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ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO

Departamento de Educación

Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher

MSP-21

http://bc.inter.edu/msp21

Proyecto sufragado con Fondos Federales del Departamento de Educación bajo el Programa Título II B – Mathematics and Science Partnership de la Ley de Educación Elemental y

Secundaria de 1965, según enmendada por la Ley “No child left behind” LP-107-100.

Este material se distribuye gratituamente.

Su venta está estrictamente prohibida.

Primera Edición, 2006 Derechos Proyecto MSP-21 Omar Hernández Rodríguez, MS, Ed D Director Editora Dra. Teresa Cruz, EdD Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el previo permiso escrito de MSP-21. Esta obra ha sido subvencionada por el proyecto MSP-21 mediante proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato OAF081060070. Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón Carretera Dr. John Will Harris # 500 Bayamón, PR 00959 Tel (787) 279-1912 Fax (787) 279-7028 http://bc.inter.edu/msp21

Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón

Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher

MSP 21

Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio

Ángel L. Cruz Delgado

JUNIO DE 2006

Índice

Introducción……………………………………………………………………………... 1

Pre prueba ...................................................................................................................................... 3

Álgebra y geometría: El cuadrado de una suma............................................................................... 29

Álgebra y geometría: Diferencia de cuadrados................................................................................. 31

Álgebra y geometría: El cuadrado de una diferencia........................................................................ 33

Álgebra y geometría: Diseño y la calculadora gráfica ...................................................................... 35

Álgebra y geometría y la calculadora gráfica: Variación................................................................... 39

Proporcionalidad y variación directa ................................................................................................. 41

Variación directa: Enfoque gráfico .................................................................................................... 43

Tasa de cambio: Enfoque gráfico ..................................................................................................... 45

Soplos de vida................................................................................................................................... 50

La línea de la vida ............................................................................................................................. 51

Álgebra por la línea ........................................................................................................................... 53

Relaciones lineales: Tablas de valores............................................................................................. 55

Relaciones lineales: Ecuaciones y tablas ......................................................................................... 57

Relaciones lineales: Ecuación, razón de cambio y pendiente.......................................................... 61

Exploración dirigida con la calculadora gráfica................................................................................. 62

La pendiente: Un coeficiente ............................................................................................................ 63

La pendiente: Una razón de cambio ................................................................................................. 65

Intercepto en y .................................................................................................................................. 66

De la tabla de valores a la ecuación ................................................................................................. 69

La calculadora gráfica: ¿Cuál es la mejor ventana?......................................................................... 71

Todo es según el color … de la ventana desde donde se mira........................................................ 72

Otra vez la variación directa.............................................................................................................. 73

Para transmitir una idea, una imagen vale más que mil palabras.................................................... 76

El mundo no es una línea recta ........................................................................................................ 77

El mundo no es una línea recta: uso del sensor de movimiento ...................................................... 81

Potencias y polinomios: Explorando diferencias .............................................................................. 85

Problemas de mezclas...................................................................................................................... 89

Álgebra y ciencias: ¿Café y leche?................................................................................................... 90

Modelos matemáticos ....................................................................................................................... 91

Problemas y más problemas............................................................................................................. 97

Post prueba....................................................................................................................................... 99

PROLOGO

Los recintos de Bayamón y San Germán de la Universidad Interamericana de Puerto

Rico y las Regiones Educativas de Bayamón y San Germán, desde hace dos años participan

en el proyecto Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher

(MSP21) que tiene como meta mejorar el rendimiento académico de los estudiantes de escuela

intermedia mediante la capacitación integral de los maestros de ciencias y matemáticas.

Al final de los tres años del proyecto se espera que:

1. el 85% de los maestros participantes demuestre dominio de los conceptos incluidos en

los estándares de matemáticas y ciencias establecidos por el Departamento de

Educación de Puerto Rico.

2. el 85% de los maestros participantes integren a su práctica docente experiencias de

aprendizaje activo fundamentadas en la interconexión de las disciplinas.

3. los estudiantes de las escuelas participantes mejoren en al menos un 3% su ejecutoria

en las pruebas estandarizadas de matemáticas y una prueba correspondiente de

ciencias.

Para el logro de los objetivos se diseñó un Programa de Desarrollo Profesional en el cual

los profesores de la Universidad y los maestros debían explorar y redactar actividades

educativas con énfasis en el desarrollo y la búsqueda de conexiones entre las ciencias y las

matemáticas. Además, las actividades debían estar alineadas con los Marcos Curriculares de

Ciencias y Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico y, en específico,

atender la integración por los temas y los procesos correspondientes a los estándares de

conservación y cambio, interacciones, geometría y álgebra.

Durante el segundo año del proyecto se ofrecieron conferencias, talleres y simposios que

tenían como tema central la integración de las ciencias y las matemáticas. Para cada uno de

ellos, se le pidió a los profesores y a los maestros que produjeran un trabajo que evidenciara

su reflexión sobre el tema. Las conclusiones de este proceso indican que para lograr la

integración es necesario que los maestros dominen con profundidad su disciplina y que

posteriormente exploren avenidas que lleven a la integración. Parte del resultado de los

trabajos realizados se presenta en la serie de libros INTEGRACIÓN DE LAS CIENCIAS Y LAS

MATEMÁTICAS A NIVEL INTERMEDIO. Los títulos de los libros que componen la serie son:

• Geometría •

• Taller de Genética•

• Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia •

• Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio •

•El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de Integración •

• Memorias de los Residenciales Académicos 2006 •

•Actividades Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia•

Los libros Geometría y Taller de Genética de los profesores Javier O. Sierra y Vilma S.

Martínez, respectivamente, tienen como objetivo fortalecer y ampliar los conocimientos de los

maestros. El profesor Sierra define y explica los conceptos geométricos de una manera

formal a diferencia de los autores tradicionales, que lo hacen de una manera intuitiva. Esta

forma de presentar los conceptos geométricos fortalece el pensamiento deductivo que es

fundamental para el desarrollo de un curso de geometría. Por su parte, la profesora Martínez,

presenta actividades experimentales para reforzar los conceptos de genética y sus aplicaciones

a las ciencias forenses.

En el libro Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia, sus autores, el

profesor Rafael Canales y el doctor Omar Hernández exploran la integración de la tecnología

para la enseñanza de las ciencias y las matemáticas. Tiene como objetivo enseñar a los

maestros a utilizar la calculadora gráfica y prepararlos en el uso de sensores para la

recolección de datos del ambiente. La información posteriormente es analizada para descubrir

patrones y crear modelos matemáticos.

En el libro Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de

Cambio, el doctor Ángel Cruz nos presenta una guía para un curso de matemáticas integrada.

El doctor Cruz hace un análisis profundo sobre la integración de los conceptos de matemáticas

de escuela intermedia y los conceptos relacionados a los estándares de las interacciones, la

conservación y el cambio. Además, presenta sugerencias metodológicas y ejemplos para el de

las “assessment” actividades integradoras.

En el libro El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de

Integración, las autoras, las profesoras Carmen Caiseda y Evelyn Dávila, hacen un análisis

profundo sobre el uso de estas metodologías para la integración de las ciencias y las

matemáticas. Discuten aspectos como la planificación, el diseño, el desarrollo y la evaluación

de actividades fundamentadas en la solución de problemas y el desarrollo de proyectos.

Además de ejemplos y sugerencias para implantar estas estrategias en la sala de clases,

incluyen instrumentos de assessment y una guía para el estudiante.

El libro Memorias de los Residenciales Académicos 2006 incluye las transcripciones de

las conferencias y los talleres ofrecidos, y el resultado de los trabajos en comisiones realizados

durante los simposios Retos, controversias y oportunidades de la enseñanza de las ciencias y

las matemáticas realizados durante agosto y septiembre de 2006. Además, recoge las

reflexiones, opiniones y sugerencias de los maestros sobre los temas trascendentales que se

discutieron.

El aporte de los maestros al proyecto se recoge en el documentos: Actividades

Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia. Desde la perspectiva de su

salón de clases, los maestros desarrollan actividades integradoras para los estudiantes de

escuelas intermedias. Se integran la biología, la ecología, las ciencias terrestres, la electrónica,

la astronomía, la química y las matemáticas. Algunas de estas actividades se validaron con

estudiantes y mostraron que la integración es una estrategia que motiva a los estudiantes,

requisito indispensable para que se de el aprendizaje.

Ha sido un año muy productivo. El trabajo ha sido arduo pero gratificante. Tenemos

asuntos pendientes: es necesario validar todas las actividades con los estudiantes y mostrar la

efectividad de la integración en el dominio de los conceptos matemáticos y científicos.

Finalmente, quiero agradecer a todas las personas que han colaborado en el proyecto

MSP-21. Ha sido un ejercicio intelectual interesante.

Omar Hernández Rodríguez, MS, EdD

Director, Proyecto MSP-21

INTRODUCCIÓN

La implantación exitosa en la sala de clases de una reforma basada en estándares presupone la existencia de maestros de matemáticas altamente cualificados. El dominio del contenido que se enseña es condición indispensable para que un maestro de matemáticas sea eficaz. Es imposible enseñar lo que no se conoce bien. Son imprescindibles los maestros que entiendan que la única manera de enseñar y aprender matemáticas es estar dispuestos a hacer matemáticas. El país necesita maestros de matemáticas capaces de explicar con claridad y precisión el razonamiento que subyace tras la solución de un problema, las sutilezas de la definición de un concepto o los casos especiales de un teorema. Nos urge formar y re-entrenar educadores flexibles que puedan discernir sobre la validez de soluciones alternas propuestas por sus alumnos. Nos toca a los universitarios enrollarnos las mangas y contribuir a su formación. Durante los pasados dos años, y gracias a las actividades del Proyecto MSP 21 de la Universidad Interamericana, Recinto de Bayamón, he visto de cerca como un grupo de maestros puertorriqueños se esfuerza por ser y por hacer más. Semanalmente, compartí en una mesa de trabajo común con maestros de ciencias y matemáticas de la escuela Jesús Sánchez Erazo. En esa mesa de trabajo acompañé como mentor a varios grupos de maestros que, sábado tras sábado, se esforzaban por reproducir y construir actividades educativas que integraran conceptos de ciencias y matemáticas. Aquello que vi y viví junto a ellos, como parte de este proceso, de algún modo percoló sobre el contenido, diseño y metodología utilizados para este curso de 40 horas, que fue ofrecido durante el Instituto de Verano 2006 del Proyecto a maestros de matemáticas en servicio de los grados 7 al 9. El curso pretende modelar un ambiente de aprendizaje matemático activo, dentro de un contexto científico interdisciplinario. La selección del contenido, las actividades de aprendizaje, las estrategias de enseñanza y la metodología utilizadas están dirigidas a enfatizar:

1. el uso de representaciones numéricas, gráficas y algebraicas para describir fenómenos.

2. las conexiones entre ideas matemáticas 3. el desarrollo de la capacidad para comunicar ideas abstractas, 4. el uso de equipo de asistencia tecnológica para resolver problemas complejos. Para alcanzar el cuarto de estos objetivos se sugiere que al menos una tercera parte

del tiempo lectivo se utilice para integrar la calculadora gráfica a la enseñanza.

Este manual de trabajo pretende ser una guía para el profesor universitario que intenta revivir en los maestros el interés y la pasión por aprender. Incluye el material discutido diariamente en el curso, ejercicios y actividades a realizarse en clase, actividades de exploración y análisis usando la calculadora gráfica y sus interfases para recolectar datos científicos, y otros experimentos de pensamiento que ilustran conceptos importantes. Se incluyen además comentarios metodológicos dirigidos al recurso. Estos apuntes pretenden alertarle sobre ideas y puntos importantes que deben enfatizarse en el transcurso de la discusión.

