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Fundamentos IVIntroducao a analise de erros

Clarimar J. Coelho

Departamento de Computacao

August 14, 2014

Clarimar (Departamento de Computacao) Aula 2 August 14, 2014 1 / 40

Como aparecem os erros em

matematica?


Objetivos da ciencia

Entender, modelar e simular um fato real


Modelagem matematitca

Fases da modelagem matematica


Erros intrınsicos aos modelos

Erros inerentes aos modelos

Erros nos instrumentos de medida

Erros em medicoes experimentais

Erros de conversao numerica

Erros das operacoes aritmeticas


Erros numericos - erro absoluto

Diferenca entre o valor exato e o valor aproximado de um numero

Ex = x − x

Onde, x e o valor exato e x e o valor aproximado


Erros numericos - Erro relativo

Diferenca entre o valor exato e o valor aproximado de um numero,

dividida pelo valor exato

Rx =x − x

x=

Rx

x

Onde, x e o valor exato e x e o valor aproximado


Exemplo 1

Se x = 5 e x = 4

Ex = x − x = 5 − 4 = 1

Rx = x−xx = 5−4

5 = 15 = 0,2 = 20%


Exemplo 2

Se y = 10000 e y = 9999

Ey = y − y = 10000 − 9999 = 1

Ry = y−yy = 1

10000 = 0,0001 = 0,001%


Conclusao

O erro relativo e uma medida melhor do erro, pois leva em

consideracao a ordem de grandeza da quantidade


Erros na resolucao do modelo matematico

Erro de conversao do sistema decimal (humano) para o sistema

binario (computador)

No computador existe uma quantidade finita (muito grande) de

numeros

As operacoes aritmeticas sao realizadas com essa quantidade

finita de numeros

O conjunto de numeros usados pelo computador chama sistema

aritmetico de ponto flutuante


Sistema aritmetico de ponto flutuante

Conjunto de numeros que depende de varios parametros

β - base do sistema de numeracao

t - numero de algarismos de uma mantissam - mentor potencia de β permitida

M - Maior potencia de β permitida

Denotamos o sistema por

F (β, t ,m,M)


Quais sao os elementos de um

sistema aritmetico de ponto

flutuante?


Os elementos do sistema

0

Numeros da forma ±(0,d1d2 . . . dt)β × βexp, onde m ≤ exp ≤ M e

β e a base do sistema de numeracao

Os algarismos d1d2 . . . dt , sao numeros inteiros escolhidos entre

os numeros {0,1, . . . , β − 1}, com d1 6= 0

O conjunto {0,1, . . . , β − 1} e a mantissa


Quantidade de elementos

Quantos elementos contem um sistema aritmetico de ponto

flutuante?

2(β − 1)(M − m + 1)βt−1

+ 1


Exemplo 3

No sistema F (2,4,−4,5), temos β = 2, t = 4,m = −4,M = 5

Entao F , possui

2 × (2 − 1)(5 − (−4) + 1)× 24−1 + 1

= 2 × 1 × 10 × 8 + 1

= 161 elementos


Maior numero num sistema

Qual e o maior numero num sistema aritmetico de ponto

flutuante?βt − 1

βt× βM

Todo numero real, com valor maior que este numero, e

considerado +∞ pelo computador

Todo numero real, com valor menor que e o oposto deste numero,

e considerado −∞ pelo computador


Exemplo 4

No sistema F (2,4,−4,5)

O valor do maior elemento e

24 − 1

24× 25 = 30

Nesse sistema, todo numero real maior que 30 e tido como +∞Todo numero menor que -30 e tido como −∞


Qual e o menor numero num

sistema aritmetico de ponto

flutuante?


Menor numero

βm−1

Todo numero real com valor maior que zero e menor que este

numero, e considerado zero pelo computador/calculadora

Todo numero real, com valor que zero e maior que o oposto deste

numero, e considerado zero pelo computador


Exemplo 5

No sistema F (2,4,−4,5)

O valor do menor elemento e

2−4−1 = 1/32

Nesse sistema, todo numero real 0 < x < 1/32 e tido como zero

Todo numero real −1/32 < x < 0 e tido como zero


Diversos sistemas aritmeticos de ponto flutuante


Erros de aproximacao

numerica


Erros de aproximacao numerica

Truncamento

Arredondamento


Truncamento

Consiste em aproximar o valor de um numero mantendo os k

primeiros dıgitos na sua representacao decimal

Se x = 0,d1d2 . . . dk+1dk+2 . . . 10n, com d1 6= 0

Usamos x = 0,d1d2 . . . dk × 10n como valor aproximado de x

O erro relativo que se comete nao e sempre conhecido, mas pode

ser estimado

|Rtrunc | ≤ 10−k+1, no maximo


Exemplo 6

Sabemos que√

7 = 2,6457513110 . . .

