elen076-exercices

UNIVERSITE DE LIEGEFACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

DEPARTEMENT DELECTRICITE, ELECTRONIQUE ETINFORMATIQUE

ELECTROMAGNETISME

Enonces des exercices du cours ELEN0076-1

septembre 2012

P. RousseauxB. Vanderheyden

Institut Montefiore Bat. B28Sart-Tilman, 4000 Lie`ge.

1 Analyse vectorielle

1.1 Divergence et theore`me de la divergence

Soit le vecteur ~A = x x+ y y + z z.

1. Calculez lintegrale

IS =d~S ~A (1)

sur la surface dune sphe`re de rayon R centree a` lorigine.

2. Calculez ~ ~A, ainsi que lintegrale

IV =d3~r

(~ ~A

). (2)

sur le volume de la meme sphe`re.

3. Interpretez les resultats obtenus aux deux points precedents.

1.2 Rotationnel et theore`me de Stokes

x

R

C1

C2

y

BA

Figure 1 exercice 1.2

Soit le vecteur ~A = A0 x ou` A0 est une constante. Calculez les integralescurvilignes suivantes :

I1 =C1

d~ ~A, (3)

I2 =C2

d~ ~A, (4)

ou` les chemins C1 et C2 sont representes a` la figure 1.

2

2 Electrostatique

2.1 Equations de base

Force de Coulomb entre deux charges ponctuelles : force exercee sur lacharge +q2

~F =q1 q24r2

r

+q1r

~F

+q2

(5)

Champ electrique produit par une charge ponctuelle :

~E(P ) =q1

4r2r

+q1

~E

P

r

(6)

Champ electrique produit par une distribution continue de charges surun volume V :

P

0

~r

~r

~E(~r) =1

40

V

(~r

)

|~r ~r |3

(~r ~r

)d3~r

(7)

Deplacement electrique ou densite de flux : ~D = ~E Equations de Maxwell (cas statique)

~ ~E = 0 (8)

~ ~D = . (9)

Potentiel electrique : ~ ~E = 0 = ~E = ~V . Potentiel electrique relatif une distribution continue de charges sur unvolume V :

V (~r) =1

40

V

(~r

)

|~r ~r |d3~r

(10)

3

Difference de potentiel : VB VA = BA d

~ ~E. Energie emmagasinee sous forme electrique :

WE =1

2

Vd3~r ~D ~E. (11)

Capacite electrique dun syste`me de deux conducteurs charges :

C =Q

V1 V2(12)

Theore`me de Gauss

Sd~S ~D = Q =

Vd3~r (13)

Equation de Poisson :

2V =

(14)

Equation de Laplace : si = 0,

2V = 0 (15)

2.2 Dipole electrique

Un dipole electrique est constitue de deux charges electriques dampli-tudes egales et de signes opposes, distantes de d et placees dans le vide(figure 2).

1. Determinez lexpression du potentiel et du champ electrique du syste`meen un point ~r, dans la limite d |~r|.

2. Representez les lignes de champ.

3. Determinez lexpression de la densite de charge electrique .

4


2.3 Distribution lineaire de charges

On conside`re un syste`me de charges electriques distribuees uniformementsur une droite indefinie, avec une densite lineique L (unites : C/m). Lesyste`me est dans le vide (figure 3).

1. Determinez lexpression du champ electrique de cette distribution

(a) par integration directe,

(b) en utilisant le theore`me de Gauss.

2. Determinez lexpression du potentiel electrique correspondant.


2.4 Capacite du condensateur plan - Equation de La-

place

On conside`re un condensateur plan a` air dont les plateaux sont separesdune distance d. Le potentiel du plateau superieur vaut V0 volts, celui duplateau inferieur vaut 0 volt.

5

1. En partant de lequation de Laplace, determinez les expressions dupotentiel et du champ electrique entre les deux plateaux. On negligerales effets de bord.

2. Quelle est lexpression de la charge surfacique portee par le plateausuperieur ?

3. Determinez lexpression de la capacite de ce syste`me.

2.5 Capacite dun cable coaxial

Un cable coaxial est constitue de deux conducteurs de meme axe et derayons respectifs a et b, avec b > a. Les conducteurs sont separes par unmilieu isolant de permittivite electrique .

1. Determinez lexpression de la capacite unitaire du syste`me.

2. Donnez-en une valeur numerique dans le cas suivant : le rayon exterieurest egal a` b = 0.5 cm, le conducteur interieur a une section de 1 mm2

et la permittivite relative du dielectrique vaut r = 2.5.

2.6 Deux lignes chargees paralle`les

On conside`re deux lignes uniformement chargees, portant respectivementune charge lineique L et L, placees paralle`lement dans le vide a` unedistance d lune de lautre.

1. Determinez lexpression du potentiel electrique du syste`me.

2. Esquissez lallure des courbes equipotentielles et des lignes de champelectrique.

2.7 Distribution lineique de charges au dessus dun

plan conducteur : application de la methode des

images

Une ligne uniformement chargee (densite de charge L) est placee pa-ralle`lement a` un plan conducteur dextension infinie, a` une distance h decelui-ci.

1. Determinez les expressions du potentiel V et du champ electrique ~E audessus du plan conducteur.

2. Determinez la charge electrique induite par unite de surface dans leplan conducteur.

3. A partir du principe de superposition, determinez les valeurs du champelectrique aux points A et B du plan.

6

h+l

BA

h


2.8 Ligne a` proximite dun conducteur cylindrique

On conside`re une ligne uniformement chargee (charge lineique L) placeeparalle`lement a` un conducteur cylindrique plein de rayon a, porte a` un po-tentiel nul (figure 5).

Determinez lexpression du potentiel electrique du syste`me.


2.9 Capacite unitaire dune ligne bifilaire

On conside`re une ligne bifilaire, constituee de deux conducteurs cylin-driques de rayon a places paralle`lement a` une distance d lun de lautre.

En supposant que d a, etablissez lexpression de la capacite electriquepar unite de longueur du syste`me.

2.10 Capacite dun syste`me compose dun conducteur

cylindrique et dun plan conducteur

On conside`re un cylindre conducteur place paralle`lement a` un plan conduc-teur. Le cylindre est porte au potentiel V0, le plan conducteur est relie a` lamasse.

Determinez la capacite unitaire du syste`me.

7


3 Polarisation electrique



Polarisation electrique ~P = N ~p, ou` N est le nombre de molecules (oudatomes) par unite de volume et ~p est le moment dipolaire moyen parmolecule (par atome).

Densite de charges liees en volume :

pol = ~ ~P , (16)

Densite de charges liees en surface :

pol = ~n ~P . (17)

Dans un milieu lineaire, homoge`ne et isotrope,

~P = 0~E, (18)

ou` est la susceptibilite electrique. Deplacement electrique, ou densite de flux electrique,

~D = 0 ~E + ~P = 0(1 + ) ~E = 0r ~E (19)

8

+ pol,1+

~E ~E

0

+ pol,2


3.2 Condensateur plan

On conside`re un condensateur plan (a` dielectrique, de permittivite )dont les plateaux ont une surface S et sont separes de d. Le condensateur estsoumis a` une difference de potentiel de V0 volts (figure 8).

1. Determinez les expressions de la densite de surface des charges libres, ,de la densite de surface des charges liees, pol1,2 , et du champ electrique~E regnant entre les plateaux.

2. Deduisez-en lexpression de la capacite C du condensateur.

3. Calculez les valeurs numeriques de , pol1,2 ,~E et C dans les deux cas

suivants :

(a) S = 1 mm2, d = 1 mm, V0 = 10 V et r = 1 (air),

(b) S = 1 mm2, d = 1 mm, V0 = 10 V et r = 6 (mica).

3.3 Condensateur a` deux dielectriques

z

~E

d = d1 + d2d2

0

d2

d1


On conside`re un condensateur plan dont la partie isolante est constitueede deux couches dielectriques (figure 9). La premie`re couche est de lair (r =1) et a une epaisseur d1 = 0.1 mm. La deuxie`me couche est composee demica (r = 6) et a une epaisseur d2 = 0.9 mm. La surface des plateaux vautS = 1 cm2 et leur separation vaut d = 1 mm. Le condensateur est soumis a`une difference de potentiel constante, V0 = 2.5 kV.

1. Determinez la valeur champ electrique dans chacune des couches de lapartie isolante. Le condensateur peut-il claquer ? (Champ de rupturede lair : Erupt = 2.7 MV/m, champ de rupture du mica : Erupt =14 MV/m).

9

2. Determinez la capacite du condensateur.

4 Magnetostatique


Loi de Biot-Savart :

~H(~r) =1

4

Vd3~r

~J (~r ~r

)

|~r ~r|3, (20)

ou, pour un courant I secoulant le long dun conducteur,

~H(~r) =I

4

L

d~ (~r ~r

)

|~r ~r|3. (21)

Direction de ~H : rappelez-vous la re`gle du tire-bouchon ! Induction magnetique, milieu de permeabilite : ~B = ~H. Theore`me de Gauss :

~ ~B = 0Sd~S ~B = 0 (S : surface fermee). (22)

Theore`me dAmpe`re (en magnetostatique) :

~ ~H = ~J

~H d~ =Sd~S ~J =

I. (23)

Potentiel vecteur :

~ ~B = 0 = ~B = ~ ~A. (24)

Si ~A est choisi de facon telle que ~ ~A = 0, alors

~A(~r) =

4

d3~r

~J(~r

)

|~r ~r |, (25)

ou, dans le cas dun courant I secoulant le long dun conducteur,

~A(~r) =I

4

d~

|~r ~r|. (26)

Flux magnetique traversant une surface S :

=Sd~S ~B =

Sd~S

(~ ~A

)=

~A d~. (27)

Energie emmagasinee sous forme magnetique :

WM =1

2

Vd3~r ~H ~B. (28)

Inductance :

= LI et WM =1

2LI2. (29)

10

4.2 Champ magnetique produit par une boucle de cou-

rant

On conside`re une boucle de courant de rayon a parcourue par un courantcontinu I.


Etablissez, par integration directe, lexpression du champ magnetique pro-duit le long de laxe de la boucle.

4.3 Conducteur rectiligne indefini

On conside`re un conducteur rectiligne infiniment long, parcouru par uncourant continu I.

Etablissez lexpression du champ magnetique du syste`me, des trois faconssuivantes :

1. en integrant la relation de Biot-Savart,

2. a` partir du potentiel vecteur ~A,

3. en utilisant le theore`me dAmpe`re.

4.4 Champ magnetique produit par un solenode a` air

Un solenode a` air est constitue dun fil conducteur enroule en formede cylindre de rayon a et comporte n tours de fil conducteur par me`tre delongueur. La longueur du solenode est supposee beaucoup plus grande queson rayon a. Determinez lexpression de linduction magnetique creee par cesolenode en tout point interieur et exterieur eloigne de ses extremites. Onexploitera judicieusement les hypothe`ses et symetries du proble`me.

4.5 Conducteur de section circulaire

On conside`re un conducteur de rayon a parcouru par un courant continuI.

11

Etablissez lexpression du champ magnetique

1. a` linterieur du conducteur,

2. a` lexterieur du conducteur.

4.6 Inductance dun cable coaxial

On conside`re un cable coaxial de longueur infinie alimente par un courantcontinu I. Ses caracteristiques geometriques sont les suivantes :

rayon du conducteur interieur : arayon interieur du conducteur exterieur : brayon exterieur du conducteur exterieur : cpermeabilite du milieu isolant : 0permeabilite du conducteur : c

Determinez lexpression du champ magnetique produit dans les differentesregions du cable, ainsi que son inductance unitaire.