Esta guía es una compilación coherente y organizada de materiales útiles para formar

maestros puertorriqueños capaces de ensuciarse las manos y pensar sobre sus pies. No todas las actividades que la componen son necesariamente originales. Se usan libremente materiales, problemas y actividades de alta calidad que están disponibles en múltiples fuentes, con las adaptaciones necesarias para servir mejor a la audiencia y alcanzar los objetivos del Proyecto MSP21.

Ojalá que esta guía contribuya a formar maestros comprometidos, capaces de dirigir y acompañar a sus alumnos mientras estos hacen y construyen matemáticas.

2 Ángel L. Cruz Delgado

Día 1 Hora 1 Preprueba La preprueba consta de 10 preguntas. Las preguntas corresponden al contenido específico de la capacitación que se le proveerá a los maestros. El tiempo provisto para contestar la prueba es de una hora. La prueba se corregirá utilizando la rúbrica adjunta. El recurso llenará una tabla con la distribución de los resultados de este avalúo previo para cada problema. También identificará respuestas sobresalientes provistas por los maestros. Los maestros que ofrezcan respuestas sobresalientes en la preprueba, presentarán sus soluciones a sus colegas durante la capacitación. A continuación se incluye

1. la preprueba 2. la rúbrica utilizada para corregir cada problema de la prueba 3. una tabla para recoger los resultados de cada problema.

Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio 3

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE BAYAMÓN

MATH AND SCIENCE PARTNERSHIP FOR THE 21ST CENTURY MIDDLE SCHOOL TEACHER MSP-21

Instituto de Verano 2006 Curso de Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia

Recurso: Ángel L. Cruz Delgado PREPRUEBA

Nombre________________________ Fecha_______________________ 1. Si y = 10x + 3, ¿cuánto cambia y cuando x cambia de 6 a 8?_____________. 2. Identifica dos pares ordenados que satisfagan la ecuación 26 += xy .Calcula la razón

xencambioyencambio .

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta ilustrada en la Figura 1 si cada marca en los ejes

equivale a una unidad?

Figura 1

Día 1 Preprueba

4. Utiliza la información de la Tabla 1 para contestar si cada una de las siguientes aseveraciones es Cierta o Falsa. Escribe la respuesta a la izquierda del enunciado.

Tabla 1

X Y Z 1 5.5 7 3 11.0 11 5 16.5 15 7 22.0 19 9 27.5 23

11 33.0 27 13 38.5 31

_________a. Z es directamente proporcional a X. _________b. La gráfica de Y vs. X es una línea recta. _________c. La gráfica de Y vs. X es menos inclinada que la gráfica de Z vs. X. 5. Utiliza la información en la Tabla 2 para contestar las siguientes preguntas.

Tabla 2 – Peso equivalente de una persona de 50 kilos

Planeta Peso (kilos) Planeta Peso (kilos) Mercurio 19 Júpiter 126.5

Venus 45.5 Saturno 53.5 Tierra 50 Urano 45.5 Marte 19 Neptuno 56.5

a. Kenepo pesa 15 kilos en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Urano? b. Determina una fórmula para relacionar el peso de una persona en Urano dado su peso en la Tierra.


6. ¿Cuál de las siguientes gráficas de posición vs. tiempo ilustra correctamente la situación siguiente? Explica

“Se lanza una pelota directamente hacia arriba, finalmente cae de nuevo al suelo.”

Figura 2


Día 1 Preprueba

7. Se le cortan x unidades al extremo de un cable de largo L . Un pedazo del cable se dobla para formar un círculo. El otro pedazo se dobla para formar un cuadrado.

a. Expresa la suma de las áreas S en términos de x. b. Si L = 12, usa una calculadora gráfica para estimar el largo del corte

que produce el área mínima de las regiones formadas por estas figuras.


8. En cada una de las siguientes tablas de datos el valor de y depende de x de forma lineal, exponencial o polinómica. Determina la clasificación para la relación entre y y x. Si la relación es lineal identifica la pendiente. Si exponencial identifica la base. Si la relación es polinómica identifica el grado del polinomio.

Tabla 3

X -5.3 -7.4 -9.5 -11.6 -13.7 -15.8 -17.9 Y -1.1 -0.7 -0.3 0.1 0.5 0.9 1.3

Clasificación: ______________________

Tabla 4

X 1 2 3 4 5 6 7 Y 25 98 219 388 605 870 1183

Clasificación: ______________________

Tabla 5

X X 1 2 3 4 5 6 7 Y Y 24 48 96 192 384 768 1536

Clasificación: ______________________

Tabla 6

X 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 Y 4.3 8.3 12.3 16.3 20.3 24.3 28.3 32.3

Clasificación: _____________________


Día 1 Preprueba

9. Escribe tres expresiones algebraicas para representar el área de la región sombreada en la Figura 3.

Figura 3

a b

b

a


10. En las tres gráficas a continuación la variable dependiente crece en función de la variable independiente. Usando la idea de tasa de cambio, ¿que información diferente provee cada gráfica? Explica

Figura 4


Día 1 Hora 1 Rúbrica para la preprueba 1. Si y = 10x + 3, ¿cuánto cambia y cuando x cambia de 6 a 8?_____________.

Puntuación Observación 0 No se provee respuesta. 1 Respuesta errónea 2 Se evalúan correctamente los valores de para y 6=x y . No se indica

cuánto cambia 8=x

y . 3 Respuesta correcta, se evalúan correctamente los valores de y para y

. Se encuentra cuánto cambia 6=x

8=x y mirando la diferencia de los valores de y .

4 Respuesta correcta. Como 10=m y 2=∆x , entonces 20=∆y .

Puntuación

obtenida 0 1 2 3 4

Número de maestros

Respuesta sobresaliente_______________________ 2. Identifica dos pares ordenados que satisfagan la ecuación 26 += xy .Calcula la razón


Puntuación Observación 0 No se provee respuesta. 1 Error en cómputo de ambos pares ordenados. 2

Error en cómputo de uno de los pares ordenados. Error en cálculo de xy

∆∆

es

consistente con error inicial. 3

Ambos pares ordenados correctos. Error de cálculo en xy

∆∆

.

4 Ambos pares ordenados correctos. Cálculo de

xy

∆∆

correcto.

5 Ambos pares ordenados correctos. Nota que

xy

∆∆

es el coeficiente de en la

ecuación.

x

Puntuación

obtenida 0 1 2 3 4 5

Número de maestros

Respuesta sobresaliente_____________________________


3. ¿Cuál es la ecuación de la recta ilustrada en la Figura 1 si cada marca en los ejes

equivale a una unidad?

Figura 1

Puntuación Observación 0 No se provee respuesta. 1 La respuesta tiene solo uno de los siguientes tres atributos: Menciona forma

, identifica puntos para calcular pendiente, identifica intercepto. bmxy +=2 La respuesta tiene solo dos de los siguientes tres atributos: Menciona forma

, identifica puntos para calcular pendiente, identifica intercepto. bmxy +=3 La respuesta tiene tres de los siguientes tres atributos: Menciona forma

,identifica puntos para calcular pendiente, identifica intercepto. bmxy +=4 La respuesta tiene forma bmxy += . Pendiente correcta, intercepto

incorrecto. 5 Respuesta correcta

Puntuación obtenida

0 1 2 3 4 5

Número de maestros

Respuesta sobresaliente _________________________


Día 1 Hora 1 Rúbrica para la preprueba 4. Utiliza la información de la Tabla 1 para contestar si cada una de las siguientes

aseveraciones es Cierta o Falsa. Escribe la respuesta a la izquierda del enunciado.

Tabla 1

X Y Z 1 5.5 7 3 11.0 11 5 16.5 15 7 22.0 19 9 27.5 23

11 33.0 27 13 38.5 31

_________a. Z es directamente proporcional a X. _________b. La gráfica de Y vs. X es una línea recta. _________c. La gráfica de Y vs. X es menos inclinada que la gráfica de Z vs. X.

Puntuación Observación 0 Ninguna respuesta correcta 1 Sólo 1 respuesta correcta 2 Exactamente 2 respuestas correctas 3 Todas las respuestas correctas.

Puntuación

obtenida 0 1 2 3

Número de maestros

Respuesta sobresaliente ______________________________________


5. Utiliza la información en la tabla a continuación para contestar las siguientes

preguntas Tabla 2 - Peso equivalente de una persona de 50 kilos

Planeta Peso (kilos) Planeta Peso (kilos)

Mercurio 19 Júpiter 126.5 Venus 45.5 Saturno 53.5 Tierra 50 Urano 45.5 Marte 19 Neptuno 56.5

b. Kenepo pesa 15 kilos en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Urano?

Puntuación Observación 0 No se provee respuesta 1 Planteamiento erróneo 2 Plantea proporción apropiada 3 Resuelve correctamente la proporción

Puntuación

obtenida 0 1 2 3

Número de maestros

Respuesta sobresaliente__________________________________

b. Determina una fórmula para relacionar el peso de una persona en Urano dado su peso en la Tierra.

Puntuación Observación 0 No se provee respuesta 1 Planteamiento erróneo 2 Plantea proporción apropiada 3 Establece ecuación .

Puntuación

obtenida 0 1 2 3

Número de maestros

Respuesta sobresaliente________________________


Día 1 Hora 1 Rúbrica para la preprueba



Figura 2

Puntuación Observación 0 No se provee respuesta 1 Selecciona gráfica incorrecta. No provee explicación o provee explicación

incorrecta. 2 Selecciona gráfica correcta. No provee explicación. 3 Selecciona gráfica correcta. Provee una pobre explicación. 4 Selecciona gráfica correcta. Provee una explicación aceptable. 5 Selecciona gráfica correcta. Provee una explicación excelente.

Puntuación


Número de maestros



7. Se le cortan x unidades al extremo de un cable de largo L . Un pedazo del cable se

dobla para formar un círculo. El otro pedazo se dobla para formar un cuadrado. c. Expresa la suma de las áreas S en términos de x.

Puntuación Observación 0 Respuesta en blanco 1 La respuesta provista satisface exactamente uno de los siguientes criterios:

Define las variables del problema. Propone correctamente una expresión para el área del cuadrado. Propone correctamente una expresión para el área del círculo.

2 La respuesta provista satisface exactamente dos de los siguientes criterios: Define las variables del problema Propone correctamente una expresión para el área del cuadrado el área del círculo.

3 La respuesta provista propone correctamente una expresión para S . 4 La respuesta provista satisface exactamente dos de los siguientes criterios:

Define las variables del problema Propone correctamente una expresión para S Establece dominio de x

5 La respuesta provista satisface exactamente dos de los siguientes criterios: Define las variables del problema. Establece dominio de x. Propone correctamente una expresión para S.

Puntuación


Número de maestros

d. Si L = 12, usa una calculadora gráfica para estimar el largo del corte


Puntuación Observación 0 Respuesta en blanco 1 Intento 2 Sustituye 12=L en expresión de la pregunta anterior. 3 Expande la expresión para S. 4 Usa la calculadora gráfica para encontrar el valor mínimo de S.

Puntuación


Número de maestros




8. En cada una de las siguientes tablas de datos el valor de y depende de x de forma

lineal, exponencial o polinómica. Determina la clasificación para la relación entre y y x. Si la relación es lineal, identifica la pendiente. Si la relación es exponencial, identifica la base. Si la relación es polinómica, identifica el grado del polinomio.

