Estad stica Area de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa · Distribucion tn de Student ......

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Estad ´ ıstica Tema 3: C´alculo de Probabilidades Unidad 4: Algunas Distribuciones Notables de Variables Aleatorias ´ Area de Estad´ ıstica e Investigaci´on Operativa Licesio J. Rodr´ ıguez-Arag´on Noviembre 2010 Contenidos............................................................... 2 Variables Aleatorias Discretas 3 Distribuci´ on Uniforme .................................................... 4 Distribuci´ on de Bernoulli .................................................. 5 Distribuci´ on Binomial .................................................... 6 Distribuci´ on Binomial con R ................................................ 8 Distribuci´ on de Poisson ................................................... 9 Distribuci´ on de Poisson con R.............................................. 11 Variables Aleatorias Continuas 12 Distribuci´ on Uniforme ................................................... 13 Distribuci´ on de Uniforme con R ............................................ 14 Distribuci´ on Exponencial ................................................. 15 Distribuci´ on de Exponencial con R .......................................... 16 Distribuci´ on Normal ..................................................... 17 Distribuci´ on Normal con R ................................................ 18 Distribuci´ on Normal Est´ andar.............................................. 19 Teorema Central del L´ ımite ............................................... 23 Aproximaciones por la Normal ............................................. 24 Distribuci´ on χ 2 n de Pearson ................................................ 26 Distribuci´ on t n de Student ................................................ 30 Distribuci´ on F m,n de Snedecor ............................................. 34 1
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  • Estad́ıstica

    Tema 3: Cálculo de Probabilidades

    Unidad 4: Algunas Distribuciones Notables

    de Variables Aleatorias

    Área de Estad́ıstica e Investigación OperativaLicesio J. Rodŕıguez-Aragón

    Noviembre 2010

    Contenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    Variables Aleatorias Discretas 3

    Distribución Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Distribución de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Distribución Binomial con R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Distribución de Poisson con R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    Variables Aleatorias Continuas 12

    Distribución Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Distribución de Uniforme con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Distribución Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Distribución de Exponencial con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Distribución Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Distribución Normal con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Distribución Normal Estándar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Teorema Central del Ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Aproximaciones por la Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Distribución χ2n de Pearson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Distribución tn de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Distribución Fm,n de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1

  • Contenidos

    � Variables Aleatorias Discretas.

    – Uniforme, Bernoulli, Binomial, Poisson.

    � Variables Aleatorias Continuas.

    – Uniforme, Exponencial, Normal, aproximaciones por la Normal, χ2 de Pearson, t deStudent y F de Snedecor.

    Presentamos en este tema algunas Distribuciones de Variables Aleatorias, primero

    discretas y luego cont́ınuas, a continuación presentaremos su Esperanza y Varianza.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 2 / 37

    Variables Aleatorias Discretas 3 / 37

    Distribución Uniforme

    Sea X una variable aleatoria que toma valores x1, x2, . . . , xk con igual probabilidad, entonces laFunción de Probabilidad de esta Variable Aleatoria Uniforme viene dada por,

    f(x; k) = 1/k para x = x1, x2, . . . , xk,

    siendo k un parámetro de la distribución de probabilidad.

    Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

    E(X) = µ =k∑

    i=1

    xif(xi) =k∑

    i=1

    xik

    .

    Var(X) = σ2 =

    k∑

    i=1

    (xi − µ)2k

    =

    k∑

    i=1

    x2ik

    −(

    k∑

    i=1

    xik

    )2

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 4 / 37

    2

  • Distribución de Bernoulli

    Daniel Bernoulli (1700-1782). Se conoce como prueba de Bernoulli, todo experimento aleatorio enel que sólo son posibles dos resultados, eg. “éxito” o “fracaso”. Definamos X como la variablealeatoria que toma el valor 1 con probabilidad p, “éxito”, y 0 con probabilidad 1 − p, “fracaso”.

    La Función de Probabilidad de la Variable Aleatoria X vendrá dada por,

    f(x; p) = px · (1 − p)1−x , para x = 0, 1.

    Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

    E(X) = 0 · f(0) + 1 · f(1) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.