4.7 Inductance dune ligne bifilaire


On conside`re une ligne bifilaire, cest-a`-dire une ligne constituee de deuxconducteurs rectilignes de rayon a separes de d et parcourus par des courantscontinus egaux et opposes (figure 11).

Determinez linductance unitaire de la ligne.

5 Pertes - Champs variables - Phenome`nes

dinduction - Ondes

5.1 Reacteur chimique a` electrodes spheriques

Un reacteur chimique est constitue de deux electrodes spheriques concen-triques de rayons respectifs a = 1 cm et b = 3 cm. Le reacteur est remplidun liquide de permittivite relative r = 78 et de conductivite = 3 S/m.En regime, le reacteur est parcouru par un courant continu.

Determinez la resistance electrique de ce reacteur.

12

5.2 Condensateur avec pertes

Determinez la conductance dun condensateur plan au mica aux frequencesf1 = 50 Hz et f2 = 1 GHz. Les caracteristiques du condensateur sont les sui-vantes

Surface des plateaux : S = 10 cm2

Separation des plateaux : d = 0.1 cmConductivite du mica : = 1015 S/mProprietes dielectriques a` f = 50 Hz :

= 6 0 et pertes dielectriques negligeablesProprietes dielectriques a` f = 1 GHz :

= 6 0 et

tot = 1.6 103 0.

5.3 Blindage electrique

Un ecran metallique est place entre les deux plateaux dun condensateura` air, comme illustre a` la figure 12.


Le syste`me est alimente par un generateur de tension sinusodale (ampli-tude de tension V0, frequence f). Au moment du montage et avant la miseen service du generateur, lecran est non-charge. La surface des plateaux estegale a` S.

Determinez :

1. les courants I1 et I2,

2. lallure des lignes de champ electrique,

3. la distribution des charges sur lecran,

dans chacun des deux cas suivants :

1. lecran est a` un potentiel flottant (il est isole galvaniquement des autreselements du syste`me),

2. lecran est relie a` la masse.

13

5.4 Pertes dun bobinage : variation en fonction de la

frequence

On conside`re un bobinage a` noyau ferromagnetique. Comment varient lespertes suivantes en fonction de la frequence ?

1. Les pertes par hysteresis.

2. Les pertes dues aux courants de Foucault.

Dans chaque cas, on exprimera la puissance dissipee P sous la forme P fn,ou` n est la puissance algebrique correspondante.

5.5 Puissance solaire recue par Mercure

La puissance du rayonnement solaire frappant la surface de Mercure vautapproximativement S = 0.87 W/cm2.

1. En supposant que les ondes electromagnetiques sont emises par le soleilde facon isotrope, estimez la puissance totale rayonnee par le soleil.

2. En assimilant le rayonnement a` la surface de mercure a` une onde plane,estimez la valeur efficace du champ electrique produit par ce rayonne-ment.

Donnee : distance Mercure - Soleil, d = 60 Gm.

5.6 Absorption dune onde plane par une plaque de

cuivre

Une onde plane de frequence f = 1 GHz se propage dans lair et frappeune plaque de cuivre, a` incidence normale (voir figure 13).

Sr

Ei

Hi

Si

z

y

xSt

Ht

Et

Hr

Er


Sachant que la valeur de crete du champ electrique de londe incidentevaut E0 = 1 V/m et que la conductivite electrique du cuivre vaut =58 106 S/m, determinez la valeur moyenne de la puissance absorbee par unitede surface par le cuivre.

14

5.7 Application du theore`me de Poynting a` un bloc

conducteur

On conside`re un bloc de cuivre semi-infini setendant dans lespace z > 0,comme illustre a` la figure 14, et une onde plane incidente venant frapper lebloc a` incidence normale.


Etablissez lexpression de la puissance dissipee dans le bloc de cuivre a`partir du vecteur de Poynting de londe transmise dans le bloc. Exprimezensuite cette puissance en fonction de lamplitude du champ magnetique a` lasurface du bloc et verifiez que le resultat obtenu est identique a` celui etabliau cours par integration directe de la puissance dissipee par effet Joule.

15

6 Lignes de transmission en regime harmo-

nique

6.1 Parame`tres unitaires dune ligne telephonique

Une ligne telephonique de type bifilaire, representee a` la figure 15, estconstituee de deux conducteurs cylindriques de rayon a = 0.2 mm places pa-ralle`lement lun a` lautre a` une distance d = 0.6 mm. Les fils sont isoleselectriquement par un plastique (r = 2). Les fils sont en cuivre ( =5.8 107 S/m, r = 1 et r = 1).


A la frequence de travail f = 1 kHz, on a mesure les quatre parame`tresunitaires suivants : R = 100 /km, C = 0.051 F/km, L = 0.6 mH/km etG 0 S/m.

1. Cette ligne travaille-t-elle en regime de haute ou de basse frequence ?

2. Travaille-t-elle en regime de faibles pertes ?

3. Determinez limpedance caracteristique, lattenuation lineique et la vi-tesse de phase.

6.2 Parame`tres unitaires dune ligne microbande

La ligne microbande (microstrip en anglais) de la figure 16 est constitueedun substrat isolant et dielectrique, metallise sur ses deux faces avec delaluminium. La face superieure vehicule un courant allant du generateur a`la charge, le retour seffectuant par la face inferieure.

Determinez les quatre parame`tres unitaires C, L, R et G, limpedancecaracteristique Z0 et le coefficient dattenuation de cette ligne.

Donnees :

Frequence de travail : f = 18 GHz.Aluminium : = 3.72 107 S/m, r = 1 et r = 1.Dielectrique : Si02, et pertes dielectriques negligeables, r = 3.8 et r = 1.

16


6.3 Parame`tres unitaires dun cable coaxial

Un cable coaxial, represente a` la figure 17, presente les parame`tres sui-vants :

Parame`tres geometriques : a = 1 mm, b = 1 cm et d = 1 mm.Conducteurs : cuivre, = 5.8 107 S/m, = 0 et = 0.Dielectrique : polystyre`ne, = 1016 S/m, = 0, et

= 2.50,

pol/

= 105 a` f = 1 kHz ;

pol/

= 2 104 a` f = 1 GHz


On demande de determiner les parame`tres unitaires C, L,R etG, limpedancecaracteristique Z0 et le coefficient dattenuation de ce cable, aux deux frequencesf = 1 kHz et f = 1 GHz.

Interpretez les differences observees.

6.4 Allure de lamplitude de tension le long dune ligne

en regime harmonique

Une ligne de transmission ideale dimpedance caracteristique Z0 = 75 et de longueur = 0.6 est terminee sur une charge dimpedance ZL =100 + j150 .

1. Determinez le taux dondes stationnaires S et la position des maximaet minima de la tension le long de la ligne.

2. Esquissez lallure de |V (z)|.

17

3. Determinez limpedance vue au droit de lemplacement z = 0.4,limpedance dentree de la ligne ainsi que les impedances Zmin et Zmaxvues au droit des minima et maxima de tension.

6.5 Mesure dune impedance en hautes frequences

Une ligne ideale dimpedance caracteristique Z0 = 50 alimente uneimpedance de charge ZL, que lon cherche a` determiner. La mesure de latension le long de la ligne fournit un taux dondes stationnaires S = 3. Lepremier minimum de tension est egalement localise a` une distance zmin =0.33 de la charge.

Determinez la valeur de limpedance de charge ZL.

6.6 Ligne ideale quart donde

On conside`re un troncon de ligne ideale dimpedance caracteristique Z0et dune longueur egale au quart de la longueur donde du signal transmis.Pour chacune des situations suivantes :

1. ligne laissee ouverte a` son extremite ;

2. ligne court-circuitee ;

3. ligne terminee sur une resistance de charge R1 < Z0 ;

4. ligne terminee sur une resistance de charge R2 > Z0 ;

determinez : le coefficient de reflexion et le taux dondes stationnaires ; lexpression et lallure du module de la tension et du courant le long dela ligne ;

limpedance vue de lentree de la ligne.

6.7 Adaptation par troncon de ligne quart donde

Une ligne de longueur 1 = 10 m et dimpedance caracteristique Z01 =300 doit etre connectee a` une deuxie`me ligne, dimpedance caracteristiqueZ02 = 150 , de longueur 2 = 20 m, et terminee sur une charge ZL = 150 .

Les lignes sont constituees de cables coaxiaux remplis avec un dielectriquede permittivite relative r = 2.25 et sont considerees sans perte. La frequencede travail est f = 50 MHz.

1. Si les deux lignes sont connectees directement, determinez le tauxdondes stationnaires dans le troncon de longueur 1.

Z01 = 300 Z02 = 150

21

ZL

18

2. On souhaite a` present connecter les deux lignes par lintermediaire dunadaptateur quart donde, constitue dun cable coaxial rempli avec lememe dielectrique.

Z0Z01 = 300 Z02 = 150

1 4

2

ZLadaptateur

(a) Determinez la longueur et limpedance caracteristique Z0 dutroncon intermediaire permettant de realiser ladaptation a` la premie`religne.

(b) Determinez le coefficient de reflexion au droit de lentree de ladeuxie`me ligne (impedance caracteristique Z02) et au droit delentree de ladaptateur. En deduire le taux dondes stationnairesdans le troncon de longueur 1 et celui dans ladaptateur.

6.8 Adaptation dun reseau dantennes par ajout dun

stub

Un reseau dantennes est constitue de la mise en paralle`le dun ensemblede 10 antennes identiques, chacune alimentee par une ligne ideale commeindique a` la figure 18. Chaque antenne est adaptee a` sa ligne dalimentationde sorte que limpedance caracteristique de chaque ligne dalimentation Z0 estegale a` limpedance de lantenne ZL = 50. On desire realiser ladaptationde ce reseau dantennes a` sa ligne dalimentation principale dimpedancecaracteristique Z0 = 50. A cette fin, on place en paralle`le sur la lignedalimentation principale, a` une distance 1 du reseau dantennes, un stub encourt-circuit de meme impedance caracteristique Z0 et de longueur 2.

Determinez les valeurs de 1 et 2 qui realisent ladaptation. Pour cesvaleurs, que vaut le taux dondes stationnaires (i) dans la ligne au droit dureseau dantennes, (ii) dans le stub au droit du court-circuit ?

Donnees :

Frequence de travail : f = 1 GHz.Constantes caracteristiques des lignes : r = 2.3 et r = 1.

6.9 Bilan de puissance dans un quart donde en regime

harmonique

Un generateur de tension efficace Vg = 15 V et dimpedance interne Zg =75 alimente une charge dimpedance ZL = 60 par lintermediaire duneligne de transmission ideale dimpedance caracteristique Z0 = 75 et delongueur = /4 (voir figure 19).

19



1. Que vaut limpedance dentree Zin() ?

2. Que vaut la puissance delivree a` la ligne ?

3. Quelle est la tension developpee aux bornes de la charge, en z = 0 ?

4. Quelle est la puissance dissipee par la charge ?

5. Esquissez lallure de |V (z)| pour < z < 0.

6.10 Adaptation de ligne et adaptation conjuguee

On conside`re le montage de la figure 20, pour lequel on souhaite comparerplusieurs types dadaptation.