Tabla 3

X -5.3 -7.4 -9.5 -11.6 -13.7 -15.8 -17.9 Y -1.1 -0.7 -0.3 0.1 0.5 0.9 1.3

Clasificación: ______________________

Puntuación Observación

0 Respuesta en blanco 1 Determina que el patrón es lineal. 2 Determina y∆ . 3 Determina x∆ . 4 Determina la pendiente.

Puntuación


Número de maestros



Tabla 4

X 1 2 3 4 5 6 7 Y 25 98 219 388 605 870 1183

Clasificación: ______________________


0 Respuesta en blanco

1

La respuesta provista satisface exactamente uno de los siguientes criterios: Determina la primera diferencia. Determina que el patrón es polinómico Determina la segunda diferencia.

2

La respuesta provista satisface exactamente dos de los siguientes criterios: Determina la primera diferencia. Determina que el patrón es polinómico. Determina la segunda diferencia.

3

La respuesta provista satisface todos los siguientes criterios: Determina la primera diferencia Determina que el patrón es polinómico Determina la segunda diferencia Encuentra segunda diferencia

4

La respuesta provista satisface todos los siguientes criterios: Determina la primera diferencia. Determina que el patrón es polinómico. Determina la segunda diferencia Encuentra segunda diferencia Determina el grado del polinomio.




Tabla 5

X 1 2 3 4 5 6 7 Y 24 48 96 192 384 768 1536

Clasificación: ______________________


0 Respuesta en blanco

1 La respuesta provista satisface exactamente uno de los siguientes criterios: Determina la primera diferencia. Determina que el patrón es exponencial.

2 La respuesta provista satisface exactamente uno de los siguientes criterios: Determina la base. Determina que el patrón es exponencial.

3 La respuesta provista satisface exactamentedos de los siguientes criterios: Determina la base. Determina que el patrón es exponencial.

4 Escribe . xy 2)12(= Puntuación


Número de maestros

Respuesta sobresaliente ____________________________


Tabla 6

X 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 Y 4.3 8.3 12.3 16.3 20.3 24.3 28.3 32.3

Clasificación: _____________________


0 Respuesta en blanco 1 Determina que el patrón es lineal. 2 Determina y∆ . 3 Determina x∆ . 4 Determina la pendiente.

Puntuación obtenida

0 1 2 3 4 5

Número de maestros

Respuesta sobresaliente _____________________________________




Figura 3 a b

b

a

Puntuación Observación 0 No hay intento. 1 Respuesta errónea 2 Identifica una expresión. 3 Identifica dos expresiones. 4 Identifica tres expresiones. 5 Identifica tres expresiones. Presenta un argumento que establece relación con

el desarrollo del cuadrado de un binomio. Puntuación


Número de maestros

Respuesta sobresaliente ______________________


10. En las tres gráficas a continuación la variable dependiente crece en función de la

variable independiente. Usando la idea de tasa de cambio, ¿que información diferente provee cada gráfica? Explica.

Puntuación Observación 0 No hay intento. 1 Respuesta érronea 2 Una respuesta correcta 3 Dos respuestas correctas 4 Tres respuestas correctas

Puntuación


Número de maestros



Día 1 Hora 2 La ruta al álgebra: variables en varios tiempos

Variables en varios tiempos Las variables pueden….

a. ocupar el lugar de un número específico. Ejemplos

Séptimo grado Octavo grado Noveno grado

3147 =−x 032 =−x

4832

=+− x

157

4=

x

b. describir un conjunto de números reales.

Ejemplos

Séptimo grado Octavo grado Noveno grado 138 −<− x 2|72| =−x


c. aparecer en una fórmula.

Ejemplos

Séptimo grado Octavo grado Noveno grado El perímetro de un cuadrado de lado a está definido por: P = 4 a.

El área de superficie A y el volumen V de un cubo de lado a están dados por

y . 26aA = 3aV =

Si a y son los catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa c entonces

.

b

222 + cba =La circunferencia C de un círculo de radio r es

rC π2= . Vm

=ρ bmxy +=

El área A de un paralelogramo con base y altura es .

bh bhA = maF =

La relación entre el número de caras c el número de vértices v y el número de aristas de un poliedro es a

2=−+ avc . El área de un trapecio es

hbbA )(21

21 += . tdv =

212

212 )()( yyxxd −+−=

El área A de un círculo de radio r está definida por

2rA π= .

La energía potencial gravitacional E de un objeto de masa al colocarlo metros sobre la superficie de la Tierra.

mh

mghE = .

12

12

xxyym

−−

=

Interés simple tI Pr=

d. usarse para generalizar un patrón aritmético

Ejemplos

Séptimo grado Octavo grado Noveno grado

abba +=+ 1)1( =a

a , si 0≠a Si ,0>a a es el número positivo con la propiedad

.)( 2 aa = 0)( =−+ aa




e. describir variación conjunta Séptimo grado Octavo grado Noveno grado

Si P es el perímetro de un cuadrado de lado a, entonces P = 4a.

Movimiento a velocidad constante d = vt

32 += xy

rC π2= El número de diagonales,

de un polígono con lados está definido por d n

232 nnd −

= .

Al variar el largo l de un rectángulo con área 36 unidades cuadradas, se

obtiene el ancho l

a 36= .

ÁLGEBRA ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y signos.

NIVEL 7 – 9

CONTENIDO ESTÁNDARES DE EJECUCIÓN El estudiante es capaz de:

• Comprender patrones, relaciones y funciones.

• Representa y analiza variedad de patrones con tablas, gráficas (planas o al relieve), palabras y símbolos algebraicos. • Relaciona y compara diferentes formas de representar una relación. • Identifica funciones en lineales o no lineales y las contrasta con tablas, gráficas (plana o relieve) y/o ecuaciones.

• Representar, analizar y

resolver situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos.

• Identifica conceptos de variables, expresiones, ecuaciones y desigualdades y aplica las mismas. • Usa símbolos algebraicos para representar situaciones en contextos personales y/o profesionales. • Representa formas equivalentes para expresiones algebraicas simples. • Resuelve ecuaciones y desigualdades. • Efectúa operaciones con expresiones algebraicas (polinomios). • Resuelve problemas con énfasis en relaciones lineales. • Analiza y aplica propiedades de ecuaciones en dos variables. • Analiza relaciones entre expresiones simbólicas y gráficas lineales, enfatizando pendiente e intercepto. • Analiza y aplica propiedades de desigualdades en dos variables. • Analiza sistemas de ecuaciones lineales en una o dos variables usando equipos de asistencia tecnológica y manipulativos. • Analiza sistemas de inecuaciones lineales en una o dos variables mediante equipo de asistencia tecnológica.

• Usar modelos matemáticos

para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Modela problemas contextualizados, usando representaciones variadas como tablas, gráficas (plana o relieve), ecuaciones y desigualdades lineales, individual y grupalmente.

• Analizar cambios en

contextos diferentes.

• Analiza la naturaleza de los cambios en relaciones cuantitativas lineales, usando gráficas (plana o al relieve). • Aplica métodos algebraicos en la solución de diversos problemas y en situaciones de la vida diaria.

Tomado del Documento de Estándares de Excelencia, Programa de Matemáticas, Departamento de Educación 2000 GEOMETRÍA




ESTÁNDAR DE CONTENIDO 3: El estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. NIVEL 7 – 9

CONTENIDO ESTÁNDARES DE EJECUCIÓN El estudiante es capaz de:

• Analizar las propiedades y características de formas geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.

• Identifica y clasifica relaciones entre objetos de dos y tres dimensiones, usando propiedades definidas. • Interpreta relaciones entre ángulos y lados en objetos semejantes. • Interpreta relaciones entre perímetros, áreas y volúmenes en objetos semejantes. • Utiliza criterios deductivos e inductivos en argumentos concernientes a ideas geométricas. • Compara y contrasta relaciones geométricas tales como congruencia y semejanza. • Analiza y aplica el Teorema de Pitágoras.

• Especificar la

localización y describir relaciones espaciales usando geometría cartesiana y otros sistemas representativos.

• Representa figuras geométricas, desarrollando sentido espacial, por medio de manipulativos y/o equipo de

asistencia tecnológica. • Representa y examina las propiedades de formas geométricas, usando geometría cartesiana. • Aplica la geometría cartesiana en figuras geométricas especiales, tales como: polígonos regulares y aquellas con

pares de lados paralelos o perpendiculares.

• Aplicar transformaciones

y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.

• Describe tamaños, posiciones y formas bajo transformaciones (reflexión, rotación, traslación y dilatación). • Aplica la semejanza, simetría rotacional y la congruencia de objetos, usando transformaciones.

• Resolver problemas

utilizando la visualización, el razonamiento espacial y modelos geométricos.

• Construye modelos geométricos con propiedades específicas, tales como medidas de ángulos y lados. • Resuelve problemas de volumen y área de superficie, usando objetos de hasta tres dimensiones y equipo de

asistencia tecnológica. • Resuelve y explica relaciones numéricas y algebráicas, usando modelos geométricos. • Aplica ideas geométricas y sus relaciones con otras disciplinas, en la vida diaria y en el mundo del trabajo para

la toma de decisiones.

Tomado del Documento de Estándares de Excelencia, Programa de Matemáticas, Departamento de Educación 2000

Programados Educativos de la TI 84 Discusión dirigida por 20 minutos de los programados que están sombreados en la tabla. Cuarenta minutos para que los maestros, divididos según el grado que enseñan, visiten y evalúen cada uno de los programados.

Estándar Séptimo grado Octavo grado Noveno grado Numeración Aplicación

ALG1PRT1 Number Sense Integers

Aplicación ALG1PRT1 Number Sense Rational numbers

Aplicación ALG1PRT1 Number Sense Real Numbers

Álgebra Aplicación ALG1PRT1 Linear Equations Using Graph and Tables Using Algebra

Aplicación ALG1PRT1 Linear inequalities Using graph and tables Using Algebra

Aplicación ALG1PRT1 Linear Functions -slope with grid -slope using coord -slope rate of change -slope-intercept form Aplicación ALG1CH5 Linear systems -using graphs and tables -using algebra

Geometría Aplicación Área/Form


Día 2 Hora 4 Álgebra y geometría: el cuadrado de una suma

a b

b

a

Escribe tres expresiones algebraicas distintas para representar el área de la región sombreada


29

Previo a la discusión del problema ilustrado el recurso debe asegurarse que los participantes pueden resolver problemas similares a los siguientes

• ¿Cuál es el área del rectángulo ilustrado abajo?

• ¿Cuál es el área de la región sombreada?

5 2 2

5

5 2

En el problema propuesto, se espera que el maestro participante construya al menos las expresiones equivalentes

))(( baba ++ )()( babbaa +++

22 2 baba ++ El uso de manipulativos tales como los bloques AlgeBlocks puede ser útil para ilustrar la descomposición de este producto usando un proyector vertical.


Día 3 Hora 5 Álgebra y geometría: diferencia de cuadrados Escribe tres expresiones algebraicas distintas para representar el área de la región sombreada b

b

a

a


31


22 ba − )()( babbaa −+−

))(( baba −+ El uso de manipulativos tales como los bloques AlgeBlocks puede ser útil para ilustrar la descomposición de este producto usando un proyector vertical.


