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Processamento Digital de Sinais – Aula 11– Professor Marcio Eisencraft – março 2012

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Aula 11 Sinais de tempo contínuo amostrados Bibliografia

OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R W. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 2010.

ISBN 9780131988422. Páginas 153-166.

INGLE, V. K.; PROAKIS, J. G. Digital signal processing using Matlab, Thomson, 2007. ISBN

0495073113. Páginas 60-74.

3.4. Sinais de tempo contínuo amostrados

Em muitas aplicações – por exemplo, comunicações digitais – sinais analógi-

cos do mundo real são convertidos em sinais discretos utilizando operações de

amostragem e digitalização (coletivamente chamadas de conversão analógico-

digital (A-D)).

Estes sinais de tempo discreto são processados em processadores digitais de

sinais (DSP) e então os resultados são convertidos novamente em sinais ana-

lógicos usando uma operação de reconstrução (chamada de conversão digital

analógica (D-A)).

Usando análise de Fourier, podemos descrever a operação de amostragem do

ponto de vista do domínio da frequência, analisar seus efeitos e então planejar

a operação de reconstrução.

Assumiremos um número suficientemente grande de níveis de digitalização

de forma que seu efeito sobre os sinais discretos seja desprezível.

3.4.1. Amostragem

Seja ( )txa um sinal analógico (absolutamente integrável). Sua transformada de

Fourier de tempo contínuo (TFTC) é dada por

( ) ( )∫∞

∞−

Ω−=Ω dtetxjX tjaa , ·· (1)


2

em que Ω é uma frequência analógica em radianos/s.

A Transformada de Fourier de tempo contínuo inversa é dada por

( ) ( )∫∞

∞−

Ω ΩΩ= dejXtx tjaa π2

1. (2)

Agora amostramos ( )txa com um período de amostragem ST segundos para

obter o sinal de tempo discreto

[ ] ( )Sa nTxnx =

Seja então ( )ωjeX a transformada de Fourier de tempo discreto de [ ]nx . Então

pode-se mostrar (HAYKIN; VEEN, 2000) que ( )ωjeX é uma soma de versões

deslocadas no tempo e escaladas em amplitude da transformada de Fourier

( )ΩjX a .

( ) 1 2ja

S S S

X e X jT T T

ωω π

∞

=−∞

= − ∑ℓ

ℓ (3)

A fórmula acima é conhecida como fórmula do “aliasing”. As frequências

analógicas e digitais são relacionadas por ST ,

STΩ=ω , (4)

enquanto a frequência de amostragem SF é dada por

SS T

F1= amostras/s.

A Figura 1 ilustra a fórmula (3) pela qual observamos que, em geral, o sinal

de tempo discreto é uma versão com “aliasing” do correspondente sinal ana-


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lógico porque as altas frequências ficam sobrepostas sobre as baixas frequên-

cias se ocorre sobreposição.

Figura 1 – Processo de amostragem (INGLE; PROAKIS, 2000).

No entanto, é possível recuperar a transformada de Fourier ( )ΩjX a de ( )ωjeX

(ou, equivalentemente, o sinal ( )txa a partir de [ ]nx ) se as infinitas réplicas de


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( )ΩjX a não se sobrepuserem para formar ( )ωjeX . Isto pode ser verdade para

sinais analógicos de banda limitada.

Um sinal é de banda limitada se existe uma frequência angular finita 0Ω tal que

( )ΩjX a é nula para 0Ω>Ω . A frequência π20

0

Ω=F é chamada de largura de

banda do sinal em Hz.

Com relação à Figura 1, se ST0Ω>π , ou equivalentemente se 02F

FS > então:

( )

=

SS

j

TjX

TeX

ωω 1, ·

SSS TTT

πωπ ≤<− (5)

que leva ao teorema da amostragem para sinais de banda limitada.

Um sinal de banda limitada ( )txa com largura de banda 0F pode ser reconstruí-

do a partir de suas amostras [ ] ( )Sa nTxnx = se a frequência de amostragem

SS T

F1= é maior do que duas vezes a largura de banda 0F de ( )txa . ( oS FF 2> )

Caso contrário tem-se “aliasing” em [ ]nx . A taxa de amostragem 02F para um

sinal de banda limitada analógico é chamada de taxa de Nyquist.

Deve-se notar que depois que ( )txa é amostrado, a mais alta frequência analó-

gica que [ ]nx representa é 2SF

Hz (ou πω = ).

Exercício

1. (OPPENHEIM et al., 1999, p. 144) Mostre através de gráficos o processo de

amostragem de um sinal de tempo contínuo cuja TFTC tem forma triangular

em 0Ω<Ω nos casos oS FF 2> e oS FF 2< .


