étude des fonctions

7/30/2019 tude des fonctions

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V- Etude de fonctions

Une fonction f (dune variable relle) fait passer dun nombre rel variable x un

nombrey

, et cela scrity

=f

(x

) :y

est fonction dex

.Pour visualiser ce passage, on se place dans un repre

orthonorm Ox, Oy form de deux axes perpendiculaires

qui portent des graduations de mme longueur. On passe

dun point x sur laxe des x vers le point correspondant

y = f(x) sur laxe de y en construisant un rectangle qui

donne le point de coordonnes (x,y=f(x)). Quandx varie,

ces points (x , y) donnent une courbe que lon appelle la

courbe reprsentative de la fonction. On dit aussi quil sagit de la courbe dquation

y =f(x).

1) Ensemble de dfinitionDfdune fonction

Cet ensembleDfest form des valeurs dex pour lesquellesf(x) existe.

Quand rencontre-t-on des problmes dexistence ? Les seuls cas notre niveau sont

les suivants :

La division par 0 est impossible. Une racine carre existe si et seulement si ce qui est sous le radical est suprieur

ou gal 0.

Un logarithme existe si et seulement si ce qui est sous le logarithme eststrictement positif.

La fonction trigonomtrique tangente (note tan) nexiste pas lorsquex= /2 +k(kentier relatif).

Cet ensemble de dfinition est soit donn par lnonc, dans ce cas on a intrt

vrifier quil est valable, soit il est dterminer.

Exemple : Dterminer lensemble de dfinition D de la fonction f telle que

ln( )

1

xf x

x=

.

La racine carre existe si et seulement si x

0. Le logarithme existe si et seulementsi x > 0. La division est impossible si et seulement si le dnominateur est nul, soit

1x = , ce qui quivaut x = 1. DoD = [0 1[ ]1 +[=R*+

- {1}.

Fonction paire, fonction impaire, fonction priodique

On dit que la fonction est paire si lon af(-x) =f(x) pour toutx deDf.Cela signifie que les deux points (x , y = f(x) ) et

(-x , f(-x) =f(x) =y) sont symtriques par rapport laxe

desy, et ils sont tous les deux sur la courbe def. La courbe

reprsentative de f est symtrique par rapport laxevertical. Lavantage est que lon peut se contenter dtudier


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la fonction pourx 0.

On dit que la fonction est impaire si lon af(-x) = -f(x) pour toutx deDf. Celasignifie que les points de la courbe (x ,y=f(x)) et (-x , f(-x)= -f(x)= -y) sont symtriques

par rapport au point O. L encore, on peut se contenter de rduire lintervalle dtude

auxx 0.

On dit que la fonction est priodique, de priode T, sif(x+T)=f(x) pour toutx deR. Il suffit de tracer une partie de la courbe sur un intervalle de longueur T, puis de la

reproduire indfiniment gauche et droite sur les intervalles successifs de longueur T.

Un exemple typique de fonction priodique est la fonction trigonomtrique sinus, qui

admet pour priode (la plus courte) T= 2, puisque sin(x+2) = sinx. On peut rduire

lintervalle dtude [0 , 2] ou si lon prfre [- , ], ou encore nimporte quel

intervalle pourvu quil ait pour longueur 2.

Changement de repre par translation des axes

On est amen faire un changement de repre lorsque lon dsire simplifier

lquation dune courbe. Notamment, si celle-ci semble prsenter un axe de symtrie

vertical, sans tre laxe des y, la fonction correspondante nest pas paire, mais si lon

prend un nouveau repre avec ce nouvel axe vertical, lquation de la courbe va

correspondre une fonction paire, et cela prouve quil existe un axe de symtrie vertical.

Considrons deux repres qui se dduisent partranslation, cest--dire que leurs axes restent

parallles deux deux. Le repre initial est Ox, Oy,

et le nouveau repre est OX, OY, avec O ayant

pour coordonnes (xO, yO) dans lancien repre.

Un pointMa pour coordonnes (x,y) dans lancien

repre, et (X, Y) dans le nouveau. La formule de

passage liant les deux coordonnes est :

'

'

O

O

x x X

y y Y

= +

= +comme cela se voit sur le dessin.


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3

Nous allons voir comment utiliser ce changement de repre dans lexemple suivant.

Exemple : Etude de la fonction trinme du second degr

Commenons par le cas particulier o l courbe a pour quation y = a x2, avec a

donn diffrent de 0. La fonction correspondante f(x)=ax2 est manifestement paire. La

courbe admet comme axe de symtrie laxe desy. Et elle passe par O. Par dfinition, on

dit que la courbe est une parabole daxe vertical de sommet O. On remarque aussi que si

a est positif, la courbe est tourne vers le haut, et que si a est ngatif elle est tourne vers

le bas.

Passons maintenant au cas gnral, avec f(x)=ax2+bx+c (a0). Lquation de la

courbe esty= ax2+bx+c .

