El agujero negro de Kerrbjanssen/text/TFG-JGuerrero.pdf · 2017-07-05 · angular alrededor de su...

Trabajo Fin de Grado en Fısica

El agujero negro de KerrJuan Antonio Guerrero Montero

Universidad de GranadaJunio de 2017

Tutor: Bert JanssenDepartamento de Fısica Teorica y del Cosmos

Universidad de Granada

Abstract

The Kerr metric is a solution of Einstein’s equations that describesspacetime around a rotating black hole. In this project, we will applythe laws and techniques of General Relativity to describe it in depth.Firstly, we will present the theoretical foundations that will be neededthroughout the project, illustrating them with examples extracted fromthe simplest case, Schwarzschild’s black hole. We will emphasize theimportance of Killing vectors as tools for describing the structure of ablack hole and the constants of motion of particles moving in its sur-roundings. Secondly, all these concepts will be applied to Kerr’s blackhole in order to describe its geometry and causal structure, paying espe-cial attention to regions like the event horizon and the ergosphere andphenomena like frame dragging. Lastly, we will find the constants ofmotion of test particles around Kerr’s black hole using the formalismof Killing vectors and tensors, with our main focus being Carter’s cons-tant, its origin and its physical meaning. We will apply our findings tothe study of geodesics, the trajectories of test particles in the Kerr space-time.

Indice

1 Introduccion 3

2 Fundamentos: El agujero negro de Schwarzschild 42.1 Metrica y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Vectores de Killing y simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Simetrıas y leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Observadores estacionarios y estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Estructura causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Singularidades fısicas y de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Horizonte de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.3 Superficie de lımite estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 El agujero negro de Kerr 113.1 La metrica de Kerr en distintos sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Las coordenadas de Boyer-Lindquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2 Las coordenadas de Kerr-Schild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Vectores de Killing y simetrıas en Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Estructura causal del agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Horizontes de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.3 Arrastre de sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.4 Superficies de lımite estacionario: Ergosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.5 El proceso de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.6 Aproximandonos al agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Tensores de Killing y la constante de Carter 224.1 Tensores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 El tensor de Killing de la metrica de Kerr y la constante de Carter . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Calculo del tensor de Killing del espacio de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.2 Lımites del tensor de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.3 La constante de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Geodesicas en el espacio de Kerr 275.1 Geodesicas en el plano ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.1 Geodesicas ecuatoriales nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.2 Geodesicas ecuatoriales temporales: 3ª Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Geodesicas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Conclusiones 34

3 1 INTRODUCCION

1 Introduccion

Los agujeros negros fueron teorizados por primera vez en el marco de la mecanica New-toniana. A finales del siglo XVIII, Laplace formulo la idea de que, si un objeto era lo sufi-cientemente denso, la velocidad de escape en su superficie fuera mayor que la de la luz,lo que supondrıa que fuera completamente negro para un observador lo suficientementelejano. Sin embargo, al imponerse a lo largo del siglo XIX el concepto de luz como ondasin masa, esta idea fue descartada.

Este hecho, meramente anecdotico en el marco de la mecanica clasica, cobro un nuevosignificado cuando Einstein propuso su teorıa de la Relatividad General en 1915. En estateorıa la gravedad es modelada como un efecto geometrico que afecta al movimiento dela luz y no solo al de la materia masiva, y que viene modelada por las ecuaciones deEinstein. En ella, existen soluciones (posibles geometrıas del espacio-tiempo) que poseenuna singularidad, un punto de densidad y curvatura infinitas. En estas soluciones la zonaalrededor de la singularidad tiene una curvatura tan elevada que ni siquiera la luz puedeescapar de ella y por lo tanto se muestra negra a al exterior: son agujeros negros.

La primera solucion obtenida de las ecuaciones de Einstein fue la obtenida por KarlSchwarzschild en 1916, y describe el agujero negro mas sencillo, que posee simetrıa esferi-ca y es estatico. Poco despues, en 1918, Reissner y Nordstrom descubrieron la solucion quelleva sus nombres, que describe un agujero negro esferico y estatico que posee una cargaelectrica no nula. Durante varias decadas, la investigacion teorica en el terreno de los agu-jeros negros quedo estancada, en parte debido a la influencia de Einstein, que se negaba acreer que los agujeros negros fueran soluciones fısicamente realistas de sus ecuaciones.

Tras la muerte de Einstein, durante los anos 60 y 70, sı que se produjo un enormedesarrollo en el campo, con la demostracion de numerosos teoremas. Entre ellos estan elteorema del area, demostrado por Stephen Hawking en 1971 y que afirma que el area delhorizonte de sucesos de un agujero negro nunca puede disminuir en un proceso clasico,y que ayudo a enunciar las Leyes de la Termodinamica de los agujeros negros clasicos, enlas que se establecıan paralelismos entre caracterısticas propias de los agujeros negros yvariables termodinamicas. Tambien Hawking enuncio junto a Roger Penrose una serie deteoremas sobre las singularidades que establecen bajo que condiciones puede la gravedadcrear puntos de curvatura infinita. Otro teorema de interes es el de “no pelo” enunciadopor John Wheeler con su famosa frase “A black hole has no hair”, y que afirma que todoagujero negro esta unıvocamente determinado por su masa, carga electrica y momentoangular alrededor de su propio eje. Fue en este contexto de grandes avances cuando, en1963, el matematico neozelandes Roy Kerr descubrio una solucion de agujero negro mu-cho mas compleja que la de Schwarzschild o la de Reissner-Nordstrom, que describe unagujero negro en rotacion. En 1965, Ezra Newman fue un paso mas alla y hallo una solu-cion para un agujero negro que esta electricamente cargado y rotando simultaneamente.

En los orıgenes de la Relatividad General, los agujeros negros fueron, pues, considera-dos como soluciones puramente teoricas, y no objetos fısicos reales. Sin embargo, a partirde la segunda mitad del siglo XX los astrofısicos han observado numerosos fenomenosque pueden ser explicados de forma convincente mediante la existencia de agujeros ne-gros. Se propone que este puede ser uno de los posibles desenlaces de la vida de unaestrella supermasiva tras un colapso gravitacional. Se teoriza ademas que las ondas gra-vitacionales detectadas por LIGO en 2016 provienen de la fusion de dos agujeros negros

2 FUNDAMENTOS: EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 4

de varias masas solares. Existe evidencia ademas que existen agujeros negros supermasi-vos (de millones de masas solares) en los centros de muchas galaxias. La utilidad practicade estos conceptos teoricos se hace patente.

Mas aun, los agujeros negros son conceptos importantes tambien en la vanguardia dela fısica teorica. La investigacion en pos de una teorıa de gravedad cuantica, el mayor retode la fısica teorica de nuestro siglo, se centra en el estudio cuantico e informacional delos agujeros negros, ya que estos son los lugares del universo donde los efectos cuanticosde la gravedad serıan mas apreciables. Ya en los anos 70 se dieron los primeros pasosen la caracterizacion cuantica de los agujeros negros con la radiacion de Hawking, y sehan alcanzado resultados de gran importancia en los ultimos anos, como el principio ho-lografico, que relaciona la informacion contenida en un agujero negro con el area de suhorizonte de sucesos. Sin duda los agujeros negros seguiran siendo un tema central en lafısica teorica en los proximos anos.

A lo largo de este trabajo, estudiaremos en profundidad la solucion de Kerr para unagujero negro en rotacion. Esta constituye la solucion mas fısicamente realista de todas lasmencionadas anteriormente, ya que los objetos astrofısicos en general no son estaticos nitienen carga electrica neta. En primer lugar, presentaremos los fundamentos teoricos dela Relatividad General ilustrandolos con su aplicacion al agujero negro de Schwarzschild.A continuacion, estudiaremos la metrica de Kerr y la estructura causal y propiedades queemanan de ella. Posteriormente, describiremos el movimiento de partıculas test alrede-dor del agujero negro en trayectorias geodesicas, haciendo incapie en las constantes demovimiento que definen sus trayectorias y en su obtencion formal.

2 Fundamentos: El agujero negro de Schwarzschild

En esta primera seccion nos disponemos a introducir los conceptos fundamentales queseran necesarios en la descripcion completa de un agujero negro (o un espacio-tiempocualquiera) en el marco de la Relatividad General. Para ello, acompanaremos todos estosconceptos de su aplicacion al caso no trivial mas sencillo: el agujero negro de Schwarz-schild, caracterizado por ser estatico y esfericamente simetrico.

En la teorıa de la Relatividad General, la interaccion gravitatoria se modela como unefecto geometrico de la curvatura del espacio-tiempo cuatridimensional. La descripcionmatematica se realiza pues en el marco de la geometrıa diferencial y a traves del tensormetrico gµν, que determina dicha curvatura.

Las ecuaciones de campo de Einstein, herramienta fundamental en la Relatividad Ge-neral, relacionan esta descripcion geometrica del espacio-tiempo con sus propiedades fısi-cas:

Rµν −12

gµνR = −8πGNTµν. (2.1)

En ellas, Rµν y R = Rµνgµν son el tensor y el escalar de Ricci, respectivamente, queson funciones del tensor metrico y de sus derivadas parciales, GN es la constante de gra-vitacion Newtoniana y Tµν es el tensor de energıa momento, que describe el contenidode energıa y materia del espacio-tiempo. Todos los tensores involucrados son simetricos.Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, cuadraticas yde segundo orden, por lo que cuando Einstein las enuncio (en 1915) penso que nuncase encontrarıa una solucion. Sin embargo, tan solo un ano despues, Karl Schwarzschild

5 2 FUNDAMENTOS: EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

encontro una de gran sencillez, a la cual darıa nombre.

2.1 Metrica y curvatura

En la obtencion de esta solucion se aplicaron las siguientes condiciones sobre las ecua-ciones de Einstein: el espacio-tiempo a describir habrıa de ser estatico (no habrıa depen-dencia con el tiempo t), esfericamente simetrico y tenderıa a la metrica plana conformeaumentase la distancia al origen (r → ∞), es decir, tendrıa que ser asintoticamente plano.Se trata ademas de una solucion para el vacıo, valida en el exterior del objeto generadorde la metrica, de modo que Tµν = 0. La forma de esta metrica, expresada en coordenadasesfericas a traves del intervalo diferencial ds2 = gµνdxµdxν, es la siguiente:

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 −

(1− 2M

r

)−1

dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdϕ2. (2.2)

En ella, M = GNm donde m es la masa del objeto que genera la metrica, y se estanusando en todo momento unidades c = 1, de modo que espacio y tiempo tienen lasmismas unidades. Se puede observar que la metrica tiende a la metrica plana cuandoM→ 0, es decir, cuando desaparece el objeto masivo que curva el espacio. A esta metricaplana se le llama metrica de Minkowski y toma la forma ηµν = diag (1,−1,−1,−1) encoordenadas cartesianas.

La tendencia a Minkowski en el lımite r → ∞ implica que las coordenadas t y r secorresponden con las coordenadas temporal y radial de un observador en el infinito. Sinembargo, debido a la curvatura del espacio-tiempo, estas no son las coordenadas temporaly radial de un observador en un punto cualquiera del universo.

La curvatura provoca que la medida de distancias radiales reales no se correspondacon la diferencia de coordenada r entre dos puntos a medir, sino que sea necesario integrarla ecuacion 2.2 con el termino grr

l =∫ r2

r1

(1− 2M

r

)−1/2

dr. (2.3)

Por otro lado, el intervalo de tiempo propio dτ que mide un observador estatico a unadistancia r del origen esta relacionado con el tiempo medido por un observador asintoticode la siguiente manera:

dτ =

(1− 2M

r

)1/2

dt. (2.4)

Esta diferencia entre tiempos propios para distintas distancias al origen provocarıa uncorrimiento al rojo gravitatorio para senales enviadas de uno a otro: si el emisor lanzauna senal que para el tiene perıodo TE, el receptor recibira una con perıodo TR, estandorelacionados a traves de

TE

TR=

νR

νE=

(1− 2M/rE

1− 2M/rR

)1/2

. (2.5)

Por supuesto, al cambiar la metrica de este sistema de coordenadas a cualquier otrosistema de coordenadas generalizadas, su forma cambiarıa covariantemente de la siguien-te forma:

g′αβ =∂xµ

∂x′α∂xν

∂x′βgµν, (2.6)

donde las primas indican el nuevo sistema de coordenadas.


