EINSTEIN Y LA GEOMETRÍA

LUIS ALVAREZ-GAUMÉ Y MIGUEL A. VÁZQUEZ-MOZO

PHYSICS DEPARTMENT, THEORY DIVISION CERN, CH-1211 GENEVA 23, SWITZERLANDFÍSICA TEÓRICA, UNIVERSIDAD DE SALAMANCA, PLAZA DE LA MERCED S/N, E-37008SALAMANCA, SPAIN

Nicolás Tlapala Escobar. Instituto de Investigación en Ciencias Básicas y Aplicadas, IICBA, UAEM. Centro de Investigación en Ciencias CInC-UAEM.

Objetivos

Mostrar como gracias al trabajo de Einstein, las geometrías no euclidianas, se convirtieron en uno de los cimientos sobre los que descansa nuestro conocimiento del Universo y la gravitación.

Discutir las ideas con las que Einstein convirtió a la geometría no euclidiana en un lenguaje natural para la Física.

Los Elementos

Euclides hacia el año 300 a. C., expone los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de CINCO POSTULADOS, considerados los más evidentes y sencillos.

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/tha.jpg

Postulados

I. Dos puntos determinan un segmento de recta.

II. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una recta.

III. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

IV. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euclid%27s_postulates.png

I. POSTULADO DE LAS PARALELAS. Si una línea recta corta a otras dos, de manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

TRADUCCION DEL POSTULADO DE LAS PARALELAS. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Un poco de historia

A principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y Bolyai consideraron la posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, dando lugar a geometrías no euclidianas.

La geometría del espacio-tiempo, mas historia.

La geometría ha influido el desarrollo de las Ciencias Físicas.

Su influencia se manifestó en el uso de la geometría como herramienta de análisis de los procesos físicos.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prinicipia-title.png

Geometrizando la física

Intentos de ‘GEOMETRIZAR’ la Física, es decir, reducir las leyes físicas a propiedades geométricas del espacio.

El más célebre intento fue Johannes Kepler, explicando los tamaños de las órbitas planetarias en términos puramente geométricos.

http://www.aucklandcity.govt.nz

El programa kepleriano dio como resultado las tres leyes del movimiento planetario, uno de los pies del gigante a cuyos hombros Newton trepó.

300 años desde Kepler hasta la GEOMETRIZACION de la Física con la teoría de la relatividad einsteiniana.

No fue él quien dio el primer paso. En su célebre artículo de 1905, la relatividad es presentada de manera física a través de relojes y reglas.

Fue Hermann Minkowski quién en 1908 se dio cuenta de que las transformaciones entre los diferentes sistemas de referencia inerciales se podían entender geométricamente como ciertos cambios de coordenadas en el ESPACIO-TIEMPO

¿Qué es el espacio-tiempo?

Un hiperespacio de cuatro dimensiones en las tres de ellas se identifican con las dimensiones espaciales habituales mientras que la cuarta corresponde al tiempo.

Lo importante

La clave de la geometría no euclidiana es el hecho de que en un entorno suficientemente pequeño de cada punto la geometría es aproximadamente euclidiana.

En particular las distancias pueden calcularse utilizando el teorema de Pitágoras.

Entre dos puntos cercanos P y Q cuya diferencia de coordenadas es x y y, la distancia viene dada por

De esta forma la geometría local en el plano no euclídeo siempre está dada por la ecuación anterior

El papel del tiempo

El tiempo en la física clásica es siempre un espectador INMUTABLE.

Relatividad de Galileo, tiempo inmutable

Supone la existencia de un conjunto de sistemas de referencia inerciales que necesariamente se mueven unos con respecto a los otros con velocidad constante.

El paso de la descripción en un sistema de referencia inercial a otro se realiza a través de ciertas transformaciones que relacionan las coordenadas y el tiempo en ambos sistemas.

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Relatividad de Einstein

Postulados fundamentales:

• Todas las leyes de la física toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial.

• La velocidad de la luz es independiente de la velocidad relativa del observador y la fuente.