Día 3 Hora 5 Álgebra y geometría: el cuadrado de una diferencia Escribe tres expresiones algebraicas distintas para representar el área de la región sombreada b

b

a

a


33


))(( baba −− )()( babbaa −−−

22 2 baba +− El uso de manipulativos tales como los bloques AlgeBlocks puede ser útil para ilustrar la descomposición de este producto usando un proyector vertical


Día 3 Hora 6 Álgebra y geometría: Diseño y la calculadora gráfica Diseño y la calculadora gráfica I. Al realizar la investigación forense de un crimen, la Policía usa una cinta amarilla para encerrar en un rectángulo el perímetro de la escena de los hechos. Para facilitar el trabajo de los investigadores se desea maximizar el área encerrada dentro de la cinta.

a. Suponga que el encargado de delimitar la escena solo puede construir

rectángulos con dimensiones enteras. Si usará 10 unidades de cinta, ¿cuántas posibles alternativas tiene para el diseño? Construye una tabla en la que enumeres todos los posibles arreglos. ¿Cuál produce el área máxima?

Largo Ancho Área

b. Si el encargado de delimitar la escena estuviera libre de la restricción de que

las dimensiones del rectángulo fueran números enteros, podría construir un número infinito de rectángulos usando sus 10 unidades de cinta. ¿Cuáles serían las dimensiones del rectángulo de área máxima? ¿Cuál será el área máxima?

c. L unidades de cinta se utilizarán para construir un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo de modo que encierre el área máxima? ¿Cuál es el área máxima?

d. ¿Acaso es posible delimitar un área mayor con las L unidades de cinta,

trazando un círculo alrededor de la escena?


35

II. Se le cortan unidades al extremo de un cable de largo L. Un pedazo del cable se dobla para formar un círculo. El otro pedazo se dobla para formar un cuadrado.

x

a. Expresa la suma de las áreas S en términos de de las regiones formadas por los cables.

x

b. Si L = 12, entonces usa una calculadora gráfica para estimar el largo del corte que produce el área mínima.


Día 3 Hora 6 Álgebra y geometría: Diseño y la calculadora gráfica Destrezas previas Es muy importante que los maestros se familiaricen con la construcción de tablas de valores usando la calculadora. En este momento, el énfasis debe ponerse en trabajar con los valores, en vez de ir directamente a obtener la gráfica de la función. El recurso debe discutir un problema más sencillo donde pueda trabajarse las destrezas de uso de la calculadora gráfica para la construcción de tablas y gráfica. Un posible problema es:

El área del cuadrado es _____________

El área del rectángulo es ________________

El área del cuadrado es _____________

x x

x

x 2

x x

2 xx

x

El área del rectángulo es ________________.

¿Para que valores de , tenemos que ? x xx 22 = Las figuras arriba ilustradas son muy fáciles de reproducir usando Algeblocks y un proyector vertical.


37

Problema I Para discutir el problema I el recurso debe ilustrar el diseño del rectángulo con una cuerda en la que se hayan medido y marcado 10 unidades. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- Con la ayuda de un participante, el recurso puede construir los cuatro rectángulos posibles con dimensiones enteras que se piden en la parte a. La cuerda también sirve para ilustrar el caso extremo de largo igual a 5 en el que no es posible construir un rectángulo. Además, puede ilustrar cómo construir un rectángulo con ancho 2 . Esto es importante para comunicar la idea de que la medida de los lados de nuestro rectángulo es cualquier número real positivo menor que 5. Cuídese el recurso de definir claramente cada variable utilizada en la expresión para el área. Oraciones como: Sea =x ancho del rectángulo deben convertirse en la norma de cómo presentar y comunicar soluciones a problemas donde aparezcan símbolos. Este modelaje es muy importante. Debe tomarse en cuenta que la audiencia es un grupo de maestros. El enfatizar sobre la importancia de presentar problemas usando apropiadamente las destrezas de comunicación es un aspecto muy importante en esta intervención de capacitación. Una vez resuelto el problema numéricamente, conviene inspeccionar la gráfica de la relación. Es importante resaltar la simetría de la gráfica. Esto nos permitirá proveer un argumento para justificar la respuesta a la parte c. Por último, la calculadora gráfica provee un medio eficaz de comparar como depende el área máxima del rectángulo y el área de un círculo cuando tenemos L unidades de cinta para construirlo. Es importante que el recurso compare ambas gráficas. Esto no solo incluye la pregunta básica de cual gráfica esta por encima de la otra, sino que recorriendo la gráfica deben estudiarse los valores numéricos que corresponden al área de cada figura para valores específicos de L.


Día 4 Hora 7 y Hora 8: Álgebra, geometría y la calculadora gráfica: variación directa Variación Directa

I. Usa GEOMASTER para dibujar 3 triángulos equiláteros. Para cada triángulo, halla y marca el punto medio de uno de los lados del triángulo. Traza la altura que pasa por el punto que acabas de marcar, dibujando un segmento que conecte este punto y el vértice opuesto al lado donde el punto descansa.

Para cada triángulo mide a. el largo de cada lado b. la altura que trazaste c. el área del triángulo.

Organiza tus datos usando la siguiente tabla:

Triángulo Lado Altura Área 1 2 3

Informa las medidas que obtuviste al recurso. Con los datos de todo el grupo

a. completa una tabla. b. construye una gráfica que ilustre como la medida de la altura depende del largo del lado del triángulo equilátero.

¿Puedes presentar un argumento “geométrico” para explicar cuál es la tasa de crecimiento de la gráfica?


39

Para una introducción al manejo del programa GEOMASTER refiérase al trabajo del Prof. Rafael Canales para MSP 21. El recurso puede requerir a cada participante proveer un dato para la tabla. Una vez construida la tabla, los valores pueden entrarse a una calculadora gráfica y trazar la mejor recta posible. Conviene utilizar el teorema de Pitágoras para probar que la altura varía directamente con la medida del lado. Por último, el recurso debe proveer una definición para el concepto de variación directa similar a la siguiente: Definición: Decimos que varía directamente con si existe una constante tal que . y x k .kxy =


Día 5 Hora 9 Proporcionalidad y variación directa

Utiliza la siguiente tabla para contestar las siguientes preguntas Peso equivalente de una persona de 50 kilos

Planeta Peso (kilos) Mercurio 19

Venus 45.5 Tierra 50 Marte 19 Júpiter 126.5 Saturno 53.5 Urano 45.5

Neptuno 56.5

1. Kenepo pesa 15 kilos en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Urano? 2. Construye una tabla que compare el peso de una persona en la Tierra con su peso en Urano. 3. Expresa el peso de una persona en Urano dado su peso en la Tierra. 4. Si una persona pesa x kilos en la Tierra, expresa y en términos de x si

a. y es el peso de esa persona en Neptuno. b. y es el peso de esa persona en Júpiter. c. y es el peso de esa persona en Venus.


41

Parte 1 Posiblemente la audiencia esté bien familiarizada con las destrezas de este problema. Conviene, sin embargo, enfatizar en dos puntos. Primero, el significado de los símbolos que se usen para denotar la cantidad variable debe declararse explícitamente. Segundo, la ecuación resultante al plantear una proporción no es única. Es importante anotar el hecho de que la proporción tiene múltiples representaciones. Una actividad interesante consiste en trazar las gráficas de

xy 91.= , xy 13.1= xy 53.2=

correspondientes a la pregunta 4, en el mismo sistema de coordenadas y mostrarlas a la audiencia sin identificar cada gráfica. Pedirle a la audiencia que identifique cuál gráfica es cuál es un buen ejercicio de avalúo.


Día 5 Hora 10 Variación directa: enfoque gráfico ¿En cuál de las siguientes gráficas la variable dependiente varía directamente con el valor de la variable independiente?


43

Use la definición de variación directa para argumentar que Si Y varía directamente con X, entonces la gráfica de Y vs. X es una recta. Si la gráfica de Y vs. X es una recta, entonces no necesariamente Y varía directamente con X,


Día 5 Hora 10 Tasa de cambio: enfoque gráfico

Diálogo socrático a la hora del café Mientras prepara el café por la mañana, la abuela le pregunta a Tito: - Oye Tito, ¿cómo va la escuela? Tito responde: - Ay Abu! Mientras más estudio, más entiendo. La abuela, fanática de Sócrates, replicó: - Pero, Tito, ¿dónde está la tasa? - Abuela, pues me imagino que en la cocina. - respondió Tito. - Mi querido Tito, veo que no me entiendes. Permíteme ayudarte. Digamos que quieras describir con una gráfica, la idea que me has tratado de comunicar. Como sabes, para trazar la gráfica necesitamos identificar las cantidades de interés en esta situación. ¿Cuáles son? Muy despierto, Tito contesta: - ¡Aquí hay dos variables! Por un lado está el tiempo de estudio. Por otro lado mi percepción de cuánto entiendo. La abuela replica: - ¡Tremendo! Pero en tu aseveración original está implícita una relación de dependencia entre estas cantidades. Tito interrumpe con un poco de fastidio: - ¡Todo el mundo sabe que cuánto se entiende, depende de cuánto se estudia!-. La abuela asiente, muy paciente: - ¡Claro! Sabes que para construir la gráfica colocarías la variable independiente en el eje horizontal. - Sí, Abu…el tiempo de estudio…- replica Tito bostezando. De la vieja estirpe de Platón, la Abuela se mantuvo firme: - Y en el eje vertical representarías tu nivel de entendimiento… Mi querido Tito, lo que no tengo claro es ¿cuál de las siguientes gráficas describe mejor tu experiencia de estudios? Con el cuidado que sólo las abuelas saben tener, la anciana realizó los siguientes trazos y se los enseñó a su nieto.


45

- ¡Las tres gráficas dicen lo mismo! – dijo Tito.- ¡Mientras más estudio más entiendo! - ¿No has visto la tasa?-inquirió la abuela. - ¿Buscaste en el lavamanos?-preguntó Tito. - La tasa hace a estas gráficas distintas.- sentenció con gravedad la abuela. Tito quedó perplejo. Puso la misma cara que puso Luke Skywalker cuando se enteró que su padre era Darth Vader. Tito buscó y buscó la diferencia, pero no la encontró. Frustrado por su incapacidad de encontrar diferencias entre los tres dibujos el joven se encontró súbitamente confundido. Después de un rato de pensar y agotada su paciencia, vomitó: -¡Yo solo sé que no sé nada! – Y salió corriendo hacia su escuela. Sorprendida y anonadada, la Abuela fue víctima de un súbito arranque de ira. Ni Sócrates, ni Platón, ni Aristóteles tuvieron que bregar jamás con los arranques de los chicos de la generación XYZ124. En medio de su cólera, la Abuela lanzó un grito desesperado: -Y ahora, ¿quién podrá defenderme? La Abuela no sabía que en algún rincón de la escuela donde Tito se educaría, estabas tú: más rápido que una bala, más fuerte que una locomotora y mejor preparado que el Chapulín Colorado. La Abuela tampoco sabía que la Fuerza acompañaba a su nieto, dirigiéndole por el camino del bien hasta tu aula. Cuando por fin viste al chico, le trataste con el mismo respeto que el maestro Yoda dirigió a Luke. Intuías que su destino dependía de entender completamente la diferencia entre las tres ilustraciones. En el momento oportuno le dijiste: _________________________________________ _____________________________________________________ P.S. Al otro día, la noticia más caliente debió haber sido: “Accidente en el diálogo socrático a la hora del café provoca intervención de héroe en horario de 8 a 3.”