2.2 Vectores de Killing y simetrıas

2.2.1 Simetrıas y leyes de conservacion

Los vectores de Killing son una herramienta de gran utilidad en el analisis de las simetrıasy la estructura causal de los agujeros negros. Se definen como aquellos vectores en cuyadireccion la derivada de Lie del tensor metrico se anula. La derivada de Lie del tensor gµν

en la direccion del vector kµ se define como

Lkgµν = kρ∂ρgµν + gρν∂µkρ + gµρ∂νkρ, (2.7)

donde ∂µ ≡ ∂∂xµ , de modo que para un vector de Killing se cumplira Lkgµν = 0 y se puede

demostrar que esta condicion es equivalente a la ecuacion de Killing,

∇µkν +∇νkµ = 0, (2.8)

donde el sımbolo∇ denota la derivada covariante. De esta ecuacion se deduce facilmenteque una combinacion lineal arbitraria de vectores de Killing sigue siendo un vector deKilling, ya que la derivada covariante es lineal.

Los vectores de Killing son pues la forma generalizada de estudiar las simetrıas de lametrica y, gracias al teorema de Noether, sabemos que toda simetrıa continua tiene aso-ciada una cantidad conservada. La cantidad conservada asociada a un vector de Killing alo largo de la trayectoria xµ (τ) de una partıcula libre es

kµ xµ = C(k), (2.9)

donde el punto denota derivacion respecto al parametro τ de la trayectoria, de modo quexµ es la cuadrivelocidad de la partıcula, tangente a su trayectoria y relacionada con elcuadrimomento a traves de la expresion pµ = mxµ. De este modo, los vectores de Killingnos permiten conocer simultaneamente las simetrıas del espacio-tiempo y las constantesde movimiento asociadas a esas simetrıas.

En el caso del agujero negro de Schwarzschild, dos de los vectores de Killing se obtie-nen facilmente por simple inspeccion de la metrica 2.2, si notamos que esta no dependede t ni de ϕ. Esto nos lleva a los vectores kµ = δ

µt = (1, 0, 0, 0) y lµ = δ

µϕ = (0, 0, 0, 1) que

claramente anulan la ecuacion 2.7. Las cantidades asociadas son

kµ xµ = kν xµgµν =(1− 2M

r

)t = E

lµ xµ = lν xµgµν = −r2sin2θϕ = −Lz.(2.10)

Cuando x es la trayectoria de una partıcula, estas constantes se corresponden con laenergıa medida en el infinito por unidad de masa y el momento angular de rotacion porunidad de masa alrededor del eje Z de esta (en el caso de que la partıcula no tenga masa,son su energıa medida en el infinito y su momento angular totales).

Por otro lado, sabemos que la simetrıa rotacional de Schwarzschild es completa, y nosolamente alrededor del eje Z. En realidad hay otros dos vectores de Killing indepen-dientes asociados a las simetrıas de rotacion alrededor de los ejes X e Y que implican laconservacion de las otras dos componentes del momento angular. Sin embargo, nuestrascoordenadas no estan adaptadas tan claramente a esas simetrıas y por ello su forma y suobtencion no son tan evidentes. Los tres vectores de Killing independientes asociados a lainvariancia bajo rotaciones satisfacen un algebra de SO(3) con las relaciones de conmuta-cion siguientes: [

laµ, lb

µ

]= εabclc

µ. (2.11)


2.2.2 Observadores estacionarios y estaticos

Los vectores de Killing nos permiten ademas definir de forma muy general los siste-mas estacionarios dentro de una metrica dada: un sistema estacionario es todo aquel quese mueve siguiendo una trayectoria siempre tangente a un campo vectorial de Killingcualquiera. Este tipo de observador se mueve, pero no observa cambios en el espacio-tiempo de su vecindad. En el caso de Schwarzschild, debido a la simetrıa esferica, siemprepodrıamos suponer que el plano de movimiento de un observador estacionario es parale-lo al plano ecuatorial, de modo que el vector trayectoria mas general de dicho observadorserıa

uµestacionario =

1N

(kµ + Ωlµ) , (2.12)

donde Ω es una constante correspondiente con la velocidad angular de dicho observadormedida por otro que se encuentra en el infinito y N es una constante de normalizacion. Es-ta forma del vector tangente quiere decir que un observador estacionario en dicho espaciosigue trayectorias circulares concentricas con el centro del agujero negro.

Ademas, partiendo de esta definicion de observador estacionario, podemos expresarun concepto mas en funcion de los vectores de Killing: el de observador estatico. Unobservador estacionario es estatico respecto a otro observador estacionario si ambos si-guien una trayectoria dada por el mismo campo de Killing. A lo largo del presente trabajonos van a interesar especialmente los observadores asintoticos inerciales (aquellos conr → ∞). Puesto que kµes el unico vector de Killing que tiende a volverse un vector tempo-ral de norma unidad en el infinito (es decir, un vector que puede representar la trayectoriade una partıcula con masa, con norma positiva kµkµ > 0), podemos afirmar que dichos ob-servadores asintoticos siguen una trayectoria dada por este vector, y por tanto cualquiersistema estatico respecto a ellos tambien lo seguira.

uµestatico = kµ. (2.13)

Es decir, el caso Ω = 0 de la ecuacion 2.12. Es por tanto, como cabrıa esperar intuiti-vamente, la trayectoria de un observador completamente quieto, cuyas coordenadas r, θ

y ϕ no varıan con el tiempo, xµ = (t, r0, θ0, ϕ0). Consideraremos por tanto como estatico(respecto al observador en el infinito) a cualquier observador cuya trayectoria venga dadapor 2.13.

2.3 Estructura causal

2.3.1 Singularidades fısicas y de coordenadas

Se puede comprobar a simple vista que hay algunos valores de r que provocan una di-vergencia en la metrica de Schwarzschild 2.2. Estos son r = 0, r = 2M. Sin embargo,no podemos saber a simple vista si una singularidad en la metrica es real o debida a laeleccion de coordenadas.

Las singularidades que son independientes del sistema de coordenadas escogido yque siempre aparecen en la metrica (y por lo tanto son realidades fısicas) se conocen co-mo singularidades fısicas. Puesto que es imposible conocer la forma de la metrica en losinfinitos sistemas de coordenadas generalizadas posibles, se puede afirmar que una sin-gularidad es de este tipo si aparece en uno de los invariantes de curvatura, cantidades


relacionadas con los tensores de curvatura y que por su caracter escalar son invarian-tes bajo cambios de coordenadas. El invariante de Kretschmann RµνρλRµνρλ, donde Rµνρλ

es el tensor de curvatura de Riemann, es uno de estos invariantes, y para la metrica deSchwarzschild toma la forma RµνρλRµνρλ = 48M2/r6, de modo que podemos afirmar quer = 0 es una singularidad fısica y el espacio-tiempo tiene curvatura infinita en ese punto.[4]

Por otro lado, las singularidades que dependen del sistema de coordenadas reciben elnombre de singularidades de coordenadas. Para afirmar que una singularidad pertenecea esta categorıa simplemente tenemos que encontrar un sistema de coordenadas en elque la singularidad desaparezca de la metrica. En nuestro caso, la singularidad en r =

2M desaparece cuando cambiamos al sistema de coordenadas de Eddington-Finkelstein,dadas por el cambio de variable υ = t + 2M ln(r− 2M). En ellas, la metrica toma la forma

ds2 =

(1− 2M

r

)dυ2 +

4Mr

dυdr−(

1 +2M

r

)dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdϕ2, (2.14)

que evidentemente ya no diverge en r = 2M. Podemos concluir por lo tanto que esta esuna singularidad de coordenadas. Sin embargo, como vamos a ver, la superficie esfericadefinida por ese valor de r sı que tiene significado fısico.

2.3.2 Horizonte de sucesos

El celebre horizonte de sucesos es la superficie de no retorno del agujero negro. Fuerade ella, cualquier partıcula emitida en la direccion apropiada puede escapar al infinito.En su interior, ni siquiera partıculas sin masa (fotones) pueden escapar, y cualquier fotonemitido justo sobre esta superficie se mantendra en movimiento estacionario sobre ella.Se tiene por tanto que cualquier observador que viaje mas alla del horizonte de sucesosperdera completamente su capacidad de influir al exterior, se habra roto el contacto cau-sal.

Se define, pues, como la superficie a partir de la cual ningun observador puede serestacionario y esta destinado a caer en la singularidad, por lo que si nos atenemos a nues-tra definicion de estacionariedad en funcion de los vectores de Killing, tenemos que elhorizonte de sucesos es la superficie a partir de la cual ningun campo de Killing es de tipotemporal, a partir de la cual ningun campo de Killing puede representar la trayectoria deuna partıcula.

En el caso de Schwarzschild, donde los vectores de Killing vienen dados por 2.12,tenemos que sobre el horizonte de sucesos

u2Estacionario =

1N2 (kµ + Ωlµ)

(kµ + Ωlµ

)= 0, (2.15)

lo que nos lleva a la condicion siguiente, teniendo en cuenta que uµuµ = uµgµνuν:

gtt + Ω2gϕϕ = 0 −→ Ω = ±√− gtt

gϕϕ= ±

√r− 2Mr3 sin2 θ

. (2.16)

Puesto que la velocidad angular ha de ser un numero real, el horizonte de sucesosvendra dado por una superficie esferica de radio

rHS = 2M (2.17)


dentro de la cual no existiran valores permitidos de Ω y por tanto no habra observadoresestacionarios.

Observamos en la ecuacion 2.2 que al atravesar el horizonte de sucesos, se produceun cambio en los signos de gtt y grr. Este cambio de signo se puede interpretar como quela coordenada t pasa a ser de tipo espacial, mientras que r pasa a ser de tipo temporal(recordemos que en la metrica de Minkowski las componentes espaciales tienen signo ne-gativo mientras que la componente temporal es positiva). Esta interpretacion nos permitedar un nuevo enfoque a la inevitabilidad de la singularidad: r = 0 es inevitable porque alatravesar el horizonte pasa a formar parte del futuro del sistema.

2.3.3 Superficie de lımite estacionario

La superficie de lımite estacionario es la superficie a partir de la cual ningun observadorpuede permanecer estatico respecto a un sistema de referencia inercial, de modo que alatravesarla el vector de Killing que asociamos a este observador estatico deja de ser de tipotemporal (es decir, con norma positiva, requisito indispensable para el vector trayectoriade cualquier partıcula con masa).

En el caso de Schwarzschild, donde hemos dicho que la estaticidad viene dada por elvector 2.13, tendrıamos lo siguiente sobre la superficie de lımite estacionario:

u2Estatico = kµkµ = 0, (2.18)

lo que nos lleva a la condicion

gtt = 0 −→(

1− 2MrLE

)= 0. (2.19)

Se tiene finalmente que la superficie de lımite estacionario es una superficie esfericade radio

rLE = 2M. (2.20)

Notese que, debido a la ecuacion 2.19 y teniendo en cuenta 2.5, tenemos que la super-ficie de lımite estacionario es tambien una superficie de corrimiento al rojo infinito, ya quesi el emisor se encuentra sobre ella, la frecuencia de su senal tendera a 0 para un receptorexterno.