    Var(X) = E(X2) − E(X)2 = (0 · f(0) + 1 · f(1)) − p2 = p − p2 = p(1 − p).

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 5 / 37

    3

  • Distribución Binomial

    Supongamos que realizamos n experimentos de Bernoulli, con probabilidad de “éxito” p para cadauno de ellos. Definamos la Variable Aleatoria X como el número de éxitos en esas n ejecucionesdel experimento.La Función de Probabilidad es la siguiente:

    f(x;n, p) =

    (

    n

    x

    )

    px(1 − p)n−x , para x = 0, 1, 2, . . . , n,

    siendo n y p parámetros de la distribución de probabilidad.

    Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones,

    E(X) = µ = E(X1 + · · · + Xn) = E(X1) + · · · + E(Xn) = np.

    Var(X) = σ2 = Var(X1) + · · · + Var(Xn) = np(1 − p).Con Xi variables aleatorias independientes de Bernoulli.

    Las gráficas de la Función de Probabilidad y la Función de Distribución de una variable aleatoriaBinomial, de parámetros n = 10, p = 0.3.

    0 2 4 6 8 10

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    0.25

    Distribución Binomial: n = 10, p = 0.3

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    0 2 4 6 8 10

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Distribución Binomial: n = 10, p = 0.3

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 6 / 37

    4

  • Distribución Binomial

    Variable Aleatoria Binomial de parámetros n = 10, p = 0.6.

    0 2 4 6 8 10

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    0.25

    Distribución Binomial: n = 10, p = 0.3

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    0 2 4 6 8 100.

    00.

    20.

    40.

    60.

    81.

    0

    Distribución Binomial: n = 10, p = 0.6

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 7 / 37

    Distribución Binomial con R

    Función de Probabilidad:

    > x plot(x, dbinom(x, size=10, prob=0.6), xlab="Número de Exitos",

    + ylab="Probabilidad",

    + main="Distribución Binomial: n = 10, p = 0.3", type="h")

    > points(x, dbinom(x, size=10, prob=0.6), pch=16)

    > abline(h=0, col="gray")

    Función de Distribución:

    > x x plot(x[-1], pbinom(x, size=10, prob=0.6)[-length(x)],

    + xlab="Número de Exitos", ylab="Probabilidad Acumulada",

    + main="Distribución Binomial: n = 10, p = 0.6", type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 8 / 37

    5

  • Distribución de Poisson

    Siméon Denis Poisson (1781-1840). Una Variable Aleatoria discreta X se dice que es una variablede Poisson si su función de probabilidad es de la forma:

    f(x;λ) =λxe−λ

    x!, para x = 0, 1, 2, . . . ,

    siendo λ un parámetro positivo.

    Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones,

    E(X) = µ =∞∑

    x=0

    xf(x) =∞∑

    x=0

    xλxe−λ

    x!= λe−λ

    ∞∑

    x=0

    λx−1

    (x − 1)! = λ.

    Var(X) = σ2 = E(X2) − E(X)2 = E(X(X − 1)) + µ − µ2 = µ = λ.La distribución de Poisson se presenta en experimentos en los que se estudia la ocurrencia de

    sucesos en un intervalo de tiempo dado. Usualmente para sucesos “raros”, pi

  • Distribución de Poisson

    Función de Probabilidad y de Distribución,

    0 5 10 15

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    Distribución Poisson: Media = 6

    x

    Pro

    babi

    lidad

    0 5 10 150.

    00.

    20.

    40.

    60.

    81.

    0

    Distribución Poisson: Media = 6

    x

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    λ = 6

    La distribución de Poisson aproxima de forma muy acertada a la distribución Binomial cuandon > 25 y p < .1 y np = λ < 5

    0 2 4 6 8 10

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    Distribución Binomial: n = 30, p = 0.1

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    0 2 4 6 8 10

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    Distribución Poisson: Media = 3

    x

    Pro

    babi

    lidad

    f(x;n, p) =

    (

    n

    x

    )

    px(1 − p)n−x → f(x;λ) = λxe−λ

    x!