Dicho de otro modo…

No sólo las leyes de la mecánica sino todas la leyes de la física, y en particular las del electromagnetismo, tienen que ser invariantes bajo las transformaciones que relacionan coordenadas y tiempo en dos sistemas de referencia inerciales.

Además, la velocidad de la luz emitida por una fuente que medirían diferentes observadores inerciales ha de ser siempre la misma (unos 300.000 km s−1).

Si intentamos obtener las transformaciones de coordenadas que relacionan a dos observadores inerciales respetando la constancia de la velocidad de la luz nos encontramos con que el tiempo DEJA DE SER INMUTABLE y participa de la cinemática y la dinámica.

¡Adiós ideas!

Obliga a abandonar la idea de que el espacio y tiempo son estructuras independientes

La geometría del continuo espacio-temporal es euclidiana.

Fijemos unidades

Consideramos los puntos de nuestro espacio-tiempo, en lugar de venir etiquetados por cuatro coordenadas (t, x, y, z), vendrán descritos sólo por tres coordenadas (t, x, y).

Al hacer los dibujos vamos a medir el tiempo en UNIDADES DE LONGITUD.

Utilizamos como unidad de tiempo el intervalo temporal necesario para que la luz recorra una determinada distancia, digamos un centímetro

(1 cm)/(3×1010 cm s−1) ≈ 3.3×10−11 s, ¡esto es, unas tres cienmilmillonésimas de segundo!

¿Y esto para qué?

Al hacerlo la escala en el eje t está en relación 1:1 con la escala en los ejes x e y.

Esta elección de unidad de tiempo es equivalente a escoger un sistema de unidades en que la velocidad de la luz toma el valor c = 1.

Estudio de la geometría del espacio-tiempo

Nos encontramos en el centro de nuestro sistema de coordenadas x = 0, y = 0 en t = 0 y encendemos una bombilla.

Transcurrido un tiempo t desde que hemos encendido la bombilla el radio del frente de ondas será ct y cualquier punto sobre dicho frente con coordenadas espaciales (x, y) satisface la ecuación

Cono de luz

La ecuación anterior la podemos visualizar dibujando la superficie que define en el espacio-tiempo de coordenadas (t, x, y).

Consecuencias del cono de luz Tiene dos hojas; En la hoja superior todos los puntos

tienen coordenada temporal t > 0 y por lo tanto se encuentran en el futuro del suceso correspondiente a encender la bombilla (en el espacio de Minkowski corresponde al origen de coordenadas).

En la hoja inferior del cono t < 0 y todos los puntos se encuentran en el pasado del origen

A los puntos del espacio de Minkowski (t, x, y, z) se les suele denominar “sucesos”, ya que describen un punto de espacio (x, y, z) en un determinado instante de tiempo t.

En la figura 2 vemos que el cono de luz divide al espacio-tiempo en dos regiones bien definidas: por una parte los puntos dentro del cono y sobre su superficie y por otro lado los puntos exteriores al cono. La clave está en darse cuenta de que los sucesos situados en el exterior del cono de luz no pueden tener relación causal con el suceso situado en el origen de coordenadas. Efectivamente, si quisiéramos enviar una señal entre el origen y cualquier punto exterior al cono de luz, dicha señal tendría que propagarse a velocidad mayor que la de la luz. Como consecuencia, el suceso correspondiente al origen no puede influir en ningún suceso futuro (t > 0) localizado fuera del cono de luz, e inversamente, ningún suceso con t < 0 fuera de cono de luz puede influenciar causalmente a lo que suceda en el origen. Por el contrario, los puntos dentro o sobre el cono de luz están en contacto causal con el origen. Esto significa que es posible enviar una señal desde el origen a todos los puntos en el interior de la hoja superior del cono, o que desde cualquier punto dentro de la hoja inferior del cono es posible enviar una señal que alcance el origen. En ambos casos la señal enviada se propaga a velocidad menor o igual que la de la luz. De esta forma podemos decir que todos los puntos dentro o sobre la hoja inferior del cono de luz forman nuestro pasado, en el sentido de que constituyen el conjunto de sucesos que han podido influir el aquí y el ahora que corresponde al vértice del cono de luz.