Etant donne limpedance dentree Zin = Rin+jXin et limpedance internedu generateur, Zg = Rg + jXg,

1. etablissez lexpression de la puissance delivree a` la charge ;

20


2. parmi les deux schemas dadaptation suivants : ZL = Z0 (adaptationde ligne) et Zg = Zin (adaptation de generateur), quel est celui quigarantit la plus grande puissance delivree a` ZL ?

3. Determinez la valeur de Zin pour laquelle la puissance delivree a` lacharge est maximale (adaptation conjuguee).

7 Lignes de transmission en regime transi-

toire

7.1 Propagation dune impulsion carree dans une ligne

ideale

+

Vg1 ns

1 VVg

Rg

RLZ0

ligne ideale

0z

t


Une ligne ideale dimpedance caracteristique Z0 = 50 , de longueur = 2 m et de vitesse de phase vp = 10

8 m/s est terminee sur une resistancede charge RL = 20 , et est alimentee par un generateur de resistance interneRg = 30 . Ce generateur delivre un signal sous forme dimpulsions carreesde duree = 1 ns et de tension V0 = 1 V, comme illustre a` la figure 21.

On demande

1. de tracer lallure de la tension et du courant en fonction du temps,au droit de z = 0 et z = /2. On se limitera aux deux premie`resimpulsions recues a` ces positions ;

2. de calculer la fraction de lenergie fournie au generateur qui est dissipeedans la charge RL.

21

7.2 Propagation dun echelon de tension dans une ligne

ideale

La ligne ideale de la figure 22 a pour parame`tres Z0 = 50 , = 2 m etvp = 2 10

8 m/s.Elle est terminee sur une resistance de charge RL = Z0/2, et alimentee

par un generateur de resistance interne Rg = Z0/2. Ce generateur delivre unsignal echelon damplitude 1 V.

+

0z

Vg

t = 0 Rg = Z0/2

RL = Z0/2Z0

ligne ideale


Esquissez lallure de la tension en z = en fonction du temps durantles 50 premie`res millisecondes apre`s letablissement de lechelon de tension.

7.3 Charge dun condensateur en regime transitoire

Un generateur alimente un condensateur de capacite C par lintermediairedune ligne de transmission ideale. En supposant que linterrupteur est fermeen t = 0 et que le condensateur est initialement non charge, determinezlallure de la tension V (z, t) le long de la ligne.

+

ligne ideale

0z

C

Rg = Z0

V0

t = 0

Z0


22

8 Guides dondes

8.1 Propagation dun mode TEM dans un guide dondes

coaxial

Le cable coaxial de la figure 24 a les parame`tres suivants :


rayon interieur : a = 1.2 mmrayon exterieur : b = 3.25 mmepaisseur du conducteur exterieur : d = 2 mmproprietes dielectriques a` f = 100 MHz :

r = 1.3 et

r 0conducteurs consideres parfaits.

Le cable est alimente par un signal sinusodal damplitude V0 = 500 V etde frequence f = 100 MHz. Ce signal se propage sous la forme dun modeTEM (onde progressive).

1. Esquisser lallure des lignes de champ de ~E et ~H dans une sectiontransverse.

2. Determiner les expressions des phaseurs ~E et ~H en fonction de V0 etdes parame`tres du cable. Travailler en coordonnees cylindriques.

3. Determiner lexpression et la valeur numerique de la puissance moyennetransportee par le signal, (i), en utilisant le vecteur de Poynting, (ii),en utilisant la theorie des lignes de transmission (pour rappel, Z0 =(/2)ln[b/a]).

23

8.2 Modes TM des guides dondes rectangulaires

On conside`re le guide dondes metallique de section rectangulaire de lafigure 25. Ses parois sont des conducteurs parfaits, linterieur est rempli dunisolant de permittivite electrique et de permeabilite magnetique .


Determinez les expressions de la composante Ez du champ electriquecorrespondant aux modes TM, cest-a`-dire les modes tels que Hz = 0.Remarques :

Travaillez dans le domaine frequentiel et limitez-vous a` des solutionsdondes progressives, du type Ez(x, y, z) = E0z e

z, ou` est la constantede propagation (complexe).

Une fois Ez(x, y, z) determine, il vous suffira dutiliser les relations enrotationnel pour obtenir les autres composantes :

~ ~E = j ~H Ezy

Eyz

= jHx (30)

Exz

Ezx

= jHy (31)

Eyx

Exy

= jHz (32)

~ ~H = j ~E Hzy

Hyz

= jEx (33)

Hxz

Hzx

= jEy (34)

Hyx

Hxy

= jEz (35)

8.3 Cavite resonante parallelepipedique

On conside`re un guide dondes de section rectangulaire, court-circuite a`ses deux extremites (en z = 0 et en z = d) par des conducteurs plans parfaits.

Lorsque quun mode TE10 se propage dans ce guide, il subit des reflexionsaux deux plans, ce qui se traduit par la formation dondes stationnaires.

24


1. Determinez lexpression de la frequence des modes stationnaires qui sedeveloppent dans la cavite, ainsi que lexpression de la composante ydu champ electrique correspondant.

2. Dans le cas dune cavite a` air de forme cubique (1 cm de cote), quelleest la plus petite frequence de resonance ?

Donnees : mode TE10,

Ey = E0 sin(x

a

)ejz, (36)

ou` =2 2/a2.

8.4 Mode dun guide dondes de section rectangulaire

On conside`re un guide dondes de section rectangulaire, avec a = 1.5 cmet b = 0.8 cm, et dont lespace entre les conducteurs est rempli par undielectrique de caracteristiques = 0 , r = 1 et r = 4.

On rele`ve

Hx = 2 sin(x

a

)cos

(3y

b

)cos

(1011t z

)[A/m] . (37)

Determiner

1. le mode en operation,

2. la frequence de coupure correspondante,

3. le vecteur donde ,

4. la constante de propagation .

8.5 Perturbation des modes dun guide dondes de sec-

tion rectangulaire

On inse`re une plaque metallique depaisseur negligeable dans le planmedian dun guide donde rectangulaire a` air (la plaque est positionnee eny = b/2).

25

Pour lesquels des modes suivants la repartition des champs electromagnetiquesest-elle affectee par linsertion de la plaque ?

modes TE20, TE01, TM11, TM12, TE11.

Justifiez.

8.6 Nombre de modes permis en dessous dune frequence

donnee

On conside`re un guide dondes de section rectangulaire (a = 2.5 cm etb = 1 cm) a` dielectrique ( = 0, r = 1 et r = 4) pour une application ou`lon travaille au maximum a` la frequence f = 15.1 GHz.

Combien de modes TE et TM ce guide peut-il transmettre ?

8.7 Frequence de coupure dun guide dondes de sec-

tion rectangulaire

On mesure la longueur donde du mode fondamental dun guide dondesrectangulaire a` air travaillant a` f = 15 GHz.

Si cette longueur donde est egale a` 2.5 cm, que vaut la frequence decoupure de ce mode et quelles sont les dimensions possibles du guide ?

8.8 Puissance transportee dans un guide dondes de

section rectangulaire

On conside`re un guide dondes a` air, de section rectangulaire (a = 3 cmet b = 1.5 cm), vehiculant son mode fondamental et travaillant a` la frequencef = 1.1 fc10. Sachant que le champ electrique est de la forme

Ey = E0 sin(x

a

)ejz, (38)

ou` E0 = 4 104 V/m, calculez la puissance moyenne transportee par ce mode.

8.9 Temps de parcours

Un guide rectangulaire a` air (a = 2b = 2.5 cm) a une longueur de 100 m.Le guide est alimente a` une de ses extremites par un signal consistant en uneporteuse de 10 GHz modulee par impulsions.

1. Determinez quels modes propageront ce signal.

2. Quel est le temps de parcours dune impulsion dans le guide ?

26

9 Antennes

9.1 Rayonnement dun dipole de Hertz

On souhaite estimer lordre de grandeur de la puissance electromagnetiqueabsorbee par lutilisateur dun GSM.

Pour ce faire, on modelise lantenne du telephone par un dipole de Hertztravaillant a` la frequence f = 900 MHz et on calcule la puissance rayonneedans un plan place a` 5 cm de lantenne.


Si la puissance totale demission est egale a` 0.1 W, quelle est la repartitionde la puissance rayonnee au travers du plan ?

9.2 Principe des antennes images

Comment peut-on modeliser, a` laide du principe des images, le rayonne-ment dun dipole de Hertz place au dessus dun plan conducteur connecte a`la masse ?

9.3 Antennes reseau

On conside`re deux dipoles de Hertz places paralle`lement a` une distance/4 et alimentes par des courants dephases de /2 (I2 = I1e

jpi/2).Determiner le diagramme de rayonnement correspondant dans le plan

equatorial ( = /2).


27

UNIVERSITE DE LIEGE

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

DEPARTEMENT DELECTRICITE, ELECTRONIQUE ET

INFORMATIQUE

ELECTROMAGNETISME

Seances dexercices - transparents

septembre 2012

P. Rousseaux

Institut Montefiore Bat. B28

Sart-Tilman, 4000 Lie`ge.

TP1 :

RAPPEL ANALYSE VECTORIELLEELECTROSTATIQUE - ~E et V

ELEN0076 1 - 1

vecteur :

~A = Axx+ Ayy + Az z~A

xy

z

produit scalaire :~A ~B = AxBx + AyBy + AzBz

= | ~A|| ~B| cos ~A

~B

produit vectoriel :~A ~B = (AyBz AzBy)x+ (AzBx AxBz)y

+ (AxBy AyBx)z = | ~A|| ~B| sin ~n

=

x y z

Ax Ay AzBx By Bz

n

~B

~A

ELEN0076 1 - 2

Operateur ~ :~ =

xx+

yy +

zz

uniquement en coordonnees cartesiennes

Gradient (dune grandeur scalaire) :

~A = Ax

x+A

yy +

A

zz

Laplacien (dune grandeur scalaire) :

2 = 2

x2+

2

y2+

2

z2(= ~ ~)

ELEN0076 1 - 3

Divergence (dune grandeur vectorielle) :

~ ~A = Axx

+Ayy

+Azz

Rotationnel (dune grandeur vectorielle) :

~ ~A =(Azy

Ayz

)x+ (Axz

Azx

)y + (Ayx

Axy

)z

=

x y zx

y

z

Ax Ay Az

ELEN0076 1 - 4

Coordonnees cylindriques :

r =x2 + y2 x = r cos

=arctany

xy = r sin

dx , dy , dz dr , rd , dz x

z

r

z

r

z

y

Coordonnees spheriques :r =

x2 + y2 + z2 x = r sin cos

=arctan

x2 + y2

zy = r sin sin

=arctany

xz = r cos

dx , dy , dz dr , rd , r sin dy

r

r

x

z

ELEN0076 1 - 5

ELEN0076 1 - 6

Theore`me de la divergence

V (~ ~A) d3~r = S ~A ~dS V

S

1.1 Divergence et theore`me de la divergence

Soit le vecteur ~A = x x+ y y + z z.

1. Calculez lintegrale

IS =

Sd~S ~A

sur la surface dune sphe`re de rayon R centree a` lorigine.

2. Calculez ~ ~A, ainsi que lintegrale

IV =

Vd3~r

(~ ~A

).

sur le volume de la meme sphe`re.