    Para un proceso de Poisson, la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en n intentos vienedada por el ĺımite de la distribución binomial.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 10 / 37

    7

  • Distribución de Poisson con R

    Función de Probabilidad:

    > x plot(x, dpois(x, lambda=6), xlab="x", ylab="Probabilidad",

    + main="Distribución Poisson: Media = 6", type="h")

    > points(x, dpois(x, lambda=6), pch=16)

    > abline(h=0, col="gray")

    Función de Distribución:

    > x x plot(x[-1], ppois(x, lambda=6)[-length(.x)], xlab="x",

    + ylab="Probabilidad Acumulada",

    + main="Distribución Poisson: Media = 6", type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 11 / 37

    8

  • Variables Aleatorias Continuas 12 / 37

    Distribución Uniforme

    Cuando el valor de la variable aleatoria se mide y no se cuenta, entramos dentro del concepto devariable aleatoria continua.

    Una Variable Aleatoria será Uniforme en el intervalo (a, b) si su Función de Densidad esconstante, es decir:

    f(x) =

    1b−a para a < x < b

    0 en el resto.

    Su Función de Distribución, viene dada por:

    F (x) =

    ∫ x

    −∞

    f(t)dt =

    0 si x ≤ a,x−ab−a para a < x < b

    1 si x ≥ b.

    Siendo a y b los parámetros de la distribución.Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

    E(X) =

    ∫ ∞

    −∞

    xf(x)dx =

    ∫ b

    axf(x)dx =

    a + b

    2.

    Var(X) =

    ∫ ∞

    −∞

    (x − µ)2f(x)dx = E(X2) − E(X)2 = (b − a)2

    12.

    Las gráficas de la Función de Densidad y de la Función de Distribución para una VariableAleatoria Uniforme en (0, 1),

    −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Distribución Uniforme: mín=0, máx=1

    x

    Den

    sida

    d

    −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Uniform Distribution: min=0, max=1

    x

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 13 / 37

    9

  • Distribución de Uniforme con R

    Función de Densidad:

    > x plot(x, dunif(x, min=0, max=1), xlab="x", ylab="Densidad",

    + main="Distribución Uniforme: mı́n=0, máx=1", type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Función de Distribución:

    > x plot(x, punif(x, min=0, max=1), xlab="x",

    + ylab="Probabilidad Acumulada",

    + main="Uniform Distribution: min=0, max=1", type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 14 / 37

    10

  • Distribución Exponencial

    Una Variable Aleatoria X sigue una distribución Exponencial si su Función de Densidad vienedada por,

    f(x;λ) =

    λe−λx para x ≥ 0 y λ > 0

    0 en el resto.

    Su función de Distribución será,

    F (x) =

    ∫ x

    0f(t)dt =

    {

    0 si x ≤ 0,1 − e−λx para x ≥ 0

    Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones,

    E(X) = µ =

    ∫ ∞

    0xf(x)dx =

    1

    λ.

    Var(X) = σ2 = E(X2) − E(X)2 = 1/λ2.La representacón gráfica de las Funciones de Densidad y de Distribución para una Variable

    aleatoria que siga una distribución Exponencial de parámetro λ = 5,

    0.0 0.5 1.0 1.5

    01

    23

    45

    Distribución Exponencial: λ = 5

    x

    Den

    sida

    d

    0.0 0.5 1.0 1.5

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Distribución Exponencial: λ = 5

    x

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    La distribución Exponencial modeliza el tiempo transcurrido entre dos sucesos “raros”consecutivos modelizados por la distribución de Poisson.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 15 / 37

    11

  • Distribución de Exponencial con R

    Función de Densidad:

    > x plot(x, dexp(x, rate=5), xlab="x", ylab="Densidad",

    + main=expression(paste("Distribución Exponencial: ",lambda," = 5")),

    + type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Función de Distribución:

    > x plot(x, pexp(x, rate=5), xlab="x",

    + ylab="Probabilidad Acumulada",

    + main=expression(paste("Distribución Exponencial: ",lambda," = 5")),

    + type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 16 / 37

    12

  • Distribución Normal

    Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). La Distribución Normal es clave en multitud defenómenos naturales. Sobre todo destacar la distribución de errores de medida, que siguen unadistribución Normal.

