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Estadıstica I

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Conceptosgenerales

Distribucionesde frecuencias

Representacionesgraficas

Medidascaracterısticas

Part I

Descripcion estadıstica de una variable

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Conceptos generales

El objeto de cualquier investigacion estadıstica es la tomade informacion acerca de los individuos de cierto colectivollamado poblacion estadıstica.

Cada elemento de una poblacion se denomina individuo ounidad estadıstica.

Las poblaciones estadısticas se clasifican en poblacionesfinitas e infinitas, de acuerdo con el numero de individuosincluidos en las mismas.

El proceso de toma de informacion acerca de los individuosde una poblacion puede realizarse mediante la elaboracionde un censo o mediante la extraccion de una muestra.


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Conceptos generales

Si una muestra es representativa de una poblacion, sepueden deducir importantes conclusiones acerca de esta apartir del analisis de la informacion muestral. La parte dela Estadıstica que trata de las condiciones bajo las cualestales inferencias son validas se llama Estadıstica Inductivao Inferencial.

La parte de la Estadıstica que trata solamente de describiry analizar un grupo dado de datos sin sacar conclusiones oinferencias acerca de la poblacion que los ha generado sellama Estadıstica Descriptiva o Deductiva.


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Conceptos generales

Variables estadısticas

Llamaremos variable estadıstica a cada una de lascaracterısticas consideradas con el proposito de describir acada individuo de la muestra.

Cada una de las variables estadısticas consideradas para ladescripcion de los individuos de la muestra puedepresentar distintas modalidades o estados.

Atendiendo a la naturaleza de las modalidades de lasvariables, estas pueden clasificarse en variables cualitativasy variables cuantitativas. Estas ultimas se clasifican envariables discretas, que son aquellas que toman un numerofinito o infinito numerable de valores distintos, y variablescontinuas, que son aquellas que pueden tomar cualquiervalor en un intervalo de valores dado.


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Distribuciones de frecuencias

Sean x1, . . . , xn una muestra de una variable X quepresenta las modalidades c1, . . . , ck , y sea ni el numero deindividuos de la muestra con la modalidad ci , i = 1, . . . , k.El numero ni se conoce como frecuencia absoluta de lamodalidad ci .La frecuencia relativa de ci es fi = ni/n (i = 1, 2, . . . , k).La frecuencia absoluta acumulada se define como

Ni = n1 + n2 + · · ·+ ni =i∑

j=1

nj (i = 1, 2, . . . , k)

La frecuencia relativa acumulada se define como

Fi = f1 + f2 + · · ·+ fi =i∑

j=1

fj =Ni

n(i = 1, 2, . . . , k).


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Propiedades

1 0 ≤ ni ≤ n; 0 ≤ fi ≤ 1 (i = 1, 2, . . . , k).

2 Nk = n1 + n2 + · · ·+ nk = n; Fk = f1 + f2 + · · ·+ fk = 1.


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Modalidad Frecuencia Frecuencia Fr. absoluta Fr. relativaabsoluta relativa acumulada acumulada

c1 n1 f1 N1 F1

c2 n2 f2 N2 F2

......

......

...

ci ni fi Ni Fi...

......

......

ck nk fk Nk Fk

Total n 1


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Construccion de las modalidades

Si la variable es cualitativa, se tomaran como modalidadeslas distintas respuestas observadas en la muestra.

Si la variable es discreta (que tome pocos valoresdistintos), las modalidades coincidiran con los distintosvalores medidos en la muestra

Si la variable es continua (o bien discreta, pero que tomamuchos valores distintos), se tomaran como modalidadeslos intervalos de clase, tomandose como frecuenciaabsoluta de cada modalidad el numero de observacionesagrupadas en el intervalo correspondiente.