Effectuons un changement de repre par translation, en prenant comme nouvelle

origine le point O avec :2 2 2

' '

4

et ( )2 2 4 2 4 4O Ob b b b b ac

x y f ca a a a a a

= = = + = = .

La formule de passage (des nouveaux aux anciens axes) est :

'

'

2

4

O

O

bx x X X

a

y y Y Ya

= + = +

= + = +

En procdant la substitution dans lquation y = a x2

+ b x + c de la courbe, cela

donne :2( ) ( )

4 2 2

b bY a X b X c

a a a

+ = + + + +

Aprs simplification, il reste Y= aX2. La courbe est une parabole de sommet O et

daxe vertical dquationx = -b/2a.

Application : Etudier la fonction 21

( ) 3 64

f x x x= + , et tracer sa courbe

reprsentative.

La courbe dquation 21

3 6

4

y x x= + est une parabole daxe vertical, tourne

vers le bas (puisque a = -1/4 est ngatif). Laxe de symtrie vertical a pour quation

x = -b/(2a) = 6. Le sommet de la parabole est (6, 3) et il correspond au maximum de la

fonctionf.

Labscisse des points dintersection de la

parabole avec laxe des x vrifie

213 6 0

4x x + = . Le discriminant de cette

quation du second degr est = 9-6 = 3. Ilest positif : lquation admet deux solutions

2(3 3) 6 2 3x = = .


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2) Limites et continuit

Dfinitions :

Une fonction f admet une limite (finie) L en x0, si f(x) , avec x dans Df, serapproche infiniment prs deL lorsquex se rapproche infiniment prs de x0.

1

Si fadmet une limite gauche (quandx tend versx0 par valeurs infrieures), et

aussi une limite droite (quandx tend versx0 par valeurs suprieures), et que ces

deux limites sont les mmes, la fonction admet une limite enx0.

Une fonctionfest continue enx0 lorsquelle admet une limiteL (finie) enx0 , etque cette limite estf(x0). Cela sous-entend quefest dfinie enx0 (f(x0) existe).

Pour comprendre voici quelques cas de figure :

(1) (2) (3) (4)

(1) Fonction ayant une limite gauche en x0, et une limite droite diffrente, donc

pas de limite en x0. En plus f(x0) est diffrent des limites gauche et droite. Pas de

continuit enx0 .

(2) Une limite gauche et une limite droite diffrente, donc pas de limite enx0, etla fonction nest pas continue enx0. Mais comme la limite droite est gale f(x0) on

peut dire que la fonction est continue droite.

(3) Une limiteL enx0 , mais cette limite est diffrente def(x0). La fonction nest pas

continue enx0.

(4) Le cas classique dune fonction continue en x0 (elle admet une limite en x0, et

cette limite estf(x0).

Une fonction fest continue sur un intervalle lorsquelle est continue en chacundes points de cet intervalle. Concrtement, cela veut dire que la courbe dune fonction

continue peut tre trace dun trait continu, sans lever la pointe du stylo.

On dmontre que les fonctions usuelles (polynmes, puissances, racines n,

logarithmes, exponentielles, fonctions trigonomtriques, etc., ainsi que leurs mlanges)

sont toutes continues sur leur domaine de dfinition. Il ny a donc aucun problme de

limite pour les points de lensemble de dfinition, puisque la limite en un point existe et

est toujours gale la valeur de la fonction en ce point.

1Plus prcisment,

0

lim ( )x x

f x L

= si pour tout intervalle J= [L - , L + ] avec aussi

petit que lon veut, on peut trouver un voisinage suffisamment petit [x0 -

,x0 +

] autour dex0(mais sans prendre x0 lui-mme) tel que tout nombre x, autre que x0, dans ce voisinage a une

imagef(x) dansJ.


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Les seuls problmes de limites se posent aux bornes du ou des intervalles de

dfinition de la fonction, lorsque ceux-ci sont ouverts.

Et les seuls problmes de continuit se posent lorsque la fonction prend des

expressions diffrentes sur des intervalles adjacents. Il y a alors un problme de

continuit la jonction.

Exemples

1) Soit ( )| |

xf x

x= . La fonction nest pas dfinie en 0 cause du dnominateur qui

serait nul. Do Df = R*. Sur R* la fonction est continue, plus prcisment

( ) 1x

f xx

= = sur R*+, et ( ) 1x

f xx

= =

sur R*- . Manifestement f admet en 0 une

limite gauche qui est 1, et une limite droite qui est 1. Maisfnadmet pas de limite

en 0.

2) Soit f(x) = sin (1/x) . A cause de 1/x, fnest pas dfinie en 0.Df=R*. Lorsquextend vers 0, 1/x tend vers +, le sinus ne cesse dosciller entre 1 et 1. Il ny a pas de

limite pour f(x) en 0.