    Una variable aleatoria X, se dice que sigue una distribución Normal si su Función de Densidad esde la forma,

    f(x;µ, σ) =1

    σ√

    2πexp

    {

    −(x − µ)2

    2σ2

    }

    ,

    con −∞ < x < ∞ siendo µ y σ parámetros de la distribución.

    En estad́ıstica esta distribución se conoce como la “distribución normal”. Mientras en otroscampos se conoce con el nombre de distribución Gaussiana o Campana Gaussiana.

    Representación gráfica de las funciones de densidad de diferentes N (µ, σ),

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Distribución Normal: µ =−1, 0, 1, σ =1

    x

    Den

    sida

    d

    µ = −1

    µ = 0

    µ = 1

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Distribución Normal: µ = 0 , σ = 0.5, 1, 1.5

    x

    Den

    sida

    d

    σ = 0.5

    σ = 1

    σ = 1.5

    La Esperanza y la Varianza de una variable aleatoria X de distribución N (µ, σ), sonrespectivamente,

    E(X) =

    ∫ ∞

    −∞

    xf(x)dx =1

    σ√

    ∫ ∞

    −∞

    xe

    {

    −(x−µ)2

    2σ2

    }

    dx =

    z = (x − µ)/σ, dx = σdz

    =1√2π

    ∫ ∞

    −∞

    (µ + σz)e−z2/2dz = µ

    Var(X) = E((X − µ)2) = σ2

    √2π

    ∫ ∞

    −∞

    z2e−z2/2dz =

    u = z, dv = ze−z2/2dz

    =σ2√2π

    (

    [

    −ze−z2/2]∞

    −∞+

    ∫ ∞

    −∞

    e−z2/2dz

    )

    = σ2(0 + 1) = σ2

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 17 / 37

    13

  • Distribución Normal con R

    Función de Densidad:

    > x plot(x, dnorm(x, mean=0, sd=1),col="blue",xlab="x", ylab="Densidad",

    + main=expression(paste("Distribución Normal: ", mu, " = 0 , ", sigma, " = 1")),

    + type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Función de Distribución:

    > x plot(x, pnorm(x, mean=0, sd=1),col="blue",xlab="x", ylab="Probabilidad Acumulada",

    + main=expression(paste("Distribución Normal: ", mu, " = 0 , ", sigma, " = 1")),

    + type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 18 / 37

    14

  • Distribución Normal Estándar

    La función de Distribución de una N (µ, σ),

    F (x) =1

    σ√

    ∫ x

    −∞

    exp

    {

    −(t − µ)2

    2σ2

    }

    dt.

    La transformación Z = (X − µ)/σ nos proporciona valores de una distribución normal de mediacero y varianza uno, N (0, 1).

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Distribución Normal: µ = 0, σ = 1

    x

    Pro

    babi

    lidad

    Acu

    mul

    ada

    Definimos entonces la Función de Distribución de la Normal Estandarizada o Tipificada,

    Φ(z) =1√2π

    ∫ z

    −∞

    exp

    {

    − t2

    2

    }

    dt

    Esta integral no puede calcularse por métodos ordinarios, debemos acudir a integración numérica,esta función Φ se encuentra recogida en las Tablas de la Normal Tipificada.

    De esta forma si X sigue una distribución N (0, 1), para el cálculo de P(a < X < b) podemoshacer uso de las tablas,

    P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a).La “distribución normal estandar” se obtiene al tomar una distribución normal con parámetrosµ = 0 y σ2 = 1.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 19 / 37

    15

  • Distribución Normal Estándar

    X ≡ N (0, 1), P(1 < X < 2) = Φ(2) − Φ(1)

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Φ(2)

    x

    Den

    sida

    d

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Φ(1)

    x

    Den

    sity

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Φ(2)−Φ(1)

    x

    Den

    sity

    P(1 < X < 2) = Φ(2) − Φ(1)

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 20 / 37

    16

  • Distribución Normal Estándar

    Si X sigue una distribución Normal cualquiera, N (µ, σ), la P(a < X < b) puede calcularserealizando la transformación, Z = (X − µ)/σ, es decir:

    P(a < X < b) = P((a − µ)/σ < Z < (b − µ)/σ) == Φ((b − µ)/σ) − Φ((a − µ)/σ).

