Eindhoven University of Technology

MASTER

De "energy-sudden" en "centrifugal-sudden" benadering in kernfysische context

Beerendonk, Leon

Award date:1979

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

GROEP THEORETISCHE KERNFYSICA

O.L.V. DR. B.J.VERHAAR.

DE "ENERGY-SUDDEN" & "CENTRIFUGAL-SUDDEN" BENADERING'

IN KERNFYSISCHE CONTEXT. ï980478

Afstudeerverslag van

Begeleid door

Leon Beerendank

Dr. B.J. Verhaar

Ir. W. Thijssen

JANUARI '79

Samenvatting.

Dit verslag behandelt problemen betreffende de verstrooi­

ings-theorie in een kernfysische context.

Quanturnmechanisch is een botsingsprobleem te formuleren

als een gekoppeld stelsel radiële differentiaal vergelijkingen.

Voorafgaande aan het hoofdonderwerp van het afstudeeron­

derzoek wordt een kleiner onderzoek behandeld, dat ik in samen­

werking met Jo Ramaakers heb verricht in het kader van het pro­

motie-onderzoek van Tom Schulte. In realistische berekeningen

blijkt gewoonlijk, in tegenspraak met de theorie, in de verstrooi­

ings-matrix een a-symmetrie op te treden. Bij werk in de groep is

gebleken, dat overgangen van lage-l naar hoge-l (1~-+1>) soms

zeer onnauwkeurig berekend worden (meerdere orden afwijkingen),

terwijl de omgekeerde overgangen 1>-+1< een verrassende nauw­

keurigheid te zien geven. Aan de hand van een gesimplificeerd

model wordt een fysische verklaring gegeven voor het sterker aan­

groeien der componenten van de mathematische oplossing bij toe­

nemende r naar mate het baanimpulsmomentquantumgetal 1 groter is.

M.b.v. dit sterker aangroeien der hoge-l componenten wordt dan

inzicht verkregen omtrent de grote onnauwkeurigheid in de over­

gang van 1( -1> •

Verstrooiingsproblemen vereisen,vanwege het feit dat ter

bepaling van de fysische oplossingen stelsels gekoppelde tweede

orde differentiaalvergelijkingen moeten worden opgelost (gekop­

pelde kanalen berekeningen),tijdrovende en ingewikkelde bereke­

nings-methoden. Toepassing van twee vaker gebruikte benaderingen

(waarvan één enkel in molekuulfysische zin),reduceert het oplos­

sen van bovengenoemde stelsels gekoppelde tweede orde differenti­

aalvergelijkingen tot het oplossen van één enkele radiële diffe­

rentiaalvergelijking. De benaderingen die men daartoe moet toe­

passen houden in dat

- de Hamilton operator van de kern wordt vervangen door een con­

stante (adiabatische of "energy-sudden" benadering) en

- de baanimpulsmomentoperator ! 2 wordt vervangen door een con­

stante ("centrifugal-sudden" benadering).

Onderzocht is nu in hoeverre de resultaten, verkregen m.b.v. de

centrifugal-sudden + energy-sudden benadering, overeenkomen met

de gekoppelde kanalen resultaten. Het is gebleken dat sterke af­

wijkingen optreden, zodat het in feite minder zinvol is om deze

benaderingen op zich in te voeren.

Inhoudsopgave.

I Inleiding.

II Het gekoppelde kanalen formalisme.

.1 Beschouwing omtrent de randvoorwaarden van de ont­

wikkelingscoëfficiënten u (r);defenitie van de ver­c strooiings matrix S.

.2 Symmetrie van de verstrooiings matrix S.

III De adiabatische benadering.

IV

• 1

• 2

• 3

• 4

Een vereenvoudigd model.

Inleiding

Model veronderstellingen.

Beschouwing omtrent de symmetrische waarschijnlijk~'

heictsverdeling rond het ingangskanaal •

Verklaring omtrent het aangroeien der mathemati•

8

1 1

1 3

1 3

16

16

17

18

sche componenten. 20

• 5 De a-symmetrie in de berekende S-matrix. 23

• 6 Vergelijking met realistische berekeningen. 25

V Het vijf-dimensionale harmonische oscillator model. 28

VI. 1 De "centrifugal-sudden"+"energy-sudden" benadering.

.2 De "centrifugal-sudden"+"energy-sudden" benadering

voor het vibrator-model •

• 3 De gereduceerde matrix elementen.

VII De interaktie potentiaal.

VIII De beschrijving van het rekenprogramma.

IX Resultaten.

X Conclusie.

Referenties

32

33

39

41

43

47

55

57

I Inleiding.

Bestudeert men de aangeslagen energieniveaus van

even(Z)-even(N) kernen dan neemt men twee typen laag-gelegen

energie niveaus waar.Een type van deze laag-gelegen energie

niveaus volgt ruww~g geschat de wet ê. :f'I(I+1) ,waarin I het

impulsmoment van de kern (ook spin genoemd) en ~I de energie is

\zie fig.1a).De spinafhankel~kheid in de ligging van deze ener­

gie niveaus doet onmiddell~k denken aan een starre rotator.Wij

stellen ons zo'n kern nu voor als een axiaal symmetri-

sche rotator. Een dergel~ke rotator zal de rotatie-energie

&I= I(I+1)h2/2J hebben, waarin J het massatraagheidsmoment van

de rotator voorstelt (zie Lit.1)

In het spectrum van het andere type laag-gelegen energie

toestanden heeft het laagste energie niveau.(grondtoestand)

spin 0. Het eerste aangeslagen energie niveau heeft spin 2.

Het tweede aangeslagen energie niveau is een triplet waarvan

de gemiddelde excitatie-energie ongeveer twee maal de waarde

bedraagt van de excitatie-energie van het eerste aangeslagen

niveau (zie fig. 1b). Het triplet wordt echter niet alt~d

volledig waargenomen (zie Lit.1)

Het bovenstaande suggereert een bepaald type harmonische oscil­

lator waarvan de oscillatorquanta, ook wel fononen genoemd, elk

een impulsmoment 2h dragen. De waargenomen niveaus in het

triplet hebben dan betrekking op twee fonon-to9standen; de spins

zijn gekoppeld tot een totale spin gelijk 0 ,2 of 4 .

Figuur 1a Spectrum van Figuur 1b Spectrum van

een rotatie-kern. een vibratie-kern.

Veel spectra vertonen dus voor de laaggelegen energie­

niveaus een eenvoudige systematiek, Men denkt dan aan collec­

tieve bewegingen van de kern als verklaring van de waargenomen

systematiek in die spectra, Een model dat gebaseerd is ~p

collectieve kernbewegingen wordt een collectief kern-model

genoemd.

In het kader van dit model verstaat men onder kern-rota­

ties een oriëntatie-verandering vanhet gedeformeerde kernopper­

vlak en onder kern-vibraties trillingen van datzelfde kern­

oppervlak t.o.v. een evenwichtsvorm van dat oppervlak, Bezit

een bepaalde kern een protonen aantal (z) of een neutronen aan~

tal (N) in de buurt van een magisch getal, te weten 2,8,20,28,

50,82,etc., dan bezitten deze kernen een sferische vorm.

Deze niet-gedeformeerde kernen, zoals de bij ons onderzoek be­

trokken elementen 58Ni en 112

cd vertonen alleen een vibratie-

spectrum.

De beweging van het kernoppervlak van deze elementen kan

men beschrijven m.b.v. de functie R(Q~t),waar R de afstand van

het kernmassa middelpunt tot het kernoppervlak voorstelt met

Q en ~ als richtingsvariabelen, In het algemeen varieert de

vorm van het kernoppervlak en is de afstand R afhankelijk van de

tijd. De collectieve coördinaten worden in het vibrator~model

gedefinieerd aan de hand van de ontwikkeling van R(Q~t) naar

bolfuncties

Àmax À ,. R ( Q~t) =R ( 1 + I. z. o<..\( t) Yx ( Q~) ) •

0 À=o f=-À ~JA r ( 1 )

De vorm en orientatie van het oppervlak worden bepaald door de

coëfficiënten ~À~(t) welke de afwijking aangeven t.o.v. de bol­

vorm. Wij beperken ons tot quadrupool-vibraties; dit zijn vibra­

ties waarvoor geldt À=2. Indien wij veronderstellen dat de col­

lectieve kerncoördinaten klein zijn, heeft het kernoppervlak een

ellipsaidale vorm met drie hoofdassen die in lengte verschillen,

terwijl de oriëntatie van de kern nog willekeurig kan zijn. Bij

quadrupooi-vibraties heeft men dus te maken met 5 vrijheidsgraden.

Het oppervlak van de kern bij quadrupooi-vibraties wordt dan

gegeven door

2

( 2)

De equipotentiaalvlakken van de bij dit systeem behorende inter­

aktie potentiaal hebben ruwweg dezelfde vorm als het kernopper­

vlak. Er dient te worden opgemerkt dat de hier genoemde model­

veronderstellingen later nader worden gepreciseerd.

Indien de interaktie potentiaal sferisch is, treedt er

alleen elastische verstrooiing op. Is de potentiaal niet-sfe­

risch, dan treedt er o~k in-elastische verstrooiing op. Er treedt

bij de kern vibratie-aanslag op.

In principe is het mogelijk een tijdafhankelijke beschrij­

ving omtrent verstrooingsprocessen door te voeren m.b.v. golf­

pakketjes. In de praktijk maakt men meestal gebruik van een tijd­

onafhankelijke beschrijving, waarin terminologie gebruikt wordt,

die aan de tijdafhankelijke beschrijving ontleend is.

In de begintoestand bevindt het deeltje zich op grote af­

stand van de target-kern, zodat de interaktie tussen het deeltje

en de kern, mits wij de 1/r afhankelijke Coulomb-potentiaal buiten

beschouwing laten, verwaarloosd mag worden. De toestands functie

van het systeem is dan een produkt van de toestandsfuncties van

het deeltje en van de kern. Aan de oplossing van de tijd onaf­

hankelijke Schrödinger vergelijking Hf(r9~~)=E~(r9~~) legt men

de randvoorwaarde op, dat deze in het oneindige van de vorm

(Lit.2) ( J)

moet zijn. Hierin is r de relatieve afstand tussen het massamiddel­

punt van de kern en het deeltje, Q~ en ~zijn de richtingscoör­

dinaten respectievelijk de kerncoördinaten en X. 1 (~) geeft de toe-1.

stand van de kern aan na verstrooiing.?&.(«) zijn eigenfuncties 1.

van de kern Hamiltoniaan H(~,djd~) met energie eigenwaarde~. 1.

en zij vormen als zodanig een volledig stelsel orthonormale

eigenfucties. fL- .,. ( 9!{$) is de verstrooiiqgs amplitude behorende "'~ ;'- L

bij de overgang van kerntoestand i naar i'.

J

De eerste term in uitdrukking (J) representeert de

begintoestand van het systeem.De kern bevindt zich dan in de

grondtoestand~.(~) en het projectiel-deeltje wordt voorgesteld 1

door een vlakke golf.De verstrooide golf wordt voorgesteld door

de uitgaande bolgolf.De afzonderlijke termen in de sommatie

geven de bijdragen t.g.v. de diverse aanslag mogelijkheden van

de kern aan de verstrooide golf weer.Het radiële golfgetal k. 1 1

is het golfgetal in het oneindige en voldoet aan de vergelijking

-2 2 E = h k. I +E. I

""2iii1 1 (energiebehoud). (4)

De verstrooiingsamplitude geeft de intensiteit van de deeltjes

met een bepaalde energie als functie van de richting.De absolute

waarde van de verstrooiingsamplitude in het kwadraat kan op

experimentele wijze bepaald worden en wordt dan de differen­

tiële doorsnede genoemd.

De verstrooiing van een projectiel-deeltje aan een

target-kern kunnen wij beschrijven in het massamiddelpunt­

systeem.De triviale beweging van het massamiddelpunt laten wij

buiten beschouwing.Passen wij nu een transformatie toe van

massamiddelpunt-coördinaten naar relatieve-coördinaten dan

kunnen wij het bovengenoemde proces beschouwen als de verstrooi­

ing van een projectiel-deeltje,met een massa gelijk aan de

gereduceerde massa,aan een vastgeprikte potentiaal.De Hamilton­

operator voor het systeem bestaande uit daeltje+kern wordt in het

relatieve coördinaten systeem gegeven door

-2 r + 1 + H(()(,djd~) + V(rQ~o() • ( 5)

2mr 2

Hierin stelt r de relatieve afstand voor tussen het massamid­

delpunt van de kern en het deeltje,m is de gereduceerde masa,

1 is de baanimpulsmomentoperator van het deeltje , H(~,djd~)

is de Hamiltonoperator van de kern en V(rQ~~) stelt de inter­

aktiepotentiaal voor, welke geacht wordt een eindige dracht te

bezitten.

Ter vereenvoudiging van het gehanteerde model introduce~

ren wij de adiabatische benadering,die ook wel ''energy-sudden"

4

benadering (ES) wordt genoemd. Deze benadering impliceert dat

wij in de klassieke Hamiltoniaan een deel, dat van de gegenerali­

seerde impuls p~ afhangt, verwaarlozen. Dit heeft tot gevolg dat

de kerncoördinaát ~ niet meer tijd afhankelijk is (klassieke Hamil­

ton vergel ijking Ö<= aHjà(Oo<.). Klassiek geinterpreteerd betekent het bovenstaande dat de ihter­

ne kernbewegingen zo traag verlopen t.o.v. de relatieve beweging

van het projectieldeeltje, dat men mag veronderstellen dat

gedurende de botsing de kerncoördinaten een vaste waarde bezit­

ten. (Er dient echter te worden opgemerkt dat wij met meerdere

kerncoördinaten werken, zodat wij in feite meerdere gegenerali­

seerde impulsen verwaarlozen).

De Hamilton operator is via de interaktie potentiaalterm echter

nog steeds van ~ afhankelijk. Daar p~ kanoniek geconjugeerd is

met ~~is de Ham{lton operator onafhankelijk vanàjé~.

De quanturnmechanisch interpretatie van deze benadering is dat de

energie eigenwaarden van de Hamilton operator van de kern, welke

corresponderen met die niveaus welke gedurende de interaktie

significant gekoppeld zijn, onderling weinig verschillen; we

veronderstellen dat we ~dPh~kunnen vervangen door een constante

(f:,).

Wij kunnen nog een stap verder gaan dan de adiabatische

benadering. Daartoe voeren wij,ter verdere vereenvoudiging van

het model,naast de adiabatische (ES) benadering nog een tweede

benadering in:de z.g. "centrifugal-sudden" (CS) benadering.

Deze houdt in dat wij de operator Ï 2 in de Hamilton operator ver­

vangen door een constante ( Ï(Ï+1)h2

).

De Hamilton operator blijft echter via de ~nteraktie potentiaal

term van 9 en ~ afhankelijk.

Klassiek berust deze benadering in essentie op het feit dat de

richtingscoördinaten 9 en ~ van het deeltje slechts zwak ver­

anderen t.o.v. de verandering in de relatieve afstand r.

Quanturnmechanisch berust de CS-benadering op de aanname dat ver­

vanging van de van 1 afhankelijke centrifugaalpotentiaal

l(l+1)/r2

,door een voor alle 1 gelijke potentiaal Ï(Ï+1)/r2

,

een verwaarloosbare invloed heeft op de resultaten van bereke-

5

ningen.

Opgemerkt dient te worden dat de correspendentie tussen klassie­

ke en quanturnmechanische formulering van de twee genoemde be­

naderingen nog niet geheel duidelijk is. Dit heeft tot gevolg

dat in de quanturnmechanische formulering alleen criter~a gege­

ven kunnen worden in termen van "achteraf vergelijken'', terwijl

klassiek ad hoc-criteria te geven zijn.

Handleiding bij het lezen van het verslag.

Dit verslag beschrijft een deel van het .afstudeeronderzoek

dat ik in samenwerking met Jo Rarnaekers in de groep THEORETISCHE

KERNFYSICA heb verricht. De rest van het onderzoek wordt beschre­

ven in het afstudeerverslag van Jo Ramaekers.

In de hoofdstukken I,II, III,V en VII worden een aantal

onderwerpen besproken, die nodig zijn om het verslag goed lees­

baar te maken.

In het verslag worden tevens enkele onderwerpen besproken die

ook in het verslag van Jo Ramaekers aan de orde komen. Dit is

geschied om de twee verslagen onafhankelijk van elkaar leesbaar.

te maken.Het eigen werk wordt beschreven in de hoofdstuk~en IV,VI

,VIII,IX en X,waarbij de nadruk duidelijk ligt bij hoofdstuk VI.

