Exercices act2121-session3

Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012

Actuariat IACT2121

troisième séance

Arthur Charpentier

[email protected]

http ://freakonometrics.blog.free.fr/

Automne 2012

1


Exercice 1

Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoirescontinues fonction de densité conjointes fX,Y (x, y) = 2x, pour 0 < x < 1 et0 < y < 1.Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1.

A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 7/12 E) 5/6

2


Exercice 2

Le coût X d’un billet d’avion est donné par une variable aléatoire continue demoyenne 100 et variance 20. Si pour lutter contre la pollution une sur-taxe de10% et un supplément fixe de 10$ sont imposés, que devient la nouvelle variancedu coût d’un billet d’avion ?

A) 34.20 B) 22 C) 32 D) 24.20 E) 10

3


Exercice 3

Deuxpersonnes se donnent rendez-vous dans un restaurant entre 18h et 20h. Siles deux arrivent aléatoirement entre 18h et 20h de façons indépendantes etuniformément distribuées, trouver la probabilité que la première personne àarriver attende plus de 30 minutes avant l’arrivée de la seconde personne.

A)7

16B)

1

2C)

1

4D)

9

16E)

3

4

4


Exercice 4

Considérons la variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x = −2,−1, 0, 1, 2avec la fonction de densité fX(x) = P(X = x) = (1 + |x|)2/27. Trouver E[|X|].

A) 1 B)13

27C)

44

27D)

14

27E)

26

27

5


Exercice 5

Pour une police d’assurance les pertes possibles sont : 0, 5, 10, 100, 500 et 1 000avec probabilités 0.9, 0.06, 0.03, 0.008, 0.001 et 0.001 respectivement.Sachant qu’il y a eu une perte strictement positive, trouver l’espérance de cetteperte.

A) 2.9 B) 3.22 C) 17.04 D) 29 E) 322.2

6


Exercice 6

Si A et B sont deux événements tels que P(A) = 0.5 et P(B) = 0.8, calculer laplus grande valeur possible de P(A ∪B)− P(A ∩B).

A) 0.5 B) 0.8 C) 0.7 D) 0.4 E) 0.3

7


Exercice 7

Les coûts X et Y de deux objets sont aléatoires avec fonction de densitéconjointe :

fX,Y (x, y) =

2x pour 0 < x < 1 et x < y < x+ 1

0 sinon.

Trouver la variance conditionnelle de Y sachant que X =1

2.

A)1

12B)

7

6C) 1 D)

1

2E)

1

3

8


Exercice 8

Une compagnie d’assurance assure tous les employés de 20 petites entreprises de25 employés chacune. La probabilité qu’un employé de la kième entreprise fasseune réclamation durant l’année est de (k + 5)%. Sachant qu’un employé a faitune réclamation, trouver la probabilité qu’il soit de la 10ième entreprise.

A) 0.035 B) 0.050 C) 0.005 D) 0.048 E) 0.055

9


Exercice 9

À un souper bénéfice, il y a 25 femmes et 10 hommes. On attribue au hasard enordre quatre des prix de présence aux 35 convives (au plus un par personne).Trouver la probabilité d’avoir pigé deux femmes avant de piger le second homme.

A)225

5 236B)

675

5 236C)(252

)·(102

)(354

)

D)(3

2

)·(2

7

)2

·(5

7

)2

E)(4

2

)·(2

7

)2

·(2

7

)2

10


Exercice 10

Une compagnie d’assurance a émis trois sortes d’assurances-vie. Il y a 50% depolices de type A avec 0.01 de probabilité de décès, 40% de type B avecprobabilité 0.005 de décès et 10% de type C avec probabilité 0.001 de décès. Siun assuré décède, trouver la probabilité que sa police soit de type C.

A) 0.0001 B) 0.001 C) 0.2817 D) 0.0141 E) 0.0071

11


Exercice 11

La fonction de densité conjointe de X et Y est :

fX,Y (x, y) =

kx2(1− y) pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1

0 sinon.

Trouver Cov(X,Y ).

A) 1 B) − 1 C) k D) k2 E) 0

12


Exercice 12

La fonction de densité X du montant d’une réclamation est :

fX(x) =

3x−4 pour x > 1

0 sinon.

Supposons qu’il y ait trois réclamations indépendantes.Trouver l’espérance de la plus grande des trois.