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Intervalos de clase

Si e0 < e1 < · · · < ei−1 < ei < . . . < ek son los extremosde los k intervalos de clase construidos, la frecuenciaabsoluta del i-esimo intervalo es ni = numero deobservaciones xi tales que ei−1 < xi ≤ ei , siendo suamplitud ai = ei − ei−1, para i = 1, 2, . . . , k.

Una vez construidos los intervalos de clase se elige unrepresentante en cada uno de ellos, llamado marca declase, que usualmente es tomado como el punto medio delintervalo

ci =ei−1 + ei

2(i = 1, 2, . . . , k).


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Intervalos de clase

¿Cuantos intervalos construir? Se recomienda construirtantos intervalos como el numero entero (entre 5 y 20)mas proximo a

√n.

¿Intervalos de la misma amplitud o de amplitudesdistintas? En general construiremos intervalos de la mismaamplitud.

¿Que valor elegir como extremo inferior del primerintervalo (e0)? Se toma como e0 un valor “un pocomenor” que el mınimo de la muestra.


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Representaciones graficas

Representacion grafica de variables cualitativas

Diagrama de barras. En un sistema de ejes decoordenadas se representa en el eje de abscisas lasmodalidades de la variable y en el eje de ordenadas lasfrecuencias (ni o fi ). A continuacion, sobre cadamodalidad se levanta un rectangulo o barra de altura iguala la frecuencia (absoluta o relativa) representada, siendotodos los rectangulos de igual base.

Diagrama de sectores. Se trata de repartir un cırculo deradio arbitrario en sectores proporcionales a la frecuenciade cada modalidad.


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Representacion grafica de variables cuantitativas discretas

Diagrama de barras. Se construye de la formaanteriormente descrita para variables cualitativas,pudiendo sustituirse las barras por segmentos de recta.

Diagrama acumulativo de frecuencias. Su construccion serealiza representando en un sistema de ejes decoordenadas los puntos (ci ,Ni ) o (ci ,Fi ), segun serepresenten frecuencias absolutas o relativas acumuladas,uniendose a continuacion de forma escalonada los puntosrepresentados.


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Representacion grafica de variables cuantitativas continuas

Histograma. Es el equivalente continuo del diagrama debarras. Partiendo de un sistema de ejes de coordenadas, serepresentan en el eje de abscisas los extremos ei de losintervalos de clase y a continuacion, tomando como basede cada rectangulo la amplitud ai del intervalo de clasecorrespondiente, se levanta sobre cada uno de losintervalos un rectangulo de altura hi = ni/ai o hi = fi/ai ,segun se representen frecuencias absolutas o relativas.

Uniendo, mediante segmentos de recta, los puntos mediosde las bases superiores de cada rectangulo del histogramase obtiene la representacion grafica llamada polıgono defrecuencias.


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Representacion grafica de variables cuantitativas continuas

histograma movil. Para cada punto x se define

h(x) =no de observaciones xi en [x − a/2, x + a/2]

a · n

se representan graficamente los pares (x , h(x)) para unnumero grande de valores x seleccionados, el graficoresultante corresponde a una curva mas “suave”.

Polıgono acumulativo de frecuencias. Es el resultado quese obtiene al unir mediante segmentos de recta los puntos(ei ,Ni ) o (ei ,Fi ), segun se trate de frecuencias absolutas orelativas acumuladas, representados en un sistema de ejesde coordenadas.


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Diagrama de tallo y hojas

Se utiliza a menudo para la descripcion de variablescuantitativas (discretas o continuas), presenta laparticularidad de permitir visualizar globalmente ladistribucion de frecuencias manteniendo la individualidadde los datos.

Se redondean los datos a dos o tres cifras significativas,tomandose como tallos la primera o las dos primeras cifrasde cada dato y como hojas las ultimas cifras de cada dato.

A continuacion, separados por una lınea vertical, sedispondran los tallos a la izquierda y las hojas a la derechadel tallo correspondiente. De esta manera cada tallo, quese representa una sola vez, define una clase y el numero dehojas representa la frecuencia de dicha clase.


