elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/sopaphan_ve/pluginfile.php/103/course... · Web...

แผนการจดการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง หลกการนบเบองตนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนปตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ

การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหาจดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถเขยนแผนภาพตนไมของความนาจะเปนไดและเขาใจกฎการนบเบองตน

สาระสำาคญ

แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจำานวนวธการทงหมดทเปนไปไดของเหตการณหนงๆ

หลกการบวก

ในการพจารณาวาการจะนำาวธการในแตละสงทเราทำาไดมาบวกกนหรอมาคณกนนนใหเราพจารณาวางานนนๆ เสรจงาน ตามทโจทยตองการหรอยง

ถางานนนสามารถแบงออกเปน k กรณ โดย

กรณ 1 สามารถทำางานเสรจสนได วธกรณ 2 สามารถทำางานเสรจสนได วธกรณ 3 สามารถทำางานเสรจสนได วธ กรณ k สามารถทำางานเสรจสนได วธ

จำานวนวธการทำางานทงหมด วธ

หลกการคณ

ถาในการทำางานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท 1 สามารถทำางานไดทงหมด วธ



ขนตอนท k สามารถทำางานไดทงหมด วธ

จำานวนวธการทำางานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ

วธ

สาระการเรยนร

ดานความร1. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบ

การนบได 2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ

คำานวณและการแกปญหาได ดานทกษะกระบวนการ

1. มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได2. มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และ

การนำาเสนอ3. มทกษะการใชกฎการนบในการประยกตใชได

ดานคณลกษณะ1. มความรบผดชอบ2. มระเบยบวนย3. ใฝเรยนรและมงในการทำางาน

กจกรรมการเรยนร

กจกรรมนำาเขาสบทเรยน

ครพดถงคำาวาโอกาสหมายถงอะไร โอกาสในการกระทำาสงใดจะมกวธในการกระทำาได

กจกรรมพฒนาผเรยน1. ครนำานกเรยนสนทนาวาใครเคยมปญหาเรองการจดชด

เสอผา จดชดอาหาร จดชดสงของตางๆ และนกเรยนมวธแกไขปญหาอยางไร ครเปดโอกาสใหนกเรยนทเคยมปญหา เลาปญหา วธแกปญหา พรอมใหนกเรยนคนอนรวมสนทนาแสดงความคดเหน

2. ครบอกนกเรยนเกยวกบแผนภาพตนไมวาคออะไร

แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจำานวนวธการทงหมดทเปนไปไดของเหตการณหนงๆ3. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาคำาตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผา ทมเสอ 3 ตว กางเกง 2 ตว โดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

กางเกง เสอเสอตวท 1 ชดท 1

กางเกงท 1 เสอตวท 2 ชดท 2เสอตวท 3 ชดท 3

กางเกง เสอเสอตวท 1 ชดท 4

กางเกงท 2 เสอตวท 2 ชดท 5เสอตวท 3 ชดท 6

4. ครถามนกเรยนใครตอบ 6 วธ และมวธอยางไร พรอมใหนกเรยนอภปรายวธใหคำาตอบ

5. ครสรปเราใชหลกในการคำานวณ 6 วธ ทไดมานเกดจากการกระทำาท 1 (เลอกกางเกง) ทำาได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 2 (เลอกเสอ) ได 3 วธ ดงนนไดทงหมด 2 × 3 = 6 วธ เพอความเขาใจตรงกน สรปเปนกฎขอท 1 ไดดงน

กฎการนบ (กฏการคณ)ถาในการทำางานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย




ขนตอนท k สามารถทำางานไดทงหมด วธ

จำานวนวธการทำางานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ

วธ

6. ครยกตวอยางตอไปโดยโจทยกำาหนดใหนกเรยนตองจดชดเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธ บนกระดาน ใหนกเรยนลองหาคำาตอบโดยเขยนคำาตอบในกระดาษ

7. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาคำาตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผาทมเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธโดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

วธทำา แตงตว 1 ชด ตองใสกางเกง เสอ ถงเทา รองเทา และหมวก

โดย ทำางานอยางแรก เลอกเสอได 3 วธทำางานอยางทสอง เลอกกางเกงได 5 วธทำางานอยางทสาม เลอกถงรองเทาได 2 วธทำางานอยางทส เลอกรองเทาได 2 วธทำางานอยางทหา เลอกหมวกได 2 วธดงนนจะเลอกแตงชดไดทงหมด 3 5 2 22 = 120

วธ

8. ครสรปเราใชหลกในการคำานวณ 120 วธ ทไดมานเกดจากการกระทำาท 1 (เลอกเสอ) ทำาได 3 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 2 (เลอกกางเกง) ได 5 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 3 (เลอกถงรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 4 (เลอกรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 4 (เลอกหมวก) ได 2 วธ ดงนน ไดทงหมด 3 × 5 × 2 × 2 × 2 = 120 วธ เพอความเขาใจตรงกน

9. ครยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดฝกฝนและทำาความเขาใจมากขน

ตวอยาง ฟวเจอรผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเป ลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะมวธการแจกกวธเมอ 1) ไมมเงอนไข

วธทำา ฟวเจอรตองการแจกแอปเป ล 4 ลกใหเพอนสบคนโดยทำางานอยางแรก เลอกได 10 วธโดยทำางานอยางสอง เลอกได 10 วธ

โดยทำางานอยางสาม เลอกได 10 วธโดยทำางานอยางทส เลอกได 10 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเป ลใหเพอนไดทงหมด 10x10x10x10 = 10000 วธ

2) ไมใหซำาคนวธทำา โดยทำางานอยางแรก เลอกได 10 วธ

โดยทำางานอยางสอง เลอกได 9 วธโดยทำางานอยางสาม เลอกได 8 วธโดยทำางานอยางทส เลอกได 7 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเป ลใหเพอนไดทงหมด 10 x 9 x 8 x 7 วธ

ตวอยาง ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจำานวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก ไดนำารมตดตวมาดวยและไดนำารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน เมองานเลก จงหาวธทงหมดทคนทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง

วธทำา วธในการททง 4 คน จะหยบรม 1 คนโดยไมเจาะจง แบงเปนออกเปน 4 ขนตอนดงนโดย งานขนแรก พลอยหยบรม 1 คนจากรม 4 คน จะเลอกไดทงหมด 4 วธ

งานขนทสอง แอนทหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 3 คน จะเลอกไดทงหมด 3 วธ

งานขนทสาม แปงหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 2 คน จะเลอกไดทงหมด 2 วธ

งานขนทส หยกหยบรม 1 คน จากรมทเหลอ 1 คน จะเลอกไดทงหมด 1 วธ

ดงนนจะมวธการหยบรม ทงหมด 4x3x2x1 = 24 วธ

10.นกเรยนบนทกอภปรายและสรปองคความรจากตวอยางทผานมาพรอมคำาอธบายเพมเตม

11.ครอธบายเพมเตมถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ยงมกฎการบวก ใน การทำางานอยางหนงมวธการทำางานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน

12.ครยกตวอยางการใชกฎการบวก (Addition principle) และเนนใหนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบางการพจารณาเงอนไขของปญหาจะ ชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

ตวอยาง ตองการจำานวนค 4 หลก โดยเลอกจากตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแต ละหลกใชเลขโดดไมซำากน จะไดจำานวนคทงหมดกจำานวน

วธทำา เนองจาก 4 หลก ในหลกพน เปน 0 ไมไดและในหลกหนวยจะตองเปนเลข 0, 2, 4 จงจะเปนจำานวนคทตองการดงนน กรณท 1 เลขคหลกหนวยเปนเลข 0

เลอกตวเลขหลกหนวย 1 วธเลอกตวเลขหลกสบ 5 วธเลอกตวเลขหลกรอย 4 วธเลอกตวเลขหลกพน 3 วธ

จำานวนคจะได 1 5 4 3 = 60 จำานวนกรณท 2 เลขคทหลกหนวยไมเปนเลข 0

เลอกตวเลขหลกหนวย 2 วธเลอกตวเลขหลกพน 4 วธเลอกตวเลขหลกรอย 4 วธเลอกตวเลขหลกสบ 3 วธ

จำานวนคจะได 2 4 4 4 = 96 จำานวน

ดงนน จะไดจำานวนค 4 หลก จากเลอกตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแตละหลกไมซำากนไดทงหมด 60 + 96 = 156 จำานวน