ELEN0076 1 - 7

Schema de resolution :

1. Coordonnees spheriques

sur la sphe`re ~A = Rr ~dS = R2 sin ddr

IS =

0

20

R3 sin dd = 4R3

2.~ ~A = Ax

x+Ayy

+Azz

=1

r2

r(r2Ar) = 3

IV =

R0

0

20

3r2 sin drdd = 4R3

ELEN0076 1 - 8

Theore`me de Stokes

S(~ ~A) ~dS = C ~A ~d CS

1.2 Rotationnel et theore`me de StokesSoit le vecteur ~A = A0 x ou` A0 est une con-stante. Calculez les integrales curvilignes sui-vantes :

I1 =

C1d~ ~A,

I2 =

C2d~ ~A.

x

C1

R

C2

BA

y

ELEN0076 1 - 9

Schema de resolution :1. sur C1 :

~d = R|d|(~) ~ = sin ~x+ cos ~yC1

~A ~d = BA

A0R sin (d)

=

0A0R sin d = 2A0R

2. sur C2 :~d = dx~x

C2~A ~d =

BA

A0dx

=

RR

A0 dx = 2A0R

3. ~A est un champ irrotationnel : ~ ~A = 0

ELEN0076 1 - 10

Champ electrique cree (dans le vide) par une charge ponctuelle q

~E =q

40r2r

~E+q r

P

par une ensemble de charges ponctuelles : application de la superposition~E =

i

qi40r2i

ri

par une charge distribuee sur un volume V

~E(~r) =1

40

V

(~r

)

|~r ~r |3(~r ~r

)d3~r

0

~rP

~r

ELEN0076 1 - 11

Equations de Maxwell relatives a` ~E, regime statique~ ~E =

0~ ~E = 0

permittivite dielectrique du vide : 0 =1

36109 = 8.85 1012 F/m

Potentiel electrique V~ ~E = 0 = ~E = ~V

V determine a` une constante pre`s.

Difference de potentiel entre deux points A et B

VA VB = AB

~E ~d = BA

~E ~d

Difference de potentiel independante du chemin choisi !

ELEN0076 1 - 12

Potentiel electrique cree (dans le vide) par une charge ponctuelle q

V =q

40r+ C

par une ensemble de charges ponctuelles : application de la superpositionV =

i

qi40ri

+ C

par une charge distribuee sur un volume V

V (~r) =1

40

V

(~r

)

|~r ~r |d3~r

+ C

0

~rP

~r

ELEN0076 1 - 13

2.2 Dipole electriqueUn dipole electrique est constitue de deux chargeselectriques damplitudes egales et de signes op-poses, distantes de d et placees dans le vide.

1. Determinez lexpression du potentiel et duchamp electrique du syste`me en un point ~r,dans la limite d |~r|.

2. Representez les lignes de champ.3. Determinez lexpression de la densite de

charge electrique .

ELEN0076 1 - 14

1.

Coordonnees spheriques Par superposition

V (r) =q

40

1

|~r1| q

40

1

|~r2|~r1 = ~r d

2z ~r2 = ~r +

d

2z

|~r1| =r2 +

d2

4 rd cos |~r2| =

r2 +

d2

4+ rd cos

Pour d r1

r2 + d2

4 rd cos 1r 12

d cos

r2

V =qd cos

40

1

r2=

p

40

z rr2

avec p = qd le moment dipolaire

ELEN0076 1 - 15

Champ electrique

~E = ~V = Vr

r 1r

V

=

p

40

(2 cos r + sin

r3

)

2. Lignes de champ et equipotentielles

Equation des equipotentielles :

p cos

40

1

r2= V0 = r =

(p cos

40V0

) 12

Lignes de champ en tout point auxequipotentielles

ELEN0076 1 - 16

3. Charge volumique = 0~ ~E

~ ~E = 1r2

r(r2Er) +

1

r sin

(sin E)

= 0

Finalement = 0 OUF !

ELEN0076 1 - 17

2.3 Distribution lineaire de chargesOn conside`re un syste`me de charges electriquesdistribuees uniformement sur une droite indefinie,avec une densite lineique L (unites : C/m).

1. Determinez lexpression du champ electriquede cette distribution(a) par integration directe,(b) en utilisant le theore`me de Gauss.

2. Determinez lexpression du potentielelectrique correspondant.

ELEN0076 1 - 18

1. Calcul du champ ~E

Par integration directe

~E(~r) =1

40

L(~r

)(~r ~r )|~r ~r |3 dz

~r = rr ~r

= z

z |~r ~r | =r2 + z2

Ez = 0 Er =L40

r

(r2 + z2)3

dz

Changement de variable z = r tan

Er =L40

/2/2

rcos3

r3r

cos2 d =

L20r

~r z

z

~r ~r

r~r

Ldz

ELEN0076 1 - 19

Theore`me de Gauss

Application du theore`me de la divergence a` lequation de Maxwell ~ ~E = 0S

~E ~dS =V

~ ~E d3~r =V

0d3~r

S

V

En pratique :

exploiter la ou les symetries du proble`me choisir de manie`re judicieuse la surface de Gauss S

ELEN0076 1 - 20

Par application du theore`me de Gauss Surface de Gauss = cylindre de hauteur h et de rayon r Par symetrie ~E = Er(r)r

S

~E ~dS =S1

~E ~dS +S2

~E ~dS =0

+

S3

~E ~dS = h0 Ldz

0

Er2rh =L h

0

Er =L

20r

S1

h

r

~E

S2

S3

ELEN0076 1 - 21

2. Calcul du potentiel V

~E = ~V = Vr

r

V = L20

ln r + C

V =L20

lnr0r+ C

C permet de fixer la valeur de V pour la dimension caracteristique r03. Lignes de champ et equipotentielles

Equation des equipotentielles :

L20

lnr0r= V0 r = r0e

20V0L

ELEN0076 1 - 22

Equipotentielles = cylindres de rayon r

Lignes de champ ~E radiales

ELEN0076 1 - 23

TP2 : ELECTROSTATIQUE

EQUATION DE LAPLACE - CAPACITE

METHODE DES IMAGES

ELEN0076 2 - 1

Resolution de proble`mes delectrostatique via lequation de Laplace

Le potentiel V satisfait a` lequation de Poisson

2V = 0

Dans une region de lespace depourvue de charges sources ( = 0), equation deLaplace:

2V = 0Methode de calcul de V dans un domaine de lespace exterieur aux charges sources:

rechercher une solution a`2V = 0 dans le domaine de lespace considere; exploiter les proprietes de symetrie pour deviner une solution; appliquer les conditions aux limites sur les frontie`res du domaine.

Theore`me dunicite

La solution a` ce proble`me est unique !

ELEN0076 2 - 2

Condensateur et capacite

Condensateur :

ensemble de deux conducteurs portant des charges egales et opposees +Q,Q,faisant natre une difference de potentiel V entre les deux conducteurs.

+Q

~E

QCapacite du condensateur :

C =Q

V

C est une constante dependant de la geometrie du syste`me (ainsi que du materiauseparant les deux conducteurs)

ELEN0076 2 - 3

Determination de la capacite dun condensateur.

Deux procedures possibles :

1. Imposer la d.d.p V entre les deux conducteurs rechercher lexpression du potentiel V et du champ electrique dans lespace

entre les deux conducteurs (equation de Laplace) en deduire la charge Q portee par les conducteurs (theore`me de Gauss)

2. Imposer la charge Q portee par les conducteurs rechercher lexpression du champ electrique dans lespace entre les deux

conducteurs (theore`me de Gauss) en deduire la d.d.p. V entre les deux conducteurs.

ELEN0076 2 - 4

2.4 Capacite du condensateur plan - Equation de Laplace

On conside`re un condensateur plan a` air dont les plateaux sont separes dune distance d.Le potentiel du plateau superieur vaut V0 volts, celui du plateau inferieur vaut 0 volt.

1. En partant de lequation de Laplace, determinez les expressions du potentiel et duchamp electrique entre les deux plateaux. On negligera les effets de bord.

2. Quelle est lexpression de la charge surfacique portee par le plateau superieur ?

3. Determinez lexpression de la capacite de ce syste`me.

ELEN0076 2 - 5

1. Calcul du potentiel V

z

V0

Q

+Q

~E

d

Effets de bord negliges : ~E = Ez(z)z, V = V (z) Domaine de lespace : 0 z d Conditions aux limites :

V = 0 pour z = 0V = V0 pour z = d

Solution generale de2V :2V

z2= 0 V (z) = Az +B

Application des conditions aux limites : V = 0 pour z = 0 : B = 0 V = V0 pour z = d : A = V0

d

V (z) = V0z

d ~E = V0

dz

ELEN0076 2 - 6

2. Charge surfacique:

~E est nul en tout point exterieur au condensateur Application du theore`me de Gauss sur un parallelipipe`de de base S 0 et

entourant la plaque superieure du condensateur

0E S = QS , 0E =QSS

limS0

(QSS

) = S 0E = S

S = 0V0d

3. Capacite

Q = S S = 0V0S

d C = Q

V0=0S

d

ELEN0076 2 - 7

2.5 Capacite dun cable coaxial

Un cable coaxial est constitue de deux conducteurs de meme axe et de rayons respectifsa et b, avec b > a. Les conducteurs sont separes par un milieu isolant de permittiviteelectrique .

1. Determinez lexpression de la capacite unitaire du syste`me.

2. Donnez-en une valeur numerique dans le cas suivant : le rayon exterieur est egal a`b = 0.5 cm, le conducteur interieur a une section de 1 mm2 et la permittivite relativedu dielectrique vaut r = 2.5.

ELEN0076 2 - 8

1. Capacite du syste`me Recherche du potentiel V dans lespace separant les deux conducteurs

Resolution de lequation de Laplace

2V = 0 pour a r b avec V = V (r) et{V = V0 pour r = aV = 0 pour r = b

Coordonnees cylindriques1

r

r(rV

r) = 0 V

r=A

r V = A ln r +B

r = a : V0 = A ln a+B

r = 0 : 0 = A ln b+B

V =V0

ln a/blnr

b

~E = ~V = Vr

r =V0

ln b/a

1

rr

ELEN0076 2 - 9

Determination de la densite de charge lineique L portee par le cylindre interieurApplication du theore`me de Gauss sur la surface dun cylindre de rayon a r bet de hauteur h = 1m

2rEr = L Er =L2r

Expression identique a` celle du conducteurlineique !Remplacant Er = f(V0) :

L =2V0ln b/a

b LLa

r

C =LV0

=2

ln b/a

2. Numeriquement :C = 63.7 pF/m

ELEN0076 2 - 10

Lignes de champ et equipotentielles

~E

+

+

~E = 0-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

-

-

+

+

+

+

+

+

+

++

~E = 0

ELEN0076 2 - 11

2.6 Deux lignes chargees paralle`les

On conside`re deux lignes uniformement chargees, portant respectivement une chargelineique L etL, placees paralle`lement dans le vide a` une distance d lune de lautre.

