Eindhoven University of Technology

MASTER

De dynamica van een zonnecollector

van Gerwen, J.F.W.

Award date:1988

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

NR-1489E (1987-12-14) J.F.W. van Gerwen

DE DYNAMICA VAN EEN ZONNECX>LLECfOR

J.F.W. vanGerwen

Afstudeerdocent: Prof. 0. Rademaker

Afstudeerbegeleider: Ir. G. De!cker

e 3 man: Ir. A.M.M. Bottram

Ik wil iedereen in de vakgroep systeem- en regeltechniek bedanken voor

de steun en de adviezen en met de name de heren Dekker en Bottram voor

hun medewerking en geduld. Verder mijn broer Rob en mijn vriendin Maya

voor de hulp bij typ- en layoutwerk van dit verslag.

1

SAMENVATTING

In deze studie is gekeken naar de dynamische gedragingen van een

zonnecollector. Hiertoe zijn eerst differentiaalvergelijkingen

afgeleid. Vervolgens zijn deze omgerekend en gesegmenteerd. Hoewel het

probleem in · deze vorm geïmplementeerd kan worden op een analoge

rekenmachine maakt linearisatie het probleem inzichtelijk en laat het

vergel ijk met een electrisch analogon toe. De uit de 1 inearisatie

voortvloeiende werkpuntsvoorwaarden zijn vergeleken met de klassieke

quasi-statische collectorvergelij-king waaruit bleek dat de

verliesfactor van een collector, U, niet constant is bij veranderende

omgevingsvariabelen.

Laplace-transformatie van de gelineariseerde vergelijkingen toonde aan

dat een collector een stabiel systeem is. Met de simulator zijn

overdrachten bepaald van in- naar uitgangsvariabelen die alle goed

benaderbaar bleken door eerste en tweede orde overdrachtsfuncties al

dan niet met looptijd. Voor regeling van een co~lector wordt gekozen

voor de flow als regelgrootheid. Omdat de overdrachtsfunctie van f

naar uitgangstemperatuur geen looptijd kent is de collector zeer

geschikt voor regeling door een eenvoudige proportionele regelaar.

2

INHOUDSOPGAVE

Titelpagina pag. 1

Samenvatting pag. 2

Inhoudsopgave pag. 3

Hoofdstuk I Inleiding pag. 4

Hoofdstuk II Modelvorming pag. 9

Hoofdstuk III: Analoge simulatie pag. 30

Hoofdstuk IV : Bepaling van de overdrachtsfuncties en

resultaten van de analoge simulatie pag. 47

Hoofdstuk V Regeling en sturing pag. 66

Hoofdstuk VI Conclusies pag. 77

Appendix A Tabellen pag. 78

Appendix B Grafieken pag. 86

Appendix C De werking van de analoge computer pag. 97

Appendix D Afleiding van de lineaire vergelijkingen

en de bijbehorende werkpuntsvoorwaarden pag. 101

Appendix E Afleiding van de overdrachtsfuncties pag. 108

Appendix F Literatuurlijst pag. 118

Appendix G Symbolenlijst pag. 120

3

I INLEIDING

1 . Ach tergronden en aannames

Studies over de regeling en sturing van zonnecollectorsystemen maken

in meerderheid gebruik van de quasi-statische collectorvergelijking.

Deze luidt als volgt:

T w,N I.l

Hierbij is U een verliesfactor van de collector. H wordt gegeven door

de volgende vergelijking:

H = e

U B L

1 F w I.2

Deze aanpak verwaarloost dynamische effecten van de collector. Een van

de verschijnselen die samenhamgt met de dynamica van de collector is

het zogenaamde 'Hik'-gedrag, een inschakelverschijnsel van aan-uit-

geregelde zonnecollectorsystemen. Het is daarom zinvol een studie te

maken van de collectordynamica.

Voor de berekening van het temperatuurverloop in een zonnecollector

l) Voor de verklaring van de symbolen zie appendix G.

4

heeft de Ron, uit voorafgaand werk van o.a. Van Koppen, Rademaker en

Veltkamp (Lit. 10, 15), een stelsel vergelijkingen afgeleid. Dit model

gaat uit van een aantal aannamen ten aanzien van de collector en wel

de volgende:

er is geen warmtestroom in de breedterichting van de collector

d.w.z. de temperatuur in de breedterichting van de plaat en het

glas is constant

er is geen warmtegeleiding in de lengterichting van de collector

in plaat en glas

in het water vindt slechts convectief warmtetransport plaats

de collector is aan zij- en onderkant perfect geïsoleerd

de hemel wordt beschouwd als een zwart lichaam voor langgolvige

straling met equivalente temperatuur

de warmtecapaciteit van de luchtspleet

absorptieplaat wordt verwaarloosd

tussen het glas en de

ten

warmtecapaciteiten van glas- en absorptieplaat

de fysische eigenschappen

vermogen,warmtecapaciteit,dichtheid

verondersteld

zoals

e.d.

opzichte van de

warmtegeleidings-

worden constant

bij gebruik van een buis met antivries (glycol) wordt de

warmteweerstand tussen antivries en water verwaarloosd.

5

2. Vergeli jki·ngen

In figuur I .1 is een dwarsdoorsnede getekend van een collector per

oppervlakteëenheid. De vergelijkingen die de energiebalansen weergeven

zien er als volgt uit:

dT c~=Q-Q

g dt ag gp

voor de glasplaat.

C dTP = Q +Q -Q p d"t" ap gp pw

voor de collectorplaat.

C dTw Q F dT = pw-1w w w d"t" B dx

voor het water.

!.3

!.4

!.5

De warmtestromen uit deze vergelijkingen zijn veelal ingewikkelde

functies van temperatuur, zonnestraling en windsnelheid. Deze relaties

alsmede uitdrukkingen voor 'de diverse constanten komen verder in

hoofdstuk II aan de orde.

6

~p

Figuur I.l: Een doorsnede van de collector en de warmtestromen.

7

3. Technieken

Voor de bestudering van de dynamica komen naast daadwerkelijke

experimenten drie methodes in aanmerking:

1. Simulatie op een digitale rekenmachine

2. Simulatie op een analoge rekenmachine

3. Simulatie met een RC-netwerk

4. Metingen aan een zonnecollector

De eerste methode, zoals die o.a. is uigevoerd is door v.d. Wilk (Lit.

18) heeft als nadeel dat deze ingewikkeld is en niet snel inzicht

verschaft. Linearisatie maakt het probleem toegankelijk voor de tweede

en derde methode die relatief snel, eenvoudig en inzichtelijk zijn.

Nadere vergelijking van deze twee methoden komt in hoofdstuk IV aan de

orde. Aan de laatste methode kleeft het probleem dat men geen enkele

invloed heeft op het gedrag van en de variaties in de omgevings­

variabe~~r.. Bovendien zit men vast aan één systeem en vaste

parameters.

8

I I MODELVORMING

1. De complete collectorvergelijkingen

Allereerst worden de uitdrukkingen voor de warmtestroming zoals

gegeven in de vergelijkingen 1.3, 1.4, en 1.5 uitgewerkt volgens de

methode van de Ron {Lit 4, 10, 15). Later worden wijzigingen

aangebracht, daar waar die vereenvoudiging of een grotere nauw-

keurigheid tot gevolg hebben.

De eerste uitdrukking luidt als volgt:

Q =a Q +c a (T 4-T 4}+(5.68+3.74 V){T -T) ag z g s g a g I I. 1

In deze vergelijking drukken de termen in het rechterlid

achtereenvolgens uit per oppervlakteëenheid:

het door het glas geabsorbeerde deel van het door de zon

ingestraalde vermogen

het naar de hemel afgestraalde vermogen

het verlies door {in dit geval) gedwongen convectie

Q = k (T 4-T 4)+k IT -T 1

1·37 sign(T -T ) gp 1 g p 2 _g p g p II.2

In deze vergelijking drukken de termen in het rechterlid

achtereenvolgens uit per oppervlakteëenheid:

9

het door het glas door middel van straling aan de plaat afgestane

vermogen

het door het glas door middel van convectie aan de plaat

afgestane vermogen.

II.3

Deze vergelijking geeft het door de plaat rechtstreeks geabsorbeerde

vermogen, als fractie van het door de zon ingestraalde vermogen, per

oppervlakteëenheid.

= k3 {T -T ) p w II.4

Deze vergelijking geeft het door de plaat door convectie aan het water

afgestane vermogen per oppervlakteëenheid.

Voor de gebruikte hulpconstanten gelden de volgende uitdrukkingen:

k1 a

II.5 = 1/e +1/E:. -1 g p

k2 = 0.314 ~1 ö 0.11 ({3 _L)0.37 II.6 1 1 2

vl

2 J1. ( ö -ö ')

~ = ~ + w E II. 7 12 À ö .". Nu ö À p p w w

Voor de warrntecapaci tei ten (per oppervlakteëenheid) zoals ze in de

10

vergelijkingen !.3, !.4 en !.5 voorkomen, gelden de volgende uit-

drukkingen:

II.8

c = pp 0 p lp !!.9 p

c 0 2 II.10 = Pw lw 7r w w

4 J.l

In vergelijking II.9 is de invloed van de oppervlaktevergroting

doordat in de plaat buizen aangebracht zijn waar het water door

stroomt, verwaarloosd. Als het water vriesvrij is gemaakt door

bijvoorbeeld in de buizen, waar het water door stroomt, een dun buisje

met antivries (zoals glycol) aan te brengen, dan geldt voor C : w

II.ll

De vergelijking !!.1 gaat uit van gedwongen convectie. In geval van

vrije convectie geldt:

Q =a Q +~ a (T 4-r 4)+k Ir -T 11·33 sign(T -T ) ag zg s g 4 ag ag II .12

waarbij tevens geldt:

11

II.13

Bij verdere toepassing van de vergelijkingen is een aantal problemen

naar voren gekomen. Op indicatie van Duffie en Beclanann (Li t. 2)

hebben deze geleid tot een aantal veranderingen.

Het is moei 1 ijk om een indicatie te krijgen van de grootte en de

variaties van T . De Ron heeft dit gedeeltelijk ondervangen door na s

zijn linearisatie t te vervangen door t . Duffie en Beckmann geven s a

echter een uitdrukking voorT als functie van T : s a

T = 0.0522 T 1 ·5 II .14 s a

In de eerste plaats wordt door deze substitutie de T vervangen door s

een uitdrukking voor T , een grootheid die beter meetbaar is en waar a

meer over bekend is. In de tweede plaats heeft men bij latere systeem-

beschouwingen een ingangsvariabele minder.

Een tweede verandering is tc,egepast in de door deRongebruikte uit-

drukking voor het verlies aan de omgeving door gedwongen convectie.

Duffie en Beclanann geven aan dat in deze uitdrukking al een term is

verwerkt voor het verlies door warmtestraling naar de hemel. De Ron

heeft hier een aparte term voor gebruikt. Beter is het daarom om de

Ron's uitdrukking voor gedwongen convectie te vervangen door een

uitdrukking uit Duffie en Beclanann die alleen de convectie berekend

zonder een extra stralingsterm. Zij gebruiken de volgende uitdrukking

12

voor de overdrachtscoëfficiënt van de gedwongen convectie:

y0.6 p = 8.6 L 0.4

s II.15

L is hierin een specifieke lengte, bijvoorbeeld de derde machts­s

wortel uit het volurne van het gebouw waarop het collectorsysteem

geplaatst is. Kennelijk veronderstellen zij hier impliciet een

correlatie tussen grootte van het gebouw en collectorsysteem. In

verband met de vrije convectie stellen zij dat deze overdrachts-

coëfficiënt minimaal gelijk moet zijn aan vijf. Beter lijkt het om

voor de vrije convectie de uitdrukking van de Ron te gebruiken en de

gevonden waarde toe te passen zodra blijkt dat deze groter is dan het

resultaat gevonden uit de uitdrukking voor gedwongen convectie.

De collectorvergelijkingen, zoals die uit het voorgaande volgen,

luiden:

C dT Q (9 28 10-6 T 6-T 4)+ _J[ = a +c a . g dt z g a g

8.6 y0.6

(T -T ) 0 4 - k1 a g L . s

k2 • IT -T 11·37 .sign(T -T ) g p g p

13

II.16

C dTn = R Q +k (T 4-T 4 )-k (T -T )+ p~ fJ z 1 g p 3 p w

k IT -T 11

·37

si (T-T ) 2 g p gn g p

dT F dT C w = k (T -T )-o w w dt 3 P w w B dx

Als randvoorwaarde geldt:

II .17

II.18

II.19

Bovenstaande vergelijkingen zijn op te lossen met een digitale

rekenmachine. Dit is ingewikkeld en is bovendien niet zo inzichtelijk

als aanpak met een analoge rekenmachine of een electrisch analogon. De

vergelijkingen zijn echter niet lineair en daarom minder geschikt voor

deze aanpak. Lineariseren maakt het probleem wel hiervoor geschikt.

Bovendien is het probleem dan ook toegankelijk voor Laplace- en/of

frequentieanalyse. Het zal blijken dat dit laatste, alhoewel dit

omvangrijk rekenwerk met zich mee brengt, ons toch in staat stelt

bepaalde conclusies te trekken aangaande een zonnecollectorsysteem.

Het is derhalve zinvol om over te gaan op linearisatie.

14

2. Linearisering van de collectorvergelijkingen

De Ron heeft allereerst de collector verdeeld in N segmenten met

segment lengte:

II.20

Dit leidt tot de volgende segmentvergelijkingen:

voor de glasplaat:

C dT .(t) =a Q (t)+é a [9.28 10-6 T (t)6-T .(t)4]+ g ~~ 1

z g a g,1

V(t)0.6 8.6 [T (t)-T .(t)] O

4 +

a g, 1 L . s

k2 IT .(t)-T .(t)j1

·37

sign[T .(t)-T .(t)]+ p,1 g,1 p,1 g,1

II .21

voor i = 1 t/m N.

Voor de collectorplaat:

15

C dTp,i(t) = ~ Q (t}+k1

[T .(t)4-T .(t)4]+ p dt z g,1 p,1

k2 Ir .(t}-T .(t)j1

·37 sign[T .(t)-T .(t)J+ g,1 p,1 g,1 p,1

k_ [T .(t}-T .(t)] --:3 w. 1 p, 1 II.22

voor i = 1 t/m N.

Voor het water:

C dTw,i(t) = k [T .(t)-T .(t)]-w dt 3 p,1 W,1

~ F(t) T .(t)-T . 1(t) u W,1 W,1-w B Ax

II.23

voor i = 2 t/m N.

Voor i = 1 wordt deze vergelijking:

C dTw,i(t) = k [T .(t)-T .(t)]-w dt 3 p,1 W,1

II.24

Vervolgens heeft de Ron een· werkpunt gekozen waarbij de temperaturen

van glas, plaat en ·water over de gehele lengte van de collector

constant zijn. Hij is daarbij mijns inziens te vrij geweest in zijn

keuze. Dit werkpunt moet voldoen aan de vergelijkingen die gelden voor

16

de statische toestand van de collector. Deze volgen door in de

vergelijkingen II.21 t/m 1!.24 ~t gelijk te stellen aan nul. Deze

voorwaarden volgen ook door ontwikkelen in Taylorreeksen. Alleen de

eerste orde termen worden beschouwd. Alle hogere orde termen worden

verwaarloosd. De nulde orde termen worden links en rechts in de verge-

lijkingen aan elkaar gelijk gesteld waarmee de eerder genoemde werk-

puntsvoo~waarden zijn vastgelegd.

De volgende gelineariseerde vergelijkingen wijken behalve voor wat

betreft de bovenvermelde veranderingen nog in een ander opzicht af van

de vergelijkingen, zoals de Ron die heeft ontwikkeld in Lit. 15. De

Ron heeft mijns inziens een fout gemaakt in de differentiatie bij de

ontwikkeling in Taylorreeksen. De gelineariseerde vergelijkingen zien

er als volgt uit 1:

d -5 A 5 C tg,i =a q +5.568 10 é aT t-g dt z g a a

3 4 é aT . t .+8.6 (t -t .) g g,1 g,1 a g,1

y0.6

L0.4 s

A A 0.37 . 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) -p,1 g,1 p,1 g,1

A 3 3 4 k1 T . t .+4 k1 T . t . g, 1 g, 1 p, 1 p, 1+

T -T . 5 16 a g, 1

• A 0 4 V (V L ) .

s

II.25

1) Voor een gedetailleerde afleiding wordt verwezen naar Appendix D.