In hoofdstuk II beschrijven wij de verstrooiing van een pro­

jectiel-deeltje aan een target-kern. Daartoe introduceren wij het

gekoppelde kanalen formalisme. Bij de beschouwing van dit gekop­

pelde kanalen formalisme hebben wij gebruik gemaakt van Lit.2.

Vervolgens kunnen wij bovengenoemd formalisme vereenvou­

digen door een benadering toe te passen, waardoor het aantal ge­

koppelde kanalen gereduceerd wordt. Deze benadering, de ~.g.

adiabatische benadering, wordt besproken in hoofdstuk I!I

(zie Lit.2).

In hoofdstuk IV introduceren wij een gestyleerd model.

Aan de hand van dit model hopen wij enig ipzicht te verkrijgen om­

trent de herkomst van de empirisch geconstateerde a-symmetrie

in de verstrooiingsmatrix. De oorzaak van dezè a-symmetrie moet

6

mogelijk gezocht worden in het sterker aangroeien van de compo­

nenten van een mathematische basisoplossing naarmate 1 groter

is. Voor dit laatste effect wordt getracht een fysische verkla­

ring te geven. Voorts vergelijken wij het gestyleerde model met

een meer realistische berekening.

Met het oog op de verstrooi~ng van een deeltje aan een I

vibrator-kern introduceren wij in hoofdstuk V het vijf-dimensio-

nale harmonische oscillator model. In dit model worden de bewe­

gingen van het kernoppervlak beschreven met behulp van de col­

lectieve kernco6rdinaten. Voor de be~chouwing.van dit model is

gebruik gemaakt van Lit.l.

In hoofdstuk VI voeren wij, bij de verstrooiing van een

deeltje aan een vibrator-kern, naast de adiabatische benadering

nog een tweede benadering in: de centrifugal-sudden benadering.

Dit heeft tot resultaat dat het itelsel gekoppelde radiäle dif­

ferentiaal vergelijkingen overgaat in één volledig ontkoppelde

radiäle differentiaal vergelijking. De interaktie-potentiaal be­

schrijven wij m.b.v. het deformatie-voorschrift van Blair. Dit

komt in essentie neer op een radiäle verplaatsing van de sferi­

sche potentiaal, afhankelijk van de richting, wat tot gevolg

heeft dat het verstrooiings probleem nog verder vereenvoudigd

wordt. De m.b.v. deze benaderingen verkregen oplossingen worden

geconfronteerd met de gekoppelde kanalen oplossingen.

In een kernfysische context is, voorzover wij weten, nog

nooit nagegaan in hoeverre de centrifugal-sudden benadering toe­

pasbaar is.om .dit na te gaan hebben wij een rekenprogramma gecon­

strueerd, waarin deze benadering samen met de energy-sudden be­

nadering wordt toegepast. De structuur van dit programma wordt

in hoofdstuk VIII nader uit een gezet.

In hoofdstuk IX beschouwen wij de resultaten, welke ver­

kregen zijn m.b.v. de centrifugal-sudden + energy-sudden benade­

ring. Deze resultaten hebben betrekking op zowel de verstrooi­

ingsfuncties als de differentiäle werkzame doorsneden. Van deze

resultaten worden verschillende aspecten nader belicht.

Vervolgens worden in het laatste hoofdstuk (X) enige con­

clusies geformuleerd omtrent de resultaten van het gestyleerde

model en de centrifugal-sudden + energy-sudden benadering.

7

II Het gekoppelde kanalen formalisme.

Wij beschouwen de verstrooiing van een spinloos ongeladen

deeltje aan een target-kern.Voor een verdere beschouwing hier

is het niet van belang of de kern een vibratie- dan wel een

rotatie-spectrum of een combinatie van beide spectra bezit.

Wij laten de beweging van het massamiddelpunt buiten beschouwing

en werken zoals vermeld in hoofdstuk I in het relatieve coör-

dinaten-systeem.

In de gekoppelde kanalen methode wordt de bij het boven­

genoemde systeem behorende Schrödingervergelijking getransfor­

meerd naar een stelsel gekoppelde radiële differentiaal verge­

lijkingen.Daartoe definiëren wij eerst een volledig orthonormaal

stelsel functies,die afhangen van de bolhoeken en de interne

kern-coördinaten.Iedere functie van dit stelsel,bepaald door

de bijbehorende quanturn getallen,beschrijft een bepaalde toestand

van het systeem.In de kontext van het gekoppelde kanalen

formalisme is een kanaal een specificatie van zo'n mogelijke

toestand van het deeltje+kern systeem,afgezien van de radiële

beweging.Deze toestand duiden wij aan met c,welke staat voor

alle betreffende quanturn getallen.De bijbehQrende golffunctie

~ (Q~~) noemen wij kanaalfunctie.Het kanaal heeft dus betrek-c

king op zowel de interne kern-toestand als ook op de relatieve

(e,f)-beweging.De coëfficiënten in de ontwikkeling van de

totale golffunctie naar het stelsel kanaalfuncties zijn dan nog

afhankelijk van de relatieve afstand r.Voor deze r-afhankelijke

coëfficiënten kan men een stelsel gekoppelde differentiaal

vergelijkingen opstellen.Daartoe vermenigvuldigt men de Schrö­

dinger vergelijking links met de complex toegevoegde van een

kanaalfunctie,en moet men over alle variabelen behalve r

integreren.

Genoemde methode zullen wij nader toelichten aan de hand

van de Schrödinger vergelijking voor het reeds eerder genoemde

systeem bestaande uit spinloos ongeladen projectiel-deeltje +

target-kern.Verondersteld wordt dat het projectiel-deeltje

geen interne dynamica bezit.

8

De op dit systeem van toepassing zijnde Schr5dinger vergelijking

door

( 1 ) L ~~ (.i t r) + r· + H(al! à/c)~) + Vèr0,0'o<} ftre~~).EV(.YÇ}~o() . l lrr'l r c)r-1 . ~Mrt Jj

wordt gegeven

Hierin is de Laplace operator van het deeltje in een radieël en

een hoekafhankelijk gedeelte gesplitst,met l als de baanimpuls­

moment operator van het deeltje.

De ontwikkeling van de toestandsfunctie naar het stelsel

kanaalfuncties kan geschreven worden als

( 2)

Wij splitsen in de ontwikkelings coëfficiënt een factor 1/r af,

om in het stelsel gekoppelde differentiaal vergelijkingen de

eerste afgeleide te vermijden.Links vermenigvuldigen met e~n com­

plex toegevoegde kanaalfunctie èn 1ntegreren do-et de Schrödinger

vergelijking overgaan in

LrffsmGdQdfda. t1e?~L.\i1 i + I 1

+ Hlcc,d/û")-f. +Vl!'e,!iD<)l 'f't-tepoO u(.~- o . ( J) C. } [ lWI êrrl .tl'l'lr2. ~

,waarin d~ afhangt van de wijze waarop ~ geintroduceerd wordt

(zie Li t • J ) •

Wij nemen aan dat de interaktiepotentiaal een eindige

dracht bezit. Voor r groter dan een zekere waarde Rm kan de

interaktiepotentiaal term dan worden verwaarloosd.In het buiten

gebied treedt volledige ontkoppeling van de differentiaalverge­

lijkingen op als de golffuncties ~(rei~) gemeenschappelijke

eigenfuncties zijn van de baanimpulsmoment operator i 2 en de

Hamilton operator H(~,à/o~) van de kern.Het totale impulsmoment ---van het systeem wordt gegeven door J=l+I .Schrijven wij de kanaal

functie Y~(e~~) nu ook nog als eigen functies van de operatoren

r~ en JÀ ,hetgeen mogelijk is omdat deze operatoren cammuteren

met de Hamilton operator,dan treedt in het binnengebied ook

gedeeltelijke ontkoppeling op.De grootte van het totale impuls­

moment en zijn projectie op de z-as zijn bewegingsconstanten.

Vervangen wij in de Hamilton operator r door -r dan

constateren wij dat dit geen invloed heeft op genoemde operator.

De pariteits operator ~ commut~ert dus met de Hamilton operator.

De pariteit n van het totale systeem is dus een behouden

grootheid. De pariteit van de kern geven wij aan met lTt ; de pari-

9

teit van het projectiel-deeltje wordt bepaald door zijn baan­t

impulsmoment:Tip:(-) .Da paritiet van het totale systeem is

bepaald door : Tf= Trl.Trp De sferische harmonischen Yt (0~) zijn eigenfuncties van

'L "'L de baanimpulsmoment operator !i.De eigen functies van de kern

geven wij aan met xf111I (o(.) (energie eigenwaarden ~ ) •

Op groepen-theoretische gronden kan men de directe

productruimte reduceren tot een deelruimte met zekere J en ba­

sis M.De kanaal-functies ~~(ef~) kunnen dan ontwikkeld worden

in termen van producten van de afzonderlijke golffuncties

Y,t""l(f~p{) en X/Il1.t (c().

De kanaalfunctie wordt dan gegevert door

~~(GJboe) =L ( Lc.'M' Ie- t1r IJ 11) ~te.. j, .. a (@~) 1/, .Je<) ( '+) m ).(, .tl.lc, Ale,. C. "t..'"J'c, I'VJ:c,"It.

Hierin zijn (.!~mLc, I c, H1c..l JM) de z.g. Clebsch-Gordan coëfficiënten.

De complex toegevoegde kanaalfunctie wordt gegeven door

" \ Lc:4* 11.* lf't,ce,iot)=;; H (l~ ,.,lc1l, t1xt:l J11)L-~) J~r-JJ:Gf) Nrt!H~cX.~ • ( s) ~"· Ie:

Substitutie van de uitdrukkingen (4) en (5) in vergelijking (J)

levert

( 6)

,waarin het interaktiepotentiaal matrix element gegeven wordt

door

(7)

Het (golfgetal)1

wordt bepaald via de relatie ~=2m(E-t~)/fii. Aan de hand van rotatie-symmetrie eigenschappen van het systeem

kunnen wij aantonen dat de potentiaal matrix symmetrisch is

(zie Lit.2 ).Voor een bepaalde waarde vanJen de daarbij beho­

rende waarde vaniT kan het stelsel gekoppelde differentiaal

vergel ijkingen worden opgelost. Daar ;rt en Jz bewegingsconstan­

ten zijn_,zullen \,,I"en ll!,Ie:de bij de quanturngetallen J en1T

behorende waarden doorlopen.

10

11.1 Beschouwing omtrent de randvoorwaarden van de ontwikkelings­

coëfficiënten uc(r) defenitie van de verstrooiinga matrix s.

De oplossingen van het gekoppelde stelsel differentiaal

vergelijkingen moeten voldoen aan de eis dat deze oplossingen

regulier dienen te zijn in de oorsprong (u (O)=O),daar anders de c

toestandsfunctie ~(ref~) oneindig wordt in de oorsprong.

In vergelijking (9) bewerkstelligen de niet-diagonaal

elementen van de interaktiepotentiaal een koppeling tussen de

differentiaalvergelijkingen.Zoals wij reeds eerder opmerkten,

mag voor r)R de interaktiepotentiaal worden verwaarloosd m mits,zoals wij aannamen,men werkt met een ongeladen projectiel-

deeltje,daar anders de 1/r-afhankelijke Coulomb potentiaal in

de berekeningen moet worden meegenomen.De vergelijkingen zijn dan

ontkoppeld.Fysisch gezien wil dit zeggen dat op grote onderlin­

ge afstand deeltje en kern elkaar niet beinvloeden,zodat deel•

tje- en kern-toestanden niet veranderen.Het systeem als geheel

verandert dan niet van kanaal.Naarmate de onderlinge afstand

tussen kern en deeltje geringer wordt neemt de kans toe dat het

systeem van kanaal verandert.

Klassiek passeert een deeltje,bij gegeven energie bij

groter wordend baanimpulsmoment,de kern op steeds grotere

afstand en zal vanaf zeker impulsmoment de potentiaal niet

meer voelen.

Quanturnmechanisch zorgt de centrifugaal barriere dat

voor grotere !-waarden de potentiaal steeds meer afgeschermd

wordt,zodat voor 1)1 de oplossing niet meer significant ma x heinvloed wordt door de kernpotentiaal.Aan de hand hiervan

kunnen wij dus het aantal mogelijke 1-waarden beperken.

Het aantal kernniveaus dat wij in ons model meenemen

is beperkt door het feit dat de excitatie stapsgewijs moet

geschieden.Wij beperken ons nu tot die niveaus die vanuit de

grondtoestand via een beperkt aantal stappen bereikt kunnen

worden (zie Lit.2 ).

Uit het bovenstaande en het feit dat het impulsmoment behouden

blijft kunnen wij concluderen dat voor een inkomende golf in een

1 1

bepaald kanaal slechts een beperkt aantal kanalen significant

gekoppeld is.Tevens wordt het aantal gekoppelde stelsels beperkt

door dat 1(1 • ma x

Voor r)Rm gaat vergelijking (6) over in de differentiaal

vergelijking van Bessel.Twee on-afhartkelijke oplossingen van deze

differentiaal vergelijking zijn de sferische bankelfuncties

k rh±1

(k r),waarin h-1+(k r) de bankelfuncties voorstellen van de

c t. c e c eerste(+) respectievelijk van de tweede soort (-).Met het oog

op het asymptotisch gedrag (-)

van deze functies voor grote r

h! tltc,r) .-- 1 e-:x.p[- i(, k.cr- (n] c, r -..o t;? z.

~~ tkcrl ,._ ..L u-r[ ;<.~ -(I)J "t- r-ef.) kc..'" a.

(R)

,dat gelijk is aan het gedrag voor respectievelijk in- en uit­

lopende golven op de factor 1/k r na,geven wij het product van c

k r en deze functies aan met 1 1 (k r) respectievelijk 01

(k r). c c c c c Deze functies worden dan de in- respectievelijk uit-lopende golf

genoemd.

De vorm die men aan de oplossingen van vergelijking (6)

voor r~Rm oplagt,wordt gagaven door

uc,(r)=Óc'c1lc•(kC"r)-~kc/ké1

sc'colc'(kér) (9) , waarin 1 1 (k r) een inlopende golf in kanaal c en 0 1 ,(k r)

c c c C" een uit-gaande golf in kanaal c' representeert.

De coëfficiënten S 1 bepalen de kans dat het systeem van c c

kanaal c,direct of indirect,overgaat naar kanaal c'.Deze coëf-

ficiënten vormen samen de ·(complexe) yerstrooi.i:ftgsmatrix S.

M~thernrrtisch oplossen vnn het stelsel gekoppelde differentiaal

vergelijkingen (6) levert, m.b.v. de randvoorwaarde in de oor­

sprong, een basis van N (=dimensie van het stelsel) lineair

onafhankelijke opl6ssingen.Een oplossing uit deze basis wordt

een mathematische basisoplossing genoemd.Deze N mathematische

basisoplossingen moeten op een zodanige manier lineair gecom­

bineerd worden,dat aan de fysische randvoorwaarde (9) voldaan

is (Lit.4). Een lineaire combinatie van mathematische basisop­

lossingen,die aan die randvoorwaarde voldoet,wordt aangeduid

als een fysische oplossing.

Wij merken op,dat wij in het voorgaande hebben veronder­

steld,dat wij alleen open kanalen bekijken (projectiel en excita­

tie energieën van dusdanige grootte dat golfgetal k positief). c

1 2

II.2 Symmetrie van de verstooiings matrix S.

In deze paragraaf zullen wij aantonen dat de verstrooi­

ings matrix symmetrisch is.Daartoe nemen wij twee willekeurige

lineair onafhankelijke oplossingen~~· (r) respectievelijk ~c1 (r) van de gekoppelde kanalen vergelijking (6).De ~omponèntän van

deze oplossingen kunnen wij schrijven ais uc~(r) respectievelijk c u 0 ,(r). Alle componenten zijn identiek nul in de oorsprong.

c De twee bovengenoemde componenten moeten voldoen aan

2 ei ' ( ) c ( . 2 ei ( ) ' . ( ) c51 d 2u 1 ( r ) =L.. V 1 r u ~ ~ ) ; a..~ 2u 1 r ="- V 1 r u

dr c c c c c dr c c c c c

(Voor dit bewijs is het gehele diagonale gedeelte van vergelij­

king (6) in V 1 gestopt.) c c

Beschouw de gegeneraliseerde Wronskiaan;hierin kan ~ wille-

keurig worden gekozen~

LW (u c11 ( r ) , u c~ ( r) )I = J ~r [. u 01

1 ( r ) V 1 ( r ) u 01 ( r ) - [ U0 ~ ( r ) V , ( r ) u 01

{ r ) e• c c .,. c: c.. c c c c c.'c." c c c• c• ·

'1 0 Past men hernummering op de tweede term achter het integraal-

teken toe dan gaat deze term over in ~u01(r)V 1 (r)u0~(r) cc c cc c en daar V 1 (r)=V 1 (r) is de gegeneraliseerde Wronskiaan gelijk c c cc nul.Buiten het interaktie gebied (V 1 (r)=O voor c/c 1 ) geldt

c c zowel voor u 0 ~(r) als voor u0~(r) randvoorwaarde (9).

c c Maken wij hiervan gebruik in de gegeneraliseerde Wronskiaan,

in combinatie met de Wronski-relatie W(I1 !k 1 r),o1 1 (k 1 r))=2ik 1 , c c c c c

dan levert deze de symmetrie relatie voor de S-matrixelementen.

