. Fie mulţimea { |0 3}. A x x= Î £ £

Scrisă sub formă de interval mulţimea A este egală cu .......... (5p)

4. Un romb ABCD are diagonalele AC = 5 cm şi BD = 4 cm.

Aria rombului este egală cu ........... cm2. (5p)

5. O prismă dreaptă ABCA'B'C' are ca baze triunghiurile echilaterale ABC şi A’B’C’ .

Dacă AB = AA' = 4 m, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală

cu .............. m. (5p)

6. În gracul de mai jos, diferenţa dintre temperatura cea mai mare şi cea mai mică este egală

cu .......... ºC. (5p)

35

30

25

20

15

10

5

0

−5−10

ian. feb. mar. apr. mai. iun. iul. aug. sep. oct. noi. dec.


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC . (5p)

2. Media aritmetică a două numere naturale este 17,50 şi unul dintre ele este 7.

Determinaţi al doilea număr. (5p)

3. Preţul unui telefon mobil a scăzut cu 10% şi, după o săptămână, noul preţ a scăzut cu încă

10%. După cele două modicări de preţ, telefonul costă 81 de lei.

a) Arătaţi că preţul iniţial al telefonului a fost de 100 de lei. (5p)

b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două ieftiniri? (5p)

4. Determinaţi valoarea numărului real a, ştiind că punctul A (2; a) aparţine gracului funcţiei

f :

→

, f ( x) = (2 − a) · x + 2. (5p)

5. Simplicaţi raportul2

2

2 15

10 25

x x

x x

- -

- + cu x − 5, unde x Î \ {5}. (5p)





1. Figura 1 reprezintă schiţa unui cort în formă de

Figura 1

A

B C

D

E F

prismă dreaptă care are ca baze triunghiurile echilaterale

ABC şi DEF . Se ştie că BC = 2 m şi CF = 3 m.

a)

Calculaţi distanţa de la punctul A la planul ( BCE ). (5p) b) Calculaţi volumul cortului. (5p)

c) Vericaţi dacă, pentru confecţionarea cortului,

sunt sucienţi 22 m2 de pânză specială

(toate feţele cortului sunt din pânză,

inclusiv podeaua). (5p)

2. Figura 2 reprezintă schiţa unui teren al cărui arie A

B

P D

C Figura 2

este de 8 hectare.

a)

Exprimaţi aria terenului în m2.

Pe acest teren, se sapă un şanţ [ BP ] pentru

canalizare ( P Î AD). Unghiurile ABP şi PBC

sunt congruente. Valoarea raportului dintre aria

triunghiului ABP şi aria dreptunghiului ABCD este 0,25. (5p)

b) Arătaţi că BC = 2 AB. (5p)

c) Calculaţi lungimea, exprimată în metri, a şanţului [ BP ] şi aproximaţi rezultatul

cu cel mai apropiat număr natural. (5p)

Testul 100 (variantă dată la examen, mai 2010) (Bareme la pagina 297)



2. Media aritmetică a numerelor 2 şi 8 este egală cu .......... (5p)

3. Dacă A = {1; 2; 3} şi B = {3; 4}, atunci mulţimea A Ç B este egală cu {..........}. (5p)

4. Un triunghi echilateral are latura de 4 m. Aria triunghiului este egală cu ....... m2. (5p)

5. O prismă dreaptă are ca baze triunghiurile echilaterale ABC , respectiv A'B'C' .

Măsura unghiului dintre dreptele AB şi B'C’ este egală cu ..... º. (5p)

6. Figura alăturată reprezintă gracul deplasării unui

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

Timpul

în ore D i s t a n ţ a p a r c u r s ă î n k mvehicul pe parcursul a 5 ore. În această perioadă,

vehiculul staţionează timp de .......... ore. (5p)





1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC . (5p)

2. Un elev cumpără 10 cărţi, de literatură şi de matematică. El plăteşte 9 lei pentru o carte

de literatută şi 7 lei pentru o carte de matematică, cheltuind astfel 76 lei.

Câte cărţi de matematică a cumpărat elevul? (5p)

3. O persoană are o sumă S de bani. În prima zi cheltuieşte 30% din suma S , a doua zi

cheltuieşte 40% din suma S , iar a treia zi cheltuieşte1

4 din suma S .

a) În ce zi cheltuieşte cel mai puţin persoana respectivă? (5p)

b) Persoanei îi rămân 100 de lei după cele 3 zile. Determinaţi valoarea sumei S . (5p)

4. Reprezentaţi grac funcţia f : → , f ( x) = − x + 1. (5p)

5. Arătaţi că numărul ( ) ( ) ( )2

5 2 2 5 2 5 2 2 5 p = + - + - - este natural. (5p)


1. Figura 1 reprezintă schiţa unui bazin în

formă de paralelipiped dreptunghic

ABCDA'B'C'D' . Baza ABCD are

AB = 12 m şi BC = 4 m, iar înălţimea

paralelipipedului este AA' = 3 m.Figura 1 A

A'

D

D' C'

B'

B

C

a) Calculaţi distanţa dintre punctele A şi C' . (5p)

b) Calculaţi aria laterală a bazinului. (5p)

c) În bazin se aă 96000 litri de apă. Calculaţi înălţimea la care se ridică apa în bazin. (5p)

2. Figura 2 reprezintă schiţa unui patinoar format

Figura 2 M N

B C

AQ P

dintr-un dreptunghi MNPQ care are lungimea MN

de 40 m şi lăţimea de 30 m şi din două semicercuri

de diametre [ MQ], respectiv [ NP ].

a) Patinoarul este înconjurat de un gard.

Calculaţi lungimea gardului care înconjoară patinoarul. (5p)

b) Vericaţi dacă aria patinoarului este mai mică decât 2000 m2. (3,14 < p < 3,15) (5p)

c) Un patinator parcurge distanţele AB, BC şi CA. Punctele B şi C sunt mijloacele

segmentelor [ MQ], respectiv [ NP ] şi A este mijlocul segmentului [ PQ].

Calculaţi valoarea sinusului unghiului ABC . (5p)




Testul 101 (variantă dată la examen, iunie 2011) (Bareme la pagina 298)

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.



2. Într-o urnă sunt 7 bile albe şi 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila

extrasă să e albastră este egală cu .......... (5p)

3. Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate

costă .......... lei. (5p)

4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu3

4 din lungime.

Lăţimea dreptunghiului este de .......... cm. (5p)

5. În gura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' care are

toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele AB' şi CC'

este egală cu .......... °. (5p)

Figura 1

C

C'

B

B'

A

A'

6. În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute

la un concurs.

Note mai mici decât 5 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10

Nr. de elevi 8 12 25 20 15 8 2

Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu .......... (5p)


1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V

şi bază ABC . (5p)

2. Determinaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea

a

b

−=

+1

2

3

1. (5p)

3. Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. După un timp, noul preţ al televizorului s-a micşorat cu 10%. După aceste două modicări televizorul costă 1980 lei.

Determinaţi preţul iniţial al televizorului. (5p)




Testul 102 (variantă dată la examen, iunie 2012) (Bareme la pagina 300)

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.


1. Rezultatul calculului 12 + 12 : 4 este egal cu ............. (5p)

2. Media aritmetică a numerelor 7 şi 23 este egală cu ............. (5p)

3. Se consideră mulţimea A = { x ∈ | 2 x ≤ 4}. Mulţimea A este egală cu intervalul ........... (5p)

4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 cm este egal cu ............. cm. (5p)

5. În gura 1 este reprezentat cubul ABCDEFGH cu muchia de 5 cm. Aria totală a cubului este

egală cu ............. cm2. (5p)

Figura 1

A

E

D

H

B

F

C

G

6. În diagrama de mai jos sunt reprezentate rezultatele obţinute de elevii unei clase la un test.

Numărul elevilor din clasă care au obţinut la test cel puţin nota 8 este egal cu ............. (5p)

Numărul elevilor careau obţinut nota n

Nota n

obţinută la test

1

2

3

4

5

6

7

4 5 6 7 8 9 10





1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf V şi bază ABCD. (5p)

2. Se consideră numerele a =+

4

5 1 şi b = +15 3 1: . Calculaţi media geometrică a celor

două numere. (5p)

3. Într-o clasă sunt 26 de elevi. Dacă din clasă ar pleca două fete şi trei băieţi, atunci numărulfetelor ar egal cu dublul numărului băieţilor. Determinaţi numărul fetelor din clasă. (5p)

4. Se consideră funcţia f f x x: , . → ( ) = − +2 3

a) Reprezentaţi grac funcţia f în sistemul de coordonate xOy. (5p)

b) Determinaţi numărul real a pentru care punctul A (a, – a) aparţine gracului funcţiei f . (5p)

5. Se consideră expresia E x x

x

x

x x( ) = +

−+

−

+( ) − +( )1

2

1

1

2 1 22 2

: , unde x este număr real,

x ≠ 1 şi x ≠ –1. Arătaţi că E x( ) = 9 , pentru orice x număr real, x ≠ 1 şi x ≠ –1. (5p)


1. O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat. Înălţimea vazei este de 40 cm, iar latura

bazei este de 10 cm. În vază se toarnă trei litri de apă.

a) Calculaţi aria laterală a vazei. (5p)

b) Determinaţi înălţimea la care se ridică apa în vază. (5p)

c) În vază se introduc patru cuburi din piatră, ecare cub având muchia de 4 cm. Determinaţi cu

câţi centimetri creşte nivelul apei din vază, după introducerea celor patru cuburi din piatră. (5p)

2. În gura 2 este reprezentată schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu AB = 28 cm,

şi BC = 21 cm.

Figura 2 A

D E

B

C

a) Calculaţi lungimea segmentului ( DB). (5p)

b) Determinaţi aria triunghiului EAB, unde E este mijlocul laturii (CD). (5p)

c) Arătaţi că sinusul unghiului AEB este egal cu12

13. (5p)




5. Se consideră expresia E x x

x

x x x( ) =

− −

−

−( ) +( )

1

2 4

2

2 22 : , unde x este număr real,

x ≠ – 2 şi x ≠ 2. Arătaţi că E ( x) = 1, pentru orice număr real x, x ≠ – 2 şi x ≠ 2. (5p)


1. În gura 2 este reprezentat un loc de joacă în formă de dreptunghi ABCD, cu AD = 20 m şi

diagonala BD = 40 m.

Figura 2 A B

D C

a) Arătaţi că AB = 20 3 m . (5p)

b) Vericaţi dacă unghiul dintre diagonalele dreptunghiului ABCD are măsura egală cu 60°. (5p)

c) Arătaţi că aria suprafeţei locului de joacă este mai mică decât 700 m2. Se consideră cunoscut

faptul că 1 73 3 1 74, ,< < . (5p)

2. În gura 3 este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic

ABCDA'B'C'D' . Dimensiunile stupului sunt AB = 4 dm, BC = 6 dm şi AA' = 8 dm.

Figura 3

A

E

D

H

B

F

C

G

a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD. (5p)

b) Determinaţi aria totală a paralelipipedului ABCDA'B'C'D' . (5p)

c) Arătaţi că PQ = 13dm, unde { P } = AB' ∩ A'B şi {Q} = BC' ∩ B'C . (5p)




BAREME DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

SUBIECTUL I

• Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte,

fie 0 puncte.

• Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea

• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul

maxim corespunzător.

• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări

parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

• Total 100 puncte din care 10 sunt din oficiu.

• Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

Testul 1

SUBIECTUL I (30 puncte)

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

6

(5p)

41

(5p)

54 cm

(5p)

25 π

(5p)

0°

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)

1. Desenează corect. (5p)

2. 10 10 10 x y y x+ − −( ) = (2p)

10 9 9 90 15 x y x y−( ) = −( ) (3p)

3. a) n = nr. elevilor

n c n

n c nn c n

= + ⇒ − ∈

= + ⇒ − ∈= + ⇒ − ∈

[ ] =

⇒

4 2 2

6 2 29 2 2

4 6 9 36

1 4

2 6

3 9

; ;

(4p)

⇒ − ∈ ⇒ =n n2 3836 . (1p)

b) [4; 6; 9] = 36 ⇒ 36 copii (5p)

4. – 3 ≤ 2 x – 1 < 5 | + 1 (1p)

– 2 ≤ 2 x < 6 | : 2 (1p)

– 1 ≤ x < 3 (1p) A = {0; 1; 2} (1p)

Suma elementelor este 3. (1p)



189Răspunsuri, rezolvări, bareme

5.1 44 1 2, , .= ∈ (1p) 6

1

4

25

4

5

2= = ∈ (1p)

Numerele iraţionale ale mulţimii A sunt 1 44 3

2, ; ; .− π (3p)

SUBIECTUL III (30 puncte)

1. a)

P figurii = + + + = + + +l l l DA r R r R AB BC CD π π π 2 ; cum R = 2r (2p)

⇒ = + + + = + = +( )P figurii mπ π π π πr r r r r r r 2 4 4 4 4 1 (3p)

b) A fig. colorată = = ⋅ = = = ⋅ =π π

π π R

r r 2

1

2 2 2 2

2 24 2 20 20 3 14 62 8, , m (5p)

c) A ABCD AB BC r r r = ⋅ = ⋅ = = ⋅ =2 4 8 8 12 962 2 2m m (5p)

d) 1 kg 30 m2 (2p)

x kg 96 m2

x = =96

303 2, kg (3p)

2. a) CD = 3 m; AD = 2 CD ⇒ AD = 6 m (1p)

ADCE = dreptunghi ⇒ CE = 6 m (1p)

În triunghiul CEB; m m E B( ) = ° ( ) = ° ⇒90 45;

triunghiul CEB este dreptunghic isoscel (1p)

⇒ CE = EB = 6 m. (1p)

A ABCD

CD AB AD=

+( ) ⋅=

⋅=

2

12 6

236

3

1

2m (1p)

b) Notăm cu x cantitatea cumpărată

100 10

10036

) x x− ⋅ = (2p)

90

100 36

100 36

90 40

4

1⋅ = ⇒ =

⋅

= x x . (2p)

Trebuie să cumpere 40 m2 de gresie. (1p)

Testul 2


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 3

(5p)

3n + 1

(5p)

{– 12, – 6, – 4,

– 3, – 2, – 1, 1,2, 3, 4, 6, 12}

(5p)

6

(5p)

24

(5p)

13 sept.

2012

(5p)





1. Desenează corect unghiul. (2p)

Desenează corect laturile congruente. (3p) 30°

2. 14 · 3 = 42 ani reprezintă triplul vârstei actuale (2p)

42 – 14 = 28Răspuns: peste 28 de ani. (3p)

3. a)

▪ P (număr prim) =numărul numerelor prime mai mici decât 50

numărul total al bilelor (2p)

▪ Sunt 15 numere prime (2p)

▪15

10

3

10= . (1p)

b)▪ P (număr pătrat perfect) =

numărul pătratelor perfecte mai mici decât 50numărul total al bilelor (2p)

▪ Sunt 7 pătrate perfecte mai mici decât 50 (1p)

▪7

50 (2p)

4. Scriem ca pătrate perfecte:

4 2 3 3 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 3 1 3 12 2

− = − + = −( ) + = + + = +( ); (2p)

A = −( ) + +( ) − = − + + − = − <3 1 3 1 6 3 3 1 3 1 6 3 4 3 02 2

(3p)

5.

2 3

2 3

2 2 3

2 3 3

2

3

1

1

n n

n n

n n

n n

+

+

⋅⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = (5p)


1. a)▪ Ipotenuza triunghiului dreptunghic având catetele de 3 m şi respectiv 4 m are lungimea de 5 m (se aă aplicând teorema lui Pitagora). (2p)

▪ Perimetrul terenului în formă de pentagon este egal cu 4 + 3 + 4 + 3 + 5 = 19 m. (2p)

▪ Gardul are 6 rânduri de sârmă, deci necesarul este 6 · 19 = 114 m. (1p)

b)

▪ Suprafaţa celor două parcele în formă de triunghi dreptunghic este 2 3 4

212

2⋅

⋅= m . (2p)

▪ Necesarul:12 0 025 0 32 2m kg/m⋅ =, , kg gazon. (2p

▪ 0 3 32 9 6, ,⋅ = lei a costat gazonul. (1p)

c)

▪ Pe primul rond se plantează 8 · 3 = 24 tufe, pe al doilea 6 · 3 tufe, pe al treilea 4 · 3 tufe, iar pe rondul central 2 · 3 tufe. (3p)

▪ Necesarul este 24 + 18 + 12 + 6 = 60 tufe de trandafiri. (1p)

▪ 1 tufă costă 10 : 3 lei, deci 60 tufe vor costa 200 lei. (1p)




2. a)

▪ Înălţimea triunghiului echilateral este 18 cm. (2p)

▪ sin .60 18 3

2

18 36

312 3° = ⇔ = ⇒ = ⇒ =

l l l l cm (3p)

b) a p = 6 cm. (5p)c)

▪ A ∆ = l

2 3

4 (1p)

▪ A ∆ = ( ) ⋅

= ⋅ ⋅

=12 3 3

4

144 3 3

4108 3

2

2cm (1p)

▪ A discului cm= =π π R2 2

144 (1p)

▪A

A

∆

disc

= =108 3

144

3 3

4π π (2p)

Testul 3


1. 2. 3. 4. 5. 6.

4

(5p)

2,34

(5p)

2

3(5p)

36 cm

(5p)

17 m

(5p)

2008

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)1. 12 muncitori 15 zile (1p)

1 muncitor 15 · 12 zile (1p)

18 muncitori 15 12

18

⋅ zile (2p)

Răspuns: 10 zile (1p)

2. 50

100120 60⋅ = lei (creşterea); 120 + 60 = 180 lei (preţ după creştere); (2p)

50100

180 90⋅ = lei (scăderea); (2p)

180 – 90 = 90 lei (preţ nal) (1p)

3. a) x y x y= = ⇒ <1

910; (5p)

b) M M a g = =91

18

10

3; (5p)

4. a a a a

a

2 2

1000

2 3 2 2 3 2 3 2 3 6 6 0

6 0

= − + −( ) +( ) + + ⇒ = ⇒ = >( ) ⇒

⇒ −( ) =

(10p)





1. a) ∆ ∆ MAD NAD LUL DM DN ≡ ( ) ⇒ = ⇒ triunghiul DMN isoscel (5p)

b)

M N DMN

AM AN

MAB EAN

≡ ( )

[ ] ≡ [ ]

≡

triunghiul isoscel

ipoteza

acelasii complement

ULU

( )

⇒ ≡∆ ∆ ABM AEN (5p)

c)

∆ ∆ ABM AEN AB AE ABE

AD BE P AP

≡ ⇒ [ ] ≡ [ ] ⇒

∩ = { } (

triunghiul isoscel

Notam ; −−

⇒ ⊥ bisectoare

AP BE (5p)

d) MN AD

BE AD MN BE

⊥⊥

⇒ (5p)

2.a)

PM AB

AB DC MP DC

⊥

⇒ ⊥

⇒ ( ) = ( ) = ( ) = ° ⇒m m m M P N MQNP 90 este dreptunghic (5p)

b)

P ABCD = ⋅ +( ) =2 10 6 32m (a parcurs Mihai)

AQPD – trapez isoscel ( AQ || DP şi AD = MN = PQ) BQ = DP

DP + AQ = BQ + AQ = AB = 10 mP AQPD

= AQ + QP + PD + DA = 2 · 6 + ( AQ + DP ) =

= 12 + 10 = 22 m (a parcurs Andrei) (5p)

Testul 4


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 27

(5p)

3 7

2−

(5p)

x ∈{ }2 5 8; ;

(5p)

48

(5p)

14

(5p)

15

(5p)


1.

Desenează corect.

M N

P Q

(5p)

2. 62,5 : 12,5 = 5 cutii (5p)




3. a) a2 = 3; a3 = 6; a4 = 9; a5 = 12; a6 = 15; a7 = 18; a8 = 21; a9 = 24; a10 = 27 (2p)

a1 + a2 + ... +a10 = 137; (1p)

Suma numerelor impare este: a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 75; (1p)

Suma numerelor pare este: a1 + a3 + ... + a9 = 62 (1p)

b) P P 100

75 62 82 6⋅ = ⇒ = ( )% , % (5p)

4. A =

++

+ ⋅ − = + ⋅ = + ⋅ = ∈324 576

36 642 675 576

900

1002 100 3 2 10 23 . (5p)

5. 4 24 363 2

x x x− + =

= − +( ) =4 6 92 x x x (2p)

= −( )4 3 2

x x (3p)


1. a)

m

m

dam dam.

DAC

ACDCD

AD

AD CA

( ) = °

( ) = °

⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ =

30

90 2

12 6 3

30°

A D

C B

(1p)

Fie CQ AD CQ CA

⊥ ⇒ = =2

3 3 dam;

cos 30 6 3 32

9 33° = ⇒ = ⋅ = ⇒ = AQ AC

AQ QDdam dam (1p)

ABCD = trapez isoscel ⇒ PQ = BC = AD – QD · 2 (1p)

PQ = 12 – 3 · 2 = 6 dam ⇒ AB = BC = CD = 6 dam (1p)

P ABCD

= AB + BC + CD + AD = 6 · 3 + 12 = 30 dam (1p)

b)

A ABCD

AD BC CQ=

+( ) ⋅=

+( ) ⋅=

2

12 6 3 3

227 3 2dam (5p)

c) A A A ABC ABCD ACD= − (2p)

A A ACD ABC = 6 ⋅

= ⇒ = − =3 6

218 3 27 3 18 3 9 3

2 2dam dam (3p)

2. a) AC = + =100 300 20m. Aplicăm teorema catetei în ∆ ABC ⇒ AB2 = AM · AC ⇒ AM = 5 cm ⇒ MC = 15 m; BM AM MC = ⋅ = 5 3 m (2p)

∆ ∆ BMC NMA BM

MN

MC

MA MN MN ~ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

15

5

5 3 25 3

15

5 3

2m (2p)

BM AM MC = ⋅ = 5 3 m (1p)

b) sin m m MBC MC

BC MBC ( )( ) = = =

⋅ = ⇒ ( ) = °

15

10 3

15 3

10 3

3

260

3

2

(5p)




c) A AMN

AM MN =

⋅= ⋅ ⋅ =

25

5 3

3

1

2

25 3

6m2

A ADC

AD DC =

⋅=

⋅=

2

10 10 3

250 3 m2 ;

A

A

AMN

ADC

= =

25 3

6

50 3

1

12 (5p)

Testul 5


1. 2. 3. 4. 5. 6.

6

(5p)

23

(5p)

– 5

(5p)

8

(5p)

12

(5p)

mai 2010

(5p)



2. 1

2

1

3

1

6

6

61+ + = = (5p)

3. a) B = {– 1; – 9; 10; 4}; A ∩ B = {– 9; 4} (5p)

b) x, y ∈ ⇒ 2 x – 1 = 7 şi 5 y = 10 ⇒ x = 4 şi y = 2 (5p)

4. 3 x < 7⇔

x x x< ∈ ⇒ ∈{ }

7

3 0 1 2, ; ; (5p)

5. p = + − − = − + − = ∈25 3 2 3 2 3 5 3 2 3 2 3 2

deoarece 3 9 12 2 3 3 2 3 3 2 3= < = ⇒ − = − + (5p)


1.

a)∆

∆

ABC MN AC BM

BA

BN

BC

ADC MP AD BM BA

BP BD

BN :

:

⇒ =

⇒ =

⇒

T.Th

T.Th B BC

BP

BD

BCD

NP CD=

⇒

∆

R.T.Th

(5p)

b) ∆ BCD NP CD CN

BC

DP

BD

CN

BC

BP

BD

DP

BD

BP

BD

DP BP

BD

B

, din a( ) ⇒ = ⇒

⇒ + = + = +

= D D

BD= 1

(5p)

2.a) 2 2 3 4 4 12 16 902

22 2 2 2+ ( ) = ⇔ + = ⇒ + = ⇒ ( ) = ° ⇒ AB AC BC A

R T P . . .

m

⇒ triunghiul ABC dreptunghic în A. (5p)

b) d A BC AB AC

BC ,( ) =

⋅= 3 (5p)




c) sin sin sin cos ; sin cos2 2 2 2 1 B C B B C AB

BC B+ = + = = =

amfolosit (5p)

d)

Triunghiul ABM dreptunghic în A ⇒ = + = + = ⇒ =T P

BM AB AM BM . .

2 2 2 4 3 7 7 (5p)

Testul 6


1. 2. 3. 4. 5. 6.

90

(5p)

100(5p)

1(5p)

45°44´(5p)

948(5p)

grâu(5p)


1. 125% · x = 15 ⇒ x = 12 (lei) (5p)

2. 5

44 1 5 3 5 95

x x D x

− ∈ ⇒ − ∈ = ± ±{ } ⇒ ∈{ }

in

; ; . (5p)

3. b) a b a ab b−( ) = − + = − − + + =2 2 22 2 3 2 2 3 2 (5p)

4. A A = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =144 144 12 12 22 2

cm cml l d (5p)

5. Latura romb = 6 cm, P = 24 cm, A = 18 3 2cm (5p)


1.a)

x y z k x k y k z k

2 5 92 5 9= = = ⇒ = = ⋅ =; ; (2p)

p y x p k k p

p% % % %⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =5 2100

2

540 (3p)

b) 2 2 3 5 4 9 275 55 275 5⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =k k k k k

⇒ = = = x y z 10 25 45; ; (5p)

2. a) AB BC ABC BAC BCA= ⇒ ⇒ ≡triunghiul isoscel (1)

iar BAC ACD≡ (alterne interne) (2)

Din (1) şi (2) ⇒ ( AC este bisectoarea unghiului BCD (5p)

b) Notăm BCA = ACD = x°

A

T

B

C D E x

x

2 x

ADC = BCD = 2 x°

Din triunghiul ADC (m ( A) = 90°) avem: 2 x° + x° = 90°

x° = 30. Deci:

m m D C ( ) = ( ) = °60 şi m m A B( ) = ( ) = °120 (5p)




b) Din egalitatea dată, obţinem: x y y

x y

y z z

y z

z x x

z x

+ −+

+ + −

+ +

+ −+

= ⇔2

⇔ −+

+ −+

+ −+

= ⇔+

++

++

=1 1 1 2 1 y

x y

z

y z

x

z x

y

x y

z

y z

x

z x. (5p)

3. Dacă B' este punctul diametral opus lui B ⇒ ′( ) = ( ) = °m m BB D BAD 60

Din triunghiul BB'D, dreptunghic în D ⇒ ° =′ ⇒ = ′ ⋅ ° ⇒sin sin60 60

BD

BB BD BB

⇒ = ⋅ = BD 2 6 3

23 2 cm. (5p)

4. Din asemănarea ∆ ABC ~ ∆CDB, deducem următoarele congruenţe de unghiuri: BAC BCD ABC CDB ACB ABC ≡ ≡ ≡, , , de unde rezultă că triunghiul

BCD este isoscel cu CB CD( ) ≡ ( ) , deci şi triunghiul ABC este isoscel, având AB AC ( ) ≡ ( ).

În plus, notând m BAC x( ) = , obţinem m m ACB ABC x( ) = ( ) = 2 .

Avem deci, x + 2 x + 2 x = 180° ⇔ 5 x = 180°⇔ x = 36° ⇒

m m m BAC ABC ACB( ) = ° ( ) = ( ) = °36 72, . (5p)

Testul 8


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 14

(5p)

– 1

(5p)

3 5

(5p)

40°

(5p)

50 3

(5p)

25

(5p)


1.

(5p)

M N

P Q

2. Fie x, y, z cantităţile pe care le primeşte ecare cantină: x y z

k 100 200 250

= = = x + y + z = 5500

x = 100 k , y = 200 k , z = 250 k ⇒ 550 k = 5500 ⇒ k = 10

⇒ cantinele vor primi 1000 kg, 2000 kg respectiv 2500 kg. (5p)

3. Fie x numărul total de pagini. În prima zi citeşte x

3 pagini ⇒ rămân de citit

2

3

x pagini.

A doua zi citeşte1

2

2

3 10 3 10⋅ + = + ⇒ x x

rest2

3 3 10 3 10 x x x

− + = − .

A treia zi citeşte x

x3

10 60 210− = ⇒ = (pagini) (5p)




4. Folosim regula de trei simplă pentru partea de bazin care rămâne de umplut după ce unrobinet s-a defectat.

4 robinete 3 ore (partea rămasă de umplut)

3 robinete x

x =

⋅

=

3 4

3 4 (ore) (5p)

5. Fie n numărul elevilor.n C

n C

n C

n C

n C

n C

n

= ⋅ += ⋅ += ⋅ +

⇒− = ⋅− = ⋅− = ⋅

⇒ −2 1

3 1

5 1

1 2

1 3

1 5

1

1

2

3

1

2

3

este multiplu comun al numerelor 2, 3, 5.