Tenemos por tanto que, si bien tienen definiciones y propiedades distintas, la superfi-cie de lımite estacionario y el horizonte de sucesos coinciden en el caso del agujero negrode Schwarzschild, donde estan constituidas por una esfera de radio 2M (¡Coincidente conla singularidad de coordenadas encontrada en 2.2.1!).

Cabe preguntarse por que entonces hemos definido ambas superficies de forma inde-pendiente. Veremos en proximas secciones como ambas son superficies completamentedistinguibles y separadas en el caso del agujero negro de Kerr, y la region entre ambasposeera una serie de caracterısticas muy interesantes.

2.4 Geodesicas

Las geodesicas son curvas de especial importancia en una variedad diferenciable. Geometri-camente hablando, son las curvas de mınima distancia entre dos puntos dados, ası como


las curvas a lo largo de las cuales su vector tangente se mantiene siempre paralelo a sı mis-mo (paralelo bajo los terminos de la curvatura del espacio).

Ademas de sus propiedades matematicas, las geodesicas son fundamentales en la des-cripcion fısica de un espacio-tiempo: son las curvas que minimizan la accion para unametrica dada, y por lo tanto describen el movimiento de partıculas libres (en ausencia depotenciales externos) en dicho universo. El Lagrangiano para partıculas libres (modulomasa) viene dado por

L =12

gµν xµ xν, (2.21)

donde el punto (a) implica derivacion respecto al parametro τ de la trayectoria de lapartıcula en cuestion. La ecuacion de Euler-Lagrange asociada a la coordenada σ-esimaes

ddτ

[∂L∂xσ

]=

∂L∂xσ

. (2.22)

Podemos ademas expresar las ecuaciones en terminos de los momentos conjugados,pσ = ∂L

∂xσ , de modo que la ecuacion 2.22 queda como

dpσ

dτ=

∂L∂xσ

. (2.23)

En esta forma, es evidente que los momentos conjugados seran constantes de movi-miento cuando el Lagrangiano no dependa de la coordenada en cuestion.

Para la metrica de Schwarzschild, el Lagrangiano toma la forma siguiente:

L =12

[(1− 2M

r

)t2 −

(1− 2M

r

)−1

r2 − r2θ2 − r2 sin2 θϕ2

]. (2.24)

La no dependencia de 2.24 con las coordenadas t y ϕ nos indica que sus momentoscanonicos conjugados son constantes de movimiento,

pt =(1− 2M

r

)t = E

pϕ = −r2 sin2 θϕ = −LZ.(2.25)

Recuperamos por tanto lo que ya sabıamos del analisis de los vectores de Killing en elapartado 2.2. En realidad, como ya discutimos entonces, debido a la simetrıa esferica delsistema, las tres componentes del momento angular son constantes de movimiento, perosolo una aparece de forma directa en las ecuaciones de Euler-Lagrange ya que nuestrascoordenadas estan adaptadas solo a esta. Por el teorema de Noether, sabemos que cadasimetrıa continua tiene asociada una cantidad conservada, y en este caso la conservacionde la energıa se debe a la invariancia temporal y la del momento angular a la invarianciabajo rotaciones para la metrica de Schwarzschild.

Ademas, puesto que el Lagrangiano es proporcional al modulo de la cuadrivelocidadde la partıcula (L = 1

2 gµν xµ xν = 12 xν xν = 1

2 x2), tenemos que aplicar la condicion extra deque:

Para partıculas sin masa, su trayectoria ha de ser de tipo nulo, por lo que x2 = 0 −→L = 0.

11 3 EL AGUJERO NEGRO DE KERR

Para partıculas con masa, la trayectoria ha de ser de tipo temporal, x2 > 0, y ademassabemos que el parametro τ coincidira con el tiempo propio de la partıcula cuandose cumpla x2 = 1 −→ L = 1

2 (esto es lo que se conoce como parametrizacion afın).

En general, tenemos que

L =12

δ (2.26)

con δ = 0, 1 dependiendo de si es una geodesica nula o temporal. El parametro δ es portanto una constante relacionada con el tipo de geodesica, con el hecho de que la partıculatenga masa o no.

Las otras dos ecuaciones de movimiento para el Lagrangiando de Schwarzschild serıan

2rrθ + r2θ = r2 sin θ cos θϕ2(1− 2M

r

)−1 r =(1− 2M

r

)−2 Mr2 r2 − M

r2 t2 + r(θ2 + sin2 θϕ2) .

(2.27)

De la ecuacion angular se puede deducir facilmente que una geodesica en el planoecuatorial se mantiene en el plano ecuatorial (θ = π

2 , θ = 0, θ = 0 satisface las ecuaciones).Por la simetrıa esferica, podemos escoger cualquier plano que contenga la singularidadcomo plano ecuatorial, de modo que tenemos que cualquier geodesica en el espacio deSchwarzschild esta contenida en un plano que pasa por el origen. Podemos trabajar portanto en el plano ecuatorial sin perder generalidad. Aplicando esta condicion a la ecuacion2.26, y expresando t y ϕ en funcion de sus constantes de movimiento asociadas en 2.25,llegamos a la ecuacion geodesica radial,

r2 − E2 +

(1− 2M

r

)(δ +

L2

r2

)= 0, (2.28)

que junto con las ecuaciones 2.25 nos permite estudiar cualquier geodesica en el espaciode Schwarzschild.

3 El agujero negro de Kerr

La solucion de Schwarzschild es de una utilidad teorica enorme debido a su sencillez ya que nos permite introducir numerosos conceptos de fundamental importancia. Sin em-bargo, no es una solucion fısicamente realista, ya que los objetos estaticos y esfericamentesimetricos no abundan en nuestro universo. Necesitamos de una metrica mas sofisticadaque describa el espacio-tiempo generado por objetos en rotacion, mucho mas apta paradescribir una enorme variedad de sistemas astrofısicos.

El primer avance en esta direccion se produjo pocos anos despues de la publicacion delas ecuaciones de campo de Einstein, en 1918, cuando Lense y Thirring encontraron unasolucion en el lımite de campo debil, es decir, valida solamente en el lımite r → ∞, paraun sistema con masa m y momento angular J [3]:

ds2 =[1− 2GNm

r + O( 1

r2

)]dt2 +

[4GN J sin2 θ

r + O( 1

r2

)]dtdϕ

−[1 + 2GNm

r + O( 1

r2

)]dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdϕ2.

(3.1)

Esta metrica ha sido probada experimentalmente y es perfectamente valida para lamayorıa de situaciones del sistema solar. Sin embargo, en otros escenarios astrofısicos,

3 EL AGUJERO NEGRO DE KERR 12

tales como las cercanıas de estrellas de neutrones o agujeros negros generados por el co-lapso de estrellas en rotacion, es necesaria una solucion completa no asintotica, validapara “campo fuerte”. Esta solucion, que constituye el objeto central de estudio de estetrabajo, es la metrica de Kerr, obtenida por Roy Kerr en 1963.

3.1 La metrica de Kerr en distintos sistemas de coordenadas

No vamos a incluir la obtencion de la solucion de Kerr, ya que esto supondrıa mas dela mitad del grueso del presente trabajo, ademas de ser necesaria la introduccion de unformalismo matematico de gran complejidad. El proceso detallado de obtencion de estametrica se encuentra en [2]. Nos limitaremos a comentar que para su obtencion, debido ala presencia de rotacion, se ha de imponer estacionariedad y simetrıa axial, en contrapo-sicion con la estaticidad y simetrıa esferica de Schwarzschild. Se trata, igual que esta, deuna solucion para el vacıo (Tµν = 0).

3.1.1 Las coordenadas de Boyer-Lindquist

El sistema de coordenadas que utilizaremos principalmente a lo largo de nuestro estudioes el de las coordenadas de Boyer-Lindquist, que es en cierto modo el equivalente en Kerra las coordenadas de Schwarzschild 2.2, y en el cual la metrica toma la forma

ds2 =[1− 2Mr

r2+a2 cos2 θ

]dt2 +

[4Mra sin2 θr2+a2cos2θ

]dtdϕ−

[r2+a2 cos2 θr2−2Mr+a2

]dr2

−(r2 + a2 cos2 θ

)dθ2 −

[r2 + a2 + 2Mra2 sin2 θ

r2+a2 cos2 θ

]sin2 θdϕ2.

(3.2)

En ella, M y a son constantes de integracion que caracterizan nuestro sistema, cuyosignificado fısico es facilmente deducible si estudiamos el comportamiento asintotico conr grande realizando desarrollos en serie de Taylor de los elementos de la metrica hasta losprimeros ordenes en 1

r , en cuyo caso tenemos que

ds2 =[1− 2M

r + O( 1

r3

)]dt2 +

[4Ma sin2 θ

r + O( 1

r3

)]dtdϕ

−[1 + 2M

r + O( 1

r2

)]dr2 − r2 (1 + O

( 1r2

))dθ2 − r2 (1 + O

( 1r2

))sin2 θdϕ2.

(3.3)

Comparando esta expresion con 3.1, obtenemos de forma directa que M = GNm secorresponde (salvo constante) con la masa del objeto que genera la metrica y a = J/m essu momento angular por unidad de masa. Con esto en mente, podemos realizar variasobservaciones.

En primer lugar, si tomamos a→ 0, podemos comprobar a simple vista que recupera-mos la metrica de Schwarzschild 2.2. Esto tiene sentido, puesto que en este lımite estamoseliminando la rotacion y recuperando la simetrıa esferica.

Por otro lado, si tomamos M→ 0, obtenemos la siguiente metrica:

ds2 = dt2 −[

r2 + a2 cos2 θ

r2 + a2

]dr2 −

(r2 + a2 cos2 θ

)dθ2 −

(r2 + a2) sin2 θdϕ2. (3.4)

Esperarıamos en este lımite recuperar la metrica de Minkowski, y eso es precisamentelo que ha ocurrido, aunque no lo parezca a simple vista. El resultado obtenido no es mas


Figura 1: Coordenadas esferoidales oblatas en el espacio, proyectadas en un plano ϕ = cte.Se puede observar la forma de las superficies de r = cte y θ = cte, ası como el disco deradio a correspondiente a r = 0. [4]

que el elemento de lınea del espacio plano en un sistema de coordenadas concreto, lascoordenadas esferoidales oblatas, relacionadas con las cartesianas de la siguiente manera:

x =√

r2 + a2 sin θ cos ϕ,y =√

r2 + a2 sin θ sin ϕ,z = r cos θ.

(3.5)

Este es por tanto el sistema de coordenadas propio de un observador en el infinito.En estas coordenadas, las superficies de r = cte tienen forma de esferoides oblatos, node esfera, ya que esta no es la coordenada de esfericas sino que cumple x2 + y2 + z2 =

r2 + a2 sin2 θ. De esta expresion se puede apreciar que r = 0 es un disco de radio a y noun punto como ocurrirıa en coordenadas esfericas. Las superficies θ = cte, por otro lado,forman hiperboloides. Todo ello viene ilustrado por la figura 1

Es destacable ademas que, en coordenadas de Boyer-Lindquist, el tiempo coordenadot coincide una vez mas con el tiempo propio de un observador en el infinito, tal y comose aprecia en 3.4.


3.1.2 Las coordenadas de Kerr-Schild

Otro sistema de coordenadas de utilidad es el de Kerr-Schild, que se relaciona con Boyer-Lindquist a traves del cambio de coordenadas

dt = dt + 2Mrr2−2Mr+a2 dr,

x = (r cos ϕ + a sin ϕ) sin θ,y = (r sin ϕ− a cos ϕ) sin θ,

z = r cos θ.

(3.6)

La forma explıcita de la metrica expresada a traves del elemento de lınea es

ds2 = dt− dx− dy− dz,

− 2Mr3

r4+a2z2

[dt + r(xdx+ydy)

a2+r2 + a(ydx−xdy)a2+r2 + z

r dz]

.(3.7)

En esta expresion, r no es ya una coordenada sino una funcion de coordenadas r (x, y, z),si bien coincide con la r de Boyer-Lindquist.