Assim,√

7 = 0,26457513110× 101

Entao,√

7 ≈ 0,264 × 101

Trancando com tres dıgitos,√

7 = 2,64

O erro relativo nao e maior que 10−3+1 = 10−2 = 0,01 ou 1%


Arredondamento

Consiste em aproximar o valor de um numero mantendo os k − 1

dıgitos na sua representacao decimal

Mantem-se o dıgito dk se este e menor do que 5, ou

Substituindo-o pelo dıgito dk+1 se este e maior ou igual a 5:

Se x = 0, d1d2 . . . dk dk+1dk+2 . . . 10n, como d1 6= 0

Usamos x = 0, d1d2 . . . dk × 10n como valor aproximado de x

Se dk+1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ou usamos x = 0, d1d2 . . . (dk+1)× 10n

como valor aproximado de x se dk+1 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}O erro relativo desse processo e estimado por

|Rtrunc | ≤ 0, 5 × 10−k+1


Exemplo 6

Sabemos que√

7 = 2,6457513110 . . .

Assim,√

7 = 0,26457513110× 101

Entao,√

7 ≈ 0,264 × 101

Arrendondando com tres dıgitos,√

7 = 2,64

O erro relativo nao e maior que

0,5 × 10−3+1 = 0,5 × 10−2 = 0,005 ou 0,5%


Outros tipos de erros: perda

de significancia e propagacao

de erro


Perda de significancia

Considere os numeros p = 3,1415926536 e q = 3,1415957341

p e q sao numeros quase iguais com 11 dıgitos

A diferenca p − q = −0,0000030805, produz um numero com

cinco dıgitos decimais de precisao

Esse fenomeno e conhecido como perda de significancia ou

cancelamento subtrativo


Exemplo 7

Compare os resultados do calculo f (0.01) e P(0,01), utilizando

seis dıgitos e de arredondamento, onde

f (x) =ex − 1 − x

x2e P(x) =

1

2+

x

6+

x2

24


Calculos

Para f (x)

f (0,01) =e0,01 − 1 − 0,01

(0,01)2=

1,010050 − 1 − 0,01

0,01= 0,5

P(x) e uma polinomio de Taylor de grau n = 2 para f (x)expandindo sobre x = 0

P(0,01) = 12+ 0,01

6+ 0,01

24

= 0,5 + 0,001667 + 0,000004 = 0,501671

Conclusao: P(0,01) = 0,501671 contem menos erro e deveria ter

o mesmo resultado nos dois casos, a perda significancia com a

subtracao e o problema


Propagacao de erro

Suponha que o computador trunca todos os valores numericos

para 4 dıgitos

a = 2/3 deve ser armazenado como 0,6666 com Ra = 0,0001

Somando a a ele mesmo seis vezes temos

0,6666 + 0,6666 = 1,333

1,333 + 0,6666 = 1,999

1,999 + 0,6666 = 2,665

2,666 + 0,6666 = 3,331

a′ = 3,331 + 0,6666 = 3,997

Cada vez a soma e truncada para 4 dıgitos

O valor verdadeiro para 6(2/3)=4

O erro relativo e Ra′ = 4−3,9974 = 0,00075


Dicas para evitar grande erros

Para diminuir a magnitude dos erros de arredondamento, e parareduzir o possibilidade de overflow/underflow

Faca o resultado intermediario tao perto de 1 quanto possıvel nosprocessos de multiplicacao/divisao consecutivos


Usando a regra

De acordo com esta regra, ao calcular xy/z, podemos programara formula como:

(xy)/z quando x e y na multiplicacao sao muito diferentes em

magnitudex(y/z) quando y e z na divisao sao proximos em magnitude

(x/z)y quando x e z na divisao sao proximos em magnitude


Exemplo 8

Quando calculamos yn/enx quando x ≻ 1 y ≻ 1, devemos

programar como (y/ex )n e nao yn/enx para evitar

overflow/underflow

Rodar dica.m


Mais sobre erros

Yang, W. Y., Cao, W., Chung, T.-S., Morris, J. Applied numerical

methods using matlab, Welley, 2005.

Disponıvel na pagina da disciplina


Lista de exercıcios


Exercıcios

1 Calcule o erro absoluto e o erro relativo nas aproximacoes de p ep

(a) p = π, p = 22/7(b) p = e10, p = 22000

2 Suponha que p seja um valor aproximado de p, com um erro

relativo de no maximo 10−3. Encontre o maior intervalo que

comporte p para p = 150

3 Execute o calculo(

1

3− 3

11

)

+3

20

(i) exatamente, (ii) usando aritmetica com numeros de tres

dıgitos e o metodo de truncamento, (iii) usando a aritmetica com

tres dıgitos e o metodo de arredondamento e (iv) calcule os erros

relativos dos itens (ii) e (iii)


Exercıcios, cont.

5 Seja

f (x) =x cos x − senx

x − senx

(a) Use aritmetica com arredondamento para valores de quatro dıgitos

para calcular f (0, 1)(b) Substitua cada funcao trigonometrica com seu polinomio de

Maclaurin de terceiro grau e repita o item (a)

(d) O valore real e f (0, 1) = −1, 99899998. Encontre o erro relativopara os valores obtidos nos itens (b) e (c)

6 Complete o calculo

∫ 1/4

0

ex2

dx =

∫ 1/4

0

(

1 + x2 +x2

2!+

x6

3!

)

dx = p

Estabeleca que tipo de erro esta presente nessa situacao.

Compare sua resposta com o valor verdadeiro p = 0,2553074606


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