M.b.v. de verstrooiings matrixelementen kan men de

verstrooiings amplitude bepalen.Daartoe vergelijkt men de asymp­

totische vorm van de toestandsfunctie met de vorm van de toestands

functie waarin wij de vlakke golf ontwikkelen naar de in- en uit­

lopende bolgolven r 1 1 (k 1 r) en01 1 (k 1 r).Voor een gedetailleerde c c c c behandeling van het bovenstaande verwijzen wij naar Lit.5.

III De adiabatische benadering.

In het voorgaande is aangetoond dat de verstooiings matrix

symmetrisch moet zijn.Empirisch is echter gebleken dat dit niet

13

het geval is.Deze a-symmetrie kwam voor het e~rst aan het

licht in de verstrooiings matrix,behorende bij de verstrooiing

van een projectiel aan een starre rotator,die bepaald werd aan

de hand van de adiabatische vergelijkingen.Bij controle van de

verstrooiings matrix,behorend bij het zelfde systeem maar be­

paald aan de hand van de gekoppelde kanalen vergelijkingen,

bleek deze a-symmetrie ook op te treden.Het is nu zlnvol de

adiabatische benadering te behandelen,daar het simpele model

dat wij naderhand introduceren ter beschouwing van die a-sym­

metrie ,nauw aansluit bij deze benadering.

Deze benadering betekent in essentie dat wij de enerie­

niveau verschillen tussen de diverse kern toestanden verwaar­

lozen.Klassiek stelt men zich dit in het algemeen zo voor,dat

de collectieve kern bewegingen zo traag verlopen t,o.v. de

relatieve beweging van het projectiel,dat aangenomen mag worden

dat gedurende de interaktie de kerncoördinaten ~ een vaste

waarde bezitten.Het probleem is dus teruggebracht tot de ver­

strooiing van een deeltje aan een potentiaal waarin de kern­

coördinaten niet meer als onafhankelijke variabelen voorkomen

maar alleen nog als parameters.Hierdoor kan men de Schrödinger

vergelijking oplossen voor elke oriijntatie van de kern afzonder­

lijk.In het rotatie-model leidt dit tot aanzienlijke vereenvou­

digingen.

Op dezlfde wijze als in het gekoppelde kanalen formalisme

kan ook hier een gekoppelde kanalen vergelijking worden opge­

steld;echter met dit verschil dat de kanaalfuncties nu alleen

nog een functie zijn van de bolcoördinaten (e~) (men werkt in

lichaamsvast assenstelsel).De z'-as valt dan samen met de

symmetrie-as van de kern.Men kan aantonen dat de z'-component van

de impulsmoment operator ? 2 ,wegens axiale symmetrie,een

behouden grootheid is.De coördinaten~ geven de oriëntatie aan

van het x' ,y' ,z'-assenstelsel t.o.v. het relatieve coördinaten

systeem.

Daar de Hamilton operator van de kern vervangen is door

een constante (e),kunnen wij de toestandsfunctie voor het totale

systeem schrijven als

14

\f(r0' (e~d.),y!• (9,1iot))=~ uC/(r)i~ Y.te,~Á (0' (efrl.),p• (e,0o<)) r (.,

( 10)

Het kanaal c duidt hier een (1 ,m1 ) combinatie aar1.Vanaf dit c c punt verloopt de aanpak ter bepaling van de radi~le golffunc-

ties analoog aan die bij het gekoppelde kanalen formalisme.

Vervang in vergelijking (J) de Hamilton operator van de

kern H (ex', ojdOC.) door E, en substitueer de toestandsfunctie ( 10)

\.f( r0 ',? •I<) in deze vergel ijking. Vermenigvuldigen wij nu links met

(-i)~Yk~(8'~') dan zal,na integreren over (e'~') op dezelfde­

wijze als bij het gekoppelde kanalen probleem,een stelsel gekop­

pelde tweede orde differentiaal vergelijkingen ontstaan voor

elke (1 ,m1

) combinatie.Dit stelsel gekoppelde differentiaal c c

vergelijkingen wordt dan gegeven door

2. - 2. r d T"l 1 (1 1 +1)+k )u ,(r;OC)= c c c c dr1 r2.

,waarin k1 =2m(E-t)/n 1 ~

V 1 (r;OC)u (r;o<) c c • c ( 1 1 )

Na het oplossen van het stelsel vergelijkingen in het lichaams-

vast assenstelsel kan men m.b.v. een transformatie tussen het

lichaamsvast- en relatief coördinaten stelsel het verstrooiings

probleem voor iedere kern oriëntatie afzonderlijk oplossen.

1 5

IV Een vereenvoudigd model •

• 1 Inleiding.

In realistische berekeningen vindt men, indien men spin~

loze ongeladen projectiel-deeltjes verstrooit aan een target­

kern, een a-symmetrie in de verstrooiingsmatrix.Tom Schulte

heeft nu,voor het geval men gebruik maak~ van proj~ctieldeeltjes

met zekere spin,een kleine spin-baankoppelings term geintro-

duceerd.Voor grote 1-waarden werden effecten waargenomen die

men hier normaal gesproken niet zou verwachten.Er traden n.l.

enorme verschillen op tussen de verstrooiingsmatrix elementen

bepaald voor j=l+s en j=l-s.Deze enorme verschillen kwamen

echter alleen voor tussen de matrixelementen die behoorden bij

de overgang van een kanaal met lage-l naar een kanaal met

hoge-l.Hieruit kon geconcludeerd worden,dat de helft van de

verstrooiingsmatrix elementen nauwkeurig bepaald werd.

De verklaring van de aldus aan het licht getreden

a-symmetrie in de verstrooiingsmatrix is mogelijk te zoeken in

het feit dat de componenten van een mathematische basisoplos­

sing sterker aangroeien bij toenemende r naarmate 1 groter is.

Wij merken op dat een mathematische basisoplossing verkregen

wordt door aan de afzonderlijke componenten van deze mathema­

tische basisoplossing zekere voorwaarden op te leggen.

Deze voorwaarden impliceren dat in een kleine omgeving van de

oorsprong,in alle kanalen behalve één (het aanzetkanaal),de

radiële oplossingen en hun afgeleiden gelijk nul moeten zijn•

Een model is nu opgezet met de bedoeling enig fysisch

inzicht te verschaffen in de herkomst van empirisch geconsta­

teerde feiten,zoals het sterker aangroeien der radiële golf-

functies naarmate 1 groter is (zie tabel IV.1) en de

a-symmetrie in de verstrooiingsmatrix in zowel de adiabatische

benadering als in de gekoppelde kanalen methode.

Het model beschrijft een systeem bestaande uit drie

kanalen en wij voeren een gestyleerde interaktiepotentiaal in.

Wij beschouwen nu die fysische oplossing waarbij een invallende

golf optreedt in het middelste kanaal.De koppeling tussen de

1 6

kanalen geeft dan aanleiding tot amplitudes in de twee naburige

kanalen.Beschouwing van de uitlopende golven in deze kanalen

toont,dat de gegenereerde amplitudes op de plaats van koppeling

ruwweg symmetrisch verdeeld zijn t.o.v. het ingangskanaal.Door

in de buitenste kanalen golven met een zodanige amplitude

te laten invallen dat de mathematische basisoplossing voor het

middelste kanaal gecreëerd wordt,kunnen wij het ste~·ker aan­

groeien der radiële golffuncties bij toenemende r naarmate 1

groter is fysisch verklaren.

Uit de wijze waarop een fysische oplossing aan de hand

van mathematische basisoplossingen gecreëerd wordt,kunnen wij

enig inzicht verkrijgen omtrent het waargenomen a-symmetrisch

gedrag der verstrooiingsmatrix elementen •

• 2 Modelveronderstellingen.

Nemen wij nu dat drie-kanaals model nader onder de

loupe.Daarbij veronderstellen wij dat de kanalen slechts onder­

scheiden worden naar het baanimpulemomentquantumgetal l.Het

kanaal met de grootste,middelste respectievelijk kleinste

1-waarde duiden wij aan met c+1,c respectievelijk c-1.Voorts

zijn alleen naburige kanalen zwak gekoppeld en verwaarlozen

wij diagonale koppeling.Wij nemen de interaktiepotentiaal van

een dusdanige vorm,dat alleen ter plaatse R (kernoppervlak) 0

koppeling kan optreden

=DÓ(r-R ) 0

,waarin Al het verschil is tussen twee naburige kanalen en

D een constante.

Wij merken op dat R zodanig gekozen is dat tenminste 0

voor kanaal c+1 R 0

binnen het klassiek verboden gebied ligt

en dat de aansluitplaats R zodanig gekozen is, dat dit punt m

voor alle kanalen buiten het klassiek verboden gebied ligt.

Het bij dit model behorende stelsel bestaat uit drie

gekoppelde radiële differentiaal vergelijkingen en wordt ge­

geven door

17

-1 ,(1 ,+1) c c ( 1 )

Voor r~R zijtl de brontermen in het rechterlid van vergelijking 0

(1) gelijk nul en gaat deze vergelijking over in de differentiaal

vergelijking van Bessel.Twee lineair onafhankelijke oplossingen

van deze differentiaal vergelijking zijn krj1

(kr) en krn (kr). (... le.•

Hierin stellen j 1 _, (kr) en n1

(kr) de respectievelijke ~· ~·

reguliere sferische Bessel- en ~rreguliere sferische Neumann-

functie voor.Twee eveneens onafhankelijke oplossingen van deze

differentiaal vergelijking zijn krh1( +) (kr) en k.rh

1(-) (kr). In

() r: (;( deze oplossingen stelt h

1: (kr) respectievelijk h4~)(kr) de

sferische hankelfunctie van de eerste respectievelijk tweede

soort voor (zie II.8) •

• J Beschouwing omtrent de symmetrische.waarschijnlijkheidsverdeling

rond het ingangskanaal.

Beschouwen wij de situatie dat in kanaal c een inlopende

golf met eenheidsamplitude optreedt (zie fig. 1).Ter plaatse

C+1 -- - -,_,__. - I I

I I I

~----· ·--,-, , ..... c I I

I I I ,_, ==t: I ,---, ·--k 0 R

c-1

0 m

Figuur 1 Invallende

golf in kanaal c.

R lekt dan waarschijnlijkheid naar 0

kanaal c+1 en c-1.In kanaal c re-

reflecteert de invallende golf( 1 )

aan de oorsprong met als resultaat

dat voor r(R de amplitudes van de 0

in- en uit-lopende golf gelijk doch

tegengesteld zijn.Voor r>R treedt m

in dit kanaal naast de in- dus ook

nog een uit-lopende golf op.In de

kanalen c+1 ~n c-1 lopen de golven

van R weg.De naar links lopende 0

golven reflecteren aan de oorsprong

,zodat ook in deze kanalen voor r(R 0

(l)Onder invallende golf verstaan wij hier de voortzetting van de

oplossing van de ontkoppelde vergelijking,welke in het oneindige

wordt gegeven door een e-macht en waarbij rekening is gehouden

met de centrifugaalpotentiaal.

18

in- en uit-lopende golven optreden,waarvan de amplitudes gelijk

doch tegengesteld zijn.Voor r)R treden in laatst genoemde ka­m

nalen alleen uit-lopende golven op.Wij constateren dat in het

algemeen voor r<R de radiële golffunctie in ieder kanaal een 0

waarde ongelijk nul heeft.De algemene oplossing in kanaal c 1

t.g.v. een inlopende golf in kanaal c wordt voor r(R respec­o

tievelijk r)R gegeven door 0

ulle, (r) = kr a 11

c" j 1 (kr) e: e•

en (2) ~·

(J)

,waarin c' de waarden c+1,c en c-1 aan kan nemen.

M.b.v. de continuiteitseis voor de functiewaarden en het aan­

passen der afgeleiden ter plaatse R kunnen wij, er mee reke-o

ning houdend dat alleen naburige kanalen direct gekoppeld zijn,

de coefficiënten a 11

t en b11~ bepalen.Substitutie van deze coëf-e,' ~

ficiënten levert alle componenten van deze fysische oplossing.

Voor r~R worden de radiële golffuncties in de kanalen c+1 en 0

c-1 gegeven door

(4)

Hierin stelt r> het maximum van r,R0

en r< het minimum van

r,R voor. 0

Wij nemen nu de uitlopende golven ter plaatse R+ (R+)R 0 0 0

en in de buurt van R ) nader onder de loupe.Daartoe maken wij 0

gebruik van de asymptotische benaderingen voor Bessel- en

Neumann-functies voor kleine waarden van kR 0

j 1 ( kH o ) = ( kR o ) 1 en n 1 (kR0

)= (21-1)1!

(kR )1-1

(5)

(21+1)!! 0

Substitutie van genoemde asymptotische benaderingen in

uitdrukking (4) levert als resultaat, dat de gegenereerde

amplitudes in de kanalen c+l en c-1 ruwweg symmetrisch verdeeld

zijn t.o.v. het ingangskanaal.Wij zullen zien dat de mathemati­

sche basisoplossingen daarentegen wel een sterke a-symmetrie

kunnen vertonen.

19

.4 Verklaring omtrent het aangroeien der mathematische componenten.

Deze beschouwing is gericht op de verklaring van het

sterker aangroeien der mathematische componenten bij toenetnen­

de r naarmate 1 groter is.

De beschouwde fysische oplossing bezit,voor r-waarden

kleiner dan die waarbij de interaktie plaats vindt,in elk ka­

naal een component waarvan de amplitude afneemt naarmate r

afneemt.

Beschouwen wij daarentegen het geval dat kanaal c op­

treedt als aanzetkanaal.Dit impliceert dat alleen in kanaal c

in het gebied r(R een radiële golf optreedt met amplitude 0

ongelijk nul.Vergelijking (1) toont dan dat de brontermen in het

rechterlid de radiële golffuncties in de kanalen c+1 en c-1

ter plaatse R een sprong in hun afgeleide bezorgen.De compo-o

nenten van ueze mathematische basisoplossing voor r<R 0

respectievelijk r)R worden gegeven door 0

ü11

e. ( r) =2Ó1 1

kr jl (kr) c:: e:' e, ~

en

Hierin kan c' de waarden c+1,c en c-1 aannemen.

(6)

(7)

M.b.v. de continuiteitseis voor de functiewaarden en het aan-

passen der afgeleiden ter plaatse R bepalen wij de coëffi­o

... t -le,. b-le. c~en en a

1 en

1 • e: e,•

Voor r~R worden de componenten c+1 en c-1 van deze matherna­a

tische basisoplossing gegeven door

(8)

Gelet op het bovenstaande kunnen wij de mathematische

basisoplossing,waarbij kanaal c als aanzetkanaal optreedt,con­

strueren aan de hand van de fysische oplossing bij P-en invallen­

de golf in kanaal c.Daartoe sturen wij in de kanalen c+1 en c-1

inlopende golven met zodanige amplitudes, dat deze de

20

componenten van de fysische oplossing voor r<R compenseren. 0

De betreffende componenten staan vermeld in uitdrukking {4). Om deze componenten te compenseren dienen wij dus vanuit het

oneindige,in de kanalen c+1 en c-1,golven te laten invallen

met amplitudes

-2D(kR ) 2 jl (kR )h1( +) ·(kR ) •

o ~ o e:t1 o (9)

Deze golven

king van Bessel.

voldoen aan de homogene differentiaal vergelij-

Vergelijken wij nu de componenten van de fysische oplos-

sing met daarop gesuperponeerd de inlopende golven, die nodig

zijn ter compensatie van de componenten c+1 en c-1 van de

fysische oplossing voor r(R ,met de componenten van 0

de mathematische basisoplossing~ (8). Dan tilijkt·dat de ·c+1

respectievelijk de c-l component van de gesuperponeerde fysische

en de mathematische basisoplossing gelijk zijn.

