ESTADISTICA

INFERENCIAL WILLIAN DELGADO

C.I 22,333,432

Estadística Inferencial

Es la parte de la estadística matemática que comprende el estudio de los

métodos y procedimientos para la obtención del modelo de probabilidad (forma

funcional y parámetros que determinan la función de distribución) que sigue una

variable aleatoria de una determinada población, a través de una muestra (parte de la

población) obtenida de la misma para sacar conclusiones generales.

La estadística inferencial comprende como aspectos importantes:

• La toma de muestras o muestreo.

• La estimación de parámetros o variables estadísticas.

• El contraste de hipótesis.

• El diseño experimental.

• La inferencia bayesiana.

• Los métodos no paramétricos

Muestreo Probabilístico

Consiste en elegir una muestra de una población al azar.

Podemos distinguir varios tipos de muestreo:

• Muestreo Aleatorio Simple

Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se seleccionan al

azar los n elementos que contiene la muestra.

• Muestreo Aleatorio Sistemático

Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los

demás hasta completar la muestra.

• Muestreo Aleatorio Estratificado

Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de

individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato.

Teorema Central del Límite

Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de

tamaño n (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas

muestras siguen aproximadamente la distribución:

𝑁 𝜇:𝜎

𝑛

Estimación de Parámetros

Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro

poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.

Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un

valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un:

• Intervalo de confianza

Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza

específico.

• Nivel de confianza

Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 − α.

• Error de estimación admisible

Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Ejemplos de Estadística Inferencial

Aquí presentamos 3 ejemplo donde se aplica la Estadística Inferencial:

• Una encuesta desarrollada por una empresa en marzo del 2010, dice que el rating de radio

en Madrid esta encabezado por OC con un 10,5% seguido de RNE con 9,18%

• De acuerdo con una encuesta desarrollada por una empresa sobre telefonía residencial en

el 2009, el gasto mensual promedia por cliente es de 90,30 euros por cliente.

• El INI informó que la Encuesta Permanente de Hogares del mes de marzo 2010 reporto la

tasa más alta de desempleo que ascendió al 20% a nivel nacional.

En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento

de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100

departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere

seleccionar una muestra de 180 trabajadores.

Se utiliza un muestreo aleatorio estratificado, ya que queremos que haya representantes de

cada uno de los departamentos. Entonces el muestro es:

𝑁 = 150 + 450 + 200 + 100 = 900

180

900=𝑥1

150

180

900=𝑥4

100

180

900=𝑥2

450

180

900=𝑥3

200

Ejemplos de Estadística Inferencial

X1= 30 de personal

X2= 90 de Ventas

X3= 40 de Contabilidad

X4= 20 de atención de Clientes

Según los resultado se seleccionaría los

180 trabajadores de los diferentes

departamento de las empresa .

Distribución de Probabilidad

Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la

probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el

conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable

aleatoria.

Dada una variable aleatoria X, su función de distribución, FX(x), es

𝐹𝑥 𝑥 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝜇𝑝𝜔 ∈ Ω|𝑋(𝜔) ≤ 𝑥

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice \scriptstyle X y

se escribe, simplemente, F(x). Donde en la fórmula anterior:

𝑷𝒓𝒐𝒃, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria

sobre el espacio muestral.

𝝁𝒑, es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

Ω, es el espacio muestral

X: Ω→R , es la variable aleatoria en cuestión

Distribución Variable Aleatoria Discreta

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad

sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha

función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de

probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =

𝑘=−∞

𝑥

𝑓(𝑘)

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta

expresión representa la suma de todas las probabilidades -∞ desde hasta el valor X.

Distribución Variable Aleatoria Continua

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos

valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de

probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

𝐹(𝑥) = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = −∝

𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Distribución t de Student

Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de

una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

𝑍

𝑉 𝑣

donde

• Z tiene una lateral de media nula y mediana 1

• x tiene una distribución bilateral con 𝑣 grados de confianza

• o y z son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente𝑍+𝜇

𝑉 𝑉

es una variable aleatoria que sigue la

distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad 𝜇.

Distribución F de Ficher

Es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como

distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

𝐹 =𝑈1/𝑑1

𝑈2/𝑑2

donde

• U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad

respectivamente

• U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística,

especialmente en el análisis de varianza. Véase el test F.