    Una conclusión de la definición de Φ es que,

    Φ(−x) = 1 − Φ(x),

    esta relación es muy útil ya que en la mayoŕıa de las tablas, Φ sólo aparece tabulada para valorespositivos de x.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 21 / 37

    17

  • Distribución Normal Estándar

    Vamos ahora a calcular,P(µ − kσ < X < µ + kσ),

    para X ≡ N (µ, σ),

    P(µ − kσ < X < µ + kσ) = P(−k < (X − µ)/σ < k) == Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1,

    que no depende ni de µ ni de σ.

    P(µ − σ < X < µ + σ) = 2Φ(1) − 1 = 0.6826895P(µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 2Φ(2) − 1 = 0.9544997P(µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 2Φ(3) − 1 = 0.9973002

    > 2*pnorm(1,mean=0,sd=1)-1

    [1] 0.6826895

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 22 / 37

    Teorema Central del Ĺımite

    • Si X1,X2, . . . ,Xn son n variables aleatorias independientes yX = k1 · X1 + k2 · X2 + · · · + kn · Xn, entonces X es otra v.a. de media y varianza:

    E(X) =∑

    i

    kiE(Xi) Var(X) =∑

    i

    k2i Var(Xi)

    Si las Xi son normales, también lo será X.

    • Si las v.a. X1, . . . ,Xn, constituyen una muestra de una población de media µ y varianza σ2 yX = 1n

    Xi, es la media muestral:

    E(X) =1

    n

    i

    E(Xi) = µ Var(X) =1

    n2

    i

    Var(Xi) =nσ2

    n2=

    σ2

    n

    Además se tendrá que X ≡ N (µ, σ2/n), n > 30.

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 23 / 37

    18

  • Aproximaciones por la Normal

    Si X es una variable Binomial, de parámetros n y p, entonces si n es grande y ni p ni 1 − p sonpróximos a cero:podemos considerar que X sigue aproximadamente una distribuciónN (µ = n · p, σ2 = n · p · (1 − p)).

    Z =X − n · p

    n · p · (1 − p)≡ N (0, 1).

    25 30 35 40 45 50 55

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    Distribución Binomial: n = 100, p = 0.4

    Número de Exitos

    Pro

    babi

    lidad

    25 30 35 40 45 50 55

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    Distribución Normal: µ = 40, σ = 4.8989

    x

    Den

    sida

    d

    Si X es una distribución de Poisson de parámetro λ grande, λ > 25, en la práctica se puedeconsiderar que X sigue una distribución N (µ = λ, σ2 = λ).

    Z =X − λ√

    λ≡ N (0, 1).

    20 30 40 50

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    Distribución de Poisson: λ = 36

    x

    Pro

    babi

    lidad

    20 30 40 50

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    Distribución Normal: µ = 36, σ = 6

    x

    Den

    sida

    d

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 24 / 37

    19

  • Aproximaciones por la Normal con R

    Aproximación de la Binomial por la Normal:

    > x plot(x, dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(24)), xlab="x", ylab="Densidad",

    + main=expression(paste("Distribución Normal: ", mu, " = 40, ", sigma, " = 4.89")),

    + type="l")

    > x points(x, dbinom(x, size=100, prob=0.4), col="red", pch=16)

    Aproximación de la distribución de Poisson por la Normal:

    > x plot(x, dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(40)), xlab="x", ylab="Densidad",

    + main=expression(paste("Distribución Normal: ", mu, " = 40, ", sigma, " = 6.32")),

    + type="l")

    > x points(x, dpois(x, lambda=40), col="blue", pch=16)

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 25 / 37

    20

  • Distribución χ2n de Pearson

    Karl Pearson (1857-1936). Sean X1,X2, . . . ,Xn, n variables aleatorias independientes entre śı, deltipo N (0, 1). La variable:

    X = X21 + X22 + · · · + X2n,

    se dice que es una χ2n, ji-cuadrado de Pearson con n grados de libertad.La función de densidad de una variable aleatoria χ2n es:

    f(x;n) =

    xn/2−1e−x/2

    2n/2·Γ(n/2)si x > 0

    0 en el resto.