1. Determinez lexpression du potentiel electrique du syste`me.

2. Esquissez lallure des courbes equipotentielles et des lignes de champ electrique.

z

d ~r

~r+

L

L

P (0, y, z)

x

y

ELEN0076 2 - 12

1. Expression du potentiel V

Application de la superposition

V (x, y, z) = V+ + V =L20

ln|~r||~r+| + C

=L20

ln

y2 + (z + d2)

2y2 + (z d2)2

+ C

Si C = 0 : V 0 pour P 2. Equation des equipotentielles

Donnees par :

|~r||~r+| =

y2 + (z + d2)

2y2 + (z d2)2

= a

ELEN0076 2 - 13

V = 0

V < 0

V > 0

y

z

y2+

(z d

2

a2 + 1

a2 1)2

= (da

a2 1)2

Equation de cercles de rayon da|a21|et de centre (0, d2

a2+1a21)

ELEN0076 2 - 14

2.7 Distribution lineique de charges au dessus dun plan conducteur : applicationde la methode des images

Une ligne uniformement chargee (densite de charge L) est placee paralle`lement a` unplan conducteur dextension infinie, a` une distance h de celui-ci.

1. Determinez les expressions du potentiel V et du champ electrique ~E au dessus duplan conducteur.

2. Determinez la charge electrique induite par unite de surface dans le plan conducteur.

3. A partir du principe de superposition, determinez les valeurs du champ electrique auxpoints A et B du plan.

B

+L

V = 0

z

y

h

h

A

ELEN0076 2 - 15

Proble`me :Resoudre 2V = 0 dans le domaine z 0

avec les conditions limites

{V 0 pour y, z V = 0 pour z = 0

En labsence de plan conducteurV =

L20

lnr0

y2 + (z h)2satisfait2V = 0 mais pas la condition limite V = 0 (equipotentielles = cerclesconcentriques a` L)

Par contre, le potentiel

V =l

20ln

y2 + (z + h)2y2 + (z h)2

satisfait a` lequation de Laplace et aux conditions limites dans le domaine z 0 En vertu du theore`me dunicite, cest la solution du proble`me !

ELEN0076 2 - 16

Methode des images

L

y

z

V = 0

+L

d = 2h Le potentiel solution est equivalent a` celui cree pardeux charges lineiques paralle`les separees dunedistance d = 2h.

Le plan conducteur est remplace par une charge L , image de la charge L parrapport au plan, de manie`re a` satisfaire les conditions limites sur le plan.

ELEN0076 2 - 17

Champ electrique :~E = ~V = V

yy V

zz

=L20

(yy + (z h)zy2 + (z h)2

yy + (z + h)z

y2 + (z + h)2

) Densite de charge surfacique sur le plan conducteur :

S = n 0 ~E|z=0 = 0| ~E|z=0 = L

h

y2 + h2

On observe :

S(y)dy = L !

V = 0 n~E|z=0

L

ELEN0076 2 - 18

Lignes de champ :

V = 0

y

z

ELEN0076 2 - 19

Champ ~E aux points A et BPar superposition des champs crees par la charge L et son imageL

L

BA

~E1~E2

~E2~E1

+L

en A :

~E1 du a` L :L

20h(z)

~E2 du a` L : L20h

(z)

~E = ~E1 + ~E2 =L0h

z

en B :

~E1 du a` L :L20

(y z)2h

~E2 du a` L : L20

(y z)2h

~E = ~E1 + ~E2 =L20h

z

ELEN0076 2 - 20

TP3 : ELECTROSTATIQUE

METHODE DES IMAGES - POLARISATION

ELEN0076 3 - 1

2.8 Ligne a` proximite dun conducteur cylindrique

On conside`re une ligne uniformement chargee (charge lineique L) placee paralle`lementa` un conducteur cylindrique plein de rayon a, porte a` un potentiel nul.

Determinez lexpression du potentiel electrique du syste`me.

V = 0

a L

d

ELEN0076 3 - 2

Proble`me :Resoudre 2V = 0 dans le domaine r a


{V Cte pour r V = 0 pour r = a

Application de la methode des images placer une charge lineique imageL de facon a` obtenir une equipotentielleV = 0 pour r = a, surface du cylindre conducteur

lemplacement de la charge image d doit permettre de satisfaire cette condition

ELEN0076 3 - 3

a

0

d

L

d

L

P

~r~r+

~r

V = 0

A B

Forme generale du potentiel :

V (~r) =L20

ln|~r||~r+| + C

Conditions en r = a :au point A : L20 ln

d

+ad+a + C = 0

au point B : L20 lnadda + C = 0

}{

d

= a2

d

C = L20 lnda

ELEN0076 3 - 4

Solution du proble`me en coordonnees polaires :

V =

{L20

lnr2d2+a42ra2d cos r2a2+a2d22ra2d cos pour r a

0 pour r < a

Lignes de champ et equipotentielles :

L

ELEN0076 3 - 5

Autres geometries qui presentent la meme configuration image:Deux cylindres paralle`les

LCharge lineique a` linterieur dun cylindre creux

Remarque :Si d a on a d a : on peut supposer la charge image placee au centre duconducteur cylindrique.

ELEN0076 3 - 6

2.9 Capacite unitaire dune ligne bifilaire

On conside`re une ligne bifilaire, constituee de deux conducteurs cylindriques de rayon aplaces paralle`lement a` une distance d lun de lautre.

En supposant que d a, etablissez lexpression de la capacite electrique par unite delongueur du syste`me.

ELEN0076 3 - 7

Soient L etL les densites de charges portees par les deux conducteurs Methode des images : remplacer les conducteurs par deux charges lineiques a`

placer a` linterieur des deux conducteurs

Hypothe`se : d a les charges images sont supposees placees au centre dechaque conducteur

a

L

L

B

Ad

a Potentiel du conducteur L evalue au point A :

V+ =L20

lnd

a+ C

Potentiel du conducteur L evalue au pointB :

V =L20

lna

d+ C

Difference de potentiel entre les deux conducteurs :

V = V+ V = L0

lnd

a C = L

V=

0ln d/a

ELEN0076 3 - 8

2.10 Capacite dun syste`me compose dun conducteur cylindrique et dun planconducteur

On conside`re un cylindre conducteur place paralle`lement a` un plan conducteur. Lecylindre est porte au potentiel V0, le plan conducteur est relie a` la masse.

Determinez la capacite unitaire du syste`me.

ELEN0076 3 - 9

Recherche du potentiel. Proble`me :Resoudre 2V = 0 dans le domaine r a, z > 0


{V = 0 pour z = 0V = V0 pour r = a

Application de la methode des images :Le cylindre conducteur et le sol sont remplaces par deux charges image lineiquesportant les densites de charges L etL et placees a` linterieur des conducteurs

ELEN0076 3 - 10

aA

B

hd

L

Ld

Forme generale du potentiel :

V =L20

lnrr+

+ C

Il faut :

V (z = 0) = 0 h d = dd

2 etC = 0

V (A) = V (B) = V0L20

lnd aa d =

L20

lnd+ a

a+ d

d = a2/d

V0 =L20

lnd

a=

L20

lnh+

h2 a2a

C =20

ln h+h2a2a

ELEN0076 3 - 11

Polarisation electrique

Dans un milieu dielectrique, sous lapplication dun champ electrique :

des dipoles elementaires se creent et/ou sorganisent pour sorienter dans le sens duchamp electrique applique = polarisation

apparition de charges liees distribuees en volume pol et de charges lieesdistribuees en surface pol : charges liees ou de polarisation

Soit ~P le moment dipolaire par unite de volume, on a :pol = ~ ~Ppol = ~P n

ELEN0076 3 - 12

Vecteur deplacement electrique ~D :~D = 0 ~E + ~P

~ ~D = ~ (0 ~E + ~P ) = (libres + pol) pol = libres Dans un milieu lineaire, homoge`ne et isotrope

~P = 0~E

~D = 0(1 + ) ~E = 0r ~E = ~E

est la susceptibilite electrique du milieur est la permittivite relative du milieu est la permittivite electrique du milieu

ELEN0076 3 - 13

3.2 Condensateur plan

+ + pol,1 + pol,2

0

~E~E

On conside`re un condensateur plan (a` dielectrique, de permittivite ) dont les plateauxont une surface S et sont separes de d. Le condensateur est soumis a` une difference depotentiel de V0 volts.

1. Determinez les expressions de la densite de surface des charges libres, , de ladensite de surface des charges liees, pol1,2 , et du champ electrique ~E regnantentre les plateaux.

2. Deduisez-en lexpression de la capacite C du condensateur.

3. Calculez les valeurs numeriques de , pol1,2

,~E et C dans les deux cas suivants :

(a) S = 1 mm2, d = 1 mm, V0 = 10 V et r = 1 (air),(b) S = 1 mm2, d = 1 mm, V0 = 10 V et r = 6 (mica).

ELEN0076 3 - 14

Expression du potentiel et du champ electrique dans le condensateur: voir exercice2.4 (effets de bord negliges)

V =V0dz ~E = V0

dz

charges liees induites par polarisation milieu lineaire homoge`ne et isotrope : ~P = 0~E charges liees induites en volume pol = ~ ~P = 0 charges liees induites en surface

+

+

+

+

+

+

++

++

++

+

+

+

+

+

+

libres + pol,2

libres + pol,1

0

~E

pol,1

libres

libres

pol,2

~E

pol1 =~P n = P = 0E pol2 = ~P n = P = 0E

ELEN0076 3 - 15

A la surface de la plaque superieure :

0E = libres + pol,1 libres = 0( 1 + )E = E = V0d

Pour V0 (ou E) fixe, la presence du dielectrique permet daugmenter les chargeslibres stockees sur les plateaux du condensateur

Pour libres fixe, la presence du dielectrique permet de reduire la champ electriquenecessaire

Capacite du condensateur :

C =QlibresV0

=SlibresV0

=S

d

ELEN0076 3 - 16

Valeurs numeriques :E = 104 V/m

1. Condensateur a` air :Polarisation negligeable

libres = 0E = 8.85 108 C/m2 pol,1 = pol,2 = 0

C = 8.85 103 pF

2. Condensateur a` dielectrique de permittivite Charges libres et charges liees induites par polarisation

libres = E = 53.12 108 C/m2 pol,1 = pol,2 = 44.27 108 C/m2

C = 53.12 103 pF

ELEN0076 3 - 17

3.3 Condensateur a` deux dielectriques

d1= d1 + d2

z

~Ed2

0

d2

On conside`re un condensateur plan dont lapartie isolante est constituee de deux couchesdielectriques. La premie`re couche est de lair(r = 1) et a une epaisseur d1 = 0.1 mm. Ladeuxie`me couche est composee de mica (r = 6)et a une epaisseur d2 = 0.9 mm. La surface desplateaux vaut S = 1 cm2 et leur separation vautd = 1 mm. Le condensateur est soumis a` unedifference de potentiel constante, V0 = 2.5 kV.

1. Determinez la valeur champ electrique dans chacune des couches de la partieisolante. Le condensateur peut-il claquer ? (Champ de rupture de lair :Erupt = 2.7 MV/m, champ de rupture du mica : Erupt = 14 MV/m).