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3.4.2. Reconstrução

A partir do teorema da amostragem e dos exemplos acima, fica claro que se

amostrarmos um sinal de banda limitada ( )txa acima de sua taxa de Nyquist,

podemos reconstruí-lo a partir de suas amostras [ ]nx .

Esta reconstrução pode ser pensada como um processo de dois passos:

Primeiro as amostras são convertidas em um trem ponderado de impulsos.

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ⋯⋯ +−+++−+=−∑∞

−∞=SS

nS TtxtxTtxnTtnx δδδδ 101

Em seguida este trem de impulsos é filtrado através de um filtro passa-

baixas ideal limitado em banda a

−2

,2

SS FF.

Este processo em dois passos pode ser descrito matematicamente usando a

fórmula de interpolação (HAYKIN; VAN VEEN, 2000):

( ) [ ] ( )[ ]SSn

nTtFnxtx −= ∑∞

−∞=

sinc, (6)

em que ( )x

xx

ππsin

sinc = é uma função de interpolação. A interpretação física da

reconstrução acima (6) é mostrada na Figura 2 donde vemos que esta interpola-

ção ideal não pode ser construída já que o sistema total é não causal e, portanto

não realizável.

Conversão em trem de impulsos

Filtro passa-baixas ideal

[ ]nx ( )txa


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3.4.3. Conversores D-A Práticos

Na prática, precisamos de uma abordagem diferente da mostrada na Eq. (6). O

processo em duas etapas é possível de ser realizado desde que o filtro passa-

baixas ideal seja substituído por um filtro passa baixas prático.

Figura 2 – Processo de reconstrução (INGLE; PROAKIS, 2000).


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Outra interpretação da Eq. (6) é que ela representa uma interpolação infinita.

Queremos interpolações de ordem finita (e geralmente baixa). Existem várias

maneiras de fazer isso.

(A) Interpolação de ordem zero (“Zero-Order-Hold (ZOH)”)

Nesta interpolação uma dada amostra é mantida na saída pelo intervalo de

amostragem até que a próxima amostra seja recebida:

( ) [ ]nxtxa =ˆ , ( ) SS TnnnT 1+≤≤

o que pode ser obtido filtrando o trem de impulsos através de um filtro interpo-

lador da forma

( ) ≤≤

=contrário caso ,0

0 ,10

STtth , que é um pulso retangular.

O sinal resultante é uma forma de onda constante por partes (escada) que re-

quer uma pós-filtragem analógica projetada apropriadamente para que tenha-

mos a reconstrução apropriada da forma de onda.

(B) Interpolação de ordem um (“First-Order-Hold” (FOH))

Neste caso, as amostras adjacentes são ligadas por uma linha reta. É o que o

Matlab faz com o comando plot com as configurações padrão.

Ela pode ser obtida pela filtragem do trem de impulsos por

ZOH Filtro passa-baixas ideal

[ ]nx ( )txa ( )txaˆ


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( )

≤≤−

≤≤+

=

contrário caso ,0

2 ,1

0 ,1

1 SSs

Ss

TtTT

t

TtT

t

th

Novamente um pós-filtro analógico com projeto adequado é necessário para

uma reconstrução adequada.

Estas interpolações podem ser estendidas para ordens mais altas. Uma parti-

cularmente útil empregada pelo Matlab é a seguinte.

(C) Interpolação “spline” cúbica

Esta abordagem usa “splines” interpolantes para uma estimativa mais suave,

mas não necessariamente mais correta dos sinais analógicos entre as amostras.

Assim, esta interpolação não necessita de uma pós-filtragem analógica. A re-

construção mais suave é obtida usando um conjunto de polinômios de terceiro

grau contínuos por partes chamados spline cúbicos dados por

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )33

2210 SSSa nTtnnTtnnTtnntx −+−+−+= αααα ,

( ) SS TnnnT 1+≤≤

em que [ ] 30 , ≤≤ iniα são os coeficientes do polinômio, que são determinados

usando análise dos mínimos quadrados das amostras dos valores.

Exercícios

2. (OPPENHEIM et al., 1999, p. 218) Um sinal analógico passa-banda comple-

xo ( )txc tem transformada de Fourier mostrada a seguir em que

( ) ∆Ω=Ω−Ω 12 .


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Figura 3 – Espectro do Sinal do Exercício dois (OPPENHEIM; SCHAFER,

1999).

Este sinal é amostrado para produzir a sequência [ ] ( )nTxnx C= .

(a) Esboce a TFTD ( )ωjeX da sequência [ ]nx para 2Ω

= πT .