Wij merken op dat in geval van een invallende golf in

kanaal c+1 of c-1 koppeling optreedt naar het naburige•kanaal

c .De amplitude ter plaatse R in de kanalen c+1 en c-1 t.g.v. 0

een invallende golf in kanaal c,is slechts een fractie van de

amplitude in kanaal c ter plaatse R .Wij laten daarom de koppe-o

ling naar kanaal c,afkomstig van een invallende golf in kanaal

c+1 respectievelijk c-1 ter compensatie van de amplitudes in

het gebied r<R in de desbetreffende kanalen,bij de bepaling 0 .

van uitdrukking (9) b~iten beschouwing.

Wij constateren dat de invall..ende,·golven in de kanalen

c+1 en c-1 centrifugaal potentiaal barrieres dienen te pas~:;eren

die niet van gelijke grootte zijn.De potentiaalharriers neemt

toe voor toenemende. l.Voor kanaal c+1 ligt R het diepst in 0

klassiek verboden gebied.Dit impliceert dat component c+1

van de mathematische basisoplossing het sterkst zal toenemen

bij toenemende r.

De koppeling heeft het dus mogelijk gemaakt~dat de

centrifugaal potentiaalbarrieres behorende bij de kanalen c+1

en c-1 via een achterdeurtje omzeild kunnen worden.Dit bete­

kent dat de amplitudes van de invallende golven terplaatse R , m

21

om de amplitudes voor r ~R0 te compenseren, groter zullen

zijn naarmate 1 groter is.Dit heeft tot gevolg dat de mathema­

tische basisoplossing ter plaatse R een a-symmetrlsehe verde-m

ling vertoont, hetgeen duidelijk blijkt uit een nadere beschou-

wing van de componenten van de mathematische basisoplossing

ter plaatse H • De componenten ~11'(R ) en ü11

e (R ) worden gegeven m ,. m <. m

door

~11L(R )=-2D(kR ) 2j

1 (kR )h

1(+)(kR )J

1 (kR)

> m o c, o > o > m en

~ 11

(, ( R ) =- 2 D ( kR ) 2

j l ( kH ) h ~: ) ( kR ) j l ( kR ) ( m o ~ o ~ o < m

( 1 0)

,waarin wij 1 1 respectievelijk 1 1 vervangen hebben door c+ c-

l> en l(.Daar voor kR >>1 geldt dat j 1 (kR )~jl (kR ) (zie 18) m > m < m

wordt de verhouding ter plaatse R tussen de componenten uit . m uitdrukking (10) gegeven door

h ( +) ( kR ) 1:> 0 ( 11 )

h ( +) (kR ) 1< 0

Maken wij gebruik van de benaderingen voor Bessel- en Neumann­

functies (kR«1) dan wordt bovenstaande verhouding bij benade­o

ring bepaald door de verhouding der desbetreffende Neumann-

functies

( 1 2)

Wij constateren dat deze verhouding sterk afhankelijk is van

het verschil (Al) tussen 1, en 1< en kR • Naarmate A 1 toeneemt, 0

zal dus ook de a-symmetrie in de mathematische oplossing ter

plaatse R toenemen. m

Kort samengevat kunnen wij dus zeggen dat~in geval kanaal

c als aanzetkanaal fungeert (mathematische basisoplossing),

22

COlliponent c + 1 sterker zal aangroeien dan component c-1.

·2 De a-symmetrie in de berekende S-matrix.

In deze paragraaf geven wij een beschouwing omtrent het

verschil in cijferverlies in de verschillende componenten bij

het superponeren van mathematische basisoplossingen tot ver­

schillende fysische oplossingen.

Naar analogie met de geschetste methoden in paragraaf

2 en J,ter bepaling van de fysische respectievelijk mathema­

tische oplossing t.g.v. een inlopende golf in kanaal c res­

pectievelijk kanaal c fungeert als aanzetkanaal, kunnen wij ook

de fysische en mathematische oplossingen bepalen voor de

kanalen c+1 en c-1.Deze oplossingen worden hier echter niet

expliciet vermeld.

Wij beschouwen nu een fysische oplossing als een

superpositie van mathematische basisoplossingen

1 1 1 :!:! c+1(r) ' c+1- c'( ) =L a 1 :!:! r ( 1 J)

C I C I

1 ,waarin:!:! c+ 1 (r) de fysische oplossing is van het stelsel

differentiaalvergelijkingen (1), waarbij in kanaal c+1 een in­

lopende golf optreedt.De mathematische basisoplossing ,in ge­

val1kanaal c 1 als aanzetkanaal fungeert,wordt gegeven door

Ü c1

(r).Wij nemen nu component c-1 van bovengenoemde fysische

oplossing (1J) ter plaatse R en substitueren daarin de bij-m

behorende componenten van de mathematische basisoplossing.

Dit heeft tot resultaat

V:1 llWl'f'.'l' hl' I t'oi t daL wij in ons model slechts koppeling mee-

nemen tussen naburige kanalen, ontbreekt

uitdrukking (14) de term met coëfficiënt

in1 laatst - C+1 al •

c-1

genoemde

2J

Op identieke wijze vinden wij

Vervolgens substitueren wij in de uitdrukkingen (14) en (15) de

voor de fysische en mathematische oplossingen bepaalde

coëfficiënten.De factoren die na substitutie in beide uitdruk­

kingen hetzelfde zijn laten wij buiten beschouwing.De nader te

beschouwen componenten van de fysische oplossingen zijn dan

van de vorm

,waarin lc+ 1 en lc_1

vervangen zijn door 1> respectievelijk 1<· Wij maken gebruik van de asymptotische benaderingen van de

Bessel- en Neumann-functies voor kr-o (5) en kr-+00

j 1 (kr)-... _1_sin(kr-1Tr) en n1

(kr) ,.._ .L_cos(kr-ln) (18) kr-cO kr 2 kr-+oO kr 2

en substitueren deze in de uitdrukkingen (16) en (17),reke-

ning houdend met het feit dat hi+)(kr)=n1

(kr)+ij1

(kr). (19)

De eerste twee respectievelijk de derde term(en) in

uitdrukking (16) zijn(is) afkomstig van component c+1 van de

mathematische oplossing, waarbij kanaal c respectiev~lijk kanaal

c + 1 als aanzetkanaal fungeert. Aan de hand van deze uitdruk­

king en uitdrukking (17) kunnen wij de a-symmetrie in de ver­

strooiings-matrix begrijpen. Na substitutie van (19) in (16) con­

stateren wij dat de twee Neumannfuncties, afkomstig van verschil­

lende componenten, elkaar compenseren.Er resteren twee relatief

kleine termen (Besselfuncties)van gelijke grootte,zodat cijferver­

lies zal optreden. De mate waarin cijferverlies optreedt, wordt

bepaald door de verhouding tussen een van de termen die gecom­

penseerd worden (n1

(kR ) en een van de termen die resteren > 0

( j l (kR ) ) • ;;> 0

24

Naarmate 1 kleiner is, is ook de verhouding tussen Neumann- en

Bessel-functie kleiner;dus treedt minder cijferverlies op. Dit

cijferverlies nu geeft aanleiding tot onnauwkeurigheid in de

verstrooiings-matrix.

Vergelijken wij de componenten u11<(R) en u

11,(R ). Voor

> m < m de eerste respectievelijk de tweede component wordt het cijfer-

verlies gegeven door

n 1 >(kR0 )

jl (kR ) > 0

n1

(kR .) < 0

jl (kR ) < 0

= ( 21, - 1 ) ! I ( 21> + 1 ) I I

(kH ) 21> -1 0

= (21<-1)!! (21<+1) I!

(kR )21<-1 0

Wij constateren dus dat bij de berekening van u11<(R ) groter

1 > m cijferverlies optreedt dan bij u

1>(R ).Dit verschil in cijfer­( m

(20)

( 21 )

verlies is sterk afhankelijk van de keuze van 1),1< en kR en 0

komt tot uitdrukking in de bijbehorende verstrooiings-matrix

elementen sl 1 en sl 1 • ,., ( <' > Uit berekeningen aan een realistisch meer-kanaals model

blijkt dat de S-matrix elementen behorend bij de overgang van

1-hoog naar 1-laag zeer nauwkeurig bepaald worden~De verstrooi­

ings-matrix elementen behorend bij de omgekeerde overgang wor­

den zeer onnauwkeurig bepaald. .Bovengenoemde beschouwingen

in een gestyleerd model verklaren kwalitatief de in de praktijk

waargenomen a-symmetrie vah de verstrooiings-matrix en geven

aan in welke richting gezo/:ht moet worden naar een meer kwan-! titatieve verklaring in eqn meer realistisch model.

f I

.6 Vergelijking met realisti,fuhe berekeningen.

I In het drie-kanaa1s model hebben wij een aantal effecten

waargenomen.Wij willen n~taan in hoeverre deze effecten ook bij '

realistische berekeninf(~n worden geconstateerd.De hierna vol-

gende resultaten zijn v~rkregen aan de hand van een realistische I

zeven-kanaals bereken\ng.Vanwege het feit dat voor deze bere-

kening het interaktie/;ebied een eindige grootte bezit, mogen I 25

I

wij niet verwachten dat de resultaten van het drie-kanaals model

kwantitatief bevestigd zullen worden.Niettemin hopen wij dat een

aantal aspecten van de zeven-kanaals berekening globaal beschre­

ven kunnen worden aan de hand van het drie-kanaals model.

Voor het kanaal met de hoogste 1-waarde bevindt het

interaktiegebied zich geheel binnen het klassiek verboden ge­

bied.Voor het kanaal met de laagste 1-waarde bevindt het inter­

aktiegebied zich volledig in klassiek toegankelijk gebied.De

aansluitplaats R . ligt voor ieder kanaal ver buiten het klas-m siek verboden gebied.

Een eerste aspect dat wij willen b.ekijken is de symmetri­

sche waarschijnlijkheicts-verdeling over de. kanalen.Bij geval van

een inlopende golf in het middelste kanaal weerspiegelen de

resultaten in de buurt van de bovengrens van het interaktie­

gebied inderdaad een symmetrische waarschijnlijkheicts-verdeling

(zie fig·. IV.1).De afwijking van de symmetrie die hier optreedt,

is te verwaarlozen t.o.v. de a-symmetrie in de mathematische

basisoplossing ter plaatse· H , waarin wij geinteresseärd zijn. m

De amplitudes van de golffunct~~s in de symmetrisch t.o.v.

het middelste kanaal gelegen kanalen zijn ongeveer gelijk.Wij zijn

via een achterdeurtje de potenti~al~arrieres behorende bij de I I

afzonderlijke kanalen gepasseerd. \

Vervolgens schenken wij aar/lacht aan een tweede aspect.

Wij constateren dat in het koppeli\tgsgebied voor afnemende r

de amplitudes der golffuncties st~rker afnemen,naarmate 1

groter is (zie fig IV.1).Dit weeripiegelt inderdaad het feit

dat het verloop van de golffuncti~s in de afzonderlijke kanalen I

grotendeels bepaald zal worden dcbr de bij die kanalen behorende I

1-waarden. \ I

\ .

Bekijken wij nu een derde as~ect. De inlopende golf heeft

door de gekozen normering en het ~eit dat Rm ver genoeg naar

buiten gelegen is,ongeacht in wel~ kanaal de inlopende golf

optreedt,ter plaatse R een ampli Qde die voor alle kanalen m ruwweg gelijk is.Bekijken wij nu in ('ig IV.2 de amplitudes in het

26

I

interaktiegebied in twee symmetrisch t.o.v. het fysisch in­

gangskanaal gelegen kanalen.Wensen wij deze amplitudes te com­

penseren, dan blijkt dat wij in het kanaal met de hogere 1-waarde

een golf met een grotere amplitude moeten lateri invallen dan in

het kanaal met de lagere 1-waarde.Dit is in overeenstemming met

het geconstateerde in het drie-kanaals model.

Vervolgens schenken wij aandacht aan een vierde en

laatste aspect.De resultaten in tabel IV.1 zijn verkregen aan de

hand van een realistische tien-kanaals berekening.De tabel

geeft de componenten der mathematische basisoplossingen ter

plaatse R .Uit deze tabel blijkt duidelijk dat, ongeacht welk Jn

kanaal als aanzet-kanaal fungeert, het sterker

aangroeien bij toenemende r der hoge-l componenten.

27

V Het vijf-dimensionale harmonische oscillator model.

Wij beschouwen engedeformeerde even(Z)-even(N) kernen met

massa A. In plaats van de kern te beschrijven aan de hand van zijn

JA vrijheidsgraden introduceren wij de nieuwe coördinaten ~À~,die

collectieve aspecten van de bewegingen der nucleonen beschrijven.

Dit nieuwe stelsel coördinaten noemen wij de collectieve kern­

coördinaten. Een kernmodel geformuleerd in termen van dergelijke

coördinaten noemen wij een collectief kern model.

Gewoonlijk introduceert men de collectieve kerncoördinaten aan

de hand van een klassiek beeld van de kern. Van uit dat beeld

worden de eigenschappen van ~~afgeleid en aan de hand daar­

van kan dan een collectieve Hamiltoniaan in termen van die~~

geformuleerd worden.

De collectieve coördinaten die de beweging van het kern­

oppervlak beschrijven, worden gedefineerd aan de hand van de uit­

drukking voor het kernoppervlak in termen van de bolfuncties

RLêpij-~o [1 + f- o<ç, i~ '1~tê}Ó] • ( 1 )

Jh het klassieke beeld Y;ijn de collectieve coördinaten o(}.f' tijd

afhankelijk;zij be~chrijven vibraties t.o.v. een sferisch opper-

vlak met straal R • Daar 0

R een reële grootheid moet zijn, kunnen

wij m.b.v. het feit dat

ot.>!j = (::_')?- 1)1. >--)A- • Indien wij enkel quadrupcol-vibraties (À=2) beschouwen

~~'S~)=t~!J' ~Àt(&fÎ) aantonen dat

( 2)

t.o.v. een sferische evenwichtsvorm wordt R gegeven door

'R.(e>,sz{L)= 'R0 [1 _. L t)(~ ~~ 'j~~ (.êpl)] • ('3)

Beschouwt men nu qfa.drupool-vibra ties van een sferische

kern, dan ligt i.v.m. het laag-energetische spectrum dat deze

kernen vertonèn, een harmonis.ch oscillator model voor de hand.

Voor geringe oscillaties van het kernoppervlak t.o.v. de even­

wiehtsvorm kunnen wij de bij dit model behorende klassieke Haruil­

toniaan splitsen in een kinetische- en een potentiële-energie-

term H lcxl.;rr,_) = T(.1T1) + V (!i.,_) ( 4)

In deze vergelijking stelt ïr,_ de kanonisch aan ~t toegevoegde

impuls voor en staat o<,_ respectievelijk 11"'1. voor een verzame­

ling van vijf coördinaten. Vergelijking (4) beschrijft nog geen

specifiek collectief kernmodel.

28

Het bovenstaande brengt ons er toe de klassieke Hamiltoniaan

voor de harmonische quadrupool-oscillator te schrijven als

H== ..i. L n~~t)TT2 ~~ + ~ [ oe1~?CX2.&) c 5) Wel !lb2 jrV ~ ~ ~ j# T r

De colectieve coSrdinaten ~~zijn complexe grootheden. Wlj

kunnen wel met reële combinaties van deze complexe

grootheden werken~~aar wij sluiten ons

door de collectieve kerncoördinaten~~als

variabelen te hanteren.

aan bij de praktijk

onafhankelijke

Vergelijking (5) beschrijft dan in wezen vijf harmonische

oscillatoren met "massa Bï,, 11 veerconstante Ci, en frequentie

~Vf: !2. De operatoren o(~ en TI~_)(- zijn sommen van creatie- en

annihilatie operatoren van oscillatorquanta. De oscillatmr­

quanta worden naar analogie met de collectieve roostervibraties

van kristallen fononen genoemd. Beschouwen wij nu Hamiltoniaan

(5) als operator. Deze operator wordt dan gegeven door

H= _-t L (.-)f TT'l-,u. TT?. + ~ [ é'))J- ~~ r:J..CJ.)k ( 6) l-llil ?.'b1 Ik I f ~ ik "Jk I In de collectieve beschrijving voor de (sterke) wissel-

werking van een deeltje met een kern wordt aangenomen,dat deze

wisselwerking afhangt van de vorm van het kernoppervlak,m.a.w.

van de collectieve coördinaten o('lJ<-.

Dit houdt een wisselwerking in, welke kan leiden tot fonen­

annihilatie of creatie.