Día 5 Hora 10 Tasa de cambio: enfoque gráfico El titular no apareció en ningún periódico del país. No figuró en el entre líneas, ni en la página de opinión, ni en las esquelas, ni en los edictos, ni en los clasificados. No se oyó la noticia en la radio. No salió en el noticiero de la Telecandela Hunde Visión. La comay no habló de ello en su programa. En cambio, Tito aprendió que hay tasas distintas a las de beber café.


47

El recurso puede dramatizar la lectura escogiendo a participantes para representar el rol de cada uno de los personajes del cuento: la abuela, Tito y el Narrador. Luego de la lectura puede dársele un corto período a los participantes para anotar individualmente sus respuestas. Durante la discusión conviene describir los distintos puntos de vista del problema. El problema de Tito: 1. Tito no sabe la diferencia entre tasa y taza. 2. Para Tito: “!Las tres gráficas dicen lo mismo! – dijo Tito.- ¡Mientras más estudio más

entiendo!” El problema del maestro:

1. Identificar los componentes de una intervención educativa satisfactoria. • Explicarle a Tito que la tasa a la que se refiere la abuela no es una taza. • Explicarle a Tito lo que es una tasa. • Notar que las tres curvas tienen forma distinta • Describir la tasa de cambio de cada una de las tres gráficas.

2. Proveer una descripción verbal sencilla, precisa y correcta que distinga cada gráfica.

• La curva indica que “Mientras el tiempo pasa, el nivel de entendimiento aumenta cada vez menos.”

• La recta indica que ““Mientras el tiempo pasa, el nivel de entendimiento

aumenta siempre lo mismo.”

• La curva indica que “Mientras el tiempo pasa, el nivel de entendimiento aumenta cada vez más.

La siguiente actividad puede ser útil para establecer la diferencia entre las gráficas. Supón que las tres gráficas pasan por el punto (10,20). En un papel cuadriculado traza

• una recta que pase por el origen y el punto (10,20).

• Una curva con en la misma forma que , que pase por el origen y por el punto (10,20)


Día 5 Hora 10 Tasa de cambio: enfoque gráfico

• Una curva con la misma forma que , que pase por el origen y por el punto (10,20)

Para cada gráfica construye una tabla de valores en la que asignes los valores de la ordenada de cada punto sobre la gráfica mientras ),( yx 10,...,5,4,3,2,1,0=x . Calcula el cambio en y en cada una de las tablas. Obsérvese como de manera intencional se evitó el uso de la terminología creciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo en la descripción de las curvas. El secreto al comunicar ideas matemáticas a aprendices es el decir la verdad, solamente la verdad, pero no necesariamente toda la verdad.


49

Soplos de Vida El Concilio Nacional de Seguridad instruye a los rescatistas que al ofrecer respiración artificial a un adulto, se den dos soplidos iniciales y luego se comience a soplar rítmicamente a una tasa constante de 10 soplidos por minuto.

a. Construye una tabla para el número total de soplidos realizados por el rescatista luego de 1, 2, 3, 4 y 5 minutos de comenzar el proceso.

b. Traza una gráfica de los puntos representados en tu tabla y conéctalos.

c. Determina una ecuación que indique el número total de soplidos n que el

rescatista habrá administrado t minutos después de comenzar el proceso. d. Determina el número de soplidos que se deben administrar a un adulto luego

de 12 minutos.

e. La ecuación que describe el número total de soplidos que se recomienda

que un rescatista administre a un niño, t minutos después de comenzar a ofrecer respiración artificial es

n

tn 202+= ¿Cómo compara la gráfica de esta ecuación con la gráfica que obtuviste en la parte (b)?

f. Usa la ecuación de la parte (e) para escribir las instrucciones de seguridad

recomendadas para ofrecer respiración artificial a un niño.


Día 5 Hora 11 La línea de la vida

Esta actividad es una adaptación del trabajo Biology as a Source for Algebra Equations: The Heart, publicado en la revista Mathematics Teacher,de la autoría de Virginia Horak (volumen 99, número 4).


51

Por la línea Identifica las coordenadas (x, y) de 6 puntos sobre la recta que se ilustra en la gráfica de abajo.

Usa la tabla para calcular los cambios en x y en y y la razón

xencambioyencambio entre puntos

sucesivos. x

y

xencambio

yencambio

xencambioyencambio

------- -------

Para cualesquiera dos puntos sobre una recta, la razón xencambioyencambio es ______________.

En particular, si el cambio en x es constante, entonces el cambio en y será____________. Si la gráfica de la relación entre dos cantidades x y y es una línea recta, decimos que existe una relación lineal entre ambas variables.


Día 6 Hora 12 Álgebra por la línea

El formato de la actividad promueve que los participantes pasen por la experiencia de

calcular la razón xencambioyencambio con cualesquiera dos puntos sobre la recta. Conviene que

el recurso produzca una tabla en la pizarra en la que cada coordenada (x, y) provenga de un participante distinto. Esto posiblemente producirá que los cambios en de la tabla no resulten iguales. Posiblemente alguien del grupo trabaje la tabla ordenando los datos de modo que los cambios en sean constantes. En caso de que esto no ocurra el recurso puede proponer una tabla “ordenada”. La idea es comunicar que si se está sobre una recta, cambiar el valor de x por una cantidad constante produce un cambio constante en el valor de y.

x

x


53

¿Acaso la siguiente tabla de valores representa una relación lineal entre y ? x y

x -3 2 7 12 17 22 y 7 4 1 -2 -5 -8

Para cualesquiera dos puntos sobre una recta la razón xencambioyencambio es

_______________. ¿Cuáles de las siguientes tablas de valores representan una relación lineal entre x y y? Explica.

x 2 4 6 8 10 12 14 y -1 -6 -11 -16 -21 -26 -31

x -4.1 -2.3 -0.5 1.3 3.1 4.9 6.7 8.5 y -3 6 15 24 33 42 51 60

x -1.1 -0.7 -0.3 0.1 0.5 0.9 0.13 y 16 -4 -24 -44 -64 -80 -100

x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 24 48 96 192 384 768 1536 3072

x 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 y 4.3 8.3 12.3 16.3 20.3 24.3 28.3 32.3


Día 7 Hora 13 Relaciones lineales: Tablas de valores

x -4 0 4 8 12 16 20 24 y -4 12 28 40 56 72 88 104

x -5.3 -7.4 -9.5 -11.6 -13.7 -15.8 -17.9 y -1.1 -0.7 -0.3 0.1 0.5 0.9 0.13


55

Esta actividad se presta para que los participantes realicen trabajo individual.


Día 7 Hora 14 Relaciones lineales: Ecuaciones y tablas

¿Cómo luce la gráfica de 53 += xy ? El recurso pausa para escuchar las conjeturas de los maestros. Para validar la conjetura o para descubrir la respuesta se le pide al grupo que use la calculadora gráfica para descubrir la naturaleza de la gráfica: ¡una línea recta! Luego de hacerlo, el recurso procede a entregar las hojas de trabajo A, B ó C que se incluyen a continuación a los maestros. Se utilizará la técnica del rompecabezas, procurando que ningún participante tenga una tabla idéntica a la de alguno de sus vecinos. Cada una de las tablas trabaja con un conjunto distinto de pares ordenados. La idea es convencer al educando de que no

importa qué pareja de soluciones de 53 += xy escoja, la razón xencambioyencambio es

constante.


57

“Tá tó bien, Tato.” Tato Key, un estudiante muy desordenado, trabajó una tabla de valores con soluciones de la ecuación . Decidió pasar sus datos a su calculadora gráfica pero en su descuido no guardó apropiadamente la información. Desesperado se te acercó para que le ayudaras a encontrar los valores que faltan para que cada pareja sea una solución de la ecuación. Ayúdale a encontrar los valores.

53 += xy

),( yx

x

y

-12 -31 -19

-2 8 23

10 Tu indómito espíritu pedagógico te impulsó no solo a encontrar los valores perdidos, sino a dirigirle a explorar:

1. el cambio en x y el cambio en y entre dos pares ordenados sucesivos de la tabla,

2. ¿Cuál es la razón xencambioyencambio entre cada par ordenado de la tabla?

Diseñaste una extensión a su tabla de valores, para que Tato explorara. Completa la clave con la que corregirás la tarea de Tato.

Tabla 1

x

y

cambio en x

cambio en y xencambio

yencambio

-12 -31 ------ ----- -19 12

-2 8 23

10

Describe el patrón que esperas que Tato descubra.


Día 7 Hora 14 Relaciones lineales: Ecuaciones y tablas


53 += xy

),( yx

x

y

-11 -28 -9 -43

-1 32


3. el cambio en x y el cambio en y entre dos pares ordenados sucesivos de la tabla,



Tabla 2

x

y

xencambio

yencambio xencambio

yencambio

-11 -28 ------ ----- -9 2 -43

-1 32

10 Describe el patrón que esperas que Tato descubra.


59


53 += xy

),( yx

x

y

-15 -40 -8 7

6 29


5. el cambio en x y el cambio en y entre dos pares ordenados sucesivos de la tabla, y



Tabla 3

x

y

xencambio

yencambio xencambio

yencambio

-15 -40 ------ ----- -8 7 7

6 29

10 Describe el patrón que esperas que Tato descubra.


Día8 Hora 15 Relaciones lineales: ecuación, razón de cambio y pendiente

Identifica dos pares ordenados que satisfagan la ecuación 54 += xy . x

y

Calcula la razón xencambioyencambio .

La Srta. Tutti Fruti escogió dos pares ordenados distintos a los tuyos.

¿Acaso la razón xencambioyencambio será distinta a la que tu obtuviste?

Si escogieras dos pares ordenados que satisfagan la ecuación 521

+= xy , entonces

¿cuál debe ser la razón xencambioyencambio ?

Definición Si dos puntos descansan sobre una recta no vertical, a

la razón

)()( 2,22,1 yxyyx

mxxxencambio

yencambio=

−=

12

12 yy − se le conoce como la pendiente de la recta.


61

Exploración dirigida con la calculadora gráfica. ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica de 3+= mxy el cambiar el valor de ? m

a. Pregunta al grupo: Si quiero saber cómo luce la gráfica de cuando , ¿qué gráfica debo trazar?

3+= mxy1=m

¡Pausa pedagógica! Una vez contestada la pregunta, el recurso usará su calculadora para trazar la gráfica usando la ventana gráfica estándar. 3+= xyb. “Investiguemos como lucirá la gráfica si 2=m . ¿Cómo compara la gráfica de

con la gráfica de 32 += xy 3+= xy ?” En el mismo sistema de coordenadas, el recurso trazará la gráfica de 32 += xy . c. ¿En qué se parecen ambas gráficas? (Ambas son rectas, ambas están

inclinadas hacia arriba si las miramos de izquierda a derecha, ambas cortan el eje de en el mismo punto). y

¿En que se diferencian ambas gráficas? ( 32 += xy es más empinada que ). 3+= xy d. Usando la opción TRACE del menú identificará cada una de las gráficas a la

audiencia. i. Note que si , para cada valor de x el valor de y que corresponde a

es mayor que el valor de 0>x

32 += xy y que corresponde a . 3+= xye. El recurso le preguntará directamente a un maestro ¿Te atreves a sugerir

alguna ecuación cuya gráfica pase por el punto y… )3,0(i. que esté inclinada hacia arriba si se mira de izquierda a derecha y …

1. sea más empinada que ambas gráficas? 2. sea más empinada que 3+= xy pero menos empinada que

32 += xy ? ii. que esté inclinada hacia arriba pero sea menos empinada que ambas

y 3+= xy 32 += xy ? iii. que no esté inclinada?

f. Nuevamente el recurso dirige al grupo. Investiguemos cómo lucirá la gráfica

si . 1−=mg. El recurso le preguntará directamente a un maestro ¿Te atreves a sugerir

alguna ecuación cuya gráfica pase por el punto y… )3,0(i. que esté inclinada hacia abajo si se mira de izquierda a derecha y sea

más empinada que 3+−= xy ?


