Estadistica Espacial

7/24/2019 Estadistica Espacial

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XI Escuela de Probabilidad y EstadsticaCIMAT

Estadstica Espacial

Rogelio Ramos Quiroga

Guanajuato, Gto. 29 de febrero de 2012.

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Una Introducci on al Tema

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Geoestadstica, version simplicada

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

x

y

2 2 2 2 2

2 3 3 3 2

2 3 4 3 2

2 3 3 3 2

2 2 2 2 2

1 1

11

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

Prediccin

x

y

1.5 2 2.5 3 3.5

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

Errores estndar de prediccin

x

y

0.05 0 .1 0 .15 0 .2 0 .25 0 .3

3


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Geoestadstica, version simplicada

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

x

y

2 2 2 2

2 3 3 3 2

2 3 4 3 2

2 3 3 2

2 2 2 2 2

1 1

11

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

Prediccin

x

y

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

Errores estndar de prediccin

x

y

4


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Aplicaciones de Estadstica Espacial

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Hidrologa

Niveles piezometricos de un acufero. ( Cressie (1991) ).

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Procesamiento de Imagenes: Texturas

( Winkler (2003), Cross & Jain (1983), Geman & Geman (1984) )

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Ecologa

Densidad de arboles (en regi on de 4 has). ( Cressie (1991) ).

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Agronoma

( Besag & Higdon (1999) )

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Epidemiologa

Mapeo del riesgo de una enfermedad. Tasas de incidencia decancer de tiroides, en Francia, en el perodo 19711978.

( Besag, York & Mollie (1991) )

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Epidemiologa

Prevalencia de Malaria en Gambia.

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Epidemiologa

300 350 400 450 500 550 600

1

3 5 0

1 4 0 0

1 4 5 0

1 5 0 0

1 5 5 0

1 6 0 0

Prevalencia de Malaria en Gambia

OE (kilmetros)

S

N ( k i l m

e t r o s

)

Regin Oeste

Regin Este

Regin Central

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Pero primero, lo primero: Antecedentes

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Los inicios de la Geoestadstica

D.G. Krige en los 1950s

Predicci on del grado de mineral para regiones, basadas en muestreopuntual.

Sin supuestos de i.i.d., s olo vectores de observaciones espacialmentecorrelacionadas.

Impacto fuerte en minera.

G. Matheron en los 1950s y 60s

Primeras publicaciones detalladas sobre geoestadstica y kriging (acu n oeste termino en honor de Krige).

Lder de la llamada Escuela de Fontainbleau en Francia (en la Escuelade Minas).

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Geoestadstica y Estadstica Espacial

Geoestadstica Krige (1951) Matheron (1963)

Estadstica Espacial Kolmogorov (1941) Matern (1960) Whittle (1962) Bartlett (1964) Besag (1974)

Estamos hablando de lo mismo Watson (1972) Ripley (1981)

Cressie (1993)

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Kriging

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Predicci on con Error Cuadratico Mnimo

Sea T una variable aleatoria cuyo valor queremos predecir basandonos

en las realizaciones de y = ( y1 , , yn ) T . Sea T = t ( y) un predictorpuntual. El Error Cuadratico Medio de T se dene como:ECM( T ) = E[( T T )2 ]

Haciendo p = E( T |y), note que

ECM( T ) = E y E T ( T T ) 2 |y = E y E T ( T p + p T ) 2 |y = E y E T ( T p)2 |y + E y E T ( T p) 2 |y

= E y ( T p)2 + E y [ Var( T |y) ] E y [ Var( T |y) ]

El predictor con mnimo error cuadratico medio es

T = p = E( T |y) .A Var( T |y) se le llama Varianza de Predicci on .17


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Geoestadstica Basada en Modelos

Especicaci on del modelo:

Proceso estacionario gaussiano S ( x) , x R 2 :

i. E {S ( x ) } = .

ii. Cov S ( x ) , S ( x) =

2( || x x

|| ).

Observaciones independendientes, yi |S ( ) N ( S ( x i) , 2 ), condi-cionadas al proceso subyacente.

El modelo gaussiano implica que: yi = S ( x i) + ei con ei indepen-diente de S ( x i) y ei N (0 , 2 ).

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Tambien, el modelo gaussiano implica que:

y = ( y1 , , yn ) T N n ( 1 , 2 V )

donde V = R + ( 2 / 2 ) I y R ij = ( || x i x j || ).

Si deseamos efectuar una predicci on de T = S ( x) donde x esun sitio no muestreado, entonces el predictor con mnimo errorcuadratico medio es

T = p = E( T |y)para ello necesitamos la conjunta de y y T . Puede verse que T y N 1+ n

1 ,

2 1 r T

r V

donde r = ( r 1 , , r n ) T y r i = ( || x x i || ).19


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Recordar: Propiedades de Normal Multivariada

Si y N ( , ) y particionamos los diferentes vectores y matricescomo

y = y1y2, = 12

= 11 12 21 22

entonces, la distribuci on condicional de y1 | y2 , es Normal con

E( y1 | y2 ) = 1 + 12 122 ( y2 2 )Var( y1 | y2 ) = 11 12 122 21

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De las propiedades de la normal multivariada se tiene que el pre-dictor optimo (en el sentido de error cuadratico medio) es:

T = E( T |y) = + rT V 1 ( y 1)

y la varianza de predicci on es

Var( T |y) = 2 (1 r T V 1 r )

Kriging Simple : = y. Kriging Ordinario : = (1 T V 1 1) 1 1 T V 1 y.