En el lımite M → 0 recuperamos, como es de esperar, el espacio plano de Minkowskien coordenadas cartesianas.

La forma de la metrica en Kerr-Schild tiene la forma general

ds2 = ηµνdxµdxν − λlµlνdxµdxν. (3.8)

donde se cumple que lµ es un vector nulo respecto a la metrica de Minkowski ηµνlµlν = 0.Este tipo de descomposicion para una metrica general recibe el nombre de descomposi-cion de Kerr-Schild, y nos permite visualizar la metrica como una perturbacion del plano.En el caso particular de la metrica de Kerr, tenemos

λ = 2Mr3

r4+a2z2 ,

lµ =(

1, rx+aya2+y2 , ry−ax

a2+y2 , zr

).

(3.9)

3.2 Vectores de Killing y simetrıas en Kerr

Podemos fijarnos en la forma de la metrica de Kerr en coordenadas de Boyer-Lindquistpara estudiar a simple vista sus simetrıas. En primer lugar, podemos apreciar la no depen-dencia de la metrica con las coordenadas t y ϕ. Efectivamente, existen simetrıas continuasasociadas a la invariancia bajo traslaciones temporales y bajo rotaciones, cuyos vectoresde Killing asociados toman una forma muy sencilla en este sistema de coordenadas:

kµ = δµt = (1, 0, 0, 0) ,

lµ = δµϕ = (0, 0, 0, 1) .

(3.10)

Sin embargo, en este caso no existen mas vectores de Killing escondidos, poco evi-dentes por la eleccion de coordenadas: las simetrıas mencionadas son las unicas simetrıascontinuas presentes en el agujero negro de Kerr. A diferencia del caso de Schwarzschild,no hay invariancia bajo rotaciones alrededor de ningun otro eje. Tal y como comentamos,la metrica posee simetrıa axial y no esferica: existe un eje privilegiado, el eje de rotaciondel agujero negro.


Las cantidades conservadas asociadas a los vectores 3.10 son (recordemos que xµ =(t, r, θ, ϕ

))

kµ xµ =[1− 2Mr

r2+a2 cos2 θ

]t +[

2Mra sin2 θr2+a2 cos2 θ

]ϕ = E,

lµ xµ =[


]t−[r2 + a2 + 2Mra2 sin2 θ

r2+a2 cos2 θ

]sin2 θϕ = −LZ.

(3.11)

Una vez mas, si x es la trayectoria de una partıcula, podemos asociar E a su energıamedida en el infinito y LZ a su momento angular alrededor del eje de rotacion del agujeronegro, ambos normalizados a la masa de la partıcula.

Existe una simetrıa mas, dada por la invariancia de la metrica bajo la transformaciondt −→ −dt

dϕ −→ −dϕ(3.12)

Esta simetrıa, sin embargo, es discreta y por tanto no tiene asociada a ella ni un vectorde Killing ni una cantidad conservada. El hecho de que la metrica no se mantenga inva-riante bajo inversiones temporales, sino que sea necesario recurrir a una inversion angularsimultanea, nos dice que la metrica de Kerr no es estatica, sino estacionaria.

Conocidos ya los vectores de Killing, sabiendo que la trayectoria de un sistema esta-cionario ha de venir dada por un vector de Killing cualquiera, tenemos

uµEstacionario =

1N

(kµ + Ωlµ) . (3.13)

Ω sigue estando relacionada con la velocidad angular de dicho sistema respecto a unobservador inercial en el infinito. Una vez mas, la trayectoria de un observador estaciona-rio es circular alrededor del eje de rotacion del agujero negro. Por tanto, la trayectoria deun sistema estatico respecto a dicho observador sera

uµEstatico = kµ, (3.14)

de modo que un observador estatico sera de nuevo aquel cuyas coordenadas r, θ y ϕ nocambian con el tiempo. Estos resultados seran de utilidad en el estudio de la estructuracausal, que vamos a desarrollar a continuacion.

3.3 Estructura causal del agujero negro de Kerr

3.3.1 Singularidades

Si nos fijamos en la metrica de Boyer-Linquist, podemos observar la presencia de nume-rosas singularidades. Si calculamos el invariante de Kretschmann, tenemos: [4]

RµνρλRµνρλ =48M2 (r2 − a2 cos2 θ

)(r2 + a2 cos2 θ)6

[(r2 + a2 cos2 θ

)2 − 16r2a2 cos2 θ]

. (3.15)

Este diverge unicamente en el caso r = 0 y θ = π2 , lo cual nos indica que esa singula-

ridad es fısica. Esto no nos confirma nada sobre el resto de singularidades de la metrica3.2, pero sin duda que no aparezcan en este invariante nos sugiere que no son de tipofısico. Esto resulta ser lo correcto ya que, si pasamos a las coordenadas de Kerr-Schild 3.7,


todas estas otras singularidades desaparecen de la metrica. Son por tanto singularidadesde coordenadas.

Si estudiamos la forma de la singularidad fısica del sistema en el marco de coordena-das esferoidales oblatas 3.5 para un observador en el infinito, vemos que r = 0, θ = π

2 secorresponde con un anillo de radio a concentrico con el origen de coordenadas.

3.3.2 Horizontes de sucesos

Como ya explicamos en la seccion 2.3.2, el horizonte de sucesos es la superficie a partirde la cual ningun observador puede permanecer estacionario. Por lo tanto, aplicando elmismo metodo que utilizamos entonces, tenemos que sobre el horizonte de sucesos elvector 3.13 dejara de ser de tipo temporal.

La ecuacion a la que llegamos es completamente equivalente a 2.15, pero en este casola presencia de un termino cruzado en la metrica hace que la condicion sobre Ω no sea tansencilla de resolver:

gtt + 2Ωgtϕ + Ω2gϕϕ ≥ 0. (3.16)

Resolver esta ecuacion de segundo grado nos lleva a

Ω± = −gtϕ

gϕϕ±

√(gtϕ

gϕϕ

)2

− gtt

gϕϕ. (3.17)

Podemos entonces encontrar el horizonte de sucesos buscando la condicion que haceque no haya ningun valor posible para esta velocidad angular: tenemos que buscar la su-perficie sobre la cual el radicando de 3.17 se anula. Esto nos lleva a la siguiente condicion:

g2tϕ − gttgϕϕ = 0. (3.18)

Sustituyendo los correspondientes elementos de la metrica 3.2 y expresando la con-dicion obtenida de una forma un poco mas amigable, llegamos a que 3.18 es equivalentea: (

r2 − 2Mr + a2) (r2 + a2 cos2 θ)2

= 0 (3.19)

El segundo factor se anula unicamente en la singularidad, por lo que no nos preocu-paremos mas por el. El primer factor es una ecuacion de segundo grado en r que sı nos dasoluciones no triviales:

R± = M±√

M2 − a2 (3.20)

Llegamos por tanto a un resultado sorprendente: Kerr posee dos horizontes de sucesosen lugar de uno. Ambos tienen forma elipsoidal y nos referiremos a ellos a partir de ahoracomo horizonte exterior (correspondiente a R+) y horizonte interior (correspondiente aR−).

Merece la pena, antes de continuar, estudiar los posibles casos que emanan de la ecua-cion 3.20 en funcion de la relacion entre M y a:

Caso subextremal: a < M. Existen dos horizontes de sucesos bien diferenciados.Para R− < r < R+, no existe ningun vector de Killing de tipo temporal y por lo tantoes imposible llevar una trayectoria estacionaria: cualquier partıcula que atravieseel primer horizonte se vera obligada a avanzar inexorablemente hasta alcanzar elsegundo horizonte, momento en el cual la estacionariedad vuelve a ser posible.


Caso extremal: a = M. La ecuacion 3.20 tiene una raız doble en r = M. Este casoes un lımite teorico poco realista. Ambos horizontes quedarıan superpuestos, demodo que es imposible para un sistema con masa permanecer estacionario sobre lasuperficie, pero es perfectamente posible a cualquier lado de esta.

Caso sobreextremal: a > M. No existen soluciones reales para R±, de modo queno hay horizonte de sucesos y la singularidad queda desnuda. Los espacios consingularidades desnudas son altamente patologicos, debido a que la singularidades capaz de influenciar causalmente y de forma incontrolada a cualquier punto delespacio-tiempo. En 1969 Roger Penrose propuso una solucion este problema enun-ciando la conocida como conjetura de la censura cosmologica (no demostrada), queafirma que es imposible que en condiciones normales se forme una singularidad sinun horizonte que la recubra.

Nos centraremos por lo tanto en el caso subextremal de ahora en adelante, ya que es elmas relevante a nivel fısico.

3.3.3 Arrastre de sistemas inerciales

Este efecto de la curvatura, conocido en ingles como frame-dragging, tiene que ver con elarrastre rotatorio que sufren los sistemas que se aproximan al agujero negro de Kerr, inclu-so si tienen momento angular nulo. Este efecto no existe en Schwarzschild ya que, comoveremos, se debe al termino cruzado gtϕ de la metrica en coordenadas Boyer-Lindquist.

Para un sistema de referencia inercial en el infinito, la velocidad angular de una partıcu-la cualquiera viene dada por

Ω =dϕ

dt=

ϕ

t(3.21)

Supongamos ahora que tenemos una partıcula con momento angular nulo alrededordel eje de rotacion del agujero negro, LZ = 0. Por la expresion 3.11, esto implica quegtϕ t + gϕϕ ϕ = 0. Sabiendo esto, y sustituyendo en la expresion 3.21, tenemos que, parasistemas con momento angular nulo:

Ω0 = −gtϕ

gϕϕ(3.22)

Esta expresion no se anula en general, salvo para θ = 0, π, r = 0 y r → ∞. Tenemospor lo tanto que partıculas con momento angular nulo son arrastradas por el giro (“twist”)del espacio-tiempo alrededor de la singularidad. Puesto que gϕϕ y gtϕ dependen de r yθ, la fuerza de este arrastre dependera de la posicion del sistema. En particular, para elplano ecuatorial (θ = π

2 ):

Ω0,Eq =2Ma

r3 + a2r + 2Ma2 (3.23)

Una partıcula lanzada desde el infinito con velocidad unicamente radial comenzara a serarrastrada por el espacio-tiempo y terminara girando en la misma direccion que el propioagujero negro. Este efecto queda ilustrado en la figura 2

Mas aun, si nos fijamos en la ecuacion 3.17, nos damos cuenta de que los valores deΩ± nos dan una cota superior e inferior a los posibles valores de la velocidad angular deun observador estacionario en cada punto del espacio, y pueden ser tanto positivos como


Figura 2: Representacion del efecto de arrastre de sistemas inerciales (frame dragging) sobreel plano ecuatorial del agujero negro de Kerr [13]

negativos dependiendo de si la rotacion se produce a favor o en contra de la del agujeronegro. El punto medio entre ellos es el valor de la velocidad angular Ω0 para un sistemacon momento angular nulo, que acabamos de hallar.

Ω− < ΩEstacionario < Ω+

Ω0 = 12 (Ω+ + Ω−)

(3.24)

3.3.4 Superficies de lımite estacionario: Ergosfera

El efecto de frame-dragging nos sugiere que, a partir de cierto punto, la fuerza de arrastresera tal que no habra ningun sistema capaz de mantenerse estatico respecto a un observa-dor lejano y se vera obligado a acompanar al agujero negro en su giro. Esto supone, porsupuesto, que en ese punto se encuentra la superficie de lımite estacionario. Sabiendo quela trayectoria de un sistema estatico viene dada por 3.14, vamos a calcular la posicion deesta superficie utilizando el mismo metodo que en el apartado 2.3.3.