Wij kunnen de creatie- en annihilatie-operatoren voor .,. fononen (b?.. respectievelijk j3?../" uitdrukken in de operatoren

0('-,P-en lT? (1T?.f .. -ik c)/è>o<~). Dit geschiedt aan de hand van de transformaties

en ( 7)

(8)

De creatie- en annihilatie-operator gehoorzamen de commu-

tatie-regels

[f~ ~vJ=~v en [!6~,j6:~-[fb~)~2J=o. ( 9)

Dit zijn exact dezelfde commutatie-regels die gelden voor bosonen.

29

De fononen bezitten dus boson-karakter.Uit de transformatie­

eigenschappen onder rotatie blijkt dat de fononen een spin À met een z-component gelijk~ bezitten, terwijl de pariteit

wordt gegeven door (-)A. Een basis van eigentoestanden van een dergelijk fanon­

veld wordt gegeven door de verzameling van de vijf quanturn­

getallen N~,welke de aantallen fononen van het type ~aan­

geven.

Wij introduceren de bezettings-getal operator die

gegeven wordt door n'LjJ--foifo /bt)J" ( 10)

Wij merken hier op dat de annihilatie-operatoren het aantal

fononen met één reduceren en de creatie-operatoren het aantal

fononen met één doen toenemen.Gelet op het feit dat ;8;uiO).O geldt tevens dat O'tp.IO): 0.

De in deze uitdrukkingen voorkomende nul-fonon toestand wordt

ook wel de vacuüm-toestand genoemd.

Bekijken wij nu N-fonon toestanden bestaande uit N1.1

fononen van het type 2,-2 , N1.1 fononen van het type 2,-1 , ••••

•••••••••••• en N1~ fononen van het type 2,2.Een component van

een basis van deze N-fonon toestanden wordt gegeven door

\f'~r ~r P:.t ·····P..'t p.;+ ····ft ~--··· + n.• ····},._ IJ+ ···pt- 10) ""2.-t\" ... - .. ,,"11- ("1-2. r2.-?,. ,-l-11·1 to to ,-1111 f_ll1t. ( 1 1 )

fl2-1 Ns- t h .tJ t1 .Nu ,met ~Nlfo=N. Met behulp van reeds eerder genoemde commuta-

tie r~els kan worden aangetoond dat de bezettings-getal

operator voor de N-fonon toestanden na sommatie over;vgege­i.

ven wordt door n=.L n1p, }A-•-?.- I

( Li t. 1 ) ( 1 2)

Keren wij nu terug naar vergelijking (6).0nder gebruik-

making van de uitdrukkingen ( 7) en ( 8) voor o<1f- en 1Ty~ .. wordt

de Hamilton-operator van de harmonische oscillator gegeven

door ~<i'" I; lo>L ~ ( t~ t';l" + %, ) ( 1 J)

Substitutie van de reeds geintroduceerde bezettings-getal

operator ~0) en gebruikmaken van uitdrukking 0~ doet de

Hamilton-operator (13) overgaan in

( 14)

JO

De toestandsfunctie IN;IM1

) is een eigenfunctie van de aan de

harmonische quadrupool-oscillator toegevoegde Hamiltonoperator

,hierin is N het aantal fononen,I het totale impulsmoment en

MI de z-component van het totale impulsmoment.Ieder fonon

draagt de energie hw 2 .De grondtoestand van de vibrerende

kern komt overeen met de vacuüm-toestand en draagt de energie

5hw2/2.Wij kunnen een herdefinitie van de energieschaal toe­

passen en kennen dan aan de grondtoestand energie nul toe.

De eerste aa~geslagen toestand is een een-fonon toestand~ ~JA'IO) met energie hw2 .De tweede aangeslagen toestanden zijn twee-fonon

8~./JJ+ -toestanden r 2~ 2~, IO) met energie 2hw2 •

De totale spin I van de twee-fonon toestand kan variëren

van 0 tot 4 .Een twee-fonon toestand wordt gegeven door

( 1 6)

De Clebsch-Gordan coëfficiënt uit uitdrukking (16) is voor

oneven I antisymmetrisch onder verwisseling van (~1 ) en (;u2

)

( 1 7)

De golffunctie moet,vanwege het boson-karakter der fononen ,

symmetrisch zijn onder verwisseling der fononen.Dit impliceert

dat voor I=1,3 I2;IMI> identiek nul is.Er resteren dus drie

ontaarde twee-fonon toestanden met I=0,2 en 4.

De kernhamiltoniaan ( 5) is slechts dan correct als deze

betrekking heeft op vibraties met geringe amplitude.De Hamil­

toniaan stelt dus in wezen de eerste term voor uit een ont-

wikkeling in ~ 2~.De volgende term uit de ontwikkeling geeft

aanleiding tot an-harmoniciteit en zal dus de ontaarding

opheffen. Als voor­

beeld geven wij het

vibratie-spectrum

van 112

cd (zie

nevenstaande figuur)

4+ 2+ o+

2+

o+

~1.413 Me V) 1 • 3 11 Me V~ 1. 220 Me V

(0.617 Me V)

31

rr.1 De"centrifugal-sudden"+"energy-sudden"benadering.

Wij beschouwen het systeem bestaande .uit een spinloos

ongeladen projectiel-deeltje + target-kern.Voorlopig laten wij

in het midden of de kern beschreven kan worden met een rotatie­

of een vibratie- dan wel een rotatie-vibratie-model.Verder

betrekken wij de relatieve beweging van het totale massamiddel­

punt t.o.v. het laboratorium-systeem niet in onze beschouwing.

Bij toepassing van de adiabatische (ES) benadering ver­

waarlozen wij in de Hamiltonoperator de ~/d~-afhankelijkheid. In

analogie hiermee kunnen wij nog een stap verder gaan en in de

Hamiltonoperator nog de ojÓ(Q~)-afhankelijkheid verwaarlozen.

Deze laatste benadering wordt de"centrifugal-sudden"(cs)

benadering genoemd (zie hoofdstuk I).Klassiek gezien berust

deze benadering in essentie op het feit dat de richtings­

coördinaten Q en ~ van het deeltje slechts zwak variëren t.o.v.

de verandering in de relatieve afstand r.Quantummechanisch

berust de CS-benadering op het vervangen van de baanimpuls~

! 2 -(- )-2 moment operator door de constante 1 1+1 h •

Zowel de klassieke als de quanturnmechanische interpretatie van

de CS-benaderfii.g beschouwen een probleem waaruit Q en ~ als

onafhankelijke variabelen verdwenen zijn en slechts nog als para­

meters fungeren.Resteert echter nog de vraag in hoeverre de

klassieke en de quanturnmechanische interpretatie met elkaar

in overeenstemming zijn (zie hoofdstuk I).

Inopin heeft de hierboven beschreven CS-ES benadering

in de kernfysica geintroduceerd.Hij beschreef de diffractie

verstrooiing van een projectiel-deeltje (1>>1) aan een sterk

absorberende kern m.b.v. deze benadering. Voor zover bekend

zijn wij de eersten die numeriek hebben onderzocht hoe goed deze

benadering in kernfysische context werkt. In de molekuulfysica

is deze benadering door bijvoorbeeld Don Secrest,Kouri,Parker &

Pack e.a. (zie Li t. G)

toegepast.

reeds vaker,met wisselend succes,

In de Jiamiltonoperator van het genoemde systeem

aungeren,bij toepassing van de CS-ES benadering,de kerncoördi­

naten ~ en de richtings-coördinaten Q en ~ alleen nog als

32

pa1'ameters en niet meer als onafhankelijke varinbelen.TengevoJge

hiervan kan men de Schrödinger vergelijking voor iedere waarde

van Q,~ eno(afzonderlijk oplossen.

M.b.v •. de CS-ES benadering wordt het stelsel gekoppelde

differentiaalvergelijkingen behorende bij de Schrödinger verg~­

lijking (II.6) getransformeerd naar één ontkoppelde radiële

differentiaal vergelijking.In principe zijn wij dus overgegaan

van onze oorspronkelijke basis \j) (Q~o<) op een nieuwe basis lo(Q~), c

welke diagonaal is in ~,Q en ~.

Wij kunnen het bovenstaande ook anders formuleren door

direct uit te gaan van de oorspronkelijke Schrödinger vergelijking

,waarop wij de CS-ES benadering toepassen (II. 1) .Wij proberen

nu voor elke waarde van Q,~ en~ de oplossing als functie van

r te vinden.

De Schrödinger vergelijking voor het reeds eerder ge­

noemde systeem bestaande uit een spinloos ongeladen projectiel­

deeltje+target-kern wordt dan gegeven door

Zoals reeds opgemerkt fungeren ~,Q en ~ alleen nog als

parameters.Het is mogelijk de radiële oplossing van vergelijking

(1) te vermenigvuldigen met een willekeurige functie van Q,~

en ~.De radiële golffunctie leggen wij straks vast via rand­

voorwaarde (6).De golffunctie van het totale systeem kan dan

geschreven worden als

(2)

,waarin J en M de quanturngetallen zijn bij het totale impuls-.. moment J.De impulsmomentcomponenten J ,J en J zijn behouden

x y z grootheden, daar zij cammuteren met de Hamiltonoperator.

vibrator-model.

Deze beschouwing heeft betrekking op niet gedeformeerde

even-even kernen,waarop het harmonische oscillator-model van

toepassing is.Dit impliceert dat de kern een sferische even-

JJ

wiehtsvorm bezit.Indien wij veronderstellen dat wij alleen

quadrupool-vibraties vnn de kern beschouwen,kunnen wij het vibre­

rend kern oppervlak beschrijven aan de hand van

(J)

, waarin de factoren ol ~ de vorm en oriëntatie van het kern op­

pervlak aangeven. Wij kunnen het product van R en de sommatie­o

term vervangen door Ö (R=R +S) en deze Ó stelt dan de radiële 0

verplaatsing voor van het kernoppervlak in zekere richting (Q~).

Het model dat wij hier willen hanteren is het deformatie­

voorschrift voor de potentiaal zoals geformuleerd door Blair.

Deze formulering impliceert dat de potentiaal,welke een deel­

tje voelt in de richting (Q~),de potentiaal is voor de kern in

evenwichtsvorm,verschoven over de bij deze richting (Q~) beho­

rende verplaatsing Ó van het kernoppervlak.Bovengenoemde for­

mulering impliceert dat de interaktiepotentiaal slechts afhan­

kelijk is van de richtingscoördinaten (Q~) en de kerncoördinaten

CX7.f'- via de combinatie b. De interaktiepotentiaal kunnen wij nu ontwikkelen naar d .

Voor het limietgeval,waarbij vibraties optreden met een kleine

amplitude,kan d~ interaktiepotentiaal V(r;Ó) geschreven worden \;''~,

als een Taylor~reeks ontwikkeling

,waarin gebruik is gemaakt van de reeds eerder genoemde uit­

drukking voor b .Nemen wij nu de interaktiepotentiaaloperator

onder de loupe,dan blijkt dat deze de mogelijkheid tot

vibrationele aanslag herbergt.Dit blijkt n.l. uit het feit dat

de operator o( 2/k een som is van creatie- en annihilatie-opera­

toren van oscillatorquant~ (zie hfdst. v).

De Schrödinger vergelijking (1) gaat dan,rekening

houdend met het deformatievoorschrift van Blair,over. ~n

(d2

-I(Ï+1)+k2-V(r;Ó)) u(r;Ó) = 0 (5)

d 2 2

r r

, waarin k2

het' (ialfgetal) 2

vo.orstel t (k2 =2m (E- e.) jii.2 ). Verder

merken wij op dat in de interaktiepotentiaalterm de factor

J4

-2 ) 2m/h verdisconteerd is.Vergelijking (5 kunnen wij in principe

oplossen voor iedere waarde van Ó.

Voor r>R kunnen wij de interaktiepotentiaal in vergslij-m

king (5) verwaarlozen.De vergelijking gaat dan over in de diffe-

rentiaalvergelijking van Bessel.Twee onafhankelijke oplossingen

van deze differentiaal vergelijking zijn de sferische hankel­

functies.Met het oog op het asymptotisch gedrag van deze func­

ties duiden wij deze oplossingen aan met IÏ(kr) en OÏ(kr)

genaamd de in- respectievelijk uit-lopende golf.Indien wij

i.p.v. een spinloos ongeladen deeltje een spinloos geladen

deeltje aan de kern verstrooiien,worden de in- en uit-lopende

golven gegeven door een lineaire combinatie van reguliere en

irreguliere Coulombfuncties.

Aan de oplossing van vergelijking (5) leggen wij twee

randvoorwaarden op.Deze randvoorwaarden luiden

de radiële golffunctie u(r;Ó) dient regulier te zijn in de

oorsprong en

2 voor r>Rm moet gelden u{r;Ó)=IÏ(kr)-SÏ(ó)oï(kr) • (6)

Wij merken op dat voor de bepaling van de verstrooiings

functie in onze berekeningen randvoorwaarde (6) op een andere

wijze geformuleerd is.De reguliere oplossing,die ontstaat na

integratie vanuit r=O met randvoorwaarde u(o,S)=O , is n.l.

op een multiplicatieve constante na de gezochte oplossing.

In het buitengebied r>R kunnen wij u(r;S) dus schrijven als m een lineaire combinatie van een in- en uit-lopende golf

u(r;Ó)=a(S) (rï(kr)-sï(á)oï(kr)) •

De afgeleide van deze oplossing wordt gegeven door

u' (r;Ö)=a(S)(IÎ(kr)-sï(b)Oy(kr))

( 7 )

(8)

,waarin wij met 1 bedoelen differentiëren naar r.De bepaling

van de verstrooiingsfunctie SÏ(8) komt nu in feite neer op het

oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Keren wij nu terug naar randvoorwaarde (6).Deze oplossing

vermenigvuldigd met een willekeurige functie van Q,~ en~ is

ook weer een oplossing van vergelijking (5).Een dergelijke

oplossing wordt gegeven door

,of in Dirac-notatie

-\f(rQ9f01.)=Iy(kr) l(c)JM>-sy(b)Oy{kr) l(c)JM>. (9)

De oplossing Y(rQ9f~) kunnen wij nu confronteren met

de gekoppelde kanalen oplossing.Daartoe ontwikk~len wij de golf­

functie f(rQ9f~) naar het volledig stelsel orthonormale eigen­

functies l(c 1 )JM> .Substitutie in uitdrukking (9) van

genoemde ontwikkeling levert

w JM 1 (rQ9fo<)=Iy (kr) I ( c) JM)-L

1 SI; c 1 cOÏ (kr) I ( c 1

) JM) c

waarin 'f (rQ9f<X)=L, uc 1 (r) I ( c') JM> met c

uc, ( r) =(( c' ) JM Ju ( r; Ö) I ( c) JM > .

De ontwikkelingscoëfficiënt S~M wordt gegeven door l;c'c

( 1 0)

( 1 1 )

Deze ontwikkelingscoëfficiënt kunnen wij beschouwen als een

benadering voor het gekoppelde kanalen matrixelement (II.9). -Wij kunnen hier opmerken dat de 1-waarde binnen het kader

van de benadering vrij gekozen kan worden,zodat in principe voor

I de 1-waarde van het fysisch in- of uit-ganskanaal genomen

kan worden of een gemiddelde waarde van die twee (hier komen

wij bij de bespreking der resultaten op terug).

Empirisch blijkt dat wij slechts overgangen tussen laag­

gelegen kerntoestanden dienen te beschrijven.Dit komt tot uit­

drukking in een sterke beperking van het aantal kernniveaus,dat

in gekoppelde kanalen berekeningen wordt meegenomen.Deze

beperking van het aantal kernniveaus in de gekoppelde kanalen­

berekeningen moeten wij nu bezien binnen het kader van de CS-ES

benadering.Dit impliceert dat de kernniveaus uit benadering

( 11) niet te veel mogen verschillen, daar anders dec m·atrix

elementen te snel naar nul gaan~Als hypothese veronderstellen

wij voorlopig een voldoende glad verloop van Sy(6) als functie

van Ó en wij zullen aantonen dat dit equivalent is met boven­

staande beperking van het aantal kernniveaus (waarop wij nader­

hand bij de bespreking der resultaten terugkomen).

Naar aanleiding vart deze veronderstelling ontwikkelen wij de

verstrooiingafunctie Sy(Ó) naar een polynoom van lage orde in~. Wij hebben hier gekozen voor een polynoom van tweede graad inÖ

( 1 2)

Het is nu handig om creatie- en annihilatie-operatoren

in te voeren (zie hfdst. v).Wij willen n.l. ,met het oog op de

bepaling van de verstrooiingsmatrixelementen, de verstrooiings­

functie graag ontwikkelen naar bolfuncties

De op bovenstaande wijze geformuleerde verstrooiingafunctie is

in feite nog moeilijk hanteerbaar voor het berekenen van de

S-matrix elementen.Daarom is het handig de verstrooiings func-

tie als een multipcol-ontwikkeling te schrijven

( 14)

In deze sommatie onderscheidt t termen van verschillend karak­

ter maar van dezelfde tensorrang À; A~~ stelt een operator

voor die alleen op de kerncoHrdinaten werkt.