17

C dt · {3 4 k T 3 4 k T 3 P• 1 = qz+ 1 . t .- 1 . t .+ p dt g,1 g,1 p,1 p,1

" " 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 g,1 g,1 p,1

k3 (t .-t .) w,-'- p, 1 II.26

C dtw.i = k3 (t .-t .)-1w F (t .-t . 1)-

w dt p,1 W,1 if"AX W,1 W,1-

l " " w (T .-T . 1) f -- w 1 w 1-B Ax ' ' II.27

Voor het eerste segment is de situatie iets anders. Het water komt

hier binnen met ingangstemperatuur (t0 ). Vergelijking II.27 verandert

hierdoor in

C dtw,1- k (t -t )-1w F (t -t )­w dt - 3 p, 1 w, 1 B Ax w, 1 0

l " " _w_ {T 1-T

0) f

B Ax w, II.28

Als de vrije convectie groter is dan de gedwongen convectie geldt:

18

C dtg,i =a q +5.568 10-5 é aT 5 t-g dt z g a a

4é aT .3 t .+ g g,1 g,1

1 33 k Ir -r . 1°· 33 Ct -t . )+ · 4 a g, 1 a g, 1

"' "' 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) -

p,1 g,1 p,1 g,1

"' 3 "' 3 4 k1 T . t .+4 k1

T . . g,1 g,1 p,1 p,1 II.29

19

3. De keuze van het werkpunt

In de statische toestand zijn de temperaturen van glas, plaat en water

niet over de gehele collector gelijk. In zijn berekeningen heeft de

Ron een werkpunt gekozen, waarbij de temperaturen over de gehele

collector dat wel zijn, waarmee hij dus als het ware een gemiddelde

over de hele collector beschouwt. Hoewel dit natuur lijk door de

eenvoudige vorm verdedigbaar is, lijkt dit een enigszins onlogische

gang van zaken. De temperaturen van de collector in statische toestand

vinden we terug in constanten respectievelijk componenten als we de

collector gaan simuleren met behulp van een van de in hoofdstuk I

besproken methodes. Simulaties vereisen verdeling van de collector in

segmenten. Het is goed mogelijk de om per segment de gemiddelde

temperaturen van glas, plaat en water te bepalen. Tegenover het nadeel

dat niet alle segmenten meer aan elkaar gelijk zijn, staat het mijns

inziens grote voordeel dat een nauwkeuriger model gemaakt kan worden

met een betere benadering van de werkelijkheid. Als voorbeeld moge

dienen dE deeloverdracht van omgevingstemperatuur naar water voor het

laatste segment zoals gegeven in hoofdstuk IV. De statische

versterking van die overdracht is een produkt van een aantal

constanten waaronder K i 2 .De waarde van deze constante varieert gp,

2 ) De verdere betekenis van deze constante komt in hoofdstuk III aan

de orde

20

ongeveer 30% van segment 1 naar segment 8. De afwijking ten opzichte

van een eventueel gekozen gemiddelde zal dus ongeveer 15% bedragen.

Deze afwijking is dan ook weer terug te vinden in de deeloverdrachten

en kan zelfs nog vergroot worden door andere parameters die per

segment varieren. Aangezien deze modelstudie uiteindelijk tot

uitspraken over het dynamisch gedrag en eventuee~ regelaarontwerp moet

1 ei den en tevens al di verse aannames in de in i tie le verge 1 ijkingen

verwerkt zijn, lijkt het zaak om geen extra vereenvoudigingen meer toe

te passen, waar dit de simulatie niet essentieel eenvoudiger of

inzichtelijker maakt. Daarom wordt gebruikgemaakt van de

vergelijkingen van het werkpunt zoals die volgen uit de linearisatie

3 van de vergelijkingen I I. 21 t/m I I. 24 De werkpuntsvergelijkingen

zijn:

"' 4 "' 1 B Ax "' 4 {3 Qz -Q1.+k1 {T . -[T . 1+(k- + --"...) Q. J }+

g,1 W,1- 3 F 1 ow

"' "' 1 B jx "' 1 37 k IT .-T . -(-+ -Ll"...) Q.l .•

2 g,1 W,1-1 k3 F 1 ow

"' "' 1 B Ax "' sign[T .-T . 1-(k- + ----) Q.] = 0

g,1 W,1- 3 F 1 ow

II.30

A 1 B ~ A

T . = T . 1+(k_ + --A) Q. p, 1 w, 1- _""3 F 1

ow II .31

3 ) Voor een gedetailleerde afleiding wordt verwezen naar Appendix D.

21

T . = T . 1+ B A~ Q. W,1 W,1- F 1

lw

Hierin staat Q. voor de volgende uitdrukking: 1

Q = (a+~) Q +é a (9.28 10-6 T 6-r .4 )+ i z g a g,1

A A "0.6 8. 6 (T - T . )-V_"__,.

a g,1 L 0.4 s

II .32

!!.33

Voor het eerste segment waar het water van bui ten af de collector

binnen komt, gelden de volgende vergelijkingen:

k IT -T -(!_+BA~) Q 11.37. 2 g,l 0 ~ F 1

lw

II.34

!!.35

II.36

22

De uitdrukking voor Qi verandert hierbij niet. Deze verandert wel op

het moment dat de vrije convectie de gedwongen convectie overheerst.

Deze wordt:

Q1. = (a+~) Q +é a (9.28 10-6 T 6-r .4 )+ . z g a g,1

k Ir -r . 11·33 sign(T -T .) 4 a g,1 a g,1 II.37

De overige vergelijkingen blijven onveranderd.

Als de uitdrukking voor Q. nader beschouwd wordt, blijkt dat deze 1

niets anders uitdrukt dan de totale vermogensoverdracht van de

omgeving naar de collector per oppervlakteeenheid per segment ofwel:

Q = Q .+Q . i ag, 1 ap, 1 !!.38

Dat het opgenomen vermogen per segment verschilt is een consequentie

van het model omdat T . per segment verschilt. Als de vergelijkingen g,1

!!.32 en !!.36 nader bekeken worden, blijkt dat deze in feite de

vermogensbalans van elk segment uitdrukken. Immers het opgenomen

vermogen is gelijk aan het aan het volgende segment afgedragen

vermogen. Voor het laatste segment is dit het energievragend systeem.

Dit wordt nog duidelijker door de vergelijkingen II.32 en II.36 iets

anders op te schrijven:

23

"' "' "' "' "' Q

1. B Ax+1 F T . 1 = l F T .

W W,I- W W,l 11.39

l F T 1 w w. II.40

Dit mag als controle beschouwd voor de gevonden formules vaar het

werkpunt.

Bij de berekening van het werkpunt wordt uitgegaan van een bepaalde

omgevingsituatie, dat wil zeggen dat Ta' r 0 , F, V en Qz gegeven zijn.

Deze gegevens zijn voldoende voor de berekening van het werkpunt Door

voor Q1 de uitdrukking uit vergelijking !!.33 in te vullen, kan met

behulp van een standaardprocedure voor nulpuntsbepaling van het

Burroughscomputer-systeem van de TUE, T bepaald worden uit g,1

vergel ijking !!.34. De vergel ijkingen !!.35 en I I. 36 bepalen

vervolgens T 1 enT 1. Als T 1 bekend is kan uit formule !!.30 op p, w. w,

dezelfde manier als voor T 1 gebeurde, T 2 bepaald worden. T 2 en g, g, p,

T worden dan weer berekend uit de vergelijkingen !!.31 en !!.32. Op w.2

deze manier kan verder voor alle segmenten t/m segment N de

bijbehorende glas-, plaat-, en watertemperatuur bepaald worden.

Het werkpunt wordt bepaald door de omgevingsvariabelen. Daar moet dus

een geschikte keuze voor gemaakt worden. Gekozen is voor een warme,

zonnige dag in ons klimaat. Hierbij is gekeken naar gegevens van

Duffie & Beckmann (Lit. 2) en tevens naar metingen, die op dat moment

in uitvoer waren op de experimentele installatie van de vakgroep,

verricht door J. Geven enK. van Overveld. De keuze van F is enigszins

arbitrair maar ligt binnen het daarvoor gebruikelijke gebied. De keuze

24

van het aantal segmenten, N = 8, is bepaald door beperkingen van de

analoge rekenmachine zoals besproken n hoofdstuk III. De gekozen

waarden het werkpunt staan in Tabel II .1 4 De waarden van de voor

collectorparameters staan in Tabel II.2. Voor het meerendeel is

hierbij gebruik gemaakt van de gegevens van de Ron. Enkele fysische

constanten zijn opgezocht in diverse literatuur en eventueel

verbeterd.

Tabel II.l: De gekozen waarden voor het werkpunt

To = 293 K

T = 293 K a

V 5 -1

= m s

Qz 500 w -2 = m

F = .75 10-2 kg s-1

Het verloop van de temperatuur in de collector zoals uitgerekend met

behulp van het programma WPZABDBV is gegeven in grafiek II .15 In

grafiek II.2 staat weergegeven het verloop van het opgenomen vermogen

4 >ne belangrijkste tabellen staan in het verslag, de overige staan in

Appendix A.

5 >ne belangrijkste grafieken staan in het verslag, de overige staan in

Appendix B.

25

J3i3

J

325 L I !

! 320 !_ .., 320

315 ~ I

.., 3 t 5

i I

I 310 ~

I

i i 3~ 0

I 305 V

' I

I -i 3eJS

I i !

300 I . 300 I I

295 ~ 295

I I I

290 290 2 3 4 5 6 7 8

Grafiek II.l: Het temperatuurverloop

in de collector per segment in K.

c - glas o - plaat ~ - water

360 ~----------~----~----ïï----~-----:------. :60

~' 3Sfl

340 L "" I

i 330 I

ï I I

320 I ... I

310 L I

300 ~ I

I 290 ï 280 I

r

-2 Grafiek II.2: Het opgenomen vermogen Qi per segment in W m

26

I

j 350

! ...; 340 l ~ 330 ! ~ 320

~ 310 ! I

~ 300 I ~ 290

1280 l

I Î 270

1zse ~240

7 8

per segment per oppervlakteeenheid. Deze resultaten kunnen ook terug

gevonden worden in tabel 111.2.

Bovenstaande aanpak voor het berekenen van de quasi-statische toestand

van de collector is vergeleken met de gebruikelijke aanpak volgens de

formules 1.1 en 1.2. De uitgangstemperatuur bepaald volgens de hier

afgeleide methode is ingevuld in de vergelijk~ngen 1.1 en I. 2. Met

behulp van een nulpuntszoekmethode is hieruit U bepaald. Deze bleek

ongeveer gelijk te zijn 10.7. Hoewel in berekenen vaak een U van twee

tot vijf wordt aangenomen is een U van 10 niet ongebruikelijk. Toch

was het dit verschil, dat aanleiding gaf tot nadere beschouwing van de

initiële resultaten, zoals gevonden met de vergelijkingen van de Ron,

waaruit de in dit hoofdstuk beschreven verbeteringen zijn voort-

gekomen.

In het vervolg van dit hoofdstuk wordt getracht een vergelijking te

maken tussen de methode beschreven in dit hoofdstuk en de methode

volgens de quasi-statische collectorvergelijkingen 1.1 en 1.2. Daartoe

is steeds de uitgangstemperatuur van de collector berekend volgens de

hierboven beschreven methode waarbij een van de ingangsvariabelen T , a

T0 . Qz of Fis gevarieerd. Vervolgens is uit de vergelijkingen 1.1 en

1.2 met behulp van de gevonden waarde van U in het werkpunt hetzelfde

gedaan. De beide methodes staan naast elkaar in de grafieken 11.3 t/m

11.6 (Appendix B). Een tweed~ methode om de beide methodes met elkaar

te vergelijken is het bepalen van de uitgangstemperaturen bij

varierende ingangsgroothedenen en vervolgens steeds de bijpassende U

27

te zoeken uit de vergelijkingen !.1 en I.2. De resultaten hiervan

staan in de grafieken II. 7 t/m II.10 (Appendix B). Duidelijk is te

zien dat de beide methodes een tamelijk eensluidend resultaat geven

bij variaties in Q en in iets mindere mate F. Bij variaties in T en z a

T0 wordt de afwijkingtussen de twee modellen duidelijk als Ta en T0

ver van het gekozen werkpunt (waaruit U is bepaald) liggen. Door de

uitgebreide opzet van het in deze studie afgeleide model lijkt deze te

verkiezen boven de methode volgens I .1 en I .2 maar in veel studies

waarbij de omgevings-variabelen, met name Ta en T0 , niet sterk

varieren, bijvoorbeeld als het gaat om de bepaling van een optimale

sturing voor F, is de laatste methode door zijn eenvoud verkieslijk.

Ook doet de vorm van de grafieken II.5, II.6, II.9 en II.10 vermoeden

dat als Ta = T0 gekozen wordt, iets dat in veel studies over dit

onderwerp het geval is, de resultaten van de twee methoden minder uit

elkaar zullen lopen. Dit is geverifieerd en de resultaten van de beide

methoden zijn dan vrijwel identiek. Algemeen mag geconcludeerd worden

dat U afhankelijk is van de omgevingsvariabelen dus niet echt

constant, maar dat in veel gevallen een constante U werkbaar is.

Gebleken is verder dat de invloed van V zodanig gering is dat verdere

beschouwing overbodig is, afgezien nog van het feit dat de invloed van

V niet verwerkt is in de vergelijkingen !.1 en !.2. V is daarom in

bovenstaande buiten beschouwing gelaten.

Voor de volledigheid wordt ook het verschil gemeld met de originele

resultaten van de collectorvergel ijkingen van de Ron. Het verschil is

28

maximaal 2.5 K voor T 8 , 0.6 K voor T 8

en 0.5 K voor T 8

. g, p, w,

29

III ANAI..reE SDIULATIE

1. Schal ing

Voordat gesimuleerd kan gaan worden op de analoge rekenmachine moeten

de vergelijkingen zodanig herschreven worden, dat ze 'op de computer

1 passen' Allereerst is het zaak de vergelijkingen zodanig te her-

schrijven dat in het linkerlid slechts de differentiatie overblijft

terwijl alle andere termen naar het rechterlid gebracht zijn.

Aangezien de simulator met electrische spanningen tussen -10V en +10V

werkt, moeten de grootheden in de vergelijkingen naar dit gebied

getransformeerd worden. Dit wordt aanzienlijk vereenvoudigd als

genormeerd wordt d.w.z., de machinespanning,10V en +10V, wordt -1 en

+1. Alle grootheden binnen de simulatie worden daarbij dus ook

geschaald naar 1 waarbij ze dan tevens dimensieloos zijn. De

constanten in de aldus geschaalde vergelijkingen worden in de analoge

computer gerepresenteerd door een potentiometerwaarde, het

differentieren door een integrator. Naast bovengenoemde a.mpl i tude-

schaling moet ook de tijd geschaald worden om binnen de tijdschaal van

de computer te passen: niet te snel vanwege parasitaire effecten, niet

te langzaam vanwege drift. Een goede vuistregel voor tijdschaling is

1)Een meer gedetailleerde uitleg van de analoge rekenmachine staat in

Appendix C.

30

dat de in te stellen potentio-meterwaarden tussen 0.01 en 10 dienen te

liggen.