(b) Qual é a menor frequência de amostragem que pode ser usada sem que ocor-

ra nenhuma distorção por “aliasing”, isto é, de forma que ( )txc possa ser recupe-

rado a partir de [ ]nx ?

(c) Desenhe um diagrama de blocos de um sistema que pode ser usado para re-

cuperar ( )txc de [ ]nx se a taxa de amostragem usada é maior ou igual à determi-

nada no item (b). Assuma que filtros ideais (complexos) estão disponíveis.

RESPOSTA: (b) ∆Ω

< π2ST

3. (OPPENHEIM et al., 1999, p. 218) Um sinal analógico ( )txc com transfor-

mada de Fourier ( )ΩjXC mostrada na figura a seguir, é amostrado com perí-

odo de amostragem 0

2

Ω= π

T para formar a sequência [ ] ( )nTxnx C= .


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Figura 4 – Espectro do Sinal do Exercício três (OPPENHEIM; SCHAFER,

1999).

(a) Esboce a TFTD ( )ωjeX para πω < .

(b) O sinal [ ]nx deve ser transmitido por um canal digital. No receptor, o sinal

( )txc deve ser recuperado. Desenhe um diagrama de blocos do sistema de recu-

peração e especifique suas características. Assuma que filtros ideais estão dispo-

níveis.

(c) Em termos de 0Ω , para qual intervalo de valores de T podemos recuperar

( )txc a partir de [ ]nx ?

RESPOSTA: (c) 0

2

Ω< π

T .

L5 - Amostragem de sinais L5.1 Amostragem de sinais e aliasing

• Dado um sinal limitado em frequência, ( )tx , pode-se amostrar este sinal e

recuperá-lo novamente desde que se escolha uma frequência de amostragem

conveniente. Ser limitado em frequência significa que seu espectro tem com-

ponentes até a frequência MAXf .


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• Se a amostragem for feita com uma frequência de amostragem S

S Tf

1= igual

ou maior do que MAXf2 , o sinal pode ser recuperado exatamente. Ou seja, se

SMAX ff2

1< então não ocorrerá aliasing ou frequência alias Af .

• Se amostrarmos o sinal ( )tx que contenha SMAX ff2

1> , mas SMAX ff < ocorrerá

aliasing ou frequência alias igual a MAXSA fff −= .

• Se amostrarmos o sinal ( )tx que contenha SMAX ff > ocorrerá aliasing e a fre-

quência alias é calculada da seguinte maneira:

o Calculamos SMAXRESULT kfff −= em que k é o menor inteiro tal que

SRESULT ff < .

o Se SRESULT ff2

1< , então RESULTA ff = .

o Se SRESULTS fff <<2

1 então A S RESULTf f f= − .

Atividade

O seguinte programa pode ser utilizado para ilustrar o processo de amostragem e

reconstrução por interpolação linear de uma senóide com frequência f com uma

frequência de amostragem Sf .

CUIDADO: a forma às vezes estranha obtida na reconstrução é devido à utiliza-

ção da interpolação linear ao invés de “sincs”. Não tem a ver com a frequência

de amostragem utilizada!

% Programa sam1 - Ilustracao do processo de amostra gem

% Mostra a amostragem e reconstrucao de uma senoide com frequencia f

% amostrada com uma frequencia de amostragem fs

function sam1(f,fs)

fase = 0;

n = 0:16; % Intervalo fixado

xa = sin(2*pi*(f/fs)*n+fase);

t = 0:0.00001:16/fs;

xc = sin(2*pi*f*t);

subplot(311);


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plot(t,xc);

str = ['Sinal x(t) = (' num2str(f) ' Hz)'];

title(str);

ylabel('Amplitude');

subplot(312);

stem(n,xa);

ylabel('Amplitude');

subplot(313);

plot(n,xa); % recuperacao por interpolacao

ylabel('Recuperado')

o Exemplo de aplicação: Gráfico de uma senóide com Hzf 500= amostrada a

8000=Sf Hz.

>> sam1(500,8000)

Repare que neste caso não ocorre aliasing.

Obtenha o gráfico das seguintes senóides amostradas a 8kHz. Em cada caso, ve-

rifique a existência de aliasing e, em caso positivo, calcule a frequência alias Af .

(a) 1000=f Hz.

(b) 6000=f Hz

(c) 9000=f Hz

(d) 15000=f Hz

(e) 17000=f Hz

(f) 22000=f Hz

RESOLUÇÃO: (Cálculos das frequências Af ).