A) 4.50 B) 3.375 C) 2.232 D) 2.70 E) 2.025

13


Exercice 13

Soit FX,Y (x, y) =1

5(3x2y + 2x2y2) pour 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1, la fonction

cumulative (ou de distribution, ou de répartition) des variables continues X et Y ,c’est-à-dire FX,Y (x, y) = P(X ≤ x et Y ≤ y).Trouver fX,Y (0.5, 0.5) où fX,Y (x, y) est la fonction de densité conjointe de X,Y .

A) 0.15 B) 0.25 C) 0.75 D) 1 E) 1.25

14


Exercice 14

Le portfolio d’un assureur comprend 25% d’assurés de moins de 30 ans et 75%d’assurés de plus de 30 ans. Pour un assuré de moins de 30 ans le nombred’accidents en une année suit une loi binomiale avec n = 2 et p = 0.02, pour ceuxde plus de 30 ans c’est une Bernoulli avec p = 0.01. Si un assuré n’a pas eud’accident l’an dernier, trouver la probabilité qu’il n’ait pas d’accident cetteannée.

A) 0.9824 B) 0.9826 C) 0.9828 D) 0.9830 E) 0.9832

15


Exercice 15

Si vous lancez 5 dés (tous bien équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6), quelleest la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

A) 0.0004 B) 0.0032 C) 0.0045 D) 0.0051 E) 0.0058

16


Exercice 16

Soit MX(t) = 1 + 22t+ 32t2 + 42t3 + . . . la série génératrice des moments d’unevariable aléatoire X. Trouver la variance de X.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9

17


Exercice 17

Le nombre N de réclamations pour une compagnie d’assurance suit une loi dePoisson de paramètre λ. Le montant X de chaque réclamation suit une loiexponentielle également de paramètre λ. Soit T le montant total de toutes lesréclamations. Trouver E[T ].

A)1

λB) λ+ λ2 C) λ2 D) 1 E) λ

18


Exercice 18

La durée de vie d’un néon A (respectivement B) suit une loi exponentielle demoyenne 6 ans (respectivement 3 ans). Trouver la probabilité que le néon A duremoins de 3 ans et le néon B moins de 2 ans (ils sont indépendants).

A)1

18

(1− e− 1

2

)B)

1

18e−

76 C) 1− e− 1

2 − e− 23 + e−

76

D) e−12 · e− 2

3 E) 1− e− 12 − e− 2

3

19


Exercice 19

Une recherche médicale montre que pour 2 811 décès en 2001, il y avait 630 décèsdus à des problèmes cardiaques. De plus 936 personnes souffraient d’embonpointet de celles-ci 306 sont décédées de troubles cardiaques. Trouver la probabilitéqu’une de ces personnes soit morte à cause de problèmes cardiaques sachantqu’elle ne souffrait pas d’embonpoint.

A) 0.514 B) 0.327 C) 0.224 D) 0.115 E) 0.173

20


Exercice 20

Pour T décrit dans le problème 17, trouver Var[T ].

A) λ B)1

λC)

2

λD)

1

λ2E) 1 +

1

λ

21


Exercice 21

Une oeuvre d’art est assurée contre le vol. Trouver x sachant que l’espérance deremboursement est 1 000 et que le contrat rembourse : le montant x si le vol alieu la première année, x/2 s’il a lieu la seconde ou troisième année, et rien s’il alieu après trois ans. On suppose que le temps X avant un vol suit une loiexponentielle de moyenne 10 ans.

A) 3 858 B) 4 449 C) 5 382 D) 5 644 E) 7 235

22


Exercice 22

À un coin de rue, il passe en moyenne 1 taxi à toutes les 5 minutes suivant unprocessus de Poisson. La semaine prochaine (du lundi au vendredi), vous vousrendrez tous les matins à ce coin de rue pour prendre un taxi. Quelle est laprobabilité qu’il y ait exactement 3 matins où 15 minutes s’écouleront sans aucuntaxi ?

A) 0.00022 B) 0.02222 C) 0.00011 D) 0.00111 E) 0.01111

23


Exercice 23

La photocopieuse n’est pas très fiable. Lorsqu’on photocopie une page il y a uneprobabilité 0.25 qu’elle soit de mauvaise qualité (indépendamment d’une page àl’autre) et que l’on doive la reprendre. Si le texte original comprend 400 pages,combien de photocopies doit-on s’attendre en moyenne à faire afin d’obtenir unecopie parfaite de l’original ?