31

2. Collectorvergelijkingen voor de analoge rekenmachine

De gelineariseerde collectorvergelijkingen, 11.25 t/m 11.27, uit

hoofdstuk II worden omgeschreven en geschaald. Omdat de temperaturen

in de collector van dezelfde ordegrootte zijn en tevens uit oogpunt

van gemak is overal dezelfde temperatuurschaling gekozen. De

vergelijkingen worden:

d{tg,i/tmax) = K (q /a )+K (t /t )+K . (v/v )+ d{t/T) qa z -max a a max v,1 max

K . ( t . / t ) -K . ( t . / t ) pg,1 p,1 max g,1 g,1 max

d(tp,i/tmax) =KR (q /~)+K (t ./t )+ d(t/T) q,_, z wp W,1 max

K . ( t ./t )-K . ( t ./t ) gp,1 g,1 max p,1 p,1 max

d(tw.i/tmax) = Kf . (f/f )+K (t ./t )+ d( t/T) , 1 max pw p, 1 max

KwO (t 1 1/t )-K (t 1/t ) w, - max w w, max

De constanten zien er als volgt uit:

32

lil .1

III.2

III.3

K qa

K a

K V, i

K pg, i

K g, i

Kq{3

K gp, i

K wp

K p, i

a T ~

= c t g ma.x

VA0.6 5 A 5 = (8.6 L 0 _4 +5.568 10- Eg a Ta ) ~

s g

8.6 V T (T-T .) = max a s;.1

t c (V L )0 ·4 max g s

(4 k1 A 3 Ir .-r . 10.37 > !..... = T . +1.37 k

2 p,l p,l g,l c g

A 3 y0.6 = [4 (t a+k1) T . +8.6

0 4 g g,l L . s

1.37 k2 Ir . -r . I o. 37 J !..... p,l g,l c

g

{3 T ~ = t c

ma.x p

A 3 Ir .-r .lo.37>!..... = (4 k1 T . +1.37 k2 g,l p,l g,l .c

p

k3 T

=-c-p

A 3 Ir .-r .lo.37 >!..... = (4 k1 rp.i +~+1.37 k2 p,l g,l c p

33

III.4

III.5

III.6

III. 7

III.S

III.9

III.lO

III.ll

III. 12

K pw

Kf . • 1

K w

k3 T

=-c­w

"' 1 T F w

III. 13

III. 14

III.15

III. 16

In het geval van vrije convectie in plaats van gedwongen convectie

geldt voor K, K . enK .: · a g, 1 v ,1

K a =t33k IÎ-Î .1°· 33 !..._

· 4 a g,1 C g

K . = [4 {e a+k1) T .3+1.33 k4

IÎ -T .1°· 33+ g,1 g g,1 a g,1

1.37 k2 IÎ .-r .1°· 37J !...._ p,1 g,1 C

g

K . = 0 V,1

III.17

III. 18

III. 19

Voor segment 1 ziet de vergelijking voor Kf . er iets anders uit, en • 1

wel:

34

Kf . • 1 =

l T f (T .-T 0) w max w,1 w. B.Axt C

max w III.20

Hierbij gaat tevens vergelijking III.3 over in:

d(t 1/t ) w, max = Kf 1 (f/f )+K (t 1/t )+ d(t/T) . max pw p, max

KwO (t0/t )-K (t 1/t )

max w w. max III. 21

Duidelijk valt op dat diverse constanten per segment versebi llen,

hetgeen aanleiding was om te beslui ten per segment de werkpunts-

temperaturen van glas, plaat en water te bepalen.

Figuur III.1 en III.2 geven aan hoe een schakeling op de analoge reken

machine er uit ziet als de differentiaalvergelijkingen één voor één

gesimuleerd worden: een zogenaamd homologon. Elk segment wordt

beschreven door drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen zodat per

segment drie integratoren gebruikt worden. Bovendien dient er nog

ruimte over te blijven voor de bouw van een sinusgenerator (twee

integratoren) om eventuele frequentieresponsies van het systeem te

bepalen, een zaagtandgenerator (een integrator) als tijdbasis voor de

plotter en reserve voor als bepaalde componenten kapot blijken te

zijn. De simulator van de vakgroep heeft 32 integratoren beschikbaar

35

K a

t . g,l

K . gp,l

K wp

V

K . V,l

f

K . f. 1

Figuur III.l: De schakeling van een segment van het homologon

36

to

K 6Kqf3 qa

t w,1 ---

t w, i-1

t s

K s

t

t a

w, i

V

K a

t w,N-1 ------

Figuur III.2: De schakeling van alle elementen in het homologen

37

f

t w,N

zodat daar zuinig mee omgesprongen moet worden. Omdat de integratoren

ook inverteren en men in de simulatie zowel een niet-geinverteerd als

een geinverteerd resultaat van de integratie gebruikt, zijn per

segment ook nog eens drie inverteerders nodig. Een aantal constanten

is voor alle segmenten gelijk en bovendien gekoppeld aan een externe

grootheid. Deze kunnen als het ware buiten het .segment gehaald worden

en hoeven dus niet per segment aanwezig te zijn. Bepaalde constanten,

zoals K , zijn weliswaar voor alle segmenten gelijk, maar omdat deze w

potentiometers binnen een segment geschakeld zijn, is toch per segment

een potentiometer K . noodzakelijk. Dit houdt in dat voor ieder W,1

segment tien potentiometers noodzakelijk zijn voor K .. K .. Kf .. V,1 W,1 ,1

K . , K .. K . , K . , K K . en KwO . en daarbui ten nog eens g , 1 pg , 1 gp, 1 p, 1 pw, 1 wp , 1 , 1

drie voor K , K en K {3" Deze zijn in voldoende mate aanwezig. Een a qa q

groot aantal inverteerders bleek echter niet aanwezig. Daar elke

component de nauwkeurigheid verkleint zal vermindering van het aantal

componenten alleen maar de nauwkeurigheid ten goede kan komen.

Vermindering is mogelijk: een nadere beschouwing van figuur III.l laat

_ .... !1ter zien dat de inver-teerders binnen de schakeling weggelaten

kunnen worden. Dit heeft dan tot gevolg dat elke integrator een ander

teken aan de uitgang heeft dan de integrator voor hem in de schakeling

met andere woorden elke oneven integrator heaft aan de uitgang

tegensteld teken terwijl elk~ even integrator het juiste teken heeft.

Alleen moet dan wel gezorgd worden dat elke integrator zijn

ingangsvariabelen met het juiste teken toegevoerd krijgt. In de

38

praktijk betekende dit dat de ingangsgroot-heden van de collector op

sommige plaatsen geinverteerd en op sommige plaatsen niet geinverteerd

aan de schakeling werden toegevoegd. Bovendien moest men bij het

uitlezen rekening houden met het al dan niet geinverteerd zijn van de

betreffende grootheid. Zoals ook al in hoofdstuk II ter sprake is

gekomen is K . verwaarloosbaar klein. Ook K ~lijkt verwaarloosbaar v,1 · qa

klein te zijn. Deze zijn niet meer in de schakeling ingebouwd. Door

deze vereenvoudigingen zijn er nog maar drie inverteerders in de

schakeling nodig. Al het voorgaande in aanmerking genomen, ziet het

afgeleide analogon er uit als getekend in figuur III.3; voor het

aantal segmenten N is 8 gekozen.

De implementatie op de simulator ziet er als volgt uit: De onderste

drie rijen bevatten de segmenten drie t/m acht in volgorde van links

naar rechts en van boven naar 'beneden. De rechterhelft van de bovenste

rij bevat segment twee terwijl segment één daar als het ware tussen

'gepropt' is in de extra integratoren, waarbij nog wat overgebleven

elementen van de bovenste rijen gebruikt zijn. De linkerhelft van de

bovenste rij is gebruikt voor de overige taken, waarbij echter wel een

aantal potentiometers gebruikt is voor Ka, Kq/3 en eventueel in te

stellen waarden van de ingangsgrootheden, Wat betreft de

schalingswaarden van de ingangsgrootheden is gekeken naar redelijker-

wijs maximale variaties. Deze mogen niet te groot zijn in verband met

de toegepaste Taylorreeksbenadering. Voor T is een waarde gekozen

39

~

t . I W,l-

t a

K a

K . pg,l

qz

K q{J

K wp

f

KwO

K pg, i+l K gp. i+ I

K wp

Figuur III.3: Schakelschema van twee opeenvolgende segmenten van het

analogon (i one~en)

KwO

overeenkomstig het gestelde in paragraaf een van dit hoofdstuk. De

gekozen waarden staan in tabel III.1.

Tabel III. 1: Schal ingswaarden in de analoge simulatie

T = 100 s

t = 100 K max

100 Wm -2 ~ =

2 -1 V = m s

max

f 5 10-3 kg s -1 = max

De waarden van de constanten zijn met behulp van het programma

WPZABDBV op de Burroughs berekend. Deze staan in tabel III.2. Via het

programma WPZABNRV zijn eventueel ook ter vergelijk de waarden,

berekend volgens de hier beschreven methode maar met de ongewijzigde

vergelijkingen van de Ron te verkrijgen. WPZABDBV levert ook

previewfiles van grafieken van de temperaturen, het totale ingevangen A

vermogen (Q.) en alle constanten per segment. Twee hiervan zijn al 1

vermeld in hoofdstuk II (grafiek II.1 en II.2). De overigen staan in

appendix B (grafiek III.1 t/m III.6).

41

3. Simulatie met een Re-netwerk

Behalve met een analoge rekenmachine is het ook mogelijk de collector

te simuleren met een electrisch netwerk, waarbij de electrische

grootheden voldoen aan dezelfde differentiaalvergelijkingen als over­

eenkomende grootheden in de collector. Terwijl voor een simulator alle

vergelijkingen dimensieloos geschreven moeten worden, moeten voor een

analogon geschikte overeenkomende electrische grootheden gevonden

worden. Een geschikte en voor de hand liggende keus is gegeven in

tabel III .4.

Tabel lil .3: Overeenkomende ~ootheden in collector !m analogon

Collector Analogon

Temperatuur T in K Spanning V in V

Energiestroom Q in W m -2 Stroom I in A

Warmtestroomweerstand R in m2 K W-1 Weerstand R in n

Warmtecapaciteit C in J kg-1 K-1 Capaciteit C in F

Tijd t in s Simulatietijd t in s

In een dergelijke netwerkrepresentatie treedt het probleem op dat met

verschilspanningen over weerstanden gesimuleerd wordt. De vergelij-

42

kingen II.25 t/m II.29 moeten dus omgeschreven worden naar een vorm

met warmtestroomweerstanden. Die vergelijkingen lenen zich daar echter

niet voor omdat de variabelen t , t . en t . niet dezelfde eoef-a p,1 g,1

ficienten hebben. De Ron heeft hiervoor een kunstgreep toegepast door

voor de verschillende coefficienten een soort gemiddelde in te voeren.

Dit gebeurt op de volgende wijze. De coefficienten:

5 A 5 3 5.568 10- é a T en 4 é a T .

g a g g,1

worden vervangen door:

4 é g [

.y 5/3+-T . ]3 a a g,1

2

Op dezelfde wijze wordt elk der coefficienten:

3 3 4 k 1 T . en 4 k1

T . g,l p,l

vervangen door:

A A 3 4 k [T .+T ·] 1 g,l2 p,l

Op welke gronden deze manier'van 'middelen' is gekozen en niet de meer

voor de hand liggende manier door het werkelijke gemiddelde van beide

coeffiecienten te nemen is onduidelijk.

43

t a

K . V V ,1

{3 q z

1

Kf . f • 1

t . W,l t

p, i

t . 1 W,I-

Figuur III.4: Een segment van het electrisch analogon.

Wat betreft schaling kan gezegd worden dat hiervoor meerdere mogelijk-

heden zijn omdat zowel de condensator- als de weerstandwaarden aan-

gepast kunnen worden. De keuze van de schal ing wordt daarom mede

bepaald door overwegingen van snelheid, technische realiseerbaarheid

en het voorkomen van overbelastingen, parasitaire capaciteiten en

dergelijke. Omdat alleen met de simulator is gewerkt is hierover geen

beslissing genomen. De vergelijkingen van het RC-netwerk zien er als

volgt uit:

44

dt . C

g, 1 ___,.,.._~ = a q +

g dt z

dt . C p, 1 R ............ _...._ = tJ q +

p dt z

t -t . t . -t . a g, 1 + p, 1 g, 1 -K . v R . R . V, 1 ag,1 gp,1

t .-t . g,1 p,1 + R . gp, 1

t .-t . w, 1 p. 1

R pw

dt . c w, 1 = w dt

t -t p. i w, i t .-t . 1 W,1 W,1- K f

R pw R - f . . wO ,1

Voor de coefficienten gelden de volgende uitdrukkingen:

[ [r 5/3+r ·]3 vo.6 ]-1

Rag . i = 4 E. g a a 2

g, 1 +8. 6 L 0 .

4 s

[ [T .+T ·]3 A A 0.37]-1

R . = 4 k 1 g, 1 p. 1 +1.37 Ir .-r .1 gp,1 2 p,1 g,1

R pw

RwO

K . V,1

= k3 -1

B ÀX =--A

1w

= 8.6

F

A

T .-T g, 1 a

(V L )0.4 s

A A

K T .-T . 1 f · = 1 W,1 W,1-

,1 w B Ax

45

III.22

III.23

III.24

III .25

III. 26

I! I. 27

III .28

III.29

III .30

Voor het eerste segment gaat vergelijking III.24 over in:

dt C w,l = w dt

t -t p,l w,l

R pw

Als er sprake is van vrije convectie geldt voor R . enK .: ag,l V,l

K . = 0 V, 1

R . ag,1

é a g [r 513+r ·]3

" ... o.33]-1

a g, 1 +1.33 k4 IT -T . I 2

a g,1

III.31

III.32

III.33

De waarden van de (ongeschaalde) parameters zijn berekend in het

programma RZABDBV en staan in tabel III.4 (Appendix A). Het RC-model

is niet nader onderzocht zodat er geen meetgegevens van zijn.

46

IV: BEPALING VAN DE OVERDRAari'SFUNCfiES EN RESULTATEN

VAN DE ANALOGE SIMULATIE

1: Algemeen

Voor het onderzoek naar de regelbaarheid va.ri de collector is het

belangrijk de overdrachtsfuncties van het gelineariseerde model te

bepalen. Uit de vergelijkingen II.1 t/rn II.3 is het mogelijk de

overdrachtsfuncties van een segment i te bepalen van de ingangs-

grootheden t ' a t . 1 {of t0

), w, 1- f en qz naar de uitgangsgrootheden

t .. t . en t . van dat segment. Hier is sprake van deel-p,l g,l W,l

overdrachten aangezien deze overdrachten slechts beschrijven hoe de

ingangsgrootheden direct invloed hebben op de uitgangsgrootheden en

niet via voorgaande segmenten. Deze deeloverdrachten duiden we als

volgt aan:

H' . = S' . F' . xy,l xy,l xy,l IV.1

waarbij x (= a, q, f of 0) en y {= g, p of w) respectievelijk aangeven

van welke overdracht sprake is, dus van t . q : f of t . 1

naar t . a z w,1- g,1

t . of t .. S' . duidt aan de statische versterking en F' . duidt p,l W,l xy,l xy,l

aan een functie van s. Wij' zijn echter geïnteresseerd in de totale

overdracht van ingangsgrootheden van de collector naar de ui tgangs-

e grootheden van een segment. Deze totaaloverdracht voor het i -segment

47

geven we aan door:

H . = S . F . xy,1 xy,1 xy,1 IV.2

Hierbij geven x en y weer aan van welke overdrachtsfunctie sprake is,

in dit geval van t , q, f of t0 naar t ., t . of t .. De index 0 a z g, 1 p·, 1 w, 1

duidt in het eerste geval het voorgaande segment aan en in het tweede

geval de ingang van de collector. Hiervoor is gekozen in verband met

de analogie tussen t . 1 voor een segment en W,1- de hele

collector. Deze totale overdrachtsfunctie is te bepalen uit de

deel~verdrachtsfuncties door de voorafgaande t . k's in te vullen in W,1-

de deeloverdrachten (zie ook figuur III. 2). Op deze manier terug-

rekenen levert de volgende betrekkingen op tussenHen H':

H . = H' . + H . 1 H'Oy . xy,1 xy,1 XW,1- ,1 IV.3

voor x = a, q of f en:

HOy . = HOw ._1 HOy' . • 1 • 1 • 1 IV.4

Deze uitdrukkingen gelden voor segmenten 2 t/m N. Voor het eerste

segment geldt:

H = H' xy,1 xy,1 IV.5

48

Op deze manier is iedere gewenste overdracht te berekenen. VoorS .. xy,l

S' ., F . en F' . zijn mutatis mutandis dezelfde vergelijkingen op xy,l xy,l xy,l

te schrijven.

49

2: De overdrachtsfuncties

De vergelijkingen II.l t/m II.3 worden Laplace getransformeerd, waarna

t ..• g,1 t . p,1 en t .

W,1 hieruit opgelost 1

worden .De vorm van deze

H' .-overdrachten bestaat uit een voor elke overdracht specifieke xy,1

teller en een voor alle overdrachten gelijke noemer N.(s). waarvoor 1

geldt:

N1.(s) = (K +s)(K .+s)(K .+s) - K . K . (K +s) -w g,1 p,1 gp,1 pg,1 w

K K (K .+s) pw wp g,1

De diverse deeloverdrachten zien er als volgt uit:

K [ (K . +s )(K +s) - K K ] H' a p,1 w pw wp = ag, i N. 1

K K {3 (K +s) H' = pg, i g w

qg, i N. 1

K K pg. i Kf . H' wp • 1 = fg. i N. 1

l)Voor een gedetailleerdere afleiding zie appendix E.

50

IV.6

IV.7

IV.8

IV.9

K K . KwO H' =

wp m.1 IV.lO Og, i N.