Deoarece c.m.m.m.c. al numerelor 2, 3 şi 5 este 30 ⇒ n – 1 = 30 ⇒ n = 31 (elevi) (5p)

6. 3a = 14 – 2b, deci a este număr par şi a ≤ 4. (2p)

Pentru a = 0, rezultă b = 7, pentru a = 2, obţinem b = 4,

iar pentru a = 4, deducem b = 3. (3p)


1. a) Dacă O este centrul cercului, triunghiurile OAB, BOC , COD, DOE , EOF şi FOA'

sunt echilaterale, unde A' este punctul care urmează să fie marcat pe cerc după punctul

F ⇒ în jurul punctului O sunt 6 · 60° = 360° ⇒ A = A' . (5p)

b)

triunghiul ACE este echilateral

AC = ⋅ =2

6 3

2 6 3 (cm) AO D

C

E

B

F

Aria triunghiului ACE este6 3 3

427 3

2( ) ⋅

= (cm2) (5p)

c)

DCOE CE DO

BOFA BF OACE BF

este romb

este romb

⇒ ⊥⇒ ⊥

⇒ fiind perpendiculare pe aceeaşi dreaptă. (5p)

2. a)

A B

C

S

F E

D 5

66 85

1510

AFCD este paralelogram ⇒ AF = 5 şi CF = 6 FB = AB – AF = 15 – 5 = 10 FC 2 + CB2 = FB2 din reciproca teoremei lui Pitagora,

m FCB( ) = °90 (5p)

b) Dacă CE ⊥ AB, E ∈ ( AB) ⇒ [CE ] este înălţime în triunghiul FCB

⇒ = ⋅

=CE 6 8

104 8, cm. Aria trapezului ABCD este

15 5 4 8

248

+( ) ⋅=

,cm2 (5p)

c) ∆ BCF ~ ∆ BSA ⇒ =

=

=

A

A

BCF

BSA

BF

BA

2 22

3

4

9; A BSA =

⋅=

9 24

454 (cm2) (5p)




Testul 9


1. 2. 3. 4. 5. 6.

7

12(5p)

x = 1 y = 3

(5p)

9

25

(5p)

24 3

(5p)

15

(5p)

24,8

(5p)


1. x y z k

2 4 6= = = , de unde înlocuind în ultima relaţie obţinem k = 12,

de unde x = 24, y = 48, z = 72. (5p)

2. Pentru ca numărul a a62 2 13− ⋅ să e raţional trebuie ca a a62 2 13− ⋅ să e pătrat

perfect. Descompunând relaţia dată avem a a a62 2 13 7 2 22− ⋅ = ⋅ −( ) ,

de unde a = 4. (5p)

3. Numărul a n n n n= ⋅ − ⋅+ + + +3 4 2 62 2 2 3 2 1 2 3 devine a n= ( )+12 1 2

deci este pătrat perfect. (5p)

4. a)

m m m ADC DBC ABD( ) = ° ( ) = ° ( ) = °90 65 30, , . (5p)

b)

Aria triunghiului BOD, A = ⋅ ° =2 2 1202

3sin . (5p)

5. Construim proiecţiile bazei mici pe baza mare. Notând proiecţiile laturilor neparalele

pe bază cu x şi y obţinem sistemul: x y

x y

+ =

− = −

8

36 1002 2

, cu soluţia x = 0 şi y = 8 ceea ce arată

că trapezul ABCD ( AB CD) este dreptunghic. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte)1.

a) Lungimea segmentului [ AB] este AB = −( ) + +( ) =8 0 0 6 102 2

. (5p)

b) Coordonatele punctului M , mijlocul segmentului [ AB] sunt x = 4 şi y = – 3 (5p)

2. a)Din ipoteză AB = AC , iar [ AI ] mediană, I ∈ BC , implică [ BI ] ≡ [ IC ] şi [ ID] ≡ [ AI ],

deci ABCD romb. Cum m A( ) = °90 , deducem ABCD pătrat. (5p)

b) Segmentele determinate de mijloacele laturilor oricărui pătrat sunt paralele cu

diagonalele pătratului şi egale cu jumătate din lungimea lor. Cum diagonaleleunui pătrat sunt perpendiculare, deducem că mijloacele laturilor formeazăde asemenea un pătrat. (5p)




3. a)

Vericăm relaţia lui Pitagora 7 24 252 2 2+ = , deducem că triunghiul ABC

este dreptunghic şi aria A = ⋅c c1 2

2 este de 84 cm2. (5p)

b)

Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [ BC ] este AD AB AC

BC = ⋅ = 168

25. (5p)

Testul 10


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

1

(5p)

28

(5p)

0

(5p)

ortocentru

(5p)

54,6%

(5p)


1. AC şi BD sunt axele de simetrie. (5p)

2. a

b c

b c

aa b c

+ =

−⇒ = −2 2 2 Reciproca Teoremei lui Pitagora (5p)

3. 1 (5p)

4. x x x

x x x x

x= ≥− <

⇒ = ⇔ >,,

.00

1 0 (5p)

5. a)

2a = b + 7 (5p)

b)

35

x y

= (5p)


1.a) n p p n p n p n p n2 2 2 2 217 17 17 1 17+ = ⇔ = + ⇔ − = ⇔ −( ) +( ) = ⋅

p n

p n

p

n

− =+ =

⇔ =

=

1

17

9

8. (5p)

b)a b

a b b c

a b

a b ab

a b

ab a b ab

++

= +

+=

+

+( ) =

2 2

1 (5p)

c)1

70 1242857= ( ), .

603 : 6 ⇒ C = 100 şi R = 3A 603-a zecimală este 2. (5p)




2. a)

A

O

D

B

C

tg m ACB AB

BC AB BC ( )( ) = = ⇒ =2 2

P = +( ) = ⇒ =2 12 2 AB BC BC cm şi AB = 4 cm.

A = AB · BC = 8 cm2 (5p)

b)

A A BOC ABCD= =1

42 2cm (5p)

c)

∆ ABC B: ,m ( ) = °90 AC AB BC = + =2 2 2 5

OB OC = = 5 cm. (5p)

A BOC

OB OC BOC BOC

BOC =

⋅ ⋅ ( )( )

⇒ =

⋅ ( )( )

⇔ ( )( ) =

sin sin

sin

m

2

m

m

2

5

2

4

5

cos sinm m BOC BOC ( )( ) = − ( )( ) = − =1 1 16

25

3

5

2 (5p)

Testul 11


1. 2. 3. 4. 5. 6.

6

(5p)

61

(5p)

4,25

(5p)

2160

(5p)

12

(5p)

600

(5p)



2. A a c e b B a c e d f = { } = { }, , , , , , , , (5p)

3. Notăm cu a numărul cărţilor de pe primul raft şi cu b numărul cărţilor de pe al doilea

raft, în aşezarea iniţială.

Obţinem sistemul( )a b

a b

a

b

− ⋅ = ++ = −

⇒ =

=

10 2 10

10 10

50

70 (5p)

4. a) 10826 104= (5p)

b) 42. (5p)

5. Obţinem: 2 2 5 3 3 2 5 5 32 32

3 12

5 4

3 60

2 25

100 70 2 25

120( ) ⋅ ( ) − ( ) + ( ) ( ) − ( ) +: : : ⋅⋅ =

− +( ) − +( ) =

3

2 5 3 2 5 3 1

10

100 20 130 100 20 130:





1. a) Obţinem: 10 · 2 + 10 – 10 = 20. (5p)

b) Obţinem: (a · 2 – 10 + 10) · 2 = 20, de unde a = 5. (5p)

c) Verde. verde, verde, roşu, roşu, roşu, albastru, albastru, albastru.

Obţinem (2 + 10 + 10 + 10) · 2 · 2 · 2 – 10 – 10 – 10 = 226. (5p)2. a) Notăm cu D punctul de intersecţie a dreptei AB cu cercul C

1 şi cu E punctul de

intersecţie a dreptei AB cu cercul C 2.

Segmentul [ DE ] are lungimea DE = 3 R = 3 · 5m = 15 m. (5p)

b) AB = AC = BC = R = 5 m, deci P ABC

= 15 m (5p)

c) Fie C 1 C

2= {C , M }, C

2 C

3= { A, N } şi C

3 C

1= { P , B}. Pe cercul C

1 punctele P ,

C , B, M împart cercul în trei arce cu măsura de 60° fiecare, deci arcul exterior PM

este un semicerc. La fel arcele PN şi MN .

Perimetrul exterior al piscinei este 3 22

3 15 46 5⋅ = =π π π R R , . (5p)

Testul 12


1. 2. 3. 4. 5. 6.

− 2

21

(5p)

100%

(5p)

3 cm

(5p)

–1,42

(5p)

2 cm

(5p)

2008

(5p)



2. Singurul număr raţional care înmulţit cu un număr iraţional dă ca rezultat un număr

raţional este zero. Deci 2 0a b a b a b= ∈ ⇒ = =, , .unde (5p)

3. 2. (5p)

4. Exprimăm numerele b şi c în funcţie de a:

b a

c a

=

=

3

13

Atunci a + b + c = 340⇒ a + 3a + 13a = 340⇒ a = 20, b = 60, c = 260. (5p)

5. a) Reprezintă corect punctele în sistemul de axe ortogonale. (5p)

b) Coordonatele mijlocului segmentului [ AB] sunt (0; 4).


1. a) 101. (5p)

b) Avem A p∩ = { } = 0 1 2 10

11

101; ; ;...; , .deci (5p)




c)4

101 (5p)

2. a) Desenează corect. (5p)

b)

DA AB

AC AE

DAC BAE

DAC BAE BE CD

[ ] ≡ [ ]

[ ] ≡ [ ]

≡

⇒ ≡ ⇒ [ ] ≡ [ ]

∆ ∆ (5p)

c) Fie AD ⊥ BC , D ∈( BC ) şi BE ⊥ AC , E ∈( AC ). AD = 8 cm.

BE · AC = AD · BC ⇒ BE = 9,6 cm. (5p)

Testul 13


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

62

(5p)

1160

(5p)

21

(5p)5 3

(5p)

10

(5p)



2. {1; 2; 3} (5p)3. x = 9 (5p)

4.a)

x

x

+

-

5

5; (5p)

b) x = − 4 (5p)

5. N = 10 2 (5p)


1.a)

6 2

5 (5p)

b) 26 + 5 2 cm (5p)

c) V apă

= 100 cm3, 5 · 12 · x = 100, x =1,(6) cm (5p)

2. a) 336 m 2 (5p)

b) 238 m 2 (5p)

c) 100 m (5p)




Testul 14


1. 2. 3. 4. 5. 6.

− 250

(5p)

−10

3(5p)

1

3(5p)

50

(5p)

15,25

(5p)

3

(5p)


1. Varianta i). (5p)

2. a) 22 (5p)

b) 30 (5p)

3. 290 (5p)

4. 2 (5p)

5. 40 (5p)


1. a) Aria uşii = 2,16 m2 (3p)

Aria ferestrei = 5 m2 (2p)

b) A suprafeţei văruite =A l − 3 A f − A u + A tavan (1p)

A l = 134,4 m2 (1p)

A tavan = A bazei = 64,8 m2 (1p)

A suprafeţei văruite = 182,04 m2 (1p)

Cantitatea de var = 72,826 kg (1p)

c) V = 259,2 m 3 (3p)

259,2 m3 : 8 m3 = 32,4, rezultă 32 elevi. (3p)

2. a) 240 km/oră (3p)

360 km/oră (2p)

b) reprezentarea corectă a unui punct al gracului (2p)

reprezentarea corectă a altui punct al gracului (2p)

nalizare: reprezentarea gracă este un segment. (1p)

c) t = 4,5 h = 4 ore şi 30 minute (5p)




Testul 15


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

55

(5p)

{2; 3; 5; 6; 7}

(5p)

48

(5p)

2,9

(5p)

204 lei

(5p)


1. ● Desenează corect pătratul ABCD în spaţiu

A

D

M

O

V

B

C

şi diagonalele. (1p)

● Ridică perpendiculara în punctul O

şi consideră punctul V . (1p)

● Duce OM ⊥ AB şi arată că M este mijlocul

segmentului [ AB]. (1p)

● Aplică teorema celor trei perpendiculare:

VO ABC

OM AB

OM AB ABC

VM AB d V AB VM

⊥ ( )

⊥⊂ ( )

⇒ ⊥ ⇒ ( ) =,

, (2p)

2. Notăm cu x lungimea laturii triunghiului echilateral. (1p)

P ∆echilateral = A

∆echilateral ⇔ (1p)

3 3

4

3 3

4

4 32 0

x x x

x x

= ⇔ = ⇔ =≠:

(3p)

3. a)În 2010 salariatul câştiga:

x x x− = = ⋅ =25 75 75

1001200 900% % lei lunar. (5p)

b)

În 2011, reducerea a fost:

10 900 10

100

900 90% ⋅ = ⋅ = lei (4p)

Acum salariatul are un venit de 900 – 90 = 810 lei lunar. (1p)

4. EF = 18 cm ⇒ DE = CF = 3 cm (1p) Triunghiul AED este dreptunghic

isoscel ⇒ AE = DE = 3 cm (2p)

A trapez

cm

= +( ) ⋅

=

= +( ) ⋅

=

AB CD AE

2

18 24 3

263 2. (2p)

A B

C E F 3 3

18

45° D

5. x

y=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

=2 3 5 13

2 3 5 13

2 5

3

20

3

3 4 20

2 3 20

2

(5p)






2.i a

i ai a

+ =−( ) = +

⇒ = =54

2 20 2038 16; (5p)

3. Notăm cu e numărul de elevi şi cu m numărul de microscoape.2 1

6 2

3

17 35

m e

em

m e

+ =

+ −

=

⇒ = =, (5p)

4. Notăm x x t t t t t t x x2 2 2 2 26 9 6 9 3 3+ = ⇒ +( ) + = + + = +( ) = + +( ) pătrat. (5p)

5. 2 2 8 2 82= = , ; rotunjirea la zecimi 2,8. (5p)


1. a)A SET

x x=

⋅= ( )4

22 2m (5p)

b)

A MATE

MA TE ME =

+( ) ⋅=

+( ) ⋅= ( )

2

2 4 3

29 2m (5p)

c)P MATE − = +( ) − = +( )1 9 13 1 8 13m m

∆ ANT N AT AN NT AT ;m m( ) = ° ⇒ = + = + = ⇒ =90 9 4 13 132 2 2

3 13 4 8

11 13 8 12

< < +< + < ⇒

|

cumpără 12 m. (5p)

d)

A A A MATS MATE SET = − = − = ( )9 4 5 2m (5p)

2. a)

L R

R CD

CD = = = = ( )2

2 22

ππ

ππ m (5p)

b)

BO CADa CAD

a BO

a OA

OA

⊥ ( )⊂ ( )⇒ ⊥

⊥ ( )

−

⇒Dar pr. cercului

raza

aa BO OA

a BOA

⊥ ( )

⊥ ( );

(5p)

c) BO CAD

OA a

OA a CAD

BA a d B a BAT

⊥ ( )

⊥⊂ ( )

⇒ ⊥ ⇒ ( ) =⊥

,

;3

∆ BOA O AB BO OAT P m ( ) = ° ⇒ = +90 2 2 2. .

AB AB22

47

24

49 16

4

65

4

65

2=

+ =

+= ⇒ =) m (5p)





1. a)

A = ⋅ =6 3

45400 3

22l

cm , deci suprafaţa de vopsit este de aproximativ 1,87 m2 (5p)

b)

6,5 cm2

1,5 g vopsea18706,14 cm2 x

x = ⋅

=18706 14 1 5

6 54316 8 4 32

, ,

,, ,g kg vopsea (5p)

2. a) PC ABCD

CE ABCD PC CE PE PC CE

CE DE CD

T P ⊥ ( )

⊂ ( )

⇒ ⊥ ⇒ = +

= + = +

. .2 2 2

2 2 2 4 3 ==

⇒ = + =

=7

25 7 32

4 2

2 PE

PE cm

(5p)

b) PC ABCD

CD AD

CD AD ABCD

PD AD P AD PD

⊥ ( )

⊥⊂ ( )

⇒ ⊥ ⇒ ( ) =,

,d (5p)

c) MB ABCD

PC ABCD MB PC

AB CD

MB AB B MAB

PC CD C

⊥ ( )

⊥ ( )

⇒

∩ ={ } ( )

∩ = {

, în}} ( )

, în PCD

⇒ ( MAB) (PCD) (5p)

d) DC AB MA DC MA AB MAB ⇒ ( ) = ( ) =, ,

∆ MAB

B

MA

MB MAB

R T

m

cm

cmm

( ) = °

⇒ = + =

=

⇒ ( ) = °

°

90

1 3 2

130

30. .

Ducem

A D E

O

Q

P

M

B C

MQ PC

BC PC

MQ BC

BC AD

MQ AD

MP AD MP MQ

⊥

⊥

⇒

⇒ ⇒

( ) = ( ) =

m m( , ) ( , ) mm( ) PMQ

PQ PC CQ

MQ BC MPQ PMQ

= − = − == =

⇒ ⇒5 1 4

4

cm

cmdreptunghic isoscel m∆ (( ) = °45 (5p)

Testul 18SUBIECTUL I (30 puncte)

1. 2.

3. 4. 5. 6.

– 3

(5p)

4

(5p)

135

(5p)

4 2

(5p)

60°

(5p)

365

(5p)





1.

M

N

Q

P (5p)

2. 4 · 2,5 + 5 · a = 19 ⇒ 5a = 9 ⇒ a = 1,8 lei (5p)

3. a)1

420

2

5675 20 25 40 675 x x x x x x x x+ ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒% % % %

x = 4500 lei (5p)b)20% · 4500 = 900 lei900 – 224 = 676 lei, preţul televizorului⇒ persoana nu poate cumpăra televizorul. (5p)

4. f (0) = – 1 ⇒ b = – 1 f (– 2) = – 2a + b = – 5 ⇒ – 2a – 1 = – 5 ⇒ – 2a = – 4 ⇒ a = 2 ⇒

⇒ f ( x) = 2 x – 1 (5p)

5.

A = −( ) + −( ) − = ⋅ − + − − =

= −( ) + +( ) − =

−3 3 2 5 3 2 3 180 3 3 2 5 32 3

6 5

3 2 5 3 3 2 3 6 5

2 1

66 5 3 3 6 3 3 6 5 6− + + − = ∈ (5p)


1. a)

A

A'

D

D'

B

B'

C

O

C'

DD ABC

DB AC

DO AC ABC

D O AC D AC D O

′ ⊥ ( )

⊥

⊂ ( )

⇒ ′ ⊥ ⇒ ′( ) = ′

,

,d

DO DB

D O= = = ⇒ ′ =2

8 2

24 2 4 6 m (5p)

b)

BB B A

BB B C

A B B C A B C

BB B D

′ ⊥ ′ ′′ ⊥ ′ ′

′ ′ ′ ′ ⊂ ′ ′ ′( )

⇒ ′ ⊥ ′ ′

,

′ ′ =

′ =

⇒ =′ ′

B D

BB BB D

8 2

832 2 2

A m (5p)

c)A A l ABB A= ⋅ = ⋅ =′ ′4 4 64 256 2m

256 : 40 = 6,4 ⇒ sunt necesare 7 cutii cu vopsea. (5p)




2. a) A D

B C 28

18

BC = 2 R ⇒ R = 9 m

P gard = +2

2

π R BC

P gard = (9π + 18) m

(5p)

b)A

ABCD = 18 · 28 = 504 m2

A piscinei m= π R2

2

2127 17 ,

A gazon = A ABCD

– A piscinei 376,83 m2 (5p)

c)25 · 25 = 625 cm2 = 0,0625 m2 – suprafaţa unei plăci

20 · 0,0625 = 1,25 m2 / cutie127,17 : 1,25 = 101,736 ⇒ Trebuie cumpărate 102 cutii1,25 · 110 = 137,5 m2

137,5 – 127,17 = 10,33 m2

p p

100127 17 10 33 8 12⋅ = ⇒, , % , % (5p)

Testul 19


1. 2. 3. 4. 5. 6.

100

(5p)

– 6

(5p)

x ∈{1; 2; 3; 4;6; 12}

(5p)

131°29' 50"

(5p)

6 3

(5p)

60°

(5p)


2. a)

E (2,0) = 22 + 4 · 02 + 6 · 2 + 12 · 0 + 18 = 34 (5p)

b)

E x y x x y x y,( ) = + ⋅ ⋅ + + ( ) + ⋅ ⋅ + = +( ) + +( )2 2 2 2 22 3 3 2 2 24 3 3 3 2 3

E x y x

y

x

y,( ) = ⇔

+ =+ =

⇔= −

= −

0

3 0

2 3 0

3

3

2

(5p)

3.m

n

= − − + = = <( )

= + + − = + − − +

3 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

am folosit faptul cã ;

(( ) = + + − = ⇒⇒ =

+= = ⋅ =

1 2 1 2 2

22 2m

m nm m na g ; (5p)




4. − < + < ⇔ − < < − ⇔ ∈ − −( )+ −

1 2 1 3 1 3 12

x x x( )

; (5p)

5. x y x y xy x y x y+( ) = + + ⇔ +( ) = ⇔ + = ⇒ =2 2 2 22 49 7 14P (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte)1. a)

AD DC ADC DAC DCA

DC AB DCA CAB

[ ] ≡ [ ] ⇒ = ⇒ ≡( ) ⇒ ≡

∆ isoscel

def. alter

nne interne( )

⇒ ≡ ⇒ DAC CAB

⇒ ( AC – bisectoare DAC ⇒ m( DAC ) = 30° = m( DCA)

ABCD – trapez isoscel ⇒ m( DAB) = m(CBA) = 60° şi

m( ADC ) = m( DCB) = 120° ⇒ m( ACB) = m( DCB) – m( DCA) = 90 ⇒

⇒ AC ⊥ BC (5p)

b)În triunghiul ABC , [CM ] mediană ⇒ = ⇒ = ⇒CM

ABCM AM ACM

2∆ – isoscel ⇒

m( ACM ) = 30° ⇒ DAC ≡ ACM ⇒ AD CM ; DC AM ⇒ ADCM paralelogram;

[ AD] ≡ [ DC ] ⇒ ADCM este romb ⇒ DM ⊥ AC (5p)

c) În triunghiul ABP : m( A) = m( B) = 60° ⇒

triunghiul ABP echilateral ⇒ P ABP

= 24 cm. (5p)

2. a)

CC' AA' ; justicăm A'MC'N – paralelogram A'M C'N

AA A M A CC C N C AA M CC N ′ ∩ ′ = ′{ } ′∩ ′ = ′{ } ⇒ ′( ) ′( ), . (5p)

b)

Construim Q mijlocul segmentului [ BC ] şi demonstrăm că AQMA' – dreptunghi;

Justicăm CN A'Q ⇒ m(( AM ,CN )) = m(( AM , A'Q));

Determinăm AQ = 3 2 în triunghiul ABQ – dreptunghic în B

⇒ AQ = AA' ⇒ AQMA' – pătrat

m(( AM , A'Q)) = 90° = m(( AM ,CN )) (5p)

c)

d( B, AM ) este egală cu lungimea înălţimii în triunghiul ABM dreptunghic în B ⇒

d B AM AB BM

AM ,( ) =

⋅=

⋅=

2 6 2 3

62 2 (5p)

Testul 20


1. 2. 3. 4. 5. 6.

10

(5p)

30

(5p)

– 1

(5p)

20 cm

(5p)

5

(5p)

6 cm

(5p)





1. 10

10

3

87 2

a b

b aa b

++

= ⇒ = ⋅ ⇒ a = 2 şi b = 7, (7; 2) = 1, ab = 27 (5p)

2. a : 4 = 10q + r , unde r < 4, r ≠ 0 ⇒ r ∈ {1; 2; 3}

Numerele sunt: 41, 42 şi 43. (5p)

3. a)

A

B C D

M

55

8

3

MA ABC

AD BC

AD BC ABC

MD BC T

⊥ ( )

⊥⊂ ( )

⇒ ⊥⊥

,

3

[ AD] – înălţime, AD = 3 cm.

Din triunghiul MAD (m(A) = 90°)

⇒ =TP

MD 2 3 cm (5p)

b) A ∆ MBC

BC MD=

⋅=

28 3 cm2 (5p)

4. Avem: 2 x + 1 = 7 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x = 3 sau 2 x + 1 = – 7 ⇒ 2 x = – 8 ⇒ x = – 4.

Deducem x ∈ {– 4; 3} (5p)

5. EF DC

DC AB EF AB EF AB EB FA T

⇒ ⇒ ( ) ⇒ ∩ = { };

A B

C D

E F

(5p)


1.a) Trapez isoscel ortodiagonal ⇒ =

+=i

b B

26 2 = linia mijlocie (5p)

b) MN este linie mijlocie =

6 2 (5p)c) A = MN · i = 72 cm2 (5p)

d) Fie AD BC S ∩ = { } . În triunghiul SDC , [ AB] linie mijlocie, deci înălţimea

triunghiului SDC va de două ori înălţimea trapezului, deci 12 2 cm. (5p)

2. a)

A

E

D

H

B

F

C

O

G

AC BD O∩ = { } şi AC ⊥ BD.

Distanţa de la E la BD va EO (T. 3 ⊥).

Avem: AC = 12 cm, AO = 6 cm, iar EO = 12 cm. (5p)




b) EBD GBD BD

EO BD

GO BD

EBD GBD EO GO

( ) ∩ ( ) =⊥⊥

⇒ ( ) ( )[ ] = ( ); ;

triunghiul EOG echilateral ⇒ ( ) ( )[ ] = °m

EBD GBD; 60 (5p)

Testul 21


1. 2. 3. 4. 5. 6.

20 2

(5p)

23

(5p)

10

(5p)

5

(5p)

20

(5p)

12

(5p)


1. a) Pentru x = 0 obţinem f (1) + f (– 1) = 4. (5p)

b) Pentru x = 2 deducem f (1) = 5 de unde trecând x → x + 1, rezultă f ( x) = 3 x + 2 (5p)

c) Soluţiile naturale ale inecuaţiei f ( x) + 5 ≤ 12 aparţin mulţimii {0; 1}. (5p)

2. a) Deoarece P , Q, R mijloacele laturilor [ AB], [ AD] şi [ BC ], avem

[ AQ] ≡ [QD] ≡ [ BR] ≡ [ RC ] ⇒ AQ =a

2,

AP ≡ PB = a şi m( A) = m( B) = 90° deci ∆ PQD = ∆ PRC . (5p)b) Dacă S este mijlocul laturii [ DC ], patrulaterul APSD este pătrat

deci [ DP este bisectoarea unghiului ADC . (5p)

c) ∆ APD = ∆ BPC , de unde [ DP ] ≡ [ PC ] , deci triunghiul PDC este isoscel. (5p)


1. a)

BC AD, AD ADD⊂ ′( ). Analog BB' şi CC' sunt paralele cu planul ( ADD' ). (5p)

b) BD ⊥ AC , AC ACC ⊂ ′( ). Analog B'D' ⊥ A'C' , ′ ′ ⊂ ′( ) A C ACC . (5p)

2. a) AB CD, deci unghiului format de dreptele AB şi D'C este DCD' şi are măsura

egală cu 45°. (5p)

b)

Lungimea diagonalei paralelipipedului AC ′ = 8 7 cm. (5p)

3. a)

Latura bazei AB = 6 2 de unde aria bazeiA

∆ ABC = 18 3 cm2

. (5p)b)

Aria unei feţe laterale este 18 cm2. (5p)




Testul 22


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2 , de

exemplu(5p)

0

(5p)

(– ∞; 3)

(5p)

4

(5p)

VO

(5p)

90°

(5p)


1.

A

B C

D

α

(5p)

2. 2 2 2 6 2 2 5 2 2 2 4 2 2 4 2 4 32 28+ −( ) + −( ) = −( ) +( ) = − = −

deci nu este egal cu 28 (5p)

3. 2 4 2 2

22

1

2 2

1

2 2 2 4

x x x

x x x x

x

x

+ −

− −

+( ) −

−( ) +( )

−( ) =

) ) )

:

2 4 2 22 2 2

2 2 2 2 32 2 2

2 2

1 1

x x x x x

x x x

x x x x

+ − + −−( ) +( ) ⋅ −( ) +( ) = +−( ) ⋅ +( ) ⋅ 22 2 2

1

⋅ −( )

+(

x x x

= +( )

= + x x

x x

2 32 3 (5p)

4.

2 3 2 2 3 2 3 2 32 2

+( ) − ⋅ + ⋅ − + −( ) =

= + − +( ) −( ) + − = − − = − =2 3 2 2 3 2 3 2 3 4 2 4 3 4 2 2 (5p)

5.