La norma de uµEstatico es, pues,

k2 = kµkµ = gµνkµkν = gtt. (3.25)

En la superficie de lımite estacionario tendremos

k2 = 0 = gtt −→ 1− 2Mrr2 + a2 cos2 θ

= 0. (3.26)

Esta condicion nos lleva a una ecuacion de segundo grado que tiene por tanto dossoluciones para r, vease:

S± = M±√

M2 − a2 cos2 θ. (3.27)


Figura 3: Corte plano del espacio de Kerr, en coordenadas cartesianas, con la coordenadaZ en el eje vertical y la distancia a dicho eje en el horizontal. Se muestran las posicionesde las ergosuperficies y los horizontes, calculadas computacionalmente para a = 0.99 ym = 1.0. Se puede apreciar la forma elipsoidal de los horizontes (en terminos de la metricaplana) y la forma mas compleja de las superficies de lımite estacionario, y como coincidenen los polos. La singularidad esta situada en x = a = 0.99, coincidente con el extremo“afilado” de la ergosuperficie interior.

Hemos llegado a un resultado similar al de los horizontes de sucesos: el agujero negrode Kerr tiene dos superficies de lımite estacionario. Es posible obtener este mismo resul-tado si expresamos la incapacidad del sistema para mantenerse estatico imponiendo quela velocidad angular mınima sobre estas superficies sea nula Ω > 0 → Ω− = 0, es decir,que a partir de ellas todo sistema se vea obligado a orbitar alrededor del agujero negro ya favor de la rotacion intrınseca de este. De este modo se obtiene la misma condicion 3.26sobre el elemento tt de la metrica.

Tenemos por lo tanto que para S− < r < S+, ningun sistema puede permanecer estati-co respecto a un observador inercial en el infinito, pero sı es posible para r > S+ y r < S−.Ademas, se puede comprobar a simple vista que 0 < S− ≤ R− < R+ ≤ S+. Llamaremos alas superficies definidas por S± ergosuperficies, y a la region entre la ergosuperficie exte-rior y el primer horizonte de sucesos, ergosfera o ergorregion. Esta nomenclatura cambiadependiendo del autor y no existen terminos globalmente aceptados.

En lo concerniente a la forma de las ergosuperficies, vemos que no tienen forma elip-soidal ya que su coordenada r (dada por S) depende de θ. Para la ergosuperficie exterior,la mayor extension se alcanza en el ecuador (θ = π

2 ), donde S+ = 2M, mientras que enlos polos (θ = 0, π) , la ergosuperficie y el horizonte de sucesos se tocan, S+ = R+. Enel caso de la ergosuperficie interior, esta coincide con la singularidad en el ecuador, don-de se tiene S− = 0 (recordemos que esto no implica que la ergosuperficie sea un punto,ya que r no representa la coordenada radial de esfericas); en los polos, por otro lado, laergosuperficie toca una vez mas al horizonte de sucesos, al tenerse S− = R−.

Esta estructura global es representada en la figura 3.


Como hemos dicho, es posible que un observador se mantenga estatico respecto a otroque se encuentra en el infinito cuando se encuentra fuera de la ergosfera. Para observado-res como esos, podemos encontrar una expresion para el corrimiento al rojo gravitatorioequivalente a la expresion 2.5 que encontramos en el caso de Schwarzschild. Esta serıa

νE

νR=

√(gtt)R(gtt)E

=

√1− 2MrR/(r2

R + a2 cos2 θR)

1− 2MrE/(r2E + a2 cos2 θE)

. (3.28)

De nuevo, la superficie de lımite estacionario es ademas una superficie de corrimientoal rojo infinito: si el emisor se encuentra arbitrariamente cerca de la ergosuperficie, lafrecuencia medida por el receptor se hara arbitrariamente pequena.

3.3.5 El proceso de Penrose

Debido a las propiedades de la ergosfera, existe una manera de extraer trabajo de unagujero negro tipo Kerr, hecho al que la ergosfera le debe su nombre (ergos es la palabragriega para trabajo). Procedemos a presentar de manera anecdotica este proceso, que seconoce como proceso de Penrose y fue ideado por Roger Penrose en 1969. Se basa enel hecho de que es posible que una partıcula posea energıa negativa en el interior de laergosfera, medida por un observador asintotico.

Partiendo de la expresion 3.11 para la energıa, la condicion para que esta sea negativaes

ϕ < − r2 − 2Mr + a2 cos2 θ

2Mra sin2 θt. (3.29)

En concreto, para el plano ecuatorial θ = π2 y sabiendo que Ω = ϕ/t, tenemos que

Ω < Ω∗ = − r− 2M2Ma

. (3.30)

Tenemos por tanto una cota superior para la velocidad angular permitida a un siste-ma estacionario para tener una energıa negativa. Sin embargo, sabemos que no todos losvalores de velocidad angular estan permitidos a un sistema estacionario, sino que se hade cumplir 3.24. Por tanto, las energıas negativas solo estan permitidas donde se cumplaque Ω− < Ω∗, y es comprobable que esto solo se cumple en el interior de la ergosfera(R+ < r < S+), tal y como se ilustra en la figura 4

El proceso de Penrose puede realizarse entonces del siguiente modo: supongamos quelanzamos una partıcula A hacia el interior de la ergosfera, de modo que A tiene obviamen-te energıa en el infinito positiva. Cuando se encuentra en la ergosfera, A se desintegra endos partıculas, B y C, de modo que C cae en el horizonte de sucesos y B consigue escaparal infinito. Por conservacion del cuadrimomento, tenemos:

pµA = pµ

B + pµC →

EA = EB + ECLA = LB + LC

(3.31)

De este modo, si conseguimos que C sea generada con la velocidad angular apropia-da, tendra energıa y momento angular negativos EC, LC < 0 y la partıcula B alcanzarıael infinito con una energıa mayor que la energıa de A, EB = EA − EC > EA: ¡estarıamosextrayendo energıa del agujero negro! Sin embargo, este proceso no se podrıa realizar


Figura 4: Los valores permitidos de velocidad lineal para una partıcula estacionaria, cal-culada como rΩ en todos los casos, se encuentran entre v− y v+. En morado, se dibujala curva de velocidad lineal maxima permitida a un sistema para que tenga energıa ne-gativa, v∗. La unica region en la que dichos valores de energıa son posibles es donde v∗

se encuentra entre v− y v+, cosa que ocurre solamente en la ergosfera. La grafica ha sidodibujada asumiendo movimiento en el plano ecuatorial, y tomando como valores numeri-cos M = 1.0 y a = 0.99.

indefinidamente: ademas de la disminucion de su masa debida a la energıa negativa lan-zada a su interior, su momento angular tambien disminuirıa en una cantidad igual almomento angular de la partıcula absorbida.

∆M = EC∆J = LC

(3.32)

Esta disminucion del momento angular del agujero negro supone una disminucion deltamano de la ergosfera. Si el proceso se repitiera indefinidamente, el momento angulardel agujero negro disminuirıa hasta el punto de que la ergosfera desaparecerıa y el agu-jero negro pasarıa a ser de tipo Schwarzschild, lımite en el que este tipo de proceso deextraccion de energıa se volverıa imposible.

3.3.6 Aproximandonos al agujero negro de Kerr

Para recapitular los conceptos que se han presentado en los ultimos apartados, vamos aplantear una situacion fısica: un astronauta se aproxima al agujero negro de Kerr, sien-do observado en todo momento por su nave, que se encuentra muy lejos de la primeraergosuperficie y a la que manda senales de forma periodica.

En la primera etapa de su viaje, fuera de la ergosfera, se podrıa mover libremente.Conforme se fuera acercando a la ergosuperficie, el periodo de sus senales medido por lanave se irıa alargando progresivamente, debido a la dilatacion temporal y el corrimientoal rojo dados por 3.28. Cuando estuviese muy cerca de la ergosfera pasarıa un tiempoenorme entre senales consecutivas, y la ultima senal mandada justo antes de atravesar la

4 TENSORES DE KILLING Y LA CONSTANTE DE CARTER 22

ergosuperficie tardarıa un tiempo tendiendo a infinito en llegar a la nave. De este modo,desde el punto de vista de la nave el astronauta nunca llegarıa a atravesar la primeraergosuperficie.

Una vez en el interior de la ergosfera, le serıa imposible mantenerse estatico respectoa su nave debido al arrastre de sistemas inerciales, aunque aun podrıa alejarse del agujeronegro y volver a ella, o mantener orbitas cerradas indefinidamente si lo deseara.

Sin embargo, cuando llegase al primer horizonte de sucesos, la atraccion gravitatoriaserıa tal que no podrıa evitar moverse hacia el interior. Le serıa imposible ya mandarningun tipo de senal hacia el exterior, de modo que perderıa todo contacto causal con sunave. No podrıa mantener orbitas cerradas y se tendrıa que mover inexorablemente haciael segundo horizonte de sucesos.

A partir del segundo horizonte de sucesos, no existe consenso sobre lo que le ocu-rrirıa al astronauta. Teoricamente, puesto que recuperarıa la libertad de movimiento enesta region, podrıa acercarse arbitrariamente a la singularidad y aun ası evitar caer enella. Tambien podrıa volver sobre sus pasos y atravesar de nuevo el horizonte R−, sien-do arrastrado hasta R+ y llegando a una nueva region, completamente equivalente a laregion asintoticamente plana de la que partio, pero diferente de esta.

Tiene incluso sentido (a un nivel puramente matematico) hablar de una extensionanalıtica de la solucion de Kerr con r < 0, que se corresponderıa con la region a la quepodrıa acceder el astronauta si pasara a traves del anillo delimitado por la singularidad.Sin embargo, esta region sufrirıa de patologıas causales catastroficas, como curvas tempo-rales cerradas (es decir, capacidad de los observadores de viajar a su pasado), por lo quecasi todos los relativistas la consideran un artefacto matematico sin significado fısico. Masaun, muchos expertos consideran que la parte de la solucion con sentido fısico acaba enr = R+, ya que a partir de entonces cualquier foton lanzado hacia el segundo horizontesufrirıa un corrimiento al azul infinito, lo cual supondrıa que ganarıa una energıa infinitay serıa imposible que tal hecho no cambiara la estructura del espacio tiempo. Por tanto,las regiones mas alla del primer horizonte son demasiado patologicas como para consi-derarlas fısicamente relevantes, por lo que no tiene sentido plantearse que ocurrirıa masalla. [1]

4 Tensores de Killing y la constante de Carter

En esta seccion nos disponemos a presentar unos nuevos conceptos que nos ayudaran acomprender en mayor profundidad las propiedades del agujero negro de Kerr, y nos ayu-daran a encontrar una nueva constante de movimiento que nos facilitara enormemente elestudio de las geodesicas en la siguiente seccion.

4.1 Tensores de Killing

La definicion de vectores de Killing presentada en la seccion 2.2 se puede generalizar deforma sencilla para contemplar objetos matematicos de mayor rango tensorial. En concre-to, nos interesa definir los tensores de Killing dos veces covariantes como aquellos quecumplen la siguiente identidad:

∇µKνρ +∇νKρµ +∇ρKµν = 0. (4.1)

23 4 TENSORES DE KILLING Y LA CONSTANTE DE CARTER

De esta expresion podemos comprobar que, al igual que en el caso de los vectores deKilling, una combinacion lineal arbitraria de tensores de Killing sigue siendo un tensor deKilling.

Sabemos que los vectores de Killing estan asociados a simetrıas de nuestra metrica;sin embargo, en el caso de rango dos, establecer un significado fısico tan claro y elegantees bastante mas complicado. No obstante, comparten con estos su propiedad mas utilen el analisis fısico de un espacio-tiempo: definen cantidades conservadas a lo largo delas trayectorias de las partıculas libres. Sea xµ la cuadrivelocidad de una partıcula quesigue una trayectoria geodesica, entonces para cualquier tensor de Killing Kµν se cumplela siguiente ecuacion:

Kµν xµ xν = Cte. (4.2)

Esto nos sera de enorme utilidad en el estudio de las geodesicas mas adelante.