1

K K (K +s) H' a gp. i w

IV. 11 = ap, i N. 1

K {3 (K +s) (K .+s) H' = g w ~· 1 IV.12 qp, i Ni

K Kf . (K .+s) H' = wp '1 ~· 1 IV.13 fp, i N.

1

K KwO (K .+s) Hàp . = wp ~· 1

IV.14 '1 N. 1

K K gp. i K

H' pw a IV.15 = aw, i N.

1

H' K K f!. (K .+s)

= pw g g, 1

IV.16 qw, i N. 1

Kf . [cK .+s)(K .+s) - K K .] H' '1 gp. i = g, 1 p. 1 pg, 1

IV.17 fw, i N. 1

KwO [<K .+s){K .+s) -K K . ] HOw . ~.1 p.1 gp.i ;pg. 1

IV.18 = N. '1 1

In principe is nu elke totaaloverdracht te bepalen, maar de

uitdrukkingen hiervoor zijn tamelijk onhandelbaar.

51

Van elk der deelsystemen is echter wel iets te zeggen. In het totale

systeem zitten geen "lussen" of terugkoppelingen, zodat op deze rnanier

geen instahili tei ten worden gecreeerd. Als dus elke deeloverdracht

stabiel is, dan is ook elke totaaloverdracht stabiel. Het is voor

stabiliteit voldoende om te kijken naar de stabiliteit van de

deeloverdrachten, die gewaarborgd is als deze geen polen in het

rechter halfvlak heeft. Dit geldt zeker als som en product van de

wortels van de noemer Ni kleiner dan nul zijn en de som van de

kruisproducten van de paren wortels groter dan nul.

3 Als het teken van s positief is, is dit hetzelfde als de eis dat de

2 coefficienten van s en s en de constante term groter zijn dan nul.

Hieruit volgen de eisen:

K +K .+K .>0 IV.19 w g,1 p,1

KK .+K .K .+KK .>K .K .+K K w g, 1 g, 1 p, 1 w p, 1 gp, 1 pg, 1 pw wp IV.20

KK.K.>K .K .K+K K K. w g, 1 p, 1 pg, 1 gp, 1 w wp pw g, 1 IV.21

K . enK . zijn altijd positief. K kan negatief zijn, maar dan moet g,1 p,1 w .

k3

in ieder geval negatief zijn. Beschouwing van uitdrukking II. 7

leert ons, dat daarvoor in ieder geval moet gelden ö < ö In een w p

collector is dit zo niet o~ogelijk dan toch in ieder geval

onwaarschijnlijk. Hier wordt in ieder geval aangenomen, dat k3 en

daarmee K positief is. Invullen van de uitdrukkingen gevonden in het w

52

voorgaande hoofdstuk tonen aan, dat aan IV.19 t/m IV.21 altijd wordt

voldaan. De stabiliteit van de collector is dus verzekerd.

Om ook de tellers in een vorm met reele positieve tijdconstanten te

schrijven zijn soortgelijke voorwaarden af te leiden:

K .+K > 0 p,l w

K . K > K K p,1 w pw wp

K > 0 w

K . > 0 g. 1

K .+K . > 0 p,l g,l

K . K . >K . K . g,l p,l gp,l pg,l

IV.22

IV.23

IV.24

IV.25

IV.26

IV.27

Op dezelfde als bij de polen is ook in dit geval makkelijk aan te

tonen dat aan de voorwaarden IV.22 t/m IV.27 wordt voldaan. Met deze

informatie is het mogelijk de deeloverdrachten volgens vergel ijking

IV .1 te herschrijven, gebruik makend van tijdconstanten. Dit staat

weergegeven in tabel IV.l.

53

Tabel IV.l: De deeloverdrachten gesplitst in een statische versterking

xy

ag

qg

fg

Og

ap

qp

fp

Op

aw

qw

fw

Ow

(S') en een tijdconstanten--gedeel te (F').

n = {l+T1 . s){l+T2 . s)(l+T3 . s) • 1 • 1 • 1

s· x,y

K Tl . T2 . T3 ./(T4 1 T5 .) a ,1 ,1 ,1 , ,1

K . K R K Tl . T2 . T3 . pg,1 q,.., w ,1 ,1 ,1

K K • Kf . Tl . T2 . T3 . wp pg,1 ,1 ,1 ,1 ,1

K K . K Tl . T2 . T3 . wp pg. 1 wo • 1 • 1 • 1

K . K K Tl . T2 . T3 . gp, 1 a w . 1 , 1 , 1

K K R K . Tl . T2 . T3 . w q,.., g, 1 ,1 ,1 ,1

K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp g,1 ,1 ,1 ,1 ,1

Kwp Kg. i KwO T 1 . i T 2. i T 3. i

K K . K Tl . T2 . T3 . pw gp , 1 a , 1 , 1 • 1

K K B K . Tl . T2 . T3 . pw q g,1 ,1 ,1 ,1

Kf . Tl . T2 . T3 ./(Tg . Tg .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1

KwO Tl . T2 .. T3 ./(Tg . Tg . ) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1

F' . xy,1

{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1

{l+T6 s)/n

1/n

1/n

{l+T6

s)/n

{l+T6 s){l+T7 ,i s)/n

{l+T7 . s)/n • 1

{l+T7 . s)/n • 1

1/n

{l+T7 . s)/n • 1

{l+Tg . s}{l+Tg . s)/n • 1 • 1

(l+Tg . s){l+Tg . s)/n ,1 ,1

De tijdconstanten worden gegeven door de volgende vergelijkingen,

waarbij s1

.. s2 . en s3 . de polen zijn en worden bepaald met behulp ,1 . 1 ,1

van de digitale computer terwijl nulpunten van de deeloverdrachten in

analytische vorm geschreven kunnen worden:

54

1 T 1 . = - -. 1 s1 . . 1

l T2 . = - -• 1 s2 . • 1

1 T3 • = - -. 1 s3 . • 1

T4 . = 2 [K . + K + j (K . -K ) 2 + 4 K K I ] -1 ,1 p,1 w p,1 w pw wp

T5 . = 2 [K . + K - j (K .-K ) 2 + 4 K .KI ]-1

. 1 p, 1 w p, 1 w pw wp

-1 = K w

T7.1 = K g, i -1

IV.28

IV.29

IV.30

IV.31

IV.32

IV.33

IV.34

T8. =2 [K .+K .+f(K .-K .)2 +4K . K . ]-1

IV.35 ,1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp,1 pg,1

Tg . = 2 [K .+ K .- j (K .-K . )2 + 4 K .. K . I ]-1 IV.36 ,1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp,1 pg,1

Volgens de vergelijkingen IV.3 t/m IV.5 is S . nu gemakkelijk uit xy,1

S' . te bepalen. Het progranuna HZABDBV bepaalt S' .. S . en xy,1 xy,1 xy,1

T ... De resultaten staan in tabel IV.2 (Appendix A). Deze resultaten J,1

worden gebruikt om de nauwkeurigheid van de analoge rekenmachine te

checken. Hiertoe is met de simulator voor diverse grootten van de

55

ingangs-variabelen de statische responsie van de segmenten bepaald.

Hieruit is met behulp van lineaire regressie door het programma SMET

S . bepaald. De resultaten staan in tabel IV. 3. De afwijkingen xy,l

tussen de theoretische en de gesimuleerde en daarna gemiddelde waarden

zijn gemiddeld 0.5% en komen zelden boven de 1%. Enkele uitschieters

zijn waarschijnlijk te wijten aan fout aflezen van de meters op de

analoge rekenmachine of fout invoeren van de data in de Burroughs. De

overeenkomst in de resultaten geeft vertrouwen in de analoge simulator

en de conclusies die uit het theoretische model zijn getrokken.

56

3. Meten van de overdrachtsfuncties uit de stapresponsies en met

behulp van PRDIAL.

De uitdrukking die theoretisch voor F . verkregen wordt, is erg xy,l

ingewikkeld en daarom ongeschikt voor verdere regel technische

beschouwingen. Daarom is H . met behulp van de analoge rekenmachine xy,l

gesimuleerd, waarna is getracht om met behulp van het PRIMAL-pakket

een geschikte benadering voor H . te vinden. Hiertoe werden de xy,l

analoge rekenmachine en de vakgroepscomputer aan elkaar gekoppeld.

Door overbezetting van de computer en revisie van PRIMAL is helaas

slechts op beperkte schaal hiermee geexperimenteerd. Het belangrijkste

resultaat werd gevonden door aan de ingang van de simulator een

ruissignaal met regelbare bandbreedte toe te voegen en met PRIMAL de

overdracht naar de uitgangsgrootheden te s·~atten. PRIMAL vond zo een

eerste orde overdracht voor H 8 . ag,

Door de hierboven beschreven problemen zijn verder de overdrachts-

functies H 8 bepaald uit de stapresponsies. Het bepalen van andere xy.

overdrachtsfuncties H . zou zeer tijdrovend zijn geweest, terwijl er xy,l

weinig met deze resultaten te doen zou zijn. De stapresponsies zijn

met een datarecorder opgenomen. Met de methode beschreven in Lit. 21

is een 'oogbal'-benadering gevonden voor de overdrachtsfuncties door

eerste of tweede orde overdrachtsfuncties. De stapresponsies zijn met

behulp van een tablet in de Burroughs opgeslagen. De in eerste

instantie gevonden waarden zijn als beginschatting gebruikt voor een

kleinste kwadraten routine die een nauwkeuriger afschatting van de

57

overdrachtsfuncties heeft bepaald. De resultaten staan in tabel IV.4.

Tabel IV .4: Uit metingen geschatte overdrachtsfnncties ,Y!ID de

collector

H 0.91

= 1+5.7 s ag,8

0.258 e -0.4 s H ap,8 = (1+5.3 s}(1+4.3 s)

0.22 e -0.4 s H aw,8 = ( 1 +5 . 6 s )( 1 +4. 1 s)

H 0.016

= 2 qg,8 (1+5.1 s)

H 0.077

qp,8 = (1+4.8 s)(1+0.3 s)

H 0.066

qw,8 = (1+4.6 s)(1+0.5 s)

0.032 e -1.1 s H = (1+5.4 s}(1+3.6 s) fg,8

H 0.164

= (1+4.1 s)(1+0.9 s) fp,8

H 0.175

= 1+4.1 s fw,8

0.144 e -3.4 s H = (1+5.9 s)(1+5.0 s) Og,8

0.728 e -1.6 s

HOp,8 = (1+5.4 s)(1+2.0 s)

0.777 e -0.9 s

HOw,8 = (1+5.4 s)(1+1.8 s)

De grafieken IV .1 t/m IV .4 g;even de meetresultaten en de resultaten

voor het gefitte model voor achtereenvolgens stappen in q . t . f en z a

58

CJ)

co

r-

w CD .......... (/)

z 0

Lf)

CL (/)

w "<::t

0::::

(Y)

N

.........

4 6 8 1 0 1 2 TIJD [SJ

Grafiek IV.l: De responsies op een stap int a

1 4 1 6

t g.S

t p.S

t w.S

1 8

x gemeten aangepast met kleinste kwadratenmethode

59

CD 0

lO w 0 ,___, (J)

z 0 CL (J) '<:j•

w 0 0:::::

0

0 2 8 1 0 1 2 TIJD [SJ

Grafiek IV.2: De responsies op een stap in q z

1 4 1 6 1 8

t p,8

t g,8

x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode

60

N w ............

(jJ

z 0 CL (jJ OJ w 0 0::::

0

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 TIJD [SJ

Grafiek IV.3: De responsies op een stap in f (geïnverteerd)

1 6

t w,8

1 8

x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode

61

m

co

r-- t w.S

t p.S w CD ............

([)

z LD CJ CL (f)

w ~ er

(Yl

N

- t g,S

0

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 TIJD [ s J

Grafiek IV.4: De responsies op een stap in t 0

x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode

62

4. De analoge machine versus het Re-model.

In deze paragraaf zullen de voor- en nadelen van het RC-model ten

opzichte van het model op de analoge computer uiteengezet worden. De

modelvergelijkingen zijn ten bate van het RC-model verder vereen-

voudigd. Het is mogelijk de overdrachtsfuncties te bepalen voor deze

vereenvoudigde modelvergelijkingen op dezelfde manier als dat is

gebeurd voor de oorspronkelijke modelvergelijkingen in paragraaf 2 van

dit hoofdstuk en tevens het RC-model te simuleren op de analoge reken-

machine. Hierbij wordt dezelfde schaling toegepast. Deze berekening

gebeurt met het programma HANZABDBV en de resultaten staan vermeld in

2 tabel IV.5 . Als deze resultaten vergeleken worden met de resultaten

uit tabel IV.2 blijkt de gemiddelde afwijking in de statische

versterking ongeveer 2% te zijn maar deze kan in een aantal gevallen

oplopen tot

gemiddeld 3%

10%. De afwijking in de tijdconstanten T .. blijkt J,l

te zijn. De vergelijkingen van het RC-netwerk zijn

slechts een vereenvoudiging van de oorspronkelijke vergelijkingen

zodat deze op de simulator gesimuleerd kunnen worden zonder daarvoor

de schakeling te hoeven veranderen; alleen de potentiometerwaarden

moeten aangepast worden. Deze gewijzigde potentiometerwaarden zijn

berekend met het programma WPANZABDBV en staan in tabel IV.6. Met deze

2 )De in deze paragraaf genoemde tabellen staan in appendix A.

63

gewijzigde instelling zijn weer stapresponsies opgenomen. De

verschillen in dynamica bleken gering te zijn.

Een groot nadeel van het RC-model is de starheid. Met de analoge reken

machine kan door alleen de waarden van de potentiometers te

veranderen, de dynamica van andere werkpunten bestudeerd worden.

Eenvoudige regelingen zowel lineair als niet~lineair zijn snel te

simuleren. In een RC-netwerk is dit moeilijk. Het hik-gedrag zou in de

analoge rekenmachine nagebootst kunnen worden door een geschikte keuze

van werkpunt en schalingswaarden, alhoewel dan niet meer aan de

voorwaarden van een linearisatie wordt voldaan. In het RC-netwerk zou

dit kunnen gebeuren door een schijnbare RwO te realiseren met behulp

van een schakelaar die hoogfrequent, tijdgemoduleerd geopend en

gesloten wordt waarbij de aan/uit-verhouding gerelateerd is aan RwO.

Probleem is hierbij dat de schakeling uitgaande van een zeker werkpunt

bepaald wordt. Door RwO te veranderen klopt dit werkpunt niet meer.

De componenten van een RC-netwerk hebben toleranties die fouten

veroorzaken. Deze toleranties zijn in het algemeen veel groter dan de

toleranties binnen de simulator. Dit leidt tot grotere

onnauwkeurigheden.

Het RC-netwerk heeft het voordeel dat het eenvoudiger en sneller is.

De simulator is een zodanig ingewikkeld apparaat dat veel dingen fout

kunnen gaan. Voor gebruikers yoor wie iedere component een 'black box'

is, is het heel moeilijk fouten binnen de componenten of de resterende

verwerkingsapparatuur op te sporen. Voorbeelden hiervan zijn:

De digitale voltmeter van de analoge rekenmachine begint zonder

64

aanwijsbare reden verkeerde waarden uit te lezen. Dit is opgevangen

door de interne aansluitpunten van de voltmeter op te sporen en daarop

extern een andere aan te sluiten.

Niet geheel constant zijn van de referentie- en/of voedingsspanningen

hetgeen consequenties heeft voor de werking van een aantal compo­

nenten, met name inverteerders.

Verloop tijdens metingen, bijvoorbeeld bij het opnemen van stapres­

ponsies, waarbij de statische versterking groter bleek te zijn dan bij

eerdere statische metingen. De afwijking was ongeveer 30%. Deze

afwijking verdween na enige weken even plotseling als ze gekomen was,

zodat de metingen weer in overeenstemming waren met elkaar.

Een belangrijk deel van deze fouten is toe te schrijven aan de slechte

conditie van de simulator en het feit dat degene die deze machine

onderhield en derhalve goed kende enige maanden ziek was. Toch blijft

mijns inziens de analoge rekenmachine door zijn flexibiliteit en

grotere mogelijkheden te verkiezen boven een RC-netwerk.