3) Soit4

1( )

1

xf x

x

=

. Cette fonction nest pas dfinie pour x = 1, car on na pas le

droit de diviser par 0. Df=R {1}. Voyons son comportement au voisinage de 1. On

constate que4 3 2

3 21 ( 1)( 1)( ) 11 1

x x x x xf x x x x

x x

+ + += = = + + +

. Lorsquex tend vers

1, f(x) tend vers 4.

Prolongement par continuit

Continuons lexemple 3 ci-dessus. La fonction f est dfinie et continue sur

lensemble R {1}, mais par sur R. Mais on va pouvoir lui ajouter un point pour

quelle devienne continue sur R, en profitant du fait que f admet une limite en x=1.

Plus prcisment, on va prendre une nouvelle fonction F(elle a un point de plus que

lautre) :

( ) ( ) sur {1}

(1) 4

fF x f x D R

F

= =

=

La fonction Fest maintenant dfinie surR. Dautre part, lorsquex tend vers 1 (sans

tre gal 1), on a toujours F(x) = f(x), F et f ont la mme limite en 1, do

1 1lim ( ) lim ( ) 4x x

F x f x

= = . Et comme on a pris F(1) = 4, la fonction Fest continue en 1.

Maintenant la fonction F, obtenue en ajoutant un point f, est continue sur R. On dit

que Fest un prolongement par continuit def.

Par contre, si lon reprend lexemple 2 ci-dessus, o la fonction fna pas de limite

en 0, on ne pourra jamais effectuer un prolongement par continuit.


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Extension de la notion de limite linfini

Il peut arriver que lon ait faire tendre x vers linfini, et lon est amen dans ce cas

chercher la limite ventuelle de f(x). Il peut aussi arriver que lorsque x tend vers x0,

f(x) tende vers linfini.

En particulier : Six tend vers linfini, 1/x tend vers 0. Six tend vers 0+ (0 par valeurs suprieures), 1/x tend vers +. Lorsque x tend vers linfini et que f(x) est un polynme de degr n, tous ses

termes de degr infrieur n deviennent ngligeables par rapport au terme de degr n.

Exemple :f(x) = x2

+ 3x + 10 . Lorsque x tend vers , f(x) est quivalent x2, et

tend vers +. Pourquoi peut-on ngliger les termes de degr infrieur ? Il suffit dcrire:

f(x) = x2(1+3/x+ 10/x

2) et de constater que la parenthse tend vers 1, on a bienf(x) x

2.

Et cela se gnralise.

Lorsquex ouy ou les deux tendent vers linfini, on est amen tudier ce que lon

appelle une branche infinie de la courbe reprsentative de la fonction, comme on leverra plus bas.

Quelques proprits des limites

La limite dune somme de deux fonctions est la somme de leurs limites La limite dun produit est le produit des limites Sif(x) tend vers l lorsquex tend versx0, et que g(X) tend versL lorsqueXtend

vers l, alors g(f(x)) tend versL lorsquex tend versx0.

Sif(x) est continue en x0, et que g(x) est continue en f(x0), alors g(f(x)) est continue

enx0.

Cas dindtermination. Que faire dans ces cas ?

Lorsque lon cherche une limite, on peut tomber sur des formes indtermines

comme + - , ou 0 . , ou /, 0/0, ou 0

, etc., qui ne permettent pas de conclure.

On doit alors lever lindtermination. Pour cela, il suffit de faire ressortir linfiniment

petit qui intervient dans le problme, et une fois cela fait, il se produit une simplification

qui fera disparatre lindtermination, ce qui permettra de conclure.

Exemples

1) Limite de f(x) =2

1

2

x x

x

+ +pourx tendant vers +

On tombe sur la forme indtermine /. Pour lever lindtermination, on remarque

quex + 1 est ngligeable devantx2

linfini, do :

2 21 1 1, lim ( )

2 2 2 2 2x

x x x xf x

x x x +

+ + = = =

2) Limite de 1( )1

xf xx

=

lorsquex tend vers 1


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Cest de la forme indtermine 0 /0. Pour lever lindtermination, faisons ressortir

linfiniment petit x - 1, en multipliant en haut et en bas par 1x + :

1 ( 1)( 1)( ) 1

11

x x xf x x

xx

+= = = +

qui tend vers 2.

Allons plus loin en tudiant f et chercher un ventuel prolongement par continuit.

La racine carre x existe si et seulement si x0. Dautre part on na pas le droit de

diviser par 0, ce qui impose x 1, do Df=R+ {1}. Elle est seulement continue sur

R+ {1}, cest--dire sur chacun des intervalles [0,1[ et ]1,+[. Faisons alors un

prolongement par continuit en prenant la fonction Ftelle que :

( ) ( ) {1}

(1) 2

F x f x sur R

F

=

=

La fonction F est maintenant dfinie sur R, et au voisinage de 1, on a

1 1

lim ( ) lim ( ) 2x x

F x f x

= = . Fadmet une limite en 1 et cette limite nest autre que F(1)=2.

La fonction Fest continue en 1. Comme f, elle est aussi continue sur R {1}. Fest

continue surR.