2. Determinez la capacite du condensateur.

ELEN0076 3 - 18

Q

Q

~E2

~E2

~E1~E1

~E = 0

~E = 0

0

ELEN0076 3 - 19

Soit Q,Q la charge portee par les deux armatures du condensateur Champ electrique ~E = E(z)z dans lair (d2 < z < d) : application du theore`me de Gauss autour de larmature

1 (surface de Gauss = parallelipipe`de de base S) :

S0E1 = Q ~E1 = QS0

z

dans le dielectrique (0 < z < d2) : application du theore`me de Gauss autour delarmature 2 :

SE2 = Q ~E2 = QS

z

Verification : application du theore`me de Gauss autour de linterface entre lair etle materiau dielectrique

S0E1 + SE2 = 0pas de charge libre sur la surface de separation des deux milieux

ELEN0076 3 - 20

Difference de potentiel V0 :

V0 = 12

~E ~d = d20

E2 dz +

d1+d2d2

E1 dz = Q(d2S

+d10S

)

Capacite du syste`me :C =

1d2S +

d10S

=1

1C2

+ 1C1

Expression de E1 et E2 en fonction de V0

E1 =V0d

1

1 d2d (1 0 )E2 =

V0d

1

1 d1d (1 0 )

ELEN0076 3 - 21

zz

E

dd2dd2

V

Valeurs numeriques :E1 = 10 000 kV/m E2 = 1667 kV/m C = 3.54 pF

Claquage ?E1 > Eruptair la couche dair claqueV0 applique a` la couche de dielectrique d2

E

2 =V0d2

= 2778 kV/m < Eruptdie C

=S

d2= 5.57 pF

ELEN0076 3 - 22

TP4 : MAGNETOSTATIQUE

ELEN0076 4 - 1

Loi de Bio-Savart

Induction magnetique produite par un conducteur parcouru par un courant I continu(dans le vide) :

~B

0

~rP~r

Id~

I~B(~r) =

04

Id~ (~r ~r )|~r ~r |3

Pour une distribution volumique de courant ~J(~r)

0

~J

~r P

~r

~B(~r) =04

~J(~r ) (~r ~r )|~r ~r |3 d

3~r

ELEN0076 4 - 2

Champ magnetique dans le vide :

~H =~B

0

0 = 4 107 H/m : permeabilite magnetique du vide

Champ magnetique dans un materiau :

~H =~B

=0r H/m : permeabilite magnetique du materiau

Equations de Maxwell relatives a` ~B et ~H , regime statique~ ~B = 0 (pas de charge magnetique)

~ ~H = ~J

ELEN0076 4 - 3

4.2 Champ magnetique produit par une boucle de courant

On conside`re une boucle de courant de rayon a parcourue par un courant continu I .

Etablissez, par integration directe, lexpression du champ magnetique produit le long delaxe de la boucle.

Schema de resolution

Coordonnees cylindriques Application de la loi de Bio-Savart :

r~r

~rI

I ~d

~r ~r

x

z

y

~H =I

4

~d ~r ~r

|~r ~r |3~r = zz ~r

= ar ~d = a d

Hr = 0 Hz =a2I

2(a2 + z2)3/2

ELEN0076 4 - 4

Lignes de champ magnetique

ELEN0076 4 - 5

4.3 Conducteur rectiligne indefini

On conside`re un conducteur rectiligne infiniment long, parcouru par un courant continu I .

Etablissez lexpression du champ magnetique du syste`me, des trois facons suivantes :

1. en integrant la relation de Biot-Savart,

2. a` partir du potentiel vecteur ~A,

3. en utilisant le theore`me dAmpe`re.

ELEN0076 4 - 6

1. Application de la loi de Bio-Savart

~H =I

4

~d (~r ~r

)

|~r ~r |3~r = rr ~r

= zz |~r ~r | =r2 + z2

I ~d = I dz z

H =I

4

r

(r2 + z2)3

dz =I

2r

voir exercice 2.2 pour le calcul de lintegrale

~H =I

2r~

z

I ~d

~r

~r r

~r ~r

z

ELEN0076 4 - 7

Potentiel vecteur ~A

~ ~B = 0 ~B = ~ ~A~A est defini a` une fonction scalaire pre`s.

Si on impose ~ ~A = 0, on derive une equation similaire a` lequation de Poisson :2 ~A = 0 ~J

Expression du potentiel vecteur pour une distribution de courant ~J

~A(~r) =04

~J(~r )|~r ~r |d

3~r

ELEN0076 4 - 8

Theore`me dAmpe`re

Application du theore`me de Stokes a` lequation de Maxwell ~ ~H = ~JS(~ ~H) ~dS =

C~H d~ =

S

~J ~dS

En pratique :

exploiter la ou les symetries du proble`me choisir de manie`re judicieuse le contour C

ELEN0076 4 - 9

2. A partir du potentiel vecteur

~A =04

Idzr2 + z2

divergente

calculer ~A pour un troncon [L,L] en un point P du plan median z = 0

~A =04

LL

Idzr2 + z2

z

=04

2

L0

Idzr2 + z2

z

=0I

2ln

(L

r+

(L

r)2 + 1

)z

Pour Lr on a ~A 0I2 ln 2Lr z

z

I dzz

L

L

~r

~r r

~r ~r

z

ELEN0076 4 - 10

Induction ~B~B = ~ ~A = Az

r =

0I

2r ~H = I

2r~

3. Application du theore`me dAmpe`re : contour = cercle de rayon r

Par symetrie : ~H = H(r)

I =

C~H ~d = 2rH(r)

H(r) =I

2r

S

~HC

I

r

ELEN0076 4 - 11

4.4 Champ magnetique produit par un solenode a` air

Un solenode a` air est constitue dun fil conducteur enroule en forme de cylindre de rayona et comporte n tours de fil conducteur par me`tre de longueur. La longueur dusolenode est supposee beaucoup plus grande que son rayon a. Determinez lexpressionde linduction magnetique creee par ce solenode en tout point interieur et exterieureloigne de ses extremites. On exploitera judicieusement les hypothe`ses et symetries duproble`me.

ELEN0076 4 - 12

S3

r

S1

S2

ELEN0076 4 - 13

Effets de bord negliges, symetrie cylindrique : figure (a)~H = Hr(r)r +H(r) +Hz(r)z

montrons que Hr = 0 : par integration de ~ ~B = 0 sur le volume dun cylindreconcentrique

V

~ ~B d3~r = 0 =S

~B ~dS

S0 ~H d~S =

S1

0HzdS S2

0HzdS =0

+

S3

0HrdS

= 02rHr = 0 Hr = 0 rcar Hz independant de z

ELEN0076 4 - 14

montrons que H = 0 r : figure (b)application du theore`me dAmpe`re pour r < a

C1~H ~d =

S1

~J ~dS = 02rH = 0 H = 0

pour r > a C2

~H ~d =S2

~J ~dS = 02rH = 0 H = 0

On suppose que les lignes de courant sont parfaitement circulaires

ELEN0076 4 - 15

ELEN0076 4 - 16

Determination de Hz par application du theore`me dAmpe`re : figure (c) pour r > a

DCCD

~H ~d = Hz(r2)Hz(r3) = 0

Hz(r2) = Hz(r3) = Cte r2, r3 > aOr Hz = 0 pour r Hz = 0 r > a

pour r < a ABCD

~H ~d = Hz(r1)Hz(r2) = nI

Hz(r2) = 0 Hz(r1) = nI r1 < a

ELEN0076 4 - 17

4.5 Conducteur de section circulaire

On conside`re un conducteur de rayon a parcouru par un courant continu I .

Etablissez lexpression du champ magnetique

1. a` linterieur du conducteur,

2. a` lexterieur du conducteur.

~J z

ELEN0076 4 - 18

Effets de bord negliges : ~H = H(r) Application du theore`me dAmpe`re sur un cercle de rayon r a` linterieur du conducteur r < a

C~H ~d =

S

~J ~dS

densite de courant : ~J = Ia2

z

a~J

~Hr2rH(r) = I

r2

a2

H(r) =I

2

r

a2

~H =I

2

r

a2 ~B =

cI

2

r

a2

ELEN0076 4 - 19

a` lexterieur du conducteur r > a

a~J

~H

r

2rH(r) = I

H(r) =I

2r

~H =I

2r ~B =

0I

2r

ELEN0076 4 - 20

Flux dinduction magnetique

Flux dinduction magnetique a` travers une surface S:

S =

S

~B ~dS

Flux embrasse par une boucle de courant : flux dinduction magnetique a` travers lasurface limitee par la boucle de courant

~dS~B

~B~B

I

= S

Pour un circuit a` N spires (parcourues par un memecourant I):

= NS

ELEN0076 4 - 21

Inductance

Inductance du circuit : (syste`me lineaire)

L =

I

Definition alternative de linductance : syste`me capable de stocker une energiemagnetique

Energie magnetique stockee dans un volume V

WM =1

2

V

~B ~Hd3~r = 12LI2

L =2WMI2

ELEN0076 4 - 22

4.6 Inductance dun cable coaxial

On conside`re un cable coaxial de longueur infinie alimente par un courant continu I . Sescaracteristiques geometriques sont les suivantes :

rayon du conducteur interieur : arayon interieur du conducteur exterieur : brayon exterieur du conducteur exterieur : cpermeabilite du milieu isolant : 0permeabilite du conducteur : c

Determinez lexpression du champ magnetique produit dans les differentes regions ducable, ainsi que son inductance unitaire.

ELEN0076 4 - 23

Expression du champ magnetique par application du theore`me dAmpe`re : contour =cercle de rayon r

C~H ~d =

S

~J ~dS

densite de courant : ~Jint = Ia2 z,~Jext =

I(c2b2) z

a` linterieur du conduteur interieur : r < a

~Jint

~Hr

a

~H1 =I

2

r

a2 ~B1 =

cI

2

r

a2

voir exercice 4.5

ELEN0076 4 - 24

entre les deux conducteurs : a < r < b~H

~Jint

a

r

~H2 =I

2r ~B2 =

0I

2r

voir exercice 4.5

a` linterieur du conducteur exterieur: b < r < c

~Jint

~Jextb

~H

r

2rH(r) = I(1 (r2 b2)

(c2 b2) )

~H3 =I

2r(1 r

2 b2c2 b2 )

~B3 =cI

2r(1 r

2 b2c2 b2 )

a` lexterieur du conducteur exterieur : r > c~H = ~B = 0 Blindage !

ELEN0076 4 - 25

Evolution de ~H en fonction de r

Inductance : composee de trois parties Lcint : inductance liee au champ magnetique present dans le conducteur

interieur Lcext : inductance liee au champ magnetique present dans le conducteur

exterieur Li : inductance liee au champ magnetique present dans lespace compris entre

les deux conducteurs

ELEN0076 4 - 26

Determination de Li : recherche du flux total embrasse par la spire de courant (pour1 m de longueur)

S

I

I

~H

=

S

~B2 ~dS = 0I2

ba

dr

r=0I

2lnb

a

Li =

I=

02

lnb

aH/m

ELEN0076 4 - 27

Determination de Lcint : recherche de lenergie magnetique emmagasinee dans 1 mde conducteur

WM =1

2

V

~B1 ~H1d3~r = cI2

16

Lcint =2WMI2

=c8

H/m

Determination de Lcext : recherche de lenergie magnetique emmagasinee dans 1 mde conducteur

WM =1

2

V

~B3 ~H3d3~r = cI2

4

(c4

(c2 b2)2 lnb

c

14b

2 34c2c2 b2

)

Lcext =c2

(c4

(c2 b2)2 lnb

c

14b

2 34c2c2 b2

)H/m

ELEN0076 4 - 28

4.7 Inductance dune ligne bifilaire

On conside`re une ligne bifilaire, cest-a`-dire une ligne constituee de deux conducteursrectilignes de rayon a separes de d et parcourus par des courants continus egaux etopposes.

Determinez linductance unitaire de la ligne.