65

V REGELING EN STURING

1. Algemeen

Alvorens de regeling te gaan bespreken, is het zaak de geschaalde

overdrachtsfuncties uit het vorige hoofdstuk {pagina 58) terug te

schalen naar de werkelijke overdrachtsfuncties. Aangezien de watertem-

peratuur de geregelde grootheid gaat worden, is schaling alleen

gebeurd voor de overdrachtsfuncties van de ingangsgrootheden naar de

watertemperatuur. Met de tijd- en de amplitudeschaling volgens tabel

III.1 {pagina 41) worden de overdrachtsfuncties:

0.22 e -40 s H = {1+560 s){1+410 s) V.1 aw,S

H 0.066 V.2 = (1+460 s)(1+50 s) qw,S

Hfw,S 3500 V.3 = 1+410 s

0.777 e -90 s

HOw,S = {1+540 s){1+180 s) V.4

De eenvoudigst te regelen ·grootheid is het waterdebiet aangezien

daarvoor slechts de instelling van de pomp aangepast hoeft te worden.

In principe is het mogelijk de zonnestraling als corrigerende groot-

66

beid te gebruiken door een soort jalouzie op de collector aan te

brengen die al naar gelang de stand meer of minder zonnestraling

door laat. De kosten en technische probiemEm die dit met zich mee

brengt, maakt dat deze manier van regelen slechts in speciale gevallen

toegepast zal worden, vooral ook omdat het rendement er nadelig door

beïnvloed wordt. Een toepassing als beveiliging tegen kookverschijn­

selen in de collector, vooral bij overgedimensioneerde systemen is wel

mogelijk.

Vanuit theoretisch oogpunt is het mogelijk de ingangstemperatuur als

corrigerende grootheid te gebruiken door voorverwarmen of koelen. Ook

dit heeft een nadelige invloed op het rendement, terwijl de lange

looptijd in deze overdracht de regelbaarbeid ongunstig beïnvloedt.

Logisch en goedkoop is, het ingangsdebiet van de collector te onttrek­

ken aan waterleiding of opslagvat en uit te gaan van het waterdebiet

als stuurgrootheid.

De grootte van het geïnstalleerde collectorsysteem en de instelling

van de variabelen is afhankelijk van de gestelde eisen. Mogelijke

~.:.:;en z::.jn:

1) Een constante uitgangstemperatuur

2) Een optimale instelling

3) Een aanluitregeling met een optimaal ingestelde flow.

Deze eisen komen in aparte paragrafen aan de orde.

Eventueel is het mogelijk een snellere regeling te maken door al

halverwege de collector of nog eerder. storingen te meten en te

corrigeren. Deze werkt geen storingen weg die na het meetpunt optreden

67

tenzij deze regeling gecombineerd wordt met een regeling via een

meetpunt aan het einde van de collector.

Een interessant aspect van de collector is de sterke overeenkomst in

dynamisch gedrag tussen water- en plaattemperatuur zoals duidelijk te

zien is in de grafieken IV.l t/m IV.4. {pagina's 59 t/m 62). Als de

eisen aan de regeling niet bijzonder hoog zijn, bijvoorbeeld in het

geval van een aanlui tregeling, kan volstaan worden met temperatuur­

opnemers op de plaat in plaats van in het water. Dit is makkelijker

realiseerbaar. Voor een leegloop-systeem is dit zelfs een vereiste.

Eventueel verschil in statische versterking is snel analytisch te

bepalen met de methode in hoofdstuk IV en kan verrekend worden.

68

2. Stabiliseringsregeling van de uitgangstemper.atuur

Voor processen die een bepaalde temperatuur vergen, is het mogelijk om

warmte direkt aan de collector te onttrekken. ijierbij is het voor de

regeling niet essentieel of er al dan niet eer. vat in het collector­

systeem is opgenomen. Bestudering van vergelijking V.4 laat zien dat,

dankzij de simpele dynamica van de collector, volstaan kan worden met

een eenvoudige proportionele regelaar. Voorwaartskoppeling is over­

bodig.

Sterk wisselende vraag kan opgevangen worden door:

1) Een buffervat

2) Overdimensienering van het systeem.

In het eerste geval is, gezien de functie van het systeem, geen sprake

van gelaagde opslag. Het ingangswater van de collector wordt in dit

geval dus niet als bodemwater aan het vat onttrokken.

Als het systeem overgedimensioneerd is, kan de flow in gunstige

omstandigheden zeer groot worden. In dergelijke gevallen kan eventueel

gedacht worden aan regeling of beveiliging door het aanbrengen van

jalouzieën zoals beschreven in de vorige paragraaf.

69

3. Optimale sturing

De bedoeling van de optimale sturing is de vermogensopbrengst van de

collector te maximaliseren. Een groot versebi 1 maakt het of wel of

niet gebruik gemaakt wordt van een warmteopslagvaL

a) Zonder vat.

De vermogensopbrengst is te schrijven als (quasistatisch):

~

Q = ow F {Tw,N-TO) V.5

Berekenen van T uit de quasistatische collectorvergelijkingen I.l w,N

en !.2 en invullen in V.5 toont aan dat voor een momentaan optimum F

maximaal gekozen moet worden {in principe oneindig). Dit van geen

praktisch nut aangezien de watertemperatuur dan veel te laag is.

Bovendien moet in principe ook het extra pompvermogen in rekening

gebracht worden. Dit beperkt de keuze van F. Verder is in hoofdstuk II

aangetoond dat U geen constante is maar varieert met de flow (grafiek

11.8 in appendix B). Uit de vergelijkingen 11.30 t/m !1.37 {pagina's

21 t/m 23) kan met behulp van een optimaliseringsprocedure een

momentaan optimale flow bepaald worden als functie van collector-

parameters en omgevingsvariabelen. Omdat de momentane flow geen

70

invloed heeft op de energieopbrengst van het systeem op een later

tijdstip, is een momentaan optimum voor de flow tevens een optimum

voor energieopbrengst over een willekeurige periode.

b} Met vatopslag.

In de situatie mèt opslag ontstaat er via het vat een soort 'terugkop­

peling'. Hierdoor wordt r0 op een later tijdstip zodanig beïnvloed

door de momentane flow dat de energieopbrengst op dat tijdstip ook

beïnvloed wordt. Om een zinvol optimum te vinden voor de flow moet

gekeken worden naar de totaalopbrengst over een bepaalde periode

(bijvoorbeeld een dag). V.d. Linden heeft voor een zonnecollector­

systeem met opslag een dynamisch optimale sturing bepaald voor de flow

(Li t. 24). Naast echt optimale sturingen kan gebruik gemaakt worden

van suboptimale sturingen zoals:

1} Aanluitsturing met een optimaal te kiezen flow (vaak F ~ 1.5 x

vatinhoudlbedrijfstijd)

2} Wortelverbandsturing

3) Momentane sturing volgens Trouwen (Lit. 22).

De eerste twee vereisen een goede voorkennis van bedrijfstijd en

weertype terwijl de laatste tussentijds aanpast. Door zijn eenvoud is

de aanluitsturing het meest toegepast en komt in paragraaf V.4 aan de

orde.

Alle studies over voorgaande {sub)optimale sturingen zijn gebaseerd op

de quasistatische vergelijkingen !.1 en !.2. Berekenen van de quasi-

71

statische toestand van de collector volgens de vergel ijkingen II .30

t/m II. 37, waarin de temperatuur over de collector ver loopt, kan

invloed hebben op de resultaten van deze studies.

72

4. Hik-gedrag bij aan/uitsturing.

Een ongewenst verschijnsel in aan/uit-gestuurde collectorsystemen is

het zogenaamde hik-gedrag, het meerdere malen aan en uit schakelen van

d-- collectorpomp bij zonsop- en zonsonderga.Pg. Dit komt omdat d~

collector met waterdebiet = 0 in eerste instantie wordt opgewarmd

totdat de temperatuur boven in de collector de drempelwaarde heeft

bereikt. Als drempelwaarde wordt meestal een constant temperatuur­

verschil met een referentiewaarde zoals de bodemtemperatuur in het vat

genomen. Wordt deze drempelwaarde bereikt dan wordt het debiet ~ 0.

Als de intensiteit van de zonnestraling nog niet voldoende is, daalt

de watertemperatuur zodanig dat deze beneden een andere drempelwaarde

komt waardoor het debiet weer nul wordt. Dit kan zich enige malen

herhalen. Bij zonsondergang treedt hetzelfde verschijnsel op. Dit

hik-gedrag heeft nadelige effecten voor het functioneren van de pomp

zodat dit zoveel mogelijk vermeden dient te worden.

Dit kan door de drempelwaarden of het debiet aan te passen. Smit en v.

Spanje (Li t. 23) stellen naar de Ron dat niet de dynamica van de

collector de directe oorzaak is van het hik-gedrag maar de instelling

van de aan- en uitschakelte~eraturen waarbij de laatste meer invloed

heeft dan de eerste. Bij een gegeven collector met bijbehorende

dynamica is dit duidelijk maar bij vergelijk van verschillende collec-

73

toren is de invloed van de dynamica evident.

De collector waaraan Smit en v. Spanje gewerkt hebben en de in deze

studie beschouwde collector zijn weliswaar van verschillend type, maar

wel van dezelfde ordegrootte wat betreft oppervlak en flow. Het is

interessant te kijken of er overeenkomsten te ontdekken zijn tussen de

resultaten van de onderhavige theoretische st~die en de experimenten

van Smit en v. Spanje. Hierbij is gekeken naar figuur 32 uit litera-

tuur 23.

Het is om twee redenen moeilijk de dynamica tijdens de opwarmperiode

te bepalen:

1) De situatieF= 0 past niet in deze studie omdat daarvoor een

andere afleiding geldt.

2) De metingen beschreven in literatuur 23 zijn verricht met een

leegloopsysteem, waardoor er geen watertemperatuur is die is te

vergelijken met de drempelwaarde. Daarom wordt op de plaat gemeten.

Zodra de pomp inschakelt, duurt het even voordat de collector

volloopt. De collector warmt dus nog even op. Zoals ook uit grafiek

V.l blijkt, is daardoor de werkelijke schakeltemperatuur anders dan

de gewenste. Dit is nadelig voor de efficiëntie van de collector.

De tijd dat de pomp aanstaat is uit te rekenen. Gekozen is de tweede

inschakelperiode van de pomp. Daarvoor geldt Q ~ 200 W/m2 . Met de z

methode uit hoofdstuk IV ~ijn voor deze zonnestraling de deel tijd-

constanten Tl . t/m Tg . en de statische versterkingen bepaald. De • 1 • 1

afwijkingen in deze deeltijdconstanten zijn zo klein ten opzichte van

de waarden in het in deze studie beschouwde werkpunt (Q ~ 500 W/m2

) z

74

dat de dynamica verondersteld wordt gelijk te zijn. Het verschil in

statische versterking wordt verrekend. Met dit model wordt een

bedrijfstijd voor de pomp gevonden van drie minuten hetgeen redelijk

overeenkomt met de uit de grafiek af te lezen waarde (~ 2.5 min.).

Bovenstaande methode kan ook gebruikt worden om een schatting te rnaken

van de flow waarbij net geen hik-gedrag optreedt. Daarbij wordt

gekeken naar de gewenste drempel temperaturen en niet naar de wer­

kelijke drempel temperaturen als gevolg van leegloop. De flow wordt

zodanig klein gekozen dat de onderste temperatuurdrempel niet meer

bereikt wordt. In dit geval geldt F ~ 16 1/uur. De flow wordt bij

aanvang zo ingesteld. Als vervolgens de flow toeneemt naarmate de

zonnestraling toeneemt tot de gewenste waarde bereikt wordt, wordt

hik-gedrag vermeden.

75

Ç] -!..

I I I I

111 ·~ 1 ~

I ~

0 :::

... 8 ~ =

0

=

Grafiek V.l: Hikgedrag bij het inschakelen van de collector.

naar Smit en v. Spanje (Li t. 23).

76

VI roNQUSIES

De algemene differentiaalvergelijkingen voor een zonnecollector kunnen

gesegmenteerd en vervolgens gelinineariseerd worden. De daaruit voort­

vloeiende werkpuntsvoorwaarden bepalen het temperatuurverloop in de

coUector in statische toestand.

De ver liesfactor U uit de quasi-statische collectorvergelijking is

geen echte constante maar varieert met het veranderen van de omgevings

variabelen.

De gelineariseerde collectorvergelijkingen lenen zich uitstekend voor

implementatie op een analoge computer, terwijl simulatie met een

RC-netwerk een onduidelijke kunstgreep vereist om de vergel ijkingen

'passend' te krijgen.

Theoretisch valt af te leiden dat een collector onder normale

omstandigheden een stabiel systeem is.

De overdrach.:sfuncties van de ingangsvariabelen naar de ui tgangs­

variabelen zijn alle goed benaderbaar door eerste- of tweede-orde

overdrachtsfuncties al dan niet met looptijd.

Voor een stabiliseringsregeling voor de uitgangstemperatuur kan

volstaan worden met een proportionele regelaar.

Gebruik van de vergelijkingen II.30 t/m II.37 {pagina's 21 t/m 23)

voor de bepaling van het werkpunt kan invloed hebben op de resultaten

van studies over optimale sturing.

77

APPENDIX A: TABEl I EN

Tabel 11.2: Waarden van collector constanten

B = 0.604 m

= 9.82 -2 g Tl! s

L = 5.2 m

Nu = 4.12

a = 0.04

{3 = 0.8

/31 = 3.2 10 -3 K -1

ö = 4 10-3 m g

ö gl = 6 10-3

m

öl = 2.5 10-2 m

ö = 1.8 10-3 m p

ö = 1.06 10-2 m w

t = 0.95 g

t = 0.15 p

lg = 840 J kg-1 K-1

lgl =2400 J kg-1 K-1

ll = 1010 J kg-1 K-1

lp =.880 J kg-1 K-1

lw = 4176 J kg-1 K-1

Àl = 0.025 J s -1 -1 -1

m K

À =206 J s -1 -1 -1

m K p

78

Tabel 11.2:vervolg

À = 0.64 J s -1 -1 -1 m K w

J..L = 0.151 m -5 2 -1 VI = 1.67 10 m· s

.". = 3.14159

pg = 2710 kgm -3

pgi = 1120 kgm -3

PI = 1.2 kgm -3

pp = 2710 kg m -3

Pw = 992 kgm -3

a = 5.67 10-8 -1 -2 -4 J s m K

79

Tabel III.2: Waarden van de constanten in de simulatie en

temperatuurverloop in de collector

KQA= 4.3929011E-04 KQB= 1.8636550E-02 KA= 1.6988506E-01 t\WF'=- 1.1499S63E:oo KPW= 2.0390171E+OD KWO= 3.2951486Ei00 KW= S.3341657E+OO

TG TF' TW 1 2.9186184Et02 3.0466267E+02 2.9745813Et02 " 2. 9284323E ~-02 3.0865814E-!02 3.0173940El02 4

.j 2.9382443E+02 3 .1247509E+02 3.oss.;31BE+02 4 2.9479545E+02 3 .1611766E+02 3.0977067E:02 5 2.9574933E+02 · 3 .1959033E +02 3.1352429E+02 6 2.9668114E+02 3.2289808E+02 3.1710748E102 7 2.9758737Et02 3.2604606Et02 3.2052430(+02 8 2.9846538E+02 3. 29039 63E ·}02 3.2377935E+02

KV KPG KG 1 4.49ó0921E·04 2. 9753828E ··02 1.8607396E··Ol ., 6.1928362E-05 3.1739885[-02 1.8833089E-01 ... 3 -3. 2567623E-·04 3.3460601E··02 1. 9033540E ··0 1 4 -7.0926118E-04 3.4985526E-02 1.9215077E-01 5 -1.0860722E··03 3.6357426E··02 1.9381534E·01 6 -1.4541683E-03 3.7604829E-02 1.9535445!::-01 ., -1.8121573E··03 3.8747834E··02 1. 9678583E-01 I

B -2.1590751E-03 3.9801270(-02 1.9812256E-01

KGP KP KF 1 6.0427492E-02 1.2131010E+OO 9.7934629E-02 2 6.3951857E··02 1.2173139E+OO 9.4049533E ·02 3 6.6932562E-02 1.2209639Et00 9.0150504E-02 4 6. 9516855E ··02 1.224198óE+OO a.6277SS1E·o2 5 7.1795490E-02 1.2271086EtOO 8.2458383E-02 6 7 .3829129E··02 1.2297547E+OO 7.8714190E ·02 7 7.5660606E-02 1.2321792Et00 7.S059641E-02 a 7. 73215S3E ··02 1.2344138E-!OO 7.1305688E·02

80

Tabel III .4: De parameterwaarden van het RC--tDOdel

L ; .10~6V~vl·!·J3

~ .2~2640Clt03

L ~L ~.1486412Et03

•-' 2. ~·1J6184E-t02 :::. 'i.2~:43.23E to:

,, 2.9382443E+02 ..: • ·;4 .~··r~4~E·t 02

J 2. 95~'4933Et02 :. ·ï~6811~L+02 2. 9;':::ï873?Et02 .. : ~ ·:-'D~~~S!j~[ J J~

.·.\.· 2.04 Y81VEtOO 2.81 4/';)9[-01

3 --1.48 7387Et00 - 3 .2;.:: 1085Et00

;::.; -4.?4 6658Et00 ,:::. ··-c • .:.2 S4.59E-t00 7 ··u.2:J 4183t:-tOO

• .v- B!::Ji.::too

TF' 3o046ó267E+02 3.0865814Et0::.! 3 .1247509E+02 3.16117641:.+02 3 .1959035EHl2 3.2289809Et02 3.2604607Et02 3. 2'1(>3?67E+02

U' 4.7420130E+04 4.5538959E-tV4 4.3651042E't04 4ol?l::i668E:.-/O•l 3.9926622[+04 J,S113.:i09Et0"i 3oó344045E+04 3, 4623235E Hi4

lW -·· 2.9745813E+02 3.0173940E+02 3,0584318E+02 3.0977066E+02 3.135243.0E+02 3.1710749Et02 3.2052431E+02 3.2377936E+C2

RAG RGP_. 6.6359462E-02 3 • .7730.6B9E -01 6, 623009J E-02 3,5514381E-Ol "'. 61 00834.E-.02. .3.3.8144.9§E-01 6, 597J007E-O_~ .3 .. ~4~3:U4E-OJ ó. 5847523.E=02-- _ Ll33.0.130.E -Q.l o.5725025E-02 J,OJI33204E-01 6.5605971E-02 .. .2.'i571476E-01 6. 5490676.E-02-- 2 ._as66::ï60E -o 1

--- -- -· ·------···· --

81

Tabel IV.2: Statische versterking en tijdconstanten theoretisch

SAG SQG SFG Sül:.