De operatoren A(t) in de multipcol ontwikkeling worden Á"t,

gegeven door

A(9) 1't ()O • [Ltlf] J en ( 1 5)

~~~ _Ji_ ..5... Lr '(2otOJÀOX2u~VIÀ·n)J;"2.-t 1\. .. +f:~#A-Aa ~t +tf~ + 1\ +br"~ 1!1 l 1\, ~t:zw1 '{iiir }',V I I ~· tI J.V I ,..".,tv \l.fl "l.-V I '"f''i·1_,L

A 1/2 (2) ,waarin À=(2À+1) .Ter bepaling van de operator A X'YJ.. is het

product van twee bolfuncties geschreven als een lineaire combi­

natie van een aantal bolfuncties (zie Lit. 7)

37

( 1 6 )

De multipoolontwikkelingscoëfficiënten worden gegeven door

( 1 7)

De naar impulsmoment gekoppelde toestanden,waartussen

SÏ(Ö) "ge-sandwich-ct" wordt (zie vergelijking (11) ),kunnen wij

ontwikkelen naar ontkoppelde toestanden

I( c) JM)= 2 (lcmJeicMie,IJM) I c> mleMie.

( 18)

;dit alles om de verstrooiingsmatrixelementen S~M te kunnen l;c'c

berekenen.Substitutie van (18) in (11) levert voor het ver-

strooiingsmatrixelement

• ( 19)

Wij nemen nu eerst het matrixelement (c'l SÏ(d)Jc) onder de loupe.

Daartoe maken wij gebruik van de multipoolontwikkeling (14).

De operator Ai;) werkt alleen op de kerncoördinaten en de

operator YÀ~(Q~) alleen op de richtingscoördinaten van het

deeltje.In verband hiermee kunnen wij het matrixelement

<c'l SÏ(ö)lc) beschouwen als het product van twee afzonderlijke 11Lt~,-1c.!) ) matrixelementen {afgezien van de factor (-)

<1 m,_IYÀ (9Y')Il m1 ) (20) en <n I MTJA~t~ In I MT) c• -'f:.' 1 c ~ c• c• ----e.' A- 11 c c ~ ( 21 )

M.b.v. het Wigner-Eckart theorema kunnen wij dan het laatst­

genoemde matrixelement uitdrukken in het gereduceerde matrix

PI t'lllt'll I (I i I • ~)

Dit gereduceerde matrixelement is onafhankelijk van Miu'M~

en~.Matrixelement (20) is in feite een integraal over drie

bolfuncties,waarvoor geldt (Lit.7)

J8

(23)

Substitutie van (22) en (23) in (19) levert voor het matrix

element s:!lM I ;c c

(24)

In bovenstaande uitdrukking is de productterm van vier Clebsch­

Gordan coëîficiënten,gesommeerd over vijf van de zes in deze

coëfficiënten voorkomende magnetische quantumgetallenJvervan­

gen door een Wigner-6J symbool (zie Lit.7).

VI.l De gereduceerde matrix elementen.

Voor een bepaalde handige keuze van de magnetische

quanturngetallen Mie en Mic..kunnen wij het matrixelement (21) be­

rekenen.Toepassing van het reeds eerder genoemde Wigner-Eckart

theorema (22) op dat zelfde matrixelement levert dan het

gereduceerde matrix element.

De fysische begintoestand van de kern is de nul-fonon

toestand.In het door ons gebruikte model zijn dus die geredu­

ceerde matrixelementen van belang,welke betrekking hebben op

overgangen van de nul-fonon toestand naar een nul- , een- of

twee-fonon toestand.Beschouwen wij deze gereduceerde matrix

elementen nu nader (zie Lit.8).

a De overgang van de nul-fanontoestand naar de nul-fonon toe­

stand kan op twee manieren plaatsvinden en wel via de operator

A(o) en via de operator A\2 ).Wij geven hier alleen het geredu-co "'\..- ( )

ceerde matrixelement van de operator A 0

00

b De overgang van de nul-fonon toestand

toestand kan beschreven worden m.b.v. de

naar de een-fonon

operator A~1l,die

39

lineair is in de creatie- en annihilatie-operatoren.Het geredu­

ceerde matrixelement wordt dan gegeven door

(1; 211A~ 1 ) 110; 0)=~2 (26)

c De tweede mogelijkheid om een overgang van de nul-fonon toe­

stand naar de nul-fonon toestand te beschrijven,levert de

operator A~;;.Deze is kwadratisch in de creatie- en annihila­

tie-operatoren.Het gereduceerde matrix element wordt gegeven

door

(27)

d De overgang van de nul-fonon toestand naar de twee-fonon

toestand wordt ook beschreven m.b.v. de operator A~;;.Het bij­

behorende gereduceerde matrixelement wordt gegeven door

De in bovenstaande uitdrukkingen gebruikte constante , ~ 2 ,

wordt de deformatieparameter genoemd en ~~ is gedefiniëerd

als de verwachtingswaarde van Ï. o(; o<2

in de grondtoestand

d . ~ ~ )k ( . ) , en deze wor t als zodan1g gegeven door z1e Lit. 1

In principe is hiermee ook de amplitude der kernvibraties

bekend (hier komen wij bij de bespreking der resultaten op

terug).

(28)

(29)

40

VII De interaktie potentiaal.

Voor de beschrijving van de verstrooing van een spinloos

projektiel-deeltje aan een sferische target-kern worden ver­

onderstellingert ingevoerd omtrent de interactie tussen deeltje

en target-kern. In het door ons te beschouwen model wordt deze

interactie voorgesteld door een centrale potentiaal

V(r}=V (r}-V f(rR a }-i(W f(rR.a. )-4a.Wdd f(rR.a. )) c o o o v 1 1 1 dr 1 1

( 1 )

Hierin is r de relatieve afstand tussen het projectiel-deeltje

en het massa middelpunt van de target-kern, de parameters

V ,W en Wd geven de sterkte aan van de respectievelijke potenti­o V

aal-termen en V (r) is de Coulomb potentiaal. De afzonderlijk c

genoemde potentiaal-termen zullen wij nog nader preciseren.

Het simpelste model van de interaktie potentiaal voor

de verstrooiing van een projektiel-deeltje aan een target­

kern is een rechthoekige potentiaal put met diepte V en sraal 0

R • Indien wij rekening houden met de diffuusbeid a van het kern 0 0

oppervlak,wordt de interaktie potentiaal voor-gesteld door

een potentiaal put met eindige diepte en afgeronde randen.

Deze potentiaal put kunnen wij beschrijven m.b.v. de Saxon-Woods

vorm factor welke gegeven wordt door

f(rR a )=(1+exp((r-R )/a }). 0 0 0 0

(2)

Als het projektiel-deeltje geladen is moet in de inter­

aktie potentiaal de Coulomb potentiaal meegenomen worden.

Daartoe verondersteLlen wij dat de kernlading homogeen verdeeld

is binnen de kern (straal R ) en buiten de kern gelijk nul. c . De Coulomb potentiaal wordt dan vo,or r<R respectievelijk r>R

c c gegeven door

respectievelijk ZZ 1 e 2

4TTt0

r

( J )

,waarin Z,Z' de lading van de target-kern respectievelijk van

het projectiel-deeltje voorstelt.

De imaginaire potentiaal is geintroduceerd om het

verlies aan waarschijnlijkheid,dat optreedt door beperking van

41

het aantal kanalen, te verdisconteren. De term met W respec-v

tievelijk Wd brengt de volume- respectievelijk- oppervlakte absorp-

tie in rekening. De oppervlakte absorptie is maximaal Wd en

geconcentreerd rond het kernoppervàak.

De volume abso~ptia wordt eveneens beschreven m.b.v. een

potentiaal put,met eindige diepteW ,met afgeronde randen, V

waarvan de straal gegeven wordt door R. en de diffuusheid 1

door a .• 1

Veronderstellen wij nu dat het kernoppervlak vibraties

uitvoert t.o.v. de sferische evenwichtsvorm. Deze vibraties

worden beschreven aan de hand van de relatie R=R +Ó(zie VI.J) x

In hoofdstuk VI werd verondersteld dat de interaktie potenti-

aal de vorm van het kernoppervlak volgt. Dit impliceert dat

voor een verschuiving 6 van het kernoppervlak in de richting

van het projektiel-deeltje verondersteld wordt, dat de inter­

aktie potentiaal (1) ook over een afstand 5 verschoven wordt.

Dit komt in essentie neer op het vervangen van R door R +Ó x x

in uitdrukking (1).

Voor de ladings verdeling veronderstellen wij dat deze

even als de interaktie potentiaal over dezelfde afstand Ö verschoven wordt als het kernoppervlak. In principe kunnen wij

dan de met deze veronderstelling verbonden Coulomb potenti-

aal berekenen. Dit is echter niet gebeurd, hetgeen betekent

dat in onze berekeningen geen Coulomb-excitatie wordt mee-

genomen.

42

TTTI De beschrijving vnn het rekenprogramma,

Wij hebben (naast een programma dat reeds bestond ter be­

paling van de differentiële doorsneden in het gekoppelde

kanalen formalisms, verder JUPITOR genoemd) een programma

geschreven dat de differentiële doorsneden berekend in het ES-CS

formalisme. Bij het schrijven van dit programma hebben wij ge­

bruik gemaakt van enkele al dan niet ten dele aangepaste

standaard routines, uit het JUPITOR-programma. Dit is het

gekoppelde kanalen programma van Tamura (zie Lit.9 ). De

subroutines CDLGAM,SIGMA en XSEC zijn in zijn geheel overgenomen

en de eveneens uit JUPITOR afkomstige subroutine FLGLCH is in

een gewijzigde versie gebruikt.

Voordat wij een beschrijving omtrent de structuur van het

door ons gehanteerde programma geven zullen wij nader ingaan

op de gebruikte integratie methode.

De integratie methode.

Voor de oplossing van de tweede orde radiële differenti­

aal vergelijking (VI. 5 ) maken wij, met het oog op verdere uit­

breiding van het programma (zie Lit.10) gebruik van de Numerov­

methode. Deze methode bepaalt de functiewaarde ter plaats r+h

uit twee voorafgaande functiewaarden en wel die ter plaatse r

en r-h (hierin is h de grootte van de integratie stap).

Wij kunnen differentiaalvergelijking (VI.5 ) ook formuleren als

d2

u(r)=w(r)u(r)

dr2

Wij definiëren nu een functie K(r) d.m.v.

x(r):=u(r)-h2u"(r)

1 2

( 1 )

(2)

Onder gebruikmaking van de relaties (1) en (2) kan men dan

aantonen dat

x(r+h)=2x(r)-x(r-h)+h2w(r)(1+ h

2w(r))x(r)+O(h

6 ) (J) 12

Er dient te worden opgemerkt dat u(r),x(r) en w(r) complexe

grootheden kunnen zijn.Het gebruik van de Numerov-methode bij de

4J

oplossing van de radiële differentiaal vergelijking heeft ver­

scheidene consequenties.

In de eerste plaats bepalen wij niet de radiële golf

functies u(r) maar de "aangepaste" golf functies x(r). Dit heeft

tot gevolg dat wij ter plaatse r , waar wij de radiële golf m

functies schrijven als lineaire combinaties van in- en uit-

lopende golven u(rm;b)=a(Ó)(I1 (krm)-s1 (6)o1 (krm)), gebruik

moeten maken van "aangepaste" reguliere en irreguliere Cou-

1ombfuncties welke naar analogie met x(r) gegeven worden door

f 1 (kr)=F 1 (kr)- h2FÏ(kr)

12 2

g 1 (kr)=G 1 (kr)- h Gï(kr) 1 2

en

Toepassing van het bovenstaande heeft geen gevolgen

voor de verstrooiingsfunctie.

(4)

In de tweede plaats beoalen wij met deze methode niet

de functiewaarden en afgeleiden ter plaatse r maar alleen de m

functiewaarden. Dit betekent dat wij voor het bepalen van de

verstrooiings functies geen gebruik kunnen maken van de

afgeleide en de daarmee samen hangende randvoorwaarde ter

plaatse r . I.p.v. deze afgeleide maken wij gebruik van de m

functiewaarde en de daarbij behorende randvoorwaarde in r +h. m

Tevens dient te worden opgemerkt dat wij de differentiele

doorsneden niet berekenen aan de hand van S-matrix elementen

maar via C-matrix elementen, die op eenvoudige wijze uit de

S-matrix elementen berekend kunnen worden. Wij merken op dat

deC-matrix in essentie de afwijking geeft van de S-matrix t.o.v.

de eenheidsmatrix t.g.v. verstrooiing.Dit is gebeurd met het

oog op het feit dat wij een be~aalde rrocedure uit JUPITOR

wensen te gebruiken ter bepaling van de differentiele door­

sneden, maar in deze procedure wordt gebruik gemaakt van

C-matrix elementen.

De programmastuctuur.

In deze paragraaf zullen wij de structuur van het pro­

gramma illustreren en een beschrijving omtrent de taak van de

afzonderlijke ~uncties dan wel subroutines geven.Het hoofd

programma stuurt door het flowdiagram (zie fig.1)

CDLGAM

Figuur

CDLGAM: Deze functie bepaalt de

logarithme van de gamma­

functie voor complexe

argumenten.Voor een nade­

re beschrijving van deze

standaard procedure zie

JUPITOR (Lit.9 ).

SIGMA: Deze subroutine bepaalt

de Coulomb faseverschui-

vingen ~l voor 1=0,1 • ma x

In formule vorm wordt de

Coulombfaseverschuiving

gegeven door

~1=argP(l+1+i,),waarin 2;-2 ~=mZZ'e h 4~&0k • M.b.v. complexe functietheorie wordt voor

~l ook de volgende uitdrukking gehanteerd ~1=Im log P(l+l+i,).

De functie CDLGAM geeft dan de logarithme van de gamma-functie

voor complexe argumenten.De subroutine SIGMA is ook een proce­

dure uit JUPITOR.

FLGLCH: In de oorspronkelijk uit JUPITOR afkomstige subroutine

worden de reguliere en irreguliere Coulombfuncties

F1 (kr) en G1 (kr) bepaald,waartoe gebruik wordt gemaakt van de

subroutine SIGMA.Dit geschiedt met behulp van de Millermethode

(zie Lit. 11 ) welke gebruik maakt van recurrente betrekkingen.

Vanwege de door ons gebruikte integratie procedure is deze

subroutine zodanig aangepast dat de "aangepaste'' Coulombfunc­

ties ter plaatse r en r +h berekend worden voor 1=0,1 • m m max

45

POT: In deze subroutine wordt de interaktiepotentiaal bere­

kend voor die waarden van r waarvoor geldt r=n.h

( n= 1 , 2, ••••• en h is de integratiestapgrootte) en r'r • m

INSH: - Deze subroutine bepaalt met behulp van de reeds eerder

genoemde Numerov-methode de "aangepaste" functiewaar­

den x(r),ter plaatse r en r +h,voor vérschillende waarden van m m b.Deze functiewaarden worden vervolgens geschreven als e~n

lineaire combinatie van in en uitlopende golven waaruit dan de

verstrooiingsfunctie volgt.In de randvoorwaarden zijn echter de

Coulombfuncties F1

(kr) en G1

(kr) vervangen door de "aangepaste"

Coulombfuncties f1

(kr) en g1

(kr) , welke zijn bepaald met de

subroutine FLGLCH.

LSQFIT: In deze subroutine vindt m.b.v • . een standaard procedure,

E02ADF (.zie Lit. 12 ) ,kleinste kwadraten-

aanpassing plaats van de datapunten (Re(Sy(S)),Xm(Sy(f))) aan

een in zekere zin orthogonaal stelsel polynomen (Chebyshev)

van graad n=O, ••••• ,k.Vervolgens worden de coëfficiënten van

de Chebyshev polynomen omgerekend naar de coëfficiënten van 0 een n -graads polynoom.

SLSTRP: In deze subroutine wordt voor iedere combinatie van J

en Tibepaald welke kanalen gekoppeld zijn.