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Medidas caracterısticas. Medidas de posicion

Medidas de posicion central

Media aritmetica. Se define la media aritmetica (x) deuna variable cuantitativa X como el valor numerico

x =x1 + x2 + · · ·+ xn

n=

1

n

n∑i=1

xi

Propiedades:

1 min(xi ) ≤ x ≤ max(xi ).2 Si yi = a + bxi (i = 1, 2, . . . , n), entonces y = a + bx .3 1

n

∑ni=1(xi − x) = 0

4 x = arg min∑n

i=1 (xi − a)2


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Media truncada. Un inconveniente que presenta la mediaaritmetica es su sensibilidad a la presencia deobservaciones atıpicas (outliers) en la muestra. Para evitareste tipo de problema se utilizan las medias truncadas, queconsisten en medias aritmeticas calculadas con unporcentaje central de los datos.

Media recortada. Consiste en la media aritmetica de unamodificacion de los datos originales: un porcentaje centralpermanece sin modificar, cada uno de los datos de losmenores excluidos se sustituye por el menor de los datosdel porcentaje central no modificado y cada uno de losdatos de los mayores excluidos se reemplaza por el mayorde los datos del porcentaje central no modificado.


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Media cuadratica (Q).

Q =

√x21 + x2

2 + . . . + x2n

n=

√√√√1

n

n∑i=1

x2i

.

Media geometrica (G). Supuesto que xi > 0, 1 ≤ i ≤ n, se

define como G = n√

x1 · x2 · · · xn =∏n

i=1 x1/ni .

Media armonica (H). Si xi > 0, 1 ≤ i ≤ n, es

H =n

1/x1 + · · ·+ 1/xn=

(1n

∑ni=1

1xi

)−1.


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Mediana (Me). Es la medida de posicion central que,supuestos los datos ordenados de menor a mayor, dejaigual numero de valores a su izquierda que a su derecha.

Si el numero de datos es par, se toma como mediana lamedia aritmetica de los dos valores centrales. Si el numerode datos es impar, se toma como mediana el valor central.

En el supuesto de que los datos hayan sido agrupados enintervalos de clase, se calcula el intervalo mediano (elintervalo de clase que contiene a la mediana), eligiendosecomo mediana un representante de dicho intervalo (porejemplo, la marca de clase).

La mediana es una medida robusta, esto es, poco sensiblea la presencia de observaciones atıpicas en la muestra.


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Moda (M0). Si X es una variable discreta, se define comoel valor mas frecuente de la variable.

Si X es una variable continua, no tiene sentido hablar delvalor mas frecuente, por lo que se introduce el conceptode intervalo modal, que se define como aquel intervalo declase al que le corresponde mayor altura en el histogramade frecuencias. Finalmente, se toma como moda unrepresentante del intervalo modal (por ejemplo, la marcade clase).

Debe observarse que, de acuerdo con la definicion, lamoda puede no ser unica, en cuyo caso tendremosdistribuciones multimodales (con 2 o mas modas).


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Otras medidas de posicion

Cuantiles. Supuestas ordenadas las observaciones demenor a mayor, se define el cuantil de orden p (0 < p < 1)como el valor qp que deja a lo sumo np observaciones a suizquierda y a lo sumo n(1− p) observaciones a su derecha.

Cuartiles. Son los cuantiles de ordenes 1/4 (cuartil deprimer orden o primer cuartil Q1), 1/2 (cuartil de segundoorden o mediana) y 3/4 (cuartil de tercer orden o tercercuartil Q3).

Deciles. Son los cuantiles de ordenes r/10 (r = 1, . . . , 9),y dividen el conjunto de observaciones en diez partes deigual frecuencia.

Percentiles. Son los cuantiles de ordenes r/100(r = 1, . . . , 99).