Schema de resolution

L = Li + Lc1 + Lc2 Lc1 = Lc2 = c8

ELEN0076 4 - 29

Li determine a` partir du calcul du flux total embrasse par la boucle de courant (1mde longueur)

~H est suppose nul en dehors de lespace separant les deux conducteurs dans lespace entre les deux conducteurs :

H(x) =I

2x+

I

2(d x)

I IH

H+a

d

x

I

I

~H

=0I

2

daa

(1

x+

1

d x)dx =0I

lnd aa

Li =0lnd aa

H/m

ELEN0076 4 - 30

TP5 : CONDUCTANCE - PERTES

CHAMPS VARIABLES

ELEN0076 5 - 1

Conductance dun condensateur

En regime statique : liee au courant de conduction

~J = ~E

est la conductivite du materiau dielectrique qui separe les deux conducteurs.Par definition, pour une difference de potentiel V et un courant total I traversant lemateriau dielectrique:

QVCS ~J ~E

+QI = GcV Gc = I

V=

S~J ~dS

C ~E ~dS = surface fermee qui entoure un des conducteursC = chemin qui joint les deux conducteurs

On observeGcC

=

avec C la capacite du condensateurPertes associees a` Gc = pertes Joule

ELEN0076 5 - 2

Methode de calcul : similaire a` celle dune capacite

1. Imposer la d.d.p V entre les deux conducteurs rechercher lexpression du potentiel V et du champ electrique dans lespace

entre les deux conducteurs (equation de Laplace) en deduire le courant I traversant le condensateur

2. Imposer le courant I rechercher lexpression du champ electrique dans lespace entre les deux

conducteurs en deduire la d.d.p. V entre les deux conducteurs.

ELEN0076 5 - 3

5.1 Reacteur chimique a` electrodes spheriques

Un reacteur chimique est constitue de deux electrodes spheriques concentriques derayons respectifs a = 1 cm et b = 3 cm. Le reacteur est rempli dun liquide depermittivite relative r = 78 et de conductivite = 3 S/m. En regime, le reacteur estparcouru par un courant continu.

Determinez la resistance electrique de ce reacteur.

ELEN0076 5 - 4

Coordonnees spheriques Recherche du potentiel V dans lespace entre les deux conducteurs : V = V (r) Proble`me :

Resoudre 2V = 0 dans le domaine a r b


{V = V0 pour r = aV = 0 pour r = b

1

r2

r(r2

V

r) = 0 V = A

r+B

C.L V = V01r 1b1a 1b

Champ electrique ~E~E = ~V = V

rr =

V01a 1b

1

r2r

ELEN0076 5 - 5

Courant total I

S

Gc V0

I

V0~J

~J = ~E =V01a 1b

1

r2r = J(r)r

I =

S

~J ~dS = V01a 1b

4

S = surface dune sphe`re de rayon r

Conductance Gc et resistance :

Gc =I

V0=

41a 1b

Rc = 1Gc

=1

4(1

a 1b)

ELEN0076 5 - 6

Champs variables - Pertes totales

Pour des champs variables : apparition de pertes liees a` la polarisation dudielectrique : pertes dues a` la friction entre les dipoles induits par la polarisationCes pertes sont modelisees a` lechelle microscopique par lajout dune partie imaginaire a` la permittivite :

= j pol

a` lechelle macroscopique par une conductance Gpol Prise en compte a` la fois des pertes par effet Joule et de polarisation : permittivite effective :

= j(pol +

) =

jtot conductance totale equivalente :

G = Gc +Gpol

ELEN0076 5 - 7

Admittance equivalente dun condensateur

Exemple : condensateur plan

G C Y = j Sd =Sd +

polS

d + j

Sd =

totSd + j

Sd

= Gc +Gpol + jC = G+ jC

Pour une geometrie differente : f(d) facteur dependant de la geometrie des conducteurs(C plan : f(d) = Sd )

Y = jf(d) = f(d) +

polf(d) + j

f(d) =

totf(d) + j

f(d)

= Gc +Gpol + jC = G+ jC

ELEN0076 5 - 8

5.2 Condensateur avec pertes

Determinez la conductance dun condensateur plan au mica aux frequences f1 = 50 Hzet f2 = 1 GHz. Les caracteristiques du condensateur sont les suivantes

Surface des plateaux : S = 10 cm2

Separation des plateaux : d = 0.1 cmConductivite du mica : = 1015 S/mProprietes dielectriques a` f = 50 Hz :

= 6 0 et pertes dielectriques negligeablesProprietes dielectriques a` f = 1 GHz :

= 6 0 et

tot = 1.6 103 0.

ELEN0076 5 - 9

1. a` 50 Hz

G = Gc =S

d= 1015 S , Gpol negligeable

2. a` 1 GHz

G = Gc +Gpol = (

pol +

)S

d=

tot

S

d= 89 106 S

On remarque quen hautes frequences, Gc represente une partie negligeable de laconductance totale.

ELEN0076 5 - 10

5.3 Blindage electriqueUn ecran metallique est place entre les deux plateaux dun condensateur a` air.

Le syste`me est alimente par un generateur detension sinusodale (amplitude de tension V0,frequence f ). Au moment du montage et avantla mise en service du generateur, lecran estnon-charge. La surface des plateaux est egalea` S.

Determinez

a. les courants I1 et I2,

b. lallure des lignes de champ electrique,c. la distribution des charges sur lecran,

dans chacun des deux cas suivants :

1. lecran est a` un potentiel flottant (il est isole galvaniquement des autres elements dusyste`me),

2. lecran est relie a` la masse.

ELEN0076 5 - 11

1. Ecran a` un potentiel flottant

Circuit electrique equivalent

+

R

I2I1

C/2

CCV

R

Lecran forme avec les deux plaques deux condensateurs de capacite C = 0Sdconnectes en serie.

I1 = I2 =V0

2R+ 2jC

ELEN0076 5 - 12

Lignes de champ

-

~E = 0 a` linterieur de lecran

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

La charge totale sur lecran reste nulle.Conclusion : lecran nempeche pas lelectrisation du plateau droit du condensateurpar le plateau gauche.

ELEN0076 5 - 13

2. Ecran relie a` la masse

Circuit electrique equivalent

+

C C

R

I2I1V

R

I2 = 0 I1 =V0

R+ 1jC

ELEN0076 5 - 14

Lignes de champ

-

les charges circulent via la masse

-

-

-

-

-

-

-

Conclusion : lecran remplit son role de blindage, letat electrique du plateau droit nedepend plus de celui du plateau gauche.

ELEN0076 5 - 15

5.4 Pertes dun bobinage : variation en fonction de la frequence

On conside`re un bobinage a` noyau ferromagnetique. Comment varient les pertessuivantes en fonction de la frequence ?

1. Les pertes par hysteresis.

2. Les pertes dues aux courants de Foucault.

Dans chaque cas, on exprimera la puissance dissipee P sous la forme P fn, ou` n estla puissance algebrique correspondante.

ELEN0076 5 - 16

1. Pertes par hysteresisEnergie dissipee par cycle dans le materiau

cycleH dB

Pour 1 s : f cycles

Physt f2. Pertes dues aux courants de Foucault

F.e.m creee par la variation du flux : V = ddt fPertes donnees par RI2 = V

2

R avec R la resistancedu materiau

PFoucault f2

ELEN0076 5 - 17

TP6 : ONDES

ELEN0076 6 - 1

Ondes planes, milieu lineaire, homoge`ne et isotrope non dissipatif

Equations dondes : milieu depourvu de sources ( et ~J )

2 ~E 2 ~E

t2= 0 2 ~H

2 ~H

t2= 0

Solution generale : onde plane progressive, polarisation transverse, regimeharmonique

~E(z, t) = E0 cos(t kz)x = E0 cos(k(z vt))x~H(z, t) = E0

k cos(t kz)y

(~ ~E = ~Ht

) Caracteristiques de la propagation nombre donde : k = , vitesse de propagation : v = k = 1 impedance caracteristique du milieu de propagation

=ExHy

=

k=

ELEN0076 6 - 2

Dans le vide :

v = c =100

= 3108 m/s = 0 =00

= 377

Densite de puissance transportee : vecteur de Poynting :

~S(z, t) = ~E ~H = E20

cos2(t kz)z (W/m2)

Transport de puissance selon z

x~S

~H

~E

z

y

ELEN0076 6 - 3

Dans le domaine frequentiel : emploi des phaseurs~E(z, t) = Re{E0ej(tkz)x} = Re{ ~E(z)ejt} avec ~E(z) = E0ejkzx equations dondes :

2 ~E + 2 ~E = 0 2 ~H + 2 ~H = 0 champs

~E(z) = E0ejkzx ~H(z) =

E0ejkz y

densite de puissance moyenne transportee

~S = 1T

T

~S(z, t)dt =1

2Re{ ~E ~H} = E

20

2z

ELEN0076 6 - 4

5.5 Puissance solaire recue par Mercure

La puissance du rayonnement solaire frappant la surface de Mercure vautapproximativement S = 0.87 W/cm2.

1. En supposant que les ondes electromagnetiques sont emises par le soleil de faconisotrope, estimez la puissance totale rayonnee par le soleil.

2. En assimilant le rayonnement a` la surface de mercure a` une onde plane, estimez lavaleur efficace du champ electrique produit par ce rayonnement.

Donnee : distance Mercure - Soleil, d = 60 Gm.

ELEN0076 6 - 5

Densite de puissance du rayonnement emis a` une distance d = 60 109 m =amplitude du vecteur de Poynting |~S|

Puissance totale emise :

P =

S

~S ~dS = 4d2|~S| = 3.94 1026 W

S = surface dune sphe`re de rayon d centree sur le soleilLa puissance totale emise est la meme quelle que soit la distance d consideree :milieu non dissipatif

Ondes planes a` la surface de Mercure : intensite du vecteur de Poynting :

|~S| = E20

20= 0.87 104 Erms = E0

2= 1.8 103 V/m

ELEN0076 6 - 6

Ondes planes dans un milieu dissipatif

Permittivite effective =

jtot Nombre donde : jk = j = + j Impedance intrinse`que du milieu:

=

= r + jx = ||ej

ELEN0076 6 - 7

Champs :~E = E0e

jkzx = E0ezejzx

~H =E0ejkz y =

E0|| e

zejzej y

~E(z, t) = E0ez cos(t z)y

~H(z, t) =E0|| e

z cos(t z )y

Coefficient dattenuation , vitesse de phase v = /

ELEN0076 6 - 8

Milieux bons conducteurs : effet de peau

Hypothe`ses : pol 0 , Nombre donde :

jk (1 + j)

2= (1 + j)

1

=

2 : epaisseur de peau

Coefficient dattenuation = 1/ f : dispersion ! Vitesse de phase : v = f Impedance :

= Zs 1 + j

= Rs + jLs

ELEN0076 6 - 9

5.6 Absorption dune onde plane par une plaque de cuivre

Une onde plane de frequence f = 1 GHz se propage dans lair et frappe une plaque decuivre, a` incidence normale.

z

Si

Hi

Ei

cuivre, 0, 0, vide, 0, 0, = 0

Sr

ErHr

Et

Ht

St x

y

Sachant que la valeur de crete du champ electrique de londe incidente vautE0 = 1 V/m et que la conductivite electrique du cuivre vaut = 58 106 S/m,determinez la valeur moyenne de la puissance absorbee par unite de surface par lecuivre.