1 9.2454674E-01 3. 9013529E-·J3 4. 4l9ES92E -03 1.~871.373E-01 ") 9.1904291E-01 3.3511894E-03 8.9710587E· 03 1.~1'13C,50E·Ci. ... 3 9.1522881E-01 7.2351295E-03 1.35;)21ó4E-02 1.534809!JE-01 4 9 .12662:56E -·01 a. 9311890E ··03 1. 7'r18781E -·02 1.538I620E- (I :i 5 9 .110ó378E-01 1.0623484E-02 2.2158451E-02 1.5322/SSE-01 6 9.1023917E··Ol 1.2300110E-·02 2.617919SE-02 1.31'i'2039E- 01 7 9.1004790E-01 1.3951950[-02 2.9953091E-02 1.5J04466E-01 8 9 .1038261E-·01 1.:5571955E-02 3.3462395E-02 1.4771674E-01

SAP sar· SFf' SOF' 1 7. 2226509E -·02 2.4398211E· 02 2. 7641087E-·02 9.3002330E-01 2 1.0079133E-01 3.2938380E-02 5.3230420[-02 9.0149051E-01 3 1.2896899E-·01 4.1155903E··02 7 .6804947E··02 8. 7305263E -·0 1 4 1.5674349E-01 4.9052709E-02 9.8415200[-02 8.4480367E -'01 5 1.8409113E-·01 :::;.6632010E-02 1.1812299E 01 8.1683215E-01 6 2.1098932E-01 6. 3898211 E -02 1.3599910E-01 7.8921579E-01 7 2.3741905E ·01 7.0856763E-02 1.5212060E·-01 7. 620210H:- 01 8 2.6336536(-01 7.7513998E-02 1.6656894E-01 7.3530365[-01

SAW SQW SFW sow 1 2.7609020E-02 9.3263639E-03 2.8925850E-02 9.7325097E-Ol 2 5. 5623040E ··02 l.s.s::,uvvE-·02 S.58479:55E-02 9.4~82010E-01

3 8.3807940E-02 2.7069054E-02 8. 0759473E·-02 9.1800428E-01 4 1.1200074E ·01 3.5472439E··02 1 • 0 368300E ··0 1 8.9C02290E 01 5 1.4008253E-01 4.3560813E-02 1.2466131E-01 8.6204528E-01 6 1.6796393E··Ol 5 .1334906E·-02 1.437:5185E ··01 8.3420576E··Ol 7 1.9557645E-01 5.8797253E-02 1.6102234E-01 8.0661270[-01 8 2.2286692E-·Ol 6.5951842E··02 1.7654779E··Ol 7.7935437E 01

TCl TC2 TC3 1 S.4660688E+OO t.4094321noo 1.7120684E-01 2 5. 4108511Et00 1.4011720(+00 1. 7119452E-01 3 S.3628724E·:·OO 1.3940689HOO 1.7118384E 01 4 5.3202301E+OO 1.3878163Et00 1. 71174351::-01 5 S. 2817723E 1·00 1.3822256Et00 1.7116581E··Ol 6 5.2467381E+OO 1.3771709Et00 1.7115803E-01 7 S.2145937Et00 1. 372Só34E i·OO 1. 7115089E··01 B S.1849446Et00 1.3óB3377EtOO 1.7114431E-01

TC4 TCS TC6 1 1.41Só087Et00 1.712077óE-01 1.8747074E-01 2 1.4080408Ei-OO 1. 7119SSóE ··01 1.8747074E· 01 3 1.401SS01Et00 1. 711849BE-01 1.8747074E-01 4 1 • 395848SE i·OO 1. 7117560E ··01 1.8747074E-01 5 1.3907591Et00 1. 711671SE-01 1.8747074E-01 6 1.3861642Et00 1. 711594óE-·01 1.8747074E-01 7 1.3819809Et00 1. 71152401::-01 1.8747074E-01 8 1.3781480HOO 1.7114590E·01 1.8747074E··01

TC7 TCB TC9 1 5.3742071Et00 5.4231618E+OO S.2314779E·01 2 5.3098035Et00 5.3659007Et00 S.2015431E-01 3 5.253883SE+OO S.3144306El00 S.1737301E-01 4 S.2042467E+OO 5.2687160Et00 S.1529509E-01 s S.159:5502Ei-OO 5.2275201(-}00 8.1325363E ·01 6 S.1189005Et00 S.1900228Et00 S.1140397E-01 7 5.0816667Et00 5.1556474EiCO 8.0971465E·Ol 8 s.o473S07Etoo 5.1239666E+I)0 S.OS16242E-01

Tabel IV.3: Statische versterking be~ld met de simulator

SAG SGG SFG SOG 1 9.2283905E-01 3.9468B72E-03 4.6055303E-03 1.4929369E-01 2 9.1825265E ·01 6.2940670E-03 9.0019S32E 03 l.:ï273413E-01 3 9 .1411192E-01 7.2605849E-03 1.3433872E-02 1.5282121E-Ol 4 9 .1177059E-·01 a. 9239159E -·03 1. 7876376E ··02 1.3334005E-01 5 9.1041325E-01 1.0604263E-02 2.2047688E-02 1.5231436E-01 6 9. 0996232E -·01 1.2318995E··02 2.6161S14E-·02 1.3172653E-01 7 9.079613SE-01 1.3934875[-02 2.9994470[-02 1.500009BE-01 B 9. 0940454E ··01 1. 5617126E ·02 3 .3477993E·-02 1.4737205E-Ol

SAP SGP SFF· SOP 1 7.3693396E-02 2.4320767E-02 2.7464531E-02 9.2525156E-01 2 1.0271931E-·01 3.3349386E-02 S.3343867E-02 9.0246378E 01 3 1.2946953E-01 4.1213181E-02 7.6512939E-02 8.7005107E-01 4 1.5717883[··01 3.3004397E-02 9.8122639E-·02 8.4153033E··01 5 1.8449159E-01 5.6615790E-02 1.1779SSSE-Ol B.1304413E-01 6 2 .1066814E-·01 6.3894391E·-02 1.33i'6850E·Ol 7 .8611087E··Ol 7 2.366029SE-01 7.0853623E-02 1.519252SE-01 7.5800056E-01 8 2 .6121160E .. 01 7.7456387E-02 1.6624000E-·01 7.3070464E-01

SAW saw SFW sow 1 2 .8150016E·-02 9. 2925378E·-03 2.8841367E-·02 9. 7092154E ··0 1 2 5.6618507E-02 1.84719SBE-02 5. 5779878E ··02 9.44BOB18E-01 3 1.6640169E-·01 3. 0035879E ··02 8.0546359E·02 9.1577654E-Ol 4 1.1206684E-01 3.5537299E-02 1.0341565[-01 8.8693424[-01 5 1.3988682E··01 4 .3602643E-·02 1. 2446432E··01 S.S891300E-01 6 1.669903SE-01 5.1380651E-02 1.4356009E-01 S.3129657E-01 7 1. 9361397E··01 5. 8867462E ··02 1.6094944E-01 a.027J022E-01 B 2.1953324E-01 6.6001917E-02 1.7640926E-01 7.7544809E-01

83

Tabel IV.5: Statische versterking en tijdconstanten

van het ana.lQgon SAG SQG SFG :.:•\.•'-'

1 8.59307v6E-01 3. 67'09350[ -03 4.1B15137E-03 1 .~Gé.·;·:t:r:E-01 "l 8.5656743E·01 3. 231•9595E···Ct3 8.46718'i8E· ~J3. 1.4343~~~3E- G~ ... 7 S.5534843E-01 6.8166530(-03 1.2718964[-02 1.44óSó71E-01 oJ

4 8.5::i23518E·01 8.4014972E·03 .t. 68522·;·sE --02 1.4478'7'74C> ~~1 5 8.5596370E-01 9.9806466[-03 2.0812402E-02 1.4410381[-01 6 8.573::i214E··01 1.1543911E·02 2.4363304[· 02 1.4278778[·01 7 S,592ó831E-01 1. 308361 S'E-02 2.8081757E-02 1.4097971E-01 8 8,ó161204E··Ol 1.4593946[·02 3.1353617E· 02 1.3S78460E·Cil

SAP SQF' SFF' sor· 1 6, 8712137E ··02 2.4431383[·02 2.7678670[·02 9.312S785E-01 ") 9,6451512E-02 3.300M51E-02 5.3338782E-02 9.0354845[-01 ... 3 1.2404813E ·01 4.1278920E·02 7.7020954[·02 8.7598308E·01 4 1.5147525E-01 4.9244555[-02 9,8778099E-02 8.4867090[-01 5 1. 7869867E ··01 5.6910094[··02 1.1867325E ··0 1 8.2168639[· 01 ' ó 2.0S68509E-01 6.4280682[-02 1.3677739E-01 7.9509415[-01 7 2.3240449[·01 7 .1362242E ··02 1. 5316688E ··01 7 .6894840[··01 8 2.5883069E-01 7.8161331E-02 1.6792171E-01 7.4329377[-01

SAW SQW SFW sow 1 2, 6265630_E -02 9.3390449[-03 2.8940217[-02 9.7373435[-01 "l 5.3128413E··02 1.8387010E·02 3.5898231[ 02 9.469053:JE·01 ... 3 8.0363552E-02 2.7137581[-02 8.0873113E-02 9.1979487[-01 4 l.0781104E-·01 3.5588105[· 02 1.0389192E-·01 8.9260729E··01 5 1.3535094E-01 4.3738564E-02 1.2500071E-01 8.6549734[-01 6 1.6289016E··01 5.1590913E-·02 1.4425902[·01 8.3858528E-01 7 1. 9035462E-01 5.9148622E-02 1.6173559E-01 8.1196615[-01 8 2.1768429E 01 6.6416344E··02 1.77::;0549E·01 7.8571570[ 01

TC1 TC2 TC3 1 :5.2771873[100 1.411S027E·:-oo 1.7121081E-01 2 5 '2292407!:+00 1.4041415Et00 1. 7119954E -01 3 5.1881096Ei-OO 1.3976176HOO 1.7118988[··01 4 5.1519615(+00 1.3919253Et00 1.7118140[-01 5 5.1196813El·OO 1.3868763HOO 1. 7117384E··Ol 6 5,090530BEtOO 1.3823450Et00 1.7116702E-01 7 5.0639918E+OO 1.3782427Ei-OO 1.7116083[-·01 8 5,0396823Et00 1.37450401::+00 1.7115516E-01

TC4 TCS TC6 1 1.4180916Et00 1. 7121173E-01 1.8747074[-01 ") 1.4111421HOO 1. 712005BE··01 1.8747074[ ·01 ... 3 1.4052493E+OO 1. 7119103E-Ol 1.8747074[-01 4 1.4001261E-l-OO 1. 7118265E··01 1.8747074E ·01 5 1.3955961E+OO 1.7117518E-01 1.8747074E-01 6 1. 3915418E l·OO 1. 7116845E-01 1.8747074E-·01 7 1.387BB02E+OO 1.7116234E-01 1.8747074[-01 8 1. 3845506E l·OO 1. 7115674E- 01 1.B747074E .. 01

TC7 TC8 TC9 1 5 .1902898E i·OO 5.2381525HOO 8. 2406988E ··01 2 5.1334462E+OO 5.1862476E+OO 8.2131126E-01 3 5,084:5710Ef00 5.1416734HOO 8.1895812E·01 4 S.0415566E+OO 5.1024739E+OO 8.1690183E-01 5 S.0031124Ei·OO 5.0674552E+CO 8.1307549E· 01 6 4.9683785Et00 S.0358246E+OO 8.13434401::-01 7 4.9367483Ei00 s. 0070243[ ·l-00 8.1194701E··01 8 4.9077729EtOO 4.9806426E+OO 8.1059005[-01

Tabel IV.6: Parameterwaarden en temperatuurverloop

voor de analogonvergelijkingen

• .!4J.:.>f.!.2i.:. ;-Cr~

,,,(.J.:.· 1 .. J6~~Jó~.jUL--02 ••• 1· ~~~~~)~·~~~Lr~0

.·.~J~·= J.~9~1~b6EtOJ

hW:: ~ •. 3~·-ll.::·~~.:'L·~ Cü

1

___ ,3_

4

IC T F . . TW ---·----- __ 2. 91&6l84Et.02 3 .04i>.6267Et02 .. _24 9l~58.1.1E.:W.2. 2, 7':28432.3E.t02 3. QB6::iSl.4E+ 02 -·-·- 3,,.0lZ,J~~D..Ei.Q2._

.2. 9382443Et02 .. __ .3.l.2475.0.9.EtD2 ____ ...J...O!ia!31Bt±.02.... 2.7·i?:;:i4'5E+02 3.1611764Et(J2. 3,05!77Q.6.6ft.O.<! 2. 9::i7.4933E+.02 .3 .1939035H02 _ 3,13.52430Et02._ 2. ~, .o.:;8.;.l::JEH'2 :C, 228980'/L1C2 .. _ .3 ..171.0.74.9.E.t.02 .. ;;: • 'i7;';S73'/E·H)2 J. 26•)46ü7EJ02 _ . ...3 • ..20.524l1E:t..02 __ ~i·;; ~ .. tL.SSl'L+ü..... ._j ~ ...;·,.·~J~96/t:. t ~·:2 3 .• 23.7793"E1:02

J_ 4.4960926E-04

.6 _ . :-1.. ·l:.i41ó'i'JE- OJ -- :z __ . . -1 .. .S121636E-=o0.3.-____ a--··. -:2 .1.5t_ü.)'B?~~:.:o.J

85

APPENDIX B: GRAFIEKEN

1U 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 400 400

390 390

389 380

370 370

360 360

350 350

340 340

330 330

320 320

310 310

300 300

290 290

280 280 U0 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500

Grafiek II.3: Uitgangstempe~atuur (K) als functie van Qz (W m-2).

o volgens vergelijkingen I.l en !.2

c volgens vergelijkingen II . 30 t/m I I. 37

86

• 0025 • 0fi!l5 . fi!l075 . 01 . 0125 . 015 .fi!l175 . fi!l2 .fi!l225 .025 •. 0275 .03 360 360

355 355

350 350

345 345

340 340

335 335

330 330

325 325

320 320

315 315

310 310

305 305

300 380 .0025 . lUS .011175 • fi!l! .0125 .015 .0175 .02 .0225 .025 .0275 . 03

A -1 Grafiek I I. 4: Uitgangstemperatuur (K) als functie van F (kg s ).

o volgens vergelijkingen I.l en I.2

c volgens vergelijkingen I I. 30 t/m II. 37

87

34527ra _____ 2r7s _____ 2TB_e ____ 2TB_5 ____ 2T9_0 ____ 2T9_5 ____ 3ï0_0 ____ 3ï0_5 ____ 3ï1_0 ____ 3~t~5----3~2 ~ 45

340

335

325

320

315

3U)

305 305

300 ~----~----~----~----~----~----~----~----~----~--~300 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320

Grafiek 11.5: Uitgangstemperatuur (K) als functie van T (K). a

o volgens vergelijkingen 1.1 en 1.2

c volgens vergelijkingen 11.30 t/m 11.37

88

275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 270 345 ~----~----~----~----~----~----~------r-----~----~----~345

340 340

335 335

338 330

325 325

320 320

315 315

310 310

305 305

~----~----~----._ ____ ._ ____ ._ ____ ~----~----~----~--~300 300 270 275 285 290 295 300 305 310 315 320

"' Grafiek II.6: Uitgangstemperatuur {K) als functie van r0

{K).

o volgens vergelijkingen I.l en !.2

c volgens vergelijkingen II.30 t/m II.37

89

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 14 14

13 13

12 12

11 11

10 Ul

9 9

8 8

7 i 7

6 1 6

5 5

4 ~ 4

3 3

2 2

0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500

-2 -1 "' -2 Grafiek II.7: Verliesfactor U (W m K ) als functie van Q (W m ). z

90

.0025 .005 .0075 . 01 .0125 .015 .0175 . 02 . 0225 . 025 . 0275 .03 30 30

28 28

26 26

24 24

22 22

20 I 20

~ 18 18

I

16 r 14

I 14

12

~ j [ 2

10 10

I

8 8

6 6

4 4

2 2

0 0 .0025 .005 .0075 . 01 .0125 . 015 . 0175 .02 . 0225 .025 .0275 . 03

-2 -1 A -1 Grafiek II.S: Verliesfactor U (W m K ) als functie van F (kg s ).