Podemos definir varios ejemplos triviales de tensores de Killing validos para cualquierespacio-tiempo a partir de la ecuacion 4.1, vease:

La metrica gµν cumple dicha ecuacion de forma trivial, ya que la derivada covariantede cualquiera de sus elementos es siempre nula. Esto supone, utilizando 4.2, que lametrica define una cantidad conservada a lo largo de geodesicas:

gµν xµ xν = x2 = δ. (4.3)

Esta cantidad no es mas que la norma de la cuadrivelocidad que como sabemos es 1para partıculas masivas y 0 para partıculas sin masa. La cantidad conservada asocia-da a la metrica como tensor de Killing esta relacionada con la masa de la partıcula encuestion, hecho mas que evidente si recordamos la relacion entre cuadrivelocidad ycuadrimomento, pµ = mxµ.

Dados dos vectores de Killing cualesquiera kµ y lµ, su producto tensorial Tµν = kµlν

es siempre un tensor de Killing. Para comprobar esto, no tenemos mas que sustituirla definicion de Tµν en 4.1 y utilizar la propiedad 2.8 de los vectores de Killing. Lacantidad conservada asociada a este tensor serıa

Tµν xµ xν = kµlν xµ xν = C(k)C(l). (4.4)

La cantidad conservada no es mas que el producto de las cantidades asociadas acada uno de los vectores de Killing por separado, y por lo tanto Tµν no nos aportaninguna informacion nueva. Este tipo de tensores de Killing triviales no nos va ainteresar.

Queda por tanto la pregunta de si existen tensores de Killing independientes de la metricay de los vectores de Killing ya conocidos, que definan constantes de movimiento indepen-dientes de las definidas por estos. La respuesta depende del espacio-tiempo considerado.En su artıculo On Quadratic First Integrals of the Geodesic Equations for Type 22 Spacetimes,Roger Penrose y Martin Walker demuestran que todas las metricas de un determinadotipo (dentro del cual se encuentran la metrica de Kerr y la de Scharzschild) admiten untensor de Killing de segundo orden siempre y cuando tengan menos de cuatro vectoresde Killing independientes. En el caso de Schwarzschild esto no es posible, ya que poseeexactamente cuatro. Por el contrario, puesto que solo tiene dos vectores de Killing inde-pendientes, la metrica de Kerr admite un tensor de Killing no relacionado con estos y porlo tanto una constante de movimiento mas. [8, 10]


4.2 El tensor de Killing de la metrica de Kerr y la constante de Carter

4.2.1 Calculo del tensor de Killing del espacio de Kerr

En general, la resolucion analıtica de la ecuacion 4.1 en espacios curvos es una tarea te-diosa y en muchas ocasiones practicamente imposible, salvo en casos muy sencillos quecumplen ciertas propiedades geometricas [9]. En algunos artıculos se hallan soluciones demanera indirecta a traves de tecnicas algebraicas muy avanzadas [8]. Sin embaro, encon-trar un tensor de Killing de orden dos es muy sencillo si existe un sistema de coordenadasen el que la metrica inversa es independiente de dos de las coordenadas (que definenvectores de Killing), y su dependencia con las otras dos es de la siguiente forma:

gµν =1

fξ(ξ)− fη(η)(Xµν(ξ) + Yµν(η)) , (4.5)

donde ξ y η son las dos coordenadas en cuestion, las f son funciones escalares y Xµν e Yµν

son tensores simetricos que cumplen Xην = Yξν = 0. En este caso, segun [12], el tensor deKilling buscado toma la forma

Kµν = − 1fξ(ξ)− fη(η)

(fη(η)Xµν(ξ) + fξ(ξ)Yµν(η)

). (4.6)

Que este tensor cumple la ecuacion 4.1 puede ser verificado de forma simple (perolarga y tediosa) mediante calculo directo, utilizando la metrica 4.5 y las propiedades delos tensores X e Y.

Sabiendo que la metrica inversa cumple gµλgλν = δνµ, la metrica inversa de Kerr en

coordenadas de Boyer-Lindquist tiene la siguiente forma:

gtt = 1∆

(r2 + a2 + 2Mra2

Σ sin2 θ)

grr = −∆Σ gθθ = − 1

Σgtϕ = 2Mra

Σ∆ gϕϕ = a2 sin2 θ−∆Σ∆ sin2 θ

.

(4.7)

Todos los demas terminos son nulos. Se ha definido, por simplicidad, ∆ ≡ r2− 2Mr +a2 y Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ. Se puede verificar que la metrica inversa en estas coordenadas esexactamente de la forma 4.5, con ξ = r y η = θ. A traves de un calculo sencillo, podemoscomprobar que los valores las funciones f son:

fr(r) = r2 fθ(θ) = −a2 cos2 θ (4.8)

De modo que 1fr− fθ

= 1Σ . Sabido esto, podemos calcular unıvocamente todas las com-

ponentes de ambos tensores,

Xµν(r) =

(r2+a2)

2

∆ 0 0 2Mra∆

0 −∆ 0 00 0 0 0

2Mra∆ 0 0 a2

∆

(4.9)

y

Yµν(θ) =

−a2 sin2 θ 0 0 0

0 0 0 00 0 −1 00 0 0 −1

sin2 θ

. (4.10)

25 4 TENSORES DE KILLING Y LA CONSTANTE DE CARTER

Los elementos de los tensores en forma matricial siguen el orden de coordenadas(t, r, θ, ϕ).

Ya tenemos todo lo necesario para construir el tensor de Killing, sustituyendo sin masen 4.6:

Kµν =1Σ

a2(

Σ(r2+a2)−2Mr3 sin2 θ

∆

)0 0 2Mra3 cos2 θ

∆

0 −a2∆ cos2 θ 0 00 0 r2 0

2Mra3 cos2 θ∆ 0 0 r2∆+a4 cos2 θ sin2 θ

∆ sin2 θ

(4.11)

Se puede comprobar que cumple la ecuacion 4.1, si bien esto requiere calcular lossımbolos de Cristoffel de la metrica. Este tensor es evidentemente distinto de gµν, de losproductos tensoriales de los vectores de Killing 3.10 y de cualquier combinacion lineal concoeficientes constantes de estos. Hemos encontrado por tanto nuestro tensor de Killingindependiente para la metrica de Kerr.

4.2.2 Lımites del tensor de Killing

Antes de calcular la constante asociada, procedemos a calcular el comportamiento denuestro resultado en los lımites a→ 0 y r → ∞.

Lımite estatico a→ 0. En este caso se tendrıa Σ→ r2 y ∆→ r2− 2Mr, y el resultadofinal serıa:

lima→0Kµν = K′µν =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

sin2 θ

. (4.12)

Este serıa el tensor de Killing equivalente a 4.11 para el espacio de Schwarzschild.Por lo que sabemos, este tensor ha de ser dependiente de los vectores de Killing y,efectivamente, si calculamos la constante asociada, encontramos

K′µν xµ xν = r4θ2 + r4 sin2 θϕ2 = L2 = L2

X + L2Y + L2

Z. (4.13)

La cantidad conservada a lo largo de geodesicas para este tensor es el momentoangular total de la partıcula. Como sabemos que para el espacio de Schwarzschildhay un vector de Killing asociado a la invarianza bajo rotaciones respecto a cadauno de los ejes, llamemoslos lµ

X, lµY y lµ

Z, tenemos entonces que la forma del tensor eneste lımite sera

K′µν = lµ

XlνX + lµ

YlνY + lµ

ZlνZ. (4.14)

Lımite asintotico r → ∞. El tensor tomarıa la forma

limr→∞Kµν = K′′µν =

a2 0 0 00 −a2 cos2 θ 0 00 0 1 00 0 0 1

sin2 θ

. (4.15)


Esta expresion se corresponderıa con el comportamiento de nuestro tensor en elinfinito, asintoticamente plano. La constante asociada serıa

K′′µν xµ xν = a2 t2 − a2 cos2 θr2 + r4θ2 + r4 sin2 θϕ2 = a2E2 − a2 p2

Z + L2, (4.16)

donde se han usado las expresiones del momento lineal y angular en coordenadasesfericas debido a que las coordenadas esferoidales oblatas tienden a estas en el lımi-te r → ∞. Esta cantidad se corresponde con el momento angular total de la partıcula,mas unos terminos que son proporcionales a su energıa y a su momento lineal enel eje Z. En el espacio plano, el momento lineal es tambien una constante de movi-miento, de modo que si llamamos mµ

Z a su vector de Killing asociado, podrıamosescribir 4.15 de la siguiente forma:

K′µν = lµ

XlνX + lµ

YlνY + lµ

ZlνZ + a2 (kµkν −mµ

ZmνZ)

. (4.17)

4.2.3 La constante de Carter

Procedemos ahora a calcular la cantidad conservada a lo largo de geodesicas asociada altensor 4.11.

Sabiendo que xµ = gµν xν =(

gtt t + gtϕ ϕ, grr r, gθθ θ, gϕϕ ϕ + gtϕ t)=(E, grr r, gθθ θ, −LZ

),

tenemos

Kµν xµ xν = Q = r2Σθ2 − a2 cos2 θ Σ∆ r2

+ 1Σ

[a2(

Σ(r2+a2)−2Mr3 sin2 θ

∆

)E2 − 4Mra3 cos2 θ

∆ LZE + r2∆+a4 cos2 θ sin2 θ∆ sin2 θ

L2Z

].

(4.18)

Esta constante Q recibe el nombre de constante de Carter, en honor a su descubridorBrandon Carter.

A partir de la forma 4.18 podemos expresar Q de numerosas maneras diferentes, utili-zando, por ejemplo, x2 = δ = Et + grr r2 + gθθ θ2 − LZ ϕ y las expresiones 3.11 para dejarlaen funcion de una unica componente de la cuadrivelocidad. Esto nos darıa las expresiones

Q = Σ2θ2 + a2 cos2 θδ + a2 sin2 θE2 + L2Z sin−2 θ,

−Q = Σ2

∆ r2 + r2δ− 1∆

[(r2 + a2)2 E2 + a2L2

Z − 4MarLZE]

.(4.19)

Mas aun, la expresion 4.18 y sus diferentes variantes no son la unica forma en la que seha definido la constante de Kerr: debido a que los tensores de Killing de una variedaddada forman un espacio vectorial, podemos anadir al tensor 4.11 cualquier combinacionlineal de los tensores triviales discutidos en el apartado 4.1. Es habitual encontrar en labibliografıa definiciones de la constante de Carter que difieren entre sı, en cuyo caso solohay que tener en cuenta que dichas definiciones han de estar relacionadas de la siguienteforma:

Q′ = N(Q + αE2 + βL2

Z + γLZE + εδ)

, (4.20)

siendo N, α, β, γ y ε constantes y cumpliendose N 6= 0.

Puesto que no existe consenso respecto a su definicion, es natural que no lo existatampoco respecto a su significado fısico exacto. En vista de nuestros resultados en 4.2.2,comprobamos que la constante de Carter parece depender de cantidades que se conservanen algunos lımites (el momento angular total en el espacio de Schwarzschild, el momento

27 5 GEODESICAS EN EL ESPACIO DE KERR

lineal en el eje Z en el espacio plano asintotico) pero no en el espacio de Kerr. Sin embargo,en el caso general el significado es mucho mas complejo y difıcil de interpretar. Algunosespecialistas [11] tratan de arrojar algo de luz al respecto estudiando diferentes lımitesy expresiones alternativas. Entre las interpretaciones mas aceptadas se encuentra la deque la constante de Carter constituye un “momento angular generalizado” que cuentacon contribuciones del movimiento en la direccion r ademas de las variables angulares,debido a las caracterısticas del movimiento en esta direccion en la metrica de Kerr.

