Equação do Segundo Grau

Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:

onde a, b e c são números conhecidos com a 0.

Exemplos:

1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)

2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)

3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)

A – Resolução da equação do 2º grau

Exemplos:

1º) Resolver em R a equação: x2-16=0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x2-16=0 x2=16

x2-16=0 x = –4 ou x = +4

Assim:

2º) Resolver em R a equação: x2 + 11x = 0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11

Assim:

3º) Resolver em R a equação: x2 + 4x + 4 = 16

Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)2, então: x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16 Assim:

x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16

x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4

x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2

Assim:

4º) Resolver em R a equação: x2– 6x + 5 = 0

Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:

x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.

Assim: x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9

x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4

x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4

x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2

x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5

Assim:

 B – Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos: a2x2+ abx + ac = 0

Notemos que a expressão:

é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar

aos dois membros da igualdade o número .

a2x2 + abx + =

Logo:

Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega (delta), teremos:

 

Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.

Exemplo

Resolver em R a equação: 5x2– 12x + 4 = 0

temos, a = 5, b = –12 e c = 4

substituindo na fórmula de Bhaskara.

 

Observação: Se a equação não estiver na forma ax2 + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.  

C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau

Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:

1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.

Exemplo: Resolver em R:

 

2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.

Exemplo: Resolver em R:

 

3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.

Exemplo