A) 400 B) 500 C) 533.33 D) 566.67 E) 600

24


Exercice 24

Le nombre d’accidents en un an dans un village suit une loi de Poisson demoyenne 5. Trouver la probabilité qu’il y ait dans ce village un nombre impaird’accidents l’an prochain.

A)1

e5B)

1

2− e−10

2C)

1

2D)

2

eE)

1

3

25


Exercice 25

Soit X le total lorsqu’on lance 10 dés à 6 faces. Trouver l’écart-type σX de X.

A)35

12B) 4.13 C) 35 D) 5.4 E) 29.2

26


Exercice 26

Soit X et Y deux variables aléatoires continues indépendantes de fonctions dedensité fX(x) = 1 pour 0 < x < 1 et fY (y) = 2y pour 0 < y < 1. TrouverP(Y < X).

A)1

3B)

1

4C)

1

2D)

2

3E)

3

4

27


Exercice 27

La durée de vie d’un réfrigérateur de 500$ suit une loi exponentielle de moyenne20 ans. Un manufacturier qui a vendu 1 000 réfrigérateurs offre la garantiesuivante : 500$ s’il y a panne durant les premiers 10 ans et 250$ s’il y a panneentre 10 et 20 ans.Trouver l’espérance du remboursement sur les 1 000 réfrigérateurs.

A) 158 025 B) 183 950 C) 256 400 D) 316 050 E) 196 725

28


Exercice 28

Il y a 40 étudiants dans un cours de probabilité. Trouver l’espérance du nombrede jours de l’année qui sont le jour de fête d’un seul étudiant de la classe.

A) 14.72 B) 35.94 C) 35.62 D) 40.00 E) 20.00

29


Exercice 29

Le nombre X de questions durant une heure de disponibilité de votre dévouéprofesseur suit une loi de Poisson de moyenne λ. Trouver λ sachant que

P(X = 1 | X ≤ 1) =4

5.

A) 4 B) − ln(0.2) C)4

5D)

1

4E) − ln(0.8)

30


Exercice 30

Une compagnie d’assurance a émis 1250 polices. Pour chaque police le montantdes réclamations suit une loi de moyenne µ = 2 et écart-type σ =

√2. En

supposant l’indépendance entre les polices, trouver la probabilité que le total desréclamations se situe entre 2450 et 2600.

A) 0.68 B) 1.00 C) 0.95 D) 0.87 E) 0.82

31


Exercice 31

Soit X1, X2, . . . , Xn des variables aléatoires continues indépendantes toutes de loiuniforme sur l’intervalle [0, 10]. Trouver la probabilité suivante :

P(min(X1, X2, . . . , Xn) ≤ 3 ou max(X1, X2, . . . , Xn) ≥ 7

)

A)(

3

10

)n

−(

7

10

)n

B)(2

5

)n

C) 1−(2

5

)n

D) 4 · 1

10nE)

n

4n

32


Exercice 32

Une compagnie d’assurance a établi que la probabilité de plus de 5 jours deverglas durant une année est 0.05. En supposant l’indépendance d’une année àl’autre, trouver la probabilité que durant une période de 20 ans il y ait deuxannées ou moins avec plus de 5 jours de verglas.

A) 0.12 B) 0.32 C) 0.52 D) 0.72 E) 0.92

33


Exercice 33

Une étude concernant les accidents de voitures a donné le tableau suivant :

Année du modèle Proportion des autos Probabilité d’un accident

1998 0.16 0.05

1999 0.18 0.02

2000 0.20 0.03

2001 0.46 0.04

Si une voiture d’une des années 1998, 1999 ou 2000 a un accident, trouver laprobabilité qu’elle soit de l’année 1998.

A) 0.50 B) 0.45 C) 0.35 D) 0.30 E) 0.25

34


Exercice 34

Soit U, V,W les variables aléatoires donnant la perte pour trois assurés(indépendants). Trouver E[X3], où X est la perte aléatoire totale des troisassurés, sachant que :MU (t) = (1− 2t)−3, MV (t) =

√1− 2t ·MU (t) et MW (t) =

√1− 2t · (MV (t))

2.

A) 10 560 B) 8 400 C) 5 700 D) 3 020 E) 1 360

35


Exercice 35

Soit fX,Y (x, y) =5

16xy2 pour 0 < x < y < 2 la fonction de densité conjointe de

X et Y . Trouver la fonction de densité marginale fX(x).