15 2 2 5

305 2 2 5

3050 20

1−

⋅+

= − = ∈ (5p)

6. – 2 x + 1 = 5 sau – 2 x + 1 = – 5 de unde x ∈ {–2; 3} (5p)


1. a)

Fie α planul podelei şi β planul mesei de călcat.

AOB CD

AOB AB AB CDd d

( ) ∩ =

( ) ∩ =

⇒

a

β 1 3

α β deoarece unul dintre plane conţine

două drepte concurente, paralele cu celălalt plan. (5p)




b)

∆ AOB ~ ∆ DOC (T.F.A.) ⇒ ⇒ = = AO

DO

BO

CO

AB

CD

1

280= ⇒ =

AB

CDCD

În triunghiul AOB ⇒ = ⇒ =2 1600 20 22 AO AO

OD AD= ⇒ =40 2 60 2 (5p)2. a)

A

BC 15

25

16

16

26

20

20C'

A'

B'

CC BB

BB ABBCC ABB

′ ′′ ⊂ ′( )

⇒ ′ ′( )

AC BC

AC CC AC BCC

⊥⊥ ′

⇒ ⊥ ′( ) (5p)

b) ACC'A' dreptunghi ⇒ A'C' = AC = 20C'

C B

D B'

În ∆ ABC ⇒T P . .

AB2 = AC 2 + BC 2 ⇒ AB2 = 400 + 225 = 625 ⇒ AB = 25

BCC'B' trapez dreptunghic B'D = 10

Fie C'D ⊥ BB' ⇒ în ∆ B'C'D, BC 2 = C'D2 + B'D2

B'C' 2 = 225 + 100 ⇒ B'C' = 325 5 13=Analog în trapezul dreptunghic ABB'A' ⇒ ′ ′ = + = = A B 625 100 725 5 29

P ∆ ′ ′ ′ = + + A B C 20 5 13 5 29 (5p)

c) AA ABC

AC BC A C BC d A BC A C

T ′ ⊥ ( )⊥

⇒ ′ ⊥ ⇒ ′( ) = ′⊥.

,3

În triunghiul A'AC , m( A) = 90° ⇒ A'C 2 = 400 + 256 = 656 ′ = = A C 656 4 41 (5p)

d)

Fie CD ⊥ AB, D ∈ ( AB)

′ ⊥ ( )

⊥

⇒ ′ ⊥ ⇒ ′( ) = ′C C ABC

CD ABC D AB C AB C Dd ,

AD C D= ⋅ = ⇒ ′ = + =20 1525

12 256 144 20 (5p)

Testul 23


1. 2. 3. 4. 5. 6.

7

(5p)

AB şi BC

(5p)

53

(5p)

6 6

(5p)

v = f = 8m = 14

(5p)

– 9m

(5p)





1.Evident, a ≠ 0 ⇒ − + = ⇒ − + = ⇔ + = ⇒a a a a

aa

a

2 3 1 0 3 1

0 1

3|:

⇒ +

= ⇔ + + = ⇔ + =a

a

a

a

a

a

19 2

19

17

22

2

2

2 (5p)

2. Fie ABC triunghiul ale cărui unghiuri exterioare sunt 180° – A, 180° – A,

180° – B, 180° – B, 180° – C , 180° – C , unde A, B, C sunt măsurile unghiurilor

triunghiului. Vom deosebi cazurile:

I) 180

14

180

14

180

11

° −=

° −=

° − A A B şi (180° – B) + (180° – C ) + (180° – C ) = 330°,

540 2

39

180

14

180

14

180

11

° − +( )=

° −=

° −=

° − A B A A B. Din a doua condiţie, deducem:

540 2 330 2 210° − +( ) = ° ⇔ + = ° B C B C . Dar (2 A + B) + ( B + 2C ) = 2 A + 2 B + 2C = 360°, deci 2 A + B = 360° – 210° = 150° ⇒

⇒ ° − °

= °

= ° ⇒ ° −

= ° −

= ° −

= ° ⇒540 150

39

390

3910

180

14

180

14

180

1110

A A B

180° – A = 140° ⇔ A = 40° şi180

1110

° −= ° ⇒

B 180° – B = 110° ⇔ B = 70° ⇒

C = 70°.

II)180

14

180

14

180

11

° −=

° −=

° − A B C , adică triunghiul ABC este isoscel, cu A = B şi

(180° – A) + (180° – B) + (180° – C ) = 330° ⇔ 540° – 360° = 330° ⇔

⇔ 180° = 330°, ceea ce este fals, deci al doilea caz nu poate avea loc. (10p)

3. Ecuaţia se scrie, echivalent, astfel: x x y y2 24 4 4

1

4

1

43 0+ + − − − − + + = ⇔

x y x y x y+( ) − +

= ⇔ − +( ) + +( ) =2

1

2

3

42 2 3 2 2 5 3

22

, unde

3 = 1 · 3 = 3 · 1 = (– 1) · (– 3) = (– 3) · (– 1). Avem astfel sistemele:

I)2 2 3 1

2 2 5 3

x y

x y

− + =+ + =

, cu soluţia (– 1; 0), II)

2 2 3 3

2 2 5 1

x y

x y

− + =+ + =

, cu soluţia (– 1, – 1),

III) 2 2 3 1

2 2 5 3

x y

x y

− + = −+ + = −

, cu soluţia (– 3, – 1) IV)2 2 3 3

2 2 5 1

x y

x y

− + = −+ + = −

, cu soluţia (– 3, 0).

(5p)

4. Fie (a + 1; a) perechea de numere naturale consecutive care verifică datele problemei.Avem, deci, (a + 1)2 – a2 = n, unde n este numărul impar dat ⇒

⇒ + + − = ⇔ + = ⇒ = −

a a a n a n a n2 22 1 2 1

1

2 care este număr natural.

⇒ +( ) = + −

a a n n

1 1

2

1

2; ; , care este unică. (5p)




5. Fie ABC un triunghi cu laturile ( BC ) şi ( AC ) proporţionale cu 2 6 şi 3 2 ,

iar m ACB BC AC

k BC k ( ) = ° ⇒ = = ⇒ =302 6 3 2

2 6 şi AC k = 3 2.

Construim AD ⊥ BC ( D ∈ BC ) ⇒ = AD k 3 2

2 şi DC

k k = ⋅ = ⇒

3 2

23

3 6

2

⇒ = − = − = BD BC DC k k k

2 6 3 6

2

6

2. Am obţinut următorul rezultat:

În triunghiul ABD, dreptunghic în D, BD k =

6

2 şi AD

k =

3 2

2 ,

adică BD AD3 = , căci k k 6

23

3 2

2⋅ = , deci m( BAD) = 30°;

dar m(CAD) = 60° ⇒ m( BAC ) = 90° (5p)


1. Fie n un număr cu proprietatea din enunţ n = 17c1+c1 = 18c1, unde c1 < 17 şi

n = 23c2+c2=24c2, unde c2 < 23 ⇒ 18c1 = 23c2 ⇔ 3c1 = 4c2, adică 4|c1 şi 3|c2 ⇒

⇒ c1 ∈ {4; 8; 12; 16} şi c2 ∈ {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}. Deducem că numerele care

îndeplinesc cerinţele problemei sunt: 18 · 4 = 24 · 3 = 72; 18 · 8 = 24 · 6 = 144;

18 · 12 = 24 · 9 = 216 şi 18 · 16 = 24 · 12 = 288. (5p)

2. a) Din egalitatea

a c

b

+= 3 , explicităm b şi-l substituim în cealaltă egalitate,

obţinând o relaţie între a şi c: b a c

a cc

a

a c c

a=

+⇒

+ +=

+⇒

+ +=

3

3 3 1

2

3

3

= +

⇒ + + = + ⇔ +( ) = +( ) ⇔ =3 1

22 2 2 3 3 3 2 1 3 1 3 2a c c a a c a a c.

Substituim a din egalitatea a c

b+ = 3 cu 2c: 2 3 3 3 3c c

bc b b c+ = ⇒ = ⇔ =

Deducem căa b

c

c c

c

c

c

+=

+=

+( )= +

2 3 2 32 3. (5p)

b)

Observăm că numerele a, b, c, care sunt, respectiv, egale cu 2c, c 3 , c verică

relaţia lui Pitagora: 2 3 4 32 2 2 2 2 2c c c c c c( ) = ( ) + ⇔ = + , deci numerele a, b, c

pot lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza a şi catetele b,c, prin urmare m( A) = 90°.

În plus, din a = 2c, deducem că m(C ) = 30°, deci m( B)=60°. (10p)




3. a)

Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de trei numere consecutive.

Deducem că n este multiplu de 3, adică n = 3k , unde k ∈ * n

3∈ * şi, deci, putem

scrie n n n n

= −

+ + +

3

1

3 3

1 , ceea ce pune în evidenţă faptul că n poate fi scris

ca sumă de trei numere consecutive. (5p)

b)

Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de patru numere consecutive.

Deducem că n este multiplu de 4, adică, n = 4k , unde k ∈ *. Presupunem că n poate fi

scris ca sumă de patru numere consecutive:

n = 4k = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6.

Dar 4k ≠ 4a + 6, căci 4a + 6 nu este divizibil cu 4. (5p)

Testul 24


1. 2. 3. 4. 5. 6.

3

7

(5p)

3

(5p)

60°

(5p)

9

23

(5p)

– 24

(5p)

drepte

(5p)


1. m( AB, D'C ) = m( AB, A'B) = 45° (5p)

2. x4 + 2 x2 + 9 = x4 + 6 x2 + 9 – 4 x2 = ( x2 + 3)2 – (2 x)2 = ( x2 – 2 x + 3)( x2 + 2 x + 3) (5p)

3. pr. AB = AB · cos n ⇒ pr. AB = 2 3 · cos 30° = 2 3 · 3

2 = 3 cm. (5p)

4. a)

A x x

= ∈ ≤ −

<

{ } |1

3 1

2

3

1 3 1

23 2 2 3 1 6 1 3 7 3≤

−< ⋅ ⇔ ≤ − < + ⇔ ≤

x x x| | | :

1 21

31 2≤ < ⇒ = { } x A ;

B x x= ∈ − ≤{ } | 1 1

x x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + ⇔ ≤ ≤1 1 1 1 1 1 0 2|

B = {0, 1, 2} (5p)

b) A B A∩ = (5p)

5. d l l t = ⇒ = ⇒ = =6 3 6 6 2162 2A cm (5p)





1. a) E x x m x( ) = − +( ) +2 2 6

E m m m−( ) = −( ) − +( ) −( ) + = + + + = +1 1 2 1 6 1 2 6 92

E m m−( ) = ⇒ + = ⇔ =1 12 9 12 3. (5p)

b)m E x x x x x x

x x x x x

= ⇒ ( ) = − + = − − + =

= −( ) − −( ) = −( ) −( )3 5 6 2 3 6

2 3 2 2 3

2 2

E x

x

x x

x x

x

x x

( )

− =

−( ) −( )

−( ) +( ) =

−+

∈ ±{ }2 4

2 3

2 2

3

22, \ (5p)

c)

x

x

x x

x x x x x x

−+

∈ ⇒ + −

+ +

⇒ + +( ) − −( ) ⇒ +3

2

2 3

2 22 2 3 2 5

|

|| |

x x+ ∈ − −{ } ⇒ ∈ − − −{ }2 5 1 1 5 7 3 1 3, , , , , , (5p)

2. a)

A

D

B

C O

O'

C' D'

CD AB

AB ABC CD ABC

⊂ ′( )

⇒ ′( ) (5p)

b) CD AB AB C D

CD C D

′ ′

⇒ ′ ′ (5p)

c) BO OD

BO O D

OO DD

DD ADDOO DAD

( ) = ( )

′( ) = ′ ′( )

⇒ ′ ′

′ ⊂ ′( )

⇒ ′ ′( ) (5p)

Testul 25


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2012

(5p)

25

(5p)

18

(5p)

8

(5p)

16

(5p)

echipa 2

(5p)



2. A ∩ = { } 0 1 2 3 4; ; ; ; (5p)




3. a b c d a b c d

a b a b

c d c

+ + +( ) = ⇒ + + + =

+( ) = ⇒ + =

+ = − = ⇒ =

: ,

:

4 4 5 18

2 6 12

18 12 6 ma

++=

d

23

(5p)

4. a) x y x xy y xy+( ) = + + ⇔ = +2 2 22 169 85 2 , deci xy = 42 (5p)

b) x y x xy y x y−( ) = − + = − = ⇒ − =2 2 22 85 84 1 1 (5p)

5. Raţionalizăm fracţia

1

5 2 6

1

5 2 6

5 2 6

12012

2012 2012

−( )=

−

=

+

a = ⋅ +( ) ⋅ +( ) = ∈−

2 5 2 6 5 2 6 22012 2012

(5p)


1. a) A = L · l = 40 m · 15 m = 600 m2. (5p)

b) Aria suprafeţei galbene este A = ⋅ ⋅( )

+ ⋅( ) =2 5

22 29 91 06

22 2 2π

π πm

m m m , .

Cantitatea de vopsea galbenă este de 91,06 · 0,2 l = 18,212 l.

Sunt necesare 37 de cutii cu vopsea galbenă. (5p)

c)600 m2 – 91,06 m2 = 508,94 m2; 508,94 · 0,2

l = 101,788

l Sunt necesare 51 de cutii cu vopsea albastră. (5p)

2. a) Suma celor 12 muchii este de 9,6 m. Fie x lungimea iniţială a ţevii.

x – 20% x = 9,6 m, deci x = 12 m. (5p)

b) Aria plasei este A l + A b = 2,96 m2. (5p)

c) Aria suprafeţei la care au acces iepurii este A b = 0,8 m2.

Timp de 10 zile iepurii mănâncă 20 m2 de iarbă,

deci sunt necesare 20 : 0,8 = 25 mutări. (5p)

Testul 26


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

10

(5p)

45

(5p)

30

(5p)

60

(5p)

25

(5p)



2. {– 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} (5p)




3. n = – 3 (5p)

4. a) Reprezintă corect gracul. (5p)

b) m = 1 (5p)

5. x = – 2 (5p)


1. a) 144000 l (5p)

b) 144 m2 (5p)

c) 4 m (5p)

2. a) A rond = 4π m2 (5p)

b) A ABCD

= 16 m2 (5p)

c) AC = 4 2 (distanţa maximă dintre cei 2 copaci)

4 2 32

6 36

4 2 6

=

=

< m (5p)

Testul 27


1. 2. 3. 4. 5. 6.

–1; 0; 1; 2

(5p)

15

(5p)

32

(5p)

80

(5p)

17

(5p)

60

(5p)


1. 20 grame. (5p)

2. a = 3, b = – 9. (5p)

3. a) Desenează corect. (5p)b) i) AE = 3 3 , ii) 91 , iii) 6 3 , iv) 3 3 (5p)

4. Folosim inegalitatea mediilor. (5p)

5. x ∈ −{ }49

154;

(5p)


1. a) 480 lei (5p)b) 552 lei (5p)

c) 8,69% (5p)




2. a) Desenează corect. (5p)

b) Din AD BC DD CC ADD A BCC B ; ( ) ( )′ ′ ⇒ ′ ′ ′ ′ (5p)

c) Intersectând planele paralele ( ADD'A' ) şi ( BCC'B' ) cu planul a obţinem dreptele

paralele A'D' şi B'C'. Analog se arată că A'B' şi C'D' sunt paralele, deci A'B'C'D' este

paralelogram. (5p)

Testul 28


1. 2. 3. 4. 5. 6.

14

(5p)

27

(5p)

10

(5p)

27

(5p)

30

(5p)

4

5(5p)


1. 1,50 lei · 5 + 1,20 lei · 4 + 15 lei · 2 = 42,30 lei (cheltuiţi) (2p)

50 lei – 42,30 lei = 7,70 lei (rest) (3p)

2. 25

100140 35⋅ =lei lei (reducerea) (2p)

140 lei – 35 lei = 105 lei (preţul nal) (3p)3. Desenează corect. (2p)

Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Finalizare: înălţimea este 1 km. (3p)

4. a) Observă că lungimea liniei frânte este egală cu suma lungimilor segmentelor date. (3p)

Perimetrul = (2 cm + 4,5 cm) · 2 = 13 cm (2p)

b) Aria = 2 cm · 4,5 cm = 9 cm2 (5p)

5. a) Aria unei parcele pătrate = 2000 m2 : 5 = 400 m2 (2p)

b) Aria pătrat = l 2 ⇒ 400 m2 =l 2 (2p)

c) Finalizare: l = 20 m (1p)


1. a) 4c + 2 s = 36

6c + 1 s = 30 (2p)

preţ creion = 3 lei; preţ stilou = 12 lei (3p)

b) 3c + 12s = 81 (2p)

c s c s= − = −81 123

27 4, (2p)

Finalizare c = 23 (1p)




2. a) a m l

p = −22

4 (2p)

Finalizare: a p

= lungime fermoar = 2,5 m (3p)

b) h a a p p b

= −2 2 (2p)

Finalizare: h p

= 1,5 m (3p)

c) V A hb p= ⋅

3 (2p)

A b = l2; A

b = 16 m2 (1p)

Finalizare: V = 8 m3 (2p)

d) Fie P ∈ VO şi PN ⊥ VM , PO = PN = X

(O centrul bazei, V vârful piramidei şi M mijlocul unei laturi a bazei) (2p)

∆ ∆VPN VMO VP VM

PN OM

x x~ ,,

⇒ = ⇒ − =1 52 5 2

(2p)

Finalizare: x PO= ⇒ =2

3

2

3m (1p)




Testul 29


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 1

(5p)

2

(5p)

7; – 8; 2,3; 0

(5p)

3

(5p)

52

(5p)

1300

(5p)


1. Desenează corect simetrica gurii date faţă de dreapta s. (5p)

2. În lădiţă sunt 15 · 3 = 45 mere (2p)

45 – 15 = 30 (1p)

Finalizare: În coş sunt cu 30 mere mai puţine decât în lădiţă. (2p)

3. a) Fie d suma lui Daniel şi m suma de bani a Mariei. (2p)

d + 10 = m – 10 (1p)

m – d = 20 (1p) Finalizare: diferenţa este 20 lei. (1p)

b) Obţinerea sistemului:d m

m d

+ = −+ = −

10 10

30 2 30( ) (2p)

Rezolvarea sistemului: d = 110, m = 130 (2p)

Finalizare: Daniel avea 110 lei, iar Maria 130 lei. (1p)

4. Membrul stâng al egalităţii:

( ) ( ) ( )2 22

1 3 1 3 2 3 1 4 2 3 x - = + = + + = + . (2p)

Calculul lui y, raţionalizând numitorul: 3/2 1 2 3 2 3

3 3 3 33 y

+= + = + = (2p)

Stabilirea relaţiei: ( ) ( )2 34 2 3 6 2 2 3 2 2 3

3

++ = × Û + = + (1p)

5. Fie 2n + 1, 2m + 1, (unde n, m є ), două numere întregi impare (1p)

Calculul diferenţei de pătrate: (2n + 1)2 – (2m + 1)2 = 4(n – m)(n + m + 1) (1p)

Se iau cele 4 cazuri: I: n, m pare, II: n, m impare, III: n par, m impar, IV: n impar, m par

şi se arată că (n – m)(n + m + 1) este divizibil cu 2, (2p)

de unde deducem că 4(n – m)(n + m + 1) este divizibil cu 8. (1p)


1. a) Fiecare alee are forma unui dreptunghi cu lungimea de 120 m şi lăţimea x m,

deci are aria 120 x m2. (2p)

Porţiunea comună a celor două alei are aria x2 m2. (1p)

Finalizare: aria suprafeţei celor două alei este

120 x + 120 x – x2 = (240 x – x2)m2 = x(240 – x) m2. (2p)b) Aria spaţiului verde:

1202 – (240 x – x2) = 1202 – 2 · 120 x + x2 = (120 – x)2 m2 (5p)




c) Spaţiul verde are aria 1162 = 13 456 m2 (1p)

100 m2 .................................. 2 kg sămânţă

13 456 m2 ............................. x kg sămânţă (2p)

x = (13 456 · 2) : 100 Þ x = 269,12 (1p)

Finalizare: necesarul de sămânţă este aproximativ 270 kg. (1p)

d) Aria unei dale: 20 · 15 = 300 cm2 = 0,03 m2 (1p)

12 000 dale · 0,03 m2 = 360 m2 (aria unei alei) (1p)

120 x = 360 Þ x = 3

Lăţimea unei alei este de 3 m. (1p)

Trebuie să scădem porţiunea comună a celor două alei, adică 9 m2,

echivalentul a 300 dale. (1p)

Finalizare: în total sunt necesare 23 700 dale din beton. (1p)

2. a) Diferenţa dintre înălţimile celor doi stâlpi: 5 m. (1p)

Aăm distanţa d dintre vârfurile celor doi stâlpi cu teorema lui Pitagora: d 2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 (2p)

169 13d = = (1p)

Finalizare: distanţa cerută: 13 m. (1p)

b) Suntem în cazul unui trapez dreptunghic de baze 10, respectiv 15 şi înălţimea de 12. Cu notaţiile din gură, folosind teorema T. F. A. avem:

15 12

x y= şi

121

10 12 10 12

x y x y−= ⇔ = − (2p)

Obţinem ecuaţia:

12

15

10

1310

y x 12 – y 1 3 30 2 5 30 6

10 15 x x x x x x= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = (2p)

Finalizare: rele se intersectează la distanţa de 6 m faţă de sol. (1p)

Testul 30


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 280

(5p)

60

(5p)

1

6(5p)

4 3

(5p)

100 3

(5p)

91

(5p)


1. Desenează corect prisma ABCA'B'C'. (4p)

Notează corect. (1p)

2. Fie v km/h viteza primului automobil;al doilea automobil se deplasează cu (v + 10) km/h (1p)

d

180 km

v

10v

+




Notează cu d distanţa parcursă de primul automobil, în 2 ore acesta parcurge d = v · 2; (1p)

deduce că al doilea automobil parcurge în 2 ore: 180 – d = (v + 10) · 2 (1p)

Obţinerea ecuaţiei180 – 2v = 2v + 20 ⇔ v = 40 (1p)

Finalizare: 40 km/h, respectiv 50 km/h (1p)

3. a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 30 şi 20 este 60 (1p) Deci latura pătratului este de 60 cm. (1p)

Aria pătratului: 3600 cm2. (1p)

Aria unei plăci: 600 cm2. (1p)

Numărul plăcilor: 3600 : 600 = 6 (1p)

30

30

20 20 20

b) Cu 24 plăci se poate pava o suprafaţă de 24 · 600 = 14 400 m2. (2p)

Cum numărul 14 400 este pătrat perfect, deducem că se poate construi un pătrat cu latura de 120 m. (3p)

4. A(2; – 3) є G f Þ f (2) = – 3 (1p)

Obţinerea ecuaţiei: 2a – a = – 3 Þ a = – 3 (1p)Reprezentarea gracă a funcţiei: (3p)

0

A

y

x2

– 3

5.

Membrul drept( )( ) ( )( )( )8 8 4 4 816 1 1 1 1 11

1 1 1

x x x x x x

x x x

- + - + +-= = =

- - -

( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )2 2 4 8 2 4 81 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

x x x x x x x x x

x x

- + + + - + + + += =

- - (3p)

Simplicare prin 1 – x, ( x ≠ 1) şi obţinerea egalităţii. (1p)Pentru x = 0,1 aplicând identitatea demonstrată, se obţine

( )( )( )( )16 16

2 4 8 1 0,1 1 0,11 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1

1 0,1 0,9

- -+ + + + = =

- (1p)


1. a) 2( x + 4) cm2. (5p)

b) Aria triunghiului BCM este 2(7 – x) cm2 (2p)

( ) ( )

3

2 4 2 7 4 7 2 3 2 x x x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = (2p) Finalizare: DM = 1,5 cm. (1p)

2. a) Corpul trebuie scufundat complet în apă, iar aceasta nu trebuie să curgă pestemarginile vasului. (5p)

b) Volumul „apei dezlocuite“, deci al corpului de formă neregulată este 15 · 15 · 7 = 1575 cm3. (5p)

c) Volumul maxim de apă ce s-ar putea turna

după introducerea corpului în cub este

15 · 15 · 8 = 1800 cm3. (4p)

1800 cm3 = 1,8 dm3 = 1,8 l (1p)

15

15

15

d) Nu; dimensiunile corpului nu au nicio legătură cu înălţimea „apei dezlocuite“. (5p)




Testul 31


1. 2. 3. 4. 5. 6.

5

6

−

(5p)

12

(5p)

1

2(5p)

7π

(5p)

1,5

(5p)

75

(5p)


1. Identică prisma triunghiulară regulată (1p)

Desenează corect. (4p) 3

3

33

1

1

1

2. Notează cu x măsura unghiului. (1p)

Scrie corect măsura complementului său: 3

x. (1p)

Ecuaţia 903

x x + = . (1p)

Soluţia270 135

67,54 2

x x x= ⇒ = ⇒ = . (1p)

Finalizare: 67°30' , respectiv 22°30' . (1p)

3. a) Nu se pot forma cinci echipe pentru că 36 nu se divide cu 5. (5p)

b) Numărul echipelor trebuie să dividă atât pe 36 cât şi pe 45. (1p)

C.m.m.d.c. (36; 45) = 9. (2p)

Se pot forma maximum 9 echipe (a câte 4 fete şi 5 băieţi) (1p)

şi minimum 3 echipe (a câte 12 fete şi 15 băieţi) (1p)

4. Reprezentarea gracă a funcţiei (2p)

( )22 22 1 2 1 0 1 0 1 x x x x x x= - Û - + = Û - = Þ = (3p)

5. Obţinerea relaţiei a2 = b2 + c2 şi interpretarea: a lungimea ipotenuzei,b, c lungimile catetelor. (5p)


1. a) Maria observă că octogonul se obţine dintr-un pătrat cu latura de 10 cm din care se taie 4 triunghiuri dreptunghice isoscele. (1p)

Dar cele 4 triunghiuri au suprafaţa egală cu suprafaţa unei plăci

verzi sub formă de pătrat. (1p)

Dacă notează cu x aria unei plăci verzi atunci aria unei plăci albe

este 6 x (conform informaţiei de la vânzător) (1p)

Obţine ecuaţia100

6 100 7 1007

x x x x+ = ⇒ = ⇒ = . (1p)

Lungimea laturii unei plăci verzi este 107

cm. (1p)

b) 30 · 40 = 1200 plăci albe. (5p)




c) 1200 plăci verzi.

Comentariu: plăcile verzi cu care se vor pardosi marginile suprafeţei

(cele de la perete) se vor tăia în 4 părţi după diagonale. Presupunem

situaţia ideală când meşterul face tăieri perfecte şi nu dă niciun rebut. (5p)

d) 1200 : 20 + 1 = 61 cutii cu plăci octogonale albe (2p)

1200 : 100 + 1 = 13 cutii cu plăci pătrate verzi (3p)

2. a) Volumul cubului: l 3. (1p)

Volumul piramidei:2

3

l h⋅ (1p)

2

3 33

l hl h l

⋅= ⇒ = . (3p)

b) Trebuie să vopsim aria laterală a cubului şi aria laterală a piramidei.