13. ครยกตวอยางกฎการบวกเพมเตมตวอยาง มสลาก 6 ใบมความหมาย 1-6 กำากบไว ใหสมหยบ

สลาก 2 ครงๆละใบ ถาครงแรกไดเลขคใหใสสลากใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไมตองใสสลากกลบคน1) วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด

วธทำา วธการหยบฉลาก สองครงครงละ 1 ใบจากฉลาก 6 ใบ โดยแบงเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 วธการหยบฉลากไดเลขค ทำางานโดย งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ

ทำาได 3 วธงานขนท 2 หยบครงทสอง จากทงหมด 6 ใบ

ทำาได 6 วธงานในกรณท 1 สามารถทำาได 3x6 = 18 วธกรณท 2 วธการหยบฉลากไดเลขค ทำางานโดย

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ ทำาได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงทสองได จากทงหมด 5 ใบ ทำาได 5 วธ

งานในกรณท 1 สามารถทำาได 3x5 = 15 วธดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 18 + 15 = 33 วธ

2) วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใดวธทำา วธการหยบสองครงโดยใหครงทสองไดเลขค ทำาไดโดย

แบงออกเปน 2 กรณ

กรณท 1 ครงแรกและครงทสองไดเลขคทง 2 ครงงานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3

ใบ สามารถทำาได 3 วธงานขนท 2 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3

ใบ สามารถทำาได 3 วธเพราะฉะนน งานในกรณท 1 คอ 3 x 3 = 9 วธกรณท 2 ครงแรกไดเลขคและครงทสองไดเลขค

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3 ใบ สามารถทำาได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3 ใบ สามารถทำาได 3 วธ

เพราะฉะนน งานในกรณท 2 คอ 3 x 3 = 9 วธดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 9 + 9 = 1814.นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากกจกรรม

11 เขยนแผนภาพตนไม โดยครอธบายซำาถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก (Addition principle) ในการทำางานอยางหนงมวธการทำางานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน

15. ครใหนกเรยนทำาแบบฝกหดทเหลอดวยตนเองแลวสงในคาบ โดยครคอยกำากบดแล

กจกรรมรวบยอด16. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจ

โจทยปญหาของความนาจะเปน17. ครใหนกเรยนทกคนทำา worksheet 1 ในเอกสาร

ประกอบการเปนการบาน และกำาหนดวนสง

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชน

มธยมศกษาปท 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2560 จดทำาโดย สสวท.

2. แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2

การวดและประเมนผล

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน

สาระสำาคญ- หลกการนบเบองตน

- สมด-แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2(worksheet)-แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- สมด-แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2 (worksheet) -แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ- ความถกตองของแบบฝกหดไมตำากวา 70%

ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา




คณลกษณะอนพงประสงค

- ใฝเรยนรและมงมนในการทำางาน- ตรงตอเวลา

- การเขาเรยน- การสงงาน- บนทกหลงการสอน

- การเขาเรยน- การมสวนรวมกนในชนเรยน

- เขาเรยนตรงตอเวลา- มความกระตอรอรนในการเรยน

สมรรถนะ- การแกปญหา

- สมด - สมด - ตรวจสอบความถกตอง

- การใหเหตผล- ความสามารถในการสอสาร การสอความ

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet2) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet2) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

และความเขาใจ- ความถกตองของแบบฝกหดไมตำากวา 70%

บนทกหลงสอน

1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. ปญหาและอปสรรค

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน

(อาจารยโสภาพรรณ เวชากล)

ความเหนของหวหนากลมสาระการเรยนร

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ....................................................................... ( อาจารยนำาผง

ชเลศ )

หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ความเหนของรองผอำานวยการโรงเรยนฝายวชาการ

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )

รองผอำานวยการฝายวชาการ


หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนป

ตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

จดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถใชและแกปญหาเกยวกบแฟคทอเรยลไดสาระสำาคญ

แฟคทอเรยล คอ ถา n เปนจำานวนเตมบวกแลวผลคณของจำานวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

หรอ เราเรยก วา แฟคทอเรยลสาระการเรยนร

ดานความร1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบอง

ตนเกยวกบการนบได2. นกเรยนสามารถใชและแกปญหาเกยวกบแฟคทอเร

ยลได

3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการคำานวณและการแกปญหาได

ดานทกษะกระบวนการ1. มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได2. มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และ

การนำาเสนอ3. มทกษะในการแฟคทอเรยลในการประยกตใชได




ครแนะนำาใหนกเรยนไดรจกถงสญลกษณของความนาจะเปนและบอกความหมายของแฟคทอเรยล คอ ถา n เปนจำานวนเตมบวกแลวผลคณของจำานวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

หรอ เราเรยก วา แฟคทอเรยล

กจกรรมพฒนาผเรยน1. ครยกตวอยางการเขยนแฟคทอเรยล เพอใหนกเรยนเขาใจ

ชดเจนขนโดย

= = = = = = = =

= = = =

2. ครยกตวอยางทนำาแฟคทอเรยลไปใชในการหาเขยนแฟคทอเรยลในรปของตวเลข

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

1)

วธทำา = = =

2)

วธทำา =

= = =

3)

วธทำา =

=

=

= 3. ครยกตวอยางการเขยนจำานวนใหอยในรปของแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล

1)

วธทำา =

= 2)

วธทำา =

= 3)

วธทำา =

= 4. ครลองใหนกเรยนลองทำาขอทเหลอเพอใหนกเรยนไดเกดการเรยนรดวยตนเอง

5. ครยกตวอยางการใชแฟคทอเรยลในลกษณะทซบซอนมากขนโดยการแกสมการแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) =

วธทำา = =

ดงนน = =

2) =

วธทำา =

=

= =

ดงนน = =

6. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการใชแฟคทอเรยล


8. ครใหนกเรยนทำากจกรรมกลมรวมกนโดยใชโปรแกรม Kahoot! เพอใหนกเรยนไดทบทวนเนอหาและความรทเรยนไปในคาบกอนหนาอกดวย


โจทยปญหาของความนาจะเปน10. ครใหนกเรยนทกคนทำา worksheet 2 ในเอกสาร

ประกอบการเรยนลงสมดพรอมกำาหนดวนสง






สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยน




ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา












- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน



1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงเสนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล


การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนได

(Permutation)สาระสำาคญ

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถกำาหนดตำาแหนงหวแถวและทายแถวได

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมดจำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด สงเทากบ วธสาระการเรยนร


การนบได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ







ครพดการเรยงสบเปลยนคออะไร ลองถามนกเรยนถงในเหตการณทพบไดในชวตประจำาวน

กจกรรมพฒนาผเรยน

1. ครบอกความหมายถงวธการเรยงสบเปลยนวาเปนวธการทนำาสงของจำานวนหนงมาจดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหคำานงถงตำาแหนงของสงของแตละสงเปนสำาคญ โดยเราจะศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ 1) วธเรยงสบเปลยนเชงเสน 2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม

2. ครบอกความหมายการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนวามลกษณะอยางไรคอ

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถกำาหนดตำาแหนงหวแถวและทายแถวได จำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด สงเทากบ วธ

3. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน เพอสรางความเขาใจใหกบนกเรยน

ตวอยาง เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจำาเกาอไดกวธ

วธทำา การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมดคอ

ตวอยาง มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง 7 คนไดกวธ1) ไมมเงอนไขเพมเตม

ตอบ การเรยงสบเปลยนคน 7 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได 2) ชายและหญงนงสลบทกนทละคน

ตอบ การเรยงสบเปลยนเชงเสน ผชาย 4 คน และหญง 3 คน เปนการเรยงสบเปลยนแบบชายอยหนาเพราะจำานวนผชายมากกวา

การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได

ดงนน การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน

ตวอยาง ถานำาเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจำานวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซำากน จะจดไดทงหมดกวธ

ตอบ การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนโดยเรยงสบเปลยนเชงเสน 4 หลก

การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน

4. ครแนะนำาการจดสงของทตองการตดกน โดยมหลกการดงน

ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวนำาไปรวมกบสงของอนๆแลวนำาไปจดเรยง

ขนท 2 ทำาการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน) ตวอยาง สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป จะมวธจดใหยนทงหมดกวธเพอ