3) Limite de1 1

( )x x

f xx

+ += lorsquex tend vers 0

Cest de la forme indtermine 0/0. Multiplions en haut et en bas par la quantit

conjugue du numrateur :

1 1 1 1 2( )

( 1 1) 1 1

x x x xf x

x x x x x x

+ + + + = = =

+ + + + + +qui tend vers 1.

Branches infinies

Une courbe admet une branche infinie lorsquun point qui circule sur la courbe sen

va linfini. On connat dj deux cas particulirement intressants, mais trs

particuliers :

1) La courbe (hyperbole) dquationy=1/x admet une branche infinie lorsquex tend

vers +, et dans ce casy tend vers 0. Cela signifie que la courbe se rapproche infiniment

prs de la droite dquationy=0, cest--dire laxe desx. On dit alors que cette droite est

une asymptote pour la courbe.

Lhyperbole admet aussi une autre branche infinie lorsque x tend

vers 0, puisque y tend alors vers linfini. La courbe se rapproche alors

infiniment prs de la droite dquation x=0, cest--dire laxe des y.

Cette droite est une deuxime asymptote pour lhyperbole.

Plus gnralement, et par analogie, on dit quune courbe admet une droite comme

asymptote si la distance entre un point de la courbe sen allant linfini et le point

correspondant sur la droite tend vers 0.


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2) La courbe (parabole) dquation y=x2

admet une branche infinie lorsque x tend

vers +, et dans ce cas, y tend aussi vers +. La droite (OM) de pente y/x=x tend devenir verticale lorsquex tend vers linfini. Enfin, la distance entre la

courbe et la droite limite (Oy) tend vers linfini (puisquil sagit dex).

On dit que la parabole admet une branche parabolique de direction

verticale. Et cela na rien voir avec une asymptote.

Plus gnralement, si une courbe admet une branche infinie avec x ety tendant vers

linfini, et que la pente de la droite (OM), savoir y/x , tend vers une position limite,avec une distance (entre la courbe et cette droite limite) qui augmente indfiniment, on

dira par analogie avec la parabole que la courbe admet une branche parabolique.

Revenons maintenant ltude complte de la branche infinie dune courbe.

Plusieurs cas se prsentent :

1) Lorsquex tend vers linfini,y tend vers un nombre fixey0.

Au voisinage de linfini, la courbe se rapproche infiniment prs de la droite

horizontale dquationy=y0. La droitey=y0 est une asymptote pour la courbe.

Exemple : y = 1+1/x. Lorsque x tend vers +, 1/x tend vers 0 et y tend vers 1. La

droite dquation y = 1 est une asymptote pour la courbe.

2) Lorsquex tend vers le nombre fixe x0, y tend vers linfini. Au voisinage delinfini, la courbe se rapproche infiniment prs de la droite verticale dquation x = x0.

La courbe admet une asymptote verticale.

Exemple :1

1y

x=

. Lorsquex tend vers 1,y tend vers linfini. La droite dquation

x = 1 est une asymptote pour la courbe.

3)x ety tendent tous deux vers linfini.

Lorsque le point M (x , y= f(x)) sen va linfini, on sintresse la droite (OM)

dont la pente esty/x. On distingue plusieurs cas :

3a) y/x na aucune limite, ni finie ni infinie. On ne peut rien conclure.

Exemple :y =x (2+sinx). Alorsy/x = 2+sinx qui ne cesse dosciller entre 1 et 3.

3b) y/x tend vers linfini. On en conclut que la courbe admet une brancheparabolique daxe vertical Oy (comme cela se produit pour la parabole dont lquation

est y =x2

).

3c) y/x tend vers 0. On en conclut que la courbe admet une branche parabolique

daxe Ox (comme cela se produit pour la demi-parabole dquationy= x ).


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3d)y/x tend vers une limite (finie) a diffrente de 0. Cela signifie que la droite (OM)

tend prendre une position limite oblique de pente a. On forme alors y ax, et lon

distingue plusieurs cas :

Si y a x nadmet aucune limite finie, on ne peut rien conclure de plus.Exemple :y = sinx +x, y/x tend vers 1, maisy x = sinx ne cesse dosciller entre 1

et 1.

Siy a x tend vers linfini, on dit que la courbe admet une branche paraboliquede direction a.

Exemple :y x x= + ,y/x = 1 +1/ x tend vers 1, maisy x = x tend vers linfini.

La courbe admet une branche parabolique de direction la premire bissectrice du

repre.

Si y a x tend vers une limite finie b, la courbe admet une asymptote obliquedquationy=ax+b.

En effet, prenons la droite dquationy = ax + b, qui est parallle la position limite

de la droite (OM) de pente a aussi. Donnons-nous une abscissex allant vers linfini, le

point correspondant sur la courbe a pour ordonney = f(x), et le point correspondant sur

la droite a pour ordonne ax + b. La distance verticale qui spare ces deux points est

f(x) - ax - b, au signe prs. Puisquelle tend vers 0, cela signifie que la droite est une

asymptote.