A l cub = 4 · 4 = 16 m2. (1p)

Apotema piramidei este l h

2

24

1 36 37+ = + = m (1p)

A l piramidă = 4 2 37

24 37 24 33⋅

⋅= = , m2 (1p)

Suprafaţa laterală a corpului 40,33 m2; 200 ml = 0,2 l. Cantitatea de vopsea: 40,33 · 0,2 8,066 l (1p)

Testul 32


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

18

(5p)

2

5

(5p)

14π

(5p)

60

(5p)

3

(5p)


1. Identică piramida patrulateră regulată (1p)

Desenează corect. (4p)

33

3

2. Notează cu x suma depusă la banca X şi cu y suma depusă la banca Y. (1p)

Prima variantă: 5 6720

100 100 x y⋅ + = (1p)

A doua variantă:5 6

710100 100

y x⋅ + = (1p)

Rezolvarea sistemului: x = 6000, y = 7000. (1p)

Finalizare: persoana a depus 13 000 lei repartizată astfel: 6000 lei la banca X şi

7000 lei la banca Y. (1p)

3. a) C.m.m.m.c. [3; 4; 5] = 60. (5p)

b) 121 ouă. (5p)




4. 10,25

4

x x

y y= ⇔ = (1p)

502

x y+= (1p)

Rezolvarea sistemului: x = 80, y = 20 (3p)

5. x2 + y2 = ( x + y)2 – 2 xy = 32 – 2· 2 = 5 (3p) x4 + y4 = ( x2 + y2)2 – 2 x2 y2 = 52 – 2 · 4 = 17 (2p)


1. a) Justicarea ABFE trapez (5p)

b) CDEF este dreptunghi (Justicare!) (2p)

P CDEF

= 2 (12 + 14) = 52 cm. (3p)

A G B

C D

E F

12

12

14

c) A EAD

+ A FCB

= A ABFE

– A

ABCD –

A

CDEF(2p)

Observăm că A ABCD

=1

2 A

ABFE Þ A

ABFE = 720 cm2 (1p)

A CDEF

= 12 · 14 = 168 cm2 (1p)

Aă suma ariilor triunghiurilor haşurate: 192 cm2 (1p)

d) 50% (5p)

2. a) Înălţimea prismei: 150% · 20 = 30 cm. (1p)

Nivelul apei s-a ridicat cu 30 – 10 = 20 cm. (1p)

Pietricelele ar ocupa volumul unui cub cu latura de 20 cm;V cub = 203 = 8000 cm3 = 8 dm3. (5p)

b) V apă = 202 · 10 = 4000 cm3 = 4 dm3 = 4 l. (5p)

Testul 33


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1005

(5p)

{1; 2; 5; 10}

(5p)

0

(5p)

27 3

2(5p)

125

(5p)

175

(5p)


1. Desenează şi identică corect dimensiunile. (5p)

42

1

2. Primul tren are un avans de 45 km faţă de al doilea. (1p)

Într-un timp t ore (până ce al doilea tren îl ajunge pe primul), primul tren parcurgedistanţa d , deci d = 45 t (1p)

iar al doilea tren parcurge distanţa d + 45, deci d + 45 = 60 t (1p)




Testul 34


1. 2. 3. 4. 5. 6.

15

(5p)

0

(5p)

6 3

(5p)

40

(5p)

36

(5p)

49

(5p)


1. Desenează corect. Notează corect. (5p)

2. 24 (5p)

3. a) da; pot 5 apartamente cu 3 camere şi 10 apartamente cu 2 camere (5p)

b) 7. (5p)

4. a) 5. (5p)

b) 1. (5p)

5. x( x4 – 4 x2 – x2 + 4) = x( x2 – 4)( x2 – 1) = x( x – 2)( x + 2)( x – 1)( x + 1). (5p)


1. a) A DFEC

= 8 x. (5p)

b) P ABCD

= AB + CD+ 2 BC = 52 Þ BC = 10 cm.

82

AB CD AF EB

−= = = cm. (5p)

∆ CEB: m( E ) = 90°,2 2 100 64 6CE BC BE = − = − = cm. (5p)

c) A DFEC

= 8 x = 48 cm2. (2p)

A ABCD

=( ) (24 8) 6

962 2

AB CD CE + ⋅ + ⋅= = cm2. 50%. (3p)

2.a) ∆ O'OM : m( O) = 90°; 2 2 20O M O O OM ′ ′= + = cm.

A l = b p 128 20

12802 2

aP ⋅ ⋅= = cm2. (5p)

b)

b piramida piramida

prisma prisma b

1

3 3

h

h

⋅=

⇒ == ⋅

A V V

V V A . (5p)

Testul 35


1. 2. 3. 4. 5. 6.

14

(5p)

2

(5p)

3

(5p)

24

(5p)

9π

(5p)

215

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)1. Desenează corect. (4p)





2. 120 kg mere şi pere. (5p)

3. a) 34 (5p)

b) 6 (5p)

4. (1; 3) (5p)

5. ( ) ( )( )( )

( )( )2

21 22 22 2

2 24 x x x x x x x x

x x x+ ++ + ++ + + = =

- +- ( )( )

1

2 2 x x- +1

12

x x

+=-

. (5p)


1. a)

: m( ) 901 1

12 62 2

( ) ( )

AOB O

OM AB OM AB

OA OB

∆ = °

⊥ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

≡

cm.

Analog 1 1 6 32 2

ON CD= ⋅ = ⋅ = cm.

M

N C D

A B

O

AOD ADB AOB

AOD BOC BOC ACB AOB

A A A A A

A A A

∆ ∆ ∆∆ ∆

∆ ∆ ∆

= −⇒ =

= − ;

MN = OM + ON = 9 cm. (5p)

b)12 6

362 2

AOB

AB OM A ∆

⋅ ⋅= = = cm2.

6 3

9

2 2

COD

CD ON A ∆

⋅ ⋅= = = cm2.

( ) 18 9

812 2

ABCD

AB CD MN A

+ ⋅ ⋅= = = cm2.

( ) 81 45 36

182 2 2

ABCD AOB COD AOD BOC

A A A A A ∆ ∆

− + −= = = = = cm2 sau

2 6 2 AO AM = = , 2 3 2OD DN = = .

6 2 3 2

182 2

AOD

OA ODA

⋅ ⋅= = = cm2. (5p)

c) p% · 36 = 18 Þ p% = 50%. (5p)2. a) În : m( ) 90VOB OD =

2 2 25 16 3OB VB VO= - = - = cm. BD = 6 cm.

2 6 3 2 AB AB= = Þ = cm. ( )22

b 3 2 18l = = =A cm2.

b 18 424

3 3

h× ×= = =A

V cm3. (5p)

A B

C D

V

N M

P

O




b) În : m( ) 90VMB M D = . 2 2 18 8225

4 2VM VB MB= - = - = .

d( N, (VBC ) = d( N, VM ) = NP.

82 24 2 24 41

3 2 42 4182

MN VO VM NP NP NP × = × Þ × = × Þ = = cm. (5p)

c) ( ) BD AC

BD VAC BD VO

^Þ ^

^. (5p)

Testul 36


1. 2. 3. 4. 5. 6.100

(5p)

2

(5p)

1

2

(5p)

4

(5p)

60

(5p)

12

(5p)




2. 24. (5p)3. a) Nu, pentru că 5 y = 2 · (10 – x), unde x, y numere naturale. (5p)

b) 40. (5p)

4. 5. (5p)


1. a) EB = AB – CD = 4 cm

: m( ) 90

4

m( ) 45

CEB E CE AD EB

B

∆ = °⇒ = = =

= °

cm.

4 2 BC = cm.

4(5 2) ABCD = +P cm. (5p) E

C D

A B

6

4 4

445°

10

b) 122

A ADC

AD DC ∆

⋅= = cm2. (3p)

( )32

2A ABCD

AB CD AD+ ⋅= = cm2. (2p)

c) p% · 32 = 12 Þ p% = 37,5%. (5p)2. a) d = 3 6 3 6l l = ⇒ = cm. (5p)

V = l 3 = 216 cm3.




b) ( )d( , )

A A ABC A O BD A BD A O

AO BD

′ ⊥′ ′ ′⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

6 3

3 32 2

AC AO = = = cm. (5p)

A'

D' C'

B'

P

A

D C

BO

∆ A'AO: m( A) = 90°.

2 2 36 27 3 7 A O A A AO′ ′= + = + = cm. (5p)

c) b

6 66

2 363 3

A V A B B C

h′ ′ ′ ′

⋅⋅⋅

= = = cm3.( )

26 2 33

184 4

A A BC

l ¢

×= = = cm2.

18 3

36 2 33 3

A V

A BC A BB C

B P B P B P ′ ′

′ ′′ ′⋅ ⋅

′= ⇒ = ⇒ = cm. (5p)

Testul 37


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

{0; 1: 2; 3}

(5p)

1

3(5p)

60

(5p)

5

(5p)

25°C

(5p)




2. 30 + 23 + 25 + 10 = 88 puncte. (5p)

3. a) 280 conducte de 3,75 m şi 120 conducte de 4,25 m. (5p)

b) Nu. (5p)

4. P (5; 3). (5p)

5. [3(2n + 1) – 2(n – 2)][3(2n + 1) + 2(n – 2)]= (6n + 3 – 2n + 4)(6n + 3 + 2n – 4) =

= (4n + 7)(8n – 1), pentru orice n real. (5p)


1. a) m( MCB) = m ( ABM ) = 30° Þ

m( BPC ) = 90°.

: m( ) 90

3m( ) 30

CPB P PB

C

∆ = °⇒ =

= ° cm şi 3 3CP = cm.

: m( ) 90

6 3

m( ) 30

NPC P NC

N

∆ = °⇒ =

= °

cm.

D

A

N C

B M

P 630°

30°

10 3 DC DN NC = + = cm.

4(5 3 3)P ABCD = + cm. (5p)




b) În triunghiul BCM : tg 30° =1

2 36 63

MB MB MB⇒ = ⇒ = cm.

( )6 3 2 3 6

24 32

MBCN

+ ⋅= =A cm2. (5p)

c) ( ) 27 3 81 360 3 6 32 2

A A A A AMPND ABCD MBC NPC

æ ö÷ç ÷ç= - + = - + =÷ç ÷÷çè ø

cm2. (5p)

2.a) A totală = A l + 2A b = ( )72 3 3+ cm2. A l = P b · h = 36 · 6 = 216 cm2

2

b

336 3

4A

l = = (5p)

b)( )

d( , ) A A ABC

A M BC A BC A M AM BC

′ ⊥′ ′ ′⇒ ⊥ ⇒ =

⊥.

A B

B' A'

C

M

C'

3 6 32l AM = = cm.

2 2: m( ) 90 , 12 A AM A A M A A AM ′ ′ ′= ° = + = cm.

( )m ( ), ( ) m( ( , )) m( ) A BC ABC A M AM A MA¢ ¢ ¢= = .(5p)

Testul 38


1. 2. 3. 4. 5. 6.

54(5p)

6(5p)

18(5p)

90(5p)

72(5p)

240(5p)




2. 122. (5p)

3. a) B = 17; F = 8. (5p)

b) 8 = 7 · 1 + 1. (5p)4. Nu. (5p)

5.

/ /1 1

2

1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1

x x x

x x x x x x x x

− +

+ = =+ − − + −

, oricare ar x є \ { – 1; 0; 1} (5p)


1. a) : m( ) 90 1

m( ) 30 2

ACO C OC OA

A

∆ = °⇒ = ⋅

= °

C

O

B

A 30°

16 12

2OA OA= ⋅ ⇒ = cm (5p)




b) 2 2 6 3 AB AO OB= − = cm (5p)

c) 2 2 6 3 6 36 32

ABOC ABO

AB BOA A

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = cm2. (5p)

2.a)

3

66

L

OM = = cm;

3

36

l

O M ′ ′ = = cm. (5p)

ME = OM – O'M' = 3 cm.

A

M

B

C

O E

M'

A' C'

B'

P O'

V

M'M = 2 · ME = 6 cm.

A lat =P P B b pa+( ) ⋅

=2

162 3 cm2.

b) 2 2 6 3VO OO M E ′ ′= ⋅ = ⋅ = cm

A bazei =2 3

108 34

L= cm2 ;

108 3 6 3648

3VABC V

⋅= = cm3. (5p)

c) 3 3 3 3 3

6 2

VO O M O P

VM

′ ′ ′⋅ ⋅′ = = =

′ cm. d V VA B O P , ′ ′( )( ) = ′ =

3 3

2 cm. (5p)

Testul 39

SUBIECTUL I (30 puncte)1. 2. 3. 4. 5. 6.

7

(5p)

{1; 2; 3; 6}

(5p)

4

11

(5p)

12

(5p)

13

(5p)

1,27

(5p)




2. 38 + 53 = 91 (5p)

3.a)

12 420

15 5

n nn

n n

⇒⇒

⇒ (5p)

b) [ ]

12

15 12,15,18 180180

18

200

n

n n nn

n

n

⇒ ⇒ ⇒ =

<

(5p)

4. Din M (m, 3) є G f obţinem f (m) = 3, 2m – 5 = 3, m = 4. Din N (2n – 1, 2n + 3) є G

f

obţinem 2 · (2n – 1) – 5 = 2n + 3, n = 5. (5p)




5. Avem( 2)( 4) ( 3)( 1)

1( 3)( 4) ( 2)( 1)

x x x x

x x x x

+ + + −⋅ =

+ + + −. (5p)


1.a)

Timpul necesar parcurgerii distanţei AC este:40 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 = 40 + a + b secunde, (2p)

iar pentru AE : 40 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 + a + 20 : 2 + b + 20 : 2 + a + 40 : 20 =

= 80 + 3a + 2b secunde. (3p)

b) Obţinem ecuaţiile a + b = 12 şi 3a + 2b = 26, de unde a = 2s şi b = 10s. (5p)

c) Aria pătratului ABDE este de 1600 cm2, iar aria unui pătrat mic este de 25 cm2. (1p)

Obţinem 1600 : 25 = 64 pătrate mici, deci 64 copaci. (1p)

Aria triunghiului BCD este 400 3 cm2, iar aria unui triunghi mic este de 25 3

4 cm2. (2p)

Obţinem 25 3400 3 : 644 = triunghiuri mici, deci 64 ori. (1p)

2. a) Volumul tuturor pieselor este (40 cm)3 = 64 000 cm3. Volumul tuturor cuburilor mari

este 4 · (20 cm)3 = 32 000 cm3. Volumul unui cub mare este (10 cm)3 = 1 000 cm3,

iar numărul cuburilor este 32 000 : 1 000 = 32. Volumul unui cub mic este

(8cm)3 = 512 cm3. Volumul tuturor cuburilor mici este (24 cm)3 – 2 · 512 cm3 =

= 12 800 cm3. Numărul cuburilor mici este 12 800 : 512 = 25.

Volumul tuturor paralelipipedelor dreptunghice este

64 000 cm3 – 32 000 cm3 – 12 800 cm3 = 19 200 cm3. Volumul unui paralelipiped

dreptunghic este 240 cm3, iar numărul acestora este 19 200 : 240 = 80. (5p)

b) Aria suprafeţei ce trebuie vopsită este32 · 600 cm2 + 25 · 384 cm2 + 80 · 236 cm2 = 476,8 dm2. Cantitatea de vopsea este476,8 · 5 ml = 2,3841. Deci are nevoie de 5 cutii de vopsea. (5p)

Testul 40


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

3(5p)

31; 37

(5p)

9

(5p)

45

(5p)

96

(5p)

50

(5p)




2.

m( Þ A) + m(

B) = 90°;

1m( ) m( ) 20

4 A B = + °

; m(

B) = 56°; m(

A) = 34°. (5p)

3. Fie n cantitatea de cireşe sau vişine ce intră într-o lădiţă. 59 : n = c1 rest 3; 67 : n = c2 rest 4,

n > 4, deci 56 = n · c1; 63 = n · c2, n | 56; n| 63 deci n | (56, 63), n > 4 şi obţinem n = 7. (5p)




4. f (2a + 1) · 2 + b – 2 = – 2; f ( – 1) = (2a + 1) · ( – 1) + b – 2 = 1. Obţinem 4a + b = – 2 şi

2a + b = 4, deci a = – 1, b = 2. (10p)

5. Obţinem2(2 1)( 2) ( 2)(3 ) 4 ( 2) 2

( 2)( 2) ( 2)( 2) 2

x x x x x x

x x x x x

− − + + − − − −= =

− + − + +. (5p)


1. a) m( MNP ) = 180° – 2 x; m( NPB) = 90° – x; m( NPQ) = 2 x;m( PQM ) = 180° – 2 x; m( NMQ) = 2 x; (5p)

b) Conform a) MNPQ este paralelogram, deci MN = PQ NP = MQ de unde MN + NP = PQ + QM . (5p)

c) Pentru ca bila să se întoarcă în M , trebuie ca MNPQ să e paralelogram, deci

∆ AMN ≡ ∆ CPQ şi AM = CP = 40 cm, BP = 80 cm. AMN BPN ∼∆ ∆ (UU) deci 1

2

AN AM

NB BP = = şi AN = 50 cm. (5p)

d) A MNPQ = A ABCD

– A AMN

– A BNP

– A PQC

– A DQM

= 0,8 m2. (5p)

2. a) Volumul paralelipipedului exterior este de 10 dm · 8 dm · 6 dm = 480 dm3.Paralelipipedul interior (gol) are dimensiunile (10 – 1 – 1) dm, (8 – 1 – 1) dm,(6 – 1) dm.Volumul paralelipipedului interior este de 8 dm · 6 dm · 5 dm = 240 dm3.Volumul construcţiei = 480 dm3 – 240 dm3 = 240 dm3.Masa piesei este de 240 · 3 kg = 720 kg. (5p)

b) Volumul pământului este de 50 · 240 dm3 = 12000 dm3 = 12 m3. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

6

(5p)

{1; 4; 9; 16; 25}

(5p)

720

(5p)

50

(5p)

60

(5p)

miercuri

(5p)




2. Notăm cu x lungimea traseului.1 1

53 2

x x+ = , x = 30. Lungimea traseului este de 30 km. (5p)

3. a) Fie a cantitatea de mere şi b cantitatea de portocale. 2a + 3b = 24, a, b є . (1p)

Obţinem soluţiile: (0, 8), (3, 6), (6, 4), (9, 2), (12, 0). (4p)

b) 6 kg mere şi 4 kg portocale. (5p)

4. Funcţia liniară care are gracul dreapta AB este f : → , ( ) 2 2 f x x= + , (3p)

C є G f deci

C є AB şi

A, B, C coliniare. (2p)

5. ( x + y)2 = x2 + 2 xy + y2 = 10 + 8 = 18, deci 18 3 2 x y x y+ = + = = . (2p)

( x – y)2 = x2 – 2 xy + y2 = 10 – 8 = 2, deci 2 x y x y− = − = . (3p)





1. a) Dreapta care trece prin mijloacele celor două baze împarte trapezul în două trapeze

echivalente. (5p)

b) AB = MN = 20 m; în triunghiul dreptunghic ADM obţinem AD = 15 m; în triunghiul BNC dreptunghic obţinem BC = 20 cm, deci P

ABCD = 100 m. (4p)

Sunt necesare 17 panouri, care costă 4250 lei. (1p)c) EF este linie mijlocie în trapezul ABCD, EF = 32,5 m (1p); GH este linie mijlocie în trapezul ABFE , GH = 26,25 m (1p); IJ este linie mijlocie în trapezul EFCD, IJ = 38,75m. (1p), Aria cultivată este de 352,5 m2. (2p)

2. a)

PN = ( A'B' – AB) : 2 = 84 m; în ∆ MNP dreptunghic obţinem MN = 91 m; (5p)

b) Fie PQ d ⊥ , PQ = A'B' : 2 = 120 m. Conform teoremei celor 3 perpendiculare,

MQ d ⊥ şi d( M , d ) = MQ. În triunghiul MPQ dreptunghic, MQ = 125 m. (5p)

c) A P P lateral = + ⋅ =b

pa2

56784 m2.

(5p)

Testul 42


1. 2. 3. 4. 5. 6.

6,56

(5p)

4 4 4, ,

1 2 3

(5p)

243

(5p)

11

(5p)

5

(5p)

25

(5p)




2. 2 L + 2 l = 112; L = 21 + 20; L = 44 m, l = 12 m. (5p)

3. a) 1200 – 5% din 1200 = 1140 (elevi) (5p)

b) Fie x numărul elevilor de anul trecut; 50% din x = 600, x = 1200;

1200 – 5% din 1200 = 1140; 60% din 1140 = 684. Anul acesta sunt 684 fete. (5p)

4. g ( x) = (2 x + 1) – 2 = 2 x – 1; f ( x) = g ( x); x – 2 = 2 x – 1; x = – 1; f ( – 1) = 3

G f

∩ G g

= { M ( – 1; 3)} (5p)

5. Egalitatea este echivalentă cu: ( x + 2 y)2 + ( x – 4)2 = 0, deci x + 2 y = 0 şi x – 4 = 0.

Obţinem x = 4 şi y = – 2. (5p)


1. a) Se joacă 5 · 4 : 2 = 10 meciuri. (5p)

b)

E 1 - E 2 - egalitate; E 1 - E 3 - victorie E 1; E 1 - E 4 - victorie E 1; E 1 - E 5 - victorie E 1; E 2 - E 3 - egalitate; E 2 - E 4 - victorie E 2; E 2 - E 5 - victorie E 2; E 3 - E 4 - egalitate;

E 3 - E 5 - victorie E 3; E 4 - E 5 - egalitate; (5p)




c) Dacă toate meciurile s-ar termina la egalitate, s-ar înregistra cel mai mic număr de puncte 20, iar dacă toate meciurile s-ar termina cu o victorie s-ar înregistra cel maimare număr de puncte 30. În ipoteza dată punctele din clasament ar putea :

I: 8 + 6 + 4 + 2 + 0 = 20; II: 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25; III: 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30. În niciuna dintre situaţii nu putem obţine rezultatele pentru clasamentul respectiv. (5p)

2. a)

În triunghiul ABD dreptunghic obţinem 4 2 AB AD= = cm. (5p)

b) Înălţimea piramidei este egală cu4 6

3 cm. (5p)

c) Suma ariilor feţelor laterale este aria laterală a cubului: ( )2

6 4 2 192× = cm2. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

±1; ±11

(5p)

125

(5p)

5

(5p)

9

(5p)

0,9272

(5p)




2. Notăm cu x numărul băieţilor care joacă numai fotbal şi cu y numărul băieţilor care joacă numai baschet. Obţinem ecuaţiile: x + y + 3 = 18 şi x + 3 = 2( y + 3) cu soluţia

x = 11 şi y = 4. Numărul băieţilor care joacă fotbal lunea este 14. (5p)

3. a) Împărţind pe 214 la 5; 7 sau 10, obţinem de ecare dată restul 4, deci pot 214 participanţi. (5p)

b) Fie n, numărul de participanţi.n = 5 · c1 + 4; n = 7 · c2 + 4; n = 10 · c3 + 4; deci (n – 4) 5; 7 şi 10.

(n – 4) [5, 7, 10] = 70; n – 4 є {0, 70, 140, 210, 280, 350, 420, 490},n є {4, 74, 144, 214, 284, 354, 424, 494}. Deoarece n 12, rezultă n = 144. (5p)

4. Fie a abscisa punctului A şi b ordonata punctului B.

a = 3b; 2

62

ab

u=, obţinem a = 6 şi b = 2. G

f ∩ OX = { A(6; 0)}, G

f ∩ OY = { B(0; 2)}.

De aici1

( ) 23

f x x= − + . (5p)

5. Ecuaţia este echivalentă cu ( )2 8 2 1 x y y x− − = ⋅ − − , x, y є .Produsul dintre un număr raţional şi un număr iraţional este un număr raţional numaidacă numărul raţional este 0. Obţinem x + y = 1 şi 2 x – y = 8, deci x = 3 şi y = – 2. (5p)


1. a) 10 202 – 20 = 10 000 (valoarea depozitului). (6% : 12) · 3 = 1,5%; 1,5% din 10 000 = 150 (dobânda pe 3 luni); 0,2% din 10 000 = 20; 20 · 3 = 60 (comisionul de administrare a contului pentru 3 luni). 1% din 150 = 1,5 (impozitul pe dobândă). 10 000 + 150 – 60 – 1,5 = 10 088,5 euro. (5p)




b) Fie x + 20 euro suma iniţială. Depozitul va avea x euro. 1,5% din x este dobânda primită, 0,6% din x este comisionul de administrare cont; 1% din 1,5% din x esteimpozitul pe dobândă. Obţinem inecuaţia x + 20 – 20 + 1,5% x – 0,6% x – 1% · 1,5% x ≥ x + 20. Cel mai mic x este aproximativ2260 euro, deci suma iniţială trebuie să fie minim 2280 euro. (5p)

c) Aplicând calculele similare celor de la a) obţinem că după 3 luni are în cont 807 euro, după 6 luni are 814 euro, iar după 9 luni are aproximativ 821 euro, mai mult decât

suma depusă. (5p)

2. a) l 3 3A = m2 (5p)

b) Înălţimea piramidei are lungimea 2 6

3 m. Înălţimea faţă de sol a coşului este

2 61,2 0,4

3− m. (5p)

c)

Fie N punctul în care coşul este legat de sfoară şi O piciorul înălţimii din S .Construim prin N o paralelă NP la SM , P є AM .

Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul OSM şi obţinem2

4 PM = , care

reprezintă umbra sforii. (5p)

Testul 44


1. 2.3.

4. 5. 6.

7

(5p)

−4,3

(5p)

1

(5p)

16

(5p)

3

(5p)

0º

(5p)


1. Desen (4p); Notaţie (1p)

2. 10% · 10 lei = 1 leu (3p); 10 lei − 1 leu = 9 lei (2p)

3. a) 65 : 30 = 2 rest 5 (2p); 65 : 40 = 1 rest 25 (2p)

Finalizare: nu poate avea 65 cărţi. (1p)b) Notăm cu x numărul cărţilor.

1 1

2 2

30 5 5 30[30;40] 120

40 5 5 40

x c x c

x c x c

= + ⇒ − =⇒ =

= + ⇒ − = (2p)

x − 5 ∈ M120 Þ x − 5 ∈ {0; 120; 240; 360; 480; ... } (1p)

Þ x ∈ {5; 125; 365; 485; ... } (1p)

Finalizare: x = 365 (1p)

4. 3 5 x − = ; 8 5 5 x = ⇒ = (Adevărat) (1p)

5 2 5 x = ⇒ = (Fals) (1p)2 2 3 5 5 x = − ⇒ − − = − = (Adevărat) (1p)

Finalizare: x = 8 şi x = −2 sunt soluţii (2p)




5. 4 x2 + 4 x + 3 = 4 x2 + 4 x + 1 + 2 (1p)

4 x2 + 4 x + 3 = (2 x + 1)2 + 2 (1p)

( ) ( )2

2 22 1 02 1 2 0 4 4 3 0

2 0

x x x x

+ ≥⇒ + + > ⇒ + + >

> (3p)


1. a) Dimensiunile dreptunghiului ce reprezintă spaţiul verde sunt 5 m şi (10 − x) m. A spaţiu verde = 5(10 − x) m2 (5p)

b) A suprafaţei aleilor = A 1 + A 2 = x(5 + x) + x(10 − x) (2p)

A spaţiu verde. = A suprafeţei aleilor Þ 2 250 5 5 10 x x x x x− = + + − (2p)

50 = 20 x Þ x = 2,5 m (1p)

c) P spaţiu verde = 2( L + l ) = 2(5 m + 8,6 m) = 27,2 m = 2720 cm (3p)

2720 : 80 = 34 (număr de module) (2p)

d) P parc = 2( L + l ) = 2(10 m + 7 m) = 34 m (3p) 34 · 67 = 2278 lei (suma necesară) (2p)

2. a) Lungimea cadrului metalic este P ABCD

+ EA + EB + EC + ED.

Δ BEC : m( E ) = 90º Þ EC = EB = 2 2 m. (1p)

Fie F mijlocul lui ( BC ) şi G mijlocul lui ( AD) EF = 2 m (înălţime în triunghiul dreptunghic EBC ) FG = 4 m (pentru că CDGF este dreptunghi)

; ( )

; ( )m( ) 90( ) ( )

( ) ( )

EF BC EF EBC

GF BC GF ABC EFG

EBC ABC BC

EBC ABC BC

⊥ ⊂

⊥ ⊂⇒ =∩ =

⊥ =

; ˆ, m( ) 90 2 5 mTP

EFG F EG ∆ = ⇒ =

Aplicăm Teorema celor 3 perpendiculare Þ EG AD⊥

ˆ, m( ) 90 2 6 mTP

EGA G EA∆ = ⇒ =

( EG) este înălţime şi medianăPr .