1) ไมมเงอนไข

วธทำา สามภรรยาและลก 4 คน รวม 6 คนการเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได วธ2) พอและแมยนตดกน

วธทำา พอและแมตองการตดกน นำาพอและแมมาจบมดรวมกนแลวนบเปน 1

พอ แม ลก 1 ลก 2 ลก 3 ลก 4

ดงนน การเรยงสบเปลยนเชงเสนกบสงของ 5 ชน จะได วธ

สลบเปลยนในมดของพอและแมได วธ

ดงนน พอและแมยนตดกน วธ

3) พอและแมยนรมทง 2 ดาน

พอ ลก 1 ลก 2 ลก 3 ลก 4 แม

สบเปลยนเชงเสนของลกทง 4 คนได วธ

พอกบแมตองยนรมทงสองดาน สลบพอและแมได 2 วธ

ดงนน วธทพอและแมยนรมทง 2 ดาน จะได วธ

ตวอยาง มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถวตรง 1 แถว จงหาจำานวนวธในการยนถายรป เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม

วธทำา นกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน รวมเปน 6 คน

การเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได วธ

2) ครยนอยรมแถว

____ น 1 น 2 น 3 น 4 น 5 _____

สบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได วธ

ครตองยนรม ครจะยนขางหนาหรอขางหลงกไดทงนนได 2 วธ


3) นกเรยนหญงยนตดกนวธทำา ผหญงตองการตดกนใหมดแลวนบเปน 1 ชนญ 1 ญ 2 ช 1 ช 2 ช 3 ครสบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได วธสบเปลยนในมดของผหญงทตองการตดกนได วธ


5. ครใหนกเรยนทำาตวอยาง 29 และ ตวอยาง 30 เองเพอวดความเขาใจการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยครคอยกำากบดแล

6. ครแนะนำาการหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน มหลกการเรยงดงน

ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวนำาทเหลอมาจดเรยง

ขนท 2 หาตำาแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวทำาการจดเรยงสงของ

ตวอยาง มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ

1) ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน

วธทำา ผชายไมตองการยนตดกนใหนำามาคดทหลง โดยใสผหญงกอน

___ญ 1____ ญ 2____ ญ 3____ ญ 4____

สบเปลยนเชงเสนของผหญงทง 4 คนได วธ

โดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสน 5 คน ได วธ

ดงนน ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน คอ

2) ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกนวธทำา ผหญงไมตองการยนตดกนใหนำามาคดทหลง โดยใสผชายกอน

___ช 1____ ช 2____ ช 3____ ช 4____ ช 5____

สบเปลยนเชงเสนของผชายทง 5 คนได วธ

โดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 6 ทคน 4 คน

ดงนนจะไดจำานวนวธ

ดงนน ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน คอ

ตวอยาง สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาวจะมวธการยนกวธเมอ 1) บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมดวธทำา ผหญงยนแยกกนจบผหญงออกมากอน

___ ช 1 ช 2 ___ พอ____แม____สบเปลยนเชงเสนของคน 4 คนได วธสบเปลยนผชายในมดได วธโดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 3 คน



2) บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด

วธทำา ผชายยนแยกกนจบผชายออกมากอน

___ ญ 1 ญ 2 ญ 3 ___ พอ____แม____สบเปลยนเชงเสนของคน 3 คนได วธ

สบเปลยนผหญงในมดได วธโดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 2 คน



7. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสน



โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

10. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงเสนพรอมกำาหนดวนสง






สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงเสน




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงเสน(ตอ)วชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนและ

เชงวงกลมได (Permutation)


ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ สง

จะจดไดทงหมด วธ อาจใชสญลกษณ หรอ แทนจำานวนวธในการจดเรยงลำาดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด

โดยจดครงละ สง ดงน =




2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ







ครทบทวนการกฎการเรยงสบเปลยนและกฎการนบและกฎตางๆของการนบเบองตน


1. ครแนะนำาทฤษฎบทในการหาการเรยงสบเปลยนโดยใชสตร




2. ครยกตวอยางการใชสตรในการหาโดยใชสตร

ตวอยาง จงหาคา จากขอตอไปน

1)

วธทำา =

=

= =

2)

วธทำา =

=

= = =

3) =

วธทำา =

=

= =

= =

ดงนน จากการเทยบสมประสทธ จะไดวา

= =

3. หลงจากทนกเรยนใชสตรในการหาการเรยงสบเปลยนไดแลว จงนำาสตรมาลองใชกบโจทยปญหาในชวตประจำาวน

ตวอยาง การเลอกตงสมาชกเพอดำารงตำาแหนงสโมสรรวม 3 ตำาแหนงคอ ประธาน รองประธานและเลขานการ ในการสมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงตำาแหนง 10 คน จงหาจำานวนวธทผสมครเหลานจะไดรบเลอกตง

วธทำา จำานวนในการเลอกตงสมาชก

ดงนน จะไดวา =

=

= = = วธ

ตวอยาง ตองการสรางจำานวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซำากน จะสรางไดทงหมดกจำานวน เมอ


วธทำา ตองการสรางเลข 4 หลก โดยเลอกจากเลข 9 ตว จะไดวา

= = จำานวน

2) หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

จากเลขทกำาหนดมาให จะไดวา มเลขค 4 ตว คอ 2,4,6,8 และ มเลขค 5 ตว คอ 1,3,5,7,9

วธในการเลอกจำานวนคใหเปนหลกพนและหลกสบ จะได =

วธในการเลอกจำานวนคใหเปนหลกหนวยและหลกรอย จะได =

วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทหลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

คอ

3) แตละหลกสลบเลขคและเลขค

จากขอ 2) ทผานมาจะไดวา หลกเลขคนนสลบกบหลกเลขคอย คอ ค ค ค ค คอ วธ

ดงนน จะไดวาโดยสลบใหเลขคอยหลกพนและหลกสบ คอ วธ

จะไดวา วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทแตละหลกสลบเลขคและเลขค

คอ จำานวน

ตวอยาง ตองการสรางคำาทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซำากน โดยเลอกมาจากคำาวา ENTRANCE จะสรางไดทงหมดกคำา โดยคำาทสรางขนมาไมจำาเปนตองมความหมายกได เมอ


วธทำา จาก ENTRANCE พยญชนะคอ N,T,R,C สระ A,E มพยญชนะทงหมด 6 ตว

จะไดวา = คำา

2) อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ

วธทำา สระ ____ ____ พยญชนะ

โดยตำาแหนงแรกจะมสระ 2 ตว และตำาแหนงสดทายมพยญชนะ 4 ตว

ตำาแหนงแรก สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 2

ตำาแหนงท2 สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 4

ตำาแหนงตรงกลาง สามารถใสไดคอ = 12

ดงนน โอกาสทเปนไปไดทงหมดคอ 2x4x12 = 96 วธ

4. การจดการสงของใน n สงทไมแตกตางกน (มของซำากน)

= ตวอยาง ตวอกษรในคำาวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนคำาตางๆ ทไมจำาเปนตองมความหมายไดทงหมดกวธ

วธทำาการเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมตวอกษร 7 ตว จะได เนองจากม S สามตว จะได , ม C สองตว ทซำากน

จากกฎการจดสงของทมของซำา = = วธ

ตวอยาง ตวอกษรในคำาวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนคำาตางๆ ทงหมดกวธ เมอ1) อกษรทไมซำากนอยตดกน2) อกษรทซำากนในกลมเดยวกนอยตดกน

วธทำา 1) สรางคำาใหมทมการเรยงอกษร 9 คำา โดยม L สองตว, ม o สามตว โดยอกษาทไมซำาอยตดกน V E Y P L L O O O Oโดยมอย 6 ตวตำาแหนง โดยสลบในมด

และม L สองตว 2 ตว, O สามตว จะได

2) อกษรทซำากนในกลมเดยวกนอยตดกน LL OOO V E Y Pโดยมอกษรอย 6 ตำาแหนง จะได โดยมตวอกษร L สองตว จะได โดยมตวอกษร O สามตว

ดงนน จะไดวา = = วธ

ตวอยาง มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถานำาตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจำานวนทม 7 หลก จะสรางไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไข

วธทำา มตวเลขทงหมด 7 ตวอกษร นำามาจดเรยงเชงเสน

โดยจากการจดเรยงสงของซำาจะไดวา

โดยในตวอกษรจะมเลขสอง ซำากน 3 ตว คอ และ ตวอกษรจะม

เลขหนง ซำากน 2 ตวคอ ดงนน จะจดเรยงได

2) มคามากกวา 2 ลาน

วธทำา กรณท 1 หลกลานเปนเลข 2 2 __ __ __ __ __ __ ในตำาแหนงแรก บงคบใหเปน 2 จะได 1 วธ

อก 6 ตำาแหนงทเหลอ นนคอ = และในการเรยงจดของสงของซำาจะมเลขสอง ซำากน 2 ตว คอ และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซำากน 2 ตวคอ ดงนนจะจดเรยงได = วธ

กรณท 2 หลกลานเปนเลข 3 __ __ __ __ __ __ __ ในตำาแหนงแรก บงคบใหเปน หรอ จะได 2 วธ

อก 6 ตำาแหนงทเหลอ นนคอ =

และในการเรยงจดของสงของซำาจะมเลขสอง ซำากน 3 ตว คอ และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซำากน 2 ตวคอ ดงนนจะจดเรยงได = วธ


โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงเสน

6. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงเสนพรอมกำาหนดวนสงสอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร

1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2560 จดทำาโดย สสวท.




สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงเสน




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงวงกลมวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนและเชงวงกลมได (Permutation)








2. สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการเรยงสบเปลยนได3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ







ครลองใหนกเรยนชวยกนนกวาอะไรบางทมลกษณะทเปนวงกลม แลวดลกษณะวาจะมการเรยงประเภทไดกแบบ


1. ครแนะนำานกเรยนถงวธการเรยงสบเปลยนอกหนงแบบคอ วธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม คอ วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบวงกลมจะไมสามารถระบตำาแหนงหวแถวหรอทายแถวได

2. เมอนกเรยนสามารถเขาใจการสบเปลยนแบบวงกลมแลว เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอยพวงมาลยเปนวงกลม ครจะ

บอกถงประเภทของการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมวามกแบบและมลกษณะแตกตางกนอยางไร

3. โดยวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท

1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม

จำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ วธ

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม

ถามสงของทแตกตางกน n สง จำานวนวธเรยงสบเปลยน

แบบวงกลมทพลกไดเทากบ วธ

4. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมเพอใหนกเรยนไดเขาใจในการใชทมากขน

ตวอยาง จงหาจำานวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง

วธทำา การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจำานวนทงหมด 5 จำานวน

จะไดทงหมด

ตวอยาง มเกยคง 2 คน และเกยควน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม

วธทำา การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจำานวนทงหมด 6 จำานวน

จะไดทงหมด

2) เกยคง 2 คน ยนตดกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนตดกน จะไดวา K1 K2

จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ Q1 Q2 และการสลบทในมดจะได Q3 Q4

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม วธ

3) เกยคง 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา นำาเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ

Q2 Q3 จากนนจะเหลอตำาแหนงวางใหเกยคงสามารถใส

ไดคอ

Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

= วธ

4) เกยคง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา นำาเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 K1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ

Q2 Q3 จากนนจะจดตำาแหนงใหเกยคงยนตรงขามกนเสมอสามารถใสไดคอ

K2 Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

= วธ

ตวอยาง มคน 8 คน ในจำานวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธนงกวธ เมอ1) Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอวธทำา B N P โดยมการจำานวนคนทงหมด 8 คน และจากกฎการตดกน จะทำาการมดรวมกน

มการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม สามารถสลบในมด B N P ไดกบ

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

5. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมอกแบบ คอแบบพลกได

ตวอยาง นองพลอยรองพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน โดยทดอกไมมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซำากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอไมมเงอนไขใดเพมเตมวธทำา เนองจากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได จะได

เทากบ =

ตวอยาง มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก นำามารอยพวงมาลยไดกวธ ทแตกตาง เมอมเงอนไขดงน1) ไมมเงอนไขเพมเตม

วธทำา จากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดและมสอยตดกน

จะไดเทากบ = 2) ใหสขาวสลบทกบสชมพวธทำา เนองจากตองสลบทกนระหวางสชมพและสขาว ดงนนจงนำาออกมา 1 สเพอคดทหลง

จะไดวา นำาสขาวมาเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดจะได และนำาสชมพไปจดเรยงใสโดยหามตดกบสขาว โดยมทอย 4 ทนำาสชมพ 4 ดอกไปจดเรยงจะได

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได = วธ

3) ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกนวธทำา จากกฎการตดกนจะไดวา นำามามดรวมกน

ดงนนจะนำาสขาวมามดรวมกนและสชมพมามดรวมกน = วธ

7. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสนและการสบเปลยนเชงวงกลมวามลกษณะทแตกตางกนอยางไร


กจกรรมรวบยอด 9. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจ

โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

10. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมพรอมกำาหนดวนสง






สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม




ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา












1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การจดหมวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถแกโจทยปญหาโดยวธการจดหม


การจดหม เซต และ ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดคำานงถงตำาแหนงเปนสำาคญ ซงลกษณะของวธการจดหมกไมไดคำานงถงตำาแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง

ทำาใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ สง จากสงของทแตกตางกน สงแทนดวยสญลกษณ

หรอ หรอ หรอ = สาระการเรยนร



2. สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการเรยงสบเปลยนได3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ







ครทบทวนเรองเรยนทผานมาคอการเรยงสบเปลยนเชงเสนและแบบวงกลมรวมถงกฎตางๆเชนการยนตดกน การยนแยกกน


1. ครเกรนนำาถงตวอยางทผานมาทเกยวกบการแบงกรณการคดในหลายๆกรณวาเกดการเสยเวลาในการทำา ครจงอธบายวธการหาโจทยประเภทนดวยวธการอกวธการหนง คอ

โจทยแบบอยางนอย โจทยขอนเปนตองแบงเปนกรณซงบางครงอาจจะแบงๆไดหลายกรณมากและเสยเวลาในการคด ลองมาพจารณางานทอยตรงขามกบโจทยตองการถางานทอยตรงขามนนหาไดงายกวากจะใชหลกการคลายๆกบเรองเซตเขามาชวยแกโดยท

= หรอเรยกวา (งานทโจทยตองการ) = (งานทงหมด) - (งานทตรงขามกบโจทย)

2. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดลองนำาทฤษฎบทไปใชและใหนกเรยนไดเขาใจในคอนเซปการนำาไปใชมากขน

ตวอยางท ในการสรางเลข 4 หลกจากเลข 2,4,5,6,7,8 จะสรางเลขสหลกทมการใชเลขซำากนอยางนอย 2 หลกไดกจำานวน

วธทำา จากสตร (งานทโจทยตองการ) = (งานทงหมด) - (งานทตรงขามกบโจทย)จะไดวา (เลขซำากนอยางนอย 2 หลก) = (งานทงหมด) - (4 หลกไมซำากนเลย)หา (งานทงหมด) = เลขทง 4 หลกซำากนหมด จะได = จำานวนหา (4 หลกไมซำากนเลย) = = ดงนน - = วธ

ตวอยางท มโรงแรม 6 แหง อยากทราบวานกทองเทยว 4 คน จะเลอกพกโรงแรมดงกลาวโดยมนกทองเทยวอยางนอย 2 คน พกโรงแรมเดยวกนวธทำา จากสตร (งานทโจทยตองการ) = (งานทงหมด) - (งานทตรงขามกบโจทย)จะไดวา (นกทองเทยวอยางนอย 2 หลก) = (งานทงหมด) -

(นกทองเทยวพกตางโรงเรยน)หา (งานทงหมด) = เลขทง 4 หลกซำากนหมด จะได = จำานวน

หา (4 หลกไมซำากนเลย) = = ดงนน - = วธ

3. ครสรปการหาคำาตอบโดยวธการทผานมาคอการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนและวงกลม จากนนครแนะนำาวธการหาคำาตอบในอกรปแบบหนง4. ครยกตวอยางการหาคำาตอบในอกรปแบบหนงคอการจดหม โดยเซต และ ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดคำานงถงตำาแหนงเปนสำาคญ ซงลกษณะของวธการจดหมกไมไดคำานงถงตำาแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง

ทำาใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ สง จากสงของทแตกตางกน สง แทนดวยสญลกษณ

หรอ หรอ หรอ =

5. ครลองยกตวอยางเพอใหนกเรยนเขาใจมากขน

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

1)

วธทำา =

= = =

2)

วธทำา =

= = =

3)

วธทำา =

= = = 6. ครลองใหนกเรยนออกมาทำาแบบฝกหดหนาหอง โดยเลอกจากการสมออกมาโดยครคอยกำากบดแลตวอยาง จงหาคา จากสมการตอไปน

1) = 20

วธทำา =

=

=

= =

2) = 100

วธทำา =

=

=

= = =

7. ครยกตวอยางโจทยทเปนโจทยปญหาเพอใหนกเรยนไดเจอโจทยทหลากหลายและสามารถนำาไปใชในชวตประจำาวนตวอยาง สมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการนำาเสอไปเทยวจำานวน 4 ตว จะมวธจดเสอไปเทยวไดทงหมดกวธวธทำา จากโจทยจะไดวาสมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการนำาเสอไปเทยวจำานวน 4 ตว

= = = วธ

ตวอยาง มนกเรยนทงหมด 12 คน เปนนกเรยนชาย 8 คน และนกเรยนหญง 4 คน จงหาจำานวนวธในการเลอกกรรมการจำานวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน โดยมเงอนไขตอไปน1) ไมมเงอนไขวธทำาการเลอกกรรมการจำานวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน

= = = วธ2) เปนนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน

วธทำา เลอกผชาย 3 คน จากผชาย 8 คน จะได = วธ

เลอกผหญง 2 คน จากผหญง 4 คน จะได = วธดงนน จะไดวธทงหมด = วธ

ตวอยาง บนเสนรอบวงวงกลมหนงมจดคงท 8 จด จงหา1) จำานวนเสนตรงทลากเชอมระหวางจดสองจดวธทำา มจดทงหมด 8 จด เลอกจากจากจด 2 จด

= = วธ2) จำานวนรปสามเหลยมทมจดเหลานเปนจดยอดมมของรปสามเหลยมทง 3 มมวธทำา มจดทงหมด 8 จด เลอกจากจากจด 3 จด สรางสามเหลยม

= = วธ

ตวอยาง นกเรยนหองหนงม 15 คน เปนนกเรยนชาย 10 คน หญง 5 คน แบงนกเรยนออกเปน 3 กลมเพอไปทำางานตามใบงานท 1,2 และ 3 โดยทใบงานชนท 1 ตองการชาย 8 คน ใบงานชนท 2 ตองการหญง 2 คน และใบงานชนท 3 ตองการ 5 คน จงหาจำานวนวธทจะแบงนกเรยนไปทำางาน 3 ชนงานนวธทำา แบงนกเรยน 15 คน ออกเปน 3 กลม

ใบงานท 1 มผชาย 10 คนเลอกชาย 8 คน เลอกได =

= =

ใบงานท 2 มผหญง 5 คนเลอกชาย 2 คน เลอกได =

= =

ใบงานท 2 ตองการนกเรยน 5 คน เลอกมา 5 คน เลอกได =

= ดงนน จำานวนวธเลอกคนไปทำางานกลม = วธ8. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการจดหมวามลกษณะการใชอยางไร พรอมใหนกเรยนรวมกนสรปถงขอแตกตางถงลกษณะการใช


กจกรรมรวบยอด 10. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการจดหม 11. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 6 เรองการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมพรอมกำาหนดวนสง






สาระสำาคญ- การจดหม




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 2 ความนาจะเปน เรอง การทดลองสมและเหตการณวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนปตวชวด ค 3.2 ม. 4/2 หาความนาจะเปนและนำาความรเกยว

กบ ความนาจะเปนไปใช


นกเรยนสามารถเขยนแผนภาพตนไมของความนาจะเปนไดและเขาใจกฎการนบเบองตน


การทดลองสม (Random Experiment)การทดลองสมหมายถง การกระทำาซงทราบวาผลลพธทไดจาก

การทดลองนนจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถระบไดแนชดวาในการทอลองแตละครงจะเกดผลลพธอะไร จากผลลพธทงหมดเหลานน

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลเสปซ (Sample Space) แซมเปลสเปส หมายถง เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดจาก

การทดลองสม แทนดวย และกำาหนดให แทน จำานวนของแซมเปลสเปซ

เหตการณ (Event)

เหตการณ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทไดจากการกระทำาจรงของการทดลองสม

แทนดวย และกำาหนดให แทน จำานวนสมาชกของเหตการณ


ดานความร1. สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน2. สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภม

ตวอยางและเหตการณได 3. สามารถหาการทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณ

ไดดานทกษะกระบวนการ






ครทบทวนการทำากจกรรมในคาบทผานมาคอการทำาการทดลองสมโดยการโยนเหรยญและการโยนลกเตา โดยในคาบนครจะสอนถงความหมายและลกษณะในการทอลองสมกนใหมากขน


1. ครถามนกเรยนถงการทดลองเมอสปดาหทแลววาการกระทำาทไดทำาการทดลองนนถอวาเปนการทดลองสม โดยครไดอธบายความหมายของการทดลองสมดงน

การทดลองสม (Random Experiment)การทดลองสมหมายถง การกระทำาซงทราบวาผลลพธทไดจาก

การทดลองนนจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถระบไดแนชดวาในการทอลองแตละครงจะเกดผลลพธอะไร จากผลลพธทงหมดเหลานน

2. หลงจากนกเรยนทราบความหมายแลวนน ครจะสมนกเรยนขนมาตอบคำาถามทละคน วาการกระทำาทจะบอกตอไปน เปนการทดลองสมหรอไม

1) เสยมเซยมซ 2) นำาเงนไปฝากธนาคาร3) หลบตาหยบลกบอลในกลอง4) สอยดาวในงานกาชาด5) โยนเหรยญ 2 เหรยญ 2 ครง6) หยบไพ 1 ใบออกจากไพ 1 สำารบ7) การทำานายเลขทายสองตวของการออกสลากกนแบง

รฐบาลงวดทผานมา 8) การสงเกตนกเรยนทเขาไปอานหนงสอในหองสมดของ

โรงเรยน 9) หยบลกแกวออกจากขวดโหล10) เลอกเครอขายผปกครอง 3 คนจากผปกครองทงหมด 3

คน

3. หลงจากนกเรยนสามารถแยกการทดลองสมมาไดแลวนน ครจงถามนกเรยนวาการทดลองสมนนๆมประโยชนและนำามาใชไดอยางไร โดยครไดใหความหมายของคำาวา ปรภมตวอยาง วาคออะไรและเกยวของอะไรกบการทดลองสม

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลเสปซ (Sample Space) แซมเปลสเปส หมายถง เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดจาก

การทดลองสม แทนดวย และกำาหนดให แทน จำานวนของแซมเปลสเปซ

4. ครจงยกตวอยางการหาแซมเปลสเปซและจำานวนของแซมเปลสเปซ เพอใหนกรยนไดเขาใจในความหมายมากขนตวอยาง จงเขยนแซมเปลสเปซและจำานวนแซมเปลสเปซของการทดลองสมตอไปน

1) สนใจหนาทแสดงจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง

ตอบ และ

2) สนใจหนาทแสดงจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง

ตอบ และ

3) สนใจหนาทแสดงจากการโยนลกเตา 1 ลก

ตอบ และ

4) สนใจจำานวนหลอดไฟทเสย จากการผลตหลอดไฟจำานวน 50 หลอด

ตอบ และ

5) สนใจจำานวนลกบอลสแดงจากการหยบลกบอล 4 ลกจากกลองใบหนงทมลกบอลสแดง 5 ลก สขาว 7 ลก สเขยว 4 ลก

ตอบ และ

5. เมอนกเรยนไดเขาใจการหาแซมเปลสเปซของการทดลองสมแลวนน ครจงใหนกเรยนลองทำาแบบฝกหดทเหลอเพมเตม เพอใหนกเรยนไดลองคนหาความเขาใจดวยตนเอง