91

275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 270 40 ~----~----~-----r----~----~------~----~----~----~----~40

35 35

30 30

25 25

20 ~

15 15

10 10

5 5

~----._----~----~----~----~----~~----~----._----~----~0 " 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315

-2 -1 A

Grafiek II.9: Verliesfactor U (W m K ) als functie van T (K). a

92

320

275 280 285 290 295 300 315 320 270 40 r-----~----,------r----~----~----~~----T-----~----~----~40

35 35

30 30

25 25

I

I 20 20

15 15

5 1 5

~----~----~----~----~----~----~------~----~----~----~0 B 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320

-2 -1 Grafiek II.lO: Verliesfactor U (W m K ) als functie van T0 (K).

93

2 3 4 . 041 5 6 7 s

. 041

• ~4 -..., . 04

,;p~ /: • - .,J; ,..

.., . 039

.038 ,... i ~ . 038

i i .a37 j-

~ . 03~ I

! I I .036 i

...; . 03é r I I I . 335 i

-i . 0 3~ .... I

! ' I . 334 L i .(B4 ! I I .033 ~ . 033

I I Grafiek III .1: I .032 i . e32

K ! per segment. I pg, i .031 i . 031 I I . e3 -i . 03

.029 I • 029 2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 0 7 8 • 2 . 2

. 199 . 199

.198 . 198

.197 . 197

.196 . 196

. 195 . 195

.194 .194

. t:J3 . 193

.192 . 192

. 191 . 191

. 19 Grafiek III.2: . 19

. 189 .189

K g, i per segment. • 188 .188

. 187 . 187

• 186 .186

• 185 .185 1 2 3 4 5 6 7 8

94

95

2 3 4 ~ 6 7 8 ~" 2!1. ~-24

1 i ' ;.2375 ï ..., . ... ~ .. -I .. :.;;;:;:, I

' ; t. 235 ..I !.23S

A 1.2325 f-:.2J25 i

I

I ' i. 23 ;...

j ~. 23 i

j I

1. 2275 I ' l. 2275

r "'i I I

I I

j 1. 225 ~ t. 225 I i I I 1.2225

I I I 1 1. 2225

i I 1. 22 ....

... ! . 22 I I I L 2! 75 I Grafiek III.5:

V I !.2175 I 1.215 I

1. 215 K 1 p, i per segment.

I 1.2125 i !.2125

I

1. 21 l L 21 2 3 4 s 6 7 8

J_ 2 3 4 ~ ó 7 a . e.;;ç·

.09Ç .... 0.., ' .~?;: -" -. • \!:.I

' ' . JÇ:: !-

""-," ~ .~9~

. f); 3 - ·, ï ".r.~

" .,:.,._ (3Q• '· .~9~

r ' .0f:Ç r- -~ - .0~9

I

"" ' . 087 r "-...~

-i . 087 .kl65 f-

ï . 085 I

. 083 I

J .083 r I . 081

j

..J . es 1 I '"'- ' i .079 r ~ .e79 I

J . ~7ï I

-I . 07? r I Grafiek III. 6: I

. ~F5 I

.C?S r -: I

.073 !

I .~73

Kf . per segment.

~ : '1 ' • 07 ~

-, .071 I

.ld69 L ~ • 069 I

. 067 .067 2 ':1 4 5 6 7 8 ""

96

APPENDIX C: DE WERKING VAN DE AN~ roMPOTER

Met een analoge rekenmachine kunnen differentiaalvergelijkingen op een

analoge manier gesimuleerd worden. Dit gebeurt met behulp van elec­

tronische elementen die op een zodanige manier met elkaar doorver­

bonden kunnen worden dat het aldus ontstane systeem aan dezelfde

vergelijkingen gehoorzaamt, als het te simuleren systeem. Deze

eenheden die in staat zijn diverse bewerkingen uit te voeren, zoals

optellen, vermenigvuldigen en integreren, zijn opgebouwd met behulp

van weerstanden, condensatoren en diodes rond een operationele

versterker. De differentiaalvergelijkingen worden gerealiseerd op een

zogenaamd patchpanel waar men met behulp van stekkers en draden ver­

bindingen kan leggen tussen de diverse analoge eenheden. Alle eenheden

hebben een eigen adres. Het resultaat van de berekeningen kan op een

plotter of een oscilloscoop afgelezen worden. De analoge eenheden

zijn:

1) De opteller. Deze bepaalt de som van de ingangssignalen en keert

deze van teken om. Aan de ingangssignalen kunnen gewichtsfactoren

toegekend worden (in de machine van de vakgroep is dat 1 of 10).

De schematische voorstelling van de opteller is als volgt:

x(t)

y(t)

-[x(t) + 10 y(t)]

Figuur C.1: Schematische voorstelling van de opteller

97

2) De integrator. Deze integreert het ingaande signaal naar de tijd.

Technisch gezien gebeurt dit door een condensator te laden met

een stroom die de ingangsvariabele voorstelt. De operationele

versterker zorgt weer voor een min-teken in de uitgang. Ook kan

er nog een beginvoorwaarde (initia! condition: IC) aan de

integrator toegevoegd worden die bij de uitgang opgeteld wordt.

Als meerdere signalen toegevoegd worden, worden deze opgeteld en

dan geïntegreerd. Ook hier zijn er weer gewichtsfactoren te

kiezen. De schematische voorstelling van de integrator is gegeven

in figuur C.2:

IC

x(t) t

Y( t) >---[J [x(t) + 10 y(t)]dt +IC]

0

Figuur C.2: Schematische voorstelling van de integrator.

3) De verme:.1igvuldiger. De vermenigvuldiger bepaalt het produkt van

de ingangssignalen en inverteert dat. Hiervoor heeft deze zowel

de normale signalen als de geinverteerde signalen nodig. De

schematische voorstelling is:

x( t) x Y(t)

-x(t) -y(t)

-x(t) y(t)

Figuur C.3: Schematische weergave van een vermenigvuldiger.

98

4) De potentiometer. De potentiometer vermenigvuldigt het ingangs-

signaal met een voor elke potentiometer apart in te stellen

factor K (0 ~ K ~ 1) .Dit gebeurt zonder tekenwissel ing. Figuur

C.4 geeft een schematische weergave:

K

x(t) ---1Q1--- K x(t)

Figuur C.4: Schematische weergave van een potentiometer.

5) De inverteerder. Deze heeft slechts een ingang en doet niet

anders dan deze inverteren zoals gegeven in figuur C.5.

x( t) -x( t)

Figuur C.5: Schematische voorstelling van een inverteerder.

Als voorbeeld van het gebruik van de analoge computer wordt de

volgende differentiaalvergelijking opgelost:

2 -w x(t) C.l

met als oplossingen:

x(t) = sin wt of x(t) = cos wt C.2

99

Op het patchpanel ziet deze differentiaalvergelijking er als volgt

uit:

2 d x(t}

dt2

2 -w x( t)

IC ~

w

dx(t) dt

IC x

-w x( t)

Figuur C.6: Sinus/cosinus oscillator op het patchpanel

Op deze manier wordt een sinusgenerator gebouwd.

100

+w x(t)

APPENDIX D: AFLEIDING VAN DE LINEAIRE VERGELIJKINGEN

EN DE BI.JBEH()RENDE mKPUN'fSVOORWAARDEN

De collectorvergelijkingen voor het ie segment luiden als volgt:

C drg,i = é a (9.28 10-6 r 6-r .4) +a Q + g dt g a g, 1 z

k Ir .-r . 11

·37 sign(r .-r .) + 2 p,1 g,1 p,1 g,1

(r -r .) 8 _6 y0.6 a g,1

L 0.4 s

k (r .4-r .4 ) + 1 p, 1 g, 1

C drp.i = ~ Q + k1 (r . 4-r . 4) + k_ (r .-r .) + p d t z g' 1 p' 1 -""3 w' 1 p' 1

k Ir . -r . 11.37 . (r r ) 2 S1gn .- . g,1 p,1 g,1 p,1

C dr . (rw,i-rw.i-1) w, 1 = k3 (r . -r . ) - l F B Ax w dt p, 1 w, 1 w

D.1

D.2

D.3

Nu worden alle tijdafhankelijke delen gesplitst in een tijdafhankelijk

deel, aangeduid met een kleine letter, en een tijdonafhankelijk deel,

aangegeven met een A. Het is'mogelijk deze vergelijkingen te benaderen

door een raylorreeks-ontwikkeling. Als tevens aangenomen wordt dat de

tweede en hogere orde termen verwaarloosbaar klein zijn en dus weg-

101

gelaten kunnen worden, krijgt men de volgende vergelijkingen:

d A -6 A 6 A 4 C t · = a Q + a q + 9.28 10 ~ a T + ~ a T +

g d~' 1 z z g a g g,i

5.568 10-5 ~ aT 5

t - 4 ~ aT .3 t . + g a a g g,1 g,1

A A

Ao 6 (T-T .) Ao 6 (t -t .) 8.6 v · : 0~:/ + 8.6 v · : 0~:/ +

s s

(T-T .) A 4 A 3 5.16 v a g0

1

4 + k

1 T . - 4 k

1 T . t . +

(L V) . p,1 g,1 g,1 s

A 3 4 4 k 1 T . t . - k

1 T . +

p,l p,l g,l

A A 0.37 1.37 k2 IT .-T .I (t .-t .) -p,l g,l p,l g,l

k2 1 r . -r . 11. 37 c t . - t . > ó er . -r . > p,l g,l p,l g,l p,l g,l

A A 1.37 • A A k2 IT .-T . I Slgn(T .-T .) p,l g,l p,l g,l D.4

C dt . R QA R ~ (TA TA ) ~ ( ) p,l = ~ z + ~ qz + .- . + t i-t . + p dt W,l p,l W, p,l

102

A 3 A A 0.37 4 k1 T . t . + 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 p,1 g,1 p,1 g,1 p,1

A A 1.37 • A A

k2 Ir .-r .1 s1gn(T .-r . ) -g,1 p,1 g,1 p,1

k2 1r .-r . 11·37

(t .-t .) ó(T .-r .) D.5 p,1 g,1 g,1 p,1 g,1 p,1

C dtw. i = k_ cT .-T . ) + k_ (t .-t . ) -w d t --:3 p . 1 w • 1 --:3 p • 1 w . 1

A A A A

A {T .-T · 1> (Tw,i-rw.i-1) l F w, 1 w' 1- - l f --'-;::--:--"---w B Ax w B Ax

A ( t o -t 0 1) l F W,1 W,1-

w B Ax D.6

De ó-functie kunnen we weglaten aangezien de situatie dat de

glastemperatuur gelijk is aan de plaattemperatuur niet reëel is. Door

nu het werkpunt zodanig te kiezen dat de nulde-orde termen wegvalle.:1,

krijgt men de volgende vergelijkingen:

C dtg,i =a q + 5.568 10-5 é aT 5 t - 4 é aT .3 t . +

g dt- z g a a g g,1 g,1

( t -t . ) (T -T . ) 8.6 y0.6 a g,1 + 5.16 v a g,1 +

L 0.4 (V L )0.4 5 s

A A 0.37 1. 37 k- I T . - T . I ( t . - t . ) -

-"2 p. 1 g. 1 p. 1 g. 1

103

3 ,.. 3 4 k1 T . t g, i + 4 k1 T p, i t p, i g,1 D.7

dt 3 ,.. 3 c E· i = (3 qz + 4 k1 T t g, i - 4 k

1 T . t p, i + p

dt g, i p,1

,.. ,.. 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 g,1 g,1 p,1

k_ ( t .-t . ) -""3 w. 1 p, 1 D.S

d t ,.. ( t . -t . 1) C . k (t t ) -"" F W,1 W,1-

w d~' 1 = 3 p, i- w, i •w B Ax

D.9

Voor het eerste segment komt het water met een temperatuur t0

de

collector binnen en verandert D.9 in:

D.10

De voorwaarden die volgen u~t het nul stellen van de nulde orde termen

zijn de volgende:

104

k Ir .-r . 11

·37

sign(r .-r .> + 2 p,l g,l p,l g,l

8.6 v0·6

{T-T .) = 0 a g,1

A 4 A 4 A A

~ Qz + k 1 {T . -T . ) + k_ (T .-T .) + g,l p,l -~ W,l p,l

A A 1.37 • A A

k21T .-T .I Slgn{T .-T .)=0 g,l p,l g,l p,l

A A

A A A {Tw.i-rw.i-1) k3 (T .-T .) - lw F B Ax = 0 p,l W,l

D.ll

D.12

D.13

Dit vormt een stelsel van vergelijkingen. Door de vergelijkingen op te

A

tellen volgt een handelbare uitdrukking voor T . die weer in de W,l

andere vergelijkingen ingevuld kan worden. Het stelsel komt er als

volgt uit te zien:

~ Q - Q. + k1 (r _4- {r . 1+ o. <---k1 + B A:>}4] + z l g,l W,l- l 3 F

lw

k2 Ir . - r . 1 - Q. < t_ + B A:> 11.37 g, 1 w. 1- 1 -~

1 F

w

sign[r . - T - Q. {__!__ + B A:)] = 0 g,1 w,i-1 1 k

3 F

'w D.l4

105

T p, i = T w, i-1 + Q. (-1- + B A~) 1 k3 F

'lw

"' "' B Ax Q.

T - T + 1 w, i - w,i-1 ,..

'lw F

Hierin staat Qi voor de volgende uitdrukking:

Q = (a+~) Q + é a (9.28 10-6 T 6 - T .4) + i z g a g,1

"'0 6 T -T . 8.6V · a g,l

L 0.4 s

D.l5

D.16

D.l7

Voor het eertse segment dient in bovenstaande uitdrukkingen T . 1 W,l-

vervangen te worden door T0

.

Als de vrije convectie groter is dan de gedwongen convectie is de

afleiding iets anders. Alleen die term wordt bekeken die anders is dan

in het voorgaande:

k4 IT -T . 11

·33

sign(T -T .) a g,1 a g,1

Na de Taylorreeksontwikkeling volgt hiervoor de uitdrukking:

1.33 k4 Ir -r .1°· 33 (t -t .) + a g,1 a g,1

106

A A 1 33 A A

k4 Ir -r . I · sign(r -r . ) + a g,1 a g,1

A A 1.33 A A

k4 Ir -r .1 ó(r -r .) (t -t .) a g,1 a g,1 a g,1

Vergelijking D.4 wordt hiermee:

C dtg,i =a q + 5.568 10-5 é aT 5 t -g dt z g a a

4 é aT .3 t . + 4 k

1 r .3 t . + g g,1 g,1 p,1 p,1

A A 0 33 1. 33 k4 Ir -r . I · ( t -t . ) -

a g, 1 a g, 1

A A 0.37 1 . 37 k2 Ir . -T . I ( t . - t . ) p,1 g,1 p,1 g,1 D.18

De vergelijkingen D.14 t/m D.16 veranderen hierdoor niet. Vergelijking

D.17 wordt:

Q1. = (a+~) Q + é a (9.28 10-6 T 6-T .4 ) -+ z g a g,1

A A 1 33 A A

k4 Ir -r . I · sign(T -r . ) a g,1 a g,1 D.19

107

APPENDIX E: AFLEIDING VAN DE OVERDRAaiTSFUNCTIES

Hier worden de totale overdrachtsfuncties afgeleid zoals die gelden

voor het geschaalde model zoals gebruikt in de analoge rekenmachine.