Día 8 Hora 16 La pendiente: un coeficiente

ii. que esté inclinada hacia abajo pero que esté entre las gráficas de 3=y y ? 3+−= xy

iii. que pase por el punto (1,0)? iv. que pase por el punto (7,0)?

Síntesis: La gráfica de es una _______________________________. 3+= mxySi , entonces la recta __________________________________. 0>mSi , entonces la recta __________________________________. 0=mSi , entonces la recta ___________________________________. 0<m


63

Esta actividad no se incluyó en el manual de actividades entregado a los maestros. Esta omisión es intencional. Pretende ser un cambio de paso, en dónde se utiliza el estilo de una conferencia tradicional. Se pretende modelar el uso efectivo de la calculadora gráfica en la sala de clase. Nótese que el énfasis no está en dirigir al participante en obtener una determinada gráfica. El énfasis se pone en realizar la pregunta indicada en el momento indicado.


Día 9 Hora 17 La pendiente: una razón de cambio

Explora

1. Si , ¿cuánto cambia cuando cambia de a 1?_____________. 82 += xy y x 02. Si , ¿cuánto cambia 83 += xy y cuando cambia de 1a 2?_____________. x3. Si , ¿cuánto cambia 84 += xy y cuando cambia de 2 a 3?_____________. x4. Si , ¿cuánto cambia 85 += xy y cuando cambia de 3 a 4?_____________. x5. Si , ¿cuánto cambia 86 += xy y cuando cambia de 4 a 5?_____________. x

6. Si , ¿cuánto cambia 82 += xy y cuando cambia de a 2?_____________. x 07. Si , ¿cuánto cambia 83 += xy y cuando cambia de 2 a 4?_____________. x8. Si , ¿cuánto cambia 84 += xy y cuando cambia de 4 a 6?_____________. x9. Si , ¿cuánto cambia 85 += xy y cuando cambia de 6 a 8?_____________. x10. Si , ¿cuánto cambia 86 += xy y cuando cambia de 8 a 10?_____________. x

Escribe el valor de la cantidad xencambioyencambio para cada uno de los problemas 1 al 10.

1. _______ 2. _______ 3. _______ 4. _______ 5. _______ 6. _______ 7. _______ 8. _______ 9. _______ 10. _______

Si , entonces baxy += =xencambioyencambio ___________.


65

Intercepto en y

I. En las gráficas siguientes, la distancia entre dos marcas adyacentes sobre los ejes equivale a una unidad. ¿En qué punto cada gráfica corta el eje de y ?

La gráfica corta el eje de en el punto ___________ y

La gráfica corta el eje de en el punto ___________ y

La gráfica corta el eje de y en el punto ___________


Día 9 Hora 18 El intercepto en y

Explora

11. La recta corta el eje de en el punto_____________. 13 += xy y12. La recta corta el eje de en el punto___________. 23 += xy y13. La recta corta el eje de en el punto___________. 33 += xy y14. La recta corta el eje de en el punto___________. 43 += xy y15. La recta corta el eje de en el punto___________. 13 −= xy y16. La recta corta el eje de en el punto___________. 23 −= xy y17. La recta corta el eje de en el punto___________. 33 −= xy y18. La recta corta el eje de en el punto___________. 43 −= xy y

19. La recta corta el eje de en el punto___________. bmxy += y

Definición Si una gráfica corta el eje de en el punto decimos que el intercepto en de la gráfica es .

y ),0( by b


67

¿Cuál es la ecuación de la recta cuya gráfica se ilustra abajo? a.

b.

c.


Día 10 Hora 20 De la tabla de valores a la ecuación

Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio 69 69

Para cada una de las siguientes tablas de valores. ¿Cuál ecuación describe la relación entre y ? x y

x 2 4 6 8 10 12 14 y -1 -6 -11 -16 -21 -26 -31

x -4.1 -2.3 -0.5 1.3 3.1 4.9 6.7 8.5 y -3 6 15 24 33 42 51 60

La siguiente actividad tampoco está incluida en el manual entregado a los maestros. Provee la oportunidad de práctica supervisada, dentro de un formato que respeta el ritmo personal de aprendizaje de cada participante. Los maestros trabajarán con la actividad Match it del programa ALGPRT1 de la calculadora gráfica TI-84. Este programa les hace 12 preguntas de selección múltiple en las que deben elegir la ecuación de una recta dada su gráfica o una tabla de valores. Para acceder al programa deben pulsar la siguiente sucesión de teclas Actividad Match it! APPS Programa ALGPRT1 3:Linear functions 4:Slope intercept form 3:Activities Flecha del cursor a la derecha 1 Match it! Posteriormente a este trabajo se les presentará a los maestros el siguiente problema verbal. La unidad básica de temperatura en el sistema internacional de medidas SI es el Kelvin; una unidad en una escala absoluta de temperatura. En cualquier escala absoluta, la temperatura más baja que se puede registrar es cero. Digamos que vives en un lugar donde la temperatura varía entre y y que deseas definir una nueva escala absoluta de temperatura, TE (tu escala para temperatura), cuyo alcance vaya entre y .

Fo100− Fo40TEo0

TEo100

a) Construye una ecuación que permita convertir entre yFo TEo b) Usa tu ecuación para encontrar la temperatura en si ésta fuera de . Fo TEo77


Día 11 Hora 22 La calculadora gráfica: ¿cuál es la mejor ventana?


Se repasarán nociones básicas del uso de la calculadora TI-84 para el trazado de gráficas. Se usará como ejemplo la gráfica de 23 += xy . Durante la discusión se tocarán los siguientes puntos: ¿Cómo entrar una ecuación? ¿Cómo obtener la gráfica? ¿Cómo recorrer la gráfica? ¿Cómo obtener una tabla de valores? Luego se discutirá la actividad: Todo es según el color…

Todo es según el color …de la ventana desde donde se mira…. Al usar una calculadora gráfica para estudiar una ecuación deseamos trabajar con la ventana que nos permita ver el máximo posible de información de la gráfica. En el caso de una recta es apropiado ver los lugares donde la recta corta el eje de y el eje de . Buscar esta ventana es una destreza importante. Practica esta destreza trabajando los siguientes ejercicios.

x y

1. Encuentra una ventana que permita observar los puntos en que la gráfica de 80003500 += xy corta el eje de y el eje de . x y

2. Encuentra una ventana que permita observar los puntos en que la gráfica de

27856000000008. += xy corta el eje de y el eje de . x y

3. Encuentra una ventana que permita observar los puntos en que la gráfica de

0003.100

1−= xy corta el eje de y el eje de . x y


Día 12 Hora 23 Otra vez la variación directa


La siguiente tabla de datos describe como dependen las variables y de 8Y 9Y X .

¿Acaso existe una relación lineal entre X y ? 8Y¿Acaso existe una relación lineal entre X y ? 9Y

Completa la siguiente tabla y descubre un patrón adicional entre una de estas parejas de variables.

X 8Y 9Y XY8

XY9

1 2.5 7 3 7.5 11 5 12.5 15 7 17.5 19 9 22.5 23

11 27.5 27 13 32.5 31

Encuentra una ecuación que describa la relación entre X y . 8Y Encuentra una ecuación que describa relación lineal entre X y . 9Y


Día 12 Hora 23 Otra vez la variación directa


¿En cuáles de las siguientes gráficas la variable dependiente varía directamente con la variable independiente?

Para transmitir una idea, una imagen vale más que mil palabras…

Cuentos y más cuentos Trabaja en pareja con un colega para identificar dos situaciones que puedan representarse por la gráfica de abajo. Cada miembro de la pareja debe escoger una de las situaciones y escribir un párrafo describiéndola. Toma en consideración la información representada por los ejes. También debes interpretar el significado de las pendientes de cada segmento.

posición


Día 12 Hora 24 El mundo no es una línea recta


1. La figura de abajo ilustra cómo pudo haber cambiado a través del tiempo la población del carey en una playa de Puerto Rico. Durante el período que se ilustra, la playa experimentó un derrame de petróleo, un período de limpieza, y el continuo embate de descargas sanitarias provenientes de poblaciones cercanas. Identifica estos eventos importantes.

Número de careyes

¿Cuál de las siguientes gráficas de posición vs. tiempo ilustra correctamente la situación siguiente?

“Se lanza una pelota directamente hacia arriba, finalmente cae de nuevo al suelo. “


Día 13 Hora 25 El mundo no es una línea recta


¿Cuál de las siguientes gráficas de rapidez vs. tiempo ilustra correctamente la situación siguiente? “Se lanza una pelota directamente hacia arriba, finalmente cae de nuevo al suelo.

Imagina un escenario realista en el que cada una de las cantidades siguientes cambia con el tiempo. Describe el escenario por escrito. Esboza una gráfica que corresponda a tu descripción. (Colócale etiquetas a los puntos más interesantes de la gráfica.)

a. El consumo de electricidad en Puerto Rico (incluye período diurno y nocturno)

b. La temperatura de una papa que se acaba de poner a asar en un horno


Día 14 Horas 27 y 28 El mundo no es una línea recta: Uso de sensor de movimiento


Buscando el paso La relación entre distancia y tiempo de un objeto que se mueve en línea recta es conceptualmente muy rica. En esta actividad analizarás varias gráficas de distancia contra tiempo. Para cada gráfica desarrollarás una conjetura sobre cómo moverse a lo largo de una línea recta, de modo que tus datos de posición y tiempo repliquen aquellos que la gráfica ilustra. Una vez realizada la conjetura, la pondrás a prueba con un experimento. En caso de no lograr el resultado esperado, puedes refinar la conjetura y repetir el experimento tantas veces como entiendas necesario. Usarás un detector de movimiento, la interfase para la calculadora gráfica y el programa de aplicación DATAMATE para realizar las pruebas que sean necesarias para reproducir la gráfica provista. Materiales Calculadora gráfica TI 84 Silver Plus Interfase LAB PRO Detector de movimiento Metro o cinta métrica Cinta adhesiva Instrucciones.

1. Fija un detector de movimiento a una superficie que esté de frente a un área libre de mobiliario u otros objetos.

2. Directamente al frente del sensor de movimiento, marca una línea recta de 4 metros de largo. Identifica intervalos de un metro de largo sobre la línea recta.

3. Conecta el detector de movimiento al puerto DIG/SONIC1 del interfase. Conecta la interfase a la calculadora gráfica usando el cable conector.

4. Enciende la calculadora y pulsa la tecla Apps. Moviendo el cursor con las teclas de flecha verás la siguiente pantalla:

Pulsa ENTER para acceder a la aplicación EASYDATA. 5. Verás una pantalla que identifica el programa e

inmediatamente una pantalla nueva con 5 rectángulos o pestañas en la parte inferior. Cada una de estas pestañas corresponde a la tecla especial de color claro que está inmediatamente dla pestaña SETUP y obtendrás el menú que se ilustra abajo.

ebajo en tu calculadora. Pulsa

6. Escoge la alternativa DISTANCE MATCH.de este menú. Pulsa la pestaña

. Escoger NEXT producirá que se ilustre en la pantalla una gráfica a replicarse.

START para obtener una serie de instrucciones.