5 Geodesicas en el espacio de Kerr

Procedemos finalmente a calcular las trayectorias geodesicas en el espacio de Kerr. Utili-zamos la expresion 2.21 para calcular el Lagrangiano geodesico:

L = 12

([1− 2Mr

r2+a2 cos2 θ

]t2 +

[4Mra sin2 θr2+a2 cos2 θ

]tϕ−

[r2+a2 cos2 θr2−2Mr+a2

]r2

−(r2 + a2 cos2 θ

)θ2 −

[r2 + a2 + 2Mra2 sin2 θ

r2+a2 cos2 θ

]sin2 θϕ2

).

(5.1)

Sin embargo, la resolucion directa de las ecuaciones de Euler-Lagrange 2.22 para elespacio de Kerr es practicamente imposible. Para simplificar esta tarea, vamos a recurriral uso de las constantes de movimiento.

Del estudio de los momentos canonicos conjugados pσ = ∂L∂xσ en las ecuaciones de

Euler-Lagrange de las coordenadas t y ϕ recuperamos la conservacion de la energıa y delmomento angular a lo largo de geodesicas, que ya conocıamos del estudio de los vectoresde Killing.

dptdτ = 0 → pt =

[1− 2Mr

r2+a2 cos2 θ

]t +[


]ϕ = E,

dpϕ

dτ = 0 → pϕ =[


]t−[r2 + a2 + 2Mra2 sin2 θ

r2+a2 cos2 θ

]sin2 θϕ = −LZ.

(5.2)

La ecuacion 2.26 sigue siendo valida, y ademas hemos sido capaces de darle un nuevoenfoque gracias al formalismo de tensores de Killing en la seccion 4.1. En dicho apartadocomprobamos que la metrica tiene asociada una constante de movimiento, cuya expresiones proporcional a la del Lagrangiano. Se sigue cumpliendo, por lo tanto que

2L = δ. (5.3)

Finalmente, en el caso de Schwarzschild, podıamos imponer sin perdida de genera-lidad que todas las geodesicas se desarrollasen en el plano ecuatorial. En Kerr, sin em-bargo, esta condicion no se cumple debido a que su simetrıa no es esferica. No obstante,la constante de Carter nos aportara la ultima condicion necesaria para poder caracterizarde forma sencilla todas las geodesicas de esta metrica: como veremos mas adelante, estacantidad surge de forma natural como constante de separacion al aplicar el formalismode Hamilton-Jacobi a nuestro Hamiltoniano geodesico, gracias a la bondad del sistema decoordenadas escogido.

Comenzaremos el estudio de las geodesicas en el espacio de Kerr para un caso particu-lar de relevancia en el que no es necesario recurrir a la constante de Carter: el movimientoecuatorial.

5 GEODESICAS EN EL ESPACIO DE KERR 28

5.1 Geodesicas en el plano ecuatorial

En esta seccion, vamos a estudiar el movimiento de partıculas en el plano θ = π/2.

En primer lugar, vamos a comprobar si este tipo de geodesicas existe, es decir, si unageodesica se puede mantener indefinidamente en θ = π/2. Para ello, vamos a calcular laecuacion de Euler-Lagrange para la coordenada θ:

−2rrθ + a2 cos θ sin θθ2 − Σθ = sin θ cos θ

[− 2Mra2

Σ2 t2 + 4Mra(r2+a2)

Σ2 tϕ

+ a2

∆ r2 + a2θ2 − 2(

Mra2(r2+a2)Σ2 sin2 θ + r2 + a2 + Mra2 sin2 θ

Σ

)ϕ2] (5.4)

Donde ∆ y Σ siguen la misma expresion que en la seccion 4.2. En el plano ecuatorial,todo el termino derecho se anula, dejandonos con la condicion

r2θ + 2rrθ = 0. (5.5)

Por lo tanto, si tomamos θ = π/2 y θ = 0, de la ecuacion anterior se deduce queθ = 0 y por lo tanto un movimiento que comienza en el plano ecuatorial se mantiene en elplano ecuatorial. Notese ademas que, segun la ecuacion 4.19, la constante de Carter tieneun valor Qeq = a2E2 + L2

Z en todas estas geodesicas.

Las constantes de movimiento 5.2 toman una forma simplificada en este plano:

E =(1− 2M

r

)t + 2Ma

r ϕ,

LZ =(

r2 + a2 + 2Ma2

r

)ϕ− 2Ma

r t.(5.6)

De esta ecuacion podemos despejar t y ϕ, que toman la forma

t = 1∆ [CE− BLZ] ,

ϕ = 1∆ [ALZ + BE] ,

(5.7)

donde se han definido

A ≡ 1− 2Mr

B ≡ 2Mar

C ≡ r2 + a2 + 2Ma2

r =(r2+a2)

2−a2∆r2 .

(5.8)

Por otro lado, la ecuacion 5.3 tambien se simplifica en el plano ecuatorial de modo quetenemos:

δ = Et− LZ ϕ− r2

∆r2. (5.9)

Si despejamos r2 y sustituimos las expresiones 5.7, obtenemos finalmente nuestra ecua-cion para el movimiento radial:

r2 =1r2

(CE2 − 2BLZE− AL2

Z)− δ∆

r2 . (5.10)

En el primer termino de esta ecuacion aparece un polinomio de segundo grado en laenergıa, que posee dos raıces:

V± =1C

(BLZ ±

√B2L2

Z + CAL2Z

)=

LZ

C

(B±√

∆)

. (5.11)


En la segunda igualdad se ha usado que B2 + CA=∆. A partir de este resultado, pode-mos expresar la ecuacion 5.10 en la forma deseada,

r2 =Cr2 (E−V+) (E−V−)−

δ∆r2 , (5.12)

con la siguiente expresion de los “potenciales” V± en funcion de r:

V± =2MLZar± LZr2

√∆

(r2 + a2)2 − a2∆. (5.13)

5.1.1 Geodesicas ecuatoriales nulas

Para fotones y otras partıculas sin masa, tenemos δ = 0, lo que simplifica considerable-mente la ecuacion 5.12, que se vuelve sencillamente

r2 =Cr2 (E−V+) (E−V−) . (5.14)

Para facilitar nuestro estudio, vamos a redefinir los potenciales de la forma siguiente:

V± =2MLZar± |LZ| r2

√∆

(r2 + a2)2 − a2∆. (5.15)

De modo que, si bien la expresion 5.14 no cambia, ahora se cumple en todo momentoV− ≤ V+ y ademas nos basta con estudiar el signo del producto LZa (positivo o negativodependiendo de si la partıcula rota a favor o en contra del agujero negro, respectivamente)en lugar de estudiar los signos de LZ y a por separado.

Puesto que el cuadrado de la velocidad radial de la partıcula no puede ser negativo,a traves de la ecuacion 5.14 vemos que la energıa de los fotones ha de cumplir E ≤ V− oE ≥ V+. Los valores de energıa que se encuentren entre los de los potenciales no estaranpermitidos al foton. Ademas, la velocidad radial del foton sera nula (y habra alcanzadoun extremo de su trayectoria) cuando la energıa sea igual a alguno de los potenciales.

Un estudio detallado de estos potenciales nos muestra que ambos coinciden en R+ =

M +√

M2 − a2 y que ambos se anulan en el infinito. Ademas, para orbitas corrotatorias(LZa > 0), V+ es definido positivo y V−se anula sobre la ergosuperficie, que en el ecuadorse encuentra en r = 2M. Para orbitas contrarrotatorias, V− es definido negativo y V+ seanula igualmente en la ergosuperficie. La figura 5 muestra la forma de los potenciales enfuncion de la distancia ası como la zona prohibida de energıas para los fotones.

Nos conviene calcular la aceleracion radial para estudiar en profundidad las propie-dades de las trayectorias. Para ello, derivamos la ecuacion 5.14 respecto al parametro afınde la trayectoria τ , llegando al siguiente resultado:

r =12

ddr

(Cr2

)(E−V+) (E−V−)−

C2r2

[dV+

dr(E−V−) +

dV−dr

(E−V+)

]. (5.16)

Vamos a fijarnos en los puntos que tienen velocidad radial nula, es decir, aquellos conE = V+o E = V−. En ellos, la aceleracion toma la forma

r = ∓|LZ|√

∆r2

dV±dr

cuando E = V±. (5.17)


Figura 5: Potenciales V+ y V− partıculas corrotatorias y contrarrotatorias. Las graficas sehan generado tomando M = 1.0, a = 0.8 y LZ = ±1.0. Se puede apreciar como lospotenciales coinciden para r = R+ y como tienden a cero en el infinito. Aparecen ademaslos ceros de V+ en el caso contrarrotatorio y de V−en el caso corrotatorio, respectivamente.Se puede apreciar que en todo caso ambos potenciales tienen un extremo relativo. La zonasombreada se corresponde con la zona de energıas prohibidas para fotones siguiendo unatrayectoria en el ecuador.


Figura 6: En la figura se ilustran dos trayectorias geodesicas correspondientes a fotonesen el plano ecuatorial del agujero negro de Kerr, tal y como serıan vistas por un obser-vador asintotico. En concreto, uno de los fotones posee una energıa inferior al maximodel potencial V+ (trayectoria verde) de modo que no posee energıa suficiente para atra-vesar el horizonte de sucesos y es desviado al infinito. El otro foton (trayectoria morada)sı que posee la energıa suficiente para atravesar el horizonte y comienza a caer lentamentea la singularidad mientras orbita arrastrado por el propio giro del agujero negro. En loscalculos computacionales pertinentes para esta representacion se han tomado M = 1.0 ya = 0.99.

Si la partıcula posee una energıa igual al maximo de V+, es decir, E = V+(rmax) condV±dr (rmax) = 0, la aceleracion se anula y tambien lo hace la velocidad si el foton se en-

cuentra en rmax. Son por lo tanto posibles las orbitas circulares en esta posicion, si bienserıan inestables. En base a esto, existen dos casos posibles para fotones que viajan desdeel infinito hacia el agujero negro:

Partıculas provenientes del infinito con energıa superior a V+(rmax) superarıan labarrera de potencial, atravesarıan el horizonte y alcanzarıan la singularidad.

Por otro lado, una partıcula con 0 < E < V+(rmax) alcanzarıa un punto en el queE = V+(r), en el cual r = 0 y r < 0, por lo que la partıcula serıa desviada y volverıaal infinito.

Cabe plantearse que ocurre para valores con E < V−, ya que en principio son admisibles.Sin embargo, no se puede realizar un estudio del scattering con estos valores de energıa yaque corresponde a partıculas ligadas al agujero negro y cuya distancia a la singularidadesta siempre acotada (es decir, no pueden provenir del infinito ni viajar hacia el infinito).No entraremos en una descripcion detallada de sus trayectorias.

Solo nos quedarıa por conocer el valor del punto rmax. Del estudio de los extremosrelativos de V+podemos obtener que este es solucion de la ecuacion

rmax (rmax − 3M)2 − 4Ma2 = 0. (5.18)

Es por lo tanto independiente de L y una funcion decreciente de a. En particular, paraa = 0 (Schwarzschild) tenemos que rmax = 3M es el radio de las orbitas fotonicas ines-tables. En la figura 6 se representan dos trayectorias fotonicas que ilustran los conceptostratados hasta el momento:


5.1.2 Geodesicas ecuatoriales temporales: 3ª Ley de Kepler

El estudio de las geodesicas temporales (para partıculas con masa) es bastante mas com-plejo, ya que la ecuacion 5.12 posee un termino extra que nos impide realizar un estudiocualitativo tan sencillo como en el caso de las geodesicas nulas.

r2 =Cr2 (E−V+) (E−V−)−

∆r2 (5.19)

Para realizar un analisis computacional, podemos recurrir a la ecuacion de Euler-Lagrange para la coordenada r, que en el plano ecuatorial toma la siguiente forma:

− r(

r2

r2 − 2Mr + a2

)+ r2

(Mr2 − a2r

r2 − 2Mr + a2

)=

Mr2 t2 − 2Ma

r2 tϕ−(

r− Ma2

r2

)ϕ2. (5.20)

Nos proponemos a estudiar orbitas circulares, para las cuales se cumple r = 0 = r, porlo que la parte izquierda de la igualdad anterior se anula. Si ademas tenemos en cuenta laecuacion 3.21 para la velocidad angular, tenemos que la ecuacion 5.20 es equivalente a(

r3 −Ma2)ω2 + 2Maω−M = 0. (5.21)

Esta ecuacion de segundo grado en ω tiene como soluciones

ω± =−Ma±

√Mr3

r3 −Ma2 = ±√

Mr3/2 ± a

√M

. (5.22)

La solucion obtenida es esencialmente la 3ª Ley de Kepler para el espacio de Kerr. Enefecto, en el lımite a → 0, recuperamos la ley de Kepler del espacio de Schwarzschild,coincidente con la ley clasica enunciada por Johannes Kepler en 1618:

ω20 =

Mr3 . (5.23)

5.2 Geodesicas generales

Para estudiar geodesicas cualesquiera en el espacio de Kerr, no necesariamente en elplano ecuatorial, nos conviene aproximarnos al problema con el formalismo de Hamilton-Jacobi.