EAD⇒ ∆ = ∆ isoscelÞ 2 6 ED = m (1p)

Lungimea cadrului metalic este 4(4 + 2 6+ ) m 32 m. (1p)

b) A 22 5 4 4 5 m2 2

EDA EG AD⋅ ⋅= = =

A 24m2

EBC

EB EC ⋅= =

2 2 2 2 24 5 m 4 m 1,5m (4 5 5,5) m 14, 45m+ + = + (5p)

Testul 45


1. 2. 3. 4. 5. 6. x = – 1

(5p)

D6 = {±1; ±2; ±3; ±6}

(5p)

m 16 4 g = =(5p)

40 cm2

(5p)

12 muchii

(5p)

25%

(5p)






2. 24 ani. (5p)

3. a) 12 elevi. (3p)

b) 120 lei. (2p)

4. 8,4 > 8 Þ nu poate cumpăra 2 caiete şi trei pixuri (3p)7,6 < 8 Þ poate cumpăra 3 caiete şi 2 pixuri (2p)

5. ( 2) 2 2 2 0 E = − < (5p)


1. a) R = 25 cm ( R = raza cercului mare, r = raza cercului mic) (5p)

b) A pătrat − A disc mare = 537,5 cm2 (pierdere la decupare) (5p)

c) Lcerc mic + Lcerc mare = 219,8 cm = 2,198 m (5p)

2. a) V bazin = π R2 · h = 3,14 m3 =3140 dm3 = 3140 l. (3p)

4000 l > 3140 l Þ nu încap 4000 l în bazin. (2p)

b) V jumătate bazin = π R2 · 0,5 = 1,57 m3 =1570 dm3 = 1570 l (3p)

1000 l < 1570 l Þ Este sucientă apă pentru broscuţe. (2p)

c) A bazin = A l.cil + A b.cil = 9,42A bazin = L · 1,2 m

}

Þ L = 9,42 m2 : 1,2 m = 7,85 m. (3p)

L' = 7,85 m +5

100 L' Þ L' 9,21 m. Trebuie cumpăraţi 10 metri. (2p)


1. 2. 3. 4. 5. 6. x = 3

(5p)

60

(5p)

6

(5p)

l = 4 cm

(5p)

6 feţe

(5p)

m = 7,2

(5p)



2. 2 lei · 4 = 8 lei. (3p)

10 lei − 8 lei = 2 lei. (2p)

3. a) 28 + 14 + 56 + 112 = 140 + 70 = 210 pagini a citit. (5p)

b) Cartea are 224 pagini. (5p)

4.Elementele raţionale din A sunt:

4; 3;0;10

5

−− . (5p)

5. (0) 1 (0;0) f f O G = − ⇒ ∉ (2p)

(0) 0 (0;0) g g O G = ⇒ ∈ (2p)

(0) 4 (0;0) hh O G = ⇒ ∉ (1p)





1.a) A apei =

22 24,5 m 14,13m .

2

Rπ= π = Am folosit R

EF =

2. (5p)

b) A gazon =2 2

. Am folosit

2 2 2

R R AB R

′π π ′− =

(3p)

A gazon = 13,5π m2 ≈ 42,39 m2; 42,39 · 20 = 847,8 lei. (2p)

c) A pietriş = 72 – 52,52 = 19,48 (m2) (5p)

d) Lgard = xπ R + 2 R = 3 · 5,14 = 25,42 m Þse cumpără 16 metri. (5p)

2.a) A bazei =

2 36 2400 3

4⋅ =l (l = latura bazei) (5p)

b) V vasului = A b · h = 72000 3 cm3

72000 3 : 2000 = 36 3 (plante) ≈ 62,35. Cum numărul de plante este număr întregÞnumărul maxim de plante este 62. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

32

5

(5p)

2 3

(5p)

9

(5p)

36 cm2

(5p)

75 cm3

(5p)

4

(5p)



2. 3 CD-uri şi îi mai rămâne rest 7 lei. (5p)

3. a) 20%. (3p)

b) 20% · x = 52 Þ x = 260 km (lungimea drumului) (2p)

4. m (6; 6; 9) = 7 (2p)

m (6; 6; 9; 9) = 7,5 Þ media 8, deci o notă de 9 îl ajută. (3p)

5.\( 3)2

2 2

2 3 ( 3)( 1) 136 9 ( 3)

x x x x x x

x x x x

++ − + − −= =++ + +

(5p)


1. a) BCD este un triunghi dreptunghic isoscel cu m( ) 90 BCD =

(din proprietăţile pătratului). .

2T P

BD x⇒ = (2p)

Þ DC = x (1p)

P ABCDE

3 2 2 (3 2 2) x x x= + = + (2p)

b)A

ABDE = 3200 m2

(2p) 10% · 3200 m2 = 320 m2 (cărări) (2p)

A culturi = 3200 m2 − 320 m2 =2880 m2. (1p)




c)40

2880 1152100

⋅ = m2 (suprafaţa semănată cu ardei) (2p)

16 lei − 10 lei = 6 lei (prot pe 1 m2 cultivat cu ardei) (1p)

1152 · 6 = 6912 lei (prot în urma culturii de ardei) (2p)

2. a) A capac = ( L + 1 cm) · (l + 1 cm) = 2501 cm2

(5p)

b) V paralelipiped = L · l · h = 72000 cm3 (5p)

c) V apă = 60 l = 60 dm3 = 60000 cm3 (2p)

V apă = 40 cm · 60 cm · x (2p)

Scrie ecuaţia: 60000 = 2400 · x Þ x = 25 cm (1p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

20(5p)

0; 7; 14(5p)

0; 1; 2(5p)

50º(5p)

5 cm2

(5p)113 lei

(5p)



2. 60

15 9100

⋅ = (fete). (3p)

15 băieţi + 9 fete = 24 elevi. (2p)

3. a) msemestru

= 7,625 Þ media 8. (2p)

b) msemestru = 7,70 Þ media 8. Nu i-ar mări media. (3p)

4. Numerele care verică sunt: 4 şi 1,5 (5p)

5. ( ) ( ) 2; (2) 1 f x g x x y f = ⇒ = = = ⇒ (3p)

(2;1) f g G G A∩ = (2p)


1. a) A laterală a casei = 2( L · h + l · h) = 72 m2 (4p)

A uşă

= 4,4 m2 , A geam

= 1,8 m2, 3 · A geam

= 5,4 m2 (3p)

A suprafeţei zugrăvite = 72 m2 − 9,8 m2 = 62,2 m2 (3p)

b) 62,2 · 35 = 2 177 lei (pentru zugrăvit) (5p)

c) A acoperiş = 64 m2 (3p)

64 · 24 = 1536 (numărul de ţigle necesare schimbării) (2p)

d) V casei = 96 m3 (2p)

V încăpere neîncălzită = 7,5 m3 (2p)

V încălzit = 96 m3 − 7,5 m3 = 88,5 m3 (1p)

e) Cum se vând doar la 4,5 m Þ pentru laturile triunghiurilor ce reprezintă bazele prismei, trebuie 6 grinzi (2p), iar pentru muchiile laterale ale prismei, câte două grinzi pentru ecare Þ 6 grinzi (2p). În total sunt necesare 12 grinzi (1p).




Testul 49


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

2 lei

(5p)

3

(5p)

1

(5p)

20%

(5p)

54 dm2

(5p)


1. 48 : 2 = 24 case cu numere pare (5p)

2. −5 < x ≤ 2 (3p); A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2} (2p).

3. 2 · 10 + 3 · 12 = 56 (lei în total plătiţi) (3p); 56 : (2 + 3) (1p); Finalizare: 11,20 lei(1p).

4. Pentru x = 2 Þ 0 = 0 (A) (1p); pentru x = 3 Þ −2 = 0 (F) (1p);

pentru x = 5 Þ 0 = 0 (A) (1p); Finalizare: 2 Î S şi 5 Î S (2p);5. a) m( ADC ) = 120º (1p); AM = 6 cm (2p); AMCD paralelogram (1p); m(CMB) = 60º (1p)

b) m( B) = 60º (2p); ΔCMB echilateral (1p); CM = 6 cm (1p); FinalizareP AMCD

= 24 cm (1p)


1.a) ( ) ( ) ( ) ( )m m m m 360

1 2 5 4 12

A B C D= = = =

(3p)

Finalizare: m( A) = 30º, m( B) = 60º, m(C ) = 150º, m( D) = 120º, (2p)

b) m( A) = m(CMB) = 30º (coresp.) Þ m( MCB) = 90º (1p)

A 2 MCB

MC BC ⋅

= (1p); 32

MB

BC = = cm (1p); 3 3 MC = (1p);

FinalizareA 9 3

2 MCB = cm2 (1p)

c) DCMN trapez Þ A ( )

2 DCMN

MC ND MN + ⋅= (2p); MN = 3 cm (1p)

e DP ̂ MC , P Î MC , Þ DP = 3 cm (1p)

în Δ DPC : PC = 3 cm Þ MP = 2 3 cm = DN (1p); Finalizare:A 15 3

2 DCMN = cm2.(1p)

2. a) Desenează un tetraedru (3p); Desenează corect un tetraedru regulat (1p); Notează corect. (1p)

b)A totală = 4 ·A BCD

(1p);A BCD

2l 3

4= Þ

A

BCD= 32 3 cm2 (1p);A totală = 128 3 cm2 (1p)

A îmbinărilor =10

100· 128 3 cm2 = 12,8 3 cm2 (1p); A cartonului = 140,8 3 cm2 (1p)

c)3

bazei A hV

⋅= (2p); h =

16 3

3cm (1p); Finalizare: V =

512

3cm3 (1p); C = 0,171 l (1p).




Testul 50


1. 2. 3. 4. 5. 6.

450

(5p)

203000

(5p)

80000 m2

(5p)

50º

(5p)

42

(5p)

200 km

(5p)


1. Desenează corect prisma (4p); Notează corect (1p)

2. 15% din 200 lei (2p); Calculat: 30 lei scumpirea (1p); 200 lei + 30 lei = 230 lei preţ nal (2p)

3. f (1) = 3, f (7) = 9 (2p); Reprezentarea corectă a punctelor A(1; 3), B(7; 9) (2p);

Desenarea corectă a segmentului care reprezintă gracul funcţiei (1p)

4. a) (3 x − y) ( y + 3 x) = (3 x − y) (3 x + y) (2p); Finalizare: 9 x2 − y2 (3p)

b) 3 x − 6 ≤ x + 6 (2p); 2 x ≤ 12 (1p); x ≤ 6 (1p); Finalizare: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (1p)

5. a) Diagonala bazei = 6 cm şi înălţimea paralelipipedului = 6 cm. (1p)

Formula diagonalei bazei: d = l 2 (1p); Finalizare: l = 3 2 cm. (2p)

b) Formula volumului: V = A bază · h (1p); Formula ariei bazei:A bază = l 2

Calcul:A bază = 18 cm2 (2p); Finalizare V =108 cm3 (1p)


1. a) d( D; A) = DA (1p); Δ AOT echilateral (1p); OA = a Þ EA = 2a (1p); în Δ DOA:7

2

a DA = (2p)

b) Justicarea unghiului (1p)

Calcularea celeilalte catete sau a ipotenuzei în Δ DOF , unde F mijlocul laturii ( AT ) (1p)

Aarea unei funcţii trigonometrice a unghiului DFO (2p); Finalizare: 45º. (1p)

c) ON este linie mijlocie în Δ EMA (1p); ON || ME ; ME ⊥ ET Þ ON ⊥ ET (1p);

DO ⊥ ( MATE ) Þ DO ⊥ ET (1p); ET ⊥ ( DON ) (1p); Finalizare (SET ) ⊥ ( DON ) (1p);

d) OB este linie mijlocie în Δ MTD (1p); OB || DM Þ OB || ( MED) (2p);

ON || ME Þ ON || ( MED) (1p); Finalizare ( NOB) || ( MED) (1p)

2. a) m = 10 · 210 g = 2100 g = 2,1 kg (3p); 1 dm3 = 1 kg ⇒ V = 2,1 dm3. (2p)

b) V = A b · h;A b = 600 cm3 = 6 dm2 (2p); Finalizare: h = 0,35 dm = 3,5 cm. (2p)

Testul 51


1. 2. 3. 4. 5. 6.

7

(5p)

4

(5p)

30 cm

(5p)

50 minute

(5p)

6 ore

(5p)

8

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)1. Desenează corect piramida triunghiulară patrulateră regulată (4p); Notează corect (1p)

2. 120 lei : 2 = 60 lei (al doilea produs) (3p); 160 lei + 60 lei = 220 lei (total) (2p)




3. 40 a; 28 a (1p); a este divizor comun al numerelor 40 şi 28 (1p);

a Î {1, 2, 4}. Pot fi 1, 2 sau 4 copii. (3p)

4. A = L · l Þ A = 24 cm2 (2p); P = 2( L + l ) Þ P = 20 cm (3p)

5. a) A(a; 25) Î G f Þ f (a) = 25 (2p); (a + 1)a + 5 = 25 (2p); Finalizare a = 4 (1p)

b) a = 4 Þ f ( x) = 5 x + 5 (1p); Aarea coordonatelor unui punct al gracului; (1p)

aarea coordonatelor celui de-al doilea punct al gracului. (1p)

Reprezentarea corectă în sistemul de axe perpendiculare a punctelor (1p)

Finalizare: trasarea gracului. (1p)


1. a) Formula ariei triunghiului echilateral (2p); Calculul ariei Δ ABC = 4 3 cm2 (2p)

b) A BMP

=1

2 · A

BAP (2p); A

BAP=

1

2 · A

ABC (2p); Finalizare: A

BMP= 3 cm2 (1p)

2. a) Fie a muchia cubului Þ în Δ ABM : AM 2 = AB2 + BM 2 (1p); Calculat AM = 5

2

a (1p)

În Δ A'AM : A'M 2 = A'A2 + AM 2 (1p); 81 = a2 +25

4

a (1p); Finalizare: a = 6 Þ AB = 6 cm (1p)

b) A'C'BD tetraedru regulat (1p);

Latura tetraedrului este l = 6 2 cm (1p);

A totală = 4 ·A BDC' (1p); A

BDC' = 18 3 cm2 (1p);

Finalizare:A

totală = 72 3 cm

2

. (1p)

2 2

2981 9 36 6

4 4

a aa a= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

c) Fie M' mijlocul segmentului B'C' (1p); D'P ⊥ A'M' (1p); A'M' || AM Þ D'P ⊥ AM (1p);

AA' ⊥ ( A'B'C' ) Þ AA' ⊥ D'P (1p); Finalizare: D'P ⊥ ( AA'M ) (1p)

d) PQ este linie mijlocie în Δ A'B'D' Þ PQ || D'B' ; PQ =2

D B′ ′ (1p);

MN este linie mijlocie în ∆ BCD Þ MN || BD; MN =2

BD (1p);

BD || B'D' Þ PQ || MN şi [ BD] ≡ [ B'D' ] Þ [ PQ] ≡ [ MN ]; (1p)

MNQP este paralelogram (1p);

Finalizare: MQ şi PN , ind diagonale, sunt concurente (1p)

Testul 52


1. 2. 3. 4. 5. 6.

20 minute

(5p)

7

(5p)

9

(5p)

5 · 23

(5p)

800 m

(5p)

30

(5p)





1. Desenează cercul şi notează centrul (2p); Desenează şi notează diametrul AB (1p);

Desenează şi notează raza OC (1p); Desenează şi notează coarda MN . (1p)

2. P = numar cazuri favorabile

numar cazuri posibile (2p); 1

6 24

x= (1p); Finalizare: x = 4 (2p)

3. a + b = 19 (2p); (a + x) + (b + x) = 29 (2p); Finalizare: x = 5 (ani) (1p)

4. 1232 m · 2 = 2464 m (sârmă folosită) (2p); 2464 m · 0,20 lei/m (2p) ; Finalizare: 492,80 lei (1p)

5. a) E (1) = 14 −2 · 13 + 2 · 12 − 2 · 1 + 1 (2p); Finalizare: E (1) = 0; (3p)

b) N = x2 ( x2 − 2 x + 1) (2p) ; N = x2 ( x − 1)2 (2p); x2 ≥ 0, ( x − 1)2 ≥ 0 Þ N ≥ 0 pentru x Î (1p)


1. a) a =60

100· b (2p); a · 100 = b · 60 (1p); a · 5 = b · 3 (1p);

5 > 3 Þ a < b Þ a şi b sunt invers proporţionale cu 5 şi 3 (1p)

b) a =3

5

b (1p); 2 ·

3

5

b + 5b = 310 (1p); 6b + 25b = 1550 (1p); Finalizare: b = 60, a = 30(2p)

2. a) Desenează corect prisma (4p); Notează corect (1p)

b) Scrie formula A totală = A laterală + 2 · A bazei; Scrie formula A laterală = P bazei · h (1p);

CalculeazăA laterală = 864 cm2 (1p); Scrie formula A bazei =2 3

4

l (1p);

Calculează A bazei = 144 3 cm2 (1p); Finalizare: A totală = (864 + 288 3 ) cm2 (1p);

c) Justicarea faptului că H este piciorul perpendicularei din A pe ( A'BC ) se aă pe A'M , M ind mijlocul ( BC ) (1p);

AH =· A A AM

A M

′′

(1p); AM = 12 3 cm (1p); A'M = 24 cm (1p); AH = 6 3 cm (1p)

d) În planul ( AA' ; BB' ), e A'D || AB' , D Î AB Þ sin(m( AB' ; A'C )) = sin(m( DA'C )) (2p);

AB'A'D este paralelogram Þ DA' =AB' = 12 5 (1p); m( BCD) = 90º, DC = 24 3 (1p);

Finalizare: sin(m( DA'C )) =2 15

25 (1p)




Testul 53


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1,1

(5p)

196 lei

(5p)

6 lei

(5p)

3

(5p)

160 m

(5p)

3

10(5p)


1. Desenează un cilindru circular drept (3p)

Respectă cerinţa ca secţiunea axială să e pătrat (2p)

2. a) (2 x − 1)(3 + x) = 6 x + 2 x2 − 3 − x (3p)

6 x + 2 x2 − 3 − x = 2 x2 + 5 x − 3 (2p)

b) ( x − 2)2 = x2 − 4 x + 4 (1p)

( x + 1)2 = x2 + 2 x + 1 (1p) Calculează membrul stâng: − x2 − 14 x + 5 (1p); Obţine 2 x2 + 5 x − 3 = 0 (1p);

Finalizare: x1 =1

2, x2 = −3 (1p)

3. D = V · t (2p) 150 km = V · 2h (2p) Finalizare: V = 75 km/h (1p)

4. a) f ( x) = ax + b (1p); f (1) = 2 Þ a + b = 2 (1p); f (5) = 6 Þ 5a + b = 6 (1p);

Rezolvarea sistemului: a = 1, b = 1 (p); Finalizare: f :

→

, f ( x) = x + 1 (1p);b) f (3) = 3 + 1 (3p); f (3) = 4 (2p)

5. 1 500 lei − 1 200 lei = 300 lei (reducerea) (2p)

100

p· 1500 = 300 (2p); Finalizare: p = 20% (1p)


1. a) EF este linie mijlocie în ∆ BDC (2p); EF || BD, EF ⊥ DC Þ BD ⊥ DC (3p)

b) A ABCD = A ABD + A BDC (1p) ; ∆ ABD: BD =15 cm (1p);A ABD =

·

2

AB AD

= 54 cm2 (1p)

A BDC

=·

2

BD DC = 150 cm2 (1p); Finalizare A

ABCD = 204 cm2 (1p)

c) A FCE

= ·

2

FE EC (2p); FE =

2

BD Þ FE = 7,5 cm (2p); Finalizare:A

FCE = 37,5 cm2 (1p)

2. a) Folosind desfăşurata suprafeţei laterale: A l = P b · h (2p); P b = 640 cm. (2p)

Finalizare: A l = 64 000 cm2. (1p)

b) V = A b · h pentru ecare paralelipiped dreptunghic. Pentru paralelipipedul mare:

A b mare = 10 000 cm2; V mare = 1 000 000 cm3. (2p) Pentru paralelipipedul mic: A b mic = 4900 cm2; V mic = 490 000 cm3 (2p). Finalizare: V = 1 490 000 cm3. (1p)

c) V = 1,49 m3 (2p); m = 1,49 m3· 7,8 t/m3 (1p). Finalizare: m = 11,622 t. (2p)




Testul 54


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 10

(5p)

55°45'

(5p)

4 3

(5p)

4 2

(5p)

5

(5p)

33

(5p)


1. Desen prismă. (5p)

2. 252 : 3 = 84 timbre are Irina. (3p)

252 – 84 = 168 timbre mai are Daniel. (2p)

3. a) 2 3 5

a b ck = = = ; a = 2k , b = 3k , c = 5k ; 5k – 2k = 36 Þ 3k = 36 Þ k = 12. (4p)

b = 3 · 12 = 36 (1p)

b) 40% (5p)

4. ( x + 2)2 – 9 = 0 Þ ( x + 2 – 3)( x + 2 + 3) = 0 Þ ( x – 1)( x + 5) = 0 x = 1; x = – 5 sunt soluţii ale ecuaţiei. (5p)

5. x2 + 6 x + 9 – y2 = ( x + 3)2 – y2 = ( x + 3 – y)( x + 3 + y). (5p)


1. a)6 3

3 32 2

ABC

AB AC x xA

⋅ ⋅= = = m2. (5p)

b) O mijlocul lui [ BC ] Þ [ AO mediană Þ 3 3

2 2 ABC

AOC AOC

xA A A = ⇒ = . (5p)

c) m( A) = 90° şi [ AO mediană Þ 2 2 2 2 2 2

2 4 108 3 108 62

BC AO BC x BC AB AC x x x x= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = . (5p)

d) Dacă x = 6, atunci triunghiul ABO este echilateral Þ A A ABO ABC = ⋅1

2, A A ABO AOC = ,

A A A A ABR ARO ABO ABC

= = =1

2

1

4

Avem A A A A A A ARC ARO AOC ABC ABC ABC

= + = + =1

4

1

2

3

4

Prin urmareA

A A A

ARC

ABR ABC ABC =

=

3

4

1

43: (5p)

2. a) ( ) AO BCD AO OM ⊥ ⇒ ⊥ ; ( )OM BCD⊂

2 2 25 16 3OM AM OA= - = - = dm

36 3

2

BC OM BC = Þ = dm. A

P

lB

2=

⋅=

a p45 3 dm2;

A

B D

C

O M

2

B

3 108 327 3

4 4

BC A

⋅= = = dm2. (3p)

A A A t l B= + = 72 3 dm2. (2p)




b) V A

ABCD

h=

⋅=B

336 3 dm3. (3p)

Da, pentru că 61 3721 3888 36 3= < = . (2p)

Testul 55


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

3

(5p)

55°

(5p)

4

(5p)

9 x + 8 y

(5p)

57 elevi

(5p)



2. 40 : 5 = 8 kg mere în lădiţă Þ 40 + 8 = 48 kg mere. (5p)

3. a) 1087 = 45 · 24 + 7 = 36 · 30 + 7 = 60 · 18 + 7, deci îndeplineşte condiţiile date. (5p)

b) a = 24 · c1 + 7; a = 30 · c2 + 7; a = 18 · c3 + 7

[ ]1

2

3

7 24

7 30 7 24; 30; 18

7 18

a c

a c a

a c

− = ⋅

− = ⋅ ⇒ − ∈

− = ⋅ a – 7 є M360 = {360; 720; 1080} Þ a = 367; a = 727; a = 1087. (5p)

4.( 2) 2 4

3 9 3, 2 ( ) 3 2.(1) 5

f a ba a b f x x

f a b

− = − + = −⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= + = (5p)

5. x3 + 2 x2 – x – 2 = x2 ( x + 2) – ( x + 2) = ( x + 2)( x2 – 1) = ( x + 2)( x – 1)( x + 1). (5p)


1. a) P AEFG

= 2(10 + x + 7 + x) = 2(17 + 2 x) = 34 + 4 x. (5p)

b) A AEFG

= (10 + x)(7 + x) = 70 + 17 x + x2. (5p)

c) GE 2 = AG2 + AE 2 Þ 152 = (10 + x)2 + (7 + x)2 Þ

225 = 100 + 20 x + x2 + 49 + 14 x + x2 Þ x2 + 17 x – 38 = 0 x2 + 19 x – 2 x – 38 = 0 Þ ( x + 19)( x – 2) = 0 Þ x = 2. (5p)

d) A ABCD = 70 m2. A

BEFGD = 12 · 9 – 70 = 108 – 70 = 38 m2.

70 : 10 = 7 kg de vopsea albă. 40: 10 = 4 kg de vopsea crem. 11 · 11 = 121 lei. (5p)

2. a) A t = 2(A ABCD + A BCC'B'

+ A CDC'D'

)

A B

C D

Q A' B'

C' D'

10

5

m m( , ( )) ( ) ′ = ′ = ° ⇒ ′ = D B ABC D BD D B30 20 m Þ

10 3 DB⇒ = m.

Cum 2 2 2m( ) 90 5 11 DAB AB DB AD AB = ° ⇒ = − ⇒ =

25 11 ABCDA ⇒ = m2

; A

BCC'B' = 50 m2; 50 11 DCC DA ′ ′ = cm2

( )t 50 2 3 11 AÞ = + m2. (5p)




b) d( , ) AC CC

C AC CQ CQ AC

′⋅′ = ⇒ =

′

10 3 10

100 300 20m 5 320

AC CQ ⋅

′ = + = ⇒ = = m. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

{5}

(5p)

– 998

(5p)

6

(5p)

15 2

(5p)

(0; 2)

(5p)



2. 3 · 7 = 21 băieţi Þ 21 + 7 = 28 elevi. (5p)3. 80% · 25 = 20 lei după ieftinire. 23 – 20 = 3 lei diferenţa

230020 23 115

100 20

p p= ⇒ = = ; 115% – 100% = 15% reprezintă noua scumpire. (5p)

4. 1 1 3( ) 4 ( ) 2 13 4 2 13 9 6

2 2 2

a f a a f a a a a a= − ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = . (5p)

5. ( )2 2 22 4 2 3 x y x xy y+ = + + = − 2 16 12 4 2 3+ − + + 8 2 4 12= + = . (5p)


1. a) 100 64 6CN AD ND⊥ ⇒ = − = m.( 6) 8

2CMD

MD CN x A

⋅ + ⋅= =

4

24( 6) x= + (5p)

b) AN = AD – ND = 22 – 6 = 16 m.

A ABCN

BC AN CN =

+ ⋅=

+ ⋅= ⋅ =

( ) ( )

2

10 16 8

226 4 104 m2. (5p)

c) ABCM - romb Þ BC = AM = 10 Þ MD = 22 – 10 = 12 m; ND = 6 Þ MN = 6 (5p)

d) P ABCD

= 10 · 3 + 22 = 52 dam = 520 m.

5,5 · 520 = 2860 lei preţul pentru sârmă.

26 stâlpi · 12 lei = 312 lei.

2860 + 312 = 3172 lei. (5p)

2. a)3 6 2 3

echilateral 3 62 2

l VAC VO VO

⋅∆ ⇒ = ⇒ = = m.

2 6 AC l AB= ⇒ = m; 32

ABOM = = m.

( )

54 9 63 3 7.( )

VO ABC VO OM VM

OM ABC

⊥⇒ ⊥ ⇒ = + = =

⊂

6 4 3 7

36 72 2

b p

l

P a A

⋅ ⋅ ⋅= = = m2. (5p)

A B

C D

V

M

E

O

P




b) ( ) AO DB

AO VBD AO VO

⊥⇒ ⊥

⊥

linie mijlocie2

AO PE VO PE AO PE PE ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ =

1 6 26 2 1,5 24 4

AC PE AC = ⇒ = ⋅ = = m. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

14

(5p)

1

7

(5p)

3 ore

(5p)

20

(5p)

432 cm3

(5p)

18 elevi

(5p)



2. a = 4b; 4b + b = 500 Þ b = 100 t porumb; a = 4 · 100 = 400 t porumb. (5p)

3. a) a + b = 48;6

6

a x

b y

= ⋅

= ⋅ Þ

6 6 48

8

x y

x y

+ =

+ = ( x; y) = 1.

Cazul 1) x = 1; y = 7 Þ a = 6; b = 42 Cazul 2) x = 3; y = 5 Þ a = 18; b = 30 (5p)

b) 42 76

b

a= = . Da, raportul poate 7. (5p)

4. f (0) = 2; f ( – 2) = 4; f (1) = 1; f (5) = 3.

A(0; 2); B( – 2; 4); C (1; 1); D(5; 3) (5p)

AC

B y

xO 1 5

D

5. ( )( )( ) ( )2

22

23 1 2( 3) 2( 3) 1

2 24

x x x x

x x x− + −− + − + = =

− +− ( )2 x − ( )222

x

x x−=++

. (5p)


1. a)200

1002

ACD

x xA

⋅= = . (5p)

b)200 40

40002 2

ABCD

AC BDA

⋅ ⋅= = = dam2 = 400 000 m2 = 40 ha. (5p)

c)3

m( ) 60 echilateral 100 32

l EAD ACD ED = ° ⇒ ∆ ⇒ = = dam. (5p)




d) 40 · 3000 = 120 000 = 120 t grâu. (5p)

2.

a)( ) 80 2 18

2 ACPM

AC MP OOA

′+ ⋅ ⋅= =

9

2720 2= m2.

30 8 60 2 AC = = m; 10 8 20 2 MP = = m. (5p)

b)1 20 2

18

VO MP VO

VO AC VO

′ ′= ⇒ =

′ + 60 2 3

3 18 9VO VO VO′ ′ ′⇒ = + ⇒ = m.