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L.5.2 Amostragem e processamento de sinais

• Uma senóide de tempo discreto genérica pode ser expressa como

( )θ+ΩnCcos , em que C é sua amplitude, Ω é sua frequência (em radianos

por amostras) e θ é sua fase (em radianos).

• Uma senóide de tempo contínuo ( )tωcos amostrada a cada T segundos forne-

ce uma sequência de tempo discreto cujo n -ésimo elemento (em nTt = ) é

( )nTωcos . Assim, o sinal amostrado [ ]ny é dado por:

[ ] ( )n

nTny

Ω==

cos

cosω em que Tω=Ω .

• Claramente, uma senóide de tempo contínuo tωcos amostrada a cada T se-

gundos fornece a senóide de tempo discreto ( )nΩcos em que Tω=Ω .

• Superficialmente, pode parecer que uma senóide de tempo discreto é uma

senóide de tempo contínuo apresentada com bolinhas. No entanto, como ve-

remos as propriedades das senóides de tempo discreto são muito diferentes

das de tempo contínuo.

• No caso contínuo, o período de uma senóide pode assumir qualquer valor;

inteiro, fracionário, ou mesmo irracional. Os sinais de tempo discreto, por

outro lado, só são especificados em valores inteiros de n . Assim, o período

precisa ser um inteiro (em termos de n ) ou um múltiplo inteiro de T (em

termos da variável contínua t ).

Atividades

1. Seja o sinal de tempo contínuo ( )

= ttx6

cosπ .

(a) Qual o período deste sinal? Faça um gráfico deste sinal para 3030 ≤≤− t

usando o Matlab.

(b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostragem

1ST = . Escreva o sinal de tempo discreto resultante [ ]ny . Usando o Matlab faça

um gráfico deste sinal sem apagar o anterior (use o comando hold). Qual o pe-

ríodo deste sinal?


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2. Seja o sinal de tempo contínuo ( ) ( )ttx cos= .

(a) Qual o período deste sinal? Faça um gráfico deste sinal para 3030 ≤≤− t

usando o Matlab.

(b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostra-

gem 1ST = . Escreva o sinal de tempo discreto resultante [ ]ny . Usando o

Matlab faça um gráfico deste sinal para 3030 ≤≤− n sem apagar o anterior

(use o comando hold). Qual o período deste sinal?

3. Os fonoaudiólogos usam um equipamento chamado audiômetro para testar a

audição de deficientes auditivos. Basicamente, este aparelho reproduz um

tom dado pela senóide ( ) ( )sin 2x t ftπ= para f entre 100Hz e 3000Hz.

Escreva um programa (sequência de comandos) Matlab que produza um tom na

frequência f que dure 5s:

(a) 500=f Hz (b) 700=f Hz (c) 900=f Hz (d) 1100=f Hz

(e) 1300=f Hz.

OBS: Para resolver este problema você precisará do comando sound.

4. O audiômetro é um instrumento que gera um tom numa frequência especifi-

cada f e com uma duração especificada totalT . Usando uma frequência de

amostragem de 40kHz, escreva um programa Matlab chamado audio.m

que, dada uma frequência f e uma duração totalT gera nos alto-falantes do PC

um tom nesta frequência. Por exemplo, o comando:

>> audio(2500,10);

deve gerar nos alto-falantes um tom em 2500Hz com duração de 10s.

5. Obtenha a senóide de tempo discreto [ ]ny resultante da amostragem de uma

senóide de tempo contínuo com amplitude 3 e frequência 750Hz. Use uma

frequência de amostragem de 8000Hz.


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(b) Escreva uma sequência de comandos Matlab que permita tocar este sinal

nos alto-falantes do micro durante 10s.

6. No filme Contatos Imediatos do 3º grau do diretor Steven Spielberg, é des-

crito um contato entre seres humanos e seres de uma raça alienígena. A co-

municação era feita através de uma sequência de tons que os cientistas acre-

ditavam ser reconhecida pelos alienígenas. Esta sequência era composta por

5 tons nas frequências 493,9Hz, 554,4Hz, 440Hz, 220Hz e 329,6Hz.

Sua tarefa consiste em criar um programa Matlab que gere esta sequência de

tons, considerando todos com a mesma duração. Mais precisamente você deve

criar uma função contatos(T) em que T é a duração de cada tom da sequên-

cia. Por exemplo, ao digitar:

>> contatos(5)

deverá ser gerada a sequência de tons nos alto-falantes do PC com duração total

de 25s.

Você pode usar qualquer ferramenta do Matlab vista na aula. As únicas restri-

ções são a proibição da utilização de qualquer forma de loop. Além disso, o co-

mando sound só pode ser utilizado uma única vez.

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