A)2x

y2B)

5xy3

48C)

5y4

32D)

5x4

48E)

5x

6− 5x4

48

36


Exercice 36

Pour une assurance contre les tempêtes soient X la perte sur les bâtiments et Yla perte totale sur les bâtiments et le terrain. On suppose que la fonction dedensité conjointe est fX,Y (x, y) = 2e−(x+y), 0 < x < y <∞ (et 0 autrement).Trouver E[Y |X = x] pour x > 0.

A) 1 B) x+ 1 C)1− xe−x

1− e−xD) x E) (x+ 1)e−x

37


Exercice 37

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle.Si P(X > 1) = P(X ≤ 1) que vaut E[X] ?

A)1

eB) ln 2 C)

1

ln 2D) e E) 1

38


Exercice 38

Si P(A) =1

6, P (B) =

5

12et P(A|B) + P(B|A) = 7

10, alors que vaut P(A ∩B) ?

A) 1/36 B) 1/12 C) 1/6 D) 6/35 E) 1

39


Exercice 39

Soit R le montant aléatoire des réclamations pour une assurance auto. Si lafonction de densité de R est fR(r) = 3(1 + r)−4 pour 0 < r <∞, trouverl’espérance de R.

A) 3 B) 1 C)1

2D)

1

3E)

1

6

40


Exercice 40

Une compagnie d’assurance rembourse le montant X des soins dentaires jusqu’àun maximum de 250$. La fonction de densité est :

fX(x) =

ke−0.004x pour x ≥ 0

0 pour x < 0.

Trouver la médiane du remboursement.

A) 160 B) 164 C) 173 D) 184 E) 250

41


Exercice 41

Soit X et Y les pertes pour une assurance. Supposons que fX,Y (x, y) = x/500 000

pour 0 < x < 100 et 0 < y < 100. Si la police d’assurance rembourse le total desdeux pertes jusqu’à un maximum de 100, quelle sera l’espérance duremboursement (arrondie à l’entier le plus près).

A) 90 B) 92 C) 94 D) 96 E) 98

42


Exercice 42

Pour une police d’assurance le nombre de réclamations est N = 0, 1 ou 2 avec

probabilités communes de1

3. On connaît, à propos de la somme des 0,1 ou 2

réclamations, l’information suivante :E[S|N = 0] = 0,Var[S|N = 0] = 0,E[S|N = 1] = 10,Var[S|N = 1] = 5,

E[S|N = 2] = 20,Var[S|N = 2] = 8. Trouver la variance de S.

A)13

3B)

13

2C) 13 D)

200

3E) 71

43


Exercice 43

Trois boîtes sont numérotées 1, 2 et 3. La boîte k (pour k = 1, 2 ou 3) contient5− k boules rouges et k boules bleues. Vous pigez une boîte (la probabilité depiger la boîte k est proportionnelle à k) puis deux boules (sans remise) dans laboîte choisie.Trouver la probabilité que les boules pigées soient de couleurs différentes.

A)17

60B)

34

75C)

1

2D)

8

15E)

17

30

44


Exercice 44

Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans [0, 2] et dont lafonction de densité est fX(x) = x/2. Trouver E[|X − E[X]|].

A) 0 B)2

9C)

32

81D)

64

81E)

4

3

45


Exercice 45

Soit X une variable aléatoire discrète de loi de Poisson. Sachant que E[X] = ln 2,trouver E[cos(πX)].

A) 0 B) 2 ln 2 C) 1 D)1

4E)

1

2

46


Exercice 46

Considérons le tableau suivant donnant les probabilités des valeurs (x, y) de deuxvariables aléatoires discrètes X et Y :

X

2 3 4 5

0 0.05 0.05 0.15 0.05

Y 1 0.40 0 0 0

2 0.05 0.15 0.10 0

Trouver Cov(X,Y ).

A) 2.85 B) 2.70 C) 0.95 D) − 0.15 E) − 0.20

47


Exercice 47

Une compagnie maritime possède trois pétroliers géants. Elle décide de lesassurer contre les naufrages pour une période de 5 ans. L’assureur estime que laprobabilité que k = 0, 1, 2, 3 des pétroliers coulent d’ici 5 ans est 0.8, 0.1, 0.05 et0.05, respectivement. Le remboursement sera, suivant le cas, de k2 millions dedollars. Trouver l’espérance du remboursement.

A) 1 500 000 B) 1 250 000 C) 1 000 000 D) 750 000 E) 500 000

48


Exercice 48

Le tableau suivant donne les probabilités de décès chez des patients atteints ducancer du rein. Si un des patients est décédé des suites de son cancer, trouver laprobabilité qu’il soit un ado.