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Predicci on Optima

T = E( T |y) = + rT

V 1

( y 1)En general, la estimaci on de no presenta gran dicultad, a un enpresencia de tendencias o covariables. Sin embargo, la parte real-mente crtica del predictor es la estimaci on de V . Los enfoquesasociados a su estimaci on dan lugar a dos escuelas en Geoes-tadstica:

Enfoque clasico : Estimar V usando el Variograma emprico.

Enfoque basado en modelos : Estimar V postulando modelosprobabilsticos especcos (comunmente el modelo normal) yusar las herramientas de inferencia usuales basadas en Verosimil-itud.

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Predicci on Optima

T = E( T |y) = + rT V 1 ( y 1)

Enfoque clasico : Kriging encontrar la combinaci on lineal de

las observaciones y1 , , yn que mejor prediga el valor de lasupercie en una localidad arbitraria x.

Enfoque basado en modelos : Kriging predicci on con mnimoerror cuadratico bajo supuestos de normalidad.

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Enfoque Clasico: Variogramas

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Variograma Te orico

El variograma de un proceso y( x ) es la funci on:

V ( x, x ) = 12 Var y( x ) y( x )

En el caso del modelo gaussiano, se tiene, con u = || x x ||

V ( u ) = 2 + 2 {1 ( u ) }

V ( u ) provee un resumen de los parametros basicos de la estructura

de un proceso espacial gaussiano.

En la practica, cuando el diseno muestral especica una sola ob-servaci on en cada sitio, el parametro 2 tiene una doble inter-pretaci on: Como la varianza del error de medici on o como la vari-abilidad espacial a una escala menor que la distancia mas peque na

entre puntos del dise no. Se le llama efecto Pepita (nugget) pueslos dep ositos de alto grado de mineral tienden a estar concentradosen venas.

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0 1 2 3 4 5

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Variograma

u

V ( u )

meseta

rango emprico

pepita

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Variograma Emprico

La contraparte del variograma te orico

V ( x, x ) = 12

Var y( x ) y( x )

es el Variograma Emprico que consiste de la graca de puntos( u ij , vij ), donde

u ij = || x i x j || y vij = [ y( x i) y( x j ) ] 2 / 2

El variograma emprico suaviza la nube de puntos promediandosobre intervalos u h/ 2 uij < u + h/ 2.

En procesos con media no-constante (e.g. cuando inclumos co-variables), el variograma se calcula sobre residuales

r ( x i) = y( x i) ( x i)para obtener las vij s.27


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Suiza: Datos de Lluvia (mm)

Este Oeste

S u r

N o r t e

[ 0 ,100)[100,200)[200,300)> 300

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0 50 100 150 200 250 300

0

5 0 0 0 0

1 0

0 0 0 0

Variograma: Datos de Precipitacin

u

V ( u

)

0 50 100 150 200 250 300

0

5 0 0 0

1 0 0 0 0

1 5 0 0 0

u

V ( u )

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Estimaci on de parametros en base al Variograma

Mediante el ajuste del variograma emprico al te orico se obtienenestimaciones de los parametros de la matriz de varianzas y covar-ianzas. Tpicamente se opta por un ajuste va mnimos cuadradosponderados:

W ( ) = k n k V k V ( u k ; ) 2donde es el vector de parametros de covarianza y V k es el prome-dio de nk valores del variograma vij .

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Estimaci on de parametros en base al Variograma

min W ( ) = k n k V k V ( uk ; )2

con V ( u ) = 2

+ 2

{1 ( u ) }

Modelos mas usados:

Exponencial : ( u ) = exp { ( u/ ) }, con 0 < 2.

Esferico : ( u ) = 1 3 / 2 ( u/ ) + 1 / 2 ( u/ ) 3 , 0 u .

Gaussiano : ( u ) = exp ( u/ ) 2 .

Matern : ( u ) = 2 1 ( ) 1

( u/ ) K ( u/ ) .

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Comentarios

La nube del variograma puede ser inestable, tanto a nivel pun-tual como en su forma global.

El efecto pepita ( 2 ) es difcil de estimar pues ocurre en unextremo de la regi on de distancias alrededor del origen.

Las ordenadas, vij , del variograma estan correlacionadas. Estopuede inducir un forma del variograma que es independientedel variograma te orico mismo.

El ajuste es sensible a la estimacion de la media (i.e. si seajusta una tendencia o no).