6. หลงจากนนครทฤษฎอกหนงทฤษฎทเกยวของและสำาคญกบความนาจะเปน โดยครถามนกเรยนวา ความนาจะเปนกคอการคดคาความเปนไปไดจากสงทเราสนใจจากความเปนไปไดทงหมด ดงนน ครจงบอกนกเรยนเกยวกบการหาคาสงทเราสนใจ คอ เหตการณ (Event)

เหตการณ (Event)เหตการณ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทไดจากการกระทำาจรง

ของการทดลองสม

แทนดวย และกำาหนดให แทน จำานวนสมาชกของเหตการณ

7. จากนนครจงแนะนำาสมบตของความนาจะเปนทสำาคญเพอเปนการสรปความคดรวบยอดรไวเถอะวา!!!!!!! เปนเหตการณ กตอเมอ

1. ดงนน เปนเหตการณ2. ดงนน เปนเหตการณ3. ถา เปนเซตจำากดและ เปนเหตการณ จะไดวา

3.1 เปนเซตจำากดดวย3.2 3.3 เมอ 3.4 แลว 3.5 ถา แลวจำานวนเหตการณทงหมด เทากบ

8. จากนนครลองยกตวอยางเกยวการการหาเหตการณ โดยยกตวอยางเพมเตมเพอความเขาใจ

ตวอยาง ในการโดยลกเตา 1 ลก จงเขยนเหตการณและจำานวนสมาชกของเหตการณตอไปน

1) เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขคตอบ , 2) เปนเหตการณทไดแตมนอยกวา 3ตอบ ,

ตวอยาง ในการโดยลกเตา 2 ลก จงเขยนเหตการณและจำานวนสมาชกของเหตการณตอไปน

1) เปนเหตการณทไดแตมทงสองเหมอนกนตอบ ,

2) เปนเหตการณทไดผลตางของแตมอยางนอย 4ตอบ ,

3) เปนเหตการณทไดผลบวกของแตมอยางมาก 5ตอบ ,

9. หลงจากครไดฝกทำาตวอยางการหาเหตการณครจงลองใหนกเรยนทำาตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดสรางความรดวยตนเอง

ตวอยาง การทดลองเรมตนดวยการโยนเหรยญอนหนง ถาไดหวโยนเหรยญนนอกครง แตถาไดกอยใหทอดลกเตาหนงลก

1) จงเขยนแซมเปลสเปซ2) จงระบสมาชกของเซต A ซงเปนเหตการณทแตมบนลกเตา

มากกวา 33) จงระบสมาชกของ B ซงเปนเหตการณทเกดกอย 2 ครง

วธทำา หาแซมเปลสเปซ

หาสมาชกของเซต A ซงเปนเหตการณทแตมบนลกเตามากกวา 3

หาสมาชกของ B ซงเปนเหตการณทเกดกอย 2 ครง

ตวอยาง การโยนเหรยญอนหนง กบการทอดลกเตาอกลกหนง ใหพรอมกนให

A แทนเหตการณทเหรยญขนกอย ลกเตาขนแตมคB แทนเหตการณทแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตวC แทนเหตการณทเหรยญขนหว ลกเตาขนแตมค

1) เหรยญขนกอยแลวลกเตาขนแตมค หรอแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตว2) เหรยญขนหว ลกเตาขนแตม 3 หรอ เหรยญขนกอย ลกเตาขนแตม 6

วธทำาหาเหตการณการโยนเหรยญอนหนง กบการทอดลกเตาอกลกหนง

1) เหรยญขนกอยแลวลกเตาขนแตมค หรอแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตวจะได =

2) เหรยญขนหว ลกเตาขนแตม 3 หรอ เหรยญขนกอย ลกเตาขนแตม 6 จะได

10. ครใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเพมเตมดวยตนเอง เพอเปนการสรางความเขาใจความคดรวบยอดดวยตนเอง

กจกรรมรวบยอด11. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบทเรยนวนนท

ไดทำาในวนนวาไดประโยชนอยางไรและสามารถเชอมโยงกบความนาจะเปนไดอยางไรบาง

12. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวยตนเอง






สาระสำาคญ- การทดลองสมและเหตการณ




ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/2 หาความนาจะเปนและนำาความรเกยวกบ ความนาจะเปนไปใช












1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 2 ความนาจะเปน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนปตวชวด ค 3.2 ม. 4/2 หาความนาจะเปนและนำาความร

เกยวกบ ความนาจะเปนไปใช


นกเรยนสามารถอธบายความหมายของความนาจะเปนและ ใชสมบตทสำาคญของความนาจะเปนได


บทนยาม ความนาจะเปนคอ อตราสวนระหวางจำานวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบจำานวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาสเกดขนเทาๆกน

ให แทน จำานวนสมาชกของเหตการณ แทน จำานวนสมาชกของ sample space

และให แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

จะไดวา


ดานความร

1. สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน2. สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภม


ได






ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไรมาแลวบาง ดงนนครจงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร


1. ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไรมาแลวบาง ดงนนครจงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร

บทนยาม ความนาจะเปนคอ อตราสวนระหวางจำานวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบจำานวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาส

เกดขนเทาๆกนให แทน จำานวนสมาชกของเหตการณ

แทน จำานวนสมาชกของ sample space และให แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

จะไดวา 2. ครไดใหสมบตของความนาจะเปน นนคอ สมบตเกยวกบ

ความนาจะเปน1. ถา E เปนเหตการณใดใด แลว 2. กตอเมอ 3. กตอเมอ

และไดยำากบนกเรยนวาคาของความนาจะเปนจะอยระหวาง

โดยถา นนคอ โอกาสของความนาจะเปนจะเกดขน และถา

นนคอ โอกาสของความนาจะเปนจะเกดขน

3. ครไดลองยกตวอยางในสถานการณจรงวาเพอใหนกเรยนไดเขาใจมากขน และใหนกเรยนชวยกนคดวาเหตการณอะไรบางทมโอกาสเกดขนทง และ

4. หลงจากนกเรยนไดทราบความหมายและการหาความนาจะเปนนนหาอยางไร ครจงลองยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจการหาความนาจะเปนได

ตวอยาง ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครงวธทำา ในขนตอนเรมตนนน ตองหา = = 1) ความนาจะเปนทลกเตาจะขนหนาเหมอนกนทง 2 ลก จะไดวาเหตการณคอ ลกเตาจะขนหนาเหมอนกนทง 2 ลก นนคอ

และ 2) ความนาจะเปนทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลกจะไดวา เหตการณคอ ทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลกและจากขอทแลวลกเตาทขนหนาเหมอนเทากบ 6 วธ และจำานวนทงหมดของหนาลกเตาคอ 36 วธดงนนเหตการณทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลก คอ 36-6 = 30ดงนน

5. ในตวอยางขนตนจะเปนตวอยางทไมซบซอน ในตวอยางทเหลอครจงใหนกเรยนไดลองฝกเขยนแจกแจงปรภมตวอยางและการหาเหตการณเพอนำาไปหาคาความนาจะเปน โดยครจะคอยกำากบดแลแลวเฉลย

6. ครไดยกตวอยางเพมเตมในโจทยทซบซอนเพมมากขนเพอใหนกเรยนไดทบทวนเรอง กฎการนบเบองตน การเรยงสบเปลยนและการจดหม

ตวอยาง ครคนหนงตองการแจกขนม 3 ชนทแตกตางกนใหกบนกเรยนทม 6 คน จงหาความนาจะเปนทครจะแจกขนมใหนกเรยนทไมซำาคน

วธทำา คอ ครคนหนงตองการแจกขนม 3 ชนทแตกตางกนใหกบนกเรยนทม 6 คน

และปรภมตวอยาง นนคอ =

คอเหตการณทครจะแจกขนมใหนกเรยนทไมซำาคน

และ คอ =

ดงนน = =

ตวอยาง มตวอกษร 3 ตวคอ P,A,T นำามาสลบทกนทง 3 ตว เพอใหเกดคำาใหม(ไมจำาเปนตองมความหมาย)จงหาความนาจะเปนของเหตการณทจะได P เปนตวแรกของคำา

วธทำา คอ นำาตวอกษร 3 ตวคอ P,A,T นำามาสลบทกนทง 3 ตว คอ และปรภมตวอยาง นนคอ

คอเหตการณทจะได P เปนตวแรกของคำา นนคอ

และ คอ =

ดงนน = =

ตวอยาง จากเลขโดด 1,3,0 นำามาสรางจำานวนทม 2 หลก โดยใชเลขไมซำากน จงหาความนาจะเปนทจะไดเลขค