7Por ejemplo,

8. Examina la gráfica propuesta por la calculadora. Cada marca en el eje horizontal

9. a cargo de la

e

l

.

corresponde a un segundo. Cada marca sobre el eje vertical corresponde a un metro. Además, presta atención a la información que ofrece la inclinación de cada segmento de la gráfica sobre la razón de cambio entre distancia y tiempo.Discute con tus colegas cómo debe moverse una persona frente al detector de movimiento para replicar el movimiento ilustrado por la gráfica. Escribe las instrucciones que debe seguir un sujeto para replicar esta gráfica. ¡Ahora a explorar si la conjetura es válida! Una persona debe estarcalculadora gráfica. Otro compañero debe tomar su posición inicial frente al detector de movimiento. Indícale al compañero que comience a moverse segúnplaneado. El encargado de la calculadora debe pulsar START simultáneamentcon el comienzo del movimiento. El detector de movimiento registrará como cambia la distancia entre tu colega y el sensor, en un período de 5 segundos. Eprograma organiza estos datos en una gráfica de distancia contra tiempo que el sistema va construyendo en tiempo real. Al pulsar STOP obtendrás la gráfica sobrepuesta sobre la gráfica original y tres nuevas pestañas. La siguiente ilustración es un ejemplo.

10. Si te satisface la gráfica producida, llena la hoja de trabajo que se adjunta y

11. para cuatro gráficas adicionales. Procesa los datos

.

escoge NEW para obtener un nuevo patrón. Si no te satisface la gráfica producida, pulsa RETRY. Repite los pasos anteriores usando la hoja de trabajo que se adjunta.


Día 14 Horas 27 y 28 El mundo no es una línea recta: Uso de sensor de movimiento


Buscando el paso Para cada una de las cuatro gráficas propuestas por la calculadora, usa los ejes provistos para trazar simultáneamente la gráfica del patrón que debes imitar y la gráfica de tu movimiento. Describe el movimiento que tuviste que realizar para parear la gráfica Para parear la gráfica tuve que

Para parear la gráfica tuve que


Día 15 Hora 29 Potencias y polinomios: explorando diferencias


Considera una tabla de valores de la ecuación . 2xy =

x 1 2 3 4 5 6 7 y 1 4 9 16 25 36 49

Llena los blancos Nota que

1. La diferencia entre los valores de x es _________ . 2. La diferencia entre los valores de _________ constante. y3. La gráfica de _________ una recta. 2xy =4. La segunda diferencia entre los valores de y es ___________________.

Para cada una de las siguientes ecuaciones construye una tabla de valores. Determina cuántas diferencias de los valores de deben tomarse para obtener una constante. y

1. 22xy =x 1 2 3 4 5 6 7 y 2. 22 += xyx 1 2 3 4 5 6 7 y

3. xxy += 2

x 1 2 3 4 5 6 7 y 4. 32xy =x 1 2 3 4 5 6 7 y

5. 23 += xy x 1 2 3 4 5 6 7 y

6. 23 xxy += x 1 2 3 4 5 6 7 y 7. xxxy ++= 23

x 1 2 3 4 5 6 7 y

8. ¿Cuántas diferencias de los valores de crees que deben tomarse para obtener una constante si….

y

a. ? 4xy =b. ? 5xy =c. ? nxy =


Día 15 Hora 29 Potencias y polinomios: explorando diferencias


Conviene presentar una definición de los siguientes conceptos término, polinomio y grado de un término y grado de un polinomio para desarrollar un lenguaje común previo que facilite la discusión.

¡Se caen como guanábanas!! Un fabricante de autos prueba sus carros contra colisiones frontales trepándolos en una grúa y dejándolos caer. Si dejamos caer un objeto desde una altura de x metros y asumimos que el efecto de la resistencia del aire es despreciable, entonces justo antes de tocar el suelo, el objeto se mueve con una rapidez de x425.0 millas por hora. 1. Usa tu calculadora gráfica para

a. construir una tabla que ilustre cómo depende la rapidez de la altura desde la que se deje caer el automóvil.

b. graficar cómo depende la rapidez de la altura desde la que se deje caer el automóvil.

c. construir una tabla de la razón de cambio promedio entre la rapidez y la altura cuando se incrementa la altura en intervalos de 10 cm. de alto.

d. graficar cómo depende la razón de cambio promedio entre la rapidez y la altura cuando se incrementa la altura en intervalos de 10 cm. de alto de la altura.

e. Compara las gráficas de las partes b y d.


Día 16 Hora 31 Problemas de mezcla


Mezclas 1. Daniel tiene 90 mililitros de una solución salina al 15%. El le añade x mililitros de

agua destilada. ¿Cuál será la concentración de la nueva solución? 2. Una enfermera tiene 2 litros de una solución al 3% de ácido bórico. ¿Que volumen de

una solución al 10% de ácido bórico debe añadírsele para obtener una nueva solución al 4%?

Algebra y Ciencias ¿Café y leche? Tito tiene dos envases. En uno de ellos tiene exactamente un litro de café. El otro envase contiene exactamente un litro de leche. Del litro de café, Tito saca una cucharada, la echa en el envase de leche y agita la mezcla. Con la misma cuchara, saca una cucharada de la mezcla, la echa en el envase de café y agita la nueva mezcla. Al terminar el proceso, ¿en cuál envase existe una concentración mayor del líquido que originalmente lo ocupaba?

a. Nota que no es posible distinguir entre el café y la leche una vez se haya realizado la mezcla. A este tipo de mezcla homogénea le llamamos una solución.

b. Al mezclar café con leche tenemos un cambio físico o un cambio químico.


Día 17 Horas 33 y 34 Modelos matemáticos


¿Cuál era el modelo en la Era del Hielo? Supón que sacas un refresco del refrigerador. ¿Cuánto tardará en alcanzar la temperatura ambiente? ¿Cuál es la relación entre la temperatura del refresco y el tiempo que éste pasa fuera del refrigerador? En esta actividad modelarás esta situación estudiando cómo cambia la temperatura de un sensor al sacarlo de un vaso de agua helada. Para realizar esta experiencia necesitarás Calculadora gráfica Interfase LABPRO Sensor de Temperatura Cronómetro Vaso Agua Hielo abundante Hoja de trabajo Usarás la interfase y la calculadora gráfica para recoger los siguientes datos:

1. una medida de la temperatura del ambiente 2. 30 medidas de la temperatura del sensor tomadas cada 2 segundos durante un

período de un minuto luego de retirar el sensor del vaso 3. una medida de la temperatura del sensor 2 minutos después de haberlo sacado del

vaso. Con tu calculadora gráfica

1. guardarás en la memoria la tabla de datos de tu experimento para uso posterior. 2. construirás una gráfica con los datos de tu experimento. 3. cargarás a tu calculadora gráfica la tabla de datos de tu experimento. 4. usarás tus datos para generar varias ecuaciones que describen la temperatura del

sensor, x segundos después de sacarlo del vaso. 5. Evaluarás cuán eficientemente cada ecuación predice la conducta de la

temperatura del sensor después de sacarlo del vaso. Procedimiento A. Prepara la interfase para recibir los datos siguiendo las siguientes instrucciones.

1. Conecta el sensor de temperatura al puerto CHANNEL 1 de l interfase. 2. Conecta la interfase a la calculadora gráfica usando el cable conector. 3. Enciende la calculadora. Pulsa la tecla Apps, y mueve el cursor con las teclas de

flecha hasta que encuentres el programa DATAMATE. Pulsa ENTER para acceder a esta aplicación. Pulsa la tecla CLEAR para limpiar los registros de memoria.

4. Prepara la interfase para tomar medidas de temperatura a intervalos de 2 segundos por un periodo de 1 minuto. Pulsa SETUP , usa las teclas de flecha hasta llegar a MODE, presiona Enter. Aparecerá un nuevo menú en donde debes escoger la alternativa CHANGE TIME SETTING. Indica que las medidas deben tomarse cada 2 segundos y que deben realizarse 30 medidas. Vuelve a la pantalla principal escogiendo MAIN SCREEN.

B. Recolección de Datos 1. Antes de meter el sensor en el vaso de agua helada, mide la temperatura del

ambiente. Puedes leerla en el extremo superior derecho de la pantalla de tu calculadora. Regístrala en tu hoja de trabajo.

2. Mete el sensor de temperatura en un vaso de agua con hielo. Espera a que la temperatura registrada por el sensor esté cerca de los C. o0

3. Cuando la temperatura del sensor esté cerca de C, saca el sensor del vaso y pulsa la tecla de START en tu calculadora gráfica. El sistema tomará 30 medidas de la temperatura del sensor a intervalos de 2 segundos cada una. Estos datos se registrarán y graficarán en la calculadora gráfica.

o0

4. Escucharás un BEEP cuando el sistema termine de tomar estas medidas. Usa el cronómetro para tomar una medida adicional de la temperatura del sensor, exactamente 1 minuto después de escuchar el BEEP. Registra esta temperatura en la hoja de trabajo.

5. Escoge QUIT del menú principal para abandonar DATAMATE. 6. Para ver una tabla con los 30 pares de datos que tomaste al sacar el sensor del

vaso, pulsa la tecla STAT, y selecciona EDIT en el menú. La columna L1 representa el tiempo transcurrido, la columna L2 contiene las medidas de temperatura.

7. Para registrar en tu calculadora la medida de temperatura tomada 1 minuto después de escuchar el BEEP, mueve el cursor hasta la primera casilla vacía de la columna L1 usando las flechas. Escribe 120 y pulsa ENTER. Mueve el cursor al espacio vacío en la misma fila de la columna L2, escribe la medida de la temperatura que tomaste 1 minuto después de escuchar el BEEP y presiona ENTER. Para registrar la medida de la temperatura ambiente repite este proceso escribiendo respectivamente 4800 y la medida de la temperatura ambiente que tomaste en la próxima fila disponible de las columnas L1 y L2.

C. Almacenamiento de los datos para uso posterior

1. Para almacenar tu tabla de datos, pulsa 2ND MEM, mueve el cursor hasta sombrear la alternativa GROUP del menú y pulsa ENTER.

2. En el nuevo menú aprieta ENTER para escoger la alternativa CREATE NEW. 3. Asígnale el nombre HIELO pulsando las teclas [H][I][E][L][O] y apretando la

tecla ENTER al terminar de escribir la palabra. 4. Aparecerá un nuevo menú que te permitirá escoger cuáles columnas incluirás

en la tabla HIELO. Para seleccionar cuales columnas deseas, escoge LIST y pulsa ENTER. Aparecerá un listado de todas las columnas de datos que al presente tienen datos en tu calculadora.




5. Escoge la columna L1 pulsando ENTER. Mueve el cursor hacia abajo con las teclas de flecha a la próxima línea y pulsa ENTER en L2 para escoger esta columna como parte del grupo de tablas a guardarse en la memoria.

6. Mueve el cursor hacia el lado derecho con la tecla de flecha para marcar DONE y pulsa ENTER. En la pantalla de tu calculadora aparecerá un mensaje indicando que las variables se han copiando al grupo HIELO.

7. Para recuperar los datos almacenados en el grupo de columnas HIELO. Accede a la memoria de la calculadora pulsando 2ND MEM. Escoge GROUP del menú (ya sea pulsando 8 ó moviendo el cursor hacia abajo hasta sombrear GROUP y pulsando ENTER.) Mueve el cursor a la derecha con la tecla de flechas, sombrea UNGROUP y aprieta ENTER. Aparecerá un nuevo menú; usa las teclas de flecha para mover el cursor hacia abajo hasta sombrear OVERWRITE ALL y pulsa ENTER.