De vergelijkingen IV.l t/m IV.3 worden Laplace getransformeerd.

Vervolgens worden door eliminatie uitdrukkirtgen verkregen voor de

deeloverdrachten. De getransformeerde vergelijkingen zien er als volgt

uit:

K t + K qz + K V + K pg. i t p, i t a a qa V, i

E.l = g, i K + s g, i

Kq/3 qz + K t w, i + K t t = wp gp. i g, i

E.2 p, i K p, i + s

Kf . f + K t :e. i + KwO t w, i-1 t . 1 :ew E.3 w, i = K + s w

Substitueren van E.l in E.2 levert een uitdrukking voor t . ent .. W,1 p, 1

Deze luidt:

t . [(K . +s) (K i+s) - K . K ] = p,1 g,1 p, gp,1 pg,i

108

K {K .+s) t . + K K . t + K . K . v + wp g,1 w,1 a gp,1 a v,1 gp,1

q [K K . + Kq/3 (K .+s)] E.4 z qa gp,1 g,1

Invullen van deze uitdrukking in E.3 levert na herschrijven de

volgende deeloverdrachten op:

K K K H' p.w gp, i a

E.5 = aw, i N. 1

K (K K . + K (3 (K .+s)) H' =

pw qa ~.1 9 s;' 1 E.6 qw, i N. 1

K K gp. i K V, i H' =

pw E.7 vw, i N. 1

Kf . [<K .+s) (K .+s) - K K . ] '1 p. 1 pg, i H' = g, 1 gp. 1 E.S fw, i N. 1

KwO [<K .+s) (K .+s) - K K . ] HOw . = g, 1 p. 1 ps;. i gp. 1

E.9 '1 N. 1

Invullen van deze uitdrukkingen in E.4 levert een serie deel-

overdrachten voor t . op. p, 1

109

K K (K +s) H' a gp, i w

E.lO = ap, i N. 1

H' (K +s)[K K . + Kgê (K .+s)]

E.ll = w ga ~,1 ~.1

qp, i N. 1

K K V, i (K +s)

H' ~.i w E.12

= vp, i N. 1

K Kf . (K .+s) H' = !E ,1 ~.1

E.l3 fp, i N. 1

K KwO (K .+s) Hàp . = wp ~.1

E.14 . 1 N . 1

Deze uitdrukkingen worden tenslotte ingevuld in E. 1. Hieruit volgen

dan de deeloverdrachten voort .. g,1

H' . ag,1

H' qg, i

H' vg, i

K [(K ,+s)(K +s) - K K ] = a _ p.. w pw wp_ N.

1

K m.i K ê (K +s) + K [(K .+s)(K +~)

= g w ga p.1 w N.

1

K [(K .+s)(K +s) - K K ] V, i p.1 w !!P pw = N. 1

110

E.15

- K K ] J2W wp E.l6

E.l7

K K Kf . H'

wp ~.i • 1

fg. i = N. 1

K K pg. i KwO

H' = wp

Og, i N. 1

N. is een gemeenschappelijke noemer gegeven doo~: 1

N1. = (K +s)(K .+s)(K .+s) - K . K . (K +s) -w p, 1 g, 1 gp. 1 pg, 1 w

K K (K .+s) pw wp g,1

E.18

E.19

E.20

Deze uitdrukking willen we herschrijven in een vorm met reële

positieve tijdconstanten. Daarvoor moeten de nulpunten van tellers en

noemer bepaald worden. Wat de noemer betreft worden de nulpunten

bepaald met behulp van de computer. Als een derdegraadsvergel ijking

zodanig omgeschreven wordt dat de coëfficiënten van de derdegraadsterm

+1 is dan geldt dat alle nulpunten negatief zijn als de coëfficiënten

van de lineaire ,de kwadratische en de constante term positief zijn.

Dat wil zeggen:

K + K . + K . < 0 E.21 w g,l p,l

K K . + K . K . + K K . < K . K . + K K E.22 w g, 1 g, 1 p, 1 w p, 1 gp, 1 pg, 1 pw wp

111

KK .K .<K .K .K+K K K w g. 1 p, 1 pg. 1 gp, 1 w wp pw g, i E.23

De enige constantes die eventueel negatief kunnen worden zijn K en w

K .. Dit is alleen mogelijk als de hulpconstane k_ voldoende negatief p, 1 --j

is. Daarvoor moet in ieder geval gelden: ó < ó . Dit is zodanig w. p

onwaarschijnlijk dat we ervan uitgaan dat k3

positief is. De noemer

schrijven we daarom als:

{l+T1 . s)(l+T2 . s){l+T3 . s) N ,1 ,1 ,1 . = _ ___;~ ___ ;;;;..:".;;;...._ __ ...;:;;,.":_,;;;___

1 Tl . T2 . T3 • . 1 . 1 . 1 E.24

De tijdeonstantes zijn hierbij de inversen van de omgekeerden van de

nulpunten van N .. 1

Vervolgens worden alle daarvoor in aanmerking komende tellers bekeken,

waarbij eventuele gemeenschappelijke constantes worden weggedeeld.

1) fK .+s)(K +s) - K K - p,1 w pw wp

De nulpunten zijn negatief als:

K . + K > 0 p,1 w

K . K > K K p,1 w wp wp

112

E.25

E.26

De uitdrukking voor de tijdconstanten zijn:

T4. = 2 [K . + K + vf(K .-K )2 + 4 K K I ]-1 E.27 ,1 p,1 w p,1 w pw wp

T5 . = 2 [K . + K - vf(K .-K )2 + 4 K K I ]-1

E.28 . 1 p, 1 w p,1 w pw. wp

2) K [(K +s)(K .+s) - K K ] + K~R K . (K +s) qa w p,1 pw wp ~ pg,1 w

De nulpunten zijn negatief als:

K K +K K .+K{3K .>0 qa w qa p,1 q pg,1 E.29

K KK .+K{3K .K>K K K qa w p,1 q pg,1 w qa pw wp E.30

Voor de tijdconstanten gelden de uitdrukkingen:

[ + r0 J-1 T 10 • 1.=2Kqa K (K+K .)+K~RK . -vn qa w p,1 ~ pg,1 E.31

T 11 • 1. = 2 K [ + K~R K . - rn J -1

qa Kqa (Kw+Kp,i) ~ pg,1 E.32

2 D = (K K + K K . + K~R K . ) -qa w qa p. 1 ~ pg, 1

E.33

113

3)

4)

5)

K +s w

Het nulpunt is negatief als:

K > 0 w

De uitdrukking voor het nulpunt is:

(K K . + K ~ (K .+s))(K +s) qa gp. 1 q,_, g. 1 w

Een nulpunt is al bekend. Het andere is altijd negatief:

T12 . = K ~ [K K . + K~~ K .]-l • 1 q,_, qa gp. 1 "ii-' g, 1

K .+s g, 1

Het nulpunt is negatief als:

K . > 0 g,1

De tijdconstante is:

114

E.34

E.35

E.36

E.37

E.38

6) {K .+s){K .+s) - K . K . g,1 p,1 gp,1 pg,1

De nulpunten zijn negatief onder de voorwaarden:

K .+K .>0 g,1 p,1 E.39

K K p, i > K K E.40 g, i gp, i pg, i

rl T8 . = 2 [K .+ K .+ j (K .-K . ) 2 + 4 K K E.41 . 1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp, i pg, i

rl Tg . = 2 [K .+ K _j(K .-K .)2 + 4 K K l E.42 . 1 g,1 p, i g,1 p,1 gp, i pg, i J

Onder de voorwaarden besproken bij de behandeling van de noemer zijn

ook alle nulpunten van alle tellers negatief. De daaruit voortlomende

schrijfwijze voor deeloverdrachten staat in tabel E.l

In het geval dat in deze studie beschouwd wordt, blijkt de invloed van

de zonnestraling geabsorbeerd door het glas en de windinvloed

verwaarloosbaar. Dat houdt in: K .=K =Ü. Daardoor worden enkele van V,1 q

de gevonden deeloverdrachten vereenvoudigd {tabel E.2).

115

Tabel E.l: De deeloverdrachten gesplitst in een statische versterking

xy

ag

qg

vg

fg

Og

ap

qp

vp

fp

Op

aw

qw

vw

fw

Ow

(S") en een tijdconstanten~edeelte (F").

n = {l+Tl . s){l+T2 . s){l+T3 . s) • 1 • 1 • 1

s· x,y

K Tl . T2 . T3 ./{T4 1 T5 .) a ,1 ,1 ,1 , ,1

Tl . T2 . T3 ./{Tlû . Tll .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1

K . Tl . T2 . T3 ./{T4 . T5 .) V,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1

K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp pg,1 ,1 ,1 ,1 ,1

K K . K Tl . T2 . T3 . wp pg,l WO ,1 ,1 ,1

K . K K Tl . T2 . T3 . gp. 1 a w ,1 • 1 • 1

K Tl . T2 . T3 ./Tl2 . w ,1 ,1 ,1 ,1

K K . K . Tl . T2 . T3 . W gp,1 V,l ,1 ,1 ,1

K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp g,1 ,1 ,1 ,1 ,1

Kwp Kg. i KwO T 1. i T 2, i T 3, i

K K . K Tl . T2 . T3 . pw gp,1 a ,1 ,1 ,1

K Tl . T2 . T3 ./Tl2 . pw , 1 • 1 • 1 • 1

K K . K . Tl . T2 . T3 . pw gp,1 v,1 ,1 ,1 ,1

Kr . Tl . T2 . T3 i/{Ts . Tg .) ,1 ,1 ,1 • ,1 ,1

KWÛ Tl . T2 . TJ ./{TS . Tg .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1

116

F' . xy,1

{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1

{l+TlO,i s){l+Tll,is)/n

{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1

1/n

1/n

{l+T6

s)/n

{l+T6 s)(l+T12 .i s)/n

{1+T6 s)/n

{1+T7 . s)/n '1

{l+T7 . s)/n • 1

1/n

{l+T12,i s)/n

1/n

{1+T8 . s)(1+Tg . s)/n • 1 • 1

{1+T8 . s){1+Tg . s)/n • 1 • 1

Tabel E.2: Vereenvoudi~de deeloverdrachten als K . = K = 0 - V,l--q--

n = {l+T1

. s){l+T2 . s){l+T3 . s) • 1 • 1 • 1

xy s· F' x,y xy, i

vg 0

vp 0

vw 0

qg K . K ~ K Tl . T2 . T3 . pg,1 q w • 1 ,1 ,1 {l+T

6 s)/n

qp K ~ K . K Tl . T2 . T3 . q g,1 w ,1 ,1 ,1 {l+T

6 s){l+T7 .

• 1 s)/n

qw K Kq~ Kg . Tl . T2 . T3 . pw , 1 , 1 , 1 , 1 (l+T7 . • 1 s)/n

117

APPENDIX F: LITERA1UURLI.JST

Alle literatuuropgaven zijn gegeven in alfabetische volgorde van

schrijver. Waar toepasselijk is de uitgever vermeld. Interne

vakgroepnotities zijn voorzien van het NR-nummer. In deze 1 ijst is

geen melding gemaakt van "standaard"-TIJE uitgaven zoals dictaten en

RC-bulletins.

1) Onderzoek naar het regelgedrag van een

vlakke-plaat-collector (NR 564) J.C.J. Aerts

2) Solar energy Thermal processes Duffie & Beckmann

3) Control systems theory (Me Graw-Hill} O.I. Elgerd

4) Een electrisch analogon van een

vlakke-plaat-collector (NR 77E)

5) Procesregeling (Prisma technica 40)

6) Statistische procesbeheersing

(Prisma technica 50)

7) Over de dynamica van de zonnecollector

(NR 196)

8) Coëfficiëntenwaarden zonnecollector

(NR 200}

9) De zonnecollector: segmentenbeschouwing

(NR 201}

10} Het mathematisch dynamisch model van

een zonnecollector (NR 154}

11} Verificatie van het dynamisch model van

een zonnecollector in het frequentie-

domein (NR 233)

12} Het mathematisch dynamisch model van

een vlakke-plaat-collector (NR 262)

13} Over het rendement van de zonne­

collector (NR 278}

118

F.J.M. Gaykema

P.M.E.M. van der Grinten

P.M.E.M. van der Grinten

J.M.H. Lenoir

0. Rademaker

0. Rademaker

0. Rademaker

A.J. de Ron

A.J. de Ron

A.J. de Ron

A.J. de Ron

14) Responsie van de zonnecollector in

het tijddomein (NR 363)

15) Dynamic rnadelling and verification of

a flat-plate solar collector

A.J. de Ron

(solar energy Vol. 24 pg. 117-128) A.J. de Ron

16) Study of the non-linear dynamics of a

flat-plate solar co~lector {NR 475) A.J. de Ron

17) Benadering voor de karakteristieke

functie van een zonnecollector (NR 550) A.J. de Ron

18) Analyse van het hik-gedrag bij een aan-

uit besturing (NR 625E)

19) Stageverslag (NR 1115)

20) Zonnecollectoren: metingen en voor­

spellingen m.b.v. analoge rekenmethoden

A.J. de Ron

J. v.d. Wilk

2e-jaarsprojekt (NR 870E) E.H.M. Hogeboom e.a.

21) Handhook of automation, computation and

control Volume 1

22) Een zonne-energiesysteem met gelaagde

opslag:collectorsturing en vatmodellen

(NR 821E)

23) Het intermitterend gedrag van de vloei-

Wooldridge, Grabbe, Ramo

P.A.A. Trouwen

stofpomp in een zonneboiler J.J. Smit, M.v. Spanje

24) Dynamisch optimaliseren van zonnewarmte

systemen met tijdelijke opslag van

voelbare warmte (NR 987) R.v.d. Linden

119

B

c. d 1n

F

g

APPENDIX G:SYMBOLENLI.JSf

breedte van de collector

warmtecapaciteit per oppervlakteëenheid

waterdebiet

tijdconstantengedeelte van een overdracht

veranderlijk deel van het waterdebiet

zwaartekrachversnelling

~. d overdrachtsfunctie 1n

I

k. d 1n

L

N

Nu

p

qind

Rind

Rind

8 ind

Tind

electrische stroom

constante in het analoge simulatiemodel of analogon

genummerde hulpconstante

lengte van de collector

aantal collectorsegmenten

gemeenschappelijke noemer van de overdrachten

getal van Nusselt

overdrachtcoëfficiënt voor gedwongen convectie

warmtestroom per oppervlakteëenheid

veranderlijk deel van de warmtestroom

warmteweerstand

electrische weerstand

statische versterking van een overdracht

temperatuur

120

m

kg s-1

-2 m s

A

variëert

m

-2 -2 Wm K

K

t

t. d In

u

V

V

V

x

a

"A. d In

vind

T

a

tijd

veranderlijk deel van de temperatuur

verliesfactor van de collector

windsnelheid

spanning

veranderlijk deel van de windsnelheid

lengte coördinaat van de collector

door het glas geabsorbeerd deel van de zonnestraling

door de plaat geabsorbeerd deel van de zonnestraling

kubieke uitzettingscoëfficiënt

lengte van een collectorsegment

dikte of doorsnede

emissiecoëfficiënt

soortelijke warmte

warmtegeleidingsvermogen

breedte van een collectorvin

kinematische viscositeit

het bekende getal

soortelijke warmte

schalingswaarde voor de tijd

tijdconstante

constante van Boltzmann

121

s

K

V

-1 m s

m

-1 K

m

m

m

~ , -1 K-1 J Kg

J s-1 m-1 K-1

m

2 -1 m s

-3 kg m

s

s

I~Icrs

a van de omgeving

f van het waterdebiet

g van het glas

gl van het glycol

max schalingswaarde van de betreffende grootheid

p van de plaat

q van de warmtestroom van de zon

s van de hemel

s specifiek

v van de windsnelheid

w van het water

z van de zon

0 ingang

0 van het voorgaande segment

,i segmentaanduiding

werkpuntgrootheid

deeloverdracht

122