M.b.v. vergelijking (VI.24) worden dan de verstrooiings matrix JM elementen s~ I berekand.Tevens worden in deze subroutine de L;c c

S-matrixelementen omgerekend naar C-matrixelementen.

XSEC: In deze subroutine worden,m.b.v. de in subroutine

SLSTRP bepaalde C-matrixelementen,de differentiële

doorsneden berekand.Deze subroutine werd in zijn geheel uit

JUPITOR overgenomen,waarbij dient te worden opgemerkt dat in

deze subroutine nog een aantal hier niet nader te noemen proce­

dures uit het JUPITOR programma worden aangeroepen.

IX Resultaten.

])e door ons uitgevoerde berekeningen hebben betrekking

op de verstrooiing van een proton,waarvan de spin_ buiten be­

schouwing wordt gelaten, aan twee willekeurig gekozen nietw

gedeformeerde kernen, 58Ni en112

cd.Voor een redelijke keuze der

interaktie potentiaal parameters (zie formule VII.1) hebben

wij literatuur 13 en 14 geraadpleegd (zie tabel 1).De poten­

tiaalstralen worden gegeven door R =r (A) 1/3. x x

Tabel 1

element r r. r a a. V w 0 l c 0 l 0 V

58Ni 1.20 1.36 1.25 0.76 0.42 49.90 1.70 112Cd 1.20 1.25 1 • 2.5 0.70 0.70 56.00 o.oo

In bovenstaande tabel worden de radiële parameters

in îm. uitgedrukt en de energieparameters V ,W en 0 V

wd

8.40

9.50

r ,r.en r 0 l c

Wd in MeV.

Voor de excitatie-energiën van de 1 1 2

Cd-kern verwijzen wij naarhet energie-niveau schema

in hoofdstuk IV.

In de berekeningen is voor het geval men werkt met 58 Ni

respectievelijk 112

cd voor H 14.00 respectievelijk 13.00 fm. ge­m nomen. De integratiestap werd in alle berekeningen gelijk geko-

zen en wel h=0.1 fm.

De afzonderlijke verstrooiingsfuncties.

In eerste instantie bekijken wij enkele aspecten der resul­

taten die betrekking hebben op de afzonderlijke verstrooiings­

functies en wij zullen nader ingaan op

a de vraag in hoeverre een tweede graads polynoom een goede

beschrijving vormt voor de verstrooiingsfunctie,

b de samenhang tussen de amplitude der kernvibraties en de be­

schrijving der verstrooiingsfuncties en

47

c de fysische interpretatie van het globale verloop van

sï ( o).

Daartoe beschouwen wij de verstrooiing van een 20.4 MeV-~8 proton aan een Ni-kern. Voor de bijbehorende verstrooiings~

functies op het in terval -1. O~d' 1. 0 voor verschillende 1-

waarden verwijzen wij naar de figuren en 2.

a In hoofdstuk VI veronderstelden wij dat de verstrooiingsfunc­

tie beschreven kan worden m.b.v. een tweede graads polynoom

in b. Voor de ber~~<en.~ng der verstrooiingsfuncties is, gezien de r - . ... -- - - .. . - - --

amplitude der oppervlaktevibraties, slechts een beperkt 0 -inter-

val van belang. Zie voor de verstrooiingsfuncties figuur 1 en 2.

Ter bepaling van boven genoemd tweede graads polynoom maken wij

in principe gebruik van drie geschikt gekozen a-waarden uit

het interval.(Dit noemen wij voortaan de drie-punts benadering).

Voor deze waarden nemen wij

gelegen d -waarden' a =-0. 1

0=0 en twee symetrisch

en 0.1. De figuren J,4

t.o.v. 0 =0

en 5 geven,

naast enkele verstrooiingsfuncties uit figuur 1 en 2, de

tweede graads vormen voor deze functies.

Ui~ figuur J blij kt dat voor I:O in een betrekkelijk ruim

gebied rond de oorsprong (-o.4'd~ 0.4) de verstrooiingsfunctie

goed beschreven kan worden m.b.v. een tweede graads vorm.

Naarmate het o-interval groter genomen wordt, vormt de tweede

graads vorm een minder goede beschrijving.

Eenzelfde trend constateren wij voor da verstrooiings­

functie behorende bij I=4. Het interval waarvoor de benadering

geldt, is a.Lleen kleiner (zie fig.4).

Uit figuur 5 blijkt dat de tweede graads vorm op het

interval -O •. B~d' 0.5, een goede beschrijving vormt voor de ver­

strooiingsfunctie behorende bij Ï=7•

Wij merken op dat wij op de verklaring van het globale

verloop van de verstrooiingsfuncties onder ~ nog nader zullen

terug komen.

48

b Nu resteert de vraag waar de grootte van het b -interval

door bepaald wordt. De grootte van het J-interval wordt in

principe bepaald door de amplitude der quadrupooi kernvibraties.

De verwachtingswaarde van de operator <:;.2 . t 0 1s een maa voor

genoemde amplitude. M.b.v. uitdrukking ~VI.29) wordt (S 2)

voor een N-fonon toestand gegeven door "'2 ( ) ~ 2 (oN)= 5;2Nt2 R0 •

In literatuur 11 wordt de deformatie parameter waarde

~2 =0.22 voor 58 Ni gegeven. Het J-interval behorende bij een twee­

fonon toestand wordt dan gegeven door -1.4~d' 1.4. De kwadra­

tische vormen in ~ vertonen t.o.v. de verstrooiingsfuncties,

voor de boven vermelde realistische;82-waarde, grote afwijkingen

(zie fig.J,4en 5). Gezien deze affwijkingen werd in dit stadium

besloten de ES-CS benadering intervalsgewijs te gaan toepassen,

waardoor mogelijk ook de kwadratische vorm verantwoorder zou zijn

(zie afstudeerverslag Jo Ramaekers).

Besloten werd de hier beschouwde theorie toe te passen op kernen

waarvan wij de vibratie-amplitude kunstmatig klein gemaakt hebben.

Nemen wij daartoe bijvoorbeeldP2 =D.05; het hiermee corresponde­

rende d -interval wordt gegeven door -O.J"~ < O.J.

Met dit klein kiezen van de vibraLie amplitude werd beoogd twee

aspecten die een rol kunnen spelen in het veroorzaken van afwij­

kingen t.o.v. exacte berekeningen te scheiden: het niet vol­

doende glad verlopen van de verstrooiingsfunctie en het niet op­

gaan van de CS-ES benadering op zichzelf. Door het eerste effect

uit te sluiten kunnen wij verwachten duidelijker interpreteerbare

resultaten over het tweede effect te verkrijgen.

c Vervolgens bekijken wij de fysische interpretatie van het glo­

baal verloop van Sy(~) (zie fig. l en 2). Dit verloop kunnen

wij begrijpen aan de hand van semi-klassieke overwegingen omtrent -het baanimpuls~oment 1. Het baanimpulsmoment quanturngetal 1 cor-

respondeert klassiek met kb.

~it de interaktiepotentiaal operator (vr.4) blijkt dat wij

bij het bekijken van de verstrooiingsfuncties rekening moeten

houden met twee aspecten.

49

Een eerste aspect is de waarde van 1 en daarmee corres-

poudor·owi de wanr·dp vn11 r·.Voor gr·oLo l (bJ;H H=kOI'IIH LJ'élót.l

schiet l1et deeltje op grote aïstand langs de kern heen.Het

deeltje voelt de interaktiepotentiaal niet (de 0°-orde term

van de interaktiepotentiaal is klein voor grote r(•b) )~De kern

potentiaal wordt afgeschermd door de centrifugaalpotentiaal,

hetgeen impliceert SÏ (o )~1. Voor lagere 1 (b<< R) . wordt de kern

potentiaal minder afgeschermd.Des te groter is de kans op

absorptie en verstrooiing (0° orde term van interaktiepoten­

tiaal is groot voor kleiner ), hetgeen impliceert dat Si(8)

van 1 gaat afwijken.

Een tweede aspect is de invloed vanÓ.Uit de bovenge­

noemde potentiaaloperator blijkt, dat de een- respectievelijk

twee-fanon deeltje interaktie evenredig is met

lijk d 2V • Daar de interaktiepotentiaal in het

dV respectie-dr algemeen

dr2

een vlak verloop heeft binnen de kern en snel toe-

neemt in de buurt van het kernoppervlak mogen wij veronderstel­

len dat dV respectievelijk d 2V geconcentreerd is rond het kern dr oppervlak. dr

2 M.a.w. de fonon(en)-deeltje

is een oppervlak-interaktie, welke het sterkst is, als de

projectielgolffunctie maximaal is aan het kernoppervlak.

Klassiek gezien betekent dit,dat de invloed van de 8 1- en~­termen in de interaktiepotentiaal het grootst is als b gelijk

is aan de kernstraal R .Voor grote 1 (b))R ) zal de interaktie

potentiaal ter plaatse r(~b) slechts zwak veranderen t.g.v.

een verschuiving van het kern oppervlak over een afstand o. De verstrooiingsfunctie heeft dus een glad verloop.

Voorá=-0.1,0 en 1.0 fm. bepalen wij de botsingsparameter

die overeenkomt met de kernstraal R(=R +$). De hiermee corres-o

ponderende i-waarden liggen in de buurt van 4,5 en 6.

Empirisch blijkt dat voor deze i-waarden de fun~ties Si(d)

het minst glad zijn. Voor nog kleinere i-waarden keert het

gladdetï~ \'et'IPPII Bt\i~;H'<IÏI\H terug.Eon moget\ike verklaring hier­

voor kan gezocht worden in het feit,dat een deeltje met een

1-waarde waarvoor geldt b ~R, een grotere verblijftijd heeft in

de buurt van het kernoppervlak dan een deeltje met een kleine

50

1-waarde (b<<H) (zie l'iguur 1 en 2). -Figuur 1 en 2 suggereren dat verlagen van de 1-waarde

overeenkomt met versebtJiven van de potentiaal over een radiäle

afstand.

Als voorbeeld van het verloop van de verstrooiings­

functie als functie van ó beschouwen wij sr(ó) voor 1~7.

Voor d=-1.0 ligt de oppervlak interaktiepotentiaal volle-

dig in klassiek niet-toegankelijk gebied.Het deeltje voelt de

interaktiepotentiaal dus niet.Voord=1.0 schuift de oppervlak

interaktiepotentiaal gedeeltelljk in klassiek toegankelijk

gebied.Dit impliceert dat het deeltje de interaktiepotentiaal

voelt,met als resultaat dat de verstrooiingsfunctie van 1 gaat

afwijken.

De differentiële werkzame doorsneden.

Vervolgens bekijken wij enkele aspecten, die optreden bij 11 2

de verstrooiing van een JO MeV-proton aan een Cd-kern.Voor

de deformatieparameter nemen

redenen fo 2 =0. 0 5 • De maximale

ningen wordt gebruikt is 18.

wij, om reeds eerder vermelde -1-waarde welke in onze bereke~

De aspecten die wij hier achtereenvolgens willen bekijken

zijn

d het effect op de differentiële werkzame doorsneden van ver­

schillende keuze-mogelijkheden voor 1 en

e het vergelijken van de differentiële doorsneden berekend

m.b.v. de verstrooiingsfuncties,welke bepaald zijn via de drie­

puntsbenadering of via de eerste drie coëfficienten van een

Taylor-ontwikkeling bij kleine 0. Alvorens met aspect d te beginnen is de volgende opmer­

king op zijn plaats. Wij willen controleren in hoeverre de CS-ES

benadering goed werkt en daarom is het wenselijk de,aan de hand

van deze benadering,verkregen resultaten te vergelijken met de

resultaten van een gekoppelde kanalen berekening(JUPITOR).

d Wij bekijken de clifferentiële werkzame doorsneden, welke be­

paald z'jn m.b.v. de CS-ES benadering voor drie mogelijke

I-waarden,nader. Deze drie keuze mogelijkheden voor I zijn

51

1 is gelijk aan de i-waarde van het fysisch ingangskanaai

(Ï=l. ), 1n

2 Ï is gelijk aan de 1-waarde van het fysisch uitgangskanaal

(Ï=l .t) en Ul

1 I is gelijk aan de gemiddelde 1-waarde van het fysisch in-

en uit-gangskanaal ( I=(l. +1 .t)/2). 1n Ul

Vergelijken wij nu de differentiê.Je werkzame doorsneden, welke

zijn verkregen 1n.b.v. d~ CS-8S benadering, voor de verschillende

keuze mogelijkheden van l en de JUPITOR resultaten.

Uit figuur 6 biUkt dat de differentiêle doorsneden voor

het 0~-niveau, verkregen m.b.v. de CS-ES benadering bij de ver­

sciJil lende Ï-waarden, exact overeenkomen. Dit ligt, gezien het

feit dat bij dit niveau geldt l=l. =l .t=(l. +1 .t)/2, in de lijn 1n Ul lll Ul

der verwachtingen. De resuLtaten komen overeen met de JUPITOR

berekening. Dit is kennelijk te danken aan het feit dat de terug­

koppeling vanuit aangeslagen toestanden naar de grondtoestand

minder belangrijk is.

Om de a-priori ingevoerde kwadratische benadering voor de ver­

strooiingsfunctie te controleren hebben wij een aangepaste gekop­

pelde kanalen berekening uitgevoerd, welke wij voortaan de gemo­

dificeerde JUPITOR berekening zullen noemen. Voor deze aangepas­

te berekening is het stelsel gekoppelde differentiaal vergelij-

kingen opgelost voor één waarde van I en~- (=0). Deze berekening 1

is voor aLle overgangen equivalent met de CS-ES berekening.

De resultaten van de CS-ES benadering voor Ï=l. komen ook over-lil

een met de resultaten van de gemodificeerde JUPITOR berekening,

hetgeen tl1eoretisch te verwachten was,en een controle vormt

voor het rekenprogramma.

1\e:-H'IHHIWfHl wij 1111 ltnt 0~-nivenu (:~:ie figuur R). Wij con-'·

slateren dat, daar Ï=Jin='uit=(lin+luit)/2, de CS-ES resul-

taten voor de verschillende I-waarden weer samenvallen. Ver­

gelijken wij deze resultaten met de gemodificeerde JUPITOR resul­

taten dan komen deze overeen. Dit samenvalJen bevestigd dat de

kwadratische vorm een goede beschrijving vormt voor de ver

strooiingsi'unct.ie, dank zij het feit dat wij met een kunstmatig

k 1 e ine (32

r·ekenen. Be I angrijk is hier dat ze.! f's voor kleine

deformaties grote afwi.ikingen optreden tussen de CS-ES resul-

52

taten en de ,JUPITOH resul taten.Aanvankelijk hadden wij het idee

dat, indien wij p2

maar willekeurig klein zouden kiezen, de

CS-ES resultaten in de buurt van de JUPITOR resultaten zouden

komen.Deze gedachtengang is echter niet juist.De S-matrix ele­

menten zijn n. I. , Zowel in de CS-ES berekening als in de gekop­

pelde kanalen berekening evenredig met 8~,J~ of ~~.Dit impli­

ceert dat w\j, bij verkleinen van ~2 , absoluut wel kleiner0

afwijkingen zi~n tussen gekoppelde kanalen en CS-ES resultaten

,maar dat de relatieve fout ongeveer gelijk blijft.

Beschouwen wij nu de 2~-,2~- en 4~-niveaus (zie figuur

7,9 en 10).Alle CS-ES resultaten vertonen,evenals bij het o;­niveatJ,grote discrepanties t.o.v. de JUPITOR resultaten.Ver­

gelijken wij de afzonderlijke CS-ES resultaten met de gemodifi­

ceerde JUPITOR resultaten.De CS-ES resultaten,verkregen via

T = 1. lil

komen overeen met de gemodificeerde JUPITOR resultaten

met

een

1=1. , hetgeen ook theoretisch weer verwacht werd en lil

controle vormt voor het rekenprogramma.

De CS-ES resultaten voor Ï=l 't respectievelijk (1. +l .t)/2 Ul lil Ul