Puesto que estamos estudiando el movimiento de partıculas libres, los momentos con-jugados tienen la forma

pµ = gµν xν. (5.24)

Si conocemos la metrica inversa, esta expresion es facilmente invertible de modo quepodemos expresar los elementos de la cuadrivelocidad en funcion de los cuadrimomentosde la siguiente manera:

xµ = gµν pν. (5.25)

Conociendo esto, podemos calcular el Hamiltoniano del sistema como la transformadade Legendre del Lagrangiano

H = pµ xµ −L. (5.26)


Se demuestra facilmente, gracias a la definicion de nuestro Lagrangiano 2.21 y a laspropiedades 5.24 y 5.25 que en nuestro caso se cumple

H =12

gµν pµ pν =12

δ = L. (5.27)

La igualdad entre Lagrangiano y Hamiltoniano se debe a que, como sabemos, no haypotenciales involucrados. Una vez conocido ya nuestro Hamiltoniano, podemos aplicarleel formalismo de Hamilton-Jacobi. En el, definimos una funcion llamada funcion principalde Hamilton, S (xµ; τ) donde xµ son las coordenadas de nuestra partıcula test y τ es elparametro de su trayectoria, que cumple

∂S∂xµ

= pµ∂S∂τ

= −H = −12

δ (5.28)

Si suponemos que S es una funcion separable, de modo que S(t, r, θ, ϕ; τ) = Sτ(τ) +

St(t) + Sr(r) + Sθ(θ) + Sϕ(ϕ), sabiendo que pt = E y pϕ = −LZ, obtenemos

S(t, r, θ, ϕ; τ) = −12

δτ + Et− LZ ϕ + Sr(r) + Sθ(θ). (5.29)

Si utilizamos esta definicion en la ecuacion 5.27 a partir de las expresiones de los mo-mentos dadas por 5.28, llegamos al siguiente resultado para nuestro Hamiltoniano:

H = 12 δ = 1

2∆

(r2 + a2 + 2Mra2

Σ sin2θ)

E2 + 12

(a2sin2θ−∆

Σ∆sin2θ

)L2

Z

− 2MraΣ∆ ELZ − ∆

2Σ

(∂Sr∂r

)2− 1

2Σ

(∂Sθ∂θ

)2.

(5.30)

Reordenando terminos y multiplicando por Σ = r2 + a2cos2θ tenemos

δ(r2 + a2 cos 2θ

)+ ∆

(∂Sr∂r

)2+(

∂Sθ∂θ

)2+ 4Mra

∆ ELZ

−((r2+a2)

2

∆ − a2 sin2 θ

)E2 +

(1

sin2 θ− a2

∆

)L2

Z = 0,(5.31)

y si separamos por un lado los terminos dependientes de r y los dependientes de θ llega-mos a (

∂Sθ∂θ

)2+ a2 cos2 θδ + a2 sin2 θE2 +

L2Z

sin2 θ=

= −∆(

∂Sr∂r

)2− r2δ +

(r2+a2)2

∆ E2 + a2

∆ L2Z − 4Mra

∆ ELZ.(5.32)

Puesto que cada lado de la ecuacion depende de una variable distinta, ambos ladosdeben ser iguales a una constante para que se cumpla la igualdad. Si tenemos en cuentaque

pr =∂Sr∂r = Σ

∆ rpθ =

∂Sθ∂θ = Σθ,

(5.33)

no tenemos mas que fijarnos en la expresion 4.19 para darnos cuenta de que la expresionde esta constante coincide con la de la constante de Carter, hallada anteriormente con elformalismo de los tensores de Killing.

Q =(

∂Sθ∂θ

)2+ a2 cos 2θδ + a2 sin 2θE2 + L2

Z sin−2 θ

−Q = ∆(

∂Sr∂r

)2+ r2δ− 1

∆

[(r2 + a2)2 E2 + a2L2

Z − 4MarLZE] (5.34)

6 CONCLUSIONES 34

Tenemos pues que la constante de Carter surge de forma natural como constante deseparacion al aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi al Lagrangiano geodesico de Kerren coordenadas de Boyer-Lindquist, y de hecho esta es la forma en la que fue descubiertapor primera vez. Este hecho se debe a la gran adecuacion de este sistema de coordenadas alas simetrıas de Kerr. Cabe senalar que si bien la constante surge de una forma mucho masdirecta a traves de este metodo, su aparicion es completamente accidental: solo el forma-lismo de Killing nos permite atribuirle un origen matematico profundo y un significadofısico (algo difuso).

Si ahora hacemos las siguientes definiciones,

Θ (θ) = Q− a2 cos 2θδ− a2 sin 2θE2 − L2Z sin−2 θ

R (r) = −Q− r2δ + 1∆

[(r2 + a2)2 E2 + a2L2

Z − 4MarLZE]

,(5.35)

podemos expresar nuestros resultados como

∂Sθ∂θ =

√Θ = Σθ

∂Sr∂r =

√R = Σ

∆ r,(5.36)

que son las ecuaciones diferenciales de primer orden a resolver numericamente si se deseasimular el movimiento de partıculas en el espacio de Kerr, junto con las ecuaciones 5.2para t y ϕ. En ellas, los signos de las raıces cuadradas pueden ser elegidos independien-temente.

Por otro lado, continuando con nuestro estudio analıtico, la expresion para S teniendoen cuenta las ecuaciones 5.36 queda de la siguiente manera:

S(t, r, θ, ϕ; τ) = −12

δτ + Et− LZ ϕ +∫ r√

Rdr +∫ θ√

Θdθ. (5.37)

Tenemos una funcion principal que depende de cuatro constantes de movimiento: δ, E,LZ y Q. Del formalismo de Hamilton-Jacobi, sabemos que las ecuaciones de movimientode nuestra partıcula se obtienen de igualar a cero las derivadas de S respecto a estasconstantes. Las condiciones deducidas son las siguientes:

∂S∂Q = 0 =⇒

∫ θ 1√Θ

dθ =∫ r 1√

Rdr

∂S∂δ = 0 =⇒ τ = −

∫ θ a2 cos2 θ√Θ

dθ −∫ r r2√

Rdr

∂S∂E = 0 =⇒ t =

∫ θ a2 sin2 θE√Θ

dθ −∫ r 2(r2+a2)

2E−4MarLZ

∆√

Rdr

∂S∂LZ

= 0 =⇒ ϕ = −∫ θ LZ sin−2 θ√

Θdθ +

∫ r 2a2LZ−2MarE∆√

Rdr.

(5.38)

El estudio teorico de una familia de geodesicas concreta se podrıa continuar a partirde aquı imponiendo sobre este conjunto las condiciones particulares pertinentes.

6 Conclusiones

El agujero negro de Kerr presenta numerosas caracterısticas de interes. A nivel teorico,es una de las soluciones de las ecuaciones de Einstein con una estructura causal mas ri-ca, presentando caracterısticas que no podemos encontrar en agujeros negros mas sen-cillos, como el de Schwarzschild. Entre estas caracterısticas estan el arrastre de sistemas

35 6 CONCLUSIONES

inerciales, que provoca que partıculas sin momento angular orbital roten alrededor de lasingularidad, o la separacion entre el horizonte de sucesos y la superficie de lımite esta-cionario, que supone la existencia de una ergosfera y la posibilidad de extraer trabajo delagujero negro a traves del proceso de Penrose. Sus geodesicas presentan caracterısticasmuy complejas tambien, como la barrera de potencial que aparece en el plano ecuatorialpara partıculas sin masa. Mas aun, el agujero negro de Kerr ha impulsado el desarrolloformal de la Relatividad General en cuestiones como los tensores de Killing, gracias a laspreguntas que abrio el descubrimiento de la constante de Carter.

A nivel practico, la solucion de Kerr es una de las mas utiles en la descripcion de obje-tos astrofısicos. Puesto que describe el espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo, decarga neutra y en rotacion, es muy util en la descripcion de sistemas con estas caracterısti-cas, tales como estrellas de neutrones o agujeros negros supermasivos. Supone por tantouna de las descripciones mas precisas de la gravedad alrededor de una gran variedad deobjetos astrofısicos.

Mas de cien anos despues de su formulacion teorica en el marco relativista, los aguje-ros negros continuan siendo un misterio. Su observacion es una tarea complicada, si bienexisten numerosas evidencias observacionales de su existencia. El desarrollo de nuevastecnicas superprecisas, como las que han permitido la observacion de ondas gravitacio-nales por LIGO en 2016, nos permitiran arrojar luz al respecto, y tal vez nos permitanestudiar sus caracterısticas con mayor precision. En todo ello, las predicciones teoricasotorgada por la Relatividad General de Einstein y en particular por la metrica de Kerrocuparan, sin duda, un papel central.

REFERENCIAS 36

Referencias

[1] Matt VisserThe Kerr spacetime: a brief introductionarXiv:0706.0622 [gr-qc] (2007)

[2] Subrahmanyan ChandrasekharThe Mathematical Theory of Black HolesOxford University Press (1983)

[3] Charles W. Misner, Kit S. Thorne, John A. WheelerGravitationW.H. Freeman and Company (1970)

[4] Bert JanssenTeorıa de la Relatividad GeneralUniversidad de Granada (Preprint) (2017)

[5] Ray D’InvernoIntroducing Einstein’s RelativityOxford University Press (1992)

[6] Gabriela SlezakovaGeodesic Geometry of Black HolesPhD Thesis, University of Waikato (2006)

[7] Valeria FerrariGeodesic motion in Kerr spacetimeIstituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Roma (2017)

[8] Martin Walker, Roger PenroseOn Quadratic First Integrals of the Geodesic Equations for Type 22 SpacetimesCommun. math. Phys. 18, 265—274 (1970)

[9] Lane P. Hughston, Paul SommersThe Symmetries of Kerr Black HolesCommun. math. Phys. 33, 129—133 (1973)

[10] David Garfinkle, Edward N. GlassKilling Tensors and SymmetriesarXiv:1003.0019 [gr-qc]

[11] Fernando de Felice, Giovanni PretiOn the meaning of the separation constant in the Kerr metricClass. Quantum Grav. 16 2929–2935 (1999)

[12] Physics Stack Exchangehttps://physics.stackexchange.com/questions/315892/

killing-tensor-in-the-kerr-metric

[13] Tex Stack Exchangehttps://tex.stackexchange.com/questions/54830/

tikz-code-for-frame-dragging

https://physics.stackexchange.com/questions/315892/killing-tensor-in-the-kerr-metric

https://physics.stackexchange.com/questions/315892/killing-tensor-in-the-kerr-metric

https://tex.stackexchange.com/questions/54830/tikz-code-for-frame-dragging

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