3) Drive

Dfinition

Soit un point x0 dans lensemble de dfinition Df. On dit que la fonction f admet

une drive enx0 si le taux daccroissement defau voisinage dex0 , soit0

0

( ) ( )f x f x

x x

,

tend vers une limite (finie) lorsquex tend versx0. On note cette drive f(x0).

0

000

( ) ( )'( ) limx x

f x f xf xx x

=

lorsque la limite (finie) existe.

Lorsque la fonction admet une drive en chaque point dun intervalle I, on dit

quelle est drivable surI.

Interprtation gomtrique

Sur la courbe reprsentative def, prenons un point fixeM0 (x0 ,f(x0)), et un pointM

(x ,f(x)) au voisinage deM0. La scante (M0M) a pour pente0

0

( ) ( )f x f x

x x

, cest--dire

le taux daccroissement. Lorsque M tend vers M0, et que le taux daccroissement tendvers une limite (la drive existe), la scante tend prendre une position limite, qui nest


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autre que la tangente la courbe en M0. Finalement la

drive en x0 est la pente de la tangente la courbe au

point dabscissex0.

Que se passe-t-il dans le cas o le taux daccroissement tend vers linfini ? Dans ce

cas, la drive nexiste pas, mais la courbe admet une tangente verticale au point

concern.

Il arrive aussi que la drive nexiste pas, et que la courbe nait pas non plus de

tangente au point concern.

Prenons le cas de la fonction f(x) =|x|, cest--dire f(x) = x pour

x 0 et f(x) = - x pour x 0. Au voisinage de 0, son tauxdaccroissement est +1 droite, et 1 gauche. Il nadmet donc pas

une limite en 0. La fonction nest pas drivable en 0, et la courbe

nadmet pas de tangente en ce point. Mais on peut dire que la

fonction est drivable droite, et quelle est aussi drivable gauche, ces deux drives

tant diffrentes. La courbe admet aussi une demi-tangente droite et une demi-tangente

gauche, de pentes 1 et -1.

Continuit et drivabilit

On dispose de cette proprit :

Si une fonction est drivable enx0, alors elle est aussi continue en ce point.2

Mais linverse nest pas vrai, comme le montre lexemple prcdent de la fonction

valeur absolue.

Drives usuelles

Toutes les fonctions usuelles sont drivables sur leur ensemble de dfinition, sauf la

fonction racine carre y = x qui est dfinie et continue sur R+ , mais seulement

drivable surR*+ ( la tangente la courbe en 0 est verticale3

).

2En effet, prenons le taux daccroissement 0

0

( ) ( )f x f x

x x

. Puisque la fonction est drivable

en x0, on peut crire0

00

( ) ( )'( ) ( )

f x f xf x x

x x

= +

avec (x) qui tend vers 0 lorsque x tend

versx0. Ainsi

0 0 0 0( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )f x f x x x f x x x x = + . On en dduit quef(x) f(x

0) tend

vers 0 lorsquex tend versx0. Puisquef(x) admet une limite et que cette limite estf(x0) ,fest bien

continue enx0.


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La drive dune constante est 0 : (K)= 0. Drive dexn : (xn) = nx n-1 pour n0. Drive de 1: ( ) '

2x x

x= . Cela revient appliquer la formule prcdente

pour n= 1/2.

Drive de sinus, cosinus, tangente :(sinx) = cosx , (cosx) = - sinx , (tanx) = 1 + tan

2x = 1/cos

2x.

Drive dune somme (u(x) + v(x)) = u(x) + v(x) Drive dun produit : (u(x) v(x)) = u(x) v(x) + u(x) v(x).

En particulier (Ku(x) ) = Ku(x).

Drive dun quotient :2

( ) ( ) '( ) '( ) ( )( ) '

( ) ( )

u x v x u x v x u x

v x v x

=

Drive dune fonction compose : g(f(x)) = g(f(x))f(x). On multiplie ladrive de la grosse fonction (comme sif(x) tait la variable) par la drive de la

petite.Notamment : (u(x)

n) = n u(x)

n-1u(x)

( )( ( ) ) '

2 ( )

'u xu x

u x=

Exemple : Etude de la fonctionftelle que2

( ) (1 ) 1f x x x=

1) Dterminer son ensemble de dfinitionD. la fonction est-elle continue sur D ?

La racine carre existe si et seulement si2 2

1 0, 1, | | 1 1 1x x x ou x .Lensemble de dfinition est D =[-1 , 1]. Comme la fonction f est la compose et le

produit de fonctions continues sur leur ensemble de dfinition, elle est continue surD.

2) La fonction est-elle drivable enx = 1 ? Enx = -1 ? Et ailleurs ? Donner la valeurde la drive l o elle existe.

La racine carre a un problme de drivabilit l o ce qui est sous le radical

sannule, en 1 et + 1.