    Siendo Γ la función gamma definida: Γ(α) =∫∞

    0 xα−1e−xdx para α > 0. La Esperanza y

    Varianza de la distribución χ2n, son respectivamente,

    E(X) = µ = n

    Var(X) = σ2 = 2n

    0 2 4 6 8 10 12

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Distribución χ2 : n = 1,2,3,4,5

    χ2

    Den

    sida

    d

    n = 1

    n = 2n = 3

    n = 4n = 5

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 26 / 37

    21

  • Distribución χ2n de Pearson

    Propiedad: La suma de χ2n1, χ2n2 , . . . , independientes, es otra χ

    2n siendo n = n1 + n2 + . . . .

    La Función de Distribución F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ χ2n,

    P(X < a) = p =

    ∫ a

    0f(x;n)dx.

    El cálculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribución χ2n de Pearson.

    > qchisq(0.95,df=3)

    [1] 7.814728

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 27 / 37

    22

  • Distribución χ2n de Pearson

    Más en concreto la Función de Distribución Inversa: para distintos valores de n y de p se puedebuscar en la tabla su cuantil a.

    0 2 4 6 8 10

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    0.25

    χ2 n=3, P(X x plot(x, dchisq(x, df=1), xlab=expression(chi^2), ylab="Densidad",

    + main=expression(paste("Distribución ", chi^2," : n = 1,2,3,4,5")), type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    > abline(v=0, col="gray")

    > text(1,1,"n = 1",col="black")

    > lines(x, dchisq(x, df=2),col="blue")

    > text(2,.34,"n = 2",col="blue")

    > lines(x, dchisq(x, df=3),col="green")

    > text(3,.31,"n = 3",col="green")

    > lines(x, dchisq(x, df=4),col="red")

    > text(4,.28,"n = 4",col="red")

    > lines(x, dchisq(x, df=5),col="pink")

    > text(5,.25,"n = 5",col="pink")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 29 / 37

    23

  • Distribución tn de Student

    William Sealy Gosset (1876-1937). Sea Z una variable aleatoria N (0, 1) e Y una χ2n ambasindependientes, entonces la variable aleatoria,

    X =Z

    Y/n,

    se denomina tn de Student con n grados de libertad.La función de densidad de una variable aleatoria tn es:

    f(x;n) =

    1√

    nβ( 12, n2)

    (

    1 + x2

    n

    )−(n+1)/2para −∞ < x < ∞y n > 0

    0 en el resto.

    Siendo β la función beta definida: β(α1, α2) =Γ(α1)·Γ(α2)Γ(α1+α2)

    para α1, α2 > 0.La Esperanza y Varianza de la distribución tn, son:

    E(X) = µ = 0, para n > 1, indefinida para otros valores.

    Var(X) = σ2 =n

    n − 2 , para n > 2, indefinida para otros valores.

    −3 −2 −1 0 1 2 3

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Distribución t Student : n = 1,2,3,4

    x

    Den

    sida

    d

    N(0,1)

    n = 1

    n = 2

    n = 3

    n = 4

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 30 / 37

    24

  • Distribución tn de Student

    Propiedad: A medida que aumenta n, tn −→ N (0, 1).

    La Función de Distribución F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ tn,

    P(X < a) = p =

    ∫ a

    −∞

    f(x;n)dx.

    El cálculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribución tn de Student.

    > qt(0.975,df=5)

    [1] 2.570582

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 31 / 37

    25

  • Distribución tn de Student

    Más en concreto la Función de Distribución Inversa: para distintos valores de n y de p se puedebuscar en la tabla su cuantil a.