Type de patient % Probabilité de décès

Enfant 8% 0.15

Ado 16% 0.08

Adulte 45% 0.04

Âge d’or 31% 0.05

A) 0.06 B) 0.16 C) 0.19 D) 0.22 E) 0.25

49


Exercice 49

Soit X et Y des variables aléatoires discrètes de distribution conjointe :

fX,Y (x, y) =

19 2

x−y+1 pour x = 1, 2 et y = 1, 2

0 sinon.

Trouver E[X

Y

].

A)5

3B)

25

18C)

4

3D)

5

4E)

8

9

50


Exercice 50

Les pertes de chacun des 25 assurés d’une petite compagnie d’assurance suiventune loi normale de moyenne 19 400 et écart-type 5 000.Trouver la probabilité que la moyenne des pertes des 25 assurés dépasse 20 000.

A) 0.01 B) 0.15 C) 0.27 D) 0.33 E) 0.45

51


Exercice 51

Soit X et Y des variables aléatoires dont la série génératrice conjointe desmoments est :

MX,Y (t, s) = E[etX+sY ] =

(1

4et +

3

8es +

3

8

)10

.

Trouver Cov(X,Y ).

A) −15

16B) −135

16C) 0 D)

135

16E)

15

16

52


Exercice 52

Soit X,Y et Z trois variables aléatoires indépendantes dont la distribution

discrète de probabilités est la même, soit p(x) =1

3pour x = 0 et p(x) =

2

3pour

x = 1.Trouver la série génératrice des moments de U = X2Y 2Z2.

A)8et + 19

27B) 2et + 1 C)

(1 + 2et)3

27D)

1 + 2e3t

3E)

8e3t

3

53


Exercice 53

Soit X et Y des pertes aléatoires indépendantes et uniformes sur l’intervalle[0, 10]. Une police d’assurance rembourse X + Y .Calculer la probabilité que le remboursement soit inférieur à 11.

A) 40.5% B) 45% C) 55% D) 59.5% E) 65%

54


Exercice 54

Soit X et Y des variables aléatoires continues avec fonction de densité conjointe :

fX,Y (x, y) = x+ y pour 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.

Calculer P(2X < 1 | X + Y ≤ 1).

A)11

48B)

5

16C)

9

16D)

11

16E)

3

4

55


Exercice 55

On place au hasard quatre personnes dans quatre salles d’attente numérotées 1 à4. Sachant que les deux premières personnes ont été mises dans des sallesdifférentes, trouver la probabilité qu’à la fin une des salles contienne exactement3 personnes.

A)1

2B)

1

4C)

3

16D)

1

8E)

1

16

56


Exercice 56

Soit X,Y, Z trois variables aléatoires indépendantes de même fonction de densitéfX(x) = 3x2, 0 ≤ x ≤ 1. Trouver la probabilité P(max(X,Y, Z) > 0.5).

A)1

64B)

37

64C)

343

512D)

7

8E)

511

512

57


Exercice 57

Soit X1, X2, X3, X4 et X5 des variables aléatoires indépendantes toutes de loi dePoisson de paramètres respectifs 3, 1, 2, 1 et 4. Trouver la probabilité queX1 +X2 +X3 +X4 +X5 soit au plus 2.

A) e−11 B)145

2e−11 C) 3e−11 D) 133e−11 E)

1

11

58


Exercice 58

La fonction de densité conjointe des deux variables aléatoires X,Y continues surl’intervalle [0, 1] est :

fX,Y (x, y) =

8x3(1− y) pour 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0 sinon.

Trouver Cov(X,Y ).

A) −1

8B) 0 C)

1

8D) 2 E) 1

59


Exercice 59

Une compagnie utilise un générateur électrique pour sa production, et un secondsi le premier tombe en panne. Les deux ont une durée de vie donnée par une loiexponentielle de moyenne 10. Trouver la variance de la durée X des opérations.

A) 200 B) 100 C) 50 D) 20 E) 10

60


Exercice 60

Soit X une variable aléatoire continue sur l’intervalle [2,∞[ de fonction dedensité fX(x) = 2x−2. Trouver fY (y) pour Y = (X − 1)−1, 0 < y ≤ 1.

A) y2 B) 2(y + 1)−2 C) 2(y − 1)−2 D) 2y(1 + y)−2 E) 2(y + 1)2/y2

61

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