2 20 MP l MN = ⇒ = Þ 400 MNPQA = m2;400 9

12003

VMNPQV ⋅= = m3. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

–4

(5p)7

(5p)

x є (1; +∞)(5p)

110°(5p)

216(5p)

4%(5p)



2. 1

1503

x⋅ = km Þ x = 450 km. (5p)

3. a)

3( 3) 3 0

3

a a b

− + − =

⇒∉

3 0

3 0

a

a b

− =

⇒− =

3

1

a

b

=

= (5p)

b) { }27; 5 B = - (5p)

4. 1(1) 2

5 f = − ;

1(2) 2 2

5 f = ⋅ − , ...,

1(10) 2 10

5 f = ⋅ −

1 1 1 1(1) (2) .... (10) 2 2 2 .... 2 10 2(1 2 3 .... 10) 10

5 5 5 5 f f f + + + = − + ⋅ − + + ⋅ − = + + + + − ⋅ =

2= 10 11

2

⋅⋅ 2 110 2 108.− = − = (5p)

5. x4 – 256 = x2 – 162 = ( x2 – 16)( x2 + 16) = ( x – 4)( x + 4)( x2 + 16). (5p)


1. a) m( ) 30 42

BC ACB AB = ° ⇒ = = m; 64 16 4 3 AC = − = . (5p)

b) Centrul cercului circumscris este O - mijlocul ipotenuzei

42

BC BO = = m. (5p) A

B C D O

4mm( ) 60

AB BO

ABO= = ⇒

= °echilateral ABO

AD BO∆ − ⇒

⊥ 2

2

BO DO = = m.




c)m( ) 90

DE AB

BAC

⇒

= °

m( ) 90

m( ) 30

DEC

C

= °⇒

= °6

32 2

DC DE = = = m. (5p)

36 9 27 3 3CE = − = = m; 2 32

AC AD = = m.

d)

2

2

2 3 6 6 3 m6 3 32 2 .

48 34 4 38 3 m

2 2

A A

A A

ADC ADC

ABC

ABC

AD DC

AB AC

⋅ ⋅= = =⇒ = =

⋅ ⋅= = =

(5p)

2. a)2 3 3

2 3 63 2 3

l l O C l ′ ′ = ⇒ = ⇒ = dam.

2 3

93 2

LOC L= ⇒ = dam.

3 dam 147 3 12C P OC PC C P ′ ′⊥ ⇒ = ⇒ = − = ⇒ 12OO′⇒ = dm

3 9 579 579

147 .2 4 4 2

B R AB BR B R′ ′⊥ ⇒ = ⇒ = − = =

( )

( ) 579 1 453 9 6 579.

2 2 2 4

P P A

B b t al

+ ⋅= = ⋅ + ⋅ ⋅ = (5p)

A

M

B

C

O'

B'

C' A'

M'

O P

b) ( )t3

V A A A A B b B b

I = + + ×

2

B3 81 3

4 4A

L= = ; b36 3 9 3

4A = = dam2.

2)

4)1tr

81 3 9 3 34 9 3 4

4 2V

⋅= + + =

1

81 3 36 3 54 3

4

+ +⋅ 171 3= dam3. (5p)

Testul 59


1. 2. 3. 4. 5. 6.

400

(5p)

30 lei

(5p)

A ∩ B = {4; 7}

(5p)

20π

(5p)

256 mm2

(5p)

A

(5p)



2. 5 + 6 + x = 21; x = 10. (5p)

3. a) 100 · 12 = 1200 paşi; 1200 · 50 = 60 000 cm = 600 m (perimetrul grădinii). (5p)

b) l = 600 : 4 = 150 m (latura pătratului) Þ A = 1502 = 22 500 m2. (5p)

4. x + 2. (5p)

5. P (2; – 2). (5p)





1. a) m( D) = 120°; ∆ ADC isoscel, m( DCA) = 30°, deci m( ACB) = 90°; (5p)

b) ∆ ABC dreptunghic, [CM ] mediană, deci [CM ] ≡ [ AM ] ≡ [ MB], ∆ CMB echilateral.

Deci [CM ] ≡ [ AM ] ≡ [ DC ] ≡ [ AD], DM AC ⊥ (diagonalele rombului). (5p)

c) triunghiul PAB echilateral, P PAB = 30 cm. (5p)

2. a)

V prismă = A b · h;2 3 9 3

4 4A b

L= = ; V prismă

9 3 27 36

4 2= ⋅ = dm3. (5p)

b) V piramidă9 3 6 9 3

3 4 3 2

A b h⋅= = ⋅ = dm3. (5p)

c) V prismă – V piramidă =27 3 9 3

9 32 2

− = dm3 (volumul noii prisme triunghiulare). (5p)

1

1

31 b 1 2

b1

9 3 dm

9 3 dm1 dm

V A

A

h

h

= ⋅ = ⇒ == .

1

2

b 1

36 dm

4A

l l = ⇒ = (latura bazei prismei obţinute). (5p)

Testul 60


1. 2. 3. 4. 5. 6.

–1

(5p)

3

(5p)

– 18

(5p)

120°

(5p)

–2

(5p)

150

(5p)


1.

954 80 20 753 15

a bb b a

a b

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ == + (5p)

2. A = { – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}; B = {±1}; A ∩ B = {±1} (5p)

3. 5 lei un caiet şi 2 lei un pix. (5p)

4. 5 m .............................2h 48' = 168'

x m..............................1h 45' = 105'

Mărimi invers proporţionale Þ 5 · 168' = x · 105' Þ x = 8 muncitori (5p)

5. 3a – 5 = a – 2 Þ 3

2

a = . (5p)

6.10

( )3

x E x

+= ; x = 5. (5p)





1. a) A sală = 24 · 15 = 360 m2 (5p)

b) A parchet = 25 · 8 = 200 cm2 (aria unei bucăţi de parchet); 360 m2 = 3 600 000 cm2.

3600 000 : 200 = 1800 bucăţi de parchet. (5p)

c) A = 192 = 361 m2 (aria pătratului)

361 m2 – 360 m2 = 1 m2 = 100 dm2. (5p)

2.

a)2 3

4 9 3 64

A A t ABC

l l = ⋅ = = ⇒ = ; 2 3CO = cm

triunghiul AOC dreptunghic în O Þ 36 12 2 6 cm AO h= − = = (5p)

b)

118 2

3V A b h= ⋅ ⋅ = cm3. (5p)

c) Notăm d( M ,( ABC )) = x (5p)

19 22

6 d( , ( )) 6

3

V V

A V

MABC ABCD

ABC MABC

x M ABC x

= ⋅ = ⇒ = ⇒ =⋅ =

cm. (5p)

Testul 61


1. 2. 3. 4. 5. 6.

24

(5p)

x є {2; 8}

(5p)

5

6 p =

(5p)

4 2

(5p)

6

(5p)

A ABCD

= 160 cm2

(5p)


1. Desenează corect. (4p) Notează corect. (1p)

2. x = 365

104 13104 65 104

65 13

2 2562 3 (2 ; )

3 243 x

= ⇒ > ⇒ ∉ ∞

= (5p)

3. Notăm cu x numărul de persoane şi cu y preţul obiectului.

25 x = y – 50; 35 x = y + 4; x = 9 persoane; y = 275 lei preţul obiectului. (5p)

4. a) 3

(1) 4

2

f m= ⇒ = (5p)

b)3

( )2

f x x= + ;9

8A = m2. (5p)




2. a) 1156 900 16 AC = − = m. (5p)

b) || DE BD

DE AC BED BCA AC BA

∼⇒ ∆ ∆ ⇒ =

2 x + 2 y = 34,8 Þ x + y = 17,4 Þ y = 17,4 – x

3016 30 y x−= ; y = 14,4 m, x = 3 m. (5p)

c) A b = x · y = 14,4 · 3 = 43,2 m2. (5p)

d) V = A b · h = 43,2 · 7,5 = 324 m3 = 324 000 dm3 = 324 000 l. (5p)

Testul 63


1. 2. 3. 4. 5. 6.

4

(5p)

0

(5p)

5

(5p)

32 m2

(5p)

64 m3

(5p)

68 mm

(5p)



2. a + b = 21; (a + x) + (b + x) = 29; 2 x + 21 = 29 Þ x = 4 ani. (5p)

3. a) a2 + a + 2ab + b + b2 = (a + b)2 = (a + b)2 + (a + b) = 25 + 5 = 30 (5p)

b) x2 – y2 = 70 Þ ( )( ) 70 14

14 75 2

a

x y x y x y M

x y

− + = ⇒ + = ⇒ = =

− = (5p)

4. I inginer:40 2

100 5 x x⋅ = ; restul:

3

5 x

al II-lea inginer:1

1

3

13⋅

5

5

x +1

100 20

1

4

x x⋅ =

al III-lea inginer: 3 1 7

5 4 20 x x x− =

a)7 35

35%20 100

x x= = din proiect. (5p)

b) I inginer:1

24000

5⋅

800160= lei

al II-lea inginer:1

4000 1000

4

⋅ = lei

al III-lea inginer:1

74000

20⋅

2001400= lei. (5p)




b) Dacă notăm cu x distanţa de la vârf la planul de secţiune şi cu h înălţimea piramidei

avem3

V

v x

h

=

(2p). Cum2

V v = , rezultă că

3

3

1

2 8

x= , de unde x = 43 4 cm. (3p)

c) Volumul piramidei mari este V = b

3

A h×undeA b = l 2 = 144 cm2 reprezintă aria

pătratului, deci V = 348 cm3. Ştiind că 1 dm3 corespunde unei capacităţi de 1 l , obţinem V = 348 cm3 = 0,384 dm3 = 0,384l = 384 ml (5p)

d) Dacă M este mijlocul muchiei AB, avem VO ⊥ OM , OM ⊥ AB (2p),

rezultă din teorema celor trei perpendiculare că VM ⊥ AB, deci unghiul diedru dintre

planele (VAB) şi ( ABC ) esteVMO. (2p)

În triunghiul dreptunghic VMO, m(VOM ) = 90º, sin(m(VMO)) =4

5

VO

VM = (1p)

2. a) Lungimea erului beton va : (3p) 4 · ( L + l + h) + L + l = 38 + 7 = 45 m (2p)

b) Suprafaţa de pânză S necesară este reprezentată deA + 10%A = 110% A , (1p)undeA reprezintă aria laterală a cortului plus aria acoperişului.

A = ( L · l ) + 2 · ( L · h + l · h) = 47 m2 (2p) deci S =110

100·47 = 51,7 m2. (2p)

Testul 65


1. 2. 3. 4. 5. 6.

6

(5p)

1,75

(5p)

1 11,

7 7

(5p)

3

5(5p)

384

(5p)

440

(5p)


1. 1

1

x

x

+−

Î −{1}Þ 1 +2

1 x − Î − {1} (2p) adică ( x − 1) Î D2 = {−2, −1, 1, 2},

deci x Î {−1, 0, 2, 3}. (3p)2. Din teorema împărţirii cu rest deducem: N = 24c1 + 10; N = 40c2 + 26; N = 50c3 + 36 (2p)

Adunând 14 atât în membrul stâng cât şi în membrul drept obţinem:

N + 14 = M24; N + 14 = M40; N + 14 = M50 (3p)

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24, 40 şi 50 este 600. Deci N = 600 − 14 = 586.3. a) f ( x) = g ( x) (2p) Þ 2 x − 1 = −2 x + 3 (2p) Þ x = 1 şi y =1. (1p)

b) S = 2 · (1 + ... + 2012) − 2012 − 2 · (1 + ... + 2012) + 3 · 2012 = 2 · 2012 = 4024. (5p)

4. Ţinând cont că 1242 − 324 = 918, scriem sistemul1242

( 6) 918

xy

x y

=

− =

de unde x = 23, y = 54(5p)

5. E (0) = (2 3 )2 + | 3 − 1| = 12 + | 3 − 1|. (2p)

Partea întreagă a lui E (0) va [ E (0)] = [12+| 3 −1|] = [12] + [| 3 −1|]= 12 + 0 = 12. (3p)





1. a) Desenul corect al piramidei. (3p) Desenarea segmentului [VM ]. (2p)

b) VM = 8 cm (2p) A l =

2

P b ap⋅= 144 cm2 (3p)

c) AM = 32

l = 6 3 , OM = 13

AM = 2 3 (3p) VO = 2 2VM OM − =2 13 cm (2p)

d) A b =36 3 cm2 (2p) b

3

VO×=A

V cm3. (3p)

2. a) Dimensiunile celui de-al doilea dreptunghi determină lungimea şi lăţimea cutiei,

L = 12 cm şi l = 6 cm, iar lăţimea primului dreptunghi determină înălţimea cutiei:

h = 4 cm. (2p)

Suprafaţa cutiei, (fără capac) va suma suprafeţelor celor două dreptunghiuri:

S = 12 · 6 + 36 · 4 = 216 cm2. (3p)

b) V = L · l · h = 288 cm3. (5p)

Testul 66


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2(5p)

2,25(5p)

9(5p)

16(5p)

14(5p)

18(5p)


1. Înmulţind a doua ecuaţie cu 3 obţinem2 3 7

9 3 15

x y

x y

+ =

− = (3p)

Prin reducere deducem x = 2 şi y = 1. (2p)

2. Folosind metoda mersului invers adunând un 3 şi înmulţind cu 2 rezultă:1 1 1

3 3 3 62 2 2

x − − − =

(3p) Repetând procedeul obţinem x = 90. (2p)

3.a) Înlocuim întâi y cu 0 şi aăm x = −

1

2, deci A(−

1

2, 0),

apoi pe x cu 0 şi aăm y = 1, deci B(0, 1). (5p)

b) Înlocuind pe x deducem:

S = −2 · (1 + 2 + ... + 2012) + 2012 + 1 + 2 · (1 + 2 + ... + 2012) + 2012,

de unde S = 4025. (5p)

4. Notăm cu x numărul de zile. Relaţia devine 930 − 30 x =3

4(1170 − 30 x) deci x = 7 zile (5p)

5. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic verică relaţia: d 2 = L2 + l 2 + h2

deci d 2 = 450, de unde d = 15 2 cm. (5p)





1. a) Realizarea corectă a piramidei. (3p); Fixarea centrului bazei. (2p)

b) Fie M mijlocul laturii AD şi N mijlocul bazei BC . Aria secţiunii este16·

2

VO=48,

de unde înălţimea VO = 6 cm. (2p) Apotema piramidei VM unde M este mijlocul laturii

pătratului de la bază VM = a p = 10 cm, deci A l = 320 cm2. (3p)

c) A b= 256 cm2 (2p); V = 512 cm3. (3p)

d) În triunghiul VOM , proiecţia lui O pe VM este notată cu T . (2p)

De aici, OT =VO OM

VM

⋅= 4,8 cm. Dar planul (VOM ) este perpendicular pe planul (VBC ) (2p)

deci OT coincide cu distanţa de la O la planul (VBC ). (1p)

2. a) Dacă notăm cu N mijlocul laturii AD şi cu l muchia cubului avem în triunghiul

dreptunghic MNP ( MN ⊥ ( ABCD)Þ MN ⊥ NP ). (3p)

MP 2 = MN 2 + NP 2, de unde l 2 +

22

4

l

= MP 2 cu l = 10 cm. (2p)

b) V cub= l 3 = 1000 (2p); V MNDD'P

=250

3 3

A MNDD DP ′ ⋅ = . (2p)

Volumul corpului rămas este 2750

3 cm3. (1p)

Testul 67


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

6

(5p)36 3

(5p)

30

(5p)

2

(5p)6

5(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)1. 2 2 24( 1) 4 4 ( 2)n n n n n+ + = + + = + pentru orice n є . (2p)

=|n + 2| = n + 2 Î pentru orice n Î . (3p)

2. Media geometrică a două numere a şi b este ·a b .

În cazul nostru m g

= (5 2 6)(5 2 6) 25 24 1− + = − = (5p)

3. a) În triunghiul ABC avem m( A) = 90º şi AD ⊥ BC (3p)

din teorema înălţimii AD2 = BD · DC , deducem AD = 6 cm. (2p)

b) Din teorema lui Pitagora în triunghiul ABC rezultă AB = 2 13 cm (2p)

sin (m( ABC )) = sin (m( ABD)) =6 3 13

132 13

AD

AB= = (3p)




4.

Din relaţiile date obţinem sistemul: ( )3

4 2 1

b f

b f

= ⋅

− = ⋅ +,

de unde obţinem f = 6 şi b = 18 (3p)Problema se putea rezolva aritmetic prin metoda gracă. (2p)

5. V = l 3 = 8 m3 (2p)

Ţinem cont că un volum de 1 dm3 are capacitatea de un litru.Cantitatea de apă va 8000 l. (3p)


1. a) Realizarea corectă a piramidei (3p); Fixarea centrului bazei. (2p)

b) În triunghiul dreptunghic VOA, tg60º =VO

AO, AC = 16 2 cm (2p)

AO = 8 2 cm , de unde VO = 8 6 cm. (3p)

c) b

3A V VO⋅= (1p) ; A b = l 2 = 256 cm (2p) de unde V =

2048 63

cm3 (2p)

d) În triunghiul dreptunghic VOA , distanţa d(O, VA) =·VO AO

VA. (2p)

Dar VA = 2 · AO = 16 2 cm, deci d(O, VA) = 4 6 cm (3p)

2. a) Diagonala cubului d = l 3 (2p) Þ d = 12 3 (3p)

b) Fie BD' o diagonală a cubului. În triunghiul dreptunghic BDD' ,

sin(m( D'BD)) =

3

3

l

d = . (5p)

Testul 68


1. 2. 3. 4. 5. 6.

{−5,0}(5p)

6(5p)

30 3

(5p)

4 3

(5p)

−1(5p)

32

−

(5p)


1. 1 1 47(2) 7

2 1 2 3 7(6 2 5) E

= + − ⋅ = + + +

(2p)

2 1 3 2 47 (6 2 5)7 1

1 7 7 47

− − ⋅ −= + − ⋅ =

⋅

(3p)

2. 2 x − 1 = −5 Þ 2 x = −4 Þ x = −2 (3p)

2 x − 1 = 5 Þ 2 x = 6 Þ x = 3. Soluţie x = −2 (2p)




3. a) Din teorema lui Pitagora avem AB2 + AC 2 = BC 2 şi3

4

AB

AC = (3p)

deducem84

5 AB = cm şi

112

5 AC = cm. (2p)

b) În triunghiul ABC , m( A) = 90º, sin(m( ACB)) =

3

5

AB

BC = , cos(m( ACB)) =

4

5 (2p)

sin (m( AMB)) = sin (2 · m ( ACB)) = 2 · sin (m( ABC )) · cos (m( ABC )) =24

5. (3p)

4. Scriem sistemul80

4 2

M A

M A M A

= +

− = −

(3p); De unde M = 160 lei şi A = 80 lei. (2p)

5. Din ipoteză:ˆ ˆˆm( ) m( ) m( ) 180

1 2 6 9

A B C = = =

= 20º. (2p)

Deci m( A) = 20º, m( B) = 40º, m(C ) = 120º. (3p)


1. a) Realizarea corectă a prismei. (3p) Desenarea secţiunii. (2p)

b) Fie prisma ABCA'B'C' iar M şi M' mijloacele muchiilor [ BC ]şi [ B'C' ]. Secţiunea AMM'A' are aria 12 3 = AM · MM' , de unde AM = 3 3 cm şi latura triunghiului echilateral AB = 6 cm. A laterală = P b · AA' = 72 cm2. (5p)

c) A bazei = 9 3 cm2. Volumul prismei este V = A b· AA' = 36 3 cm3 (5p)

d) În triunghiul dreptunghic AMA' , avem tg (m( AMA' )) =4 3

9

AA

AM

′= . (5p)

2. a) Se ştie că într-un triunghi dreptunghic cateta ce se opune unui unghi de 30º este jumătatedin ipotenuză. Ducând înălţimea AD, măsura unghiului m( BAD) = 30º, deci AB = 2 · BD, iar în triunghiul dreptunghic ABC , m( A) = 90º, BC = 2 · AB = 4 · BD. (5p)

b) BD = 4 cm, BC = 16 cm, AD = 4 3 cmÞ A Δ ABC = 32 3 cm2. (5p)

Testul 69


1. 2. 3. 4. 5. 6.

998

(5p)

De ex. 6

(5p)

27

(5p)

4 cm

(5p)

3,2

(5p)

140 cm2

(5p)




2.

În prima zi s-au vândut1

72 243

⋅ = kg; au rămas 48 kg. A doua zi s-au vândut1

48 242

⋅ = kg

În magazin au rămas 24 kg. (5p)




3. a) Numărul de elevi trebuie să e multiplu de 6 şi multiplu de 8. Numărul 32 nu este

multiplu de 6 Þ nu pot 32 elevi. (5p)

b) Cel mai mic multiplu comun nenul al numerelor 6 şi 8 este 24 şi următorul multiplu

comun este 48 care este mai mare decât 40 Þ sunt 24 elevi. (5p)

4.

Fie x preţul înainte de ieftinire;

20 80

120 120 150100 100 x x x x− ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = (5p)

5. Se efectuează (2 x – 3)2 – 16 = 4 x2 – 12 x – 7 şi (2 x – 7)(2 x + 1) = 4 x2 – 14 x + 2 x – 7 sau

se descompune (2 x – 3)2 – 16 = (2 x – 3 – 4)(2 x – 3 + 4) = (2 x – 7)(2 x + 1) (5p)


1. a) Sârma necesară are lungimea (12 + 6) · 2 · 5 = 180 m. (5p)

b) Distanţa cea mai mare este diagonala dreptunghiului: 180 6 5 AC BD= = = m. (5p)

c) Aria suprafeţei rămase este 12 · 6 – 1 = 71 m2. (5p)

d) AMPD şi DPNC sunt trapeze dreptunghice. Aria trapezului AMPD este (6 1) 11 77

2 2

+ ⋅= m2

iar aria trapezului DCNP este(12 1) 5 65

2 2

+ ⋅= m2. (5p)

2. a)

( ), ( ( )) D D ABC DE AC E AC ′ ⊥ ⊥ ∈ pe baza teoremei celor 3 perpendiculare

D E AC ′ ⊥ ⇒ distanţa de la D' la AC este D'E.

În triunghiul DAC aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem 356 AC = m şi160

356

AD DC

DE AC

⋅

= = . În triunghiul D'DE , m( D) = 90°. Folosind teorema lui

Pitagora 2 2 2 346000 346000

356 356 D E D D DE D E ′ ′ ′= + = ⇒ = m. (5p)

b) Acoperişul blocului are suprafaţa de 160 m2. Într-o zi un muncitor izolează 4m2 şi în 5 zile izolează 20 m2 Þ este nevoie de 160 : 20 = 8 muncitori. (5p)

Testul 70


1. 2. 3. 4. 5. 6.

62

(5p)

De ex. 24

(5p)

10

(5p)

27 m3

(5p)

3200 dm

(5p)

7,04

(5p)




2. 30 000 g : 500 g = 60 (borcane) (5p)

3. a) A (0; – 5) şi B (1; – 3) (5p)

b) A ( x, y) є G f ⇔ f ( x) = y; y = 3 x ⇔ 2 x – 5 = 3 x ⇔ x = – 5 Þ A ( – 5; – 15) (5p)




4.a) ( )2; 3 2 2 18 6 2 12 2 13 33 6 2 E = + - + + = + (5p)

b) E ( x, y) = x2 – 6 x + 9 + y2 + 4 y + 4 = ( x – 3)2 + ( y + 2)2 ≥ 0, pentru orice x şi y egale. (5p)


1. a) În triunghiul ABC se aplică teorema lui Pitagora BC 2 = 10 400, 10400 102 BC = <

deoarece 10 400 < 1022, deoarece 1022 = 10404. (5p)

b) ( )( ) 1tg m

5

AC CBA

AB = = (5p)

c)4

165 20

BD DE DE DEB CAB DE

BC AC ∼ ⇒ = ⇒ = ⇒ = m. (5p)

2. a) V = 20 · 1,5 · 1 = 30 m3. (5p)

b) 3 muncitori lucrează în 10 ore1

3 din lucrare. Folosim regula de 3 simplă pentru cele

2

3 din lucrare:

3 muncitori ...................... 20 ore

2 muncitori ...................... x 3 20

302

x ⋅

= = . Cei 2 muncitori vor termina lucrarea în 30 ore. (5p)

c) V = 20 · l · x = 40 Þ x = 2 m Þ mai trebuie săpat 0,5 m = 50 cm. (5p)

Testul 71


1. 2. 3. 4. 5. 6.

0

(5p)

[1; 5)

(5p)

6

(5p)

96

(5p)

25

(5p)

3

(5p)

SUBIECTUL II (30 puncte)1. Desenează corect. (4p)


2. Preţul mediu se calculează ca medie ponderată2 15 3 10

122 3

⋅ + ⋅=

+ lei. (5p)

3. a) Atunci ar 35 de apartamente cu 2 camere, iar numărul total de camere ar 20 · 3 + 35 · 2 = 130 camere, fals. (5p)

b) Fie x numărul apartamentelor cu 3 camere şi y numărul apartamentelor cu 2 camere.Se rezolvă sistemul:

55

3 2 145

x y

x y

+ = ⇒

+ =

35

20

x

y

=

=

(5p)




4. 3 5 2 5 3 5 5 2 1− + − = − + − = (5p)

5. x2 – 6 x + 9 = x2 – 2 x – 5 x + 10; x = 1 (5p)


1.a)

Triunghiul ABD echilateral Þ 6 3

2 2 6 32

AC AO= ⇒ ⋅ = m. (5p)

b) Triunghiul BCD echilateral Þ d( ; ) 3 3 B CD = m. (5p)

c) (OD) este linie mijlocie în triunghiul CAM Þ AM = 2OD = 6 m. (5p)

2. a) În triunghiul VOB Þ VO2 = VB2 – OB2 Þ VO = 8 cm. (5p)

b)

,

BO AC

BO VO AC VO

⊥

⊥ ⇒

( )

( ) ( )( )

BO VAC

VAC VBD BO VBD

⊥

⇒ ⊥⊂

(5p)

c) Fie OM BC ⊥ , M є ( BC )

În triunghiul VOM , m( O) = 90° Þ OE VM ⊥ .

d(O; (VBC )) = OE =8 6

4,810

VO OM

VM

⋅ ⋅= = cm. (5p)

Testul 72


– 3

(5p)

24

(5p)

135

(5p)

1

(5p)

3

(5p)

25 3

(5p)




2.

4 160 2005 x x⋅ = ⇒ = (pagini) (5p)

3.a)

4 2 4( 1) (1)

12 2 3 E E

− −− + = + = − (5p)

b)3 1

( )( 3)( 2) 2

x E x

x x x

−= =

− − − (5p)

c)1

2 12

x x

∈ ⇔ − =−

sau x – 2 = – 1 Þ x є {3; – 1}, dar x ≠ 3 Þ x = – 1. (5p)

4. ( )10 15 1012 6

2 3 5 2 6 2 15 2 10 106 5

-+ + - - + + + = (5p)





1. a) Fie AD BC ⊥ , D є ( BC ). AD este mediană şi înălţime în triunghiul ABC .

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADC Þ AD2 = 169 – 25 = 144 Þ AD = 12 Aria triunghiului ABC este egală cu 60 cm2. (5p)

b) 52

x NC DC DN = − = −

Aria triunghiului PNC =( )5102

2 2 4

x x

x x PN NC

− −⋅ = = . (5p)

c)12 5 60

5 60 6115

2

AD DC ADC PNC x x x

x PN NC x ∼ ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

−. (5p)

2. a) Fie VM apotema piramidei M є ( BC ). În triunghiul VOM , m( O) = 90° Þ Þ VM2 = VO2 + OM2 Þ VM = 20 dm.

A lat = 4 · A VBC = 960 dm2 (5p)

b) ((VBC ), ( ABC )) = VMO. În triunghiul VOM Þ tg (m( VMO)) =16

12

VO

OM = . (5p)

c) În triunghiul VAO; m( O) = 90°

( ) 16 16 34sin m

17544 4 34

VOVAO

VA = = = = (5p)

Testul 73


21

(5p)

5 2

(5p)

A ∪ B = {1,2,3,4,5,8,9,}

(5p)

25π

(5p)

6 3

(5p)

39

8

(5p)




2. Fără abonament va plăti 7 · 8 = 56 lei, 56 > 50 Þ este rentabil să-şi facă abonament. (5p)

3. În prima zi parcurge 2320 64

100⋅ = km; rămâne de parcurs distanţa de 256 km. (5p)

A doua zi parcurge5

256 128100

⋅ = km şi a treia zi 128 km. (5p)

4. a) A (0; – 4); B (2; 0) B

A

y

x0 (5p)

b) f (a) = 2a – 4 Þ 4a – 12 = 2a – 4 Þ a = 4 (5p)





1. a) În triunghiul ABM , m( B) = 90° Þ AM 2 = AB2 + BM 2 Þ AM 2 = 576 + 100Þ AM = 26 m. (5p)

b)10 26

13 395

MB MA MBA MCN MN AN

MC MN MN ∼∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (5p)

c) A ABCD

= 360 m2

A AMB

= 120 m2

100

120 360 33,(3)%100 3

x x= ⋅ ⇒ = = (5p)

2. a) V = 50 · 20 · 3 = 3000 m3 (5p)

b) V apă

= 50 · 20 · 2,5 = 2500 m3 = 2 500 000 dm3 = 2 500 000 l. (5p)

c) Într-un minut curg 2500 l prin cele 10 robinete; 2 500 000 l vor curge în

2 500 000 : 2500 = 1000 minute = 16 ore şi 40 de minute. (5p)

Testul 74


1. 2. 3. 4. 5. 6.