vertonen t.o.v. de gemodificeerde JUPITOR resultaten discre-

panties die,in vergelijking tot de afwijkingen tussen CS-ES en

JUPfTOR resultaten, slechts gering zijn.Binnen het kader van de

CS-ES benadering zouden deze verschillen echter nihil moeten

zijn.Het bovenstaande bevestigt weer,dat de kwadratische bena­

ring een goede beschrijving vormt voor de verstrooiingsfunctie,

maar dat de CS-ES resultaten tamelijk gevoelig zijn voor de

keuze van l,Dit is consistent met een grote afwijking tussen de

gemodificeerde JUPITOR en de JUPITOR resultaten.Wij kunnen con­

cluderen dat de verschillen tussen de JUPITOR resultaten en

de CS-ES resultaten in hoofdzaak gezocht moeten worden in de

CS-ES benadering zelf en niet in de aanname dat wij Sy(~)

kunnen beschrijven door een kwadratische kromme,althans voor

de kleine ~ 2=0.05 die hier gekozen is.

e Bij de bepaling van de kwadratische vorm van de verstrooi­

ingsfunctie m.b.v. de drie-punts benadering bestaat de

mogelijkheid dat verschillen van Sy(J).voor zo dicht bijeen

gelegenÓ-waarden,in principe gedomineerd kunnen zijn door ruis

53

of hogere orde efïecten.Ter controle van de eenvoudige drie­

puntsbeschrijving introduceren wij een moeilijkere beschrijving

voor de verstrooiingsïunctie.Daartoe kiezen wij een groot aantal

punten in een ruim Ó-interval. M.b.v. kleinste kwadraten aan­

passing leggen w~ door deze d punten een tiende graads poly­

noom.De coëfficiënten van dit polynoom gebruiken wij voor de

beschrijving van de verstrooiingsfunctie aan de hand van een

kwadratische kromme.Vergelijken van de differentiële werkzame

doorsneden,verkregen m.b.v. de eenvoudige drie-punts beschrij­

ving en de moeilijkere beschrijving aan de hand van de coëffi­

ciënten van het tiende graads polynoom,levert min of meer

identieke resultaten (zie figuur 1 1).Daar de rekentijd ongeveer

evenredig is met liet aantal 0 -waarden dat wij ter bepaling van

de verstrooiingsfunctie gebruiken,gaat onz~ voorkeur uit naar

de drie-punts beschrijving.

54

X Conclusie.

Wij zullen hier de conclusies samenvatten, die wij kunnen

verbinden aan

a het gestyleerde model en

b de CS-ES resultaten.

a Het gestyleerde model geeft inderdaad een kwélitatieve

verklaring voor een aantal aspecten, die in meer realistische

berekeningen worden waargenomen.

Uit dit model blijkt, dat de waarschijnlijkheicts dichtheid zich ter

plaatse van de interaktie (R ) symmetrisch verdeelt over de ka-a

nalen t.o.v. het ingangskanaal.

De mathematische oplossing (aanzetkanaal c) kan geconstru­

eerd worden aan de hand van de fysische oplossing (ingangskanaal

c) door de componenten c'(c'#c) van de fysische oplossing voor

r(R te compenseren. Gezien het feit dat de waarschijnlijkheids-a

dichtheid zich symmetrisch verspreidt t.o.v. het ingangskanaal c

ter plaatse R , blijkt dat, naar mate 1 1 groter is, wij ter plaat-a c

se R , ter compensatie van de componenten voor r(R ,golven met m o een grotere amplitude moeten laten invallen.Dit vindt zijn oorzaak

in het tunneleffect door de centrifugaal potentiaal barriere.

Het bovenstaande illustreert het aangroeien der hoge-l componen­

ten van de mathematische basisoplossing bij toenemende r.

Omgekeerd kunnen wij de mathematische basisoplossingen su­

perponeren tot verschilleHde fysische oplossingen.Hieruit is de

geconstateerde a-symmetrie van berekende verstrooiingsmatrices

te begrijpen. Vergelijken wij nu bepaalde componenten van twee fysi­

sche oplossingen waarin de rollen van in- en uit-gangskanaal

verwisseld zijn. Dan kunnen wij concluderen dat in de component,

waarbij een kanaal met hoge-l als in- en een kanaal met lage-l

als uit-gangskanaal fungeert, minder cijferverlies optreedt dan

in de component behorende bij het omgekeerde geval. Dit verschil

in cijferverlies komt tot uitdrukking in de verstrooiingsmatrix

elementen.

b Indien wij in de CS-ES berekeningen werken met realistische

55

fo2-waarden, vormt de kwadratische vorm voor sr(J) in het signi­

ficante ~-gebied geen goede beschrijving. Om de CS-ES benadering

te controleren nemen wij de ~2-waarde kunstmatig zo klein dat de

kwadratische vorm voor Sy(a) wel adequaat i.s. Tussen de CS-ES

en de gekoppelde kanalen(JUPITOR) resultaten (differenti~le door­

sneden) treden grote discrepanties op. Uit de overeenstemming

van de CS-ES met de gemodificeerde JUPITOR resultaten mogen wi;j

concluderen dat het programma correct geschreven en dat de kwa­

dratische vorm voor deze waarde van ~2 inderdaad adequaat is.

De discrepantie van onze berekening met de gekoppelde kanalen

berekening wijst er dus op dat in deze berekening de CS-ES bena­

dering op zich niet zinvol is en dat wij de resultaten van

INOPIN met enige terughoudendheid moeten bezien. Hierin vinden

wij een motivering om de cs~Es benadering intervalsgewijs te gaan

toepassen (zie afstudeerverslag Jo Ramaekers).

56

Referenties.

J.M. Eisenberg & W. Greiner, Nuclear Theory (North-Holland,

Amsterdam, 1970), Vol. 1, Nuclear Models

2 A.M. Schulte, The Adiabatic Approximation in Multichannel

Scattering (proefschrift 1978)

3 J. de Kam, Het Collectieve Kernmodel & de Adiabatische

Benadering (afstudeerverslag 1976, vakgroep Theor. Kernrys.)

4 N.K. Glendenning, Procedings of the International School

of Physics "Enrico Fermi (Academie Press, New York, '67)

332

5 A. Messiah, Quanturn Mechanics (North-Holland Publishing

Company, Amsterdam) Vol. 2

6 E.V. Inopin, JETP 23 ( 196 6) 1061

D. Secrest, J. Chem. Phys. 62 (1975) 710

P. Me Guire & D.J. Kauri, J. Chem. Phys. 60 (1974) 2488

G.A. Parker & R.T.Pack, J. Chem. Phys. 68 (1978) 1585

7 D.M. Brink & G.R. Stachler, Angular Momenturn (Oxford Univ.

Press, Oxford 1962)

8 T. Tamura, Rev. Mod. Phys. 21 (1965) 679

9 T. Tamura, Computer Program Jupitor-1 for Coupled Channels

Calculations (Oakridge National laboratory 1967)

10 J.J.F. Ramaekers (afstudeerverslag 1978, vakgroep Theor.

Kernfysica)

11 Carpay (stageverslag vakgroep Theor. Nat. 1967)

12 NAGFLIB:1348/0:Mk'):Mar76

13 J.P. Melssen, Scattering of Polarized Protons by Yttrium,

Iron and Nickel Nuclei (proefschrift 1978)

14 P.H. Stelsen et al., Nucl. Phys. A119 (1968) 14

57

Tabel VI.1.

1 In onderstaande tabel worden de componenten u c (R ) van

1 1 m de mathematische basisoplossingen vermeld, welke zijn c

verkregen m.b.v. een realistische tien--kanaals berekening.

1 I c

18

16

14

1 2

10

8

6

4

2

0

1 I c

18

16

1 L~

1 2

10

8

6

4

2

0

1 =18 c

0.30

0.41

0. 1 4

0 .1~8

0.29

0.71

0.64

0.49

0.51

0.26

106

104

10 3 1

10

10°

10- 1

10- 2

10- 3

10- 4

10-4

1 =8 c

1010

0. 1 2

0.17 109

0. '59 1 0 7

0. 24 10 6

1 ()4

0.78

0.94 10 3

0.38 10 3

0.37 102

0.36 101

0.49 10°

1 =16 c

0.15 102

0.22 101

0.77 10- 1

0.31

0. 10

0. 12

0.50

0.47

0.45

0.61

10- 2

10-}

10- 4

10- 5

10- 6

10-7

10-8

1 =6 c

0. 56

o. 3'+ 0.37

0.12

0.78

o.65

0.30

0.52

0.68

0.97

1010

109

108

107

104

104

104

10 3

102

101

1 =14 c

0.27

0.47

0.58

0.21

0. 19

1019

1018

1017

1016

1014

0.92 10 13

0. 49 10 13

0.88 1012

0.11 1012

0.16 1011

1 =4 c

0. 20 1012

0.42 1010

0.12 109

0.17 108

0.76 106

0.81 10 5

0.14 10 5

0.29 104

0.52 10 3

0.96 102

1 =12 c

0.10 1o 17

0.15 10 15

0. 40 10 13

0.76 1012

0.35 1011

o.43 1010

0.55 109

0.13 109

0.26 108

o.47 107

1 =2 c

0.161014

0.22 1012

0.73

0.27

0. 15

0.37

0.35

0.30

0.31

0. 1 5

1010

109

108

107

106

10 5

104

104

1 =10 c

0.13 1o15

0.18 10 13

0. 58 1011

0.21

0. 1 2

0.30

0.27

0.21

0.23

0. 11

1010

109

108

10 7

10 6

10 5

10 5

1 =0 c

0.70 1012

0.82 10 11

0. 29 1010

0.12 109

0.36 107

10 6 0.51

106 0. 19

0.18 10 5

104 0. 19

0.26 10 3

0

10

-1 10

I ()PilPnJ(:'I\111'

Figuur TV.2 Waa t'schijn I ijl<-

lleidHverde I i ng over de l<ana­

len (ter plnatHP van df' bo­

vengrens van het inter·akt.iP­

gebi ed r=9. 9 f'm) hij epn .i I I­

va I I ende go 1 ï in het kanaaI

met 1=32 respectievelijk 28

2.1 lO

----- --- --- --·-·-·-· -

' "'

' /

" ' - 1 • () - () .-..J

/ ' " ' / ' '

re ( "ï ( 6))

1.0

·-·--..... ...... ......

·---·--·--·--. -. -. ......

........

' ' ()

- 1. ()

.........

/ . ---·- ........

58N'( ') 1 p,p

E =20.4 MeV p

......

Figuur IX.l De reële delen van de verstrooiingsfuncties als

functie van de verschuiving Ó berekend,m.b.v. de CS-ES bena­

dering, voor de verstrooiing van protonen (E =20.4 MeV) aan 58N. p

1.

\ \

... _ _... /

I

I /

I I

I I

I

I I

I

I

1 ru (si ( &) )

0. ')0

r;K Ni (p,p')

E =20.1~ MoV p

-·-

Figuur IX.2 De imaginaire delen van de verstrooiingsfuncties

<1Ls functie van de verschuiving~ berekend , m.b.v. de CS-ES

bonalloring , voor de verstrooiing van 20.4-MeV protonen aan : ·,

\ !

7

')

- I • < l

I I

I I

I I

I

I I

I

-1 • 0

.",. __ .... --."...

b

1 • ()

(5 ( frn)

t)8N.( ') J p' p

E = 2 0 • !.1- ~1 P V p

Figuur IX.J Het reële (kromme a) respectievelijk imaginaire

deel van de verstrooiingsfunctie (kromme c) voor Ï=O als

functie van <ie verschuiving(5 berekend,m.b.v. de CS-ES benade­

ring,voor de verstrooiing van 20.4-MeV protonen aan 58 Ni

Kromme b respectievelijk d geeft de kwadratische vorm,waarmee

het reële respectievelijk imaginaire deel van de verstrooiings

functie beschreven wordt.

I

I I

I I

I

I I

I I

" ' ' ,, I ' ' I ......._

I

b

- 1 • ()

I I

I ....._' I

' I Y.,

I I

I

I I

I I

I

Ó (fm)

·')8 Ni(p,p')

E :20.l~ MeV p

Figuur IX.4 Het reële (kromme a) respectievelijk imaginaire

deel van de verstrooiingsfunctie (kromme c) voor l=4 als

functie van de verschuiving 5 berekend,m.b.v. de CS-ES bena­

dering ,voor de verstrooiing van 20.4-MeV protonen aan 58

Ni.

Kromme b respectievelijk d geeft de kwadratische vorm,waarmee

het reële respectieveLUk imaginaire deel van de verstrooiings

functie beschreven wordt.

- 1 • () -0.!)

Im(s-1(d)) He(S-(~)) 1 • o1

o.rs

0

-0.5

-1 • 0

O.) 1 • 0 • d ( fm)

SRNi(p,p')

E =20.4 MeV p

Figuur IX.5 Het reële (kromme a) respectievelijk imaginaire

deel van de verstrooiingsfunctie (kromme c) voor 1=7 als

functie van de verschuiving Óberekend,m.b.v. de CS-ES bena­

dering, voor de verstrooiing van 20.4-MeV protonen aan 58Ni.

Kromme b respectievelijk 6 geeft de kwadratische vorm,waarmee

het reële respectievelijk imaginaire deel van de verstrooiings

functie beschreven wordt.

-'""

10-l

2()

-:JUPITOR

e :JUPITOR(l=l. ,C.=O) J_n 1

.6 :CS-ES(l=J. =1 .t=l. +l .t) ln Ul- 111 Ul

Figuur IX.6 Differentille werkzame doorsneden

berekend voor de elastische verstrooiing van

JO-MeV protonen aan 112

cd.De respectievelijke

resultaten hebben betrekking op gekoppelde

kanalen (JUPITOR),gemodificeerde JUPITOR

(1=1. ,&.=0) en CS-ES berekeningen. ~-::1. ]

(J() 80 180 120

2

1 (;()

I I '> ~Cd(p,p') ._ :JUPJTOR

E =·~o MeV p ---: JUPITOR ( Ï =1. , f,. =0)

ln 1 ~! ~ ( 0 • il 1 7 !\1 <' V ) -:CS-ES(l=l. )

111

~~.!=U • f) r; ·--:CS-ES ( Ï = 1 . t ) Ul

-.ra-:CS-ES(Ï=l. +1 .t) lll UJ.,

2

Figuur IX.? Differentiële werkzame doorsneden

berekend voor de inelastische verstrooiing van

JO-MeV protonen aan 112

cd.De respectievelijke

resultaten hebben betrekking op gekoppelde

kanalen (JUPITOR),gemodificeerde JUPITOR

(1=1. ,&.=0) en CS-ES berekeningen. ln l

e ( '))

I.HJ 60 100 120 160

-

_,, )()

I 1 '> .. Cd ( p, p 1 ) -:JlJPJTOR

E ='l() MAV p 0~(1.;~20 MeV)

. :. () ~

-:JUPITOR(l=l. ,é:-.=0) lil J

I!J :CS-ES(l=Ï. -=1 .. t lll UJ

=1. +1 't) lil Ul

2

Figuur IX.8 Differentiële werkzame doorsneden

berekend voor de inelastische verstrooiing van

30-MeV protonen aan 112

cd.De respectievelijke

resultaten hebben betrekking op gekoppelde

kanalen (JUPITOR), gemodificeerde JUPITOR

(1=1. ,~.=0) en CS-ES berekeningen. lil l

ho KO 00 120 1 (JO

- 1 1 ') '-c<i(p,p') - :JUPITOR

E = '30 Me V p ----:JUPITOR(Ï=lo ,to=O)

lil 1 2; ( 1 • 0 3 1 1 MPV) -:CS-ES(Ï=lo ) Jn

~2=0,0') - 0-·- :CS-ES(l=l 0.) Ul ~.,

·--·--· :CS-ES(Ï=lo +1 0 ) 1n u1t

Figuur IX.9 Differentiäle werkzame doorsneden

berekend voor de inelastische verstrooiing van

JO-MeV protonen aan 112

cd. De respectievelijke

resultaten hebben betrekking op gekoppelde

kanalen (JUPITOR), gemodificeerd JUPITOR

(1=10 ,~0=0) en CS-ES berekeningen. ln l

2

0(()) - .

~0 40 60 80 160

~. 1.

1 1 ') '"'cd(p,p') -:JlTPITOR

E ='}() MPV

I~~ ( I • I~ I '} MP V)

~;!=0.0')

----:JlJPITOH( I= I . , &. !::0) J 11 .L

-:CS-ES(l=l. ) 1n

-·-·-·:CS-ES ( Ï =1 . ) U.l t

·--·--:CS-ES(T=l. +I . ) 1n u1t

. . .... ............

2

Figuur IX.10 Differentiële werkzame doorsneden

berekend voor de inelastische verstrooiing van

JO-MeV protonen aan 112

cd. De respectievelijke

resultaten hebben betrekking op gekoppelde

kanalen (JUPITOR), gemodificeerd JUPITOR

(1=1. ,&.=0) en CS-ES berekeningen. 1n 1

8 ( 0)

HO 100 120 1 ()0

10-J

' \

\. --~ .... _""""". .....

Figuur IX.11

....... , ' ' ' ' ' \

\ \

112Cd(p,p')

E =JO MeV p +

21(0.617

f2=0.05

\...__....."..,. .....

/

" ' " ......

MeV)

~"'

Differentiële doorsneden berekend,

m.b.v. de CS-ES benadering, voor de verstrooiing

vanJO-MeV protonen aan 112

cd.Ter bepaling van de

kwadratische vorm voor de verstrooiingsfunctie

is gebruik gemaakt van de drie-punts beschrijving

(kromme a) resrye~tievelijk de coëfficiënten van

een tiende graads polynoom (kromme b).

HO 100 120 160