ELEN0076 6 - 10

Reflexion et transmission dune onde plane a` incidence normale sur un planconducteur

3 ondes planes a` incidence normale sur la paroi du conducteur :

Onde incidente : se propage selon +z~Ei = E0e

jkizx ~Hi =E00ejkiz y

Nombre donde : jki = j00 Impedance : = 0 =

00

= 377

Onde reflechie : se propage selon z~Er = E0e

jkrzx ~Hr = E00ejkrz y

Nombre donde : jkr = j00 Impedance : = 0 =

00

= 377

= coefficient de reflexion

=Er

Ei

z=0

ELEN0076 6 - 11

Onde transmise dans le conducteur : se propage selon +z~Et = E0e

jktzx ~Ht = E0ejktz y

Milieu dissipatif :Nombre donde : jkt = j

0 Impedance : =

0

= coefficient de transmission

=Et

Ei

z=0

Milieu bon conducteur ?

=

58 106

28.85 103

Epaisseur de peau

=

2

0= 2.09 106 m

jkt 1 + j

= Zs 1 + j

= 8.25 103(1 + j)

ELEN0076 6 - 12

Conditions aux limites sur la paroi conductrice : pour z = 0 continuite de la composante tangentielle de ~E :

(Ei + Er)|z=0 = Et|z=0 E0 + E0 = E0 continuite de la composante tangentielle de ~H :

(Hi Hr)|z=0 = Ht|z=0 E00 E0

0=

E0Zs

On deduit :

=Zs 0Zs + 0

= 1 + j4.38 105 = 2ZsZs + 0

= 4.38 105(1 + j)

On remarque :

|Zs| 0 1 , {Ei Er Hr HiEt 0 Ht 2Hi

ELEN0076 6 - 13

Puissance moyenne transportee par londe incidente :

Si =1

2Re(Ei Hi

) =

1

2

E200

= 132 mW/m2

Puissance moyenne transportee par londe reflechie :

Sr =1

2Re(Er Hr

) =

1

2||2E

20

0

Ces deux puissances moyennes sont independantes de z (milieu non dissipatif) Puissance moyenne absorbee par le cuivre = puissance transmise (en z = 0):

St =1

2Re(Et Ht

) =

1

2| |2 E

20

|Zs|2 Re(Zs) = 116 109 W/m2

En utilisant lapproximation Ht 2Hi :

St =1

2Re(Zs)

(2E00

)2= 116 109 W/m2

ELEN0076 6 - 14

5.7 Application du theore`me de Poynting a` un bloc conducteurOn conside`re un bloc de cuivre semi-infini setendant dans lespace z > 0, et une ondeplane incidente venant frapper le bloc a` incidence normale.

Etablissez lexpression de la puissance dissipee dans le bloc de cuivre a` partir du vecteurde Poynting de londe transmise dans le bloc. Exprimez ensuite cette puissance enfonction de lamplitude du champ magnetique a` la surface du bloc et verifiez que leresultat obtenu est identique a` celui etabli au cours par integration directe de la puissancedissipee par effet Joule.

ELEN0076 6 - 15

1. Calcul par integration directe de la puissance dissipee par effet Joule : voir cours

Champ electrique et densite de courant dans le cuivre :~E = E0e

(1+j)z/x ~J = E0e(1+j)z/x

Puissance dissipee par effet Joule dans le bloc :

P =1

2

V

Re( ~J ~E)d3~r

=1

2Rs

x

y|I |2

avec

- Rs =1 : la resistance par carre

- I : le courant total traversant le bloc

Tout se passe comme si le courant se repartissait de manie`re uniforme sur uneepaisseur du bloc

ELEN0076 6 - 16

2. Calcul a` partir du vecteur de Poynting a` la surface du bloc

Puissance totale dissipee dans le bloc = puissance penetrant dans le bloc en z = 0

P =1

2

x

y

Re( ~Et ~Ht ) zdx dy

=1

2Rex

y(ZsH0H

0 )dx dy

=xy

2Rs|H0|2

avec |H0| lamplitude du champ magnetique a` la surface du bloc conducteur.Il faut :

xy

2Rs|H0|2 = 1

2Rs

x

y|I|2 |H0| = |I|

y

ELEN0076 6 - 17

3. Verification par application du theore`me dAmpe`re

D

~H0

~J

z

y

x C

BA

Application du theore`me dAmpe`re surle contour ABCD (C,D)

ABCD

~H ~d =S

~J ~dS

= y

0

J dz

= I = H0y

BA

~H ~d = H0y CB

~H ~d = AD

~H ~d = 0 ( ~H ~d) DC

~H ~d = 0 ( ~H 0 pour z )

ELEN0076 6 - 18

TP7 : LIGNES DE TRANSMISSION

PARAMETRES UNITAIRES

CARACTERISTIQUES DE LA PROPAGATION

ELEN0076 7 - 1

Equations des telegraphistes en regime harmonique

Hypothe`se : OTEM, champs ~E , ~H direction de propagation z Modelisation de la ligne

Z dz I(z + dz)

V (z)

I(z)

Y dz

dz

V ~H~EI

I

z

V (z + dz)

Equations des telegraphistesLois de Kirchhoff sur le troncon permettent dobtenir

V (z)

z= Z()I(z)

2V (z)

z2= Z()Y ()V (z)

I(z)

z= Y ()V (z)

2I(z)

z2= Z()Y ()I(z)

ELEN0076 7 - 2

Parame`tres unitaires ou lineiques

Y = G+ jC :

C (pF/m): capacite associee a` la distribution du champ electrique dans ledielectrique separant les deux conducteurs

G (S/m) : pertes ohmiques (courant de conduction selon x) et de polarisation dansle dielectrique

Z() = R+ jL :

L (H/m): inductance totale liee a` la distribution du champ magnetique a` linterieur(des) et entre les conducteurs; somme des inductance internes (influ-ence de leffet de peau) et externe

R (/m) : pertes ohmiques (courants selon z) dans le conducteur (influence deleffet de peau)

ELEN0076 7 - 3

Ondes V et I et parame`tres de la propagation

Solutions generales des equations des telegraphistes :

V (z) = V+ez + Vez I(z) =

V+Z0

ez VZ0

ez

Somme d une onde incidente ou progressive se propageant selon +z et dune ondereflechie se propageant selonzExpression temporelle

v(z, t) = |V+|ez cos((t zv) + 6 V+)) + |V|ez cos((t+ z

v) + 6 V)

Impedance caracteristique :

Z0 = R0 + jX0 =

Z

Y=

R+ jL

G+ jC=Vinc(z)

Iinc(z)

ELEN0076 7 - 4

Constante de propagation = + j =

ZY =

(R+ jL)(G+ jC)

(Np/m) : coefficient dattenuation (rad/m) : constante de phase Vitesse de phase et longueur donde :

v =

=

2

=

v

f

Cas particuliers :

Z0

Ligne ideale R = G = 0

LC 0

LC

Ligne a` faibles pertes G C , R L

LC

12

(GZ0 +

RZ0

)LC

ELEN0076 7 - 5

6.1 Parame`tres unitaires dune ligne telephoniqueUne ligne telephonique de type bifilaire est constituee de deux conducteurs cylindriquesde rayon a = 0.2 mm places paralle`lement lun a` lautre a` une distance d = 0.6 mm.Les fils sont isoles electriquement par un plastique (r = 2). Les fils sont en cuivre( = 5.8 107 S/m, r = 1 et r = 1).

A la frequence de travail f = 1 kHz, on a mesure les quatre parame`tres unitairessuivants : R = 100 /km, C = 0.051 F/km, L = 0.6 mH/km et G 0 S/m.

1. Cette ligne travaille-t-elle en regime de haute ou de basse frequence ?

2. Travaille-t-elle en regime de faibles pertes ?

3. Determinez limpedance caracteristique, lattenuation lineique et la vitesse de phase.

ELEN0076 7 - 6

1. Haute ou basse frequence ?

Basse frequence : courant uniformement reparti dans les conducteursHaute frequence : effet pelliculaire, epaisseur de peau dimension du conducteurEpaisseur de peau a` la frequence de f = 1 kHz :

=

2

= 2 mm a BF

2. Faibles pertes ?

R

L=

100

21030.6 103= 26.5 1 non faibles pertes

ELEN0076 7 - 7

3. Impedance caracteristique :

Z0 =

R+ jL

jC

R

jC=

1 j2

R

C= 395(1 j)

Constante de propagation :

=jC(R+ jL)

jRC =

1 + j2

RC = 0.12(1 + j) km1

Attenuation: = Re() = 0.12 Np/km

Vitesse de phase :v =

= 52 103km/s

ELEN0076 7 - 8

6.2 Parame`tres unitaires dune ligne microbande

Une ligne microbande (microstrip en anglais) est constituee dun substrat isolant etdielectrique, metallise sur ses deux faces avec de laluminium. La face superieurevehicule un courant allant du generateur a` la charge, le retour seffectuant par la faceinferieure.

Determinez les quatre parame`tres unitaires C ,L, R et G, limpedance caracteristique Z0 etle coefficient dattenuation de cette ligne.

Donnees :

Frequence de travail : f = 18 GHz.

Aluminium : = 3.72 107 S/m, r = 1 et r = 1.

Dielectrique : Si02, et pertes dielectriques negligeables, r = 3.8 et r = 1.

ELEN0076 7 - 9

OTEM : dans un plan z = Cte : champ ~E reparti comme dans les proble`mesdelectrostatique, champ ~H reparti comme dans les proble`mes de magnetostatique (danslespace separant les deux conducteurs).1. Calcul de C

+

~E

-----------------

++++++++++++ Effets de bord negliges, C dun condensateur plan

C =w

d= 168 pF/m

2. Calcul de G

et pertes dielectriques negligeablesG = 0

ELEN0076 7 - 10

3. Calcul de Lext

Inductance externe : due au champ ~H existant entre les conducteurs

z

y x

C~H = 0

~H

I

I

S

Effets de bord negliges : ~H = H(x)yApplication du theore`me dAmpe`re sur le contour C

~H ~d = I = wH ~H = Iwy

Flux dinduction magnetique a` travers la surface S de1m de longueur:

=

S

~B ~dS = Idw

Lext = I=d

w= 0.25H/m

ELEN0076 7 - 11

4. Impedance des conducteurs a` la frequence f = 18 GHzHF ou BF ? Epaisseur de peau

=

2

= 0.62 m h HF

Bloc conducteur, impedance par carre : Zs = 1+jPour un conducteur de largeur w et de 1m de long (x = 1 , y = w): Puissance dissipee par effet Joule :

1

2

1

w|I|2 = 1

2R1|I|2

Resistance de 1m de conducteur : R1 = 1w = 4.35 k/m Energie emmagasinee sous forme magnetique :

WM =1

2

1

w|I|2 = 1

2L1|I |2

Inductance interne de 1 m de conducteur : L1 = 1w = 39 nH/m

ELEN0076 7 - 12

5. Parame`tres unitaires

C =w

d= 168 pF/m

L = Lext + 2L1 =d

w+

2

w= 0.33 H/m

G = 0

R = 2R1 =2

w= 8.7 k/m

ELEN0076 7 - 13

6. Parame`tres carateristiques de la propagation :

Faibles pertes ? ouiR

L= 0.233 1 G

C= 0

Impedance caracteristique :

Z0 L

C= 44.3

Attenuation : R

2Z0= 98.2 Np/m

ELEN0076 7 - 14

6.3 Parame`tres unitaires dun cable coaxialUn cable coaxial presente les parame`tres suivants :

Parame`tres geometriques : a =

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