16

(5p)

– 1

(5p)

20

(5p)

4 2 5 2 AB l R= = =

(5p)

16 3

(5p)

5

(5p)



2. a) 36 km; (5p)

b) 108 km. (5p)

3. a) 183 : 4 = 45 rest 3; 183: 5 = 36 rest 3; 183 : 6 = 30 rest 3. Pot 183 de nuci. (5p)

b) Fie x numărul minim de nuci. Avem: x = 4a + 3; x = 5b + 3 şi x = 6c + 3. Numărul x – 3 este multiplu de 4, 5 şi 6, iar cel mai mic multiplu este egal cu 60.

Deci în coş sunt 63 de nuci. (5p)

4. M ∉ G f şi N є G

f . (5p)

5. (a – 2)3 – (a – 2) = (a – 2)[(a – 2)2 – 1] = (a – 2)(a – 3)(a – 1). (5p)


2. a) SO = h = 6; V = 72 cm3. (5p)

b) [ ] 4 15d ; ( )

5 A SBC = cm (5p)




Testul 75


1. 2. 3. 4. 5. 6.

56

(5p)

9

(5p)

50

(5p)

12

(5p)

64

(5p)

12,5%

(5p)


1. Desenează corect. Notează corect (5p)

2. 4. (5p)

3.a)

6 20,4

6 7 15 15 5

a b c a

c= = ⇒ = = = . (5p)

b) c : a = 2 rest 6 Þ c = 2a + 6 şi 2c = 5a Þ a = 12; b = 14 şi c = 30. (5p)

4. f (1) = 5 Þ 2 – 3a = 5 Þ a = – 1. (5p)

5. 2

3 6 3( 2) 3

( 2)( 1) 12

x x

x x x x x

+ += =

+ − −+ −. (5p)


1. a)

BAC ≡ BCA; ACD ≡ BAC (alterne interne) Þ BCA ≡ ACD. (5p)

b) notăm m( BCA) = m( ACD) = x. Din ∆ ACD avem: x + 2 x = 90° Þ x = 30° (5p)

Þ AC bisectoare Þ m( C ) = m( D) = 60° şi m( A) = m( B) = 120°.

c) AB || DE , AD || BE Þ ABED - paralelogram, AB = AD = 10 Þ ABED romb. (5p)d) ∆ BEC echilateral Þ EC = ED = 10, deci DC = 20 cm Þ P

ABCD = 50 cm.

Înălţimea AF = 5 3 cm şi A ABCD = 75 3 cm2. (5p)

2.a) AB CD O∩ = { }; FAC HAC OF HO FOH ( ) ( ) = = °; ; , 60 ∆ echilateral. (5p)

b) V = =16 3 16 33dm l. Cum 16 3 32< ⇒ nu încap 32 l de apă în vas. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

12

(5p)

{3; – 4}

(5p)

10

(5p)

25

(5p)

128

(5p)

{ – 1; 0; 2; 3; 5}

(5p)



2. D = 54 + A; D = 7 · A Þ 6 · A = 54. Deci Andreea are 9 nuci, iar Doina 63 de nuci. (5p)

3.a) Fie x preţul iniţial.

105 104546 500

100 100

x x ⋅ = ⇒ =

lei. (5p)

b)105

100

5500⋅ 525= lei. (5p)




4. (2) 3 2 3

( 1) 3 3

f a b

f a b

= ⇒ + =⇒

− = − ⇒ − + = −

2( ) 2 1

1

a f x x

b

=⇒ = −

= −, f : → . (5p)

5. y2 – 3 = a Þ E (a) = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 Þ E ( y) = ( y2 – 3 – 1)2 = ( y2 – 4)2 = = ( y – 2)2 · ( y + 2)2 (produs de două pătrate) (5p)


1. a) AM 2 = x2 + 3; DM 2 = 75 + (8 – x)2 şi AD2 = 112. Din AD2 = AM 2 + DM 2

Þ x2 – 8 x + 15 = 0 Þ ( x – 3)( x – 5) = 0 Þ x = 3 sau x = 5. (5p)

b) A AMD

= 10 3 cm2; (5p)

c) ( ) 1tg m( ) m( ) 30

3 MBC MDC = ⇒ = ° ; (5p) d) 2,4. (5p)

2. a) V = 108 cm3; (5p)

b) Triunghiul BDC isoscel, e M mijlocul lui [ BC ]. Avem: BC ^ DM , BC ^ AM Þ BC ^ ( AMD) Þ ( BCD) ^ ( AMD) Þ AT ^ DM .

AT = d[ A; ( BCD)] ^ 6 3 3 6 21

73 7

AM AD AT

DM

⋅ ⋅= = = cm. (5p)

Testul 77


1. 2. 3. 4. 5. 6.

20

(5p)

{0; 1; 2}

(5p)

6

(5p)

6

(5p)

30 cm3

(5p)

900 m

(5p)



2. 90 lei şi 110 lei. (5p)

3. a) 40 – x = 3 · (16 – x) Þ x = 4 (în urmă cu 4 ani) (5p)

b) 40 + x = 2 (16 + x) Þ x = 8 (peste 8 ani) (5p)

4. a = 2 3− ; b = 2 3− Þ a · b = 12. (5p)

5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2

1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

x x x x

- - -- £ - Þ ³ Þ ³ Þ ³ - Þ

- - x є { – 2; – 1}. (5p)


1.

a) 10 3 BC = cm;A

ABCD = 100 3 cm2

. (5p)

b) În ∆ ABC T.C.Þ AB2 = AM · AC Þ AM = 5 Þ MC = 15 Þ

1

3

AM

MC = . (5p)




c)T.Î.

5 3 BM AM MC BM = ⋅ ⇒ = cm.

Din10 3

3 AMN MCB AN ∼∆ ∆ ⇒ = cm;

5 3

3 NM = cm. (5p)

d)1 1 10 3 25 3

52 2 6 6

AMN AM NM A = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = cm2. 50 32

ADC

AD DC

A

⋅

= = cm2. (5p)

2.a) Fie M mijlocul lui [ AC ]; BM = 3 2 ;

13

3OM BM OM = ⇒ = cm;

SM = 12 2 3= cm.

A l = 3 ·

18 2 318 3

2 2

AC SM ⋅ ⋅= = cm2. V = 9 3 cm3. (5p)

b) ( ); ( ) AC BM

AC BOS SB BOS AC SB AC SO

⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ⊥

⊥ (5p)

Testul 78


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

5

(5p)

1

(5p)

24

(5p)

54 3

(5p)

49

(5p)



2. 0 (5p)

3. 41 cm2. (5p)

4. a) 3m pentru o rochie; 2 m pentru o bluză. (5p)

b) 18 m. (5p)

5. Efectuarea calculelor. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte)1. a) x = 2 (5p)

b) P = 8 m; A = 1 m2. (5p)

c)14

14 m. (5p)

d)7

2π m2. (5p)

2.

a) 16 2 cm; (5p)b) AC = C'C = 16 cm; V = 1024 3 cm3; A

l = ( )256 256 3+ cm2; A b = 64 3 cm2;

A t = ( )128 2 3 3+ cm2. (5p)




Testul 79


1. 2. 3. 4. 5. 6.

18

(5p)

{– 3; – 1; 0; 1; 2; 3}

(5p)

1

6(5p)

10

(5p)

10 2

(5p)

6,56

(5p)



2. 40

55 55 55 22 77100

+ ⋅ = + = lei. (5p)

3. a)1

m 2 8a

a b+= = . (5p)

b)

1

4

1

4

a

b

a b

=⇒

+ =

4

1

4

a b

a b

= ⇔

+ =

1

20

1

5

a

b

= =

; 1m

10 g a b= ⋅ = . (5p)

4. 1

; 02

f P G Ox − = ∩

. (5p)

5.

(1 ) (1 3 ) x x+ −

(1 3 ) (1 3 ) x x+ −

1 1, \

1 3 3

x x

x

+ = ∈ ± +

. (5p)


1. a) Cu teorema unghiului de 30° Þ AB = 4 cm; T.P. Þ AC = 4 3 cm; AD = 2 3 cm. (5p)

b) Fie O mijlocul lui [ BC ]; O centrul cercului circumscris ∆ ABC Þ AO mediana

corespunzătoare ipotenuzei Þ 42

BC

AO = = cm, aplicând T.P. în ∆ ADO Þ Þ DO = 2 cm. (5p)

c) DE || AB Þ 3 3CD CE

DEC BAC CE CB CA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =∼ cm. (5p)

d)2

1

4

A

A

ABD

CBA

AB ABD CBA

BC

∼ ∆ ∆ ⇒ = =

. (5p)

2. a) Triunghiul VOM dreptunghic în O, VM = 10 cm, 6

2

ABOM = = cm; VO = 8 cm.

144 8

3843 3

V b A h⋅ ⋅

= = = cm3. (5p)




b) d(O; (VBC )) = ON, unde ON înălţime în ∆ VOM dreptunghic în O şi M mijlocul lui BC .

1 1 3

2 33 3 2

2 39

l OM AM

VM

= = =

=

Þ 12

13

OM VOON

VM

⋅= = . (5p)

c)A

piramida mică =A

trunchi şiA

piramidă mică +A

trunchi =A

piramida mare Þ

piramida mica 2

piramida mare

1

2

A

A k = = , unde

VOk

VO

′= şi O' є VO.

2 1

2k = ⇒

2

226 2

12 22

2

k VO

VOVO

VO

=′

′⇒ = ⇒ =′

=

cm. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

0

(5p)

2; 4; 7 sau 14

(5p)

76

(5p)

7,2

(5p)

600

(5p)

15

(5p)



2.

12

1 1 6

10

a b

a b

+ =⇔

+ =

12

3

5

a b

a b

ab

+ =+

=

12

20

a b

a b

+ =⇔ ⇒

⋅ =

10

2

a

b

=

=. (5p)

3. n = 5 · C 1 + 3/ +2 n + 2= 5(C 1 + 1) n + 2 5

n = 6 · C 2 + 4/ +2 n + 2= 6(C 2 + 1) n + 2 6

n = 8 · C 3 + 6/ +2 n + 2= 8(C 3 + 1) n + 2 8

n + 2 [5; 6; 8] = 120; n = 118. (5p)

4.G f ∩ Ox = { A( – 2; 0)}; G f ∩ Oy = { B(0; 2)};

2 2

22 2 AOB

OA OB

A

⋅ ⋅

= = = cm2

. (5p)

5. a)( 3)n + ( 1)

3

n

n

+

+ 1 , ( )n n = + ∈ ∀ ∈ . (5p)

b) { }2

2 2

( 2) ( 3)( 1) ( 3)( 3) 1, \ 3; 2; 1

( 3)( 1) 1( 3) ( 2)

x x x x x x x

x x x x x

+ − − − + −⋅ ⋅ = ∈ − − −

+ + +− +. (5p)


1. a) triunghiul ADM dreptunghic în A Þ 2 9 MD x= + triunghiul BMC dreptunghic în B Þ 2 64 MC x= + (5p)




b) triunghiul DMC dreptunghic în M Þ 22 73 DC x= + şi

triunghiul DEC dreptunghic în E Þ 24 25 DC x= + Þ

Þ 4 x2 + 25 = 2 x2 + 73; x2 = 24; x = 2 6 Þ DC = 11; AB = 4 6 . (5p)

c) P ABCD

=

( )4 7 6+ cm. (5p); d) A

ABCD

= 22 6 cm2. (5p)

2. a) A'C' || AC Þ m( (CD, A'C' )) = m( (CD, AC )) = m( ( ACD)) = 45°. (5p)

b) 4 2 A C A D DC BA BC BD′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = = = Þ BA'C'D este tetraedru regulat (are

feţele triunghiuri echilaterale) Þ d( B; ( A'C'D)) = înălţimea tetraedrului regulat este

egală cu8 3

3 cm. (5p)

Testul 82


59

(5p)

b

(5p)

15

(5p)

18

(5p)

180

(5p)

{1; 2; – 2}

(5p)



2. a + b + c = 72;72

36 8 10 6 8 10 24

a b c a b c+ += = = = = ⇒

+ + a = 18; b = 24; c = 30

R.T.P.Þ triunghiul ABC dreptunghic în A Þ 216

2A

a b

⋅= = cm2. (5p)

3. a) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 2 1 4 2 1 2 2 1 4 2 p pé ùê ú= + + - × Û = + + - ×ê úë û

p = 16; p = 42. (5p)

b) q = 1103. (5p)

4. 3

;02 f

G Ox A ∩ = −

; ( ){ }0;3 f G Oy B∩ = . Construim OM ^ AB, OM înălţimea

corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul AOB şi PQ ^ AB, O є AB.

|| AO OM

OM PQ AP PQ

⇒ = ; 3 9 3 5 3 5 9 5; ; ;

2 2 5 2 5 AO AP OM AB PQ= = = = ⇒ = (5p)

5. 2 2| 3 | (3 1) 3 E x y= − + + + ; E min Þ x – 3 = 0 şi 3 y + 1 = 0 Þ x = 3;

1

5 y = − . (5p)


1. a) Construim AD ^ BC, D є ( BC ) şi BE ^ AC , E є AC .

∆ ADB dreptunghic în D T.P.Þ AD = 24 cm; 432

2A ABC

AD BC

⋅= = cm2. (5p)




b)2 432

28,82 30

A ABC

AC BE BE

⋅ ⋅= ⇒ = = cm;

∆ ABE dreptunghic în E T.P.Þ AE = 8,4 cm Þ cos (m( BAC )) = 0,28

AE

AB= . (5p)

c) Fie C (O; OA) cercul circumscris triunghiului ABC ; O є AD şi AD ∩ C (O; OA) = A' .

( AA' ) diametru Þ m( ABA' ) = 90° Þ AB2 = AD · AA' Þ 900 75 75

24 2 2 4

AA AA R

′′ = = ⇒ = = ⇒ Lcerc =

752

2 R

ππ = cm. (5p)

d) Fie OM ^ AB; M є AB; [OM ] linie mijlocie în triunghiul ABA' Þ 2

A BOM

′= şi

triunghiul ABA' dreptunghic în B T.P.Þ

45

2 A B′ = ;

45

4OM = cm;

d(O; AB) =45

4 cm. (5p)

2. a) d( B; OO' ) = BM unde BM ^ OO' ; M є OO' ; triunghiul BOO' isoscel; BO = BO' = 5

triunghiul A'AB dreptunghic în A Þ A'B = 10 şi O mijlocul lui [ A'B] şi analog

triunghiul BCC' dreptunghic în C Þ BC' = 10 şi

2

BC BO

′′ = . [OO' ] linie mijlocie în triunghiul A'BC' Þ

Þ 42

AC OO′ = = cm. Triunghiul BOO' isoscel ( BO = BO' );

(OM ) înălţime ⇒ (OM ) mediană Þ OM = O'M = 2 cm.

Triunghiul BOM dreptunghic în M Þ BM = 21 cm Þ d( B, OO' ) = 21 cm. (5p)

b)28 3

16 34

A b⋅

= = cm2; A l = 3 · 6 · 8 = 144 cm2; A t = ( )16 9 2 3+ cm2. (5p)

Testul 83


1. 2. 3. 4. 5. 6.

1

(5p)

– 50

(5p)

413

(5p)

44

(5p)

220

(5p)

– x + 2

(5p)



2. ( ) ( ) ( )2 5 4 2 5 2 5 2 2 5 / : 2 5 x x x- > - Þ - > - - şi obţinem

2 5 0 2 ( ; 2) x x− < ⇔ < ⇔ ∈ −∞ (5p)

3. ( )2 2 2 2 3 2 2 2 3

22 \

2 3

a a b a a b

a

a b

− = − − ⇔ − = − −

− ∈ ⇒∈

− − ∈

2 0

2 3

a

a b

− = ⇒− −

2

4

3

a

b

=

= −. (5p)




4.

a)5

;02

f G Ox A ∩ =

; G

f ∩ Oy = { B(0; 5)}.

Fie α = m( BAO); triunghiul AOB dreptunghic în O 5

25

2

OBtg

OA⇒ α = = = . (5p)

b) 2

6 ( ) 18 6( ( ) 3) 6 6 3

( ( ) 3)( ( ) 3) 2 5 3 2 2 1( ) 9

f x f x

f x f x x x x f x

+ += = = = − ∈ ⇒

− + − + − − + −− x – 1 є { – 1; – 3} Þ x є {0; – 2} (5p)

5. 2 2( ) ( ) ( )( ) (10 10 ) (10 10 )

(9 9 )(11 11 ) 99( )( ) 9.

ab ba ab ba ab ba a b b a a b b a

a b a b a b a b

− = − + = + − − ⋅ + + + =

= − + = − + (5p)


1. a) [ MP ] linie mijlocie în triunghiul ABC Þ MP || BC ; BC = DN Þ MP || DN Þ Þ MPND trapez.(1)

[ NP ] linie mijlocie în triunghiul ABC Þ NP AB

=2

;

triunghiul ABC dreptunghic în D;

[ DM ] mediana corespunzătoare ipotenuzei Þ 2

AB DM = Þ NP = MD. (2)

Din (1) şi (2) deducem DNPM este trapez isoscel. (5p)

b) R.T.P. Þ BC 2 = AB2 + AC 2 Þ triunghiul ABC dreptunghic în A; 252

BC MP = = ;

152

AB NP DM = = = ;

triunghiul ABC dreptunghic în A Þ 30 4024

50

AB AC AD

BC

⋅ ⋅= = = .

triunghiul ABD dreptunghic în DT.P.Þ

2 2 2 230 24 (30 24)(30 24) BD AB AD= − = − = − + = 6 54 18⋅ = .

25 72

BC BN DN = = ⇒ = . P

DNPM = 62 cm. (5p)

c) Fie AD ∩ MP = {Q}; AD ^ BC; MP|| BC Þ AD ^ MP şi MQ || BD,

M mijlocul lui [ AB] Þ Q mijlocul lui [ AD]2

ADQD⇒ = şi

( )192

2A DNPM

MP DN DQ+ ⋅= = cm2. (5p)

d) DNPM - trapez isoscel 202

AC DP MN ⇒ = = = .

15

20

AM DM AMP DMP MDP BAC

AP DP

= =⇒ ≡ ⇒ ≡

= =. (5p)

2. a) [OM ] linie mijlocie în triunghiul ABD Þ OM || AD; AD ^ ( ABB' ); ( ) A B ABB′ ′⊂ ; AD ^ A'B Þ OM ⊥ A'B. (5p)






2. 70. (5p)

3. a) DA (5p) b) 150% (5p)

4.

(5p)

5. Simplicăm fracţia cu x + 2 sau comparăm produsul extremilor cu produsul mezilor. (5p)


1. a) 4 x2 + 310 x (5p); b) 5 m (5p); c) 1650 m2 (5p); d) 104 280 euro. (5p)

2. a) 9 m2 (5p); b) 4,5 m3 (5p)

Testul 86


1. 2. 3. 4. 5. 6.

3,7

(5p)

72;

2

(5p)

1,6

(5p)

1,6

(5p)

5

(5p)

8,3

(5p)



2. 2 ani. (5p)

3. a) x = 32 şi y = 72; (5p)

b) 52. (5p)

4. n = f ( s) = 10,5. (5p)


1. a) M şi N aparţin cercului cu diametrul OH deci m( HMO) = m( HNO) = 90° iarON şi OM sunt perpendiculare pe HA respectiv HB deci, OM || AH şi ON || HB.

Centrul dreptunghiului ind mijlocul segmentului [ AB] cele două segmente [OM ] şi [ON ] vor linii mijlocii în triunghiul HAB. (5p)

b) Avem: AB = 20 m, OH = 10 m deci raza cercului va avea lungimea de 5 cm.

A

cerc = π · 52

= 25π

cm2

≈ 25 · 3,14 m2

2 2

78,5 m 79 m < (5p)

c) C aparţine cercului cu diametrul [OH ] deci HC ^ OC şi 12 169,6

20 HC

⋅= = m. (5p)




d) 2635 lei. (5p)

2. a) 540 m2. (5p)

b) 750 m3. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

7

(5p)

12 2−

(5p)

{2; 5; 8}

(5p)

9

(5p)

4 2

(5p)

60 000

(5p)



2. 3 zile. (5p)3. a) 70 elevi; (5p) b) 80 elevi. (5p)

4. a = – 1 şi b = 1. (5p)

5. Notăm x 2 + 3 x = y. Avem: y( y + 10) + 25 = y2 + 10 y + 25 = ( y + 5)2.

Numărul dat se mai scrie ( x2 + 3 x + 5)2. (5p)


1. a) x = 0,8 m; (5p) b) 366 lei; (5p) c) 0,96 m; (5p) d) 0,75. (5p)

2. a) ( )3 3 2+ m; (5p) b) 344 m2. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

12 5 3

6

−

(5p)

{2; 3; 4}

(5p)

12

(5p)

90°

(5p)

48

(5p)

1

(5p)



2. 36 mere. (5p)

3. a) DA, ecare pachet va conţine 20 portocale, 8 napolitane şi 10 tablete de ciocolată.(5p)

b) 30 pachete. (5p)

4.

4

1 7

2 (5p)




n = a3 – a = a(a2 – 1) = a(a – 1)(a + 1).Dacă a = 3k şi k є , vom avea: n = 3k · (3k – 1)(3k + 1) 3Dacă a = 3k + 1 şi k є , vom avea:n = (3k + 1) · 3k · (3k + 2) 3Dacă a = 3k + 2 şi k є , vom avea:n = (3k + 2) · (3k + 1) · (3k + 3) = (3k + 2)(3k + 1) · 3(k + 1) 3. (5p)


1. a) 15 m2; (5p) b) 30 m2; (5p) c) 280 lei. (5p) d) 1,5. (5p)

2. a) 6000 cm2; (5p) b) 13,824 litri. (5p)

Testul 89


1. 2. 3. 4. 5. 6.

20,11

(5p)

2

(5p)

10

21

(5p)

3

(5p)

225 3

(5p)

–3

(5p)



2.

2 5

x y z

y = = (2p); 2 2 2

76 29 4 25 38

x y z = = = = (2p); 3 2; 2 2; 5 2 x y z = = = (1p)

3. Grupează câte 2 termeni Þ 3| S (2p) ; grupează câte 3 termeni Þ 7| S (2p) ; Finalizare (1p)

4. Calculează E (1) = 66 (3p) ; Scrie 66 = (63)2 (1p) ; Scrie 66 = (62)3 (1p)

5. Desenează un triunghi ABC , cu m( C ) = 30° şi BC = 2k , AC = k 3 (2p);

Duce AD BC ⊥ ( D є BC ) şi calculează AD, DC, BD. (2p);

Calculează m( CAD) = 60° şi m( BAD) = 30° Þ m( BAC ) = 90°. (1p);6. Din 3 x – 5 = 0, şi din 5 x – 5 = 0, şi din 7 x – 5 = 0 Þ S = {1} (5p)


1. Desenează corect gura (1p)

a) Construieşte CE || DB ( E є AB) şi deduce că triunghiul ACE este echilateral cu latura de

3 3 şi calculează înălţimea trapezului, egală cu 9

2. (4p)

b) Calculează aria trapezului, egală cu aria triunghiului echilateral, egală cu27 3

4 (5p)

2. Desenează corect gura. (5p)

a) Calculează aria totală, egală cu 108 cm2. (4p)

b) Calculează volumul piramidei, egal cu 36 3 cm3. (5p)




c) Calculează distanţa de la O la (VBC ), egală cu3 3

2 cm. (5p)

d) Calculează cosinusul măsurii unghiului planelor (VAD) şi (VBC ), egal cu1

2. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 2

(5p)

7

(5p)

6 cm

(5p)

1

(5p)

1

(5p)

b

(5p)


1. Pune corect în evidenţă punctul G. (5p)

2. Scrie că numărul este egal cu 3n+4, de unde deduce că n = 2 (3p)

Scrie 36 = (33)2 (1p); Scrie 36 = (32)3 (1p)

3. Desenează un triunghi ABC , cu m( C ) = 30° şi BC = 2 6 , AC = 3 2 . (2p)

Duce AD BC ⊥ ( D є BC ) şi calculează AD, DC, BD (2p)

Calculează m( CAD) = 60° şi m( BAD) = 30° ⇒ m( BAC ) = 90° (1p)

4.Ecuaţia se scrie, echivalent, 2 3 4 2009

1 1 1 .... 03 4 5 2010

x x x x+ + + +− + − + − + + = (3p)

1 1 1 1... 03 4 5 2010

x x x x− − − −⇔ + + + + = (1p); x = 1 (1p)

5. Desenează corect gura (1p)

Notează cu D (sau altfel) piciorul perpendicularei şi arată că d( D, BC ) este jumătate dind( A, BC ), căci ( BD) este şi bisectoare şi înălţime în ∆ ABE , unde { E } = AD ∩ BC . (2p)

Din8 d( ; )

242

ABC

A BC S

⋅= = cm2 ⇒ d( A; BC ) = 6 cm ⇒ d( D; BC ) = 3 cm (2p)

6. În raport cu împărţirea la 5, un număr întreg are una din formele:

5k , 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, unde k є (1p)

Pentru a = 5k + 3, obţinem: P (a) = 2(5k + 3)2 + 3(5k + 3) – 7 = 5(10k 2 + 15k + 4) adică, P (a) este divizibil cu 5 (2p)

Pentru celelalte forme, deducem că P (a) nu este divizibil cu 5; deci, mulţimea cerută

este {a є | a = 5k + 3, k є } (2p)


1. a) Considerăm punctul oarecare M pe o latură a

A B

C D

M N

E

O Q

P

pătratului şi { E } = MO ∩ BC, iar Q, mijloculsegmentului (OE ).

Unim Q cu C şi luăm N pe ( BC ) şi P pe (CD),astfel încât QC = QN = QP . Rezultă că triunghiul

MNP îndeplineşte cerinţele problemei. (5p)




b) Din f (2) = 2 · 2 = 4, deducem că valoarea funcţiei pentru x = 2 este 4, adică punctul

A(2; 4) aparţine gracului acestei funcţii. (5p)


1. a) Din m( A) = 75°, deducem că m( C ) + m( B) = 105° (1p)

Din 4m( C ) = 3m( B), obţinemm( ) m( ) m( ) m( ) 105

153 4 3 4 7

C B C B + °= = = = °

+;

deci, m( C ) = 45° şi m( B) = 60°. (5p)

b) Deducem înălţimea ( AD) ( D є BC ); rezultă că triunghiul ADC este dreptunghic

isoscel, iar triunghiul ADB este dreptunghic cu un unghi de 30°. Ştiind că

AB = 12 cm, deducem că BD = 6 cm şi 6 3 AD = cm; de asemenea,

DC = AD = 6 3 cm şi AC = 6 3 2 6 6⋅ = cm. Aşadar, perimetrul triunghiului

ABC este egal cu: ( )12 6 6 3 6 6 18 6 3 6 6 6 3 3 6+ + + = + + = + + cm. (5p)

c) Aria triunghiului ABC este egală cu2

BC AD⋅ , adică

( )

( )6 6 3 6 3

18 3 54 18 3 32

+ ×= + = + cm2 (5p)

2. a) Desenează gura corect (2p)

( ) ( ) ( )2 22

36 2 2 12 3 3456 24 6 AC AC ¢ ¢= + × = Þ = cm (3p)

b) Din triunghiul ABC' , cu m( ABC' ) = 90° Þ ( )( ) 36 2sin m24 6

AB AC B AC ′ = = =′ (5p)

c) Din faptul că patrulaterul BCC'B' este pătrat, deducem că 12 3 2 12 6 BC ′ = ⋅ = cm,

şi, deci, AC' = 2 · BC' . Dacă {O} = AC' ∩ BD' , obţinem că unghiul dintre cele două

diagonale este BOC , care are 60°; aşadar, cos(m( BOC' )) = cos 60° =1

2. (5p)

Testul 92


1. 2. 3. 4. 5. 6.