    −4 −2 0 2 4

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    t n=3, P(X x plot(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), xlab="x", ylab="Densidad",

    + main="Distribución t Student : n = 1,2,3,4",, type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    > text(2,.38,"N(0,1)",col="black")

    > lines(.x, dt(x, df=1),col="blue")

    > text(2,.36,"n = 1",col="blue")

    > lines(.x, dt(x, df=2),col="green")

    > text(2,.34,"n = 2",col="green")

    > lines(.x, dt(x, df=3),col="red")

    > text(2,.32,"n = 3",col="red")

    > lines(.x, dt(x, df=4),col="pink")

    > text(2,.30,"n = 4",col="pink")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 33 / 37

    26

  • Distribución Fm,n de Snedecor

    George Waddel Snedecor (1881-1974). Sean U y V dos variables independientes distribuidassegún leyes ji-cuadrado de m y n grados de libertad respectivamente, la variable X,

    X =U/m

    V/n,

    se dice que es una variable Fm,n de Snedecor con m y n grados de libertad, en el numerador ydenominador respectivamente.La función de densidad viene dada por la expresión,

    f(x;m,n) =

    (m/n)m/2

    β(m2

    , n2) · x

    m/2−1

    (1+ mn x)(m+n)/2 para x > 0 y m,n > 0

    0 en el resto.

    La Esperanza y la Varianza de una distribución Fm,n son:

    E(X) = µ =n

    n − 2 , para n > 2, indefinida para otros valores.

    Var(X) = σ2 =2n2(m + n − 2)

    m(n − 2)2(n − 4) , para n > 4, indefinida para otros valores.

    0 2 4 6 8

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    Distribución F: m,n

    f

    Den

    sida

    d

    m=1, n=1

    m=2, n=1

    m=5, n=2

    m=100, n=1

    m=100, n=100

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 34 / 37

    27

  • Distribución Fm,n de Snedecor

    Propiedad: Si X ≡ Fm,n entonces 1X ≡ Fn,m.

    La Función de Distribucón F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ Fm,n,

    P(X < a) = p =

    ∫ a

    0f(x;m,n)dx.

    El cálculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribución Fm,n de Snedecor.

    > qf(0.95,df1=3,df2=4)

    [1] 6.591382

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 35 / 37

    28

  • Distribución Fm,n de Snedecor

    Más en concreto la Función de Distribución Inversa: para distintos valores de m,n y de p sepuede buscar en la tabla su cuantil a.

    0 1 2 3 4 5 6

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    F m=5,n=2, P(X x plot(x, df(x, df1=1, df2=1), xlab="f", ylab="Densidad",

    + main="Distribución F: m,n", type="l")

    > abline(h=0, col="gray")

    > abline(v=0, col="gray")

    > text(6,2,"m=1, n=1",col="black")

    > lines(.x, df(x, df1=2, df2=1),col="blue")

    > text(6,1.8,"m=2, n=1",col="blue")

    > lines(.x, df(x, df1=5, df2=2),col="green")

    > text(6,1.6,"m=5, n=2",col="green")

    > lines(.x, df(x, df1=100, df2=1),col="red")

    > text(6,1.4,"m=100, n=1",col="red")

    > lines(.x, df(x, df1=100, df2=100),col="pink")

    > text(6,1.2,"m=100, n=100",col="pink")

    Licesio J. Rodŕıguez-Aragón Tema 3, Unidad 4 – 37 / 37

    29

    ContenidosVariables Aleatorias DiscretasDistribución UniformeDistribución de BernoulliDistribución BinomialDistribución BinomialDistribución Binomial con RDistribución de PoissonDistribución de PoissonDistribución de Poisson con R

    Variables Aleatorias ContinuasDistribución UniformeDistribución de Uniforme con RDistribución ExponencialDistribución de Exponencial con RDistribución NormalDistribución Normal con RDistribución Normal EstándarDistribución Normal EstándarDistribución Normal EstándarDistribución Normal EstándarTeorema Central del LímiteAproximaciones por la NormalAproximaciones por la Normal con RDistribución 2n de PearsonDistribución 2n de PearsonDistribución 2n de Pearson2n de Pearson con RDistribución tn de StudentDistribución tn de StudentDistribución tn de Studenttn de Student con RDistribución Fm,n de SnedecorDistribución Fm,n de SnedecorDistribución Fm,n de SnedecorFm,n de Snedecor con R