Voyons si la fonction est drivable en 1. Au voisinage de 1 (par valeurs infrieures),

le taux daccroissement est

( ) (1)

11

f x f

xx

= . Celui-ci tend vers 0 lorsque x tend

vers 1-. Cela signifie que la drive existe enx = 1, et vaut 0. La tangente la courbe est

horizontale au point (1,0).

Pour tudier la drivabilit en 1, formons le taux daccroissement :

3Le taux de variation au voisinage de 0 est

1x

x x= qui tend vers + lorsquex tend vers

0+. La drive nexiste pas, mais la courbe admet une tangente verticale au point (0,0).


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12

(1 ) (1 )(1 )( ) ( 1) (1 ) 1

1 1 1

x x xf x f x x

x x x

+ = =

+ + +, puisque 1+x>0. Lorsque x tend

vers 1+, le taux daccroissement tend vers +. La fonction nest pas drivable en 1,

mais la courbe admet une demi-tangente verticale au point (-1,0).

Sur ]-1 , 1[ la fonction est drivable comme mlange de fonctions drivables, et on

trouve2

2

2 1'( )

1

x xf x

x

=

, tous calculs faits. Pour terminer ltude de la fonction il

conviendrait de chercher le signe de la drive, comme nous allons le voir.

4) Variations de la fonction

Une fonction f est dite croissante si f(x) augmente lorsque x augmente (ou bien

diminue lorsquex diminue). Plus prcisment, une fonction est croissante (au sens large)

sur un intervalle I si quels que soient x1 et x2 sur I avec x1 < x2 on a toujoursf(x1) f(x2). Elle est strictement croissante sur un intervalleIsi quels que soientx1 etx2

surI avecx1


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13

5) Courbe reprsentative de la fonction

Lorsque lon se donne une valeur de x, le calcul de y = f(x) est immdiat sur un

ordinateur. Il suffit dcrire la formule de la fonction fque lon sest donne. A partir de

la variablex (un nombre flottant) on passera au nombrey (lui aussi flottant), par le biais

de la fonction concerne

Par exemple, prenons la fonctionftelle que1

( )1

xf x

x x

+=

+ . Do le programme :

float f(float x)

{ float y; y=sqrt(x+1)/(sqrt(x+1.)-x); return y; }

Si lon veut connatre f(2,5) il convient, dans le programme principal, de demander

son affichage, en crivant : y=f(2.5) ; printf( %3.3f ,y) ;

Mais comment tracer la courbe ?

Il suffit de calculery =f(x) pour un grand nombre de valeurs dex, ce qui donnera la

courbe. Mais un problme dchelle se pose. Lorsque lon prend des points (x,y) avec

y=f(x), les valeurs prises par x (et y) sont en gnral de lordre de quelques units,

comme par exemple prendrex entre 3 et 3. Le problme est de passer des coordonnes

x , y aux coordonnes correspondantes xe , ye sur lcran, qui elles peuvent tre de

lordre de plusieurs centaines (de pixels), et sont des nombres entiers positifs. Voici

comment sy prendre :

On commence par faire un zoom, par exemple zoom=100, plus prcisment, on peutfaire des zooms diffrents pourx ety : X=zoomx . x et Y=zoomy . y. Dans le repre

OX,OY, le dessin se retrouve grossi. Puis on va transporter ce dessin sur lcran, o

lorigine Oe est en haut gauche de lcran, avec un axe horizontal vers la droite et un

axe vertical vers le bas. Cest dans ce repre que sont les coordonnesxe etye des points

de lcran. Sur lcran, on place lorigine O de lancien repre en un point (xo,yo) que

lon se donne. La formule de passage des coordonnes du repre initial (celui des

calculs) au repre sur lcran sen dduit :

xe = xo + zoom . x

ye = yo zoom . y


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Exemple : trac de la courbe de la fonctionfprcdente

Supposons que lon ait une zone cran de dimensions 640 sur 480. On se donne

xo=100, yo=250, et zoomx=zoomy=140. Avec ce zoom, une graduation de longueur 1

dans la zone des calculs devient une longueur de 140 pixels sue lcran. On commence

par tracer les axes de coordonnes, grce la fonction souvent appele line qui trace enfait un segment donn par les deux coordonnes de chacune de ses deux extrmits :

line(xo-100,yo,640,yo); line(xo,yo+250,xo,0);

Puis, laide dune boucle for(), on dessine un grand nombre de points, de faon

avoir lapparence dune continuit dans le trac.

for(x=-0.999; x


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Exercices

Exercice 1

Parmi tous les cylindres ayant le mme volume Vdonn, quel rapport doit-il yavoir entre le rayon de la baseR et la hauteurh pour avoir le cylindre de surface Sminimale ? (par surface on entend les deux bases et la surface latrale).