D. Análisis de los datos

1. Para ver una tabla con los datos de tu experimento, pulsa la tecla STAT, y selecciona EDIT en el menú. La columna L1 representa el tiempo, la columna L2 contiene las medidas de temperatura. Investiga moviendo las teclas de flecha cuales fueron los valores mínimo y máximo de temperatura observados.

2. Usa los valores mínimo y máximo de tiempo y temperatura y determina una

ventana gráfica apropiada para los datos recogidos en tu experimento. Define esta ventana usando la tecla WINDOW de tu calculadora.

3. Pulsa GRAPH para obtener una gráfica de los datos experimentales de

temperatura contra tiempo.

4. Aproximando tus datos por una ecuación

El proceso estadístico de regresión tiene como objetivo el recuperar la fórmula que mejor describe la relación entre dos cantidades variables. Para realizar una regresión se usa un procedimiento inductivo. Se utilizarán observaciones individuales para extraer un principio general que gobierne la relación entre las cantidades. Se asume que una de las variables depende de la otra y que esta dependencia satisface un tipo particular de ecuación. A la clase de ecuaciones que se escoge a priori para describir la relación le llamamos un modelo. En nuestro experimento, si X es el tiempo en segundos transcurrido desde que se saca el sensor del vaso y Y es la temperatura del sensor en el instante podría suponerse, por ejemplo, que estas cantidades están relacionadas por una ecuación del tipo . Cuando asumimos que la ecuación modelo tiene esta forma , decimos que aproximamos los datos usando un modelo de regresión lineal. ¿Puedes explicar por qué se usa ese nombre? Por supuesto, existe un número infinito de ecuaciones posibles de este tipo. La idea del proceso de regresión es el escoger

,X

baXY +=

aquella combinación de coeficientes y b para la ecuación modelo, que produce la descripción más fiel posible de la relación entre los datos observados.

a

En cambio, si deseamos utilizar un modelo de regresión cuadrático, estaríamos diciendo que esperamos que la relación entre las variables X y Y es del tipo o

. En este último caso, necesitaríamos determinar los tres valores para las constantes y que mejor ajustan el polinomio a los datos.

cbXaXY ++= 2

ba, c No importa cual haya sido el modelo utilizado, se busca que la fórmula generada por el método de regresión sintetice la relación existente entre las cantidades variables que han sido observadas y ayude a predecir el valor de la variable dependiente para valores de la variable independiente para el que no tenemos observaciones. Obviamente, la precisión de esta predicción depende sustancialmente de que hayamos seleccionado el modelo correcto. Además, esperaríamos que la gráfica de la ecuación que hayamos encontrado mediante el proceso de regresión, emule el comportamiento de la gráfica de los datos con los que empezamos. De hecho, la ecuación obtenida en el proceso de regresión lineal describe la recta cuya gráfica pasa lo más cerca posible a todos los puntos observados. Estudiar la gráfica de la ecuación de regresión junto con los datos experimentales puede dar luz sobre la idoneidad de aplicar un modelo particular para explicar la relación entre dos variables. La calculadora gráfica permite realizar regresiones entre dos cantidades variables. De modo muy sencillo, permite además graficar simultáneamente los datos experimentales y la gráfica de la ecuación mediante el método de regresión. Veamos cómo usar nuestra calculadora gráfica para realizar una regresión lineal de la relación entre temperatura y tiempo de nuestro experimento:

1. Oprime la tecla STAT. Obtendrás una pantalla similar a ésta.

2. En el menú que aparece en la parte superior de la pantalla, mueve el cursor

con las teclas de flecha hasta oscurecer CALC , inmediatamente aparecerá el siguiente menú:




3. Mueve el cursor hacia abajo para marcar la alternativa LinReg(ax+b) del menú. Pulsa ENTER. 4. Ahora necesitas identificar los argumentos de esta rutina preprogramada de tu

calculadora. Las próximas instrucciones te dirigirán hasta conseguir que la pantalla de tu calculadora luzca como esta

a. Escoge la variable independiente pulsando: 2ND L1, (El símbolo L1 lo

encontrarás sobre el dígito 1, la coma la encuentras sobre el dígito 7.) b. Escoge la variable dependiente pulsando 2ND L2, (El símbolo L2 lo

encontrarás sobre el dígito 2. ¡No te olvides de la coma!), c. Para asignarle un nombre a la gráfica de la ecuación de regresión

pulsa la tecla VARS, mueve el cursor a Y-VARS y pulsa ENTER. Ahora escoge el nombre que le darás a la gráfica de la ecuación de regresión.

5. Pulsa ENTER para ejecutar la regresión. Anota los valores de los coeficientes a y b que obtuviste en la regresión. ¿Qué información provee el coeficiente a? ¿Que información provee el coeficiente b? 6. Obtén la gráfica de la ecuación de regresión simultáneamente con la gráfica de

los datos obtenidos en tu experimento presionando la tecla GRAPH. Contesta las siguientes preguntas:

a. Usando las gráficas de los datos de tu experimento y la producida por el modelo lineal ¿cuán bien describe el modelo de regresión lineal la relación existente entre los datos de temperatura y tiempo observados durante los primeros 60 segundos después de sacar el sensor del vaso?

b. ¿Que valor predice el modelo de regresión lineal para la temperatura del sensor cuando han pasado 2 minutos desde que se sacó del vaso?

Como vimos, la regresión lineal describe la relación entre los datos mediante un polinomio de grado 1. Análogamente, la regresión cuadrática aproxima la relación entre los datos mediante un polinomio de grado 2. Tu calculadora gráfica es capaz de realizar regresiones polinómicas de grado 1,2, 3 o 4. Fundamentalmente, debes seguir las mismas instrucciones que discutimos en los pasos 1 al 8, con la única diferencia de sustituir la instrucción LINREG del paso 3, por los comandos QUADREG, CUBICREG o QUARTREG que aparecen bajo el menú STAT CALC que obtuviste en el paso 2.

c. Usa un modelo de regresión cuadrático para describir la relación entre la temperatura y el tiempo transcurrido desde que el sensor se sacó del vaso. Estudia la relación entre la gráfica de los datos observados y los datos generados por el modelo cuadrático. ¿Qué puedes comentar sobre el uso de un modelo cuadrático para predecir la temperatura del sensor 2 minutos después de sacarlo del vaso?

d. Repite la experiencia de la pregunta anterior para un modelo cúbico. ¿Qué puedes comentar sobre el uso de un modelo polinómico de grado 3 para predecir la temperatura del sensor 2 minutos después de sacarlo del vaso?

e. ¿Qué puedes decir del efecto de utilizar un modelo polinómico de grado 4?


Día 18 Horas 35 y 36 Problemas y más problemas


El problema de los maridos celosos

Tres matrimonios están reunidos en una casa. Como es domingo, desean ir a la iglesia que queda a 1 milla de la casa. Para transportarse solo tienen disponible un automóvil con espacio para el conductor y un pasajero. La situación se complica por un detalle adicional: ¡los maridos son celosos! Es decir, ninguno de los esposos permite que su esposa esté en la compañía de otro hombre sin que él esté presente. ¿Cómo deben planificar los viajes para que todos puedan llegar a la iglesia? ¿Qué distancia total recorrerá el automóvil? ¿Cuantos viajes se realizarán si hay parejas? n

El tapón de la loza

Hay siete lozas colocadas en fila. Hay seis personas. Cada persona ocupa una loza. La loza del centro está vacía. Hay tres personas a cada lado del centro.

Objetivo:

Todas las personas deben moverse de modo que

a. al final del movimiento la loza central quede desocupada b. las personas que originalmente ocupan las lozas que están a

la derecha de la loza central pasen a ocupar las lozas que están a la izquierda del centro, y

c. los que estaban originalmente a la izquierda pasen a estar a la derecha dejando la loza central finalmente desocupada.

Los participantes pueden moverse de acuerdo a las siguientes reglas:

a. Después de cada movida, cada persona tiene que estar parada sobre una loza.

b. Si alguien empieza al lado izquierdo, solo puede moverse hacia la derecha.

c. Si alguien empieza al lado derecho, solo puede moverse hacia la izquierda.

d. Una persona puede pasarle a otra si la loza que esta al otro lado esta vacía. Puede pasarle sólo a una persona a la vez.

La pregunta:

¿Cuántas movidas serán necesarias para alcanzar el objetivo?

¿Cuántas movidas serán necesarias si hay parejas de personas y lozas en el tapón?

n 12 +n


Instituto de Verano MSP 21 Interamericana Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia POST PRUEBA


Nombre________________________ Fecha_______________________

1. Si y = 3x + 10, ¿cuánto cambia y cuando x cambia de 2 a 6?_____________.

2. Identifica dos pares ordenados que satisfagan la ecuación .

Calcula la razón

26 +−= xy


3. ¿Cuál es la ecuación de la recta ilustrada en la Figura 1 si cada marca en los ejes equivale a una unidad?

Figura 1

4. Utiliza la información de la Tabla 1 para contestar si cada una de las siguientes aseveraciones es Cierta o Falsa. Escribe la respuesta a la izquierda del enunciado.

Tabla 1

X Y Z 1 5.5 7 3 11.0 11 5 16.5 15 7 22.0 19 9 27.5 23

11 33.0 27 13 38.5 31

_________a. Z es directamente proporcional a X. _________b. La gráfica de Y vs. X es una línea recta. _________c. La gráfica de Y vs. X es menos inclinada que la gráfica de Z vs. X.

5. Utiliza la información en la Tabla 2 para contestar las siguientes preguntas

Tabla 2 - Peso equivalente de una persona de 50 kilos

Planeta Peso (kilos) Planeta Peso (kilos) Mercurio 19 Júpiter 126.5

Venus 45.5 Saturno 53.5 Tierra 50 Urano 45.5 Marte 19 Neptuno 56.5

c. Kenepo pesa 15 kilos en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Urano? b. Determina una fórmula para relacionar el peso de una persona en Urano dado su peso en la Tierra.






Figura 2

7. Se le cortan x unidades al extremo de un cable de largo . Un pedazo del cable se dobla para formar un círculo. El otro pedazo se dobla para formar un cuadrado.

L

e. Expresa la suma de las áreas S en términos de x.

f. Si L = 12, usa una calculadora gráfica para estimar el largo del corte


8. En cada una de las siguientes tablas de datos el valor de y depende de x de forma lineal, exponencial o polinómica. Determina la clasificación para la relación entre y y x. Si la relación es lineal identifica la pendiente. Si la relación es exponencial identifica la base. Si la relación es polinómica identifica el grado del polinomio.

Tabla 3




x -5.3 -7.4 -9.5 -11.6 -13.7 -15.8 -17.9 y -1.1 -0.7 -0.3 0.1 0.5 0.9 0.13

Clasificación: ______________________

Tabla 4

x 1 2 3 4 5 6 7 y 25 98 219 388 605 870 1183

Clasificación: ______________________

Tabla 5

x 1 2 3 4 5 6 7 y 24 48 96 192 384 768 1536

Clasificación: ______________________

Tabla 6

x 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 y 4.3 8.3 12.3 16.3 20.3 24.3 28.3 32.3

Clasificación: _____________________


Figura 3

a b

b

a




10. En las tres gráficas a continuación la variable dependiente crece en función de

la variable independiente. Usando la idea de tasa de cambio, ¿que información diferente provee cada gráfica? Explica.

Figura 4

ESTAD - msp21.bayamon.inter.edu · Por su parte, la profesora Martínez, presenta actividades...

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