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Medidas caracterısticas

Diagramas de caja

Para la construccion de esta representacion, se calculanpreviamente la mediana, los cuartiles Q1 y Q3 y los valoresextremos LI y LS , donde

LI = min{xi

/xi ≥ Q1 − 1′5(Q3 − Q1)

}LS = max

{xi

/xi ≤ Q3 + 1′5(Q3 − Q1)

}Las observaciones que caen fuera del intervalo (LI , LS) seconsideran datos atıpicos (outliers).


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Diagramas de caja. Las observaciones representadas con + sonoutliers.

Q3MeQ1

LSLI++


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Medidas caracterısticas. Medidas de dispersion

Medidas de dispersion absoluta

Varianza. s2 = 1n

∑ni=1(xi − x)2.

Desviacion tıpica. s =√

1n

∑ni=1(xi − x)2

Propiedades:1 La varianza y la desviacion tıpica toman siempre valores no

negativos.2 Si yi = a + bxi (i = 1, 2, . . . , n), se tiene que s2

y = b2s2x y

sy = |b|sx .3 s2 = 1

n

∑ni=1 x2

i − x2 = x2 − x2.


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Desigualdad de Tchebychev

En el intervalo de centro la media aritmetica y radio k veces ladesviacion tıpica estan comprendidas como mınimo el100(1− 1/k2)% de las observaciones.

Variables tipificadas

Se define la variable tipificada de una variable estadıstica Xcomo la variable (Z ) que resulta de restarle su media aritmeticay dividir por su desviacion tıpica:

Z =X − x

s

obteniendose de esta manera una variable adimensional demedia cero y desviacion tıpica unidad (z = 0, sz = 1).


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Medidas de dispersion absoluta

Recorrido o rango. Es la diferencia entre los valoresextremos:

R = max(xi )−min(xi )

Recorrido intercuartılico. Es la diferencia entre loscuartiles de tercer y primer ordenes:

RI = Q3 − Q1


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Medidas de dispersion relativas

Recorrido relativo. Supuesto que x > 0, se define como elcociente entre el recorrido y la media

RR =R

x

Coeficiente de variacion. Es la medida de dispersionrelativa mas popular y, supuesto que x > 0, se definecomo el cociente entre la desviacion tıpica y la media

CV =s

x


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Momentos

Momento con respecto al origen de orden r (r ≥ 0) es elnumero

ar =1

n

n∑i=1

x ri

Momento central o con respecto a la media de orden r(r ≥ 0) es el numero

mr =1

n

n∑i=1

(xi − x)r

Ası, por ejemplo, a1 = x y m2 = s2.

Se tiene que mr =∑r

k=0(−1)k(rk

)ar−kak

1 .


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Medidas caracterısticas. Medidas de forma

Medidas de asimetrıa

Coeficiente de asimterıa de Pearson. Para distribucionesunimodales, mide si las observaciones estan dispuestassimetricamente con respecto a la moda. v = x−M0

s

Coeficiente de asimterıa de Fisher. Mide si lasobservaciones estan dispuestas simetricamente conrespecto a la media y es obtenible aunque la distribucionno sea unimodal. g1 = m3

s3

Si una distribucion es simetrica o insesgada v ' 0(x ' M0) y g1 ' 0. Si v > 0 (x > M0) o g1 > 0, diremosque la distribucion es sesgada a la derecha; diremos que ladistribucion es sesgada a la izquierda si v < 0 (x < M0) og1 < 0.


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Medidas caracterısticas. Medidas de apuntamientoo curtosis

Coeficiente de apuntamiento de Fisher

Mide el grado de apuntamiento de una distribucion conrespecto al modelo normal de referencia. Es una medidaadimensional definida segun la expresion:

g2 =m4

s4− 3

Diremos que una distribucion es platicurtica (masaplastada que el modelo normal) si g2 < 0, mesocurtica sig2 ' 0 y leptocurtica (mas apuntada que el modelonormal) si g2 > 0.


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