On a

2

2

2 2S R Rh

V R h

= +

=

Vtant donn, on peut exprimer h par rapport R :2

Vh

R= . En substituant dans la

premire quation, on obtient Scomme fonction deR :2 2

2 2 2( )V V

S R R

R R

= + = + . Il

reste tudier la fonction S(R) sur R*+, dont la drive est2

'( ) 2(2 )V

S R RR

= . La

drive sannule pour 3 3,2 2

V VR R

= = , et elle est du signe de

3

2 2

22

V R VR

R R

= , qui est aussi du signe de

32 R V , or cette quantit crot quand

R augmente, elle passe donc du signe ngatif au signe positif. On en dduit que Sadmet

un minimum pour 3

2

VR

= . Avec 3 ,

2

VR

= on trouve2

2V

h R

R

= = . Le cylindre de

surface minimale a sa hauteur gale au diamtre de sa base.

Exercice 2 : Obturateur

Dabord quelques rappels de trigonomtrie

Dans un triangle rectangle, le cosinus dun angle (forcment aigu) est le ct

adjacent sur lhypotnuse, le sinus est le ct oppos sur lhypotnuse, et la tangente est

le ct oppos sur le ct adjacent. Par projection orthogonale dun segment de longueur

L sur une droite faisant un angle avec le segment, on obtient un segment de longueur

L cos .Pour traiter le cas gnral dun angle orient (qui va de - +) on utilise le cercle

trigonomtrique (on reverra cela plus tard).

Voici quelques formules :

cos2x + sin

2x = 1

1 + tan2x = 1/cos

2x

cos (a+b) = cos a cos b sin a sin b cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a sin (a-b) = sin a cos b sin b cos a

cos 2x = cos2x sin

2x sin 2x = 2 sinx cosx


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On prend un carr ABCD de ct 1 et on y place

quatre segments issus de chacun de ses sommets etfaisant le mme angle x avec le ct correspondant,

comme sur le dessin. Cela donne un carr ABCDdont laire a est fonction de langle x, qui va de 0

/4.

1) Montrer que a(x) = (cosx sinx)2.

Dans le triangle rectangleAKD, on aAK= tanx, do KB = 1 tanx. Par projection

orthogonale,AB = KB cosx = (1 tanx) cosx = cosx sinx. Finalement :

a(x) = (cosx sinx)2

2) Montrer que cosx sinx = 2 cos( )4

x + .

2 cos( ) 2(cos cos sin sin ) cos sin4 4 4

2puisque cos sin .

4 4 2

x x x x x

+ = =

= =

3) Tracer la courbe reprsentative de a(x)

On a a(x) = 22cos ( )4

x + avecx dans [0,4 ]

On vrifie que a(0) = 1 et a(/4) = 0.

Exercice 3 : Etude de la fonction fn telle que ( ) 1n

nf x x x= ,n tant un nombre entier naturel donn.

1) Dterminer lensemble de dfinitionD defn .

fn (x) existe si et seulement si ce qui est sous le radical est positif ou nul : 1 x 0,

x1, doD = ]- , 1].

2) Etudier la fonctionf0 et tracer sa courbe reprsentative.


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On connat la courbe reprsentative de y x= qui est une demi-parabole daxe (Ox).

On en dduit que la courbe de y x= est aussi une demi-parabole daxe (Ox) avecx0

ety0.

Faisons un changement de repre par translation avec

comme nouvelle origine O (-1, 0). La formule de passage pourun point M(x ,y) (X, Y) est :

1x X

y Y

=

=. Lquation de la courbe prcdente devient

1Y X= . Cest lquation def0 , do la courbe :

3) Pour n>0, calculer la drive fn lorsquelle existe. Etudier prcisment la

drivabilit en 1.

On sait que x , dfinie et continue surR+ nest drivable que surR*+. Drivonsfn

sur ]- , 1[ o lon ne prend pas 1 :1

1

1

2 (2 1)' 1 avec 0

2 1 2 1

(2 (2 1) )

2 1

n n nn

n

n

x nx n xf nx x n

x x

x n n x

x

+= = >

+=

Pour tudier la drivabilit en 1, prenons le taux daccroissement au voisinage de 1-

:

1

1 1 1

n ny x x x

x x x

= =

de la forme 1/0+ = - lorsque x tend vers 1. La

fonction nest pas drivable en 1 mais la courbe admet une tangente verticale au point

(1,0).

4) Etudier le comportement linfini defn .

Lorsquex tend vers -, 1-x -x , fn (x) n

x x qui tend vers linfini (+ si n est

pair, - si n est impair). Formons 1 1( )

1n nnf x

x x x xx

= qui tend vers linfini,

mme pour n=1. La courbe admet une branche parabolique de direction (Oy).

5) Dresser le tableau de variations de fn , pour n positif, (n>0), en distinguant deux

cas selon que n est pair ou impair. Calculer en particulier la drive fn(0) qui na pas

toujours la mme valeur selon la valeur de n.


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Lorsque n est impair, n - 1 est pair , xn-1

reste 0. La drive est du signe de

2n (2n+1)x. Do le tableau de variations :

Lorsque n est pair, xn-1

change de signe de part et dautre de 0 :6)

fn (0) = 0 pour n > 1, cause dexn-1

= 0. Mais pour n = 1 ,fn (1) = 1.