วธทำา คอ เลขโดด 1,3,0 นำามาสรางจำานวนทม 2 หลก โดยใชเลขไมซำากน และปรภมตวอยาง นนคอ

คอเหตการณสรางจำานวนทม 2 หลกทเปนเลขค นนคอ

และ =

ดงนน = =

ตวอยาง มนกเรยน 5 คนรวมโบและเบลดวย ยนแถวตรงหนาเสาธงแถวเดยว จงหาความนาจะเปนท

1) โบและเบลยนตดกน( )

วธทำา คอ มนกเรยน 5 คนรวมโบและเบลดวยยนแถวตรงหนาเสาธงแถวเดยว และปรภมตวอยาง นนคอ คอเหตการณทโบและเบลยนตดกน( ) นนคอ

โบ เบล O O O = =

ดงนน = =

2) โบและเบลยนอยหวแถวและทายแถว ( ) ให คอเหตการณทโบและเบลยนอยหวแถวและทายแถว( )

นนคอ โบ O O O เบล = = วธ

ดงนน = =

3) โบและแบลยนแยกกน ( )ให คอเหตการณทโบและแบลยนแยกกน ( )

นนคอ โบ O O O จะได

และ นำาเบลไปเลอกทหลง นนคอ สามารถวางเบลได ท นนคอ =

ดงนน = = 7. ครใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเพมเตมดวยตนเอง เพอเปนการ

สรางความเขาใจความคดรวบยอดดวยตนเอง

กจกรรมรวบยอด

8. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวยตนเอง






สาระสำาคญ- ความนาจะเปนของเหตการณ




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 2 ความนาจะเปน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถอธบายความหมายของความนาจะเปนและ ใช

สมบตทสำาคญของความนาจะเปนได


บทนยาม ความนาจะเปนคอ อตราสวนระหวางจำานวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบจำานวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาสเกดขนเทาๆกน

ให แทน จำานวนสมาชกของเหตการณ แทน จำานวนสมาชกของ sample space

และให แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

จะไดวา


ดานความร

1. สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน2. สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภม


ได






ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไรมาแลวบาง ดงนนครจงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร


1. ครพานกเรยนทำาตวอยางเพมเตมจากสปดาหทแลว

ตวอยาง มจำานวนจรงบวก 4 จำานวน จำานวนจรงลบ 5 จำานวนโดยเลอกจำานวนออกมา 3 จำานวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณ1) ผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนบวก( )

วธทำา จากโจทยจะไดวา มจำานวนจรงบวก 4 จำานวน จำานวนจรงลบ 5 คอ มจำานวนจรงลบและจำานวนจรงบวก 10 จำานวนโดยเลอก

จำานวนออกมา 3 จำานวน

ดงนน ปรภมตวอยาง นนคอ = คอเหตการณผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนบวก( )

นนคอ กรณท 1 จำานวนจรงบวก x จำานวนจรงบวก x จำานวนจรงบวก

จะไดวา = = วธกรณท 2 จำานวนจรงบวก x จำานวนจรงลบ x จำานวนจรงลบ

จะไดวา = = วธดงนน เหตการณทผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนบวก คอ

ดงนน = = 2) ผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนลบ( )

คอเหตการณผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนลบ( )นนคอ กรณท 1 จำานวนจรงลบ x จำานวนจรงบวก x จำานวนจรงบวก

จะไดวา = = วธกรณท 2 จำานวนจรงลบ x จำานวนจรงลบ x จำานวนจรงลบ

จะไดวา = = วธดงนน เหตการณทผลคณของจำานวนทงสามเปนจำานวนบวก คอ

ดงนน = =

ตวอยาง ในการสมหยบไพ 1 ใบ จากสำารบหนง จงหาวธทำา คอ ในการสมหยบไพ 1 ใบ จากสำารบหนง ซงไพ 1 สำารบม 52 ใบ

ดงนน ปรภมตวอยาง นนคอ =

1) ความนาจะเปนทจะไดไพแตม 5 คอเหตการณทจะไดไพแตม 5 นนคอ = 5 โพดำา, 5 โพแดง ,

5 ดอกจก , 5 ขาวหลามตด จะไดวา = วธ

ดงนน = =

2) ความนาจะเปนทจะไดไพสแดง คอเหตการณทจะไดไพแตม 5 นนคอ = ไพโพแดง 13 ใบ ,

ไพขาวหลามตด 13 ใบ

จะไดวา = = วธ

ดงนน = =

กจกรรมรวบยอด2. ครใหนกเรยนเลนเกม Kahoot! เกยวกบเรองความนา

จะเปน เพอเปนการทบทวนความรทไดเรยนมาแลว



2. แบบฝกหดวชาคณตศาสตร23. Kahoot!



สาระสำาคญ- ความนาจะเปนของเหตการณ




ตวชวด













หนวยการเรยนรท 2 ความนาจะเปน เรอง สมบตของความนาจะเปนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถนำาสมบตทสำาคญของความนาจะเปนไปใชได


สมบตความนาจะเปน คอ ถา A และ B เปนเหตการณใดใดในการทดลองสม ซงมแซมเปลสเปซ (S) จะได 1. ;

2. 3.


ดานความร1. สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน

2. สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณได

3. สามารถหาการทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณได






ครทบทวนการหาแซมเปลเสปซและเหตการณและจำานวนของการหาแซมเปลเสปซและจำานวนของเหตการณ


1. ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไรมาแลวบาง ดงนนครจงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร โดยในสปดาหนเราจะเรยนถงสมบตทสำาคญของความนาจะเปน โดยครไดใหสมบตความนาจะเปน ดงน

สมบตความนาจะเปน คอ ถา A และ B เปนเหตการณใดใดในการทดลองสม ซงมแซมเปลสเปซ (S) จะได

1. ; 2. 3. ถา A และ B เปนเหตการณทไมเกด

ขนรวมกนไมได

จากสมบตทง 3 ชอจะเหนวาความนาจะเปนของเหตการณใดใด มคา

เปนบวกเสมอ โดยมคา ซงถา แสดงวา

เหตการณนนไมมโอกาสเกดขนเลย แตถา แสดงวาเหตการณนนเกดขนไดแนนอน

2. โดยครบอกนกเรยนวา เรองนตองใชพนฐานทสำาคญของการดำาเนนการทางเซต ดงนนครจงจะทำาการทบทวนการดำาเนนการของเซตและการวาดแผนภาพเวนนออยเลอร ดงน

กฎของความนาจะเปน

ให A และ B เปนเหตการณใดใดจากการทดลอง ซงมแซมเปลสเปซ(S) จะได

1. 2. 3. 4. 5. 6. ถา จะได

7. ถา เปนเหตการณทคใดใด เกดรวมกนไมได

จะได

= 3. หลงจากนกเรยนไดทบทวนหลกการทางเซตไปแลวนน คร

จงยกตวอยางเพอใหนกเรยนเขาใจมากขน

ตวอยาง ถา A และ B เปนเหตการณทเกดรวมกนไมได และ และ จงหาคาของ

1) วธทำา จากโจทยทราบวา และ หา จากสตรของความนาจะเปนคอ จะไดวา =

= =

2) จากสมบตของความนาจะเปนคอ

และเนองจากโจทยบอกวา A และ B เปนเหตการณทเกดรวมกนไมได ดงนน ดงนนจะไดวา =

= =

3) จากสมบตของความนาจะเปนคอ

จะไดวา = =

4. ครใหนกเรยนทำาตวอยางในเอกสารประกอบการเรยนดวยตนเอง เพอเปนการใหนกเรยนเขาใจหลกการพนฐานดวยตนเอง และเกดการเรยนรดวยตนเอง

5. เมอนกเรยนเขาใจหลกการพนฐานการใชสตรของความนาจะเปนและหลกการของเซตแลวนน ครจงยกตวอยางประกอบทซำาซอนมากขน โจทยทเปนโจทยปญหาเพอใหนกเรยนไดลองนำาสตรและความเขาใจนนมาปรบใชได

ตวอยางถาความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาคณตศาสตร และชววทยาเปน 0.6 และ 0.5 ตามลำาดบความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชาเทากบ 0.8 จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชาวธทำา ให แทน ความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาคณตศาสตรและ ให แทน ความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาชววทยาจากโจทยจะไดวา = และ = และ ความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชาเทากบ นนคอ

และโจทยตองการหา จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชา นนคอ

ดงนน ให แทนความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชาสามารถวาดแผนภาพเวนนออยเลอรไดดงน

จากแผนภาพ จะไดวา =

=

= =

หรอ ถาไมวาดแผนภาพ เราสามารถใชสตรในการหาไดเชนกน =

= =

ดงนน จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชา คอ

ตวอยาง ผลการสอบวชาคณตศาสตรและเคมของนกเรยนกลมหนงพบวา

ของนกเรยนทงหมดสอบผานวชาคณตศาสตร และ ของนกเรยนทงหมดสอบผานวชาเคม ถาความนาจะเปนของนกเรยนกลมนทจะสอบผาน

อยางมาก 1 วชา เทากบ จงหาความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชา

วธทำา ให แทน ความนาจะเปนทจะสอบผานวชาคณตศาสตรและ ให แทน ความนาจะเปนทจะสอบผานวชาเคม

จากโจทยจะไดวา = และ =

และ ความนาจะเปนทจะสอบผานอยางมาก 1 วชาเทากบ นนคอ สอบผานอยางมาก 1 วชา หมายถง ไมสามารถผานสองวชาได โดย ผานทงสองวชาคอ

ดงนน สอบผานอยางมาก 1 วชา คอ = และโจทยตองการหา จงหาความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชานนคอ

จากสมบตความนาจะเปน = แตเนองจากตอนนยงไมทราบ โดยเราสามารถหาไดจาก

= จากสมบตจะไดวา ซงกคอ จะไดวา =

=

ดงนน =

= เพราะฉะนน ความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชา

คอ

6. หลงจากนกเรยนไดลองทำาตวอยางไปมากขนแลวนน ตวอยางตอไปนจะเปนตวอยางทซบซอนมากขน โดยครใหนกเรยนลองทำาดวยตนเองกอน และครจะทำาการเฉลย

ตวอยาง ให A และ B แทนเหตการณในแซมเปลสเปซ (S) ถา และ

จงหา

วธทำา จากโจทยจะไดวา และ

และโจทยตองการหา

ดงนนจากสตร = ขนแรก ตองทำาการหา กอนซงหาไดจาก =

ขนทสอง หา หา จาก =

= ดงนน =

ตอมาหา จาก =จะไดวา = ดงนน =

ตอมาหา จาก และจากสมบตของความนาจะเปนนนคอ จะไดวา =

= ดงนน = จะไดวา =

= =

เพราะฉะนน = =

=

7. ครใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเพมเตมดวยตนเอง เพอเปนการสรางความเขาใจความคดรวบยอดดวยตนเอง โดยครคอยกำากบและดแล


8. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบทเรยนวนนทไดทำาในวนนวาไดประโยชนอยางไรและสามารถเชอมโยงกบความนาจะเปนไดอยางไรบาง9. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวย

ตนเอง






สาระสำาคญ- สมบตของความนาจะเปน




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง กจกรรมความนาจะเปนวชา ค 32101 ชอรายวชา คณตศาสตร 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล



จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถนำาสมบตทสำาคญของความนาจะเปนไปใชได


การทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณ


ดานความร1. สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน2. สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภม


ไดดานทกษะกระบวนการ

1. มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได

2. มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และการนำาเสนอ

3. มทกษะการใชกฎการนบในการประยกตใชไดดานคณลกษณะ

1. มความรบผดชอบ2. มระเบยบวนย3. ใฝเรยนรและมงในการทำางาน



ครจะทำากจกรรมเกยวกบการทดลองสมตางๆ เพอใหนกเรยนเขาใจกฎความนาจะเปนขนพนฐาน


1. ครเกรนนำาถงความหมายของคำาวาโอกาสมความหมายวาอยางไร ซงโอกาสคอชวตจะเกดสงใดกได แตเราสามารถใชคณตในการตดสนใจได

2. โดยครใหนกเรยนลองทำากจกรรมในหองเรยน โดยการใหนกเรยนนำาเหรยญชนดใดกไดขนมา 1 เหรยญ แลวใหนกเรยนทำาการโยนเหรยญ โดยใหนกเรยนทงชนเรยนยนขน

โดยมกฎเกณฑวา

เมอเหรยญออกหว ใหนกเรยนนงลง

แตถาเหรยญออกกอย ใหนกเรยนยนขนเชนเดม แลวทำาการโยนเหรยญตอ

3. โดยจะทำาการโยนเหรยญดวยกฎนไปเรอยๆ เพอหาวานกเรยนคนใดทจะโยนไดกอยตอเนองเปนคนสดทายในหองเรยนนน แลวทำาการโยนไปกครง

4. หลงจากทครไดใหนกเรยนททำาการโยนเหรยญออกหนากอยจนหาคนสดทายไดแลวนน จะทำาการพจารวา นกเรยนคนทเหลอคนสดทาย โยนไดหนากอยตดตอกนกครง

5. สมมตวาใหนกเรยนโยนไดกอยตดตอกนได n ครง โดยครจะทำาการสอบถามนกเรยนวา การโยนเหรยญ 1 ครง สามารถออกหนาเหรยญได 2 หนา จะมโอกาสเทาไร โดยนกเรยนจะรวมตอบคอ

เปนครงหนง นนคอเปน ในการโยนแตละครง

6. ครถามนกเรยนเพมเตมวา แตเพอนคนทเหลอคนสดทาย โดยไดหนากอยตดตอกน n ครง แสดงวาจะมโอกาสเทาใด นนคอ

นนคอ

7. จากนน ใหนกเรยนลองหารดเปนจำานวนทศนยม นนสงเกตไดวาคานอยมาก นนคอมโอกาสเกดขนไดนอยมาก โดยโยงไปวาคาทไดนนคอ คาความนาจะเปนทเกดขน

8. หลงจากไดใหนกเรยนทำาการทดลองการโยนเหรยญแลวนน ครไดจดอกหนงกจกรรมนนคอการโยนลกเตา จะไดเปนอยางไร โดยถามนกเรยนวาการโยนลกเตา 1 ลกนน มโอกาสเกดหนาไดกหนา

และมความนาจะเปนเทาไร นนคอ 9. ครถามเพมเตมวาถาโยนลกเตา 2 ลกจะมโอกาสเปนเทาไร

คอ =

10. โดยตอมาครใหนกเรยนลองทำานายวาถาโยนลกเตา 2 ลกผลบวกแตมจะเปนอะไรไดมากทสด โดยใหนกเรยนลองทายและเขยนลงในกระดาษวาทายเลขอะไร แลวคอยมาดคำาตอบกนในตอนทาย

11. โดยครใหนกเรยนบนทกผลพรอมกนไปดวย เชน โยนลกแรกได 2 ลกทสองได 5 ใหบนทกผลในรปคอนดบคอ (2,5) ซงผลรวมแตมคอ 7

12. โดยใหนกเรยนทำาการออกมาโยนลกเตารวมกนทงหอง (ประมาณ 30 คน) แลวมารวมทายกนวาผลบวกแตมใดออกมากทสด

13. ซงในการทดลองนน ผลรวมแตมทควรมากทสดนนคอ 7

เพราะมโอกาสคาความนาจะเปนมากทสด นนคอ แตในการทดลองหนงๆนน ลกเตาทออกผลรวมได 5,6,8 มประมาณเทาๆกน ซงไมตางกนมากนก โดยการทดลองหนงนนๆเปนเพยงแนวโนมเทานน โดยในคาบตอไปจะทำาการเรยนเกยวกบกฎความนาจะเปนอยางละเอยดอกครง


14. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบกจกรรมทไดทำาในวนนวาไดประโยชนอยางไรและสามารถเชอมโยงกบความนาจะเปนไดอยางไรบาง


มธยมศกษาปท 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตร

แกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2560 จดทำาโดย สสวท.




สาระสำาคญ- กจกรรมตวามนาจะเปน




ตวชวด













1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................


ชเลศ )



.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )


elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/sopaphan_ve/pluginfile.php/103/course... · Web...

Documents

Transcript of elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/sopaphan_ve/pluginfile.php/103/course... · Web...