2

(5p)

x

(5p)

10

(5p)

1

(5p)

2

(5p)

12

(5p)


1. Desenează corect paralelipipedul şi pune în evidenţă diagonala ( BD' ). (5p)

2. Din condiţiile de existenţă a ecuaţiei rezultă x є \ {1; 3} (1p)

Þ ( x – 3)2 = ( x – 1)2 Þ x2 – 6 x + 9 = x2 – 2 x + 1 Þ – 4 x = – 8 Þ x = 2, S = {2} (4p)

3. Dacă m( A) = 70° Þ m( B) + m( C ) = 110° (1p)

Þ m( ) m( )

552 2

B C + = ° ⇒ în triunghiul BIC , m( BIC ) = 180° – 55° = 125°. (4p)




4. Calculăm numerele a şi b:

( )23 5 9 4 5 3 5 5 4 5 4 3 5 5 2a = − + − = − + − + = − + − =

3 5 5 2 1 1= − + − = =

( )

2

7 1 11 4 7 7 1 7 4 7 4 7 1 7 2b = − − − = − − − + = − − − =

7 1 7 2 1 1= − − + = = (2p)

Din faptul că a · b = 1 · 1 = 1, rezultă că a şi b sunt numere inverse (1p)

5. Oricare ar o ecuaţie de gradul al II-lea cu coecienţii diferiţi din mulţimea {2; 1; – 3}, pentru x = 1, va avea suma coecienţilor egală cu 0, ceea ce exprimă faptul că numărul 1este o rădăcină. (4p)

Aşadar, rădăcina comună a tuturor ecuaţiilor care îndeplinesc condiţiile din problemăeste 1. (1p)

6. Triunghiul BMD este isoscel, deci BMD ≡ BDM .Triunghiul CAN este isoscel, deci, CAN ≡ CNA.

Dar ABD ≡ ACD, deoarece ABCD este patrulater inscriptibil şi cum ele suntunghiurile de la vârf din triunghiurile isoscele de mai sus, rezultă BMD ≡ CNA,

deci patrulaterul AMND este inscriptibil. (3p)

Avem ABC ≡ ADN şi m( ADN ) + m( AMN ) = 180°.m( ABC ) + m( AMN ) = 180°, deci, MN || BC. (2p)


1. Am notat cu A1 şi A2, cele două dreptunghiuri, ale căror

z

x y

A1 A2

dimensiuni sunt x şi z , respectiv y şi z . Dacă A1 este pătrat,atunci 12 2 3 x z = = = cm. Rezultă că ariadreptunghiului A2 este 2 3 36 y z y⋅ = ⋅ = , adică

366 3

2 3 y = = cm. Dimensiunile dreptunghiului

iniţial sunt: 2 3 6 3 8 3 x y+ = + = cm şi 2 3 z = cm. (3p)

Dacă A2 este pătrat, atunci 36 6 y z = = = cm. Rezultă că aria dreptunghiului A1 este x · z = x · 6 = 12, adică x = 2 cm. Dimensiunile dreptunghiului iniţial, în acest caz, sunt:

x + y = 2 + 6 = 8 cm şi z = 6 cm. (2p)2. a) Din datele problemei, deducem:

180 180

7 (1)8 7

A B° − ° −= şi

180 180(2)

14 15

B C ° − ° −= (1p)

Amplicând egalitatea (1) cu 1

2 obţinem 180 180

(3)16 14

A B° − ° −= (1p)

Din (3) şi (2) obţinem şirul de rapoarte egale:

180 180 180 540 ( ) 540 180 360

816 14 15 16 14 15 45 45

A B C A B C ° − ° − ° − ° − + + ° − ° °= = = = = = °

+ + (1p)

Deducem: A = 52°; B = 68°; C = 60°. (1p)

b) sinC = sin 60° =3

2; cosC = cos 60° =

1

2; tgC = tg 60° =

3

3. (5p)




5. a) Din 3 3, x a= , rezultă 3,1 ≤ 3 x ≤ 3,9; împărţind cu 3, obţinem 1,0(3) ≤ x ≤ 1,3. Deci

cel mai mic număr cu care poate egal x este 1,0(3), iar cel mai mare, 1,3. (5p)

b) Din 7 9, x b= rezultă 9,1 ≤ 7 x ≤ 9,9; împărţind cu 7, obţinem 1,3 ≤ x ≤ 1,4(142857).

Deci, cel mai mic număr care poate egal cu x este 1,3, iar cel mai mare, 1,4(142857). (5p)

c) 3 3,

7 9,

x a

x b

==

obţinem inegalităţile 1, 0(3) 1, 31,3 1,4(142857)

x

x≤ ≤

≤ ≤. Deci 1,3 ≤ x ≤ 1,3, x = 1,3. (5p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 5a + 4

(5p)

2

(5p)

162°

(5p)

4

(5p)

3

4

(5p)

9 cm2

(5p)


1. Desenează corect un triunghi ABC şi punctul G, de concurenţă a medianelor. (5p)

2. Raportul se scrie( )23 2

(2 3)(2 3)

n n

n n

+

− + care se simplică cu (3 + 2n), obţinându-se 3 2

2 3

n

n

+−

. (5p)

3. Coborând perpendiculara MM' pe plan, unde M' aparţine planului, obţinem congruenţele

de triunghiuri: ∆ MM'A ≡ ∆ MM'B ≡ ∆ MM'C ≡ ∆ MM'D, conform cazului IC (2p)deci, M'A = M'B = M'C = M'D. Aşadar, există cercul cu centrul M' şi cu raza ( M'A),care conţine şi punctele B, C şi D. (3p)

4. Dacă M (2m; 10) aparţine reprezentării grace a funcţiei, deducem că valoarea funcţiei, pentru x = 2m, este 10 (2p)

deci, m · (2m) + 2 = 10 Þ 2m2 = 8 Þ m2 = 4 deci, m = – 2 sau m = 2. (3p)

5. Fie L, l şi i cele trei dimensiuni ale paralelipipedului şi d diagonala sa:5 3 2

L l i= = (1p)

Ştim că d 2 = L2 + l 2 + i2 Þ L2 + l 2 + i2 = 342 (1p)

2 2 2 2 2 2 342 925 9 4 25 9 4 38 L l i L l i+ += = = = =

+ + (1p)

2

2

2

25 9

9 9

4 9

L

l

i

= ⋅

= ⋅ ⇒

= ⋅

5 3 15 cm

3 3 9 cm

2 3 6 cm

L

l

i

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

(1p)

6. Pentru ca numărul 3 5 x y să se dividă cu 15, trebuie ca 3 5 x y să e divizibil, şi cu 3,

şi cu 5, deoarece, 3 şi 5 sunt prime între ele şi 3 · 5 = 15 (1p)

Pentru ca numărul 3 5 x y să e divizibil cu 5, trebuie ca y să e 0 sau 5. a) Dacă y = 0, 3 50 x este divizibil cu 3, dacă x є {1; 4; 7} (2p)

b) Dacă y = 5, 3 55 x este divizibil cu 3, dacă x є {2; 5; 8} (2p)





1. Dacă [VO] este înălţimea piramidei, deci, O se aă în planul pătratului, atunci, din

congruenţele ∆ VOA ≡ ∆ VOB ≡ ∆ VOC ≡ ∆ VOD, conform cazului IC (2p)

rezultă congruenţele [OA] ≡ [OB] ≡ [OC ] ≡ [OD], deci, O este centrul cercului circumscris

pătratului ABCD; aşadar, piciorul înălţimii coincide cu centrul pătratului (3p)

2.

Din datele problemei obţinem:2

6

( 12)

a b

b a

a a b

= − ⇒ + =

2 2

2 2

6

12

a b b

a b a

= −

= − (2p)

Scăzând ecuaţiile, membru cu membru Þ 12a – 6b = 0 Þ b = 2a (1p)

Astfel obţinem2

2 4 12 42 6 2 6

a a aa a a

a a a= ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

− − şi b = 8 (2p)

3. Prelucrăm numerele x şi y:

( )218 6 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 x = + + − = + − = + − (2p)

( )212 4 3 1 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 y = − + − = − − = − − (2p)

3 2 1 2 3 2 3 1 3 20

2am

+ − + − −⇒ = = care este număr raţional. (1p)

4. În triunghiul ACE , isoscel cu vârful C , [CN ] este mediană, deci şi înălţime CN AB⇒ ⊥ (2p)În triunghiul ABD, isoscel cu vârful B, [ BM ] este mediană, deci şi înălţime CN AB⇒ ⊥ (2p)În triunghiul ABC , unde { P } = BM ∩ CN Þ P este ortocentru, deci, dreapta AP includea treia înălţime AP BC ⇒ ⊥ (1p)

5. Observăm că oricare ar o valoare întreagă a lui n, numărul 2n2 – 4n + 3 esteîntotdeauna impar; (2p);de asemenea, observăm că numărul n2 – 3n = n(n – 3) este întotdeauna par (2p)

Þ pentru nicio valoare întreagă a lui n, n2 – 3n nu divide 2n2 – 4n + 3. (1p)

6. Ţinând seama de faptul că lungimea oricărei laturi a unui triunghi este mai mare decât

modulul diferenţei lungimilor celorlalte laturi, deducem că vom avea:

3 > |3k 1 – 3k 2| Þ 3 > 3 · |k 1 – k 2| Þ |k 1 – k 2| (2p)

Þ numerele k 1 şi k 2 sunt egale, deci triunghiul este isoscel. Deosebim 2 cazuri: (1p)

I) Unghiul de la vârf are

n°, deci ecare din unghiurile de la bază, are

0 0180

2

n−

(1p)II) Un unghi de la bază are n°, deci unghiul de la vârf are 180° – 2n°. (1p)

Testul 94


1. 2. 3. 4. 5. 6.

{ – 1; 0; 1}

(5p)

7

(5p)

8 cm2

(5p)

49,50 lei

(5p)

144 3

(5p)

6 2

(5p)


1. a) 480 lei; (5p) b) 552 lei; (5p) c) micşorat cu 8% (5p)




2. a = 1006 є ; b ∉ (25n + 23 are ultima cifră 3 sau 8 deci nu este pătrat perfect) (5p)

3. 5( 3) 3 6a b a− = − − a, b є , 5 3 0∉ ⇒ − = a şi b – 3a – 6 = 0 Þ a = 3 şi b = 15. (5p)

4. a) BC = 80 cm; (5p)

b) MN = 40 cm. (5p)

5. a) MN = 8 cm; (5p)

b) 20 3 AD = cm. (5p)


1. a) Din VB || α, ( )VB VAB⊂ , (VAB) ∩ α = MN Þ MN || VB. (5p)

b) Analog cu MN || VB avem PQ || VB deci PQ || MN (1). Din AC || α (vezi a) Þ MQ || NP

Din (1) şi (2) Þ MNPQ paralelogram; (5p)

c) 58 cm. (5p)

2. a) AA' || BB' , AD || BC Þ ( ADD'A' ) || ( BCC'B' ). (5p)

b) Planul α intersectează planele paralele ( ADD'A' ) şi ( BCC'B' ) după dreptele paralele

A'D' şi B'C' (1). Analog planul α intersectează planele paralele ( ABB'A' ) şi ( DCC'D' )

după dreptele paralele A'B' şi D'C' (2). Din (1) şi (2) Þ A'B'C'D' paralelogram. (5p)

c) 9 cm. (5p)

Testul 95


1. 2. 3. 4. 5. 6.

90

(5p)

8

(5p)

13

(5p)

7

36

(5p)

12 3 cm2

(5p)

24 cm

(5p)


1. 4 9

8 5

x

x

+

− +

(5p)

2. Fie x preţul iniţial. După prima scumpire obiectul costă 120% · x, iar după o scumpire

costă 120% · 120% · x. Deci 120% · 120% · x = 288000 Þ x = 200 lei. (5p)

3. ( – 6; 0); gracul funcţiei conţine punctele ( – 6; 0) şi (0; 2). (5p)

4. a) P ABC = 60 cm; A

ABC = 150 cm2. (5p)

b) 3,5 cm. (5p)

5. AB BC

ABC EBC BC EC

∆ ∆ ⇒ =∼ . (5p)


1. a) Din OB OA⊥ şi OB OC ⊥ rezultă ( )OB AOC ⊥ deci OB AC ⊥ . (5p)




b) Fie OD AC ⊥ , D є AC . Aplicând teorema celor trei perpendiculare rezultă DB AC ⊥ . Fie ( )OH ABC ⊥ , H є ( ABC ) şi cum OD AC ⊥ conform reciprocei teoremei celor

trei perpendiculare rezultă HD AC ⊥ , deci BD şi HD sunt ambele perpendiculare în D

pe AC şi cum B, H, D, C sunt coplanare rezultă că B, H, D sunt coliniare. Aşadar perpendiculara din O pe planul ( ABC ) cade pe înălţimea din B a triunghiului ABC .

Analog H se aă pe înălţimea din A a triunghiului ABC , deci H este ortocentrultriunghiului ABC . (5p)

c)OA OD

OH AD

⋅= ;

2 2

OC OB cbOD

BC b c

⋅= =

+

;2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

a b a c b c AD OA OD

b c

+ += + =

+

Deci2 2 2 2 2 2

abcOH

a b b c c a=

+ +. (5p)

2. a) ( )t 72 2 1A = + cm2; 72 2V = cm3. (5p) b) 90°. (5p) c) ( )3 2 3- cm. (5p)

Testul 96


1. 2. 3. 4. 5. 6.

11

(5p)

16;0; 2; 8 ;9,7(65); 36

3

− − −

(5p)

3

(5p)

14 saci

(5p)

12 cm

(5p)

1200000 l

(5p)


1.8

287

a b

a b

=⇒

− =

328

41

a

b

=

=. (5p)

2. f ( x) = x Þ 2 x – 3 = x Þ x = 3; A(3; 3). (5p)

3.6 12 18 1 2 3

a b c a b c= = ⇒ = = , a, b, c є , (1, 2, 3) = 1 Þ a = 1, b = 2, c = 3. (5p)

4.

a)A

ABCD = AB · AD · sin A = 16 · 8 · sin 60° =

64 3.

(5p)

b)

114

3 3

4

A A

A A

ABCD MBC

ABMD ABCD

= = . (5p)

5. ABCDEF hexagon regulat.

Þ triunghiul ACE echilateral,2 3

3 75 34

A ACE

AC AC AB= ⇒ = = . (5p)


1. a) Din ∆ ABA' Þ 5 3 AA′ = cm; ( )tot 100 3 50= +A cm2; V = 125 3 cm3; (5p)




b) m( ( D'C , ( ABCD))) = m( D'CD) = 60°. (5p)

c) d( M , ( ABCD)) + d( M , ( A'B'C'D' )) = AA' = 5 3 cm. Analog d( M, ( ADD'A' )) +

d( M , ( BCC'B' )) = AB = 5 cm, d( M, ( ABB'A' )) + d( M, ( DCC'D' )) = AD = 5 cm.

Suma distanţelor lui M la feţele prismei este ( )10 5 3+ cm. (5p)

2. a) lat 192 2A = cm2; htr = 4 cm; ( )2 2tr

1 16 8 16 83

V = + + × cm3 = 448 cm3. (5p)

b) 45°. (5p)

c) Secţiunea obţinută este un pătrat cu latura egală cu16 8

122

+= cm.A sect = 144 cm2.(5p)


1. 2.

3. 4. 5. 6.

– 55

(5p)

112

(5p)

72

(5p)

338 cm

(5p)

3 2 cm

(5p)

6π cm2

(5p)


1. – 9 + 5 – 21 + 29 = 4 (5p)

2. ( x, y) = (0, 3) (5p)

3. a) f ( x) = x; (5p) b) f ( – 11) = – 11 deci M ( – 1; 34) ∉ G f . (5p)

4. 54 3 5a b c= = = ⇒ a = 4k , b = 3k , c = 5k Þ a2 + b2 = c2 Þ

triunghiul ABC dreptunghic în C . (5p)

5. Fie trapezul ABCD, AB || CD, O intersecţia diagonalelor şi MN || AB, O є MN , M є AD, N є BC . Aplicând teorema fundamentală a asemănării în triunghiul ABD ( MO || AB) şi în

triunghiul ABC ( NO || AB) obţinem DA MO

DB AB= ,

CN NO

CB AB= (1).

Dar AB || MN || DC , AD şi BC secante ⇒ CN DM

CB DA= (2).

Din (1) şi (2) Þ MO = ON . (5p)


1. a) Din ( ) MA ABCD⊥ , AD DC ⊥ , AD, ( ) DC ABCD⊂ conform teoremei celor trei

perpendiculare rezultă MD DC ⊥ ⇒ d( M , DC ) = MD.

Din triunghiul MAD, m( A) = 90° Þ 4 2 MD = cm.

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul DBA Þ 4 2 BD = cm. Fie AE BD⊥ ,

E є BD, triunghiul ABD dreptunghic isoscel Þ 12 2

2 AE BD= = cm.

Din ( ) MA ABCD⊥ , AE DB⊥ , AE , ( ) DB ABCD⊂ , conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă ME DB⊥ ⇒ d( M, DB) = ME . Aplicând teorema lui Pitagora

în triunghiul MAE Þ 24 ME = cm. (5p)




b)1

8 22

A MBD BD ME = ⋅ ⋅ = cm2. (5p)

c) A ABCD

= 24 cm2; V prismă = A b · h = 24 · 4 = 96 cm3. (5p)

Testul 98


1. 2. 3. 4. 5. 6.

– 46

(5p)

14 lei

(5p)

8

(5p)

16 cm2

(5p)

148 cm2

(5p)

64 cm3

(5p)


1. 2 08

6 8 0 8

616 2 0

x

x x

x

> − > ⇒ < < − >

(1)

2 6 8 16 2

6 8 16 2 2 2, 4 4

16 2 2 6 8

x x x

x x x x

x x x

+ − > −

− + − > ⇒ < < − + > −

(2).

Din (1), (2) şi x є Þ x = 3. (5p)

2. ( x – 2)2 + ( y + 3)2 = 0 Þ ( x, y)= (2; – 3). (5p)

3. Fie x, y, z sumele primite de primul, al doilea respectiv de al treilea muncitor.2

3

7200

y x

y z

x y z

=

= ⇒ + + =

( x, y, z ) = (800; 1600; 4800). (5p)

4. a) 1 53

A A ABG ABC = = cm2. (5p)

b)1 1 1

3 3 3

A A A A

A

MGC MCG AMC BMC

AMB

= = ⇒ = . (5p)

5. Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul ABC 3

||4 16

AM AN AN MN BC

AB AC ⇒ = ⇒ = ⇒ AN = 12, CN = 4. (5p)

SUBIECTUL III (30 puncte)1. a) Fie M, N mijloacele segmentelor [ BC ], respectiv [ AD]. Deoarece piramida este

regulată rezultă că M, N şi centrul O al pătratului ABCD sunt coliniare.

Dreapta d , de intersecţie a planelor (VAD) şi (VBC ) este paralelă cu BC şi cu AD.

VM BC ⊥ , BC || d Þ VM d ⊥ , analog VN d ⊥ . (1) (VAD) ∩ (VBC ) = d (2);

Din (1) şi (2) Þ ( (VAD), (VBC )) = MVN Þ ∆ MVN este isoscel cu

m( ( MVN )) = 60°.

2 2lat

1 12

2 2A A VBC BC VM a a= ⋅ = ⇒ = . (5p)

b) Din triunghiul VMN Þ 3

2

aVO = ; A

ABCD = a2;

3 3

6V VABCD

a= . (5p)




c) Fie OS VM ⊥ , S є VM (1); OM BC ⊥ (2); SM BC ⊥ (3). Din (1), (2) şi (3) aplicând

reciproca teoremei celor trei perpendiculare rezultă ( )OS VBC ⊥ ⇒ d(O, (VBC )) = OS .

OS este înălţime în triunghiul dreptunghic VOM Þ 3

4

VO OM aOS

VM

⋅= = . (5p)

2.

a) 9 3A

ABD = cm

2

; 54 3V

ABDA B D′ ′ ′ = cm

3

. (5p)b) Din ( ) A A ABD′ ⊥ , AM BD⊥ , M є BD, AM, ( ) BD ABD⊂ conform teoremei celor

trei perpendiculare Þ A M BD′ ⊥ ⇒ d( A', BD) = A'M . Din A'AM Þ 3 7 A M ′ = cm. (5p)

c) ( A'C , ( ABD)) = ( AC, pr ( ABD) A'C ) = ( A'C, AC ) = A'CA.

tg (m( A'CA)) =6 3

36 3

AA

AC

′= = . (5p)

Testul 99


208

(5p)

3

2

(5p)

[0,3]

(5p)

10

(5p)

36

(5p)

35

(5p)


1. Desenează piramida (4p)

Notează piramida (1p)

2.

2a

a bm

+= (1p)

Suma numerelor este 35 (2p)

Celălalt număr este 35 − 7 = 28 (2p)

3. a) Notăm cu x preţul înainte de reduceri. 90% · 90% x = 81 (3p)

Rezolvarea ecuaţiei: x = 100 lei (2p)

b) p % din 100 = 81 lei (1p) p = 81 (2p)

Deci preţul, după cele două reduceri, s-a micşorat cu 19% (2p)

4. f (2) = a (1p)

f (2) = 6 − 2a (2p)

6 − 2a = a Þ a = 2 (2p)

5. ( )( )2 2 15 5 3 x x x x- - = - + (2p)

( )2

2 10 25 5 x x x- - = - (2p)2

2

2 15 3

510 25

x x x

x x x

- - +=

-- + (1p)





1. a) Fie M mijlocul muchiei [ BC ]. AM este distanţa de la punctul A la planul ( BCE ) (2p)

3 m AM = (3p)

b) A b = 3 (2p)

V

prismă = 3 3 m3

(1 punct pentru formulă) (3p)

c) Aria totală a cortului = 18 + 2 3 m2 (3p)

18 2 3 18 12 18 16 22,+ = + < + = deci sunt suficienţi 22 m2 de pânză. (2p)

2. a) 1 ha = 10000 m2 (2p)

8 ha = 80000 m2 (3p)

b) Triunghiul ABP isoscel (1p)

A ABP

=2

2

AB (1p)

A ABCD = AB · BC (1p)

A ABP

/ A ABCD

=1

4 (1p)

Finalizare. (1p)

c) 2 AB2 = 80000 (1p)

AB = 200 m (1p)

Din teorema lui Pitagora rezultă BP = 200 2 m (2p)

BP 283 m (1p)

Testul 100


1. 2. 3. 4. 5. 6.

4

(5p)

5

(5p)

3

(5p)

4 3

(5p)

60

(5p)

2

(5p)


1. Desenează piramida. (4p) Notează piramida. (1p)

2. 9 7 76

10

l m

l m

ì + =ïïíï + =ïî

(2p)

( )9 10 7 76m m- + = (1p)

m = 7 (2p)

3.a)

10.25 25%

4= = (2p)

25 < 30 < 40 (2p)

Persoana cheltuieşte cel mai puţin în a treia zi. (1p)



298Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

b) Persoana cheltuieşte 95% din S, deci îi rămân 5% din S (2p)

5% din S = 100 (1p)

S = 2000 lei (2p)

4. f (0) = 1 Þ A (0; 1) (2p)

f (1) = 0 Þ B (1; 0) (2p)

Trasarea gracului funcţiei (dreapta AB) (1p)

5.( )

2

5 2 7 2 10+ = + (2p)

7 2 10 10 2 10 10 p = + - - - + (2p)

15 p = Î (1p)


1. a) 2 2 2 2 AC AB BC CC ¢ ¢= + + (2p)

13m AC ¢ = (3p)

b) Aria laterală = P b · h (2p)

P b = 32 m (2p)

Aria laterală = 96 m2 (1p)

c) 96000 litri = 96000 dm3 = 96 m3 (1p)

48 · hapă

= 96 (2p)

hapă

= 2 m (2p)

2. a) Raza cercului = 15 m (1p)

Lungimea celor două semicercuri este egală cu lungimea unui cerc.

Lungimea cercului = 2p R (2p)

Lungimea gardului = (30p + 80) m (2p)

b) Aria dreptunghiului = 1200 m2 (1p)

Aria celor două semicercuri = 225p m2 (1p)

Aria patinoarului = (1200 + 225p) m2 (1p)

1200 + 225p < 1200 + 225 · 3,15 < 2000 (2p)

c) Triunghiul ABC este isoscel (1p)

sin m (

ABC ) = sin m (

ABO) =,

AO

AB unde O este mijlocul laturii [ BC ] (1p) AO = 15 m (1p)

Din teorema lui Pitagora rezultă AB = 25 m (1p)

sin m ( ABC ) =15 3

.25 5

= (1p)


1. 2. 3. 4. 5. 6.

10

(5p)

3

10

(5p)

10

(5p)

6

(5p)

45

(5p)

45

(5p)






2. a b b−( ) +( ) = ⇒ + ∈1 1 6 1 6 (2p)

a b a b, , , ; , ; , ; ,∈ ⇒ ( ) ∈ ( ) ( ) ( ) ( ){ } 2 5 3 2 4 1 7 0 (3p)

3. Se notează cu x preţul iniţial al televizorului;

preţul după scumpire este x x x+ =10 11

10% . (1p)

Preţul după ieftinire este11

1010

11

10

99

100 x x x−

=% . (2p)

99

1001980 x = (1p)

x = 2000 lei (1p)

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei (2p)

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei (2p)

Trasarea graficului funcţiei. (1p)

b) Fie punctul M (a , a). Avem f a a( ) = şi f a a( ) = − + 2 (3p)

Finalizare: ambele coordonate sunt egale cu 1. (2p)

5.3 2 5 6 3 3 2 2+( ) ⋅ −( ) = + (2p)

2 1 3 2 22

−( ) = − (2p)

a = ∈3 (1p)


1. a) AC AB AC 2 2 22 1800= ⇒ = . (2p)

CC AC ′ = = 30 2 cm. (3p)

b) AP ABC PAC , ( )( ) ≡ (2p)

∆ ACC ′ este dreptunghic isoscel (1p)

m AP ABC , ( )( ) = ° 45 (2p)

c) Fie PT ABC ⊥ ( ) şi cum A, C' , P sunt puncte coliniare, rezultă că T AC ∈ . (1p)

În ∆ APT PT

AP , sin 45° = (2p)

PT = 45 2 cm (2p)

2. a) OM = 8, unde O este mijlocul diametrului [ AB] (1p)

MD = + =8 24 8 102 2 m (3p)

Distanţa parcursă de albină este de 8 8 10+( ) m (1p)

b) Sunt 2 cercuri, fiecare cu raza r = 8 m. (2p)

Aria suprafeţei plantate cu flori este egală cu A = 2 π r 2 = 128 π m2. (3p)

c) Aria dreptunghiului este egală cu 512 m2. (2p) Aria porţiunii haşurate este egală cu 128 · (4 – π) m2 (1p)

π > 3,14 ⇒ 4 – π < 0,86 ⇒ 128 (4 – π) < 111 m2 (2p)



300Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014


1. 2. 3. 4. 5. 6.

15

(5p)

15

(5p)

(– ∞, 2]

(5p)

16

(5p)

150

(5p)

12

(5p)SUBIECTUL II (30 puncte)


2. b = +5 1 (2p)

ab = 2 (3p)

3. Notând cu x numărul fetelor din clasă, rezultă că numărul băieţilor este egal cu 26 – x (1p) x – 2 = 2 ⋅ (26 – x – 3) (2p)

Finalizare: x = 16 (2p) 4. a) Reprezentarea unui punct care aparţine graficului funcţiei f (2p)

Reprezentarea altui punct care aparţine graficului funcţiei f (2p)Trasarea gracului funcţiei (1p)

b) A a a G f a a f , −( )∈ ⇒ ( ) = − (2p)

− + = − ⇒ =2 3 3a a a (3p)

5.1

2

1

3

1+

−+

=+

x

x x (2p)

x

x x x−

+( ) − +( )=

+( )1

2 1 2

13 12 2

(2p)

E x( ) = 9 (1p)


1. a)A laterală

= P bazei

⋅ h (2p) A

laterală = 1600 cm2 (3p)

b) Notând cu hapă

înălţimea la care se ridică apa în vază, avem V apă

= A bazei

⋅ hapă

(1p)

A bazei

= 100 cm2 (2p)

V apă = 3000 cm3

⇒ hapă = 30 cm (2p)c)V

cub= 64 cm3 (2p)

Volumul celor 4 cuburi este egal cu 256 cm3 (1p)

Nivelul apei a crescut cu 2,56 cm (2p)

2.a) DB AD AB= +2 2 (2p)

DB = 35 cm (3p)

b) Distanţa de la E la AB este egală cu 21 cm (2p)Aria cerută este egală cu 294 cm2. (3p)

c) Notând cu P proiecţia punctului A pe dreapta EB, obţinem AP = 84 13

13 cm (2p)

sin AEB( ) =12

13. (3p)



T l 103

Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA

Documents

Transcript of Evaluare Nationala 2014 - Editura CABA