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Enfoque Basado en Modelos: Maxima Verosimilitud

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La familia de funciones de correlaci on de Matern

( u ) = 2 1 ( ) 1 ( u/ ) K ( u/ ) , > 0 , > 0

K ( ) : Funci on modicada de Bessel de orden .

( u ) = exp { ( u/ ) } corresponde a = 0 .5.

( u ) = exp { ( u/ ) 2 } corresponde a .

( u ) decrece conforme la distancia entre sitios, u, crece.

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Funciones de correlacin de Matrn

u

(

u )

= 0.5, = 0.25

= 1.5, = 0.16 = 2.5, = 0.13

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0 50 100 150 200

2

1

0

1

Procesos gaussianos unidimensionales subyacentes

Localidad

S ( x )

= 0.5, = 0.25 = 1.5, = 0.16

= 2.5, = 0.13

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Maxima Verosimilitud

Recordemos el modelo gaussiano: y N n ( 1 , 2 R + 2 I ), dondeR tiene elementos R ij = ( u ij ) y uij = || x i x j || .

Mas general, incluyendo covariables,

( x i) =

k

j =1 dk( x i) k = dT i

donde di = ( d1 ( x i) , , dk( x i)) T es un vector de covariables aso-ciado a la localidad i. Entonces el modelo gaussiano reformuladoes

y N n ( D,2

R + 2

I )

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Maxima Verosimilitud

La logverosimilitud asociada a y N n ( D, 2 R ( ) + 2 I ) es

l( , 2,

2, ) =

12 C + log |

2R ( ) +

2I | + ( y D )

T [

2R ( ) +

2I ]

1( y D )

Reparametrizando, 2 = 2 / 2 y haciendo V = R( ) + 2 I , te-nemos que, para V ja, el maximizador para esta dado por(mnimos cuadrados generalizados):

( V ) = ( D T V 1 D ) 1 D T V 1 y

y

2 ( V ) = ( y D )

T V 1 ( y D ) /nLa logverosimilitud perl para y 2 queda como:l( 2 , ) =

12 C + n log 2 ( V )+ log |V | + nla cual hay que maximizar numericamente con respecto a 2 y .

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0 50 100 150 200 250 300

0

5 0

1

0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

Suiza: Precipitacin Media Predicha

Este Oeste

S u r

N o r t e

100 200 300 400

40


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0 50 100 150 200 250 300

0

5 0

1

0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

Errores estndar de precipitacin media predicha

Este Oeste

S u r

N o r t e

20 40 60

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Predicci on de Funcionales No-Lineales

El predictor optimo no es invariante ante transformaciones no-lineales. Una forma de abordar el problema de predicci on es vasimulaci on. Por ejemplo, si queremos predecir la probabilidad deque en cierta localidad, x, ocurra un evento de precipitaci on queexceda el umbral de 200, entonces, T , la variable aleatoria deinteres puede considerarse como una variable Bernoulli con p =P[ y( x ) > 200]. Res umenes numericos apropiados de la simulacionrepetida de S ( x ) |y nos permiten efectuar esta predicci on.

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Dist. predictiva de excedencias a 200 mm

A200

F r e q u e n c y

0.36 0.38 0.40 0.42

0

5 0

1 0 0

1 5 0

43


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0 50 100 150 200 250 300

0

5 0

1

0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

Probabilidad de exceder 200 mm

Este Oeste

S u r

N o r t e

0.2 0.4 0.6 0.8

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Comentarios Finales

La Geoestadstica (y, consecuentemente, la Estadstica Espacial) tienen ungran campo de aplicabilidad: Meteorologa, Hidrologa, Minera, Cienciasdel Suelo, Epidemiologa, Agronoma.

Las tecnicas estandar de interpolaci on no incorporan informaci on sobre laestructura de correlaci on espacial. La Estadstica Espacial s.

Tpicamente, las tecnicas de interpolaci on no proveen medidas de incer-tidumbre puntual en sus ajustes. Kriging s, lo cual permite evaluar labondad de las predicciones.

El balance se inclina hacia el uso de predicci on basada en modelos; sinembargo no son la panacea pues, por supuesto, son dependientes de lavalidez del modelo. Aunque hay herramientas para evaluar esa validez.Estimaci on basada en variogramas tiene la ventaja de ser distribution

free, lo cual es un punto a su favor en terminos de robustez.

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Bibliografa

1. Diggle, P.J. & Ribeiro, P.J. (2007). Model-based Geostatistics. Springer.

2. Cressie, N. (1993). Statistics for Spatial Data. Wiley.

3. R Development Core Team (2011). R : A language and environmentfor statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna,Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/.

4. Ribeiro, P.J. & Diggle, P.J. (2001). geoR: A package for geostatisticalanalysis. R-NEWS, Vol.1, No.2, 15-18. ISSN 1609-3631.

5. Tgersen, F.A. & Badsberg, J.H. (2003). Geostatistics and Spa-tial Modelling. http://gbi.agrsci.dk/statistics/courses/JBS-Geostatistics-2003/

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