6) Tracer les courbes reprsentatives de f1 et f2. Prciser la valeur de lextremum

atteint parf.

Exercices faire

Exercice 1

Programmer le trac de courbes sur lcran dordinateur.

Exercice 2

Un projectile est lanc par un canon avec une vitesse initiale v0 qui est toujours

la mme, et sous diffrents angles avec lhorizontale. On prendra comme origine

O des coordonnes le point do part le projectile. Le sol est reprsent par laxedesx.

On se donne langle entre 0 et /2 (90). Le projectile est soumis la seule force

verticale qui est son poids mg, en ngligeant les frottements dus la rsistance de lair.

(rappelons que g est lacclration de la pesanteur). Son mouvement obit la loi


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fondamentale de la dynamique F = ma , a tant lacclration (il sagit de vecteurs). Au

dpart, au temps 0, il se trouve en O (0,0). A linstant t, il se trouve enM(x ,y) avecx et

y qui sont des fonctions du temps t, et que lon veut dterminer. Le pointM se projette

enHet en Ksur les axes Ox et Oy. Les pointsHet Ksont soumis aux projections de la

force agissant sur M:H(x, 0) est soumis une force nulle, et K(0 ,y) est soumis la

force mg dirige vers le bas. On rappelle que la vitesse est la drive du dplacementpar rapport au temps, et que lacclration est la drive de la vitesse. Dans le cas

prsent, le point H est soumis une acclration nulle, soit x = 0 daprs la loi

fondamentale de la dynamique (x est la drive seconde de x(t) par rapport t), et le

point Kest soumis une acclration constante g , soit y = -g . tant entendu quil

sagit de drives par rapport au temps t.

1) Par intgration dterminerx en fonction de t. On devra trouverx = v0 cos. t.

2) Faire de mme poury. On trouvera 2 01

sin2

y gt v t= + .

3) Eliminer t pour dterminer y en fonction de x, ce qui donnera lquation de la

courbe dcrite par le projectile. On posera k= tan (lorsquex dcrit [0, /2[ , kva de 0

linfini, et pour chaque valeur de k, on a une courbe), et20

2

vb

g= . On obtiendra une

parabole avec une quation o interviennent la constante b et le paramtre k (

nintervient que par sa tangente k). Rappelons que 22

11 tan

cos

= + .

4) Dterminer la porteL du canon, cest--dire quelle distance du point de dpart

le projectile touche le sol. On trouvera20 sin2vL

g

=

5) Pour quelle valeur de langle obtient-on la porte maximale, et quelle est cette

porte ?

6) On prend maintenant entre 0 et . On admettra que lorsque va de /2 ,

do kde - 0- , lquation de la trajectoire parabolique reste la mme que celle que

lon a trouve prcdemment (mais kest ngatif maintenant). Lorsque kvarie dansR, on

obtient une famille de paraboles qui sont les trajectoires des projectiles lancs sous

diffrent angles avec une vitesse initiale v0 donne. On veut dterminer lenveloppe de

ces paraboles, cest--dire la courbe qui est tangente en chacun de ses points une

parabole de la famille. On admettra que les points (x,y) de cette enveloppe doivent

vrifier dune part lquation de ces paraboles, de la forme G(x, y, k)=0, et aussiG (x, y, k) = 0, o G est la drive par rapport k. En liminant k entre ces deuxquations, constater que lon obtient lquation dune parabole. Cette enveloppe

parabolique est appele parabole de scurit car la zone qui est situe au-dessus delle

est hors de porte des projectiles.

7) Programmer pour visualiser diverses trajectoires, ainsi que leur enveloppe qui estla parabole de scurit.


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Indication : On se donne v0=1 par exemple et g = 0,981. On peut videmment tracer

les paraboles partir de leur quation2 2

(1 )y b k x kx= + + , mais le mieux est dutiliser

le calcul diffrentiel qui a permis den arriver l. On va dterminerx ety en fonction du

temps t, par le biais de leur vitesse x,y et de leur acclration x,y. On commence

par se donner les conditions initiales au temps 0 : x=0, y=0, et les vitesses de x et y :

vx=v0*cos(phi); vy=v0*sin(phi). Puis on va avancer dans le temps. Pour cela, on divise

le temps en petits intervalles dt, par exemple dt= 0,001. Pendant chaque dt, x augmente

chaque fois de vx*dt(puisque par dfinition vx = dx/dt), on obtient ainsix en fonction

du temps (mouvement uniforme vitesse constante). Pour y, on part du fait que sonacclration ay reste fixe -g . Pendant chaque dt, y augmente chaque fois de vy*dt,

et vy augmente de ay*dt(par dfinition de lacclration ay = dv/dt), ce qui donne y en

fonction du temps (mouvement uniformment acclr). Le point (x,y) va dcrire une

parabole.

étude des fonctions

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